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ŒUVRES COMPLETES

DE

CHRISTIAAN HUYGENS.

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EXEMPLAIRE

offert par les Direaeurs de la
SOCIÉTÉ HOLLANDAISE DES SCIENCES

M

Membre de la Société.

Imprimerie de Joii. ENSCHEDÉ & Fils, Harlem.

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ŒUVRES COMPLETES

DE

CHRISTIAAN HUYGENS

PUBLIEES PAR LA

SOCIETE HOLLANDAISE DES SCIENCES

TOME TREIZIÈME

DIOPTRIQUE

1653; 1 5(5(5; 1(585 — 16^92.

FASCICULE I 1653; ^^^^'

LA HAYE

MARTINUS NIJHOFF

1916

DIOPTRICA.
I.

1653; 1666.

k

/>

DIOPTRICA.

1653; 1666; i68$—i6ç)2.

Avertiffement.

APERÇU GENERAL DE LA GENÈSE DE LA DIOPTRTQUE.

L'hilloire de la genèfe du manufcrit de la Dioptrique de Huygens, tel que ce
maiiufcrit nous efl: parvenu en feuilles détachées de deux ou quatre pages (i66 p.
en tout) , efl: très compliquée. Les parties les plus anciennes furent compofées
en 1652, lorfque l'auteur avait 23 ans, mais Huygens y a ajouté, changé et
fupprimé à plufieurs reprifes jufque dans les dernières années de fa vie.

Déjà en décembre 1653 *) , un premier „Tra(fl:atus de refraélione et telefco-
pijs" était achevé, comportant 108 pages numérotées (en noir); on le recon-
ftitue encore facilement prefqu'en entier ^) à l'aide de cette pagination. Il aurait
été divifé en trois livres, dont le premier „De refraétione planarum et fphseri-
carum fuperficierum , et lentium", conftitue le contenu principal du„Liberl"
de la „Pars prima", p. 3 — 141 du préfent Tome; le fécond, portant le
titre „De apparenti augmento vel decremento eorum, quse per refraélionem
confpiciuntur", eft reproduit aux p. 173 — 233 dece même Tome; le troifième.

^) Voir la lettre à Kinner von Lôwentliurn du 16 déc, p. 261 du T. I. „Tractatus meus de
refractione et Telescopijs ad finem jam perductus est".

*)À l'exception toutefois du début, qui, tel que nous le donnons, est d'une date bien posté-
rieure, remplaçant la leçon que nous reproduisons dans l'Appendice I, p. 143 — 145 du
présent Tome, laquelle peut-être avait été précédée à son tour par une préface, qui nous
est inconnue. Voir encore la note 2 , p. 2 du présent Tome et le § i du Premier Complément,
P- 737-

IV

AVERTISSEMENT-APERÇU GÉNÉRAL.

qui a fubi le plus de changements, ert repréfemé par les p. 245 -^69 et traite des

télefcopes.

Ajoutons que, quelques jours feulement après quMl eut donné à Tacquet la
defcription de fon traité projeté et partiellement achevé ^ , Huygens entreprit
de nouvelles recherches 0, relatives cette fois à la théorie de Farc-en-ciel, et fe
propofaitde les inférer dans ce traité 3). Il ne l'a pas fait; mais elles nous ont
été confervées et nous les reproduifons comme Appendice II, au „Liber I"
mentionné ci-deffus.

Pendant les douze années fuivantes (1654— 1665) Huygens s'occupe de temps
à autre de fa Dioptrique et plufieurs fois il efl: fur le point d'en commencer la
publication. Le 5 janvier 1654 il en apprend l'achèvement à Grégoire de Saint-
Vincent; mais il fe propofe de l'améliorer et de l'augmenter encore. A cet effet
il veut laiflTer fon manufcrit quelque temps en repos pour pouvoir l'examiner,
quand la première ardeur de l'invention fera palfée, comme fi fe fût l'ouvrage
d'un autre; enfuite il ne tardera pas à le faire paraître 4). Le i" avril 1654,

*) Voir sa lettre à Tacquet du 10 décembre 1652 , p. 204 du T. I , où on lit : „Ego quidem duos
jam libros super ea re penè perscriptos habeo quibus et tertius accedet; prior est de refrac-
tione planarum et sphcericarum superficierum , et lentlum, alter de apparent! augmento vel
decremento eorum, quse per refractionem conspiciuntur. In hoc praecipuum est, quod datis
positione et figura unâ duabusvelquotcunqnelentibus, objecto et oculo, ostendiquoaiig-
mento vcl diminutione illud conspici debeat, item an erectuman inversum. In iIlo,datis
ijsdem, utrum distincta sit futura visio an confusa. Praîterea ostendi quomodo radios ad
datum punctum tendentes ad aliud datumpunctum congregare possimus ope superficiel sphœ-
ricje,idque accuraiè, sicut Cartesius per curvas lineas suas efFecit. Cujus quidem principia
sequor in demetiendis refractionibus." Etc.

*) La pièce en question (voir les p. 146 — 153 du présent Tome) porte la date du 22 déc. 1652.

3) Comparez sa lettre dupaoût 1653 àKinner von Lôwenthurn,où on lit (p. 238 du T. I): „In
tractatu meo dioptrico régulas tradidi quibus de Iride doctrina perficitur. Unani qua; data
proportionerefractionis(scis quorum sinuum rationem designem)expeditè computare docet,
angulum sub quo iris cerni debeat. aliam qu£e hoc angulo dato proportionem illam exhibet,
quam vel maxime utilem inveni ad inveniendam exactissime in vitro et alla quavis pellucente
materia refractionis quantitatem, paratis ad hoc ex quaque materia cylindrulis sph?ernlisve,
solique expositis atque ita notato angulo sub quo iris in vitrea aliave pluvia conspici deberet.
Verum h»c ex tractatu ipso quandoque te percepturum planius spero". Or, dans le manu-
scrit de la „Dioptrica", tel que nous le connaissons, on ne trouve rien de semblable; tandis
que la description de la portée des régies en question correspond parfaitement au contenu
de la pièce mentionnée dans la note précédente.

*) Voir la p. 265 du T. I : „Dioptricorum Tractationem absolvi. neque tamen ita absolutus est
quin tempore concesso auctior evadere possit aut certe limatior. Itaque seposui nunc tantis-
per donec refrigerato inventionis amore velut alienum inspicere revertar. Postea vero
editionem non differam, siquidem a plurimiseam desiderari comperio, quorum lectione et
comprobatione pra;cipuum mihi laboris prœmium parari arbitror." Voir encore la lettre à

AVERTISSEMENT-APERÇU GÉNÉRAL.

il s'informe fi Elfevier accepterait d'en entreprendre l'imprefllon aufîitôtque lui ,
Huygens, fera de retour d'un voyage de quelques mois en France s). Le
25 oélobre 1654, van Schooten lui propofe de joindre fon traité à une réim-
preiïîon, projetée par Louis Elfevier, d'une traduélion latine du Difcoursde
la Méthode avec la Dioptrique et les Météores de Descartes *^) ; mais Huygens y
voit des inconvénients 7). En mars 1655, il mande à Colvius qu'il efpère bientôt
publier fon traité, où l'on trouvera auiïi l'explication de certains microfcopes d'un
groffiiïement merveilleux ^). Le 12 oélobre 1657, il en annonce l'apparition pro-
chaine à de Slufe ^), le 1 1 fcptembre 1 659 à Chapelain '°), les 22 feptembre et 30
oélobre de la même année à Grégoire de Saint- Vincent ") et à Kinner von Lôwen-
thurn "), le 16 feptembre 1661 à Moray '3^, auquel il écrit en oétobre 1662 que

Lipstorp du 7 mars 1654, p. 276 du T. I: „Exquo dira ista febris mercliquit, reversus
sum ad studia mihi jucundissima absolvique de Refractionibus tractatum, ita tamen ut
secundis curis omnino etiam nunc indigeat. Ca^terum dum ille sepositus quiescit aliud mihi
sese inventum obtulit, erutis è veritatis puteo circuli proprietatibus eximijs, quas nemo
antca inspexit," où la dernière phrase se rapporte aux travaux préparatoires de l'ouvrage
„De circuli magnitudlne inventa" (reproduit p. 1 13 — ^181 du T. XI 0.

S) Voir la p. 280 du T. I. Le voyage n'eut lieu qu'en juin 1655.

^') Voir la p. 301 du T. I.

7) Voir la p. 303 du T. 1 : „Dioptrica mea non existimo cum Cartesij operibus conjuncto volu-
mine edenda; non enim video quare sic magis ad hominum manus perventura sint. Imo
contra minus divenditum iri ea ratione vereor: quis enim vel tantillum curiosus aut geome-
tria; amans non pridem Cartesij libros possidet? At horum nemo fere novam editionem
empturus est. Ita lectoribus cariturus essem quos maxime contingere mihi exoptaverim. Jam
hoc quoque molestum quod Amstelodamum concedere opus foret ,atque ad tempus non exi-
guum. Alia igitur occasione in lucem ista edere est animus".

^) Voir les p. 321 — 322 du T. I. C'est vers cette époque que Christiaan Huygens et son frère
Constantyn, d'après la Lettre N°. 213 (p. 318 du T. I) de Constantyn Huygens, père, à
Colvius, commencèrent à fabriquer des microscopes. Toutefois Huygens n'a pas donné suite
alors à cette intention de traiter les microscopes dans sa Dioptrique. Ce qu'on trouvera sur
ce sujet dans la „Pars tertia" de la Dioptrique est d'une date bien postérieure; même la
copie de Niquet, dont nous parlerons plus loin, ne contient encore rien sur les microscopes.
Comparez encore la note 2 de la p. 6J4. du présent Tome.

^) Voir la p. 66 du T. II: „Sed et alia plurima hujns generis referre possem, ex libro quem de
materia hac ante quadriennium dicavi, Demonstrationibus omnibus Euclideamethodo elabo-
ratis, nisi sponte tibi obventura scirem".

'°) Voir la p. 481 du T. IL

")„IIisce duobus inventis" [il s'agit de r„Horologium" et du „Systema Saturnium"] „qu3e
moram non ferebant in publicum editis ad absolvenda Dioptrica me accinxi atque ea intra
annum saltem tibi me exhibiturum spondeo, ni fata obstent" (p. 485 du T. II).

*^) „Si quid tamen publici juris faciam, Dioptrica prœcedereoportet, nec tam diu ea pressissem
nisi Saturnium Systema incidisset quod ejusmodi erat ut moram ferre non posset"(p. 503
du T. II).

*3) ^De sorte que je me suis proposé d'estre un peu plus diligent pendant ces longues soirées qui

VI AVERTISSEMENT-APERÇU GÉNÉRAL.

la Diopcriqiie ferait déjà prêce pour être imprimée fans l'affaire des Longi-
tudes 0- Toutefois, en février 1663, il s'excufe de nouveau auprès de ce dernier
du lent acquittement de fes promefles, faites au fujet de la Dioptrique et d'autres
travaux, à caufe de tant de chofes qui l'interrompent dans fes études =*). Enfin en
décembre 1664, il exprime encore une fois fon intention de procéder à l'im-
preflion de la Dioptrique 3).

Jufqu'ici il s'agit toujours de la Dioptrique telle qu'elle fut conçue et rédigée,
en fubftance, en 1652 et 1653. Quoique Huygens , comme on l'a vu , ait bientôt
fenti le befoin de la révifer et que ce fût même là, fans doute , l'obftacle prin-
cipal à une publication immédiate , les changements et les additions qu'il y avait
apportés n'étaient pas d'une importance capitale '*). Mais il en fut autrement
en 1665, lorsqu'il reprit plus fyftématiquement fes recherches fur l'aberration
fphérique, dont les premières dataient de 1653 s).

Sur ce fujet il fait bientôt des découvertes qui lui femblent fi importantes ^')
qu'il fe jette avec toute l'ardeur dont il efl: capable dans cette voie nouvelle qui
s'ouvre devant lui. En quelques femaines , probablement , il compofe la partie de
la Dioptrique qui s'occupe de la théorie de l'aberration fphérique et des règles
qu'il en déduit pour trouver l'ouverture de l'objeélif d'une lunette de longueur
donnée et le groffiffement qu'elle peut supporter. Nous avons reproduit cette
partie dans la „Pars fecunda. De abcrratione radiorum a foco" 7).

vont venir, que je n'ay esté cet esté, et ce pour mettre au net et donner au public 3 ou 4
ensemble des traitez que j'ay escrit, parmy lesquels sont cette Dioptrique, et les règles du
mouuement dont vous me demandez tousjours de nouuelles" (p. 320 du T. III).

•) Voirlap 244 du T. IV.

') Voir la p. 306 du T. IV.

3) Voir le sommaire de sa lettre du 11 décembre 1664 àConstantyn Huygens, père (p. 161
duT.V).

*)Cela résulte de l'inspection du manuscrit, où l'on peut déchiffrer encore presque par-
tout la rédaction primitive , là où elle a été remplacée par une autre plus récente.

^) Comparez la note 4 de la p. 83 du présent Tome.

0 Voir V„Bvqr]xa' du 6 août 1665 dans l'Appendice I à la deuxième Partie de la Dioptrique,
p. 367 du Tome présent, la lettre à de Sluse du 1 1 septembre de la même année (p. 477 du
T. V) et, pour plus de détails, la partie de cet Avertissement (pp. LU— LXII et LXVI—
LXXII) qui traite plus particulièrement de ces recherches de 1665 sur l'aberration sphérique.

7) Voir les p. 273— 353 du présent Tome.

. AVERTISSEMENT-APERÇU GÉNÉRAL. VII

Vers cette même époque les travaux fcientifiques de Huygens furent interrom-
pus par fon départ pour la France et par Ton inftallation à Paris comme membre
de l'Académie des Sciences et penfionnaire du roi Louis XIV. C'eft au début de
ce féjour à Paris, en 1666 ou 1667, que, fous la direélion de Huygens lui-
même, une copie de la Dioptrique fut prife par le jeune Niquet que le Miniilre
Colbert avait adjoint, en même temps que Couplet, Richer, Pivert et de la Voye,
„aux Géomètres et Phyficiens confommés de l'Académie pour les aider dans
leurs travaux" ^).

Cette copie nous a été confervée ^) et nous fait connaître l'état dans lequel le
manufcrit fe trouvait alors. Elle contient toute la première et toute la deuxième
Partie de la Dioptrique et s'arrête précifément là où cette dernière finit.

Ce n'eil qu'en avril 1668 que Huygens reprend fes travaux de dioptrique '°). Il
s'agit maintenant pour lui de vérifier par l'expérience les prévifions de la théorie

') Voir E. Maindron „Histoire de l'Académie Royale des Sciences, depuis son établissement en
1666, Paris Baillière et C''% 1888". D'après la liste des membres, publiée par le même auteur
dans son ouvrage „L'ancienne Académie des Sciences, Paris, Tignol, 1895", il s'agirait
d'Honorat Niquet, Jésuite, qui mourut en 1667; mais cela est extrêmement improbable,
puisque ce Jésuite, dont on connaît plusieurs ouvrages de théologie , fut admis au noviciat en
1602 à l'âge de dix-sept ans et qu'il était donc en 1666 un homm^î très âgé. Sur le Niquet
qui a fait la copie, nous n'avons pu trouver aucun renseignement biographique. Nous pouvons
apporter seulement que son nom paraît dans la liste des personnes auxquelles Huygens
envoya, en 1673, son „Horologium oscillatorium" (voir la p. 321 du T. Vil).

î') Sur une feuille qui doit servir de titre à cette copie on lit de la main de Huygens : ,,Diop-
trica Chr. Hugenij descripta manu V. Niqueti" et ensuite : „Ex his plurima indu-
cenda. In prioribus Propositionibus demonstrationes minus exactae sufficissent.
Omnia hsec succinctius tractare proposicum est, quse secundam dioptrices
partem facient. Prior continebit quse de luce et refractionum causis et de
Crystallo Islandico scripsi". Enfin, toujours de la même main mais peut-être d'époques
différentes, „Tnitium mutavi in meomanuscripto". La copie fut faite probablement
à l'occasion de nouveaux projets de publication dont on reconnaît les traces dans les
lettres du 22 juin 1666 et du 19 novembre 1667 au Prince Léopold de Medicis: „Ad me
quidem quod attinet, sicut a plurimis annis studium hoc" [la dioptrique] „adamavi, ita
neque in posterum desistere est animus; et spero propediem lucem visura, qua.^ in hoc génère
commentatus sum, neque non praxin ipsam hujus artis novis meditationibus experimentisque
nostris aliquid opis sensuram" (p. 55 du T. VI); „De c^teris vero scriptis nieis ut paucis
Celsitudinem Tuam edoceam, ex sunt primum de Refractionibus tractatusseu Dioptrica,
quom libruni jam diu edidisse debueram sed varijs rébus occupatus ex quo hucin Galliam
commigravi promissis stare nequivi. Figurarum tamen maximam partem jam incisam habeo,
brevique typographis sum traditurus" (p. 162 du T. VI).

'°)Voir sa lettre à Constantyn Huygens, frère, du 20 avril 1668, p. 209 du T. VI, et celle du
1 1 mai 1668 , p. 2 16 du même Tome.

VIII AVERTISSEMENT-APERÇU GÉNÉRAL.

de l'aberration fphérique à l'aide de laquelle il croit avoir trouvé le moyen de
compenfer l'aberration fphérique de l'objeftif par celle de l'oculaire 0; mais
cette vérification n'apporte que des désappointements. Auflitôt il s'aperçoit que
ce font les effets de couleur qui empêchent la réalifation de fes prévifions =).
Toutefois il ne défefpère pas encore entièrement de leur valeur pratique 3),
et il reprend même avec une nouvelle ardeur fes calculs théoriques lorfque le
I février 1669 l'idée lui vient de sa „lens compofitahyperbolicae aemula" formée
de deux lentilles très rapprochées l'une de l'autre qui conlHtuent ensemble
l'objectif d'une lunette ^) .

Ajoutons que ces recherches de 1669 n'ont jamais été incorporées dans le
manufcrit de la Dioptrique. Nous les réunifTons dans les Appendices VI — VIII
à la deuxième Partie, p. 408 — 432 du Tome présent. Pendant cette même
année Oldenburg, auquel Huygens avait envoyé le 6 février 1669 s) l'ana-
gramme de fa découverte du i février, ne cefle de le prefler de faire paraître
fa Dioptrique''). Huygens s'excufe par la diverfité et la quantité de fes occu-
pations ^); mais il eft à préfumer que l'incertitude où il fe trouvait fur la valeur de
fes dernières découvertes n'a pas moins contribué à empêcher pendant cette
époque l'achèvement de fon Traité.

') Voir la Prop. IX de la deuxième Partie de la Dioptrique, p. 318 — 331 du Tome présent.

*) Voir sa lettre très importante du 7 juin 1668 à son frère, p. 220 et 221 du T. VI:„J'ay
depuis ma dernière essayé la moitié du concave de vostre façon avec Tobjectif que vous
m'aviez donné auparavant," [ces verres avaient été fabriqués sur les mesures données par
Cliristiaan Huygens] „et je trouve qu'il fait assez bien quand l'ouuerture n'est que de la
grandeur ordinaire. . . . mais en découvrant tout le verre je vois un peu de couleurs ce qui
me fait croire qu'il y a un inconvénient de ce costé là, qui provient de l'angle que font
les 2 surfaces de l'objectif vers les bords, qui cause nécessairement des couleurs, de sorte

qu'en faisant des verres hyperboliques l'on trouueroit la mesme chose Ce sera tousjours

quelque chose d'avoir montré qu'il n'y a pas plus à espérer de ces figures", etc.

3) Voir là-dessus ses lettres à son frère Constantyn du 22 juin 1668 : „Ne manquez pas je vous
prie a ni'achever ce petit verre que vous scavez, s'il ne fait pas l'eifect qu'il devroitl'on
scaura du moins que c'est en vain de tenter ce moyen, et mesme celui des verres hyperbo-
liques dont on n'est pas désabusé jusqu'à présent" (p. 222 du T. VI), du 12 octobre
(p. 266) et du 30 novembre de la même année (p. 299 du T. VI).

*) Voir la suscription de l'Appendice VI à la deuxième Partie , p. 408 du présent Tome.

5) Voir la lettre N°. 1700, p. 354 du T. VI et l'Appendice de la p. 355 du même Tome.

<^) Voir ses lettres du 18 mars 1669 (p. 389 du T. VI), du 8 avril 1669 (p. 416), du 1 1 novem-
bre 1669 (p. 520 du T. VI) et enfin celle du 31 janvier 1670 (p. 5 du T. VII).

0 »Je vous suis fort obligé de ce que vous m'exhortez de haster l'Edition de ma Dioptrique. Je
souhaiterois de m'y pouvoir appliquer avec un peu plus d'assiduité, mais la diversité, et

AVERTISSEMENT-APERÇU GÉNÉRAL. IX

Vers 1672 et 1673 cette incertitude s'eft diflîpée et la théorie de la dioptrique
va apparaître à Huygens fous un jour nouveau. Dans la première de ces années
il prend connaiffance de l'hypothèse de Newton fur la compofition de la lumière
blanche et des conféquences qu'elle entraîne au fujet de l'aberration dans les len-
tilles des rayons de différentes couleurs. Après quelques héfitations 7) il en recon-
naît pleinement la juftcfTe, et la fignification fondamentale qu'elle a pour les
queftions de dioptrique dont il s'efl: occupé. Il s'aperçoit ainfi que les règles, qu'il
avait formulées pour déterminer le diamètre de l'objeétif et le groffiffement com-
patibles avec une lunette de diftance focale donnée, n'ont pas la valeur qu'il leur
a fuppofée. Il les fupprime du manufcrit de fa Dioptrique avec une partie de fes
travaux fur l'aberration fphérique ^) et c'ell d'abord à l'expérience feule qu'il
veut avoir recours pour les remplacer ^^.

En attendant, la célèbre théorie ondulatoire de la lumière a pris naiiïance dans
l'efprit de Huygens, qui fe propofe en conféquence de publier une Dioptrique
d'une portée plus étendue traitant de cette théorie et de fes applications diverfes.

quantité des occupations que j'ay m'est un grand obstacle" Cp. 39i du T. VI; lettre du
30 mars 1669).

7) On peut consulter à ce propos sa lettre à Oldenburg du i juillet 1072 (p. i8<5du T. VII),
ainsi que celles d'Oldenburg à Fluygens du 28 juillet 1672 (p. 207 — 208), de Huygens à
Oldenburg du 27 septembre 1672 (p. 228 — 229) et du 14 janvier 1673 (p. 242 — 244),
d'Oldenburg à Huygens du 17 avril 1673 (p. 264) avec l'Appendice (p. 265 — 267),
de Huygens à Oldenburg du 10 juin 1673 (p. 30a) et enfin celle d'Oldenburg du 7 juillet
1673 (p. 324) avec l'Appendice I (p. 325—332 , toujours du même Tome).

8) Il s'agit des „Rejecta ex dioptricis nostris", que nous publions ici (p. 315 — 353) pour la
première fois et à la place qu'ils occupaient dans le manuscrit. Outre la discussion des règles
en question ils contiennent la description de l'invention de septembre 1665, qui consiste à
faire compenser, dans une lunette hollandaise, l'aberration de l'objectif par celle de l'oculaire
concave (voir plus loin les pp. LIX^LXII).

9) Consultez la lettre de Huygens à Colbert (p. 350 du T. VII) du 9 août 1673,011 l'on trouve:
„Mais il y aune certaine propriété et défaut dans les refractions, qu'on a remarqué depuis
peu, qui trouble ce raisonnement et fait que les grands verres des lunettes ne peuvent pas
souffrir tant d'ouuerture qu'on leur donnoit dans le précèdent calcul. Et comme la clarté
dépend de la grandeur des ouuertures, elles deviendroient trop obscures si on les vouloit faire
grossir suivant la détermination de la table susdite" [la table des „Reiecta" p. 351 — 353]>
„de sorte qu'au lieu qu'une lunette de 60 pieds devoit grossir les objets 241 fois l'on trouue
qu'elle ne peut aller qu'a 180 ou 200 fois au plus.

Il en faudra venir de mesme a l'expérience pour déterminer l'efFect de plus longues parce
que le raisonnement en cecy n'estant plus fondé sur un certain principe l'on ne scauroit dire
avec assurance quels doivent estre leurs effects quand par ex. elles seront de 100, 150 ou
300 pieds".

Plus loin (p. XI) on verra que Huygens a repris en 1684 les mêmes questions, mainte-
nant sur la base de la théorie des couleurs de Newton.

AVERTISSEMENT-APERÇU GÉNÉRAL.

OÙ le contenu du manufcrit qu'il a préparé trouvera fa propre place et où de plus
il ajoutera fon explication des parélies et couronnes') ainfi que Tes confidérations
fur le lieu que nous affignons aux images formées par les lentilles et les miroirs au
moyen de la vifion binoculaire, ou autrement^). L'ébauche d'un tel ouvrage,
écrite probablement en 1673 3) , nous a été confervée et fera reproduite dans un
des Compléments que nous donnerons vers la fin du Tome préfent 4).

Enfuite, en 1677, il découvre l'explication de la double réfraélion du crillal
d'Iflande , qui efl: confidérée par Huygens comme la plus belle confirmation de fa
théorie nouvelle de la lumière s). Devant elle fes travaux antérieurs fur la diop-
trique ont dû lui fembler d'une importance fecondaire. Par conféquent, il fe
réfout à faire précéder la publication de ces derniers par celle d'un traité qui con-
tiendra la théorie ondulatoire de la lumière avec fes applications principales,
mais fans entrer dans les détails de la dioptrique proprement dite, la théorie
des lentilles et des lunettes. C'eft là l'origine du „Traité de la lumière", qui ,
il eft vrai, n'a paru qu'en 1690, mais qui, à l'exception de quelques parties de
moindre importance, avait été achevé déjà en 1678 et avait été lu en 1679 a
l'Académie des Sciences à Paris '').

*) Cette idée de joindre à sa Dioptrique ses travaux sur les „Parelies et Couronnes" n'a d'ailleurs
jamais été abandonnée par Huygens. On la retrouve dans ses projets de 1684 (p. 753), de
1690 (p. 757) et de 1692 (p. 772) et dans une lettre à Leibniz du 26 mars 1691 , p. 58 du
T. X : „La démonstration des Parélies sera dans ma dioptrique à laquelle je vay travailler cet
esté, sans m'en laisser détourner par d'autres spéculations".

