| E8b80L10 1941 € ne [Cs 4 ŒUVRES COMPLÈTES DE CHRISTIAAN HUYGENS PUBLIÉES PAR LA SOCIETE HOLLANDAISE DES SCIENCES TOME DIXIÈME CORRESPONDANCE 1691—1695 c Q° ZA LA HAYE N MARTINUS NIJHOFF 1905 CORRESPONDANCE 1691-—1695. ' = Re . p AN s- Î ( j as \ «1 y À QU VAN N° 2655. P. Bavze à CHrisTiAAN HUYGENSs. 1er JANVIER 1691. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Chr. Huygens y répondit par le No. 2657. MONSIEUR Il y a longtems que j’ai penfé à vous demander l’explication d’une chofe qui ne vous chargera d’aucune meditation, et ie fuis bien aife d’avoir differé iufqu’à aujourdhui afin de pouvoir en meme tems vous fouhaitter une bonne et heureufe année. Je vous la fouhaitte, Monfieur, tres heureufe celle que nous commencons, et plufieurs autres confecutivement. pour venir à ma petite queftion voici ce que c’eft. Comme ie n’ai iamais fait d’operation Aftronomique, ie ne fai point avec quels inftrumens on prend la paralaxe d’un aftre, et comment on peut remarquer la dif- ference entre le locum verum et le locum vi[um d’un aftre, car dit on, /ocus verus c’eft celui où la lune paroitroit correfpondre au firmament fi on la regardoit du centre de la terre: /ocus vilus eft celui où nous la voions correfpondre au firma- ment. Je comprens fort bien que plus un aftre eft eloigné de la terre, moins doit on s’apercevoir de la difference entre fon /ocus verus et fon locus vi[us, maïs je voudrois feulement favoir comment on fait que le /ocus verus de la lune, c’eft a dire celui où elle paroitroit du centre de la terre, eft là ou là, eloigné de tant et de tant de fon /ocus vifus. Vous voiez Monfieur que c’eft là une demande de Novice qui ne vous coutera que 2 coups de plume, fi vous avez la bonté de me la vouloir eclaircir à votre première commodité, comme vous en fuplie tres humblement MoNSIEUR Votre trefhumble et trefobeiflant feruiteur BAYLE. À Rotterdam le 1. de l’an 1691. Œuvres. T. X. I Ù CORRESPONDANCE. 1691. N° 2656. A. DE GRAAFF à CHRISTIAAN HUYGENSs. Ier JANVIER 1691. La leitre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle est la réponse au No. 2652. Amfterdam den 1 Januarij 1691. Mix HEER hebbe UE aangename van den 26 dec. 1690 wel ontfangen en de ingeleyde *), op dien felfden avont, noch aan mijn foon gefonden met een matroos van Bran- denburg, die aanftonts zoude vertrekken, zoo dat vertrouwe dat ze hem wel za” behandigt wezen. ”t is mij lief dat uE noch iets vint in mijne mathematifche wer- ken dat u behaagt. Ik hebbe niets van de uwe als dat van de horologiens. hier nevens gaan drie brieven van mijn foon, hebbe twee daarvan ?) zoo even ontfangen, ende andere voor twee dagen 5), die ik uE niet toefont omdat ik er noch meer verwachte, en oordeelde het te laat te wezen om mijn zoon meerder te fchrijven, ’t welk ook gebleeken is omdar de fcheepen Vrijdag zijn vertrokken, uijtgenomen Java dat vaft raakte int uytloopen. Eyndigende, wenfche dat de horologiens goet fucces mogen hebben, en ook voor UE een geluk en falig nieuwe jaar. Verblijvende mijn Heer ce ootmoedige Dienaar ABRAHAM DE GRAAFF,. het kafie etc. wert UE met het eerfte openwater toegefonden. Aande E: Heer Mijn Heer CONSTANTYN HUYGENS Heere van Zuylichem, om te behandigen aan fijn E. Broeder de Heer van Zelem In ’s gravenhage. 1) La Lettre N°. 2651. ?) Les Lettres Nos, 2650 et 2653. 3) Probablement la Lettre N°. 2648. CORRESPONDANCE. 1691. 3 N° 2657. CHRISTIAAN HuycEns à P. BavyLe. 13 JANVIER 1691. La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens. La lettre est la réponse au No. 2655. MONSIEUR Vous ne faites pas comme la plufpart des philofophes qui profitent des decou- vertes des Aftronomes, fans s’informer comment ils les ont faites. J’approuve fort voftre curiofité et y fatisfais tres volontiers, quoy que le premier autheur de ceux qui traitent ces matieres, fi vous l’aviez voulu confulter, vous auroit pu apprendre ce que vous me demandez touchant la maniere d’obferver les Parallaxes. Vous fcavez que par les Tables aftronomiques on peut connoitre le lieu d’un aftre, par ex. de la Lune, en determinant fa longitude et latitude a l’egard du cercle Ecliprique et de fon point qui s’appelle le commencement d’aries. lequel lieu fe trouve tout calculè dans les Ephemerides, en forte qu’on le peut avoir pour chaque jour heure et minute. Ces lieux font ceux ou la lune paroïftroit parmi les Etoiles fixes eftant regardée du centre de la Terre. Et il eftoit neceffaire de com- mencer par ces loci veri pour trouver en fuite locos vifos ex terrae fuperficie. Ayant donc apris par l’un de ces moiens la Longitude et la Latitude de la Lune on peut trouver par le calcul des triangles fpheriques quel fera l’angle de fon elevation fur le plan d’un horizont, qu’on nomme rationalis qui eft un plan imaginè paffant par le centre de la Terre, et parallele a noftre horizon vifible, c’eft a dire parallele au plan qui touche le globe terreftre a l’endroit ou nous fommes. Soit SG la Terre ; fon centre C. le lieu de noftre demeure $, la lune en L. Ima- L G ginant maintenant.un plan FSE qui touche la terre en $, et qui s’etende jufqu’aux etoiles fixes et un autre plan BA parallele au premier et paffant par le centre C, 4 CORRESPONDANCE. 1691. c’eft la cet horizon rationalis et la hauteur de la lune qui fe trouve comme je viens de dire eft l’angle LCA. Pour mefurer donc la parallaxe de la Lune, il faut obferver a quelque heure fa hauteur apparente fur noftre horizon vifible FSE, fcavoir l’angle LSE, ce qui fe fait par le quart de cercle ou autre tel inftrument, et mieux qu’autrement lors que la Lune eft au meridien, parce qu’elle demeure quelque temps la fans changer fenfiblement de hauteur. Ayant cette hauteur (prenons que ce foit 30 degr.) on fuppofe en fuite pour l’heure que cette obferv. a eftè faite, l’angle LCA, qui foit de 30 degr. 40 min. Ces 40 min. de difference font l’angle SLC, qu’on nomme paralla“tique. Car il-eft aifè de voir que cet angle SLC eft celuy dont l’angle LCA, c’eft a dire CDS furpaffe ESL, ou DSL, puifque DSL et DLS pris enfemble egalent l’externe CDS par Elem. d’Euclide. C’eft que dans le triangle SLC eftänt connu l’angle L et l’angle LSC, compofè de LSE et de l’angle droit ESC; et le coftè SC, on en calcule le coftè CL, diftance cherchee de la lune au centre de la Terre. Vous voiez donc Monsr. la maniere de connoïitre la parallaxe par obfervation jointe au calcul de l’angle d’elevation de l’aftre fur l’horizon, et il ne faut qu’un mot pour vous faire voir comment cette parallaxe fert a trouver la diftance de l'aître. J'ajoute encore que par la diftance connue on fuppofe reciproquement la pa- rallaxe pour toute elevation fur l’horizon vifible, car dans le triangle SLC, les coft. SC, CL eftant donnez et l’angle CSL par obferv.on, on en trouve l’angle SLC. On trouve encor plus facilement quand l’aftre eft dans le plan horizon- tal SE comme en E, l’angle SEC, parce que le triang. CSE eft reétangle, aiant les coftez CS, SE connus d’ou l’on a d’abord SEC que l’on nomme la parallaxe horizontale, c’eft elle, qui eft la plus grande de toutes et qui ne fe trouveroit pas bien par obfervation a caufe des refraétions pres de l’horizon. Il eft evident au refte que cet angle SEC eft le mefme fous lequel on voit le x diametre de la Terre lors qu’on eft dans la lune en E, eftant environ de 56 minutes dans la diftance moyene, Et par ce qu’a la mefme diftance le x diam. de la Lune nous paroit de 154. min. il s’en fuit que le diam. de la Terre eft a celuy de la Lune comme 56 a 152 c’eft a dire prefque quadruple. le grand ufage des parallaxes eft encore de trouver par leur moien la diftance des Planetes au foleil comparees a celle de la Terre au foleil. Car fi dans la mefme figure le cercle SG reprefente l’orbe annuel de la Terre autour du foleil que je fuppofe en €, et que jupiter foit en L, on ap- pelle fon locus verus celuy ou on le verroit du foleil C et fon locus vifus celuy ou il paroit de la Terre. Et l’on connoit par obfervation dans le triangle LSC l'angle $, et par les tables aftronomiques l’on fuppute l’angle SCL par ou le troi- fieme SLC eft aufi donnè, qui s'appelle parallaxe orbis magni. Et en fuite l’on trouve la proportion entre LC et CS, c’eft a dire les diftances du foleil a Jupiter et à la Terre, CORRESPONDANCE. 1691. 5 Ainfi l’on apprend dans le Syfteme Copernicien la proportion de toutes les diftances des Planetes au Soleil comparees au demidiametre de l’orbe annuel de la Terre, dont on ne pouvoit rien fcavoir dans le fyfteme de la terre immobile de Ptolemee. Je vous remercie trefhumblement de vos bons fouhaits pour la nouvelle année. J'efpere qu’elle vous fera autant et plus heureufe et fuis avec zele MONSIEUR N° 2658. PH. DE LA HiRE à CHRiISTIAAN HUYGENS. 17 JANVIER 1691. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle est la réponse à une lettre que nous ne connaissons pas. À Paris à l’obferuatoire le 16 januier 1691. Jay toujours differé, Monfieur, a faire reponfe a la uoftre du 16 nouembre der- nier attendant de jour en jour de receuoir le paquet des exemplaires *) que uous m’enuoyëz. Mais les difficultez que jay trouuées pour auoir main levee de la faifie quon en auoit faite a Peronne et pour les faire uenir icy mont couté beaucoup de peine &c..... c’eft pourquoy Monfieur quelque plaifir que j’euffe de receuoir de femblables commiflions de uoftre part, il faut y renoncer dans le temps ou nous fommes, et laiffer ces commerces a faire aux marchands qui ont leurs correfpon- dans qui entendent a demefler ces fortes de brouilleries. Il n’y a que trois jours que jay pu auoir le paquet j’en ay depuis fait prefque coute la diftribution pour mon particulier je uous en fuis extremement obligé et je crois que uous en re- ceurez des complimens de ceux a qui uous en auez enuoyé. Lorfque ce paquet ma efté rendu j’auois le uoftre traité dans un exemplaire qui eftoit a la biblio- cheque du Roy et qui eftoit uenu par la pofte il y a enuiron 6 mois. J’auois encore la memoire aflez fraiche de ce que uous auiez lu autrefois?) dans nos affemblée!s], mais comme uous reftâtes au chriftal d’Iflande je ne pouuois me perfuader que uous pufliez expliquer fes apparences auec facilité, cependant cette partie de ) Voir la Lettre N°. 2616. ?) En 1679. Consultez la Lettre N°. 2462, note 5. 6 CORRESPONDANCE. 1691. uoftre traitté me femble un chef doeuure tout enfemble de phyfique et de mathe- matique, ec je ne fcaurois me laiffer dadmirer le cour que uous auez pris pour expliquer des phenomenes fi extraordinaires et pour les expliquer tous comme uous faites. Jay eu occafion dans les leçons publiques que je fais au college Royal, dexpliquer uoftre fyfteme et je lay fait ualoir autant qu’il m’a efté poffible. c’eft une chofe nouuelle en ces quartiers car hormis les exemplaires que uous nous auez enuoyez et celuy de la Bibliothèque du Roy ie ne crois pas qu’il y en ait a Paris. L’experience que uous marquez a la fin de la page 42 fur la refraétion dun objet a une demi lieuë de diftance 3), me furprend fort car toutes celles que j’ay faites pour regler nos inftrumens a deux lieuës Z ne m’ont jamais montré aucune difference fenfible. je lay mefme repetée tout expres ayant uû ce que uous en dires en differentes heures du jour et mefme autrauers un grand brouillard et dans un temps ferein et je n’y ay trouué nulle difference. Je ne me fouuiens pas non plus que M. Picard ait rien remarqué de femblable luy qui obferuoit fort exaétement. Cette mefme experience que iay faite dernierement autrauers dun brouillard ne confirmeroit pas ce que uous dites au commencement de la page 46. car jaurois du trouuer une bien plus grande refraétion autrauers du brouillard que lorfque le ciel eftoit ferein. Je reuiens maintenant a uoftre lettre et je uous diray pour la comparaifon de ma machine des Eclipfes+) a celle de M. Romer 5) que Monfieur Caflini a rendu temoignage en pleine affemblée de l’academie que la mienne eftoit plus exaéte que celle de M. Romer. la defcription que jefpere de donner des machines de M. Romer dans nos colleétions auec celle que uous auez faites, fi uous trouuez a pro- pos de nous l’ennoyer, fera uoir jufqu’a quelle exaétitude elles peuuent aller. la correétion que uous me marquez de dixiéme au lieu de douziéme eft une faute d’impreflion que celuy qui s’eftoit chargé de limpreffion a laiflé gliffer auec plu- fieurs autres, je uous remercie de cet auis. Pour ce qui eft de la uiteffe complette ou terminale®) je me fouuiens pas de uous auoir efcrit que je fufle dun fenciment oppofé au uoftre car apres auoir examiné cette queftion je fuis venu au mefme but ou je uois que uous eftes arriué, mais il me femble qu’il y a du parallogifme dans mon raifonnement ceft pourquoy je n’oze rien prononcer la deflus fans en auoir trouué une demonftration dans les formes #) 11 s’agit de l'expérience sur la variabilité de la réfraction atmosphérique, mentionnée au com- mencement du Chapitre IV du Traité de la Lumière. Comparez aussi la Lettre N°. 2610, note 1. #) Voir la Lettre N°. 2568, note 6. 5) Voir la Lettre N°, 2255, note 3. 5) La vitesse limite d’un corps tombant dans l’air. Voir la Lettre N°, 2616. CORRESPONDANCE. 1691. 7 a la quelle j je me rendray fort volontiers; et je croyois ne uous auoir mandé que le doute ou je me trouuois. Ce que uous me mandez du Prodomus Aftronomicus d'Heuelius 7) ne me fait pas connoitre fil eft imprimé ou non. M. le Marquis de l’Hofpital a efté longtemps a la campagne et je ne fçay s’il n°v eft pas encore; ceft pourquoy je n’ay pu luy faire part de ce que uous me mandez je m’en acquiteray a la premiere occafion. Pour les tables des mouuemens des farellites de Z je ne uois pas qu’on en puiffe attendre une jufteffe plus grande que de 4 a 5 minutes. M. Caflini a fait imprimer depuis peu un feuillet uolant®) de la decouuerte dune nouuelle tache dans le corps de Z auec quelques bandes extraordinaires, je ne doute pas qu’il ne trouue quelque commodité pour uous faire part de ce qu’il a fait. Je ne fuis pas content de la philofophie de M. Regis?). Et plufieurs fe plaignent du diétionaire Mat *°). Si uous auiez a nous enuoyer quelque chofe qui pût eftre porté commodem- ment par la pofte uous nauriez qu’a laddreffer a Monfieur l’abbé de Louuois :*) Bi- bliothequaire du Roy a la bibliotheque et uous ne pourriez pas en faire part a une perfonne de plus de merite. Ceft le plus jeune des garcons de M. de Louuois, qui fe fait aimer et admirer de tout le monde. dans deux années il fera a la tefte de la compagnie **) et il fera un puiffant proteéteur pour elle il fe propofe de la faire florir 7) Johannis Hevelii Prodromus Aftronomiae, exhibens fundamenta quae tam ad novum planè et correétiorem ftellarum fixarum catalogum conftruendum quàm ad omnium planetarum tabu- las corrigendas omnimodè fpectant, necnon novas et correétiores tabulas folares, aliafque plu- rimas ad aftronomiam pertinentes, utpote refraétionum folarium, parallaxium, declinatio- num, angulorum eclipticae et meridiani, afcenfionum reétarum et obliquarum horizonti Gedanenfi infervientium, differentiarum afcenfionalium, motüs et refrationum, ftellarum fixarum, quibus additus eft uterque catalogus ftellarum fixarum, tam major ad ann. 1660, quàm minor ad ann. completum 1700. Acceflit corollarii loco tabula motûs lunae libratorii, ad bina faeculae proximè ventura prolongata, brevi cum defcriptione ejufque ufu. Cum gratia & privilegio Sac. Reg. Maj. Polon. Gedani Typis Johannis, Zachariae Stollii. Anno M.DCxC. in-f°. Ouvrage posthume publié par la veuve d’Hevelius. #) Nouvelles Découvertes dans le globe de Jupiter faites par M. Cassini. Paris, 1691. in-4°. 9) L'ouvrage cité dans la Lettre N°. 2616, note 6. 19) L'ouvrage cité dans la Lettre N°. 2616, note 8. 11) Camille Le Tellier, abbé de Louvois, né à Paris le 11 avril 1675, mort le 5 novembre 1718. A l’âge de neuf ans il fut pourvu de la charge de maître de la librairie et bientôt après de celle de garde de la bibliothèque du roi et d’intendant du cabinet des médailles. L’archevêque de Reims le forma aux affaires ecclésiastiques en lui donnant de l’emploi dans son diocèse dont Tabbé Louvois, après un voyage en Italie, devint grand-vicaire et official. Après la mort de Louis XIV, il fut nommé évêque de Clermont. 1?) Ce projet échoua. Louvois, le père de l'abbé, mourut en disgrâce le 16 juillet 1691. Toute- fois, l’abbé Louvois entra, en 1706, à l’Académie française et, en 1708, à l’Académie des inscriptions et belles-lettres. En 1699 il fut créé membre honoraire de l’Académie des Sciences. 8 CORRESPONDANCE. 1691. plus que jamais et de la foutenir par fe[s] propres liberalitez. Monfieur fon pere ma donné ordre de luy enfeigner une partie de nos fciences il y a pres dun an quil y trauaille autant que fes autres eftudes le luy peuuent permettre et je ne doute pas quil ne s’y rende tres capable. Quand j’auray acheué quelques ouurages que j’ay commencez je me remettray a trauailler a mes tables aftronomiques 3) : maïs je fuis encore incertain fi je dois donner un catalogue entier des eftoiles fixes a caufe du peu dufage qu’on en fait, il me femble que les principales que jay données font plus que fuflifantes pour tout ce que lon en a befoin tant dans laftronomie que dans la geographie et nauigation, et les inftrumens font fi communs que lon obferue guerre fans s’en feruir et que lon fait peu de cas des obfervations faites a la uuë fimple. le temps et mes amis me donneront confeil la deflus. Je me feray toujours un uray plaifir de fuiure le uoftre quand uous me ferez la grace de men donner. Croyez auffi que je fuis MONSIEUR Voftre tres humble et tres obeïiflant feruiteur DE LA HIiRE. 13) La ,,Pars prior” de ces Tables avait paru en 1687. Voir la Lettre N°. 2568, note 9. Ce ne fut qu’en 1702 que de la Hire publia des Tables plus complètes, sous le titre : Philippi de la Hire Tabulae aftronomicae; Ludovici Magni juffu et munificentia exaratae, in quibus folis, lunae reliquorumque planetarum motus ex ipfis obfervationibus, nullà adhi- bità hypothefi traduntur ; habenturque praecipuarum fixarum in noftro horizonte confpicua- rum pofitiones; ineundi calculi methodus, cum geometricâ ratione computandarum eclip- fium, folà triangulorum reétilineorum analyfi, breviter exponitur. Adjeéta funt defcriptio, conftruétio et ufus inftrumentorum aftronomiae novae praéticae infervientium, variaque pro- blemata aftronomis geographique perutilia, ad meridianum obfervatorii Regii Parienfis, Parifiis. Mpccur. in-4°. CORRESPONDANCE. 1691. à 9 N° 2650. G. W. LeiBniz à CHRISTIAAN Huycens. 6 FÉVRIER 1691. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. "Elle a été publiée par P. J. Uylenbroek*) et par C. I. Gerhardt*). Elle est la réponse au No. 2643. Chr. Huygens y répondit par le No. 2660. Hanover ce 27 de Janvier (vieux ft.) 1691. MonSIEUR Je n’ay pas ofé vous importuner trop fouvent en écrivant lettre fur lettre ; de plus, j’étois fort accablé depuis ma derniere ayant efté deux fois à Wolfenbutel et une fois à Hildefheim pour chercher des memoires Hiftoriques, et ayant repondu à plus de 40 lettres dont la plus part avoient efté differées et demandoient quelque attention. Il eft vray qu’il y avoit un mot dans la vôtre, qui m’avoit tenté de re- pondre fur le champ, mais j’ay crû qu’il ne falloit pas écrire pour cela feul. En effet j’ay efté le plus furpris du monde de vous voir capable d’un foubçon auffi mal fondé que l’eftoit celui qui paroïfloit, lors que vous difiés trouver mon excufe merveilleufe. Mais il n’y avoit point d’excufe, Monfieur, et je ne pouvois pas en faire d’une chofe ou je vous affeure encor de n’avoir eu aucune part. Ces Mrs. de Leipzig ont mis dans leur Journal ce qu’ils ont dit de la 2e partie de voftre ouvrage 3%), ou eft l’endroit dont vous vous plaignés, avant que je l’euffe fçû ou vû, ou y contribué en aucune façon. J’avois même deffein de leur envoyer quel- que petit difcours pour eftre mis à la fuite de ce qu’ils en diroient et pour compa- rer ce que vous et Mons. Neuton avés dit de la refiftance du milieu, avec ce que j'en avois publié, et je fuis affeuré que vous n’auriés pas eu fujet de vous en plain- dre. Mais j’appris qu’ils avoient déja depeché voftre ouvrage, et je differay mon deffein à une autre occafion+#) pour voir premierement ce qu’ils en avoient dit. 7) Chr. Hugenii Exercitationes Mathematicae etc. Fasc. I, p. 59. ?) Leibnizens Mathematische Schriften, Bd. IT, p. 71, et Briefwechsel, p. 628. 3) Voir la Lettre N°. 2643, note 17. 4) Les ,Acta eruditorum” d’avril 1691 contiennent un article de Leibniz intitulé: O. V.E. Additio ad schediasma de Medii Resistentia publicatum in Actis mensis Febr. (lisez janvier) 1689. Dans cet article Leibniz démontre, pour le cas du mouvement rectiligne sous l’in- fluence d’une résistance proportionelle au carré de la vitesse, la conformité des résultats obtenus par luiet par Newton et Huygens. Ensuite il y reconnaît l’erreur qu’il a commise en traitant du mouvement curviligne sous l’influence d’une telle résistance et sur laquelle Huygens va fixer son attention dans sa lettre du 23 février 1691., Voir la Lettre N°. 2660, note 14. Œuvres. T. X. 2 10 CORRESPONDANCE, 1691. Si je ne vous honnorois pas autant que je fais, je negligerois une accufation qui n’a pas le moindre fondement. Car je ne vOy pas ce qui vous a pù mouvoir à ne pas adjuter foy à une chofe de fait dont je vous avois affeuré. Mais vous eftimant autant que je dois, je fuis bien aife de vous defabufer. J’ay une lettre de Mons, Mencken 5) Profefleur de Leipzig, qui a foin des Aëtes, datée du 28 d’Oétobre vieux ftile, lors que leur Mois de Novembre éftoit déja imprimé (ear il paroift le premier jour du mois) ou il me mande (fur ce que je luy avois écrit a l’occafion de vôtre lettre, ou vous vous étonniés de leur filence) que j’en trouverois une relation convenable dans les mois d'O&tobre et de Novembre (von des Herrn Hugenii Buch wird mHerr in den O&tober und November A&torum gebührende relation finden), il adjoute que cette fois leur Novembre avoit efté achevé trois femaines plus toft qu’à l'ordinaire. Si vous en defirés voir l'original, je le vous envoyeray. Peut-eftre que la veue de ce mois vous aura déja detrompé, et vous aurés remarqué aifément que ce qu’on y dit du confentement de voftre feries avec celle que j’avois donnée il y a plufieurs années eftant manifeftement erronnée, ne pouvoit eftre attendu de moy. Je feray temoigner le contraire comme je vous l’ay promis. Mais tout ce proces importe bien peu. Car vous ou moy nous n’avions qu’a voir l’équation de la courbe %) pour connoïftre la feries, et vous ne l’aviés reduit à l’Hyperbole, que fur la demonftration de Mons. Neuton?), au lieu que je l’avois fait immediatement et avois preferé l’expreflion par les logarithmes. Mais je n’ay garde de m’imaginer que ce que j’en avois dit vous y ait fervi. Je n’avois pas penfé 5) Otto Mencke, né le 22 mars 1644 à Oldenburg, mort à Leipzig le 29 janvier 1707. Il fut pro- fesseur de morale à l’université de Leipzig, et le fondateur des ,, Acta Eruditorum'”, le premier journal littéraire qui parut en Allemagne, continué aprés sa mort par son fils Johann Burckhard, puis par son petit-fils Friedrich Otto. La bibliothèque royale de Hannover con- tient sa correspondance avec Leibniz. Voir, aux pages 170—181, l'ouvrage du Dr. Ed. Bode- mann: Der Briefwechsel des G. W. Leïbniz in der Kôniglichen ôffentlichen Bibliothek zu Hannover. Hannover, Hahn’sche Buchhandlung, 1889, in-4°. 5) Consultez, sur ce point, le passage du ,, Discours de la pesanteur”, cité dans la lettre N°. 2632, . a3 note 7. La ,,ligne courbe” en question n’était autre que la courbe y— x? ainsi qu’il résulte d’une pièce intitulée: De descensu corporum gravium et ascensu per aerem aut mate- riam aliam, quae resistit motui in ratione duplicata celeritatum, ut revera contingit'”, que nous reproduisons comme Appendice à la Lettre N°. 2660. (voir le $ I de cette pièce, notre N°. 2661). Il était facile à Leïbniz de deviner l'équation de cette courbe, quoiqu’elle ne lui eût pas 2 4 été communiquée par Huygens, parce que c’était l’intégrale Î er, qui l’avait conduit lui- même à la solution logarithmique du même problème. Voir la Lettre N°, 2636. 7) Voir le passage du ,, Discours de la pesanteur”, cité dans la note précédente, et les $ Il et III de la pièce N°. 2661. CORRESPONDANCE, 1691 ‘ II pour cette fois à la tangente; ny eu recours à mon theoreme general marqué dans une de mes precedentes, n’ayant eu en vue qu’une expreflion degagée de toute confideration de la figure, que les logarithmes me fourniffoient la plus analytique que je pouvois fouhaiter. C’eft pourquoy je ne comprends pas comment vous dites de ne pas voir que ma progreflion y + 45 + £y$ etc. réponde à la vôtre, parce que, dites vous, je ne me fers pas de la tangente et du feéteur hyperbolique. Mais qu’ay je befoin de penfer à cette tangente et à ce feéteur? N’eft ce pas affés, que 1 je donne moyen d’exprimer la quadrature de la figure dont l’ordonnée eft ; c’eft à dire d’exprimer la grandeur de la feries y+4»3+275etc. —=7 parles loga- rithmes, difant que y eftant les velocites, les temps # font comme les logarithmes de HI nee ou y + &Y3 + Ly5 etc. repond > et vous trouverés toufjours que / k Ê , I À au logarithme de t; c’eft à dire les : E « eftant pris en progreflion Geome- trique, les grandeurs égales à y + 4y5 + 2y5 etc. feront en progreflion Arithme- tique. C’eft ce que j’avois dit artic. 5.n. 4. Si rationes inter (y + 1 ety — 1) fummam et differentiam velocitatis maximae (unitatis) et minoris affumtae (y) funt ut numeri, tempora fore ut logarithmos. Or je fuppofe qu’on fçache que la conftruétion des Logarithmes revient à la quadrature de l’Hyperbole. Nous avions tous deux befoin pour un même deffein (c’eft à dire pour donner la relation entre les temps et les velocités) de la quadrature de la figure dont l’ordonnée eft I pas ignorer cette feries, j’ay crû mieux faire en la donnant par les logarithmes. Je croyois m’eftre expliqué d’une maniere dans la derniere lettre à n’avoir plus laiflé d’obfcurité. Et pour ce qui eft de la correction reïterée, ce n’eft que la retraétation de la correétion, c’eft à dire la reftitution du premier eftat. Car en refaifant le calcul pour vous fatisfaire, un abus dans les fignes me fit croire que j’avois fait un echange des temps pour les efpaces dans les prop. 4 et 6 de l’Article 5. mais de- puis j’ay vû qu’il n’y avoit rien à changer comme je vous ay déja mandé. Et lors que vous dites, que s’il eft vray que j’aye confideré les refiftances de l’air comme en proportion doublée des velocités il faudroit au moins changer l’infcription de l’article 5me, en mettant in proportione quadrata velocitatis, je réponds que fi vous aviés confideré ce que je vous avois écrit), vous auriés vû qu’il n’y a rien à changer et je n’aurois pas befoin de repétition mais j’avouëé de n’a- voir point de droit de vous demander de l'attention. Je dis encor une fois » l’abfciffe eftant ». Vous l’avés donnée par la feries, et moy ne pouvant YY 8) Voir le commencement de la Lettre N°. 2636. 12 CORRESPONDANCE. I 69 Fe motum a medio retardari proportione velocitatis c’eft à dire comme je m’eftois expliqué dans le precedent article 4. (dont l’hypothefe premiere eft la même avec celle du prefent article $) que les refiftences font en raifon compofée des elemens de l’efpace ou milieu, et des velocités, et prenant les elemens du milieu pour égaux, ou confiderant tout comme égal à l’égard du milieu les refiftences font comme les velocités, car fi vous divifés le milieu en parties égales tres petites et le confiderés comme egalement parfemé de globules egaux, un grand globe allant la dedans perdra à chaque choc, (c’eft à dire à chaque particule du milieu) un degré de viteffe proportionel à la velocité qui luy refte. Et cette confideration a priori m’avoit mené à mon hypothefe. Ainfi confiderant le milieu comme la bafe de la divifion egale (ce qui eft le plus naturel) les refiftences font comme les velo- cités; mais confiderant le temps comme la bafe, c’eft à dire divifant le temps en parties egales, tres petites, les refiftences ou velocités perdues *) à chaque parti- cule de temps, feront comme les quarrés des vifteffes. Et:la raifon eft, que les refiftances eftant en raifon compofée des elemens de l’efpace êt des velocités; et les elemens de l’efpace eftant encor en raifon compofée des elemens des temps et des velocités, les refiftences font en raifon compofée des elemens des temps et des quarrés de velocité, ce que je dis en termes expres fous la prop. 3. et comme j'avois deja marqué toutes ces chofes, je m'étonne de vôtre conditionelle ; s’il eft vray que j’aye confideré la proportion doublée; car dans mes precedentes, j’avois expliqué à fonds comment elle avoit lieu, et j’avois rendu raifon de mon expref- fion. A parler exaétement on ne doit pas dire”) que les refiftences font en raifon de velocité ny en raifon des quarrés des velocités, fi ce n’eft qu’on adjoute le temps ou le milieu, comme j’ay fait. Enfin on peut examiner à toute rigueur cet article 5, on n’y trouvera rien à dire; il y a feulement une faute à corriger. C’eft que l’enon- ciation de la prop. 3. eft toute gâtée °), je ne fcay par quelle megarde; mais cette beveue n’a point d’influence fur tout le refte: Il falloit dire: Refiftentia ‘) eft ad impreflionem gravitatis ut quadratum velocitatis acquifita ad quadratum velocita- tis maximae; ou bien je pouvois dire quelque chofe de femblable à cecy: impreflio nova (feu acceflio velocitatis), refiftentia (feu diminutio velocitatis) et incre- mentum velocitatis (quod eft differentia impreffonis et refiftentiae) funt inter fe ut quadratum velocitatis maximae, quadratum velocitatis acquifitae, et exceflus quadrati maximae fuper quadratum acquifitae; la preuve de la propofition 3. in- fere cecy et les preuves des propofitions 4. et 6. le fuppofent, et je ne fçay pas d’ou eft venu ce qui pro quo. Mais je laiffe enfin ce point fur lequel la feule confide- 7) ,,Resistentia est ad impressionem novam a gravitate eodem temporis elemento factam (seu diminutio velocitatis ad accessionem) ut quadratum excessus velocitatis maximae super acquisitam est ad quadratum maximae”. CORRESPONDANCE. 1691. 13 ration que j’ay pour vous m’a rendu fi prolixe, à fin de tâcher de vous fatisfaire s’il eft poflible; mais aufli je ne crois pas d’en pouvoir ou devoir dire d’avantage. Vous avés raifon, Monfieur, de dire que les courbes que j’avois données pour j s , Ë : PT > vôtre probleme font invariables, et je n’avois pas pris garde que D fait une feule quantité determinée. Mon calcul m’avoit pû mener aufli bien à 244xx —4ayy —y4 qu'à 224xx = 44yy + y, mais ayant la folution qui s’eftoit offerte, je n’y avois plus penfé. Vous dites que la premiere fe peut quadrer et vous doutés fi la feconde fe pourroit quadrer aufli, je reponds qu’effeétivement il eft aufli aifé de quadrer la premiere que de donner un plan egal à la furface decrite par un àrc de cercle tourné à l’entour du diametre; mais la feconde depend de la quadrature de l’'Hy- perbole. Je ne vous ay pas donné la folution de vos problemes, comme une marque de la perfection de ma Methode, mais comme une marque de fon utilité. Je crois meme de vous avoir deja dit *°) que pour les refoudre, je ne me fuis pas fervi de la Methode qui peut toujours reuflir pour toutes les lignes ordinaires, car elle eft fort prolixe, mais d’une autre, qui eft bien plus courte, et bien plus direéte et com- mune aux tranfcendentes et ordinaires, mais je ne l’ay pas encor mife en perfeétion pour la pouvoir toufjours conduire jufqu’au bout, parce qu’il y a encor des chofes à decouvrir pour applanir des difficultés qui fe trouvent dans fon chemin. Je n’ay garde de fouhaiter qu’on me propofe des problemes, dont la folution ne ferve qu’à faire croire que je les puiffe refoudre. Notre temps eft trop pretieux, je fuis trop diftrait ailleurs pour le prefent, et la methode pour les lignes ordinaires que je crois fuflifante eft trop prolixe; il faudroit dreffer une efpece de tables pour l’abreger, mais je n’en ay pas le loifir. Pour ce qui eft des expreflions exponentiales, je les tiens pour les plus parfaites de toutes les manieres d'exprimer les tranfcendentes. Car les Exponentiales don- nent une equation finie, ou il n’entre que des grandeurs ordinaires quoy que mifes dans l’expofant. au lieu que les-feries donnent des equations infinies ; et les equa- tions differentiales, quoy que finies, employent des grandeurs extraordinaires, fçavoir les differences infiniment petites. Et tout ce que je fouhaite pour la perfeétion de la Geometrie c’eft de pouvoir reduire les autres expreflions tranfcendantes aux Exponentiales. Ie ne divife donc pas les courbes Tranf- cendentes en Exponentiales et non exponentiales (comme il femble que vous l’avés pris) mais leurs expreflions. Car une meme courbe peut recevoir les trois expreflions, que je viens de dire. Par exemple la courbe fufdite [qui exprime la relation entre les temps et les vifteffes ou bien entre vifteffes im- primées par la pefanteur, (qui font proportionnelles au temps) et entre les 19) Consultez la Lettre N°. 2639, vers la fin. 14 CORRESPONDANCE. 1691. vifteffes abfolues, qui en reftent à caufe de la refiftence du milieu] c’eft à dire la courbe dont les abfcifles font » et les ordonnées z fe peut exprimer ferialement ; * dy par #—=21y+ 2193 + 1y$ etc. et differentialement par rs rar et enfin ex- Pr ma é FR VE mes © qui veut dire que eftant comme les : ? ponentialement par b=— nombres, 4 font comme les logarithmes ; Z eftant une grandeur conftante, dont le logarithme eft 1, et le logarithme de 1 eftant o. Vous faices une demande, Monfieur, à laquelle il eft jufte que je fatisfaffe, fcavoir fi les expreflions exponentiales fervent à donner quelque defcription de la courbe et à la marquer en quelque façon par points, ou fi je m’en fers feule- ment à decider que la courbe eft tranfcendente. Je reponds que les expreflions exponentiales fervent à trouver autant de points qu’on voudra d’une telle courbe, out comme dans les helices et dans la quadratrice, au lieu que les autres expref- fions ordinairement ne donnent pas des points veritables, mais feulement des points approchans; outre qu’elles ne font pas fi maniables par le calcul. Mais il NS! & To fera bon d’expliquer dans un exemple la maniere de conftruire ou de marquer des points de la courbe fufdite, Soit AC = AB = 1 reprefentant la plus grande velo- cité, et BD droite prife à difcretion, foit #. Suppofons AC, BD paralleles et cherchant entre elles des moyennes proportionnelles EF, GH, etc. decrivons la courbe des Logarithmes CFHDP. Je dis donc que prenant un point quelconque de cette courbe comme P, et en menant à l’axe AB, une ordonnée PT, alors le CORRESPONDANCE. 1691. 15 1+y 1 —Y nous appellerons e. Or e eftant aflignée il ne refte que de trouver y, ce qui eft e—1 e+i1 TK, TQ egales à AC, et erigeant QS normale à QP, et egale à AC, et joignant PS, qui coupera CK (parallele à AB) en R, et enfin dans TP prenant TV égale à KR, il eft manifefte que TV fera y, AT eftant s; c’eft à dire AT eftant comme les temps, TV feront comme les velocités, et la ligne AV V afymptote à CK fera . la courbe demandée. Il n’eft gueres plus difficile de conftruire les courbes expo- nentialement exprimées, qui fatisfont à une de vos foûtangentes, et je m’imagine qu’a prefent vous ferés plus content de ces fortes d’expreflions. Je feray bien aife de fçavoir fi la regle renverfée des Tangentes de Mons. Facio contenuë dans les lettres que vous dites avoir receues de luy vous donne quelque contentement, et en quelle forte de cas vous la trouvés la plus praëticable a fin que je puiffe juger fi elle a quelque rapport à mes meditations. Feu Mons. Gericke m’envoya fes experiences fur un globe de matiere elec- trique, lorfque fon livre n’eftoit pas encor imprimé, car je luy avois procuré un privilege de l'Empereur pour ce livre par mes amis. Mais je m’imagine que la fubftance de ces experiences fera dans le livre, et comme la lettte a efté écrite **) il y a bien du temps, il ne me feroit pas aifé maintenant de la trouver parmy mes vieux papiers. .Je feray ravi d'apprendre un jour quelque chofe de vos experien- ces electriques. Pour ce qui eft de l’aimant, il eft vray que nous ne fçavons pas la regle des declinaifons, je crois neantmoins qu’elles font reglées avec leurs changemens, et ne dependent pas des caufes accidentaires et non liées comme feroient les fibres du globe de la terre fuivant ce que Gilbert **) et Des Cartes ‘3} ont crû. Si elles font reglées et tant que nous ne fçavons pas comment et pourquoy, c’eft une marque que nous n’avons pas encor la vraye hypothefe. Je feray bien aife de voir un jour ce qu’on a imprimé en France de la part de l'Academie Royale, fur tout ce qu’il y a de vous. Je me fouviens d’avoir aufli remarqué autres fois des voyes de demonftrer la regle de l’equilibre differentes de celle d’Archimede. Mons. Rômer me parla auffi d’une fienne, et un Profef- logarithme ou l’abfciffe AT fera #; et le nombre ou l’ordonnée TP fera que aifé, car il y aura y — 4), c’eft à dire dans la droite TP prolongée prenant 17) La correspondance d'Otto von Guericke avec Leibniz a été conservée à Hannover. Voir la page 74 de l’ouvrage cité dans la note 5 de cette lettre. 2) Voir, sur William Gilbert, au Supplément du Tome IV, la Lettre N°. 4554, note 4. Il s’agit ici de son ouvrage: Guilielmi Gilberti Colcentrensis, Medici Londinensis, De Magnete, Magneticisque corpo- ribus, et de Magno magnete tellure ; Physiologia nova, p/urimis & argumentis, & experimentis demonstrata. Londini Excudebat Petrus Short Anno Moc. in-t°. 3) Voir la Lettre N°. 2454, note 10. 16 CORRESPONDANCE. 1691. feur de Jena nommé Weigelius 4} en a aufli donné. Mais j’ay fur tout envie de voir un jour vôtre maniere, fçachant que vous avés couftume de donner quelque chofe d’elegant. J'ay honte de vous parler encore d’une lettre que je vous deftine il y a long temps *5) touchant le fyfteme des Planetes, et qui eft demeurée imparfaite par des interruptions, fans que j’aye encor pù la finir. Cependant je m’y mettray au plus coft, et il faut bien aufli que je mette en ordre mes penfées fur la courbe de la chaîne pour les confronter avec les voftres. Les occupations journalieres entie- rement éloignées de ces chofes font que j’ay bien de la peine à reprendre le fil d’un travail interrompu, quand les Idées ne me font plus recentes. Je fouhaitte beaucoup l’honneur de vous voir; mais quand $. A. S$. Monfeig- neur le Duc d'Hanover iroit encor à la Haye, de n’y a pas d’apparence que je le pourrois accompagner, mon employ n’eftant pas de fuivre la Cour, mais de tra- vailler à des chofes dont je fuis chargé. Si Dieu me donne la grace de depecher le travail, qui m'occupe à prefent et qui eft de longue haleine, je feray plus libre. Je prie Dieu de vous conferver, dont j’efpere de profiter avec le public et je fuis avec paflion etc. MONSIEUR Voftre tres humble et tres obeïiflant ferviteur LEIBNIZ. f P.S. Quant à la ligne de la chaîne pendante, donnant une oeiïllade à mon cal- cul, je m’apperçois que pour la relation entre deux points de la chaîne fituée dans le meme horifon, et entre la partie de la chaîne, pendante deflous, je me puis fer- vir d’une ligne dont l’equation eft de la forme de celle que vous aviés marquée xxyy = 44— 4ayÿy? ). Mais une autre dont je vous avois parlé et dont la forme eft xxyy = 44 + gayy ne laiffe pas d’avoir aufli fon ufage dans ce probleme. A Monfieur Monfieur CHR. HUGENS Seigneur de Zuylichem. a la Haye. franco Bremen. 74) Erhard Weigel, baptisé le 16 décembre 1625 à Weïden. En 1653 il fut nommé professeur de mathématiques à Jena, puis mathématicien de la cour de Weimar et ms NT en chef d’architecture. Il mourut à Jena, le 21 mars 1699. 15) Voir la pièce N°. 2628. 16) Voir la Lettre N°. 1633. CORRESPONDANCE, 1691. 17 #) Il nait beaucoup d’obfcurité et de mefentendu de ce qu’il appele les refiftences velocitez perdues [ Chriftiaan Huygens]. ?) fi fair, quand on confidere les refiftences comme il faut c’eft à dire comme une preflion, qui eft comparée à celle de la pefanteur [Chriftiaan Huygens]. *) j'avois corrigè ainfi cet endroit mot a mot [ Chriftiaan Huygens]. N° 2660. CHRISTIAAN HuycEns à G. W. LeiBniz. 23 FÉVRIER 1691. La lettre se trouve à Hannover, Bibliothèque royale. 2 Elle à été publiée par P. J. UylenbrokY) et par C. I. Gerhardt*?). La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens. La lettre est la réponse au No. 2659. G. W. Leibniz y répondit par le No. 2664. Sommaire: De faire voir qu’il a quelque chofe de plus, Fatio eft ingè. Methode de Fatio univerfelle hors mis aux racines, pas longue, ni n'a befoin de Tables: a les 2 courbes. Comment il faut confiderer la refiftance du milieu. Fautes dans fon abbregè. J’avois corrigè mot à mot comme luy dans l’article 5e. Progreffion. que je vois la paritè, que je pourrois l'avoir apprife de Wallis. Eftonne qu’il ne l’ait pas remar- quée ni fon utilitè. qu’il n’a rien determinè de ce qu’on devoit le plus fouhaiter. Courbe de jet pas connu [?] obfcuritè paroit de ce que perfonne n’a rien repris. Comment il a pu publier des chofes fi peu digérees. Que je l’impute à fon peu de loifir, eftant tres perfuadè qu’il a toute la fubtilitè de connaif- fances requife pour demontrer des chofes bien plus difficiles. Que je comprens ce qu’il veut dire de la proportion des refiftences. Qu'il prend l’effet de la refiftence pour la refiftence mefme. Que la connaiffance du temps n’y eft pas requife. Dé fa conftruction de courbe, que c’eft par cette mefme courbe que j’ay commencé, fans avoir befoin de toutes ces propofitions de luy ni Newton. Que fcachant fon expreffion par progreffion dont la fomme depende de la quadrat. de l’hyperbole, c’eft a dire des logarithmes, on en peut aufli bien conftruire la courbe que par l’equation exponentiale. Que je ne luy en veux pas difputer l’utilitè, ne fcachant pas. Courbe du jet ne fe trouve pas comme il penfe, Il ne dit rien des jets perpend. en haut. 7) Chr. Hugenïii, etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, p. 68. ?) Leïbnizens Mathematische Schriften IL, p. 79 et Brietwechsel p. 635. Œuvres. T. X. 3 18 CORRESPONDANCE. 1691. À la Haye 23 Février 1691. MONSIEUR Jay vu avec bien du déplaifir dans voftre derniere lettre que vous avez entendu tout autrement et au contraire de monintention ce que je vous avois efcrit, gwe voffre excufe efloit merveilleufe. Car j’ay voulu dire par là que cette excufe eftoit tout à fait fuperflue, et que j’eftois fort eloïgnè d’avoir aucun foupçon, que vous eufliez contribuè à ce qu’on avoit mis abufivement dans les Aétes de Leipzich à mon pre- judice. C’eft la pure veritè, et il me femble que par toute forte de raifons vous deviez l’avoir pris de cette manière, Je n’ay pas encore pu avoir ces Aëtes des mois de Novembre et Decembre de l’année derniere, de forte que je ne fcay fi la faute aura eftè reparée. Cependant j’ay- fort bien compris depuis ma der- niere, comment ma leries pour l’'Hyperbole fe rapporte à celle de vos logarithmes et j’ay aufli trouvè que j’aurois pu apprendre cette /eries du livre de Mr. Wallis, qu’il a efcrit de l’Algebre en Anglois 3) p. 329, où il range la progreflion de Mer- cator et la fiene l’une au deffus de l’autre conjointement, qui eftant adjoutées en- femble font le double de la progreflion 4 + +43 + 1 z as &c., de mefme que vous le faites voir dans voftre lettre du 25 Nov. s). Je m’etonne que Mr. Wallis n’ait pas remarquè cela, ni combien cette progreflion doublée eft plus utile pour la qua- drature de l'Hyperbole et pour trouver les Logarithmes que n’eft la fienne ni celle . de Mercator S), car le calcul en devient plus court de la moitié). Depuis quinze jours j’ay revu’), non fans peine, les brouillons que j’avois touchant les mouvements à travers un milieu qui fait refiftence, fcavoir dans la vraye hypothefe, et j’ay fait quelques calculs en fuite, pour voir comment ils s’ac- corderoient avec les voftres *). Je trouve qu’une partie de noftre difpute vient de ce que vous prenez le mot de refiftence dans une autre fignification que moy et Mr. Newton; car vous appellez refiftence la velocitè perdue ou la perte de velo- 3) A treatise of Algebra, both Historical and Practical. By John Wallis, D. D. Professor ot Geometry in the University of Oxford; and a Member of the Royal Society of London. Plus tard une édition latine du même ouvrage parut sous le titre: Johannis Wallis S. T, D. geome- triae professoris Saviliani, in celeberrima Academia Oxoniensis, de Algebra Tractatus, histo- ricus et practicus, anno 1685 Anglice -editus, nunc auctus Latine. Oxoniae, E theatro Shel- doniano, 1693. On y rencontre les deux progressions au Caput XC, intitulé: ,,Ejusdem accommodatio ad quadraturam hyperbolae”. 4) Voir la Lettre N°. 2639. Consultez aussi sur le même chapitre le II de la pièce N°, 2661, que nous publions comme Appendice à cette lettre. 5) Voir sa Logarithmo-Technia, citée dans la Lettre N°. 1669, note 5, à la Prop. XVII. 5) Consultez, sur l’application de la série en question au calcul des logarithmes, l’Appendice II à cette lettre, notre pièce N°. 2662. 7) L’appendice I de cette lettre, le N°. 2661, contient les résultats de cette revision. #) Voir le $ VIII de la pièce N°. 2661. CORRESPONDANCE. 1691. 19 cité caufée par le milieu, ou la velocitè perdue, et en confequence de cela pour comparer des refiftences differentes, vous voulez que la confideration des elemens du temps entre en compte, et gw’à parler exaËlement, on ne doit pas dire que les refiflences [ont en railon des velocitez, ni en raifon des quarrez des velocitez. En quoy il eft evident que vous prenez l’effer de la refiftence pour la refiftence mefme. Mais à Mr. Newton et à moy la refiftence eft la preflion du milieu contre la fur- face d’un corps, comme par exemple, quand on tient dans la main une feuille de carton, et qu’on l’agice à travers l’air, on fent une preflion qui fe peut comparer à celle d’un poids, et qui devient quatre fois plus grande lorfqu’on remue cette feuille deux fois plus vifte qu'auparavant, ainfi que j’ay trouvè autre fois à Paris par des experiences fort exactes ?). Vous voiez, Monfieur qu’il n’y a que la diffe- rente vitefle dont depend cette preflion, fans confiderer des parties egales ni ine- gales des temps. Et c’eft fans doute la veritable et la plus naturelle notion de la refiftence. Je comprens bien pourtant comment, fuivant la voftre, vous voulez conferver l’infcription de voftre article 5, mais c’eft comme j’ay dit, en prenant l’effet pour la caufe, et toute l’obfcuritè de voftre difcours vient principalement d’icy; la- quelle, à ce que je crois, eft caufe que. perfonne ne l’a affez examinè pour com- prendre ce qu’il y a de vray, ni pour remarquer les abus que vous y corrigez maintenant vous mefme, J’avois fait la mefme correction mot à mot dans la prop. 3. art. 5, que vous m’envoiez dans voftre derniere lettre. A la prop. 6. du mefme article les efpaces parcourus, qui à moy font comme les logarithmes de aa aa — Yy | # a) ou de 17 (1 — y); ce qui revient pourtant à la mefme chofe, (fi non que vos logarithmes devienent negatifs) car les logarithmes des racines ont entre eux la mefme raifon que ceux de leurs quarrez. Vous aviez de mefme des logarithmes negatifs, en difant que les temps font comme des logarithmes de mp F on I EE denis dans voftre derniere vous l’avez redreffè en mettant : perçois affez, Monfieur, en tout cela, qu’il ne vous manque ni habilitè ni fcience pour demefler toute cette matiere, et d’autres plus difficiles, mais que feulement vous n'avez pas affez de loifir pour adjouter plus d’exa@titude et de clartè aux chofes que vous avez trouuées. > felon vous font comme les logarithmes de ]//47—yy (il falloir Fe . Je m’ap- 9) En 1669. La relation de ces expériences, telle qu’elle se trouve dans le livre D des Adversaria, a été reproduite par Uylenbroek dans le Fasc. II (pag. 59—67) de l'ouvrage cité dans la Lettre N°. 2057, note 2. Elle paraîtra encore dans un des volumes des , Œuvres complètes” qui suivront cette , Correspondance”? 20 CORRESPONDANCE. 1691. Je ne fcay pas pourquoy dans tout ce difcours de la Refiftence vous n’avez rien voulu determiner des chofes qui font comme le fruit de cette recherche, et qu’on peut fouhaiter de fcavoir, comme /} quaeratur tempus defcenus liberi ad tempus defcenfus impediti donec data celeritas obtineatur, hoc ef}, quae ad celeritatem termi- nalem datamrationem habear®°);aut fiquaeratur ratio fpatiorum fic per aë&torum'*); item quae fit ratio temporis afcenfus ad tempus defcen[us, cum corpus re&ta [ur[um projicitur celeritate terminali®*). Je fouhaiterais de voir comment vos calculs s'accordent aux miens dans ces problemes, et en les comparant enfemble nous pourrions eftre affurez tous deux d’avoir raifonnè jufte. Le Traité de Mr. Newton en cecy n’eft pas fans faute *3). Dans Part. 6. prop. 1. vous faites la ligne du jet bien plus facile à trouver qu’elle n’eft en effet, fur quoy je vous prie d'examiner la remarque que j’ay faite dans l’addition à mon difcours de la Pefanteur HW: J'ay confiderè votre conftruétion de la Courbe ont cs eft fort bonne. Toutefois je ne vois pas encore que cette expreflion h? — ns = foit d’un grand fecours pour fela, Il y a longtemps que je connois cette ne courbe *5) auf 19) Consultez le $ VII de la pièce N°. 2661. 11) Quoique cette proportion se déduise assez facilement au moyen des résultats obtenus dans la pièce N°. 2661, il est probable que Huygens a en vue la proposition énoncée au commen- cement du $ VI de cette pièce et que ce fut même pendant la préparation de cette partie de sa lettre qu’il ajouta à la proposition en question la phrase que nous avons signalée dans la note 41 de la pièce N°. 2661 comme étant une méprise. 12) Voirle $ XI de la pièce N°. 2661. On remarquera que toutes les proportions indtéuées ici sont indépendantes de la valeur absolue de la résistance et de même de l'intensité de la gravité. C’est bien la raison pour laquelle elles ont été mises en évidence ici, comme Huygens l’avait déjà fait pour d’autres plus simples du même caractère dans l’,, Addition au Discours de la pesanteur”. 13) Consultez le $ V de la pièce N°. 2661. 14) À la page 175 de l’, Addition au Discours de la Pesanteur”’ Huygens, après avoir montré comment dans le cas d’une résistance proportionnelle à la première puissance de la vitesse, le mouvement curviligne d’un projectile peut être obtenu par la composition de deux mouve- ments rectilignes décrits sous l’influence d’une résistance de la même nature, s'exprime comme il suit sur le problème correspondant pour le cas d’une résistance proportionnelle au carré de la vitesse : , Mais cette composition de mouvement n’ayant point lieu icy; parce que la diminution du mouvement retardé, dans la diagonale d’un rectangle, n’est pas proportio- nelle aux diminutions par les costez; il est extrement difficile, si non du tout impossible de resoudre ce Problème”. Or, Leibniz, dans l’article cité dans la lettre N°. 2561, note 6, était tombé dans l'erreur d’avoir voulu construire ce mouvement curviligne de la manière signalée ici comme fausse. Comme nous l’avons remarqué déjà, il n’a pas manqué d’avouer son erreur dans l’article cité dans la note 4 de la Lettre N°. 2659. 75) En effet, la courbe ARQ de la figure 1 de la pièce N°. 2661 est identique à la courbe transcen- dante de Leibniz, puisqu'elle représente, comme celle-ci, la relation entre les temps écoulés A6, Az, et les vitesses acquises, Ag, Ao, etc. Il est incertain depuis quelle époque Huygens CORRESPONDANCE. 1691. 21 bien que fa compagne ‘), qui fert aux jets montans, et je la conftruis par la ligne logarithmique en fuppofant les velocitez données au lieu que vous fuppofez les temps. Quoyque cette lettre foit defia bien longue, il faut que je vous refponde à ce que vous fouhaitez de fcavoir touchant la methode des Tangentes de Mr. Fatio. Vous fcaurez donc que l’auteur eft depuis quelque temps en cette ville et qu’il me fait fouvent l’honneur de me voir. J’avois examinè fa lettre dont je vous ay parlè, : où la dite methode eftoit amenée jufqu’a un certain point, mais depuis qu’il eft icy, il l’a beaucoup perfectionnée, et m’a trouvè les deux mefmes courbes dont je vous avois propofè les foutangentes 7), defquelles la 2. a plus de difficultè. Ses calculs ne font pas longs, ni n’ont befoin d’aucunes Tables, mais il ne fcauroit refoudre jufqu’icy les cas, où il entre des racines qui contienent des inconnues et plus d’un terme; par exemple fi la fouftangente eft donnée nee nu” x eftant l’abf- ciffe, y l’appliquée à angles droits et 4 une ligne connue. Si voftre methode ne s’arrefte pas à ces racines, vous avez quelque chofe de plus que Mr. Fatio, quoy qu'il ait defia paflè mon attente. Peut-eftre c’eft pour ces racines que les Tables, dont vous parlez, font neceffaires dans la methode que vous dites reuflir toujours. … Cette quadrature de la re de mes courbes '#), que vous dites eftre aifée , marque auffi quelque connoiffance extraordinaire. Vous me ferez plaifir de la determi- ner, à fin que Mr. Fatio fe puiffe affurer que vous l’avez trouvée, à quoy il m’a avouè n’avoir pu reuflir. La figure, au refte, de cette courbe ne confifte pas dans s’occupait de cette courbe; toutefois il est probable que ses recherches sur les mouvements avec résistance proportionnelle au”carré de la vitesse ont commencé dès qu’il connut les résultats des expériences mentionnées dans la note 9 de la présente lettre. 15) La courbe ARG de la figure 3, de la pièce N°. 2661. 7) En effet, les deux équations différentielles : — y rs À — 2x Où — 2x7 dx + 4x? dy — __ 2x°y— 4°x T7 — ga 02 quelles les problèmes, posés par Huygens dans sa Lettre N°. 2611, donnent lieu, se laissent réduire à des équations différentielles totales au moyen de la multiplication par une fonc- tion x? y (y5 pour la première, x*# pour la seconde), ce qui constitue la condition néces- saire et suflisante pour le succès de la méthode de Fatio telle qu’elle a été décrite par ge dans sa lettre à de l’Hospital du 23 juillet 1693. Voir encore la note 11 de la Lettre 2465. 1#)1ls 4e de la courbe 24°x° — 42% —y+, satisfaisant à l'équation différentielle x 2 me | à — =T — 2x. Voir, sur la quadrature par Huygens de cette même courbe, la Lettre N°. 2643, note 13. —3"dy=0 € u — 34° y dx + 2xy° dx — 2x°ydy + 4°x dy — 0, aux- 22 CORRESPONDANCE. 1691. les feules 2 demi-ovales, comme je vous avois marquè *}), mais elles font jointes par une croix et le tout reffemble à un 8, ce qui fe connoit aifement par l’equation. Quant à la courbe exponentiale *) que vous trouvaftes au lieu de cette ligne **), lorfque les fignes + et — eftoient renverfez, Mr. Fatio afure, et m’a demonftrè en quelque façon, que cette exponentiale eft impoflibile, par où vous voyez que voftre demonftration pour prouver qu’elle fatisfait à la foutangente donnée, ne ‘nous eft pas claire. Vous m’obligerez d’achever ce que vous avez trouvè fur la chaine pendante, afin que nous nous communiquions nos meditations. Je crois qu’il y aura bien d’autres geometres qui refoudront ce probleme, car, à dire vray, il ne me paroit pas bien difficile, fi ce n’eft que vous en demandiez quelque chofe de plus que ce que j’en ay trouvé. è 22) Mr. Spener m'a dit que, pour faire reuflir la boule de fouphre de Mr. Guericke, il faut adjouter pour chaque livre 13 grains falis tartari fixi; peut eftre l’autheur vous aura donné la mefme recepte. 11 me dit aufli qu’il pouvoit ofter au fer l'attraction vers l’aimant, mais je ne m’y fie pas trop depuis que j’ay trouve fauffe une experience avec le vif argent, qu’il debitoit comme tres certaine *3). . Ce n’eft pas fans regret que je perds l’efperance de vous voir icy, et je n’aurois pas efté fi longtemps fans vous efcrire fi je ne vous avois coufjours attendu. Je fuis Monfieur etc. 19) Voir la Lettre N°. 2643. 2°) Voir les Lettres Nos. 2627, et 2632. . 21) C’est une méprise. Lisez plutôt au lieu de la seconde de mes courbes” et consultez la note 6 de la Lettre N°. 2627. 22) Selon Gerhardt, l’alinéa suivant ne se rencontre pas dans la lettre, qui se trouve à Hanover. On peut consulter sur ces communications de Spener la lettre N°. 2623, note 3. Ajoutons que la page 57 recto du livre des Adversaria, citée dans la première de ces notes, ne contient aucun renseignement sur l’artifice dont Spener prétendait se servir pour ôter au fer sa pro- priété magnétique. 23) Voir, sur cette expérience, la Lettre N°. 2633, note 15. CORRESPONDANCE. 1691. 23 N° 2661. CHRISTIAAN HUYGENSs. [1691]. Appendice I au No. 2660. La pièce se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle a été publiée par P. J. Uylenbroek*). De defcenfu corporum gravium et afcenfu par aerem aut materiam aliam, quae refiftit motui in ratione duplicata celeritatum, ut revera contingit *). Olim inventa clarius hic explicare volui ut rationem inveniendi [emper repetere pollem, in qua infunt aliqua, quorum utilitas ad alia quoque pertinet. $ 15). 1. Si AN #) quadratum, cujus latus A3, diagonalis AN, Referat A3 celeri- tatem terminalem, five maximam, quam numquam poflit affequi corpus quoddam decidens per aërem, fed quamtumvis prope adaequare. Temporis partes capiantur in reéta 2N. Quod fi igitur defcenderet corpus nullo aëre refiftente, accrefcerent ei celeritatis partes aequales, aequalibus temporis partibus, ut invenit Galileus. Itaque celcritates ita cadentis referant applicatae in triangulo ANA parallelae NA: fitque celeritas AN acquifita tempore 3N, corpori nempe non impedito; quam eandem celeritatem maximam feu terminalem effe dixi corporis impediti. Confiderentur jam incrementa celeritatis corporis hujus, cui aër refiftit; quae cum 1) Chr. Hugenii Exercitationes Mathematicae etc. Fasc. II, p. 67—82. ?) Pour faciliter l'intelligence de cette pièce, empruntée au livre G des Adversaria, p. 75 verso à 81 verso, nous avons cru utile de la diviser en paragraphes numérotés, afin d’y pouvoir renvoyer le lecteur dans les notes qui suivent. 3) Déduction de la relation entre la durée de la descente et la vitesse acquise. #) Voir la figure de la page suivante. En construisant cette figure nous nous sommes conformés à l'indication qui suit, ajoutée par Christiaan Huygens en marge: ,,Melius fuisset quadratum ad, cum curvis «00, «24, & |[ desuperponere quadrato AN”. En effet, cette décomposition de la figure assez compliquée contribue singulièrement à la clarté. Seulement, nous avons dû in- troduire en conséquence dans notre tigure les points £’et Z’ qui, dans la figure de Huygens, se superposent aux points & et Z. 24 CORRESPONDANCE. 1691. 2 E A due M LA 7 pe bc AE k PAR _——4S--- Q é Cr to en À jé À Z Fig. 1 L l . LOT N B > 5 I À INR db x 4 L_T0 710 “4 Lu () LE D Tr : HR minora fint incrementis corporis non impediti, fumtis utrobique particulis tem- poris iifdem, hinc confequitur, ut, fi ponatur curva ARQ, inter quam et reétam CORRESPONDANCE. 1691, 25 AA applicatae, ut RB, referant celeritates acquifitas corpori impedito 5), necef- fario femper haec minor fit applicata refpondente in triangulo ANA, ut hic BX. Erunt autem trilinea ARB, ATQ inter fe uti altitudines cadendo emenfae tem- poribus AB, AQ; et celeritates in fine aequalium temporum acquifitae, tum motu impedito tum libero, ut applicatae coincidentes ad curvam AR et reétam AN. Velut BR, BX in fine temporis AB. Itemque tempora, quibus eadem celeritas ut QZ' tum impedito tum libero motu acquiretur, ut lineae PQ er PO‘). Ad examinandam vero naturam curvae ARQ, fit a punéto ejus aliquo R duéta RS parallela AA, eaque temporis particulam referat; fitque S A parallela A3 et aequalis ipfi RS: unde junéta R A crit parallela AN; fecetque S A curvam in T punéto, Referer ergo S A incrementum celeritatis in tempore RS corporis non impediti; ST vero incrementum celeritatis corporis impediti; ideoque ST minor quam SA. Porro fi A3 ponatur referre refiftentiam, quam pateretur corpus im- peditum, fi cum terminali celeritate defcenderet, velimufque invenire refiftentiam, quam patitur acquifita celeritate RB, oportet duabus KB, RB facere tertiam pro- portionalem CB, quo faéto, dico CB referre refiftentiam in celeritate RB, quia funt refiftentiae in duplicata ratione celeritatum. Erit autem jam, ut KB ad BC ita S A ad AT. Quia enim A3 refert refiftentiam contra velocitatem terminalem, quae refiftentia aequalis eft vi-gravicatis, qua corpus deorfum pellitur, neceffe eft in minimis temporum particulis, qualis putanda RS, velocitatem vi gravicatis acquifitam corpori non impedito, quae eft S À, diminui tali particula T A , quae fit ad AS ut refiftentia tora KB, feu ut vis gravitatis, ad refiftentiam CB; atque ita fupereffe ST velocitatem acquifitam tempore eodem RS corpori impedito: quam- obrem tempore Wa acquiret celeritatem WR, quia ut RS ad ST ita cenfenda eft AW ad WR. Sit A3 = 4, AP = x. Ergo et RB = x. Et quia proportionales KB, RB, CB, erit KB ad BC, ut # ad _ et BK ad KC ut z ad # — *%. Ergo etiam AS ad ST, hoc eft RS ad ST, hoc eft QW ad WR, vel etiam RE ad £ye (nam pro recta linea a . de xx habetur TRy, cum fit curvae particula minima) ut 7 ad 4 — se Quod fi vero 5) Dans les notes qui vontsuivre, nous représenterons le temps écoulé par z, la vitesseacquise par », la vitesse terminale par 7, le chemin parcouru par s. En outre, AS—AA—aZ—ay par 4. y Commençons par remarquer qu’alors, d’après ce qui précède dans le texte: AP — x — 2 4; PRE EE RP— ( D Ve= Ya. 5) Lisez: x£2 et r0. Œuvres. T. X. 4 26 CORRESPONDANCE. 1691. AP in particulas minimas aequales fecetur punétis w,æ, a quibus ducuntur ad cur- vam AQ reétae p, «x, parallelae AB, et rurfus pv, wË complentes reétangula op, Pu: et fucceflive &A, yA, vocentur x, ut ante PA, femper exprimentur rationes puy ad yp, et py ad wA, rationibus 4 ad 4 — > €t erunt invertendo g£ ad RP ir di ad uv, Ag ad gp, ut 4 — es ad 4. Sunt autem omnes antecedentes LE, vp, Ag, aequales. Ergo fi particulis reétae Ar fumantur particulae yy aequales in recta yd, quam aequalem pono A3, et in quadrato ydfe ducantur parallelae yx; ficut autem Eu ad ER, hoc eft ut 4 — “ad a, a fiat wx = 4, ipfi R£ refpondens, ad 3 4 a à $ «À ; erit haec — ga xx €t ita exprimentur quoque fingulae yà, quae erunt ad xà ficut fibi refpondentes uw, py 7), poftquam fingulae y diéta fuerint x. Jamque ficut omnes fimul Aw, gs, æP, five tota AP, ad omnes gp, vu, ER, five ad totam PR, ita erunt omnes xy ad omnes àx, atque ita propterea reétangulum aw ad fpa- tium yællw*). Et fingula fj fpatia Ayya referent fingulas reétas fparii RPA fingulis A4 refpondentes. Haec vero fingula fpatia, inter Ay, æy, interjeéta, menfurantur fumma progref- 3 ont fito n finguli La: 0 empe x pro fingulis ie fionis numericae; fingulae enim A4 = 2 { ; «3 f: b LES (on Ce quae ipfarum A4 diftantias ab y definiunt Ep Era aequale 4 HA + sr 6 x : +73 etc. et fi pro 4 unitas ponatur, fit 1 + xx + x4+ x + etc. ; ac porro, f maxima linearum #wy, ut hic wy, vocetur b; et x fucceflive fignificet aequaliter crefcentes 7, quarum minima, five exceffus, quibus crefcunt, dicatur p; et nume- rus particularum p in wy feu comprehenfarum dicatur 9; erit quae ab &y prima fequitur mm —1+ pp+ pt+ p°+ etc. fecunda. . . .y = 1 + 49 + 16p*+ 64p° + etc. rer rs WA = 1 + OP + 81p4 + 729p° + etc. 0) Il faut lire probablement : qu4e erunt ad wà sicut sibi respondentes uv, op ad RE. $) Au moyen des notations de la note 5, cette proportion s’écrit : pr OR Le pa ÿa= 74 eur" de CORRESPONDANCE. 1691. 27 et ita porro, Maxima autem #yÀ, quas infinitas numero ponimus, eric. . . wa = 1 + 0° pp + 04 p4 + 65 p° + erc. five quia 0p particula una in multitu- dinem particularum duéta facit b, en nanD AU EU Rom + 08 4. 08 + 5 85 Hietc. et fummae columnarum, hoc eft om- nium yA, ErUnt. . . . . .. …. —=0 + 40bb + 1 0b4+ 3 005 + etc. et duétis omnibus in lacicudinem ? fiet fpatium alloy . , ......... 90 +3xp0b° +xp0bt + ;p0b° + exc. Seu quia p9 — b, erit idem fpatiom alor. NU, el ul mb + HS + EDS + x 7 + etc. Eft autem yw fraétio unitate minor, quia yd eft unitas, unde fit ut membra pro- greflionis ejufmodi continue decrefcant, atque eo magis quo yœ minor pars _ fuerityd?). . 1 à ab Hanc vero progreflionem aequari feétori hyperbolico Newtoni ‘*) inde inveni, quod eadem progreflione feétor ille efficitur ; quod et aliter animadvertere potui 9) Pour faire ressortir le résultat obtenu jusqu'ici, nous n’avons qu’à remarquer que la proportion déduite plus haut: AP:PR=rect. «o: spat. yæ To s'écrit maintenant, en posant dy = «y — 1 : y gt I 1 7° =b:b+ c Fr LE ERP . . 4 mais on a évidemment — 7? donc: vi 1 3 1 y CAGE ++ pate): résultat exact. 19) Réduction de la sommation, de la série b +3 : +: DSL... à la quadrature de l'hyper- bole. Emproi de cette série au calcul des tes 17) Consultez le Corollarium 3 de la prop. IX du Liber II des ,,Principia” (p. 259 de l'édition originale): ,, Velocitas corporis tempore ATD cadentis est ad velocitatem quam eodem tem- 28 CORRESPONDANCE. 1691. ex quadraturis Mercatoris et Wallifii*?), quam hic illum imitatus procudit. Po- fita enim hyperbola BG, cujus afymptoti AH, AE, quadratum vero AB; fum- tâque AD majore quam AC; fi AD fit = à; DE vero fratio minor unitate, quae fraéio vocetur à *3), fit ex quadratura Nicolai Mer- catoris fpatium FDEG ad quad. HC ut Fig. 2 b— 10° + 303 — 1h44 105— etc. ad 1. Item pofita DC—DE, fit ex quadra- | tura Wallifii fpatium FBCD ad quad. A C KD E HCuw b+1b +208 + 17h44 EDS + etc. ad 1. Ergo fpatium BGEC ex duobus illis compofitum erit ad quadr. BA ut pore in spatio non resistente acquireret, ut triangulum APD ad sectorem hyperbolicum ATD”. Remarquons que dans la figure de Newton, dont nous reproduisons ici la partie essentielle, AC— AD peut, d’après le coroll. 2 de la proposition précédente, être considéré comme représentant la vitesse terminale V, AP—» la vitesse acquise. En outre, AD est le demi-axe réel, D le centre de l’hyperbole équilatère ATZ. 12) Huygens annota ici en marge : Quadraturam Wallisii explicui in libro D. On trouve, en effet, cette explication aux pages 82—85 de ce livre des Adversaria. Elle commence ainsi: , Pour expliquer la quadrature de l’hyperbole de Mercator, reformée par M. Wallis, je n’auray qu’à repeter l’abbregè que ce dernier en a donné en eclaircissant les difficultez qui y pourroient rester.” Consultez d’ailleurs, sur les quadratures de Mercator et de Wallis, les notes 3 et 4 de la Lettre N°. 2660. ; 13) C’est-à-dire z— DE: AD. CORRESPONDANCE. 1691. 29 20 + 303 + 305$ + etc. ad 1; quam progreflionem fingulos terminos duplos ha- bere apparet noftrae praecedentis progrefionis à + 45 + 15 + etc. Unde et noftram aequari conftat ‘#) fpatio ejufmodi hyperbolico, quod nempe dimidium erit fpatii BGEC, hoc eft fpatio BLKC, five feétori hyperbolico Newtoni BAL, pofitâ AK media proportionali inter AC, AE ; fic enim fiunt quoque proportiona- les BC, LK, GE, ideoque fpatia BLKC, LGEK inter fe aequalia. Hinc optima ratio progreflionum ad inveniendos logarithmos, praecipue fi CD fit ad DA ut unitas ad numerum, hoc eff, fi EA ad AC fit ut numerus ad alium binario vel uni- tate minorem. Sed de his alias. vid. pag. 46 et 45 5). $ III“). Spatio noftro ‘), quod nunc fit 42%, aequalis debebat effe feétor hyperbolicus Newtoni aTd **) duéta dT per Y, ubi reétam a perpend. in &d fecat 58 produéta; eft autem a hyperb. ad afymptotos dy, AN. Sicut enim Ar ad rQ ita eft reétan- gulum &ë ad fpatium 4x9 *?), ex demonftrata curvarum harum natura *°). Quare et © erit ad r@ ut reétangulum &£ ad fpatium 4250 *?). Eft autem 7© ad rQ ut 14) Pour le montrer, supposons AC égal aux grandeurs «y —0dy—4 de la figure 1 du texte, y y CDE=DE=5AD— y AD = stay AC. Dans ce cas, on a, d’après le texte de ce paragraphe: quadr. HC:sect. ABL = 1 th + ps +... ou bien 4°: sect. ABL — 1 : + A + : LE RER D'un autre côté on a, d’après le $ I (voir la figure 1): rect. «0 : spat. ya ITw =h:84 B3 + à ps +... donc: ab: pat, allo = b 15 Bus pes d’où l’on conclut facilement: sect. ABL — spat. yallw, Au V nous aurons besoin de rappeler ce résultat. 15) Consultez l’Appendice IT, notre N°. 2662, où nous avons reproduit quelques passages em- pruntés aux pages citées du livre G des Adversaria. 19) Comparaison du résultat obtenu dans le $ 1 avec celui formulé par Newton dans le Corolla- rium 3 de la prop. IX du liber II des Principia (voir la note 11 de cette pièce). 17) Voir la figure 1 de cette pièce. 18) Confrontez, pour ce qui suit, la figure 1 de notre pièce avec la figure de la note 11. 19) Lisez : «P£y. 7°) Voir le $ Let en particulier la note 0. 30 CORRESPONDANCE. 1691. tempus, quo corpus non impeditum acquifivit celeritatem Q7", ad tempus quo corpus impeditum acquifivit celeritatem eandem. Jam quia Newtonus, pofita celeritate acquifita ad celeritatem terminalem utæY ad aë, quarum ratio efteadem quae Ar ad A3, quam nos adfumfimus, invenit cempus defcenfus non impediti ad tempus impediti, quibus obtinetur celeritas eadem æY, ficüt criangulum 29Y ad fetorem hyperbolicum 47 : eftque triang. 4dY aequale reétangulo noftro 4£°"); neceffe eft et feétorem zdf aequari fpatio noftro 4257, fi recte fe habent inventa Newtoni; unde primum didici progreflionem meam + 445 + 145 + etc. aequari fpatio hyperbolico. Ç IV *). Ut inquiramus porro quam rationem habeat alcitudo emenfa motu impedito, dum acquiritur celeritas data Z'Q, ad altitudinem eodem tempore rQ emenfam cum celeritate dimidia celeritatis terminalis, fcimus primum haec fpatia effe inter fe ficut trilineum AQZ' ad dimidium retanguli 27, five ad triangulum AëZ°?3). Jam cum fit fpat. AQr ad reétang. rZ° ut omnes gp, cu, PR, xQ ad rotidem maximae 7rQ aequales; hoc eff, ficut fumma fpatiorum omnium æAwy ad totidem maximo fayE aequalia +); hoc eft, ut cuneus anguli femireéti fuper fpatio 4R#7y per LE abfcif- fus, ad prifma fuper eodem fpatio 48£7y cum altitudiney£: fequitur hinc trilineum alterum AQZ effe ad diétum reétang. 77’, ut cuneus alter *5) fuper fpatio 4f25y abfciflus per æy ad idem prifma fuper fpatio af57y; quia conftat hunc cuneum 21) En effet da = ay V2: aY — 0x V2: donc 1 da, aY — ay. ax. 22) Déduction de la relation entre la durée de la descente et l'espace parcouru. 23) En effet, puisque A0, Az, etc. représentent les temps écoulés, Ap, Aa, les vitesses acquises et A la vitesse terminale, il est clair que s = 47 : à fr = tril. ANZ': triang. A7". 24) C'est-à-dire en conséquence de la construction de la courbe «4418, décrite dans le & I. D’après cette construction on a Eu : ER — wx : wi, donc : Eu : ZER = wx: 274, c’est-à-dire: Eu: PR = rect. wxxE : aywl. De même Eu : xf2 = rect. mxxE: a«y%8; donc encore : PR : n9 — œywà : «yÆB, d’où il s'ensuit enfin ZPR : 7 X nxf= Zœyol : n X «yÆB, où » représente le nombre des partitions. 25) Huygens ajouta en marge: Poterat hoc de cuneo altero brevius inveniri et absque consideratione prioris; quia sicut singulae particulae temporis A6, 0x, xB, BZ’ ductae in celeritates respectivas in fine eorum temporum acquisitas, ut 00, xu, BR, Z”2, efficiunt spatium totum A427’, dum rectang. aZ' efficitur ex AZ’ summa omnium particularum temporis ducta in celeritatem dictarum : maximam Z'4; ita quoque omnes P7, dy, quae sunt ut tempuscula 2W, RE, ur, op, hoc est ut Z'B, By, 6, ÜA, ductae in easdem celeritates respectivas 77, yw, 7E etc., referent spatium. A7’, dum summa omnium 7, dw, etc., hoc est spatium fœyZ, ductum in cele- ritatem eandem maximam 7%, sive Z’.2, refert rectangulum 72”. Sed omnes 2%, 27 ductae in respectivas 77, yo, JE faciunt cuneum super spatio «@Æ7 abscissum per «y in angulo semi- CORRESPONDANCE. 1691. 31 cum priori conftituere fimul prifma jam diétum, ficut trilinea AQ r et AQZ' con- ftituunt reétangulumrZ. Atqui cuneus fuper fpatio 4257 abfciflus per &y acqua- lis eft ei, quo cuneus fuper reétangulo R, abfciffus per by, fuperat cuneum fimul abfciffum fuper fpatio trilineo 485: quem cuneum ajo aequalem effe prifmati fuper trilineo hyperbolico +7 b, altitudinem habenti dimidiam dy. Quod hoc modo demonftro. Si enim ducatur reéta aliqua, ut Nd, parallela vd, ac fecans curvam &AÀ, ut hic in @, fiatque duabus N5, 85 certia proportionalis 7 À erit punétum 7 ad hyperbolam 47 ante defcriptam*) per æ punétum ad afymp- toros 22, dy. Nam ponendo No —4,B5=—x, inventum fuit fupra*) efle 40) — 45. x Du Li iuede del Abéve s = RE, quae vocetur y, aequalem za xx? unde erit B° five x — ; et, J quia NO eft 4, invenitur tertia proport. duabus Nb, RS quae erat ?, aequalis aÿ— aa ; fit UT A ergo 4y—a4a = 2y, et 4y—2y = 44. Unde Kquet punc- um 7 effe ad hyperbolam diétam, quae per à punétum ad afymptotos 93, dy defcripta eft. Quia itaque N®, quae fecat curvam À in B et hyperbolam Ca in 7, ita is punétis dividitur, ut fint proportionales Nb, Bb, 1: erit rec- tang. ex Nb, 57 aequale quadrate ex @5: quod cum femper eveniat, ubi- cumque ducatur reéta ipfi NS parallela, fequitur, fi tales parallelae ducantur in rectangulo Na, quae latus ejus N4 in particulas aequales dividant, fore omnia reétangula ex duétu harum parallelarum in partes earum inter #5 et hyperbolam a" interceptas, aequalia omnibus quadratis partium interceptarum inter ab et curvam A8. Vel, fumtis omnium dimidiis, erit fumma reétangulorum ex omnibus interceptis fpatii 79 in dimidias ÔN, aequalis fummae femiquadratorum ab omnibus interceptis in fpatio 48 Ÿ, atqui ifta fumma reétang. efficit prifma fuper fpatio &7 b, cum altitudine 4 N°. Similique ratione fumma illa femiquadratorum efficit cuneum fuper fpatio @5 abfciflum per &5 angulo femireéto. Ergo illud prifma huic cuneo aequale eft, ut dicebamus. Ë 5 à a3 ME TU. & ; recto. Hinc, cum lineae 47 sint mm ubi x significant 77 respectivas et aequaliter cres- aa 3 RÉRRT AREA ES : ax ‘ REA centes, erunt producta ex singulis y in respectivas x, 24 xx» €t non, ut vult Leibnitzius, EE — (Voir, sur la comparaison des résultats de Leibniz et de Huygens, le$ VIII de cette pièce). 75) Voir le & III de cette pièce. 26) Au I de cette pièce. 32 CORRESPONDANCE. 1691. Eft autem et cuneo fuper reétang. By, abfciflo per æy, aequale prifma fuper reétangulo y cum altitudine £ N5, propter proportionales Nb, £h, 5 Ergo, cum ante oftenfum fuerit id, quo cuneus fuper rectang. @y, per æy abfciflus, fupe- rat cuneum fimul abfciffum fuper fpatio afB%, acquari cuneo fuper fpatio 4£E7y per æy abfciflo; erit hic cuneus aequalis differentiae, qua prifma diétum fuper reétang. y cum altitudine 3 ND fuperat prifma fuper fpatio a cum eadem altitudine 4 N5; hoc eft prifmati fuper fpatio 49Ey cum diéta alticudine z Nb. © Oftenfum vero fuit trilineum AQZ fe ad reétang. rZ' ut cuneus fuper fpatio afzy per &y abfciflus ad prifma fuper fpatio 4257 cum alritudine 7£. Ergo jam erittrilineum AQZ' ad reétang. 72° ut prifma fuper fpatio 4 1Ey cum altitudine 1 ND ad prifma fuper fpatio a@Ey cum altitudine y, hoc eft in ratione compo- fita ex ratione fpatii #7]E7 ad fpatium af8=7y, et ex ratione 1NG ad 85. Eft autem reétang. 72° ad triangulum A£°Z' ut QZ' ad dimidiam &’7", five ut Bb ad z ND. Ergo, cum ratio triang. A&'Z’ ad fpatium AQZ’ componatur ex ratione triang. AZ ad rec. 7Z', et reétanguli rZ' ad fpatium AQZ"; erit jam ratio trianguli A&°Z ad fpatium AQZ° compofita ex ratione + Nb ad B5 er fpatii Rzy ad fpatium aE7, et B'> ad z N°, quae pofterior ratio tollit primam. Ergo erit triang. AË'Z' ad fpatium AQZ' ut fpatium af£y ad fpatium &E7°*7). Ergo hanc eandem rationem habebit quoque altitudo emenfa tempore AZ cum celeritate dimidia terminali ad altitudinem eodem tempore AZ’ emenfam cafu impedito. Quod erat inveniendum **). 27) Ici Huygens annota en marge : Non opus erat longa ista demonstratione ad hoc probandum. Idem enim breviter sic. Rec- tang. 92’ fitex tempusculis singulis GW, RE, uv, og in totidem ZA ductis. Spatium vero Aa! fit ex iisdem singulis tempusculis AW, RE, ur, op, ductis in applicatas in singulis ad rectam AZ’. Vel quia tempuscula illa sunt ut 78, wi etc., erit summa productorum ex 78, 4, etc. in totidem 3 A vel 07, hoc est prisma super spatio f7y« cum altitudine dy ad summam productorum earundem 78, wi in singulorum distantias ab recta «y, hoc est ad cuneum super spatio 87ye, ut dictum rectangulum 372’ ad spat. AQZ”. Est autem cuneus aequalis prismati ex spatio hyperbolico o"Er cum altitudine + dy, ut ostensum; ergo, ut prisma super PÆy«, cum altitudine dy ad prisma super «7 Ey cum à altitudine 07, hoc est duplum spatii 87y«, ad spatium «7 Ey, ita rectâng. 57 ad spat. AQZ'. Ideoque ut spat. BXyx ad spat. Er, ut triang. A£'Z' ad spat. AN 7”. 28) Voici donc le résultat obtenu jusqu'ici : = Vr:s—spat. B£ya: spat. «| Ey. Pour en comprendre la portée, il faut se rappeler que, d’après les conclusions du $ I et du CORRESPONDANCE. 1691. 33 Çç V*). Et convenit cum Newtonianis prop. 9 Lib. 2 #). Sed corrigendum ibi in. 7 et 10 ac legendum ABNK pro ABRP. Et lin. [8] pro: cwm femifle velocitatis maximae, legendum cum velocitate maxima; ficut reéte poftea pag. eadem ubi, de afcenfu#’). Fit enim ipfius fpatium hyperbolicum ABNK, quod in meo fche- 3 s $ IL, l’aire BZy« peut se calculer au moyen de la série Ft 4 G) +2Q) —+...etqu'il est aussi égal au secteur hyperbolique «d2". La détermination de l’espace parcouru se trouve donc réduit à deux quadratures hyperboliques, dont le calcul au moyen des logarithmes va être exposé dans le paragraphe suivant. Si d’ailleurs on pose dy = 1, y — 7 et si l’on calcule alors les ordonnées des courbes ag et ve au moyen des formules données dans le texte, il est facile d'écrire la proportion obtenue en langage moderne, comme il suit: . ? y Re a: Penes résultat correct et qui se vérifie facilement au moyen des formules connues: LA Fa Etp re E ) t—— ]J, 5 S—=—— {1 — : pe DT 2g Les P' 29) Corrections à apporter à la prop. 9 du Liber IT des Principia. Application des logarithmes au résultat obtenu dans le paragraphe précédent. 3°) Il s’agit du Coroll. 1 de cette proposition, dont le commencement est comme il suit: ,Hinc si AB” (voir la figure de la note 11 de cette pièce) ,aequetur quartae parti ipsius AC, spa- tium ABRP, quod corpus tempore quovis ATD cadendo describit, erit ad:spatium quod cor- pus semisse velocitatis maximae AC, eodem tempore uniformiter progrediendo describere potest, ut area ABR P, qua spatium cadendo descriptum exponitur, ad aream ATD qua tem- pus exponitur”; pour la description de la figure de Newton on peut consulter la note 11 déjà citée; seulement, il faut y ajouter que RNB #r° est une hyperbole construite sur les asymptotes CA et CH et qu’en outre: AK — AP?: AC et de même Ak— Ap°: AC. Ajoutons que les corrections indiquées dans le texte de ce paragraphe ont été apportées dans les éditions postérieures des Principia. Aussi ne s’agissait-il que de simples méprises. 31) En effet, le Coroll. 2 de la Prop. 9 se lit comme il suit : Idem consequitur etiam de spatio quod in ascensu describitur. Nimirum quod spatium illud omne sit ad spatium, uniformi cum velocitare AC eodem tempore descriptum, ut est area À Brk ad sectorem AD”. (voir encore la figure de la note 11 de cette pièce), Œuvres. T. X. & 34 CORRESPONDANCE. 1691. mate 3°) eft 2[IV, dimidium mei 47 E7y33). Invenicur autem fpatio 48£y pe fpatium hyperbolicum, quod fit loco feétoris ad, fi ponatur ut KG ad 8 dd ad d£34) et fumatur ipfi dé aequalis JM 55); interque Md, dd inveniatur media proportionalis F9: et fiat FT parall. SA. Erit enim fpatium ad FT aequale ATX, as Ÿ Ponendum autem quadr. ad five 44 = 0,4342955, qualium log. 10 eft 1,0000000. Quod fi x fit = & 4, fit jam fpatium 4857 — 1 log. 3. Similiter fpa- fpatio 48&7y %°); quod logarithmis jam exprimi poteft. Eft enim =} log. —— 3?) Consultez la figure 1 de cette pièce. 33) L’hyperbole équilatère IIZ, dont il est question ici pour la première fois, a été construite, afin de l'identifier avec lAFPbOle BNR de la note 11, d’une telle manière nat ait & pour cen- tre, £x« pour asymptote et qu ’elle passe par le point I pour lequel «I = de = — 3° V2. Il est facile de dam qu’elle passe alors par le res Z et qu’en outreon a SouE Vi = —EY)=— =" E (comparez au IV l'équation : #y— rare da, Ça — 2) (= or, 1) 2] = ° 7 (é P $ q y — 2) = 44, OÙ y— PE — 7 Es 7 b — Ey). De cette dernière propriété il résulte im- médiatement que les accroissements successifs de l’aire «II V sont les moitiés de ceux de l’aire Æ EY. 34) Dans la discussion qui va suivre, le point £& doit être considéré comme un point variable, dépendant pour les différents points À de la valeur de 77 et qui ne coïncide ici avec le som- met & du carré wZ que pour le as 8, parce que pour ce point ÀÂN — 15. 35) Lisez : £M. 36) La discussion qui précède s airiique si l’on consultele ( II de cette pièce. Dans ce paragraphe (voir la note 14) il a été démontré que l’aire «877 de la figure 1 est égale au secteur hyperbo- lique ABL de la figure 2, pourvu que l’AC de cette dernière figure soit identifié avec le dy — dy — 4 de la figure 1 et CD = y AC re OR —=A = M dy donc, d’après la construction du point £ indiquée dans le texte, — y£. Mais alors on a de même AE (fig. 2)= AC + 2CD — dy + 25 —0M ; AK (fig. 2)=|]/ AC.AE=]/ dy. 2M—46F, et comme d’ailleurs l’hyperbole BLG de la figure 2 se confond sous ces conditions avec l’hy- perbole qi T' de la figure 1, il est clair que le point L va correspondre avec le point Z'. On a donc en effet : «857 — ABL (fig. 2) — BCKL — «yF1’, 37) D’après un théorème bien connu, l'aire yaZ'F est égale au carré dyæy multiplié par le loga- rithme népérien du quotient se ; mais on a d’après ce qui précède: 0F — KR — _ A 4 ? ax a4ata —— = 4 . L’aire en uestion s'exprime donc par — PP TRS Ve CHArE S q P par 2! ET j jé 1 I +5 ou bien, en employant un logarithme briggien, par — z Il sy F SE LTÉE an PT PTT TT En CORRESPONDANCE. 1691: 35 tium &7 Ey, logarithmo expreffum, fit — log. nr set, fix= 24, log. 4. Eft enim fpatium & 7 E7y, relatum ad quadr. #9, aequale logarithmo rationis VE 5°) ad ay, five ad ad IN, hoc eft 4 ad 4 — 9), five 44 ad a4—xx. Çç VI#). Invenio autem et rationem trilinei AQZ” ad triang. AgZ", hoc eft rationem alti- tudinis emenfae cafu impedito ad altitudinem emenfam eodem tempore cafu non impedito, [donec utrimque perveniatur ad celeritatem datam Ar] 4"), efle in ratione compofita ex ratione fpatii rl Ey :d L ER et JR ad ad af, a _ Ca get aa ad } 3 log. hoc eft, ex ratione compofita log. > ad # log. À Et in numeris fit x — } 4, erunt “lac altitudines : in ratione compofita ex ra- tione log. # ad + log. 3 et #4 ad 4 log. 3. Et pofito 47 3 0,4342955 fecun- dum ultimam d0fESh quadraturam ybétbolé #2), log. # eft 0,1249388, log. 3 38) Lisez: ME. 1 2 39) En effet, on a par construction (voir le $ IV) 7 "u 5 = — (y = #7), donc Ÿ N=— Ÿ 8 4 2 = 4 — — 4°) Relation entre l’espace parcouru sous l'influence de la résistance du milieu et celui qui auraït été parcouru dans le même temps sous l'action de la gravité seule. 4°) Biffez les mots que nous avons mis en parenthèses et qui, ajoutés après coup (consultez la note 11 de la Lettre N°. 2660) proviennent d’une méprise. En effet, la relation énoncée ici doit être lue comme il suit: “ FA SERIE CCR a + x\° AS déspeladas, rampe : 2 (ioe. EE), ou bien, en employant des logarithmes ss que et remplaçant en outre 4 et x par /’ et »: 2 sgh Le GTE 7 Sous cette forme on la vérifie aisément au moyen des formules de la note 28 de cette pièce. 4?) Voir l’Appendice II de cette pièce, notre N°. 2662, au troisième passage. Toutefois, il semble que la valeur donnée ici au module népérien repose sur un caleul moins exact que celui du passage cité, puisque les deux dernières décimales (55) doivent étre, en réalité, rem- placées par (44) comme ce passage l'indique, ou mieux encore par 45, la vraie valeur étant 0,4342944819.... x 36 CORRESPONDANCE. 1691. eft 0,4771212; ut 5,426035861540 ad 5,691115987236, fere ut 20 ad 21 #3). Ratio enim fpatii AQZ' ad triang. AsZ' componitur ex rationibus fpatii AQZ” ad reftang. rZ' et rectanguli rZ' ad triang. AsZ’. Sed oftenfum eft##) rationem fpatii AQZ' ad re&t. rZ° componi ex ratione fpatii 27 Ey ad fpat. «0£, et ex ratione Z Nb ad gs. Rationem vero alteram, reétanguli 72° ad triangulum AsZ', conftat eandem effe, quae OZ ad 1 Ze, hoc eft, quae r@ ad 1 rQ, hoc eft, quae reétanguli 45) &E ad 4 fpat. a@=y, quae, pofito ss pro fpatio 4{2#7y, eft eadem compofitae ex æy feu Nb ad s,etyE five es ad 4 s. Itaque ratio fpatii AQZ"ad triang. AsZ' erit comporfita fpat. 4E7y ad fpat. 2£Ey. OT oise or A9::t sf nds ex rationibus hoc eft, quia es fe mutuo tollunt, ex rationibus 4 E ad fpatium 4f5y, et x quadr. ND ad & 55, feu x PE five et quadrati Nb feu 23 ad fpat. «@Ey. Quod erat demonftrandum. _ Ç VII4). ur” Eft autem © ad 7Q ut tempus quo grave, cadens libere, acquireret celeritatem dimidiam maximae, ad tempus quo eandem celeritatem acquireret motu impedito, Sed fi in univerfum celeritas data fit pars quaevis maximae celeritatis; tune tempus defcenfus liberi, ad tempus defcenfus impediti hic eft ut [7] 4x ad fpatium a+ x ax. afzy #7). Hoc eft ut 4x ad 1 log. 437) À propos de ces calculs Huygens ajouta encore en marge : In quantitatibusquae rationes con- stituunt quarum hic logarithmi habentur potest 7 poni 5 1 vel quilibet numerus. Sed 74 in posteriori duarum rationum ponendum 9 4342955 etc. ut possimus uti logarithmis tabularum. Est autem x ad 4 ut celeritas in fine casus impediti acquisita ad celeritatem terminalem. 44) Voir le $ IV à la page 32. 45) Voirle S III. : 45) Relation entre les temps nécessaires pour obtenir une vitesse donnée dans les deux cas de la chute avec et sans résistance. (Cette partie du manuscrit n’a pas été reproduite par Uylen- broek). 47) Voir le paragraphe précédent. CORRESPONDANCE. 1691. 37 NB. x hic lineam fignificat, partem fcilicet yd reétae ; item 4 totam yd. Itaque ax femper eft portio certa quadrati 44. 44 0,4342955 £44 0,2171477 4 log. 34°) 0,238 5606 ut [2] 25 ad fpatium 4£zy. hoc eft ut r© ad rQ, hoc eft ut 1 44 ad 4 log. 3, fere ut 10 ad 11. Qui noftra quadratura hyperbolae non utuntur quae eft in Additione differta- tionis de caufa gravitatis neceffario adhibere debent reduétionem logarithmorum ordinariorum, diminuend. eos in ratione 10000000 ad 4342955. Ç VIII#). Colligicur igitur ex jam demonftratis, fi velocitates aequaliter crefcentes dican- tur x, maxima feu terminalis velocitas fit 4, tempora fore ficut fummas reétarum as de ‘ : quod reéte habet et Leïbnitius. Spatia vero cadendo emenfa, ut fum- aa — XX a3x : aux mae ——;, cum Leibn. habeat fummas ——. Tempora vero, five fum- aa — XX aa — xx as aHX ji. ‘ : : mas reétarum He fore + logar. UE, (hic x fignificat velocitatem in fine aa a—x remporis acquifitam, ut in reliquis deinceps, et deberet pro eo fcribi X majus) ubi 1%, Relte quidem 1+x dixerat tempora efle ut logarithmos rationis 4 + x ad 4—x, fed non bene videtur a—x a+x - logarithmus fit negativus. Non erravit etiam, quod tempora dixerit effe ut loga- rithmos rationis 4 + x ad #—x, cum tamen mihi fint ut 4 logarithmi rationis hujus 4 + x ad #—x: quia eadem eft ratio logarithmorum ac 1 logarithmorum inter fe. Sed tunc pro tempore quo, cafu non impedito, acquiritur velocitas ter- Leibnitius habet log. FRS feu, quia ponit 4 = 1, log. fcribere log. pro logarithmo rationis 4 + x ad 4—x, quia talis fraétionis 45) Le calcul se rapporte au cas x = — c’est-à-dire y = F. 49) Comparaison des résultats acquis jusqu'ici avec ceux énoncés par Leibniz. Voir ses Lettres N°. 2636, 2639, 2659 et l’article 5, cité dans la Lettre N°. 2632, note 10, de son travail sur la chute des graves dans un milieu résistant, mentionné dansla Lettre N°. 2561, note 6. - 38 CORRESPONDANCE. 1691. minalis, non eft ponendum hyperbolae quadratum #4 five 1, ut Newtonus fecit s°) et ipfe voluit, ut puto, Leïbnitius. Invenio etiam fpatia defcendendo aa Fr Se OM Leïbnitius habeat log. |/ 47— xx vel fa fore ut logarithmos emenfa fore ut log Fe log. |/1— xx. Rurfus hic inverfe pofuiffe videtur pro logarithmo rationis 44 ad 44 — j x £ 3 à aa—xx, logarichmum ; five quia 74 eft unitas, logarithmum (1—xx). Sed cum ponat log. J/71—xx, erravit rurfus, quia debebat dicere log. 1—xx, ut poffet referri ad 44—1. Nam alioquin eadem eft ratio logarichmorum radicum, quae logarithmorum quadratorum ab iifdem radicibus, ut jam antea diétum fuit. Puto ipfum vice verfa erraffe in apponendo jee ubi 3 log. re feu log. Pres © fcribere debuerat, fcripfiffe log. # Re = Et ubi debebat effe log. (1—xx) Reripfile log. 1 (1—xx), et tamen te jam calculum fuum correxerat. ADfeu3N eft ad Q7 5’) ut quad. ad ad fpat. 4@z, feu ad x log. fi quad. æd fit quadr. hyperbolae. Et pofito hoc quadrato = 43429, Fi uti pote- rimus logarithmis tabul. ç IX #). Notatu dignum quod fpatium AQZ7 femper dimidium eft fpatii hyperbolici eyE. 5°) Allusion au Coroll. 5 de la Prop. 9 du Livre II des Principia, où on lit: »Est igitur tempus quo corpus in Medio resistente cadendo velocitatem AP (voir la figure de la note 11 de cette pièce) acquirit, ad tempus quo velocitatem maximam AC in spatio non resistente cadendo acquirere posset, ut sector ADT ad triangulum ADC.” D'ailleurs, la critique de Huygens n’est pas dirigée ici contre Newton. II n’a d’autre intention que de faire remarquer que Leibniz en se contentant de proportionnalités au lieu d’égalités, a manqué l’occasion de comparer la chute avec résistance avec celle sans résistance, comme Newton et lui, Huygens, l’ont fait. 5°) On se rappellera que 3 N et {27 représentent respectivement, dans la figure 1 de cette pièce, le temps nécessaire pour obtenir dans la chute sans résistance une vitesse égale à la vitesse ter- minale z ou V de la chute avec résistance, et la durée véritable de la chute avec résistance jusqu’au moment où la vitesse x ou v est acquise. 5?) Sur une relation remarquable vérifiée par la figure 1 de cette pièce. CORRESPONDANCE. 1691. 39 Nam cum fpatium 487 fit ad reGtang. 4 ut Qr ad A 53), ex ante demon- ftracis, hoc eft uc reétang. AË£ ad reétang. ex A 3, Ar, feu reétang. 28 ; fequitur hinc fpatium af£y aequari reétang. A6’. Atqui oftenfum fuit 4) triangulum AËZ', feu 4 reétang. A’, effe ad fpatium AQZ’, ut fpatium &£#7y ad fpatium a7Ey; ergo etiam 4 fpatii 4@=y ad fpat. AQZ' ut fpatium totum ay ad fpat. a7Ey. Et permutando ut 1 ad 2, ita fpat. AQZ ad fpar. hyperbolicum «7 Ey. “ KS X 55). 2. Sit quadratum 2 V 5), cujus diagonalis AN. Latus vero A3 referat celeri- tatem terminalem, quam fuperare non poflit grave per aërem cadens. Ponatur autem nunc illa celeritate terminali furfum projici. Et quaeratur primum tempus cotius afcenfus impediti, feu ratio ejus ad tempus totius afcenfus non impediti, atque etiam altitudo totius afcenfus impediti ad alcicudinem totius afcenfus non impediti. Scimus celeritatem furfum libere tendentis diminui aequaliter aequalibus tem- poris partibus. Ideoque fi cempora talis afcenfus accipiantur in latere quadrati 2 N, quo totius afcenfus tempus defignetur, celeritates reéte defignari per appli- catas in triangulo N3A, lateri A3 parallelas. Veluti, fi tempus afcenfus fit 3B, celeritatem corporis non impediti in fine ejus temporis fore BX, ratione nimirum celeritatis terminalis AS. Sed celeritatem reliquam in motu impedito, exaéto tempore eodem 3B, conftat minorem fore quam BX. Sit ergo BR; fitque curva ARG, cujus applicatae ad N3 referant celeritates reliétas in motu impedito. Totum vero tempus afcenfus impediti erit G3, ac minus quidem tempore afcenfus liberi 2N. Jamque altitudo tota afcenfus impediti ad non impediti erit ut fpatium ARG3 ad triangulum A3N; quoniam utraque altitudo fit ex particulis temporis in celeri- tates iis temporum particulis exiftentes. Ad inquirendum vero naturam curvae ARG, fit e punéto ejus aliquo R duéta reéta minima RS parallela SN, et ST parallela AD, quae occurrat curvaein T ; 53) D’après le $ III de cette pièce. 54) Au IV, page 32. 55) Comparaison des durées de l'ascension et des hauteurs acquises par un corps pesant jeté en haut avec la vitesse terminale, dans les deux cas où la résistance du milieu existe et où elle n'existe pas. 55) Voir la figure 3 à la page suivante. 40 CORRESPONDANCE. 1691. fitque RA parallela AN. Referet ergo S A decrementum celeritatis non impe- ditae per temporis particulam RS, impeditae vero celeritatis decrementum per tempus idem RS eric ST, ut quidem S A fitad AT ficut quadratum KB ad qua- dratum RB; quia refiftentiae funt in duplicata ratione celeritatum. Et in minimo tempore eandem rationem habere recte cenfentur particulae celeritatis amiffae, quam refiftentiae ipfas producentes: Erat autem S A particula celeritatis amiffa a" N 0 PR à pete is. 9. x 7. RP R [W B 4 P jo (p | Q EE A FE NY ÿ ÈS FH @— Be 2 0 0 L. ex refiftentia gravitatis, five etiam quam refiftentia tota terminalis tempore RS effectura erat. [4 CORRESPONDANCE, 1691. \ 4L. Quod fi igitur A3 fic z, et BR celeritas = x; erit S A ad AT ficut 72 ad xx; et ST ad SA ut #4 + xx ad 44. Unde et ST ad SR, five RW ad WT, ut aa + xx ad 44. Si divifa igicur intelligatur tota 3 À in particulas aequales Po, «y, y3 etc. Itemque PR, &T, gp ad curvam AG, ec rurfus RW, TE, p9, erit in fingulis trilineis minimis RWT, T£p, p0G, bafis ad perpendicularem, ut 44 + + xx ad 44, fi nempe vocentur fucceflive x applicatae RB, Tx, p#, quae fiunt produétis bafibus iftis. Sit dj — JA; et y4W parabola vertice y. Ad hanc continuatae RP, To, pp, facient fingulas P4, 4, g8 = 4 + ee unde, fi fiunt duabus 8P, EP tertia proport. COR à à ue hoc eft rationes EP ad RP, wr ad As, yp ad A, etc. fingulae eaedem, quae RW ad WT, TE ad £p, pô ad 6G; ideoque quadratum totum À ad fpatium yBQAS, ut reéta 2, feu 2N, ad RP, er fic porro, erunt fingulae BP, Aœ, Ag — : a ; ; 2G. Atqui, ob fingulas A9, Ac, BP — D pot conftat ex-Nic. Mercatoris me- thodo, fecundum Leibnitfii quadraturam circuli, fummam omnium harum, hoc eft fpatium #LQA 3 effe aequale circulo intra quadr. A7 infcripto 57). Ergo ut quadratum ad circulum fbi infcriptum, ita eft hie N3 tempus afcenfus liberi ad G 3 tempus afcenfus impediti. Ad alticudinum porro rationem inveftigandam, quae funt hic ut triang. AN ad fpatium AG, conftat, ex jam diétis, reétam py referri fpatio AgAQ, reétam To fpatio ArAQ, atque ica porro. Unde omnium pp, To, etè. fumma, hoc eft fpatium G3A refertur fumma omnium AyAQ, ArÀQ etc, hoc eft cuneo anguli femireëi fuper fpatio 3AQRy abfciflo per 37. 57) Voicile raisonnement que Huygens a en vue ici.On sait, par ce qui précède, que: spat.y8QA5— : 4 45 ee c’est-à-dire en langage moderne pi a dx ). Si msinlenent où déve- ” a? + x? 4° x? o loppe cette somme de la même manière que Mercator l’a fait pour une telle somme dans sa Logarithmotechnia, on trouve: 2 x4 6 ‘pat. Y/QAI— CORPS x tue} ee +.) mais d’après la quadrature du cercle de Leibniz, communiquée à Huygens en 1674 (voir la Lettre N°. 1999) et publiée depuis dans l’article cité dans la Lettre N°. 2633, note 12, la somme de cette progression est égale à F Ta. Œuvres. T. X. 6 42 CORRESPONDANCE. 1691. Hüjus vero cunei folidum ut nofcatur, fiat duabus K :, 85 tertia proportionalis : erit jam punétum ad hyperbolam tranfeuntem per yQ, habentemqueafymp- 3 Le +? autem eft 3 aa + XX N : a aa xx = 42, unde, reftituto valore xx, erit y = ir five mes ay + 23 —=44, unde facile apparet punétum 7 effe ad hyperbolam yQ, uti toton 2A. Quia enim, pofita g$ = x, inventa fuit BP — 5 fi BP five 2° vocetur y, et +? vocetur z, erit =, et —2, five > atque adeo diximus. Quia porro reétang. N°77 aequale eft quadrato ex gb, idque in omnibus applicatis parallelis, erit prifma fuper fpatio y TQA, cum altitudine dy, aequale quadratis omnibus £> et reliquarum applicatarum ad curvam 7@Q. Ideoque prifmatis illius dimidium aequale cuneo fuper fpatio y£QA abfciflo per yA. Eft autem et prifmatis fuper reétangulum AA cum altitudine dy dimidium aequale cuneo fuper idem reétangulum AA per 3A abfciflo. Ergo prifma fuper fpatio toto y7QA3 cum dimidio altitudinis dy aequabitur cuneo fuper fpatio toto YBQA 3 abfciflo per 37. Eft autem prifma fuper 7LQA3 ad cuneum fuper idem yBQA 3 per 73, ut rettang. O3 ad trilineum G3A. Ergo etiam prifma fuper ySQA3 cum altitu- dine dy, ad prifma fuper y] QA 3 cum 4 altitudine dy, ut reétangulumO 3 ad tri- lineum G5A. Ergo et fpatium yBQA3 ad x fpat. y7 QA 3 ut reétangulum O3 ad trilineum G 3A. Sed per ante oftenfa erat quadratum 3 à ad fpat. yRQA 3 ut quadr. V3 ad reétangulum 3O, funt enim haecut N 3 ad G5. Itaque jamex aequo erit quadr. 3 d ad 4 fpatium y TQA3 ut quadratum V3 ad trilin. G 3A. Sunt autem quadrata 39, V3 aequalia; ergo et 4 fpatium hyperbolicum 77 QA 3 aequale trilineo G 3A, unde et 4 {pat. yTQA3 ad + quadr. 39; feu torum ad totum, ut trilineum G 3A ad 2 quadr. 59 five £ quadr. 5V ; quod erat invenien- dum. Eft autem fpatium hyperbolicum y QA3 ad quadr. 59 ut logar. binarii ad quadratum hyperbolae 5°), hoc eft ut fere 30103 ad 43430. Ergo hanc ratio- nem habebit altitudo afcenfus impediti, incipientis cum celeritate terminali, ad altitudinem afcenfus liberi, eadem cum celeritate incipientis. 55) C'est-à-dire, comme le logarithme népérien de 2 à 1, puisqu’en effet AQ — 2 comme cela résulte de la construction de la courbe 7£Q. CORRESPONDANCE. 1691. 43 ç XI). Invenire rationem inter tempus defcenfus ad tempus afcenfus cum corpore pro- ; jicitur furfum celeritate terminali. Curva ad Fig. 4 afcenfum AC). Curva ad defcenfum CD. Oportet fpatia ABC, CED effe aequalia ‘*). Quaeritur ratio BC ad CE quae eft temporum. AB=—BF—BH. GHK hyperbola ad afymt.os AF, FN. Spat. ABC — ; ABHG °°). BL = LF. Spatium HBLK — ABHG. Ergo debet effe fpat. CDE = : fpat. HBLK. F BM media prop. inter BF, BL. MD parall. BE. Dico fpatium CDE aequari CBAS3). Si & enim BF = 1, erit BL = 4, et BM= 3%. à Ca] N | use 4) ex fupra demontftratis, log. a = fpat. HBLK. Ex iifdem vero K LAVE 59) Comparaison des durées de l'ascension et de la descente d'un corps pesant jeté en haut avec la vitesse terminale dans le cas d’une résistance proportionnelle au carré de la vitesse. Ce paragraphe, emprunté au Livre G des Adversaria, page 90 recto, de même que les précédents, n’a pas été reproduit par Uylenbroek. 5) Voir la figure 4. Pour comprendre ce qui va suivre, on doit comparer la partie gauche de cette figure, jusqu’à la droite EVCBH, avec la figure 3 de cette pièce de manière que le tri- ligne ACR soit identifié avec l'AG de la figure 3 et l’aire hyperbolique AGHB avec AQ773- Cette partie gauche se rapporte de cette manière au mouvement ascendant du pro- jectile. La partie droite au contraire, qui se rapporte à la descente, doit être comparée avec la figure 1. Pour y réussir on doit faire correspondre, point pour point, le triligne A7 de la figure 1 avec le triligne CDE de la figure 4, et de même l'aire hyperbolique 1Ee avec l'aire BLKH. Alors les distances des points de la courbe ACD à l’axe ABF représentent les temps écoulés, et de même leurs distances, de gauche à droiïte ou de droite à gauche, à la droite EV CB, les vitesses acquises dans le sens ascendant ou descendant. 61) Puisque ces aires représentent les chemins parcourus pendant l’ascension et pendant la descente. 52) D’après le paragraphe précédent. Voir, vers la fin de ce paragraphe, le passage: Ergo et = spatium hyperbolicum 1104 2 aequale trilineo GI A. 53) En effet, d’après le SIX, l'aire A27' de la figure 1, c’est-à-dire l’aire CDE de notre figure, est égale à la moitié de l’aire hyperbolique ayE — BLKH, pourvu seulement que l’on aît 44 CORRESPONDANCE, 1691. V4 : 1+ pr eft OE ad EC ut quad. BN ad x fpat. HBLK, hoc eft ad x log. A Atqui BC ad BV feu OE ut cireulus infcriptus qu. AV feu qu° BN ad ipfum 2 2 2e >» c’est-à-dire, dans notre figure, BL — +: Et comme cette relation est vérifiée par les valeurs indiquées de BL, BF et BM, on a donc CDE =: BLKH =" ABHG = CBA. 54) Les phrases qui vont suivre et que nous avons mises entre accolades contiennent des erreurs étranges, qui, puisque le résultat est correct, doivent s’y être glissées pendant la transcription (ou élaboration) des annotations préliminaires qui ont servi à composer cette partie de la pièce. Voici, d’ailleurs, comment on peut parvenir sans beaucoup de peine à la relation : OE ad EC ut quad. BN ad — = loge ne > la seule dont il soit fait usage dans la suite pour arri- I — 5 ver au résultat définitif de ce paragraphe. Remarquons tout: d’abord que, d'après ce qui précède, la vitesse » avec laquelle le pro- jectile retournera au plan horizontal est égale à ED — BM — BF VE CŸ 4 V5: où V représente la vitesse terminale, indiquée dans la figure Pr AB = EO. Mais on sait, d’après 1 v5 1 Y le $ I de notre pièce (voir la note 9), qu’on a ED : EC= ? 7 : += : 2 = 75 Æ., , , 7 1% d’où l’on déduit facilement, puisque ED — - EO, EC — —E0(7+2 7 3 Pi + F2 » * ou bien, en appliquant la réduction de la sommation de cette série à la quadrature de l’hy- y RE perbole, mentionnée au $ II, EO.Z. 5 On a donc: Lorp EC—=#OE.Z (re me OE:EC—1:47 ne 14 c’est-à-dire : ou bien, en logarithmes briggiens: I 1 OE : EC = quad. BN (—0,4343): à log. (CA z CORRESPONDANCE. 1691. MS qu.um BN55). Ergo ex aequo BC ad EC ut circulus in quadr. BN ad ue feu x log. ne 2 + 2 14 — 11 —— 4343 — 3412 4 log. IE = yu68 3 log. 3827 : 3412 ut tempus defcenfus ad tempus afcenfus prox.e cum projicicur celeritate terminali. - N° 2662. CHRISTIAAN HUYGENSs. Appendice IT au No. 2660'). La pièce se trouve à Leiden, coll. Huygens. SE Sit fpatii DEGC ad qu. DN ratio invenienda: A N Dividatur DC bifariam in B, formeturque fraétio nu- * merica, cujus numerator fit ad denominatorem ut DB 2 ad BA, quae fraétio vocetur 4 Eritque fumma pro- E greflionis 4 + A + . + . < etc. bis fumpta aequaelis fpatio DEGC, in partibus qualium quadr. & DN eft 1 3). Sic fi DC fit =DA fiet 4 — ; quiaDBad BAutrad3. Eritque fpat. DEGC = logar. 2, qualium quadratum AE eft 1. Verus autem at 5 à 55) D’après le $ X: ,Ergo ut quadratum ad circulum sibi inscriptum ita est hic N°3 (fig. 3) tempus ascensus liberi ad G tempus ascensus impediti.” Ce qui va suivre contient le calcul numérique du résultat obtenu, qui termine ce para- graphe, lequel comme toute la pièce que nous venons de reproduire, constitue, sans doute, un vrai chef-d'œuvre de difficulté vaincue, montrant jusqu’à quel point Huygens savait rem- placer l’analyse naissante de Leibniz par ses méthodes géométriques. *) Cet appendice contient quelques passages empruntés aux pages 45 et 46 (p. 73 Verso et 74 recto de la pagination générale) du livre G des Adversaria, citées dans le texte de l’Appen- dice I (voyez la pièce N°. 2661, note 15). ?) Calcul du logarithme népérien 1. 2. Manière d'en déduire le logarithme briggien, le module du système décimal une fois connu. 3) Consultez le $ II de la pièce N°. 2661. 46 CORRESPONDANCE, 1691. log. 2 +) exiftet fi fiat ut 10000000000 ad inventum duétum in 10000000000, ita 43429448: ad alium. d.=1/; — 0,3333333333 43 2.7 Me — 0,0123456790 e mas — 0,0008230453 ad? 7 —*/,5300 — 653210 4? 9 =1/;77147 mes 56450 di ° ÿ ra lioascir — 573? ds T3 — ‘/20726199 Fe 482 d's 13 — /215288605 — 46 d"7 17 — /o198 etes, + 3465735900 2 0,6931471800 4342944819 log. 2 hyperbcus’ 6931471800 34743558552 4342944819 30400613733 173717790276 4342944819 13028834457 390986503371 26057668914 log. 2 Tabul.m 3010299054/1854604200 logar. 2. 6 4) Il s’agit du logarithme briggien. CORRESPONDANCE. 1691. 47 Ç II:). Si ratio ED ad GC ac proinde CA ad AD ut numeri ad numerum proxime minorem vel ad binario minorem, erit femper DB ad BA ut unitas ad numerum. Unde facile invenicur numeri dati logarithmus ex cognito log.° numeri proxime minoris vel majoris, vel binario minoris aut majoris. I I La Li ) + 100000000/111111I1II 9 2187 295245 / 45725 338 11157174 2 cn 0,22314348 /. 2 31434 n $ III”). 0,69314718 L.2 pe | 1,38627436 I.4 0,22314348 L 1,60943784 [Î.5 ficut 2,30258502 I. 10 ad 1,00000000 ita 1,00000000 log. 10 ad fuum quadr. hyperbolae 0,4342944 etc. fubrang. logifticae *). > 5) Méthode générale pour le calcul des logarithmes népériens. Application à 1. ÿ $) En effet, en posant ED— 5, CG—4, on a d— Fe => donc spat. DEGC — 7. i KA I I I I = (it — + +... )=o (= 1... } ( + 39° Fos ) Ge tas + ) 7) Calcul du module du système décimal, Ce module est considéré ici comme égal à l’aire du carré AE au cas où l'aire DEGC exprime le logarithme briggien de la fraction: 2e = 2e #) C'est-à-dire de la courbe x— log. y, qui possède, comme on sait, une soustangente constante 48 CORRESPONDANCE 1691. N° 2663. G. Merer*) à CHrisTiAAN HuyGENs. 25 FÉVRIER 1691. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Chr. Huygens y répondit par le No. 2665. Nobilifime Domine. Commendavit fidei meae literas in Belgium curfore ad te publico deferendas®) Ampliss. Leibnizius. Ergo certè gratulatus mihi fum quèd optimi Amici volun- tati obfequendi atque ad Tuam, Vir Nobiliffime, notitiam ingrediendi hac mihi via aperta eft opportunitas. Pervagatur enim à multis retrd annis Orbem eruditum nominis Tui celebritas, quem mirandis ingenii fpeciminibus in Tui cultum ad- traxifti, atque fuperiori iterum anno explicatis refraéti reflexique luminis prin- cipiis domefticis, Tibi obligafti. Maëte, Vir Illuftris, tua ifta virtute, doétos porrd recrea et non contemnendis adhuc partibus truncam mutilamque phyficen perfice atque exorna. Dolendum enim eft poftquam Nobilifimus des Cartes viam ad naturae condita haétenus myfteria apparavit, plerofque ex ejus fchola difcipulos egreflos fluenti velut quo- dam afflatos morbo, nihil adeo inventis Magiftri addidiffe, immd inveniri illos inter, qui coeca veluti obedientiae lege nullo Aoysouéy inftituto calculo philofo- phemata viri ampleétantur, profiteantur. Quibus Tu, Vir Nobiliffime, facem prae- culifti ut, quae philofophandi regia fit, cominus intueantur et ex fegnitiei fomno expergefiant. Vale, Vir Celeberrime, et in multos porro annos folidioris doétrinae praefidium atque decus intemeratus fofpefque vive, atque ama illum, qui B. Parenti feni quondam clarus, atque penes ipfum interioris erat admifionis. #) Gerhard Meier, né à Bremen le 3 décembre 1646, étudia, à Tubingen et à Leïden, la théologie, l’algèbre, la littérature orientale et le droit civil. Après avoir acquis à Leiden le grade de docteur en théologie, il voyagea en Angleterre, France et Italie, et se fixa à Bremen comme pasteur de l’église St. Etienne. [1 y mourut le 30 janvier 1703. La bibliothèque royale de Hannover a de lui cent lettres latines à Leibniz et 28 réponses de ce dernier. ?) La Lettre N°. 2664. CORRESPONDANCE. 1691. * 49 Literas ad Celeb. Leibnitium refponforias fi mihi credideris, faxo ego fumma voluntate, ut reétè curentur. Dabam Bremae 25 Febr: A. aerae Chrift. 1691. Tuae Amplitud. Studiofiflimus GErarpus Meterus S. S. Th. D. & V. D. M. A Monfieur Monfieur HüGens, feigneur DE ZüLICHEM à l’'Haye. franco bis Amfterdam. . N° 2664. G. W. LerBniz à CHRISTIAAN HuYGENs. 2 MARS 1691. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. La lettre a été publide par P. J. Uylenbroek*) et C. I. Gerhardt”). Elle est la réponse au No. 2660. Chr. Huygens y répondit par le No. 2667. 20 + Hannover ce Eh 1691. MONSIEUR Je fuis ravi de m’eftre trompé en vous attribuant un foubçon, dont malgré vos paroles, je ne vous devois pas juger capable. La faute de la relation de Leipzig n’aura pas encor efté redreflée mais ce fera fait au pluftoft 3), car il y a quelque rems, que je n’y ay pas écrit. J'avois crû de pouvoir eftimer la refiftence par fon effeét prochain, c’eft-à-dire 7) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, page 73. ?) Leïbnizens Mathematische Schriften, Bd. II, p. 83 et Briefwechsel, p 639. 3) Voir la Lettre N°. 2636, note 14. Œuvres. T, X. 7 50 CORRESPONDANCE. 1691. par la diminution de la vifteffe du corps, qui la fent, et je m’eftois aflés expliqué la deffus dans tout mon difcours, mais j’advouëê qu’il demande de l’attention. Je ne fcay fi vous aurés examiné ce que je dis de la refiftence abfolue 4), comme il s’en trouve dans le frottement. Il eft tres vray, comme vous avés remarqué, Mon- fieur, que dans un jet libre par un milieu refiftent, la fimple compofition des deux mouvemens ne peut avoir lieu et pour que mon article 6. puiffe trouver place, il faut une hypothefe particuliere 5). Ce peu que j’ay vû de Mr. Fatio me le fait eftimer, et j'attends beaucoup de fa penetration. Je fuis bien aife d’entendre qu’il eft à la Haye, et je luy envierois ce bon- heur, dont il ne m’eft pas permis de jouir, fi je ne confiderois, qu’il profitera beau- coup en vous voyant quelques fois, et qu’il en fera d’autant plus en eftat de rendre fervice au public. Il n’a pas mal choifi en fe mettant à chercher les courbes dont les rangentes font d’une nature connue, c’eft prefque ce qu’il y a de plus difficile et de plus important en Geometrie; je contribuerois volontiers à l’aider fi je puis dans cette recherche, s’il en croyoit avoir befoin. Comme il a aufli trouvé vos courbes je m’imagine qu’il aura pris quelque biais, qui ferve à abreger; comme en effect je puis fabriquer plufieurs canons particuliers pour retrancher le calcul. Pour ce qui eft d’une courbe dont la foutangente foit yy |//44—xx: ax j'ay trouvé qu’il yena plufieurs, qui y peuvent fatisfaire ®), mais les plus fimples font comme je croy celles dont les equations font 44xx = 44—y4, ou bien 444xx —=444yy—y4t. Le calcul fera connoiftre que tant l’une que l’autre reuflit. Si M. Fatio trouve bon de me communiquer fa methode pour vos deux lignes, je luy communiqueray la mienne pour ces deux d’à prefent, où il a trouvé de la difficulté. J’avois erû que l'aire de la courbe dont l’equation eft 244xx — 4ayy + y* dependoit de la qua- drature de l’hyperbole, mais ayant revû mon calcul, je trouve qu’elle eft quadrable 4) Il s’agit des articles I—ITII du travail cité dans la Lettre N°. 2561, note 6. 5) Voici l’hypothèse compliquée par laquelle Leïbniz, dans l’article cité dans la note 4 de la Lettre N°. 2659, cherche à sauver, autant que possible, les résultats viciés par l'erreur que Huygens avait signalée dans sa Lettre (voir la note 14 de notre N°. 2660): ,,Circa compo- sitionem motus in medio resistente rectissime monuit Celeberrimus genius, eam non ita simpliciter locum habere, ut in motu libero, itaque ea quam exposui Articulo 3 et 6 ita acci- pienda est verbi gratia, ac si corpus aliquod moveatur in medio secundum unam legem motus . compositi, et huic ipsi corpori (veluti navi) sit inclusum medium ejusdem cum priore na- turae in quo iterum aliud corpus feratur, cujus jam motus ex communi navis motu, et ipsius proprio, velut projectionem faciet, ita se habentem ut descripsimus.” 5) En effet, la solution générale du problème,-qui revient à l'intégration de l’équation différen- tielle ax dx —y}// 44 — xx dy peut s'écrire: 44—4°x? — 494— Cy° + C?, Elle conduit donc, pour C—4?, à la seconde des équations mentionnées par Leibniz, et, pour C— o à la première, après la correction que Leïbniz y apporta dans sa Lettre du 20 avril 1691. CORRESPONDANCE. 1691. 51 abfolument aufli bien que l’autre, dont l’equation eft 274xx— 4ayy—y#7}, Et comme vous me demandés la determination de l'aire de la derniere, afin que M. Fatio fe puiffe affeurer que je l’ay trouvée, de quoy il ñ avoit douté, parce qu’il n’y avoit pas reufli luy même, 4 je vous donneray les aires des parties quelconques de H toutes deux. Soit AC, z et AD, y, et DH, x, et D es et foit |//44— yy = z, je dis que ADHA eft 4 c D et par confequent ACHA eftant ee CDHC Rene #). Caeteris iifdem D foit 44xx — aayy + y4 et foit V/ aa +yy — 2, je dis que CDHC et © . 9), comme auparavant fi au lieu de aaxx on met 244xx comme vous le demandés, on n’a qu’à écrire 341 2 au lieu de 34. Puifque la premiere achevée retourne en elle meme, en forme de 8 :°),on en peut juger que le theoreme de Mr. Newton **) p. 105, qui pretend, qu’il n’ya point de courbe recourrante (de la Geometrie ordinaire) indefiniment quadrable, ne fcauroit fubfifter, et qu’il y a quelque faute dans fa demonftration. Maïs je ne l’en eftime pas moins; Opere in longo fas eft obrepere fomnum. M. Bernoulli a auffi trouvé enfin la ligne de la chaine *?). Je croy que la connoiffance de mon calcul l’aura un peu aidé, car quoy que ce probleme ne foit pas des plus difficiles, je m'imagine qu’il n’eft pas trop aifé d’y reuflir fans avoir quelque chofe d’equivalent à ce cal- cul. Je n’ay pas và fa folution, je ne laiffe pas de croire qu’il a donné dans le but, Mons. Tfchirnhaus n’y a pas mordu, quoique j’aye parlé expres d’une maniere à l’y engager ‘3), pour luy donner occafion d’exercer fa methode, dont il nous pro- 7) Consultez, sur ces deux courbes, la Lettre N°. 2643 et l’Appendice N°. 2644. 5) Résultat exact. 9) Il y a dans cette phrase des méprises ou des fautes de transcription que nous n’avons pas réussi à redresser. La figure ne convient pas, pour AD=—Y, DH = x, à l'équation #7xx— aayy +4, 2 De même la formule E= er ne peut pas représenter l’aire DCH, puisqu'elle ne s’annule pour aucune valeur de y. 1°) Voir la figure exacte de la courbe dans la réponse de Huygens, notre N°. 2667. La figure du texte en représente la partie droite et inférieure. 17) I s’agit du Lemma XXVIIL: ,, Nulla extat figura Ovalis cujus area, rectis pro tubitu abscissa, possit per aequationes numero terminorum ac dimensionum finitas generaliter inveniri.” 12?) La solution de Bernoulli parut en même temps que celles de Leibniz et de Huygens dans les »Acta Erud.” de Juin 1691, sous le titre: ,Solutio problematis funicularii, exhibita a Johanne Bernoulli, Basil. Med. Cand.” 73) Voir la Lettre N°. 2623, note 10. 52 CORRESPONDANCE. 1691. mettoit tant, jufqu’à me reprendre obliquement, de ce que j’avoisdit que l’Analyfe ordinaire ne fuffit pas dans ces rencontres. | Je croy que Mr. Fatio eft allé trop vifte en pretendant que mon Exponentiale eft impoflible. Je verray un de ces jours, fi je vous en pourray donner la conftruc- tion. On ne donnera la folution de M. Bernoulli que quand j’auray envoyé la mienne ; et fi vous le trouvés à propos nous y joindrons la voftre, mais j’efpere de la voir prealablement, et de vous faire juger de la mienne. 4) Je voudrois bien fcavoir ce que vous jugés des variations de l’eguille aiman- rée et des caufès de l’inclination. Et s’ileft bien feur, que dans des lieux qui ne font pas eloignés l’un de l’autre il fe trouue une grande difference entre les declinai- fons. Je fuis difpofé à croire que cela n’eft point. Mais l’experience en doit juger fouuerainement. Je defire aufli de fcavoir voftre fentiment fur la caufe du flus et reflus de Mr. Des Cartes 5). Je me fouuiens que vous avés traité autres fois de la caufe des parelies. J’efpere que vous en mettrés la demonftration dans voftre dioptrique, et que vous nous donnerés apres tant de delais cet ouvrage fi defiré. M. Newton n’a pas traité des loix du reffort; il me femble de vous avoir entendu dire autres fois que vous les aviés examinées, et que vous aviés demonftré l’ifo- chronifme des vibrations. N'y a-t-il perfonne à prefent qui medite en philofophe fur la medecine ? Feu Mr. Crane %) y eftoit propre, mais Meflieurs les Cartefiens font trop prevenus de leur hypothefes. Jaime mieux un Leeuwenhoek qui me dit ce qu’il voit, qu’un Cartefien qui me dit ce qu’il penfe. Il eft pourtant neceffaire de joindre le raifon- nement aux obfervations. Mais je finis en me qualifiant avec beaucoup de zele MONSIEUR Voftre trefhumble et trefobeiflant feruiteur LEIBNIZ. . 74) À partir de cet alinéa, la lettre, écrite jusqu'ici par un copiste, est de la main de Leibniz même. 75) Voir la quatrième partie des Principes de la Philosophie $$ 49—59. 19) Theodorus Craanen; voir la Lettre N°. 346, note 1. CORRESPONDANCE. 1691. 53 N° 2665. P. D. Huer à CHRisTIAAN HuyGENs. 12 MARS 1691. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Chr. Huygens y répondit par le No. 2675. MONSIEUR J'ay receu de Mr. de la Hire le liure que vous m’auez fait l’honneur de m’en- uoyer ‘). Je ne faurois affez vous en tefmoigner ma reconnoiffance, non feule- ment pour la valeur du prefent, mais bien plus par ce qu’il m’a fait connoiftre que voftre efloignement ne m’a point fait perdre la part que j’auois dans voftre fouuenir. Quoy que l’eftat ou je me trouue m'engage dans des eftudes qui ont bien peu de rapport aux matieres que vous auez traittées dans voftre bel ouurage, je n’ay pas laiffé de le lire et je fuis demeuré perfuadé que vous auez efté plus loin que ceux qui vous ont precedé, & que ceux qui viendront apres vous auront bien de la peine d’approcher de vous. Continuez Monfieur, d’enrichir et de faire honneur a noftre fiecle, par vos ingenieufes decouuertes. J’ay fait quelques petits ouurages ces dernieres années. Mais outre qu’ils ne valoient pas la peine de vous eftre enuoyez, & que pour mon honneur je dois fuir le jugement d’un homme auffi éclairé que vous eftes, l’interruption entiere du commerce m’a ofté le moyen de les faire pafler en Hollande. Si vous auiez la-bonté de m'indiquer quelque voye, je m’en feruirois pour vous donner ces legeres marques de l’eftime infinie que j’ay pour voftre merite, & de la paflion extreme auec laquelle je fuis MoNSsIEUR Voftre très humble et très obeïflant ferviteur L'ABBÉ HUET. N. Eu. d’Auranches. À Paris le 12 Mars 1 691. 7) Voir la Lettre N°. 2658. 54 CORRESPONDANCE. 1691. N° 2666. CHRISTIAAN Huycens à G. MEtER. 26 MARS 1691. La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens. La lettre est la réponse au No. 2663. Chr. Huygens y répondit par le No. 2678. À Mr. Mir, docteur en Theologie et miniftre de la parole de Dieu à Bremen. 26 Mart. 1691. Clariflime Vir Quod literas Di. Leïbnitfij, quem merito fuo permagni facio, ad me perferre curaveris, eandemque operam in pofterum officiofe pollicearis gratias ago quam maximas; ac libenter amicitiae paternae redintegrandae occafionem hinc praebi- tam ampleétor. Quid enim optabilius quam viris eruditis ac finceris Philofophiae ftudium profeflis conciliari atque aliquo loco fefe effe intelligere. Te vero in horum numero cenfendum è brevicula licet epiftola fatis conjicere potui eoque magis mihi gratulor fi quid in lucubratiunculis meis quod tibi probetur repereris, in quibus uni certe veritati me ftuduiffe non inutile fcio, felix fi et [ ]5) quan- doque contigerit. De Cartefj degeneribus difcipulis jufta plane eft expoftulatio tua facitque ut ficut haétenus aequum te mihi leétorem fpondeam cum alios viri illius magni errores redarguam atque ut fpero verifimiliora quaedam in eorum locum fubftituam. Vale Vir eximie, et amicis tuis tibique optime cupientibus annumera Car. H. 1) Motillisible. . CORRESPONDANCE. 1691. 55 N° 2667. CurisTiAAN HuycEns à G. W. LEIBniz. 26 MARS 1691. La lettre se trouve à Hannover, Bibliothèque royale. La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens. La lettre a été publiée par P. J. UylenbroekY) et par C. I. Gerhard”). Elle est la réponse au No. 2664. G. W. Leibniz y répondit par le No. 2676. Sommaire: Vous avez trouvè l'équation vèritable, mais je ne crois pas qu’il y en a d’autres, que fa feconde ne quadre point. 2 Vous avez auffi donnè la vraie quadrature. beau fi c’eft par methode. proprietez de cette courbe. il a falu bien du calcul pour reporter voftre quadr. a la miene. Fatio ne peut pas bien foutenir la prop. de Newton pag. 105 ; quand je luy donne deux paraboles oppofees. 3 Mr. Fatio ne defefpere pas de vaincre la difficultè des racines lors qu’il faut trouver la courbe par la foutangente, et s’excufe fur l’echange, parce qu’il faudrait vous envoier un traitè entier. Je voudrois que vous voulufliez tous deux donner au public ce que vous en avez trouvè. gentilhomme anglais malade. 4 Fatio doute maintenant que voftre courbe Expon.e ne puifle eftre poffible. 5 Je ne fcay fi Bern. a tout trouvè. J'auray du plaifir à voir. 6 qu’il faut neceffairement que Bernoulli donne le fien pour eviter les difputes. 7 Chiffre par les premieres lettres aifè. A 8 Caufe du reflus de defcartes je me fouviens qu’en l’examinant à Paris nous n’en etions pas fatisfait. Variations de l’Eguille aimentée difficiles d’expliquer. Parelies j'en traite dans la dioptrique je veux m’y appliquer pour l’achever. Loix du reflort je les ay demontrees de l’ifochronifme, Hooke en a traitè paralogifti quement. * Nous avons aflez de medecins qui pretendent fuivre la philofophie Cartefienne, mais ce. font ceux que j’appellerais les derniers fi j'en avais befoin. Il y avait un article touchant le calcul de quelques problemes du mouvement avec refis- tance du milieu. A la Haye 26 Mars 1691. MoNSsIEUR J'ay eftè indifpofè pendant plus de 3 femaines, et fur la fin j’ay eftè aufli attaquè de la goute 5) dont je reffens encore un refte, er cela pour la premiere fois de ma vie. Sans cet accident j’aurois refpondu plus toft à la derniere que vous m’avez fait l'honneur de m’efcrire. J'y ay vu avec beaucoup de fatisfaétion que vous avez fi 7) Christiani Hugenii Exercitationes mathematicae, etc. Fasc. I, p. 77. ?) Leibnizens Mathematische Schriften, Band II, p. 85, et Briefwechsel p. 641. Nous avons suivi le texte du Briefwechsel; celui d’Uylenbroek, d’après la minute publiée par Uylenbroek, n’en diffère qu’insensiblement. 3) A la date du rer mars Constantyn, frère, nota dans son journal: _ #Dans l'après midi je fus chez frère Christiaan, que je trouvai souffrant de ténesme””; et à la date du 13 mars :,,Je fus aussi chez frère Christiaan, rétabli de sa goutte”. 56 CORRESPONDANCE. 1691. bien fceu trouver la ligne courbe, dont l’équation eft 424xx 5% 444ÿy—y# pour la foutangente yy LA Mais j’ay de la peine à croire ce que vous dites, qu’il ya plufieurs autres courbes qui y fatisfont#), et j’oferois prefque affurer que cela eft impoflible; du moins celle que vous apportez 44xx 20 44—y+ ne donne aa — XX ax et qui doit eftre prife au delà de x, à caufe du figne negatif. J'ay propofé voftre offre à Mr. Fatio touchant l’efchange de voftre methode dans cette recherche, contre la fiene dont il s’eft fervi à trouver mes deux autres courbes par leur foutangentes; mais je vois qu’il ne defefpere pas de furmonter la difficulté des Racines, et qu’il ne peut pas fe refoudre à vous envoier un traité affez long qu’il a fur cette matiere. Il avoue au refte qu’elle eft d’une eftude pe- nible et infinie, et il eft feur, dit il, qu’on ne fcauroit venir à bout de tous les divers deguifements poflibles des foutangentes, ce que j’ay aufli toufjours creu. Je ne laiffe pas de l’exhorter de donner ce qu’il en a trouvé, et je fouhaiterois, Monfieur, que vous en voulufliez faire de mefme, parce que le Probleme eft de grande utilitè, quand bien il ne feroit pas generalement refolu. Vous obligeriez aufli le public en produifant voftre methode des quadratures dont vous venez de donner un fi joli echantillon dans la courbe que je vous avois propofée, fcavoir 244xx 90 4ayy—t, où j’admire certes voftre adrefle et l’excellence de voftre regle, quoique limitée aufli bien que l’autre, comme je crois. Il m’a falu un affez long calcul pour voir fi voftre qua- drature fe rapportoit à la miene 5). Voftre figure AHC eft le quart du 8 que forme cette courbe. Et comme en pofant AC 4, AG> x,GH>y, |/ 44 — yy w x, vous trouvez : 43 £ A — 33 l’efpace AHKCA > AS et l’efpace AHD > gave SR. 1 pas cette mefme foutangente, mais — 29) » qui eft double de l’autre M : x et par confequent DHKEC Das" il s’enfuit que l’ef- pace AKCA eft à DHKEC comme le cube de AC au cube de EG, car cette EG eft z; et que le mefme efpace AKCA eft à CEF comme le cube AC au cube HG. J'avois formè cette courbe en faifant un demi-cercle BNL et dans les droites qui coupent BL perpendiculairement, comme NGE, prenant GE egale aux foutendentes NB, NL, d’ou nait aufli +) Voir la note 6 de la Lettre N°. 2664. S) Voir, sur la quadrature de Huygens, la pièce N°. 2612 vers la fin du SI. CORRESPONDANCE. 1691. 57 GH egale à leur difference. Il eft aifè de voir par la que l’efpace ACKL devient egal à deux efpaces paraboliques, et l’efpace AKL à leur difference. Je n’ay pas encore eu le loifir d'examiner voltre autre quadrature de la courbe 244xx aayy + y#, et je doute fi j’en trouveray le moïen. Car je n’ay pas penetrè bien avant cette matiere et je ne crois pas mefme que je doive m’y occuper, puifque j'efpere de participer un jour à ce que vous en fcavez, qui m’avez devancè de fi loin que j’aurois trop de peine à vous atteindre. M. Fatio ne peut pas bien foutenir la Propos. de Mr. Newton pag. 105, fur- tout quand pour fon Ovale indeterminée, je luy marque deux portions egales de parabole qui aient la mefme bafe 5) ainfi. æ Il commence aufli à douter fi l’impoffibilitè de voftre courbe exponentiale eft telle qu’il l’avoit crue. Je verray avec plaifir comment s’accorderont vos decouvertes et celles de Mr. Bernoulli avec les mienes fur la chaine pendante. Mais pour faire connoitre au vray ce qu’un chacun aura trouvè, et pour prevenir toute difpute, il eft abfolument neceffaire, qu’on fe communique premierement les chiffres, comme j’ay fait il y a longtemps‘). Je ne doute pas que vous et Mr. Bernoulli n’en conveniez, car fi fans cette precaution vous luy envoiez le premier voftre folution, on pourra douter s’il eft autheur de la fienne. Voicy mon chiffre que j’ay mis d’une maniere moins em- baraflée, qu’il n’eftoit, en marquant feulement les premieres lettres des mots?), ce qui fe fait avec facilitè et s’examine de mefme. J’y ay enfermè aufli quelque chofe de plus que dans l’autre, m’eftant apperçu du depuis d’une chofe qui eftoit in poteftate *) (pour me fervir de voftre terme) fans que je l’euffe remarquè. scapssefæuagcqcsiea. 1. pitidqcp. I. suactapaqgiaedcpev, isticcaa,qiaa;eehcæiaccaa; hipapddteiihp. 5) Dans les éditions postérieures des Principia l'explication qui accompagne le ,Lemma” cité dans la note 11 de la Lettre N°. 2664 a été modifiée de manière à contenir la restriction que la courbe formant l’ovale doit avoir partout la même équation, et que cette équation ne doit pas être réductible à d’autres équations plus simples, comme cela arrive quand la courbe dont il s’agit dégénère en d’autres courbes d’un degré inférieur. Comme on le voit, cette restrictien, prise à la lettre, n’exclut pas le cas allégué par Leibniz dans la Lettre N°. 2664. Toutefois, ce cas amène au point double une discontinuité de la même nature que celles qui caractérisent les cas expressément exclus. 5) Dans la Lettre N°. 2623, du 9 octobre 1690. 7) Voir, pour l'explication du chiffre, le premier Appendice de cette lettre, la pièce N°. 2668. 8) Il s’agit de la quadrature absolue de la courbe dw0 de la figure $ de la pièce N°. 2625 (voir la note 22 de cette même pièce). Elle se trouve reproduite aux $$ II et III de l’Appen- dice II de cette lettre, notre N°. 2660. Œuvres. T. X. 8 58 CORRESPONDANCE. 1691. 2. TræCVCEP. 2, uticc,da,eaa,isadel. 3. rCiv. 3. aiqgaarciu 4 cCæscercea. 4 SCCecrcaæeccremp. idrcivepagivet. 5. cellceccd. 5. ureaediteaaqgsircivaccecd. 6. mscepc. 6. scepceærelcdeceseesreiv. pcippqcabh. XXYYDA4#— aayy XXYY D 444—x4 : Vous pouvez, fi vous le trouvez bon, communiquer cet Enigme à Mr. Bernoulli, en luy demandant le fien. Je m’eftonne du filence de Mr. D. T. fur ce Probleme apres y avoir eftè invitè plus particulierement que tous les autres, mais il luy refte encore du temps. Pour ce qui eft de vos demandes, je me fouviens qu’en exami- nant dans l’Academie des fciences la caufe du flus et reflus felon Mr. des Car- tes, les aftronomes n’en eftoient pas contents et trouvoient des phenomenes con- traires. La declinaifon de l’Eguille aimantée et encore plus fa variation, me paroiflent irreduifibles à quelque regle certaine. La variation, ou bien le changement de declinaifon marque affez clairement qu’au dedans de la Terre il doit arriver quel- que changement. Jay une demonftration de l’ifochronifme des vibrations du reffort, eftant fup- pofè qu’il cede dans la mefme proportion de la force qui le preffe, comme l’expe- rience l’enfeigne conftamment. La demonftration des Parelies fera dans ma dioptrique à la quelle je vay tra- vailler cet eftè, fans m’en laiffer detourner par d’autres fpeculations. T1 y avoit un article dans ma lettre precedente ?) touchant le calcul de quelques cas du mouvement avec refiftence du milieu, au quel article vous n’avez rien ref- _pondu, ce que pourtant je vous pardonne facilement, ne vous ayant que trop fatiguè par mes problemes des lignes courbes. Vous me direz auffi quelque jour comment vous trouvez mes explications de la Refraétion et du Criftal d’Iflande, de quoy jufqu’icy je n’ay pas appris la moindre chofe. Je fuis etc. 9) Voir la Lettre N°. 2660. CORRESPONDANCE. 1691. 59 N° 2668. CHRISTIAAN HUYGENS. 1691. Appendice I au No. 2667). La pièce se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle a été publiée par P. J. Uylenbroek*) et C. I. Gerhardt*). Chifre envoiè à Mr. LeïBnirz le 26 Mars 1691*) et à Mr. DE BEauvaL) le 27 Mars. Ie Partie. s. c. a. p. s. 5. €, f. æ. u. a.g. | Si catena ad parietem fufpenfa fit ex filis aequa- cacs ie libus, utrimque annexis, gravitate carentibus, quarum capita fint in eadem alcitudine, deturque angulus inclinationis filorum et catenae pofitus"): d. a. i. f.e. c. p. Age 7 literae defunt in Leibnitziano, addi- tae in Beauvallino. 1. p.i.t.i. d.q.c.p. Poffumus invenire tangentem in dato quolibet catenae punéto?); Qui, @, CV: CE Ps reétam aequalem catenae vel cuilibet ejus por- tioni; dt1:-C. À radium curvitatis in vertice. 1) Cet Appendice contient l’explication de l’anagramme de la Lettre N°. 2667, telle qu’elle p 3) s. 5 7) se trouve aux pages 93 verso et 94 recto du livre G des Adversaria. On l’a divisée en trois parties et, à l'exemple d'Uylenbroek,mis en regard les anagrammes avec les explications, lesquelles, dans le manuscrit de Huygens, se trouvent écrites à la suite des premiers. Christiani Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. IT, p. 83. Briefwechsel, p. 644. 4) Voir la Lettre N°. 2667. Nous ne connaissons pas la lettre de Huygens à Basnage de Beauval. La communication n’a pas été insérée dans l’, Histoire des Ouvrages des Sçavans”, rédigée par cet auteur. A propos des mots en italiques, Huygens a ajouté plus tard l’annotation suivante : hoc obli- tus eram in illo quod ad Leibnitfium, addidi in eo qd. ad Beauvallium. Les numéros 1 à 6 de cette première partie et ceux de la troisième correspondent de telle manière que les résultats annoncés dans la première sont donnés explicitement au même numéro de la troisième partie, 60 CORRESPONDANCE. 1691. d'ÉBRCRtr CCR sCeLLC6ét,Ce 6. Mac p ce. p.c.i.p.p.q.c.a.h. XXYY = 44— 44ÿy XX YY = 444— v.d.d.c.ga.a.i. p.c.p. Hoc in gryphis quos dedi deef. fs a, CL'A p. à qi. d.c.p.e.v.,i.s.t.i. c.c.'3)a. a. q.*#) i, a. a; €. e. h. c. æ. ROC RATRLELUT dt oil p. circulum aequalem fuperficiei conoïidis ex revo- lutione catenae circa axem; conftruétionem et longitudinem lineae, cujus evolutione curva catenae defcribitur*); menfuram feétoris cui evoluta pro centro. “Ile partie. Punéta catenae inveniri poffunt pofita quadra- cura curvae alterutrius harum : xx Yy = 44 — 44yy ?), xx y = 444— x4 *°); (vel data diftantia centri gravitatis ab axe in portionibus curvae prioris *). hoc in gryphis quos dedi Leibnitzio et Beauvallio non eft addi- tum [ed poftea per literas*®) ad Leibnitfium mifi. Ille partie. Si, ut axis catenae totius ad partem axis quae inter applicatam ex dato catenae punéto et ver- ticem, ita fit tangens in capite catenae *5) ad aliam, quae huic ipfi applicatae addatur; et ex his compofitae aequalis inclinetur a capite catenae ad axem ‘°), huic inclinatae parallela a punéto dato duéta, tanget curvam in ipfo hoc punéto, vid. pag. 87 7). 8) Ce numéro fait exception à la règle de la note précédente pour autant que la construction de la développée n’est pas indiquée expressément au numéro correspondant de la troisième partie de cette pièce, mais la recfification une fois obtenue, cette construction est facile, puisque p. e. KR—AC+CR (voir la figure de cette nas 9) Voir le $ VIII de la pièce N°. 2625. 19) Voir la pièce N°. 2634. 17) Voir la sousdivision 7 de la pièce N°. 2669. 1?) Voir la Lettre du 21 avril 1691 de Huygens à Leibniz. 13) Plus tard, Huygens a indiqué dans une note marginale que l’on doit intercaler ici les lettres ds 4, en ajoutant: ,,haec omiffa in miflis ad Leibn. et Beauvallium”. CORRESPONDANCE. 1691. 61 2. u. t. i.c.c., d. a.,e. a. a.,i. | Ut tangens in capite catenae, demta applicata, s. a. d. c. L. eft ad axem, ita fubtangens ad dimidium catenae longitudinem. vid. p. 82 er 87 **). 3. ai. q. a. ar. C. i. V. Atque ita quoque applicata ad radium curvitatis in vertice. vid. ibidem *?). 4. Sc. ce. c.r. c. a. æ.e. c. c. | Superficiei curvae conoidis ex catenae revolu- r. e. m.p. i. d.r. c, i. v. e.p. | tione circa axem aequalis eft circulus cujus ra- a. q. i. V. e.t. dius eft medius proportione inter duplum radium curvitatis in vertice et partem axis quae inter verticem et tangentem. y44. pag. 16 *°). 5. u. r.e, a. e. d. i, t. €. a. a, q. | Ut rectangulum ex applicata et differentia inter s.i,r. ©. i.y.71)a, c.c.e.c.d. | rangentem et applicatam ad quadratum fub- tangentis, ita radius curvitatis in vertice**) ad curvam cujus evolutione catena defcribi- tur. vide pag. 17°3) ubi patet evolutam CR aequari reËtae AW, pofitis proportionalibus C A, AI, AW. Eff autem AI = curvae [eu AK. 4) On doit de même intercaler ici la lettre Z représentant le mot Æwrc, lequel également, comme le prouve l’inspection du manuscrit, a été ajouté après coup. 15) Plus tard Huygens intercala ici les mots: ,demta fua applicata”, en ajoutant ,,hoc omiffum in eo quem ad Leibnitfium mifi et ad Beauvallium”’. 16) Il s’agit de la ligne AW (voir la 2a fig. de la figure 4 de la pièce N°. 2669) qu’il faut pren- dre égale à Y9 SES àB —+ AB. 17) Voir la sousdivision y du $ IV de la pièce N°. 2669. En effet, la construction indiquée se déduit facilement de la formule finale de cette sousdivision. 18) Voir la sousdivision 9 du paragraphe cité. 19) Voir la sousdivision &. 2°) Voir le $ VI de la pièce N°, 2625. 21) Les lettres en italiques doivent être remplacées par la seule lettre 7, comme Huygens l'indique en ajoutant: hic error non erat correétus in eo quod ad Sc aie mifi 26 Mart. 1691, fed in eo quod ad Beauvallium poftridie mifi, ut hic”. 22) Les mots en italiques ont été biffés depuis et remplacés en marge par le mot ,,axis”?. 23) Il s’agit du $ IV et de la figure 4 de la pièce N°. 2625. Pour faciliter la lecture nous repro- duisons la figure. Voir la page suivante. 62 CORRESPONDANCE. 1691. 6.3,cep.tesreled CCE See ST CL: Unde AW feu CR =. Eff autem r feu ra- ad — 4 #4) ut videre ef} pag. 87. Ttemquec= ut ibidem. Unde D + —4 ; Tr _ab—aa dius curyitatis = 3 ut in hac 5a proportione. Seétor cui evoluta pro centro eft, aequatur rec- tangulo ex longitudine catenae dimidia et com- pofita ex fextante evolutae et femiffe radii cur- vitatis in vertice. v£4. pag. 17 ?5). #4) Voir, pour l'explication des lettres, la sousdivision £ du $ IV de la pièce N°. 2669, laquelle en effet, se trouve à la page citée, c’est-à-dire à la page 94 verso de la pagination générale. #5) Voir le $ V de la pièce N°. 2625. En effet, la formule de ce paragraphe peut s’écrire 162 r) où c« représente la demi-longueur de la chaînette complète CVA (voir la figure de la note 1 de la pièce N°. 2669). CORRESPONDANCE. 1691. 63 N° 2669. CHRISTIAAN HUYGENSs. [Mars 1691]. Appendice II au No. 2667). La pièce se trouve à Leiden, coll. Huygens. Ç I”). Fig. 1. BQ eft curva pag.ae praecedentis 5), al- A N D tera nempe ex iis quae ad catenariae con- = ftructionem requiruntur. Altera eft A”y6. Dico fpatium prioris BQNA ad fpatium pofterioris AyN effe ut AB ad rc diftan- à tiam centri gravitatis fpatii BONA ab Fi 5 recta AB. Adeo ut fi detur hoc centrum gr. non us (4 opus eft quadratura fpatii AyN, neque ipfius fpatii confideratione (ad invenien- dam fcilicet rationem AB ad BV axem catenae, eft enim BV ipfi æœ aequalis) #). Quia enim ut VN ad RN ita RN ad QN 5), itemque ut VN ad RNita 9N ad a R RE .yN°). Erit RN ad QN ut 9N ad yN. Quare ©) Cet Appendice contient les recherches qui ont mené aux résultats formulés dans l’ana- gramme de la Lettre N°. 2667, expliqué dans la Lettre N°. 2668. Nous l'avons divisé en paragraphes. Lnmemesmemmsemss Q ?) Relation entre les aires 8wy et «yyô de la figure 5 de C B A - lapièce N°. 2625, identiques aux aires AyN et BON A de la figure de notre texte, et la distance no du centre de gravité de cette dernière aire à l'axe AB. Construction . au moyen de cette distance de l'ordonnée BV (voir la figure Ÿ de cette note) de la chaînette au cas où labscisse AB et Pangle BAG sont connus. Le paragraphe est emprunté à la page 69 verso du G livre G. 3) Voir le II de la pièce N°. 2634. +) Les mots que nous avons mis entre parenthèses, ont été ajoutés plus tard. Les lettres se rap- portent en partie à la figure de la note 2. Les droites AB de la figure 1 du texte et de la figure de la note sont considérées comme identiques. Alors on a, d’après le $ VII de la pièce N°. 2625 64 CORRESPONDANCE. 1691. YN duéta in RN aequabitur QN duéta in ON, five in dA. idque ubique: Ergototum fpatium AyN fufpenfum ex brachio librae quod aequale fit AB, aequiponderabit fpatio ABQN ut jacet ponderanti fuper axem AB: five eidem fpatio ex centro grav. fuae & fufpenfo, et ex diftantia or ponderanti. Ergo fpatium ABQN erit ad fpatium AyN, ut AB diftantia ad diftantiam 7. (Sed fpatii AyN quadratura opus eft ad inveniendum longitudinem curvae AV quia per illam quadraturam inventum eft quod ut diff.a AR — AB ad BR ita eft BV ad curvam AV. Item ad alia utilis eft eadem quadratura, quam poftea inveni, vid. pag. 82 et 87)7). $ II°). ACG circuli quadrans. CLG A quadratum; à punc- Fig. 2. to peripheriae D cadunt in AG et AC perpendicula- M res DF, DB. 7 FH" ad. : DB ut: HF dd FO _V/rr—xx x r y c L JV #r—xx = rx * à VIT —VYAX = TTXX JITT—ITAX = JYXX r Xxÿy—yyrr + rrxx —=0°). Hujus curvae fpatium infinitum AONMG, aequale eft qua- drato CG. PAS ATE 7 AUET Item fpatii ejus portio ut OAF, eft ad reétangulum NA FC, ut BC ad BD. (voir la note 21 de cette pièce): o = ne mais d’après le Ç VIII de cette même pièce on sait que: D CSEN: donc : = = SENA — Ts ; donc BV — 70. 5) D'aprèsle $ VIII de la pièce N°. 2625. En effet, les lignes VN, RN, QN de notre texte sont identiques aux lignes D, e7, wx de la figure 5 de la pièce N°. 2625. 5) D’après la conclusion du $ VII de la pièce N°. 2625, puisque VN, RN, 9N et yN sont iden- tiques avec les lignes Dy=—Q0, 07—4, 71 —0y—x, wy—7 de la figure 5 de la pièce citée. 7) Les phrases entre crochets ont été ajoutées plus tard. Les pages citées contiennent les Ç III et IV de cette pièce. ; #) Quadrature d'une aire qui paraîtra être identique à l'aire dwy de la figure s de la pièce ÎN°, 2625, dont la quadrature permet de trouver le rapport de l'ordonnée BY (voir la figure de la note x) à l'arc AV de la chaïnette pour un angle donné BAG. Le paragraphe a été extrait de la page 80 recto du livre G. 9%) Ilest clair que cette courbe devient identique avec celle de la note 20 de la pièce N°. 2625 par la substitution de x pour y, y pour x et 4 pour r. CORRESPONDANCE. 1691. 65 _(Sive fpatium OAF eft aequale [_J° BL ut facile apparet ex calculo) *). Quia enim AD ad DF ut particula curvae minima EDE ad KK, erit AD feu HF duéta in KK = DF duétae in EE. idemque pars fuperficiei cylindricac ex KK circa AG, aequalis parti fuperficiei fphaericae ex EE cireum eandem AG. Unde (ut notum eft) vota fuperficies cylindrica ex CL circa AG aequalis fuperficiei fphaericae ex arcu CDG circa AG. Porro quia fuperficies ex EE circa AG ad fuperficiem ex eadem EE circa CA, ficut DF ad DB, erit et fuperficies ex KK circa AG, ad fuperficiem ex EE circa CA, ut DF ad DB, hoc eft, ex conftruétione, ut HF ad FO; atque ira cota fuperf. cylindrica ex CL circa AG ad fuperficiem fphaericam ex arcu CDG circa CA, ut omnes HF ad omnes OF, hoc eft ut qua- dratum CG ad totum fpatium infinicum AONMG. Eft autem oftenfum fuperf. cyl. ex CL circa AG aequalis fuperficiei fphaericae ex arcu CDG circa AG, ideoque et fuperficiei fphaericae ex arcu CDG circa CA, quia utraque dimidiae fphaerae fuperficiei aequalis eft. Ergo ratio fuperficiei ex CL circa AG ad fuperf. fphaericam ex arcu CDG circa CA erit ratio aequalitatis, ac proinde et ratio qu.i CG ad fpatium infinitum AONMG erit aegalitatis, quod erat dem.m. Porro ex ratione demonftrandi, patet etiam fuperficiem cylindricam ex CH circa AF, five ex arcu CD circa AF effe ad fuperficiem ex eodem arcu CD circa CB, ut reétangulum HA ad fpatium curvae OF A ; atqui ex Archimede eft fuperf.s ex CD arcu circa AF ad furperf.m ex eodem arcu CD circa CB ficut exceflus quadrati CG fupra qu. GD ad quadr. ex CD reéta, hoc eft ficut exceffus AG fupra GF, feu ficut AF aut BD ad BC. Ergo et reétang.m HA ad fpatium OF À ut BD ad BC, quod erat dem. $ III”). Fig. 3. Ulterior difquifitio circa catenae cur- À Q D E vam ex animadver[a quadratura curvae E APOE quae pag. 20 erat d4. AG = b, AB,GE — 4 ADCB quadr.m diagonios AC. F IS o (AG)(GE) (CAE) (OE=AF) 1. 4V/ bb aa B M N & b : a—}V/ bb: BE à 19) Cette phrase a été ajoutée plus tard. 11) Application de la quadrature obtenue dans le paragraphe précédent à la courbe dwô de la figure 5 du IN°. 2625. Ce paragraphe a été extrait de la page 93 recto de la pagination générale du livre G, c’est-à-dire la page 82 mentionnée vers la fin du $ I. Œuvres. T. X. » 9 66 CORRESPONDANCE. 1691. ex proprietate curvae ad catenam: 44xxX — 44ÿy = xxyy pag. 20°?) qu. AK — qu. AF —=va— ee Ds qu. FK, T= FK;:exz2—=FLets —T=KL; aa — RE MD —fp. AOF ex pro- prietate curvae pag. 58 *3) quae eft eadem atque illa pag. 20 mutatis reciproce x in y, unde et illa pag. 20 quadraturam recipit, quod nunc demum animadverfi. V3 aa AE; 228 ap, #22 Cr b js —{p. AOF s. PE op _ ga tp. AOE. V/ bb — aa AE 4 aY/ bb— aa (7 BE) : #b— aa (fpat. AOE) =1/ bb—aa(AE):(b—4)(SG) Item fpat. AOE ad fpat. APQ ut AG— AB ad NA — AB. Ç IV). Sit AV catena pendens ‘*). AG cangens in A. angulus BAG — BAG in 1 fig. 7?) Il s’agit de la courbe 068 de la figure 5 de la pièce N°. 2625. En effet, il est facile de vérifier, en posant AE—0dy=—x, EO—yw—#, que la construction du point O, indiquée ici, est identique avec celle du point w de cette dernière courbe. 73) C’est la courbe AON du paragraphe précédent (voir la figure 2), dont l'identité avec la courbe 3w0 de la figure 5 de la pièce N°. 2625 a déjà été indiquée dans la note 9 du para- graphe précédent. Or dans ce dernier paragraphe l’aire AOF de la figure 2, identique avec l'aire homonyme de notre figure 3, a été trouvée égale au rectangle BL ou CP de la figure 2; mais comme le point C de la figure 2 correspond avec le point B de la figure 3 (ainsi qu’il est facile de le reconnaître en tournant la figure 2 d’un angle de 90°) et le point P avec le point M, il s’ensuit sp. AOF (de la figure 3) = 2 MD — 44 —- A *4) Résumé des résultats acquis sur la chainette. Le paragraphe se trouve à la page 94 verso (= 87) du livre G. Pour faciliter les renvois nous avons ajouté des sousdivisions «, 8, etc. 75) Voir la seconde figure de la fig. 4. CORRESPONDANCE. 1691. 67 (æ) Jam divifam ponendo catenam AV [a fig.] in particulas aequales, earum fumma eft ad VZ ut totidem radii ad finus omnes complimenti in arcu SB [ 1a fig.] qui pertinent ad totidem tangentes aequaliter crefcentes in reéta BG. Item fumma particularum aequalium catenae AV eft ad AZ five BV, ut totidem radii ad finus omnes in arcu SB qui ad eafdem illas rangentes pertinent. Hoc utrumque pag. 14 oftenditur %). 12 fig. A D _@ E S' ie Fig. 4. 2 JA tr un 4 (B) Porro ficut curva AV, reéta VZ, et reéta AZ, ita funt inter fe [7] BE [ra fig.], fpatium ABIE, et fpatium APOE. Hoc explicatur pag. 20 et 14 17). 1) Voir le commencement du $ VII de la pièce N°. 2625. 17) Voir les $$ VII et VIII de la pièce N°. 2625. 68 CORRESPONDANCE. 1691. Quia ut AV, VZ, ZA, funt fummae totidem radiorum, totidem finuum com- plimenti, et totidem finuum, pro angulis quorum tangentes aequaliter fefe exe- dunt; ita quoque [77] BE, fpatium ABIE, et fpatium APOE, quando ang. AGB utrobique eft'idem. (y) Habeat BV [oa fig. ] ad VH, five AZ ad FY rationem datam, (puta duplam), fitque FR tangens in F. Et fecetur fpatium APOE reéta NPQ, ut fit fpatium APOE ad fpat. APQ ut BV ad VH; dico angulo ANQ effe aequalem angulum tangentis HFR. Eft enim YF ad ZA ut fumma finuum (fumma nempe finuum qui pertinent ad angulos quorum tangentes fefe aequaliter excedunt, quod de his omnibus finibus ita eft intelligendum) ufque ad angulum FLY feu HFR, ad fummam finuum ufque ad angulum ATZ feu GAB, fed ut YF ad ZA, feu ut HV ad VB, ita quoque fpatium APQ ad fp. APOE. Ergo fumma finuum ufque ad angulum HFR ad fummam finuum ufque ad ang. GAB ficut fpat. APQ ad fpat. APOE; hoc eft ficut fumma finuum ufque ad ang. ANQ ad fummam finuum ufque ad ang. AGE five GAB, in 12 fig. vel etiam in 2.da, Ergo fumma finuum ad ufque ang. HFR aequalis eft fummae finuum adufque ang. ANQ; ideoque ang. HFR aequalis ang.o ANQ, quod erat dem. Si AB, BG in utraque fig.a magnitudine fibi refpondeant, erunt et AG aquales, et AN aequalis AW, cui tangens FR parallela ducenda eft. Si AB — 4. AG — b, fit fpatium APOE — 4b— #4, vid. pag. 82 *8), Si BV = 4. VH = e. Et ut Zad e ita faciendum fpatium APOE ad fp. APQ. Sit AN = x. Ergo fpat. APQ — 4x—44. Ergo d:e— ab—aa:ax—aa dx —da = eb—ea Ari a — AN cui aequalis AW. Hinc problema de invenienda quavis tangente, per unam AG datam. p. 83 *?). X = 18) Il s’agit du paragraphe précédent de cette pièce. 19) La page 83, identique à la page 93 verso de la pagination générale, contient une partie de l'explication de l’anagramme envoyé à Leïbniz; c’est-à-dire de la pièce N°. 2668. Voir plus particulièrement le numéro 1 de la troisième partie. * CORRESPONDANCE. 1691. 69 (9) Sit BG — s. * Spat. APOE ad [77 EB = BV ad VA. vid. pag. 20 et 14 *°). dé, ab— aa : as = d: pag CU Va VA. (6) GB:BA— VA : radium curvitatis in V, ex Theoremate p. 13 **). ds ads ad é ad ONE S empts apr et En Radius curvitatis in V, hoc eft VL. (&) radius curvis : curva VA — VA : LK evoluta. Vid. pag. 17 **) ubi CA, ad ds ds dss Je LN IA, AW funt prop.les propos. 5a *3) AW vero = CR. (n) Erit et fpat. BLQA ad fpat. APQ ficut FH [oa fig.] ad HV. Unde data HV, datur et HF, inventa per centr. gr.is ratione fpatiorum iftorum. Eft enim ea quae AB ad ZF [ra fig.] fi F centr. gr. BLQA *#). Et fic tunc AV curvae punéta quotvis inveniri poflunt, quod aliter non poffet fieri nifi longiflima fup- putatione *5) areae BIEA per approximationem. 2°) Voir le $ VII et la note 21 de la piece N°. 2625. On se rappellera que la courbe dwxô de la figure 5 de la pièce N°. 2625 est identique avec la courbe APO de la première figure de ce paragraphe. 21) Voir le $ II et la note 11 de la pièce N°. 2625. 22) Voir le $ IV et la figure 4 de la pièce N°, 2625. 23) C'est-à-dire la 5e proposition de l’anagramme. Voir la pièce N°. 2668. 24) Voir le $ I de cette pièce. En effet, les courbes 478 et BQ6, dont il est question dans le para- graphe I, correspondent avec les courbes APO et BLI de la figure 4 (1e figure). 25) Voir le $ IX de la pièce N°. 2625, 70 CORRESPONDANCE. 1691. S VX Fig. 5. AB— AG tangit curvam catenae fig. 1a BG — AV in A. A AT GA = Quaeritur VH et HF def- nientes punétum F, cujus rangens FR inclinetur ad BR angulo femi- Z F : recto. » S Sit in fig. 1a ABCQ quadratum, et GB Le ad BC ut 4 ad 3 fintque curvae ut fupra°7) FF BPS, APO. Jam ut fpat. AOE ad fpat. B C _& APQ, ita eft BV [fig. da] ad VH:#). Hoc eft ut 2 ad 3]//2—3 ficut oftenditur initio ns pag. hujus *?) quia fpatia funt ut GA — AB B A [fig. 1a]ad CA — AB, vid. pag. 80 3°). Sic quidem dato vertice V [fig. 2da] in- . PE venitur punétum H, atque etiam F, dato catenae pofitu. Sed nec punétum V poteft " inveniri nifi approximatione quadraturae vel ope diftantiae centri gr.is3*) portionis R BSEA ab AB, quae in hac catenae pofitione y AV eft prox. 601 5?) partium qualium AB (3 1000 nec rurfus punétum F nifi ex cognita per ejufmodi approximationem ratione inter HV, HF quae eft proxe ut 46996 33) ad 100000. 29) Détermination du point F (voir la figure du texte), où la tangente fait un angle de 45° avec l'axe, et du sommet de la chainette, au cas où la distance AB du point de suspension À à l'axe et la tangente AG sont supposées connues. Ce paragraphe a été extrait de la page 95 verso du livre G. ?7) C’est-à-dire qu’il s’agit des mêmes courbes dont il a été question dans le paragraphe pré- cédent. 28) Voir la sousdivision (7) du paragraphe précédent. #9) Au sommet de la page se trouve, en effet, un calcul difficile à reproduire, ce qui est d'autant moins nécessaire que les mots qui vont suivre indiquent suffisamment comment la proportion en question a été obtenue. 3°) Il s’agit du Ç III de cette pièce. Voir la dernière ligne de ce paragraphe. 37) Voir le I de cette pièce. : 3°) Ce nombre a été obtenu évidemment par la méthode expérimentale qui va suivre. 33) Nombre obtenu, comme un petit calcul en marge le prouve, au moyen de la division de 41421 par 88137. Sur ces derniers nombres on peut consulter la note 6 de la pièce N°. 2624. CORRESPONDANCE. 1691. 71 Ex charta craffa (carton) figura ABSEA abfcindatur, poftquam curva BPS infcripta fuerit: invenitur autem facile per punéta ex libello finuum; nam pofita tangente BG cujuflibet anguli BAG, erit ES finus compl. anguli ejufdem 34). Figurae refeétae ABSEA centr. gravitatis mechanice inveniatur F. Erit jam in catena pendente fig.a 2da, fi angulus BGA quem facit tangens in À, aequalis fit ang.o BGA in fig. 1a, ratio applicatae in catena ad axem ejus BV, ficut in fig. 1a AB ad ZF 55). Sic inveni, fi AB applicata fit 1000 partium AG 5000, unde BG 4900 5), fore BV = 1720 prox. Si AB fit 1000. BG 2446, tunc AB, BV fore aequales. Si AB 1000. fintque AB, BG, GA ut 3, 4, 5; fore BV = 6oi. Si AB 1000, AG 2000, ut in triang° aequilatero, fit BV — 763. Si AB 1000, itemque BG; fit BV — 469. Sed accuratä fupputatione fi fuerit hic AB 10000, fit BV — 4699 33). Quoniam charta illa non prorfus aequalis eft ubique craffitudinis, melius ex linteo uno, vel pluribus conglutinatis, ipfoque glutine duratis ac dein levigatis figurae refcinderentur. Parata figura una longiore, quaelibet breviores ex ipfa in aliam chartam cir- cumfcribi poffunt, quarum exfciffarum céntrum gr. inveniatur. 34) Voir le S VIII de la pièce N°. 2625. 35) Voir le I de cette pièce. 36) En réalité 4899,1. 72 CORRESPONDANCE. 1691. : N° 2670. CHRISTIAAN HUYGENS à ABRAHAM DE GRAAFF. 29 MARS 1691. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. A. de Graaf y répondit par le No. 2674. Min Heer DE GRAEFr Haghe 29 Marti 1691. Ick hebbe volgens mijn belofte bij een gefocht eenighe van mijn Traétaties die nu en dan int licht gegeven hebbe, welcke ick hier nevens VE verfendt om eenighfins mijne danckbaerheydt te betuijgen wegens het prefent van VE Wif- konft *) laetfmael tot Amfterdam fijnde aen mi gedaen twelck altijdc in waerde fal houden. Ick en denck niet dat VE noch eenighe tijdingh van VE foon *) en fin gefelfchap fult gehadt hebben, — dan of bij geval iets van haer quaemr te vernemen, foo verfoeck ick daervan deelachtigh te werden. Mi gedenckt dat VE mij feijde feeckere Propofitie van de Heer Tchirnhaus3) door getallen onderzocht te hebben en onwaer bevonden, te weten dat ABC de kromme linie fijnde die gemaeckt werdt door reflexie der parallele ftraelen op den hollen halven circel ADE vallende altijdt de Tangens BG met GF recht- hoekighe op de bafis AE te faemen gelijck waeren aen het Es deel der kromme BA. Ick weet niet of ick wel onthouden FINS hebbe, doch naederhandt dit geëxamineert hebbende#), vinde ÂT £g dat daer in geen faurenis. VE gelieve dan bij gelegentheydt fijn rekeningh hier van nae te fien, opdat aen defen mathema- ticus, behalve fijne veele mifilaegen, geen andere t’onrecht opgeleght werden. Ick hebbe aen de Hr. van de Bloquery over 3 a 4 maenden te handt geftelt een Rekeningetie van den Horologiemaecker Vifbach alhier, die eenighe reparatie aen de bewufte flingerwercken gedaen heeft 5). Indien VE gelieft bij occafie fijn Edt van mijnen’ twegen te verfoeken van daer aen te willen gedencken fal mi vriendfchap doen, die altijdt blijve VE dienftwillighe dienaer nd ) Abraham de Graaff a écrit plusieurs livres de mathématiques. Huygens parle probablement du suivant: De Geheele Mathesis of Wiskonst Herstelt in zijn natuurlijke gedaente. Amsterdam 1676. : ?) Johannes de Graaff, en route pour le Cap; voir la Lettre N°. 2656. 3) Dans l’article de 1682, cité dans la Lettre N°. 2274, note 4. #) On rencontre cet examen au livre G des Adversaria. Nous le reproduisons comme Appendice à cette lettre, sous le N°. 2671. 5) Voir le post-scriptum de la Lettre N°. 2615. CORRESPONDANCE. 1691. 73 N° 2671. CHRISTIAAN HuYGENs. Appendice*) au No. 2670. [mars 1691]. La pièce se trouve à Leiden, coll. Huygens. ” Sit MA ex evolutione EM. Oftenditur MPV — = AN. Sit PI ex evolutione ZP; unde PZ—IZ. Of- tenditur PV aequalis IX. Ergo XI + 1Z = VPZ. Propter aequalitatem angulorum in reflexione, eftæy, pars reflexi, aequa- lis Bd parti incidentis in B. Sed x eft—axy ex natura evolutarum. Ergo x Bd. Itemque x —en, etc. Unde fumma aequalis fummae *). Hoc eft curva VM=AN. Sed ME eft V = EA, cum MA fit ex evolutione EM. Ergo tota VME— NA + AE five 3 AN:). 7) Rectification de la catacaustique du cercle pour le cas de rayons parallèles. ?) Ici la démonstration est achevée. En effet, on peut conclure maintenant PV=æIX. 3) Théorème qui se retrouve à la dernière page du ,, Traité de la lumière”. Œuvres. T, X. 10 74 CORRESPONDANCE. 1691. N° 2672. CHRISTIAAN HuyGEns à N. Fario DE DuILLiER. 3 AVRIL 1691. La lettre se trouve à Genève, Bibliothèque Publique *). La minute se trouye à Leiden, coll. Huygens. Elle a été publiée par P. J. Uylenbroek®). Fatio y répondit par le No. 2673. Ce 3 Avr. 91. J'oubliay hier 3) Monfieur parmy l’embaras de l’enterrement de vous prier de me reftituer devant voftre depart, la lettre que cy devant vous avez eu la bontè de me faire #) en m’expliquant voftre methode de trouver les Lignes courbes par la pro- prierè de leur Tangentes. Je vous aurois aufli demandè d’y vouloir joindre quelque chofe de ce que vous avez depuis adjoutè a cette methode, ou fi cela vous donne- roit trop de peine, d’expliquer feulement les deux exemples que vous en avez donnez dans les courbes que je vous avois propofées comme aufli a Mons.r Leib- N ] “ 0 y F2 A F G a-z-VÈlx® B D P hs a L nitz 5). Comme vous avez tous deux penetrè fort avant cette matiere, jaime bien mieux de profiter de vos de- couvertes, que de me donner la peine d’y travailler fur les fondements contenus dans voftre lettre, a quoy mefme je pourrois ne pas reuflir. Il vous fouviendra au refte que dans la derniere lettre que je vous montray de Mons.r Leibnitz 5), il vous propofoit un echange de fon fecret, au cas que dans le probleme que je viens de dire il y euft des racines compofees dans l’Equation de la Tangente, pour avoir la voftre, dont vous vous eftes fervi dans mes deux courbes. Et il vous fouviendra de plus, que longtemps auparavant je vous avois propofè une ligne courbe AON dont j’avois la quadrature‘), eftant telle que AG eftant perpendiculaire fur fon afymptote GM, tout efpace AOF, retranchè par une ligne OF, parallele a l’afymptote, eftoit egal au reétangle BL, partie du quarrè AGLC, lorfque BP paffoit par le ) Voir la fin de la note 1 de la Lettre N°. 2572. ?) Christianii Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. II p. 122. La minute ne diffère pas sensiblement de la lettre. 3) La minutea de plus: au foir. +) Voir la Lettre N°. 2643, note 15. I s’agit probablement de la seconde des lettres mentionnées dans cette note. Dans ce cas, elle datait de 1688. 5) Il s’agit toujours des deux problèmes proposés à Leibniz dans la Lettre N°. +@ 1, et qui con- duisent aux équations différentielles citées dans la note 17 de la Lettre N°. 2660. Or, à la CORRESPONDANCE. 1691. 75 point D, auquel OF continuée rencontre le quart de circonference GDC, er que mefme par cette quadrature donnée vous trouvaftes l’equation de la courbe. Or a caufe qu’il pourroit arriver que j’eufle a prouver ce fait a Mons.r Leïbnicz, je vous fupplie Monfieur de me permettre, et de me donner moïen en faifant ref- ponfe a ce billet, de pouvoir alleguer voftre temoignage pour confirmation de ce que je viens de dire, eftant feulement befoin de defigner la courbe par fon equation que vous trouvaftes xxyy 90 44yy —4axx. Vous ferez plaifir et obligerez beaucoup Voftre tres h. et tres ob. ferviteur HuUGENS DE ZULICHEM. Pour Monfieur FarTio DE DUuILLIER. T) yx = Fluxion de l'Efpace AOF az = Fluxion du rectangle BL ®). Donc yx = 42 a°—042 + 2° = 4°—x°; dont la Fluxion donne —az+ 2%, —= — xx. Et prenant les valeurs de z on aura = vues Et 4y—2y = 4x. Orz = 4—|/ ax—x*. Ainfi 4y— ax = 4y—y}/ 4°—x°?). Et a2xx — 4°yy—y°xx —x2yy fera fa Fluxion. page 101 recto du Livre G des Adversaria on trouve, de la main de Fatio, une solution de la seconde de ces équations, obtenue d’après sa méthode et pourvue de quelques remarques de Huygens. Il nous semble inutile de reproduire cette page d’une rédaction peu achevée, parce que nous pouvons renvoyer à l’exposition si claire de la méthode de Fatio que Huygens a donnée dans sa lettre à’ de l’Hospital du 23 juillet 1693, où elle se trouve appliquée à cette même équation. En suivant les indications données dans cette lettre, on trouve facilement les , transformateurs” (comme Fatio les nomme) y—5 et x—+, mentionnés dans la note citée de la Lettre N°. 2660. 5) La Lettre N°. 2664. 6) Voir, sur cette quadrature, le $ IT de la pièce N°. 2669. 7) Les annotations qui suivent se trouvent écrites de la main de Mr. Fatio, sur le 2d feuillet recto. #) Fatio fait donc BC — x. 9) Ici donc la solution, que l’on retrouvera dans la réponse de Fatio, notre N°. 2673, est achevée, puisqu'on a immédiatement — 4x = — 3/4 —, donc 4°x°?=— 4°y° — °°, Dans ce qui va suivre encore, Fatio essaie d'étendre sa méthode au cas où l’équation différentielle contient des expressions irrationnelles. À cet effet, il différentie l'équation 4?x° — 4°? — x?? pour déguiser ensuite l’équation obtenue par les substitutions qu’il indique. Après quoi il s’efforce de retrouver, à travers ces déguisements, la génératrice” originale, 76 CORRESPONDANCE. 1691. Dans cette equation on peut fubitituer les valeurs des Racines 4x, ou 4y, ou xy. Par exemple on aura 4x]// 47° —x2y° = 4° yy—y°xx—x°yy I oubien ay}/ 2 x+xy = 4xx+y ax +atyy II oubien xyl/4y 4x = 4°yy—yxx—axx III Dans le rer Exemple il eft aifé de reconnaitre les Generateurs 7°y*—x°y°. Et comme c’eft là la quantité meme qui eft fous le Signe Radical, il eft à prefumer que cette Racine tient lieu de #x qui paracheveroit le quarré #2x°. Et effe&ivt on trouvera que ces trois Generateurs rendent l’Equation marquée I. La même chofe fe doit entendre de l’Equation I. De même dans la IIT Equation, il faut voir fi fa Generatrice n’eft pas x2y° = — ay —ax", Et dans la IV Equation ci deffous il faut voir fi —yx +) 27 + 24°xy — ax ? De cette maniere on parviendra à la veritable Generatrice, fi elle a produit la Fluxion proprofée par ces fortes d’Enveloppemens. Et ceci donne une clef confiderable pour trouver les Fluentes ou Generatrices, quand leurs Equations font fimples en elles mêmes, quoi que leurs Fluxions foient mêlées de Racines par accident. Re V2 — x°y° ax + 24°xy+ x°y° Es 4°ÿ°+24a°xy ay = æx°+x°y" ax+xy = |/ 4°y + 24a°xy ay = dy 0x —axyx +ax|/ dy +22 xy = a°yy—yxx—x°yy IV. * * ) Mr. Hugens de la Haye 3 avril 1691, le lendemain de l’Enfeveliffement de Mr. Ellys Efq.e à N. F. à la Haye. Il me redemande la lettre où je lui avois expliqué autrefoisma Methodeinverfe des Tangentes et fouhaite ce que je puis encore avoir ajouté à cette methode. ‘ - 19) Ce qui suit est un extrait de la Lettre de Huygens, écrit au dos sur un pli, de la main de Fatio. ; - CORRESPONDANCE. 1691. 77 Ou qu’au moins je lui explique les deux Exemples que j’ai donnés dans les courbes qu’il avoit propofées à Mr. Leibnitz et a moi. Il rend temoignage aux progrès que Mr. Leïbnitz et moi avons fait en cette matiere, defquels il aime mieux profiter que travailler fur les fondemens contenus dans ma Lettre, et peut eftre fans fuccès. Sur l’Echange que Mr. Leïbnitz propofoit de fon fecret, pour avoir une folu- tion du probleme fufdit de Mr. Hugens, s’il y avoit des racines compofées dans l’Equation de la Tangente. Probleme que Mr. Hugens m'avait propofé il y a longtemps et dont je luy avois donné la Solution pour retrouver l’Equation de certaine Courbe par la pro- priété de fa Quadrature. Cette courbe avait pour Equat.n x°y° = 4°y° — 4°x°. Mais la propriété de fa Tangente contient une Racine incommenfurable com- plexe, fi on y fubftituc la valeur de xy ou de #y, ou de 4x, etc. Mr. Hugens demande que je lui laiffe alleguer à Mr. Leibnitz mon Temoig- nage fur ce fait. J'ai ajouté ici ma folution ou mon Analyfe de ce Probleme de Mr. Hugens. NB. Remarque confiderable fur les Racines complexes. N° 2673. N. Fario DE Duiizier à CHRISTIAAN HUYGENSs. 9 AVRIL 1691. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle a été publiée par P. J. Uylenbroek*). Elle est la réponse au No. 2672. Voici Monfieur de quelle maniere je fis mon calcul, fuivant la cheorie que j’ai éu quelquefois l'honneur de vous expliquer, lors que vous me propofates il y a quelque temps de trouver l’Equation d’une courbe Geometrique, que vous con- noifliez, par la proprieté que vous me donnates de fa quadrature. 1) Christiani Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae Fasc. IT, p. 123. 78 N/ (M 0ZK » à ATAEF G B P C 7 L CE =r AE = x FD — » OK =32—=DR KH =» RSS MonNSIEUR CORRESPONDANCE. 1691. Soit C le centre d’un quart de cercle ADSL, dont les lignes AFIG, LPGM font tangentes en A et L. La pro- prieté de la courbe AOHN ef telle, que d’un de fes point O tirant la ligne OFD parallele à ML, et par le point D la ligne BDRP égale et parallele a AG, l’efpace AOF eft roujours égal au reétangle AP. OFIH = AGXRS C’eft-à-dire y+24°) xz=r fe. Or l’Equation au cercle ADL eft x°— 2ry+Y° = o. Donc par ma methode des rangentes5) 247—2r/2+ 2y@—0o. Donc 8 — =: Ory=r—l/r—x, Donc 8 — Ve + raz V/r—=% Le x Et par confequent y° — nee PAR - Qui eft l’Equation à la courbe AOH. Ce que je vien d’écrire fufira Monfieur s’il vous plait pour le prefent, car j’ai l’efprit encore trop abbatu pour faire une plus longue lettre. Je fuis On trouve donc zy — Voftre tres humble et tres obeissant Seruiteur N. FarTio DE DuILLIER. Ce 30 Mars 1691.5. V. Pour Monfieur HUGENS DE ZULICHEM. ?) Dans le manuscrit le coeflicient 4 se trouve biffé. ‘ 3) La méthode mentionnée dans la Lettre N°. 2465, à la page 169. CORRESPONDANCE. 1691. 79 N° 2674. À. DE GRAAFF à CHRISTIAAN HUYGENSs. 17 AVRIL 1691. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle est la réponse au No. 267. Chr. Huygens y répondit par le No. 2679. Muyx HEER 17 April 1691. Sende VE hier nevens het kafie, het Loot, 2 pennen en de ftrik, zoude het eer- der gefonden hebben, maar ben feer belemmert geweeft met de Exames der Stierlieden, het welk ook oorfaak is geweeft dat ik VE Traëtatiens, mij laaft ge- fonden, maar even heb ingefien: ik bedank daarvoor VE hartelijk: bij occafie fal ik hen, en voornamelijk het laatfte, wat naukeuriger nazien : maar het is be- fchreven in een taal waarvan ik ganfch onkundig ben; en t’en ware het de Ma- chefis raakte, ik zoud er geheel niets uit konnen verftaan. Ik hebbe niet de minfte tijding van mijn zoon, noch en verwacht ze ook niet als met de Retourvloot. - Ikzie dat VE memory niet onfeylbaar is, of ik moefte VE qualijk onderricht hebben, dat ik niet kan geloven. ’tis niet deze eygenfchap waarin Thirnhaus geabufeert is, die VE mij voordraagt, welke ik mede goet bevonden hebbe, maar de eerfte, waarin hij wil dat alcijt HD > DK zal wezen *). Mine calculatie heeft mij gegeven de volgende getallen als EC is 90.0'» DK 50000 en DH 50000, dif: o 85.0 » DK 49432 en DH 48000, diff: 1432 80.0 » DK 47789 en DH 44990, diff : 2799 N_k 70.0 » DK 41943 en DH 38379, diff: 3564 € 60.0 » DK 34263 en DH 31880, diff: 2383 2 50.0 » DK 26456 en DH 25789, diff: 667 45.0» DK 22830 en DH 22904, dif: 74 Li 40.0 » DK 19466 en DH 20115, diff: 649 30.0 » DK 13534 en DH 14788, diff: 1254 ET 5 1# 20.0» DK 8509 en DH 7918, diff: 1209 10.0» DK 4098 en DH 4820, diff: 722 5.0» DK 2030 en DH 2405, diff: 375 0.0 » DK o en DH o,dif: o Waar uyt blijkt het merkelijk verfchil met het geene Thirnhaus daarvan afir- e ) Consultez, sur cette erreur de von Tschirnhaus, la pièce N°. 2626. 80 CORRESPONDANCE. 1691. meert. daar zoude wel eenige mifrekening in konnen wezen, a1z00 ik het zelfde alleen, en dat maar eens, uytgerekent hebbe : doch het kan niet merkelijk wezen. Ik hebbe ook vaak inftuytftraalen gecrokken, in een groote en net verdeelde Cirkel, die ik gedrukt hadde, en daarin quam het oogfchijnlijk overeen met de - voornoemde getallen. En zooik’t wel onthouden hebbe; de autheur gaat deze eygenfchap ook voorbij in de Aëta van Lypzig ?), alwaar hij nochtans de andere aantekent en bewijft 3). Ik hadde het abuys aan Monsr. Macreel #) gecommuniceert, welke zeyde met hem te correfponderen, en ik vertrouwe dat die hem daarvan kenniffe zal gegeven hebben. Ik hebbe voor omtrent 2 jaren eens nagefpeurt zijn Regel op de Quadrature der kromlinifche figuren 5): doch kon der niet door komen, omdat ik niet kon vinden de getallen die hij voegt by z, #, en Z. hij ftelt z 5 ca + 24x k 5 2644 + 3/ax + 4gxx Lo 3ha3 + 4iaax + 5kaxx + 61x3 naar mijn gifling moeften der andere getallen bijftaan kleender als deze doch om- dat de geheele zaak mij duyfter bleef, zoo geloof ik dat ik hem niet wel zal gevat hebben: hierom, zoo VE mij dies aangaande eenige onderrichting kon geven, het zoude mij aangenaam zijn. Zijn Regel op de Tangenten®) heb ik gevonden en zijn methode op de weg- neming der tuffentermen?) fcheen mij toe dat ik zoude hebben konnen magtig werden; doch ben niet tot de uytrekening gekomen. Ik hebbe de Hr. Bloquery laten lezen hergeene UE wegens de horologymaker fchrift: zijn E. geliefde te antwoorden dat aan de Hr. van Dam, in den haag zijnde, zoude gefchreven werden om de Rekening te betalen. Afkortende, verblijve, naar cordiale groeten, Min Heer Sin ootmoed.en Dienaar ABRAHAM DE GRAAFF. Amfterdam den 17 April 1691. LL À 2) L'article de 1690, cité dans la note 15 de la pièce N°. 2626, et dans lequel von Tschirnhaus reconnaissant l'erreur commise dans l’article de 1682 remplace sa fausse construction de la catacaustique par la véritable, que probablement il avaitempruntée au ,, Traité de la Lumière” de Huygens. 3) Comparez la page 72 de l’article de 1690, où ce théorème est mentionné, mais sans démon- stration. +) Dirck Makreel; voir la Lettre N°. 2485, note 3. 5) L'article de von Tschirnhaus, cité dans la note 10 de la lettre 2274. 5) Voir la Lettre N°. 2274, note 8. 7) Voir la Lettre N°. 2274, note 11. CORRESPONDANCE. 1691. 81 F N° 2675. CHRisTIAAN HuycEns à P. D. Huer. 18 AVRIL 1691. La minute se trouve à Leiden, coll. Iluygens. Une copie se trouve à la Bibliothèque Nationale de Paris. La lettre est la réponse au No. 2665. Elle a été publide par V. Cousin *). A la Haye, 18 avril 1691. Il n’y a que peu de jours que j’ai reçu la lettre dont il vous a plu m’honorer quoiqu’ écrite du 15 *) du mois paffé. En la lifant, je me fuis reproché de m'être laiffé prévenir et de ne vous avoir pas fait mes remerciements lorfque j’ai reçu le préfent de votre Cenfura philofophiæ Cartefianæ, que M. Cuper a eu le foin de me faire tenir de votre part3). Je vous prie de croire que je n’ai pas laiffè de reffentir comme je dois, la grâce que vous m’avez toujours faite de me communiquer vos excellentes produétions, aux quelles je ne puis comparer les mienes, #ec numero nec pondere. Vous avez vu, Monfieur, dans mes deux derniers petits Traitez4) que je n’épargne non plus que vous Mr. des Cartes, lors que je trouve fes fentiments 1) Fragments philosophiques par Victor Cousin Troisième Edition Ladrange, libraire Quai des Augustins, N°. 19, 1838, 2 Vol. in-8°. au Tome IT, page 220. Dans notre texte nous suivons la leçon de la minute, différente de celle de Cousin, dont l'orthographe diffère sensiblement de celle de Huygens. M. V. Delisle, administrateur de la bibliothèque nationale de Paris, a eu l’obligeance de nous renseigner sur l’origine du texte de Cousin. La lettre originale a fait partie de la col- lection Libri. La majeure partie du fonds Libri a été achetée par le gouvernementitalien et déposée à la bibliothèque Laurentienne de Florence. Voir l'ouvrage: #»Catalogue des manuscrits des Fonds Libri et Barrois par Léopold Delisle membre de l’Institut administrateur général de la Bibliothèque nationale Paris H. Champion, Libraire 9, Quai Voltaire 1888, in-8°., page 156. Malheureusement, d’après une communication de M. le docteur Guido Bagi, bibliothécaire en chef, notre Lettre N°. 2675 ne se trouve pas à la Mediceo-Laurenziana. Cousin paraît s’être servi, pour sa publication, d’une copie faite par Léchaudé d’Anisy qui, avec l’acadé- micieñ Campenon, avait projeté une publication des lettres les plus importantes de la corres- pondance de Huet. Le texte de Cousin et celui de la copie de Léchaudé d’Anisy sont à très peu près identiques. Ils diffèrent en quelques endroits de celui de la minute et généralement par l’orthographe. ?) Lisez: 192. 3) Voir la Lettre N°. 2553. 4) Le, Traité de la Lumière” et le ,, Discours de la Cause de la Pesanteur”’. Œuvres. T. X. à TR Î 82 CORRESPONDANCE. 1691. peu veritables 5): que fi en effayant d’en fubftituer quelques autres à leur place, je n’ai pas tout à fait mal reufli felon votre jugement, j ’ai fans doute de quoi être fatisfait de mon travail. Vos Quæftiones Alnetanæ ‘) m’ont été prêtees par M. de Beauval, auteur de l’Hiftoire des ouvrages des Scavants, où j’ai admiré votre infinie erudition et la manière agreable de votre dialogue. Quant à la matière, elle eft d’une difcuflion tres difficile, et il n’eft pas permis de la traiter en toute libertè. Autrement je crois qu’on pourroit mettre entierement d’accord la Raifon et la Foi et foutenir [ano [en[u, nihil adver [us rationem valere debere auétoritatem fidei, cum Rationem fidei reddi polfe necefle fit?). Je n'ai pu avoir votre livre que pour deux jours, et ferai fort aife de le poffeder en propre, fi cela fe peut. Jene vois pas encore quand l'interruption du commerce pourra finir; mais j’efpère d’indiquer fous peu une voie à Mr. de la Hire par laquelle il me puiffe faire tenir quelques traités de l’Academie des Sciences, qu’on a imprimez l’annee dernière; de forte que fi vous avez la bonte, Monfieur, de lui envoyer un exemplaire pour moy de ce livre et de ceux que vous pouvez encore avoir publiez outre les 2 que j’ay mentionnez vous m’obligerez extrêmement. et je pourray du moins me pro- mettre que je les auray enfemble avec les autres. Je fuis avec beaucoup de refpect HUGENS DE ZULICHEM. $) Cousin a: véridiques. 5) Voir la Lettre N°. 2677, note 12. 7) Les mots que nous imprimons en italiques manquent chez Cousin, ainsi que dans la copie de Léchaudé d’Anisy. Toutefois, puisque Huet, dans sa réponse du 16 septembre 1691, cite textuellement la proposition de Huygens, il est certain qu’elle a fait partie de la lettre en- voyée par Huygens. CORRESPONDANCE. 1691. 83 N° 2676. G. W. LerBniz à CHRisTIAAN HuYGENs. 20 AVRIL ‘1691. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle a été publite par P. J. Uylenbrock 1) et par C. I. Gerhardt®). Elle est la réponse au No. 2667: Chr. Huygens y répondit par le No. 2680. A Hanover ce _ d'Avril 1691. MONSIEUR Je fuis bien aife que ma folution de vos problemes vous a fatisfair, Vous doutés de ce que j’avois dit, qu’il y a plufeurs lignes qui puiffent donner la fouftangente yy V/aa—xx: ax, et mefme cela vous paroïft impoñlible. En voicy pourtant une, dont l’equation eft xx — 2ÿY— Fe y#—3aa3). Et tant que yy fera moindre que 444, la valeur de la foutangente fera affirmative#),et donnera yy]/44— xx: 4x, mais. lorfqu” yy deviendra plus grande que 444, alors yy]// 44 — xx: ax fera une grandeur negative ou moindre que rien, et doit eftre prife en fens contraire. Pour ce qui eft de z4xx — #4— 4, que je vous avés envoyé 5), je voy que dans mes brouillons il y a 44xx = aŸ; (c’eft a dire 42axx — 444—7y#) à quoy je n’avois pas pris garde en vous écrivant. Il eft vray qu’alors yy]// 44 — xx : ax devient une grandeur negative), mais j ‘ay deja marqué que cela n’empeche point qu’elle ne fatisfaffe, Pourtant, fi vous n’en voulés point, la precedente fuffit, outre la premiere, marquée dans la lettre paffée. Voftre conftruétion de la ligne qui donne 8 me plaift fort à caufe de fa fimpli- cité. Confiderés s’il vous plaift, Monfieur, fi contre voftre inftance des deux por- tions egales de parabole fur une meme bafe, Monfieur Neuton pour foutenir ) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, p. 82. ?) Leibnizens Mathematische Schriften II, p. 90; Briefwechsel, p. 647. 3) Voir la Lettre N°. 2664, note 6. La solution particulière, indiquée ici, s’obtient en posant C=— 244. 24 4) C'est-à-dire pour x positif, puisque swb7. — y “ = TZ, 5) Voir la Lettre N°. “x8à 5) Puisque swbr. — y US Le 84 CORRESPONDANCE. 1691. l’impoflibilité de la quadrature des ovales ne pourroit repondre, qu’une telle ovale feroit fauffe et non pas compofée d’une même ligne recourante, comme il femble que fon raifonnement demande, puis qu’une parabole continuée ne tombe pas dans l’autre. Mais voftre ligne qui fait 8 eft veritablement recourante, et fon rai- fonnement y eft applicable7), quoy qu’elle n’ait pas juftement la forme d’une ovale, et felon luy, elle ne devroit pas eftre generalement quadrable. Il feroit bon de confiderer fon raifonnement en luy même, pour voir où gift le manquement. Quant au cercle et à l’ellipfe, l’impoffibilité de leur quadrature generale eft affez demonftrée, mais je n’ay pas encore vû qu’on aye donné aucune demontftration pour prouver, que le cercle entier, ou quelque portion determinée n’eft pas quadrable. : Je n’auois pas fait attention à l’endroit de voftre precedente, où vous aviés parlé des calculs fur la refiftence du milieu. Mais quand j’y aurois pris garde je n’eftois pas en eftat d’entrer affés là dedans, eftant extremement diftrait, et occupé à des matieres qui en font trop eloignées et pour les quelles je fuis extremement preffé. Et le plus grand mal eft, que je commence à auoir les yeux incommodés. C’eft la meme raifon qui m’a fait tant tarder à mettre au net, ce que j’ay fur la ligne de la chaine. Monfieur Bernoulli a déja envoyé fa folution à Meffieurs de Leipzig, qui en ont averti le public, quoy qu’ils n’ayent pas encor mis fa folution dans les Aëtes. Ils m’en ont averti auffi, et je leur ay écrit que vous en aviés auffi la folution, et que je fcaurois de vous fi vous la voudriés envoyer pour eftre publiée dans leur Aëtes avec les autres *). Comme je n’écris pas immedjatement à Mr. Bernoulli et que d’ailleurs il eft à couuert de tout foubçon, ayant deja envoyé fa folution, je ne croy pas qu’il foit neceffaire de luy envoyer un chifre. Et comme le terme eft expiré en effe& parce que j’auois promis feulement d’attendre jufqu’à la fin de l’année précédente Meflieurs de Leipzig m'ont fommé d’envoyer ce que j’ay fur ce probleme pour ne pas trop retarder l’edition de ce que Mr. Ber- noulli leur a envoyé. C’eft donc ce que je dois faire bien-toft. Et il depend de vous, Monfieur, comment vous en voudrés ufer. En cas que vous vouluffiés l’en- voyer à Meffieurs de Leipzig, il n’y a pas lieu de douter qu’ils en ufent fidelement, comme je croy qu’ils ont fait à l’egard de celle de Mr. Bernoulli, dont je n’ay rien vû, et j’aurois efté faché de la voir, pour les raifons que vous avés marquées. Je croy qu’il fera bien difficile de trouuer la regle de la declinaifon de l’aimant, mais je ne voy pas pourquoy vous jugés qu’il n°y en a point, fi ce n’eft qu’on y trouve des fauts, c’eft a dire qu’il y ait une grande difference de declinaifon entre 7) Voir toutefois la remarque de la Lettre N°. 2667, note 5, page 57. Le Lemme de Newton nous semble vrai si l’on écarte les cas de discontinuité. #) Voir la Lettre N°. 2664, note 12. CORRESPONDANCE. 1691. 85 des lieux ou des temps, dont la difference n’eft pas grande. Je fouhaitte d’appren- dre fi les obfervations ont fait voir cela. On auoit publié en Angleterre un petit liure fur le reflort, qui eft je crois de Mr. Hook?), mais il me femble, que j’y crouvay quelque difficulté. Je vous fup- plie de me dire quelles font les experiences que vous dites d’avoir efté faites fur cette matiere. Je m’econne de ne vous avoir pas dit, que j’ay admiré voftre expli- cation de la refraétion, puis que je l’ay écrit à d’autres ‘°). M. Meier Theolo- gien de Breme, eft fort fcavant et fort honnete, et qui fait gloire d'auoir receu des faveurs de feu Monfieur voftre pere. Je crois que Mons. voftre frere fait toufjours la charge de fecretaire d’Eftat auprès du Roy de la grande Bretagne, comme auprès du Prince d'Orange. Ainfi il doit eftre bien occupé. C’eft pour- quoy je ne fcay, fi ce feroit une demande civile, de vous fupplier de voir fi par fa faveur on pourroit difpofer quelque fçavant Anglois verfé dans les Manufcrits et Chartres et ayant accés aux Archives, de nous fournir quelques diplomes ou par- ticularités non vulgaires concernant Henry Duc de Saxe ‘*) (de la maifon de Bronfuic) gendre de Henry IT *?), Roi d'Angleterre, et touchant les enfans de ce Duc parmy les qu’els eftoit Ocron ‘3) Duc de York et Comte du Poiétou, de- puis Empereur IVe de ce nom. En tout cas j’efpere que par voftre interceflion il aura la bonté de me pardonner cette liberté et d’agreer mes refpeéts à voftre exemple. Je fuis MoNSIEUR Voftre trefhumble et trefobeiffant ferviteur LEIBNIz. 9) L'ouvrage cité dans la pièce N°. 2067, note 24. 1°) Entre autres à Magliabecchi; voir la Lettre N°. 2628, note 5. 1) Heinrich der Lôwe (Henri le Lion), duc de Saxe, né en 1129 à Ravensburg et mort à Braunschweig le 6 août 1195. Il épousa, en secondes noces, Maud, fille de Henry II d’Angle- terre. En 1874 on inaugura à Braunschweïg sa statue. 7?) Henry If, roi d'Angleterre, né au Mans en mars 1133, mort à Colombières le 6 juillet 1180. 13) Otto [V, né à Argentan en 1174, deuxième fils de Henri le Lion, fut empereur de 1 198 à 1215. Il mourut à Hartzburg en 1218. 86 CORRESPONDANR CHRISTIAAN HUYGE 21 AVI La minute se trou La lettre a été publiée par P. J. Elle fait suite au No. 266 Leibniz y répou MONNIER je vous adreffay par k vole 4 Mr. vous à eftè rendue, ou fi i peut Ar c pour pouuoir connoitre ce de un hi auroit een au fui u Probleme de Mr. Bernoulli, et j’adjoutay mon chifre fecond, contenant quelque « chofe de plus que le premier ; auquel fecond je m” apperçus incontinent apres, que j'avois laifTè gliffer deux fautes, l’une au nombre 5, qui finit par rc iv accecd, où au lieu des lettres 7 c À y il ne faut que #5). L’autre à l’article premier, qui n'eft pas nom- brè, où j’avois oubliè d’adjouter à Ia fin ces lettres d4ifecp). Ce n’eftoit icy qu’une omiflion, et l’autre un abus d’avoir pris une lettre pour une autre au calcul Algebraique. Ex je corrigeay l’un et l’autre dans un pareil chrifre que j’envoyay le jour d’apres à un autre de mes amis 7). J'y ay encore adjoucè depuis à la fin ce que contienent ces lettres y Z4cgaaïipcp"), et fi je voulois refver d'avantage à cette queftion, j’y ferois peut-eftre encore de nouvelles decouvertes, he PORTER pas m ai urer qu’il n’y ait plus rien à trouver. 7) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, p. 80. 2) Leibnizens Mathematische Schriften, Bd. IL, p. 88, et Briefwechsel, p. 646. 3) Voir la Lettre N°. 2667. 4) Voir la Lettre N°. 2666. 5) Voir aussi la pièce N°, 2668, notes 21 et 22. ee 4 5) Voir aussi la pièce N°. 2668, c’est-à-dire la 1e partie avec la note 6. ; ï 7) A Basnage de Beauval, par une lettre que nous ne connaissons pas. Voir la note 5 de la pièce N°. 2668. : 8) Voir, sur la signification de ces lettres, la phrase entre parenthèses qui se trouve dâns la ITe : partie de la pièce N°. 2663 “ NDANCE. 1691. 87 amuniquè 9) fa methode au Probleme des e de jour en jour quelque chofe à l’oc- ue je luy propofe. Cette fpeculation à une re pour longtemps matiere d’exercice. Il cette partie où il y a des racines compo- avez fait voir que vous eftes bien avancè, Tais la quanticè d’autres points sa ’ilyaà la pal ie date. la note 5 de la Lettle N°. 2672, on en rencontre dans le livre G des Adversaria encore d’autres, qui contiennent des recherches sur la méthode de Fatio et où parfois les écritures de Fatio et de Huygens sont entremélées. Sur une de ces pages (106 _ verso) Huygens différentie l'équation à Ps — 474 x3=0o et ,déguise” ensuite l'équation: ydx + 3x°dx + 2xydy — 4° dy —0, qui en résulte, Cp deux substitutions successives, em- peREs : rs tue comme il suit : péet geds+a CE F7) ho, | pds + gatyds + SPA 2x3dy—0, À 1 | Ms PAPA a (ES) dy— 2x3 dy—0. De cette manière il obtient l'équation différentielle : aytdx + 3x3y° dx + atydy — 4°x3dy — 2xtydy—0, à laquelle satisfait toujours la courbe xy° — 4*y+-x3—0o; mais qui se montre intraitable par la méthode de Fatio, ce qui doit avoir convaincu celui-ci que, contrairement à l’opinion qu’il avait émise dans la lettre N°. 2465, la non-réussite de sa méthode ne prouvait pas la non-existence d’une solution particulière purement algébrique. Il est évident d’ailleurs que les équations différentielles, obtenues par ces ,, déguisements”, loin d’être équivalentes à celle dont on est parti, n’ont rien de commun avec elle, excepté la seule solution dont les substitutions ont été déduites. 19°) En effet, les pages, mentionnées dans la note précédente, ne contiennent aucune recherche de cette nature. É 11) Voir l'ouvrage cité dans la note 3 de la Lettre N°. 2616. Dans ces ,,Conjectures” Varignon attribue la pesanteur des corps placés près de la surface de la Terre au choc des particules de l’air environnant, qui, animées d’une très grande vitesse, — ce qui constitue /7 fluidité de l'air, — sollicitent un corps imperméable en tous sens avec la même force, tant que les colonnes d’air, dont les particules transmettent le choc dans chaque direction, sont d’égale longueur. Comme la proximité de la surface de la terre rend plus courtes les colonnes d’air qui donnent des impulsions de bas en haut, la résultante des chocs doit, d’après lui, fournir la force qu’on appelle la Pesanteur. 88 CORRESPONDANCE. 1691. qui ne me fatisfoit point du tout. Item les Quaefliones Alnetanae **) de Mr. Huet -Evefque d’Avranches, où il y a beaucoup d’erudition, et non pas tour à fait autant de foliditè de raifonnement 3). Iltraite 4e ffatuendis limitibus Rationis et Fidei. matiere, comme vous fcavez, tres difficile. Je vous fupplie de faire refponfe à celle cy et de me croire inviolablement etc. P.S. Je n’ay remarquè que depuis fort peu le Paralogifme de Mr. de Tfchirnhaus, R où il propofe, dans les Acta de l’an 1682 fa faufle conftruétion de la courbe par reflexion du miroir concave ‘#). Il paroit clairement qu’en ce temps là il ne con- noifloit pas encore cette ligne, ni la maniere generale, dont il s’y vante, pour determiner ces lignes dans d’autres figures, et il eft fort vraifemblable qu’il n’a appris la veritable conftruétion que par ce que j’en ay donnè dans mon Traite de la Lumiere. 12) Petri Danielis Huetii, Episcopi Abrincensis Designati Alnetanae Quaestiones de Concordia Rationis & Fidei. Cadomi. 1690. in-4°. 13) Au sujet du livre de Huet on trouve noté, sous la date du 14 avril 1697, dans le livre G des Adversaria de Huygens, page 130 verso, ce qui suit: »Ad Alnetanas quaestiones Petri Dan. Huetij, Episcopi Abrincensis designati de Avranches. Quantum magis fidei quam Rationi tribuendum sit, probat praecipue ex sacris literis et Patrum doctrina. Credo quia ratione agendum non putavit, cui derogatum ibat. Postquam pag. 53, validissimas objectiones contra dominatum fidei attulisset, subjungit pag. 54 non esse sibi propositum fidei necessitatem, auctoritatem, utilitatem argumentis demonstrare. Factum id abunde ab aliis esse, imprimis ab Augustino. Nuncid se quaërere quantum adversus rationem valere debeat Fidei auctoritas. Libro 2°, comparat dogmata Christianorum et Ethnicorum, eorumque consensum ostendit. Quoque minus absurda esse quae Christiani credunt ab Ethnicis objici possit, aeque absona ab ipsis credita retorquet, quo an multum juvet Religionem Christianiam merito dubitari potest. Libro 3°. Praecepta Religionis Christae consentire ostendit cum praeceptis Philosophorum - ac virorum sapientissimorum ex Gentilibus, neque haec istis justitia aut sanctitate inferiora fuisse. Huijus libri Cap. 6. Cultum idolorum proscribit et traducit, nulla addita mitigatione in gratiam religionis Romanae.” 14) Voir la pièce N°. 2626, datée du 7 avril 1691. CORRESPONDANCE. 1691. 89 N° 2678. G. Meyer à CHRISTIAAN HuYGENs. 23 AVRIL 1691. Le lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle est la réponse au No. 2666. Ampliffime Vir ! Quemadmodum humaniflime Tuae literae mirum me in modum affecerunt; ita, quod partium mearum erat, quas incluferas, quaeque Celeb: Leibnitium adtingebant, eas primis Hannoveram ferendas tabellariis commendavi. Nec defuit ille reddendis refponforiis *), quas ecce praefentibus Tibi exhibitas. Gra- tulor mihi interea, quod in numero aliquo apud Tanti Nominis Viros col- locer, nec meam illi mentis fententiam animis ufquequaque adverfis accipiant. Poffum enim aflirmare, cum ab ineunte juventute Mathematicis dedicatus ufque fuerim ftudiis, atque ea fine Algebrae, quam appellamus, novae excutiendis et imbibendis myfteriis apud Batavos veftros Lugduni facem praeferente Domino Craanio®) me impenderim, cum fatis ita difpenfantibus invitum dolentemque ab eruditis iftis ftudiis retraétum fuiffe. Quid vero tum temporum egerint, qui fe Carthefianos vocitant, ut in utramque fegnitiei aurem dormiverint, ut parum promovendae atque a Magno des Cartes telae coeptae pertexendae foliciti fue- rint, ut alendis fovendifque formidulofis fe@is partibufque fefe occupaverint, atque extra oleas lati nihil minus, quam ea, ad quaè vocati erant, munia obierint, juxta cum facrorum iftorum maximè confciis, ipfo egomet ufu edoétus fum. Ita omnis mea ad recondita ifta ftudia adhibita diligentia fere irrita atque inanis red- dita eft, aétumque fuit de centum Imperialibus in minerval, tanti enim docebatur, effufis, quibus nihil adeo redemptum a me aliud eft, quam nefcio quae qualiumve chartarum Algebraicis notis confignatarum communicatio et confufa quaedam principiorum, fi ita dici ea poteft, idea. Sic denique effeétum eft, ut multo non invento relinquerentur pignori putamina. Verum enim, nolo, Vir Illuftris, Tua ftudia hoc verborum ambitu et praeteriti temporis injuriis recenfendis morari. Doleo interea ut cum maximè affiétam Reip. literariae vicem : aut enim parum profpicio, aut mancipes ifti Praeceptores difcipuli, turba verè famularis quam Nob. des Cartes viam ad reduéta veritatis myfteria commonftravit pigritie fua 7) La Lettre N°. 2676. ?) Theodorus Craanen; voir la Lettre N°. 346, note 1. Œuvres. T. X. 12 90 CORRESPONDANCE. 1691. atque prono in promifcua obfequia animo obftruent atque evertent. Quid in CI. Huetium Schwelingius) noftras feétae defenfioni commentatus fit noviflime, forte Tibi infpeétum erit, fin minus, faxo ut per navitam libelli copia fiat. Haec nunc fuperfunt, quae Te quafita, Vir Celeb: volui, primum ecquis Do Fenius patritius nofter et ex primipilaribus des Cartes difcipulis Tibi auditus aliquando fit? deinde, Tibine ejus indolis atque ingenii cenfeatur des Cartes philofophia, ut ea promifcuae in Scholis plebi publicis privatifque doétrinis inftilletur ? denique an ab haerefis nota vindicare eam Philofophi Schwelingii Sententiam poflis, qua ille thefibus faepe fuis ignorantiae vefaniaeque mentis incupat quae des Cartes abfque Mathefeos notitia, eft n[empe] in eo ftudio verè 4yaAD4Bnros, intelligi atque doceri neutiquam poffe, confentiunt. Vale, Vir Nobiliffime, et me inter ftudiis voluntatibufque Tuis deditiffimos ufque numera Dabam Bremae, d : Aprilis. À. aerae Chr. clorscxci. GERARDUM MEIERUM. A Monfieur Monfieur CHRisTiAN HüGENs Segneur DE ZULICHEM franco tot Amfterdam A la Haye. 3) Johann Eberhard Schweling ou Sweling, né le 27 septembre 1645 à Bremen, étudia succes- sivement dans sa ville natale, à Leiden, Heidelberg et Franeker, devint en 1670 professeur ordinaire de physique à Bremen, en 1674 docteur en droit à Franeker, en 1678 professeur en droit à Bremen, et échangea encore, et 1691, cette charge contre celle de professeur de philosophie pratique universelle. I1 mourut le 6 octobre 1714. On a de lui plusieurs écrits philosophiques, parmi lesquels les : Johannis Eberhardi Exer- citationes Cathedrariae in P. D. Huetii Episcopi Suessionensis Philosophiae Carthesianae, Bremae typis Herm. Braueri, 1690, in-8°. CORRESPONDANCE. 1691. 91 N° 2670. : CHRISTIAAN HUYGENS à A. DE GRAAFF. [AVRIL 1691]. La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens. La lettre est la réponse au No. 2674. Min Heer DE GRAEFF. VE fchrijven te faemen met het kaflie en loot fijn aen mij defen morgen wel beftelr. Oock hebbe verftaen dat de Horologiemaecker van wegen de Heeren Bewinthebbers fijn Rekeningh betaelt is, apparentelijck ingevolgh van VE ver- maningh aen de Hr. van de Bloquery, waer van ick VE bedancke. Weynighe uren nae dat ick aen VE gefchreven hadde ), foo quam mij te vooren de plaets in de Aéta van Leïpfick van ’t jaer 1682, daer Tfchirnhaus de valfche conftructie geeft van de kromme linie door Reflexie van de holle fpherifche fpie- gel gemaeckt, die ick te vooren noiïjt geëxamineert en hadde. Maer denckende dat hier miffchien de mifflagh fitten foude daar VE mij van gefproocken hadde doch niet particulier aengewefen, foo gingh ick dit onderfoecken *) in een geval alleen ’ welcke geen langhe rekeningh van noden heeft, te weten als in den hal- ven circel ADC, wiens center B, den boogh CD Lo van 60 gr. is, fijnde FD de invallende ftrael. hier getrocken hebbende DA en nemende daer in DE fijn vierdepart, foo is E een der waere pun- V ten in de kromme VEC. door ’twelck treckende REG rechthoekigh op AC, en fnijdende de A 86 FT c halve circelboogh BHC, uyt F befchreven in H, foo moften volgens Tfchirnhaus eerfte _ conftructie RE, EH gelijck fijn. doch het blijckt dat FG hier is % :/, AF, en FB > :/, AF, daerom BG > :/,, AF ofte :/, AB. En het [7] CGA, tot het [7] CGB gelijck 9 tot 1, en foo mede het qu. van RG tot het qu. van HG, dat is RG tot HG als 3 tot 1, en bijgevolgh moeften GH, HE, ER malkander gelijk zijn. Voorts treckende DC, EF foo fijn die evenwijdigh, en daerom den hoeck AEF recht: en het quadr. van EG gelijck aen den [7] AGF, maer het qu. EG is 0 4/, van ’rqu. RG, dewijl het qu. HG was gelijck */, van ”’t felve qu. RG. Ergo het 1) Voir la Lettre N°. 2670. 2) Voir la pièce N°. 2626, note 10. 92 CORRESPONDANCE. 1691. C7 AGF oock 4/, van ’tqu. RG of 4}, van [7] AGC. Ergo GF tot GC gelijck 4 tot 9. maer GF is tort GC gelijck 3 tot 7, dewijl BG was > :/, BC, foo is dan 4 tot 9 gelijck 3 tot 7; en 28 gelijck:27, daerom Mr. Tfchirnhaus con- ftruétie vals, die apparentelijck alleen op de afmeting van de paffer gegrond was. Het is aenmerckens weerdigh dat als hij A°. 1682 in de Aëta van Leipfich voor- gaf een generale methode te hebben om fulck flagh van kromme liniën uyt reflexie voortkomende door punéten uijt te vinden, en tot een proef daer van bijbracht defe valfche conftruétie, dat hij alfdoen noch defe kromme niet en kende, noch oock de voorn. generale methode. En ick geloof vaftelijck dat hÿj fijn mifflagh ecrit gewaer geworden is nae dat hij de rechte Conftruétie in mijn Traétaet de la Lumiere gefien heeft, welcke hij terftont als door hem gevonden in de A@a van febr. 1690 heeft doen ftellen 5) als oock dat defe kromme een Cycloide is, ”t welck VE mede in mijn traétaet fult vinden, waer uyt lichtelijck volght dat fe oock door het ontwinden van een gelijckformighe linie kan befchreven worden ’t welck hij in de Acta van Apr. 1690 feer breedt heeft doen infereren alhoewel overlangh bekent#). "T geen hij aengaende het vinden der quadraturen uytgegeven heeft en is niet gefchreven om verftaen te worden en ick heb reden van te gelooven dat hij hier op foo generalen regel niet en heeft als hij derft feggen. ’T waer anders een feer nutte vondt en ick ben noch tegenwoordigh befigh om er toe te geraecken. de weghneming van de tuffchen termen der equatien is van geen voordeel, loopende foo hoogh dat den Autheur felfs noit eenigh exempel daer van heeft konnen geven dat verder gaet als de regel van Cardanus en hoe kan hij defe termen wegh- nemen felfs in de cubifche equatien in het geval daer Cardanus regel geen plaats heeft. 3) Voir la Lettre N°. 2674, note 2. 4) Voir la pièce N°. 2626, note 10. CORRESPONDANCE. 1691. 93 N° 2680. CHRISTIAAN HuycEns à G. W. LEIBNIz. 5 MAI 1691. La minute, oubliée par P. J. Uylenbroek”), se trouve à Leiden, coll. Huygens. La lettre se trouve à Hannover, Bibliothèque royale. Elle a été publiée par C. I. Gerhard*). La lettre est la réponse au No. 2676. G. W. Leibniz y répondit par le No. 2682. A la Haye ce 3 Maj. 1691. J'ay reconnu qu'il eft vray ce que vous me mandez de vos courbes qui fatisfont a la mefme conftruétion de foutangente, et je tombe d’accord que la chofe eft poffible. Je devois bien avoir remarquè qu’il y a du moins trois courbes qui fatis- font a une foutangente fans racine, fçavoir une fans quantitè connue, une autre avec une telle quantitè affirmative et la troifieme avec une negative. Mais comme vous vous eftes fervi du mot de plufieurs, il femble que ce nombre de trois courbes ne vous borne point, du moins dans les foutangentes avec racine. Mr. Fatio au refte, voiant combien le probleme renverfè des Tangentes eft important dans ce ças où il y entre des racines compofées dans la foutangente donnée, et y aiant, comme je crois, trouvè plus de difficultè qu’il n’avoit penfè, veut bien que l'echange 5) fe faffe de voftre methode en cela, contre la fiene, dont il a refolu mes problemes des foutangentes et plufieurs autres, ainfi que vous l’aviez fouhaitè, de forte, Monfieur, qu’il ne tiendra qu’a vous que le traitè s’execute, duquel je feray garand, et fi coft que j’auray receu l’expofition de voftre methode, je vous feray avoir celle de Mr. Fatio, qui en vericè eft tres belle. Je vous prie d’eftre clair en ce que vous nous donnerez, et de ne pas fuppofer que nous entendions votre calculus differentialis. Je vous prie d’envoier la lettre cy jointe 4) à Meflieurs les autheurs des 44 de Leipfich. Elle contient le refultat de mes meditations fur la Chaine, et je vous l’envoie fermée expres, croiant que vous ne voudriez pas voir mes decouvertes devant que d’avoir envoiè les voftres, ainfi que vous l’avez tefmoignè a l’egard de celles de Mr. Bernoully, que fi vous les avez defia envoiées, vous verrez les mienes 1) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. IL, p. 86. Quoique la rédaction de cette minute diffère en quelques points de celle de la Lettre elle-même, elle ne contient rien qui ne se retrouve dans cette dernière, à l’exception de la phrase que nous reproduisons dans la dernière note. ?) Leibnizens Mathematische Schriften, Band II, p. 92, et Briefwechsel p. 649. 3) Consultez sur cet échange, proposé par Leibniz, les Lettres Nos, 2664 et 2667. 4) Voir la pièce N°. 2681. 94 CORRESPONDANCE. 1691. dans peu avec toutes les autres. Je ne crois pas, en confiderant ce que vous m’avez mandè cy devant, que j’aye rien trouvè touchant ce probleme que vous n’ayez de mefme. Je ne vois pas qu’on puiffe accorder fa propofition pag. 105 à Mr. Newton, parceque ne confiderant aucunement la nature de ce qu’il appelle Ovale, mais feulement que c’eft une ligne fermée tout au tour, il n’exclud pas mefme le quarrè ou le triangle. Jay vu autrefois le traitè de Hooke touchant le reffort, et jy ay remarquè quelque paralogifme, que je pourrois trouver parmi mes papiers 5). L’experience principale qu’on a faite eft que lors que les forces, dont un Reffort eft comprimè, font accrues d’acceflions egales, aufli les efpaces de fon etendue diminuent egale- ment. Ce que l’on voit bien precifement obfervè quand les compreflions font legeres, et ne violentent pas le reflort jufqu’au bout. Mais dans le reffort de l’air la proportion reuflit toufjours parfaitement, dont il y a des experiences dans les livres de Mr. Boyle®). Pour ce qui eft de la declinaifon de l’aiguille aimantée, ce qui me perfuade plus qu'autre chofe qu’on n’y fçaurait trouver de regle, c’eft que je fçay qu’il y en a eu qui s’en font enquis par beaucoup d’experiences, efperant de parvenir par ce moien au fecret des Longitudes, mais fans fucces. J'ay efcrit a mon frere en Angleterre?) touchant la recherche des Archives que vous demandez, quoyque je doute s’il trouvera des gens qui s’en veuillent donner la peine parmy cette nation affez pareffeufe. Je fuis extremement fafchè de voftre incommoditè aux yeux qui fait que je vous demande avec fcrupule la refponfe a cellecy, et cependant je feray fort aife d'apprendre fi vous demeurez d’accord du trocq que je vous ay propofè. Je fuis de tout mon coeur etc. 5) Nous n’avons pas réussi à retrouver ce manuscrit. $) Dans l'ouvrage cité dans la Lettre N°. 863, note 9. 7) Nous ne connaissons pas cette lettre. *) La minute ajoute: , Que j’ay fenti depuis hier quelque douleur à l’un des miens”. CORRESPONDANCE, I 69 LE 95 N° 2681. CHRiISTIAAN HUYGENS aux éditeurs des Acta Eruditorum. Appendice au INo. 2680. 5 MAI 1691. La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens. La pièce a été publiée dans les Acta Eruditorum*). *) Clariflimis et Eruditione confpicuis Viris Actorum Eruditorum auctoribus Lipfiae. N Si Catena CVA fufpenfa fit ex filis FC, EA utrinque annexis, ac gravitate carentibus, ita ut capita C & A fint pari altitudine, deturque angulus inclina- #) Dans la livraison de juin 1691, page 281, à l'exception toutefois du dernier alinéa, et avec le titre: Chriftianii Hugenii, Dynaftae in Zülechem, Solutio ejufdem problematis. La pièce y fait suite à la ,,Solutio problematis funicularii, exhibita a Iohanne Bernoulli, Basil. Med. Cand. et à l’article: ,, De linea in quam flexile se pondere proprio curvat, ejusque 96 CORRESPONDANCE. 1691. cionis filorum produétorum CGA, & catenae cotius pofitus, cujus vertex fit V, axis VB. 1. Licebit hinc invenire tangentem in dato catenae punéto*). Veluri fi punc- tum datum fit L, unde duéta applicata LH dividat aequaliter axem BV. Jam fi ie CGA fit gr. 60. erit inclinanda a punéto À ad axem reéta AW, aequalis 3 AB, cui duéta parallela LR, tanget curvam in punéto L. Item fi latera ‘GB, BA, AG fint partium 3, 4, 5, erit AW ponenda partium 44. 2. Invenitur porro & reéta linea catenae aequalis vel datae cuilibet ejus por- cioni 3). : Semper enim dato angulo CGA, data erit ratio axis BV ad curvam VA. Velut fi latera GB, BA, AG fint ut 3, 4, 5, erit curva VA cripla axis VB. 3. Item definitur radius curvitatis in vertice V, hoc eft femidiameter cireuli maximi qui per verticem hunc defcriptus cotus intra curvam cadat#). Nam fi usu insigni ad inveniendas quotcunque medias proportionales et Logarithmos. Auctore GGLT Ces trois solutions sont précédées de l’avertissement suivant : Solutiones Problematis A. J. B. in Actis À. 1690. p. 219 propositi. »Benevolus Lector haud gravate recordabitur Problematis a Clarissimo Basileensium Professore Jacobo Bernoulli, Actorum anno 1690, mense Majo p. 219, propositi. Hujus solu- tionem, methodo sua impetratam, si ante anni exitum nemo solutum a se Problema significa- verit, se publicaturum ejvsdem anni mense Julio p. 360, pollicitus est cé/eberrimus G. G. L. Solvit vero illud, solutionemque nobis communicavit praeterito mense Decembri proponen- tis rater, Dominus Joannes Bernoulli, Medicinae Candidatus, in hisce studiis versatissimus; eamque, ut suo tempore alteri illi Le/bnitianae jungeremus, humanissime per /r47rem nos compellavit. Factum inde est, ut /’#wm supra memoratum ce/eberrimum pulsaremus de edenda sua: quam etiam nuperrime nobis pro summa humanitate sua transmisit. //ic etiam debemus quod vir summus Do. C#ristianus Hugenius non dedignatus est, cum plurima favoris ergo nos significatione, & sua Problematis dicti solutione Acta haec nostra exornare. Exhibemus ergo Tibi B. L. & geminam solutionem ab ///ustri Virorum pari, & Bernoullianam ; sed eo ordine quo ad manus nostras pervenere”. 2) Consultez la sousdivision (7) du $ IV de la pièce N°. 2669. En effet, il résulte de la page 108 recto du livre G, qui porte la suscription: ,,missa ad auctores actorum Lipsiensium 5 Maj 1691”, que les résultats numériques qui suivent, ont été calculés au moyen de la formule eb— AW=— æ. formule ona:2—AB,b—AG,d—=BV,e—=HV. Ajoutons que les numéros 1—6 de la présente pièce correspondent avec les mémes nu- méros dela Le et de la IITe partie de la pièce N°. 2668. ï Voir la sousdivision (9) du paragraphe cité dans la note précédente. D’après cette sousdivision $ Fin BV, où s— BG. +) Voir la sousdivision (e), d’après laquelle : VK — A 4 7 $ à LR : 4, qui se retrouve vers la fin de.la sousdivision mentionnée. Dans cette C9 Lu ona: arc AV — b—4a CORRESPONDANCE. 1691. 97 angulus CGA fit 60 gr., erit radius curvitatis ipfi axi BV aequalis. Si vero an- gulus CGA fic re&tus, eric radius curvitatis aequalis curvae VA. 4. Poterit et cireulus aequalis inveniri fuperficiei conoidis, ex revolutione catenae circa axem fuum $). Ita fi ang. CGA fit gr. 60. erit fuperficies conoïdis ex catena CVA genita aequalis circulo, cujus radius pofit duplum reétangulum BVG. 5. Invenientur etiam punéta quotlibet curvae KN, cujus evolutione una cum reéta KV radio curvitatis in vertice, curva VA defcribitur. Atque evolutae ipfius : KN longitudo ®). Velut fi ang. CGA fuerit 60 gr., erit KN tripla axis BV. Si vero latera GB, BA, AG finc ut 3, 4, 5, eric illa 2 axis BV. 6. Praeterea fpatij NKVAN quadratura datur?). Pofito enim ang°. CGA 60 gr., erit fpatium illud aequale reétangulo ex axe BV, et ea quae poteft triplum quadratum ejufdem BV. Si vero latera GB, BA, AG fint ut 3, 4, 5, erit idem fpatium aequale feptuplo quadrato BV cum parte oétava. 7. Porro punéta quotlibet catenae inveniri poffunt, pofita quadratura curvae alterutrius harum: æxyy 50 44— 4ayy vel xxyy 50 444—x4, Vel etiam data diftantia centri gravitatis ab axe, in portionibus planis, quas abfcindunt reétae axi parallelae in curva harum priore *). Quadratura autem hujus curvae pendet a fummis Secantium arcuum per minima aequaliter crefcentium?): quae fummae ex Tabulis finuum egregio quodam adhibito compendio inveniuntur quamlibet proxime *). Hinc ex. gratia inventum quod fi ang. CGA fit reétus, et ponatur axis VB partium 10000; erit BA, 21279 non una minus. Curva autem VA per fuperius indicata **) cognofcitur hic effe partium 24142, non una minus. 5) Voir le $ VI de la pièce N°. 2625. D’après ce paragraphe, le rayon du cercle mentionné dans le texte égale V2 KV X VG; où, dans le cas / CGA—60°, on a, d’après le troisième théorème de la présente pièce, KV —BV. 5) Voir la note 8 de la pièce N°. 2668 et la sousdivision (£) du $ IV de la pièce N°. 2669. D’après ss PTE ms BV. 7) ue le$ V de la pe N°. 2625, d’après lequel l’aire en question est égale à l'expression : = arc. VA X VK +2 = arc. VA XKN, d’où les résultats numériques qui vont suivre se déduisent facilement au moyen des formules mentionnées dans les notes précédentes. #) Consultez la Ile partie de la pièce N°. 2668, à laquelle cette première partie de ce numéro 7 correspond. 9) VoirleS I de la pièce N°. 2634. 19) Consultez sur ce ,compendium” la lettre de Huygens à Leibniz du 16 novembre 1691. Œuvres. T. X. . 13 cette sous-division on a KN — 98 CORRESPONDANCE. 1691. In his omnibus non nifi ad cafus fingulares folutiones problematum dedi vitandae prolixitatis ftudio, et quoniam non dubito quin Regulas univerfales Viri doéti affatim fint exhibituri. Quod fi tamen aliquae ex noftris requirentur, eas lubenter mittam **), Ac jam pridem omnes apud Claris. virum G. G. Leibnitzium invo- lucro quodam obteétas depofui 3). Rogantur Viri Clariflimi, deque fcientiarum ftudijs quam optime meriti, ut quae de Problemate Catenae Bernouliano pagellis hifce expofui, fi digna vide- buntur cum caeteris quae Eruditorum cohors fuppeditabit in lucem edere velint. Ita jam pridem non uno nomine fibi obftriétum novo officio devinciar. CHR. HUGENIUM. D. Hagae Com. s Maj. 1691. #) Hafce inclufi literis eodem die ad Leïbnitzium datis [ Chr. Huygens]. 17) Il s’agit du deuxième théorème de la présente pièce. On a, en effet, d’après la formule de la note 3, pour le cas présent : arc. AV — en BV=(I1+1T 0) BV— 92,4142... BV. 2—1 12) On rencontre aux pages 128 verso et 129 recto du livre G des Adversaria le commencement d’un article, destiné pour les ,, Acta” ou plus probablement, puisqu'il est rédigé en Français, . pour l’,,Histoire des ouvrages des sçavans”. Dans cet article Huygens se proposait d'exposer »les voies qui (l'ont) conduit à (ses) découvertes” sur la chaînette. Nous reproduisons cet article inachevé, qui doit avoir été composé dans les derniers mois de l’année 1691, à la fin de la correspondance de cette année. *3) Voir les Lettres N°. 2623, du 9 octobre 1690, et N°. 2667, du 26 mars 1691. CORRESPONDANCE. 1691. 99 N° 2682. G. W. LeiBniz à CHRISTIAAN HUYGENSs. 27 MAI 1691. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle a été publiée par P. J. Uylenbroek *) et C. I. Gerhardt*). Elle est la réponse aux Nos. 2677 et 2680. Chr. Huygens y répondit par le No. 2693. “ A Hanover ce “ de May 1691. MONSIEUR Il y a quatre femaines que je fuis hors d’Hanover, ayant efté à Hildefheim, Wolfenburel, puis à Zel, d'ou je fuis retourné à Wolfenbutel, et y ay trouué voftre lettre #), qu’on m’auoit envoyé avec d’autres fuivant l’ordre. que j’auois donné de Zel. J'ay envoyé voftre inclufe à Meflieurs de Leipzig avec ma folution. Et il fera curieux de comparer nos folutions et celle de Mr. Bernoulli. Je n’ay pas encor repondu à voftre precedente S), parce que celle que j’auois écrite ‘) avant que de la receuoir, et à la quelle repond voftre derniere, y auoit fatisfait en partie. Quand j’auray refpiré un peu des diftractions du voyage dont les recherches dans les archives et Bibliotheques m'ont impofé la neceflité, j’envoyeray ma methode en echange de celle de Mr. Fatio. Ce que j'ay vû de la caufe de la pefanteur propofée par Mr. Varignon, ne me fatisfait pas non plus. C’eft comme s’il difoit, qu’une riviere avec la meme rapi- dité a plus de force quand elle eft plus longue, au lieu qu’à mon avis il ne s’agit que de l’endroit où le fluide opere?). Tout ce que donne M. Huet eft plein d’erudition, mais la matiere de concordia rationis et fidei eft bien delicate, et il eft difficile de fatisfaire en meme temps à la verité et à l’opinion, encor plus que de fatisfaire enfemble à la foi et à la raifon. J'auois efperé que: quelque habile Cartefien repondroit à la cenfure de Mr. l’'Eveque d’Auranches, mais ceux que j’ay vû rampent bien bas à mon avis et ne 1) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae. Fasc. I, p. 85. ?) Leibnizens Mathematische Schriften, IL, p. 94, et Briefwechsel, p. 651. 8 L’un des deux chiffres doit être fautif, Nous adoptons celui de la date dont Leibniz se servait ordinairement. 4) La Letrre N°. 2680. $) La Lettre N°. 2677. 5) La Lettre N°. 2676. 7) Voir la Lettre N°. 2677, note 11. 100 CORRESPONDANCE, 169 I, difent que des chofes vulgaires. Peterman *) à Leipzig, Sulliny ?) à Breme, et Schotanus chez vous *°). Il me femble que les Cartefiens ont fort dechàù et qu’ils n’ont pas trop d’habiles gens. Ce que vous avés remarqué, Monfieur, de la conftruétion de la courbe faite par reflexion du miroir concave, donnée depuis peu par Mr. Tfchirnhaus paroift fort vraifemblable, Car il a coutume d’aller un peu vifte, ainfi il fe peut qu’il n’ait pas connu au commencement la veritable conftruétion. Dans les Aétes de l’an 1682 **) il nous propofe une Merhode Generale d’ofter les termes moyens des equations. Elle l’a trompé parce qu’elle reuflit dans le 3 me degré; s’il en auoît voulu faire l’effay dans le cinquieme, qui n’eft pas encore donné, il auroit trouvé la difficulté. Je fuis avec zele etc. MoNsIEUR Voftre tres humble et tres obeiffant feruiteur LEIBNIz. #) Andreas Petermann, médecin né le 7 mars 1649 à Werblin, où son père était pasteur. Il étudia au gymnase de Halle et à l’Université de Leipzig. Il s'établit successivement en divers endroits comme médecin et finalement, après avoir acquis à Altorf le grade de docteur, à Torgau, où il rendit de grands services pendant la peste, dont il fut atteint lui-même. En 1688 il devint professeur extraordinaire, en 1691 professeur ordinaire en anatomie et chirurgie à Leipzig. Il publia divers écrits de médecine et de chirurgie et en 1690 l’ouvrage intitulé: Philosophiae Cartesianae adversus Censuram P. D. Huetii Vindicatio, autore D. Andrea Petermanno. Lipsiae, apud C. Meyerum, 1691, in-4°. . Il mourut à Leipzig le 5 août 1703. %) Sur Johann Eberhard Schweling et son écrit contre Huet, consultez la Lettre N°. 2678, note 3. 19) Johannes Schotanus a Sterringa, fils de Christiaan (voir la Lettre N°. 1 160, note 9), maître de philosophie, ensuite recteur au collège communal et depuis 1678 professeur de philosophie à l’Université de Franeker. I publia Johannis Schotani Exetasis Censurae qua P. D. Huetius Philosophiam Cartesianam inique vexavit. Franequerae, typis Johannis Gijselaer, 1697. in-8°. Il mourut le 5 mai 1699. 17) Lisez plutôt: 1683. Il s’agit de l’article cité dans la lettre N°. 2274, note 1 1. Dans l’article »Inventa nova, exhibita Parisiis Societati Regiae Scientiarum””, qui parut dans les ,, Acta” de novembre 1682, la ,methodus auferendi omnes terminos intermedios ex data aequatione” ne fut qu’annoncée provisoirement. < CORRESPONDANCE. 1691. 101 N° 2683. G. Curer à CHRISTIAAN HUYGENS. 5 JUIN 1691. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens Chr. Huygens y répondit par le No. 2684. Illuftri Viro CHRisTIANO HUYGENS a 6 Giss. CVPERVS. Proxima hyeme convenit me Ludolfus ) quidam, Matheteos in Germania pro- feflor, cognatufque Jobi Ludolfi *), qui tam praeclaram fibi famam, edita hiftoria fua Aetiopica peperit. Cumque me certiorem faceret, te legere equidem velle fummaria notarum, quas in opus illud auétor ipfe compofuit doétiflimas et ampliffimas, haud gravate illa a me tulit; nec dubito quin tibi tradita fint. Commentarium illum, donum viri amp{1]iflimi, ante dies aliquot accepi, fed cum fignificet, fummariorum me ante compotem faétum efle, et illa propterea com- mentario adjeéta non fint ; rogo te vehementem in modum, ut eadem ad me remit- tere velis, ne liber quantiuis pretii, et molis juftae mutilus fit: Vale vir Illuftris Hagae Com. 5 Jun. 1691. « 7) Voir la Lettre N°. 2641, note 1. ?) Hiob Ludolf, né à Erfurt le 15 juin 1624, étudia dans sa ville natale, voyagea pendant sept ans dans les Pays-Bas, l'Angleterre, la France et l’Italie et enfin en Suède et Danemarck, assista, comme secrétaire de la légation de Gotha, à la diète de Ratisbonne en 1652, occupa successivement diverses charges à la Cour de Gotha, voyagea avec le prince Albert de Gotha en 1673 et s'établit à Frankfurt sur le Main. En 1681 il devint chambellan de l’Electeur Palatin, mais continua de vivre à Frankfurt où il devint résident et conseiller de la Cour de Saxe. En 1690, il fut nommé Président du Collegium imperiale historicum. C’était un lin- guiste distingué, versé surtout dans les langues orientales, ainsi que dans d’autres peu connues telles que l’éthiopien et l’hottentot. On a de lui quantité d’écrits, entre autres sur l’histoire de l’Ethiopie, un Lexicon Aethiopico-latinum, une Grammatica Aethiopica et un Psalterium Davidis aethiopice et latine. I1 mourut à Frankfurt le 8 avril 1704. 102 CORRESPONDANCE. 1691. N° 2684. CuHRisTIAAN HuycEns à G. Cure. 6 JUIN 1691. Le leitre se trouve à la Haye,-Bibliothèque royale. La copie et la minute se trouvent à Leiden, coll. Huygens. La lettre est la réponse au No. 2683. Viro ampliflimo Giss. CUPERO Car. HUGENIUS nee LE à? Memini quidem Vir Ampliffime Ludolphum *) quem dicis, legenda mihi dediffe fummaria Commentariorum patrui fui?) in Hiftoriam Aethiopicam. Sed idem, nifi me ommis fugit memoria, Haga difcedens ea repetijt, Tibi nempe redditurus a quo habucrat. Itaque culpanda eft Viri focordia, fi id non praeftitit. Quod fi praeter commentaria ipfa doétiflima, quae te nuper ab auétore accepiffe fcribis, partem voluminis facere debet breviorem eorum, doleo id tibi abeffe ; quanquam minus defideranda videntur quae tantummodo argumenta compleétebantur rerum quae nunc explicata habes in opere ipfo. Erat autem ni fallor Erfurdienfis Profeflor Ludolphus nofter, fi fortafle per literas eum conveniendum putabit. Vale Vir praeftantiflime et Eruditiflime. Dabam Voorburgi 6 Jun: 1691. 1) J. Ludolf; voir la Lettre N°. 2641, note 1. 2) Voir la Lettre N°. 2683, note 2. : CORRESPONDANCE. 1691. 103 N° 2685. CurisTiAAN Huycens à P. BAYLE. 6 JUIN 1691. La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens. À Voorburg ce 6 Juin 1691. MONSIEUR Je vous rends graces tres humbles de m’avoir fait part de voftre defenfe contre les accufations de voftre Collegue *). Je les avois lues peu de jours auparavant, et je viens de revoir encore l’Avis aux refugiez®), qui à dire vray me paroit d’un ftile bien different du voftre, eftant efcrit avec un foin et une eftude plus grande qu’il ne convient a voitre genie, qui vous permet d’ecrire agreablement et avec facilicè. Je foupconnerois bien pluftoft M. Peliffon 5) pour eftre autheur de cet avis. Quant au projet de Paris dont on vous fait une affaire et que je n’ay pas encore vu, voftre raport ingenu, avec les moyens aifez de le verifier, ne laiffent aucune ombre de crime. Cependant ces malheureux differents vous font perdre bien du temps inutilement et ne fervent qu’a rejouir les zelez Catoliques Romains. Je m’eftonne que Mr. J. ne confidere pas le tort qu’il a fait tant a noftre Religion, pour la quelle il a tant combattu, qu’a luy mefme, en s’attirant des reproches fi terribles de la part de ceux de fon parti, par ce qu’il leur en fait le premier. I1 me femble que les Magiftrats devroient mettre ordre, que des accufations de la nature de celles qu’on vous fait, fuffent intentées devant eux, et non pas publiquement de- vant tout le monde par des ecrits et des libelles. Je fuis bien aife de voir fru@ifier vos foins dans les Eftudes de mon jeune neveu 4) qui eft heureux de vous avoir pour conduéteur et d’une capacité a en devoir efperer beaucoup. Je fuis tres veritablement &c. - ?) Pierre Jurieu, voir la Lettre N°. 