Ajoutons que, dés 1684, Huygens a de plus eu l'intention d'insérer dans sa Dioptrique
la description d'un niveau à lunette qu'il avait inventé (voir la note i de la p. 2 et les pp. 753,
772 et 774), des calculs sur l'arrangement des diaphragmes qui doivent empêcher la lumière
qui tombe sur les parois du tube d'une lunette de pénétrer dans l'œil de l'observateur (voir
les pp. 752 et 774) et la description de ses lunettes sans tube (voir les pp. 752 , 753 et 774).
Enfin, vers 1692, il énonce le dessein d'y insérer des considérations sur la lunette catop-
trique de Newton (voir la p. 775).

*) Voir à propos de cette insertion , projetée en 1673 et mentionnée de nouveau en 1692, les
PP- 745,771, 775 et 776.

3) D'après le lieu qu'elle occupe au livre D des „Adversaria".

*) Voir le § 2 , p. 738 , du Premier Complément.

5) Voir sa lettre à Colbert du 14 octobre 1677 (p. 36 et 37 du T. VIII) et surtout la note 2

ajoutée à cette lettre.
) Voir la préface du «Traité de la lumière", où Huygens rapporte les causes qui en ont retardé
la publication. On peut consulter encore là-dessus les pp. 166, 198, 214, 245 et 272 du
T. VIII, d'où il résulte qu'en 1679 et 1680 Huygens était toujours sur le point de faire impri-
mer ce Traité, comme il le fut de même en 1687 d'après les pp. 133, 163, 164 et 167 du T. IX.

7) D'après les travaux dans le livre F des„Adversaria"que nous avons reproduits dans l'Appen-
dice VIII, p. 621 , à la Troisième Partie de la Dioptrique.

AVERTISSEMENT- APERÇU GÉNÉRAL. XI

Enfin, en 1684 ")î Huygens reprend les recherches fur les règles concernant
l'ouverture de Tobjeétif et le grolfifTement des lunettes en les bafant cette fois
fur la théorie des couleurs de Newton. En avril 1685 0 <^" trouve dans facor-
refpondance la première mention des nouvelles règles auxquelles il efl: parvenu
et qui diffèrent, en effet, entièrement des précédentes î'). Et c'eft probable-
ment cette même année que fut écrite la préface „De Telefcopijs" ") et pref-
que tout ce que nous avons rafTemblé dans la partie de la „Pars Tertia: De
telefcopiis et microfcopiis*' qui traite des télefcopes ").

Après la publication, en 1690, du „Traité de la lumière", Huygens fe propofe
de nouveau de travailler à fa Dioptrique; mais, comme il l'écri à Leibniz le
II juillet 1692 ") „I1 y a bien des chofes à demesler dans cette Dioptrique, et
il s'en efl offert toufjours de nouvelles, jufqu'à cette heure, qu'il me femble
d'avoir tout pénétré, quoy que je n'aye pas encor achevé de tout efcrire".

En effet, les traces de ces nouveaux travaux fe trouvent dans les „Adverfaria"
de cette époque ^3^. Mais cette fois encore ils n'aboutiffent pas à la publication
de la Dioptrique. D'abord Huygens a l'intention de la faire paraître en fran-
çais comme „feconde partie" du „Traité de la lumière". Il y donne même
un commencement d'exécution, mais il finit par y renoncer '4^. Enfuite il
ébauche un projet: „de Ordine in Dioptricis nofl:ris fervando" 's) et pour
achever la préparation de l'ouvrage projeté il numérote, de i à 165, en grands

^) Voirla lettre du 23 avril 1685 (p. 6 et 7 du T. IX) à Constantyn Huygens, frère.

5>) D'après les anciennes règles le diamètre de l'objectif devait être proportionnel à la puissance
3/4 de sa distance focale, et la distance focale de l'oculaire à la puissance 1/4 de celle de l'objec-
tif; d'après les nouvelles règles il s'agirait de la puissance '/^ dans les deux cas.

*°) L'ébauche d'une autre préface se trouve à la p. 197 du livre F des Adversaria; nous la repro-
duisons dans l'Appendice I, p. 586, à la Troisième Partie. Consultez aussi l'Appendice II,
p. 588.

") Voir les p. 443 — 51 1 du présent Tome.

")Voirlap. 296du"T. X.

*3)Voir l'Appendice IV, p. Î240, à la Première Partie, Livre deuxième; les §§ it — 14,
p. 613— 619, de l'Appendice VI à la Troisième Partie; l'Appendice IX , p. 629, et le § 12,
p. 694, de l'Appendice X à cette môme Partie.

^*) Voit le §7, p. 754, du Premier Complément, qui avait porté (voir la note 4 de la p. 754) la
suscription:„Commencementdema seconde partie de la Dioptrique en françois pour la
joindre à la première qui est en cette mesme langue. Ce dessein est changé car elle demeu-
rera en Latin". Comparez encore la note 9 de la p. vu de cet Avertissement.

*5) Voir le § 8 , p. 770, du Premier Complément.

Xn AVERTISSEMENT-APERÇU GÉNÉRAL.

chiffres rouges, les feuilles du raanufcrit de fa Dioptrique dans l'ordre des
matières qu'il fe propofe de fui vre dans la rédaction définitive.

C'eft cette pagination en rouge qui a été fuivie en principe par De Volder et
Fulleniusdans leur édition des „Opufcula poftuma" 0; P^^blication qui leur avait
été confiée par le teftament olographe de l'auteur. Quelquefois feulement ils s'en
font écartés, là, où elle n'avait pas été faite alTez foigneufement par l'auteur, qui
naturellement comptait s'en affranchir quand le befoin s'en ferait fentir au cours
de la nouvelle rédadtion.

Cette manière d'agir des éditeurs des Oeuvres pofthumes femble, en effet,
alTez logique, mais elle a l'inconvénient de rapprocher, et d'entremêler même,
des parties écrites à des époques très différentes '') et fous des points de vue
divers; elle n'efi: donc pas propre à faire connaître le développement dans
l'efprit de Huygens de fes idées fur la dioptrique. C'efl: furtout la dernière partie
traitant des télefcopes qui en a fouffert dans l'édition de De Volder et Fullenius,
où des fragments, qui datent de 1653, furgiffcnt fans tranfition dans le texte
qui eft généralement de 1685 ou de 1692. Et il efl: clair que les vues de
Huygens fur la meilleure conftruélion et les mérites de différentes fortes de
télefcopes ont dû changer et s'approfondir notablement dans cet intervalle de
plus de trente ans. De plus, avec cet arrangement, les „Reje6la ex dioptricis
noftris", omis entièrement par les éditeurs des Oeuvres pofl:humes 3), ne peuvent
pas trouver leur propre place, c'eft-à-dire immédiatement après la partie avec
laquelle primitivement ils avaient fait corps.

Sans doute, fi Huygens avait pu accomplir le de flj^in qu'il s'était formé , il
aurait réécrit toutes les parties anciennes ^^ et créé de cette façon une œuvre

') Christiani Hugenii Zelemii , duni viveret, Toparcbae Opuscula Postuma, quaî continent

Dioptricam. Commentarios de Vitris Figurandis. Dissertationem de Corona & Parheliis.

Tractatum de Motu. De Vi Centrifuga. Descriptionem Autoniati Planetarii. Lugduni Bata-

vorum, Apud Cornelium Boutesteyn, 1703.
") Voir, à la fin de cet Avertisssement, la Table de Concordance de l'édition de de Volder et

Fullenius avec la présente édition où l'ordre chronologique est suivi.
3) Ils en font mention dans leur préface; mais seulement pour en motiver l'omission dans

le texte.

AVERTISSEMENT-PREMIÈRE PARTIE-LIVRE PREMIER. XIU

digne de lui fous tous les rapports; mais puifque cette voie n'a pu être fui vie,
il femblait préférable de conferver dans notre publication autant que poflible
l'ordre chronologique, de manière à faire diftinguer clairement les travaux des
trois époques différentes: 1652 — -1653, 1665 — 1666 et 1684 — 1692, pendant
lefquelles les diverfes parties de la Dioptrique ont été compofées prefqu'
entièrement.

Seulement, là où Huygens a apporté dans fon manufcrit des changements
qui font fouvent d'une date de beaucoup poftérieure à celle de la première rédac-
tion, nous avons cru le mieux refpeéter l'intention de l'auteur en donnant partout
dans le texte la rédaction la plus récente, sauf à reléguer dans les notes les
leçons plus anciennes et à imprimer en italiques dans le texte latin , afin de les
mieux faire reffbrtir, les paflages en queftion, dans le cas où ils datent d'une
époque très différente de celle des autres parties du texte.

Après avoir donné cet aperçu général sur la genèfe de la Dioptrique nous
en analyferons avec plus de détails les différentes parties.

PREMIÈRE PARTIE: LE TRAITÉ DE 1653 DE LA RÉFRACTION

ET DES TÉLESCOPES.

Livre premier: De la réfraction due aux fur faces planes
et fphériques et aux lentilles.

Introdu&ton.

Les premières pages de la Dioptrique, jufqu'à la Prop. I (p. 13), peuvent
être confidérées comme une introduétion au traité projeté „de la réfraélion et
des télefcopes." Pour en connaître la rédaction primitive , on doit commencer

*") Voir p. e. l'annotation citée dans la note 9 de la p. VII.

XIV AVERTISSEMENT-PREMIERE PARTIE-LIVRE PREMIER.

par l'Appendice I (p. 143 — 145) et pour fui vre la leélure à la p. y, là où les
italiques fini fient.

Après avoir formulé la loi fondamentale de la réfraction , qu'il attribuait alors
à Defcartes ') , Huygens fait fuivre la defcription de quelques méthodes pour
déterminer l'indice de réfraétion, qui lui ont paru être les plus commodes et
d'une précifion fuffifante.

Ainfi, pour déterminer (p. 9) l'indice de réfra<5lion d'un liquide, Huygens
fait ufage d'un vafe cylindrique de verre rempli du liquide. En plaçant ce
cylindre de telle manière que l'axe foit perpendiculaire à la direélion des rayons
folaires on voit fe former une ligne focale. En fuite, après avoir mefuré la difiancc
qui fépare cette ligne du vafe , et le rayon du cylindre , on peut calculer l'indice
de réfraélion à l'aide de la Prop. XIII , p. y^ — 8 1 du Tome préfent ^).

Un' autre procédé rapide (p. 11) pour déterminer l'indice du verre ou du
crifl:al confifi:e dans l'emploi d'une lentille planconvexe formée de la fubfiiancc en
queftion. La Prop. IX (p. 35) permet alors de calculer l'indice au moyen du
rayon de courbure de la furfacc convexe et de la diftance focale 3).

Un troifième procédé (p. 11 — 13) dépend de la mefure de l'amplitude de
l'arc-en-ciel produit par une petite fphère folide de la matière en qucfl:ion. Def-
cartes avait appris à calculer le diamètre de l'arc-en-ciel ordinaire en partant de la
valeur connue de l'indice de réfraélion de l'eau de pluie '^). Huygens, charmé
de l'idée ingénieufe fur laquelle repofait cette invention, avait élaboré s) une

*) Voir la note i de la p. 9 du présent Tome. Nous n'entrerons pas ici dans une discussion sur
l'originalité de la loi de Descartes et sur la priorité de Descartes ou de Snellius; nous rappel-
lerons seulement que l'assertion de Huygens , qu'on trouve (p. y—^ dans la rédaction nou-
velle qui a remplacé celle de l'Appendice mentionné , a été une des principales causes qui ont
fait naître des contestations à ce sujet. De même, nous n'ajouterons rien ici à propos des
autres parties de l'aperçu historique qui appartient à cette nouvelle rédaction et qui nous
semble suffisamment éclairci par les notes qu'on y trouve ajoutées.

*) I-'Appendice V , p. 156, fait connaître une application de cette méthode à la détermination
de l'indice d'une dissolution saturée de sel ordinaire. Elle date du 19 septembre 1664.

3) Une extension de cette méthode, datée février 1667, se trouve dans l'Appendice Vil,
p. ^160. Maintenant Huygens emploie une lentille biconvexe et apprend à calculer l'indice
à l'aide des rayons de courbure, de la distance focale et de l'épaisseur de la lentille.

^) Voir la note 3 de la p. 146. Descartes ne s'était nullement occupé (comme Huygens l'assure
à la p. 153) du problème inverse de calculer l'indice au moyen du diamètre de l'arc-en-ciel.
Sa méthode y serait d'ailleurs très peu favorable.

5) Voir l'Appendice n de 1652, p. 146—153.

AVER.TISSEMENT-PREM1ÈR.E PARTIE-LIVRE PREMIER. XV

meilleure méthode qui permettait en même temps de réfoudre le problème
inverfe, c'eft-à-dire , de calculer l'indice à l'aide de la valeur connue du diamètre
de l'arc. C'eft, en effet, à l'aide de la folution de ce dernier problème qu'il déter-
mina l'indice de réfraétion du verre en fcjjfervant d'une petite fphère folide de
cette fubftance, et en obfervant à l'aide de cette fphère que le rayon d'un arc-
en-ciel pour une pluie de verre fi jamais une telle pluie venait à tomber, ferait
de 21» 45""^).

D'ailleurs Huygens jugeait inutile d'ajouter k ces méthodes d'autres 7) plus
exadles mais plus laborieufes, parce que, comme il le dit, il ne lui femblaitpas
„qu'il y eût aucune néceflité de chercher la valeur numérique de l'indice de
réfraftion avec une grande précifion, et parce que cette valeur e(l un peu diffé-
rente pour diverfes fortes de verres ou d'eaux" ^).

Détermination du foyer d'une lentille et des images des points fîtués fur

Vaxe optique.

Après la difcuffîon des méthodes qui peuvent fervir àmefurer la réfraélion
d'une fubftance tranfparente, Huygens prépare par fes trois premières propo-
fitions ^) et par fes définitions des „points de concours ou de difperfion" '°)
fon attaque des deux problèmes principaux qu'il s'ell propofé de réfoudre dans
le premier livre: la détermination des foyers des lentilles et celle des lieux où
fe forment les images d'objets dont la pofition ell: donnée.

Ce qui nous frappe avant tout dans cette partie de laDioptrique,c'efl: la grande
rigueur que Huygens s'efl: impofée. Elle fe montre déjà dans fa définition des
points que nous venons de nommer. Huygens a reconnu auffitôt que lorfqu'une

<^)Voir encore TAppendice III de 1658, p. 154, où il est question d'une sphère de cristal,
donnant lieu à un arc-en-ciel assez différent en amplitude de celui que produit une sphère en
verre, et la lettre à Petit du 30 janvier 1659, p. 328 du T. II, où Huygens décrit la tech-
nique de l'observation de l'arc-en-ciel pour le verre.

7) Voir, à ce propos, l'Appendice IV, p. 155, qui donne le dessin et la description d'un simple
appareil pour déterminer, dans le cas du verre, tous les angles correspondants d'incidence
et de réfraction , et par suite aussi l'indice de réfraction.

^) Voir la p. 11 du présent Tome.

î>) Voir les p. 13 — 17.
^'') Voir les p. 1 7 — 1 9.

XVI AVERTISSEMENT-PREMIÈRE PARTIE-LIVRE PREMIER.

fiirface réfringente plane ou fphériqiie, ou bien une lentille, reçoit un rayon
parallèle à l'axe ou ilTu d'un point donné de cette ligne , le lieu d'interfeétion du
rayon réfraélé avec l'axe tend vers une pofition limite déterminée, à mefure qu'on
diminue l'écart entre le rayon incident et l'axe. C'eft cette pofition limite qu'il a
toujours en vue quand il parle du point de concours oude difperfion, et, dans
la démonftration détaillée et patiente de Tes premiers théorèmes, on trouve tou-
jours tous les raifonnements qui font nécefTaires pour faire reiïbrtir cette pro-
priété des foyers. Ce n'eil: que peu à peu qu'il fe permet d'abréger un peu fes
confidérations à ce point de vue.

Dans les Prop. IV — VII (p. 19 — 27) il s'agit de la fituation des images dans
le cas d'une furface réfringente plane, les rayons étant fuppofés former de petits
angles avec la perpendiculaire à la furface. Enfuite, après avoir déterminé dans
les Prop. VIII — XI (p. 33 — 41) les foyers pour une feule furface fphérique ,
Huygens confidère dans la Prop. XII (p. 41 — 79) la fituation de l'image d'un
point lumineux produite par une telle furface. En traitant de ces queftions il fe
fert d'un mode d'expreflîon (voir la Définition de la p. 41) qui lui permet
d'énoncer les théorèmes d'une manière tout-à-fait générale et d'embraflTer tous
les cas des points lumineux et des images, réels et virtuels.

Les Prop. XIV — XVII (p. 81 — 93) font confacrées à la détermination des
foyers de lentilles de différentes formes. On y trouve calculées exaétement les
diftances de ces points aux furfaces de la lentille, et Huygens n'oublie pas
d'appeler l'attention fur la différence des diftances des deux foyers d'une même
lentille à cette lentille , lorfque les furfaces font de courbures inégales. Il ajoute
cependant que cette différence difparaît fi l'on néglige l'épaifTeur de la lentille,
comme il va le faire dans la plupart des théorèmes qui fuivent.

Cela pofé, il réuffit, dans la Prop. XX (p. 99—109), à établir une règle géné-
rale, qui s'applique à toutes les efpèces de lentilles et à toutes les fituations du
point lumineux.

Cette règle, ainfi que celle qu'il a donnée dans la Prop. XII (p. 41) pour
l'image produite par une feule furface réfringente , eft préfcntée fous une forme
très remarquable qu'on ne retrouve guère dans les traités modernes. En faifant
intervenir ce qu'on appelle maintenant le premier foyer, Huygens peut dire que,
dans le cas d'une feule furface réfringente , les diftances du point lumineux à ce
foyer, à la furface même , à fon centre de courbure et à l'image forment une pro-
portion géométrique. Pour une lentille la règle eft plus fimpic encore; ici les

AVERTISSEMENT-PREMIÈRE PARTIE-LIVRE PREMIER. XVII

trois diftances du point lumineux au premier foyer, à la lentille et à l'image font
en proportion continue.

En ce qui concerne la direétion dans laquelle on doit prendre la diftance du
point lumineux à l'image, déterminée par ces propofitions, Huygens énonce une
règle qui revient à dire que, dans les proportions qu'il introduit, chaque ligne
doit avoir le figne algébrique qui correfpond à la dircétion qu'elle pofTède
à partir du point lumineux.

Pour montrer la connexion qu'il y a entre les deux propofitions et pour juger de
leur degré de généralité, on peut les confidérer comme des cas fpéciaux d'un théo-
rème qu'on déduit dans la théorie d'un fyftème centré de furfaces réfringentes
fphériques. Concevons un point lumineux quelconque fitué fur l'axe du fyftème,
et foient ^, ^, c et ^les diftances de ce point au premier foyer, au premier point
principal, au premier point nodal et à l'image. On aura alors :

où A efl: la diftance du premier point principal au fécond.

Or, cette dernière diftance s'annule dans les deux cas traités par Huygens, et
on rétrouve fa Prop. XII en remarquant que, dans l'hypothèfe d'une feule furface
réfringente , les points principaux coïncident avec le point où elle efl: coupée par
Taxe, tandis que les points nodaux fe confondent avec le centre de courbure.
Quant à la règle établie dans la Prop. XX pour une lentille dont on néglige
répaiiïeur, elle fe déduit également du théorème général , puifque dans ce cas les
points principaux et nodaux fe trouvent à l'interfeélion de la lentille avec fon axe.

Pour compléter cette partie de notre réfumé du contenu du Premier Livre du
Traité de la réfraftion et des télefcopes, nous devons parler encore des Prop.
XIII, XVIII, XIX et XXI. La première (p. 79—81) traite de la détermination
du foyer d'une fphère folide, ou fi l'on veut, de la ligne focale d'un cylindre droit
de révolution. Elle a pour but de déduire le théorème dont Huygens fe fert dans
fa première méthode pour la détermination de l'indice de réfraftion O- Dans
la Prop. XVIII (p. 95) il fuppofc donnés la diftance focale d'une lentille et le
rayon de courbure de l'une des furfaces; il en déduit la courbure de l'autre. La

3) Voir la p. XIV de cet Avertissement.

XVIII AVERTISSEMENT-PREMIÈRE PARTIE-LIVRE PREMIER.

Prop. XIX (p. ^j^ montre comment on peut trouver une lentille planconvexe ou
une lentille à furfaces également courbées qui foit équivalente à une lentille con-
vexe quelconque. Enfin la Prop. XXI (p. 109— m) apprend à placer en un
lieu donné une furface fphérique, ou une lentille, capable de réunir en un point
déterminé les rayons qui correfpondent à un autre point donné.

Signalons encore un réfultat obtenu par Huygens dès le commencement de fes
études de dioptrique. Il fe rapporte au cas particulier où une furface réfringente
fphérique produit une image exaBe d'un point lumineux '). Si la furface eft
donnée, ain fi que l'indice de réfraélion n du fécond milieu par rapport au premier
(d'où les rayons proviennent) , on peut toujours indiquer une pofition du point
lumineux, pour laquelle les rayons après la réfraélion fe réunifient exaélement
même point. En effet, (i r eft le rayon de courbure, il fufiit que la diftance du
point lumineux réel ou virtuel à la furface foit égale à ^ = («-+- 1) r; la diftance

de l'image à la furface eft alors donnée par h-=.\\ -\ Jr. À la condition, bien

entendu, que les trois lignes r, ^ et ^ aient la même direétion comptée à partir de
la furface réfringente. La démonftration de ce théorème pour les quatre cas qu'on
peut diftinguer,la furface pouvant être convexe ou concave, et la valeur de «fupé-
rieure ou inférieure à l'unité, fe trouve aux pages 63 , d^ — 7 1 , 73 — 75 , et 79 '*).

Si Huygens avait publié les propoficions que nous venons de mentionner à
l'époque, vers 1653 , où il les a obtenues, il aurait eu la priorité inconteftable de
la plupart d'entre elles. Il connaifl^ait alors à fond l'œuvre dioptrique de Kepler,

')Voir la note 3, p. 49 du Tome présent; mais remplacez dans la troisième ligne d'en bas les
mots ^partant d'un point donné" par „correspondant à un point donné". Ajoutons que
d'après la lettre de Huygens à De Sluse du 7 septembre 1657 (voir la p. 55 du T. II) la même
découverte avait été faire par Roberval à une époque qui nous est inconnue, et que vers
1690 Huygens a donné une analyse algébrique menant au même résultat; voir l'Appen-
dice I ,' p. 783 , au Premier Complément.

*) Voir les Fig. 27 (p. 63;, 31 (p. 68), 34 (p. 72) et 40 (p. -j-j^ Dans toutes ces figures l'arc
BA représente la furface réfringente, qui est convexe par rapport à la matière la plus dense
dans les deux premières, et concave dans les deux autres. Dans les Fig. 27 et 34, D indique le
point lumineux, virtuel dans la première figure, réel dans l'autre, et S l'image; dans les Fig. 31
et 40, les rôles des points D et S sont intervertis. Pour l'application à la construction de len-
tilles qui ne présentent pas d'aberration sphérique, consultez les p. 65—67.

AVERTISSEMENT-PREMIÈRE PARTIE-LIVRE PREMIER. XIX

dans laquelle il n'avait trouvé que quelques réfultats fur la fituation des foyers
dans des cas particuliers 3) ; il avait été devancé à fon infu 4) par Cavalieri fur ce
même fujet quant aux cas généraux s); mais les propofitions importantes XII
(p. 41) et XX (p. 99) fur la fituation des images étaient alors entièrement
nouvelles, autant quant au fond que quant à la forme.

3) Dans la „Dioptrice" de 161 1 , ouvrage cité à la p. 6 du T. I, on retrouve, comme Prop.
XXXIV et XXXV (p. 10—12 de l'ouvrage de Kepler), les Prop. VIII (p. 33) et IX
CP' 37) de Huygens qui se rapportent au foyer d'une seule surface sphérique. Il est vrai que
Kepler ne connaissait pas la loi des sinus; mais la proportionnalité des angles, qu'il admet
pour les cas où ces angles sont plus petits que 30°, suffit évidemment pour la détermi-
nation des foyers et des images. De plus, si Kepler ne traite que le cas du verre, où « = —,

on doit remarquer que ses raisonnements peuvent être étendus facilement au cas d'une valeur
quelconque de l'indice de réfraction.

Quant aux foyers des lentilles, Kepler n'a su obtenir des résultats précis que dans quel-
ques cas spéciaux parmi lesquels se trouve celui d'une lentille biconvexe dont les deux cour-
bures sont égales (voir sa Prop. XXXIX, p. 14). Huygens, au contraire, (et de même
Cavalieri comme nous le verrons immédiatement) apprend à calculer les foyers de toutes
les espèces de lentilles, de celles qui sont biconvexes, ou biconcaves et de celles qui sont con-
vexes d'un côté, et concaves de l'autre; voir les Prop. XVI (p. 85) et XVII (p. 89). Toute-
fois nous devons ajouter que Kepler avait trouvé par induction un théorème remarquable
équivalent à la solution générale du problème des foyers; voir la p. 771 avec la note 9, d'où
il s'ensuit qu'en 1692 Huygens se proposait de mentionner ce théorème dans la rédaction défi-
nitive de sa Dioptrique. Consultez encore à ce propos les notes 4 de la p. 277 et 5 de la p. 323.

'^) Cela résulte clairement de la manière dont il communiqua, en nov. et déc. 1652, à van Gut-
schoven (T. I , p. 192) et à Tacquet (T. I , p. 204) sa construction générale du foyer d'une
lentille biconvexe en ajoutant dans sa lettre à Tacquet: „quomodo in lente inaequalium con-
vexorum punctum concursus radiorum parallelorum inveniri possit frustra quîesivit Kep-
lerus". Depuis, avant la fin de décembre 1654, Huygens a pu prendre connaissance des
„Excercitationes geometricœ sex, auctore F. Bonaventura Caualerio" de 1647 (l'ouvrage
cité dans la note 3, p. 131 du T. I), qui lui furent prêtées par van Schooten (voir la p. 313
du T. I). C'est la dernière de ces „Excercitationes", qui traite „de quibusdam proportionibus
miscellaneis", douze en nombre, dont la troisième est intitulée „de perspicillorum focis"
et contient (p. 458 — 495) la détermination des foyers de toutes les espèces de lentilles.

Ajoutons que plus tard Huygens annota à propos des „Centuria ProblematumOpticorum"
d'Eschinardi qui parurent en 1666: „Illam de foco lentis composite a Cavallerio sumsit";
voir la p. 324 du T. VI.

5) Voici la „règle approximative unique et générale" par laquelle Cavalieri résume, à la p. 462
de l'ouvrage mentionné dans la note précédente, les résultats obtenus: „Utaggregatum ex
semidiametris convexitatum vel cavitatum fsed convexis, vel cavis, in eandem partem ver-
gentibus, ut eorundem differentia) ad semidiametrum convexitatis, vel cavitatis, radios
parallelos aspicientis: ita duplum reliquas semidiametri est ad distantiam fociab ipsa lente".
Elle est presque identique, même dans la forme, avec celle qu'on trouve à la p. 89 du présent
Tome pour le cas d'une lentille de verre dont on néglige l'épaisseur. Remarquons toutefois
que les résultats de Huygens sont plus généraux en ce que l'épaisseur de la lentille y est prise
en considération ; voir les notes 2 , p. 86 et 6, p. 87.

XX AVERTISSEMENT-PREMIÈRE PARTIE-LIVRE PREMIER.

Il en était déjà autrement lorfque, en feptembre 1669, il envoya à la
Société Royale de Londres une férié d'anagrammes qui contenaient fes prin-
cipales découvertes avec le but de s'en réferver la priorité '). De ces anagram-
mes le troifième fe rapporte aux propofitions prémentionnées. Elles y font
indiquées par la paraphrafe: „Tertia proportionalis in lente, quartaproportio-
nalis in fuperfîcie fimplici dat punétum correfpondens". Les „Leéliones
Opticîe"') de Barrow étaient alors fous preiïe 3). Dans cet ouvrage, écrit
fous les aufpices de Newton *), on retrouve la détermination des foyers d'une
lentille fphérique quelconque d'épailTeur finie, et de même celle de l'image
d'un point lumineux fitué fur l'axe de la lentille s); c'ell-k-dire les deux
principales inventions du Livre l. Toutefois le procédé efl: bien différent ,
quoiqu'il foit également rigoureux chez les deux auteurs et qu'ils partent de
la même définition des foyers et des images comme points limites*^). Barrow
était , en effet , un mathématicien de talent et il a compofé un livre élégant ^) dont

») Voir les p. 486 et 487 du T. VI.

*) Voir l'ouvrage cité dans la note 14, p. 505 du T. VI; mais remarquons qu'une édition de
1661 n'ajamaisexistéet que celle de 1^74, mentionnée dans cette note, est entièrement con-
forme, page pour page, à la première édition de 1669, si l'on excepte le titre qui dans la
première édition est le suivant: „Lectiones XVIII Cantabrigiœ in Scholis publicis babitse
in quibus opticorum phenomenom gcnuin«rationes investigantur,ac exponuntur. Annexa?
suntLectionesaliquot Geometricse. ab Isaâco Barrow Socio Collegii S. Trinitatis, Matheseos
Professore Lucasiano, necnon Societatis Regiœ Sodale. Londini Typis Gulielmi Godbid , &
prostant vénales apud Johannem Dunmore & Octavianum Pulleyn juniorem. MDCLXIX".

3) Consultez les pp. 389, 505 et 534 du T. VI.

'*) Voir r„EpistoIa ad Lectorem", où on lit: „Quorum unus" [amicorum] „D. Isaacus Newton,
coUega noster (peregregiœ vir indolis ac insignis peritiïe) exemplar revisit, aliqua corri-
genda monens, sed & de suo nonnulla penu suggerens, quai nostris alicubi cum laude
innexa cernes",

5) Dans la „Lectio XIV", p. 96—104. Comparez encore la note i de la p. 782 du présent Tome.

<^) Ainsi les cas particuliers on les rayons qui partent d'un point donné ou s'y réunissent cor-
respondent exactement , après leur réfraction, à un autre point pouvaient échapper aussi
peu à Barrow qu'à Huygens , et ils y attachent un intérêt égal. Voir , chez Barrow , le § IX
de la „Lectio XI", p. jj et le § XVII de la „Lectio XIII" , p. 91.

0 Voici l'opinion de Huygens lui-même, exprimée dans sa lettre du 22 janvier 1670 à Olden-
burg (p. 2 du T. VU). J'ay eu le traité de Dioptrique de Monsieur Barrow, qui fait voir
également le scavoir et l'ingenuitè de son autheur, mais quoy qu'il semble avoir espuisè toute
cette matière vous verrez quelque jour que ce que j'en ay escrit est encore tout différent".
En effet, il n'y a rien dans le livre de Barrow qui corresponde au contenu des Livres II et
III du «Traité de la réfraction et des télescopes", ni aussi à la «deuxième Partie" de la
«Dioptrique" où l'aberration sphérique est traitée; partie qui en 1670 était complètement
achevée.

AVÊRTISSEMENT-PRKMIERE PARTIE-LIVRE PREMIER. XXI

les raifonnements peuvent être fuivis plus facilement par un lecteur moderne
que ceux de Iluygens. Mais comme phyficicn il ne peut pas être confidéré
comme étant Ton égal. Tandis que Huygens a toujours en vue les propriétés des
lentilles qui intéreffent fpécialement les obfervateurs, Barrov^r s'arrête longue-
ment à toutes fortes de conllruétions qui fe rapportent à des rayons faifant un
angle fini avec la normale à la furface réfringente ^) et ne donne à la confi-
dération des lentilles que quelques pages vers la fin de fon livre. Il efl: vrai que ,
comme nous l'avons dit, il en détermine les foyers et qu'il énonce une règle
générale qui apprend à conftruire l'image d'un point lumineux fur l'axe.

Cette règle de Barrow, qui lui avait été communiquée par un de fes amis 5») ,
peut être exprimée comme il fuit :

Soient L le point lumineux fitué fur l'axe de la lentille. A, et A^ les points
d'interfeélion de cette ligne avec la première et la féconde furfaces, C, et C^, les
centres de courbure de ces furfaces, A,B,, A,B,, C,D, et C^D, des perpendicu-
laires à l'axe , fituées dans un même plan. Tirez une ligne droite quelconque par
le point L et foient ce Qi fi les points d'interfeftion de cette ligne avec A.B, et
CjD,. Prenez enfuite fur C,D, un point y tel que C,y = C,/3 : n («étant l'indice
de réfraftion) et joignez a, et y. La ligne ainfi obtenue coupe la droite A,B, en
un point è et la droite C^D^ en un pointe. Si, fur la dernière ligne, on fait
Cjj; ■=. n.C^e, la ligne tirée par les points yj et ê déterminera fur l'axe la fituation
de l'image de L ^°).

^) Voici toutefois une de ces constructions (§ II de la „Lectio" XI, p. 75) qui mérite bien
d'être signalée et qui, en môme temps, peut servir d'exemple de la portée des méthodes de
Barrow: Soient, dans une section méridienne, C le centre d'une surface sphérique réfrin-
gente, et AC le rayon de la sphère qui a la direction d'un rayon incident arrivant au point
B de la surface. Déterminons sur r„axe" AC deux points F et G tels que AF : CF = w et
GF:CG = «, F se trouvant au dehors de l'intervalle AC, et G entre C et F. Décrivons
ensuite avec G comme centre un cercle qui passe par le point F. Alors, si le prolongement
de BC coupe ce cercle au point H , et si l'on prend sur l'axe, à partir du centre C, et vers
le côté du point F une longueur CJ == CH , le rayon réfracté passera par le point J.

Cette construction fait voir immédiatement que F est la position limite vers laquelle le
point d'intersection J tendra si le rayon incident se rapproche de plus en plus de l'axe, ce
que Huygens démontre (p. 33—35 du présent Tome) par un raisonnement assez laborieux.

9) Voir le § II de la „Lectio" XIV , p. 103.

'°) Outre cette règle générale Barrow donne au même paragraphe (p. 97 — 102) des con-
structions dift'érentes pour tous les cas qui peuvent se présenter. Ces constructions sont loin
d'être aussi simples et élégantes que la construction unique de la Prop. XX de Huygens.

XXII AVERTISSEMENT-PRRMIÈRE PARTIE-LIVRE PREMIER.

On comprend tout de fuite cette règle en remarquant que le réfukat ert
indépendant de l'inclinaifon initiale de la ligne L<a5 par rapport à l'axe, et que,
fi cette inclinaifon eft infiniment petite, on n'a fait autre chofe que de fuivre
pas à pas la marche d'un rayon lumineux ifTu du point L.

La conftruaion eft donc exade et parfaitement générale , s'étendant au cas
d'une épaifîeur finie de la lentille, mais elle a le défaut d'être bien compliquée,
ce qui provient furtout de ce qu'on a fait intervenir deux fois l'indice de réfradlion.
Huygens, au contraire, a eu le mérite de formuler dans la Prop. XX ^ une règle,
applicable, il eft vrai, feulement au cas d'une lentille d'épaifieur négligeable,
mais qui fait dépendre la fituation de l'image de celle de certains points fixes fitués
fur l'axe de la lentille, sans qu'il foit nécefllaire de fe fervir chaque fois de
nouveau de l'indice de réfraétion. Ainfi il a fait pour une lentille unique , de
faible épaiffeur, ce que Gauss et d'autres phyficiens ont fait pour un fyftème
optique quelconque.

C'eft grâce à cette forme donnée par lui à la détermination de l'image que
Huygens a pu arriver à la notion importante des lentilles équivalentes '), notion
qui a échappé à Barrow. Signalons encore la Amplification confidérable que
Huygens a atteint, au point de vue pratique , par l'introduélion du centre optique,
dont il fera queftion bientôt, et par la manière dont il fe fert de ce point dans le
cas d'une épaifl^eur négligeable de la lentille. Or, le traité de Barrow ne con-
tient rien relatif à ces fujets.

Une autre date importante eft celle de 1703, date delà publication de la Diop-
trique de Huygens, comme œuvre pofthume. A cette époque la détermination
des foyers et des images des lentilles nepréfentait plus aucune difiicuké aux phy-
ficiens. Pour le montrer nous citerons en premier lieu le théorème fuivant qu'on
rencontre dans la „Dioptrica nova" 3) (1692) de Molyneux : „As the différence

') Voir la p. 99 du présent Tome.

') Voir la p. 109 du présent Tome.

3) Voir, sur le titre complet, la note 11 de la p. 260 du T. X. En avril 1692 Huygens écrivit
(voir la p. 279 du T. X) à Fatio Duillier à propos de cet ouvrage : ,Je trouve qu'il" [Moly-
neux] «explique mieux les effects des Télescopes que jusqu'icy personne n'a fait. Au reste il
y a peu de ce que contient mon Traité sur cette matière". Ajoutons qu'on trouvera au § 3
(p. 826—844) du Quatrième Complément une critique détaillée de l'ouvrage de Molyneux,
où le sujet des foyers et des images est discuté à la p. 827.

AVERTISSEMENT-PREMIÈRE PARTIE-LIVRE PREMIER. XXIII

becween the diftance of the object and focus is to the focus or focal length; fo the
diftance of the object from the glass to the dillance of the refpeftive focus or
dillinct bafe from the glass" '*) ; où ces dernières expreflîons indiquent Timage.
En fécond lieu nous renvoyons à un article de Halley s) dans les „Phil.
Tranfaétions" de Novembre 1693 où, fans négliger l'épaifiTeur de la lentille, il
détermine la diftance de l'image à l'une des faces par une formule algébrique
unique qu'il applique à tous les caspoiïibles, en choififTant les fignes des gran-
deurs fuivant l'ufage moderne '^).

Il eft donc clair qu'ici, comme fouvent ailleurs, l'influence que les décou-
vertes de Iluygens auraient pu avoir fur le développement de la fcience a été
de beaucoup amoindrie et prefque anéantie par leur publication tardive; toute-
fois on ne doit pas oublier l'influence occulte, dont on ne faura jamais la
vraie étendue, que les communications par lettres à des hommes compétents et
les communications verbales, fans doutes nombreufes, à Londres et furtout à
Paris ''^ , ont pu exercer.

^) Si nous employons les notations de la note i de la p. 98 du présent Tome on a donc (/> — f):
: f=p : />', d'où la formule usuelle • "i- + "^ = "7^ se déduit aisément.

Le théorème est donné à la p. 42 de l'ouvrage de Molyneux pour le cas d'une lentille
biconvexe , et /> > /; mais aux pp. 48 , 63 et 68 les modifications nécessaires pour les autres
cas sont indiquées.
5) Voir aux p. 960 — 969 du Vol. XVII l'article : „ An Instance of the Excellence of the Modem
Algebra, in the Resolution of the Problem offinding the Fociof Optick Classes universally".
À remarquer que les „Foci" de Halley comprennent aussi bien les images que les foyers
proprement dits.

Voici , dans les notations de la note 2 de la p. 86 , la formule en question, arrangée pour
le cas d'une lentille biconvexe, oiip représente la distance de l'objet à la surface antérieure,
q celle de l'image à la surface postérieure:

n — I

«(R, + RO/'-^RxR.-C«-0/'^+Rx^

*^} Nous pourrions mentionner encore les „Fragmens de Dioptrique par Monsieur Picard",
oeuvre posthume qui parut en 1693 dans les „Divers Ouvrages de Mathématique et de Phy-
sique. Par Messieurs de l'Académie Royale des Sciences" (p. 375 — 412). Les régies pour la
détermination de l'image dans les différents cas y sont mises (p. 3 8 3) sous une forme qui, pour

lalentillebiconvexe,conduitimmédiatementàréquation:/)'=-^— j.-]-/. De même on y

trouve (p. 392—394) des règles pour la détermination des foyers, eu égard à l'épaisseur de
la lentille.
'') Comparez à ce propos le début du § 5 (p. 752) du premier Complément à cette Dioptrique.

XXIV AVERTISSEMENT-PREMIÈRE PARTIE-LIVRE PREMIER.

Images des points hors de Taxe optique. Centre optique. Relation entre les
diamètres de V objet et de rimage.

Jufqu'à la Prop. XXII (P- 1 1 0 Huygens s'eft borné à la confidération des points
lumineux fitués fur Taxe de la lentille; dans cette propofition et les deux fuivantes
il s'occupe de points qui fe trouvent à une petite diftance de cet axe , de l'image
d'un objet placé dans un plan perpendiculaire à cette ligne, et de la propriété
du centre optique '). La fituation de ce dernier point eft indiquée dans la
Prop. XXIII (p. 119 — 123) pour les différents genres de lentilles. Durefte,
dans les cas où l'épailTeur eft négligée, Huygens peut confidérer une ligne droite
tirée par le centre optique comme le chemin fuivi par un rayon qui traverse
la lentille fans fubir aucune réfraélion. De cette manière il arrive aifémcnt à
la Pfop. XXIV (p. 123) qui fait connaître la proportionnalité approximative,
alors déjà bien connue '') , des dimenfions de l'objet et de l'image à leurs
diftances à la lentille. Pour une 'détermination plus exaéle du rapport de ces
dimenfions le centre optique ne pourrait fervir, puifque la correélion à apporter
au rapport des diftancesk ce point, pour en déduire celui des dimenfions de l'objet
et de l'image , efl: du même ordre de grandeur que quand on prend par exemple
les diftances au milieu ou aux faces de la lentille, c'ell-à-dire, de l'ordre du
rapport de l'épaifTeur aux rayons de courbure. Huygens le fait bien , et il indique
le moyen d'arriver à une meilleure approximation en fe fervant du point V de la
Fig. 97, p. 124. Il efl: clair qu'en confliruifant de même un point U, qui divife
LR dans la même proportion que LD efl: divifée par le point V, le rapport des
dimenfions fe trouvera égal à VH : UE 3) et, en effet, ce rapport repréfente le
groffiffement avec une approximation qui vajufqu'au carré de l'épaifTeur. Or,
comme nous l'avons indiqué dans la note 4 de la p. 124, la détermination précife

') Cette propriété aussi se retrouve dans la „Dioptrica nova" de Molyneux; voir les p. 25 — 28
de cet ouvrage.

■") Elle avait déjà été énoncée par Hérigone en 1634 dans le Tome V de l'ouvrage cité dans la
note 4 de la p. 202 de notre T. I. On y lit à la p. 155 comme Propos. XVII : „Diametri pic-
turœ & rei visa; eandeni fere inter se habent proportionem quam earum distantia; à lente."

3) C'est-à dire, dans les notations delà note 3 , p. XXII , VH : UE = (^^ + ^„ ^'^^ ^ d\ :

■ AVERTISSEMENT-PREMIÈRE PARTIE-LIVRg ftŒMtÈtLr"'"" ' *XXV

des fommets des triangles IVG et KUF n'aurait préfenté aucune difficulté à
Huygens. Si en conféquence cela lui avait paru défirable, il aurait pu donner la
mefure précife dugroflifîementde l'objet par la lentille, et la méthode fuivieaurait
été celle de Temploi des points nodaux introduits en 1845 par Mofer et Lifting^).
En effet, le fommet du „trianglé formé derrière la lentille" n'efl: autre que l'un
de ces points et la conftruétion du point V en donne la pofition approximative.

' ' '' Indice de réfra&îon relatif.

Dans la Prop. XXV (p. 1 25— 129), qui efl: publiée ici pour la première fois
Huygens énonce la règle pour la détermination de l'indice de réfraftion relatif de
deux milieux. Elle y efl: bafée fur l'obfervation qu'une plaque plan-parallèle
interpofée entre deux corps tranfparents ne change pas la direélion dans laquelle
un rayon donné pénètre dans le fécond corps. En partant de cette obfervation
Huygens peut démontrer facilement que l'indice relatif ell égal au quotient des
indices des deux corps par rapport à l'air s). Plus tard Huygens a écarté du
manufcrit de la Dioptrique cette propoficion; fans doute parce qu'alors il pré-
férait renvoyer, là où il avait befoin de la règle, c'efl:-à-dire à l'occafion de
la confliruétion de lentilles propres à la vifion fous l'eau *^), au „Traité de la
lumière", où elle efl: déduite à l'aide des principes de la théorie ondulatoire de
la lumière.

^ Stru&ure de PœiL Lentilles pour les myopes et les presbytes. Lentilles pour la

vifion fous Te au.

Vers la fin du Livre que nous venons d'analyser, Huygens s'occupe (p. 129 —
135) de la fl:ructure de l'œil et de la théorie de la vifion, fujets fur lefquels

*) Voir l'ouvrage de J. B. Listing: Beitrag zur physiologischen Optik. Gôttingen, 1845,
p. 10. Après y avoir défini ses points nodaux, Listing ajoute: „Die beiden Punktewelche
Moser (Repertorium der Physik, Bd. V. S. 372) ersten und zweiten Hauptpunkt des Auges
nennt, sind von den durch Gauss eingefùhrten Hauptpunkten wesentlich verschieden und
mit den hier sogenannfen Knotenpunkten identisch". n 'SJp '3»qnî» Oiii Tioi;

S) La règle était connue de Picard (voir la p. 398 de l'article cité'(5atîSlâ'îfOte (îdeîâp. XXIII).
En se basant sur elle il démontre que „la refraction qui se fait de l'air à l'eau au travers d'un
verre mince quoy que courbe, est tout de inesnie que si elle se faisoit immédiatement de l'air
à l'eau."

O Voir les p. 139 — 141.

4

XXVI AVERTISSEMENT-PREMIÈRE PARTIE-LIVRE PREMIER-APPENDICES.

nous préférons revenir plus loin à l'occafion de quelques pièces d'une date pofté-
rieure. Enfin il conclut en donnant (p. 135 — 1 41) des règles claires et précifes
pour trouver les formes des lentilles „qui portent fecours aux yeux des vieil-
lards et des myopes" et qui „permettent de voir clairement aux perfonnes placées
fous Teau'*.

Ici encore il y a occafion de comparer les folutions fournies à un même pro-
blème par Huygens et par Barrow, qui , lui auflî , a donné des règles pour la con-
ftruftion des verres pour les myopes et les prefbytes ^). Or, Barrow a cru devoir
avoir recours au cas particulier „de l'image exade", dont nous avons parlé plus
haut ^). En effet, il eft clair qu'une lentille, comme celle deffinée par Huygens à
la p. 65 du préfent Tome, peut être utile aux prefbytes puifqu'elle agit de telle
forte que les rayons qui proviennent du point B femblent provenir du point A.
Et de même la lentille repréfentée à la p. 64 peut être profitable aux myopes.
À part cette reftriélion de Barrow, la folution de Huygens pour les prefbytes ne
diffère pas, en principe, d'avec la fienne. Pour Huygens, comme pour Barrow,
il s'agit de faire paraître l'objet qui fe trouve en un lieu donné (le point C de
la fig. ICI , p. 137) en un autre lieu (le point B de cette même figure) plus con-
venable au prefbyte. Mais comme Huygens n'attache pas d'intérêt ici à avoir
affaire au cas de l'image exafte et qu'il pofl^de la notion des lentilles équivalentes,
fa folution peut être bien plus fimple, puifque pour lui il ne s'agit que de trouver
la diftance focale; après quoi une lentille de fabrication facile , planconvexe ou
biconvexe à courbures égales, peut être choifie. Pour les myopes, au contraire,
la folution de Huygens a pour,|)ut de projeter les objets qui fe trouvent à l'infini
fur un plan fitué à la plus grande difl:ance à laquelle le myope „voit dillinétement
un objet qu'on approche de lui"; ce qui ne ferait pas poffible fi on voudrait fe
fervir du cas de l'image exaéle.

*) Voir les p. 102—103 de l'ouvrage mentionné plus haut à la p. XX.

OVoir la p. XVIII de cet Avertissement. La construction suivant Barrow (p. 102 de son
ouvrage) des lentilles qui se trouvent dans ce cas est différente de celle de Huygens, mais
elle conduit au même résultat. Il est remarquable qu'il y ait encore une troisième con-
struction très simple qui mène au même but. C'est celle qui est communiquée par de Sluse
à Huygens dans sa lettre du 4 octobre 1657 , p. 63 du T. II.

Ajoutons encore, pour éviter des malentendus, que les exemples numériques ajoutés par
Barrow sont basés sur une autre valeur de l'indice de réfraction du verre que celle dont
Huygens s'est servie. Tandis que Huygens suppose «=|, Barrow prend « = 4 (voir la p. 96
de son ouvrage). 3 ^ ^

AVERTISSEMENT-PREMIERE PARTIE-LIVRE PREMIER-APPENDICES. XXVII

appendices au premier Livre. Arcs-en-ciel

primaire et fecondaire. Détermination des rayons de courbure d'une lentille donnée.

Points de concours des rayons parallèles après deux

ré f rallions et une réflexion aux furf aces d'une lentille. Points de confufion.

La portée de l'Appendice I , qui conftitue la leçon primitive du début du
Livre I, a été indiquée h la p. XIV. De même pour les Appendices III, IV,
V et VII il fuffit de renvoyer refpeélivement aux notes 6, 7, 2 et 3 des
p. XIV— XV.

Les Appendices II, VIII et IX traitent de l'arc-en-ciel. Ici on peut de nouveau
comparer le travail de Huygens à un travail analogue qu'on trouve aux p. 83 — 85
des „Lcâ:iones Opticae" de Barrow. A cet effet nous nous référons à la figure de
la p. 149 du préfent Tome où la ligne brifée PFDKO repréfente le chemin fuivi
par un rayon de foleil dans la goutte d'eau fphérique. Or, Defcartes avait fait la
remarque que les rayons qui produifent le phénomène de l'arc-en-ciel font ceux
pour lefquels l'angle ORP = NKO fe trouve dans le voifinagc de fa valeur maxi-
mum , puifqu'alors la lumière elt plus concentrée dans la direction OK que dans
toute autre qui en diffère fenfiblement et que par fuite l'angle NKO repréfente
le demi-diamètre de l'arc-en-ciel. Il ne s'agit donc que de trouver la valeur maxi-
mum de cet angle. Defcartes y avait réuffi en calculant une table qui en donne
les valeurs pour dix-neuf valeurs différentes du rapport de GF au rayon de la
fphère 3). Huygens dans l'Appendice II commence par démontrer qu'on a
OKN = 2DAB ^); enfuite, par une belle application de la règle de Fermât
pour les maxima et minima, il trouve la valeur dé AG s) pour laquelle AL devient
un minimum et, par conféquent, l'angle DAB un maximum qu'on peut cal-
culer à l'aide des valeurs des angles MAF et FAD, dont la détermination ne
préfente plus de difficultés. Enfin il s'occupe du problème inverfe ^') , celui de
déterminer l'indice de réfraélion , le diamètre de l'arc étant fuppofé connu.

La genèfe de la folution rapportée par Barrow eft plus compliquée. Dans une

3") Comparez la note 4 de la p. 147 du présent Tome.
*) Voir la p. 147.

S) C'est-à-dire , AG = \/^^ AM ; voir la p. 1 49.

'') Voirlesp. 150—153.

XXVIII AVERTISSEMENT-PREMIÈRE PARTIE-LIVRE PREMIER-APPENDICES.

lettre datée du 24 nov. 1667 '), de Slufe fit favoir à Oldenburg, le fecrétaire de
la Société Royale de Londres, que, fi la théorie de Defcartés était jufte, il pourrait
aifément déterminer pour un liquide quelconque le diamètre de l'arc-en-ciel qui
lui appartient. A cet effet il fuffirait de faire tomber des rayons parallèles fur une
fphère de ce liquide, enfermée dans du verre, ce qui ne ferait pas de différence
fenfible, et d'obferver la partie de la furface poftérieure, illuminée par dedans.
L'angle fous lequel cette partie efl: vue du centre de la fphère ferait égal au femi-
diamètre de l'arc-en-ciel. De plus, pour un indice de réfraélion donné, il favait
conftruire cet angle , et le problème était plan ^).

Barrow, ayant reçu communication de cette lettre par Oldenburg 3) , ne man-
qua pas d'entreprendre la folution du problème. Or, il efl: clair d'abord que
l'angle mentionné par de Slufe n'efl: autre que le double de l'angle BAD de la
figure de la p. 149 dans le cas où cet angle a fa valeur maximum. Il s'agifl^ait
donc de trouver les conditions de ce cas. Alors, évidemment, l'idée ingénieufe
eft venue à Barrow que, pour que ce cas fe préfentât, il fuffifait que le
point D coïncidât avec le point de la caufl:ique pour lequel FD efl: la tan-
gente ^^3, c'efl:-à-dire , avec la limite du point d'interfeélion avec un rayon
voifin; limite que Barrow favait confl:ruire pour un rayon quelconque s). C'efl:,
en effet, fur ces deux principes que la folution et la démonftration, entièrement
géométriques, de Barrow font fondées. D'ailleurs fa corifl:ruâ:ion efl: identique
avec celle de Huygens, puifque, comme celle-ci, elle revient à égaler GA à

V

n^— I

-.AM^.

0 Elle a été reproduite par le Paige au N°. 83 de sa publication de la Correspondance de René
François de Sluse , citée dans la note i , p. 493 du T. VI.