2428, note 6. Bayle a publié plusieurs écrits pour se défendre contre les accusations de Jurieu, entre autres: Cabale chimérique de la chimère de la cabale de Rotterdam. ?) L’,,Avis important aux Réfugiés sur leur retour prochain en France, à Amsterdam in-12°.”, cité dans la note r de la Lettre N°. 2320. Jurieu a attaqué ce livre et son auteur présumé dans ses écrits: Examen d’un libelle contre la religion. La Haye, 1691, in-12°.; Nouvelle correction sur l’auteur de l’Avis aux réfugiés 1692, in-4°.; Factum selon les formes ou disposition d'épreuves contre l’auteur de l’avis. 1692, in-12°. 3) Voir la Lettre N°. 2185, note 1. 4) Probablement Constantyn Huygens, fils de Lodewijk Huygens, à Rotterdam. Voir la Lettre N°. 2018, note 3. 104 CORRESPONDANCE. 1691. N° 2686. CuaristTiAAN HuycEns à G. Meter. [JUIN 1691]. La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens. La lettre est la réponse au No. 2678. Clariflime Vir Die quinta praeteriti menfis ad D. Leïbnitzium literas dedi *), quibus et alteras addidi ad Celeberrimos Leiïpfienfium Aétorum auétores ?), fummam eorum conti- nentes quae circa Bernoulij problema quoddam de flexu Catenae meditatus fum. Cupiebam fafciculum eum tuae curae commendare, ut jam ante aliquoties fa@i- ravi; fed cum binis illis literis fcribendis tempus efluxiffet, non tantum fupereratut certijs te convenirem, deque ijs rebus refponderim de quibus in pofterioribus tuis agebas. Nunc hafce rurfus fidei tuae committo eidem Clariff.o viro infcriptas 5), cum praeter folicum diutius filere videam neque ad ea refcribere quae maxime refponfo indigebant. Vereor ne vel non acceperit literas meas, vel adverfa vale- tudine diftineatur, vel eae quibus mihi refpondit cafu aliquo interciderint. Venio ad tuas die 23 Aprilis datas, in quibus caufas interrupti ftudij tui geometrici inge- nue enarras, utque cum opera impenfa perierit, non fine culpa doétoris Cranÿ. Attamen cum non folum ames haec ftudia fed et aliquo ufque in iis profeceris, credere non poffum penitus ea te deferuifle, praefertim cum femel intelle@is prin- cipijs, poflint vel fine magiftri opera continuari, fintque ut non ignoras utilicatis fummae. De ftudijs porro ac contentionibus eorum qui Cartefianos fe dici volunt jam antea tibi affenfus fum#). Qui cum omnia viri illius ingeniofiffimi dogmata fe tueri poffe exiftimant plurimum mea fententia falluntur, idque in ijs quae nuper edidi de Luce et gravitatis caufa aliquatenus teftatus fum, quantum ad res Phyfi- cas. Dixi enim in phyficis plerifque capitibus exponendis erraffe mea opinione Cartefium quae fi recenferi tibi vis, dico ipfum erraffe in regulis motus corporum collifione, in vorticibus caeleftibus, in caufa cometarum, in magnete, in caufis refractionis et colorum, in parelijs, in lucis expanfione momentanea, multifque alijs; fed et in geometricis quoque eum non nullibi impegifle; in metaphyficis vero, nec Exiftentiam Dei neque animae immortalitarem unquam mihi demon- ftraffe vifum. Hinc fatis intelligi puto Vir Eximie, quid refponfurus fim ad id 1) La Lettre N°. 2680. ?) La pièce N°. 2681. 3) Nous ne connaissons pas cette lettre de rappel de Chr. Huygens à Leibniz, et estimons pro- bable que, de même que la lettre N°. 2686, elle n’a pas été envoyée. Comparez la Lettre de Christiaan Huygens à G. Meier de novembre 1691. 4) Voir la Lettre N°. 2666. CORRESPONDANCE, 1691. 105 quod quaefivifti, an ejufmodi effe judicem Philofophiam Cartefij ut in Scolis publice privatemque doceri poflit. Equidem neque hanc neque Ariftotelicam neque ab uno quopiam autore deno- minatam invehi vellem, fed unius veri ratione haberi, ita ut a fingulis ea fumantur quae optima ac rationi convenientiflima cenfebuntur. Nihil autem magis obeffe videtur philofophicis ftudijs, quam fi in formam fyftematis redigantur, unde rerum omnium caufae quafi jam compertae depromantur. Vix enim ullas fatis adhuc tenemus, neque proficere inquirendo poffumus fi, quod nefcimus, fcire nos arbitre- mur. Huetij Cenfuram legi cum primum prodijt, ab ipfo auétore mihi miffam 5), in qua non pauca probari mihi memini, fed et aliqua notavi quibus refponderi poflit. Nihil tamen haétenus vidi ab ullo editum qui hanc fibi provinciam detegerit. Itaque lubenter ea videbo quae Swelingium veftrum commentatum fcribis#).Quod autem Cartefium intelligi pofle abfque mathefeos peritia idem vir do&tus affirmat, non prorfus affentior; non enim plane hofpes in his ftudijs effe debet qui vel hujus philofophi placita cognofcere cupit, vel aliquid in naturae contemplatione operae pretium facere. Nam praeterquam quod tota phyfice ad mechanicas rationes quantum fieri poteft, deducenda eft, nemo ingenium ei ftudio aptum habebit, qui non et Geometricae aptum habuerit, neque evidentiflimis illius demonftrationibus veritatis fincerae guftum perceperit. ras AaBas #x yes dicebat philofophus®) ut fcis cuidam &yswmerpyrw. Sed de his haétenus. Priufquam vero te dimittam vir humaniflime, eft quod rogem et in quo operam tuam mihi commodari cupiam. A@a illa Eruditorum Lipfienfium fero femper ad nos deferuntur, ad minimum bimeftri fpatio poftquam in lucem prodierint. Saepe autem quae illis inferuntur citius videre mea intereft, Quamobrem fi quo paéto eflicere poffes ut ea maturius nancifcar nautarum aut tabéllariorum opera qui iftinc Amftelodamum proficif- cuntur, faceres mihi rem gratiflimam, nummos vero impenfos cui jufferis nume- rabo, et veéturae mercedem etiam folita majorem. Vale. Cum ad me fcribes, quo minus aberrent epiftolae ac ruri euntem inveniant, hac infcriptione quaefo utere : in ’t noordende naeft de Crabbe. Huycens Seigr. de ZELHEM. #) A@a Lipfienfia an maturius haberi poffint | Chriftiaan Huygens]. 5) En 1689; voir la Lettre N°. 2553. 5) Xenocrate, disciple de Platon, né à Chalcedon, 396 avant J.C. Diogenes Laertius (IV. 2. 10) rapporte de lui qu’il congédia une personne, qui voulait suivre ses leçons sans avoir appris ni la musique, ni la géométrie, ni l'astronomie, en lui disant: ,;wogerov, lafas yàg oùx Eyers prhocopias”. Œuvres. T. X. . 14 106 CORRESPONDANCE. 1691. N° 2687. M. van VELDEN*) à CHrisTiAAN HuyGEns. 19 JUILLET 1691. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle a été publiée par M. l'Abbé Monchamp”). 19 Juli 1691. Iuftrifime ac Nobilifime Domine Egregia Animi tui benignitas ac liberalitas, qua me, anno circiter abhinc, in Hofwijk propè Hagam excepifti, et elegantiflimo tuo Horologio ofcillatorio ho- 1) Martin van Velden, fils de Jacobus van Velden, avocat ordinaire de la ville de Leiden, et de Helena Capelman, naquit à la Haye, où il fut baptisé dans l’église des Jésuites, le 27 décembre 1664. À l’âge de 17 ans il fut inscrit au collège du Faucon de l’Université de Louvain. Deux ans après il fut reçu bachelier en droit canonique et en droit civil. Mais déjà dès l’année pré- cédente il était professeur primaire au collège du Faucon, une des quatre Pédagogies de l'Université, dont chacune comptait deux profésseurs primaires et deux professeurs secon- daires. Il fut depuis nommé professeur royal de mathématiques, dans la chaire occupée jadis par G. van Gutschoven. Il se signala comme adhérent des idées modernes et comme ;,fa- mosus in experimentis physicis”, de sorte qu’un conflit avec ses collègues péripaticiens et ultramontains était à peu près inévitable. Ce conflit se produisit, en effet, au commencement de 1691, lorsque van Velden voulut faire défendre par ses élèves deux thèses, dont la seconde: »Indubitatum est systema Copernici de planetarum motu circa solem: inter quos merito Terrs censetur”, fut jugée dangereuse par la Faculté. Refusant de la retirer, van Velden fut condamné à une amende, puis à l'exclusion pour trois mois de la Faculté. Van Velden prit son recours au Conseil de Brabant, duquel il eût probablement obtenu la cassation de la suspension, sans l'intervention de l’Internonce à Bruxelles, J. Piazza, abbé de St. George. Celui-ci, quoique blàämant la conduite de van Velden, lui avait déjà déclaré n’avoir pas d’objection contre la thèse lorsqu'elle serait rédigée ainsi: ,Indubitable est le système de Copernic touchant le mouvement des planètes autour du Soleil, à bon droit on répute la Terre une planète”, pourvu que van Velden déclarât que, par cette assertion, il ne voulait con- tredire aucun décret, ni aucune bulle pontificale. Mais les députés de la Faculté de Louvain réclamèrent de l’Internonce une décision plus rigoureuse, que celui-ci rendit en ordonnant à van Velden de retirer sa thèse. Van Velden fut obligé de se soumettre; maïs quelques mois plus tard il fit imprimer une triple série de thèses sur la Logique, la Physique et la Métaphysique, à l’une desquelles il ajouta un corollaire affirmant le système de Copernic: Cette publication fut cause d’un second procès, dans lequel intervinrent de nouveau l’Inter- nonce, le Conseil de Brabant et cette fois aussi le Conseil Privé. On trouvera tous les détails de ce procès dans l’écrit que nous citons dans la note 2 de cette lettre. Ce fut une longue suite d’intrigues et de querelles de plus en plus envenimées, qui, cette ee: encore, força van Velden de retirer sa thèse et ne se termina qu’en 1692. Van Velden toutefois conserva sa chaire et continua de professer le système de Copernic. En 1695, il fit imprimer un nouveau placard contenant des thèses sur toute la philosophie, CORRESPONDANCE. 1691. 107 norafti, audaciam mihi dedic, otium tuum feduliffimum, importunis hifce literis interpellandi. Thefin hic edidi Philofophicam 5), cujus exemplar oftendet Frater meus #) harum lator, et in quâ Recentiorum Veftigia, et praefertim Tua tanquam magis probata fequi conatus fum: Hanc invida ftatim Peripateticorum manus laceravit: ac fimul ejufdem fortis Theologos eandem ut profcriberent, incitavit. Hi, Curiae Romanae fervi, gratiam illius quo facilius aucuparentur et deftinatum finem felicius obtinerent, aggrefi potiffimum funt Corollarium Phyfices, ubi citan- tur verba Godeau Hift. Ecclefiaft.s) ad Ann.Chr. 748 referentis, Syftema Copernici licet adverfus Galilaeum fub Urbano VIII. condemnatum, idem tamen eundem Ur- banum defendiffe ac fuftinuiffe &c.®) Theologi noftri, querelis admodum iniquis, citationem iftam tanquam Romanae fedi fumme injuriofam apud Internuntium?) Bruxellis morantem detulerunt, tantaeque proterviae et temeritatis exemplum in- figne in me ftatui petierunt. Lubes iis obfecutus eft Internuntius, et ad Reétorem Univerfitatis ®) fcripfifle fertur (ipfo Reétore ità jaétante) ut Decretum Appre- dans l’une desquelles il défend explicitement le système du Monde de Descartes, c’est-à-dire le mécanisme imaginé pour expliquer le système de Copernic. En 1709, il fut installé -Chanoïne de St. Lambert à Liège. 11 mourut dans cette ville en 1724, à l’âge de 60 ans. ?) Galilée et la Belgique Essai historique sur les vicissitudes du système de Copernic en Belgique (XVIIe et XVIIIe Siècles) par le docteur George Monchamp, prêtre du diocèse de Liège, Lauréat de l’Académie royale de Belgique, Professeur de philosophie au séminaire de St. Trond. Saint-Trond, Imprimerie-librairie de G. Moreau-Schouberechts, rue de Diest. 1892. in-8°, à la page 33 et suivante des Pièces justiticatives. 3) M.Monchamp ne donne pas le titre de cet écrit qui paraît s'être perdu et dont on ne connaît le texte que par les passages cités dans les pièces du procès. 4) Van Velden avait quatre frères: Grégoire Jean, baptisé le 14 février 1667, Ignace Gérard baptisé le 31 décembre 1668, François Xavier, baptisé le 15 juillet 1670, et Pierre Joseph, baptisé le 26 mars 1672, qui tous, à cette époque, se trouvaient sous la conduite du Jésuite Charles van der Burcht. . S) L'histoire de l'Eglise de A. Godeau, évêque et seigneur de Vence, né à Dreux en 1605, mort à Vence lé 21 avril 1672. Une réimpression de cet ouvrage avait paru à Bruxelles en 1687 en six volumes in-12°. 5) On trouve le passage cité par Van Velden à la page 238 de l’ouvrage de M. Monchamp. Ce qui dut le rendre particulièrement agressif, fut la phrase suivante: ,Le Pape Urbain, comme nous avons dit, et comme il paroïst par une de ses Odes, estait de l’opinion du mouvement de la Terre, mais comme par sa nouveauté elle choquoit tout le monde et estoit en apparence contraire à quelques passages de l’Ecriture Sainte, que toutefois il est facile d’expliqueret qu’en effet on a expliquez, il creut devoir faire cette censure ; qui fut pourtant plûtot poli- tique qu’apostolique.” 7) Julio Piazza, originaire de Forli, abbé de St. George. Il fut internonce de 1690 à 1696, et reçut le chapeau de cardinal en 1712. #) Thomas Stapelton, prêtre irlandais, Président du collège de Milius (collège de Luxembourg), depuis près de 35 années docteur en droits et professeur à la Faculté de Droit. 108 CORRESPONDANCE. 1691. henfionis corporalis et in carcerem conjeétionis, contra omnem juris ac juftitiae formam, exemplo inaudito, à Reétore adverfus me datum, executioni mandaret: et cafu, quo fatis fortis non effet, pollicicus eft, Excell. D.num March. de Caftanaga?) harum provinciarum Gubernatorem, adjunéturum militum aliquot cohortes, idem ut exequerentur. Interea more hifce in locis confueto, adverfus infultus tam atroces Concilio Brabantiae exhibui libellum fupplicem. Sed periculum eft, ne in- ftinétu Internuntii, ejufdemque, quâ apud Gubernatorem pollet, auétoritate, caufa haec Lovanium dijudicanda, hoc eft à juratis meis hoftibus damnanda remittatur. At vero, remedium eflicax huic malo ni ftatim opponatur, aétum planè hic eft de Philofophià Recentiorum. Nam ego (quod parum eft) fi fuccumbam, nemo pofthâc fibi cutum credet, vel Copernici, vel Cartefii, vel Hluftriflimi etiam Nomi- nis Tui alteriufve novi ac doëti Philofophi, mentionem facere. Suppliciter itaque nomine omnium Veritatem ac libertatem amantium, Te precor, ut caufam hanc nobiliffimo Domino Fratri Tuo, qui Potentiflimo Britanniarum Regi à Secretis eff, litterulâ aliquâ commendare digneris. Ille enim pro fingulari fu prudentià et auétoritate quâ hic valet, alterutrum facile impetrabit, ut vel negotium hoc, in Con- cilio Brabantiae more confueto examinetur; vel Univerfitatis Reétori, ne ob Thefin aded innocentem et purè philofophicam, in mei aut reétae Philofophiae detrimen- tum quidquam ftatuat, mandetur. Raptim haec fcripta funt; neque tempus patitur, ut indignum hunc procedendi modum, quem Inquifitione Hifpanic aut Italicâ pejus odi, fufius explicem. Intereà vero [luftriffimum D.num Fratrem Tuum in exercitu convenire non differam, ac totam rem ei exponere. Vale Vir Speéta- tiflime, et laboranti hîc Philofophiae fuccurre, meamque arrogäntiam atque im- portunitatem boni confule. Sum etenim Admirabilis Ingenii Tui, Bruxellis. 10. July. 1691. Cultor devotiflimus MARTINUS VAN VELDEN. 9) Don Francisco Antonio de Agusto, marquis de Gastanaga, gouverneur et capitaine général des Pays-Bas depuis le 30 décembre 1685, jusqu’au 26 mars 1692. 11 mourut à Barcelona en novembre 1702. CORRESPONDANCE. 1691. 109 2688. G. W. LeiBniz à CHRISTIAAN HuycEns. 24 JUILLET 1691. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle a été publiée par P. J. Uylenbrok*) et C. I. Gerhardt *). Elle fait suite au No. 2682. Chr. Huygens y répondit par le No. 2693. A Hanover ce : de Juillet 1691. MONSIEUR Il ya plufieurs femaines, que je Vous ay écrit de Wolfenbutel, que j’y avois receu votre lettre avec la folution de la ligne catenaire enfermée dans une lettre pour Mefieurs de Leipzig, et que je n’avois pas manqué de la leur faire tenir. Depuis j'ay attendu à vous écrire de nouveau jufqu’à ce que j’ay receu le tout imprimé dans leur mois de Juin, ou vous trouverés, Monfieur, voftre folution avec celle de Monfieur Bernoulli et la mienne 3). J’ay pris plaifir de voir qu’on s’eft rencontré. Cela nous affeure de ne nous eftre pas mépris au moins dans le fonds; il eft vray que je n’ay pas eu le loifir de faire une comparaifon exaéte, neantmoins ayant vü, que plufeurs conclufions s’accordoient, j'en juge autant des autres, ou s’il y a quelque faute (quoy que je n’en aye point remarquée) il ne fera pas difficile de la * redreffer. J’ay aufli cherché quelques uns de vos cas particuliers par mon calcul, et il m’eft venu la meme chofe. Ainfi je m’imagine qu’il y a de l'accord. J’efpere que Monfieur Bernoulli fera une plus exaéte comparaifon ; et comme il employe ma methode, je prends part à ce qu’il a fait. Luy et moy nous avons reduit le pro- _bleme à la quadrature de l’Hyperbole, nous avons donné tous deux non feulement les tangentes et l’extenfion de la courbe, mais aufli le centre de gravité de la courbe, et moy jy ay adjouté le centre de gravité de l’efpace. Nous avons donné tous trois les tangentes et l’etendue de la courbe. Mons. Bernoulli s’eft ren- contré avec vous Monfieur à penfer à la courbe dont l’evolution fert à defcrire la ligne catenaire, et il a remarqué la deflus de fort jolies chofes. De forte qu’il me femble, qu’il a tres bien fait. Cependant il eftoit bien eloigné, il y a deux ou 1) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, p. 87. 5) Leïbnizens Mathematische Schriften, Bd. IL, p. 95 et Briefwechsel, p. 652. 3) Voir, sur ces trois solutions, la pièce N°. 268 1, note 1. 110 CORRESPONDANCE, 1691 : trois ans, de fe promettre quelque chofe de cette nature, avant qu’il s’eft façonné à mon calcul, comme il avoue luy même. Avec tout cela fes conftruétions font fort differentes des miennes. Car il fe contente de fuppofer la quadrature de l’Hyperbole ou l’extenfion de la courbe parabolique, et moy j’ay reduit le tout aux Logarithmes, tant parce qu’ainfi tout vient d’une maniere tres fimple-et tres naturelle (tellement que la courbe catenaire femble eftre faite pour donner les Logarithmes) que parce qu’ainfi je puis trouver par la Geometrie ordinaire une infinité de points veritables, ne fuppofant qu’une feule proportion conftante une fois pour toutes, qu’on ne fcauroit donner jufqu’icy Geometriquement que par l’etendue d’une courbe, ou quelque chofe de femblable, au lieu qu’autrement on eft obligé à chaque point de la courbe qu’on demande de recourir aux voyes extraordinaires. Ne fcachant point, Monfieur, fi vous avés deja receu le mois de Juin de Leipzig, je mettray ici l’abregé de mon ( Z) difcours en peu de mots. FCA (C) G la catenaire, et Z £ A (£) CZ) la Logarithme. On À prend AO et ZW en raifon S \ÿ @) et K +), conftante et perpe- F tuelle, une fois pour toutes les = "2e lignes catenaires et pour tous Fa leur points. Faifant OW — ee. O(W)=AO. EtpuisentreAO —# fc) et WZ, item entre AO et a P $ pe (W)CZ)({uppofant(W)CZ) s AO et WZ en progreflion IN Geometrique continuelle) on KS CP met pour ordonnées comme | K S NE ou (NICE) autant de il & moyennes proportionnelles Ë qu’on veut; pour decrire la courbe logarithmique ZE£A (£) (CZ). Or pofant ON et : OCN) egales, NC ou OB ou mi À (4 (47 (w) 6& à noel arithmetique entre NË et (N) (£) (dont la moyenne Geometrique eft AO parametre de la catenaire). Aïnfi la courbe cate- 4) Comme on verra dans la note 6 de cette lettre, la raison S:K—OA:ZW n est autre que le nombre e, base du système des logarithmes népériens. CORRESPONDANCE. 1691. 111 naire fe conftruit fort bien par les Logarithmes, et fi elle fe fuppofe conftruite par le moyen d’une chainette, elle fert à donner les Logarithmes fans calcul, ex dato numero, ou bien numeros ex dato Logarithmo 5). Voicy le refte des pro- prietés je fuppofe OR — OB et que G, P,Q font les centres de gravité de CA (C), AC, AONCA. OR — AR = N£, OR + AR = (N) (£). Triangula OAR et CBT funt fimilia (ou bien EAT ); AR = AC; dw—CA(C)=—bis AC. Rectang. RAO = Spat. AONCA; 08: OA: : BC: AR, O9 + OB— bis OG— — quater Of; et AE = GP — RQ. Je n’ay pas expliqué quelle doit eftre la proportion de K à S ou de WZ à OA; mais vous jugerés aifement, Monfieur, qu’ AO doit eftre egale à la fouftangentiale (comme vous l’appelés) de la logarithmique, et que par confequent, pofant OW = AO, la raifon de AO à WZ eft toujours la même et determinée®). Ainfi toutes les logarichmiques aufli bien que toutes les catenaires font femblables ou d’une mefme efpece. J'ay donné encor quelque chofe dans le mois precedent, ou j’ay redreffé quel- ques fauces7) de mon vieux effay de refiftentia medii; j’ay aufli rendu juftice à vôtre feries pour l’Hyperbole qu’on a eu tort de dire la même avec celle que j’avois donnée autre fois). Je me fuis auffi fervi de l’occafion pour expliquer la ligne loxodromique, ou des rumbes par les logarithmes ?), ce que j’avois trouvé j 5) Consultez, sur ces constructions et sur les théorèmes divers qui vont suivre, la solution de Leibniz, citée dans la note 1 de la pièce N°. 2681, où ils se trouvent exposés plus explici- tement. 5) Posant OA —4, O(N)= x, (N) (E)—7, on a, d’après la définition de Leibniz y R— 4, æ d’où il suit y — #e + C’est donc là l’équation de la logarithmique Z (Z) qui a servi à la construction de la chaînette et, puisque OW—#7,o0ona OA: WZ—aige-1—=e:1. Quant à la chaînette elle-même, la construction NC —3 (NE (N)(E) ) amène immédia- tement son équation analytique bien connue y—3 4 e*— e “/. Ainsi, la solution de Leibniz se distingue-t elle de celles de Huygens et de Bernoulli surtout en ce point qu’elle fait connaître presque explicitement cette équation analytique. 7) Voir,sur l’,Additio ad schediasma de medii resistentia”, qui parut dans les Acta d'Avril 1691, les Lettres N°. 2659, note 4 et N°. 2664, note 5. 8) Voir la Lettre N°. 2636, aux pages 550 et 551. 9) Voir l’article de Leibniz des ,, Acta” d'Avril 1691, cité dans la note 14de la Lettre N°. 2636. Nous reviendrons sur cet article dans une note de la lettre de Leibniz à Huygens du 21 sep- tembre 1691. ; 112 CORRESPONDANCE. 1691. il y a plufieurs années. Mais la catenaire m’en avoit fait reflouvenir. Aufli fçait-on (ce me femble) que la chofe fe reduit à la fomme des fecantes appliquées à l’arc . dont vous avés remarqué Monfieur dans vôtre folution que la catenaire depend auf. Mons. Bernoulli y a joint aufli dans ce dernier mois, la confideration de - la Loxodromique *°). Mais il ne s’eftoit pas apperçu, que la Loxodromique fe reduit à la quadrature de l’Hyperbole, ou aux Logarithmes où [ou ] à la Ca- tenaire. Je voulois écrire il y a plus de trois femaines, pour envoyer ma folution que Mr. Fatio demande, Mais j’ay trouvé que vos lettres eftoient reftés à Wolfenbutel. Car comme j’y vay fouvent, jy ay un logis, où je laifle plufieurs papiers, mais les voftres y eftoient reftés par megarde. Et je n’ay pas voulu me hazarder fur ma memoire. Ainfi je ne puis fatisfaire à ma promeffe que dans quelques femaines, quand je feray à Wolfenbutel. Cependant je fuis avec ardeur MONSIEUR Voftre tres humble et tres obeiflant ferviteur LEIBN1IZ. 19) Il s’agit d’un article de Jacques Bernoulli qui parut dans les ,, Acta” de juin 1691 sous le titre »Specimen alterum calculi differentialis in dimetienda Spirali Logarithmica, Loxodromiis Nautarum, et Areis Triangulorum Sphaericorum : una cum Addimento quodam ad Problema Funicularium, aliisque, per I. B. Ajoutons que l’,,Additamentum”, mentionné dans le titre, contient une extension du pro- blème de la chaînette à quelques cas où la densité varie suivant une loi connue et au cas où la chaînette est supposée extensible, CORRESPONDANCE. 1691. 113 o N° 2680. CHRisTiAAN HuyGEens, à ConsrTANTyN Huycens, frère. 26 JUILLET 1691. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle a été publiée par Monchamp *). A Hofwick ce 26 Jul. 1691. Ce n’eft pas pour croire que ma recommandation produira beaucoup d’effet que je l’emploie auprès de vous, mais parce que je n’ay pu la refufer a l’inftante priere de celuy qui vous fera tenir cette lettre. C’eft un Profeffeur a Louvain natif de la Haye, nommé van de Velde, qui m’eft venu voir il y a un an, et m’a paru bien fcavant en Philofophie. Depuis peu il a publiè et fouftenu des Thefes, ou il n’avance pas feulement les fentiments de Des Cartes, et la mobilitè de la Terre fuivant le Syfteme de Copernic mais il reprend outre cela un peu libre- ment l’inutilitè de la Philofophie Scolaftique, ce que quelques uns de ces anciens docteurs ne pouvant fouffrir, ils l’ont accufè aupres de Mr. le Nonce du Pape qui eft a Bruxelles, a fin de le faire agir aupres du Reéteur de l’Univerfitè pour faire mettre en prifon noftre Philofophe qui pourroit ainfi devenir martyr de la doctrine Cartefienne. Il a eu recours jufqu’icy au Confeil de Brabant ou il a pre- fencè requefte contre le decret de prife de corps qu’on avoit obtenu. Mais comme il apprehende furtout que le Marquis de Gaftanaga ne prefte main forte a fes ad- verfaires, qui l’en follicitent par l’authoricè de l’Internonce, il a creu que Mr. le Marquis venant quelques fois faire fa cour au Roy dans voftre Armée ?), vous pourriez avoir occafion de luy dire un mot en faveur de luy Suppliant a fin qu’il fuft delivrè de cette perfecution. Voiez je vous prie s’il y aura moien de faire quelque chofe en fa faveur, et jugez qu’il doit eftre bien en peine de fa perfonne puis qu’il vient rechercher une prote&ion fi eloignée 5). Je crois que tant Mr. le Marquis de Gaftanaga, que vous, avez bien d’autres chofes a penfer; prefente- 7) Dans l'ouvrage cité dans la Lettre N°. 2687, note 2. ?) Constantyn Huygens, frère, se trouvait à l’armée auprès du roi Willem in, dans les environs de Charleroi. 3) Van Velden n’arriva au camp chez Constantyn Huygens que le 9 août au soir. Ce dernier nota dans son journal: ,,Le soir un professeur de Louvain vint chez moi, m’apportant une lettre de frère Christienn. Il était persécuté pour quelques thèses, qu’il avait faites en faveur de la nouvelle Philosophie. [1 voulait que le roi, ou du moins moi, parlerait ou écrirait au marquis de Gastanaga.” Œuvres. T.X. 15 114 CORRESPONDANCE. 1691. ment, que ce que difputent entre eux les Philofophes, car on dit que dans peu il pourroit y avoir bataille entre les deux Armées. Dieu veuille, qu’elle foit heureufe, et que nous vous puiflions revoir, fain et contant #). A Monfieur Monfieur DE ZuLicHEM Secretaire du Roy de la Grande Bretagne A l'Armée. N° 2690. Jac. BERNoULLI. JUILLET 1691. La pièce a été publide dans les Acta Eruditorum ”). J. B. Demonftratio Centri Ofcillationis ex Natura Vectis, reperta occafione eorum, quae fuper hac materia in Hiftoria Literaria Roterodamenfi re- cenfentur, articulo 2. menf. Jun. 1690). Ante decennium eruditus quidam Gallus Iluftriss) Æugenii do&rinam de Centro Ofcillationis labefaétaturus fuppofuit, celeritatem totalem penduli compofiti æquari lummae celeritatum partium ejus [eparatarum. Ego Hugenii aliquanto poft fuf- cepta caufa, principii hujus falfitatem ex natura veétis demonftravi #), juxta quam perpetuo partem celeritatis penduli in ipfo axe confumi & deperdi neceffum fit; quod tum fufficere poterat ad paralogifmum Adverfario oftendendum. Ideoque cum eadem opera determinare volebam, quanta præcife celeritatis pars in axe abfume- retur, accidit mihi, ut rem quam præter infticutum effe judicabam, paulo negli- 4) La campagne se termina sans bataille; Constantyn fut de retour à la Haye le 21 sep-. tembre 1691. *) Dejuillet 1697, pages 317 et suiv. ?) Il s’agit des pièces Nos, 2605 et 2606. 3) L’abbé de Catelan; voir la pièce N°. 2260. +) Voir la pièce N°. 2426. CORRESPONDANCE. 1691. 115 gentius curarem, indeque in calculum inciderem ab Hugeniana Propofitione abludentem, quod fufpicari me fecir, diverfam effe rationem veétis, cujus alterum fulcrum fit in motu, quam quæ eft ve&tis ordinarii: id quod tunc quidem aliis dif- cutiendum reliqui, ipfemet vero materiam hanc ab eo tempore prorfus fepofui. Interea præluftris & generofus quidam Vir, qui avitæ Æ/o/pitaliorum gloriæ nunc infuper fcientiarum literarumque decus eximium addit, re maturius perpenfa obfervavit 5), huic meo principio e vulgari veétis natura defumto apprime cum Hugeniano calculo convenire, inque eo duntaxat peccatum a me effe, quod celerita- tem penduli acquifitam confiderarim, cum nafcentis tantum ratio habenda fuiffet. Cujus correétionis certior per literas faétus Æwgenius approbavit methodum®), fed dificilem eandem pronuntiat, & quædam haud fatis evidentiae continere afferit: veluti, quod celeritas vel quantitas motus penduli initialis, non acquifita fpeétanda fit; quod diftribuendus ejus exceffus eo modo quo fecimus, & quod in pendulo crium pluriumve ponderum fulcrum veétis refpeétu unius ponderis concipiendum fit in centro ofcillationis reliquorum: miratur denique cum illuftri Æo/pitalio, quod Propofitionis fuæ veritatem, quam modo agnofcere videbar, calculo meo dubiam reddere coner. Ad quæ fequentia notanda habeo: Primo, miror mirari Viros acutiflimos, cum verba mea fatis clare innuant, ex calculi iftiusab Æugeniana hypothefi diffenfu inferre me voluiffe potius, peculiarem ut jam dixi in ofcillatorio veéte obtinere communicationis motus legem, quam diétam hypothefin ullatenus fufpeétam reddere; quanquam, fi verum fateri licet, nondum a me obtinere poflum, ut hujus veritatem vel in Axiomatum numero habeam, vel ab Hugenio fatis in propatulo conftitutam arbitrer, eo præfertim cafu, quo pondera du- rante motu fuo mox inter fe connexa, mox foluta fupponuntur ?). Secundo,ratio cur cele- ritas penduli initialis, non acquifita, fpeétan- da fit,attendenti obfcu- ra effe nequit, nec mihi fuiffet olim, fi vel mo- mentum fpeculationi inhæfiflem diutius: In- C B o & G 5) Voir la pièce N°. 2605. 5) Voir la pièce N°. 2606. 7) Allusion à la Prop. IV de la ,,Pars Quarta” de l’,,Horologium Oscillatorium”. 116 CORRESPONDANCE. 1691. teiligantur pondera quotvis B,C, D, E, virga inflexili AB connexa, junétim defcen- dere in perpendicularibus, ut ante hac fuppofui: celeritates quas acquirunt eo momento quo perveniunt in H, I,K, L, funto HM, IN, KO, LP, quæ cum pro- portionales effe debeant ob commune vinculum ipfis ponderum diftantiis ab axe AB, AC, AD, AE, fequitur, virgam cui implicata funt ipforum defcenfui cum his celeritatibus continuando nihil afferre alterationis, & propterea nullum pondus haétenus in alterum quicquam de motu fuo transferre. Supereft ergo folus gravi- tatis impulfus, qui quolibet remporis inftanti acquifitis celeritatibus de novo fuper- additur, qui alterationem patiatur. Repræfentetur hic, (cum omnibus corporibus æqualis imprimatur) per æquales lineolas MQ, NR, OS, PT, quæ quidem refpectu celeritatum acquifitarum HM, IN, KO, LP, uti hæ ipfæ refpeétu fpatiorum per- curforum BH, CI, DK, EL, habendæ pro incomparabilitér parvis, fic ut hæc cria QM, MH, HB, habeant fe quodammodo, ut linea, fuperficies & corpus. At vero ob interpofitam virgam fieri nequit, ut pondera fimul fint in punétis Q, R, S &T, hoc ef, in reéta QT parallela ipfi MA; quin potius in direétum jacere debent cum axe À, fecundum reétam VWXY, adeo ut cum pondera axi propiora terminos fuos S & T nondum attigerunt, remotiora fuos Q & R jam præterierint, parte refidua virium gravitatis-ab illis in hæc tranflata, parte in axe abfumta. Tertio, in pendulo trium pluriumve ponderum centrum ofcillationis omnium excepto uno confiderat Æo/pitalius ceu fulcrum refpeétu reliqui. Hoc quia inevidens judicat Hugenius (quanquam verum deprehendam) & præterea quia ad demonftrationem aliter quam per induétionem inftituendam parum aptum, malo rem invertere, & pondus duntaxat extimum habere loco fuleri, quod ferat reliqua pondera omnia fuis quæque locis veétem urgentia. Quarto, diftributio feu tranflatio quantitatis motus (olim folas celeritates confideravi, quia pondera fuppofui æqualia) nihil obfcuritatis habere tandem poteft, fluitque ex natura veétis ordinarii : nimirum ponderis D incrementum celeritatis extra virgam eft OS, in virga tantum OX, refiduum XS, quantitas ergo motus transferenda tum in axem tum in pondus exti- mum DXxXS *); unde AB eft ad AD, ficut DXXS ad rai portionem quan- titatis motus transferendam in folum pondus B: Similiter portio, quam de motu fuo pondus E in pondus B tranfmittit, eft - Le At pondus C, quod majus celeritatis incrementum in virga quam extra virgam accipit, motui ponderis B : k : i CxACxWR contraria ratione adimere cenfendum eft portionem RIT: GR Eft verototum incrementum quantitatis motus, quod ponderi extimo B a reliquis ponderibus 5) L’imprimé des ,, Acta” a remplacé, ici et dans les formules qui suivent, le signe X par x. CORRESPONDANCE, 169 I, 117 accedit, præter id quod a propria gravitate nancifcitur, BXVQ: tandem fit Z in- terfeétio reétarum QT, VY, & ducatur GZ parallela reétis BV, CW, &c. Quibus pofitis centrum ofcillationis fic invenitur : Per hypothefin & ex natura vectis eff, cr re nas Sn HN : 4 A à æquemulti- plicando &addendoerit,EXAExYT+DxADxXS—CxACxWR +BxABxVQ feu (quia YT, XS, WR, VQ, ipfisZV,ZX, ZW, ZV, vel ipfis GE, GD, GC, GB, proportionalia) EXAEG ?)+DxADG=CxACG+BxABG, addirifque utrique parti tum EXAE7+DxADg, tum CxCAG+BxBAG, fier EXEAG+DxDAG +CxCAG + BxBAG—=EXxAEg + DxADg + CxACg + BxABg; unde tan- dem AG = er RC Del REC Si quædam pondera ultra axem ex adverfa parte conftituta fint, eadem pro AG invenitur quantitas, nifi quod membra denominatoris ponderibus iftis refpondentia fiant negativa. Jam vero pun@ti G a virga ponderibus B, €, D & E gravata abrepti & per rec- tam GZ defcendentis, incrementum celeritatis, cum pervenit ad F, neceffario eft FZ, quæ eft æqualis, ob Parallelogrammum FQ, ipfi MQ vel NR &c. incremento fcil. velocitatis, quod pondus quodlibet feparatim defcendens a propria gravitate acquirit; quod cum fimiliter valeat in omnibus fpatii GZ partibus, fequitur, fpa- cium iftud, hoc eft, angulum GAZ eodem tempore pertranfiri a virga, five omnibus ponderibus B, C, D & E, five unico tantum pondere in G gravata, & proin G fore centrum ofcillationis, quod itaque repertum eft. Neque variat demonftratio pro pendulo ordinario, cui pondera ita inhærent, ut per arcus circulorum defcendere cogantur:cumque reperta quantitas ÀG eadem fit cumilla, quæ alias pro centro per- cuflionis invenitur, fequicur, certrum ofcillationis € percuffionis corporum, ut reéte notavit Augenius, unum idemque effe, quanquam #/4/lifius *°) in Cono ex. gr. aliud percuffionis, Augenius aliud ofcillationis centrum affignat : fallitur enim #/a/lifius in eo, quod integræ bafi Coni circulifque baf parallelis non majorem diftantiam ab axe rotationis celeritatemque tribuit ea, quam ipfa horum circulorum centra obtinent. Hæc vero centri ofcillationis demonttratio fic reformata, uti generalis eft & facilis, inque Geometrica exa@titudine Fugenian« neutiquam cedit, fic eidem in eo præferenda videtur, quod principium veétis, quo nititur, indubitatum eft ac evidens, cum Æugeniana hypothefis obfcura fere fit, nec aliam ob caufam pro vera habeacur, quam quod nihil in contrarium afferri poflit, intellige i in folidis corpori- bus : in liquidis enim res magis dubia videtur; cum vix appareat, quomodo cum ifta hypothefi conciliari poflit fpontaneus communis centri gravitatis afcenfus, qui 3) C'est-à-dire: EX AE XEG+D X AD XDG, etc. 19) Voir, sur ce que va suivre, les notes 2 et 3 de la pièce N°. 2606. 118 CORRESPONDANCE. 1691. accidit, cum metallum in imo liquoris acidi pofitum ac diffolutum, aut liquor levior graviori leniter fuperinfufus eidem fenfim permifcetur; id quod anfa & fun- damentum extitit Perpetui Mobilis nuper a Fratre**) inventi'?) ac in A@is publi- cati 13), cui proin ibidem fubjunétam ftriéturam neutiquam officere exiftimamus. Cæterum collegeram, quod fi celeritas cotalis penduli compofiti minor effe debeat fumma celeritatum partium ejus feparatarum, reliquum in axe premendo confumi neceffum fit. Negat Hugenius hanc confequentiam, dicendo, fæpenumero deperdi aliquid de motu, quod nullibi infumatur: at ego contra fentio, fi quid amittatur, illud perpetuo alicubi impendi, fed quandoque in premendo firmo obice, quan- doque in tollendo motu contrario, adeo ut cum penduli noftri pondera moveantur in eandem partem, jure inferre potuerim, motum deperdicum neceffario in axe premendo confumtum effe. Denique & illud dubium eft, quod mihi objicit Vir acutiflimus, effeétum videlicet refiftentiæ aeris, difruptionis vinculi, quod partes penduli conneétit, aliorumque obftaculorum indeterminatæ quantitatis effe, mi- nuique in infinitum poîfle, fic ut non tollat (ut exiftimaram) poffibilitatem motus perpetui, qui alias obtineret, fi fine his impedimentis centrum gravitatis penduli altius afcendere quam defcendere fupponeretur. Conftat enim, id quod de motu communicatur aut abfumitur occurfu obftaculorum, ad celeritatem mobilis, & hanc ad motus altitudinem determinatam femper relationem obtinere. Tantum de his. Notum occafione præfentis materiæ Eruditis facio, Fratrem meum obfervaffe 17) Johannes Bernoulli, né à Bâle le 27 juillet 1667, mort dans cette même ville le rerjanvier 1748. De même que son frère Jacob (voir la Lettre N°. 2332, note 1) il eut a vaincre l’opposition de son père pour s’appliquer aux sciences mathématiques. En 1691 il visita Paris, où com- mencèrent ses relations avec de l’Hospital, sur lesquelles on peut consulter les pages 222— 226 du Tome III des ,, Vorlesungen über Geschichte der Mathematik” de M. Cantor (édition de 1901). En 1695 il fut nommé professeur à l’Université de Groningen; dix ans plus tard il succéda à son frère, Jacob, dans la chaire de Bâle, qu’il occupa jusqu’à la fin de sa vie. Deux de ses fils, Nicolas, né à Bâle le 27 janvier 1695, mort à St. Petersbourg le 6 août 1726, et Daniel, né à Groningen le 8 février 1700, mort à Bâle le 17 mars 1782, se sont distingués comme mathématiciens, surtout le dernier, bien connu par ses recherches d’hydrodynamique et sa théorie de l’élasticité des gaz. : 1?) Ce mobile perpetuum se trouve décrit dans son essai : Dissertatio Chymico-Physica de Effervescentia & Fermentatione, nova hypothesi fundata, cum descriptione alicujus perpetui mobilis pure artificialis, autore Johanne Bernoulli Basi- liensi. Basileae. Typis Jac. Bertschii 1690. in-4°. É Bernoulli imagine un mélange de deux liqueurs d’inégale densité dans un vase. Un tube de verre y est plongé verticalement de manière que le bout supérieur ouvert dépasse le niveau du liquide. Le bout inférieur est fermé par une membrane que Bernoulli suppose perméable seu- lement pour la moins dense des deux liqueurs. Celle-ci monterait dans le tube et s’écoulerait continuellement par l’orifice supérieur. 13) Voir les , Acta Eruditorum” de février 1691. CORRESPONDANCE. 1691. 119 quod præter Æugenii Cycloidem infinitæ dentur curvæ, per quas defcendens grave ofcillationes peragat ifochronas *#): item non folum cum Vewtono & T/chirn- haufio'S) infinitas cycloides animadvertiffe, quæ fui evolutione feipfas defcribant, fed & detexiffe quampiam ex alio quam cycloidalium genere **), quæ eadem pro- prierate gaudeat. N° 2691. D: Papin à CHRisTIAAN HUYGENSs. 16 AOÛT 1691. La lettre se trouve à Leiden, coll, Huygens. Elle à été publiée par E. Gerland”). La lettre fait suite au No. 2640. Chr. Huygens y répondit le 2 novembre 1691. de Marbourg ce 16e Aouft 1691. 4) MONSIEUR Je ne fçay fi Vous aurez receu celle que je me donnay l'honneur de Vous ecrire il ij a 9 ou 10 mois, ou je prenois la liberté de Vous demander quelques eclaircif- fements fur la double refraétion du criftall d’Iflande et fur la dureté effentielle que * Vous attribuez à certains corps: et je tafchois de faire voir que la dureté fe peut expliquer fans cela: je vous difois aufli que je pourrois faire lé vaiffeau de Drebell de fort bon vfage. Depuis cela, Monfieur, ayant eu l’honneur de faire voir quel- ques experiences à S. À. S.°) elle m'a donné des marques de fa bienveillance et de fa liberalité, et m’a aufli ordonné de luy faire le batteau de Drebell : J'ay donc travaillé à cela et J'efpere que Vous n’aurez pas defagreable de voir la Defcrip- tion de ce que j’ay fait. ABC. fig, 1. eft vn vaiffeau de fer blanc parallellipipede 74) I n’en est rien; aussi Jean Bernoulli n°’y est jamais revenu. 15) Consultez les notes 18 et 19 de la pièce N°. 2626. 19) Il s’agit de la spirale logarithmique, comme il résulte du $ 9 d’un article publié par jatdué Bernoulli dans les , Acta Eruditorum” de mai 1692, sous le titre: ,,Lineae Cycloidales, Evolutae, Ant-Evolutae, Causticae, Anti-Causticae, Peri-Causticae. Earum usus & simplex relatio ad se invicem. Spira mirabilis. Aliaque per I. B.” 1) Leïbnizens und Huygens” Briefwechsel mit Papin, p. 172. ?) Karl, landgrave de Hessen-Cassel. Voir la Lettre N°. 2401, note 4. 120 CORRESPONDANCE. 1691. dont la hauteur AB: eft de 53 pieds: la longueur BC: 54 et la largeur CD : 24. ce vaiffeau eft tout fortifié de fer et de bois dehors et dedans. EE eft vne ouverture de 15 poulces de diametre afin qu’un homme ij puiffe paffer facilement : et quand pren ets D À 1} où à (OT | on eft dans le vaifleau on peut fermer cette ouverture fort exaétement par le moien d’vne placque qu’on preffe avec des vis contre la ditte ouverture. ff font d’autres ouvertures plus petites faittes au fond du vaiffeau pour paffer des rames et aufli pour toucher les chofes que l’on approchera et y appliquer des petards ou autres inftruments qu’on jugera à propos: ces trous fe ferment de mefme que le grand. GG eft vne pompe dont le manche du pifton IL eft vn tuyau qui penetre le fonds fuperieur du batteau et ij eft fortem.t foudé. Au bout exterieur L on attache vn tuyau de cuir garni en dedans d’un fil de fer tourné en vis; et le haut de ce tuyau eft garni d’un bois leger pour flotter fur l’eau fans donner de foupçon fur tout durant la nuiét, J’atrache des poids au bas de la pompe GG, et je mets par en haut de l’eau fur le pifton pour le rendre plus exa&: la pompe eftant par ce poids tiree en bas tire l’air par le tuyau LI au travers du pifton qui a vne foupape pour laiffer entrer l'air dans la pompe:et enfuitte en pefant avec le pied fur vne echelle de corde qui paffe fur vn rouleau ajufté pour cet effet, on remonte la pompe et les poids qui ij font attachez: et l’air qui ij eftoit entré fort par le trou K qui a aufñli fa foupape ajuftée pour cela. Ainfi on peut tousjours avec vne grande facilité attirer de l'air frais dans le batteau, pourvu que le tuyau attaché en L foit affez long pour attein- dre à la fuperficie de l’eau. Quand on met ce batteau à l’eau il faut que les trous d’embas foient fermez et celuy d’enhaut ouvert: et quand les hommes font entrez il faut qu’ils ferment le trou d’enhaut apres avoir pris avec eux 30 ou 40 quintaux de plomb qui joints à ce qu’on aura premierement mis aux crochets de fer qui font au bas de la machine feront qu’elle fera prefque en equilibre avec un volume d’eau CORRESPONDANCE, 1691. 121 pareil. Il faut enfuitte faire jouer la pompe jufques à ceque, par le moien d’un Barometre enfermé dans le mefme batteau, on voye que la preflion interieure de l'air contre les trous ff eft aufli forte que la preffion exterieure de l’eau contre les mefmes trous, c’eft à dire vn peu moins de 6 pieds d’eau : or comme ma pompe a 43) pouces de diametre et environ 9 pouces de jeu, il ne faut qu'environ 100 coups de la ditte pompe pour reduire l’air à un tel degré de preflion: et la pompe eftant fi bien ajuftée quil ne faut qu'environ deux fecondes pour chaque coup, ilne faudroit pas plus de 4 minutes pour en venir à bout. Alors on pourroit ouvrir l’un des trous f fans crainte que l’eau entraft par lâ : puifqu’au contraire l’air tiré par la pompe ij fortiroit tousjours: Il faudroit puifer par ce trou ouvert de l’eau pour charger le batteau jufques à ce qu’on vift que le batteau commenceroit à s’enfoncer : ce qui fe cognoiftroit infailliblement ou par le Barometre; ou par la hauteur que l’eau acquerroit dans le tuyau f: alors il faudroit revuider vn peu d’eau dans ce trou afin que le batteau demeuraft vn peu plus leger que l’eau: et en ramant vers en bas, je veux dire en pefant fur le batteau en ramant, il feroit facile de le faire enfonçer tant et fi peu et fi lentement qu’on le jugeroit a propos. Il eft à remarquer que j’ay fait pour lestrous ff des tuyaux vn peu longs, afin que quand le batteau s’enfonce l’eau du dehors n’en acquiere pas plus de force pour preffer l’air dans le batteau : car il eft clair que la hauteur que l’eau acquiert dans ces tuyaux refifte à l’augmen- cation qui s’eft faitte à la hauteur de l’eau exterieure : et la pompe jouant beaucoup plus vifte que le batteau ne defcend, l’air qui entre repouffe bien toft le peu d’eau qui eft monté dans les trous ff: et ainfi le batteau demeure tousjours vn peu plus leger que l’eau, et fi on cefloit de ramer il remonteroit lentement à la fuperficie. ‘Lorfque par le Barometre on aura recognu que le vaiffeau eft aufi bas qu’on veut, (par exemple que les trous ff font à ro pieds au deffoubs de la fuperficie de l’eau) il faudra ceffer de ramer vers en bas et fe contenter de maintenir le vaiffeau à cette profondeur : on voit qu’on pourroit alors ouvrir autant de trous qu’il ij en auroit au fonds, fuffent ils affez grands pour pafler vn homme, et ainfi on pourroit aller faire fon coup fans eftre apperceu. Quand enfuitte on feroit loing de l'ennemi et qu’on voudroit faire de longs voyages, on n’auroit qu’à jetter toute l’eau hors du batteau afin de remonter plus vifte et plus haut, et apres avoir fermé lestrous ff on pourroit ouvrir le trou ÉE, ayant premierement laiflé fortir lair preffé par quelque petit trou: ainfi on monteroit fur le batteau et on pourroit ij dreffer quelques mats avec des voiles: et vn tel batteau eftant long, comme il pourroit eftre, feroit fans doute extremement vifte à caufe de fa fermeté. puifque non feulement la partie inferieure eftant beaucoup plus pefante que l’eau refifteroit à monter; mais aufli la partie fuperieure eftant beaucoup plus legere refifteroit à defcendre. Ce vaiffeau pourroit donc porter beaucoup plus de voiles, à proportion, que les vaifleaux 3) Ilest douteux s’il faut lire 4 ou 5. Œuvres. T. X. : 16 122 CORRESPONDANCE. 1691. ordinaires qui ont vne grande partie de leur poids dans l’air: et comme il ne feroit que tres peu hors de l’eau et ne donneroit pas de prife aux vents contraires il iroit facilement à tous vents: cela donc me perfuade que ces nouveaux vaiffeaux feroient des voyages plus promptement que les vaiffeaux ordinaires. Celui que j’ay fait m’a donné beaucoup de peine et a requis beaucoup de temps faute de fer- blantiers pour ij travailler de la bonne maniere: j’ay efté contraint de faire des fortifications de fer et de bois par dedans et par dehors, ce qui l’a rendu fort pefant; au lieu que par le moien de bandes de fer blanc foudées à la machine etembraffants les barres de fer du dehors la meime fortification auroit fervi pour le dehors et pour le dedans. Enfin pourtant la chofe eftoit faitte, et avant de la mettre à l’eau j’ij avois prefté l’air en fi peu de temps et avec tant de facilité que j’eftois feur du bon effetqu’ell’auroit fait dans l’eau: puifque la preflion de l’eau au dehors auroït encor refifté à la moitié de la force de l’air interieur et ainfi auroit fortifié la machine. Mais le charpentier (de qui c’eft le meftier de coignoiftre par experience fi fes inftruments font affez forts pour lever les fardeaux qu’on luy propofe) fit pour- tant la fottife de prendre vne grue trop foible; en forte que quand on eleva la machine pour la mettre à l’eau, le crochet de fer fe rompit et la machine en tom- bant fe gafta tres fort). J’ay lieu de croire que fi je voulois à prefent la reparer, les ouvriers me feroient tout a fait defefperer m’ayant tant fait languir dez la pre- miere execution: et au fonds, cecy n’eftant qu'un apprentiffage et mal executé, ce batteau ne pourroit jamais fervir à des vfages reels; mais feulement pour quel- ques experiences dont il me femble qu’on peut fe tenir aufli feur que fi on les avoit veues. Si Vous jugez donc, Monfieur, que ma Theorie foit fans defauts, voicy ce que je crois qu’il faudroit mettre au pluftoft en pratique fans plus perdre de temps avec les ouvriers de Caffell. AA : fig. 2.5) eft vn grand tonneau ovale de bois, ayant 6 à 7 pieds de haut: fon grand diametre autant, ou plus fi l’on veut: fon petit diametre 3 ou 4 pieds. BB eft vn rotatilis [u®tor et preflor Haffiacus®) qui par le moien du tuyau CC attire continuellement l’air exterieur. DD eft le grand trou pour entrer : EE eft vn grand vaiffeau cylindrique de cuivre d’environ 14 ou 15 pouces de diametre et de 5 à 6 pieds de long: l'ouverture de ce vaifleau eft dans le cuvier AA et fe doibt fermer comme celles de la machine precedente: FF eft vne pompe par ou les gens dans le tonneau AA peuvent preffer l'air dans le vaifleau EE apres qu’on ij aura enfermé vn homme qui agira par le trou G 4) Ce malheur arriva le 13 ou le 23 août 1691. Consultez la préface de l'ouvrage de Gerland, page 60. 5) Voir la seconde figure de la page 120. 5) Voir, sur cette machine, l’article de Papin dans les , Acta Eruditorum” de juin 1689, inti- tulé: ,Rotatilis suctor et pressor Hassiacus, in Serenissima Aula Cassellana demonstratus èt detectus”, et la préface de l'ouvrage de Gerland, pages 39 et 40. CORRESPONDANCE. 1691. 123 contre les vaifleaux ennemis &c. ce trou fe ferme comme les autres. Vous voyez, Mons.r, combien cette nouvelle conftruétion eft preferable à la precedente: pour la facilité tant de l’execution; que de l’vfage: car le tonneau AA n’auroit aucune prefion interieure à fupporter, et il fuffiroit qu’il fuft affez fort et exaétement fait pour empefcher que l’eau de dehors n’y entraft: le fonds d’embas feroit à peu pres egalement preffé par les poids dont on le chargeroïit en dedans et par l’eau qui le toucheroit au dehors: et le fonds fuperieur eftant le moins preffé par l’eau la foutiendroit aifément; et on pourrait encor le fortifier de quelques barres en dedans. D’autre cofté le vaiffeau EE n’auroit pas, à beaucoup près, vne fi grande preflion interieure à fouffrir que la machine precedente: et ainfi à caufe de fa figure cylindrique il la fupporteroit aifement fans changer fenfiblement de volume: ainfi cette machine pourroit s’enfoncer ou retourner à la fuperficie : et avoir fes trous ouverts tantoft au deffus et tantoft au deffoubs, fans qu’il fuft befoing d’ad- jouter ou d’ofter qu’une petite quantité d’eau au lieu que pour la machine prece- dente, quoy que fortifiée avec beaucoup de frais et de peines, il auroit fallu vne grande quantité d’eau pour recompenfer les changements de volume qui luy feroient arrivez. Vn autre advantage qui fe rencontre icy c’eft que, l’air n’eftant point preflé dans AA, vn homme feul par le moien du rotatilis [u&or pourroit ij faire vn vent continuel fuffifant pour la refpiration de 100 hommes et plus s’il eftoit befoing: et l’air fuperflu fortant par vn autre tuyau tel que CC, ne feroit point de bouillonnements dans l’eau: on pourroïit aufli faire que l’air qu’on four- niroit à l’homme en EE retourneroit dans AA pour fortir aufli fans bouillonnement. On feroit feur aufli que la machine ne pourroit defcendre fans qu’on s’en apper- * ceuft dabord par le moien du barometre recourbé O O O ouvert des deux bouts et ayant communication au dehors et au dedans: et crainte de rupture on pourroit ne faire ce barometre de verre que dans l’endroit ou le haut du mercure feroit fes mouvements. On feroit enfoncer le batteau en ij laiffant entrer l’eau par vn robi- net: et afin de n’eftre pas furpris il ij auroit des hommes avec des rames qui feroient aufli effort pour l’enfoncer et qui fermeroient le robinet fi coft que le batteau enfonceroit fans beaucoup deffort. Les rames devroient eftre attachées avec des cuirs comme on dit qu’eftoient celles du batteau de Drebell: et quand on voudroit remonter on le feroit en partie par le moien des mefmes rames; et en partie en chaffant l’eau de la machine avec vne pompe bien ajuftée pour cet effet. Voila, Monfieur, les moiens qui me femblent infaillibles pour furmonter les plus grandes dificultez qui fe puiffent trouver dans ce deffein important: Je crois qu’on ne doutera pas apres cela qu’on ne puiffe aifement venir à bout du refte, comme de fe guider pour entrer dans les ports, d’ij trouver les vaiffeaux ennemis, d’ij attacher des petards, &c. Je m’abftiendray donc de parler de tout cela afin d’eviter vne longueur exceflive: et j’efpere que, confiderant l’importance de la chofe et le peu de defpenfe qu'il ij a à rifquer pour cela, Vous ne ferez pas de difficulté, Monfieur, de temoigner que la chofe merite d’eftre pouffée avec diligence : car 124 CORRESPONDANCE. 1691. on ne peut douter que cette invention ne foit fort praéticable puifque je l’ay desjä executée d’vne maniere beaucoup plus difficile que celle que je propofe à prefent. J'ay fait la relation de ce qui s’eft paflé à Mon.gr le Landgrave, et je luy ay marqué que pour m'affeurer encor plus de la jufteffe de mes raifonnements je vous en ecrirois comme à l’oracle que l’on doibt confulter fur ces matieres: je Vous fupplie donc tres humblement, Monfieur, d’avoir la bonté de m’accorder vne refponfe: et de me donner voftre approbation en ce qui la merite: ou de me decouvrir mes erreurs fi j’en ay commis: il femble qu’il eft de l’intereft de toute la Republique des lettres de faire en forte que les Princes retirent de la fatisfac- tion des defpenfes qu’ils fe refolvent de faire pour de nouvelles inventions. En attendant l’honneur de voftre refponfe je Vous fupplie de me permettre dira de me dire avec vn tres profond refpect. MOoNSIEUR Vous ne ferez peut eftre pas fafché, Mr., de fçavoir une circunftance que j'oubliois à vous marquer: c’eft qu’en laiffant fortir l’air preflé de noftre ma- chine on fe trouve incontinent dans vn brouillard: de mefme qu’en tirant l’air avec la machine du uuide on voit dabord des nuées qui fe forment dans le re- cipient. Voftre tres humble et tres obeiffant feruiteur D. PaprIN. #) Refpondu le 2 Nov. [Chriftiaan Huygens]. CORRESPONDANCE. 1691. 125 N° 2692. J. Gousser ‘) à CHrisrTrAAN Huycens. 28 AOÛT 1691. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Chr. Huygens y répondit le 2 noyembre 1691. #) MONSIEUR Puis que Mons.r Papin mon Coufin m’a fourni l’occafion de me donner l’hon- neur de vous efcrire, en m’envoyant cette lettre *) pour vous la faire tenir, per- mettez moy d’en profiter aufli pour m’inftruire en vous confultant avec la mefme foûmiflion, que fait mon Coufin. Ce que je prendrai la liberté de vous demander, Monfieur, regarde ce que j’ai leu dans voftre traitté de la lumiere. Vous faites, comme Des Cartes, la Lune diftante de la terre de 30 diametres de la terre). Et le foleil de 12000 +). Je defirerois favoir fi cette diftance du foleil a efté remarquée par quelque obfervation faite direétement fur le foleil. Si cela eft, ce fera une confirmation pour le fyfteme. Car c’eft aufli ce qui refulte a peu prés en calculant 365°) roulemens du vortice de la Lune confideré comme une rouë qui court autour de la partie du vortice du foleil qui eft entre ces deux aftres, & ayant pour femidiametre 30 diametres du globe terreftre. Jay une difficulté fur ce que vous faites un point de la terre fous l’Equateur, plus éloigné du centre que fous le pole, feulement comme 578 a 577 5). Et que cependant vous dites”) que le niveau decline vers le nort en ces pays, de 5 min. 54."°). Il me femble que cette declinaifon du niveau devroit paroïftre fenfible- ment, fi la terre n’eft pas plus applatie que cela vers les poles. Oferai-je ajoûter une curiofité à l’occafion d’une certaine hypothefe qu’un de nos meflieurs me debitoit il y a peu de temps. Je ferois bien aife de favoir fi une revolution de 6915 années avec 343. jours remettroit les planetes a fa fin dans la mefme fituation *) où elles eftoient a fon commencement, du moins fi cela fe feroit a l’egard du foleil & de la Lune. Mais, Monfieur, je vous prie de ne pas croire que j'ignore com- bien vous avez d’occupations plus confiderables, que celle de me refpondre fur mes queftions. Je ne fouhaite pas de vous en diftraire. Mais je fouhaiterois bien qu’il vous reftaft un moment de temps a perdre a cela. A l’egard de la refponfe 7) Voir, sur Jacques Gousset, la Lettre N°. 2608, note 5. 7) La Lettre N°. 2691. 3) Page 6 du ,, Traité de la Lumière”. 4) Page 8 du même ouvrage. 5) Voir l’,Addition” au ,, Discours de la cause de la Pesanteur””, page 156. 5) Page 151 du ,, Discours de la cause de la Pesanteur”. 126 CORRESPONDANCE. 1691. que vous ferez a mon Coufin, je ne croi pas qu’il y aît de meilleure voye que celle d'ici. Je ferai bien aife de fervir a voftre commerce, & en mefme temps d’y par- ticiper. Je finis en vous affeurant, Monfieur, que je recevrai vos éclairciffements avec toute l’eftime & la déference imaginable, & que j’en aura une parfaite recon- noiffance. Je fuis, MONSIEUR Voftre tres humble et tres obeiffant feruiteur GoOUSSET. mon addreffe eft a Gouffet profefleur dans l’Univerfité. a Groningue le 28 Aouft 1691. Si vous me faifiez la grace de me donner un pied certain pour le cours de chaque Planete par lequel je pûffe divifer ce periode de 6916 ans 343 jours, il ne feroit pas befoin que vous prifliez la peine de le calculer. À Monfieur Monfieur HUGENS DE ZULICHEM. #) Repondu le 2 nov. 91 [Chriftiaan Huygens]. ») Ce feroient 400 roulemens mais cela ne fert guerre a confirmer le fyfteme [Chriftiaan Huygens]. ©) le calcul le confirme [ Chriftiaan Huygens]. 4) qu’appelez vous la mefme fituation ? car ayant toutes des temps periodiques incommenfurables, il n’arrivera jamais que le foleil et la Lune fe retrouvent enfemble a un mefme point ou ils ont efté conjoints. quand il n’y auroit point d’anomalie, et avec elle le calcul eft infini [ Chriftiaan Huygens]. — CORRESPONDANCE. 1691. 127 2693. CHRISTIAAN HuyGEns à G. W. LEIBNIZ. IT SEPTEMBRE 1691. La lettre se trouve à Hannover, Bibliothèque royale. La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens. La lettre a été publite par P. J. Uylenbroek*) et C. I. Gerhardt?). Elle est la réponse aux Nos. 2682 et 2688. Leibniz y répondit le 21 septembre 1691. Sommaire:3) S'il l’a fait expres “) de ne marquer pas la raifon de N à 9°), ni que A@°) eft la fouftangente de la Logarithmique? Jay bien reconnu, en conferant voftre conftruétion avec celle de Mr. Jo. Bernouilly ”), que cela doit être ainfi, mais comment avez vous cru que fans cela j’euffe pu le fcavoir? ou vos autres leéteurs ? Qu'il a merveilleufement reufli et aufli Jo. Bernouilly! Ce que j'ay cherché, c’eftoit principalement de voir de quelle nature eftoit la courbe pro- pofée, et fi elle fe pouvoit conftruire geometriquement ou s’il eftoit befoin de fuppofer quelque quadrature d’une autre courbe. Ce qui s’eft trouvè ainfi. Dans cette recherche j’ay remarquè quelques unes des proprietez de cette Catenaire, qui fe font offertes. Les autres que vous ou Mr. Bernouilli avez decouvertes, je ne les ay point cherchées, comme la dimenfion de l’efpace entre la courbe et fa bafe, les centres de gr. de cet efpace et celuy de la courbe, parce que je [les] croïois incomparablement plus difliciles a trouver qu’elles ne font. Je n’ay point efperè auffi que la quadrature de la courbe xxyy—2"—#4yy dont j’ay dit que la conftruétion de la chainette depend, eftoit reduifible à la quadrature de l’hyperbole, a la quelle vous et Mr. Ber- nouilly avez reduit voftre conftruétion, ce qui me paroit le plus beau de tout ce que vous avez tous deux decouvert. Il eft a fouhaiter ce que vous dites que Mr. Bernouiïlly en fafle voir le rapport *) je voudrois auffi qu’il adjoutaft les demonftrations, ou manieres de trouver. Bernoulii theorema 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ex meis facile deducuntur °) et pleraque velut Chr. Hugenïii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, p. 90. Leibnizens Mathematische Schriften, Band IL, p. 98 et Briefwechsel, p. 659. Ce sommaire ou cette minute se trouve à la page 121 recto et verso du livre G des Adver- saria; sa rédaction diffère sur plusieurs points de celle de la lettre elle-même; ainsi nous avons cru utile de la reproduire ici. Il s’agit de la solution de Leibniz du problème de la chaînette, citée dans la note 1 de la . pièce N°. 2681. C'est-à-dire la raison de K à S de la note 4 de la Lettre N°. 2688. La ligne AO de la figure de la Lettre N°. 2688. Voir lanote 12 de la Lettre N°. 2664. C’est-à-dire le rapport entre les diverses solutions. Allusion à la remarque de Leibniz de la Lettre N°. 2688 : , j'espère que Mr. Bernoully fera une plus exacte comparaison”. Voir la note 22 de la présente lettre. 128 CORRESPONDANCE. 1691. corrolaria, quartum **) non inveni, fed quomodo inventum fit non difficulter perfpexi. Illud vero ne quidem quaefiveram. Duodecimum **) ex eodem fundamento haberi poterat, cujus etiam conftruétio brevior Bernouliana erit, fi tantum AL ponatur aequalis GK, fic enim fit L centr. gr. curvae EBF; quod fe non puto ignoraffe, Eftque inventio centri gr. fpatij CA (C) in tua figura. affinis admodum ifti 2). Spatii BAOE ‘*) dimenfionem non habet Bernoulius ex qua etiam dimenfio fpatij MPO deducitur. Il n’a rien non plus de la furface du conoïde. Je ne trouve aucune erreur ni dans vos inventions ni dans les fienes. apres les avoir toutes examinées. Car horfmis la reduétion de la conftruétion a la quadrature de l'hyperbole, ou au Logarith- mes, je vois les fondements de tout ce que vous et Mr. Bernoully avez de plus que moy; mais cette reduétion, que j’eftime fort, je ne vois pas jufqu’icy comment vous y eftes parvenus, et vous me ferez plaifir de me l’apprendre. Quand je confidere que vous avez tous deux ren- contrè cette reduction, je dis qu’il faut que ce foit ou quelque ftupiditè qui m’empefche de la voir, ou de ce que je fuis beaucoup moins verfè que vous et luy en ce qui regarde les quadra- tures, et comment les unes dependent des autres; ce qui eft certain; ou de ce qu’on n’y peut arriver que par voftre nouveau calcul duquel dans tout le refte je ne vois pas encore la neceflitè ; mais je veux croire qu’il fert a faire remarquer plus facilement les diverfes proprietez des lignes qu’on examine, parce que je vois que Mr. Bernoully aufli bien que vous Mr. a decouvert des chofes touchant cette chainette, que je ne me fuis pas propofees à chercher, parce que je les croiois trop eloïgnées; mais a vous et luy il femble qu’elles fe foient offertes. J'ay fouvent confiderè que les lignes courbes que la nature prefente fouvent a noftre vue, et qu’elle decrit, pour ainfi dire, elle mefme, renferment toutes des proprietez fort remar- quables. Telles font le cercle que l’on rencontre partout. La parabole, que decrivent les jets d’eau. L’ellipfe et l’hyperbole, que l’ombre du bout du ftile parcourt et qu’on rencontre auñli ailleurs. La cycloide qu’un clou qui eft dans la circonference d’une roue decrit. Et enfin noftre chainette qu’on a remarquée par tant de fiècles fans l’examiner. De telles lignes meritent à mon avis qu’on fe les propofe pour exercice, mais non pas celles qu’on forge de nouveau feule- ment pour y emploier le calcul geometrique. C’eft pourquoy je ne voudrais pas m’amufer à pourfuivre ces differentes natures de chaine que Mr. Jo. Bernouilly propofe, comme devant achever et pouffer plus avant cette fpeculation. Pour ce qui eft de la courbure du reflort dont Mr. J. Bernoully fait mention elle merite d’eftre recherchée, puis que c’eft encore une des lignes que la Nature decrit. Mais malaifement trouvera ’t on icy des principes aufli feurs, que ceux qui fervent a la fpeculation de la chaine. Il parle en fuite de la courbe que produit une voile tendue par le vent, comme eftant d’une meditation tres fublime. Et il ajoute qu’une partie de la voile qui a fa fouftendante perpend.re a la direction du vent doit fe plier en arc de cercle, ce qui me paroit fi faux que je veux plutoft - croire que je n’entens pas bien fa propofition que de luy imputer une erreur fi groffiere. 1°) ,Spatium funicularium BAE (voir la figure de la présente lettre) vel BAF est aequale rec- tangulo sub BA et AF, diminuto rectangulo sub CB et FG”. Voir d’ailleurs le $ I de l’Ap- pendice N°. 2694. 11) ,Si ad AG applicentur duo Rectangula AI, AK, quorum unum Al ei quod sub semilatere transverso CB et recta FG comprehenditur rectangulo, alterum AK quod ipsi spatio Hyper- | bolico BGA aequatur; et differentiae latitudinum KI sumatur in axe a vertice B aequalis BL, erit punctum L centrum gravitatis curvae Funiculariae EBF”. Voir encore le III de l'Appendice N°. 2694. 7?) Voir le $ IV de l’Appendice N°. 2694, note 1. 73) Lisez BMOE et consultez la figure de la présente lettre. CORRESPONDANCE. 1691. 129 1 Septembre 1691. MONSIEUR Peu de jours apres que jeus receu voftre lettre du 24 Jul. l’on m’apporta les Aë@ta de Leipzich de May et Juin, où je vis avec bien du plaifir outre vos inven- tions touchant la Catenaria, les quelles vous veniez de me communiquer, celles de Mr. Jo. Bernouilly. Je vous admiray tous deux, et vous, Monfieur, furtout, d’avoir fi bien reufi à decouvrir les proprietez de cette courbe, et ayantexaminè ‘#) vos conftruétions et vos Theoremes, je trouvay que tout quadroit enfemble, comme auffi avec ce que j’ay donnè, en ce que nous avons de commun et qu’il n’y avoit aucune erreur. Je confideray enfuite pourquoy plufieurs de vos decouvertes m’eftoient echappées, et je jugeay que ce devoit eftre un effet de voftre nouvelle façon de calculer, qui vous offre, à ce qu’il femble, des veritez, que vous n’avez pas mefme cherchées, car je me fouviens que dans une de vos lettres precedentes’'5), vous m’aviez dit, en parlant de ce que vous aviez trouvè touchant la Carenaria, que le calcul vous offroit cela comme de foy mefme, ce qui certainement eft fort beau. Pour moy je puis dire que j’ay trouvè tout ce que j’ay cherchè et plus, mais je n’ay point cherchè ni voftre dimenfion de l’efpace *°), ni les deux centres de gravitè'7), n'ayant pas efperè qu’ils fuffent trouvables. Ainf ils me font echappez, quoyque j'en aye eftè fort pres. Car j’ay affez reconnu, en examinant vos theoremes là def- fus, par quelle voie j’y aurois pu parvenir **) et que ces theoremes ont une mefme origine. J’ay aufli remarquè en paffant que Mr. Bernouilly *?), pour avoir le 14) On rencontre cet examen aux pages 116 verso jusqu’à 119 recto du livre G des Adversaria, sous les dates des 5, 6 et 7 août. 15) La Lettre N°. 2627 du 13 octobre 1690. 16) J1 s’agit de l'aire AONCA de la figure de la Lettre N°. 2688. Selon Leïbniz elle est égale au rectangle sur OA et AR. Dans le $ I de l’Appendice de cette Lettre, la pièce N°. 2694, Huy- gens retrouve et démontre ce théorème. 17) Le centre de gravité P de l’arc AC (voir toujours la figure de la Lettre N°. 2688) et le centre de gravité Q de l’aire AONCA. La construction de Leibniz de la distance OG du premier de ces centres à la droite NO diffère de celle énoncée par Bernoulli (voir la note 11 et la figure de la présente lettre) et aussi de celle de Huygens démontrée au { III de la pièce N°. 2694. Elle est comme il suit: , Arcui AC vel AR, ordinatae BC, parametro OA inventa quarta pro- portionalis O6, addatur abscissae OB et summae dimidia OG, dabit G centrum gravitatis”. La construction de EA, et celle de O8, OG une fois trouvée, sont au contraire identiques avec celles démontrées par Huygens aux $ IIL et IV de la pièce N°. 2694. Toutes ces constructions sont d’ailleurs exactes. 18) Voir la pièce N°. 2694, aux paragraphes cités dans les deux notes précédentes. 19) [1 s’agit de son douzième théorème, cité dans la note 11 de la présente lettre. Œuvres. T.X. : 17 130 CORRESPONDANCE, 1691 ‘ P à centre de gravitè L de la courbe EBF, au lieu qu’il prend BL egale à IK, n’avoit qu’à prendre AL egale à GK, et qu’ainfi le rectangle de GA, AL eft tousjours egal à l’efpace hyperbolique *°) BGA. Par où il auroit encore facilement trouvè le centre de gravitè de l’efpace EBF, ou, qui vaut autant, de voftre efpace AONC *:). E À F il Ses propofitions 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11°*) font en partie les mefmes et en partie aifées à L po deduire des chofes que j’avois trouvées, en eftant comme des corollaires, quoy qu’il y en B @ ait de fort jolies, dont peut-eftre je ne me ferois jamais avifè. Pour ce qui eft de la furface du Conoïde *3), je vois qu’il n’en dit rien, ni vous, Monfieur, touchant la courbe dont la Catenaria s’engendre par evolution, apparemment parce que vous n’y avez pas fongè. Apres ma dimenfion 29°) Consultez, pour la démonstration de ce théorème, le III de la pièce N°. 2694. 21) Voir la figure de la Lettre N°. 2688 et consulter le $ IV de la pièce N°. 2694. 2?) Voici les théorèmes, tels que Bernoulli les avait formulés, avec l'indication, autant que pos- sible, des théorèmes de Huygens avec lesquels ils sont identiques ou dont ils se déduisent facilement. Remarquons d’abord que le BC de Bernoulli (voir ici et dans la suite la figure de la pré- sente lettre) est égal au rayon de courbure r du sommet, employé par Huygens comme para- mètre de la chaînette. 1. ,Duéta tangente FD, erit AF : AD = BC : BF curvam”’. Voir le théorème »KL:LS—CA ad AK curvam” de la pièce N°. 2624, démontré au II de la pièce N°. 2625. D’après les notes marginales citées dans la note 1 du N°. 2540, Huygens ajouta en marge de son exemplaire des Acta: ,Idem ex meis: sed ego et hoc, nempe quod DF — AF ad AD ut AB ad BF curvam”. (Voir le théorème 2 de la Ile partie de la pièce N°. 2668). 3. +Curva BE vel BF aequalis eft rectae AG, i. e. portiones curvae funicu- lariae ad axem applicatae conficiunt Hyperbolam aequilateram: infignis eft hujus curvae proprietas” . »Idem ex meis” (notes marg.). Le théorème, en effet, se déduit assez facilement au moyen des théorèmes (9) et (e) du $ IV de la pièce N°. 2669, en remarquant qu’on a d’après la construction indiquée: AG? = AC°—BC?= (77) —71— 2 2 Ad ar) = da PA = a, PT 2e, DS = y = arc. BG) Voir d’ailleurs le $ II de la pièce N°. 2. 5. ,Curva MNO, ex cujus evolutione defcribitur Funicularia BE, eft tertia proportionalis ad CB et AG”. ,Idem ex meis” (notes marg.). Le théorème est iden- tique au théorème: ,,CA ad AI ut AI ad AW—CR? de la pièce N°. 2624. Voir la démon- stration au $ IV de la pièce N°. 2625. CORRESPONDANCE. 1691. 131 de l’efpace BMOE, et la voftre *#) de l’efpace BEA dans la 2e fig. de Mr. Ber- noully *5) l’on peut aufli trouver celle de l’efpace MOR, que la courbe MO re- tranche du reétangle MPOR, lequel efpace devient egal au reétangle FC, lorfque BA eft egal à RM ou BC *°), mais qu’a-t-on à faire, direz vous, de chercher fi avant! J'avois fait cout cet examen, et les remarques dont je viens de parler fans beau- coup de peine, et dès les premiers jours, mais je n’ay pu trouver la Reduétion de la conftruétion de la Courbe à la quadrature de l’Hyperbole, et c’eft ce qui m’a fait differer de vous faire refponfe. Car cette reduétion me paroiffant fort belle, parce qu’elle donne la maniere de trouver avec facilitè des points dans la courbe, j’aurois eftè bien aife d’en decouvrir auparavant la methode par ma propre medi- tation, qui, à dire vray, a eftè interrompue par plufieurs affaires et diftractions de 6. ,,Recta vero evolvens EO'eft tertia proportionalis ad CB et CA”. ,,Idem ex meis’(notes marg.). Le théorème se déduit des théorèmes (d),(e) et (£) du S IV de la pièce ds? 2 N°. 2669, en observant qu’on a EO—MB—+MO— Le + MÉe) #h2) et de CA? (d+r) b°4 méme: Gp = EN) aa) 7. Reta BM ufque ad principium curvae MNO fumta aequatur ipfi BC”. Pour la comparaison des solutions de Huygens et de Bernoulli cé théorème doit être considéré comme constituant la définition de la droite BC de Bernoulli. Huygens ajouta en marge: Idem ex meis, et insuper quod DF—FA ad FA ut AB ad BM. Voir le théorème 3 de la IITe partie de la pièce N°. 2668. 8. ,,MP eft dupla ipfius BA”. ,Idem ex meis. Verum”. (notes marg.). Ce théorème encore se déduit facilement des theorèmes (9), (e) et (£) déjà cités, en faisant usage, pour le calcul de MP, de la relation : AP: EO—AF : FD, où FD représente la tangente de la chaînette au point F. 9. ,Reétangulum fub CB et PO duplum eft fpatii hyperbolici ABG”. Probablement ce numéro 9 a été ajouté par mégarde, l’annotation idem ex meis” des notes marginales y fait défaut et il n’est pas facile de voir comment ce théorème pourrait être déduit des résultats de Huygens, où la quadrature de l’hyperbole ABG n’entre en aucune manière. 10. ,Recta CP bifeéta eft in punéto A”. , Idem ex meis” (notes marg.). Le théo- rème est une conséquence immédiate des théorèmes 7 et 8. ui. Curva EB eft ad curvam MNO, ut reéta CB ad reétam AG”. ,, Idem ex meis” (notes marg.). Le théorème ce déduit immédiatement des théorèmes 3 et 5. 23) Voir le $ VI de la pièce N°. 2625. ?4) Voir la note 16 de la présente lettre. En effet, l’aire BEA se déduit immédiatement de celle dont il est question dans cette note. 25) Voir la figure de cette lettre. 25) On rencontre ce calcul à la page 122 recto du livre G. Huygens y arrive pour l’espace MOR 3 à la formule ent re Par 2CA.AG-—2BC. AF. Dans le cas particulier, dont il s’agit, on a:CA—2BC et AG — | / CA? BC?—BCy/3 et par suite la formule se réduit à l'expression 2BC X AF—CA X AF, comme le texte l’indique. 132 CORRESPONDANCE. 1691. ‘ route forte‘). Enfin je n’y vois point de jour encore, et puifque Mr. Bernoulli auffi bien que vous, a reufli en ce point, j’en conclus qu’il faut que voftre nouveau calcul vous ait conduit tous deux, ou bien une plus grande connaiffance que vous vous eftes acquife, l’un et l’autre, en ce qui eft des quadratures et leurs relations et dependances mutuelles. J’ay recherchè la deffus ce que je me fouvenois d’avoir vu dans les oeuvres pofthumes de Mr. Fermat °7), mais ce Traité eft imprimè avec rant de fautes, et de plus fi obfcur, et avec des demonftrations fufpectes d’erreur, que je n’en ay pas fcu profiter. Vous me ferez donc tres grand plaifir, Monfieur, fi vous me voulez donner quelque lumiere en cecy, ce que peut-être vous pouvez en fort peu de paroles. J’avois reduit cette conftruétion, comme vous fcavez, à la dimenfion de la Courbe xxyy = —#4ÿy + 44°°) etje vois maintenant quel efpace hyperbolique eft egal à un efpace de cette courbe *?), mais je ne fcay pas com- ment j’aurois pu trouver cela; et il fe peut que voftre Reduétion eft fondée fur autre chofe, ce que je feray bien aife d'apprendre. Si Mr. Bernoully en exami- nant le raport entre nos inventions (ainfi que vous le fouhaitez) vouloit en mefme temps expliquer les fondemens de fes decouvertes, il ne feroit pas befoin que vous prifliez la peine de m'’inftruire, et il m’aideroit par là a entendre voftre clculus differentialis, dont je commence avoir grande envie; mais peut-eftre il nous fera attendre encore longtemps 3°). Je ne voudrois jamais m'amufer à ces differentes natures de chaines, que Mr. Jo. Bernouilly 3*) propofe comme devant achever ou pouffer plus avant cette 27) Voir, sur les ;, Varia Opera” de Fermat, publiés en 1679, la note 1 de la Lettre N°. 221. Il s’agit ici surtout du traité ,, De aequationum localium transmutatione et emendatione ad mul- timodam curvilineorum inter se vel cum rectilineis comparationem, cui annectitur propor- tionis geometricae in quadrandis infinitis parabolis et hyperbolis usus”, qui occupe les pages 255—9285 du Tome I de l'édition complète des , Œuvres de Fermat”, publiées par les soins de MM. Paul Tannery et Charles Henry, sous les auspices du ministère de l'instruction publique. Gauthier-Villars et fils, 1891. in-4°. 28) Voir p. e. le septième théorème de la pièce N°. 2681. 29) D’après une annotation de Huygens sur la même feuille manuscrite qui contient la mi- nute de la pièce N°. 2681, il avait trouvé que l’aire MAË6£ de la figure de notre pièce N°. 2694, devrait être le double de l'aire hyperbolique MAË. Or, la courbe AË4 de 2 cette même figure, définie dans l’annotation mentionnée par la relation 0g = 5 s’identifie, suivant le dernier alinea du $ VIII de la pièce N°. es avec la courbe «w0 de la figure 5 de cette pièce N°. 2625, c’est-à-dire avec la courbe x°?y° = — 773? 4, 39) En effet, Jean Bernoulli ne publia une analyse du problème de la chaînette qu’en 1742, dans ses,, Lectiones Mathematicae, de methodo integralium, aliisque, conscriptae in usum Ill. Mar- chionis Hospitalii, Cum Auctor Parisiis ageret, Annis 1691 & 1692”. 31) I] s’agit des chaînettes à densité inégale, mentionnées par Jean Bernoulli vers la fin de l’article, cité dans la note 1 de la Lettre N°. 2681, qui contient sa solution du problème de la chaînette ordinaire. : CORRESPONDANCE. 1691. 133 fpeculation. Il y a de certaines lignes courbes que la nature prefente fouvent à noftre vue, et qu’elle decrit pour ainfi dire elle mefme, lefquelles j’eftime dignes de confideration, et qui d'ordinaire renferment plufieurs proprietez remarquables, comme l’on voit au Cercle, aux Sections coniques, à la Cycloide, aux premieres Paraboloides ) er à cette Catenaria. Mais d'en forger de nouvelles, feulement pour y exercer fa gcometrie, fans y prevoir d’autre utilitè, il me femble que c’eft difficiles agitare nugas, et j’ay la mefme opinion de tous les problemes touchant les nombres. Calculis ludimus, in [upervacuis [ubtilitas teritur, dit quelque part Seneque en parlant de certaines difputes frivoles des philof. üphes Grecs. Pour ce qui eft de la courbure du Reffort, dont l’autre Mr. Bernouilly fait men- tion 3°), elle peut meriter quelque attention eftant encore une de ces lignes que la nature decrit quoyque je doute fort fi on trouvera des Principes aufli furs que ceux qui fervent à la fpeculation de la Chainette. Il parle outre cela de la courbe que produit une voile tendue par le vent, comme eftant d’une meditation tres fublime. En quoy je veux croire que je n’entens pas ce qu’il veut dire, parce que cette cour- bure en arc de cercle, qu’il donne à une partie de la voile, me paroift trop abfurde. (en l’interpretant fimplement) pour qu’il fe puiffe eftre trompè fi grofliere- ment 53). Voicy a peu pres la fig. 2e de Mr. Bernouilly 34) à laquelle fe rapportent les 2 remarques precedentes 55). Vous avez fort bien fait de m’advertir dans voftre 82) Dans l’article de Jacques Bernoulli qui parut dans les ,, Acta eruditorum” de juin 1691, sous le titre: ,Specimen alterum calculi differentialis in dimetienda Spirali Logarithmica, Loxo- dromiis Nautarum, et Areis Triangulorum Sphaericorum; una cum Additamento quodam ad Problema Funicularium, aliisque”. 33 Voici le passage en question de l’article cité dans la note précédente: ,,Istis vero omnibus multo sublimior est speculatio de Æÿgura veli vento inflati ; D quanquam cum Problemate Funiculario eatenus affinitatem habet, quatenus venti continuo ad velum adlabentis impul- sus ceu funis alicujus gravamina spectari possunt. Qui na- türam pressionis fluidorum intellexerit, haud difiiculter quidem capiet, quod portio veli BC, quae subtensam habet directioni venti DE perpendicularem, curvari debeat in arcum circuli. At qualem curvaturam induat reliqua portio E AB, ut difficilis est perquisitio, sicin re nautica eximii prorsus B C usus futura est, ut praestantissimorum Geometrarum occu- Rd pationem juxta cum subtilissimis mereri videatur”, Ajoutons que l’étrange assertion de Jacques Bernoulli reposait sur la supposition que le vent ne pouvant s’echapper de la partie BC de la voile la pression y serait partout égale tandis qu’il en serait autrement pour la partie AB. 34) Voir la figure de la page 130. 35) C’est-à-dire les remarques sur la construction du centre de gravité de la chaînette et sur la quadrature de l’espace MOR. 134 CORRESPONDANCE. 1691. lettre que BC, ou bien AO dans voftre figure doit eftre la foutangente de la Loga- rithmique, car j’aurois eu de la peine à le deviner, et il me femble que vous en deviez informer vos leéteurs dans les Aëta. Dans cette conftruétion par la Loga- rithmique, qui eft fort ingénieufe, la proprietè de la foutangente, que j’ay remar- quée pag. 179 de mon Traitè de la Lumiere 4°), eft venue fort à propos, car ila falu la fuppofer pour y parvenir fi je ne me trompe. J'efpere que vous aurez trouvè du temps pour achever ce que vous m’avez promis touchant les tangentes, et je l’attens avec impatience; mais je ne fouhaite pas moins d'apprendre la Reduétion dont je vous ay parlè, et dont je vous auray l'obligation toute entiere. Je fuis avec infiniment d’eftime etc. P.S. Je ne fcay pas pourquoy ces Mrs. de Leïpfich m'ont donnè cette fois le titre de Dynafta in Zulichem 37) au lieu de Zeelhem, qu’ils ont mis cy devant et _ qui eftoit comme il faut. On pourroit croire qu’ils parlent de deux Chriftiani Hugeniïi; vous pouvez par occafion, Monfieur, les detromper. | #) J'efpere de Mr. Bernoully l’analyfe par voftre methode. Trocq de Fatio. Tfchirnhaus que dit-il. Dynafta in Zulichem [ Chriftiaan Huygens]. F) Non pas celles cy [Chriftiaan Huygens]. c 36) Voici la propriété en question Soit AB une hyperbole décrite sur les asymptotes Oz et OC, et A'B'une logarithmique G er 5) àsous- tangente constante #’'D’. Alors, si | Aa=A'4";Bb=— B'p' (ou plus géné- 0 m2 b 0” &« VD! ralement: A’7': B''—A4:B), on a la relation suivante: ,,espace hyper- bolique A Ba: ,,parallelogramme de l’hyperbole” OA —4'L' :4'D' 37) Voir la note 1 de la pièce N°. 2681. B CORRESPONDANCE. 1691. 135 N° 2694. CHRISTIAAN HUYGENSs. [août 1691.] Appendice de la pièce No. 2693*). La pièce se trouve à Leiden, coll. Huygens. ç I). Sit catena AV; vertex À; axis CAM; Aa tangens in vertice; Vr tangens in P » l'E n 2 de: y Le 16 J_h \ ? IRDEErT.N où e et (e) représentent les sinus de la latitude des lieux extré- mes de la loxodromique. 19 Snellius l'avait fait dans Me suivant: Willebrordi Snellii à Laval R. F. Tiphys Batavus, sive Histodromice, De navium cursibus et re navali. Lugduni Batavorum, Ex Officinà Elzeviriana, Anno CI919CXX1V. in-4°. 11) Voir le deuxième alinéa du septième théorème de la pièce N°. 2681. 12) Voir les Lettres Nos, 2627, 2632, 2636, 2639 et 2659. C GA N 160 CORRESPONDANCE. 1691. en voyés maintenant l’ufage dans la chainette, car c’eft ainfi qu’on donne des veri- tables points des lignes tranfcendantes *#). Et je croy que c’eft ultimum quod in illis humano ingenio praeftari poteft. Il eft vray que ce n’eft pas tousjours fi aife- ment. Cependant icy le calcul m’a mené cout d’un coup à la confideration des Logarithmes, fans que j’ay eu befoïn d’y aller par detour. Ce que j’avois dit que je faifois dans la courbe fuppofita ejus conftruétione ne vous doit troubler. Je le diray bien encor, comme fi je difois que ducere minimam ex punéto dato ad para- bolam, eft un probleme refolu le plus abfolument, fuivant le ftyle des anciens, mais fuppofita parabolæ conftruétione, car alors on n’a befoin que de la regle et du compas. Quoy que j’aye la conftruétion de la chainette aufli bonne qu’il eft “poflible d’avoir, ce n’eft pas tout à fait fuivant la Geometrie ordinaire. Voudriés vous que j’euffe dit en vous écrivant fuppofitis Logarithmis et fuppofita quadra- cura Hyperbolae, ou quelque chofe de femblable ? En parlant comme j’ay fait, je me tenois dans la generalité et je ne voulois pas faire penfer que j’avois quelque chofe de plus qu’on n’auroit pû attendre. Mais c’eft afés de ce procès. . Vous avés raifon d’eftimer la Methode de reduire les quadratures à celles de l’Hyperbole ou du Cercle quand cela fe peut, j’ay quelque chofe la deffus, et ce que j’eftime beaucoup la dedans c’eft qu’une même methode me mene à une folu- tion abfolue ou au Cercle ou à l’'Hyperbole, felon la nature de la chofe. Mais je n’ay pas encor paflé certains limites; il me faudroit de l’afiftence, car je fuis rebuté des calculs. Je fouhaitterois aufli de pouvoir rousjours reduire les quadra- cures aux dimenfions des lignes courbes, ce que je tiens plus fimple. Avés vous peut-eftre penfé à ce point Monfieur. Lors que j’ay donné mon calcul Oëtob. 1684, j’ay aufli remarqué p. 473, que la foutangente de la Logarithmique eft conftante”) +) Je l’avois même deja mis dans mon traité de la quadrature Arithmetique *5), ou je m’en fervois à la quadrature . de l’efpace de la Logarithmique. Mais j’ay quitté la penfée de publier ce traitté. A l’egard des lignes de Mr. Bernoulli, vous avés raifon, Monfieur, de ne pas approuver qu’on s’amufe à rechercher des lignes forgées à plaifir. J’y adjoute 73) Allusion à la construction de la chaînette au moyen de la courbe logarithmique, exposée par Leibniz dans la Lettre N°. 2688, et dans son article sur la chaînette, cité dans la note 1 de la Lettre 2681. 14) Vers la fin de l’article cité dans la note 5 de la Lettre N°. 2265, Leibniz se propose de trouver la courbe dont la soustangente est constante et i! montre que cette courbe doit être une logarithmique. 15) Voir la note 6 de la Lettre N°. 2192. Quoique le manuscritinentionné dans cette note n’ait jamais été imprimé, on peut consulter ici la Prop. 46 du ,,Compendium quadraturae arithme- ticae”, publié en 1858. par C. I. Gerhardt, au T. V.de ,,Leibnizens mathematische Schriften”, p.99—112, dont les propositions correspondent, d’après Gerhardt, avec celles du traité. CORRESPONDANCE. 1691. 161 pourtant une limitation : fi ce n’eft que cela puiffe fervir à perfeétionner l’art d’in- venter. C’eft pourquoy je ne defapprouve pas que des perfonnes qui ont du loifir et de l’inclination, et furtout des jeunes gens, s’y exercent. Et c’eft pour cela que je ne veux pas décourager non plus ceux qui s’exercent dans les nombres. Parce que c’eft encor en cela que je trouve l’Analyfe imparfaite, je fouhaitte que nous puiffions encor dans ce fiecle porter l’Analyfe des Nombres et des lignes à fa per- feétion, au moins quant au Principal, ut hac cura genus humanum abfolvamus afin que dorefnavant on tourne toute la fubtilité de l’efprit humain à la phyfique. Je croy qu’on pourroit voir ce fouhait accompli fi quelques perfonnes propres à cela s’entendoient. Du refte je n’ay pas entendu non plus ce que Mr. Bernoulli veut dire avec fon arc de cercle dans la voile. Les occupations que j’ay m'ont fait refifter à la tentation de penfer aux chofes qu’il propofe. Si M. Fatio le veut, nous envoyerons à M. Meyer à Breme nos Methodes promifes pour les Tangentes à fin qu’il en faffe l’echange quand il les aura receues routes deux. Je remarque plufieurs fautes d’impreflion dans mon difcours fur la loxodromie, Aétes de Leipzig du mois d'Avril p. 181. Car ligne 12, au lieu de 1 /27, il faut mettre 1/3/, et ligne 20 au lieu de 1/27 il faut mettre 1/14; et ligne 25 au lieu de 143, il faut mettre 2/3/. Et p. 182 Æn. 20, j’ay manqué moy meme, par inadver Ne es : À ASS tance, mettant: + = + - etc. au lieu de mettre comme j’avois deja mis aupara- van + 2); —@ erc. ce que le difcours meme fait affez voir. Je remarque cela afin que fi vous vouliez daigner de lire ces chofes vous n’en foyez * point arrefté. Je crois d’auoir déja indiqué quelque chofe dans ma precedente touchant ce rapport de la loxodromique à la chainette. Du moins puifque vous aviés reduit la chainette à la fomme des fecantes felon les arcs dans voftre folution, et que j’avois reduit cette fomme aux logarithmes dans les aétes d’avril 1691, vous y pouviés déja voir le rapport de la chainette à la quadrature de l’Hyperbole. L’equation de la courbe auxiliaire (felon vous) eftant xxyy — 44—44yY, je ne fcais comment vous vient xxyy = 4 44—x4 1%), la quadrature ‘?), ou x4y eft la fomme des tangentes, felon les finus de complement, la quelle fe trouve égale à la difference entre la fomme des fecantes felon les arcs et la fomme des finus de complemens felon les arcs. Or cette derniere fomme eft trouvable abfolument donc la quadrature à la quelle vous reduifés la chainette, depend de la fomme des 16) Voir le septième théorème de la-pièce N°. 2681. 17) La remarque qui va suivre se rapporte à la première des deux courbes mentionnées. En effet, il est clair que la quadrature Î x dÿ —= Î ere V/# " dy de cette courbe se réduit facile- y Œuvres. T.X. 21 162 CORRESPONDANCE. 1691. fecantes felon les arcs, que j’ay reduite aux logarithmes. Et pour appliquer voftre equation à la chainette, x eftant la longueur de la chainette depuis le fommet, la fomme des y (felon les x) ‘*) fera l’ordonnée de la chainette, 4 eftant l’unité ou le parametre. C’eft ainfi que la quadrature de voftre courbe donne la chainette. Je ne fcay fi j’ay deviné vos raifonnemens. Je fuis avec zele. MONSIEUR Voftre trefhumble et trefobeiffant feruiteur LEIBNIz. #) bona verba. Je cherchoïis un compagnon dans mon ignorance et peu de pene- cration, fi vous jugez que d’autres pourroient avoir quelque penfee femblable a celle que j’ay eue. Vous pourriez en publiant voftre calcul, publier a cette occafion la lettre de Florence qui fera une certitude entiere [ Chr. Huygens]. ?) fi la recherche de la chainette vous en fit fouvenir, il femble donc que vous aiez aufli reduit fa conftruétion a la fomme des fecantes des arcs egalement croiffants [ Chriftiaan Huygens]. ss y) a quoy vous ferviroit aiant la parfaite ? [Chriftiaan Huygens]. 4) mais non pas qu’elles reprefentent le quarre de l’hyperbole [ Chr. Huygens]. ment, à l’aide de la substitution y=—7 cos y, à l'intégrale Î tgp4. cos y (,,la somme des tangen- tes selon les sinus du complément”), qui est égale, en valeur absolue, à secg dg— [cos qp dy. Il est curieux de remarquer que Huygens, au contraire, était arrivé à la courbe en question en réduisant l’intégrale Î cos p. d. tg q à la quadrature Î y4x de cette courbe, comme on peut le voir au $ VIII de la pièce N°. 2625. 18) C'est-à-dire: ( ydx; mais lisez plutôt: ( 2 dx. Alors le théorème est conforme au résultat du $ VIII de la pièce N°. 2625, généralisé comme nous l’avons indiqué, pour le $ VII, dans la note 22 de cette même pièce, l’,ordonnée” de Leibniz n’étant autre que la ligne LK de la figure 4 de cette pièce. CORRESPONDANCE. 1691. 163 N° 2700. CuHRistTiAAN HuycEns à N. FaTio DE DuiLLiEr. [25 SEPTEMBRE 1691]'). Une partie de la lettre a été publiée par P. Prévost *). La lettre est la réponse au No. 2697. Monfieur, Je viens de recevoir avec joie celle que vous m'avez fait l'honneur de m'écrire après votre arrivée à Londres, étant bien aife de vous voir paffer la mer fans mauvaife rencontre. J’ai été il y a 15 jours vous chercher à la Haïe, pour vous rendre le papier où font les errata du livre de Mr. Newton3).... J'attends la réponfe de Mr. Leïbniz à ma dernière lettre, dans la quelle je l’ai preflé d’ac- complir le marché que vous favez#). S’il tarde davantage, je commencerai à foupçonner qu’il n’a pas envie de le tenir. Je vous feray part de ce que j’appren- drai ou de ce que je receurai de fa part, et me dirai en finiffant avec toute l’affeétion poffible, etc. HuYGENs DE ZULICHEM. N° 2701. G. Meier à CHRISTIAAN HuYGENs. 26 SEPTEMBRE 1691. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle fait suite au No. 2678. Chr. Huygens y répondit par le No. 2711. Iluftri Viro CHRISTIANO HuGENIO G. Merrus E.S. P. +) Ex celeb: Leïbnizii literis diu jam eft quod intellexi, literas quibus ejus ad Te, Vir Illuftris, fpeétantes incluferam, reéte extraditas effe. Idem ille officium e 7) Voir la note 4 à la fin de la Lettre N°. 2697. ?) Le Recueil, cité dans la Lettre N°, 2570, note 1. Prévost mentionne la lettre comme étant sans date et sans adresse. La lettre elle-même ne se trouve plus dans la collection Fatio de Duillier de la Bibliothèque publique de Genève et la minute nous manque. 3) Ici Prévost supprime une partie de la lettre. #) 11 s’agit toujours de l'échange de calculs mentionné dans la note 3 de la Lettre N°. 268c. Leibniz l'avait accepté par sa lettre du 27 mai 1691, notre N°. 2682, et promis d’envoyer sa méthode touchant le problème renversé des tangentes, ce que Huygens venait de lui rap- peler dans une phrase que l’on rencontre à la page 134 de la Lettre N°. 2698. 164 CORRESPONDANCE, 1691. noviflimis tabellariis à me exquirit, egoque Viro optimo devotus curas iftas in me lubentiflime recepi *). Aperuit in cæteris folutionum Geometricarum inftituendas commutationes. Ego quemadmodum honori mihi duco tantis nominibus non in- notuifle cantum fed et fervitiis reddendis aliqua ulla ratione parem effe, ita veftris utriufque defideriis promptum me paratumque fifto. Vale, Vir Celeb: et rem ‘eruditionis reconditae, ut facis, porro ftrenue promove, meque ama. Dabam Bremae die Septembris menfis Sexta decima À. æræ Chriftianæ ciorocxci. A Monfieur Monfieur C. Huycexs Seigneur de Zuylichem à L'Haye. franco tot Amfterdam. #) Refpondi 16 Nov. 91 [Chriftiaan Huygens]. D 4 N°: 2700. D. Papin à CHRISTIAAN HUYGENS. 25 OCTOBRE 1691. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle a éié publiée par E. Gerland”). Elle fait suite au No. 2691. : ; Chr. Huygens y répondit par le No. 2706. de Marbourg ce 25e Oétob. 1691. LA MONSIEUR Je me donnay l'honneur de Vous ecrire le 16e d’Aouft, et je Vous faifois vne defcription fort ample de la machine de Drebell telle que je l’ay executée l’eté 1) C'est-à-dire d’expédier à Christiaan Huygens la lettre de Leibniz du 21 septembre 1691, notre N°. 2699. 1) Leibnizens und Huygens Briefwechsel mit Papin, p. 180. CORRESPONDANCE. 1691. 165 dernier 4 Caffell par ordre de S. A. S$, noître Prince: J’ij adjoutois aufli vn projet d’vne autre machine pour le mefme deffeing, qui me fembloit et plus commode pour l’ufage et plus facile pour l’execution, et je Vous fuppliois tres humblement de m’en dire voftre fentiment, ne doutant point que Vous ne contribuafliez avec plaifir à affleurer S. A. S. du fondement qu’on peut faire fur ce deffeing. Cepen- dant, Monfieur, je n’ay depuis ce temps receu aucune refponfe de Vous ni de mon coufin Gouffet a prefent Profeffeur à Groningue par qui je Vous avois envoyé ma lettre et qui fans doute Vous l’aura rendue ou fait tenir feurement *). Cela me fait croire que les lettres qu’on m’ecrit fe perdent, puifque Vous avez bien daigné me faire l'honneur de m’ecrire dans d’autres occafions ou il ne s’agifloit point de donner quelque fatisfaétion à vn grand Prince. Je prens donc a prefent vne voye plus feure pour Vous fupplier tres humblement, Monfieur, d’avoir la bonté de me . faire refponfe et de l’addreffer à Mons.r de Haes#) fecretaire de S. A.S. de Heffe à Caffel qui a eu la bonté de m’offrir fon aide en cecy, auffi bien qu’il a desjä fait pour l’excution de la machine: J’efpere que par ce moien il n’ij aura point de - danger pour la lettre: er en cas que vos autres occupations Vous empefchent de me refpondre amplement, je Vous fupplie du moins de le faire en deux mots, et que je puifle au moins fçavoir fi Vous approuvez ou defapprouvez mes penfées. J’at- cens cet effeét de la bienveillance dont vous m’avez tousjours honoré, et la per- miflion de me dire avec vn profond refpeét, MONSIEUR Voiître tres humble et tres obeïffant feruiteur D. Papin. ?) Voir la Lettre N°. 2692. 3) Johann Sebastian Haas, secrétaire de cabinet, archiviste et bibliothécaire du landgrave de Hesse-Cassel, né à Berne en 1641, protecteur et ami de Papin. Il assista comme secrétaire d’ambassade au congrès de Nimègue en 1678 et mourut en janvier 1697. On a deluiun ouvrage sur l’art d'écrire en chiffres, intitulé: Steganographie nouvelle, où cet art imparfait jusqu’icy, a été mis dans une plus grande perfection. Dédié à S. A. S. Msgr. le Landgrave de Hesse par S. B. E.S. (son bibliothécaire et secrétaire) Cassel. 1693, in-4°. 166 CORRESPONDANCE. 1691. N° 2703. J. De Graarr à CHRisriAAN HuyGEns. 27 OCTOBRE 1691. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. 27 O&. 1691. Edele, Achtbare Geftrenge en Zeer difcrete Heer Mix Her dit wijnige heb ik niet ondienftigh connen oordelen om UEdie te adviferen; hoewel ik niet cwijffel off UEdle fal genoeghzaam verftendigh zijn het aankomen van de Ooft Indifche Rethour fchepen in de have van ons Lieve Vaderland (waar voor de Heere onfe God alleen alle Loff, pris en Eere toekomt) zijn wij toen mede op dat pas met Een derfelve wel gearriveert en tegens woordigh van Zee- land (want wij in de have voor Ter Veer ten anker, fchoon het fchip voor de ‘ kamer Amfterdam thuys hoort, zijn gekomen) alhier in de ftad zijn gearriveert, en de horologien met de inftrumenten in een Lichter gefcheept,om achtervolgens vervoert te werden en op’t Ooft Indifche huijs tot nader ordre zijn verblijfft plaats te nemen;, aangaande de proeff bij de horologien uijtgeftaan *) iets te fchrijven off te fpreken fal ik UEdle ordre af wachten & hier mede blijve ik als te voren UE Gehoorfaamfite en onderdanigfte dienaar JoAN: DE GRAAFF. Aétum den 27 Oétober Amfterdam. Aan de WelEd.le Geboore, Wijfe, en Zeer Genereufe Heer de Heer CRiISTIAAN HUÏjGENS Heer van Zuylichem &t: Tot ’s Graven Haagh. LL _ d 1) On peut consulter sur cette expédition, dans laquelle les horloges avaient été confiées aux soins de J. de Graaff, la Lettre N°. 2656 du volume présent; ainsi que les pages indiquées dans la Table des matières du Tome IX sous l’article : , Expériences sur mer avec les horloges maritimes à pendule de Chr. Huygens”, à commencer par la page 418. \ CORRESPONDANCE. 1691. 167 N° 2704. P. BaAERT:) à CHaristTiAAn HuyGEns. 28 OCTOBRE 1691. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Chr. Huygens ÿ répondit par le No. 2714. tot dunkerque den 28en O&tob. 1691. 2) Mu HEER Bij geval is mij cer handt gekommen feeker traétat de la lumiere &c. door U. E. gecompofeert ende gedemonftreert volgens de principen der ondulatien. Ik fag over feuen jaeren tot toulon een gedruét traétat gecompofeert door eenen Jefuit, die het feyde te weefen de overblyfsels van pardies fchriften maer iemant heeft mi dit boecxken ontvonden, fyn titel was”) /4 propagation de la lumiere &c.*). voor foo veel als mij noch daervan jndachtich is, mij dunckt dat het niet veel bij- fonders en was, Jk hebbe om de grootachtinge van uwen naem, daer alle Ljef- hebbers aen fchuldich fyn, het uwe met opmerkinge twee mael doorleefen, Jn de eerfte mael vond jk fwaericheyt Voornamelijk op page 71 alwaer de ftralen ofte ondulatien vertragende gaen jnt glas en weder uyt tglas gaende haere eerfte raffche bewegingen ernemende®), dit dacht my tegen[eggelijk maer naerder be- dinkende foo befloot ik daer uyt dat d’ondulaties die voortgebracht zijn door eenne kleynne kracht evenfoo feere fouden voortgaen als die door eenne groote kracht . voortgebracht worden, hier op dede jk veel experientien werpende in den ftjl- ftaende waeter groote en klenne gefteenten, en mij dacht dat d’ondulatien van de kleynne foo feer verwijderden van haer centre als die van de grootfte doch dachte jk dat uE. defe onderftellinge haddet behooren te ftellen eyndelyk begon jk dit traétaet voor de tweede mael te erlcfen en dat met meerder attentie en bevonden op midden van page 25 dat uE defe onderftellinge aldaer doet, en ben eyndelyck alfoo voort gegaen en verftaen alle uwe demonftratien. Soo van de wonderlyke refractie vant Jflants kriftael ende andere, maer int difcours van de Caufe vant gewichte is my noch eennege fwaericheyt overgebleuen omdat ik niet genouche verlicht en ben in de naturkonft. Mijn verfoek foude fijn, ontrent den toekom- menden winter als mij den cijt fal diennen dit voor de derde mael te overlefen, dat uË. foude gelieven de goedheyt te hebben van mij te permiteren dat jk mijnne difficulteyten aen uË mochte overfenden om van uE eemnich verklaringe te ge- nieten*),. 1) Sur P. Baert, consultez la Lettre N°. 2085, note 1. ?) Sur la lettre de Baert, Chr. Huygens nota la correction suivante de son Traité de la Lumière: pag. 39, lin. 5. pour exrérieure lisez intérieure. 168 CORRESPONDANCE. 1691. Jk hebbe gefien over eennige maenden in de hollantfche gazetten datter tot amfterdam per/oonnen [yn die opentlyk leeren tvinden van oof! en wefl®)5). Jnt cas van navigatie uE foude my eennen byfonderen dienft doen van my te feggen of fy daer toe gebruyken uËs gejnventerde pendulen, offe of [y tes anders!) meynnen. gelieft mynne ftouticheyt ten beften te duyden en niet te mifachten dat jk waere- lyk ben Mix H£ER UE alderonderdanichften en feer geafFettionerden Dienaer P. J. BAERT. Soo uE my gelieft te ancworden met een fimpel regeltien Jk fal het houden inde aldergrootfte dankbaerheyt. en mynne adreffe is a M. Baert hydrographe du Roy a Dunkerque. Jk wenfte wel te weeten offer in 3 a 4 Jaeren erwaerts niets en is gefchreven vande mathefis dat raer is anders als uE. boexken#). A Monfieur Monfieur Huycens feigneur DE ZEELHEM A la haïje: dans la hollande. #) Refpondu le 22 nov. 91 [Chriftiaan Huygens]. }) of het niet en was l’Optique du P. Ango. die Pardies overblijfsel bedurven heeft #). [Chriftiaan Huygens]. ‘) hier was de grootfte fwarigheyd in de refraétie volgens des Cartes [ Chriftiaan Huygens]. 4) geern als het niet te veel fchrijvens van nooden heeft. veel beter dat hij eens bij occafie van vrede overquam [ Chriftiaan Huygens]. ‘) dit fijn onbefchaemde en onwetende en men heeft de proef onder handen, die noodfaeckelijck flecht uyt fal vallen [ Chriftiaan Huygens]. 1) fij pretenderen de maenfloop daertoe te gebruijcken ”t geen bij veel ander ver- ftandiger als fij menighmael te vergeefs ondernomen is geweeft | Chriftiaan Huygens]. £) het boek van Newton maer is Puy de Aéta Lipfienfia, te Paris FERRER Huygens]. — 3) Ils’agit de la prétendue invention de Lieuwe Willemsz. Graaf. Voir les notes 1 des Lettres Nos, 2536 et 2538. 4) Voir, aux pages 522 et 523, la Lettre N°, 2628. Re TR + PE 3 ARC 97 | TE A Le af 14 rs POP Tr W ES Ne ER To fh 2 LS nes et Le PES SL GS Se a CORRESPONDANCE. 1691. 169 Le N° 2705. CurisTiAAN HuycEns à H. BASNAGE DE BEAUVAL. [OCTOBRE 1691.] La lettre a été publiée dans l’Histoire des Ouvrages des Scayans ”). Lettre de Mr. Huycexs à l’Auteur touchant le Cycle Harmonique. Je vous envoye une remarque nouvelle en matiere de Mufique. Elle regarde les premiers fondemens de cette fcience, c’eft-à-dire la determination des tons que l’on obferve dans le chant, & dans la fabrique des Inftrumens. Ceux qui ont un peu étudié cette partie de la Theorie favent ce que c’eft, qu’on apelle le Tempe- rament qui modere ces tons, & combien il eft neceffaire dans l’accord des tuyaux d’Orgue ou des cordes du Clavecin. Les plus celebres auteurs, comme Zarlin ?) & Salinas®), en parlent comme d’une des plus belles chofes, & des plus utiles qu’on pôt trouver dans la Mufique, & fe difputent à qui des deux eft l’honneur de lavoir examiné le premier, & reglé par raifon & demonftration mathematique; car devant eux l’experience & la neceflité l’avoient dejà introduit en quelque maniere, fans qu’on en füt pourtant la vraye mefure ni la methode. C’eft l’inven- tion de ce Temperament qui fait negliger avec raifon toutes les divifions des Tetrachordes & du Diapafon des Anciens, la plupart abfurdes & de nul ufage pour la compoñition à plufieurs parties; & c’eft par elle que nôtre Syfteme des tons . eft plus abondant en confonances, & plus felon la nature du chant que n’etoient _ les leurs. Je fupofe icy que l’on fait les proportions, dans lefquelles confiftent les confonances parfaites; favoir que la Quinte s’entend, quand après avoir fait fonner la corde entiere, on touche enfuite fes deux tiers; ou bien que la proportion qui produit cette confonance eft celle de 3 à 2. Celle de la Quarte, de 4 à 3; de la -Tierce majeure, 5 à 4; de la Tierce mineure, 6 à 5; de la Sexte majeure, 5 à 3;de la Sexte mineure, 8 à 5. Et quant au Temperament, ces mêmes Auteurs que je viens d’alleguer nous apprennent, que pour l’apliquer aux inftrumens, la confo- nance de la Quinte doit être diminuée de ce qu’on apelle le quart de Comma, qui eft fi peu, que l'oreille à peine aperçoit cette diminution, & n’en eft nullement ©) Dans le fascicule du mois d'octobre, pp. 78 et suivantes. ?) Giuseppe Zarlino, né à Chioggia en 1517, depuis maître de chapelle à l’église Saint-Marc à Venise. [1 publia: Istitutioni armoniche, Dimostrationi armoniche et quelques autres ouvrages rassemblés dans une édition de ses Œuvres, publiée a Venise en 1589, 4 Vol. in {°. Il mourut le 4 février 1590. 3) Sur Francesco de Salinas et son ouvrage, consultez la Lettre N°, 2591, note 3. Œuvres. T, X. Ë 22 170 CORRESPONDANCE. 1691. : incommodée; le Comma entier étant le raport des tons de la corde entiere contre elle même racourcie feulement de 4. Il s’enfuit de là, que la Quarte eft augmentée de cette même petite quantité. La Tierce y eft de même diminuée de + de Comma, & par confequent la Sexte majeure augmentée d’autant; mais la Tierce majeure y demeure dans fa perfection; & par confequent auffi la Sexte mineure. C’eft fuivant ces mefures des confonances, qu’on regle tous les tons des inftru- ments, tant les Diatoniques, que les Chromatiques, qu’on y a ajoütez, & même les cons Enarmoniques, lors qu’on en met pour rendre les jeux plus complets. Or la remarque que j’ay faite, c’eft que fi on divife l’Oftave en 31. intervalles egaux, ce qui fe fait en cherchant 30 longueurs moyennes proportionelles entre route une corde, (qu’on prend pour regle Harmonique) & fa moitié; on trouvera dans les tons que produifent ces differentes longueurs, un Syfteme fi aprochant de celuy qui provient du Temperament que je viens d'expliquer, qu’il eft entiere- ment impoflible que l'oreille la plus delicate y trouve de la difference. Et que pourtant ce même nouveau Syfteme fera d’une nature bien differente de l’autre, & apportera de nouveaux avantages tant pour la Theorie que pour la Pratique. Salinas fait mention de cette invention de divifer l’Oétave en 31 parties égales, mais ce n’eft que pour la condamner; & le P. Merfenne après luy la rejette de même, d’où l’on pourra bien me croire, fi je dis que ce n’eft pas de ces Autheurs que je l’ay prife. Mais quand cela feroit, je croirois avoir fait affez, d’avoir demontré l’excellence de cette divifion par les principes de la Geometrie, & de l'avoir foûtenuë contre l’injufte arrêt prononcé par ces deux celebres Ecrivains. Il y a dans le 3. livre de la Mufique de Salinas un Chap. entier fur ce fujet +), dont l’infcription eft, De prava conffitutione cuju/dam inffrumenti, quod in Italia citra quadraginta annos fabricari coeptum ef, in quo reperitur omnis tonus in partes quinque divifus. X] dit que cet inftrument étoit nommé Archicymbalum, qu’il était éncerti authoris; que certains Muficiens fort habiles l’avoient en grande eftime; & particulierement de ce qu’il avoit tous les intervalles, & routes les con- fonances (comme ils croyent dit-il) en deffus & en deffous, & qu'après une cer- taine periode on y revenoit au même fon, ou équivalent, d’ou on étoit parti. Que l’'Oétave y étroit divifée en 31 parties égales, qu’ils apelloient Diéfes, des quelles le ton en devoit contenir 5; le grand femiton 3; le petit 2; la Tierce majeure 10; la Tierce mineure 8; la Quarte 13; la Quinte 18; la Sexte mineure 21; la Sexte majeure 23. Mais il ajoûte, qu'ayant effayé d’accorder un inftrument de cette façon, il a rendu un fon fort defagreable, & qui offenfoit extremement les oreilles de tous let affiftans. De forte qu’il conclud, qu’un tel accord s’éloigne de 4) Dans le livre G des Adversaria Huygens a transcrit quelques passages du livre de Salinas, en y ajoutant quelques remarques qu’on retrouve dans notre pièce. CORRESPONDANCE. I 691 ‘ 171 toute raifon Harmonique, foit qu’on l’examine fur le pied des confonances juftes, ou de celles du Temperament. Outre fon experience il allegue encore certain argument, pris de la maniere dont il dit qu’on fe fervoit à faire certe divifion; & le P. Merfenne croit de même l’avoir bien refutée. En quoy ils fe font trompez tous deux, pour n’avoir fü divifer l’Oétave en ces 31 parties égales, ce qu’aparemment les inventeurs même n’ont fù non plus; parce qu’il faloit pour cela l’intelligence des Logarithmes, qui n’étoient pasencore inventez de leur rems, ni de celuy de Salinas. Enfin ce nouveau Temperament, qu’ils rebutent fi fort, fe peut dire le plus excel- lent de tous, ayant tous les avantages qu’on luy attribuoit; fur tout cette fimplicité, qu’il aporte dans la Theorie des tons; & étant fi peu different de celuy dont tous fe fervent, que l’oreille ne les fauroit diftinguer; comme je vais le prouver par le calcul. Je dis donc premierement, que-les Quintes de cette divifion ne furpaffent celles du Temperament que de 2 de Comma, difference que l’ouïe ne fauroit aucune- ment apercevoir; mais qui autrement rendroit cette confonance d’autant plus aprochante de la perfection. Les Quartes par confequent ne font excedées par celles du Temperament Or- dinaire, que de cette = de Comma, & elles tendent aufli d'autant plus vers la perfection. Les Tierces mineures font moindres que celles du Temperament de +? ou environ ;; de Comma; & les Sextes majeures excedent d'autant les Sextes ma- jeures du Temperament; toutes deux à la verité en s’éloignant de la proportion parfaite; mais on voit que cette difference de ;; de Comma ne fauroit être per- ceptible, ni augmenter fenfiblement le + de Comma, dont ces confonances s’écar- coient déjà des veritables dans le Temperament. Les Tierces majeures enfin furpaffent celles du Temperament, qui font par- faites, de -#-, ou environ ;: de Comma, qui eft fi peu de chofe, qu’on ne les pourra jamais prendre que pour parfaites, nonobftant cette petite augmentation. Car que peut faire 4 de Comma tout feul, puifque un + fe fouffre fi aifément. On peut conclure de la pétiteffe de toutes ces differences, que lors qu’un jeu d’Orgue, ou un Clavecin fera accordé fuivant le Temperament ordinaire, il le fera aufli fuivant la divifion nouvelle, autant que l'oreille pourra difcerner. Mais fi pourtant on veut fe fatisfaire entierement la-deffus, & accorder un inftrument felon les 31 parties égales de l’O&tave, on n’aura qu’à divifer un monocorde, fuivant les nombres que l’on verra dans la Table que je donne; & en mettant toute la corde à l’Uniffon, avec le C du Clavecin ou de l’Orgue, accorder de même les autres cordes ou tuyaux, avec les fons que cette divifion leur attribue, & que lon entend, en plaçant le- chevalet felon qu’elle marque. Pour ce qui eft de l’Archi- cymbalum dont parle Salinas, je doute s’il n’a pas eu 31 touches à chaque Oftave; mais parce qu’on ne fauroit fe fervir d’un cel clavier, fans fe confondre dans la multiplicité des touches & des feintes, le meilleur feroit à mon avis, de mettre 31 172 CORRESPONDANCE. 1691. cordes fimples pour chaque Oétave, ce qui fe peut fans beaucoup de difficulté, & ayant fait les bâtons qui levent les fauteraux tous d’egale longueur, hauteur & largeur, laquelle largeur faffe une cinquiéme de celle d’une touche ordinaire, pofer par deffus un clavier mobile, avec des pointes attachées par deffous à toutes les touches; qui étant une fois bien ajuftées, pour faire fonner les cordes qu’on employe dans chaque Oétave, le feront de même pour toutes les Tranfpofitions. De forte qu’on pourra les faire fans aucune peine, par tons, femitons, & jufques à des cinquiémes de tons; étant certain, que tous les tons & accords fe trouvent également juftes par tout; ce qui fera fort utile, & donnera du piaifir. J’ay autrefois fait faire à Paris de tels claviers mobiles, pour les placer au deffus des claviers ordinaires des Clavecins, & faire par ce moyen plufieurs Tranfpofitions, quoi que non pas toutes complettes; & cette invention fut aprouvée & imitée par de grands maîtres. Or afin que l’on puiffe s’affürer de la verité de ce qui a été dit cy-deffus, on peut voir cette Table, dont j’explique le contenu & l’ufage. La 2. Colomne contient les nombres qui expriment les longueurs des cordes qui font les 31 intervalles egaux fuivant la nouvelle divifion; la corde entiere étant fupofée de 100000 parties, & par confequent fa moitié, qui fait l'Oftave contre elle, de 50000. A côté dans la 3. Colomne font les fyllabes, dont on fefert en chantant, & des * pour quelques cordes Enarmoniques, dont celle d’auprès du Sol * eft la plus neceffaire. Dans la 4. Colomne font les lettres, qui fervent à l'ordinaire à defigner les tons. Les nombres de la 2. Colomne ont été trouvez par ceux de la I, qui font leurs logarithmes refpeétifs. Et pour avoir ceux-cy j’ay divifé le logarithme de 2, qui eft 0,30102999566 par 31; d’où eft venu le nombre N, 97106450, que j’ay ajouté continuellement au logarithme de 50000, qui eft 4,6989700043; & de ces additions font procedez tous les logarithmes de la Colomne jufqu’au plus grand 4,9999999993, qui manquant de fi peu de 5,0000000000 (qui peut être fubftitué pour luy) fait voir que le calcul a été bien fait. Ceux qui entendent les logarithmes, favent qu’il a falu faire ainfi, pour avoir les 30 nombres proportionaux entre 100000 & 50000. La 5. Colomne contient en nombres les longueurs des cordes fuivant le Tem- perament ordinaire, & dans la 6. Colomne font les logarithmes de ces nombres. Je pourrois montrer comment je les ay fuputez, & même comment ce Tempe- rament fe pouvoit trouver s’il ne l’eût pas encore été. Mais cela feroit trop long, & il fuffira que je montre icy la maniere d'examiner, & la jufteffe de ces nombres, & tout ce qui a été dit touchant la divifion nouvelle, & du raport qu’elle a-avec le Temperament. CORRESPONDANCE, 1691. LA, Divifion de l’O&tave en 31 parties égales. Divifion de l’Oétave fuivant le Temperament ordinaire. L. N 97106450 4, 6989700043 4, 7086806493 471839012943 4,7281019393 4,7378125843 474752322903 4,7572338743 4,7669445193 4,7766551643 4,7863658093 4,7960764543 4,8057870993 4, 8154977443 4,8252083893 4,8349190343 4, 8446296793 4,8543403243 4,8640509693 4,8737616143 4,8834722593 4,8931829043 4,9028935493 4,9126041943 4,9223148393 4,9320254843 4,9417361293 4,9514467743 4,9611574193 4,9708680643 4,9805787093 4,9902893543 4, 9999999993 5) Lisez: 52287. IL. 50000 51131 52278") 53469 54678 55914 57179 58471 59794 61146 62528 63942 65388 66866 68378 69924 71506 73122 74776 76467 78196 79964 81772 83621 85512 87445 89422 91444 ER he 95627 97789 100000 HIT. IV. C2 V. 50000 53499 55992 57743 59814 62500 64000 66874 71554 74767 80000 83592 85599 89443 93459 20% 100000 : VI. 4, 6989700043 472834748590 417474250108 4,7577249574 4,7768024824 47958800173 4, 8061799740 4,8252574989 4,8546349804 4,8737125054 4,9030899870 392210675119 4,9324674685 495154490935 4,9706225184 4 9809224750 5; 0000000000 174 CORRESPONDANCE. 1691. Prenons qu’on veuille favoir, fi la Quinte UF, So/, du Temperament Vulgaire, eft moindre de + de Comma, que la Quinte veritable, que fait la proportion de 3 à 2. Du log. de Ur qui eft 5,0000000000, j’ôte celuy de :S0/, qui eft 4,8252574989; le refte 0,1747425011 reprefente la grandeur de la Quinte du Temperament, De même la difference des logarithmes de 3 & de 2, qui dans les Tables des logarith- mes eft marquée 1760912594, reprefente la grandeur de la Quinte parfaite. D’icy je fouftrais la Quinte du Temperament trouvée, & refte 13487583. Ce qui doit faire le logarithme du + de Comma. Et cela eft vray; car le logarithme du Comma entier, c’eft-a-dire la difference des logarithmes de 81 & de 80, eft 53950319 dont le quart eft 13487580. Que fi l’on veut voir, fi quelque quinte de la nouvelle divifion comme Re, La, differe de la vraye de 2—-+- de Comma, il faut feulement du logar. de Re, qui eft 4,9514467743 ôter le logar. de La, qui eft 4,776655 1643, refte 1747916100, que j'’ôte du logarithme de la vraye Quinte, qui étoit 1760912594, refte 12996494, qui eft moindre que le log. du quart de Comma, favoir 13487580; d’où je l’ôte donc, & il refte 491086. II faut voir maintenant quelle partie cecy fair du Comma. C’eft pourquoy je divife le log. du Comma, favoir 539503 19 par 491086, vient fort près ===. De forte qu’il paroît, que nôtre Quinte n’eft pas excedée d’un quart de Comma par la Quinte parfaite, mais qu’ils s’en faut 7 de Comma. De la même maniere on peut examiner tout ce qui regarde ces Tem- peramens; n’y ayant rien de fi commode que les logarithmes pour ces calculs de Mufique. CORRESPONDANCE. 1691. 175 N° 2706. CurisTiAAN Huvycens à D. Papin. 2 NOVEMBRE 1691. La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens. j Elle a été publiée par E. Gerland"). La lettre est la réponse aux Nos. 2640, 2691 et 2702. Sommaire: Vous me faites de l’honneur de demander mon avis dans une chofe que vous connoïffez mieux que moy le fort et le foible, le vaifleau de Drebbel alloit entierement fous l’eau, comme mon Pere a vu: ce que valoit bien mieux, cependant il n’a point mis en ufage cette invention qui pourroit fervir a pefcher fous l’eau, apparemment par ce qu’il y avoit trop d’enbaras. Comment de nuit trouverez vous furement un vaiffeau enemi. Je ne fuis pas pour ces in- ventions malfaifantes appliquons le a la pefche et aux experiences. Il faudroit pouvoir al- longer et raccourcir voftre tuyau ou le faire fort long d’abord. il faudroit des gens intelligens comme vous pour la conduite: l’experience du brouillard eft jolie, la raifon eft difficile a dire. « ne vous enfermez dans la machine qu’à bonnes enfeignes s’il s’y faifoit le moindre trou ou en feriez vous: dans un papier apart mes folutions fur fes doutes. qu’on voit qu’il entend parfaitement cette matiere de l’Equilibre et preflion de l’air. Hofwijck ce 2 Nov. 1691. MONSIEUR Une affez longue interruption de mes etudes pour caufe de fanté et puis d’autres empefchements ont fait retarder plus qu’il ne faloit cette refponfe a voftre lettre du *) Aouft dans la quelle vous me communiquez la conftruétion de votre bafteau fous l’eau. Je l’ay examinée et avec plaifir et jy ay reconnu voftre adreffe a pourvoir a tous les befoins de la machine, ce qui ne fe pouvoit fans une exaéte connoiffance des Equibres [fic] et des preflions de l’air et de l’eau, la quelle vous poffedez mieux que perfonne. Pour ce qui eft de fon ufage, vous voulez bien que je vous propofe les difficultez que j’y trouve. Et premierement ce tuyau pour le renouvellement de l’air qui doit eftre foutenu d’un morceau de bois leger nageant fur la furface de l’eau, pourroit a mon avis decouvrir voftre bateau en approchant des vaifleaux enemis à moins d’une obfcurité tres grande. Celuy de Drebbel n’avoit point de pareil tuyau, a ce que me racontoit feu mon Pere, qui avoit eftè prefent a Londres lors que Drebbel luy mefme ainfi enfermè, s’enfonca dans la Tamife, fans qu’on vit rien refter fur l’eau; d’ou il fortit apres un affez long efpace de temps, et à un endroit fort eloigné du lieu de fa defcente. On difoit ) Leïbnizens und Huygens’ Briefwechsel mit Papin, p. 182. 2) Lisez: 16. 176 CORRESPONDANCE. 1691. qu’il avoit quelque moien de renouveller l’air au dedans de fon bateau qui feroit une invention fort importante. Je trouve 2° que voulant ruiner des vaiffeaux enemis vous auriez bien de la peine de vous y conduire par le moyen de la bouffole qui ne feroit pas feur dans un baftiment de fer blanc outre que vous ne pourriez pas prendre de jufte mefure pour la diftance. 3° les petards et le moyen de les appliquer fous leau ne font pas non plus fans difficulté. 4° la jufte preflion de l’air me femble aflez difficile a arranger, par ou le plon- geur pourroit eftre en danger s’il manquoit tant foit peu a l’execution des pre- ceptes. 5° Puis que voftre homme (car je ne vous confeille pas de vous y mettre vous mefme) eftant couchè dans le cylindre EF 5) doit agir par le trou G#), il faut que l’air foit comprimè a un certain degrè dans ce cylindre, afin que l’eau n’entre pas par là. Mais comment cette preflion fera elle gardée uniforme, puis qu’il faut du renouvellement d’air et que vous pretendez qu’on laifferoit rentrer le vieux dans le vaiffeau AA pour fortir fans bouillonnement au deffus de l’eau? Reprefentez vous bien, je vous prie toutes ces difficultez et dangers, refrigerato inventionis amore, et confiderez apres tout que le batteau de Drebbel dont on a vu l’effet n’a pourtant point eu de fuite, qui eft un grand prejugè en cette affaire. I] faudroit faire fervir voftre machine a pefcher les debris des vaiffeaux, et les perles, plutoft qu’à faire la guere, mais rousjours cet homme couchè dans le cylindre me femble peu en eftat d’agir au dehors. Le phenomene du brouillard qui fe produit au fortir de l'air preffè eft remar- quable. Ce font comme je crois des particules d’eau, qui n’aiant plus tant d’air pour les foutenir, tombent par leur pefanteur et en tombant fe joignent. car il ya de particules de véritable air, outre celles de l’eau, et il fe peut que ces premieres echapent plus vite par l’ouverture qu’on fait que ne font les autres. Je joins icy ma refponfe 5) aux objeétions que vous me fiftes dans voftre lettre du 26 Nov. 16905). Je l’efcrivis des lors mais confiderant l’incommoditè de difputer par lettres je l’avois laiffee là. Vous eprouvez affez vous mefme cette incommoditè dans voftre demeflé avec M. Leibnits7) qui n’a pour fondement que des definitions peu exactes, er des 3) Lisez: EE. 4) Voir la seconde figure de la Lettre N°. 2691. 5) Voir l’Appendice N°. 2707. 5) Il s’agit de la Lettre N°. 2640. 7) On peut consulter sur cette polémique, qui roulait sur la vraie mesure de la ,, force motrice”, et où Papin avait pris le parti des Cartésiens, les articles de Papin dans les ,, Acta” d'avril 1689 CORRESPONDANCE. 1691: 177 mefentendus, de forte que je m’ertonne de ce qu’il croit que de voftre difpute depend de l’etabliffement des regles du mouvement). Je fuis bien aife d'apprendre que le genereux Prince que vous fervez vous a donnè des marques de fon eftime tant par l’intereft que je prens en ce qui vous regarde que par ce qu’il cemoigne par là qu’il a du gout pour les beaux arts et fciences, en quoy il fuit l'exemple de fes illuftres anceftres. N° 2707. CHRistTiAAN Huycens à D. Papin. 14 DÉCEMBRE 1690. Appendice au No. 2706. La pièce se trouve là Leiden, coll. Huygens. Elle a été publiée par E. Gerland”). Elle est la réponse au No. 2640. 4) Ad objeéta a Dion. Papino in literis 26 Nov. 1690. . La raïfon de tant de phenomenes qui s’expliquent par mon hypothefe des deux differentes extenfions de la lumiere au dedans du Criftal d’'Iflande, l’une en forme Hi et de janvier 1691 (voir les Lettres N°. 2595, note 8, et N°. 2617, note 9), ainsi que les réponses de Leïbniz dans les ,, Acta” de mai 1690 (voir la Lettre N°. 2640, note 5) et de sep- tembre 1691, dont la dernière parut sous le titre: ,G: G. L. De legibus naturae et vera aesti- matione virium motricium contra Cartesianos. Responsio ad rationes a Dn P. mense Januarii proximo in Actis hisce p. 6 propositas”. Dans l’ouvrage: Fasciculus Dissertationum, cité dans la note 9 de la Lettre N°. 2601, Papin a donné un résumé de sa dispute’ avec Leibniz sous le titre: Synopsis controversiae Authoris cum Celeberrimo Domino G. G. L. circa legitimam rationem aestimandi vires motrices. #) Allusion à la phrase par laquelle Leibniz conclut son article de septembre 1691: ,,Spero enim hac ratione absolvi quod restat, et collatione inter nos continuata tanti momenti negotium (quo constituendae sunt verae leges naturae) ad finem perduci posse. 7) Leïbnizens und Huygens’ Briefwechsel, p. 168. Œuvres. T. X. 23 178 CORRESPONDANCE. 1691. fpherique l’autre en fpheroïde vous rend cette hypothefe fort vraifemblable, mais vous ne laiffez pas d’y concevoir des difficultez, qui femblent en empefcher la poffibilitè, Je vois pourtant que vous demeurez d’accord qu’il n’eft pas impoflible que les difficultez qui nous femblent infurmontables dans l’etabliffement d’une hypothefe qui d’ailleurs fatisfait aux phenomenes, fe puiffent expliquer de quelque maniere qui ne s’eft pas encore prefentée a noftre efprit. Je n’ay pas recherchè par le menu dans mon Traitè de la lumiere, comment fes 2 extenfions fe font dans ce Criftal, compofé de particules fpheroides, par ce que cette compofition n’eftoit elle mefme qu’une conjecture, mais j’y ay penfè du depuis et voicy de quelle ma- niere la chofe m’a paru poflible. Il eft certain premierement qu’un efpace eftant rempli de matieres differentes, peut admettre des emanations d’ondes differentes en viteffe car cela arrive dans l’air meflé de la matiere etherée où il fe fait des ondes pour l’etendue du fon, et d’autres pour la lumiere qui font beaucoup plus viftes que ces premieres. Ainfi lors qu’on voit de loin tirer un canon les ondes du fon et celles de la lumiere partent en mefme inftant, mais les unes s’avancent vers nous incomparablement plus vifte que les autres. Apres pour ce qui eft des matieres qui font contenues dans le criftal d’Iflande, je conçois ou fuppofe outre celle qui compofe les petits fpheroides, une autre qui occupe les intervalles qui reftent autour des mefmes fpheroides, et qui fert a les tenir joints enfemble. Et qu’outre cela il y a la matiere de l’echer repandue par cout le criftal tant entre que dans les parcelles des deux matieres que je viens de dire, car je pofe et les petits fpheroi- des, et la matiere dans les intervalles autour d’eux eftre compofè de pärticules tres menues et fixes, entre les quelles celles de l’ether encore plus deliées et qui font en continuel mouvement font répandues. Rien n’empefche maintenant que la refraétion reguliere du criftal ne fe faffe par les ondes qui s’etendent dans cette matiere etherée, entant qu’elle ne fert que feule a cette propagation. Et pour la refraétion irreguliere je m’imagine un autre rang d’ondes qui ont pour vehicule et la matiere etherée, et les deux autres matieres du criftal, que j’ay appelées fixes. des quelles deux matieres je fuppofe que celles des petits fpheroïdes tranfmer les ondes un peu plus vite que ne fait la matiere etherée telle qu’elle eft femée dans le criftal; et que celle autour des fpheroides tranfmet ces ondes un peu plus lentement que la mefme matiere etherée. Ainf ces ondes s’etendant dans le fens de l’axe du criftal qui eft aufli l’axe des fpheroiïdes, et cela à travers les trois matieres diffe- rentes, qui donnent le paffage de differentes viteffes, il s’en pourra fort bien enfuivre la mefme viteffe ou a peu pres que celle que donne la matiere moyene, fcavoir celle de l’ether repandüe dans le criftal. Mais ces mefmes ondes, dans le fens de la largeur des fpheroïdes rencontrant dans leur paflage plus de la matiere de ces fpheroides ou du moins la paffant avec moins d'interruption, elles s’eten- dront un peu plus vifte en ce fens qu’en l’autre; et par ce moyen la lumiere formera des fpheroides dont l’axe fera egal, ou peu s’en faut, au diametre de la fphere que font les ondes pour la refraétion reguliere, mais dont le diametre perpend.e a l’axe CORRESPONDANCE. 1691. 179 fera un peu plus grand; comme j’avois trouvé ces raports par les effets des refrac- ‘tions pag. 68. Cette explication me paroit n’avoir rien d’impoflible et je crois qu’elle pourra vous fatisfaire. Si non, il faut penfer qu’il y en a peut eftre de meilleures. Je ne fcaurois douter cependant que dans ce criftal la lumiere ne s’eftende par des ondes fpheriques et fpheroïides, vu le raport exa@t de tant d’expe- riences. Pour ce qui eft de noftre difpute touchant la duretè des corps, je voudrois que vous repondifliez à mon argument du morceau de fer, ou de marbre ?) ferré dans un eftau, au quel j’ay fait voir que ni la preflion d’en haut ni de coftè de la matiere etherée ne peut empefcher de laiffer aller la partie fuperieure quand on la pouffe horizontalement. De plus je ne comprens pas comment voftre idée de l’etendue enferme aufli la refiftence et l’impenetrabilitè des corps, car ce dire : trivial que non datur dimenfionum penetratio n’a point de fens legitime. En fin un corps n’eft pas corps felon moy s’il n’a en foy de quoy maintenir fon etendue, et je ne vois pas que l’etendue elle mefme puiffe fervir a cela, Et quand cela feroit vos corps ne pourroient pourtant eftre tous que parfaitement liquides, par ce qu'aucune force de preflion par dehors ne pourroit empefcher qu’au moindre attouchement un tel corps ne changeaft de figure, mais cela eft contraire a l'expe- rience. à 14 Déc. 1690. Envoiè lé 2 novembre 1691 [Chriftiaan Huygens]. ?) Voir la Lettre N°.2617. 180 CORRESPONDANCE. 1691. N° 2708. CHRisTiAAN Huycens à J. Gousser. 2 NOVEMBRE 1691. La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens. La lettre est la réponse au No. 2692. À Mr. Gousser, Profeffeur dans l’Univerfitè de Groningue. A la Haye le 2 O&.') 1691. MONSIEUR Je laiffe ouverte la lettre que j’envoie a M. Papin, croiant qu’il veut bien que vous ayez le plaifir de participer a noftre commerce puifque vous prenez la peine d’y aider en nous faifant tenir reciproquement nos pacquets. Et quant aux deman- des fur lefquelles vous demandez mes folutions, je vous diray pour ce qui eft de celle qui regarde la diftance du Soleil felon moy de 12000 diametres de la Terre, que cet intervalle que j’avois etabli dans mon Syftema Saturnium fur quelque vraifemblance s’eft crouvè confirmè par les Obfervations de Mr. Caffini et de Mr. Picard?) faites non pas direétement fur le Soleil, mais fur la Planete de Mars dans fon Perigée qui nous approche bien d'avantage et dont la diftance eftant connue fait connoitre celle du © et de toutes les Planetes, puifque la proportion desorbites des Planetes entre elles eft connue dans le fyfteme copernicien. Ces Mrs. crouvoient par là cette diftance d’içy au foleil l’un d’environ de 10000 diametres Terreftres l’autre d’environ de 12000, comme elle eftoit aufli par mon raifonne- ment. Toutefois vous devez fçavoir Monfieur qu’il s’en faut beaucoup que ces conclufions pour la diftance de Mars ne foient auffi certaines ni fi determinées que celles qui mettent la Lune a 30 diam. de la Terre. Il y auroit environ ce nombre que vous dites des roulements du vortice de la lune dans le cercle qu’elle fait autour du foleil, mais cela ne peut guere fervir a confirmer la proportion des diftances, car quel roulement peut on concevoir fur quelque chofe qui na rien de folide non plus que celle qui roule. Quant a la difficultè que vous avez trouvè en ce que j’ofte fi peu de fa rondeur a la Terre, qu’un point fous l’Equateur n’eft pas plus eloignè du centre qu’un point fous le Pole que dans la raifon de 578 a 577, et que toutefois je veux que le niveau decline vers le nord en ces pais ou plutoft à Paris de $ min. 54”. il femble 1) Lisez: Novembre. ?) Les observations faites en 1672, de concert avec celles de Richer en Cayenne, et consignées dans le Tome VII, 1re partie, des Mémoires de l’Académie des Sciences. CORRESPONDANCE. 1691. 181 d’abord que vous ayez quelque raifon de douter. Cependant c’eft le calcul qui confirme ce que j’ay dit, et il prouve que precifement avec cette figure dela Terre le niveau doit incliner de ces 5 min. 54 fec. Mais quand cet angle feroit encore plus grand, il arriveroit tousjours.et neceffairement que la furface de l’eau feroit perpendiculaire au fil d’un plomb fufpendu, et qu’ainfi le baiffement du niveau ne feroit point apperceu du tout, puifque la ligne du niveau eft de mefme per- pendi.e à ce fil de plomb. Dans votre revolution de 6915 annees 343 jours, qui remettroit les Planetes a la fituation ou elles eftoient a fon commencement, je ne fcay pas ce que vous ap- pellez la mefme fituation, car ces aftres ayant autant qu’on a pu connoitre des temps periodiques incommenfurables, il n’arrivera jamais que feulement deux d’entre eux fe retrouvent enfemble a un mefme point du Zodiac ou ils ont eftè auparavant; quand mefme il n’y auroit point d’anomalie, et avec elle le calcul devient d’autant plus infini. On pourroit demander dans quel temps elles retour- neront toutes enfemble à 10 ou a 1 degrez pres a leur preinier lieu, mais la chofe ne merite pas qu’on s’amufe a un fi long calcul que cela exigeroit. Je fuis avec beaucoup d’Eftime Moser &c. Je vous felicite de voftre vocation a Groningue. Je ne fcay pas en quelle faculrè vous eftes employè, c’eft pourquoy j’ecris la fuperfcription fuivant voftre formule. 3) Gousset avait été nommé professeur de théologie et philosophie à l’Université de Groningen, versavril 1691, 182 CORRESPONDANCE. 1691. N° 2700. CHRISTIAAN HuycENs à G. W. LEIBNIZ. 16 NOVEMBRE 1691. La lettre se trouve à Hannover, Bibliothèque royale. La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens. La minute a été publiée par P. J. Uylenbroek”), la lettre par C. I. Gerhardt”*). La lettre est la réponse au No. 2699. Leibniz y répondit le 8 janvier 1692. A la Haye, ce 16 Novembre 1691. MONSIEUR Je me fuis ces deux derniers mois abftenu de l’etude et du travail, ayant de la peine à conferver ma fanté dans un temps ou une infinitè de monde dans ce pais eft tombée malade. C’eft ce qui eft caufe que je refpons fi tard à vofte derniere lettre du 44 Sept. Je m'en vais maintenant le faire par ordre pour ne rien oublier; mais auparavant je vous remercieray d’avoir reparè l'erreur de Mrs. de Leipfich, touchant ma Progreflion dans l’Hyperbole 3), et furtout de l’honneur que vous m'avez fait dans les Ata de Sept. dernier en publiant que mes efcrits autrefois vous ont eftè de quelque utilirè #). ?) 2 3 a Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, p. 103. La rédaction de la minute ne diffère pas notablement de celle de la lettre. ) Leïbnizens Mathematische Schriften, Band IL, p. 109 et Briefwechsel, p. 670. Voir la note 14 de la Lettre N°. 2636. Il s’agit du passage remarquable que, dans la note 1 2 de la Lettre N°. 1919, nous avons extrait de l’article de Leibniz intitulé : G. G. L. De solutionibus problematis Catenarii vel Funicularis in Actis Junii A. 1691 aliisque a Dn. I. B. propositis. Pour compléter les diverses pièces et lettres qui se rapportent à la solution que Huygens a donnée du problème de la chaînette, nous faisons suivre encore de cet article les lignes, dans lesquelles Leibniz fait la comparaison des trois solutions, publiées dans les Acta de juin 16917. »Valde delectatus sum lectis tribus Problematis a Ga/i/4e0 propositi a D. Bernoullio renovati, solutionibus inter se consentientibus, quod indicium est veritatis, apud eos valiturum, qui talia accurate non examinant. Etsi autem omnia conferre non vacaverit, in summa tamen rei manifesta est concordia. Legem tangentium, & extensionem curvae catenariae in rectam invenimus omnes, & cum curvedinis mensuram olim in Acis Junii A. 1686, p. 489 (introducto novo contactus genere, quem osculum appellare placuit) explicuerim per radium circuli curvam osculantis, seu ex omnibus circulis tangentibus maxime ad curvam accedentis, eundemque adeo quem ipsa curva ad rectam facientis angulum contactus, placuit celeberrimo ugenio (animadvertenti centra horum circulorum semper incidere in lineas a se primum inventas, quarum evolutione describuntur datae) speculationem huc applicare, & investigare radium curvitatis vel circulum osculatorem curvae catenariae, sive ejus curvam evolutione generantem, quam & dedit solutio Bernoulliana. In Hugeniana autem, distantia quoque habetur centri gravitatis catenariae ab axe. In Bernoulliana & mea, ejusdem distantia tam ab axe quem & a basi aut alia recta, adeoque puncti determinatio, item quadratura CORRESPONDANCE. 1691. 183 Vous me parlez à propos de la courbure de la chainette, de voftre dif/cours de angulo Contaëlus et Ofculi*). Vous pouvez bien croire qu’en ce lifant je ne trouvay pas cette confidération nouvelle, parce que ces fortes de contaét entrent naturellement dans mes Evolutions des Lignes courbes 5). Je me fouviens aufli que longtemps devant que de publier ce Traité j’avois communiquè à van Schoten quelque remarque là deffus®), fcavoir de la circon- à, figurae catenariae. Quibus ego in mea centrum gravitatis etiam hujus figurae seu areae adjeci. Constructionem lineae Dn. Æugenius exhibet ex supposita quadratura curvae, qualis est xxyy—42t— 44, Dn. Jok. Bernoullius & ego reduximus ad quadraturam hyperbolae; illo perbene adhibente extensionem curvae parabolicae in rectam, me denique rem omnem reducente ad logarithmos, eaque ratione obtinente, per fectissimum in Transcendentibus expri- mendi pariter & construendi genus. Sic enim unica tantum semel supposita vel habita ratione constante, de reliquo infinita puncta vera exhiberi possunt per communem Geometriam sine interventu ulteriore quadraturarum aut extensionum in rectas. Lineae Catenariae mirum & elegantem cum Logarithmis consensum, ex mea constructione animadvertere fortasse non injucundum videbitur. Caeterum a Dn. Æwugenio (egregii ex Tab. Sinuum compendii nobis _spem faciente) observatum est, rem eam reduci ad summam secantium arcuum, per minima aequaliter crescentium. Il s’agit de l’Horologium Oscillatorium, Pars tertia: De linearum curvarum evolutione et dimensione. M 5) On rencontre cette remarque dans la piè- ce N°. 204, d’octo- bre 1654, au bas de la page 305. Van Schooten en a fait usage dans la seconde édition (de 1659) de l’ouvrage cité dans la note 1 de la Lettre N°. 150, en insérant à la page 339 le pas- sage suivant: ,Prae- terea hinc constat, (quod sane animad- versione dignum) si recta tangens Para- bolam in aliquo puncto extra verti- cemipsa ibidem quo- que tangatur a Cir- culo non per verti- cem transeunte, qui- 184 CORRESPONDANCE. 1691. ference, qui coupant une parabole, femble la toucher au mefme point, c’eft à dire que dans la parabole comme aufli dans les autres feétions coniques il n’y a que le point du fommet où une circonference la puifle baifer; cela arrive encore en plufieurs cas d’autres lignes courbes, quoy qu’il me femble que vous n’en avez rien dit ?). Puifque j’ay bien jugè en quoy doit confifter l'avantage que donne voftre nouveau calcul, je fouhaiterois fort de voir comment il vous a fait trouver direc- tement et fans effort d'imagination l’éræywy# de la Conftruétion de la Chainette à la quadrature de l’Hyperbole ou aux Logarithmes. En effet vous devez donner au public cet exemple de voftre methode, a fin qu’on voie de plus en plus fon utilitè et que les Geometres puiflent profiter de noftre exercitation. Pour moy fi je trouve en fuite que j’aye quelque chofe de different dans mes recherches er qui merite d’eftre fceu, je le publieray auffi tres volontiers #). Cela fera peu, mais il y aura pourtant une maniere fort belle pour parvenir à la conftruétion de la Courbe?) et que je fcay eftre differente de la voftre par les chofes que vous me mandez, comme auffi différente de celle de Mr. Bernoully, par ce que je conjeéture de fon efcrit inferè aux Aéta. Pour ce qui eft du doute que j’avois propofè, je me tiens plus que fatisfait apres avoir vu voftre exaéte juftification. Il eft vray que quand j'ay lu ces mots de gue- relle et d’avoir perverti le fens des paroles de Mr. Bernoulli, j’ay dit bona verba, car en effet j’y eftois allè de bonne foy, et le foupçon qui m’eftoit reftè eftoit de trop peu d’importance pour que vous ufafliez de tels termes en le refutant. Quand je vous en parlay, c’eftoit que j’aurois eftè bien aife de trouver que vous eufliez eftè aufli peu clairvoiant que moy, dans cette queftion. Socium tarditatis meae quaerebam. Ce que vous me dites de n’avoir rien pu tirer de France ni d’Italie fur ce probleme, peut fervir à me confoler, et marque qu'il n’eft pas des plus faciles. Ce n’eft pas le jeune Bernoulli, mais l’ainè qui a travaillè fur la ligne Loxodro- mique, et j’ay trouvè etrange, qu’apres que vous eufliez donnè la bonne Con- que Parabolam in eodem puncto secet, hoc est, ut rectae NM, CB, et DE omnes tres sint inter se aequales: quôd tunc quidem HI ipsius NM, CB, vel DE tripla sit fu- tura”. 7) La minute ajoute encore la phrase suivante: La quadrature de la courbe de la génératrice de la chaînette pourrait avoir de la difficulté si on proposait de la trouver; mais j’en fais peu de cas, parce que cette courbe paroit inutile ,,et longe posita”. 8) Voir l’article de Huygens, cité dans la note 2 de la pièce N°. 2694. 9) Il s’agit de la construction indiquée dans la Lettre N°. 2695. 2 æ ds CL di CORRESPONDANCE. 1691. 185 ftruétion pour trouver la longitude par la quadrature de l’Hyperbole, il fe foit avifè trois mois apres, d’en donner une qui demande la dimenfion d’un efpace inconnu et qui comprend une étendue infinie *), cela s’appelle expliquer égrotum per égnotius. J'ay regardè dans le Tiphys Batavus de Snellius, depuis que vous m’en avez averti, comment il demontre par des propofitions aifées, que cette invention des Longitudes, fcavoir quand la Latitude et l’angle Loxodromique eft donnè, depend de la fomme des fecantes. Il n’eft pas allè plus loin; mais fcaviez vous, Monfieur, que Jac. Gregorius dans fes Exercitations Geometriques a reduit cette fomme à l’efpace qui chez vous eft VMCA :), et qu’il a egalè cet efpace à un efpace hyperbolique ? ‘*) Je crois certainement que vous ne vous en eftes point fouvenu, non plus que moy; car j’aurois pu par là achever de trouver la con- 19) En effet, dans l’article cité dans la note 32 de la Lettre N°. 2693, Jacques Bernoulli fait dépendre la construction de la loxodromique, partant d’un point donné de l’équa- teur sous un angle donné, de la quadrature d’une aire comprise entre une courbe et son asymptote. 11) Voir la figure de la note o de la Lettre N°. 2690. 12) Le passage en question se trouve dans le livre cité dans la note 2 de la Lettre N°. 1684au chapitre intitulé: , Analogia inter Lineam Meridianam Planispherii Nautici et Tangentes Artificiales Geometricé demonstrata; seu, quod Secantium Naturalium additio efficiat Tan- gentes Artificiales”. Pour montrer jusqu’à quel point James Gregory avait en effet devancé, dans son livre de 1668 qui est devenu très rare, les résultats obtenus par Leibniz que nous avons mentionnés dans la note 9 de la Lettre N°. 2699, nous reproduisons ici, en laissant de côté les démon- strations assez compliquées, les Propositions I et IT ainsi que le premier , Consectarium” du chapitre cité, tout en changeant les lettres des figures de Gregory pour les rendre conformes avec celles de la figure de Leibniz. p Prop. I. Theorema. Sit Circuli qua- drans CAP, cujus pars sit arcus Al;super arcu AI imaginetur portio superficier Y 7 y Cylindricirectitalis naturae,ut(sumpto in arcu AI quodlibet puncto N) per- M \w Las pendicularis ad planum CPA ex LE N ad summitatem portionis superficiei cylindricae excitata semper fiat aequalis secanti arcus NA. Deinde sit mixtili- c TT neum UIYCA talis naturae ut (ducta in eorecta M V radio AC parallela et arcum quadrantis secante in puncto ad libitum N) recta VM, secans [CR] arcus NA, et radius CA sint continu proportionales. Dico mixtilineum U YCA esse aequale dictae portioni superficiei cylindricae. Œuvres. T.X. 24 186 CORRESPONDANCE. 1691. ftruétion de la Chainette *3), et plus facilement que par voftre calcul fur la Loxo- dromique, que je n’entendois pas, et que je n’ay demeflè que longtemps apres. Il Prop. II. Sit circuli quadrans CPA, sitque K mixtilineum STACPS talis naturae, ut (ducta Ê recta ad libitum TM radio AC parallela et quadranti arcum secante in IN) recta TM aequalis sit secanti [CR] arcus AN, sitque Ÿ mixtilineum SVACPS talis naturae ut (pro- LR ductà arbitrarià MT in V) rectae CA, MT, MV sint continuè proportionales: deinde sit Semihyperbola KDL cujus axis PS, vertex K et asymptoton PAL: ducatur ad libitum radio CA TX C AXP FE parallela recta MV, curvas ANP, ATS, AVS secans in punctis N, T, V, et per punctum T ZX L ducatur radio PC recta parallela TR Hyper- bolae occurrens in puncto D. Dico Sectorem Hyperbolicum KPD aequalem esse semissi Figurae VACM, quae Figura (ut in antecedente demonstratum est) aequalis est superficiei cylindricae conflatae ex omnibus secantibus arcuum infinitorum NA plano APC in debitis suis punctis N normaliter insistentibus. Consectarium. Hinc sequitur, quod Figura VACM semper sit dupla Logarithmi diffe- rentiae inter tangentem et secantem arcus NA, posito radio AK loco unitatis, quod sic probo. Ex punctis K, D in asymptoton PL demittantur perpendiculares Ko et Dr; ex demonstratis in Circ. et Hyperb. Quad. manifestum est sectorem PKD esse aequalem Figurae KDxo, item Figuram KDzo esse Logarithmum rectae Dz posità Ko unitate; utautem Ko ad Dita PK radius ad DZ differentiam inter tangentem [DW] et secantem [ZW —PW — CR] et ideo posita KA unitate erit idem sector PKD Logarithmus rectae DZ, nempe excessus qua secans arcus NA superat ejusdem tangentem”. Comme on le voit, la première proposition réduit le calcul de l'intégrale /’sec dg à la qua- drature de l’aire MVAC, qui, par construction, est identique avec l’aire homonyme de la figure de la note 9 de la Lettre N°. 2699. Dans la seconde proposition cette aire est remplacée par une aire hyperbolique, quis se calcule facilement de la manière indiquée dans le Consectarium, parce que PW—CR—sec ACN par construction, et WD— V PW°—PK°— L” sec? ACN — 1 —tg ACN, par suite de l’équa- tion analytique de l’hyperbole équilatère KDL. —sinp _ D’après ce, Consectarium”, on aurait la relation Î sec dp—21(secp —tgp}=01 cop 1— sin y I FEES 1 sing 1—sinp k et par le facteur 2, qui s’y est glissé par mégarde, puisque Fe a oublié que le carré décrit sur l’axe de l’hyperbole PK comme diagonale est égal à + et non pas à l’unité et qu’on >» qui ne diffère de la vraie relation Î sec p dy—+1 que par le signe doit donc égaler l’aire de la figure hyperbolique KDxo à la woirié du 1 rés . 13) On rencontre cet achèvement, sous la date du rer octobre, à la page 127 verso du livre G. En se servant des recherches de Gregory, Huygens y démontre que l’aire dœyx de la figure 5 de CORRESPONDANCE. 1691. 187 paroit par un paffage dans les notes de Albert Girard fur Stevin, qu’il doit avoir fçu la folution de cette mefme queftion des Longitudes. Car il parle de la difference entre la methode de Snellius par la Table des fommes des fecantes et la methode parfaite, qu’il dit eftre beaucoup plus courte; et il propofe la deffus ce probleme, dont il promet la folution: fcavoir quand l’angle loxodromique eft donné de 89 degrés, combien de tours entiers et de degrez de longitude par deffus fera un vaifleau, en partant d’un point fous l’Equateur pour arriver à la latitude de 89 degrez, et combien le point où il entrera dans ce parallele fera diftant alors du lieu de fon depart, le tout fans Tables *#). Je l’ay calculè par plaifir et j”y trouve 43 tours, 85 deg. 57 min. ‘5). On ne connoïifloit pas encore en ce temps la pièce N°. 2625, dont il avait fait dépendre la construction par points de la chaînette et dont il avait réduit la quadrature à la sommation des sécantes au $ I du N°. 2634, égale le double de l’aire hyperbolique KoxD de la figure 2 de la note précédente, lorsque l’on suppose que l'arc AN est identique avec l’arc «ll de la figure 5 du N°. 2625. : 14) Il s’agit d’une note d’Albert Girard, qui se trouve à la page 168 du second volume de l'ouvrage suivant qui parut deux ans après la mort de Girard: ,,Les Œuvres Mathématiques de Simon Stevin de Bruges. Ou sont inserées les memoires mathematiques, Esquelles s’est exercé le Tres-haut & Tres-illustre Prince Maurice de Nassau, Prince d’Aurenge, Gouverneur des Provinces des Païs-bas unis, General par Mer & par Terre, &c. Le tout reveu, & augmenté par Albert Girard, Samielois, Mathematicien. À Leyde. Chez Bonaventure & Abraham Elze- vier, Imprimeurs ordinaires de l’Université, Anno CI919CXxXx1V””. C’est la traduction annotée de l’ouvrage de Simon Stevin, cité dans la Lettre N°. 5, note 10. Voici la note en question: ,,La manière parfaite est plus facile que celle que Stevin a fait, et qu’on n’a trouvé jusques à present, mais où sont ceux qui payeroient la peine de celuy qui feroit quelque chose d’excellent ? Tout va d’un si bon ordre entre les hommes, et la science si bien estimée, que c’est merveilles si on ne revient en un siècle plus barbare que celuy mesme de fer: là dessus je feray ceste question à la veuë d’un chacun; Un romb faisant 89 degrez sur chacun meridien, iceluy commençant en un poinct de l’équa- teur (soit au commencement des longitudes) et progrediant du costé du septentrion d’occi- dent vers orient, on demande combien de longitude aura un poinct dans iceluy romb, lequel a 89 degrez de latitude; et combien de circuit un tel romb a fait; finalement combien il y a de distance d’un poinct à l’autre, le tout sans tables. On peut bien penser que celuy qui fera cela en fera bien d’autres plus faciles: la solution se fera en temps opportun, si Dieu plaist. Or selon la maniere ordinaire, qui est difficile, et ‘tres imparfaite, la vie d’un homme n’y sufliroit pas”. 15) On rencontre ce calcul dans un petit manuscrit (le N°. 18 du Codex Hugeniorum), qui occupe les pages vides d’un Almanac de l’année 1687, sous l’en-tête: ,Problema Alberti Girardi in notis ad Stevini Histiodromicen. Rumbi inclinatio ad meridiem 89 gr. Item Latitudo ab aequinoctiali incipiendo aequisita 89 grad. Quaeritur quot circuitus integri, quot gradus et scrupula longitudinis conveniant itineri loxodromico””. Une page précédente de ce manuscrit contient la rêgle suivante, d’après laquelle le calcul a été exécuté : _ 188 CORRESPONDANCE. 1691. là la quadrature de l’Hyperbole; mais ce Girard avoit penetrè bien avant en plufieurs matieres de Geometrie, comme je vois par quelques endroits de ces mêmes notes. [l fe trompe pourtant au commentaire fur la Statique par cor- dages ) au fujet de la courbure de la ligne qui plie par fon poids, la quelle cour- bure il pretend eftre parabolique, et qu’il en a la demonftration. : Ma maniere pour trouver les fommes des fecantes, que vous voulez fcavoir, eft telle. J'ajoute enfemble les fecantes des arcs croiffant par degrez entiers, ou par demi-degrez, jufques à l’angle donnè. De leur fomme je fouftrais la moitiè de l’exces dont la plus grande de ces fecantes furpaffe le rayon. Alors le refte aura à la fomme d’autant de rayons fort pres la mefme raifon (toutefois un peu plus grande) que la fomme du nombre infini de fecantes comprifes dans l'angle donnè, à la fomme d’un pareil nombre de rayons ‘7). Parexemple au rayon »b tangens anguli loxodromiae cum meridiano; s—HC secans arcus latitudinis acquisitae DF; /—HD tangens latitudinis acquisitae; sit r —radius DC — 100000. Aufer HD ab HC, et quaere differentiae EC logarithmum in Tabulis, quem aufer a logarithmo radii CD; reliquum multi- plica per 2. Productum divide per tot characteres numeri 4342944819 quot sunt characteres in logarithmis praeter cha- racteristicam. Eritque quotiens amplitudo arcus Longitudinis in aequatore in partibus qualium radius CD continet 100000; quam amplitudinem arcus reduces ad minuta graduum faciendo ut 628318 longitudo circumferentiae, ad 360 gradus in tota E circumferentia, ita amplitudo inventa ad gradus longitudinis””. Comme onle voit, cette règle revient à l’emploi de la formule C D correcte : À. 1r—1r (sec p— tgp) ; Où représente la latitude du point extrême de la loxodromique et À la diffé- rence de sa longitude avec celle du point de départ sur l'équateur. 15) Dans la note d’Albert Girard à laquelle Huygens fait allusion et qui se trouve à la page 508 du quatrième volume de l’ouvrage cité dans la note 14, celui-ci prétend que Stevin avait bien vu que les cordes: ,,ne sont pas en lignes droites estant estenduës, sinon que la seule corde perpendiculaire à l'horizon; car les autres cordes lasches ou fort estenduës, sont lignes para- boliques, (comme j’ay autrefois demonstré environ l’an 1617), ainsi que je demonstreray cy-après à la fin du corollaire suivant, ce qui viendra icy fort à propos pour l’ornement de cette Spartostatique” (c’est à dire l’,,art ponderaire par cordages”). Toutefois, à la fin du corollaire mentionné on rencontre, au lieu de la démonstration‘an- noncée, la note suivante : ,, Pour satisfaire à ma promesse qui precede le dernier corollaire, et n'ayant pas le loisir toutefois de mettre icy la copie de ma demonstration entière, je la don- neray une autre fois au public, avec mes autres oeuvres, moyennant l’aide de Dieu, lors que la recherche des sciences sera plus recommandable, qu’elle n’est à present”. 17) Voir, pour la démonstration de cette règle et pour les résultats numériques qui vont suivre, le $ Ide l’Appendice N°. 2710. CORRESPONDANCE. 1691. . 189 10000 la fomme des fecantes par demi-degrez jufques à 45 degrez inclufivement eft 1012061, d’où j'ofte 2071, moitiè de l’exces de la fecante de 45° par deffus le rayon, refte 1009990, qui aura à la fomme de 90 rayons qui fait 900000, un peu plus grande raifon que le nombre infini des fecantes à pareil nombre de rayons. Je trouve aufli un terme mineur *) qui eft 1009976, et qui eft plus près du vray, mais il y a une regle de trois à faire. Suivant la Table de Snellius ‘?) la fomme des fecantes jufqu’à 45 degrez par minutes eft 30297320, quand le rayon eft 10000. Il l’a pofé de 10000000, pour faire le calcul de la fomme plus jufte, mais apres il a retranché 3 chifres. Or je trouve par ma regle que fa Table eft fautive, car non feulement la raifon de la fomme des fecantes 30297320 à autant de rayons, qui font 27000000, mais aufli la raifon de 30297320 moins 2071 à 27000000 devroit eftre plus grande que celle des fecantes infinies à autant de rayons. La quelle par la Regle parfaite des Logarithmes °°) je trouve eftre comme de 30299392 à 27000000. Donc la fomme de Snellius eft trop petite, et devroit avoir eftè 30301463, fcavoir 30299392 plus 20717). En fupputant felon ma regle et par demi-degrez, je trouve 30299700 pour le terme majeur et 30299295 pour le mineur **), ce qui confirme mon calcul, quoyque Snellius dit qu’il a fait le fien deux fois *?), Il y a peut-eftre quelque faute dans la Table des Secantes*3). Jay la demonftration de ma Regle mais cecy eft defia trop long. De quoy au refte peut fervir le calcul de ces fommes, ou leur Table, puifque par les logarithmes les Problemes fe refolvent beaucoup plus parfaitement ? Ce fera quelque chofe de fort beau que voftre reduétion des quadratures à la quadrature du Cercle ou de l’'Hyperbole, quand cela eft poffible, et j’efpere que - vous nous la communiquerez que vous l’aurez perfeétiohnée, ou quand mefme il 18) Voir, sur cette limite inférieure de la somme des sécantes, le { II de l’Appendice N°. 2710. 19) La minute ajoute: qu’il appelle Canonica Logarithmorum. Cette table se trouve dans = l'ouvrage cité dans la note 10, de la Lettre N°. 2699. Elle est intitulée ,, Tabulae canonicae parallelorum”” et devait servir au calcul des loxodromes, ainsi que Snellius l'explique à la page 12 de son ouvrage. p 29) C'est-à-dire au moyen de la formule exacte Î secpdp=—1r —1r(secp—tgp). o 21) Consultez, sur ces calculs, le $ IT de la pièce N°. 2710. 22) Voir la page 13 de l'ouvrage de Snellius. 23) D'après la page citée dans la note précédente, Snellius employait pour son calcul deux tables différentes des sécantes: ,,bis eundem subduxi”, dit-il ,,semel ex tabulis secantium Thomae Finckij, iterum è tabulis Bartholomaei Pitisci; ut si quid vitij in ipsas forte tabulas operarum incurià irrepsisset, ex mutua collatione facilem haberem emendationem: cum Pitisei notae sint etiamsex opere Palatino expressae; illae autem Finckij aliae ab his, et ante subductae”. 190 CORRESPONDANCE. 1691. y manqueroit encore quelque chofe. J’aimerois bien auffi de pouvoir reduire les dimenfions des efpaces inconnus à la mefure de quelque ligne courbe quand ces deux quadratures n’ont point de lieu, mais je le crois le plus fouvent tres difficile. Vous aviez remarquè que la foutangente de la Logarithmique eft conftante, mais non pas, que je fcache, qu’elle reprefentoit le quarré de l’Hyperbole. Il me tarde de voir ce que produira Mr. Bernoulli l’ainè touchant la courbure du reffort +). Je n’ay pas ofè efperer qu’on y aboutift à rien de clair ni d’elegant; c’eft pourquoy je n’ay rien tenté. Dans la recherche des nombres, le plus utile feroit de s’arrefter aux Theoremes dont il y en a des beaux et qui peuvent fervir dans des rencontres. Un certain Mr. Rolle de l’Academie des Sciences à Paris a fait imprimer quelque traitè en cetre matiere *$), que je tafcheray d’avoir, car on dit qu’il eft fort habile. Vous croiez, à ce qu’il femble, qu’il ne feroit pas extremement difficile d’achever de tout point la Science des Lignes et des Nombres. En quoy je ne fuis pas jufqu’icy de voftre avis, ni mefme qu’il feroit à fouhaiter qu’il ne reftaft plus rien à chercher en matiere de Geometrie. Mais cette etude ne doit pas nous em- pefcher de travailler à la phyfique, pour la quelle je crois que nous fcavons affez, et plus de geometrie qu’il n’eft befoin; mais il faudroit raifonner avec methode fur les experiences, et en amaffer de nouvelles, à peu pres fuivant le projet de Verulamius. J'attendois depuis longtemps, felon ce que vous aviez promis, voftre methode pour les Tangentes, et je vois avec deplaifir que vous prenez à cette heure des pre- cautions, comme doutañt que je ne tiene pas ma parole. Mais quand nous en- voierions en mefme temps nos efcrits à Mr. Meier, comment ferez vous affurè que j'auray dreffè le mien de bonne foy? Si vous fuiez peut-eftre le travail, j’ay encore plus de raifon de l’apprehender. Car Mr. Fatio, en partant il y a deux mois pour l'Angleterre, a repris la longue lettre °°) où il m’avoit expliquè fon invention; cette lettre aiant eftè fi fort changée et repetaffée, depuis que nous avions travaillè enfemble fur cette matiere, qu’elle eftoit devenue tout autre. Aiïnfi je n’ay plus que les folutions des queftions que nous nous propofames *?), et il faudra que de #4) Voir, à la page 133, la Lettre N°. 2693. 75) Démonstration d’une Methode pour résoudre les egalitez de tous les degrez; suivie de deux autres methodes, dont la première donne les moyens de résoudre ces mesmes egalitez par la Geometrie, & la seconde, pour résoudre plusieurs questions de Diophante qui n’ont pasencore esté résolues. Par M. Rolle, de l’Académie Royale des Sciences. In-12°.à Paris chez Jean Cusson, 1691. 29) Consultez à ce propos la Lettre N°. 2672. 27) Voir, sur cette collaboration de Huygens et Fatio, la note 9 de la Lettre N°. 2677. CORRESPONDANCE, 1691. 191 là je tire la regle. Il faut donc s’il vous plait m’exciter par voftre exemple et m’envoier fans defiance ce que vous avez promis ?*), ou laiffons là noftre marchè. Vous aurez vu ce que Mr. Bernoulli à annoncè dans le mois de Jul. de la part de fon frere, qui auroit trouvè, qu’outre ma Cycloide il y a une infinitè de courbes qui fervent aux reciprocations ifochones *?). Je n’y vois pas d’impoflibilitè, mais je ne fcaurois croire qu’il nous conftruife aucune de ces courbes, fi ce n’eft peut- eftre par des efpaces d’etendue infinie et inconnue 3°), ce qui vaut autant que rien. Je le tiens cependant fort habile ce frere, et il me revient mieux que fon ainè, . qui eft grandement obftinè à foutenir ce qu’il a une fois avancè. Temoin ce der- nier efcrit du mois de Jul., ou il nous voudroit faire accroire 3*) que fa demon- ftration du Centre d’Ofcillation (qui apres tout ne regarde que des poids enfilez en ligne droite) eft plus evidente que la miene. Je vous en fais juge et demeure de tout mon coeur etc. : 4) Juni 86 [Chriftiaan Huygens]. ?) 4 lettres fauffes cousjours [ Chriftiaan Huygens]. 28) Voir la pièce N°. 2713. 29) Voir la fin de l’article de Jacques Bernoulli dans les Acta de Juillet 1691, notre N°. 2690. 3°) Consultez la note 10 de la présente lettre. 81) Voir la pièce N°. 2690. Dans les notes marginales (voir la Lettre N°. 2540, note 1) on lit, à propos de cette même démonstration, qui commence par les mots ,,Quarto, distributio” (p.116 du présent volume) :,, Haec omnia absurda sunt et per consequentias parum evidentes demonstrata”. À 192 CORRESPONDANCE. 1691. N° 2710. CHRISTIAAN HuyGEns. [OCTOBRE Où NOVEMBRE 1690 et 1691]. Appendice*) au No. 2709. ÇL Ad inveniendam fummam fecantium ad angulos crefcentes uno gradu, vel gradu dimidio vel 42 parte, vel 82. vel 16. etc. Summa fecantium ad fingulos gradus fu- AC perat fummam totidem fecantium ad angulos dimidio gradu minores, paulo plus quam dimi- diàâ CD, qua maxima priorum fecantium fu- perat radium cum omnes differentiolae fecan- tium 4e fint paulo plus quam dimidiae diffe- rentiolarum ve, quae fimul faciunt DC totam. Ergo fi duplicetur fumma fecantium ad fingulos gradus, et à produéto auferatur tan- tum dimidia differentia CD, habebimus pauxillo plus quam fummam fecantium ad fingulos femigradus. Quod fi jam rurfus du- plicemus hanc fummam, et a produéto aufe- À 5 ramus dimidium DC, habebimus proxime, et pauxillo plus, quam fummam fecantium ad fingulos graduum quadrantes. Et rurfus fi hanc fummam duplicemus et a produéto auferamus dimidium DC, habebimus fummam proximam majorem fecantium ad fingulos graduum oétantes; atque ita porro. Sit fumma fecantium ad fingulos gradus = s; dimidia DC — 4. Ergo fecunda fumma — 92s— Jfecantium ad 3 gr. ettertia — 4$— 34fecantiumad # gr. : 4 3 k #5 8 vera major. etquarta— 8s— 74 fecantium ad & gr. et quinta = 165 — 154 fecantium ad 4 gr. 1) Cet Appendice contient les règles pour le calcul d’une limite supérieure et d’une limite infé- 2 rieure de l’intégrale Î sec p dp et leurs démonstrations. Le I, qui se rapporte à la limite supé- o rieure, est emprunté à la page 64 recto du livre G; d’après le lieu qu’il y occupe, il doit être daté probablement d’octobre ou de novembre 1690; le $ I est tiré du manuscrit cité dans la note 15 de la Lettre N°. 2709. Ce S II est d’une date postérieure, plus difficile à préciser. CORRESPONDANCE. 1691. 193 Sed quia femper tantum unam 7 ra auferendo, oritur s— / multiplex per numerum competentem progreflionis 1, 2, 4, 8, 16, etc. + 4. d autem infinite parvum fit refpeétu multiplicis s : hinc paret multiplicem s—d, feu ms—md, tan- dem accipi poffe pro #5— m4 + d. m numerus feriei 1, 2, 4, 8, 16 etc. Icaque fi velim comparare primum fummam fecantium ad gradus integros, cum fumma totidem radiorum, erit earum ratio ut s ad #r ponendo # — numero gra- duum in arcu propofito; at fi velim comparare fummam fecantium ad infinite parvas particulas graduum, cum fumma totidem radiorum, earum ratio erit proxime quam #»5—m4 ad nmr, hoc eft quam s—/7 ad #r; cum alioqui ratio ifta effet ut s ad »r. Itaque cum ad arcum 45 gr. fumma fecantium ad gradus fingulos feu s, fit inventa 507081503 ad datum radium 10000000 et totidem radii faciant 450000000 = #1 . dautem feu 4 DC tunc fit 2071068 : Si ab s auferatur haec 4, fiet 5050104353 quae ad 450000000 proxime majorem rationem habebunt quam fumma fecantium crefcentium cum minimis particulis graduum, ufque ad 45 gra- dus ad fummam totidem radiorum. Sed adhuc propius accedemus fi fit s fumma fecantium ad fingulos dimidios gradus quam invenimus additione ex tab. finuum effe 1012061091; tunc enim H— 90 et 77 — 900000000 et s—4— 1009990023. Eritque ratio fummae fecantium ad minimas particulas graduum ad fummam totidem radiorum proxime major ut 1009990023 ad 900000000, hoc eft ut 5304995012 ad 450000000 *). ç II. Inventio termini minoris fummae infin, fecantium ad totidem radios. D Ut GD ad DI differentiam inter DA, EA ita fit CD ad aliam P. Hâc ablatä a fumma fecan- tium DA, HA, KA, reliquum minus erit fumma fecantium EA, LA, MA. Adeoque fi a dupla fumma fecantium DA, HA, KA auferatur P, reliquum minus erit fummä tangentium 3) DA, EA, HA, LA, KA, MA. Unde (per progreflionem ficut pag. 26 lib. G)#) erit ratio fummae fecantium DA, HA, KA, minus P, ad totidem radios, femper minor ratione infinitarum fecantium ad totidem radios. . Ratio eft quod auferendo DI ab DA, fit qui- ?) Plus tard Huygens ajouta à cette pièce: ,, Hic usus in dimetiendo spatio ALREB pag. 17 in fine (voir le $ I de la pièce N°. 2634) quod idem metirilicet, ut postea feci, pag. 9oet or (voir la note 26 de la pièce N°. 2625 ) per inscripta rectangula et circumscripta; sed haec methodus melior”. 3) Lisez: fecantium. 4) Voir le $ I de cette pièce. Œuvres. T. X. 25 À £ 194 CORRESPONDANCE. 1691. dem EA, fed in caeteris nimium aufertur, cum ab HN ex. gratia aufertur pars proportionalis ejus in eadem ratione GD ad DI. Hoc autem fit in caeteris omnibus fecantium primarum differentiis, quandoquidem totius CD pars proportionalis ejufmodi aufertur. EC 48” 14142136 14142136 fec. 44° 30° 14020321 fec. 44° 45° 14080831 I21818 OA) : 61305 DI— 4142136 DC : 2084584 1012061091 2084584 1009976507 3 RELEASES 3029929521 minor vero 30299392 verus 30299392 verus‘) 30299700 major 7) 97 diffa 308 diff.a minor terminus propior quam terminus major. e— N° 2711. CHRISTIAAN HuycEens à G. Meter. 16 NOVEMBRE 1691. La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens. La lettre est la réponse au No. 2701. G. Meier y répondit par le No. 2712. Mitto ecce ad CI. Leibnitium literas *) quibus ad ultimas ipfius refpondeo ferius quidem quam oportuit, fed non fine legitima excufatione quam lubenter puto 5) La multiplication par 3, ou plutôt par 30, a pour but de réduire la somme trouvée des sécan- tes, qui correspond à une somme de 90 rayons, au cas mentionné dans le texte de la EEUES N°. 2709, où l’accroissement par minutes exige une somme de 2700 rayons. 5) Ce nombre a été trouvé au moyen des logarithmes. Comparez le texte de la Lettre N°. 2709. 7) Nombre obtenu en multipliant par 3 le nombre 1009990023 trouvé vers la fin du $ I. ) La Lettre N°. 2709. CORRESPONDANCE, 169 I, k 195 accipies. De permutatione fcriptorum geometricorum quid futurum fit videbimus, ubi rationes meas expenderit Vir CI. quibus velim acquiefcat. Tuis literis 23 Aprilis datis an refponderim non fatis memini*). Reperio quidem inter adverfaria mea, quae eo fine fcripferim, fed quia dies non eft additus neque in tuis) mearum mentionem fieri video, fufpicor anguftia temporis exclufum, non potuiffe defcri- bendis vacare, eoque abfque tui interpellatione reéta ad Leibnitium me tunc fcripfifle. Nunc vero eorum quae in illo fchediafmate continebantur defcribere quaedam non pigebit quae fic [fe] habent. Venio ad tuas die 23 Apr. datas in quibus caufas interrupti ftudij tui Geome- trici ingenui enarras, utque cum opera tum impenfa perierit, non fine culpa doc- toris Cranij. Attamen cum non folum ames haec ftudia fed et aliquo ufque in ijs profeceris, non credo te penitus ea deferuiffe, praefertim cum intelleétis aliquate- nus elementis poflint vel fine magiftri opera continuari. De Cartefij affeclis iftis qui non ratione fed authoritate et partium ftudio ducun- tur, jam ante tibi affenfus fum +). Quod vero fententiam meam requiris an expedire exiftimem ut placita hujus philofophi publice ac privatim in Academijs praelegantur, debebas, Vir Eximie, potius illos confulere qui quid fieri debeat ftatuere poffunt. Scias tamen meo judicio neque hanc philofophiam neque Ariftotelicam aut ab uno quopiam authore denominarcam invehendam videri, fed folius veritatis rationem habendam, ut à fingulis fumantur quae optima ac rationi convenientiflima cenfebuntur. Multum Cartefo debemus quod novas vias in phyficae ftudio aperuerit atque omnia ad mechanicas rationes reducenda author fuerit, quas quae excedunt ea et ‘captum ingenij noftri excedere certum eft. Sed ubi ad fingularia ventum eff, in plerifque fere falfa pro veris obftrufifle Cartefium exiftimo idque in commentatiun- culis meis de Luce et gravitate 5) jam teftatus fum, et nifi fallor in materijs hifce difficillimis verifimiliora quaedam protuli. Sicut et in legibus motus corporum _ inter fe collidentium®). Atque idem in parelijs me faéturum recipio?), nec non in magnetis mirabilibus explicandis *). Sed nec in metaphyficis unquam Cartefij rati- onibus affentiri potui de Dei exiftentia et animae immortalitate. Huetij Cenfuram legi cum primum prodijt ab ipfo Authore mihi miffam ?), in qua non pauca mihi probari memini, fed et aliqua notavi quibus refponderi poffet. Quod negotium et veftrates aliquot *°) et Volderus nofter fibi fumferunt. At ille parvi facere haec ?) Voir la Lettre N°. 2686, note 3. 3) La Lettre N°. 2701. +) Voir la Lettre N°. 2666. 5) L'ouvrage cité dans la Lettre N°. 2519, note 8. 5) Voir les pièces Nos. 1716 et 1734. 7) Voir les ,;, Opera Posthuma”, l'ouvrage cité dans la Lettre N°. 2085, note 2. 8) Voir, sur le ,, Traité de l’Aimant”, la Lettre N°. 2633, note 10. 9) En 1689; voir la Lettre N°. 2553. 19) Les auteurs cités dans les notes 8, 9 et 10 de la Lettre N°. 2682. 196 CORRESPONDANCE, 169 I. omnia videtur, prout ex nuperis ejus ad me literis intelligo ‘*). Ego vero nihil nifi Volderi thefes *?) legi, quae non ita contemnendae videntur. N° 27102. G. Meter à CHRISTIAAN HUYGENS. _20 NOVEMBRE 1691. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle est la réponse au No. 2711. Huftri Viro Car. HucEen10 G. MEererus S. P. Noli,quod videris facere *) in eam animi fencentiam declinare, veluti fi Nobilisf: Leibnitzius diffisus promiflis Tuis ea quae prius miffa oportebat fecum continuerit. Diu enim jam eft quod inclufae *) et ad Te Vir Illuftris adtinentes fcriniis meis confervantur. Ego interea, fi quid reéte computo, in eam adducor opinionem CI. Leibnitzium hoc in votis unum habere; ut, dum neuter inftitutos logarithmos in- crofpexit, fed chartae utriufque apud me domi meae tabellariis allatae conveniunt eodemque tempore mea, quam lubentiflimus obtuli Tantis Viris, opera fingulis communicantur, tanto major ex eo gratia redundat, cum in erudito ifthoc et recondito negotio confoni et confpirantes repperientur ingeniorum motus et con- fentiens fibi calculus. Quemadmodum ergo id in mandatis dederat, prima ego hac angaria ad Te, Vir Celeb:, literas CI. Leibnitzii tranfmittere volui, debui. Caete- rum quae ego aliquando, ut quid de Cartefianae philofophiac congruentia cum methodo fcholaftica et varii gradus ingeniis juventutis, ex Te rogaveramS), hancut 11) Nous ne connaissons pas cette lettre de de Volder. 12) Ces thèses ont paru sous le titre: Viri Clarissimi Burcheri de Volder. Med. & Phil. Doctoris, hucusque & Mathes. in Ilustri Academia Lugd. Bat. Professoris ordinarii Exercitationes Academicae, quibus Renati Car- tesii Philosophia defenditur adversus Petri Danielis Huetii Episcopi Suessionensis Censuram philosophiae Cartesianae. Amstelaedami. Apud Arnoldum van Ravestein, Bibliopolam, Op den Dam, bij de Kalverstraat, clolocxcv. La publication eut lieu à l’insu de l’auteur qui, dans une lettre à Basnage de Beauval, insérée en extrait dans l'Histoire des Ouvrages des Savans de mai 1695, p. 421, se plaignit de l’avidité des Libraires, ,qui entreprennent sans aucuns égards d’imprimer tout ce qu'ils jugent propre à leur apporter quelque profit.” De Volder proteste avoir composé ces Exercitationes, uniquement pour l’usage de ses auditeurs et prie Beauval de désavouer pour lui cet ouvrage, afin que l’on ne lui impute ni les fautes [de cette édition] ni les sentiments d’autrui. I1 semble donc que Huygens et Huet (voir la Lettre N°. 2696, page 143, dernière ligne) n’ont eu en main qu’un texte manuscrit ou, ce qui est plus probable, un imprimé spécialement destiné à l’usage des étudiants. 1) Voir la Lettre N°. 2709, envoyée ouverte à Meier. ?) La pièce N°. 2713. 3) Voir la Lettre N°. 2678. Huygens donna sa réponse dans la Lettre N°. 2686, non envoyée, puis dans la Lettre 2711, CORRESPONDANCE. 1691. 197 meam libertatem aequi bonique confulas oro. Ego enim ufque huc non video pollicitos a multis fruétus in juventutem exuberaffe, quandoquidem nec omnium aetas nec ingenii illud permodicum quod in plurima hominum parte repperias, ferendo fit illuftri adeo lumine. Vale, Vir Illuftris, et res Reïpae literariae quo coepifti, eodem etiam porro, promove ardore. Dabam Bremae 10 Nov: 1691. À Monfieur Monfieur HuGENs fegneur de Zuylichem à L’'Haje. N° 2713. G. W. LEIBNIZ à CHRISTIAAN HUYGENSs. [oCTOBRE 16911]. Appendice au No. 2712. La pièce se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle a été publiée par P. J. Uylenbroek ï) et par C. I. Gerhardt”*). Methodus, qua innumerarum Linearum Conftructio ex data proprietate Tangentium feu aequatio inter Abfciflam et Ordinatam ex dato valore Subtan- gentialis, exhibetur. Ex omnibus, quae nobis inquirenda reftant in Geometria, nihil eft majoris mo- menti, quam Methodus Tangentium inver[{a, feu data Tangentium Lineae curvae proprietate, ipfam lineae conftruétionem poffe invenire. Nam in applicatione Geometriae ad Phyficam faepiflimè contingit, ut linea ex tangentium proprietate nofcatur, unde conftruétio ejus aliaeque proprierates inveftigari debent. Datur autem conftruétio lineae, quoties datur aequatio exprimens relationem inter AB abfcifflam in direétrice inde à punéto fixo À, et BG ordinatim applicatam, normalem ad direétricem; ita enim cuicunque punéto reétae direétricis B affignari poteft ref- pondens punétum curvae GG. 1) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. II, p. 90. ?) Leibnizens Mathematische Schriften, Bd. IL, p. 116, et Briefwechsel, p. 676. 198 CORRESPONDANCE. 1691. Porro data proprietate tangentium lineae curvae quaefitae, folet dari vel haberi aequatio exprimens relationem inter BT fubtangentialem et AB vel BG abfciffam vel ordinatam, aut ambas fimul. Vocemus /vbtangentialem ipfam BT, partem Axis cadentem inter ordinatam BG et tangentem GT. Itaque, fi AB vocetur x et BG y, et BT #, res redibit ad A aequationem quam ex indeterminatis folae ingredientur 4 x, 9, t. Quo faéto quaeritur aequatio, quam fublata 7, duae tantum indeterminatae x et y ingrediantur. Ita ex data pro- Z prietate tangentium habebitur curvae conftruétio. C LE) Ex aequationibus autem illis, quae exprimunt relatio- nem ipfius # ad reliquas eligamus illas fimpliciores in quibus valor ipfius # per x et y habetur purè; ut fi fit = = 44:Xx (feu +) velt— 4x :7, vel = y|]/ aa—xx, velé=yy}/ aa—xx: ax, aliifque modis infinitis. Iaque id nunc agitur ut ex dato valore fubrangentialis per abfciffam, vel ordinatam, vel ambas, detur aequatio exprimens relationem inter ordinatam et abfciffam. Habeo autem diverfas vias, quibus magnum hoc problema in oblatis cafibus aggredior. Sed hanc optimam effe judico, (quoties ea uti licet) ut problema tan- gentium inverfum revocetur ad Quadraturas. Analyfis enim duorum eft generum, una per falcum, cum problema propofitum refolvimus ad prima ufque poftulata; altera per gradus, cum problema propofitum reducimus ad aliud facilius. Et quia faepè fit, ut prior Merhodus prolixis nimis calculis indigeat, confugiendum eft non raro ad fecundam; tametfi enim prior fit abfolutior nec aliis indigeat praecognitis, commodior tamen eft pofterior, quia laborem minuit, jam inventis utendo. Ut verd intelligatur, quomodo perfaepe Problema tangentium inverfum ad Quadraturas revocari nullo negotio poflit, dicendum eft aliquid de quodam calculi genere a me introduéto, notifque novis in eo adhibitis; ita enim efficio, ut multa primo obtutu appareant, et ipfo calculi lufu nafcantur, quae alias vi ingenii aut labore imaginationis affequi neceffe eft. Nec aliam ego caufam video cur Clmus Fatius, qui jam dudum praeclara ingenii fpecimina nobis dedit3), haeferit ubi irrationales fubrangentialis valorem ingrediuntur, velut in cafu per celeberrimum Hugenium mihi propofito, ubi 4=yy |/”44 + xa: 4x 4), quam quod hujufmodi expreflio non aeque calculo analytico apta eff, ac mea, per quem ipfius # relatio ad yetx aliquo modo generali exprimitur. Ita enim judico, cum mens humana ad cogitandum notis indigeat, eo poffe nos ratiocinari melius, quo magis notae ipfae exprimunt rerum relationes. 3) Voir la note 19 de la Lettre N°. 2435, la pièce N°. 2460, la note 2 de la Lettre N°. 2467 et la note 14 de la pièce N°. 2486. +) Lisez: 7 = y V/aa— xx: ax, et consultez la Lettre N°. 2660. CORRESPONDANCE. 1691. 199 Confideravi igicur tam abfciffas quam ordinatas habere elementa quaedam momentanea, feu differentias indefinite parvas; et elementum abfciffae effe ad ele- mentum ordinatae, ut fubrangentialis eft ad ordinatam. Nam fi cogitemus punétum mobile B ex fixo À egrediens percurrere axem AB (B), et adeo abfciffas AB nihil aliud effe quam diftantias punéti B mobilis à punéto fixo A patet incrementa abfciffarum momentanea B (B) effe ut velocitates, quas punétum B in quovis Axis loco, aut quovis temporis momento habet, adeoque inaflignabilis parvicatis, et fimiliter fe rem habere cum ipfis GL 5) incrementis ordinatarumi, feu exceffu or- dinatae (B) (G) fuper proximè (id eft inaflignabili incervallo) praecedentem BG. Haec incrementa, aut (fi contrarium motum fingas) decrementa, vel, ut gene- ralius loquamur, elementa ordinatarum vel abfciffarum, aut (fi malis) differentias inaflignabiles (quarum tamen ad alteras omnind aflignabilis eft ratio) notis defignare volui,exprimentibus relationem ad id cujus funt differentiac; itaqüe quia abfciffas AB vocavimus x, et ordinatas BC), y, elementa abfciffarum feu diffe- rentias minimas B (B) vocabimus 4x? ); et elementa ordinatarum, feu differentias minimas GL 5) vocabimus dy. Poffemus ipfas 4x vel dy peculiaribus exprimere literis, ut e, y, vel ut lubet, fed ita non apparerct relatio ad x et y, quae tamen ipfis notis. expreffa plurimum juvat, modumque dedit mihi curvas tranfcendentes ex- primendi per aequationes finitas non alias adhibendo indefinitas, quam x et y, et harum affectiones inter quas non tantum potentias aut (his reciprocis) radices, ut #2, x, etc. fed et differentias et (his reciprocas) fummas refero, barumque notas ad fupplendum calculum promovendamque ad Tranfcendentes Analyfin omnino aptas judico. Et quemadmodum non .optimè faceret qui pro x°,x3 etc., femper vellet adhibere literas, e,v, ad evicandum hoc notationis genus, licet ad- moneret fe per e et y quadratum aut cubum intelligere, ita fimiliter praeftat faepe dx aut dx (differentiam aut differentiam differentiarum ipfarum x) adhibere, quam pro ipfis ui liceris e aut y vel fimilibus. Sic Cycloidem exprimo per hanc aequationem®) y =|//2%—xx + /dx:]/ 2x—xx, pofito radium cireuli gene- ratoris efle 1, et x effe abfciffam in axe inde à vertice, et yeffe ordinatam ad axem, et dx efle incrementa abfciffarum, et /4x : |/2x—xx effe fummam omnium dx :V/ 2x—xx, feu quantitarem cujus differentialis eft ad differentialem abfciffae ut radius ad finum, quae fumma vel quantitas revera eft arcus. Et hinc facillimo calculo fine ullo figurae refpe&u derivatur proprietas tangentium C Cycloidis nota, quae noftro modo expreffa ita hables dx: dy=|/ 2x—xx:2—x. Caereraque s) Lisez: (G) L. 5) Lisez: BG. 7) Dans le manuscrit, qui est-de la main d’un copiste, la notation employée par Leibniz est presque toujours 2x, dy, dax, etc. #) Cômparez la Lettre N°, 2601. 200 CORRESPONDANCE,. pu omnia circa Cycloidem inventa Fe Ke fimiliter ex tali calculo analytice derivantur. Sed ut noftrum infticutum profequamur. Producatur sas .(B) (G) dum tangenti TG itidem produétae occurrat in E, conftac punéta (G) ec E haberi poffe pro coincidentibus, 4: feu retam (G) G, quae jungat duo curvae punéta inaffigna- # biliter diftantia, produétam effe ipfam curvae tangentem. @ Ta Cam dudum ab aliis explicatum fit, reétam quae curvam fecat in duobus punis, tranfire in tangentem eo cafu, quo duo fectionis punéta coincidunt. Itaque EL non minus quam (G) L poterit vocari dy, et ob triangula TBG er - GLE fimilia fiet TB ad BG, ut GL ad LE, feu #:y:: dx:4dy, idque pfum eft quod diximus fubrangentialem 7, effe ad ordinatam y ur dx ele- mentum abfciffae ad dy elementum ordinatae, et quia proinde #:y— 4x: dy, fiet 1— y dx: dy, qui eft generalis valor fubtangentialis. Et hunc conjungendo cum fpeciali valore quem natura problematis offert, pervenitur ad aequationem diffe- rentialem, quam ubi convertere licec in fummatricem puram, habetur reduétio problematis tangentium inverfi ad Quadraturas. Quae reduétio ut intelligatur melius, oftendam (quod momenti eft maximi ): Quandocunque proprietas tangentium data exhibet valorem [ubtangentialis per folam (ex indeterminatis) 4/cif{am vel [olam ordinatam, problema reducitur aa Quadraturas. Ponamus enim # dari par x, utique quia # = dx : dy, fier d:3 = — dx : t, adeoque / dy: y —/fdx:# Jam / dy :y pender ex quadratura Hyper- bolae, et / dx : # etiam pendet ex aliqua quadratura ejus nempe figurae cujus or- dinata eft 1:7, pofito nempe pro # poni ejus valorem per x itaque res reduéta eft ad quadraturas. Exempli caufa, fi effet = 1 : x, fiérét / dy: y = f'xdx = 3 xx; et ita curva propofita habetur ex quadratura Hyperbolae, Si effecz= 1 :}//1—x%, fieret f'dy : y = [dx |/1—xx, atque ita curva quaefita haberetur ex fuppoñita quadratura tam circuli quam hyperbolae. Similiter fi # detur per y, quia = y4x : dy, fiet. dx = dyt:y adeoque x —/dyt:y. Quod fi jam ex problemate derur valor ipfius per y, intelligi poterit Énjéfiar figurae quadratura fit opus: nam ponamus effe ? = y, fiet x = dy id eftx—#y, et linea quaefita eft reéta. Si fit — y, fiet x — /dyy feu x —=yy:2, et linea quacfita eft Parabola. Si + — y, fier x = / dy yy; feu Nr pit linea eft parabola cubica. Si z fit conftans, verb. gr. fi — 1, fiet x=—/ dy: y, adeoque linea quaefita pendet ex quadratura Hyperbolae, Si z fit irratté nalis, res itidem procedet, nam fi ponatur # = y ]// 1 —yy, fietx —/ dy |/ 1 —9y, adeoque linea quaefita pendet ex quadratura Circuli?). 9) En cet endroit Huygens écrivit en marge la lettre N. Voir la remarque 2) à la fin de cette pièce. CORRESPONDANCE, 1691. 201 Sed fi valor ipfius z detur per x et y fimul, tunc non femper facile eft problema reducere ad Quadraturas, infiniti tamen funt cafus ubi res procedit. Et generaliter hoc pronuntiari poteft: Quandocunque valor [ubtangentialis t ef? produ£tum ex duabus quantitatibus [eu formulis, quarum una datur per [olam (indeterminata- rum) ab[ciflam x, altera per [olam (indeterminatarum) ordinatam y, tunc pro- blema reducitur ad quadraturas. Exempli caufa. Si fit + — xy, feu faétum ex x in y; fier xy — y4x : dy, feu dy = dx : x, feu y — fdx:x, quod pendet ex qua- dratura Hyperbolae. Si fic : = y : x feu faétum ex y in 1 : x, fiec y : x — ydx : dy, feu dy = xdx, feu y'= fxdx, feu y — xx : 2, quae eft aequatio ad Parabolam. Si fict—x:7y feu faétum ex x in 1:77, fier x: y — ydx : dy, feu xdy — yydx feu dy: yy = dx : x, feu / dy : yy — [ dx : x, quae datur ex quadratura Hyperbolae, nam / dy : yy datur abfolute“) nihil aliud enim eft quam quadratura Hyperbo- loidis fecundi li gradus. Sicfis— y: V'1—xx, feu faétum ex y in 1: Vi-zxx, fier y : J/1—xx = ydx : dy, feu fier dy = dx ]//1 — xx feu y = f'dx|/ 1 —xx, quae pendet ex quadratura circuli”). Ad hanc jam claffem revocatur et curva mihi propofita, cujus fubtangentialis reétae valor praefcriptus erat # — yy |/44— xx: ax(1)°). Nam quia fempereft 1= ydx : dy (2) fier y |//aa— xx : ax — dx : dy (3) per (1) et (2). Sit a— 1 (4). Ergo ex (3) et (4) fier ydy = dx x:l/1—xx. (5) et aequationem (5) utrinque fummando, quia /ydy = yy : 2 (6) fiet per (s)et(6)yy:2—/dxx:l/1—xx(7). Id eft, opus eft tantum ut reperiatur quadratura generalis, feu indefinita, figurae cujus ordinata eft x: ]/”1—xx, abfciffa exiftence x. Haec autem quadratura habe- cr abfolutè. Nimirum x: ]//1—xx vocetur Z (8). Jam centro A radio AK, qui fit 4 vel 1, defcribatur circulus, in cujus circumferentia fumto arcu LC *°), et x feu AB fumta in normali ad AK, quae fitarcus finui aequalis, jungatur radius AC et tangens arcus CF, ipfi AK produétae occurrensinF, erit Z. Nam obtriangula fimilia CBA et ACF, fier Z feu FC ad AC feu 1, ut AB feu x ad BC feu J// 1 —xx; unde Z feu FC eft x: }/ 1—xx, ut jubet aequatio (8). Si ergo FC tranflata in BH or- dinatim applicetur ad AB angulo recto ut fiat linea curva AHH, habebitur figura ABHA, per cujus quadraturam reperietur quaefita y. Porro ex C in AK agatur normalis CM, ajo reétangulum MK A aequari trilineo 19) Lisez: NC. Œuvres. T, X. 26 202 CORRESPONDANCE. 1691. ABHA, adeoque infinitum fpatium AN etc. HA aequari quadrato radii. Quod fic oftendo: per punétum Q in CF indefinicè vicinum ipfi C'agatur in CM et AB normalis QPR, et alia QB normalis ad AK; et MC producatur in S, ur fit MS aequ. AK radio; et ob triangula CPQ et ACF fimilia, fier AC : CF : : CP: PQ, feu AC in PQ = CF in CP. Jam eft AC in PQ = SM in MB£, et CF in CP = HB in BR; ergo SM in MB = HB in BR, adeoque et fumma omnium rectangulorum SM in MB, id eft reétang. SMK aequatur fummae omnium rec- cangulorum HB in BR, feu areae ABHA, quod afferebatur. Habetur ergo quadra- tura propofita. Hinc jam conftruétionem lineae quaefitae ita ducemus. Area ABHA feu lxdx : V/1—xx = retang. SMK feu 1 —]//1—xx (9). Ergo ex aeq. (7) per Co) fit yy:2 —1—]//1—xx (10), quae aequatio eft ad curvam quaefitam. Unde fi collamus irrationalitatem, fier y4:4—yy+ 1 = 1 —xx,(11)etad fupplendos gra- dus ex lege homogeneorum, pro 1 reftituendo 4 fiet y*=— 4244ÿy—4aaxx'")(12). Conftruétio autem erit talis. Inter duplam MK et radium AK fumatur Media proportionalis, quae erit y quaefita (ex aeq. 10) eique aequalis BG ordinatim applicata ad AB angulo reéto, dabit curvam AGV quaefitam.icujus ultima ordinata NV aequabitur reétae KN feu lateri quadrati circulo infcripti. Et in hac linea, fi fit AB, x et BG, y et AN, 4 tunc fubrangentialis BT, feu #, erit yy ]/ 44—xx: 4%, ut defiderabatur. * 4) abfolutè, hoc eft ob datam quadraturam hujus hyperboloidis [Chriftaan Huy- gens |. #) eft eadem quae fuper ad [Chriftiaan Huygens]. «) fitenimsex 22 in Rs [Chriftiaan Huygens]. 11) Comparez la Lettre N°. 2664 à la page 50. CORRESPONDANCE, 1691. 203 N° 2714. CHRISTIAAN HUYGENs à P. BAERT. 22 NOVEMBRE 1691. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle est la réponse au No. 2704. Haghe den 22 Nov. 1691. MIJNHEER VE fchrijvens van den 28 O&. is mij wel behandight, waer uyt met genoeghen verftaen hebbe dat VE de moeijte genomen heeft van mijn Traétaet de la Lumiere te doorleefen, ende het felve, oock heeft konnen begrijpen; want mij dunckt dat het al veel gedaen is van in foo diepe verborgentheïjdt iets verftaenlijcks voortge- bracht te hebben. De fwaericheijdt die VE in ’t eerft vondt, hoe de undulatien, van Langfamer voortgangh, weder tot raffcher konden komen, is de felve die in de Explicatie der Refractie van des Cartes te vooren komt, en niet kan gefolveert werden door fijne ftellingen; daer dit in de mijne feer natuurlijck gefchiedt door de eijgenfchap van de Veer ofte reflort, gelyck VE bekent is. Aengaende de difliculteijren die VE fouden moghen refteren ontrent de redenen der fwaerte, fal ik geerne eenighe verklaeringh geven, voor foo veel mij moghelijck fal fijn, en de tijdt gelegentheydt fal toelaeten. De gepretendeerde vinders van Ooft en Weft daar VE van in onze gazette ge- lefen heeft, fijn onbefchaemde en onwetende menfchen :) die felver wel weeten dat fij niets goedts hebben te voorfchijn te brenghen. Sij willen de Maens loop daer toe gebruycken, ’t geen over langh, en bij veele verftandighe lieden, te vergeefs ondernomen is geweeft, gelijck ick geloove VE niet onbekent is. Sij hebben evenwel door importuniteijt foo veel te weegh gebracht dat de Heeren Bewind- hebbers der O. Indifche Compagnie geordonneert hebben op verfcheijde van haere fchepen een proeve te nemen van defe Lenghde vindingh, welcke fonder twijffel feer flecht uyt fal vallen. Ick hoop nu alle dagh raport te hooren van een rweede proeve met mijn Horlogien gedaen; hebbende d’eerfte al vrij wel gefuc- cedeert, gelijck VE kan fien uyt het geene ick in het Difcours de la Pefanteur en deffelfs additie gefchreven hebbe. Hier mede eyndigende blijve Min Heer UE. dienftwilligen dienaar CHR. HUYGENS. Ick en weet niet eenigh traétaet gefien te hebben met den Titel van La Propa- ) Voir la Lettre N°. 2704, note 3. 204 CORRESPONDANCE. 1691. gation de la Lumiere waer alleen de Optique van de P. Ango. Jefuit, welcke feght uyt de overblijfsels van P. Pardies een gedeelte genomen te hebben, doch foude beter gedaen hebben van het fchrift van P. Pardies uijt te geven foo het lagh. A Monfieur Monfieur BAERT, Hydrographe du Roy A Dunkerque. N° 271$, CHRISTIAAN HUYGENS à VAN ASTEN). 11 DÉCEMBRE 1691. Le sommaire se trouve à Leiden, coll. Huygens. Sommaire : Kfcrit à van Aften pour fcavoir ou il en eft avec le Receveur Cools *). 4 N° 2716. CHRISTIAAN HUuYGENSs à A. DE GRAAFF. 13 DÉCEMBRE 1691. Le sommaire se trouve à Leiden, coll. Huygens. A. de Graaff y répondit par le No. 2718. Sommaire : Aen de Graef of hij tijdingh heeft van zijn zoon*). En of hij weet hoe het met de proef van de inventie van Liewe Will. Graef *) afgeloopen is. > e——— 1) Sur van Asten, consultez la Lettre N°. 1103, note 3. ?) Sur Adriaan Cools, voir la Lettre 2502, note 3. 1) J. de Graaff, parti, le 28 décembre 1690, sur le vaisseau Brandenburg pour faire l'essai des horloges à pendule sur mer pendant un voyage au Cap de Bonne Espérance; voir la Lettre N°. 2656. 2) Sur Lieuwe Willemsz. Graaf et sa prétendue invention, voir les notes 1 des Lettres Nos, 2536 et2538. ° CORRESPONDANCE. 1691. 205 . N*2717. CHRisTIAAN HuyGEns à W. van Lirn'). 15 DÉCEMBRE 1691. Le sommaire se trouve à Leiden, coll. Huygens. Sommaire : Aen van Lith om het proces tot Aernhem te recommandeeren *). N° 2718. ABRAHAM DE GRAAFF à CHRISTIAAN HuYGEns. 17 DÉCEMBRE 1691. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle est la réponse au No. 2716. Amfterdam den 17 December 1691. Mijn Heer van Zelem . UE aangename van den 13 defer is mij den 15 terhand gekomen. Zoude aan- ‘ftonts daarop geantwoord hebben, maar dewijl UE gaarne iets zoude willen ver- ftaan wegens de horologiens, waar van ik niets ter werelt hadde verftaan, zoo hebbe tot nu toe gewacht. °T is dan zulx, dat mign Zoon, en ook de twee andere aan de Caap de bon efperanfa zijn gebleven, door dien indifpooft waren, en niet bequaam om aanftonts te repatrieren, waren echter aan de beterhand, zulx dat wi) haarlieden niet voor de naafte zoomer of herft en hebben te verwachten., Ik hebbe twee brieven van mijn zoon ontfangen, een van St. jago, en een van de Caap voornoemt *), maar vermelt in geen van beyde iets van de horologiens: doch ik verftaa foo heden van mijn jongfte zoon, die op het ooftyndifche huys eenige affaires heeft, dat hij den brief hadde horen lefen, gefchreven aan een van de ) Sur W. van Lith ou van der Lith, voir les Lettres Nos. 2629 et 2631. ?) Voir, sur ce procès, la Lettre N°. 2631, note 2. 7) C’est donc par erreur que la Lettre N°. 2703 a été datée du 27 octobre 1691. Elle appartient à la correspondance de 1692. Voir la Table des corrections de ce volume. 206 CORRESPONDANCE. 1691. Heeren Bewinthebberen, door de Schipper van Brandenburg, genaamt Evert Verbrugge, feggende, aangaande de horologiens van Mons.r de Graaf, dezelve zijn tot aan St. jago goet bevonden, hebbe echter tot dus verre weynig vruchts daar van konnen bemerken. Dit is alle het geene ik daarvan gehoort hebbe, Hebbe ook geheel niets vernomen wegens het fucces van L. Willemz. Graafs inventie: daarvan iets pofitiefs vernemende wille het UE gaarne mede deelen. Blijve midlerwijle Mijn Heer Zijn ootmoed.e dienaar ABRAHAM DE GRAAFF. woont tegenwoordig in de Elantitraat in de Salamander. Aan de E. Heer Min Heer CRisTiAAN HuycEns Heer vAN SELEM , in’s Gravenhage. int noordende naaft de Crabbe. o IN* 2719: S. VAN DE BLOCQUERY à CHRISTIAAN HUYGENS. 18 DÉCEMBRE 1691. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Chr. Huygens y répondit par le No. 2722. *) WclEdele geftrengen Heer Naedat ik veel devoir heb gedaen om kennis te krijgen hoedanig het fich had roegedragen met de bewufte horologien *} zoo komt mij eyntlijk dees mergen in handen den hier nevenfgaende miflive*), die ik moet aenzien als door mons.r de ") Voir la Lettre N°. 2716, note 1. ?) Voirl’Appendice N°. 2720. RL à 6 Dan NV il rs ERA CA EE ga ns ae à Riz 7 MR ER TE EE EM QI NE RE ES ET Et RER CT DOS EN EN EI TIE TP RREUEERT RE “LE aa | PEL 4 bé CORRESPONDANCE. 169 Is 207 graaf gefchreven, hoewel van zeer fobere, en confufen jnhoud, en uijt dewelke zeer weijnig is te begrijpen, ik heb mij al bij d’een of d’ander van d’overkomende officieren getracht te jnformeeren maer niemant weet er mi] iets op te feggen, zoo dat wij hiermede, foot fchijnt, een jaer ten achteren zijn. Indien mij iets naeders te voren komt, zal ik niet naelarcen UwelEd. geftr: daer van kenniffe te geven en waermede met veel refpet zal blijven WelEdele geftr: heer UWelEd. geftr : feer Ootmoedigen Dienr. S. v. D. BLOCQUERY. Amfterdm 18 Xbr. 1691. WelEdele geftrenge Heer heer CHRISTIAEN HuycEeNs Heer van Selem &2 &2 In s Gravenhage. #) geantw. den 28 Dec. [ Chriftiaan Huygens]. ee N° 2720. J. De Graarr, G. MeyBos et P. van LAER aux Directeurs de la Compagnie des Indes. 1691. Appendice au No. 2719. La copie se trouve à Leiden, coll. Huygens. Edele Achtb. Heeren Bewinthebberen van d’Ooft indifche Comp ter Camer Amfterdam. Dit wijnighe hebben wi niet ondienftigh geacht UEdie achtb te laten weten; hopen ook fulx bij UEdle achtb ten beften fal werden geduijt; als wij nu den 3e Juny A° 1691 aan de Cabo de bone Eperance met het fchip brandenburgh 208 CORRESPONDANCE. 1691. (waar voor god de heere zij gelooft en gedanckt) waren behouden gearriveert zoo bevond.ik mi] geheel niet wel te pas; edoch ontrent drie weken na dato ge- voelde ik mij weder wat aan de beter derhand, zoo dat wij nu met de bewufte horologien doende zijn om fe tot de wederom reïjfe claar ce maken maar omdat het ook feker is, dat men wel ruym drie weken van noden heeft, om de dagelyckx vorderingh off achteringh der voorfchreven horologien met de zon te vinden; zoo dat wij voor tegenwoordigh verfteken zijn om met de alhier leggende retourfche- pen te konnen repatrieren; want zij in 2 a 3 dagen haar reijs ftaan aan te vaardi- gen; Edoch offer nogh van batavia 2 fchepen, gelijck het feggen is, alhier mochten komen te arriveeren; zoo fullen wij ons claarhouden, om alzoo met een van de- felfde te retourneren maar bij aldien ditto batavias vaders *) niet mochten komen z00 fullen wij alhier moeten blijven tot de naaft alhier aankomende retourfchepen; want de horologies geen effe& connen op zee doen zonder dat men alvoorens aan land waargenomen heeft hoe veel de felfde met de zon te ras ofte langhfaam komen té lopen; hiermede afbrekende; blijven UEdie achthb ootmoedighfte en bereytwillighfte dienaren JOANNES DE GRAAFr. Gizzis MEY80s. PIETER VAN LAER. 1) Lisez: vaanders. CORRESPONDANCE. 1691. 209 N° 27021. CHRisTiAAN HuycEns à N. FATIo DE DUuILLIER. . 18 DÉCEMBRE 1691. La lettre se trouve à Genève, Bibliothèque Publique. Le sommaire se trouve à Leiden, coll. Huygens. La lettre fait suite au No. 2700. Fatio de Duillier y répondit par le No. 2723. Sommaire : 18 Dec. a Mr. Fatio, que j’ay refpondu a fa lettre et envoiè les Errata de Newton *). que M. Leibnits m’a envoiè de fa methode &c. qu’il aille prendre de mon frere l’'Exemplaire de mon livre de la lum.re pour le donner a Mr. Bernard. Baifemains aux amis et a Mr. Locke un compliment. que j’ay donnè quelque chofe en matière de mufique a Mr. de Beauval *). Fatio loge chez M. Tourton et compag.e A la Haye ce 18 Dec. 1691. MONSIEUR = Depuis que vous eftes en Angleterre je n’ay receu de vos lettres que celle du à Sept.5) à laquelle je refpondis auf toft, et vous envoyay les Errata de Mons.r Newton, apresenavoir pris copie. Je crois vous avoir efcrit alors qu’il eft à fouhaiter que cet Illuftre autheur fift faire une feconde Edition de fon Livre, où tous ces Errata pourroient eftre corrigez, et beaucoup de chofes obfcures eclaircies, et je vous recommande derechef de l’en vouloir foliciter, en luy faifant s’il vous plait .mes tres humbles baife-mains. J’ay a la fin receu de Mr. Leïbnitz quelque par- celle de fa methode+) pour le Probleme renverfè des Tangentes. La Preface, qui eft magnifique, à fa mode, contient 2 pages, et l’inftruétion une et demie feulement, mais il y a dans celle-cy, tant d’obfcuritè que je n’en fcaurois venir à bout 5), de forte que je l’ay priè de me l’expliquer plus clairement devant que je luy envoie voftre methode. Et comme vous eftes encore moins verfè que moy dans fon cal- culus differentialis j’ay cru qu’il ne ferviroit de rien de vous faire part de ce qu’il m'a envoiè, jufques a ce que j’aye cet eclairciffement. Habeo (dit il) diverfas vias quibus magnum hoc problema in oblatis cafibus aggrediar, fed hanc optimam effe judico (quoties ea uti licer) ut Problema Tangentium inverfum revocerur ad ) Voir la pièce N°. 2698. ?) Voir la pièce N°. 2705. 3) Notre N°. 2697. 4) Voir la pièce N°. 2713. 5) Huygens y a réussi le jour suivant; voir la note 5 de la Lettre N°. 2726. En conséquence, Huygens a modifié, dans sa lettre à Leïbniz, N°. 2726, le passage où il motive le délai de l’envoi de la méthode de Fatio. Œuvres. T.X. 192 210 CORRESPONDANCE. 1691. quadraturas. Car quoy qu'il ait une autre methode plus abfolue, gu4eque non in- diget alifs praecognitis, il arrive pourtant fouvent que le calcul y monte trop haut, et pour cela il s’arrefte à celle qui eft par les quadratures comme eftant plus commode. Or ce que je trouve a dire à cecy, comme je luy ay aufli remontrè, c’eft que quand on a reduit le probleme a quelque quadrature inconnue, on n’a rien avancè fi on ne fcait comment trouver cette quadrature, ou comment demontrer fon im- poflibilitè. Et je ne fcay, fi parfois on ne parviendroit pas à des quadratures im- poflibles, quoy que le problème de la tangente fuft poflible. Voicy l’une de fes Propofitions, Quandocunque proprietas tangentium data exhibet valorem Sub- rangentialis per folam (ex indeterminatis) abfciffam, vel per folam ordinatam, problema reducitur ad quadraturas. En quoy les racines font auffi comprifes. L’autre propofition eft, Si valor fubtangentialis detur per x et y fimul, tunc non femper facile eft reducere problema ad quadraturas, infiniti tamen funt cafus ubi res procedit, et generaliter hoc pronuntiari poteft, Quandocunque valor fubtan- gentialis eft produétum ex duabus quantitatibus feu formulis, quarum una datur per folam abfciffam x; altera per folam ordinatam y, runc problema reducitur ad quadraturas. Il y a quelque chofe de bon icy en ce que les racines ne font pas exceptées, mais vous voiez d’ailleurs quelle infinitè de cas fe peuvent refoudre par voftre methode, qui ne tombent pas fous celles-cy, outre ceux qui fe refolvent abfolu- ment par la voftre, et qui par celle de Mr. Leibnitz aboutiroient à quelque qua- drature peut eftre inconnüe. Il met pour exemple de cette feconde Propoñition, de chercher la courbe dont je luy avois cy devant donnè la fouftangente s Vae— %Ÿ, Il reduit ce pro- blème à la quadrature de la courbe AH. c’eft à dire a celle de fon efpace indefini- ax ment pris, AHB; cette courbe s'exprimant par cette Equation rer 2 2, OU 44xx — aazz + xx2z D Oo, Et il donne enfuite cette quadrature, et par elle il trouve que la courbe cherchée, qui a fa foutangente ANA TER, s'exprime par cette Equation, y4 0 444yy — 44aaxx. Or je fçavais fort bien cette quadrature de la courbe AH, qui eft celle que je vous propofay 7) pour trouver par elle 5) Voir la Lettre N°. 2660. 7) Voir la Lettre N°. 2672. La courbe AON de cette lettre est, en effet, identique avec » courbe AH. de AE EE de ÉÉP ET n ec e O CS | Déc CORRESPONDANCE, 1691. 211 l’Equation de la courbe; et je fcavois aufi que cette quadrature eftant donnée, mon probleme eftoit réfolu *); mais je crus en le luy propofant qu’il le refoudroit independamment, et qu’ainfi fa methode des à tangentes renverfée produirait la quadrature de N FA la ligne AH. Mais cela a eftè autrement, et il a p falu qu’il cherchaft cette quadrature. Je ne fcay 0 pas par quel moien, mais c’eft ce qu’il devroit m'apprendre, pour me rendre fa methode de H quelque ufage. à Vous connaiffez cette courbe AH7) dont l’efpace AHB > = NP, quand NOK eft un / quart de inconference. c L- Jay donnè a mon frère de Zulichem un À BK, K Exemplaire de mon traitè de la Lumiere?), que Y! je vous prie Monfieur de luy demander, et de le / faire cenir à Mons.r Bernard, dont le nom y eft GY efcrit à la premiere page. Je l'avois oubliè mal- heureufement lors que j’en fis la diftribution *°) et il ne s’eft guere falu que je n’aie encore une foisoubliè d’avoir chargè mon frere de cetExem- plaire. Si vous avez occafion de voir Mons.r Bernard **) vous luy direz, s’il vous plaift, que je fuis bien honteux de m’acquitter fi tard de cette dette, ou bien vous le luy ferez fçavoir 5) Comment Huygens le savait, c’est ce qui résulte de quelques annotations qui se trouvent à la page 84 recto du livre G des Adversaria, savoir, à l’aide d’un théorème de Barrow, publié et démontré dans la Lectio Geometrica XI (p. 85 de l’édition de 1674) de ses Lectiones Opticae & Geometricae, citées dans la Lettre N°. 1767, note 14. En effet, d’après ce théorème, on a : 3 BG?=—spat. AHB, pourvu que BH (=:= ax Br) représente la sousnormale de la courbe AG. Or, à une sousnormale de cette AA—XX, G4—XX . : : . Valeur correspond la soustangente 7 — pla ; il est donc clair que la détermination ax de l'équation de la courbe AG, définie par cette soustangente, dépendait de la quadrature de la courbe ABH. 9) Constantyn Huygens était parti en Octobre 1691 pour suivre le Roi en Angleterre. 1°) Voir la Lettre N°. 2569, note 1. 1?) Sur Edward Bernard; voir la Lettre N°. 1883, note 10. 212 CORRESPONDANCE. 1691. par d’autres. Vous m’obligerez aufli fi vous voulez bien affurer de mes refpe&ts nos Illuftres amis Monfieur Boyle, Monfieur Hamden, Monfieur Locke que je fuis fafchè de n'avoir pas affez connu quand j’eftois en Angleterre ‘*), et a qui je fuis obligè non uno nomine ‘3). Je feray fort aife d'apprendre que vous vous por- tiez bien et que vous vous fouveniez + MonSIEUR de Voftre tref humble et trefobeiffant ferviteur HUGENS DE ZULICHEM. -J'ay donnè quelque chofe en matière de Mufique a Mr. de Beauval que vous pourrez voir dan fon Journal “#). N° 92722. CHRISTIAAN HuYGENs à $S. DE BLOCQUERY. 28 DÉCEMBRE 1691. Le sommaire se trouve à Leiden, coll. Huygens. La lettre est la réponse au No. 2719. Sommaire: Geantwoord aan mijn heer van de Blocqueriïj. Bedanckt voor de communicatie van den brief van de Graef. enz. Wat raport door den brief van Schipper Verbrugge was gekomen, aen- gaende mijn horologies. WelEd. Achtbare Heer blijve met fchuldige eerbiedighheydt UWelEd. achtb. feer ootmoedige die.r 12) En 1689. Consultez la Lettre N°. 2544, note 1. 13) Comparez le dernier alinéa de la Lettre N°. 2572. 4) Voir la pièce N°. 2705. CORRESPONDANCE. 1691. 213 N° 2723. N. Fario DE DuiLzier à CHRISTIAAN HuyGEns. 28 DÉCEMBRE 1691. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle a été publiée par P. J. Uylenbroek*). Elle est la réponse au No. 2721. Chr. Huygens y répondit le 5 février 1692. MONSIEUR Il eft affez inutile de prier Monfieur Newton de faire une nouvelle édition de fon livre. Je l’ai importuné plufieurs fois fur ce fujet fans l’avoir jamais pu flechir. Mais il n’eft pas impolflible que j’entreprenne *) cette édition“); à quoi je me fens d’autant plus porté que je ne croi pas qu’il y ait perfone qui entende à fonds une fi grande partie de ce livre que moi, graces aux peines que j’ai prifes et au temps que j'ai emploié pour en furmonter l’obfcurité. D'ailleurs je pourrois facilement aller faire un toûr a Cambridge et recevoir de Mr. Newton même l’explication de ce que je n’ai point entendu. Mais la longueur de cet ouvrage m’epouvante, puis que par les differentes chofes que jy voudrois ajouter ?) il feroit un folio ‘) affez raifonnable. Ce folio neanmoins fe liroit et s’entendroit en beaucoup moins de temps que l’on ne peut lire ou entendre le quarto de Mr. Newton. Voila un deffein Monfieur capable de m'occuper pendant deux ou trois années: et je ne voi point trop comment le reconcilier avec l’état de ma fortune, à moins que je ne me puifle refoudre à rechercher qu’un affez bon nombre de perfones ) s’accordent à faire des foufcriptions, comme on les pratique ici, pour s’afurer des exemplaires en papier roial, et cela à un prix qui puiffe me mettre l’efprit en repos. J’aurois été bien aife Monfieur d’avoir eu une copie de ce que Monfieur Leibnitz Vous a écrit. Autant que j’en puis juger à prefent il me femble que je ne gagnerai guere au change qu’il m’a propofé. J’entens fort bien tout fon calculus differentialis, non- obftant les fautes d’impreflion, qui font en fi grand-nombre qu’on les croiroit faites à deffein: mais c’eft que je n’ai etudié ce qu’il en a écrit que depuis que j’ai eu d’ailleurs les memes chofes. Je puis comme lui trouver la tangente quand l’Equa- tion de la courbe eft propofée avec des incommenfurables aufli complexes que l’on veut. Je retrouve en une infinité de cas l’Equation de la courbe lorfque la proprieté des tangentes eft donnée avec des incommenfurables complexes. L’effai de ma 1) Chr. Hugenïi etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. IT, p. 124. 2?) Fatio n’a pas accompli ce dessein. La deuxième édition ne parut qu’en 1713, rédigée par les soins de R. Cotes. Ë 214 CORRESPONDANCE, 1691. À aa—xx methode a fort bien reufli pour la foutangente que Vous me marquer} 422% fans avoir recours à aucune quadrature *). Mais il eft vrai comme le dit Monfieur Leibnitz qu’il y a plufieurs manieres de refoudre ce probleme. Il me paroït par tout ce que j'ai pù voir jufques ici, en quoi je comprens des papiers ecrits depuis bien des années, que Monfieur Newton eft fans difficulté le premier Auteur du cal- culus differentialis, et qu’il le connoiffoit autant ou plus parfaitement que Monfieur Leïibnitz ne le connoït encore, avant que ce dernier n’en eut eu feulement la pen- fée, qui même ne lui eft venue à ce qu’il femble qu’à l’occafon de ce que Mon- fieur Newton lui ecrivit fur ce fujet. (Voiez Monfieur s’il Vous plait la page 253 du livre de Monfieur Newton3)). Auffi je ne puis affez m’éconner que Mr. Leibnitz n’en marque rien dans les A&a Lipfenfia. Les dernieres ouvertures que j’ai eues fur cette matiere me font venues de deux mots/) feulement que m’a dits Mr. Newton; et j’ai été furpris qu’aiant été jufque là fi prez d’avoir les mêmes chofes elles euffent pû echapper pendant fi longtemps à ma connoiffance. J'ai Monfieur retiré l’Exemplaire de votre Traitté de la Lumiere, que Vous deftinez à Monfieur Bernard#), et je chercherai les moiens de le lui faire tenir. Monfieur de Zulichem m'a dit que Vous fouhaittiez d’avoir le petit Traitté de Monfieur Craige 5). I eft fort peu exaét et trez mal imprimé et l’on y trouve des raifonnemens tout à fait faux. Mais jai offert Monfieur à Monfieur de Zulichem de redreffer l’exem- plaire qu’il Vous envoiera conformement aux corrections que j’ai faites au mien. Ce traitté Vous deviendra par là fort facile et dans cet état, quoi qu’il eut befoin d’etre corrigé de nouveau pour le purger d’une infinité de fautes moins effentielles, 3) Cette page et la suivante contiennent le Scholium que voici : »In literis quae mihi cum Geometra peritissimo G. G. Leibnitio annis abhinc decem intér- cedebant, cum significarem me compotem esse methodi determinandi Maximas & Minimas, ducendi Tangentes, similia peragendi, quae in terminis surdis aeque ac in rationalibus pro- cederet, & literis transpositis hanc sententiam involventibus (Data aequatione quotcung; fluentes quantitates involvente, fluxiones invenire, & vice versa) eandem celarem rescripsit vir Clarissimus se quoq; in ejusmodi methodum incidisse, & methodum suam communicavit a mea vix abludentem praeterquam in verborum & notarum formulis. Utriusq; fundamen- tum continetur hoc Lemmate.” Le Lemma cité est le fameux Lemma II de la Pars secunda, dans lequel est exposé le prin- cipe de la méthode des Fluxions, en l’appliquant à la différentiation de la forme x” y. Remarquons, à cette occasion, que nous aurions cru dépasser les limites que nous devons observer dans la rédaction de ces notes en traitant, à propos de ces remarques de Fatio et de quelques autres que l’on rencontrera dans la suite de cette correspondance, la question de priorité surgie entre Newton et Leibniz. 4) Constantyn Huygens, frère, nota dans son journal, sous la date du 26 décembre 1691: ,, Dans l'après-midi Fatio d'Ullier vint chez moi chercher un livre de frère Christiaan pour le Dr. Bernart”. 5) Voir la note 3 de la Lettre N°, 2725. CORRESPONDANCE. 1691. 215 il pourra pafler pour un aflez bon livre. Vous ne me dites rien Monfieur de la derniere experience de vos pendules fur mer 4). Monfieur Hampden vous affure de fes refpeéts. Ma fanté n’eft guere établie et mes etudes fouffrent beaucoup de ce côté là. Je n’ai pas laiffé neanmoïns de trouver depuis un mois ces mêmes chofes qui font écrites fans demonftration dans les chapitres 85 et 91 de l’Algebra de Mr. Wallis‘). Je fis ma recherche fans voir le livre, et enfuite j’en comparai le refultat avec ce que Monfieur Wallis a imprimé et je ne trouvai aucune diffe- rence que dans le choix des lettres que nous emploions. Comme ma demonftration eft extremement courte et qu’elle regarde une doétrine fort generale fur un fujet plein de difficultez et qui neanmoins eft cout à fait utile, peut etre meriteroit elle d’etre imprimée. Nous n’avons point encore vû le journal de Monfieur de Bauval où vous avez fait mettre quelque chofe qui regarde la Mufique. Le catalogue des Errata du livre de Mr. Newton groflit fenfiblement entre mes mains) à mefure que j’avance dans la leéture que je fai de ce livre et qui eft cout à fait rigoureufe et fevere. Je fuis du meilleur de mon coeur. = MonNSIEUR Votre trez humble et trez obeïflant feruiteur N. Fario DE DuILLIERS. A Londres ce Ê xbre 1691. *) Mr. Newton feroit heureux [Chriftiaan Huygens]. V) n’y adjoutez pas tant [ Chriftiaan Huygens]. ©) Plufieurs in-4°. [ Chriftiaan Huygens]. 4) 200 Exemplaires fuffiront [ Chriftiaan Huygens]. #) cela vaut donc mieux que ce que promet Mr. Leibnitz [Chriftiaan Huygens |. 1) je ferois bien aife de fcavoir ces deux mots [ Chriftiaan Huygens]. £) il faudra attendre un an encore [ Chriftiaan Huygens] 7). #) envoier ma correétion [ Chriftiaan Huygens ]°). 5) Il s’agit de l'ouvrage cité dans la note 3 de la Lettre N°. 2660, dont le chapitre 85, intitulé Another Method of Approximation, by Mr. Isaac Newton”, et le chapitre 91:,,The Doctrine of Infinite Series, further prosecuted by Mr. Newton”, traitent du développement en série de l'expression (4 + 2)” pour les valeurs fractionnaires, positives et négatives de #, et de l’ap- plication de ce développement à la quadrature du cercle et à celle de l’hyperbole équilatère. 7) Voir, sur la cause de ce retard, la Lettre N°. 2719. #) En haut de la page 2 de la lettre, Huygens nota encore: Newton. Wallis Arithm. 216 CORRESPONDANCE. 1691. (9 N° 2724. CHRisTiAAN HuyGEns à ?*). [1691]. La pièce se trouve à Leiden, coll. Huygens. « Je vous envoie mes reflexions fur ce qui a paru touchant le Probleme de la Chainette tant pour fatisfaire a voftre curiofitè que pour l’inftruétion de ceux a qui vous voudrez en faire part. Nous eftions obligez en quelque façon Mr. Leibniz, Mr. Bernoully et moy de donner les demonftrations des chofes que nous avons publiées ?) couchant cette Ligne, mais nous ferons encore plus pour l’utilitè des geometres fi nous decouvrons les voies qui nous ont conduit a ces decouvertes. J'avoispenfè m’en pouvoir remettre à l’un ou l’autre de ces [ Meflieurs] que je viens de nommer, et qui ont fi bien reufli a cette recherche. Mais aiant appris que nous avons tenu des chemins differens, tant par ce que j’ay pu juger par quelques Lettres de Mr. Leibnitz 3), que de quelqu’endroit des decouvertes de Mr. Ber- noully publiées dans les Aéta de Leipfic 4), j’ay creu que le public pourroit tirer des inftruétions de chacune de nos 3 methodes 5). Il eft vray, et on le voit par nos folutions qui font dans les Aéta de Leipfich du mois de Juin de cette année, que Mr. Leibnitz et Bernouilly ont decouvert des proprietez tres belles de cette Ligne, qui me font echappees et les quelles peut eftre je n’auroïis pas trouvees quand je les aurois cherchees. Toutefois je puis dire avec veritè que je ne m’y fuis point attachè, croiant avoir defia plus fait qu’on n’avoit requis, puis que propofant le Probleme on n’avoit rien fpecifiè, mais feulement demandè quelle ligne eftoit celle que fait une chorde tres flexible ou une chaîne fufpendue par les 2 bouts“) de forte que je marquay feulement les proprietez qui fe prefenterent dans la fuite de mon raifonnement, fans m’ecarter a pourfuivre d’autres dans l’incertitude de rien rencontrer qui me paiaft de ma peine. Il ne m’a pas eftè difficile pourtant, apres avoir vu les produétions de ces 2 Mef- fieurs d’imaginer des moiens pour parvenir a ces mefmes veritez ‘) horfimis dans 1) Nous supposons que Huygens a commencé ce mémoire, que nous avons emprunté aux pages 128 verso jusqu’à 129 verso du livre G des Adversaria, pour quelque journal, probablement pour l’,, Histoire des Ouvrages des Savans” de Basnage de Beauval, où il est revenu plus tard sur le problème de la chaînette. Voir la note 2 de la pièce N°. 2694. ?) En juin 1691. Voir la pièce N°. 2681, note 1. 3) Voir les Lettres Nos. 2627, 2659, 2664, 2688 et 2699. 4) Voir, sur l'endroit en question, la Lettre N°, 2695, à la page 140 de ce volume. s) Ici suit la phrase, biffée par Huygens: et que la mienne ne s’éloignant pas de l’ufage de l'évidence de la géométrie ordinaire il y aurait d’autant plus de ceux qui la cultivent qui la verraient avec plaifir. 5) Voir la pièce N°. 2694. | 1 Ë 4 1 | î 4 CORRESPONDANCE. 1691. 217 une (que je defigneray dans la fuite) qui m’a tenu affez longtemps 7) devant qu’y pouvoir reuflir, et que Mr. Leïbnitz juge comme moy la plus confiderable dans route cette recherche ). C’eft icy que je verray avec un fingulier plaifir comment fon excellent calcul differentiel l’a conduit a la conftruétion qu’il a donnée, et fi Mr. Bernouilly s’en eft pareillement-fervi pour la fiene ou s’il y a eu du bonheur a fa decouverte ?) comme cela arrive fort fouvent. Cependant eftant incertain des differentes routes par les quelles.ils font allez, et voiant que celles que je me fuis imaginees menent avec facilitè aux demonftrations des chofes trouvees et que leur utilitè pourra s’etendre ailleurs j’ay voulu les expofer icy efperant que ces 2 fcavants geometres enuferont de mefme a mon exemple. On doit fcavoir bon grè a Mr. Bernouilly d’avoir penfè a ce probleme de la Chainette °) qui eft beau en ce qu’il a pour objet une ligne courbe des plusexpofées a nos yeux, et qui eft une de celles que la nature femble tracer elle mefme. Car il me femble qu’on s’occupe beaucoup plus agreablement a rechercher la nature de ces fortes de lignes que de celles qu’on forge et compofe expres pour en trouver enfuite les diverfes proprietez. Et j’ay remarquè que ces lignes naturelles ont rousjours grand nombre de ces proprietez comme par exemple le cercle, les fec- tions coniques, et entre elles la parabole, qui fe forme par le jet de corps pefants, la Cycloide qui fe decrit par chaque clou d’une roue, et les Epicycloides. I] femble que de telles lignes qui fe prefentent fouvent a noftre vue reprochent leur ignorance au geometres. Et cependant depuis tant de fiecles que cette fcience eft au monde cette courbe de la Chaine eft de celles que perfonne jufqu’a cet heure ne s’eft avifè de foumettre a l’Examen fi ce n’eft peut eftre qu’elle a eftè tentée et que le mauvais fucces foit demeurè dans l’obfcuritè. On fcait que Galilée con- fidera cette courbure comme fi c’eftoit une parabole **) mais a tort, comme je l’ay demontrè autrefois eftant fort jeune ‘?), lors que je trouvay en mefme temps la pre- fion qui tendoit une chorde felon la ligne parabolique, la quelle demonftration je fis veoir a Mr. des Cartes 3), et la communiquay au Pere Merfenne 4). Mais cout cela eftoit peu de chofe en comparaifon de l’entreprife de la Chainette et l’on peut juger aucunement de fa difficulrè, par le peu de folutions qui font venues, quoyque + 7) Jusqu'au rer septembre 1691, comme il résulte de la Lettre N°. 