') C'est-à-dire , résoluble à l'aide du compas et de la règle.

3) Voir le § XIV de la „Lectio XIl" des „Lectiones optiez" (p. 84), o.:i l'on lit: ^Exliinc
apparet (id quod ab eximio D. Slusio monitumamicus mihi communicavit)potuisseCar-
tesium sine tabularum confectione suum Iridis angulum determinare".

^) Pour s'en convaincre, on peut supposer qu'un rayon parallèle à MC exécute un mouvement
continu de gauche à droite. Alors au moment où l'arc BD atteindra sa valeur maximum le
point D sera stationnaire, c'est-à-dire, que deux rayons consécutifs se couperont dans ce point.

S) Voir le § IX de la „Lectio XII" (^p. 83;.

0 Voir le § XI de la môme „Lectio" (p. 83).

7) Comparez la note 1 2 , p. 166.

8) Voir les p. 408— 412 de l'ouvrage mentionné dans la note 6 de la p. XXIII de cet Aver-
tissement.

0 Consultez sur ces points et sur leur détermination expérimentale la note i de la p. 170.

AVERTISSEMENT-PREMIÈRE PARTIE-LIVRE DEUXIÈME. XXIX

Vers la même époque où Barrow élabora fes „Le6tiones Opticae", Huygens
attaqua, en mars 1667, dans les Appendices VIII et IX (p. 163 — 169), le
problème plus difficile de calculer le diamètre de l'arc-en-ciel fecondaire. Mal-
heureufement, quoiqu'il fût arrivé à une équation qui contient la véritable
folution, il n'a pas fu diftinguer entre celle-ci et les folutions faulTes introduites
dans le cours du calcul 7). Ainfi on peut dire qu'à cette occafion Huygens a
échoué devant le port.

Il nous relie encore à dire quelques mots fur les Appendices VI et X.
Huygens y confidère les rayons qui, après avoir pénétré dans une lentille, font
réfléchis à la furface poftérieure, et fubifl^ent une féconde réfraftion en fortantpar
la furface antérieure. L'Appendice VI (p. 157—159), de 1666, traite des
foyers de ces rayons, c'eft-à-dire, des points de concours ou de difperfion pour
des rayons de cette efpèce qui tombent fur la lentille dans la direélion de l'axe.
Huygens détermine ces foyers et fait voir comment on peut calculer les rayons de
courbure des deux faces de la lentille en mefurant la difliance à la lentille des deux
foyers en queflion qu'on obtient en faifant tomber fur la lentille des rayons paral-
lèles à l'axe arrivant alternativement de l'un et de l'autre côté. Ces deux problè-
mes ont été traités d'une manière analogue dans les „Fragmcnts de Dioptrique"
de Picard ^) fous l'en-tête „Des foyers qui fe font par reflexion & par refra(5tion
tout enfemble" et il eft probable que cette coïncidence n'efl: pas accidentelle.

Dans l'Appendice X (p. 170 — 17O, de 1690, Huygens s'occupe de deux
autres points remarquables qui fe préfentent dans les fyflèmes de ces mêmes
rayons et qu'il appelle les points de confufion ^'). Ce font les points où l'objet
coïncide avec fon image formée après les deux réfraétions et la réflexion à la
furface portérieure. Après en avoir calculé la fituation il montre comment on
peut fe fervir de ces points pour trouver les rayons de courbure de la lentille.

Livre deuxième: De la grandeur apparente des objets vus
par réfraction.

Définition de Huygens du grojjîjjement d'un fyfîème de lentilles.
Cas d'une feule et de deux lentilles.

Le Livre deuxième du „Traitéde la réfraétion et des télefcopes" efl: confacré à

XXX

AVERTISSEMENT-PREMIÈRE PARTIE-LIVRE DEUXIÈME.

rétude de l'agrandifTement ou de la diminution des objets, produit par un fydème
optique placé devant l'œil, c'eft-à-dire , à la détermination du rapport entre les
grandeurs angulaires fous lesquelles un objet eft vu avec et fans le fyftème
réfringent. En confidérant ce rapport, qu'il trouve en comparant les dimenfions
que préfente dans les deux cas la projeétion obfervée de l'objet fur un plan fixe,
par exemple fur un plan qui coïncide avec une des furfaces réfringentes, Huygens
a fuivi une idée heureufe qui lui a permis d'arriver à des réfultats d'une grande
généralité. C'eft: de faire le calcul pour une pofition quelconque de l'œil fans fe
préoccuper de la queftion de favoir fi, dans cette pofition de l'œil, l'objet ou
l'image peuvent être vus diftinélement ^). En effet, en fe figurant l'œil réduit à un
point unique, on peut définir la grandeur angulaire comme étant l'angle entre les
lignes tirées vers ce point à partir des extrémités de l'objet ou de l'image. Du
refte, Huygens jufiifie ce procédé en faifant remarquer'^) qu'on peut toujours
obtenir une vifion diftinéte, fans que la grandeur apparente en foit changée, en
plaçant tout près de l'œil un diaphragme à ouverture très étroite, ou bien une
lentille convenablement choifie.

Cela posé, et en fuppofant toujours que l'œil fe trouve fur l'axe optique d'un
fyfl:ème centré et que l'objet foit placé en un point de cet axe dans. un plan qui
lui eft perpendiculaire, Huygens parvient à exprimer l'agrandifl^ement ou la dimi-
nution par les rapports de certaines diftances, comptées fuivant l'axe du fyftème.
Ces confidérations, dans lefquelles, bien entendu, les grandeurs apparentes font
toujours fuppofées infiniment petites, fe rapportent à des pofitions de l'œil et de
l'objet, arbitrairement choifies fur l'axe; elles font favoir aufli fi l'objet fera vu
dans la fituation droite ou renverfée.

Pour une lentille convexe le problème eft réfolu dans les Prop. II (p. 175) et
III (p. 181), où l'œil eft fuppofé fe trouver fucceflîvement entre la lentille et fon
foyer et au delà de la diftance focale. Enfuite dans la Prop. IV (p. 185) Huygens
s'occupe du cas d'une lentille concave et dans la Prop. V (p. 187—197)
de l'agrandifiement ou de la diminution produit par une combinaifon de deux
lentilles.

0 D'ailleurs cette conception était familière aux contemporains de Huygens. On la rencontre
dans r„Optica Promota" de Gregory (1663), comme dans la ^Dioptrica nova" de Moly-
neux (1692) (comparez la note 5 de la p. 83 1 du présent Tome). On la retrouve même, en
principe, déjà dans la „Dioptrice" de Kepler (i 61 1) aux Prop. XXC— XXCIV, p. 35—42.

=)VoirlaProp. I, p. 173— 175, et l'Appendice I, p. 235—236.

AVERTISSEMENT-PREMIÈRE PARTIE-LIVRE DEUXIÈME. XXXI

Une propofttion générale de Huygens^ valable pour unfyftème
centré quelconque^ pourvu que les indices du premier et du dernier milieu

foient égaux.

Tandis que pour plus de détails fur les propofitions qui la précèdent au Livre
deuxième, nous pouvons renvoyer au texte 3), il nous faut particulièrement
appeler Tattention fur la Prop. VI (p. 199), qui doit être confidérée comme un
des plus beaux théorèmes de la phyfique théorique et qui contient le germe d'un
développement ultérieur de la plus haute importance.

Dans cette propofition Huygens nous apprend que la valeur de Tagrandifle-
ment ou de la diminution, pris dans le fens qu'il y attache, ne change pas fi
l'on échange entre elles les pofitions de l'œil et de l'objet; ce qu'il a pu exprimer
en difant que la grandeur angulaire fous laquelle un objet eft vu à travers un
fyftème optique refte la même fi l'on intervertit les pofitions de l'œil et de l'objet;
puifque, en effet, l'objet efl: vu en l'abfence du fyftème optique sous la même
grandeur dans les deux cas.

Huygens énonce ce théorème pour un nombre quelconque de lentilles;
mais en vérité il s'applique également à chaque fyftème centré de furfaces
fphériques réfringentes dans lequel le premier et le dernier milieu ont le
même indice de réfraétion 4). On peut même arriver à la théorie générale d'un
tel fyftème en fe bafant fur la relation découverte par Huygens. C'eft ce que
Boiïcha a fait reftbrtir dans un article de 1 896, dans les archives néerlandaifes 0,
d'où nous avons emprunté quelques remarques dans la note i de la p. 198 du
préfent Tome. Il convient d'y ajouter encore ce qui fuit.

Confidérons un fyftème quelconque centré qui eft traversé par des rayons
lumineux dont tous les points fe trouvent à une diftance infiniment petite de Taxe
et font contenus dans un même plan paiTant par cet axe. Soit O un point fixe
quelconque de l'axe, et introduifons deux axes de coordonnées , l'un OX coïnci-

3) Voir toutefois au sujet de Thistoriquc de ces propositions les p. XLIII— XLIV de cet
Avertissement.

4) On trouvera dans la note i, p. 198 du présent Tome, une démonstration, fondée fur la
considération directe de la marche des rayons dans un tel système où l'indice de réfraction
varie continuement.

5) Voir les p. 391—395 du T. XXIX de la V Sér.

XXXII AVERTISSEMENT-PREMIÈRE PARTIE-LIVRE DEUXIÈME.

dant avec Taxe du fyftème et dirigé dans le fens de la propagation de la lumière,
l'autre OY perpendiculaire à OX. Alors chaque rayon lumineux qui entre dans
le fyftème, ou qui en fort, peut être déterminé par deux grandeurs, à savoir Tangle
infiniment petit (p qu'il fait avec OX et la diftance ;; de l'origine O du point
d'interfeftion du rayon avec OY; ces deux grandeurs pouvant avoir l'une et l'autre
le figne pofitif ou négatif, où nous prendrons pour direélion pofitive des cp celle
qui correfpond à une rotation par un angle droit de OX vers OY.

Si alors 9, et jji font ces „coordonnées" pour un rayon incident, et 9^ et»;,
celles du rayon émergent correfpondant, on démontre facilement qu'il doit y
avoir deux relations de la forme:

où ^, b, c, d font des confiantes qui caraétérisent le fyftème optique et qui fuffifent
à en déterminer l'aftion.

Evidemment, fi ces confiantes pouvaient avoir toutes les valeurs pofïïbles, le
fyftème aurait quatre paramètres arbitraires et pour déterminer fon aélion dans
tous les cas il ferait nécefTaire d'introduire quatre points cardinaux indépendants
les uns des autres. Or, en réalité, un fyftème tel que celui que nous conlîdérons
maintenant, c'efl à-dire, dans lequel le premier et le dernier milieu ont le même
indice, produit un effet qu'on peut déterminer au moyen de trots points cardi-
naux, p. e. les deux points principaux et l'un des foyers. Il en résulte qu'il doit
exifter une relation univerfelle entre les coefficients a^b^ c, d. Cette relation,
qui a été découverte par Lagrange ')» ^ ^^ forme fimple

(2) ad — bc-= I.

Si on la joint aux équations (i), on peut trouver tous les théorèmes géné-
raux fur la réfradtion et fur la formation des images dans le fyftème fupposé.

0 Voir, dans les „Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres.
Année 1778. Berlin 1780, Classe de Mathématique", p. 162— 180, l'article: „Siir la Théorie
des Lunettes". À vrai dire la relation en question n'y est indiquée que pour chaque réfraction
en particulier; mais il est connu aujourd'hui que, quand cette relation est remplie pour une
série de transformations linéaires, elle l'est de même pour la transformation unique qui peut
les remplacer toutes à la fois. Ajoutons que dans le § 15, p. 176 de l'article cité, la relation
est donnée sous la forme ad—bc = ± i ; mais le double signe provient d'une erreur qui fut
corrigée par Lagrange à la p. 4 du Mémoire que nous aurons l'occasion de citer un peu plus
loin; voii la note 3 de la p. XXXLX.

AVERTISSEMENT-PREMIÈRE PARTIE-LIVRE DEUXIÈME. XXXIII

Ce qui précède, nous permet d'indiquer la portée du théorème de Huygens.
En effet, Ton résultat eft équivalent à celui qui fut obtenu par Lagrange; il donne
lieu à la relation (2) et inverfement peut en être déduit "). La téorie géné-
rale du fyftème optique peut donc auffi être obtenue par la combinaifon des for-
mules (i) avec le théorème de Huygens. Et c'est ce qui fut établi par BolTcha à
la place citée plus haut.

Tandis donc qu'il y a équivalence entre les règles de Lagrange et de Huygens,
on eft arrivé plus tard à des extenfions de ces règles à des cas plus généraux.
D'abord on a montré que fi les indices de réfraélion «, et «, du premier et du
dernier milieu font inégaux, il faut remplacer la relation (2) par ' '

(3) ^^~^^ — %''>

r»

auquel cas le théorème de Huygens prend la forme fuivante: Si y, efl: l'angle fous

*) Considérons deux points P et Q quelconques, situés à des distances infiniment petites de l'axe
OX et ayant pour coordonnées Xp et 3'p et Tq et Jq; la coordonnée Xq^ étant supérieure à x^.
Soient P<j et Qq les projections de ces points sur l'axe.

Il y a un rayon déterminé qui passe par P avant son entrée dans le système optique et
par Q après l'avoir parcouru. En effet , les conditions auxquelles un tel rayon doit satisfaire,
s'expriment par les équations: . ■ : •

lesquelles, combinées avec les formules (i) ^^^ texte, pehnettent de calculer ç»! , v, , <jPa > 7a«
On trouve:

_ ^^Qyp + ^3'p — yQ . ^ bxf 3'q + (jad — bc) :yp — a^(^
* bx-çX(^-\- dx^ — axq—c^ * bxpXq-\-dxp — axq — c ' .

Si dans la deuxième de ces équations on pose yp==^, yq = o, on aura l'angle j'q, sous
lequel un objet de la grandeur A, situé en P^, est vu quand l'œil se trouve au point Qq; seule-
ment , il faut changer le signe si l'on veut que /q soit positif quand l'image est droite et néga-
tifdans le cas contraire.

Pareillement — en remarquant que la marche des rayons peut être renversée — on peut
déduire de la formule pour <î>i l'angle yp sous lequel l'objet de grandeur ^sera vu du point
Pq. Il faut pour cela poser ^q = /^, rp = g dans cette formule sans qu'il y ait lieu de changer
le signe.

Les valeurs qu'on obtient, à savoir:

., ^ C^d— bc')h _ \. . h .,,tb

'" bxpXqA^dxp — axq—c'''^ bxpXq-\-dxp — axq — c'

satisfont à la relation : . ' "

yq:y^=ad—bc'^ t

ce qui nous fait voir que le théorème de Huygens (yp^^Q) et celui de Lagrange (ad — bc= i)
reviennent au même.

XXXIV AVERTISSEMENT-PREMIÈRE PARTIE-LIVRE DEUXIÈME.

lequel on voit un objet quand cet objet fe trouve dans le dernier milieu et l'œil
dans le premier, et -y, l'angle correfpondant après invertiiïemcnt de l'objet et de
l'œil, on aura:

(4) r '' «iri=»a7^0;

théorème qui équivaut à Ton tour à la relation (3) '^).

Enfuite on peut abandonner la reftriélion que le fyftème doit être fymétrique
autour d'un axe, et confidérer au lieu de cela une diftribution quelconque de
matière tranfparente, en fuppofant feulement qu'en chaque élément de volume
cette matière foit ifotrope, et que, par conféquent, fes propriétés puifTent y être
caraélérifées par un feul indice de réfraélion n. Dans cette théorie on peut
admettre auffi bien des changements continus de cet indice d'un point à un autre
que des tranfitions brufques à des furfaces de réparation de différents milieux;
dans le cas le plus général les rayons lumineux fuivront des lignes courbes qui font
brisées aux points où elles traverfent de telles furfaces. Soient maintenant A^
et Aj deux points quelconques, tels pourtant qu'il n'y ait qu'un feul rayon allant
de Ai vers A, ou vice verfa, c'eft-à-dire tels que A^ ne foit pas „une image"
de Aj. SoitL ce rayon et plaçons en A^ et en A, deux portions de plans infiniment
petites ^o-j et dc^ dont les normales font les angles aigus h^ et ô^ avec la direélion
de L en A^ et en A^. Concevons le cône de rayons partant de A^ et atteignan tles
points de la circonférence de d<r^\ foit d^a^ l'ouverture de ce cône à fon fommet
Aj. Si, pareillement, un cône de rayons à ouverture ^w,,i{ru du point A,, s'étend
fur l'élément d<r^ après avoir traverfé le fyftème, et fi n^ et «, font les indices
de réfraétion pour les matières qui fe trouvent en A^ et en A^, on aura

n\ cos 9i d(r^ d<ji^ = n\ cos ô^ dcr^ d(ji^. (5)

Ce théorème a été énoncé il y a quelques années par Straubel 3), mais il avait

0 La relation découle immédiatement des deux dernières formules de la note i, p. 199. En effet,
les grandeurs v, et «^ peuvent être censées représenter toutes deux la hauteur de l'objet

dans les deux positions. On a donc alors: n/^ = — „/^\ ^ où (~^ = j', ,

0 Cela se déduit aisément de calculs analogues à ceux de la note 2 , p. XXXIII.
3) Voir la p. 115 de l'article: „Uber einen allgemeinen Satz der geometrischen Optik und
einige Anvvendungen", Physikalische Zeitschrift , T. IV , (1903),

AVERTISSEMENT-PREMIÈRE PARTIE-LIVRE DEUXIÈME. XXXV

été préparé et démontré pour des cas plus ou moins particuliers par plufieurs phy-
ficiens parmi lefquels nous pouvons citer Hamilton, Claufius et KirchhofF. Si
dans le cas d'un fyftème fy métrique autour d'un axe, on donne à d<r^ et d<r^ la
forme de cercles perpendiculaires à cet axe et ayant leurs centres fur cette ligne,
on en revient, en faifant pour le moment abstraftion du figne, à l'équation (4) ♦)
et pour le cas où //j = «, au théorème de Huygens. Seulement la partie du
théorème qui fe rapporte à la pofition droite ou renverfée dans laquelle l'objet eft
vu au travers du fyftème réfringent ne peut pas être déduite de la relation (5),
c'eft-à-dire du théorème de Straubel s).

On voit donc qu'il y a lieu de chercher un théorème général qui embraflTe les
deux parties que nous venons de diftinguer dans le théorème de Huygens. Et, en
effet, on peut établir pour un fyftème tranfparent ifotrope quelconque une for-
mule qui contienne des éléments linéaires et qui fatiffafte à cette condition; for-
mule que nous mentionnerons ici parce qu'elle montre l'étroite connexion exiftant
entre le résultat obtenu par Huygens et les théories modernes.

Concevons, à cet effet, de nouveau deux points quelconques non-conjugués
Ai et Aï et défignons encore par L le rayon lumineux qui les unit. Menons aux
extrémités de ce rayon les tangentes A^T, et A^T^, la première correfpondant
à la direction de Ai vers A^, et la féconde k celle de A^ vers A,. Soit enfuite V,
un plan quelconque pafFant par A^Tj, et foit AjPi une ligne de ce plan, per-
pendiculaire à AiTi; foit de même V, un plan quelconque paflant par A^T,, et
enfin A^P» une droite, fituée dans le plan V„ perpendiculaire à A,T,. Des points
fur les lignes AjPi et A, P, peuvent être déterminés alors par leurs diftances â,
ou Âj aux points Ai ou Aj, ces diftances étant prifes avec le figne pofitif ou négatif
fuivant que les points fe trouvent fur les lignes A,P, ou A.P^ ou fur leurs pro-
longements par Ai ou A^. D'une manière analogue on peut déterminer la
direftion d'une ligne fituée dans le plan V, ou dans le plan V^ et paflant par A,
ou A, par l'angle e, ou f,, fuppofé infiniment petit, qu'elle fait avec A,T. ou A,T,;
cet angle étant appelé pofitif fi la ligne dévie de AiT^ o\i de A,T, du côté de
A, P, ou de AjPj, et négatif dans le cas contraire. iiioh t. "i .J\. -j -if; -

Cela pofé, confidérons un point lumineux fitué fur A,P. et déterminé par la

*) Puisque, en posant ô, = 0^ = o, et en identifiant les éléments da^ et da^ à de petits cercles

dont l'aire égale h\n = h%n^ on aura ^m, = y* ti et dw^ = ytn-, donc «1^1 = + «» r».
') À cause de l'ambiguïté du signe , signalée dans la note précédente.

XXXVI AVERTISSEMENT-PREMlèRE PARTIE-LIVRE DEUXIÈME.

coordonnée infiniment petite h,\ repréfentons nous enfuite le rayon lumineux qui
fe propage vers le point A„ et projetons fur le plan V, la tangente en A, de ce
rayon; foit g, l'angle infiniment petit formé par cette projeétion et A,T,. Récipro-
quement, un rayon ilTu d'un point lumineux fitiié fur A,P^ à la dillance h^ de A,,
arrivera au point A, dans une direétion déterminée, et la projection de cette
direftion fur le plan V-, y fera un certain angle f , avec la tangente A.T,. On peut
démontrer que les grandeurs que nous venons d'introduire fatiffont à l'équation

(6) n, h, e, =:n^h,e^ 0-

Or, cette équation, qui pour un fyftème centré où n,=zn^, amène immédiate-
ment, et fans ambiguïté de figne, le théorème de Huygens, suffit pour arriver à la
formule (5), et il apparaît que la formule (6), plus générale, a une forme bien
peu différente de celle du théorème de Huygens, dont la deuxième partie, celle
dans laquelle il efl: queftion de la pofition droite ou renverfée de l'image, revient
à la règle fuivante qui efl: évidente d'après la formule que nous venons d'indiquer:
Si i^i et h^ ont le même figne algébrique, il en fera de même de e, et e^.

Quant à la démonfl:ration des théorèmes généraux que nous avons cités dans ce
qui précède, elle repofe fur la notion de la longueur optique d'une ligne tirée
dans un fyfl:ème de matières tranfparentes, cette longueur étant définie par
l'exprefllon
ul mmur^èh h L=cfnds,

où 4s efl: un élément de la ligne et C une confiante choifie arbitrairement. On
peut pofer en principe que parmi toutes les lignes qui unifi^int deux points non-
-conjugués A, et A^ donnés, le rayon lumineux efl: celle pour laquelle L efl: un

*) Voir, sur cette formule et sur son extension à des milieux biréfringents, un article de notre
collaborateur M. H. A. Lorentz „Sur une formule générale de l'optique", Annali di Mate-
matica, Sér. 3, T. 20 (1913), p. 185- 192, et Archives du Musée Teyler, Sér.3,T. 2
(i9i4),p. 156 — 164. /yii\'Jiiii- ■

AVERTISSEMENT-PREMIÈRE PARTIE-LIVRE DEUXIÈME. XXXVII

minimum; cela suffit pour trouver tout ce qui a été dit. Nous n'infifterons pas
ici fur ce fait, mais il convient de faire remarquer que le principe, qui a été
énoncé pour la première fois et pour un cas fimple par Fermât =*), a une lignifi-
cation bien différente dans les deux théories de la lumière qui fe font difputé
fi longtemps la viftoire. Dans le fyllème de l'émifTion l'indice « cft proportionnel

à la vitelTe de la lumière v; on peut donc écrire L = jv^s, et le principe que

L devient minimum, n'efl: autre chofe que le principe de moindre aélion appliqué
au mouvement des corpufcules projetés par les corps lumineux. Dans cet ordre
d'idées les théorèmes généraux de l'optique fe rattachent à d'autres réfultats qu'on
déduit des principes fondamentaux de la mécanique; ils préfentent alors une
étroite analogie, par exemple, avec le théorème de Liouville, qui eft d'une fi
grande utilité dans les théories moléculaires modernes.

Si, au contraire, on fe place au point de vue de la théorie ondulatoire, il faut
tenir compte de ce que l'indice n ei\ inverfement proportionnel à la vitefie v. On
peut donc pofer :

L

ds

J V

et le principe en queftion fe confond avec celui du parcours dans un temps mini-
mum. Or, la manière la plus fimple dont on puifie arriver à ce dernier, pour les cas
généraux, confifte à fe repréfenter la propagation des ondes de la manière
enfeignée par Huygens. Il faut fe figurer que chaque point qui efl: atteint par le
mouvement lumineux, devient lui-même un centre de vibration fecondaire; en un
mot, il faut appliquer ce qu'on appelle communément le„principe de Huygens".
Ainfi non feulement Huygens a donné déjà en 1653, au commencement de
fa carrière fcientifique, le premier énoncé d'un théorème de grande valeur, mais
encore dans fon dernier chef-d'œuvre, fon Traité de la Lumière, il a expofé les
idées qui en ont permis la généralifation 3).

^} Consultez les pièces N°. 990 et N°. 992 aux pages 75 et 81 du T. IV et aussi la lettre de
Huygens à son frère Louis du 8 mars 1662, p. 71 du même Tome.

•'') Le théorème même du temps minimum n'a pas été deviné par Huygens. Tout au contraire,
quand dans son Traité de la Lumière (p. 39 de l'édition originale citée dans la note 8, p. 276
du T. IX) il parle de la propriété, découverte par Fermât, „qu'un rayon de lumière pour aller

XXXVIII AVERTISSEMENT-PREMIÈRE PARTIE-LIVRE DEUXIÈME.

L'application la plus frappante que Huygens ait faite de fon théorème fur l'in-
terverfion de l'œil et de l'objet fe trouve dans le troifième Livre du Traité de la
réfraâiion et des télefcopes ') , où il démontre que le groflifTement d'une lunette
eft égal au rapport du diamètre de l'objeélif à celui de l'anneau oculaire, c'eft-à-
dire, de l'image de l'objeétif formée par les autres lentilles. En effet, pour le
prouver, il fuffit de s'imaginer que l'œil qui, avant l'interverfion, fe trouvait au
même endroit que l'anneau oculaire ^') , foit tranfporté à la diftance quafi infinie,
où fe trouvaient les objets qu'on regarde par la lunette, et que l'objet occupe cet
anneau; alors l'image de cet objet occupera à fon tour l'objeélif et il eft clair que
le groflifTement (qui n'a pas changé par l'interverfion) fera égal au rapport des
deux diamètres qui font vus par l'œil d'une diftance fi grande que leur diftance
mutuelle peut être négligée.

Or, cette règle, découverte par Huygens, pour le grofTifl^ement d'une lunette
quel que foit l'arrangement des lentilles, pourvu feulement qu'il exifte un anneau
oculaire réel, conftitue un cas particulier des plus importants de la règle générale
fuivante pour le groflifTement produit par les inftruments optiques. Soient dit
diamètre de l'objedif d'un télefcope ou d'un microfcope, d' celui de ce qu'on
appelle maintenant la pupille de fortie, c'eft-à-dire , de l'image de l'ouverture de
l'objeétif produite par les autres lentilles du fyftème, i^ la grandeur angulaire fous
laquelle l'objet ferait vu direétement par un œil placé au centre de l'objeétif , et

d'un point à un autre, quand ces points sont dans des diaplianes difFerens, se rompt en sorte
à la surface plane qui joint ces deux milieux, qu'il employé le moindre temps", il considère
évidemment cette propriété comme un fait isolé, cessant d'être valable pour une surface
courbe de séparation. D'un autre côté il savait que, dans le cas où les points A, et Absout des
images exactes l'un de l'autre, les chemins divers que la lumière peut suivre pour arriver de
l'un de ces points à l'autre sont parcourus en des temps égaux et il a fondé sur cette propriété
une belle construction pour «trouver les lignes que requiert un costé du verre, lorsque l'autre
est d'une figure donnée .... qui soit faite par la révolution de quelque ligne courbe donnée";
voir les p. 1 1 3—1 1 8 de l'édition citée du Traité de la Lumière.

') Voir les pp. 255—257 et 261 et surtout la note i de la p. 256 du présent Tome.

*) Placer l'oeil en cet endroit n'est nullement nécessaire; mais puisque les lunettes sont sup-
posées par Huygens avoir été construites de manière que les rayons parallèles, qui y entrent,
redeviennent parallèles à la sortie, il est clair que le grossissement ne change pas avec la
position de l'oeil, puisque les dimensions de l'image formée sur la rétine restent invariables.
On peut donc, sans aucun inconvénient, pour le besoin de la démonstration, supposer que
l'œil est placé à l'endroit où l'anneau oculaire se forme. Comparez encore la Prop. XIII,
p. 233.

AVERTISSEMENT-PREMIÈRE PARTIE-LIVRE DEUXIÈME. XXXIX

h Tangle fous lequel il eft vu à l'aide de l'indrument quand Tœil fe trouve au
centre de la pupille de forcie ; on a alors

de force que le groffiflement eft donné par le rapport des diamètres àtx. d' . Cette
dernière règle a été énoncée pour la première fois parLagrange3),qui y attachait
beaucoup d'importance. En effet, Lagrange s'exprime à ce fujet en ces termes:
„Comme il y a en mécanique la loi générale des vitefTes virtuelles , par laquelle
on peut connaître Taugmentation de force produite par une machine , fans con-
naître la nature ni la conftruélion de la machine, mais par le fimple rapport des
vite (Tes fimukanées du point où eft appliqué la puifTance et du point auquel cette
puifTance eft tranfmife par la machine , de môme on peut dire qu'il y a en optique
une loi analogue, par laquelle, fans connaître la difpofition intérieure d'un
télefcope ou d'un microfcope, on peut juger de la force par le fimple rapport du
diamètre de l'ouverture de Tobjeétif au diamètre de l'ouverture de l'oculaire"
[c'eft-à-dire k celui de la pupille de fortie].

On voit quel charme avait pour Lagrange le théorème qu'il avait découvert.
Or, en ce qui concerne le télefcope, ce théorème était déjà connu par Huygens
et pour le microfcope il fe déduit très facilement du théorème de Huygens ^).

') Voir ses „Recherclies sur plusieurs points d'Analyse relatifs à diflTérens endroits des Mémoires
précédens", p. 3 — 1 2 de la „CIasse de Mathématique" des ^Mémoires de l'Académie Royale
des Sciences et Belles-Lettres depuis l'Avènement de Frédéric Guillaume III au Trône".
Année 1803. Berlin 1805.

■♦) Soient, à cet effet, h' l'angle souslequeU'objetest vu, sans l'intervention de l'instrument,
du centre de la pupille de sortie où l'œil est censé se trouver, à' la distance de ce centre à
l'objet et a la distance du centre de l'objectif à l'objet; alors le grossissement suivant la défi-
nition de Huygens égale h' '. h". Or, après l'interversion, l'oeil, placé à l'endroit où se trouvait
l'objet, voit la pupille de sortie sous l'angle d' : 5', et son image, qui se confond avec l'objec-
tif, sous l'angle ^: ^; on a donc d'après le théorème de Huygens:

h':h" = (^d'.ô-):^(riô>).
Mais on a évidemment :

h'''.h = ô:d\

et l'on arrive au théorème de Lagrange par la multiplication de ces deux proportions.
Ajoutons, que Huygens, dans la troisième Partie de la Dioptrique, donne une définition

XL AVERTISSEMENT-PREMIÈRE PARTIE-LIVRE DEUXIEME.

Il nous refte h dire quelques mots fur la manière dont Huygens a démontré fon
théorème et fur l'hiftorique de ce théorème. Dans fa démon ftration Huygens fe
borne aux cas d'une lentille unique et de deux lentilles; puis il ajoute fimplement :
„Et lorfqu'on veut confidérer trois ou plufieurs lentilles, on pourra donner une
démonftration femblable à celle qui précède". Du refte, la démonftration
Çp^ 201 — 207) revient à un calcul direét du groffîiïement dans les deux cas en
négligeant l'épaifleur des lentilles. Cette démonftration ne peut pas être confidérée
comme fatisfai faute, ni même, a caufe de cette dernière hypothèfe, comme
entièrement convaincante '). Elle n'oifre aucunement la beauté et Télégance
des procédés modernes. On n'en doit pas moins admirer la fagacité avec laquelle
Huygens a fu trouver un tel théorème avec les moyens dont il difpofait.

L'hiftorique du théorème eft bientôt faite. Le 16 déc. 1653 Huygens le commu-
nique -) à Kinner von Lôwcnthurn comme une des principales découvertes qu'il
fe propofe de publier bientôt dans fon Traité de la réfraélion et des télefcopes.
En feptembre 1669 3), il l'inclut parmi les anagrammes, envoyés à la Société
Royale de Londres, qui contenaient fes découvertes principales, dans la forme
fuivante: „Si oculus et vifibile invicem loca permutent, manentibus interpofitis
lentibus quotcunque, eadcm qua prius magnitudine, fimiliquefitu illud confpi-
cietur". Quand, enfin, le théorème eft publié en 1703, on ne fait pas en apprécier
la portée; il eft oublié bientôt, ou ignoré, et ce n'eft que dans les derniers

bien plus pratique du grossissement d'un microscope en mesurant ce grossissement parle rap-
port des angles sous lesquels l'objet est vu à l'aide de l'instrument et par un œil nu placé à la

; distance de la vision distincte.

Une autre application intéressante de son théorème par Huygens lui-même se rencontre
au § 17 de l'Appendice IX à la troisième Partie de la Dioptrique (^p. 656 — 657), où
il démontre que, lorsque dans un microscope à deux lentilles on intervertit l'oculaire
et l'objectif, le grossissement ne change pas, pourvu que dans les deux cas l'objet soit placé
de manière à rendre parallèles entre eux à la sortie du microscope les rayons émanant d'un
point de l'objet. Or, le raisonnement, dont Huygens se sert à cette occasion, s'applique égale-
ment au cas d'un système centré quelconque où l'on placerait l'objet alternativement à
gauche et à droite du système, mais toujours de manière que la condition que nous venons
d'énoncer soit satisfaite. En effet, si A et B représentent les points où l'on doit mettre l'objet
à gauche et à droite du système, on peut, puisque le grossissement ne dépend pas de la
situation de l'œil , placer d'abord l'objet en A et l'œil en B et ensuite l'objet en B et l'œil en
A et il faut alors, d'après le théorème, que le grossissement soit le même dans les deux cas.
') On pourrait même douter si Huygens aurait jugé son théorème applicable dans les cas où

l'épaisseur des lentilles est prise en considération.
»)Voirlap. 261 duT. I.

u') Voir la p. 487 du T. VI.

AVERTISSEMENT-PREMIÈRE PARTIE-LIVRE DEUXIÈME. XLI

temps qu'on a appelé rattencion fur son importance capitale et fur la place quMl
mérite d'occuper parmi les théorèmes généraux de la dioptrique ^).

Théorèmes Jur le grojjïffement d'une lentille unique , comme fon&ion des
di fiances entre la lentille^ r objet et Pœil,

Les Prop. VII (p. 207) et VIII (p. 219) ont refpeélivement pourfujetla
manière dont le groffiflement, produit par une lentille convexe ou par une lentille
concave, varie avec fa pofition quand l'objet et Toeil occupent des pofitions données
E et D. Il s'enfuit que dans le premier cas l'image peut être droite ou renverfée
félon les circonftances ; fi elle efl: droite lorfque la lentille fe trouve à mi-diftance
entre l'œil et l'objet, elle fera, pour cette pofition de la lentille, plus grande que
pour toute autre; fi elle eft renverfée pour cette pofition de la lentille, elle s'agran-
dira quand on déplace la lentille. Dans le cas de la lentille concave l'image eft
toujours^ droite et elle eft minimum quand la lentille fe trouve àmi-diftance.
Dans le cours du raifonndment Iluygens compare le grofliffement pour deux
pofitions (SK et /3 de la lentille également éloignées du milieu de la ligne DE;
il applique fon théorème fur l'interverfion de l'œil et de l'image et en conclut
que le grofllfiTcmcnt doit être le même dans les deux cas; „cn effet", dit-il,
„tranfporter la lentille de ce en (2 équivaut à laifljsr la lentille elle-même à fa
place, mais à faire changer de pofition l'œil placé en D et l'objet placé en E"
(p. 209).

Dans les Prop. IX (p. 226) et X (p. 222) Huygens confidère succeflîvement
l'influence fur le groflifl"ement du déplacement de l'objet et de celui de l'œil.
Par une application du théorème de l'interverfion, le fécond de ces problèmes
eft ramené immédiatement au premier où l'on demande le changement causé par
le déplacement de l'objet. Nous citons à ce dernier propos, en premier lieu le

4) Voir les deux derniers alinéas de la note 7 de la p. 504 du présent Tome et surtout l'article .
de J. Bossclia mentionné à la p. XXXI. Ajoutons quepar suite de Pinadvertance de Robert
Smith, que nous avons signalée dans la note citée, il était à craindre que dans les traités
modernes la priorité du théorème ne fût pas reconnue à son premier auteur. En effet, dans
l'ouvrage de M. James P. C. Southall „The principles and methodsofgeometricaloptics",
New-York, Macmillan, 1910, le théorème est mentionné à l'article 152 (p. 195). comme
si la priorité en appartenait à Smith.

6

XLII AVERTISSEMENT-PREMIÈRE PARTIE-LIVRE DEUXIÈME.

renverfement de l'image fe prodiiifant lorfqiie l'objet paiïe par le point qui eft
conjugué avec l'œil, la valeur numérique du groflîfTement augmentant indéfini-
ment tant que l'objet fe rapproche de ce point et diminuant après qu'il a été
dépafTé, et en second lien la grandeur invariable de l'image lorsque l'œil eft fitué
au foyer de la lentille.

Les trois dernières propofinons du Livre deuxième.

Le Livre deuxième du Traité de la réfraétion et des télefcopcs fe termine par
trois propofitions dont la première (p. 225 — 229), qui efl: avant tout une cri-
tique des idées de Defcartes fur la théorie du télefcope , fait connaître le groiïifPe-
ment d'une lunette dans l'hypothèfe 011 tout Tefpace entre l'objeélif et l'oculaire
ferait rempli d'une fubftance du même pouvoir réfringent que celui de ces lentilles.

Les deux propofitions qui fuivent font d'une date inconnue mais bien pofté-
rieure à celle des autres propofitions du Livre deuxième ^). La Prop. XII Cp- 23 1)
démontre que l'œil placé fur l'axe d'un fyftème centré de lentilles, qui fe trouve
entre lui et un objet rencontré par l'axe, apercevra toujours une partie finie de cet
objet, excepté dans le cas où l'œil ferait placé juftement au point qui eft: conjugué
avec celui où fe trouve l'objet. La Prop. XIII (p. 233) eft d'une grande utilité
dans la théorie des inftruments optiques, comme nous en avons déjà donné des
exemples dans la note 2 de la p. XXXVIII et dans le dernier alinéa de la note 4
qui commence à la p. XXXIX =). Elle dit, que, dans le cas où les rayons fortant d'un
point unique de l'objet font rendus parallèles par les réfraélions qu'ils ont fubies
dans un fyftème centré, la grandeur de l'image eft indépendante de la pofition
de l'œil 3).

') Voir à ce propos, quant à la Prop. XIII , la p. XLIV qui suit.

') Voir de même les pp. 445 et 457.

3) Voici encore comment Huygens a formulé en 1691, dans une annotation, p. 6^ du
Manuscrit G, qui nous avait échappé, les conséquences de ce théorème, combiné avec
la Prop. VI sur l'intervertissement de l'œil et de l'objet: „Si per quotlibet lentes te distincte
(hoc est radijs parallelis ad oculum venientibus) conspiciam,- quocunque intervallo a
lente mihi proxima discedens eadem niagnitudine semper te videbo,ettu meeademsem-
per niagnitudine, sed et œquale angmentum sit utrimque. Tu vero non semper distincte me
conspicies".

^) Voir la note i de la p. XXX. '

5) On peut comparer à ce propos les Prop. II et III de Huygens (pp. 175 et 18 1), qui se rap-

AVERTISSEMENT-PREMIÈRE PARTIE-LIVRE DEUXIÈME. XLIII

Hiftorique des fu jets traités dans le Livre deuxième.

Nous avons déjà donné à la p. XL l'hiftorique du théorème le plus important de
ce Livre. En outre nous avons fait obferver ^^ que la conception du groflilTemcnt
félon Huygens fe retrouve dans la „Dioptrice" de Kepler. Dans cet ouvrage
de 1611 le cas d'une feule lentille, convexe ou concave, eft traité d'une
manière générale qui cependant n'aboutit pas à des règles précifes pour la valeur
du rapport de la grandeur apparente à la grandeur vraies). Plus tard Gregory
dans fon „Optica Promota" de 1 663 ^') et Molyneux à fon inllar dans la „Dioptrica
nova" de 16927), font dépendre la détermination de cette valeur de celle du
lieu et de la grandeur de l'image de l'objet formée par la lentille, appelée „balis
dillinfta" par Molyneux. Quant à Barrow, il ne confacre au problème en qucftion
qu'une demi-page où il n'entre dans aucun détail ^).

Au fujet du cas de deux lentilles confidéré par Huygens dans la Prop. V
(p. 187 — 197) nous fignalons en premier lieu les cas fpéciaux dutélefcopek
oculaire concave (p. 193) ou convexe (p. 197) , dont la difcuflîon conftitue très
probablement la première démonftration rigoureufe du théorème d'après lequel
le groflifîement d'une telle lunette eft égal au quotient des diftances focales des
deux lentilles; théorème que Molyneux, encore en 1692 ^), quand il en donnait
fa démonrtration , pouvait appeler „the great Propofition afTerted by moft Diop-
trick W'riters,but hitherto/>ro'c;(?^by none (for as much as I know)",en ajoutant:

portent au cas d'une lentille convexe, avec les Prop. XXC „Omnis per convexam Icntem
erecta imago visibilis rei, est necessariô major justo", et XXCIV „Oculus, quo longius
extra punctum concursus abierit, hoc eversa videt minora" (pp. 35 et 40 de la „Dioptrice"),
et de même la Prop. IV de Huygens (p. 185), qui traite du cas d'une lentille concave avec la
Prop. XC VI „Visibilia per cavas lentes reprœsentantur minora" , p. 49 de la „Uioptrice".
•*) 11 s'agit de la Prop. 45 , p. 60 de l'ouvrage cité dans la note 6 de la p. 330 du T. IV.

7) Voir, au présent Tome, les pp. 827 et 831 du § 3 du quatrième Complément, où Huygens
examine le contenu de la „Dioptrica Nova".

8) Voir r„Exemp. V" de la „Lectio XV" p. 106 des „Lectiones optiez". Barrow s'y borne à
tracer dans deux figures la route des rayons partant de l'œil et réfractés par une lentille plan-
convexe pour montrer que l'objet peut être aperçu agrandi ou diminué selon les cas. Ensuite
il fait suivre: „Et hoc quidem pacto nulla non lens pro varia vel objecti vel oculi positione,
objecti speciem aliam exhibet ac aliam; nunc dilatât, tune contrahit; modo rectam dat, mox
inversam; subinde propiùs adducit, nonnunquam longiùs admovet. Singulos casus ad examen
facile rédiges hoc ad spécimen aciem mentis intendendo".

î*) Voir la note 1 2 de la p. 827 du présent Tome.

XL IV AVERTISSEMENT-PREMIÈRE PARTIE-LIVRE DEUXIÈME.

„they ofFer indeed Experiments and Methods of Tryal to confirm thc Truth
thercof, but proceed no further" '). Quant au problème lui-même, généralifé
pour le cas de n lentilles centrées fans épaifTeur , il a trouvé fa folution définitive
dans un beau théorème de Cotes, publié par Robert Smith, qui avait accès à
l'œuvre pollhume de Cotes mort en 17 16, dans Ton „Compleat syftem of
opticks" ="). Pour le cas de trois lentilles convexes on peut énoncer ce théorème
comme fuit: foient H la pofition de l'œil, A,B, C, celles des trois lentilles,
^, b^ c, leurs dillances focales, O la pofition de l'objet, alors le groflifTement eft
exprimé par le quotient :

fiO: [no

nA X AO nB X BO aC X CO . nA X AB X BO

abc ab

nAxACxCO gBxBCxCO nAxABxBCxCQ-i .

ac bc abc J '

on voit combien cette folution générale eft plus élégante que celle qui fut donnée
par Huygens à la p. 189 pour le cas de deux lentilles, et elle amène immédiate-
ment la Prop. VI de Huygens (p. 199) fur l'invertiiïement de l'œil et de l'objet.
Il nous relie encore à dire quelques mots fur l'hiftorique de la Prop. XIII (p.
232} d'après laquelle le grolfifTement eft indépendant de la pofition de l'œil toutes
les fois que les rayons partant d'un même point de l'objet font convertis à la fortie
du fyftème optique en un faifceau de rayons parallèles. Cette propofition utile eft
prcfque évidente; ce qui n'empêche pas qu'elle femble avoir échappé longtemps

')Molyneux (voir la p. 832 du présent Tome) cite à ce propos les travaux de Chérubin ,
Kepler, Galilée, Fabri et de Huygens lui-même qui avait annoncé à la p. 4 de son „Systema
Saturniuni" qu'il donnerait la démonstration du théorème dans sa Dioptrique. D'ailleurs
plusieurs passages de la Dioptrique témoignent quelle importance Huygens, ainsi que Moly-
neux, attachait à cette démonstration; voir les pp. 187 (note 4), 441, 747 et 757.

') Consultez la p. V de la préface et les p. 1 1 1— 1 14 du texte de l'ouvrage „A Compleat System
of Opticksin Four Books, viz. a Popular, a Mathematical , a Mechanical, and a Philosophical
Treatise. To which are added Remarks npon the Whole by Robert Smith LL. D. Professor
of Astronomy and Expérimental Philosophy at Cambridge and Masterof Mechanics to bis
Majesty", Cambridge, 1738. Le titre contient encore la devise suivante empruntée à la
p. 40 du Cosmotheoros de Huygens: „Quid tam mirabile, quam particulam corporis quan-
dam ita fabricatam esse, ut ejus opéra animal sentiat procul positornmcorporum figuram,
positum, motum quemlibet, distantiam; idque etiam cum colorura varietate, quo distinctius
ea dignosceret ? Nihil est , in quo manifestius Geometri» artem Deus exercuerit".

AVERTISSEMENT-PREMIÈRE PARTIE-LIVRE DEUXifeME-APPENDÎCES. XLV

à Tactention de Huygens. En effet, lorfque dans Ton „Traitéde la réfraftion et
des télefcopes" de 1653 ■> i^ confidère des difpofitions de lentilles où le théorème
efl: applicable, il démontre Tinvariabilité du groffiffement pour les pofitions diffé-
rentes de l'œil par d'autres raifonnements au lieu de citer le théorème en ques-
tion 3). Du relie, nous avons donné dans la note 9 de la p. 691 la raifonqui
nous fait croire que le théorème ne fut trouvé par Huygens qu'en 1690. Alors il
aurait pu le retrouver Tlans l'Optica Promota de Gregory de 1663 *).

Les Appendices au Livre deuxième.

Nous n'avons que peu de mots à dire fur les Appendices au Livre deuxième.
Pour le premier (p. 235) nous pouvons renvoyer Amplement à la note i de la
p. 172. L'„Appendice H" (p. 237) donne un théorème qui a été fupprimé par
Huygens après avoir incorporé Ton contenu dans laProp. Vil s). L'„Appcn-
dice III" (p. 238) a plus d'importance. On retrouvera le théorème qu'il
contient avec une autre rédaction dans la troifième Partie de la Dioptrique;
mais on en verra déjà des applications importantes dans la deuxième Partie, qui
traite de l'aberration fphérique *^). Ce théorème nous apprend que fi un prifme
fuffifamment aigu efl frappé par deux rayons incidents fitués dans un plan
perpendiculaire à l'arête et formant l'un et l'autre un angle très petit avec
la normale à la face d'entrée, l'angle formé par ces rayons fera le même avant
et après leur paflTage par le prifme 7). L' „ Appendice IV" (p. 240), enfin,

3) Voir les pp. 191 , 197, 223 et 261 du présent Tome.

'») Voir la Prop. 44, p. 58 de l'ouvrage cité où le théorème est énoncé comme suit : „Si cujus-
cunque visibilis, singulorum punctorum radii, ad paralielismum reducantur: oculo radios
parallelos recipicnti, semper videbitur visibilis imago, eodem angulo visorio, quo videtur
visibile ex vertice incidentiaî lentis, vel speculi. Apparetque imago infinité distans, & pres-
bytis distincta". Il est vrai que Gregory ne semble s'occuper dans cet énoncé que du cas d'une
seule lentille ou d'un seul miroir; mais il fait suivre immédiatement que le „visibile" peut être
lui-même une image; „Sit visibile quodiibet A 13, sive materia radians, sive imago ante,
sive post oculum"; ce qui rend la proposition applicable à un système centré quelconque.

S) Voir la partie en italiques de la p. 209 du présent Tome.

*^) Voir les pp. 341 et 343.

7) On retrouve le même théorème dans les „Fragmens de Dioptrique" de Picard, cités dans la
note 6 de la p. XXIII de cet Avertissement. Voir la ^Huitième Proposition", p. 383.

XLVI AVERTISSEMENT-PREMIÈRE PARTIE-LIVRE TROISIÈME.

conftitue une vérification numérique du théorème, déjà fouvent mentionné, de
l'interverfion de l'œil et de Tobjet. Elle fut faite plufieurs dizaines d'années
après l'invention du théorème et, comme il femble '), dans un moment de doute
fur fa vérité, fi glorieufement confirmée depuis par les méthodes modernes.

Livre troifième: Des télefcopes.

Origine des premières occupations de Huygens en dioptrique pratique.

11 eft certain que la première impullîon concernant les recherches fur la con-
ftruétion des lunettes et des microfcopes fut donnée à Huygens par fa découverte
des lentilles fphériques aplanatiques; c'ell-à-dire des lentilles qui n'impofent
aucune aberration fphérique aux rayons dirigés vers ou partant d'un point déter-
miné. Cette découverte efl: faite dans les derniers jours d'oélobre 1652 ^) et déjà
le 4 novembre Huygens s'adreiTe à van Gutfchoven pour lui demander toutes
fortes de renfeignements fur la fabrication des lentilles 3). La réponfe ne venant
pas afTez vite au gré de fon impatience, il lui écrit de nouveau le 10 décembre 4) ;
mais fans attendre la réponfe, qui n'arrive qu'en février 1653 s), ayant reçu quel-
ques données fur les lunettes qu'on fabriquait en Allemagne '^) , il ordonne à un
certain „Maître Paulus" de lui tailler des verres dans les proportions qu'il lui a
prefcrites. „Si ces gens d'Allemagne connaifllaient ces proportions, ou fi Maître

') Voir la su?cription: „Theorema ex dioptricis nostris a du' io liberatum," etc.

') Voir la lettre à van Schooten du 29 octobre 1652, où l'on lit (p. 186 duT. I):„Nunc
autem in dioptricis totiis sum, et nuperrime elegans inventum obtigit, cujus ope telescopiinn
niulto quam cetera perfectius me constructurum arbitrer, si modo artificem reperire qiieam
experientem. Illud autem inventum est, quod radios ad punctum unum tendentes ope super-
ficiel sph«ric3E ad aliud punctum propius vel longinquius cogi possc demonstravi, idque pr^e-
cise. Et consequenter quod venientes à puncto uno simili superficie inflccterelicet quasi à
puncto veniant propiori vel remotiori".

5) Voir les p. 191 — 192 du T. I.

^) Voir les p. 200— 201 du T. I.

5) Voir les p. 219 — 223 du T. I.

<^)Voirlap. 215 duT. I.

0 Voir la p. 31 8 du T. I.

AVERTISSEMENT-PREMIÈRE PARTIE-LIVRE TROISIÈME. XLVII

Paulus pofledait leur fcience de tailler curieufement", écrit-il , „je crois qu'on
pourrait faire quelque chofe de bien mieux" •*). Enfin deux années plus tard,
en février 1655^), le père Conftantijn Huygens peut donner une defcription
enthoufiafte des microfcopes et des télefcopes conftruics de leurs propres mains
par Tes fils Chriftiaan e: Conftantijn.

Or, tandis que pendant les premiers jours après fa découverte il fe promet beau-
coup de l'application des lentilles aplanatiques aux lunettes ^), il fembledéjà
avoir abandonné cet efpoir dans fa lettre à van Gutfchoven du 6 mars 1653 , où
il expofe des idées très juftes fur les télefcopes î>), et depuis ce temps il ne men-
tionne plus les lentilles aplanatiques comme pouvant contribuer confidérablement à
l'amélioration des lunettes, ni même des microfcopes. Au contraire, quand, plus
tard, il efiaie d'aff'ranchir les lunettes du défaut de l'aberration fphérique, il
recourt à d'autres moyens. Il fe propofe de compenfer l'aberration de l'objeélif
par celle de l'oculaire ^°^ , ou de conftruire un objeétif formé de deux lentilles
dont l'une compenfe l'aberration de l'autre ").