2695, note 3. #) Voir la Lettre N°. 2699. ?) Au-dessus de la ligne Huygens a écrit, comme variante qu’il semble préférer : s’il y eft par- venu par une remarque particuliere. 19) Voir la note 2 de la pièce N°. 2491. +) Voir la note 1 de la Lettre N°. 17. 1?) A l’âge de 17 ans. Voir la fin de la Lettre N°. 14. 13) Par l'intermédiaire de van Schooten. Consultez la Lettre IN°. 0. 4) Voir la Lettre N°. 14, la Lettre N°. 20 et les pièces Nos, 21 et 22 ou, mieux encore, la pièce ‘ publiée par Uylenbroek dans les Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. II, pp. 31—36, que nous publierons parmi les , Ouvrages inédits”. Œuvres. T. X. fps 28 218 CORRESPONDANCE. 1691. le Probleme ait eftè propofè publiquement par l’efpace de... mois 5). On ne fcait pas bien d’abord par où entamer cette courbe par ce qu’il n’y a ni mouvement, ainfi qu’en d’autres courbes, qui ferve a la former, ni corps folide dont la coupe la produife, ni aequation analytique qui en exprime la nature, car c’eft cela mefme qu’il faut chercher s’il y en peut avoir. Pour moy je ne concois point qu’il y ait d’autre ouverture que celle qu’on va voir dans cette Expofition. Je me fuis figurè une chaine Hb ABCD compofée de petits grains ayant leur pefanteurs egales et enfilez avec des feparations egales a un fil fans pefanteur ou infiniment leger. de ces entredeux qui font des lignes droites je fup- pofois la plus baffle BC eftre horizontale. Je fcavois en confiderant quelques 3 de ces interftices qui fuffent de fuite, quand mefme ils feraient inegaux, que les 2 exterieures eftant prolongez fe devoient rencontrer dans la perp.e qui defcend du point qui divife egalement l’interftice du milieu ainfi dans les trois BC, CE, EF, les deux BC, EF fe rencontrent au point H qui eft dans la perpendre LH, qui vient du point L, ou CE fe divife egalement. C’eft le Theoreme de Stevin *°), du quel j’ay des demonftrations meilleures 17) qu’on n’en a donnees jufqu’icy, mais je ne m’y arrefteray pas maintenant. Que fi l’on fuppofe une chaine compofée de petites verges de poids et longueur egale elles prendront la mefme fituation que les entredeux de fil de la precedente, comme il eft aifé de voir en s’imaginant que la pefanteur de chaque vergette fe foit retiree egalement vers fes 2 bouts *). 4) Mérite de la ligne. Methode de Leïbnitz [ Chriftiaan Huygens]. —— 15) Le problème fut proposé par Jacques Bernoulli dans les ,, Acta” de mai 1690. Dans le numéro de juillet Leibniz annonça qu’il avait trouvé la solution et qu’il la publierait si ,,ante anni exitum nemo solutionem a se repertum esse significabit”. 16) On rencontre ce théorème à la page 57 des ,, Beginselen der Weeghconst”, l'ouvrage cité dans la Lettre N°. 5, note 12. Girard, dans l’ouvrage cité dans la note 14 de la Lettre N°. 2709, au premier Livre du quatrième volume, l’a traduit comme il suit: ,,Theoreme XVI, Propo- sition XXV. Si une colomne est suspendue par deux lignes non parallèles icelles produictes se rencontreront dans la perpendicle de gravité de la colomne”. 17) Voir, pour la démonstration du cas spécial, où il s’agit de deux poids égaux, attachés à la corde, la pièce N°. 22. Une démonstration du cas général, fondée sur le principe que le centre de gravité ne peut pas monter sous l’action de la gravité seule, se trouve à la page 9 recto du livre G des Adversaria. Elle date probablement de décembre 1688. 13) La pièce est restée inachevée, mais on peut consulter, sur ce qui aurait pu suivre, l’article cité dans la note 2 de la pièce 2694. « DT Et PT AS nf SN LENS CORRESPONDANCE. 1692. 219 * o N° 2725. ConsranTyYN Huycens, frère, à CHRisTiAAN HuyGEns. 1€T JANVIER 1692. La lettre et la copie se trouvent à Leiden, coll. Tuygens. Elle est la réponse à une lettre que nous ne connaissons pas. Londres, ce 1r Janv. 1691"). Suivant ce que vous aviez fouhaité, j’ay remis a Mr. Fatio voftre Traitté de la Lumiere, pour le donner a Mr. Bernard *). Il me fut voir ily a 4 ou 5 jours. Noître difcours fut interrompu, fans cela je luy aurois demandé quelque chofe de l’eftat de fes affaires, et ce qu’il avoit deffein de faire de fa perfonne. Il me dit qu’il eftoit d’intention de publier une feconde edition du livre de Mr. Newton, et d’y adjoûter l’eclairciffement des paffages obfcurs et difficiles defquels vous fcavez qu’il y a bon nombre. Je tafcheray de deterrer le petit livre de Mr. Craigue3) et vous l’envoyeray a la 1) Lisez: 1692. 2?) Voir la Lettre N°. 2723, à la page 214. - 3) John Craig, écossais. Il s’appliqua aux mathématiques et s'établit à Cambridge, où il devint l'ami de Newton. En 1685 il publia l'ouvrage: Methodus figurarum lineis rectis & curvis comprehensarum quadraturas determinandi. Authore Johanne Craïige. Londini Impensis Mozis Pitt., ad insigne Angeli in Coemeterio D. Paulo, MDCLxxxv. in-4°. Dans les Acta Eruditorum du mois de mars 1686, p. 169, von Tschirnhaus, se voyant attaqué par Craig, a donné une critique étendue de ce livre. Cantor, dans ses ,, Vorlesungen über Geschichte der Mathematik” (ed. 1901) Dritter Band, p. 195, cite l'ouvrage de Craig comme une preuve de l’avidité avec laquelle on accueillit en Angleterre la première exposition, que Leibniz publia dans les Acta d’octobre 1684 (voir la Lettre N°. 2205, note 5), de l'algorithme de son calcul différentiel. D’après le témoignage de Craig, Newton a lu son ouvrage avant l'impression, et a contribué à la critique dirigée contre von Tschirnhaus. C’est ce qui résulte de la Praefatio ad Lectorem de son ouvrage intitulé: De calculo Fluentium Libri duo. Quibus subjunguntur Libri duo de Optica analytica. Authore Johanne Craig. Londini : Ex officina Pearsoniana. MDccxvrI. in-4°. où il dit: ,, Habes hic B. L. quae multos ante annos de calculo fluentium sum meditatus, & cujus prima Elementa, cum Juvenis essem, circa Annum 1685 excogitavi: Quo tempore Cex- tabrigiae commoratus D. Newtonum rogavi, ut eadem, prius quam prælo committerentur, per- legere dignaretur: Quodg; Ille pro summa sua humanitate fecit: Nec-non ut Objectiones in Schedulis meis contra D. D. T. allatas corroboraret, duarum Figurarum Quadraturas mihi obtulit; erant autem harum curvarum Aequationes #77? — x 4x? & my =x3 + ax”. En 1699 Craig publia ,,Theologiae Christianae Principia Mathematica”. Dans cet ouvrage 220 LS CORRESPONDANCE. 1692. premiere occafion. Fatio en parle comme contenant de bonnes chofes, mais rangées en mauvois ordre. Il me tarde de fcavoir ce que vous avez appris de vos Pendules par les derniers vaifleaux venus des Indes #). Quelques curieux icy m’en ont demandé des nou- velles. Je n’ay pas encor donné mon verre de 120 a la Societé icy5). D.r Stanley devoit le leur mettre entre les mains, mais depuis noftre retour de Hollande je ne l’ay veu qu’une fois icy comme il eft cousjours plein d’affaires ou voudroit bien qu’on le cruft qu’il l’eft. Il m’a propofe une fois ou deux d’aller a un repas Philofophique ou 8 à 9 membres de lad.te Societé vont une fois ou deux chafque mois, et ou Sr. Robert Southwell®) prefencement Prefident devoit fe trouver aufi. Mais n’ayant pas bien eu le temps pour aller chercher mon difner fi loing, je n°y ay pas efté. Mais nous fommes convenus que demain au matin Stanley viendra me trouver chez moy avec m.r Hoock, et alors je verray fi je leur remettray le verre, en apprenant comment ils pretendent s’en fervir, et ou ils pretendent de planter le maft. Je ne voy pas qu’ils ayent un autre endroit pour cela que la place carrée qui eft dans Grefham College. Demain j’en fcauray d'avantage. Par l’ordinaire arrivé ce foir, j’ay appris que nous avons gaigné noftre proces contre Schoock?) et que ceux de la Cour ont trouvé que le quart des Ecritures qu’on a faites de noftre part auroit pù fuffire. Tien) a efcrit a ma femme touchant la permiflion que vous luy aviez demandee de pouvoir vous fervir quelque fois de fes chevaux durant fon abfence. Elle eft encore contente que cela fe faffe ainfi; mais comme ce font des chevaux de prix il s’efforce de déterminer par le calcul mathématique le degré de probabilité que l’on peut ac- corder à la base de la foi chrétienne. En partant du principe que le degré d'évidence d’un fait historique est variable avec le temps et inversement proportionel au carré des distances, il conclut que, de son temps, l’évidence de l’histoire du Christ équivalait au témoignage d’une personne qui l’aurait apprise de 28 disciples, mais que, en l’an 3150 de l’ère Chrétienne, elle sera devenue insensible, de sorte que, d’après St. Luc. XVIII, 8, vers cette époque le Christ devra apparaître de nouveau pour accomplir le dernier jugement. Craig jouit de la protection de l’évêque Burnet, qui le gratifia de la prébende de Durnford dans la cathédrale de Salisbury. 11 mourut le 11 octobre 1731 à Londres. +) Voir la Lettre N°. 27109. 5) Voir la Lettre N°. 2729, note 5. $) Sir Robert Southwell, né en 1635. Il occupa successivement plusieurs charges importantes dans la marine et la diplomatie anglaises, et accompagna le roi William III dans l'expédition en Irlande. Il fut créé Président de la Société Royale le 1er décembre 1690, et mourut à King’s Weston le 11 septembre 1702. On trouve de lui quelques articles dans les Philosophical Transactions. 7) Voir la Lettre N°. 2631. #) Constantyn, le fils unique de Constantyn Huygens, frère. PAROI ET OT - CORRESPONDANCE. 1692. 221 et dont on luy a offert 850 livres elle fera bien aife que cela fe fafle avec de la precaution et que lon ne les laiffe point devant les maifons dans la neige et dans la pluye. Pour ce qui eft de la calefche qui eft a la Haye, et qui a coufté au de la de 400 francs à la raccommoder elle fouhaitte de la garder pour fon retour, l’ayant toujours menagée elle mefme quand il ne faifoit pas beau et fe fervant de fon ca- roffe à deux fonds, comme vous pourrez faire aufli, ou bien faire mettre les che- vaux devant quelque calefche de louage qui fe trouvent tousjours à la Haye et de toute forte. Le Roy parle tousjours d’eftre en Hollande a la fin du mois prochain pour aller de bonne heure en campagne cette année, que je vous fouhaitte tres heureufe. Min Heer Min Heer HuycExs Heere van Zeelhem ten huyfe van Hr. van Zuylichem Haghe. N° 2726. CHRiISTIAAN HuycEns à G. W. LEeiBniz. IT JANVIER 1692. La lettre se trouve à Hannover, Bibliothèque royale. «La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens. La letire à été publiée par P. J. Uylenbroek*) et C. I. Gerhardt®). Elle fait suite au No. 279. Leibniz y répondit par le No. 2727. A la Haye ce rer janvier 1692. MONSIEUR Vous aurez receu fans doute ma lettre du 16 novembre, puifque Mr. Meyer m'a mandè qu’elle avoit paflée par fes mains 3). Jay attendu jufqu’icy voftre ref- ) Chr. Hugenïi etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, p. 109. La minute publiée par Uylenbroek ne diffère pas notablement de la lettre elle-même; nous indiquerons quelques variantes dans les notes. ?) Leïbnizens Mathematische Schriften, Band IL, p. 113 et Briefwechsel, p. 674. 3) Voir la Lettre N°. 27102. / 222 CORRESPONDANCE, 1692. ponfe, mais fongeant que vous attendez peut-eftre ce que j’auray à dire touchant voftre Efcrit 4), qu’il m’a envoiè, je ne veux pas laiffer une plus longue interruption à noftre correfpondance dont je tire du plaifir et de l’avantage. Vous fcaurez donc touchant cet Efcrit que j’ay eu de la peine d’abord à l’entendre, eftant encore peu accoutumé à voftre maniere de calcul et ne demeflant pas affez bien les conftruétions qui refultent de vos folutions. Pourtant y eftant retournè 5) avec plus de loifir j’en fuis venu à bout). Mais qu’ay je trouvè? J’ay vu qu’en redui- fant le Probleme renverfè des Tangentes aux quadratures, voftre methode ne me donnoit pas ce que j’en efperois d’avantage, qui eftoit de m’en pouvoir fervir pour trouver les quadratures. Je fcavois fort bien celle de la Courbe que vous expliquez et demonftrez, et.comment par là on pouvoit conftruire la courbe dont la foutan- gente eft n/a xx: 4x7), mais je croiois que par voftre methode ontrouveroit cette courbe independamment, et par elle la quadrature de l’autre, ce qui n’eft point. J’ay vu de plus, en effaiant voftre methode fur plufieurs courbes connues"), feignant qu’elles ne le fuffent point, mais feulement les proprietez de leurs tan- gentes, que cousjours j’eftois reduit à des quadratures impoflibles, comme de 4) IHs’agit de la pièce N°. 2713. 5) Le 19 décembre 1691, date qu’on trouve en tête de la page 8 (pagination de Huygens) du livre H des Adversaria, où commence l’examen de la méthode de Leïbniz. 5) La minute a: , Jay enfin compris le tout”. 7) Voirla Lettre N°. 2721. 8) On rencontre ces essais aux pages 10—12 du livre H des Adversaria. Outre les courbes dont ; ; 4 ÿ dx il est question dans la suite, Huygens y examine encore la soustangente y à — 2x de la para- bole. Ici la méthode de Leïbniz mène à l'équation FE = [? 2 >» c’est-à-dire à la comparaison de deux aires hyperboliques. Huygens dessine les deux hyperboles, en déduit la construction de la courbe cherchée; et il ajoute: ,Curva quaesita AC P est parabola, sed quis hoc ex haec constructione cognesceret”. Toutefois il parvient ensuite à démontrer, à l’aide de propriétés bien connues de l’hyperbole, que la courbe qui résulte de cette construction est en effet une parabole; mais il est clair que la voie suivie devait lui sembler bien compliquée en la compa- rant à celle indiquée par la méthode de Fatio, qu’il avait appliquée au même problème à la page 109 recto du livre G. En effet, d’après cette méthode, mentionnée entre autres dansla note 17 de la Lettre N°. 2660, on n’avait qu’à multiplier l'équation y/x—2x4y—0 (ouyz—2x7,comme Huygens l’écrivit) par le ,, transformateur” y-5 pour obtenir le ,,terme générateur” commun xy—?, après quoi il remarque ,,quia autem solus terminus generttor ee invenitur, qui non potest efficere equationem curvae, oportet quantitatem aliquam cognitam quae easdem dimen- : 4 ; NRC $ siones habeat ab ipso substrahere; atque ita facere ho o unde z*—yy—0, aequatio parabolae”. CORRESPONDANCE. 1692. 223 l’'Hyperbole, du Cercle et autres, au lieu que par la methode de Mr. Fatio l’on trouve l’equation de la ligne cherchée fans aucune neceflité d’en quadrer d’autres. Vous n’enfeignez donc pas à difcerner fi la ligne cherchée cft geometrique ou non, et s’il faut ces quadratures de l’Hyperbole et autres pour la conitruire. Par exemple, fi la foutangente eft LOUE aa + y cherchée fe reduit par voftre methode à la quadrature de l’Hyperbole et à celle de la courbe z > ne Et de mefme fi la foutangente eft nes > vous viendrez derechef à la quadrature de l’Hyperbole et à celle d’une autre courbe, au lieu que Mr. Fatio n’a befoin d’aucune. On ne tient donc rien par voitre methode, fi on ne fcait trouver les quadratures quand elles font poflibles, et °), la conftruétion de la courbe 9) Il s’agit de la soustangente déguisée de la courbe 44xx— xxyy — 44ÿyy—0, que nous avons rencontrée plusieurs fois dans cette correspondance. (Voir les pièces Nos. 2624 et 2625, note 20, N°. 2669 S II, N°. 2672 et 2673). En effet, l’équation différentielle y$dx — aaydx — aaxdy — 0, à laquelle on arrive, avait été intégrée à la page 1o1 verso du livre G, à l’aide de la méthode de Fatio. A cet effet, elle avait été multipliée par y-3 pour rendre ,,pur” le premier terme qui n’avait pas de terme ,,correspondant”, et ensuite par le transformateur” x. De cette manière fut obtenue l’équation trans- formée xx —L 4axy7° dx — auxxy=3 dy — 0, sur laquelle Huygens remarque: ,,Le Ranxx if, 1 ; IL 44XX terme générateur sera PH et l’autre — xx, et l’équation de la courbe sera VATES + 1 1 de AE À 1 + SX 440 OU bien 44xx + xxyy — 4ayy— 0 estant reduite. Au lieu de — 544 0n : 1 I è 1 pouvait mettre —, 4h où — S ob et on aurait trouvé toujours la soustangente comme elle a estè proposée. Mais il faut que ce terme connu soit ajourè et cela avec le signe — parce que les 2 autres termes ont +”; et il ajoute encore en marge: ,Il valait mieux de mettre — 23 au lieu de — 3 aa. Et dire que supposant — 22 égal à — : aa, on venait à l'Equation reduite comme elle est icy””. : 19) La minute ajoute: , Comment scauroy-je que celle que je cherche est une ligne géomé- trique”. 11) L’équation 2hy4x + xydx — bxdy — xxdy—0, amenée par cette valeur de a soustangente, avait été intégrée à la page 111 du livre G à l’aide du transformateur x—3, obtenu, comme toujours, par une application systématique de la méthode de Fatio, telle qu’elle est décrite dans la lettre à de l’Hospital du 23 juillet 1693. En effet, par la multiplication avec ce trans- formateur on obtient l'équation 22yx—3 dx + x—2ydx — bx—? dy — x" dy —0, qui donne, LL adjungendus terminus aliquis cognitus totidem dimensionum, ut — , l'équation génératrice [/4 — Dyx TT — ya + Po, c’est à dire l'équation de l’hyperbole: — by — xy + 2x 0: 224 CORRESPONDANCE. 1692. connoitre quand elles font impoñlibles, en quoy je fcay par experience que vous avez quelque chofe de beau, et cela paroït, dans l’exemple que vous avez mis à la fin, où vous quadrez la courbe 44xx + xxyy — 44yy > o. Je l’avois auffi trouvée, comme j’ay dit, mais c’avoit eftè par rencontre, et mefme par cette quadrature que je donnay à Mr. Fatio, il trouva l’equation de la courbe à qui elle convenoit ?). k Confiderant tout ce que je viens de dire, et voiant de plus, Monfieur, que vous appellez cette methode qui reduit aux quadratures la meilleure des voftres pour ce probleme, il m’eft aifè de conclure que vous ne m’en avez envoiè qu’une petite partie, vous refervant d’y joindre par apres le refte, et qui fait prefque le tout. Si je pouvois en faire de mefme en ce qui eft de la methode de Mr. Fatio, je vous imiterois, mais elle eft celle que vous decouvrant une partie, ce feroit vous apprendre tout. Refolvez vous donc je vous prie à m’envoier cette principale partie, a fin que Mr. Fatio ne puiffe pas ‘#) me reprocher d’avoir trocqué ypécea XéAnElwy, car vous voiez bien apres tout que je ne fuis pas feul maitre de la chofe. En eftudiant les exemples que vous donnez de voftre reduétion, je me fuis rendu voftre maniere de calcul un peu plus familiere qu’elle ne m’eftoit, er je la trouve excellente pour reprefenter avec facilitè et clartè ces /wmmas minimorum, qui fervent en beaucoup d’occafions. Mais je ne vois pas encore en confiderant voftre equation de la Cycloide, de quel fecours elle feroit pour en deduire omnia circa Cycloidem inventa, comme vous dites. Car quand ce ne feroit que pour trouver l’efpace compris de cette ligne et fa bafe, ne faudroit il pas emploier à peu pres les mefmes biais dont on s’eft fervi pour cette dimenfion. Et s’il faloit trouver le centre de gravitè de la demie Cycloide, voftre calcul vous y meneroit il fans ces profondes fpeculations de Mr. Pafcal *#) ou Wallis 5)? Vos expreflions pour- roient eftre plus courtes, mais pour l’invention je crois qu’il faudroit paffer à peu pres par les mefmes chemins. Si cela eft autrement, vous me ferez plaifir de me detromper, afin que j’aye toute la bonne opinion de voftre calculus differentialis qu’il merite.’ Si vous lifez l’Hiftoire des ouvrages des Scavants qu’on publie icy de 3 en 3 mois, vous y trouverez quelque chofe de moy en matiere de Mufique *) er qui regarde 7?) Consultez les Lettres N°. 2672 et 2673. 73) La minute donne: ,,n”4ff pas à”. 4) Voir, sur le problème en question, la pièce N°. 494. La solution de Pascal parut dans l’ouvrage cité dans la note 32, de la Lettre N°. 560, sous l’article c. «, 75) Voir l’ouvrage cité dans la Lettre N°. 690, note 3. 16) Voir la pièce N°. 2705. CORRESPONDANCE. 1692. 295 un nouveau fyfteme des Tons. Si Mrs. de Leipfich avoient envie de le mettre dans leurs Aëta 7), jy pourray joindre quelques autres nouvelles confiderations. Je vous fouhaite la nouvelle année heureufe et fuis etc. N° 2727. G. W. LeiBniz à CHRISTIAAN HuYGENs. 8 JANVIER 1692. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle a été publiée par P. J. Uylenbroek*) et C. I. Gerhardt*). Elle est la réponse aux Nos. 2709 et 2726. Chr. Huygens y répondit par le No. 2732. A Hanover 29 Décembre Vieux Stile 1691. MONSIEUR Vous jugés bien que la leéture de vôtre lettre me devoit furprendre, aufli n’y manquait-elle pas. Neantmoins je m’avifay qu’il eft plus commode de rire de la malice de quelque efprit malin), qui nous veut donner tousjours de quoy contefter, que de s’en facher. Et puifque j’efpere, que vous n’aurés pas encor communiqué mon papier à Mr. Fario, il nous eft aifé de fortir d’affaire. Vous et ‘luy vous garderés fa methode, d’ou, excepté quelque canon ou abregé, que je pourray bien tirer moy mefme de ma regle generale, quand jy voudray penfer, je ne croy pas de pouvoir apprendre beaucoup; et bien que je n’aye pas gardé la mienne, vous aurés la bonté de ne la point communiquer. Il eft vray que vous aurés l’avantage fur moy de garder l’une et l’autre; mais il n’y a pas grand mal, et je vous laiffe juger vous même, fi vous y avés appris quelque chofe qui merite que vous me fafliés quelque autre communication reciproque. Je ne crois pas d’en pouvoir ufer plus honnêtement, quelque fujet qu’un autre croiroit avoir de fe plaindre, j’aime mieux d’eftre creancier, que de donner fujet aux autres de fe plaindre de moy avec ou fans raifon. C’eft ce qui fait que je ne fuis pas trop faché de n’avoir pas receu l’écrit de Mons. Facio en échange du mien. Vous m’auriés fait un procès, pour m’obliger à donner d’avantage, maintenant je fuis à couvert 17) Ce qui n’a pas eu lieu. Consultez encore la lettre de Huygens du 11 juillet 1692. 7) Chr. Hugenïi etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, p. 112. 2?) Leïbnizens Mathematische Schriften, Band IL, p. 121, et Briefwechsel, p. 682. Œuvres. T. X. 29 226 CORRESPONDANCE. 1692. de toutreproche. Et comme mon malheur n’eft pas fort grand, il m’eft aifé de prac- tiquer en cette rencontre les regles de Cardan de utilitate ex adverfis capienda 3). Je veux pourtant dire quelque chofe à vos raifons. J’avois promis de vous don- ner la folution d’un certain probleme et vous me promiftes en échange la folution d’un autre par la methode de M. Facio. J’ay fatisfait à ma promeffe, car je puis dire en verité, que pour le refoudre, je n’eus befoin que precifement de ce que j’ay mis dans mon papier, car je reduifis le probleme à une quadrature qui me paroifloit fauter aux yeux, fans avoir befoin d’une methode particuliere pour les quadra- tures, je devois donc attendre quelque chofe de reciproque. Il eft vray que cette methode eft bornée, mais ne mandâtes vous pas, Monfieur, que celle de M. Facio l’eft aufli? Si on me donnoit un probleme du fixieme degré à refoudre, et que je l’euffe reduit à une equation du cinquieme degré, qui fut divifible en cette rencontre, on auroit tort de me demander une methode generale de donner les racines du cinquieme degré; parce qu’elles ne font pas tousjours divifibles. Il me femble qu’on devroit fe contenter de la Methode, que j’aurois donnée de reduire au cinquieme degré une infinité des cas du fixieme. Si vous ou M. Facio avés déja fçu avant mon papier cette methode de reduire aux quadratures tous les problemes que j’y enfeigne d’y reduire, j’avoue que Vous n’aurés rien appris de nouveau. Mais il me femble que vous ne dites pas cela. Et moy j’eftime affés cette methode, ou cette vuë, pour quitter de bon coeur la penfée de la troquer contre celle de M. Facio. Si quelqu'un peut donner l’art de reduire tousjours la Con- verfe des Tangentes aux Quadratures il donnera ce que je fouhaitte le plus en cette matiere, et je donneray volontiers en échange ma methode des quadratures. Quoyque j’aye une autre Methode qui reuflit lors que la courbe, dont la proprieté des tangentes eft donnée depend de la Geometrie ordinaire, j’aime pourtant mieux la voye des quadratures, parce qu’elle fert tant pour les courbes tranfcendantes que pour les ordinaires. Je m’eftonne que mes caraéteres vous pouvoient encor paroiftre difficiles puifque Vous aviés déja compris les elemens de ce calcul +), que j’avois donné dans les Actes de Leipzig. Je m’etonne aufli que vous avez crû d'apprendre de moy la Methode de trouver la courbe dont il s’agiffoit indepen- damment des quadratures, puifque vous fçaviés déja par mes precedentes, que j'aimois à me fervir de la voye des quadratures 5). Et puifque vous aviés voulu vous charger de recevoir quelque chofe de la part de M. Fatio, j’avois droit de croire 3) Voir, sur Geronimo Cardano et ses Opera Omnia, les notes 30 et 31 de la Lettre N°. 1150. Il écrivit un Traité ,,De utilitate ex adversis capienda” en quatre livres, qui compte parmi les meilleurs de ses nombreux ouvrages. \ 4) Voir la Lettre N°. 5623. 5) Nous avons cherché en vain dans les lettres de Leibniz à Huygens une phrase de cette portée. Peut-être Leibniz a-t-il en vue des passages tels que celui que l’on rencontre dans la Lettre N°. 2659, à la page 13, où toutefois la méthode à laquelle il donne la préférence n’est pas spécifiée. CORRESPONDANCE, 1692. 227 que Vous feriés autorifé de donner reciproquement. Et c’eft pour tout cela que cet échange par l’entremife d’un tiers auroit efté le plus raifonnable, Enfin vous dites que puifque je ne donne qu’une partie de ma methode, il n’eft pas jufte que je reçoive celle de M. Facio toute entiere. Mais je reponds, que cette partie de la mienne vaut peut-eftre bien la fienne toute entiere. Et c’eft affés qu’elle fuflit dans une infinité de rencontreset mêmes dans les tranfcendentes, ou la fienne et aucune autre donnée jufqu’icy n’avoit fervi. Pour ne pas dire, qu’encore la methode de M. Facio eft divifible en parties, puifque vous me mandâtes %) qu’a force d’y mediter depuis il l’avoit pouffée bien avant. Mais quelle qu’elle puifle eftre, je defire que la mienne ne foit plus communiquée en échange. Je me fouviens qu’autres fois lors que je confideray la cycloide, mon calcul me prefenta prefque fans meditation la plufpart des decouvertes qu’on a faites la deflus. Car ce que j’aime le plus dans ce calcul, c’eft qu’il nous donne le même avantage fur les anciens dans la Geometrie d’Archimede, que Viete et des Cartes nous ont donné dans la Geometrie d’Euclide ou d’Apollonius; en nous difpenfant de travailler avec l’imagination. Je viens maintenant à vôtre precedente? ), je crois bien que Vous avés vûü [que ]°) le cercle qui fe decrit du point de la courbe evolue, et dont le rayon eft la moindre droite qu’on peut mener de ce point à la courbe decrite: mais peut-eftre n’aviés Vous pas fongé d'abord à le confiderer comme la mefure de la courbure, et moy lorfque j’avois confideré le plus grand cercle qui touche la courbe interieurement comme la mefure de la courbure ou de l’angle de contaét, je ne m’etois pas avifé de fonger aux evolutions. Je conçois fort bien que vôtre maniere de reduire la chainette à la quadrature de l’Hyperbole eft differente des noftres. Je tafcheray de publier un jour ma methode des reduétions, qui eft generaleintra certos limites. Je les ay déja franchis mais je n’ay pas encore eu le loifir de pouffer la chofe, et c’eft ce que je fouhaiterois de faire avant que de la publier. Quand ÿ” avois parlé de querelle, il me femble que mes paroles marquoient affés que je ne la mettois pas au nombre de celles qu'on prend à à coeur, aufli l’appellay je (ce me femble) petite querelle. Quand M. Bernoulli avoit envoié a Meflieurs de Leipzig, ce qu’il donnoit fur la loxodromie, il n’avoit pas encor vû ce que j’avois donné la deflus. J'ay vû autres fois les Exercitations de Jacobus Gregorius, et peut-eftre que vous me les aviés monftrées vous même?). Mais il faut que je n’aye pas confideré 5) Voir la Lettre N°. 2677. 7) Cest-à-dire à la Lettre N°. 2709. 8) Biffez ce mot. 9) Pendant le premier séjour de Leïbniz à Paris, sur lequel on peut consulter la Lettre N°. 1919, note 12. Remarquons que le livre de James Gregory se trouve déjà mentionné dans la Lettre N°. 1999, du 7 novembre 1674, par laquelle commence, dans notre publication, la corres- pondance de Leibniz et Huygens. 228 CORRESPONDANCE. 1692. alors'avec attention ce qu’il avoit dit de la loxodromie, car il ne m’en eftoit refté aucune idée. Il eft feur qu’Albert Girard eftoit un grand Geometre pour fon temps; et il fe peut qu’il ait remarqué quelque rapport entre les Logarichmes et les Loxodromies. Quand même on a trouvé les regles parfaites, je ne laiffe pas d’eftimer les moins parfaites fur des matieres difficiles, parce qu’elles peuvent fervir en d’autres cas; c’eft pourqnoy je trouve que vôtre methode pour la fomme des fecantes meriteroit encor d’être publiée avec fa demonftration. La remarque du defaut des Tables de Snellius eft confiderable. J’avois mis autres fois dans mon traité de la Quadrature Arithmetique la quadrature de l’efpace de la Logarithmique par la foutangente ou par le quarré de l’Hyperbole, qui en refulte ‘°). Mais fuivant mon calcul il me femble que ce font des chofes qui s'entendent prefque d’elles mêmes. Car dans la Logarithmique eft — ax; 8 q 17% donc les 4x (elemens de l’abfcifle x) eftant conftantes, les dy (elemens de l’ordonnée y) font proportionelles aux y, et par confequent les y font en progreflion geometrique lorfque les x font en progreflion arithmetique. C’eft à dire les x font les Logarithmes des y. Donc la courbe eft la Logarithmique, Or cette même equation fait connoiftre, que =", oux —=4/f 4 ou = 4 f dy:7, ce qui fait voir comment cette même Logarithmique depend encor de la quadrature de l’Hyperbole et comment fa foutangente 4 fe rapporte à cette hyperbole. Quand je parle de la perfection de la Geometrie et de l’Arithmetique, je l’entends avec quelque latitude. Je crois qu’on pourroit parvenir à pouvoir donner cousjours la methode des folutions, ou à en demontrer l’impoflibilité mais ce ne fera pas toujours par les meilleures voyes. Par exemple il faudroit qu’on pût cousjours trouver s’il eft pofible de refoudre les problemes femblables à ceux de Diophante en nombres rationaux, ou de donner des Quadratures par la Geometrie ordinaire, Et je croy que cela fe peut tousjours. Mais quant au point de trouver les chemins les plus courts je croy que les hommes auront encor à chercher pour long temps. Je n’ay rien encor và de M. Rolle, fi non dans le Journal des Sçavans ‘*). Je fuis de vôtre fentiment, qu'il faudroit fuivre les projets de Veru- lamius fur la phyfique en y joignant pourtant un certain art de deviner, car autrement on n’avancera gueres. Je m’etonnerois fi M. Boyle qui a tant de belles experiences, ne feroit arrivé à quelque theorie fur la Chymie, apres y avoir tant 19) Voir la Lettre N°. 2699, note 15. 11) L'ouvrage de Rolle, cité dans la Lettre N°. 2709, note 25, avait été annoncé dans le numéro du 18 juin 1691 du Journal des Sçavans parmi les ,, Livres nouvellement imprimez”. CORRESPONDANCE. 1692. 229 medité. Cependant dans fes livres et pour toutes confequences qu’il tire de fes obfervations, il ne conclut que ce que nous fçavons tous fçavoir, que tout fe fait mecaniquement. Il eft peut-eftre trop refervé. Les hommes excellens nous doivent laifler jufqu’à leur conjeétures, ec ils ont tort, s’ils ne veuillent donner que des verités certaines. Cela foit encor dit à Vous même, Monfieur, qui avés fans doute une infinité de belles penfées fur la Phyfique. Il me tarde de voir dans l’Hiftoire des ouvrages des Sçavans, ce que Vous y donnés fur la Mufique; et je vousrépond, que Meffieurs de Leipzig feront ravis de mettre dans leur Aétes ce que vous leur donnerés fur quelque matiere que ce foit. Il me femble que Mr. Bernoulli a des penfées un peu embaraffées fur le centre d’ofcillation, et je m’etonne qu’il fe peut figurer que cette perte du mouvement, qu’il y trouve eft employée fur l’axe bien que cette perte doit avoir lieu quand on fuppofe l’axe abfolument inebranflable, ou il ne patit point. Je ne crois pas qu'après ce que vous avés donné fur cette matiere on ait befoin de chercher d’autres demonftrations. Qui eft ce Mr. de l’Hofpital dont parle M. Bernoulli? Que dites vous Monfieur, d’un petit livre **) d’un nommé M. Eifenfchmid ‘3) de la figure de la terre il precend prouver en comparant les differentes mefures de la terre données en des latitudes differentes (qu’il juge n’eftre pas fi fautives qu’on croyoit) que l’axe de la terre eft le plus long diametre de la fphaeroïide, au lieu que, felon Vous *#) et Mons. Neuron 5), elle feroit plus enflée fous l’equateur. On m'a dit qu’un certain homme *°) avoit propofé les longitudes et que vous aviés efté commis pour examiner fa propofñition. Il me femble qu’on deuvroit furtout fonger à pouffer à bout ce qui fe peut faire par vos horloges. Je vous avois prié un jour 7) de quelques obfervations fur les couleurs, que Mr. Newton vous avoit communiquées. Au refte je fouhaitte que cette année vous foit heureufe avec une longue fuite d’autres. Je fuis faché que Mr. Roberval 12) Jo. Gasp. Eisenschmidii Philosophi & Doctoris Medici, Diatribe de figura telluris Elliptico- spheroide. Unà exhibetur ejus magnitudo per singulas dimensiones consensu omnium obser- vationum comprobata. Argentorati. 1691. In-8°. 13) Johannes Gaspar Eisenschmid, né à Strasbourg le 15 septembre 1656, s’appliqua aux mathé- matiques et à la médecine et voyagea en France et en Italie. Il mourut le s décembre 1712. 4) Voir la dernière page du ,, Discours de la Cause de la Pesanteur” et les pages 152—159 de l’, Addition” à ce Discours. 15) Voir les Prop. XVIIT:,,Axes Planetarum diametris quae ad easdem axes normaliter ducuntur minores esse” et XIX : ,Invenire proportionem axis Planetae ad diametros eidem perpendicu- lares” du Livre III des ,,Principia”. 16) Lieuwe Willemsz. Graaf. Voir les Lettres Nos. 2536 et 2538. 17) Leibniz l’avait fait dans la Lettre N°. 2628, d’octobre 1690, mais cette lettre ne fut jamais envoyée. Huygens avait mentionné les expériences en question dans sa lettre à Leibniz du 24 août 1690, notre N°, 2611. 230 CORRESPONDANCE. 1692. a plus vecu que Mr. des Cartes *). C’eft pourquoy vous devés fonger Monfieur, combien il nous importe de vous garder. Je fuis avec paflion. MONSIEUR Voftre tres humble et tres obeiffant ferviteur LEIBNIZ. #) petit demon | Chriftiaan Huygens]. _ N° 2728. G. W. LeiBniz à CHRISTIAAN HUYGENSs. 10 JANVIER 1692. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle a été publiée par P. J. Uylenbrock*) et par C. I. Gerhardt®). Elle fait suite au No. 2727. MoNSIEUR Ma derniere vous aura efté rendue, ou j’ay repondu aux voftres; et je m’y rap- porte; repetant les bons fouhaits que j’ay faits. Maintenant j’oferois bien vous fupplier de me faire la grace de faire tenir la cy-jointe à M. le Comte de Windifchgraz Ambaffadeur de l'Empereur, qui fe trouve à la Haye. J'ay fait fcavoir à Meflieurs de Leipzig que vous pourriés bien leur faire l’hon- neur de leur communiquer quelque chofe touchant la Mufique, pour eftre mis dans leur journal 5). Je fuis avec zele MONSIEUR Voftre trefhumble et trefobeifflant ferviteur LEIBNIZ. Hanover ce 31 de decembre vieux ftyle 1691. _ 18) Roberval mourut en 1675 à l’âge de 73 ans, Descartes atteignit 53 ans et on attribua sa mort, en février 1650, à ce qu’il n’avait pas su suffisamment ménager sa santé dans le rude climat de la Suède. 1) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, p. 118. ?) Leïbnizens Mathematische Schriften, Band IL, p. 126 et Briefwechsel, p. 686. 3) Voir la Lettre N°. 2726, note 17. CORRESPONDANCE. 1692. 231 o N° 2720. ConsranryN Huycens, frère, à CHRISTIAAN HUuYGENs. 18 JANVIER 1692. La lettre et la copie se trouvent à Leiden, coll. Huygens. La lettre est la réponse à une lettre que nous ne connaissons pas. Whitehall ce 18 de Janv. 1692. J'ay receu la voftre de l’rime'). A la recommandation de Fatio, j’ay efté chercher et ay trouvé le petit Traitté de Craige *) dont j’ay pris un exemplaire pour vous et un autre pour moy. Ils feront relies aujourdhuy et je les mettray entre les mains dudit Fatio pour la fin que fcavez 3). Il demeure tousjours avec le jeune Hamdon #), qui eft un grand Republicain, et connu pour tel, ce qui ne nous importe pas. Jay remis a Stanley et Hooke me venant voir enfemble le verre de 122 pieds avec les dependences 5). La raifon pourquoy je l’ay pluftoft mis entre les mains du dernier que celles d’un autre, eft que je le crois le plus propre pour le mettre en ufage, comme il m’a promis d’avoir foin de faire et au pluftoft. Il s’imagine de pouvoir le faire par le moyen de trois poultres longues jointes en hault et foufte- nant un maft qu’il ne feroit pas neceffaire de faire fi long a beaucoup près que le noftre. Je luy ay recommandé d’en prendre foin temoignant que nous ferions bien aife de voir qu’on rendift la chofe plus aifée qu’elle n’a cfté jufques icy. Cependant on ne s’en fie pas a luy feul. Stanley me mena avanthier a un difner, ou il y avoit 10 ou onze de la Societé KR. entr’autres Sr. Robert Southwell le Prefident, Mr. Henfhaw®), Dr. Sloane 7) perfonnes de fort bons fens, Sir Patience 1) Nous ne connaissons pas cette lettre. ?) Voir la Lettre N°. 2725. 3) C'est-à-dire pour y indiquer ses corrections, comme il avait promis dans la Lettre N°. 2723. 4) John Hambden. Voir la Lettre N°. 2544, note 6. 5) Ce verre se trouve encore à Burlington House. Dans le,, Record of the Royal Society”, 1897, il se trouve mentionné comme il suit: Huygens’ Aërial Telescope. (1) An object-glass of 122 feet focal length, with an eye- glass of 6 inches, and original apparatus for adjustment, made by Huygens, and presented by him to the Royal Society in 1691. (2) The apparatus for using Huygens’s object-glass, constructed by Hooke. (3) Additional apparatus, by Dr. Pound. Presented by Dr. Bradley. (4) Ditto, by Mr. Cavendish. 12 parts. On en trouve une description plus détaillée à la page 141 du Catalogue cité dans la Lettre N°.2327, notes. $) Thomas Henshaw, né en 1617, mort en 1699. 7) Sir Hans Sloane, célèbre botaniste, né en Irlande, le 16 avril 1660, mort le 11 janvier 1752 à Chelsea. Il voyagea en France et en Amérique, fut successivement médecin de Christ’s Hospital, médecin en chef de l’armée, et médecin de George II. En 1685 il devint membre, en 1693 secrétaire et en 1717 président de la Société Royale. 11 fut créé baronnet en 1714. 232 CORRESPONDANCE. 1692. Ward) ec autres membres tres dignes. Mr, Souchwell m’affeura qu’ils avoyent donné ordre pour faire drefler un Pole et qu’il feroit fait au premier jour. Pour Hooke luy mefme, ce n’eft pas l’homme, a qui je me fierois le plus; Stanley luy mefme m’affeurant qu’il n’a pas les qualités qu’il faut pour cela, que c’eft un homme à faire quelque mefchant trait, comme vous pourriez dire, de vendre noftre verre, et en fuppofer un autre ou chofe femblable mais mon nom y eftant et la longueur marquée de ma main je n’apprehende point qu’il entreprenne cette forte de chofes. Les Tranfaétions de la Societé pour les mois d’Oétob. Nov. et Decembre?) ne font que 9 a 10 feuilles imprimees, et quand j’ay demandé a Sr. Robert la raifon, il ne m’a dit autre chofe fi non qu’il croyoit qu’apres la Paix faite il croyoit que la chofe iroit mieux. Ils venoyent de recevoir un nouveau Traité de Leeuwenhoeck *°) fort eftimé de la Societé a ce qu’ils difent. Son portrait eftoit (ce difent ils aufli) tousjours dans la ruelle du liét de feu Mons.r Boyle, decedé depuis quelques jours **) et mort de Phtifie. Vers la fin du mois prochain le Roy a ce que l’on croïid paffera encore la mer pour aller en Hollande, s’il n’arrive quelque chofe qui luy faffe hafter fon voyage, ce qui n’eft pas impoflible. La femaine paflée un medecin d’icy nommé Quinch que deux hommes venoient querir en grande hafte, s’eftant mis avec eux dans un caroffe de louage y fuft eftranglé avec un mouchoir de toile d’Indes, fans qu’on ait attrappé les criminels. Et une femme, a ce que l’on dit, mariée il n’y avoit gueres, ayant efté trouvée dans les rues a heure indue et mefnee en quelque lieu pour y eftre gardée jufques 8) Patience Ward, né le 7 décembre 1629, reçut, à ce qu’il racontait, son singulier nom de baptême, d’une exclamation de son père, désappointé de ne pas avoir une fille. Envoyé à l'université en 1643, il quitta bientôt la carrière littéraire pour s’engager dans le commerce, où il paraît avoir eu plein succès. En 1670 il devint sheriff de Londres, en 1676 président de la Compagnie des Tailleurs, Lord Mayor en 1680. Il entra dans la Société Royale en 1682. Protestant militant, il fut impliqué par le duc de York dans un procès, qui le contraignit à se réfugier en Hollande, où il perdit sa femme, Elisabeth Holborn, inhumée à Amsterdam. Réhabilité après l'avènement de William IL, il mourut en juillet 1696. 9) Dans la série officielle des ,, Philosophical Transactions” on ne trouve aucun numéro entre le N°. 194 pour les mois de juillet, août et septembre 1691, contenant 24 pages, et le N°. 195 du 19 octobre 1692. D’après les informations que le Bureau de la Société Royale a bien voulu nous fournir, il n’y a aucune raison de supposer et il est même très improbable, qu’une livraison pour les mois d'octobre, de novembre et décembre 1691 ait été publiée en déhors de la série officielle. € 19) Consultez la note 4 de la Lettre N°. 2552. D'ailleurs les ,, Philosophical Transactions”? con- tiennent, après la reprise, en 1693, de la publication régulière, des extraits de plusieurs lettres de Leeuwenhoek. 11) Le 9 janvier 1692, (30 décembre 1691 V. s.) dans l’âge de 64 ans. CORRESPONDANCE. 1692. 233 au jour fuivant, s’y pendit elle mefme avec la petite centure que les femmes portent. Pour cette affaire du miniftre a Zuylichem, il faut fe donner de garde de rien faire contre nos prérogatives. Pour une feule fois nous pourrions bien deferer à la recommandation de l’Amptman, mais il faudroit que cela allaft toujours par les voyes ordinaires et que ce miniftre fuft prefenté par nous fans que Mr. van Elft fuft nommé la dedans ny euft aucune part à l’affaire. Vous ferez bien d’en parler au Frere. L’hiftoire de Hefterke eft rare. Sequitur leviter filia matris iter. J'efcris par cet ord.re des compliments de remerciement?) à monfieur de Ripperda 5) prefident a la Cour de Gueldre et à mons.r de Roofendael ‘#). Je n’ay pas pù procurer au premier les Recommandations qu’il auroit voulu avoir du Roy au Hofgericht d’Oftfrife, le Roy ayant crû que c’auroit efte au deflous de luy demander quelque chofe a un fi petit Tribunal fubalterne. Min Heer Mijnheer CRISTIAEN HUIÏjGENS. . N° 2730. HusertTus HuIGHENSs *) à CHRISTIAAN Huy&ens. 20 JANVIER 1692. Le lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle a éié publiée par P. J. Uylenbroek”). Chr. Huygens y répondit par le No. 2735. Viro nobilifimo CHRiISTIANO HUIGHENIO S. P. d. HugertTus HuUIGHENIUS. _ Si parvus, qui has comitatur literas, fidem inveniat libellus, magnum momentum habebit ad obtinendum fcopum fuum, nempe folutionem cujufdam propofitionis, 1?) À propos du procès gagné, dont il est question dans la Lettre N°. 2725. 13) Voir la Lettre N°. 2635, note 2. 4) Voir la Lettre N°. 2635, note 6. ) Aux renseignements que Hubertus, ou Hubrecht, Huighens a fourni sur lui-même dans sa lettre à Christiaan du 3 mars 1692, nous pouvons ajouter encore ceux que nous devons à l’obligeance de M. H. A. van Doorn, bourgmestre de Veere, savoir, que le 13 novembre 1676, notre Hubertus, natif de Liefkenshoek en Flandre, a été admis, à l’âge de 25 ans, comme citoyen (,,poorter en burger”) de Veere, où on le rencontre en 1692, pour la première fois, sur la liste des échevins de cette ville. Il y manque en 1703, pour reparaître en 1704. Il mourut en 1705. Pour autant que nous sachions, il n’a écrit que deux petits ouvrages, rédigés en Latin. Le Œuvres. T.X. 30 234 CORRESPONDANCE. 1692. quam ab omnibus quidem peto, fed a te, Vir nobiliflime, certo exfpeétare poffum, incrementum, quod per te fcientiae acceperunt, certum me reddit, quod etiam libenter per folutionem illius propofitionis, in qua non nifi ex reétis lineis quae- renda eft longitudo reétae lineae, cognitam reddes proportionem, quae eft inter circulum, et quadratum ejus diametri, quin imo tanta me tenet ejus rei fiducia, ut in totum fuperfederem me hic excu- premier, les , Adversiones quaedam circa proportionem quam ad rectilineas habent figurae curvilineae” (1692?), dont il sera question dans la correspondance entre Christiaan et lui, semble absolument perdu, puisque, malgré tous nos efforts, il nous a été impossible d’en retrouver un exemplaire. Du second, qui porte letitre: Methodus Inveniendi Longitudinem Linearum Curvarum, nec non Aream Figurarum Curvilinearum, Lectori Examinanda Proposita. Per Hubertum Huigenium. Medioburgi, Ex Officina Aroni à Poulle, 1700. (19 pages, âvec planche), le British Museum possède un seul exemplaire, dont la Société Hollandaise des Sciences de Haarlem à fait prendre copie à cette occasion. Dans ce second ouvrage, Hubertus Huighens prétend, sous quelque réserve comme nous le verrons, avoir accompli la quadrature du cercle et de l’hyperbole. Pour donner un aperçu de cet écrit étrange et de la personnalité scientifique de son auteur, nous suivrons Hubertus dans les chemins détournés qui l’ont mené, comme il le croit, à la quadrature de cette . dernière courbe. Pour commencer donc, il pose, dans la figure 1, qui représente une hyperbole équilatère: AL=LM=—=49;MO—=7Y7; NO — —|]/ 37 +499 + s°3 aire PMONP— y. Ensuite il construit une figure ADBC (fig. 2) telle que BC — PE Dan. EC Eur À) Va +an+r aire ADBC—27y—+49°. Il ne motive pas expressément le choix de ces valeurs; mais il dit qu’alors la base AC de cette figure sera égale à y; ce qui est vrai puisque la relation BC — d. aire ABDC __ d.(247+3%°) à dy HE dy 11e dy = d. aire MPNO = NO.dy— B =V 34° 49%. dy, est vérifiée par cette valeur de BC, et qu’en outre l'aire ADBC=— 24y—+ 9° et AC —wy s’annulent si- multanément, pour la valeur y—o. Ÿ Cependant Hubertus n’emploie cette figure A C ADBC que comme une figure auxiliaire devant Fig, 2. servir à démontrer que si, dans la figure 3, on a: CES PE dE SL A ce ne or io Je ste er éd dE HER LE 0 SE CE RE CORRESPONDANCE. 1692. 235 fare, quod tibi ignotus ea de re moleftus fim, nifi vererer, ne magnitudo rei, quam promitto de folutione illius propofitionis, omnem mihi fidem adimat, quod fi illa, et nulla alia caufa impediat, quo minus lubebit manum illi operi admovere, libenter illam per demonftrationem tollam, literae tuae, fi de voluntate veftra digneris me certum facere, mihi tranfmitti W arc. SW — ; (247 + 49°) et SX— 7, n alors WX—w; à cet effet, il applique Q un théorème de Heuraet que l’on ren- s/#1X 7 R contre dans l’ouvrage cité dans la Lettre U P N°. 587, note 5, et qui fait dépendre la rectification d’une courbe donnée de la quadrature d’une aire courbe deve- nant, dans ce cas-ci,identique avec l’aire S” z' ADBC de la figure 2. Fig. 3. Jusqu'ici tout va bien, mais maintenant l’auteur introduit un théorème d’après lequel, si deux courbes comme SW et UW sont convexes toutes les deux vers SX et qu’elles ont une tangente commune en W, alors Arc. UW serait égal à US + Arc.SW. Le raisonnement qu’il emploie pour établir ce faux théorème est difficile à suivre, mais il semble vouloir soute- nir, qu'il doit être possible de déformer un rectangle comme USZZ'S'U" de telle manière qu’il prenne, en conservant la longueur du côté UZ, tour à tour les figures UWXU’et USWXS/U’. Toutefois il ajoute: ,Quamwvis res illa per se nota mihi videatur, tamen a lectore peto ut illam accuratè examinare velit, nam non solum in Philosophia, sed etiam in mathesi circa prima principia facile errari potest.” r+z pie courbe ps est une courbe ne et il trouve pour la longueur de l’arc UW la valeur Pour utiliser ce théorème il pose UP —z, PQ = (r—2) ME r. Alors la exacte : — sGr+ 3) La 1 P +7 Lo. Calculant alors, pour UX=—3, la valeur XR de la SRE de re des, il la pose égale à celle de la sousnormale de l’autre courbe SW au point W. De même il égale les valeurs de WX pour les deux courbes. Appli- quant ensuite le faux théorème mentionné, il a obtenu, entre les quantités y, y, g, 3, et r, trois équations et il suffit d’en éliminer 3 et r pour avoir la quadrature cherchée. Ayant trouvé par le même principe, mais à l’aide de formules encore plus compliquées, la quadrature du cercle, Hubertus ajoute naïvement: ,Eodem modo, quae hic inventa est circuli, et hyperbolae quadratura, inveniri quoque potest cujuscunque curvae lineae lon- gitudo, et cujuscunque Figurae curvilineae area, ita ut, si verum inveniatur, quod rectan- gulum..... [UZZ'U"] flecti, et mutari potest in Figuram curvilineam.... + [UWXU”] % praeter calculi laborem non majorem difficultatem inveniet lector in dudérétidé unius, quam alterius, curvae lineae longitudine, necnon in quaerenda unius, quam alterius Figurae curvi- lineae area.” , Si d’ailleurs nous nous sommes étendus un peu longuement sur ce travail de Hubertus, c'était parce que sa correspondance avec Christiaan Huygens et les termes, dans lesquels celui-ci le mentionne dans ses lettres, nous semblaient propres à exciter quelque curiosité à 236 CORRESPONDANCE. 1692. poterunt per libelli mei bibliopolam #), cujus nomen, et locum domicilii pagina tituli indicabit: fed vereor, ne nimium abutar humanitate veftra, quare aliud nihil hic addam, quam quod velis illius rei culpam adfcribere defiderio, quo teneor, videndi, ut per te, Vir nobiliffime, ultima manus imponatur rei tam diu fruftra quaefitae. Vale. dabam Medioburgi 20 Januarii 1692. Ed: geftr: welgebore Heer d’heer CHRISTIAEN HUIGHENS, wonende op het pleyn franco. In den Haagh. Oo .N° 273 I . ConsTANTYN HuyGEns, à CHRISTIAAN HuyGEns. 26 JANVIER 1692. La lettre et la copie se trouvent à Leiden, coll. Huygens. La lettre fait suite au No. 2729. Whitehall ce 26 de Janv. 1692. J'envoyay le livre de Craige a Fatio, il y a environ 8 jours mais il ne me l’a pas encor renvoyé, ny fait les corrections que fcavez. Me venant voir hier il me dit que cela auroit efté fait, mais qu’il ne s’eftoit pas bien porté depuis quelques jours et avoit eu un fafcheux mal de cefte. Qu’au refte il ne fcavoit pas s’il feroit neceffaire ou mefme a propos de faire rimprimer ce livre de Craige avec les cor- rections et les explications dont il eft queftion Mr. Neuton ayant fait un ouvrage qui eft quafi preft pour la preffe ou cette matiere de la nature des Lignes Courbes fera traittee fi bien *), et fi amplement, que ce qu’en a donné le dit Craige ne fera rien en comparaifon. l'égard de ce mathématicien entièrement inconnu, qui possédait, comme on l’aura vu, une certaine habileté, alors peu Commune, dans le maniement de la nouvelle analyse, mais qui n’était, toutefois, qu’un esprit faux dont l’œuvre ne peut avoir eu de valeur réelle, ?) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. II, p. 136. 5) Probablement Aronus à Poulle, l’éditeur de la , Methodus”. 7) L'ouvrage ne parut qu’en 1704, conjointement avec l’Enumeratio linearum tertii ordinis. Voir la Lettre N°. 2745. CORRESPONDANCE. 1692. Ë 237 Mr. Haley dela Société Royale vient avec Fatio et me dit qu’ils venoyent de fa part me remercier du prefent que je luy avois fait, mais qu’ils fouhaittoyent de fcavoir, fi ce n’eftoit pas proprement a la Societé que j’avois donné mon verre, parce que Mr. Hooke fembloit s’en vouloir rendre maiftre et faifoit difficulté de le faire voir a d’autres. Je leur dis qu’affeurement je l’avois donné a la Societé a la priere que Dr. Stanley m'en avoit faite a diverfes fois, Sur quoy je m’imagine qu’ils l’ofteront des mains de cet homme là, que l’on me dit eftre un drofle fort intereflé, et auquel on ne peut pas trop fe fier. Aufli je ne le luy aurois pas remis fi Stanley ne m’euft affeuré qu’il eftoit le plus propre pour enfeigner la maniere de s’en fervir, quoy que quelque temps apres il me dit aufli, qu’il eftoit capable de faire quelque mechanceté. Haley me parla beaucoup de fon invention pour aller fous l’eau et d’y faire tout le travail qu’on fait fur la terre. Il dit qu’il y a efté plus d’une heure entiere a la profondeur de 60. pieds fans la moindre incommodité, qu’il fe met dans une Cloche de bois, dont il peut faire fortir l’air devenu inutile et y en faire entrer du frais qu’il a en referve par un robinet que pour fa perfonne il eft dans un habit de toile cirée doublé de fourrure qui l’empefche d’avoir froid. Qu'’eftant fous l’eau il voit tout diftinétement, et qu’il avait reconnu toutes les fortes de poiffons, dans la compagnie defquels il fe trouvoit. Van Merlen qui m’a tourmenté longtemps en vertu de fa Genealogie, qu’il dit vous avoir monftree et d’une lettre de recommandation que vous luy avez donnee ft venu courir encor icy, pour faire abjuration de fa premiere Religion, qu’avec moins de peine et de fraix il auroit pà faire en Hollande. C’eft un garçon qui n’a aucune conduitte ny prevoyance et qui fait des contretemps les uns apres les autres, comme je vous racconteray, quand je feray venu. On parle toujours du paflage du Roy, vers la fin du mois prochain. Vous aurez fceu, que le fameux Mr. Boyle eft mort. Son Teftament n’eft pas encor ouvert, mais on croit qu’il a laiffé des legats confiderables pour des oeuvres pies &c. Mijn Heer Mijn Heer CHRiSTIAAN HUYGENS Heer van Zeelhem Haghe. 238 CORRESPONDANCE. 1692. N° 27302. CaristTiAAN Huycens à G. W. LEIBniz. 4 FÉVRIER 1692. La lettre se trouve à Hannover, Bibliothèque royale. La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens. La lettre a été publiée par P. J. Uylenbroek*) et C. I. Gerhardt*). Elle est la réponse au No. 2727. G. W. Leibniz y répondit par le No. 2740. A la Haye ce 4 Feb. 1692. MONSIEUR Je n’aurois pas tant tardè à repondre à voftre derniere fans un rhume accablant qui me tient depuis 15 jours avec des maux de tefte continuels 3). Je croiois effeétivement que vous ne m’aviez envoiè qu’une partie de voftre methode, trouvant qu’elle ne me pouvait fervir#) que lorfqu’on a reduit le Probleme renverfè des Tangentes à la quadrature du Cercle ou de l’'Hypérbole, et qu’on connoit en mefme temps, qu’il n’eft pas refoluble à moins, comme dans l'exemple de la Logarithmique et ailleurs. Confiderant aufli comme un defaut à votre regle, qu’elle reduic fouvent le probleme à ces quadratures impofibles, quoyque la courbe cherchée ne foit que geometrique 5). Cependant je ne laiffe pas de vous eftre obligè ®) et vous communiqueray volontiers quelque chofe de mes inventions en revanche, fi j’en ay que vous puifliez fouhaiter. Au refte j’ay bien fait, à ce que je vois, de n’avoir pas envoiè à Mr. Fatio la copie de voftre écrit, ni rien du contenu. [Et il femble mefme, que comme vous ne croiez pas pouvoir beaucoup profiter de fa methode, il ne fouhaite pas grandement la votre, car il me mande]7}), qu’en une infinitè de cas il fcait trouver l’equation de la 7) Chr. Hugenïii etc. Exercitationes Mathematicae. Fasc. I, p. 119. La minute et la lettre diffèrent en plusieurs ne dont, dans les notes, nous ferons connaître les principaux. ?) Leiïbnizens Mathematische Schriften, Band IT, p. 127, et Briefwechsel, p. 687. 3) La minute ajouta: dont je commence feulement à refpirer. 4) Au lieu des mots: trouvant..... fervir, la minute a: voiant que jufque là je n’en pouvois tirer d’utilité. 5) pi a sur ces remarques de Huygens, sa lettre à Leibniz du 1er janvier 1692, notre 2726, où elles se trouvent développées plus explicitement. Le Le minute continue comme il suit: de la communication, et je tafcheray de m’acquit- ter de cette debte par quelqu” invention des mienes, fi etc. 7) Les mots entre crochets ont été biffés, soit par Huygens soit par Leibniz, dans la lettre originale. td Er sms ie CORRESPONDANCE. 1692. 239 courbe par la proprietè de la Tangente donnée avec des incommenfurables complexes, et qu’il en a fait l’effay avec fucces pour la foutangente que j’avois aa—xx donnée 2) Ex He ) > fans avoir recours à aucune quadrature #). Il pourroit entreprendre, à ce qu’il m’efcrit®), une feconde edition du livre de Mr. Newton, qui fourmille de fautes d’impreflion, et en a mefme dans la doétrine °), que l’autheur avoue *°). Il pretendoit de l’eclaircir en mefme temps et y joindre quelque chofe du fien. Ce que vous me dites de l’effet de voftre calculus differentialis dans les recherches touchant la Cycloide **), à dire la veritè, me femble peu croiable. Vous apportez une nouvelle facilitè au calcul, mais ne donnez pas l'invention qu’il faut pour la folution des problemes extraordinaires, non plus que Viete par l'Algebre. Il me femble que Verulamius n’a pas omis cet art de deviner dans la Phyfique fur des experiences données en confiderant l’exemple qu’il donne **) au fujet de la chaleur dans les corps des metaux et autres, où il a affez bien reufli, fi ce n’eft qu’il n’a pas penfè au mouvement rapide de la matiere tres fubtile, qui doit entretenir quelque temps le branfle des particules des corps. Mr. Boyle eft mort ‘#), comme vous fcaurez defia fans doute. Il paroït afTez etrange qu’il n’ait rien bafti fur tant d’experiences dont fes livres font pleins; mais la chofe eft difficile, et je ne l’ay jamais cru capable d’une aufli grande application qu’il faut pour eftablir des principes vraifemblables. Il a bien fait cependant en contredifant à ceux des Chymiftes. Je fuis de voftre avis en ce que vous fouhaicez jufqu’aux conjeétures des hommes excellens en ces matieres de Phyfique. Mais je crois qu’ils nuifent beaucoup, lors qu’ils veulent faire paffer leur conje&tures pour des veritez, comme a fait Mr. des Cartes, parce que ils empefchent leurs feétateurs de chercher rien de meilleur. Vous pourrez avoir vu maintenant ma divifion de l’Oétave ‘#) en 31 parties egales, et ne difconviendrez pas de l’utilitè et fingularitè de cette divifion, de #) Voir la Lettre N°. 2723. 9) Voir, sur ces fautes, la pièce N°. 2698. 1°) Voir une phrase de la lettre de Fatio de Duillier à Huygens du 6 mars 1690, notre N°. 2570, au bas de la page’387 du Tome IX. 11) La minute achève cette phrase: fans prefque de meditation, me paroit incroiable. 1?) La minute fait suivre: en recherchant ce que c’eft que la ‘chaleur dans les Corps . des metaux, etc. 13) Voir la Lettre N°. 2729, note 11. 4) Voir la pièce N°, 2705. 240 + CORRESPONDANCE. 1692. forte que j'attens voftre approbation. Dans la Table à la colonne 6e, le quatrieme et cinquieme nombre doivent eftre 4,7577249614 et 4,7768024924, et 12me doit commencer par 4. Que jugez vous, Monfieur de la methode de Mr. Tfchirnhaus pour les quadratures 5). Il ne femble pas qu’il ait voulu eftre entendu; mais il doit eftre moins obfcur pour vous, qui en fcavez pour le moins autant que lu. Je me fouviens qu’il donna la quadrature d’une courbe que vous aviez propofée dans les Aéta de Leipfich *), ce qui me femble eftre beaucoup. Je fuis etc. 15) Il s’agit toujours de la méthode exposée par von Tschirnhaus dans l’article des ,, Acta” d'octobre 1683 (voir la Lettre N°. 2274, note 10) et dans l’,,Additamentum”” à cet article qui parut dans les , Acta” de Septembre 1687 (voir la Lettre N°. 2627, note 11). 16) Ceux de Mai 1684. Dans l’article de ce mois, cité dans la Lettre N°. 2627, note 11, Leibniz fit remarquer que même si l’on savait démontrer qu’une courbe donnée, comme le cercle ou l’hyperbole, n’est pas quadrable généralement, on n’en pourrait pas conclure qu’elle ne le serait pas dans un cas spécial et il allégua en preuve l'exemple suivant, qu’il avait forgé, comme nous le verrons dans la suite à l’occasion de sa réponse à la présente lettre(voir la note6, de la Lettre N°. 2740), à l’aide de la lunule bien connue d’Hippocrate. Voici cet exemple: »Sitin quadrato AEBZ trilineum orthogonium AENMA, jam secentur Z latera quadrati opposita AE, ZB in punctis G, R, curva vero in puncto M, G per rectas GR, reliquis quadrati lateribus AZ, EB parallelas. Abscissa 3 / M G BR appelletur », et ordinata RM appelletur y, et latus quadrati #, et | M aequatio naturam curvae exprimens sit y4— 644yy + 4yyvy + 44=—07. B NN E En effet, après avoir montré que la méthode dont von Tschirnhaus s'était servi ne menait pas à la quadrature de cette courbe, Leïbniz ajoute: , Et tamen aliunde scimus, trilineum propositum esse quadrabile : itaque ista metho- dus, licet maximi sit momenti, tamen ad omnes quadraturas inveniendas non suffcit, sed opus est alias adhuc artes adhiberi, quas quidem alias exponam, res enim omnino in potestate est”. Or, von Tschirnhaus, dans l’article de septembre 1687, que nous avons cité dans la gote précédente, annonça que l’aire du triligne AMNE était égale à la moité du carré AZBE,comme elle l’est en effet, et il prétendit avoir obtenu ce résultat: ,,beneficio methodi cujusdam, qua omnia spatia particularia certo quadrari novi”. CORRESPONDANCE. 1692. ‘241 o IN 274% CuristTiAAN Huycens à N. Fario DE DuiLier. 5 FÉVRIER 1692. . La lettre se trouve à Genève, Bibliothèque publique”). Elle est la réponse au No. 2723. Fatio y répondit par le No. 2739. A la Haye ce 5 fev. 1692. MONSIEUR Un tres facheux rhume qui me tient depuis 13 jours avec des continuelles douleurs de cefte, m’a empefchè de vous faire refponfe jufqu’a cette heure, que ce mal commence à fe paffer. Monfieur Newton ferait bien heureux fi vous vouliez entreprendre cette feconde Edition de fon ouvrage, qui ferait tout autre chofe avec vos eclairciffements et additions, qu’il n’eft a prefent. Mais il ne faudroit pas que ce travail nuifit a voftre fantè. Pour la depenfe, cela me paroit etrange qu’en ce païs la il n’y a pas d’imprimeurs qui veuillent hafarder a leur frais l’imprefion des livres de cette importance. On en trouveroit affurement icy. Cette maniere de foufcriptions n’eft pas aifée dans des ouvrages qui fe doivent debiter par toute l’Europe; car l’Angleterre avec ce païs icy n’en fourniroit pas affez. Je fuis bien aife de ce que je ne vous ay pas envoié de copie de l’Efcrit de Mr. Leibnitz, car je me ferois atrirè un grand proces. Je luy avois mandè *), comme vous fcavez3) Monfieur, que ce qu’il m’avoit communiquè ne valoit pas a beaucoup pres, ce que j’avois de vous pour donner en echange. La deffus il m’a efcrit #) un long debat, ou il foutient que ce qu’il m’a envoiè efttres confiderable, et adjoute defenfe bien exprefle de ne vous en rien communiquer, et que pour moy je pourray le recompenfer en luy faifant part de quelque fecret femblable. Au refte il eft prefque dans la mefme difpofition que vous, croiant de pouvoir decouvrir avec un peu d’eftude ce qui luy manque de voftre Regle, comme vous ne faites pas de difficulcè de venir à bout de la fienne. Ce peu de lumiere que vous dites avoir receu de Mr. Newton en ces matieres me fait croire qu’il fçait tout ce qu'a Mr. Leibnitz et d'avantage et j’efpere qu’il en fera part au public dans le livre qu’il a preft a eftre imprimè a ce que vous avez dit à mon frere 5), Pour = *) Voir la fin de la note 3 de la Lettre N°. 2725. ?) Voir la Lettre N°. 2726. | 3) Voir la Lettre N°. 2721. 4) Voir la Lettre N°. 2727. 5) Voir la Lettre N°. 2731. Œuvres. T.X. . 31 242 CORRESPONDANCE. 1692. l'invention du calculus differentialis, il me femble, en confiderant le lieu que vous citez de Mr. Newton, qu’il reconnoit la luy mefme que Mr. Leïbnitz s’eftoit ren- contrè à avoir la mefme chofe a peu pres que luy. J’efpere que vous aurez fait les correétions neceffaires dans le traite de Craige, dont je vous feray fort obligè. Mon frere trouvera facilement quelque occafion pour me le faire tenir, ou bien me l’apportera luy mefme. Puifque Mr. Newton néglige de donner les demon- ftrations de fes féries pour les approximations, vous feriez fort bien Monfieur de nous donner les voftres, car cette matiere qui paroit maintenant affez obfcure merite bien d’eftre rendüe intelligible, eftant le dernier effort de la Geometrie dans ces mefures de quantitez plus qu’irrationelles. J’ay fceu il y a defia du temps par les lettres de mon frere, la mort de l’Illuftre Mons.r Boyle. apparemment on trouvera encore quelque traitè non achevè parmi fes papiers car il ne cefloit d’efcrire. Je voudrais bien voir l’Oraifon funebre que luy a faite Mr. l’Evefque de Salifburie®). Je fuis contraint de finir après vous [avoir] affurè que je fuis avec pañlion : MONSIEUR Voftre tres humble et tres obeiflant feruiteur HUGENS DE ZULICHEM. A Monfieur Monfieur FATi0, chez Mons.r TourTon et Compagnie A Londres. 7) Mr. Hugens, à la Haye 5 Fevrier 1692. A. F. N. Londres. Son Rhume l’a empêché de me repondre plutot. Son fentiment fur l'Edition nouvelle que je pourrois faire de Mr. Newton. Il s'étonne qu’il faille l’imprimer par foufcriptions, et croit que l’Angleterre et la Hollande n’en fourniroient pas afés. Mr. Leiïbnitz feroit mécontent fi une Copie de fon Ecrit m’eut été envoiée par Mr. Hugens. Celui ci lui avoit mandé que ce que Mr. Leibnitz lui avoit communiqué ne valoit pas à beaucoup près ce que Mr. Hugens avait de moi pour donner en échange. 5) Oraison Funebre de Monsieur Boyle ou Sermon Prononcé à son Enterrement dans l'Eglise de St. Martin des Prez le F janvier 169 Par le Révérend Pere en Dieu, Gilbert, Evêque de Salisbury. Traduit par M. De Rosemond. À Londres. Chez Everard Behagel, dans la Bourse de Salisbury. MhCxCIr. in-12°. 7) Ce qui suit se trouve écrit, au dos sur un pli, de la main de Fatio. CORRESPONDANCE. 1692. 243 Défenfe que fait Mr. Leïbnitz de me communiquer ce qu’il avoit envoiè. Recompenfe qu’il attend de Mr. Hugens. Mr. Leïbnitz croit pouvoir découvrir ce qui lui manque de ma Règle, comme je crois venir à bout de la fienne. Ce peu de Lumiere que j’ai dit avoir receu de Mr. Newton fait croire qu’il en fçait plus que Mr. Leibnitz. Sur l’Invention du Calculus Differentialis, et ce que Mr. Newton en a dit. Il attend mes Correétions au Traité de Craige. Mr. Newton negligeant de donner les Demonftrations de fes Series, voudroit que j'en donnaffe les miennes. C’eft dit il le dernier effort de la Geométrie dans ces mefures de quantités plus qu’irrationelles. Sur la Mort de Mr. Boile dont il fouhaite de voir l’Oraifon funebre, 2 2734. CHRISTIAAN HUYGENS à S. VAN DE BLOCQUERY. 7 FÉVRIER 1692. La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens. Voor VAN DER HEIDEN. 7 febr. 92. Mix HEER Brengher defes *) van fijn 2e Ooft Indifche reys onlanghs weder gekeert, verfoeckt onderdaenigh met eenighe verbetering van Employ weder derwaerts te moghen gaen en hebbende tot noch toe voor foldaet gedient, nu tot het ampt van fergeant te werden geavanceert. ’t welcke mij geen al te rade pretenfie fchijnt te fijn. Sijn fufter, eenighe jaren bij mij gediend hebbende, beef hem occafie ghege- ven om mi) déte recommandatie aen UwelEdle af te verghen, welcke ick wenfche van eenighe effeët te moghen fijn, en blijve met refpect fijne enz. !) Van der Heyde, sergent, d’après une note que l’on rencontre dans le livre I des Adversaria. 244 CORRESPONDANCE. 1692. N° 2735. CaRisTiAAN HuyGEns, à HuBEerTus HuIGHENS. 12 FÉVRIER 1692. La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle a été publiée par P. J. Uylenbrok*). La lettre est la réponse au No. 2730. Hubertus Huighens y répondit par le No. 2742. Viro et Geometrae eximio Huserro HuicHEnio Cur. HUGENIUS : S. P. Ex is, quae ad me mififti, fatis perfpicio egregie te verfatum in rebus geome- cricis et analitico calculo. Vix tamen eo, quo fperas, te perventurum puto; certe operam meam fruftra hic tibi venditarem. Ex datis quadraturis invenis, ut video, aequationes curvarum linearum, ad quasillae pertinent, quarum exempla®) aliquot 1) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. IL, p. 137. ?) Voici, dans la notation de Chr. Huygens (voir le commencement de la pièce N°. 2736), les exemples de Hubertus Huighens, dont il sera plusieurs fois question dans la suite, pour autant que nous avons pu les reconstruire à l’aide des pages 18—40 du livre H des Adversaria, où Huygens s’en occupe continuellement. Équation de la courbe og Aire (appelée 4y par Hubertus Huighens) de la surface AceB. P Lx pa A x B 1 4 —(b+x) x aix:(bb+ bx) 2 (3ax + 4xx) = 22 (ax + xx) 2x |/ ax xx 3 14, 144 1xxX 4 aaxx xt —bhez Lan 5 D er : TV 20Fxxt TV a0+ex 4e ie 108 PT Es 5 aaxx — x4— bbzz + F1 4 ax +7 V/ 24—xx 6 at=32(b+ x) Catbx + atxx) (24 oB3x + bhxx) - 7 ax —btz+obbxxz + xtz ; atxx: Cb4 33»). Voir la remarque au | bas de cette note. 8 atx—bhtz— 0hhxxz + xtz : atxx : (b—Dhxx) CORRESPONDANCE. I 692. 245 examinavi et reéte fe habere comperi, unde et de caeteris nihil ambigo. An autem eadem methodo hic utaris, qua ego) (quae nempe ex Barovij Theoremate #) quo- dam pendet) ignoro. Sed infigni induftria faepe ufum te adverto in ejufmodi qua- draturis formandis, unde aequationes curvarum oriantur, quae paucis terminis conftent; nifi forfan aliunde, ut fit, quadraturas iftas erueras 5). Nam contraria via ex aequatione ad quadraturam pergere, etfi nonnumquam contingat, vix id in tuis illis concedi crediderim, nec Tfchirnhaufio fe hic jaétanti fidem ‘) habeo. Evenit quidem mihi, ut cum aequationem curvaé 15ti.7) exempli tui celebri geometrae propofuiffem *), ille quadraturam ejus, qualis tua eft, invenerit, cum et ego meam 9 10 ï LE I a+ = 4h3 3 ——b\/ ab+_T/ ab5 +axs 11 4 4b3zz + 4x8 . V” sir LE + Li I at —© 4h32 — 4x3 —b|/ ab—_=1/ ab3— ax 12 4 4D3z3 — 4x2 F ls : 4 24 2 — | INA TT 13 x—cabbzz + aaxxzz ETS Das+1/ax gs je 2 b3 2bb — 14 x°—4aabhzz— aaxxzz WT 1: V/85—5x RE 05 xx xx 15 data tatzs 5e +- 1/44 16 x —ntzz— xt2s Le l/ at 17 18 19 20 (33 occx 4x3)? — 1 I FR | MEN = 162 (at — 3x — coxx — x4) rather Bix—ccxx —x" A propos du 7e exemple Christiaan Huygens remarqua : ,,debebat in hoc exemplo 7° esse + gtx :(b4— bbxx), quod quia aliter hic positum, idcirco non convenit aequatio curvae in Huigheniana”. Voir l’Appendice I à cette lettre, le N°. 2736. Voir, sur ce théorème, la Lettre N°.2727, note 8. Consultez la note 7 de la pièce N°, 2736. Allusion à l’article de Tschirnhaus mentionné dans la note 10 de la Lettre N°. 2274. Lisez 5. ti, \ On rencontre, en effet, à la page 19 du Livre H, à propos du cinquième exemple de la note 2 de cette lettre, l’annotation suivante: ,, Haec est eadem nostra curva pag. 1. lib. G quam ©: Leïbnitius quadravit”. Or, cette page 1 est identique avec la page 51 verso de la pagination q pag q pag générale du livre G et le passage en question a été reproduit dans le $ I de notre pièce N°. 2612. Il est vrai que la courbe, traitée dans ce passage et dont la quadrature fut proposée à Leibniz dans la Lettre N°. 2660, ne constitue qu’un cas particulier de la courbe plus géné- rale aaxx—x4— bhzz; mais il est clair que la quadrature du cas général peut être obtenue de la même manière que celle du cas particulier. 246 CORRESPONDANCE. 1692. haberem”°), fed fufpicor a pofteriori, ex colleétis tuo modo exemplis, id eum praeftitifle. Quamquam autem innumeras curvas quadrabiles ita invenire liceat, non inde fequitur talem quadraturam effci poffe, cui curva quaedam, quam tibi quadrandam proponis, conveniat. Ac proinde non video, quo paéto pag. 9 *°), ex folutione problematis tui a pofteriori, concludas omnium curvarum quadraturas haberi pofle. Nam ex. gr. cum aequatio circuli fit 24y — yy 20 xx, an putas quadraturam talem aliquam excogitari poffe pag. 6.2 vel 8.a ut inde haec aequatio nafcatur. Hoc ex tuis nequaquam eficitur, et fruftra te fatigares. Reéte autem aflr- mas totum quadraturae negotium hinc pendere, ut ex data linea tua BC (quam brevitatis gratia fubnormalem vocare foleo, quia normali in curvam duétae fub- jacet) inveniatur aequatio curvae, ad quam pertinet. Si enim fubnormalis haec BC detur > |//24y—yy vel 5 |//44—yy, poflifque hinc curvam propriam invenire, jam conftat te quadraturam circuli habiturum ‘*), utque proinde pag. 12, ad feptimam poteftatem literae y adfcenderent nil opus fuerit. Caeterum At "B hoc problema eximium jam diu geometras peritiflimos exercet, nec putandum eft, ipfum femper folutionem ad- mittere. Vellem tantum hoc definiri poffet, an fubnormalis data ad curvam geome- tricam pertineat an ad alîus generis aliquam, an denique ad nullam. Habemus quidem rem confeétam *?) finitis cafibus, ubi fubnormales dantur abfque radicali- BCE ; 44) —2YYX, ne bus quantitatibus, ut fi fit fubnormalis ‘3) pr +) vel 2ÿ +2 s), repe- 9) Consultez le SI de la pièce N°. 261 2 à la page 474. La méthode de Huygens s’applique égale- ment bien au cas général, puisque alors x=\/ 2e +: bz + V/2 —- bz. 1°) Nous reproduisons dans l’Appendice II de cette lettre, notre N°. 2737, les annotations de Huygens que l’on rencontre à la page 37 du Livre H, et qui se rapportent aux pages 8 et 9 du livre de Hubertus Huighens. 11) Puisque alors, d’après le théorème de Barrow, — = BE* dmenit l'aire de la courbe 3 =|/ 24% —Yy, ou bien z—= V4 à commencer par la valeur y— 0. 12) Par la méthode de Fatio. Voir la Lettre N°. 2465, note 11. 13) Consultez les corrections apportées à cette partie de la lettre dans celle du 15 février, notre N°. 2738, d’après lesquelles les expressions algébriques du texte, à l’exception de —. repré- sentent les sovstangentes, et non pas les sousnormales, des courbes demandées. 4) On reconnaîtra ici l’un des problèmes posés à Leibniz dans la Lettre N°. 2611 et que Huy- gens savait résoudre par la méthode de Fatio, comme cela résulte de la Lettre N°. 2660, note 17. Seulement, les lettres x et y ont été échangées pour se conformer à la notation de Hubertus, et de même le signe a été inverti pour la raison que nous avons indiquée dans les notes 3 et 5 de la pièce N°. 2612. 75) Reportée dans la notation usuelle de Christiaan Huygens, il s’agit ici de la soustangente CORRESPONDANCE. 1692. 247 rientur aequationes curvarum geometricarum, quibus hae conveniunt. Aliis vero 24XX 244 —XX — y Rurfus alijs cafibus alia methodo ad quadraturas res deducitur, ut fi detur fubnor- xx aa malis — 17), vel — UE ù V/aa—y) defignanda, hyperbolae quadraturam requiri; ad pofterioris, cum circuli tum hy- perbolae. Horum aliquid an tibi compertum fit fcire velim. Item quo modo pag. 10. folutionem fecundae propofitionis tuae, cum quadratura per x datur, ad qua- cafibus non fuccedet; ut, fi detur fubnormalis 16), hic ceffat regula. : 18), invenitur, ad prioris curvae quaefitae punéta 3 2x Le de la Gutschovienne y4——x?y° + 7?x?, En effet, à la page 1 10 verso du livre G des Adversaria, l'équation de cette courbe se trouve déduite, à l’aide de la méthode de Fatio, de l'expression citée de sa soustangente. Au pied de cette page Huygens annota après coup: »Hanc [curvam] Gutschovius Slusio proposuit, Slusius mihi, cujus quadraturam ex circuli quadratura pendere inveni”. Or, dans sa lettre du 18 août 1662, notre N°. 1049, Slusius avait indiqué à Huygens, comme un exemple de l’application de sa méthode pour les tangentes, la construction de la tangente de cette courbe de Gutschoven. Huygens, dans sa réponse du 25 septembre 1662 (notre N°. 1065), en donna la quadrature et, de plus, la cubature d’un certain solide engendré par la révolution de la Gutschovienne. 19) On retrouve cette expression à la page 109 verso du livre G, où elle représente la soustan- gente du cercle x?+y?—24x—=0. En effet, on trouve pour cette soustangente 2. == 2 : : é nie F a a — , et cette dernière expression, déguisée par la substitution 24x—x°—+7°,amène l'expression re ee > identique, après l’échange des x et y, avec celle du texte. Or, en renversant le problème, on arrive à l’équation différentielle : 2444x—yydx— — xxdx—24ÿdy—0, à propos de laquelle Huygens remarque: ,aequ° tangentis intractabilis. Cum nulli termini correspondentes insint, nec omnes puri possint offici”. Elle constituait donc un exemple, plus simple que celui que nous avons cité dans la note 9 de la Lettre N°. 2677, d’une équation intraitable par la méthode de Fatio et qui toutefois admettait une intégrale algébrique particulière. Evidemment Huygens était curieux de savoir si Hubertus réussirait à découvrir cette solution. x —. Ajoutons que l'intégrale générale s'écrit: x° + y—920x— Ce ‘2 17) Il s’agit ici de la sousnormale 2 de la logarithmique y— Ce + à soustangente constante %. 18) Cet exemple a été emprunté à la pièce N°. 2713. Seulement, Huygens a rendu homo- gène l’expression 4—1 :l/1—xx employée par Leibniz. Huygens s'était occupé de ce pro- blème à la page 8 du livre H, mais sans arriver à d’autres conclusions que celle formulée par Leibniz et que Huygens répéte ici. 248 CORRESPONDANCE. 1692. draturas Hyperbolae aut circuli deducas, et an femiper eo devenias, etiamfi curva quaefita fit geometrica? Velut cum datur quadratura ifta : 144.2 A I 1dd 2 pe Er ak 3c +3) di+ pen (it 42e) 6 »), ubi curvae aequatio eft y420 ddyy—ccxx, eadem quae in tuo 15°. cafu °°), Non intelligo etiam quali calculo ex quadraturis pag. 8 elicies aequationes curvarum pag. 9. Ad haec omnia ut mihi refcribas etiam atque etiam a Te peto. Tum ut de te ipfo docere velis, qui fis, et ex qua Huygheniorum familia, nam non effe eandem, noftra armorum infignia oftendunt. Vale! Dabam Hagae Com. 12 Feb. 1692. Û x (Id , 2 I I 144 2 I 1 9) Lisez : ay— 2#4+:)V/G dd += ex)—(i%-2x) VGa-—: ex) ou plutôt — z [ cas + 2ex)à — (dise) | . Comme cela résulte de quelques calculs qui se trouvent à lapage 25 M F du livre H, cette expression représente l’aire DMFH de la courbe a y—ddyy—ccxx, calculée à l’aide de la méthode exposée au I de la pièce N°. 2612 à la page 474. En effet, l'équation de la-branche MF de cette courbe peut s’écrire: ï I y = dax +=] d— 2cx, E d’où l’aire cherchée s’obtient aisément, sous la forme mentionnée, par la à sommation de deux aires paraboliques. | H D 2°) Lisez ,,5° cafu” et consultez la note 2 de cette lettre. CORRESPONDANCE. 1692. 249 N° 2736. CHRISTIAAN HUYGENs. [JANVIER Où FÉVRIER 1692]. Appendice I à la lettre No. 2735 *). La pièce se trouve à Leiden, coll. Huygens. Ç 1°). £_— Subnormali BF aequalis eft Be applicata in curva Ae, et fic ubique, jam 4 yy five : qu. BH aequatur fpatio CT AëB ex Barovij theor.a 5). A æ Z Quaerimus hic, ex cognita quantitate fpatii AeB, ex- B F preffa per x, 4 et b, quaenam fitaequatio curvae Ae, quae y ._ nempe exprimat relationem inter x et z, hoc eft inter AB, et Be. H Exemplum 4% Hub. Huighenij Zelandi +). NB. Pono x pro illius y. Et 4 yy pro illius 4} 5) ut ad Barovij theorema examinem, im=—30 +57 V'astax+ is FV/aa+zx ED HE Tax) 3 44 +EXx 7) Cet Appendice est emprunté aux pages 18—22 du livre H des Adversaria. Nous l’avons divisé en paragraphes. *) Méthode de Huygens pour trouver lordonnée Be d’une courbe Ae, quand l'aire AeB est donnée en fonction de l’abscisse AB. Application aux exemples empruntés au livre de Hubertus Huighens. 3) Voir, sur ce théorème, la Lettre N°. 2721, note 8. -4) Voir la Lettre N°. 2735, note 2. 5) Hubertus Huighens représentait donc, dans son livre, l’aire AeB par 4. 5) I s’agit de calculer la soustangente de la courbe AH, pour en déduire la sousnormale BE — 2; mais ici, comme toujours, Huygens évite d'employer la différentiation des expressions irra- tionnelles. Il commence donc par réduire l’équation de la courbe à sa forme rationnelle, afin d’y appliquer ensuite, pour trouver la soustangente, sa règle mentionnée dans la pièce N°;4101 Œuvres. T. X. 32 250 CORRESPONDANCE. 1692. 9b°y+ + 1243byy — 1244xx — 1244x4— 4x5 — 0. Hinc incepit 7); eamque ita egregie ordinavit ut in quadrabilem ita fimplicem perduceret. 36bby4 + 2443byy _ oatx + 44ax5 + oxs 24atx + 48aaxs + 2425 9 I? 3bbyy + 243%b Subtang. > fubnormalis. . 3 reftit. pro yy. = +3T VC + GX + 24UX3 + XS is eZ baaV/. + bxx]/. aux + X3 per 44 + XX >> = 2 bV/ aa + xx a#xx + 244x4 + x5— bhaazz + bhxxzz per 44 + xx aaxx + x4—bbzz. quadrabilis *). [Exemplum 15.] Erat 1 |/ 44 + x — x 44 non curtatum. Six =, fity—o. Six —aliquid, fit 2yy— aliquid. IS Curtatum: 2 at + x4—= 1yy; nufquam fit y— 0. 5 2 2.));nuiq y + xt = yt fubtang. LES : fubnorm.—2 x = 4422 + x#22; CUTVa conveniens non Curtato. 7) Peut-être Hubertus savait-il appliquer la différentiation des irrationnelles. Dans ce cas, il pouvait partir de l’équation originale. 5) Huygens a vérifié de même le 7e et le 8e exemple de Hubertus Huighens. Ensuite, à l’occasion du 11e, il s’est aperçu qu’on peut obtenir le même résultat avec des calculs moins longs, en omettant simplement le terme constant. Il donne à ce procédé, qu'il accompagne d’une réversion du signe des autres termes, si cela est nécessaire pour faire correspondre aux valeurs positives à yy des valeurs positives de x, le nom de ,Curtatio”, et il l’applique aux exemples 11,5,13, 14, 20 et 15 de Hubertus et à un exemple composé par lui-même, sur lequel nous revenons dans le $ Il. Ici nous faisons suivre l’application à l’exemple 15. CORRESPONDANCE. 1692. 251 $ IT?). G nn P 4XŸT— GAGXX = GUII — XNXZ + 24X XX — 2433; aequatio curvae EG quadrabilis °), cujus ap- plicatae funt fubnormales curvae ADK ufque ad D ubi fubnormalis = o. Eaedem vero applicatae funt etiam fubnor- males curvae EH, cujus aequatio initio pag. fequentis ponitur. Sic omnis curva ex duarum diverfarum curvarum fubnormalibus applicatas conftitutas habet. Et hoc fundamento nititur Curtatio noftra. Namex Barovij Theoremate erit fpatium AGPN aequalem + qu. NL. Et ex eodem erit fpatium PEN = 3 qu. NQ. Eft autem totum fpatium N E|_B GEA= 4 — 3 za A LG 44; CUM nempe 4 : aa five AE. Ergo cum pofito AN — x, fit fpatium AGPN—=ax+x)/ aa — xx —3yy me eftNL: eric fpat. PNE reliqua — 27 a a DR = — x}/ aa—xx—=3%35y cum y eft NQ. Haec vero eft non curtata quadratura quam voco: illa vero 4x + x|/ 44—xx curtata; ex quibus eandem utrobique curvam GE quadrabi- AK lem inveniri neceffe eft. E D Curtatio noftra utilis ad formandas quadra- 9) Justification de la ,Curtatio” 1°) Cette équation a étéobtenue Dé Huygens de deux manières Sql c’est-à-dire: 1°. à la page 21, en partant de l’,aequatio curtata” (avec réversion du signe): = = ax x |) aa—xx, qui représente la courbe ADK pour AN=—x, NQ—Y,AB—7, AE =\/3 aa; 2°.àlapage . 1 range à RE suivante, en partant de l’,,aequatio non curtata”? sc es F7 Ga — ax — x V'a0—xx, 252 CORRESPONDANCE. 1692. turas ex quibus curva paucorum terminorum; ut patet comparatione hujus exempli cum illo quod pag. fequen.**) ubi tamen curva eadem utrobique oritur. qui représente la courbe HE et sur laquelle il remarque: ,, Haec forma differt ab Huighenianis in quibus semper si x—0 etiam y—0. Quod tamen non est necesse ut ex hoc exemplo liquet. Sufficit enim ut posita certa quadam longitudine ipsius x, fiat y—0 ut hic”. Nous avons cru pouvoir nous dispenser de reproduire ici les calculs longs et enchevêtrés qui remplissent les pages 21 et 22, et qui ont mené à ce résultat. Remarquons seulement que la Re ES vant l’équation du texte par rapport à z, que la seule branche 2=—7+- courbe EG ne représente des deux branches = 4 + —- on obtient en résol- 4° —2x Ve ———,0où,en ef- fet, + s’annule pour x —=\ / 3 5. Quant au terme constant de l’équation ,,non curtata”, il a été choisi de telle manière que la courbe HE, qu’elle représente, aille passer par le point E. Ce point E, où la sousnormale z s’annule, est un point double de cette courbe et la branche HE coupe, en réalité, l’axe AB sous un angle oblique. D'ailleurs il est clair que Huygens aurait pu s’épargner tous ces détours, ingénieuil mais inutiles, s’il avait pénétré un peu plus avant dans le nouveau calcul, tel qu’il avait été exposé en 1684 par Leibniz, dans l’article cité dans la Lettre N°. 2205, note 5. 17) C'est-à-dire: par la comparaison des calculs dans les deux cas mentionnés dans la note pré- cédente. CORRESPONDANCE. 1692. 253 N° 2737. CHRISTIAAN HUYGENSs. [JANVIER et FÉVRIER 1692 |. Appendice IT au No. 2735"). La pièce se trouve à Leiden, coll. Huygens. Examen eorum quae habet HUIGHENIUS pag. 8 et 9. Primum Exemplum erat ipfi aequatio y5 + æyd = bd —5. Hanc aequatio- nem pro ut voluit adfumfit dummodo y pofita — 0, etiam d foret = o. fig. 1. Spatium AEB curva AE, abfciffa AB, et applicata + normali BE, comprehenfum, vocat 4; 4 eft linea data. E AB=—Y,BE= x. Haec aequatio fpatium AEB exprimit per y et 4, fi x lineae d valor inde eruatur. Hinc invenit aequationem quae naturam curvae ex- ï B primit 34y° + ayx = — aa + 2bx + 3xd4°). fig. 2. Ego ipfius y muto in x; xinz; ain E PE à +99 feu d'in x ra Ergo prima ht ee fit: Z een œ B C X3+ 1 XYY = — — # ns aequatio 7 curvae effeétricis AD. 3) : sn LS à EN AR + ET quadra- tura curvae AE, quae ex fubnormalibus curvae AD A à ut nempe BE fit aequalis fubnormali BC, et fic ubique. Eftque 4 qu. BD, feu + yy = fpatio AEB ex Theor.a Barovij +). 7) Voir la Lettre N°. 2735, note 10. +). Lisez — 3xywy. L'équation s'obtient facilement en différentiant et en posant dy=È dy; mais cette méthode était inconnue à Christiaan Huygens, comme cela résulte de ce qui va suivre, où la même équation va être déduite d’une autre manière. 3) Voir la fig. 2. 4) Voir toujours la note 8 de la Lettre N°. 2721. 254 CORRESPONDANCE. 1692. Jam ad inveniendam aequationem curvae AË, primo fecundum Regulam Tan- gentium 5), invenio ex aequatione hac ablatis fraétionibus, fubtangentem. aequ°. 43x34 2 43xyy—X bayt+ 49 —=0o — #xyy+bayt—$ y 348xx +4 43yy — _3Axx +34 ; == x + ba 59 fubnormalis BC. fubrangens BP. —Bxz+ bay z—3 yt2 = 343xxX +1 43yy aequatio curvae AE. In hac aequatione fi fubftitui ds valor y, inventus nempe ex aequatione prima x3+-E x9y = A = À > (quod longum effet‘) ) habebitur ejufmodi, quae naturam expriment curvae ÂE per x et z. Mutatis hic meis literis in ipfius idem fignificantes, fit : — ayx+ 2haaxd — gaadx = 345yy +44 per 44 div. 3ayy +ayx = — 4" +2bxf — 3x, aequ° eadem quam fupra. In caeteris exemplis eadem eft ratio, nifi quod din prima aequatione ad altiores gradus afcendit; unde valor ejus nefcio qui inveniendus etiamfi immenfum labo- rem fubire non pigeat. Forfan Tfchirnhaufij inventis?) fidet, que nefcio an reéte fe habeant, certe nullius ufus funt. i 5) La règle mentionnée dans la pièce N°. 1101. 5) Remarquons toutefois que, pour obtenir l'équation cherchée entre x et x, il suffit d'éliminer yentre les deux équations mentionnées. 7) La méthode de Hubertus, — si elle consistait en effet, comme tout porte à le croire, dans l’éli- mination de w entre des équations conformes aux deux premières de cette pièce;pour.obtenir ainsi une courbe quadrable qu’on pouvait simplifier ensuite par un choix judicieux des con- stantes, comme # et b, qu’on avait introduites dans la première équation, — avait une grande ressemblance avec celle exposée en octobre 1683 par von Tschirnhaus dans sa ,, Methodus Datae figurae, rectis lineis et Curva Geometrica terminatae, aut Quadraturam, aut impossibili- tatem ejusdem Quadraturae determinandi”. (Voir la note 10 de la Lettre N°.2274)., Elle serait même presque identique avec la méthode esquissée au commencement de l’article de Leibniz. , De dimensionibus figurarum inveniendis” (voir la note 11 de la Lettre N°. 2627), de laquelle von Tschirnhaus aurait d’ailleurs, selon Leibniz, empruntée la sienne. Eneffet, si l’on construit une courbe ayant y comme ordonnée et l’y de la figure 1. de cette pièce comme abscisse, cette courbe peut être considérée comme la ,,quadratrix”?, la courbe gRenale AË comme la ,,quadranda” de Leibniz. CORRESPONDANCE. 1692. 255 Oo N° 2738. CHRISTIAAN HuyGENs à HuBERTUSs HuIGHENS. 15 FÉVRIER 1692. La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle a été publiée par P. J. Uylenbroek*). La letire fait suite au No. 2735. Hubertus Huighens y répondit par le No. 2742. Ad Hus. HuGENIUM Mifis ante triduum litteris ad te meis, Vir eximie, nunc appendicem adjungo, quod adverterim errorem meum in exprimendis fubnormalibus, quas voco, quem. hic corrigendum duxi; ne forfan aliquid circa eas calculo inveftigans, fruftra à aa) — yyx GAAXX — 22. z operam infumas. Itraque pro qa0-28y: fcribe V7 Er TT ÿ Prop + —xx— aa fcribe —* ; pro ms fcribe 2222779). pro 7 fcribe 2YXX +95 San 24 aa—yy Ne, Sola = æ reéte fe habet. Caufa erroris fuit quod folitus fim in Pro- féare inverfo Taies äum, datas ponere fubrangentes, non vero fubnormales. k Atque ita incaute ex adverfarijs meis ?) illas pro his Hu tibi defcriptas mifi. Subtangentes voco ut in hac. 7% figura reétam BF, quae fubjacet tangenti «F, ficut F s.: p © fubnormalis BC fubjacet reétae Ce in curva perpen- diculari. . Examinavi porro reliqua omnia exempla tua pag. 6, atque adverti in quibufdam non admodum difficilem effe regreffum, ut nempe ex data aequatione curva repe- 1) Chr. Hugenïii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. II, p. 140. ?) Consultez les notes 14, 15, 16 et 18 de la Lettre N°. 2735. 3) Comme il résulte de l'examen attentif des calculs très enchevêtrés que l’on trouve aux pages 28—36 du livre H des Adversaria, le ,,compendium” en. question consiste en ce qu’on cherche à deviner la forme générale de l'expression pour #y (ou + yy dans la notation de Huygens), en y laissant des coefficients indéterminés dont on se propose ensuite de chercher les valeurs convenables. à Ainsi, dans l'exemple r4 de la note 2 de la Lettre N°. 2735, où il s’agit de déterminer l'équation à yy—=4y—f(x) de la courbe quadratrice AH (voir la fig. 1 de la pièce N°. 256 CORRESPONDANCE. 1692. riatur quadratura ejus, praefertim fi compendio quodam utamur3), quod tibi non ignotum effe exiftimo. Vale! 15 febr. 92. "RE 2736,note 1 )de telle manière que BF—2 devienne égale à la valeur = a 55% obtenue par la résolution de l’équation de la courbe donnée : x° — 74bb22 — aaxxzz, l'expérience apprend que, pour faire apparaître l'expression irrationnelle |/” 22—xx dans le dénomina- teur de z, on doit la faire entrer dans le numérateur de yy. Pour un premier essai Huygens va donc poser 3) =64] / bb—xx; mais, puisque cela 0ax amène la sousnormale 32=— 21/0654 , il est clair que pour faire monter de deux degrès la puissance de x dans le dénominateur on devra ajouter un terme comme x°] / bb— xx. En conformité avec cette remarque, Huygens Va donc poser yy— 1] J bb — xx + +7 = bb— xx; où il ne lui reste plus qu’à déterminer À et x par la comparaison de la x3 ; ; valeur calculée de la soustangente z avec sa valeur véritable =. De cette manière a V” bb — xx il pourrait obtenir l'équation ,,curtata” 4 yy = 27/55 — XX — É: . V’ bb—xx, d’où il lui serait facile de déduire l’équation ,,non curtata” que l’on trouve dans la seconde colonne de la note citée. ; Toutefois Huygens, dans cet exemple, n’a pas achevé les calculs que sa méthode d’éviter la différentiation directe des irrationnelles aurait encore rendus nécessaires, quoiqu'il lait fait pour d’autres plus simples. Il ajoute même, après quelques essais infructueux d'obtenir les coeflicients À et x par des artifices tendant à abréger ces calculs: ,haec ergo nimis difficilem regressum habent”. CORRESPONDANCE. 1692. 257 N° 2739. N. Fario DE DuiLier à CHRISTIAAN HUYGENSs. 15 FÉVRIER 1692. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle a été publiée par P. J. Uylenbroek*). Elle est la réponse au No. 2733. MONSIEUR Depuis que je fuis de retour en Angleterre je n’ai pù retrouver cette Theorie de la Pefanteur *) que Vous vites pendant que j’etois à la Haye 5) et que j’avois déja communiquée à Meflieurs Newton et Halley. S’il y a encore quelque efpe- rance de la retrouver il faut Monfieur que je l’aie laiflée chez Vous ou à l’Aca- demie; ce que je Vous prie trez humblement Monfieur d'examiner. Mais pour ce qui regarde l’Academie il fuflira s’il Vous plait d’en faire dire deux mots à Monfieur Thornton#) et à Monfieur Fabri fon Gouverneur, et j’efpere de leur diligence qu’ils decouvriront ce papier s’il eft à leur portée, et qu’ils m'en diront des nouvelles. En cas que Vous ne l’ayez pas Monfieur je ferois ravi d’apprendre que Vous en eufliez gardé une copie ou du moins un extrait. Je ne fçai fi je ne l’aurois point prêté à Monfieur Dierquens $), mais je ne m’en fouviens pas. J’ai d'autant plus de chagrin de l’avoir perdu que je ne fçaurais plus retrouver ce qu’il contenoit. Monfieur Newton croit avoir decouvert aflez clairement que les Anciens comme Pythagore, Platon &c.*) avoient toutes les demonftrations qu’il donne du veritable Syfteme du Monde, et qui font fondées fur la Pefanteur qui diminue reciproquement comme les quarrez des diftances augmentent. Ils faifoient dit il un grand myftere de leurs connoiffances. Mais il nous refte divers fragmens, par où il paroit, à ce qu’il prerend, fi on les met enfemble, qu’effeétivement ils avoient les mêmes idées qui font repandues dans les Principia Philofophiae Mathematica, Quand Monfieur Newton fe feroit trompé il marque toujours beaucoup de candeur de faire un aveu commé celui la. Les Lettres que Monfieur Newton ecrivit à Monfieur Leibnitz il y a 15. ou 16. ans *) parlent bien plus pofitivement que l’endroit que je Vous ai cité de fes Prin- 7) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. IL, p. 127. 2) Voir, sur cette théorie, les Lettres Nos, 2570, 2572 et 2580. 3) De mars à septembre 1691, comme il résulte des Lettres Nos. 2667, 2677 et 2697. 4) Peut-être le fils du négociant Tourton, chez lequel Fatio demeurait à Londres. Voir la Lettre N°. 2697. 5) Mr. Dierquens fils ou père; consultez la Lettre N°. 2094, note 1. 5) Cette correspondance entre Newton et Leibniz, conduite en 1676 et en 1677 par l’intermé- diaire d’Oldenburg, se trouve reproduite, entre autres, dans les ouvrages de Gerhardt: Leib- nizens mathematische Schriften”, Bd. I (à commencer par la lettre N°. 36, p. 100) et ,,Brief- wechsel von Gottfried Wilhelm Leïbniz mit Mathematikern” (p. 179—254). Voir d’ailleurs, à propos de ce qui va suivre, la note 3 de la Lettre N°. 2723. Œuvres. T. X. 33 258 CORRESPONDANCE. 1692. cipes, qui neanmoins eft affez clair, furcout quand ces lettres lui fervent d’expli- cation. Je ne doute pas qu’elles ne fiffent quelque peine à Monfieur Leibniez fi on les imprimoit, puis que ce n’eft que bien long temps aprez qu’il a donné au Public les Regles de fon Calculus Differentialis, et cela fans rendre à Monfieur Newton la juftice qu’il lui devoit. Et la maniere dont il s’en eft acquité eft fi eloignée de ce que Monfieur Newton a la deffus que je ne puis m’empecher en comparant ces chofes enfemble de fentir bien fortement leur difference comme d’un original achevé, et d’une copie eftropiée et tres imparfaite. Il eft vrai Monfieur comme Vous l’avez deviné que Monfieur Newton a tout ce que Monfieur Leïbnitz paroit avoir, et tout ce que j’avois moi même et que Monfieur Leibnitz n’avoit pas. Mais il eft encore allé infiniment plus loin que nous, foit pour ce qui regarde les quadratures, foit pour ce qui regarde la propricté de la courbe quand il la faut trouver par la proprieté de la Tangente. Il ne fe contente pas par exemple de retrouver l’Equation de la Courbe lorfque fa fluxion eft donnée, pour me fervir de fes expreflions, c’eft à dire lors qu’on a l’Equation de la Tangente”). I] la retrouve encore lors qu’on a la fluxion de la fluxion, ou la fluxion de Ia fluxion de la fluxion &c. Ce qu’il a fur les Quadratures eft infiniment plus general que tout ce que l’on avoit auparavant, et il eft tres fimple et d’un ufage merveilleux dans toutes les parties de la Geometrie. J'ai Monfieur corrigé en divers endroits le livre de Monfieur Craige que Mon- fieur de Zulichem Vous envoiera. Ce livre n’a prefque rien qui ne fut deja connu. Il eft ecrit fans aucune exa@titude et pour le mettre en l’état où il devroit ctre il auroit abfolument fallu le refondre. J’ai copié mes correétions comme je les avoïs écrites à la haie à la marge de mon exemplaire; ou n’aiant été mifes que pour mon ufage et pour decharger ma memoire je ne ferois pas furpris fi Vous trouviez qu’il n’etoit pas fort à propos de Vous les envoier dans l’etat où elles font. Mais je n’ai pû me refoudre à leur donner une autre forme, aïant à prefent l’efprit occupé de tout autres penfées. On a arreté Monfieur le Conte du Quene Monros?) parce qu’il avoit connu Monfieur de Genes®): et fes amis n’ont pas même la liberté de le voir. La lenteur que le grand nombre d’affaires apporte en ce pays à celles qui ne font pas de la 7) Abraham du Quesne, seigneur de Monros, second fils du célèbre amiral de même nom et de Gabrielle de Bernières. Après la mort de son père il s'était fait catholique, mais, pris de remords, il s’engagea dans l’entreprise de son frère Henri qui, voulant venir en aide à ses coréligionnaires réfugiés, organisa une expédition pour une île lointaine afin d’y fonder une colonie. Dans les premiers mois de 1690, les vaisseaux à l’ancre au Texel n’attendaient plus que le signal du départ et le comte de Monros allait mettre à la voile, lorsque Henri du Quesne, apprenant qu’une flotte française partait de France pour s’opposer au débarquement dans l’île de Bourbon et ne voulant pas s’exposer à violer le serment qu’il avait fait à son père de ne jamais combattre les Français, renonça à son projet. Abraham du Quesne se rendit en Angleterre où il mourut. CORRESPONDANCE. 1692. 259 derniere importance me fait craindre que fa prifon ne dure encore bien long- temps. Je fuis dautant plus touché de ce qu’il fouffre que je connois parfaitement fon innocence. Il ne tiéndra pas à moi que Monfieur Leibnitz ne fache la Methode dont je me fervois pour retrouver en certain cas l’Equation de la Courbe par l’Equation de la Tangente. Mais je doi me rejouir, fi je veux encore approfondir ce fujer, d’avoir rencontré en Monfieur Newton un guide fans comparaifon plus eclairé et plus genereux: quoi qu’il y ait bien du plaifir de travailler fur fon propre fonds. Je tacherai de me confoler de ce que Monfieur Leibnitz fe dedit des engagemens où il etoit entré de lui même. Bien qu’il y ait toujours à perdre quand on n’apprend pas une chofe qu’on auroïit pû favoir je ne ferai pas faché d’avoir évité de faire des échanges de propofitions de Mathematiques comme de marchandifes. Pour Vous Monfieur Vous étes embarqué dans ce negoce et je crain que Monfieur Leibnitz, qui met toujours fes denrées à un fort haut prix, ne fe montre difficile à fe contenter fur les avances qu’il pretendra Vous avoir faites. Je n’ai encore ni abandonné ni embraffé abfolument la penfée de faire une feconde édition du livre de Monfieur Newton. Monfieur Hampden Monfieur Vous fait fes trez humbles complimens. J’efpère Monfieur que votre fanté fera cout à fait retablie 4). Je fuis avec beaucoup de refpeét a MonsIEUR Voftre tres humble et tres obeissant Seruiteur N. FaArTIo DE DUuILLIER. À Londres ce Te Fevrier 1692. #) Il aura veu le paffage de Plutarque *) au livre de facie in orbe lunae ur tiaan Huygens]. 5) s’il peut connaitre par l” Equation fi une courbe’eft quadrable ? avez vous dit a mon frere que ce traité de Mr. Newton paroicroit bien toft?). fi une foutangente eftant donnée il peut dire s’il y a une courbe a qui elle convient [Chriftiaan Huygens]. > IE PI TOY EMWAINOMENOY IPOZSATIOY TITI KYKANI THE ZEAHNHES. De facie in orbe lunari. Au $ XI on rencontre, en effet, le passage remarquable suivant, que nous empruntons à la traduction d’Amyot, d’après l'édition: Œuvres mélées de Plutarque, traduites du Grec par Amyot, Grand-Aumônier de France; avec des Notes et des Observations, par MM. Brotier et Vauvilliers. Nouvelle Edition, Revue, corrigée et augmentée, par E, Clavier. Tome cinquième. A Paris, de l'imprimerie de Cussac, Rue Croix des Petits-Champs, N°. 33. An XI(1803) in-8°. On y lit (pages 238 et 239):.... il y a des colomnes et des pilliers de diamant qui lasous- tiennent (c’est-à-dire la Terre), comme dit Pindare. C’est pourquoy Pharnaces est hors de 260 CORRESPONDANCE. 1692. ©) Je m’eftonne qu’il n’ait pas mieux connu de Genes’°) dequi avec raifon on n’apas bonne opinion. je croy pourtant du Quefne innocent [Chriftiaan Huygens]. 4) On m'a parlè d’un traitè de dioptrique d’un des membres de la Société qui eft-ce?1*) Locke [Chriftiaan Huygens]. L o N° 2740. G. W. LeiBniz à CHRISTIAAN HUYGENS. 19 FÉVRIER 1692. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle à été publiée par P. J. Uylenbroek*) et C. I. Gerhardt*). Elle est la réponse au No. 2732. Chr. Huygens y répondit par le No. 2744. MONSIEUR Vous m’avéz allarmé en me parlant de voftre indifpofition. Je fcay affez com- bien les fciences font intereffées dans voftre confervation. Vous pouuez faire des crainte que la terre ne tombe: mais il a pitié de ceulx qui sont à plomb au dessoubs du cours de la lune, comme les Aethiopiens et ceulx de la Taprobane, de peur qu’un si pesant fardeau ne tombe sur eulx, et toutefois il y a le mouvement de la lune qui engarde qu’elle ne tombe, et la violence de sa révolution, ne plus ne moins que les pierres et cailloux, et tout ce qu’on met dedans une fronde, sont empeschez de tomber, parce qu’on les tourne violemment en rond. Car chasque corps se meut, selon son mouvement naturel, s’il n’y a autre cause qui l’en detourne. C’est pourquoy la lune ne se meut point selon le mouvement de sa pesanteur, estant son inclination deboutée et empeschée par la violence de la revolution circulaire. 9) Voir la Lettre N°. 2731. 19) De Genes, navigateur français, proche-parent du théologien Julien-René-Benjamin. Il jouit de la faveur de Louis XIV, qui le créa capitaine de vaisseau et chevalier de Saint-Louis et le gratifia de pensions et d’une grande étendue de terre en Cayenne, que le roi avait érigée en comté, sous le nom de comté d’Oyac. Comme gouverneur de l’île de Saint-Christophe, restituée à la France par le traité de Rijswijk, il dut abandonner cette île aux Anglais. Il fut condamné en août 1704 pour lâcheté, dégradé de la noblesse et privé de la croix de Saint- : Louis. Il appela de ce jugement au conseil du roi. Voulant revenir en France pour suivre cet appel, il fut fait prisonnier par les Anglais et conduit à Plymouth, où il mourut cette même année. Louis XIV accorda des pensions à sa veuve et à ses enfants ,,en raison de sa fidélité et de ses bons et agréables services”. 11) Il s’agit probablement de l’ouvrage suivant: Dioptrica Nova. À Treatise of Dioptricks, in two Parts. Wherein the various Effects and Appearances of Spherick Glasses, Both Convex and Concave, Single and Combined, in Telescopes and Microscopes, Together with Their Useful/ness in many Concerns of Human Life, are explained. By William Molyneux of Dublin Esq. Fellow of the Royal Society. Ex Visibilibus Invisibilia, London, Printed for Benj. Tooke. mpcxcn, in-4°. Sur William Molyneux, voir la Lettre N°. 2361, note 2. 1) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, p. 121. ?) Leibnizens Mathematische Schriften, Band IL, p. 129, et Briefwechsel, p. 688. CORRESPONDANCE. 1692. 261 chofes fi importantes en Phyfique, que je fais confcience de vous donner occafion de trop rever à la Geometrie. Je ne fcay fi vous avés vu un petit liure d’un nommé Monfieur Eifenfchmid 3), de Strafbourg De figura terrae, où il pretend prouver, en conferant enfemble les differentes obfervations de ceux qui ont voulu donner la mefure de la terre, où la grandeur d’un degré, qu’ils ont varié felon qu’ils fe font plus approchés du pole, et par confequent, que la terre eft elliptique en effeét, mais qu’elle eft plus enflée fous les poles, au lieu que felon vous et Mons. Newton elle doit eftre plus enflée fous l’equateur, Cela merite d’eftre confideré*). Le liure de Mr. Neuton eft un de ceux qui meritent le plus d’eftre perfeétion- nés et Mr. Facio fera bien de s’y appliquer. Je ne m’etonne pas fi parmy tant de recherches difficiles, il s’y eft gliffé quelque faute de doétrine. Cette reduction aux quadratures, que vous appellés impoflibiles eft ce que je fouhaiterois de pouuoir tousjours obtenir pour les problemes des tangentes renverfées. Enfin je ne demande prefque que cela pour la perfeétion de la plus importante partie de la Geometrie. Il 1e peut bien que nous ne nous entendions pas, puifque une chofe de fait, que j’avois rapportée, vous paroïft peu croyable. Il eft vray comme vous dites, Monfieur, qu’il n’eft pas affez de faciliter le cal- cul, il faut fouuent quelqu’autre chofe. Cela fe voit dans l’Algebre même. Pour fcauuoir l’Algebre on ne s’avifera pas d’abord de trouuer les racines irrationelles des racines cubiques, à la maniere de Scipio Ferreus#), ny de la divifion des equations egalées à zero par leur racines. Il en eft de même de mon calcul tranf- cendant. Mais quand on a reduit les methodes à un fimple calcul on s’avife plus aifément de ces adreffes. La Methode des quadratures, que Mr. Tfchirnhaus a publiée quand elle eft bien entendue, revient à une partie des miennes. Je luy en avois parlé bien des fois à Paris, et ce n’eft que par oubli qu’il peut avoir crû 5) de donner quelque chofe de nouueau. Cependant il me femble qu’il s’y prend d’une maniere bien embaraflée. Et de plus ce qu’il donne n’eft pas fi general qu’il avoit crû. Je luy donnay une inftance que je fabriquay fur la lunule d’'Hipprocrate ‘); cela l’arrefta. Au bout de quelques années quand je n’y penfois plus (car je n’avois pas voulu le pouffer) il avoit fait quelque calcul fur les lunules (comme fon difcours temoigne 3) L'ouvrage cité dans la Lettre N°. 2727, note 11. 4) Scipione del Ferro enseigna l’arithmétique et la géométrie à Bologne depuis 1496 jusqu’à sa mort, en octobre ou novembre 1526. Sa résolution des équations cubiques fut mentionnée par Cardano au Chapitre XI: ,,De cubo et rebus aequalibus” de son Ars Magna. (Voir l'ouvrage cité dans la Lettre N°, 137, note 4). 5) Consultez, sur ce qui précède, la Lettre N°. 2627 à la page 518, et l’article de Leibniz de mai 1684, cité dans la note 16 de la Lettre N°. 2732. $) Partant de cette communication Huygens n’a pas manqué de retrouver la manière dont 262 CORRESPONDANCE. 1692. affez)7) et cela l’avoit fait rencontrer ce calcul, et luy avoit fait voir la quadra- ture. Mais ce n’eftoit pas et ne peut eftre pas la methode qu’il auoit propofée. Un de ces jours je pourray m’appliquer derechef à cette matiere, pour lamettre dans fon jour. La methode de Mr. Facio pour les tangentes renverfées, autant que j’en puis juger, ne peut fervir que pour les courbes ordinaires, au lieu que la miènne donne et les ordinaires et les tranfcendantes. Je crois de vous auoir déja dit, Monfieur, que j'en ay une aufli qui eft propre aux ordinaires, par le moyen de la quelle je pourrois fabriquer quantité de canons particuliers, cels que je croy que M. Facio a; mais je ne m’y amufe point, et je penfe la rendre un jour univerfelle pour déterminer s’il eft poffible de trouuer une ligne ordinaire fatisfaifante. Mais j’ay dit que pour en rendre l’ufage court et facile, il faudroit dreffer quelques Tables. Vous avés raifon, Monfieur, de dire que des Cartes a parlé d’un ton trop decifif de l’arrangement des parties de la matiere. Cependant ce feroit dommage jus eibniz avait dû construire la courbe dont il est question dans la note 16 de. la es + N°. 2732. Voici comment il y procède à la page 39 du livre [1 : Soit ADCBA une lunule d’Hippocrate, dont l'aire égale I LWæx y X comme on sait, celle du trian- * p gle .AFC;:, AH=FH—=3%; DT ee AF=r=4|/ 2; GH=x.. # On a alors (pOxs BF — LH eee 20 aa = D — a — V2 —42;ÈG—= | Ja —x? ; donc EK = LR V2 2? a. Soit maintenant NM — LN=MR—AH—; MT—GH=—=x; TS—KE; alors laire NST sera égale à l’aire AK E qu’on ne peut pas quadrer généralement sans supposer la quadrature du cercle; tandis qu’en particulier l’aire NPM— ADB—AHEF se trouve être quadrable. Or, pour obtenir l'équation de la courbe NSP il suflit de poser SW—2; donc = LN — —ST—4—KE nn 4 24? — x? — V’ g°—x°, d’où l’on déduit aisément 24— 64°2° + + 4x%22 a4—0o. La courbe NSP est donc identique, en effet, avec la courbe NMA de la figure de la note 16 de la Lettre N°. 2732. 7) En effet, dans l’article même, de septembre 1687 (voir la Lettre N°. 2627, note 11), où von Tschirnhaus annonça la quadrature de la courbe AMMNE de la note 16 de la Lettre N°. 2732, on rencontre un théorème qui se rapporte à la quadrabilité de certaines portions de la lunule d’Hippocrate. CORRESPONDANCE. 1692. 263 fi nous n’avions pas fon fyfteme. Ainfi je voudrois que Mons. Boyle nous eut laiflé fes conjeétures. Mais c’eft encor plus dommage que fes plus curieufes experiences le plus fouuent ne font rapportées qu’a demy. Tantoft il s’excufe parce qu’un amy ne luy donne pas le pouuoir de les publier; tantoft fur quelqu’autre raifon. La negligence de nos libraires fait que je n’ai pas encor veu l’Hiftoire des ouvrages des fcavans ny voftre divifion de l’oétave. Elle eft de vous, c’efttoutdire. Pluft à Dieu que vous penfafliés à donner vos conjeétures fur les parties de la ma- tiere; car nous avons bien des connoiffances que des Cartes n’avoit pas, dont je ne connois perfonne qui puiffé mieux ufer que Vous pour en tirer des confequences. Il eft vray que le Chancelier Bacon fcavoit quelque chofe de l’art de faire les experiences et de s’en fervir; mais ce que vous dites de feu Mr. Boyle, eft encor veritable à fon egard, qu’il n’eftoit pas capable d’une affez grande application pour pouffer les confequences autant qu’il faut. J'efpere que voftre fanté fera retablie; ce fera une des plus agreables nouuelles que je pourray receuoir. Je vous avois encor écrit une feconde lettre *), et je m'étonne qu’il ne paroïft pas que vous l’ayés receue. Je fuis avec zele MONSIEUR Voftre tref humble et trefobeiffant ferviteur . LEIBNIZ. Hanover ce = feurier 1692. a) Il eft elliptique ce qui fe confirme. Il fe fond fur des faits peu certains [Chriftiaan Huygens |. - N° 2741. CHrisriaan Huycens à A. L. Coymans”). 29 FÉVRIER 1692. Le sommaire se trouve à Leiden, coll. Huygens. Sommaire : febr. 29. Aen de Schout van Zuylichem Arie Lamb. Coyman met de aéte voor Buyrmeefter tot _Zuylichem in de buyten Meydijcks. 8) Voir la Lettre N°. 2728. *) Arie Lambrecht Coyman, bailli de Zuylichem. 264 CORRESPONDANCE. 1692. . 2742. HugerTus HuIGHENS à CHRISTIAAN HUYGENSs. 3 MARS 1692. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle a élé, publiée par P. [. Uylenbroek”). Elle est la réponse aux Nos. 2735 et 2738. Viro nobiliflimo atque eruditiflimo CHRISTIANO HuGENIO HUBERTUS HUIGHENIUS S. p. 4... Imperitia et lata culpa tabellarii ad aedes domini, cujus cognomen Hubert mihi praenomen eff, venere, et negleétae diu jacuerunt litérae tuae, quae in Perfarum Regis Darii Scrinio, fi ejus mihi copia foret, apud me fervarentur: caufam audis, quare prius non refpondi; nullam prorfus mihi fpem reliquam perveniendi ad fcopum, cujus obtinendi gratia, parvus ille libellus a me fcriptus eft, ex literis tuis intelligo. de praeftantia methodus tuae, quamvis mihi incognitae, tamen ex iis, quae ad me fcripfifti, dubitare non poffüm, utrum vero eadem fit, qua ego utor, non pof- fum aflirmare, nam Barrovii theorema incognitum, nomen inauditum mihi eft, nullumque authorem, praeter Clariflimum Walliffum, cujus methodum probandi capere non poffum, de illa materia legi. dubitare mihi videris, an ex quadraturis ad aequationes curvarum linearum, ad quas illae pertinent, pervenerim, vel aliunde, ut fit, illas eruerim : fi mihi occafio daretur, omnem tibi caufam dubitandi auferre poflem. Nulla mihi induftria opus fuit in formandis quadraturis, unde aequationes oriuntur, quae paucis terminis conftant, ad hoc enim nihil aliud requirebatur, quam ut ex plurimis aequationibus, quas inveneram, fimpliciflimas elegerem, quod ramen ob quafdam, quae me movebant rationes, non femper praeftiti. non video, quomodo quis affirmare poflit, ex proprietate fe ad quadraturam generaliter poffe pergere, quin eo ipfo quod non tradat quadraturas figurarum, quae defiderantur, inanis jaétantiae manifefto deprehendatur conviétus. non fcripfi talem quadraturam effingi, aut excogitari pofle, cui curva, quam mihi quadrandum propono, conveniat, fed folummodo fuppofui, talem quadratu- ram effe, ac oftendi, quomodo a pofteriori ad illam certo perveniri poflit: ex. gr. in circulo, cujus aequatio fit }/” 24y —yy, fupponamus (4); nec (y) ultra vigefi- 1) Chr. Hugenïii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, p. 141. CORRESPONDANCE. 1692. 265 mam poteftatem afcendere, certum eft, fi omnes aequationes inter (4), et (y) ufque ad vigefimam poteftatem examinentur eo modo, et in eum finem, qui pag. 9 praefcriptus eft?), quod infallibiliter pervenietur ad aequationem, in qua invenietur x > }/-24y —yy, quod probabit in illa aequatione inter (4) et (y) fegmentum femicirculare, cujus bafis eft (y), aequale effe (4). Sed quis mihi fpondere poffet (y) et (4) in circulo non afcendere ultra cente- fimam, vel etiam fuperiorem poteftatem? quare etiam credo, quod e re mea non eft quadraturam circuli, aut hyperbolae eo modo folus quaerere, circa quam fecun- dum omnem apparentiam fruftra me fatigarem. non opus erat circa fubnormalem pag. 12 ad septimam poteftatem literae (y) afcendere, fed rem eo modo, quo inveneram, fed eft per varios circuitus propofui. Haec verba (an vero fubnormalis ad nullam curvam pertineat) non fatis intel- ligo, nam fi concedas mihi liberè meam opinionem dicere, implicare contradiéto- rium mihi videtur, quod fubnormalis illa ad nullam curvam pertineret. nullo modo ego ex fubnormali ad curvam, ad quam illa pertinet, pervenire poffum, fi data fit aequatio inter fubnormalem, et perpendicularem (x) vel inter fubnormalem, perpendicularem (x) et bafim (y). magno teneor defiderio videndi talem methodum, qua a priori in duobus illis me be 4 ATP A perveniatur ad curvas, 344 —2XY xx ad quas illae pertinent, nec non cognofcere caufam, quare illa methodus a priori aliis cafibus applicari non poflit : in illis vero cafibus, in quibus data eft proportio inter fubnormalem, et bafim (y), invenio, aut curvam, ad quam illa fubnormalis pertinet, aut figuram curvilineam, a cujus quadratura illa curva dependeat, ex. cafibus, in quibus fubnormales funt 5 J C4 © À gr. fi fubnormalis data fit asp invenio curvam dependere a quadratura circuli #) quod cum jungatur cum iis, quae a te circa illam fubnormalem inventa funt +), proportionem circuli ad hyperbolam cognitam redder. 2) Voir la pièce N°. 2737 et surtout la note 7 de cette pièce. 3) Ce qui est exact, puisque la solution du problème, dans la notation de Hubertus Huighens (voir la figure 1 de la pièce N°. 2737), dépend de la résolution de l’équation différentielle: £7 . 44 ! = dy V” aa —7) 4) Le résultat, annoncé par Chr. Huygens dans sa Lettre N°. 2735, ne se rapportait pas à la sous- F aa : . 2 normale, mais à la soustangente ———, Huygens avait corrigé sa méprise par la Lettre à aa —%) N°. 2738, qui, d’aprèsle post-scriptum de la présente, n’avait pas encore été reçue par Huber- tus lorsqu'il rédigea cette phrase. Œuvres. T, X. 34 266 CORRESPONDANCE. 1692. Rudis artis pingendi ego in plano delineare non poflum corpora, quae mihi neceffaria funt ad demonftrandum, quomodo ex quadraturis pag. 8 eliciam aequa- tiones pag. 9 nec non quomodo pag. 10 folutionem fecundae propofitionis meae cum quadratura per (x) detur, ad quadraturam hyperbolae, et circuli deducam, fed non femper eo devenio, nam plerumque invenio curvilineam figuram, cujus quadratura cognita eft, ut in propofito tuo exemplo y ddyy—cexx vel, quod idem eft y 50 |// 4 dd +3cx — |/ x dd —1ex. Quis, et ex qua Huygheniorum familia fim, rogas, tui fum, Vir nobiliflime, obfervantiflimus, ne vero videantur faéta mea cum verbis non convenire, ad fingula haec refpondebo, pater meus, qui urbis Verenfis, cujus ego nunc fcabinus, olim concionator fuit, patrem habuit urbis Tholonae confulem, cujus avus inter brabantinae provintiae nobiles numeratus, peregrinando fere peregrinus in patria fua faétus, filium reliquit, qui noftrae familiae primus provinciae Zelandiae incola fuit. quare nomina noftra conveniant, cum diverfa armorum infignia non eandem nobis effe familiam oftendant, rationem nullam ego reddere poffum. propediem mihi iter eft in Hollandiam, permiflionem te falutandi rogabo, et inter fortunae beneficia numerabo, fi praefens tibi, quod jam hifce liceris facio, dicere poflim, quantopere me tibi devinétum agnofco, quod Vir tanti nominis, et eruditionis ad me fcribere dignatus fis. Vale. Dabam Verae 3 Martii 1692. Appendicula tua, poftquam has literas fcripreram reddita mihi eft, mutatio in illa nullam caufam aliquid mutandi literis meis praebet, nifi in iis, quae fcripfi de invenienda proportione inter circulum et hyperbolam, quae pro non fcriptis haberi peto. CORRESPONDANCE. 1692. 267 N° 2743. P, Bayze à CHRISTIAAN HUYGENSs. i 6 MARS 1692. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Chr. Huygens y répondit par le No. 2746. MONSIEUR Les lumieres extraordinaires dont Dieu vous a pourveu ne doivent pas etre feulement pour vous ou pour vos Lecteurs, mais en general pour tous ceux qui peuvent fortir de leurs doutes en allant confulter votre oracle. Je prens donc la liberté de vous consulter aujourdhui fur une chofe qui n’eft pas digne de vous etre propofée, mais enfin j’aurois trop de peine à m’en tirer par mes propres forces, n’etant pas homme de meditation, je vous prie donc Monfieur tres humblement de vouloir vous abaiffer jufqu’à cette bagatelle pour m’epargner un tems que l’emploirois peut etre inutilement à chercher la folution. pourroit on dire que des gens plus orientaux que Rome de telle forte que quand ils ont 9. heures du foir, il eft midi à Rome, ne peuvent point voir le foleil quand il eft midi à Rome. Ce qui me fait vous demander cela eft que j’ay à refuter Pline qui a dit que les feux qu’on allumoit fur certaines tours pour avertir de l’arrivée des pirates, qu’on allumoit dis-je, Lora [exta diei etoient veus vers l’orient iufqu’à des lieux où il etoit trois heures de nuit. Il eft bien certain que cela eft impoflible, . mais je n’ai pas ofé avancer que tant s’en faut qu’une lumiere fi petite et fi baffle puifle etre veuë d’une diftance qui comprend plus du tiers du rond de la terre (ie veux dire neuf heures) le foleil meme fi grand et fi elevé n’en pourroit pas etre aperçu. Ce qui m’a empeché d’ofer l’avancer eft que dans la fphere oblique on voit le foleil encore qu’il foit eloigné de nous de la diftance de neuf heures; par exemple à Stokolm on le voit l’eté à 3. heures du matin ou meme plutot. Or n’eft il pas vrai monfieur que le meridien fous lequel il eft alors eft eloigné de neut heures du meridien de Stokholm, puis qu’il faut que le foleil emploie neuf heures pour aller de l’un de ces meridiens à l’autre. De là m’eft né un autre doute, c’eft de fcavoir fi quand on dit que deux villes different de 30. degres de longitude lors qu’une eclipfe eft aperçuë dans l’une à 10. heurceset dans l’autre à 8. et /fc de cacteris il faut prendre ces 30. degres de longitude dans toutes fortes de paralleles ou de climats, ou feulement par raport à la fphere droite. Vous comprendrez bientot ma difficulté monfieur, et en meme tems mon ignorance puis que fi peu de chofe eft difficulté pour moi. Je voudrois favoir 1° d’où vient que n’y aiant que 90. degres du meridien à l’Horifon, il fe trouve qu’à l’egard de Stokolm l’été, le foleil pafle par 9. fois 15. meridiens avant que de parcourir la diftance de l’Horifon au meridien de cette ville. 2° pour quoi l’on dit en general et fans reftriétion que fi 268 CORRESPONDANCE., 1692. la ville A voit une eclipfe à 10. heures, et la ville B. à 8. heures le meridien de la ville À eft plus oriental de 30. degres que le meridien de la ville B, car fi chaque heure repond à 15. degres ou à 15 meridiens, il faut que le foleil parcoure neuf fois 15. meridiens depuis qu’il fe leve à Scokolm, iufques à ce qu’il arrive au meridien de Scokolm, et cependant il ne peut y avoir du meridien d’un lieu à l’horifon du meme lieu que le quart du cercle c’eft à dire fix fois 15. meridiens. Je vous demande tres humblement pardon, de la liberté que ie prens, d'occuper la mafTuë d’un Hercule à ecrafer un ver, car mon petit doute à l’egard d’un homme comme vous, n’eft que comme un infeéte pour ce dompteur de montres. Je fuis avec toute forte d’admiration. MONSIEUR Voftre tref humble et trefobeiffant ferviteur BayLe. à Rotterdam le 6 _de mars 1692. # N° 2744. CurisTiAAN HuycEns à G. W. LEïBniz. 15 MARS 1692. Le lettre se trouve à Hannover, Bibliothèque royale. La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens. Le minute a été publiée par P. J. Uylenbroek*), la lettre par .C. I. Gerhardt?). La lettre est la réponse au No. 2740. . Leibniz y répondit par le No. 2751. Sommaire: Windifgras. Longitudes. Eyfenfchmidt. Approbation ou objections. Plus qu’il ne faut de geome- trie pour la phyfique. Tfchirnhaus promefle fera vaine. Formes des quadratures. Remarques. Table Regle de Fatio. 15 Mars 1692. Je vous fuis fort obligé de ce que vous temoïgnez de prendre intereft à ma fanté, qui depuis ma derniere a encore beaucoup fouffert de la migraine pendant cette longue 3) gelée. 1) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, p. 124. La minute et la lettre diffèrent en quelques endroits. Nous indiquerons les variantes principales dans les notes. 2) Leibnizens Mathematische Schriften, Bd. IT, p. 131, et Briefwechsel, p. 690. 3) La minute ajoute ,,et importune?”. CORRESPONDANCE. 1692. 269 Vous avez trop bonne opinion de mes forces à approfondir les matieres de Phyfique. Vous voulez m’animer à cette eftude, à quoy contribueroit beaucoup, fi je fcavois que les effais, que j’en ay donnè dans mes derniers traitez, font dans voltre approbation#). Il n’y a jufqu’icy que le feul Mr. Papin qui m'’ait envoiè des objections, que je crois avoir bien refolues 5). J'ay vu l’extrait du traicè de Mr. Eyfenfchmid dans les Aa); il m'en femble qu’il baftit fur un fondement fort peu feur, fcavoir les differentes mefures qui ont eftè faites du globe terreftre. Car on fcait combien different entre eux les obferva- teurs qui ont travaillè fous le mefme climat. On obferve d’ailleurs que Jupiter eft elliptique?) dans le fens de Mr. Newton et de moy, et la raifon le veut, au lieu qu’il n’y en a point pour la figure elliptique de Mr. Eyfenfchmid. Je fouhaite fort d'apprendre par la relation de ceux qui font allez avec mes horloges au Cap de bonne Etperance, fi le retardement de leur mouvement (qui comme vous fcavez a la mefme caufe que noftre pretendue figure de la Terre) fera confirmé de mefme que je l’ay remarquè dans le voiage precedent *). Ces obfervateurs fe trouverent malades, lorfque les vaifleaux qui les devoient ramener pafloient au Cap?°), ce qui retardera leur retour peut eftre d’un an entier; et il faudra attendre jufques là pour 1cavoir le fucces de la mefure des longitudes, parce qu’en allant vers là, ils n’ont pas pu fe regler fur les horologes, pour n’avoir pas eu le loifir d’examiner leur mouvement par le foleil *). Ileft vrai qu’il y a un homme en ce pais **), qui a propofé à Mrs. les Eftats fon invention pour les longitudes, et que j’ay efté emploiè avec d’autres pour l’examiner. Mais il n’avoit rien de bon ni de nouveau, et il n’y a eu perfonne qui ne l’ait condamnè. Cependant de puiffantes recom- mandations de quelques ignorants luy ont fait avoir 2000 fr. **) de la Compagnie 4) Puisque la Lettre N°. 2628 n'avait jamais été envoyée, Huygens ne pouvait connaître l'opinion de Leibniz sur le , Traité de la lumière” et le , Discours de la cause de la pesanteur” que par la courte remarque que l’on rencontre vers la fin de la Lettre N°. 2676. 5) Voir les lettres de Papin, Nos, 2595 et 2640, et les réponses de Huygens, les Nos. 2617 et 2707. 5) Les, Acta eruditorum” de juillet 1691, p. 315. 7) Éasiini et Flamsteed avaient constaté que ;,le diamètre de Jupiter entre les poles était plus court que celui de l'Orient à l'Occident” (Newton Principia, p.421). Par un calcul analogue à celui qui l’avait conduit, dans l’, Addition” à son ,, Discours de la cause de la pesanteur”, au rapport des deux axes principaux de la terre, Huygens avait estimé à 10/9 le rapport de ceux de Jupiter. D’après le lieu qu’il occupe dans les , Adversaria”, ce calcul doit dater de la fin de 1688 ou du commencement de 1689. 8) Voir la pièce N°. 2510. 3) Voir les Lettres Nos. 2718 et 2720. 1°) Voir les Lettres Nos, 2645, 2646, 2647, 2648, 2650, 2651, 2653 et 2656. 11) Lieuwe Willemsz. Graaf. Voir la Lettre N°. 2536. 1?) Voir la note 1 de la pièce N°. 2538. 270 CORRESPONDANCE. 1692. des Indes Orientales malgré elle, lequel argent eft affurement tres mal emploiè. Il pretendoit fe fervir des obfervations de la Lune, et avoit eu commerce avec le profeffeur Wafmuch qui eftoit un vifionaire. Mr. de Tfchirnhaus ayant promis avec tant d’affurance de donner la quadrature de toute ligne courbe propofée, ou de prouver qu’elle eft impoñlible, ne s’eft il trouvè perfonne qui l’ait mis à l’epreuve en luy propofant quelque courbe geome- crique un peu compofée? Je crois affurement qu’il fe trouveroit court, ayant un peu examinè cette matiere depuis quelque temps. Je vois qu’on peut en fuppofant autant qu’on veut de quadratures, trouver les courbes à qui élles con- vienent 3), mais d’aller de l’équation à la quadrature, je: n’y vois pas moyen, fi non en quelques cas fimples 4). Il y a des remarques à faire, mais elles ne vont guerre loin, de forte que je doute mefme fi lorfque vous m'avez donnés) la quadrature de la courbe y4— 874yy+ 1644xx 0 o, que je vous avois propofée 1), vous ne l’avez pas trouvée, Monfieur, dans quelque Table de quadratures que vous eufliez faites. Cela me paroit plus vraifemblable depuis qu’un certain mache- maticien de Zelande m’a envoiè un petit traitè 7), où il y a une telle Table, qui contient entre autres cette mefme courbe et fa quadrature 13 Mr. Fatio me mande 4) qu’il veut bien que je vous faffe part de fa methodedes tangentes renverfée, mais je ne fcay pas maintenant fi vous le fouhairez, ou fi vous avez befoin, que je vous l’explique, de quoy vous m’informerez, s’il vous plait. Il croit que Mr. Newton fcait fur cette matiere et tout ce que luy et tout ceque vous, Monfieur, en avez trouvè, et encore bien d’avantage, et que mefme ilen publiera quelque traitè 2°). Je fuis avec paflion &c. J'ay eu foin de voftre lettre à Mr. le Comte de Windifgras ?"), aufli-roft que je l’eus receuê. 13) La miriute ajoute et fe faire par là quelques tables”. 14) La minute ajoute ,,et nullement en tous ceux qu’on peut former”. 15) Dans la Lettre N°. 2664. Consultez sur l'identité des deux courbes, celle du texte et celle dont Leibniz avait donné la quadrature au lieu cité, la note 7 de la pièce N°. 2644. 16 Voir la Lettre N°. 2660 à la page 21, où Huygens demande de vouloir déterminer cette quadrature, que Leibniz avait annoncée comme aisée dans sa lettre N°. 2659 à la page E 3- 17) Voir la Lettre N°. 2730. : 18) Voir le cinquième exemple de la note 2 de la Lettre N°. 2735 et lanote 8 de cette même lettre. 19) Voir la Lettre N°. 2739. 29) Voir la Lettre N°. 2731. 21) Voir la Lettre N°. 2728. CORRESPONDANCE. 1692. 271 N° 2745. N. Fario DE Duizier à CHRISTIAAN HuYGEns. 17 MARS 1692. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle à êté publiée par P. J. Uylenbroek*). Elle est la réponse à une lettre que nous ne connaissons pas. Chr. Huygens y répondit par le No. 2748. MONSIEUR Je Vous rens mille graces des peines que Vous Vous étes données pour retrou- ver mon. Traitté de la Pefanteur. Je n’efpere plus de le revoir jamais ni même d’en compofer un nouveau *) à caufe d’un degout et d’une repugnance invincibles que je me fens à rechercher une feconde fois les memes chofes que j’avois déja eües. Monfieur Newton fe relache déja fur l’imprefion de fon Traitté des lignes Courbes5). Sa premiere chaleur eft paflée, et je croi qu’il s’accoutume peu à peu à juger qu’il n’eft pas fort neceffaire qu’il s’engage dans les embarras que l’impreflion d’un Traicté comme celui là traine neceffairement aprez elle. Nous y perdrions beaucoup affurement fi ce Traïtté ne paroifloit point. Je ne fçai fi je Vous ai dit Monfieur que Monfieur Newton y donne une Methode bien étendue de trouver la Courbe la plus fimple dont depend la Quadrature d’une Courbe propofée 4). Il eft certain que jufques à prefent il n’a encore rien paru de fi beau dans la Geometrie abftraite que cet ecrit qui n’eft que de quelques feuilles et qui ne feroit point trop long pour entrer dans une tranfaétion. Si je ne l’avois pas parcouru j’aurois peut étre pourfuivi les idées que j’avois en Hollande 5) et dont 1): Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. II, p. 130. ?) Voir la Lettre N°. 2582, note 0. 3) Il s'agit de la ,Methodus Fluxionum et serierum ikfntaresn. cum ejusdem applicatione ad curvarum géometriam?, qui ne parût qu'après la mort de l’auteur, en 1736, et sur laquelle on peut consulter, entre autres les , Vorlesungen ” de Cantor pp. 168 et suiv. de l’édition de 1907, ou bien du ,,Tractatus de quadratura curvarum””, qui ne fut publié qu’en 1704 ensemble avec l”’,Enumeratio linearum tertii ordinis” et l’Optique, réunis sous le titre »Optics; or a Treatise of the Reflections, Refractions, Inflections and Colours of Light; also two Treatises of the Species and magnitude of Curvilinear Figures”, London, 1704. in-4°. 4) On rencontre, en effet, dans le, Tractatus de quadratura Curvarum’”, le Problema III suivant: »invenire Figuras simplicissimas, cum quibus Curva quaevis geometricè comparari potest, cujus ordinatim Applicata y per Aequationem non affectam (c’est-à-dire: explicitement) ex datä Abscissa z determinatur”. 5) Voir, sur ce séjour en Hollande, la Lettre N°, 2739, note 3. 272 CORRESPONDANCE. 1692. nous nous fommes quelquefois entretenus enfemble. Car je ne defefperois pas de pouvoir trouver tout ce qui me manquoit de la Methode de Monfieur Leïbnitz et même quelque chofe de plus. Ce qui n’etoit pas fans fondement và les differentes entrées que j’avois deja à des folutions et à des Methodes qui reuflifloient fort bien, et à qui il ne manquoit pas beaucoup ce me 1embloit pour les rendre affez generales. Mais j’ai été glacé en voiant ce qu’a fait Monfieur Newton, et je lui ai reproché qu’il rendoit inutile mon travail et qu’il ne vouloit rien laiffer à faire à fes Amis qui 1ont venus aprez lui. Je croi que dans la fuite il ne faudra pas que j'entreprenne d’étude un peu difficile et de longue haleine fans etre affuré de fa part que l’envie ne lui prendra pas de traitter le même fujet. Monfieur Hambden Monfieur Vous fait fes trez humbles complimens. Monfieur Lock n’eft pas en Ville. Il eft obligé de pañler tout l’hiver à la Campagne à caufe de fa poitrine, qui fe trouve fort incommodée des fumées de Londres. Monfieur le Conte de Monros®) a été traitté d’une maniere fi differente de ce qu’il auroit merité qu’il eft bien malaifé de s’empecher de croire que des Emiffaires ou des Amis de la France n’aient caufé cout fon malheur. Je fuis avec beaucoup de refpeét MONSIEUR Voftre tres humble.et tres obeiflant ferviteur N. Fario DE DuILtiER. A Londres ce L Mars 1692. 5 Voir la Lettre N°. 2739, note 7 CORRESPONDANCE. 1692. 273 N° 2746. CHRISTIAAN HuYGENs à P. BAYLE. 19 MARS 1692. La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens. La lettre est la réponse au No. 2743. MONSIEUR Vous entendez fort bien une partie de ce que vous me propofez a refoudre. Quand ileft midy a Rome, et 9 heures du foir (fuivant noftre maniere de conter les heures) ou 3 heures de nuit fuivant les anciens Romains, en quelque lieu plus oriental que Rome, il eft certain que ce lieu peut eftre fi avant vers le nord que pendant une partie de l’année on y verra le foleil a ces 9 ou 3 heures, puifque il y a des lieux vers le nord ou le foleil ne fe couchent ) pas feulement pendant quelque mois. Vous avez donc eu raifon de ne pas vouloir affirmer generalement en refu- ant Pline, que dans un lieu plus oriental de 9 heures que Rome on ne pourroit voir le foleil lors qu’il eft midy a Rome et l’exemple de Stockholm eft bien alleguè. Mais quant au paflage de Pline *) il y a apparence qu’il entend parler de feux qu’on allumoit les uns incontinent apres les autres a mefure qu’on voioit les plus prochains, comme on le pratique encore aujourdhuy en bien des endroits pour avertir de quelque flotte enemie qui paroit fur les coftes, quoyque avec cela je ne comprenne pas comment on eut pu commencer a les allumer en plein midy, qui eftoit fexta diei, car on ne voit les feux du loin que pendant la nuit. Il y a fans doute quelque faute au texte, puis que d’ailleurs ce trois huitiemes du tour du monde font une diftance trop vafte, et qui furpaffe l’etendue qu’avoit tout l’Empire Romain. Quant a voftre autre doute, tenez Monfieur pour certain que dans quelque lieu qu’un commencement d’Eclipfe de Lune s’obferve à 10 heures du foir, pen- dant qu’on -obferve le mefme commence- ment a 8 heures dans un autre lieu; le pre- mier lieu eft diftant ou pluftoft different de 30 degrez en longitude du dernier devers l’orient. Car dans quelque parallele que foit une ville, pourvu qu’elle ait un mefme 1) Lisez: couche. ?) Historia Naturalis, Lib. [1, Cap. LXXI: ,[deo nec nox diesque quamvis eadem toto orbe simul est, oppositu globi noctem aut ambitu diem adferente. Multis hoc cognitum experi- mentis, in Africa Hispaniaque turrium Hannibalis, in Asia vero propter piraticos terrores simili specularum praesidio excitato, in quis praenuntios ignis sexta hora diei accensos saepe compertum est tertia noctis a tergo ultimis visos”. Œuvres. T. X. 35 274 CORRESPONDANCE. 1692. meridien avec Rome par ex. c’eft a dire qu’elle foit avec elle dans un mefme grand cercle 'menè par les 2 poles de la Terre, vous fcavez bien qu’il y fera midy en mefme temps qu’a Rome, et que s’il eft alors 2 heures apres midy en [fpahan, il le fera de mefme dans tout lieu qui eft avec cette ville dans un mefme grand cercle menè par les poles. Ce qui vous a embaraffè c’eft l’imagination confufe de la diftance de 90 degrez entre le meridien et l’horizon. Il n’y a que le point du meridien qu’on appelle le Zenith ou vertical, qui foit diftant de 90 degrez de l’horizon. Comme dans cette figure ou la ligne BC repre- fente l’horizon de Stockholm le cercle BAC fon meridien A le zenith. Ce point et nul autre au deffus de l’horizon en cft diftant de 90 degrez ce que vous ne pouvez ignorer, fi DF eft le tropique du cancer, ct le foleil en D au moment du midy, on ne peut pas dire qu’il foit eloigné de l’horizon de 90 degrez, mais feule- ment de l’arc DB. Et cependant il luy faudra defia 6 heures pour faire DH le quart du cercle DF; et 9 heures pour faire l’arc DE de ce mefme cercle, le fuppo- fant 3 de toute fa circonference. Er fi le foleil avoit pour tropique le cercle GC; il luy faudrait 12 heures pour aller du midy à l'horizon en C, ou de C en G. Je ne vous apprens rien Mr. mais feulement je vous fais reffouenir de ce que vous fcaviez et croiant avoir levè vos petits fcrupules je demeure avec-offre e toute ma mathematique. Monsieur &c. ré N° 2747. J. G. SreicerTHAL!) à CHRisTiAAN HuyGEns. 31 MARS 1692. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Chr. Huygens y répondit par le No. 2749. 31 Mars 1692. Illuftris & Generofe Domine #) Exuberans adeo Tuus nuper in me fuit affeétus, ut non modo fumma Tua benevolentia, fummoque favori, fed et munificentia, quam dono eruditiflimi cui libri*) oftendifti, prorfus fingulari perpetuo fim devinétus. Agnofco, quantum 1) Johannes Georg Steigerthal, docteur en médecine, en voyage dans les Pays-Bas, après avoir visité l'Angleterre. En 1688 il fut inscrit dans l’,, Album Studiosorum? de l’Université de Leiden comme ,,Nienburgensis aetatis 21° ?) Probablement le ,, Traité de la Lumière et Discouri de la cause de la Pesanteur”’. CORRESPONDANCE. 1692. 275 poffum, utramque animo quam gratiflimo & non nifi tenuitatis meae confcius, repono votum, quo diu & profpere fuperfis in Reipublica mathematica et cotius orbis eruditi emolumentum. Phofphori particulam, quam promifi, optime, uti fpero cum literis hifce tradet nauta. Affudi vini {piritum qui non modo diutius Noétilucam confervat, verum eam quoque temporis fucceffu, in loco calido praefertim, acquirit facultatem, ut in tenebris aqua affufus flammas concitet. Quod fi vero extempore ejufmodi fpiritum defideraveris, decerpe phofphori fruftulum illudque fuperfufo fpiritu vini in vitro admove candelae et excoque, brevique intervallo experieris fpiritum hunc aqua affufum in cenebris lucem fpargere. Nec te deterreant inter coquen- dum fuccedentes difplofiones et fonitus, quos granum phofphori edet; modo enim orificium phialae relinquatur apertum, ut efluviis et vaporibus detur exitus, ip- fumque vitrum in igne fenfim circumagatur, ne à flamma unam tantum ejus partem ambiente et adurente in rimam fatifcat, nullum aderit periculum ex ftrepitu. Inter vini fpiritus eligo vulgarem et non dephlegmatum, (ut loquuntur Chymici), qui nimirum reétificato vel tartarifato longe praeftat. Uci enim phofphorus concrevit ex oleo urinae et falibus, ita rectificatus et ab aqua fua liberatus fpiritus oleofam quidem fubftantiam aggredietur, falia vero, quorum menftruum aqua eft, quoque activitatem huic concreto concedunt, intaéta relinquet; unde pariter voto noftro nequaquam fatisfaciet. Quod fi forte temporis fucceffu, aeftu folis vel alius ignis calore, vel motu nimio, fpiritus fibi reliétus facultatem fuam deperdat; eadem injeéto phofphori granulo nova coétione reftituetur. Recens deinde et calidus majorem lucem fparget, quam frigefaétus cujus rationes funt in promptu, cum à motu, tum à tempore, quo quaedam phofphori particula icerum vel avolant vel fubfidunt. Figuram fextantis, ita ut à Domino Flamfted accepi, tranfmitto 3); defidero autem defcriptionem, quam in fchemate adjunéti charaéteres fatis indicant. For- taffis eandem aliquando cum reliquis, quae de motu Satellitum Jovis promictit divulgabit. Interea fi forte alia in re Illuftri Tuae Generofitati infervire potero, etiam hic loci, ubi per aliquot hebdomadas adhuc commorabor, quam lubentiflimac omnia exequar, quaecunque mandaveris. Hofpitis mei nomen inferta dabit Schedula +). Vale & Fave Illuftris Tuae Generofitatis Clienti humillimo J. G. STEIGERTHALIO. Amftelodami d.31. Mart 1692. 3) La figure a été renvoyée par Huygens. Voir la Lettre N°. 2749. 4) Cette adresse nous manque également. - 276 CORRESPONDANCE. 1692. 5) Addidi parumper Spiritus vini cum phofphoro coéti, ut ad oculum et quantitas Spiritus fuperfufi et phofphori fruftum pateant, fi forte minus accurate in literis modum conficiendi exprefli. Effufo hoc Spiritu, alias iterum affundatur in parva quantitate. Si n[empe] nimium affunditur coquendo vel Spiritus vel ipfe m. phofphorus exfilit. Soleo ventrem ipfius vitri fumo candelae prius denigrare antequam coquatur phofphorus, reperioque vitra ica melius vim ignis fuftinere. #) Refp. 9 apr. [Chriftiaan Huygens]. N° 2748. CuaristTiAAN Huycens à N. Fario DE DuiLLier. 5 AVRIL 1692. La lettre se trouve à Genève, Bibliothèque Publique. Le sommaire se trouve à Leiden, coll. Huygens *). La lettre est la réponse au No. 2745. Sommaire: Apr. 5 a Mr. Fatio. Vu avec Monros la Tour et inftrumens a Delft. ce qu’il y a. iroit a 300 fr. rien pour les Telefcopes. à Remercié des correétions du livre de Craige. faute en la 19 prop. Hartfoecker, que fa methode fera publiée dans les memoires de l’Acad. des Sciences a ce qu’il dit. des verres brulants de Tfchirnhaus au journal de Leipfich. Jan. 1692. je ne me haste pas de tout croire. Dioptrique de Molineux bonne, et ou il y a pourtant peu de ce que j’ay dans la miene, Jay confeillè qu’on la donnaft en Latin. Exhortè a faire publier le traitè de Newton de lineis curvis. offert fa methode a Leïbnits. j'attends refponfe. Ce qu’il y a de de Gennes dans la gazette.ce que j’en foupçonne. À la Haye ce 5 Avr. 1692. J'ay appris avec bien de la joye que voftre fantè s’eft confirmée entierement depuis que vous eftes à Londres, c’eft Mr. le Comte de Monros *) qui m’a apportè 5) Ce qui suit se trouve écrit, de la main de Steigerthal, sur une feuille séparée, qui accom- ; pagne la lettre. . : 1) Dansle livre H des Adversaria, dernière page. ?) Voir la Lettre N°. 2739, note 7. CORRESPONDANCE. 1692. 277 cette bonne nouvelle. Je fus hier avec luy a voir ce tour et inftrumens à Delft, dont vous luy aviez efcrit, et dont il m’a dit qu’il vous manderoit le detail. Il y a 2 ou 3 tours differents, tres bien et proprement faits, avec beaucoup d'outils qui en dependent, et quelques pieces d’ivoire non travaillee. De plus il y a un tour pour travailler aux petites lentilles des microfcopes fimples, et une infinicè de ces len- tilles avec des petites machines de cuivre pour les mettre en oeuvre et y approcher les objets, mais il n’y a point de formes pour les verres de Telefcopes. Tout celà peut avoir couftè plus de 1000 livres. La dame a qui il appartient parloit de 600, mais un tourneur francois qui y fut avec nous, nous fit entendre qu’on pourroit l'avoir pour 300. Je doute fi vous en aurez envie, puis qu’il n’y a point de ce qu’il faut pour des verres objectifs, car pour vous amufer a faire des ouvrages au tour, je ne fcaurois m’imaginer que vous y vouliez emploier le temps, le pouvant fi utilement a des chofes beaucoup meilleures. Mon frere de Zulichem m’a apportè 3) le petit Traité de Craige #) ou font vos corrections Monfieur, dont je vous rends trefhumbles graces. Je regrette que vous n’ayez pas tout exarminè de mefme jufqu’au bout, fur tout cette animadverfio contre Mons.r de Tchirnhaus 5), dans laquelle, autant que je puis voir, ila raifon. Il y a au refte quelque chofe de bon dans ce livre, quoyque par voftre methode des rangentes renverfée, et le Theoreme de Mr. Barrow ‘) j'en fceuffe la plus grande partie. Dans le Probl. 19, Cujufvis Figurae propofitae Quadratur as infinitas in- venire, il fe trompe. Eaedem enim quadraturae ifthic inveniuntur fed alijs atque 3) Constantyn Huygens était retourné à la Haye le 18 mars. 4) Voir la Lettre N°. 2725, note 3. 5) Il s’agit de l’,Animadversio In Methodum Figuras dimetiendi, A clarissimo Quodam Germano editam in Actis Eruditorum Lipsiae publicatis”, qui occupe les 7 dernières pages de l’ouvrage mentionné. Dans ces pages Craig démontre, à l’aide de quelques exemples, l'insuffisance manifeste de la ,Methodus Datae figurae, rectis lineis & Curva Geometrica terminatae, aut Quadraturam, aut impossibilitatem ejusdem Quadraturae determinandae”, exposée par von Tschirnhaus dans l’article cité dans la note ro de la Lettre N°. 2274. Von Tschirnhaus, dans la réponse longue et embarrassée que l’on rencontre dans les ,, Acta”? de mars 1686 sous le titre: ,Excerptum ex litteris D. T. Lipsiam missis, d. 20 Febr. anno 1686”, ne pouvant nier le bien fondé de cette critique, prétendait n’avoir voulu publier dans Particle cité qu’un échantillon d’une méthode plus générale qu’il possédait et qui menait au résultat annoncé. Craig répliqua à cette réponse dans l’avant-dernier chapitre: ,Responsio ad literas Domini D. T. Lipsiam Missas Feb. 20 1686” de l'ouvrage suivant: , Tractatus Mathematicus de Figurarum Curvilinearum Quadraturis et Locis Geometricis. Autore Johanne Craig. Londini: Prostant apud Sam. Smith & Benj. Walford, Societatis Regiae Typographos, ad Insignia Principis, in Coemeterio D. Pauli. MDcxcrt1. 5) Voir la Lettre N°. 2721, note 8. 278 CORRESPONDANCE. 1692. alijs modis, quorum fimplifimus folus fufficic?). Un Hollandais nommé Hart- foecker*) venant de Paris ou il s’eft retournè, m’a efté voir, er m’a dit que fa maniere de travailler aux verres des Telefcopes va paroitre imprimee dans les Mémoires de Mathematique et de Phyfique de l’Académie des Sciences ?), qu’un libraire des noftres copie a mefure qu’ils viennent de Paris, mais il n’y en a eu encore qu’un, ou il y a les Obfervations de Mr. Caflini des taches et nuages dans Jupiter ‘°). Il m’a mefme communiquè fa methode mais n’ayant apportè aucun objectif de fa façon, je fufpens mon jugement. Il dit pourtant qu’il en a fait de 155 pieds dont on fe fert à l’Obfervatoire, et qu’il m'en envoiera un de 40 pieds, que je luy ay demandè pour le-comparer avec les miens. Je ne fcay fi vous aurez vu le mois de Janv. du Journal de Leipfich, ou Mr. de Tfchirnhaus dit des merveilles de fes verres brulants de 2 pieds de diametre, qui convertiflent tout en verre; mefme l’or en verre de couleur de rubis, mais nous le 7) La méthode de Craig, exposée au lieu cité (p. 22 et 23 de l'ouvrage mentionné), consiste dans l'emploi d’un théorème de Barrow (ie théorème IV de l’appendicula de la Lectio geometrica XII, p. 128 de l'ouvrage de Barrow (ed. 1674), cité dans la note 14 de la Lettre N°. 1767), qui permet d'obtenir, par des considérations géométriques, un changement quelconque de la variable indépendante sous le signe de l'intégration, c’est-à-dire de remplacer /y 4x par 4 “ 4 L Î y + d3, où + représente une fonction quelconque de x définie au moyen d’une courbe auxiliaire donnée x—#f(x). Craig avait prétendu qu’on pouvait trouver de cette manière, pour une même aire, ,alia atque alia Quadratura, assumendo aliam atque aliam Curvam [auxiliarem J”. 8) Sur le personnage de Nicolaas Hartsoecker on peut consulter la note 1 de la Lettre N°.2117, la pièce N°. 2137 et les Lettres Nos. 2265, 2404, 2405, 2429, 2447, 2454 et 2534, 9) Les ,,Mémoires de Mathématique et de Physique tirez des registres de l’Académie des Sciences. Paris. Imprimerie royale” parurent en 1692 et 1693 par livraisons mensuelles en 2 volumes in-4°. Ils semblent être devenus très-rares, puisque Maindron, page 312 de son ouvrage l’, Académie des Sciences”, rapporte que la Bibliothèque nationale ne possède que l’un de ces volumes portant la date de 1692. Une réimpression de l’édition d'Amsterdam a été publiée en 1723 sous le titre: Mémoires de Mathématique et de Physique. Année mpcxc11 (Année mpcxcin). Tirez des Registres de l’Académie Royale des Sciences. Nouvelle Edition où l’on a joint les Obser- vations Physiques & Mathématiques, envoyées des Indes et de la Chine à l’Académie des Sciences par les Peres Jesuites. Avec les Reflexions de Mrs. de l’Academie et les Notes du P. Gooye. A Amsterdam, chez Pierre de Coup, Marchand Libraire dans le Kalverstraat. MDCCXxIII, 2 volumes petit in-8°. Cette collection ne renferme rien de Hartsoeker. 1°) L'article de Cassini porte le titre: Nouvelles Decouvertes de diverses Periodes de mouvement dans la Planete de Jupiter, depuis le mois de Janvier 1691, jusqu’au commencement de l’année présente 1692, par M. Cassini. CORRESPONDANCE. 1692. 279 connoiffons, ce qui fait que je ne me hafte pas a croire tout ce qu’il raconte **). Un jeune homme Allemand **) nouvellement venu d'Angleterre m’a prefté la Dioptrica nova de Mr. Molineux 3) que fans-doute vous aurez vue. Je trouve qu’il explique mieux les effects des Telefcopes que jufqu’icy perfonne n’a fait. Au refte il y a peu de ce que contient mon Traitè fur cette matiere. Il a offert a un libraire de Rotterdam de luy envoier la mefme dioptrique traduite en Latin, s’il veut l’imprimer; ce que je luy ay confeillè d’accepter. Vous me faites de plus en plus envie, pour ce curieux Traitè de Mr. Newton de Lineis Curvis. Eftant achevè, et fort court, comment peut il s’excufer de ne le point publier fur l’embaras de l’impreffion ? Ou bien vous Monfieur, que ne luy offrez vous voftre fecours, puis que vous l’avez bien voulu dans un ouvrage de beaucoup plus longue haleine ‘#). Vous obligeriez le public et moy en par- ticulier. Dans ma derniere lettre a Mr. Leibnitz 5) je luy ay offert de luy expliquer voitre methode s’il le fouhaitait (car j’ay voulu qu’il avouaft de ne la point fçavoir) mais j’atens encore fa reponfe, Mons.r de Monros me dit hier d’avoir vu dans nos gazettes que Mr. de Genes ‘*) eft apres a conftruire un vaiffeau à deux gouvernails, ce qui fait con- noitre qu'il eft au fervice de la France, et qu’il a perdu animum revertendi, de quoy Mr. de Monros eftoit jufqu’icy en doute. S'il eft vray ce qu’on foupçonne, que cet homme fe {oit laiffé prendre expres, c’eft un franc fcelerat. Pour moy je crois qu’il a voulu voir s’il amenderoit fa fortune en fe jettant de noftre parti, et que pour cela il eft venu icy devant que faire paffer fa femme et enfans, mais qu'ayant jugè qu’il n’y trouveroit pas affez fon compte, il a eftè d’avis de refter 1) On ne rencontre aucun article de cette portée dans les , Acta” de janvier 1692, mais il s’agit évidemment de l’article de von Tschirnhaus qui parut dans les , Acta” de novembre 1691 sous le titre: ,Singularia effecta vitri caustici bipedalis, quod omnia magno sumtu hactenus constructa specula ustoria virtute superat”. 72) Probablement J. G. Steigerthal; voir la Lettre N°. 2747. 13) Voir la Lettre N°. 2739, note 11. 4) Sur la proposition, faite par Fatio, de préparer une nouvelle édition des ,,Principia”, con- sultez la Lettre N°. 2723. : 75) Voir la Lettre N°. 2744. 16) Voir, sur de Genes, la Lettre N°. 2739, note 10. Sur son invention on lit ce qui suit dans le Mercure historique et politique pour le mois d’avril 1692” p.414: , M. de Genes, Capitaine de vaisseaux fait construire à Brest un Batiment de nouvelle invention, qui aura un Gouver- nail à la Proûe & un autre à la Poupe, pour n’être pas obligé de revirer, il ira à rames dans le calme & portera des Canons de cent livres, de quatre vints & de soixante-six avec des Mortiers.” 280 CORRESPONDANCE. 1692. ou il eftoit. J’efpere au refte que le malheur qu’a eu le bon Mr. de Monros luy tiendra cy après lieu de merite. Je vous baife les mains et fuis de tout mon coeur MONSIEUR Voftre tres humble et tres obeïflant feruiteur £ HUGENS DE ZULICHEM. Ne fait on rien du verre de mon Frere?’7) Il devoit en avoir montré la bonrè au mail aux flambeaux devant que de le mettre entre les mains du Sr. Hooke. 18) Mr. Hugens à la Haye 5 Avr. 1692. À. N. F. à Londres. Sur le retabliffement de ma fanté. Sur le Tour et Inftrumens que je voulais acheter. Il les fpécifie, avec l’eftime du prix, et dit que je peux mieux emploier mon tems qu’à tourner. Il a reçu le Traité de Craige avec mes Corrections. Ce qu'il en penfe. Des objectifs que fait Hartfoeker. On s’en fert à l’Obfervatoire. Verres brulans de Mr. de Tfchirnhaus. Sur la Dioptrica Nova de Molineux. Il demande fort qu’on imprime le Traité des Lignes Courbes de Mr. Newton. Il a offert d'expliquer ma methode à Mr. Leïbnirz, s’il le fouhaitait, voulant qu’il avouat ne la point fçavoir. Il attend encore fa reponfe. Sur Mr. de Genes et le Comte de Monros. 17) Voir les Lettres Nos. 2725, 2729 et 2731. 18) Résumé de la lettre, écrite de la main de Fatio. CORRESPONDANCE. 1692. 281 N° 2749. CHRISTIAAN HuyGEns à J. G. STEIGERTHAL. 9 AVRIL 1692. Le sommaire se trouve à Leiden, coll. Huygens. La lettre est la réponse au No. 2747. J. G. Steigerthal y répondit par le No. 2750. 9 April 1692. Sommaire: 9 Apr. ad Steigerthalium med. D. qui Phofphorum miferat. Dioptricam Molinefj remitto et figuram Sextantis Flamftedij. qui orandus ut de Jovialium motu quae fcripfit edat. Dioptrica Roterodami latine verfa edetur *). N° 2750. J. G. STEIGERTHAL à CHRISTIAAN HuyGEns. 11 AVRIL 1692. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle est la réponse au No. 2749. Illuftri & Generofo Domino Dno Cr. HUGENIO ZULECHEMIO Maecenati fuo pl|urimum}] colendo JoAN STEIGERTHALIUS Salutum et Obfequia. 11 April. 1692. Diutius ufui Tuo deftinaram librum Molineuxii, qui hefterna luce optime mihi redditus eft, ut eundem licet biblipolae Roterd. tradidifles, pofthac mature fatis ad me perventum dijudicaffem. De felici experimentorum fucceflu, quae cum phofphoro inftituifti & mihi gratulor, qui verebar, ne forte à me negletum eorundem optatum eventum dene- gaflet; vel minima enim circumftantia non confiderata quandoque effecit, ut diutina etiam phofphori inter chartam complicatam friétio me delufferit, invene- rimque interdiu tantillum aquae, qua phofphorus madebat, impedimento fuiffe. Jam itaque libentius eundem in vini fpiritu, quam aqua confervo, extraétumque 7) Ce vœu de Huygens n’a pas été rempli. Œuvres. T. X. 36 282 CORRESPONDANCE. 1692. digitis parumper tero & dein chartae complicatae interpofitum eboreo fcalpelli manubrio perfrico, ut in ignem luculentum abeat. Quod fi forte à glutinofitate ejus accidat, ut charta duplicata nimium cohaerens aërem excludat, illi inter fricandum explicata nonnihil charta, folioque fuperiori diduéto ingreffum concedo liberum. De natura hujus lucis altum apud omnes quidem eft filentium, quoufque tamen & modus conficiendi et nonnullorum experimentorum apparatus ad rudem aliquam cognitionem hujus luminis me deduxerit, paucis judicio et examini Tuo nunc fubjiciam : Ex pluribus encheirefibus, quas in confeétione phofphori ex urina collegi, has facile principes effe judico. ut fcilicet oleum urinae foetidum follicite confervetur et Salium jufta adfit proportio*). His enim negle@is et operam & oleum perdidiffe Chymicos intellexi. Ut proinde exiftimem oleo huic et falibus”) phofphorum potiffimum admirandos fuos debere effeétus. Quoniam enim oleofa, experientia cefte à certo motu accelerato ignem concipiunt, reputavi Salia aétione inteftina <) oleum urinae accendere & fumum illum qui interdiu obfervatur, non nifi effluvia effe ita deflagrantia, ut ob diffufas nimium ignis particulas non exurant. Atque hoc ipfum eo magis verifimile videtur, quod fruftum ejus in aëre aperto relié&tum temporis fucceflu cruftâ obducatur, omnis lucis experte, quâ decorticatâ lumen in tenebris redit; manifefto ut puto indicio: exteriora deflagraffe, oleoque confumto terram hanc inftar cinerum fuiffe reliétam. Quod vero oleum à motu et aétione Salium inflammatur, experimentum Illuftr. Boyleri evincit, qui novit ex confufione Spiritus acidi cum oleo caryophyllorum ignem producere 4). Utut autem in phof- phoro Salia oleo involuta et nonnihil disjunéta non ita effervefcant ut in priori experimento; efuvia tamen eorum olei particulas fimul exhalantes ita incendunt ut phofphorus totus compareat lucidus. Rerinere enim effluvia corporum fuorum virtutes ex quibus promanant, vel ex eo conftabit, quod eflluvia Spiritus falis ammoniaci & Spiritus nitri recenter deftillati conjunéta ad oculum in fe invicem agant et fumum excitent, cum ipfi liquores confufi vehementer effervefcant. Ex hifce ita praefuppofitis facile deduci poteft; quod in phofphoro pariiculae oleofae jam tam à falibus ad fui deflagrationem difpofitae accidente motu vel friétione penitus confumantur; quod phofphorus in fpiritu vini folutus vel ejufdem effluvia ubi aquam attingunt, à Spiricu eodem (qui facile cum phlegmate conjungitur) fibi reliéta fubico deflagrent. Quaedam tamen ab aqua ita fubigantur ne luceant. Extinétum ita ab aqua phofphorum quandoque refocillavi. Affumf duos fcyphos vitreos parva aquae quantitate repletos et in utrumque inftillavi Spiritum phofphoro impragnatum, ut deflagret. Dein concuflione et effufione aquae hujus ex uno fcypho in alterum, diu adhuc fcintillas emicantes animadverti. De die aqua haec albicans et turbida confpiciebatur, veluti alias aqua oleo commixta mediante facedaro turbatur. Quod ipfum paricer, nifi aliunde notum effet, argumento effe poterit, phofphoro ineffe oleum. Sed nimius forte fum in chymicis hifce experimentis recenfendis. Quam opta- CORRESPONDANCE. 1692. . 283 rem, ut mathematice effervefcentia illa dignofcerentur et ex particularum figuris certo demonftrari poffent; quantum ardorem effluvia haec excitarent fui, fi mentis acie exacte cernerentur. Verum haétenus ratione chymica me confolor, quae quidem ad hoc fuficit, ut phofphorum ex aliis animalium partibus ex fanguine, cerebro et fimilibus conficere addifcamus & ne promifcue ex quavis re lumen hoc nobifmet promittamus. Vale. Dabam Amitelod. 11. April. 1692. #) anne igitur jufta illa falis portio in urina non invenitur? [Chriftiaan Huygens]. 5) Cur oleum in candente cucurbita non comburitur ? An quia aer eo non accedit ? CChriftiaan Huygens]. ‘) et a materiae fubtilis motu adjuta aut emota [Chriftiaan Huygens]. #) aliam miftionem vide in Epift. Fatij ‘) [Chriftiaan Huygens]. o N° 2751. G. W. LeiBniz à CHRISTIAAN HuyGEns. 11 AVRIL 1692. La lettre se trouve à Leiden, coll. QE Elle à été publiée par P. J. Uylenbrok*) et C. I. Gerhardt*). Elle est la réponse au No. 2744. Chr. Huygens y répondit par le No. 2759. MoNSIEUR J'efpere que vous ferés parfaitement remis de l’incommodité dont parloit voftre precedente, et je vous fouhaite une fanté ferme afin que vous puifliez achever les belles meditations que vous avés. Je continueray tousjours de vous exhorter à 1) Voir la Lettre N°. 2582, à la page 411. :) Chr. Hugeniietc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, p. 126. ?) Leibnizens Mathematische Schriften, Band IL, p. 133, et Briefwechsel p. 692. 284 CORRESPONDANCE. 1692. courner vos meditations fur la Phyfique. Je crois d’avo que vos derniers traités m’ont plû infiniment. Cette ex lande eft comme une epreuve de la jufteffe de vos raifonnêr avoit une feule circonftance fur la quelle vous ne vous a mais peut-eftre qu’elle aura efté éclaircie depuis. ‘ Il y a bien de l’apparence que la pefanteur vient de la la terre ronde, et qui arrondit les gouttes, c’eft à dire du mouvem: l’ambient en tout fens. Et c’eft apparemment auffi la raïfon de ï Planetes vers le Soleil, cout comme les Planetes gardent une certaine direc magnetique à l’exemple de celle qui fe voit en terre. Si nous concevons Pattraét des corps pefans, comme par des rayons emanans du centre, nous pouvons X pliquer pourquoy les pefanteurs des Planetes font en raifon doublée reciproqu de leur diftance du Soleil, ce qui fe confirme par les phenomenes. Cett pefanteur jointe avec la trajeétion de M. Neuton, ou avec ma circulatio: nique +), donne les ellipfes de Kepler confirmées par les phenomenes. manifefte qu’un corps eft illuminé par un point lumineux en raifon doublée reci- proque des diftances. Je crois qu’encor felon cette maniere d'expliquer la pefan- teur, par la force centrifuge d’un fluide tres fubtil, on peut concevoir comme des rayons d’attraction, Ces efforts du fluide n’eftant autre chofe en effet, que detels rayons qui font defcendre les corps dont le mouvement circulaire eftmoinsrapide. 11 femble outre cela qu’une maniere de Tourbillon eft neceffaire dans le cielpour expliquer les parallelifmes des Axes, à quoy le mouvement fpherique en tout fens ne fcauroit fuffire, il faut des poles et des meridiens. Enfin la correfpondance qu'il y a des planetes ou fatellites d’un'même fyfteme eft favorable à une matiere liquide deferante commune. Mons. Ofannam a mis dans fon diétionnaire Mathematique une hypothefe de Mr. Caflini, qui, au lieu des Ellipfes de Kepler, conçoit des figures Ellipfoides, où le rectangle des droites menées des deux foyers aux extre- mités eft égal à un reétangle donné 5). Je ne fcay s’il en donnera quelque raifon phyfique. En attendant je trouve les Ellipfes de Kepler fort à mon gré, puis qu’elles s’accordent fi bien avec la Mecanique, et peut-eftre que les aberrations 3) Allusion à une phrase de la page 88 du , Traité de la Lumière” relative aux phénomènes de polarisation observées par Huygens, et que nousavons reproduite dans la note 4 de la Lettre N°. 2640. 4) Voir, sur ce sujet, les notes 8 et 10 de la Lettre N°.2561 et la Lettre N°.2628 aux pages 523 et 524. S) Voir les pages 436—438 de l'ouvrage cité dans la note 8 de la Lettre N°. 2616, où Ozanam sans s’amuser — comme il s'exprime — à parler d’autres hypothèses que l’on trouve dans les livres, explique celle de Monsieur Cassini, telle qu’il l’avait apprise dans sa conver- sation. : in. CORRESPONDANCE. 1692. 285 Planetes entre elles et du pat art fluide je ités de la matiere. ! uw de Mr. Eifénfchiid: ef ei once on ne voit fon hypothefe. Le temps decidera les chofes à quoy vos eaucoup. C’eft une chofe: plaifante que des gens, comme me fon eleve où amy, qui a faieifa SEEN à la fout t de la creance... nT . rfuadée par ion PSE terres de la couronne de it avoit fait donner une fomme tres confiderable au pre- ables, qui devoient ee le ciel et la terre et perfection- ronologie, le tout fur les fondemens de l’Ecriture Sainte he" FT US que Mr. Tfchirnhaus ait anse la veritable s. Il eft vray que ce qu’il en a publié fuivant les veues dès Paris peut fervir. Mais il ne fuffit pas, et on s'engage fi ce n’eft qu’on ait certaines tables routes faites. Je croy : d’une fois), qué ce n’eft pas par cette voye que j’ay fes. J’en ay une autre, qui me paroïft la plus veritable donne alternativement la folution par la Geometrie ordi- Cercle ou à l'Hyperbole, je ne l’ay pas encor pouflée au is il ne tient qu’à moy de le-faire. Je feray bien aife de fcavoir avec voftre permiflion, quel eftce petit livre qui contient des tables des Quadraures. Je poumpis faire de telles re mais je n'ay jamais Aus la peine d'en faire. JeéaisobhgéMacBacio ot m'affire Methode jé Tañgenres, mais croyant d'en fcavoir à peu près le,fonds, je ne voudrois pas luy donner de la peine. Je fouhaitte une Methode plus abfolue en cette matiere, qui donnât encor la _ reduétion lors que la courbe eft tranfcendente, et j’en ay des commencemens. Je n’ay pas de la peine à croire que Mr. Neuton eft allé bien loin en ces matieres. Mais comme chacun a fes voyes, j’en . peut-eftre dont il ne s’eft don encor avifé. Je m’imagine que les obje&tions que Mr. Papin vous avoit envoyées auront _efté fur la pefanteur. J’efpere que voftre Dioptrique paroiftra bientoft. Vous aviés la penfée de mettre quelque chofe de Mufique dans les Aétes de Leipfich?). En ce cas il ne feroit peut-eftre pas mauvais d’expliquer comment le tem- trscgné a efté trouvé, ” Ven vous. soucis dans l'Hiftoire des A 2 des . #il 2 fi so LES pédE HAETEÉS ES to Jerb:etiine toast “3 dés it aèb shoplsup 5) Noir la Lettre N°. 2639 à la page 558, N°.2659 (p. 13) et N°. 2727 (p. 226). 7) Voir la Lettre N°. 2726, vers la fin. 284 __ CORRESPONDANCE. 1692. tourner vos meditations fur la Phyfique. Je crois d’avo que vos derniers traités m'ont plû infiniment. Cette ex lande eft comme une epreuve de la jufteffe de vos raifonné avoit une feule circonftance fur la quelle vous ne vous a mais peut-eftre qu’elle aura efté éclaircie depuis. Il y a bien de l'apparence que la pefanteur vient de la la terre ronde, et qui arrondit les gouttes, c’eft à dire du m l’ambient en tout fens. Et c’eft apparemment aufli lar Planetes vers le Soleil, tout comme les Planetes garden magnetique à l'exemple de celle qui fe voit en terre. Sinot des corps pefans, comme par des rayons emanans du pliquer pourquoy les pefanteurs des Planetes font en rai de leur diftance du Soleil, ce qui fe confirme par les phen pefanteur j jointe avec la crajeétion de M. Neuton, ou ave nique +), donne les ellipfes de Kepler confirmées par le manifefte qu’un corps eft illuminé par un point lumineux proque des diftances. Je crois qu’encor felon cette manie teur, par la force centrifuge d’un fluide tres fubtil, on pe rayons d'attraction. Ces efforts du fluide n’eftant autre chc rayons qui font defcendre les corps dont le mouvement cir Il femble outre cela qu’une maniere de Tourbillon eft ned expliquer les parallelifmes des Axes, à quoy le mouvement fpherique en tout fens ne fcauroit fuffire, il faut des poles et des meridiens. Enfin la correfpondance qu’il y a des planetes ou fatellites d’un même fyfteme eft favorable à une matiere liquide deferante commune. Mons. Ofannam a mis dans fon diétionnaire Mathematique e. une hypothefe de Mr. Cafini, qui, au lieu des Ellipfes de Kepler, conçoit des 3 figures Ellipfoides, où le reétangle des droites menées des deux foyers aux extre- k mités eft égal à un rectangle donné 5). Je ne fcay s’il en donnera quelque raifon phyfique. En attendant je trouve les Ellipfes de Kepler fort à mon gré, puis qu’elles s’accordent fi bien avec la Mecanique, et peut-eftre que les aberrations gi L op Sr} s SSL En à Sp 1,0) 23») ; 3) Allusion à une phrase de la page 88 du ,, Traité de la Lumière” rustesliolian IE ; polarisation observées par Huygens, et que nousavons reproduite dans la note 4 de la ee À N°. 2640. 4 4) Voir, sur ce sujet, les notes 8 et 10 de la Lettre N°.2561 et la Lettre N°. 2628 gux pages 523 et 524. S) Voir les pages 436—438 de l'ouvrage cité dans la note 8 de la Lettre N°. 2616, où Ozanam sans s’amuser — comme il s'exprime — à parler d’autres hypothèses que l’on trouve dans les livres, explique celle de Monsieur Cassini, telle ne lavait sr vhrte dans sa eunver sation. k CORRESPONDANCE. 1692: 285 Planetes entre elles et du mouvement du fluide deferant, ités de la matiere. ement de Mr, Eifenfchmid eft mal affuré et on ne voit fon hypothefe. Le temps decidera les chofes à quoy vos peaucoup. C’eft une chofe plaifante que-des gens, comme nme fon eleve où amy, qui a fait fa propofition à la Com- nt de la creance. hriftine perfuadée par l’Adminiftrateur des terres de la couronne de e, le jouiffoit avoit fait donner une fomme tres confiderable au pre- pour ever fes rables, qui devoient regler le ciel et la terre et perfeétion- \ftronomie et la Chronologie, le tout fur les fondemens de l’Ecriture Sainte matqumen expliquée. Il s’en M: A faut beaucoup fans doute que Mr. Tfchirnhaus ait donné la veritable merhode des quadratures. Il eft vray que ce qu’il en a publié fuivant les veues dont je luy avoïs fait part dès Paris peut fervir. Mais il ne fuffit pas, et on s'engage dans des calculs horribles fi ce n’eft qu’on ait certaines tables routes faites. Je croy dewous-avoir marqué-plus d’une fois®), que ce n’eft pas par cette voye que j’ay _ coutume detrouver leschofes. J’en ay une autre, qui me paroiïft la plus veritable et la plus naturelle; elle donne alternativement la folution par la Geometrie ordi- maire, où la reduétion au Cercle ou à l’'Hyperbole, je ne l’ay pas encor pouflée au delade certainslimites, mais il ne tientqu’à moy de le faire. Je feray bien aife de fcavoir avec voitre permiflion, quel eftce perit livre qui contient des tables des Quadratures. Je pourrois faire de telles tables, mais je n’ay jamais pris la peine d’en faire. - \ … Je fuisobligéà Mr: Facio qui m’offre fa Methode des Tangentes, mais croyant d’en fcavoir à peu près.le,fonds, je ne voudrois pas luy donner de la peine. Je fouhaitte une Methode plus abfolue en cetté matiere, qui donnât encor la reduction lors que la courbe eft tranfcendente, et j’en ay des commencemens. Je n’ay pas de la peine à croire que Mr. Neuton eft allé bien loin en ces matieres. Mais comme chacun a fes voyes, j’en ay peut-eftre dont il ne s’eft pas encor avifé. Je m’imagine que les objections que Mr. Papin vous avoit envoyées auront efté fur la pefanteur. J’efpere que voftre Dioptrique paroïftra bientoft. Vous aviés la penfée de mettre quelque chofe de Mufique dans les Aëtes de Leipfich?). En ce cas il ne feroit peut-eftre pas mauvais d’expliquer comment le tem- perament a efté trouvé, ce que vous touchés dans l'Hiftoire des ouvrages des 5) Noir la Lettre N°. 2639 à la page 558, N°. 2659 (p. 13) et N°. 2727 (p. 226). 7) Voir la Lettre N°. 2726, vers la fin. 286 CORRESPONDANCE. 1692. Sçavans. [Il y a long temps que Mr. Ouvrard *) nous fait efperer la Mufique. J’ay vû des memoires de Phyfique et de Mathematique de l’Academie de Paris reimprimés en Hollande’). C’eft fort bien fait que cela, et j’efpere que de temps en temps il s’y trouvera quelque chofe de bon. Le premier effai ne paroift pas des plus confiderables. On rencontre quelques fois des queftions extraor- dinaires et d’une analyfe particuliere. En voicy une qui s’offrit il n’y a pas long temps. Trouver une grandeur, tellement formée des grandeurs 4, 4, c, d, que € , . 4 —4 . » lors qu’on pofe 4 — b, elle foit égale à Se ad” Mais, lors qu’on pofe c = 4, À a—b ais elle foit — ÆRRE Cette grandeur ne fe trouve pas difficilement en effayant, ac — bd RE M , j et on voit aifement que +0) G+ D y fatisfait, mais je me mis à chercher comment de tels problemes pourroient eftre refolus conftamment par une methode reglée. Relifane dernierement voftre explication de la pefanteur, j’ay remarqué que vous eftes pour le Vuide et pour les Atomes **). J'avoue que j’ay de la peineà comprendre la raifon d’une telle infrangibilité, et je croy que pour-cet effet il faudroit avoir recours à une efpece de miracle perpetuel. Je ne voy pas aufli de neceflité qui nous oblige à recourir à des chofes fi extraordinaires. Cependant puifque vous avés du penchant à les approuver, il faut bien vs vous en voyiés quelque raifon confiderable. Je fuis avec zele MOoNSIEUR ‘ Voître tres humble et tres ébetffane feruiteur LErBNrz. | 93 Hanover Te d’Auril 1692. 5) René Ouvrard, né à Chinon le 16 juin 1624, maître de chapelle à Paris, puis chanoine de Saiñit-Gratien de Tours. Il publia en 1660 un ouvrage sur la composition en musique, quelques ouvrages sur des matières théologiques et autres, desquels le dernier parut en 1682. Il mourut en 1694. 9) Voir la Lettre N°. 2748, note 9. 19) Consultez, par exemple, le passage du ,, Discours de la cause de la Pesanteur”, que nous avons cité dans la Lettre N°. 2595, note 5. CORRESPONDANCE. 1692. 287 | N° 27592: CHRISTIAAN Hnvtanss à N. Fario pe DuiiLier. 2 MAI 1692. La lettre se trouve à Genève, Bibliothèque royale. Le sommaire se trouve à Leiden, coll. Huygens. La lettre fait suite au! No. 12748; Sommaire: *) 2 Maj. à Mr. Fatio avec-la Îéttre de Mr. Dierquens. Je voudrois que cette vocation a Amfterdam puft reuflir. Je le prie de s'informer de la matiere de verre blanc qu’on fait a la Savoie a Londres. par ce qu’il feroit excellent pour des verres brulants. Leïbnitz ne fouhaite pas d’apprendre fa regle. A-la Haye ce 2 May 1692. MONSIEUR Je vous ay efcrit affez au long du 5 avril, a laquelle lettre j’attens encore voftre refponfe. Celle cy n’eft que pour vous faire tenir l’enclofe que Monfieur Dier- quens*) m’a recommandée. Il m'a communiquè fur quoy il vous efcrit, et je voudrois bien que la chofe puit reuflir, eftant preft d’y contribuer autant que je pourray. Vous devez examiner fi un tel employ feroit votre fait et fi vous avez St de fantè pour cela, de quoy je ne doute guere, depuisque Mons. du Quefne 3) "à dit que vous vous eftiez entierement rémis en Angleterre. Il n’a pas achetè ai vous lé cabiner qui eftoit à Delft, pour les raifons qu’il vous aura mandées. Nous n’avons pas encore vu icy ces feconds Memoires de l’Academie de Paris#), .Où je vous avois mandè que feroit inferè la Méthode Mr. Hartfoeker pour les grands verres des Telefcopes. Mons. Leibnitz m’a refpondu 5) que je ne priffe point la peine de luy expliquer voftre invention pour le Probleme renverfè des Tangentes, croiant la pouvoir trouver par les moiens qui luy font connus. Vous voila egalement eloignez de vouloir rien apprendre l’un de l’autre, qui eft une delicateffe que je n’ay point, ainfi qu’il a paru; car j’ay efté bien aife d’apprendre de tous les deux. Jay vu icy de groffes pieces d’un verre tres blanc qu’on fait à Londres dans le Savoy, cette matiere feroit excellente pour faire de ces verres bruflants comme je vous ay efcrit qu’en fait Mons. de Tfchirnhaus, fi on en pouvoit avoir de groffes mafles de 2 pieds de large et z pied d’epeffeur. C’eft pourquoy je vous prie Mon- 1) Ce sommaire est tiré de la dernière page du livre H des Adversaria. 2) Voir, sur Dierquens, la Lettre N°. 2094, note 1. 3) Voir, sur du Quesne, la Lettre N°. 2748... +) Voir la Lettre N°. 2748, note 9. 5) Voir la Lettre N°.2751. 288 CORRESPONDANCE. 1692. fieur de prendre la peine de vous en informer. Je crois que ces morceaux convexes que j’ay vu, fervent aux lanternes, et qu’ils y font emploiez fans eftre autrement formez ni polis, que dans les moules creux ou ils jettent le verre fondu. Je vous baife les mains et fuis parfaitement MONSIEUR Voître tres humble et tres obeiffant ferviteur HuGENS DE ZULICHEM. A Monfieur Monfieur FATio DE DuILLIERS chez Monsr. TouRTON et Compagnie A Londres. Le Mr. Hugens la Haye 2 May 1692. À. N.F. à Londres. Il m'envoie Lettre de Mr. Dierquens qui me propofe la Profeffion des Mache- matiques dans l’Ecole Illuftre d’Amfterdam, et m’en dit fon fentiment. Le Cabinet de Tourneur n’a pas été acheré pour moi. Mr. Leibnitz-ne veut pas que Mr. Hugens: lui explique mon Invention phare problème renverfé des Tangentes croiant le pouvoir trouver. Sur notre Eloigne- ment de vouloir apprendre l’un de l’autre; mais que lui a été bien aife >Al'apprensse de tous les deux. Que j'aie à m’informer des Maffes de verre blanc qu’on pourroit Éaiei faire à la Savoye pour des verres brulans, à en juger par leurs verres pour des Lanternes. f 5) Ce qui suit est écrit de la main de Fatio. CORRESPONDANCE. 1692. 289 o N° 2753. ConNsTANTYN HuyGEns, frère, à CHRisTIAAN HuyGEns. 2 JUIN 1692. La lettre et la copie se trouvent à Leiden, coll. Huygens. Au Camp proche de Louvain ce 2.de Juin 1692. Je n’ay pas encore repondu à voftre derniere du 22e de May *) quoy que le contenu m’ait fort resjoui. Voyant que vous temoignez quelque deffein d’effayer la maniere de Newton laquelle reufliffant feroit une des belles chofes dont on a ouy parler jufques a prefent. Je fuis bien fafché de ne pouvoir pas vous aflifter et prefter la main. Ce feroit un grand dommage qu’ayant trouvé la Theorie de cette methode vous n’en viendriez pas a en faire l’effay et la mettre en pratique ?). J'attends avec impatience que vous me mandiez encore quelque chofe de la maniere de Hartfoecker 3) et du grand verre bruflant d’Amfterdam. Mais a propos de manieres je n’efpere pas que vous voudriez penfer a rendre publique noftre ou pluftoft voftre methode de faire les grands verres et de rendre commune une fi belle chofe qui pourroit donner a manger a qui n’auroit autre chofe au monde. Peu de gens vous en fcauront du gré et il viendra de la canaille qui diront qu’ils ont eu l’invention devant vous ainfy qu’il vous eft arrivé a l’egard de celle des Pendules. Je fuis fort en peine de trouver un homme capable pour le mettre en qualité de Precepteur avec mon Fils#) au lieu de Keyfer qui eft un flafque, maladif et mal propre pour cet employ; outre qu’il eft bien dificile qu’un homme feul puiffe fervir à deux garçons dont l’un à bon befoin d’en avoir un luy feul. J’efcris donc 1) Cette lettre nous est inconnue. Selon le Journal de Constantijn, elle avait été reçue le 1er juin. 2) D’après les Livres G et H des Adversaria, Huygens a repris en mai 1692 des recherches qui avaient pour but de remplacer, dans le télescope catoptrique de Newton, le miroir concave métallique par un miroir en verre, et de déterminer à cet effet la relation qui doit exister entre les rayons de courbure 4 et des deux surfaces réfléchissantes pour que les deux rayons réfléchis rencontrent l’axe au même point. En 1691, ayant trouvé 7—4<+ 13/9 b, où b est l’épaisseur du verre, la remarque que les deux images présenteraient des grandeurs différentes lui a fait abandonner ce sujet. Mais, le 5 mai 1692. Huygens s’est aperçu que les images, malgré cela, pourraient encore se couvrir sur la rétine. Il a donc repris ses calculs, au sujet desquels nous devons renvoyer aux ouvrages inédits, qui suivront la correspondance. 3) Voir la Lettre N°. 2748, à la page 278. Selon deux notes de Huygens, que nous trouvons dans le livre H des Adversaria, Hartsoeker avait promis d’envoyer de France les verres sui- vants: 4 de 10 p. d’une épaisseur de 1o lignes, 6 de 8 p. épaisseur 8 1.,6 de 6, 8 de 5 et de 4 p., tous de 6 lignes d’épaisseur, et 2 de 10 p. en quarré et d’une épaisseur de 4 lignes. 4) Constantyn, le fils unique de Constantyn frère, avait alors 18 ans, Œuvres. T. X. 37 290 CORRESPONDANCE. 1692. à Mr. Carrés) noftre vieille connoiffance [pour] fcavoir s’il ne connoift pas 3 7 . . quelque Refugié ou autre propre pour cette affaire, Ma femme vous montrera ma lettre, et je vous prie de luy èn parler. Ce matin a 3 heures eft venue icy la bonne nouvelle de la defaite de la Flotte de France que vous aurez eue ou pluftoft ou le mefme temps). Il nous tarde bien d’en apprendre les fuittes, car le maiftre des Poftes d’Oftende mande au Roy que quelque temps apres le combat, auquel un brouillard furvenu mit fin, on avoit encor ouy tirer de nouveau et tres fort. Nos gens ont eu le grand bonheur que comme ils fuffent attaqués par les enemys peu de temps apres le vent changea et devint favorable pour nous. Mijn Heer Min Heer HuycEns Heere vAN ZEELHEM Haghe. - N° 2754. CHRisTiAAN HuyGens à W. MaATTHIJsEN. 6 JUIN 1692. Le sommaire se trouve à Leiden, coll. Huygens. Sommaire: 6 jun. 92. Willem Matthijfle *). Gijfbert Janfz. met de Nominatie *) waerop van Holte, Baggine, vel Bacchine, Bob. - D ÿ Probablement Jean Carré, venu de France, depuis 1646 pasteur à la Haye. Le 28 janvier 1696 il célébra son ministère de cinquante ans. Il mourut le 12 mai 1697 dans l’âge de 77 à 8 ans. La bataille navale du 29 mai 1692, près la Hogue. Louis XIV avait fait réunir à Toulon 35 et à Brest 44 vaisseaux de ligne, destinés à accompagner 300 bateaux, transportant une armée de débarquement rassemblée en Normandie pour tenter une descente en Angleterre, afin de rétablir James II sur le trône. La flotte de Toulon n’ayant pu, par suite d’une tempête essuyée près de Gibraltar, se réunir avec celle de Brest, commandée par de Tourville, le Roi, dans l'espoir que la flotte néerlandaise sous van Almonde, et la flotte anglaise, sous Russel, n'avaient pu se réunir non plus, et que les Anglais, parmi lesquels se trouvaient plusieurs partisans de James II, n'agiraient que mollement ou pas du tout, ordonna à de Tourville de sortir de Brest et d’attaquer. Cette attente fut trompée. De Tourville eut à lutter contre des forces presque doubles des siennes. Il fut complètement battu, sa flotte poursuivie et brûlée près de Cherbourg et dans la baie de la Hogue. ) Willem Matthysse était intendant à Zuylichem. Il s’agit de la nomination d’un pasteur protestant à Zuylichem. Voir la Lettre N°. 2729, vers la fin. CORRESPONDANCE. 1692. 291 N° 2755. J. G. STeicErTHAL à CHarisriAAN HuycEns. 9 JUIN 1692. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle fait suite au No. 2750. Chr, Huygens y répondit par le No. 2756. Illuftri & Generofo Domino Dno à Zuylichem Sal. et obfequia JoANN. GREGORIUS STEIGERTHAL. 9 Juni 1692. Cum juffu Clementiflimi Principis, Ducis Luneburgenfium Sereniflimi iter in Italiam propedum mihi fit inftituendum, tam Hagae Comitis quam Voorburgi exoptavi honorem Illuftrem Veftram Generofitatem falutandi, eique difceffum meum fignificandi. Fruftrabat autem Illuftris veftrae Generofitatis abfentia meum defiderium nec patiebatur occafo fuppelleétilem meam librariam Amftelodamo domum craftina luce tranfmittendi ullam moram adeoque literis ad minimum rogare volui, ut fi qua in re Illuftri Vleftr}ae Generofitati in Italia infervire poffem, operâ meâ libere uteris & me omnia quae à me poffe effici exiftimaveris, Amftelodami moneas. Opperiar adhuc lubentiflime per biduum tua mandata mihique gratulabor. perpetuum, fi Illuftris V[eft]rae Generofitatis cultu dignus reperior. Fave! Voorburgi d. 9 Junii 1692. Iluftri & Generofo Domino Dno a Zulichem Fautori fuo plurimum devenerando. S. 292 CORRESPONDANCE. 1692. N° 2756. CHRISTIAAN HuycEns à J. G. STEIGERTHAL. 9 JUIN 1692. La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens. La lettre est la réponse au No. 2755. Steigerthal y répondit par le No. 2757. Viro Eruditiflimo Ornatifimoque Dn° Jo. GEoRGIO STEIGERTHAL CHR. HuGEnius S, P. Quod et Hagae et in hoc fuburbano meo fruftra me quaefiveris optime Steiger- thali permolefte tuli. Libenter enim te ante multum vidiffem deque tuo in Italiam itinere collocutus effem, quam mihi invifere nefcio qua infelicitate mea nun- quam contigit. Fecifti vero pro humanitate tua cum literis hic reliétis difceffum tuum ignorare me noluifti operamque tam prolixe obtulifti. Itaque gratias ago, ac tibi ut feliciter eveniat peregrinatio ifta falvufque inde revertaris ex animo precor. Spero autem reditum per Hollandiam noftram iter fore, ut de rebus quam plurimis te narrantem audire liceat. Nefcio an omnes Italiae regiones pervagari ftatueris. Quodfi Venetiam adis reperies ibi D. Alberghettum *) qui paucis ante annis hac tranfiens fcientiarum optimarum fe ftudiofiflimum oftendebat, deque Patrui fui*) machina aftronomica multa mihi referebat quam ipfius opera infpicias velim. Florentiae fi D. Vincentius Viviani3)) in vivis eft ei fignifices plurimi ipfum ac fcripta ejus a me fieri cum mathem. tum quae cum pofthumis Galilei opufculis edidit, quae cum mihi Parifijs agenti mififlet#) malevolorum quorundam opera intercepta biennio poft demum reddita fuere. Multum vero ipfi ob elogium praeclarum opellae noftrae praebitum me debere fciat. Interrogabis porro an non epiftolarum Galilaei vel earum quas undique a viris doétis Galilaeus accepit quicquam pofthac lucem vifurum fit, in quo vir Illuftris Maliabeccius 5) operam perutilem haud dubie praeftare poffet. Romae Illuftriss. principem Marcum An: tonium Borghettum ®) videbis, artium omnium, ac Philofophiae naturalis amantifi- mum earumque patronum unicum, quem aliquot abhinc annis cum haciter faceret, cognovifle honori mihi duco. Idem virum Clariffimum Acd. Auzotium plurimum 1) Voir la Lettre N°. 2288, note 1. ?) Peut-être Antonio Alberghetti de Ferrara, un savant qui, dans un livre publié en 1699, donne le programme d’un ouvrage qu’il se proposait de publier sous le titre: , Promptuarium Sapientiae” et qui traiterait de tous les sujets scientifiques, rangés alphabétiquement. 11 n’a pas réalisé ce projet. 3) Sur Vincenzo Viviani, voir la Lettre N°. 733, note 3. 4) Consultez la Lettre N°. 2611, note 7. 5) Sur Magliabecchi, voir la Lettre N°. 2098, note 2. 5) Sur Marco Antonio Borghese, voir les , Additions et Corrections” du Tome VIII, p. 629. CORRESPONDANCE. 1692. 293 diligebat, quem non ita pridem fato concefliffe ferebant 7) quod fi verum eft (nam poftea dubitari intellexi) doëtiflima ejus commentaria in Vitruvij libros ab interitu vindicari omnium Eruditorum intereft ®): Porro et hoc Romae inquiras rogo quodnam fit Campani microfcopium quod in Lipfenfibus aétis memoratur ?), an non e binis lentibus compofitum fit et an amplius quid praeftet prioribus ab eodem artifice profectis. Si Neapolim ufque excurris, quaeres an vivat Vir Nob. Monfortius *° quem ex unico licet Specimine mathefeos egregrie peritum cognovi. Porro libros mathematicos fi quos probari invenies eorum exemplar mihi nifi grave eft emito, inter caeteros vero Torricelli opera **) libellum non magnum quem dum quaefitum nunquam hic venalem reperi. Eft et Efchinardi Jefuirae *?) opufculum ubi de motu ex impulfu corporum agitur et de pendulorum agitatione, quem fruftra quoque hic quaefivi. Uteris in his et tuo et aliorum hominum erudi- corum judicio. Spero has Amftelodami priufquam difcedas tibi redditum iri. Vale Vir Praeftantiffime, nofque incolumis revife. — N° 2757. J. G. SreicerrHaz à CaristTiaan Huycens. 12 JUIN 1692. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle est la réponse au No. 2756. IHluftri & Generofo Domino D:°. Car. Hucenio ZuricHEMio Jo. GEORGIUS STEIGERTHALIUS S$. Redditae mihi funt adhuc ante abitum literae Tuae Favoris et Humanitatis quam pleniflimae. Significafti enim hac praecipuorum in Italia Mathematicorum commendatione fummam tuam benevolentiam, animumque ftudia mea promo- 7) Adrien Auzout, voir la Lettre N°. 271, nôte 3, était mort en 1691. 5). Voir, sur cette édition projetée de Vitruve par Auzout, la Lettre N°, 2601. 9) Voir la Lettre N°. 2444, note 4, et la Lettre N°. 2452 vers la fin. 19) Voir la Lettre N°. 2098, note 3. 11) Probablement l'ouvrage cité dans la Lettre N°. 85, note 4. 2) Voir, sur Francesco Eschinardi, la Lettre N°. 1686, note 3. Huygens parle probablement de l’ouvrage: De impetu tractatus duplex: primus de impetu in communi: de motu locali, et de machinis: secundus de fluidis in communi, de comparatione fluidorum cum solidis, et de mensura aquarum currentium. Additur in fine quamplurium problematum seu quaestionum solutio ex doctrinis praecedentibus. Auctore Francisco Eschinardo. e Societate Jesu, Matheseos Professore in Collegio Romano. Romae, ex typographia Angeli Bernabd. m.Dc.Lxxx1v.in-4°. Les ,, Acta” de septembre 1686 contiennent, sur ce livre, un article étendu. 294 CORRESPONDANCE. 1692. vendi cupidiffimum; nec diffido, quin fola Tui nominis commemoratione facilis ad tantos Viros mihi pateat aditus. Agnofco certe tantum Il. Tuae Gener[ofitatis] favorem animo quam gratiflimo et magnopere opto ut Deus Of[ptimus] Maximus I. T[uam] Generofitatem quam diutiflime fervet incolumem, in orbis eruditi, clientumque Tuorum emolumentum. Caetera, quae mandafi, pro virili curabo, naétâque opportunitate libros illos, quos venales reperero, lubentiffime tranfmit- tam. Fave! Dab. Amftelodami 12 Jun. 1692. — o N° 2758. ConsTAnTYN HuyGens, frère, à CHRISTIAAN HuycEns. 30 JUIN 1692. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle est la réponse à deux lettres que nous ne connaissons pas. Au Camp de Melé ce 30 de Juin 1692. Jay eu vos lettres du 17 et du 25 de ce mois") et vous remercie beaucoup de la peine que vous avez prife de parler à Mr. Carré. L’homme dont il vous a parlé et qui devoit me venir parler icy n’eft point venu jufques à prefent, fans que je fcache quelle en eft la raifon. Je l’attends tousjours, et ne m’engageray avec per- fonne que je ne l’aye veû ou que du moins j’aye eù de fes nouvelles. Le Gouverneur du parent de Mr. Ireton*) me parle d’un autre nommé Guiran) et croid qu’il feroit mon fait, mais cependant il ne le connoift que par des rapports qu’on luy en a faits. Comme il doibt partir d’icy dans peu de jours avec fon jeune homme pour la Haye il m’a prié de ne me point hafter, et de luy donner le temps de s’informer plus particulierement. Il dit de plus que lon pourroit le faire aufli par le moyen d’un nommé Mr. Teron Gouverneur de deux jeunes hommes nommés du Bofc avec lefquels ce Teron demeure à la Haye. Affeurement Carré le connoift bien, ces du Bofc eftant parents du miniftre connu de ce nom #). 1) Ces lettres nous manquent. Au sujet de l’une d’elles Constantyn, frère, nota dans son journal sous Ja date du 27 juin 1692: ,,Je reçus une lettre de ma femme et une de frère Christiaan, concernant un précepteur pour Tien, qui était un neveu (cousin?) de Spanheim, et nommé Toussaint, il était à l’armée et m’y viendroit voir. J1 était recommandé à Carré par un Mr. de Monroy, homme de qualité”. 7) Probablement Henry Ireton, fils du général de même nom qui fut le beau-fils de Cromwell. Celui que nous supposons désigné dans la lettre fut lieutenant-colonel des dragons et gentle- man des chevaux de Willem III. 3) Probablement Claude Théophile Guiran, reçu pasteur candidat en avril 1695. 4) Pierre du Bosc, né à Bayeux le 21 février 1621, depuis 1645 pasteur à Caen, où il fut pasteur. Il fut élu comme tel à Rotterdam le 15 septembre 1685, et installé le 28 octobre suivant. Il mourut le 2 janvier 1692. ; CORRESPONDANCE. 1692. 295 D'ofter mon fils de fes eftudes en un temps ou il luy refte tant de chofes à apprendre pour luy faire fuivre la Cour et les armées, c’eft de quoy je ne fuis point d’avis. Car outre qu’il doit encor eftudier pour fe rendre capable de devenir quel- que chofe, il feroit a craindre, qu’eftant icy parmy des jeunes gens dont il y en a grand nombre qui ayment le vin, le jeu et les femmes, il ne fuft dans une efcole plus mauvaife de beauçoup que celle, ou il eft à prefent. Dans la Gazette Flamande j'ay trouvé ce que je vous envoye touchant l’homme qui fait des telefcopes aupres de Leide et qu’on trouve a vendre chez le Libraire van Velfen a la grand fâle. Je vous prie de me dire quelle forte de marchandife c’eft. Ne pouffez vous plus voftre invention ou celle de Newton des Lunettes a miroirs concaves ?5) Pour l’affaire d’un miniftre de Zuylichem®) je croy qu’il faut faire une fin, mais qu’il importe pourtant de fcavoir au vray fi cet homme de Mr. Verbolt7) depend en aucune façon de ce cocquin de Schoock®). Vous pourrez vous en informer, et tout ce que vous trouverez a propos de faire en fuitte entre vous trois vous pouvez eftre feurs que je l’approuveray comme je fais des a cette heure. L’affaire de la digue et de voir comment on pourroit fauver le chafteau et les terres que nous avons encore eft de plus d'importance, et il ne feroit pas bien que nous y fongerions quand il fera trop tard. Je m’eftonne comme le frere de Rotterdam ?) affez atten- tus ad rem ne s’en inquiete pas d’avantage. Le Chafteau de Namur **) tient encore mais on craint que ce ne fera pas pour” long temps, la contrefcarpe ayant à ce que lon dit efte emportée hier. Je vous prie de me dire comment on a fait de cette affaire du jeune Breacke- lerweert. À Monfieur Monfieur DE ZEELHEM a la Haye. 5) Voir la Lettre N°. 2753, note 2. 5) Voir la Lettre N°. 2754. 7) Voir la Lettre N°. 2635, note 5. 8) Voir la Lettre N°. 2631, note 2. 9) Lodewijk Huygens. 19) La siège de Namur, ouvert le 25 mai 1692 par Louis XIV en personne, à la tête d’une armée de 50000 hommes avec 196 canons et 67 mortiers, et couvert par une armée d’observation sous Luxembourg forte de 60000 hommes, est surtout célèbre par la lutte des deux plus grands ingénieurs militaires de leur temps: Vauban et Coehoorn. L'explosion d’un magasin de poudre, qui combla la plus grande partie d’un des fossés, amena la reddition de la ville, le 5 juin. La garnison se retira dans le château, couvert par le fort William, où Coehoorn com- mandait en personne. Il continua la défense jusqu’à ce qu'il fut grièvement blessé. Le fort dut se rendre le 21 juin, la garnison put sortir avec tous les honneurs de la guerre. Ilen fut de même de la garnison du château, commandée par le Prince de Barbançon, qui se rendit le 30 juin. 296 CORRESPONDANCE. 1692. N° 2759. CHRristTiAAN HuycEns à G. W. LEIBNiz. 11 JUILLET 1692. La lettre se trouve à Hannover, Bibliothèque royale. La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens. La lettre a été publiée par P. J. UylenbroekY) et par C. I. Gerhardt*). Elle est la réponse au No. 2751. G. W. Leibniz y répondit par le No. 2765. Sommaire: Papin croit que l’extenfion fait l’Effence des corps. j'attend de voir quel est le fujet de voftre communication avec Peliffon. Rondeur des gouttes peut eftre vient de l'agitation de la matière fubtile au dedans. à la Haye ce 11 Jul. 1692. MONSIEUR Quoyque je refponde bien tard à voftre dernière, vous ne pouvez point douter que n’en aye eftè tres, facisfait, quand ce ne feroic qu’à caufe de votre jugement avantageux touchant mes derniers Traitez, lequel j’eftime plus qu'aucun autre, La principale raifon de mon filence a eftè que, m’eftant appliquè pendant quelque -temps à l’eftude de la Dioptrique *) et à perfeétionner ce que j'en ay eferit, j’ay voulu eviter d’eftre diftrait par d’autres fpéculations, ce qui ne pouvoit point en re fpondant à voftre lettre, qui en eft toute remplie. Il y a bien des chofes à demefler dans cette Dioptrique, et il s’en eft offert tousjours de nouvelles, jufqu’à cette heure, qu’il me femble d’avoir tout penetrè, quoy que je n’aye pas encor achevè de tout efcrire. Je m’en vais parcourir tous les points de voftre lettre et en fuite je vous repondray touchant vos notes fur les Principes de Philofophie de .des- Cartes. Si vous approuvez mon explication de la Pefanteur, je ne vois pas comment vous pouvez comprendre qu’un femblable mouvement wateriae ambientis puifle caufer et la rondeur des goutes d’eau et la Pefanteur du plomb vers la terre, ou des Planetes vers le foleil. Je trouve plus vraifemblable que la rondeur des goutes 1) Christiani Hugenïi etc. Exercitationes mathematicae, Fasc. I, p. 130. Le texte, publié par Uylenbroëek d’après la minute, ne diffère pas sensiblement de celui de la lettre, publiée par Gerhardt. 2) Leibnizens Mathematische Schriften, Band II, p. 136, et Briefwechsel p. 695. 3) La ,,Dioptrica” de Chr. Huygens ne parut qu'après sa mort, dans l’ouvrage publié en 1703 par les soins de de Volder et Fullenius et que nous avons cité dans la Lettre N°. 2085, note 2. CORRESPONDANCE. 1692. 297 viene du mouvement rapide de quelque matiere qui circule au dedans. Mais quand ce feroit un effet de mouvement en tous fens de la matiere qui eft au dehors, il n’y auroit pas là d’operation de la force centrifuge en ce qui eft de la goute. Je ne vois pas non plus comment la caufe que je donne de la Pefanteur, puiffe coincider avec l’attraétion que vous concevez par des rayons emanants du centre. À demeurer dans mon principe, il faudroit que la vifteffe de la matiere circulante fuft plus grande vers le centre qu’aux endroits plus eloignez dans une certaine proportion, pour expliquer pour quoy les pefanteurs des Planetes contrebalancent leurs forces centrifuges, laquelle proportion je puis facilement determiner +), mais je ne trouve pas jufqu’icy la caufe de cette differente vifteffe. Il eft certain que les pefanteurs des Planetes eftant pofées en raifon double reciproque de leur diftance du foleil, cela, avec la vertu centrifuge donne les Ex- centriques Elliptiques de Kepler. Maïs comment, en fubfticuant voftre Circulation Harmonique, et retenant la mefme proportion des pefanteurs, vous en deduifezles mefmes Ellipfes, c’eft ce que je n’ay jamais pu comprendre par voftre explication qui eft aux Aéta de LeiïpfichS), ne voiant pas comment vous trouvez place à quelque efpece de Tourbillon deferent de des Cartes, que vous voulez conferver, puifque la dite proportion de pefanteur, avec la force centrifuge produifent elles feules les Ellipfes Kepleriennes, felon la demonftration de Mr. Newton‘). Vous m'aviez promis depuis longtemps?) d’eclaircir cette difficulté. ! Si par les Parallelifmes des axes planetaires vous entendez la fituation parallele que chacun de ces axes garde a foy mefme, il n’eft pas befoin pour cela de Tour- billon, puifque c’eft par les loix du mouvement que cela doit fe faire. - Je trouve, comme vous, plus à mon gré les Ellipfes veritables que les Ellip- foïdes de Mr. Cafini ), pour lefquelles je ne crois pas qu’il ait trouvè de raifon phyfique, puis qu’il n’en a rien dit, et pour l’Aftronomique, elle doit eftre bien 4) Consultez la note 5 de la Lettre N°. 2617. 5) J s’agit toujours de l’article cité dans la note 8 de la Lettre N°. 2561. 5) On rencontre cette démonstration célèbre dans la ,,Pars Prima” des ,,Principia”, Prop. XI, Probl. VI: ,,Revolvatur corpus in Ellipsi: Requiritur lex vis centripetae tendentis ad umbilicum Ellipseos”. 7) La première fois dans la Lettre N°. 2636, du 24 novembre 1690, vers la fin; maïs la ,,lettre sur les planètes”, notre N°. 2628, dont il est question à l’endroit cité, ne fut jamais envoyée à Huygens. #) La Cassinoïde, définie par Cassini comme il suit: ,, Cette ligne est une maniere d’ellipse dans laquelle les rectangles faits par les lignes tirées de la Planete à l’un & à l’autre foyer sont toûjours égaux, au lieu que dans les ellipses ordinaires ce sont les sommes des deux distances des foyers qui sont toûjours égales entr’elles”. Mémoires de l’Academie royale des Sciences. Depuis 1666. jusqu’à 1699. Edition de Paris. Tome VIII, pp. 43 et 44. Œuvres. T. X. 38 298 CORRESPONDANCE. 1692. legere, vu le peu de difference entre les unes et les autres dans les cas des orbites Planetaires. Je pourrois vous marquer plufieurs objeétions contre la Terre Sphaeroïde dans le fens de Mr. Eyfenfchmid, que j’efcrivis en lifant fon Traité ?), mais il fuflit de celle-cy pour le refuter. Cwm ex auëtoris ratiocinio tanta futura fit differentia amplitudinis graduum in ellip{ibus per binos Terrae Polos duûlis, ut circa gradum 54 altitudinis poli, unus in terra gradus fit futurus 73 milliarum Germanicorum, Prope aequatorem vero milliarum 15, numquid putat hoc nautarum omnium ex- perientia pridem comprobari debuil[e, fi verum effet? 11 paroit doéte au refte et efcrit bien. Mais des gens comme Wafmuth et fon eleve ne meritent pas qu’on en parle. Dans le Traitè de Craige, que Mr. Fatio m’a fait avoir, je vois qu’il a bien remarquè l’infuffisance de la methode de Mr. Tfchirnhaus pour les quadratures. Auffi en a-t-il efté bien fafchè *°). Le mathematicien de Zelande, qui donne dans fon traité une Table de quadra- cures, s’appelle Hubertus Huighenius **), et le titre de fon livre, Ærimadverfiones quaedam circa propofitionem quam ad reËtilineas habent figurac curvilineae. croioit qu’à la longueur du calcul près, il avoit montrè le chemin pour arriver à la quadrature du cercle, de quoy je l’ay defabufè. Les objeëtions de Mr. Papin **) eftoient contre l’un et l’autre de mes Traitez. Il eft de ceux qui veulent avec Mr. des Cartes que l'Effence du corps confifte dans la feule etendue. Pour donner dans les AGta de Leipfich ce que j’ay encore touchant la Mufiqué il faudroit qu’il fuft precedé de ce qu’il y a dans le Journal de Mr. de Beauval, et je ne fuis pas fort de loifir à le traduire. Ce Mr. Ouvrard *5), de qui vous attendez la Mufique, pretendoit de pouvoir montrer la compofition en 24 heures. Jel’ay connu à Paris. Il fit imprimer un petit traitè affez extravaguant, où il vouloit qu’en matiere d’architeéture on obfervaft les proportions qui font les confonances, %) Nous ne connaissons pas ces objections qui, probablement, auront été écrites en marge d'un exemplaire du livre cité dans la Lettre N°. 2727, note 12. 1°) Allusion à la réponse de von Tschirnhaus, mentionnée dans la note 3 de la Lettre N°. 2748. 11) Consultez, sur Hubertus Huighens, ses ouvrages et sa correspondance avec Christiaan Huygens, les Lettres Nos, 2730, 2735, 2738 et 2742. 1?) Voir la Lettre N°. 2744, note 5. 13) Sur René Ouvrard, compositeur, voir la Lettre N°. 2751, note 8. Il publia, en 1660, un ouvrage intitulé: ,,Secret pour composer en musique par un art nouveau” , et en 1674, l’,Architecture harmonique”, CORRESPONDANCE. 1692. 299 comme fi l’oeil pouvoit reconnoitre quand on s’écarte de ces proportions, de mefme que l'oreille le fait au chant. J'ay vu encore quelques mois des Memoires de l’Academie de Paris, et j’ap- prouve comme vous ce deffein, exhortant nos libraires de continuer à les copier, à quoy pourtant je ne les trouve pas fort difpofez. Dans les Journaux des Scavants de l’année derniere 1691, il y a une obfervation curieufe que raporte Mr. de la Hire, touchant des pierres d’aimant, qui eftoient crues fur du fer, au dedans des” pierres dont eftoit bafti une pointe de clocher à Chartres 4). Voftre recherche de la quantité compofée de 4, b, c, d, femble affez difficile fi on vouloit y trouver quelque maniere generale. Mais je doute fi elle eft fort utile, parce que dans tout ce que j’ay jamais calculé, il ne me s’eft offert de pareil pro- à ac—bd bleme. La quantité CEDICT) voftre cas. Il y auroiït aufli à confiderer quand 5) le probleme eft poflible ou non. Si j’en avois befoin, jy fongerois d'avantage. La raifon qui m’oblige de pofer des atomes infrangibles eft que ne pouvant m’accommoder, non plus que vous, Monfieur **)), du dogme Cartefen, que l’effence des corps confifte dans la feule etendue *?), je trouve qu’il eft neceffaire, a fin que peut-eftre n’eft pas la feule qui fatisfafle dans 4) L'article en question, qui parut dans le Journal du 3 décembre 16917, porte le titre: , Extrait des registres de l’Académie Royale des Sciences, du 29 août 1691: ,, Description de l’Aiman qui s’est trouvé dans le clocher neuf de Nôtre Dame de Chartres. Par Mr. de la Hire, de l’Académie des Sciences”. Voici le résumé que Huygens en a donné à la page 78 du livre H des Adversaria: ,, Dans la demolition de la pointe du clocher neuf de l'Eglise de Chartres on avait trouvè attachée a du fer, certaine matiere ressemblant en tout a de l’aimant, mesme en la vertu d'attirer du fer. C’estoit dans de la pierre de St. Leu. Les morceaux qui s'étaient formez a l’air hors de la pierre n’avoient aucune vertu”. #C’estoit une vegetation autour du fer ou qui s’etendoit au dela, et qui avait eu la force d’écarter la pierre, et estoit cause de la ruine du clocher. Les Poles de la plus part des mor- ceaux, dont il dit en avoir vu de fort gros et d’une tres grande vertu, estoient disposez selon la largeur de la barre de fer où ils s’estoient formez. Il propose une experience qu’il veut faire ‘avec plusieurs fils de fer et d’acier, trempè et non trempè, et tout aimantez, qu’il enchassera dans de la pierre de St. Leu, dans la situation que prend une eguille equilibrée, et dirigée S. et nord, qui baisse du costè du nort de 60 degre environ. Il veut voir lors qu’ils seront con- sumez, (ce qui pourra arriver en peu d’années) s’ils auront conservé la vertu”. On rencontre à la même page un jugement d’ensemble peu favorable sur les Journaux des : Scavants de 1691 dans ces termes: ,,Ces journaux de cette année sont remplis de pièces de devotion et de cagotterie”. 15) La minute a: fi. 19) Voir, entre autres, un article dans le Journal des Sçavans du 18 juin 1691, intitulé: »Extrait d’une lettre de Mr. de Leibniz, sur la question, Si l'essence du corps consiste dans l’etendue”. 17) Comparez les Lettres Nos. 2617 (pp. 484 et 485) et N°. 2707 vers la fin, où, dans la corres- ” 300 CORRESPONDANCE. 1692. les corps gardent leur figure, et qu’ils refiftent aux mouvements les uns des autres, de leur donner l’impenetrabilité, et une refiftence à eftre rompus ou enfoncez. Or cette refiftence il faut la fuppofer infinie, parce qu’il femble abfurde de la fuppo- fer dans un certain degré, comme fi on difoit qu’elle egale celle du diamant ou du fer, car cela ne peut avoir de caufe dans une matiere, où d’ailleurs on ne fuppofe rien que l’etendue. C’eft pourquoy j’ay tousjours trouvè que c’eft une erreur à Mr. des Cartes, quand il veut que fes petites boules du 2 element ‘?) fe foient faites par l’abbattement des angles *) et eminences qu’avoient de petits corps cubiques ou autrement formez. Car s’il faloit quelque force pour furmonter la refiftence que faifoient ces angles et eminences à eftre rompues, par où croioit il pouvoir limiter, et à quoy faire monter cette refiftence? Et s’ils n’en faifoient aucune, en forte que ces corps fe laiffoient tronquer etecorner à la feule rencontre d’autres particules, pourquoy ne fe laiffoient ils pas enfoncer aufi, comme de l’argille humide, et comment gardoient ils leur figure apres qu’elle eftoit devenue fpherique ? L’hypothefe de la duretè infinie me paroït donc tres neceffaire, et je ne conçois pas pourquoy vous la trouvez fi eftrange, et comme qui infereroit un continuel miracle. Car pour la difficultè de l’union qui arriveroit par la rencontre de deux furfaces plattes, vous la refolvez vous mefme *°), et vous n’avez qu’a regarder les pondance avec Papin, la même question est traitée par Huygens, et l’annotation suivante de sa main que l’on rencontre à la page 97 livre H des Adversaria: ,,Contra Cartesii dogma, Corporis naturam seu notionem in sola extensione consistere: Ego aliam notionem spatii habeo, aliam corporis. Spatium nempe est quod a corpore occupari potest. Corpus quod spatium occupat, quod quidem sine extensione concipi non potest, sed praeter extensionem necessario quoque ei convenit ut in spatium quod occupat, non admittat aliud corpus. Hanc ideam corporis omnes philosophi, imo omnes homines habuere, ante Cartesium, qui suam istam ea propter commentus videtur, ut inde efliceret non dari spatia vacua, quo putabat se opus habere ad probandam lucis emanationem momentaneam, sine ulla mora temporis, quae et ratione et experientia refellitur””. 18) Allusion au $ 52 de la troisième partie des Principes de la philosophie. ,,Qu'il y a trois prin- cipaux éléments du monde visible”. D’après ce paragraphe le premier élément est formé par vlaraclure qui a dû être séparée des autres parties de la matière lorsqu'elles se sont arrondies”, le second par tout le reste de la matière, ,,dont les parties sont rondes et fort petites à compa- raison des corps que nous voyons sur la terre”, le troisième par ,,celles qui, à cause de leur grosseur et de leurs figures, ne pourront pas être mues si aisément que les précédentes”. Ensemble ces trois éléments composent, selon Descartes, tous les corps de ce monde visible, »le soleil et les étoiles fixes” ayant ,,la forme du premier de ces éléments, les cieux celle du second et la terre avec les planètes et les comètes celle du troisième”. 19) Voir le $ 48 de la troisième partie des Principes: , Comment toutes les parties du ciel sont devenues rondes”. À 20°) Cette remarque se rapporte au manuscrit de Leïbniz dont nous traiterons dans la note 22. En CORRESPONDANCE. 1692. 301 grains de fable avec un microfcope et à voir fi vous y trouvez des furfaces exacte- ment plattes. Et quand il y en auroit aux atômes, il faudroit encore leur appli- cation jufte, guod in indivifibili conjiflir. Je vous prie de confiderer ces raifons querje viens d’expofer, et de me dire comment vous concevez que les parties des corps tout fimples et primitifs coherent. Seroit-ce par voftre motus confpirans ?*) de ces mefmes parties confiderées comme reellement féparées, et voudriez vous comprendre les corps fimples aufli bien que les compofez dans l’article de vos ob- effet, dans sa critique des $$ 54: ;, En quoi consiste la nature des corps durs et liquides” et 55 Qu'il n’y a rien qui joigne les parties des corps durs, sinon qu’elles sont en repos au regard l’une de l’autre” de la seconde partie des Principes, Leibniz, pour réfuter ceux ,,qui ipsam perfectam unitatem causam firmitatis esse ajunt”, soulève la question. ,, Quid ergo si duae Atomi cubicae A et B prius diversae semel ita sibi accedant, ut hedrae earum duae congruant, nonne hoc contaëtus momento nihil different ab atomo illa parallelepipeda AB paulo ante descripta ?” Et il ajoute: ,,Itaque capientur a se mutuo duae Atomi simplici contactu velut visco quodam, idemque fieri debet etiamsi partes tantum hedrarum congruant. Ex his porro sequitur progressu naturae, continue debere crescere atomos, instar pilae nivis per nivem provolutaë, ac tandem futurum esse, ut omnia in plusquam adamantinam duritiem coalescant et aeterna glacie obtorpescant, quando causa coalitionis datur, dissolutionis non datur, Unum effugium superest iis, qui haectüentur, ut dicant, nullas dari in natura hedras planas, aut si quae sint, coalitu esse desinere, Atomos autem omnes superficiebus curvis iisque minime invicem applicabilibus terminari, quemadmodum sane fieret, si omnes atomi essent sphaericae, atque ita nullus contactus esset totius alicujus superficiei. Sed praeterquam quod corpora planis vel aliis sibi congruentibus superficiebus praedita ex rebus nulla satis ratione excluduntur, huc redimus ut rationem nobis afferant, eur continuum in partes resolvi non possit.? 21) Allusion au passage suivant du manuscrit de Leibniz qui suit de très près celuiquenousavons cité dans la note précédente: ,,His igitur omissis, quae vel non prosunt, vel rem non absol- vunt, arbitror primigeniam cohaesionis causam (praeter impenetrabilitatem ipsam, cum cedendi locus non est, aut ratio non est cur unum prae alio cedat, qua ratione globus perfec- tus in pleno quiescente uniformi circulans aliquid vi centrifuga emittere prohibetur) esse Motum eumque conspirantem. Nam ipsam materiam, per se homogeneam et aeque divisibi- lem, arbitror solo motu distingui; videmus autem fluida quoque motu acquirere quandam fir- mitatem. Ita vehemens aquae jactus extraneis in radium suum magis vetabit ingressum, quam eadem aqua quiscens faceret. Ingressu enim novae materiae magna motus conspirantis pertur- batio oriatur necesse est, ad perturbandum autem, id est valde mutandum motum opus est vi. Jactum aquae digito tange, videbis huc illuc guttulas dispergi, non sine vehementia, atque adeo et quod jactui accedit nonnihil repelli. Et quae per se dissoluta sunt, et ut ita dicam arena sine calce, solo motu connexionem quandam acquirere posse, eleganti experimento magnes docet, limaturae chalybis admotus, subito enim velut funiculi nectuntur ex arena, et nascuntur filamenta, subrigente sese materia velut in pilos, nec dubium est quodam quasi genere magnetismi, id est motus intestini conspirantis, etiam alias quorundam corporum partes connecti. Haec igitur primitiva ratio consistentiae seu cohaesionis non minus rationi quam sensibus satisfacit.” 302 CORRESPONDANCE. 1692. jeétions contre Des Cartes? J'avoue que je ne comprens nullement comment voftre penfée puiffe fubfifter, ni dans les uns ni dans les autres. Voulez vousque les particules d’une barre de fer aient au dedans un #otus con/pirans, et que, non obitant cela, on ne trouve pas que rien fe derange dans cette barre? Qui peut entendre cela ? Et pourtant vous dites que cette expofition de la cohefion fatisfait enfemble à la raifon et aux fens. J’ay une maniere d’expliquer la cohefion des corps compofez qui depend de la preflion de dehors*?) et encore d’autre chofe. Mais en voila defia affez fur ce fujet. Mr. de Beauval m'a preftè vos Remarques *3) fur les 2 premieres parties des Principes de des Cartes, que j’ay examinées avec plaifir. Il y a ample matiere de contredire à ce Philofophe, auffi voit on venir des objections de tous coftez. Pour ce qui eft de fes demonftrations metaphyfiques de Exiflentia Dei, animae non cor- poreae et immortalis **), je n’en ay jamais eftè fatisfait. Nous n’avons nullement certe idée entis perfeëliffimi. Je n’approuve non plus fon xperéproy Weri*s), et fuis d’acord avec vous dans la plufpart de vos raifonnemens, quoy que non pas dans tous. Mais il feroit trop long d’entrer dans cette difcuflion. Je vois que vous al- leguez fouvent ce que vous auriez efcrit ailleurs. Entendez vous parler d’autres traitez que ceux qu’on a veu dans les Aéta de Leipfich? Sur la matiere du mouvement j’ay bien des chofes nouvelles et paradoxes à donner, que l’on verra, quand je publieray mes demonftrations des Regles *) de la Percufion, inferées autrefois dans les Journaux de Paris®7) et de Londres*?). 2?) Consultez à ce sujet la dernière partie de la pièce N°. 1899, à commencer par la page 204. 23) Le manuscrit, dont il est question ici, a été publié par G. E. Gubhrauer, sous le titre: »Leibnitz’s Animadversiones ad Cartesii principia philosophiae aus einer noch ungedruckten Handschrift. Bonn 1844”, et ensuite dans le Tome IV de l’ouvragesuivant: ,,Die philoso- phischen Schriften von Gottfried Wilhelm Leibniz. Herausgegeben von C: I: Gerhardt, Berlin, Weidmannsche Buchhandlung (1875—1890, 7 Vol. in-8°.)”, où on le rencontre aux pages 350—392, sous l'en-tête: ,, Animadversiones in partem generalem Principiorum Car- tesianorum?”. #4) Voir les $$ 14—23 des ,,Principes” de Descartes et les remarques de Leibniz surces para- graphes dans le manuscrit mentionné dans la note précédente, 35) Voir, entre autres, la quatrième des , Méditations métaphysiques” (Cousin, Œuvres de Des- cartes, Tome premier, p. 293 —308 ), qui parurent pour la première fois en latin en 1641, en français en 1647, où Descartes s'efforce à prouver ,,que toutes les choses que nous concevons fort clairement et fort distinctement sont toutes vraies” (voir l’abrégé par Descartes, p.232 de l’édition de Cousin). ; 26) Elles ne parurent qu’en 1703 dans les ,,Opuscula posthuma” sous le titre: ,, De motu corpo- rum ex percussione” (voir la Lettre N°. 2085, note 2). 27) Dans le , Journal des Scavans”’ du 18 mars 1669. Voir la pièce N°. 1715. 38) Dans les ,,Philosophical Transactions” du 12 avril 1669. Voir les pièces Nos. 1733 et 1734 CORRESPONDANCE. 1692. 303 Je communiquay ces demonftrations à nos Mrs. de l’Academie *?) et j’en envoiay aufli quelques unes à la Societé Royale 5°), dans les quelles j’emploiay avec autre chofe cette con/ervatio virium aequalium et la deduétion au mouvement perpetuel, c’eft à dire à l’impoflible 3"); par où vous refutez aufli les regles de des Cartes, qui eftant reconnues partout pour fauffes et eftant pofées fans fonde- ment, ne meritoient pas la peine que vous prenez 3*). À ce que Mr. de Beauval m'a dit, vous fouhaitteriez que vos remarques fuffent adjoutées dans quelque nouvelle edition des Principes de des Cartes, à quoy je ne fcay fi les libraires voudroient confentir, parce que cela ne ferviroit nullement à recommander cette Philofophie ni fon Autheur, Elle feroient mieux avec le Voiage de Des Cartes 53) que vous aurez lu, ou avec l’examen de Mr. Huet 5#). Vous pourriez aufli fort bien les faire imprimer à part, en y faifant un titre et quelque peu de Preface 35). Ou fi vous vouliez que le volume devint plus gros, vous n’auriez qu’a examiner de mefme la 3me ec 4me Partie, auxquelles il y'a pour le moins autant à reprendre, et encore les meteores %). II femble que des Cartes ait voulu decider fur toutes les matieres de Phyÿfiqué et Metaphyfique, fans fe foucier s’il difoit vray ou non. Et peut-eftre cela n’eft pas inutile d’en ufer ainfi à des perfonnes qui fe font acquis une grande reputation d’ailleurs, parce qu’ils excitent d’autres à trouver quelque chofe de meilleur. 11 s’eft abftenu pourtant de toucher à la produétion a LA ve 4, 1reti8j janvier 1668. Voir la note 3 de la Lettre N°. 1715 et la Table des Corrections du Tome VI, p. 653. 39) Voir la pièce N°. 1693, envoyée le 5 janvier 1669. 37) I ne s’agit que des démonstrations communiquées à l’Académie des Sciences à Paris. La pièce N°. 1693 ne mentionne pas ces principes puisqu'elle ne s’étend pas jusqu’à la Propositio VIII »Si corpora duo sibi ex adverso occurrant, quorum magnitudinibus celeritates contrarià . ratione respondeant, utrumque eâdem quà accessit celeritate resiliet” du traité posthume que nous avons mentionné dans la note 25. C’est dans la démonstration de cette proposition que Huygens s’est servi des principes en question. Ils agit toujours du,manuscrit mentionné dans la note 22, qui contient en effet une réfutation élaborée des règles du choc des corps, contenues dans les $$ 45—52 de la seconde partie des »Principes”, 33) Le Voyage du Monde de Descartes. À Paris, chez la veuve de Simon Benard, 1691, in-12°. 34) La ,,Censura”, citée dans la note 3 de la Lettre N°. 2553. 35) La publication du manuscrit de Leïbniz n’a eu lieu qu’en 1844 (voir la note 22), Basnage de Beauval, qui avait été chargé de chercher un éditeur, n’y ayant pas réussi. On peut con- sulter à ce sujet sa correspondance avec Leïbniz dans la publication de Gerhardt, citée dans la note 22, au Tome III, p. 82, où on lit, dans une lettre du 27 juillet 1692: ,, J'ai sondé nos libraires... et je ne leur ai trouvé nulle disposition pour en entreprendre l’edition. Des qu’on leur parle d’un livre latin, ils font cent difficultés”. 35) Voir l'ouvrage cité dans la Lettre N°. 5, note 7. 304 CORRESPONDANCE. 1692. des plantes et des animaux, fans doute parce qu’il n’a pas vu moien de les faire naitre du mouvement et de la figure des particules, ainfi que le refte des corps qu’il confidere. Il me tarde de voir quelle a eftè voftre correfpondance avec Mr. Peliffon 37), que Mr. de Beauval m’a dit devoir paroitre au jour. J'aime à voir le raifonnement de ceux qui excellent dans les Mathematiques, fur quelque matiere que ce foit, et je pourray un jour vous en propofer quelqu’une #*). Je fuis avec une parfaire eftime et affection etc. N° 2760. 5 Le Marquis DE L’Hosriraz à CHRisTiAAN HUYGENs. 26 JUILLET 1692. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. ) Elle a été publiée par P. J. Uylenbroek*). - Chr. Huygens y répondit par le No. 2762. J'efpere Monfieur que vous voudrez bien que je me ferue de l’occafion du depart de Mr. Hartfoeker pour vous remercier de la maniere obligeante dont vous parlez de moy dans les remarques *) que vous avez mis dans les journaux de Hollande, apres la lettre des centres d’ afcillerian: Y ay Ii auec ange per bs 37) Voir, sur Paul Pellisson, la Lettre N°. 218$, note 1. #5 m3 Il s’agit ici de son ouvrage: De la Tolérance des Reñgté Lettres de M. de Leibniz & Réponses de M. Pellisson, ou Quatrième Partie des Réflexions sur les Differends de la Religion. A Cologne. De l’Imprimerie d’André Pierrot. 1692. Dans une première édition in-4°., moins complète et tirée à peu d'exemplaires, le nom de Leibniz n’était pas mentiotiné dans lé titre, ce qui était plus conforme à son intention, comme cela résulte de sa correspondance avec Basnage de Beauval, citée dans la note 34. : 3%) Huygens, probablement, fait allusion ici à son Cosmotheoros. 1) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc.L,p.:232;41:4 ?) Voir la pièce N°. 2606. CORRESPONDANCE. 1692. 305 aétes de Leipzig la folution que vous auez trouué du probleme de la courbure que fait vne chaifne pendante:), et cela m’a beaucoup ferui à faire quelque progrès dans ces fortes de problemes. J’ay vü jcy entre les mains d’vn de mes amis vne lettre de Mr. de leibnitz dans laquelle apres auoir dit beaucoup de merueilles de fa nouuelle analyfe des infinis, jl affure que uous luy auez propofé plufieurs queftions en ce genre, auxquelles jl a fatisfait au delà mefme de vos efperances. . Je vous ferois fort obligé, fi vous me vouliez faire part de quelques vnes de ces queftions ou d’autres femblables, afin que je puiffe m’exercer et voir fi j’en vien- drois about. J’ay trouué dans voftre traitté de la lumiere plufi eurs proprietés de la ligne D Pa a ou logiftique +). En voicy vne que je croy nouvelle et dont je vous prie de me mander L. voftre penfée. Soit la logarithmique jn- definie ABCD, qui a pour afymptote la droite EI, et dont la fouftangente qui eft k { partout egale et que l’on fuppofe connue eft FG. ]J1 A A TE faut trouuer geometrique- s ment vne droite egale à vne EF G H jé portion quelconque AB de cette courbe. Soient menées les perpendiculaires AE, BG, la touchante BF et la parallele aav” 2+4l/ 244 + occ 2 AM. Soient prife fur EA prolongée les parties EK > aa” ua 244 + bb EL 5 ralleles KC, LD, rencontrant la logarithmique aux points C, D, je dis maintenant que BN, difference des droites BF, FM, plus HI, difference des droites LD,KC, fera égale : à l’arc cherché AB $). Je fuis auec vne eftime tres LENS Monfieur. (FG © 4, AE 5% b, BG > c), d’ou partent les pa- Voftre trefhumble et trefobeiflant ferviteur Lx Marquis DE LHOosPITAL. 3) Voir la pièce N°. 2681. 4) Voir les dernières pages du ,, Discours de la cause de la pesanteur”. ; 5) Ecrivant pour l'équation de la courbe: y=be", c’est-à-dire x—# 1 J , on vérifie aisément Œuvres. T. X. 39 306 CORRESPONDANCE. 1692. Si vous voulez me faire reponce vous addrefferez s’il vous plaift, votre lettre chez Mr. le Comte de Ste. Mefme rüe dupetit mufque proche l’arfenal à paris. a paris ce 26 juillet 1692. A Monfieur Monfieur HUGENSs de ZuLICHEM a la Haye. LA N° 2761. CHrisTiAAN HuyGEns à van MERLE :). 31 JUILLET 1692. La minute et la copie se trouvent à Leiden, coll. Huygens. La lettre est la réponse à trois lettres que nous.ne connaissons pas. a la Haye ce 31 Jul. 92. Monfieur vAN MERLE*). Vous deviez agir plus difcrerement, et ne m’envoier pas trois lettres de fuite, fans fonger que je pourrois eftre abfent ou empefchè par indifpofition de vous faire refponfe. La principale raïfon a.eftè que je n’avois rien de bon a vous dire. Je vous ay recommandè plufeurs fois a mon frere de Zulichem, et je n’y fcaurois faire autre chofe. C’eft peut eftre que vous l’importunez trop, qui luy ofte l'envie de faire quelque chofe pour vous. De vous aflifter d’argent, mes affaires ne me le permettent pas, puifque j'en emprunte et prens a intereft pour paier les Taxes de: l’Eftat. Je ne veux point douter, que vous ne foiez celuy que vous dites, et je fuppofe que mon frere le croit de mefme. Vous comprenez bien pourtant qu’il doit y avoir un grand nombre de perfonnes qui nous foient aufli proches. C’eft P2 z qu’en effet la construction annoncée, après correction de la faute de transcription signalée dans la Lettre N°. 2762, conduit à la relation correcte : arc. AB=[V/ Fe Va FrT+ LAVER di 2h? AUS" =V#+e mi Ve+r Lai Can RD Ka+/# +6) 1) Voir, au sujet de ce personnage, qui autrement nous est inconnu, la Lettre N°. 2731. 2) l’Adresse manque dans la minute. Ce n’est que la copie qui la fournit. CORRESPONDANCE. 1692. 307 pourquoy vousne devez pas demander de l'avancement a mon frere, comme s’il eftoit obligè de vous en procurer. Je vous envoie voftre Carte Genealogique, puifque vous la voulez au pluftoft, quoyque le pacquet en foit bien gros. Je fouhaite qu’elle vous puiffe fervir de quelque chofe, et demeure MONSIEUR . $ Voftre tres affectionè Serviteur CHr. HuGENSs. Oo N° 2762. CHRISTIAAN HuyGENs au Marquis DE L’HospiTaL. 27 AOÛT 1692. La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle à été publiée par P. J: Uylenbroek"). La lettre est la réponse au No. 2760: De PHospital y répondit par le No. 2765. 27 août 1692. Mr. Hartfoeker m’a rendu Monfieur la lettre que vous m’avez fait l’honneur de m’efcrire, dans la quelle voftre copifte à fait.une faute, qui m’empefche de comprendre ce qu’en contient le principal article, qui regarde la dimenfion de la ligne Logarithmique. Il a mis EL te ei 0 > ) où vous voiez qu’il manque quelque lettre, ou peut-eftre quelque nombre, devant le figne radical, ce que je vous fupplie de fuppléer. Je puis vous dire cependant que à travers l’expreflion fautive de la longueur de cette courbe il me paroit que voftre invention doit .eftre fort belle et fubtile, et mefme l’entreprife me femble hardie, quand je confidere la nature de la Ligne. Je veux croire Monfieur que vous avez la demonftration certaine de ce que vous avancez; mais fans la voir je crois que je pourray afez juger de la veritè de voftre folution. Les proprietez que j’ay marquées, de cette mefme Logarithmique dans mon Traitè de la Pefanteur, quoy qu’affez remarquables, ne font pas d’une recherche bien dificile*). La courbure dé la chaine eftoit incomparablement plus malaifée à trouver ec fur tout la 2) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. [, p. 233. 2) Nous reviendrons ailleurs dans cette édition sur ces recherches, publiées par Uylenbroëk au Fasc. IT, pp. 172—183; elles datent déjà de 1661. 308 CORRESPONDANCE. 1692. reduétion de fa conftruétion à la quadrature de l’Hyperbole 3), ou à la dimenfion de la ligne parabolique, la quelle reduétion s’enfuit auffi de ce que j’avois trouvè#), puis que la quadrature de l’Hyperbole donne la fomme des fecantes, comme il avoit eftè demontrè il y a longtemps par Jac. Gregorius 5), dans fes Exercitations mathematiques; mais j’ay trouvè depuis la mefme reduétion par deux autres voies fort courtes et qui me femblent belles que je pourray publier quelque jour). Je n’ay point trouvè d’avoir befoin pour cela de la methode de calculer de Mr. Leibnits?), ni je n’en trouve pas l’utilitè fi grande ) qu’il femble vouloir faire accroire dans la lettre dont vous faites mention. II eft très habile geometre d’ail- leurs et s’eft appliquè entre autres avec fucces à ce qui regarde les Tangentes et quadratures des lignes courbes. C’eft la deffus que rouloient les Problemes ?} aux quels il dit avoir fatisfait au de la de mon attente, ce qui eft vray, mais il eft vray aufli que je n’avois pas beaucoup meditè alors ces matieres, m’eftanttousjours plu d’avantage à chercher l’utilitè de la Geometrie dans les chofes de phyfique et de mechanique. Au refte trouvez bon Monfieur que je ne vous fpecifie aucun de ces problemes prefentement, puis que je le fais, a fin que voftre refponfe avec la correétion que je demande ne foit retardée par la, fi vous vouliez en tenter la folution comme il paroit que vous en avez envie. Je fuis ; avec beaucoup d’eftime et de deference #) Faute du Copifte. Voir Newton dans Wallis *) [Chriftiaan Huygens]. 3) Consultez la Lettre N°. 2693, à commencer par la page 131, et la Lettre N°. 2695. #) Voir le second alinéa de l’article 7 de la pièce N°. 2681. 5) Voir la note 12 de la Lettre N°. 2700. è 5) Voir, pour la première de ces deux voies, qui fut publiée plus tard dans l”,, Histoire des ouvrages des Sçavans” de février 1693, la note 3 de la Lettre N°. 2695, et pour la seconde l’Appendice N°. 2763 de la présente lettre. 7) Huygens avait en vue la méthode exposée dans la pièce N°. 2713. 8) Comparez les Lettres Nos, 2721 et 2726. 9) Voir sur ces problèmes, qui consistaient dans la détermination des courbes qui correspondent 2 ASE AA—X, aux valeurs — — 2x ge en É— ms et 4 l z Ÿ de la soustangente, les pages citées dansla 2% a — x table des matières de ce Et et du volume précédent sous l’article: , Equations différen- tielles”. 19) Voir, sur l'exposé de la méthode des fluxions, emprunté par Wallis à des lettres de Newton et publié par lui dans l’édition latine de 1693 de son ,,Treatise of Algebra”, une des notes de la lettre de Huygens à de l’Hospital du 29 décembre 1692. CORRESPONDANCE. 1692. 309 N° 2763. ® CHRISTIAAN HuycEns. mt 1320 915: [DÉCEMBRE 1691]. La pièce se trouve. à Leiden, coll, Huygens. Appendice*) au No. 3762. eue | $ 1°). É: 1 AC—=x; CB=yY; CD=2; BH=—%; HK—à. AB eft curva. FT ZE AC reéta; ad quam ordinatim applicata BC ad ang. re&tos. BD eft tangens in B, occurrens CA produétae in D. Si com- _pleatur [7] BCDE eric punétum E ad curvam quandam AE, quae facit fpatium BAE, aequale fpatio BAC. SR magni ufus eff. SAS © è ao - sÿ ÆE mA HK — DC: CB l Re Qu 1215 8 F1 19 ' k Li —Z y \ Fr ] 4 IV 241 [: , x À Î " Ty xY = AZ. Spat. HC = fpat. BE 3); unde et fummae aequales, hoc eft fpat. KAF = fpat. KAM;veletiam BAE —BAC. Hinc quadratura parabolae, Nam qaia ibi eft CD feu z2= 2x, fit AD = x; eft- que DE = y. Itaque AE eft parabola eadem ac AB, cumque fpat. AEB fit = ABC vel AED, erit ergo ABC = x [7 CE feu z [Ji CO ipfius CE dimidii. [Spatium BAE circa axem DC facit duplum folidum ejus quod ex fpat, ABC circa,eundem axem, quia centr. gr. fpatii FB duplo amplius diftat ab AC, quam centr, gr, fpar. HC]+). 1) Cet Appendice a été emprunté à la page 14 du livre H des Adversaria. Nous l'avons divisé en deux paragraphes. 2?) Démonstration d’un théorème général sur les quadratures. 3) Lisez: BF. 4) Cette remarque a été ajoutée après coup. 310 CORRESPONDANCE, : 1692. $IF5). D &G Hinc et dimenfionem curvae, ex qua pendet con- Ke. ftrudio lineae Catenariae, reducere poteram ad qua- draturam hyperbolae. Sit enim AC‘) hyperbola aequilatera, cujus cen- D trum D, axis DC applicata BC, tangens BE; et A compleatur [_] EAHF. Jam erit F punétum ad cur- vam quandam AF, quae facit fpatium FAB — fpatio hyperb° ABC, unde fpatium AFGD dabitur fi à NL 2° CG auferatur duplum fpatii hyperbolici ABC. C B Eft autem curva AF ea ipfa cujus dimenfione opus erat ad conftruétionem Catenariae, quandoquidem duéta AH parallela CB, proportionales funt BG, HG, FG:; propter proprietatem tangentis hyperbolae EB, quae invenitur faciendo prébortineles DC, DA,DE.. Curvam autem noftram ita conftruxeram, fumtis ubique proporiomalibus BG, HG, FG vid. lib. G, pag. 207). Patet 5) ex jam di@is, duétâ rééta DB, triangulum DCB ablato fpatio hyp°. ABC relinquere fpatium DBA aequale dimidio fpatii AFGD; eft autem fp. DBA feétor hyperb.s aequalis fpatio ABLK, duétis BL, AK ad afumproton DL per- pendbus, y à étit $ If =." y} 5) Svéine du théorème du paragraphe vas à la hidhanitl dé Fi courbe os LiA — aayy, dont dépend la construction point par point de la chaînette(DE=Y;EF= x)2 6) Lisez: AB, Ait y CT sup 7) Is’agit du $ VIII de la pièce N°. 2625. Voir surtout la dernière phrase “Hi ce paragraphe. En effet, les points B, H, F, G de notre figure correspondent aux pointsD, @, wet z de la figure 5 de la pièce N°. 2625. 8) Ce qui va suivre a sans doute été ajouté pour pouvoir servir au calcul par logarithmes du: rap. port entre l’arc AK et l’abscisse LK (voir la fig. 4 de la pièce N°, 2625) dela Chaîhette. En effet, d’après le Ç VIII cité, ce rapport égale celui du rectangle DH de la présente figure à l’aire ADGF—2 X spat. ABLK, où HDA représente l’angle y de la tangente à l'extrémité de l’arc avec la tangente horizontale du sommet. Posant À D—#, on a donc AH —=tgp; GB—DC— — = ]/ BC? + A + AD? —4secp; BL —} 4/2 (secy—tgy); AK— 31/2, donc en pe quant la quadrature bien connue de l’hyperbole: spat. ABLK=DK?.1 ne — ie eg) L'or, LEA, à —— } 4°. 1(sec y Up= ls d stp RSR 4 1 — sin y où il suit pour le rapport.chérché: CORRESPONDANCE. 1692. gi "N° 2764. Cowsranryn Huycens frère, à CHrisrTiIAAN HuyGEns. 8 SEPTEMBRE 1692. La lettre et la copie se trouvent à Leiden, coll. Huygens. Elle est la réponse à une lettre que nous ne connaissons pas. Au Camp de Grammon ce 8 de Septembre 1692. J'ay receu la votre du 6e de ce mois. Pour ce qui eft de l’affaire du miniftre a Zuylichem :) je croy que nous ne ferons pas mal de fuivre ce que vous propofez et de complaire a Mr. Verbolt quoyqu’en effet il en ait ufé un peu eftrangement en faifant faire cette nomination. Vous ne me dites pas de quel fentiment font le Frere de Rotterdam *) et celuy de Ste Annelt3). Il y a quelque temps que n’ay pas appris l’eftat de la fanté du premier, ce "qui me fait croire qu’il n’y aura pas grand changement. Il ne me fouvient pas que vous m’ayez rendu conte de ces trois objectifs de Hartfoeker +). Mais il me femble qu’une fois nous en avons effayé un, qui n’eftoit pas trop bon). Comment eft ce que vous n’avez pas eu la curiofité de faire l’effay de ces derniers, cela eftant une chofe fi aifee comme elle eft, de la maniere comme nous fismes au mail avec nos grands vérres. Si je m'en fouviens bien fa maniere de polis eftoit fort longue et ennuyeufe fuivant ce que vous m’en avez racconté. Vous n’avéz dit auffi que Hartfoeker vouloit publier fa methode) ec en faire un livre, dites moy un peu s’il perfifte dans cette refolution, pour la quelle je vous ay efcrit, que je ne fais pas. Je n’auray pas a faire de ce Touffain de Mr. Carré7), Guiran®) n'ayant mandé avec bien de l’honnefteré qu’il vouloit bien me fervir, laïffant le falaire a ma diferetion. Jay deflein de luy [donner | la mefme chofe qu’il a eue chez le neveu de Mijlord Portland?) dont il a: efté Gouverneur il y a peu et qui luy a donné cent efcus. On me loué cet homme la beaucoup et je croy qu’il fera noftre fait. Entre autres chofes. il:y a cela de bon que Tien pourra apprendre de luy la Langue Francoife qu’il importe de fe rendre familiere à teneris. 7) «Voir la Lettre N°.2758. : ?). Lodewijk Huygens: 3) Philips Doublet, le beau-frère. +) Voir, sur les objectifs de Hartsoeker, la Lettre N°. 2753. 5) Probablement le verre dont il est question dans les Lettres Nos, 2534 et 2537. 5) Comparez la Lettre N°. 2748, à la page 2784 7) Voir la Lettre N°. 2758, note 1. ) Probablement le même qui est mentionné dans la Lettre N° 2559. 9) Moirla Lettre N°. 1966, note 6. 312 CORRESPONDANCE. 1692. Nous fommes depuis 8 ou 9 joursen ce camp icy, et y pourrions bien encore refter quelques jours fi le manque de fourage ne nous en fait deloger. Il faut efperer que pendant que nous y fommes nos detafchements pourront faire quelque chofe ailleurs avant la fin de cette campagne ce qui fe fcaura dans peu. Adieu je vous prie de me faire fcavoir comment vous aurez trouvé les verres de Hart- foeker. Il faut fonger tout de bon comment nous ferons pour dreffer un autre maft au jardin. Voor broer van Zelem. N° 2765. 4 Le Marquis DE L’Hospiraz à CHRISTIAAN HUYGENS. 10 SEPTEMBRE 1692. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle a été publiée par P. J..Uylenbroek”). Elle est la réponse au No. 2762. j Chr. Huygens y répondit par le No: ‘2768. id Leu, SON ë F »D #) Je n’ay pù faire reponce plutoft, Monfieur à .la lettre Que V vous m’auez fait l’honneur de m'’ecrire du 27e Aouft parce que je fuis à la campagne depuis! quelques jours. Voicy la correétion que vous me demandez. Il. faut mettre, EL = aaV/ 2 + AT 2bb quelque cas de cette inuention je vous enuoye le mefme theoréme. enüncé vn peu autrement auec vne demonftration fort courte mais qui fufira; a ce que je penfe,. pour vous conuaincre de fa verité. Les deux manieres dont vous vous eftes pris pour reduire tout d’vn coup la conftruétion de la ligne d’vne chaine pendante à lat quadrature de l’hyperbole fans auoir befoin de paffer par l’une ou l’autre de:ces! courbes, xxyy = 44 — 44yy où xxyy = 444—x4*) doiuent eftre fort belles, et je ferois rauy que vous les rendifliez publiques afin de les pouuoir admirer. J’ay trouué depuis peu la folution du Probleme que Mr. de Beaune propofa autrefois’ à Defcartes3), et que l’on trouue dans la lettre 79e du 3e Tome fous cette ex- mais, comme il me paroift que vous faittes 1) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, p, 235. ?) Voir sur ces courbes l’article 7 de la pièce N°. 2681. 5) En 1639. On ne connaît pas la lettre de de Beaune dans laquelle il propose ce shine célé- bre; mais bien la réponse de Descartes du 20 février 1639. Consultez la Lettre CLVI du T. I CORRESPONDANCE. 1692. 313 preffion, data qualibet linea &c.+#) Je vous en feray part fi vous jugez que cela en valle la peine, j’efpere que vous voudrez bien m’enuoyer les problemes qui regar- dent les tangentes et les quadratures afin de pouuoir m’exercer à les refoudre. Si vous y vouliez joindre quelques problemes fificomathematiques comme je vois que ce font ceux-la qui vous plaifent dauantage je m’y appliquerois avec foin. Je fuis Monfieur avec vne eftime tres finguliere MONSIEUR Voftre tres humble et tres obeiffant feruiteur le M DE L’HospiraL. A Ouques, ce 10° Septembre 1692. 4) R. le 9 oét. [ Chriftiaan Huygens]. 7 de l’édition récente par Charles Adam et Paul Tannery des , Œuvres de Descartes” et les notesexplicatives qui y accompagnent cette lettre. Comme on sait, le problème se réduit à la recherche de la courbe définie par l’équation différentielle : (3—x) dy—adx = 0. 4) Il s’agit ici de l'édition de Clerselier, citée dans la note 1 de la pièce N°. 351 et dont le * troisième volume parut en 1667 sous le titre : , Lettres de Mr. Descartes, où il répond à plusieurs difficultez qui luy ont esté proposées sur la Dioptrique, la Géométrie et sur plusieurs autres sujets”. La lettre 79 de cette édition, écrite par Descartes à un inconnu, probablement en juin 1645, se trouve reproduite dans l'édition de Charles Adam et Paul Tannery à la page 227 du T.IV sous le N°. CCCLXXXIIT. Voici le passage en question, mentionné par de l’Hospital: Datâ qualibet linei rect N, et ductis aliis duabus lineis indefinitis N ut GDet FE, quae se in puncto A ita intersecent, ut angulus EAD sit 45 0 E graduum; quaeritur modus descri- bendi lineam curvam ABO, quae sit B talis naturae, ut à quocumque eius puncto ducantur tangens et ordinata 1 ad diametrum GD, (quemadmodum ÿ hîc à puncto B ductae sunt tangens BL etordinata BC), sempersiteadem ne G C D ratio istius ordinatae BC ad CL, seg- mentum diametri inter ipsam et tan- gentem intercepti, quae est lineae datae N ad BI segmentum ordinatae à curva ad rectam FE porrectae”. Œuvres. T. X. 40 314 CORRESPONDANCE. 1692. Theor. Soit la courbe logarithmique indefinie ABCD, qui a pour afymptote la droite TE, d’un point quelquonque E de cet afymptote ayant mené la perpendiculaire ni soutangente EL, moi décrirre la courbe geometrique Hi, af? la nature foit exprimée par certe equation (EF ou EG 2 FI ou GH D 2), SaV/3 S PET AAN D 2. où en oftant les Fncommenñirabless aay + SauzL 0. 222. que Van: mene à pre- fent deux paralleles quelconques AFT, BGH, à l’afymptote TE, et ayant pris TE'% %, EL % FI, EK 5% GH, et mèné 1e$ 'érôtées TG, TF, er les paralleles LD, KC, qui rencontrent la logarithmique aux points D, C; je Fr qe Ja Pre AB de cette logarithmique 0 TG -+—TF + LD-KC. | ‘ Demonftration. : « Ayant pris l'arc BM infiniment petit, et mené MO parallele a BH, l’on nommera comme fait Mr. Leibnitz, BN, ou HP, dy, MN gx, et l’on aura par la proprieté de la Jean 2 dx D Lu d’ou l’on tire BM ou |/ dx° + dy° n DVAEX 39 467% M, ACL Ra £ Or jh'eft clair que la fomme des" JET D n Po F3V 4849 L/(aa + + ») 5) Celle Mont remvisente constante. CORRESPONDANCE. 1692. 315 dans la portion AB, 0 TG—TE, de forte qu’il ne refte plus qu’à demontrer que la ads = D--K OP, V'arh ok que je p prife KQ et foit menée QS. l’on trouuera par la methode des tangentes de Barrow ou de Mr. Leibnitz, que OP où KQ ee Æ and) V{ 244 +239 5).Or par la pro- fomme des — LAS prieté de la logarithmiquéR S's5 RRQ So E Rar RSS. J donc la fomme desRS, | à à! LA E pe d c’eft-à-dire LD —KC 2 à la fomme LE dans la son ie AB, donc y V aa + y) “: 1/ &c. iuog 19:02) 183141 f } (19316 49 3 » JHOESTIÏIATO »118 | Ov 9b 1f ) 119 25 ‘) HAT EUTE 179, 2DItrS ji} sb noi 018 1239,291197181 241077 PTT Jersagns sub 5 10 up 1012 91.191100 779 iuq 9] 0h1b TT 2vs 22116 rreuo1 9b 240981 5h Sani sub 9 ras flo 91 YOU 9") 209 M0). 09 190096 2119109 £ 9 y H'up.sroi ns ,2n1 fi fs ecron.29k 19 :190f1q 29! up 24109 29b 19rmot £ J't b 1H DOMEMO2IE EL 22% flo US SION AAIOT 2HOITIS Y HOT SE DiIODH) \ = i H HE LOL rt 211 Lip) 19 a las Dots #3. +. - £ j 8ÿ) IL s'ae évidemment de la détérmination aile de OP; où 4; à HP, ou y, au moÿen dé -u11d’équation: dela: courbe: pus fase NS oi pu dans l'énoncé du ere sous .-udesdeux forméss 7) 00164 no 224 500 1 jrs hu l 6 1007194: 1 y0Tiy EAU p| MQULE 2 ef loi fs bn D PEL À S'HAODHONU 2H ae soetu 21 audi 1 dns} La nplivro 2 TONI FOIS VUE f 5h 1183 9H M4 : 9H À Ste Sul méthode dé Barrow, mentionnée dans le texte, est. sans Acute celle décrite dans le XIV é, la Lectio Geometrica X de ouvrage cité dans la note 14 de la Lettre N°. ve s (or. la GA 8 de l'édition de 1674). “Elle apprend à remplacer x et y par x-é et ÿ-}-4, à L négliger Tes Pirissañeés ét és produits de’z Ebéldt réjeter Ensuite les terres qui ne contiéhhént ni 4, nie, et qui, nécessairement, se détruisent entre eux. Elle ne diffère donc pas essentielle- >f1 11.19 p Hi Le re 4 D de ue sbschatéhe Post a des 316 CORRESPONDANCE. 1692. N° 2766. °G. W. LEmniz à CHRISTIAAN HUYGENS. 26 SEPTEMBRE 1692. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle a été publiée par P, J. Uylenbroek”) et C. I. Gerhardt*), Elle est la réponse au No. 2759. Chr. Huygens y répondit le 12 janvier 693. Hanover ce : de Septembre 1692. _ MoNSsIEUR Jay efté bien occupé cet efté, ce qui m’a empeché de repondre pluftoft à voftre lettre de l’ride Juillet, car il auroit fallu pour cela une efpece de retraite et de meditation, parce que vous touchés plufieurs matieres importantes 3). C’eft pour cela que je ne fuis pas encore en eftat de vous fatisfaire entierement, et en atten- dant je donne ce que je puis. Je ne voy pas encor pourquoy plufieurs opinions differentes en apparence, touchant la rondeur des gouttes, la pefanteur des corps terreftres, et l’attraétion des Planetes vers le Soleil, ne fe puiffent concilier, Je croy qu’on peut dire en general, que la matiere eft agitée d’une infinité de façons de tous.coftés avec une diffor- mité uniforme, en forte qu’il y en a peut eftre également en tout fens. Ce mouve- ment doit fervir tant à former des corps, qu’à les placer; car les corps prennent la fituation par laquelle leurs mouvemens font moins empechés, et s’accommodent en quelque façon les uns avec les autres, ainfi cela peut faire qu’ils fe joignent, quand ils font feparés, et qu’on a de la peine à les feparer quand ils font unis. On peut encor confiderer plus particulierement, qu’un corps environné d’un autre plus fluide et plus agité, mais au quel il ne donne pas un paffage affez libre at dedans, fera frappé au dehors par une infinité de vagues, qui contribueront à l’affermir, et à preffer fes parties les unes contre les autres. Qu’un corps rond eft moins expofé aux coups du fluide environnant, à caufe que c’eft ainfi que fa furface eft la moindre qui eft poflible, et que l’uniforme diverfité tant des mouvemens internes que des mouvemens extérieurs contribue encor à cette rondeur. On peut venir à un plus grand detail, lors qu’il s’agit du globe de la terre et confiderer que les agications d’un fluide renfermé fe tournent en circulations, car c’eft ainfi qu’elles 1) Chr. Hugenii Exercitationes Mathematicae, Fasc. [, p. 137. 2) Leibnizens Mathematische Schriften, Band II, p. 141, et Briefwechsel p. 700. 3) A propos de cette même lettre de Fuygens, Leibniz écrivit à Basnage de Beauval: ,, Mons. Huygens m'a taillé de la besoïgne par sa lettre, et pour y repondre il faudra mediter un peu, ce que je ne suis pas en éstat de faire a present”. Voir la page 86 dé la Correspondance men- tionnée dans la note 35 de la Lettre N°. 2759. ; Ferre CORRESPONDANCE. 1692. 317 continuent avec le moins. d’empechement, que ces circulations font en tous fens, à caufe que les agications qui les produifent le font aufi. Et que les circulations à l’entour de la terre s’accorderont et confpireront pour avoir un centre commun, qui fera celuy du globe de la terre, fans doute parce que dès la formation de ce globe (femblable apparemment à la formation d’une goutte) ce centre eftoit diftingué des autres points; que cette matiere circulante tache à s’eloigner du centre, et par confequent qu’elle oblige les corps moins agités à s’y approcher. Et que les efforts centrifuges de la matiere peuvent eftre confiderés comme des rayons d’attraétion partans du centre à l’egard des corps qu’ils y font aller. l’Analogie de la Nature peut faire croire qu’il y a quelque chofe d’approchant à l’egard du fyfteme du Soleil, que les Planetes tendent vers le Soleil par une raifon femblable et que les attraétions y font en raifon doublée reciproque des diftances tout comme les illuminations. Et comme dans l’Aïmant il y a non feule- ment l’attraétion mais encor la direction, et qu’il y a une grande analogie entre la terre et l’aimant, ona lieu de croire, que parmy tant de circulations à l’entour du centre de la terre, auxquelles on peut afligner une infinité de poles; il y a deux poles principaux, fuivant lefquels la matiere de la terre s’eft accommodée à un certain cours de la matiere du grand fyfteme folaire, comme les aimans s’accom- modent au cours de la matiere du fyfteme terreftre. Il femble, Monfieur, que vous n’approuvés pas ces conciliations, mais vous ne marqués pas en particulier, ce qu’il y a à redire; vous ne dites pas auffy pourquoy par exemple vous attribués plus particulierement la rondeur des gouttes d’eau à unmouvement rapide au dedans *). Vous ne dites pas non plus pourquoy les efforts de la matière centrifuge ne peuvent eftre confiderés comme des rayons d’attraétion. J'ay remarqué cependant qu’on peut dire quelque chofe à l'encontre; fcavoir qu’ily a la même quantité de lumiere dans toutes les furfaces fpheriques concen- triques, mais qu’on peut douter s’il y a la même quantité d’attraétion. Et ileft vray que j’avois encor tenté quelque chofe qui paroïft affés plaufible en confiderant la vifteffe de la circulation. Il faudra examiner quelle explication eft la meilleure, ou fi on les peut concilier. Le même fe peut dire à l’egard de l'explication de Mons. Neuton des ellipfes. Les Planetes fe meuvent comme s’il n’y avoit qu’un mouvement de trajeétion ou de propre direétion joint à la pefanteur à ce que Mons. Neuton a remarqué: Cependant ils fe meuvent aufli, tout comme s’ils eftoient deferés tranquillement par une matiere dont la circulation ?) y foit har- monique; et il femble qu’il y a une confpiration de cette circulation avec la propre direétion de la Planete. Et la raifon qui fait que je ne me repens pas encor de la matiere deferente, depuis que j’ay appris l'explication de Mr. Neuton, eft entre autres, que je voy toutes les Planetes aller à peu près d’un même cofté, et dans une même region, ce qui fe remarque encor à l’égard des petites Planetes de Jupiter et de Saturne. Au lieu que fans la matiere deferante commune rien n’empefcheroit les Planetes d’aller en tous fens. Il y a bien des chofes à dire fur 318 CORRESPONDANCE. 1692. cout cela, que j’efpere d’eclaircir un jour plus particulierement. 41 femble que l’analogie de la terre et du foleil avec l’aimant rend affés probable le cours de la matiere folaire, femblable à celuy de la matiere terreftre, qui eft une efpece de circulation ou tourbillon, Et comment expliqueroit-on l’attraétion de la terre qui la porte vers le Soleil, fi on n’admet quelque chofe d’analogique avec la caufe de la pefanteur, il me femble que vous reconnoiflés cette analogie vous même dans quelque endroit de voftre dernier traitté 4). Quelque chofe que ce puiffe eftre ce fera un mouvement d’une matiere fluide, qui fera en rond, car vous ne vous con- renterés pas d’une qualité actraétive 5) comme Mr. Neuton femble faire. Cela eftant, il femble que vous ne vous fcauriés pafler des tourbillons, et fans cela, comment pourriés vous maintenir voftre explication de la pefanteur, où vous fuppofés avec raifon que la matiere qui circule en tous fens eft enfermée. Ce ne fera pas dans un ciel folide cryftallin, ce fera donc dans une efpece d’orbe ou fphere liquide, ou autre fluide environnant, auquel le mouvement donne en quelque façon à cet egard les privileges d’un corps folide. Auffi fans cela les corps circulans fe difliperoient par leur force centrifuge *), fi ce n’eft qu’on leur attribue quelque qualité centrophile, ou quelque Er entre elles, dont j ” mer vous ne vous accommoderés pas. cÉgPro Quant au parallelifme des axes il eft bien vray, que fi l’on dr bibi le mouve- ment de la planete par la feule trajeétion jointe à la pefanteur:et fi l’on fuppofe que la Planete eft tousjours en equilibre par la pefanteur de fes parties, de quelque maniere qu’on la place, il faut qu’ellé garde: cousjours la direétion de Paxe, en forte que l’axe foittousjours parallele à luy même. Mais cela fuppofe encor quele corps ne trouve pas lé moindre empechement ou rencontre irreguliere ny impref- fion exterieure qui le faffe tourner tant foit peu 4). Ce qui eftcontre la couftume de la nature, et par confequent, puis qu’il n’y auroit ainfi aucun principe fixe ou conftant de cette direétion, elle feroit bientôt changée. Commeileft feur qu’un globe quelque égal qu’on le pourroit faire, jetté en l’air ne garderoit pas long temps une fituation parallele à ellememe, ou aux fituations precedentes étüme droite menée au dedans de ce globe ne ‘detneuvetoit pas long temps parallele à fa premiere fituation. De forte que j'aime mieux de fixer ce mere: ai FF? 4) 11 s’agit sans doute du passage suivant, qu’on trouve à la page r60 de ranulasétele »Discours de Ia cause de la pesanteur”: Je n’ay donc rien contre la ?s Cenrriperz, Comme Mr. Newton l’appelle, par la :quelle il fait peser les Planétes vers lé Soleiliet la Lune versila Terre; mais j’en demeure d'accord sans difliculté, parce que non seulement on sçait par EX per rience qu’il ya une telle maniere d’attraction ou d'impulsion dans la nature, mais qu’aussi elle s'explique par les loix du mouvement, comme on a vü dans ce que j’ay écrit Cy dessus de la pesanteur. Car rien n’empéche que la cause de Cette Ÿs Céntripela Vers le soleil, ne Soit semblable à celle qui pousse les corps, qu’on appelle pesants, à descendre vers la Terre. 111 7 5). Comparez le premier dés deux passages:du »Discours sur la cause pe la À pure cités dans la note 6 de la Lettre N°.2558. lui : Ÿ CORRESPONDANCE. 1692. 319 quelque caufe qui reponde à la direétion de l’aimant, et qui ferve à redreffer les changemens, que les feules loix du mouvement de la planete ne fcauroient ex- clure”). Et je crois même que s’il n’y avoit que la feule trajeäion libre de la planete, fans quelque fluide deferant, et gouvernant fon cours, les regles feroient bientoft fauffées. Je viens à noftre different du Vuide et des Atomes, qu’il fera diflicile de vuider. Vous fuppofés, Monfieur, que dans les corps il y a une certaine fermeté primitive, et cela eftant, vous jugés qu’il la faut fuppofer infinie, car il n’y a point de raifon de la fuppofer d’un certain degré. Je demeure d’accord qu’il y auroit de l’ab- furdité à donner à tous les corps un certain degré de fermeté, car rien ne nous determine pluftoft à un tel degré qu’à tout autre. Mais il n’y a point d’abfurdité de donner differens degrés de fermeté à des corps differens/); autrement on prouveroit par la même raifon que les corps doivent avoir une vifteffe nulle ou infinie. Cela pofé, que la nature doit varier, la raifon veut qu’il n’y ait point d’atomes ou corps d’une fermeté infinie, autrement ils le feroient tous, ce qui n’eft point neceflaire#). Il ne femble pas aufli que vous fatisfaites affés à la difficulté des Atomes qui fe toucheroient par quelque furface, et par cela même demeureroient pris ec attachés enfemble infeparablement. Car de nier que les Atomes ont des furfaces plattes ou autrement congruentes entre elles en la moindre partie, c’eft un grand poftulatum. Mais quand on l’accorderoïit je crois que dans ces fortes de raifonnemens on ne doit avoir egard non feulement à ce qui eft, mais encor à ce qui eft poflible 2). Suppofons donc une chofe poflible, fcavoir que tous les Atomes n’ayent que des furfaces plattes, ileft vifible, qu’alors cet inconvenient arriveroit etpar confequent l’hypothefe de la parfaite dureté n’eft point raifonnable. 11 y a encor d’autres inconveniens dans les Atomes. Par exemple ils ne fcauroient eftre fufceptibles des loix du mouvement, et la force de deux atomes egaux, qui con- coureroient direétement avec une vifteffe egale fe deuvroit perdre, car il paroift qu’il n’y a que le reffort qui fait que les corps rejalliffent /). Mais quand il n’y auroit aucun inconvenient, il femble qu’on ne doitadmettre une qualité fans raifon, celle qu’eft la fermeté primitive. On ne voit rien qui attache deux maffes enfemble, etje ne voy pas comment vous concévés, Monfieur, que le feul attouchement fait l'office d’un gluten /). Or puis qu’il n’y a aucune connexion naturelle entre l’attou- chement et l’attachement, il faudra bien que, fi de l’attouchement fuit l’adhéfion, cela arrive par un miracle perpetuel. Mais fi la fermeté eft une qualité explicable, il faut bien qu’elle vienne du mouvement, puis qu’il n’y a que le mouvement qui diverfifie les corps #). Cela pofé tout ce que je puis dire de la connexion originaire des corps revient à cecy, qu’il faut de la force pour detacher une partie de la ma- tiere de l’autre, lors que ce detachement change le mouvement et le cours prefent des corps. Tout mouvement eft confpirant dans une maffe, autant qu’il y aquelque regle ou loy en comparant les parties mouvantes entre elles /), et il eft troublé à mefure que cette regle devient plus compofée. Aufli peut-on dire, que tout corps 320 CORRESPONDANCE. 1692. a un certain degré”) de fermeté et de flexibilité. Cep quelque barre de fer ou autre corps groflier, on n’a pas b à l’origine primitive de la fermeté, non plus qu’aux At des petits corps, dont chacun a deja en luy même fa* demeure attaché à l’autre, à peu près comme deux tables leurs furfaces et unies, que la preflion de Pambiant”} efenc d’un coup. outre ceux qui regardent le vuide et la fermeté, je voudrois qu ‘ils faffent vus par quelque habile Cartefien, mais capable de raifon, pour apprendre ce qu'il diroit à l’encontre. J’en ay ecrit à Mons. de Beauval. Je fouhaitte de voir un ce que vous donnerés fur le mouvement. J’avois examiné les regles de Des Cartes par un principe general de convenance, qui ne manque pas à ce que je crois qui m'a paru utile à refuter les erreurs par interim en attendant la pure verité. j'eftois bien aife de monftrer comment par le moyen de ce principe les regles cefiennes fe refutent elles mêmes. Mon deffein dans ces remarques n’eftant que 2e de faire des animadverfions fur Des Cartes, fans pretendre d’y donner la veritable Philofophie. }” ay efté furpris que Mons. Peliffon a mis, fur tout dans les additions, des chofes que je l’aurois prié d’en retrancher, fi j’avois fçu fon intention. Ce n’eft pas qu’il y ait du mal, mais c’eft qu’il y a quelque fois du mal entendu dans le monde. Tout cela n’a pas efté fait pour le public, et vous n’y trouverés pas voftre compte, Monfieur, fi vous vous donnés la peine d’y jetter les yeux; mon deffein etoit de monftrer à Meflieurs de l’Eglife Romaine par une maniere de retorfion que felon leurs principes non feulement les Proteftans mais encor st Payens fe peuvent fauver. Le refte eft né par rencontre. Vous me faites efperer un jour quelque chofe de votre part, qui fé Fe nature differente des matieres mathematiques. C’eft ce que je feray ravi de voir: Et generalement tout ce qui vient de vous m’eft pretieux. Je vous feray fouvenir quelques fois de ce que vous dites dans vôtre lettre à l’egard de Des Cartes, qu’il eft utile que les perfonnes d’une grande reputation difent leur conjeétures fur toutes fortes de matieres pour exciter les autres. C’eft ce que je voudrois que vous fifliez vous même. Je fuis avec zele LE 11 MONSIEUR | US Voftre tres humble et tres obeïiflant ferviteur LEIBNIz. CORRESPONDANCE. 1692. 321 inguen ‘) eft il encor en vie? On m’avoit dit autres fois es fentimens outrés fur la religion. C’eft dommage qu’il donner au public des memoires de fes negotiations. N’y e des Etats des Provinces Unies qui y penfe ? ? Carc’eft ‘dhuy il n’y a que ceux qui ne connoiffent rien aux affaires re. Mons. voftre Frere pourroit conferver à la pofterité and Roy qu’il fert avec tant d'approbation. Ce que M. s confiderable, cependant Monfieur du Cros #) connu fur € ayant efté couché un peu durement par M. Temple, gie, où il pretend de redreffer bien des chofes qu’il croit portées par M. Temple. 1 de dehors n’arrondit point [ Chriftiaan Huygens]. Itez contre cette circulation. Pour quoy la matiere du : pas dans fon mouvement rond uniforme fans y forcer les zut les emporter elle les empefchera beaucoup quand leur erent d’avec elle. Et que deviendra la circulation pour la lez vous une sens pour le mouvement deferent plus Iene a melure æ sur font plus ini du foleil CEA tiaan Huygens]. AQ0E pl 0 la grandeur dsplobess les empeñche et encore one 1 un peu detournez : [Chriftiaan Huygens]. gi 4x d MEL 597 nt ci srter >. Scavez vous bien le grand changement qui avec le cemps asie a Vaxe de la - Terre [Chriftiaan Huygens]: f) Appellez vous differens ceux qui n° ton éinue mefme ce effacé) [Chr. H. 1. £&) Cela eft probable [Chriftiaan Huygens]. 4) Pourquoy ? [Chriftiaan Huygens]. À) nullement one HUrgeuin 5) j'en fuis fort eloignè [Chriftiaan Huygens]. k) il faut eme ane rcn er ms LC Huygens]. P): obfeur | [Chriftiaan f #) tout corps compofé d’un fan] pote] ou affemblè [Chrift. Huygens]. 2e cela ut ho A ie Huygens]. 44 6) PRIREAIS van PRIE (voir la tabs N°. 743, note 4 et la Lettre N°. 2385, note 3) tombé en manie religieuse, mourut en démence, le 20 octobre 1693. 7) Sur William Temple, voir la Lettre N°. 2129, note 7. 8), Joseph Auguste Du Cros, né vers 1638, depuis 1672 envoyé du duc de Holstein près de la Cour d’Angleterre, fut agent secret du Roi d'Angleterre lors des négociations de la paix de Nimègue. Après avoir été employé auprès de plusieurs Cours, en 1686 celle du Margrave de Brandenburg-Baireuth, il mourut à Gottorp en 1728. En 1692 il publia un écrit contre William Temple. s4 4 Œuvres. T. X. 41 320 CORRESPONDANCE. 1692. a un certain degré”) de fermeté et de flexibilité. Ce quelque barre de fer ou autre corps groflier, on n’a pas b à l’origine primitive de la fermeté, non plus qu’aux A des petits corps, dont chacun a deja en luy même fa demeure attaché à l’autre, à peu près comme deux tab leurs furfaces et unies, que la preflion de Pambiant ” ) d’un coup. 1 Je n’ay point d’empreffement à donner au public les generale de la Philofophie de Des Cartes. Mons. de Beai les porter avec foy en Hollande. Puifque vous avés p fouhaitterois que vous eufliés marqué les endroits dont outre ceux qui regardent le vuide et la fermeté, je voudra vus par quelque habile Cartefien, mais capable de raifon, f diroit à l’encontre. J'en ay ecrit à Mons. de Beauval. Je fc ce que vous donnerés fur le mouvement. J’avois examiné par un principe general de convenance, qui ne manque qui m'a paru utile à refuter les erreurs par interim en atte j'eftois bien aife de monftrer comment par le moyen de ce f cefiennes fe refutent elles mêmes. Mon deffein dans ces de faire des animadverfions fur Des Cartes, fans pretendre Philofophie. J ay efté furpris que Mons. Peliffon a mis, fur tout dans les additions, des chofes que je l’aurois prié d’en retrancher, fi j’avois fçu fon intention. Ce n’eft pas qu’il y ait du mal, mais c’eft qu'il y a quelque fois du mal entendu dans le monde. Tout cela n’a pas efté fait pour le public, et vous n’y trouverés pas voftre compte, Monfieur, fi vous vous donnés la peine d’y jeter les yeux; mon deffein etoit de monftrer à Meflieurs de l’Eglife Romaine par une maniere de retorfion que felon leurs principes non feulement les Proteftans mais encor les Payens fe peuvent fauver. Le refte eft né par rencontre. + de Vous me faites efperer un jour quelque chofe de votre part, qui fera d’une nature differente des matieres mathematiques. C’eft ce que je feray ravi de voir. Et generalement tout ce qui vient de vous m’eft pretieux. Je vous feray fouvenir quelques fois de ce que vous dites dans vôtre lettre à l’egard de Des Cartes, qu’il eft utile que les perfonnes d’une grande reputation difent leur conjeétures fur routes fortes de matieres pour exciter les autres. C’eft ce que je eds que vous fifliez vous même. Je fuis avec zele p. hat SAR te } avik MONSIEUR L = at Voltre tres humble et tres obeiffant PS LEIBNIZ. Mr ve ir | 14. Mn HER : , \ CORRESPONDANCE. 1692. 321 inguen ‘) eft il encor en vie? On m’avoit dit autres fois es fentimens outrés fur la religion. C’eft dommage qu'il donner au public des memoires de fes negotiations. N’y re des Etats des Provinces Unies qui y penfe? Car c’eft dhuy il n’y a que ceux qui ne connoiffent rien aux affaires ire. Mons. voftre Frere pourroit conferver à la pofterité and Roy qu'il fert avec tant d’approbation. Ce que M. res confiderable, cependant Monfieur du Cros *) connu fur rue ayant efté couché un peu durement par M. Temple, 1er une Apologie, où il pretend de redreffer bien des chofes qu’il croit efté y res par M. Temple. door HE Ë e) Percer que la “a de dehors n’arrondit point [ Chriftiaan Huygens]. 5 ya plufieurs dificultez contre cette circulation. Pour quoy la matiere du + vorrex ne fe met elle pas dans fon mouvement rond uniforme fans y forcer les | Planeres? Si elle peut les emporter elle les empefchera beaucoup quand leur encore fera different d’avec elle. Et que deviendra la circulation pour la : pefanteur ou nf vous une autre matiere pour le mouvement deferent _ [Chriftiaan Huygens] ne > Leur mouveme efplus lent a mefure qu ils font plus diftants du foleil CERTES tiaan Huygens]. és la grandeur des globes les empefche et encore font ils un peu ve e-hyard [Chriftiaan Huygens]. ) sr 9 Scavez vous bien le grand changement qui avec le pur arrive a l’axe de la Terre [Chriftiaan Huygens]. ’) Appellez vous differens ceux qui n’ont Hu à mef me co effacé) [Chr. H. 1. #) Cela eft probable [Chriftiaan Huygens]. à) Pourquoy ? [Chriftiaan Huygens]. ©) ré [Chriftiaan Huygens]. Î) j'en fuis fort eloignè [Chriftiaan Huygens]. #) il faut premierement que ce foient des ps (Chritaan Huygens]. 1) ° obfeur [Chriftiaan Huygens]. #) tout corps compofé d’un gr[and] n[ombre] ou affemblè [Chrift. Huygens]. | , cela eft vray C'Obriftiean Huygens]. dé 6) Koenraad van Beuningen, (voir la Lettre N°. 743, note 4 et la Lettre N°. 2385, note 3) tombé en manie religieuse, mourut en démence, le 20 octobre 1693. 7) Sur William Temple, voir la Lettre N°. 2129, note 7. #), Joseph Auguste Du Cros, né vers 1638, depuis 1672 envoyé du duc de Holstein près de la Cour d’Angleterre, fut agent secret du Roi d'Angleterre lors des négociations de la paix de Nimègue. Après avoir été employé auprès de plusieurs Cours, en 1686 celle du Margrave de Brandenburg-Baireuth, il mourut à Gottorp en 1728. En 1692 il publia un écrit contre William Temple. Œuvres. T. X. S : 41 322 CORRESPONDANCE. 1692. N° 2767. CHRisTiAAN Huycens à PH. DE LA Hire. 9 OCTOBRE 1692. La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens. Sommaire: M. de l’Hofpital. Refraétions de l’atmofph. Hartfoeker verres. Obfervations de l’aimant et des infeétes aux oranges *). Longitude de la Chine Pequin. Caffini devoit donner fes correétions de la Geographie. luy fes obfervations et table des planetes. Syfteme de Hartfoecker. Paralog. de la montre *). Mr. DE LA HIRE. 9 O&. 1692. MONSIEUR Il y a quelque femaines que j’eus l’honneur de recevoir une lettre de Mr. le Marq. de l’Hofpital3) dans la quelle il me faifoit part d’une invention nouvelle qu’il avoit qui eftoit de determiner la longueur d’une portion donnee de la ligne Logarithmique. 11 m’envoia les termes algebraiques qui contenoïent la con- ftruétion de ce probleme, mais comme il y avoit quelque lettre d’oubliée, cela m’empefche de la pouvoir comprendre, Et luy aiant efcrit aufli coft4) pour le prier de fuppleer ce defaut, je n’ay point eu de refponfe jufqu’icy. Je luy manday qu’il me paroifloit que l'invention devoit eftre tres. belle et fubtile, et d’une hardie entreprife, attendu la Nature de cette ligne. Je vous fupplie Monfieur; de fcavoir s’il a reçu ma lettre qui eftoit du... et a quoy il peut tenir qu’il ne m'envoie point la correétion que j’ay demandee. Je doute que peuteftre ilaura reconnu du defaut a fa folution mefme ce que je ne trouveray point etrange puis que les plus habiles en ces matieres peuvent s’abufer. Je vois de temps en temps de vos produétions dans les memoires qu’on imprime de l’academie des fciences $) et j’ay trouvé fort remarquable celle qui regarde la generation de l’aimant autour du fer dans le clocher de Chartres‘). Les obfervations des taches changeantes, dans Jupiter de Mr. Caffini?) font auf fort belles et curieufes et prouvent afflezqu’il ya des nuages dans ce monde la aufli bien que dans le noftre, mais je fouhaiterois bien plus de voir fa Theorie perfettionnée du mouvement des Satellites de cette Pla- nete, et le refultat de toutes fes diligentes obfervations pour le retabliffement de la geographie, dont je ne doute pas qu'il n’aie efcrit un Traitè confiderable. Il doit \ 1) Is’agit d'un article de de la Hire et Sedileau sur un insecte qui s’attache à quelques plantes, notamment aux orangers. Cet article avait paru dans la première livraison des ,, Mémoires de Mathématique et de Physique” citées dans la Lettre N°. 2748, note 9. ?) Voir la note 16 de cette lettre. 3) La Lettre N°. 2760. 4) La Lettre N°. 2762. 5) Voir la Lettre N°. 2748, note 9. 6) Voir la Lettre N°. 2759, note 14. 7) Voir la Lettre N°. 2748, note 10. CORRESPONDANCE. 1692. 323 avoirdeterminè il y a longtemps la Longitude de Pequin dans la Chine par les cor- refpondances avec les P. Jefuites, dont vous avez maintenu cy devant Monfieur les obfervations contre les impertinents raifonnemens de Voflius#). Si je pouvois apprendre ce qui a eftè trouvè touchant cette Longitude, cela me feroit grand plaifir. Mes Pendules qui font allè au Cap de B. Efper.ce pour un fecond Effay devoient eftre de retour des l’eftè de l’an paflée, et je doute maintenant qu’elles ne le feront pas encore de cette année par ce qu’on dit que nos vaiffeaux des Indes n’ont point relachè a ce Cap en revenant, eftant empefchez et emportez par des tempeftes ?). Je vois dans la derniere lettre que j’ay eue de vous ‘°), que vous n’aviez pu vous appercevoir par vos obfervations de la refraétion de l’atmofphere qui hauffe et baiffe les objets eloignez a travers un Telefcope immobile, ce qui me femble etrange parce que je l’ay obfervée non feulement en France avec feu Mr. Per- rault eftant chez luy a Viry mais encore plufieurs fois icy dernier eftè à ma maifon de champ ou je pointay une lunette de 13 pieds vers un clocher diftant d’une petite lieue, dont je pourrois vous envoier mes remarques **). Cette mention de Lunettes me fait fouvenir de Mr. Hartfoecker qui m’apporta il y a quelque temps trois de fes verres objeétifs admirablement bien achevez et polis des quels pourtant a l’epreuve que nous en fifmes enfemble aux flambleaux fur des characters im- primez il ne s’en trouva qu’un qui fuft parfaitement bon, d'environ 40 picds, un autré de 6o tres médiocre et un 3me d'environ 34 tout à fait mauvais, quoy que la matiere paruft eftre fans defaut. Cela me fait juger que fa maniere dont il m’a appris quelque chofe *?) n’eft pas fi fure qu’il penfe ni fi geometriquement demon- #) Il s’agit de l’,, Extrait d’une Lettre de M.V. écrite de Londres le 23 de Février 1688 à M.V.B. touchant les Longitudes, les Marées et le Fleuve Oby”” publié dans la livraison de mars 1688 de la ,, Bibliothèque Universelle et Historique”. La lettre avait été envoyée par van Beunin- gen à Christiaan Huygens, nous l'avons reproduite sous le N°. 2518. De la Hire en fit insérer une réfutation dans les , Mémoires de Mathématique et de Phy- sique”” cités dans la note 9 de la Lettre N°. 2748. A propos de cet article, on lit dans les Nouvelles de la République des Lettres d'octobre 1688 : , 11 n’en est pas de mesme de #. de la Hire, qui s'étant trouvé attaqué personnellement dans les Diverses Observations, que M. Vossius publia en 1685, le repousse icy fort rudement, & le prend également à partie & sur les observations & sur la Lettre”. 9): On rencontre dans le Livre H des Adversaria une note, tirée par Huygens d’une gazette d'Amsterdam et datée 26 septembre 1692, suivant laquelle le navire ,,de*Waelstroom”, était arrivé près de Terschelling avec cinq autres, partis ensemble de Batavia le 30 janvier, dont, à cause de tempête, aucun n’avait pu aborder au Cap de Bonne Espérance. Huygens ajoute ensuite que de Graef avec les horloges se fera bien attendre encore une année. Cependant de Graaff, comme il paraît par les Lettres Nos. 2703 (datée par erreur 1691 )et 2772 est retourné à Amsterdam vers la fin d’octobre 1692. Consultez d’ailleurs, sur le séjour de de Graaff au Cap, la Lettre N°.2720. ‘ 197) La Lettre N°. 2658. 21) Voir la Lettre N°. 2619, note 1. 7?) Voir encore la Lettre N°. 2748, à la page 278. 324 CORRESPONDANCE. 1692. ftrable comme j’ay vu que l’on la debite dans le Journal des fcavants'#). De plus elle demande extremement du temps a ce qu’il m’a dit comme d’un mois ou 6 femaines pour un feul verre ce qui eft une autre raifon pour quoy je prefere beaucoup la miene, que j’ay eftudiée pendant 3 ans depuis mon retour de France, et qui nous a produit quantitè de tres bons verres de toute forte de longueur jufqu’a 210 pieds #). Nous effaierons au premier jour contre le plus long de ceux cy un objeétif de Mr. Hartfoeker qu’il dit avoir a peu pres du mefme calibre. S’il peut tenir a cette epreuve, j'en auray meilleure opinion de fa methode. Que juge-t-on a l’academie de fon fyfteme du monde *5), où il attribue un etrange pouvoir aux raions du foleil. l'Experience du reffort qui a ce qu’il dit, en eft agitè au foier d’un miroir concave eft elle vraie? et fi elle l’eft, ne feroit ce pas de l’alterarion ou extenfon que la chaleur donne a l’endroit du reffort le plus echauffè. On voit tous les jours bien de produétions nouvelles mais peu de bonnes, tefmoin entre autres la demonftration admirable de voftre profeffor Ramius de la 47e du premier livre d’Euclide). J'attends en recompenfe que vous nous donnerez vos obfervations etnouvelles Tables des Planetes 7) qui ne manqueront pas d’eftre aufli exaétes que celles des Fixes, du Soleil et de la Lune, que nous vous devons. Croiez Monfieur que j'ay une grande eftime pour tout ce qui vient de vous et que je fuis avec paflion &c. quand vous me ferez l’honneur de m ”efcrire, mettez je vous prie dans la fufcription Seign.r de Zéelhem, pour me diftinguer d’avec mon frère ainè. PS. Comme j’eftois preft de fermer cellecy Mr. Hartfoecker vient de m’apor- cer la refponfe de Mr. le Marq. de l'Hofpital **) que j’attendois. Je n’auray pas a prefent le temps de l’examiner mais le feray au pluftoft. Cependant je vous prie de ne luy rien dire de ce que j’ay efcrit couchant fon probleme mais feulement que j'ay receu fa lettre, et que je luy manderay dans peu comment j’auray trouvè fa conftruétion. D 4 13) Dans le Journal des Sçavans nous n’avons pu découvrir aucun jugement sur la manière de Hartsoeker. 14) Voir, sur ce verre, la Lettre N°. 2441, note 5. 15) Essay d’un nouveau Système du monde. À Paris chez Jean Cusson 1691, in-4°. Un résumé de cet ouvrage se lit dans le Journal des Sçavans du Lundy 11 Fevrier mpexcir. 16) On rencontre cette démonstration entièrement manquée du théorème de Pythagore dans le Journal de Sçavans Du Lundy 2 juillet M.pc.xc1 sous le titre: ,, La quarante septième propo- sition du premier livre des Elemens d’Euclide, démontrée par les seuls premiers principes, & sans le secours d’aucun autre théorème. Par M. La Montre Professeur de Mathematique & de Philosophie”. D’après l’article du Journal, La Montre avait longtemps enseigné les Mathématiques au Collège de France en la chaire de Ramus, & ensuite au Port et Arsenal de Rochefort, en qualité de Professeur Royal d’hydrographie. 17) La seconde partie de l'ouvrage cité dans la Lettre N°. 2568, note 9, comprenant les Tables des Planètes, ne parut qu’en 1702. 13) Voir la note #) à la fin de la Lettre N°. 2765. CORRESPONDANCE. 1692. 325 N° 2768. CarisTiAAN Huycens au Marquis DE L’HosprraL. 22 OCTOBRE 1692. La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle a été publiée par P. J. Uylenbroek”). La lettre est la réponse au No. 2765. , De l'Hospital y répondit par le No. 2775. À Mr. le Marquis DE L’HospiTaAL. 22 O&. 1692. La reponfe dont vous m’avez honorè, Monfieur, datée du 10 Sept., ne m’a eftè rendue par Mr. Hartfoeker, que le 9 de ce mois, comme vous pouvez avoir appris de Mr. de la Hire*). Il n’y avoit point de cachet, et je crois que ceux a qui vous en auiez bien voulu laiffer voir le contenu, l’auront retenue fi longtemps contre voftre intention. J’ay fujet de me plaindre d’avoir eftè privè pendant pres d’un mois du plaifir de voir voftre excellente conftruétion du probleme de la Logarith- mique, qui m’a donnè de l’admiration et de l’exercice. Je n’eus point de peine en faifant un peu de calcul de m’affurer de la vericè de voftre demontftration 3), mais de fcavoir par quelle voie vous eftes parvenu à cette folution, c’eft ce que je n’ay pas encore tout à fait penetrè. La divifion de vos MN en deux parties eft bien imaginée, dont la fomme des unes ne m’a point retardè, parce que j’en avois rencontrè des femblables +). Pour l’autre fomme il me paroit #) Chr. Hugenii Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, p. 237. ?) Voir la Lettre N°. 2767. 3) On rencontre cette vérification, qui ne présente rien de bien remarquable, à la page 99 du livre H des Adversaria. Disons seulement que Huygens y retrouve la valeur de OP ou KQ, indi- quée par de l’Hospital, en appliquant la proportion: PO : HP (ou dy) — GH ou 2): la soustangente de la courbe HI sur EL, et en calculant la valeur de cette soustangente, par la règle mentionnée dans la note 3 de la pièce N°. 2612, à l’aide de la deuxième des formes de l’équation de la courbe HI, dans la note 6 de la Lettre N°. 2765; tout en éliminant après coup le z au moyen de la première de ces formes. De même il déduit ensuite la valeur de RS, donnée par de l’Hospital, à l’aide de la pro- portion: RS : RC (ou QK) — 4 (la soustangente sur TE de la logarithmique): KE, où, d'après la construction de de l’Hospital, KE —GH — = [ 4° ]//2 + 41/24? + 2y IE #) Des annotations de la page 99 du livre H, citée dans la note précédente, il résulte que Huy- gens n’a pas manqué de reconnaître que l’expression yy :V/24+ y représentait l’accroisse- ment de l’hypothénuse du triangle TFE, où TE — 4 EF — y; d’où il suit immédiatement que la somme en question est égal à TG—TF. / 326 CORRESPONDANCE. 1692. que vous l’avez reduite à la quadrature de l’hyperbole, en y reduifant la courbe ai JV/4a+9y pas aifè; et fi vous avez quelque regle pour cela, ce que je feray fort aife de fcavoir, je l’eftime extremement. J’entrevois un autre chemin, par ou vous pour- 3V aa + ÿy 4 dont l’équation eft x, ce qui doit eftre poflible 5), mais il n’eft riez avoir paflè, qui eft de trouver qu’a la foutangente convient voftre courbe geometrique 44y + 2442 L/ 2 % 2y22°) mais ce chemin eft plus S) Voici comment cette remarque est motivée plus amplement à la page 107 du livre H:, [1 a reduit la connoissance de la somme des 444dy : y | /_ aa +-7yy dans la portion AB, à la quadra- ture de l’'Hyperbole. #»Comme les 4 sont de petites lignes egales, si on met une ligne donnée, comme 4 au lieu de dy, On aura 444:7 aa—+-Yy; laquelle supposant —x, on aura une ligne courbe dans la- quelle toutes les appliquées x seront à autant de #, comme la somme des #4dy : y |/ aa+-yy à autant de dy dont la somme est connue. Et partant si on trouve la quadrature de cette courbe 43:y 1/44 yy—x, ou bien 4° — 44xxyy + y#xx, on aura la somme cherchée des aady : | /_aa+-yy. Ou elle sera reduite à la quadrature de l’hyperbole, et par consequent à la construction par la logarithmique, si la dite quadrature de la courbe se reduit à la quadra- ture de l’hyperbole. Ce qui assurement doit estre possible et cela est fort beau s’il a quelque regle pour cela. Car toutes les #, c’est à dire un rectangle donné, compris de FG et de la soutangente #, se trouvent icy estre à toutes les x, ou a l’espace de la courbe, comme la ligne LD—KC à GF [fsez: comme GF à LD—KC], c’est à dire comme le dite FG, # à un espace hyperbolique sur l’asymptote (c’est à dire dans l’hyperbole equilatère dont le quarré à l'angle des asymptotes est #4) duquel espace les perpendiculaires soient en raison des deux (aa Vs+ a|/ 244+ 2aa+-237) : 27, estant y— EF, et puis y—EG; car cet espace hyperbo- lique est au quarré de l’angle comme LD—KC à la soutangente a; donques toutes les dites x, ou l’espace de la courbe est égal à cet espace hyperbolique”. "C(Remarquons qu'en effet, puisque d’après l’énoncé du problème dans la Lettre N°. 2765, les deux valeurs ÇeaV/ 2+ a|// 2484239) : 2y rer, les lignes D Sr et GH (—EK), l’espace hyperbolique mentionné égale #2. 1 a ee — ie —— ), ou bien, en con- séquence de la propriété principale de la ligne LARET a (LD KC). Ensuite Huygens ajoute encore: Il est plus vraisemblable qu’il ait tenu ce chemin, que celui qui est marqué à la fin de la page 101 [voir la note qui suif]. Car il est malaisé de s’en aviser, et il faudroit avec cela connoître que y V/2+5 : 4 est soutangente à la ligne géomé- trique 222y — 44 - 244z V2; qui est HOI, ce que je tiens très difficile. Il peut avoir em- ployé cette HOI, trouvée par la precedente reduction pour servir à sa demonstration”. 5) En supposant inconnue l'équation de la courbe HOI, mais en admettant en principe la con- struction de de l’Hospital, d’après laquelle RS devait représenter 4° dy : y 1/44 +-yy, d’où il suivit, par la propriété de la logarithmique, RC ((—QK=PO)=424) : y V' 4445) pour CORRESPONDANCE. 1692. 327 detournè, et la dificultè n’eft pas petite de trouver la courbe pour cette foutan- gente donnée. J'avoue que je n’ay gueres approfondi ces matieres, m’eftant exercè principalement à appliquer la geometrie à d’autres fpeculations ou elle peut avoir quelque ufage. Je fcay bien que ces quadratures des courbes et le pro- bleme renverfè des Tangentes en bien des occafions peuvent eftre de fort grande utilitè, mais voiant le progres que Mess.rs Leïbnitz, Fatio et Newton y avoient faits, devant que j’y euffe fongè, j’ay tafchè pluftoft de profiter de leur travail que de me mettre à chercher apres eux, fur tout depuis que Mr. Fatio m’a fait efpe- rer?) la publication d’un traitè de Mr. Newton fur ce fujet, qui, à fon avis, en fcait bien plus que luy et Mr. Leïbnitz enfemble. J'ay remarquè en examinant voftre invention, qu’on peut auffi trouver la furface du folide mefme infini *), que fait une portion de la Logarithmique en tournant fur la fouftangente, c’eft-à-dire luy trouver un cercle egal, en fe fervant comme vous, Monfieur, de la ligné mefme, d’où s’enfuivent les centres de gravitè des portions lineaires?). J’ay aufli determinè le cercle qui mefure fa plus grande courbure "°); mais cout cela eft aifè et nullement comparable à ce que vous avez fait. Vous fcavez fort bien l’ufage à ce que je vois, des 4x et dy de Mr. y—=EG, :=EK—=GH, il était en effet facile de calculer la valeur de la soustangente sur EL de cette courbe HOT, après quoi il s’agissait de remonter par là à son équation. C’est ce raisonnement que l’on reconnaîtra dans les phrases qui suivent et que nous avons empruntées à la page 101 du livre H: : 2 Méturs eat à juste Mr DC a (TE) : z(EK) AE EDR Date (OP—RC—QK) GH—3 incerta adhuc, sed quaecunque futura est, eam statui ponere in EK ad Logarith- micam, ut et PO in RC, et habere SR pro #41 : 4722 yy. Quaeretur quanta tunc futura sit RC vel OP, et fitzzi : y ] / aa +- y; unde tunc curva HOI quaeritur ex subtangente sua y }/ 44-99 : 4. Et invenitur esse geometrica. Unde cognoscitur ratio duarum GH FI; seu EK, EL.” j Inutile d'ajouter qu’au point de vue moderne le problème n’en était guère avancé, puis qu’il se réduisait de cette manière à l'intégration de l’équation différentielle 4zdy — y 1// aa—yy dz qui dépend de l'intégrale même qu’il s’agit de trouver. 7) Comparez la Lettre N°. 2745. #) Voir l’Appendice I de cette lettre, la pièce N°. 2769. 9) A l’aide de la règle de Guldin, puisque la longueur de la courbe peut se construire par le théorème de de l’Hospital. 19) Voir l’Appendice II à cette lettre, la pièce N°. 2770. 328 CORRESPONDANCE. 1692. Leiïbnitz, qui affurement a quelque chofe de fort bon, en ce qu’il nous fait appercevoir fouvent des veritez et des confequences, qui ne fe prefenteroient pas fans cela. Je mets icy, puis que vous l’avez fouhaité, 3 queftions, que je luy ay cy-devant propofées 1}, L'une eftoit, de trouver la ligne courbe AB par fa foutangente donnée CD 5 7%"; AC eftanc x et l’appliquée CB ». 344 — 2% 8 La 2e, eftoit de trouver la courbe quand la foutangente eft 4 2x 2, LE = 2% Dr La 3e. de trouver la quadrature de cette mefme courbe. . J'adjoute encore celle cy: de trouver la courbe et fa quadra- 3 ture, ou a quoy elle fe reduit, quand la fouftangente eft 2x KÈ RE J'ay des regles pour ces problemes horfmis les quadratures 3). Et mefme ces regles ne refolvent pas tous les cas, encore qu’il n’y ait point de racines meflées. Et pour ceux ou il y a racine, la regle que j’ay de Mr. Leibnitz +) ne fert que peu fouvent et nullement en la foutangente de cy-deffus y CAE Il a refolu les 3 queftions que je viens de raporter horfmis la premiere par ce qu’il arriva par accident que je lui decouvris la courbe dont il s’agifloit'$). Ayant defia eftè 11) Voir, pour les deux premiers problèmes la Lettre N°. 2611, les notes 3 et 5 de la Lettre N°. 2612 et la Lettre N°. 2643; pour le troisième, où il s’agit de la quadrature des courbes 2a°x° —4°y? + y4, on peut consulter la Lettre N°. 2667, aux pages 56 et 57. 12) Voir, sur ce problème, la note 15 de la Lettre N°. 2735. 13) I s’agit de la méthode de Fatio; consultez la note 11 de la Lettre N°. 2465. 14) Voir la pièce N°. 2713. 15) En effet, par suite du malentendu sur le signe de la soustangente, dont il est question dans la note 3 de la Lettre N°. 2612, Leibniz avait cherché et trouvé (voir la Lettre N°. 2627) la solution de l’équation différentielle y D = (2sty ax) : (34°*—2xy), tandis que le pro- blème, tel que Huygens l'avait entendu, devait mener à une équation qui diffère par le signe du second membre. Alors Huygens, pour convaincre Leibniz de la fausseté prétendue de sa solution, lui avait révélé, dans sa Lettre N°. 2633, l'équation dela courbe à laquelle conve- nait la soustangente donnée. Leïbniz d’ailleurs avoua dans sa Lettre N°. 2636 que, pour résoudre le problème tel que Huygens l’avait conçu, il aurait dû avoir recours à d’autres adresses” dont il ne s’était pas servi parce qu’il avait trouvé fort aisément ce qui lui avait été demandé, CORRESPONDANCE. 1692. 329 trop long, je ne vous propoferay rien de phyfico-mathematique, et je ne fcay mefme fi je crouverois maintenant rien en ce genre qui meritaft voftre medi- tation. , Je viens de recevoir un imprimè de Florence du Sigr. Viviani, avec le titre extravagant de Formatione e mifura de tutti i cieli *). 11 contient la folution de quelques Problemes Geometriques, mais fans demonftration, des quels le principal eft la quadrature du refte d’une furface fpherique, quand on en ofte ce qu’emportent deux forets cylindriques qui la per- cent tout outre. La fphere eft ABCD), les forets ou leurs A trous cylindriques AE, EC, occupant chacun la moitiè du diametre de la fphere 7). Les problemes de Geometrie pure font infinis, des quels j’eftime le moins ceux où l’on fe forge tout expres des lignes ou des furfaces, auparavant inconnues ni vues dans la nature, pour en rechercher les proprietez, comme je vois que font fouvent quelques Geometres Allemans, entre autres celuy qui, dans un des derniers journaux de Leipfch, a entrepris de determiner la figure du voile tendu par le vent, ou je crois qu’il s’eft trompè par quelque faux principe ‘*). Je feray bien aife, Monfieur, d’en apprendre voftre fentiment, eftant perfuadè plus que jamais de l’excellence de voftre fcavoir et jugement en ces matieres. Je fuis avec refpe&, etc. Pardonnez a mon impatience fi je vous fupplie tres humblement de me faire cenir fans de fi longs detours celles que vous me ferez l'honneur de m’efcrire, et LA La 16) ,Formazione e misura di tutti i cieli, con la struttura e quadratura esatte del’ intero, e delle parti d’un nuovo cielo ammirabile, e di uno degli antichi delle volte regolari degli architetti”. Firenze 1692. in-4°. 17) I s’agit de la solution, donnée par Viviani lui-même, d’un problème qu’il avait posé aux géomètres, sous le pseudonyme: D. Pius Lisci pusillus Geometra, anagramme de: postremus Galilei discipulus, dans une feuille volante, datée du 4 avril 1692 et qui portait letitre: »Aenigma geometricum de miro opificio Testitudinis Quadrabilis Hemisphaericae”. Le problème revenait à celui de percer un dôme hémisphérique par quatre fenêtres égales de sorte que le restant de la surface était absolument quadrable. I1 fut résolu de plusieurs manières différentes entre autres par Leibniz, dans les ,, Acta” de juin 1692, et par Jacques Bernoulli, dans ceux d’août 1692, sous les titres: ,Constructio tes- tudinis quadrabilis hemisphaericae; Autore G. G. L.” et ,Aenigmatis Florentini solutiones varie infinitae, per I. B.” À la page 115 du livre H des Adversaria on rencontre, sous la date: , Hofwici 27 Oct. 1692”, une discussion de la première solution de Bernoulli et la démonstration de son identité avec celle de Viviani, rapportée dans le texte de cette lettre. Nous les reproduisons dans la pièce N°. 2771, comme Appendice III à la présente lettre. 18) Voir la note 33 de la Lettre N°. 2693 Œuvres. T. X. 42 330 CORRESPONDANCE. 1692. faites adjouter s’il vous plait à la fuperfcription après mon nom, Seignr.de Zeel- hem, ce qui me diftingue de mon frere aifnè. Oo N° 27609. CHRISTIAAN HUYGENs. [oOCTOBRE 1692]. : Appendice I1*) au No. 2768. La pièce se trouye à Leiden, coll. Huygens. Ut EB *) ad BT ita SB ad BK. Ergo EB feu PO in BK — BT feu BX 5) in Fig. 1. se qe n” ù > BS. Sed ut PO in BK cum fequentibus inter fe ita funt fuperficies ex fingulis BK cirça afymptoton, ergo hae etiam ut [la ex BX in BS. 1) Quadrature de la surface de révolution de la logarithmique tournant autour de son asymptote. Cet appendice a été emprunté à la page 106 du livre H des Adversaria. 2) Voir la figure 1, dans laquelle AB représente une logarithmique, dont la soustangente TP possède la valeur constante 7, et VX une hyperbole équilatère, dont l’axe EV est égal à cette soustangente PT. De plus, on pose EB— %. Ajoutons que nous avons mis un accent à l’un des S de la figure et du texte pour éviter un double emploi. : 3) Puisque BX°—BE?—EV?=—TP*; donc BX°—BE* +4 TP°=BT*. CORRESPONDANCE. 1692. 331 Nota fuperficiem ex BK. circa ET, toties fumptam quot funt particulae divi- fionis in BE, aequari fuperficiei ex BX circa TEZ, quia totidem funt particulae ipfi BK aequales in BT, cui aequalis BX. 2 [7 BZ ad 2 fpat. BXVE ut fuperficies cylindrica ex BX circa obV//aa+bb , al+bl/aa+bbs) | EZ ad infinitam ex BA circa ET #), Sed fuperficiei iftius cylindricae dimidia eft conica fuperf. ex BT circa ET. Ergo : &|//aa+ bb : al+b|/ aa + bb bV/aa+ bb J b|/ aa + bb | ut fuperf. conica ex BT ad fu- SCIE ES a perf.m infinitam ex BA. BMS) : BM+KP5°) Fig. 2. SP?) logiftica five logarithmica afymptotos TM. BT tangens in B. BM perp. TB. BE perp. TM. BN=—BE, TRH perp. TM. TR=TN. TH=TE. RS, HP parallelae TM. SK perp. HP. Hic HT ad RT, hoc eft Ppad Sr ut in fuperiore figura EV feu VN ad XH®) hoc eft ut VS’ ad XL, TRE 0 M unde KP hic [fig. 2] eft /; quae 1 À % 7) Voici le raisonnement qui peut conduire à cette proportion: D’après la phrase précédente on sait que l’élément A de la surface cherchée, multiplié par A égale la surface cylin- drique Æ décrite par BX autour de EV; on a donc BE : BS—Æ: A, ou bien: 2 X BE X BX : 2 X BS X BX —Æ': A, ou encore : 2 CD BZ : 2 ZBS X BX—E# : FA, ce qui constitue la proportion indiquée dans le texte. Ici ] / aa+- bb représente le double du triangle EBX et 47 le double du secteur hyperbo- lique EVX; on a donc, par définition : 4/— 2 X EVX—2 X VS'LX, c’est-à-dire : l:a=2X NS'ELX : 4° = VS'LX : [JES’VD. Consultez, sur ces lignes BM et KP, la figure 2, où l’égalité de BM avec SAGE SL s vérifie aisément, tandis que celle de KP avec / va être prouvée dans la suite. Voir la figure 2. 5) Puisque XH—HZ—XZ—E7—EB—=BX—EB—BT—EB (dans les deux figures) = TN (de la fig. 2) =RT. 332 CORRESPONDANCE. 1692. nempe ad fubtangentem TE = # fe habet ut portio hyperbolica VS'LX ad qu. ES'VD in fig. fuperiori ?). Jam ficut BM f[fig. 2] ad BM + KP, ita erit fuperficies conica ex TB cirça TE converfa, ad fuperficiem infinitam ex BSV circa afymptoton *°). 9) Puisqu’on a en effet: KP — HP—RS —4 vi RT TR (d'après la Po. principale de la er LX ; logarithmique) = # 4 XL S (voir la fig. 1) =4X DES VD — aX — 1 après la note 5)—=/. 19) On trouve donc, en langage moderne, que la surface de Lohan cherchée égale KP ai G+v XTEXBE= (it UE SL 54 Les): ps dates. qu b a +R X 1 # +h=nb]/ à +R na] cn sent résultat correct, dépendant de l'intégration de /”|/7#° + dy. En outre il est clair qu’on peut construire maintenant le rayon VC + sn )X TBX BE du cercle dont l’aire égale celle de la surface de révolution. Et de même on peut exécuter la même construction pour une portion finie de cette surface, comme Huygens l'annonce dans sa Lettre N°. 2768 à de l’Hospital, en considérant cette portion comme constituant la diffé- rence entre deux surfaces qui s'étendent jusqu’à l'infini. CORRESPONDANCE. 1692. 833 N° 2770. CHRisTIAAN HuyGEns. [ocroBrE 1692]. Appendice IT). au No. 2768. La pièce. se trouve à Leiden, coll. Huygens. Quaeritur punétum E, in logiftica ubi maxima ejus curvitas; item radius EG et punétum G, unde defcripta circuli circumferentia fit maxima earum quae logifti- cam in E intus contingant: arts lo 2 Fig. 1. LN— : 4, EG =3EN. / EB logiftica. QM afymptotos ejus. QE tangens EL perpen- dicularis ad afympt. QL=afubtang.; EN perp. QE;RK= 7; EL=x;BM perpend. RB. LV=LN;KT=KM. Erunt punéta V, T ad logifticam oppofñitam cujus eadem afymptotos OM, fed "ti , fubrangens erit + 4;quia om- nes LV, KT etc. proportio- nales funt aeque ac EL, BK, etre fs, ?) Calcul du rayon de coirbiüré minimal dé la logarithmique. Cèt appendice est emprunté a la pagé 104 du livre H des Adversaria. Probablement Huygens veut diré que puisque d’après la définition même de lalogarithmique (ou logistique), les ordonnées, également distantes EL, BK, etc. de la courbe EB seront des proportionelles continues, il en devra étre de même des LV,KT, etc. qui sont égales à EL? BK? È 7 etc., d’où il suit que la courbe VT sera encore une logarithmique. Comparez, à la ——— ? 4 page 176 du ,, Discours de la cause de la pesanteur”, les premières phrases de l’énumération des propriétés de la ligne logarithmique. 334 CORRESPONDANCE. 1692. Fig. 2. Si ‘autem BK —2EL [fig 2] fit B/ . KT =4LV; unde fi GH=2LV ft GL vel GK =! LK. E 2d SP 7" Et quia eadem ratio LV ad GH quae 2 AE € LE ad KB erit fubtangens logifticae V2 Eh Kg M NT ad fubrang. logifticae EB ut LG ad 4 LE LK3). T Ratio OB [fig. 1] ad BP : + aad a). ratio BP ad NM : La ad La +7 haec fecundum metho- dum noftrum in libro de Evolutione curvarum 5). 5) ) : ratio OB ad NM five EG ad GN : = xx + 48 ad : 44 + xx XX + da ad 2XX + 44 Consultez, à l’endroit cité du ,, Discours de la cause de la pesanteur”; la se propriété, d’après laquelle la soustangente # est égale à la distance entre les ,,ordonnées de la raison double”, multipliée par-un nombre constant. OB N |. ÿ = = » et QL= 6, QN—QL EL : QL=e+ À Allusion au passage suivant, que l’on rencontre dans la ,,Pars Tertia”: ,, De linearum curva- rum evolutione et dimensione” de l’,Horologium Oscillatorium” dans le texte de la ,,Pro- positio XI”: ,,At non aeque liquet quo pacto ratio [BP —]KL [voir la fig, r de cet appen- dice] ad MN innotescat, quam tamen semper quoque reperiri posse sic ostendemus”. »Sint rectae KT,. LV, perpendiculares super KL, sitque KT aequalis KM, et LV aequalis Puisque _ LN, et ducatur VX parallela LN, quae occurrat ipsi KT in X. Quoniam ergo semper eadem est differentia duarum LK, NM quae duarum LN, KM, hoc est, quae duarum LV, KT; est autem differentiae ipsarum LV, KT aequalis XT, et XV ipsi LK; erit proinde NM aequalis duabus simul VX, XT... Atque adeo, si data fuerit ratio VX ad XT, data quoque erit ratio VX ad utramqué simul vx, XT.... hoc est, data crit ratio VX sive LK ad NM”. »Sciendum est autem, quoniam KT ipsi KM, et LV ipsi LN, aequales sumptae sunt, Li punctorum T,, V fore lineam quandam vel rectam vel curvam datam... En appliquant ce passage au problème qui flous occupe, on trouve facilement : LR de NX dope lil TVXHEXT — YLHLV Mere 1 comme on l’a vu, une logarithmique à soustangente 24: » où LV=LN = tYLz= ; a, puisque la courbe VT est, CORRESPONDANCE. 1692. 335 ratio GE ad EN : xx + 44 ad xx AAXX + X 1 74 aa + aa) aa ERP EN PTT EUR — minimae. Va HA HS SV/aa+ xx = min. xxAd + X4 A + aaxx « rt? + 240 + 2XX + -———— ps = = Min. 771 XX 9) ./HLaf PA aax aixx + d si Et: a: et +3 Me. D = minimum FTAZE . 283997 PAZ, it AAXX | M'A bail bib ai Le de max. ec minimis; 6). 4x° + Gaaxt— 24 = 0 2x axi x = 0 Pet +34 per 2x —4a divifio : x4+9244xx +44 ; 2XX = 44 i4 152 f f tt l LL { ; L { Hp 1904 A9 Er RE 4 EL= x = we fi t£c VyriuT "= HY : 5) La règle de Hudde:. aie dois A | same" à la page 511 de l’ouvrage, cité dans la Lettre N°, 592, note 5. 336 CORRESPONDANCE. 1692. N°29 rl CHRISTIAAN HuyGEns. 27 OCTOBRE 1692. Appendice IIT au No. 2768. La pièce se trouve à Leiden, coll. Huygens. Conftruétio J. Bernoulij ad Aenigma Viviani Florentia mifi [fic] ad Leibnitzium cujus conftruétio alia ac non tam elegans fed tamen hujus fundamentum *). : GKB eft quadrans femifphaerae. Po- Fig. 1. lus G. Aequatoris quadrans BK. Centrum G fphaerae A. BA, KA re@tae. KHB eft fu- perficies ungulae dimidiae cylindricae 45 gr. fupér quadrante AKB. 91 194 À punéto quovis C in arcu BK fit CL parall. KH. CE perpend. BA.CL=—CE. Arcus CF in quadrante CG aequalis fu- A matur arcui CB ac fimiliter alia punéta in- ?/ ‘veniantur in fphaerae fuperf.m per quae É tranfeat curva GFB*). Dico fpatium 4 GFBCKG:3) aequari fuperficiei ungulae KBH. Ducatur enim radius CA et ineum * perpend. FD, item CE perpend. in BA. z Jam FD erit = CE vel CL. Quare fpa- tiolum FC inter quadrantes minimo dis- tantes qui à polo G ducuntur aequale fiet H fpatiolo CL eidem minimo arcui cireum- ferentiae BC infiftenti (hoc eft notum theorema ex relatione fuperficiei fphaericae ad cylindricam cireumfcriptam) #); 7) Voir, sur le problème de Viviani et les solutions de Jacques Bernoulli et de Leibniz, la note 17 de la Lettre N°. 2768. ?) C’est la première construction de Jacques Bernoulli, communiquée sans démonstration dans l’article cité dans la note 17 de la Lettre N°. 2768. En effet, BFG constitue le contour de l’une des quatre fenêtres perçant le dôme hémisphérique qui a pour base le grand cercle BG et pour sommet le point K. 3) Ilest clair que l’aire GFBCKG constitue la quatrième partie de la surface restante du dôme. 4) :C’est la méthode employée par Leibniz pour la quadrature dessa surface restante; cette sur- face diffère de celle de Bernoulli. CORRESPONDANCE. 1692. 337 atque \ita totum fpatium fuperficiei fphaericae GFBCKG aequale fuperficiei femiungülae BCKH, ac proinde quadrato radii AB 5). AC= AB; CD—=—EB quia FD = CE ex conftrutio; AD — AE; ergo triang. BAD > CAE quia angulus communis ad A. Ergo cum ang, AEC fit re@us erit et ADB reétus. Ergo puné&tum D in femicircumferentia ADB. Ergo tota GFB fuper tota femicircumferentia ADB. Hinc GFB curva eft in fuperficie femicy- lindrica fuper ADB). Hinc eadem eft curva GFB atque in figura inferiore 7) AEFD. Nam ficut ibi *) à B ad omnia punéta lineae AEFD funt reétae aequales, ica hic à punéto A. D'is 4 Fig: 0, T G Si UES s r j — R P H s F( s AE M B 0 Q N CylindriGL7 )latus AB aequale diametro ipfius BD.Radio BA centro B defcripta eft in cylindri fuperficie, linea curva AEFD. Si jam?) in planum extendatur 5) On retrouve ce dernier théorème dans l’article de Leïbniz, cité dans la note 17 de la Lettre N°. 2768, où Leibniz (Acta, 1692, p. 277) ajoute: ,, Haec propositio etsi ex calculo nostro paulo ante posito statim derivari possit, quia tamen dudum innotuit Geometris, non est cur immoremur. Videantur qui de linea Sinuum et Cycloide egere”. En effet, en développant la surface cylindrique, la courbe BLH se transforme dans une sinusoïde, courbe dont la quadrature était bien-connue. Ici finit la démonstration de l’identité de la solution de Jacques Bernoulli avec celle de Viviani exposée dans la Lettre N°. 2768. Ce qui suit contient des recherches sur la courbe BFG. Voir la figure 2 de cette pièce. C'est-à-dire dans la courbe AEFD de la figure 2, dont la définition va suivre. Ce qui va suivre contient la démonstration d’une propriété remarquable de la courbe AEFD, qui consiste en ce que, si on l’enroule, avec la surface cylindrique qui la contient, sur un autre cylindre à rayon DB, touchant le cylindre donné le long de la droite A B, alors elle s’identifie avec l’intersection de ce nouveau cylindre avec un plan faisant un angle de 45° avec sa base. Œuvres. T.X, . 43 338 CORRESPONDANCE. 1692. fuperficies hujus cylindri fciffa fecundum latus CDipfi AB oppofitem, erit fpatium comprehenfum curva AEFD, femicircumferentia DKB, et re&ta BA, eâdem figura et magnitudine atque MPNO fig. 3] dimidium involucrum cylindrieum ungulae anguli fémireéti fuper femicireulo cujus radius OM aequalis AB five AC x} Sumatur enim in curva AEFD punétum aliquod E, per quod ducatur planum bafi cylindrici GL parallelum, faciens in cylindro ciréblun EF, cujus circumfe- rentia fecet AB in H, et jangantur HE, EB. Accepiatur porro MR, pars radii MO, aequalis AH, et applicetur normaliter RP fecans quadrantis MOQ arcum MQ in $, et jungatur SO. Erit triang. ROS fimile et aequale triang°. HBE, quia RO —HB; OS —BE et anguli R et H re@i. Ergo er RS—EH. Eft autem circuli HE diameter fub- dupla diametri circuli MS. Ergo arcus EH aequalis arcui SM, hoc eft reétae RP. Ergo explicatus arcus EH faciet applicatam ad AB, quam fit Rp etc. Si OT poflit duplum OM ‘*), ec fit ellipfis quadrans OTVQ, erit Curva TVQ —=MPN. Ergo et ipfi AEFD *). 19) On doit donc se représenter cette figure MPNO comme engendrée par le déroulement de la courbe d’intersection:MFB; (voir la figure ci- M contre) d'un cylindre droit à base circulaire AODB (OA—=OM) avec un plan passant par AB et faisant R P un angle de 45° avec le plan du cercle ODB. ï F Il est clair, en effet, qu’alors, pour construire un E Ne point P de la courbe MPN on doit prendre R P égal à l'arc circulaire RF qui se confond avec l’arc MS de la figure 3 du texte, puisque RE — MR. 11) C’est-à-dire si OT? — 20M°. 12) De cette manière la rectification de cette dernière courbe est réduite à celle d’un quadrant elliptique. CORRESPONDANCE. 1692. 339 N° 2770. J. DE GRaarr à CHrisriAAN HuyGEns. LI NOVEMBRE 1692. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle est la réponse à une lettre que nous ne connaissons pas. +) Edie Actbare UEd.le Laaften a1z0ok de Eerfte brieven zijn mijn bijde wel toegevoeght, waar uit ik ook wel verftaa de grote verlangingh die uE achtbare ontrent de horologien vertoont te hebben. Wegens dien aangaand gepaffeert is, en hadde al overlangh gedacht UEd.le achtb.re bij te zijn; maar nadien ik nogh geen ordre en heb van de Ed.le Heren bewinchebberen hoewel ik, mijn genoegfaam aan haar Ed.le vertoont hebben en zij ook wel weten dat ik hier ben ‘) zoo weet ik niet waar heen ik mijn keren zal, Ende dewijl dat ik geen andere voornemen heb, als om uE.le achtb,re onderdanigheïjd te betonen, ik twijffel evenwel niet off ik zal int cort, daarvan Rapport bij de camer van 17. dat op morgen of overmorgen dencke gefchiede zal of haar Ed.le zullen wel apperent en dat ik voor tnaaften wel gelooff mij tot UEd.le achrtb.re afsenden &a om aan UEd.le achtharen met ten Eerfte rapport [te ]°) doen ik hope UEd.le achtb nietrten quaaft [en s]*) ullen duijden dat ik tot hier tot heb vertoeft als zulx wel meeft coegekomen door dien ik niet in ge- noegfamen ftaat van gezontheyt was. hiermede Eyndighende blijve UE dienftwillige en Altijt begerende dienaar J- d. GRaaArr. Actum tot Amfterdam À° 1692 11 novemb. .… als UEd.le fchrijf zoo kunt uEd.le fchrijven ia den Elandftraat in de Salamander aldaar ben ik bij mijn E vader 5) thuijs. Aande WelEd.ie Achtb.re wijze Erenfefte en zeer difcrete Heer Min Hr. Crisriaan HuycenNs Hr van Zelem &. Tot Voorburgh buyten den Haagh. sh geantwoord den 25 nov. Verfoeck dat hij magh overkomen, en daartoe van de H.ren Bewinthebbers orders krijgen [Chriftiaan Huygens]. — 1) Consultez, sur le retour de de Graaff, la Lettre N°. 2703 du 27 octobre 1692, datée 1691 par erreur. ?) En cet endroit une déchirure a enlevé quelques lettres du manuscrit. 3) Voir, sur Abraham de Graaff, la Lettre N°. 2398, note 4. 340 CORRESPONDANCE. 1692. N$ 2773: S. VAN DE BLOCQUERY à CHRISTIAAN HUuYGEns. 16 NOVEMBRE 1692. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. WelEdele geftrenge Heer Soo haeft als mons.r de graaf van de Caap de bon Efperance was weder ge- komen, en dat hij mij verhael hadde gedaen, dat het met de bewufte horologien zoodanig niet was gefuccedeert, als wel onze verwagtinge is geweeft, heb ik hem aenftonts gerecommandeert dat hij fich behoorde te tranfporteere aen uwelEd: geftr: om hem mondeling te verhaelen t’ geen hem omtrent defelve was ontmoet, ik heb hem t’ Zedert niet gezien, maer 2 brieven van UwelEd. geftr: aen mijnhuïjs zijnde beftelt ), heb ik defelve aen hem doen overhandigen, zoodat ik met ver- wondering uijt uwelEd. geftr: miflive van eergifter zie ?), dat hij niet alleen niet heeft gerefcribeert, maer felf ook niet overgegaen is, off zulex door indifpofitie of ander toeval wierd veroorfaekt, weet ik nier, maer zal hem mergen eens bij mij doen komen om de reden te weeten, en hem ten minften te doen refcribeeren, maer voor zooveel als ik uijt fijn rapport heb konnen vermercken zal het met de horologien niet gelukken, dan uwelEd. geftr: die meerder lumierés daeromrrent heeft zal fulcx beter weeten te oordeelen, en daerom zal het nodig zijn, dat hij van alles de pertinente kennis heeft, inmiddels zal ik blijve . WelEd. Geftr: Heer uWelEd. geftr: Zeer ootm: dr V. D. BLOCQUERY. Amfterdm 16 Novemb. 1692. WelEdele geftrenge Heer de heer CHRISTIAEN HUïjGENS heer van Zelem &: &a In ’s gravenhage. 1) Nous ne connaissons pas ces lettres. ?) Nous ne la connaissons pas. CORRESPONDANCE. 1692. 341 o N° 2774. J. DE GRAAFF à CHRISTIAAN HUYGENSs. 19 NOVEMBRE 1692. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Eed.le Geftrenghe Heer UE heerlyckheden zullen myn Tardatie ren beften hoop ik duijden als hebbende niet wel durven toefenden voor en aleer ik de Journalen en aan Teyckeninghen ter Loop hadde naar gefien; hoewel ik ze vri nauwkeuriger wel behoorden naar te fien maar nadien de tijt geëxpireert is, van ze Langer bij mij te houden hopende dat het UEd.le niet qualyck zal gelieven te nemen als verzekcert zynde wegens UEd.le wijfheyt en goede intentie dat er dus Langh mede hebbe getoeft; bren- gende hiermede de heen en werom reyfe in een gebonden'); met UEd.le in- ftrucktie wat.op de Reyfe ontrent de horologien te doen ftaat*) mits Gaders, een verdedinge van de vorige ryfe5) daarin Een Tafel #) in is uit beeldende de Cort- heyt off Lankheyt des pendulums naar maten van yder Graat bretens alt welk ik UEd.le hiernevens fenden in voegen ik met alle behorelijcke Eerbiedigheïjt ben en blijven zal UEd.le Gehoorzamen en Eyge dienaar J. D. GRAArr. Aétum den 19 Novemb. A°. 1692 Amftelodami. Aande Eed.le Achtbre Geftrenge wife voorzienige Hr. Minhr. CrisTiAAN Huycens hr. van Suijlichem Tot s Grav Haagh. int noord Eïjnde. 7) Cette pièce ne se trouve pas dans notre collection. ?) Voir, sur cette instruction fournie par Huygens à de Graaff, les Lettres Nos, 2602, 2615, 2621 et 2622. Probablement elle ressemblait à la pièce N°. 2423, qui avait servi pendant le voyage précédent en 1687, sauf les modifications et amplifications dont il est question dans les Lettres citées et dans la pièce N°. 2520. 3) Probablement une copie ou un extrait de la pièce N°. 2519. 4) Comparez la pièce citée dans la note précédente à la page 277. 342 CORRESPONDANCE, 1692. N° 2775. Le Marquis De L’Hosprraz à CHrisTiAAn HuyGEns. 23 NOVEMBRE 1692. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle a été publiée par P. J. Uylenbrock*). Elle est la réponse au No. 2768. Chr. Huygens y répondit par le No. 2777. A Paris ce 23 Nov. 1692. J'ay receu avec bien du plaifir Monfieur la lettre que vous me faites l'honneur de m’ecrire du 23 oëétobre, je ne fcais comment repondre à toutes vos honneftetez et je me trouve fort heureux que ma petite decouuerte merite voftre approbation. J'ay refolu pleinement tous les Problemes que vous me propofez, et comme vous me marquez auoir quelque enuie de voir le chemin, que j’ay tenu pour arriuer à ma conftruétion, je vous enuoye vne methode tres fimple et generale pour les cas femblables. Je l’ay trouuée en voulant mettre au net celle dont je m’etois ferui qui eft beaucoup plus embarafée. aady JV 48 +3) les jncommenfurables en fupofant à la maniere de Diophante — 4 D V/ aa+yy, ce qui donne y x NO Re #), et mettant LR, Dana qu. 22 — 44 : Pour reduire la fomme des à la quadrature de l’hyperbole, j’ofte à la place de y et de dy leurs valeurs, l’on aura _ Pr 2 2, C’eft là tout JV 2a+9y le miftere, qui reuflit dans vne jnfinité de cas qu’on auroit beaucoup de peine à reduire autrement. Jl eft evident qu’il y a deux valeurs de z, l’vne vraye et l’autre fauffe, dans l’egalité zzy —44y 0 2442. Je me fuis fervi”) des racines vrayes pour determiner la pofition de la courbe qui fert a rectifier la logarithmique, mais fi l’on fe feruoit des fauffes 3), on trouue- roit vne pofition de courbe qui me paroïft plus propre pour la conftruétion, la voicy : 7) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, p. 240. ?) Lisez: — pe 3) L'introduction des racines fausses revient, comme Huygens n’a pas manqué de le remarquer à la page 146 du livre H, à l’emploi de la substitution y : 44-4— | /_ a? + y, qui mène aux relations 4°y—2°y=24°3 ct #*dy:y}/ 4° + y = ads: x CORRESPONDANCE. 1692: 343 Probleme. La logarithmique indefinie ABCD, qui a pour foutangente la droite donnée 4, et fon afymptote SL, etant données de pofition; treuuer geometriquement vne ligne droite egale à vne portion quelconque CD de cette courbe. Solution. Soit menée par vn point quelconque L de l’afymptote SL la perpendiculaire LG, et foit decrite la courbe geometrique LFH, telle que (LE ou LG y, EF ou GH % 3) #4y—22zy © 2442, de forte que l’on peut determiner par le cercle et la ligne droite la grandeur des ordonnées EF, GH, en fuppofant que les diftances fur l’axe LE, LG foient données. Que l’on mene à prefent les paralleles CEF, DGH, à l’afymptote et ayant pris LT % 7, LK 5% EF, LI 5 GI, et mené les : droites TG,TE,et les paralleles KA,IB, qui rencontrent la logarithmique auxpoints 344 CORRESPONDANCE. 1692. A, B; je dis que la portion CD de la logarithmique 5 TG—TE+AK—BI#). 1°. Si l’on mene TR parallele à LG, elle fera afymptote de la courbe geome- trique LFH,. : 2°. Si l’on prent TR double de LT la ligne LR fera tangente au fom- met L 5). 3°. Si l’on decrit vn quart de cercle qui ait pour rayon LT et que l’on mene librement la droite FMN parallele à LK, je dis que l’efpace FLM eft egal au reétangle fait de AK—BI par le double de LT; en fuppofant à prefent que LK % MN et LI 5 LTS). 4°. Je puis déterminer le centre de grauité de cette efpace FLM en ne me feruant que de la logarithmique?). Vous auez fort bien remarqué que l’on peut determiner le bras de la portion CD fur l’afymptote en fe feruant de la logarichmique, mais il n’eft pas aufli facile de trouuer fon bras fur la droite LG ce qui feroit neanmoïins neceffaire pour auoir le centre de grauité. Je trouue aufli comme vous Monfieur que le demi-diametre du cercle qui mefure la plus grande courbure % 31- 2 44, et generalement que, fi l’on nomme vne ordonnée quelconque AS, y, le rayon de la ligne euoluë au point A aa +3 V7 43 grande courbure jl faut prendre y20 1-244°). Paflons aux autres queftions. La jre eft de determiner la nature de la ligne courbe qui a pour foutangente 20 os À #); d’où jl fuit que, pour determiner le point de la plus 4) On a, en effet, d’après la ,, demonstration” de de l’Hospital (voir la Lettre N°. 2765): arc Jdy a°dy ce CD= a © —TG-—TE +9 | 5 mais siz—EF ou GH, égal her ter spi ré LK où LI, est considéré comme ordonnée de la logarithmique on a, si x en répresente l’abscisse, 7 a dx, donc 4 Î = [dx= AK—BI. 5) Propriétés qui se déduisent facilement à l’aide de l'équation y(4°—2?) = 24°x de la courbe LE. : 4 5 3: L' Men z à Lin: 24° du 5) Pour obtenir cette construction il suffit de remarquer qu’on a | 5; dz—-— 024 a —2 u o 4 7) La détermination de ce centre de gravité dépend en effet de celle des sommes 292 : (4°—2?) et 4°2°d2: (a°?—2°)", qui se réduisent aux logarithmes. 8) Lisez: y, AE 5% 17 444 et l’efpace E ECD 20 (42299) V/ 240 — 4yy ‘d 124 Si l’on prend AF 514,FG fera la plus grande des ordonnées, et l’efpace curuiligne EFG % :*, 44. La 4e et 5e confiftent à trouuer la ligne courbe qui a pour foutangente 2X + A la quadrature de l’efpace curuiligne. Y en am + + + Soit decrit le quart de cercle CAB et foit prolongée vne ordonnée quelconque 19°) On trouve pour la solution générale : xy*—#°y + Cx3 — 0. 11) Comparez la note 6 de la Lettre N°. 2639. 12) Voir, pour la forme générale de cette courbe, la seconde figure (à la page 576) du $ IV de la pièce N°. 2644. La formule de de l’Hospital se rapporte probablement à l’espace curviligne compris entre l'axe des x, la courbe, et une ordonnée quelconque; maïs alors on doit ajouter le cerme.: 7. É ad; peut-être ce terme lui a échappé parce qu’il croyait que l’expression 2 ÿ 4x : 63 s’annule pour x—=0,y—=0. 13) Comparez cette figure et les quadratures qui vont suivre avec celles de la courbe d'y —24°x?—7y#—0o que l’on rencontre à la page 56 de la Lettre N°. 2667 et qui se déduit de la courbe de notre texte en remplaçant 4 par aV/ 2. Œuvres. T. X. 44 346 CORRESPONDANCE. 1692. NP en M, de forte que + NP. CP. PM. “#), le point M fera a la courbe requife. L’efpace CPM eft egal à l’efpace circulaire AGN ?5) le bras de l’efpace CPM fur AC eft double de celuy de l’efpace AGN je puis aufli determiner le bras de l’efpace CPM fur CB et partant le centre de grauité de cette efpace. A l’egard des Problemes du Sieur Viuiani, jl y a pres de huit mois que Mr. l’'Enuoyé de Florence me propofa celuy dont vous me parlez qui eftoit fur vne feuille volante en forme d’enigme. Je luy en donnay auff toft trois folutions auec la demonftration et j’en aurois pü trouuer par ma methode vne jnfinité d’autres mais cela ne vaut pas la peine que je vous en faffe jcy le detail. Le Sieur Viuiani m'a enuoyé depuis peu l’imprimé dont vous me parlez, qui ne renferme rien de confiderable. Je n’ay point vû ce qui eft dans les journaux de Leipfic de la figure d’une voile tendue par le vent car ces journaux ne viennent plus jcy depuis la guerre j’ay neanmoins donné ordre qu’on me fit venir ceux de cette année qui me manquent et quand je les auray receus je vous en mandray librement ma penfée puifque vous le fouhaitez. Je vous prie de me faire fauoir s’il n’y a point de liures de mathematique nouueaux en angleterre, l’on m’a affuré que Mr. Neuton faifoit imprimer pour la 2e fois fes principes mathematiques d’une maniere qui eftoit plus à la portée de tout le monde **), l’on m’a dit aufli de bonne part que Mr. Fatio auoit vn traitté de la pefanteur tout preft à imprimer ‘7). Je voudrois bien fauoir aufli fi Mr. Neuton fera jmprimer bientoft ce qu’il a trouué fur la methode jnverfe des tangentes et fur les quadratures je crois que Mr. Gregori *) a donné depuis peu quelque chofe fur ces matieres. Je fuis, Monfieur auec vne eftime tres particuliere Voftre trefhumble et tres-obeiflant ferviteur Le Marquis DE L'HosprraL. 14) C'est-à-dire NP : CP—CP : PM, ou bien V5 19=—=) : x, d’où il suit x°(47—7°) =94; équation identique en effet avec celle de la Gutschovienne, indiquée par Huygens dans la Lettre N°. 1065. 15) Ce résultat encore est identique avec celui dé Huygens, annoncé dans la Lettre N°. 1065: 16) Consultez, sur l’origine probable de cette nouvelle, la Lettre N°. 2723. 17) Voir, sur ce projet de Fatio, la note 9 de la Lettre N°. 2582 et les Lettres Nos, 2739 et 2745. 15) David Gregory, neveu de James, né à Aberdeen le 24 juin 1661, mort le 10 octobre 1710 à Maidenhead, Berkshire. [1 fut professeur de mathématique à Edinburg et, depuis 1691, pro- fesseur d’astronomie à Oxford. j CORRESPONDANCE. 1692. 347 Je vous prie d’effayer fi vos regles s’etendent à trouuer les lignes qui ont pour 25 à ; foutangentes |/ 4y + xx et "9" vous me ferez plaifir de me faire part JY + 2YX — XX de quelques Exemples où elles ne peuuent fervir ‘). Holande À Monfieur Monfieur CarisriAAN HuGens Segneur de Zeelhem jn ’tnoordeinde naaft de crabbe À la Haye. 4) erat 43, qu. erat omiffum [ Chriftiaan Huygens]. #) C’eft à dire dans les lignes precedentes [ Chriftiaan Huygens]. ‘) En vient il des lignes geometriques [ Chriftiaan Huygens]. o N° 2776. ConsTaANryN HuyGens, frère, à CHRiISTIAAN HuYyGENs. 2 DÉCEMBRE 1692. La lettre et la copie se trouvent à Leiden, coll. Huygens. La lettre est la réponse à une lettre que nous ne connaissons pas. Whitehall 2 Dec. 1692. J'ay fait voir au Roy les lettres qui vous ont efté addreflées par le S.r Prion Secretaire de milord Durfley *) et en mefme temps je luy ay monftré ce que vous me mandez la deffus *), mais nous n’y avons rien pû connoitre ny l’un ny l’autre. Le Roy me dic de parler au dit milord ce que faute de temps je n’ay pas fait en- core, Cependant refvant fur cette affaire, et cependant voyant clairement que cette #) Voir, sur Charles Berkeley, vicomte de Dursley, la Lettre N°. 2586, note 1. 2): A ce sujet Constantyn nota dans son journal, sous la date du 23 décembre: Le matin je fus à Kensington, et le soir je fis voir au Roi un billet ou avis, que frère Christiaan m'avait en- ‘voyé, contenant quelque chose sur Madame de Maïntenon et sur le Père Nisot, jésuite; il fut dit être d’une dame française de Berlin et son nom était signé d'Alençon. Ce billet avait été envoyé au frère de Zeelhem [Christiaan Huygens] par un certain Prion (mais proprement nommé Prior) Secrétaire de Myl1. Dursley, qui écrivit à frère, qu’il l'avait ouvert par inadver- tance (si fides verbis). Le Roy, ne paraissant pas y faire beaucoup de réflexion, disait que je ferais voir le papier à Blatwait”. 348 CORRESPONDANCE. 1692. bonne dame d'Alençon n’a pas eu deffein d’efcrire a moy en efcrivant cette lettre, car elle parle comme a une perfonne avec qui elle avoit correfpondence, il m’eft venu dans la penfée, qu’il y a icy, ou du moins y a eu un petit Ecoffois louche, qui fe mefloit d’intrigues et fit il y a environ 18. mois un voyage en France foubs pretexte d’y accompagner une dame de ce Pays icy. Il fe pourroit bien que ce feroit la l’homme dont Prion dit que le nom eftoit dans la fuperfcription de la lettre qu’il a ouverte par megarde à ce qu’il dit, car s “appelant Higgins il affeétoit de fe faire appeller Huïÿgens et auroït fort fouhaitté que j’euffe voulu le faire pafler comme ayant noftre nom. Mais je me mocquois toujours de luy. Voyez un peu fi voftre Mr. Prion ne peut pas vous donner un peu plus d’eclairçiffement touchant ce petit homme, et s’il ne l’a pas jamais veu, et en cas que non, comment c’eft luy qui a foin d’adreffer fes lettres. Je fuis bien marry de ce que nous ayons tant de peine a trouver un Precepteur pour Tien) et je crains qu’eftant fi long temps fui juris il n’abufe de cette liberté. Je vous prie d’aflifter ma femme pour en deterrer un quelque part. Tout le monde parle de la debauche qui regne entre ces efcoliers a Leyde. Pour mon Frere de Zeelhem. o N° 2777. CHRISTIAAN HUYGENS au MARQUIS DE L’HospiraL. 29 DÉCEMBRE 1692. La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle à été publiée par P. J. Uylenbroek*). La lettre est la réponse au No. 2775. De l'Hospital y répondit le 12 février 1693. A la Haye, le 29 Dec. 1692. Je reconnois de plus en plus Monfieur le grand progrez que vous avez fait dans ces belles fubtilitez de la geometrie qui la portent fi loin au delà de ce qu’elle a eftè cy-devant. La derniere folution de voftre Probleme eft encore meil- leur que la premiere et je vous fuis obligè d’avoir bien voulu m’indiquer le moien dont vous vous eftes fervi pour y parvenir. Je vois qu’il fert en plufieurs autres cas; mais l’aiant effaiè à trouver la fomme des Varna, qui feroient les pe- 3) Voir, à ce sujet, les Lettres Nos. 2753, 2758 et 2764. + 1) Chr. Hugenïii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, p. 244. CORRESPONDANCE. 1692. | 349 tites tangentes de la portion de la Logarithmique, fans les divifer en deux, comme vous avez fait®), je fuis venu à la quadrature d’une courbe fort compofée, qu’on ne voit pas qu’elle depende de la quadrature de l’hyperbole 3). Mais j’ay remar- V/_ aa + yy dy y quadrature d’une courbe dont l’equation eft 44 + 44yy © xxyy +), que j’ay trouvè il y a longtemps qu’elle depend de celle de l’hyperbole 5). Aïnfi fans tout ce fubtil detour que vous avez fuivi Monfieur, l’on peut refoudre voftre probleme‘). Mais ce que j’ay admirè, l’on vient à voftre mefme derniere conftruétion, qui s’abrege encore un peu en prenant EC pour BI dans voftre figure 7) DG pour AK *). què en mefme temps que la dite fomme des ne depend que de la 2) Voir la Lettre N°. 2765, au commencement de la demonstration”. 3) On rencontre cet essai infructueux à la page 153 du livre H, où la somme des V’# 3° dy :y est réduite, par la substitution 32:44 4— |//4%+-3°, à la quadrature de la courbe: x a (a? +2) : 2(a—2°); après quoi Huygens ajoute:,,Ergo sic ad curvam valde com- positam et ignotae quadraturae reductum fuisset problema dimensionis lineae Logarithmicae si, ut hic, non fuisset divisa [= 47] |//4a +39 : y in duas. 4) En effet, pour réduire la somme mentionnée à la quadrature /xdy de cette courbe, il suffit de poser x—4 |” 49 : y, d'où il suit at + 473? = x°9°. $) Voir l’Appendice I à cette lettre, notre pièce N°. 2778, qui date, d’après le lieu qu’il occupe dans le livre H, de septembre ou d'octobre 1692. Aucune trace d’un traitement antérieur du même problème n’a été rencontrée dans les manuscrits, 5) Voir la pièce N°.2779, Appendice II à cette lettre, où nous avons reproduit la solution .… définitive de Huygens du problème en question. 7) Probablement Huygens veut dire ici qu’on peut simplifier la construction de de l’Hospital en agissant de sorte que EC, dans la figure de la Lettre N°. 2775, s’identifie avec la plus courte des deux lignes (AK et BI) dont la différence, ajoutée à TG—TE, va fournir la longueur de l’arc CD. Etilest clair que cette remarque devait amener, presque nécessairement, la construction abrégée qu’on rencontre quelques lignes plus loin dans le texte de la présente lettre. En effet, pour que la différence AK—CE de la figure de Huygens (celle de la page suivante de la présente lettre) devienne égale à la différence AK—BI de la figure de de l’Hospital (celle de la Lettre N°.2775), il suffitqu’onait EL : KL (figure de Huygens) —LI:KL (figure de de l’Hospital). Posons donc dans la figure de de l’Hospital : LG —7, (— LD figure de Huygens), LE —% (=LE figure de Huygens), GH=LI=2,, EF=LK=—2, où (d’après la note 3 de la “Lettre N°. 2775), Fa | /&@ +5, alors il faut qu’on ait, dans la figure de Huygens, 3 AR À EE AE Le Boadetys MAAF _ TE—TL EL:KL=3, :2,5; doncKL=EE +. PR Poe Vrhi h= FDL XDL (toujours dans la figure de Huygens, où manque la lettre T, voir la note 10) TO—TL OL ; = TPETL X DL (en prenant TO—TE, TP=TD)= 5 X DL, d’où la construc- tion abrégée mentionnée suit immédiatement. 8) Cette addition est due probablement à quelque inadvertance. 350 CORRESPONDANCE. 1692. Ce que vous dites de la quadrature de | l’efpace FLM, dans voftre mefme figure, je le trouve veritable, et que la conftruc- tion fe peut un peu abreger, à peu près de mefme que celle dont je viens de parler. Mon calcul en cecy m’a menè par la courbe 243 5 aux —z2x et par l’hyperbole?). Puis que j’ay tracè la figure *), je puis en PoLoUM 3 mots adjouter a quoy fe reduit voftre conftruétion de l’autre probleme. C’eft qu’aiant pris TP> TD et TO > TE, je mene OK parallele à PD et j’applique les lignes EC, KA, alors la difference des KA, EC, avec PO font enfemble la longueur de la courbe DC ), Mais ces conftruétions font peu de chofe apres la folution du probleme. Vous auez fort bien et favemment refolu toutes les queftions que je vous avois propofées, et il paroit que vous avez aufli la regle de Mr. Fatio ‘*) que Mr. Leibnits n’a pas'#). Vous ne pouvez non plus ignorer, Mons.r, comme je crois, une methode peu connuë #), que j’ay debrouillée il n’y a pas long- 9) Voir l’Appendice III à cette lettre (notre pièce N°. 2780), datée du F8 décembre 1692. 19) II y manque la Lettre T au bout droit de la droite POLM. 11) L'origine probable de cette construction à déjà été indiquée dans la note 7. Ajoutons que la courbe LF, quoique tracée dans la figure, ne joue plus aucun rôle dans la construction. 12) On peut consulter sur cette règle les Lettres N°. 2465, note 11; N°. 2660, note 17 et N°. 2677, note 0. 13) Comparez la Lettre N°. 2733. 4) D’après les annotations que l’on rencontre dans le livre H, et que nous avons reproduites dans les $$ VII, VIII et IX de la pièce N°. 2787, il s’agit ici d’une méthode, exposée par Fermat dans le traité mentionné dans la note 27 de la Lettre N°. 2693, aux pages 51—57 des Opera Varia (p. 271—285, Tome I de l’édition récente des Œuvres de Fermat par Tannery et Henry). Cette méthode est fondée sur un théorème qui équivaut, en notation moderne, à la relation : #3 [Ex dx = x," —x,9;" —n[ xÿ” 7 dy, LA “1 où les intégrations sont supposées s'étendre le long d’une courbe quelconque. Voici un exemple de l’emploi que Fermat propose de faire de ce théorème pour déduire des quadratures nouvelles: Il part de l'équation y3—#45x—2—#5x3, pour laquelle l’in- tégrale /y$dx se calcule facilement au moyen de la quadrature connue des courbes xby— a +4, dont la théorie est exposée plus haut dans le même traité déjà mentionné, On CORRESPONDANCE. 1692. 351 temps 5) ; qui fert grandement dans ces recherches des quadratures ") des centres de gravicè 7) et du probleme renverfè des Tangentes.C’eft de la que j’ay pris cette derniere quadrature que je viens de raporter *), et d’ou celle que vouset Mr. Leib- nits m'avez refoluë *?) fe tirent facilement, avec plufeurs autres. C’eft par elle aufli que je fuis venu à bout de la quadrature affez remarquable de la courbe dont l’equation eft x3 + y5 90 xy#*°), que Mr. des Cartes, dans fa lettre 65e du 3e volume **), et noftre Mr. Hudde ont confiderée pour autre chofe **) Mr. Des Cartes en parle comme fi elle avoit plufieurs feuilles *3), quoy qu’elle n’en ait qu’une, comme dans cette figure eft ABCH, fon trait continuant en AK, AL, le long de l’afymptote EFG, perpendiculaire au diametre CA, prolongé d’un tiers AF. Je trouve le contenu de la feuille ABCH égal à 2 #7 ou + du quarré du diametre AC *+); et l’efpace infini des deux coftez entre AK, AL et l’afymptote, encore de la mefme grandeur *5). On ne s’imagineroiït pas que cette connaît donc de même, à l’aide du théorème, l'intégrale /'xydy, c’est-à-dire, en posant u— a =? x3°, la quadrature /#dy d’une courbe dont l’abscisse est égale à 7. Or, si l’on cherche l’équation de cette dernière courbe, en substituant x — #°#y-2 dans celle de la courbe donnée, on arrive à l'équation y3 +-#3—4#y— 0, qui représente le folium de Descartes. Seulement Fermat n’exécute pas les calculs nécessaires pour achever la quadra- ture du folium et se borne dans cet exemple, comme dans les autres, à des indications générales. 15) Voir l’Appendice IV à cette lettre, la pièce N°. 2787. 16) Voir la pièce N°. 2780, les & VII et VIII de la pièce N°. 2781 et la pièce N°. 2782. 17) Voir, pour un exemple, le dernier alinéa du $ IX de la pièce N°, 2781. 13) C'est-à-dire la quadrature de l'aire FLM de la première figure de la présente lettre. Con- sultez sur cette quadrature la pièce N°. 2780, surtout la note 1 de cette pièce. 19°) [1 s’agit de la quadrature de la courbe 44xx—44ayy—-y# mentionnée par Leïbniz dans sa lettre N°. 2664 (à la page 51 ) et par de l’Hospital dans sa lettre N°. 2775, où l'équation de la courbe est mise sous la forme analogue : 4°y*—27#— 24°x°. Sur la dérivation de cette quadrature au moyen de la méthode de Fermat on peut consulter le $ VIT de la pièce N°. 2781. 29) Voir sur cette quadrature l’Appendice V à cette lettre, notre pièce N°. 2782. 21) Il s’agit de sa lettre à Mersenne du 23 août 1638, reproduite par Charles Adam et Pau Tannery dans l'édition récente des, Œuvres de Descartes” sous le N°. CXXX VIII du TomelIl (voir les pages 313—316). Descartes s’y occupe de la détermination de la tangente et de »la plus grande largeur” de la boucle dans la direction perpendiculaire à l’axe AC. (Voir la figure de la page suivante). 2?) On rencontre les considérations de Hudde, qui se rapportent encore à la détermination de la plus grande largeur, aux pages 493 et 497 —499 des ,Exercitationes mathematicae” de van Schooten, ouvrage que nous avons cité dans la Lettre N°. 128, note 3. 23) On peut consulter sur cette circonstance une note que l’on rencontre à la page 341 du Tome 11 de l'édition des ,\ Œuvres de Descartes” mentionnée dans la note 21. 24) Voir le $ I de la pièce N°. 2782. 25) Voir le $ III de la pièce N°. 2782. 352 CORRESPONDANCE. 1692. courbe duft avoir une quadrature fi reguliere et fi fimple. Celle qui eft generale pour les fegments l’eftant de mefme, qui s'exprime par un feul terme *). La queftion de la courbe de Mr. de Beaune *’), que propofe M. des Cartes dans fa lettre 79e du 3e vol. ne tombe point dans la regle de M. Fatio ni dans celle dont m’a fait part Mr. Leiïbnits. C’eft pourquoy je feray bien aife de voir quelle courbe vous avez trouvè pour la foutangente donnée DAT. Je crois de mefme bien difficiles à : 243 crouver celles qui ont les foutangentes que vous marquez PE JY+2YX—XX V/ ay + xx, qui font aufli hors de ces regles. Mais fur tout je fouhaite de voir de quelle efpece eft la derniere des deux. Apparemment elle eft tranfcendente, dont la conftruétion fuppofe quelque quadrature, comme celle qui a pour foutan- gente demande les quadratures du cercle et de l’hyperbole **). aa V'aa— xx J'avoue que je ne vois pas encore par quelle adreffe on pourra developper ces courbes qui refpondent à vos foutangentes, fi ce n’eft peut eftre par quelque con- verfe de la regle des tangentes de Mr. de Roberval®?), dont l’ufage s’etend plus loin que peut-eftre l’autheur n’a fcu. Mais je ne veux pas me donner la peine de chercher, efperant de l’apprendre de vous ou de Mr. Newton. Voicy encore deux exemples de foutangentes, par ce que vous en deman- aay + Xyy dez, ou les regles que je connoïs ne reufliffent point) =" et 4X — Xÿ — 4 , I 26) Voir, pour la valeur du segment, qui est égal à é nx? :ypour AD—x, BD =, AC= NV 2, les { IT et III de la pièce N°. 2782. 27) Voir, sur ce problème, la Lettre N°. 2765. 28) Voir la Lettre N°. 2735, note 18. 29) Probablement la méthode bien connue dede Roberval, communiquée en 1668 à l’Académie des Sciences et publiée en 1693 dans les , Divers ouvrages de Mathématique et de Physique” (voir la Lettre N°. 2432, note 1) sous le titre: , Observations sur-la composition des mouve- ments, et sur le moyen de trouver les touchantes des lignes courbes”. CORRESPONDANCE. 1692. 353 5) x°y 3X$+ 344) —2XYY deux precedentes et peut-eftre celle de la courbe de Mr. de Beaune. Je vois que Mr. des Cartes fait mention 3”) de la folution 3?) qu’il auroit envoiée pour cetteligne, mais je doute fi elle aura eftè meilleure que celle qu’il donne pour la logarithmiques5).S’il revenoit au monde il trouveroit la geometrie bien augmentée. 3), qui femblent eftre du genre dont eft la premiere de vos 30°) D’après la page 156 du livre H, cette dernière expression représente la soustangente 2 2 y Fe uses de la courbe x3—x°y—+ 7?7—0o ,, déguisée” au moyen de la substitution %—x3y—1 47, appliquée au numérateur et au dénominateur; comparez la note Z)de Huy- gens. De même la note 4) indique l’hyperbole 44=—4x— xy comme la courbe dont la pre- mière expression a été déduite. On peut consulter d’ailleurs, sur la solution générale des équa- tions différentielles auxquelles ces expressions pour la soustangente donnent lieu, une des notes de la lettre de de l’Hospital à Huygens du 12 mai 1693. 31) Dans sa lettre de 1645, citée dans la note 4 de la Lettre N°. 2765, où il s'exprime comme il suit: ,Cette question [le problème de de Beaune] me fut proposée, il y a cinq ou six ans, par Monsieur de Beaune, qui la proposa aussi aux plus célèbres Mathematiciens de Paris et de Thoulouze; mais je ne sçache point qu'aucun d’eux luy en ait donné la solution, ny aussi qu’il leur ait fait voir celle que je luy ai envoyée”. 32) La solution fut envoyée à de Beaune dans une lettre du 20 février 1639, qui constitue le N°.CLVI du Tome II de la correspondance de Descartes publiée par Adam et Tannery (voir les pages 514—517 et les annotations des éditeurs aux pages 520— 523). Cette lettre était accessible à Huygens dans l'édition de Clerselier où elle paraît comme le N°. 71 du Tome III, et sans doute il en avait pris connaissance autrefois (voir encore la note suivante); mais il semble qu’il n’y aît pas reconnu alors une solution du problème de de Beaune, lequel . problème, en effet, n’y est pas mentionné expressément. 33) Il est presque certain que Huygens a ici en vue la construction de la courbe elle-même, qui constituait la solution du problème de de Beaune, mentionnée dans la note précédente. Voici comment Descartes s’exprime sur la courbe en question : »En la deuxième AVX [de vos trois lignes B GZA Y courbes], dont le sommet est À, au lieu de considerer l’axe AY avec son ordonnée XY, j'ay consideré l’asymptote BC, vers laquelle ayant mené des ordonnées paralleles à l’axe, comme PV, RX, &c., et des tangentes comme Lxee AC, ZVN, GXM, &c., j'ay trouvé que la \4 partie de l’asymptote qui est entre l’ordonnée c et la tangente d’un mesme point, comme PN, ou RM, &c. est tousiours égale à BC, ainsi que vous verrez facilement par le calcul”. Après quoi il procède à donner une construction ap- prochée de la courbe AVX. Or Huygens aura reconnu sans doute qu’on n'avait qu’à ,,perpendiculariser”’ pour ainsi dire les ordonnées PV, RX pour transformer cette courbe dans la ,,logarithmique” à soustangente constante dont il s'était tant occupé. Œuvres. T. X. 45 CORRESPONDANCE. 1692. 354 Le probleme du Sr. Viviani 34) n’avoic pas grande difliculrè et il avoit auffi eftè refolu d’abord par Mr. Leïbnits, et en fuite fur le mefme fondement par Mr. Bernoulli, qui adjoute cette jolie remarque qu’en cheminant fur la Terre en forte qu’on avance egalement en longitude et latitude, on decrit une ligne qui refout ce probleme. Et c’eft cette ligne qui eft egale à celle d’une Ellipfe, comme on peut demontrer affez facilement 35). Un fcavant Anglois vient de me dire que la feconde edition des Principes de Mr. Newton, de la quelle Mr. Fatio devoit avoir foin, ne fe fera pas encore fi-coft, Il y a une infinité de fautes à corriger 3°) et quelques unés qui font de l’autheur, comme il reconnoit luy mefme 37). J’eftime beaucoup fon fcavoir et fa fubtilicè, mais il y en a bien de mal emploiè à mon avis, dans une grande partie de cet ouvrage lors que l’autheur recherche des chofes peu utiles, ou qu’il batit fur le principe peu vraifemblable de l’attraétion 5°). Le mefme Anglois m'apprend, ‘ qu’on imprime, ou qu’on a defia imprimè la methode de Mr. Newton pour le Probleme renverfè des Tangentes, qu’on l’a joint au livre de Wallis de Algebra, qu’il a donnè cy-devant en Anglois et qui eft maintenant traduit en Latin et augmentè 3°). L’Hypothefe de Mr. Fatio#°) dans fon traitè de la Pefanteur reffem- bloit à celle de M. Varignon#*), et fouffroit la mefme difliculrè, qui eft l’accu- mulation neceffaire de la matiere autour du centre vers lequel felon eux elle pouffe les corps. Laquelle difiicultè Mr. Varignon ne refout point, et M. Fatio a befoin pour cela d’une hypothefe fort eftrange et peu concevable. Lors qu’il partit d’icy pour l’Angleterre il fe plaignoit qu’il avoit perdu ce traité 4). On trouve fi peu d’occafon d’appliquer la geometrie à la phyfique, que fouvent je m'en eftonne. Et quand on en trouve il eft dificile de le faire avec jufteffe. Cependant c’eft ce qui merite le plus, avec les inventions de mechanique, qu’on s’y occupe, car autrement calculis ludimus, in fupervacuis [ubtilitas teritur, comme dit quelque part Seneque. 34) Voir la Lettre N°. 2768, note 17, et la pièce N°. 2771. 35) Voir la pièce N°. 2771, vers la fin. 35) Voir la pièce N°. 2698. 37) Voir la Lettre N°. 2732, note 10. 38) Consultez, à propos de cette opinion de Huygens sur l'hypothèse fondamentale de la théorie de l'attraction, celle que ,,toutes les petites parties, qu’on peut imaginer dans deux ou plusieurs differents corps, s’attirent ou tendent à s’approcher mutuellement”, la Lettre N°.2558, note 6. 39) Voir, sur ces éditions du livre de Wallis, la Lettre N°. 2660, note 3. Sans doute il s’agit ici de l'exposé de la méthode de Newton des fluxions donné par Wallis, et qui fut publié pour la première fois dans l'édition latine de 1693 aux pages 390—396 du Chapitre 95. 4°) Voir les Lettres Nos. 2570 et 2582. 47) Voir la Lettre N°. 2677, note 11. 42) Voir la Lettre N°. 2730. CORRESPONDANCE. 1692. 355 À propos de mechanique il a paflé icy un François il y a quelque temps, qui montroit pour de l’argent une tefte, conftruite en forte qu’elle prononçoit quel- ques paroles. Je n’en fus averti, qu’apres fon depart; peut-eftre, Monfieur, en fcaurez vous quelque chofe. L’on m’a envoiè de Paris un certain imprimè, qui parle d’une invention du Sr. de Hautefeuille 45), par la quelle il pretend que les pendules de poche ont receu une plus grande perfeétion. Il faudra voir ce que c’eft, mais je connoïs a peu pres le talent et le genie du perfonnage. Il y a fort longtemps que je n’ay point ouy parler de Mr. le Duc de Roanes##). J’ay peur qu’il ne fe fouviene plus de moy. Si ce n’eftoit pas prendre trop de libertè, je vous fupplierois, Monfieur, de l’affurer de mes Refpe&ts er que je luy fuis comme à vous etc. MONSIEUR Voftre trefhumble et trefobeiffant ferviteur #) hyperbole 44 5 4x — ay [Chriftiaan Huygens]. ») 020 x3— xxy + 44y [ Chriftiaan Huygens]. #3) Voir, sur de Hautefeuille, la Lettre N°. 2023, note 3. Nous ne connaissons pas l’écrit men- tionné dans la lettre. D’après un ,, Avis sur le privilège des horloges et des montres de la Nouvelle Invention” publié sans date chez la Veuve Daniel Horthemels (4 pages in-4°.), le Roï aurait accordé à de Hautefeuille, le 26 mars 1693, un privilège pour des horloges et montres d’une nouvelle invention. Il est cependant impossible de déduire du fatras, qui remplit cet avis, en quoi cette invention a consisté. Consultez encore la lettre de de l’Hos- pital à Huygens du 12 mai 1693 et celle de Huygens du 23 juillet 1693. 44) Consultez, sur Arthus Goufer, duc de Roanez, la Lettre N°. 837, note 1. 356 CORRESPONDANCE. 1692. N° 2778. CHRISTIAAN HUYGENSs. [SEPTEMBRE Où OCTOBRE 1692]. Appendice 1*) au No. 2777. La pièce se trouve à Leiden, coll. Huygens. BF hyperbole aequilatera; cen- tro À,axe ABC. FE tangens. KAE perp. BA. FK perp. EAK. KD eft C_]; erit punétum D ad curvam D (4 F DL?), cujus afymptoti BC, BM =D 10 parall. AE. Et fpatium infinitum LDFBM aequale fpatio FBAK. Nam ut FD ad DE five FK, ita PO ad OF; unde [7] FK, PO = ! æC)FD;,FO, y 35) FK=CAZ=DE):7(BA) — 4 (BA): . (HA) CB=7y—4 E TA T K 24 a AK=CF—=V/yy— 44 AES=S AE EK = x + V/yy— #4 x (EA) : % AH)=x+ 1/35 44(EK) : yCFK) xyy = 44x + aa |/ y — 44 xyy — aax = aa |/ yy— aa 1) Cet appendice contient la réduction de la quadrature de la courbe x y} —4?x° = at à celle de l'hyperbole. Il est emprunté à la page 108 du livre H. 2) On doit considérer ce qui précède comme la définition de la courbe LD. 3) Ici commence la déduction de l’équation de la courbe LD. CORRESPONDANCE. 1692, 357 a drabilis ex quadratura hyperbolae. Etiam portionis cujufvis CDQN menfura dabitur ex quadratura fpatii hyper- bolici FSTK; huic enim aequale eft fpatium FDQSF; datur autem et fpatium FSNC ex dato FSTK. Ergo et CDQN quod nempe aequale erit FSTK— FCNS. Haec [QD] eft curva qua Jo. Bernoulius utitur in conftruétione Catenariae in fig. 1 +). Et ex qua etiam alteram invenit oprimam quae fig. 2da. Itaque fcivit hujus quadraturam pendere ex quadratura hyperbolae 5). Sed nondum video quomodo ad hanc curvam devenerit in illo problemate ‘). > aequatio curvae DL, quae qua- 4) En effet, il est facile de vérifier que la courbe, employée à cette construction par Jean Ber- noulli dans l’article cité dans la note 12 de la Lettre N°. 2664, possède cette même équation ay — 4x? = af, 5) Puisque Bernoulli faisait dépendre cette seconde construction de la rectification de la parabole, qu’on savait dépendre à son tour de la quadrature de l’hyperbole; tandis que la première construction dépendait de celle de la courbe mentionnée. ‘ 5) On peut retrouver la voie suivie par Bernoulli, laquelle intrigua si vivement Christiaan Huygens (comparez encore la Lettre N°. 2695), dans l’ouvrage cité dans la note 30 de la Lettre N°. 2693, où la même courbe est employée dans la construction de la chaînette. (Voir les ,Lectiones” 36 et 12). JE. | CORRESPONDANCE. 1692. N° 27709. : CHRISTIAAN HuyGENs. DÉCEMBRE 1692. Appendice II*) au INo. 2777. La pièce se trouve à Leiden, coll. Huygens. Problema Hofpitalij fimplicifima via refolvitur. ç1. V1: W FES de G nr H 4 si / RE . Ke A "4 N x 0 & mé Pr PL ù % PS = 208 x T (4 hr ME g... (LA DS DIE 0. 1% F_g D R M T SNA 0) L K T BA Logarithmica. VHQ curva pag. 108 ?); afymptoti hujus funt FD, FV. Logarithmicae afymptotos DFC. BA portio curvae aequanda reétae. 1) Cet Appendice contient la déduction de la solution définitive de Huygens du problème de CORRESPONDANCE., 1692. 359 Si ut YB ad BZ, hoc eft, ut EB ad BX ica fit BG—% ad BH cadit H in curvam VHQ 5), et eric reéta NB ad curvam BA ut [77] BGON ad fpatium BHQN +). Quaerendum eft fpatium BHQN. $ IT). Spatium VQKFV infinitum eft aequale fpatio FKLE (vid. pag. 108 °) po- fita hyperbola aequilatera FK, centro E, femidiametro EF — 7— fubtangente logarithmicae BA. Si utrinque auferatur fpatium FDK, eric fpatium infinitum VFDQV aequale fpatio FKLE—fpatio FDK; hoc eft [7]° DL—2 fpatio FDK. Ergo fumptis horum dimidiis, erit A EKD—fpat.° FDK hoc eft fetor hyperbolicus FEK aequalis 2 fpatii VFDQV. Eadem ratione erit feétor hyperb. FET aequalis 4 fpatii infiniti VF£HV. Ergo fpat. HBDQ—2 fetor FEK—2 feétor FEI; hoc eft—2 fpar. FRTK— 2 fpat. FRSI. Ergo fpat. HBDQ 2 fpat. ISTK. Sp. BHQN = 0JB£ + f{p. HBDQ — 7 ND vel [7] BR + 2 fp. ISTK — OIND=4|/y9+ 40 — a|/ vy + aa + aq°). C2 BO = 4y— a. Ergo curva AB= |/ yy+ 40 — |/ vv+aa + q°)=XB—XN + g. Ç III?) Si fuper afymptoto logarithmicae cujus fubrangens effet = ER = |/ : 44, applicarentur duae reétae in ratione SI ad TK, five [9 ad K£, earum intervallum la rectification de la logarithmique, telle qu’on la rencontre dans la Lettre N°. 2777, et dans la pièce N°. 2793, c’est-à-dire dans l’article publié dans l”,, Histoire des ouvrages des Sçavans”? de Février 1693. Nous l’avons emprunté à la page 160 du livre H et divisé en paragraphes. Le premier paragraphe contient la réduction du problème à la quadrature de l'aire BHQN. ?) Voir la pièce N°. 2778. On verra par la note suivante comment Huygens est parvenu ici à cette courbe, identique avec celle LQD de la pièce N°. 5778. 3) On peut considérer ce qui précède comme la définition de la courbe VHQ. Posant alors BH=—x,H8—BE—Y XE— EF =, on trouve facilement : y : V/* +3? = : x, équa- tion identique à celle de la pièce N°. 2778, pour la courbe DL, en échangeant les x et y. +) Puisque d’après la construction indiquée : Z4 X BZ — BH X BY. 5) Réduction de la quadrature BHQN à celle d'un espace hyper bolique. 5) C'est-à-dire la pièce N°.2778. Voir le premier alinéa de cette pièce. 7) Iciy—QD, tandis que 4 représente provisoirement une ligne dont la longueur dépend de la quadrature de l’aire ISTK. 8) On a d’après le $ précédent : NB: arc. BA— 17) BGON : BHQN, c’est-à-dire (y—-v):arc. BA =4 QG) : a (V/»Fa4— 1/7 +44 +4), d'où il suit facilement : arc. BA — Æe V yy + aa — V yy +44 +4; tout va donc dépendre de la construction de lalongueur g. 9) Construction de la longueur auxiliaire 4. 366. CORRESPONDANCE. 1692. duétum in fi ibrangencem faceret[_] aequale fpatio ISTK re). Si vero in hac Loga- rithmica cujus fubrang. 4 applicentur duae in eadem ratione illa earum intervallum duétum in 4 faciet [_] aequ. duplo fpatio ISTK hoc eft aequ. fpatio HQD£ *). ER vel 89 — fi I9 x—|//xx — aa =1 ] aV/ yy +44 2 13:) RER AVCP+48 _ 48 Ke G QD fr. WeKke—iss KT 944, 04, sV/vv+as _ 04 RAT AT. 2: vel. y ratio IS ad Krl/9+4 a. V'vy+04 _a J y y y compofita LES - Ames LEE bis ar Lit ee I*(Er) J) +44 — EN: Erx”:: JV/»+0a— ya CET ET Eft enim haec ratio eadem ac compofita praecedens. Ergo [7] gC in 4 eft — = fpat. HODB et gC =. [curva] AB=XB—XN (five A8) + gC Eadem igitur conftruétio hic oritur quae ex Hofpitalij inveftigatione pag. 1504). EF eft fubtangens. Fê— FB. Fa = FN. àr parall. 0B. D d 19) Huygens applique ici, sous une autre forme, la propriété 15 de la logarithmique, que l’on rencontre p. 179 de l’édition originale du ,, Discours de la cause de la pesanteur”. 11) Dès ce moment il ne s’agit plus que de construire une ligne Ex de telle manière qu’on ait EN : Ex=1IS : TK, puisque alors zX @C=spat. HQDB£=4X 4, donc 9=—=qC; mais, comme nous l’avons expliqué dans la note 7 de la Lettre N°. 2777, il est probable que Huy- gens connaissait déjà la construction de cette ligne qC, telle qu’on la rencontre dans le texte de la Lettre N°. 2777, obtenue par lui comme une simplification de celle de de l’Hospital. Il n’avait donc plus qu’à vérifier si le rapport EN : Ex, tel qu’il résultait de cette construction, était le même que celui de IS à KT. C’est ce qu’on verra accompli dans ce qui va suivre. 72) Ici les expressions en x sont remplacées par celles en y en vertu de l'équation x°y?—4°y°+44# de la courbe VHQ. ‘3) Puisque, d’après la construction mentionnée, F0 —FB— ]/"4° +5, F4=FN. 4) C'est-à-dire telle que Huygens l’avait simplifiée, simplification que l’on rencontre en effet à la page citée, où elle est précédée du titre: ,, Brevissima constructio problematis Hospitalij”. Il serait inutile de la reproduire ici, parce qu’elle est identique avec la construction indiquée par Huygens, dans la Lettre N°. 2777 et dans l’article mentionné dans la note 1 de cette pièce. CORRESPONDANCE. 1692. 361 . N° 2780. CHRISTIAAN HUYGENSs. 18 DÉCEMBRE 1692. Appendice III") au No. 2777. La pièce se trouve à Leiden, coll. Huygens. 6 1°). E D 2402 À Aequatio Curvae LH : 22ÿ + 2447 — aay; fit _ = L'4 ( B Fee + 2447 = 407 220 + 245 — 440 — 3 3 o D 2 mn 600 24, 22 0 [MD] S 14 Ergo w funt ereétae in fpatio VDML, y quod poteft quoque ad quadraturam pr hyperbolae reduci#). Sed hic nihil opus eft. à \ Sit 22 — 40; Fe = 8, FE. ado — 24% p.12... : ap = Sert pe 5 à je _ of + 24a— 4% 2440 = 40 — Ro. 7) Cet Appendice, emprunté à la page 155 du livre H, où il est daté par Huygens du 18 décem- bre 1692, et que nous avons divisé en deux paragraphes, contient une construction simplifiée pour la quadrature de l’aire FLM de la figure 1 de la Lettre N°. 2777. Il est précédé à la page 154 de. quelques recherches infructueuses pour arriver à cette quadrature par d'autres méthodes. Dans ces recherches préliminaires, Huygens commence par réduire le problème, au moyen du théorème de Barrow, à celui de trouver la courbe dont la soustangente 2 2 2 é ) égale ee > c’est-à-dire à l’équation différentielle 247xdx—7(4°—x° )dy= 0. Alors naturellement, la méthode de Leibniz de la séparation des variables ramène la quadra- ture qu’il s’agit de trouver, et celle de Fatio ne réussit pas non plus. ,,Hic vero nec Fatij metho- dus succedit, nec mirum, quia per eäm non nisi geometrica inveniri posset curva LO (la courbe Œuvres. T. X. 46 . 362 CORRESPONDANCE. 1692. B ergo eft applicata in hyperbola ad perpend. afymptoto, FL; wz=— 4. Ergo fi haberem wz+) haberem quoque Z 4y 5) unde et Z y, hoc eft quadraturam quaefitam. ; Haberem wz fi haberem 22°) in fpatio VDF. Quod fic oftenditur?) 77 w2 eft ungula fuper fpatio VDML abfciffa per LVF angulo femiretto; cui ungulae aequatur £ fumma quadratorum ab redtis in reétangulo LFDM ad FL applicatis, minus £ fumma quadratorum ab applicatis ad FV in fpatio curvilinea VDF. Porro haec pofterior 4 fumma aequatur folido cujus bafis eft fpatium hyperbo- licum EVF altitudo — 1 FC five 1 7; quia ubique 8 — - ideoque fingula 1 42— = 122, nempe earum z quae funt in fpatio DVF applicatae ad FV. Sed prior 4 fumma quadratorum ab re@is in [7] FDML, aequatur toti [7° EFLR duéto in altitudem Z 4, quia videlicet proportionales CF, DF, EF. Ergo differentia diétarum 2 fummarum quadratorum aequabitur folido cujus bafis fpatium hyperb. EVLR, alritudo 4 4; quod igitur = / wz, hoc eft ay; five fpatio LHM in 4. Itaque cum fpat. hyperbolicum VERL inzaft= fwz= # ay : Erit fpat. LHM= : fp. VERL. Ç II°). Si defcriberetur Logarithmica cujus fubrangens AS — }/ 244, quantum eft latus quadrati in angulo hyperbolae TVE. Et ad illam applicarentur duae reétae à soustangente donnée), atque ita absolute quadraretur spatium NHM (lisez FLM ); quod fieri non potest, cum a quadratura Hyperbolae ejus dimensio pendeat, ut invenit Hospitalius”. Et Huygens ajoute ,...haec omnia nihil juvant. Ergo pag. sequenti methodum Fermatii experiamur”, c’est-à-dire la méthode mentionnée dans la Lettre N°. 2777. 2) Réduction de la quadrature de l'aire LHM à celle de l'hyper bole. 3) Consultez la pièce N°. 2661, où l’aire œlwy de la figure 1 de cette pièce est réduite successi- vement à la somme d’une série infinie (au $ 1), à une aire hyperbolique (aux $$ II et LIT) et aux logarithmes (au V, voir la note 37). 3 Or l'équation de la courbe 4x : y—yi— = ne diffère pas essentiellement de celle: 2. de la courbe VD. 4) Lisez : fwzdz; w— MD, = LM. 5) Lisez : faydz; y —= MH. 5) Lisez : /zxdu. 7) Le théorème qui précède constitue une application de la méthode de Fermat; mais Huygens fait suivre une démonstration indépendante. 8) Déduction de la construction simplifiée à l'aide du résultat obtenu dans le paragraphe précédent. D—= CORRESPONDANCE. 1692. 363 rationem habentes quam DM ad VL, hoc eft quam w ad 24, vel quam MH ad 2LM, hoc eît quam y ad 22, iftarum re&arum diftantia in afymptoro Logarith- micae duéta in AS fubrangentem, faceret reétangulum — fpatio hyperbolico VERL ?) quod duplum effet fpatii LHM. Si vero in logarithmica cujus fubtan- gens LA five 4 duae rectae in eadem diéta proportione ftatuantur ad afymptoton, earum diftantia duéta in fubtangentem AL, faciet reétangulum dimidium prioris, quia alterum illud reétangulum erit ad hoc in duplicata ratione laterum. Ergo pofterius reétangulum fiet aequale fpatio LHM. Hinc breviflima conftru&tio. Du&u enim tangente in L punéto curvae LH (fumpta némpe AB dupla LA *°)) à punéto + ubi fecat applicaum MH ducatur afÿymptoto parallela ad Logarith- micam pæ cujus fubtangens — LA, eique occurrat in p. Item à punéto H fimilis parallela occurrat Logarithmicae eadem in &. Jam diftantia [pr] duarum perpen- dicularium in afymptoton ex punétis p et « duétarum cum reéta LA faciet reétan- gulum aequale fpatio LMH *:). Convenit cum quadratura Hofpitalij 12) fed eft brevior conétruétio. 9) Voir la note 10 de la pièce N°. 2770. 19) Comparez la Lettre N°. 2775, à l'endroit où il est renvoyé à la note 5. 17) D’après ce qui précède, cette aire égale 771 = — 44) = > d’où la construction se déduit très facilement. 2) Voir la Lettre N° 2775, au lieu où se trouve la note 6. 364 CORRESPONDANCE, 1692. N° 2781. CHRISTIAAN HUYGENSs. [oCcToBRE 1692]. Appendice IV*) au No. 2777. La pièce se trouve à Leiden, coll. Huygens. $ 1°). Fig. 1. Particulae aequales in AB aequales funt fingulis particulis HE , aequalibus in BC. Singulae BC, #c vocentur 43); fingulae à J LK, /k vocentur e; 7 fignificat fummam. Conftat jam fummam omnium z aequari fummae omnium e+); quia duétae in unam particulam reétae AB vel BC, € # |\- faciuntaream figurae ABC. + Summa [Jorum #7. KB five reétarum e in diftantias fuas ab EL © Ou © On Qu Qu LS LE $ oh KKKKKC AB, aequaliter crefcentes, quae funt 4, eft aequalis = fummae quorum ab reétis cb quae dividunt AB in partes aequales. Ratio intelligitur ex ungula 45 gr. fuper fig. ABC abfciffa per AB, quia ungula haec feéta planis ad figuram reétis, fecundum lineas /k facit ” [Jorum k/, kB. Eadem vero feéta : > : ; I Ë planis ad figuram reétis, fecundum lineas bc, facit ; quorum ex bc five # utrim- que nempe omnia duéta intelligenda in unam particularum BC vel AB reétarum 5). I Itaque 4e — à S 44. 1) Cet Appendice, emprunté aux pages 110, 111, 138—140 du livre H, contient les démonstra- tions des théorèmes qui servent de fondement à la méthode de Fermat, de laquelle il est question dans la Lettre N°. 2777, et en outre quelques applications de cette méthode. II a été reproduit dans un autre arrangement par Uylenbroek, Exercitationes, Fasc. IT, p. 145—154. 2) Démonstration du théorème [xy dx —3 ['x°dy Cen valeur absolue), où les intégrations doivent étre exécutées le long d’une courbe qui s'étend d’un point À sur l'axe des-y à un point C sur l'axe des-x. à 3) C’est la notation de Fermat, qui emploie les voyelles pour désigner les quantités variables et les consonnes pour les quantités constantes. 4) En notation moderne /'xdy=—/y4x. 5) C’est-à-dire en multipliant la première somme par une des particules Æk et la seconde par 2 où #k— bb. CORRESPONDANCE. 1692. 365 Ç IIS). 4 = 4 brachia reétarum 4 fuper AB L — 44. e a brachia reétarum à fuper AB ae. $ III”). 5 44 femiquadrata fuper applicatis feu crianguli quorum anguli 45 gr. funt ad AB. ? 4 brachia iftorum triangulorum fu- per AB. Es à ai. 3 ae rectang. 4e feu Bk, k! ereétam fuper /k. a brachium reétangulorum %e fuper AB. aae. FRE S ade. ç IV). Hic fuper omnibus applicatis BC five z refidua parabolica F ejufdem omnia parabolae, qualia funt DEF, DGH, ec. intelli- D G E H genda funt, quae funt inter fe ut cubi reétarum 4 feu applica- tarum?). Quae refidua in fua brachia duéta hoc eft in : a, fa- cient produéta in ratione quadratoquadratorum fuper 4. Summa 5) Autre démonstration du méme théorème. (Le moment de l’aire ABC sur AB est calculé de deux manières différentes). 7) Démonstration du théorème < Î x$dy= | x°ydx. (Le moment, sur un plan vertical passant par AB, de l’,,ungula” du $ I est calculé de deux manières différentes). 8) Démonstration du théorème Î xtdy= 4] x3ydx. (Le moment sur un plan vertical passant par AB du volume engendré par les paraboles 2— 7°: r est calculé de deux manières différentes). 9) C'est-à-dire leurs aires DEF, DGH. 366 CORRESPONDANCE. 1692. vero iftorum produétorum erit eadem ac eorum quae fiunt ex reétangulis HG in kl, feu /, duétis in fua brachia 4. Sunt autem HG — _ refidua ut DHG funt I 1 45 : HD hoc eft —- —. 3 2 ar. [refiduum HDG]. # [reéta HG] Sa [brachium fuper AB]. ebreda #1} TS aae 1 44 < [reétang. HG #7] 4r a [brachium fuper AB] LA ase ; ; 14! 24 A sé En 3 Ffat= fase"), DV) Fig. 3. Oportet 4 vel e [fig. 3] ab angulo recto B accipi ut theore- A . mata ifta locum habeant (cum vero aliter accipiuntur, vide quid a eveniat in exemplo extremae paginae hujus ‘?),quae fic quoque vera funt fi curva CA in infinitum abeat fecundum afymptoton € e BA, fed ita ut fpatium tamen infinitum CAB aequetur certo B fpatio, five ut quantumlibet prope ad certi fpatij menfuram ac- æ C cedat. 19) Ilest clair que le même procédé pourraitservir pour la formule générale Î x" dy=m Î x" lydx, les aires es les centres de gravité des paraboles 2—3" * : r°” * étant connus. 11) Quelques remarques supplémentaires. 12) Voir le premier exemple du $ VI. CORRESPONDANCE. 1692. 367 Fig. 4. Fig. 5. Poteft quoque curva folum incipere in D, ut A A DC ffig. 4] fit recta linea, DA curva, et tunc N CA DC minima omnium 4. R IN p un Poteft etiam et infinita extenfio efle curvae a RÉEPRD DA fig. 5], et fimul DC reéta linea. È 1H Attamen e quae in aequatione funt tantum B D a L Le quae ex curva DA applicantur ad RA. Et e quae in [7] DB vocantur E. Ç VI). Fig. 6. BF [fig. 6] curva. BH—e; HK — 4; BD five GF =E E maxima omnium €; DF = À maxima omnium 4. ] 1%. Tr as «. Hic fumma omnium ee, hoc eft folidorum ex omnibus 4 in ENTT 12" quadrata diftantiarum fuarum à BG, erit aequalis NE Ë : SE ; fe i 5 # qé © NL BD et BG in particulas utrimque aequales divifae intelli- \ guntur; jamque in J. eea,e fignificant diftantias ipfarum HK G feu 4 à BG aequaliter crefcentes; at in 77e3,e fignificat reétas à curva BF applicatas ad BG, eamque in diétas particulas aequales ïis quae in BD, dividentes; denique in E3, E fignificat reétas quarum fingulae aequales GF five BD, maximae omnium €, quaeque funt ipfae e ufque ad DF produétae. Demonfiratio. Quum 7 omnium KL in quadrata diftantiae fuae e?, aequetur — 7 cuborum applicatarum e, quae BGin particulas aequales dividere intelligun- cur, fitque omnium HL, ipfi DF feu maximae 4 aequalium, in quadrata diftantiarum e?, PURES cuborum ex omnibus E, fequitur 7 omnium HK in qu. diftantiarum fuarum ee aequari 4 JS. Es mg ff e3"4), 13) Extension des théorèmes de Fermat à quelques cas où la cour be ne s'étend pas d’un point de Paxe des y à un point de l'axe des x (c’est-à-dire où les termes x” et x,7,” de l'équation mention- née dans la note 14 de la Lettre N°. 2777 ne s’annulent pas). 4) Pour 7° E3 on pourra écrire : AE3; pour 7”eÿ : fa, si BH—x, HK—Y. On a doncen langage moderne Î xÿ dx = à AE3— ÿ Î x34dy; relation correcte. 368 CORRESPONDANCE. 1692. Fig. 7. BF [fig. 7] curva NP = e; PK = 4, NO EF; Er nn {I DEF — A: N re. P 0 Redtae 4 funt à curva BF applicatae ad NO, eamque in particulas aequales dividentes. Etiam hic # ae == f ÉeX e315), 3 B ! D Sed E in E3 fignificant e maximas per totum NC : CINF applicatas ad NG, eamque in particulas aequa- NC ? les cum inter fe, cum reétam NO dividentes. e vero in 63 rurfus applicatas à curva BF ad BG, À eamque in particulas diétis aequales dividentes. & F Item ein gee fignificat rurfus diftantias linearum PK ab reéta NG aequaliter per particulas crefcentes. Han DQ Cig: 8] curvas NP — e; PK = 4; NO = E; OD = A minima omnium &. À Hic ae — 3 FaA es); ut E in Es fig- nificet e maximas per [_] ND applicatas ad NB. B ; —jD e in e3 rurfus applicatas à curva DQ ad reétam BQ, î eamque in aequales part. dividentes. Ï Ate in ge ut pridus fignificat diftantias reétarum & LA. ab NQ. - VA PA L @ 15) En posant NP —x, PK —7, on arrive à la relation de la note précédente. 16) En parcourant la courbe dans la direction de Q à D on a, en notation moderne, Î x? ydx = Au & AE3— - Î x34dy, maïs, puisque les accroissements 4y de PK sont alors négatifs, on doit remplacer — : Î x3dy par : LA e3, ce qui amène la relation obtenue par Huygens. # CORRESPONDANCE. 1692. 369 $ VII"). Fig. 9. Confideretur primo AH [fig. 9] divifa in partes minimas aequales, tunc fingula quadrata ramorum " c B BC applicata reétae AH vel ipfi aequali AV, vel alij lineae fi velimus, faciunt reétas CQ, quae hic cadunt ” in parabolam AM, cujus vertex M, axis MH. Haec ex M ZA W_ calculo ad N ‘*). Deinde confideretur HN divifa in partes aequales ijs in quas feéta fuit AH, nec referret fi non exaéte exple- rent HN, uti nunc faciunt quia ABN ponitur quadrans circuli. Jam omnia fimul reétangula ex BG in GH bis fumpta, aequari fcimus omnibus quadratis CB (vide pag. 110 ‘?), ac proinde omnia fimul reétangula BG in GH #4: ; à : ; erunt aequalia 3 °mnium quadratorum BC. Quare etiam omnia reétangula BG in GH fi applicentur ad eandem AH aut aliam reétam, ad quam applicata fuerunt quadrata BC (ex qua applicatione hic natae funt reétae GO, faciendo ut AH ad HGita BG ad GO) erunt neceffario omnes fimul GO aequales dimidio omnium fimul CQ, quae ex applicatione totorum quadratorum BC ad AH ortae erant; atque ita figura HON hic= parabolae AMH, five à quadrati ex AH °°). Hoc eft fundamentum eorum quae habet Fermatius in libro de aequationum localium tranfmutatione pag. 51, 52 &c. **); quae ibi confufe perverfe et nulla addita demonftratione proponuntur, et plena praeterea funt fphalmatis typogra- phicis. 17) Première application. Quadrature de la courbe x4— a°x? + 4°y° —o. 18)I1 ne semble pas nécessaire de reproduire ce calcul puisqu'on trouve immédiatement QC—BC? : AH—(AH°—HC?) : AH —AH—HC: : AH. 19) Voir le théorème du $ I de la présente pièce. se 29 Ainsi la quadrature est trouvée de la courbe GO —7y— HG X BG : AH—x V/#— :4, ou bien :x4—4?x?+ 4°? —0, sur laquelle Huygens remarque encore: ,quadrabilis, 5t* Huyg- henij, vide pag. 19. (Voir la note 2 de la Lettre N°. 2735). Ejusdem generis cujus mea pag. 1 lib. G. [voir le $ I de la pièce N°, 2612] nec tamen prorsus eadem. Ergo apud Fermatium potuit hujus quadraturam invenisse Leïbn.” On rencontre cette quadrature de Leibniz à la page 51 de la Lettre N°. 2664. ?*) Voir la note 14 de la Lettre N°. 2777. Remarquons encore que plusieurs des erreurs typo- graphiques assez embarrassantes qu'on rencontre dans l'édition originale ne se retrouvent plus dans l'édition récente de Tannery et Henry, où en outre la figure de la page 51 (page 271 de l'édition récente), a été améliorée par l'addition de la courbe HONH. Œuvres. T. X. 47 370 CORRESPONDANCE. 1692. $ VII“). Ad pag. 54 operum Fermatij 3). Aequatio curvae CBA [fig. 10] 5 = ae + + bbe. Sit 00 — be; fit nova curva KHG in qua ap- plicatae o funt mediae proportionales inter et e; dabiturque fumma omnium e fi detur fumma quadratorum 00. T EE fit D3 = PS b4— 4400 + + bboo aequatio curvae KHG. Sit jam 40 — bu +); fit b4— bbuu + bboo; bb—00 — uu aequatio curvae GLM, quae eft circ. circonf.a Ergo omnia o habentur quadra circuli. Nam fummam quad.orum 90 fcimus aequari duplae fummae reétangulorum 04*$). Ergo et duplae fummae reétang.orum 2, quia bu = 04. Si ergo applicentur omnia qua 00 ad b, itemque applicentur omnia rectangula #4 ad à, fient lineae quarum fumma priorum M 00 à . : ï 3 five e, erit dupla fummae pofteriorum, quae funt #. Atqui omnes e faciunt fpatium infinitum CBADEF, fi nempe du@tae intelligantur in unam particularum aequalium in quas DF infinita feéta eft a reétis e. Omnes item # faciunt quadrantem circuli DGM, duétae nempe in unam particularum aequalium in quas feéta eft DG à reétis #, quae particulae prioribus aequales ponuntur. Eft ergo fpatium infinirum CBADEF duplum quadrantis DGM. Adeoque quadratura ejus pendet a qua- dratura circuli. 22) Deuxième application. Quadrature de la courbe xÿ° + 4°x—a3= 0. 23) [ci, comme dans les autres exemples, Huygens a suivi les indications de Fermat; mais de manière à obtenir des résultats mieux précisés. La page 54 citée correspond à la page 279 de l’édition récente. 1 24) En guise d’explication Huygens ajoute ,,pono #0— bu quia si inveniam omnia habebo omnia #0, ideoque et omnia v quia haec—bis omnia 40. Habebo autem omnia # posità quadratura circuli”. 25) Par l'application du théorème du $ I de cette pièce, la courbe GHK étant supposée s'étendre jusqu’à l’infini. CORRESPONDANCE. 1692. 371 Dico et fpatium BPA effe duplum fpatii GNL. Sunt enim omnia qu.a 0 folidi EHDG ad omnia quadrata partium o in rectangulo EN, ficut omnes e in fpatio BADE ad omnes partes linearum e in reétangulo BD. Itaque folidum ex EHGD circa ED eft ad cylindrum ex [7 ]° EN circa eandem ED), ut fpatium EBAD ad C2 BD. Et dividendo, folidum ex EHGD ad folidum ex HNG circa eandem ED, ut fpatium EBAD ad fpatium BPA. Sed folidum infinitum ex KGDPF eft ad folidum ex EHGD, ut fpatium inf.m FDAC ad fpat. EBAD. Ergo folid. infin. ex EHGD *) ad folidum ex HGN ut fpat. inf. FDAC ad fpat. BPA. Sed folidum inf. ex KGDF eft ad folid. ex HGN ut omnia #0 in fpatio inf.° KGDPF ad omnia ao in fpatio HGN, hoc eft ut omnes # in fpatio DMG ad omnes # in fpatio LGN. Ergo ut quadrans DMG ad portionem LNG ita fpat. inf. FDAC ad fpat. BPA etc. KHG: curva eft ea quae noftra auxiliatrix ad conftruendum catenariam ??). Ç IX 9). Ad pag. 55 et 56, Fer- mati] *?). Aequatio curvae OC ffig. 11] datur bb—4a— ee, quae eft circuli circonf.a PQ funte, PA vel QR fun #7. AO rad. — bd. Quaeritur fumma cuborum e. Si haberem fummam om- F X nium Zee, haberem et fummam | omnium €, quia ea — FRERES Va L 4 2: so), 3 Dares LaeT.. k bbo … Sit bbo— ace, unde — — G ee 26) Lisez KGDF. 27) En effet, l'équation 24—4400 + bboo peut être identifiée avec celle de la courbe xxyy— —44—4aÿy, mentionnée entre autres dans la pièce N°. 2624. 28) Quatrième application. Détermination de l'intégrale Î x34dy, étendue à un quart de cercle. Pour une cinquième application, se rapportant à la quadrature du ;folium” de Descartes, nous renvoyons à la pièce N°. 2782. 29) Voir les pages 281 et 282 de l'édition récente de Tannery et Henry. 39) Voir le $ III de cette pièce. 372 CORRESPONDANCE. 1692. = 4 et 0 — Dee Hinc curvam fecundam conftruo AHC, in qua AL funt e, LM 3 : F j b400 funt 0; cujus curvae aequatio fit, fubftituto in aequ.e valore 4, bb— T4 = five bhet— b400 = €. In hac curva jam fciri deberet fumma omnium 0. Sit eu — bo. Si jam eu haberem, etiam 7 bo haberem, fdbbâue #7 03 fit autem nunc curva bhet—e — bheeuu five bhee—et — bhuu quam conftruo ex eo quod # — se fumtis e ut ante in AC aequalibus. Eft autem haec curva ABC (LA = e, LS = #) eadem quae in Exemplo pag. 1383); ut patet ex aequatione. In hac curva fi haberem fummam omnium e qu. (quae reétam AD aequaliter fecare jam debent) in fpatio ABD, itemque 7 e qu. quae in fpatio ADBC, habe- rem et eorum differentiam, quae aequalis eft omnibus 5?) ew; unde #7 bo ha- berem 53). CEE h à x Pono ee — by, unde y — 7 hinc quartam curvam invenio AGF quae eft cir- culi circonf.a 34). Ergo:$) quia fingula by funt — ee erit fumma ee ad fummam differentiarum ee ut fumma by ad differentiarum by, hoc eft ut [77] AE ad femicirculum AGF. Et fumma ee ad dimidiam fummam differentiarum ee ut fumma by, hoc eft ut [7] 3!) Voir le $ VIT de cette pièce. 3?) Lisez: ,duplo omnium”. AC NB * NB NB 33) Onaeneffet: | eu de=—à+ fe edu—+} ife edu =? J VU?4u—+} J TU?4u. Huygensd’ailleursajoute Le o NB la justification di suit: ,Non enim hic omnia e qu.— # ceu, sed differentia quâ omnia quad.a rectarum e quae sunt in spatio CBDA superant omnia qu.a rectarum e quae sunt in spatio BAD, estaequalis 2 eu. Omnia ev est solidum ex figura ABC circa AD [il s’agit du cylindre sur ABC coupé par un plan partant de AD sous un angle de45°]; hocautem habetur aeq. dimidio ex omnibus e qu.is; hoc est ex solidis ex ABD et ACBD circa AD. Est enim horum differentia, hoc est summarum omnium dimidiorum quad.orum ee.” 34) Puisque, d’après un petit calcul en marge, la substitution de ee— 2 dans l'équation #ee— —e4 — hhuu de la troisième courbe, amène l’équation 23y—2yy — bbuu ou bien y —yy—uu. 35) Le raisonnement qui va suivre, semble embarrassant et compliqué plus que nécessaire, puis- qu’il suffit de remarquer qu’on a, d’après ce qui précède, F eu—=+} LA UV?—+ A UT°— —1} # XU—1? A YU—+}paire FGA— aire KGA; résultat consigné dans l’alinéa suivant. CORRESPONDANCE. 1692. 373 AE in altitudinem ÿ ad dimidiam fummam differentiarum by, hoc eft ad quadran- tem KGA in altitudinem ? 3°). Ergo quadrans KGA in altitudinem à erit aequalis fummae omnium e in 4. Ergo et fummae omnium bo, quia aequalia pofuimus e4 — bo. Ergo fpatium AHC = quadranti KGA; quod Notandum #7). Sed LÆ] bbo erat — LÆ] aee — - LL] e3. Ergo quadrans KGA in altitu- dinem b, infuper duétus denuo in #, aequabitur : [ # 4 es, Hinc vero invenitur centrum gravitatis ungulae fuper quadrante AOC abfciffae per AO ang.° femireéto, oportet enim eam in brachium fuum fuper AO duétam aequari omnibus femiquadratis fuper lineas e in ungula exiftentibus duétis in fua brachia fuper AO, hoc eft in 30 unde oritur à [ LA ] e3 pro produéto ungulae diétae in brachium fuum. Erat autem et folidum ex quadrante KGA in ? duétum L#] Fa Itaque folidum hoc fufpenfum in punéto C brachij CA aequiponderat five aequalem gravitatis momentum habet fuper reéta AO, ac ungula ante diéta. Quare ut ungula ad folidum illud, ita Z ad brachium ungulae fuper AO. Ef autem ungula — Le ut aliuñnde notum, et folidum diétum — à bbq, fi arcus GA fit g: nam KA — 22 Itaque eorum ratio quae 44 ad 39. Ergo ut 4b ad 3gita b ad ; g,quae eritlongicudo brachij ungulae in reétam OA, quod et aliunde fcimus 3°) ita fe habere. + nd 35) On lit encore en marge: , Nota hic ad summam omnium ee inveniendam in curva ABC, debuisse duci istas e ita ut rectam AD in partes aequales dividerent; neque aliter ad curvam ABC alia statui poterat ad rectam AD, in qua y essent ut &. Ex duabus autem e quae sunt UT, UV, fiunt duae y quae sunt UV, UX”. 37) On connaît donc de cette manière la quadrature de la boucle formée par la courbe —=(a--x°)xt:at, 38) Sans doute à l’occasion de la détermination du centre d’oscillation d’un secteur de cercle. Comparez la Propositio XXI del’, Horologium Oscillatorium””, Pars Quarta, d’après laquelle la détermination du centre d’oscillation de la figure plane AOC, oscillant autour de l’axe OA, dépend de celle du centre de gravité de l’,,ungula”’ en question, et consultez en parti- culier le sous-article de cette proposition intitulé: ,Centrum oscillationis Sectoris circuli”. En effet, la longueur À q du ,,brachium ungulae” n’est autre que la distance du centre d’os- cillation de la figure AOC à l’axe AO. 374 CORRESPONDANCE. 1692. o N° 2782. CHRISTIAAN HuyGEns. 21 NOVEMBRE 1692. Appendice V*') au No. 2777. La pièce se trouve à Leiden, coll. Huygens. 21 Nov. 1692. hanc e tenebris erui quadraturam. SE e3+u3=eub. Aequatio curvae a Cartefo, Huddenio et aliismulcoexaminatae®). EE: Fig. 4 B je œ CA B A G DV T YA ET 4 L her É : Î : : : CE , : 24 ; 5 [l ; ; Il . ê (l P [ É 6 E x A AL: 2 PS TRS Rshras pu Z: À: 0 NT : IN, F4 0e {7 à ‘le | : % ë LA Lol HE 1” À N x: 1) Cet appendice, que nous avonsemprunté aux pages 141—145 du livre H, contient la quadra- CORRESPONDANCE. 1692. 375 Haberem quadraturam fi cognofcerem fummam omnium # feu FG in fpatio ABED, nam ablato triangulo EAD fiet ABE hoc eft : fpatium folij ABCA. $ bbu _. , Sir bbu = aee; unde 4 = et hinc alia curva conftruatur KI; cujus aequatio, gort . bsa—b5 ex priori data, erit ——— = 65, ai Si haberem ace, haberem et #bbu, et hinc /u. Sed face ete fe. Ergo opus habeo e3 in nova curva. Sit e3— bby vel bhi—bby. 5 bbi 72 ; aai=b3; Hyperboloides quadrabilis OPS; cujus fpatium infin. 6 KPS0= C-PD;bby= 7: a3y=bt; Hyperboloides quadrabilis OQR; cujus fpat. infin. KQR# — : C7 QD. Si tentaflem#) quadrare portionem ut AAG, tunc omnes 4 ad AD applic. terminatae fuiflent in curva quadam NZ£, cui convenit ut / ee fit 3 L./] Es — 3/® s), hoc eft omnes 4 (Gr) in quadrata diftantiarum fuarum ab AA, hoc eft omnes Gy minus omnibus æg in quadrata diftantiarum iftarum. Sed omnibus rg in quadrata ifta = : Jeuborum ex &, quae in fpatio N£A...... Sed haec via impeditur °). Sumpfi igitur quadrandum fpatium ABED, ex quo inventae lineae GI, five 4, ture du folium de Descartes x3 3 — hxy=—0. Il a été reproduit par Uylenbroek, Excer- citat. math., Fasc. IL, p. 154—158, sous un arrangement un peu différent. Nous avons ajouté une division en paragraphes. 2?) Quadrature de la boucle entière. 3) Voir les notes 21 et 22 de la Lettre N°. 2777. +) C’est ici que commencent les recherches originales de Huygens; ce qui précède pouvant être considéré essentiellement comme un exposé sous une forme plus géométrique et en ordre inverti des indications données par Fermat comme devant mener à la quadrature du folium. Consultez encore la note 14 de la Lettre N°. 2777. 5) Voirle Ç IV de la pièce N°. 2781. 5) Ces mots sont précédés de quelques phrases biffées er illisibles. Remarquons d’ailleurs que le point £ correspond au point #2 et non au point E. En prolongeant la courbe NE elle attein drait le point K pour y rejoindre la ligne KI qui appartient à la même courbe. 376 CORRESPONDANCE. 1692. conftituunt (quod mirum videri queat ) fpatium DKINA, in quoapplicantur é ad reétam AN infinite protenfam, fit vero DK = 227), fed curva KI incipere cen- fenda ab infinitâ diftantia prope afymptoton NA. In eo vero jam fpatio omnes e ; 1 \ aequantur omnibus 4 et omnes ee4—= à omnium e3 °). Porro ex e inveniuntur y, ipfis e indireétum adjunétae ?); deinde fumma om- nium y invenitur, in qua computantur primo omnes vin [_] YALH,; deinde omnes MN; incipiendo ab LH, quia KD eft prima ac minima omnium 4; atque iftae MN feu y aequantur porro fingulae reétis RS, inter hyperboloïdes OPS, OR interceptis ac fibi refpondentibus. Incipiunt autem hyperboloides a punéto O, angulo quadrati cujus latus 2. Eftque fpatium infinitum inter eos interceptum PQRS=—fpatio infinico HLNM. Pro omnibus » igitur habemus omnesquae funt in ©] AH etin fpatio infinito QPSR, uod aequale invenitur [_[J°TK—[CIQX"°); fed quia LA] bby eft — LÆ] e3, hoc eft LL] gace, hoc eft LA] 3bbu, erunt omnia bby = ter omnibus b# et= omnium bby—omnia bbs. Ergo = omnium y = omnibus #, quae facere inteliguntur fpatium ABED, duétae nempe in unam aequalium partium in quas ipfae # dividunt reétam AD), ficut omnes in infinitum y in aequalem priori particulam duétae in quas.» vel e dividunt reétam infinitam ALN, faciunt fpatium infinitum AYHMNA, hoc eft [7] KT — [2] QX una cum [7] AH. Itaque horum tertia pars hoc eft [7] VX **) # CJAH five VK, hoc eft 3 C7 VK aequabuntur fpatio ABED. 7) Puisque K est le point de la courbe KI ou e3 = 25 2_ÿ5 3, pour lequel e— AD —— b. + à I S 3 8) En notation moderne Î ea de = + Î e3 da, en valeur absolue, où toutefois la seconde inté- gration doit être étendue aussi bien sur la droite KD que sur la courbe IK,ce qu’on ne devra pas perdre de vue dans ce qui vasuivre. La relation est correcte puisque ici #3 s'approche de zéro pour e= 0,4 — ©O, 9) Puisqu’on a > —MN—ei2—", où e représente l’abscisse AG du point correspondant I de la courbe KI. Ainsi, pour e=LK=— = b, on trouve y — HL=S b. 1°) Puisque C3 QX == QD. I 8 I DX=< DK, 20 VX = $C KT— CS QX= == 30 VX. 11) On a en effet, pour KD — 24, DV—y= #4 3 = b,DT—i—bh = b; donc, puisque CORRESPONDANCE. 1692. 377 Sed [3 VK = " bb. Ergo fpat. ABED — s bb, et demto triangulo ADE — = g five à bb, fit k ABE — ie Bb. Folium ne aequale = 3 quadrati ab AE diametro ?). Ç II). Quaeritur quadratura univerfalis curvae pag. praecedentis. KP 14); DK = à = par, infin. KPSÈ— [C3 PD] = À. KQ= T3; DK = à = 22, fat, infin. KQRY — D Le Se Se aipet ie KQ 10 771 es Et CE _ AY = [y] BCE ANR Nm". fpat. A [w] cnR US De bee et fat. B [w] AP, fi A9 fit, 2B — w, — fpat. À [u] Bè— A ABI— = — Zn cu 1 + “. 2 fpat. ABB [w] + ABA = 2 fpat: B [w] A8 — ae Det NS fpat. À [w] BAA = fpat. ABB [w] + ABA + triang. BBA = 22% © + « 2eu I obee 1e* ‘1 I I ME +: MN. aa a et fs quadratura univerfalis. 7?) Huygens ajoute encore sur la figure présente : ,,Spat. NE1— 00%; : CI YA ne spat. N£i—spat. AD2”. 23) Quadrature du segment AwB de la fig. 1. ‘#) On doit considérer dans ce qui va suivre le point E comme un point indéfini de la courbe ABE. Alors KP—;—#34—2, où 4—bhue—:; donc KP is M #2, 15) En effet, la relation spat. ABED— gspat. infinit, KPSO — à spat. inf. KQRO + — 0 AH, qui se déduit facilement des données du paragraphe précédent, est encore mb pour un point quelconque B de la courbe ABE. D'ailleurs Huygens ajoute ici en marge: ,,In his e et # Sumuntur pro maximis linearum e et y quae pag. praecedenti in calculo adhibentur; quae nimirum maximae portionem quamque datam definiunt”. Œuvres. T. X. 48 378 CORRESPONDANCE. 1692. (Si u=e; be = ee ce, fit e mi Let bb bb = bb, ficut pag: praec. inveneram ). b 4 4 bue — e3 = u3; buee — et = eu3; 5 A 4 mi 1 en TE u . uu QUU 3 3 4 fpat. À [w] BAA — es ss +, uu — = 66; quadratura univerfalis brevior. NB. Hic perpend. z, effe eam quae a fuperiori ambitu folij ducitur. Spat. À [w] Bd = su — Le 5 ; fi hic reftituatur valor — a fit fpat. A [w]B à — ” ee ŒE 5 Triangulum ABd — — 3 cu. Spat. AwBA — 2 ee: fegmentum. SIL) Quaeritur fpatium Af[r] fD [fig. 2], cum Afeft continuata curva EwA pag.se Fig. 2. F LUZ — Le d ri gr A CORRESPONDANCE. 1692. 379 141 7). Proprietas hujus Af eft ut differentia cuborum AD, Df fit aequalis folido ex AD, Dfet data b. AD=e; Df=u;us—eub—es = 0 %);u3—eub = 63; bbu = aee;a%e3— abs = DS + abs x : bS hs = 0e sea . per — . = — ss = DS; e3 — Cr e3 = bby = bbi + bby; bbi + bby Te +726 br À, aai= by =; a3y = bt, Omnia erunt eadem ac pag. 142 ‘?) praeter unum fignum quod hic in + mu- randum. bee. ét. eu, me Ergo fpat. A[r]fD — gg + PB LAS ns ; reftitue valorem — _ , hic — 7 Le ; fpat. A[r] fD — Duty ou; seu seu =triang. AD; fpat. Ar fA = Le, Ap= 2 b, nam AZ = = AE *), D= 2 b+e; pDh= 35 00 + +3 be +5; An bb: p. AnÿD = AD — AyAn =; be + pee: : Sp. AyŸf finitum = fp. Ay D —fp. A[r]f D ne be + : en — Se e + : b=u,cume infinie. ; ex = = ee +6 eb; {p. Aybf infinitum (reftituto va- lore — = eu) = ä eb — ë A = £ eb — PET: Je PE hic uterque terminus infinitum efficit fpatium extenfione, ex quibus differents colligi nequit, neque putandi funt aequales eo quod e + È b indivifore facit idem quod e ut vidéri poffet. Patet enim I differentiam eorum effe uns Sed divifor e + à b, cum e infinitum, idem valet 16) Quadrature du segment Anf et de l'espace infini y An f y Z£. 17) Voir la figure 1 de cette pièce. 18) Cette équation est déduite de celle du $ I par le changement du signe de la variable w. 19) Voir le $ II de la présente pièce. 29) Elle est obtenue au moyen de l’équation #3 — ewh—e3—o. 21) Lisez plutôt AF. La relation est indiquée aussi dans la Lettre N°. 2777, mais nous n’en avons pas rencontré la déduction dans le manuscrit de Huygens. On a de plus: AD=— b, d’où la valeur de A se déduit facilement. 380 CORRESPONDANCE. 1692. quod e folum, in hac determinata quantitate plani. Ergo 3 bb = fpatium infini- tum Ayff; = bb=triang. AZ; _ bb fpat. infin. AZÿf; 1) fpat. infin. AVES aequale folio ABEAA [fig. 1], quod erat 12 - oO N° 2783. ConsTANTYN HuyGEns, frère, à CHRISTIAAN HuyGEns. 30 DÉCEMBRE 1692. La lettre et la copie se trouvent à Leiden, coll. Huygens. La lettre est la réponse à une lettre que nous ne connaissons pas. Whitehall ce 30. de Dec. 1692. Jay receu la voftre du 23. décemb. et ayant confideré ce qu’il y aura à faire dans cette affaire de Zuylichem *) (je dis pour le Miniftere) je croy que le plus court et le meilleur fera de fuivre l’advis de Mr. Verbolt et de prefenter au nom de dieu ce van Holten, car de croire qu’on pourrait faire efcrire le Roy a la claffe je croy que ce feroit fe tromper et de la peine perdue de l’entreprendre. Je croy que cet homme la y eftant mis de la main de Verbolt fufdt. fe gouverneroït par _ fes confeils et felon ce qui eft de nos interefts et que d’autre cofté on pourroiït eviter toutes ces fafcheufes difputes touchant le droit de Prefenter, etc. duquel droit eftant une fois eftant [fic] en poffefion ils ne pourront pas bien nous le dif- puter à l’avenir. Depuis nofître retour en cette ville, je n’ay point eu de converfation avec Meffrs de la Societé R., ny veu aucune de leurs Tranfaétions®). Je m’informeray pour- tant pour fcavoir fi lon en a imprimé depuis quelque temps, et fcauray par le moyen du d.r Stanley fi ces Meff:rs ont eu quelque relation particuliere touchant le cards de Jamaicque 3) pour vous en faire part. Je n’ay rien appris non plus touchant ce qu’ils ont fait de mon verre +) dont je leur ay fait prefent n’ayant point veu d.r Flamftead, lequel je ne fcay fi je vous 1) Voir la Lettre N°. 2764. ?) En 1692 il n’en parut qu’un seul numéro, celui du 19 octobre. La publication régulière n’en fut reprise qu’avec le numéro de janvier 1693. 3) On ne rencontre rien à ce sujet, ni dans le numéro du 19 octobre, ni dans ceux de 1693. 4) Voirles Lettres Nos. 2725, 2729 et 2731. CORRESPONDANCE. 1692. 381 ay mandé qu’il eft marie icy apres le depart d’icy du Roy. Je croy que cela caufera de l'interruption a fes obfervations noéturnes. Touchant les affaires de Zuylichem et s’il fera a propos d’en venir a l’admo- diation que l’on propopofe [fic] je m’en rapporte entierement a ce que vous avec les Freres trouverez bon de faire. J'ay efté l’autre jour chez ce Beverland *), qui a demeuré quelque temps avec Voflius, et a efcric le livre que vous fcaurez de Peccato Originali, pour lequel il fuft banny de l’Hollande. A l’interceflion de Monfieur Halewijn 3) et autres il aura fa grace du Roy. Il me fift voir fa Bibliotheque qui eft de livres choifis, et un grand nombre de tailles douces parmy les quelles il y en a de belles. de deffeins il n’en a point. Pour Monfieur de Zeelhem. T Hadrianus Beverland, né à Middelburg en 1653 ou 1654, avocat et écrivain licencieux et satirique. Entre autres publications, ce fut surtout la suivante qui excita l’indignation des “orthodoxes ::,,Peccatum originale #xr' #£oyy» sic nuncupatum Philologice xg0ofAmuatix@o , vuncupatum 4 Themidis alumno.Vera redit facies, dissimulata fierit. Eleutheropoli, extra pla- team obscuram,sine privilegio Authoris, absque ubi et quando” in-12. A la fin de l'ouvrage _onfit: sn Horte Hesperidum. typis Adami Evae Terrae filii 1678. Dans cet ouvrage il soute- nait que le péché original d'Adam et Eve consistait dans l'union charnelle. À cause de cet écrit il fut cité devant le tribunal académique, condamné à retracter ses opinions, à uné amende de 100 ducatons d’argent; de plus il fut rayé de la liste des étudiants et banni des provinces de Hollande et Zélande. Beverland s’établit ensuite à Utrecht, d’où le scandale de .sa conduite et de ses pamphlets, dirigés contre les professeurs de Leide, le fit bannir encore. Il serendit en Angleterre, où antérieurement il avait fait un stage à Oxford, et y fut accueilli par Isaac Vossius, qui lui procura des fonds de l’église un revenu modique. Beverland s’acquit une collection delivres, de tabléaux et dessins, ainsi que d'objets d’histoire naturelle. Dans un âge) avancé il publia une ,; Admonitio de-fornicatione cavenda; sive Adhortatio ‘ad pudicitiam et castitatem””, dans lequel il témoigna son repentir de sa conduite déréglée. Après la mort de Vossius il tomba dans la plus profonde misère. En 1712, errant en Angle- terre, il se crut poursuivi par des ennemis attentant à sa vie. I1 périt en quelque lieu inconnu. 3) Simon van Halewijn, seigneur d’Abbenbroek, né à Dordrecht, où il occupa plusieurs charges importantes, entre autres celle de bourgmestre. Il fut partisan zélé de Willem II, jusqu’à l'avènement de celui-ci au trône d'Angleterre. Depuis, il ne put approuver la politique belli- queuse du roi, et une mission politique l’ayant mis en relation avec un agent secret de la France, Robert de Piles, il crut pouvoir agir en faveur de la paix. Sa correspondance saisie par les autorités hollandaises lui attira un procès qui se termina en 1693 par sa condamnation à l’emprisonnement pour la vie. Il sut s’évader en 1696 du château de Loevestein, Où il était détenu, et se rendit à Suriname, où il mourut. 382 CORRESPONDANCE, 1692. o N° 2784. G, W. Leiniz à CHRisriAAN HuyGENs. 30 DÉCEMBRE 1692. La Jettre.sé trouve à, Leiden, coll. 1 Elle a .êté publiée par. P. J. Uylenbroek*) et C, I. Gerhardt?). Elle fait suite au No. 2766. Chr. Huygens y répondit par le No. 2785. MONSIEUR Ma lettre affez prolixe vous aura efté rendue il y a quelques mois. La réponfe n’a point de prefle; Mais voicy de quoy je prends la liberté de vous fupplier: Une perfonne que je confidere, pouffée par un autre qui s’imagine d’auoir trouué le mouuement perpetuel, m’a demandé fi je ne pourrois pas apprendre fi les Eftats ont propofé un prix à celuy qui le trouueroit, et combien. J’ay eu beau dire que la chofe n’eft point poflible à mon avis, et que j’ay bien appris par ‘les lettres de Grotius ad Gallos3) la quantité promif e par les Eftats à celuy qui trouueroitles . Longitudes, mais que je n’ay pas oui parler d’un prix promis a l'inventeur du mouuement -perpetuel, On a tousjours infifté et on.m'’a prié avéc inftance de m'en informer. Comme vous ne pouués pas manquer de fcavoir la chofe; Mon- fieur, s’ily a quelque chofe de tel, je prends la liberté de m’adreffer à vous et de vous fi upplier de me faire fcavoir un mot de reponfe à cette queftion, quelqu'inu- tile qu’elle foit en elle même et AHRyAUP j'aye pres que honte de vous la gai pofer. ; J'efpere que vous vous porterés bien et qué nous aurons biencoft voftre impor- tante Dioptrique#). On dit que Mons. Neuton donnera un nouuel ouvrage. Je vous avois prié de me communiquer vos remarques fur mes Animadverfiones ad Cartefium 5). Ce n’eft pas pour entrer en difpute avec vous, mais pour en profiter. Mais ce fera a voftre loifir. Cependant je vous fupplie de renvoyer mes animaduerfions à Monfieur Beauval fi vous ne l’avés déja fait, c’eft afin qu’il les communique encor à d’autres comme je l’en ay prié, afin d’en tirer encor des { ‘ { L F . e 1) Chr. Hugenii ete. Exencitationes Mathematicae, Fasc. I, p. 144: ?) Leïbnizens Mathematische Schriften, BandIl, p:147 et Briefwechsel p. 705. 3) Hugonis Grotii Epistolae ad Gallos, Nunc primüm editae. Lugd. Batav. Ex officinà Elzevi- riorum. Ci019CXLVII. in-1 2°, 4) Voir la Lettre N°. 2759, à la page 296. 5) Voir la note 23 de la Lettre N°.2759 et la Lettre N°. 2766, à la page 320: CORRESPONDANCE. 1692: 383 hemarques;-quoyque je fcache bien qu’il n’en trouvera gueres qui puiffent valoir les voftres. Je fuis avec zele MONSIEUR Voftre trefhumble et trefobeiflant ferviteur LErBnrz. A - Dre fouhairre une heureufe année avec une grande fuite de femblables. Hanover a December 1692. À Monfieur Monfieur Hucexs Seigneur de Zuylichem à la Haye. franco Lingen. SE: * N° 2785. LCHRISTIAAN HuycEns à G. W. Lermniz. 12 JANVIER 1693. Le lettre se trouve à Hannover, Bibliothèque royale. La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens. La minute a: été publiée par: P. J. Uylenbroek*), la lettre par C. I. Gerhardt*). Elle est la réponse aux. Nos. 2766 et 2784. G. W. Leibniz y répondit par le No. 2797. A la Haye ce 12 janvier 1693. MONSIEUR Il y a 6 jours que je reçus voftre lettre du 30 Dec. ayant encore à refpondre à celle du 26 Sept., de quoy je ne fcay pas bien quelles excufes j'allegueray, fi ce n’eft que je m’apperçois que les difputes par lettres ralentiroient noftre cor- refpondance, du moins de ma part, parce qu’il faut fe refoudre à recommencer 1) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, p. 145. La minute, publiée par Uylenbroek, ne diffère pas sensiblement de la lettre, à l’exception d’un seul passage, qui manque dans la lettre. Voir la note 7. ?) Leibnizens Mathematische Schriften, Bd. Il, p.141, et Briefwechsel, p. 706. 384 CORRESPONDANCE. 1693. de raifonner chaque fois qu’on efcrit, fans-efperer de refponfe qu’apres 5 où 6 fémaines, lors qu’on a derechef oublié où on en eftoit. Je repafleray pourtant fur les articles de vos refponfes fans m’etendre, et fans pretendre mefme. que vous m'envoiez des repliques. Mais auparavant je repondray à ce que vous m’avez demandè, et vous diraÿ que affurement il n’y a point de prix propofè par Mrs. les Eftats à l’invention du mouvement perpetuel, quoyque je fcache que plufieurs l’ont creu, parce que des gens peu fcavans en ces matieres fe font imaginé que de cette invention s’enfuivoit celle des longitudes, qui eft une confequence fans fondement. Du mouvement perpetuel ils efperoient un mouvement egal et de là des horloges juftes, mais je vois) qu’avec des horloges tres juftes, l'affaire des longitudes fouffre encore trop de difficultè à caufe des accidents, et du foin et de l'exactitude qu’il faut à les gouverner. Celuy pour qui eft cette information ne doit pas entendre les principes de l’art, s’il croit pouvoir effectuer un tel mouve- ment #echanice, car pour phyfico-mechanice i] femble tousjours qu de yait ph efperance, comme en emploiant la pierre d’aimant. Je paffe à voftre premiere lettre, où j’ay eftè bien aife de voir que vous eftes affez de mon fentiment en ce qui eft de la caufe de la Pefanteur. Mais quand vous dites que les efforts centrifuges de la matiere peuvent eftre confiderez comme des raions d’attraétion qui partent du centre, à l’egard des corps qu’ils y font aller, je ne vois aucune raifon de cette uniformicè, ni que par confequent elle puiffe fervir à prouver la proportion des pefanteurs double, renverfée des diftances du centre. La quelle d’ailleurs je tiens eftre telle, tant à l'egard des planetes principales, qui pefent vers le foleil, qu’à l’egard des uns qui pefent vers les planetes. Pour ce cours particulier de la matiere dans le Tourbillon du Soleil, qui fervi- roit à conferver le parallelifme à l’axe de la Terre, je le trouve peu compatible avec le mouvement circulaire de la mefme matiere en tous fens, qui fait la Pefan- teur, et avec cela nullement néceffaire. Par ce que le globe terreftre eftant de la grandeur qu’il eft, l’axe de fon mouvement doit naturellement garder le paralle- lifme, et il eft affez difficile d’expliquer pourquoy il fe detourne encore tant qu’il fait, fuivant ce qui paroit par la Preceflion des Equinoxes. Car pour ce qui eft de l'experience d’une boule qu'on jetteroit en l'air, je ne doute pas qu’elle ne fuft contre vous, fi on la pouroit jetter en forte qu’on ne imprimaft pas de circulation à l’axe. Ma raifon pourquoy je crois que la rondeur de la goute d’eau eft pluftoft cauféé par un mouvement au dedans, que par l’impulfion de la matiere autour, c’eft que l’impulfion egale par dehors doit faire precifement le mefme effect à enfoncer les 3) Voir, sur les premières impressions très défavorables des résultats du voyage de de Graaff, la Lettre N°. 2773, et consultez la correspondance qui va suivre surle même sujet. CORRESPONDANCE. 1693: 385 parties de la! goute et à changer fa figure, que feroit la preflion egale d’une ma- tiere qui l’environnerait de tout coftè. Mais par les principes de Mechanique une celle preflion ne doit point caufer du changement à la figure de la goute ni la rendre fpherique +),quoyque plufieurs le croient fauffement; donc ce n’eft pas l’impulfion de la matiere par dehors qui la reduit à cette figure. Je n’infifte-plus à demander la conciliation du Tourbillon deferant avec les El- lipfes de Mr. Newton, quoyque je ne la trouve point dans voftre dernier raifon- nement, Plufieurs avec moy la croient impoflible. Il eft vray que ces Tourbillons à la maniere de des Cartes feroient commodes pour expliquer quelques phenomenes, comme, entre autres, pourquoy les Planetes circulent toutes d’un mefme fens; mais ils font incommodes pour d’autres, fur tout pour l’excentricitè conftante des mef- més Planetes et de leur acceleration et retardement veritable dans leurs orbes. Car, pour le premier, il femble que la matiere du tourbillon devroit il y a longtemps s’eftre reduire à une converfion reguliere quant à la rondeur, et par confequent aufli les Planetes, puis qu’elles nagent dedans. Et pour le fecond, en pofant que leur mouvement demeure excentrique, elles devroient dans leur aphelies et pare- lies s’accomoder à la viteffe du Tourbillon, ce qu’elles ne font pas, felon ce que je l’ay examinè autrefois). Outre qu’il feroit mal aifè de dire comment les cometes peuvent paffer fi librement à travers un tourbillon capable d’emporter les Pla- neres; ce qui dans l’hypothefe de Mr. Newton eft fans difficultè. Croiez, je vous prie, Monfieur, que je ne me pique nullement de foutenir les opinions que j’ay une fois embraflées, mais que je ne cherche uniquement que quelques raions de verité, fi nos difputes en pourroient mettre en evidence. J’ay fort confiderè ce que vous dites au fujet de mes atomes de duretè infinie, fcavoir #) La minute a encore en marge: la preffion de l’air n’eft autre chofe que l’impulfion - continuelle de fes parties tres agitées : 5) ‘Onrencontre la même remarque à la page 161 de l'édition originale du ,, Traité de la pesan- teur” sous la forme ‘suivante: ,On voit maintenant comment [dans le système de Mr. . Newton]......les mouvements des Planetes peuvent s’accelerer &:se ralentir par les degrez qu’on y observe; qui malaisement pouvoient être tels, sielles nageoient dans un Tourbillon autour du Soleil”. L’examen, dont il est question dans le texte de cette lettre, est probable- ment un Calcul des mouvements des planètes entreprf# par Huygens à l'occasion de la con- struction de sa machine planétaire (voir la Lettre N°. 2255, note 5). Ce calcul occupe les pages 3—11 du livre F des Adversaria et doit en conséquence être rapporté à 1680 ou 1681; on y rencontre entre autres cette remarque: ,,At Keplerus et Wardus (Seth Ward) in ipsa ratione ‘contraria distantiarum faciunt celeritatem ejusdem planétae. Mercator in paulo majore. Mirum in his hypothesibus qui possit materia vorticis conferre motum planetae perihelio suoipsius motu celeriorem””. Plus tard, 14 déc. 1688, Huygens inscrivit la rémarque suivante: ,Hasce omnes dificultates abstulit CI. v. Newtonus, simul cum vorticibus Car- tesianis, docuitque planetas retineri in orbitis suis gravitatione versus solèém”. Œuvres. T. X. 49 386 CORRESPONDANCE. 1693: que vous avouez bien, qu’il y auroit de l’abfurditè à donner à tous les corps pri- mitifs un certain degré de fermerè ou refiftence à eftre rompus, mais qu’il n’y a point d’abfurditè de propofer differens degrez dans plufieurs corps, fcavoir primitifs, car c’eft de quoy il s’agit. Ilme femble pourtant qu’ileft plus aifè d’ac- corder la duretè parfaite et infinie pour tous, que cette varietè de forces pour differents corps. Car il eft plus difficile de concevoir les raifons de ces differentes duretez, que d’en admettre une feule infinie. Ce feroit imaginer plufieurs efpeces de matiere premiere au lieu que je n’en ay befoin que d’une. Vousalleguez apres cela, comme une difficultè contre les atomes, l’adhefion qui fe feroit par leurs furfaces plattes. Je refpons qu’elles devroient avoir eftez faites éxpres ces furfaces, ce que je ne vois pas pourquoy ilauroit pluftoft lieu là, que dans le fable de la mer où l’on n’en trouve point. Et il ne me femble point du tout que ce foit un grand po/fulatum de vouloir qu’il n’y ait point d’ato- mes avec des furfaces plattes, mais qu’il le feroit d'avantage d’en fuppofer, puis qu’il faut une direction et intention expreffe pour former une furface platte avec la derniere exaétitude. Mais quand la dixieme partie des atomes feroient des cubes parfaits, l’application jufte de leurs furfaces confiftant ir indivifibili, et ces corps eftant en grand mouvement, je n’apprehenderoïispas encore qu’ils s’allaffent joindre à compofer des males. tw3G Vous trouvez encore un inconvenient en ce que les atomes ne feroient pas fufceptibles des loix du mouvement, parce que deux egaux concourant direc- tement avec forces egales, devroient perdre leur mouuement, puifqu’il my à que le reffort, dites vous, qui: fafle rejailler les corps. Mais c’eft ce que jene crois nullement pour des raifons que je publieray un jour‘); et quelque -expli- cation que vous vouliez donner de la caufe du reffort, vous feriez bien embaraffè en pofant que les derniers petits corps (car ceux qui font reflort font compofez) ne rejaliffent point en fe rencontrant, mais qu’ils demeurent joints, car de la s’en fuivroit la perte de tout mouvement relatif dans la matiere de l’univers 7). Ce: qui me fait a moy le plus de peine dans la [uppolition des atomes, c’ef} que je [uis obligè de leur attribuer à chacun quelque figure et qu’elle [era la caule de la varietè infinie de ces figures. mais quelle ef} la caufe des differentes figures du [able de la mer, lequel j'admire toutes les fois que j'en regarde avec le microfcope, Chaque grain éflant un caillou de criflal, qui ne croit ni ne diminue et a efiè tel qui [cait par combien de Jiecles. C'eft que le Createur les a fait une fois naître telles, et de ; } I 11H07 { 5), Ce qui n’a pas eu lieu. Nous-doutons même, si Huygens a mis par-écrit lesraisons, autresique celles, qui suivent, qui l’ont porté à admettre que même sans ressort des corps qui se rencon- trent doivent rejaillir. 7). Les phrases suivantes, imprimées’enitaliques, manquent dans la lettre envoyée à Leibniz et conservée à Hannover. CORRESPONDANCE. 1693. 387 mefimés pour les atomes. Aurefte vous ne deviez pas m'’attribuer que je conçois que le feul attouchement fait l'office d’un gluten, à rendre les: corps compofez fermes et durs, puifque j’avois ecrit dans ma lertré precedente que j’expliquois la cohefion des corps par une preflion de dehors et par quelque autre chofe. La- quelle, preflion je vois que vous emploiez de mefme. Ce que vous adjoutez du mouvement confpiranc m’eft tout à fait inintelligible. 1 J'ay rendu à Mr. de, Beauval. vos notes fur des Cartes. Je pourrayune autre fois: vous. parler des endroits ou je ne fuis pas d’accord avec vous. Paflons main- than) à la Geometrie;où ik n’y a rien à contefter. J’ay renouvellè depuis quelques mois} la correfpondance avec Mr. lé marquis de l’Hofpital, à l’occafion d’un joli Problème qu’il m’envoia ?), qui eftoit de trouver une ligne droite egale à la portion donnée dela ligne Logarichmique, fans autre aide que de la ligne mefme:-[l-avoit prissun: détour pour cela, où il y avoit bien de fubrilicè °°), et quoyque:j’aye -crouvè du-depuis un_autre Chemin plus court’), je compte pour beaucoup! qu'il ait:inventè,.ét tentè le premier ce probleme.Mais il eft capable d’en refoudre de plus difficiles, et fe fert adroitement de voftre nouveau Calcul: H m'a envoiè?)des-folutions de-toutes les queftions que cy devant je _vousray propofées:touchantrles quadratures et les foutangentes, me les ayant demandées expres 3). Exil en;a fouhäitè apres cela de plus difficiles *#). En quoy je n° ‘ay; pas manquè de le contenter, luyayant envoiè depuis peu *$) ces 2 fou- 44, x œS cangéntes pour trouver leurs courbes : J +9) et J AX=—=YX—4Y GX$ + 344ÿ—2XVY m'a demand fi j’avois quelque «methode. pour quand les foutangentes font » CET xx FE RS *) ou u 22 = =? qui eft celle de la courbe de Mr. de Beaune *’), dont Mr. des Cartes fait mention dans fa 79.e lettre du 3.e volume. Jay avouè qué jen’en avois point #); et je tiens ces queftions trés difficiles, dont je fouhaite fort d’avoir voftre féntiment.-Pour moy je ne veux pas me donner la peiné de les chercher, parce que je crois que toute la difficulrè eft defia furmontée, foit par Mr. le Marquis luy mefme, foit par Mr. Newton, (dont on m’affure ‘?), Là) L'initiative de ce renouvellement avait été prise par de l’Hospital avecsa Lettre N°. 2760, du 26 juillet 1692, à laquelle Huygens répondit par la Lettre N°. 2762. 9) Voir la Lettre N°. 2760. 19) Consultez la Lettre N°. 2775. 11) Voir la pièce N°. 2770. 12) Voir la Lettre N°. 2775. 13) Par la Lettre N°. 2765. 4) Voir la conclusion de la Lettre N°. 2775. 15) Par la Lettre N°. 2777. 15) Voir la Lettre N°, 2775. 17) Voir la Lettre N°. 2765. 18) Dans la Lettre N°..2777 à lapage 352. 79) Voir la note 39 de la Lettre N°. 2777. 4. CORRESPONDANCE. 1693. que le Traicè la edité eft imprimè dissinsti peu dans le Traitè d’Algebre de Mr. Wallis), ou par vous, Monfieur, qui avez extrèmement approfondi cette matiere, où je ne fuis que novice. J’ay pourtant rencontrè depuis quelque temps une fource peu connue *°) mais que vous n’ignorez pas fans doute, d’où l’on peut tirer la folution de beaucoup de Problemes, qui regardent les Tangentes renverfées, quadratures, centres de gravité etc. Elle donne fans peine **) la quadrature que je vous ay propofée cy devant et celle de la courbe xxy — 44 5 24ax**), qui me l’a eftè par Mr. le Marquis 3), avec plufieurs autres. Entre les quelles eft auffi la quadrature affez remarquable de la courbe dont l’equation eft x3+y350 xy#°4), que Mr. desCartes raporte dans fa lettre 65 du 3.e vol., et qu’il a confiderée, aufli bien que Mr. Hudde, pour autre chofe. Je trouve que le contenu de la feuille À dans cette figure eft 4 #7 où x du quarré de fon diametre. Que l’efpace infini B entre les continuations de la courbe et fon afymptote, eft encore de la mefme grandeur. Et qu’enfin la dimenfion generale des fegments . eftaufli fort up, qui s prise par un feul ‘terme: - pi 1 ,464cX8 ‘es £ Je vous ps re une autre fois d’ ‘une quadrature phyfco- -machematique de l'Hyper- 4} bole®s) que j’ay rencontrée il n’y a guere, dont la fpeculation a quelque chofe de plaifant Ainfi vous voiez, Monfieur, que je ne cefle de mediter et d’apprendre rousjours quelque chofe, Fal J'ay lu avec plaifir vos lettres à Mr. Peliffon*), dans l’une defquelles vous dites affez fortement leurs veritez à Mrs. les Catholiques. Onvoit dans fes repon- fes comment ils emploient les douceurs, les louanges et tout ce qui peut fervir pour tafcher de vous attirer à leur parti, fans que je croie que cela vous tente le 20) Consultez, sur la methode à laquelle Huygens fait ici allusion, la Lettre N°. 2777 et la pee N°.2781. 21) Voir le $ VII de la pièce N°. 2781, et surtout la note 20 de cette pièce. 22) Lisez: 44ÿ — xxy 2 244X et consultez la pièce N°. 2780. 23) Dans la Lettre N°. 2775 à la page 344. 24) Consultez, sur ce qui a rapport à la quadrature du folium de Descartes, la Lettre N°.2777 et la pièce N°.2782. 25) J1 s’agit de la quadrature de l’Hyperbole au moyen de la, tractrice” ou ,,courbe aux tangentes égales” pour laquelle nous renvoyons aux pièces N°. 2703 et N°. 2794. 26) Voir la Lettre N°. 2759, note 37. CORRESPONDANCE. 1693. 389 moins du monde, ne pouvant m’imaginer comment une perfonne d’efprit peut fe foumettre à croire des abfurditez et les niaiferies qu’enfeigne cette Religion, ni comment un homme de bien peut approuver la cruautè dont elle ufe à contraindre et forcer les confciences. Je fuis avec paflion. LL 4 N° 2786. CHRISTIAAN HuyGENSs à J. DE GRAAFrr. 10 FÉVRIER 1693. La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens. J. de Graaff y répondit par le No. 2789. Haghe den 10 feb. 1693. Monfieur DE GRAEFr Hebbende federt eenighen tijdt mijn werck gemaeckt van UE Journalen te examineren, Waer in ick heel iet anders vinde alsUE felfs gemeent heeft *),te weten dat van S. Jago tot de Caep de Lengde feer perfect is afgemeten door ”t horologie volgens de nieuwfte Caerten en Globen, gelijck UE felf fult bekennen, en fonder twijffel fich verblijden dat al UE getrouwe arbeïjdt en menighvuldige obfervatien niet vruchteloos fijn aengewendt. Hier dan mede befigh fijnde en om de Heeren Bewindhebberen van alles te onderrechten foo is defen om UE te verfoeken dat mij wilt doen weten of in ’t examineren van den loop der horologien gedurende UE verblijf aen de Caep, defelve op de felfde manier opgehangen waeren in een diergelycke hockjen als op de weerreys. Gelijck dit buijten twijffel veel gecon- tribueert heeft tot haer irreguliere gangh onder weghen, foo foude het van ge- lijcken de ongelyckheydt aen de Caep geobferveert excuferen konnen, daerom wenfche ick hier de rechte waerheydt van te weten. °T geen UE quaelijck ge- rekent hadde in ’t Journael van S.e Jago tot de Caep, was dat de correétie van wegen d’ongelycke loop des Pendulums nae maten der Breedte, overal geaddeert is daer gefubtraheert moft werden et contra ’t welck niet feer te verwonderen is in defe nieuwe Rekening, alwaer apparentlijck UE voor een generalen regel fult genomen hebben ’tgeen ick in mijn Raport*) van de Proef van ’t jaer 1687 in d’Explicatie van de 7de Colomne gefeght hebben 3) ’t welck nochtans maer op het voorval aldaer is paffende. 1). Voir, sur l'opinion de de Graaff, la Lettre N°. 2773. 2) Voir la pièce N°. 2519. 3) A la page 284 de la pièce citée. Voir surtout la phrase en italiques et la note # de Huygens. Probablement la phrase a été soulignée et la note ajoutée à l’occasion même de l’examen des journaux de de Graaff, dont il est question dans la présente lettre. , 390 CORRESPONDANCE. 1693. Voorts heb ick niet konnen vinden waerom UE de voorfz. Correétien wel en nae behooren geftelt hebbende in de 9 Colom van de Tafel de felve doorgaens heel anders in ’t Journael begroot hebt. Ick fal dan hiermede eenigh berichtop verwachten blijvend UE dienftw. dienaer N° 2787. Le Marquis DE L’HospiTAL à CHRISTIAAN HuyGEns. 12 FÉVRIER 1693. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle a été publiée par P. J. Uylenbroek*). Elle est la réponse au No. 2777: Chr. Huygens y répondit par le No. 2801. J'ay receu, Monfieur, la lettre que vous m’auez fait l’honneur de m'écrire du 29 décembre. Vous auez rendu la conftruétion du probleme de la logarithmique beaucoup plus fimple et elle me paroit maintenant dans fa per: fection. J'ai uerifié toutes les proprietés que vous me marquez de la courbe qui a pour equation 5 — axy +x3=0, (AB=x, BC ou BD ou BE — y) que Mrs. Defcartes et Hudde ont confide- rée, il ne faut, pour eftre conuain- cu qu’elle na pas plufieurs feüil- les, qu’examiner la nature de l’egalité du 3e degré y5— 4xy + + x3—o dont le fecond terme eft evanoüi, car l’on uoit d’abord qu’elle a trois racines réelles lorfque x ou AB eft moindre *) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, p. 248. CORRESPONDANCE. 1693. 391 que 174 fauoir deux urayes BC, BD, et vne fauffe BE egale aux deux vrayes; que les deux racines urayes deuiennent egales entr’elles lorfque 2 Cr V4, et qu’enfin elles deuiennent imaginaires, et que la fauffe feule de- meure réelle lorfque x furpafle + La quadrature generale que vous me marquez s'exprimer par vn terme eft celle-ci, le fegment AD ou AE = (AB = x, BD ou BE — y) et le fegment AC — 2 (BC= y). J'y fuis paruenu par trois differentes manieres, et ie ferois bien aife que vous me propofafliez quelques courbes dont vôtre methode donne la quadrature pour effayer fi les miennes font aufli generales que la vôtre. Je vous enuoye la folution du probleme que Mr. de Beaune propofa autre fois à Mr. Defcartes, et qu’on trouue dans la 79€ de fes lettres tome 3, telle que ie l’ai faite inferer dans le 34e journal de l’année derniere ?). Probleme. Vne ligne droite quel- conque N etant donnée, et NW [a ayant mené deux autres lig- nes indefinies AC, AIT, en D forte que l’angle CAI foit , de 45 degrez; on demande L la maniere de décrire la _ courbe ABB qui foit de telle nature, que, fi l’on mene - d’vn de fes points quelcon- ques B, l’ordonnée BC, et la touchante BT, la raifon de BC à CT foit coujours la mefme que celle de la droite donnée N à BI. Ayant formé le quarré AG qui a pour côté la droite a: T E ) Voir l’article publié par de l’Hospital dans le Journal des Sçavans du 1er septembre 1692, sous le titre: Solution du Probleme que Monsr. de Beaune proposa autrefois à Mr. Descartes, & que l’on trouve dans le 79e de ses lettres, tom. 3. Par Mr. G*** 392 CORRESPONDANCE. 1693. AH egale à la ligne donnée N, on décrira entre les afymptotes GD, GH, par le point À l’hiperbole ALL, et ayant prolongé DA en E, en forte que AE foit egale à AH, on prendra le reétangle EC egal à l’efpace hiperbolique AKL, on prolon- gera les droites LK, FC, jufqu’à ce qu’elles fe rencontrent en vn point M, et on prendra enfin IB egale à CM, je dis que le point B fera à la courbe qu’il falloit décrire “). Il eft euident que la nature de cette ligne courbe ABB depend de la quadrature de l’hiperbole, et qu’ainfi elle eft mecanique dans le fens de Defcartes, Voici maintenant quelques vnes de fes proprietez. 1°. Elle a pour afymptote la ligne DO parallele à AI. 2°. Si l’on nomme AC, x, BC, y, l’efpace ABC compris par les droites AC, CB et par la portion AB de la courbe = xy—x yy + nx3). 3°. La diftance du centre de grauité de l’efpace ABC de la droite AC = # + es 3 13 Es Tr . Gnx plètôr par reffort que par poids; parce qu’ainfi la courbe AK fe FAIR fans faute qui foit fenfible, quoy que le plan ne foit pas exaétement de niveau: Et l’on peut’ favoir fi elle a fa veritable figure, en repou ffant le bout N de la verge par la même droite ND, parce qu’il faut que la pointe repañle de K en À fur la même trace qu’elle vient de marquer 14), : Sicette defcription, qui par les loix de la Mechanique doit être exacte, pouvoit pafler pour Geometrique, de même que celles des feétions de Cone qui fe font par les’inftrumens lon auroit par elle, avec la quadrature de l’Hyperbole, la con- ftruétion parfaite des Problemes qui fe reduifent à cette quadrature 5); comme DUMP EE ES R Po ) He f poulie, revêtue des deux côtés d’une ou deux rondelles de laine, est fortement pressée par une planche parallèle à la plaque horizontale, sur laquelle elle repose, et retenue à distance fixe d'elle par quatre-petits pieds. Mais avec cet arrangement Huygens prévoyait encore des #3 sdificuités pour obtenir un tracé exact, surtout près du: sommet de la courbe, par suite de «l'impossibilité d’éviter.quelque allongement de la corde à l’origine du mouvement. C'est ce qui l'amène à remplacer la corde:par une tige reliant l’axe de la poulie au curseur et pouvant : : tourner librement par un angle droit dans une cavité de la poulie. 14: AAjoutons qu'incidentellement. Huygens s’occupe encore d’autres dispositions; c’est une «! «fois tune charrette à deux roues, ayant un-long timon dont l’extrémité.est poussée le long d’une-droite horizontale. A l’autre bout, au milieu-entre les deux roues, le timon porte un -cilindre vertical dans lequel peut pas le stylet, qui és tracer: sur le: ns horizontal la -!. courbe.en question. : :1 Uneautrefois C’est-une petite éadelle en forme de portion dénsbèré assez es qu’on fait =, nager sur l’eau ou sur du sirop, et chargée d’un bâton qu’on pose dessus en équilibre et dont +.….on traîne l’un des bouts en ligne droite, ou tirée par une pointe fixée au centre de la nacelle. Hest vrai qu’il serait difficile d’obtenir de cette manière un tracé de la tractrice, mais, comme - Huygens le remarque, ;l’aissieu de:la nacelle, prolongè-en:haut et rencontrant un fil tendu sur le baquet..… resoudra le problème de la quadrature hyperbolique”. #4) Dans le manuscrit cité, Huygens insiste beaucoup sur ce point. On'y litentre autres à la page 120: ,,Palmarium quod réversione pedis secundum canonem cognoscere licet ut curva recta descripta sit an secus, Hinc enim fit ut falli non possimus”’ et encore à la page 121.,,sed praesto est examen reversionis per idem vestigium, quod hic ante exposui. Hinc enim fit ut decipi nequeamus; certiusque colligatur recte prescriptam esse curvam hanc nostram quam circino ductu circuli circumferentiam”. 15) A la page 123 du livre H on trouve encore à ce propos les remarques suivantes : ,On ne dira jamais que les constructions des problèmes qui se font par la règle et par lecompassontimpar- ” faites par ce qu’on y suppose un plan parfait, une règle parfaite et que d’un point à un autre on puisse tirer une ligne droite, quoyque la derniere perfection soit impossible aux hommes en ces choses; mais on se contente de scavoir que estant supposées parfaites, il n’y manqueroit rien à la justesse de la construction, et qu’on peutapprocher assez pres à fabriquer une règle parfaitement droîte et un plan juste, pour tirer l'utilité qu’on desire dans ce travail, Il en est de mesme dans ma construction de la quadr.re de l’hyperbole ou je suppose un plan parfait et qui soit exactement parallele à l'horizon, car: ce qui entre de plus, scavoir qu'entirant sim- plement par un fil on une regle un point pesant attache a leur autre bout le long d’un plan 412 CORRESPONDANCE, 1693. font entre autres la determination des paipel de.la Catenaria, où Shane pic les Logarithmes. : Car quand BY eft égale à AC qu’ ’on prend dans l’axe de la Chaïbettey Éefbas dire DB égale à DC, fon appliquée CG fera égale à YX *). Et la même YX:#) eft encore le Logarithme de la raifon de AD à PD. C’eft-à-dire, qu’elle'eft égale à la diftance des deux lignes AD, PD, ou de quelques deux autres qui ayent la même raifon, appliquées 4 l’Afymptote de la ligne Logarithmique, quia DA-pour rangente univerfelle; d’ou l’on peut trouver les Logarithmes des Tables, fuivant ce que j’ay montré dans l’Addition au Difcours de la caufe de la: Pefanteur 4), Mr. Leiïbnitz, qui a commencé le premier ‘?) à reduire la courbe de la Chainette aux loix de la Geometrie, vouloit que cette ligne formée par le moyen d’une chaine effeétive, & fort deliée, put fervir à l'invention des Logarithmes *°), ou YTE on ses orte ce point suivra tousjours la direction de la ligne qui le tire, et descrirarune courbe que cette ligne touchera toujours en allant, ce n’est pas une demande maïs uñ theoreme veritable en mechanique et qu’on peut facilement demontrer. Il n’y a donc proprement quels demande d’un plan horizontal dont j’ay besoin pour la dimension de l’hyperbole. On n’y peut obtenir la derniere perfection; aussi ne peut on faire une regle droite, mais on peut faire comme à la regle ainsi à ce plan horizontal; qu’il y manque si peu, que quand il seroittres parfait la con- struction ne seroit pas differente au sens de nostre vue de ce qu’elle est; ce qui s’en suit de la certitude que donne l’epreuve deretour par la courbe decrite dont j’ay parle cy-devant!" On doit avouer que m4 courbe estant supposée ou donnée, on a la quadrature de l'Hyper- bole. Si je trouve donc quelque moien de la decrire aussi exactement qu'avec un compasordi- naire on decrit un cercle, n’auray je pas trouvé cette quadrature? Qu'y a-t-il'plus à dire a ma construction qu’a celle d’une ligne moienne proportionelle entre deux droites donnees ? Il est vray que j’ay besoin du parallelisme d’un plan a l'horizon; mais cela est possible, non ‘pas dans la derniére justesse, mais comme la droiture d’une règle. Pour le reste je decris ma courbe presque aussi facilement qu un cercle et la pr que j’emploie approche fort de la simplicitè du compas. On dira que dans ma description de la courbe il peut ‘bien plus facilement arrivé de l'erreur, et beaucoup plus grande, qu'a la description d’une circonference de cercles aussi y a:t-il plus de choses a ajuster pour decrire une Ellipse ou hyperbole, qu’il n’en faut pour le cercle”. 16) En effet, posant AD=—4, DP=z:, CG=x, er BD, on a, d’après ce qui précède, ax=aire hyp. ADEV —#° 12 donc 3=4e + mais puisque RO —AD° BA — —4° +(y—2), on trouve facilement y=(4° +2?) : 23 =; a ; (ea L Far a équation bien connue dela chaînette, Les manuscrits, d’ailleurs, ne donnent, cette fois encore, aucun renseignement précis sur la manière dont cette construction a été obtenue L2mh Huygens. - 17) On ajouteraît aujourd’hui: divisée par AD. 18) Consultez les dernières pages de ce discours, rod traitent des PRES de Le logarchmique. 19) Voir la note 1 de la pièce N°. 2681. 29) Voir la Lettre N°. 2688 à la page 1rr et cab de mr citée _ 1 trot s mr cette Lettre N°. 5688. t CORRESPONDANCE. 1693. 413 pour la quadrature de l’Hyperbole; quoy qu’il faille connoître pour cela, (comme il l’a bien fçu) **) la longueur de la droite qu’il nomme le Parametre de la courbe, laquelle il n’enfeigne pas comment elle fe peut trouver. De forte que nôtte qua- dratrice paroît preferable pour cet ufage, en ce qu’apres la defcription fon Para- metre, qui eft fa Tangente univerfelle, eft donné. Mais puis que le fujet m’a mené à la confidération de la Chainette, qui a donné occafion à une des jolies recherches Geometriques de ce tems, je veux ajoûter icy une maniere aflez finguliere que j’ay trouvée, pour parvenir à la conftruétion de cette courbe; qui eft ce qu’il y avoit de plus difficile dans ce qu’on s’eft propofé d’en chercher. Parmi ce que j’ay contribué pour être inferé dans les 4%4 de Leipfich*?), avec les belles & favantes decouvertes de Meflieurs Leibnits & Bernoully, j’ay dit que j'avois reduit la conftruétion, ou l’invention des points de cette Ligne, à la qua- drature d’une courbe dont l’Equation eft 44250 44xx + yyxx; & que j’avois reconnu que cette quadrature dependoit de laconnoiffance de la fomme des Secan- ces des arcs de cercle qui croiffent également per minima; laquelle fomme avoit été reduite il y a long-tems à la quadrature de l’Hyperbole par Jac. Gregorius dans fes Exercitations Geometriques, où il en deduit la mefure de la Ligne Loxo- dromique *3); de quoy je ne me refouvenois pas alors. Mrs. Leibnits & Bernoully, à ce que je puis juger, font parvenus à cette con- ftru@tion par le moyen de la courbe que ce dernier reprefente dans la premiere Figure, qu’il donne pour refoudre ce Problême *#); car Mr. Leïbnitz m’a écrit qu’il l’avoit rencontrée aufli ). Et je trouve que c’eft la même que celle que j’ay raportée cy-devant *) dont l’Equation eft 4450 xxyy—#44yy; ayant fa quadrature dependante, comme j’ay dit, de celle de l’Hyperbole : quoyque je n’aye encore 21) En effet la construction des logarithmes telle qu’on la rencontre dans l’article de Leibniz, cité - dans la note précédente, présuppose expressément, avec la connaissance de la chaînette elle- même, celle de son ,,parametrum”, c’est-à-dire la ligne OA de la figure de la Lettre N°. 2688. 22) Voir la pièce N°. 2681. 23) Voir la Lettre N°. 2709 aux pages 185 et 186. Toutefois il ne s’agit pas chez Gregory, dans le chapitre cité dans la note 12 de cette Lettre, de la rectification de la Loxodromique, mais bien du calcul de la Longitude d’un point de cette courbe quand le point de départ, l’angle loxodromique et la Latitude sont données. Plus tard Huygens s’est aperçu de cette méprise, puisqu'on lit à la page r7 du livre I l’annotation suivante: ,,a Mr. de l’Hospital. Que je me suis abusé au Journal en disant que Greg. a donnè la dimension de la Loxodromique. C’est le Problème Loxodr.que”. Cette remarque d’ailleurs n’a jamais été transmise à de l’Hospital. 24) Voir l’article de Jean Bernoulli cité dans la note 1 de la pièce N°. 2681. Il s’agit de la courbe LKF mentionnée dans la ,,Constructio [”” de cet article. Consultez encore la pièce N°. 2778, qui traite de la même courbe, et surtout le dernier alinéa de cette pièce. 25) Voir la Lettre N°.2627 à la page 518 et le postcriptum de la Lettre N°. 2659. 26) A la page 408 de la présente pièce, 414 CORRESPONDANCE. 1693. pu m’imaginer, comment le calcul les a conduits à cette ligne. Mais je paffe à ma conftruétion, qui fans confiderer d’autre ligne courbe, fait trouver les points de la chainette par la dimenfion de la ligne Parabolique *?). Le premier fondement de toute recherche à l’égard de cette ligneeft (Fig. IT) que s’il y a une chaine compofée de poids égaux, attachez à un fil comme font BCDEF , il arrive toüjours. que de trois interftices qui fe fuivent, les deux dignes extrêmes, comme CD, FE, étant continuées fe rencontrent dans la ligne IH per- pendic. à l’horifon, qui coupe l’interftice du milieu ED en deux parties égales 2°), Confiderant maintenant une chaine ainfi compofée de poids nouëz à égales Fig. IL. A A p G F E su |; I M PR D DH BFC 0 P| Q|z \R Z No diftances, qu’on doit imaginer infiniment petites, & difpofée en forte que l’inter- ftice le plus bas BC foit parallele à l’horifon : fi fur chacun des autres interftices, 37) Consultez, sur la première découverte de cette construction, la note 3 de la Lettre N°. 2695. 28) Consultez, sur ce théorème, la pièce N°. 2724, vers la fin. CORRESPONDANCE. 1693. 415 cofñmé hypotenufe, on conçoit des triangles reétangles CDK, DEL &c. defquels un:côté foit horifontal; on trouvera que depuis le plus bas les angles DCK, EDE, FEM&e. font tels que leurs Tangentes croiffent également comme les nombres 152,34, &c.ce qui-eft aifé à demonftrer par le dit principe *?), quoy que peut- être on ne s’en feroit pas avifé fans le-calcul d’Algebre. ‘Que: ff: on s’imagine en fuite les parties égales de la chaine CDEFG, érenduës fur la droite horifontale en COPQR, et que de la premiere divifion O on mene OS, qui concoufe avec la perpendiculaire CS, en forte que l’angle COS foit égal à CDO, & qu'on tire les autres droites SP, SQ, SR: les triangles SCO, SCP, SCQ, SCR, feront neceflairement: femblables à chacun des COD, DLE, EMF, FNG, puis que SCO eft femblable à COD par la conftruétion, & que les autres SEP, SCQ, &c. ont leurtangentes qui croiffent également. Si de plus on mene CT, OV, PX.,, &c. perpendiculaires fur SO, SP, SQ, &c. ileft évident que les triangles CTO, OVP, PXQ &c. feront égaux & femblables aux triangles COD, DLE, EMF &c. en prenant les mêmes en ordre. D’où l’on conclud, que fi les infterftices CD, DE &c. font infiniment petits, & de même les parties CO, OP, &c- c’elt-à-dire fi CG eft la courbe de chaine, et CR égale à fa longueur ; alors la fomme des TO, VP, XQ &c. féra égale à la fomme des perpen- diculaires KD; LE, MF &c. c’eft-à-dire à la droite GE, ou à l’axe @C, (car Pin- terftice BC eft alors compté pour rien) & que la fomme des CT, OV, PX, &c. fera égale à la fomme des CK, DL, EM &c. c’eft-à-dire à l’appliquée Gd. Or endecrivant du centre S l’arc CZ jufques fur la derniere des Secantes SR, ibeft aifé de voir que la fomme des infiniment petites TO, VP,XQ &c. eft égale à la droite retranchée ZR. Par confequent, fi on fuppofe que CS eft l’axe de la chaine, & la ligne CS de certaine longueur, & que l’on prenne C® égale à ZR, excés de quelque fecante SRfur le rayon SC; & l’appliquée @G égale à la fomme de toutes les CT, OV, PX &c. jufques à celle qui tombe fur SR; le point G fera dans la courbe de la chaine, dont la longueur CG fera égale à la droite CR. Mais ileft queftion de trouver cette fomme des infinies CT, OV, PX &c. laquelle j'obtiens par cette confideration, que les angles SOV, SPX, SQY peuvent être cenfez droits, comme en approchant infiniment pres; & qu’alors les lignes OV, PX &c. étant prolongées des deux côtez, comme auffi RQ perpendiculaire fur SR, elles deviennent les rangentes de la Parabole CQ, dont le fommer eft C, l’axe CS, le foyer S$, faifant SC un quart du Parametre; & que chacune eft coupée en deux également par la droite CR; l’une moitié étant jufqu’a l’axe, l’autre jus- qu’au point d’attouchement, comme QA eft coupée en R: ce qui fe demontre fa- cilement. D’icy j’apprens en fuite, par l’Evolution des lignes courbes, dont j’ay 29) Voir le { I de la pièce N°. 2625. 416 CORRESPONDANCE: 1693. traité au livre de Æorologio Ofcillatorios®), que la fomme de toutes les QY;PX, OV, CT, doit être égale à l’excés de la courbe parabolique QC furla droite OR: Ce que les Geometres conipendroët affez facilement 5), fans que je m’arrête àle prouver plus au long; n’ayant pas deffein d'écrire icy des demonéscipns, mais d’indiquer feulement les voyes de l’invention. 4} AD 2768 et d’après ups} CORRESPONDANCE. 1693. 421 SV”). Solidum ex converfione ejus fpatij circum afymptoton erit aequale fphaerae quartae parti, cujus AD [voir la fig. 2] femidiameter. hinc et centri gravitatis diftantia ejusdem fpatij ab afymptoto habebitur, pendens à circuli quadratura. triangula quadrantis ADX circa AX revoluta confiderantur quibus refpondent fingula Ala in fpatio curvae et afymptoti converfa circa hanc ipfam ‘°). { $ VI”). Superficies iftius folidi infiniti, praeter bafin, aequatur circulo cujus femidia- meter duplum poteft lateris AD [voir la fig. 2]. Suntque fuperficies ex portioni- bus circa afymptoton ficut abfciffae ipfis refpondentes ad verticem A ”?). Quia igitur portionum longitudo invenitur ipfius curvae opera Ergo et centra gravitatis ipfarum refpeétu afymptoti, et hinc fuperficies portionum ex converfione circa AX ad circulos redigentur. lequel, pour toute courbe ACM, les aires décrites par les lignes CD et CK—DL sontégales. Or l'aire décrite par CK estencoreégaleàcelledécrite par FH,où FH—x=CK—DL=]/ 4 —5. Ajoutons ici que le théorème en question, mentionné déjà en 1662 par de Sluse dans la Lettre N°. 1068 et communiqué à Huygens dans sa Lettre N°. 1091, est dû à de Roberval, et qu’il fut publié dans l’ouvrage cité dans la note 1 de la Lettre N°. 2432, dans une des der- nières pages du ,, Traité des indivisibles”. d 9) Cubature du solide de révolution décrit par l'aire comprise entre la tractrice et son asymptote. Centre de gravité de cette aire. 19°) La dernière phrase a été ajoutée après coup. Nous n’en avons pu pénétrer le sens et il nous semble même probable qu’elle est erronée. Nous croyons plutôt que le résultat correct, for- mulé dans ce paragraphe, doit avoir été acquis par la comparaison des solides obtenus par la rotation des petits rectangles KS et PV, que nousavonsajoutés à la figure 2, autour de l’asymp- tote DN, et dont les volumes s'expriment respectivement par y*rdx —— 3/4 —$ dy et par le double de cette expression. 11) Quadrature des surfaces de révolution décrites par la tractrice autour de son asymptote, comme aussi autour de la ligne AX. Centre de gravité de la courbe. 2) C’est-à-dire: les surfaces décrites par les arcs comme AK sont proportionnelles aux AP, et la surface entière égale 2 AD°x. 422 CORRESPONDANCE. 1693. $ VII“). Talis quaepiam infinita fpiralis defcriberetur fi pes duétor per circuli circumferentiam iret, fe- quente cufpide ab A punéto; duétore in C. Et fimilis alia ducendo verfus D 4). N° 2795. CHRISTIAAN HuyGENs à S. vAN DE BLOCQUERY. 6 MARS 1693. La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens. Aen de Heer van DE BLOCQUERY. 6 Mart 1693. WelEd. geftrenghe Heer Niet tegenftaende de quaede opinie die UEd. geftr, en foo ick geloof oock de Heeren Bewinthebbers in ’t generael hebben opgevat aengaende het gebruyck van mine horologien ter zee, foo heb ick niet konnen naelaeten ’t geene daer on- 13) Tracé du cas particulier de la tractrice circulaire où la longueur du fil est égale au rayon du cercle directeur. Comme on le remarquera, Huygens a deviné sans calcul la propriété de cette courbe spirale de s’approcher asymptotiquement du centre du cercle directeur. 4) Pour ne pas embarrasser la figure, nous avons supprimé cette partie de la courbe qui ne manque pas, dans le dessin de Huygens, de couper la première partie dans les points situés sur l’axe AB. CORRESPONDANCE. 1693. 423 trent fich toegedraghen heeft op de laetfte reyfe nae de Caep forghvuldigh te examineeren; en is dit examen heel anders en beter uyt gevallen als ick gedacht hadde. foo heb ick dan noodigh en van mijn devoir geacht van ’t geen ick bevon- den hebbe aen welgemelre Heeren rekenfchap te geven gelijck ick doe bij defe nevens gaende miflive *) die ick gedienftigh verfoecke aen haer Ed. moghe behan- dight werden. Men fal fien dat defe laerfte proeve niet fonder vrucht is geweeft, alhoewel op het grootfte gedeelte der reyfe door mifverftandt veel te kort gedaen is aen de Horologien, en dat Mr. de Graef door eenighe verkeerde rekeningh fich felf geabufeert heeft en geignoreert het goede effect ”t geen fij gedaen hebben. Ick fal UEd. geftr. niet langher ophouden maer mij gedraegende aen ’t geene mi] d’eer gegeven heb aen de Heeren Bewinthebberen te fchrijven blijven met refpeét UE. geftr. feer ootmoedigen d.r _ N° 2796. CHRISTIAAN HUYGENS aux DIRECTEURS DE LA COMPAGNIE : DES INDES ORIENTALES. 6 MARS 1693. La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens. Haghe 6 Mart 1693. Edel Grootachtbare Heeren Het gheen de Heer van de Blocquerij mij heeft gelieven te doen weten bij fijn Ed. fchrijvens van den 16 Novembr. *) des voorleden jaers, aengaende het weynigh fucces van mijne Horologien in de laetfte proeve naer de Caep de B. Efp.ce laet mij niet toe te cwijffelen of UEd. G. achb. fullen feer geperfuadeert fijn van de onvolmaecktheydt defer Lenghdevindingh en niet fonder reden, dewijl de Per- foon felfs die het bewint daer van gehadt heeft van die opinie is. Ick was mede hier door geprevenieert en hadde felfs niet veel luft om te onderfoecken al’tgeene in ’t nemen van defe ade proef gepafleert was. Doch fiende evenwel dat het noo- digh was foo tot UEd. Gr. Achtb.re als mijn eyghen fatisfactie, foo hebbe nae het mondelingh raport gehoort te hebben van Mr. de Graef, voorts fijn Journael, op ) La Lettre N°. 2796. 1) La Lettre N° 2773. 424 CORRESPONDANCE. 1693. den 19 Nov.*) mi toegefonden, met aendacht geexaminee geheel andere gedachten ontrent het fucces defer proe bevonden hebbe dat daer het effeét der horologien bij on of mifverftandt niet en is beter geworden, of door mifreken fij feer wel en precijs de Lengdemetingh hebben volbracht:" reyfe van het Eylandt S.t Jago af tot aen de Caep de B. Effp.ce. alleen hebben konnen dienen : accorderende perfeét met de nieurile Cissset, Globen die de Lengde tuffchen defe twee plaetfen ftellen van ontrent 48 £ Het welck ick dan klaerlijck uijt de obfervatien van de Graef, die hij feer wel e forghvuldigh heeft waergenomen, bewefen hebbe, naer dat cenighe cifferfauten, en een notoire mifrekeningh 3) daer ontrent hebbe gecorrigeert. Doch om UEd. Gr. Achtb. te minder moeyte te geven, foo heb ick dit bewijs, als mede de rede- nen hoe door een abuys in ’tophangen dér Horologien op de Weerreïs, haer gangh foo valfch en irrugulier geweeft is, in handen van de Heer Profeffor de Volder geftelt, beneffens de Journalen van de Graef en mijn gepointeert Caertjen van Africa: hem verfoeckende alles fonder preventie nae te fien, ende dan aen UEd. Groot Achtb. gemelte fchriften en Caerte te famen met fijn gevoelen en advis te laeren toekomen. Waer uït ick vertrouw dat blijcken fal het geene ick ot hier toe gefeght hebbe waer te fijn. Ick en twijffel dan oock niet of men foude defe inventie verder konnen perfeétioneren met beter en folider horologien van defe foort te maecken en voorts te beforghen ’t geen ick in mijn Rapport aen- gaende de reijs van ”t jaer 1687 aengewefen hebbe +). Doch ick en fal nu niet aen- houden bij UEd. Gr. Achtb. dat fulx moghe bij der handt genomen werden, ofte defe horologien verder geemploieert, dewijl ick iets geheel anders en ongelijck beters bij defe occafie uytgevonden en tegenwoordigh onder hande hebbe, waer door al”t geene eenighe difficulteyt gecft.i in ’t gebruijck defer inventie; t ’eenemael werdt weghgenomen. Waer van ”t fijner tijd naerder openingh aen UEd. Fe Achtb. hoopende te doen, fal blijven Ootmoedige dienaer ‘) ?) Avec la Lettre N°. 2774. 3). Voir la Lettre N°. 2786. 4) La pièce N°. 2519. 5) A la fin de la minute.on rencontre la note suivante de la main de Huygens: T’Amfterdam fynde offereeren aen de Heeren Bewinthebbers dat ick aen de Hr. Hudde mijn nieuwe Inventie fal bekent maecken fub fide filentij, en indien hij oordeelt die van apparent fucces te fijn en ongelijck beter als de horologien met Pendula, dat fij dan ordonneren fullen om ’t geen noodigh is te doen maecken en in *t werck ftellen. Doch dat gemelt Heer die apparentie niet fiende, dat dan daer niet in gedaen werde, en alleen mijn Inventie gefecreteert blijve. Voorts foo vraegh ick wat premie van de Ed. Compagnie te verwach- ten hebbe. Item wanneer ick geoordeelt fal werden die verdient te hebben. CORRESPONDANCE. 1693; . 425 sers) 0 hors AE HD N° 2797. ,. LEIBNIZ à CHRISTIAAN HUYGENSs.. - 20° MARS 1693. La Lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. É publiée par P. J. Uylenbroek*) er C. 1. Gerhard" Elle est la réponse au No. 2785. r. Huygens y répondit le 17 septembre 1693. : 10 Hanover ce e de Mars 1693. que je vous dois de ce que VOUS : avÉs bien romtement fur m mes demandes, touchant le prix pretendu les Eftats, qu’un amy me prioit fort de luy faire fçavoir, ez temoigné mon fentiment. y même dans ma precedente, que je trouvois de Ft difficulté la force centrifuge : avec les rayons d’attraétion que j’avois Ïs marqué en particulier, en quoy confi ftoit cette difficulté. Ù , qu” on diroit qu'il n° y a aucune raifon de conformité; produit une attraction, l’un et l’autre rend du centre à la autre : opere en ligne droite. Vous dites, Monfieur, que: vous trouvés le cours particulier de la matiere dans le tourbillon ‘du foleil, propre à conferver le “parallelifme de l’axe de la terre, peu compatible avec le mouvement Re en tout fens, qui femble faire la efanteur vers le foleil. AQ qu Oy repo! nds, que deux mouvemens femblables à ceux 1à fe trouvent fort comp uns dans le fyfteme du globe de la terre, ou l’un eft la caufe de la pe nee: celle de la direction magnetique:; et cette analo- gie favorife fort mon hypothefe. Et comme il y a une declinaifon de l’aimant, dont les caufes particulieres nous font encor inconnues, qui ne fçauroient pourtant fe Of het niet geno gh i is dat men de proef op een reys nae Spanje neme, en dat geleerde luy ete toe geftelt oordeelen de inventie op feeckere grondt te _ fleunen. want de reijfen nae Indien af te wachten voor mijn jaeren te langh £ uytftel vereyfcht. Consultez, au sujet dela nouvelle invention de Huygens, dont ile ju question ici, la fin de l'article de Huygens : »De Problemate Bernoulliano” CActa Lips. I Fe p.495), que nous reproduisons comme Appendice à sa lettre à Leibniz du At rh F8. airisi que la note Pi NE RENRe nous y DEEE LHHINOS — 2 à À n73 « HPOBTET L3 Chr. Hugenii etc. Exercitationes Midsandces Fasc. I, p. 152. ?) Leibnizens Mathematische Schriften, Band IL, p. 154, et Briefwechsel, p. 711. Œuvres. T. X. : 54 424 CORRESPONDANCE. 1693. den 19 Nov.*) mij toegefonden, met aendacht geexaminé geheel andere gedachten ontrent het fucces defer proev bevonden hebbe dat daer het effet der horologien bij onw of mifverftandt niet en is beter geworden, of door mifreket fij feer wel en precijs de Lengdemetingh hebben volbrag reyfe van het Eylandt S.t Jago af tot aen de Caep de B. Ef alleen hebben konnen dienen : accorderende perfeét met Globen die de Lengde tuffchen defe twee plaetfen ftellen Het welck ick dan klaerlijck uijt de obfervatien van de G forghvuldigh heeft waergenomen, bewefen hebbe, naer da en een notoire mifrekeningh 5) daer ontrent hebbe gecorr Gr. Achtb. te minder moeyte te geven, foo heb ick dit be nen hoe door een abuys in ’tophangen der Horologien gangh foo valfch en irrugulier geweeft is, in handen va Volder geftelt, beneffens de Journalen van de Graef en mij van Africa: hem verfoeckende alles fonder preventie na UEd. Groot Achtb. gemelte fchriften en Caerte te fame advis te laeten toekomen. Waer uit ick vertrouw dat bli tot hier toc gefeght hebbe waer te fijn. Ick en cwijffel dan o defe inventie verder konnen perfeétioneren met beter en f defe foort te maecken en voorts te beforghen ’t geen ick gaende de reijs van ’t jaer 1687 aengewefen hebbe#). Doch ick en fal nu niet aen- houden bij UEd. Gr. Achtb. dat fulx moghe bij der handt genomen werden, ofte defe horologien verder geemploieert, dewijl ick iets geheel anders en ongelijck beters bij defe occafie uytgevonden en tegenwoordigh onder hande hebbe, waer door al”t geene eenighe difficulteyt gecfti in’: gebruijck defer inventie, v ’eenemael werdt weghgenomen. Waer van *t fijner tijd naerder openingh : aen UEd. Gr. Achtb. hoopende te doen, fal blijven 3113 33H Ootmoedige : dienaer soi BI « Ta 299945) G fon 2 *) Avec la Lettre N°. 2774. . #), Voir la Lettre N°. 2786. ste “A 4) La pièce N°. 2519. RES ak à 5) A la fin de la minute:on rencontre la note suivante de la main de Huygens: L-4198 ? T’Amfterdam fynde offerceren aen de Heeren Bewinthebbers dat ick aen de Hr. Hudde mijn nieuwe Inventie fal bekent maecken fub fide filentij, en indien hij oordeelt die van apparent fucces te fijn en ongelijck beter als de horologien met Pendula, dat fij dan ordonneren fullen om ’tgeen noodigh is te doen 4 maecken en in *t werck ftellen. Doch dat gemelt Heer die apparentie niet :. fiende, dat dan daer niet in gedaen werde, en alleen mijn Inventie gefecreteert blijve. Voorts foo vraegh ick wat premie van de Ed. Compagnie te verwach- ten hebbe. Item wanneer ick geoordeelt fal werden die verdient te hebben. CORRESPONDANCE. 1693: . 425 o N° 2707. . LEIBNIZ à CHRISTIAAN HuUYGENs. 20 MARS 1693. 4 Hi re lettre se trouve à Leiden, coll. UE a dé publiée par P. J. Uylenbroek*) ét C. L. Gerhardt®). ; Elle est la réponse au No. 2785. Chr. Huygens y répondit le 17 septembre 1693. gene rs Hanover ce 2° de Mars 1693. "ire : 20 “MonsIEUR Je commence par le remerciment que je vous dois de ce que vous avés bien voulu me fatisfaire fipromtement fur mes demandes, couchant le prix pretendu | propofé par Meffieurs les Eftats, qu’un amy me prioit fort de luy faire fçavoir, bien | que je luy euffe affez temoigné mon fentiment. _ J'avois remarqué moy même dans ma precedente, que je trouvois de fe difficulté dans la comparaifon de la force centrifuge avec les rayons d’attraétion que j’avois propofée, et même j'avois marqué en particulier, en quoy confiftoit cette difficulté. Mais je ne croyois pas, qu'on diroit, qu’il n’y a aucune raifon de conformité; puifque l’un et l’autre produit une attraction, l’un et l’autre tend du centre à la circonference, l’un et l’autre opere en ligne droite. Vous dites, Monfieur, que vous trouvés le cours particulier de la matiere dans le tourbillon du foleil, propre à conferver le parallelifme de l’axe de la terre, pêu compatible avec le mouvement circulaire en tout fens, qui femble faire la péfanteur vers le foleil. A quoy je reponds, que deux mouvemens femblables à ceux là fe trouvent fort compatibles dans le fyfteme du globe de la terre, ou l’un eft la caufe de la pefanteur, l’autre celle de la direétion magnetique; et cette analo- gie favorife fort mon hypothefe, Et comme il y a une declinaifon de l’aimant, dont les caufes particulieres nous font encor inconnues, qui ne fçauroient pourtant fe Of het niet genoegh is dat men de proef op een reys nae Spanje neme, en dat geleerde luyden daer toe geftelt oordeelen de inventie op feeckere grondt te fteunen. want de reijfen nae Indien af te wachten voor mijn jaeren te langh uytftel vereyfcht. Consultez, au sujet dela nouvelle invention de Huygens, dont il est question ici, la fin de l’article de Huygens: ,De Problemate Bernoulliano” (Acta Lips. 1693, p.495), que nous reproduisons comme Apperdiée à sa lettre à Leibniz du 17 pi he 1693: ainsi que la note explicative que nous y avons ajoutée. 7) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae. Fasc. I, p. 152. ?) Leïbnizens Mathematische Schriften, Band IL, p. 154, et Briefwechsel, p.711. Œuvres. T. X. 54 426 CORRESPONDANCE. 1693. trouver, que dans le cours de quelque matiere, il femble encor, que le detour de l'axe de la terre ne fçauroit venir,que de quelque raifon femblable”). Ileft vray,que la terre eft un grand corps, dont il n’eft pas aifé de changer le mouvement ou la fituation; mais comme tous les corps de la nature agiffent les uns fur les autres, et qu’il y a plufieurs grands courans particuliers, elle ne femble pas exemte d’acci- dens; et je ne fçay, s’il feroit conforme à la couftume de la nature, d'abandonner ces grands fyftemes à ces rencontres. Il femble pluftoft, que les fyftemes font tel- lement formés et eftablis par une confpiration de toutes les parties arrangées et affervies de longue main, que les defordres fe redreffent d’eux mêmes, comme dans le corps d’un animal; ce qui fe fait par le cours des corps fluides, qui entre- tient les folides dans leurs fonctions. Ainfi je m’imagine, que fi quelque caufe ex- traordinaire detournoit l’axe de la terre, il reprendroit bien toft fa veritable fitua- tion‘); comme fait un aimant; au lieu que, felon l’hypothefe de Mons. Neuton la terre vogue dans l’echer, comme feroit une ifle flottante, que rien ne dirige, que fa propre tendence déja prife. Ce que vous dites, Monfieur, qu’une preflion uniforme par dehors ne change point la figure d’un corps, et par confequent n’eft pas capable d’arrondir une goutte, merite confideration. Mons. des Cartes n’eftoit pas de ce fentiment, et en cela j’avois efté du fien; mais je me rendray volontiers, quand je verray com- ment vous jugés que cela eft “Contraire aux principes de mecanique ). Vous jugés auffi, Monfieur, que les tourbillons deferans, ne font pas conciliables avec les Ellipfes de Kepler. Cependant il me femble, que les raifons prifes de l’excentricité conftante des Planetes, aufli bien que de leurs vifteffes dans les aphelies et perihelies*) ne font pas fans replique, ou pluftoft que les courbillons fe peuvent expliquer en forte, qu’ils favorifent ces chofes, bien loin d’y eftre con- traires. L’objeétion du paffage des Cometes paroift difficile, mais peut-eftre, que leur force eft celle que le mouvement d’une matiere auffi fubrile, que l’eft celle du coutbillon ne les detourne pas confiderablement; il eft bien vray que cette même matiere a affés de force pour conferver le mouvement des Planetes, mais fi la Pla- nete eftoit reduite en repos dans le tourbillon, le tourbillon ne luy rendroit fon mouvement, que peu à peu. Comme dans vos pendules peu de force eft capable d’entrerenir le mouvement, mais il eft plus difficile de le produire. Je viens à nofîftre controverfe des Atomes, elle eff fi ancienne, et les efprits y font fi partagés, que je m’etonne nullement, fi nous ne tombons pas d’accord là deflus. Cependant comme je croy, que parmy tous ceux, qui ont jamais fouftenu les atomes, perfonne l’a fait avec plus de connoiffance de caufe, et y a apporté plus de lumierés, que vous, Monfieur, et que de mon cofté j” j'ay taché d’y joindre des confiderations affez particulieres, je continue de profiter de vos care Bérnt Si l’on devoit fuppofer des confiftences primitives, la queftion eff, s’il feroit plus raifonnable d’aller d’abord à une dureté parfaite et infinie, que d’admettre toute forte de degrés de fermeté/) mais tousjours meflés de quelque fluidité, ou molleffe; MA md 8 CORRESPONDANCE. 1693. 427 … en forte que lamatiere ait par tout quelque union ou connexion, et que neantmoins _ elle foit encor divifible par tout. Et qu’ainfi le même corps puiffe eftre appellé ferme, roide, dur; et encor fluide, mol, flexible, diverfo refpeétu et comparative- ment, felon l’aétion-qui tache de le flechir ou de le divifer. Vous jugés, Monfieur, qu'il feroit plus difficile de concevoir les raifons de ces differentes fermetés; mais fi les fermetés font primitives, on n’en doit pas chercher la raifon. J'avoue que la matiere feroit heterogene en quelque façon, ou pluftoft dans une varieté perpe- tuelle, en forte qu’on ne trouveroit pas la moindre particelle uniforme dans fes parties, au lieu que les Atomes font homogenes. Mais en recompenfe la matiere felon mon hypothefe feroic divifible par tout, et plus ou moins facilement, avec une variation, qui feroit infenfible dans le paflage d’un endroit à un autre endroit voifin£), au lieu que felon les Atomes on fait un faut d’une extremité à l’autre et d’une parfaite incohaefion, qui eft dans l’endroiét de l’attouchement, on paffe à une dureté infinie dans tous les autres endroits. Et ces fauts font fans exemple dans la nature #). D'où il s’enfuit aufli, que felon moy la fubrilité et varieté va à l'infini dans les Creatures, ce qui eft conforme à la raifon et à l’ordre (car je fuis pour un axiome tout oppofé à cet axiome vulgaire, qui dit, naturam abhorrere ab infinito). Mais felon les Atomes le progres de la fubrilité et la variation fe borne à la grandeur de l’atome À), ce qui eft aufli peu raifonnable que cette autre maniere de borner les chofes par-des extremicés en enfermant le monde dans une boule, Quant à la difficulté des furfaces plattes, par lefquelles les Atomes s’attacheroient, vous repondés, Monfieur, qu’il feroit pluftoft un grand poftulatum de vouloir qu'ily en ait, que de vouloir qu’il n’y en ait point; puifqu'’il faut bien de l’exaéti- tude pour en former. Je reponds qu’il faudra tousjours une entiere exaétitude pour former quelque furface que ce foit: Quelque qu’elle puiffe eftre, elle fera exaéte /). Or la furface platte eftant des plus fimples, il femble que ce qui eft caufe de l’exiftence des atomes, feroit encor caufe de l’exiftence des plus fimples atomes, à Moins que cette caufe n’ait eu des raifons particulieres de les eviter, qui ne fçauroient eftre prifes qu’à fine pour eviter la cohefion. Mais ce feroit aflez poftuler, que de raifonner ainfi. Vous adjoutés, Monfieur, quand même on admet- croit un grand nombre d’Atomes cubiqués, qu’ils ne s’attacheroïent pas aifement enfemble pour compofer des nouveaux corps infeparables, par ce que le plus fouvent ils ne repoferoient pas durant quelque temps dans l’attouchement et ne demeureroient qu’un moment dans le même eftat, car c’eft ainfi que j'entends ce que vous dites, que leur application jufte confifteroit in indivifibili #). Mais je croy qu’il eft affez eftrange, que cela fe peut faire quelques fois, fçavoir qu'ils s’attachent en forte qu'ils deviennent Atomes, et qu’ils foyent deformais infepa- rables à toute eternité. J'avois crd, que ma raifon contre les Atomes prife des loix du mouvement eftoit une des plus fortes. Cependant puifque vous promettés d’expliquer un jour com- ment un corps inflexible peut rejallir /), je.ne doute point que vous n’ayés à dire 428 CORRESPONDANCE. 1693. la deffus des chofes tres confiderables à voftre ordinaire: la difficulté pourroit eftre retorquée contre moy, puifq compofés, et que par confequent les derniers petits corps auffi incapables de rejalliffemenc. Mais je reponds qu’il petit corps”) et je conçois qu’une particelle de la matiere foit, eft comme un monde entier, plein d’une infinité de-creatures: petites; et cela à proportion d’un autre corps fut il aufli. AE la terre. 1 | Frb AE Se Comme il femble qu’on ne fçauroit rendre aucune raifon, ass ; d’un atome font infeparables, que parce quelles fe touchent une fois parfaitement par leur furfaces durant quelque temps; c’eft pour cela que, j’ay dit, que dans l’Hypothefe des Atomes l’attouchement fait l’oflice d’un gluten *). Il femble aufli que fi l’attouchement par furfaces fait une connexion infiniment forte; l’atrouche- ment par lignes et par points deuroit aufli faire des connexions, mais furmonta- bles ) en forte que deux corps fe touchant par des lignes plus grandes feroient plus 3) aifés à feparer, et des corps fe couchant par plus de points auroient plus de connexion que ceux qui fe toucheroient par moins de poinéts caeteris paribus. Et mêmes, point contre. point, et ligne contre ligne, il femble que contaétus ofculi deuroit donner plus de connexion que fimplex contaétus. De plus, fiunattouche- ment fuperficiel durable faict un attachement infurmontable, il femble qu’un at- rouchement momentanée feroit une connexion furmontable?), mais plus forte, felon que le corps, qui rafe l’autre en le touchant, a moins de vifteffe. Enfin quoy que j’aye parlé cy deffus des fermetés ou confiftences primitives, j’ay tousjours du panchant à croire, qu’il n’y en a aucune primitive, et que le feul mouvement fait de la diverfité dans la matiere 7) et par confequent la cohefon. Et tant que le contraire n’eft pas encor demontré, ilme femble, qu’on doit eviter la fuppoñition d’une telle nouvelle qualité inexplicable, laquelle eftant accordée, on pafferoit bientoft à d’autres fuppoñitions femblables, comme à la pefanteur d’Ariftote, à l’attraétion de Mons. Neuton, à des fympathies ou antipathies et à mille autres attributs femblables. Mr. le Marquis de l’Hofpital m’a fait l’honneur de me communiquer fa belle invention de la re&ification de la Courbe Logarithmique #) *). Cela fait voir qu’il a fait des tres grands progrés dans cette Analyfe fuperieure 5). Et j’efpere de luy des lumieres confiderables, je voy le moyen de trouver tousjours la ligne ex data 3) Il faut évidemment lire: moins. 4) Ill’a fait dans une lettre du 14 décembre 1692, publiée par C. J. Gerhardt dans ,, Leibnizens Mathéematische Schriften”, Band IL, p. 216. L’exposé du ,, problème” et de la ,,solution” y correspond presque littéralement avec celui qu’on rencontre dans la Lettre N°. 2775, + jusqu'aux mots: ,,2°. Si l’on prent TR”. CORRESPONDANCE. 1693. 429 lorfque cette ligne eft ordinaire *). Mais je n’ay pas nce neceffaire pour mettre en eftat tout ce qu’il faut pour e, et en attendant je fuis reduit à me fervir de quantité à peu prés comme on fait pour refoudre des problemes ophante. M. de Beaune, dont la foutangentielle feroit yy—xy:4, >refentement, parce qu’elle eft fimple et je trouve, qu’elle Logarithmes en telle façon, que le logarithme eftant y, x le logarithme et la fubnumerale. J’appelle icy la foufnu- le nombre du logarithme eft le quotient d’z divifé par eur, que vos decouvertes fur la quadrature de la galande de Roberval font extremement belles, j’entends la ligne quation eft x3+ y3=—#xy. Comme cette ligne eft d’une fimple, et que les coordonnées y font homocoptotes dans le cercle, j’ay aufli voulu tacher, fi j’en pourray la quadrature, et j’en ay enfin trouvé cette conftruétion ne ABCDA eft à 3 #y— xx comme le quarré de l’abfciffe de l’ordonnée y ou BC °). Je n’ay garde de m’attribuer par avance la connoiffance de cette fource nou- velle, que vous avés trouvée pour quantité de problemes des quadratures et des fubtangentes. Il fe pourroit que j’en fçuffe quelque chofe, mais je craindray pluftoft que non; car je voy qu’on peut employer quantité d’adreffes particulieres, et je ne doute point, qu’il n’y en ait beaucoup, qui me font inconnues, quoy ku’il y en ait aufli beaucoup que j’ay employées en temps et lieu. Je me fers quelques fois avec fucces des feries infinies, Car toutes les fois qu’on donne un probleme tan- 5) C'est-à-dire X—=y—2;y—4 13 solution correcte. 5) Onaurait donc, d’après Leibniz, aire ADCBA — ny ty, c’est-à-dire, après sub- _stitution dans le second terme de la valeur x5— nxy—y3, aire ADCBA => nx°y 7 + : XY, ce qui est faux évidemment puisque cet aire ne peut pas excéder celle du triangle ABC.Huy- gens n’a pas manqué de remarquer cette méprise, comme on le voit par le contenu du lambeau de papier que nous avons reproduit dans la dernière note de la présente lettre. Huygens y substitue, dans la proportion indiquée par Leïbniz, la valeur véritable = «y — "de l’aire du triligne, telle qu’il pouvait la déduire facilement au moyen du résultat mentionné dans les dernières lignes de la pièce N°. 2793, ce qui conduit à une absurdité. Ce n’est que plus tard (voir sa lettre à de l’Hospital 10 septembre 1693 et celle à Leibniz du 17 septembre 1693) qu’il découvrit que la formule de Leïbniz devenait correcte si on l’applique au mixtiligne AEBA, en posant EB—. Voir encore la figure de la note 13. 428 CORRESPONDANCE. 1693. la deflus des 'chofes tres confiderables à voftre ordinair: la difficulté pourroit eftre retorquée contre moy, puifq compofés, et que par confequent les derniers petits corps auffi incapables de rejalliffement. Mais je reponds qu’ petit corps”) et je conçois qu’une particelle de la matier foit, eft comme un monde entier, plein d’une infinité petites; et cela à jp voesaens d’un autre NE fut il la terre. Comme il femble ton ne Evene art aucune rai d’un atome font infeparables, que parce quelles fe touc par leur furfaces durant quelque temps; c’eft pour cel l’Hypothefe des Atomes l’attouchement fait l'office d’un £ que fi l’attouchement par furfaces fait une connexion infir ment par lignes et par points deuroit aufli faire des con bles ) en forte que deux corps fe touchant par des lign plus 3) aifés à feparer, et des corps fe touchant par plus d connexion que ceux qui fe toucheroïent par moins de poir mêmes, point contre. point, et ligne contre ligne, il fem deuroit donner plus de connexion que fimplex contaétus. ment fuperficiel durable faict un attachement infurmontable, il femble qu’un at- touchement momentanée feroit une connexion furmontable ?), mais plus forte, felon que le corps, qui rafe l’autre en le touchant, a moins de vifteffe. Enfin quoy que j’aye parlé cy deflus des fermetés ou confi fences primitives, j’ay tousjours du panchant à croire, qu’il n’y en a aucune primitive, et que le feul mouvement fait de la diverfité dans la matiere 2) et par confequent la cohefion. Et tant que le contraire n’eft pas encor demontré, ilme femble, qu’on doit eviter la fuppoftion ; d’une telle nouvelle qualité inexplicable, laquelle eftant accordée, on pafferoit - bientoft à d’autres fuppofitions femblables, comme à la pefanteur d’Ariftote, à ; l’attraétion de Mons. Neuton, à des fympathies ou antipathies et à mille autres attributs femblables. »fuñoe Mr. le Marquis de l’Hofpital m’a fait l'honneur de me communiquer fa belle invention de la reétification de la Courbe Logarithmique #) r). Cela fait voir qu’il a fait des tres grands progrés dans cette Analyfe fuperieure s). Et j’efpere de luy des lumieres confiderables, je voy le moyen de trouver tousjours la ligne ex data 3) Il faut évidemment lire: moins. 4) I la fait dans une lettre du 14 décembre 1692, publiée par C. J. Gerhardt dans pes Mathématische Schriften”, Band IL, p. 216. L’exposé du ,,problème” et de la ,, solution” y ! correspond presque littéralement avec celui qu’on rencontre dans la re N°. 2775; + jusqu’aux mots: ,,2°. Si l’on prent TR’. CORRESPONDANCE. 1693. 429 tiss, lorfque cette ligne eft ordinaire *). Mais je n’ay pas ce neceffaire pour mettre en eftat tout ce qu’il faut pour , €t en attendant je fuis reduit à me fervir de quantité peu prés comme on fait pour refoudre des problemes iophante. à courbe de M. de Beaune, dont la foutangentielle feroit yy—xy: 4, ay voulu confiderer prefentement, parce qu’elle eft fimple et je trouve, qu’elle d de la courbe des Logarithmes en telle façon, que le logarithme eftant y, x fera la difference entre le logarithme et la fubnumerale. J° appelle i icy la foufnu- merale z, fuppofé Eu le nombre du logarithme eft le quotient d’z divifé par … Il faut avouer, Monfieur, que vos decouvertes fur la quadrature de la galande HER - de Mr. de Roberval font extremement belles, j’entends la ligne dont l’equation eft x3 + y3=—#xy. Comme cette ligne eft d’une nature fimple, et que les coordonnées y font homoeoptotes comme dans le cercle, j’ay aufli voulu tacher, fi j’en pourray trouver la quadrature, et j’en ay enfin trouvé cette conftruétion generale #) que le triligne ABCDA eft à z #y— xx comme le quarré de l’abfciffe x, ou AB, eft au quarré de l’ordonnée y ou BC‘). Je n’ay garde de m’attribuer par avance la connoiffance de cette fource nou- velle, que vous avés trouvée pour quantité de problemes des quadratures et des fubtangentes. Il fe pourroit que j’en fçuffe quelque chofe, mais je craindray pluftoft que non; car je voy qu’on peut employer quantité d’adreffes particulieres, et je ne doute point, qu’il n’y en ait beaucoup, qui me font inconnues, quoy ku’il y en ait aufli beaucoup que j’ay employées en temps et lieu. Je me fers quelques fois avec fucces des feries infinies, Car toutes les fois qu’on donne un probleme tan- 5) C'est-à-dire x—y—2;7—4 1; solution correcte. 5) Onaurait donc, d’après Leibniz, aire ADCBA—* naty ty, c’est-à-dire, après sub- stitution dans le second terme de la valeur x3 —#xy—3, aire ADCBA => nx°y + . xXY, ce qui est faux évidemment puisque cet aire ne peut pas excéder celle du triangle ABC.Huy- gens n’a pas manqué de remarquer cette méprise, comme on le voit par le contenu du lambeau de papier que nous avons reproduit dans la dernière note de la présente lettre. Huygens y substitue, dans la proportion indiquée par Leïbniz, la valeur véritable = «y —%" de l’aire du triligne, telle qu’il pouvait la déduire facilement au moyen du résultat mentionné dans les dernières lignes de la pièce N°. 2793, ce qui conduit à une absurdité. Ce n’est que plus tard (voir sa lettre à de l’Hospital 10 septembre 1693 et celle à Leibniz du 17 septembre 1693) qu’il découvrit que la formule de Leibniz devenait correcte si on l’applique au mixtiligne AEBA, en posant EB=—Y. Voir encore la figure de la note 13. 430 CORRESPONDANCE. 1693. gentiel, je puis trouver la courbe demandée per feriem infinitam, Ce qui eft au moins de grand ufage pour la praétique »). Car je fuppofe y = 4 + bx + cx° + + dx3 + ext etc. et par confequent j’ay aufli yy, y3 erc. item xyy, xy5, x°y° etc. j'ay aufli dy. Car dy eft égal à /x multiplié par » + 2cx + 34dx° + 4ex8 etc. et ddy eft égal à 1. 20 + 2. 3dx + 3. 4. ex° etc. multiplié par 4x? et ainfi de fuite. Ayant donc mon equation differentielle delivrée des fractions, racines et fommes, et ordonnée en forte, qu’elle foit egale à rien, et ayant expliqué les termesoùentre y ou dy, en forte, qu’il ne refte d’autre indeterminée que x, ce qui faitevanouir 4x, j'explique les arbitraires, 4, b, c, etc. en forte que tous les termes fe detruifent, et par ce moyen je trouve leur valeur, et par confequent celle d’y. Cette methode eft la plus generale qu’on puiffe imaginer, car elle reuflit pour tous ces problemes et encor pour ceux, dont la difficulté eft d’une tranfcendance du fecond, troifiême ou autre degré, c’eft à dire, qui va aux differentio-differentielles et au delà. En un mot eft fupplementum Generale Geometriae praéticae pro Tranfcendentibus; pour ne dire (ce qui paroïft affez) qu’elle fert à donner les racines des equations, mais aufli elle fert fouvent à trouver des valeurs finies”). J’efpere le plaifir d'apprendre un jour voftre maniere phyfico-mathematique pour la quadrature de l’'Hyperbole x). Ces applications donnent fouvent des nouvelles vues. Voicy quelque chofe de tout autre nature, que je joins icy. J’ay eu en main quantité de pieces curieufes qui fervent à l’Hiftoire et aux affaires, dont je feray imprimer le recueil. Celuy des plus anciennes avant l’an 1500, paroiftra ce prin- temps dans un volume in fol?). Mais pour les modernes, particulierement de not fiecle, je fouhaitterois encor bien des chofes. Monfieur voftre frere et quelques autres habiles hommes de voftre pays, em- ployés dans les affaires publiques, me pourroient favorifer en ce deffein à voftre recommandation, en communiquant quelques pieces curieufes, qui ferviroient à inftruire le public, fans faire prejudice à qui que ce foit. C’eft dommage que Mons. van Beuninguen n’eft pas en eftat d’y contribuer *). 7) Il s’agit de l'ouvrage: Codex Juris Gentium Diplomaticus, In quo Tabulae Authenticae Actorum Publicorum Tractatuum, aliarumque rerum majoris momenti per Europam gestarum, p/eraeque ineditae vel selectae, ipso verborum tenore expressae ac temporum serie digestae, continentur; À fine seculi undecimi ad nostra usque tempora aliquot Tomis comprehensus: Quem ex Manuscri- ptis praesertim Bibliothecae Guelfebytanae Codicibus, Et Monumentis Regiorumaliorumque Archivorum, ac propriis denique Collectoreis Edidit G. G. L. Hanoverae, Literis & Impensis Samuelis Ammonii. M DC XCIII, in-f°. La publication de ce livre paraît avoir été hâtée par l’éditeur. Après la mention faite des titres de deux documents dont la teneur n’est pas donnée, l'ouvrage se termine par la remar- que: ,, Haec aliaque imminentes Nundinae Typographum festinantem in sequentia differre coegerunt.” 8#) Voir la Lettre N°. 2766, note 6. CORRESPONDANCE. 1693. 431 Mais vous ne manqués pas d’habiles miniftres, et fouuent les heritiers de ceux qui ont efté employés autrefois ne font pas chiches de telles chofes. Je vous demande pardon de la liberté que je prends de vous parler d’une chofe de cette nature. C’eft à condition que cela ne vous importune nullement et que vous ne fafliés que ce que vous pourrés commodement, par le moyen de quelques amis, un mot de voftre part valant mieux, que les grandes follicitations de beau- coup d’autres. Je fuis avec zele etc. MoNSIEUR Voftre trefhumble et tres obeïiflant feruiteur LEIBNIz. #) Rec. le 31 mars [Chriftiaan Huygens] ?). ?) Voici ce que jai dit: Tous les axes devroient eftre paralleles [ Chr. Huygens]. ©) l’axe de la Terre change peu a peu de pofition [Chriftiaan Huygens]. 4) Je l’expliqueray [Chriftiaan Huygens]. #) il y a encore les declinaifons conftantes [ Chriftiaan Huygens]. f) s’il y a toute forte de fermetè cela empefchera la viteffe de la lumiere [Chris- tiaan Huygens]. &) Mon hyporthefe eft plus fimple [ Chriftiaan Huygens]. #) ce n’eft pas un faut [Chriftiaan Huygens]. Î) cette borne eftoit neceffaire ou il faloit un progres continuel [ Chr. Huygens]. ?) ileft bien plus facile de former quelque furface indeterminee comme en caffant un corps, que d’en former une exaétement platte [ Chriftiaan Huygens]. #) je dis que la pofition de deux furfaces plattes pour eftre appliquées l’une à l’autre confifte in indivifbili. ils ne s’attachent pas pour devenir atomes [ Chr. Huygens]. 7) voir nos lettres fur cecy [en crayon, Chriftiaan Huygens]. m) mais qu’eft ce que le reffort a voftre opinion ? [Chriftiaan Huygens]. #) cet attouchement fait l’unité; rien n’eftant entre deux [ Chriftiaan Huygens]. #) confequence fans fondement [Chriftiaan Huygens]. ?) pluftoft point de connexion [Chriftiaan Huygens]. 4) je ne comprens point cette idée [ Chriftiaan Huygens]. ”) Bernoulli fe l’attribue *°) [Chriftiaan Huygens]. 9) Les notes qui suivent ont été écrites d’abord au crayon, la plupart ont été retracées à l’encre, deux ont été effacées au point de devenirillisibles. Plusieurs de ces notes, nommément les , notes r, , et x doivent avoir été écrites quelques mois après la réception de cette lettre. 19) Consultez, sur cette note, les lettres de Huygens à de l’Hospital du 5 et celle de l’Hospital à Huygens du 10 août 1693. 432 CORRESPONDANCE. 1693. s) touchant notre correfpondance [en crayon, Chriftiaan Huygens]. #) Donnez luy une fouftangente deguifee **) [Chriftiaan Huygens]. “) Cette conftruétion n’eft pas vraie que lors que EB fe prend pour x, et AB pour y [Chriftiaan Huygens]. ») Je n’eftime guere les feries que quand elles fe terminent comme de Greg, Newton Hofpital =?) [Chriftiaan Huygens]. ») Ce ferait le plus beau [Chriftiaan Huygens]. +) Vous l'aurez vue. Elle a donné occafion a Bernoulli pour d’autres'3) [ Chriftiaan Huygens] *). 11) Huygens en a proposé dans sa réponse du 17 septembre 1693. 12) Voir, à propos de cette remarque, la lettre de Huygens à de l’Hospital du 23 juillet 1693 et la réponse de de l’Hospital du 10 août 1693. 13) Consultez la Lettre à de l’Hospital du 3 septembre 1693. 14) À cette lettre de Leibniz se trouve joint un lambeau de papier sur lequel Huygens a noté ce qui suit: Selon Mr. Leibnitz il y auroit cette proportion veritable. Triligne ABCDA qu. AB qu. BC LT Tele Lo LE 27 6 x 3 Y 2 D Asus 2 LÉ Aeq.° curvae E Se, A Me 23-93 90 nxy Ra Tue Snisles 3 w.” À st TN ms I I A %* B Say —— x — ny 90 mx * SE Dax " n= k I I ë ; : ". 7 DZ nyx$ absurdum. = #xÿ} 00 = nxiy— + x5 Mr. Leiïbnitz se trompe donc. Il devoit mettre — SM ax = 192 [voir la Lettre N°. 2801]. Il dira qu’il l’a oubliè ou son copiste. Il ne se trompe point si AB est x, EB y. Lelogarithme estant y, x sera la difference entre le logarithme ete— 7e l'excès de la soutan- gente sur #4 divisè par le nombre du logarithme. C’est ainsi qu’il devoit dire suivant ce que montre la construction seconde du Marquis de l’Hospital, ou bien le logarithme estant y, x sera la difference entre le logarithme et z (qui est pre je ne scay pourquoy il l’appelle a _ et non > —— sn aura vu la solu- sounumerale) si le nombre du logarithme est D tion de M. le Marquis de l’Hospital dans le Journal é Scav. de Eu A “oo . [Voir la note 2 de la Lettre N°. 2787 et la Lettre 28or]. CORRESPONDANCE. 1693. 433 o N° 2798. CHRISTIAAN HuycEns à B. DE VoLpER. 24 MARS 1693. La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens. De Volder y répondit par le No. 2800. Aen de Hr. Profeflor DE VoLper den 24 Mart 1693. Mijnheer Ick fend UE hier neffens weder het Journael van M. de Graef met mijne aen- merkingen ende gepointeert de Caert van Africa *) nae dat ick volgens UE goede advifen *) verbetert hebbe ’t geen ik bij abuis anders geftelt hadde als mijn eygen raifonnement mede bracht. Waer voor UE nochmaels bedancke. Hier door, ge- liÿck UE wel geremarqueert hadde wordt die vreemde gewaende kromte der Cours wegh genomen, en blijft evenwel de Lengde tuffchen St. Jago en de Caep bij ’t horologie afgemeten, de felfde, en met de Caert accorderende. Her is waer dat, in de herftelde plaetfen de berekende Cours nu feer Weftelyck loopt van de gegifte Cours der Stierluyden, afwijckende tot 82 graden. en bij nae maer 2 gra- den van de Cuft van Brafilien afblijvenden. Maer het is wel moghelijck dat de generalen vloedt van Ooft nae Weften het fchip aldus vervoert hebbe, konnende de Stierluyden ”t felve nergens aen gewaer werden. ten waer men feyde dat fe van 30 duytfche mijlen diftantie de Brafiliaenfche Cuft fouden konnen vernomen hebben, ’t welck ick niet en geloof; behalven dat men oock niet feecker en weet hoe nae defe Cuft in de Caert op haere waere Lengde leghr. Ick hebbe, gelyck UE bekent is, de daghelyckfe verachtering van ’t horologie, van S. Jago af, genomen foo die bij de Graef gebruyckt is van 1”. 58”. Aengaende nu t geen UE feer wel aengemerckt heeft, dat in defe verachtering te definieren eenighe veranderlyckheydt geweeft is, °c zi] door fchult van ’t horologie, of bij faute in ’t obferveren, foo fegh ick dat dit laetfte verre het waerfchynelijckfte is want anders foude het horologie in de 24 uren tuffchen den 31 Mart,ende 1 April, ontrent 14 minuten te veel verachtert hebben, naer advenant van dat het de 5 voorgaende daghen gedaen hadde, welcke al te groote ongelyckheydt niet en is te 7) Le Journal de De Graaff et la carte pointée de l’Afrique ne se trouvent pas dans notre col- lection. Quant aux ,, Aanmerkingen”, une pièce intitulée ,, Verklaeringh en aenmerckingen op het Journael van J. de Graaff”, écrite de la main de Huygens, ainsi que quelques pages de calcul détachées se rapportent au journal de De Graaff et y renvoient en plusieurs endroits. Comme les résultats auxquels arriva Huygens se trouvent résumés dans ses lettres à De Volder et que les détails, pour être compris, exigent la consultation du journal et de la carte qui nous manquent, nous avons cru devoir passer ici cette pièce. ?) Nous ne les connaissons pas. Œuvres. T, X. 55 434 CORRESPONDANCE. 1693. prefumeren, aengefien de naegenoegh getroffen Lengde tuffchen St. Jago ende Caep door middel van ”t felve horologie. De oorfaeck van de veranderlijcke be- grooting der verachtering kan geweeft fijn dat in de laetfte obfervatie van den 1 Apr. de minutwyfer op 49 fal geftaen hebben als gemeent wierdt op 48 ftondt, gelijck daer in licht konde gedwaelt werden, door de ongeoeffende obfervateurs. Waer door dan de verachtering van ’t horologie in de 6 daghen geweeft foude fijn van 10° 51 fec. en in een dagh, van 1°484 fec. ’t welck met de voorighe obfer- vaties veel beter accordeert als de 1° 582". Ick hebbe dit aldus een[s] willen fup- poneren, en daer op de geftipte Coers in de bijgaende Caerte geformeert welcke men fiet dat wat verder afblijft van de Americaenfche Cut, als de andere nae ’t horologie getrocken. Maer even wel niet veel, foo dat ick voor vaft houde, dat het fchip, ontrent defe daghen van den 23 en 24en Apr. door de vloedt uijt den Ooften feer verre vervoert is geweeft. Ick weet wel dat volgens defe geftipte Cours de Lengde tuffchen St. Jago en de Caep ontrent 24 gr. meerder foude komen als de 48 gr. die ick te vooren, met de caert accorderende, bevonden hebbe, en ick beken dat het horologie voor foo veel kan gemanqueert hebben, maer het kan oock de faut van de Caert fijn, daer men niet vaft op gaen kan, foo langh men door onfeilbare obfervatien, gelijck die aan de omloopers van Jupiter de voorfz. lengde niet perfeét heeft gedetermineert 3). En het waer te wenfchen dat de O. Indifche Comp.ie tot redres der Caerten en bevorderingh der Lengde- metingh al fulcke obfervatien dede in ”t werck ftellen; waer toe foo goede gele- gentheydt heeft. UE gelieve ”t geen hier nevens gaet aen de Hr. van de Blocquerij toe te fenden, als mede UE opinie aengaende defe Proeve want ick aen Sijn Ed. en aen de Hee- ren Bewinth.s gefchreven hebbe dat ick UE hier toe verfoecken foude #). Daer is aen gelegen dat haer Ed. fien dat dit laetfte Experiment niet te vergeefs aengeftelt is, en beter uyt gevallen als fij op het raport van Mr. de Graef gelooft hadden 5). Waer nae oock haer Ed. foo ick geloof, niet onmoghelijck fullen oordeelen met de Lengde Metingh te reuflieren; en te meer om dat ick haer Ed. verfeeckert hebbe van iets beters als de horologien met Pendula daer toe geinventeert te hebben). Ick blijve Mijn Heer UE. ootmoedige dienaer LL d 3) La différence en longitude entre Santiago, îles du Cap-Vert, et le Cap n’est en réalité que de 42 degrés. 4) Voir la Lettre N°. 2796. 5) Voir, sur ce rapport peu favorable, la Lettre N°. 2773. 5) Voir la fin de la note 5 de la Lettre N°. 2796, à la page 425. CORRESPONDANCE. 1693. 435 l N° 2790. CHRISTIAAN HuyGENs à B. DE VOLDER. 24 MARS 1693. Appendice au No. 2798. La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens. in een briefje apart. UE. kan dezen brief of copije der zelve neven voorgemelte ftucken overzenden. waar door miffchien UE. moeyte in geven van zijn advis zal konnen vermindert werden en oock blycken dat ick de correétie bij UE. gedaan, noodigh geacht en gevolght hebbe. - N° 2800. B. DE VoLpER à CHRISTIAAN HUYGENS. 6 AVRIL 1693. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle est la réponse aux Nos. 2798 et 2799. Chr. Huygens y répondit par le No. 2802. Wel Edele Heer, Ick hebbe UEdts aangename van den 245te maart nevens de bijlagen wel ont- fangen, maar door indifpofitie niet konnen examineren als heden, en gifteren. Nu de faack infiende, weet ick bijna niet wat conclufie te formeren. Want on- feecker fijnde hoe groot de dagelyxfe vertragingh van ’t Horologie is geweeft op St, Jago, en wel fodanigh onfeecker, dat het een verfchil van 24 of oock wel meer graden op defe wijs foude komen te importeren, hoe kan men met eenige feeckerheijd van de reft concluderen ? T’is wel waarfchijnelyck, gelijck UEdt dit aanmerckt, dat in de obfervatie van den 1ste April een mifilagh is begaan, en mis- fchien is ’toock wel foodanigh een, als UEdt. bybrengt, maar dit fchijnen mi ten minften alcijdt het laatfte, alleen giflingen. Tis oock waar, dat de lengde van de Caap, die de caart aanwijft foo vaft niet is, dat men defe 24 graden verfchil, feeckerlyk tot een fout aan de Horologien foude konnen toefchrijven; maar aan de andere kant is ’t oock waar, dat de caart foo wel kan miffen met de Caap oofte- lijcker te leggen, als Weftelijcker alft behoort. Twelck foo waar mocht fijn, en dat de Caap inderdaat minder ten ooften van St, Jago verfcheelde, als de caart van Viffer *) medebrengt fou dit de fout der Horologien noch grooter maacken. 1) Africae accurata Tabula ex officina Nic. Visscher. Elle fait partie d’une série de cartes publiée sans titre général par Visscher et Van Waesberge à Amsterdam. 436 CORRESPONDANCE. 1693. Waarbij komt, dat de obfervatie van de Franfe Jefuiten gaande naar Siam”), die miffchien de feeckerfte is, die wij omtrent des Caaps lengde hebben, den Horolo- gien ganfch niet fchijnt te favoriferen. Want die determineren de lengde van de Caap naar de meridiaan gaande door l’ifle de fer op 404 gr. dat is, naar de meri- diaan van onfe caarten gaande door Tenariffe, wat meer als 38 gr. waarmede de caarten van de Compagnie fchijnen overeen te komen. So dat na defe obfervatien het Horologie een verfchil van lengde tuffchen St. Jago en de Caap foude hebben aangewefen, ’tgeen van het waare over de 5 gr. foude verfchillen, ten minften altydt incas dat St. Jago, te recht 7 gr. weftelijcker geftelt wert als de meridiaan van Tenariffe. Uyt welck alles ick dan niet anders fie te concluderen, als dat defe proeve ten beften genomen de faacke laat genoechfaam in defelfde ftaat als voorheen, als hebbende de obfervateur door de daaghelyxfe vertragingh vant Horologie niet accuraat genoech geobferveert te hebben, ons buijten poftuur geftelt, om met cenige feeckerheijt vant qualyck of wel uijtvallen der Horologien, uijt defe proeve te konnen oordelen. Ick hebbe gemeent van mijn plicht te fijn, eer ick iets aan de H.ren van de Com- pagnie fchreef, UEdt van defe mijne gedachten communicatie te geven. Waar op UEdts antwoort te gemoet fiende, fal ick eyndigen met UEdt te verfeeckeren, dat ick met alle refpeét blijve Wel Edele Heer UEdts ootmoedige Dienaar B. DE VoLpDER. Leyden, den 6 April 1693. Hiernevens gaat de quitantie van mons.f VAN DER AA). Aan de WelEdele Heer Mijn Heer CarisriAAN HuïijcENs Heer van Zelüm etc. etc. int Noortende in de Crabbe in den Haagh. 2) Consultez la Lettre N°. 2455, note 10, et la pièce N°. 2519 à la page 274. 3) Très probablement, le libraire cité dans la note 3 de la Lettre N°. 2534. CORRESPONDANCE. 1693. 437 N° 28o1. CHrisTiaAAN HuycEns au Marquis DE L'HospiTaL. 9 AVRIL 1693. La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle à été publiée par P. J. Uylenbroek*). La lettre est la réponse au No. 2787. De PHospital y répondit par le No. 2805. Sommaire: Qu'il verra ce que j'ay fait imprimer. Ce qu’il appelle manieres diff. Leïbnitz point reufi. Rien d’approchant. Sa folution apres 2 mois. L'autre pour la courbe de M. de Beaune, il aura vu la voftre. Vous n'avez rien dit fur mes foutangentes. Je feray bien aife de voir comment vous avez trouvè celle de M. de Beaune. la 2de conftr. meilleure. Leïbnitz de la chaine, fe vante mal a propos. j'ay de grands doutes s’il a trouvè la con- ftruction. Nous n’avons encore. pu avoir le traitè de Newton. Series. On refoudra ce qui tombe dans certaines formules ? Methode de Roberval par le mouvement. Quadratrice. Homme de la baguette tefte parlante. Eclufe du Duc de Roanes. Voile de Bernouilli. Contraire a ce que fon frere avoit dit *). A la Haye ce 9 Avril 1693. Vous ne pouvez douter, Monfieur, que voftre quadrature generale de la Feuille de Mr. Defcartes ne foit vraie, et qu’elle ne s’accorde avec ce que j ’en avois trouvé3). Il paroit que cette invention avoit quelque difiicultè puis que Mr. Leibnitz n’a feu en venir à bout, car luy aïant ecrit la mefme chofe qu’à vous #), touchant la quadrature particuliere, il ne m’a fait refponfe qu’apres deux mois) et d'avantage, contre ce qu'il a accoutumè, et en fin il m'envoie une Qua- drature, qui n’a rien d’approchant de la veritable, ce qui m’a paru bien etrange. Comme cette ligne (dit il) ef d'une nature fi imple, et que les coordonnees y [ont homoeoptotes comme dans le cercle, j'ay auffi voulu tafcher fi j'en pourrois trouver 1) # Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, pag. 254. Ainsi qu’il résulte d’une annotation que l’on rencontrera dans l’Appendice à la Lettre de Huygens à de l’'Hospital du 5 novembre 1693, il s’agit ici d’une allusion à un article de Jean Bernoulli, paru dans le Journal des Sçavans du 28 avril 1692, sous le titre: , Solution du pro- blème de la courbure que fait une voile enflée par le vent. Par Monsieur Bernoulli, frère du professeur à Bâle”. Dans cet article, Jean Bernoulli annonçait avoir trouvé que la courbure de la voile est celle de la chaînette, sans y apporter la distinction pour les différentes parties dé la voile, mentionnée dans la note 33 de la Lettre N°. 2693. Voir la pièce N°. 2782. Voir la Lettre N°.2785 à Leibniz vers la fin et la Lettre N°. 2777 à de l’Hospital à la page 357. Voir la Lettre N°. 2797 et consulter, pour ce qui va suivre, la petite figure de la page 429, reproduite par Huygens dans sa lettre. 438 CORRESPONDANCE. 1693. la quadrature, Le j'en a enfin trouvè cette confiruËtion generale: que le triligne ABCD A eff à z ny—x xx comme le quarrè de Pablcile x ou AB ef} au quarrè de l'ordonnée y je BC. Ce qui eft faux). Je vois pourtant, pendant que j’ecris : FÉRT y 4 ET 48 L cecy, que s’il avoit mis 3 #y—X xx—} 7 7), il aurait dit vray, et qu’il pourra dire que le dernier terme a eftè oubliè par megarde. Mais s’il n’y a pas eu d’erreur de fon coftè, comment n’a-t-il pas rencontrè la fimple expreffion de ce triligne & x) — 22, ou bien 2 pour le fegment ADC, puis que je lui avois mandè que les fegmens s’exprimoient par un feul terme? I] trouvera ce qui en eft dans le journal de Mr. de Beauval®), qui a paru le mois dernier, ou j’ay fait inferer cette quadrature, en adjoutant que vous l’aiez trouvée de mefme. J’y ay auffi fait mettre voftre conftruétion pour la dimenfion de la Ligne Logarithmique et la miene pour la Chainette, avec les proprietez d’une certaine quadrature de l’hyper- bole. Je fcay que ces livrets de Mr. de Beauval font d’abord envoiez à Paris, autrement j’enfermerois icy les feuillets que ces chofes y occupent. Je ne doute point, que vous n’aiez la mefme methode dont je me fuis fervi pour la dimenfon de la Feuille, mais je fouhaiterois de fcavoir fi ce que vous appelez trois manieres differentes font autant de differentes methodes. Voicy encore ce que m’efcrit Mr. Leibnitz®): Quant à la Courbe de Mr. de Beaune, dont la outangentielle e — 2 je l'ay voulu confiderer pre entement, parce qu’elle 8 é] P Parce: qu ef? fimple, et je Has qu’elle depend de la Courbe des Logarithmes en telle façon que le Logarithme eftant y, x [era la difference entre le logarithme et la Jubnumerale. j'appelle ici fou[numerale z, fuppolè que le nombre du Logarithme ef} le quotient d'a divifè par a —2. Cela eft exprimè affez obfcurement. Il devoit dire aa divifé par 4—2, alors je trouve que fa conftruétion s’accorderoit avec voftre feconde ‘°), et FA feroit fa fubnumerale **), que je ne fcay pas pourquoy il 5) Voir la note 6 de la Lettre N°. 2797. 7) La page 1 du Livre J nous renseigne sur la manière dont cette expression a été obtenue par Huygens. Partant de la formule correcte 9% mx" pour l'aire ADCB, il trouve mis —_ , È HS 2 2 I x "Ÿ + gmx ? pour la valeur de l'expression qui doit remplacer le terme = m— x de la proportion indiquée par Leibniz. Ecrivant cette expression sous la forme é x Er DE : x3, Huygens y remplace ensuite y3 par sa valeur xy7—x3, obtenue à l’aide de l’équation de la courbe et arrive ainsi facilement à l expression mentionnée dans le texte. $) Voir la pièce N°. 2793. 9) Voir la Lettre N°. 2797. "°) Voir la Lettre N°. 2787 à la page 393. Huygens reproduit ici la figure de la page 392, se rap- portant à cette construction. CORRESPONDANCE. 1693. 439 nomme ainfi, mais on peut douter s’il n’a pas formè cette conftruétion fur voftre premiere, qui eft depuis le mois de Sept. de l’année paflée dans le soprbesr des Scavans '?). Mons:r Leibnitz eft affurement tres habile, mais il a avec cela une envie immoderée de paroïftre, comme cela fe voit encore dans le 13e Journal de la mefme annee #3) lorfqu’il parle de fon Analyfe des infinis; du Probleme des Loxodromies, que Jac. Gregorius avoit refolu longtemps devant luy dans fes Exercitations Geometriques 4): des loix Harmoniques des mouvemenits Plane- taires, où il a fuivi l’invention de Mr. Newton, mais en y meflant fes penfees qui la gaftenc *5): de fa conftruétion de la Chainette qu’il veut preferer à celle de Mr. Bernouilly *), comme fi ce n’eftoit pas la mefme chofe de reduire cette con- ftruétion à la dimenfion de la ligne Parabolique, ou à la quadrature de l’hyperbole, ou à la defcription de la Logarithmique. Et encor fuis je fort en doute pour des té En effet, posant dans la figure de de l’Hospital, mentionnée dans la note précédente, GA—4%,AC— x, hop AF—3, on a par construction :x==FC—2—EB—2—EF—3 —=7y—#2, et de même, d’après la propriété principale de la Logarithmique, y—EF— —AGI1 ==" ME; équations identiques avec celles de la note 5 de la Lettre N°. 27097. 1?) Voir l’article cité dans la note 2 de la Lettre N°. 2787. *3) Voir l’article de Leibniz qui parut dans le Journal des Scavans du Lundi 31 mars 1692 sous lé titre : ,,De la Chainette : ou solution d’un probléme fameux proposé par Galilei, pour servir d’essai d’une nouvelle analise des infinis, avec son usage pour les logarithmes, & une appli- cation à l'avancement de la Navigation. Par Mr. de Leibniz”. #4) Consultez la Lettre N°. 2700, note 12. 75) Consultez, dans les Lettres Nos. 2561, 2751, 2759, 2766, 2785, et 2797, les discussions entre Huygens et Leibniz au sujet des tourbillons Cartésiens. 16) Voici comment Leibniz s’exprime, dans l’article cité dans la note 13, surlessolutions diverses du problème de la chaînette mentionnées dans la note 1 de la pièce N°. 2681: ,,De ceux qui ont employé d’autres methodes [que la nouvelle analyse des infinis], on ne obéit que Mon- sieur Huygens qui ait réussi. Il est vrai qu’il suppose la quadrature d’une certaine figure. Du reste en ce qui estoit commun aux solutions ou remarques sur cette ligne, il s’est trouvé un parfait accord, quoy qu'il n’y ait eu aucune communication entres les Auteurs des solutions; ce qui est une marque de la vérité, propre à persuader ceux qui ne peuvent ou ne veulent pas, examiner la chose à fonds. »Par la methode nouvelle le probléme a reçu une parfaite solution, Mr. de Leibniz qui a esté le premier à résoudre ce probléme, l’ayant réduit à la quadrature de l’hyperbole; ce que Mr. Bernoulli a fait aussi ensuite: mais la construction de Monsr. de Leibniz donne enfin le moyen, de marquer autant de points qu’on voudra de la ligne demandée, en supposant une seule proportion une fois pour toutes, & n’employant du reste aucune quadrature ni ex- tension de courbe, mais les seules moyennes, ou troisièmes proportionelles. Et comme c’est tout ce qu’on peut souhaîter pour les problèmes transcendans, il sera bon de donner ici cette construction”. Après quoi Leibniz fait suivre, sans y ajouter quelque chose de nouveau, sa solution du problème de la chaînette avec la description de ses propriétés, telle qu’on la rencontre dans les Acta de Juin r6or, et, en abrégé, dans la Lettre N°. 2688. 440 CORRESPONDANCE. 1693. raifons que je pourrois alleguer *7) s’il n’a pas tirè fa conftruétion de celle de Mr. -Bernoully. Mais je vous prie de ne tefmoïigner rien de cecy. Vous m'obligerez fort, en me communiquant la maniere dont vous eftes par- venu à la conftruétion de cette Courbe de Mr. de Beaune, où je m’attens de voir quelque chofe de fort beau. Vous ne m'avez rien refpondu touchant les 2 foutangentes :*) que je vous avois propofées; eft ce que vous trouvez l’invention de leur courbes trop aifée ou trop difficile ? La methode des Tangentes de M. de Roberval, eftoit fondée fur les mouve- ments et les interfections d’autres lignes, dont on concevoit que les courbes eftoient produites, par où je me fouviens d’avoir trouvè autrefois la tangente de la Quadratrice de Dinoftrate ‘? et de plufieurs autres courbes, et cela fans calcul. Nous n’avons pas encore pu avoir icy le Trairè de Mr. Newton, que vous fou- haitez tant de voir. Mais a ce qu’un de fes amis m’a fait entendre de fa methode *°), on n’y trouvera la folution du Probleme renverfè des Tangentes ni de celuy des quadratures que quand l’expreflion de la foutangente ou l’Equation de la Courbe fe reduifent à de certaines formules. Il s’y fert des feries infinies qui vienent par divifion, et en tire pourtant la quadrature determinée, quand elle eft poflible. Mr. Leibnitz me mande **) qu’il fe fert aufli quelquefois de ces feries, mais feulement pour aller à des approximations, ce que je n’eftime pas beaucoup. Toutefois pour trouver la courbe ex data quantitate fubrangentis, il dit °°) qu’il voit le moyend”y 17) Consultez sur ces raisons le postscriptum de la Lettre N°. 2695, la réponse de Leïbniz, notre N°. 2699, et la Lettre N°. 2729 à la page 184. 18) Voir, dans la Lettre N°. 2777, les deux expressions dont il est traité dans la note 30 de cette lettre. 19) La courbe 240 =#r sin 0 (en coordonnées polaires), dont l’ordonnée r sin 4 est propor- tionelle à l’angle polaire. Dans le livre A des Adversaria, on trouve, sous la date du 6novembre 1659 la construction suivante: ABC est quadratrice linea. B punctum in ea datum. Oportet ducere tangentem in B. Centro D sctibatur arcus BE et ducatur quaeeam B tangat recta BF, in qua sumatur BF aequalis arcui BE; potest autem F hujus longitudo ope quadratricis facile inveniri; deinde ex F ducatur FG quae sit super FB perpendicularis, et occurrat rectae DE in G : unde ducatur GB. Dico hanc esse tangentem quadratricis quae- GEC D sitam. Il est clair, en effet, que cette construction se déduit facilement par la méthode de de Roberval, puisque d’après celle-ci les projections de la vitesse du point B sur AD et sur BF doivent être dans la proportion de l’ordonnée à l’arc BE. 2°) Sans doute Fatio de Duillier, par des entretiens pendant son séjour à la Haye de février à septembre 1691, ainsi que par ses Lettres Nos, 2739 et 2745. 21) Voir la Lettre N°. 2797 à la page 430. 22) Voir la même Lettre N°. 2797 à commencer par les dernières lignes de la page 428. CORRESPONDANCE. 1693. 441 reuflir cousjours, quand la Ligne eft ordinaire, mais qu’il n’a pas encore la patience ni le loifir de meftre en eftat tout ce qu’il faut pour pratiquer cette methode. Une + x) . à de vos deux foutangentes eft marquée a > je crois que vous avez voulu efcrire DT. Je fuis bien aife d’eftre defabufè touchant la tefte parlante. J’efpere de l’eftre de mefme pour ce qui eft de l’homme a la baguette, dont j’apprens qu’on com- mence de decouvrir la fineffe. Vous me ferez grand plaifir, Monfieur, de me man- der ce que vous en fcavez. Cette impofture fera bien remarquable apres tant d’atteftations et de pretendues epreuves. Il y a deux ans ou d’avantage qu’un Ingenieur m’a parlè d’une invention de porte d’Eclufe, qu’on ouvroit en la couchant au fond de l’eau; c’eft-à-dire qui tournoit aiant fon coftè immobile dans ce fond et couchè horizontalement, ce que je trouvay bien imaginè pour plus d’une raifon. Il me dit qu’elle luy avoit eftè propofée par un François qui pafloit par icy. Peut-eftre c’eft celle dont le memoire de Mr. le Duc de Roanés raporte les avantages. J’avoue pourtant que j’y trouve quelques chofes que je ne comprens pas. Je n’ay jamais oui dire qu’on fift des eclufes qui ne fuffent pas doubles avec un baflin entre deux, comme font celles entre Bruxelles et Anvers, et par tout icy en noftre pais. Et il me femble que fans cela il doit y avoir une grande perte d’eau pour chaque batteau qui paffe feul, et beaucoup de peine à tirer les bateaux contre le courant, qui ne laifera pas d’eftre fort vifte avec les 3 pieds de pente fur 150 toifes. Je n’entens pas aufli ce qui eft dit de la facilirè d'ouvrir et fermer cette Eclufe, quand il y a 6 pieds d’eau d’un coftè et rien de l’autre, fi ce n’eft qu’on hauffe premierement un panneau perpen- diculaire, qui en faifant une ouverture dans la porte, donne moien à l’eau de baiffer beaucoup, pour ouurir en fuite la porte entiere en la couchant à travers l’eau qui refte en beaucoup moindre hauteur. Je fupplie tres humblement Mr. le Duc de me donner quelque eclairciflement fur ces chofes et qu’il me faffe à peu pres comprendre l’invention devant que d’exiger mon approbation. C’eft beaucoup d’en avoir fait quelque effay, car on ne fcauroit croire com- ment l’experience fait fouvent decouvrir d’inconvenients que l’on n’a pu pre- voir. Je vous demande pardon de la longueur de mes lettres et demeure avec refpet, etc. Œuvres. T. X. 56 0 442 CORRESPONDANCE. 1693. N° 2802. CHRISTIAAN HuyGENSs à B. DE VOLDER. 19 AVRIL 1693. La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens. La lettre est la réponse au No. 2800. De Prof. DE VoLDER. Haghe den 19 Apr. 1693. Mijn Heer Uïjt UE, fchrijvens van den 6 defer hebbe met leerwefen verftaen UE Indis- pofitie, en ben federt het ontvangen deffelfs mede vrij quaelyck daer aen geweeft, hebbende eenighe daghen plat te bedde gelegen van een fluxie op de heup met veel pijn. Sonder ’t welck niet foo langh foude geweeft fijn fonder UE te ant- woorden. UE heeft mij vriendfchap gedaen, van fijn dubia voor te ftellen aen- gaende de conclufie in fijn advis aen de Hr. Bewinthebberen te nemen. En ick hadde oock bij mij felfs al gedacht nae ’t afsenden van min brief dat UE in eenighe twijffelingh daer ontrent foude wefen, om dat ick fcheen te willen fufti- neren dat door defe laetfte proef meerder geavanceert was in ’t bewijs mijner Lenghtevindingh als UE miffchien konde konnen toe ftaen. Daer om hebbe ick nu min pretenfie naerder geexpliceert en foo mij dunckt niet te hoogh geftelt, in den brief hier ingefloten *) dewelcke UE in plaets van de voorgaende ?) fal konnen aen de H. Bew. overfenden, nevens UE advis en de verdere ftucken op dat haer Ed. fien mogen dat ick UE cenfure en aenmerckingen geenfins regen en fpreecke. Ick bidde UE dat fulx hoe eer hoe liever moghe gefchieden, dewijl het nu al langh is dat ick aen de H. Bew. ”t felve hebbe doen verwachten. Ick blijve naer excufe van al de moeyte die UE. geve Min Heer UE. ootmoedige dr. 1) Voir l’Appendice N°. 2803. ?) Voir la Lettre N°. 2798. CORRESPONDANCE. 1693. 443 N° 2803. CHRisTIAAN HuyGEns à B. DE VOoLDER. [19] Avriz 1693. Appendice au No. 2802. La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens. Haghe den ... Apr. 1693. Min Heer Ick bedanck UE. nochmaels van UE gedaene Correctie in mijn Rekening, en UE vorderene aenmerckingen die in dat tegenwoordigh Examen der genomene Proeve van Lengdemetingh feer confiderabel fijn *). Evenwel foo blijft dit feecker dat volgens de Obfervatien van M. de Graat (fijn mifrekeningen verbetert fijnde*), en mijne Inftruétie fimpelijck naegekomen) de Lengde tuffchen S. Jago en de Caep de B. Efp.e van feer nac 48 gr. door het horologie is afgemeten, en dat dit met de Caerten van Viffcher en Blaeuw 3) feer wel overeenkomt. Mijn abuijs in ’t pointeren van eenighe Lenghdens van ”t fchip en beletten niet, gelijck UE weet, dat die conclufie waer zij, alhoewel dit abuijs bij mij geredreffeert fijnde in de nevens gaende Caert, de cours nu veel naeder aen de Cuft van Brafilien komt te vallen dan ick gemeent hadde. Dit tot hier toe kan UE. foo ick geloof aen de Heeren Bewinthebberen verfeeckeren waer te fijn. Dat men nu hier uijt foude konnen befluyten de perfectie defer Lengde metingh genoegfaem gedemonftreert te fijn, of naerder als door de voorgaende proef van A°.1687+) wilick niet pretenderen want niet alleen UE remarque ontrent de ver- anderlycke daghelyckfche verachtering van thorologie van S. Jago waergenomen, en laet fulx niet toe, maer oock de onfekerheijdt der ftellinge van Lengden in de Caerten foude fulk befluyt cwijffelachtigh maecken al hadde het horologie noch foo wel gegaen. en fal altydt foo doen behalven als men gelegentheijdt heeft om de Lengde van 2 felfde plaetfen, op de heen en weerreys te meten, of dat het Lengde-verfchil door feeckere obfervatie aen de omloopers van Jupiter geobfer- veert Zij. Het is mij genoegh dat men fien fal uyt UE en mijne aenmerckingen dat, (felfs niet tegenftaende de voorsz. onfekerheden) het horologie veel beter effect gedaen heeft op de reys van S. Jago naer de Caep als het volgens de verkeerde rekening van de Graef fcheen gedaen te hebben: En dat het voorts onfchuldigh is aan de groote PRFEN AOF IENeNRs die hij op de weerreys bevonden heeft. welcke twee 1) Comparez la Lettre N°. 2798. 2) Voir la Lettre N°. 2786. 3) La carte ,,Africae nova descriptio auct. Guil. Blaeuw”” du célèbre Atlas de Blaeuw. 4) Voir, sur les résultats de cette expérience de 1687, la pièce N°. 2519. 444 CORRESPONDANCE. 1693. pointen aen de Heeren Bewinth.en geconfirmeert fijnde, haer Ed. min quaede opinie fullen doen hebben als het raport van gemelte de Graef 5) haer gegeven hadde aengaende het meten der Lengde door dufdanigh middel, voornaementlijck als men iets veel beters als de Pendulen aen haer Ed. fal voordraegen °). Ick blijve nae hartelijcke groetenis . N° 2804. “ J. G. STEIGERTHAL à CHRISTIAAN HuYGENs. [AVRIL 1693] *). La pièce se trouve à Leiden, coll. Huygens. Chr. Huygens y répondit par une lettre datée du-19 novembre 1693. 4) p. 6 2) fit z d > pr Çuer trilinei OBC, BO fuppoñito © y AO > £ OC ODw x. Per Theor. Barov. AO O > duplo area BOC ££ 07 by quae aequatio curvam exprimit BA, cum BO communis intercepta tam curvae BC quam curvae AB. AO autem fuppoñita applicata æ 6. _ 6) Voir, sur ce rapport, la Lettre N°. 2773. Voir la Lettre N°. 2706, note 5, à la page 425. à. 5) Cette pièce contient des remarques de Steigerthal à propos de l’ouvrage de Hubertus Hui- ghens, intitulé:,, Adversiones quaedam circa proportionem quam ad rectilineas habent figurae curvilineae” et dont il est question dans la note 1 de la Lettre N°. 2730. Elle doit avoirété accompagnée d’une lettre de Steigerthal, qui nous manque, et qui a été reçue par Huygens le 15 mai 1693, comme il paraît si l’on combine la réponse de Huygens avec une annotation que l’on rencontre sous cette date dans le livre J des Adversaria et qui commence par la phrase: ,,D. Alberti medecin de l’Electeur de Hannover m’apporta des lettres de Mr. Stei- gerthal, de Venise”. Cette première remarque de Steigerthal se rapporte à l’exemple 1 de Hubertus Huighens, que l’on trouve dans la note 2 de la Lettre N°. 2735. Pour le montrer, il suffira de rappeler que dans la note citée la notation de Christiaan Huygens a été suivie. Ainsi, pour se confor- mer à celle de Hubertus, employée ici par Steigerthal, on doit remplacer respectivement les x et z de la note par y et x. Le problème, résolu ici par Steigerthal, consiste donc à trouver la courbe OBC dont l'aire est exprimée par 42y —= 437 : (b?+ by). À cet effet, il commence par construire la courbe AB, pour laquelle } AO?—4 &7—4y—437 :(b?+ by); puis il calcule la sousnormale de cette courbe, qui, d’après le théorème de Barrow, sur lequel on peut consulter la note 8 de la Lettre N°. 2721, doit être égale à l’ordonnée OC — x de la courbe cherchée. Comme on le voit,sa méthode est identique avec celle de Huygens, exposée dans le $ I de la pièce N°. 2736. CORRESPONDANCE. 1693. 445 Quapropter facile per methodum Slufii tangens et fubnormalis OD inquiritur, quae cum aequalis fit OC, expunéto é£ aequationem fubminiftrat ad curvam BC velut ne LS A4 Subnormalis 2 ? - Es + 3) 5 x unde 45 — 1 b£€ 5 bbx + byx vel quia € _245ÿ si by. + : bb+by per bb : 43% bbx + 2byx + yyx. 2 bbx + by, faétaq. reduétione, omnibufque divifis 4 3 î aÿ° 5 8 Ÿ Ita m. p. 9. #) loco y5 + ay etc. 5) fcribo 4ÿ >» ou g: © unde 24ÿ3 00 — ayÈt + hé -— V6 et ad rangentem inquirendam 64y°# + tte eo) 20 2h EE — 2ay£Ë — 24° 8€); tx fubtangenti pofito fubnormalis itaq. OD Line vel quia & 50 24. 34° + aa so bhx — ayx —°x?). erit ob #) Steigerthalii [Chriftiaan Huygens]. #) dicebat7) hunc calculum fuum non in omnibus confentire cum eo quem tradit Huyghenius Zelandus *) [Chriftiaan Huygens]. d£ 3) La sousnormale OD=iT s'obtient facilement sous cette forme par la différentiation de l’équation 276? + hit 243y= 0 de la courbe BA. #) Comparez, sur ce qui va suivre et qui constitue la seconde remarque de Steigerthal, la pièce N°. 2737, qui contient les remarques de Huygens sur la même page 9 du livre de Hubertus Huighens. 5) C'est-à-dire y5-4yy—byy—y3. Voir le commencement de la pièce citée dans la note précédente. 5) Formule fautive. Steigerthal doit l’avoir obtenue par un ms quelconque revenant à différentier l’équation qui précède, et à remplacer ensuite L2 ge Par 1, mais, ce faisant, il a traité y comme une constante, tandis qu’il est clair qu’il aurait dû introduire /y—xdy : 4, auquel cas il aurait obtenu l’équation finale de la présente pièce sous la forme correcte: 34ÿ° + ayx = — aay + 2bxy — 3xyy, trouvée par Hubertus Huighens, et déduite à sa manière par Christiaan Huygens dans la pièce N°. 2737. 7) Dans la Lettre que nous ne connaissons pas et qui doit avoir accompagné la présente pièce. 8) C'était, on le voit par la note 6, la faute de Steigerthal, comme Huygens le supposait dans sa réponse du 19 novembre 1693. 446 CORRESPONDANCE. 1693. N° 2805. LE Marquis DE L'HospiTAL à CHRISTIAAN HUYGENs. 12 MAI 1693. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle a été publiée par P. J. Uylenbrock”*). Elle est la réponse au No. 2801. Chr. Huygens y répondit par le No. 2806. Je crois que vous ne ferez pas faché, Monfieur, de voir ici la regle dont je me fuis ferui pour refoudre les queftions, que vous m’auez propofées *) qui regar- dent la methode inuerfe des tangentes, et d’autant plus que vous m’auez marqué en auoir quelque curiofité. re, queftion. On demande la nature de la courbe, dont la foutangente eft ox), c’eft-à-dire en termes differentiels ydx — 2x4y — 1. Toute la difi- “ culté fe reduit maintenant à diminuer le nombre des termes de cette equation afin de paruenir à vne qui n’en ait que deux, et que l’on poura par confequent con- ftruire foit en prenant les fommes, foit en fuppofant les quadratures. Je fuppofe donc pour reduire les deux termes y#x et 2x4y en vn feul, x — #y°, ce qui donne dx = 2mydy + yydm, et mettant à la place de x et de 4x leurs valeurs dans la re, equation on trouue 2#yydy + y5 dm — 2myydy — ne, qui fe reduit à d’ mi 2mdm = — CE et prenant de part et d’autre les fommes il vient ##— 1y-2+4 (ou l’on doit remarquer que j’aioutte ou retranche vne quantité conftante 4, parce qu’autrement la courbe deuiendroit vne ligne droite) c’eft a dire en mettant pour mm fa valeur xxy—4, et ordonnant l’egalité 274xx — aayy + 2y4*), qui eft l’equation qui exprime la nature de la courbe cherchée. La quadrature de l’efpace curviligne fe trouve ainfi,ona xx bn der à et partant xdy=— LATEST] 244 aV 2 dont la fomme (ea 292) 47 F299 qonne la quadrature du complement de F 641 2 l’efpace curuiligne 3). 1) Chr. Hugenii Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, p. 259. 2?) Voir, sur ces questions, la Lettre N°. 2768 à la page 328 et la réponse de de l’Hospital notre N°. 2775 à la page 345. 3) C’est-à-dire, du moins au cas —2y#, de l’aire ECD dont il est question dans la Lettre N°.2775 àla page 345. Pour le cas + 234 consultez la note 12 de la même Lettre N°. 2775. Dans ce cas il n’y pas d’,,espace” qu’on saurait considérer comme un ,,complement”. CORRESPONDANCE. 1693. 447 ; : x 2e, queftion. On demande la courbe qui a pour foutangente 2x + » cette queftion fe refout de la mefme maniere que la precedente. 3e. queftion. Il faut trouuer la courbe qui a pour equation differentielle aaxdy = 3aaydx — 2xyydx + 2xxydy, ou divifant par 44, afin de donner vne 2XYYAX + 2xxYdy RE reduire les deux termes x4y et 3ydx en vn feul, et j’ay dy = 3mxxdx + x5 dm ce qui donne, en fubftituant ces deux valeurs, 3»1x54x + x*4m — 3mx3dx _ 2mmaxTdx + Éémmax’dx + omxŸdm aa forme conuenable, x dy — 3y4x — 9 . Je fuppofe y —#x3, pour 5), qui fe reduit à m4x = — 4 xdm + es aadm 4mx , et ainfi l’equation propofée, qui etoit de quatre termes fe trouue reduite à vne de crois fur laquelle j’applique de nouueau la regle en fuppofant x — #m—4 et partant dx = — £mmè dm+m—tdn, ce qui donne par la fubftitution anSdn = a4dm, er prenant les fommes n4— 44m ou bien en aiouttant ou retran- chant vne quantité conftante, #4 = 44m + 4, fubftituant enfin dans ces deux der- nieres equations à la place de # et de " leurs valeurs xw4 et yx—3, on trouve XV = 40, et YyX — day F X5— 0, qui font les equations qui expriment la nature des courbes cherchées. Jl arriuc quelque fois que l’equation differentielle ne peut eftre reduite à vn moindre nombre de termes par cette regle, foit parce qu’elle n’a pas vne forme conuenable, foit parce qu’en diminuant le nombre des termes d’vn coté on l’augmente de l’autre, de forte qu’on n’eft pas plus auancé qu’auparauant. Il faut auoir recours alors à quelque adreffe particuliere ce qui fe comprendra mieux par un exemple. Soit propofée l’equation differentielle %) #xy4x + aaxdx+x34x — = 4%dy + axxdy?). Si l’on diuifoit par 4x, on pouroit reduire les termes y4x et xdy en vn feul, mais parce que la mefme fuppofition augmente d’vn terme les autres, je prends plufieurs termes pour vn feul en fuppofant 44 + xx = 4m, ce +) Lisez —2xxy4y. S) Lisez : —C2mmatdx—6mmx? dx —2mxtdm) : aa. $) A la page 17 du livre J Huygens essaie d'appliquer la méthode de Fatio à l'équation difré- rentielle qui suit dans le texte. Il trouve x-3—#y# pour le transformateur” (voir, sur ce mot, sa Lettre à de l’Hospital du 23 juillet 1693) des , termes correspondants” #xydx et —4x°4y; mais la multiplication de l’équation par ce transformateur rend ,,impur” l’un ou l’autre des termes ,, purs” 4°x4x, x°dx et —434y, quelle que soit la valeur qu’on assigne à l’exposant #, et Huygens en conclut: ,Ergo haec aequ°. differentialis non solvitur methodo Fat. Hoc est hujus subtangentis non invenitur per eam curva. Quam Hospitalius invenit esse vel ay—4x + xx quae est parabola, vel 4y— 44 + xx F aV//aa+xx, quae est composita ex parabolae et hyperbolae applicatis”. 448 - CORRESPONDANCE. 1693. qui change l’equation en celle-ci #4y = x: ydm + 1 mdm qui n’a que trois ter- mes, et fur laqu’elle s’applique la regle en fuppofant y — #1? ce qui la reduit a dn = ; m3 dm, dont les fommes font #— #3 où #—= mi + 4, fubfticuant enfin 4a + XX a a la place de # et de # leurs valeurs ym— et je trouue 4y = 44 + xx et 4y= 44 + xx F a |/ aa+xx, d'ou je connois que la courbe peut eftre vne parabole ou vne ligne plus compofée. Cette regle peut aufli feruir lorfque les cour- bes font mecaniques. Soit propofée par exemple de decrire la courbe qui a pour foutangente x + y. L’equation differentielle fera y4x — xdy + ydy, et fuppofant x—my7), on aura, apres les fubftitutions faites, zdy — ydm, qui eft vne equation a la logarithmique, d’ou l’on tire cette conftruétion ‘). Soit vne logarithmique quelconque ABC qui a pour afymptote la droite DF fur la qu’elle foit abbaiffée libre- ment la perpendiculaire in- definie DAI, qui rencontre la logarithmique au point À, foit mené DM parallele à vne tangente quelconque BL et qui coupe en M l'or- donnée BF qui part du point couchant B, et ayant pris DG=FM, foit acheué le rectangle FH, je dis que le point H fera à la courbe requife*). Car ayant mené la touchante HE on aura DE = GH. Pour auoir la quadrature de cette courbe y4x = xdy+Yy4dy, on aiouftera de part et d’autre ydx et on aura 2y4x = xdy + ydx + ydy, d’ou il fuit que la fomme des 2y4x, c’eft a dire le double de l’efpace ADGH ?) —xy + 4yy°). 7) Lisez plûtot : 4x — "7. #) En effet, posant GD —x, GH=—7, DF=# et 4 pour la soustangente de la logarithmique, on a par la propriété bien connue de la logarithmique 7 P—8, donc 4dy —ydm; de même, par construction, x=GD=—MF—BF XDF : 4—my:4, d’où il suit que la courbe des points H satisfait aux équations mentionnées dans l’alinéa précédent. On remarquera que la ligne AD, laissée indéterminée par de l’Hospital, et non pas la sous- tangente constante 4 de la logarithmique, fonctionne comme constante d’intégration, puis- qu’on trouvera pour l’équation de la courbe x —#1 à5 d’où cette soustangente a disparu. 9) Puisque cet espace doit s’annuler pour x—0, y—AD, on doit remplacer l'expression qui va suivre par xy + = f— = AD*. CORRESPONDANCE. 1693. 449 : On demande la courbe qui a pour foutangente NS + qui eft celle de Mr. de Beaune, L’equation differentielle fera 44x —ydy — xdy, et fuppofant y—x— 2, axdz AMM dont les appliquées MC font exprimées par z, et les coupées AC par x, depend de la quadrature de l’hyperbole, mais comme on a fup- pofé y—2+2x, il faut prolonger CM en B, en forte que MB = AC, et le point B fera à la courbe cher: chée'°), Je referue à la 1re fois à vous enuoyer la rectification d’vne por- tion quelconque de cette courbe :*) qui eft affurement plus difficile que celle de la logarithmique comme vous l’eprouuerez,, fi vous vous donnez la peine d’y penfer. Vous me ferez plaifir de me faire part des regles que vous auez pour l’inuerfe des tangentes. Au refte je n’ay pû refoudre vos deux courbes evil y a apparence qu’elles fe reduifent à des quadratures fort compofées **), fi vous en fauez la refolution, mandez le moi et ie m’y appliquerai avec plus de foin. on trouue apres les fubfticutions faîtes z4x — ; d’ou l’on voit que la courbe 19°) A la page 15 du livre J cette solution du problème de de Beaune est interprétée par Huygens à sa manière géométrique. Il y construit l’hyperbole 10=—#3 : (4-2) et indique l’aire hyperbolique à laquelle on doit égaler lerectangle 4x, ou # X AC, pour obtenir un point M de la courbe AMM, pour laquelle MC — 3; ce qui conduit à la première des deux construc- tions communiquées par de l’Hospital dans la Lettre N°. 2787. 11) Il n’en est plus question dans la suite de la correspondance. 12) Comme MM. W. Kapteyn, Besouclein et H. Brocard, l’ont fait remarquer dans l’,,Inter- médiaire des mathématiciens” du: mois de juillet 1903, T; X, p. 198, la première des deux équations différentielles dont il s’agit ici et dont il est traité dans la note 30 de la Lettre N°. 5777, n’est pas inaccessible même à une analyse assez élémentaire, admettant une inté- grale générale relativement simple; tandis que celle de la seconde, quoiqu’elle soit réductible aux quadratures, est bien plus compliquée. Ainsi, dans la première, qui peut s’écrire: (xy +4?) dy+ (xy—4x + ay)dx=0, la substitution xy—4°=—#x aboutit à la séparation des nouvelles variables # et x; après quoi il est facile d’obtenir l’intégrale générale sous la forme : C RIPAl EE MALE Quant à la seconde, qui s'écrit: x3dy + (2xy°—-34°y—3x3)/x—0o, on y reconnaît fa- Œuvres. T. X. SZ 450 CORRESPONDANCE. 1693. J'ai enfin trouué vn horlogeur appellé l’anglois qui demeure à la place Dauphine, et qui eft le feul que ie fcache qui faffe des montres de l’inuention de Mr. Hautefeüille, quoi qu’elle ne merice en nulle maniere le nom d’inuention puis qu’elle ne confifte qu’à faire les balanciers pleins, mettre le reflort fpiral au deffus qui eft plus fort qu’à l’ordinaire et qui fait plus de tours, et de faire des paletres au balancier plus grandes, cout cela parce que le balancier eft beaucoup plus pefant. JI precend que l’air qui entre dans les balanciers creux doit ofter quelque chofe de leur jufteffe, et d’ailleurs que plus le balancier eft pefant, plus la montre ira iufte. Je vous laiffe à penfer fi cela merite le nom d’inuention, pour moi j’eftime beaucoup plus nos montres ordinaires à grand balancier, et jai mefme fait auouer à cet horlogeur que ces montres n’iroient pas plus iufte que les autres. Jl me paroït qu’elles feront fuiettes à vn grand inconuenient qui eft que la pefanteur du balancier poura faire elargir les trous de la platine dans les- quels entre fon piuot ce qui ofteroicroute la jufteffe. Je vous prie de ne me point nommer car l’horlogeur m’a fait vn grand myftere de tout ceci, et m’a fort prié de n’en point parler, cependant la chofe ne peut eftre longtemps fecrette, puis qu’il uendra, felon les apparences, inceffamment de ces fortes de montres. Je ne vous puis faire de reponce fur le fuiet de Mr. le Duc de Roanez car il eft à la campagne depuis quelque temps, et ie ne manquerai pas à fon rerour de lui dire ce que vous me mandez ‘’}. La longueur de cette lettre m’empefche de vous entretenir fur la baguette, plufieurs de nos philofophes fe font empreffez d’en rendre raifon fans beaucoup aprofondir la uerité du fait, je crois qu’ilen fera comme de la dent d’or d’allemagne. Je fuis tres veritablement MONSIEUR Vôtre tres humble et tres obeiflant feruiteur le M. DE L'HospiTAL. À Paris ce 12€ mai. Nous n’auons point ici les liurets du Sieur de beauval depuis la guerre ainf vous me ferez plaifir Monfieur de m’enuoyer les feuilles que vous me marquez. cilement une équation de Riccati et on peut donc la réduire à une équation linéaire, aussitôt que l’on connaît une solution particulière. Profitant ici de celle de Huygens, indiquée dans la Lettre N°. 2777, note 30, on peut donc poser y= x5(x°—#°)"! +42", après quoi on arrive à l'équation linéaire : de + [3022-34 (xt —42°) 1] zdx—24°x 2 dx =0 que l’on sait ramener aux quadratures. CORRESPONDANCE. 1693. 451 #) Mihi eft 244xx > aayÿy F y*'3) | Chriftiaan Huygens]. »). Cette courbe et la fuivante font celles dont il fait mention dans fa lettre pré- cedente du 12 fevr. 93 *#) [Chriftiaan Huygens]. :) DGeft x, GH eft y, AD > 4 CChriftiaan Huygens]. 4) Imo eft xy + 4yy—2444, quod miror ipfum non advertifle*$) [Chriftiaan Hagen: N° 2806. CHRISTIAAN HuyGEns au Marquis DE L'HosprraL. 20 MAI 1693. La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle à été publiée par P. J. Uylenbroek”). La lettre est la réponse au No. 2805. De l'Hospital y répondit par le No. 2807. A la Haye ce 20 May 1693. Je ne fuis pas encore bien guery, Monfeur d’une maladie, qui m’a fort mal- traitè pendant 3 femaines par des douleurs du coftè du foie et de la bile. Ce qui fait que je n’ofe pas encore examiner tout ce que Vous avez eu la bontè de m’ex- pliquer dans voftre lettre que je reçus avant hier. Cependant je n’ay pas voulu manquer de vous envoier ces feuilles de noftre Journal ?), puis que vous ne les 13) Voir la Lettre N°. 2643 à la page 569. A la page 18 du livre J, Huygens examine encore une fois ses deux solutions et celles de de l’Hospital, qu’il y a marquées À, B, C et D, et s'étonne évidemment du fait que tant de courbes diverses satisfont à la même équation différentielle, puisqu'il ajoute: ,Ex 4 Re curvarum À, B, C, D fit eadem sub- tangens”. 4) Voir la Lettre N°.2787. On trouve en effet pour la soustangente a = de la première courbe (43y— 4x?) : (axy + 4?x x3) et pour celle de la suivante y ? x, OU, si l’on veut, + ay) :3 75) Voir la note 9 de la présente lettre. Huygens suppose AD=—LF—#7. Comparez encore le $ I de l’Appendice à la Lettre N°. 2813. 7) Chr. Hugenïii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, p. 263. ?) Il s’agit de la pièce N°. 2793. 452 CORRESPONDANCE. 1693. avez pas encore vues. Quant aux deux lignes courbes dont je vous avois propofè mb Lio 4 LRU LME GX —XY—4Y GX$ + GAAY—2XYY et fon aequation 44 > 4x —xy, l’autre a x3—xxy + 44y 50 o pour aequation. Ces foutangentes font deguifées #) d’une maniere qu’elles ne tombent point fous les regles que j’ay, et je puis tousjours les deguifer ainfi. Pour les deguifements trai- tables je vous communiqueray avec plaifir ce que je fcay pour les demefler#). J’ay admirè que l’invention de la Courbe de Mr. de Beaune, qui ne tombe point dans mes regles, vous a eftè plus aifée que celle des courbes que je vous ay propofées cy-devant. Tout cela augmente la haute eftime avec la quelle je fuis les foutangentes la premiere eft l’hyperbole, MOoNsIEUR etc. J'ay fongè depuis ma derniere que les 3 manieres differentes 5), dont vous avez crouvè la quadrature de la Feuille, eftoient peut eftre 3 applications d’une mefme methode felon les differentes valeurs de y parce qu'il y a quelque difference à chacune. e o ” : ag. 41 N° 2807. jriukgeal Le. MARQUIS DE, L'Hosprraz à CHRISTIAAN HUYGENS.. .: … . «1 2 JUILLET 1693. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle a été publiée par P. J. Uylenbroek*). Elle est la réponse au No. 2806. Chr. Huygens y répondit par le No. 2810. MONSIEUR C’eftavec bien du chagrin Monfieur que j’ai appris votre indifpofition. J’efpere qu’elle n’aura eu aucune fuite et que vous en ferez à prefent parfaitement gueri. Je vous envoye les crois differentes voyes qui m’ont conduit à la quadrature de 3) Voir la note 30 de la Lettre N°.2777. +) Voir, dans la Lettre N°. 28 10, la description de la méthode de Fatio, L 5) Voir la Lettre N°. 2787, à la page 301. 1) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. [. p. 264, CORRESPONDANCE. 1693. 453 la feuille de Mr. Defcartes, parce que vous me paroiffez en auoir quelque enuie. ire maniere, L’équation à la courbe eft TT x3 + y —= 4x, la differentielle eft 3xx4x + TN La / + 39ydy = axdy + aydx, et multipliant par F y, et mettant a la place de y5 fa valeur . ayydx — 2axydy GAY Te An QUATOUUE TT + tv IÈ4 + Exdy + kydx = ydx, et prenant de part A’ ED et d’autre les fommes on aura la fomme des ydx, c’eft à dire l’efpace ABC =: xy— — 993) 6æ. 2.e maniere, on fuppoferay =" d’ou l’on tire par la fubititution x3 — a5z— a — 245zd2 + 3a°dz ; et prenant les differences 3xxdx = > et partant 25 4 ZXX 4x gt — 24542, 442 ; -, c'eft-à-dire ydx — . et prenant les fommes, celle des a 322 25 yax, c’eft-à-dire l’efpace ABC — se Aa), 1 39 29Y 3e maniere, on change l’equation qui exprime la relation de AB a BC, en vne autre qui exprime celle de AF a FC, et on prend enfuite les fommes. ce que je vous expliqueray plus au long fi vous le fouhoitez. Vous voyez que ces trois ma- nieres dependent d’une mefme methode qui confifte à donner à l’equation une forme telle qu’il y ait d’une part y4x ou xdy et de l’autre des quantités dont on puiffe prendre les fommes. Au refte Monfieur j'ai mille remercimens à vous faire de la maniere obli- geante dont vous parlez de moi dans uos journaux 3). C’eft vn pur effet de vôtre honneftertè que je reconnais ne meriter en aucune façon, Je vous prie de vous reffouuenir de m’enuoyer les regles que vous avez pour l’inuerfe des tangentes et de me croire tres veritablement MONSIEUR Voftre trefhumble et trefobeiflant ferviteur LE M. DE L'HospriTaAL. ?) Résultat correct. 3) Voir la pièce N°. 2793, aux pages 407, 416 et 417. 454 CORRESPONDANCE. 1693. € J'oubliois à vous mander que j’ay trouvé la folution d’un probleme”) que Monfieur Ber- B noulli frere du profeffeur à Bafle vient de pro- pofer publiquement dans les aétes de Leipfic #). A Ce probleme eft tel: La courbe ABC a une proprieté telle, que chacune de fes touchantes BD eft toujours à la partie AD de l’axe prife entre fon origine A et la rencontre D de la touchante, en raifon de p à 4. On demande la nature de cette ligne ou la maniere de la décrire. À paris ce 2 juillet. #) Il a voulu entendre l’efpace NAB et que BN eft y 5) [Chriftiaan Huygens]. }) quelle courbe en vient il? [ Chriftiaan Huygens]. nd 4) Le problème fut posé par Bernoulli à l’occasion de l’article qui parut dans les Acta de mai 1693 sous le titre: ,Solutio problematis Cartesio propositi Dn. de Beaune, exhibita a Joh. Bernoulli Basileensi”, où le problème fut formulé à peu près comme dans le texte de la pré- sente lettre. Seulement au lieu du rapport p à 7,on y trouve N : M. Ensuite Bernoulli ajoute: »Problema hoc solutu dignum est, & facile Mathematicorum applicationem meretur. In quacunque enim ratione sit M ad N, curva ABC semper eadem facilitate motu quodam con- tinuo describi potest, non obstante, quod curva pro ratione M ad N magis vel minus com- posita evadat; in casu quippe rationis aequilitatis illico patet, curvam A BC esse circulum: in reliquis si M ad N est ut numerus ad numerum, erit quidem curva geometrica, secus autem transcendentalis est. Quaeritur generalis determinatio puncti in curva”. 5) En effet, la formule de de l’Hospital est incorrecte quand on l’applique à l'aire ABC'et la cause en est que la valeur de z, c’est-à-dire de #*y : x°, ne s’annule pas avec l’aire ABC quand l’origine A est approchée par la branche CA, puisque par suite de la relation : 4y:x°=1--793:x3 elle y atteint alors la valeur 7. On trouve donc en réalité pour la somme des y/x, qui constitue Pc à I 1 1 L cette aire: 34 371— AZ a —2ax° :3y— xt:2ÿ° — 6” Mais il en est autrement avec l’aire ABN à laquelle, comme Huygens le remarque à la page 39 du livre J, la méthode de de l’Hospital est également applicable,et mène ici à un résultat correct. Après avoir vérifié ce résultat, Huygens ajoute: ,,Ergo recte se habet ipsius quadratura. Sed non convenit si ; : à I B[CTesty. Quaeritur cur hoc? Est enim tunc calculus idem. Superat autem G"4; hoc est toto folio. Fiunt quaedam in hac computatione differentiali quorum ratio occulta est, sed quae cognoscenda esset, quia alias periculum erit ut decipiamur, neque etiam pro demonstra- tionem haberi poterit. Aliquid latet in collectione summarum, nam in casu B[C] est y, deberet esse surnma —x4 : 2yy—- 22xx : 37 — ga”. Consultez encore une note de la Lettre à de l’Hospital du 3 septembre 1693, où l’on verra comment Huygens, par des considérations géométriques, s’est rendu compte enfin de la raison, pourquoi l’addition du terme — 3 aa devient nécessaire dans le cas B[C]=Y. CORRESPONDANCE. 1693. 455 N° 2808. CHRISTIAAN HuyGENs, à ConNsTANTYN HuyGEns, frère. 16 JUILLET 1693. La lettre et la copie se trouvent à Leiden, coll. Huygens. À Hofwijck le 16 Jul. [16]93. Ceux qui ont entrepris une nouvelle Edition du grand Diétionaire de Moreri m'ont fait prier de leur faire avoir quelque memoire touchant la vie de mon Pere *) du quel ils veulent faire un Article dans le volume d’Additions dont ils augmen- rent ce Dictionnaire, parmi d’autres perfonnes Illuftres de noftre pays. J’ay cru qu’il faloit les fatisfaire, parce que cela nous fait honneur, et qu’il vaut mieux que nous reglions cet article, que de permettre qu’ils le dreffent felon leur fantaifie ou fur des informations peu fidelles. J’ay donc conceu la deffus ce que vous verrez dans le papier icy enfermè *) que j’ay voulu vous communiquer parce que la chofe vous regarde comme a nous autres. Le frere de S.te Annelant 3) le trouve bien ainfi. Vous verrez fi vous l’approuvez, ou fi quid habes re@ius illis. Monfieur Baile a Rotterdam travaillant aufli a un grand Diétionaire m’a encore demandé un pareil memoire a qui j’ay remontrè qu’il y paroïftroit de l’affeétation et de la fuperfluitè de publier prefque en mefme temps ce qui regarde noftre famille dans deux dictionnaires differents‘). Mais il ne laiffe pas d’infifter, fouhairant ce memoire pour s’en fervir dans l’occafion. Je ne fcay fi vous avez lu le livre de Burnet #), qui a le titre de Archæologia. On me l’a fait voir, et jy ay trouvè, qu’il foutient bien ouvertement que Moïfe a donnè l’hiftoire de la creation du monde non pas felon la veritè, mais felon la capacitè des Juifs de fon temps. Je vois que le Cardinal de Cufe 5), de qui j’ay les œuvres et qui vivoit quelque temps devant Copernicus, eftoit du mefme fenti- ment (fans s’en expliquer fi clairement pourtant) et qu’il tenoit que la Terre fe *) Voir la Lettre N°. 2790. ?) Voir la pièce N°. 2809. 3) Philips Doublet. +) Thomas Burnet, né en 1635 à Croft en Yorkshire, voyagea dans les Pays-Bas, en France, en Italie et en Allemagne, devint docteur en médecine et médecin du roi Charles II. Après la révolution il fut créé prédicateur de la Cour. [1 mourut le 27 septembre 1715. Huygens parle de son ouvrage: Archaeologiae Philosophicae : sive doctrina antiqua de rerum originibus. libri duo. Londini Typis R. N. Impensis Gualt. Kettilby, ad Insigne Capitis Episcopi in Cœmeterio Paulino, mpcxcur. in-4°. L’épître dédicatoire est signée : »T. Burnetius”. 5) Nicolaus de Cusa, ainsi nommé d’après un village sur la Moselle, où il était né en 1401. I fut créé cardinal en 1448 et mourut le 11 août 1464. Il a laissé plusieurs ouvrages, dont la col- lection a été publiée d’abord en 1514 à Paris, puis en 1565 à Bâle, en trois in-folio. 456 CORRESPONDANCE. 1693. mouvoit, et que les planetes avoient des habitans, fans que je fafche qu’il en ait eftè repris. Cependant je m’eftonne de la hardieffe de Burnet, qui a dediè fon livre au Roy, à qui il fe dit eftre 4 facris. Je ne fcay pas comment je fairay pour avoir raifon de mon receveur de Zeel- hem Adr. Cools, qui contre ce qu’il m’avoit promis l’annee paffée par fes lettres, ne m'envoie point d'argent, ni ne vient point pour compter. Mons.r Feron m’avoit promis de me fervir en cette affaire par le moien de fon frere, qui a quelque employ dans ce quartier de Dieft; c’eft pourquoy je vous prie de luy en dire un mot, a fin qu’il ait la bontè de faire parler à Cools et luy faire entendre que s’il ne fait ce qu’il doit je l’iray trouver pour y mettre ordre. Il n’a pas comptè il y a 6 ans, et le S.r van Aften eftant mort, qui faifoit mes affaires ®), il ne fe foucie de rien. Il eft fafcheux de voir qu’un fripon or de mon revenu pendant que je fuis obligè de vendre mes obligations. —_ o N° 28009. CHRISTIAAN HuycEns à J. LE CLERC"). 16 JUILLET 1693. Appendice au IN°. 2808. Conftantin Huijgens, Seigneur de Zuylichem, Zeelhem &c: naquit à la Haye en Hollande le 4e Sept. 1596. Son pere Chriftian Huygens, eftoit d’une famille noble en Brabant, et fut dés le commencement de la Republique des Provinces Unies aupres du Prince Guillaume d'Orange en qualitè de Secretaire de fes com- mandemens. Apres la mort du quel il fut fait Secretaire du Confeil d’Eftat. Dans les Hiftoires des Pays bas de Reydanus?) et de Hooft 3) eft raporté un exploit qu’il executa heureufement en Angleterre eftant envoiè par le Prince +). Conftantin 5) Voir la Lettre N°. 2715. 1) Voir la Lettre N°. 2790, note 3. 2) Voir, au Supplément du Tome I, la Lettre 3“, note 1, page 551. 3) Nederlandsche Historien, sedert de overdraght der heerschappije van Keizer Karel den Vijfden op Koning Philips zijn zoon, Amsterdam, Elzevier in-f°. Il existe plusieurs éditions de cet ouvrage. Sur P. C. Hooft, voir la Lettre N°. 73, note 6. 4) Le coup audacieux de ravir du palais de l’ambassadeur espagnol à Londres le fils du com- mandant de vaisseau Hoorn. L’enfant y était retenu comme ôtage pour garantir l'exécution d’une entreprise des Espagnols contre Flessingue, à laquelle son père, de connivence avec le Stadhouder, avait feint de se laisser gagner. Le jour même où Hoorn devait conduire dans l’embûche l’ennemi de sa patrie, l’enfant, dont le Prince Guillaume avait garanti la sécurité, fut enlevé par Christiaan Huygens, l’ancien, défendu à main ârmée contre les gens de Men- doza, et conduit en lieu sûr. CORRESPONDANCE. 1693: 457 aeftè Confeiller et Secretaire du Prince Frederic Henry d'Orange, et enfuite, de fon fucceffeur au Gouvernement le Prince Guillaume, pere du Roy de la Grande Bretagne aujourdhuy regnant; aupres de qui fon fils aifnè Conftantin Seigneur de Zuylichem à prefentement le mefme employ. Il:a eftè un des: plus eftimez poetesen la Langue du) pays, et a laiffèrun gros volume de fes œuvres en cette langue, commeaufli des poefies Latines, fous le titre de Momenta Defultoria 5). Il aimoit et entendoit cous les beaux Arts, et entretenoit commerce avec les perfonnes illuftres de fon temps, Heinfius, pere.et fils®), Saumaife, Voflius, Puteanus, Balzac, Corneille, et particulierement avec Mons. des Cartes et le Pere Merfenne. Il fur envoiè a la cour de France en 1661 pour folliciter la refticution de la Principaurè d'Orange de la quelle le Roy Louis XIV s’eftoit mis en poffeflion, et l’obrint a la fin. II mourut en 1687, à l’age de 90 ans 6 mois, eftant Prefident du Confeil du Prince au fervice du quel et de fes predeceffeurs il avoit eftè pendant 62 ans, et ayant ÉRAIARYE l'efprit entier dans une fi grande vieilleffe. = o ils os 53e Ne :126T Où CHRisrraan HuycEns au Marquis DE.L'HospitAL. 23 JUILLET 169 À La leitre se trouve à Leiden, coll. Huygèns… Elléva été publiée par P. J. Uylenbroek *). ; Elle est la réponse au No. 2807. \ De l'Hospital.y, répondit par le No. 28v5." “A. Mr. le Marq. DE L'HosprtaL. [Al Haye ce] 23 juiller 1693. Je fuis demeurè longremps, Monfieur, fans me donner l’honneur de vous ecrire, voiant que voftre lettre du 12 Maj. demandoit de l'application pour, eftre entendue, et ayant befoin de m'en abftenir pour retablir ma fantè. J’avois-donnè 2 ou 3 matinees à examiner cette lettre, quand je reçus l’autre du 2e de ce mois, qui m’a encore de nouveau taillè de la befoigne ?). 5): Conftantini Hvgenii, Equit. Toparchae Zulichemii etc. Principi Auriaco à Confil. et Secretis . Momenta Defultoria. Poematum Libri XI. Edenti Cafpare Barlaeo Lvgd. Batav. Typis Bonaventurae et Abrahami Elzevirii. C1919CXL1v. in-8°. 5) Sur Daniel et Nicolaas Heïinsius, voir la Lettre N°, 14, note 4 (au Supplément du Tome I, p.544) et N°. 278, note 6. ©). Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, p. 266. ?) On trouve les traces de ces examens des Lettres Nos, 2805 et 2807 aux pages.15 à 28 du Œuvres. T. X. 58 458 CORRESPONDANCE; *1693. Il y a tout plein de belles chofes dans ces 2 lettres, mais de la maniere que vous les expliquez, vous m’avez laiffè bien des chofes à dechifrer; comme de trouver la valeur de 4m-quand on a pofè x 20 #yÿy, ou #y, où autre quanticè. Et puis de trouver ces mefmes pofitions artificieufes qui diminuent les termes de l’Equarion differentielle. Je fuis pourtant à la fin venu à bout, ou peu s’en er de l’un#)et de l’autre #), et j’ay achevè 5) l'exemple de la foutangente 2x +. ri en pofant x 2 my°, d'ou vient dx > yydm +2my4dy, comme dans l'exemple de la foutangente 2X— 2 , et, après les fubftitutions, y4y Et et la ligne courbe xxyy + y*— 2 4 livre ] des Advérsaria, dont la page 20 est datée 6 juillet 169b. C'est à ces pages que! nous avons déjà emprunté les notes 6, 10 et 13 de la Lettre N°. 2805. Nous les utiliserons encore pour quelques notes de la présente Lettre et pour l’Appendice N°. 2811, où l’on aperçoit de quelle manière Huygens s’est rendu Compte des sommations que l’on rencontre dans les lettres mentionnées de de l’Hospital. 3) Voici la manière assez détournée par laquelle, Y'la page 20 du livre J, Huygens arrive à la formule : x=— 2mydy + y° dm comme résultat de la différentiation del” à a x=M}, qui se trouveau début de la Lettre N°. 2805. Après avoir remplacé l’équation x— #y° par hbx — = my*, il pose (voir la figure de cette note): AK = y; ua KGr= x CG=m; AV —=y— dy; NE —x—4x; d’où il suit : ED x : 22#1CG). On a donc de même (si DH représente la nouvelle va- leurde #f en négligeant gy X dy: yy— 2ydy : bb —x—4x : bbx—bbdx (DH). 2743 Puis‘on trouve à la page 25, où le caléut est repris en famplacant toutefois le » par l unité: ? ait ; Loyeg AMIS! #Ldx » ut pag. 20 di Z sive mr: A ago ter 10 c Sryyetaydy” DEA Hg PUITS w NY SOA TRES a LE yyam ne 2x3 : y sed x est "3°; dx —yydm ee ay. 4) A ce propos, la page 27 du livre ] contient l’annotation suivante: ,, Positions du M. de l'Hospital pour diminuer les termes d’une Equation differentielle, et comment il forme ces positions; sé, et: sa sont‘ Fhaenn dun costé de l Equation Voiez sa lettre du 12 mai 1693: bay « de Î jee L'oNl eph - 66 3 SA 0 0Û | PRE Le En 1: | ydx etxd) ; x = my max et — à xdm;x nm}? ain 5) On rencontre cet vachèvement” à la page 25 du Livre J sous le titre: ,, Trouver la courbe de M. Sluse ou Gutschoven par sa soutangente donnée par la meth. de: M.de moe: Voir, ul ‘surla;,,Gutschovienne”} la note 13 dela Lettre N°:2735. 15 291 9 a CORRESPONDANCE. 1693. 459 —bbxx 5 0. Je me fuis encore propofè la foutangenté"*" = #6), qui fait l’'Equa- tion diffe.le xxdy — 4adÿ 5 xydx, ou j’ay fuppofè x AP ce qui donne dm + m à may dx © , et apres les fubftitutions, EL > mdm. Et la courbe 44 + Æ yy 90 xx. Dans voftre exemple où l’Equation differ.e eft axydx + + aaxdx + x$dx © a$dy + axxdy, en fuppofant 44 + xx 5 am je trouve bien comme vous Monfieur #74y 50 4ydm + 3 mdm; maïs en fuppofant en fuite felon la regle, y 50 »m}, je ne fcay pas Comment vous en tirez 47 > 12m dm ou Eu C’eft pourquoy permettez que je vous demande icy quelque eclairciffement. a4ÿ) F 29 Dans ce que vous avez couchant la quadrature de la courbe xx 2 je n’entens pas comment vous trouvez x4y 20 eLel Hi 299. J1 femble que de - V'a8 + 2yy V/a2 + 2yy l’'Equation x— As 2Ovous trouviez la foutangente y PT ce qi ne fuit pas par la regle ordinaire des foutangentes. Je ne vois pas non plus par où vous trouvez la fomme des y4y LATE et cela n’eft pas moïns diffi- cile peut-eftre que de trouver fi ot et ans calcul differentiel la quadra- 5) Ce problème fut posé et résolu par Huygens à la page 28 du livre J. L'expression de la soustangente se rapporte à l’hyperbole 47 yÿ=—xx, à laquellé la méthode devra donc le conduire. Pour y réussir, Huygens commence par écrire l'équation différentielle du texte sous la forme: xdy—-4°x—"dy = dx; après quoi le dernier cas de la note 4 lui suggère la substitution #x=—=#1y, qui amène l’équation —74#y—3 4y— mAm du texte. Exécutant alors les sommations, iltrouve d’abord 4 44y-?=34mm—}4°x°y"?, puis, ajoutant la constante + 1 74, il arrive aisément aux équations #7—-yy—xx et 44—yy—xx du cercle et de l’hyperbole. Enfin il vérifie encore, pour le cas du cercle, géométriquement et élgébriquément; la justesse de l’expression (xx—#4#) : x, ,subtg, cire. sed in contrariam partem ac in hyp.”. Remarquons que l’addition d’une constante est motivée à la page 20, à propos d’un exemple analogue, dans les termessuivants: ,,Scio apponi posse + 2h quia novi subtangenti lineae cujusaequatio 24y—? —24x?y-°? eandem fore subtangentem curvae à 44y-2-—Z4x2y—4 + bb—o, ex natura regulae subtangentium”, où la règle citée est celle indiquée dans la note 3 de la pièce N°. 2612. En effet, l'expression algébrique, obtenue pour la soustangente par l’application de cette règle, est indépendante de la présence d’une constante. Ainsi, dans le cas de l'équation #ty=%—#?x°y7? [+ 44]==0 elle mène toujours (si l’on tient compte du changement dans le signe du numérateur dont il est question dans la note citée) à l’ex- pression : (244y—7—249?x°y?) 2:04 -2—(xx—aa) : x. 7) Lisez: 4x 20 my. 460 CORRESPONDANCE. 1693. ture de cette courbe; à quoy j’ay 2 merhodes®), qui, quand la courbe eft aayy — 2y* cs XX 20 FT 9) me donnent le complement AHD ë aa V/ 3 — = Caarhays)h/iRe Eggs, 6aV/ 2 à Jay tres bien compris vos exemples de la Courbe de Mr. de se | D Beaune‘) et de celle à la foutangente x + y, qui font deux problemes tres beaux et heureufement refolus. J’ax effaiè de R-% A chercher la courbe de la foutangente x—7y"?), mais fans y reuflir, et je feray bien aife de voir fi er comment elle fe trouve par voftre methode. Pour la courbe de Mr. Bernouilly le medecin, j’admire extremement comment vous l’avez pu attraper puis que la foutangente en eft fi compliquee. Je ne veux pas encore vous démander le fecret de cette invention, mais feulement quelle forte de courbe c’eft et fi elle fe peut conftruire par la quadrature de l’hyperbole. Enfin Monfieur voftre methode eft un chemin nouveau pour les belles decou- vertes en Geometrie, et où je conçois un progres et une fpeculation infinie à caufe de la varietè des Pofitions ‘3), touchant les quelles il refte à fcavoir fi on en peut trouver d’utiles dans toute rencontre. Mr. Bernoulli peut-eftre a quelque chofe de femblable, puis qu’apparemment il fait refoudre le Probleme qu’il a propofè. Je n’ay pas encore vu ces A@a de Leiïpfic, où vous l’avez trouvè, par la faute de nos libraires. 8) On trouve dans les manuscrits de Huygens plusieurs méthodes menant à la quadrature des courbes x° = (4°? + 24) : 24°. En premier lieu, pour le cas x°=(4°y—27#) : 24°, celle mentionnée dans la note 13 de la Lettre N°. 2643, qui commence ici par la réduction à la forme :y—[}// 4° +4ax +] 2—4ax | : 2/2: En second lieu, les deux quadratures pouvaient être empruntées aux 4e et 5e exemples de la table des quadratures de Hubertus Huighens (voir la note 2 de Lettre N°.2735), dont le quatrième avait été vérifié par Christiaan Huygens au $ I de la pièce N°. 2736. En troisième lieu, la méthode de Fermat, exposée dans la note 14 de la Lettre N°; 2777, était applicable aux deux cas. Et Huygens avait même exécuté cette application dans tous ses détails au $ VII de la pièce N°. 2781 pour la courbe #°y?—4?x?—x4, et à la page 11 du livre J, que nous n’avons pas cru nécessaire de reproduire, à la courbe 4°y°=4°x? + xt, courbes équivalentes avec celles du texte. En quatrième lieu, ka méthode de Gregory, dont il sera question dans la suite de la présente lettre, pouvait être appliquée, et Huygens l'avait même fait expressément pour la courbe hx® + x4=— 3°, empruntée au quatrième exemple de Hubertus Huighens. Voir la note 19. 9) Lisez au dénominateur : 244, 19) Au lieu de 44 2yy, lisez 44—23y et remarquez que, dans la figure, le point H représente l’origine des coordonnées. H Voir la note 10 de la Lettre N°. 2805. 12) La construction de cette dernière courbe a été vérifiée par Huygens à la page 23 du Livre J 13) Voir la note 4. CORRESPONDANCE. 1693. 461 Vous dites que vous m’envoiez les 3 differentes voies *#) pour la quadrature de la Feuille, et il femble cependant que vous ne m’en envoiez pas une. Car dans la premiere vous n’expliquez point comment on connoit que la fomme des ayydx — 24axydy et — 2 6xx 6x methode de cy-deffus. > ce que je doute fort fi je pourray trouver par voftre 2XX aa Dans la 2e maniere, où vous fuppofez y, j’ay fait cout le calcul 5) qui . 24XX - confirme le voftre et toutefois 4 = ee n’eft pas la valeur du triligne ABC, mais l’excede de 4 44, c’eft-à-dire de toute la Feuille. De quoy il faloit bien avertir, et faire voir (ce qui me F paroit affez difficile) que cela arrive neceffairement, parce qu’autrement on s’abuferoit en fuivant cette maniere. Je es me fuis fervi en cherchant la quadrature de cette courbe A X SF de la mefme fuppofition y 5 SE *6),mais je pourfuisautre- ment, fans calcul differentiel, ou je trouve la veritable gran- deur de l’efpace ABC > : xy— 2. La 3e maniere, où vous vous fervez de la relation entre AF et l’appliquée CF, vous avez voulu la referver pour une autre fois. Ayez la bontè je vous prie de ‘vous en fouvenir, et de rendre les chofes un peu plus claires. J’ay confiderè cy devant la relation de ces lignes AF, FC pour chercher le folide par la converfion de la demie feuille ACD fur fon axe AD), et fes parties, que je trouve dependre 14) Voir la Lettre N°. 2807. 15) Ce calcul est écrit sur une feuille séparée, portant la suscription: ,,Examen de la 2e manière de quadrer la Feuille”. Suivant la voie indiquée par de l’Hospital, Huygens arrive comme lui à l’expression 24x°? : 37—x4#: 23° qu'il égale à celle +xy—y° : 6x dont il connaît la justesse. Appliquant encore l'équation x3 EL y3—4x7=—0o de la feuille, cette égalité mène à l’absurdité — #y5 — 4x3, Diminuant alors l’expression fausse d’une quantité inconnue (vaufero ignotum w*, ut videam quantum sit auferendum”), il pose: 5 xy— 49° : 6x — — 24%: 3y—x4: 27? —y?, d’où il déduit par la substitution x3 — #xy—73 dans le second terme du second membre: —4y5 = 4x3—6xyy"° ; donc 6xyy? : 4—x3 Ly3—4xy; donc y?—= z a? (squod est totum folium””). Consultez encore, sur le même sujet, la note 5 de la Lettre N°. 2807. 16) En effet, cette supposition est identique au fond avec celle zu —4ee employée dans la pièce N°. 2780, à la page 375. 462 CORRESPONDANCE. 1693. de la quadrature de l’hyperbole, et dans le folide entier feulement du logarithme de 2 "7). Mr. Gregory Profeffeur à Oxford #) eft venu faire un tour en ce pais, et a bien voulu me communiquer fa Regle pour les quadratures, qui eft pour certain ordre de lignes courbes dont les equations font comprifes de cette formule y 20 bxr x + 4], ou 4 et b font des quantitez connues, y eft l’appliquée, x l’ab- cifle, r,#, m des exponants indeterminez et qui peuvent eftre affirmatifs ou nega- cifs, comme aufli les fignes devant les quantitez x”, x* et 4°). Il a fait une S' T 17) Ces recherches se rencontrent aux G pages2 et 3 du livre J. Posant (voir la 0 figure) CR—9, RU—», AB—b, AC=—= sh Huygenstrouvey?=—(22p°— — hp — p3 + LS B3) : 39 pour l’équa- ù tion du folium rapportée aux axes BC et CM. Ecrivant le second membre sous la forme by—bi—bo + bn, Huygens trace les droites CO (y = 2p);DH G=5> la parabole DG (20 — 37 où dx —0) et l’hyperbole QKL (79 = ë- B*). Après cela il lui est facile de trouver géométriquement les sommes des 2y, bi et bo, prises depuis = CA — . b, jusqu’à g—CB— + b. Ayant obtenu de cette manière pour la somme des »? l'expression » X (aire hyperbol. ABQK — 5 b°), il fait la remarque que le terme _ Bb? est précisément égal à l’aire du rectangle APQB, ce qui lui permet depré- o senter le résultat obtenu sous la forme suivante : ,, Est ergo solidum ex conversione semifolii AUB circa axem AB, ad cylindrum ex conversione quadrati ABTS circa eandem AB ut spatium hyperbolicum KPQ ad qu. ABTS”, où il est clair d’ailleurs que la quadrature de cet espace hyperbolique ne dépend que de (AK: BQ)=—1(BC : AB)—14—212. 18) Voir, sur David Gregory, la Lettre N°. 1709, note 6. *9) À la page 7 du livre J, qui porte la suscription : ,, Viri CI. Dav. Gregorij Regula ad inve- niendas Curvarum certi generis quadraturas ex data Aequatione earum”, on trouve la règle en question sous la forme suivante : »Si aequatio curvae sit y— x" X (x + a)" ubi y applicatam significat, x abscissam; r, # et # exponentes indeterminatos. Erit Area: Ça Haye +i x partis (n—r—1)X xtr- st so à mn —r +1 À Gonr ED X Gun Er Fi) CORRESPONDANCE. 1693. 463 recherche merveilleufe par les feries pour venir à cette Regle °°). Il dit que Mr. Newton l’a aufli trouvée par un autre chemin et encore quelque chofe de plus; (n—r—1)(on—r—1) X xt j + ba? + &ec. CmnÆr +3) X Gmn+r + in) X (mn + r+1—on) ubi,sicut primus terminus, ita caeteriomnes intelligantur ducti in (x +4)7+1,7 »Patet vero hanc seriem semper abrumpi cum + 1=—# vel 2 n vel 3n &c., hoc est cum (rx): saequatur numero integro et positivo;quilibet enim terminus ductus est in #—r—1. Quamobrem si r + 1—# sive #—r— 1—o solus remanet primus terminus, inque eo fit x'Fi-1— 1, quia scimus x°esse— r. Îtaque tunc Area fit (x "+1: (mn—n);nam mnn=mnr #1. »Secundum autem exponentum # in Aequatione data esse vel numerum integrum vel fractionem, et vel cum signo vel —-. Ideoque tenendum de exponentibus r et . Itemin aequatione quantitates x” et 4 posse habere signa H vel —” En outre, il résulte de cette .page et des suivantes que Huygens a cherché sans tarder à appliquer cette règle à quelques quadratures qui lui étaient connues. Commençant par le 15e exemple de Hubertus Huighens (voir la note 2, de la Lettre N°. 2735), où l’équation de la courbe peut être écrite sous la forme : y—x3 (x4-E 74)-&, la règle mène ARE après quoi Huygens remarque que cette expression ne représente que la ,,quadratura curtata” (voir la note 8 dela pièce N°. hé ms que la quadrature complète, donnée par Hubertus, s’exprime par Gt at) — 4 M Ayant essayé de même le 4e ‘a le 16e exemple, c’est toujours à la quadrature ,,curtata” qu’il arrive. Au 7e exemple, pour lequel il choisit la forme un peu simplifiée : y—a#x (x? L 4°), la règle semble faillir, puisqu’elle amène — . a(x° +47): au lieu de : + — at x? (x? a?)-1; mais ici encore il trouve que l’addition d’une constante suffit pour Hs l'expression correcte. Dans tous ces exemples c’est au premier terme que la série de Grégois: s'arrête. Maisil en est autrement avec le 13e exemple de Hubertus, où l’on ay—4-1x3 (x? ?)-#, Iciles _ deux premiers termes mènent à la quadrature ” 1x2 (x? BEN — Spa 1 (x? +52), qui ne diffère encore que par un terme constant d’avec celle de Hubertus. Outre ces exemples, empruntés à Hubertus, Huygens en a traité encore quelques-uns, parmi lesquels nous signalerons les deux suivants, à propos desquels Huygens a annoté: ,, Has duas dedi examinandas D. Gregorio 30 Jun. 93”; 1°. la courbe y—424x (x4— #4)—1 à la- quelle la règle n’est pas applicable, puisque (r+1):17— = toutefois Huygens croit savoir que la courbe est carrable algébriquement; mais cette opinion, pour laquelle il renvoie à la page 148 du livre H, repose sur une erreur de calcul, erreurs qui dans les derniers manuscrits de Huygens, cessent d’être rares; 2°. la courbe y—42x3 (x#—t)-", pour laquelle G+1)in= 1; la règle y serait donc applicable, mais elle amène, comme Huygens le f © 2 : TEMAIQUE ? ive quod absurdum aut aequale nihilo; imo infinito potius, ut in spatio asymptotico hyperbolae”. 2°) Voir l’Appendice N°.1812. 22 464 CORRESPONDANCE. 1693. ce que vous verrez, ou l’avez defia vu, dans ce qu’on a publiè de lui dans le livre de Wallis **); c’eft pourquoi il n’eft pas befoin que je vous explique icy la regle de Mr. Gregory. On m’a promis ces inventions de Newton copiées du dit livre, mais je n’ay encore rien receu. Apres ce que vous m'avez appris touchant les horloges de Mr. Hautefeuille, je ne doute point qu’elles ne reufliffent mal, puis que les mienes avoi[en ]t du com- mencement de ces balanciers pefants??) qui eftoient fujets à s’arrefter ec ufoient les crous des pivots. Le meilleur eft de-faire leur cercles grands et legers, parce que la grandeur fait qu’ils reglent mieux le mouvement de la montre que s’ils eftoient moins etendus avec le mefme poids. Pour le charme de la baguette, j’en fuis fort en repos depuis les relations que j’en ay vues dans nos journaux et la decifion de Mr. le Prince. Voicy la Regle inverfe des Tangentes de Mr. Fatio 3), que vous n’aurez pas de peine a comprendre, mais j’en auray un peu a la rediger en forme, parce que ni l’autheur ni moy ne nous en fommes jamais donnè la peine. Vous fcavez Monfieur comment d’une equation de courbe donnée, on forme l’equation differ.le fcavoir en multipliant chaque terme par l’expofant de x et en, changeant un x en 4x, et en multipliant chaque terme par l’expofant de y et changeant un y en 4y, et negligeant les termes qui n’ont que des quantitez Con- , s d 1 ; nues. Ainfi de l’équation de courbe x3yy + CE as © 0, il vient la differ.le ps XXAX + 2X3 yd 19 0. pare Be Vous fcavez aufli comment l’equation differentielle de la courbe fe trouve;lors que la foutangente eft donnée. Et vous ne pouvez ignorer comment d’une Equa- tion differ.le fimple, on revient à l’Equation fimple de la courbe, dont elle eft pro- duite. J’appelle Equation fimple de la courbe, celle qui n’a point de fraétions ou il y ait y, ou x, ou tous les deux, dans le denominateur. Car, par exemple vous voiez dans l’Equation differ.le yy4x + A Let à + 3x°dx wo, qu'il y a deux A termes correfpondants marquez A, c’eft a dire qui, exceprè les nombres prefigez, 21) En effet, la règle de Gregory, telle qu’on la rencontre dans sa forme la plus générale vers la fin dela pièce N°. 1812, est identique (et non pas seulement ,,ejusdem generis”” comme Wallis semble prétendre au lieu cité) avec le ,Theorema primum” de Newton, publié par Wallis au Cap. 95 (voir les pages 390 et 391) de l’ouvrage cité dans la note 39 dela Lettre N°.2777. D'ailleurs, comme Wallis le remarque, le même théorème se retrouve dans la Lettre de Newton à Oldenburg du 24 octobre 1676. (Voir p. e. la page 209 du ,,Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz” publié par C. I. Gerhardt). 2) Voir, entre autres, la pièce N°. 2004. 33) Celle mentionnée pour la première fois dans la Lettre N°. 2465 du 24 juin 1687. CORRESPONDANCE. 1693: 465 ont toutes les mefmes lettres, en comptant 4x pour x et dy pour y. Et que de l’un ou de l’autrede ces termes on peut d’abord trouver leur generateur commun xyy°#) en changeant dans l’un dx en x, et divifant apres par l’expofant dex qui eft icy 1, ou enchangeant dans l’autre dy en y et divifant alors par l’expofant de y. Et que de chacun des deux autres termes non correfpondants, et qui n’ont que «ou y, on en tire leurs termes generateurs —44y+x3, de forte que l’Equation de la courbe eft xyy— #47 + x5 5% 0: On connaitra donc que la foutangente et l’Equation differ.le qui en eft formée, font fimples, lors qu’on verra, ou que tous les termes de cette Equation font purs, c’eft a dire qu’ils ne contienent point x et y enfem- ble, ou que chaque paire de termes correfpondans peut venir d’un mefme terme generateur. Or la Regle de Fatio ne fait autre chofe que de trouver l’Equation de la courbe lors que la foutangente ou l’Equation differentielle eft formée d’une Equation de courbe qui n’eft pas fimple, mais-deguifée, c’eft-à-dire qui a une ou plufieurs fractions ouil ya x ou y, ou tous les deux, dans le denominateur, au quel cas il n’eft pas fi aifè de demefler quels font les cermes generateurs qui compofent l’Equation de la courbe. Et il faut fcavoir que tres fouvent les foutangentes ou deguifées expres oufimplement données, et aufli l’équation differentielle, qui en eft formée, font telles, comme fi l’une et l’autre avoient efte formées d’une Equa- tion deguifée de ligne courbe. Par ex. de l’Equation fimple xyy —44y + #3 % 0, on a, par la regle connuë des — 2XY)Y + 44 33. F'3XX 329 399 29399, op aura la foutangente deguifée —"" 22X E ZE une de celles que x 344—2XY je vous avois propofées*5). Et l’Equation differ.le — 2xxydy + 4axdy — esta} A rangentes, la foutangente fimple ou, mettant pour 3xx fa valeur — 344Y4x + 2xyydx 0 o, la quelle provient auffi de l’equation : — 4 +1% 0, À qui eft la premiere deguifée par la multiplication par _ Voicy donc comme j’explique la Regle de Mr. Fario. Eftant donnè quelque foutangente, on en formera l’Equation differ.le, Et apres qu'on aura reconnu, comme il a eftè montrè, qu’elle eft deguifée, on verra s’il y a une ou plufieurs paires de termes correfpondants, tels que je les ay definis, quoy qu’ils ne puiffent pas provenir d’un mefme terme generateur. Ainfi dans l’équation differentielle, qu'on vient dé voir, il y a deux paires de ter- mes correfpondans marquez À et P. Que s’il y a, outre les termes correfpondants, #4) Les lettres xyy, imprimées par Uylenbroek, manquent dans l’état actuel du manuscrit par suite d’une déchirure. 25) Voir la Lettre N°. 2768 à la page 328. Œuvres. T, X. 59 466 CORRESPONDANCE. 1693: il y a [fic] des termes, qui n’aient point de correfp.s ou que tous foient tels, et que dans ce nombre il y en ait meflez de x et y, il faut voir fi, en multipliant l’Equation par quelque puiffance de x ou de y, ou de tous les deux, on peut rendre tous ces termes purs. Si non, l’Equation eft intraitable et la Regle ne peut point fer- vir. Ainfi dans l’Equation differ.le y34x—2xyy/x—x54y % o, outre les termes P P marquez Ÿ, qui font correfpondants, il y a le terme meflè x34y, qui deviendra M HD 1 ; 1 du tar , pur.en multipliant l’equation par Frs Et apres cette multiplication, qui fera y°ax "2yydy EU "7"3E Mais fi l’Equation deguifée confifte coute en termes correfpondants, ou qu’outre ceux-cy elle en contiene de pur$ fans la dite multiplication, ou qu'après cerré multiplication les termes correfp.s ne puiffent pas encore venir deux à deux d’un mefme terme generateur, alors il faut chercher ce qu’on appellera le Transfor- mateur de cette Equation, compofè de quelques puiffances de x et y enfemble, ou de l’un des deux, qui multipliant l'Equation, rende tels les termes correfpon- dants, que 2 à 9 ils puiffent venir d’un mefme terme pen penn eten is 3 1e les autres purs ne deviennent meflez de x et y. . Soit par ex. pour l’Eq.on differ.le de cy-deflus —4dyH0, les termes correfpondants demeureront neceffairement tels. — 2HE JA + dax dy —3aaydx + ni eu 20 o P ? pue le Transformateur x£ y, ou g et # font ces puiffances de x et y que l’ on cherche. Je fcay que dans le terme generateur, d’ou je veux que les termes mar: quez À puiffent eftre produits les expofants de x et de y doivent eftre entr’eux comme les nombres prefigez + 2 à — 2, comme il s’enfüit de la maniere fufdite de former les equations differentielles. Mais l’expofant de x, apres la transfor- mation, fera g + 2, parce que dans ces termes il y a defia x4x ou x°, Et l’expofant de y fera 4 + 2 parce qu ’il y a defia dans ces termes y/y ou y?. Donc g + 2 fera à h + 2, comme + 2 à —2, d’ou # eft 0 — g—4 °°). Je fcay de mefme que dans le terme generateur, d’ou les rermes pan Le: aaxdy et—3aaydx doivent naitre, les expofants de x et de y doivent eftre comme les nombres prefigez —3 à + 1. Mais l’expofant de x après la transform.on fera g + 1, parce qu'il y a defia x ou 4x, et l’expofant de y fera Z + 1, parce qu’il y a defia dy ou y. Donc g+rà%+1 comme — 3à+ 1; d'où vient 26) Ici Christiaan Huygens nota en marge : g+0. +09 —0 —2$—4 D 2h +4 —g—42h CORRESPONDANCE. 1693. 467 3h90 —g4%1): Mais on avoit # 50 —g—4, donc #0 3h et # 20 o. et goo—4, c’eft à dire que le transformateur x£ ÿ# fera = Multipliant maintenant l’equa- ; 1 . __2ydy. gady.. 3aaydx 2yydx tion par ce on aurai — + Sr NS A P P A : Ou l’on voit-que les deux termes correfp.s marquez À ont un mefme genc- D ©. PR 7 rateur rs et que les deax marquez £ ont un mefme generateur F2, de forte ÿ 4 t ay o » ft ee J ARS A l , que l’equation deguifée de la courbe e RE DO la fimple — Xy + 44 D 0, OÙ —%ÿy + 44ÿ F X3 20 0. Dansl’Equationdifferentiellede cy deffusy3dx—2xyydy—x%dy > 0, qui eftant Le 49 L 34%, 2yyd multipliée par TL eftoir devenue 22 = 999 dy 5 o, les deux termes cor- ai 4 Tès) X3 XX À refpondants ne peuvent pas encore venir d’un mefme generateur, de forte qu’il faut chercher un Transformateur x£ y. Or on trouve g—2 à 4 + 3 comme 1 à —o, et partant —2 g + 1 20 #, mais g doit eftre % o, parce qu’autrement en transformant l” Equation, le terme pur — dy deviendroit meflè. Donc # eft 5 1 et le Transfotmateur eft y, l’Equation ransformée VE — cu + ydy Do. Eci + ? | A R 14 le terme generateur des deux correfpondants eft _— ; et le generateur du terme pur fera is à L’Equation deguifée de la courbe eft donc = _ 29 +44 D 0, et l’Equation fimple —y4— xxyy + 244%? 25). Dans l'Equation — 34x%4y + 2by$dx + bxy*dy— 2y#dx 5 0, les termes mar- ! a) A A TN quez À font correfpondants; les autres marquez T font point correfpondants, ni purs, mais meflez. Mais on voit d’abord qu’ils peuvent devenir purs en mul- 5 —> et point autrement; après quoy on aura 34dy . 2bdx..bdy.. 2dx De ADN tipliant l’Equ.on par 27) Le manuscrit a encore en marge : CEHIL AI —3 1 g+100 —34-—3 3h 0 —g—4 :8) Ajoutez 90 o. 468 CORRESPONDANCE. 1693. et en mefme temps on voit que les termes correfpondants ont un commun gene- —b à É * djiigist S rateur rs que fi cela n’euft point eftè ainfi, l’Equation eftoit intraitable. Main- tenant l’Equation deguifée de la courbe feras — sta + -, 0 0, et la fimple axx — byy + y5 & o. Dans l’Equation x#4x + bx3dx + becdx *?) + bhccdx + x3ydy 50 0, qui vient de la fourangente de la Conchoïde, et qui ne reçoit point de forme convenable pour la preparer à voftre methode, il n’y a aucuns termes correfpondants; mais on voit qu’en divifant par x, tous les termes devienent purs, becdx . xx puis qu’on a x4x + bdx + + ydy © 0, de forte qu’il ne faut que tirer de Fi de ces termes fon generateur, et en adjoutant à tous ces generateurs la quantité connue 4 0b—1cc, on aura l’equation de la Conchoide:°). Et ce fera une autre courbe, dont la foutangente s'exprime de mefme, fi on n’y adjoute ni n’ofte aucune quantité connue. Dans. tous les exemples precedents et dans plufieurs autres que j’ay examinez, j'ay vu que les Equations differentielles admettoient la forme convenable pour voftre methode; mais par ce dernier il femble que celle de Mr. Fatio peut fervir ou la voftre n’a point lieu, comme par voftre exemples") où vous pofez XX + 44 © am, il paroit que voftre methode peut fervir mefme dans des courbes geometriques ou la fiene demeure court, outre le grand ufage de la voftre dans les Courbes Tranfcendantes. Cependant il manque encore à routes les deux metho- des, qu’elles ne fervent pas pour les foutangentes deguifées de certaine maniere, comme font les deux que je vous avois propofées5*); mais il n’ya rien que je n’attende de vous Monfieur, après tout ce que j’ay vu. Je vous prie très humble- ment de me faire refponfe fur les doutes que j’ay marqués et de me croire avec beaucoup de refpe& &c. a la Haye ce 23 Jul. 1693. 29) Lisez: bccx dx. 39) Prenant, en effet, D rire à pour Fe des y, cette Fa peut s’écrire x°y° + (x? Lx X (x + 2)—=0, ou bien : —… + a? + bx + = br €? — bc? ei _lrex— s. 37) Consultez sur cet exemple la Lettre Ne. 2805 à la dite 447. 3?) Voir la Lettre N°. 2777 aux pages 352 et 353 et la note 12 de la Lettre N°, 2805. TT os M pale …) fees POP. CORRESPONDANCE. 1693. 469 N° 2811. CHRISTIAAN HUYGENSs. [JUILLET 1693]. Appendice T1*) au No. 2810. La pièce se trouve à Leiden, coll. Iuygens. Ad colligendas fummas. 2m dm = É five dy. y-3*). 1 I Summae funt #7 = - y-2 five —. 2 24 Regula univerfalis eft ut pro 4 vel dy vel qualibet alia differentia, ponatur ipfa m vel ipfa y, ac porro divifio fiat per exponentem incognitae qualifque tunc erit. Singulae AB, AC, AD etc. funt #, et AH Fig. 1. maxima ipfarum. Singulae particulae aequa- K les AB, BC, CD etc. funt 4». Jam apparet fummam omnium #4m effe triangulum AHK = : qu. ex AH, hoc eft L'Omm, ut 2 à 2 nempe # hic intelligatur effe maxima om- nium #7. #1 Itaque fumma omnium 2#4dm erat = mm. Sed 4) idem quod AR adfcito b4, ut fiat J à homogeneum rov 24m. H] G 4 : Et fumma omnium = — | y2 five s à 2 L7y b4 me idem quod me 3). Si enim HDC fit hyperboloides cujus afymptoti GA, AB. AEDF quadr.m cujus DEF pa # b las AE. AB= y. BC=0— ME X œ = F | tura hyperboloïdis hujus. Erit [7] CA = 1) Cet appendice est emprunté à la page 21 du Livre J des Adversaria. 470 CORRESPONDANCE. 1693. — 0 =< Cujus dimidum 2 erit aequale fpatio infinite extenfo BCKL #). Hic nempe AB eft minima omnium y, quae crefcunt aequalibus particu- lis dy. : Si BC five 4 fuiffet ex natura curvae = fuiffet [_] AC hoc ef inyyhoc cft 5 — fpatio infinite extenfo BCKL nempe — fummae omnium ©? five dy y—2, ubi addita unitate ad exponentem fit — 1, tumque divifio facienda per — 1. Itaque — 2 hoc eft — D cie fumma. J J Si BC five 8 =" fui C2 AC = bb, idque divifum per o qui hic eft ex- ponens #, fit Ka = fpat. hyperb. infinitum BCKL, quod eft magnitudine in- finitum $). 2) Comparez la Lettre N°. 2805, de de l’Hospital à Huygens, où l’on rencontre dans la 1e ques- tion l'équation 2w4m— — dy : y3. 3) Dans ces expressions les signes — ont été intercalés plus tard. +) La quadrature de ces aires hyperboloïdes était alors bien connue. 5) A la même page la règle est appliquée encore sans démonstration aux équations 42547 —4aadm et dn—4 mt dm que l’on rencontre plus loin dans la même lettre de de l’Hospital à Huygens. CSL ados nd ds à ni CORRESPONDANCE. 1693. 471 N° 2872. Davin GREGORY à CHRISTIAAN HUYGENS. [JUIN ou JUILLET 1693]. Appendice IT au No. 2810. La pièce se trouve à Leiden, coll. Huygens”). Mm— 1 1. Nota effe femper (x + 4) = 1 4 + mxaxm—i1x 4 + mx RARE X M —1 mn — 2 M— 1 m—2 Mm— X HÆMX —— X RE 3e + 3 » é : 3 4 Xx—4 x at + Ec. 2. Ergo.f fit 7 applicata et x abfciffa curvae, et D, c et # quantitates notae, r,# et #7 exponentes indeterminati, atque aequatio data / = x7 x (x + 4)", tum sont À 3 m ctiam / = 47 X (a mm X XII X 4 + M X SEPT at a? + &c.). 3. Sive ducendo terminos [eriei fingulos in xï erit *) = xmm +7 + mxam ru x MI X 4 + MX X AM ET EN X GE + &c. 4. Et juxta Canonem”) Gregorianum addendo cuique exponenti unitatem et dividendo quemque terminum per exponentem ita auétum *) erit an HT + I M X XD T+T+I—A MI+T+I MI ET+Ii-N X4 + Area 175 — mx MT pme I— 27 2 x 4° + &c. mn +T+)—0N" 5. Jam fi haec area dividatur per hanc quantitatem (x? + #)”+1 debet effe aequalis etiam areae ?). 6. Arqui (x? + #)"+1 reduéta in feriem aequalis eft a+ + (m+ 1) xxx x a + &c. 1) La pièce est probablement de la main de David Gregory. Nous avons remplacé, dans l’im- primé, la notation: 4-5 du manuscrit par (a+-2). Les notes #), à) etc. contiennent les annotations inscrites sur le manuscrit par Huygens. ?) C'est-à-dire : après avoir multiplié le quotient obtenu par ce même facteur. Comparez l’article 12. 472 CORRESPONDANCE. 1693. 7. Dividatur ergo area notata fic 17%, per æ+n + (mn + 1) x x X a + Ge. Nempe primus terminus areae per primum terminum hujus feriei; fcilicet XNn+rT+I xt + 1-1 —— per 4% +1, Qt CTÎt QUOTIENS —— MR+T+I mn + Tr +1 8. Hic quotiens duétus in fecundum terminum feriei in quam reduéta eft quan:- titas (ar + 4)#+1, fcilicer duétus in (#7 + 1) x x x 4, dat _m+i ê ; TL | xamtr+inx @ qui fubtraétus a fecundo termino Areae MI+ET+HI < MX XNNn+T+I—1 notatae hic 1# nempe fubtraétus ab dat Mn +T+I—N Ca—r—1) x am +T+ In X 4 Cnn+r+i)x(mn+r+i—n . M+i Ê 9. (Nempe mé fubtractus à 7 *equatur m MN +T+I— D—1—1 Cmn+r+i)x (mn +T+1—n) (n— 7 — 1) X AN +TH+I—N Cmn+r+i)x (mn +r+i—n) num) Areae notatae hic 1745 fcilicet per x + dat pro Quotiente 10, Deinde rurfus divifus per primum termi- (n—71— 1) X x7+1—27 Can +r+ 1) X(mn+r+ 1—#) * xr+1i—1 n+r+it Tete. Cnn—r+1)x(mn+r+i—n 11. Quare tandem exurget feries alis pe TR 12. Unde patet hanc feriem vel hunc quotientem fore aequalem verae areae fi finguli quotientis termini multiplicentur in quantitatem (x” + #)”#+1 per quam Area vera (notata hic 1#%) divifa dedit hunc quotientem, id eft Areae verae aequalem fore feriem fequentem. Ça + ayn+1 XX +1—7 (n—r—1) xx" +12 MI+T+I CmB+T+Ii)X(MnH+T+I—- 7 + &c. 402 3) Remplacez les mots qui suivent par ,,x”” +# seriei dat pro Quotiente”. CORRESPONDANCE. 1693. 473 Ubi nota quemque terminum duci intelligicur in (æ” + 4) #+14), 14. Patet verd eriamf) hanc feriem femper abrumpi cum r + 1 —#, vel — 2», m4 1 Ë : vel = 3, five acquatur numero integro et pofitivo, et tum quadraturam curvae definitam exhibere. 15. Et fimili modi fi aequatio fit /— bx” x (sx + 2}, feries Aream exhibens 16. Erit (sx? +a)n+1 x six x Fin (n—r—1)xbaxs—-2xaxr+1—0n MB+T+I Can +r+1) x(mn+r +1") (n—r—1)x(on—r—1) x ba x s—3 x x +15" & FGm+r+ L)X CR + r + 1-2) X (mn + r + 1—2n) UE Ubi nota unumquemque terminum duci intelligitur in (sx? + 4)#+1, #) delenda hic quibus fuppofui punéta. non enim ducuntur termini precedentes in x", fed pro (x) x x#* fcribitur +#7+7 in fingulis [Chriftiaan Huygens]. Nous avons imprimé enitaliques les mots que Huygens marque par des points]. D) Au dessus du mot Canonem Huygens écrivit : Lemma. ) Vide pag. 6 Exercit. de dimenfione fig. geom. Dav. Gregorii [Chriftiaan 9 Huygens] 5). 4) hoc appofui [ Chriftiaan Hu sel c’est-à-dire : X . hoc appofui [ Chriftiaan Huygens |, c’est-à-dire : 7. 2 ve erat delendum [Chriftiaan Huygens]. 2 #4 Comme on le voit, cette démonstration de la règle de Gregory exposée dans la note 19 de la Lettre N°. 2810, est incomplète, puisqu'elle s'arrête au deuxième terme, tandis que les embarras du calcul s’accroissent pour les termes suivants. Toutefois la règle est correcte, sauf l'addition nécessaire d’un terme constant, et on y arrive facilement par l’application . répétée de la formule : Fi (ue LE ge + nr — A x" (ar 4)" dx = Er nn afs # (ar ay" dx. Voici le ,,Lemma” tel qu’on le rencontre à la page citée de l'ouvrage de David Gregory mentionné dans la note 6 de la pièce N°. 1709: »Quävis rectà in partes innumeras discerptà, summa quarumvis dignitatum, ab innumeris istis rectis ab extremitate propositae rectae continué incipientibus, genitarum, equalis est rectae propositae potestati, are Vo proximè re divisae per suum expo- nentem”. Ajoutons que l’on trouve, à Role de ce ,Lemma”, à la page 6 du livre J des Adversaria, la remarque suivante de Huygens: ,,Hoc spl Gecmètias demonstratum dicitur. Sed videtur non tam universaliter demonstratum ut etiam Radices, quadrata, cubica, etc. pro potesta- tibus habeantur; quanquam per consequentias ostendatur Verum esse postquam de veris potestatibus demonstratum fuerit”. Œuvres. T. X. 6o 474 CORRESPONDANCE. 1693. fiers 0 L ad: | IN Mere cons Pierre 550 CurisriAAN Huycens au Marquis DE L'HospirAL, 19v 5 AOÛT 1693. initsb sevin La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle a été publiée par P. J. Uylenbroek*). La lettre fait suite au No. 2810. Elle s'est croisée avec le No. 2815. De PHospital :y répondit par ses lettres du 18 septembre et du 21 octobre 1693: Sommaire :?) 2 doutes dont je le quite. les deux font fort belles je ne doute pas que la 3e ne Ie foit aufli?), colleétion des fommes paroit icy difficile *). que Bernoulli s'attribue la folution de la Beaunienne et de la Logarithniique. Lagni contre Rolle. Manoeuvre des vaifleaux. qui eft fon antagonifte, Mr. le Marquis DE L'HosprraL. À la Haye ce:5 août 1693: Depuis ma lettre, Monfieur, du 23 juiller, je me fuis facisfaic fur quelques ur uns des doutes fur lefquels je vous avoïs demandè de l” éclairciffement, ce que, j'ay cru eftre obligè de vous faire fcavoir, a fin que vous perdiez moins de temps àme refpondre, lors que vous me ferez cet honneur, * J'avois cru difficile de faire la collection des (hieses daus £ » voftre premiere maniere de ediger au quarrè la Feuille Cartefienne, mais l’aiant effaiè j’ay vu qu’elle fe faifoit par votre methode en Poe x 20 #ny?, par où l” de ABC fe y trouve égal a Z'XY + ia Éniee ’eft-à-dire z ay 5). A X &S Dans la feconde maniere s ’ay vu que vous avez pris ypour 1) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, p.275. 2?) Ce sommaire est emprunté à la page 35 du livre J. 3) Il s’agit des trois manières de carrer le folium de Descartes, mentionnées par de l'Hospital dans la Lettre N°. 2807. 4). Voir, pour l'équation du folium rapportée aux axes BC et he, la note 17 dela beitre N°.2810. 5) Comme on le sait par la Lettre N°.2810, la difficulté éprouvée par Huygens cobsisteislans la collection de la somme” .des (4y?dx-—2uxydy) : 6x?. Or, à la page 27 du livre J, on rencontre à ce propos. sous. la date:,,28 Jul. 93 Hofw.”, la remarque suivante: ,jhaec supplevi ex universali ipsius methodo diminuendi numeri terminorum; nam ut in unam redi- gatur LA AE 4 — es, pono ex ipsius Regula,quam ex exemplis subodoratus sum, CORRESPONDANCE. 1693. 475 2AXX BE et qu'alors Ja quantirè de — . eft la vraie valeur de l’efpace AEB°). Ilrefteroic à rendre raifon pourquoy ce n’eft pas celle de l’efpace ACB. Cepen- dant je trouve ces deux manieres extremement belles, et je crois que la troifieme lé fera pour le moins autant. Je’ im’eftois embataffè en cherchant la courbe qui a pour foutangente x—#, mais je l’ay trouvée depuisietije vois que cette courbe eft une partie de la continuä- vion de la voftre?) donc la foutangente eftoit x + y; et qu’en pofant-la proprierè qe cette taquipe telle en ic que DE partie de l’axe interceptée entre la tan- gente et le commencement D, foit egale à’ l’appliquée HG; Toute: la courbe alors eft HAQD. dont la partie DQ jus- ‘qu’à la tangente QN perpend.re fur. :GD, a fes foutangentes x—y, qui font y—x dans la partie QA, depuis Q jufqu’à la perpend.re DA. sa [L LAS à J'ai aufi trouvè®), en pofant GX D BK Laratrr te æi DA. 4, DG;% x, GH2 y, un ilien drntte des As up ann Sagnls tique: : l’éfpace ADGH ft x we + L. sy = — 71 et non pas comme"il vient par votre calcul, 4 xy + zyy, cé que vous reéconnaîtrez avec un peu d'attention. Mais la mefure generale des fegmens DQ, DQz êft remarquable, qui font tousjours egaux à + yy, c’eft a dire au quart du quarrè de la perpendiculaire qui faic leur hauteur fur DG. Pour les autres diflicultez que-je vous avois propofees, Monfieur, j’attendray, s CA vous plais vos folutions, pour ne pas confümer trop de temps à les applanir 29. px: x = Hinc vero sicut pag. 25 et 20, [voir la note 3,de la Lettre. N°.2810] fit dx —=y4m+ 2mydy. Ita pro summis duabus x—1#y"; quia video haberi hic y4x— 2x4, ducta licet in istis PAIN A 46° 5 quae per regulam gener.m pag.’ 21 [voir la pièce N°. 2811], cat) Mn 8 à 6x. aÿy,» est, et substituendo pro #7 ejus valorem - [sic] fit — 4 5) Voir la note 5 dela Lettre N°. 2807. 7): Voir la Lettre N°. 2805, à la page 448. 8) Consultez, sur la manière curieuse dont les quadratures qui suivent ont été obtenues, l’Ap- pendice N°. 2814 à cette lettre, où l’on verra comment Huygens se rend de plus en plus familières les notations du calcul infinitésimal, tout en persistant d’en accompagner l'emploi par des considérations géométriques. 476 CORRESPONDANCE. 1693. par ma propre meditation, eftant de plus incertain fi jy reuflirois. Ces fpecula- tions font fi agreables et fi attraiantesque j'ay-bien de [a peine à m en abftenir et cependant elles font tort à des va ri d’une autre nature, que je dois au plie il: y a longtemps. Jay vu à la fin les aéta de Leipfich du moy de May, Et j’ay eftè furpris de ce que Mr. Jo. Bernouilly;s’y attribue®} la folution du Probleme de Mr. de Beaune, difant froidément que c’eft luy qui l’a fait inferer aw 34 Journal des Scavants de l'an 1692, fans faire mention de vous Monfieur. Comment eft ce que je dois entendre cecy, comme aufli ce qu’il affure d’avoir donnè: (jam olim) la dimenfion de la Ligne Logarithmique; et qu’il pretend fcavoir celle de la Courbe de Mr, de:Beaune’°). Peut-eftre il veut infinuer que pendant fon fejour: à Paris”?), il vous a communiquè ces inventions, ce que je fuis bien eloignè de croire. Monfieur (de Lagny +5 m'a envoiè depuis peu famethode pour l’ap- proximation des Racines), que je vois luy eftre difputée {par Mr. Rolle +), 9) Il's’agit de l’article de Jean Bernoulli cité dans la note 4 de la Lettre N°,2807;,-quicom- mence par la phrase suivante: ,,Pritna mea hujus problematis solutio.,.quae feperitur tecto :nomine in Diario Gallico 34: anni elapsi, non minus quam Fratris, qui suam mihi tunc tem- poris Parisiis commoranti transmiserat, supponit quadraturam. spatii hyperbolici; id quod constructionem in praxi impossibilem reddit”, après quoi l’auteur fait suivre une seconde solution du problème, identique à peu près avec celle exposée en second lieu par de l'Hospital dans sa Lettre N°. 2787, à la page 303. Or, l’article cité du ,,Diarium Gallicum 34” n’était autre que celui mentionné dans la note 2 de la Lettre N°, 2787, publié par de l’ Hospital sous le pseudonyme G*#**. Consultez d’ailleurs sur cet incident la Lettre N°.2815. 19) Allusion au passage suivant du même article de Jean Bernoulli: , Curva autem ipes Al [ia courbe de de Beaune] est ex earum numero, quarum rectificationes quidem in abstracto non habentur, longitudines tamen per ipsasmet curvas construi et determinari possunt, quod Nob. Hugenius praestitit in nova sua Logarithmica, & ego jam olim in Logarithmica vulgari”. 11) En 1691 et 1692. 12) Thomas Fantet de Lagny, né à Lyon le 7 novembre 1660. Il quitta lé barreau pour se vouer aux sciences. Il fut élu membre de l’Académie des Sciences en 1696,devint associé géomètre le 28 janvier 1699,associé mécanicien en mars 1699, en remplacement de Sauveur, pensionnaire surnuméraire le 8 juillet 1719 et pensionnaire géomètre le 3 février 1723, en remplacement de Varignon, enfin pensionnaire vétéran le 4 mars 1733. Après avoir professé l'hydrographie à Rochefort, il fut nommé en 1716 sous-directeur de la banque générale. 11 fut encore l’un des conservateurs de la bibliothèque du Roi et membre de la Société Royale de Londres. On a de lui plusieurs ouvrages d’arithmétique, d’algèbre et de géométrie. Il mourut à Paris, le 11 avril 17344 13) [1 s’agit de l'ouvrage intitulé: »Méthode nouvelle infiniment generale et t infiniment abregée pour l'extraction des Ra- CORRESPONDANCE. 1693. 477 mais à tort à ce qui me femble. Aiez la bontè de m’en mander voftre fentiment et auffi touchant le merite de l’Invention qui me femble avoir quelque chofe de bon; de plus qui eft voftre antagonifte et aucheur du traitè de la Logiftique’5), fur qui vous avez tant d'avantage ). cines quarrées, cubiques, &c., & pour l’approximation des mesmes Racines à l'infini dans toutes sortes d’égalitez. Proposée à examiner aux mathématiciens de l’Europe. Par M. de Lagny. À Paris de l'imprimerie d'Antoine Lambin, ruë S, Jacques, au Miroir, MpcxcI. Avec permission. in-4°”, six pages plus le feuillet du titre. En outre De Lagny publia un essai de sa méthode dans le Journal des Sçavans du 14 May 1691 sous le titre: , Nouvelle méthode de Mr. T. F. de Lagny pour l’approximation des Racines cubiques”. D'après cet essai la méthode qui avait attiré l’attention de Huygens consistait pour le cas des racines cubiques dans l’application des deux formules approximatives suivantes : V'a+F5=1a+)/ 14 +5:3 ; V/ 854 b—a+4ab : (3454), et, en effet, les valeurs calculées par ces formules ne diffèrent, en première approximation, des valeurs véri- tables de la racine cubique que par les valeurs 23 : 81 49 et — 223 : 81 48. 14) Dans le Journal des Sçavans du 18 janvier 1694 Jean Bernoulli mentionne ,,un petit écrit” de M. Rolle contre M. de Lagny. Cet écrit semble être devenu de nos jours très rare. D’ail- leurs, dans le numéro de Janvier 1692 des ,, Mémoires de Mathématique et de Physique. Tirez des Registres de l’Académie Royale des Sciences” (voir la note 9 de la Lettre N°.2748), Rolle, sans mentionner de Lagny, avait donné sous le titre: , Règles pour l’Ap- proximation des racines des cubes irrationnels” des règles analogues mais nullement pré- férables à la seconde formule de de Lagny. 15) Consultez, sur cet ouvrage de l’abbé de Catelan et sur la polémique dont il est question ici, la note 3 du N°. 2250, à laquelle nous ajoutons ici: 1°, que. l'ouvrage sortait de l'imprimerie de Lambert Roulland (et non pas de Charles Roberstal) et qu’il était composé de deux morceaux bien distincts, dont le second, sur lequel la critique de de l’Hospital était surtout dirigée, portait le titre: , Principe de la science generale des Lignes courbes ou un des principaux elemens de la geometrie uni- verselle”, à Paris, de l'imprimerie de Lambert Roulland, rue S. Jacques aux armes de la Pace MDCXCI. 2°, que de l’Hospital publia encore, dans le cours de cette polémique, deux lettres publiques, l'une en Janvier, l’autre en Novembre ou Décembre 1692, qui semblent être devenues ex- trêémement rares. 3e que Huygens avait attribué le livre à Prestet, comme cela résulte de l’annotation sui- vante, qu'on trouve vers la fin du Livre H : ,, Logistique pour la science generale des lignes courbes. 1691. Je le crois de Prestet. Il traite de trouver les Tangentes des Courbes”. 4°. qu’il est curieux de remarquer comment Catelan à cette occasion se servit d’un procédé analogue à ceux signalés dans la note 1 de la Lettre N°. 2260, dans les Lettres N°. 2262, 2264, 2265 et la note 1 de la Lettre N°. 2280, supprimant, après avoir pris connaissance de la première critique de De l’Hospital, dans les exemplaires qui lui restaient, les pages qui y avaient donné prise et les remplaçant par d’autres sans en avertir le lecteur. 16) Voir, pour la réponse de De l’Hospital sur les deux questions contenues dans cette phrase, sa lettre du 21 octobre 1693. 478 CORRESPONDANCE. 1693. Item qui eft autheur du Traitè de la manoeuvre des vaiffeaux ?7) dont j'aurai l'honneur de vous parler une autre fois #), Je fuis avec refpeét etc. N° 2814. CHRISTIAAN HUYGENs. [JUILLET —AoûT 1693]. Appendice*) au No. 2813. La pièce se trouve à Leiden, coll. Huygens. Fig. 1. \ L°} kr X—y : y— 4x : dy xdy—ydy = ydx x dy + ydx = 2ydx + ydy , s xy— 2 yy = 2DTNL 5) 243—39y=DTNL zyy= fpat. DLNK D : 4 17) L'ouvrage anonyme du chevalier Renau, Ingénieur général dela Marine, portait le titre: ,,De la Theoriede la manoeuvre des vaisseaux. À Paris, chez Estienne Michallet premier imprimeur du Roy, ruë S. Jacques, à l’Image S. Paul. m.pc.Lxxxix. De l’exprès commandement de sa Majesté”. in-8°. Sur une des dernières pages du Livre H, Huygens annota à propos de cet ouvrage: il y a de l’algèbre, et l’autheur parait bon géomètre, mais il se trompe dans les pre- miers principes, ce qui rend toute sa théorie fausse”. 18) Voir la Lettre à de l’Hospital du 5 novembre 1693. D 7) 3) Cet appendice, emprunté aux pages 36 et 37 du Livre J, contient la quadrature de la courbe DQAH de la deuxième figure de la Lettre N°. 2813, pour laquelle on a toujours DE—HG=—y et dont la soustangente s'exprime alternativement pour les différentes parties de la courbe, en valeur absolue, par les expressions x—7,y—x et x. Nous y avons apporté une division en paragraphes et nous nous sommes permis quelques changements dans les notations pour les rendre plus consistantes entre elles et avec celles de la figure citée de la Lettre N°. 2813. Quadrature de la partie inférieure, jusqu'au point Q, où la soustangente, pour DT =x, NT;=y, s'exprime par x—Y. ; Les sommations ne présentent aucune difficulté pour Huygens, puisqu'elles s'étendent depuis le point D,oùx—0,7=0 € CORRESPONDANCE. 1693 479 SH Fig, 2. CEg) C4) Y—x : y— dx : dy f ydy—xdy — ydx À ydy = ydx + xdy ÎS h collige fummas fed vide quae fint verae ÿ Fr PR : LYdy = 1 a8—29y5)—2À + D +Œ, nam ydx — …. 2A+D+T—174—17yy D+L—7vr") 2A—1400—3yy; A—}aa—3vv, 5 —5Syr) s À + 8 — 144, À + 5 eft fpario AQD 4 = À $ II°). ydy—xdy = ydx collige fummas fed cautè Laa—19)= 307; fp. ASh= fxdy; fpat. ADgh = /ydx zaa—1yy— fp. AS4= fp. ADg# fubft. ay = 0 Se 1 aa — 17 —fp. AS4 — xy = fp. AS; add. Laa— 1 yy—xy — 0 fp. AS; 14y— À SD zaa— 1 yy—21xy = fp. ASh. Laa— 2 yy — 4x — fp. AS4 — fp. A4D ex 1 44 ex fpat. AAQD 399 + 3 AY — 4 44 + fp. AS2 = fp. DQZD fubitit. pro fp. ASA 43 = fp. DD. 4) Quadrature complète de la partie DQhAD 5) Les sommations s’étendent ici depuis A jusqu’au point Q. Les dy représentent les décroisse ments de y. Voir encore pour la sommation des ydy la note 10 5) Pour le point Q, où la soustangente y—x s’annule, on ay—x— , en conséquence B+T représente un carré dont l’aire égale y» 7) D’après le paragraphe précédent on a DLQD I = + QN— 19 Re w=êim ge donc $ — DRQ +- 8) Quadrature partielle de la partie intermédiaire (depuis A jusqu’à Q, voir la figure du Ç 11) où la soustangente s'exprime par y—x 480 CORRESPONDANCE. 1693. Ç IV?) Fig. 3. y+x:y—= dx: dy ydx = xdy + ydy ydx — xdy = ydy \ y : hinc colligo fummas, et-video x 4 ydx effe fp. 4 feu HADG. + _ ÆxdyefleSfeufp.HKA. /y4y . E ÿ: effe 1 yy — 1 44, ut hic often- À ditur *°). \ a A—D = {99 — 284 \ | @/2 | A5 y +304= 8x) TA ; 24 4J+52— & E D y fat : PAHG= ARTE FENTE fp. DQAHG = # xy + 1yy; nam fpat. @ feu DQA, five pag. praec. LE ds eft = x 44. femper 1) fpat. DQAH — x yy. 9) Quadrature de la partie supérieure (depuis A), où la soustangente, pour DG=—x, GH=, s'exprime par 3x. D E M 19) On rencontre sur la même page cette démonstration sous la pe 4 forme suivante: ,Si AB minima rwy y—4, AD maxima, seu Y. a Erit y) —3 YY —3 44, fit enim tunc 7” ydy = trapez. BEFA à à B ÿ quod aequale ANED, quod aequale triang.° ADM—triang. NEM, \ a hoc est à VY — +44. A F L 11) C'est-à-dire dans tous les cas divers, traités dans cet appendice. CORRESPONDANCE. 1693. 481 N° 2815. Le Marquis DE L’HospiTraz à CHRisTIAAN HuyGens. 10 AOÛT 1693. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle a été publiée par P. J. Uylenbroek"). Elle est la réponse au No. 2810. Chr. Huygens y répondit par le No. 2819. Elle s'est croisée avec le No. 2813. ce 10€ aouft A Paris 1693. C’eft avec bien de la joye Monfieur que j’ai appris par vôtre lettre du 23 juillet le retabliffement de vôtre fanté. Je repondrai par articles à ce que vous fouhaitez de moi, me faifant un vrai plaifir de pouvoir vous fatisfaire. 1°. Vous demandez comment l’equation differentielle #14y = 1 ydm 4 zmdm fe change en cette autre d= 4m dm, en fuppofant felon la regle y = m3. Vous n’ignorez pas que fi l’on fuppofe en general y = ##? , on aura en prenant les differences dy = 4m n4—1 dn + bns mi—1 dm. Les expofans des puiffances, a et b peuuent eftre des nombres entiers ou rompus, pofitifs ou negatifs; d’ou il fuit que dans nôtre fuppoñition on trouve dy = #3 dn + £ nm dm et fubftituant enfuite à la place de y et dy ces valeurs dans la rre equation, il vient la 2e. 2°. L’equation à la courbe dont il s’agit de trouver la quadrature eft Ë = XX = 29527. On aura par confequent x = un, et multipliant de part et d’autre par dy on trouve x4y=— 34) Ka 299, De forte que la fomme desYD 1/44 F 23, qui m’eft connuë par des regles particulieres, qu’il feroit aV 2 crop long d’expliquer ici, me donne la fomme des x4y, c’eft-à-dire la quadrature de l’efpace. 3°. Vous demandez la conftruétion de la courbe dont la foutangente eft x —. Solution. Soit une logarithmique quelconque ABC, qui a pour afymptote la ligne DK, et pour une de fes ordonnees la droite AD, et pour foutangente perpetuelle 1) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae Fasc. I, p. 277. Œuvres. T, X. 61 482 CORRESPONDANCE. 1693. la conftante 7. Soit menée d’un de fes points quelconques B une paral- lele BF à DK qui rencontre AD au B point E, fur laquelle foit prife la partie EF he je dis que (es le point F eft à la courbe cherchée. K Jl eft à remarquer que fi l’on mene les lignes AL, DL qui faffent fur AD des angles demi-droits; AL fera rtouchante en A, et DL coupera la courbe qui pafle par tous les points F en deux portions HA, HD telles que la fupe- rieure HA a toutes fes foutangentes egales à y—x, et l’inferieure HD les a egales àx—y°). Le fegment DF eft égal au quart du quarré de DE3), de forte que l’efpace entiere AHDA eft égal au quart du quarré de AD. La diftance du centre de gravité du fegment DF à la droite DK = # DE, et à la droite DA = = # EF + #4 DE#). Je puis aufli determiner les centres de gravité des folides faits par la revolution de ce fegment tant autour de DK que de DA. 4°. Comme je n’ai point vu ce que Mrs. Neuton et Gregori ont trouvé pour les quadratures des lignes courbes, j'ai effayé fi je ne pourois point venir à bout de celles qui font comprifes fous la formule que vous m'avez envoyé y = b x x (x + a)”, et j'ay trouvé deux fuittes differentes qui donnent à ce que je penfe tout ce qu’on peut fouhaitter la deffus. L 1°: Suitte : I 7 MXM—I banxr +1 x a 1 x 4—2 x2n PRIS POULE Fixoxr piton * 2) Le point H correspond donc au point Q de la deuxième figure de la Lettre N°.2813. 3) Résultat identique avec celui annoncé par Huygens dans la Lettre N°. 2813, et démontré dans la pièce N°. 2814. 4) Les aires des petits triangles qui constituent les accroissements successifs du segment DHF pouvant être exprimées par 4. ar = Vds et les distances de leurs centres de gravité aux axes DK et AD par = yet è x, il est clair qu’il ne s’agit que de la détermination des inté- grales = Î y*dy et 5 Î xydy qui représentent les sommes des moments de ces triangles sur les axes indiqués. La première de ces intégrales est connue immédiatement et la seconde se trouve aisément au moyen d’un artifice analogue à celui employé dans les notes 3 et 4 de la Lettre N°. 2787, puisqu'on a: fr4= = aa — . fra = xY° — 5 (xdy — ydy) = a LS ner. sobre. CORRESPONDANCE. 1693. 483 MXM—IXM—Q 43 x 3! . ÉXAX3XR EI + 37 49 &e —- il eft clair que le nombre dès termes de cette fuitte eft infini lorfque #2 eft un nombre rompu, et au contraire que le nombre en eft fini c’eft-à-dire que la fuitte eft interrompue lorfque #2 eft un nombre entier. Or je dis que dans l’un et l’autre cas la fomme de cette fuitte exprime la quadrature de l’efpace, qui a pour abciffe la ligne x que l’on fuppofe donnée. Soit par exemple #7 — 2, la quadrature fera I g LZxI baaxr +1 x a—1 x! a ———— : - 42 X2n, FE TetI +" T'ixexr+ 1 en Car tous les autres termes feront chacun egaux à Zero puifqu'’ils fe trouvent tous multipliés par #—2— 0. On fuppofe dans cette autre pour abbreger XI+A4—=Xer—=CH— I 2e, Suitte : bam+c I C—1 CA XCr—2 X — az aaxzT? — ñ mt +C MH+C—] T'IRAX MC ob Son vf Ch ES os Go: 6); IX2X.3 XM+C—3 Il eft clair que le nombre des termes eft infini lorfque c eft un nombre rompu, et qu’ileft fini lorfque c eft un nombre entier. Or je dis que dans l’un et l’autre cas la fomme de cette fuitte exprime la quadrature de l’efpace: mais il faut obfer- ver d’en retrancher cette autre fuitte. 3e. Suitte : ban+c I de sé by Xi =i9 n MEÉC MmECEV TXOXMEC—-O Cr oc K € — ne 3 &e. IX2X3XM+HC—3 Soit par exemple c — 2, on aura pour la quadrature, S) La suite, dont tous les termes, et non pas seulement le premier, doivent être multipliés par le facteur 24 x" +1, est évidemment obtenue par le développement, avant l’intégration, de l'expression (a+ x"). 5) La suite est obtenue évidemment par le développement de l'expression (2—#4}", puis- x 3 qu’on a : fe Ça" +- a)" dx =f$e-2" 2" de. o a 484 CORRESPONDANCE. 1693. byn+2 I - 1 bam+2 1 1 ñ m+o m+i az! moins x en * m+2 m+Hi On peut faire ici une remarque fort curieufe, favoir que la 1re fuitte“) nous en fournit une infinité, dont le nombre des termes eft infini et dont on a la valeur par le moyen de la 2e fuitte ce qui eft reciproque, Mandez moi je vous prie fi je fuis tombé dans la regle de Mr. Gregori 7), ou fi cela n’eft pas laquelle des deux eft la plus fimple. On n’a point ici le livre de Wallis de Algebra et ainfi vous me feriez un plaifir fingulier fi vous vouliez bien m'envoyer par la pofte les inven- tions de Mr. Neuton copiées de ce livre lorfque vous les aurez receuës et que vous en aurez fait faire une copie. 5e. La courbe de Mr. Bernoulli *) eft geometrique lorfque la raifon de BC à AC?) eft de nombre à nombre, et elle eft tranfcendentale lorfque cette raifon n’eft pas de nombre à nombre. Ma conftruction fuppofe alors la quadrature de l’hyperbole, ce qui me paroïft le plus fimple dans ce genre. Je vous en ferai part quand vous le fouhaiterez comme aufli de la maniere dont jy fuis parvenu ou vous verrez quelque chofe d’affez curieux. Je n’avois point vû lorfque je vous ecrivis la dernière fois le journal de Leipfic ou Mr. Bernoulli avoit propofé fon prob. Il l’avoit envoyé ici à un de fes amis pour en demander la folution à nos ma- thematiciens. J'ai receu depuis ce journal qui eft du mois de May et j’ay efté fur- pris d’y trouver certaines chofes touchant le probleme de Mr de Beaune *°) qui m'obligent à vous faire ici un petit deftail. Lorfque Mr Bernouilli étoit à Paris il me vint voir et m’ayant dit qu'ils avoient fort travaillé fon frere et lui fur l’inverfe des tangentes, je lui propofé d’abord le probleme de Mr de Beaune, dont il eft vrai qu’il m’apporta la folution quelque temps après qui n’étoit pas beaucoup differente de la mienne que je fis inferer depuis dans le 34.e journal des Sçavans fous le nom de Mr G**#*, qui eft la 1re lettre de mon nom de baptefme m’appellant Guillaume et ayant des raifons alors pour cacher mon nom. Jlya apparence que Mr. Bernoulli ayant vû dans vôtre lettre **) que vous m’attribuyez cette invention et voulant avoir part à la gloire qui me paroïft très petite, il s’eft depefché de faire mettre dans les ates de Leipfic ce que vous y verrez. Mais ce qui m’a encore furpris davantage, ce font fes parolles : curva autem AI **?) &c. Car s’il a bonne memoire il doit fe reffouvenir que je lui communiquai alors les dimenfions de ces deux courbes ‘3) en revanche de ce qu’il m’avoit communiqué 7) Voir, sur cette règle, la note 19 de la Lettre N°. 2810 et la pièce N°. 2812. Il est clair que les suites de Gregory et de de l’Hospital ne correspondent pas entre elles terme pour terme. 8) Voir le post-scriptum de la Lettre N°. 2807, à la page 454, et la Lettre N°. 28 10 à la page 460. 9) Lisez: comme BD à AD. 10) Voir la note 9 de la Lettre N°. 2813. 11) Voir la pièce N°. 2793 aux pages 416 et 417. 12) Voir la note 10 de la Lettre N°. 2813. 13) Il s’agit probablement des deux courbes logarithmiques. CORRESPONDANCE. 1693. 485 touchant la funiculaire, la voiliere *#) &c. Cela me rendra à l’avenir plus circon- fpeét à l’egard de certaines gens. Je n’ai pourtant pas laiffé de lui écrire depuis pour me plaindre de fon procedé qui me paroïft fort irrégulier, et pour lui en- voyer ma folution de fon probleme afin qu’il la faffe inferer lui mefme dans les journaux de leipfic’5), et qu’ainfi il ne s’avife pas d’infinuer qu’il m’en auroit fait part autrefois. En voila plus qu’il n’en faut fur ce fujet et fi je n’etois per- fuadé que vous me faites l’honneur d’eftre de mes amis je ne vous aurois pas fait cout ce deftail qui ne peut eftre qu’ennuyeux étant fur que ceux qui me connoif- fent fauront bien demefler la verité. Je vous fuis fort obligé Monfieur de la peine que vous avez prife de mettre par ordre la regle inverfe des tangentes de Mr fatio. Je ne l’ai pas encore examinée avec foin: mais à la 1re infpe@ion elle me paroift fort bornée et bien moins étenduë que celle dont je vous ai fait part car pour ce qui eft de la foutangente de la conchoïde elle eft fi facile qu’il n’eft befoin d’aucune methode pour la refoudre et d’ailleurs on fuppofe dans la mienne qu'on ait effayé auparavant fi on ne peut point rendre tous les termes purs. Vous ne me parlez point de la regle que vous avez de Mr leibnitz *°) mandez moi je vous prie fi elle eft plus generale que la mienne, je ferois bien aife auffi de voir de quel artifice vous vous fervez pour rendre les foutangentes intraitables par nos methodes cela me ferviroit peut-eftre à la rendre plus generale. Je fuis Monfieur avec toute l’eftime imaginable vôtre trefhumble et tres obeiffant ferviteur LE M. DE L’'HosrrraL. J'ai de quoi éclaircir vos difiicultez fur la feuille de Mr. Defcartes ‘7 mais ce fera à la 1re occafion. #) qui eft au commencement de cette page [ Chriftiaan Huygens]. — 14) La courbe dont il est question dans la note 33 de la Lettre N°. 2693. 15) Elle parut dans les ,, Acta” de septembre 1693 sous le titre: ,, Problematis, a Joh. Bernoullio in hisce Actis mense Majo pag. 235 propositi, Solutio, a Dn. Marchione Hospitalio in literis ad Dn. Bernoullium d. 27 Junii exhibita”. On la retrouve encore, sous une forme un peu amplifiée, dans les , Mémoires de mathématique et de physique” du 30 juin 1693, sous le titre : »Solution d’un problème de Géométrie que l’on a proposé depuis peu dans le Journal de Leipsic”. 16) Consultez la pièce N°. 2713. Huygens « avait mentionné cette règle dans les Lettres N°. nb et2777 à de l'Hospital, aux pages 328 et 352. 17) De l’Hospital n’y est pas revenu. Huygens lui avait déclaré, dans les Lettres Nos, 2813 et 2819, avoir surmonté lui-même les principales difficultés, qu’il avait rencontrées d’abord. 486 CORRESPONDANCE. 1693. N° 2816. CurisTiAAN HuyGEnNs à PH. DE LA HIRE, 19 AOÛT 1693. La minute et la copie se trouvent à Leiden, coll. Huygens. 19 Aug. 1693. À Monfieur DE LA HIRE. Cette lettre vous fera rendue Monfieur par Monfieur Heckerus :) fils de celuy dont on a eu des Ephemerides ?), venant de voiager en Danemarc et en Angle- terre, il s’en va maintenant voir la France, et m’ayant priè de luy donner quelque adreffe aux perfonnes illuftres que j’ay l'honneur de connoiftre en ce pais la, je luy fais cette lettre pour vous Mr. que je compte parmy les premiers dans ce nombre. Je prens aufli cette occafion pour vous rendre graces du foin que vous avez voulu prendre en faifant imprimer quelques uns de mes efcrits, dans Je fecond recueil des Ouvrages de l’Academie des Sciences 3). Je n’ay pas encore eule moien de le voir, et dans mon impatience, il me femble que j’ay quelque raifon de me plaindre de ce qu’on ne m’en a pas envoiè un exemplaire, comme ancien membre de l’Academie, et comme ayant part au contenu. Je n’ay veu que l’Extrait de ce recueil dans les memoires de mathematique et Phyfique du 30 avril de cette annee #), ou il y a une lifte de beaucoup de belles chofes, mais j’y trouve a dire [fic] la demonftration de Mr. de Roberval du folide de la Roulette autour de fon axe, qui eit l’invention pour laquelle je l’ay principalement admiré, et bien plus confiderable que celle de l’aire, ni celle du folide autour de la bafe. Je voudrois vous demander Monfieur quelle eft la raifon de cette omiflions). Mais 1) Constantin Gabriel Hecker, fils du suivant, né à Danzig le 9 août 1670. Sous les pseudonymes Apogaeus Uranophilus il publia des Ephémérides. I1 mourut le 12 novembre 1721. 2) Johann Hecker, neveu de Hevelius, né à Danzig. [1 publia : Ephemerides motuum coelestium ab 1660 ad 1680, ex observationibus correctis Tychonis Brahe et Jo. Kepleri hypothesibus physicis, etc. Gedani 1662, in-4°. dont un Supplément parut en 1670. 3) Le recueil des ,,Divers Ouvrages de Mathématique et Physique” cité dans la note 1 de la Lettre N°. 2432. Consultez, sur les écrits de Huygens contenus dans cette publication, la note 1 de la Lettre N°. 2435. Le ,,premier” recueil était celui publié en 1677. Voir la note 10 de la Lettre N°, 2190. 4) La publication citée dans la note 9 de la Lettre N°. 2748. L’extrait détaillé, de la main de l’abbé Galloys, occupe les pages 73—095 dans la réimpression d’Amsterdam. S) L’omission n'existait que dans l'extrait cité dans la note précédente. Le Recueil lui-même contient l’article complet : ,De Trochoide ejusque spatio”, avec l’appendice, Ils comprennent avec la quadrature de la roulette et la cubature du solide de révolution autour de la base, men- tionnées par Galloys, encore la cubature du solide autour de l’axe, ainsi que la rectification de la courbe. CORRESPONDANCE, 1693: 487 j'aime mieux vous prier de faire en Lonté que nous puiflions avoir une fi belle piece, car j’ay ouy dire, que cette demonftration avoit quelque chofe d’excellent et de fingulier. Je finisafin de ne faire pas attendre plus long temps Mr. Heckerus, et demeure avec une parfaite eftime &c. TO N° 2817. CHrisrTiAAN HUYGENs à ConsranTyN Huvycens, frère. 1ér SEPTEMBRE 1693. La letire et la copie se trouvent, à Leiden, coll: Huygens. La lettre fait suite au No. 2808. Constantyn Huygens y répondit par le No. 2818. À Hofwijck ce 1 Sept. 1693. Il y a longtemps mon Frere que j’attens, voftre refponce a ma lettre avec laquelle je vous envoiay la minute du memoire touchant la Vie de mon Pere, que Meffieurs les autheurs du Diétionaire Hiftorique m’ont demandè *). Ils me font fcavoir qu’il eft cemps qu’ils l’aient. C’eft pourquoi je vous prie de m’en mander voftre fentiment, et correétions fi vous croiez qu’il en faut, autrement #4cens pro confentiente erit. Je vous avois aufli recommandè mes affaires de Zeelhem. Maintenant j’ecris a mon impertinent Receveur Cools, qu’il vous aille trouver, pour rendre raifon de fon procedè, et pour vous remettre l’argent qu’il me retient depuis fi longtemps, et qu’il m'a mandè luy mefme avoir preft. Il n’a point rendu compte depuis l’an 1686. Je le menace dans cette lettre, que s’il manque a faire ce que je luy mande, _je l’iray trouver moymefme, et que ce ne fera pas fans me reffentir comme je dois du tort qu’il me fait. Il s’eft fort louè, en m’efcrivant cy devant de la protection dont jouifloient les habitans de Zeelhem par voftre moien. Je ne fcay comment cela va a cette heure, mais je luy mande qu’il auroit bien du vous aller trouver, foit pour vous remercier, ou pour demander voftre afliftence. Vous pouvez luy parler forcement, et en cela vous m “obligerez. Noubliez pas aufli de prendre l’argent. J'ay eftè en peine de vous pendant quelques jours qu’on n’entendoit point de vos 1) Voir la pièce N°. 2800. 488 CORRESPONDANCE. 1693. nouvelles depuis la bataille de Neer Hefpen*}). Il y avoit fujeét de tout craindre dans une deroute comme celle-là. C’eft beaucoup de ce qu’on s’eft fi bien remis, et d’avoir fait en forte que cette affaire n’a pas eu de plus mauvaïife fuitte. ///o Virgilium me tempore dulcis alebat, Parthenope, c’eft a dire que pendant vos combats, je paflois tranquillement le temps à Hofwijck, où depuis peu de jours j'ay fait conftruire un bon tuyau quarré d’ais de fapin pour mon verre de 45 pieds, cant pour la fatisfaétion des perfonnes dé qualitè qui me prient de leur montrer la Lune et les Planetes et qui ont trop de peine a fe fervir du fil fans tuyau que pour moy mefme; parce qu’on obferve mieux et plus commodement de cette façon. Car puifque Mr. Caflini affeure qu’il voit tous les $ Satellites de Saturne avec des lunettes de moindre longueur), pourquoy ne les uerrois je pas aufli? Je regrette de n’avoir pas emploiè de tuyau il y a 6 ans, car affeurement cela vaut mieux, que de la maniere que j’avois inventée #), laquelle il faut pratiquer dans des longueurs au de la de 80 pieds, ou les tuyaux ne peuvent aller. J’ay eu affez de peine de venir a bout de celui de 45 pieds, qui pefe plus de 200 livres, et en a autant pour contrepoids de l’autre coftè de la poulie. Vous le verrez avec plaifir, comme aufli le pied pres de l’oeil qui eft tres commode. Mijn Heer Mijn Heer vAN ZuYLICHEM Met Secretaris van Sijne Koninglijcke Maj.t van Groot Brittannien In ’tLeger. 2) Voir la note 2 de la Lettre N°. 2818. 3) Même avec des verres de 34 pieds. Voir l’article cité dans la note 2 de la Lettre N°. 2427. Il: y est dit: Nous avons veu tous ces [5] Satellites par celle [c.-à-d, la lunette de Campani] de 34 pieds & continué de les observer aussi avec les verres de Monsieur Borelli de 40 & de 70 pieds”. 4) Le procédé décrit dans l’,,Astroscopia Compendiaria”, l'ouvrage cité dans la Lettre N°.2334, note 1. CORRESPONDANCE. 1693. 489 N° 2818. ConsranTyN Huycens frère, à CHRisTIAAN HUYGENs. 3 SEPTEMBRE 1693. La lettre et la copie se trouvent à Leiden, coll. Huygens. La leltre est la réponse aux Nos. 2808 et 2817. Au Camp de St. Quintyns Linnike le 3.e de Sept. 1693. J'ay receu vos deux lettres du r6. juillet ec 1, de Sept. Pour l’article à mettre dans le Diétionnaire j’approuve affez voftre projet. Pour ce qui eft de donner le mefme memoire aux deux autheurs des Diétion- naires, pour le faire inferer dans leurs diétionnaires il me femble qu’il ne feroit pas bien de la mettre dans l’un et l’autre de mefme, mot a mot, par ce que cela feroit connoitre clairement que cela feroit de noftre façon. Si Cools me vient trouver, comme vous luy avez efcrit de faire je luy diray ce que vous me mandez, quand je luy ay parlé aux environs de Dieff, je ne fcavois pas bien ou vous en eftiez avec luy autrement je Iuy aurois un peu lavé la cefte. S'il ne vient pas je ne laifferay pas de faire agir Feron'). Je me fuis tiré aflez heureufement du malheur de la Bataille de Needer hefpen ou de Landen®) comme l’appellent les Francois, par ce que je trouvay moyen d'entrer a fort Leeuwen avant que la nouvelle y arrivait à travers d’une furieufe quantité de monde et de bagage qui bouchoit le chemin. Un peu de temps apres le commandant de ce lieu ayant fceu la perte de la bataille et craignant d’eftre pris ou du moins invefty fit fermer les efclufes, ec inonda les marais autour de la ville, et comme par la il refta peu de chemin, pour en pouvoir faire le tour, chacun voulant paffer le premier quantité de chariots comberent dans les dits marais et grand” quantité fut pillée entr’autres un des mulets du Roy ou eftoit le meilleur de fa garderobbe le fut aufli, et on n’a recouvré que bien peu de ce dont il eftoit chargé. Cependant comme j’ay dit j’eftois paflé avant ce defordre, avec mon bagage que j'avois tout entier avec moy et le fis paffer le mefme foir de Leeuwen a Dieft et encor plus avant a un petit village ou je paffay la nuit dans ma calefche. Deux jours apres nous trouvâmes le Roy, qui avoit paffé Malines, et fe trouva a Eppighem. J'en fus quitte a bon marçhé, car fi j’avois efté pillé aufli, la perte auroit efté confiderable. On commence a dire icy qu’au bout de quinze jours nous pourrions bien quitter l’armée mais cela depend des evenements. 7) Féron servit dans l’armée de Willem II. ?) La bataille du 20 juillet 1693, plus connue sous le nom de bataille de Neer-winden et-landen d’après les villages occupés par l’extrême droite et l’extrême gauche de l’armée de Willem II. Le roi s’y signala par son intrépidité et, s’il lui fut impossible d’empêcher la défaite, sa résistance opiniâtre prévint que l’avantage gagné par Luxembourg ne s’étendit en dehors du champ de bataille. 1 Œuvres. T, X. 62 490 CORRESPONDANCE. 1693. Il me tarde de voir voftre nouveau tuyau de Lunette, mais comme “ous en parlez comme s’il eftoit tout fait je m’eftonne que vous ne me marquez pas l'effet qu’il fait ny ce que vous voyez des 5 fatellices. Ma femme ne m’a point efcrit par le courrier arrivé ce matin, et par ce que vous ne me mandez rien de la maladie du Coufin de St. Annelandt je croy qu'il n’eft pas plus mal. Mr. l’Eleéteur 5) a une lunette a deux tuyaux, Telefcopium binoculum mais les tuyaux ne font longs que de deux pieds environ. Cependant ou la prone beau- coup et le Roy m’a dit qu’a la diftance de quatre lieues il avoit diftingué l’heure a Bruffelles. Je n’ay pas encore eu occafion de la voir. L’Eleéteur en a payé 40 piftoles a ce qu’on m'a dit. Elle eft faite a Paris, mais on ne dit pas par qui. Mylord Lexington 4) m'a conté l’autre jour, qu’il connoit une femme en An- gleterre, qui a mis au monde 36 enfants mafles tout d’une fuite et Li un feul pere et puis une fille. Pour mon frere de ZEELHEM a la Haye. - oO N° 2810. CarisriAAN HuyGEens au Marquis DE L’HospirTaL. 3 SEPTEMBRE 1693. La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle «& été publiée par P. J. Uylenbroek*). La lettre est la réponse au No. 2815. De l'Hospital y répondit par le No. 2825. Hofwijck 3 Septembre] 1693. J'ai receu, Monfieur, celle que vous m’avez fait l'honneur de m’efcrire du 10 aouft, Vous aurez aufli receu la miene du 5 du mefme la quelle, fi on vous 3) Maximilian Maria Emmanuel, Electeur de Bavière, depuis 1692 gouverneur des Pays-Bas Espagnols, né le 11 juillet 1662. Après s’être signalé dans la guerre contre les Turcs, il prit une part active dans la lutte de Willem III contre Louis XIV. I1 mourut le 26 février 1726. 4) Robert Sutton, second Baron de Lexington, né à Averham Park, Nottinghamshire, en 1661, fils unique du premier Baron. [1 fut élu membre de la chambre des Lords en 1685. Partisan de Willem IL, il fut envoyé en 1689 par celui-ci en mission auprès de l’Electeur de Branden- bourg. Il fut nommé successivement membre du Conseil privé (17 mars 1692), colonel-dans un régiment de cavalerie (janvier 1604), envoyé extraordinaire à Vienne (juin 1694), où il resta jusqu’à la conclusion de la paix de Rijswijk. Pendant le règne de la reine Anna il vécut dans la retraite. Il mourut à Averham Park, le 19 septembre 1723. 1) Chr. Hugenii ete. Exercitationes Mathematicae Fasc. I, p. 283. CORRESPONDANCE. 1693. 491 l’eut apportée un peu pluftoft, vous auroit epargnè la peine de m'expliquer ce qui regarde l'invention de la courbe dont la foutangente eft x—, dont je ne laifle pas de vous eftre obligè. Pour mes autres doutes, vous verrez dans la mefme lettre que j’ay aufli trouvè par voftre regle, comment faire les fommes dans voftre premiere quadrature de la feuille de des Cartes. Et pour ce qui eft de la difficulrè touchant la 2e j’ay trouvé du depuis que lors qu’on prend BE pour y, les fommes —24%4z atdz * * de Ta SN dans vos pofitions, ne font pas axx x+ axx xf s + —}—, mais? Faaet — j + 3 44,qui J JJ 3) axx xf : he font 3——— 1, — } 44, de forte que ces fommes ne fe À LT prenent pas comme à l’ordinaire, mais demandent qu’on y emploie d’autres moiens et d’autres confiderations *), ce que fans doute vous aurez aufli remarquè, et qu’il faut rectifier de mefme voftre 1.re maniere lors qu’on y veut trouver l’aire de l’efpace ACB. Je m’eftois aufi fatisfait, devant que de recevoir voftre derniere lettre, fur la dificultè que je trouvois à reduire l’equation differ.lle #4y 50 4 ydm + x mdm à dn © 3 m3 dm, en fuppofant y 5 #3. Ca eftè en me refouvenant que V'm+ mdm eft © m + dm. Car cela m’a aidè à demefler ce changement d’equation#), dans lequel autrement je n’entendrois pas la raifon de ce que le de On trouve ces considérations à la page 38 du livre J sous la suscription : ,,Tollitur difficultas de qua pag. sequ. [voir, p. 454, la note 5 de la Lettre N°. 2807]. Et colliguntur es + cs On y voit comment Iluygens, en comparant la substitution 32—4%*yx-*, employée par de l’Hospital dans sa ,,2e maniere” (voir la Lettre N°. 2807), avec celle 4—h°ue-: de la pièce N°. 2782, s'était aperçu de l’identité des z de de _ l'Hospital avec les 7 de cette dernière pièce ,,ubi est e quod hinc x. et y quod hincy.et zquod hinc 4”. Or, pour la branche A 2 de la figure 1 de cette pièce, qui correspond avec la branche AE de la présente figure, ies # étaient représentés par les ordonnées de la courbe N6, et il était donc clair que les sommations en question devaient s’exécuter depuis la valeur 2—4 jusqu’à la valeur arbitraire 3 —4°yx—2; après quoi Huygens pouvait obtenir aisément les valeurs véritables de ces sommes en réduisant leur détermination à la quadrature bien connue des hyperboloïdes 9 —#32-? et 0— 4423. 3) On rencontre ce ,,demeslé” à la page 41 du Livre J. Partant de l'équation #»— 7: V#; verae summae # ” Huygens en déduit : ,# diminutum [c’est-à-dire # — 4n] — =(y—dy) : |//m—dm = OV" —|/" dy) }/nm — madm et il ajoute: ,Hic vero sciendum est | //mm— mdm censendum aequari #— 4 dm, quia dm minima respectu #. Nam inter AB— 7 et BC— "dm media proport. BD est quasi arithmetice media. Ideoque AD— + Zm et BD—m"— 4 dm”. Après cela, il trouve aisé- 492 CORRESPONDANCE. 1693. calcul differentiel produit. J’avois trouvè en fuppofant y 5 #mb que dy © 20 mb dn + bnmi—1 dm, mais qu’en fuppofant y % #4 mb, il vient dy 20 amb n3—1 dn + bn mb—1 dm, je ne le vois pas encore, apparemment par ce que je ne fuis pas affez verfè dans le calcul Exponentiel, qui me paroit difficile et fatigant 4). Pour ce qui eft des fuites pour la quadrature, voicy celle de Mr. Gregori 5). Quand l’equation de la courbe eft 7 50 bxr x (sx + 4)" l’area eft : bXSIXa TIR (n—r—1)x ba xs 2 xa ti M +T+I (mn+r+1) X(mn+r +1") (sx + a) Mm+IXx Cn—r—1). (on—r—1) x ba x s—3 x ar +13" : Cnn+r+i) x (n+r +1) x (en + r+1—02n) Etc. où il faut fcavoir que comme le premier terme eft multipliè par (sx + #)#+1, ainfi tous les autres le doivent eftre de mefme. Il eft evident que cette feries eft terminée lors que 7 + 1 % # ou © 2#,ou 16, n 20 3 etc., c’eft-à-dire lors que eft un nombre entier et pofitif, et qu’alors on a la quadrature parfaite. Ce que je vois eftre de mefme dans voftre feconde y VV" CE V/#" e E mdy — }ydm __ mdy—+ydm ment = —— 2 ou, enfin, Vr sd ” _mV/m— 4 77 VAT mm substituant #4y— 4 ydm À mdm, dn—}m-3 dm. 4) Voici l’histoire de ces vains efforts, telle qu’on la déméle aisément au moyen des pages 47 et 48 du Livre J. Sous le titre: ,Inventio Regulae Hospitalianae ad diminuendos terminos aequa- tionum differentialium” Huygens y commence des recherches sur la substitution x — #4, à propos de laquelle il remarque : ,x—##74, ut transmutetur aequatio. 0 est numerus expo- nens potestatis rou y. Intelligendum quasi ponatur 4x =— #70 ut servetur homogenea”. De cette relation x—#94, il déduit par la méthode exposée dans la note précédente : #=x: V— x —dx) : (9 —0 791 dy) =(— 0981 dy + ydx) : sa d’où il suit : dx = 38 dim + — 0 my8—1 dy. b 1 1 2: Passant alors au cas plus général x—#4 4°, il trouve:dn= x 3: a— 2 'ar6- lait ‘ax ): plus 8 J” J F Gi — — bye à) = CE Ja Le 3) xs 27" dx}: A relation dont il va se servir pour calculer la valeur de 7x. Or, à Phndroié AE par Huygens avec le signe À, b 1 il y a une faute de calcul, puisque, au lieu dex # ", ondoitlire x2 *, et en conséquence Huygens n’obtient pas le résultat attendu : 2x —4n4-1 y dn+-bne yh-14y. Toutefois la présence même du signe /\ démontre que Huygens doit s’être aperçu plus tard de sa méprise; mais sans reprendre alors les calculs qui le fatiguaient. 5) Voir la pièce N°. 2812, vers la fin. CORRESPONDANCE. 1693. 493 fuite car voftre c eft r+i1 ’ , $ $ : + Maïs d’ailleurs il y a de la difference, comme vous verrez Monfieur en comparant feulement le premier terme de celle de Gregori, ; bx (x'! +4) M HI x AT + IA ui, en negligeant les s,eft = —— avec le premier qui, gng ? mn+r+i P des Lea a ri x? 4 7 5) ou bien NT M X y LT mn +r+Ii ebs x x +aecwmT. Je vous laiffe à examiner cette difference, et fi voftre 2nm+c voitres, —— parce que vous pofez fuire eft fans faute, ce que vous verrez en effaiant quelque quadrature connue, où l'aire embrafle deux ou plufieurs termes. Car lors qu’elle ne confifte que dans le premier, c’eft-à-dire quand 7 + 1 % #, vos quadratures s’accordent. Je fuis afurè de celle de Mr. Gregori aufli dans les autres cas 7), mais la voftre feroit plus fimple*). Voftre premiere fuite eft encore très confidcrable, pouvant fer- vir, ainfi que vous le remarquez, lors que l’autre eft fans effet, pourvu que voftre m foit un nombre entier et pofitif. Mr. Gregori ne m’a point parlè d’une fuite pareille à celle-là, ni aufli de la 3.e, de la quelle aufli bien il n’a pas befoin. Et je crois qu’elle ne vous eft pas neceffaire non plus, parce qu’on peutfçavoir d’ailleurs la valeur de fes termes, qui ne conftituent qu’une quantité connue ?). J'avoue que la Regle de Mr. Fatio eft fort bornée, mais elle ne laiffe pas d’avoir fon ufage, et il faudroit voir fi’elle ne fert pas quelquefois dans de fen- contres où la voltre ne fuccede poinr. Au refte le deguifement des foutangentes, où ni l’une ni l’autre à ce qu’il femble n’ont lieu, fe fait de cette maniere, fçavoir en fubftituant dans quelque terme d’une foutangente la valeur de x ou y, née d’un terme de l’Equation de la courbe, dont ce mefme terme de la foutangente n’eft 2 : ue JY SE à qui eft tirée 4— 2x — X point procedé. Par ex. fi dans la foutangente . ou fimplement de l’equation du cercle 24x%—yy—xx > 0, on fubftitue pour —x, fa —XX—YY F ES 6 valeur DE 7 AUS à eft née du terme 24x, et non pas du terme — xx d’ou eftoit RICE a — Yy — XX , et de _procedè ce —x dans le divifeur, il viendra la foutangente + 5) Ajoutez le facteur 2. 7) Voir la note 19 de la Lettre N°. 2810. 5) Ici Huygens nota en marge, en manière de memorandum: ,,S’il est nécessaire de soustraire l’autre suite. il n’a pas votre suite. Votre remarque est importante”. 9) Comparez le commencement de la Lettre de Huygens à de l’Hospital datée du 5 novem- bre 1693. 494 CORRESPONDANCE. 1693. là l’equation differentielle intraitable 2444x — yydx — xxdx — 24ydy % 0 *°). La mefme chofe arrive par de femblables fubftitutions heteroclites dans des fou- tangentes defià deguifées, mais trairables. Et fouvent en fubftituant derechef dans les intraitables, elles redevienent traitables, comme dans cette intraitable en fub- ftituant pour 24 dans 24yy fa valeur DESEr. Je fis ces obfervations en m’exer- çant avec Mr. Fatio à faire des effais de fa Regle "*). Je n’en ay pas encore recherchè à fond les raifons, qu’il feroit bon de fcavoir, quoy qu’il femble que prefque jamais ces foutangentes intraitables ne s’offrent par quelque proprietè de rangente donnée, mais feulement en faifant de ces deguifements extraordinaires tout expres. La Regle de Mr. Leibnitz ne fcauroit vous eftre inconnue, qui reduit l’inven- tion des courbes par leur foutangente aux quadratures, dont vous m’avez parlè cy-devant; comme, lors que la foutangente eft rer ; la conftruétion de la Courbe eft reduite aux quadratures du cercle et de l’hyperbole :*). Elle eft bornée en ce qu’elle n’a lieu que lors que la foutangente eft produite par la multiplica- tion ou divifion de deux quantitez qui ne contienent que x ou y et non pas! les deux à la fois. Elle eft utile en plufieurs cas, mais quelque fois elle mene à des quadratures difficiles la où la methode de Mr. Fatio donne d’abord l’equation de la courbe ‘3). Vous aurez vu dans ma precedente ‘*) que j’ay eftè etonnè du procedè de Mr. Bernoulli le medecin à votre egard. Maintenant apres ce que vous m’en dites, j'en fuis fcandalizè, car s’il a efté fafchè de ce qu’aiant donnè la folution du Pro- bleme de Mr. de Bemine, vous n’avez pas fait mention de luy, il pouvoit dre ce qui en eftoit, fans faire de fupercherie. Le Probleme qu’il a propofè publiquement *5) a eftè refolu par fon frere a ce que je vois dans les A&ta de Leipfich, du mois de Juin *), que je reçus avanthier. Je n’avois pas cru qu’il en fout tant, car jufqu’icy il me femble bien difficile *7). Il n’explique pas comment il eft parvenu à la folution ce que j’attens de vous 19) Consultez sur le même exemple la note 16 de la Lettre N°. 2735. 11) Consultez entre autres la note 9 de la Lettre N°. 2677. 1?) Voir la note 18 de la Lettre N°. 2735. 73) Voir pour un exemple la note 8 de la Lettre N°. 2726. 14) La Lettre N°. 2813. 75) Voir la note 4 de la Lettre N°. 2807. 16) Voir l’article publié dans les , Acta” de juin 1693 sous le titre : hrs Bernoullii solutio problematis Fraterni ante octiduum Lipsiam transmissi”. 17) Les recherches de Huygens sur le problème de Bernoulli commencent à la pag. 44 du Livre]. Sur cette page et la suivante il s’est essayé au cas particulier BD—2AD. Posant AC=—x, CORRESPONDANCE. 1693. 495 Monfieur, car je ne me pique pas de le trouver moy mefme. Vous vous fouvien- drez aufli s’il vous plait de me faire part de voftre 3.e maniere de mefurer la Feuille de Des Cartes ‘*). Il paroit aflez, et mefme M. Bernouilli l’avoue *), que cette courbe de fon BC=,DC=s, on a BD= |/ + —2AD—2x—25, d'où Huy- B gens déduit (écrivant par erreur 4xx—8xs—4ss pour le carré de 2x—95): y DC 5 XX Æ 9) — 4 x, après quoi la proportion s:7= — dx : dy mène facilement à l'équation différentielle : A DSC trees eu" camps — Là d LT — 4x. | = AP of À , ! LA à 36 I Sur cette équation Huygens essaie successivement les substitutions HS = NW 7 i = ametx—n#y 5, dont la dernière le conduit à l'équation simplifiée : LA 5e VE ANÿ TS AT yY dy m/s dn, à propos de laquelle il remarque : ,,hactenus rectè. Sed jam eficiendum esset ut ab altéra parte aequationi tantum essent # et 77; ab altera tan- tum y et #;quod difficile ; alias sammae non possunt colligi”. Après avoir échoué ainsi, il attaque à la page 46 le cas plus simple AD — DB, qui doit amener le cercle. Alors il arrive, par la voie indiquée, à l’équation différentielle xx4y— —Yydy = 2yxdx, qu'il intègre facilement 1°. par la méthode de Fatio, divisant par y°, ce qui . donne, en ajoutant une constante : —x?y—1 —y—+#7=—0, ou bien x?—y?—#47=—0o; 2°. par la méthode de de l’Hospital, en posant y— #1x°?, d’où suit #—2 dm—dy. Enfin aux pages 47 et 49 Huygens s’occupe de la description mécanique de la courbe et découvre à cette occasion le point de rebroussement qui se présente dans le cas où DB AD et dont il sera question bientôt dans ses lettres à de l’Hospital du 1er octobre et du 5 novembre 1693. 13) Consuitez les Lettres Nos. 2807, 2810 et 2813. 19) En effet, l’article de Jacques Bernoulli, cité dans la note 16, débute par la phrase suivante: »Elegans est hoc problema, in quod incidimus [lui et son frère] occasione Hugenianorum quorundam, quae nuperrime in Actis Roterodamensibus comparuere”. 2°) Voici cette description telle qu’on la rencontre dans l’article mentionné: ,,Deinde omnes hae Curvae describuntur motu continuo fili GDC in alterutra ex- tremitate C poridus annexum habentis hoc pacto : In Triangulo AFE rectangulo ad À, cujus crus AE aequale sit longitudini fili GDC, applicetur norma BDH, ea ratione ut dum crus DB super AB versus A volvitur, alterum HD fili portionem GDante se pellendo, lateri Trianguli AE perpetuo parallelam manere, ejusque extremitatem G, super hypothenusa FE incedere cogat : sic fiet, ut pondus alteri extremitati C annexum & attractum curvam describat AC ita comparatam, ut AD sit ad portionem fili DC, tangentem scil. Prev in ratione data crurum Trian- guli AF & AE”. 496 CORRESPONDANCE. 1693. frere eft inventée à l’occafion de ma Traétoria qui eftoit au Journal de Rotterdam. La defcription eftoit de la mefme nature *°), la quelle je puis donner de plus d’une façon **) et qui foient meilleures que celle qu’il propofe. Je trouve dans les dits Acta de Juin une longue Exercication du mefme Mr. Ber- nouilli*?) touchant ces courbes qu’ils appellent Caufticas et Diacaufticas, qui à mon jugement font fort peu de chofe. Et ce n’a eftè que parce qu’elles s’offroient d’elles mefmes que j’en ay touchè quelque chofe dans mon Traitè de la Lumiere *5) Ce fut plufieurs années devant que Mr. Tchirnhaus donna fa fauffe conftruétion de la cauftica du miroir concave **) dans le Journal des Sçavants, la quelle de- meura fans correétion jufques en 1690, lors que ayant envoyè mon dit Traicè à Mefieurs les autheurs des Aë&ta, Mr. Tchirnhaus y apprit la veritable conftruétion de cette courbe, et a fin qu’il ne parut pas qu’il l’euft de moy, et pour pafler pour l’Inventeur de ces lignes, il fit en forte qu’on ne parla point dans les aéta de mon craicè qu’un an après. Il avoit vu la figure de cette Cauftica du miroir fpherique dans mon manufcrit, m’eftant venu voir a Paris et voila M. de ces gens dont vous parlez, a l’occafion de ce qui vous eft arrive. Mais ma lettre devient trop longue. Je finis apres vous avoir fait une feule demande, fcavoir fi vous eftes bien perfuadè de ce que Mr. Bernouilli a avancè*s) que la courbe de la voile eft la mefme que la Funicularia, touchant quoy je vois que Son frere vous allegue*®). Il me femble que j’avois trouvè que cela eftoit 21 [1 s’agit des descriptions mentionnées dans la note 17, qui correspondent avec celles des figures 4, 5 et 6 de la Lettre à de l’Hospital du 5 novembre 1693. 22) Elle y parut sous le titre : ,,Curvae dia-causticae, earum relatio ad evolutas, aliaque nova his affinia. [tem : Natura osculorum uberius explicata. Celeritates Navium definitae. Regulae pro Resistentiis, quas Figurae in Fluido motae patiuntur &c. par I. B. { éuse Ber- noulli]. 33) Allusion au passage suivant que l’on rencontre dans l’article cité de Jacques Bernoulli:,;Solus Hugenius in Tractatu de Lumine schema nobis sistit integrae Dia-Causticae, sed circularis tantum & per radios incidentes parallelos genitae: Generalem vero Dia-Causticarum consi- derationem, earumque ad Evolutas relationem, primus, ni fallor, ego agressus sum, nec irrito spero successu, ut ex sequenti constructione liquebit....”. Les recherches de Huygens sur la diacaustique en question se trouvent aux pages 119—122 de l'édition originale du » Traité de la lumière”. #4) Consultez sur cette construction, et sur le passage qui va suivre, la pièce N°. 2626. 25) Dans un article publié dans les ,, Acta” de mai 1692 sous le titre: ,,Jac. Bernoulli mathema- tum professoris Basileensis Curvatura veli, in litteris Ejus d. 9 Martii hujus anni Lipsiam perscriptis communicata”. 25) Dans l’article intitulé : ,,Generalia dé natura linearum, anguloque contactus & osculi, pro- volutionibus, aliisque cognatis, & eorum usibus nonnullis”, qui parut dans les ,, Acta” de septembre 1692, Leibniz, sous l’influence sans doute de la remarque de Huygens que l’on ren- contre à la page 133 de la Lettre N°. 2693, avait inséré la phrase suivante : ,,Eximia quaedam inesse videntur illis, quae de figura veli a vento tensi CI. Bernoullius nuper disseruit; tametsi 3 id piiuiid état CORRESPONDANCE. 1693. 497 autrement, mais voitre authoritè fera pour le moins que je repete l’examen *). Je fuis avec refpeét et devotion entiere &c. Je fuis fachè de voir qu’on ait mis dans les Traitez de l’Academie des Scien- ces?#) une conftruétion du Probleme d’Alhazen, que je ne me fouviens point d’avoir donnée?) et non pas une beaucoup meilleure imprimée autrefois dans le Journal de Londres #), qui eft la mefme que Mr. Ozanam a du depuis inferée dans fon diétionaire5*), mais mon analyfe et demonftration eftoient beaucoup plus courtes. _ N° 2820. CurisrtAAN Huycens au Marquis DE L’HospiraL. 10 SEPTEMBRE 1693. La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle a été publiée par P. J. Uylenbroek *). La lettre fait suite au No. 2819. De l'Hospital y répondit par le No. 2825. A la Haye ce 10 o Sept. 1693. Au M. DE L'HospiTAL. Ce n’eft pas fans apprehender de vous eftre importun, Monfieur que je vous ecris celle-cy 8 jours apres ma precedente. Toutefois je n’ay pas voulu manquer ' LA de tota re (in qua non desunt scrupuli) ob molem aliorum negotiorum non expensa, pronun- tiare non ausim””. En réponse, Jacques Bernoulli, dans l’article cité dans la note 21, l’invita à exposer les raisons de ses doutes, puisque ,,nec Frater meus.... nec ipse illustris Hospita- lius, quicum ille inventum communicaverat, quicquam in illo fallaciae deprehenderunt”. 27) Consultez à ce sujet l'Appendice m de la Lettre de Huygens à de l’Hospital du $ novem- bre 1693. 23) C'est-à-dire dans le Recueil publié par de la Hire et mentionné dans la note 3 de la Lettre . N°. 2816. Voir la page 336 de cet ouvrage. 29) Consultez la note 1 de la Lettre N°. 2435. : 39) Voir la pièce N°. 1891. Dans les deux solutions l’hyperbole qui, par ses intersections avec le cercle donné, fait connaître les points de réflexion, est la même, mais sa construction telle qu’elle est donnée dans la pièce N°. 1897, est la plus simple et la plus élégante. Ajoutons que la solution äntérieure donnée dans ia pièce N°: 1745 diffère également de celle que l’on trouve dans le Recueil publié par de la Hire. $*) Voir l’ouvrage cité dans la Lettre N°. 2616, note 8, où l’on trouve en effet, à la page 492, cette construction formulée à peu près de la même manière qu’à la page 189 de la pièce N°. 1801. Toutefois dans l’article, qui occupe les pages 483 —495 de l'ouvrage d’Ozanam, Huygens n’est pas nommé, ce qui est d’autant plus remarquable que l’auteur, à propos d’une déduction de l'équation du quatrième degré qui fait connaître les points de réflexion, y cite »M. l'Abbé de Catelan, dont le mérite est connu de tous les Sçavans”, ce qui nous semble rendre suspect l’oubli de l’auteur. 7) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, p. 288. Œuvres. T. X. ù 63 498 CORRESPONDANCE. 1693. de vous faire feavoir que contre mon deffein j’ay medirè fur le Probleme de Mr. Bernoully, qui eftant beau me rouloit par la tefte et qu’à la fin j’ay crouvè la ma- niere de ie refoudre ?). C’eft non feulement a fin que vous n’aiez pas la peine de me l’expliquer, comme je vous en avois priè, mais aufli pour vous faire voir que je n’ay pas eftè fans profiter de l’honneur de voftre correfpondance etenfeigne- ments. Je vous ay mandè qué la folution de Mr. Jac. Bernoully eftoit dans les Aéta de Leipfich du mois de Juin, la quelle eftant fort courte je la mets icy, parce que peut-eftre vous ne l’aurez pas encore vuë. In data pofitione reéta AB afligna- cum eft punétum À, et quaeritur curva AC, in qua fumpto ubivis punéto C, duc- taque per illud reéta tangente CD, abfciffa AD fit ad tan- gentem DC in conftanti ratione # ad 1. Solutio. Abfciffa quavis AD centro D radio DC, qui fit ad abfciffam AD ut 1 ad #, defcribatur arcus circuli, fiatque, ut aggregatum unitatis et diéti radij ad poteftatem + 2# elevati, ad eorun- dem differentiam, fic ipfe radius ad reétam DB auferendam B AE æ ex pofitione data AB. Dico fi fuper B erigatur reéta BC perpend. ipfi AB, fecanfque arcum circuli in C, fore punc- tum C in curva optata AC 3). Je trouve cette mefme conftruétion, par laquelle fi # eft :, 7 quelque ligne prife à difcretion et AD > 4 x, on a comme x + 4 à #—#4 où 4—x, ainfi CD à DB. Pour y parvenir j’ay rencontrè une equation, où d’un coftè eftoit Elemen- cum d’un trapeze hyperbolique, de l’autre Eiementum d’un efpace de la courbe ce 3 dont l’equation et 4 eme mit l’hyperbole #). Enfuite je trouve que la folution demande qu’on puiffe divifer 5 y, et qui a fa quadrature dependente de celle de 2) Consultez l’Appendice à cette lettre, la pièce N°. 2827. 3) Posant CD—x, AD=—#x et écrivant 4 pour l’unité, on a donc d’après la solution de Ber- noulli : (O+ rr DL CC EN Es: DB, ou bien DB= + ce h ER a x? où le.signe doit être choisi, pour trouver la valeur absolue, au cas où l’on a CD > 4, c’est-à-dire => EF, et le signe — au cas contraire. 4) Consultez lesS IT, IILet V de la pièce N°. 2821. Lénsntires ranéintée par Huygens est celle du, commencement du $ V..En y remplaçant, pour nous conformer à la notation du texte de la présente lettre, # par y, 0 par #=', elle exprime en effet l'égalité des.,,elementa” a°n°dx : x.et a3dy 3, (a?nz2—:y°), dont le premier,appartient. au trapèze hyperbolique OQNM (voir la figure 3 de la pièce N°. 2821 ), et dont l’autre est dans-une proportion don- née à l’espace QRWY, dont la quadrature dépend de celle de l’hyperbole, comme nous l’avons indiqué dans les notes 9-et 10-de la même pièce, CORRESPONDANCE. 1693. 499 triquement lors que la raifon de CD à DA eft de nombre à nombre, mais par la Logarichmique lors que cette raifon ne s’exprime que par des lignes). Appa- remment j’auray pafñlè par le mefme chemin que vous, Monfieur, car je ne penfe * pas qu’il y en ait icy plufieurs differens. Au refte ce Probleme contient des chofes remarquables et me paroit le plus beau, qu’on ait encore propofè pour la methode inverfe des Tangentes. Je vois que Mr. Bernouilly raifonne fur l’utilitè de ces courbes), dont je ne fcay fi vous avez aufli bonne opinion. J’ay trouvè depuis peu une autre courbe d’un ufage qui n’eft point douteux et bien d’une autre im- portance, laquelle je fuis obligè par des raifons de tenir encore cachée *). En examinant de nouveau la quadrature qu’avoit donné Mr. Leïbnitz de la feuille de Des Cartes”), j’ay crouvè qu’elle eftoit vraie en prenant y comme dans la voftre feconde ‘), de forte que je luy fais reparation d’honneur *). 5) Voirle V de la pièce N°, 2821. 5) Voirle VI de la pièce citée, 7) Jacques Bernoulli, dañs l’article cité dans la note 16 de la Lettre N°. 2819, commence ce raisonnement par la phrase : , Eximium autem usum habet hoc Problema. Primo enim hinc constat, infinitas esse diversissimorum generum curvas, communi hac proprietate gaudentes, ut …rectae AD, DC, constantem rationem habeant; omnes vero illas esse Geometricas (quanquam aliae aliis magis minusve sint compositae) in quibus hae lineae se habent, ut numerus ad numerum, transcendentales vero omnes, ubiillae non sunt, ut numerus ad numerum””, après quoi il fait suivre le passage cité dans la note 20 de la même Lettre, pour finir par les phrases: , Unde patet, si constructiones ejusmodi censendae sunt geometricae & accuratae, aequationes infinitas altissimorum graduum pari cum simplicissimis omnemqg; pene fidem excedente facilitate construi posse. Denique nec hoc tacendum, quod solutio hujus proble- matis abstrusae Methodi Tangentium inversae plurimum perficiendae & promovendae mag- num lumen praebere possit”?. 8) Consultez la dernière note de la pièce ;, De problemate Bernoulliano”, notre N°. 2823. 9) Voir la Lettre N°. 2797, à la page 429. 19) Comparez la Lettre N°. 2819, à la page 491. 11) Voir la Lettre N°, 2822, à la page 510, 500 CORRESPONDANCEF, 1693. N° 2621. CHRISTIAAN HUYGENSs. [sePremBRE *) 1693]. Appendice au No. 2820 °). La pièce se trouve à Leiden, coll. Huygens. Ç 13). AGDE GCSTA PSE L'H GD LS COUP) LE Fig. 1. (CG) CGD) (FG) (FH) j z4x OLD A Cds M En 2% BF—0x—04x FH 2 2% ————— $, 2% — 24% — at [HB=]G2. 2% : ex GC— 2x EE, 24X + zdx — BC 2% (CG) (GD) (CB) Ç(BNvel ED) d, dbr'hroe = odx +, HE ax x. .4xx A DS DE 1 01 à à DRE AE mn ue x" 41% DG five GQ — > annee tom re reform Ne 1) La pièce a été composée entre le 3 et le 10 septembre 1693, dates des Lettres Nos, 5819 et 2820. ?) Cet Appendice contient la solution de Huygens du problème de Bernoulli. Il est emprunté aux pages 52—57 du livre J. Nous l’avons divisé en paragraphes. 3) Analyse du cas GC— 2 AG appliquée à la partie inférieure de la courbecherchée jusqu'au point T où la tangente devient perpendiculaire à l'axe AO, Se CCR SE de nl à CORRESPONDANCE. 1693. ; 501 d2 4) — dx Le + zdx — z'dx Fe æ 4XX 224% 5) Wdi=xadx =" 30x LE 4x $ II°). Fig. 2. GD= 2; AG=x; CG= 2x. Formo curvam QO, {per applicatas € GQ=— GD et ita ubique. Unde et x GQEZ (CG) (DG) (FG) (GH) DR NE = VX ad T 2% 2x —= GC I odx —=92FG DE A0 rl |G ne, 2% — o4x = FB vel HB nam ut & CG—= 2GA ita BF = FA. à 24% _ GH , 2x Ste phies ad. A2 2X— 24% + 2 GB a ex PA sus Re ddr — 2% —CB 2% 4) Ici dz—PF—QG représente évidemment le décroissement de x correspondant à l’accroisse- ment dx de x. Ainsi l'équation qui va suivre n’est pas correcte suivant la conception moderne de la notation employée. D'ailleurs, dans la déduction de la formule plus générale, où GC—0x et dont il sera question dans la note 18 de la présente pièce, Huygens a donné à 42 la signification usuelle, s’apercevant, comme sa figure, que nous n’avons pas reproduite, le démontre, qu’en prolongeant la courbe OP elle va s’abaisser au point À et qu’ainsi, à partir dé ce point À, les z commencent à s’accroître, pour ne décroître que plus loin. 5) Huygens fait suivre encore l’application à cette équation de la substitution x2=—#, ce qui amène l’équation simplifiée 47n— 4x0x—n°x-34x. Ensuite il passe au cas du $ II. 5) Analyse du cas GC— 2 AG appliquée à la partie de la courbe supérieure au point T. 502 CORRESPONDANCE. 1693. (CG) (CGD) (CB) (BN) 6 : EN HET 0e EU à aus 2% ‘ x 4xx 2dx 2x4x 07 ENS NB + FRS HER =QV 4x2dx — 224dx + 4xxdx = 4xxdz7) = 1X az É =" x az — adz eye ———— + = # dimin. x — dx s. — az4x + axdz mie XX — azdx + axdz = xxdn 4 ns 7 pe x M2 Fr __ 4x%dn + 4axzdx 4 ‘ 4 4x3dn “À 4axzdx*) a a 4x2dx — z24dx + 4xxdx = — azzdx + 44xx dx = 4x$dn annxx dx nn xx BARRE axxdx = 4X3dn ; pro 22 : —— pes +4 4 5 P 2 — nndx + 4aadx = 44%xdn ) : à x an 4 : hinc fpatium hyperbolicum ax FE pp + aie hinc fpatium curvae quod re- ducibile ad fpatiurm hyperbolicum. aadx __ aan : AX 44a—n"n 7) L’équation différentielle de la courbe OQ ayant été obtenue ainsi, il va s'agir, dans ce qui suit, de la simplifier par la substitution 42— 1x. 5) L’équation différentielle de la courbe OQ est reprise pour y appliquer la substitution mentionnée, CORRESPONDANCE. 1693. 503 $ IT»). Fig. 3. FR Le: Si ut OQ ad MN five ut MA ad AO ita RK ad IP erit fpat. hyperbol. RIPK oétuplum fpat. hyperb. QMNO. 9) Intégration géométrique de l'équation différentielle du paragraphe précédent. Noici le raison- nement que Huygens nous semble avoir suivi pour arriver aux résultats de ce paragraphe. 3 D’après l'équation différentielle du paragraphe précédent on a : LE = - > oubien 3 (posant 26h) = ainsi des deux courbes = (l'hyperbole QN de la fi- 3 gure) et y— Fu (la courbe RW), l’aire de la première doit être égale à la huitième partie de celle de la seconde entre des valeurs correspondantes de x et ». Pour la première 504 CORRESPONDANCE. 1693. Sit ST media prop. inter RK, IP. Erit fpat. RSTK five feétor hyperb. RSQ quadruplus fpat. QNMO. Duéa SQ fecet R® in V et ducatur YVW parall. QR. Erit fpat. RWYQ duplum feétoris diéti hyperb. RSQ °), ideoque oëtuplum fpatiÿ QNMO ; quod cum fit, eft RV five QY — # noftrum. Eft autem = fubtangens quaefita. couple des valeurs correspondantes, que l’on peut choisir à volonté, Huygens a pris les valeurs x—4#,n—o, qui doivent correspondre, puisqu’on a alors 2=—0, avec le point B de la courbe ABL pour lequel la soustangente est égale à zéro. Soient ensuite AM—x et @Y —R V —» (égale dans la figure à # mais qu’on doit con- sidérer comme variable) deux autres valeurs correspondantes; alors on doit donc avoir : aire à : 8 la fig. 1, p. 24, de la pièce N°. 2661, dont Huygens avait appris, dans le $ III de la pièce citée, à réduire la quadrature à celle de l’hyperbole, cette égalité pouvait se réduire à celle de deux aires hyperboliques. Simplifiant encore un peu le résultat qu’il avait obtenu autrefois, Huygens QNMO— < aire RWVYQ; mais comme la courbe RW est identique avec la courbe &448 de pouvait poser en conséquence : aire QNMO =; RWYQ =, RSO—URSTK =% RIPK (pour IP:ST—ST:RK). Dès ce moment il ne s’agissait plus, pour arriver à la construction cherchée des valeurs cor- respondantes de x et de », que de faire en sorte que l’aire RK PI devienne égale à huit fois l’aire OQNM. Or, puisque le carré sur RK—=# 2, pour RQ — = 29, était justement égal à huit fois le carré sur OQ—# #7, il suffisait pour cela de choisir IP de telle sorte que IP : RK=—MN : OQ; ensuite on pouvait construire ST, trouver le point S, tirer la droite SQ et marquer ce point V, où cette droite coupait la tangente R©, après quoi la valeur RV de », correspondant à la valeur donnée AM de x, était connue. De cette valeur on pouvait déduire nx > s : : celle de la soustangente 3—" et construire le point L, connaissant le point M où sa tan- gente coupe l’axe, la longueur 2x de la tangente LM et celle z de la soustangente. Remarquons encore que ce point L, quoique situé dans la figure de Huygens sur la droite AL, perpendiculaire à l’axe À Q, doit être considéré comme un point arbitraire de la courbe ABL, 3 19) Que la réduction de l’aire de la courbe » — Lu à l’aire d’un secteur hyperbolique, em- b?- ployée ici, est au fond identique avec celle du $ III de la pièce N°. 2667, c’est ce qu’on voit immédiatement en remarquant que les angles Ydæ (de la fig. 1 de la pièce N°. 2661) etiRQV n1/2 de la présente figure sont égaux, puisque 2e = ii PR UT » tandis que le carré 2 51/2 RO sur ad — V= est égal au double du carré sur RQ —2. DS den 2 Ed nl 1 RAR Se ES dé ot er Ed ds Là à x ne de der de 2 ie CORRESPONDANCE. 1693. 505 $ IV "). (RK) (ST) 7 PAT MA, AO=%x:|/12x%—1/ 244: Des five Va"). _ five - Va SX: Divido qu. R® per SX fit XZ + ZS ex propr..hyperbolae, quia [7] ex SX et : ZX + ZS — qu. R®@ tangentis in vertice; propter 444 in aequatione eft R®@ et RQ — 24. fe WT SE VX xs Ales ad. sax +4 al/ "= ZX vel Za X 0) (ZS) (GR) [RV] 11) Déduction de la construction de Bernoulli, pour le cas GC— 2 AG. (Voir toujours la figure du $ III). 7?) Huygens, de cette manière, au lieu de commencer par le calcul de IP (voirle commencement du paragraphe précédent) procède directement au calcul de ST, moyenne géométrique entre RK et IP. Œuvres. T. X. 64 506 CORRESPONDANCE. 1693. . ac — nat AT A id = 1 DL HT UCI 4 = 24 SRE [= »] s) C) he PS Pie 7 5 oué 2X + 4 , 2X + 4 Évpyra 14) 8 fept. 1693. Hofw. 5) Six dftz=— x") $ V 7). Si tangens ad abfciffam ut 8 ad fie 224% adm 58) 4° 0aa—nn ratio QOa4NM—7 : He = Ox : a — a. _aa ratio RSTK ad OQNM = 6 : 1 ratio RIPK ad OQNM —° 84 : 1 Ergo : 8 : : 6 five 6 : 1 uc RIPK ad RSTK. ax —244 : 13) On remarquera que l’hyperbole 7 — Re se trouve tracée dans la figure 3. 4) Le résultat obtenu, où z représente la soustangente DG de la figure 2, x et # les lignes AGet OT de la même figure, est en effet identique, pour le cas considéré GC — 2AG, avec celui formulé par Bernoulli. Voir la Lettre N°. 2820. 75) Lisez Hofwijck; maison de campagne de Christiaan Huygens. 18) C’est ce qui a lieu pour le point paticulier L, situé sur la perpendiculaire érigée au point À sur l’axe AQ. 17) Réduction, pour le cas général GC—0. AG (fig. 1), du problème de Bernoulli à la aivision en proportion donnée d’une aire kyperbolique. 18) Nous avons emprunté cette équation différentielle, valable pour un point de la courbe supé- rieure au point T de la figure 2, à la page 54 du livre J. Plus loin, à la page 58, on rencontre une déduction détaillée de l'équation correspondante, avec changement du signe de set de dn, valable pour la partie inférieure, pour le même cas CG—0.AG; mais, puisqu'elle hotes ed al +0 at 10 RE Sr Eee LES es di ns CORRESPONDANCE. 1693. 507 $ VI=). Fig. 4. ASC hyperb. afymptoto BD. AGH logarithmica, a parametro AB. Volo fecare fpat. hyperb. ACDB in APE "ES data ratione N ad O. Ducatur CH pa- Te 25 rall. afymptoto et occurrens logarith- micam in H, et fit HF perpend. afymp- toto. Jam fecetur FB in M, ut fit BM ad S MF ut N ad O. Et applicata MG in G € logar.ca ducatur GS parall. afympt° L__ ad hyperbolam in $, et applicetur SV. B M VF dico trapezia hyperb.ca ASVB ad SCDV effe ut N ad O. $ VII *). Ç(RK) (ST) 8—1 1 ô—71 : x : (Ëx) Gner rober : (Mar sy * procède par les mêmes raisonnements que les déductions des I et $ IT, nous avons cru pouvoir nous dispenser de la reproduire. (Voir toutefois la note 4 de la présente pièce). Remarquons seulement que l’ de la formule représente toujours la grandeur #2 : x._ és Ce qui va suivre peut être regardé comme une paraphrase du $ III, adaptée au cas plus général .… GC—08.AG. En effet, pour ce cas les raisonnements de la note orestent applicables. Seulement, 343 La gs aa on doit prendre (fig. AYAO= OR — Set RAO—2%=— 04. Alors QNMO doit être égale à la partie 33 + de RWYO, c’est-à-dire à our se conformer à l’équation P q la partie; de RSQ ou de RKTS. Mais si l’on prend toujours IP : RK — MN : OQ les aires OQMN et RK PI seront dans la raison des carrés sur AO etsurRK—} y, 7 2, c’est-à-dire dre 2 avoir ST, et ensuite QY — », de savoir diviser l’aire hyperbolique RKPI dans la raison de 1 à 0—1. 29) Division d'une aire hyperbolique dans une raison donnée. #1) Déduction de la construction de Bernoulli pour le cas GC —0.4G. 22) La signification des deux premiers termes de cette proportion ne nous est pas claire, l’analo- qu’on aura RKPI—404x NMOQ—4.RKTS.Connaissantdonc]P=— ——; il sufiira, pour 508 CORRESPONDANCE. 1693. ML xZ + 7 ) JaTXS Se 00aa to TP 22S das _ 0 7s 2p 2 = SX Bisiiol Ds PT Ze £0 29 2 Mar er PT RS Sn ! 1 = >" 2 2: 2 2 00aa + y Oaa\+ pp : Bôaa — gp — 0x : 2°) pe" "2 ut (8x) # + 1 ad (8x) 5 —1 ita 0x ad z fubtangentem *S). . ô—1 1 gie avec le commencement du $ IV exigeant plutôt pour ces termes x et x TA Gye mais L1 le résultat, en tout cas, est exact. En effet, la relation: aire RKPI—6. aire RKTS amène:1 sh 14.1 : RK 6 R 4 04 a V2 @x)s 73) Puisque (XZ + ZS) X ZS—=qu. RD. Conférez toujours le & IV pour les calculs qui suivent. 24) Puisque # — 42 : x. La page 54, d’où nous avons emprunté les calculsde ce paragraphe, con- tient encore quelques formules éparses sans liaison apparente, qui se rapportent à la réduc- tion de cette proportion à celle qui va suivre, où Huygens pour se rapprocher de la solution de Bernoulli a remplacé le paramètre 4 par l’unité. 25) Remplaçant le 4 de Huygens par le #-* de Bernoulli, et remarquant que l’x représente la droite AD de la figure de la Lettre N°. 2820, on s'aperçoit facilement de l’identité de ce résultat avec celui de Bernoulli tel qu’il est formulé dans la Lettre N°. 2820. I 1 au = lim 5108, ° donc ST — CORRESPONDANCE. 1693. 509 N° 2820. CHRISTIAAN HuycEns à G. W. LEIBNIZ. 17 SEPTEMBRE 1693. La lettre se trouve à Hannover, Bibliothèque royale. La minute. a été publiée par P. J. Uylenbroek*), la lettre par C. I. Gerhardt*). La lettre est la réponse au No. 2797. Leibniz y répondit par sa lettre du 11 octobre 1693. A la Haye ce 17 Sept. 1693. MONSIEUR Je ne doïs pas me donner l’honneur de vous efcrire apres un fi long filence, fans alleguer les raifons qui l’ont caufè, des quelles la principale eft que depuis la correfpondance que j’ay avec Mr. le Marquis de l’Hofpital, il m’a donnè tant d’exercice en matiere de Geometrie, que j’ay cru3) devoir eviter celuy qui me pouvoit venir d’un autre coftè, quoyque fçachant bien qu’il n’y a pas moins à profiter pour moy de vos lettres. Il y a eu de plus cette raifon, dont j’ay touchè quelque chofe dans mes precedentes#) que je voiois que noftre difpute en Phyfique demandoit une nouvelle meditation pour refpondre à votre dernier raifonnement, que j’ay trouvè tres fenfè et efcrit avec foin. Il eft vray que j’ay conceu et annotè quelques repliques 5), que j’ay à y faire, mais vous me permet- trez s’il vous plait de les differer encore jufqu’à une autre lettre, parce que la matiere merite une plus grande attention que je n’y fcaurois donner prefente- ment). Celle-cy n’eft que pour vous envoier la Remarque 7) que je fais à voftre exemple *) fur le Probleme de Mr. Bernouilli, par laquelle vous connoîtrez, 1) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, p. 160. La minute ne diffère pas sensiblement de la lettre. ?) Leïibnizens Mathematische Schriften, Bd. II, p. 160; Briefwechsel, p. 716. 3) La minute a : du. 4) La minute a: ma precedente. Consultez les premières phrases des Lettres Nos, 2750 et 2785. 5) Voir les notes marginales z—7 reproduites à la fin de la Lettre N°. 2797+ 5) Huygens n’est revenu sur la question ,,du vuide et des atomes” que dans sa lettre À à Leibniz du 29 mai 1694 et seulement pour en différer de nouveau la discussion. 7) Voir l’Appendice I à cette lettre, la pièce N°. 2823. #) Il s’agit de la brève remarque insérée par Leibniz dans les ;,, Acta” de juillet 1693 sous le titre ,G. G. L. Ad problema Majo nupero in his Actis p. 233 propositum””, où on lit: »Perplacet problema Bernoullianum nupero mense Majo propositum, de invenienda linea ABC [voir la figure de la Lettre N°.2807,p. 454, à laquelle on doitajouter une perpendiculaire BE abaissée sur l'axe AD] ex data rationeinter tangentem BD & resectam AD ex axe AE, 510 CORRESPONDANCE, 1693. Monfieur, que j’ay fait quelque progres dans/les fubtilitez geometriques et dans voftre excellent calcul differentiel, dont je goute de plus en plus l’utilitè. J’avois refolu de n’en point chercher la folution, laquelle auffi bien Monfieur le M. de l’Hofpital m’avoit offert de me communiquer?), mais le probleme me paroïffant beau et fingulier, je n’ay pu empefcher qu’il ne me roulaft dans la tefte, jufqu’a ce que je me fois fatisfait. Et à cette heure que la peine eft prife, afin qu’elle ferve à me maintenir dans l’eftime de Meflieurs les Geometres, je vous prie tres hum- blement d’envoier au pluftoft la feuille cy-joïinte aux fçavans autheurs des Aéta de Leipfich, a fin qu’ils aient la bontè de l’y inferer. Lors que je reçus °) voftre quadrature de la Feuille de Mr. des Cartes ou de Roberval ‘*), je crus, apres l’avoir examinée, que vous vous eftiez mepris; par ce qu’appellant voftre conftruétion generale, elle n’eftoit pas vraye, lorfque, comme dans voftre figure, on prend BC pour y. Mais du depuis j’ay vu qu’elle quadroit à la pofition de BE pour y **). Ce qui arrive de mefme dans deux manieres.diffe: . rentes, que Monfieur le M. de l'Hofpital m’a envoiées pour cette quadrature #3), et dont j’ay, non fans quelque peine, demeflè la raifon ‘#). Car je ne trouvois pas bon que le calcul differentiel produifift autre chofe que ce qu’on luy demande, Vous aurez vu ce que j’ay inferè touchant cette matiere au Journal de Rotter- dam *5), auquel temps je n’avois pas encore receu voftre folution; autrement j’en aurois fait mention et ce n’auroit pas eftè fans vous reprendre mal à propos, au lieu que je devois admirer ce que vous aviez fait. Je voudrois bien fcavoir voftre jugement touchant ma Traforia pour la quadrature de l’Hyperbole, que j’y avois jointe. Où il y a cela de remarquable, que fuivant les loix de la Mechanique, fup- pofè le plan horizontal, la defcription doit eftre parfaite, et par confequent cette quadrature par fon moien. Je vois que Mr. Bernouilli parle defia douteufement de la geometricitè de cette generation de courbes ‘%), car celles de Monfieur fon frere font du mefme genre, et pas tout à fait fi fimples. per tangentem; vel ideo, quod etiam illi, qui nostrae Methodi differentialis faciliora tenent, non statim hoc pervenient. Nec motu tantum, sed & calculo analytico exhiberi potest, si detur ratio inter factum ex his duabus rectis (tangente z resecta r) vel earum potentiis, & inter chordae AB ipsis potentiam facto homogeneam, veluti inter 77 & ce, vel #7 &c3aliterve. Idem locum habet in aliis innumeris, ut si detur ratio dictae resectae AD, ad ordinatam BE”. 9) Voir la Lettre N°.2815 à la page 484. 19) Voir la Lettre N°. 2797 à la page 420. 11) Comme Descartes, de Roberval aussi s'était occupé du ,, folium””, qu’il appelait la Galande” ou ,,la fleur de Jasmin”. Consultez les pages 274 et 313—317 du Tome Il de l'édition d'Adam et Paie des , Œuvres de Descartes”. 1?) Voir la note 6 de la Lettre N°. 2707. 13) Voir la Lettre N°. 2807. 4) Voir la Lettre N°. 28 r9 à la page 491. x 75) Voir la pièce N°. 2793 à la page 417. 16) Allusion au passage cuivant de l’article de Jacques Bernoulli, cité dans la note 16 de la Lettre FSINONE 2€ NOTES RUE US CORRESPONDANCE. 1693. 511 ! Jay eftè furpris de voir ce que celui-cy a fait mettre dans les A&ta du mois de May, touchant la courbe de Mr. de Beaune, comme fi c’eftoit luy qui en euft donnè la conftruétion au Journal des Scavans de 1692 ‘7). Sur quoy Monfieur le M: de l’Hofpital m'a mandè certain detail *) de ce qui s’eft paflè, pour me faire voir le tort qu’on luy fait, et il femble avoir raifon; mais je n’ofe rien decider, éraudita parte alter a. La conftruétion que vous m’envoiates pour cette courbe s’accordoit avec la feconde que me communiqua Mr: le Marquis ‘?), qui eft plus courte que celle de Mr. Bernoulli du mois de May. J’admire de plus en plus la beautè de la geometrie dans ces nouveaux progres qu’on y fait tous les jours, où vous avez fi grande part, Monfieur, quand ce ne feroit que par voitre merveilleux calcul °). M’y voilà maintenant mediocrement verfè, fi non que je n’entens encore rien aux 4x, et je voudrois bien fcavoir fi vous avez rencontrè des problemes importants ou il ‘faille les emploier, afin que cela me donne envie de les etudier. Je vois que vousavez opinion de pouvoir tousjours trouver les Courbes par la foutangente donnée, lors qu’elles font geometriques. Cependant il y a un certain deguifement de ces foutangentes que je puis faire cousjours, où Monfieur le M. de l’'Hofpital fe trouve empefchè jufqu’icy**), et vous connoiflez fa capacicè, Les exemples que Fi Dr, ay propofez : font la foutangente = Lou ile À 4x — x) — 4)? x°y 2AT) 325 + 344y — 2x) 244 — y — xx Je ne dois pas-oublier de vous dire un mottouchantvoftre Codex juris gen- fium 3), dont vous m'avez voulu communiquer le projet. C’eft la un grand ouvrage que vous entrepenez, Monfieur, qui fera utile à bien des gens, et je 22). Examinez en quelqu’un je vous prie. N°. 2819 qui se rapporte aux courbes obtenues par la résolution du problème de Jean Ber- noulli mentionné dans la Lettre N°. 2807, p.454. ,Unde patet, si constructiones ejusmodi censendae sunt geometricae & accuratae, aequationes infinitas altissimorum graduum pari cum simplicissimis omnemq; pene fidem excedente facilitate construi posse”?. 77) Consultez, sur cette affaire, la note 9 de la Lettre N°. 2813. 18) Par la Lettre N°. 2815. #9) Consultez encore, sur ce passage, la Lettre N°. 2801 à la page 438. #) À en juger d'après l’imprimé de Gerhardt, ce passage est sousligné dans la lettre, qui se trouve à Hannover. C’est très-probablement Leibniz qui a voulu marquer cette phrase. #3 Comparez dans le texte de la Lettre N°. 2805 la dernière phrase de la page 449. ??) Les deux premiers de ces exemples furent proposés à de l’Hospital dans la Lettre N°. 2777; le troisième à Hubertus Huighens dans la Lettre N°.2735, mais jamais expressément à de l’Hospital. Seulement dans la Lettre N°: 2819 (voir la page 493) Huygens communiqua à ce dernier la manière dont il avait déduit par sa méthodes des ,, déguisements”? cette troisième expression, qui représente la soustangente du cercle : 24x—7?—x°=0: #3) Voir, sur cet ouvrage, la note 7 de la Lettre N°, 2797: 512 CORRESPONDANCE. 1693. voudrois eftre plus propre que: je ne fuis à vous y fervir en vousfourniffant & la matiere. Mais le peu d’attachement et d’eftime que j’ay per quefe canzoni politiche, comme le P. Paolo *#) les appelloit, me tient hors de commerce pour rour ce qui les regarde, et je fouffre mefme avec peine qu’un efprit comme le voftre y emploie du temps. Croiez que c’eft un effeét de la haute opinion que j’en ay et du zele avec le quel je fuis MONSIEUR É Voftre trefhumble et trefobeiflant ferviteur Hucens de ZULICHEM. os N° 2823. CHRISTIAAN HuUYGENs aux Eprreurs des Aë&ta Eruditorum. [SEPTEMBRE 1693]. Appendice 1 au INo. 2820. La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens. La pièce à été imprimée dans les Acta Eruditorum d'octobre 1693”). +)C. H. Z. de Problemate BERNOULIANO in aétis | Lipfienfibus hujus anni pag. 235 propoñito *). Elegans inprimis efle hoc Problema, cum ex iis quae Clariflimus inventor:) de eo prodidit, cum ex folutione et commentatione fraterna +) manifeftum ef. 34) Paolo Sarpi, le servite, ami de Galilée, connu sous les noms de Fra Paolo, Paulus Venetus ou Paulus Seruita, né à Venise le 14août 1552. Dès l’âge de 26 ans il fut créé provincial et, peu d’années plus tard, procureur-général de son ordre. A l’occasion de la lutte entre le Pape Paul V et la République de Venise, celle-ci le chargea de défendre ses droits comme théolo- gien-consultant, ce qui lui attira l’excommunication. Quoique la réconciliation tant de la République que de Sarpi avec le Pape eût eu lieu en 1606, il fut en 1607 victime d’un attentat, dans lequel il fut dangeureusement blessé de 15 coups de poignard. Il mourut le 14 janvier 1623. Ses nombreux écrits, entre autres sur l’histoire ecclésiastique, avec une biographie, ont été réunis dans une édition intitulée ,Opere del Padre Paolo”, parue a Venise en 1677 en six volumes in-12°.” 4 ) Elle y est accompagnée d’un article de Leibniz que nous reproduisons dans le N°. 2824. ?) Consultez la note 4 de la Lettre N°. 2807. 3) La minute a : auétor. +) Voir l’article cité dans la note 16 de la Lettre N°, 2810. Éd jt Des eh 5 26 pi a enr Du ire CALE À à à a Sd CORRESPONDANCE. 1693. 513 A quo inveftigando cum propter infignem diflicultatem, quae ftatim fefe offerebat, abftinere ftatuerim 5), (neq; enim omnibus perquirendis, quae a Viris eruditis exercitii gratia proponuntur, incumbere neceffe exiftimo, aut affequendis parem me profiteor) non defiit tamen quafi invitum compellere recurrens identidem quaefiti non vulgaris idea, donec tandem quod defiderabam obtinui °). Inventa nimirum &eguatione differentiali in qua ex altera parte erat elementum trapezii hyperbolici, ab afymptoto perpendicularibus intercepti; ab altera elementum fpatii curvilinei, quod itidem ad trapefium hyperbolicum reduci poffet 7). Quod apertius exponerem, nifi relinquendam etiamnum aliis putarum inquirendi volup- tatem. Inde eo rem deducebam, ut trapezium ejufmodi hyperbolicum fecandum effet aut augendum fecundum rationem datam*). Quod cum per medias aut continue proportionales fieri poflit, ubi ratio tangentis ad abfciffam eft ea quae numeri ad numerum, hinc apparuit curvam quaefitam tunc iis accenfendam quae geometricae vocantur, alias effe ex heterogeneis; ac tamen conftructionem dari pofita lineae logarithmicae defcriptione ?), quam quidem hic adducerem, nifi viderem haud difliculter ex ipfa Jacobi Bernoulli do&iffima fimul breviffimaque folutione omnia ‘) erui poffe; ut jam ab alijs occupatam dubitem *). Colligitur vero ex his illud animadverfione dignum, nempe quandocunque in inveftigatione curvarum ex tangentibus aut fubrangentibus ejus, ad fimiles eiquam dixi aequationes pervenietur, aut in quibus habeatur utrinque elementum fpatii ad trapezium hyperbolicum reduétibilis; tunc idem hoc, quod mirabile hic accidit, eventurum, ut curvae geometricae diverforum generum graduumque exiftant, fi hyperbolarum ad quas devenitur reétangula quae in afymptotis, fint commenfura- bilia. Praeterea obfervanda venit in hoc problemate inufitata ac fingularis analyfis via, quae ad alia multa in hac Tangentium doétrina aditum aperit, ut egregie jam animadvertit Vir celeberrimus calculi differentialis inventor, fine quo vix effet, ut ad hafce geometriae fubrilitates admitteremur. Porro quod ad curvarum, de quibusagitur, defignationem in plano attinet, poffem, fi operae pretium effet, alios modos ac fortafle commodiores indicare **) quam qui a CI. Bernoullio praefcri- S) Lisez, conformément à la minute: ftatuiffem, (d’après les ,Corrigenda”, communiqués dans les ,, Acta” de juillet 1694, p. 338), et consultez la Lettre N°. 2819, à la page 494. 5) Voir la Lettre N°. 2820, et la pièce N°. 2821. 7) Voir la note 4 de la Lettre N°. 2820. #) Voir le $ V de la pièce N°. 2821. 9) Voir le $ VI de la pièce N°. 2821. 19) Lisez: eam, comme l’ont aussi la minute et les ,Corrigenda”. 11) Huygens, toutefois, est revenu sur cette construction dans l’article des ,, Acta” de septembre 1694, intitulé: ,,C. H. Z. Constructio universalis Problematis a Clarissimo Viro, Joh. Ber- noullio, superiori anno mense Majo propositi”. Voir la correspondance de 1694. 7?) Voir, sur ces descriptions mécaniques de la courbe de Bernoulli, la lettre de Huygens à de l’Hospital du 5 novembre 1693. Œuvres. T. X. À 65 514 CORRESPONDANCE. 1693. bicur *3), atque etiam docere qua ratione optime peragatur defcriptio noftrae qua- dratricis hyperbolae, quae inter Traëorias (ita enim vocari poffunt) fimpliciffima cenfenda eft, cum ad eam filis nihil opus fit, fed bacillo tantum utrimque cufpidem lateri infixam habente, quo fit ut & regreflu explorari poflit quam reéte exarata fic 4). Sed his fuperfedendum arbitror, donec infignis ufus aliquis harum linearum in lucem proferatur. Interim aliam quandam utiliffimam curvam nuper mihi repertam Geometrae fciant, cujus opera horologiis aequalis motus confiliatur, ac ejufmodi ut maris agicatione nequaquam turbari aut imminui 5) queat %); quod 13) Consultez, sur cette description de Bernoulli, la note 20 de la Lettre N°. 2819. 4) Consultez, sur la tractrice et sa description mécanique, la pièce N°. 2793, aux pages 408—413. 15) La minute a : eXtingui. 16) Le succès au premier abord douteux de la nouvelle expérience pour déterminer la longitude sur mer au moyen des horloges à pendule (voir la Lettre N°. 2785, à l'endroit marqué par la note 3) et les vains efforts subséquents pour déduire quelque résultat satisfaisant des données que J. de Graaff avait recueillies dans son voyage du Cap (voir les Nos, 2786, 2789, 2798, 2800, 2802 et 2803) paraissent avoir induit Huygens à rechercher d’autres moyens pour réaliser des mouvements périodiques isochrones, qui seraient à l’abri des perturbations exté- rieures, telles que celles produites par le roulement et le tangage des vaisseaux de haute mer. Lesessaistentés par Huygens dans cette direction remplissent plusieurs pages des livres H et Jdes Adversaria. Déjà U ylenbroek, dans le deuxième Fascicule des, Exercitationes Mathema- ticae” pp. 160 à 170, en a donné un extrait, C’est même à cette partie des travaux de Huygens qu’il a emprunté la page des Adversaria reproduite en facsimilé, qui termine son ouvrage. Nous nous proposons de donner tout ce que les Adversaria contiennent de remarquable à ce sujet dans la partie de notre publication qui renfermera les ouvrages inédits de Huygens. Ici, nous nous bornons à indiquer succinctement comment, dans cette recherche, Huygens a été conduit à la courbe proposée à la fin de la présente pièce N°. 2823. Pour trouver ce que Huygens appelle ,,le Balancier marin parfait” il part du principe que le mouvement pendulaire isochrone se produit lorsque le moment de la force directrice est à chaque instant proportionnel à l’écart de l’état d'équilibre. Huygens essaie donc d’abord la disposition de la figure 1, où le fil sans fin, suspendu dans Fig. 1. Fig. 2. Fig. 3. re CORRESPONDANCE. 1693. 543 in pendulis noftris haétenus ufurpatis non fatis caveri potuit. Adeo ut nova ac certior fpes nunc affulgeat perficiendi Longitudinum inventi. Curva haec formatur. ...... #) Miffa ad Leiïbnitium 17 Sept. 1693. 5) Dans la minute Huygens écrivit : Flexilis ambitum cum linea deferit orbem en ajoutant en marge : literas con- fufas mifi hujus verfus. la gorge d’une poulie fixée au balancier, porte des petits poids égaux et équidistants. L’essai de cet appareil, inventé le 13 janvier 1693, n’a pas été satisfaisant. Les grandes oscillations se montraient plus lentes que les petites, ce que Huygens attribue principalement à deux causes: savoir, que dans les oscillations plus étendues 1°. la résistance de l’air se fait sentir plus fortement, et 2°. le nombre de poids qui doivent se plier est plus grand, en même temps Fig. 4. Fig. 5. A que l’angle que décrit chaque poids en tournant. C’est pour remédier à ce dernier inconvé- nient que Huygens imagine les formes de chapelet des figures 2 et 3; tandis que pour obvier au premier il emploie la forme de balancier de la figure 4. Le 6 mars suivant il paraît avoir abandonné ce système pour s'arrêter au suivant. À l’axe d’un balancier (fig. s)estattachée une languette en métal, de la forme ABDE, dont les bords DBet DE doivent être taillés de manière qu'un poids p suspendu par un fil ou ruban au point D, et qui dans le mouvement oscillatoire du balancier s’enroule ou se déroule sur ces bords, produise à chaque instant un moment de force, par rapport à l’axe C, qui soit proportionnel à l’écart angulaire de la position d’équi- libre de la languette. Huygens démontre que la courbe qui satisfait à cette condition est la développante du cercle eDf décrit du centre C et que, dans ce cas, le poids p, lorsque le fil reste vertical, décrit une parabole, 516 CORRESPONDANCE. 1693. N° 2824. LeiBniz aux Eprreurs des ,,Aéta Eruditorum”’, [SEPTEMBRE 1693]. Appendice au No. 2823. La pièce a été publiée dans les Acta Eruditorum d'octobre 1693, p. 476. Excerptum ex Epiftola G. G. L. cui praecedens meditatio *) fuit inclufa. Mitto meditationem quae fatis indicat autorem fuum, tum magnitudine prae- clarorum inventorum, tum ipfa magnis viris fueta ingenuitate. Nam & meo qualicunque invento debere aliquid voluit, cum ipfe pro fua in his ftudiis autori- rate & meritis, facile omnia a fe petiifle videri poflit. Caeterum video ipfum, qua eft perfpicacia, ubi primum animum ad noftrum calculum differentialem appulit, ftatim animadvertiffe, quid in eo fit optimum. Nempe quod ita folutiones gene- rales habeantur, quae fua natura porriguntur ad quantitates tranfcendentes, in certis autem cafibus, ut fieri poteft, ad ordinarias ducunt. Mirarer, quod folas illas quae aequationibus certis gradus fubjacent, Geometricas vocare adhuc videtur, nifi judicarem, fequi magis vulgi morem ea in re, quam probare, dum de iis ait, quae Geometricae vocantur. Ego putem, ut veteres quidam reéte reprehenfi funt, quod Geometricum fatis effe negarent, quicquid circulo aut regula effici non poffet; ita nec illorum hodie errori favendum effe, qui Geometriam folis aequa- tionibus Algebrae gradariis metiuntur; tum Geometricum potius fit, quicquid motu continuo exacte conftrui poteft. Quod fi ille non admittit, fuis ipfe prae- claris inventis injuriam facit, cum ipfemet inprimis auxerit Geometricas conftruc- tiones : nam evolutionum inventum *), quod Hugenio debemus, quantivis pretii eft, & nunc traétorias conftruétiones protraxit in publicum primus 3). Nam etfi ego prior jam a multis annis idem tacitus verfaverim, & ut arbitror longius etiam provexerim, fateor tamen ideam primam hujus motus mihi a Perralto veniffe, etfi a me profeéta fit refolutio ejus feu applicatio ad Geometriam#). At Hugenium 1) La pièce N°. 