En effet, il efl: difficile de deviner la manière précife dont Huygens voulait
utilifer les lentilles aplanatiques dans fes télefcopes. Elles ne peuvent pas fer-
vir comme objeftifs, puifqu'elles ne font aplanatiques que pour un feul point
fitué à une difl:ance finie comparable à leur diftance focale. Et perfonne n'a
mieux compris que Huygens ne l'a fait plus tard "), que l'oculaire, s'il n'eft pas
confl:ruit expreflTément pour donner une grande aberration, comme dans le cas

8) Voir les lettres à van Schooten et à van Cutschoven, citées dans les notes 2 et 3. Dans la lettre
à van Gutschoven il dit, après avoir mentionné son invention : „Eo invento telescopia mnlto
quam antehac perfectiora efficere me posse existimo".

^) „Pr!Bcepta artis perspicillari^e tam laitiis accepi , quam cupide expectaveram , quaî si féliciter
efFecta reddere potuero, et lentes tam accuratas nitidasque expolire quam sunt eœquas in
tubo D. Edelherij insertas vidi, puto me, inventum telescopiorura quousque licet promovere
posse. Verum omnino tubis longioribus opus esse comperi, neque unquam fieri posse ut tubo
brevi multum augeantur visibilia simulque lucida conspiciantur, etiamsi Hyperboles aut
Ellipsis figuram vitra recipiant. Obscuritatem enim inducit augmentum necessario,eaque
obscuritas rursus amplitudine apertura lentis exterioris corrigitur; Verum nuUa? lentes
aperturam valde raagnam patiuntur, et Ilyperbolicaenihilo forte majorem quam sphsric»
propter incommodum colorum, hi namque inde proveniunt quod versus margines lentis
cujuscunque sensim majori angulo superficies inclinantur" (p. 2 24 du T. I).

'°) VoirlaProp IX, Part. II (p. 319— 331) et surtout la note 4 de la p. 331.

") Voir les Appendices VI~VI1I à la Part. II (p. 408— 432) et surtout la note 2 de la p. 409.

") Voir les mots espacés de la p. 341 du présent Tome*

XLVIII AVERTISSEMENT- PREMIÈRE PARTIE-LIVRE TROISIÈME.

de compenfation mentionné plus haut '3? "^ change que très peu l'aberration
fphérique caufée par Tobjeftif ; mais probablement il ignorait alors cette vérité.
En tout cas les manufcrits de Huygens ne donnent aucun renfeignement fur
l'emploi qu'il a voulu faire de fes lentilles aplanatiques.

Portée générale du Livre trotfième ^^Des îéîefcopes'\

On ne trouvera pas dans ce Livre troifièmc un traité complet des télefcopes.
Un tel traité, comme Huygens a eflayé de le formuler plus tard dans la troifième
Partie de la Dioptrique ^) aurait dû commencer néceiïairement par une difcuffion
des télefcopes, hollandais et keplérien, à deux lentilles. Or, la copie de
Niquet^), compofée vers l'année 1666, nous garantit que la Dioptrique de
1653 ne contenait fur ce fujet que ce que nous avons reproduit dans la première
Partie, c'eft-à-dire : dans le deuxième Livre la démonftration de la formulé du
grofliflement, dont nous avons déjà parlé '^) , et dans celui dont nous nous occu-
pons à préfent, la defcription de la manière d'„accommoder à un œil quelconque
une lunette compofée de deux lentilles données" (Prop. I, p. 245 — 247) et,
fi l'on veut, de la façon de redreffer à l'aide d'un miroir les images renverfées for-
mées par la lunette keplérienne (Prop. V, p. 265—269). Ainfi les Prop. î — III
de la troifième Partie (p. 443 — 460) , qui traitent exprefîement des deux genres
de télefcopes à deux lentilles , ont été écrites beaucoup plus tard.

Quant à une théorie générale, applicable aux télefcopes et aux micro fcopes,
Huygens ne pouvait pas en donner une, en 1 653 , puifque des trois bafes fur lef-
quelles il fonda plus tard une telle théorie: la première, l'aberration fphérique,
n'avait encore attiré fon attention que pafîagèrement s); la deuxième, l'aber-
ration chromatique , n'avait pas encore été rendue fufceptible d'un traitement
mathématique par les découvertes ultérieures de Newton; enfin la troifième,
l'influence de la difFraétion fur la netteté des images, lui était probablement
encore entièrement inconnue.

') Voir dans la note 3 de la p. 326 le dessin d'une lentille oculaire à fortes courbures destinée à

donner une aberration sphérique comparable à celle de l'objectif.
0 Voir les p. 435—51 1 du présent Tome.
3) Comparez la p. VII de cet Avertissement.
4)Voirlap.XLlII.
S) Voir la p. 83 du présent Tome et surtout la note 4 de cette page.

AVERTISSEMENT-PREMIÈRE PARTIE-LIVRE TROISIÈME. XLIX

On ne doit donc confidérer ce premier traité de Huygens fur les télefcopes que
comme une fuite de descriptions et de remarques concernant quelques combinai-
fons de lentilles dont l'auteur s'était fervi, ou qui lui femblaient préfenter cer-
tains avantages. Ce qu'on y trouve de plus remarquable, c'e(l,h notre avis,fa
préoccupation permanente de déterminer la pofition la plus favorable de l'œil de
l'obfervateur, fa découverte de la relation qui exifte entre le diamètre de l'anneau
oculaire et le groffiffement des lunettes, et la defcription de ce qu'on appelle
maintenant l'oculaire de Huygens.

Avant de finir nous devons encore avertir le leéleur de ce que les dates despro-
pofitions inférées dans ce troifième Livre font quelquefois plus ou moins incer-
taines. Nous avons déjà fait allufion à cette incertitude dans la note i de la
p. 252 à propos de la Prop. III qui traite de l'oculaire de Huygens. Toutefois il eft
fur que toutes ces propofitions exillaient vers l'année 1667 dans la forme que
nous leur connaifTons, et que du moins quelques unes des cinq propofitions que
nous reproduifons ont du faire partie du traité dont l'achèvement fut annoncé
à Grégoire de Saint-Vincent le 5 janvier 1654 '^).

Remarques fur les différentes propofttîons du troifième Livre.
Oculaire de Huygens.

La Prop. I (p. 245 — 247) a déjà été mentionnée 7). Elle apprend à appro-
prier la longueur de la lunette à la dillance des objets, et à la conftitution de
l'œil d'un obfervateur myope ^).

La Prop. II (p. 247 — 253) s'occupe d'un appareil employé par Scheiner pour
fes obfervations des taches du foleil î»). Il s'agit de projeter fur un écran l'image
du foleil qu'on peut obtenir en allongeant convenablement une lunette hollan-

*^) Comparez la p. IV de cet Avertissement.

7) Voirlap. XLVIII.

^) Voir sur le cas du presbyte la p. 775 du présent Tome.

î») Voir dans sa „Rosa Ursina", ouvrage cité dans la note 5 de la p. 194 du T. II, aux pp. 76 et
103 du Liv.II, lesChap. VIII. „Inimissionis telioscopics Machina, & eiusdem partes, atque
stereographica delineatio,& in usu impedimentis" et XXII. „MachiniE observatoriae ver-
ticalis eiusque partium explicatio uberior". Ajoutons que de tels appareils furent déjà

7

AVERTISSEMENT-PREMIÈRE PARTIE-LIVRE TROISIÈME.

daife ou keplérienne. Huygens calcule l'allongement néceflTaire et difcute la
grandeur de l'image et fa clarté.

Dans la Prop. III (p.253 — 259) Huygens décrit l'oculaire compofé de deux
lentilles convexes qui porte fon nom et qu'il préfère à une lentille unique parce
qu'il donne un champ plus étendu, une image moins déformée et que les défauts
d'homogénéité y font moins nuifibles ^). Huygens indique la raifon de ce dernier
avantage, mais il ne juftifie pas les deux autres. En effet, dans cette première
Partie de la Dioptrique il ne traite pas encore fyftématiquement de la gran-
deur du champ vifuel, comme il le fera plus tard dans la troifième Partie '*), et
la queftion du calcul de la diftorfion des images ne l'a jamais occupé qu'inci-
demment s). On doit donc admettre que l'expérience a eu la plus grande part
dans l'invention de fon oculaire; on en aperçoit la trace dans les valeurs
affez différentes qu'il a recommandées suceffivement pour les rapports entre
la diftance mutuelle des lentilles et leurs diftances focales ^'). D'ailleurs il ne fe
cacha pas de ce qui manquait encore à fa théorie lorfqu'il écrivit vers la fin de la
Prop. IV (p. 265) „Et certes, il ferait malaifé de donner à ce fujet" (c'eft-à-
-dire: les combinaifons différentes de lentilles oculaires) „des préceptes théo-
riques, parce que la confidération des couleurs ne peut être réduite à des lois
géométriques, et qu'il eft fort difficile de calculer d'une manière fatiffaifante

mentionnés par Kepler dans sa „Dioptrice" aux Prop. XXCIIX „Diiobus convexis pingere
visibilia super papyro situ erecto. Problema diu qutesitum" (p. 44) et CV. „Visibilia lente
cava & convexa pingere super papyro niajori quantitate, quàm per solam convexam, sed
eversa (p. 54)".

^) Consultez de plus à ce propos les pp. 152 et 242 du T. IV, écrites dans les premiers mois
après l'invention, en 1662, de son oculaire.

")Voir les Prop. II (p. 45 1—453), III(auxp. 459— 46i),IV(àlap.467)et V(p.469— 473).

3) Consultez à ce sujet le § 14 (p. 615 — 617) de l'Appendice VI à la troisième Partie et l'Ap-
pendice VII (p. 618—620) qui se rapporte à l'oculaire de Huygens. Comparez d'ailleurs les
p. XC — XCII de cet Avertissement.

^)Voir la note i de la p. 254. Inutile dédire que ces rapports ne satisfont pas, ou seule-
ment fortuitement, à la condition de l'achromasie ^ = — (/,-!- A) , où e représente la

distance mutuelle des lentilles, /^ et f^ leurs distances focales; condition qu'on impose
ajourd'hui à tous les oculaires à deux lentilles (voir p. e. Gleichen, Lehrbuch der geo-
metrischen Optik, Leipzig, Teubner, 1902, p. 339), mais qui n'avait pas de raison
d'être avant l'invention des objectifs achromatiques; en effet les mesures recommandées par
Huygens étaient successivement: /*, = 4a 5 fois/a;/i = 3/» (ou un peu plus);/, =4/;
(ou un peu plus); /, =4/1 (ou un peu moins), combinées toujours avece=^2f^ (ou
environ).

AVERTISSEMILNT-PREMIÈRE PARTIE-LIVRE TROISIÈME. LI

cette courbure des lignes droites qu'on voit fouvent près des bords des
lentilles".

Les Propofitions IV (p. 259 — 265) et V (p. 265 — 269) fe rapportent au
redrefTement des images, nécefTaire dans les lunettes terreftres. Suivant la
première de ces propofitions une troifième lentille convexe eft ajoutée aux deux
lentilles d'une kcplérienne; d'après la féconde un petit miroir plan eft placé
devant l'oculaire. Le premier de ces arrangements avait déjà été indiqué par
Kepler 5). Dans le texte et dans une pièce beaucoup plus récente que nous
avons ajoutée comme Appendice (p. 2^71), Huygens donne les diftances focales
des lentilles et leurs diftances mutuelles. Plus tard il a toutefois déconfeillé
l'emploi de cet arrangement au profit d'un autre à quatre lentilles, dû à Campani,
par lequel on obtient un champ de vifion plus vafte avec moins de diftorfion et
moins de couleurs aux bords des images '^).

Quant à l'emploi du petit miroir de la Prop. V, il a le défavantage de „faire
voir à notre gauche, ce qui fe trouve à notre droite", mais Huygens fait
fuivre que „c'eft là un faible inconvénient, pourvu qu'on en foit averti"; toute-
fois cet arrangement, auquel Huygens attacha longtemps une certaine impor-
tance 7), a été délaifl[e aujourd'hui , du moins fous la forme que Huygens lui avait
donnée. On l'a remplacé , là où il pouvait être utile , par l'emploi de fyftèmes de
prifmes à réflexion totale , amenant un redreflfement complet ^).

En parcourant ces trois dernières Propofitions III , IV et V, on fera frappé du
foin avec lequel Huygens indique chaque fois le lieu où l'œil doit être placé de pré-
férence, c'eft-à-dire là où fe forme une image de l'ouverture de l'objectif î*).
En effet, il explique comment , lorfque la pupille de l'œil coïncide avec ce qu'on
appelle maintenant r„anneau oculaire" ou la „pupille de fortie" , on obtiendra
toujours la plus grande étendue du champ vifuel et la plus grande clarté. La

S) Voir la Prop. XXCIX, p. 45 de la „Dioptrice." «Tribus convexis erecta & distincta & maiora

praestare visibilia".
*^) Voir la note 2 de la p. 259 et les pp. 461 , 469 et 774 du présent Tome.

7) Voir la note 3 de la p. 264 et consultez aussi le § 2 (p. 600) de l'Appendice VI à la troisième
Partie, où l'on trouvera une instruction pour l'usage des lunettes à miroir.

8) Voir p. e. les p. 420—429 de l'article de S. Czapski „Das Fernrohr" dans le „Hand-
buch der Physik" de A. Winkelmann „sechster Band , Optik, zweite Auflage", Leipzig,
Barth , 1 906.

î*) Comparez les pp. 255, 259 et 267.

LU . 1i- AVERTISSEMENT-DEUXIÈME PARTIE.

relation qui exifte encre le groffinTement et le diamètre de cette pupille de fortie,
comparé à celui de l'objeftif, relation fur laquelle plus tard Ramfden a fondé
l'emploi de fon „dynamètre" , n'a non plus échappé à Huygens ').

DEUXIÈME PARTIE: DE L'ABERRATION DES RAYONS
HORS DU FOYER. 1666.

Origine probable des recherches de Huygens fur P aberration fpherîque

des lentilles,

La définition des foyers comme points limites ^) devait mener néceflai-
rement à des calculs fur ce que Molyneux appelait plus tard, „la profondeur du
foyer" 3) , c'eft-à-dire fur l'aberration fphérique longitudinale des lentilles.
Auffi Huygens ne tarda pas à s'occuper de ce problème. Nous favons que déjà
avant le mois de mars 1653, à l'époque de la conception de la première Partie
de fa Dioptrique, il avait fait des calculs ayant pour but de comparer l'aberration
fphérique d'une lentille planconvexe dans les deux pofitions différentes: „lorfque
la furface convexe eft oppofée aux rayons incidents" et „lorfquc la furface plane
leur eft oppofée" '*). Nous ne connaiiTons pas ces calculs, mais il nous femble
probable qu'ils reflemblaient à ceux qu'on trouve mentionnés aux pp. 283 — 287,
qui furent exécutés d'après les formules abfolument rigoureufes que Huygens
apprenait plus tard à remplacer par des règles approximatives beaucoup plus
fimples. Or, la grande différence entre les valeurs de l'aberration dans les deux
pofitions de la lentille planconvexe s) devait naturellement faire furgir la queftion
de fa voir s'il ne ferait pas poffible de diminuer encore cette aberration en donnant
une autre forme à la lentille, p. e., en choiffifTantle rapport des deux rayons d'une
lentille biconvexe de telle manière que, pour une diftance focale et une ouver-
ture données, l'aberration fphérique devint un minimum. Que c'était là, en
effet, le but principal des nouvelles recherches commencées en 1665, eft prouvé
par l'en-tête qu'il avait donné primitivement à la Prop. IV „Qusenam lens fphae-

') Voir la p. 257 et comparez la p. XXXVIII de cet Avertissement.

-) Voir les p. 17 — 19 du présent Tome.

3) Voir to p. 24 de l'ouvrage mentionné à la p. XXII.

'^) Voir la p. 83 du présent Tome.

5) Voir la p. 287.

<^) Voir la note 3 de la p. 280.

AVERTISSEMENT-DEUXIÈME PARTIE. LTll

rica convexa meliiis radios parallèles colligac inveftigare*"^). Et lorfque, en
1669, Hiiygens envoya à la Sociécé Royale de Londres les anagrammes qui
contenaient ses découvertes principales '') , c*était encore la réponfe à cette
quelHon qui conftituait l'un des deux anagrammes relatifs à Tes recherches fur
l'aberration fphérique ^). i ^b jvch r '?

»mm(0 ' Définition de Vêpaijfeur d'une lentille^ donnée par Huygens.

Un des artifices dont Iluygens s'eft fervi afin d'obtenir des règles fimples et
élégantes pour le calcul approximatif de l'aberration fphérique des lentilles con-
fifte dans l'introduâiion de la notion de ce que nous appellerons r„épai(reur
mathématique" d'une lentillle, grandeur qu'il définit (p. 277) comme h différence
des épaiiïeurs au milieu et au bord. Il fuppofe, comme première approximation,
que l'aberration ne dépend pas de l'épaifîeur réelle de la lentille, mais de cette
épaifieur mathématique, de forte que dans les calculs on peut confidérer comme
nulles répaifieur aii cenn*e d'une lentille concave et l'épaifl^eur au bord d'une len-
tille convexe. Toutefois on cherchera vainement dans l'œuvre de Huygens une
démonftration fyftématique de la juftefie de cette fuppofition et,puifque c'eftlàun
point dont la valeur des réfultats de Huygens dépend en partie, on nous permettra
de nous y arrêter un inftant. Nous montrerons que, fi ce que nous apelle-
rons r„épaifreur supplémentaire" (c'eft-à-dire l'épailTeur d'une lentille concave
au centre et d'une lentille convexe au bord) refte petite par rapport aux rayons de
courbure et aux difl:ances de l'objet et de l'image à la lentille, elle peut être
négligée quand il s'agit d'une première approximation, et nous le ferons de
manière que la démonftration foit valable aufli bien pour un faifceau de rayons
correfpondant à un point quelconque de l'axe que pour un faifceau de rayons
parallèles à l'axe et même pour un faifceau entaché déjà d'aberration fphérique
par des réfraftions ou réfleétions préalables 9). '■'

' Soit donc h la demi-largeur d'une lentille biconvexe, c'efl:-à-dire le rayon du

7) Voir les pp. 355 et 487—490 du T. VI.

^) L'autre „Lens e duabus composita hyperbolicam îenuilatur" se rapportait à rinvention de
1 6(^9, dont nous parlerons plus loin ; voir les p. LXII — LXVI de cet Avertissement.

9) Dans la démonstration de la Prop. VII (p. 309) qui exprime que dans une lentille convexe
les aberrations des rayons parallèles sont entre elles comme les carrés des distances à l'axe,
Huygens a bien été forcé de tenir compte de l'épaisseur réelle; en effet dans l'Appendice II
(p. 376— 37B), où cette démonstration est effectuée pour le cas le plus général, on trouve des
raisonnements analogues à ceux dont nous nous servirons. • *^fl«** ittmf^nqm twm •jvf> >

LIV AVERTISSEMENT—DEUXIEME PARTIE.

cercle fuivant lequel fes deux furfaces fphériques de rayons R^ et R^ fe coupent,
alors TépailTeur e de la lentille, que nous fuppofons d'abord fans épaifleur fupplé-

mentaire, fera égale dans une première approximation ^~^\d- + tt- J 0- ^^^^

fera donc de Torde Â' et, d'après les calculs de Huygens, l'aberration fphérique
longitudinale fera du même ordre. Nous pourrons donc négliger enfin de compte
les termes d'un ordre plus élevé que le deuxième , ce qui n'empêche pas, comme
on le verra, qu'on doive aller au commencement jufqu'au troifième ordre inclus.
Soit maintenant a l'angle fous lequel un rayon de lumière s'approche de l'axe
à l'intérieur de la lentille; /3 celui qu'il fait avec l'axe après fa réfraftion , au
point P, à la furface poftérieure de rayon R^^; foit Q le point où il coupe l'axe,
M le centre de la furface poftérieure; P^ la projeélion du point P fur l'axe; A le
point où l'axe coupe la furface poftérieure; foit, de plus, PP^ rr:^^, AQ=:^,
/_PMA=:\[/;alors la loi des finus exige: fin (\[/ + /3)=» fin (v[/4-«), où

nn^_j^^,tgp_ ^,aoncvf/_j^^+^j^3,/i — ^ 2^^R, 3^3-

De ces équations on déduit comme première approximation^ « = — /3 —

n—\ f ^ X ^ i n—i (. . r j ' '
\|/i=^^, ou /> = —, ^ — , et enluite comme jec onde approximation : •

où

^■~ 2«^=R, 3«//3 6«Rr 6VR, V ~6^VR7^^y •

Suppofons maintenant qu'on ajoute à la lentille du côté de la furface poftérieure
une épaifieur fupplémentaire e. Nous pourfuivons alors le même rayon de
lumière, de manière que l'angle a, ne change pas, et R^ non plus, mais que les
autres grandeurs prennent de nouvelles valeurs que nous indiquons par d\ y\
p\q. Onauradonc/)3>-h^3?3— p'^'_,_^'^'3^c'eft-à-dire:

') Remarquons que, pour pouvoir appliquer cette expression dans tous les cas, on devra consi-
dérer comme des grandeurs négatives les rayons de courbure des surfaces concaves et
admettre, par conséquent, pour e une valeur négative dans toutes les lentilles concaves; c'est
ce que nous supposons dans les formules qui se présenteront dans la suite.

AVERTISSEMENT-DEUXIÈME VAVLTÎt, LV

11 V (»— i)v. , y' (n—i^y , ,, j\

Pofanc alors d' •=zd-\-è^ il s'agit de calculer è. A cet effet Téquation nous
donne , en négligeant les termes d'un ordre ruffifamment élevé :

• où -J^

i I I / 1 \^ I /- 1 i\^

Or, on a comme première approximation^ -—y' = clb =zpe'y ^ et l'on trouve
enfuite *): fîo*rif> yfi^g '>o¥«î ?;i)îf:''rno1 fs.) itq

où

rJD 'i'i:

On en déduit :

où le dernier terme peut être négligé par rapport à l'aberration (de l'ordre de 3>')
qui dépend de l'épaifleur mathématique; pourvu feulement que e refte petit par
rapport a R^ et à d.

On voit donc que le déplacement que les points d'interfeélion des rayons avec
l'axe fubironc par l'addition de l'épaiiïeur fupplémentaire e fera repréfenté par

que ce déplacement, égal pour tous ces points, ne changera pas la valeur de
l'aberration fphérique longitudinale, calculée comme première approximation 3). ,

Déduction des règles approximatives pour l"* aberration sphérique longitudinale

hors du foyer.

Afin de déterminer l'aberration fphérique d'une lentille pour des rayons inci-
dents parallèles à l'axe, Huygens s'occupe en premier lieu deladidance FF, entre

e' -\ -^ — Jtg««

3) Comparez encore la p. LXXVIII qui suiwi 33l8t.£- Ô^g -q; H 9*iba^<ii\ i '

LVT AVERTISSEMENT-DEUXIEME PARTIE.

lefoyerF,c'efl:-à-direle point où les rayons les plus rapprochés de l'axe (ou leurs
prolongements) atteignent cette ligne, et le point correfpondant F, pour un
rayon qui a traverfé la lentille à une diftance h de l'axe. Si l'on défirait pour
cette grandeur FFi des formules abfolument rigoureufes, cela exigerait fouvcnt
des calculs très compliqués ; c'eft pourquoi Huygens fe contente d'exécuter ce
calcul pour un exemple numérique dans chacun des deux cas d'une lentille plan-
convexe recevant les rayons fur fa furface plane ou fur fa furface courbe '') et
d'indiquer la marche à fuivre dans les autres cas ^). Mais il bafe fes conclufions
fur des formules approximatives, qu'il déduit dans un des Appendices 3), et qui
fuffifent pleinement pour les befoins de la pratique , comme il le montre en com-
parant dans les cas de la lentille planconvexe, les réfultats numériques obtenus
par ces formules avec ceux qu'on obtient par la méthode rigoureufe ^).

Ces formules peuvent fe ré fumer en une feule. Soient R^ et R^ les rayons de
courbure des furfaces antérieure et poftérieure d'une lentille , le rayon étant con-
fidéré comme pofitif pour une furface convexe, et « l'indice de réfraélion. On aura
alors, fi la difi:ance FFi efl: appelée pofitive quand elle a la direction des rayons

incidents, et négative dans le cas contraire,

^r '' u . : ■ '-; '.^ «>\

Si l'on prend pour h le rayon de la périphérie de la lentille , on trouvera l'aber-
ration des rayons extrêmes. C'efl: cette grandeur que Huygens confidère en
premier lieu, mais il démontre en outre s) que, pour un rayon qui arrive en
un point quelconque de la lentille, l'aberration efl: proportionnelle au carré

^) Voir les p. 283—287 du présent Tome.
") Voir les pp. 289 — 291 , 297 — 301.

3) Voir pour les deux cas de la lentille planconvexe les §§ i et 2 de l'Appendice I de 1665
(?• 355 — 3<5o)» pour la lentille biconvexe le § 3 (p. 360 — 364), pour la concavo-convexe
les § 4 et 5 (p. 3^8 — 371), pour la biconcave le § 6 (p. 371 — 374) toujours du même Appen-
dice. De plus, l'un des cas de la lentille planconvexe, celui où elle tourne sa surface convexe
vers les rayons incidents , est traité de nouveau dans le § 6 (p. 402 — 404) de l'Appendice V
et au § 3 (p. 419 — 420) de l'Appendice Vil de 16(59; de même, celui de la lentille biconvexe
symétrique au § 7 (p. 405 — 406) de l'Appendice V qui date encore de la même année 1665.

4) Voir les p. 285— 287.

5) Voir, pour les deux cas de la lentille planconvexe et pour celui de la lentille biconcave, sup-
posée sans épaisseur supplémentaire, la Prop. V (p. 309— 313) et pour celui de la lentille
biconvexe l'Appendice II (p. 376—378) et la note 9 de la p. LUI de cet Avertissement.

AVERTISSEMENT-DEUXIÈME PARTIE. LVIl

de la diftance h. Si maintenant on introduit répaifTeur mathématique ^, dont
nous avons parlé plus haut*^) et qui eft égale à -h"" C^ "'"r" J' ^^ formule (i)
prend la forme :

CO FF, = -

«3R^+C2w3_a«'-»)R^R^ + (»3-2»'4-2)R^

«(«-O* (R,+RJ=

où le fécond faéleur ne dépend plus que du rapport des diamètres des deux fur-
faces courbes, ce qui veut dire qu'il prend une même valeur pour les lentilles que
Huygens appelle „de même efpèce" 7). Pofantenfuite, comme Huygcns le fait

toujours , « = ^ , on aura :

C*eft cette équation que Huygens a trouvée pour différentes formes de lentil-
les ^). Bien entendu, comme il ne fimplifie pas fes calculs par l'introduétion de
grandeurs négatives, il doit traiter chaque forme de lentille féparément.