2823. ?) Allusion à la Pars Tertia del’, Horologium Oscillatorium”, intitulée: ,, De linearum curvarum evolutione & dimensione”. ; 3) Dans la pièce N°. 2793. 4) A ce propos on trouve encore, dans l’article cité dans la note 6 de la présente lettre, les renseignements suivants: ,, Hujus autem Constructionis [la description mécanique des trac- trices] excogitandae, talis mihi olim occasio Lutetiae praebita est. C/eudius Perraltus, Medi- cus Parisinus insignis, tum & Mechanicis atque Architectonicis studiis egregius, & /’##ruvit \ PR € 2 PTS Te ot Al L'ÉMEEU SSL E CORRESPONDANCE. 1693. 517 judico utrumque fibi ipfi debere 5). Quod vero nunc 1pem facit motus hujus trac- torii reddendi quam accuratiflimi, fi forte infignis aliquis hujufmodi linearum ufus in lucem proferatur, non dubito quin fit libentius impleturus, vifo nupero fche- diafmate meo menfis Seprembris ®), ubi oftenfum eft, omnes quadraturas tali motu, 7 editione notus, idemque in Regia scientiarum Societate Gallica, dum viveret, non postre- mus, mihi & aliis ante me multis proposuit hoc problema, cujus nondum sibi occurrisse solu- tionem ingenue fatebatur..... [suit le problème de la tractrice ordinaire]. Utebatur autem (intelligentiae causa) horologio portatili suae thecae argenteae incluso K, [voir la figure II de la pièce N°. 2793, à laquelle nous avons adapté les notations de l’article], quod catenulae NK ad thecam alligatae principio N, secundam regulam DN ducto, per tabulam trahebat. Ita imum thecae punctum (quod in fundi medio est) in tabula describebat lineam KR. Hanc lineam ego attentius considerans (cum tunc maxime in tangentium contemplatione versarer) statim animadverti, quod res est, filum perpetuo lineam tangere, seu rectam ut KN esse tan- gentem lineae KR in puncto K”. Après quoi Leibniz procède à démontrer que la construc- . tion par points de la tractrice dépend de la quadrature d’une certaine courbe (identique avec celle à laquelle Huygens arrive au $ I de la pièce N°. 2794), qu’il sait réduire à la quadrature de l’hyperbole. (Comparez la note 17 de la Lettre N°. 2699). Ensuite il ajoute: ,,Quibus ulterius explicandis non immoror, cum praesertim arbitrer idem optime praestitisse C#ris- tianum Hugenium, Nirum celeberrimum, qui mihi non ita pridem per literas significaverat incidisse sibi singularem Hyperbolae quadrandae rationem; quam etiam in Historia operum eruditorum publicatam nuperrime, & hanc ipsam esse colligo ex iis [consultez la phrase citée dans la note 19 de la Lettre N°. 2819], qui nuper a praestantissimis fratribus Bernoulliis data in Actis eruditorum”. Dans les excellentes , Notes de Bibliographie des Courbes géométriques (Partie complémen- taire)” par H. Brocard, Bar-le-Duc, 1899, on trouve, à la page 180, l’annotation suivante: »De Sluse, en 1662, dans une lettre à Huygens parle de la courbe dont les tangentes sont égales”. Si cette assertion était exacte on devrait attribuer à De Sluse l'invention de la trac- trice; mais il n’en est rien. Les lettres de De Sluse à Huygens de l’année indiquée, les Nos. 1042, 1049, 1059 et 1068, ne contiennent rien qui s’y rapporte, et après avoir consulté _ toutes les lettres de De Sluse, publiées par le Paige au ,,Bulletino” de B. Boncompagni de . 1884, d’où le correspondant de M. Brocard prétendait avoir puisé son information, nous croyons pouvoir assurer qu’elle ne repose sur aucun fondement réel. D'ailleurs il n’est nullement improbable que Huygens n’ait, lui aussi, entendu discourir Claude Perrault, avec lequel il était très lié, sur sa construction primitive de la tractrice, et la manière dont Huygens parle dans la pièce N°. 2793 de la découverte de ses propriétés ne nous semble pas l’exclure nécessairement. Ajoutons que, comme Zeuthen le remarque dans sa ,,Geschichte der Mathematik in XVi und XVI Jahrhundert”, Leipzig, Teubner, 1903, p. 424, Newton aussi s’est occupé, proprio motu, de la tractrice; comme cela résulte de sa lettre d’octobre 1676 à Oldenburg, citée dans la note 21 de la Lettre N°. 2810, où on lit (pag. 224): ,Inversum hoc Problema de Tangenitbus, quando Tangens inter punctum contactus et axem Figurae est datae lon- gitudinis, non indiget his Methodis; est tamen Curva illa Mechanica, cujus determinatio pendet ab Area Hyperbolae”. Voir, dans les ,, Acta” de septembre 1693, l’article intitulé: ,G. G. L. Supplementum Geome- triae Dimensoriae, seu generalissima omnium Tetragonismorum effectio per motum : Simili- terque multiplex constructio lineae ex data tangentium conditione”. 518 CORRESPONDANCE. 1693. etfi compofitiore conftrui pofle7). Ad fchediafma diétum adjicere placet, poffe in figura 3 totam tabulam RM, cum appendicibus, nempe cylindris TG, FE, & dire&rice rigida EE in eodem plano vel aequivalente effe cum ipfo plano lineae defcribendae C(C). Caeterum curvam direétricem rigidam faepe commode vitari poffe, & adhibitis pro ea reétis materialibus, quibus poteft defcribi. = N° 2825. Le Marquis DE L’HospiTAL à CHRISTIAAN HuyGEns. 18 SEPTEMBRE 1693. Le lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle a été publiée par P. J. Uylenbroek*). Elle est la réponse aux Nos. 2819 et 2820. Chr. Huygens y répondit par le No. 2828. A Paris ce 18e Septembre 1693. Ce m'’eft toujours un plaifir fenfible Monfieur de recevoir de vos lettres puis- qu’elles m’affurent de vôtre fouvenir et qu’elles fervent en mefme temps a m’in- ftruire, Je vois par vôtre derniere du 10 de ce mois que vous avez trouvé la maniere de refoudre le probleme de Mr. Bernoulli et que vous tombez dans la conftruction de fon frere. Cela ne me furprend point, car je fçais affez que vous etes nôtre maïftre dans tout ce qu’il y a de plus profond dans les mathematiques. La mienne eft tres differente, ceft pourquoy je crois que vous ferez bien aife de la trouver ici, avec les objections que m’a faites Mr. Bernoulli à qui je l’avois envoyée, et ma reponce fur quoi je vous prie de me mander fincerement voftre penfée. Probleme. La ligne courbe CMM a une proprieté telle, que chacune de fes touchantes MT eft toujours à la partie CT de l’axe prife entre fon origine C et la rencontre T de la touchante, en raifon donnée de p à 7: On demande la nature de cette ligne, ou la maniere de la décrire. 7) Il s’agit d'un instrument ingénieux, mais assez compliqué, permettant de décrire mécanique- ment la courbe quadratrice, transcendante en général, de chaque courbe géométrique donnée, si l’on suppose construite auparavant une autre courbe, toujours géométrique, qui dépend de la courbe donnée. Dans cet instrument la courbe quadratrice se décrit, à l’instar de la tractrice ordinaire, par un poids se mouvant sur un plan horizontal dans la direction d’un fil qui le tire. ©) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, p. 290. CORRESPONDANCE. 1693. 519 tion. Lorfque la raifon de p à g eft de nombre à nombre, ayant nommé les minées CP, y, PM, x; on fe fervira de ces formules generales : lg: VA ot---L Eh M + gp * a+? p LA ù 1 : — 22) + 44) — PP = = —— 0 où bien —.°< et ayant PRG Ep NN LE = pr 2 pa ù fait evanouir l’inconnuë z on formera deux equations qui exprimeront chacune la nature d’une ligne courbe CMM qui fatisfait à la queftion *). Suppofant par 4# 23 3) ou et 22 + 9442 22 +44 exemple que p foit double de 4, on trouvera y — Be 7 322) d'où l’ qax on tire ces deux equations: 4324 + 432XxXyy + *) Il semble utile, pour éclaircir les discussions que l’on va rencontrer dans cette lettre et dans la réponse de Huygens, de remarquer ici dès l’abord que les deux solutions indiquées par de l'Hospital, généralisées, comme il le faut, par l'introduction de la constante de l'intégration, ne sont pas différentes, puisqu’elles mènent aux mêmes courbes. Il n’en pouvait être autre- ment, et il est facile de le constater après coup en exécutant dans les équations de la première solution : y—C z 14 Ce + (g + DD x (2° +9? —p?)y : 2pz, la substitution = (4° — p°) : y par laquelle elles se transforment dans les équations : 520 CORRESPONDANCE. 1693. + 724xyy + 644x3 = aayy et 16y+ + 16xXÿy—724xyy — 644x3 —27a44ÿy*), qui expriment chacune la nature d’une ligne courbe CMM, dont les touchantes MT font doubles des parties CT de l’axe faites par leur rencontres. ]1 en eft ainfi des autres. ; Lorfque la raifon n’eft pas de nombre à nombre; ayant tiré les droites indefinies AB, DE, qui s’entrecoupent à angles droits au point C, on decrira entre les afymptotes CA, CD, une hyperbole quelconque KOQ, et menant librement AK parallele à CD qui rencontre l’hyperbole en K, et EF parallele à CB telle, que le reétangle CEF foit au reétangle CAK, comme la difference des deux lignes p et g eft à la ligne 7: on decrira par le point F entre les afymptotes CB, CE une autre hyperbole FH; on menera enfuite librement GH parallele à CB, et prenant CB egale à p + g, on fera comme le quarré de BG eft au quarré de BE, de mefme CA eft à CL, par ou l’ontirera LO parallele à CD. On prendra enfin l’efpace hyperbolique LPQO (du mefme côté de l’efpace ALOK par rapport à CD, lorfque p furpaffe 4, et du côté oppofé lorfqu’il eft moindre) égal à l’efpace hy- perbolique EGHF 5) et nommant CP, y, CG, z, on prolongera PQ en M, de forte que PM — 22) + 449 —PPI , je dis que le point M fera à la courbe cherchée 2pz CMM. Ou bien. Ayant tiré les droites indéfinies AB, DE qui s’entre coupent à angles droits au point C, on décrira entre les afymptotes CA, CD une hyperbole quel- conque KOQ, et menant librement AK parallele à CD, qui rencontre l’hyper- bole au point K, et EF parallele à CB telle, que le reétangle CEF foit au reétangle CAK comme p + g eft à g : on decrira par le point F entre les afymptotes CB, CE une autre hyperbole FH : On menera enfuite librement GH parallele a CB, et prenant CB egale à la difference des deux lignes pet 4, on fera comme le TRS e 2 2 2 = Cr HG D) 5 GP Hi p)9 à apr, où C'=(1+2)7 G—r) Tr C. C’est seulement dans le cas particulier 9 —p, où cette substitution est inadmissible, que les deux systèmes d'équations constituent deux solutions différentes. Alors, en effet, le premier système amène le cercle 4p° (x° + y?) — Cy — o et le second la droite y = C’. 3) Lisez, dans le dénominateur : 23, au lieu de 22. #) Dans ces équations la constante d'intégration se trouve introduite; elles doivent doncétre identiques. En effet, la seconde se déduit de la première en remplaçant la constante arbitraire a par —274. Comparez la réponse de Huygens. S) Posant CA —4,CE— 9, CG—2, cette égalité exige pour p > 4, comme pour p 4: 41(CL 13) = Go—9)1 (5: 8) où CL — 4 [8 + (p + 9)°]: [af + Cp + 9)°]. On trouve donc y 4 [8° + (p+4)]8 7 27 : [at + (+4) ] = Ca 5 C++)" bi os “ s' A F süi À FN EP TU NE DU ONE PE RO PO ER OU EN TT CORRESPONDANCE. 1693. 521 quarré de BG eft au quarré de BE, de mefme CA eft à CL, par où l’on tirera LO parallele à CD : on prendra enfin l’efpace hyperbolique LPQO (du coté oppofé à celui de l’efpace ALOK par rapport à CD) egal à l’efpace hyperbolique EGHF 5), et nommant CP, y, CG, z, on prolongera PQ en M de forte que pM — #2 + 449 — PP) 2p? qui refout encore le probleme. Voici ce que me mandoit Mr. Bernoulli. ,,1°. Je trouve voftre conftruéction bien prolixe et embaraflée ; la mienne eft bien plus aifée et ne demande pas qu’on prenne deux efpaces hyperboliques égaux. 2°. Je ne fcais pas pourquoi vous “trouvez toujours deux courbes qui fatisfaffent à la queftion en quelle raifon que »{oit p à g, il me femble pouvoir demontrer qu’il n’y en a qu’une qui reponde au probleme. 3°. Vous dites que fi la raifon de p à geft comme 2 à 1, les deux courbes sferont432ÿ#+432XXyy+7242x%yy + 644x3 = aayy, et 16ÿ#+ 16xxyy — 724xyy »»—644%3 — 2744yÿy; mais par ma folution generale, je trouve dans ce cas cette equation y++2ÿy + 184%yy + 164x3= 2 744y, qui n’eft pas femblable ni à l’une ni l’autre des vôtres; erce qu’il y a de plus, c’eft que fi vous cherchez reciproque- ment la tangente MT et la partie CT de vos deux courbes, vous trouverez que MT eft à CT non comme 2 à 1, ce qui eft une preuve invincible qu’il y a ici une sfaute. 4°. Vous ne difconvenez pas que la courbe CMM ne foit un cercle lorfque ,p à g ou MT à CT eft une raifon d’egalité, or au lieu qu’il n’y a que le cercle (comme il eft manifefte au plus petit geometre) qui puiffe fatisfaire, vous trouvez deux lignes differentes, dont ni l’une ni l’autre eft un cercle; car votre premiére 1 RS A à» PIN donne une ellipfe, et la feconde y = Gp »produit qu’une ligne droite parallele à CD. Ce dernier argument eft tout feul »{ufiisant pour vous donner la peine de repaffer le calcul et de chercher la faute, quand vous l’aurez trouvée, vous me pouvez envoyer la correction, il fera alors saflez temps d’envoyer vôtre folution a Leipfic®), qui fera encore des premieres “apres celle de mon frere?) et la mienne” *). J'y ai repondu par articles en cette forte : ,1°. Si l’on propofoit de décrire une Je dis que le point M fera à une ligne courbe CMM, formule y = 5) Ici légalité exige: 91(y: CL) —=(p +4)1(z:2), ce qui amène les équations de la pré- tendue seconde solution. 5) Elle parut dans les ,, Acta” du même mois de septembre 1693. (Voir la note 15 de la Lettre N°. 2815). Il est donc clair que Jean Bernoulli s’est laissé convaincre par la ee de de l'Hospital qui va suivre. 7) Voir la note 16 de ia Lettre N°. 2810, #) Elle n’a point paru, probablement parce qu’elle était identique, quant au fond, avec celle de De l'Hospital. Œuvres. T. X. 66 522 CORRESPONDANCE. 1693. courbe dont la foutangente fuft roujours à l’abciffe en raifon conftante; ileft clair ce me femble que la conftruétion la plus fimple et la plus generale demanderoiït qu'on prift deux efpaces hyperboliques egaux, et toutefois cette courbe eft bien moins compofée que la vôtre. 2°. Je foutiens qu’il y a toujours deux courbes qui »fatisfont egalement qui font celles que l’on trouve par mes deux conftruétions et de plus qu’il n’y en peut avoir d’autres. 3°. Votre courbe y4 + xxyy + 184xyy+ » + 164x3— 274aayy, eft la mefme que ma feconde 16y4 &c.; car fi l’on fuppofe »4 — 4b et qu’on divife par 16, on trouve y4+xxyy—18bxyy—16bx3 — 27bbyy, »qui ne differede la vôtre qu’en ce que les valeurs des appliquées x font changées de fauffes en vrayes et au contraire, ce qui ne change rien dans la courbe que fa spofition. Mais afin qu’il ne vous refte aucun fcrupule fur ma premiere equation, et que vous en puifliez faire aifement le calcul, fuppofez 4— 19h, et divifez Chaque terme par 48, ce qui vous donnera 974 + 9xxyy + 18bxyy + 16bx3— »==bbyy, et vous trouverez que cette courbe (fi vous en faites le calcul) a fes tan- gentes MT doubles des parties CT de l’axe. D'ou il eft evident que ma conftruc- tion eft conforme à la vôtre en ce cas, et qu’elle eft beaucoup plus generale, puif- qu’elle donne toujours deux lignes courbes ou vous n’en trouvez qu’une, 4°. Ma L I ; è ë »premiere formule donne xx += -——°), qui eft une equation à un cercle qui 4PP » pour rayon —. et ma feconde donne à la verité une ligne droite parallele à CD mais elle facisfait aufli dans ce cas comme il eft manifefte au plus 2R { petit geometre; car fi l’on mene d’un de fes points quelconques M Y une tangente MT, elle fera la droite mefme et n'ira rencontrer axe CD qu’à une diftance infinie; d’où il fuit que ces deux lignes »MT, CT feront egales entr’elles, puis qu’elles ne different que sde la quantité PM, qui ef finie”. Vous voyez, Monfieur, que la conftruction de Mr. Jac. Bernouilli, eft moins generale que la mienne. Mais il me femble de plus qu’on parvient plus difficile- ment à l’equation qui exprime la nature de la courbe; car fi l’on nomme AB,x'°)}; (n+1)2+ Come? 1 + 227 Et 22 — ÿy + XX — 212 +nmnxx, qui me paroiflent moins fimples que les miennes. Lorfque la raifon ne s'exprime que par des lignes, il faut du moins pour avoir la ——— BC, y; DC, z; on trouve felon lui ces formules") = ( Sos à 9) Lisez: "=; ) Lisez 2pD 19) Voir la figure de la note 20 de la Lettre N°. 2819. 11) Lisez x; on a, en effet, AB — x = AD + DB = #2 + 2 (1—22") : (1 +2), Detén Sd CORRESPONDANCE. 1693. 523 valeur de DB employer la quadrature de l’hyperbole ou les logarithmes, et il ne donne alors aucune conftruétion; de forte que ce n’eft pas merveille s’il ne fup- pofe point qu’on prenne des efpaces hyperboliques egaux. Voici en abregé mon analyfé: CP = y, PM = x, donc MT = PCA etCT HR AE 4 par la condition du probleme y]/”4x°+4y°:xdy—ydx:: p:4, d’ou je tire, (en fuppofant pour abbreger pp—4q— mm) dx° — PRE — Tronc Le P say? et la refolution de cette egalité, (dont je regarde. dx comme l’inconnue) me donne #mydx = ppxdy & gdy \/ mmyy + ppxx, que je mmdu change en cette autre equation: Te Ÿ qgq+FqV ppuu+ mm x, uy; et pour 4x, udy + ydu) par le moyen de laquelle je pourois deia conftruire la courbe. Mais je fuppofe pour ofter les incommenfurables }/” ppuu + mm—2— 22— mm _ 22d2+mmdz — pu, et partant # — d LE — a ro n M 2p2 is 222 12) (en mettant pour . Ces valeurs me donnent par la fubftitution: dy (qg— pds 2242 - Mb pe 28+(D+4q) où bien © dy _(P+g)dz 2242 gz 22+(p—4) qui m'ont fervi à former mes deux conftruétions. Comme vous avez trouvé l’analyfe de Mr. Bernoulli je ne la chercherai point et je l’attens de vous. Au refte ma feconde fuitte donne les memes quadratures que celle de Mr. Gregori. Vous le reconnoiftrez aifement pour peu que vous vous y appliquiez. Mais il faut dans l’une et l’autre retrancher toujours ma 3°. fuite, ce que Mr. Gregori devoit remarquer, car autrement je puis demontrer que fes quadratures feroient faufles. L’autheur du livre de la manoeuvre de vaiffeaux eft Mr. Renaud 5”), que je connois particulierement et qui a la Charge d’ingenieur de mmdu qgu + qV/ ppuu + mm - 13) Bernard Renau, né dans le Béarn en 1652, fut une des illustrations du règne de Louis XIV. Élevé par Colbert du Terron, intendant de Rochefort, il apprit les mathématiques pour entrer dans la marine. En 1679 il obtint une place auprès du comte de Vermandois, amiral de France. Il fut bientôt appelé à prendre part aux conférences instituées par le roi pour reformer la construction des bâtiments de guerre. Ce fut le système de Renau qui prévalut. Ce fut aussi d’après ses projets que l’on construisit les galiotes à mortiers qui, sous sd direction, servirent au bombardement d’Alger. Après la mort de Vermandois il se mit au service de 17) Lisez: 524 CORRESPONDANCE. 1693. la marine. Vousme ferez plaifir de me mander ce que vous en penfez. J’acheverai de repondre à ce que vous fouhaitez de moi dans ma rere, lettre 4). Je vous prie de ne pas oublier de m'envoyer les inventions de Mr. Neuton :5) lorfque vous les aurez receues et je ferois bien aife aufli de favoir les manieres dont vous decrivez la courbe de Mr. Bernoulli, que vous me mandez eftre meilleures que la fienne. Je fuis Monfieur avec beaucoup de zele vôtre tres humble et tres obeiffant ferviteur le M. DE L’HospriraL. Apres ma lettre écritte je n’ay pu m’empefcher de chercher la maniere dont Mr. Bernoulli pouvoit avoir trouvé fa conftruétion, et j’y fuis arrivé par un chemin affez court que voici. Soit DC=—z, DB—x donc AD — »z, AB=— #2 + x, et leur differentielles DI=— #42, Bb ou CE — 4x + ndz. Or à caufe des triangles femblables DBC, CEe et DF2, ou aura DB : DC :: CE : Ce — ts et DC : DB: : Da: DF — Le c’eft-dire à la dif- ferentielle Ce de la courbe moins *°) la differen- tielle de la touchante DC; d’ou l’ontire #xx42+ ! 4 ! | { WA + xzdz — 2zdx + nzzdz, et faifant x = wz il qui eft apparemment l’equa- = #0) | tion, où vous eftes arrivé, et dont on déduit dde le refte, Si vous avez fuivi une autre voye vous me ferez plaifir de m’en faire part. dz vient — — Z Vauban, qu’il suivit au siège de Philipsbourg. Après avoir pris part, sur l’ordre du roi,au bombardement de Gênes, il assista aux sièges de Mons et de Namur. Parmi ses exploits on cite la délivrance, à St. Malo, des vaisseaux échappés au désastre de Cap la Hogue (voir la note 6 de la Lettre N°. 2753) et le sauvetage de plusieurs millions, qu’il réussit à retirer des galions espagnols réfugiés dans la baie de Vigo où ils furent pris par les Anglais. Renau était alors au service du roi Philippe V d’Espagne. Un gentilhomme espagnol, d’Elisagaray, lui ayant appris qu'ils étaieut parents, Renau joignit à son nom celui d’Elisagaray. Il mourut le 30 septembre 1719. En 1699, lors de la réorganisation de l’Académie des Sciences, le roi l'avait créé membre honoraire. Fontenelle a écrit son éloge. 14) La Lettre du 21 octobre 1693; toutefois, à la question posée par Huygens concernant la courbe de la voile, de l’Hospital n’a répondu que dans sa Lettre du 25 novembre 1693. 15) Voir la Lettre N°. 28 10 à la page 464 et la Lettre N°. 2815 à la page 484. 16) Del Hospital avait écrit plus” ce que Huygens a changé en,,,moins”. ES QT GS CR ES PRE ETES Pt ENT 7 CAE PORT PRET TR CRE SE PL CORRESPONDANCE. 1693. 525 N° 28026. CHrisTiAAN HuyGens à J. LE CLerc, rédaéteur de la Bibliothèque Univerfelle et Hiftorique. [SEPTEMBRE 1693]. La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens. La pièce a été publiée dans la Bibliothèque Universelle et Historique*) et, en latin, + par W. J. ’s Gravesande*). Remarque de M. Hucuexs fur le livre de la MANOEUVRE DES VAISSEAUX imprimé à Paris en 1689, in-8°. Pagg. 1175). Le Livre, dont l’Auteur eft Mr. Renaud, Ingenieur Général de la Marine, eft écrit avec beaucoup de foin, de netteté & de methode, & marque du fçavoir dans la Geometrie & dans l’Analyfe. On n’y fuppofe point de principes que je n’avoüe être véritables +); & fi toute la Théorie étoit tirée de là par des conféquences legitimes, il n’y auroit rien à reprendre. Mais cela n’étant pas, je crois que pour Putilité du public, il eft bon d’avertir d’une erreur confiderable que j’y ay recon- nüe, parce que fe répandant dans la plus grande partie des Régles qu’on donne ici aux Pilotes, elles pourroient les mener dans des erreurs tres grandes & dange- reufes. Je commencerai en raportant le contenu de l'Article I du 2. Chapitre où FAuteur fuppofe le vaiffeau HBM; dans lequel la ligne droite DC reprefente la pofition de la Voile, que l’on conçoit comme une furface plane, élevée perpendi- 1). Dans la livraison de septembre 1693, page 195. Voir, sur ce journal, la Lettre N°. 2435, note 19. ?) Chr. Hugenii etc. Opera Varia, Volumen Primum, p. 292 sqq. 3) Voir, pour le titre complet, la note 17 de la Lettre N°. 2813. 4) I s’agit des principes exposés dans le premier Chapitre, intitulé : ,, De la force du vent contre les voiles, de la force de l’eau contre le gouvernail, & de sa résistance contre le vaisseau”. Dans ce chapitre Renaud expose, avec beaucoup de clarté, la théorie alors généralement reçue . d’après laquelle la pression d’un fluide en mouvement contre une surface résistante, serait causée par les impulsions de ses particules matérielles se mouvant toutes, indépendantes les unes dés autres, avec la même vitesse dans la même direction et frappant contre la surface. Par des raisonnements apparents cette théorie conduit à la conclusion, que l’on considérait comme rigoureusement vraie, que la pression mentionnée, toujours dirigée suivant une ligne perpendiculaire à la surface, devrait être en raison composée de l’aire de la surface, du carré de la vitesse relative du fluide et du carré du sinus de l’angle d’incidence. Consultez encore, quant aux vues de Huygens sur la pression d’un fluide mouvant, la page 19 de la Lettre N°. 2660. ‘ 526 CORRESPONDANCE. 1693. culairement fur cette ligne. AB eft la ligne du vent qui pouffe la voile. BG eft perpendiculaire fur DC; GK perpendiculaire fur BK, qui eft la quille du vaiffeau prolongée. GEA eft un arc de cercle decrit du centre B. BKG une circon- ference ayant BG pour diametre. Il eft vrai ce que dit l’ Auteur, que la fuperficie CD eft pouflée par le vent AB fuivant la ligne BG, de forte que fi le vaifleau fendoit l’eau de tous côtez avec la même facilité qu’il la fend avec fa pointe, il iroit au point G fuivant la ligne BG. Il ajoûte que parcourant cette ligne il avanceroit de pointe de la quantité BK, & de côté de la quantité KG; mais que comme le vaifleau trouve beaucoup plus de difliculté a fendre l’eau avec le côté qu’avec la pointe, il n’avancera pas dans la derermina- tion KG de la quantité KG, mais qu’il s’en faudra une quantité pro- portionnée à la difficulté qu’il à de plus à fendre l’eau avec le côté qu’avec la pointe. Par exemple fi la difficulté par le côté à celle par la pointe étoit comme dix à un, fi l’on propor- tionne KG à KL comme 10. à 1, & qu’on tire la ligne BL, il dit que le vaifleau ira au point L, fuivant la ligne BL, dans le même tems qu’il auroit été au point G, s’il fendoit l’eau de tous côtez avec la même facilité. Il fuffit d’avoir fuivi l’Auteur jufqu’ici. Je dis que fa méprife confifte dans ce qu'il veut que le vaiffeau foit parvenu de B en K 5) dans le méme tems qu’il feroit parvenu de B en G. Car fi nous fuppofons que la derive eft nulle, pour avoir moins d’embarras, il eft certain que, felon l’Auteur, le vaiffeau ira encore de B en K dans le même temps qu ’iliroit de B en G, prenant toujours qu’il fend l’eau de tous côtez avec la même facilité; ou bien en fe faifant avancer de pointe, aufli bien en allant par BG qu’en allant par BK. . Il femble qu’en cela il ait raifonné de cette façon, fçavoir que fi en allant de B en G, le vaifleau avance de côté de la quantité KG, & de pointe de la quantité BK, il faut que le mouvement dans le fens KG lui etant ôté, il lui refte le mouve- S) Lisez: L. CORRESPONDANCE. 1693. 527 ment dans le fens BK par lequel la ligne BK étoit parcourrüe en même tems que BG. Mais il falloit confiderer que bien qu’on puiffe imaginer que le mouvement du vaifleau par BG eft compofé des mouvemens par BK & par KG, il ne s’enfuit pas que fi dans l’effet on lui laiffe le feul mouvement fuivant BK; (foit que la figure & la pofition du vaiffeau en foit caufe, foit qu’on le fuppofe attaché par une corde infiniment longue BR, qui foit perpendiculaire à BM)) il ne s’enfuit pas, disje, que le vent qui, en preffant la voile CD, le poufferoit de B en G, le pouffera dans un tems égal de B en K. Car pour fçavoir quel efpace il parcourra par BK, il faut voir avec quelle force il eft pouffé dans cette route, & de plus avoir égard à la refiftence qu’il fouffre de l’eau. Or il eft certain, par les regles de Mechanique, que la force avec laquelle la voile DC pouffe le vaiffeau par BK, eft à celle dont la même voile, & dans la même pofition à l'égard du vent, le poufferoit par BG, . comme BK à BG; & l’Auteur en convient dans ce qu’il explique des impreflions de l’eau contre le Gouvernail, au $. Article de ce fecond Chapitre‘). Mais les vitefles feroient aufli comme BK à BG, puis que l’on veut que ces deux lignes foient parcourües dans des tems égaux. Donc les forces feroient comme les vitef- fes; ce qui ne fçauroit être, & repugne à ce que l’Auteur à demontré au 13. Art. du 1 Chap. où il dit, que pour faire mouvoir un corps avec différens degrez de vitele dans une matiere fluide, il faut que les puiflances que le font mouvoir f[oient en raifon des quarrez des viteffes. Donc les lignes BK, BG ne font pas parcourües en destems égaux. Mais pour fçavoir quel efpace le vaiffeau doit parcourir dans la route BK, il faut prolonger BK en $, en forte que BS foit moienne proportio- nelle entre BK, BG. Alors BS fera l'efpace qu'il parcourra dans le même tems qu’il iroit par BG, s’il fendoit l’eau dans ce fens avec la même facilité. Car icy les quarrez des viteffes par BG & BS, & par conféquent aufli les refiftences de l’eau, feront comme BG à BK; mais, comme je viens de dire, la proportion des forces eft encore comme BG à BK; donc les forces feront comme les refiftences & aufli comme les quarrez des vitefles. Et par confequent ce font ces viteffes, qui font comme BG à BS, que le vaiffeau doit acquerir dans ces deux routes, felon la maxime de l’Auteur que je viens de citer, & qui ne reçoit point de doute. Ce n’eft donc pas, comme il a cru, la circonference du cercle BKG qui deter- mine les efpaces que le vaiffeau doit parcourir dans les diverfes pofitions de fa quille, avec la même difpofition de la voile CD à l’égard de la ligne du vent; mais c’eft la courbe BISGT, dont on trouve facilement les points de même qu’on a trouvé S. Et il eft à noter que les efpaces qu’elle donne, different d’autant plus de 5) On y lit en effet: ,si BG” [il s'agit de l’hypothénuse d’un triangle rectangle BFG] ,,repré- sente la force avec laquelle le gouvernail est poussé, BF sera la force avec laquelle il est poussé dans la détermination BF & FG celle dont il est poussé dans la détermination FG”. 528 CORRESPONDANCE. 1693. ceux que l’Auteur termine par la circonference BKG, que l’angle de la quille avec la ligne du vent devient plus aigu. Ainfi dans la route par BN, le vaiffeau ira par BL, qui fera double de BN enfermée dans le cercle, fi BN eft 4 de BG; & il fera le triple de BN, fi BN eft 4 de BG. La même erreur que je viens de remarquer inflüe dans prefque tout le refte du Traité, & empêche de fubfifter plufieurs Theorêmes qui autrement paroiffent fort élegants. Comme entre autres celui qui dit?) que quand l’Angle de la voile avec le vent, OBA, eft donné; la plus avantageufe fituation de la quille, pour gagner au vent, eft celle qui divife également fon complement OBE, d’où l’Auteur trouve en fuite, en fuppofant que la derive eft nulle, que la plus avantageufe fituation de la quille & de la voile enfemble pour cela, feroit lorfque l’angle du vent & de la quille eft de 60. degrez, & celuy du vent & de la voile de 30. Ce qui n’eft point, car par une Regle que je fçai être vraie, quand l’angle du vent & de la quille eft de 60. degrez, fi on fait l’angle de la voile & du vent de 39. degrez 23. le vaiffeau avancera plus dans fa route, & par confequent gagnera plus au vent, que quand la voile avec le vent fait un angle de 30 degr. *). Cette Regle par laquelle je trouve la plus avantageufe fituation de la voile quand l’angle de la quille & du vent?) eft donné, pour faire le plus de chemin, eft celle x4=— 24xx + 3 ppxix—# aapp. 7) On le rencontre à la page 39 du Chapitre IV, intitulé : ,De la maniere de determiner la situation la plus avantageuse de la voile & de la Prouë, pour tenir le vent le plus qu’il est possible”. #) On rencontré aux pages 70 et 71 du livre J, à propos de ce theorème, qu’on trouve à la page 50 du Chapître cité dans la note précédente, la remarque suivante, dont nous avons accom- modé la notation à celle de la figure du texte: ;,Supposant qu'il n’y a point de derive, il trouve la situation de la voile la plus avantageuse quand elle fait avec le vent l’angle ABO de 30 degr.; donc divisant le complement OBE par le milieu en F, la situation de la quille seroit BF, qui seroit donc la plus avantageuse ensemble avec celle de la voile, pour gagner au vent, mais par ma Regle, lors que la quille est selon BF, je trouve une situation plus avantageuse pour la voile que celle qui coupe l’angle ABF egalement pour gagner au vent. Parce qu’elle fera aller le vaisseau plus viste dans cette route; donc il s’est trompé, et c’est d’icy que j’ay com- mencè a m’en appercevoir. Toute l'erreur vient de celuy de pag. 18” (c’est-à-dire de celle signalée par Huygens au commencement de la présente pièce comme se trouvant dans l’Ar- ticle I du 2 Chapitre), Il semble donc que Huygens était en possession de la règle qui va suivre avant de commencer la lecture suivie du livre du Renaud, dont il pouvait contrôler les résultats au moyen de cette règle. Ê Remarquons encore qu’on doit lire un peu plus haut dans le texte 38° 23 au lieu de 39° 23". En effet, la règle qui suit donne x—sin ABC (voir la figure du texte) —0,6210, c’est-à-dire. L ABC — 38° 93’, pour p —sin ABC — sin 60°. Sans doute on a affaire avec une faute d'impression ou de transcription. Dans les manuscrits nous n’avons pas rencontré le calcul en question. ?) Voir pour la déduction de cette règle l’Appendice N°. 2827. CORRESPONDANCE. 1693: 529 fçavoir fi x fignifie le de 0Q rs Lssal la voile & ra vent, 4 si ak BA, p le finus FP de l’angle de la quille & du vent. Er elle s’accorde avec celle que Mr. Fatio a trouvée ci-devant, avec beaucoup d’autres belles chofes’en cette matiere; comme j'ai reconnu par une Table où il avoit marqué le raport de quel- ques-uns de ces angles °). Il y a deux vraies racines à cette Equation ‘*), qui fervent aux deux cas que la quille avec la ligne du venc fait un même angle: fçavoir en allant près du vent, ou vent largue **). Au refte Mr. Renaud ne pourra guere douter que nôtre Regle ne foit vraie, puifque par elle on trouve le meilleur angle du Gouvernail avec la quille pour faire tourner le vaiffeau le plus prompte- ment, tout à fait tel qu’il l’a determiné dans le Chapitre 7. En quoi il a fait une découverte fort utile. Car en prenant p = %, c’eft-à-dire en faifanc la ligne du vent perpendiculaire fur la quille, on trouve par cette regle le finus x = 1 4 44, 19) Nous ne connaissons pas l'ouvrage ou le manuscrit de Fatio de Duillier qui contenait cette table; mais on retrouve la table elle-même sur une des dernières pages du livre F1, sous la forme suivante : de la vergue ï du vent avec avec la quille. là quille. À 44 3°.0! de 15° 43°201//s mr, Fatio. 40° 109°.12°/," 65° 141°.52°|." 90° 180°.0 A a même page le second exemple de a table est vérifié au muyen de la formule DE 3% de qui se déduit aisément de la règle mentionnée et où l’on a dans ce cas, pour 4—=1,x=— sin (43° 11 /"—15°)= sin 28° 11°/, et p = sin 43° 11 /", Ajoutons que l’ouvrage en question doit avoir contenu, entre autres, la déduction de la proportion V/# : LV Gxx V/20—xx 4x8) :c qui existe entre la vitesse du vaisseau vent arrière et celle avec laquelle il avance avec une situation donnée de la voile et de la quille, car Huygens a annoté à propos de cette proportion, à la page 190 du livre H : ,Fatio celeri- tatum”. Voir encore la note 3 de la pièce N°. 2827. 11) Ce qui est vrai en effet tant qu’on a p pag. 188 [voir toujours la pièce N°. 2827], ponendo x cognitam, p quaesitam; quae regula ex priore II formata est; tum ut sinus complementi anguli cujus sinus », qui sin. compl. dicatur 7, ad rad. 7, ita hic ad secantem #4 : » — c. Tum ex 4, c, bvelp et x computetur longitudo seu spatium @. Et fiat tabula, ubi apparebit quaenam & sit * maxima”. Ajoutons que Jean Bernoulli, dans l'ouvrage cité dans la note 12, a démontré (pp. 43—47) que la condition de maximum de @ exige p — : aV/6, x= y V3 J 2 c'est-à-dire : CBA = 54° 44’, DBA —135° 16". Enefet, si l’on représente ces angles par y et par y, il ne s’agit que de rendre maximale l’expression cos y cos y ] sin (y—p) pour les variables indépendantes q et y; ce qui ne présente aucune difficulté avec les méthodes modernes. Huygens lui-même avait d’ailleurs essayé sur une feuille séparée que nous possé- dons, d'appliquer la méthode de la pièce N°. 2827 à l'expression & en y substituant pour p la valeur indiquée par la formule f de cette pièce et pour c celle calculée au moyen de cette formule et de la relation p? = 4°? : «? = 4° (e?—4°?) 26°; mais il n’avait pu mener ces cal- culs à bonne fin. Enfin, une annotation qu’on trouve à la page 79 du Livre J semble indiquer que Huygens a cherché plus tard à déterminer, par voie expérimentale, les positions les plus avantageuses de la voile et de la quille, puisqu'on y lit ,, trouvé mechaniquement que la plus avantageuse disposition de la quille et de la voile pour gagner au vent, est environ quand l'angle du vent et de la quille est de 60 degr. et l'angle du vent et de la voile de 38 degr.”. ‘8) À propos de ce dernier passage Jean Bernoulli, dans l’écrit cité, fait remarquer, pp. 102—103, que même en faisant abstraction de l'impulsion du vent sur le corps du vaisseau la dérive dans les différentes positions du vaisseau n’est pas déterminée par la proportion seule des résistances de l’eau contre le côté du vaisseau et contre la pointe, mais que la figure du vaisseau doit entrer en considération. 532 CORRESPONDANCE. 1693. N2'o89700 ee XXL 318%4 CHRISTIAAN HUYGENS. [1693]. Appendice') au No. 2826. La pièce se trouve à Leiden, coll, Huygens. L’angle du vent et de la quille ABC eftant donnè, trouver la pofition de la voile BD, qui faffe le plus avancer le vaiffeau dans fa route. AB ventus; preflio venti in KL ad preffionem venti in velum DO per BG perp. ficut qu. BL ad qu. ED. Preffo ifta in DO eft ad preflionem quam inde fentit navis PF ad pergendum per BC ut BD ad DF: quae eadem ut QB ad BR. Ergo preflio venti in KL ad preflio- nem qua cogitur navis fecundum BC PR A a PE V7 — 2x3. :). c Quodfi ergo celeritatem puppis per datam PBH direétionem hoc pofitu veli velimus maximam effe quae pofit, oportet SALE res ke e. effe maximum, quia 45 datum eft. Ergo et bxx ]/”. — ax3 debet effe maximum quia c eft data = |// 440 + bb. Sir ergo : bxx ]/4a— xx —ax= TN + 1) La pièce est empruntée à la page 188 du Livre H. Les deux pages précédentes en contien- nent d’ailleurs une première ébauche. Remarquons tout de suite que Huygens, dans tous les calculs qui vont suivre, néglige la vitesse acquise du vaisseau par rapport à celle du vent, aussi bien que la dérive. 2) Cest la valeur de DF déduite en marge comme il suit:7 (BA):2(AC)—=1]/ 44—xx(BE): bV/aa—xx 51/. 5e ire LÉ (ŒH), substr. x, DH — LR x 3e (BC): 4(BA)= NT —:(DH}: ter arm 3) De cette proportion celle trouvée par Fatio (voir la fin de la note 10 de la Lettre N°. 2826) se déduit immédiatement. É habet rationem comp. ex 44 : xx et: . CORRESPONDANCE. 1693. 533 bhaaït— bhx$S — 55 + oux3st + 42x56 cex® — aabbxt + o4stx3 + 5 —0o 5) ss far oNt 5 ds — 4aabbxt + 6astx3 — 0 — 3cex3 + 244bbx | 3a — 3ccx3 +ozabbx ., 34 Wa? 3abx V/ aa=—xx —"Sauxx = — 3ccxx + 24abb gabx V/ aa —xx = — 3bbxx + 2aabb gatbbxx — quabbit = 9btxt — 124ab4xx + 444b* per Huddenij meth. univers. — $4 bxx | aa —xx — ax = + 3 4 GEO ARE = à à pro aa + bb ice, 1 AabbN\ 4 atbb . 4abb = HO L 4 He | Libres d 4 p finus / ABC G LE parie « aapp =awt 3 ) QAAXX — 9X* b 440 — 3XX bb= #) Nous avons emprunté cette indication à la première ébauche dont il est question dans la note 1. C’est là méthode de Hudde qu’on trouve aux pages 507-515 de l’ouvrage cité dans la Lettre, N°,.592, note 5. Elle est fondée sur la considération qu’au moment où s devient un maximum, deux racines de l’équation en x qui précède doivent être égales. #) Dès ce moment il ne s’agit plus que d'éliminer sentre cette équation, obtenue par l’appli- cation de la methode de Hudde, et l'équation indiquée par le signe N. 5) C’est l'équation N qui est reprise, substitution faite de la valeur trouvée pour 54. 7) C’est la règle cherchée qu’on retrouve à la page 528 du N°. 2826. * 534 CORRESPONDANCE. 1693. N° 28928. CHristTiaAN HuyGENs au Marquis DE L'HosPiTaL. 1er OCTOBRE 1693. La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle a été publiée par P. J. Uylenbroek*). La lettre est la réponse au No. 2825. De lHospital y répondit par le No. 2830. Sommaire. *) Sa folution eft a admirer a caufe du chemin difficile. Bernouli fe trompe en la condamnant comme faufle. puto pofle reduci ipfus conftruétionem ad meam feu Bernoulianam. apparet quando futura fit geometrica curva nempe quando p—g vel 4—p ad g ut numerus ad numerum: per logarithm. poffunt aequalia trapezia hyp. abfcindi. Una tantum datur curva quae fatisfaciat, non duae ut putat. Fit enim aequatio ejus prima eadem quae Bernoulij, fi ponatur 108 #, pro 4, et dividatur per 432. ma conftruétion. qualis curvae integrae. quomodo in circumferentiam abeunt. et in reétam. ma machine pour la defcription. Flexilis ambitum *). an habet quadra- turam lineae y — ex quadratura hyperbolae “)? aax aa + xx F A la Haye ce 1 O&. 1693. J'ay efté etonnè, Monfieur, de voir que par le chemin que vous avez prison pouvoir aufli parvenir à la folution du Probleme de Mr. Bernouili, et j’ay admirè vos excellents artifices, qu’il y a falu emploier, où il y a bien des chofes, qui peu- vent fervir en d’autres occafions, et fur les quelles j’auray à vous confulter cy-apres quand j’auray le loifir de les examiner a fonds. Mr. Bernouilli fe trompe affure- ment, quand il foutient que voftre folution n'eft pas bonne, eftant certain, que toutes vos deux equations s’accordent avec la fiene 5). Je dis routes les deux, par ce que fi dans la 1re, l’on fuppofe 108 à > #, et qu’on divife apres par 432, on 7) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, pag. 296. 2) Ce sommaire est emprunté à la page 63 du Livre J. 5) Comparez l’anagramme de l1 fin de la pièce N°. 2823 et la fin de la présente pièce. #) Nous n'avons pas trouvé cette quadrature dans les manuscrits de Huygens. On remarquera que la question n’a pas été traitée dans la lettre. 5) En outre Huygens s'était assuré, à la page 62 du Livre ], de l'identité des solutions de Ber- noulli et de l’Hospital avec celle de Jacques Bernoulli pour le cas particulierp — 24. Posant, dans la figure 3 de la pièce N°. 2821, AD—x, CD—7,CG=—2, on trouve facilement « (appliquant la formule de l’avant-dernière ligne du $ IV de la même pièce où l'on doit rem- placer 2x par x et où + représente, après changement de signe, la ligne DG) DG=(43—2°): :(a-H a), donc x == (422%): (a Le) + n 2, Ou bien 2° = 392% —24x—0x3. D'un autre côté on a 22—7? = GD°?=—=(x— _ 2)°, donc = — : x3 + . x? + ar. En égalant ces deux expressions pour 2°, Huygens trouve aisément = (G7x + 4x? 43°): :(94—2x); après quoi la substitution dans la seconde expression pour 2° amène l'équation Ne F = ets CORRESPONDANCE. 1693. 535 trouve juftement fon equation. Ce que je m’eftonne que vous n’aiez pas remarquè, Monsr., en luy faifant refponfe, aufli bien que vous l’aviez decouvert dans la feconde. Il n’y a donc pas deux differentes courbes qui fatisfaffent au Probleme, comme vous aviez cru, mais vos deux conftruétions donnent la mefme, quoy que de differentes grandeurs. Je crois mefme qu’on les pourroit reduire à la mefme fim- plicité de la miene que vous verrez icy; qui refulte aufli de la folution de Jac. Ber- nouilli que vous avez vue dans les Aéta du mois de Juin. Car pour ce quieft des crapezes Hyperboliques égaux que voftre conftruétion demande qu’on puiffe retran- cher, cela fe fait aifement par le moien de la Logarithmique, et pour venir à ma conftruction, il a falu y paffer de mefme, comme vous pouvez juger par ce que je vous ay ecrit dans ma precedente. Cette conftruétion donc) eft comme s’enfuit. Soit donné dans la L. droite AB/le‘point A, et qu'il faillé trouver la courbe AFC telle que quelque droite qui la touche, comme CD, re- tranche dans AB la partie AD, qui ait à CD une raifon donnée. Conftr: Suppofanc la . Logarithmique quelcon- que FG, aianc l’afym- ptote AB, de quelque point qu’on y aura pris, foit appliquée la perpen- diculaire FE. Et comme b à c ainfi foi FE à cherchée : 49 4x°y%— 27473? L 364x3° + 324x% = 0, qui devient identique avec celle de Bernoulli en supposant 7—22. Remarquons que les deux constantes 4 et À ont chacune une signification géométrique très simple; celle de Huygens représentant la ligne BO de la figure mentionnée et celle de Bernoulli la ligne AO de la même figure. 5). Huygens l’a publiée plus tard dans l’article cité dans la note 11 de la Lettre N°. 2823. Elle a été déduite probablement à l’aide de la proportion RS + l ass —0Üx:2 quisse trouve dans le $ VII de la pièce N°. 2827, et où l’on a, l'unité étant représentée par EF, 0=2:c;x== AD :EF;0x= CD :EF;3=BD:ErF, 536 CORRESPONDANCE. 1693. EA7). Puis aiant pris vers E quelque diftance AD, et faifant comme. c à ou AE à EF, ainfi AD à une autre DC, on decrira avec celle-cy comme raion et-du centre D; la circonference CH, et l’on appliquera IG egale à la mefme DC. Puis comme b à deux fois ç, ainfi on fera IE à EK, qu’on prendra vers 1°), et on appliquera derechef à la logar.que la perpend. KL?); et comme la fomme des lignes KL, EF à leur difference, ainfi on fera DC à DB, qu’il faut prendre vers le point À, fi AD eft plus grande que. AË, ou du coftè oppofè fielle eft moindre, Maintenant la droire BC perpend. à l’afymptore, coupera la circonf. CH, au point C, qui fera dans la courbe cherchée AFC, Je crois que vous aurez remarqué que lors que c eft plus grande que ?, la ses n’a pas une courbure fimple, mais deux différentes, qui aboutiffent à un mefme point,commeANM,MP"°), laquelle derniere a l’afym- ptote AQ, la mefme que la Logarithmique. Lorfque ANM devient une demie 4 € circonf., il femble que cette MP devient une ligne droite et vous trouverez, comme je crois, que c’eft celle que donne voftre conftruétion dans le cas que her c font egales. Le chemin abregè que vous avez rencontrè apres avoir efcrit votre lettre elt celuy que j’ay fuivi, et fans doute aufli Mr. Bernoully, mais j’ay ne , par ce que # eft Dlus grand que #4. Et pour ce figne Ts 7) De cette manière F représentera le point de la courbe cherchée, pour lequel la née: + FE se trouve perpendiculaire à l’axe AD. #) Comme cela résulte de l’article mentionné dans la note 6, Huygens a vu plus tard qu'on pouvait prendre EK tout aussi bien vers l’autre côté. 9) On a donc par construction : 1 (KL : EF) — - | (G:EF)= 3! (CD: EF)= 1 (0x) L) et ainsi : KL— (0x) d EF. 1) Consultez, sur le point de rebroussement M, dont l'existence avait échappé à de l'Hospital et probablement aussi aux Bernoulli, la Lettre N°. 2833 à de l’Hospital du 5 novembre-1693 11) Comme on le voit, cette formule est identique, même quant au signe, avec celle indiquée par de l’Hospital, Pour la déduire de ses propres calculs, Huygens a pu partir de la formule dont il est question dans la note 18 de la pièce N°. 2827, c’est-à-dire de celle qui ouvre le V de cette pièce, après Changement toutefois du signe du second membre. Ensuite, pour se con- former à la notation de de l’Hospital, il a dû remplacer # par l’unité, 6 par #—", x par #2, n— 423 X par x 113 NTI US; an par HT du; ce qui amène eneffet la formule du texte. : RE le ne CORRESPONDANCE. 1693. : 537 de — devant Æ, il ne doit point faire de peine, qui feroit + dans les cas que la PE touchante CD eft inclinée de l’autre fens que dans vottre figure’*), c’eft-à-dire dans celle-cy. J'avois deffein de vous envoyer la maniere que j’avois imagi- nee pour defcriré mechaniquement ces courbes ‘3, mais je vois A TP qu’il y a à confiderer quelque chofe de plus dans les cas que ceft plus grande que 2 #), ec je n’ay pas maintenant affez de temps 12) Ce changement de signe, inévitable dans les formules de Huygens (voir la pièce N°. 2821 et la figure 3 de cette pièce) où le z représente toujours la valeur #2so/ue de la soutangente GD et » la valeur, toujours positive, du quotient :#2:x — BO X 2: AG, est déplacé dans celles de de l’Hospital. 13) Dans la minute de la présente Lettre Huygens avait même achevé cette description pour le cas c Th. Quoique identique en principe avec celle que l’on rencontrera, pour le même cas, dans la Lettre à de l’Hospital N°. 2833, elle est plus détaillée et un peu différente quant au choix des moyens d'exécution. Nous croyons donc faire bien de la reproduire ici, telle qu’on la trouve dans le passage en question, biffé par Huygens : »Ma maniere de decrire cette courbe est telle. Sur une table exactement horizontale soit fixée la regle BE, contre laquelle glissera une autre regle HG. Proche du bout de la regle EB il y a deux rouleaux O, M, attachez ensemble et mobiles sur l’axe L fichè dans la table, ayant leurs diametres en la raison de c à —c. D est un petit œil attachè au costè de la regle mobile, et K un autre œil fichez dans la table, en sorte que le fil DK qui passe par les deux soit couchè le long de la dite regle. Ce fil est attachè a la pointe C qui doit décrire la courbe et passant en CDK, est enveloppè et attachè sur la circonference du rouleau M; et unautre fil EO est attachè en Q au bout de la regle mobile, qui va glissant contre la regle fixe, mais ce fil passe aussi par un petit œil fixè sur la table en P, vis à vis de K. Si on avance maintenant la regle HG vers B, le fil QO fera tourner ensemble les rouleaux O, M, et la regle mobile GH et l'œil D, avanceront la moitié aussi viste vers À que la pointe C””, c’est-à-dire dans le cas où b=—26, lorsque les deux rouleaux, ayant le même diamètre, peuvent être remplacés par un seul, comme dans la figure 2 de la Lettre N°. 2833. 14) Quelle peut avoir été la difficulté qui a frappé Huygens pendant la rédaction de la présente lettre? Quand on consulte la page 49 du Livre J, mentionnée dans la note 17 de la Lettre Œuvres. T. X. 68 538 CORRESPONDANCE. 1693. de refte. Je differe donc aufli de vous refpondre touchant ce que vous dites des quadratures par les feries et touchant le livre de Monfieur Renaud. J'ay envoié à Mr. Leibnitz une feuille pour eftre inferée au Journal de Leip- fich 5), où je fais voir feulement quej’ay refolu le Probleme de Mr. Bernoulli fans en dire d’avantage que ce que je vous en marquay dans ma precedente, a fin de laiffer de l’exercice à ceux qui s’y voudront occuper. J’y ay aufli parlè de la courbe que je vous dis que j’avois trouvée, et j’ay adjoutè qu’elle fert à regler et rendre egal le mouvement de certains horologes, que j’ay nouvellement inventez, qui eft tel que l’agitation de la mer ne fcauroit luy nuire ni l’affoiblir, comme il arrive aux pendules, non obftant toutes les precautions. Je fuis avec etc. N° 2820. G. W. LeiBniz à CHRISTIAAN HUYGENS. 11 OCTOBRE 1693. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle a été publiée par P. J. Uylenbrok*) et C. I. Gerhardt?). Elle est la réponse au No. 2822. Chr. Huygens y répondit par sa lettre du 29 mai 1694. Hannover, ce e d’Oétobre 1693. MoxSIEUR Je fuis ravi d’apprendre de temps en temps des nouvelles de voftre fanté, qui nous doit eftre chere. Car le monde fe peut encor promettre beaucoup de vos N°. 2819, on y rencontre déjà des figures moins détaillées mais analogues aux figures 5 et 6 de la Lettre N°. 2833, qui représentent dans le cas c > 2 les deux méthodes de décrire la courbe ANMP, dont l’une est valable pour la partie ANM, et l’autre pour la partie MP. Seulement dans la figure 6 le poids H qui entrave le mouvement trop facile des rouleaux manque encore dans la figure correspondante de la page 49 et la remarque ,,ut [ED] tensum maneat oportet ut orbiculi renitantur motui”, qu’on y trouve, semble avoir été ajoutée plus tard. Il est donc probable que Huygens s’est aperçu tout à coup qu’il fallait nn nouvel artifice pour empêcher que le fil FD ne se relâchât (car c’est bien ce fil et non ED, comme nous le montrerons dans Ja note 6 de la Lettre N°. 2833, qui est sujet à se relâcher) la pointe C restant en place, 75) Voir la pièce N°. 2823. 1) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, p. 163. 2) Leïbnizens Mathematische Schriften, IL, p. 163 et Briefwechsel, p. 719. CORRESPONDANCE. 1693. 539 decouvertes. Ainfi quand vos lettres ne contiendroient que cela, elles me feroient roufiours agreables, Mais il y a coufiours beaucoup à apprendre; et de plus vos obligeantes expreflions, qui font connoiftre avec combien de bonté vous voulés bien: measefle aliquid putare nugas, m’engagent à vous en faire des remercimens. Je feray ravi de voir un jour vos repliques fur noftre queftion phyfique, car comme vous approfondifféz merveilleufement ces chofes, et comme il femble que nous avons pris un nouveau tour pour éclaircir la queftion des Atomes et du Vuide, j’efpere que nous la pourrons enfin terminer. Je fouhaiterois de voir ce que vous avés remarqué furmes animadverfions anti-cartefiennes, que vous n’aviés pas trouvées tout à fait mauvaifes 3). Jay aufli receu quelques lettres de M. le Marquis de l’Hofpital, ou j’ay repondu le mieux que j’ay pù+). Mais mes diftraétions ne m'ont point permis de luy donner toute la fatisfaétion que j’aurois bien defiré pouvoir donner. Je n’ay pas manqué d'envoyer à Meflieurs les Colleéteurs des Aétes de Leipzig ce que vous leur avés deftiné fur le probleme de Mons. Bernouilli 5); ileft vray que c’a efté une femaine apres l’arrivée de voftre lettre, que j’ay trouvée à mon retour d’un petit voyage fait pour fufpendre mes travaux durant quelques iours, car ie me trouvois peu propre à l'application, apres une fieuretierce, qui n’a pas efté trop forte, mais qui m'a fait craindre une recheute. Comme j’avois toutes les commodités dans le voyage.et avec cela l’efprit libre, je m'en fuis bien trouvé. Tout ce que je m’eftois propofé en produifant le nouveau calcul, que vous com- mencés;, Monfieur de trouver commode, a efté d'ouvrir un chemin ou des per- fonnes plus pénetrantes que moy pourroient trouver quelque chofe d'importance. Et maintenant voti damnatus fum, depuis que vous trouvés bon de vous en fervir et c’eft me faire beaucoup d’honneur que de le declarer publiquement 5). Je fuis ravi de voir par voftre folution du probleme de M. Bernoulli, que vous avés remarqué ce qu’il y a de plus beau dans noftre calcul differentiel, aufli coft que vous avés voulu prendre la peine d’y entrer, c’eft iuftement ce que ie marquois autres fois®) d’y eftimer, fçavoir qu’il nous donne des folutions generales qui menent naturellement aux Tranfcendentes, mais qui dans certains cas font que la Tranf- cendalité fe perd et qu’on decouvre que la ligne eft ordinaire. Vous faites beaucoup d’honneur à la Geometrie lorfque vous trouvés les plus beaux ufages des lignes qu’elle peut fournir. Et cette nouvelle courbe, que vous ne donnés que par enigme 5), en fera une belle preuve auffi bien que voftre ufage 3». Voir la Lettre N°.2759 à la page 302. +) La correspondance de Leïbnitz et de l’Hospital a été publiée par Gerhardt dansi,,Leibnizens Mathematische Schriften”, Band II, p. 216—343. 5) Voir la pièce N°. 2823. 5) Comparez la Lettre N°. 2639 à la page 558. 540 CORRESPONDANCE. 1693. de la cycloide l’a efté autres fois. La conftruétion des lignes, que vous appellés Traétorias eft d'importance. J’appelle ainfi pluftoft la conftruétion que la ligne, car toute ligne peut eftre conftruice de cette façon, prenant tousjours dans la T'an- gente un point dont la diftance du point de la courbe foit donnée, ce qui fera une nouvelle ligne, le long de la quelle un bout du fil eftant mené l’autre decrira la courbe donnée. Vous eftes tombé de vous même fur une idée, que j’avois deja, mais que j’ay apprife d’un autre. C’eft de feu Mr. Perraut le Medecin 7), qui me propofa de trouver quelle ligne fe produit en menant une extremité du fil le long d’une regle, pendant que l’autre extremité tire un poids par le plan horizontal dans le quel la regle tombe. Je trouvay bien toft que c’eft la quadratrice de la figure des tangentes canoniques du cercle, et par confequent dependante de la quadrature de l’Hyperbole*). Je croyois d’avoir feul cette application de ce mouvement, mais dernierement j’ay iugé par ce que M. Bernoulli a dit fur le probleme de fon frere ?) que vous deviés avoir publié la même chofe dans l’Hiftoire des ouvrages des fçavans :°), car je n’ay pas encor eu cette Hiftoire des ouvrages de cette année par la negligence du libraire, à qui j’avois ecrit pour m’envoyeret cela et autres chofes. Or cela m’a convié à publier encor d’autres penfées que j'avois fur l’ufage de ce mouvement **). Et comme il paroift que vous avés medité fur les moyens de le rendre exaét en pratique, vous trouverés qu’il y a peut eftre pas un en Geometrie qui le merite d'avantage. On pourroit fe fervir foit d’un poids, foit d’une appreflion elaftique, comme par exemple en mettantun reflort entre deux plans paralleles immobiles, qui le tiendroient preffé. Ce reffort coule- _roit entre ces deux plans, d’une manière à ne pouvoir changer de fituation à leur egard +), et prefferoit un ftile contre l’un des plans. Le ftyle feroit attaché au refTort, et le fil qui tireroit l’un et l’autre, quoyqu'’il n’iroit peut eftre point jus- qu’au ftile deuuroit pourtant y aboutir en cas de prolongation ou pluftoft à l’axe prolongvé du ftile à l’entour du quel le fil, ou bien la regle équivalente au fil, fe rourneroit pendant le mouvement. Il feroit meme poflible de faire que le reffort 7). Comparez, pour ce qui va suivre, la note 4 de la pièce N°, 2824. 5) Consultez à ce propos la page 388 de l’article de Leïbniz cité dans la note 6 de la pièce N°.2824. On y verra que , la figure des tangentes canoniques du cercle” dont la tractrice peut être considérée comme quadratrice, n’est autre que la courbe &«y0 de la figure 5 de la pièce N°. 2625, dont les ordonnées sont égales aux tangentes des angles ode. Ainsi, pour connaître l’aire de cette courbe, il ne s’agit que de trouver ce que Leïbniz appelle dans sa Lettre N°. 2699 à la page 161 : ,,la somme des tangentes selon les sinus de complement” qu’il réduit à la page suivante de la même Lettre à la quadrature de l’hyperbole. 9) Voir la note 19 de la Lettre N°. 2810. 19) Voir la pièce N°. 2793. 11) Toujours dans l’article cité dans la note 6 de la pièce N°. 28244 CORRESPONDANCE. 1693. 541 (un ou plufieurs) eftant preffé entre les deux plans, le ftile qui doit tracer, fut dehors, pour qu’on puiffe voir ce qu’il trace. On pourroit encor penfer à d’autres moyens; le tout confifte dans le foin d’empecher que l’impulfion du ftile même ne fe mele avec la traétion. Mais vous pourrés mieux choifir que perfonne. Lors- qu’on demande fi cette conftruétion eft Geometrique il faut convenir de la defi- nition, Selon mon langage je dirois qu’elle l’eft. Aufli crois ie que la defcription de la cycloide, ou de vos lignes faites par l’evolution **), eft Geometrique. Et je ne vois pas, pourquoy on reftreint les lignes Geometriques à celles dont l’equation eft Algebrique. Mais entre les conftruétions Geometriques ie prefere non feule- ment celles qui font les plus fimples mais aufli celles qui fervent à reduire le pro- bleme à un autre probleme plus fimple et contribuent à éclairer l’efprit. Par . exemple ie fouhaiterois de reduire les quadratures ou les dimenfions des aires aux dimenfions des lignes courbes. Mons. Bernoulli le ieune s’eft plaint à fon tour de M. le Marquis de l’Hof- pital, dans une lettre qu’il a voulu m’eftre communiquée *3). Mais le fuiet de leur conteftation ne me paroïft gueres confiderable. Et la conftruétion de la ligne de M: Beaune n’eft pas de[s] plus difficiles. Aufñfi crois-ie qu’ils fe feront raccommodés 4). J'ay eu de la peine à me refoudre à chercher une des courbes dont vous me donnés les foutangentes, car ordinairement on s'engage en des calculs un peu longs, et maintenant je n’ofe toucher à ceux qui font tant foit peu prolixes. Neantmoins pour vous fatisfaire, puifque vous m’aviés donné le choix, j’ay choifi la plus fimple *$), qui eft 24yy : 244 — yy — xx °), et j’ay trouvé que vous aviés raifon de l’apeller un déguifement, car c’eft le cercle à qui cette foutan- gente peut appartenir, et fon equation eft 22% —xx=—yy. Mais a fin que vous voyiés que j’ay approfondi ce probleme, et que ce n’eft pas par quelque hazard que j’ay trouvé ce cercle, ie vous diray que la courbe n’eft ordinaire, que dans ce 12) Les Développantes. Voir la ,,Definitio IIL” de la ,,Pats Tertia” de l’,Horologium Oscilla- torium”” où l’on lit, à propos d’une telle courbe : , Vocetur‘autem ea, Descripta ex evolu- tione”. 13) Probablement par l'intermédiaire de Otto Mencke, l'éditeur des , Acta Eruditorum”, par les mains duquel passa également la première lettre de Jean Bernoulli à Leibniz, du 20 dé- cembre 1693. 14) Les lettres échangées à ce sujet entre de l’Hospital et Jean Bernoulli se trouvent à Stockholm dans la bibliothèque de l’Académie des Sciences, avec une grande partie de leur autre cor- respondance réciproque qui, sans doute, sera publiée un jour. 24ÿy 240 — y —XX 15) En marge de la lettre, Leibniz nota ici l’expression 16 Comparez la note 22 de la Lettre N°. 2822. 542 CORRESPONDANCE. 1693. feul cas, mais tranfcendante dans une infinité d’autres. Le vous en donneray pre- mierement l’exemple le plus fimple *7). Soit x = Î ady : a—v,(1) où dx = ad : : Ç(a—»), (2) il eft manifefte que la lettre x fignifie une grandeur qui eft comme le logarithme, pofé qu’#— foit le nombre. Car cela depend de la quadrature de l’Hyperbole ou de la defcription de la ligne Logarithmique. Cela pofé, je dis que la ligne, dont l’equation eft yy = 44 + 24% — xx — 4y (3) **), fatisfait au pro- bleme, et il eft manifefte que cette ligne fe peut conftruire, fuppofita Hyperbolae quadratura. Voicy comment ie prouve maintenant le fuccés par le calcul diffe- rentiel. Apres avoir differentié l’equation 3, je trouve 2ydy = 244dx — 2x4dx — — ady (4); dont oftant 4 par l’equation 2 il y aura 2ydy = 244dx — 2xdx — — adx + ydx (5). Et par cette derniere, jointe à l’equation 3 oftant y, il y aura enfin yydx = 4aadx + 24xdx — xxdx — 2aydy + 24adx — 2axdx — aadx, où bien, apres les deftruétions dûes : yydx + xxdx + 24ydy = 24aadx (6) ce qu’il falloit faire; car il eft manifefte que 4x : dy — 24 :, 244 —yy—xx c’eft à dire que la fouftangente eft 24yy :, 244—yy—xx. La méme chofe reuflit dans une infinite d’autres lignes prenant l’arbitraire #, et difant:yy=#74+ 24x—xx—n"Y"9), Mais # eftant egal à rien, ilen provient le cercle. Quant aux 44x, j’en ay eu fou vent befoin elles font aux 4x, comme les conatus de la pefanteur ou les folicita tions centrifugues font à la vitefle, M. Bernoulli marque dans les Aëtes de Leipzig de l’année pafñlée p. 202 de les avoir employées pour les lignes des voiles *°). Et ie les avois deïâ employées pour le mouvement des aftres dans les mêmes aétes **). Au refte comme vous avés de la peine à fouffrir, Monfieur, que ie penfe fouvent 17) Ici Leibniz note en marge : 2x — Fe » 4—Y 18) On trouve à la page 85 du Livre J une construction très simple de cette courbe au moyen de la logarithmique. Ensuite Huygens y vérifie les calculs de Leibniz et il ajoute : ,Hic novum est quod in aequatione curvae (3) sunt tres incognitae; quodque huic differentialem aequa- tionem invenit (4). Ex qua deinde egregie eliminat dv, et y. Examinandae aliae curvae hoc modo compositae”. LA 19) Nous écririons : ÿ°=—24x—x°—mae “, solution correcte et générale de l'équation diffé- rentielle : y e — 24° : (20°7—y—x?). 29) Dans l’article en question, que nous avons cité dans la note 25 de la Lettre N°. 2819, Jacques Bernoulli exprime comme il suit la propriété fondamentale de la courbe de la voile ,, Sumtis aequalibus curvae portiunculis, Cubi ex primis differentiis ordinatarum sunt proportionales secundis differentiis abscissarum””. 21) Dans ceux de février 1689; comparez la note 10 de la Lettre N°. 2601. CORRESPONDANCE. 1693. 543 à l’Hiftoire au Droit et à la Politique, il y a bien des gens qui me font la guerre icy, et ailleurs de ce que ie me mêle des matieres ou vous regnés. En verité je m’accommoderois d’avantage de ce qui eft de vôtre gouft, fi j’en avois abfolu- ment le choix. Et j’eftime plus les verités eternelles qui éclairent l’efprit que les faits ou les verités temporelles. Il faut cependant avouer, qu'encor en matiere de droit, de morale et de Politique on pourroit faire des decouvertes et des raifon- nements exacts. Et fouvent on y manque en praétique, parce qu’on a couftume de les traitter fuperficiellement. Je feray bien aife de voir un jour vôtre jugement fur la preface de mon code diplomatique. Je vous avois communiqué mon proieét parce j’ay cru que peut eftre quelque un de vos amis en Hollande me pourroit fournir quelque piece curieufe, dont il y en auroit fans doute qui feroient hono- rables à voftre Republique. Je n’employe que de pieces choifies. C’eft pourquoy mon deffein n’eft pas des plus vaftes. Mais pour finir par noftre Geometrie, j’ofe dire qu’on poufferoit peut-eftre bien avant la recherche de ces chofes, fi on avoit à la main quelque ieune homme d’efperance, qui en s’inftruifant nous pouvoit foulager dans le calcul. En attendant je fais ce que je puis pour meriter l’honneur que vous me faites de croire que ie fuis avec tout le zele et toute la confideration poflible, MONSIEUR Voftre trefhumble et tres obeiflant ferviteur LEIBNIz. ’ #) Cela ferait difficile [ Chriftiaan Huygens]. 544 CORRESPONDANCE. 1693. N° 2830. LE MARQUIS DE L'HospirAL à CHRISTIAAN HuYGENs. 21 OCTOBRE 1693. Le lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle à été publiée par P. J. Uylenbroek”). Elle est la réponse au No. 2828. Chr. Huygens y répondit par le No. 2833. À Ouques ce 21e Oëtobre [1693]. Je vous rends graces, Monfieur, de ce que vous m’avez fait appercevoir que mes deux courbes etoient de mefme efpece. Ce qui m’avoit trompé etoit que les formules qui les donnent font fort differentes, et que dans le cas d’egalité la pre- miere donne un cercle et la feconde une ligne droite. J’en vois à prefent la raifon qui confifte en ce que l’egalité z2z— se —=pp—gqq a deux racines telles que l’une eftant fubftituée dans la rere formule et l’autre dans la 2.e elles donnent les mefmes valeurs pour y. Le chemin ANMP de Ia courbe lors que p eft moindre que q eft fingulier et je n’en M fcais pas la raifon c’eft pourquoi vous me ferez plaifir de me l’apprendre. i J1 me paroïft que la def- A cription mechanique de mr Bernouilli ne peut fervir que pour la portion AN *). J’atends avec impatience que vous fafliez part au public de vos nouveaux horloges qui ne craignent point l’agitation de la mer et de la courbe qui fert à en regler le mouvement, et comme vous nous avez donné dans vos pendules une mefure tres exaéte du temps pour les gens de terre, il ne reftoit plus qu’a en faire de mefme pour les marins, ce qui fera d’un ufage mer- veilleux pour les longitudes. 7) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, p. 299. 2) C’est une erreur. La méthode de Bernoulli, sur laquelle on peut consulter la note 20 de la Lettre N°. 2819, peut servir aussi bien pour la portion NMP; seulement, on doit renverser l’équerre HDB de sorte que le bras DB soit dirigé vers A et partir du point de rebroussement M, ce qui est nécessaire de même pour la partie de la courbe qui s’étend du point de rebrousse- ment jusqu’au point où la tangente est perpendiculaire à l’axe. Et il est clairque Huygens s’en est aperçu plus tard, puisqu'on rencontre à la page 66 du Livre J une figure où l’équerre est dessinée dans les deux situations dans la position même où le renversement doit s’accomplir. CORRESPONDANCE. 1693. 545 Le nom de l’aucheur de la logiftique ou de la fcience generale des lignes cour- bes) ne vous eft pas inconnu, car c’eft Mr. l’abbé Catelan. Son livre eft rempli de tant de paralogifmes et de fautes groflieres qu’il a efté obligé enfin de le fup- primer, quoi qu’il l’euft corrigé auparavant par trois differentes fois. Son procedé à mon egard a efté fort irregulier, il favoit qu’il y avoit plus de deux ans que j’avois travaillé fur ces matieres et que j’avois mefme communiqué mes ecrits a quelques uns de mes amis qui etoient aufli des fiens et qui lui en avoient montré quelque chofe: cependant fans:en rien dire a perfonne, il s’avifa de faire imprimer à la hafte ce beau livre apparemment afin de me prevenir, et c’eft ce qui m’a donné occafion d’en remarquer quelques unes des fautes les plus apparentes fous le nom de Mr. G***, 8 Mr. de Lagny m’a fait prefent de fon livre +), c’eft un homme affez habile dans les mathematiques. L’invention qu’il contient me paroift peu de chofe, car ce n’eft qu’une expreflion aprochée de la racine des cubes imparfaits ; or comme vous favez Monfieur on peut exprimer ces racines par des fuites dont la fomme de quelques uns des termes donne ces fortes d’expreflions. Il eft vrai que le chemin qu’il a fuivi eft different, mais il n’en eft pas pour cela meilleur. J'ai trouvé un chemin fort court pour arriver à la conftruétion des cauftiques par refraction de laquelle mr. Bernouilli fait un fi grand myfteres). Soit une courbe quelconque DHM et un point rayonnant À d’ou partent les rayons d’incidence AH, Az infiniment proches l’un de l’autre: on demande le point de concours I des rayons rom- pus HI, I, le rayon HB de la developpée etant donné. Ayant mené les perpendiculaires BC, Bc et BE, Be tant fur les rayons d’incidence AH, A4 que fur les rompus HI, ZI, et decrit des centres À, I, et des rayons AH, IH, les petits arcs de cercle HK, HL (que l’on confidere comme de petites droites perpendiculaires fur AH, 41) on nommera les données AH, y; HC, #;, HE, s; et la raifon de BC à BE, et le petit arc HK, 4x. 3). Voir la note 15 de la Lettre N°. 2813. 4) Voir la note 13 de la Lettre N°. 2813. 5) Dans l’article cité dans la note 22 de la Lettre N°. 2819, Jacques Bernoulli indique, sans démonstration, une construction point par point de la diacaustique d’une courbe quelconque, identique avec celle qui va suivre. Après en avoir montré plusieurs applications, il poursuit Œuvres. T. X. 69 546 CORRESPONDANCE. 1693. Cela pofé on aura, acaufe des triangles femblables BHC et :HK, BHE et ÆHL, AHK et AR, les proportions fuivantes HC : HE : : HKK: ul = et AH: LACTANRI NES arr Or par la proprieté connue de la refraction Bc: Be: : BC:BE, et partant Bc—BC, c’eft-à-dire Re: Be—BE, c’eft-à-dire Ne:: BC:BE::#:#. On trouvera donc Ne DAT ME HL-Ne:HL:: HE: He "9" 7, à angles femblables HLI, NeT; HL—Ne : HL : : HE : HI = moy ni) Sri d'ou l’on tire la conftruétion qui eft dans les aétes. On peut remarquer que cette valeur , et acaufe des tri- de HI fe reduit à en s) dans les cauftiques par reflexion, parce qu’alors m=—#, eté——s, le point C tombant de l’autre coté du point H par rapport au point E. Je fuis à la campagne pour quelque temps, mais cela ne doit pas vous empefcher de me faire l’honneur de m'écrire parce que j’ai donné ordre qu’on m’envoyaft vos lettres. Je fuis tres fincerement Monfieur vôtre tref humble et tres obeiffant ferviteur DVREET LE Ms DE LHosrirTAL. Hollande À Monfieur Monfieur CHRISTIAAN HUYGENS, feigneur de Zeelhem in ’t noordeinde naaft de Crabre A la Haye. > en ces termes : ,, Habet itaque Lector in hac & illa superioris anni lucubratiuncula in com- pendio fere, quicquid de Ævo/utis, Causticis & Dia-Causticis per mutuam ipsarum compara- tionem & relationem ad se invicem cognosci potest : cui si artificium (nobis Fratribus, ut credo, peculiare hactenus) adjungere voluissem, quo Centra circulorum osculantium seu Eyolutae puncta ex natura Expositae [c’est-à-dire de la courbe donnée] unica & simplici pro- portione inveniri possunt, agnosceret puto, colophonem quodammodo huic materiae impo- situm esse, nihilque in ea jure amplius desiderari posse. Spero autem, & in his quae publicavi, nonnulla tam nova tamque singularia contineri, ut si fontem, unde manant, studiosius tegere ‘voluissem, merito omnibus Geometris admirationi esse potuissent”. 5) La formule est correcte; mais on ne doit pas oublier que, pour faire arriver le rayon réfracté HI d’une manière continue dans la position qu’il occupe dans le cas de la réflexion, on a dû le faire tourner dans le sens des aiguilles d’une montre, en passant par la position de la tangente. Ainsi, dans la situation que les points À et H occupent dans la figure, on doit considérer s et HI sur le rayon réfléchi comme des grandeurs négatives. Remplaçant s par £ et comptant HI comme positif dans la situation qu’il prend sur le rayon réfléchi dans le cas de la figure, on aura donc HI=#y: (2747). CORRESPONDANCE. 1693. 547 N° 2831. CHRISTIAN Huycens à J. P. Bicnon'). 5 NOVEMBRE 1693. La minute et la copie se trouvent à Leiden, coll. Huygens. A Monfieur l’ Abbé BIGNoN. Rue des Bernardins. 5 Nov. 1693. Je n’avois pas cru Monfeur qu’une pretenfion affez mal fondée, que j’avois alleguée en efcrivant a Mr. de la Hire) auroit eu le fucces que j’en ay appris par fa lettre); où il me mande, que vous luy aviez fait remettre, pour m’eftre envoyez les 3 volumes des Ouvrages nouvellement mis au jour par vos foins, que j'avois tres grande envie de voir. C’eft un effet de voftre bontè et generofitè Mon- fieur d’avoir bien voulu, que non obftant nos malheureufes gueres, et mon ab- fence de 13 ans, je participaffe encore aux produétions de l’Academie Roïiale des Sciences, en vertu de ce peu, que j’y ay contribuè autrefois. Je n’ay pas voulu manquer de vous en temoigner ma reconnoiffance et combien ce prefent m’eft agreable; efperant d'en jouir devant qu’il foit longtemps...Je puis dire avec vericè que quoique eloignè de cette fcavante Compagnie, je m’intereffe tousjours beaucoup en ce qui li touche, et c’eft avec bien de la j joie que j’ay appris qu’une perfonne de voltre merite, et de cette illuftre famille qui de tout temps affe&tionne les belles lettres, a prefenrement la meilleure part dans fa direétion. Je luy en augure beaucoup de bien, et j’en vois defia des effets dans la publication que vous venez de procurer de ces pièces qui font les fruits de fes eftudes et de fes travaux. Lors qu’on donnera de pareils recueils fi je puis fournir quelque chofe qui le merite, je feray tousjours bien aife d’y avoir part comme a cettuicy; comme ?) Jean-Paul Bignon (quatrième fils de l’avocat-général, conseiller d'Etat et maître de la librairie Jérôme Bignon, et petit-fils de Jérôme Bignon, qui fut précepteur de Louis XIII, avocat- général en 1612, grand-maître de la bibliothèque du roi et est connu par plusieurs productions littéraires), naquit le 19 septembre 1662 à Paris et mourut à l’Isle-Belle, près Melun, le 14 mars 1743. Membre honoraire et puis Directeur de l’Académie des Sciences, ce fut par son influence que l’Académie fut réorganisée en 1699. Voir , L'Académie des Sciences et les Académiciens de 1666 à 1793 pe Joseph Bertrand, menibte de l’Institut. Paris J. Hetzel, 1869” in-8°. p. 46. ?) Voir la Lettre N°. 2816. 3) Nous ne la connaissons pas. 548 CORRESPONDANCE. 1693. auffi de pouvoir contribuer parfois aux memoires que l’Academie fait imprimer rous les mois. Ce fera pour me faire honneur et pour correfpondre a celuy que je reçois d’eftre compté comme membre de cette celebre Affemblée. Je vous prie tres humblement de me le continuer, et de croire que je fuis avec refpeét et une parfaite eftime. MONSIEUR Voftre &c. N° 2832. CurisTiAAN HuycEnNs à PH. DE LA Hire. 5 NOVEMBRE 1693. Le sommaire et sa copie se trouvent à Leiden, coll. Huygens. La lettre est la réponse à une lettre que nous ne connaissons pas. Du mefme a Mr. DE LA H1RE’). Sommaire: Remerciment touchant les 3 volumes. Qu’il les donne au porteur de mon billet. Qu'on pour- roit donner un beau volume des obfervations de M. Caflini et des fienes. Que je pourray envoier la bonne conftruétion du Probleme d’Alhazen *) fi.on veut l’inferer aux memoires. que j'envoie a m. l’Abbe Bignon ma Remarque fur la manoeuvre des vaifleaux *), et demande fon fentiment a long. 1) Le sommaire se trouve sur la même feuille que la minute de la Lettre N°. 2831. 2) Comparez la Lettre N°. 2819 à la page 497. 3) Notre pièce N°. 2826. CORRESPONDANCE. 1693: 549 N° 2833. CuarisriAAN HuyGENs au Marquis De L’HosprraL, 5.NOVEMBRE 1693. La. minute se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle a été publiée par, P. J. Uylenbroek*). La lettre est la réponse au No. 2830. De l'Hospital y répondit par le No. 2838. Huycens au Marquis DE L’HospirAL. 5 Nov. 1693. Devant. que de refpondre à celle que je viens de recevoir de voftre part, je fuppleeray icy ce que je-devois dire fur 2 articles de votre precedente?). L’un eftoit touchant la neceflitè d’une feconde feries pour les quadratures, outre celle que vous avez commune avec Mr. Gregori, laquelle equivalence je n’ay pas encore affez examinée. J’avois donc dit que je ne vois pas la neceflitè de cette feconde feries, dont vous jugerez apres avoir confiderè ce qui s’enfuit. Vous fcavez, Mr. fans doute la maniere de trouver l’equation d’une courbe lors que fa quadrature eft-donnée 5). Par exemple. quand l’aire d’une courbe eft 4]/ 44—xx, x eftant l’abfciffe, aune ligne donnée#). On en trouve l’equation 44xx 90 44ÿy—xxyy, où f yeft l’appliquéeS), De. mefme quand l’aireeft don- née 44— 4) aa-—xx, l’on trouve la mefme equation - dé courbe #4xx 50 aayy—xxyy. Donc fi cette equa- tion de courbe eft donnée, je trouveray par la feule premiere fuite de Mr. Gregori, fon aire 4]/ 44—xx, fans avoir befoin de la feconde fuite qui avec la pre- miere feroit trouver l’aire 4a—a|/aa—xx. Ilya feulement à remarquer que l'aire 4]//44—xx fera l’efpace infini des appliquées fur 42—x, et que l’aire aa— ay aa-—xx fera l’efpace des appliquees fur x, 1) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, p. 301. ?) La Lettre N°. 2895. 3) Voir, sur la méthode suivie à cet effet par Huygens, le I de la pièce N°. 2736. 4); Voir la figure 1. À cause des renvois de la Lettre N°.2819, note 21, et de la Lettre N°.2828, note 14, nous avons numéroté les figures. 5) Consultez, sur la quadrature de cette courbe et sur la manière de la retrouver en partant de la quadrature, lé $ II de la pièce N°. 2669 et les Lettres N°. 2672 et 2673. Ajoutons qu’elle est représentée par la figure 1, dessinée par Huygens en marge de la minute, comme on le recon- naît en comparant cette figure avec celle de la Lettre N°. 2672. 550 CORRESPONPANCE. 1693: mais cette derniere fe peut encore trouver-fans confiderer la 2.de fuite, parce qu'on voit qu’en pofant dans la‘premiere x 5% o, l’aire devient 2 44, qui eft quantité connue qui réfulteroit de la 2.de fuite. Et cela arrive tousjours ainfi. Le fecond article eftoit la defcription des courbes de Mr. Jo. Bernoulli. Je me fers pour la faire de cordes et de rouleaux. Ainfi fi on veut decrire la courbe AC [Fig. 2] dont les tangentes CD foi én]t double[ s] des abfciffes DA, il faut que la corde DBEFBDC foit enveloppée fur le rouleau EF tournant fur fon centre fixe, alors en menant leftile D, oùelleeft attachée, le long de la regle BA, de D vers À, elle attirera la Fig. 2. , pointe C, qui decrira la courbe requife CA; laquelle pointe on peut ténit perpetidiculaire ‘fur le plan horizontal par cette invention d'équilibre, [Fig. 3] 4 ou les 2 poids’ egaux G, H, font attachez à la double equerre GKLH et pendent plus bas aux coftez a plan horizontal que n’eft la pointe C. Dans ce cas la defcription eft la plus fimple. Dans les autres quand la eméeiie eft plus grande que l’abfcifle, il faut un doublé rouleau ou bien deux rouleaux attachez l’un für l’autte, et qui tournent enfemble fur un mefme axe, comme dans cette autre figure, et il faut ils 1e fil actaché au ftile D aille envelopper le rouleau E, et qu’un autre fil, qui enve- Fig. Bo 6 loppe TrouleauF at féns con- ) Î sirotraire paffe-par BDC, qui atti- réra la pointe Cipendant q mene le ftile D vers À. Et ñ l'on veut que la raifon dela tangente à l’abfciffe foit comme bà c, il faut que le diametre du rouleau F qui tire foit au dia- metre de l’autre E, qui eft tiré, comme — c à c. Ainfi, fi CD doit eftre triple de AD, le rouleau F doit avoir le diametre doubledu PHARE E. Lors que la tangente doit eftre moindre que l’abfciffe, c’eft-à-dire. 2 moindre que c, il ya un peu plus de façon, par ce qu'il faut tracer à part les deux parties CA terminée et CQ infinie [Fig. 5]. Pour defcrire CA il faut que la corde qui vient du ftile D, auquel elle eft attachée, enveloppe le rouleau E, et qu’une autre corde enveloppe du mefme fens l’autre rouleau F, et qu’elle aille par BDC, et tire la pointe € pendant qu’on menéra le ftile D vers A. Et la proportion dudiametre CORRESPONDANCE. 1693: 551 de E:à celui de F doicieftre:comme c à cb. Mais pour la partie CQ, il faut placer le rouleau compofé de l’autre:coftéde À, ét faire que la corde qui vient du müil hiode'k. of sicii ; "TES. 6” ftile D enveloppe le moindre rouleau F ; et que l’autre corde qui du mefme fens enveloppe le rouleau E, aille par BDC pour tirer la pointe €, pendant qu’on éloigne le ftile D de A. Mais il faut pour cela qu’on empefche le mouvement aifé dés rouleaux comme par un poids H, autrement la corde EDC fe rélacheroit °). $) 11 y a ici une méprise, puisque c’est en réalité la corde FD qui se relâcheraît, si la pointe C restait en place, faute d’une tension suffisante de la corde EDC. Pour s’en convaincre, un petit calcul suffira. Supposons à cet effet que le style D soit déplacé vers la droite sur la petite distance A. Alors, si la pointe C reste en place, la corde CD s’allongera de la quantité A. cos CDB et parsuiteune longueur de corde a(1-cosCDB) se déroulera du rouleau E. En conséquence, le rouleau F laissera échapper la longueur pe a (+ cos CDB) et le fil FD devra se relâcher aussitôt qu’on aura pr (1H cos CDB) > 1, c’est-à-dire, cos CDB => 552 CORRESPONDANCE. 1693. 4 La raifon des diametres de E et F doit eéftreicycommie à +c à c, de forte qu’elle eft autre que pour la partie CA et lemefme-rouléaucompofé ne fcauroit fervir, Si on veut que la tangente CD faffe la moitiè de l’abciffe, les diametres des rouleaux pour AC feront comme 2 à 1, mais pour CQ ils feront comme 3 a 2. Vous trouverez bien aifement les raifons de tout cecy par un petit calcul. Je ne me fuis arreftè que trop longtemps a ces petites fpeculations. J’adjouteray feule- ment que le point C, où commencent les parties CA, CQ eft celuy du quel eftant menè la tangente CD, et la perp: CL a l’afymptote, la raifon de CD a DL eft comme de & à b, ce qui fe peut aufli montrer aifement pat le calcul), et je l’avois remarquè fans cette aide et devant que d’avoir refolu le probleme }. On peut par la maniere de Mr. Bernouilli defcrire toute la partie CA, parce que le fil CD va en s’accourciffant mais rien de l’autre CQ ?), parce que ce fil devroit s’allonger. b 2 F Ye A =. “> Mais c’est là précisément ce qui a lieu, comme on le verra dans la suite, pour toute la partie CQ de la courbe. Si, au contraire, le poids H entrave suffisamment le mouvement du rouleau, la corde FD b+c restera tendue, le rouleau E délivrera la longgetr de corde me PÉA dont la portion ke la—a— 2 A servira à allonger le fil CD, et la pointe C, au lieu de rester en place, devra s s avancer vers la direction CD par la distance (cos CDB — - )A. 4 Ajoutons que l’on rencontre la même méprise dans la remarque de Huygens citée dans la note 14 de la Lettre N°. 2828. 7) Voirl’Appendice N°. 2834 à la présente lettre. #) On peut consulter, quant aux premières recherches de Huygens sur le problème de Bernoulli, la note 17 de la Lettre N°. 2819. Sans doute Huygens aura dû rencontrer le point de rebrous- sement à la même occasion qu’il découvrit la nécessité d’employer deux arrangements divers pour les portions CA: et CQ de la courbe. En effet, à la même pag. 49 du livre J mentionné déjà dans la note citée, on rencontre l’annotation suivante, qui se rapporte à la détermination du point C comme point limite de la portion de la courbe, dont la description est possible au moyen de l’arrangement de la figure 6. Adaptant les notations à celles de cette figure, l’anno- tation.se lit comme il suit: , Pour tracer, CQ infin. Filum affixum stylo in D incedens per DBF trahit orbiculum F. Simulque orbiculum E remittit filum alterum EBDC, quod per foramen stili mobilis D transit, et affigitur stylo describenti C. Quod si velim ut curva CQ sit ejusmodi ut semper tangens CD sit 2 + abscissae DA, debet orbiculus E habere diame- trum sesquialterum diametri orbiculi F. Sed hoc modo tantum pars curvae CQ infinita describitur, quam Bernoullii machinula non potest describere. Incipit autem haec pars a puncto C cujus tangens CD abscindit DL inter ipsam et perpendiculum CL, ita ut CD ad DL sit dupla, in hac quidem curva; in omnibus vero ut CD ad DL habent rationem abscissa- rum ad tangentes”. 9) Voir toutefois la note 2 de la Lettre N°. 2830. DURS, Et TO dirt D ee DO ir AP EEE NET CORRESPONDANCE. 1693. 553 Je viens, Mons:r, à voftre lettre *°), où je vois que vous avez fort bien demeflè Porigine de la conftruétion des cauftiques qui eft dans les Aéta; mais ces lignes a peine meritent elles que vous prifliez cette peine, quel que beautè ou utilitè qu’y veuillent trouver Mons. Tchirnhaus **) et Ja. Bernoulli. Mr. l’Abbé Catelan n’a donc pas mieux reufli dans fa fcience generale des lignes courbes que dans fa critique, qu’il publia cy-devant *?) contre ma Theorie du centre d’agitation. Il faut avouer que la geometrie n’eft pas faite pour toute forte d’efprits. J'avois promis de vous dire mon fentiment touchant le livre de la manoeuvre des vaiffeaux 3). Vous allez l’apprendre par l’imprimè cy-joint ‘#), qui eft une feuille de nos Journaux. Celui, qui les compofe, m’aiant preftè ce livre, m’avoit priè de luy donner par ecrit cette Remarque et j’ay bien voulu qu’elle fuft publique puis qu’il importoit de refuter une fauffe Theorie qu’on propofe pour inftruire les Pilotes. Je m’eftonne que tant de perfonnes fcavantes l’aient pu trouver bonne 5). Il y avoit quelques points dans mes lettres precedentes aux quels j’avois fou- haitè voftre reponfe, mais ce fera à voftre loifir. Pour à cette heure je demande feulement qu’il vous plaife de me faire refponfe au plus toft fur ce que je vais vous demander touchant la recherche de Mr. Jo. Bernoulli, fur la figure de la voile, car vous m'avez fait fcavoir que vous aviez conferè la deffus avec luy. Je voudrois donc feavoir s’il pretend qu’une voile faite de parallelogrammes egaux et inflexibles (que je reprefente icy par des lignes droites) A,B,C,D,E,F,G, H eftant etendue par le vent fe tiendrait courbée, de mefme que feroit une telle chaine par fon poids, puifqu’il affume que la chaine et la voile font la mefme courbure. Il me femble qu’il doit affirmer cela, parce qu’il me femble impoflible autrement de rien penetrer dans cette affaire. Cependant je puis demon- 1°) La Lettre N°. 2830. #) Voir les articles mentionnés dans la note 4 de la Lettre N°. 2274 et dans la note 15 de la _ pièce N°. 2626. 12) Voyez la pièce N°. 2260 et consultez, pour la polémique qui s’ensuivit, les Tables des Matières des Volumes VIII et IX et du volume présent sous l’article , Polémique avec l’abbé de Catelan”. 13) Voir la Lettre N°. 2813 à la page 478 et la Lettre N°. 2828 à la page 538. 14) I] s’agit de la pièce N°. 2826. 15) Probablement Huygens fait allusion aux critiques très favorables qui avaient paru dans le Journal des Sçavans” du 12 décembre 1689 et dans les ,, Acta eruditorum” d’août 1690. De plus, dans l’article mentionné dans la note 25 de la Lettre N°. 2810, Jacques Bernoulli avait cité la fin du traité de Renau dans les termes : ,,sub finem libelli egregii”, à propos de quoi Huygens avait annoté en marge de l’article: ,,sed pleni paralogismis”. Comparez encore la lettre de Huygens à Fatio de Duillier, du 30 novembre 1693. Œuvres. T, X. 7° 554 CORRESPONDANCE. 1693. trer que cela n’eft pas ainfi *). Le Profeffeur a avancé de grandes abfurditez touchant cette tenfion de la voile 7), lefquelles j’ay envie de refuter en mefme temps. Je fuis avec refpeét, etc. 16) Consultez, sur cette démonstration, l’Appendice II à la présente lettre, la pièce N°. 2835. 17) En consultant les , Notes marginales” (voir la note 1 de la pièce N°. 2540) sur les articles de Jacques Bernoulli, citées dans la note 32 de la Lettre N°. 2693 et la note 25 de la Lettre N°. 2819, on s'aperçoit qu’il s’agit des points suivants : 1°. de l’assertion mentionnée dans la note 33 de la pièce N°. 2693 et répétée dans le second des articles cités, d’après laquelle une partie de la voile se courberait en arc de cercle, 2°. de celle, dont Huygens croyait avoir prouvé l’inexactitude, d’après laquelle l’autre portion de la voilière serait identique avec la chaïnette, 3°. de l'importance exagérée attachée par Jacques Bernoulli à la connaissance dé là forme exacte de la voile au point de vue nautique, ce qui l’avaît séduit à écrire : ,adeo ut totius negotii certitudo tandem in cognitione ÿgurae veli terminetur, quae quia hucusque latuit, efficit, ut Nautae nondum optatum in his finem assequi potuerint, & fallacibus ple- rumque conjecturis deludantur”’ (,,Nugae !” annota Huygens), attribuant même à l’erreur de traiter la voile comme une surface plane un ,,damnum inaestimabile hominum merciumque”, et ajoutant plus loin:,,Ëgo interea pro homine mediterraneo ad negotium maritimum, quo non est aliud e quo rebus humanis major accedit utilitas, plus satis contulisse mihi videor”, à propos de quoi Huygens remarque : ,Imo haec nullius usus essent, etiamsi vera”; 4°. du théorème suivant: ,,Celeritas navium eodem secundo vento velitantium, Caeteris paribus, sunt ut velorum subtensae”, sur lequel Huygens annota : ,,Errat, imo sunt in ratione sub- dupla velorum subtensorum. Ita enim fiunt resistentiae sicut vires impellentes”. A propos de cette dernière remarque nous ajoutons encore qu’on trouve dans le même article de Jacques Bernoulli la phrase: ,, Vis, qua Velum.... impellitur, componitur ex celeri- tate venti, et subtensa veli”, d’où il s'ensuit que l’auteur y considera en effet la pression‘du vent sur la voile & la résistance de l’eau contre la proüe comme variant dans la raison simple de la vitesse, ce qui est assez étrange, puisque les mêmes principes qui doivent l’avoir guidé, lui et son frère, dans leurs recherches sur la courbe de la voile(voir sur ces principés la Lettre N°. 2838), conduisent à la raison double. Aussi, dans l’article mentionné dans la note 22 de la Lettre N°. 2818, a-t-il rétracté le théorème en question, prétendant qu’il avait eu en vue les vitesses , initiales”; les vitesses stationnaires étant ,,ut Radices subtensarum veli”. : CDR LS CR A, Cr.) Le x CORRESPONDANCE. 1693. 555 N° 2834. CHRISTIAAN HUYGENSs. [SEPTEMBRE 1693]. Appendice I*) au No. 2833. La pièce se trouve à Leiden, coll. Huygens. N AG = x ; DG = 2. AG:GC=1:0°); Bernoulios) AG eft . GC eft 1 . CG DG FG GH oi, H ris. 2 = 04 A DE LG fx GC fdx : FG+) S. 8x —0604x FB vel HB.. se GER CES a. 0x —0dx au d GB, ex 0x = GC, BC = 0x — zax x ôx CG GD BC ju sr zdx Ozdx z2zdx MALE = bdx "5 H TG TT Fxx x Uixx ? 06xx = 2x ; 00x = 2 . Cum hoc ita eft, tunc DE = 0; hoc eft HN—=DE—=Q inde tunc retrograditur curva per CV ; quod femper fit cum ratio abfciffae AG ad rangentem GC eft majoris ad minus. Nunquam fi contra. x tangens : 00x five z fubrangens — 1 : 05). LL 4 1) Cet appendice, emprunté à une pièce de papier collée sur la page 53 du livre J, contient la détermination du point de rebroussement de la courbe de Bernoulli. ?) C’est la notation du $ V de la pièce N°. 2821. On a donc dans la notation de la Lettre N°.2833, 0—btc. 3) Jacques Bernoulli. Voir la Lettre N°. 2820. 4) Lisez 0FG. 5) C'est-à-dire CG : DG— 1 : 0 —c : b; résultat annoncé dans la Lettre N°, 2833. 556 CORRESPONDANCE. 1693. N° 2835. CHRISTIAAN HUYGENs. [AOÛT ou SEPTEMBRE 1693]. Appendice II*) au No. 2833. La pièce se trouve à Leiden, coll. Huygens. Quaeritur an eadem fit Catenaria atque ea quae a ten[o velo, quod ita effe Ber- noulij dicunt, quos decipi video. (Voiez le 16e Journal des Scavans de 1692, mois d'avril, ou Mr. Bernouli le frère du Prof. affure qu'il a trouvè que la Courbure de la voile eft la mefme que celle de la Chaine *), fans y apporter ces diftinétions que le Prof.r remarque dans les Aëéta du mois de may 16923). Voiez aufli les Aéta de 1691, mois de Juin, où Jac. Bernoulli fe trompe defia +). Partes veli aequales MG, GH, HT, ponuntur hic eo fitu quem haberent ejuf- modi partes aequales in Catena pendente; deinde quaeritur an vento velum iftud inflante, manfurae fint partes ita pofitae. Invenicurque punétum H nonnihil depreffum i iri, eoque G afcenturum. (Hinc quidem fequitur velum ex reétangulis aequalibus alicujus magnitudinis conftans, non manfurum eo pofitu quo catena ex talibus reétangulis compofita: fed poffet in infinite parvis, infiniteque multis, evanefcere exigua ifta diverfitas. Nondum etiam clare fequitur, ut quia H punétum in velo deprimitur, ideo obtufior efle debeat velaria in vertice quam Catenaria. 1) Cet Appendice, emprunté aux pages 72 et 73 du livre J, contient la démonstration ,,çqu’une voile faite de certain nombre de rectangles égaux et inflexibles estant étendue par le vent” ne pourra prendre la même position qu'une telle chaîne le ferait par son poids. On y suppose, conformément aux principes mentionnés dans la note 4 de la Lettre N°. 2826, que la pression du vent dans la direction perpendiculaire aux parallélogrammes MG, GH, HT, etc., est pro- portionelle aux carrés de leurs projections sur le plan perpendiculaire à la direction du vent, c’est-à-dire, dans le cas de la figure, proportionelle aux 0G*, ÿH°, VT?, etc. Voir l’article cité dans la note 2 de la Lettre N°. 2801. Dans cet article Jean Bernoulli assure qu'il avait non seulement retrouvé la méthode par laquelle son frère était arrivé à l'équation différentielle 445 ddx — dy3 de la voilière (voir la note 20 de la Lettre N°. 2829), mais qu'il avait résolu tout le problème et trouvé ,,que la courbe de la voile est la même que celle d’une chaîne”; quand on le voudrait il donnerait la manière analytique qui l’avait con- duit à la connaissance de cette courbe. I s’agit de l’article cité dans la Lettre N°. 2819, note 25. Jacques Bernoulli identifie la courbe de la voile avec celle de la chaînette, sauf la restriction que nous avons indiquée dans la note 33 de la Lettre N°. 2693 et qui regarde la partie BC de la voile représentée dans la figure de la note citée. 4) Voir les notes 32 et 33 de la Lettre N°. 2693. » Lu uw LL CORRESPONDANCE. 1693. 557 Naïñ depreflo H attolitur G, unde angulus MGH major fit, et angulus quem facit GM cum horizontali, acutior 5). Fig. 1. g 7 Si MG, GH, HT fint partes planae aequales veli ex pluribus aliis compofiti et vento inflati, retinantur vero extrema trium partium in M et T, manebit utique earum pofitus. $) Probablement les phrases que nous avons mises entre parenthèses ont-elles été ajoutées plus tard. 558 CORRESPONDANCE. 1693. Tangentes angulorum GMN, HGR, THS, funtut 1, 3, 5 cum pondera aequalia RetK,etéd— dy). Vis venti in aequales MG, GH, HT fpirantis fecundum M, eft ac fi perpen- diculariter in medio premerentur viribus quae funt ut quadrata 8G, 7H, VT. Pro quibus bina pondera aequalia, fingulas MG, GH, HT perpendiculariter trahentia, fubftituo, qualia funt p, p trahentia GH; g, g trahentia MG, fed quorum alterum duntaxat quod in G trahit confiderandum; gg trahentia HT, quorum alterum duntaxat confiderandum quod trahit in H. Jam pro g et p* trahéntibus in G quaero aequivalentia 7) duo quae traherent per GK. Itemque pro p et trahentibus in H quaero aequivalentia duo quae traherent per HR; quae fi diétis duobus per GK trahentibus aequalem fummam eficiunt, fequitur preflionem venti et catenae pondus eandem curvameflicere. Sed hic praevalere invenio trahentia per HR. a (GK) :c(GL) = p: Fe , pondus trahens per GK aequivalens ponderi tra- henti per LG #). bb:aa=p: LT ce 4);a(GK):r (GO) PT (a D The > pondus tra- hens per KG aequipollens ponderi ad cs trahenti per GO. k[HY]:f[HX]=p BL [pondus trahens per HR aequipollens ponderi p trahenti per HX]. bb:ee= pi E Q= 9] 3 4 [HV] :r [HZ] ÈS Co] : 4 [pondus trahens per HR aequipollens ponderi y trahenti per HZ]. 5) Consultez, à propos de cette assertion, le $ I de la pièce N°. 2625. Pour appliquer à la figure du texte le théorème qu’on y trouve en italiques à la tête de ce paragraphe, on doit remarquer que Huygens suppose que le point M est le point le plus bas de la chaîne, de telle manière que l’interstice qui va suivre à gauche de ce point possède une inclinaison égale (mais con- traire) à celle de l’interstice MG. De cette manière la suite des nombres proportionnels aux tangentes des angles que font les interstices avec l’horizon, doit s’écrire (en commençant par l’interstice à gauche de M) : —1, 1, 3, 5, etc. 7) C'est-à-dire équivalent quant au travail virtuel pour un petit déplacement compatible avec les liaisons. Voir les calculs qui vont suivre. 5) Ces deux forces, en effet, pour produire le même travail virtuel, devront être inversement proportionnelles aux projections du déplacement virtuel sur leurs directions, et ce déplace- ment, le point M restant fixe, sera dirigé selon GO. CORRESPONDANCE. 1693. 559 PC rpaa De rpee®) ab ht hbb hchbb + hraa = fbba + reea hraa — eear — bbfa — bbhc har — re RU ; fed —e:) a ear —eer "= bb Fig. 2. a E 1T Fe V/#+7rr : RU ) V'o#+rr: r=r: CIO Pare t— 30001 [—] tang. 16.42" 4—= 95782 b=—74314 [Is 6") 42.0 e— 55460 [—]s.c. 56.19 EAB=— 56.19 DAB— 42.0 EAD = 14.19 f— 96894 [—1]s.c. 14.19" DAB— 42.0 CAB—16.42 DAC= 25.18 c —90408 [—]s.c.25.18 a—e—40322 aa—ae— 3862121804 3) 4f — 9280701108 af af = 167340 —c—76932 9) C’est donc ici la condition nécessaire et suflisante pour que la situation de la voile obtenue sous l’influence de deux poids égaux en G et en H, puisse se conserver sous la pression du vent. Dès lors il ne s’agit plus que de simplifier cette condition et de l’éprouver par le calcul d’un cas particulier. 19) Parce que les longueurs arbitraires GO et HZ ont été égalées par Huygens aux interstices MG, GH, etc. 12) Voir la fig. 2, où les droites AE, AD, AC représentent les directions des interstices successives MG, GH, HT de la fig. 1. On a donc, pour BC—7, BD— 37, EB—57, et si l’on prend pour une valeur arbitraire, comme 3ooo1 (le rayon étant 100000), il est facile de trouver les angles et les lignes de la figure et d’en déduire, comme il va suivre, les valeurs de 4, be, fete. 7?) Lisez : ,,sinus complementi”. 3) Nous supprimons ici et dans la suite quelques calculs numériques. 560 CORRESPONDANCE. 1693. aa— ue sonos 7% —C Ergo fumma ponderum trahentium per GK minor quam per HR ‘#). — = 55226 Ut nihil contra hanc refutationem per numeros finuum excipi poflit, omnes quantitates, cum ad fummam inferiorum officiendam adhibentur, pauli majores veris fumantur in numeratoribus, minores in denomin. Cum vero ad fummum fuperiorum ponderum adhibentur fumantur paulo veris minores, id eft, minores in numeratoribus, majores in denominatoribus, fed r eft verus radius = 100000"). ear—eer . WT irréduisible, comme on le sait maintenant, à la 576 CORRESPONDANCE. 1693. effeët cela ne fçauroit manquer d’arriver à l’egard de celles d’un homme qui fe laiffe diftraire autant que moy. Cependant je n’en eftime pas moins Mons. le Mar- quis de l’Hofpital, et je trouve que vous avés eu raifon, Monfieur, de luy rendre juftice dans voftre lettre à Mr. de Beauval *). Je m'étonne qu’il eft prefque le feul en France qui entre dans la Geometrie profonde. Connoiffés vous Mr. Rolle ?°7) il femble que c’eft luy qui a fait propofer un probleme geometrique avec un prix *?), mais à condition qu’on le doit refoudre par des voyes différentes de celles que Mr. Rolle a publiées ?). Je n’ay jamais vû ces voyes, et je ne m’amu- feray pas à ce probleme, qui eft trouuer la plus fimple courbe, propre à conftruire l’equation donnée avec une courbe donnée. Mr. Bernoulli le cadet a donné fa Methode la deffus 5°). On a temoïgné qu’on n’en eftoit point content 3"). Je crois que Mr. Bernoulli y repliquera bientoft 3°). Ce n’eft pas une chofe fi difficile à une perfonne aufli verfée, qu’il l’eft, dans cette Analyfe. Pour moy j’avois cru 26) Voir la pièce N°. 2793 aux pages 407, 416 et 417. ?7) Voir, sur Michel Rolle, la note 5 de la Lettre N°. 2454. 3) Voici l’,Avis aux Geometres” que l’on trouve dans le Journal des Sçavans du 20 juillet 1693 : ;,On a deposé un prix de soixante pistoles chez M. le Normand Notaire au Châtelet de Paris, pour la premiere personne qui résoudra la question suivante. »Ayant une partie si petite qu’on voudra d’une courbe Geometrique, on demande une metode pour resoudre une égalité donnée par le moyen de cette partie, & d’une autre ligne courbe dont le lieu soit le plus simple qu’il sera possible. »L'on demande aussi que cette metode paroisse publiquement avant le preinier Janvier prochain, & qu’elle ne suppose aucune des regles qui sont de l’invention particuliere de M. Rolle. »Mons. Descartes a proposé ce probleme pour une des trois sections coniques seulement, & on n’en avoit jamais proposé un plus beau pour la resolution des egalitez. De plus cette resolution estant absolument necessaire pour perfectionner toutes les parties des Mathema- tiques, il importe de scavoir s’il n’y a point pour cela de metode qui soit differente de celles que Mr. Rolle a données au public”. 29) Voir l'ouvrage cité dans la note 25 de la Lettre N°. 2700. 39) Dans le Journal des Scavans du 31 août 1693, sous le titre: ,, Solution d’un Probleme proposé dans le 28. Journal de cette année, page 336. Par Mr. Bernoulli le Medecin”. 3") Voir l’article anonyme du Journal des Sçavans du 14 septembre 1693, intitulé : ,, Reponse à Mr. Bernoulli le Medecin, au sujet d’une metode qui a paru sous son nom dans le Journal du 31. août dernier”. 3?) C’est ce qu’il fit en effet dans le Journal du 18 janvier 1694 sous le titre: ,, Response de M. Bernoulli le Medecin, à l’objection inserée dans le Journal du 14 Septembre dernier, contre une metode qui a paru de lui dans le Journal du moi d’Août précedent”. L’anonyme (sans doute Rolle lui-même) duplique dans le Journal du 15 février par l’article , Remarques sur la Réponse qui a esté inserée sous le nom de M. Bernoulli dans le 3 Journal de cette année, au sujet d’un problème de Geometrie”, prétendant ,,çque M. Bernoulli n’a point satisfait aux difficultez capitales du problème, & mesme que l’on seroit infiniment éloigné d’y satisfaire par les metodes qu’il a citées pour ce sujet”. CORRESPONDANCE. 1693. 577 que cette matière eftoir comme epuifée, er qu’il ne s’agifloit que d’en donner les canons pour epargner aux autres la peine du caleul. Je fuis avec zele MONSIEUR Voftre tref humble et tres obeiflant ferviteur LEïBNIz. o N°, 2842. CurisriaaN -HuyGens au Marquis p£ L'HosrrraL. 24 DÉCEMBRE 1693. La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle a élé publie par P. J. Uylenbroek*). La lettre est la réponse au No. 2838. De l’Hospital y répondit par le No. 2843. Sommaire*): Remercier de ce qui regarde la voile. fuis d’accord des principes. Ce qui me refte a favoir. Bien aife de noftre accord. Bien aife de ce qu’on peut fe pañler des feries. Trouver ces fommes, c’eft precifement trouver la quadrature de forte de ce qu’il dit je ne puis juger s’il a une 3e voie pour cette.quadrature. Je fuis a quelque traitè philofophique *). S'il a vu ce que Leïbnitz a mis touchant les traétoria, trop tard et peu de chofe. Content de fon approbation de ma remarque. Cela fera que Mr. Renaud ne s’embarafera 10. Pas de quelque refponfe, : | 24 Dec. 1693. A Mr. le Marquis DE L’Hosprrar. Liti En £ ”, Je vous fuis fort obligé Monfieur d’avoir rapellè en ma confideration vos idées couchant la courbure de la voile fuivant la Theorie de M. Jo. Bernoulli. Je vois par ce que vous m'en expliquez que je fuis d’accord avec luy quant aux princi- pes#); mais vous ne me repondez point à ce que j’avois fouhaitè uniquement de favoir 5), qui eftoic s’il veuc qu’une voile faite de certain nombre de reétangles egaux, fe courbe exaétement de mefme par le vent que par leur poids. C’eft ce que je puis demontrer eftre faux‘), et il femble que cela doive renverfer fon Theoreme, parce qu’il feroic aflez etrange qu’eftant faux dans quelque grand 1) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, p. 309. ?) Ce sommaire se trouve écrit en marge de Ia minute de la lettre. 3) Le ,Cosmotheoros”; voir la note 6 de la Lettre N°. 2844. 4) Comparez la note 3 de la pièce N°. 2835. 5) Voir la Lettre N°. 2833 vers la fin. 5) Voir la pièce N°. 2835. Œuvres. T. X. 73 578 CORRESPONDANCE. 1693, nombre de reétangles qu’on fuppofe, il fuft pourcant vray dans le nombre infini, quoy que je ne veuille pas dire qu'il. foit abfolument impofliblez), J'attendray donc fur ce point encore un mot de refponfe, Je fuis bien aife de ce que nous fommes d’accord en ce qui regarde la quadra- ture par les feries.. Et encore beaucoup plus de ce que vous m’affurez que fans leur fecours vous fcavez .venir.à bout des quadratures lors que voftre ceft un nombre entier. Car la methode par les feries me paroit fatigante, fur tout en ce qui eft de fon origine et demonftration par les divifions exponentielles *), J’efpere qu'un jour vous publierez celle que vous avez, ou vous voudrez bien m’en faire part. Pour ce que vous avez pris la peine de m "expliquer de votre 3me maniere de mefurer la Feuille de Des Cartes, je n’ay point eu de peine à vous fuivre®), jufques à l'équation —zdu = udu Fe Mais de trouver ici la fomme des au] JE A vois que c’eft precifement la mefme chofe pour moy que de trouver Ja ET de la courbezz= Dur que l’on cherche. De forte Mon- fieur que je demeure auffi peu inftruit de cette 3e maniere de quadrature que je l’eftois auparavant. Permettez moi donc de vous demander quelque peu plus d’eclairciffement. Je n’avois nul doute. que ma remarque. fur la manoeuvre des vaiffeaux ne meritaft voftre approbation après laquelle je n’attens pas que Mr. Renaud fonge à defendre fon erreur *°), et j'en fuis bien aife. Je ne fcay fi vous aurez vu ce que Mr. Leibnitz a fait publier dans le Journal de Leipfich touchant les Traëtoriae avec un titre fort pompeux ‘*),.comme s’il donnait une methode univerfelle er meilleure que nulle autre pour les Tangentes. J'en apprendrai volontiers voftre fentiment, car pour moy je ne trouve rien de rè 18 1 7Y Voir la note 15 de la pièce N°. 2835. 8) Comparez les $$ 5— 13 et la note 4 de la pièce N°. 2812. $ 9) C’est à la page 90 du Livre J: que l’on trouve cet essai de vérification de la 3e manière doué l’Hospital. Ensuite Huygens:s’y efforce à retrouver la formule de de l’Hospital, obtenue vers la fin de la Lettre N°. 2838 pour l’espace DCF, en partant de sa propre ,,quadratura univer- salis brevior” pour l’aire AwBAA de la première figure de la pièce N°.2782, que l’on trouve à la page 378 de cette même pièce; mais il est arrêté par des éliminations Jaborieuses.qui lui sie ere mener à une formule plus compliquée, Toutefois, pour le cas opgeesr À u—= = ? p3 3 —= $ +. il arrive à constater la conformité des AGROR 19) Ilen a été autrement. Consultez la Lettre N°. 2847. 11) Voir l’article cité dans la note 6 de la pièce N°. 2824. ut te-- ut nd tt, NRA CORRESPONDANCE. 1693, 1694. 579 plus-pauvre nide plus inutile, vu les defcriptions embarafféés et tout à fair im- praticubles qu’il apporte **). Car à peine pourfoit on conftruire avec quelque exaétitude cette fimple Traétoria, que j’aÿ donnée’3), laquelle il prétend avoir reconnue devant moy, (de‘quoy on pouroit doùter) pour quadratrice de lHy- perbole ‘#). Je ne feay pas quelle Inverfe des Tangentes dé Newton vous me demandez. Peur eftre vous avez: voulu dire celle de Mr. Leïbnits *5), qui eft peu de chofe et je vous ay defia aflurè Cy-devant 9) que vous ne fcauriez l'i ignorer. Toutefois fi c’eft celle la, rie vous l’expliquéray tres s'VOROMIETS, effant entierement, etc. N°, 5843 Le Marquis De L'Hosprraz à Carisriaan HüyGens. 18 JANVIER, 1694. Le: leitre se trouve. à Leiden, coll. Huygens. af "Elle a êté publiée par P. J. Uylenbroek”). 10% Ve Elle est là réponse du_No. 2842. gt 5 F4 OT HS EUCCRA Hiÿgens y! repérre par le No: ee. À Paris ce 18e-Janvier 1694. : Je fuis fi fort vécut Monfieur à caufe de Hi mort de mr. le marquis d’autre- monts, lieutenant general des provinces de breffe, bugey &c. oncle de ma femme et dont elle herire que je n’aï pas un moment de loifir pour fonger aux fciences. Il a laiffé beaucoup de biens mais bien des affaires et des proces, et c’eft ce qui ne me convient gueres, cependant il faut cacher d'en fortir. Je vois par vôtre lettre du 24 décembre que je n’avois point compris ce que vous me deman- diez touchant la courbure de la voile puifque je eroyois que vous fuppoñez le nombre des reétangles egaux infini et c’etoir feulement dans cette fuppofition que mr Bernoulli pretend que la courbure eft la mefme que celle d’une chaifne, comme il n’etoit point queftion alors d’un nombre determiné de reétangles je ne feais point pofitivement fa penfée la deffus, mais autant que j'en puis juger par fes principes la courbure doit eftre alors différente: ; je n’y vois mefme nul inconve- nient, car il peut fort bien arriver que plus le nombre des reétangles eft grand, 1?) Voirlanote 7 de la pièce N°. 2824. 13). Voir la pièce N°, 2793, p. 408—412. 74) Voir la note 4 de la pièce N°. 2824. 15) Voir la pièce.N°. 2713. 15) Voir la Lettre N°.28 19; à la page 494 7) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. [, p. 311. 580 CORRESPONDANCE. : 1694. plus auffi la courbure-de la voile approche de celle de la chaifne, et qu’elle devient enfin la mefme lorfqu’ il eft infini *), J'aiecrit expres à mr Bernoulli?), pour favoir quelle etoit fa penfée Jde, fans vous citer, mais comme de moi, je vous ferai favoir ce qu’il me mandera dans fa reponce. A l’egard des feries pour parvenir aux quadratures, je vous enverrai au premier jour ma methode #) par laquelle vous verrez que je n’en ai point de befoin et que j'arrive au but par une maniere bien plus naturelle, Mais il ne me fera pas aufli facile de vous fatisfaire fur la 3e maniere de mefurer la feuille de Defcartes. Pour la demonftration elle eft aifée, car fi vous prenez la differentielle de la quantité Lez ce qui fait voir + 34 que cette quantité en eft la fomme etcela fuflit pour la demonftration. Je vois bien que pour vous contenter il faudroit que je vous fiffe voir le chemin que j'ai tenu pour parvenir à trouver cette fomme, c’eft ce que je ne puis faire dans une lettre parce que cela depend de plufieurs regles particulieres qui font une fuite les unes des autres et qui demanderoient un petit traité à part, mon deffein eft de le faire quand j’auray le loifir, et je vous le communiquerai alors avec plaifir me trouvant heureux d’avoir iétque chofe qui foit de vôtre gouft, et à vous dire le vrai c’eft ce qui m’avoit empefché jufqu’à préfent-de vousenvoyer cette 3e ma- niere me doutant bien de ce qui eft arrivé. Je tafcherai de voir Renaudafin de favoir fon fentiment fur votre remarque, et je vous en ferai part, comme il eft galant homme je ne doute point qu’il n’avouë fa méprife®). J'ai 1ù ce que vous me mandez de mr Leibnitz, et j’ai trouvé qu’il repondoit fi peu au titre faftueux, qu’a peine ay-je eu la patience de le lire, car fa machineeft fi fort compofée, et tellement embaraffée qu’elle ne peut eftre d'aucun ufage dans la pratique, et de plus cela ne donne aucune vûe nouvelle pour l’inverfe destan- gentes, ce font de ces gens qui veulent tout favoir et qui d’abort que les autres ont fait paroittre quelque chofe de nouveau s’en veullent attribuer l'invention, ce n’eft point du tout fon inverfe des tangentes que je vous demande, mais ceft celle de Neuton qui eft imprimée a la fin du traitté de vallis de algebra nouvellement traduite en latin’). Vous m'avez mandé autre fois ©) qu’on vous avoit promis de que je vous ai envoyée 5) vous trouverez — wdu 2) Comparez, à ce propos, la note 15 de la pièce N°. 2835. 3) Consultez, sur la correspondance de de l’Hospital avec Jean Bernoulli, la note 1 4 de la Lettre N°. 2829. k KA A qui n’a pas eu lieu. S) Voir la Lettre N°. 2838. 5) I n’en fut rien. Voir la réponse de Renau, notre N°. 2848. 7) Voir la note 39 de la Lettre N°. 2777. #) Voir la Lettre N°.2810 à la page 464. . CORRESPONDANCE. 1694. 581 vous en envoyer une copie ecrite a la main. je fuis parfaitement Monfieur vôtre tres humble et tres obeiffant ferviteur Le M. DE L'HosriTAL. N° 2844. 4 CoNsTANTYN HUYGENS à CHRISTIAAN HUYGENS. 5 MARS 1694. La lettre et la copie se trouvent à Leiden, coll. Huygens. Chr Huygens y répondit par le No. 2846. Whitehall ce 5. de mars 1694. #) J'ay voulu vousdire, que ce dont vous m'avez chargé pour Fatio*) luy a efté delivré apres que l’on euft efte longtemps a le deterrer dans cette grande ville, ou a la fin felon que j’apprens il a efté obligé d’embraffer la condition d’un Tutor ou Pedagogue des enfants d’un Lord, j’ay oublié fon nom, la Fortune ne rendant pas tousjours juftice au merite. J'ay achepté il y a deux jours, le 17. volume des Tranfaétions de la Societé R.°) que depuis un an on imprime derecher touts les mois 3). Waller Secretaire de la Societé+) a le foin de l’impreflion qui fe continue d’ores en avant fans inter- ruption. Vous ferez bien aife de voir ce 17.e volume ou il y a de jolies chofes. On m'a affeuré, que la Defcription de la Tartarie de Mr. Witzen eft imprimée il y a desja quelque temps et fe vend: je vous prie de me mander ce qui en eft5). J'ay bien de l’impatience de la voir, ainfi que tout le monde, dites moy quelle forte de volume c’eft. Les gens icy font dans une pareille impatience de voir tortir en lumiere voftre livre des Planetes®), de quo falivam illis movi, dites moy aufli ce qu’il en faut attendre et en quel temps, a peu près. 7) Voir la Lettre N°. 2839, à la page 568. 2) Celui qui contient les , Transactions” de 1693. 3) Consultez, sur l'interruption de cette publication, la note 4 de la Lettre N°.2552 et la note 2 de la Lettre N°. 2783. 4) Richard Waller fut secrétaire de la Société Royale de 1687 à 1693 et de 1710 à 1713. 5) Voir la note 4 de la Lettre N°. 2846. 5) L'ouvrage posthume de Christiaan Huygens intitulé : Christiani Hugenii KOYMOGOENPOX, sive De Terris cælestibus, earumque ornatu, Conjecturae. Ad Constantinum Hugenium, Fratrem : Gulielmo III. Magnae Brittanniae Regi, a Secretis. Hagae-Comitum, Apud Adria- num Moetjens, Bibliopolam. M.pc.xcvu. in-4°. Chr. Huygens avait confié par ses dernières volontés le soin de terminer l’édition de cet 582 CORRESPONDANCE. 1694. Fatio avoit dit qu’il viendroit me remercier de luy avoir fait tenir vos papiers, mais je ne l’ay point veu. Voor Broer vAN ZEELHEM. #) Répondu le 13e Mars [Chriftiaan Huygens]. — N° 2845. CHRISTIAAN HUYGENS à VAN ASTEN :). 18 MARS 1694. Sommaire 18 Mart 94 gefchreven aen Cap. van Aften, dat hij mij volgens afspraeck de papieren van Zeelhem in fijn Broeders Cabinet gevonden noch niet gefonden heeft. vrees of den brief ver- mift waer. of hij met Cools gefproocken heeft. dat ick fal derwaerts moeten gaen of fenden van mijnent wegen. dat hij mij fijn adreffe fenden wil in Bruffel *). - ouvrage à son frère Constantyn. L’impression traîna en longueur, de sorte que Constantyn, mourut quelques mois avant que l’ouvrage parût en public. Une réimpression latine in-12° sous le même titre avec l'addition : Editio Altera a paru: Francofurti & Lipsiae, Impensis Christiani Liebezeitii. Leoburgi, Literis Christina Al- berti Pfeifferi, Anno mpcciv. è Diverses traductions ont paru sous les titres suivants: De Wereldbeschouwer, of Gissingen over de Hemelsche Aardklooten, en derzelver Cie- raad, geschreven van Christiaan Hugens, aan zijn Broeder Konstantyn Hugens. Uit het Latijn vertaald door P. Rabus. Te Rotterdam, Bij Barend Bos, Boekverkooper, MDCxCIx. Une seconde édition de cette traduction parut chez les mêmes éditeurs en 1717. Nouveau Traité De la Pluralité des Mondes. Par feu Mr. Hughens, cy-devant de l’Aca- démie Royale des Sciences. Traduit du Latin en François. Par M. D** A Paris. Chez Jean Moreau, ruë Saint pres vis-à-vis S. Yves, à la Toison d’or. M.pcc. Avec Approba- tion & Privilege du Roy. in-12°. Herrn Christian Hügens Weltbeschauer, oder vernünftige Muthmassungen, dass die Pla- neten nicht weniger geschmückt und bewohnet sein als unsère Erde. Aus dem Lateinischen übersetzt. Mit Anmerkungen von verschiedenen und Kupfern. Zürich, bey Orell, Geszner und Comp. 1767. petit in-8°. The Celestial Words discover’d; or, Conjectures Concerning the Inhabitants, Plants and Productions of the Worlds in the Planets. Written in Latin by Christianvs Hvygens, And inscrib’d to his Brother Constantine Hvygens Late Secretary to his Majesty K. #/fam. London : Printed for Timothy Childe at the White Wart at the West-end of St. Paufs Church-yard. Mpcxcvinr. in-12°. Cosmotheoros: or Conjectures concerning the Planetary Worlds, and their inhabitants. Written in latin by Christianus Huygens. Illustrated with plates. This Translation was first published in 1689 [sic]. Inthe present Edition many places have been corrected. Glascow, printed and sold by Rob. & And. Foulis. M.Dcc.Lvir. in-12°. 1) Frère de celui mentionné dans la Lettre N°. 1103, note 3. 2?) Consultez, sur les embarras financiers à Zeelhem, les Lettres Nos. 2715, 2808 et 2817. CORRESPONDANCE. 1694. 583 2846. CHRISTIAAN HuYGENs à CoONSTANTYN HUYGENSs. £ 19 MARS 1694. La lettre et la copie se trouvent à Leiden, coll. Huygens. La btire est la réponse au No. 2844. Const. Huygens y répondit par le No. 2849. Sommatre *) le 19 mars 94. Fatio s’eft fait précepteur pour voyager. Horological inftruétions qu’il me le cherche. Slydrecht. Graverol contra Burnet ne paroit point. Horloge nouvelle commence a promettre beaucoup. de Planetis moitié francois encore. Je l’adreffe à luy. Bien aife des Trans- aétions, qu'il apporte ce 17e volume. Witfen Tartarie pas encore. Nous avons la fatire de Boileau contre les femmes. Item Harlequiniana. Je vous remercie d’avoir eu foin des lettres et papiers pour Mr. Fatio. Je m'etonne qu'il n’eft pas venu de lui mefme les querir, puis qu’il fcavoit que vous les deviez apporter. La condition de Tutor qu’il a acceptée, a ce qu’on m’a dit icy, n’eft que pour avoir occafion de voiager avec ce fils de Lord. Quand vous le verrez, demandez lui un peu ou il en eft avec fon invention de vaiffeau, qu'il medite depuis longtemps pour aller plus vifte que les baftiments ordinaires. Je fuis bien aife qu’on continue les Philofophical Tranfaétions, et je vous prie de n’oublier pas d’apporter avec vous, lorsque vous paflerez la mer ce 17me volume, Je me fuis informè de Mr. Berckefteyn *) et de Mr. Beauval 5), touchant /7 Tartarie de Mr. Witfen qui m’aflurent qu’on ne la debite pas encore, quoyque peut eftre elle foit achevée d’imprimer #). Mon Traité des Planetes eft achevè, mais il eft encore moitiè Latin moitiè Francois, de forte qu’il y refte une grande partie a traduire, et puis des figures a faire, qui pourtant font peu en nombre, Je depefcheray le plus que je pourray, et d’autant plus que par la nouvelle que vous avez donnée de mon deffein, il fe pour- roit faire que quelqu’un entreprift le mefme fujet, en tafchant de me prevenir. Je crois que vous aurez maintenant le livre de Burnet Archæologiæ &c. 5), un 1) Le sommaire se trouve écrit sur le revers de la Lettre N°. 2844. ?) Johan van der Does, seigneur de Berckesteyn. 3%) Voir la note 11 de la Lettre N°. 2426. 4) La première édition, excessivement rare aujourd’hui, de cet ouvrage célèbre n’a pas été mise dans le commerce. Elle est intitulée: Noord en Oost-Tartarije, ofte bondigh ontwerp van eenige dier landen en volken, zo als voormaels bekent zijn geweest. Beneffens verscheyde tot noch toe onbekende en meest niet voorheen beschreven Tartersche en nabuerige gewesten, landstreken, steden, rivieren en plaetzen in de Noorder en Oostelijkste gedeelten van Azia en Europa enz. Met derzelver Lantkaërten. Zedert nauwkeurigh onderzoek van veele jaren en eigen ondervindinge be- schreven en in ’tlicht gegeven door N. W.”’t Amsterdam, in ’t jaer 1692. L'ouvrage est dédié aux Tsars Joan et Peter Alexewitz. Une seconde édition a paru à Amsterdam chez Fr. Halma en 1705. Elle a été réimprimée en 1785 chez M. Schalekamp, à Amsterdam, 5) L'ouvrage cité dans la note 4 de la Lettre N°. 2808. 584 CORRESPONDANCE. 1694. imprimeur d’Amfterdam m'a dit il y a plus de 6 femaines qu’il imprimoit le Mofes Vindicatus du Sr. Graverol®) qui devoit eftre une refutation de ce livre, mais je n’entens pas qu’il foit éncore preft de paroitre. Informez vous, je vous prie, s’il n’y a perfonne que ce Graverol qui ait efcrit contre. L’on m’a dit qu’on a publiè un Traitè a Londres avec le titre de Horological In- ftructions? ). Il faudra neceffairement que je le voie,"ou que je fcache ce que c’eft; c’eft pour quoy vous me ferez plaifir de le faire chercher. Tempion *) fcaura affeu- rement ce qu’il contient et ou on le trouve. Je fuis apres a faire conftruire ma nouvelle invention d’Horloge de Mer?), et j’en ay defia vu affez pour en avoir fort bonne opinion. Cela m'occupe un peu beaucoup et eft caufe que mon Traitè des Planetes s’eft avancè moins vifte. Jay a vous dire encore touchant ce petit ouvrage, que je l’ay efcrit comme en m’adreffant a vous, et je crois que vous voudrez bien que voftre nom y paroïffe; autrement je pourray le deguifer fous quelqu’autre, et l’on fcaura pourtant que je parle a vous, parce que je fais mention des obferva- tions que nous avons fait enfemble. Mais je ne fonge pas que nous aurons affez de temps d’en conferer quand vous ferez revenu. Nous avons icy depuis peu la nouvelle fatire de Boileau contre les femmes *°}, qui eft bonne, mais non pas tout a fait de la force des precedentes a mon avis. On a aufli imprimè les Harlequiniana **), ou il y a quelques plaifanteries qui rejouiflent. Mijn Heer Min Heer van Zuylichem 4 Secretaris van Siÿne Konincklijcke Majefteit Tot Londen. LS 5) Jean Graverol, né à Nimes le 28 juillet 1647, étudia la théologie à Genève. Après la révoca- tion de l’édict de Nantes, il se réfugia en Hollande et s'établit à Amsterdam. Plus tard il se rendit à Londres où, comme pasteur il desservit les églises françaises. 11 mourut à Londres en 1718. Le livre dont parle Huygens, est intitulé Moses Vindicatus: seu asserta historica creationis mundi, aliarumque quales a Mose narrantur veritas, adversus Clarissimum Virum Th. Burneti archaeologias philosophicas. Amstelodami 1694. in-12°, 7) Voir, sur cet ouvrage anonyme, la Lettre N°. 2851. #) Tempion était un horloger dont Huygens avait fait la connaissance lors de son séjour à Lon- dres en 1889. Il est fréquemment mentionné dans le Journal du frère Constantyn. 9) Voir la note 16 de la pièce N°. 2823, et consultez la note 32 de la Lettre N°. 2859. 19) La satire X, qui parut en 1692: Enfin bornant le cours de tes galanteries, Alcippe, il est donc vrai, dans peu tu te maries” etc. 21) Arliquiniana ou les bons mots, les histoires plaisantes et agréables. Recueillies des Conver- sations d’Arlequin. Suivant la copie. A Paris, chez Florentin et Pierre Delaulne et chez Michel Brunet. M.Dc.xciv. in-12°. CORRESPONDANCE. 1694: 585 o N° 2647. Le Marquis DE L'Hosprraz à CHrisrTiAAN HuyGeEns. 22 MARS 1694. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle a été publiée par P. J. Uylenbroek ). Elle fait suite au No. 2843. Chr. Huygens y répondit par le No. 2859. A Paris ce 22 Mars 1694. Je vous envoye, Monfieur, la reponce de Mr Renaud *); vous me ferez plaifir de m'en mander vôtre fentiment, je n’ai pas encore eu le loifir de l’examiner, car elle ne vient que de paroïftre et de plus la mort de Mr d’Autremonts, oncle de ma femme, m'engage dans beaucoup d’affaires qui ne me laiffent quafi point de temps. Je vous prie cependant de m’eclaircir une difficulté qui regarde les deve- loppées. Mr Bernoulli dans les actes de Leipfic de l’année 1692, page 116 3) pretend qu’au point d’inflexion le rayon de la developpée, ou du cercle baifant, devient toujours infiniment grand. Mr Leïbnitz, dans la page 443, dit auffi la mefme chofe +). Or je trouve qu’il peut eftre auffi infiniment petit ou zero, car foit une 1) Chr. Hugenïi etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, p. 313. 7 Cette réponse nous est inconnue dans sa forme primitive d’ouvrage séparé, sous laquelle elle semble être devenue très rare. Pour cette raison nous la reproduisons, dans l’Appendice N°. 2848 à la présente lettre, telle qu’elle a été réimprimée plus tard dans les numéros du 16 et du 23 mai 1695 du Journal des Sçavans. Lors de cette publication, la réplique de Huy- gens, que nous donnons plus loin dans cette correspondance, avait déjà paru dans le numéro d’avril 1694 de l'Histoire des Ouvrages des Sçavans. II est donc bien étrange que dans les numéros cités il ne soit fait aucune mention de cette réplique. 8) Il s’agit de l’article de Jacques Bernoulli qui parut dans les ,, Acta” de mars 1692 sous le titre :,,J. B. Additamentum ad Solutionem Curvae Causticae fratris Jo. Bernoulli, una cum Meditatione de Natura Evolutarum, & variis osculationum generibus”, à la fin duquel on trouve le passage qui suit : ,In omni enim flexu contrario circulus osculator abit in lineam rectam, fit radii infinite magni; quanquam non vicissim, ubicunque circulus osculator infinite magnus est, ibi requiritur flexus in contrarium. In Paraboloïdibus omnibus (excepta Parabola communi) circulus osculator verticis infinite magnus, véruntamen non nisi in illis, quorum potestates a numero impari denominantur, flexus contrarius supervenit, caeterae ubique versus easdem partes cavae manent”. 4) Voici le passage en question, tel qu’on le trouve dans l’article cité dans la note 26 de la Lettre N°.2819:;,,Sed & hoc notandum est, wivimam curvedinem & maximam obtusitatem esse in puncto flexus contrarii, & recte dixit Dn. Bernoullius, circulum osculantem eo casu degenerare in rectam; radius enim est infinitus, seu centrum cadit in lineae evolutae con- cursum cum sua asymptoto. Quoniam antequam duae proximae, ad curvam perpendiculares, Œuvres. T. X. 74 586 CORRESPONDANCE. 1694. ligne courbe BAC, qui ait un point d’inflexion en A, et pour tangente en ce point la droite FAG:; il eft clair qu’en commençant de developper au point A, on decrira la courbe AË par le develop- pement de la partie CA et la courbe AD par celui de la partie AB:de forte que la courbe entiere DAË' aura auffi un point d’inflexion en A,quoi que dans ce point le rayon de fa deve- loppée BAC foit zero. Suppofons par exemple # que la courbe EAD foit la paraboloïde 44x3 — =", qui a un point d’inflexion en À, je puis demontrer que le rayon de fa developpée en ce point fera nul ou zero. La raifon qu’aporte Mr F Leibnitz dans la mefme pag. 4435) ne fait rien 1 contre moi, car avant que deux perpendiculaires / à une courbe infiniment proches l’une de l’autre deviennent de convergentes divergentes, il faut neceffairement ou qu’elles deviennent paralelles, comme à remarqué Mr Leib- nitz, ou bien qu’elles deviennent nulles ou zero ce qu’il n’a point remarqué. Le premiér cas arrive lorfque les rayons de la developpée vont en croiffant à mefure qu’ils aprochent du point d’inflexion et le fecond lorfqu’ils vont en diminuant. Mr Bernoulli fait encore ici une faute confiderable ‘) lorfqu’il dit que dans toutes les paraboloïdes (excepté la parabole commune) le cercle baifant du fommet eft infiniment grand, car il y a une infinité de ces paraboloïdes ou il eft infiniment petit. En voici la regle 7). Soit en general # l’expo- fant des abfciffes et # celui des appliquées (je fuppofe #7 moindre que #,afin que ces courbes foient convexes par raport à leurs axes), je dis que fi 2 fur- paffe # le rayon de la developée au fommet eft nul, et qu’au contraire fi 2 eft moindre que # il fera infiniment grand. Je vous en enverrai la demonftration fi vous le fouhaitez. Au refte il me paroift evident que Mr Leïbnitz fe trompe lorfqu’il pretend que les quatre interfeétions d’un cercle avec une ligne courbe doivent fe reunir en une afin que le cercle devienne le plus proche qu’il eft poflible de la courbe ce 5 g fm sibi occurentes hactenus ad plagam propositam, fiant sibi occurrentes ad plagam oppositam, seu ex convergentibus divergentes, debent fieri parallelae, quo casu earum concursus infinite abesse debet”. 5) Consultez la dernière phrase du passage cité dans la note précédente. 5) Il s’agit de la dernière phrase du passage cité dans la note 3. Remarquons toétetots qu “il nous semble probable que Jacques Bernoulli n’a eu en vue que les paraboloïdes y=— #4", où # représente un nombre entier. 7) Elle est exacte; consultez la réponse de Huygens, notre N°. 2859. CORRESPONDANCE. 1694. 587 qu’il appelle baifant °): au contraire il eft clair, ce me femble qu’il n’y en doit avoir que trois et que le cercle doit alors couper la courbe, comme le pretend Mr Bernoulli ?). Faites moi, je vous prie, le plaifir de me mander vôtre penfée fur tout cela. J'ai ecrit à Mr Bernoulli, comme je vous l’avois marqué :°) pour favoir quel etoit fon fentiment fur la courbure de la voile lorfque l’on fuppofe le nombre des parallelogrammes, qui la compofent fini; mais il ne m’a fait reponce que depuis peu et il me mande qu’il n’a point le loifir de fonger à ces matieres parce qu’il eft fur le point de fe faire pafler doéteur en medecine pour fe marier enfuitte. Il me promet cependant qu'après que cela fera pafté il me rendra reponce fur cet article. Je ne manquerai pas de vous la faire favoir auflitoft **). Je fuis tres par- faitement Monfieur vôtre tres humble et tres obeiffant ferviteur LE M. DE L'HospiTAL. #) On rencontre l'erreur en question pour la première fois dans l’article de Leibniz des ,, Acta” de juin 1686, cité dans la note 3 de la Lettre N°. 2699. On y lit: ,,Ut autem habeatur & modus inveniendi circulum osculantem, sciendum est, quemadmodum 7engentes inveniuntur per aequationes quae habent duas radices aequales, seu duos occursus coincidentes, & fexus contrarii per tres radices aequales; ita circuli vel aliae quaevis lineae datam oscw/antes inve- niuntur per quatuor radices aequales, seu per duos contactus in unum coincidentes”. Et qu’il s’agit ici en effet d’une erreur, et non pas d’une conception différente du cercle osculateur, c’est ce qu’on peut voir en consultant soit la définition de ce cercle, telle qu’on la trouve plus haut dans l’article cité, soit les pages 156 et 157 de la Lettre N°. 2699, où la même faute est répétée et où l’on aperçoit encore plus clairement son origine, qui consiste en ce que Leibniz considère à tort l’,osculation”” comme le résultat de la coïncidence de deux con- tacts. Même après la critique de Bernoulli, que l’on trouve dans l’article cité dans la note 3, Leibniz persistait dans son opinion, prétendant, dans l’article mentionné dans la note 4, que le cas des quatre intersections était le cas général et celui des trois l'exception. Bernoulli répliqua encore dans les ,, Acta”? dé juin 1693, aux pages 249—251 de l’article cité dans la note 22 de la Lettre N°, 2819. 9) A.la page 112 de l’article cité dans la note 3. Huygens lui-même était d’ailleurs arrivé depuis longtemps à là même conclusion. Consultez là-dessus la Lettre N°. 2709 et surtout l’annotation d'octobre 1654 que l’on trouve mentionnée dans la note 6 de cette lettre. 19) Voir la Lettre N°. 2843. 11) De l’Hospital n’y est plus revenu. 588 CORRESPONDANCE. 1694. N° 2848. B. RENAU à CHRISTIAAN HuycEns. Appendice au No. 2847. [JANVIER 1694]. La pièce a été reproduite dans les livraisons du 16 et du 23 mai 1695 du Journal des Sçayants Dh. 329—337 et 355—303 de l'édition d'Amsterdam *). ’s Grayesande en donna une traduction latine dans les Chr. Hugenii Opera Varia, p. 296. Elle est la réponse à la pièce No. 2826. Chr. Huygens y répondit par le No. 2869. Réponfe de M. Renau à M. HuGuEnNs *). Mr. Huguens dit 3) : Que bien qu'on puille imaginer que le mouvement au vaifleau par BG ef} compo[é des mouvemens par BK & KG, il ne s'enfuit pas que fi dans Pefet on lui laifle le feul mouvement [uivant BK .... que le vent quien pouffant la voile CD, le poufferoit de B en G, le poufera dans un temps égal de Ben K. Et c’eft en cela où je trouve d’abord qu'il fe trompe. Car afin que le 1) ) 5) Elle y est précédée d’une Introduction intitulée :, Remarque de M. Huguens sur le Livre de la Manœuvre des vaisseaux imprimée à Paris in-8.” (p. 310) et ainsi conçue : ,,Mr. Renau Capitaine de Vaisseau, & depuis Ingenieur General de la Marine & Chevalier de l'Ordre de Saint Louis, donna au Public en 1689. un traité dela Manoeuvre des Vaisseaux, qui fut mer- veilleusement bien reçu. M. Iluguens qui est le seul qui y a trouvé à redire avouë luy mesme que cet ouvrage est écrit avec beaucoup de soin & de neteté, & qu’on n’y supose point de principes qui ne soient veritables; en sorte que si toute la theorie estoit tirée de là par des consequences legitimes, il n’y auroit rien à reprendre : mais comme il ne lui paroït pas que cela soit ainsi, il a cru qu’il seroit bon pour l’utilité du public d’avertir d’une erreur conside- rable qu’il croit avoir reconnuë dans ce traité. M. Renau sontient au contraire qu’il n’est pas tombé dans cet erreur, & que s’il s’est trompé en quelque endroit de cet ouvrage, c’est touchant un point que M. Huguens croit tres conforme à la raison”. »Les preuves des deux parties ayant trop d’étenduë pour trouver place dans un seul Journal, on a cru qu’il seroit à propos de mettre dans celui-ci l’objection de M. Huguens & de reserver la réponse de M. Renau pour le suivant”. »Voici l’objection de M. Huguens comme elle se trouve insérée dans la Bibliothèque Universelle et Historique du mois de septembre 1693”. Après ce début, l’article fait suivre la ,, Remarque de Huguens sur le Livre de la Manoeuvre des Vaisseaux”, elle-même, notre pièce N°. 2826, à commencer par la phrase : ,,]Je commen- cerai en raportant le contenu de l'Article I du 2. Chapitre”, etc. (p. 525) jusqu’à la fin. Consultez d’ailleurs sur la pièce présente la note 2 de la Lettre N°. 2847. Il est probable que l’écrit primitif contenait'une introduction, qui nous manque, puisqu'elle a été remplacée dans la reproduction de 1695 par celle citée dans la note précédente. Consultez la page 527 de la pièce N°. 2826. CORRESPONDANCE. 1694. 589 vaifleau puiffe aller de B en G dans un mefme temps déterminé, (voyez la figure du Journal précedent) +) il faut qu’il ait réellement dans la détermination BK une viteffe capable de faire dans un temps égal la quantité BK, & dans la déter- mination KG la quantité KG. Et afin qu’on ne puiffe pas douter de cete verité, imaginons-nous que le vaiffeau eft pouffé dans la détermination BK d’une force capable de le faire aller dans un certain temps déterminé de B en K; & qu’en mefme temps il foit aufli pouffé dans le fens KG d’une force capable de lui faire faire dans le mefme temps déterminé la quantité KG : comme ces deux forces n’ont rien d’opofé l’une à l’autre, ni qu’elles ne concourent point enfemble, atendu que BK eft perpendiculaire à KG, le vaiffeau obeïra entiérement à chacune de ces deux forces, & par confequent la viteffe qu’il aura dans chaque inftant dans le fens BK, fera à [la] viteffe qu’il aura dans les mefmes inftans dans le fens KG comme BK eft à KG. C’eft pourquoi le vaiffeau fatisfaifant à l’efer de ces deux forces, fe mouvra le long de BG, & parviendra en G dans le temps déterminé. Et par con- fequent fi dans l’efet on lui laiffe le feul mouvement par BK, la force telle qu’elle puiffe eftre qui le poufferoit de B en G, le pouffera dans un temps égal de B en K, puis qu’en rendant inutile l’efet de la partie de la force qui convient pour par- courir en mefme temps KG, on n’augmente ni on ne diminuë, comme nous avons dit, la viteffe felon BK. J’avouë que fi l’angle BKG eftoit aigu, la force particu- liere qui poufferoit le vaiffeau felon KG, diminueroit la viteffe qu’il auroit felon BK, comme lui eftant opofée : au contraire, fi l’angle BKG eftoit obtus, elle augmenteroit comme allant du mefme fens; mais comme l’angle BKG eft droit, cete force ne diminuë ni n’augmente la viteffe du vaiffeau felon BK. * M. Huguens dit aprés: Car pour [çavoir quel efpace il parcourra par. BK, il faut voir avec quelle force il eff pouflé dans cete route, & de plus avoir égard à la refiflance qu’il foufre de l'eau. Je viens de faire voir que les raports des viteffes dans les diferentes déterminations perpendiculaires l’une à l’autre, fufifoient pour faire voir la route du vaiffeau, fans avoir befoin du raport des forces, ni des refiftances de l’eau; mais comme ces viteffes dépendent des forces, je puis faire voir la mefme chofe par le raport des forces. J'ai démontré au 13. art. du 1. chap. de la Theorie de la Manœuvre des Vaif- feaux, dont M. Huguens convient, que les forces qui poufloient le vaiffeau eftoient entr’elles comme les quarrez des viteffes. C’eft pourquoi la force qui con- vient pour faire faire au vaiffeau la quantité BK dans le fens BK, dans un temps déterminé, eft à la force qui convient pour faire faire au vaiffeau la quantité KG 4) Elle est identique dans tous les points essentiels avec celle de la pièce N°. 2826, p. 526, à laquelle nous renvoyons; seulement on doit ajouter à cette figure une perpendiculaire AV, abaissée du point A sur la droite DCO. 590 CORRESPONDANCE. 1694. dans le fens KG, comme le quarré BK eft au quarré de KG : d’oùil fuit que fi le vaifleau eftoit pouflé en mefme temps dans les deux déterminations que je viens de dire, qui font perpendiculaires l’une à l’autre, il auroit une force égale à ces deux forces, atendu que l’une n’ajoute ny ne diminuë rien à l’autre. Aiïnf cete force feroit exprimée par le quarré de BG, parce que le quarré de BG eft égal au quarré de BK & de KG. De maniere que le vaiffeau aura alors une viteffe qui fera produite par cete force, c’eft à dire que le vaiffeau fera la quantité de BG dans le mefme temps qu’il a efté dit. C’eft pourquoi fi le vaiffeau eftoit pouflé felon BG avec la force exprimée par le quarré de BG, il ariveroit en Gen mefme temps qu’il ariveroit en K, s’il eftoit pouffé felon BK avec une force exprimée par le quarré de BK. M. Huguens continuë de cete forte : Or #7 ef? certain par les regles de Meca- nique, que la force avec laquelle la voile DC pouffe le vaifleau par BK, eff à celle dont la mefine voile, € dans la mefme pofition a l'égard du vent, la poufleroit par BG comme BK à BG. Je ne conviens point que cela foit felon les regles de Me- canique, au contraire il eft certain que le raport de ces forces eft comme le quarré de BK au quarré de BG, & non pas comme BK à BG; & pour qu’on n’en puifle pas douter, imaginons-nous prefentement que l’air fe meuve fuivant la ligne AB une fois plus vite dans un temps que dans un autre. Lors qu’il fe mouvera une fois plus vite, il frapera la voile quatre fois plus fort, atendu que chaque partie frape une fois plus fort à caufe d’une fois plus de vireffe, & à caufe d’une fois plus de viteffe il y a aufli une fois autant de parties qui frapent en mefme temps. C’eft pourquoi la viteffe eftant double & la maffe double, la puiffance ou la force eft qua- druple. Si la viteffe eftoit triple, chaque partie fraperoit trois fois aufli fort, parce que la viteffe eft triple; & aufli parce que la viteffe eft triple il y auroit trois fois autant de parties qui fraperoient en mefme temps. C’eft pourquoi la viceffe eftant triple & la maffe triple, la puiffance ou la force fera neuf fois aufli grande; d’où on voit que la maffe augmente en mefme raifon de la vitefle, & chaque partie frapant aufi plus fort à raifon de la viteffe, la puiffance ou la force du vent contre la voile, eft en raifon doublée des viteffes du vent; c’eft à dire en raifon-des quarrez des viteffes du vent contre la voile. M. Huguens convient de ce principe: ainfiilnes ’agit plus qu’à en fairé l’aplication, La premiere aplication fera pour faire voir pourquoi la force du vent contre la voile, lors que le vent'eft perpendiculaire à la voile, eft à la force du mefme vent contre la voile lors qu’elle eft inclinée au vent, comme le quarré du rayon eft au quarré du finus de l’angle d’incidence, ou, ce qui eft la mefme chofe, pourquoi les forces d’un mefme vent contre des voiles diverfement inclinées au vent, font entr’elles en raifon des quarrez des finus des angles d’incidence; ce que j’ai démontré dans les articles 7. 8. & 9. du chap. 1. & que je prouve encore de cete maniere. J'ai fait voir dans la Theorie de la Manœuvre des vaiffeaux au 6. art. du chap. 1. qu’un corps qui fe mouvoit de A en B, ne rencontroit la fuperficie CORRESPONDANCE. 1694. 591 CD qu'avec fa détermination AT 5), fupofant AT 5) perpendiculaire fur DC prolongée, & ne faifoit d’impreflicn fur cete fuperficie que fuivant cete détermi- nation, & M. Huguens en convient. Cela eftant, le vent AB n’agit contre cete voile que fuivant cete détermination, c’eft à dire avec la viteffe AT 5). Er fi la voile CD eftoit perpendiculaire au vent AB, ce vent agiroit contre la voile avec la viteffe AB. Et par confequent par le principe que je viens d'établir ci-devant, la force avec laquelle le vent agiroit contre cete voile fi elle eftoit perpendiculaire au vent, eft à la force du vent contre la voile CD qui eft inclinée au vent, comme le quarré de AB eft au quarré de AT 5), c’eft à dire comme le quarré du rayon eft au quarré du finus de l’angle d'incidence. La feconde aplication eft celle qui fert à réfoudre la queftion dont M. Huguens & moi ne fommes pas d’acord, c’eft à dire pour faire voir que lors que la voile eft dans la fituation CD, & le vaifleau dans celle de BK, la force avec laquelle le vaifleau eft pouffé par le vent fuivant BG, par le moyen de la voile, eft à la force avec laquelle il eft pouffé par le mefme vent, & par le moyen de la mefme voile fuivant BK, comme le quarré de BG eft au quarré de BK, & non pas comme BG eft à BK, comme M. Huguens le prétend. Pour le faire voir, imaginons-nous que le vent frape la voile avec la viteffe BG. Comme il ne la frape qu'avec un mouvement fuivant BG, il faut regarder le venc comme allant de B en G avec la viteffe de BG. Mais lors qu’il va de B en G avec cete vitefle, il va dans la détermination de BK avec la viteffe de BK, & dans le fens de KG avec la viteffe de KG. C’eft pourquoi par ce que j’ai dit ci devant, la force avec laquelle le vaiffeau eft pouffé fuivant BG, eft à celle avec laquelle il eft pouffé fuivant BK, comme le quarré de BG eft au quarré de BK : & à celle avec laquelle il eft pouffé fuivant KG, comme le quarré de BG eft au quarré de KG; & on remarquera que la mefme force du vent contre la voile, c’eft à dire la force totale fuivant BG, qui eft exprimée par le quarré de BG, eft divifée fuivant BK & fuivant KG en deux parties, dont la fomme eft égale à la totale, & en cela la force, la puiffance ou le mouvement, qui font trois mots pour fignifier la mefme chofe, ne reçoit ni augmentation ni diminution par nos manieres d’envi- fager le mouvement, qui ne confifte pas dans la viteffe feule des corps, il y faut encore comprendre les maffes. Aïnfi la puiffance, la force ou le mouvement, eft le produit de la viteffe par le maffe. C’eft pourquoi une meime puiflance qui a efté produite par deux puiffances, eft égale à ces deux puiffances, pourvu que la détermination de l’une foit perpendiculaire à la détermination de l’autre, parce qu’en ce cas là ces deux puiffances ne peuvent rien ajouter l’une à l’autre, ni rien ôter l’une de l’autre, les deux déterminations n’ayant rien l’une contre l’autre ni 5) Lisez , AV” et consultez la note précédente. 592 CORRESPONDANCE. 1694. l’une pour l’autre, comme nous avons dit. C’eft ce qui fait qu’une puiffance fui- vant BK peut demeurer la mefme, & par confequent fon efet toujours le mefme, quoi qu’on augmente ou diminué à l’infini la puiffance fuivanc KG. En ce cas-là il n’ariveroit de changement qu’à la puiffance totale BG qui fera toujours égale à la fomme des deux puiffances qui l’auront produite. Il s'enfuit de tour ce que je viens de dire, que le vaiffeau HBM eftant poufté felon BG par le moyen de la voile DC, la viteffe avec laquelle le vaiffeau fe meut de côté, eftant à celle avec laquelle il fe meut de pointe, comme GK à LK5®); il s'enfuit, dis-je que le vaiffeau ira le long de BL, & arivera en L dans le mefme temps qu’il feroit arivé en G, s’il fendoit l’eau de tous côtez avec la mefme facilité qu’il la fend de pointe, & fi le vaiffeau eftoit ataché, comme dit M. Huguens, avec une corde BR infiniment longue & perpendiculaire à BK: c’eft à dire pour empêcher que le vaiffeau ne fe muft aucunement felon la détermination KG, il s’enfuivroit que le vaiffeau ariveroit encore au point K, au mefme temps qu’il feroit arivé au point G, ce qui eftoit en queftion, & ce qu’il faloit prouver. Si la regle de Mecanique dont parle M. Huguens, fçavoir que la force avec laquelle DC pouffe le vaiffeau felon BK, eft à celle avec laquelle la mefme voile pouffe le vaifleau felon BG, comme BK eft à BG [étoit véritable]; non feule- ment le vaifleau n’iroit point en K en mefme temps qu’il auroit efté en G dans les circonftances dont on a parlé, mais mefme le vaiffeau fendant également l’eau de tous côtez, & la voile DC le pouffant felon BG qui lui eft perpendiculaire, n’iroit pas felon la ligne BG : Car par la mefme regle de Mecanique la force avec laquelle le vaifleau feroit pouffé felon BK par le moyen de la voile, feroit à celle avec laquelle il feroit pouffé felon KG, comme BK eft à KG, & les vitefles du vaifleau feroient entr’elles comme les racines des forces. Donc les viteffes qui refulteroient de ces forces, fçavoir la viteffe que le vaiffeau auroit pris dans chaque inftant felon BK, feroit à celle qu’il auroït dans les mefmes inftans felon KG, comme la racine de BK eft à la racine de KG. Mais pour fe mouvoir felon BG, il faut que ces vitefles, lors qu’elles font inégales, comme nous fupo- fons ici, foient entr’elles dans chaque inftant, comme BK eftà KG, & non pas comme leurs racines. Donc le vaiffeau n’iroit pas felon BG; ce qui eft abfurde. Car la force totale qui pouffe le vaiffeau eftant felon BG, en fupofant que le vaiffeau fend l’eau également de tous côtez, il faut qu’il aille neceffairement felon cete ligne. Mr. Huguens dit plus bas?): La mefme erreur que je viens de remarquer influë dans prefque tout le traité, & empéche de [ubfifier plufieurs theorémes qui autre- 5) Lisez: comme LK à GK. 7) Voir la page 528 de la pièce N°. 2826. CORRESPONDANCE. 1694. 593 menb paroillent fort élegans, comme entre autres celuy qui dit, que quand l'angle de la voile avec le vent OBA ef donné, la plus avantageule fituation de la quille pour gagner au vent ef? celle qui divile également [on complement OBE, dont l'auteur prouve enfuite, &c. * Puisque je viens de faire voir que ce que M. Huguens croyoit une erreur n’en eft pas une, tous les theorêmes du traité demeurent entiers. Enfuite il dit®): 4u refle M. Renau ne pourra gueres douter que notre regle ne foir vraye puis que par elle on trouve le meilleur angle du gouvernail avec la quille, pour faire tourner le vaiffeau le plus promptement, tout à fait tel qu’il la déterminé dans le chap. 7. En quoy il a fait une découverte fort utile. Car en prenant s) x > |/ zaa;, de mefme qu'il trouve le Jinus de l'angle que la quille ou la ligne du mouvement de l'eau fait avec le gouvernail, ce qui doit efre ainfi. Je ne puis eftre encore ici du fentiment de M. Huguens ni par confequent de celui dé mon livre, où il y a une erreur tres confiderable, comme je vas le faire voir. Mais auparavant j’avouerai ingenuement la caufe de cete erreur. J’avois premic- rement fait mon livre en fupofant pour vrai un principe faux que le P. Pardies a donné dans la fciencé des forces mouvantes art. 1 18. quoi que tout fon ouvrage fur le motivement d’fin vaiffeau *) ne confifte qu’en ce feul principe, qu’il n’a apliqué à rien, ni donné aucun moyen de refoudre aucune des propofitions de la theorie de la manoeuvre des vaifleaux **). Comme je m’apperçus de la fauffeté de ce principe à peu près à la fin de l’impreffion du r. livre, je le fuprimai entiére- ment, parce que ce principe faux eftoit répandu dans toutes les propofitions du livre, qui en rendoit toutes les refolutions fauffes. Je les refolus toutes de nouveau » , 8) Voir la page 529 de la pièce N°. 2826. ?) Intercalez ici:,9—=4, g'est-à-dire en faisant la ligne du vent perpendiculaire sur la quille, on trouve par cette règle le sinus” 19 Les articles 115—119 de l'édvrage de Pardies, cité dans la note 4 de la Lettre N°. 1946, con- tiennent ce qu’il appelle l”,, Application des régles de Méchanique au mouvement d’un Vais- seau”. Après avoir traité de la dérive dans le cas d’un ,, Vaisseau poussé par un vent de côté”, il examine, dans l’article 118 en question, l'influence ‘de la situation de la voile sur la vitesse du vaisseau au cas que la direction de la quille reste invariablement perpendiculaire à celle du vent. De même que Renau et Huygens, il suppose la pression du vent sur la voile comme étant proportionnelle au carré du sinus de l’angle d’incidence du vent; quant à la résistance de l’eau contre le mouvement du vaisseau, il ne dit pas expressément de quelle manière il la fait dépendre de la vitesse du vaisseau, mais la construction qu’il donne exige, pour être correcte (laissant de côté la question de la dérive), que cette résistance soit dans la raison simple de la vitesse et non pas, comme Renau et Huygens l’admettaiént, dans celle du carré. / “) En effet, dans l’article 119 Pardiés n'avait fait que poser un certain nombre de ces pro- positions, ajoutant seulement que ;, Tout cela se peut résoudre par ces régles de Méchanique; mais” dit-il ,je croy que ce qui a été expliqué peut suflire pour le dessein que je m’étois proposé”. Œuvres. T. X. 75 594 CORRESPONDANCE. 1694. fur un fondement veritable, & fis faire une feconde impreflion, qui eft celle qui a efté donnée au Public. Mais comme j’eftois ocupé à d’autres chofes, je laïffai par mégarde le mot de force dans la démonftrarion de l’art. 5 du chap. 2 au lieu du mot de viteffe qu'il faut y fubftituer **); & à quoi M. Huguens n’a pas pris garde. Il eft vrai que dans l’art. 6. ch. 1. *#) je me fers indiferemment des mots de viteffe ou de force, parce que je n’y confidere que le mouvement d’un feul corps dans le vuide, & qu’en ce cas la viteffe & la force ont coujours le mefme raport. Je ne me fuis aperçu de l’erreur du chap. 7. qu’aprés la feconde édition de mon livre, & dans un temps où mes ocupations ne me permirent pas d’y retoucher. Voici la démonftration qui en marque la fauffeté. Du centre B foit décrit le cercle ADREC, & foit la ligne AB repretentant la quille du vaiffeau, BR la quille prolongée, R & fur BR comme diametre foit décrit le demi cercle BGR, & de mefme fur AB à le demi cercle ABV, & foit BD une D NS fituation du gouvernail, & BC le gouver- Ro: bic @ nail prolongé, BE!perpendiculaire fur à AB, BG & AV perpendiculaires fur DC, NPA GH perpendiculaire fur BE. Prenant BERG H E- une autre fituation du gouvernail comme \ BJ prolongée en c. Soit tirée dans les \ mêmes circonftances Bg, Av, & gh. Si le x e vaifleau fe meut en avant fuivant la ligne x C BA, les angles ABC & ABc égaux aux A e angles GBE & g BE font les angles d’in- j. sai cidence de l’eau fur le gouvernail. D’où il fuit que lors que le gouvernail eft dans la fituation BD, l’eau frape dans la détermination AV, & avec la viteffe AV, & par confequent avec la force exprimée par le quarré de AV. Et comme la viteffe du vaiffeau n’eft que comme la racine de la force à caufe de la refiftance de l’eau, le vaiffeau eft pouffé dans la détermination BG avec une viteffe exprimée par 7?) En consultant l’article mentionné on s'aperçoit qu’il s’agit, ici encore, de l’opinion que la décomposition usuelle, suivant des directions perpendiculaires, valable pour les ,, vitesses”? ne le serait pas, sans modification, pour les , forces”. : 13) Consultez, sur le contenu de ce premier chapitre, la note 4 de la pièce N°. 586. A l’art. 6 Renau s’occupe de l'impulsion ou impression”, comme il l’appelle, produite par un petit corps matériel rencontrant obliquement une surface donnée. La ,, vitesse, ou la force absoluë, avec laquelle ce corps iroit frapper une superficie perpendiculaire au mouvement” y est décomposée à la manière usuelle suivant les directions perpendiculaire et parallèle à la surface donnée. CORRESPONDANCE. 1694. 595 BG, parce que BG eft égale & parallele à AV, Mais lors que le vaiffeau eft pouffé felon BG: avec la virefle BG, il eft pouffé felon BE avec la viteffe BH. Si le gouvernail eftoit dans une autre fituation B4, on verroit par les mefmes raifonne- mens que le vaiffeau feroit pouffé felon BE avec la viteffe Bz. Mais lors que le . vaiffeau eft pouffé avec plus de viteffe felon BE, il tourne avec plus de prompti- tude, C’eft pourquoy fi BG qui eft perpendiculaire à la fituation du gouvernail, coupe le demi cercle BGR en deux parties égales, c’eft à dire que l’Angle GBE égal à l'angle d’incidence ABC foit de 45. degrez, alors GH perpendiculaire fur BE; fera tangente d’un demi cercle. Ainfi BH qui exprime la viteffe avec laquelle le vaiffeau eft poufé felon BE, eft la plus grande qu’il eft poffible : car fi on met le Gouvernail dans une autre fituation comme en B4, alors Bg qui lui eft perpendi- culaire, coupera le demi cercle en g, d’où laiffant tomber une perpendiculaire en qui fera plus prés du point B que n’eft GH, & le vaiffeau fera pouffé felon BE avec la vitefle Bz qui fera plus petite que BH. Il en fera de mefme de toutes les autres. fituations. C’eft pourquoy il faut que la barre du Gouvernail BC faffe un angle de 45. degrez avec la quille du vaiffeau, pour que le vaiffeau tourne le plus promptement qu’il eft poflible, & non pas comme il eft dit dans le VII. Chapitre de la Theorie de la Manoeuvre des vaiffeaux, un angle à peu prés de 55. degrez. M. Huguens finit en difant; Qwoyque cette theorie devienne plus difficile aprés la reforme. que j'ay indiquée. qu’elle n'eftoit dans le traité de M. Renau, je vois toutéfois qu’il y auroit moyen de determiner par regle la pofition du vailfeau & de la voile la plus avantageufe pour gagner au vent, mais la longueur du calcul ne me le permet pas prefentement. Outre que la confideration de la derive du vail[eau # y feroit pas comprife. Dans mon traité il n’y auroit rien de fi fimple que de prouver #) la pofition la plus avantageufe de la voile & du vaiffeau, non feulement pour gagner au vent, mais mefme pour faire quelque route que ce puiffe eftre, fi la dérive du vaifleau n’y eftoit pas comprife. Pour le faire voir, foit la ligne du vent AB ?), & foit donnée une route BK, faifant avec le vent quelque angle/que ce puiffe eftre ABK pour trouver la fituation la plus avantageufe de la voile pour que le vaiffeau aille le plus vifte qu’il eft pofible dans cete route, fupofé qu’il n’eût point de dérive. Prenant BR pour diametre du centre M, foit décrit le demi cercle BGR, & du point M foit tirée MG parallele à la route BK, & du point B au point G foit tiré BG, & foir enfuite tiré DBC perpendiculaire à BG. Je dis que DC eff la fituation la plus avantageufe de la voile pour aller dans la route BK le plus vifte qu’il eft poflible. Pour le prouver, foit tiré GK perpendiculaire à BK. Par tout ce qui eft dit ci-devant, le vent AB pouffe le vaiffeau par le moyen de la voile DC felon BG avec la viteffe BG, il le pouffe felon BK avec la viteffe BK. Et parce que GK 14) Lisez: trouver. 15) Voir la figure de la page suivante. 596 CORRESPONDANCE, 1694. eft perpendiculaire fur BK, GK fera aufli perpendiculaire à MG. Ainfi GK eft tangente au demi cercle. C’eft pourquoi toutes les perpendiculaires qu’on menéra de tous les autres points de la circonference de ce R demi cercle fur BK tomberont entré B & K. Donc le vaifleau aura plus de viceffe lors que la voile eft dans & la fituation DC que dans route autre. Et je dis de plus, que la voile DC coupe l’angle ABK, qui eft l'angle du vent & de la route en deux parties égales. Pour le M >. démontrer, foit menée MN perpendiculaire fur BG. N K , Cete ligne coupe l'angle BMG qui eft égal à l’angle ABK en deux parties égales, & parce que MN'eft parallele à DC, l'angle BMN qui eft la moitié de Pangle BMG égal à l’angle ABK, eft égal à l'angle ABC. Donc ce dernier eftégal à la moitié de l’angle Û ABK. D'où il fuit qu’il faudroit toujours que lafituas tion de la voile coupait l’angle du vent & de la route en deux parties égales, & que lors que ce feroit pour aller le plus au venc qu’il eft poflible, il faudroirqué le vent fift avec la voile 30. degrez, & la prouë avec * la voile aufli 30. d. parce qu’on'a démontré dans la theorie de la Manocuvre *), que dans quelque fitua- A tion qu’on mete la voile par raport au vent, il fautique la prouë coupe fon complement en deux parties éga- les; & par cete propofition on voit qu’en quelque fituation qu’on mift la prouë, qui eft la mefme chofe que la route, parce qu’on fupofe que le vaiffeau n’a point de dérive; il faut que la voile coupe l’angle que la prouë fait avec le vent en 2 parties égales. D'où il fuit qu’il faudroit que la prouë & la voile coupaflent un angle droit en 3. parties égales, c’eft a dire que le vent fift avec la voile 30. degrez; Ja prouë aufli avec la voile 30. degrez, & avec le vent 60. 16) Voir la note 7 de la pièce N°. 2896. CORRESPONDANCE. 1694. 597 ee N° 2840. ConsranNTyN HuyGEnNs frère, à CarisrIAAN HuycEns. 30 MARS 1694. La lettre et la copie se trouvent à Leiden, coll. Huygens. La lettre est la réponse au No. 2846. Elle s’est croisée avec le No. 2850. Kenfington ce 30e Mars 1694. Apres la recepte de voftre derniere j’ay efté chez Mr. Smith l’Imprimeur des Tranfaëtions, pOur : achepter ces Horological Inftruäions dont vous parlez dans voftre lettre que j’ay trouvées et voudrois avoir occafion pour vous les envoyer. Je verray fi je pourray le faire, par Jannetje Jagers fi elle n’eft pas encore partie. Je ne puis pas vous rien dire touchant ce qu’elles contiennent n’ayant pas eu le temps de les lire. J'ay demandé audt. Smith fi l’on avoit imprimé des livres pour combattre les fentiments de Burnet dans fon Archeologia 7) il m'a dit qu’il y avoit des perfon- nes, qui y travailloyent mais que rien n’avoit encore paru. Ce Smith paffera avec le Roy en Hollande et fouhaitte fort de vous connoitre, j'ay promis de le vous amener alors, il eft affez honnefte homme pour un homme de fa profeffion. Hier commença icy au Commingarden une vente publique de deffeins et de Tailledouces, que fait vendre mylord +) ou parmy le grand nombre qu’il y en a ils’en trouve quelques bonnes pieces; mais depuis quelque temps le gouft pour cette forte de chofes ef icy tellement accreu que ces jeunes virtuofi acheptent les chofes trois fois plus qu’elles ne valent et je vis vendre hier une feule figure defliegnec de crayon rouge par Rafael et qui fait partie de fon maffacre des petits enfants, pour 11 livres Sterl, et encore n’efloit elle pas fort finie. Si je voulois vendre ma colleétion j’en ferois bien de l’argent. Mais je n’en ay point d'envie. Voor Broer van Zeelhem. 1) Voir l'ouvrage cité dans la note 4 de la Lettre N°. 2808. ?) Le nom (Yarmouth, voir la Lettre N° 2851) a été laissé en blanc. 598 CORRESPONDANCE. 1694. o N° 2850. CHRisTIAAN HuyGENs à ConsraAnNTyN Huycens, frère. 2 AVRIL 1694. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. La lettre fait suite au No. 2846, et s'est croisée avec le No. 2849. Constantyn Huygens y répondit par le No. 2851. A la Haïe ce 2 avr." 1694. Je fuis furpris de ce que Mad.e de Zuylichem m'envoie dire que vous me de- mandez refponfe a la lettre que vous m’avez efcrice du 5me mars). Car je vous ay fait cette refponfe dès le 19 du mefme mois ?), et il faut que chez Williet) on n’ait pas eu foin de ma lettre comme il faloit. Le contenu eftoit a peu pres, que je vous remerciois d’avoir fait tenir a mr. Fatio tout ce que je vous avois donnè pour luy, fur quoy je m’etonne qu’il ne m’ait encore rien efcrit. qu’on m’avoit dit qu’il s’eftoit engagè avec les jeunes milords pour voiager avec eux. que j’eftois bien aife de ce qu’on continuoit les Philofophical Tranfaétions, vous priant de ne pas oublier d'apporter avec vous cette 17e et autres que vous auriez pu avoir. Je vous priois aufli de faire chercher pour moy un traicè publiè depuis peu, dont le titre eft Horological infiruëtions, ce que je vous prie derechef. Je vous mandois que le livre de mr. Witfen ne paroifloit pas encore en public, quoyque il yen a qui difent qu’il eft achevè d'imprimer. Que mon Traitè de Planeticolis eftoit achevè, mais comme il eftoit moitiè en Latin moitiè en François, il me reftoit a mettre touten Latin. que j’eftois occupè a cela, mais que la conftruétion de ma nouvelle Horloge pour les Longitudes me caufoit beaucoup d’interruption. que nous avions icy la nouvelle fatire de Boileau contre les femmes, et Harlequiniana où il y a quelques bons mots. que le Mofes Vindicatus du Sr. Grauerol contre les Archaeologiæ de Burnet ne paroifloit pas encore, quoy qu’il y ait longtemps qu’on ait commencè a l’imprimer a Amfterdam. Voila tout ce qui eftoit dans ma lettre, a quoy je n’ay pas beaucoup a adjouter maintenant fi ce n’eft de vous prier de faire chercher #r Traitè de Harmonia, je crois qu’il eft en Anglois, ecrit depuis peu#). Les oeuvres de Wallis) doivent defia fe vendre comme je crois, mais je n’en veux point parce qu’elles feront trop cheres, et que j’en ay une grande partie feparement. Si vous n’avez pas fon Trairè d’Algebre en Anglois in fol.° %) vous feriez bien d’acheter cette nouvelle Edition de fes ouvrages, où elle eft traduite en Latin, avec quelque chofe de Newton qu’on eftime beaucoup ?). 1) La Lettre N°. 2844. ?) La Lettre N°. 2846. 3) Sur Williet, consultez la note 1 de la Lettre N°. 2507. 4) Sans doute l’ouvrage: À Treatise of the Natural Grounds and Principles of Harmony. By Will. Holder, D. D. &c. London, 1694. in-8°. S) Voir la note 2 de la pièce N°. 2606. ©) L'ouvrage cité dans la note 3 de la Lettre N°. 2660. 7) Voir la note 39 de la Lettre N°. 2777. CORRESPONDANCE. 1694. 599 Je fcay qu’en partant d’icy je vous ay recommandè la requefte du Sr. van Aften *) Capitaine dans le Regiment du Brigadier l’Eclufe. Je vous recommande derechet fa perfonne et fes interefts, parce qu’il me rend de bons fervices a Bruxelles en ce qui regarde mon cocquin de Receveur Cools?). Car fans luy je ne fcay comment faire pour le mettre a la raifon, ou pour tirer quelque chofe du revenu de Zeelhem dont j’ay fi fort befoin. Vous ne fcauriez me faire plus grand plaifir que de dire ou faire quelque chofe en fa faveur quand il y aura occafion pour cela. Il paroit fort honneft homme et fon frere a eftè fidelle ferviteur de fa Majeftè et de fes anceftres. J’efpere que nous vous verrons dans peu, et vous fouhaite un heureux paffage. Mijn Heer Mijn Heer vAN ZUYLICHEM Secretaris van Sijne Koninclijcke Maj.t van Engelandt Tot Londen. ._ d o N° 2851. ConsTaANTYN HuyGens, frère, à CHRisTIAAN HuyGEns. 13 AVRIL 1694. La lettre et la copie se trouvent à Leiden, coll. Huygens. La leitre est la réponse aux Nos. 2846 et 2850. Whitehall ce 13. d'Avril 1694. “re viens de recevoir la voftre du 2.e de ce mois, qui a efté bien long temps en chemin. J’ay aufli receu celle du 19. mars, qui eft venue bien tard aufli. Les vents de Weft, qui continuent depuis fi long temps font caufe de tout cela. Je vous ay mandé *) que j’allois vous envoyer les Horological Inftructions par Jannetje Jagers, mais cette femme là n’eft pas encore partie, et voudra apparemment at- rendre le convoy que l’on croid devoir partir d’icy, demain en huiét jours. Or je croy que le Roy partira vers le mefme temps et qu’il n’y aura point de temps perdu fi je les apporte moi mefme. Apres tout je ne croy pas que vous y trouviez de fort grandes decouvertes, l’autheur n’eftant qu’un Horologier et un virtuofo du 3.me rang. Dans fon Traité il ne met pas fon nom, et dit luy mefme qu’il efcrit pour inftruire les ouvriers. Je n’ay pas encore veû Fatio, depuis que je fuis icy. Il a dit (je croy que c’eft à Wiljer) qu’il viendroit me voir mais il n’en a encore rien fait. Je chercheray ces oeuvres de Wallis dont vous parlez er ce traité de Harmonia. #) Voir la Lettre N°. 2845, note 1. 9) Voir la Lettre N°. 2845, note 2. 1) Voir la Lettre N°. 2849. 600 CORRESPONDANCE. 1694. Il y a eu icy ces jours paffes une vente d’un grand nombre de deffeins et de Tailledouces du Lord Yarmouth *). Je vous en feray voir quelques uns a mon retour. On avoit fait accroire au pauvre Lord, qui vend fes deffeins pour avoir de l’argent, qu’il en avoit pour 22000 livres, et il fe trouve qu’ils ont efté vendus pour environ 7000. Encore ont ils efté vendus aflez bien. Ce Pacquetboate qui a efté pris eft le mefme avec lequel je fuis venu icy. Le Capitaine s’appelle Stevens. Le pauvre Marot 5) mandé par la Reine pour venir icy y a efté fait prifonier aufli. Voor Broer van Zeelhem. no N° 2852. G. W. LeiBniz à CHRISTIAAN HUYGENS. 26 AVRIL 1694. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygers. Elle a été publiée par P. J. Uylenbroek*) et par C. I. Gerhardt?). Elle fait suite au No. 2841. Chr. Huygens y répondit par les Nos. 2854 et 2856. A Hanover ce 264’ Avril 1694. MONSIEUR Je me confoleray de toutes les raifons de voftre filence, pour veu que ces deux n’en foyent point, une indifpofition de voftre part, ou quelque refroidiffement à mon egard, que je m’imagine de ne pouvoir meriter, vous honorant comme je fais, et dont je donne des témoignages publics 5). J'attendois voltre fentiment fur deux chofes principalement, 1. Sur mes reflexions phyfiques touchant le vuide, les Atomes, et quelques autres chofes de cette nature 4); 2. Sur quelques points de Geometrie, comme fur ma folution 2) William Paston, second et dernier earl of Yarmouth, né en 1652. Il fut membre de la Société royale et mourut, criblé de dettes, le 25 décembre 1732. 3) Probablément Daniel Marot, fils de l'architecte et graveur français Jean Marot. Il naquit à Paris en 1660 et vint se fixer à la Haye où, comme architecte, il travailla pour Willem IH. On a de lui plusieurs taille-douces et gravures et des ouvragés d’architecture décorative. 1) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, p. 172. 2?) Leïbnizens Mathematische Schriften, Band II, p. 170, Briefwechsel, p. 726. 3) En effet, Huygens est mentionné très fréquemment et d’une manière louangeuse dans les articles de Leibniz; la dernière fois dans celui qui constitue notre pièce N°. 2824. 4) Comparez le second alinéa de la Lettre N°. 2829. PTE CORRESPONDANCE. 1694. 6o1 generale de toutes les quadratures per conftruétionem traétoriam 5) que vous aurez remarquée dans les Aétes de Leipzig), et fur la folution d’un probleme de fouftangentielle, que vous m’aviés propofé, et que je vous avois donnée dans ma lettre 7). Je vous fupplie donc de me faire fçauoir voftre fentiment fur ces chofes là, d'autant que vous me fites efperer vos reflexions fur les miennes qui fe rappor- cent à la phyfique *). Voicy un difcours de la Refraction ?} d’un fçavant profeffeur à Witenberg *°), qui s’eft attaché à expliquer dans fes thefes voitre doftrine publiée dans le liure de la lumiere. Il me cite aufli :*) comme reformateur de l’hypothefe de Mr. Des Comparez la Lettre N°. 2829, aux pages 540 et 541. Ceux de septembre 1693, qui contiennent l’article cité dans la note 6 de la pièce N°. 2824. Voir la Lettre N°. 2820 aux pages 541 et 542. 5 Voir la Lettre N°. 2829 à la page 509. Il s’agit de l’ouvrage suivant : ,,Dissertatio dioptrica de refractione luminis, quam praeside Martin Knorre, Mathem. Infer. Prof. Publ. publice defendet, In Auditoriô Majori, M. Joannes Jacobus Hartman, Norimbergensis, d. XX Decembr. A. M. DC.XCIIT. horis matu- tinis. Wittenbergae, Typis Christiani Schrôdteri, Acad. Typ.”. in-4°. 29 p. 19) Martin Knorre, le véritable auteur de l’ouvrage mentionné était professeur à Wittenberg depuis 1689. Il mourut à Leipzig le 23 mars 1699. On connaît encore de lui:,,Q. D. B. V. J! Dissertationem Astronomicam De Crepusculis praeside Martino Knorre, Mathem. Infer. Professore Publico, respondendo tuebitur M, Frieder. David Stubnerus, Heïlsbronna-Fran- cus, St. B. B. Ad D. April. A. C. MDCIIC. H. L. Q. C. Wittenbergae, Typis Christiani Kreusigii, Acad. Typogr.” in-4°. 26 p. 17) Voici le passage en question dans lequel l’auteur ex- A pose à sa manière l’histoire des hypothèses diverses sur la cause de la réfraction ,Quamvis autem varia celebrentur Physicorum placita de natura luminis & diaphanorum, & Cartesii sententia, praesertim ut emendata est a Viro summi ingenii exquisitaeque doctrinae, G. G. Leibnüzio in Act. Erud. À. 1682, p. 189. aut interpolata à doc- tissimo #7. Bayle in Dissertat. physic. edit. Hagae 1678, b. 160 ss. probabilitate omni non destituatur, aeque ac illa quam acutissimus Geometra Zszacus Newton propo- suit in Sco/io prop. 96. lib. 1. Princip. Mathem. Philo- soph. natur. p. 232, eam tamen in praesentia hypothesin assumemus, quam Illustris //ugenius non ita pridem ex- plicavit in #ractatu de lumine Lugd. Batay. À. 1690. excuso, quamque, rem ipsam si spectes, non vero EXpo- nendi dpt olim quoque tradiderunt celeberrimi viri À. Hoocke in Micrographia p. 54 ss. P. Pardies in praefat. in Staticam ed. Paris, 1674. P. Ango in Optica edit. Paris. 1682: Lumen scilicet propagari per undas aethereas DCF, quae quovis instanti ab impulsu particularum lucidarum A, quae undarum illarum centra sunt, procreantur; & dia- phana illa esse corpora, per quae undulatio illa aetheris continuari potest”. Voyez d’ailleurs les remarques de Huygens sur ce passage dans sa réponse à Leibniz du 29 mai 1694, notre N°. 2854. LR F Œuvres. T, X. 76 602 CORRESPONDANCE. 1694. Cartes, et j’auois dit quelque chofe en efFeét dans les Aétes de Leipzig *?) d’autres- fois qui s’y rapporte, mais voftre hypothefe me paroiïft bien plus plaufible. Fay ap- pris de Mons. Fatio par un de fes amis 3), que M. Neuton et luy, font plus portés encor à croire que la lumiere confifte en des corps qui viennent aétuellement du foleil jufqu’à nous, et que c’eft par là qu’ils expliquent la differente refrangibilité des rayons, et les couleurs, comme s’il y auoit des corps primitifs, qui gardoient rousjours leur couleur, et qui venoient materiellement du foleil jufqu’a nous. La chofe n’eft pas impoflible, cependant il me paroïft difficile que, par le feul moien de ces petites fleches, que le foleil decoche felon eux, on puiffe rendre raifon des loix de la refra@tion. Outre que Mr. Mariotte pretendoit faire voir par des ex- periences mifes dans fon effay des couleurs 4), qu’il n’y a point de ces rayons colorés primitifs et que la couleur d’un rayon eft changeable; c’eft ce que je n’ay pas encor aflez examiné. Mais comme vous l’auiez fait fans doute, je vous fupplie de m’en faire fçavoir votre fentiment. On me fait fçauoir encor *5) que Mons. Fatio pretend d’auoir donné une raifon Mecanique de la pefanteur differente de la force centrifuge. En effe& je m’etois imaginé déja autres fois ), qu’il y pourroit auoir une efpece d’explofion ou 12) L’article de Leibniz cité par Knorre (voir la note précédente) parut dans les , Acta” de juin 1682 sous le titre: ,Unicum Opticae, Catoptricae & Dioptricae Principium. Autore G. G. L.” Comme Fermat (voir les pièces Nos. 990, 991 et 992) et d’une manière tout à fait analogue, Leibniz, pour déduire les lois de la réflexion et de la réfraction, y applique le prin- cipe ,,que la nature agit toujours par les voies les plus faciles”. Reconnaïssant que de cette façon il s’est servi d’une ,,cause finale”, il défend l'emploi de ces causes dans la physique. Ensuite il critique l’explication de Descartes de la loi de la réfraction, telle qu’on la trouve dans sa ,, Dioptrique”?, ne croyant pas, toutefois, qu’il soit nécessaire de la rejeter, mais seule- ment de la modifier de la manière qu’il indique. 73) La lettre en question, que nousreproduisons comme A ppendice à la présente lettre, du 30 mars 1694 S. V., fut adressée, d’après Dutens qui la publia dans Leïbnitii Opera Omnia, T. 3, p. 658—660, par Fatio de Duillier à De Beyrie, Résident à Londres pour les Ducs de Zell & Hanovre, pour être envoyée à Leibniz. Elle se trouve maintenant à Hannover dans la Bibliothèque royale. 74) Dans les , Œuvres de Mariotte”, citées dans la Lettre N°. 1621, note 2, le quatrième des »Essais de Physique, ou Mémoires pour servir à la Science des choses naturelles”, traîte de la nature des couleurs. À la page 227 Mariotte cite une expérience qui ne peut convenir à l'hypothèse” de Newton. Ayant reçu le spectre d’un faisceau de rayons sur un écran placé à une distance de 25 à 30 pieds, il fait passer la lumière violette par une fente de deux lignes pour l’analyser au moyen d’un second prisme. Il trouve que la lumière contient éncore du rouge et du jaune. Il est évident que le premier spectre n’a pas été assez pur. 75) Voir toujours l’Appendice N°. 2853. 15) Consultez l’article des Acta de mai 1690, cité dans la note 5 de la Lettre N°. 2640, où on lit: »Alia ejusdem [i. e. gravitatis]assignari posset causa... ; concipiendo dispositionem materiae cijusihi ex globo telluris aut alterius sideris in omnes partes propulsae, quae radiationem CORRESPONDANCE. 1694. 603 receflus, rejection d’une matiere tres menue et par confequent plus folide, ou fi vous voules, plus denfe, qui obligeroit par confequent celle qui eft plus rare et plus grofliere de s’approcher. Et pour entretenir ce mouvement je m’imaginois que la matiere menue eftant eloignée du centre entroit dans la nourriture des corps gros- fiers; et que la matiere grofliere arrivée vers le centre de l’attraétion eftoit brifée en echange, et par confequent rendue menue, à peu pres comme le feu fe nourrit . par l’attraction de la matiere et particulierement de l’air. Mais cependant voftre explication par la force centrifuge me paroiffant aufli tres plaufible, je me trouve comme fufpendu entre ces deux fentimens. La proportion reciproque des quarrés des diftances vient naturellement et aifement de l’emiflion rectilineaire à l’imita- tion des rayons de lumiere; j’auois pourtant penfé encor à quelque explication par la force centrifuge. Et peuteftre que la nature, qui eft abondante dans fes moyens, pour obtenir fes fins, joint ces deux caufes enfemble, comme j’ay quelque penchant de croire à l’egard du mouuement des planetes, ou peuteftre la trajection propre et la circulation d’un ether deferant, font conciliables, et conciliés efFecti- vement ‘?), tout s’accommodant dans la nature, Le confentement des planetes d’un meme fyftemc & l’analogie du magnetifme rendant tres probable qu’il y a quelque chofe de plus que la fimple trajeétion de Mons. Neuton. On me mande auffi ‘5) que vous aviés fait une objeétionttres forte a Mons. Facio touchant fon explication de la pefanteur, mais qu’il auoit trouvé moyen de la refoudre & de vous faire convenir qu’elle eftoit refolue. Et que Mons. Facio ne met que tres peu de ma- tiere dans tout l’univers avec du vuide entremelé incomparablement plus grand. Mais que ce peu de matiere eftant extremement repandu, comme les filets et ‘comme l’or en feuilles, il fuit pour remplir ou plus toft pour embaraffer l’efpace. Je conviens qu’on fe peut imaginer cela quand on peut admettre le vuide & les atomes. Mais je croy que cela n’eft pas aflez convenable à l’ordre de la nature, & bien des raifons me diffuadent d'admettre le vuide & les atomes, c’eft à dire des corps infrangibles, comme je crois pourtant que font encor ceux de Mons. Facio. Cependant comme M. Facio a bien de la penetration, j’attends de luy des belles chofes quand il viendra au detail; et ayant profité de vos lumieres et de celles de Mons. Neuton, il ne manquera pas de donner des produétions qui s’en reffentiront. quandam producat, radiationi lucis analogam;ita enim habebimus recessum a centro materiae acthereae, quae corpora crassiora eandem (ut alibi explicabo) vim recedendi non habentia versus centrum depellet seu gravia reddet”’. 17) On peut consulter, sur cette opinion de Leibniz, la note 8 de la Lettre N°. 2561 et les Lettres Nos. 2628 (pp: 523—526); 2751 (p: 284); 2759 (p. 297); 2766 (p. 317—319);2785 (pp. 384—385) et N°. 2797 (p.426). 604 CORRESPONDANCE. 1694. Je voudrois eftre aufli heureux que luy, & à portée pour confulter ces deux oracles. Voicy encor une chofe dont je vous fupplie. Il y a une Academie illuftre *#), où des princes, comtes, et jeunes gentilhommes font élevés. Le profeffeur des mathe- matiques y eft mort. On m’a mandé qu’on en defiroit un autre, mais qui outre la cheorie, eut encor la praétique et le talent d’enfeigner fur tout dans l’architeéture militaire et dans les mecaniques, et s’il eftoit encor bon dans l’Architeéture civile, cant mieux. Les gages font affeurement tres raifonnables et le pofte fort avanta- geux; d'autant que c’eft dans le lieu de la refidence d’un prince *?), qui eft luy mefme extremement curieux & intelligent, et qui honnore les gens de merite. Je vous fupplie, Monfieur, d’y fonger et de me faire fçauoir fi vous en connoiflés quelqu'un qui y feroit propre. J'auois fongé à un fçavant homme qui demeure comme je crois en Hollande, mais dont je ne fçaurois maintenant trouuer le nom°°), qui a publié il y a quelques années un petit livre in 4° **), où il commence d’expli- quer les principes de la fortification d’une maniere tres ingenieufe et par un cal- cul fingulier, en faifait l’eftime de la quantité de la defenfe, commençant par cette confideration, où il y a pourtant quelque chofe à dire, que la ligne AB quoy que plus grande que BC ne fçauroit donner plus de feu que BC, fi les tirades doivent eftre paralleles à DE **?}. On m’auoit dit que l’autheur de ce petit AC. liure eftoit Hollandais ou du voifinage, mais qu’il auoit efté inge- EEE nieur de Brandebourg, et depuis auoit eu une entreprife en Hol- D -, lande pour faire imprimer des figures fur de la foye à la façon des tailles douces. Je ne le fçaurois mieux defigner. Mais je ne me borne pas à luy. On ne peut aufli rien encor promettre de certain, car le Prince 18) Celle de Wolfenbüttel; voir la Lettre N°. 2856. 19) Rudolf August, duc de Braunschweig-Wolfenbüttel, qui en 1666 succéda à son père August (surnommé le:senex divinus) mort à l’âge de 88 ans. Rudolf August mourut en 1705. 29) Johannes Teyler. Voir les Lettres Nos. 2854 et 2856. 21) [1 s’agit sans doute de l’ouvrage suivant : ,,Johannis Teyler Architectura Militaris” in-4°. (56 p.) publié, à ce qu’il semble, sans indication de lieu, ni de date; du moins les deux exem- plaires que nous connaissons ne contiennent pas de titre imprimé; mais seulement le titre gravé que nous indiquons. 22) Voici, en effet, la ,Propositio Il? du livre cité qui est rédigé entièrement dans la forme de définitions et propositions avec leurs démonstrations. Nous avons adapté les notations de la proposition à la figure de la lettre. #Propositio IT. Linea defensionis obliqua BA, quantacunque ea sit, inter parallelas defen- dentes lineas AC, BF, capacitate personarum aequivalet lineae directae BC inter easdem parallelas AC, BF”. CORRESPONDANCE. 1694. 605 du lieu qui eft intelligent aura fait encor demander ailleurs et choifira. Mais je pourray contribuer à fon choix. Je fuis avec zele MONSIEUR Voftre trefhumble et trefobeiflant ferviteur LEIBNIzZ. N° 2853. N. Fario pe Duinuier à [De Bevrie]*). | 9 AVRIL 1694. Appendice au IN°. 5852. Le leltre se trouve à Hannover, Bibliothèque royale. Elle a êté imprimée par L. Dutens*). Je fuis extremement obligé, Monfieur, à Monfieur Leibnitz de toutes fes hone- cetez. Vous favez, dans quels engagemens je fuis entré depuis peu 3). Ils font d’une tèlle nature, qu’ils ne me laiffent pas en liberté, d'écouter les propofitions qui me peuvent étre faites d’ailleurs. Maïs ils n’empechent pas, que ie ne reffente les offres de Monfieur Leibnitz avec toute la reconnoiffance que j’en dois avoir. I] me fait plufieurs queftions dans la lettre qu’il vous a écrite +). Voici, Monfieur, à peu pres ce que j”y dois répondre. 1) De Beyrie était conseiller et Résident de Brunsvic à Londres. ?) Leïibnitii Opera Omnia, T. II, p. 658—660. 3) Voir la Lettre N°. 2846. +) Le Post-scriptum de la Lettre en question a été reproduit également par Dutens. On y lit e. a. YJe serois bien ayse d'apprendre ce que dit M. Newton sur quelques objections de M. Huy- gens dans son traité de la lumière, & ce qu’il juge de ses ondes de lumière, qui me paraissent heureusement trouvées. Il n’y a rien de si beau que l’explication de la route des planètes, que M. Newton nous a donnée par la seule Trajection, jointe à la Pesanteur. Je m’imagine néan- moins qu'il y faudra joindre quelque mouvement de la matière fluide. Si la pesanteur est l'effet d’une force centrifuge, suivant Kepler, Descartes & Mr. Huygens, elle viendra d’une manière de tourbillon. Ilme paroïit aussi très probable que les queues des Comètes soient des émissions réelles, M. Huygens m'a mandé que M. Fatio avoit fait des progrès très considé- 606 CORRESPONDANCE. 1694. Monfieur Newton perfifte à croire, que toutes les parties des corps terreftres s’attirent les unes les autres, non obftant ce que Monfieur Hugens dit à la page 159€ de fon traitté 5) de la Pefanteur. Je fuis, Monfieur, du même fentiment que Monfieur Newton et j’ai fait voir à l’un et à l’autre de ces illuftres Philofophes qu’il y pouvoit avoir une caufe mechanique de la Pefanteur ‘), qui rende raifon non feulement de cette attraétion mutuelle, mais encore de la diminution de la Pefanteur dans la proportion reciproque du Quarré de la diftance. Et cette caufe eft univerfelle pour le Soleil, la Lune, la Terre et tous les Aftres, ét la longueur du tems ne peut la détruire ni le mouvement des corps celeftes n’en peut empêcher l'effet. Nous convenons Monfieur Newton et moi, que la quantité de matière, qui eft dans l’Univers, ne remplit qu’une partie extrement petite de l’efpace, de forte qu’il demeure non feulement plus de vuide que de plein, mais encore incompara- blement davantage. Il eft vrai que l’explication de la Lumière telle que Monfieur Hugens la donne, ne s’y accorde pas tout à fait, à moins d’y faire une petite cor- reétion 7). Mais quoique cette Theorie foit parfaitement belle et digne de fon Auteur, il ya des raifons tres fortes, tirées des proprietés de la Lumière et des couleurs, qui nous perfuadent que les raions de Lumière font des corpufcules qui viennent actuellement du Soleil et des Etoiles jufques à nous. La rareté que Monfieur Hugens paroit avoir de la peine d’admettre *) dans le monde, eft abfolument neceffaire. Car fi toutes les parties, qui compofent l’Ether, fe repofoient, il eft evident qu’elles feroient une extreme refiftence aux mouve- mens des corps celeftes et que cette refiftence feroit plus grande plus on fuppo- feroit l’efpace rempli des corpufcules. Or j’ai une demonftration exaéte que fion fait ceffer le repos de ces parties de l’Ether et qu’on leur donne des mouvemens entremêlés, tels que l’on concoit ceux des fluides, la refiftence augmentera et cela d’autant plus qu’on donnera plus de rapidité à ces mouvemens. La vitefle de la Lumière et des autres corps peut étre aufli grande que l’on veut dans un efpace que l’on fuppofe étre prefque abfolument vuide. rables sur la converse des Tangentes, mais qu’en ayant communiqué avec M. Newton il avoit trouvé que celui-ci étoit allé bien au delà. Ce que je voudrois savoir est, si M. Newton peut toujours reduire cette converse aux quadratures. Pardonnez moi, Monsieur, d’insérer dans votre lettre ce qui ne peut convenir qu’à M. Fatio”. 5) Consultez, sur ce passage, la note 6 de la Lettre N°. 2558. 5) Voir, sur cette théorie de la cause de la pesanteur de Fatio, les Lettres Nos. 2570 et 2582. 7) Nous n’avons rien trouvé dans la correspondance de Huygens et Fatio qui puisse enpiaquer en quoi cette correction consisterait. 8) Voir.p. ee les pages 161—163 de l'édition originale du »Discours de la cause de la pesanteur”. CORRESPONDANCE. 1694. 60 94 7 Pag. 163 du Traitté de Mr. Hugens ?). Monsr. Newton eft encore indeterminé entre ces deux fentimens. Le premier que la caufe de la Pefanteur foit inherente dans la matière par une Loi immediate du Createur de l'Univers: et l’autre que la Pefanteur foit produite par la caufe Mechanique que j’en ai trouvée, qui fait que routes les parties de la matière s’attirent mutuellement, excepté celles qui produi- fent la Pefanteur même, et les autres qui pourroient étre moins groflieres que celles ci. Pag. 164. Mr. Newton fe rend à ce raifonnement de Mr. Hugens *). Pag. 166. Mr. Newton eft perfuadé que la Pefanteur vers la Terre eft moindre fous l’Equateur, non feulement à caufe du mouvement journalier de la Terre, mais encore à caufe de la diftance de l’Equateur au Centre, qui eft plus grande que celle du Pole au Centre :*). Il n’eft pas neceffaire de joindre à la Pefanteur vers le Soleil un mouvement de la matière qui l’environne, pour faciliter celui des Planetes et la Pefanteur n’eft pas l’effet d’une force centrifugue. Il eft indubitable que les queues des Cometes font des emiflions reelles, et il ne faut que conftruire quelques uns de leurs Orbes, pour voir que ces emiflions font toujours fituées dans le plan du mouvement des Cometes. Il eft vrai que Mr. Newton a fait des progres extraordinaires fur la converfe des Tangentes, mais je ne penfe pas qu’il la puiffe toujours reduire aux Quadra- tures. Dans ma Theorie de la Pefanteur je fuppofe la rareté des corps terreftres pref- que immenfe. Mais les dernieres parties, dont ils font compofés doivent étre d’une même groffeur. Si par exemple on donnoït aux dernieres particules d’un certain corps terreftre la figure d’un Dodecahedre je n’en voudrois conferver que les arrêtes, qui auroient la figure d’un filé, et vuider tout le refte de la figure. Et ces arrêtes ou fibres feroient formées par des Cylindres prefque infiniment déliez, mais de la même groffeur, c’eft à dire du même diametre que toutes les autres fibres qui compofent les autres corps terreftres. Je fuppofe encore une matière prefque infiniment rare et extremement déliée, difperfée par tout l'Univers, et dont les parties foient mues chacune avec une viteffe immenfe en ligne droite, mais l’une en un fens et l’autre en un autre. Et je demontre que ces feules fuppofitions fuffifent pour expliquer exaétement tous les Phénomenes de la Pefanteur. Je fcai, Monfieur, que je ne dis rien que je ne puiffe prouver. Mr. Newton 9) Voir encore la note 6 de la Lettre N°. 2558. 1°) H s’agit de la réponse de Huygens à l’objection, soulevée par Newton contre la théorie on- dulatoire de Huygens, qu’elle ne sauroit expliquer la propagation rectiligne de la lumière. 11) On peut consulter, sur ce point, la Lettre N°. 2617 à la page 483. 608 CORRESPONDANCE. 1694. convient de l’exaétitude de mes demonftrations : maïs il m’a fallu beaucoup de tems pour en convaincre Monfieur Hugens. Il avoit dans l’efprit une objection?) qui m’a arrêté moi même dans mes recherches pendant trois ans, Car il femble que dans ma Theorie la matière fe doit épaiflir autour de la Terre, parce que la Pefanteur refulte de ce qu’une partie de la matière qui vient de toutes parts à la Terre s’en éloigne aprez avoir perdu tant foit peu de fon mouvement. Mais cette objection s’evanouit entierement quand on l’examine avec exactitude : et c’eft de quoi Mr. Hugens eft à prefent perfuadé ‘3). Il fe paffe en ceci quelque chofe d’admirable qu’il faut avoir remarqué avant qu’on ne puifle voir que l’objeétion n’a rien de folide, quoiqu’elle paroiffe d’abord avoir une force invincible. Pour produire toutes les Pefanteurs que nous connoiffons dans le fyfteme du Soleil et des Planetes il fuffit de fi peu de matière que l’on voudra, pourvu qu’elle foit fuf- fisament divifée et qu’elle fe meuve avec une affez grande rapidité *#). Ainfi il y a dans un feul grain de fable plus de matière qu’il n’en faut pour produire toutes ces Pefanteurs, et à proportion il n’en faut pas davantage pour les autres parties du monde. Je ne fcai, Monfieur, fi cette reponfe fatisfera Monfieur Leïbnitz*$), qui auroit peut étre demandé un plus grand detail, mais il me femble que ce que j’ai dit fuffira. Adieu, Monfieur. Je fuis tout à vous N. Fario pE DuiLrier. A Londres ce 30 mars 1694. S. V. 12) Consultez encore, sur cette objection, la Lettre de Fatio à Huygens du 6 mars 1690, notre N°. 2570, à la page 387 et l’annotation 7 de Huygens à la page suivante. Huygens l’avait maintenue sans doute dans sa réponse, la Lettre N°. 2572, dans le dernier des passages sup- primés par Prévost (voir le sommaire en tête de cette lettre), et Fatio y répondit en quelques lignes dans la Lettre N°. 2582, à commencer par le bas de la page rs 73) Voir toutefois la Lettre N°. 2854. 14) Comparez la page 408 de la Lettre N°. 2580. 75) La réponse de Leibniz a encore été publiée par Dutens à la suite de la présente lettre. CORRESPONDANCE. 1694: 609 N° 2854. CuaristTiAAN Huycens à G, W. LerBniz. Se 29 MAI 1694. La lettre se trouve à Hannover, Bibliothèque royale. La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens. La lettre a été publiée par P. J: Uylenbroek*) er. C. I. Gerhardt”*). Elle est la réponse aux Nos. 2829, 2841 et 2850. G. W. Leibniz y répondit par le No. 2863. Sommaire *) : Penfee de Fatio et Newton pour la lumiere fujette a des grandes difficultez. tenuitè, vuide, vitefle comment. Hypothefe de Fatio pour la Pefanteur impoñlible: perdu fon traitè “) : Idem parce que. ‘ Livre de Newton a reimprimer par Gregorius. Mouvement tantum relatives: en quoy il s’abufoit. Teiller pour Utrecht. je doute s’il avoit fon fait: Invention peu d’importance. 29 May 1694. Je vous prie de croire, Mons., que ce n'eft aucun refroidifflement de mon coftè qui ait caufè ce long filence 5). Car au contraire j’ay tout fujeét d’eftretres fatisfait de vous, et vous fuis trop obligè de la maniere que vous avez parlè de moy encore dans les Aétes du mois d'Oétobre®) de la derniere année. J’ay attendu longtemps pour voir cette Apoftille dont vous m’aviez parlè dans une de vos lettres 7), et ne l’ay point eue que vers la fin du mois de Mars, par la faute de nos libraires, ou plus coft de ceux de Leipfi c, que lon dit qu’ils’tardent tousjours à envoier ces livres de peur qu ’en ce pais on n ’en fafle d’autre edition à leur prejudice. Cependant cela m'incommode ét parfois me fait tort; c’eft pourquoy je vous fupplieray icy, puis- que je fuis fur cette matiere, d’avoir la bontè, quand vous verrez paroiïtre quelque chofe dans ces Nouvelles qui me regarde, ou quelque curiofitè de mathematique, de me la faire copier, quand il ne fera pas long. Cette attente m’a donc fait differer longtemps de vous efcrire. Apres cela font venu des etudes nouvelles un petit traitè en matiere Philofophique *), et une application affez longue à faire executer et mettre en perfetion mon invention de 7) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, p. 176. ?) Leïbnizens Mathematische Schriften, Band II, p. 173, Briefwechsel, p. 728. La minute, publiée par Uylenbroek, ne diffère sensiblement de la Lettre elle-même que dans quelques endroits que nous indiquerons dans les notes. 3) Le sommaire se trouve écrit en marge de la minute. 4) Comparez les Lettres Nos. 2739 et 2745. 5) La dernière lettre de Huygens, notre N°. 2822, datait du 17 septembre de l’année précé- dente. Voir la pièce N°. 2824. 7) Voir le premier alinéa de la Lettre N°. 2841. #) Le Cosmotheoros. Voir la Lettre N°. 2844, note 6. Œuvres. T. X. 77 610 CORRESPONDANCE. 1694. l'horloge, dont j’ay cy devant fait mention ?); et puis des indifpofitions de plus d’une maniere, mais dont la derniere me deplait le plus, eftant une intermiflion et battement irregulier du pouls, que je n’avois jamais fenti auparavant, et que je ne crois pouvoir mieux guerir qu’en me donnant de longues vacances. Pour ce qui eft de cette horloge, je vous diray en paffant qu’elle reuflit à fouhair, et qu’elle fera de grande utilitè, parce qu’eftant aufi jufte qu’une à pendule de 3 pieds, avec laquelle elle s’accorde 5 ou 6 jours fansdifferer d’une feconde, elle pourra fouffrir le mouvement du vaiffeau fans peine et aura encore d’autres avantages confide- rables. Je trouve tant de matiere dans vos 3 dernieres lettres, que vous me pardonnerez fi je ne repons à tout que fuccinétement. Ce que vous dites pour juftifier l’ufage de la Chainette ®)et qu’on peut trouver fon parametre eft vray, je n’avois pas aflurè aufli que cela eftait impoffible :*), et j ’en fcavois une maniere fans etendre et mefurer la longueur de la chaine **), que je voulois voir fi vous l’aviez rencontrée de mefme. Mais je ne m’eftois point avifè de la votre qui eft bonne. Lors que je reçus voftre lettre ‘3) où eft la folution de ce que je vous avois pro- pofé, de trouver la courbe pour la 1outangente ee PR , je l’examinay et 244 —YY—XX conftruifis la courbe ‘#) et vis que vous aviez refolu fort elegamment ce Probleme par une voie peu commune et que je ferois bien aife d'apprendre un jour :5),.Ce font des coups de maitre que vous vous eftes refervè, Monfieur, quoyque par modeftie vous difiez, à l'égard de l’ufage que moy et d’autres faifons de voftre nouveau calcul, que j4% voti damnatus es *°). Vous pourriez faire un excellent Traitè des ufages divers de ce calcul, et je vous y -exhorte comme à un ouvrage tres beau et utile, et qui doit pluftoft venir de vous que de tout autre. Mr. Wallis m'a envoiè fa nouvelle edition Latine de fon grand ouvrage de Æ/gebra, aug- mentè de quelque chofe de nouveau des feries de Mr. Newton, où il ya des equations differentielles, qui reffemblent tout à fait aux voftres, hormis les cha- racteres ‘7), Au refte ce calcul des feries me paroït bien fatiguant, et jay eftè bien 9) Voir la pièce N°. 2823 à la page 514 et la Lettre N°. 2846 à la page 584. 19) Voir la Lettre N°. 2841 à la page 573. 11) Comparez la pièce N°. 2793 en haut de la page 41 3< 2) Nous ne la connaissons pas. 13) [1 s’agit de la Lettre N°. 2829. Voir les pages 541 et 542. 4) Voir la note 18 de la Lettre N°. 2829. 15) La minute supprime ,,un jour” et remplace la phrase qui suit, par celle-ci :,, Je jugeay que ce que vous dites à l’égard de l’usage qu’on fait de vostre nouveau-calcul, vo/ damnatuÿ sum, n’estoit que par modestie, car je vois en effet, par des solutions comme celle-cy et d’autres, que vous en scavez des secrets que les autres ignorent”. pi, Voir la Lettre N°. 2829 à la page 530. 17) Consultez la note 39 de la Lettre N°. 2777 et sur lessséries que Huygens a-en vue la Lettre N°, 2810, p. 462—464. CORRESPONDANCE. 1694. 611 aife de ce que Mr. le M. de l’Hofpital m’a mandè ‘#), qu’il fcaic faire fans les feries tout ce qu’on fait avec elles. Touchant l’application que vous avez faite des Traëtorine à la quadratures des Courbes *?), j'avoue que je n’y puis trouver cet avantage que vous promettez, car ces defcriptions font tres embaraffées, et incapables d’aucune exactitude *°). A peine peut on tracer avec quelque jufteffe cette premiere et plus fimple que j’ay propofée *!), celles de Mr. Bernouilli eftant defia beaucoup plus difficiles, def- quelles j’ay envoiè la maniere, par des rouleaux et des cordes, à Mr. le Marquis *?), comme aufli l’equation que j’avois trouuée pour ces lignes et la conftruétion uni- verfelle du probleme 3), Il eft vray, comme vous dites, que toute courbe eft Traëüloria, maïs je n’en vois point qu’il vaille la peine de confiderer que celles dont je viens de parler. Je ne fcay fi vous aurez vu ma refutation *#) de la Theorie de la manoeuvre des vaiffeaux, dont l’autheur eft Mr. Renaud, Ingenieur-Ge- neral de la Marine en France. Je voudrois que vous eufliez aufli vu fa refponfe imprimée *5), mais fans elle vous pouvez fort bien juger par ma remarque feule, fi j’'ay eu raifon à le reprendre, et je ferois bien aife d’avoir ce jugement pour Valleguer dans la replique que jé vay y faire*°). Mr. de l’Hofpital m’a mandè que ce que j’avois objeétè eftoit fans replique *7). Je vous rens graces de la Thefe du Profeffeur de Witrenberg **), et fuis bien aife dewoir ma Theorie approuvée, quoyqu’il me faffe un peu tort de dire*?) que mon explication de la refraétion eft dans le fond la mefme que celle de Hoocke 3°) 18) Consultez la Lettre N°. 2843 à la page 580. 2) Comparez la Lettre N°. 2829 aux pages 540 et 541. 29) La minute a perfection”. 27) Dans la pièce N°, 2793 aux pages 408—411. 2?) Voir la Lettre N°.2833: 23) Voir les Lettres Nos. 2820 et 2828. 24) Voir la pièce N°. 2826. 25) Voir la pièce N°. 2848. 26) Voir la pièce N°. 2869. 37) Voir sa Lettre N°. 2838 à la page 564. 28) Voir la note 9 de la Lettre N°. 2852. 29) Voir le passage cité dans la note 11 de la Lettre N°. 2852. 3°) Il suffira de dire que, contrairement à la théorie de Huygens, Hooke admet avec Des Cartes que dans le-milieu le plus réfringent la vitesse de la lumière est la plus grande. D'ailleurs il aurait pu partir tout aussi bien du point de vue opposé, parce que, dans la prétendue expli- cation, il n’explique rien quant à la réfraction même. Il imagine que la lumière consiste en une pulsation orbiculaire dans un plan qui doit être perpendiculaire au rayon, et tâche de prouver ensuite que par l’effet de la réfraction ce plan doit tourner d’autant plusque la réfrac- tion est plus forte, de manière que l’angle qu'il fait avec le rayon devient aigu. C’est à cette cause que, plus loin, Hooke attribue les couleurs qui accompagnent la’réfraction. D’après cette théorie, la couleur, même de la lumière homogène, devrait donc changer après chaque nouvelle réfraction. Remarquons que sa figure de la réfraction a quelque vague ressemblance avec celle du rayon réfracté de Huygens lorsqu'on a supprimé dans celle-ci les arcs de cercle représentant les ondes élémentaires. Hooke, en formulant la règle de la réfraction, parle du sign de l’inclinaison et du sign de la réfraction au lieu de sine (sinus), ce qui ferait presque croire qu'il ne connaît la règle de Des Cartes que par ouï-dire. 612 CORRESPONDANCE. 1694. et de Pardies 3*), et n’en differe qu’en la maniere d’expliquer./Cartout confifte dans cette maniere, et ces autheurs auroient eftè bien empefchez à rendreraifon des bizarreries du criftal d’Iflande, outre que Hooke a fait des bevues honteufes que j’aurois bien pu relever fi j’euffe voulu #*). Quant à l’hypothefe pour la lumiere que Mr. Newton et Fatio croient poffible, je remarque que fi la lumiere confifte en des corpufcules, qui vienencaétuellement du foleil jufqu’à nous, et de mefme de toutes les etoiles et objets que nous voions; il faut de neceflité que cette matiere foit extremement rare, et que levuide occupe incomparablement plus de place qu’elle, a fin qu’elle ne foit pasempefchée dans fon cours en venant à l’oeil d’une infinité de coftez differents. Mais eftant fi rare, c'eft-à-dire compofée de particules fi fort feparées, comment eft ce qu’on peut is) Dans la préface de l’ouvrage de Pardies, cité dans la note 4 de la Lettre N°, 1946, l'auteur annonce son ,, dessein de faire une Mécanique entiére, & de réduire en ordre toute la science du Mouvement” en six , Discours”, dont le premier n’était autre que l’ouvrage cité dans la note 1 de la Lettre N°. 800 et le second celui qu’il venait de publier. Le sixième, qui ne parut jamais, mais des manuscrits duquel le père Ango a puisé dans son ,,Optique” (cons tez la Lettre N°. 2628 aux pages 529 et 523), traîtait d’après la description de l’auteur dans la préface mentionnée : ,,;du mouvement 7’Ondulation, sur l'exemple de ces cercles quise font dans la surface de l’eau quand on y jette une pierre. On considére quelques semblables cercles qui peuvent se former dans l’air, € même dans quelques autres substances plus subtiles, que de très manifestes expériences nous convainquent étre repandués partout. Et c’est ce mouve- ment que nous appellons Mouvement d'Onduration, qui servant de jeu & de divertissement aux enfans, peut servir de sujet d’une très profonde méditation aux plus habiles Philosophes: On examine donc comment ces cercles se peuvent former, comment ensuite leur mouvement se communique, quelles sont les lignes de leur direction, avec quelle force ils pourroient agir près ou loin, comment ils se réfléchiroient, & comment ils se romproient, € puis suposant avec tous les Philosophes, que le son a pour véhicule cette sorte de mouvement dans l’air, on explique tout ce qui concerne les sons, € faisant une conjecture sur la propagation de la lumière, on examine si l’on ne pourroit pas aussi suposer, que la lumière eût pour véhicule quelque semblable mouvement dans un air plus subtil; € l’on fait voir qu’en effet dans cette hypothése on expliqueroit d’une manière tres naturelle toutes les propriétez de la lumière & des couleurs, qu’on a bien de la peine à expliquer sans cela; € j'espère qu’on aura quelque satisfaction de voir la manière dont on y démontre la mesure des refractions”. Voir encore sur ce dernier point la Lettre N°. 2628 à la page 523. 37) Comparez le passage qui suit, p. 18 du Traité de la lumière, où il est question du principe de Huygens bien connu :,,C’est ce qui n’a point esté connu à ceux qui cy-devant ont commencé à considerer les ondes de lumiere, parmy lesquels sont Mr. Hook dans sa Micrographie, & le P, Pardies. qui dans un traitté dont il me fit voir une partie, & qu'il ne pût achever estant mort peu de temps aprés, avoit entrepris de prouver par ces ondes les effets de la reflexion & de la refraction. Mais le principal fondement, qui consiste dans la remarque que je viens de faire, manquoit à ses démonstrations, & il avait dans le reste des opinions bien differentes des mienes, comme peut estre l’on verra quelque jour si son écrit s’est conservé”. CORRESPONDANCE. 1694. 613 expliquer l’extrême viteffe de la lumiere, qui eft prouvée par la demonftration de Mr. Romer ? 33) Mr. Fatio me refpondoit qu’il concevoit ce paflage fi rapide des corpufcules depuis le Soleil ou Jupiter jufqu’à nous, eftre poflible 54), en quoy je ne fcaurois confentir. Et outre cela je ne vois pas, non plus que vous, que dans leur hypothefe ils puiffent expliquer les loix de la refraétion 55) et encore moins celle du criftal d’Iflande, qui me fert d’Experimentum Crucis, comme l'appelle Veru- lamius. Les Experiences qu’a fait Mr. Newton de la differente refraétion des raions colorez 3°) font belles et curieufes 37), mais il n’explique pas ce que c’eft que la couleur dans ces raions, et c’eft en quoy je ne me fuis pas pleinement fatisfait non plus jufqu’à prefent. La raifon mechanique 3°) de la Pefanteur que s’eftoit imaginè Mr. Facio me paroifloit encore plus chimerique que celle de la lumiere. Elle eftoit prefque la mefme que celle de Mr. Varignon:?), que vous aurez pu voir puis qu’elle eft imprimée. Ils veulent que ce qui pouffe les corps pefants vers la terre, c’eft que la matiere etherée aiant du mouvement de tous coftez, elle en doit avoir plus qui tende vers la terre, que qui vient de fon coftè, à caufe de la maffe de ce globe, et qu'’ainfi les corps font pouffez vers fa furface. J'objeétois à Mr. Fatio#) que par ce moien il fe devoit continuellement accumuler de la matiere etherée aupres de la terre, à quoy il refpondoit qu’il concevoit fi peu de corps ou de folidité dans cètte matiere, qu’en s’accumulant aufli longtemps qu’on vouloit, elle ne faifoit point de maffe confiderable. Vous femble-t-il qu’il y a là de la raifon ou de la vraifemblance?#) Il y auroit plus d'apparence dans voftre penfée de l’immutation des corpufcules 4), et dans la comparaifon de l’attraétion de l’air par le feu, fi ce n’eftoit pas en fuppofant la pefanteur qu’on explique cette attraétion. 33) Voir la note 2 de la Lettre N°. 2103. 34) Nous n’avons pas rencontré cette réponse dans la correspondance de Fatio et Huygens, mais peut-être s’agit-il d’une communication orale, 35) Voyez toutefois la ,Sectio XIV” du ,, Livre Primus” des ,,Principia”, où Newton déduit la loi de la réfraction au moyen de la théorie corpusculaire de la lumière. 36) Voir, entre autres, la note 2 de la Lettre N°, 1873. 37) La minute a seulement : , sont fort belles”. 38) La minute fait suivre ,de Mr. Fatio pour la pesanteur me paroissoit”. 39) Consultez la note 11 de la Lettre N°. 2677. 4° Voir la note 12 de la Lettre N°. 2853. 41) La phrase qui va suivre se lit dans la minute: ,, Vostre pensée de l’immutation des corpuscules et la comparaison de l’attraction de l’air par le feu resoudroit mieux cette difficulté, si ce n’estoit pas en supposant la pesanteur qu’on explique cette attraction. Car l’air plus dense et pesant est poussé à la place de l’air estendu par la chaleur, qui en devient plus leger et pour cela monte en haut”. 42) Voir la Lettre N°, 2852, à la page 603. 614 CORRESPONDANCE. 1694. Je ne coucheray pas encore cette fois noftrequeftion du vuide et des atomes#5), n’aiant eftè defia que trop long, contre mon intention. Je vous diray feulement, que dans vos notes fur des Cartes#4) j’ay remarquè que vous croiez 4b/onum effe nullum darimotum realem, [ed tantum relativum*S). Ce que pourtant je tiens pour tres conftant, fans m’arrefter au raifonnement et experiences de Newton dans fes Principes de Philofophie 4), que je fcay eftre dans l’erreur 4), et j’ay envie de voir s’il ne fe retraétera pas dans la nouvelle edition +) de ce livre, que doit procurer David Gregorius #). Des Cartes n’a pas affez entendu certe matiere, 43) Consultez la Lettre N°. 2822 à la page 509 et surtout la note 6 de cette lettre. 44) Voir sur cet écrit de Leibniz la note 23 de la Lettre N°. 2759. #5) Il s’agit de l’annotation suivante de Leibniz, que l’on trouve à la page 369 de la publication de Gerhardt mentionnée dans la note précédente: ,,Si motus nihil aliud est quam mutatio con- tactus seu viciniae immediatae, sequitur nunquam posse definiri, quaenam res moveatur. Ut enim in Astronomicis eadem phaenomena diversis hypothesibus praestantur, ita semper licebit, motum realem vel uni vel alteri eorum tribuere quae viciniam aut situm inter se mutant; adeo ut uno ex ipsis pro arbitrio electo, tanquam quiescente, aut data ratione in data linea moto geometrice definiri queat, quid motus quietisve reliquis tribuendum sit, ut data phaenomena prodeant. Unde si nihil aliud inest in motu quam haec respectiva mutatio, sequi- tur nullam in natura rationem dari cur uni rei potius quam aliis ascribi motum oporteat.Cujus consequens erit, motum realem esse nullum. Itaque ad hoc, ut moveri aliquid dicatur, requi- remus non tantum ut mutet situ respectu aliorum, sed etiam ut causa mutationis, vis, actio, sit in ipso”. : Cette annotation se rapporte à l’article 25 de la seconde partie des ,, Principes” de Descartes où on lit : ,,Mais si, au lieu de nous arrêter à ce qui n’a point d’autre fondement que l’usage ordinaire [d’après le quel le mouvement ,,n’est autre chose que l’action par laque:le un corps passe d’un lieu en un autre”’] nous désirons savoir ce que c’est que le mouvement selon la vérité, nous dirons, afin de lui attribuer une nature qui soit déterminée : qu’il est le transport d’une partie de la matière ou d’un corps du voisinage de ceux qui le touchent immédiatement, et que nous considérons comme en repos, dans le voisinage de quelques autres”. 45) Voir le premier ,,Scholium” des ,,Principia” p. 5—13 de l’édition originale de 1687, où Newton expose sa théorie de l’espace et du mouvement absolu, d’après laquelle on peut reconnaître la rotation absolue aux ,,vires recedendi ab axe motus circularis”, et où l’on trouve la célèbre expérience du seau d’eau suspendu à un long fil tordu par laquelle Newton démontre que l’ascension du liquide contre les parois du seau ne dépend pas du mouvement relatif de l’eau par rapport à ces parois, mais du mouvement de rotation ,,vrai et absolu” qui se propage peu à peu dans le liquide, à partir des parois, dès que le seau commence à tourner. 47) Malheureusement nous n’avons pu rien rencontrer, ni dans les manuscrits de Huygens ni dans sa correspondance, qui puisse servir à préciser la portée de cette assertion remarquable. : 43) Il n’en fut rien, puisque le ,,Scholium” en question se retrouve sans modification sensible dans les éditions postérieures. 49) D’après Rouse Ball, p. 132 de l’ouvrage cité dans la note 2 de la pièce N°. 1956, il est incer- tain si, oui ou non, il fut jamais question de confier à Gregory la nouvelle édition qui, en effet, ne parut qu’en 1713 par les soins de R. Cotes. Remarquons toutefois que l’assertion de CORRESPONDANCE. 1694. 615 Jay parlè au Sr. Teiller touchant ce que vous m’aviez mandè, mais il femble qu’il afpire à eftre profeffeur de Mathematique à Utrecht, et je le vois avec cela encore occupè dans fa manufaéture de toiles imprimées. Je doute auffi s’il feroit bien voftre fair, n’aiant rien vu de ce qu’il fcait en cette fcience que fa maniere de Fortification, où il y a une application d’Algebre bien mince 5°), à ce que je me fouviens. Je m’informeray à Leyde de Mr. de Volder s’il ne connoit per- fonne pour l’employ que vous marquez. Je fuis etc. N° 2855. CHRISTIAAN HuyGEnNs, à CoNsTANTYN HuyGcEns, frère. 6 JUIN 1694. La lettre et la copie se trouvent à Leiden, coll. Iuygens. Elle est la réponse au No. 2851. A Hofwijc ce 6 juin 1694. Je vous ay priè cy devant de vous fouvenir du Capitaine van Aften ”) lors que l'occafion s’offriroit de le recommander au Roy. 11 me mande quil eft mort dans {on Regiment, fcavoir celuy du Brigadier l’Eclufe, un Capitaine nommé Fumal, et fouhaiteroit bien de pouvoir avoir fa compagnie vacante, au lieu de celle qu’il a, qui eft chargée d’une penfion incommode. Je ne puis luy refufer mon inter- ceflion aupres de vous, puis que je luy fuis obligè de ce qu’il a foin de mes affaires de Zeelhem, comme cydevant fon frere, et qu’il m’en a fait depuis peu toucher de l'argent, et une fomme affez confiderable, que fans luy je ne fçay comment j’aurois pu avoir de mon impertiment receveur ?). Il ne manquera pas de vous recomman- Huygens a d’autant plus d'importance qu’il était en correspondance avec Gregory lequel lui avait fait parvenir, après leur entrevue personnelle de 1693 (voir la Lettre N°. 2810), la copie d’une partie de l’,,Algebra”’ de Wallis, comme cela résulte de la Lettre N°. 2850. 5°) En effet, l'algèbre et la géométrie appliquées dans l’ouvrage en question (voir la note 21 de la Lettre N°.28$2) sont des plus élémentaires, quoique présentées avec une certaine prétention. + 1) Voir la Lettre N°. 2850. 2) Cools, voir la Lettre N°, 2850. 616 CORRESPONDANCE. 1694. der fa propre affaire, dans la quelle fi vous le pouvez faire reuflir vous me ferez un fort grand et fingulier plaifir. Jay appris ces jours paflfé une chofe que je m’eftonne, que vous n’aiez fceue eftant a Londres, qui eft que le celebre Mr. Newton a eu une atteinte de phrenefie, qui luy a duré 18 mois. Je le tiens d’un Ecoffois, venu depuis peu d'Angleterre, qui m’en a mefme raconté des circonftances. Il me dit aufli que fes bons amis l’avoient tenu enférmè quelque temps, et tant fait a force de remedes, qu’il eftoit a la fin gueri de ce mal, et qu’il commençoit a entendre derechef fon livre Prin- cipia Philofophiae Mathematica 3). Voila pourtant un homme confisquè er comme mort pour les Eftudes, comme je crois, ce qui eft grand dommage. Mrs les Anglois, a ce qu’il femble, avoient tafchè de cacher cet accident mais en vain. Outre fes eftudes trop vehementes, on croit qu’un malheur qu’il a eu d’une incendie, qui a emportè fon Laboratoire et quelques efcrits, aura contribuè a luy troubler ainfi l’efprit, qui eft bien le pire de trous les maux, qui peuvent arriver a un homme. Je ne fuis pas encore delivrè de ces interruptions et battemens inordonnez du pouls, mais les reffens de temps en temps. Je fuis bien fafchè de n’y trouver point d’autre remede que l’abftinence des eftudes, que je compte pour autant de temps perdu. Ma Traduétion de Verifimilia de Planetis s’avance pourtant #). 8) Voici ce qu’on trouve noté par Christiaan Huygens au livre J des Adversaria, page 112 29 Maj. 1694. Narravit mihi D. Colm, Scotus, virum celeberrimum ac summum geometram, Is. Neutonum in phrenesin incidisse ab hinc anno et 6 mensibus. an ex nimia studij assi- duitate, an dolore infortunij quod incendio Laboratorium chymicum et scripta quaedam amiserat? Cum ad Archepiscopum Cantabrigiensem venisset, ea locutum quae alienationem mentis indicarent. Deinde ab amicis curam ejus susceptam domoque clauso remedia volenti nolenti adhibita, quibus jam sanitatem recuperavit, ut jam rursus librum suum Principiorum Philosophiae Mathematicorum intelligere incipiat. 4) Comparez la Lettre N°. 2846. CORRESPONDANCE. 1694. 617 N° 2856. CHrisTiIAAN Huycens à G. W. LEeiBniz. 8 JUIN 1694. La lettre se trouve à Hannover, Bibliothèque royale. Le sommaire se trouve à Leiden, coll. Huygens. Le sommaire a êté publié par P. J. Uylenbroek”), la lettre par C. I. Gerhardt*). La lettre fait suite au No. 2854. G. W. Leibniz y répondit par le No. 2863. Sommaire: *) 8 juin 1694. Efcrit pour informer d’avantage Mr. Leibnitz touchant la perfonne du Sr. Teiler, que j’en ay parlè à Mr. de Volder, qui m’en a dit du bien, et qu’il le croit fort propre pour remplir la charge à laquelle on le vouloit appeller en Allemagne. Que j'avois parlè auffi derechef à Teiler, qui me dit que d’autres perfonnes luy avoient parlè touchant ce mefme em- ploy; que c’eftoit chez Mr. le Prince de Wolfenbuttel, et que je le trouvois affez difpofè à l’ac- cepter. Que je n’ay pas voulu manquer de luy faire fcavoir ces chofes, puifqu’il m’a fait l’hon neur de m’en confulter, et que je n’eftois pas aflez informè en efcrivant ma precedente lettre. Que j'avois oubliè dans la mefme de luy marquer deux vilaines fautes, qu’on avoit faites en imprimant dans le journal de Leipfich ce que j’avois donnè touchant le problema Bernoulianum fçavoir en mettant cbflinere flatuerim au lieu de flatuiffem, et omnia erui polfe au lieu de eam Que je le prie d’en avertir par occafion l'Editeur de ce Journal, à qui je ne fçay fi je dois im- puter cette faute ou à voftre copifte. Que je ne fcay s’il aura fçu l'accident arrivè au bon Mr. Newton; fcavoir qu’il a eu un atteinte de phrenefie qui a durè 18 mois et dont on dit que fes amis, à force de remedes et e le tenant enfermé, l’ont gueri maintenant. . À la Haye ce 8 juin 1694. J'efpere que ma lettre du 29 du mois dernier vous aura eftè rendue. J’ay parlè du depuis à Mr. de Volder pour m’informer touchant ce que je vous avois mandè, qui m’a nommè quelques perfonnes qu’on pourroit propofer pour l’employ dans l’Aca- demie inconnue, mais m’affurè en meme temps qu’il n’en connoifloit pas de plus capable que le Sr. Teiller dont vous m’aviez efcrit. 11 m’en a dit aufli touchant fes bonnes qualitez des chofes que je ne fcavois pas, et entre autres qu’il avait voiagè en Italie, en Sicile, et jufqu’au Cairo, et qu’il avoit deffinè en tous ces pais une infinitè d’antiquitez et de belles vues. Au refte que fa follicitation ou celle de fes amis pour la profeflion de Mathématique à Utrecht n’avoit pas reuffi, feulement par ce qu’il avait efté le difciple de Mr. Cranen #), car ces partialitez du Carte- 7) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, p. 181. ?) Leibnizens Mathematische Schriften, Band IL, p. 177. Briefwechsel, p. 732. 5) Le sommaire se trouve écrit à la suite de la minute de la Lettre N°. 2854. 4) Sur Theodorus Craanen, voir la Lettre N°. 346, note 1. Œuvres. T. X. 78 618 CORRESPONDANCE. 