Ajoutons que Huygens a aulTi exprimé fuccefiivement l'aberration en fonélion
de l'épaiffeur ^, de la dillance focale/, et d'un des rayons de courbure R, ou R^,,
dont Rx repréfente toujours celui de la furface expofée aux rayons incidents. En
négligeant l'épaiffeur de la lentille (ce qui eft permis lorfqu'il s'agit de la tranf-
formation des derniers fadteurs de (i) et de (2)) , on peut écrire:

(3) • = («-o(^+^).

Eliminant d'abord R, à l'aide de cette formule, on trouve

e ( f

^ nÇn—i)\ ^ ^^ ^a,

-f-(«-0^(«-t-2)-^|,

^') Voir la p. LUI de cet Avertissement. • • »'i'
7) Voir la p. 3 1 5 du présent Tome.

) Comparez les pp. 291 , 293, 303 et 305.

LVIII AVERTISSEMENT-DEUXIÈME PARTIE.

OU, pour«=-,

(4) fF.0 = -5<7-4r^+7-£)-

En fuite , par l'élimination de R^ , on trouve :

a i »

3
ou , pour « = - ,

(5) FF,0 = -^<27-^4^+7^)-

C'eft de ces formules (4) et (5), ou plutôt de celles qu'on en déduit en
changeant , fui vaut le cas, les fignes de R,, R^ et de/, de manière à n'introduire
que des grandeurs pofitives, que Huygens a pu conclure que l'aberration d'une
lentille concavo-convexe (ou „ménifque" comme il l'appelle) eft toujours plus
grande que celle d'une lentille planconvexe de même diftance focale, et qu'elle
eft d'autant plus grande que le plus grand des deux rayons R, et R^^ eft plus petit.
Il en eft de même avec l'autre genre de „ménifque", c'eft-à-dire avec la len-
tille convexo-concave ').

Notons encore qu'on a :

h'

W

2(«-0/'

d'où il réfulte que deux lentilles dont les ouvertures et les diftances focales font
égales ont aufli la même épaifîeur mathématique. Ce dernier théorème eft démon-
tré dans la Prop. III 4).

Nous ne répéterons pas ici toutes les conféquences que Huygens tire de fes
formules. Il fuffira de dire qu'il infirte fur le changement dans l'aberration produit

*) Voir les pp. 295 et 305.

'J Voir les pp. 295 et 307.

') Ce n'est pas du premier coup que Huygens a trouvé ces résultats; comparez la note 3 de la
p. 295 et la note 9 de la p. 369. Remarquons que les notations q,a,n,dde Huygens corres-
pondent à nos notations e, R, , R^,/.

^) Voir la p. 277.

AVERTISSEMENT-DEUXIÈME PARTIE. LIX

par le retournement d'une lentille s) et qu'il n'a pas manqué le but que pro-
bablement il s'était propofé au commencement de fes recherches, c'eft-k-dire de
déterminer la meilleure forme qu'on peut donner à une lentille au point de vue
de l'aberration fphérique. Il trouve que, pour une telle lentille, R, eft égala

f't ce qui donne R^ = ^ /. Le rapport des deux rayons de courbure doit donc

être de 6 à i; refultat qui s'applique également au cas de la lentille biconvexe
et à celui de la lentille biconcave ^').

Il eft prefque fuperflu d'ajouter que Huygens obtient tous ces réfultats par des
confidérations géométriques élémentaires; elles font bafées fur deux théorèmes
qu'il énonce dans les Propofitions préliminaires I et II 7).

Compenfation ^ dans la lunette hollandaife^ de r aberration fphérique
de robjeSîifpar celle de r oculaire.

Une des applications les plus remarquables que Huygens ait faîtes des formules
qui précèdent cfl: expofée dans la Prop. IX où il énonce le théorème que l'aber-
ration de l'objeftif peut être compenfée par celle de l'oculaire fi l'on prend pour
ce dernier une lentille concave. „Perfonne ne foupçonnait" dit-il ^) „que le
défaut des lentilles convexes pût être corrigé à l'aide des lentilles concaves. Mais
nous démontrerons ici que cette correélion eft poflible et que, par conféquent, les
télefcopes de ce genre peuvent être rendus plus parfaits que ceux qu'on conftruit
ordinairement". Et encore î*): „L'utilité des lunettes de ce genre , l'avantage
qu'elles ont fur celles qu'on a conftruites ordinairement jufqu'à ce jour à l'aide de
lentilles convexes et concaves fera d'abord celui-ci qu'elles rendront lavifionplus
nette, attendu qu'elles envoient parallèlement à l'œil les rayons iflTus des différents
points de l'objet, à-peu-près comme le feraient des verres de forme elliptique ou
hyperbolique; mais furtout que, fans être plus longues que les télefcopes ordi-
naires, elles pourront groflir beaucoup plus les objets, vu que leur lentille

S) Voiries pp. 285, 287 et 293,

*) Voir les pp. 291 , 293 et 303.

7) Voir les pp. 273 et 275. > ' — ^ V^ ,, \f,.j, 1,,

^) Voir la p. 319. '■-> . -^

$>) Voir la p. 33 1 . *? *^ '■*** ' ^^***** ^^ f^-v&'i-

LX AVERTISSEMENT-DEUXIÈME PARTIE.

extérieure fouffrira une ouverture plus grande que celle des télefcopes ordinaires
parce que Taberration de cette lentille, due à la propriété de la figure fphérique,
eft corrigée par la lentille oculaire".
A ce propos nous remarquerons d'abord que le dernier fafteur dans Texpref-

fion (2) cfl: toujours pofitif (il ne pourrait devenir négatif que pour « < - 0) ^^

4
que le figne de FFi eft donc oppofé à celui de e et par fuite à celui de/^). Cela

veut dire que le point F, fe trouve toujours entre la lentille et le foyer F.

Confidérons maintenant pour l'objeélif les points F et F, , et foient F' et F'^ les
points analogues pour l'oculaire dans le cas où il recevrait des rayons parallèles
à Taxe venant du côté de l'œil; il eft clair que la compenfation défirée aura lieu
fi F coïncide avec F' et en même temps F^ avec F'j , et que cela peut arriver
avec un oculaire concave, parce que alors F, eft plus rapproché de l'objeétif que
F, et F', plus rapproché de cette lentille que F'.

La condition pour la compenfation fe trouve le plus facilement fi l'on intro-
duit dans la formule (i) l'angle ô formé par l'axe et le rayon qui a traverfé
la lentille à une diftance h du centre. Si l'on fe contente toujours du degré
d'approximation atteint dans les formules précédentes on peut pofer /f=/tgô=:

C?) FF — _— iê!L_/>,

où i„ :V

(r:trj^ '•

Pour obtenir la compenfation , il faut évidemment que les valeurs de - ^^

nin—iy

pourl'objeaif et pour l'oculaire foient égales mais de fignes oppofés. Si donc nous
fuppofons que les matières de Tobjeftif et de l'oculaire ne font pas différentes et fi
nous diftinguons par des accents les grandeurs qui fe rapportent à l'oculaire.

fnoi3i'

') Puisque le discriminant du numérateur, considéré comme forme quadratique en 11, etR,

est égal à «*r«— -Y
') Comparez la note i de la p. LIV de cet Avertissement.

AVERTISSEMENT-DKUXIÈME PARTIE;

m4u

f
nous aurons w' = — -J., û; =:g(y, où g repréfenre le grofliflement. On en tire, en

pofant « = ^ >hi.'îo*l YMoh v'j^ ^h •jv'r-m

(8) (8g^_27)^j+(,6^c.-6)^;i + (85c.-7) = o,

ou bien : - *

La grandeur w efl: déterminée par le rapport des rayons de courbure de l'ob-
jeftif; donc, fi cette lentille eft donnée et fi l'on a fixé le grofliffement, la formule
(9) , combinée avec (3) , nous apprend quel oculaire il faut employer. jb

Comme (W eft toujours fupérieur ou égal à ^ , valeur minimum qu'il atteint

pour Ra = 6R1 , les racines de l'équation (8) font réelles, et comme les coeffi-
cients du deuxième et du troifième termes de l'équation font pofitifs pour toutes les
valeurs de g dont il peut être queftion , les figues algébriques des racines feront
déterminés par celui du coefficient du premier terme. On peut donc conclure que,

pour un grofliffement inférieur à ^ 0? ^^ Y ^ ""^ racine pofitive et une racine

négative. On pourra alors fatisfaire aux conditions du problème avec une lentille

27
biconcave. Si, au contraire, le grofli fixement furpaffe la valeur— (ce qui eft cer-
tainement le Cas lorfqu'il eft fupéricur à — '^)) les racines font négatives toutes

les deux, de forte qu'il y aura deux lentilles convexo-concaves qu'on' pourra em-
ployer. Rappelons que R', appartient à la furface qui eft cenfée recevoir le
faifceau de rayons parallèles, c'eft-à-dire, dans le cas préfent, à celle qui eft

3) D'après la formule (2} on peut aussi écrire —. p-ppour ~'^ comparez les dernières lignes de

la p. 321.
*) Puisque ft> ^ ^ , comme nous l'avons vu.

Lxil AVERTISSEMENT-DEUXIÈME PARTIE.

tournée vers l'œil et que l'une des racines de l'équation (8) eft fupérieure et
l'autre inférieure à l'unité en valeur abfolue '); il en réfulte que dans la pre-
mière de ces deux foUuions c'eft le côté convexe et dans l'autre le côté concave
de l'oculaire qui doit fe trouver du côté de l'oeil.

Huygens choifit la première folution parce qu'elle conduit à la courbure la
moins forte de la furface concave 0- En effet, défignons par —a^ celle des deux
racines dont la valeur abfolue efl: fupérieure à l'unité et par —a^ l'autre racine.
On a alors, par fuite de la relation (3), dans la première folution R'^ = (n— i)

Cl — — ) A et dans la féconde R\ = (n— i) (i —a^f\ mais, puifque ^,^^ =

::= ^^~~7 gfl. fupérieur à l'unité, on aura^^> — . Par conféquent le rayon R'^
ogûj— 27 ^ di

de la furface concave de la première folution fera plus grand que le rayon R',
de la furface concave de la féconde folution.

C'efl: en fe fervant d'un calcul qui revient à l'application de la formule (9) prife
avec le ligne inférieur que Huygens a calculé la table numérique qu'on trouve
à la P..329. La conftruétion de cette table efl: une preuve de plus de l'impor-
tance que Huygens attacha à fa découverte. Or, dans la note 4 de la p. 33 1 nous
avons relaté les circonfl:ances qui en ont retardé et en fuite fait abandonner la
réalifation. ." - 3— "' - '■-

V invention de février 1669 et les recherches fur P aberration
fphérique longitudinale d'un faifceau de rayons corfefpondant àun point quelconque
, v .^, de Taxe de la lentille.

On voit dans la note que nous venons de citer que la principale raifon qui
a conduit Huygens à renoncer à fon projet de corriger l'aberration de Tobjeélit
par celle de l'oculaire était: qu'il croyait avoir trouvé mieux. En effet, la
méthode fuivie n'était applicable qu'à la lunette hollandaife, et pour fes recher-
ches aftronomiques Huygens avait befoin de lunettes à oculaire convexe qui

') Puisque la plus grande des racines surpasse J^" ^ en valeur absolue, et que leur produit

est égal à ^ '—eC s-^ —.

8^w — 27 8gw — 27

*) Voiries dernières lignes de la p. 321.

3 ) Comparez la p. 3 19. "-*'«-»«*,.. ..„,..,,

AVERTISSEMENT-DEUXIÈME PARTIE. LXIII

préfentent un champ de vilion plus étendu 3). H valait donc mieux obtenir la
compenfation dans la lentille objective elle-même à laquelle la plus grande partie
de l'aberration doit être attribuée; celle de l'oculaire étant même négligeable
dans les circonftances ordinaires ^'). Cela était poffible fi Ton compofait l'objeétif
de deux lentilles différentes dont l'une était convexe et l'autre concave. C'eft là
l'invention de février 1669, qui fupplantait dans l'efprit de Huygens celle de
1 665 dont nous venons de parler.

On pouvait placer la lentille concave auxiliaire derrière ou bien devant
la lentille convexe, mais dans les deux cas, traités tous les deux par
Huygens 5), la féconde lentille recevrait un faifceau de rayons, non plus paral-
lèles, mais correfpondant à un point donné de l'axe. Pour déterminer les
rayons de courbure des lentilles de manière à obtenir la compenfation nécef-
faire, il fallait donc calculer l'aberration fphérique d'un faifceau correfpondant
à un point de l'axe d'une lentille.

Or, déjà en 1665 Huygens s'était occupé de ce problème , mais fans réuflîr
dans la folution générale. Il avait indiqué la voie à fuivre, mais il avait été
rebuté par la complication des exprefîions mathématiques '^). Il s'était contenté
d'examiner quelques uns des cas qui fe préfentent quand il ne s'agit que d'une
feule furface féparant deux milieux différents 7). Cette folution peut fuffire
lorfque la lentille auxiliaire fe trouve en arrière de la lentille convexe. On
n'a qu'à choifir alors la furface d'entrée de la lentille auxiliaire de forte qu'on
obtienne une compenfation complète dans le cas où les rayons ne fortiraient
pas de la matière dont cette lentille eft compofée. Prenant enfuite le point de
concours de ces rayons pour centre de la furface de fortie ^) on parvient à ne

*) Comparez la p. 341 .

5) Lepremier dans l'Appendice VI, p. 408; le second dans l'Appendice VII, p. 418.

'^) Voir la note 3 de la p. 395 et la note 2 de la p. 396. Dans cette dernière note on trouve l'expres-
sion à laquelle Huygens aurait dû parvenir s'il avait eu la patience de poursuivre ses calculs.

^) Voir dans l'Appendice V pour le cas d'une surface convexe sur laquelle tombe un faisceau
convergent , le § i , première partie (p. 392 — 394); pour celui d'une surface convexe et d'un
faisceau divergent le § 2 (p. 397); pour celui d'une telle surface et d'un faisceau divergent
venant de l'intérieur le § 3 (p. 398 — 399); pour un faisceau convergent de cette sorte le § 4
(p. 400); pour le cas d'un faisceau convergent tombant sur une surface plane le § 5
(p 401—402); plus tard Huygens traitait dans l'Appendice VI au § i (p. 408—410) le cas
d'un faisceau divergent tombant de l'intérieur sur une surface concave.

') Voir la figure de la p. 41 1 où ce point est indiqué par la lettre M. -a^ .q «i lio 7

LXIV AVERTISSEMENT-DEUXIÈME PARTIE.

troubler en aucune façon la réunion parfaite des rayons dans ce point, qui devient
ainfi le foyer de Tobjeélif conipofé. Ce fut de cette manière que Huygens
calcula fucceflivcment les dimenfions de la lentille auxiliaire pour un objeftif
planconvexe dont la furface convexe était tournée du côté des rayons incidents ') ;
pour un objeftif biconvexe, conftitué de manière à donner une aberration
minimum ^) ; pour un objeftif biconvexe fymétrique 3) ; et enfin pour une lentille
planconvexe recevant les rayons fur fa furface plane '^).

Si, au contraire, la lentille auxiliaire fe trouve devant la lentille convexe,
il efl: indifpenfable de favoir déterminer l'aberration caufée par cette dernière
lentille pour un faifceau de rayons partant d'un point de l'axe. Huygens y
réuflit pleinement dans le cas d'une lentille planconvexe recevant le faifceau fur
fa furface plane s). Afin d'appliquer cette folution , il combine une lentille plan-
convexe tournant fa furface plane vers l'oculaire avec une lentille concave placée
devant elle, de forte que des rayons incidents parallèles à l'axe fe réunifl^ent en
un point M de l'axe; les dimenfions de la lentille concave étant choifies de manière
que l'aberration qu'elle donne aux rayons parallèles à l'axe venant de l'extérieur,
foit égale à l'aberration, caufée par la lentille planconvexe, d'un faifceau qui
partirait du point M. Il efl: facile de fe convaincre qu'ainfi le but défiré eil atteint.

C'efl:donc de cette façon qu'il calcule au § 5 de l'Appendice VII (p. 422 — 424)
les dimenfions de la lentille auxiliaire qu'il faut placer devant une lentille plan-
convexe. Ayant déterminé en outre l'aberration d'une lentille biconvexe fymé-
trique, dans le cas particulier où le point dont les rayons émanent efl: fitué à une
diftance de la lentille égale à deux fois le rayon de courbure des furfacesde la
lentille et où, par conséquent, les rayons du faifceau deviennent parallèles à
l'axe à l'intérieur de la lentille **) , il en profite pour déterminer au § 7 la forme
d'une lentille auxiliaire qu'on peut mettre devant une lentille biconvexe symé-
trique 7).

Après avoir obtenu fes premiers réfultats le i février 1669, il compofe un ana-

') Voir l'Appendice VI au § 2 (p. 41 1—4 13) et surtout la figure de la note 9 de la p. 41 3.

") Voir le § 3 de l'Appendice V I , p. 4 1 3 — 4 1 4,

') Voir le § 4 du même Appendice, p. 41 5.

^) Voir le § 5 aux p. 415 — 416. ■' î "s^ »> ^«>

S) Voir le §4 de l'Appendice VI I, p. 420— 422. ' '■ ■•' '

*) Voir le § 6 de l'Appendice VII , p. 424—426.

') Voir la p. 427. •"; '•' ■ '•>' «•■ "''l :"'J'!iJ J^ )<■-: 'Uiv-fJ -J-J UU l i^ .fj .'U tJ-U 'JV'P^.i £.

AVERTISSEMENT-DEUXIÈME PARTIE. LXV

gramme qui en contient le principe, et qu'il envoie à la Société Royale de
Londres le 6 février fuivant ^). Mais bientôt un fcrupule le prend. i

Pour comprendre ce fcrupule il faut favoir que le feul avantage que Huygens
fe promettait de ce fyllème compenfé était de pouvoir élargir de beaucoup
Touverture de l'objeélif fans nuire à la netteté des images, ce qui permettTait
d'augmenter confidérablement le grofTifîement fans rendre les images trop obfcu-
res. Or, pour les grandes ouvertures, auxquelles il fut ainfi conduit, la valeur des
formules approchées, dont il s'était fervi, devenait douteufe. Afin d'éclaircir cette
queftion, il détermina, d'abord par un calcul rigoureux, en fuite d'après ces for-
mules, l'aberration longitudinale de chacune des deux lentilles d'un objeétif
compenfé dont l'ouverture était cenfée furpalTer plus de quatre fois celle d'un
fimple objeélif de même diftance focale; les dimenfions de ce dernier étant em-
pruntées à la table que nous mentionnerons plus loin à la p. LXIX. La différence
entre les valeurs obtenues par les deux méthodes devait être attribuée aux termes
d'ordre plus élevé qui avaient été négligés dans le calcul des dimenfions de la
lentille auxiliaire.

Le réfultat de cette enquête ne fut pas très rafl^urant ^°) et c'eft peut-être là
une des raifons pour lefquelles Huygens n'efiaya pas de mettre en pratique fon
invention nouvelle. Mais probablement telle ne fut pas la raifon principale de fon
abftention. Huygens favait très bien, en effet, combien il lui ferait difficile de
fabriquer des lentilles afTez parfaitement fphériques et répondant aflez exade-
ment aux courbures calculées qu'il ferait nécefl^aire de le faire pour réalifer fon
invention. Et plus tard les travaux de Newton lui donnèrent la conviélion que
dans les télefcopes un peu longs l'aberration chromatique efl: de beaucoup plus
nuifible que l'aberration fphérique. Cette dernière raifon lui fembla décifive ").
Elle fut la caufe de ce qu'il n'a jamais admis dans fa Dioptrique ces recherches
de 1669, et qu'il en a même écarté celles de 1665 fur la compenfation de l'aber-
ration de l'objeftif par celle de l'oculaire '"). Toutefois, comme on le fait.

8) Comparez la note 8 de la p. LUI de cet Avertissement et la p. 417 du présent Tome.

9) Voir l'Appendice VIII , p. 428—432 , et surtout la note 4 de la p. 428.
") Consultez la note 11 de la p. 431.

") Voir la note 2 de la p. 409.

") Comparez la p. IX de cet Avertissement.

9

LXVI AVERTISSEMENT-DEUXIÈME PARTIE.

la difficulté, caufée par l'aberration newtonienne, fut entièrement vaincue,
beaucoup plus tard, par l'emploi des lentilles achromatiques, et la technique
moderne ne recule plus devant la fabrication de lentilles à peu près parfaites
ayant des dimenfions données d'avance. Ainfi la queftion de l'élimination de
l'aberration fphérique par un choix judicieux de la courbure des furfaces des
lentilles s'ert impofée de nouveau aux phyficiens modernes, et on devra confi-
dérer Huygens, fur ce terrain auffi, comme un de leurs principaux précurfeurs ').

Application des règles obtenues pour ^ aberration fphérique
à la détermination de r ouverture et du grojjtjfement admijjtbles dans un télefcope

de longueur donnée.

Pendant de longues années Huygens s'eft voué au perfeélionnement des lunet-
tes avec une perfévérance et une patience admirables. Or, dans la conftruélion
de fes longs télefcopes il s'eft conftamment laifle guider par des règles théoriques
qu'il a cherchées d'abord, dans cette deuxième Partie de fa Dioptrique, en con-
fidérant feulement l'aberration fphérique fans compter avec l'aberration chro-
matique. Toutefois les réfultats pratiques ne répondaient pas entièrement à ce
que fes règles laiffaient entrevoir, et ce ne fut que plus tard , en fe fervant des
découvertes de Newton , qu'il réuffit à établir d'autres règles ^') , bafées cette
fois fur la confidération de l'aberration chromatique qu'il avait crue d'abord
inacceffible à l'analyfe mathématique 3).

Un point eflTentiel dans ces théories fucceflives efl: le rôle qu'y joue la clarté des
images, qui fe mefure par la quantité de lumière que la rétine reçoit par unité de fur-
face. Huygens expofe clairement '^) que, pour une ouverture donnée de l'objeiflif,
la quantité totale de lumière dont on difpofe ell: également donnée et que, par con-
féquent, fi l'on emploie un oculaire trop grofliflTant la clarté de l'image deviendra
néceifairement trop faible. „I1 ne faut donc pas à la légère remplacer la lentille

*) Il est vrai que rinvcntion de 1669 est publiée ici pour la première fois; mais celle de 1665
fut au moins mentionnée et expliquée dans la préface (p. 4 et 5) de l'édition de 1703 des
„Opuscula Postuma" par de Volder et FuUenius, quoiqu'ils ne l'aient pas reproduite dans le
texte de la Dioptrique, se montrant ainsi plus fidèles que nous aux instructions données par
Huygens.

^) Comparez les pp. IX et XI de cet Avertissement.

5) Comparez la note 9 de la p. IX.

^^ Voir la Prop. X, p. 333—339 du présent Tome.

AVERTISSEMENT-DEUXIÈME PARTIE. LXVII

oculaire par une lentille plus convexe ou plus concave, mais calculer exaflement
quel agrandi (Tement l'ouverture de la lentille extérieure peut fupporter de manière
que le télefcope ne donne pas en même temps des images moins lumineufcs qu'on
ne doive les exiger. Et, en vérité, toute la puiffance et l'effet d'un télefcope
quelconque dépendent à ce point de la grandeur de fon ouverture qu'après avoir
confidéré cette dernière on peut , fi elle efl: petite , dire avec certitude que le téle-
fcope a peu de puiflancc, quel que foit le nombre des autres lentilles et de quel-
que façon qu'elles foicnt placées à l'intérieur du tube. En effet, pour qu'un
groffiiïement important foit obtenu avec une clarté fuffifante il eft néceffaire que
beaucoup de rayons foicnt raffemblés, ce qui eft abfolument impoffible fi la len-
tille extérieure n'a pas une grande ouverture" s).

lluygens ajoute en pattant*^) que la queftion eft différente pour lesmicrofcopes;
vu que , dans fes inftruments, la clarté de l'image eft déterminée par l'ouverture
du cône lumineux qu'un point de l'objet envoie dans l'objcélif, et qu'on peut
remédier à une trop grande obfcurité des images en éclairant l'objet plus
vivement.

De même que la confidération de la clarté des images, celle de leur netteté
montre qu'un objedlif de lunette de dimenfions données ne peut fupporter qu'un
groffiftement qui n'excède pas une certaine limite''). A caufe de l'aberration
fphérique l'image formée par l'objeélif n'eft pas parfaite, chaque point y étant
repréfcnté par un „petit cercle d'aberration"^). Il en eft de même de l'image
formée fur la rétine et pour qu'elle ne foit pas trop confufe il faut que le rayon
des petits cercles n'y foit pas trop grand; or, ce rayon augmente avec le groffiffe-
ment que produit l'oculaire.

Les conditions auxquelles on eft amené en fuivant les deux ordres d'idées que
nous venons d'indiquer, ne font pas les mêmes; c'eft en les combinant que
Huygens arrive aux réfultats qu'on trouve dans la Propofition XI ^).

Comme il eft difficile de dire quelle eft le minimum de clarté fuffifant "') et le

S) Voir la p. 337.

<î)Dans ralinéa qui commence à la p. 337. Une théorie du microscope semblable à celle de la

lunette, traitée ici, ne fut développée par Huygens que beaucoup plus tard. Voir les

p. CXIII— CXXXVI de cet Avertissement.
7) Comparez la p. 333 du texte de la Dioptrlque et les p. 387—388 de l'Appendice III.
^) Comparez la note 3 de la p. 315.
9) Voir les p. 339—353 et pour un traitement antérieur de la même question l'Appendice III,

p. 379—386.
*°) Comparez les p. 335, 481 et 483.

LXVIII AVERTISSEMENT-DEUXIÈME PARTIE.

défaut de netteté admiffible, Huygens pofe le problème fous la forme fui vante:
Suppofons qu'on pofTède une lunette qui donne des réfultats fatiffaifants fous le
rapport de la clarté et de la netteté des images , et qu'on en veuille conftruire une
autre d'une longueur différente; quelle ouverture de l'objcélif et quel groffiiïe-
ment devra-t-on donner à cet inftrument pour qu'il ait le même degré de per-
feftion que le premier ?

Dans la difcuffion Huygens remarque qu'à la rigueur il faut aulïï tenir compte
de l'aberration qui fe produit dans la lentille oculaire *). Il démontre cependant
par un raifonnement fur lequel nous reviendrons *) , qu'on peut négliger cette
aberration; Amplification qui ell: due à ce que la diftance focale de l'oculaire efl:
beaucoup moindre que celle de l'objeétif.