1694. fianifme et et du Voetianifme s’etendent jufques mefme les profeflions, où il n’eft pas queftion de Theologie. J’ay aufli vu apres cela Mr. Teiler et toute fa boutique de la Manufaéture des toiles imprimées, eftant logè à une demie lieux d’icy dans une maifon de campagne qui eft grande et belle. I1 me dit que d’autres perfonnes luy avoient encore parlè touchant cet employ en Allemagne, que c’eftoit chez Mr. le Prince de Wolfenbuttel, et me paroïffoit aflez bien difpofè maintenant à l’accepter. Mr. de Volder m’a dit qu’il a eftè cy-devant profeffeur à Nimwegen. Je n’ay pas voulu manquer, Monfieur, à vous faire fcavoir toutes ces chofes, puis que vous m’avez fait l'honneur de demander mon avis, et que je n’eftois pas aflez informè en vous efcrivant ma precedente lettre. J'oubliay de vous marquer dans la mefme deux vilaines fautes qu’on a faites dans le Journal de Leipfich en donnant ce que j’ay efcrit de Problemate Ber- nouliano, fcavoir abflinere flatuerim au lieu de flatuiflem. Et omnia erui pof[e au lieu de ezm 5). Vous me ferez grand plaifir d’en avertir par occafion l’Editeur de ces Journaux, à qui je ne fcay fi je dois imputer cet Erratum ou à voftre copifte, car je fuis bien affurè d’avoir efcrit autrement. Je ne fcay fi vous aurez fceu l’accident arrivè au bon Mr. Newton‘), fcavoir qu’il a eu une atteinte de phrenefe, qui a durè 18 mois, et dont on dit que fes amis à force de remedes et de le tenir enfermè, l’ont à peu pres gueri maintenant. Voila un grand malheur, et le plus facheux qui puiffe arriver à un homme. J’avois encore d’autres chofes à vous mander, mais je fuis preffè d’envoier cette lettre, c’eft pourquoy je finis en vous affurant que je fuis etc. 5) Voir la pièce N°. 2823, notes 5 et 10. 5) Consultez à ce sujet, la Lettre N°. 2855, note 3. CORRESPONDANCE. 1694. 619 N° 2857. y CHRISTIAAN HuyGEns à [ GEELVINCK ?]. 15 JUIN 1694. La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens. Mijn Heer en Neef. Ick hebbe met leerwefen verftaen uyt UEd. brief van den 30 der voorlede maendt het fchielijck overlijden van mevrouw UEd. moeder, mijn waerde Nichte Jacoba Becker *). Nae mijn rekeningh foo had haer Ed. maer weïjnighe jaeren meer als ick. ende was foo ick meene de oudfte van mijn nae vrienden overgeble- ven, waer uit wel te concluderen is dat het al haeft mede ons beurt fal werden om te vertrecken. Ondertuffchen moet Godtgelooft fijn die mij tot goeden ouder- dom en in redelijcke gefondheïjdt heeft laeten leven. Het is hij die mevrouw UEd. moeder nu gelieft heeft vot fich te nemen, wiens wille wij ons moeten onderwer- pen, en in wiens protectie UEd. en mejoffrouw UEd, fufter bevelend ick blijve Mijn Heer ende Neef UEd. beide ootmoedighe dienaer Car. H. * Hofwijck den ts Jun. 1694. ) Jacoba Becker, fille de Petronella van Baerle et son second époux Everard Becker, veuve Geelvinck (voir la Lettre N°. 2356). 620 CORRESPONDANCE. 1694. N° 2858. CHrisriaAN Huycens à W. WicHers *). 15 JUIN 1694. La lettre et la copie.se trouvent à Leiden, coll. Huygens. La lettre est la réponse à une lettre que nous ne connaissons pas. Den WelEd. Geftrenghen Heere Mijn Heer W. WicHers, Gedeputeerde ter Vergaderinghe van Haer Hoogmoghende tegenwoordigh tot Groningen. WelEd : Geftrenghe Heer Ick hebbe met UEd. feer aengenaeme ontfangen de gepretendeerde quadratura Circuli in rwee gedruckte bladeren, die fchijnen de laerfte te fijn van een Tra@taet, waer in den autheur oock de Duplicatio Cubi meent gevonden te hebben. Sin naem blijft mij onbekent. Sijn wetenfchap in de Geometrie moet niet veel wefen, dewijl hij eijndelijck befluyt dat de Circumferentie des Circels is tot den Diame- ter als 16 tot 5. ’twelck al waere het een Engel uyt den Hemel die het feyde, geenfins bij mij foude aengenomen werden, foo feecker weet ick het contrarie door veeler andere ende oock min eygene demonftratie. Soo dat het niet de pijne weerdt is nae te foecken, wat mifflagh hij begaen heeft in de fijne, t welck anders lichtte vinden waere. Sijnde over eenighe daegen bij de Heer Profeffor de Vol- der, feijde hi mij, dat de vacerende plaets tot Groeninghen van den Profeffor mathefeos tot noch toe niet en was gerempliffeert, ’twélck mij heeft doen dencken of het door UEd. toedoen mochte gefchiet fijn, om dat miffchien noch gedach- ten hadde om den broeder van den Profeffor Bernoulli daertoe te beroepen, die ick om fijne fonderlinghe capaciteyt aen UWEd. gerecommandeert hebbe, en foo het cijde is, nochmaels recommandeere, fijnde mij anderfins onbekent. Het is mij leet dat de coeftandt der faecken van de Provintie UWEd. niet eerder als feecke- ren tijdt toe en laet wederom hier te komen refideren, welcke ick met verlanghen 1» Wicher Wichers, âils unique d'Abraham Wichers et de Wibbina van Drews, né en 1651 à Groningen, se distingua au siége de Groningen en 1672 (voir la note 1 de la Lettre N°. 1910). I1 devint secrétaire de la chambre de justice, puis bourgmestre de Groningen. Comme député aux Etats-Généraux des Provinces-Unies, il prit part à plusieurs négociations diplo- matiques importantes. Il épousa Beerta Tammen et mourut en 1715. CORRESPONDANCE. 1694. 621 re gemoet fiende, fal mij gelukkigh achten indien ondertuffchen occafie mocht hebben om door UWEd. te werden geemployeert als fijnde Min Heer UWEd. feer oodtmoedigen Dienaer Car. HUYGENSs. Haghe den 15.° Jun. 1694. o N° 2850. CHrisTiaAN HuyGEns au Marquis DE L’HosprraL. 16 JUIN 1694. La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle a été publiée par P. J. Uylenbrock”). La lettre est la réponse aux Nos. 2843 et 2847. : De lHospital y répondit le 4 octobre 1694. Sommaire*): Affaires. les fienés valent mieux la peine. Je m’etonne que Bernoulli n’ait pas repondu a fa demande puis qu’il le pouvoit faire en 2 mots. Cela me fait douter s’il eft bien feur de fon invention. Je doute fi c’eft pas la Parabole. Que la methode de Newton eft tres longue a copier. Semblable a celle de Leibnitz et Gregorius. Ce que conclud Wallis. Paffage qui me paroït confiderable. Scray bien aife de voir comment il fupplee par fa maniere ce qui autrement demande ces feries. De Volder quadre la Feuille. Ne voit on pas les grandes erreurs de M. Renaud dans fa reponce? il renverfe toutes les loix des mechan. Je repondray par un imprimè. Sans replique difiez-vous. J'avois receu de Mr. Bignon. se « Horologe fuccede bien, confume du temps. Sur la queftion du flexus gontrarius. qu’il a raifon. et n’avoit pas befoin de me demander mon fentiment. Bernoulli fe trompe 2 fois. Bien aife de ce qu’il eft de mon fentiment touchant le probl. de Leibnitz. Difpute de Regis et Mallebr. de la grandeur app[aren Jte de la lune. une chofe fi aifée a decider, ils s'embrouillent *). A la tie ce 16 juin 1694. Il y a trop longtemps, Monfieur, que je dois refponfe aux lettres que vous m'avez fait l'honneur de m'efcrire du 18; janv. et 12 mars#). Plufieurs affaires que j’ay eues, non pas fi bonnes que les voftres, font caufe de ce retardement, et avec cela certaine indifpofition nouvelle d’une intermiflion et un battement y Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, p. 315. 2) Le sommaire se trouve écrit en marge de la minute. 3) Ce dernier alinéa a été biffé par Huygens. Consultez d’ailleurs, sur la dispute en question, la note 6 de la Lettre N°, 2837. Le Journal des Sçavans de 1694 contient, dans ses numéros du 18 janvier et du 1, 8 et 15 mars plusieurs articles qui s’y rapportent. 4) Lisez: 29 Mars. I1s ’agit des Lettres Nos. 2843 et 2847. 622 CORRESPONDANCE. 1694. inordonnè du pouls, qui m’a contraint de moderer les etudes geometriques. Je m’etonne que Mr. Bernoulli ait differè de repondre 5) a ce que vous aviez demandè couchant fon Theoreme de la voiliere, puis qu’il pouvoit le faire en 2 mots. Cela me fait douter s’il eft bien fur de ce qu’il a avancè. (Et par une petite figure, que je viens de tra- cer en efcrivant cecy, il me femble que cette courbe eft pluftoft celle de la parabole que celle de la chaine®). Des le temps du P. Merfenne j'etois pour la Parabole?),mais la demonftration que j’entrevois maintenant *) eft meilleure que celle que je luy envoiay alors ?) ). Toutefois je ne veux encore rien affurer par ce que j’ay trouvé cy-devant ‘°) que lors que les parties de la voile font des reétangles égaux, la courbure eft moins pointée, en bas que celle de la chaine. Mr. Wallis m’a envoié fon livre de Algebra ‘*), ou font les feries et methodes de Mr. Newton. Peut eftre l’aurez vous auffi à Paris, autrement je pourray vous envoier, fi vous le fouhaitez, une copie de cet endroit, que j’avois receu aupara- vant de Mr. Gregori #2), mais il y a une grande feuille d'écriture. Il me paroït au refte, qu’il n’y aura rien de nouveau pour vous, Monfieur, puifque vous fcavez et le calcul differentiel de Mr. Leïbnicz et les feries de Mr. Gregori #). Wallis dit à la fin des inventions de Mr. Newton ‘#) : Huic methodoaffinis eft cum methodus 5) Comparez la Lettre N°. 2847 à la paye 587. ? 5) Voir l’Appendice N°. 2860 où l’on rencontrera une figure analogueà celle “du texte et où l’on voit de quelle manière Huygens est arrivé à cette conclusion erronée. 7) Huygens veut dire problablement que déjà dans ce temps là, c’est-à-dire en 1646, il savait quelle devrait être la distribution de la gravité sur une corde pour la faire prendre la forme de la parabole. Comparez la pièce N°. 2724 à la page 217. #) Nous ne la connaissons pas. 9) En marge de la minute Huygens écrivit plus tard : je m’etois abufé ici. 19) Consultez la note 15 de la pièce N°. 2835, surtout le deuxième alinéa de cette note. La réserve faite ici était en effet très fondée. 11) Voir la Lettre N°. 2843 vers la fin. 12) Après et par suite de leur entrevue personnelle de 1693, voir la Lettre N°. 28 10 à la page 464 et la Lettre N°. 2839 à la page 567. 13) Elles lui avaient été communiquées par Huygens dans sa Lettre N°. 2819 à la page 492. 14) Voir la page 396 de l’,Algebra” de Wallis, où le passage qui va suivre est précédé par les phrases suivantes qui en font connaître la portée. ,;, Methodi autem hae,omnes, tam partiew- lares quam generales collectim sumptae, solutionem exhibent secundae partis problematis, quod Newtonus sub initio istius Epistolae [la Lettre du 24 octobre 1676,mentionnée dans la note 21 de la Lettre N°. 2810] his verbis proposuit: Data aequatione quorcunque fluentes quantitates involvente fluxiones invenire, & vice versa. Nam tota fluxionum Methodus in hujus directa et & inversa solutione consistit”?. CORRESPONDANCE. 1694. 623 différentialis Leibnitij tum utraque antiquior illa, quam D. Js. Barrow in Le&io- nibus Geometricis *5) expofuit; quod agnitum eft in aétis Lipfienfibus (anno 1691 menfe Jan.) a quodam, qui methodum adhibet Leibnitij fimilem *). Quodque ab his duobus eft fuperadditum, eft formularum analyfeos brevium et commodarum adaptatio illius cheorijs. En quoy pourtant il fait tort à ces Meflieurs. L’on m’a donné depuis peu une folution du probleme de la quadrature de la Feuille de Des Cartes par les appliquées à l’axe, qui pourtant fera differente, comme je crois, de celle que vous m’aviez promife *7), par ce qu’elle va par de grands détours et par la comparaifon des termes des equations à la maniere de Des Cartes"). Ces folutions fe trouvent, lors qu’on en a defia d’autres, mais je ne laiffe pas de l’eftimer. J’ay veu que Mr. de Volder, Profeffeur à Leyde, en eft l’aucheur ‘?). 15) Voir l'ouvrage cité dans la note 14 de la Lettre N°. 1767. 16) Il s’agit de Jacques Bernoulli qui dans l’article cité, intitulé: ,Specimen calculi differentialis in dimensione Parabolae helicoidis, ubi de flexuris curvarum in genere, earundem evolutioni- bus, aliisque”, s’était exprimé comme il suit: , Cum ex Actis nuperis” | voir l’article cité dans la note 10 de la Lettre N°. 2623] ,,conjecerim, Celeb. Dn. L. Analysin problematis a se propositi” [il s’agit du problème de la courbe isochrone, résolu par Jacques Bernoulli dans l'article cité dans la note 2 de la pièce N°. 249r | ,;calculo suo differentiali institutam minime displicuisse, credidi nec aegre laturumi sequens illius specimen, quod in gratiam Lectorum nostrorum, quibus calculum hunc agitare volupe fuerit, in lucem emitto; ut si forte mentem Viri Acutissimi, ex iis quae in Actis 1684 de Invento isthoc suo edidit, ob summam brevita- tem non satis assecuti sint, vel hinc ejus applicandi methodum discere possint, Quanquam, ut * verum fatear, qui calculum Barroyianum (quem decennio ante in Lectionibus suis Geome- : tricis adumbravit #wcror, cujusque specimina sunt tota illa propositionum inibi contentarum farrago) intellexerit, alterum a Dn. L. inventum ignorare vix poterit; utpote qui in priori illo fundatus est, & nisi forte in differentialium notatione, & operationis aliquo compendio ab eo non differt”’. 17) II s’agit de la , troisième manière” dont il est question pour la première fois dans la Lettre N°. 2807 et ensuite dans les Lettres Nos, 2810 (p. 461), 2838 (p. 566), 2849 (p.578)et 2843 (p. 580). 18) Allusion à la Façon generaie pour trouver des lignes droites qui couppent les courbes don- nées, ou leurs contingentes, a angles droits” que l’on trouve dans le Livre second de la »Géométrie” (pp. 413—423 du T. VI de l'édition d'Adam et Tannery) et où Descartes emploie une telle méthode (voir surtout les pp. 419—422). 19) Nous possédons dans la collection Huygens deux solutions du problème de la quadrature du folium.de Descartes auxquelles les qualifications du texte sont plus ou moins applicables. Toutes deux ont passé sous les yeux de Huygens puisque sur chacune d’elle on trouve une petite annotation de sa main. L’une d’ellé, notre pièce N°. 2861, qui va par de plus, grands détours” que l’autre, est rédigée en langue hollandaise. Elle n’est certainement pas de l'écriture de de Volder, écriture que nous croyons reconnaître avec sûreté dans la seconde, notre N°. 2862, qui estrédigée en Latin. Elles se distinguent l’une de l’autre principalement parce que dans la premièrela methode de différentiation de de Sluse et dans la seconde celle de Leibniz a été suivie, Nous sommes inclinés à supposer qu’elles sont toutes deux de de 624 CORRESPONDANCE. 1694. J'avois defia receu 8 jours auparavant la Refponfe de Mr. Renaud *) de la part de Mr. l’Abbè Bignon, ce qui n’empefche pas que je ne vous fois obligè du foin de me l’avoir envoiée. Je vois que pour maintenir fa Theorie,; Mr. Renaud renverfe toutes les loix de la mechanique, et qu’il condamne mefme ce qu’il avoit trouvè de bon touchant la pofition du Gouvernail. Après avoir receu voftre ap- probation®*) je ne croiois pas devoir attendre de refponfe à ma cenfure. Car M. Renaud vous eftant partic[ulieremen ]t connu, comment ne vous communique- rait-il pas? Maintenant je ne puis m’etonner aflez de ce que Mr. de la Hire me mande *?), que depuis qu’on avoit vu mon efcrit, il s’eftoit repandu quelque bruit : que je n’avois pas aflez confideré ce qu’avance Mr. Renaud, et il femble, dit il, que quelques uns de nos mathematiciens n’en font pas contents. Il arrive que par megarde on ne remarque pas un paralogifme, mais après que je l’ay indiquè, com- ment fe peut-il qu’on ne le reconnoit pas encore? Mr. de la Hire dit qu’il a fait des objeétions contre cette Theorie devant qu’elle fuft imprimée, mais que l’autheur n’y a pas eu egard, ce qui me fait croire qu’il aura de la peine à revenir de fon erreur. Je ne laifferay pas de faire imprimer une courte confirmation de ma Remarque ?3) a fin d’eclaircir d’avantage ce que je vois que quelques uns ne comprennent pas affez. Pour ce qui eft de la difficultè couchant les courbes developpées, vous avez raifon, Monfieur, de dire que Mrs. Leibnitz et Bernoulli fe font crompez. Favois annotè l’erreur grofliere de ce dernier dans le journal de Leïpfich là où il dit que dans toutes les paraboloides, exceptè la parabole, le cercle baifant au fommet eft intiniment grand *#), car je voiois qu’il eftoit faux pour la paraboloide 4x3 20 y. Je n’avois pas examinè s’il y avoit de ces paraboloides, qui paffant de l’autre coftè de l’axe, euffent le rayon de la developpée infini, au point de l’inflexion contraire, ce que vous avez fort bien remarquè eftre ainfi. Et voftre regle eft bonne. La demonftration paroït de ce que dans toutes ces paraboloides, dont l’equarion eft ad x" 5 y", la fubnormalis BD, qui devient le raion de la developpée pour le Volder qui aurait fait copier la première par un de ses disciples. Dans ce cas la seconde con- stitue une rédaction améliorée de la première, moins soignée dans la forme toutefois, ce qui expliquerait la différence, d’ailleurs assez minime, des notations, c’est-à-dire l'emploi du »M.” dans la première pour indiquer une multiplication et l'emploi de la virgule dans la seconde pour le même but, 2°) Voir la pièce N°. 2848. 21) Voir la Lettre N°. 2838 à la page 564. 22) Nous ne connaissons pas cette lettre, à laquelle Huygens répondit par la sienne du 15 juillet, notre N°.2870o. 23) Voir l’Appendice N°. 2869 à la lettre de Huygens à Bignon du 15juillet 1694, N°. 2868. 4) Voir la note 3 de la Lettre N°. 2847. D’après la copie des notes marginales dont il est question dans la note 1 de la Lettre N°. 2540, Huygens n’avait annoté que le seul mot »Fallitur”. dE hi bte ONE RER | CORRESPONDANCE. 1694. 625 k m.° D, 51 point de l'axe E, elt 5 3 V Ca24x x 2m—x) ?5), que l’on voit facilement devenir infiniment petite en appetiffant x, lorfque 277 eft plus grand que #, et au contraire infiniment longue, quand 2# eft plus petit que 7. Ces 1 courbes ont un fommet lors que l’expofant #7 eft impair et pair, mais un point d’inflexion contraire lors que 7 et # font impairs*) *). Je crois que voftre demonttra- tion ne differera point de celle-cy. Je fuis bien aife de ce que vous jugez comme moy du titre trop faftueux du Probleme de Mr. Leibniz, qui regarde les Traétoriae 7). Je luy ay mandé*#), que je ne trouve point qu’il ait avancé par là la quadrature des courbes, parce qu’on ne fcauroit parvenir à aucune exaétitude en decrivant les courbes par fa maniere embaraffante. J'eftime bien plus*?) la folution qu’il m’envoia il y a quelque temps°) couchant la courbe qui convient à la fouftangente déguifée 5 ns: 2! : , : : L 5 MAI? qui eft l’une des trois que je vous ay propofée cy-devant#*}. Il 25) Nous n’avons pas rencontré la déduction de cette formule dans les manuscrits de Huygens, mais de quelques petits calculs qui se trouvent à la page 66 du Livre J il résulte que Huygens a dû commencer par établir l'expression #x:# pour la soustangente BA, ce qui lui a été facile puisque sa règle, mentionnée dans la note 3 de la pièce N°. 2612, amenait immédiate- ment l'expression #3": #47 x"—1, où ÿ* — 44x”, Ensuite la proportion : AB : BC — : = BC : BD lui donnait BD =» :"x, d’où l’on tire facilement l’expression du texte. En effet, à cette page 66 la sousnormale est calculée dans les cas particuliers 7x3 — y4, aax=—=%$ et aax3—35 de la manière décrite, c’est-à-dire, en partant de l'expression #x :# comme d’une formule connue. À propos du premier cas, où BD —‘/, Var, Huygens ajoute encore : ,non habet cireuli circumferentiam in vertice intus tangentem, etsi ex utraque diametri parte aequaliter jaceat””; à propos du second, où BD — ’/, Vas »BD fit infi- nite longa””; et à propos du troisième, où BD —#/, V'«t x ,BD fit infinite parva. quamvis »CEH” [voir la figure du texte en ajoutant la lettre H à l’autre extrémité de la courbe] shabeat flexus contrarios”. 6) À la page 66, mentionnée dans la note précédente, Huygens dessine les paraboloïdes 4x3 — = ytyaax = 93, 43%x =, axx 9}, aux — y, 4x3 —y4, 4x3 —y4, a4x —Y$, et axt—7ys pour observer leurs sommets et leurs points d’inflexion ou de rebroussement. 27) Consultez, sur le titre de cet ouvrage, la note 6 de la pièce N°. 2824, et comparez la Lettre N°. 2842 à la page 578. 28) Dans la Lettre N°. 2854 à la page 611. 9) Comparez la même Lettre N°. 2854 à la page 610. 3°) Dans la Lettre N°. 2829 aux pages 541 et 542. 31) Consultez la note 22 de la Lettre N°, 2822. Il s’agit, comme on le voit, du troisième exemple qu’on y trouve mentionné. Œuvres. T. X. 79 626 CORRESPONDANCE. 1694. rouve que cette courbe eft non feulement le Cercle, mais qu’une certaine tranf- cendante y convient éncore, ce que je n’avois point fcu. J'ay faic conftruire l” horloge de ma nouvelle invention), qui fuccede tres bien, de forte que je pretens maintenant pouvoir porter fur mer des horloges aufli juftes que le font les Pendules de 3 pieds, dont on fe fert à l’obfervatoire. Les divers effais ct experiences 53) m’ont coufté du temps et de la peine, comme cela arrive dans toutes les nouvelles entreprifes de machines. Je ne fcay fi vous aurez appris le fafcheux accident arrivé au celebre Mr. Newton 54), qui, à ce qu’on m’a dit, a eu la cervelle troublée pendant 18 mois, mais par les foins de fes amis et à force de remedes fe porte mieux maintenant. Je ne fcay ce que deviendra avec cela la nouvelle edition de fon livre 35), que j’avois grande envie de voir. Apres une fi longue ceffation des lettres, quoy qu’arrivée par ma faute #), j'efpere que vous voudrez bien au pluftoft me donner de vos nouvelles, eftant comme je fuis avec beaucoup d’affeétion et de refpeét etc. #) Il y a flexion contraire quand les expofants # et # font impairs. Et leraion de la developpée dans ce point d’inflexion alors eft infiniment petit fi # eft plus petit que 2#. [Chriftiaan Huygens]. 82) Voir la note 16 de la pièce N°. 2823. Ajoutons toutefois que Huygens avait inventé le 15 mars 1694 une modification nouvelle du système de la Fig. 5 de la note citée, modification à laquelle il attachait beaucoup d’importance. On la trouve mentionnée aux pages 165 et 166 de l’ouvrage d’Uylenbroek cité dans cette note. Elle consistait en ce que, au lieu de la seule languette attachée au balan- cier au-dessous de l’axe, Huygens en employait deux attachées plus près de ses extrémités, comme le montre la figure ci-jointe où l’on voit de même pourquoi les deux poids avec leurs deux languettes étaient considérés comme équivalents à un seul poids de la double valeur appliqué au-dessous de l’axe. 33) On trouve aux pages 108—111 du Livre J un compte-rendu de ces ,,essais et expériences”, reproduit par Uylenbroek aux pages 167—170 de l'ouvrage mentionné dans la note pré- cédente. Ils furent exécutés depuis le 16 avril jusqu’au 21 mai 1694. 34) Voir la Lettre N°. 2855. 35) Comparez la Lettre N°. 2854 à la page 614. 35) La dernière lettre de Huygens à de l’Hospital, N°. 2842, datait du 24 décembre 1693. CORRESPONDANCE. 1694. 627 N° 2860. CHRISTIAAN HUYGENSs. [16 JUIN 1694]. Appendice I*) au No. 2859. G__d «D A AB—=4x EB— HB CK BC BA «HP are € 4 b < HB:KC=V:a=0:T Ed KE CK:LD=c:b= TT HB : BE = #: 4 — 6 Ze ae ge? Fe ms di Gi 702) ê de ae d:b—=-: (= ae 53 À) ae ae 4 d b=r:T —_ +) dd ae ae a 4 cC=Ti 7 Cœ d) ) Cet-Appendice est emprunté à la page 120 du Livre J. On y trouve une figure analogue à la »petite figure”, dont il est question dans la Lettre N°. 2859, à la page 622, et les calculs et considérations qui ont mené Huygens à la conclusion erronée que la voilière des Bernoulli serait une parabole. Sans doute Huygens, après avoir tracé la figure, a débuté par les calculs que nous avons reproduits à côté d’elle; ensuite ayant acquis, en conséquence de ces calculs, la conviction que les forces verticales qui, appliquées aux nœuds A, B, C, D des interstices AB, BC, CD à projections horizontales égales, pourraient remplacer la pression du vent sur ces interstices, que ces forces, disons nous, devraient être égales entre elles, il en a conclu, profitant d’unthéorème qui lui était connu depuis longtemps, que la véritable courbe de la voile était la parabole. Alors il a commencé une démonstration en règle de ce résultat. C’est cette démonstration, d’ailleurs inachevée; qui constitue le texte de cet Appendice et que l’on fera bien de lire avant de s’occuper des calculs mentionnés, qui se trouvent à côté de la figure et sur lesquels nous reviendrons dans la dernière note de cette pièce. 628 CORRESPONDANCE. 1694. Sint NABCD*) in parabola. Ventus vero fecundum axem ejus, hoc eft paral- lelè ad EA, FB, GC impellat reétas NA, AB, BC, CD. dico manfuras eo quo funt pofitu. Manebunt enim fi, inflante fic vento, nodi C, B, À, ita impellantur ac fi ab aequalibus ponderibus re&tà deorfum traherentur, quia hoc fcimus in parabola difpofitis nodis proprium effe 3). Ita vero impelluntur. nam vires quibus a vento premuntur fingulae DC, CB, BA, AN, funt ejufmodi, ac fi fingulae fecundum fibi normales premantur viribus quae fint ut reétae DL, CK, BH, AN. quia vis venti in DG ad vim qua premit DC fecundum fibi normalem, hoc eft parallelam GL, eft ut GC ad GL,, ira enim funt celeritates particularum aeris in ipfas DG, DC agentes, funtque in utramque aequali numero incidentes. ut autem GC ad GL ita GD ad DL. Itaque fi GD referat vim venti in ipfam GD, referat DL vim venti in DC qua ?) On remarquera que les projections horizontales NA, EB, FC, GD des interstices NA, AB, BC, CD sont supposées égales entre elles et à la ligne 7. 3) Voir, sur ce theorème, la Propositio 12 de la pièce N°. 21. 4) Voici maintenant comment nous croyons que Huygens, d’après les calculs inscrits à côté de la figure, est arrivé à la conclusion erronée, dont tout dépend, que la pression du vent sur les interstices est équivalente à une suite de forces verticales, égales entre elles, appliquées aux nœuds. Pour commencer il savait donc que, d’après les principes adiis par lui et par les Ber- noulli, les pressions respectives perpendiculaires aux intérstices devaient être proportion- nelles aux lignes NA, HB,KC, LD, c’est-à-dire, en posant NA —, AB—4%,BC—2,CD=e, d dd dd aux expressions 4, : de ra Remplaçant alors la pression sur l’interstice AB parles deux e is poids <> appliqués aux nœuds À et B, qui tirent selon la direction perpendiculaire à l’in- terstice AB et qu’on retrouve facilement dans la figure, il s’ensuivait que les forces analogues, à appliquer aux nœuds des interstices BC et CD, pouvaient, en posant a e, être repré- sentées par les quatre poids + et F de la figure, (Comparez la première partie des calculs à côté de la figure). Or, dès ce moment, il ne s'agissait plus que de remplacer ces forces par d’autres appliquées aux mêmes nœuds, mais tirant dans le sens vertical. Pour y réussir Huygens part du principe qu’il a déjà appliqué dans la pièce N°. 2835, et d’après lequel des systèmes de forces équiva- lentes doivent accomplir le même travail pour tout déplacement virtuel compatible avec les liaisons. #) Sans doute, puisque les clous qui figurent aux points À et D le prouvent, Huygens à alors considéré le mouvement virtuel bien défini ‘qui reste possible après la fixation des nœuds À et D et il a commencé par calculer, dans:cette .supposition, la force ver- 4 #1! : dd à ; ticale « capable de remplacer la force 77 QU e tirant le nœud B, Pour cette force « il CORRESPONDANCE. En 629 normaliter impellitur. Edéemque Le virés venti in CB, BA, NA, normaliter interpellentis referent rectac CK, BH, AN, quae ultima horizonti parallela ponitur #). . . , . , 14 F trouve facilement (voir la seconde partie des calculs mentionnés) l'expression 7 = et il procède ensuite au calcul du poids 8 qui doit remplacer le poids . tirant le même nœud B dans la direction perpendiculaire à l’interstice BC. Mais alors, dans un moment d’inadver- tance, au lieu de recourir au même mouvement virtuel qui avait fourni l’expression pour «, comme cela était absolument nécessaire pour rester dans la vérité, il emploie pour ce nouveau calcul le mouvement virtuel qu’on obtient en fixant le nœud C. En effet il est clair que cette Suppositiôn devait meñer à l'expression =. —f que l’on trouvé dans le calcul à côté dela figure. De même, le poids 7, destiné à remplacer la force 9° s+ “qui tire le noeud C, est calculé dans la supposition que le nœud B a été fixé, et le poids Ô dans celle de la fixation du nœud D. Trouvant de cette manière « ef Vent Ÿ donc & + 8—; + 5, Huygens en conclut à l'égalité de toutes les forces verticales, destinées à remplacer les pressions du vent sur les _sdinterstices sans intervenir dans l'équilibre de la chaîne formée par eux, Remarquons Rep que plus tard, comme nous l'avons reproduit dans la figure, Huygens °a biffé l'expression =, écrite d’abord à côté du poids «, et l’a remplacé par 26 3 mais cette correction est le résultat d’un nouveau malentendu, puisqu'on ne peut ARE cette valeur dd qu'en supposant que la force cg. qui doit être remplacée par «, soit perpendiculaire sur BC (étnon sur AB comnie elle l’est en réalité) et que c’est le nœnd C qui a été fixé. Ajoutons que la pièce N°. 2835, où le même principe est appliqué en toute rigueur, nous . prouve, si cela était nécessaire, que la bévue commise ici par Huygens, n’est qu’accidentelle, étant la conséquence d’une première pensée sur laquelle il est revenu d’ailleurs, comme il résulte de la phrase ajoutée en marge de la Lettre N°. 2859 et reproduite dans la note 9 de cette pièce. 630 CORRESPONDANCE. 1694: * N£ 2861." nr ru [B. DE VoLDER?] à CHRisTiAAN HUYGENSs. | Appendice IT) au No. 2859. [MAI où JUIN 1694 |. La pièce a élé publiée par P. J. Uylenbroek”*). ADæx BD five DH æ y :x5 + y5 20 #xy AN z, > pren ptet NH, 5 0 %,/#202°5) M. Fair à AUX to + V Sr V2 62+n]/ 2 62+n]/ 2 1) Cet Appendice, sur l’origine duquel on peut consulter la note 19 de la Lettre N°. 2859; contient une solution du problème de la quadrature du folium de Descartes. Pour en faciliter la lecture nous croyons faire bien en faisant suivre ici un aperçu de la méthode employée: Après avoir déduit l'équation = + » }"— 28 n)/93: V6" J/' 2 de la courbe, rapportée aux axes AC et AR, où AN—:, NH 7, l’auteur applique le théoréme, alors si bien connu, de Barrow que nous avons mentionné dans-la note 8 de la Lettre N°.2721. D’après ce théorème il suffit, pour carrer la courbe CHA, de trouver l’équation de la courbe CORF dont la sousnormale NG soit égale à l’ordonnée NH, puisque alors l’aire CHAN est égale à 3 ON. En notation moderne l’auteur a donc réduit de cette manière le problème à l'intégration de l'équation différentielle # »; # sl o2+n prie 2.:h/6:+ pou où u représente ON. Pour parvenir à cette intégration il emploie une méthode appelée ,, Methodus Craig” par Huygens (voir la note 7 de la présente pièce), qui consiste à poser #°—(42° +83 +c) V2 trn1/2 V' 2: L/ 63+n J/ 2; laissant indéterminés les coëfficients 4, 2, 6, sauf à CORRESPONDANCE. 1694. 631 AQ 502, 245. 22 ot BQ 4, TO PME WT Ÿ. z—t —2z+#)/2 L/ —22+#|/ 2 —— = 2 Y,! #° 202? M. ES LE 2e V= y 6 +nl/2 1D, E2 6zx+n|/2 Laer befchreven worden de kromme CORF, wiens diameter is CF, ende de ordinatim applicara NO; de natuure van deze kromme i is foodanigh dat dei inter- cepta tuffchen de ordinütim applicata NO en de perpendiculaer op de kromme OG, naemenclijck NG, z00 groot is als de ordinatim applicata van de kromme CHA re weten NH Qu. [aeritur] de aequatie, die de natuur van de kromme CORF denoreert, te vinden. NG is dan volgens het gefupponeerde Pa —2:+nl/e . de regel ‘3 :) , calculer ensuite les valeurs qu’on doit leur donner pour obtenir l'expression prescrite de la sousnormale. A cet effet l’auteur détermine d’abord la soustangente NP par la règle de de Slüse (voir la note $ de la présente pièce) dont l’application exige la ré- duction préalable de l’équation de la courbe à sa forme rationnelle. Apres l’achève- ‘ment de ces calculs l’expression obtenue pour NB est égalée à en qu on __— Substituant ensuite ane cette égatité la valeur supposée à u? on trouve, par la comparaison des coefficients des puissances de 3, qu’elle se réduit à une identité, pourvu qu’on suppose: I I . 4 I 4—= — 1, Acalee n 2, non” AE mais alors on a : aire CHN tot y sil n& V/= ME à L 2x tn) 2: 2 : : D 6401 V/: 2; donc, pour z—0, ETES CERN | EC Zi ir Le . CHA = n, et ANHYA = +( 82m) / 2 sm 22 n]/2: : 7 62+n V2 Retranchant de cette dernière expression l'aire? 21 du A ANH ontrouve | I 1 = 1 RTE ST + Pere) lesegment AHYA=: n° (Gr V” 2 + sm = 23 +] 2 1/62 +n V” pe 1 1 + 1 TL ES re = nm) — ml 22 +0 |/2 : LV 654» V/ 2 Enfin, rempla- Y 1 — t SE #53 ANT? 3 çant 3 par = #/2+5 y V2 etrpars LA PAT 34 V2; l'auteur arrive, après quelques” réductions fondées sur l’emploi de l'égalité »—(x3 +95) : xy, aux formules AHYA— gns #7, ABZA = & ny° : x, qu’on retrouve dans la pièce N°. 2793 au bas de la 6 page 417. Chr. Hugenii éte. Exercitationes Mathematicae, Fasc. IT, p. 184. A l’exemple d’U ylenbroek nous avons changé en z?, 2°, 4° etc. les notations /7,22, 44 etc. du manuscrit. La lettre M.;ici et dans la suite, remplace le signe de la multiplication. 632 CORRESPONDANCE. 1694. van SlufiusS) ice nu dat om van deze kromme te foeken de linie NP ofte”t welk het felfde is de linie NG. (OP zijnde geftelt te wezen de raeklijn) men.in défféls aequatie de quantiteijten waar in z gevonden worden € een dimenfie moet vermin- Loz+n)/0 deren; zal dienfvolgens dan de quantiteijt + nl ns ns met z wederom 6z +nV/2 moeten werden gemultipliceert, om z te brengen tot dezelfde dimenfien;, dié in ; 22+n)/ 2 de aequatie van de kromme gevonden worden; komt 2° pe ses. EU “El A 62+n)/ 2 maer om deze quantiteijt te brengen tot een andere, Wwaarin geen termen ten refpecte van z zullen ontbreecken, zoo laet in plaets van zz geftelt worden ‘) az°+bz+c(a,benc zijn quantiteiten, waermede ider rerm zal émiverd moeten worden), (42° + bz+c) PAT re kan nu gelijck gefuppo- 2+n|/ 2 neert worden aen #°; NO geftelt zijnde — #, want (42° + bz + c) —oz+n}/ 0 V/=2:+/ 2 moet geconfidereerd worden als te zijn maer van 2 dimenfien, en CF is gefteld geweelt re zijn de emetes van de kromme CORF ; zoois dan Çaz°+bz+4c) ARRET 20 uu, En van het furdife beta gelibercert, 62+n1/ en de termen aan eene zijde ar zijnde : — 24°25—4ab|zt—4ac [eat 2 —0c 2+c°nL/2 © 0. +am/2| —2b° +oacni”2) +obcm/2) —utm/2 + 2abm 2) —bm/2 | —Gut hieruijt wort door den regel van Slufius 5) gevonden 4 4h12 N ant 2% 8 M CERN | 2A4U*2 + AUN Eoe 104°24— 164b 23— 1240 3°—8bc z—20? +4 nm 2 | —6b° +q4acnl/2) +2bcem/2 +6abm 2) +obnv/2| —6ut —; want gelijck GN tot NO, alfo NO cor NP is mede 5) On peut consulter, sur cette règle de de Sluse, l’article cité dans la note 1 dela Lettre N°, 1924. Ajoutons toutefois qu’elle ne diffère pas essentiellement de celle de Huygens expliquée dans la Lettre N°. 1101 et publiée dans l’ouvrage cité dans la Lettre N°. 1912, note 7: CORRESPONDANCE. 1694. 633 NP ; endienvolgens 24° M.]//6:+n1/2 M.—21"(—22z+m1"2) 00 D —54°24—8ab |25—6ac és g—c? +o4m/2l —3b° +240" 2) +bem 2 +3abm0| +bm/2 | —qut en in plaats van #° en #4 haere valeuren geftelr. è 242°+92b2+0c M. 22°—2n12 5 D — 54°2t—8ab |23—6ac 3°—4bc 3—0c° + +o4am2| —3b? +2acnt”2) +bem 2 +3abm 2) +bm 0 . 30 4*+bs+c M. —oz+m 0 ya 62+n1/2 ; ende door de mulriplicatie komt. 2442 —244"25 +(24b—8an”2)zt —(36ab—4an 2): + (24c—8bm 2—4an")zs —(24ac+ 192b° —-4abni”2—44"n°)23 —(4bn+8cm 2)z| © | (r12bc—6abn°)z° —4cn°z —(4bcm/2—4acn —2b°n°)z —4c nv "2 +4 )ben° de termen van de aequatie met malkanderen vergelijckende is 24 425 9 — 24 4°25 En 4 D — I verders is (24b— 84m "2) 24 0 (—364b+44"m"2)24, en in plaets van 4 geftelt — 1 komt à 50 + 4712 en + 4c°n1- 2 5 + 49) ben?, en in plaets van à geftelt 4712 komt c £7° deze valeuren van 4, b, c dan ge- — 4° komt —2*+ ENV" 2+E n° — "= % 4° voor de aequatie van de kromme CORF, z zijnde — AN en NO =, uyt welke aequatie de natuur van deze kromme openbaer genoegh is, want de ordinatim applicata NO ofte 4 wordende geftelc © o, komt z 5 41/2 en x % -— 4 #12 tot een teecken dat de kromme de linie CF zal fnijden in C en F want AC is 50 #12 en AF ——2#1/9 met het fignum — omdat F aen d’andre zijde contrary als C wort genomen, zoo dat AF dan 4 is van AC door welk punt F oock loopt d’afymptotos van het blatie AHCBAL. dewijle nu de linie NG > NH is zoo zal volgens het theorema 5) Lisez: 2. Œuvres. T. X. te 80 634 CORRESPONDANCE. 1694. Barrovii de area die begrepen is tuffchen de linien CN, NHen de hhètmté CH 700 groot zijn als een 4 quadraat NO ; om nute vinden de groote van het geheele blae- tie, behoeve z maer te ftellen % o, en is #*%0 4 #° hier van de helft komt 4 #° > de area tuffchen CA en de kromme CHA’ begrepen; voor het geheele blaetie dan £#°. CHNC is 5 —12z°+En21/0 + n° M. me) EL z+n)/ 2 Dit getrocken van 4 #° komt voor ANHY A —224n ; MHLES ENV 2— En —22+n)/ 2, en het triangel sn +3 +5 Gz+nl/2 u | A ANH — 2° ra hier van getrocken, voor het fpatium AHYA, z+n|/ 2 F3/ pl ms D — nn >) ne 2 6z+n|/ 2 6z+n|/ 2 in de plaets van znu geftelt zijnde 4x 1/2 + 1y1-2 (gelijck z gevonden is) EYE 343 komt Ze #n— Lntl/2 —-2n = SE en voor, /, genomen ee a ER RD AU RES Se MTS en —EnV on NET T pi © #57 Ent o—2n° M ++s y genomen zijnde grooter als x, ’t welk gefchiet wanneer wij AN % z ftellen, komt voor het fpatium AHY A PA +: en à n° X— EL # _—1nt 2 en in plaets van z geftelt fijne valeur 4y1-2—2x1-2, EL RS cd L1n?% — — #2) + EX 90 LH X +7 nxs * : L x° y° 6 nr. ne 2 à + 3x nx? en, #, zijnde % 3 AHYA > PE DE 2 maer x grooter zijnde als y, naementlijck wanneer AQ 5 z ur is Zoo zal het X+ 551) DE en" x +7 x +7 en in plaets van # geftelt fijne valeur 4x1/2—%y1/2 fpatium ABZA > zijn 4, n°— Ent 2 — x — Ent 2 CORRESPONDANCE. 1694. 635 any 1 L &n°)— g"0x" + 31Y° 711 x° r ABZA > 20 +44 en, #, zijnde ; + 3 pr + ET — nn + Eng NBA Me x+7 æ) Method. Craigii [Chriftiaan Huygens 7). 7) On rencontre cette méthode de Craig, sous la forme précise dans laquelle elle a été appliquée ici, pour la première fois dans le ,Tractatus Mathematicus” de 1693, ouvrage mentionné dans la note 5 de la Lettre N°. 2748. Pour le montrer il suffira de citer le passage suivant emprunté à l’Exemplum 1, page 4 de cet ouvrage, où on lit, en adaptant les notations à * celles de la figure et du texte de la présente pièce: ,,Invenienda sit Quadratura Figurae CNH cujus Natura exprimitur hac aequatione..….. 7 [—NH]=— y» V/ +44 [y = CN]: Ut habeatur hujus Figurae Quadratura, invenienda est alia Curva COR in qua intercepta NG sit y V/ vy aa ….;ideo juxta Regulam..….. praescriptam, multiplicandus est valor datus lineae NG (seu NH) per », unde productum erit »y V/ "+24 : Jam quia maxima dignitas extra vinculum est »*, ideo apponendi sunt omnes termini inferiores scil. »?, y', »° (—1) ipso semper maximo termino incluso, qui coeflicientibus incognitis affecti aequari debent Quadrato quantitatis # [— ON], unde aequatio quaesitam eminenter continens erit Cbv? + cay + ea?) VE —uu. Ex hac aequatione investigetur valor Analyticus Lineae NG per Leïbnitii Methodum hoc modo”; après quoi Craig égale la valeur de NG, obtenue par la méthode de Leibniz, à celle de » V"+ aa, pour calculer ensuite les coeffi- cients indéterminés de la manière indiquée dans la note 1 de la présente pièce. On remarquera l’analogie de cette méthode, qui peut être considérée commeuneextension au cas des expressions irrationnelles de celle employée par Craig dans l'ouvrage de 1685, cité dans la note 3 de la Lettre N°. 2725, avec le ,,compendium”, décrit dans la note 3 de la N°. 2738, dont Huygens se servit en 1692. D'ailleurs déjà dans l’article ,, Additio ad Methodum Figurarum Quadraturas Determi- nandi”, qui parut dans les Philosophical Transactions, N°. 183, pour les mois juillet—sep- tembre 1686, Craigavait exposé une méthode analogue, laquelle, appliquée par lui au même »Exemplum”, consistait à poser 4°44 = 14% + ma5y + lat? L La3y3 + ka°v4 gays + fy5, days la prévision que l’expression rationnelle pour #4 en » devrait être du sixième degré. 636 CORRESPONDANCE., 1694. N° 2862. [B. pe VoLpER] à CHRisTIAAN HuyGEns. [1694]. Appendice III*) au No. 2859. A Si AD x DBwy AGz : GB 5 £ et x5 + 5 > nxy erit 2]/250x+7 1]//2 50 x—y Le à Lin. Au G 3zV/2 +n Sit curva COPF. talis, ut duéta ex 7 M reéta ad punétum O, in quo GB eus À fecat curvam COPF, fit in curvam 2 normalis, pofita GO—», ponatur pro illa curva F re " pen] az + bz + À ps ie a 20YY°) 32/2 + Ex qua aequatione ut inve- Ê niatur GM, fecundum methodum Leibn.3) fiat 422 + bz + c 0 p «IS D gq.erit*) 242+b, d24) > œ dp et nt MER oo dg ) et pdq + qgdp 5 2v4y, five n+3:V/2V/ nn: 2,3: V0 +7 1) Cet Appendice, comme celui qui précède, contient une solution du problème de la quadra- ture du folium de Descartes. Consultez d’ailleurs la note 19 de la Lettre N°. 2859. ) Comme dans la solution précédente, c’est encore ici la méthode de Craig, décrite dans la note 7 de la pièce N°. 2861, qui va être appliquée, en combinaison, comme chez Craig lui- même, avec le théoreme de Barrow (voir la note 8 de la Lettre N°. 2721), d’après lequel on aici: aire CBG—240G°—} »?, puisque, par construction, la sousnormale GM de la courbe COF égale BG l’ordonnée de la courbe CBPA. 3) Celle publiée par Leïbniz dans l’article cité dans la note 5 de la Lettre N°. 2205. #) Ici et dans la suite la virgule figure comme signe de multiplication. D’ailleurs la notation employée est un peu singulière et pas toujours conséquente, Toutefois nous n’y avons rien changé, puisqu’en refaisant les calculs on trouvera facilement la vraie signification des for- mules. ; CORRESPONDANCE. 1694. 637 —2an)/ 2,2:—2bn|/ 0, Fev dx | 242 +b,de,n— —2lV/2 n+32V/2l/n—2l/ 2,32 2 + her +n,n—2)/ 2 adeoque 42 ad dy ut 2y ad nee 22 etc., five OG ad GM. Erit itaque GM — nel s,22—bal/o,2—cm)/3 + n+3l/ 2 Vn2V/ 2,32 1/2 #n az + + b, n—2V/2 SE n—V/2 ils +n,n—2l/2 321 2 + adeoque — 6425 — 3h22 + annz + 3 bnn 50 — 625 + onzz |/ 2 + nnz +nal/ 2, —cn|/ 2 Unde #1 bw—xnl/ 2 cæw—xznn. adeoque cum z]/” 2 nequeat effe D 2Y4y. : s US n—2|/2 major, quam #%), erit mutatis fignis?)—z22+1#]//2,2,+ 7 And 0 20YY us = male five +ir7—121]/ 0, in 3z 2+n er 2Y — %Yv.Hincfiyæo, po- 6 6 , 3 »P natur,erit290# |//4,aut z 50 —2#]//2. Ex quo patet curvam COF re&tam CF feéturam in pun&is C et F. Hinc erit fpatium GCB 5 — 122+1n|/ 2,2 + 5) Ici on lit encore en marge: ,, Verum hoc esse patet ex seq. calculo : n—32 2 Le Qu LEA AIS — dx "2 50 344}/ 2, di +624 ]/ 2, da + ang, dq 3:l/ 2+7 —dz|/ 2—3n" 2, dz + 6242 D 62q |/” 2, dg +204, da 32l/2+" —4n)/ 2,43 . Aer —2l/ 2 3:)/ 2+n,in6]/ 2 VE — on Æ dz ÿ D dq gl/2+0l/n—32)/ 2,35) 2 +7 5) Puisque alors l'expression pour /—GB, qui se trouve en tête de cette pièce, deviendrait imaginaire. 7) Eneffet, sans ce changement de signe l'expression pour »», qui va suivre, aurait, pour z V2? à / : < : I a positif et ue AUS 2+# ss gV2+r | x — s = > = 50) Hinc ABP 5; mn, — 1nx — En) — nn J Zz x+y 7x +7 ABP LNNY — ENXX + ENV D Et D D X +7 6x, x+7 9 Eft autem #yx 30 x3 + y3 Hinc ABP > RES pe) 4 2: Nec diffimili ritu res fe habet in caeteris cafibus. #) aequ.° diff.lis [Chriftiaan Huygens]. 8) D’après le théorème de Barrow; voir la note 2. 9) C’est un des résultats annoncés par Huygens vers la fin de la pièce N°. 2793. CORRESPONDANCE. 1694. 639 N° 2863. G. W. LeiBniz à CHRISTIAAN HUYGENS. 22 JUIN 1694. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle a été publiée par P. J. Uylenbroek*) et C. I. Gerhardt®). Elle est la réponse aux Nos. 2854 et 2856. Chr. Huygens y répondit par le No. 2873. 1, Hanover, ce 90 Juin 1694. MONSIEUR J'ay efté bien aife de recevoir l’honneur de voftre lettre5), appres un affés long filence #), dont pourtant je n’ay garde de me plaindre fcachant bien combien voftre temps eft pretieux, et d’ailleurs je feray tousjours des plus ardens à vous exhorter de ménager voftre fanté, d’autant plus que j’apprends par voftre lettre même, qu’elle a efté un peu chancelante. Plût à Dieu que nos études ferviffent à nous faire avancer confiderablement dans la medecine. Mais jufqu’icy cette fcience eft prefqu’entierement empirique. Il eft vrai que l’Empirie même feroit de grand ufage, fi on s’attachoit à bien obferver, et même à bien employer tant d’obfervations déja faites, mais comme la Medecine eft devenue un Meftier, ceux qui en font profeflion ne la font que par maniere d’acquit, et autant qu’il faut pour fauver les apparences; fcachant bien que peu de gens font capables de juger de ce qu’ils font. Je voudrois que quelque ordre religieux, tel que celuy des Capu- Cins par exemple, fe fût attaché à la Medecine par un principe de charité. Un tel ordre bien reglé la pourroit porter bien loin. Mais laiflons là ces fouhaits inutiles et venons aux points de voftre lettre. Je fouhaitte que le public apprenne bien toft des particularités de voftre hor- loge, qui ne fçaurait manquer d’eftre de grande confequence. Pour ce qui eft du traité d’une Matiere philofophique que vous avés fait; je ferois bien aife d’ap- prendre un jour ce que ce pourra eftre. Vous eftes trop refervé jufqu’icy, ne voulant donner au public que des demonftrations; au lieu que des perfonnes de voftre force ne doivent pas luy envier jufqu’à leur conjeétures. C’eft pourquoy, 7) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, p. 182. ) Leïbnizens Mathematische Schriften, Band II, p. 179, Briefwechsel p. 733. 3) Il s’agit de celle du 29 mai 1694, notre N°. 2854. Celle du 8 juin, notre N°. 2856, à laquelle Leibniz va répondre vers la fin de la présente lettre, ne lui était évidemment pas encore parvenue lorsqu'il commença à écrire. 4) La lettre de Huygens, qui précéda celle du 29 mai, datait du 17 septembre de l’année anté- rieure. Voir nôtre N°. 2820. 640 CORRESPONDANCE. 1694. quand vous vous ouuririés fur toute fortes de matieres encor que philofophiques et problematiques, vous ne feriés que bien. Voftre exhortation me confirme dans le deffein que j’ay de donner quelque Traité 5) qui explique les fondemens et les ufages du Calcul des fommes et des differences; et quelques matieres connexes. J'y adjouteray par maniere d’appendice les belles penfées et découuertes de quelques Geometres, qui ont bien voulu s’en fervir, s’ils veulent avoir la bonté de me les envoyer. J’efpère que M. le Marquis del’Hofpital voudra bien nous faire cette faveur fi vous jugés à propos de le luy propofer. Meflieurs Bernoulli freres en pourront faire autant. Si je trouue quelque chofe dans les produétions de Mr. Neuton inferées dans l’Algebra de Mr. Wallis, qui nous donne moyen d’avancer, j'en profiteray en luy rendant juftice. Mais oferois-ie bien vous fupplier vous même de me favorifer de ce que vous jugerés à propos, comme par exemple de voftre analyfe du probleme de Mons. Bernoulli) donnée par cette maniere de calcul? J'expliqueray entre autres ces Equations exponentiellement Tranfcendentes dont je vous ay parlé autres fois 7), lors que dans l’Equation de la courbe l’incon- nue entre dans l’exponant. Par exemple fi l’Equation de la courbe eftoit x = y ou pour garder la loy des homogenes (x : 4) + ne = y: 4%) er fi z eftoit une gran- deur explicable par le moyen des interdeterminées x et y et de la determinée 4; cette equation pourra eftre delivrée de fon exponentialité et reduite au calcul des differences; car en vertu de noftre equation, fuppofant le logarithme de la (2) grandeur & eftre o, ou log. 4 = o, il y aura x: # multipliée par log. x, — log. y, 3 (4 ou bien 2 log. x = 4 log. y. Mais log. x —/(dx:x) et log. y su (dy : 3) (6) (7) donc z/ (dx : x) = a [ (dy : y) et differentiando z4dx : x + de [ (dx :x) = ady:3. Et c’eft par là qu’on peut avoir dy : dx, c’eft-à-dire la raifon de l’ordonnée à la fouftangente, en expliquant 4 par la valeur de z que je fuppofe eftre connue. (8) Car fi par exemple z eftoit = xy:4; en forte que l’equation 1. fignifieroit ten en Lo aa (9) (io) (x:4) + —=7Yy:a, dzferoit = xdy + ydx : 4, et de l’équation (7) pro- 5) Un tel traité n’a jamais paru. 6) Celle annoncée dans la pièce N°. 2823 et qu’on retrouve dans la pièce N°. 2821. 7) En 1690 et 1691; consultez les Lettres N°. 2627 (pp. 517 et 518)); N°. 2632 (pp. 532 et 533); N°. 2636 (pp. 548 et 549); N°. 2639 (pp. 557 et 558) et N°. SHARE: 13et 14). z 8) En marge Leibniz écrivit : z : 4 m’eft autant que CORRESPONDANCE. 1694. 641 Gi) viendroit ydx : 4 + xdy [ (dx: x) : à + ydx [ (dx : x) : a = ady: y et par cette equation on aura 4y: 4x (ou 2 c’eft-à-dire on conftruira la rangente de la courbe en employant, x et yet le logarithme d’x. Mais pour delivrer icy l’equa- tion ab omni vinculo fummatorio il faudroit defcendre aux differentio-diffe- rentielles. Souvent il fuffit de venir aux Equations differentielles du premier degré, et alors ces Equations differentielles (qui font des problemes de la converfe des tangentes) fe peuuent conftruire par Logarithmes, et fe peuuent exprimer par des Equations Exponentiellement tranfcendentes, comme je fis un jour dans un Exemple que vous m’aviés propofé, ou pourtant à caufe d’un mefentendu nous n’avions pas vifé à une même ligne ?). Je fouhaitterois de pouuoir tousjours reduire les. autres tranfcendentes aux Exponentielles, car cette maniere d'expri- mer me paroift la plus parfaite et bien meilleure que celle qui fe fait par les diffe- rences, et par les feries infinies. puifque elle n’employe que des grandeurs commu- nes, quoyque elle les employe extraordinairement. Cependant j’eftime fort les feries, carelles expriment veritablement ce qu’on cherche et donnent lemoyen de le conftruire aufli prochainement qu’on defire, et achevent par confequent la Geo- metrie ou analyfe quant à la practique. Ex ce qui eft le plus important, quand les autres voyes fe trouuent courtes, les feries viennent au fecours. Car il peutarriver qu’un probleme defcende aux differentielles du 2, 3me ou 4me degré, c’eft-à-dire qu’il y aie non feulement x et yet 4x, dy, mais encor ddx, ddy et même 3x, dy; alors par les feries la courbe oula conftruétion fe trouve quelquefois aufi aife- ment, que fi ce n’eftoit qu’une Equation ordinaire, felon la maniere generale que j’ay. donnée dans les Aëtes °), et que je n’ay encor vue chez perfonne. car la me- thode que Mefieurs Mercator er Neufon fic | auoient publiée ‘*) en eftoit toute 9) Voir la note 6 de la Lettre N°. 2627. 19) Dans l’article intitulé ,,G. G. L. Supplementum Geometriae Practicae sese ad problemata transcendentia extendens, ope novae Methodi generalissimae per series infinitas” qui parut dans les , Acta” d’avril 1693. 11) Dans l’article cité dans la note précédente, Leibniz spécifie comme il suit la méthode qu'il a en vue : Cum antea Series infinitae fuerint quaesitae cum primo inventore Nicolao Mer- catore Holsato per divisiones, & cum summo Geometra Isaaco Neutono per extractiones; visum mihi fuit, posse ad eas perveniri commodius & universalius per suppositionem ipsius seriei quaesitae, tanquam inventae, ita ut terminorum coëfficientes ex successu definiren- tur”. Il s’agit donc de l'emploi par Mercator de la série pour 1 :(1+x)dans sa,,Logarith- motechnia” (voir l'ouvrage cité dans la note 5 de la Lettre N°. 1669) et de l’application de la formule du binôme de Newton, dans le cas d’une valeur fractionnaire de l’exposant, à, la quadrature du cercle et de l’hyperbole, dont il est question dans la note 6 de la Lettre N°. 2793. Œuvres. T. X. 81 642 CORRESPONDANCE. 1694. differente. Aïnfi je ne fçaurois demeurer d’accord de ce que M le Marquis de l’Hofpital vous a ecrit, qu’on peut faire fans les feries tout ce qui fe peut faire par elles. quant à ma conftruétion Generale des Quadratures par la Traëion, il me fuflit pour la fcience qu’elle eft exaéte en theorie quand elle ne feroit pas propré à eftre executée en praétique. La plus part des conftructions les plus Geometriques, quand elles font compofées, font de cette nature. Comme par exemple les regles du Mefolabe organique de M des Cartes **) ne fçauroient operer exaétement; lors qu’elles doivent eftre un peu multipliées. Et quoyque M des Cartes ait propofé de conftruire les Equations du 5.me ou 6.me degré par un mouuement de la parabole materielle*3), je crois qu’on auroitbien de la peine à faire une telle conftruétion avec exactitude pour ne rien dire des degrés plus hauts. Cependant la con- ftruétion gencrale' de routes les quadratures eft infiniment plus difficile, et neant- moins je crois que les difficultés pourroïent eftre affez dimintées en pratique en fe fervant d’une bonne appreflion. Car non obftant tous les embarras apparens, l’appreffion faifant fon devoir, la ligne de la traétion ne fçauroit manquer de toucher la courbe. Monfieur Bernoulli le cadet, ayant confideré attentivementma defcription, en a reconnu et admiré la verité, quoyqu’ilcroye aufli-qu’il feroic difficile de la bien exécuter “#). Je voudrois avoir des moyens femblables'bien generaux pour conftruire les autres equatiquié differentielles, ou les RON DE ex tangentium natura. | 230% Je n’ay point vû encor voftre refuration de la Theorie de la RSR des Vaiffeaux. Apparemment elle fera dans l’Hiftorie des ouurages des Sçavans 5) que nos libraires n’ont pas encor receus par leur negligence ordinaire. il faudra que je mette ordre pour me les faire tousjoursenvoyer par la pofte. Lors queje confiderois autres fois cette theorie, elle meparoifloit un peu fuperficielle, ete n’achevay pas de la parcourir: Mais jy penfefay unide ces jours. je me fouuiens maintenant, qu’il negligeoit entre autres chofes le centre de gravité du vaiffeau, le quel ne deuuroit pas eftre negligé, ce me femble, fur tout pour la derive, puifque les impreflions du choc des corps opérent diverfement felon la fituation de ce centre. [l y avoit bien d’autres chofes qui m’arreftoienr. Le meilleur yeft ce qu' il 12) L’instrument décrit au début du ;, Livre second” de sa ,,Géométrie”?. 13) Consultez le dernier article de la ,;,Géométrie”, intitulé en merge: »Façon generale pour construire tous les pa see rédutés à une Equation qui n’a point plus de six es sions” 4) On saut consulter à ce propos, dans le T. III de ,Leibnizens mathematische Schriften” par Gerhardt, la lettre de Jean Bernoulli à Mencké du 8 Févr. 1693 (p.134—135) et celle à Leibniz du 9 mai 1694 (v.s.) à la page 138. 15) Elle avait paru dans la ,,Bibliothèque Universelle et Historique”. Voir la pièce N°. 2806. FENTE F NT TP CORRESPONDANCE. 1694. 643 y a de la praëtique et je voudrois avoir vu le liure de la manoeuvre de Mr. de Tourville #) qu’il cite 7). Affeurément Mr. Hook et le p. Pardies n’avoient garde d’arriver à l’explication des loix de la refraétion par les penfées qu’ils avoient fur les ondulations. Tout confifte dans la maniere dont vous vous eftes avifé de confiderer chaque point du rayon, comme rayonnant, et de compofer une onde generale de toutes ces ondes auxiliaires. Si Mr, Knorr m’avoit confulté je luy aurois dit mon fentiment la deffus. Le p. Ango qui ne fcauoit de cela que ce qu’il avoit pà crouuer dans les papiers du p. Pardies, apres avoir bien fuë inutilement pour rendre raifon de la loy des finus, a enfin fabriqué un pur paralogifme habillé en demonftration, pour fe tirer d'affaire‘). Ne pouvant pas rendre raifon de la refraction ordinaire, comment auroient ils ofé penfer à expliquer celle du criftal d’Iflande. Il me femble qu’il y auoit encor quelques phenomenes de ce criftal, qui vous arres- toient ‘) et je voudrois fcauoir fi vous avés fait depuis des progres la deffus. N’avés vous pas trouue que ce criftal fournit quelques phenomenes extraordinai- res à l’egard des couleurs. Je ne fcay fi je vous ay mandé 2°), que Mons. Facio m’a communiqué quelque chofe des penfées qu’il a pour expliquer mecaniquement les fentimens de M. Newton, il eft vray que ce n’eft qu'avec referve et en enigme. Il croit que la matiere ne remplit qu’une partie tres petite de l’efpace; il croit les corps percés à jour:comme les fquelettes, pour donner aifement paffage. Il croit aufli que fi 16) Anne Hilarion de Cotentin, comte de Tourville, né à Tourville en 1642. À l’âge de 14 ansil fut reçu chevalier de Malte. Après avoir servi sur la flotte de la République de Venise, il fut nommé capitaine de vaisseau par Louis XIV en 1667, et se distingua dans presque toutes les actions navales de la marine de guerre française. Après la paix de Rijswijk, en 1697, il quitta le service et se fixa à Paris, où il mourut le 28 mai 1701. D’après ses ordres et sous ses auspices le père P. l’Hoste, aumônier sur les vaisseaux commandés par de Tourville, écrivit un Traité de la tactique navale, longtemps en usage dans la marine française. . 17) Voir la préface de l'ouvrage de Renau (mentionné dans la note 17 du N°. 2813) où il s’ex- cuse de n'avoir traité ,,que de ce qui doit servir de Principe à la science de profiter des vents le plus qu'il est possible; Ce qui consiste uniquement, à déterminer la situation la plus avan- tageuse des voiles & de la Proüe du vaisseau, par rapport au vent & à la route qu’il est à propos de faire... sans s'arrêter mesme à expliquer l’usage particulier de chaque Manoeuvre parce qu'il sera facile aprés cette connaissance de s’en bien servir, & que ceux qui auront besoin de ce détail, pourront s’en instruire dans l'exercice de la Manoeuvre, de Monsieur le Chevalier de Tourville”. 18) Comparez la Lettre N°. 2628 aux pages 522 et 523. 19) Voir la Lettre N°. 2751, note 3. 7°) Comparez la Lettre N°. 2859 à la page 603. En effet, dans ce qui va suivre, il s’agit toujours de la Lettre de Fatio à de Beyrie que nous avonsreproduite au N°. 2853. 644 CORRESPONDANCE. 1694. l’efpace eftoit affes rempli d’une matiere fluide muë en tout fens, cette matiere empecheroit extremement le mouuement des corps. Il parle de l’objeétion que vous luy aviés faite qui eft que la matiere fe deuroit epaiflir autour de la terre, et que cela l’a arrefté mais qu’enfin cette objeétion s’eft evanouie quand on l’a examinée avec exactitude, c’eft de quoy (dit-il) Mons. Hugens eft à prefent per- fuadé. Il fe pale en cecy (adjoutet-il) quelque chofe d’admirable, qu’il faut avoir remarqué, avant qu’on puiffe voir, que l’objeétion n’a rien de folide. Il y a de l’apparence qu’il fe fait une circulation ou reciprocation dans la na- ture en forte qu’une matiere fubtile mais denfe ou ferrée, s’eloignant des corps qui attirent les autres, force la matiere grofliere de s’y approcher, maïs cette ma- tiere grofliere, quand elle y eft arriuée eft broyée et rendue fubtile, pour eftre renvoyée derechef à la circumference ou eftant difperfée de nouueau elle fert d’aliment à d’autres corps grofliers. il y peut avoir plufieurs raifons de l’attraétion; comme la force centrifuge, née d’un mouuement circulaire, que vous avés employée **); item le mouuement droit des corpufcules en tout fens, que j’ay vû déja employé autres fois d’une maniere femblable par un auteur qui tachoit par là de rendre raifon de la fermeté des corps et des phenomenes qu’on attribue communement à la pefanteur de l’air, mais que vous aviés pourtant obfervés dans le vuide **). Et comme il femble que la maffe de la terre doit faire en forte que plus de corpufcules y tendent, qu’il n’en viennent; on pourra dire que cela pous- fera les corps vers la terre felon le fentiment de quelques uns que vous marqués. On peut encor adjouter l’explofion comme feroit celle d’une infinité d’arque- bufes à vent. Car ne pourroïit on point dire que les corps qui font la lumiere, la pefanteur et le magnetifme, font encor grofliers en comparaifon de ceux qui feroient leur propre reffort, et qu’ainfi ils enferment une matiere comprimée; mais quand ils arrivent au foleil, ou vers le centre des autres corps, qui font émiflion (dont l'interieur pourroit repondre au foleil) le grand mouuement qui s’y exerce les brifant et les défaifant, deliureroit la matiere qui y eftoit compri- mée. Il femble effeétivement que c’eft de cette maniere que le feu agit. Peut eftre auffi que plufieurs moyens fe trouuent joints enfemble, pour caufer la pefanteur, puifque la nature fait en forte que tout s’accorde le plus qu’il eft poffible. quoy qu’il en foit, il nous fera tousjours difficile de bien determiner ces chofes. Si quelqu’un y peut reuflir de noftre temps, vous le ferés. il eft vray que route ma- tiere etheree qui tend vers la terre ou vers quelque autre corps fans percer n’en fçauroit revenir. Car celle qui ne perce point, rejalliffant, rencontrera d’autre matiere qui y arrive apres elle. Ainfi ces matieres fe doiven: brouiller enfemble, 21) Dans le ,, Discours de la cause de la pesanteur”, cité dans la note 8 de la pièce N°. 2519. 22) Consultez la pièce N°. 1899, qui avait paru dans le Journal des Sçavans du 25 juillet 1672. CORRESPONDANCE. 1694. 645 ets’amaffer à l’entour du corps, mais peut eftre que la mafle qui s’en forme eft diflipée derechef à peu pres comme les taches du foleil. Quant à la difference entre le mouuement abfolu et relatif, je croy que fi le mouuement ou plus toft la force mouuante des corps eft quelque chofe de reel comme il femble qu’on doit reconnoiltre, il faudra bien qu’elle ait un fubjeétum. Car # et b allant l’un contre l’autre, j’avoue que tous les phenomenes arriveront tout de meme, quel que foit celuy dans le quel on pofera le mouuement ou le repos; et quand il y auroit 1000 corps, je demeure d’accord que les phenomenes ne nous fcauroient fournir (ny même aux anges) une raifon infallible pour deter- miner le fujet du mouuement ou de fon degré; et que chacun pourroit eftre concû à part comme eftant en repos, et c’eft aufli tout ce que je crois que vous demandés; mais vous ne nierés pas je crois que veritablement chacun a un certain degré de mouuement ou, fi vous voulés de la force; non-obftant l’equivalence des Hijpothefes. Il eft vray que j’en tire cette confequence qu’il y a dans la nature quelque autre chofe que ce que la Geometrie y peut determiner. Et parmy plu- fieurs raifons dont je me fers *3) pour prouuer qu’outre l’etendue et fes variations, qui font des chofes purement Geometriques, il faut reconnoiftre quelque chofe de fuperieur, qui eft la force; celle-cy n’eft pas des moindres. Monfieur Newton reconnoift l’equivalence des Hypothefes en cas des mouuemens reétilineaires 4); mais à. l’egard des Circulaires. il croit que l’effort que font les corps circulans de s’eloigner du centre ou de l’axe de la circulation fait connoïftre leur mouuement abfolu. Mais j’ay des raifons qui me font croire que rien ne rompt la loy generale de l’Equivalence *$). Il me femble cependant que vous même, Monfieur, eftiés 23) Voir, entre autres, l’article de Leibniz cité dans la Lettre N°. 2759, note 16. 24) Leibniz fait allusion ici au Corollarium V (p. 19 de l’édition originale) : ,Corporum dato spatio inclusorum iidem sunt motus inter se, sive spatium illud quiescat, sive moveatur idem uniformiter in directum absq; motu circulari”. Voir encorel’explication dece,,Corollarium” et le Corollarium VI Si corpora moveantur quomodocung; inter se & a viribus accelera- tricibus aequalibus secundam lineas parallelas urgeantur; pergent omnia eodem modo moveri inter se ac si viribus illis non essent incitata”. 25) Cette question de l’équivalence du mouvement absolu et relatif avait été traitée amplement par Leibniz dans le grand ouvrage manuscrit ,Dynamica de Potentia et Legibus Naturae corporeae” qu’il écrivit à Rome en 1689 et qui fut publié par Gerhardt dans le Tome VI de »Leïbnizens mathematische Schriften”” (voir les pages 1 5 et 501—507 du Tome mentionné). Il y est revenu encore dans la seconde partie du ,Specimen Dynamicum pro admirandis Naturae Legibus circa corporum vires et mutuas actiones detegendis et ad suas causas revo- candis” publié par Gerhardt au même Tome p. 246—254, et dont la première partieavait paru dans les , Acta” d’avril 1695. On y trouve à la page 253 les phrases suivantes qui se rappor- tent aux idées de Newton :,,Ex his quoque intelligi potest, cur magnorum quorundam Mathematicorum sententiis quibusdam philosophicis hac in re stare non possim, qui praeter- quam quod vacuum spatium admittunt et ab attractione non abhorrere videntur, etiam motum habent pro re absoluta, idque ex circulatione indeque nata vi centrifuga probare con- 646 CORRESPONDANCE. 1694. autres fois du fentiment de M. Neuton à l’egard du mquuement circulaire *#). Je crois*7) que M. Teiler fera bien toft à Wolfenbuttel. Je vous fuis bien obligé de la bonté que vous avés eue de vous en informer. J’auray foin d'écrire qu'on marque les errata, dans les Actes de Leipzig, dont je ne fcaurois concevoir la raifon, il faut que votre écriture ait efté un peu obfcure en ces endroits, Je fuis bien aife d'apprendre la guerifon de Mons. Newton auf toft que la maladie, qui eftoit fans doute des plus facheufes. C’eft à des gens comme vous, Monfieur, et luy, que je fouhaitte une longue vie, et beaucoup de fanté, prefera- blement à d’autres, dont la perte ne feroit gueres confiderable en parlant com- parativement. fi je remarqueray quelque chofe dans les A@tes de Leipzig, ou vous puifliés avoir intereft, je vous en donneray part. Je n’ay pas encor celles du mois de May. Au refte je fuis avec zele MONSIEUR Voftre tref humble et tres obeiflant ferviteur LEIBNIZ. | P.S. Je ne fcay quand je verray l’ouurage que Mons. Wallis vient de publier **)- Voudriés vous bien me faire la grace, Monfieur, d’en faire copier des endroîts où Mr. Newton donne des nouuelles decouuertes. Je ne demande pas proprement fa maniere de trouuer des feries, mais s’il donne des moyens pour la converfe des angentes ou pour quelque chofe de femblable. Car en m’ecrivant autres fois il couurit fa maniere fous des lettres tranfpofées *?). Il marquoit d’avoir deux façons, l’une plus generale, l’autre plus elegante. Je ne fcay s’il en aura parlé. tendunt. Sed quoniam circulatio quoque non nisi a rectilineorum motuum compositione nascitur, sequitur si salva est aequipollentia Hypothesium in motibus rectilineis suppositis utcunque, etiam in curvilineis salvam fore”. 26) Comparez encore à ce sujet la réponse de Huygens du 24 août 1694, et la Lettre de Leibniz à Huygens du 14 septembre 1694. 27) Ici commence la réponse à la Lettre N°. 2856. 28) Voir la Lettre N°. 2854 au bas de le page 610. 29) Comparez la Lettre de Newton à Oldenburg du 24 octobre 1676, dont la copie fut envoyée à Leibniz par l'intermédiaire d’Oldenburg. Elle se trouve publiée e. a. dans le ,, Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz” par C. IL. Gerhardt, où l’on rencontre à la page 224l’ana- gramme en question avec l’explication que Wallis en a publiée à la page 393 de l'ouvrage mentionné dans ce post-scriptum. CORRESPONDANCE. 1694. 647 N° 2864. CHRISTIAAN HuvGENs à CONSTANTYN HUYGENS. 6 JUILLET 1694. La lettre se trouye à Leiden, coll. Huygens. Constantyn Huygens y répondit par le No. 2865. A Hofwijck ce 6 Jul. 94. Mon Receveur de Zeelhem Cools m’ayant mandè qu’il attendoit mon ordre pour vous remettre la fomme de 200 # pour mon compte, je luy envoie cet ordre prefentement et je n’ay pas voulu manquer de vous en avertir, afin que non feule- ment vous vouliez bien accepter cet argent pour moy, mais que mefme vous l’en fafliez fouvenir, lors qu’il vous viendra fupplier et recommander la proteétion du village, car je fcay par experience qu'il eft fujet à ne fe pas fouvenir de ce qu’il promet, lors qu’il s’agit de donner de l’argent *). Les pauvres habitants de Zeelhem au refte fouffrent beaucoup cette annee par les troupes qui y logent et fouragent, et je n’ofe pas me promettre que vous puifliez beaucoup les foulager. Eft enim vis major. Il femble de ce que vous aviez mandè dernierement a Mad.e voftre femme, qu’on parle plus de paix dans voftre armée qu’icy, quoy que tout le monde la fouhaite pour le moins autant icy que là. Je fuis bien aife toutes les fois que les nouuelles m’apprennent qu’on demeure fans fe battre, parce que je crois que noftre Roy ne fcauroit mieux faire prefencement que de fuivre l’Exemple du genéral Romain qui avoit a faire à Hannibal, qui cunétando reftituit rem. Mon mal) ne veut pas encore me quiter et me contraint de m’abitenir du travail, de peur de pis. .… Min Heer Min Heer van Zuüylichem Secretaris van Signe koninklijcke majt van groot Brittannien Int Leger. 7) Consultez les Lettres Nos. 2845 et 2850. ?) Voir la Lettre N°. 2859, page 622. 648 CORRESPONDANCE. 1694. N° 2865. CoNSTANTYN HUYGENS à CHRISTIAAN HUYGENS. cd 8 JUILLET 1694. La lettre et la copie se trouvent à Leiden, coll. Huygens. La lettre est la réponse au No. 2864. Chr. Huygens y répondit par le No. 2872. Au Camp de Roofbeec ce 8de Juillet 1694. Jay receu ce matin la voftre du 6. de ce mois et cy devant une autre du 8. de Juin . Pour Zeelhem j’ay une fauve garde prefte et j'attends que Cools vienne pour la prendre, mais depuis deux trois jours je n’entends plus parler de luy, en mefme temps je prendray de luy les 200 # dont vous me parlez. Je fuis fort fafché de ce qu’apparemment la Terre de Zeelhem aura fouffert par ces Cantonnements icy, mais c’eft une chofe fans remede. J’efpere que v{oft ]re Intermiflion de poulx ne fera pas de mefme. Mais comment fe font ces Ceffations du mouuement ducoeur, font-elles accompagnees de quelques foibleffes et maux de coeur? et durent-elles quelque temps? C’eft eftrange comme l’eftude et l’application les fonc venir; Je fuis veritablement bien marry de vous fcavoir incommodé de ce mal; je croy que le traitte des Planetes *) en fouffrira aufli et ne verra pas le jour fi roi, qu’il auroit fait autrement qu’eft ce que les medecins vous difent? ne vous precriventils point d’autres remedes que l’abftinence des eftudes ? x On ne parle pas encore de decamper d’icy mais le manque de fourage nous y obligera bientoft. Toute l’herbe eft mangée par icy, et depuis hier on a com- mencé a fourager le feigle qui n’eft pas en grande quantité et qui eftant mangé nous obligera de courner du cofté de la Flandre, ou il y a encore du fourage. Ma femme me manda l’autre jour qu’on auoit adreffe un gros pacquet ?) de Livres qui eftoit pour vous, s’il y a quelque chofe de curieux, je feray bienvaife de le fcauoir. Voor de Heer van Zeelhem. 1) Constantyn, évidemment, veut parler de la lettre du 6 juin, notre N°. 2855. ?) Voir la note 6 de la Lettre N°. 2844. 3) [s’agit probablement des livres envoyés par l’abbé Bignon; voir la Lettre N°. 2868. CORRESPONDANCE. 1694. 649 no N° 2866. G. W. LeiBniz à CuRiISTIAAN HuYyGENs. 9 JUILLET 1694. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle a été publiée par P. J. Uylenbrock*) et C. I. Gerhardt*). La lettre fait suite au No. 2863. Chr. Huygens. y répondit par le No. 2873. MONSIEUR Vous aures receu ma derniere. Cependant fuivant votre ordre 3) je vous mande que dans les Adtes de Leipzig du mois de May, on a inferé la folution du probleme de Mons. Bernoulli, donnée par M. le Marquis de l’Hofpital #) qui avoit efté inferée dans les memoires dans l’Academie royale des Sciences [16 ]93, 30 juin. On y adjoute l’objeétion d’un anonyme inferée dans le Journal des Scavans 5) qui pretend quecette folution n’eft point fatisfaifante, en ayant fait l’effay dans le cas 1) ) 3) , Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, p. 190. Leïbnizens Mathematische Schriften, Band II, p. 186, Briefwechsel, p. 739. Voir la Lettre N°. 2854 à la page 600. Ellé avait déjà paru sous une forme abrégée dans’les ,, Acta” de’ septembre 1693 (voif la note 15 de la Lettre N°. 2815); mais il s’agit maintenant d’une traduction de l’article des »Mémoires” (voir la même note) insérée dans:les ,, Acta” de mai 1694 sous le titre:,,Dn. Marchionis Hospitalii solutio problematis hometaici nuper in Actis Eruditorum, (Anno 1693, p.235.) quae Lipsiae eduntur, propositi”. Cette publication répétée fut motivée par la phrase introductoire que voici: ,Quamvis Ilustrissimi Marchionis Hospitalii solutio stric- tim jam proposita fuerit in Actis Anno 1693. non tamen possumus quin eam, prout in Com- mentariis extat Mathematico—physicis Parisiensibus fusius exposita, denuo afferames, ut vis objectionum, quas anonymus Analysta contra eam direxit, eo melius possit percipi”. Ajoutons que l’,anonymus Analysta” n’était autre.que. l’abbé de Catelan, comme cela -… résultede l’,,Index Autorum” qu’on trouve vers la fin du volume des,, Acta” de 1694. Même s), sans cela on aurait reconnu facilement l’auteur de l’objection, au procédé que nous allons mentionner dans la note suivante. Dans celui du 29 mars 1694, sous le titre : ,, Difficulté sur la solution d’un Probleme de Mr. Bernoulli, inserée dans les Memoires de Matematique & de Phisique du 30 Juin 1693”. + Toutefois la pièce publiée dans les ,, Acta” de Mai 1694, quoique portant letitre:,,Difficultas Super solutione Problematis Bernoulliani, quae habetur in Commentariis Mathematico-phy- sicis, Parisiensibus Anno 1693; d. 30. Junii, ab Analysta anonymo proposita, & ex Gallico in Latinum. idioma conversa”, n’était pas une simple traduction de l’article des Mémoires, puisqu'on y avait ajouté subrepticement quelques phrases constituant une réplique indirecte, complètement manquée d’ailleurs, à la réponse de de l’Hospital qui avait paru dansle Journal des Sçavants du 26 Avril 1694 (voir la note suivante). Œuvres. T, X. 82 650 CORRESPONDANCE. 1694. de la proportion double. J’ay appris que M. le Marquis a repondu depuis®), et fait voir, que fi l’auteur de l’objeétion avoit pris la peine de pouffer fon calcul à bout, il en auroit trouué le fuccés?). Je ne doute point que la folution de Mons. le Marquis ne vous foit connue autrement je l’aurois copiée. pour moy je trouue qu’on peut tousjours donner la folution quand la raifon eft donnée entre deux fonétions quelconques. J’appelle fonétions l’abfciffe AB ou T\ AR, l'ordonnée BC ou RC; la corde AC, tangente AT ou A8°), AU perpendiculaire CP ou Cr, foufperpendiculaire BP ou £r, A} fouftangente BT ou 28, retranchées, refectas, par la tangente ou B par la perpendiculaire AT ou A8, AP ou A7, correfèétas TP P ou Tr, et quantité d’autres. Le probleme fe peut tousjours reduire aux quadratures et fouuent par là à la Geometrie ordinaire, Meme s’il y avoit une equation, où il n’entreroient d’autres droites que ces fonétions, quelque nombre des fonétions pourroit entrer à la foy, la courbe ne laiffera d’eftre conftruifible. Dans les memes aëtes Monfieur Jean Bernoulli fait voir ?) par le calcul, que fi un fil parfaitement flexible eftaic pouffé par tout par une puiffance egale erper- pendiculaire à fa courbure, ce fil feroit circulaire. Puis il a fait un calcul fur la force neceffaire pour enfler les mufcles et dit que la tabelle qu’il en a tirée eft bien différente de celle de Borelli °). [1 me femble qu’il confidere feulement les commencemens de l’aétion de l’elafticite du fluide qui pouffe le mufcle, maïs il faut une acceleration pour produire un effeët notable. Quoy qu’il en foit, ce qu’il dit paroïft roujours fort ingenieux, et il eft bon qu’on tafche d'appliquer les Ma- S) Dans le Journal des Sçavans du 26 avril 1694 sous le titre : ,,Eclaircissement d’une difficulté proposée dans le XIIT. Journal sur la solution d’un problème de Mr. Bernoulli, inserée dans les Memoires de Matematique & de Phisique du 30 Juin 1693”. Cette réponse fut publiée de même dans les ,, Acta” d'octobre 1694 en traduction Latine et amplifiée de manière à contenir encore la réfutation des phrases ajoutées dont il est question dans la note pré- cédente. 7) En effet toute la ;,dificulté” consistait en ce que l’;analyste anonyme” n’avait pu réussir à vérifier l'égalité de deux formes algébriques qui, dans le cas particulier traité plus spéciale- ment par de l’Hospital (DC—2 AD; voir la figure de la note 20 de la Lettre N°. 2819), devaient représenter toutes les deux la soustangente de la courbe de Bernoulli. 8) Lisez: CT ou C4. 9) Au début de l’article des , Acta” de mai 1694 intitulé : ,De motu musculorum meditationes Mathematicae, communicatae a Joh. Bernoullio Basil. Med. Doctore””, où il détermine, en partant de cértainés hypothèses, la dépense en esprits animaux (,,spiritus animales”) nécessaire à soulever au moyen de nos muscles des poids donnés, pour remarquér ensuite que cette dépense n’est nullement proportionnelle à ces poids; ce qui expliquerait pourquoi nous pouvons élever de grands poids, quoique toujours proportionnés à nos forces, sans beaucoup plus de peine que des poids plus petits. 19) Voir la page 203 de l’article cité. Il s’agit probablement de l'édition originale de l’ouvrage cité dans la note 7 de la Lettre N°. 1146 CORRESPONDANCE. 1694. 651 thematiques à ces chofes. il cite fouuent je ne fcay quelle propofition fondamen- tale de Mons. Varignon. J’ay parcouru autres fois le liure de Mons. Varignon ‘*), mais il ne me paroïfloit point dire des chofes fort nouuelles. Il eft vray qu’elles ont paru telles a bien des gens **). Au refte je me rapporte à mes precedentes et vous fupplie de me faire part de vos penfées fur les points de ces lettres, ou vous n’avés pas encor touché. Je fuis tousjours perfuadé de plus en plus qu’il n’y a point d’Atomes ny vuide, et que la moindre particelle de la matiere contient veritablement un monde infini de cre- atures differentes. Je vous ay fupplié un jour *3) de me faire part de ce que Mr. Neuton vous a communiqué fur les couleurs, fi cela vous eft permis. Je prends la liberté de vous en faire reffouuenir. Je fuis dans la curiofité d'apprendre s’il y aura quelque chofe de confiderable dans ce que M. Wallis vient de donner de Mr. Neuton :#). Je fuis avec zele. MoNSIEUR Votre trefhumble et trefobeiflant feruiteur LEIBNrz. Hanover ce 29 Juin 1694 '*). - 11) L'ouvrage mentionné dan la note 9 dé la Lettre N°. 2470. 12) Voir p. e. les critiques très élogieuses qui avaient paru dans l’Histoire des ouvrages des Sçavans” d'octobre 1687, dans le ;, Journal des Sçavans” du 2 février 1688, les , Nouvelles de la République des Lettres” de mars 1688 et les ,, Acta eruditorum” d’août 1688, commeaussi la manière dont l’ouvrage, même avant de paraître, fut annoncé dans les ,, Nouvelles” de mai 1687. 13) Voir la Lettre N°. 2727 au bas de la page 220. 14) Comparez le postscriptum de la Lettre N°. 2863. 15) Sur la troisième page de cette lettre Chr. Huygens a noté cette chanson : f DAS TU ns 4 que pour un coeur tendre et fidelle l'absence est un cruel tourment Tous les meaux sont rassemblés en elle mais que surtout elle est cruelle pour un heureux amant. 652 CORRESPONDANCE, 1694. N° 2867. CoNsTANTYN HuycEens à CHRisTIAAN HUYGENS 12 JUILLET 1694. La lettre et la copie se trouvent à Leiden, coll. Huygens. La lettre fait suite au No. 2865. Au Camp de Roofbeeck le 12. Juill. 1694. Voftre Receveur Cools eft icy au Camp depuis un jour ou deux, je l’ay aflifté en ce que j'ay pù et lui ai fait auoir des Sauvegardes, fans qu’il luy en a coufté. Je luy ay parle de l’argent qu’il a pour vous et il m’a dit qu’il me le fera auoir dans un jour ou deux, adjoutant qu’il y a trois cent francs au lieu des 200 dont vous parlez. Je voudrois enfuitte vous le pouvoir faire tenir en Hollande fans l’expofer au danger des larrons des batailles etc., mais je n'en fcay pas encore le moyen. Cependant nous pourrions bien marcher d’icy dans un jour ou deux. Les enne- mys ont fait une petite marche et font prefentement campés entre Bofchloon et Tongres a 3. lieues de Maftricht, qu’ils menacent de bombarder, et ainfi il fe pourroit qu’on en viendroit aux coups, dans peu de temps. Adieu il fait icy depuis hier au matin le plus vilain temps du monde. Mijn Heer Mijn Heer CHrisTIAAN HUYGENS, Heer van Zeelhem. CORRESPONDANCE. 1694. 653 N° 2868. CHRISTIAAN HuyGEns à J. P. Bicnon. 15 JUILLET 1694. La minute et la copie se trouvent à Leiden, coll. Huygens. La lettre est la réponse à une lettre que nous ne connaissons pas. A Mr. l'Abbé BicNon. du 15 Juill. 94. La lettre par la quelle vous me fiftes l'honneur Monfieur de refpondre a mes deux premieres ), eftoit pleine d’expreflions fi obligeantes et me dit des chofes fi au deffus de ce que je merite, que j’eus de la confufion en la lifant. Je differay de vous en remercier, croiant dans peu vous pouvoir donner des nouvelles de l’ar- rivée des trois volumes que vous m’aviez fait la grace de me procurer ?). Mais par je ne fcai quels accidents, il s’eft ecoulè bien du temps depuis, et il n’y a que peu de jours que je les ai reçus, non fans de nouveaux fentiments de la reconnois- fance que j’ay tafchè de vous en tefmoigner cy devant. Je trouve dans ces livres bien de la matiere foit pour m’exercer, foit pour contenter ma curiofitè, et fur tout pour admirer la diligence et le fcavoir de ceux qui ont le plus contribuè a ce qu’ils contiennent, et encore de ceux qui ont travaillè, a les mettre en l’eftat ou ils font. J efpere que vous continuerez Monfieur de tenir la main a ce que nous en puiflions voir encore d’autres que l’on promet dans ceux cy. Vous ne fcauriez rien faire de mieux pour l’honneur de l’Academie ni qui perpétue plus avantageu- fement la gloire du Roy dans les fiecles a venir. L’on m’a envoiè il y a quelques mois, de voftre part la Reponse de Mr. Renau a ma Remarque fur fon Livre®), a la quelle j’aurois repliquè pluftoft, fans une interruption a ma fantè, qui m’a fait pour quelque temps quiter les eftudes, et qui m’oblige encore deles moderer. J’ay eu de la peine, a rendre courte cette Replique, en m’abftenant d'examiner tout du long les raifonnements de mon antagonifte, parce que je voiois que noftre dis- pute en feroit devenue trop embaraffée, et difficile a juger. J’ay cru que c’eftoit affez de bien prouver et efclaircir le fondement de mon objection, afin d’en facili- ter l’intelligence a ceux qui voudront prendre connoiffance de noftre different, la matiere eftant afflez obfcure. Je ne m’eftonne point, que Mr. Renau, parmi beaucoup d’occupations, n’ait pas pu examiner avec l’attention neceffaire les 1) Les Lettres Nos. 2831 et 2836. ?) Voir la Lettre N°. 2837. 3) Voir la pièce N°. 2848. 654 CORRESPONDANCE. 1694. difficultez que j’avois propofées. Je fouhaite qu’il puiffe avec plus de loifir con- fiderer le contenu de ces trois feuillets, dont je vous fupplie Monfieur, de vouloir luy faire part*}), et je ne doute prefque point, avec l’efprit et la fcience qu’il a, qu’il ne reconnoifle de luy mefme, ce qui eft de la verité. Je vous demande la continuation de vos bonnes graces, et demeure avec refpeét. MONSIEUR Voftre &c. _ N° 2860. CHRISTIAAN HuycEns à H. BasNaGE DE BEAUVAL, rédaéteur de l’Hiftoire des Ouvrages des Scavans. [JUIN 16941”). Appendice au No. 2868. Une partie de la minute”) et la copie se trouvent à Leiden, coll. Huygens. La pièce a été publiée dans l'Histoire des Ouvrages des Scavans pour les mois de Mars, Avril & Mai 1694, sous le mois d'Avril, p. 355. Une traduction latine à paru dans les Opera Varia, p. 305. La pièce est la réponse au No. 2848. , . Renau y répondit par le No: 2881. Replique de Mr. HuGuEns à la Reponfe de Mr. RENAU, Ingenieur General de la Marine en France. Ce que j’avois avancé dans ma Remarque, inferée dans la Bibliotheque Uni- verfelle du mois de Sept. 1693. 3) touchant l’erreur capitale qui eft dans le Traité de la Manoeuvre des Vaiffeaux de M. Renau, me fembloit affez clair; & des per- *) Voir l’Appendice à cette lettre, notre N°. 2869. 1) Quoique la pièce parût dans l’Histoire des Ouvrages des Sçavans, sous le mois d'avril 1694, il est certain qu’elle n’était pas encore achevée le 29 mai 1694, puisque sous cette date Huy- gens demanda l'opinion de Leïbniz sur le sujet de sa polémique avec Renau ,,pour l’alleguer dans la replique que je vay y faire” c’est-à-dire à la ,, Réponse” de Renau (voir la Lettre N°. 2854 à la page 611). La pièce a donc été antidatée par le Rédacteur de l’,, Histoire”. ?) Elle occupe la page 107 du Livre J. Elle a quelques variantes de peu d’importance, dont nous indiquerons toutefois quelques-unes dans les notes. 3) Voir la pièce N°. 2826. , CORRESPONDANCE. 1694. 655 fonnes tres-verfées #) dans les Mathematiques, avoient jugé qu’il étoit fans replique. C’eft pourquoy je n’avois pas cru qu’il {y voudroit faire reponfe pour foutenir fa Theorie. Cependant il paroît par ce qu’il a publié 5). qu’il ne s’eft pa renu pour convaincu. Et comme il fe fert de raifonnemens qui pourroient donner quelque peine à deméler à ceux qui n’ont pas affez penetré ces matieres, je me trouve obligé de montrer encore avec plus d’evidence que je n’ai fait, que fa Theorie ne peut être fourenuë qu’en renverfant les principes de la Mechanique établis dès long tems, & dont il n’oferoit ni ne voudroit nier la verité, Pour ne pas allonger inutilement nôtre difpute, en m’arrétant à plufieurs rai- fons que Mr. Renau m’oppofe, je montrerai feulement que comme j’avois remar- qué, ils’eft mepris dans la propofition fur laquelle roule toute fa Theorie; après quoi j'indiqueray en peu de mots ce qui a pu donner occafion à fon erreur. Pour faire voir de quoi il eft queftion, je repete ici les mêmes chofes pour la plôpart qui etoient fuppofées dans nos figures), R Z favoir que HM eft la quille d’un vaiffeau, fa vergue ou voile CD, AB la ligne du vent qui X pouffe la voile, BG eft perpendiculaire fur CD, GK perpendiculaire fur BK, qui eft la quille prolongée. Je prolonge aufli GB en Z, & MH en X. Mr. Renau dit dans fa Theorie, chap. IT art. 1.7) que fi on fuppofe que le vaifleau fend l’eau de tous côtez avec la même facilité qu’avec fa pointe, il fera pouflé par le vent en forte qu’il avancera felon la droite BG, ce qui eft vrai. Mais fi la pofition de fa quille ne lui permet que G d'avancer dans la droite BK; ou bien fi une corde BR, perpendiculaire fur BK, & dont la longueur eft cenfée infinie, l’oblige de tenir cette route de BK; il foutient que la voile & le vent demeurant comme auparavant, le vaiffeau parcourra l’efpace BK, dans le même tems qu’il auroit parcouru BG; & moi je disqu’il parcourra l’efpace BS,moyen proportionel entre BK & BG: Voilà le grand point *) de nôtre difpute. 4) De l’Hospital était du nombre (voir la Lettre N°. 2838 au bas de la page 564), de la Hire aussi (voir la Lettre N°. 2859 à la page 624). La réponse de Leibniz à la question mention- née dans la note 1 de la présente pièce était moins décisive; voir la Letttre N°. 2863, à la page 642. 5) La pièce N°. 2848. 5) Voir la figure de la page 526 et consultez, sur la figure de Renau, la note 4 de la pièce N°. 2848. 7) Voir, sur le contenu de cet article, les pages 525 et 526 de la pièce N°. 2826. #) La minute a ,,le point essentiel”. 656 CORRESPONDANCE. 1694. Dans la preuve qu’il apporte dans fa Reponfe?), au lieu du vent AB, qui rombe obliquement fur la voile CD, il fubftitue *°) le vent ZB, qui la frappe per- pendiculairement; ce qui eft permis, & il n’en arrive aucun changement à nôtre queftion; étant certain que de quelque fens que le vent tombe fur cette voile CD, il fait effort pour faire aller le vaiffeau par la route BG, perpendiculaire à CD. Et il ne fert de rien du cout de confiderer, comme fait Mr. Renau, les differentes determinations dans le mouvement du vent **). Il trouve en fuite par fon raifon- nement, que la force avec laquelle le vaiffeau eft pouffé par le vent fuivant BG par le moyen de la voile, eft à la force avec laquelle il eft pouffé par le même vent, & par le moyen de la même voile, fuivant BK, comme le quarré de BG au quarré de BK; et non pas comme BG à BK, ainfi que je pretens; &-c’eft de quoy tout depend ?)}. Pour favoir qui de nous deux a raifon, imaginons nous que le plan où eft notre figure foit dreffé fur l’horifon, en forte que la ligne BG lui foit perpendiculaire, & que RBX foit une corde attachée en R, à laquelle en B eft noué & fufpendu le poids Q. Concevons de plus que la partie BX, perpendiculaire à RB, foit retenuë par la main en X. Il eft clair que ceci reprefente exactement le cas du vaiffeau dontil eft queftion. Car au lieu du vent, qui en donnant contre la voile CD, le pouffe felon BG, nous avons le poids Q, qui tire le point B felon BG: & la corde, cenfée infiniment longue, BR, qui faifoit que le vaiffeau ne pouvoit avancer que felon BK, fait ici le même effet à l’égard du noeud B. Donc comme la force avec laquelle le vent pouffe le vaiffeau felon BG; .eft à la force dont il le pouffe felon BK, ainfi eft le poids Q à la pefanteur que fent la main en X, en empêchant le noeud B de fe mouvoir felon BK. Car cette pefanteur eft égale à la force dont ce noeud eft tiré felon BK. Or GK étant parallele a BR, ileft certain par les regles très-connues de la Mechanique, que le poids Q eft à celui qui retient la corde BX, ou bien à la pefanteur que fent la main en X, comme BG à BK. Donc aufli la force avec laquelle le vent pouffe le vaiffeau felon BG, eft à la force dont il eft pouffé felon BK, comme BG à BK; & non pas comme les quarrez de ces lignes, comme veut Mr. Renau 3). Suppofons maintenant que le vaiffeau HM, fendant l’eau avec égale facilité de rous cotez, & étant pouffé par le vent ZB ou AB, (car il n'importe) aille dans un certain tems par BG, la voile étant en CD; & qu’on veuille favoir combien il 9) Aux pages 591 et 592 de la pièce N°. 2848. 19) La minute a ,, il emploie”. 3 11) La minute ajoute la phrase suivante, biffée depuis : ,,Cela ne sert qu’à l’embrouiller et à le faire tomber d’une erreur en l’autre lesquelles je ne prendray pas la peine de detailler, mais je montreray que ce qu’il en conclud est faux”. 1?) Ici finit la minute mentionnée dans la note 2. 13) Comparez le second alinéa de la page 591 de la pièce N°. 2848. CORRESPONDANCE. 1694. 657 avancera felon BK, dans un tems égal avec le même vent, & la même pofition de la voile. Je dis que puis que les vitefles du vaiffeau dans ces deux routes, doivent être telles, que les refiftances que lui fait l’eau foient comme les forces dont il eft pouffé, (car ce n’eft qu’alors qu’il avance avec un mouvement égal) & que ces refiftances font comme les quarrez des vireffes; il faut donc que les quarrez des viteffes foient comme les forces, c’eft à dire comme GB à BK. Et par conféquent que les viteffes foient comme GB à BS; puis que les quarrez de GB, BS, font comme les lignes GB à BK par la conftruétion. J’ai donc prouvé par les principes ordinaires de la Mechanique, que ce que j’avois avancé dans ma Remarque eft veritable. Il feroit fuperflu d’examiner les autres argumens de Mr. Renau, par leiquels il veut confirmer cette même propofition que je viens de refuter. Je diray feule- ment que l’origine de l’erreur qui fe trouve dans tout cela, vient principalement de ce que dans l’art. 7 du I. chap. ‘#) de fa Theorie, il conclut gue es forces rela- tives d'une matiere fluide à des fuperficies diver[ement inclinées, [ont entre elles comme les quarrez des finus de leurs angles d'incidence, fans fe fouvenir qu’il devoit dire, 4 des fuperficies égales diver[ement inclinées: lequel mots d'égales il a encore oublié un peu devant dans le même article pag. 7. Si on le fupplée, alors la demonttration, & ce qu’elle conclut font comme il faut, & dans les mêmes principes du P. Pardies dans l’art. 118 de fes Forces mouvantes’5), qui font veri- tables/Seulement ce Pere s’eft trompé dans ce même article, parce qu’il n’a pas fu, où qu'il ne s’eft pas fouvenu, que les refiftances de l’eau contre un corps font comme les quarrez des viceffes de ce corps; car c’eft pour cela que pag. 225. ilfait af à au en rai[on doublée de bo à mp, au lieu qu’il devoit faire fimplement 4f à #4 comme #0 à mp. Pour ce qui eft de la plus avantageufe pofition du Gouvernail, je dis que Mr. Renau fe condamne à tort foi-même, & que voulant corriger fa premiere re- cherche, il raifonne mal pag. 24. de fa Repoñté 19); parce qu’il s’agit uniquement de favoir dans quelle fituation du Gouvernail l’eau le pouffera avec le plus de force, felon la perpendiculaire à la quille; car de la s’enfuivra neceffairement le 14) Voici l’article en question : ,, S'il y avoit donc un mesme nombre de petits corps d’une ma- tiere fluide, qui frapassent des superficies diversement inclinées; les forces relatives de cette matière, à ces superficies, seroient entr’elles, dans la mesme proportion que celles d’un seul corps; c’est à dire, comme les sinus de leurs Angles d'incidence. Mais il y a un plus grand nombre de ces corps qui frappent les superficies qui sont moins inclinées, que les superficies que le sont plus, & cela encore dans la proportion des sinus des Angles d'incidence; Donc ces forces relatives seront éntr’elles, en raison doublée des sinus de leurs Angles d'incidence, ou, ce qui est la me$me chose, comme les quarrez de ces sinus sont entr’eux”. Après quoi Renau fait suivre la ,Demonstration”” qui conclut par la phrase, citée par Huygens, 15) Consultez, sur cet article 118, la note 10 de la pièce N°. 2848. 16) Voir les pages 594 et 595 de la pièce N°. 2848. Œuvres. T. X. 83 658 CORRESPONDANCE. 1694. plus de viteffe du derriere du vaifleau dans cette perpendiculaire. Il verra aufli qu'il fe trompe quand il veut que pag. 25. de fa Theorie de la Manoeuvre des vais- feaux, on life viteffe au lieu de force 7). Je remarque au refte qué toute cette Theorie, comme il l’avoit donnée, feroit vraye, fi les refiftances de l’eau etoient comme les viteffes du vaiffeau, au lieu qu’elles font comme les quarrez de ces vitefles. ee N° 2870. CHRISTIAAN HuyGENs à PH. DE LA HIRE. 15 JUILLET 1694. Le sommaire et sa copie se trouvent à Leiden, coll. Huygens. La lettre est la réponse à deux lettres que nous ne connaissons pas*). Sommaire : du mefme 13 Juill. 94. A Mon.r de la Hire que je dois response a fes 2 lettres, l’une qu'a apporte Mr. Steigerthal?), l’autre qui m'eft venu par Mons.r Pofuël le libraire. Touchant ma controverfe avec M. Renau. qu’il veuille bien l’examiner et particul.t ma Replique *) que j'envoie cy jointe, que fi j Ï ’avois fcu, qu’il avoit examinè le livre de la manoeuvre tout expres et avec ordre, je luy auroïs communiquè mon objeéion devant que de la faire imprimer. Que j'ay la fatisfaétion que M. le marquis de l'Héfpital a approuvè ma Remarque *) et Lg je ne crois pas qu’il change de fentiment. Que j’ay receu les 3 volumes de l’Academie. que j'en re- mercie derechef Mons. l’Abbe Bignon *) en luy envoiant un Exemplaire de ma Replique. que j'admire la diligence et le travail fur tout de Mr. Caflini dans ce Recueil ®), et ne fcay pas com- ment il peut fuffire et pour les obfervations et pour les meditations que j'y trouve de luy.que j'admirois de mefme la 1.e. partie de vos Tables Aftronom.® 7) que je fouhaite de voir fui- vies par la 2.e. qu'il me femble que Mr. l’Abbè Epagnol m'a efcrit *) qu'il luy avoit remis les 2 livres de Relations phyfiques et mathematiques des P. P. Jefuites envoyées de la Chine”), que j’ay donne commiflion à Leers de me les acheter. que fi ces nouvelles obfervations en- voiees de mefme pais s’impriment, il veuille dire a Leers qu’il me les apporte aufli. que je n’ay garde de luy envoier mon obferv."" de l’Eclipfe derniere du Soleil *). que je n’en obfervay jamais qu’en afiftant a d’autres. que je n’ay pas feulement d’inftrument pour obferver des hau teurs, ni que je ne m’en fervirois pas a caufe de ma fantè peu ferme. qu’il demande au mar quis de l’Hofpital s’il a receu ma lettre du 16.< Juin. Je fuis veritablement, et avec! une par faite eftime &c. - 17) Comparez la page 594 de la pièce N°. 2848. 1). Consultez, sur l’une d’elles, la Lettre N°. 2859 à la page 624. ?) Voir la Lettre N°. 2837 vers la fin. 3) La pièce N°. 2869, 4) Voir la Lettre N°. 2838, à la page 564. 5) Voirla Lettre N°. 2868. 5) Celui cité dans la Lettre N°. 2432, note 14 7) Voir la Lettre N°. 2658, note 13. . 5) Nous ne connaissons pascette lettre. 9) Probablement l’ouvrage cité dans la note 10 de la Lettre N°, 2455. 1°) Celle du 22 juin. CORRESPONDANCE. 1694: 659 N° 2871. G. W. LeiBniz à CHRISTIAAN HUYGENS. 27 JUILLET 1694. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle a été vubliée par PJ. Uylenbroek*) et C. I. Gerhardt*). Elle: fait suite au No. 2864. Chr. Huygens: y.répondit par le No. 2873. MONSIEUR Voicy un fragment. des A@tes de Leipzig du mois de juin 3), que vous ne ferez peut eftre point faché de voir de bonne heure. Et j’en fouhaitte voftre jugement, auffi bien que. fur les: points de mes lettres precedentes, Comme je fuis comme invité de dire quelque chofe fur ce difcours de Mons. le profeffeur jacques Ber- noulli #) je ne fcaurois me difpenfer d'envoyer quelque chofe au pluftoft à Leip- zigs). Je croy qu’il eft tousjours vray que les tenfions font proportionelles aux forces ‘), mais qu’il ne faut pas tousjours prendre fes [fic] tenfions dans le change- 172 ci Là 2 APR IE EEONTI ter: 1) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, p. 192. ?) Leibnizens Mathematische Schriften, Band II, p. 187, et Briefwechsel, p. 741. 3) Le fragment contenait sans doute les deux articles de Jacques Bernoulli qui se suivent dans ce numéro et dont nous avons cité le second dans la note 22 de la Lettre N°.2841, tandis que le premier porte letitre:,,Jac. B. Curvatura laminae elasticae. Ejus Identitas cum Curvatura Lintei a pondere inclusi fluidi expansi. Radii Circulorum Osculantium in terminis simpli- # cissimisexhibiti, una cum novis quibusdam Theorematis huc pertinentibus, &c.”? 4). -Alusion au début du second article de Jacques Bernoulli, où on lit :,,Felicitatem inventi praecedentis” [c’est-à-dire de la construction de la courbe élastique dont la rectification va servir à la solution du problème dont il va traiter] ,,;commendare potest solutio elegantissimi Problematis Leibnitiani, de invenienda Linea, per quam descendens grave aequaliter aequalibus temporibus 4 dato puncto recedat, vel ad illud accedat : quod laudatissimo suo Auctori ita pla- cuit, ut non tantum ad ejus tentamen Amicos pariter & Adversarios aliquoties in Æezis provo- carit (vid. Arno 1689, Apr. p.198, & 1690. Maj. p. 229, Jul. p. 360) sed & ipse quoque strenue in illo desudarit, testibus nonnullis Curvae proprietatibus, quas Ga//orum Diario inseri curavit, ut ex relatione Frarris habes, qui tamen illas nominare mihi non potuit”. -Ajoutons que ce renseignement fourni par Jean Bernoulli était erroné. Leibniz n’avait rien écrit sur la courbe paracentrique en dehors des articles cités que nous avons déjà mentionnés au début de la note 22 de la Lettre: N°.:2841. 5), Voir dans les ,, Acta” d’août 1694, l’article de Leibniz sur la courbe isochrone paracentrique, que nous avons cité dans la note 22 de la Lettre N°..2841 et qui commence par la phrase: #À celeberrimo Viro Jac. Bernoullio, Matheseos apud Basileensis Professore, in Æctis mensis Junii nuperi velut invitatus; praesertim circa problema a me olim, cum nondum nostra cal- culandi methodus frequentari coepisset, propositum; responsionem defugere nolui; tametsi & valetudo vacillans & aliaemultiplices causae; ex CuSaré me fortasse possent”. ON Leibniz ici fait allusion au passage suivant, qu’on trouve dans le premier des deux articles de 660 CORRESPONDANCE, 1694. ment de la longitude du corps, puifqu’elles dependent plus toft des changemens du contenu folide; ainfi la figure d’une lame elaftique ne me paroiffant pas affez arreftée, j'avois efté d’autant moins porté à l’examiner. Les theoremes fur les cercles ofculateurs (dont les centres font dans vos courbes generatrices par evo- lution) que M. le profeffeur Bernoulli confidere comme des clefs7), ne me paroiflent point difficiles à crouuer et fans aucune infpe@tion de la figure, par le feul calcul des differences on en trouve, et des plus generaux; non feulement pour la grandeur du rayon de ce cercle, mais encor pour la pofition du centre car lors qu’on veut chercher la generatrice evolutive d’une ligne qui n’eft donnée que differentiellement, le calcul meme ordonne qu’on paffe aux differentio-diffe- rentielles, et quand on n’auroït pas ces theoremes on les employe virtuellement et fans y penfer. je remarque un peu d’emulation entre les deux freres, mais elle eft louable et leur fert d’eguillon. Je n’entreray point dans l’examen des Elaftiques et de leur proprietés. Car je n’ofe gueres m’enfoncer dans des nouueäux travaux qui demandent trop d’attachement, furtout quand la chofe a efté faire; car de pouuoir dire et nos hoc poteramus, ce n’eft pas une raifon fuffisante pour moy qui dois menager mon temps. Je n’ay pu m’empefcher de fourire un peu, quand il dit que pour me faire honneur, il veut appeller les courbes où grandeurs ordi- naires, Algebraiques *). Carje ne voy pas quel honneur m’en revienne. Je Youdro}s plus coft qu'il n’appellât pas les autres Mecaniques. Jacques Bernoulli mentionnés dans la note 3 :,, Vulgaris (ut modo dixi) est hypothesis, zx/en- siones viribus tendentibus proportionales esse : qua & usus olim Celeberrimus Dn. Leibnitius in acutissima sua lucubratione de Resistentia solidorum; & ipsemet ego in praesente materia, prius quam generalem Problematis constructionem adinvenissem. Quapropter operae prae- tium existimo, naturam & proprietates Curvae nostrae in hac hypothesi paulo specialius ex- ponere : quanquam pro ipsa hypotheseos hujus, sicut & pro cujusvisalterius, veritate multum militare nolim, persuasum potius habens, nullam constantem tensionum legem in natura observari, sed eam pro diversa corporum textura diversam existere; id quod experimenta tum nostra tum aliorum abunde confirmare videntur, quorum plurima praelaudatur #wrhor industrius” [Franciscus Tertius de Lanis] ,, Magisterii naturae & artis, loco cit.” [ Tom. 2. lib. 7] ,;recenset”. L'article mentionné de Leïbniz était celui qui parut dans les ,, Acta” de juillet 1684 sous le titre : , Demonstrationes novae de resistentia Solidorum, autore G. G. L.” 7) Ils’agit de diverses expressions analytiques très élégantes pour le rayon de courbure en coor- données cartésiennes et polaires au moyen des différentielles du second ordre. On les ren- contre aux pages 264 et 265 de l’article cité. #) A la page 269 de l’article cité, où Bernoulli, après avoir mentionné le cas qu’une courbe serait ,ex numero Geometrarum””, ajoute encore: ,,h.e. Algebraicarum (sicenimillas posthac appellabo in honorem ’iri celeberrimi, qui hoc nomine dessignatas cupit”?. Comme on le sait, l'expression ,,courbe algébrique” s’est maintenue avec le sens précis, que l’on y trouve attaché par Jacques Bernoulli. CORRESPONDANCE. 1694: 661 Il dit p. 271, que la maniere de refoudre la Catenaire par des points (qui ne demandent qu’une feule grandeur conftante tranfcendente, la quelle donnée, on n’a plus befoin des quadratures) eft veritablement la plus parfaite qu’on puiffe employer pour les tranfcendentes ?), mais, que le mal eft qu’elle n’eft pas univer- felle, et n’a lieu qu’a l’egard de celles qui dependent de la quadrature de l’'Hyper- bole, et ne pouuant eftre employée à fon avis pour ce qui depend de la quadrature du cercle, ny pour des quadratures plus compofées. Mais je ne fuis pas en cela de fon fentiment, car la meme maniere reuflic aufli pour la quadrature du cercle; fe fervant de la feétion des angles, comme pour l’hyperbole on fe fert de la feétion des raifons. Et il y a une infinité d’autres conftruétions femblables qui pourront fervir pour d’autres lignes tranfcendentes. I donne aufli p.271. 272. un indice qui doit fervir pour connoiftre fi une qua- drature fe peut reduire a celle de l’Hyperbole, mais cet indice n’eft point univerfel, et on peut donner une infinité d’inftances, ou la reduétion reuflit, fans que cet in- dice ait lieu *°). Il prend les feries de pag. 274 pour nouuelles, mais Mons. Newton et moy, nous les avons employées il y a long temps”). Enfin je viens à la conftruétion que M. Bernoulli donne de mon probleme de la ligne ifochrone paracentrique, comme je l’appelle, ou le mobile pefant s’ap- proche ou s’eloigne egalement d’un même point. Cela m’oblige de reprendre mes vieilles medications la deflus, que j’auois prefque oubliées ou perdues. Il a trouué cette folution par un heureux hazard. Je donneray cependant ma Methode **) qui 9) En consultant la page citée on voit qu'il s’agit de la méthode de Leibniz ,construendi Cate- nariam ope solius Logarithmicae absque suppositione quadraturae”. Comparez la Lettre N°. 2688 aux pages 110€t 111. 19°) En effet, cet indice dont Jacques Bernoulli voudrait qu’on se serve pour découvrir si une courbe ,,mécanique”, donnée par son équation différentielle, peut être construite, ou non, au moyen des logarithmes, n’était applicable qu’au cas où cette équation se laissait réduire à la forme 4y= f(x) dx, et même alors il ne consistait, exprimé en langage moderne, que dans la recherche d’une fonction algébrique g(x), choisie de telle manière qu'on aurait g’(x): :p(x)= f(x); et pour trouver cette fonction Bernoulli n'indique d’autre moyen que celui de chercher une courbe y— 9 (x) dont la soustangente serait égale à f(x)". 11) Les séries en question ne représentent en effet que le développement, au moyen de la formule I I du binôme, des intégrales Î x (1—x4) "À dx et Î (1—x4)T3 4x, méthode connue depuis o LJ longtemps par Leibniz et par Newton, qui la publia par l'intermédiaire de Wallis dans les Chapitres 85 et 91 de l'ouvrage de 1685 cité dans la note 3 de la Lettre N°. 2660. Consultez encore la note 6 de la Lettre N°.2723. 72) Voir l’article cité dans la note 5. 662 CORRESPONDANCE: 1694. paroiftra peut eftre plus analytique, et moins dependante d’un fecours exterieur. Je l’avois reduite autresfois #3) à la quadrature d’une figure, dont l’abfciffeeftant ai Fran conftruire la courbe denandée non pas tant par une quadrature, que par l’exten- fion ou evolution d’une autre courbe, je l’ay aufli voulu faire à fon exemple. La difference qu’il y a entre nous la deffus eft qu’il fe fert de la reétification d’une courbe qui eft elle même deja tranfcendente, fcauoir de fon Elaftique, et qu’ainfi fa conftruétion eft tranfcendente du fecond genre, au lieu que me je fers feule- ment de la reétification d’une courbe ordinaire dont je donne la conftruétion par la Geometrie commune. Au refte je me rapporte à mes precedentes, fur lesquelles je vous fupplie de repaffer et de me donner les lumieres que j”y fouhaitte à legard de plufieurs points qui ont efté touchés entre nous. En vous fouhaittant une LA faite fanté je fuis avec zele x, l’ordonnée eft Mais Mons. Bernoulli ayant taché avec raifon de MONSIEUR Voftre tref humble et tres obeiffant ferviteur LErBNIz. Hanover ce < 7; Juillet 1694. N° 2872. CHRISTIAAN HuyGEns à CoNsTANTYN HuycEns, frère. 27 JUILLET 1694. La lettre et la copie se trouvent à Leiden, coll. Huygens. La lettre est la réponse aux Nos. 2865 et 2867. A la Hofwyck ce 27 Jul. 1694. Jay receu vos lettres du 8e et 12e de ce mois. Je vous rends graces de la Sauve- garde pour Zeelhem. Pour ces 300 # que Cools avoit promis de vous appor- ter, je fouhaite qu’il l’aura fait, mais j’en doute, par ce que je connois le per- fonnage. En cas qu’il y ait manquè. je vous prie de luy tefmoigner que vous 73) Voir la Lettre N°. 2841, à la page 575. CORRESPONDANCE. 1694. 663 en eftes mal fatisfaic lors qu’il s’adreffera encore à vous. Je viens aufli de luy en efcrire. Je me trouve mieux depuis quelque temps pour ce qui eft de la ceffation du pouls *), et j’ay beaucoup avancè dans 3 ou 4 jours mon Traitè des Planetes. Quand ce mal me venoit je ne fentois qu’une petite preflion a l’endroit du coeur, et taftant alors le pouls, je trouvais qu’il manquoit par fois d’un coup, et puis reprenoit d’un mouvement fort irregulier. I faloit alors me lever et promener et quiter toute meditation. Le medecin Lieberghe *) me dit, que cela venoit de quelque preflion vers l’orifice de l’eftomac, et en effet je trouvay qu’il en mon- toit des vents, et que cela me foulageoit. Pour remede il me confeilloit d’abftenir ab alimentis crudioribus et leguminibus. mais je crois pourtant que le rafraichiffe- ment du fang qui vient de manger des cerifes et des grofeilles rouges m’a fait du bien. Depuis que vous eftes decampè avec l’armée, on eft icy dans une grande attente d’une bataille. Pour moy je fouhaite qu’il n’en arrive rien, et je fuis bien aise que les Enemis, a ce qu’il femble, ont affez grande opinion des nos forces pour ne point chercher le combat. On parle aufli de paix, et on veut que le voiage que Mr. de Dyckvelt 3) eft venu faire fignifie quelque chofe a cet efgard. La perte qu’a fait Mr. Citters eft terrible #), et ce n’eft pas fans fraieur que je penfe que deux fois l’an vous eftes obligé de paffer cette mefme mer et le Roy aufi. Le pacquet de livres dont Mad.e voftre femme vous a efcrit eftoient ceux que j’attendois il y a longtemps de Paris, et dont on m’a bien voulu faire prefent comme aiant eftè de l’Academie des Sciences, et ayant contribuè quelques traitez que ces livres comprennent 5). Vous en achetaftes 2 Volumes de Van Bulderen ) peu devant noftre depart pour Angleterre, et le 3me qui vous manque, fi je ne me trompe, eft celuy, qui contient quelques Autheurs grecs des Ta@tiques et Hydrauliques ?), que l’on m'a envoié avec les 2 autres. En recompence je defabufe Mrs les Francois pour la feconde fois de leur fauffe Theorie de la manoeuvre des vaiffeaux, par une Replique *) que j’ay inferée dans l’Hiftoire des Ouvrages des Scavans pour confirmer la Remarque que 1) Comparez la Lettre N°. 2855, vers la fin. ?) Voir le Lettre N°. 955, note 2. 3) Everard van Weede, seigneur de Dijkveld; voir la Lettre N°. 2138, note 14. 4) D’après le Journal de Constantyn, frère, 15 juillet 1694, Citters perdit un fils et deux filles dans un naufrage, où périrent 300 personnes. Voir, sur Aernout van Citters, la Lettre N°. 2215, note 6. 5) Voir la Lettre N°: 2435, note x. 5) Henry van Bulderen, libraire-éditeur à la Haye. 7) L'ouvrage cité dans la Lettre N°. 2841, note 20. #) La pièce N°. 2869. 664 CORRESPONDANCE. 1694. j'avois publiée auparavant fur le livre du Sr. Renau, Ingenieur General de la Marine, qui m’avoit envoiè une Réponfe imprimée. Mijn Heer Mijn Heer van Zuylichem Secretaris van Sijn Koninglijcke Matj.t van Engelandt In ’t Legher. a N° 2873. CuaristTiAAN HuycEns à G. W. LEIBNiz. 24 AOÛT 1694. La minute”) se trouve à Leiden, coll. Huygens. La minute a été publiée par P. J. Uylenbroek®), la lettre par C. I. Gerhardt*). Le lettre est la réponse aux Nos. 2863, 2866 et 2871. G. W. Leibniz y répondit par le No. 2876. Sommaire : *) Que j'avois le mois de Juin. Je voudrois un exemple des differentiodifferentieles. de la valeur je doute. les 2 fautesaux Aéta. Extrait de Wallis. Ma replique a Renau. Comment il s'eft fouvenu de mon ancien fentiment fur le mouvt. circulaire, que je l’ay corrigè. De long- temps rien du Marquis. Bernoulli triomphe et vous brave. vous vous avez attiré [mots illifibles] mais de peu d’utilitè. Peut eftre on peut conftruire plus fimplement. Vous le furpaffez pour la conftruction. il y a tant d’autres cas. Je crois qu’il emploie bien le principe du reflort, en confiderant la courbure en raïfon contraire de la force, quoyque cela fe faffe par condenfation en partie. Refteroit a vous proprie diétus et ces autres cas. Je veux croire qu’il demontre bien fa paracentrique, ce que je ne fcay comment il a pu rencontrer. Je feray fafchè d’emploier tant de temps à ces chofes. La forme du fac eft tres fubtilement trouvée, et il eft admirable que cette identitè de courbes fe rencontre. J'aurois cru n’avoir rien a moins sans reduire aux quadratures du cercle ou de l’hyperbole. toutefois on ne laiflé pas de trouver des proprietes confiderables de ces courbes. Vous pouvez faire mention de mes penfees dans ce que vous envoierez pour les A&a. ferez bien de le reprendre fur l'indice des conftru&ions par l’hyper- bole que je fuis autant pour le cercle en cecy. A la Haye ce 24 Aouft 1694. MONSIEUR J'avois receu les Aëta de Leipfich jufqu’au mois de Juin, il y avoit 8 jours, lors- qu’arriva l’Extrait que vous m'avez fait la faveur de m’envoier 5), dont je ne 1) Elle ne diffère pas sensiblement de la lettre qui se trouve à Hannover. 2) Chr. Hugenïi etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, p. 195. 3) Leiïbnizens Mathematische Schriften, Band IL, p. 189, Briefwechsel, p. 743. Une traduction latine fragmentaire de la lettre parut dans les , Acta Eruditorum” de sep- tembre. Comme elle est incomplète et assez libre, nous la reproduisons, avec les remarques que Leibniz y a ajoutées, comme Appendice à cette lettre. 4) Ce sommaire, biffé par Huygens, probablement à mesure qu’il avait traîté dans sa lettre le sujet indiqué, est à peine lisible. Nous en reproduisons ce que nous avons pu déchiffrer. 5) Avec la Lettre N°. 2871. CORRESPONDANCE. 1694. 665 laiffe pas de vous eftre obligè. Il femble que mefme chez vous ces nouvelles ne fe debitent que bien tard. Je trouve le travail triennal de Mr. Bernoully bien confi- derable, pourvu que tout ce qu’il avance foit vray; aufli s’en glorifie-t-il beau- coup“). Pour le principe du reffort, je crois qu’il l’a bien emploiè, et qu’il eft vray que les raions qui mefurent la courbure font en raifon contraire des forces qui font plier?) le reffort, quoyque, felon moy, ce ne foit pas feulement la furface exterieure qui s’etend mais l’interieure en mefme temps s’accourcit®), l’acier ou matiere pliante fe condenfant d’un coftè et comme rentrant en elle mefme, pen- dant que de l’autre elle fe dilate. Si ce principe n’eftoit pas le veritable et l'unique mais que la ligne AFC?) fuft une courbe dependante d'infinies experiences, je trouverois toute fa recherche fort vague et peu digne qu’on s’y amufaft. Et mefme à cette heure tout ce qu’il a trouvè ne me paroît d’aucune utilitè, mais feulement des exercitations fort belles et fubriles, lors qu’on ne trouve pas de quoy emploier les mathematiques avec plus de fruit. C’eft une etrange fuppofition de prendre les quadratures ‘de toute courbe 5) Allusion au début du premier des articles mentionnés dans la note 3 de la Lettre N°. 2871, où il dit:,,Post triennale silentium promissi tandem fidem libero, sed ita, ut moram quam Lector alias inique ferre posset, nonnullo foenore compensum, dum Elaterum curvatorum non in una sola, (ut initio fueram pollicitus), sed generaliter in quacunque Extensionum hypothesi constructam exhibeo; quod primus ni fallor exequor, postquam a multis inutiliter . tentatum Problema fuissét”. 7) La minutea:,,quiagissent a faire plier”. 8) Dans l’article intitulé ,, Jac. B. Explicationes, anñotationes et additiones ad ea, quae in Actis sup. anni de Curva Elastica, Isochrona et Paracentrica, & Velaria, hince inde memorata, & partim controversa leguntur; ubide Linea mediarum directionum aliisque novis”, qui parut dans les , Acta” de déc. 1695, Jacques Bernoulli reconnaît la justesse de cette remarque, qu’il connaissait par la traduction latine, notre N°. 2874, de la présente lettre. En consé- quence il modifie sa construction, en remarquant toutefois qu’il avait emprunté le principe erroné en question à l’article de Leibniz, cité dans la note 6 de la Lettre N°. 2871, tout en doutant de sa justesse : ,,propterea quia quicquid extensionis, etiam compressionis capax esse debet”. 2), Une grande partie de l’article de Bernoulli, mentionné dans la note 6, est consacrée à la construction de la courbe élastique dans la supposition que ce que Bernoulli appelle la »tensio”, au lieu d’être proportionnelle aux ,,vires tendentes” en est une fonction quelconque définie par cette ligne AFC, qu’il nomme : ,, Linea Tensionum”. Ajoutons que, d’après la manière donc la ,, Linea Tensionum”” est employée par Bernoulli dans sa construction, la stensio” représente en chaque point de la courbe élastique la flexion locale, réciproquement proportionnelle au rayon de courbure, et les ,,vires tendentes” le moment, par rapport au même point, de la force fléchissante appliquée à l'extrémité du ressort; d’où il suit que dans le cas de la proportionnalité de la ,,tensio” et des ,,vires tendentes” le rayon de courbure est : Sen raison contraire” du moment ,,des forces qui font plier le ressort”, conformément au principe que Huygens considère comme ,,le véritable et l'unique”. Œuvres. T, X. 84 666 CORRESPONDANCE. 1694. comme eftant données*®), et quand la conftruétion d’un probleme aboutift à cela, hors mis que ce ne foit la quadrature de l’hyperbole ou du cercle, j’aurois cru n’avoir rien fait, par ce que mefme mechaniquement on ne fcauroit rien effeétuer. Il vaut un peu mieux de fuppofer qu’on peut mefurer toute ligne courbe, comme je vois aufli que c’eft voftre fentiment :*).. Je trouve au refte que Mr. Bernoulli n’a determiné que la courbure de l’arc A, où les tangentes des extremitésE;F font ae paralleles, les quelles je confidere conjointes par la corde EF, II refteroit à don- ner la figure du veritable arc B; item de C dont les extrem ités H vont en s’approchant; de D, où elles s’affemblent, et de G où elles paffenc au delàer font retenues par un bafton HI*?), Ce qu’il dit de la voile preffée par une liqueur, qui luy donneroit J la mefme courbure que du reflort C, eft encore bien fubtilement trouvé, s’il eft veritable ‘3). Mais jufques à ce que je voie les demonftrations, je me defie un peu des Theoremes de Mr. Bernoulli, depuis que 19) La construction générale de Bernoulli de la courbe élastique dépend de la quadrature de la »Linea Tensionum” et de celle d’une autre courbe, construite au moyende cette première quadrature; sa construction particulière, pour le cas de la proportionnalité de la ;,tensio”’et des »vires tendentes”, dé celle de la courbe y=—=#x* : Va—st. Dans l’articlecité danslanote8, de décembre 1695, Jacques Bernoulli motive, à la page 543, l’emploi qu’il fait des quadratures. 10) Voir la Lettre N°. 2829 à la page 541 et la Lettre N°. 2871 à la page 662. 12) En réponse à cette remarque, Jacques Bernoulli, dans l’article cité dans lanote 8, renvoie d’abord au Scholium 5 de son premier article sur la courbe élastique (voir la note 3 de la Lettre N°. 2871), où onliten effet: Si directio ponderis vel cujusvis potentiae inflectentis, ad Laminam, ejusve tangentèm in puncto appensionis sit obliqua, nascetur Curva paululum divérsa ab AQR” [l’arc A de la présente lettre], ;,;quam tâmen eadem facilitate determinare © possum. Sed nolo nimium evagari””. Ensuite il montre la quadrature un peu plus compliquée à laquelle le problème se réduit dans cette supposition plus générale au cas de la proportion- nalité de la ,,tensio” aux ,,vires tendentes”. 13) Au passage que Huygens a en vue, Jacques Bernoulli identifie la courbe élastique avec celle formée par une voile remplie de liquide et étendue entre deux droites parallèles. Etil le fait à raison, puisque dans les deux cas le rayon de courbure doît être partout réciproquement proportionnel à la distance à une droîte fixe, c’est-à-dire, dans le cas de la voile, àcelle du niveau du liquide, la pression du liquide étant proportionnelle à cette distance, et dans celui de la courbe élastique à celle dans laquelle agit la force fléchissante. AR TR SP QUE LNE EU T VON, VC DUT OR TU PP ST EU APR CORRESPONDANCE. 1694. 667 j'ay vu qu’il fe trompe et fe retraéte quelques-fois, comme en ce qu’il avoit affurè cy-devant que la voile tendue par le vent fe plioit en arc de cercle, et, en quelques cas, moitié en cercle et moitié en courbe de la chaine ‘#). Je doute encore s’il eft bien vray que la voiliere foit la mefme que € la Funicularia, comme les deux freres le ÂÀ croient maintenant, par ce que je puis demontrer *$) qu’une voile compofée d’un nombre fini de pieces egales et droites, comme ABC, fera courbée autre- FT ment par le vent et autrement par fon poids. Il faudroit donc que dans le nom- bre infini cette difference vint à rien). Il femble que vous teniez pour veritable fa conftruétion de voftre paracen- trique 7), apres en avoir comme je crois **) examinè fa demonftration, ce que je n’ay pas encore fait. C’eft une rencontre affez etrange d’y avoir pu emploier fa courbe du reflort. Mais voftre conftru@ion fera affurement bien meilleure fi vous n’avez befoin que de mefurer une courbe geometrique, ou de laquelle vous fcachiez du moins trouuer les points ?). Lors qu’il dit qu’il n’y a qu’une feule courbe comme Axwy, qui faffe eloigner egalement le mobile du point A apres la 14) Voir la note 33 de la Lettre N°. 2693. Plus tard, dans l’article de mai 1692 (voir la note 25 de la Lettre N°. 2819), Jacques Bernoulli, après avoir annoncé que la partie AB de la voile étaitidentiqueavec la chaînette, avait mitigé un peu son assertion étrange, en admettant qu’il y aurait sur la voile une partie intermédiaire, où elle prendrait une forme qui tiendrait à la fois de la nature de la chaînette et de celle du cercle. Or, dans sa réponse à la présente remarque, il proteste de ne s’être jamais contredit en principe, puisqu'il n’avait admis la forme circulaire que dans l’hypothèse que l’air ne trouverait pas d'occasion de s’échapper de la voile. Toutefois il assure maintenant que de fait la voile prendra la forme de la chaînette. 15) Voir la pièce N°. 2835. 16) À cette remarque Bernoulli répondit, non sans raison : ,Nec moror discrimen, quod fortasse intercederet, si velum ex numero finito rectarum compositum intelligeretur; cum nihil sit frequentius in natura, quam ut in casu infinite parvorum quantitatum differentia evanescat; nec magis hoc mirandum, quam miramur, quod evanescente base trianguli evanescit crurum differentia”’. 17) Comparez la Lettre N°. 2871, à la page 661, et consultez, sur la courbe en Ed : la Lettre N°% 2841 aux pages 574 et 575 et surtout la note 22 de cette lettre. 18) Les mots ,,comme je crois” manquent dans la minute. 19) Voir la Lettre N°.2871, vers la fin. Ajoutons que Bernoulli à ce propos renvoie à l’ar- ticle cité dans la note 22 de la Lettre N°. 2841, contenant sa première solution au moyen de la rectification de la courbe élastique, où il avait déjà annoncé qu’il possédait de même une solution dépendant de la quadrature d’une courbe algébrique, et à sa seconde solution de septembre 1694, citée dans la même note, où le problème est réduit à la rectification de la lemniscate, observant d’ailleurs que la courbe élastique était bien plus facile à construire que mainte courbe algébrique. 668 CORRESPONDANCE. 1694. chute par TA, je vois clairement qu'il fe trompe *°), et qu’il ya une infinité de telles courbes, comme font AR£, Ad, jufqu’à la droite Ayinclufivement, quoyque 7. CZ je n’aye pas encore cherché comment il les faut decrire. Je vois aufli qu’il refte d’autres courbes à determiner en cette matiere, comme pour aprocher egalement 2 du point C en venant du point direétement au deflus A, ou de D, qui eft plus haut, et à coftè aux quels cas les courbes ABC, DEC feront des tours infinis autour du point C**), Voila encore bien d’exercice {pour ;voftre calcul differentiel ou double differentiel, duquel je fouhaite fort de voir une fois un exemple. Vous ferez bien de reprendre Mr. Bernoulli fur l’indice des courbes conftructibles par la quadrature de l’hyperbole ?*). Ce feroit vou- loir l’impoflible que de les vouloir reduiretoutes à cela. Et pour moy j’eftime qu’on a tout auffi bien reufli quand on aboutit à la mefure des arcs de cercle. Je ne fcay fi vous aurez encore vu ma remarque *3) fur la manoeuvre des 29) Dans sa réponse Jacques Bernoulli reconnaît cette erreur, s’excusant, entre autres, par la hâte avec laquelle il avait écrit son article. En effet, il n’avait étudié que le cas particulier où la tangente de la courbe en A est horizontale. 21) L'existence de ces courbes paracentriques isochrones à tours infinis a été niée par Jacques Bernoulli dans sa réponse et par Jean Bernoulli dans les , Acta” de février 1695, à la page 65 de l’article : ,Joh. Bernoulli, animadversio in praecedentem solutionem Illustris D. Mar- chionis Hospitalii”, etc. Toutefois Huygens avait parfaitement raison. Et pour s’en con- vaincre il suffit de considérer : 1°. que, si », signifie la vitesse de départ au point D, le pôle C devra être atteint dans le temps fini CD : »,, 2°. que la vitesse d’arrivée au pôle étant égale à ] /v + 2gh, où = AC, l'angle de la vitesse avec le rayon vecteur devra s'approcher de plus en plus de la valeur : arc cos (ro e 1747 +284). La courbe,ens’approchant du centre, ressemblera donc de plus en plus à une spirale logarithmique et ne pourra y arriver qu'après un nombre infini de tours. #2) Voir la note 10 de la Lettre N°. 2871. 23) Voir la pièce N°. 2826. CORRESPONDANCE. 1694. 669 vaiffeaux de Mr. Renaud. Maïs quand vous ne l’auriez pas vue, vous ne laifferez pas de pouvoir juger de noftre different par ma replique*#), que je vous envoie. Ce ne font pas de petites bevues où omiflions, qui fe rencontrent dans cerouvrage imprimé de l’expres commandement du Roy (comme il y a au titres) ) et examiné par Mrs. de l’Academie des Sciences, mais une erreur capitale, qui renverfe le tout. Je feray bien aife d’avoir voftre approbation, et n’en fcaurois douter puis que j’ay celle de Mr. le M. de l’Hofpital *). J’adjoute dans ce mefme paquet, puifque vous le fouhaitez°7), l'extrait du livre de Wal- lis que l’on m’avoit envoiè d'Angleterre **), devant que j’eufle receu le livre mefme. Vos confiderations fur l’avancement de la medecine *?) font fort bonnes et ce que vous projettez ne paroit pas tout à fait impraticable. En entreprenant le Traitè de voftre nouveau Calcul 5°), je vous recommande de le rendre autant clair qu’il eft poflible et qu’il puiffe fe rapporter principale- ment à ce qui pourroit avoir ufage dans la geometrie, où je doute fi ces equations exponentiellement tranfcendantes3*) pourront avoir lieu. Jy contribueray volontiers l’exemple du probleme de Mr. Bernoulli le medecin, quoyque ce que j'en ay dans mes brouillons 3*), que je viens de revoir, foit fi abregè et denuè d’eclairciflement, que j’auray de la peine à y rentrer. Je crois vous avoir communiquè 33) cy-devant la folution que pretendoit don- ner Mr. Fatio à ce que j’objeétois contre fa theorie de la pefanteur, et que je n’en eftois nullement fatisfait, C’eft pourquoy je m’etonne qu’il vous ait mandè le contraire 54). Je ne vois pas qu’on ait encore apportè de diflicultè confiderable contre la caufe que j’ay expliquée dans mon difcours, et l’on me fera plaifir de me les propofer, lors qu’on en rencontrera. Pour ce qui eft du mouvement abfolu et relatif, j’ay admirè voftre memoire, de ce que vous vous eftes fouvenu, qu’autre- fois j’eftois du fentiment de Mr. Newton, en ce qui regarde le mouvement circu- laire. Ce qui eft vray, et il n’y a que 2 ou 3 ans que j’ay trouvè celuy qui eft plus 24) Voir la pièce N°. 2869. 25) Voir la note 17 de la Lettre N°. 2813. 26) Voir la Lettre N°. 2838, à la page 564. 27) Consultez la Lettre N°. 2863, à la page 646 et N°. 2866, à la page 651. 28) Par D. Gregory; voir la Lettre N°. 2859, à la page 622. 29) Voir la Lettre N°. 2863, à la page 639. 3°) La minute a : ,,vostre calcul differentiel”. Voir, sur ce ,, Traité” projeté, la Lettre N°. 2863, à la page 640. 31) Consultez toujours la Lettre N°. 2863, à la page 640. 32) Voir la pièce N°. 2821, où ces brouillons ont été reproduits pour la plus grande partie, 33) Voir la Lettre N°, 2854, à la page 613. 34) Voir la Lettre N°. 2863, à la page 644. 670 CORRESPONDANCE. 1694. veritable 55), duquel il femble qu vous n’eftes pas eloignè non plus maintenant, fi non en ce que vous voulez, que lorfque plufieurs corps ont entre eux du mouve- ment relatif, ils aient chacun un certain degrè de mouvement veritable, ou de force, en quoy je ne fuis point de voftre avis. Je vois qu’on a mis bien amplement pour la feconde fois dansles 4674 la folution de Mr. le M. de l’Hofpital 3°), du probleme de Bernoulli, qui eftant affez emba- raffée, il me femble que la miene merite pour le moins autant d’y paroitre. C’eft pourquoy je vous l’envoie icy?7), et vous prie de la faire tenir à ces Meflieurs a Leipfich. Ils pourront corriger à cette occafion, s’ils ne l’ont pas defia fait, les 2 fautes que je vous marquay dans ma precedente 3°). En leur envoiant vos confidera- tions 3?) fur le difcours de Mr. Bernoulli, vous me ferez plaifir de faire auffi mention des mienes 4°), autant que vous les trouverez bien fondees. Je fuis par- faitement etc. Apres avoir copié la conftruion du probleme, je me repens prefque d’en avoir pris la peine. Je le laifle à voftre jugement fi vous croiez, qu’il vaut la peine qu’elle paraiffe dans les Æfa 4). 35) Voir la note 47 de la Lettre N°. 2854. Nous regrettons de ne pas connaître les considé- rations qui ont déterminé l’opinion de Huygens, d’autant plus que nous croyons qu’elles auront été d’autre nature que celles de Leibniz, mentionnées dans la note 25 dela Lettre N°. 2863. 36) Voir le commencement de la Lettre N°. 2866 et surtout la note 4 de cette lettre. 37) Voir l’Appendice N°. 2875 à la présente lettre. 38) Voir la Lettre N°. 2856. 39) Celles de la Lettre N°. 2871. On les retrouve en grande partie dans l’article de Leibniz des Acta” d’août 1694, cité dans la note 22 de la Lettre N°. 2841. 4°) Leibniz y donna suite en faisant insérer dans les ,, Acta” de septembre 1694 la traduction latine d’une grande partie de la présente lettre. Voir notre pièce N°. 2874. 41) La phrase ,si vous croiez, qu’il vaut la peine qu’elle paroisse dans les Acta” manque dans la minute. ins de din té éd re doi à D er dt nn de Et. : CORRESPONDANCE. 1694. 671 N° 2874. CHRisTIAAN HuycEns à G. W. LEIBNIZ. [SEPTEMBRE 1694]. Appendice I au No. 2873. La pièce”) a été publide dans les Acta Eruditorum de septembre 1694, D. 339—341. Excerpta ex epiftola C. H. Z. ad G. G. L. Principium quo ufus eft Clariffimus Mathefeos Profeffor Bernoullius verum puto, & bene adhibirum, quod radii qui curvedinem metiuntur, fint in ratione con- craria virium rem elafticam fleétentium. Puto tamen, non tantum fuperficiem ex- ternam extendi, fed & internam contrahi*). Magnum admodum poftulatum eft, figurarum curvilinearum quadraturas tanquam datas affumere 3). Ego me nihil admodum egifle putarem, fi problema aliquod huc tantum reduxiffem, excepta tamen Circuli & Hyperbolæ Quadratura. Præftat Linearum Curvarum Re&tifica- tiones tanquam femper in poteftate exiftentes affumere, quod etiam Tibi probari video +). De reliquo Clariffimus Bernoullius videtur mihi tantum determinaffe figuram, ubi tangentes extremitatum funt parallelæ, cum arcus Elaftici A termini per chordam EFS) junguntur. Sed fi arcus fit ut in B vel C vel D, aut extremitates non chorda fed reéta rigida HI jungantur, figuræ determinandae fuperfunt*). Subtile etiam fatebor inventum confenfus inter figuram elafticam & lintei vel veli a liquo- ris pondere prefli, fi modo demonftratum videam’). Alioqui cogor fuftinere affen- fum, quia & ipfum Autorem circa figuram veli fententiam mutafle video *) & demonftrare poffum?) velum ex numero finito reétarum æqualium compofitum aliam a vento quam a pondere figuram accepturum, cum tamen Bernoulliana fententia fit, eandem effe velariam cum catenaria: Oporteret ergo difcrimen evanefcere in cafu infiniti'°). Præftat haud dubie Ifochronam tuam Paracen- ericam ‘*) conftrui, ut a Te fieri fcribis, re@ificatione lineæ ordinariæ, vel falem 1) Elle constitue une traduction libre par Leibniz d’une partie de la lettre précédente, notre N°. 2873, suivie de quelques remarques de Leibniz. ?) Voir la note 8 de la Lettre N°. 2873. - 3) Voir la note 10 de la Lettre N°. 2873. 4) Voir la note 11 de la Lettre N°. 2873. 5) Voir, pour les figures, la Lettre N°. 2873. 5) Voir la note 12/de la Lettre N°. 2873. 7) Voir la note 13 de la Lettre N°. 2873. #) Voir, pour la réponse de Bernoulli à cette remarque, la note 14 de la Lettre N°. 2873. 9) Voir la pièce N°. 2835. 19 Voir la note 16 de la Lettre N°. 2873. 11) Voir la note 17 de la Lettre N°. 2873. 672 CORRESPONDANCE, 1694. talis cujus punéta pofint conftrui, quam per/lineæ Elafticæ extenfionem, quæ ipfamet nondum eft conftruéta ?). Quod ait Clariffimus Bernoullius unicam tantum effe paracentricam ut Axey refpeétu ejufdem pun@i vel centri A, poft defcenfum ex TA, ejus contrarium manifefte video, Tibique affentior dari infinitas 3), ut Af2£, Ad, &c. cafque fumo ufque ad reétam Ay inclufive. Quin imo fuperfunc adhuc aliæ Curvæ determinandæ, fi fcilicet æqualiter accedendum fit ad punétum €, linea autem incipiat vel ab À, directe fupra C, vel ad latus a D. Quo cafu lineæ ut ABC, AEC "#) infinitos facient gyros circa C *5). G. G. L. Additio : Puto in fig. 2, ex Bernoulliana determinatione arcus A *) etiam duci poffe determinationem arcuum B,C,D,G, affumendo lineæ partem aut eam producendo:?), fed hoc tamen diftinéte admonere operæ pretium. fuit: Rationi confentaneum eft principium determinandæ figuræ Elafticæ, quod vires fleétentes fint curvedinibus proportionales; poteftque ad Hypothefeos aptæ mo- dum affumi, tametfi non prorfus fit exploratum, quoufque natura eo utatur, cum fingi poflint conftitutiones corporum, ubi res aliter procedat. Præclara fun monita de diverfis Ifochronarum paracentricarum fpeciebus & conftitutionibus; omnes tamen mea conftruétione comprehenduntur **). Et licet ipfam lineam reétam AD vifus fim excludere, quia in ea nullus revera fit defcenfus vel afcenfus; quia tamen concipi poteft in ea defcenfus vel afcenfus, ut infinite parvus feu evanefcens, haberi poteft pro limite feu ultima harum linearum. Problemata cur- varum tranfcendentium ad quadraturas reducere magna quidem ad folutionem præparatio eft; fateor tamen (fepofita mea generali conftruétione traëtoria) #)) præftare rem reduci ad linearum jam conftruétarum reduétiones; quod & ego quoties opus, feci faciamque. 12) Voir la note 19 de la Lettre N°. 2873. *3) Voir la note 20 de la Lettre N°. 2873. On remarquera que les mots : ,,Tibique assentior” ont été intercalés par Leibniz. De fait, Leibniz n’avait exprimé aucune opinion sur ce point dans ses lettres à Huygens. 14) Lisez: DEC. 15) Voir la note 21 de la Lettre N°. 2873. 16) Voir la figure A de la Lettre N°. 2875, à la page 666. 17) Il n’en est rien. En réalité les cas représentés par les figures B, C, D et G mènent à une qua- drature un peu plus compliquée que dans le cas de la figure A, Comparez la note 12 de la Lettre N°. 2873. 18) Cette assertion n’est vraie que pour les courbes représentées dans la figure en haut de la page 668 de la Lettre N°. 2875, celles de la figure qui suit ne sont pas comprises dans la solu- tion de Leibniz qui, comme les Bernoulli, s’est borné au cas particulier où le point de départ et le centre se trouvent sur la même ligne horizontale, la vitesse de départ étant dirigée vers le centre. 12) Consultez la pièce N°. 2824 aux pages 517 et 518. PP PP EE EE PU OR REP AT NOT TP TE PORT NT ONE CORRESPONDANCE. 1694. 673 N° 2875. CarisTiaaN HuyGEns aux Eprreurs des ,,A&a Eruditorum”’. [AOÛT 1694]. Appendice IT au No. 2873: La minute se trouvel à Leiden, coll.' Huygens *). La, pièce. a été publiée, dans les. Aéta Eruditorum de septembre 1694, D. 338 et 339*). C. FH. Z. Conftructio univerfalis Problematis a Clariflimo Viro, Jo. BerNouL10, fuperiori anno menfe Majo propofiti. Cum in. A4@is Liplienfibus Conftruétionem hanc, me reperiffe fignificarem, menfe Oëtobri À.°,1693 ?), edenda tamen ea fuperfedi, quod futurum putabam, ut vel ab Auétore iplo vel Clar.° Viro fratre éjus, vel alio quopiam, haud mul- um abfimilis brevi in lucem prodiret, ac fubverebar etiam ne aétum agerem. Quoniam vero nufquam adhuc comparuit, &.eft inter eas quæ dari poffint quo- 1 dammodo fimpliciffima; non videtur abfque ea diutius relinquendum tam eximium problema. Eft autem hujufmodi #). Sit in reéta AB datum pun&tum À, et oporteat 1) Elle y fait suite à celle du N°. 2873. 2): Nous imprimons d’après la minute. Le texte des Acta’en diffère en plusieurs endroits par un autre choix des mots, qui peut être le fait de la rédaction, et contient de‘plus quelques erreurs importantes du copiste ou du typographe. La figure, au contraire, y est beaucoup plus exactement/construite, 3) Voir la pièce N°. 2823 à la page 5 13. { 4) La construction qui va suivre est presque identique avec celle que l’on trouve dans la Lettre N°. 2828 aux pages 535 et 536. On peut donc consulter les notes de cette lettre qui s’y rap- portent. Œuvres. T. X. 85 674 CORRESPONDANCE. 1694. invenire curvam AFC ejufmodi ut tangens ejus quævis CD abfcindat ab reéta AB portionem AD, quæ ad ipfam CD habeat rationem datam lineæ c ad 2. Conftru&io : ficut c ad b, ita quælibet AE in recta AB affumpta ad EF ipfi perpend. et per F punétum ponatur defcripta Logarithmica quæcunque cujus afymptotos fit AB, ad quam defcendat illa verfus A. Deinde ab A verfus E accepta diftantia qualibet AD), fit ur c ad 2 hoc eft ut AE ad EF, ita AD ad aliam DH et ea tanquan radio, et centro D.defcribatur-cireuli circumfer. HC. ac præ- terea applicetur ad Logarithmicam reéta IG afymptoto perpendicularis, ipfique DH æqualis. Jam ut # ad duplum c; ita fiat IE ad EK, fumendam in afymptoto in partem alterutram, nihil enim refert 5), et applicetur rurfus ad logarithmicam recta KL; utque fumma duarum KL, EF ad earum differentiam, ita fit DH ad DB; quæ fumenda verfus A punétum f fi AD major fit quam AE; at in con- crariam, fi minor. Jam reéta BC ad afympcoton perpendicularis fecabit circum- felétuiam HC in punéto C, quod eric in curva quæfita AFC. Tangit autem hanc reétam EF in F punétum. Eft porro animadverfione dignum, non fimplicem effe curvaturam die hujus cum c major eft quam b, fed ex duabus eam tunc componi, ex uno quodam punéto exeuntibus °», ut CFA, CM?). In punéto autem extremo €, reéta ex A eduéta occurrit curvis AFC, CM ad angulos reétos *), ac proportionales funt DA, DC, DB. 5) Comparez la note 8 de la Lettre N°. 2828; c'est ici la seule modification réelle de la con- struction formulée dans la Lettre N°.2828. #) Voir, à propos du point de rebroussement C, la note 17 de la Lettre N°: 2819, la Lettre N°. 2828 à la page 536, celle N°. 2833 à la page 552, et la pièce N°.2834. 7) Le texte des Acta ajoute : quarum haec in infinicum progreditur. cmt #) On ne retrouve pas cette remarque dans la correspondance. Il s’agit d’ailleurs d’une consé: quence immédiate de la proportion: DC: DB=c:4=DA:DC, indiquée entreautres dE la Lettre N°. 2833, p. 552. ti CORRESPONDANCE. 1694. 675 N° 2876. G. W. LeiBniz à CHRISTIAAN HUYGENS. 14 SEPTEMBRE 1694. Le lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle a été publiée par P. J. UylenbrockY) et par C. I. Gerhardt*). t Elle est la réponse au No. 2873. Chr. Huygens y répondit par le No. 2884. Hanover, ce A de Septembre 1694. MONSIEUR Je commence par vous remercier de la communication de l’extrait de l’ouurage de Mr. Wallis couchant M. Newton). Je voy que fon calcul s'accorde avec le mien, mais ie penfe que la confideration des differences et des fommes, eft plus propre à eclairer l’efprit; ayant encor lieu dans les feries ordinaires, des nombres, et repondant en quelque façon aux puiffances et aux racines. [l me femble que M. Wallis parle affez froïidement de M. Newton et comme s’il eftoit aifé de tirer ces methodes des leçons de Mr. Barrow #). Quand les çhofes font faites il eft aifé de dire: et: nos hoc poteramus. Les chofes compofées ne fçauroient eftre fi bien démelées par l’efprit humain fans aide de caracteres. Je fuis bien aife auffi de voir enfin le dechifrement des enigmes contenus dans la lettre de M. Newton à feu Mons. Oldenbourg 5). Mais je fuis faché de n’y point trouuer les nouuelles Lumieres que je me promettois pour l’inverfe des Tangentes. Car ce n’eft qu’une methode d’exprimer la valeur de l’ordonnée de la courbe demandée per feriem infinitam %), dont je fçavois le fonds dés ce temps là, comme je témoignay alors à 1) Chr. Hugenii etc. Excercitationes Mathematicae, Fasc. I, p. 199. ?) Leiïbnizens Mathematische Schriften, Band II, p. 193, Briefwechsel, p. 746. 3) Voir la Lettre N°. 2873 à la page 6609. 4) Consultez, sur le passage en question, la Lettre N°. 28509 aux pages 622 et 623. 5) Voir le déchiffrement de ces énigmes ou anagrammes dans la note 14 de la Lettre N°. 2859 et dans la note qui suit la présente lettre. 5) Voici le passage de la lettre de Newton, citée dans la note 29 de la Lettre N°. 2863, auquel Leibniz fait allusion ici: ,, Attamen ne nimium dixisse videar, inversa de Tangentibus Pro- blemata sunt in potestate, aliaque illis difficiliora. Ad quae solvenda usus sum duplici Me- thodo, una concinniori, altera generaliori. Utramque visum est impraesentia literis transpo- sitis consignare, ne propter alios idem obtinentes, institutum in aliquibus mutare cogerer” ; après quoi Newton fait suivre l’anagramme dont l’explication suivante se trouve dans l’ouvrage que Wallis venait de publier: ,Una Merhodus consistit in extractione fluentis quantitatis ex aequatione simul involvente fluxionem ejus: altera tantum in assumptione Seriei pro quantitate qualibet incognita, ex qua caetera commode derivari possunt, et in collatione terminorum homologorum aequationis resultantis ad eruendos terminos assumptae Serie”. 676 CORRESPONDANCE. 1694. Mons. Oldenbourg?’). Et j’en ay donné lemoyen depuis quelque temps dans les Aétes de Leipzig ®), d’une maniere affez aifée et tres univerfelle, Il eft raifonnable de fe fervir de cette Hypothefe, que les courbures font comme les forces qui les produifent, pour avoir quelque chofe d’arrefté; mais fi cela a aflez lieu en effeét, c’eft ce que je ne voy pas encor bien clairement, Et on fe peut figu- rer des conftitutions des corps ou il n’en iroït pas ainfi. C’eft ce qui m’a rebuté de cette recherche. Voyant que ma fanté commence à chanceler, j’ay bien de la peine à me refoudre à des meditations qui ne fervent qu'à exercer l’efprit. Je n’ay pas meme examinè la conftruétion de ma paracentrique ifochrone donnée par M. Bernoulli, m’eftant contentè de donner mon analyfe, qui eft affez naturelle, avec ma conftruction qui n’a befoin que de la reétification d’une courbe ordi- naire”). Je fuis de voftre fentiment, Monfieur, en ce que vous croyés quele probleme n’eft pas encor bien refolu, lors qu’on ne fait que le reduire à quelquequadrature. Ainfi la courbe dont la rectification eft employée par M. Bernoulli à la con- ftruction de la paracentrique n’eftant pas affés conftruite encor elle même, eftpeu propre à la fin qu’il fe propofe. Mais je ne l’en reprends point. Eftaliquid prodire tenus. Cependant je fuis d'accord avec M. Bernoulli °), que c’eft tousjours beaucoup quand un probleme eft reduit aux quadratures. C’eft à mon avis un grand et neceffaire acheminement à fa veritable folution. Il y a plufieurs degrés dans les folutions; la plus parfaite fans doute eft celle qui reduit les tranfcenden- tes à l’aire du cercle ou de l’Hyperbole. Au défaut de cela je voudrois pouuoir décrire la ligne tranfcendente per punéta à l’imitation de la Logarithmique qui fe décrit par les moyennes proportionelles. Et quand cela manque encor, jeme contente d’obtenir mon but per reétificationes linearum. Mais il y a des cas fi dif- ficiles, ou tout ce que j’y puis jufqu’icy, eft de donner feriem infinitam. Je ne doute point qu’on ne trouue un jour la methode de reduire le tout aux plus fimples qua- dratures poflibles. Je croy même d’en voir les moyens, dont j’ay aufli des echan- tillons, mais je ne fuis pas en eftat d’y travailler. 7) Leibniz avait, en effet, dans sa Lettre à Oldenbourg du 21 juin 1677, écrite le mêmejour qu’il avait reçu copie de la Lettre de Newton, répondu comme il suit au passage mentionné dans la note précédente: ,Quod ait, Problemata Methodi Tangentiwun inversae esse in potestate, hoc arbitror ab eo intelligi per Series scilicet Infinitas. Sed a me ita desiderantur, ut Curvae exhibeantur Geometrice, quatenus id fieri potest, suppositis (minimum) qua- draturis”. Voir la page 244 du ,,Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz” publié par Gerhardt. 8) Voir l’article cité dans la note 10 de la Lettre N°, 2863. 9) Voir toujours, sur ces solutions diverses du problème de l’isochrone paracentrique, la note 22 de la Lettre N°. 2841. 19) C’est ici la réponse à la phrase de la Lettre N°. 2873 marquée par la note 10. dt de ni Ré tue ed à hi re Pod dir di tite de TP TNT PT) ES dd RG es à ‘co CORRESPONDANCE. 1694. 677 \Si M. Bernoulli a bien determiné l’arc du reffort ou les tangentes des extre- mités font paralleles, il me femble qu’il aura aufli les cas, ou ces tangentes font convergentes au deffus ou au deffous de la corde, car il n’aura qu’a continuer la courbe ou en prendre la partie, puifque la partie du reffort bandé eft encor un reflort bandé, en quelque endroit qu’on l’attache ou qu’on en prenne les extre- mités **). Cela fait voir encor que l’arc peut n’eftre pas ambidextre, lors qu’en le bandant on pouffe inégalement les extremités. Je fuis aufli en doute fur ce quil dit de la voile, et la chofe merite d’eftre approfondie. Je crois que ma conftruétion comprend toutes les ifochrones paracentriques, tant celles de Mr. Bernoulli que celles que vous avés profondement confiderées **?) mais ie ne fuis pas en eftat ny en humeur de venir au detail. Pour ce qui eft du calcul des differentio-differentielles, fur lequel vous defirés d’eftre eclairci, je fuis bien aife de pouvoir fatisfaire à vos ordres en quelque chofe. Ce n’eft que trop fouuent que je voy qu’on eft obligé d’y venir : mêmes la recherche de la chainette y mene naturellement; mais c’eft parune faveur fpeciale qu’on y peut s’en deliurer. Mes feries infinies ont cela d’avantageux qu’elles refolvent les differentio-differentielles, de quelque degré qu’elles foyent, auffi aifement que les differences premieres. Comme les equations differentielles du premier degré font pour l’inverfe des tangentes, lors qu’on determine la courbe ex data proprietate rangentium, je trouue que celles des autres degrés peuuent venir lors que la courbe eft determinée per proprietatem curvedinum feu linearum ofculantium; ou bien par le melange des fommes parmy les differences. Car pour fe deliurer des fommes, on defcend à des differences plus profondes, tout comme pour fe delivrer des racines on monte à des puiffances plus hautes. Voicy un Exemple aifé pour les differences fecondes pro linea finuum, ç’eft-à-dire lors que les arcs de cercle étendus en ligne droite eftant les ordonnées, les finus font les abfcifles. Soit l’arc y, le finus de complement foit x, le rayon 4, l’arc y fera egal (n'a fe es ——=—— et differentiando dy G)= Ps = ns ou bien 11) Cette remarque, vraie en soi-même, n’est pas applicable à la solution de Jacques Bernoulli, puisque cette solution suppose que les forces appliquéesaux extrémités de la courbe élastique soient perpendiculaires à la tangente, ce qui n’aurait plus lieu pour la force qu’on devrait appliquer à la nouvelle extrémité pour faire conserver sa forme à la courbe. Ainsi la courbe élastique de Bernoulli n’est qu’un cas particulier de la courbe élastique générale, ce qu'il reconnaît lui-même dans le passage cité dans la note 12 de la Lettre N°. 2873. 12) C’est une illusion, puisque, en réalité, Leibniz aussi, comme les Bernoulli, ne s’était occupé que d’un cas particulier, qui ne contient pas les courbes spirales de Huygens; voir la note 17 de la pièce N°. 2874. 678 CORRESPONDANCE, 1694. V/ Caa—xx) dy (3) —=adx. Pour abreger faifons ]//44 — xx (4) =, et il y auraydy (5) —=adx, et rurfusipfam aeq. 5. differentiando y4dy + dydy (6) = adax. Et fi nous faifons que les arcs y croiffent uniformement, c’eft-à-dire fi dy eft con- ftante ou 4dy —0 (7), au lieu de 6 il y aura 4ydy (8) — addx. Differentiando aeq.4 il y aura # (9) =— _ car YYÿ—44—xx, donc ydy — — xdx. Et (par 5et9) dy (10)= #9 äonc par 8et1oil y aura — xdydy (11) = aaddx. Ce qui fait voir que les arcs de cercle croiffant uniformement, les finus de comple- ment décroiflent de telle forte qu’ils font proportionels à leur propres differen- ces fecondes; au lieu que lors que les Logarithmes croiffent uniformement les nombres font proportionels à leur propres differences premieres. Soit x (12) = = 4 + byy + cyt + ey$ etc., et (pofito dy — o ut diétum) ddx fera (13) = dydy multiplié par 1. 2. + 3. 4. cyy + 5. 6. eyt etc., et l’equation 11 ou x4ydy + + aadax (1 va — o eftant interpretée par 12 et 13 il y aura: by° o(s) = É J + 3: 4. C4aÿ° Donc, deftruifant rous les termes, pour faire que cette equation foit identique, il y aura 4+ 1. 9. baa = 0, et b + 3. 4. caa=o etc +5. 6. eaa#)—0o. C’éft-à- b : 1 »etc=— ——, oubienc= -et= 1.2. 4 3-4. 44 1.2. 3. 4. 4 cy+| + cy° etc. +5.6.caayt #)| + 7. 8. faay* *#) etc. pra 2. baa dire he= … I j É — ; et ainfi de fuite; donc par 12 nous aurons x (16) = 1, 2. 3. 4. 5. 6.4 pp FU EE 1.2.4) LES 6 i 559 gs)" etc. ce qui donne 1 1 1.2. 3.4. 1. 2. 3. 4. 5. 6. la valeur du finus de complement x par l’arc y et par le rayon 4. On trouueroit la même chofe par l'equation 3. en oftant l’irrationelle et ‘faifant aadydy (17) = —= xxdydy + aadxdx, mais non pas fi aifement. Il y a encor d’autres abregés que j'explique dans les Aêtes LE € Mais pour vous donner un exemple d’un probleme Geometrique, prenons celui de la Chaïnette: et je vous donneray en meme temps l’analyfe dont je me 13) De même que dans la Lettre N°. 2863, les chiffres entre crochets, placés dans la présente devant le signe de légalité, servent à numéroter les équations. 14) Nous ajoutons dans ces termes les facteurs 44, omis par Leibniz. 15) Il s’agit toujours du , Supplementum Geometriae Practicae”, cité dans la note 10 dela Lettre IN°. 2863. tdi td di EE n “EE pner droi rat ail), de TU PPS TT CRT NE INSEE so the dus cébbeie deb dd han it do cop hé CORRESPONDANCE. 1694. 679 fuis fervi autres fois pour le refoudre, puifque vous avés temoigné de la defirer auffi #5). Soit AB,x; BC ,y; AT, retranchée par la tangente, p F. eft la diftance entre l’axe et le centre de gravité de l’arc À T6 AC.Or,CB ou AB eft à TB, comme 4x à dy; donc TB fera x dy : dx, et AT fera y—x. dy: dx. L’arc AC foit appellé c et par la nature du centre de gravité il eft manifefte, qu’AT fera / yde : c (1) —y—xdy : dx ou bien [yde(2>=cy—cxdy : dx; etdifferentiando ydc (3)= cdy + ydc—xdy : dx dc — — cdy — cxd, dy: 4x. Et rejettant ce qui fe détruit, il y aura dc dy : dx +cd, dy : dx (4) =0. Suppofons que les y ou À croiffent uniforme- ment, ou que 4y foit conftante et 4dy (5) = o, nous aurons 4. dy : dx (6) = — — dy ddx : dx dx, et au lieu de 4 il y aura dcdx — cddx (7) —0, c’eft-à-dire fum- mando 4x : c(8) = dy :4 (car cette equ. 8. eftant differentiée rend l’equation 7) ou bien 4dx (9) = cdy.et differentiando 4#44x (10) = dcdy. Or generalement en toute courbe dede (11) = dydy + dxdx et differentiando dc ddc = dyddy + + dxddx, donc icy (par 5) dcdde (12) = dxdadx, et (par 10 et 12) adde(13) = —dxdy et fummando adc(14) = xdy + bdy. Soit x+b(is)=x, fiet dx (16) = dz et adc = zdy, et (par 11 et 16) dede — dzdz (17) + dydy. Donc par 14, 15, 17, nous, aurons Z4dzdz + aadydy (18) —zzdydy, et enfin y (19)= aa f dr: V/ 22— 44, c'eft-à-dire il ne faut que chercher la quadrature d’une figure, dont l’ordonnée eft #4 : |/‘22—44 7). On peut faire b —4 où —4, ou bien de quelque autre grandeur qu’on voudra, comme il depend aufli de nous d’augmenter ou diminuer y par une droite conftante et d’écrire y+c(20)= 44 fd2:}/ 22-44. Pour ce qui eft des equations exponentielles, je vous diray Monfieur, que toutes les fois que le probleme fe reduit à des exponentielles traitables, il eft refolu en perfeétion, et il n’y a plus rien à chercher. De forte; que c’eft proprement le plus haut point de la Geometrie des Tranfcendentes. Pour vous en developper tout le y'a myftere foit par exemple x:4.° —7y:4 ou bien pofant 4 pour l’unité, foit 16) Voir la Lettre N°. 2693 du rer septembre 1691 à la page 132, et comparez la pièce N°. 2793 aux pages 413, 414 €t 416. 17) De cette manière la construction de la chaînette est donc réduite à la quadrature de la courbe x°y? = 44 L 4°y?, comme Leibniz l’avait déjà annoncé dans sa Lettre du 13 octobre 1690, le N°. 2627, à la page 518. Comparez encore la Lettre N°. 2633, à la page 537, et la pièce N°. 2793, à commencer au bas de la page 413. 680 CORRESPONDANCE. 1694. x =; c'eft comme fi je difois qu’y eft à l’unité comme le logarithme de la gran- deur y eft au Logarithme de la grandeur x, Ainfi fuppofé que la valeur d'y foit donnée par x ou par y, ou par toutes les deux, la ligne fe peut conftruire Geome- triquement par points aufli bien que la logarithmique meme, et on en peut don- ner de meme la tangente et les autres proprietés. Et je puis tousjours changer l’equation exponentielle en differentielle, mais non pas vice verfa, car, puifque a (1) = y donc » log. x (2) = log. y, ou bien » / 4x : x (3) =j dy : y et diffe- rentiando y4x : x + dy ] dx : x (4) = dy: y. Si » eftoit egal à:x, alors dy feroit à dx, ou bien, l’ordonnée feroit à la foutangentielle, commey multipliée par 1 + log. x, eft à l’unité, c’eft-à-dire la foutangentielle fera egale à l’unité multi- pliée **) par 1 + log. x. Si nous pofons que les x croiffent uniformement, il y aura yydxdx + axyddy — axdydy ®), et cette equation differentio-differentielle fe peut reduire à l’exponentielle x*— y, qui en donne la conftruétion. Ainfi bien loin qu’on doive croire que ces exponentielles font embaraffées, il faut juger que de toutes les expreflions qui enfeignent la conftru@tion des lignes Tranfcendentes par des points determinables fuivant la Geometrie ordinaire, ce font les plus fimples. Et il faut confiderer que les exponentielles n’employent point d’autre grandeur qu’x et y, etc., c’eft à dire que des grandeurs ordinaires, au lieu que les differentielles employent encor d’extra-ordinaires, comme 4x, ddx etc., ce qui les empeche de fervir aux determinations des interfeétions des courbes ou aux equations locales. car fi j’avois dy : dx (1) = x : 4 pour une courbe, fcavoir pour la Logarithmique; et xx + yy(2) = #4 pour l’autre, fcavoir pour le cercle; qui me donne xdx +ydy (3) = 0, ou dy: dx (4) = — x : y,ilne m'eft point permis’ de me fervir des equations 3 ou 4 pour le cas de rencontre des courbes, ny d’ofter dy : dx par le moyen des equations 1 et 4, bien que je fçache que les courbes des equations 1 et 2, fcavoir la logarithmique et le cercle, fe rencontrent; excepté le cas ou leur rencontre eft. un attouchement. Car fans cela, quoyque x ety foyent les mefmes dans les deux courbes, dx et dy ne le font point (mais d4x, ddy ne fone les memes de part et d’autre, que dans le cas de l’ofculation des deux courbes qui eft un attouchement plus parfait). Au lieu que les exponentielles ne contenant qu’x et y, qui font les memes en cas de rencontre, fervent abfolument à la déter- mination des interfettions. Ainfi c’eft par elles ou leur femblables qu’on acheve la recherche et qu’on peut ofter une inconnue. Je crouue ces equations encor utiles dans les nombres. Je tafcheray de me faire entendre dans le traité que je projette pour mon nouueau calcul, et vous ferés obligé de ce que vous y voudrés contribuer. Nous verrons ce que feront M. le Marquis de l’Hofpital et Meflieurs Bernoulli. 18) Lisez: divifée. 19) Lisez : y*dx dx +- ax dy dy — axy ddy, où 4 représente l’unité. D mis d r-SNie)) si hé ARS séondrtie ln à ie ineGie ner dé Fa NON ORNE PP UT re CORRESPONDANCE. 1694. 687 Voître explication de la pefanteur paroift jufqu’icy la plus plaufible. Il feroit feulement à defirer qu’on pût rendre raifon pourquoy celle qui paroïft dans les Aftres eft en raifon doublée reciproque des diftances. Comme je vous difois un jour à Paris qu’on avoit de la peine à connoïftre le veritable fujet du Mouuement, vous me répondites que cela fe pouuoit par le moyen du mouuement circulaire, cela m'arrefta; et je m’en fouuins en lifant à peu près la même chofe dans le liure de Mons. Newton; mais ce fut lorfque je croyois déja voir que le Mouuement cireu- laire n’a point de privilege en cela. Et je voy que vous eftes dans le meme fenti- ment. Je tiens donc que toutes les hypothefes font equivalentes et lors que j’affigne certainsmouuemens à certains corps, je n’en ay ny puis avoir d’autre raifon, que la fimplicité de l'Hypothefe croyant qu’on peut tenir la plus fimple (tout confideré) pour la veritable. Ainfi n’en ayant point d’autre marque, je crois que la difference entre nous, n’eft que dans la maniere de parler, que je tache d’accommoder à l'ufage commun, autant que je puis, falva veritate. Je ne fuis pas meme fort eloigné de la voftre, er dans un petit papier*®) que je communiquay à Mr. Viviani, et qui me paroifloit propre à perfuader Meflieurs de Rome à permettre l’opinion de Copernic, je m’en accommodois. Cependant fi vous eftes dans ces fentimens fur la realité du mouuement, je m’imagine que vous deuriés en avoir fur la nature du corps de differens de ceux qu’on a couftume d’avoir. J’en ay d’affez finguliers et qui me paroiffent demonftrés. Je fouhaiterois d’apprendre un jour vos reflexions que vous m’aviés fait efperer tant fur mes animadverfions in Car- tefium °*), que fur ce que je vous avois écrit contre le vuide et les Atomes **). Je veux lire avec attention la Theorie du manoeuvre et vous remercie cependant des communications dé voftre remarque qui paroift de confequence. Il y a dejà du temps que j’ay envoyé à Leipzig mes reflexions fur l’Ifochrone du Profeffeur Bernoulli *3); en y envoyant voftre conftruétion du probleme du Medecin *#), j'y adjouteray quelque chofe de vos confiderations *5) fur ce que le Profeffeur vient de donner. Mr. Tayler s’eftexcufé de venir à Wolfenbutel *). N’a-t-on point des nouuel- les de la reftitution entiere de Mr. Newton?°7) Je la fouhaitte fort. Quelques 2°) Nous ne le connaissons pas. #1) Voir, sur le manuscrit en question, la note 23 de la Lettre N°. 2750, et sur la promesse de Huygens, la Lettre N°. 2785, à la page 387. 22) Voir la Lettre N°. 2829, à la page 500. 28) Voir l’article de Leibniz, cité dans la note 22 de la Lettre N°.2841,etcomparez la note 39 de la Lettre N°. 2873. 24) Voir la pièce N°.2875. 25) Voir la pièee N°. 2874. 26) Consultez, sur Johannes Teyler et sur la place vacante à Wolrenbüttel, les Lettres N°.2859 à la page 604, N°. 2854 à la page 615, N°. 2856 et N°. 2863 à la page 646. 27) Comparez la Lettre N°. 2856, vers la fin, et la Lettre N°. 2863, à la page 646. Œuvres. T, X. 86 682 CORRESPONDANCE. 1694. uns ayant vû des definitions que j’ay données dans la préface de mon Code Diplo- matique **) (dont, pour le dire en paflant, je vous feray remettre un exemplaire) m'ont exhorté de mettre en ordre un amas d’autres que j’ay fabriquées autres fois. Voicy celles de la preface que je foûmets à voftre jugement. Je dis que la juftice eft une charité conforme à la fageffe. La fageffe eft la fcience de la felicité. la charite eft une bienveuillance generale. La bienveuillance eft habitus diligendi. Diligere, aimer, cherir (en noftre fens) eft fe faire un plaifir de la felicité d’autruy. Vous ne pouués manquer, Monfieur, d’avoir mille belles meditations encor hors des mathematiques. Il ne faudrait pas nous en priver, Je me fouuiens qu’un jour vous me fiftes efperer quelque chofe de cette nature *?)..N’aurons nous pas bien toft voftre Dioptrique ? J’efpere d’y trouuer des explications des meteores emphatiques 3°), fuivant cet echantillon qu’on a vû de vous autres fois dans le journal des fcavans 3”). Voftre cryftal d’Iflande ne vous at-il donne aucun pheno- mene fingulier fur les couleurs? Il femble qu’il y deuroit encor feruir. Vous aviés aufli fait ce me femble quelques decouuertes fur la force electrique 3°). Que jugés vous Monfieur de l’'Hypothefe de Monfieur Halley, fur le noyau mobile contenu dans le globe de la terre, pour expliquer la variation de l’aimant ?#3) Et ‘fur ce que Mr. Newton croit avoir, rendu raifon du flus et reflus de la mer #4). Nous attendons aufli l'explication de voftre ligne propre pour les pendules des vaifleaux 35). Je fuis avec zele MONSIEUR Voftre trefhumble et trefobeiffant ferviteur. LErBNIz. 28) L'ouvrage cité dans la note 7 de la Lettre N°. 2797. 29) Comparez les derniers alinéas des Lettres N°. 2759 et N°. 2766, et la Lettre N°. 2854, à la page 609. 39) Comparez la note 17 de la Lettre N°. 2841. 31) Il s’agit bien probablement du Journal des Sçavans du 28 Aoust 1667, qui contient un résumé de l'ouvrage ,,Relation d’une Observation faite à la Bibliothèque du Roy”, etc., cité dans la note 10 de la Lettre N°. 1610, et où l’on trouve l’explication donnée par Huygensde la cause des couronnes solaires et des parhélies. 32) Comparez la Lettre N°. 2841 à la page 573. 33) Voir l’article de Halley, publié dans les Philosophical Transactions N°.195, du 19,octobre 1692, sous le titre: , An Account of the Change of the Variation of the Magnetical Needle; with an Hypothesis ofthe Structure of the Internal parts of the Earth; as it was proposed to the Royal Society in one oftheir late Meetings. By Edm. Halley”. 34) Comparez la Lettre de Leibniz N°. 2632, de novembre 1690, à la page 533, et la réponse de Huygens, p. 538 de la Lettre N°. 2633 35) Voir la pièce N°, 2823 vers la fin. Wir élue pdidé pt le Ch) > mt à CORRESPONDANCE. 1694. 683 P. S. Si je fuppofe que la voile ne s’etend ou ne s’allonge point et prends l’effeét du vent pour ce qui fe feroit fi un filet ABC confideré comme fans pefanteur en luy même, eftoit chargé par tout d’un h poids égal, tel que CD; le calcul qui me vient tout prefentement, $ me donne une ligne, dont la conftruétion demande une quadra- ture, qu’il eft en mon pouvoir de donner autant qu’il eft poflible, et qui fe reduira (: autant que je puis juger par avance :) à celle de l’hyperbole. Mais je crois que ce fera autrement que lors qu’on conftruit la chainette 3°). N° 2877. G. W. Lrigniz à CHRISTIAAN HUYGENS. 18 SEPTEMBRE 1694. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle a été publiée par P. J. Uylenbroek”) et C. I. Gerhardt*). Elle fait suite au No. 2876. Chr. Huygens y répondit par le No. 2884. MoNSIEUR Je me fuis donné l’honneur de vous écrire il y a quelques jours, où j’ay marqué d’auoir fatisfait à vos ordres, en envoyant à Leipzig ce que vous aviés deftiné aux Aéta 5). J'ay taché aufli de fatisfaire aux autres points de voftre lettre. Maintenant je profite de l’occafion favorable que M. de Tfchirnhaus 4) me fournit pour vous écrire cellecy, et je ne me fçaurois difpenfer de vous dire que jay vû avec admiration les effeéts de fes verres ardens.5) fur tout fur des objets, 35) Comparez la page 666 de la Lettre N°. 2873 où l’on trouve le passage auquel ce postscriptum sert de réponse. *) Chr. Hugenïii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc, I, p. 209. ?) Leïbnizens Mathematisehe Schriften, Band II, p. 200, Briefwechsel, p. 753. 3) Voir la Lettre N°. 2876 à la page 681. Il s’agit de la pièce N°. 2875. +) Voir, sur von Tschirnhaus, la note 3 de la Lettre N°. 2046, et sur ses relations avec Huygens la note 2 de la Lettre N°. 2199, la correspondance des années 1682, 1683, 1686 et 1687 et enfin la pièce N°. 2626. 5) On peut consulter, sur ces verres ardents de von Tschirnhaus, son article, cité dans la note 11 de la Lettre N°. 2748, et ses lettres à Leibniz du 13 janv. 1693 et du 27 févr. 1694; voir les pages 476, 488 et 489 du ,,Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leïbniz” publié par C.T. Gerhardt. 684 : CORRESPONDANCE, 1694. qui ont paru indomtables aux fourneaux des chymiftes. Mais comme vous en verrés des objets incomparablement plus grands par le moyen des verres qu’il a déja envoyés en Hollande °), je n’en diray point d'avantage. Il m’a auffi monftré des Theoremes de Geometrie, d’une grande beauté et gene- ralité, et plufieurs autres belles penfées. Mais vous en eftes meilleur juge que moy, et j’efpere qu’en retournant, il me fera part du profit qu’il aura fait chez vous. Car fi j’eftois capable de luy porter envie, ce feroit de l’avantage qu’il aura de vous voir. Je fuis avec zele MoNSIEUR Votre trefhumble et trefobeiflant ferviteur LEIBNIz. Hanover 8 Septemb. 1694. N° 2878. CHRISTIAAN HuyGENs à DE ROsEN. rer OCTOBRE 1694. La minute et la copie se trouvent à Leiden, coll. Huygens. Ce 1 O&. 1694. MONSIEUR , Je reconnois l’honneur que S.[on] A.flteffe] Sme,[eremiflime ] *) me fait et a ma nouvelle invention, en ce qu’elle daigne tefmoigner quelque envie de la voir, et je luy procurerois avec joye une horloge pareille a celle que j’ay fait conftruire*), s’il n’y avoit deux raifons qui me le defendiffent, et que je crois que vous trouverez legitimes. L’une eft que je dois propofer ce nouveau moien de trouver les Longitudes a Mrs, les Direéteurs de la Compagnie des Indes, dans l’efperance d’en eftre bien recompenfè, ce que pour quelques 5) Dans la dernière des lettres citées dans la note précédente, von Tschirnbaus rapporte qu’il a envoyé un de ses verres ardents en Hollande pour le Roi d’Angleterre, c’est-à-dire pour Willem IIT. 1) Karl, landgrave de Hesse-Cassel ; voir la Lettre N°. 2401, note 4. 2) Voir, entre autres, la Lettre N°. 2859, à la page 626. TT RAT Pa CORRESPONDANCE. 1694. 685 confiderations je n’ay pas fait encore. L’autre ef la crainte que quelque plagiaire n’aille s’attribuer mon invention fi je ne la publie premierement en mon nom, comme j’ay deffein de faire en faifant imprimer la defcription et la demon- ftration de tout ce qui la regarde. Comme c’eft vous Monfieur qui par le raport avantageux que vous en avez fait avez excitè la curioficè de S. A. S. de qui je ne fcaurois affez admirer l’inclination aux belles connoiffances, je vous fupplie tref- humblement de faire accepter par elle, les excufes que je viens d’alleguer. Je vous affure, que c’eft avec beaucoup de regret, et que je n’en ay pas moins de ce qu’a cette premiere occafion je ne puis vous donner une legere preuve du zele avec lequel je fuis MONSIEUR Voftre &c. Ce que vous euftes la bonté de me mander touchant le paflage des Troupes de S. A. S. s’eft effeétuè, a ce que nous venons d’apprendre, et quant et quant les heureux fucces des armes du Prince de Bade *), et la prife de Huy 3). Il n’ya pas encore des nouvelles certaines du bombardement de Dunquerque +). Cepen- dant voila que la face des affaires commence bien a changer, de quoy Dieu foit louè. À Monfieur DE ROsEN, aupres de S. A. Sme Monsr. le Landgrave de Heffe. 2) Ludwich Wilhelm I, margrave de Bade, maréchal de l’Empire et lieutenant-général d’Au- triche, né à Paris le 8 Avril 1655. En 1675, il combattit contre Turenne dans l'Alsace; après la paix de Nimègue, en 1678, il succéda à son grand-père. En 1693, il commanda l’armée impériale allemande et prit Heidelberg. Après s'être concerté avec le roi William III à Londres, il envahit en 1694 l’Alsace. Il mourut à Rastadt le 4 janvier 1707. 3) Huy avait été reprise le 28 septembre 1694 par les alliés, après un siège de 9 jours conduit principalement par Coehoorn. 4) L'entreprise contre Dunquerque n’eut aucun succès. 686 CORRESPONDANCE. 1694. o N° 2870. LE Marquis DE L’HospiTAL à CHRisTIAAN HuyGEns. 4 OCTOBRE 1694. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle à été publiée par P. J. Uylenbrock”). Elle est la réponse au No. 2859. Chr. Huygens y répondit par une lettre que nous ne connaissons pas”). À Paris ce 4 oétobre 1694. Je commence par vous demander milles pardons Monfieur du longtemps que j'ai eté fans faire reponce à vôtre derniere du 16e Juin. La mort de mon beau- pere qui eft arrivée dans ce temps et qui m’a obligé de faire de petits voyages à la campagne pour des affaires de famille m’en a empefché. De forte que depuis 8° où 10 mois j'ai eté entierement occupé a des chofes differentes des mathemati- ques par l’embaras ou m'ont jetté les pertes que nous avons faites de l’oncle 3) et du pere de ma femme #). Je fuis bien fafché de l’indifpofition que vous avez euë, non feulement parce que je m’y intereffe particulierement, mais aufli parce que les mathematiques que vous avez pouffées fi loin y perdent beaucoup. Il]me femble pourtant fur ce que vous me mandez que vous ne les avez pas tout a fait negli- gées, la decouverte de vos horloges fur la mer etant d’une confequence extreme. J'efpere que vous voudrez bien en faire part au public puis qu'elles reufliffent ce qui me donnera occafion de les admirer comme j’ai toujours fait tout ce qui eft venu de vous. A legard de vôtre difpute avec Mr Renaud je puis vous affurer qu’il ne m’a point communiqué fa reponfe 5) quoique je le connoiffe très particulierement. Ce n’eft pas qu’il ne me foit venu chercher mais il ne m’a pas trouvé, et il a eté très peu de temps à Paris cet hyver parce qu’on la envoyé affez promtement fur les côtes. Quand même je l’aurois vû je ne fçais fi je ferois venu à bout de le faire changer de fentiment; car quand on eft entêté fur tout dans les queftions ou la phifique a part, je trouve qu’on en revient difficilement. 11 me femble que fi vôtre repliqueS) dont Mr de la Hire ma fait part ne fuffit pas pour cet effet, il feroit affez inutile que d’autres l’entrepriffent. La demonftration que vous m’envoyez pour ma regle touchant les rayons des 1) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. T, p. 319. 2) Elle était datée du 27 janvier; voir la réponse de de l’Hospital du 21 février 1695. 3) Voir la Lettre N°. 2847. 4) De l’Hospital avait épousé Marie Charlotte de Romilly de la Chesnelaye, de laquelle il eut un fils et trois filles. 5) La pièce N°. 2848. 5) La pièce N°. 2869. CORRESPONDANCE. 1694. 687 developpées des paraboloïides eft conforme à la mienne. Je crois que ma quadra- ture de la feüille de Defcartes par les appliquées à l’axe fera fort differente de celle de Mr. de Volder; car elle eft uniquement fondée, comme je vous ai deja mandé 7) fur quelques regles que j’ai pour prendre les fommes et dont je vous ferai part lorfque j'aurai un peu de loifir. Je n’ai plus de curiofité de voir ce qu’il y a de Mr Neuton dans le livre de Vallis apres ce que vous me mandez. J’avois fait ecrire à Mr Leers *) de m'apporter le traité de Vallis de algebra mis en latin, cependant il me l’a apporté en anglois?), ce qui m’eft fort inutile puifque je n’entens pas cette langue. Je pars pour m'en aller du côté de lyon en Breffe, où font les terres dont nous avons herité de feu Mr d’Autremonts. Si vous me faites l’honneur de m’ecrire on m’envoira vos lettres et j'aurai foin d’y repondre exaétement vous affurant que je fuis fans aucune referve MONSIEUR \ vôtre trefhumble et tres obeïffant ferviteur LE M. DE LHosPritaL. holande A Monfieur Monfieur HUGENS DE ZULICHEM Seignr. de Zehelem int noordeinde naaft de Crabte A la Haye. 7) Voir la Lettre N°. 2843, à la page 580. #) Voir la Lettre N°. 2883, note 1. 9) Voir, sur cette édition anglaise, la Lettre N°. 2660, note 3. 688 CORRESPONDANCE. 1694. N° 2880. G. W. LeiBniz à CHRISTIAAN HuYGEnNs. 24 OCTOBRE 1694. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle a été publiée par P. J. Uylenbroek *) et C. I. Gerhardt”). Elle fait suite au No. 2877. Chr. Huygens y répondit par le No. 2884. MONSIEUR Je vous auois écrit dernierement par Mr. de Tfchirnhaus qui n’en auoit point befoin. Mais aprefent je prends la liberté de vous adreffer un de mes amis), qui eft encor d’un tres grand merite en fon genre, et qui efpere que voftre recom- mendation luy fervira beaucoup, pour mieux infinuer un deffein de negoce, où il s’eft engagé avec quelques perfonnes confiderables, et qu’il veut propofer au Roy et à Meflieurs les Etats, pour en auoir l’agrement, l’oétroy et la protection, Je ne fuis pas des plus difpofés à la credulité, et il y a peu de nouueaux avis, qui fe trouuent praéticables. Mais cette affaire paroift fi plaufible, et fi convenable au temps et aux intentions de Sa Majefté, que je croy qu’on ne rifque rien en luy donnant de l’applaudiffement. Il vous en dira tout le detail, qu’il ne veut pourtant pas encor publier avant que d’en auoir jetté les fondemens. En casque vous en formiés le même jugement que moy, je ne doute point, Mon- fieur, que vous ne le favorifiés de recommendations proportionnées, auprés du Roy, par Monfieur voftre frere#), et aupres de Meflieurs les Eftats par M. le Pen- fionnaires). Le perfonnage a acquis une tres grande experience en ces chofes par 71) Chr. Hugenii etc., Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, p. 210. ?) Leïbnizens Mathematische Schriften, Band II, p. 201, Briefwechsel, p. 754. 3) Krafft, voir la Lettre N°. 2884. Johann Daniel Krafft, Conseiller de Commerce de l’Electeur de Saxe, se trouve mentionné dans l’ouvrage du Docteur Eduard Bodemann, bibliothécaire royal à Hannover:,, Der Briefwechsel des Gottfried Wilhelm Leibniz”, comme un des corres- pondants de Leibniz; la bibliothèque de Hannover possède de lui 157 lettres avec 9 réponses de Leibniz, sur divers sujets de chimie, technologie, industrie et commerce. Nous l’avons déjà rencontré, dans la note 15 de la Lettre N°. 2192, comme celui qui avait mis en vogue les expériences avec le phosphore. Il résulte de l’article du Journal des Sçavans, cité dans cette note, qu'il avait, en 1675 ou en 1676, séjourné à Batavia. 4) Constantyn Huygens, secrétaire de Willem III. 5) Anthonie Heinsius, fils d’Anthony Heinsius et de Maria Dedel, né à Delft le 22 novembre 1641, fut pensionnaire depuis 1690 jusqu’à sa mort, le 3 août 1720. miifittent jt db: nf deundie die du er és à) iris doi té à à CORRESPONDANCE. 1694. 689 fon aage avancé, et par la quantité d’affaires de cette nature, qui luy ont paflé par les mains, ayant efté employé par plufeurs Princes, qui en ont fait grand cas, mais particulierement Jean Philippus Eleéteur de Mayence), qui eftoit un des plus habiles Princes de fon temps, et le defunt Eleéteur de Brandebourg 7) l’honno- roient d’une confiance extraordinaire, et fe fervoient de fes avis en telles matieres. Il a efté plus d’une fois tant en Hollande qu’en Angleterre, et il a même fait autres fois le voyage de l’Amerique. C’eft d’ailleurs une perfonne extremement reglée et eloignée des vanités, qui rapporte tout au bon ufage, et affeéte l’ancienne fimpli- cité. Il y a plus de 20 ans que je le connois, tousjours en reputation d’un homme tres fage et laborieux. Aiïnfi pour luy rendre juftice et pour vous en mieux infor- mer; il a fallu que je vous fiffe fon caractere. Au refte je me rapporte à mes prece- dentes, eftant avec un tres grand zele MoNSIEUR Voftre tref humble et tres obeïflant ferviteur LEIBNIZ. P.S. M. de Tfchirnhaus en repaffant par icy m’a confirmé dans l’opinion que j'ay de vos bontés pour moy, et comme je l’avois chargé de vous fonder, fi vous fouffririés li prefente recommendation, ce qu’il m’a dit la deffus m’a encouragé d'avantage à vous écrire cellecy. + Hanover . Oétobre 1694. 5) Johann Philip van Schônborn, né en 1605, mort en 1673. 7) Friedrich Wilhelm, le grand Electeur, était mort le 9 mai 1688. Œuvres. T. X. 87 690 CORRESPONDANCE. 1694. N° 2881. B. Renau à CHRISTIAAN HuYGENs. [OCTOBRE où NOVEMBRE 1694]. La pièce”) est la réponse au No. 2869. ; Chr. Huygens y répondit par le No. 2882. 4 Reponfe de M. RENAU. Il paroift que M. Huguens n’eft pas content des raifons que je rapporte dans ma Réponfe *) aux objeétions 3) qu’il a faites à mon Traité de la Theorie de la Manoeuvre des Vaiffeaux 4), & que la maniere affurée dont un homme de fa reputation replique 5) à ma Réponfe, donne occafion aux perfonnes mefme verfées dans les Mathematiques, de fe laiffer prévenir en fa faveur; j’efpere les détromper entierement, s’ils veulent fe donner la peine de fuivre mon raifonne- ment fans prévention; & pour cela, je ne m’attacheray qu’à ce qui a donné occa- fion à M. Huguens de tomber luy-mefe dans l’erreur. à M. Huguens dit °) : Pour [çavoir qui de nous deux a rai[on,imaginons-nous… & il conclud. Donc auf la force avec laquelle le vent poule le vail[eau [elon BG, eff à la force dont il ef? poul[e [elon BK, comme BG à BK, et non pas comme les quarrez de ces lignes comme veut M. Renau. Je ne conviens point du tout que cette derniere confequence foit bien tirée, ny de beaucoup d’autres chofes qui font dans ce raifonnement, parce : qu’il me paroift que M. Huguens con- fond à tous momens les puiffances ou les forces, avec les poids ou les maffes, & qu’il ne fait point d’attention aux viteffes des corps pour fçavoir leurs puiffan- *) Elle constitue la seconde partie de l'ouvrage: ,Replique de M. Huguens à la réponse de M. Renau, Capitaine de Vaisseau, & Chevalier de l'Ordre de S. Loüis, sur le principe de la Theorie de la Manoeuvre des Vaisseaux et la réponse de M. Renau a la Replique de M. Huguens. À Paris Chez Estienne Michallet, premier Imprimeur du Roy, ruëS. Jacques, à l’Image S. Paul. M.DC.XCIV. De l’exprès Commandement de Sa Majesté”. In-8° de 2 feuilles, chacune de 8 pages (19 p.). La première partie, qui occupe les pages 3—11 de l'ouvrage, reproduit textuellement notre pièce N°. 2869, sous l'en-tête : ,Replique de M. Huguens à la réponse de M. Renau, CORRESPONDANCE. 1694. 691 ces, ce qui me fait douter de fa pretenduë demonftration, malgré l’opinion que j'ay de fon fçavoir, & l’affurance qu’il donne de la certitude de fes regles de Mechanique, qu’il dit eftre établis dés longremps, & dont il ne croit pas que j’ofe difconvenir. Quoy qu’il en foit, comme toute nôtre difpute eft reduite à fçavoir fi la force que le poids Q fait felon BG 7), eft à la force que le mefme poids fait felon BK, comme la ligne BG eft à la ligne BK, ainfi que M. Huguens le pretend, ou bien comme le carré de BG eft au quarré de BK comme je le pretend, j’effayeray en- core de convaincre Monfieur Huguens. Mais pour éviter les équivoques, je diray qu’un petit corps a la mefme puis- fance qu’un grand, lorfque la viteffe du petit eft à celle du grand, comme le grand corps eft au petit; ce qui fait qu’un petit corps eft en équilibre avec un grand, lorfque par le moyen d’une machine ou de cordes, l’un ne fçauroit fe mouvoir fans faire mouvoir l’autre, en telle forte que la viteffe de l’un foit à la viteffe de l’autre, en raifon reciproque de leurs maffes, c’eft-à-dire que le produit de la maffe de l’un par fa viteffe, foit égal au produit aufli de la maffe de l’autre par fa viteffe. Je dis de plus que comme le point R eft fuppofé infiniment éloigné de B, toutes les lignes tirées du point R fur la ligne BK font toutes égales, & font des angles droits avec la ligne BK, auffi bien que celles tirées du mefme point R fur la ligne OG, c’eft-à-dire que RB eft égale à RK, & que l’angle RKB eft égal à l’angle ed RBX, & la ligne RO égale à la ligne RG, enfin que l’angle RGO, eft droit. De mefme imaginant le point X à l'infini, XB eft égale à à XO, & XK à XG, & _ les angles XOB & XGK font droits °). Prefentement imaginons-nous que la ligne BG exprime la grandeur du poids Ingénieur General de la Marine en France. Extraite de l” Histoire des Ouvrages des Sçavans du mois d’Avril 1694 à l’article V”. C’est à l’obligeance de M. Delisle, administrateur de la Bibliothèque Nationale à Paris, que nous devons la connaissance de cette seconde réponse de Renau, dont l’existence , comme aussi celle de la nouvelle réplique de Huygens, notre N°. 2882, semble avoir échappé à ’sGra- vesande; il ne les a pas reproduites dans les , Opera Varia” avec les autres pièces qui se rap- portent à la polémique Huygens-Renau. ?) Voir la pièce N°. 2848. 3) Voir la pièce N°. 2826. +) L'ouvrage cité dans la Lettre N°. 2813, note 17. ” Daris la pièce N°, 2869. 5) Voir, pour les passages cités, la page 656 de la pièce N°. 2869. 7) La figure du texte a été calquée sur celle de l’ouvrage original. #) On trouve encore imprimé en marge: ,,[l faut icy imaginer les lignes tirées RK, KG: XO, XG”. 692 CORRESPONDANCE. 1694. Q, & qu’il y ait une poulie en X par deffus laquelle paffe la corde BX, à laquelle tienne un poids T de la grandeur de BK. Si la corde BR eft attachée en KR, je dis que le poids T eft en équilibre avec le poids Q, c’eft-à-dire que la puiffance du poids Q felon BK, eft égal à la puiffance du poids T,, par la raifon que le point B ne peut venir par exemple au pointK, fans que le poids T ne monte de la quantité BK, & alors le poids Q defcend de la quantité BP. Donc par la difpofition de ces cordes le poids Q ne peut pas defcendre fans faire monter le poids T,, en telle forte que la viteffe du poids Q en defcendant, ne foit à la viteffe du poids T en montant, comme BP eft à BK; Mais à caufe des triangles femblables, BP eft à BK, comme BK eft à BG: Donc la vitefle du poids Q en defcendant, eft à la vitefle du poids T en monrant [fic], comme le poids T eft au poids Q; & par confequent le reétangle de BG & de BP qui reprefente la puiffance du poids Q, parce que c’eft le produit de fa viteffe par fa maffe, eft égal au quarré de BK, qui reprefente la puiffance du poids T, à caufe que c’eft aufli le produit de la viteffe du poids T par fa maffe; & ces deux puiffances eftant égales, ces deux poids font en équilibre, & par confequent le quarré de BK exprimera la puiffance du poids Q felon BK. De mefme le point X eftant fixe, fi l’on fuppofe une poulie en R comme onen a fuppofé une en X, & qu’on fufpende à la corde BR prolongée un poids Y, de la grandeur BO, ce poids fera en équilibre, avec le poids Q, & en faifant le mefme raifonnement que pour le poids T, on verra que la puiffance du poids Q re es fera exprimée par le quarré de BO. D'où il s’enfuit que la puiffance du poids Q felon BK, eft à la Diifféhoù du mefme poids felon BO, comme le quarré de BK eft au quarré de BO, & non pas comme BK eft à BO, comme il fuit du principe de M. Huguens. Soit encore confideré le poids Q fufpendu en B, le poids Y en R, & le poids T en X, je dis que je poids Q fera en équilibre avec ces deux poids; Parce que le point B ne peut venir par exemple au point G, fans que le poids T ne monte de la quantité BK, & le poids Y de la quantité BO, comme il fe voit par ce que j’ay dit cy-devant, & alors le poids Q defcend de la quantité BG; Donc par la difpofition de ces cordes, le poids Q ne peut pas defcendre fans faire monter ces deux poids, en telle forte que la viteffe du poids Q en defcendant, ne foit à la viteffe du poids T en montant, comme BG eft à BK, & à la viteffe du poids Y, comme BG eft à BO, & alors la puiffance du poids Q felon BG, eft exprimée par le quarré de BG, parce que c’eft le produit de la viteffe du poids Q par fa mafle; & par la mefme raifon le quarré de BK exprime la puiffance du poids T, & le quarré de BO, celle du poids Y: & comme ces deux quarrez font égaux au quarré de BG, la puiflance du poids Q felon BG, eft égale aux deux puiffances des deux autres poids, & par confequent le poids Q eft en équilibre avec les deux autres poids. D'où il fuit que la puiffance du poids Q felon BG, eft à la puiffance du poids T, comme le quarré de BG eft au quarré de BK, & a la puiffance du poids Y, comme le quarré de BG eft au quarré de BO. ee PP e PT PT PIN ENS CORRESPONDANCE. 1694. 693 Mais on a fait voir cy-devant que la puiffance du poids Q felon BK, eftoit égale à la puiffance du poids T, & felon BO, à la puiffance du poids Y, donc la puiffance du poids Q felon BG, eft à la puiffance du mefme poids felon BK, comme le quarré de BG eft au quarré de BK, & non pas comme BG eft à BK, comme le pretend M. Huguens, & a la puiffance felon BO, comme le quarré de BG eft au quarré de BO. D'où l’on voit que fi le Vaiffeau HM a fa aille dirigée felon HBM, & fa voile CBD, perpendiculaire fur BG, le vent AB le pouffe felon BG & felon BK, comme fait le poids Q, fi la corde BR cenfée infiniment longue, & attachée en R, fait que lé Vaiffeau ne puiffe fe mouvoir que le long de BK : on voit dis-je que le Vaiffeau ira de Ben K en mefme temps quil auroit efté en G, s’il fendoit l’eau également de rous coftez, & nonpasen S, comme veut M. Huguens ?). Enfuite M. Huguens pour érdiquer en peu de mots ce qui a ph donner occafion à mon erreur) prerenduë, continuë de cette forte **). /e diray [eulement que Porigine de l'erreur... Je ne comprens pas comment M. Huguens cite cet endroit comme l’origine de mon erreur: car puifque felon luy, er /#ppléant le mot d’égales, la démonftration € ce qu’elle conclut, [ont comme il faut: il s'enfuit feulement qu’il s’exprime dans cet endroit un peu plus exaétement que moy; ce qui au fond n’eft point une faute, d'autant plus que par ma .démonftration, ni dans les confequences que j’en ay tirées, on ne peut pas entendre la chofe autrement: & en cela, j’ay fuivi un ufage affez ordinaire aux Geonietres qui fe fervent du mot de Jigre, pour fpecifier une ligne droite, lors qu’il n’y a point danger d’équivoque. : J'efpere que. ce que je viens de faire voir à M. Huguens fufira pour luy prou- ver, & aux perfonnes verfées dans les Mathematiques qu’il cite *?), que ce qu’ils croyoient une erreur capitale dans mon Traité de la Manoeuvre des Vaiffeaux, n’éft point une erreur, & que je ne raïfonné pas tout-à-fait fi mal qu’il dit à la fin de fa replique, quoy-que je ne faffe pas profeflion de Mathematiques. Et je puis aflurer. M. Huguens, que: fi ce que je prens la. liberté de luy avancer ne me pa- roifloit pastres-évident, je l’abandonnerois fans peine, & je l’avouërois publique- ment, en me condamnant moy-mefme, comme j’ay fait dans ce qui regarde la pofition du Gouvernail, quoy-qu’il me fift l'honneur de m’approuver dans cet endroit. FIN. 9) Consultez, sur la construction du point $, la page 655 dela pièce N°. 2860. 19 Comparez le second alinéa de la page 655. 11) Voir la page 657 de la pièce N°. 2869. 2?) Voir la page 655. 694 CORRESPONDANCE. 1694: N° 2880. CHRrisTIAAN HuyGEnNs à BASNAGE DE BEAUvAL, Rédaéteur de l’Hiftoire des Ouvrages des Sçavans. [NOVEMBRE 1694 |. La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens”). La pièce a été publite dans l'Histoire des Ouvrages des Sçavans *) pour les mois de septembre, octobre et novembre 1694, sous le mois de novembre pp. 128 er 129. Elle est la réplique au No. 2881. Ayant déja tâché deux fois #) (Mr. Huygens)#) en vain de defabufer M.Renau, touchant les erreurs qu’il y a dans fon livre de la Manoeuvre, je crois que ce feroit perdre le tems que de vouloir infifter davantage, après ce que j’ai dit dans ma replique que vous avez inferée dans le mois d’Avril 1694. J'en demeure donc Ra: & puis qu’il a bien voulu faire imprimer cette replique enfemble avec la réponfe ”) : JE Elle occupe la page 1 136 du livre J, où elle porté la susscription: Raisons qu’ a M. EE pour ne plus continuer la dispute avec mr. Renau touchant la Theorie de la Manoeuvre des Vaisseaux”. Elle y est précédée par le projet suivant, inachevé, d’une réponse à la HS N°.2881: # Comment il devoit conclure en faisant mention de la resistance de l'eau”. 11 n’est pas estrange que nos conclusions de mr. Renau et de moy soient ee puis que nos definitions different. Moy, apres avoir exprimè la force, dont le vent pousse le voile CD [voir la figure de la pièce N°. 2881] selon BG, par un certain poids Q, par ex. de 100 livres, je dis que cés 100 livressont la force, par laquelle le point B est tirè en bas suivant la perpendiculaire BG. Et ce point B estant obligè par la corde BR d’aller par la droite BK, je dis que le poids T capable de l’empescher de suivre cette voie, est la force dont ce point B est tiré suivant BK. mais mr. Renau apelle la force que le poids fait selon BG, le produit de sa pesanteur et de sa vitesse a descendre, comparant ce produit avec celuy dela pesan- teur de T avec sa vitesse a monter pendant que Q descend le quel produit il prend aussi pour la force du poids T. Il met ensuite le mot de prissance an lieu de force pour ces produits. Nous n’entendons donc pas la mesme chose luy-et moy par le mot de force. Mais je ne luy disputeray pas sa definition; on peut entendre force ou puissance comme il le fait. Voions a quoy aboutit son raisonnement en ce qui esi des vitesses du vaisseau dont il est question”. »Il demontre fort bien que le poids Q est en equilibre, soit avec le poids T, quand le point R est fixe; soit avec le poids Ÿ quand le point X est fixe; soit en fin avec les deux poids T et Y, quand ils pendent sur des poulies X et R..Ce sont des choses connuës dans la mechanique, et qui ne souffrent point de doute. »Il est encore vray, ce qu’il dit”. Elle fait partie de l’article X, intitulé , Extraits de diverses Lettres”. LE Voir les pièces N°. 2826 et N°. 5869 à Re : Les mots entre crochets ont été intercalés par hs À de Jeu als Dès la minute la pièce débute comme il suit : ,, Ayant taschè en vain par deux fois de desabuser”, etc. 1 CORRESPONDANCE. 1694. 695 qu’il y a faite, je ne fuis pas en peine que ceux 5) qui auront bien examiné ces deux pieces, puiflent juger en fa faveur. Je croi même que Mr. Renau après avoir confideré plus à loifir mes objeétions, pourra reconnoître fa faute, puis qu’il agit) de bonne foi, & qu’il ne foutient fa Theorie que parce qu’il eft perfuadé que la raifoneft de fon côté. Il pourra s’appercevoir qu’il explique mal dans cette derniere reponfe à quoi fe reduit nôtre difpute; puis qu’il prend le mot de force ou de puiffance 7) dans un autre fens que je ne l’ai pris: d’où il arrive aufli neces- fairement, à caufe des differentes definitions, qu'il prend des conclufions diffe- rentes des miennes. Mais celle où il determine les efpaces que doit parcourir le vaifleau dans les deux cas, fuit fi peu de fon raifonnement precedent, que je m'étonne qu’il ait pu prendre pour legitime. I] verra *) ici ce que m’écrivent couchant nôtre different deux illuftres Geometres, que je pourrai nommer s’il eft neceffaire; après leur en avoir demandé la permiflion. L’un ?) conclut par ces mots °). Quand on ef} emété, fur tout dans les queftions où la Phyfique a part, je trouve qu'on en revient difficilement. Il me femble que fi vôtre replique ne le fait point, il feroit allez inutile que d'autres l'entrepriflent. L'autre **) dit: j'ai vu avec chagrin que Mr. Renau ne s’eft pas rendu à vos raifonnements ‘*), & qu’il fe croyoit aflez fort pour s’oppofer tout feul & à vous, & à tout ce qu’il y a de Mathematiciens au monde; j’aurois été tenté de joindre mes raifons aux vôtres, & d’imprimer une double demonftration que j’ai de la propofition que l’on con- tefte, fi &c. fl S) La minutea: ,,les Geometres”. $) La minute a: ,,puis qu’il paroît qu’il agit”. 7) Dans la minute les mots ,,ou de puissance” manquent. Comparez d’ailleurs, pour mieux saisir la portée de ce qui va suivre, le projet de réponse reproduit dans la note 1. #) La minute intercale ici les mots ,,au refte”?. 9) Del’Hospital. Consultez la Lettre N°. 2879. 1°) La minute a : ,,L’un en ces mots” ©!) Probablement de la Hire. Comparez la Lettre N°. 2859, à la page 624. "?) Au lieu de ce qui précède on lit dans la minute »L autre. j’ay Vu avec quelque i in- dignation que Mr. Renau ne fe rendoit qu’a demi a vos raifonnemens, et” etc. 696 CORRESPONDANCE. 1694. N° 2883. CurisTiaAN HuyGEens à A. LEers !). 27 DÉCEMBRE 1694. La minute se trouve .à Leiden, coll. Huygens. Haghe den 27 Dec. 94. Mijn Heer L£EERs. Ick fend hier nevens weder het pack met Franfche prenten, in welcke ick niets gevonden heb dat van mijn gaedingh is. Ick ben te laet gekomen, foo ick wel fien kan aen de lift die UE aen de Heer van St. Annelant*) gefonden heeft, Ick fende oock hier nevens het boeck van Renaldinis), en bedanckende UE voor * geficht van alles, blijve UE dienftw. dienaer Cuir. HUYGENS. N° 2884. , CHRISTIAAN HuyGENs à G. W. LEIBNiz. 27 DÉCEMBRE 1694. La lettre se trouve à Hannover, Bibliothèque royale. La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens. La minute a été publiée par P. J. Uylenbroek*), la lettre par. C. I. Gerhardt”). La lettre est la réponse aux Nos. 2876, 2877 et 2880. Leibniz y répondit par le No. 2893. À la Haye ce 27 Décembre 1694. MoNSsIEUR Il y a defia quelque temps que Mr. Craft5) m’a rendu la lettre dont vous l'aviez voulu charger pour moy #); et comme il doit vous ecrire demain, il vient 7) Voir, sur Aernout Leers, la Lettre N°. 1908, note 8. 2). Philips Doublet. 3) Carlo Renaldini; voir la Lettre N°, 723, note 5. En 1693 il publia une ,,Philosophianatu- ralis” en 3 volumes in-f°, 1) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasce. I, p. 2f1. La minute ne diffère sensiblement de la lettre que dans quelques endroits que nous indiquons dans les notes. 2) Leïbnizens Mathematische Schriften, Band II, p. 202, Briéfwechsel, p. 755. 3) Voir la Lettre N°. 2880, note 3. +) La Lettre N°. 2880. EP CORRESPONDANCE. 1694. 697 de me prier de’pouvoir vous envoier en mefme temps quelque mot de ma part; car pour faire refponfe à celle que vous m’avez fait l'honneur de m’efcrire du # Sept., je luy ay dit qu’elle contenoit trop de chofes differentes pour que jy puiffe fatisfaire prefentement. Ce Mr. Craft, que je connoiflois de reputation depuis l'invention du phos- phote 5), eft veritablement, comme vous dites, un homme de merite et de bon fens, et qui a appris bien des chofes par fes longues experiences en matiere de Phyfique. J’ay donc pris plaifir à entretenir plus d’une fois. Il m’a communiquè le deffein de la nouvelle manufaëture, ét m’en a apportè un echantillon, par lequel il femble que la chofe pourroit avoir un bon fucces. Toutefois j’ignore en quoy con- fifte le fecret®), er à ce que je vois, c’eft en Angleterre qu’il pretend commencer à le mettre en pratique, devant que d’en parler icy à perfonne. Lors que j’auray occafion de le fervir, je le feray autant qu’il fera dans mon pouvoir. Jay eftè fort aife de la vifite peu attendue 7) de Mr. Tfchirnhaus au mois de Sept. dernier. Mais le malheur voulut, à caufe du temps couvert, que je ne pus voir l’effeét du verre brulant qu’il m’apporta d’environ 14 pouces. C’eft un avantage de ces verres de bruler de haut en bas, parce que la matiere qu’on y ex- pofe fe peut placer für un charbon qui augmente la force du feu. Mais fans cela je ne fcaurois croire que fes verres, quand ils feroient de 2 pieds, comme il dit en avoir, puffent egaler la force du miroir concave de 3 pieds, que nous avions à l’Academie de Paris, qui faifoit degouter les clous de fer en peu de temps *). Je me perfuade au refte qu’on pourroit efperer de plus grands effects des miroirs concaves de verre, avec de la feuille derriere, comme une perfonne en fait icy à la Haye, qui font d’une matiere claire et d’un poli tres beau. Mais il faudroit les faire de 3 ou 4 pieds, ce qui me femble tres poffible, au lieu qu’ils ne font jufqu’icy que d’un pied. Un petit miroir plat adjoutè aupres du foier pourroit reflechir les raions en bas pour brufler fur le charbon. Mr. de Tfchirnhaus me dit à la hafte quelque chofe de fes inventions?) qu’il extolloit fort; nous les verrons peut-eftre expli- quées quelque jour dans le Journal de Leipzich *°). Ce que vous y avez derniere- 5) Voir la Lettre N°. 2192, note 15. $) Dans la minute Huygens annota : Machine Arithm. Très probablement ces mots n’ont d’autre signification que celle d’un mémorandum d’un sujet à traiter dans la suite de la lettre. 7) Les mots : peu attendue ne se trouvent pas dans la minute. #) Voir la Lettre N°. 2274, note 3. 9) La minute ajoute : nouvelles en géométrie et remplace cé qui Suit par les mots: les- quelles nous verrons peut eftre expliquées quelque jour dans les Aëta de Leipzich. 1 Les , Acta” de 1695, 1696, 1697 et 1698 contiennent plusieurs articles dé mathématiques de von Tschirnhaus. Œuvres. T,X. 88 698 CORRESPONDANCE,. 1694. ment mis, Monfieur, touchant la Paracentrique**), m’a paru bon, mais j’en fuis demeurè aux fommes ou je trouvois quelque difliculrè, c’eft-à-dire à mon egard, parce que toute voftre methode ne me demeure pas prefente à l’efprit quand j’ay difcontinuè longtemps à m’y exercer. Et c’eft pour cela que j’ay fouhaitè que vous l’eclaircifliez par un traitè expres, depuis les fondemens **). I] y a mefme bien du temps que je n’ay rien fait en matiere de geometrie, à caufe d’une certaine differ- tation philofophique *3) que j’efpere de mettre au jour dans peu. C’eft pourquoy je ne fcaurois encore repondre à voftre lettre du # Sept., par ce qu’il y a du calcul differentiel, qui demande que je l’etudie. J’admire cependant com- ment par un fi etrange chemin vous eftes parvenu à la conftruétion de la Cate- naria. Vous aurez vu fans doute le dernier livre de Craige ‘#), où il y a à la fin une refponfe à Mr. de Tfchirnhaus qu’il s’eft attirè par fa violente cenfure. Voître calcul eft beaucoup employè et louè dans ce traitè. Mr. Craft m’a dit que vous aviez achevè voftre machine arithmetique, qui doit eftre une piece merveilleufe, et dont l’execution fans doute vous aura coutè bien de la peine, puis que celle qu'avait fait Mr. Pafcal feulement pour les additions, luy avoit grandement ufè et gaftè l’efprit a ce que fes amis m'ont dit *5)..On pouvoit Ja faire incomparablement plus fimple et plus commode, ce que je ne crois pas eftre de mefme de la voftre, Je vous prie de me mander combien de chifres et par combien elle peut multiplier, et fi elle.eft dans la perfection que vous fouhaitez, fans-eftre fujette à manquer ni à fe detraquer *). 17) L’on na apporcè un Traitè manufcrit d’un Mr. de Maroles, mort martir en 11) Voir l’article cité dans la note 22 de la Lettre N°. 2841 12) Voir, entre autres, la Lettre N°. 2873, page 660. 15) Le Cosmotheoros; voir la Lettre N°. 2844, note 6. 14) Le ,,Tractatus Mathematicus” de 1693, cité dans la note 5 de la Lettre N°. 2748. 15) Les mots : a ce que fes amis m'ont dit ne se trouvent pas dans la minute. 16) On peut consulter, sur les machines arithmétiques de Pascal et de Leibniz, l’,,Encyklo- pädie der Mathematischen Wissenschaften, Band I, (1898—1904), Leipzig, Teubner”? aux pages 960 à 967. Voir encore, sur celle de Leïbniz, qui se trouve actuellement à la Bibliothèque royale de Hannover, les Lettres Nos. 1919, 2058 et 2205, et sur celle de Pascal, dont un spécimen a été pendant quelque temps entre les mains de Huygens, la note 20 de la Lettre N°. 46, ainsi que les Lettres Nos. 631, avec l’Appendice, 632, 639,717, 722 et 1054. 17) Au lieu de cette fin de la lettre, on ne trouve dans la minute que lès mots suivants : Que c’eft beaucoup fair à Mr. Bernoulli d’avoir determinè certaines chofes dans fa Paracentrica, et entre autres le point où elle finit comme en A, et que je ne vois pas que par fon calcul à luy on puiffe inferer cela. Que je ne fcay pas pourtant fi la determination de Mr. Bernoulli eft bien vraie, et fi la droite AB n’eft pas l’afymptote à la courbe. CORRESPONDANCE. 1694. 699 France fur les galeres, où il y a des Problemes numeriques fort fubtils, refolus de la maniere de Diophante "*). Il avoit grand commerce avec le P. Billy"), et on doit me porter de leurs lettres reciproques. On a deffein d’imprimer le tout. Je n’ay jamais voulu m’amufer à ces fortes de queftions, et toutefois j’aime à voir l’adreffe que fouvent ils demandent. Devant que finir et pour ne pas laiffer cette page vuide je vous diray que dans l’invention de la Paracentrique de Mr. Bernoulli, je trouve que c’eft beaucoup d’avoir . determinè certaines chofes touchant cette courbe, et entre autres le point où elle finit, comme en cette figure vers À, ce qui ne me femble pas qu’on puiffe inferer de voftre calcul. Auffi ne fcay je pas fi fa determination eft bien vraie, et fi la courbe n’a pas BA pour afymptote*®). J'en voudrois bien fcavoir voftre fentimenrc, et finiffant à icy je demeure en vous fouhaitant tout bonheur dans la prochaine année, etc. 18) Consultez, sur de Maroles et sur un des problèmes numériques dont il s’est occupé, la Lettre N°,2455, aux pages 132—133. 19) Jacques de Billy, jésuite astronome, né à Compiègne, le 16 mars 1602, mort à Dijon, le 14 janvier 1679. Il fut ami de Fermat, professeur de mathématique à Dijon et auteur de divers ouvrages d’algèbre et d'astronomie. 29) En réalité, les paracentriques isochrones, pour autant qu’elles partent du centre B, touchent l'axe BA à une distance finie du centre; mais elles ne s’arrêtent pas au point d’attouchement. Tout. au contraire ces courbes, dont l’équation polaire peut s’écrire sous la forme : sin 0—cn° [2 (742 + Véro Ve} mod. À 2 où, indique la vitesse de départ du centre B et # une constante arbitraire, s’éloignent indéfiniment du centre B, tou- chant tour à tour l’axe BA lui-même et son prolongement de l’autre côté du centre, l’angle polaire 8 oscillant entre o° et 180°. Ajoutons que le rapprochement asymptotique à une droite horizontale, supposé par Huy- gens, se présente.en effet si l’on fait partir le point mobile d’un point quelconque P, situé au- déssous du centre B, dans la direction du rayon vecteur BP. 700 CORRESPONDANCE. 1694. N° 2885. CHRisTiAAN HuycEns à [A. pu Quesne |). [1694]. La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens. mifla Je vous rends trefhumbles graces Monsr. de la leéture des memoires du petit neveu de Arofen ?), les quelles je vous renvoie. J’y trouve a dire qu’il n’y eft fait aucune mention de la Latitude du lieu ou le Capt. Gonneville 3) a fait un fejour de 6 mois. ni de la route qu’il a tenu en y allant ni au retour. Cela peut faire douter fi ce lieu n’a pas eftè quelque grande ifle au lieu du continent de la Terre Auftrale, ou peut eftre mefmes l’ Amerique puis qu’on ne dit pas combien de temps la tem pefte et le calme leur a durè lors qu’ils furent portez fur cette cofte, nide quel coftè venoit le vent qui les chafloit. Pour voftre voiage de dannemarc vous me furpre- nez en me difant qu’il eft fi proche. Je ne vous en diray pas autre chofe icy puifque j'auray l’honneur de vous voir devant voftre depart, je me plaindray feulementdu tort qué vous me faites en doutant que vos vifites puiflent m’incommoder. Vous devez eftre feur du contraire et que je fuis avec beaucoup d’affection et d’eftime. MONSIEUR Voftre &c. ©) La lettre ne porte ni date, ni adresse, mais la suivante, qui se trouve écrite sur la même feuille, nous semble suffire à les déterminer, au moins approximativement quant à la date. Ajoutons que de la Lettre N°. 2830 il résulte qu’au 30 novembre 1693 du Q Quesne se trouvait encore à la Haye. Sur Abraham du Quesne, seigneur de Monros, voir la Lettre N°. 2739. 2) Voir la note 3. 3) Probablement Binot Paulmier de Gonneville, navigateur, né à Honfleur vers le milieu du 15e siècle, qui, après une expédition aventureuse dans les Indes, prétendit avoir découvert au delà du Cap de Bonne Espérance une terre, demeurée depuis inconnue, mais qui longtemps a été désignée sous son nom sur les cartes. Gonneville avait amené avec lui l’indien Essoméric, dont l’arrière-petit-fils fut l’abbé Paulmier de Gonneville, qui publia les , Mémoires touchant l'établissement d’unemission chrétienne dans le 3e monde autrement appelé la terre Australe méridionale, dédiés à N. S. P. Pape Alexandre VIL par un ecclésiastique de cette même terre Australe”. Paris, 1668. in-8°. C’est bien probablement ce livre que Huygens avait eu de du Quesne. 2 EUR LT LD NE AE CORRESPONDANCE, 1694. 701 N° 2886. CHRisTIAAN HuyGEns à [E. BarrHozinus] "). [1694]. Appendice au No. 2885. La minute*) se trouve à Leiden, coll. Huygens. non miffa In Daniam profeéturus comes de Monreau celeberrimi Duquefnij filius olim apud Gallos Claflium Praefeéti, hafce a me exegit, quibus aditum ad Te pararet, de cujus ingenio ac fingulari in rebus mathematicis peritia faepe me narrantem audijffet. Agnofces facile egregiam viri indolem ac ingenuitatem, quas paucis his annis quibus apud nos egit ita mihi probavit, ut non poffem non eum amare plu- rimum atque in amicorum numero habere. Cum patri fuo comes omnia Europae maria obierit fitque‘rei maritimae et navalis architeéturae intelligentiflimus, faepe de his inter nos fermo fuit, cum vero praefertim de Itineribus in Regiones adhuc incognitas fufcipiendis, in quorum meditatione continue occupatum reperi, qui- bufque et ipfe ita faveo, ut nemo magis. Sed hoc tempore belli graviflimi cum non exfpeétandum fit ut vel Ordinum noftrorum vel Indicae Socitatis aufpiciis tale quid incepteturputabat VeftroRegis) qui pace fruitur, facilius utiliufve id fuaderi poffe. Audies de his ipfum Duques- nium, et quam in partem eam Expeditionem fufcipi vellet. Narrabit quoque de novo meo conatu ad inveniendas mari Longitudines, unde non parum auxili fibi pollicetur fi quando haec ejufmodi obvenient fed ne feftina credere. Sum enim in eo demum ut novi cujufdam horologij equabilem motum experiar 4) quod melius multo quam pendula navis jaétationem perferet. Ecfi et Pendulorum jam bis a noftratibus captum fit experimentum fatis felici fucceflu 5). Semel®) iterumque?) ad Te literas dedi ab eo tempore cum hac tranfieres *), Librumque ?) mifi *°) de Luce et Gravitate Gallice Scriptum quem an acceperis, 1) Voir, sur E. Bartholinus (Bertelsen), la Lettre N°. 169, rote 1. 7) Elle se trouve écrite sur la même feuille que le N°. 2885, et de même que cette dernière ne porte pas de date. C’est évidemment une lettre de recommandation pour A. du Quesne, comte de Monros, laquelle n’a pas été envoyée. Elle a évidemment été destinée pour Bertelsen. 3) Christian V, qui régna de 1670 à 1699. 4) Voir, entre autres, la Lettre N°. 2859, à la page 626. $) Voir, sur la première expérience de 1686 à 1687, la pièce N°. 2519, et sur la seconde de 1691 à 1692, les Lettres Nos. 2706, 2798, 2800 et 2803. 5) Voir la Lettre N°. 361 de 1656. 7) Cette seconde lettre nous est inconnue. 8) En août et septembre 1656; voir les Lettres Nos. 325 et 335. >) Le Traité de la Lumière etc. avec un Discours sur la cause de la Pesanteur. 19) Par le consul de Danemarc, voir la Lettre N°. 2569, note 1 et la Lettre N°. 2619. Huygens lui avait fait parvenir également en 1658 son ,, Horologium” et en 1673 son ,,Horologium Oscillatorium””’; voir les Lettres Nos. 511, note 2, et 1970. 702 CORRESPONDANCE. 1694. adhuc ignoro ac vereor literas tuas cafu aliquo intercidiffe, quod hujus faltem amici mei opera cognofcam. — N° 2887. CHRISTIAAN HuyGENs à ?'). [1694]. Le sommaire et la copie se trouvent à Leiden, coll. Huygens. Sommaire: Receu fa lettre, differè de repondre faute de matiere comme Mr. Schuylenboutg ?} lui aura dit qui prefqu’en mefme temps me donna le traitè entier de Koerfma *), et me fift voir qu’il avoît remarquè la faute, la quelle il femble vouloir foutenir mais en vain, et fans doute qu’il en fera maintenant convaincu; qu’en relifant l’imprimè de Koerfma je vois qu’il promet le fecret des Longitudes qu’eftant occupè a ajufter mon invention d’horloges pour la mer, et voyant ce que Koerfma promet, que puis qu’il le connoit, il pourra luy en avoir dit quelque chofe, j’ay creu luy en devoir demander des nouvelles et fi ce deffein continue, ce que je ferois bien aife de - fcavoir parce que j’y travaille encore, et s’il confifte, comme on a toujours jugè a inventer des horloges tres juftes, et qui puiffent fouffrir la mer, je ne vois pas qu’il me puiffle manquer *). Que je ne fai, ou ils en font avec la vocation d’un Profeffeur en mathematique, fi cela n’éft pas encore fait, que je recommanderois outre le Sr. Bernoulli, fi peut eftre on ne le pourroit avoir le Sr. Papin Profeffeur a Marpurgh, qui me temoigne par fes lettres, qu’il ne fe trouve pas aflez bien, ni en repos, dans le pofte ou il eft*) et me prie de l'aider a le tirer de la, lors qu’il s’offrira quelqu’occafon. Je le connois particulierement depuis longtemps, et il a fait connoiftre fes talens par fes inventions et par quelques craitez imprimez touchant les experiences du vuide®), et la machine pour reduire les os en nouriture”). Que fes fpeculations regardent principalement les inventions en, mechanique et phyfique qui puiffent eftre d’ufage et qu’il poflede aflez la geometrie avec cela, quoyque non pas jufqu’a ces abftrufes fubtilitez, ou d’orenavant ilcom- mence d'y avoir de l’exces. Qu’il me femble, felon que Mr. Schuylenburg m'en parla derniere- ment, qu’on ne fe haftoit gueres encore a remplir cette place de profefleur. Qu’il verra, s’ilya occafion de faire quelque chofe pour luy, et qu’en ce cas je le fupplie de vouloir s’emploier.en fa faveur, que je luy en feray obligé, die alreets geheelyck ben &c. &c. J'affe&tionne Mons: Papin je fuis fafchè qu’il n’eft pas traitè felon fon merite, ce qui m’eftonne parce que je fcai que le Landgrave a de l’inclination pour les fciences. Voir ce qu’efcrit Wichers. Je ne connois pas ces autres Meffieurs. Je ne fcay pas fi oneft preftderemplir la place. D’appeller Mr. Papin fans le retenir cela ne fe peut pas propofer. Mr. Leibnitz n’eft pas ap- pellable que je crois. Ma recommandation de Bernoulli eft un obftacle. — 1) Le sommaire ne porte ni date, ni adresse. Comme il y est question de la chaire de mathémati- ques, vacante à Groningen, on pourrait conjecturer que la lettre a été adressée à W. Wichers (voir la Lettre N°. 2858) si ce n’était que, dans la seconde partie, celui-ci est cité comme tiers. Il est possible aussi que cette seconde partie se rapporte à une autre lettre. Dans ce cas on ne pourrait guère douter que la première partie ne soit le sommaire d’une lettre à Wichers. 2?) Johannes van Schuylenburgh, greffier de Willem III. 3) Cet auteur nousest inconnu. 4) Comparez, sur les desseinsque Huygens avait avec ses nouvelles horloges, la Lettre Ne 2878. 5). Voir la Lettre N°, 2640 (Tome IX, p. 564). 5) Voir la Lettre N°. 2040, note 5. 7) Voir la Lettre N°. 2640, note 11. SEE à À CORRESPONDANCE. 1695. 703 N° 2888. CHRISTIAAN HuyYGENs à CoNsTANTYN HuyGEns, frère. 7 JANVIER 1695. La lettre et la copie se trouvent à Leiden, coll. Huygens. Const. Huygens y répondit par une lettre que nous ne connaissons pas”). À la Haye ce 7 Jan. 1695. Madame de Zuylichem me dit il y a quelques jours que dans voftre derniere lettre vous vous eftiez enquis où j’en eftois avec mon Traitè des Planetes *), que l’on fouhaitoit de voir en Angleterre. J’ay donc a vous dire qu’aujourdhuy j’ay parlè a Moetjes le libraire touchant l’impreflion, et que nous fommes demeurez d'accord. C’eft d’icy en 13 jours qu’on commencera d’y travailler, et il pourra eftre achevè d’icy en 2 mois, dans quel temps vous ferez peut eftre icy de retour. Williet me dit fouvent qu’on demande les ouvrages poftumes de mon Pere. Si vous le trouvez a propos, nous pourrions les revoir le frere de S.t Annelandt5) et moy, et les commettre aux foins du miniftre et Poete Vollenhove+), qu eftdes plus affidus follicitants, et s’offre de corriger les epreuves. N’avez vous point eu oc- cafion de voir le Dr. Burnet autheur de l’Archæologia 5) ? Il femble par la preface de ce livre, qu’il avoit deffein de faire quelque Traitè du mefme fujet que le mien, mais qu’a caufe de fon age avancè il en avoit defiftè. Je voudrois bien fcavoir s’il n’a pas veu les ouvrages du Cardinal de Cufe), dont il ne parle point, et qui pourtant a avancè des premiers, des fentiments comme luy touchant la Genefe. Il doit eftre bien fcavant, et efcrit mieux en Latin que ne font les Anglois d'ordinaire. Souvenez vous je vous prie du livre des voiages que vous avez marquè dans _ vos tablettes. Toutefois voiez s’il vaut la peine d’eftre lu, car fi c’eft le mefme dont Mr. de Berkeftein?) m’a parlé, ce n’eft qu’une rapfodie, et des traduétions pour 7) Le 14 janvier 1695; voir le Journal de Constantyn Huygens, IE, p. 444. ?) Le Cosmotheoros; voir la Lettre N°. 2844, note 6. 3) Philips Doublet. 4) Joannes Vollenhove, né le 2 juin 1632 à Vollenhove, où son père était bourgmestre. Il étudia à Utrecht et à Groningen et fut successivement pasteur à Vledder, Zwolle et la Haye. En 1674 il accompagna la députation envoyée en Angleterre par les Etats Généraux et y reçut le grade de docteur de l’Université d'Oxford. Il mourut le 14 mars 1708. Il publia plusieurs sermons et poèmes. 5) Voir la Lettre N°. 2808, note 4. ) Voir la Lettre N°. 2808, note 5. 7) Voir la Lettre N°. 2846, note 2. 704 CORRESPONDANCE. 1695. la plus part, de quelques voiages de nos Hollandois. I1 me femble que l’auteur ou le compilateur de ce livre s’appelle Narborrough *). Berckeftein m'a aufli fçu dire, que vous aviez acherè de nouveau quelques deffeins a la derniere vente des chofes de Lely ?), lefquels je verray avec plaifir. Le vent aiant changè, on efpere d’avoir des lettres d'Angleterre demain ou le jour d’apres. On eft curienx de fcavoir a quoy aboutira l’affaire du Parlement Triennal. Vous aurez eftè fans doute furpris et bien fachè de la perte qu’a fait Mad. de Zevenaar de fa fille unique. Je vous fouhaite de la fantè et une heureufe année. Mijn Heer Mijn Heer van ZuUYLICHEM Secretaris van Sijne Koninclijcke Maij.t van Engelandt Tot Londen. o N° 2889. Le Marquis DE L'HosprraL à CHRISTIAAN HUYGENSs. 21 FÉVRIER 1695. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle a été publiée par P. J. Uylenbroek *). Elle est la réponse à une lettre que nous ne connaissons pas *). Chr. Huygens y répondit par une lettre qui nous est également inconnue”). Je n’ay receu qu’a mon arrivée à paris Monfieur vôtre lettre du 27e janvier et comme il n’y à que peu de jours ayant été longtemps en chemin je n’ai pû vous 8) Il s’agit de l'ouvrage suivant : An account of Several Late Voyages & Discoveries to the South and North. towards the Streights of Magellan, the South Seas, the vast Tracts of Land beyond Hollandia Nova, &c. also towards Nova Zembla, Greenland or Spitsberg, Groynland or Ergrondland &c. by Sir John Narborough, Captain James Tasman, Captain John Wood and Frederick Marten of Hamburgh etc. London: Printed for Sam. Smith and Benj. Walford, Printers to the Royal Society, at the Prince’s arms in S. Paul’s Church Yard. 1694, in-12° Constantyn, frère, d’après son ,, Journal”, acheta ce livre pour Dicicies le 22 pate: 9) Pieter van der Faes ou Pieter de Lely, voir la Lettre N°. 1124, note 8. 1) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, p. 321. 2) Celle du 27 janvier 1695, citée dans la présente. 3) L’absence de ces lettres est due très probablement à ce que l’état de plus en plus souffrant de Christiaan Huygens l’a empêché de mettre en ordre sa correspondance. doré PRE \ CORRESPONDANCE. 1695. 705 faire reponfe plûtoft. Je prens toute la part poflible à vôtre incommodité et je fouhaiterois bien que cela ne retardaft point l'impreffion de vos excellens ouvrages. Ne ferez vous point paroître vôtre pendule ? qui ne craint point les fecouffes de la mer+), il me femble que cette invention meriteroit bien d’être publiée. ‘Je ne doute pas qu’autrefois Mr Bernoulli le medecin n’euft accepté la propo- fition que vous me faites pour lui, mais a prefent qu’il eft etabli à Bafle s’y eftant marié et s’etant fait pafler doéteur en medecine je ne fcais s’il voudra prendre ce partis). Il me fera cependant tres facile de vous eclaircir la-deffus car je n’ai qu’à le lui mander%) et 1ans commettre en aucune forte Mrs. les Curateurs je faurai pofitivement dans quel deffein il eft: mais auparavant je crois qu’il feroit a propos que vous me fifliez fçavoir ce que vaut cette chaire de mathematique afin qu’il puiffe prendre la-deflus de juftes mefures ainfi j’actendrai vôtre reponfe avant de rien faire. Je ferois bien aife que vôtre derniere reponfe parût7) car Mr Renaud trouve oujours ici des partifans, et meme Mr Bernoulli le medecin m’a mandé qu’il 4) Comparez la Lettre N°. 2859 à la page 626. 5) Bernoulli, toutefois, a accepté la chaire de Groningen. Il l’occupa depuis décembre 1695 jusqu’en 1705. 5) Voir le début de la Lettre N°. 2892 et consultez la note 2 de cette lettre. 7) Comparez la pièce N°. 2882. Elle parut dans le numéro de l’,, Histoire des ouvrages des Sçavans” pour les mois de septembre, octobre et novembre 1694, sous le mois de novembre, mais il est très possible, et l'ignorance de de l’Hospital le ferait présumer, que ce numéro aété antidaté, tout comme celui pour les mois de mars, avril et mai de la même année; voir la note 1 de la pièce N°. 2860. #). Dans la préface de l’ouvrage de 1714, cité dans la note 12 de la pièce N°.2826, Bernoulli raconte comme il suit ce qui s'était passé à ce sujet entre lui et de l’Hospital, décédé en 1704. »Feu Monsieur Huygens s’étant trouvé d’un sentiment different” [d’avec Renau] ,,sur quelques principes, forma une objection contre la manière de determiner la Vitesse des Vais- séaux de Monsr. le Chevalier Renau; Ce dernier répondit, mais Mr. Huguens repliqua; Cette célébre Dispute ayant partagé les sentiments des Mathematiciens en France, feu Monsr. le Marquis de l’Hôpital desirant de sçavoir mon sentiment sur cela, me communiqua un état abregé de cette dispute. Comme je n’avois encore vû le Livre de Monsieur le Chevalier Renau, & que ses raisons, telles que me les avoit rapportées Monsr. de l'Hôpital, me parois soient bonnes, je me determinai sans balancer en faveur de Mr. le chevalier Renau”. #»Du depuis j’ai passé plusieurs Années sans avoir eu occasion d’y penser, & peut-être aurois je entierement oublié cette dispute sans une Lettre que je reçus...... ce qui ayant reveillé ma curiosité, je voulus scavoir précisement par moi-même, en quoi consistait le noeud de cette difficulté; Je 1ûs pour cet effet le Traité de la Theorie...…. Cette lecture a abouti à me faire reconnoître, que non seulement e devois me retracter de ce que j’avois autrefois avancé en faveur de Monsieur le Chevalier Renau sur le simple rapport de Mr, de l'Hôpital, mais encore à me faire decouvrir une autre méprise très importante, touchant la Dérive des Vaisseaux”, [voir à ce propos la note 15 de la pièce N°. 2826] ,,que Monsr. Huygens n’a pas remarquée, ou plûtôt qu’il a passée comme une chose non-erronnée dont il demeuroit Œuvres. T. X. 89 706 CORRESPONDANCE. 1695. etoit de fon fentiment, et m'en a aporté des raifons*) dont je vous ferai part fi vous le fouhaitez, je vous prie cependant de n’en point parler. Je fuis MONSIEUR tres veritablement vôtre trefhumble et tres obeiflant ferviteur le M. DE L'HospiTAL. A paris ce 21.e fevrier. Holande A Monfieur Monfieur HUGENS DE ZULICHEM Seigneur de Zeelhem int noordeinde naaft de Crabte A la Haye. d’accord, en sorte qu’il est tombé dans le mème paralogisme, ce que je prouve évidemment dans cet Essai”. ; Or, lorsque la correspondance de Jean Bernoulli avec de l’Hospital, citée dans la note 14 de la Lettre N°. 2829, aura été publiée, on pourra se convaincre que Jean Bernoulli s'était bien plus compromis en faveur de Renau qu’il n’a voulu avouer dans ce récit. En effet, il résulte de cette correspondance que Bernoulli, dans sa lettre du 9 septembre 1694,écriteaprès lecture de la , Remarque” de Huygens (notre N°. 2826) et de la ,, Réponse” de Renau . (notre N°. 2848), s'était prononcé avec la plus grande décision pour Renau et contre Huy- gens, et cela sans avoir reçu aucun ,abregé”? de la dispute de la part de de l’Hospital, qui, en Jui envoyant ces écrits, s'était simplement borné à lui demander son avis. Et dans les lettres qui suivent Bernoulli persévère dans ce sentiment, tâchant de le faire partager par de l’'Hos- pital, nonobstant les hs présentées sans beaucoup d’insistance, il est vrai, par son correspondant, et nonobstant la Réplique de Huygens, notre N°. 2869, que de l’Hospital lui avait fait parvenir. Ce n’est qu’une seule fois, dans une lettre du 27 octobre 1694, que Bernoulli, sentant peut-être l’insuflisance des raisons qu’il venait d’apporter, a fait sa réserve en ajoutant, après avoir plaidé encore une fois la cause de Renau : ,, Voyla donc mes pensées que j’ay rapportées icy sur la dispute de ces deux grands hommes, non pas que je veuille refuter l’opinion de M. Hugens, mais plutost pour faire voir quelles peuvent etre les instan- ces de M. Renaud : aussy ne pra pas juger de tout ce qui est contenu dans le beau livre 4e la manoeuvre des vaisseaux ne ayant jamais vû que je sçache”. Ajoutons que les passages en question de cette correspondance, commeaussi ceux que nous rapporterons dans la suite, nous sont connus par les copies qui se trouvent à Gotha, et que M. le Prof, Enestrôm de Stockholm a bien voulu les vérifier et collationner sur les lettres originales. SC à 2 en mb dit drnne Sands CORRESPONDANCE. 1695. 707 N° 2890. ConsraANTYN HuycEns, frère, à CHRISTIAAN HUYGENs. 23 FÉVRIER 1695. La copie se trouve à Leiden, coll. Huygens. La lettre fait suite à une lettre que nous ne connaissons pas”). Chr. Huygens y répondit par le No. 2891. Kenfington ce 23 Febr. 1695. N'ayant point eu de vos lettres depuis quelques femaines je n’ay auffy rien appris des chofes, qui font l’objet de noftre curiofité, defquelles je vous prie de me donner quelqu’information. Comment va t’il de voftre Planetographie ? ?) N’avez vous rien appris du livre que Hartfoeker vouloit faire imprimer touchant la Poliffeure des verres ? Comment en eft il du livre de Monfieur Witfen de la Tartarie ? 3) Sije ne me trompe, vous m’avez dit qu’il eftoit fous la preffe. Ce que je fouhaiterois extrefmement avec une infinité d’autres perfonnes. Outre les deffeins et les eftampes que j’ay eu il y a quelque tems de la colleétion de Lilly +), j’en ay trouvé quelques cinq ou fix fort jolis et que j’ay eu a jufte prix par l’ignorance du pofleffeur. Tout cela contribuera a la Phtyfie de Monr. de Berkeftein. Il ne me fouvient pas bien, fi vous m’avez parlé ou efcrit pour vous faire avoir le livre qu’un Warren 5) a fait contre l’Archeologia de Burnet®) que je trouve dans le Catalogue de ma Bibliotheque que j’ay icy, et que pour cette raifon, je ne fcaurois m’imaginer comment vous n’auriez pas encore veu. Si vous le defirez, je vous en apporteray un. L’enterrement de la Reine?) n’eft pas encore tout a fait reglé, ny le jour fixé. Je feray tourmenté par le monde, qui voudra voir paffer le convoy devant mes feneftres. Tempion l’Horloger *) me fuft voir l’autre jour, et me dit qu'il travailloit a la conftruétion d’une machine pour fervir fous l’eau a pefcher les chofes noyées, et elle devoit avoir un tuyeau qui fortira de la fuperficie de l’eau, et fournira de l’air au travailleurs. Je luy ay confeillé de fe tenir a En qu'il peut avoir dans le Fleet-ftreet. 1) Voir la Lettre N°. 2888, note 1. ?) Le Cosmothéoros; voir la Lettre N°. 2844, note 6. 3) Voir la Lettre N°. 2846, note 4. +) Voir la Lettre N°. 2888 à la page 704. $) Erasmi Warren Geologia: or a Discourse concerning the Earth before the Deluge &c. Lon- don, Richard Chriswell, 1690, in-4°. 5) Voir la Lettre N°. 2808. 7) La reine Mary d'Angleterre était décédée le 7 janvier 1695. #) Voir la Lettre N°. 2846, note 8. 708 CORRESPONDANCE. 1695. J'ay eu l’autre jour auffy Quare l'Horloger Quacker »), qui fe meft fort fur les rangs, et pretend de difputer la fuperiorité a l’autre. Il fait des Barometres qu’on peut tranfporter de lieu a autre fans peine et fans les gafter ny mettre en des- ordre. On croyoit icy eftre quitte de l’hyver, mais aujourdhuy il eft encore tombé une aufly groffe neige, qu’il y en a encor eu de toute cette année. On achete les perdrix a 5. et6. fols la piece tant qu’on veut, leur pied les trahiffant dans la neige. N'y a r’il point eu de rupture des digues, par ce dernier degel ? Adieu. 2 é Ë N° 2801. CHRISTIAAN HuyGEns à ConsranryN Huycens, frère. 4 MARS 1695. La lettre et la copie se trouvent à Leiden, coll. Huygens. La lettre est la réponse au No. 2890. À la Haye ce 4 mars 1695. Je refpons a voftre lettre du 23 Fevr. que je ne recus que fur la fin de l’autre fe- maine. Je vous ay defia mandè par ma precedente *) que mon Cofmotheoros devoit eftre commencè a imprimer dans peu de jours. Le libraire Moetjens *) eft caufe que cela n’eft pas avancè comme il devroit, car la premiere feuille eftant impri- , mée, il me lanterne, parce qu’il a entrepris d’autres ouvrages, qui doivent fe debi- ter a la foire de Francfort. Il m’a donnè parole de recommencer la femaine pro- chaine. Cependant je corrige tousjours cet efcrit et jy adjoute, ce qui fait que le retardement me fafche moins. Peut eftre Mr. Witzen fait de mefme de fa Tar- tarie 3) dont je n’entens plus parler. J’ay efcrit hier a Paris#) pour m’informer couchant le Traité de Hartfoecker, que l’on avoit promis qu’il paroitroit des le mois d’Oétobre 5). Joubelot le Philofophe®) frere de noftre Voltigeur?), en devoit 9) Daniel Quare, de la confrérie des Quakers, horloger de Willem III, pour lequel il construisit une horloge pouvant marcher toute une année, sans être remontée. Il obtint une patente pour ses baromètres transportables le 2 août 1605. et fut élu Master of the Clockmakers Company, le 9 septembre 1708. Il mourut à l’âge de 75 ans, le 21 mars 1724. D’après le Journal de Constantyn Huygens, il paraît s’être associé avec Tempion pour l'exploitation des baromètres transportables. 1) La Lettre N°.2888. ?) Adriaan Moetjens, l'éditeur du Cosmotheoros, libraire à la Haye. 3) Voir la Lettre N°. 2846, note 4. 4) Probablement la lettre adressée au marquis de l’Hospital, de laquelle il est question dans la Lettre N°. 2892. Ù 5) L’,,Essay de Dioptrique, par Nicolas Hartsoeker” parut en 1694 à Paris, chez Jean Anisson, - in-4°. 5) Louis Joblot ou Joubelot naquit à Bar-le-Duc en 1645 et mourut à Paris le 27 avril 1723. Depuis 1680 professeur de mathématique à l’Académie royale de peinture et desculpture à Paris, il publia plusieurs articles sur le magnétisme et l’optique, reproduits avec quelques-unes de ses lettres dans l’ouvrage cité dans la note 4 de la Lettre N°. 2147“ (voir le Supplément de CORRESPONDANCE. 1695. 709 donner un de la Lumiere pour le commencement de cette année. Il vient de me dire ce dernier que de longtemps il n’a eu des nouvelles de fon frere, mais j’en auray de Paris aufli la deffus. Je voudrois que vous fufliez paflè la mer et que nous viflions tous ces beaux deffeins et eftampes. Mr. de Berkeftein ne fçaura de moins rien de ces derniers, que vous avez eu fi bon marchè. Le livre que vous dites avoir achetè pour moy *) fera ce recueil de voiages de Narborough &c. En voicy un autre que j’ay lu, mais que je vous recommande. Ce font Refleétions upon Ancient and Modern Learning de Wotton?), et fe vend in Fleedftreet, at the fign ofthe Temple, near the Inner Temple gate. on trouve dans ce Traitè routes les nouvelles decouvertes, fur tout en Anatomie, fort particulierement rapportees. Un autre qu’on m’a dit eftre bon, eft de Numeris infinitis par Rafson *°). Celuy de Warren contre la Geologie de Burnet eftant dans voftre Bibliotheque, vous n’avez qu’a me dire, ou je le trouveray là, c’eft a dire a quel nombre. Per- fonne n’a t'il efcrit contre fon Archæologie que ce pauvre Graverole ? *). Cette machine de Tempion a eftè tentée par plufieurs *?), mais elle eft de difficile et dangereufe execution. fur tout, quand ce vient a faire que celuy qui eft enfermè puiffe travailler au dehors 3). Vous lui aurez parlè, comme je crois, de ma nouvelle invention d’horloge, dont je vais faire la defcription et demonftration. J’en ay fait accommoder une vieille a pendule de 3 pieds, qui montre aufli l’heure du foleil, fans qu’il foit befoin de l’Equation du temps. Les Barometres du Quaker font du livre de d’Alancè ‘#), mais peut eftre il les ce Volume). En outre il publia en 1718 un ouvrage intitulé: ,, Description et usages de plu- sieurs nouveaux microscopes, tant simples que composez avec de nouvelles observations faites sur une multitude innombrable d'insectes, et d’autres animaux de diverses espèces, qui naissent dans les liqueurs préparées et dans celles qui ne le sont point”. A Paris, chez Jacques Collom- bat. En 1895 une biographie de L. Joblot a paru dans les Mémoires de la Société des lettres, sciences et arts de Bar-le-Duc, 3e Série, T. IV, sous le titre: ,Un savant Barrisien, précur- seur de M. Pasteur, Louis Joblot, par Wlodimir Konanski”. .7) Très probablement le Joubelot de notre Tome IX. 8) Voir la Lettre N°. 2888, note 8. 9) William Wotton, docteur en théologie, ami et disciple de Burnet. Il mourut le 13 janvier 1727. La seconde édition de son livre porte le titre : Reflections upon Ancient and Modern Learning. By William Wotton, B. D. chap- lain to the Right Honourable Earl of Nottingham. The Second Edition with large Ad- ditions with a Dissertation upon Epistles of Phalaris, Themistocles, Socrates, Euripides, &c. and Aesop’s Fables by Dr. Bentley. London, Printed by J. Leake for Peter Buck, at the Sign of the Temple, near the Inner-Temple Gate in Fleet-Street. MDCxCvir. in-12°. 19) Joseph Raphson, membre de la Société Royale de Londres. Il mourut en 1715.Son principal + ouvrage est intitulé : Analysis aequationum universalis, et parut à Londres en 1697. 11) Voir la Lettre N°. 2846; note 6. 12) Entre autres par Drebbel et par Papin; voir la Lettre N°. 2691. 13) Comparez la Lettre N°. 2706. 4) Voir, sur d’Alencé, la Lettre N°. 2074, note 3. Il s’agit de son ouvrage: Traité des baromè- 710 CORRESPONDANCE. 1695. aura perfectionnez. Il y a icy proche le fils de l’Architeéte Rooman 5), qui tafche d’en faire, mais il y a cet inconvenient, que l’air de dehors doit paffer a travers la boète de buis, pour prefler la furface du vif argent, et que cette liqueur n’y doit point paffer. Vous aurez fçu que le coufin de Moggerfhil #) a la petite verole. J'y eftois lors que cette nouuelle fut apportée. vous pouvez vous imaginer quel trouble cela caufa. Je viens d’y envoier maintenant, et j’apprens qu’il fe trouve affez bien nae den tijdt 7). mais le frere de St. Annelant a mal aux pieds et aux mains, avec beaucoup de douleur. Le temps eft variable icy comme par de la, avanthier il geloit derechef et bien fort depuis hier il degele, et j’efpere qu’il continuera. Ce fera quand les neiges des montagnes feront fondues, que nos digues fans doute auront a fouffrir, car il en tombe comme vous fcavez une prodigieufe quantitè. Si vous aviez un Barometre dans voftre chambre, ce feroit une chofe a faire, de marquer chaque jour combien il haufferoit ou baifferoit, et le mefme icy. pour voir fi ce changement dans la pefanteur de l’air s’ecend fi loin [ ce ]*) que je crois eftre ainfi par ce que je fcay qu’on [l’a] ‘*) par toute l’Angleterre. Jay lu une Eclogue Angloife 9) fur la mort de la Reïne, qui a valu a fon autheur 100 guines, a ce qu’on dit. Je ne fcay fi vous en eftes plus content que moy, qui ne le fuis guere. Comment peut on fouffrir ces noms de Pañtora, d’Aftrofel &c.? Et ces pointes et hyperboles outrées? Je vois cependanr que ceux de la nation eftiment fort haut cet ouvrage, comme ils font enclins a admirer les chofes de leur païs, des quelles la poefie me paroït bien eftre des moindres. N’avez vous rien fait fur ce fujet ? *°). Mijn Heer . Min Heer van Zuylichem Secretaris van Syne Koninglijcke Majefteit van Engelandt Tot Londen. tres, thermomètres et notiomètres ou hygromètres. Par Mr. D***, A Amsterdam 1688. in-12°. Une traduction hollandaise a paru encore en 1728 sous le titre : Verhandelingen over de Barometers, Thermometers en Notiometers of Hygrometers, door den heer D. Uit het Fransch vertaalt. In ’sGravenhage, bij Gerard Block. mM.p.cc.xxvu1. in-12°, Le baromètre transportable s’y trouve décrit pp. 33—35. 15) Jacobus Roman, sculpteur et architecte à la Haye. Sur l’ordre de Willem LIT il restaura et acheva le château de Breda, commencé en 1536 par Henri de Nassau. 16) Philips, fils du beau-frère Doublet; voir la Lettre N°. 2170, note 5. 7) Traduction : ,,eu égard au temps”. * 18) Mots emportés par une déchirure de la lettre. 19) The Mourning Muse of Alexis. A Pastoral Lamenting the Death of our late gracious Queen of ever blessed memory. By Mr. Congreve. London. 1695. in-4°. 2°) Ici finit la dernière lettre que nous possédons de Chr. Huygens. ce Ml A A Le LA De RS DD rer CORRESPONDANCE. 1695. 711 N° 2892. Le Marquis DE L’HospiTAL à CHRisTIAAN HuyGEns. 14 MARS 1695. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle a été publiée par P. J. Uylenbroek*). Elle est la réponse à une lettre que nous ne connaissons pas *). À Paris le 14 Mars 1695. Celleci Monfeur eft pour vous donner avis qu’aufli-toft que j’ay receu vôtre lettre du 3e mars je n’ay point manqué d’ecrire à Mr Bernoulli dont j’atens la reponfe au premier jour. Ainfi vous pouvez conter que vous ferez inceflamment eclairci fur cette affaire. J'aprens avec plaifir que vous faites imprimer un petit traité philofophique avec la defcription de vôtre nouvelle horloge 3) que j’ai beaucoup d’impatience de voir eftimant infiniment tout ce qui vient de vous. Mr Hartfoeker m’eft venu aporter fon livre qui eft intitulé effay de dioptrique que je n’ai point encore lù, mais fur ce qu’il m’en a dit autre fois je ne fuis point content de fes idées fur la phifique. A legard du livre de Mr de la Hire il con- tient plufieurs petits traitez. Ce qu’il y a de purement mathematique regarde les Epicycloides #), il y maltraite fort Mr. Tchirnhaus quil reprend fur fa cauftique 1) Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. I, p. 322. 2?) La Lettre N°. 2891 (voir la note 4 de cette lettre) et l’extrait suivant d’une lettre de de l’Hospital à Jean Bernoulli, datée du 10 juin 1695 nous font connaître du moins partiellement le contenu de cette lettre perdue : , Voici l’histoire de la chaire de mathematique d’holande. M. Hugens a qui j'ecrivis il y a deja longtems que s’il se presentoit quelque chaire de mathe- matique en holande il me feroit plaisir de m’en avertir et de vous la procurer” [nous n'avons pas rencontré une phrase de cette portée dans les lettres de de l’Hospital à Huygens] ,,m’a écrit une lettre par laquelle il me prioit de savoir de vous si vous seriez toujours dans le mesme dessein, je luy fis réponse qu’il me falloit mander les appointemens de cette chaire et le lieu de la ville, afin que vous puissiez vous determiner plus facilem.t la dessus. Il me mar- qua qu’il y avoit 1200 d’appointement, monnoye d’holande qui valent 1440 4 de celle de france & que la ville étoit Groningues, mais qu’il me prioit instamment de ne vous point nommer la ville que vous n’eussiez donné parole positive de l’accepter. Sur cela je vous ecrivis la lettre que vous scavez, et aussitost que je receus vostre reponse, j’écrivis a M. Hugens que je vous trouvois ebranlé mais que vous désiriez scavoir si l’on soubhaittoit en par- ticulier vostre personne et la ville et les autres particularités que vous me marquiez dans vostre lettre. Sur cela je n’ay eu aucune reponse de M. Hugens quoique je luy aye encore écrit deux fois depuis” [lettres que nous ne connaissons pas]. ,, Mais apparemment qu’il l’a fait servir à Mrs. les curateurs de l'académie de Groningue, qui vous ont fait ecrire la lettre dont vous me parlez”. 3) Comparez la Lettre N°. 2889. 4) Voir la note 12 de la Lettre N°. 2893. 712 CORRESPONDANCE, 1695. circulaire fans faire aucune mention des journaux de leipfic ou cela a deja été fait 5); de forte qu’a vous parler franchement je trouve que cela vient un peu tard, d’ailleurs fes demonftrations font à la maniere des anciens, ce qui lesrend longues et ennuyeufes. J'ai refolu pendant mon voyage de la campagne un probleme de mechanique qui me paroit affez curieux, et qui peut eftre fort utile, mais comme je l’ai envoyé il y a deja quelque temps à Mr Bernoulli pour etre mis dans les actes de Leipfic®) je ne vous en dirai rien ici. Cela a donné occafion à Mr Bernoulli de propofer un probleme que voici. Trouver dans un plan vertical la courbe ABC, telle que le poids B qui defcend librement le long D de cette courbe la preffe en tous fes points avec la meme force centrifuge: ou ce qui revient au fl même trouver une courbe DE, telle que le poids B attaché au fil BE enveloppé autour de cette courbe et defcendant par fa pefanteur rende toujours avec une egale force le fil BE7). J'enai trouvé fur le champ une folution, qui me donne pour la nature de la courbe ABC en nommant la coupée AF, x; et l’appliquée FB, y; cette equation 4xx = — 2$— 54ÿy + 444ÿy—43 Ÿ). Je vous enverray, fi vous le fouhaitez la maniere dont je m’y fuis pris. s) Voir l’article de février 1690, cité dans la note 15 de la pièce N°. 2626, dans lequel von Tschirnhaus reconnait l’erreur commise sur laquelle on peut consulter la pièce N°. 2626 et l’article de Jean Bernoulli qui parut dans les ,, Acta” de janvier 1692 sous le titre : ,,Solutio Curvae Causticae per vulgarem Geometriam Cartesianam; aliaque, Auctore Johanne Ber- noulli, Med. Cand.”. 5) L'article en question parut dans les ,, Acta” de février 1695 sous le titre: ,,[lustris Mar- chionis Hospitalii solutio Problematis Physico-Mathematici ab erudito quodam Geometra propositi”. Dans cet article il s’agit du problème du pont-levis, c’est-à-dire de la détermi- nation de la courbe sur laquelle un poids donné fait équilibre partout avec un pont-levis à l'extrémité duquel il est attaché par une corde passant sur une poulie. 7) Ce problème fut propôsé publiquement aux géomêtres par Jean Bernoulli dans une ,Ad- ditio”’ à l’article : ,,Excerpta ex Literis Illustris D. Marchionis Hospitalii ad Joh. Bernoulli, addenda ejus Solutioni problematis aequilibrii in Actis Eruditorum Lipsiensibus A. 1695. pag. 56. publicatae”, qui parut dans le Tome II des ,, Actorum Eruditorum quae Lipsiae publicantur Supplementa”. Lipsiae, Typis Johannis Georg I. A. M.DC.XCVI. Dans cette ,, Additio” Bernoulli fait remarquer l’affinité du problème avec celui de la courbe isochrone, tam Hugeniana quam Leïibnitiana et il ajoute: ,,Problemati huic satis- faciunt plures variorum graduum curvae”. #) Probablement de l’Hospital a voulu se borner au cas où la pression sur la courbe est non seulement constante mais de plus égale à la pesanteur même du poids. C’est d’ailleurs le seul cas auquel, comme dans la solution indiquée, le quotient différentiel % s'approche de zéro avec les valeurs croissantes de l’ordonnée y. Toutefois dans ce cas encore la solution est CORRESPONDANCE. 1695. 713 J1 y a quelques années que j’avois compofé un traité ?) où j’explique tout ce qui regarde le calcul differentiel, et j’avois deffein d’y ajoûter plufieurs methodes pour l’inverfe de ce calcul parmi les quelles etoit celle qui m’a donné la quadra- ture de la feüille de Defcartes par rapport à fon axe *), j’avois deffein aufli de faire voir l’ufage de ces deux calculs pour la refolution des queftions ou la phifique etmechanique entrent. Mais ayant receu une lettre de Mr Leïbnitz ‘*) par laquelle il me marque qu’il a deffein de donner au public un traité de Scientia infiniti, je m'en abftiendrai n’etant pas jufte de prevenir fon travail, puifqu’il eft l’aucheur de ce calcul, et que d’ailleurs il s’en acquittera beaucoup mieux que moi. Je pourai cependant donner ce qui regarde le calcul differentiel parce que cela eft achevé, et ne nuira point au livre de Mr Leibniz, et qu’au contraire cela poura fervir à le faire entendre plus facilement. 11 m'a meme prié fort honnettement de le faire **), et dans la fuitte, lorfque ies ouvrages de Mrs. Leibniz et Neuton auront paru, je pourai peut-eftre achever le mien, aufli bien le nombre des affaires que j’ai à prefent m’empefche d’avoir affez de loifir. Je vous prie Monfieur de me conferver toujours l’honneur de vôtre amitié et d’être perfuadé qu’on ne peut être plus parfaitement que je fuis vôtre trefhumble trefobeiffant ferviteur Le M. DE L'HospiTaAL. Si Mr Bernoulli accepte le parti que vous luy propofez comme je l’efpere cet etabliffement me paroïiffant folide, j’eftime que ces Mrs. les Curateurs ne peuvent mieux faire. Car c’eft un jeune homme qui a l’efprit fort penetrant et tout ce qu’il faut pour aller bien loin dans les mathematiques. holande A Monfieur Monfieur HUGENS DE ZULICHEM Seigneur de Zeelhem int noordeinde naeft de Crabte A la Haye. > erronnée, de même qu’une autre solution communiquée par de l’Hospital à Leibniz dans une lettre du 25 août 1693 (voir le Tome II de C. J. Gerhardt, Leibnizens Mathematische Schriften, à la page 281). Plus tard de l’Hospital publia une solution correcte du cas parti- culier mentionné dans les , Memoires de l’Academie Royale des Sciences” de l’Année 1700, sous le titre: ,, Solution d’un probléme physico-mathematique”. 9) L'ouvrage de 1696 cité dans la note 1 de la Lettre N°. 2580. 19) Comparez les Lettres Nos. 2838, à la page 566, N°. 2842 et 2843. 11) Elle était datée du 16 août 1694, ainsi qu’il résulte de la réponse de de l’Hospital, imprimée p.249—255 du Tome II de la publication de Gerhardt citée dans la note 8. *?) Dans une lettre datée du 27 décembre 1694. Consultez, au lieu cité, la réponse de de l’Hos- pital pp. 269—272. Œuvres. T. X. 90 714 CORRESPONDANCE. 1695. N° 2893. G. W. LeiBniz à CHRISTIAAN HuYGENSs. IT JUILLET 1695. La minute se trouve à Hannover, Bibliothèque royale”). Elle a été publiée par C. I. Gerhardt”). La lettre est la réponse au No. 2884. 21 Juin 1695. Plufeurs diftraétions m’ont empeché de jouir de l’avantage que jetire de l’hon- neur de voftre commerce. J’ay appris de M. Bauval Banage 5) que vous aviés efté malade, mais j’efpere que vous vous porterés bien prefentement, ce que jefouhaitte de tout mon coeur, fçachant combien nous importe voftre confervation, etcombien il eft important que nous ayons de noftre temps une perfonne dont le jugement puiffe eftre fuivi feurement fur les matieres les plus profondes; et dont nous at- tendons encor de fi importantes produétions, qui font déja en voftre pouvoir et pourroient eftre donnés par parties, fi vous vouliés vous humanifer comme vous avés fait dans les appendices de voftre excellent livre de la lumiere et de la pefanteur. Un exemplaire du grand miroir#) de Mr. Tfchirnhaus eft à Amfterdam, de forte que vous en pourriés voir l’experience quand vous voudriés, Ce que vous dites, Monfieur, des miroirs concaves de verre, que quelcun fait à la Haye me paroift confiderable. Il eft difficile cependant pour l’ordinaire d’en faire avec de la feuille derriere. On fait des miroirs convexes de verre à Norenberg, qui ont une certaine compofition derriere que tient lieu de feuille. J’ay oui dire à plufieurs qu'ils ont taché en vain de l’apprendre. Et autres fois Mons. Curtius refident du Roy Charles II a Franckfort 5) me dit d’avoir eu ordre de la Société Royale de s’en informer. La feconde edition de Medicina Mentis de Mons de Tfchirnhaus®) a paru à 1) La lettre ne se trouve pas dans notre collection. Gerhardt considère comme probable qu’elle n’a pas été expédiée. La nouvelle prématurée de la mort de Huygens en a probablement été la cause. *) Leïbnizens Mathematische Schriften, Band II, p. 205, et Briefwechsel p. 757. 3) Henri Basnage de Beauval; voir la note 11 de la Lettre N°. 2426. : 4) Peut-être y a-t-il confusion avec le verre ardent dont il est question dans la note 6 de la Lettre N°, 2877. 5) Probablement Johannes Jacobus Curtius, né à Reutlingen en 1621, jurisconsulte, connu par son grand savoir et recherché comme conseiller par plusieurs hauts personnages de son temps. 5) Voir la Lettre N°. 2466, note 1. CORRESPONDANCE. 1695. 715 Leipzig. Il y corrige’) ce que Monfieur Facio ®) et moy ?) avions remarqué fur fa premiere façon de donner les tangentes par les foyers; qu’il femble attribuer à une maniere d’errata. [l donne encor d’autres theoremes plus generaux, mais je n’ay point le loifir qu’il faudroit pour mediter la deffus. Il en faut laiffer le foin à Mons. le Marquis de l’Hofpital, qui a trouvé la regle la plus generale *°) qu’on puiffe fouhaitter là deffus autant que je m’en fouviens. Quant au denombrement des courbes de chaque degré Algebraique, il le donne autrement que dans fa premiere edition, mais je m’etonne qu’il le fait encor d’une maniere, qui me paroïft infoutenable; comme fi on pouvoit tousjours ofter tous les termes d’y excepté un feul. Ainfi dans le 3me degré felon luy, toutes les courbes fe peuvent reduire à ces equations y5= x, y5— xx, y = x + 4%, ÿ5— x + x5, P=AX + %5,ÿ$— X + XX + 3, mettant à part la varieté des coefficients et des fignes. Je m’etonne en effect qu’ayant tant de penetration et de connoiffance, il avance fi aifement de telles propofñtions. Mons. le Marquis de l’Hofpital me man- de *”), que Mons. de la Hire dans un livre fur les Epicycloides **) difpute contre la demonftration de la Cauftique que M. Tfchirnhaus avoit donnée à l’Academie royale des Sciences 3); et repond au paflage de fa Medicina Mentis'*), où Mons. 7) Consultez, à ce sujet, la note 14 de la Lettre N°. 2486. 8) Il s’agit de la pièce N°. 2460 et de l’article d'avril 1689, cité dans la note 14 de la Lettre N°. 2486. 9) Consultez la Lettre N°. 2627, à la page 519. De plus, Leïbniz était revenu sur le sujet en question dans un article qui parut dans le ,, Journal des Sçavans” du 14 septembre 1693, sous ‘ le titre: , Deux Problemes construits par Mr. de Leibniz, en employant la regle generale de la composition des mouvements qu’il vient de publier”. 19) On peut consulter, sur cette règle, la lettre de de l’Hospital à Leibniz, du 15 juin 1693, publiée par Gerhardt pp. 241—245 du volume cité dans la note 8 de la Lettre N°. 2893. Déjà, dans l’article cité dans la note précédente, Leibniz avait fait mention de cette méthode inédite, qui lui plaisait beaucoup, surtout parce qu’elle constituait une application simple et * élégante de son nouveau calcul. 11) Dans sa lettre du 25 avril 1695; voir p. 277—9281 du volume mentionné dans la note pré- cédente. 2) Le Traité des Epicycloides et de leur usage dans les Mécaniques” se trouve inséré dans les Mémoires de l’Académie Royale des Sciences. Depuis 1666, jusqu’à 1699. Edition de Paris, Tome IX, p. 341. Voir les pages 458 et suivantes. 13) En 1682, consultez la Lettre N°. 2324 à la page 463. Et voici ce que de la Hire rapporte dans son livre à propos de cette séance: , il” [von Tschirnhaus] ,nous voulut demontrer quelle etoit la grandeur de cette ligne courbe” [la catacaustique du cercle pour le cas de rayons parallèles] ,,par rapport au diametre du quart de cercle dans lequel elle est decrite; mais... la methode dont il se servait pour sa demonstration etoit une espece d’evolution fort differente de celle dont mr. Hugens s’est servi dans son traité des pendules et qui ne nous sembloit point geometrique, n’ayant pas demontré quelques lemmes qui devoient preceder cette evolution.” 14) Voici le passage en question, que l’on trouve aux pages 75 et 76 de l’édition originale, celle 716 CORRESPONDANCE. 1695. Tfchirnhaus avoit cité voftre approbation *5),et m’avoit même fait l’honneur de me nommer ‘%) avec vous. Mons. de la Hire dit que voftre exa@itude eftant connue vous ne vous feriés pas fié fans doute à de telles demonftrations. Je remarque que Mons. de Tfchirnhaus a retranché ce paffage, où il s’eftoit rapporté à voftre juge- ment. Il affeéte aufli partout d’eviter l’ufage de mon calcul des differences, bien eloigné en cela de vous, Monfieur, qui aviés toutes les raifons de monde de vous cenir entierement à vos propres Methodes qui vous avoient fervi à tant d’importan- ces decouvertes avant que j’avois commencé d’yavoir quelque entrée; et qui n’avés pas laiffé de vous abaiffer tout grand Maïftre de l’art que vous eftes, à employer de 1687, de la ,Medecina mentis”. ,,Hinc infinitis novis inventis omnes matheseos parti- culares scientiae locupletantur... Dioptricam quod attinet, ut & Catoptricam, innumera quoque in iis nova oriuntur. Unum horum in Actis Eruditorum”, [ceux de novembre 1682, dans l’article cité dans la note 4 de la Lettre N°. 2274] ,,quae Lipsiae eduntur, publicè exhibui specimen, cujus etiam demonstrationem viris ingeniosis privatim communicavi. Horum ego jam fontes genuinos aperio, ex quibus haec infinitis poterunt locupletari modis”. »Novi equidem quendam” [de la Hire probablement] ,de veritate primarii theorematis, nempe in quo ostendo, solis radios incidentes in curvam & inde reflexos suis intersectionibus curvas formare, rectis semper aequales, dubitasse, &, ut mihi relatum est, etiamnum dubitare; quia vero demonstrationes hae jam dudum fuêre probatae a D. Hugenio & D. Leibnitio, qui absque dubio inter primos nostri aevi mathematicos numerantur, parum his moveor: praestat pergere” À propos de ce passage de la Hire remarque, qu’ il n’y a personne qui puisse douter que les courbes formées par les intersections des rayons du soleil réfléchis lors qu’ils tombent au dedans d’une courbe, ne soient egales à des lignes droites, non plus que toute autre sorte de courbes et le cercle même; mais la difficulté est de demontrer quelle est la grandeur de cette ligne droite”, ce qu’il prétend n’avoir pas été accompli par von Tschirnhaus. 15) Comme on le voit, cette prétendue approbation se rapporterait au théorème mentionné dans la , Medicina mentis” et qu’on retrouve dans la Lettre N°. 2274, d’août 1682, à la page 381, comme aussi dans l’article de von Tschirnhaus mentionné dans la note 4 de cette même lettre. C’est de ce théorème que la rectification de la catacaustique du cercle se déduit immédiatement. Or, cette rectification est identique avec celle formulée à la dernière page du »Traité de la lumière’”, publié en 1690, mais dont le manuscrit existait depuis 1678, etavait été vu par von Tschirnhaus, nommément la partie qui se rapportait à la catacaustique du cercle. C’était même sur ce fait que se fondaient les suspicions que Huygens exprimait contre von Tschirnhaus dans la pièce N°. 2626. D'ailleurs il est bien probable qu’une ou plus d’une des démonstrations dont Huygens fait mention à la page citée du ,, Traité de la lumière” menaient au théorème en question. Voir encore la Lettre N°. 2670 et la pièce N°. 2671. 76) Voir encore le passage cité dans la note 14. Dans sa lettre du 27 mai 1682 (publiée dans Gerhardt, ,Leibnizens mathematische Schriften”’, Bd. 4, p. 489,) von Tschirnhaus avait communiqué à Leibniz le théorème en question sans en donner la démonstration. Dans sa réponse (voir pp. 493 et 494 de la publication citée) Leibniz y suppléa de sa propre in- vention, et von Tschirnhaus, dans sa lettre du 27 juillet 1682 (voir p. 498), assura que cette démonstration ne différait par de la sienne. RP PE JE RS dan vu ei CORRESPONDANCE. 1695. 717 encor une nouvelle Methode ‘7) d’un de vos difciples, car vous ne devés pas igno- rer que je pretends. à l’honneur de l’eftre, et que j’en ay fait profeflion publique plus d’une fois :*), Au lieu que je crois que Mr. de Tfchirnhaus a profité un peu de mes meditations, et plus qu’il ne penfe luy même. Il eft vray que je m’imagine qu’il. ne s’en.eft point apperçû, et c’eft pour cela que je ne l’accufe point de peu de fincerité. Je ne laiffe pas de trouver cette affeétation un peu extraordinaire. Vous aurés vü, Monfieur, les deux livres de Monfieur Bernard Nieuwentiit, Geometre Hollandois'?),qui me les a envoyés par un autre Mathematicien du pays qu’il cite dans fon livre nommé M. J. Makreel °°), qui a écrit fur le livre qu’il me l'envoye jufu autoris. Je m’imagine que ces Meflieurs vous feront connus. Pour ce qui eft des objeétions de Monfieur Nieuwentiit, jy repondray dans les Aétes de Leipzig ?"). Premierement il me fait une objection fur un point qui m’eftcommun avec Meflieurs Fermat, Barrow, Newton et tous les autres, qui ont raifonné fur les grandeurs infiniment petites. Car il dit que felon luy deux grandeurs font egales, quand leur difference eft rien, et non pas, quand elle eft feulement infini- ment petite. Mais pour employer cependant et juftifier nos raifonnemens, il prend un plaifant tour. [1 dit que ce qui ne fcauroit devenir une quantité ordinaire, quand on multiplieroit par un nombre infini, doit eftre appellé rien, et n’eft pas une quantité. Et que pour cela, quoyque 4x foit quelque chofe, neanrmoins le quarré dxdx ou le rectangle 4x4y n’eft rien; parce qu’un tel reétangle multiplié par un nombre infini ne devient une grandeur. Il eft aifé de luy repondre que le reétangle doit eftre multiplié par un nombre infini du fecond degrée puis qu’il eft infiniment petit du fecond degré; c’eft à dire par un nombre infini multiplié par À e 17) Comparez la pièce N°. 2823 à la page 513, où Huygens professe d’avoir employé avec avan- tage le ,calculus differentialis” de Leibniz. 18) Voir la note 12 de la Lettre N°. 1919. 19) Bernard Nieuwentijdt, né le roaoût 1654 à Westgrafdijk; il s’établit comme médecin à Pur- merend, où il exerça en même temps les fonctions de membre du Conseil de la commune et de bourgmestre. De plus il donna des leçons de physique expérimentale et publia des ouvrages dephilosophie, à tendance téléologique, ainsi que demathématiques, parmi lesquels les deux suivants sont ceux dont parle Leïbniz. Bernhardi Nieuwentiit, Considerationes Circa Analyseos ad quantitates infinitè parvas applicatae Principia, & Calculi Differentialis Usum In resolvendis problematibus geometricis. Amstelaedami. Apud Joannem Wolters, Anno 1694. in-1 2°. Bernhardi Nieuwentiit Analysis Infinitorum, seu Curvilineorum Proprietates ex Polygo- norum natura deductae. Amstelaedami, Apud Joannem Wolters, Anno 1695. in-12°, Nieuwentijdt mourut le 28 mai 1718. 29) Voir, sur Dirck Makreel, la Lettre N°. 2485, note 3. 21) Voir l’article des ,, Acta” de juillet 1695 intitulé : ,G.G.L. Responsio ad nonnullas difficul- tates a Dn. Bernardo Nieuwentiit circa methodum differentialem seu infinitesimalem motas” avec le Supplément imprimé dans le cahier d’août : , Addenda ad Dn.G.G.L. Schediasma Proximo mensi Julio pag. 310 € seqq. insertum”. 718 CORRESPONDANCE. 1695. luy même. C’eft cependant fur ce fondement, fcavoir que dxdx, ou dxdy n’eft rien, qu’il appuye fes pretendues demonftrations du calcul de Mons. Fermat (qu’il attribue a Mr. Barrow) comme fi pour cela les termes où il y a Zx ou dy reftoient, et que les termes, où il y a ou 4xdx ou dydy ou Zxdy devoient eftre rejettès, au lieu qu’on fcait qu’il faut tousjours rejetter les termes qui font incomparablement moindres que ceux qui reftent, et que ceux qui ont dx devoient encore eftre rejettès, fi les ordinaires n’evanouifloient. Cependant c’eft une chofe eftrange, qu’il veut que le cofté, 4x, foit une grandeur et fon quarré dx4dx ne foit rien. Il croit de même que les differences ulterieures, comme 4x ne font rien du tout. Mais comme les x eftant en progreflion geometrique, les x, dx, ddx, d3x, d#x etc. le font aufli, comment peut on dire que les termes x et 4x font quelque chofe, et que la 3me proportionnelle ddx n’eft rien. Je repondray dans les Aétes de Leipzig d’une maniere que j’efpere luy pouvoir fatisfaire et comme fes objeétions font propofées d’une maniere fort honnefte, j’en uferay de même. J’efpere de trouver un jour le loifir d'expliquer diftinétement mon calcul, pour prevenir certaines beveues femblables à celles que Mons. Nieuwentiit a faites en le voulant em- ployer à deffein de monftrer qu’il eft peu feur. HOT 7 Monfieur Bournet gentilhomme Ecoflois, parent de Mons. l’'Eveque de Salis- bury*?) a vû icy ma machine Arithmetique 3) entierement achevée, et des exemples que j’ay faits en fa prefence, qui l’ont furpris;'les produits peuvent aller à 12 figures, et le multiplicandus eft de 8 figures. J’en fais faire encor d’autres exemplaires maintenant pendant que j’ay l’ouvrier à la main. Je fouhaitte fort de voir voftre traité philofophique, qu’on dit regarder.des confiderations particulieres fur la conftitution des autres planetes ou mondes. Vous ne pouvés gueres entreprendre de fujet plus beau et plus digne de vous. Monfieur Mariotte me difoit que vous devriéseftre un jour un des habitans de Saturne, puis qu’il vous a l’obligation de nous eftre devenu mieux connu. Et s’il aime la gloire, il y doit eftre fenfible. Je ne defapprouveroïis pas ce changement de domicile pourveu que vousile fafliés bien tard. Serws in coclum redeas diuque Laëetus interfis populo petenti®+). 1] fera bon que les méditations numeriques de feu M. de Marolles paroiffent, Mais je fouhaitte fur tout que vous nous fafliés part des voftres de temps en temps fur toutes fortes de matieres. Je feray bien aife d’apprendre voftre jugement de mon Code diplomatique ?S); il eft vray qu’il n’y a rien de moy que la preface. 2?) Voir la Lettre N°, 2431, note 2. 73) Voir la Lettre N°. 2884, note 16, 4) Horatius, Carminum, Lib. I, 2. 25) L'ouvrage cité dans la Lettre N°. 2797, note 7. be Créé ont de d to cime prié és ts de Er Rte) RU CORRESPONDANCE. 1695. 719 o N° 2804. G. W. Leisniz à H. BAsNAGE DE BauvaL. 26 JUILLET 1695. Appendice au No. 2893. La minute se trouve à Hannover, Bibliothèque Royale. 16,4. — juillet 1695. ei 95 Je viens d’apprendre, Monfieur, la mort de Monfieur Hugens *) il m’eft fatal d'écrire des lettres à des amis qui ne fauroient répondre, le prince Ernefte Land - 1): Christiaan Huygens est mort après de longues souffrances. Les premiers symptômes de l'atteinte mortelle d’une maladie qui trois fois déjà, lors de son séjour à Paris, avait mis sa vie en danger, apparurent vers l’été de 1694. Qu'il en parle lui- même dans ses lettres à Constantyn (Nos. 2855 et 2864) et même dans celles à Leibniz et à de l'Hospital (Nos. 2854 et 2859) montre bien à quel point ils l’inquiétaient. Toutefois, pour contraindre Huygens à quitter le travail, il fallut que le mal devint plus menaçant encore. C’est ce qu'atteste l’admonition qu’il semble s’adresser à lui-même par quelques vers latins, inscrits dans le livre J des Adversaria sur une page remplie de calculs et de spéculations qui doivent dater de novembre 1694. On y lit: : Strata premens dormi, venturus perditur unà Insomni cum nocte dies, vitaeque brevis pars. Ut valeas sit cura, minantemque effuge morbum; Nam ratio atque animi languent cum corpore vires Tristitia quodcunque agitat mens inficit aegri, Nec tibi judiciis propriis tunc fidere fas est. Nous ignorons si Huygens a pris ses vers de quelque auteur, ou bien s’ils sont sortis de sa propre pensée. On peut les traduire comme il suit : Dormez en plein repos, une nuit d’insomnie, Perdant le jour qui vient, abrège encore la vie. Gardez vous sain et fort, fuyez la maladie; Car la langueur de l’âme, — à celle du corps unie, — Infecte la raison d’amère mélancolie Et trompe qui alors à ses conseils se fie. n’est que trop clair que Huygens, luttant contre l'abattement qui l’envahissait, éprouvait déjà la crainte poignante de ne pouvoir plus disposer de toute la force de sa haute intelli- gence. L’hiver passa sans accident. Mais vers le milieu de mars la gravité de son état se manifesta. Le 23, il fit venir son notaire Adam van der Smalingh pour lui déclarer ses dernières volontés. Celui-ci, dans la superscription du testament olographe, attesta que Huygens était ,,malade de corps mais parfaitement présent d'esprit, comme il nous apparut” (sieck van lichaam edoch sijn verstant volcomentiyck maghtigh synde, s00 ons bleek). Le 28 suivant, Huygens ajouta 720 CORRESPONDANCE. 1695. grave de Heffe, et Monfieur de Seckendorf ne purent lire les miennes, et M. Peliffon la lut en effet mais la mort l’empecha de faire la réponfe qu’il avait déjà promife ?). LE encore à son testament un codicille contenant quelques nouvelles dispositions. D’après une note consignée dans le Journal du frère Constantyn, celui-ci reçut le rer avril à Londres l’avis de Williet, que Christiaan s’était trouvé dans les derniers jours un peu mieux qu'auparavant. C’est encore au Journal de Constantyn que nous devons emprunter les détails suivants, quoi- que, pour la plupart, ils ne nous parviennent que d’une source dont la pureté laisse à désirer, savoir de la femme de Constantyn, Susanna Ryckaert, dont les commérages, rap- portés dans quelques endroits du Journal, accusent un esprit dénué de toute délicatesse de sentiment. 3 Le 16 avril, Constantyn apprit de sa femme que Christiaan se trouvait fort mal, qu’il pas- sait les nuits sans sommeil et vivait dans la crainte continuelle de perdre la raison. On avait dû fermer les volets de sa chambre et interdire toute visite parce que; lorsqu'il parlait beau- coup, son état empirait tout de suite. Il désirait vivement le retour de son frère, pensant que la joie de le revoir lui ferait du bien. Les nouvelles du 26 et du 29 avril furent plus fâcheuses encore. Le malade était en proie à un désespoir que rien ne pouvait distraire. Le médecin van Liebérgen, le même qui l'avait traité en 1670, déclarait que la maladie de Christiaan était la bile noire (la Melancholia Hy- pochrondica de la Lettre N°. 1802); il avait prescrit les mêmesremèdes, les bains.et le pi de chêvre. Lorsque Constantyn revint à la Haye, le 24 mai, il apprit que les douleurs istbéitéles étaient devenues tellement violentes que, pour empêcher que Christiaan n’attentât à sa vie, on avait dû éloigner de lui tout objet qui püût lui nuire. 11 éprouvait des hallucinations et était sujet à des délires. Au commencement de l'été Cônstantyn dut suivre le Roi à l’armée. Le 3e juin, Christiaan avait passé une nuit tranquille. Cependant lorsque, le soir, Constantyn se présenta à la porte de sa chambre pour prendre congé, Christiaan lui fit dire que, s’il voulait le voir dans l’ex- trême détresse, il pouvait entrer, mais que, sans cela, il lui souhaitait un heureux voyage. Constantyn n’insista pas. A l’armée, les nouvelles reçues de la Haye ne purent qu’aggraver les alarmes qui tourmen- taient Constantyn. Le 17 juin, Christiaan avait passé deux ou trois jours dans le délire; le 22, il n’y avait plus d'apparence de guérison; l’amaigrissement du malade était effrayant. Mais, si la médecine était impuissante à soulager les douleurs ou à mitiger la lutte suprême, les idées religieuses du temps prescrivaient de recommander à Christiaan Huygens le secours spirituel d’un pasteur. L’insistance exercée sur le pauvre malade l’irrita au point de provoquer une crise violente. Les souffrances continuèrent jusqu’au 8 juillet lorsque, un affaissement subit s’étant pro- duit, la famille qui l’entourait se crut en droit de faire venir le pasteur contre la volonté du moribond. Les dernières forces de l’auteur du Cosmothéoros s’épuisèrent à repousser les exhortations et les oraisons d’un prêtre calviniste. Enfin la mort vint le délivrer. Christiaan Huygens expira dans la matinée du o juillet 1695, à l’âge de 66 ans. Le Landgrave Ernst de Hesse Cassel était mort le 12 mai 1693; Veit Ludwig von Seckendorf, conseiller secret de la Cour de Brandebourg, chancelier de l’Université de Halle, le 18 dé- cembre 1692; et Paul Pellisson (voir la Lettre N°. 2185, note 1) le 7 février 1693. hé h he PATINOIRE CORRESPONDANCE. 1695. 721 La perte de l’illuftre M. Hugens eft ineftimable peu de gens le favent autant que moy, il a égalé à mon avis la reputation de Galilée et de Defcartes et aidé par ce qu'ils avaient fait il a furpaflé leur découvertes en un mot il fait un des pre- miers ornemens de ce temps. je l’ay fouvent exhorté à nous donner fes penfées quand ce ne ferait que par lambeaux et d’une maniere familiere j”’efpère que fon livre fur le fyfteme du monde et la conftitution interieure des planetes aura efté achevé. Mais comme il avoit couftume de mettre fes penfées par écrit en aflez bonne forme j’efpère qu’on trouvera un grand tréfor parmy fes papiers, je ne fcay s’il n’aura donné quelque ordre pour cela, ce que je ferois bien aife d'apprendre. Mais en cas que non nous y devons fonger. Et moy furtout qui ay eu l’honneur de le connoiïftre depuis tant d’années, et de communiquer fouvent avec luy ce qui m’a donné le moyen de penetrer dans fes penfees, un peu mieux que beaucoup d’autres, il connoiffoit par des preuves publiques combien j’eftois fincere a recon- noiftre en quoy je luy eftois redevable. Et il me rendoit la pareille au deça de ce que je meritois. Je n’ay pas l'honneur de connoïftre Monfieur de Zulichem fon frère, Secretaire d’Eftat du Roy. Et fans cela je prendrois la liberté de l’exhorter à y mettre quel- que ordre convenable. Et fi vous avez quelque liaifon avec luy, ou avec fes amis; je vous fupplie de leur faire connoïftre mes fouhaits qui tendent également au bien public et à la gloire de ce grand homme qu’on ne fauroit affez honorer. j’ay écrit pour faire marquer mes fentiments dans les Aëtes de Leipzig 3) fur ce fujet 3) Consultez les Acta Eruditorum Mensis Augusti Anni M.Dc.xcv, p. 369, à l’article : ,, Ad- denda ad Dn. G.G.L. Schediasma Proximo mense Julio pag. 310 & seqq. insertum””, où Leibniz dit (p. 371): »Dum haec scribo, tristem nuntium mortis Viriincomparabilis, Christianii Hugenii accipio. Non poterant majorem jacturam pati literae illae sublimiores, quae humanae menti aditum faciunt in arcana naturae, Ego Hugenium solo tempore Galilaeo & Cartesio postpono. Cum maxima dederit, expectabantur non minora. Et spero inter schedas ejus thesaurunf quendam repertum iri, qui nos utcunque soletur. Eoque magis orandus est frater ejus, vir meritis in rémpublicam illustris, ut maturata editione communi utilitati pariter ac fraternae gloriae, imo suae consulare velit”. Sous la date du 29 juillet 1695 Leibniz écrivit à Jean Bernoulli. (Gerhardt, Leibnizens Mathematische Schriften, Band III, erste Hälfte, p. 211). »Incomparabilem Hugenium obiisse haud dubie intellexisti. Quanta haec sit jactura, dici satis non potest, ob summum viri judicium, cum maxima profundissimaque rerum notitia con- junctum. Utinam, quemadmodum spero, reperiantur in ejus schedis, ex quibus pars eorum, quae meditatus est, erui & publico commodo produci in lucem possit. Dolendum est quod vis morbi, quae mentem obfuscaverat, non permisit ut ipse, quod optimum visum fuisset, ea de re non statuérit, atque ordinarit. Nisi forte (ut fieri solet) paulo ante mortem ad se rediit ultimamque voluntatem suam aperuit; quod si factum est, non diu latebit”. Joh. Bernoulli, qui venait d’être nommé à Groningen, répondit le 3 sept. (1. c. p.215): »Tristisimum nuncium, de obitu Incomparabilis Hugenii, jam ex Belgio acceperam. Ego ut puto, prae aliis summam feci jacturam, si vel solam eum videndi spem amissam conside- Œuvres. T. X. 91 722 CORRESPONDANCE. 1695. mais vous Monfieur qui n’eftes pas moins qu’eux en droit d’avoir foin de la gloire des grands hommes ne manquerez pas de rendre juftice à un tel ami dans voftre Hiftoire des ouvrages +). Au refte je me rapporte à ma précédente et fuis avec bien du zele MONSIEUR Voftre trefhumble et tres obeiffant ferviteur +) rem. Dnus. Hospitalius mihi scribit habuisse illum 66 annos, & Fratri suo exheredato substi- tuisse heredes nepotes suos. Solatium nobis est, quod ante mortem de Manuscriptis suis op- time disposuerit, nominavit enim, ut audio, duos Mathematicos Batavos, quibus schedas suas committi jussit, ut praestantiora typis mandentur. Quantum damnum si ea intercidissent !”? A la première nouvelle prématurée, qu’il avait reçue de de l’Hospital touchant la mort de Huygens, Bernoulli avait répondu le 23 juin 1695: ,,La plus facheuse nouvelle que vous m’apprenez c’est la mort de Mr. Hugens; en vérité elle m’a tout a fait consterné et j’ay de la peine à me relever; car je contois dèja beaucoup par avance sur son amitié dont j'aurais pû jouir quand je seray en Hollande, en effet l’envie que j'avais de faire connaissance avec ce . grand homme étoit le premier ressort qui me tirait en ce pays-là”. Quant à de l’Hospital, dans sa lettre du 22 août 1695, il communiqua à Bernoulli Pissue fatale de la maladie de Huygens en ces termes: ,,Je ne doute pas que vous ne scachiez la mort de Mr. Hugens. Il était agé de 66 ans, et il a fait heritier ses neveux a l’exclusion de son frere, eta nommé deux mathematiciens de holande pour revoir ses ecrits et avoir soin de les faire imprimer. J’en suis tres faché en mon particulier, car il me faisoit beaucoup d’amitiés. Je suis persuadé que quand il vous auroit connu il vous auroît fort estimé et rendu tous les services qu’il auroit pû. C’est lui qui vous avoit indiqué à Mrs. de Groningue qui s’etoient adressés a lui pour avoir un Mathematicien de sa main, s’etant ressouvenu de la priere que je lui avois faite sur vôtre sujet, comme il me marqua dans sa lettre”. De Beauval s’est acquitté de cette tâche en écrivant, dans la livraison d'août 1695, pp. 542— 547 de son Journal, un Eloge de Mr. Huygens. Après avoir qualifié Huygens comme le plus célèbre Mathématicien du siècle, il donne un résumé succint de ses principaux travaux et termine comme il suit: ,,[l aimoit la vie paisible et méditative. Souvent il se retiroit dans la solitude de la campagne pour être moins distrait & moins dissipé. Cependant il n’avoit point cet humeur triste & sauvage, que l’on contracte d’ordinaire dans la retraite. Ses manieres étoient faciles et humaines. Il faudroit recueillir les éloges qu’il a reçus de toutes parts, pour exprimer l'estime universelle, qu’il a méritée, & les justes regrets que doit causer dans a République des lettres la perte d’un homme si peu ordinaire. Mr. Dierkens (Président du Conseil souverain de Brab.) l’un de ses plus intelligens admirateurs lui a dressé une Epitaphe, et lui applique ce vers de Virgile: Credo equidem, nec vana fides, genus esse Deorum”. FIN DE LA CORRESPONDANCE. SUPPLÉMENT. VERRE 108 4, CORRESPONDANCE. 1657. 725 N° 3929: CuarisTiAAN Huycens à Lopewiyx Huycens. 22 JUIN 1657. La lettre se trouve à Houten, coll. van Rappard”). À la Haye ce 22 juin 1657. Mon frere J'ay eu la mefme penfee que vous touchant l’augmentation de nofître train, et il y a defia 15 jours que j’ay pris un valet, et l’ay fait habiller de deuil ?), car en tout cas je fcavois bien qu’il faudroit un habit pour le garçon qui eft avec vous. Mais fi nous pouvons obtenir de mon Pere qu’il nous laiffe encore cet autre il ne fera pas neceffaire a mon advis de faire la defpence d’encore un habit. En france, a ce que m’a dit Mr. de la Plate 3), l’on laiffe aux garcons la cafacque de couleur, et ne leur donne t on que fimplement un habit noir. Sed de his coram. le principal eft de maintenir la poffeflion. J’euffe efcrit à mon Pere, mais il faut que je m’en aille à Leyden pour chercher quelque quadrant aftronomique afin de pouvoir ob- ferver avecq Mr. Bouillaut l’eclipfe qui fera lundi prochain #), dont il m’a priè. Cofter 5) a obtenu l’oétroy pour 21 an. dont il a recu la lettre ®) ce matin. Je fuis marry que vous paflez mal voftre temps. Adieu Voftre tres afFectionè frere CHr. HuycENs de Z. À Monfieur Monfieur Louis Huycens de Zulichem. ko ér a 1) M. E. W. Moes, Directeur du Cabinet d’Estampes du Musée d'Amsterdam, a récemment découvert cinq lettres de Christiaan Huygens dans la collection de M. A. C. P. G. chevalier van Rappard, qui a bien voulu nous donner l’occasion d’en prendre copie. Parmi ces lettres deux, savoir les Nos. 392 et 1844%, nous étaient complètement inconnues. Les trois autres ont été imprimées dans cette correspondance sous les Nos. 1566, 1903 et 1908, d’après les copies des deux volumes d’,, Apographa” qui font partie de la collection de Leiden. Les deux dernières concordent suffisamment avec les originaux pour nous permettre de rétablir le vrai texte dans la Table des Additions et Corrections, quoique la correction dans la Lettre N°. 1908 (contre les formes au lieu de dans les formes) soit importante par rapport à un détail historique de l’affaire des frères de Witt. La Lettre N°. 1566 au contraire a été tellement mutilée par le copiste que nous avons dû reproduire dans ce Supplément sous le N°. 1566”, les passages corrompus ou supprimés. 2?) A cause de la mort du frère cadet Philips; voir la Lettre N°. 390. 3) François van Aerssen, Seigneur de Plaat; voir la Lettre N°. 246, note 2. 4) Consultez la Lettre N°. 392, spécialement la remarque de la note 2, laquelle se trouve con- firmée par la présente lettre. 5) Voir, sur Salomon Coster, la Lettre N°. 452, note 1. 5) Voir la pièce N°. 525. 726 CORRESPONDANCE. 1666. N° 15664. CHRisTIAAN HuyGEns à Lopewiyx Huycens. 3 DÉCEMBRE 1666. La lettre se trouve à Houten, coll. van Rappard ”). La covie incomblète se trouve à Leiden, coll. Huygens?). a Paris ce 3 Dec. 1666. Dans la Lettre N°. 1566 au lieu de la phrase: je vous croiois encore tous deux a Zuy- lichem etc. il faut lire : Je vous croiois encore à Zulichem et mon P[ere] m’avoic efcrit couchant ce voiage en de termes fi eftranges que je croiois prefque que vous y eftiez comme refugiez et ne fçavois ce que j’en devois penfer. Voila fes mots, Les deux freres) font demain enfemble a Zulichem pour confideration. Dieu [cait quand je les pour- ray reveoir. Me voila donc orbus pater et en profondes melancholies. Dieu veuille conduire le tout : nous [ommes fous [a main. Qui eft ce qui s’imagineroit, ayant leu ces paroles, que vous n’eftiez allè que pour la reparation des digues et de la tefte. À la fin de la Lettre il faut ajouter Je ne doute par que le fr. de Z.#) ne s’ennuye bientoft des affaires facheues dont vous luy avez laiffè le foin, et qu’il ne faffe defia voeu de fe defaire de cette cerre de Zulichem fi quelque jour il en eft le maïftre. Je vous remercie de toutes vos nouvelles, dont la plus chere eft celle de la guerifon entiere de la dame de Mogglerfhil] 5). Le frère ne me mande rien touchant l’accouchement de la coufine Henri Zuerius®) auquel affurement fe feront paffé des chofes dignes d’eftre fceues fi Miralinde 7) s’en eft meflée. Il y euft lundy 8 jours que j’envoyai vos tours de bras par un homme que m’adreffa la Coufine Caron *). Je veux efperer qu’il vous les aura delivré fidelle- ) Voir la Lettre N°. 3924, note 1: ?) Dans ce qui suit nous extrayons de l'original les passages qui corrigent ou complètent la copie, reproduite au Tome VI, pp. 91 et 92. 3) Constantyn et Lodewijk Huygens. 4) Constantyn Huygens, frère. 5) Geertruid Doublet, sœur de Constantyn Huygens, père, tombée malade à Amsterdam; (Dagboek de Constañtyn Huygens, père, 3 et s sept. 1666). 5) Frederik Hendrik Zuerius ou Suerius avait épousé Margaretha Bartelotti, voir la Lettre N°. 1632, note 9. 7) Voir, sur Miralinde Suerius, la Lettre N°. 877, note 5, et la Lettre N°. 2179, note 5. Elle est fréquemment mentionnée dans les Lettres de Susanna Doublet; voirles Lettres Nos::2179, 2215et2218. 8) Suzette ou Susanna Caron; voir la Lettre N°.1557, note 17. CORRESPONDANCE. 1666. 727 ment. Vous y trouverez dedans un biliet de Mad.le Mariane”)qui marque le prix, et en mefme temps le foin qu’elle a pris en faifant et en refaifant cette emplete. Pour les coufinets j’avoue que je ne m’en fuis pas fouvenu qu’apres le depart dud.t porteur, mais je tafcheray de vous en faire avoir par quelque autre occa- fion. Les lunettes de Menard à 4 verres *°) dont j’en ay payè pour il S. P. et un autre pour moy couftent 24 fr. Si vous en voulez a ce prix vous n’avez qu'a le dire &c. Je puis bien a peu pres m’imaginer comment ma chambre eft faite apres votre reformation mais refte a fcavoir, quel beau liét vous y avez mis digne de cette fu- perbe alcove, car celuy qui eftoit dans cette chambre premiere n’y fcauroit faire une belle figure. Je vois icy beaucoup d’honneftes gens qui fe contentent de la houffe feule de jaune ou de rouge et peut eftre aurez vous fait de mefme. Il n’y a point de dorure chez moy mais les cheminees et planches et tout ce qu’il ya de bois eft peint en bois marbrè. Mon apartement au refte n’a point de fuite, mais entre les 2 chambres que j’ay a un meme eftage il y a 7 ou 8 pieds d’une porte a l’autre et le degrè eft entre deux. Outre cela j’ay une troifième chambre deux eftages plus bas ou mes inftrument et machines font rangées. Au deffous de moy il n’y a que des chambres pleines de livres du Roy, et plus bas ma cuifine et cave. La chambre ou je couche eft la plus belle et plus grande elle eft tendue d’un bro- catel rouge et vert, par bandes et l’alcove et le li&t d’un autre brocatel, et une houfe de ferge rouge par deffus. En l’autre chambre ou cabinet ou font mes livres il n’y a que de la tapifferie de Rouen affez jolie, mais qui avec le temps pourra deloger de là dans mon laboratoire ou il n’y a jufqu’icy que les murailles. peintes de jaune. Je mange dans ma plus grande chambre et fuis feul à cable fi non quand M. Auzout ou quelque autre ami me vient tenir compagnie. Apres fouper je me tranfporte reglement dans le quartier de M. de Carcavy ou nous jouons au Verkeer ‘*) et caufons une heure ou deux, mais cecy ne regarde point la defcrip- tion de mon apartement que vous aviez feulement demandée. La Sign.a Anna ‘*) m'a fait promettre que je luy procureray de la graine de choux de noftre païs, je vous prie de vouloir prendre le foin de m’en faire avoir de toutes les fortes dans des petits papiers que vous pourrez enfermer dans une lettre, et que ce foit au pluftoft s’il vous plait. Il me femble qu’il y avoit une forte qui eftoit quelque chofe d’extraordinaire dont le fr. de Mogg.‘#) a connaiffance fi je ne me trompe ; de celle là il faut mettre d’avantage que des autres. 9) Marianne Petit; voir la Lettre N°. 1571, note 5. 19) Voir, sur ces lunettes, les Lettres Nos. 1556, 1563, 1603, 1617, 1635 et 1710. 11) Le jeu de trictrac. 12) Voir, sur Anna Bergerotti, les ,Additions et Corrections” du Tome V, à la page 622. 13) Philips Doublet de Moggershil, époux de la sœur Susanne. 728 CORRESPONDANCE. 1666, 1671. M.lles Jaxon *#) et Paiot'5) dont vous avez demandé des nouvelles dans une de vos precedentes fe portent bien et vous font leur baifemains. Elles vivent encore tout de meme que lors que vous les avez vues. Paiot eft grande et bien faite et fe marieroit fi elle pouvoit. Mes excufes s’il vous plait al S.[ignor] P.[adre] de ce que je ne luy efcris point, et falut a cout le parentage, Mick *) y compris fi elle eft encore là. À Monfieur Monfieur L. HucEexs de Zulichem À la Haye. N° 1844%. CHRisTiAAN HuycEens à J. Hubpe. 2 OCTOBRE 1671. La lettre se trouve à Houten, coll. van Rappard”). Elle est la réponse aux Nos. 1839 et 1843. Parijs den 2 O&. 1671. Mijn Heer Beyde UE aengenaeme van den 18 Aug. en 14 Sepr. fijn mij wel behandight, waer van d’eerfte al over langh behoorden beantwoordt te zijn. doch het waer- nemen van den tijdt van onfe vacantie die ick te Landtwaert *) befteedt hebbe is oorfaeck van dit verfuym geweeft, waer van daen nu eerft wedergekomen fijnde, vinde ick hier foo veel affaires dat noch geen tijdt hebbe konnen vinden om te dencken op de lijfrente Rekeningen, noch felfs tegenwoordigh geen en hebbe om UE pertinentlyck op alles te antwoorden. Ick fal alleenlijck UE bedancken, eerftlijck voor de beleeftheijdt aen Mr. Picards) bewefen, waer van hij door fijn fchrijven alhier bethoont heeft ten 14) Voir la Lettre N°. 1224, note 2. L 75) Peut-être une fille de François Payot de Linière; voir la Lettre N°. 1589, note 8. 16) Miralinde Suerius. 1) Voir, page 725 de ce volume, la note 1 de la Lettre N°. 392‘. ?) Probablement à Viry, chez Claude Perrault. 3) Consultez la Lettre N°. 1838. SX : draft 4 CORRESPONDANCE. 1671. 729 hooghften voldaen te fijn. Ten tweeden voor de genomene moeijte int vervorde- ren van onfe betaelingh, alhoewel het mij leet is, in de rekeningh die het UE ge- lieft heeft daer van te doen, die pofte van de 10 ducatons geftelt te fien 4) van welcke niet UE maer veel eer mijn Heeren de Staten mij behoorden te rembour- feren gelijck ick langh genoegh, maer, foo ick nu fie, te vergeefs cegen UE hebbe ftaende gehouden. Het communiceren van ”t regifter der lijfrenten is de derde obligatie die ick UE tegenwoordigh hebbe 5) welcke ick voornementlijck wenfchte te fien om te weten hoe dit overeenquam of verfcheelde van het Re- gifter van de Hr. Raedpens.®). De methode die zijn Ed.e in defe reeckeningh ge- bruijckt, fich dienende van de Logarithmi was mijns oordeels onwederfpreecke- lijck en de kortfte die men foude konnen in’t werck ftellen. Indien die van UE anders is, en fonder de hulp der Logarichmi, foo moet die noodfaeckelijck van grooter arbeijt wefen. De reeckeningh van de Hr. Raedpens. op 2, 3, of meer lijven was mede feer goet en niet fwaerder als die op een lif, welcke mij nog feer wel voorftaet. Ende niet fiende wat daer in beter foude konnen gedaen werden foo weer ick niet of het ook noodigh is dat ick daer aen vergaere, want daar niet weijnigh moeijte aen vaft is, en de uijtkomften, gelijck UE fier, verfcheijden, naer de verfcheijde Regifters der geftorvenen. doch indien UE oordeelt datter noch iet foeckens waerdigh in defe materie refteert fal mij altijdts aengenaem fijn dien aengaende te conferecren. Hier mede eijndigende blijve Mijn Heer UE dienftwillige dienaer . Car. HuyGENs van Zuylichem. Min Heer Mijn Heer Jo. HUDDE.…., ». Raedt en Schepen der Stadt Amfterdam. 4) Voir la Lettre N°. 1843. 5) Voir.a Lettre N°, 1839 et.le Tableau vis-à-vis la page 96 du Tome VII. 5) Ce Registre, que nous ne connaissons pas, est mentionné dans l’Addition (,,Bijvoeghsel”) qui se trouve dans l’ouvrage cité dans la note 6 de la Lettre N°. 1828. Œuvres. T. X. 92 730 CORRESPONDANCE, 1678. N° 21474: [GazLon]:) à [Louis DE Pucer]°). 16 NOVEMBRE 1678. La lettre se trouve à Besançon, Bibliothèque *). Elle a été publiée par H. Brocard”*). A Paris le 16 Nov.re 1678. Je vous demmande mille pardons mon cher Monfieur fy ie ne vous ay pas encore envoié les petites boules a microfcope que vous m'avez demmandé il y a quelques fepmaines 5); j’en ay ie vous affeure quelque confufion, ie fuis cepen- dant peuteftre digne d’excufe puifque madame Le Bas) qui loge aux Galeries du Louvre ayant appris a les faire de Mons.r Huguens pañle pour eftre le plus habile a les conftruire, les autres en faifant un beaucoup plus grand nombre qu’elle pour en avoir quelques bonnes, ayant efté fort preffée pour d’autres ouvra- D. pe 9 9 ÿ Gallon était un opticien, demeurant à Paris. Louis de Puget ou du Puget, physicien, membre de l'Académie de Lyon, fé à Lyon en 1629, y mourut le 6 décembre 1709. II fit de nombreuses observations sur le magnétisme des aimants et l’anatomie des insectes, qu’il publia dans divers ouvrages. Il a laissé quelques poésies. D’après M. Brocard, à qui nous devons ces renseignements biographiques, l'inspection du recueil cité dans la note 3 ne laisse aucun doute que la présente lettre avec plusieurs autres du même recueil, n’aît été adressée à Louis de Puget. D'ailleurs ce recueil contient la minute d’une lettre, signée non plus, mais écrite de la main de de Puget qui répond à une autre objection soulevée contre son système oculaire de trois lentilles sphériques. Selon cette minute (page 27 de l’ouvrage cité de M. Brocard), de Puget ne désespère pas qu’on pourrait construire une lunette, composée de petites boules, si portative qu’elle ne tiendrait pas plus de place dans la poche qu’un estuy de curedent ou un porte-crayon. Dans le recueil manuscrit numéroté 603. La lettre, qui n’est pas signée mais doit être attribuée à Gallon dont l'écriture est connue, nous a été communiquée par Mr. H. Brocard avant la publication de son ouvrage. Dans un ouvrage tiré à 120 exemplaires et qui n’a pas été mis dans le commerce, intitulé: »Louis de Puget, François Lamy, Louis Joblot, leur action scientifique d’après de nouveaux documents. Contribution à l'Histoire des Sciences Physiques et Naturelles de 1671 à 1711 par H. Brocard. Bar-le-Duc, Imprimerie Comte-Jacquet, 1905”, in-4°., p. 25. Dans une lettre datée du 5 aoust 1678 (1. c. p. 23) Gallon avait écrit à Puget: , À l’esgard de la Nouvelle manière des microscopes que M. Huguens a tout recement apportez d’Holande qui sont faits d’un verre fondu au feu de la Lampe des esmailleurs ie puis vous dire que le sieur Hubin dont le nom vous est connu a commencé depuis quelques iours en faire, et parce que on ne doubte pas que au moins quelques uns réussiront fort bien i espere d’icy a peu de sep- maines de vous en addresser un qui avec la monture ne coutera au plus De demye art À on m’a dit que l’efet en est fort divertissant”. On peut consulter, sur les microscopes en question, la nôte 1 de la Létere N°.orr7etles Lettres Nos. 2119, 2132, 2133, 2135, 2136; 2142 et rss 5) Voir la Lettre N°. 2187. PT PUR NE PT OT TRE IR Conftantyn Huygens, frère, 2 Chriftiaan Huygens. | 597 2850 2 Avril Chriftiaan Huygens 2 Conftantyn Huygens, frère. .| 598 2851 | 13 Conftantyn Huygens, frère, 2 Chriftiaan Huygens. | 509 "2852 | 26 G. W. Leibniz à Chriftiaan Huygens............ 600 2853 Appendice. N. Fatio de Duillier à de Beyrie (9 a CD UE... fe 605 2854 | 29 Mai Chriftiaan Huygens 2 G. W. Leïbniz............ 609 2855 6 Juin Chriftiaan Huygens à Conftantyn Huygens, frère ..| 615 2856 8 » Chriftiaan Huygens à G. W. Leibniz............ 617 2857 | 15 s Chriftiaan Huygens à Geelvinck................ 619 2858 | 15 A Chriftiaan Huygens 2 W. Wichers.............. 620 2859| 16 5 Chriftiaan Huygens #4 Marquis de l’Hofpital ..... 621 2860 Appendice I. Chriftiaan Huygens (16 juin 1694)... | 627 2861 Appendice II. B. de Volder 2 Chriftiaan Huygens CRM MD ODA NT. nec de hou de ee 630 2862 Appendice III. B. de Volder à Chriftiaan Huygens CORP IMPR ET ENT die aetsRiaene 636 2863| 22 F G. W. Leibniz 2 Chriftiaan Huygens............ 639 2864 6 Juillet Chriftiaan Huygens à Conftantyn Huygens, frère... | 647 2865 8 ; Conftantyn Huygens, frère, à Chriftiaan Huygens.. | 648 750 L. LETTRES. N°. Date. Page. 2866 9 Juillet 1694 | G. W. Leibniz à Chriftiaan Huygens............ 649 2867 | 12 Conftantyn Huygens, frère, à Chriftiaan Huygens. | 652 2868 | 15 Chriftiaan Huygens 2 J. P. Bignon.............. 653 2869 Appendice. Chriftiaan Huygens à H. Bafnage de Béatival (juin:1694) hi do svpuss li en 654 2870 | 15 ; Chriftiaan Huygens à Ph. de la Hire............. 658 2871 | 27 » G. W. Leibniz à Chriftiaan Huygens............ 659 2872 | 2 n Chriftiaan Huygens à Conftantyn Huygens, frère . . | 662 2873 | 24 Août Chriftiaan Huygens à G. W. Leibniz............ 664 2874 Appendice I. Chriftiaan Huygens à G. W. Leibniz (féptenibre 1694:):.1..:600 5 Aisne meer 671 2875 Appendice II, Chriftiaan Huygens #vx Editeurs des Aë&a Eruditorum (août 1694)...........:4.. 673 2876| 14 | Septembre G. W. Leibniz à Chriftiaan Huygens. ........... 675 2877 | 18 » G. W. Leibniz à Chriftiaan Huygens. ........... 683 2878 1 | Oétobre Chriftiaan Huygens à de Rofen ................ 684 2879 + Le Marquis de l’Hofpital 4 Chriftiaan Huygens ... | 686 2880 | 24 » G. W. Leibniz à Chriftiaan Huygens............ 688 2881 » B. Renau 2 Chriftiaan Huygens................ 690 2882 Chriftiaan Huygens à H. Bafnage de Beauval . ..….. 694 2883| 927 | Décembre Chriftiaan Huygens à A. Leers................. 696 2884| 27 » Chriftiaan Huygens à G. W. Leibniz............ 696 2885 Chriftiaan Huygens 2 A. du Quefne............. 700 2886 Chriftiaan Huygens à E. Bartholinus............ 701 2887 Chriftisan Huygetis a ?......1..........4{, 2... 702 2888 7 Janvier 1695 | Chriftiaan Huygens 2 Conftantyn Huygens, frère. 703 2889| 21 Février Le Marquis de l’Hofpital 4 Chriftiaan Huygens ... | 704 2890 | 23 ” Conftantyn Huygens, frère, à Chriftiaan Huygens. . | 707 2891 4 Mars Chriftiaan Huygens à Conftantyn Huygens, frère... | 708 2892 | 14 » Le Marquis de l’Hofpital à Chriftiaan Huygens... ..| 711 2893| 1 Juillet G. W. Leibniz à Chriftiaan Huygens............ 714 2894| 26 » Appendice. G. W. Leïbniz à H. Bafnage de Beauval ï Cobiallétinégs)s. : HUE. eee ere 719 751 L LETTRES. SUPPLEMENT. N°. Date. Page. 392“ | 22 Juin 1657 | Chriftiaan Huygens à Lodewijk Huygens... ...... 725 1566 3 | Décembre | 1666 | Chriftiaan Huygens 2 Lodewijk Huygens........ 726 1844 2 O&tobre | 1671 | Chriftiaan Huygens 2 J. Hudde................ 728 2147%| 16 | Novembre | 1678 | Gallon 2 Louis de Puget...................... 730 2335°| 24 Mai 1684 | Chriftiaan Huygens 2 P.E. Vegelin van Claerbergen| 732 2364" 1 | Septembre | 1684 | Chriftiaan Huygens 2 P. E. Vegelin van Claerbergen | 734 23820 | 19 Avril 1685 | Chriftiaan Huygens 2 P.E. Vegelin van Claerbergen| 735 2498“ | 25 O&obre | 1687 | Chriftiaan Huygens à P.E. Vegelin van Claerbergen | 736 2571“ 9 Mars 1691 | Chriftiaan Huygens à P.E. Vegelin van Claerbergen | 738 27014 Septembre | 1691 | Chriftiaan Huygens 2 B. de Volder ............. 739 IT. LISTE ALPHABÉTIQUE DE LA CORRESPONDANCE. Les chiffres gras défignent les numéros d’ordre des lettres. Les chiffres gras pourvus d’une lettre italique défignent les numéros d’ordre du Supplément, pages 725—739. Les lettres figurent tant fous le nom de l’auteur que fous celui du correfpondant. Dans le pre- mier Cas on a indiqué la date de la lettre. Van Aften (Chriftiaan Huygens 2). 2715. » Capitaine (Chriftiaar Huygens 2). 2845. P. Baert 2 Chriftiaan Huygens. 1691, 28 oëétobre 2704. » (Chriftiaan Huygens 2). 2214. E. Bartholinus (Chriftiaan Huygens 2). 2886. H. Bafnage de Beauval (Chriftiaan Huygens 2). 2705, 2793, 2869, 2882. ’ (G. W. Leibniz 2). 2894. P. Bayle 2 Chriftiaan Huygens. 1691, rer janvier 265% ; 1692, 6 mars 2243. » (Chriftiaan Huygens 2). 2657, 2685, 2746, 2790. Jac. Bernoulli. 1691, juillet 2690. De Beyrie (N. Fatio de Duillier 2). 2853. J. P. Bignon (Chriftiaan Huygens 2). 2831, 2836, 2865. S. van de Blocquery à Chriftiaan Huygens. 1691, 18 décembre 2249; 1692, 16 novembre 253. > (Chriftiaan Huygens 2). 2222. 27384, 2:95. J. de Clerc (Chriftiaan Huygens 2). 2809, 2826. A. L. Coymans (Chriftiaan Huygens 2). 2241. G. Cuper 2 Chriftiaan Huygens. 1691, 5 juin 2683. » (Chriftiaan Huygens 2). 2684. Directeurs de la Compagnie des Indes (J. de Graaff, G. Meybos et P. van Laer à).2720. » (Chriftiaan Huygens 2). 2796. Il. LISTE ALPHABÉTIQUE DE LA CORRESPONDANCE. 753 Editeurs des Aë&ta Eruditorum (Chriftiaan Huygens #7x). 2681, 2823, 2875. à 5 (G. W. Leibniz 4x). 2824. N. Fatio de Duillier 2 de Beyrie. 1694, 9 avril 2858. ÿ à Chriftiaan Huygens. 1691, 9 avril 26278, 18 feptembre 2697, 28 décem- bre 2223; 1692, 15 février 2289, 17 mars 2745. VA (Chriftiaan Huygens à). 2622, 2200, 22721, 2733, 2748, 2752, 2839. Fe: 1690, 2695. Gallon à Louis de Puget. 1678, 16 novembre 214%. Geelvinck (Chriftiaan Huygens à). 2852. A. Gouffer, duc de Roanez 2 Chriftiaan Huygens. 1693, février 2788. J. Gouffet 2 Chriftiaan Huygens. 1691, 28 août 2692. » (Chriftiaan Huygens 2).2208. A. de Graaff à Chriftiaan Huygens. 1691, 1er janvier 2636, 17 avril 26274, 17 décembre 2:18. 5 (Chriftiaan Huygens 2). 2670, 2679, 2716. J. de Graaff 2 Chriftiaan Huygens. 1692, 27 oë&tobre 2203; 1692, 1 1 november 2% #2, 19 no- vembre 228274; 1693, 14 février 2:89. : (Chriftiaan Huygens 2).2286. » , G. Meybos et P. van Laer æwx Direéteurs de la Compagnie des Indes. 1691, 2:20. D. Gregory 2 Chriftiaan Huygens. 1693, juin ou juillet 2812, Ph. de la Hire 2 Chriftiaan Huygens. 1691, 17 janvier 265$. . 5 (Chriftiaan Huygens 2). 226%, 2816, 2832, 2840, 28270. Le Marquis de l’Hofpital 2 Chriftiaan Huygens. 1692, 26 juillet 2260, 10 feptembre 2765, 23 novembre 28% &; 1693, 12 février 2782, 12 mai 2805, 2 juillet 2807, 10 août 2815, 18 feptembre 2825, 21 otobre 2830, 25 novembre 2838 ; 1694, 18 janvier 2843, 22 mars 2842, 4 oéto- bre 2829; 1695, 21 février 2889, 14 mars 2892. s (Chriftiaan Huygens 2). 2262, 25768, 2727, 2801, 28506, 2810, 2813, 2819, 2820, 2828, 2833, 2842, 2859. ]J. Hudde (Chriftiaan Huygens 2). 1844‘. P. D. Huet 2 Chriftiaan Huygens. 1691, 12 mars 2665, 16 feptembre 2696. » (Chriftiaan Huygens à). 2685. Chriftiaan Huygens 2 van Aften. 1691, 11 décembre 2215. à van Aften, capitaine. 1694, 18 mars 2845. à P. Baert. 1691, 22 novembre 27 14. (P. Baert 2). 2704. à E. Bartholinus. 1694, 2886. à H. Bafnage de Beauval. 1691, o&tobre 2705; 1693, février 2798; 1694, juin 2869, 2882. Œuvres. T.X. 95 SO Y Y ÿ ÿ 754 LISTE ALPHABÉTIQUE DE LA CORRESPONDANCE. Chriftiaan Huygens 2 P. Bayle. 1691, 13 janvier 265%, 6 juin 26853; 1692, 19 mars 2746; CR RS | Ve SUB JS -S. S SO S ÿ % N 1693, 26 février 2290. (P. Bayle 2). 2655, 2743. à J. P. Bignon. 1693, s novembre 2831, 12 novembre 2836; 1694, 15 juillet 2868. à S. van de Blocquery. 1691, 28 décembre 27223; 1692, 7 février 2784; 1693, 6 mars 2295. (S. van de Blocquery 2). 2219,2773. à J. de Clerc. 1693, 16 juillet 2809, feptembre 2826. à À. L. Coymans. 1692, 29 février 2241. à G. Cuper. 1691, 6 juin 2684. (G. Cuper 2). 2683. aux Directeurs de la Compagnie des Indes. 1693, 6 mars 2296. aux Editeurs des A&ta Eruditorum. 1691, 5 mai 2681; 1693, feptembre 2823; 1694, août 28275. à N. Fatio de Duillier. 1691, 3 avril 2622, 25 feptembre 2200, 18 décem- bre 2721; 1692, 5 février 2288, 5 avril 2248, 2 mai 2252; 1693, 30 no- vembre 2839. (N. Fatio de Duillier 2). 2673, 2697, 2223,2739, 2745. à Geelvinck. 1694, 15 juin 285%. (A. Gouffier 2). 2788. à J. Gouffet. 1691, 2 novembre 2208. (J. Gouffet 2). 2692. à À. de Graaff. 1691, 29 mars 2620, 23 avril 2629, 13 décembre 2716. (A. de Graaff 2). 2656, 2674, 2718. à ]J. de Graaff. 1693, 10 février 2786. (]J. de Graaff 2). 2203, 2772, 2774, 2789. (D. Gregory à). 2812. à Ph. de la Hire. 1692, 9 oétobre 226%; 1693, 19 août 2816, 5 novembre 2832, novembre 2840 ; 1694, 15 juillet 2820. (Ph. de la Hire 2). 2658. au Marquis de l’Hofpital. 1692, 27 août 2262, 22 o&tobre 226$, 29 dé- cembre 222 2 ; 1693, 9 avril 2801, 20 mai 2806, 23 juillet 2810, 5 août 2813; 3 feptembre 2819, 10 feptembre 2820, 1er oétobre 2828, 5 no- vembre 2833, 24 décembre 2842; 1684, 16 juin 2859. (Le Marquis de l’Hofpital 2). 2760, 2265, 2725, 2287, 2805, 2807, 2815, 2825, 2830, 2838, 2843, 2847, 2879, 2889, 2892. à J. Hudde. 1671, 2 oétobre 1844. à P. D. Huet. 1691, 18 avril 2685. (P. D. Huet 2). 2665, 2696. IT. LISTE ALPHABÉTIQUE DE LA CORRESPONDANCE. . 755 Chriftiaan Huygens 2 Conftantyn Huygens, frère. 1691, 26 juillet 26893 1693, 16 juillet 2808, 1er feptembre 28173; 1694, 19 mars 2846, 2 avril 2850, 6 juin 2855, 6 juillet 2864, 27 juillet 2822; 1695, 7 janvier 2888, 4 mars 2891. (Conftantyn Huygens, frère, 2). 2223, 2229, 2731, 2253, 2:58, 2264, 2776, 2783, 2818, 2844, 2849, 2851, 2865, 28627, 2890. à Lodewijk Huygens. 1693, 26 février 22923; 1657, 22 juin 892-3; 1666, 3 décembre 1566‘. à Hub. Huighens. 1692. 12 février 2885, 15 février 27358. »” » (Hub. Huighens 2). 22386, 2742. 5 à À. Leers. 1694, 27 décembre 2883. à à G. W. Leibniz. 1691, 23 février 2660, 26 mars 2662, 21 avril 262%, 5 mai 2680, 1er feptembre 2693, 4 feptembre 269%, 16 novembre 2209; 1692, rer janvier 2226, 4 février 2282, 15 mars 2844, 1 1 juillet 2259; 1693, 12 janvier 2285, 17 feptembre 2822; 1694, 29 mai 2854, 8 juin 2856, 24 août 2828, feptembre 2824, 27 décembre 2884. » (G.W. Leibniz 2). 2659, 2664, 26276, 2682, 2688, 2699, 2713, 252%, 2525, 2240, 25751, 2:66, 2784, 279%, 2829, 2841, 2852, 2863, 2866, 2871, 2876, 2877, 2880, 2893. . à W. van Lith. 1691, 15 décembre 2212. A à W. Matthijfen. 1692, 6 juin 2254. ÿ à G. Meier. 1691, 26 mars 2666, juin 2686, 16 novembre 2711. ÿ (G. Meier 2). 2663, 2678, 2701, 27 12. 3 à van Merle. 1692, 31 juillet 2261. ÿ à D. Papin. 1691, 2 novembre 2206; 1690, 14 décembre 2702. » (D. Papin 2). 2691, 2702. FE à À. du Quefne. 1694, 2885. "A (B. Renau 2). 2848, 2881. ÿ à de Rofen. 1694, rer o&tobre 287$. 5 à J. G. Steigerthal. 1692, 9 avril 2849, 9 juin 2286; 1693, 19 novembre 283%. : (J. G. Steigerthal 2). 2247, 2250, 2255,2757, 2804. à P. E. Vegelin van Claerbergen. 1684, 24 mai 23385‘, rer feptembre 2364; 1685, 19 avril 2882’; 1685, 25 oétobre 2498"; 1690, 9 mars 2521: (M. van Velden 2). 2682. à B. de Volder. 1693, 24 mars 2298, 2299; 19 avril 2802, 2803; 1691. feptembre 2:01: » (B de Volder à). 2800, 2861, 2862. à W. Wichers. 1694, 15 juin 2858. 756 IT. LISTE ALPHABÉTIQUE DE LA CORRESPONDANCE. Chriftiaan Huygens 2 ?. 1691, 2224; 1694, 288%. : 1691, 2661, 2662, 2668, 2669, mars 2671, août 2694, oétobre 2210; 1692, janvier 2286, 2232; 1691, décembre 27638; 1692, oûtobre 2269, 2270, 2771, 27278, décembre 2279, 2780, o&tobre 2281, 21 novembre 2282; 1693, 2291, octobre 2294, juillet 2811. 2814, feptembre 2821, 2827, 2834, 2835; 1694, 16 juin 2860. Conftantyn Huygens, frère, 2 Chriftiaan Huygens. 1692, rer janvier 2225, 18 janvier 2229, : 26 janvier 2281, 2 juin 2258, 30 juin 2258, 8 feptembre 2264, 2 dé- = cembre 22276, 30 décembre 22783; 1693, 3 feptembre 2818; 1694, 5 mars 2844, 50 mars 2849, 13 avril 2851, 8 juillet 2865, 12 juillet 2867; 1695, 23 février 2890. , (Chriftiaan Huygens 2). 2689, 2808, 2817, 2846, 2850, 2855, 2864, 2872, 2888, 2891. Lodewijk Huygens (Chriftiaan Huygens 2). 2292, 392‘, 1566. Hub. Huighens 2 Chriftiaan Huygens. 1692, 20 janvier 2880, 3 mars 2242. S (Chriftiaan Huygens 2). 2735, 27358. P. van Laer, voir J. de Graaff. A. Leers (Chriftiaan Huygens 2). 2883. G. W. Leibniz 2 H. Bafnage de Beauval. 1695, 26 juillet 2894. » aux Editeurs des A&a Eruditorum. 1693, feptembre 2824. 5 à Chriftiaan Huygens. 1691, 6 février 2639, 2 mars 2664, 2c avril 2676, 27 mai 2682, 24 juillet 2688, 21 feptembre 2699, oétobre 2713; 1692, 8 janvier 222%, 10 janvier 2228, 19 février 2840, 11 avril 2281, 26 fep- tembre 2266, 30 décembre 2284; 1693, 20 mars 2292, 11 oûobre 2829, 11 décembre 2841; 1694, 26 avril 2852, 22 juin 2863, 9 juillet 2866, 27 juillet 2821, 14 feptembre 2886, 18 feptembre 2882, 24 oétobre 2880; 1695, rer juillet 2898. 5 (Chriftiaan Huygens 2). 2660, 2667, 2627, 2680, 2693, 2695, 2709, 2726, 2732, 2744, 2759, 22785, 2822, 2854, 2856, 2873, 2874, 2884. W. van Lith (Chriftiaan Huygens 2). 2218. W. Matthijfen (Chriftiaan Huygens 2). 2254. G. Meier à Chriftiaan Huygens. 1691, 25 février 2668, 23 avril 2688, 26 feptembre 2701, 20 novembre 2212. » (Chriftiaan Huygens 2). 2666, 2686, 2711. G. Meybos, voir J. de Graaff.! Van Merle (Chriftiaan Huygens 2). 2261. D. Papin à Chriftiaan Huygens. 1691, 16 août 2691, 25 o&tobre 2702. Fa (Chriftiaan Huygens 2). 2706, 2702. L. de Puget (Gallon 2). 2148. IT. LISTE ALPHABÉTIQUE DE LA CORRESPONDANCE. 757 A. du Quefne (Chriftiaan Huygens à).2885. B. Renau à Chriftiaan Huygens. 1694, janvier 2848, o&tobre 2881. De Rofen (Chriftiaan Huygens 2). 2828. J. G. Steigerthal à Chriftiaan Huygens. 1692, 31 mars 22842, 11 avril 2250, 9 juin 2255, 12 juin 225% ; 1693, avril 2804. $ (Chriftiaan Huygens 2). 2749, 2256, 283%. P. E. Vegelin van Claerbergen (Chriftiaan Huygens 2). 2335‘, 2364’, 2382/,2498;, 2571: M van Velden à Chriftiaan Huygens. 1693, 19 juillet 2682. B. de Volder à Chriftiaan Huygens. 1693, 6 avril 2800 ; 1694, mai 2861, 2862. ” (Chriftiaan Huygens à). 2798, 2799, 2802, 2803, 2701:. W. Wichers (Chriftiaan Huygens à). 2858. LEE. PERSONNES MENTIONNÉES DANS LES LETTRES: Dans cette lifte on a rangé les noms fans avoir égard aux particules telles que 4e, 4, van, et autres. Les chiffres gras défignent les pages où l’on trouve des renfeignements biographiques. Les chiffres ordinaires indiquent les pages où les perfonnes nommées font citées. Aa (Pieter van der). 436. Académie (Meflieurs de l”). 5, 6, 7, 15, 58, 82, 257, 278, 303, 324, 486, 517, 524, 547, 548, 561, 568, 569, 653, 663, 669. » (de Wolfenbüttel). 604, 617. Aerffen (François van). 725. Agufto. Voyez Gaftanaga. Alancé (d”). Voyez Alencé (d”). Alberghetti (Antonio). 292. s (Sigifmundo). 292. Alberti (Romano). 444, 562. Alencé (Joachim d’). 709, 710. Alençon (Mme d”). 347, 348. Alefme (André d”). 737. Alexis. 710. Alhazen. 497, 548, 570. Almonde. 290. Ammon (Samuel). 572. Amptman (1°) (de Zuylichem). 233. Anglois (1). 450. Ango (Pierre). 167, 168, 204, 601, 643. Anbhalt-Deffau (Henriette Amalia, princeffe de). 734. III. PERSONNES MENTIONNÉES. 759 Anify (Léchaudé d”). 81, 82. Apollonius. 157, 227. Appolodore. 574. Archimedes. 15,65, 157, 227. Ariftoteles. 105, 195, 404, 428, 574. Arnhem (Johan van). 233. Arnobius. 144. Arofen. 700. Aften (van). 204, 456, 582, 599, 615. » (> ) frère du précédent. 582, 599, 615, 616. Athenaeus. 574. Athenagoras. 144. Auguftin (Saint). 144. Autremont (le Marquis d’). 579, 585, 686, 687. Auzout (Adrien). 292, 293, 727. Baco de Verulam (Francis). 190, 228, 239, 263, 404, 613. Bacchine ou Baggine. 290. Baerle (Cafpar van). 402. » (Suzanna van). 402. Baert (P.). 167, 203, 204. Baillet (Adrien). 148, 399, 400, 401. Balzac. 457. Barrois. 81. Barrow (Ifaac). 211, 245, 246, 249, 251, 253, 264, 277, 315, 361, 393, 444, 563, 623, 636, 638, 675, 717, 718. Bartelotti (Margaretha). 726. Bartholinus (Erafmus). Voyez Berthelfen. Bas (Mme le). Voyez Lebas. Bayle (Fr.). 601. Bayle (Pierre). 1, 3, 4, 5, 123, 267, 268, 273, 398, 406,455, 489, 6o1. Beaune (Florimond de). 312, 352, 353, 387, 391,416, 429, 437, 438, 440, 449, 452, 454, 460, 474; 476, 484, 494, 511, 541. Beauval (Henri Bafnage de). 59, 60, 61, 82, 86, 169, 196, 209, 212,215, 216, 298, 302, 303, 304, 316, 320, 382, 387, 399, 407, 438, 450, 576, 583, 694,714, 719,722. Becker (Jacoba). 619. Behagel (Everard). 242. Bentinck (Hans Willem). 311. » (un neveu du précédent). 311. « Bentley (Dr.). 709. Bergerie (Claude Guillaume de la). 572. Bergerotti (Anna). 727. 760 III. PERSONNES MENTIONNÉES. Berkeley (Charles). 347. Berkefteyn (le Seigneur de). Voyez Does (J. van der). Bernard (Edward). 146, 209, 211,212, 214, 219. Bernoulli (Daniel). 118. »” (Jacob). 86, 96, 98, 104, 114, 133; 158, 159, 160, 161, 182, 183, 184, 185; 190, 191, 216, 217, 218, 227, 229, 329, 336, 337» 354; 413; 416, 432, 437, 454, 484, 494495, 496, 497, 498, 499, 505, 506, 507, 508, 509, 510, 512, 513, 514, 5175 518,521, 529, 523, 524, 534, 535, 536, 538, 540, 542, 544, 545, 546, 552, 553, 554, 555, 556; 560, 561, 565, 568, 569, 575, 585, 586, 587, 611,621, 623, 624, 627,628, 640,649, 659, 660, 661, 662, 664, 665, 666, 667, 668, 670, 671,672, 673, 676, 677, 680,681, 698, 699. Met F4 (Jean). 51, 52, 55, 57, 58, 84, 93, 96, 98, 99, 109, 110, 111, 112, LAS, 119, 127, 128, 129, 130, 131. 132, 133; 134, 136, 137, 139, 140, 142, 157, 15831159, 160,61, . 182, 183, 184, 185, 191, 216, 217, 357; 394: 413: 416, 431,432, 437, 439, 440,454, 460, 474, 476, 484, 485, 494, 495, 496, 497, 498, 499, 500, 509, 510, STI 5195517; 518, 521, 529, 531, 534, 538, 539, 540, 541, 546, 550, 552, 553, 556, 560, 563, 564, 568, 569, 572, 575, 576, 577, 579, 580, 587,611, 617, 618, 620, 621, 622; 640, 642, 649, 650, 659, 660, 667, 668, 669, 670, 673, 677, 680, 681,702, 705,706, 711, 712, 713, 7214 722. Nicolas. HIS. »” Berthelfen (Erafmus). 7o7, 702. 4 toftinél Befouclein. 449. 5 ‘ 34% Beuningen (Koenraad van). 321, 323, 430. Beverland (Hadrianus). 381. j Beyrie (De). 602, 605, 607, 608, 643. Biagi (Guido). 81. Bignon (Jean Paul). 842, 548, 561, 562, 621, 623, 624; 648, 653,654, 658. Billy (Jacques de). 699. Biton. 574. Blaeuw (Willem). 443. Blatwait. 347. Blocquery (Salomon van de). 72, 80, 91, 206, 207, 219, 243, 340, 429, 493, 494, 4344 Bob. 290. | Bodeman (Eduard). 157, 688. Bodenhaufen (von). 152, 158. Boer (T. J. de). 732. Boileau. 583, 584, 598. Boivin de Villeneuve. Voyez Villeneuve. Borelli (Giovanni Alfonfo). 488, 650. Borghefe (Marco Antonio). 292. Bofc (Pierre du). 294. [IL PERSONNES MENTIONNÉES. 761 Bournet. 718 Boulliau (Ifmael). 725. Boyle (Robert). 94, 212, 228, 220, 239, 237, 239, 242, 243, 263, 282. Bradley (Dr.). 231. Brahé (Tycho). 486. Brandenburg (le cap. du). Voyez Verbrugge. (Evert). » (un matelot du). 2. Breackelweert (le jeune). 295. Brocard (H.). 449,730. Bulderen (Henry van). 663. Burcht (Charles van der). 107. Burnet (Gilbert). 242, 270, 718. » (Thomas). 220, 45%, 456, 583, 584, 597, 598, 703, 707, 709, 718. Buyrmeefter à Zuylichem (le). 263. Campanella (Tomaflo). 404. Campani (Giufeppe). 293, 488. Campenon. 81. Carcavy (Pierre de). 727. Cardano (Geronimo). 92, 226. Caron (Suzette ou Sufanne). 726. Carré (Jean). 296, 294, 311. Cartes (René des). 15, 48, 52, 54, 55, 58, 81, 82, 89, 90, 104, 105, 108, 113, 125, 143, 157, 158, 168, 195, 196, 203, 217, 227, 230, 239, 262, 263, 296, 297,298, 299, 300, 302, 303 312, 313, 320, 351, 352, 353, 371, 374, 375, 382, 385, 387,388, 390, 301, 302, 300, 400, 401, 402,403, 404, 405, 406, 416, 417, 426, 437, 452, 453, 454, 457; 461, 474, 485, 491, 495, 499, 510, 566, 568, 576, 578, 580, 601, 602, 605, 611,614, 621, 623, 630,636, 642, 681,687,713;721; 739. Cafini (Giovanni Dominico). 6, 7, 152, 180, 269, 278, 284, 207, 320, 323, 488, 548, 560, 658. Caftenaga. Voyez Gaftenaga. Catelan (l'abbé de). 114, 497, 545, 553, 563, 649. Cavendifh. 231. … Charles II. 714. Charrier (le Lieutenant). 731, 732. Chefnelaye (Marie Charlotte de Romilly de la). 579, 686. » (M.de Romilly de la). 686. Chriftian V (roi de Danemarc). 7o1. Chriftine (reine de Suède). 285. Citters (Aernout van). 663. Claerbergen (P. E. Vegelin van). 282, 733, 734, 735, 736,738. Clement d'Alexandrie. 144. Clerc (Jean le). 898, 399, 456, 487,480, 525, 553, 568. Œuvres. T. X. 96 762 III. PERSONNES MENTIONNÉES. Coehoorn (Menno Baron van). 685. Colbert (Jean Baptifte). 733, 735. Colm. 19. Compagnie des Indes. (les Directeurs de la). 91, 203, 206, 269, 270, 285, 339, 389, 398, 420, 423; 424, 434, 436, 442, 443, 444, 684,701. Congreve. 710. Confeil de Brabant (le). 107, 108, 113. Cools (Adriaan). 204, 456, 487, 489, 582, 599, 615, 647, 648,652, 662, 663. Copernicus. Voyez Kopernik. Corneille. 457. Cofter (Salomon). 725. Cotentin (voir Tourville). Cotes (R.). 614. Coufin (Viétor). 81, 82, 399. Coyman (Arie Lambrecht). 263. Craanen (Theodorus). 52, 89, 104, 195, 617. Craft. Voyez Kraft. Craige (Joh.). 214, 249, 220, 231, 236, 242, 243, 258, 276, 277, 280, 298, 631, 635, 636,698. Cros (Jofeph Augufte du). 821. Cuper (Gifbert). 81, 101, 102. Curateurs de l’Univerfité de Groningen. 705, 711,713, 722. Curtius (Johannes Jacobus). 214. Cufa (Nicolaus de). 455, 456. Dam (van). 80. Delifle (L.). 81. HW hubte Democritus. 394, 403. Defbordes. 3272. Dierquens (Mile). 568, 569. » (Salomon). 257, 287, 288, 568, 569, 722. » (un frère de Salomon). 568, 569. » (fils). 257, 287, 288. Dinoftratus. 440. Diogenes Laertius. 105. Diophante. 228, 342, 429, 690. Does (Jan van der). 583, 703, 704, 707, 709. Doublet (Geertruid). 726. - » (Philips). 311, 381,455, 696, 703, 710,727. » (Philips, fils). 490, 710. » (Mme). Voyez Huygens (Sufanna). Drebbel (Cornelis Jacobz.). 119, 123, 164, 175, 176,709. III. PERSONNES MENTIONNÉES. 763 Drebbell. Voyez Drebbel. Duillier (Nicolas Fatio de). 15, 17, 21, 22, 50, 51,52, 55, 56, 57, 74, 75, 76, 77:78, 87; 93, 99, 112, 134; 145, 146, 147, 149, 152, 161, 163, 190, 198, 209, 210, 213, 214, 215, 219, 220, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 231, 236, 237, 238, 239, 241, 242, 246, 247, 257, 261, 262, 268, 270, 271, 273, 276, 277, 278, 279, 280, 283, 285, 287, 288, 208, 327, 328, 346, 350, 352, 354, 361, 440, 447, 452, 464, 465, 466, 468,485, 493, 494, 495, 529, 532, 553, 567, 569, 581, 582, 583, 598, 599, 601, 602, 603, 604, 605, 606, 607, 608, 609, 612, 613, 643, 644, 669, 715. Durfley (le Vicomte de). Voyez Berkeley (Ch.). Dijckveld (le Seigneur de). Voyez Weede (van). Eclufe (1). 599, 615. Ecoffais (un). Voyez Colm. » (unpetit). Voyez Higgins. Editeurs des ,, Aëta Eruditorum”. 84, 93, 96, 510. Eifenfchmid (Johannes Gafpar). 229, 261, 268, 269, 285, 298. Electeur (1). Voyez Maximilien Maria Emmanuel. Ellys (Efq.). 76. < EIft (van). 233. Eneftrüm (le Prof.). 706. Epicurus. 403. Ernft Auguft, duc de Hanover. 16, 444. Ernft, Landgrave de Heffe Caffel. 719, 720. Efchinardi (Francefco). 293, 562. Efcoliers de Leyde (les). 348. Efpagnol (l’abbé). 658. Effoméric (l’Indien). 700. Etats généraux (les). 269, 284, 382, 384, 425, 688, 7o1, 729. Euclides. 4,227, 324. Eyfinga (la famille van). 732,734, 735, 736, 738. Fabius (Cunétator). 647. Fabri. 257. Facio ou Fatio. Voyez Duillier (Nicolas Fatio de). Faes (van der). Voyez Lely (Pieter de). Fenius. 90. Fermat (Pierre de). 132, 315, 350, 351, 362, 364, 367, 369, 370, 371, 375, 460, 602, 699, 717; 718. Féron. 456, 489, Ferreus. Voyez Ferro. Ferrier. 401. Ferro (Scipione del). 261. Finckius (Thomas). 189. 764 IL. PERSONNES MENTIONNÉES. Flamfteed (John). 269, 275, 281, 380. François (un) qui montrait une tête parlante. 353, 394, 437, 440, 450, 464. Fréderic Henry, Prince d'Orange. 400. 457. Freybergen (de). 732, 733, 734, 735» 736, 737. Freydberg. Voyez Freybergen. Friedrich Wilhelm, Eleéteur de Brandebourg. 689. Frybergen. Voyez Freybergen. Fullenius (Bernard). 733, 734, 735, 737, 738. Fumal (le capitaine). 615. Galilei (Galileo). 23, 107, 182, 217; 299, 404, 519, 721. Gallon. #80, 731, 732. Galloys (l’abbé). 486. Gaffendi (Pierre). 402, 404. Gaftenaga (Don Francifco Antonio de Agufto, marquis de). 108, 113. Geelvinck. 619. $ (foeur du précédent). 619. Gènes (de). 258, 259, 260, 276, 279, 280. » (de) (Julien, René Benjamin). 260. Gennes (de). Voyez Genes (de). Gericke. Voyez Guericke (O. van). Gilbert (William). 15,404. » (l’evêque de Salifbury). Voyez Burnet (Gilbert). Girard (Albert). 187, 188, 228. Godeau (A.). 102. Gonneville (Binot Paulmier de). 700. Gouflier (Arthus). 355, 394, 395, 437, 441, 450. Gouffet (Jacques). 125, 126, 165, 180, HS. Graaff (Abraham de). 2, 72, 79, 80, 91, 204, 205, 206, 339. » (Johannes de). 2, 72, 79, 166, 204, 205$, 206, 207, 208, 212, 323, 339, 340, 341, 384, 389, 390, 396, 398, 423, 424, 433, 434; 443; 444, 514 » _(Lieuwe Willemfz.). 168, 203, 204, 206, 229, 269, 285, 298. Graverol (Jean). 583, 384, 598, 709. Gravefande (°s). 691. : Gregorius. Voyez Gregory (James). Gregory (David). 846, 432, 460, 462, 463, 464, 471,473, 482, 484, 492, 493, 523, 549, 565, 567, 569, 609, 614, 615, 621, 622, 669. » (James). 146, 185, 186, 227, 228, 308, 346, 413, 439. Groening (Johan). 147. Grotius (Hugo). 382. Guericke (Otto van). 15, 22. Guiraû (Claude Theophile). 294, 311. IT. PERSONNES MENTIONNÉES. 765 Gutfchovius. 247, 346, 458. Haas (Johann Sebaftian). 165. Haes (de). Voyez Haas. Halewijn (Simon van). 381. Halley (Edmund). 146, 237, 257, 682. Hamburgh (Frederik Marten van). 704. Hamden. Voyez Hampden. Hampden (John). 212, 215,231, 259, 272. Hannibal. 273, 647. Hanover (le duc de). Voyez Ernft Auguft. Hartman ( Joannes Jacobus). 601: Hartfoecker (Nicolaas). 276, 278, 280, 287, 289, 304, 307, 311, 312, 322, 323, 324, 325, 563, 707,708,711. Hautefeuille (Jean de). 355, 393, 450, 464. Hecker (Conftantin Gabriel). 486, 487 » (Johann). 486. Heinfius(Anthonie). 688. $ » (Daniel). 457. » (Nicolaas). 457. Hendrik Cafimir. 734. Henry, Duc de Saxe. 85. Henry IL, roi d'Angleterre. 83. Henfhaw (Thomas). 284. "Hero. 574. Heñterke. 233. Heuraet (Hendrik van). 235. : Hevelius (Johannes). 7, 486. Heyden (van der). 243. Higgins. 348. Hillema (Frederik van). 732. Hippocrates. 240, 261, 262. Hire (Philippe de la). 3, 8, 53, 82, 144, 299, 322, 323, 324, 325, 304, 486, 547, 548, 562, 570, 374, 624,655, 658, 686, 695,711, 715,716. Holder (William). 598. Holte ou Holten (van). 290, 380. Hooft (Pieter Cornelifz.). 456. Hooke (Robert). 55, 85,94, 220, 231, 232, 237, 280, 601, 611,612, 643. Hoorn. 456. Horatius. 718. Hofpital (Guillaume François Antoine Marquis de L?). 7, 21,75, 115, 116, 118, 223, 220, 304, 305, 306, 307, 312, 322, 324, 325, 326, 327, 329, 332, 342, 344, 345» 348, 349; 351, 766 III. PERSONNES MENTIONNÉES. 352, 355 358, 359, 360, 362, 363, 387, 388, 390, 394, 407, 408, 413, 416, 417, 428, 429, 431, 432, 437, 438, 440, 446, 447, 449, 450, 451, 452, 454; 457, 458,459, 467, 474, 476, 477, 478, 481, 484, 490, 491, 492, 495, 496, 497, 498, 499, 509, 510, 51H, 513, 518, 519, 534, 536, 537, 538, 539, 541, 544, 549, 561, 562, 568, 566, 568,569, 574, 575, 576, 577, 578, 585, 587, 611, 621, 622, 623, 624, 625, 626, 640, 642, 649, 650, 654, 655, 658, 664, 668, 669, 670, 680, 686, 693, 695, 704, 705,706, 708, 71, 715; 719, 722. Hofpital (la Marquife de L?). Voyez Chefnelaye (M. Ch. de R. de la). Hubin. 730,231. Hudde (Johan). 335, 351, 374, 388, 390, 417,424, 533, 568, 728, 729. Huet (Pierre Daniel). 53, 81, 82, 88, 90, 99, 100, 105, 143, 144, 195,196; 303,739. Huighens (Hubertus). 288, 234, 236, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250,251, 252,253, 254, 255, 256, 264, 265, 266, 270, 285, 298, 369, 444, 445, 448, 460,463, 511, 563. Huygens (Chriftiaan), père de Conftantyn, père. 456. »” ÿ SN Y ÿ 2 (Conftantyn), père. 48, 85, 143, 175, 398, 399, 400, 401, 402,455; 456, 457, 487, 489, 703, 725, 726, 727, 728. (Conftantyn) frère. 2, 55, 85, 94, 108, 113, 114, 209, 2X1 214, 219, 226, 231,236, 241, 242, 258, 259, 277, 280, 289, 294, 295, 306, 307, 311, 321, 324, 330, 347, 380, 381, 400, 401, 402, 430, 455, 457, 487, 488, 480, 568, 569, 581, 582, 583, 597,598, 599, 615, 647, 648, 662, 663, 688, 703, 704, 707, 719, 720, 721, 722, 706. (Conftantyn), fils de Conftantyn, frère. 220, 289, 290, 294, 295, 311, 348. (Conftantyn), fils de Lodewijk. 103, 398. (Lodewik). 233, 295, 311, 381, 398, 401, 402, 406, 725, mé: (Philips). 725. (Sufanne). 726, 727. Ireton (Henry). 294. Jackfon (Miles). 728. Jagers (Jannetje). 597, 599. James II. 290. Janfz. (Gijfbert). 290. Jaxon. Voyez Jackfon. Jean Philippe, électeur de Mayence. Voyez Schônborn (J. Ph. von). Jéfuites (les pères). 323, 404, 436, 658. Joblot (Louis). 208, 709, 730. »” (frère). 708, 709 (voir Joubelot au Tome IX). Jonffon (Samuel). 401. Joubelot (voir Joblot). Juckes (Claes). 738. Julius Africanus. 574. . Jungius (Joachim). 158. Jurieu (Pierre). 108. RE Penn TOUR D D M ns 0e me EU ASS NP MA PE TEEN PRES III. PERSONNES MENTIONNÉES. 767 Kapteyn (W.). 449. Karl, landgrave de Heffe-Caffel. 119, 122, 124, 165, 177, 684, 685, 702. Kepler (Johannes). 284, 297, 385, 426, 486, 605. Keyfer. 280. Knorre (Martin). GO, 602, 611, 643. Koerfma. 202. Kopernik (Nicolas). 5, 106, 107, 108, 113,455, 456, 681. Krafft (Johann Daniel). 688, 689, 696, 697, 698. Laer (Pieter van). 205, 207, 208, 212, 396. Lagni ou Lagny (Thomas Fantet de). 474, 426, 477, 545. Lamy (François). 730. Lanis (Francifeus Tertius de). 660. Lebas (veuve). 730, 731. Leers (Arnout). 658, 687, 696. Leeuwenhoek (Antoni van). 52, 232. Leibniz (Gottfried Wilhelm). 9, 10, 17, 18, 19, 20, 31, 37, 38, 41, 45, 48, 49, 80, 51, 52, 545 57; 59, 60, 61, 68, 74, 75577: 83, 86, 89, 93, 95; 96, 98, 99, 104, 109, 110, 111, 127, 129, 130, 131, 139, 140, 142, 156, 157, 158, 159, 162, 163, 164, 176, 177, 182, 183; 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 194, 195, 196, 199, 209, 210, 211, 213, 214,215, 216, 217, 218, 221, 222, 225, 230, 298, 241, 242, 243, 245, 246, 247,252, 254,257, 258, 259, 260, 262, 268, 272, 276, 279, 280, 283, 284, 286, 287, 288, 296, 297, 299, 300, 301, 304, 305, 308, 314, 315, 316, 327, 328, 329, 336, 350, 351, 352, 354, 3614 369, 382, 383, 393; 407, 412, 413, 416, 425, 429, 430, 432, 437,438, 439; 440, 485, 494; 496, 497, 499, 509, 510, 511, 512, 513, 515, 516, 517, 538, 539, 540, 541,542, 543, 562, 567, 569, 572, 573, 574, 575, 576, 577, 578, 579, 580, 585, 586, 600, 601, 602, 604, 605, 608, 609, 610, 613, 614, 617, 621,622, 623, 624, 625, 626, 635, 636, 639, 640, 641, 644, 645, 646, 649, 650, 651, 654, 659, 660, 661, 662, 664, 665, 667, 668, 669, 670, 671, 672, 675, 676, 678, 679, 680, 681, 682, 683, 688, 693; 696, 697, 698, 702, 713, 714, 715, 716, 717; 718, 719, 720,721. Leipzig (Meflieurs de). 9, 10, 84, 93, 95, 96, 99, 104, 109, 134, 142, 157, 158, 182,225, 297, 229, 230, 510, 512, 516, 568, 738. . Lely (Pieter de). 704, 707. Leopold I (l’empereur). 15, 230. Leu (de). Voyez Wilhem (de). Lexington (Robert Sutton, baron de). 490. Libri. 81. Lieberghen (Diederik van). 663, 720. Lilly. Voyez Lely (P. de). Lipftorp (D.). 401. Lifci (Pius). Voyez Viviani. Lith (W. van). 205. 768 IL. PERSONNES MENTIONNÉES. Locke (John). 146, 209, 212, 260, 272. Louis XIV, 5, 6, 7, 168, 204, 260, 290, 295, 457, 476, 523, 524, 561, 574, 653, 669, 690, 727, 731 Louvois (Camille le Tellier, abbé de). 7, 8. à » (Jean Michelle Tellier, Marquis de). 7, 8. Ë Ludolf(Hiob). HO1, 102. Ludwich Wilhelm, Margrave de Baden. 685. Luxembourg (François Henri de Montmorency, duc de). 295, 489. Macreel. Voyez Makreel (D.). Maere (Willem Matthijffe van). 406. Magliabecchi (Antonio). 85, 292. Mainbourg (Louis). 882. Maintenon (Mme de). 347. Makreel (Dirck). 80, 717. » (-). 717. Malebranche (Nicolas). 563, 621. Mariotte (Edm.). 602, 718. Maroles (de). 698, 699, 718. Marot (Daniel?). 600. Mary (la princeffe). Voyez York (la ducheffe id Matthijffe (Willem). 290. Ce Maximilien Maria Emmanuel, Eleéteur de Bavière. 490. Meier (Gerhard). 48, 49, 54, 85, 86, 89, 104, 105, 161, 163, 164: 1903 194, 195, 196, 221,222. Menard. 727. Mencken (Otto). 10, 541, 617,618, 642 Mendoza. 456. Mercator (Nicolas). 18, 28, 41, 385, 641. Merlen (van). 237, 306. Merfenne (Marin). 155, 170,171, 217, 351, 400, 401, 457, 622. . Mefme (le comte de Sainte). 306. Meybos (Gillis). 205, 207, 208, 212, 396. Mick. Voyez Suerius (Miralinde). Miniftre de Zuylichem (le). 233, 380. Moes (E. W.). 725. Moetjens (Adriaan). 398, 703, 708. Moggerfhill. Voyez Doublet (Ph.). » (Mme). Voyez Huygens (Sufanne). Moïfe. 455. Molyneux (William). 260, 276, 279, 280, 281. Monforte ou Monfortius (Antonio). 203. Monros (le Seigneur de). Voyez Quefne (A. du). SE CR [IL PERSONNES MENTIONNÉES. 769 Monroy (de). 294. Montre (La). 824. Moreri. 398, 455, 487. Narborough (Sir John). 704, 709. Naffau-Dietz (Willem Frederik van). 732. Neufon. Voyez Newton. Newton (Ifaac). 9, 10, 17, 18, 19, 20, 27, 29, 30, 33, 38. 51, 52, 55, 57, 82, 83, 84, 04, 119, 146, 147, 148, 149, 150, 152, 153, 154, 155, 163, 168, 209,213, 214,215, 219,229, 236, 239, 241, 242, 243, 257, 258, 250, 261, 269, 270, 271,272, 276, 279, 280, 284,285, 289, 295, 297, 308, 317, 318, 327, 346, 352, 354, 382, 385, 387, 393, 403, 426, 428, 432, 437, 439, 440, 463, 464, 482, 484, 517, 524, 566, 567, 569, 579, 580, 598, Got, 602, 603, 604, 605, 606, 607, 608, 609, 610,612, 613, 614, 616, 617,618, 621. 622, 623, 626, 640, 641, 643, 645, 646, 651, 661,669, 675,676, 681,682,687,713, 717. Nieuwentijdt (Bernard). 842,718. Nifot (le père). 347. Normand (le). 576. Oldenburg (Henry). 257, 464, 517,675, 676. Otton (duc de York, comte du Poitou). 83. » IV (l’empereur). Voyez Otton, duc de York etc. Ouvrard (René). 286, 298, 299. Ofanam. Voyez Ozanam. Ozanam (Jacques). 7, 284, 497. Paolo (P.). Voyez Sarpi. Papin (Denis). 119, 122, 125, 126, LA 165,175, 176, 177,178, 179, 180, 269, 285, 296, 298, 300, 702, 709. Pardies (Ignace Gafton). 157, 167, 168, 204, 593, Got, 612, 643, 657. Parthenope. 488. Pafcal (Blaife). 224, 698. Pafton (voir Yarmouth). Payot de Linière (François). 728. 5 (Mlle). 728. Pel. 4o1. Peliffon (Paul). 103, 296, 304, 320, 388, 720. Perrault (Claude). 323, 516, 517, 540, 728. Petermañn (Andreas). 106, 195. Petit (Marianne). 727. Pharnaces. 259, 260 Philo. 574. Piazza (Julio). 106, 1@2, 108, 113. Picard (Jean). 6, 180, 728. Pindare. 259. . Œuvres. T. X. À 97 770 HIT. PERSONNES MENTIONNÉES. Pitifcus (Bartholomaeus). 189. Plaat (Mr. de la). Voyez Aerflen (François). Platon. 257, 403. Plinius. 267, 273. Plutarchus. 259. Pollot (Alphonfe). 400. Portland (Milord). Voyez Bentinck (H. W.). Pofuel (libraire). 658. Poulle (Aronus à). 234. 236. Pound (Dr.). 231. Preftet (Jean). 477. Prévoft (Pierre). 163, 608. Prion. Voyez Prior. Prior (le Sieur). 347, 348. Profeffeur (le) de Wittenberg. Voyez Knorre. ñ Ptolemée. 5. Étente Puget (Louis de). #80, 731. Puteanus. 457. É Pythagoras. 257, 324. Quaker (le). Voyez Quare. Quare (Daniel). 208, 700. Quefne (Abraham du) père. 258, 7o1. } pie € > ) fils. 288, 259, 260,272, 276,277,270, né 287,567, so sé, 700 oi > (Henride). 258. : 4 Quefnet (François). 570. Quinch. 232. Rafael. Voyez Santi. Rafson. Voyez Raphfon. Ramus (Petrus). 324. | Raphfon (Jofeph). 709. ru Rappard (A. C. P. G. chevalier van). 725, 726, 728. Régis (Pierre Sylvain). 7, 143, 144, 563. k 34 Regius (Henricus). 401, 621. Renaldini (Carlo). 696. Renau (Bernard). 478, 528, 524, 525, 526, 528, 520, 530, 531, 538, 553, 561; 5062; 564, 68! 577, 578, 580, 585, 588, 590, 591, 592, 593, 594, 595,611, 621, 624, 642,643,653,654} 655, 656,657, 658, 663, 664, 669, 681, 686, 690, 601, 692, 693, 694, 695, 705 7067011 Renaud. Voyez Renau (B.). Reydanus (Everardus). 456. 2 Ricciati. 450. i< 08 red Richer (Jean). 180. 14 III. PERSONNES MENTIONNÉES. #71 Ripperda (Georg). 233. Rivet. 400. Roanes (le duc de). Voyez Gouflier (Arthus). Roberftal (Charles). 477. Roberval (Gillis Perfonne de). 229, 230, 352, 303, 402, 421, 429, 4373440, 486, 510. Rolle (Michel). 190,:228, 474,476, 563, 576. Roman (Jacobus). 210. Rome (Mefieurs de). 681. Rümer (Olaf). 6, 15,613. Roofendael (le Seigneur de) Voyez Arnhem (van). Rofemond (de). 242. Rofen (de). 684,685. Roulland (Lambert). 477. Rudolf Auguft, duc de Braufchweig-Wolfenbüttel. @O4, 605,617, 618. Ruifch( Jofina). 732. Ruffel. 290. Rijckaert (Sufanna). 220, 221, 200, 294, 348, 490, 598, 647, 648, 663; 703, 720. Sainte-mefme. Voyez Mefme (le.comte de Sainte). Salinas (Francefco de). 169, 170, 171. Santi (Rafaello). 597. Sarpi (Paolo). #12. Saumaife (Claude). 457. Schünborn (Johann Philippe von). 689. Schoock (Johannes). 220, 295. Schooten (Frans van) père. 400. n° EC 15 CD fils 193, 217, 400$ 407. Schotanus a Sterringa (Johannes). 166, 195. Schotenius (l’ancien). Voyez Schooten (Frans van) père. Schuylenburg (Johannes van). 202. Schweling (Johann Eberhard). 80, 100, 105, 195. Scipio Cunétator. 647. Seckendorf (Veit Ludwig von). #20. Sedileau. 322. Senèque (philos.). 133, 354. Sloane (Hans). 231 Slufe (René François de). 247, 421,445, 458, 517,623, 632. Slydrecht (Mr. de). Voyez Tedingvan Berkhout (Jan). Smalingh (Adam van der). 719. Smith. 597. Snellius (Willebrord), 159, 183,187, 189,228, 405, 406. Society (la Royal). 220, 231, 232, 237, 260, 303, 380, 476, 581, 682.714 772 III. PERSONNES MENTIONNÉES. Southwell (Robert). 220, 231, 232. Spanheim. 294. Spener (Johan Jacob). 22. Stanley (William). 220, 231, 232, 237, 380. Stapelton (Thomas). 10%, 108, 113. Steigerthal (Johannes Georg). 224, 275, 276, 279, 281, 282, 291, 292, 293, 294, 444, 445, 562, 658. Stevens. 600. Stevin (Simon). 187, 188, 218. Stubnerus (Friedrich David). 6or. Suerius (Fred. Hendrik). 726. » (Mme). Voyez Bartelotti (Margaretha). » (Miralinde). 726, 728. Sulliny. Voyez Schweling. Sutton. Voyez Lexington. * Swart (Jacob). 406. Sweling. Voyez Schweling. Swinia (Fokjen van). 732. Tafman (James). 704. Tatien. 144. Tayler. Voyez Teyler. Teding van Berkhout (Jacoba). 398. es (Jan). 583. li 6 Teiller. Voyez Teyler. Telefo (Bernardino). 404. Tempion. 884, 707, 708, 709, Temple (William). 321. Teron. 294. Teyler (Johannes). 604, 609, 615, 617,618, 646, 681. Theodoretus. 144. Thevenot (Melchizedec). 574. Thornton. 257. Tien. Voyez Conftantyn Huygens fils de Conftantyn, frère, Torricelli (Evangelifta). 293, 562. Tourneur. 257. Tourton. 146, 209, 242, 257, 288. Tourville (Anne Hilarion de Cotentin, conte de). 290, 643. Touffain ou Touffaint. 294, 311. Tronchin (Jean Antoine). 736, 737. Tfchirnhaus (Ehrenfried Walther, Freïherr von). 51, 52, 58,72, 79, 80, 88, Or, 92, 100, 119, : 134, 157, 219, 240, 245, 254, 261, 262, 268, 270, 276, 277, 278; 279, 280, 285, CORP EE NE PEN CE PNA IL PERSONNES MENTIONNÉES. | 773 287, 298, 496, 553, 683, 684, 688, 689, 697, 698, 711, 714, 715,716, 717. Turenne (Henri de la Tour d'Auvergne, vicomte de). 685. Urbain VIII (le pape). 107. Valette (dela). 732. Vallis. Voyez Wallis. Varignon (Pierre). 87, 99, 354, 476, 613,651. Vegelin (Ph. E.). Voyez Claerbergen (Ph. E.). Velden (François Xavier van). 102. » (Gregoire Jean van). 107. Velden (Ignace Gérard van). 107. » (Marten van). 106, 108, 113. » (Pierre Jofeph van). 102. Velfen (le libraire van). 295. Verbolt (François). 295, 311, 380. Verbrugge (Evert). 206, 212. Verulamius. Voyez Bacon (Fr.). Vieta ou Viete (François). 157, 227, 239. Ville-neuve (Jean Boivin de). 324. Virgilius. 488, 722. Vi£bach (l’horloger). 72, 80, 90. Viffcher (Nicolaas). 435, 443. Viffer. Voyez Vifcher. Vitruve. 293. Viviani (Vincentio). 292, 329, 336, 337, 346, 354, 681. Volder (Burchard de). 195, 196, 424, 433, 435, 436, 442, 443, 615, 617, 618, 620, 621, 623, 624, 636, 687,739, Vollenhove (Joannes). 703. Voflius (Ifaac). 323, 381, 457. Waller (Richard). 581. Wallis (John). 17, 18, 28, 117, 215, 224, 264, 308, 354, 388, 393, 404, 484, 566, 567, 569, 580, 598, 599, 610, 615, 621, 622, 640, 646, 651, 661, 664, 669,675,687. Ward (Patience). 231,282. » (Seth). 385. Warren (Erafmus). 707, 709. Wafmuth (Mattheus). 270, 285, 298. Weede (Everard van). 663. Weigel (Erhard). 16, 141, 142. Weigelius. Voyez Weigel. Wichers (Wicher). 620, 702. Wilhem (le Leu de). 400. Wiljet. Voyez Williet. (J.). 774 IT. PERSONNES MENTIONNÉES. Wilkens. 399. Willem I. 456. » IL 457. » LIL. 85, 108, 113, 211, 220, 221, 232, 233, 237, 290, 321, 347, 380, 381,400,1455,456, 457, 464, 488, 489, 490, 568. 584, 597. 599, 600, 615.647, 653, 663, 664, 684, 685, 688, 702, 704, 708,710, 720, 721. Williet (J.). 598, 599, 703, 720. Windifchgraz (le comte de). 230, 268, 270. Witfen (Nicolaas). 581, 483, 598, 707, 708. Witt (les frères de). 725. » (Jan de). 720. Wolfenbüttel. Voyez Rudolf Auguft. Wood (John). 704. Wotton (William). 209. Wren (Chriftopher). 390. Xenocrates. 105. Yarmouth (William Pafton, earl of). 597, 600. York (Mary, ducheffe de). 600, 707, 710. Zarlin. Voyez Zarlino. Zarlino (Giufeppe). 469, 170, 171. Zeelhem. Voyez Huygens (Conftantyn) frère. » (Mme). Voyez Ryckaert (Sufanna). Zevenaer (Mme de). 704. » (Mllede). 704. Zuerius. Voyez Suerius. Zuyl (Gijfbert Jans). 406. [V. OUVRAGES CITÉS DANS LES LETTRES. Les chiffres gras défignent les pages où l’on trouve une defcription de l'ouvrage. Les chiffres ordinaires donnent les pages où il eft queftion de l’ouvrage. d Alencé (Mr. D.). Traité des baromètres, thermomètres et notiomètres ou hygromètres, 1688. | 210. - Verhandeling over de Barometers, enz., 1728. 210. P. Ango, Optique, divifée en trois Livres, 168, 204, 601, 612. Arifloteles (pfeudo), de Mundo. 574. Arnobius Afer, Adverfus gentes libri VII, 1651. 144. Adr. Auzout, Commentaria in libros Vitruvii (manufcrit). 293. C, van Baerle, voyez Conftantyn Huygens, père. R. Ball, An effay on Newton’s ,,Principia”, 1893. 614. Aar. Baillet, La vie de Monfieur Defcartes, 1691, 143, 399, 400, 401. 4 Hiftoire de Hollande. 143. J. Barrow, Leétiones Opticae et Geometricae, 1674. 211, 245, 246, 249, 251, 253, 264, 277,278 315,623: H. Bafnage de Beauval, Hiftoire des Ouvrages des Sçavans, 1686-—1694 (1721). 59, 82, 98, 114, 135; 169, 196, 209, 212, 215, 216, 224, 229, 263, 285, 286, 298, 304, 308, 359, 407, 438, 450, 451, 453, 510, 517, 540, 568, 572, 585, 588, 642, 651, 654, 663, 694, 695, 705, 722. Fr. Bayle, Differtatio phyfica, 1678. 601. P. Bayle, Avis important aux Réfugiés fur leur retour prochain en France. 103. » Cabale chimerique de la chimère de la cabale de Rotterdam. 103. Diétionnaire Hiftorique et Critique, 1697. 398, 455. Nouvelles de la République des Lettres, 1688—1694. 1 14, 323, 495, 496,651,732,733 776 IV. OUVRAGES CITÉS. Jacques Bernoulli, Narratio controverfiae inter Dn. Hugenium et Abb. Catalarum de Centro »” Ofcillationis, 1686. 1 14. Demonftratio Centri Ofcillationis ex Natura Veëétis, etc. 1690. LH, 115, 116, 117,118, 119. Specimen calculi differentialis in dimenfione Parabolae helicoiïdis, 1691. 623. Specimen alterum calculi differentialis in dimetienda Spirali Logarithmica, 1691.122, 133, 554, 667. Additamentum ad folutionem curvae caufticae fratris Jo. B.1692. 583%, 587. Aenigmatis Florentini folutiones variae infinitae. 829, 336, 354. Curvatura veli, 1692. 496, 5402, 553, 554, 563, 577, 579, 620, 627, 667, 677. Lineae Cycloïdales, Evolutae, etc. 1692. 119. Curvae dia-caufticae, Natura ofculorum uberius explicata, 1693. 496, 509, 545; 553 587. Solutio problematis Fraterni ante oëtiduum Lipfiam tranfmifi, 1693. 494, 497; 512, 513. Solutio problematis Leibnitiani de eurva acceffus et Receffus, etc. 1694. 575%, 659,676, 681, 699. Conftruétio Curvae acceflus et receffus aequabilis, 1694. 585%. Curvaturae laminae elafticae, etc. 1694. 659, 660, 665, 666, 671, 672, 677. Explicationes, annotationes et additiones ad ea, quae in Aë@is fup. anni de Curva Elaftica, Ifochrona et Paracentrica et Velarialeguntur, 1695. 665, 666, 667, 668, 671. Jean Bernoulli, Differtatio Chymico-Phyfica de Effervefcentia et Fermentatione, 1690. 148. »” Solutio problematis funicularii, 1691. 51, 95, 104, 109, 129, 142, 216,227, 357, 413, 623. Solution du problème de la courbure que fait une voile enflée par le vent. 1692. 437%, 454. Solutio Curvae Caufticae, etc. 1692. 712. Solutio problematis Cartefo propoñiti Dn. de Beaune, 1693. 454, 474, 476. Solution d’un problème propofé dans le 28 Journal de cette année. 1693. 576. Conftruétio facilis Curvae acceffus aequabilis, etc. 1694. 525. De motu mufculorum meditationes mathematicae, 1694. 650. Animadverfio in praecedentem folutionem 111. D. Marchioni Hofpitalii,1695.66s. Additio ad Excerpta, etc. 1696. 222. Effay d’une Nouvelle Theorie de la Manoeuvredes Vaifleaux,1714.529, 531,705. Leétiones mathematicae, de methodo integralium, etc. 1742. 132, 557. Lettres a Mr. le Marquis de l’Hofpital, 8&1, 706. J. Bertrand, Académie des Sciences et les Académiciens de 1666 à 1703, 1869. 542. H. Beverland, Peccatum originale, 1678. 381. ” Admonitio de fornicatione cavenda, 381. W°. Blaeuw, Africae novae defcriptio, 443. IV. OUVRAGES CITÉS. 777 E, Bodemann, Der Briefwechfel des G. W. Leibniz in den Kôniglichen ôffentl. Bibliothek zu Hannover, 1889. 10, 688. Boileau, Satire (X)) contre les femmes, 1692. 583, 598. B. Boncompagni, Bulletino, 517. J. À. Borelli, De Motu Animalium, 1743. 650. R. Boyle, New Experiments Phyfico-Mechanical touching the Spring of the Air, and its Effe&s 1660. 94. H, Brocard, Notes de Bibliographie des courbes géométriques, Partie complémentaire, 1899. 517. Louis de Puget, François Lamy, Louis Joblot, leur action fcientifique, etc. 1905. 708, 230. Th. Burner, Archacologiae Philofophicae, five doëtrina antiqua de rerum originibus, 1692. 455, 383, 597, 598,703, 707, 709. T. Campanella, Philofophia Senfibus demonttrata, 1591. 404. 5 Prodromus Philofophiae inftaurandae, 1617. A4. # De fenfu rerum et magia, 1620. 404. M. Cantor, Vorlefungen über Gefchichte der Mathematik, 1900, 1901. 118, 219, 315. G. Cardano, Opera omnia, 226. > De utilitate ex adverfis capienda, 226. ÿ Ars magna, 261. R. des Cartes, Dioptrique, 403, 602. Difcours de la Methode, etc. 1637. 303. Geometria, op. Fr. a Schooten, 1659, 235, 335, 400, 406, 533, 642. Meditations métaphyfiques, 1641, 1647. 302. des Météores, 405. Lettres. ed. Clerfelier, 1667, 812, 400, 405. Principes de la Philofophie, 52, 296, 300, 301, 302, 303, 403, 405, 406, 614. Traité de méchanique, 402. Œuvres, éd. Clerfelier, 353. » éd. Coufin, 302. » éd. de Charles Adam et Paul Tannery, 313, 351, 352, 353, 400, 401, 409, 510, 623. J. D. Cafini, Nouvelles découvertes dans le globe de Jupiter, 1691. #, 322. # Nouvelles découvertes des diverfes Périodes de mouvement dans la Planete de Ju- piter, 1692. 288, 286, 322. De Catelan, Remarque fur la propofition fondamentale de la IV partie du Traité de la Pendule NS SON ALAN de Mr. Hugens, 1681. 1 14. s Logiftique pour la fcience générale des lignes courbes, 1691. 42 2, 545, 563. A Principe de la Science generale des Lignes courbes, etc., 1691. 482. se Difiiculté fur la folution d’un Probleme de Mr. Bernoulli, 1694. 649. Congreve, The mourning Mufe of Alexis. À Paftoral lamenting the Death of our late gracious Queen of bleffed memory, 1695. 710. Œuvres. T.X. . 98 778 IV. OUVRAGES CITÉS. V. Coufin, Fragments Philofophiques, 1838. SL, 399. Jo. Craig. Methodus figurarum lineis reétis et curvis comprehenfarum quadraturas determinandi, 1685. 214, 219, 231, 236, 258, 277, 278, 280, 208, 635. Animadverfo in Methodum figurarum. etc. 1685. 22%. Additio ad Methodum figurarum quadraturas determinandi, 1686. 635, 636. Refponfo ad Literas D. T. Lipfiam miffas Feb. 20, 1686. 277. Traétatus Mathematicus de Figurarum curvilinearum Quadraturis et Locis Geome- tricis, 1693. 228%, 635, 698. ÿ Theologiae Chriftianae Principia Mathematica, 1699. 249, 220. S De Calculo fluentium libri duo, 1718. 219. J. A. du Cros, Apologie contre William Temple, 321. Nic. de Cufa, Opera 455, 703. L. Delifle, Catalogue des manufcrits des Fonds Libri et Barroïs, 1888. SL. Diogenes Laertius, Opera, 105. N. Fatio de Duillier, Errata de Mr. Newton (manufcrit), 147—155, 209, 215, 346, 354, 567. ci Theorie de la Pefanteur, 257, 271, 354, 609, 669. Dutens, Gotfridi Guilelmi Leibnitii Opera Omnia, 602, 605, 608. Jo. Eberhardi, voyez Schweling. J. G. Eifenfchmid, Diatribe de figura telluris Elliptico fpheroide, 1691. 229, 261. Fr. Efchinardi, De impetu traétatus duplex, 1684. 298. Euclidis, Elementorum libri VI, 4. P. de Fermat, Varia opera, 1679. 132, 350. » De aequationum localium tranfmutatione et emendatione, 132, 359, 369,370. Œuvres, publiés par Paul Tannery et Charles Henry, 1891, 182, 350, 369, 370, 371« G. Gachard, Voyage de Siam des pères Jéfuites, 1686. 658. J. Galloys, Extrait d’un Ecrit compofé par Dom François Quefnet, Rel. Bened. envoyé à l' Acad. Roy. des Sciences, 5 7©. G. I. Gerharät, Der Briefwechfel von G. W. Leibniz mit Mathematikern, 1899. 9, 17, 49, 55, 59, 83; 86,93, 99, 109, 127, 139, 156, 182, 197, 221, 225, 230, 238, 257, 260, 268, 283, 296, 316,382, 383, 425, 464, 509, 511, 538, 572, 575, 600, 609, 614, 619, 639, 646, 649, 659, 664, 674, 676, 683, 684, 689, 696, 713; 714 S Leibnizens mathematifche Schriften, 1855. 9, 17, 49, 55, 83, 86, 93, 99, 109, 127,139, 156, 160, 182, 197, 221, 225, 230, 238, 257, 260, 268, 283, 206, 316, 382, 383,425, 428, 509, 511, 538, 539, 572, 574, 600, 609, 614, 619, 639, 642, 645,649, 659, 664, 674, 683, 688, 696, 713,714, 716,721. Die philofophifche Schriften von Gottfried Wilhelm Leibniz, 1875-1890. 302, 303, 614, 681. E. Gerland, Leïbnizens und Huygens Briefwechfel mit Papin, 1881. 119, 122, 164, 175, 177. G. Gilbert, De Magnete, Magneticifque corporibus, 1600. 45. À. Godeau, Hiftoire de l’Eglife, 10€. ÿ JE S S IV. OUVRAGES CITÉS. 779 P. de Gonneville, Mémoires touchant l’établiflement d’une mifion chrétienne dans la terre auftrale meridionale, 1668. 200. À. de Graaff, Mathematifche Werken, 2. a De geheele Mathefis of Wifkonft herftelt in zijn natuurlijke gedaante, 1676. z2. J. de Graaf, Journal, 433. J. Graverol, Mofes'vindicatus, 1694. 384, 598, 700. D. Gregory, Exercitatio Geometrica de Dimenfione Figurarum. 1684. 473. J. Gregory, Exercitationes Geometricae, 1668. 185, 186, 187, 227, 228, 308, 413, 439. J. Groningius, Bibliotheca Univerfalis s. Codex Operum Variorum, 1701. 147. : Hiftoria Cycloeidis, 1701. 147. H, Grotius, Epiftolae ad Gallos, 1648. 382. O. van Guericke, Nova Experimenta Magdeburgica, 15. G.E. Guhrauer, Leïbnitz Animadverfiones ad Cartefii Principia Philofophica, 1844. 802, 681. JS. Haas, Steganographie nouvelle, 1693. 165. Edw. Halley, An Account of the Change of the Variation of the Magnetical Needle, 1692. 682. Nic. Hartfoecker, Effay d’un nouveau Syfteme du monde, 1691. 824. » Effay de Dioptrique, 1694, 707, 208, 711. 5 Eflay touchant la Poliffeure des verres. Voyez Effay de Dioptrique. J. de Hautefeuille, Avis fur le privilège des horloges et des montres de la nouvelle Invention. (1693), 355. J. Hecker, Ephemerides motuum coeleftium ab 1660 ad 1680.1662. avec Supplément, 1670. 486. H. a Heuraer, Epiftola de curvarum linearum in Reétas Tranfmutatione, 1659. 235. J. Hevelius, Prodromus Aftronomiae, 1690. &. *Ph. de la Hire, Defcription de l’Aiman qui s’eft trouvé dans le clocher neuf de Notre Dame de Chartres, 1691. 299, 322. Tabularum Aftronomicarum pars prior; de motibus Solis et Lunae, etc. 1687. 8, 658. ra Tabulae Aftronomicae, 1702. S, 324. Traité des Epicycloides et de leur ufage dans les Mecaniques, 711, 215. W. Holder, A Treatife of the Natural Grounds and Principles of Harmony, 1694. 398, 599. P.C. Hooft, Nederlandfche Hiftorien, 456. R. Hooke, Micrographia, 6o1, 612. » Depotentia reftitutiva, or of Spring, Explaining the Power of Springing Bodies, 1678. 85, 94. Horatius, Carminum lib. I. 718. G. F. A. Marquis de ! Hofpital, Analyfe des Infiniment petits, pour l’intelligence des lignes cour- bes, 1696. 713. Eclairciffement d’une difficulté propofée dans le XIII Journal, 1694. 650. Lettreà Mr. Huygens, dans laquelle il prétend démontftrer la règle de cet autheur touchant le centre d’Ofcillation, etc. 1690. 114, 115, 304. $ Lettres à Jean Bernoulli (manufcrites), 84H, 706. 780 IV. OUVRAGES CITÉS. G.F. 4. Marquis de V Hofpital, Problematis a Johanne Bernoullio in hifce A&is menfe Majo propofiti Solutio, 1693. 485, 568, 569, 649, 670. : Solution d’un problème de Géométrie que l’on a propofé depuis peu dans le Journal de Leïpzic, 1693. AS, 649. 5 Solution du Problème que Mr. de Beaune propofa autrefois à Mr. Defcartes, 1692. 391, 476, 511, 687. > Solutio problematis Geometrici nuper in Aëtis Eruditorum propofiti, 1694, 649. Fe Solutio Problematis Phyfico Mathematici ab erudito quodam Geometra pro- poñiti, 1695. 212. Solution d’un problème phyfico-mathematique, 1700. 713. l'Hofie, Traité de la taétique navale, 643. P. D. Huet, Cenfura Philofophiae Cartefianae, 1689. 81, 105, 143, 144, 195, 196, 303. À. Alnetanae Quaeftiones de Concordia Rationis et Fidei, 1690. 82, 88, 99, 100, 144. » Traité de la Situation du Paradis Terreftre, 1692. 145. Hubertus Huighens, Adverfiones quaedam circa proportionem quam ad reétilineas habent figurae curvilineae, 1692, (?), 284, 249, 298, 444, 445, 460, 463. » Methodus inveniendi Longitudinem linearum curvarum, necnon Aream figurarum curvilinearum, 1700. 284, 246, 249, 460, 463. Chr. Huygens, Aftrofcopia compendiaria, 1684. 488, 734. Conftru&io univerfalis Problematis a Clar. Viro Joh. Bernoullio propofiti. 1694. 513, 670, 673, 674, 681, 683. 5 Cofmotheoros, 1698. 304, 320, 577, 881, 582, 583, 584, 598, 609, 616, 639, 640, 648,663, 682, 698, 703, 707, 708, 711,718, 720, 721. Tradu&ions du livre précédent, 582. Æ Conftruétion d’un problème d’optique, 1693. 497, 570. De ïis quae liquido fupernatant, (inédit) 407, 815. Démonftration de l’équilibre de la balance, 1693. 15, 16. De motu corporum ex percuflione, 1669, (1703) 8302. = De Problemate Bernoulliano, 1693. 425, 499, 510, 512, 538, 569, 572, 617, 618. $ Dioptrica, 1703. 58, 285, 206, 382, 573, 682. 5 Difcours de la Caufe de la Pefanteur, 1690. 9, 10, 53, 54, 79, 81, 104, 125, 143, 167, 180,181, 195, 203, 229, 269, 274, 284, 285, 286, 296, 297, 298, 305, 307; 318, 333% 334, 360, 384, 385, 412, 606, 607, 644, 669, 68T, 701, 738. » CE Addition au Difcours de la Pefanteur, 20, 104, 125, 269, 412. . Excerpta ex epiftola ad G. G. L. 1694. 671. 5 Excerpta ex nonnullis fcriptis de famigerato Alhazeni problemate, 1673. 497. 5 Extrait d’une lettre touchant les phénomènes de l’Eau purgée d’air, 1672. 302, 644. Horologium, 1658. 7or. Horologium ofcillatorium, 1673. 2, 106, 115, 183, 229, 334, 373, 402, 416, 516, 541 553; 701. : Lettre touchant le cycle Harmonique, 1691. 169, 224, 225, 229, 239, 240, 298. IV. OUVRAGES CITÉS. 781 Chr. Huygens, Lettre à l’auteur de l’Hiftoire des Ouvrages des Sçavans, 1693. 135, 140. 5 Nouvelle force mouvante, etc. 1693. 737. » Opufcula poftuma, 1703. 302. : Opera Varia, 1724. 407, 525, 588, 654, 691. ÿ Remarque fur le livre de la manoeuvre des vaiffeaux, 1693. 325, 548, 553, 561, 564, 565, 568, 569, 578, 588, 589, 590, 591, 592, 611, 642,653, 654, 658, 664, 669, 681, 706. 5 Réplique à la Reponfe de Mr. Renau, 1694. 654, 658, 663, 664, 669, 681, 686, 690, 691, 692, 693; 706. Raifons pour ne plus continuer la difpute avec Mr. Renau, 1694. 694, 705. Remarques fur la lettre précédente [de Mr. le Marquis de l’Hofpital], 1690. 114, 115, 117. Y Relation d’une Obfervation faite à la Bibliothèque du Roy, 1667. 52, 682. ; Solutio ejufdem problematis [ funicularii], 1691. 9%, 09, 104, 109, 305, 413. Syftema Saturnium, 1659. 180. Theoremata de Quadratura Hyperboles; etc., Exetafis, 1651. 4or. ÿ Traîté de la lumière, 1690. 5, 6, 9, 58, 73, 79, 80, 81, 88, 92, 104, 119, 125, 134, # 107, 177, 785 "179, 195, 203, 209, 211, 214; 269, 274, 284, 296, 298, 305, 394, 496, 601, 606, 612, 643, 682, 701,714, 716,738. ‘4 Traité fur l’aimant, (inédit) 195. Conff. Huygens, père. Dagboek, 726. 5 Gebruyck of ongebruyck van *t Orghel in de kercken der Vereenigde Nederlan- den, 1641. 400. $ÿ Momenta Defultoria, 1644. 402, 4e. 5 Otia 1625. 402. : 1 id PET ÿ frère, Journal, 1876: 55, 289, 294, 347, 704, 708, 720. Les Peres Jéfuites, Relations phyfiqueset mathematiques des P. P. Jéfuites envoyées de la Chine, 658. Louis Joblot, Defcription et ufages de plufieurs nouveaux microfcopes, 1718, 209. ÿ Traité de la Lumière, 709. P. Jurieu, Examen d’un libelle contre la religion, 1691. 108. # Fa&tum felôn les formes ou difpofition d'épreuves contre l’auteur de l'avis, 1692. 103. à Nouvelle correction fur l’auteur de l’avis aux réfugiés, 1692. 163. M. Knorre, Differtatio dioptrica de refraétione luminis, 1693. G@1L. (J. J. Hartman). . Differtatio Aftronomica de Crepufculis, 1698. G@X. (Frieder), Koerfma, Traité fur 4. ..2202: WI Konarf ki, Un favant Parifien, précurfeur de Pafteur, Louis Joblot, 1895. 209. D. JT. Korteweg, Defcartes et les manufcrits de Snellius, 1896. 405. T. F, De Lagny, Méthode nouvelle infiniment générale et infiniment abregée pour l’extraétion dés Racines quarrées, cubiques, etc. 1691. 426, 477. 782 IV. OUVRAGES CITÉS, T. F. De Lagny, Nouvelle méthode pour l’approximation des Racines cubiques, 1691. 42%, Fr. T. de Lanis, Magifterium naturae et artis, 66o. A. van Leeuwenhoek, The abftraét of two lettres, fent to Dr. Gale and Dr. Hooke, 232. G.W. Leibniz, Addenda ad Schediafma proximo menfe julio infertum, 1695, 248,721. »” YO YO Y ÿ SONT SU ÿ Additio ad Schediafma de Medii Refiftentia publicatum in Aétis menfis Feb. 1691. 9, 10, 11,12, 13, 37, 38, 50, 111. Ad ea, quae Vir. CI. J. B. menfe Majo nupero in his A&@is publicavit, refpon fo, 1690. 574. Ad problema Majo nupero in his Aétis p. 235 propofitum, 1693, 309. Animadverfiones in partem generalem Principiorum Cartefianorum, ou Animad- verfiones ad Cartefii principia philofophiae, ou Remarques fur les 2 premieres parties des Principes de des Cartes, 802, 320, 382, 530, 614. Codex Juris Gentium Diplomaticus, 1693. 480, 511,512, 543, 572, 682, 718. Compendium quadraturae arithmeticae, 1858. 160. Conftruétio propria problematis de Curva Ifochrona Paracentrica, 1694. 325, 659, 661, 662, 667, 670, 671, 672, 676, 677, 681, 698,712. Conttruétio teftitudinis quadrabilis hemifphaericae, 1692, 829, 336, 337, 354. De caufa gravitatis, etc. 1690. 574, 6o2. Ca dr De la chainette, ou folution d’un problème fameux propofé par Galilei, 1692 439. De la Tolérance des Religions, 1692. 804, 388. De dimenfonibus figurarum inveniendis, 1684. 240, 254, 26m. De legibus naturae et vera aeftimatione virium motricium contra Cartefanos, 1691. 12%. W ( 110 De linea ifochrona, in qua grave fine acceleratione defcendit, 1689. 574. De linea in quam flexile fe pondere proprio curvat, 1691.95, 109, 127, 129,216. De quadratura arithmetica circuli, ellipfeos et hyperbolae, 1682, 308. De folutionibus problematis Catenarii vel Funicularis in Aëétis Junii Anno 1691. 182, 413,439, 573, 623. De vera proportione circuli ad quadratum circumfcriptum in numeris rationali- bus, 1682. 41. Demonftrationes novae de refiftentia Solidorum, 1684, 660, 665. Deux problèmes conftruits par Mr. de Leibniz, en employant laregle générale de la compofition des mouvements, 1693. 215. Die Philofophifche Schriften. Voyez Gerhardt. Difcours fur la loxodromie, 161,186. Dynamica de Potentia et legibus Naturae corporeae, 1689, 643. Extrait d’une lettre fur la queftion, fi l’eflence du corps confifte dans l’étendue, 1691. 299. \ Generalia de natura linearum, anguloque contaétus et ofculi, 1692. 496, 585, Meditatio nova de natura anguli contaëtus et ofculi, 1686. 136, 157, 183, 587. IV. OUVRAGES CITÉS. 783 G. W. Leibniz, Nova methodus pro maximis et minimis, etc. 1684. 226, 252, 303, 315, 636. Opera Omnia. Voyez Dutens. Quadratura arithmetica communis Se&tionum Conicorum quae centrum habent, 1691. 111, 308. Refponfo ad nonnullas difficultates a Dn. Bern. Nieuwentiit circa methodum differentialem feu infinitefimalem motas, 1695. 21%. Schediafma de refiftentia Medii et motu projeétorum gravium in medio refiftente, 1689. 50. Specimen Dynamicum pro admirandis Naturae legibus (1695). 645. Supplementum Geometriae Dimenforiae, 1693. 516, 31%, 572, 578, 579,601, 625, 678, 679. Supplementum Geometriae Praéticae, 1693. 641, Tentamen de motuum coeleftium caufis, 1689. 297. Traité fur le calcul differentiel (projet), 640, 669, 698, 713. # Unicum Opticae, Catoptricae et Dioptricae Principium, 1682. 602. D. Lipftorp, Specimina Philofophiae Cartefianae, 1653. 401. Hiob. Ludolf, Hiftoria Aetiopica, 101, 102. L. Mainbourg, Le Schifme d'Occident. 732. N. Malebrande, Recherche de la Verité, 563. Mariotte, Œuvres, 1717. 602. De Maroles, Traité fur des problèmes numériques (manufcrit), 699, 718. N. Mercator, Logarithmo Technia, 1668. 41, 641. Van Merle, Carte Généalogique, 397. » W. Molyneux, Dioptrica nova, 1692. 260, 276, 279, 280, 281. G. Monchamp, Galilée et la Belgique, 1892. 107, 113. La Montre, La quarante feptième propofition du premier livre des Elemens d’Euclide, 1691. 324. Moreri, Le grand Diétionnaire Hiftorique, 1675. 89%, 455, 487, 480. John Narborough, An Account of Several Late Voyages & Difcoveries to the South and North, 1694. 204, 709. , Is. Newton, Enumeratio linearum tertii ordinis, 1704. 236, 241, 271, 276, 279, 280. Methodus Fluxionum et ferierum infinitarum, 1736. 271, 276, 327, 354, 440, 622, ÿ YO ÿ ÿ »” 675. ÿ Optics; or a Treatife of the Refle&ions, Refra&ions, Infle&tions and Colours of Light, 1704. 220, 236, 271, 613, 651. : Philofophiae Naturalis Principia Mathematica, 1687. 20, 27, 28, 29, 30, 33, 38, 51, 57: 94, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 168, 209, 213, 214, 215, 219, 229, 239, 241, 257, 258, 259, 261, 260, 279, 297, 317, 346, 605, 613, 614, 616, 626, 645. Principia, ed. altera de Dav. Gregory (projet). 213, 346,354, 567,598, 601,614,626. Principia, ed. altera de R. Cotes, 1713. 614. Traétatus de quadratura curvarum, 1704. 236, 241, 271, 276, 279, 280, 327, 440. 784 IV. OUVRAGES CITÉS. B. H. de la Neuville. Voyez Adr. Baillet. B. Nieuwentiidt, Analyfs Infinitorum feu Curvilinearum Proprietates ex Polygonorum Natura deduétae, 1695. 21%. Confiderationes circa Analyfeos ad quantitates infinite parvas applicatae Prin- cipia & Calculis different. ufum in refolvendis probl, geom. 1694. 217. R. Ouvrard,Y Archite&ture harmonique, 1674. 298. . Secret pour compofer en mufique par un art nouveau, 1660. 298. Oxzanam, Di&tionaire Mathématique, ou Idée générale des Mathématiques, 1691. 7, 284, 407. Paige, Lettres de De Slufe, 1884. 517 D. Papin, Fafciculus differtationum de novis quibufdam machinis, 1695. 177. » Nouvelles Expériences du vuide, 1674. 702. , Rotatilis fuétor et preffor Haffiacus, 1689. 122, 123. » Synoplis Controverfiae Authoris cum Celeberrimo Domino.G. G.L.etc. 1695. 128%. J. G. Pardies, Difcours du mouvement local, 1670. 612. : Differtatio de motu undulatorio, 612. » La propagation de la lumière, 157, 158, 167, 203, 204. E La Statique ou la Science des forces mouvantes, 1673. 157, 593, 601, 612, 657. BI. Pafcal, Lettre a Monfieur de Carcavy, 1658. 224. P. Pellifon, De la Tolerance des Religions, 1692. 804, 320. / CI. Perrault, Vitruve (édition projetée de), 516, 517. A. Petermann, Philofophiae Cartefianae adverfus Cenfuram P. D. Huetii Vindicatio, 1691. 100. Plutarchus, De facie in orbe lunari, 259. : Oeuvres mêlees, trad. du Grec par Amyot. 1803. 239. P. Prevoff, Fragments de Lettres de divers favans contemporains de Newton, 1823. 163, 608. Jos. Raphfon, De numeris Infinitis. 709. » Analyfis aequationum univerfalis, 1697. 2@9. P.S, Regis, Réponfe au livre qui a pour titre Petri Danielis Huetii Cenfura Philofophiae Car- tefianae, 1691. LAS, 144, 145. 5 Syftème de Philofophie, contenant la Logique, la Metaphyfique et la Morale, 1690. 7» 563. H. Regius, Fundamenta Phyfices, 1646. 401. C. Renaldini, Philofophia Naturalis, 1693. 696. B. Renau, De la Theorie de la Manoeuvre des Vaifleaux, 1689, 428, 523, 524, 525, 526, 528, 7 529, 553, 561, 562, 564, 565, 569, 585, 588, 589, 590. 591, 592, 593, 594, 595, 596, 611, 621, 624, 642, 643,654, 655,657, 658, 663, 664, 669, 681, 690, 693,694, 705, 706. ” Réponfe de M. Renau à Mr. Huguens, 1695. 585, 588, 589, 590, 591, 592, 593, 594, 595, 596, 611, 621, 624, 642, 653, 656, 657, 664, 686, 690, 705, 706. Reydanus, Nederlandfche Hiftorien. 4586. G. P, de Roberval, De Trochoïde ejufque Spatio, 486. “ Obfervations fur la compofition des mouvements, 352. IV. OUVRAGES CITÉS. 785 G. P. de Roberval, Traité des Indivifibles, 421. M. Rolle, Avis aux Géometres, 1693. 3276. » Demonftration d’une Méthode pour refoudre les egalitez de tous les degrez, 1691. 97, 190, 228, 563. » Règles pour l’Approximation des racines de cubes irrationnels, 482. O. Rümer, Demonitration touchant le mouvement de la lumière, 1676. 613. Fr. de Salinas, de Mufica Libri VII, 1577. 169, 170, 171. P. Sarpi, Opere, 512. Fr. a Schooten, Exercitationum Mathematicarum Libri LIL, 1656. 351. = Geometria, 1649, 400. : Joh. Schotanus, Exetafis Cenfurae qua P. D. Huetius Philofophiam Cartefianam inique vexavit. 1691. 100. J. E. Schwelingius, Exercitationes Cathedrariae in P. D. Huetii Philos. Cartefian., 1690. 906, 100, 105. W. Snellius, Tiphys Batavus, five Hiftiodromice, De navium curfibus et re navali, 1624. 159, 185, 187, 189. 228. “ Manufcrit, 405, 406. S.Stevin, De Beghinfelen der Weeghconft, 1586. 218. S. Szevin, Wifconftige Gedachteniffen, 1608. 187. » Œuvres Mathématiques, 1634. 182, 218. B. Telefio, De rerum natura juxta propria principia, 1565. 404. » De his quae in aëre fiunt et de terrae motibus, 1570. 4@4. » De colorum generatione, 1570. 404. 5 Varii de naturalibus rebus libelli, 1590. 404. W. Temple, Gedenkfchriften, 321. J. Teyler, Architettura Militaris, 16 ...? 604, 615. Ey. Toricelli, De Sphaera et Solidis Sphaeralibus libri duo, 1644. 293. 5 Exercitationes Geometricae, 1647. 293. À. H. de Cotentin, comte de Tourville, Traité de la Ta&tique navale, 643. E. W.von Tfchirnhaus, Additamentum ad methodum quadrandi curvilineas figuras, 1687. 92, 240, 261, 262. Curva geometrica, quae feipfam fui evolutione defcribit, 1690. o7, 92. De dimenfionibus figurarum inveniendis, 1684. 240. Excerptum ex litteris D. T. Lipfiam miflis d. 20 Febr. Anno1686.2%%, 298. s Inventa nova exhibita Parifiis Societati Regiae Scientiarum, 1682. 81, 91, 100, 716. Medicina mentis (ed. 24). 714, 715, 716. Methodus curvas determinandi, quae formantur a radiis reflexis, 1690. 91, 92. Methodus Datae figurae, reétis lineis & Curva Geometrica terminatae, Œuvres. T.X. 99 786 IV. OUVRAGES CITÉS. aut Quadraturam aut impoñlibilitatem ejufdem Quadraturae determi- nandi, 1683. 92, 100, 240, 245, 254, 277. E. W. von Tfchirnhaus, Reponfe aux Reflexions de M. Fatio de Duillier, 1688. 715. ; Singularia effeéta vitri cauftici bipedalis, 1691. 229, 683. P. J. Uylenbroek, Chr. Hugenïi aliorumque feculi XVII virorum celebrium Exercitationes Ma- thematicae et Philofophicae, 1833. 9, 17, 19, 23, 36, 43, 49, 55, 59, 74, 77, 83, 86, 93, 99, 109, 127, 139, 156, 1892, 197, 217, 221,225, 230, 233, 236, 238, 244, 255, 257, 260, 264, 268, 271, 283, 296, 304, 307, 312, 316, 325, 342, 348, 364, 375, 382, 383, 390, 425, 437, 446,451, 452,457, 465,474, 48, 490, 497, 509, 514, 518, 534, 538, 544, 549, 563, 572, 577, 579, 585, 600, 609, 617, 621, 623, 626, 630, 631, 639, 649, 659, 664, 675,683, 686, 688, 696, 704, 711. P. Varignon, Nouvelles conje&tures fur la Pefanteur, 1690. 87, 88, 99, 354, 613, 651. Viffcher, Africae accurata Tabula, 435. V. Viviani, (D. Pius Lifci, pufllus Geometra). Aenigma geometricum de miro opificio Teftudi- nis Quadrabilis Hemifphaericae, 1692. 829, 336, 346, 354. : Formazione e mifura di tutti i cieli, 1692. 392. F3 Quinto libro degli Elementi d’Euclide, etc. fpiegata con la dottrina del Galileo, 1674. 290. B. de Volder, Exercitationes Academicae, quibus R. Cartefii Philofophia defenditur adverfus P. D. Huetii Cenfuram, 1695. 196, 730. Vofius, Diverfes Obfervations, 1688. 323. à » Extrait d’une lettre écrite de Londres touchant les Longitudes, les Marées et le Fleuve Oby, 323. J. Wallis, À treatife of Algebra, both Hiftorical and Pra@ical, 1685. 18. J. Wallis, De Algebra Traétatus, hiftoricus et practicus, 1693. HS, 215, 308, 354, 388, 393, 464, 484, 566, 567, 569, 580, 581, 598, 599, 610, 615, 621, 622, 640, 646, 651, 661, 664, 669,675, 687. » Mechanica five de Motu, 1671. 117. » Traétatus Duo; Prior de Cycloide, Pofterior Epiftolaris, 1659. 224. Opera Mathematica, I, 1695. 598, 599. E. W arren, Geologia; or a Difcourfe concerning the Earth before the Deluge, 1690. 2@7, 709. J. Wilkins, An effay towards a Real Charaëter and a Philofophical Language, 1668. 399. J. de Witt, Regifter over Lijfrenten (manufcrit). 229. & Wacrdye van Lijfrenten, Naer proportie van Lofrenten, 1671. 729. Nic. Witfen, Noord en Ooft Tartarije, 1692. (1705, 1785), 58r, 583, 598, 707, 708. W. Wotton, Refle&tions upon Ancient and Modern Learning, 1697. #09. G. Zarlino, Œuvres (Inftitutioni armoniche, Dimoftrationi armoniche), 1589. H&9, 170, 171. Zeuthen, Gefchichte der Mathematik in XVI und XVII Jahrhundert, 1903. 51%. Aéta Eruditorum, 1682—1698. 9, 10, 18, 49, 51, 80, 84, 88, 91, 92, 93, 95, 96, 98, 99, 100, TN IR LE me à IV. OUVRAGES CITÉS. 787 104, 105, 109, 110, I11, 112, 114, 116, 118, 119, 129, 130, 134, 142, 156, 158, 159, 161, 168, 176, 177, 182, 184, 191, 214, 216, 218, 219, 225, 226, 229, 230, 240, 269, 276, 277, 278, 279, 285, 293, 297, 298, 302, 305, 329, 337, 346, 394, 413, 425, 439, 454, 460, 476, 484, 485, 494, 496, 498, 509, 510, 511, 512, 513,516, 517,521, 535, 538, 539, 541, 542, 553, 556, 561, 568, 569, 572, 573, 585, 601, 602, 609, 617,618, 624, 641, 645, 646, 649, 650, 651, 659, 661, 664, 665, 670, 671, 673, 674, 670,678, 683, 697, 712, 716,717, 718, 721, 738. Almanac de l’Année, 1687. 187. Arlequiniana ou les bon mots, les hiftoires plaifantes et agreables, 1694. 384, 598. Bibliothèque univerfelle et hiftorique de l’année 1686 et fuiv. 1718. 323, 525, 553, 568, 642, 715. Bibliothèque Univerfelle des Sciences, Belles-Lettres et Arts, T. XXII, 1823. 103, 608. Comptoir Almanach op ?t Jaar ons Heeren Jefu Chrifti MDCLXXX VI. 399. Divers ouvrages de Mathématique et de Phyfique, par meflieurs de l’Academie Royale des Sciences, 1668. 352, 497, 1693. 421, 486, 547, 562, 570, 658, 663, 737. Encyklopädie der Mathematifchen Wiffenfchaften, 1898 —1904. 698. Gazette d’Amfterdam, 323. » Flamande, 295. Hiftoire des Ouvrages des Scavans. Voyez H. Bafnage de Beauval. Hollantfche Gazetten, 168. Horological Inftruétions, 584, 597, 598, 599. Journal des Sçavans, 145, 228, 209, 302, 324, 391, 417, 432, 437, 439, 476, 477,484, 496,511, 533, 576,585, 588, 580, 621, 644, 649, 650, 651, 659, 682, 688, 736. » Le Voyage du Monde de Defcartes, 1691. 303. Mémoires de l’Académie Royale des Sciences, 1666—1699. Edition de Paris, 180, 276, 297, 299, 548, 570, 649. Mémoires de Mathématiques et de Phyfique tirez des regiftres de l’Académie des Sciences, 1692, 1693. 228, 286, 287, 299, 320, 323, 477, 485, 486, 548, 562, 649, 653. Mémoires (Nouvelle édition de cet ouvrage), 1723. 228. » dela Société des lettres, fciences et arts de Bar-le-duc, 709. Mercure hiftorique et politique pour le mois d'Avril, 1692. 279. Nieuw Archief voor Wifkunde, 405. Nouvelles de la République des Lettres, 651. Philofophical Tranfaétions, 220, 232, 302, 380, 497, 581, 583, 597, 598, 635, 682. Revue de Métaphyfique et de Morale, 405. The Record ofthe Royal Society, 1897. 231. Tractatus de Quadratura circuli, 620. Veterum mathematicorum Athenaei, Bitonis, Appollodori, Heronis, Philonis et aliorum Opera, 1693. 524, 663. V. MATIÈRES TRAITÉES DANS LES LETTRES. Dans cette Table les matières fcientifiques traitées dans ce Volume ont été groupées fous divers articles généraux, favoir : Algèbre. Géodéfie. Œuvres. Anagrammes fcientifiques. Géographie. Optique. Anatomie. Géologie. Philologie. Arithmétique. Géométrie. Philofophie. Aftronomie. Hydrodynamique. Phyfologie. Beaux-Arts. Hydroftatique. Phyfique. Botanique. Mécanique. Probabilités. Chimie. Médecine. Travaux publics. Chronométrie. Météorologie. Zoologie. Cours des études des frères Mufique. Huygens. Navigation. Pour connaître tous les endroits de la Correfpondance où quelque fujet eft traité, on cherchera dans la Table l’article général auquel il appartient. On y trouvera, foit du fujet même, foit d’un fous-article qui devra y conduire, la nomenclature adoptée dans l’ordre alphabétique de la Table. Les chiffres indiquent les pages de ce Volume. On a marqué d’un aftérifque les endroits qui ont été jugés les plus importants. L'article Œuvres fe rapporte aux écrits de Huygens, foit publiés, foit reftés en manufcrit ou feulement ébauchés. I1 pourra fervir de guide à ceux qui défirent connaître les renfeignements que la Correfpondance de Huygens peut fournir à l’égard de l’origine ou de l’hiftoire de fes travaux. ABERRATION SPHÉRIQUE. 403%; (voir Lentilles hyper boliques et elliptiques). ACCUSATIONS DE PLAGIAT DIRIGÉES PAR JEAN BERNOULLI CONTRE DE L'HOSPITAL. 476%, 484%, 485%, 494%, 511%, 541%, 706%, AcousTiQue 6123 (voir Écho, Œuvres Lettre de M Huygens à l’Auteur touchant le Cycle V. MATIÈRES TRAITÉES DANS LES LETTRES. 789 Harmonique, Son mufical caufé par la réflexion d’un bruitcontinuel [ur les marches d’un efcalier, Viteffe du fon). ADnésion (voir Retardement de la formation du vide de Torricellÿ). ALGÈBRE. 7, 89%, 239, 286%, 290%, 354,303, 598, 610, 622, 687, 709%; (voir Développement en férie des expreffions goniométriques, Équations algébriques, Équations diophantines, Équations tranfcendantes, Formule du binôme de Newton pour les valeurs fractionnaires ou négatives de l’expofant, Logarithmes, Maxima et minima, Principes du calcul différentiel et intégral, Séries). AMÉLIORATION DES FLEUVES. 7263 (voir Portes d’éclufe). ANAGRAMMES SCIENTIFIQUES. 55, 57%, 58—62, 84, 86%, 08, 143%, 515%, 534, 539, 622, 646%, 675%. ANATOMIE. 709%; (voir Mécanifme de l’aûtion des mufcles). APPROXIMATION DES RACINES DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES. 476%, 477%, 545%. ARC-EN-CIEL. Théorie de l’arc-en-ciel. 405%. ARITHMÉTIQUE (voir Machine arithmétique, Nombres). ASTRONOMIE. 3, 7, 1463 (voir Attra@ion univerfelle, Chronométrie, Comètes, Détermination de la vitefle de la lumière, Éclipfes, Étoiles fixes, Image de la lune qui femble agrandi près de l’ho- rizon, Inffruments affronomiques, Longitude, Lune, Marée, Navigation, Obfervations célefle:, Œuvres: Chriftiani Hugenii KOEMO@ENPOE, Parallaxe, Planètes, Préceflion des équinoxes, Ré- fraë&ion atmosphérique, Satellites, Soleil, Syffèmes du monde, Tables aftronomiques). ArmospnÈèRE (voir Réfraëtion atmofphérique). AromisriQue (voir Conflitution de la matière, Philofophie). ATTRACTION UNIVERSELLE (voir Gravité). BaLisTiQuE (voir Mouvement re®iligne et curviligne fo l'influence de la réfilance du milieu). : BAROMÈTRE. 121, 708%, 709%, 710%, : BATEAU DE FATIO DE DUILLIER. 583%. BEAUX-ARTS. 177, 381%, 400%, 569, 597%, 600%, 618, 696, 704, 707%, 727%. BiNOCLES. 490%, BOTANIQUE. 727, (voir Génération des animaux et des plantes, Infufoires et baëtéries)). BoussoLe (voir Déclinaifon de la bouflole, Variations du magnéti[me terrefire). CARROSSES. 221,731%*. CassiNoïDEs. 284%, 297%, CATACAUSTIQUES. Theorie générale. 88%, 92%, 406%, 546%, 553*; Catacauftique du cercle pour le cas de rayons parallèles, 79%, 80%, 88%, 91%, 92%, 100%, 496%, 711,712%,715%,813*;(voir ReËification). CATALOGUE DES ÉTOILES FIXES. 8%, 324. CAUSE DE LA DURETÉ. 119, 179%, 286%, 300%, 301%, 302%, 319%, 320%, 321, 385%, 386%, _ 426%—428%, 644%. CAUSE DE LA RONDEUR DES GOUTTES D'EAU. 284%, 296, 297%, 316%, 317%, 321%, 384%, 385%, 426%, 431%, CAUSE DU RESSORT. 386%, 427%, 428%, 431%, 500. Causriques (voir Catacaufliques, Diacaufliques). 790 V. MATIÈRES TRAITÉES DANS LES LETTRES. CENTRE DE GRAVITÉ. 351%, 388; (voir Cubature et centre de gravité de divers troncs de cylindres, Quadrature et centre de gravité de courbes définies par leur équation différentielle): De Y'arc de la logarithmique. 327%, 344%; de l’arc et de l’aire de la chaînette (voir Cafnette); de la courbe de de Beaune et des folides engendrés par fa révolution (voir Problème de de Beaune); de la courbe de Gutfchoven. 346*; de la courbe x°y + 4°x — h?y—0o. 344*; de la courbe 2°? Lay —at=0. 60%, 63%, 64*, 69Ÿ—71%, 97*#; de la cycloïde. 224%; des paraboles et des hyperboles de divers degrés. 365, 366. CENTRE DE PERCUSSION. Identité du centre de percuflion et d’ofcillation. 117%. CENTRE D'OSCILLATION. 229%, 402%; (voir Centre de percuflion, Polémique avec l” Abbé de Cute- lan). D'un nombre de points matériels fur une droite paffant par le point d'appui. 116%, 117%#; D'un fecteur de cercle. 373%, 402%. CERCLE. 128, 1333 (voir Caracauftiques, Centre d’ofcillation, Cercle ofculateur, Développante du cercle, Lunule d’Hippocrate, Œuvres: De circuli magnitudineinventa, Quadrature de fur faces planes). Détermination de l’intégrale /x34y, étendue fur un quart de cercle. 371*—373%. CERCLE OsCULATEUR (voir Chafnette: Rayon de courbure du fommet, Développées, Rayon de courbure). De la parabole 183%, 184%; Théorie du cercle ofculateur. 156%, 182%— 184%, 207%, 586%, 587%, 660%. CHaAÎNETTE. Problème de la chaînette. 22%, 51%, 55, 57%, 58%, 86%, 93*— 05%, 98%, 99, 104, 109%, 110%, 112%, 127*—100%, 132%, 133, 142%, 157%, 158%, 182%, 188%, 216*—218%, 305%, 412*— 416%, 437, 485%, 621, 622%, 677%*,678%, 679%, 698%, 811%, 813%, 815%; (voir Chainette qui faït une parabole, Chaïnettes à denfité inégale, Chainettes extenfibles, Courbe de la voile: Identité avec la chaînette, Logarithmes: Conftruétion des logarithmes au moyen de la chaînette, Œuvres: Chriftiank Hugenii, Dynaftae a Zülechem, Solutio ejufdem Pro- blematis; Lettre de Mr. Huygens à l’Auteur). Cas particulier où la tangente faitun angle de 45° avec l’axe. 70%, 07%, 98%, 109, autres cas particuliers: 71%, 96k—98%#, 109; 131; Centre de gravité de l'aire. 109%, 111%, 127*%—109%, 138%, 183%, de l’arc. 109%, 111%, 127*%—130%, 137%, 182%; Confidérations ftatiques. 218%, 414%, 415%; Conftruétion de la chaînette par points: au moyen de la tractrice. 412%, au moyen du centre de gravité de l’aire de la courbe x?y° + 427? — 44=—0. 60%, 63%, 64%, 69k—71%*, 97%, par la réduétion à la qua- drature de certaines courbes. 16%, 60%, 64*k— 68%, 07%, 127%, 132%, 161%, 162%, 183%, 310, 357%,371,413%, 430, 679%, 698%, 813, 815%, par la réduction à la quadrature de l’hyperbole ou aux logarithmes ou à la reétification de la parabole. 109*—111%*, 127%, 128%, 131%, 132%, 134%, 139*%—140%, 157%, 158%, 160%, 161%, 183%, 184%, 186%, 187%, 217%,227%, 308%, 310%, 413*— 410%, 439%, 440% (voir Logarithmique : Emploi de la logarithmique à la conftruäion de la chaînette), par la réduétion à une fomme de fécantes, c’eft à dire à l'intégrale /sec g 4. o7*, 112, 159%, 161, 162%, 183%, 187, 308%, 413%. Conftruétion de fa développée. 60%, 97*, 109%, 130%, 131%, 156, 182%, de fon paramètre. 413%, 573%, 610%, Quadrature. 111%, 127#—131%, 133,135%, 158%, 182%, 183%, 416%, 814; Quadrature dela figure mixte comprife entre la chaînette et fa développée. 60%, 62%, 97%, 128%, 130%, 131%; Quadrature de fa déve- loppée. 131%, 133, 157%, 184%, Quadrature de fa furface derévolution 60%, 61%, 97%, 128%, 130%, 158%; Rayon de courbure du fommet. 59%, 61%, 69%, 96%, 97%, 130%, 131%, 156, 128%, PET NE OU ET CR AS RO M ERP M ET ME Eee V. MATIÈRES TRAITÉES DANS LES LETTRES. 791 183%; Redification. 16%, 59%, 61%, Go*, 96%, 07%, 109%, 111%, 130%, 136%, 137%, 158%, 182%, 416%, 438, 573, 610; Rectification de fa développée. 60—62%*, 69%, 97%, 109%, 130%; Tangente, 59%, 60%, 68%, 96%, 109%, 111%, 130%, 158%, 182%. CHAÎNETTE QUI FAIT UNE PARABOLE. 217%, 621, 622%, 627, 628, 811*; (voir encore au Tome I: 28%, 31, 34%—44*, 46, 47, 64, 74%, 75%, 93 et au TomeIl: 554, 555, 557%, 569*, 570%). CHAÎNETTES à DENSITÉ INÉGALE. 132%, 217%; (voir Chafnette qui fait une parabole). CHAÎNETTES EXTENSIBLES. 158%, CHALEUR. 324, 613, 6443 (voir Condenfation de la vapeur par l’expanfion de l'air, Marmite de Papin, Miroirs brélants, Théorie mécanique de la chaleur, Verres brélants). CHimi. 228%, 239, 282%, 283%; (voir Chimie des gaz, Phofphore, Phofphorefcence). CHIMIE DES GAZ. 176%. CHROMATISME DES LENTILLES. 403%; (voir Theorie de la lumière et des couleurs de Newton). CaRoNOMÉTRIE (voir Horloge, [fochronifme de la cycloïde, Longitude, Montres, Pendule). Cuure DEs GRAVES (voir Mouvement re®iligne et curviligne fous l'influence de la réfiflance du milieu, Réfifflance de l'air et des liquides à la chute des corps). CLASSIFICATION DES COURBES ALGÉBRIQUES. 715%, CLOCHE DE PLONGEUR. 227%, 707%, 709%; (voir Vaifleaux foufmarins). ComMÈèTEs. 104%, 150—150, 385, 426, 574%, 605%, 607*. COMPRESSION DE L’AIR (voir Loi de Boyle). Concuoïpe. 468, 485. CONDENSATION DE LA VAPEUR PAR L’EXPANSION DE L’AIR. 124%, 175%, 176%. CoNiQuEs. 133, 217,411; (voir Cercle, Ellipfe, Hyperbole, Parabole). CoONSTANTES D'INTÉGRATION. 13, 50%, 56%, 93%, 229%, 023%, 446—448, 451%, 454%, 459%, 461%, 463%, 473%, 480%, 491%, 493%, 519%, 522, 523%, 538, 542%, 540%, 550%, 565#. CONSTITUTION DE LA MATIÈRE. 262, 263%, 286%, 296, 297%, 200K— 302%, 316%, 319%—321%, 386%, 387%, 403#, 420%— 428%, 431%, 509, 539, 574, 600, 601, 603#, 606%, 607%, 609, 612%,614,643%, 644%, 651, 681%, 811%; (voir Caufe de la dureté, Caufe du reffort, Conflitution de la matière dans les corps biréfringents, Polémique fur la queftion fi Peffence des corps confifie dans l'étendue, Théorie mécanique de la chaleur). CONSTITUTION DE LA MATIÈRE DANS LES CORPS BIRÉFRINGANTS. 178%, 179%. Consrrucrions (voir Chaînette, Courbes diverfes, Defcription mécanique des courbes, Logarith- mes, Logarithmique, Loxodromie, Problèmes divers, Réfolution par confiru®ion des équations algébriques, Traërice). CouLEurs. 104%, 229%, 405%, 682%; (voir Chromatifme des lentilles, Théorie de la lumière et des couleurs de Newton). COURBE DE BERNOULLI. 454%, 460%, 484%, 485%, 404%—406%, 498*—510%, 512%, 513%, 518%—523*, 534%—539%, 540, 544%, 568, 569, 572, 611, 649%, 650%, 669%, 670%, 680; (voir Œuvres: De Problemate Bernoulliano; C. H. Z. Conftruétio univerfalis problematis a Clariflimc Viro, Jo. Bernoullio, fuperiori anno menfe Majo propofiti). Defcription mécanique. 495%, 496%, 513%, 514%, 524, 537%, 538%, 544%, 550%— 552%, 565*,6 11%; Point de rebrous- fement. 495%, 536%, 544%, 552%, 555%, 565%, 674%. 792 V. MATIÈRES TRAITÉES DANS LES LETTRES. CoURBE DE DE BEAUNE (voir Problème de de Beaune). COURBE DE GUTSCHOVEN. 246%, 247%, 346%, 459, 467. Centre de gravité de l’aire. 346%, Cuba- ture du folide de révolution. 247%; Quadrature. 247%, 328, 345%, 346%. COURBE DE LA DESCENTE à PRESSION CONSTANTE. 712%, CouRBE DE LA VOILE. 128%, 133%, 161%, 329%, 346%, 437%, 485%, 542%, 554%, 620%, 627*k— — 629%, 667*,671*,683%, Identité avec la chaînette. 437%, 496%, 497%, 553%, 554%, 550%— — 560%, 563%, 564%, 575%, 577*—580%, 587, 621%, 622*, 667%, 671%, 677%, 683%. COURBE DE VON TSCHIRNHAUS. 812%; (voir encore au T. IX, p.152). COURBE D’INTERSECTION D’UNE SPHÈRE ET D'UN CYLINDRE à DIAMÈTRES ÉGAUX. Propriétés remarquables et réduéion de fa rettification à celle d’un arc elliptique. 336%— 338%, 354%, CouRBE DU SAC à LIQUIDE (voir Courbe élaftique ou du reffort : Ydentité avec la courbe du fac à liquide). COURBE ÉLASTIQUE OU DU RESSORT. 128%, 133%, 190%, 575, 659%, 660, 662%, 664, 665%, 666%, 667,671*, 672%, 677%, Identité avec la courbe du fac à liquide, 659, 664, 666%, 671%. COURBE ISOCHRONE. 712. COURBE ISOCHRONE PARACENTRIQUE. 574%, 575%, 659%, 661%, 662%, 664, 667%, 668%, 671%, 672%, 676%, 677%, 681, 698%, 699%. Courses (voir Cafinoïdes, Caufliques, Cercie, Chaïnette, Clallifcation des courbes algébriques, Conchoïde, Coniques, Courbe de de Beaune, Courbe de Gutfchoven, Courbe de la defcente à prefion conflante, Courbe de la voile, Courbe de von Tfchirnhaus, Courbe du fac à liquide, Courbe élaffique ou du reffort, Courbe ifochrone, Courbe ifochrone paracentrique, Courbes devon Tfchirn- haus à propriétés focales, Courbes diverfes, Courbes gauches, Courbes mécaniques ou-tranfcen- dantes, Courbes ofculatrices, Cycloïde, Defcription mécanique des courbes, Développantes, Déve- loppées, Épicycloïdes, Folium de Defcartes, Hypocycloïdes, Lemnifcate, Logarithmique, Œuvres: Lettre de Mr. Huygens à l’Auteur, Excerpta ex epiftola C. H. Z.ad G. G. L., Paraboles et hyper boles de divers degrés, Quadratrice de Dinoffrate, Spirale logarithmique, Traë&rice, Trac- trice circulaire, Traërice générale). Propriétés remarquables des courbes que la nature pré- fente. 128%, 133%, 160, 161, 217%, 320. COURBES DE VON TSCHIRNHAUS à PROPRIÉTÉS FOCALES (voir Polémique entre von Tfchirnhaus et Fatio de Duillier [ur la confruêtiou des tangentes aux courbes de von Tfchirnhaus à propriétés focales, Tangentes). CoURBES DIVERSES. 43 - y3—#xy=—0. (voir Folium de Defcartes); x°y —4°y+-43—0. 10, 11, 31%, Quadrature. 26%, 29%, 30%, 34%, 159%, 185%, 186%, 361, 498%, 503%, 504*,513,814, (voir encore /ntégrales diver[es); x°y+ 4*y — 43—0o. Quadrature. 41*, 370%, (voir encore Intégrales diverfes); x°y — 4°x + 4°y— 0. Quadrature. 534%; x°y + 4°x— h°y—0. 314,326, 342—344. Centre de gravité de l’aire. 344%. Quadrature. 344%, 350%, 361*—363%*, 388%, (voir encore /ntégrales diverfes) ; x°y— 4°x + 243— 0. Quadrature. 350%, 351%; y3 + 4y°— —MXx? = 0, 219; + y4— 84°? + 164°x°— 0, ou bien + y4—7°y° + Lx 0. 13, 22%, 50, 51%, 55, 56%, 83%, 84%, 202%, 210, 229, 266, 270%, 345, 372, 388, 451. Quadrature. 13%, 21%, 50%, 51%, 55, 56%, 57%, 219%, 244, 245%, 246%, 248%— 050%, 328%, 345%, 369%, 446%, 459%, 460%, 481, (voir ? 1 ; È V. MATIÈRES TRAITÉES DANS LES LETTRES. 793 encore /ntégrales diverfes); x°y° + 4°y° — a4=0. 16, 58, 370, 371, 418%, 517%, 540%. Qua- drature 60%, 63%, 64%, 69%, 70%, 97%, 127%, 132%, 161%, 183%, 103, 310%, 413%, 418%, 517*, 540%, (voir Centre de gravité), x°y°—4°y—44—0. 16, 414%, 815%. Quadrature. 349%, 356*— —358*, 408%, 413%, 679%, (voir encore /nrégrales diverfes); y*4a°x°— 44 —0. 50, 55,56, 833x°y°+4°y*—4%x° —0. Détermination de la courbe fa quadrature étant donnée. 75%, 78%, 224%, 549%, Quadrature. 57%, 63k—65%, 74*, 201%, 202%, 210%, 211%, 220%, 224%; xt ay — 4at—0. 58, 97, 161. Quadrature. 60%k; y4— 8429 — 47°x° + 1244— 0. 833 xy3+ + 4°xy — a — 0. Quadrature. 2233; 44x77? — 642? + 44—0. Quadrature pour une valeur particulière. 240%; 4x4 + x°y° — 24x77 — 3a°x? — 427 + 243y— 0. Quadrature. 251, 2523 ++ x°y° — 4°x°—=0. (voir Courbe de Gutfchoven). ay — ay — 4akx — 0. Quadrature. 463#; x4y — 447 — 42x83 — 0. Quadrature. 463#; y Ca? +4?) — 4x — 0. Quadrature. 244, 463%, (RH) — 2x = 0. 527, 5283 2393 — 45x + 4 — 0, 3753 x°y4 + 42x27? — 45 — 0, Quadra- ture. 407%; x — 4°x%3° —4°h?y —0o. Quadrature. 245, 463%; x — 4224 by? — 0. Qua- drature. 372%, 373%; x 4x2? — 4h —0o. Quadrature. 245, 256%; x0—x472— 44 —0. Quadrature. 245, 250, 463%. 1+y=2*(1—7). Construétion par points. 14%, 15%, 17%, 20%, 21%; x3y— ce. 22%, 52%, 55, 56*, Conftru&tion par points 15%, 523 y? — 2x —x° Lnae *. 542*; (voir encore Courbes tranfcendantes définies par leur équation différentielle). CourBEes GAUCHES (voir Courbe d’interfe&ion d’une fphère et d’un cylindre à diamètres égaux, Hélice, Loxodromie). COURBES MÉCANIQUES OU TRANSCENDANTES. 13%, 14%, 158, 411%, 412%, 510%, 516%, 641%, 660%, 661; (voir Chafnette, Courbe de la voile, Courbe élaftique ou du reffort, Cour be ifochrone paracentrique, Courbes diverfes, Courbes tranfcendantes définies par leur équation différentielle, Cycloïde, Épicycloïdes, Hélice, Hypocycloïdes, Logarithmique, Loxodromie, Quadratrice de Dino- firate, Spirale logarithmique, Tra@rice, Tra®rice circulaire, Tra®rice générale). CouRBEs OSCULATRICES (voir Cercle ofculateur). Théorie générale. 156%, 157%, 182%, 183%, ‘677%, 680. COURBES TRANSCENDANTES DÉFINIES PAR LEUR ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE. 513%, 516%, 539, 641%; (voir Logarithmique, Courbe de Bernoulli, Courbe de de Beaune, Courbe ifochrone para- centrique, Équations différentielles : y Ê= LES P—= 2ayy : (244—xx—yy), Quadrature et centre de gravité de courbes définies par leur équation différentielle). Cours DES ÉTUDES DES FRÈRES HUYGENS. 399, 403%, 401%. CugaTurE (voir Cubature des folides de révolution, Cubature et centre de gravité de divers trones de cylindres). CUBATURE DES SOLIDES DE RÉVOLUTION. 309%; (voir Courbe de Gutfchoven, Cycloïde, Folium de Defcartes, Problème de de Beaune, Traërice). CUBATURE ET CENTRE DE GRAVITÉ DE DIVERS TRONCS DE CYLINDRE. 31%, 32%, 41%, 42%, 373%. CycLoïpe. 128, 133, 199, 200, 217, 224%, 227%, 230%, 261, 5413 (voir Centre de gravité Œuvres T. X. 100 794 V. MATIÈRES TRAITÉES DANS LES LETTRES. Ifochronifme de la cycloïde, Quadrature, Re®ification). Cubature des folides de révolution. 486%, 487%. DÉCLINAISON DE LA BOUSSOLE (voir: Longitude : Détermination de la longitude au moyen de la déclinaifon de la bouflole). Règles et caufe. 15%, 52%, 58%, 84%, 85%, 04%, 425%, 426%, DEGRÉ DE CERTITUDE à OBTENIR PAR LES EXPÉRIENCES DE PHYSIQUE. 739%, DESCRIPTION MÉCANIQUE DES COURBES. 650; (voir Courbe de Bernoulli, Traërice). Des courbes algébriques. 642%. DÉTERMINATION DE LA SITUATION LA PLUS AVANTAGEUSE DE LA QUILLE D'UN VAISSEAU POUR GAGNER AU VENT. Quand l’angle de la voile avec le vent eft donné. 528%, 593; Quand cet angle aufli eft confidéré comme variable. 530%, 531%, 595, 596. DÉTERMINATION DE LA SITUATION LA PLUS AVANTAGEUSE DE LA VOILE POUR FAIRE LE PLUS DE CHEMIN DANS UNE DIRECTION DONNÉE. 528%, 529%, 532%, 533%. DÉTERMINATION DE LA SITUATION LA PLUS AVANTAGEUSE DU GOUVERNAIL POUR FAIRE TOUR- NER LE VAISSEAU LE PLUS PROMPTEMENT. 529%, 530%, 593—595, 624, 657%, 658, 693. DÉTERMINATION DE LA VITESSE D'ÉCOULEMENT D'UN LIQUIDE. 154%, DÉTERMINATION DE LA VITESSE DE LA LUMIÈRE. 104, 613%. DÉTERMINATION D’UNE COURBE QUAND SA QUADRATURE EST DONNÉE. 75%, 78%, 224%, 244X— — 246%, 249*—255*, 264%, 270, 298, 444%, 445%, 540%, 563%, DÉVELOPPANTE DU CERCLE. 499%, 514%, 515%, 534, 538, 539, 572, 680. DéveLorPanTEs. 5413 (voir Développante du cercle, Épicycloïdes, Hypocychoides). Emploi des développantes pour la rectification d’une courbe. 73%, 416%, 715%, 716%, DéveLoprées (voir Épicycloïdes, Hypocycloïdes, Rayon de courbure, Rayon de courbure et déve- loppée près du fommet d’une paraboloïde, Spirale logarithmique). Théorie des développées. 156%, 182%, 183%, 227%, 334%, 415%, 416%, 540%, 585%k— 587%, 660%, DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE DES EXPRESSIONS GONIOMÉTRIQUES. 677%, 678%. DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE DES EXPRESSIONS LOGARITHMIQUES, 11%, 17, 18%, 20%, 33, 44, 45*— — 47%, 159%, 161, 641%. DÉVIATION DU ZÉNITH GÉOCENTRIQUE. 125%, 126%, 180%, 181%, DIACAUSTIQUES. 496%, 545%, 546%, 553*. Diacauftique du cercle pour le cas de rayons paral- lèles. 496%, DIFFÉRENTIATION DES EXPRESSIONS TRANSCENDANTES. 640%, 641%, 680%. DiFFÉRENTIATION DIRECTE DES IRRATIONELLES. 213%, 249%, 250%, 256%, 315%, 481, 491, 402%, 623, 635%, 636%. DiFFÉRENTIELLES DE DIVERS ORDRES. 258%, 511%, 542%, 641%, 660%, 664, 668, 677*—680*, 717%, 718%. DivisiON D'UN ANGLE DANS UN RAPPORT DONNÉ. 661. Division D'UN TRAPÈZE HYPERBOLIQUE EN RAISON DONNÉE. 498%, 499%, 507%, 513%, 535. DUPLICATION DU CUBE. 158, 620. Dynamique. (voir Baliffique, Centre de percufion, Centre d’ofcillation, Chute des graves, Courbe de la deftente à prefion conflante, Courbe de la voile, Courbe ifochrone, Courbe ifochrone para- centrique, Force centrifuge, Forces centrales, Hydrodynamique, Impofibilité du mouvement per- V. MATIÈRES TRAITÉES DANS LES LETTRES. 795 pétuel comme principe de la mécanique, I/ochronifme de la cycloïde, Mouvement abfolu et relatif, . Mouvement perpétuel, Mouvement reiligne et curviligne fous l’influence de la réfiflance du milieu, Pendule, Percuffion, Polémique [ur la vraie mefure, mv ou mv°, de la force vive, Principe de la confervation de l'énergie, Remarques critiques [ur les ,Principia” de Newton, Réfiflance contre une furface fphérique [e mouvant dans un fluide, Réfiflance de l’air et des liquides contre la chute des corps, Réfiflance du milieu au mouvement des corps, Vibrations des refforts). Prin- cipes de la dynamique. 147—149, 152, 155, 404%; (voir Polémique avec Renau à propos de [a théorie de la manoeuvre des vaifleaux). ÉcHo. 570%, Écipses. 6%, 267, 658%, 725%. ÉLasriciTé (voir Caufe du reffort, Chaïnettes extenfibles, Courbe élaftique ou du reffort, Principe du reffort, Vibrations des refforts). Loi de l’élafticité 52%, 55, 85%, 94*, 659%, 660%, 664, 665%, 671%. ÉLECTRICITÉ. 15%, 22%, 573%, 682. Erzipse. 128; (voir Lentilles kyperboliques et elliptiques, Quadrature de [urfaces planes). EMPLOI DES LUNETTES COMME INSTRUMENTS DE VISÉE. 8. ÉPICYCLOÏDES. 711%, 712, 715 (voir Caracaufliques: Catacauftique du cercle pour le cas de rayons parallèles). La développée d’une épicycloïde eft encore une épicycloïde. 92%, 119, 217. ÉqQuarion pu Temps (voir Horloge: Horloge de Huygens montrant aufli l’heure du foleil). ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES. 80, 90, 92%, 100%, 228, 261; (voir Approximation des racines des équations algébriques, Équations cubiques, Réfolution par conffru&ion des équations algébriques). ÉQUATIONS CUBIQUES. 92%, 100. 261, 476%, 477%, 545%. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 13%, 55, 56%, 93%, 197*— 190%, 261%, 265, 485, 610,641*; (voir * = Conflantes d'intégration, Courbes tranfcendantes définies par leur équation différentielle, Équa- tions différentielles de diverfes ordres au deffus du premier, Équations différentielles du premier ordre contenant des expreflions irrationelles, Équations différentielles du premier ordre fans exprefions irrationelles, Méthode du changement de la variable, par voie algébrique, dans les intégrales et dans les équations différentielles, Méthodes d'intégration des équations différen- tielles, Quadrature et centre de gravité de courbes définies par leur équation différentielle). ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE DIVERS ORDRES AU DESSUS DU PREMIER. 258%, 430*, 641%, 677*; (voir encore pour les courbes qui en dépendent: Chafnette, Courbe de la defcente à preffion conflante, Courbe de la voile, Courbe du fac à liquide, Courbe élaflique ou du reffort). ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE CONTENANT DES EXPRESSIONS IRRATIONELLES. y + Cubt.)=3°1/ 2 — 2°: ax. 21%, 50%, 55, 56%, 83%, 03%, 198, 201%, 202%,210%,211%, 214%, 222%, 226, 230%, 308%; fubt.— 7° V4 —%. 200, 247%, 265, 352, 4943 fubt: — = Fr y : 4. 326, 327, 328%; (D°x + ar +px 74 p°x®) dy—m°ydx —0o. 523%; di- verfes. 21%, 55, 56%, 74, 76%, 77%, 87%, 93%, 198, 200, 201, 210%, 213%, 265, 347%, 352%, 387, 393, 4953 (voir encore Courbe de Bernoulli, Courbe ifochrone paracentrique). ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE SANS EXPRESSIONS ‘IRRATIONELLES. 796 V. MATIÈRES TRAITÉES DANS LES LETTRES. 2 VE ubt)= + (ax). 19% 17, 21, 74% 77, dot, 308, 3454, 4464; ubt.— X 29 = y? = ma). 15, 17, 21%, 74%, 773 246, 255, 265, 308%, 328, 345%, 447%, 465#— 3 —467*,641;fubt.—2x+- ee 246%, 255, 265, 328, 345%, 447%, 458%, 466%, 467%; fubt. — = 2x. 229%; fubt.—#°x: (27H y). 203%; fubt: =(bx Lx): (2h x). 00 3%3 fubt. — = 24° : (24°—x°—5). 247%, 493%, 404%, 511, 541%, 542%, Go, 610%, 625%, 626%; 2y5 : 2 C—2xy—x?). 347%, 352%; fubt. —(y?—x9) : 4. (voir Problème de de Beaune); fubt.— (ay + xp): Cax—ay—x9). 352%, 353, 387%, 437, 440%, 440%, 452%, 511, 625; fubt. — = 237 : (3x3 + 30*y—2x)"). 353%, 387%, 437, 440%, 449%, 452%, 511,625; fubt. —=x +9. 393%, 441, 448%, 451, 460%, 475%, 481, 482%, 491; fubt. = (437 + 2x%°y) : (axy + 22x + x3), 393*, 447%, 448%, 451, 459%, 481; fubt. = (x°?—42?) : x. 450%; x°dy — (ax? + bxy + cp?) dx —o. 501%, 524*; kÆxdy—(a—y")dx—0o. 502%— 504%, 506%, 513%, 524; 4°xdx + + 0y5dy = 24° xdy — 4 ydx. 575%; diverfes. 200, 201, 361, 467, 468, 485, 495. ÉQUATIONS DIOPHANTINES. 190, 228%, 429, 699. ÉQUATIONS TRANSCENDANTES. 13*—15%, 640%, 641*, 669%, 679%, 680%. ÉTENDUE DES VARIATIONS DE LA PRESSION ATMOSPHERIQUE. 710%. ÊTHER COSMIQUE. (voir Œuvres : Difcours de la caufe de la pefanteur, Prefion fupplémentaire d'une matière plus fubtile que l'air). ÉToILes FIXES (voir Caralogue des etoiles fixes). EXPÉRIENCES DE PHYSIQUE. 190%, 228%, 263*; (voir Degré de certitude à obtenir par les expé- riences de phyfique). EXPÉRIENCES SUR MER AVEC LES HORLOGES MARITIMES à PENDULE DE CHRISTIAAN HUYGENS. 2%, 72 79, 80, 166%, 168, 204, 205X—208%, 212, 215, 220, 229, 269%, 323%, 339%, 340%, 341%, 384%, 380%, 396%, 397%, 422#— 424%, 433*— 430%, 442%—444%, 514%, 7or*, 813%; (voir plus fpécialement pour le montage à bord des vaifleaux : Machine pour afurer le mouvement des pendules [ur mer). FOLIGM DE DESCARTES. 351%, 374%, 388, 390%, 301%, 417%, 429%, 566%, 811%, Cubature du folide de révolution autour de l'axe de fymétrie. 461%, 462%; Quadrature. 351%, 352%, 374*-—380%*, 388%, 391%, 417%, 429%, 432%, 437%, 438%, 452%—454*, 461%, 474%, 475%, 485, 491 * 495%, 499%, 510%, 566%, 568, 577, 578%, 580, 621, 623%, 630%k—638*, 687%, 713%; (voir au Tome IX : Courbes diverfes : x3 +-y3—nxy—o). FORCE CENTRIFUGE. 297, 425%, 5423 (Voir Ventilateur centrifuge de Papin). Peut on recon- naître la rotation abfolue aux effets de la force centrifuge. 614%, 645%, 646%, 664, 669%, 670%, 681%. FoRCE MOUVANTE DE L'AIR. 733%, 734%. FORCEÿMOUVANTE DE L'EAU. 733%, 734%. FORCES CENTRALES. 149, 150, 152, 153, 297%. FORMULE DU BINÔME DE NEWTON POUR LES VALEURS FRACTIONNAIRES OU NÉGATIVES DE L’EX- POSANT. 215%, 242%, 243,471, 483, 545, 641, 646, 661. V. MATIÈRES TRAITÉES DANS LES LETTRES. 797 GÉNÉRATION DES ANIMAUX ET DES PLANTES. 304%, 709%. Géopésie (voir Déviation du zénith géocentrique, Niveau, Valeur de l'aplatifement de la terre, Variation de la longueur du pendule à feconde avec la latitude). GÉOGRAPHIE. 8, 145, 274, 322%, 323%, 424%, 433%, 435%, 443%, 562, 581, 583*, 598, 658, 700%, 7o1%, 703, 704%, 707, 708; (voir Amélioration des fleuves, Géodéfie, Longitude, Marée, Navigation, Tremblements de terre). GÉoLOGIE. 707, 708; (voir Tremblements de terre), GÉOMÉTRIE. 7, 72, 104, 105%, 157%, 168, 195, 227, 308%, 329%, 353, 303,401, 574%; (voir Cenrre de gravité, Confiru&ions, Courbes, Cubature, Développées, Géométrie Cartéfienne, Géometrie cinématique, Maxima et minima, Normales, Œuvres : De circuli magnitudine inventa, PZani- imétrie, Points de rebrouflement, Points d’inflexion, Principes du calcul différentiel et intégral, Problèmes divers, Quadrature, Rayon de courbure, Reëification, Remarques critiques [ur les »Principia” de Newton, Sphère, Tangentes, Trigonométrie). GÉOMÉTRIE CARTÉSIENNE. 104%, 353, 400%, 401, 406%. GÉOMÉTRIE CINÉMATIQUE (voir Mérhode de de Roberval pour la confiru&tion des tangentes). GravitTÉ (voir Centre de gravité, Chüte des graves). Caufe de la gravité. 87%, 88%, 09%, 284%, 285, 206%, 297%, 316%—318%, 321%, 354, 384%, 404%, 425%, 428%, 6o2*k, 603%, 6o5*, 613%, 644*, 681%; (voir Œuvres : Difcours de la caufe de la pefanteur, Théorie de Fatio de Duillier fur la caufè de la gravité). Loi de Newton de la gravité univerfelle. 152, 153, 257%, 284%, 285%, 296, 297*, 317%, 318%, 354%, 384%, 425, 426%, 428%, 439, 603%, 605, 606%, 607*, 681%. HÉLICE. 14. HorLoGE. 426 ; (voir Chronométrie, Expériences fur mer avec les horloges maritimes à pendule de Chrilliaan Huygens, Horloges fympathiques, Machine pour aflurer le mouvement des pendules fur mer, Œuvres : Horologium; Horologium ofcillatorium, Privilèges et o@rois de l'invention de l'horloge à pendule). Horloge de Galilei. 289; Horloges à pendule fabriquées en Angleterre. 583, 584, 597—599, 707, 708; Horloges de Huygens d’après fes dernières inventions de 1693 et 1694. 424%, 425%, 434%, 409, 514%, 515%, 534, 538, 539, 544, 583, 584%, 598, 609*, 610%, 621, 626%, 639, 682, 684%, 685%, 686, 701%, 702%, 705, 709%, 711*; Horloges de Huygens montrant aufli l’heure du foleil. 709*; Horloges et montres de de Hautefeuille. 355%, 393%, 450%, 464%; Horloges et montres de Huygens à balancier équilibre réglé par un reflort en fpirale. 464%. HORLOGES SYMPATIQUES. 151%, HYDRODYNAMIQUE. 293, 612%; (voir Détermination de la vitefle d'écoulement d’un liquide, Marée). HYDROSTATIQUE (Caufe de la rondeur des gouttes d’eau, Niveau, Œuvres: De ïis quae liquido fupernatant). HYGROMÈTRE. 710. HYPERBOLE. 128, 222, 223; (voir Divifion d’un trapèze hyper bolique en raifon donnée, Lentille. Ayperboliques et elliptiques, Quadrature de fur faces planes). HyrocycLoïpes. La développée d’une hypocycloïde eft encore une hypocycloïde. 119. 798 V.. MATIÈRES TRAITÉES DANS LES LETTRES. IMAGE DE LA LUNE QUI SEMBLE AGRANDI PRÈS DE L'HORIZON. 563, 621%, IMPOSSIBILITÉ DU MOUVEMENT PERPÉTUEL COMME PRINCIPE DE LA MÉCANIQUE. 115%, 117%, 118%, 303%; (voir Principe de la confervation de l'énergie). INFUSOIRES ET BACTÉRIES. 709%, INSTRUMENTS ASTRONOMIQUES. 6, 8, 275, 281, 658, 725, 727; (voir orloge, Lunettes). INTÉGRALES (voir Cercle, Intégrales diverfes, Intégrales elliptiques, Intégration par parties, Méthode de Craig pour l’intégration des exprefions irrationnelles, Méthode du changement de la variable, par voie algébrique, dans les intégrales et dans les équations différentielles, Méthode géométrique pour le changement de la variable dans les intégrales). INTÉGRALES DIVERSES. 161, 314, 315,325./x"4x (y compris les valeurs négatives et fractionnaires de #)469%,470*, 473%, 474, plus fpécialement pour #=— —1 : 200%, 470%, 680%, (voir encore au T. IX, 532%); /a°(a?— x?) 1 dx. 11%, 14%, 37%, 38%. (voir encore.Courhes diverfes: x°y— 4*y+#a5—o. et au T. IX 547%, 548%, 556%, 557*); fax (a? —x°) 14x37, 38%, (voir encore Courbes diverfes: x°y + a?x — by = 0. et au T. IX. 548%, 556%, 557*#); [aa x?) — * dx. 41%, (voir encore Cour bes diver fes: x°y+4°*y—43—0.); [a ur À 679%, (voir encore Courbes diverfes: x°y° — 4°y° — at—= 0); fa(a? — 4) 7& dx. 677; CAE TX dx. 446,459,481*,635*, (voir encore Courbes diverfes: + 0° ÿ x —0.), Ka )ss 72 dx. 314%, 348, 349%, (voir encore Courbes diver fes: she Pootetel ; 1 3 1 1 fe (a+) 3x1 dx. 315%, 325%, 342%, 407%; far (a?— x?) 2x 2 dx. 575%, 662; [x (sx" + a" dx. (voir Quadrature au moyen de féries à nombre fini de termes); [me (a +q/ Pan) dx. 523%; fx (bE x) 3 (bF 3x) 2 dx. 566%, 577, 578%, 580%, 687% fx (Cox 4) 2 (6x + 4) + dx. 630%, 632%, 6334, 636% 638%; J ec y d (Voir Chaïnette, Loxodromie). Calcul de cette intégrale par approximation. 97%, 150%, 162%, 183%, 188%, 180%, 102%—194%, Réduétion à la quadrature de l’hyperbole ou aux logarithmes. 159%, 161, 162, 185%, 186%, 187, 180, 194, 308%,413%, 814; (voir encore pour plufieurs inté- grales de fon&tions algébriques: Quadrature de fur faces planes). INTÉGRALES ELLAPTIQUES. 574%, 575%; (voir /utégrales diverfes: [. anGeiho DE) = dx). INTÉGRATION PAR PARTIES. 364*— 368%, 473 ; (voir Méthode de “uacs de Fermat ). ISOCHRONISME DE LA CYCLOÏDE. 119%, 191%, 540, 712. Jurirer. 281. Aplatiflement. 269*; Rotation des taches de Jupiter. 278%; Satellites de Jupiter. 7%, 275, 322%, 562; (voir Longitude: Détermination de la longitude au moyen des fatellites de Jupiter); Taches et bandes. 7*, 278%, 322%, LANGUE UNIVERSELLE. 399. LANTERNES. 731, 732%. LEMNISCATE. 667, 676. LENTILLES (voir Aberration fphérique, Chromatifme des lentilles, Lentilles et lunettes fabriques par les frères Huygens, Microfcopes à boulettes fphériques, Œuvres: Aftrofcopiacompendiaria, V. MATIÈRES TRAITÉES DANS LES LETTRES. 799 Vertes brilants). Fabrication des lentilles. 276, 277%, 7. 280, 287%, 288, 280, 311%, 322, 323%, 324%, 401, 707#—709%, 737%. LENTILLES ET LUNETTES FABRIQUÉES PAR LES FRÈRES HUYGENS. 220%, 231%, 232%, 237%, 280%, 287k—080%, 324%, 380, 488%, 400%; (voir Lunertes catoptriques fabriquées par Chrifliaan Huygens, Œuvres: Aftrofcopia compendiaria). LENTILLES HYPERBOLIQUES ET ELLIPTIQUES. 401%, 402%, LOGARITHMES. 10, 11, 14, 17, 19%, 33%, 34, 35-—38, 42, 44, 45,111, 160; (voir Chaïnette: Conftruétion de la chaînette par points, Développements en [érie des expre[fions logarithmiques, Logarithmique, Loxodromie, Tra@rice: Conftruétion au moyen des logarithmes). Application des logarithmes à la divifion de l’oétave en intervalles égaux. 171*—174%*; au calcul des rentes viagères. 729%; Calcul des logarithmes 18%, 45*—47*; Conftruétion au moyen de la chaînette. 111%, 158%, 410%, 413%, 573*; au moyen de la tratrice. 412%, 413%, 573%. LOGARITHMIQUE. 21%, 47, 111%, 134%, 160%, 162%, 228%, 238, 247, 307%, 353%, 359, 360, 362, 363; 393, 412%, 448, 480, 513,535, 536, 674, 676, 679; (voir Divifion d’un trapèze hyper bo- lique en raifon donnée). Centre de gravité de l’arc. (voir Centre de gravité); Emploi de la logarithmique à la conftruétion de la chaînette. 110%, 127%, 134%, 160%, 412%, 413%, 439, 661*; Quadrature. 160%, 228%; Quadrature de fa furface de révolution. 327%, 330%—332%*, 344; Rayon de courbure minimal. 327%, 333*— 335%, 344*; Rectification. 305%, 307%, 312%, 314%, 315%, 322%, 324, 325%, 342%, 343%, 344%, 348*— 350%, 358%— 360%, 387% 590%, 407%, 408%, 428,431, 438, 449, 476%, 484%, 568, 815. Loi DE BOYLE. 94%. Loncrrupe (voir Horloge). Détermination de la longitude. 168, 203, 204, 206, 229, 268, 269, 273, 285, 322, 323%, 382, 384, 544, 702; au moyen de la déclinaifon de la bouffole. 94%; au moyen de la lune. 203%, 270, 285, 208; au moyen des éclipfes lunaires. 267, 268, 273, 274; au moyen des fatellites de Jupiter. 434%, 436, 443). LoxopromiE. Réduétion de la conftruétion par points à la quadrature dé l’hyperbole ou aux logarithmes. 111%, 112%, 158%, 159%, 161%, 184%-—188%, 228% 413%, 430%, 814; à une qua- drature. 185%, 227; à une fomme de fécantes (c’eft à dire à l'intégrale /'sec pp). 185%, 187%, 189, 228, 413%, Rectification. 413. Lune (voir Eclipfes, Image de la lune qui femble agrandi près de l horizon, Longitude, Parallaxe). Théorie du mouvement de la lune. 125, 126, 180, 324. LUNETTES. 279%, 205, 488%, 727%, 730, 731; (voir Binocles, Emploi des lunettes comme inffru- ments de vifée, Lentilles et lunettes fabriquées par les frères Huygens, Lunettes catoptriques, Lu- nettes fans tuyaux). Théorie des lunettes. 403*, 731%, LUNETTES CATOPTRIQUES. 289%, 2953; (voir Luneftes catoptriques fabriquées par Chrifliaan Huygens). LUNETTES CATOPTRIQUES FABRIQUÉES PAR CHRISTIAAN HUYGENS. 289%, 295%. LUNETTES SANS TUYAUX. 220%, 231%, 232%, 037, 733%, 734%; (voir Œuvres: Aftrofcopia com- pendiaria ). LUNULE D’HIPPOCRATE (voir Quadrature de furface planes). MACHINE ARITHMÉTIQUE. 698%, 718%, 800 V. MATIÈRES TRAITÉES DANS LES LETTRES. MACHINE DE LEIBNIZ POUR SERVIR à LA QUADRATURE DE TOUTES LES COURBES GÉOMÉTRIQUES. 517%, 518%, 540%, 541%, 572, 573, 577, 578%, 580%, 611%, 621, 625%, 642%, 672#, MACHINE POUR ASSURER LE MOUVEMENT DES PENDULES SUR MER. 396%*, 397%, 424%, Macuines. 727; Voir Carrofles, Cloche de plongeur, Defcription mécanique des courbes, Ma- chine arithmétique, Machine pour afurer le mouvement des pendules fur mer, Marmite de Papin, Niveau, Œuvres. Defcriptio automati planetarii, Pompe pneumatique, Portes d'éclufe, Tête. parlante, Vailleaux. foufmarins; Ventilateur. centrifuge de Papin). Machines à poudre à canon. 732*—735%*, 737%; (voir Œuvres: Nouvelle force mouvante par le moyen de la poudre à canon); Machines à vent (voir Force mouvante de l'air); Ma- chines hydrauliques (voir Zorce mouvante de l'air); Machines qui confument la fumée. 736%, 737%. MACHINES POUR DÉCRIRE LA TRACTRICE. 409%-—412%#, 406%, 510, 514X—517*, 540%, 570%, 601,611%, MAGNÉTISME. 22, 52*, 104%, 150%, 152, 299%, 317, 322, 384%, 405%, 603, 644, 708; (voir Bouflole, Œuvres : Traité de l’aimant, Variations du magnétifme terreffre). Caufe du magné- tifme. 425%, Marée. Explication de la marée. 52%, 55. 58%, 682%, MARMITE DE PAPIN. 702. MAxIMA ET MINIMA. 335, 533*; (voir Détermination de la fituation la plus avantageufe de la quille d'un vaifleau pour gagner au vent, Détermination de la fituation la plus avantageufe de la voile pour faire le plus de chemin dans une dire&tion donnée, Détermination de la fituation la plus avantageufe du gouvernail pour faire tourner de vaifleau le plus promptement, Logarithmique: Rayon de courbure minimal). MÉCANIQUE. 105%, 293, 308%, 354, 303,612; (voir A##ra@ionuniverfelle, Defcription mécanique des courbes, Dynamique, Élaficité, Géométrie cinématique, Hydrodynamique, Hydroflatique, Machines, Mouvement abfolu et relatif, Mouvement perpétuel, Remarques critiques fur: les »Principia” de Newton, Statique, Théorie mécanique de la chaleur). MÉCANISME DE L'ACTION DES MUSCLES, 650%, 651%. MÉDECINE. 52%, 55, 232, 616%, 618, 626, 630%, 646, 663%, 669, 720 MÉTÉOROLOGIE. 708, 7103 (voir Baromètre, Conden[ation de la vapeur par l’expanfion de l'air, Étendue des variations de la prefion atmofphérique, Hygromètre, Thermomètre), MÉTHODE DE CRAIG POUR L’INTÉGRATION DES EXPRESSIONS IRRATIONELLES. 630*—638%*, MÉTHODE DE DE ROBERVAL POUR LA CONSTRUCTION DES TANGENTES. 352%, 303%, 437, 440%. MÉTHODE DE FATIO DE DUILLIER POUR L’INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 15%, 17%, 21%, 50%, 55, 56%, 74%—77%*, 87%, 93%, 94, 99, 112, 134, 161, 163, 190%, 191%X, 195, 209%, 223*— 007%, 238%, 230%, 241%, 243, 259%, 262%, 268, 270, 272%, 276, 277%, 270%, 280, 285%, 287%, 288, 328, 350, 361%, 452%, 453, 464%—468%, 485%, 493%, 494%. MÉTHODE DE QUADRATURE DE FERMAT. 350%, 351%, 361*—380%, 388%, 420, 460, 461*, 491%. MÉTHODE DES FLUxIONS. 354%, 387, 388, 393, 464, 484, 524, 566, 567, 579—581, 598%, 610%*, 621, 622%, 640, 646, 651, 664, 669, 675%, 687. MÉTHODE D’INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES PAR LA SÉPARATION DES VARIABLES. V. MATIÈRES TRAITÉES DANS LES LETTRES. 8o1 134, 21%, 50%, 55, 56, 74%, 77, 93%, 94, 09, 112, 134, 161%, 163, 190%, 191%, 195, 196, 197*— 202%, 209%—211%, 213%, 222%—007*#, 238%, 241%, 249, 243, 262%, 270,272, 287, 308%, 328%, 3592, 485, 494%, 570, 580; (voir encore au T. IX. 558%). MÉTHODE D'INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES PAR LE MOYEN DES SÉRIES INFINIES. 429%, 430%, 432%, 575%, 641%, 642, 675*—678%*, MÉTHODE DU CHANGEMENT DE LA VARIABLE, PAR VOIE ALGÉBRIQUE, DANS LES INTÉGRALES ET DANS LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 342%, 348, 349%, 303%, 446*—448%, 449, 453*, 458k—460%, 468%, 474%, 475%, 481, 485, 491%, 492%, 495%, so1*, 502%, 523*; (voirencore Méthode de quadrature de Fermat). MÉTHODE GÉOMÉTRIQUE POUR LE CHANGEMENT DE LA VARIABLE DANS LES INTÉGRALES. 278%, MÉTHODES D’INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES (voir Méthode de Fatio de Duillier pour l'intégration des équations différentielles, Méthode d'intégration des équations différentielles par la féparation des variables, Méthode d'intégration des équations différentielles par le moyen des féries infinies). Microscopes. 277, 731; (voir Microfcopes à boulettes fphériques, Obfervations microfcopiques). Microfcopes de Campani. 293*; Microfcopes fabriqués par les frères Huygens. 730%. MiCROSCOPES à BOULETTES SPHÉRIQUES. 730%, 731%. Miroirs (voir Miroirs brélants). Miroirs BRÛÜLANTS. 324%, 697%, 714*, Monrres (voir Horloge). MOUVEMENT ABSOLU ET RELATIF. 609, 614%, 645%, 664, 669%, 670%, 681%; (voir Roration abfolue). MOUVEMENT PERPÉTUEL. 382, 384%, 4253; (voir /mpoflibilité du mouvement perpétuel comme * principe de la mécanique). Mouvement perpétuel de Jean Bernoulli fondé fur l'emploi d’une membrane demi-perméable. 118%, MOUVEMENT RECTILIGNE ET CURVILIGNE SOUS L'INFLUENCE DE LA RÉSISTANCE DU MILIEU. 6, 7, 9%, 17*—19%, 49, 50, 55, 1113 (voir Réfffance du milieu au mouvement des corps). Mouve- ment vertical fous l’influence d’une réfiftance proportionelle 4 carré de la vitefle. 9, 10#*— 15%, 17%X—00%, 23%k— 45%, 58%, 84%, trajeétoire. 9%, 17%, 20%, 50%; Trajectoire fous l’in- fluence de la gravité et d’une réfiftance proportionelle à la viteffe. 50%, Musique. 286, 400, 598%, 599, 651*; (voir Logarithmes: Application des logarithmes à la divi- fion de l’oftave en intervalles égaux, Œuvres: Lettre de M. Huygens à l’Auteur touchant le Cycle Harmonique, Son mufical caufé par la réflexion d’un bruit continuel fur les marches d’un efcalier. NaviGATION. 8, 279, 554, 643%, 7o1; (voir Amélioration des fleuves, Bouffole, Expériences fur mer avec les horloges maritimes à pendule de Chrifliaan Huygens, Horloge, Longitude, Loxo- dromie, Polémique avec Renau à propos de [a théorie de la manoeuvre des vaifleaux, Réfiflance du milieu au mouvement des corps, V'aifleaux foufmarins). Bateau de Fatio de Duillier. 593. NivEAU. 410. Nomgres (voir Équations diophantines). Théorie des nombres. 161%, 190%, 680%, 698, 699%. NorMaALes. Mener les normales d’un point donné à une conique. 160. Œuvres. T, X. IOI 802 V. MATIÈRES TRAITÉES DANS LES LETTRES. OBSERVATIONS CÉLESTES. 548, 584, 658%, 725%; (voir Afronomie). OBSERVATIONS MICROSCOPIQUES. 52%; (voir /nfufoires et ba@téries). Œuvres. 2, 15, 260, 261%, 269, 284, 401%, 486%, 547, 639%, 682, 705, 714, 721%, 737% Exetafis Cyclometriae CI. Viri Gregorii à S. Vincentio. 4o1*, Theoremata de Quadratura hyperboles, ellipfis et circuli, ex dato portionum gravitatis centro. 401%, De Circuli Magnitudine inventa. 620%. Horologium. 701. Sylema Saturnium. 180%, 718%. Relation d'une obfervation faite à la bibliothèque du Roy, à Paris, le 12 May 1667, fur les neuf heures du matin, d'un Halo ou couronne à l'entour du Soleil, avec un difcours de la caufe de ces Meteores, et celle des Parélies. 52*, 682%. Regulae de motu corporum ex mutuo impulfu. 104, 195, 293, 302%, 303%, 319%, 320%, 405%, 563*; (voir Percnfion). Lettre touchant les phénomènes de l Eau purgée d'air. 302, 644. Horologium ofcillatorium. 2, 106, 115%, 183%, 191, 229, 334%, 373%, 402%, 416%, 516%, 541%, 553*,7o1;(voir Centre d'ofcillation, [fochronifme de la cycloïde, Polémique avec l Abbé de Catelan). Contributions aux: Excerpta ex nonnullis feriptis de famigerato Alhazeni problemate. 497%, 570%, 571%; (voir Problème d Alhazen). Nouvelles expériences du vuide avec la defcription des machines qui fervent à les faire. (en co- laboration avec Papin). 702. Afirofcopia compendiaria. 231%, 488%, 733%, 734%; (voir Lunettes fans tuyaux). Traité de la lumière. 5%, 6%, 9, 10, 53, 54, 58%, 73, 79, 80, 81%, 82%, 85%, 88%, o2*, 104, 119,125%, 134%, 143, 167%, 175, 176,177, 178%, 179, 195, 203%, 209, 211%, 214, 219, 268, 269%, 274, 284%, 296%, 298, 305, 394, 496%, 6o1*, 605%, 606, 612, 643, 682,701, 714, 716, 738%; (voir Caufiques, Polari[ation de la lumière, Réfraëtion atmofphérique, Réfraëion double, Théorie de la lumière). Difcours de la caufe de la pefanteur. 9%, 10, 20%, 53, 54,79, 81%, 82%, 104, 125%, 143, 167, 180%, 181%, 195, 203, 209, 229, 268, 269%, 274, 284%, 285, 286%, 296%, 297%, 298, 305, 307%, 318%, 333, 334, 360, 384%, 385%, 412%, 6o2*, 6o3*, 606%, Go7*, 644%, 669%, 681, 701, 738; (voir Gravité, Logarithmique, Mouvement re@iligne et curviligne fous l'influence de la réfiflance du milieu, Remarques critiques fur les ,Principia” de Newton, Valeur de l'aplatiffement de la terre, Variation de la longueur du pendule à fecondes avec la latitude). Remarques de Mr. Huygens fur la Lettre précédente et fur le récit de Mr. Bernoulli dont on y fait mention. 114%—119%, 191%, 228%, 304%, Chrifliani Hugenii, Dynaflae in Zulechem, folutio ejufdem Problematis. 16%, 22%, 51%, 55, 57*—71%, 84%, 86%, 93k— 090%, 104, 109%, 110%, 111, 112, 127X—140%, 150%— 162%, 182*— — 184%, 188%, 216%— 218%, 305%, 307%, 308%, 310%, 312, 413*; (voir pour plus de particula- rités l’article CAafnerte). Lettre de M. Huygens à V Auteur touchant le Cycle Harmonique. 169*—174%#, 209, 212, 215, 224, 225%, 229%, 230, 230, 240, 263, 285%, 298%, DR TT M PTE A RENE AU PE NE TVR VE POSE ET Te Ne TOP ON ER PE OP ES AE CTP PRE Te 2e MES SAR PEN RS EE RER re V. MATIÈRES TRAITÉES DANS LES LETTRES. 803 Lettre de Mr. Huygens à l'Auteur. 135%, 136%, 140%, 216%, 218%, 308%, 312%, 359, 360, 407*%—417%, 437, 438%, 450, 484%, 568, 573%, 576; (voir fur les fujets traités: CAwfnette, Folium de Defcartes, Logarithmique : Rectification, Problème de de Beaune, Tra@rice). Démonfiration de l'équilibre de la balance. 15%, 16%. Nouvelle force mouvante par le moyen de la poudre à canon & de l'air. 737* ; (voir Machines: Machines à poudre à canon). Regula ad inveniendas Tangentes curvarum. 459%, 625, 632. Conffru&ion d’un problème d'optique. 497%, 548, 570. De Problemate Bernouilliano. 425, 499%, 509%, 510%, 512*X— 516%, 538%, 530%, 568,569,572, 617,618, 640%, 646, 664, 674*; (voir Courbe de Bernoulli). Remarque de M. Huguens fur le livre de la Manoeuvre des Vaifleaux imprimé à Paris en 1689, in 8°. Pagg. 117. 525*—531%, 548, 553, 561%, 562%, 564%, 565%, 568%, 569, 577, 578, 580, 588%— 500%, 611, 624%, 642%, 653, 654, 658, 663, 664, 668, 669, 681, 690, 706%; (voir Polémique avec Renau à propos de [a théorie de la manoeuvre des vaifleaux). Replique de Mr. Huguens à la Refponfe de Mr. Renau, Ingenieur Général de la Marine en France. 611%, 621, 624%, 653*—658*, 663, 664, 669, 681, 686%, 690*—693%*, 706%; (voir Polémique avec Renau à propos de fa théorie de la manoeuvre des vaifleaux). Excerpta ex epiftola C. H. Z. ad G. G. L. 670%, 671%, 681%; (voir fur les fujets traités: Courbe de la voile, Courbe élaflique on du reffort, Courbe ifochrone paracentrique, Principe du reffort). C. H,Z. Confiru&io univerfalis Problematis a Clariffimo Viro, Jo. Bernoullio, fuperiori anno menfe Majopropoliti. 513%, 670%, 673%, 674%, 681%, 683%; (voir Courbe de Bernoulli). Raifons qu'a M. Huguens pour ne plus continuer la difpute avec mr. Renau touchant [a Theorie de la Manoeuvre des Vaifleaux. 694%, 705%; (voir Polémique avec Renau à propos de fa théorie de ” la manoeuvre des vaifleaux). Chrilliani Hugenii KOEMO@EQPOS, five de Terris coeleflibus, earumque ornatu, Conje&urae. 304%, 320%, 577%, 581%, 582%, 583%, 584%, 598, 609, 616%, 639, 648, 663, 682, 698, 703*, 707%, 708%, 711,718%, 720, 721. ! Dioptrica. 52%, 55, 58%, 276, 279%, 285%, 206%, 382, 573, 682. De coronis et par heliis. 55, 58%, 104, 195%, 402%, 405%. De Motu Corporum ex Percuffione. 302%, 303Y; (voir Percuffion). Defcriptio automati planetarii. 6, 292. De iis quae liquido fupernatant. (inédit). 401%, 815%, Notes marginales dans l’exemplaire de Huygens des Aa eruditorum (inédit). 130%, 131%, 554%, 624%. Traité de l’aimant (inédit). 195%. OPTIQUE. 204, 260%, 276, 279%, 280, 281, 405%, 612, 708, 709,711,716; (voir Aberration fhhérique, Arc-en-ciel, Binocles, Caufliques, Chromatifme des lentilles, Conflitution de la matière dans les corps biréfringents, Couleurs, Détermination de la viteffe de la lumière, Image de la lune qui femble agrandi près de l'horizon, Lanternes, Lentilles, Lentilles et lunettes fabriquées par les frères Huygens, Lunettes, Microfcopes, Miroirs, Œuvres: Relation d’une obfervation, etc.; Aftrofcopia compendiaria; Traité de la lumière; Dioptrica; De coronis et parheliis, PA0s- 804 V. MATIÈRES TRAITÉES DANS LES LETTRES. bhorefcence, Polarifation de la lumière, Problème d° Alhazen, Réfra@ion, Réfraë®tion atmofphé- rique, Réfraëion double, Théorie de la lumière). PARABOLE. 128, 132, 200, 201, 217,222; (voir Cercle ofculateur, Chafnette qui fait une para- bole, Quadrature). PARABOLES ET HYPERBOLES DE DIVERS DEGRÉS. (voir Courbe ifochrone, Rayon de courbure et déve- loppée près du fommet d’une paraboloïde). Centre de gravité. 365, 366. Quadrature. 132, 200, 365; 366, 375—377; 469, 470. PARALLAXE. De la lune. 1, 3%, 4%, 125, 180. Des planètes. 4%, 180%, Du foleil. 125, 180%. PeNDULE (voir Centre d’ofcillation, Horloge, Machine pour affurer le mouvement des pendules fur mer, Variation de la longueur du pendule à fecondes avec la latitude). Percussion (voir Centre de percufion, Œuvres: Regulae de motu corporum en mutuoimpulfu; De Motu Corporum ex Percuflione). PESANTEUR (voir Gravité). PHILOLOGIE. 101, 273, 402, 488%; (voir Langue univerfelle). PHILOSOPHIE. 82%, 88%, 09%, 105%, 108, 113, 142, 144%, 145%, 155%, 195%, 220%, 403%, 404%, 7173 (voir Conflitution de la matière, Éther cofmique, Mouvement abfolu et relatif, Œuvres : Chriftiani Hugenii KOZMOGENPOZ, Philofophie Cartéfienne, Philofophie d°Ariflote, Philo- fophie de Baco, Philofophie de Démocrite, Philofophie d'Épicure, Philofophie de Gafendi, Philofophie de Leibniz, Polémique fur la queffion fi l’eflence des corps confifie dans l’étendue). PHILOSOPHIE CARTÉSIÈNNE. 7, 48%, 50%, 54%, 55, 81%, 82%, 80%, 90%, 99%, 100%, 104%, 105%, 108, 113%, 143%, 144, 168%, 179%, 195%, 196%, 197, 239%, 262%, 263%, 206, 298*—304*, 320%, 382, 387, 400*—406%, 426, 539%, 617%, 618%, 681%, 739%, 814; (voir: Polémique [ur la queftion fi l’effence des corps confifte dans l'étendue, Tour billons Cartéfiens). PHILOSOPHIE D’ARISTOTE. 105, 195%, 404%, 428%, PHILOSOPHIE DE BACO. 263, 228%, 230%, 404%, 613. PHILOSOPHIE DE DÉMOCRITE. 403%, PHILOSOPHIE D'ÉPICURE. 403%. PHILOSOPHIE DE GASSENDI. 404%, PHILOSOPHIE DE LEIBNIZ. 52%, 286%, 300%—304%*, 319%, 320%, 382, 384*— 386%, 388%, 389%, 602%, 614%, 644%, 681%, 682%; (voir Mouvement abfolu et relatif). PHospHorE (voir Pho/phorefcence). Propriétés et fabrication du phofphore. 275, 276, 281—283, 688, 697. PHOSPHORESCENCE. Par échauffement. 275, 281%, 282, 283. PuysioLoGiE (voir Génération des animaux et des plantes, Mécanifme de l’a@tion des mufcles, Théorie de la vifion). | PHYSIQUE. 105%, 142, 161%, 190%, 229, 239%, 303%, 308%, 313, 354%, 393, 401, 403%, 404%, 7113 (voir Acouflique, Adhéfion, Attra&ion univerfelle, Baromètre, Caufe de la rondeur des gouttes d’eau, Chaleur, Compreffion de l'air, Conden[ation de la vapeur par l’expanfion de l'air, Conflitution de la matière, Élaficité, Éleëricité, Éther cofmique, Expériences de phyfique, Gravité, Machines, Magnétifme, Mouvement perpétuel: Mouvement perpétuel de Jean Ber- noulli fondé fur l'emploi d’une membrane demi-perméable, Optique, Phyfique mathématique, V. MATIÈRES TRAITÉES DANS LES LETTRES, 805 Preffion fupplémentaire d’une matière plus [ubtile que l'air, Principe de la confervation de l'énergie, Retardement de la formation du vide de Torricelli, Vide). PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. 71 3%, PLANÈTES (voir Jupiter, Œuvres: Defcriptio automati planetarii; Chriftiani Hugenii KOEMO@ENPOE, Parallaxe, Saturne, Tables affronomiques, Tourbillons Cartéfiens). Aplatiffe- ment des planètes. 269*; Mouvement des planètes. 16, 125, 126, 181, 284%, 297, 208, 317% 321%, 320, 324%, 385%, 426, 439%, 542%, 603, 605, 607%. PLANIMÉTRIE. 322, 324. PoINTs DE REBROUSSEMENT (voir Courbe de Bernoulli, Rayon de courbure et développée près du fommet d'une paraboloïde). PoinTs D’INFLEXION (voir Rayon de courbure et développée près du fommet d'une paraboloïde). POLARISATION DE LA LUMIÈRE. 284%, 643%, POLÉMIQUE AVEC L’ABBÉ DE CATELAN. 477%, 497; (voir Œuvres: Remarque de Mr. Huygens fur la Lettre précédente, et fur le récit de Mr. Bernoulli dont on y fait mention). POLÉMIQUE AVEC RENAU à PROPOS DE SA THÉORIE DE LA MANOEUVRE DES VAISSEAUX. 478%, 523, 524, 525*—533%, 538, 548, 553%, 585%, 588%— 506%, 611%, 621, 624*, 642, 643, 653+—658*, 663, 664, 669%, 681, 686%, 690%—695%, 705%, 706%; (voir pour les particula- rités: Détermination de la fituation la plus avantageufe de la quille d’un vaiffleau pour gagner au vent, Détermination de la fituation la plus avantageufe de la voile pour faire le plus de chemin dans une dire&tion donnée, Détermination de la fituation la plus avantageufe du gouver- nail pour faire tourner la vaifleau le plus promptement, Œuvres: Remarque de Mr. Huguens fur le livre de la Manoeuvre des Vaiffeaux, imprimé à Paris en 1689, in 8°. pagg. 117; Re- plique de Mr. Huguens à la Refponfe de Mr. Renau, Ingenieur general de la Marine en France; Raifons qu’à M. Huguens pour ne plus apédauide la difpute avec Mr. Renau touchant fa Theorie de la Manoeuvre des Vaiffeaux). POLÉMIQUE ENTRE VON TSCHIRNHAUS ET FATIO DE DUILLIER SUR LA CONSTRUCTION DES TAN- GENTES AUX COURBES DE VON TSCHIRNHAUS à PROPRIÉTÉS FOCALES. 715%, POLÉMIQUE SUR LA QUESTION SI L'ESSENCE DES CORPS CONSISTE DANS L'ÉTENDUE. 179%, 296, 298*%— 300%; (voir encore au T. IX. 429%, 484%, 561%, 562%). POLÉMIQUE SUR LA VRAIE MESURE, #Y OU ##°?, de LA FORCE VIVE. 176%, 177%. POoMPE PNEUMATIQUE. 731%; (voir Condenfation de la vapeur par l'expanfion de l'air, Œuvres : -Nouvelles expériences du vuide avec la defcription des machines qui fervent à les faires). PORTES D’ÉCLUSE. 394, 395%, 396%, 437, 441%, 450. PRÉCESSION DES ÉQUINOXES. 321%, 384%, 425%, 426%, 431%. PRESSION SUPPLÉMENTAIRE D’UNE MATIÈRE PLUS SUBTILE QUE L'AIR. 302%, 644%, PRINCIPE DE LA CONSERVATION DE L'ÉNERGIE. 303%, PRINCIPE DU RESSORT. 659%, 660%, 664, 665%, 671%, 672%, 676%. PRINCIPES DU CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL (y compris les problèmes inverfes des tan- gentes). 13%, 21%, 50%, 51%, 74%, 93%, 110%, 128%, 120%, 132%, 139%, 140%, 157%, 159*— 161%, 184%, 180%, 190%, 197*—200%, 209%—011%, 213%, 214%, 217%, 222%, 204%, 226%, 227%, 228, 236%, 239%— 243%, 249%— 259%, 261%, 262%, 264, 271, 272%, 276, 277%, 070%, 806 V; MATIÈRES TRAITÉES DANS LES LETTRES. 280, 285%, 208%, 305%, 308%, 313%, 327%, 328%, 346, 350, 352, 354%, 361, 387*,407%#,429*, 439*—441%, 449%, 452%, 453, 458%, 477,485, 494%, 499%, 510%, 511%, 513%, 516%, 539%, 543%, 545, 562, 563, 567%, 569, 573%, 576%, 578%, 580, 598, 599, 607%, 610%, 611, 622*, 623%, 640%, 642%, 646%, 650%, 651, 665%, 666%, 669%, 672%, 675%, 676%, 680%, 684%, 687%, 697%, 698%, 713%, 715*—718%; (voir Accufations de plagiat dirigées par Jo. Bernoulli contre de l'Hofpital, Conflantes d'intégration, Déterminaion d'une courbe quand fa quadrature ef donnée, Différentiation des exprefions tranfcendantes, Différentiation dirette des irrationelles, Différentielles de divers ordres, Équations différentielles, Intégrales, Méthode de quadrature de Fermat, Méthode des fluxions, Œuvres : Notes marginales dans l’exemplaire de Huygens des Aë&ta eruditorum, Rivalité de Leibniz et de Newton à propos de l'invention du calcul différentiel et intégral, Séries, Théorème de Barrow, Théorème de de Roberval). PRINCIPES MATHÉMATIQUES DE LA FORTIFICATION. 604, 615. PRIVILÈGES ET OCTROIS DE L'INVENTION DE L'HORLOGE à PENDULE. 725%. PROBABILITÉS. 2203 (voir. Degré de certitude à obtenir par es expériences de phylique, Vie moyenne et probabilités de vie). PROBLÈME D’ALHAZEN. 497%, 548%, 570%, 571%; (voir Œuvres: Contributionsaux: Excerpta ex nonnullis fcriptis de famigerato Alhazeni problemate; Conftruétion d’un problème d’optique). api wub fai PROBLÈME DE BERNOULLI PROPOSÉ EN 1693 (voir Courbe de Bernoulli). PROBLÈME DE DE BEAUNE.:312%, 313%, 352%, 353%, 387, 301*-—303%*, 416%, 417%, pagit) 432%, 437, 438*— 440%, 449%, 452%, 460%, 476%, 484%, 511%, 541%: Afymptote,aire-et centre de gravité de l’aire de la courbe de de Beaune, cubature de fes folides de révolution et centrés de gravité des demi-folides. 392%; Rettification. 392%, 393%, 449%, 476%, 484%, 815%, PROBLÈME DÉLIAQUE (voir Duplication durcube). k PA PROBLÈME DE VIVIANL 329%, 336%, 337%, 346%, 354%, PROBLÈME DU PONT-LEVIS. 712, PROBLÈMES DIVERS. (voir Chainette, Courbe ifochrone, Courbe:ifochrone paracentrique, Divifion d’un angle dans un rapport donné, Divifion d’un trapèze hyperbolique en raifon donnée, Pro- blème d’Alhazen, Problème de Bernoulli propofé en 1693, Problème de de Beaune, Problème Déliaque, Problème de Viviani, Problème du pont-levis). QUADRATRICE DE DINOSTRATE, 14, Conftruétion de la tangente. 437, 440%, QUADRATURE APPROXIMATIVE D’UNE AIRE PLANE. 97%, 159, 1933 (voir /ntégrales diverfes [fec p dp). QUADRATURE ARITHMÉTIQUE DE LEIBNIZ. 228. QUADRATURE AU MOYEN DE SÉRIES à NOMBRE FINI DE TERMES. 432%, 437, 440%, 460, 462*— 464%, 471%— 473%, 482%—484%, 492%, 493%, 523%, 538, 549%, 550%, 565%, 567#, 569, 577, 578%, 580%, 610%, 621, 622, 646, 651,664, 669, 675, 687, 815%, QUADRATURE DE SURFACES COURBES (voir Cainerte : Quadrature de fa furface de révolution, Logarithmique, Traitrice). Cylindre. 65; Sphère. 65, (voir Problème de Viviani). QUADRATURE DE SURFACES PLANES, 13%, 80%, 92*, 140%, 219%, 222%, 228, 240, 245%, 246%, '254k—256*, 258%, 259%, 261%, 264, 268, 270%, 271%, 276, 277%, 278%, 285%, 208%, 308, Le V. MATIÈRES TRAITÉES DANS LES LETTRES. 807 309%, 313; 346, 445, 563; (voir Détermination d’une cour be quand [a quadrature ef} donnée, Intégrales, Machine de Leibniz pour fervir à la quadrature de toutes les courbes géométriques, Méthode de quadrature de Fermat, Quadrature approximative d’une aire plane, Qua- drature arithmétique de Leibniz, Quadraturé au moyen de [éries en nombre fini de termes, Quadrature et centres de gravité de courbes définies par leur équation différentielle, Théorème de Barrow, Théorème de de Roberval, Théorème de Newton fur l’impoffibilité de la quadrature générale et abfolue d'une courbe algébrique fermée). Cercle 13, 41%, 84%, 215%, 223,234,235, 244, 246%, 248, 264, 265, 298%, 352, 620, 661%, 664, 668; (voir Œuvres: Exetafis cyclome- triae C1. Viri. Gregorii à S. Vincentio; Theoremata de Quadratura hyperboles, ellipfis et cir- culi, ex dato portionum gravitatis centro; De Circuli Magnitudine inventa, Quadratrice de Dinoflrate); Cycloïde. 224%, 486*; Ellipfe. 84%; Hyperbole. 9*k—1 1%, 13, 17%, 18%, 27*— 30%, 34,.35%, 37; 42—45, 47, 49, 111, 119, 182,215%, 223, 298,234, 235, 248, 265, 326. 342, 349, 352, 407, 413, 484, 498, (voir Divifion d’un trapèze hyper bolique en raifon donnée, Œuvres: Theoremata de Quadratura hyperboles, ellipfis et circuli, ex dato portionum gravi- tatis centro; 7r4@rice: Quadrature de l’hyperbole au moyen de la traétrice); Lunule d’Hip- pocrate. 240, 261%, 262*; Parabole, 309; (voir encore pour ia quadrature d’autres courbes: Chaïinette, Courbe de Gutfchoven, Courbes diverfes, Courbes tranfcendantes définies par leur équation differentielle, Folium de Defcartes, Logarithmique, Paraboles et hyper boles de divers degrés, Problème de de Beaune, Traërice); Réduë&tion d’une quadrature, fi pofible, à celle . du cercle ou de l’hyperbole ou à la reétification de la parabole. 160%, 189%, 223%, 271%, 285%, 534, 575%, 661%, 664, 666, 668%, 676, (voir Chaïnette, Loxodromie), à la reétification d’une courbe. 190%, 541%, QUADRATURE ET CENTRE DE GRAVITÉ DE COURBES DÉFINIES PAR LEUR EQUATION DIFFÉREN- TIELLE. Courbe de de Beaune. 392*; Courbe y4x— xd + ydy, 448%, 451, 475%, 478*— 480%, 480%, RAYON DE COURBURE (voir Cercle ofculateur, C'hafnette, Développées, Logarithmique, Rayon de courbure et développée près du fommet d’une paraboloïde). RAYON DE COURBURE ET DÉVELOPPÉE PRÈS DU SOMMET D’UNE PARABOLOÏDE. 585*—587%*, 621, 624%, 625%, 626, 686, 687%. RECTIFICATION. 190%, 235, 541%, 666; (voir Développantes: Emploi des développantes pour la rettification d’une courbe; Quadrature: Rédu&ion d’une quadrature, fi poflible, à celle du cercle ou de l’hyperbole. ou à la retification de la parabole). Catacauftique du cercle pour le cas de rayons parallèles. 72%, 73%, 80, 715%, 716%; Cycloïde 486; (voir encore pour la re&ifi- cation d’autres courbes: Chafnette, Courbe d’interfe&ion d'une [phère et d’un cylindre à dia- mètres égaux, Logarithmique, Loxodromie, Problème de de Beaune, Traûrice). RÉFRACTION (voir Diacaufliques, Réfraë@ion atmofphérique, Réfra®ion double, Théorie de la lumière). Loi de la réfraction. 58%, 85%, 167, 203, 405%, 406%, 6o1*, 602%, 611*—613*, 643%. RÉFRACTION ATMOSPHÉRIQUE. 6%, 322, 323%, RÉFRACTION DOUBLE. 5%; 58%, 119, 167, 177*X—179%, 284%, 612%, 613%, 643*, 682; (voir Conflitution de la matière dans les corps biréfringents). 808 V. MATIÈRES TRAITÉES DANS LES LETTRES. REMARQUES CRITIQUES SUR LES ,,PRINCIPIA” DE NEWTON. 9, 10, 18*—20*, 27#—29*#, 33*#, 34%, 38%, 146%—155*%, 163%, 168%, 209%, 213%, 215%, 219, 239%, 241%, 242, 259%, 261%, 279, 318%, 346, 354%, 384%, 385%, 567%, 609, 614%, 645%, 682%; (voir Rivalité de Leibniz et de Newton à propos de l'invention du calcul infinitéfimal, Rotation abfolue, Théorème de Newton fur l’impoffibilité de la quadrature générale et abfolue d’une courbe algébrique fermée). RÉSISTANCE CONTRE UNE SURFACE SPHÉRIQUE SE MOUVANT DANS UN FLUIDE. 154+ RÉSISTANCE DE L’AIR ET DES LIQUIDES à LA CHUTE DES CORPS (voir Mouvement rettiligne et cur- viligne fous l'influence de la réfiflance du milieu, Réfiflance du milieu au mouvement des corps). RÉSISTANCE DU MILIEU AU MOUVEMENT DES Corps (voir Courbe de la voile, Réfiffance contre une furface fphérique fe mouvant dans un fluide, Réfiflance de l'air et des liquides à la chute des corps). Expériences. 19%; Théorie. 525%, 531%, 554%, 564%, 577%, 589— 591, 593, 657*, 693, 705%, 706%. RÉSOLUTION PAR CONSTRUCTION DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES. 228, 499%, 513, 576%, 577, 642*; (voir Duplication du cube, Divifion de l'angle dans'une raifon donnée). RETARDEMENT DE LA FORMATION DU VIDE DE TORRICELLI. 644%; (voir Œuvres: Lettre touchant les phénomènes de l’Eau purgée d’air, Prefion fupplémentaire d’une matière plus Jubtile que l'air). RIVALITÉ DE LEIBNIZ ET DE NEWTON à PROPOS DE L'INVENTION DU CALCUL INFINITÉSIMAL. 214%, 240%, 243, 257%, 258%, 259, 270%, 279, 285%, 620%, 623%, G4o*, 646%, 651, 661, 675%, 676%. ROTATION ABSOLUE (voir Force centrifuge: Peut on reconnaître la rotation abfolue aux effets de la force centrifuge). ‘ SATELLITES (voir Jupiter, Lune, Saturne). SATURNE (voir Œuvres: Syftema Saturnium). Satellites de Saturne en général" 152, 488%, 490%). Séries (voir Développements en férie des expreffions goniométriques, Développement en [érie des exprefions logarithmiques, Formule du binôme de Newton pour les valeurs fraë&tionnaires ou negatives de l’expol ant, Méthode de réfolution des équations différentielles par les féries infinies, Quadrature au moyen de féries à nombre fini de termes). SOLEIL. 324, 4043 (voir Éclipfes, Parallaxe, Tâches du Soleil). SON MUSICAL CAUSÉ PAR LA RÉFLEXION D'UN BRUIT CONTINUEL SUR LES MARCHES D'UN ESCALIER. 571%. SPHÈRE (voir Courbes gauches, Problème de Viviani, Quadrature de furfaces courbes). SPIRALE LOGARITHMIQUE. La développée d’une fpirale logarithmique eft encore une fpirale logarithmique. 1 19%, STATIQUE. 218%, 402%, 651%; (voir Centre de gravité, Chaïnette, Chaïnettes à denfité inégale, Chainettes extenfibles, Cour be de la voile, Courbe élaflique ou du reffort, Œuvres: Démonftration de l'équilibre de la balance, Problème du pont-levis). SYSTÈMES DU MONDE. 317*—310%, 426%, 427, 6o3*, 606%, 609%, 612%, 644%, 6453 (voir Œuvres: Defcriptio automati planetarii£'Chriftiani Hugenii KO=MO@EOPOs, five de Terris Si dent) jui V.:: MATIÈRES TRAITÉES DANS LES LETTRES. 809 coeleftibus, earumque ornatu, Conjecturae, Tourbillons Cartéfiens). De Hartfoeker, 324; de Kopernik. 5, 107*, 108%, 113, 404%, 456%, 681%; des anciens. 257%, 259%, 260%, TABLES ASTRONOMIQUES. 3, 8%, 285, 322, 324%, 486%, 658%; (voir Jupiter: Satellites de Jupiter). TABLES DES SÉCANTES. 180%, 228%, TACHES DU SOLEIL. 645. TANGENTESs. 80, 315%, 393%, 623, 631, 6323; (voir Mérhode de de Roberval pour la conffru&tion des tangentes, Œuvres: Regula ad inveniendas tangentes curvarum). Courbes de von Tfchirn- haus à propriétés focales 715%; (voir pour les autres courbes: Chzfnette, Quadratrice de Dinofirate); Problème inverfe des tangentes (voir Principes du calcul différentiel et intégral). TÊTE PARLANTE. 355, 394. THÉORÈME DE BARROW. 211%, 245%, 240%, 251%, 253%, 264, 277%, 361%, 444%, 563, 630,633, 634, 636%. THÉORÈME DE DE ROBERVAL, 309%, 356%, 420%, 421%, 814%, THÉORÈME DE NEWTON SUR L’IMPOSSIBILITÉ DE LA QUADRATURE GÉNÉRALE ET ABSOLUE D’UNE COURBE ALGÉBRIQUE FERMÉE. 51%, 55, 57%, 83%, 84%, 04%, 150%, THÉORIE DE FATIO DE DUILLIER SUR LA CAUSE DE LA GRAVITÉ. 152%, 257%, 071%, 340%, 354%, 602%, 603%, 606*—609%, 613%, 643%, 644*, 669%, THÉORIE DE LA LUMIÈRE. 104%, 203%, 431%, 601%, 602*, 611X—613*, 644, 709%; (voir Théorie de la lumière et des couleurs de Newton, Théorie de la vifion, Théorie ondulatoire de la lumière). THÉORIE DE LA LUMIÈRE ET DES COULEURS DE NEWTON. 220%, 431, 601%, 602%, 606%, 609, 612%, 613%, 651. THÉORIE DE LA VISION. 403%, 404%, THÉORIE MÉCANIQUE DE.LA CHALEUR. 239%, 404%, 811%. © THÉORIE ONDULATOIRE DE LA LUMIÈRE. 167%, 168%, 178%, 203%, 204, 601%, 602%, 6o5k—6o7*, 611%, 612%, 643% (voir Œuvres: Traité de la lumière). THERMOMÈTRE. 710. ToURBILLONS CARTÉSIENS. 16, 104%, 284%, 285, 207%, 316*— 319%, 321%, 384%, 385%, 403%, 425%, 426%, 431%, 430, 509, 603, 605, 607*. TRacrRicE. 388%, 408%, 430, 438, 496, 510, 516%, 517%, 540%, 579%, 611; (voir Chafnette: Conftruétion par points, Logarithmes : Conftruétion ou moyen de la traétrice, 7ra@rice circu- laire, Tra&rice générale). Conftruétion au moyen des logarithmes. 420%; Cubature du folide de révolution auteur de l’afymptote. 409%, 421%; Defcription mécanique (voir Machines pour décrire la tra@rice); Ëquation analytique. 420%; Quadrature. 409%, 420%; Quadrature de la furface de révolution, 409%, 421%; Quadrature de l’hyperhole au moyen de la traétrice. 388%, 409%, 411%, 412%, 418%, 430, 510%, 514, 540%, 579%; Rectification de la traétrice. 408*, 409%, 419%; Vérification de la defcription mécanique. 411%, 420%. TRACTRICE CIRCULAIRE. 422%. TRACTRICE GÉNÉRALE. 514%, 517%, 518%, 540%, 611,672; (voir Machine de Leibniz pour [er- vir à la quadrature de toutes les courbes géométriques). TRAVAUX PUBLICS (voir Amélioration des fleuves, Portes d’éclufe, Principes mathématiques de la fortification). Œuvres. T. X. 102 810 V. MATIÈRES TRAITÉES DANS LES LETTRES. TREMBLEMENTS DE TERRE. 380. TRIGONOMÈTRIE (voir Développement en férie des exprefions goniométriques, Tables des fécantes). VAISSEAUX SOUSMARINS. 119*X—123%, 164%, 165%, 175%, 176%, 707%, 709%. VALEUR DE L’APLATISSEMENT DE LA TERRE. 125%, 126%, 180%, 181%, 229%, 261%, 263%, 268, 269%, 285%, 208%, VARIATION DE LA LONGUEUR DU PENDULE à SECONDES AVEC LA LATITUDE. 269%, 341%, 389%, 390, 397; 607*. VARIATIONS DU MAGNÉTISME TERRESTRE. Caufe de ces variations. 15%, 52%, 55, 58%, 85%, 682%. VENTILATEUR CENTRIFUGE DE PAPIN. 122*X—124%*, VERRES BRÜLANTS. 276, 278%, 279%, 280, 287%, 280, 683%, 684%, 697%, 714%. VIBRATIONS DES RESSORTS. 52%, 55, 58%. Vie. 410; (voir Œuvres: Nouvelles expériences du vuide et des machines qui fervent à les faire, Pompe pneumatique, Retardement de la formation du vide de Torricelli). Expériences fur le vide. 22, 702%, VIE MOYENNE ET PROBABILITÉS DE VIE. 728%, 729%. VITESSE DU SON. 151%, 152%, 155%, x ZooLocie. 322; (voir Génération des animaux et des plantes, Obfervations microfcopiques). DIRE OS Re PSP Te 2 PL ER ET À ; ADDITIONS ET CORRECTIONS. AU TOME I. Page Au lieu de lisez 15 ligne 1 invention de Mathematique invention de Mathematique 3*) et ajoutez la note: %*) De la pièce N°. 2724 (voir le Tome X à la page 217), il résulte, qu’il s’agit de la démonstration ,,de ce qu’une corde ou chaine vpendue ne faict point une parabole, et quelle doit estre la pression sur une Corde mathematique ou sans gravité pour en faire une”, envoyée ensuite à Mersenne. Comparez les Lettres N°. 14, vers la fin, et N°. 20. AU TOME. IV. 238 note 1 Remplacez la dernière phrase de cette note par la suivante: Mais on rencontre une discussion de la courbe, communiquée par Hudde, dans les ,Exercitationes Mathematicae” de van Schooten (voir les pages 493 et 407—499 de l'ou- vrage cité dans la Lettre N°. 128, note 3). AU TOME VI. 91 en-tête de la Lettre N°. 1566. à Louis Huygens à Paris ce 3 décembre 1666. et dans la lettre même : n» ligne 2 surtout sur tout ; des gens de gens + 5 Zuylichem Zulichem PA 6 Teste teste » 7 cela cecy CO RE 6 Rivere riviere AU TOME VII. 3 note 8 Ajoutez à cette note: Dans cet ouvrage Boyle s'applique à démontrer qu’il ny a rien qui nous empêche de supposer que même dans les corps les plus durs les particules sont dans un mouvement continuel. 81-2 ADDITIONS ET CORRECTIONS. Page Au lieu de lisez 95 et 103. en-tête des Lettres Nos. 1839 et 1843. Ajoutez : Christiaan Huygens y répondit par le N°. 1844; voir le Supplé- ment du Tome X. 208 note 1 vaanders | vaarders 212 en-tête de la Lettre N°. 1903. Ajoutez : La lettre se trouve à Houten, coll. van Rappard. et dans la lettre la date : À Paris ce $ aost 1672. Corrigez de lus d'après l original. » ligne 1 celuyci cettuy ci D: 1 MO; Gesmeurer demeurer Sun CIS OBQi L'on dit 21% 1 depuis vostre depuis la date de vostre MATE 3 lundy lundi » » 18 aussi en general en general aussi » » 19 accroire acroire 214 Ajoutez : à la fin de la Lettre. Je salue treshumblement tous les amis. 218 en-tête de la Lettre N°: 1908. Ajoutez : La Lettre se trouve à Houten, coll. van Rappard. et dans la lettre la date : À Paris ce 4 septembre 1672. Corrigez de plus d'après l'original. » ligne 9 dans les formes contre les formes CARE 4 certainement certainement par la gazette qui arrive » 0t 5 Ajoutez : Elle se trouve toutefois dans l'original de la collection van Rappard. AU TOME VIII. 214 note 5 ligne 3 Nos. 988, 1055 Nos. 988, 1025 481 ligne 11 f 3 482 en-téte de la Lettre N°. 2330. Ajoutez : Chr. Huygens y répondit par le N°. 23354, voir le Supplément du Tome X. AU TOME IX. 110 ligne 11 navis naves 123 » 13 revolvi resolvi 135 » 7 COgnoscas k cognosces » » 10 allaboremus allaborem T2 1 Geometricae Geometricae ?) et ajoutezi1a note : On peut consulter sur cette courbe, inventée par von Tschirnhaus, dans l’,,Intermédiaire des Mathématiciens” de janvier 1905, T. XII, p. 19—21, la réponse de M. P. Barbarin à la question 2380. Le op mile 55 en à Er GUN ST dd nr at SMS MA AL 5 cr pe nd és de UC Chen RTS PRE PP Ne ADDITIONS ET CORRECTIONS. 813 Page Au lieu de lisez 184 en-téte: lettre minute » ligne 18 d’en-bas nimia nimio 1855 3 ad 4: US 8 d’en-bas rideo video 235 en-téte de la Lettre N°. 2495. Ajoutez : Chr. Huygens y répondit par le N°. 24984, voir le Supplément du Tome X. 248 » de la Lettre N°. 2504. Elle fait suite au N°. 2495. Elle est la réponse au N°. 24984, voir le Sup- plément du Tome X. 284 ligne 16 Welck Welck °*) et ajoutez a note: %*) La soulignation de cette phrase et l’annotation 4) ont été ajoutées probablement par Huygens pendant l’examen des Journaux de de Graaff, dont il est question dans la Lettre N°. 2786 du 10 Février 1693. 331 note 2 signe 17 le remarque Newton le remarque Huygens ET 2 Ajoutez : p. 105. 391 en-tête de la Lettre N°. 2572. Ajoutez : Le sommaire en a été publié par P. J. Uylenbroek (Chr. Hugenii etc. Exercitationes Mathematicae, Fasc. II, p. 115). 489 ligne 10 verisimiliores habebuntur verisimelior habebitur 498 note 9 Biffez les derniers mots de cette note, à commencer par les mots sans beaucoup” jusqu’à la fin; puisqu’en réalité les mots cités de Huygens ne se rapportent pas à la solution de Huygens de septembre 1690, mais à l'examen des solutions de Leibniz et de Bernoulli. SD, » 6 l’avant-dernière ligne dans la note 21 dans la note 22. 502 ligne 1 curvae curva sO7 à 2 d’en-bas (puta arcus «ë) (puta arcus &ë) 508 Fig. 5 Placez lalettreË au point d'intersectionde l'axe de cerclea$ avec la diagonale du carré. » note 22 ligne 3 de cette correspondance de cette correspondance (voir les $ IT et III de la pièce N°. 2669). 509 » 22 l’avant-dernière ligne. Remplacez les mots: le verra dans la dernière note de cet article par: l’a vu dans la note 6 de la pièce N°. 2624. 513 ligne 3 d’en-bas calculo calculo (1* et ajoutez la note : $*) Jean Bernoulli a publié plus tard le calcul de la cata- caustique du cercle dans l’article de 1692 cité dans la Lettre N°. 2892, note 5. 518 8 dans mon calcul dans mon calcul à et ajoutez la note: $*) Consultez sur ce calcul la Lettre N°. 2876 et surtout la note 17 de cette lettre. 19» 8 d’en-bas ma maniere ma maniere :°*) et ajoutez la note: ***) On peut consulter encore sur cette manière l’article de Leïbniz cité dans la note 9 de la Lettre N°. 2893. 814 ADDITIONS ET CORRECTIONS. AU TOME X. Page Au lieu de lisez 16 ligne 7 d'en bas xxyy = à — 4ayÿ xxyy — 24 — aayy » note 16 1633 2633 48 en-téte du N°. 2663 25 Février 7 Mars 52 ligne 14 parelies parelies *5*) et ajoutez la note : *5*) Voir lanote 31 de la Lettre N°. 2876. 81 » du N°.2675 ajoutez: Huet y répondit par le N°. 2696 89 ;, du N°. 2678 ajoutez: Chr. Huygens y répondit par les Nos. 2686 **) et 2711. ajoutez la note: **) Comparez toutefois la note 3) de la Lettre N°. 2686. 104 note 3 ligne 3 de novembre du 16 novembre 108 ligne 15 digneris digneris *°) et ajoutez la note: *°) Noir la Lettre N°. 2689 128 note 12 Biffez lanote 1. 135 figure Ajoutez la lettre V au point d’intersection de la ligne MW avec la chainette. 136 note 5 ligne 5 ordonnée Vy ordonnée VY es 5 » 6 donc Vy donc VY 143 lÎigne 1 d’en bas a Leïde a Leiïjde **) et ajoutez la note: **) Noir sur ces thèses la note 12 de la Lettre N°. 2711 et la Lettre N°. 2701* (dans l’Appendice du Tome présent) 159 note 10 ligne 2 Histodromice Histiodromice 163 » 4 » 4 2698 2693 166 en-tête du N°. 2703 27 Octobre 1691 27 Octobre 1692 ‘*) et ajoutez la note: **) Consultez la note 1 de la Lettre N°. 2772. » ligne 5. Biffez: 27 Oct. 1691. 186 figure. Ajoutez trois fois au côté droit de la figure la lettre S qui représente le point à l'infini commun aux courbes AT, AV et à la droite PW. 194 en-tête du N°. 2711 au N°. 2701 aux Nos. 2678 et 2701 246 note 11 ligner BE? Be° 267, 3 mars février ie 3 des Lettres Nos. 2667 des Lettres Nos. 2660 (p. 21), 2667, 296 en-tête du N°. 2759 par le N°. 2765 par le N°. 2766 298 note 10 ligne 1 danslanote 3 dans la note 5 FE Vocale Abe RE Los ET il À à » » » 23 395 nm IC SSSR LNCUES » » » 26 ORNE AR CE PE De » » » 23 ; ont 2. Ajoutez: Consultez sur l’origine de ce théorème la note 8 de la pièce N°. 2794. 310 ligne 2 d’en bas asumptoton asymptoton 250 7 spatio FBAK : spatio FBAK ?*) et ajoutez la note : **) Par le théorème de de Roberval. Voir la note 8 de la pièce N°. 2794. ADDITIONS ET CORRECTIONS. 815 Page Au lieu de lisez 368 ligne 2 d’en-bas pridus prius 5 LA Se 6 Beverland ?) Beverland $) PERLE Halewijn 3) Halewijn 5) et changez à cette même page les numéros 2 et 3 des notes en 5 et 6 4o1 note 14 ligne 2 ouvrage ouvrage imprimé TES D ARC PA CL à note *) et quelques uns de ses ouvrages ma- nuscrits ou projetés entre autres : ,De iis quae liquido supernatant”. 407 ligne 5 d’en bas fait sait Ait 1 les a conduits les a conduits 25*) et ajoutez la note *5*) Consultez pour ce qui regarde Jean Bernoulli la note 6 de la pièce N°. 2778 et quant à Leibniz la Lettre N°. 2876 et surtout la note 17 de cette Lettre. 425 note 5 de la page précédente ligne 3 d’en bas. 1693,®. 495 1693, P. 475 429 » 6 dernière ligne de la note 13 de la note 14 464 ligne 3 On m'a promis On m’a promis ?1*) et ajoutez la note ***) Il s’agit de David Gregory; comparez la Lettre N°. 2859 à la page 622. » 0te 91 Ajoutez à cette note : Consultez encore sur cette même règle la lettre de Gregory du 21 juillet 1692 publié par Wallis au Cap. 95, p. 377, de son ouvrage. 473 ligne 5 X(sx+ a)" X Gsx" + ay" 484 note 13 des deux courbes logarithmiques de la courbe logarithmique et de la courbe de de Beaune. Comparez la Lettre N°. 2787 à la page 392 et IN°. 2805 à la page 449. 497 » 26 ligne 3 d’en-bas note 21 note 22 512 ligne 4 d’en-bas Bernouliano Bernoulliano S17 » 2 1 pem spem » note S À» 7 Bulletino Bullettino Sr 5 » 3 d’en-bas Tangenitbus Tangentibus 525 » 4 » 3 Renaud Renau 528 » 8 , 7 d’en-bas Renaud 5 001; 9 » 2 Martin Martino » » 10 » 7 d’en-bas R. Hoockein R. Hoocke in 673 ligne 2 Bernoulio Bernoullio 709 note 13 dernière-ligne Konanski Konarski 744 ligne 9 d’en-bas. Biffez la lettre 2703 qui est du 27 octobre 1692. 746: » PES Intercalez la lettre 2703 du 27 octobre 1692. J. de Graaff à Christiaan Huygens. SOMMAIRE. . ; CoRRESPONDANCE. LETTRES N°. DA UNS ROMEO SOCCER 77 PP PRESS 0 RAC ER A PR AE TABLES. eo pa et à Qui L 'Lébpis 2707 RER STE EU KR SUN sn ÉRUTEe 12 IT. LISTE ALPHABÉTIQUE DE LA CORRESPONDANCE . ee « à « « III. PERSONNES MENTIONNÉES DANS EES LETTRES . 1. , SUR OUI. E IV. OUVRAGES CITÉS DANS ESS on ge DE hrs EU EE à UV. MATIÈRES TRAITÉES DANS LES LETTRES. « ADDITIONS ÉT CORRECHIONS 5 2 . . . . "pra MELON, FE Q Huygen, Christiaan 113 _ Oeuvres complètes Physical & Applied Sci. tan CRE «fl ; nn A fe ER 4 re $5 Ÿ CAS f Rite ns ps Er SEM Lui Ÿ Pnn os 4 GE ie Li