Cela pofé, il eft facile de comparer entre elles les deux lunettes. Soient /et/'
les diftances focales des objeétifs, 9 et (jp' celles des oculaires , ^ et ^' les groflifle-
ments linéaires, d et d' les diamètres des''ouvertures des objcftifs. Si l'on défire
que les images foient également claires, il faut que la quantité de lumière reçue
par l'objeélif foit proportionnelle au carré du groffiflement linéaire ce qui nous

(10)

dcp d q)'

7~T

Pour comparer les aberrations , nous fuppoferons avec Huygens que les deux
objectifs foient de la „même efpèce" 3), ce qui veut dire que le rapport des
rayons de courbure des furfaces antérieure et poftérieure efl: le même pour les
deux lentilles. Il en ré fuite d'après les formules Ç2) et (6) des pp. LVII et LVIII
qu'on aura pour les aberrations longitudinales FF, etF'F', :

(»0 FF,:F:FV==^':^.

Confidérons maintenant un rayon qui a traverfé l'objccflif tout près du bord et
qui paflTe par F, en faifiint un angle ù avec l'axe. Ce rayon atteindra le „plan

*) Voir la p. 341.

*) Voir la p. LXX de cet Avertissement.

3) Voir la Prop. VIII , p. 3 1 5.

AVERTISSRMKNT-DFAIXIÈME PARTIE. LXIX

focal" de l'objectif, c'cft-à-dire le plan qui efl: mené par le foyer F perpendicu-
lairement à Taxe , en un point H tel que Fil = FFi . tgô.

La diflance Fil efl: alors le rayon du cercle illuminé qui fc defline fur le plan
focal quand l'objcétif reçoit un faifceau de rayons parallèles à l'axe. Suppofons
maintenant que l'œil lui-même foit fans défauts optiques et que la rétine foit con-
juguée avec le plan focal de l'objeétif , qui eft en même temps le plan focal de
l'oculaire. Le rayon du cercle d'aberration, qui fe forme fur la rétine et qui n'ell
autre chofe que l'image du cercle dont nous venons de parler, efl: alors donné par

FF tirô
Texprefllon C — "' ^ , où C eil une confl:antc déterminée par l'état de l'œil. On

peut pofer tgô = — /., de forte que cette dernière expreflîon devient C — y—'

Si Ton exige maintenant que dans le cas des deux lunettes les cercles d'aber-
ration fur la rétine aient la même grandeur il faut qu'on ait :

(12)

FF,.(/ F'F',.rf'

ff ~ fV '

ou bien, en vertu de la formule (i i) :

En combinant ce réfultat avec l'équation (lo) , on trouve les équations:
(14) /:f ==/:/*et(p:c^'=/^:/'^

qui contiennent les règles que Iluygens énonce aux pp. 343 et 349, tandis qu'à
la p. 351 il rappelle la relation:

C15) g:gz=d'.d'.

Ce font ces formules dont Huygens s'efl: fervi pour calculer la table qui ter-
mine la deuxième Partie de la Dioptrique '^). Dans ce calcul il a pris pour lunette

4) Voir les p. 351—353 et consultez la note 3 de la p. 350 snr l'emploi fait par Huygens de
cette table supprimée plus tard par lui.

LXX AVERTISSEMENT-DEUXIEME PARTIE.

„étalon" un inftrument dont l'objedif avait 12 pieds de diftance focale et une
ouverture de 2 pouces, le grolfilTement linéaire étant de i à 72 ').

Il convient d'ajouter un mot fur la manière dont Huygens obtient l'équation
Ci 3)*); elle diffère un peu de celle que nous avons fuivie. Soit Q le point de
l'oculaire frappé par un rayon venant du bord de l'objeélif 3) et qui a donc palTé
par le point F,. Après avoir traverfé l'oculaire et les milieux réfringents de l'œil,
ce rayon atteindra un point de la circonférence du cercle d'aberration qui fe forme
fur la rétine. D'un autre côté, comme l'oculaire efl: fuppofé libre de toute aber-
ration fphérique, un rayon FQ atteindrait le centre de ce cercle. Huygens
remarque que l'angle formé par les rayons FQ et FjQ ne change pas par leur paf-
fage par l'oculaire '*), et que le rayon du cercle d'aberration fur la rétine lui efl:
proportionnel s). Pour avoir le même degré de netteté dans les deux cas , il faut
donc faire en forte que les angles FQF^ et F'Q'F'^ foient égaux , condition qui
nous ramène à la formule (i 3J.

Ce dernier mode de raifonnement lui fert auflî à démontrer qu'on peut négliger
l'aberration propre à l'oculaire '^). À la rigueur, ce n'eft pas le rayon FQ qui for-
tira de cette lentille dans la direftion de l'axe, mais plutôt le rayon F^Q,fi le point
F^, fitué entre F et l'oculaire, efl: pour ce dernier ce que F, efl: pour l'objeélif.
On voit maintenant que l'aberration totiile efl mcfurée par l'angle F^QF^^ et non
par l'angle F^QF.

Or, les angles F,QF , FQF^ peuvent être cenfés proportionnels aux diftances
FFj etFF^ et ces longueurs peuvent être calculées par la formule (7) de la p. LX
appliquée à l'objcdif et à l'oculaire pour une même valeur de l'angle ù. Parconfé-
quent , fi les lentilles ont des formes telles que les deux valeurs de w ne font pas
trop différentes , les diftances FF| et FF^ feront h peu près proportionnelles

*)La lunette avec laquelle Huygens découvrit le satellite de Saturne avait 12 pieds de lon-
gueur; mais il n'employait alors qu'un grossissement de 1:50. Voir l'ouvrage de 1656
„De Saturni luna observatio nova".

*) Voir les pp. 345— 35i> ou pour une déduction plus algébrique les pp. 379— 383; on n'y
trouve pas l'équation (13) parce que, avant d'établir la formule basée sur l'égalité de l'aber-
ration sphérique, Huygens y a déjà introduit la condition (10) de l'égalité de la clarté. S'il
ne s'était pas servi de cette condition, son raisonnement aurait amené l'équation (13).

3) Huygens suppose que le point Q se trouve au bord de l'oculaire; ce qu'il fait pour pouvoir
appliquer le théorème dont il est question dans la note i de la p. 342.

*) Voir les pp. 343 et 382 et surtout la note i de la p. 342.

5) Voir les pp. 345 et 383 et surtout les notes i de la p. 345 et 3 de la p. 382.

<') Voir la p. 341.

AVERTISSEMENT-DEUXIÈME PARTIE. LXXI

aux diftanccs focales et l'on pourra négliger l'aberration de l'oculaire qui eft pro-
portionnelle à l'angle FQF^ par rapport h celle de l'objeétif qui eft proportion-
nelle à F,QF.

Ce qui précède donne encore lieu à une remarque. L'étendue de la feftion du
faifceau de rayons, qui a traverfé l'objeflif, par un plan perpendiculaire à l'axe,
dépendra de la pofition de ce plan. Si le plan paflTe par le foyer F, la feélion devient
le cercle d'aberration introduit par Huygens dans le texte de la Dioptrique;
mais l'Appendice IV '') montre que Huygens lui-même a très bien compris que ce
cercle ne repréfente pas la feétion la plus petite du faifceau. D'une manière très
ingénieufe il a fu déterminer dans cet Appendice le lieu du plus fort rétréciiïe-
ment, qui fe trouve dans un plan P, partant par un certain point A fitué entre F et

Fj de telle manière qu'on a F, A = - FF,. La feélion du faifceau par ce plan P

eft ce qu'on appelle fouvent „cercle d'aberration" dans les traités modernes, fon
rayon eft le quart de celui du cercle d'aberration introduit par Huygens dans fa
Dioptrique ^).

Il eft prefque inutile de dire que par la confidération de ce dernier cercle Huy-
gens a exagéré l'influence de l'aberration fphérique fur la netteté des images. Si
l'on veut projeter fur un écran l'image formée par la lentille objeftive on placera
l'écran non pas en F mais au point A, et en regardant par la lunette un objet
éloigné, on pourra faire coïncider avec ce point le plan qui eft conjugué avec la
rétine. Cependant on voit facilement que cette circonftance n'apporte aucun
changement à la folution du problème traité par Huygens dans la Prop. XI, puif-

•

7) Voir la p. 390.

8) Il esc remarquable qu'on retrouve la détermination du „cercle d'aberration" minimum dans
les „Lectiones Optic», Annis MDCLXIX, MDCLXX & MDCLXXI in Scholis publias
habitœ, & ex MSS. editœ. Londini: An. 1729" de Newton; voir les Coroll. IV en V de la
Prop. XXXI de la „Pars Prima. Sectio Quarta". Le résultat est identique à celui que
Huygens a obtenu, et les méthodes de déduction , quoique différentes dans la forme, mon-
trent au fond une grande ressemblance. Cela peut être une conséquence de ce que la route
à suivre ne pouvait pas beaucoup varier. En tout cas il est difficile d'admettre qu'il y ait
eu des relations, même indirectes, entre Huygens et Newton avant 1672 (voir la lettre
d'Oldenburg à Huygens du 1 1 janvier 1672, p. 1 24 du T. VII) et il est certain que l'Appen-
dice IV, d'après la place qu'il occupe dans le Manuscrit C, doit dater d'environ 1665. New-
ton se borne au cas d'une lentille planconvexe, puisqu'il ne traite pas de l'aberration sphérique
dans le cas général, mais cela importe peu pour la démonstration qui ne dépend que de
la proportionnalité de l'aberration longitudinale au carré de la distance du rayon incident
à l'axe.

LXXII AVERTISSEMENT-DEUXIÈME PARTIE.

que les rayons des cercles d'aberration , qui correfpondent aux deux conceptions
différentes, font proportionnels entre eux.

Remarquons enfin que dans le texte de la Dioptrique le problème de déter-
miner l'ouverture de l'objedif et la diftance focale de l'oculaire pour une lunette
de longueur donnée, ces grandeurs étant connues pour une lunette étalon,
n'eft réfolu que dans le cas où les deux objeélifs font de la même efpèce,mais
que dans l'Appendice III , aux p. 385 — 386, Huygens a indiqué la folution pour
le cas plus général où ils font d'efpèces différentes.

Hiftorique des fujets traités dans cette deuxième Partie de la Dioptrique.

Même fi l'on fe rapporte comme point de repère à l'année 1703 de la publi-
cation de la Dioptrique, comme œuvre pofthume, trente huit ans après la
rédaétion de la deuxième Partie de cet ouvrage, le terrain occupé aujourd'hui par
la théorie de l'aberration fphérique des lentilles et par fes applications était encore
prefqu'entièrement en friches.

Naturellement l'exiftence de l'aberration fphérique n'était pas inconnue aux
contemporains ni même à des prédéceffeurs^) de Huygens; mais ce n'eft que très
rarement qu'on rencontre chez eux des calculs fur la grandeur de cette aberration
et même alors ils fe bornent aux cas les plus fîmples, c'eft-à-dire, à ceux d'une
lentille planconvexe recevant un faifceau de rayons parallèles à l'axe fur fa
furface plane ou convexe et d'une lentille biconvexe fymétrique. Nous n'avons à
citer à ce propos que les travaux de Newton, Picard, Molyneux et Hartfoeker.

Newton ne traite ''') que le cas le plus fimple de tous , celui d'une lentille plan-
convexe tournant fon côté plan vers les rayons, mais il le fait d'une façon
magiftrale. Il trouve d'abord la valeur de l'aberration longitudinale fous la forme

d'une férié dont le premier terme — - (n indice de refradlion, ^ épailTeur de la

*) On peut même remonter à ce propos jusqu'à Maurolyce chez qui l'on trouve, dans un
ouvrage écrit vers 1553, le théorème suivant: „Parallelorum radiorum intra perspîcuum
orbem à centro injequaliter distantium, remotior cum axe sibi parallelo propius sphœrœ con-
curret, quàm reliquus". Voir le Théor. XVIII du Liv. I de l'ouvrage: „R. D. Francisai
Maurolyci Abbatis Messanensis mathematici celeberrimi Theoremata de Lumine et Umbra,
ad perspectivam & radiorum incidentiam facientia. Diaphanorum Partes seu Libri très.
Lugduni apud Ludovicum Hurillion. MDCXIII, p. 48.

*) Voir la Prop. XXXI que nous venons de citer dans la note 8 de la p. LXXI.

AVERTISSEMENT-DEUXIÈME PARTIE. LXXIII

lentille) coïncide pour « = |avec la valeur approximative trouvée par Huy-
gens 3). De cette manière, introduifant le rayon y de Touverture, le rayonde
courbure R de la furfacc convexe, et la diftance focale/=R: (« — i), on ell
conduit pour le rayon du cercle d'aberration dans le plan focal, comme première

approximation, à l'expreffion |. X ^^^J^\^^,qui peut s'écrire ^^; donc, puif-

que Newton détermine le rayon du cercle minimum, qui eft un quart de celui

du cercle dans le plan focal, il aurait dû trouver i^ pour ce rayon-là, et ce n'eft

que par une inadvertance, fignalée par les éditeurs des „Le(5liones", qu'il arrive à

l'expreflion^^^).

Quanta Picard, dans la féconde Propofition de les„Fragments de Dioptrique",
(Mémoires de l'Académie Royale des fciences, depuis 1666 jufqu'à 1699.
T. VII, Première Partie, Paris MDCCXXIX, p. 338— 339) il a réufll à déduire,
par une méthode qui reflèmble beaucoup à celle de Huygens, l'expreflion

^e pour l'aberration fphérique longitudinale d'une lentille planconvexe rece-
vant les rayons fur fa furface convexe s). H confidère aufli l'aberration d'un
rayon parallèle à l'axe, qui rencontre la lentille dans un point éloigné du bord,
c'eft-à-dire qu'il détermine l'influence de ce que nous avons appelé l'épaiffeur
fupplémentaire '^); mais il le fait feulement pour le cas fpécial de la lentille plan-
convexe, où le problème efl: très facile.

Chez Molyneux'') on ne rencontre, pour chacun des trois cas prémentionnés.

3) Voir la p. 285 du présent Tome.

'*} Newton ne semble jamais avoir remarqué cette erreur, puisqu'on la retrouve dans se^
^Opticks" de 1704; voir la p. 79 de l'édition latine de 1706, qui porte le titre: „Optice:
sive de Reflexionibus, Refractionibus tSc Coloribus Lucis Libri très, Londini, Sam. Smith
& Benj. Walford", Liv. I, Part. I, Prop. VII. Dans cet ouvrage la même expression erro-
née pour le rayon du cercle d'aberration minimum est donnée sans démonstration et em-
ployée dans des calculs numériques. Ajoutons que l'erreur provient de ce que, ayant
besoin de la distance focale. Newton l'emprunte à une formule qui , en vérité, représente la
distance du foyer au centre de la surface convexe; ce qui revient à poser /=«R:(« — i)
dans l'expression dont nous venons de faire usage dans le texte.

S) Comparez la p. 287.

*^) Voir la p. LUI de cet Avertissement.

7) Voir les p. 23 — 25 de la „Dioptrica nova" de 1692.

10

LXXIV AVERTISSEMENT-DEUXIÈME PARTIE.

que le calcul numérique d'un feul exemple. Par ce calcul il détermine la route
d'un rayon fe trouvant initialement à une diftance donnée de l'axe, qui eftla même
pour les trois cas. Molyneux en tire la conclufion que la „profondeur du foyer" efl:
la plus petite dans le cas d'une lentille planconvexe recevant les rayons fur fa fur-
face convexe et qu'il faut donc tourner cette furface vers l'objet. Hartfoeker'),
enfin, arrive à la même conclufon, après quoi il écrit: „Cependant comme il
efl: conftant par une infinité d'expériences, que les verres planconvexes, font par-
faitement le même effet, fans qu'on y puiffe appercevoir la moindre différence,
foit que leur côté plat ou convexe foit tourné vers l'objet ^); il me femble avec
beaucoup de raifon qu'il feroit bien inutile de vouloir donner quelque autre
figure aux verres de lunettes, que la fpherique: car la différence qu'il y a entre le
parfait concours des rayons qui paffent au travers d'un verre planconvexe, lorf-
que fon côté plat efl: tourné vers l'objet, & le parfait concours de ceux qui
paffent au travers de ce verre, lorfque fon côté convexe efl tourné vers l'objet,
efl fi confiderable, qu'il efl: impoffible de pouvoir arriver encore par defl^us cela
à une différence aufli confiderable, quoiqu'il y eût une figure qui ramafl^ât les
rayons parallèles à un point mathématique, pour ainfi dire".

En 1738 parut l'excellent et volumineux ouvrage de Robert Smith auquel nous
avons déjà emprunté la belle formule de Cotes pour le grofliATement d'un fystème
de lentilles 3), formule qui marquait un pas en avant fur les recherches de
Huygens dans cette direélion. Cet ouvrage '*} efl en grande partie une compila-
tion des travaux de Huygens et de Newton, cités fréquemment par Smith et aux-
quels il emprunte fouvent des pages entières; mais cette compilation efl faite
avec beaucoup d'intelligence et de bon goût, et fur le terrain, dont il s'agit à pré-
fent,nous avons à conftatcr un progrès important, dû cette fois a Smith lui-même.

Nous avons vu s) que Huygens ne s'ert pas contenté de calculer comme première
approximation l'aberration „hors du foyer", mais qu'il s'eft efforcé de déterminer

*) Voir la p. 121 de r„Essay de Dioptrique" de 1694; ouvrage cité dans la note 5 de la p. 708
duT.X.

") Comparez la p. 565 du présent Tome, où l'on verra que Huygens s'est servi du même artifice,
appliqué à l'objectif d'un de ses microscopes, pour s'assurer que l'aberration sphérique pour-
rait être encore augmentée sans devenir nuisible. La cause du fait constaté par Hartsoeker
doit naturellement être cherchée dans le rôle prépondérant de l'aberration chromatique dans
les lunettes.

3) Voir la p. XLIV de cet Avertissement.

■♦) Voir pour le titre la note 2 de la p. XLIV.

S) Voir les p. LXIII— LXIV.

AVERTISSEMENT-DEUXIÈME PARTIE. LXXV

également Taberration d'un faifceau correfpondant à un point quelconque de
l'axe. Nous favons que cette détermination ne lui a réuflî que dans le cas d'une
feule furface réfringente et dans quelques cas particuliers relatifs h une lentille
entière. Huygens avait utilifé ces réfultats dans fon invention de 1669 d'un
objectifdouble,compenfé pour l'aberration fphérique; mais ayant perdu confiance
dans la valeur de cette invention*^) il n'en avait pas fait mention dans la Diop-
trique et n'avait rien publié non plus fur les recherches dont nous venons de parler.
Or, chez Robert Smith on trouve la folution complète, pour une lentille entière,
du problème en queftion^). Voici comment Smith procède. Soit ^ladillance d'un
point lumineux P à une furface fphérique concave ^) , décrite avec le rayon de
courbure Rj , Q l'image de P après la réfraélion par cette furface et Q, le point
oii, après cette réfraétion, le prolongement du rayon extrême rencontre l'axe;
de forte que QQ, repréfcnte l'aberration longitudinale du faifceau, partant de P,
telle qu'elle réfulte de cette première réfraétion; foit en outre O le point où l'axe
coupe la furface prémentionnée, I celui où le rayon extrême rencontre cette fur-
face, X la projeftion de I fur l'axe et /? l'indice de réfraélion. Par une méthode
qui ne diffère pas cfTenticllement de celle de Huygens ^^ (qui lui était incon-
nue), Smith trouve pour QQ^ rcxpreiîion fuivante

16) ^^'■""[(«— ly+R.]^ n{n-iy ^^^ ^'

ou bien , pour « = -,

(17) W^-(^+2RJ=^ U ^^^'

«) Voir la p. LXV.

7) Voir, aux p. 254—256 de l'ouvrage de Smith, au Liv. II, Chap. XIII, la Prop. II „Haviiig
the focus of homogeneal .rays incident upon any lens, it is proposed to find the aberrations
of the refracted rays". Remarquons que Smith appelle „foyer" le point de concours des
rayons d'un faisceau quelconque , divergent ou convergent.

8) Smith suppose dans ces calculs que le point P , auquel les rayons incidents correspondent,
est situé devant la lentille et que les deux surfaces de cette lentille tournent leur concavité
vers ces rayons; mais il fait remarquer expressément que pour appliquer les formules à
d'autres cas, il suffit de changer convenablement les signes des grandeurs ^, R, , R»» «1"» s'y
présentent.

9) Voir les pp. 392 — 394 du présent Tome.

•°) Dans cette formule et dans les suivantes il faut supposer , afin de les rendre applicables à tous
les cas qui peuvent se présenter, que les segments (comme QQ, et XO) sont considérés

LXXVI AVERTISSEMENT-DEUXIÈME PARTIE.

Afin de montrer la conformité de cette formule (17) avec celle de Huygens,
qu'on trouve en haut de la p. 394, il faudra commencer par changer dans
la formule (17) les fignes de d et de R, pour l'adapter au cas, traité par
Huygens, d'une furface convexe fur laquelle tombe un faifceau convergent;
opérationqui la laiflTe inaltérée. Si enfuite on remplace dans la formule de Huygens
fes notations par celles que nous avons employées ici , elle prend la forme:

QQ.=^Mr4^R^^4R,^-xXQ, .

fous laquelle fon identité avec celle de Smith eft facile à conftater.

Après avoir obtenu la formule (16), Smith confidcre l'effet de la réfraétion
par la féconde furface qui termine la lentille et qu'il fuppofe convexe. Soient
donc S et S, les images de Q et de Q, par rapport à cette furface, S^ le point où
le rayon extrême PI (ou fon prolongement) coupe l'axe après les réfraétions qu'il
a fubies aux deux furfaces de la lentille; alors SS^ = SS^ + S^S^^ repréfente
l'aberration longitudinale de la lentille entière. Pour la déterminer il fuffit de
connaître SS, et SjS^^. Or, SSi n'eft autre chofe que le déplacement de l'image,
correfpondant au déplacement QQ, du point Q, et, comme première approxi-
mation, on trouve donc facilement:

où R^ repréfente le rayon de courbure de la féconde furface réfringente et q la
diftance de Q au point O' auquel cette furface eft coupée par l'axe, ou bien, ce
qui revient au même, ayant égard à l'ordre de grandeur des lignes dont nous nous
occupons, la diftance QO. Si l'on fubftitue enfuite, afin d'introduire la diftance
PO = </, à ^ fa valeur 3^R, :(^-h2R,) ') et à QQ^ l'expreflion (^7), on
obtient :

ri8^ SS - RK^-RQ' 8^-2oR

Quant à S,Sa, cette longueur repréfente évidemment l'aberration longitudinale

comme positifs lorsque la direction indiquée par l'ordre des lettres est la même que celle des
rayons incidents . et comme négatifs dans le cas contraire.
0VoirlaProp.XII,p.4i.

AVERTISSEMENT- DEUXIÈME PARTIE. LXXVH

du rayon extrême par rapport à la féconde furface, pourvu qu'on confidère ce
rayon comme émanant du point Q,. Soit donc F le point où ce rayon coupe la
féconde furface, X' la projeélion de ce point fur Taxe, on aura alors la valeur de
S, vS^ en remplaçant dans la formule (i6), ^ par ^, Rj parR,, «par«— , XO
par X'O'. Cela uqus donne:

ou bien, pour « = - : ^

S.S. = ;^41 X '-^'^^^ X X'O'

ou enfin , par l'introduélion de </ au lieu de ^ : , , ^ , .

)

,,i

Il s'agit maintenant d'additionner les expreffions (i 8) et (19); mais aupara-
vant introduifons, à l'exemple de Iluygens et de Smith, l'épaifTeur mathc-

= I'X'. On

n / \ I \

matique de la lentille ^ = X'O'— X0 = — fî^ 1^-1 où /^:=IX = rX'

a alors XO = „ _^^ e^ X'O' == n- — Sï- ^ et l'addition amène, après quelques
réductions, l'expreffion: . ,, «• v»

iVftr. • .^îirt.- ': j,o;|.

^s _c-^7r;+6r,r,-7rd^-+(66r,+i4rjr,r.^-5^r;r:j::'"''

^^*— 6[(R,-RJ^-2R,Ra]^^''i'^^!'^-'- ■ f •>;' '^ -''1

Pour adapter cette formule au cas d'une lentille biconvexe on doit chtmger le
fignc de Rj. Si enfuite nous l'écrivons fous la forme:

(■^°)^^^- 6[(R. + RJi-2R.R,p -,,.. .,.?''•

de forte que l'aberration d'un faifceaude rayons parallèles à Taxe foit rbpt'èrelntëe
par une grandeur pofitive, il efl: facile de conftater l'identité de cette exprefiion
avec celle du bas de la p. 397, que nous avons empruntée à l'ouvrage moderne
de J. P. C. Southall et dans laquelle on doit remplacer a par R, et « par R,.

LXXVIII

AVERTISSEMENT-DEUXIEME PARTIE.

Nous voulons ajouter encore que la manière donc la formule (20) eft déduite par
Smith permet de déterminer facilement, d'une autre façon que nous ne l'avons
fait plus haut '), les conditions dans lefquelles l'épaifieur fupplémentaire eft
négligeable. Évidemment cette épaifîeur doit refter petite par rapport aux rayons
de courbure des furfaces de la lentille et aux diftances de l'objet et de Ton image
à ces furfaces, mais cette condition eft-elle fuffifante pour pouvoir négliger le
terme qu'elle introduit dans l'expreflîon pour l'aberration fphérique, vis-à-vis de
celui provenant de l'épaifTeur mathématique qui eft elle-même une petite
grandeur?

Or, en fuivant pas à pas les calculs de Smith on voit facilement que fi cette
première condition eft fatiffaite et fi, de plus, l'ouverture de la lentille eft fuffi-
famment limitée pour qu'on puifle confidérer comme petite l'inclinaifon des
rayons fur l'axe , on pourra fe fervir de la formule (20) dans tous les cas où il eft
permis de confidérer comme égales les lignes ÏX et l'X' que nous avons repré-
fentées toutes les deux par h. Cela exige donc que I X — FX' foit négligeable
par rapport à h^ mais fi nous appelons x l'angle fous lequel, à l'intérieur de
la lentille, le rayon extrême H' s'approche de l'axe et e' l'épaifteur au bord
de lentille, on aura IX — rX'= (?'<:k, o\xx-=h: OQ^ , puifque OQ^ repréfente
la diftance de la lentille au point Q, , où le prolongement de I F rencontre l'axe.
On en déduit: ■ '

ix-rx'

HDDi.

OQ,'

d'où il réfulte (parce que l'épaifteur e' au bord eft égale à TépaifiTeur fupplémen-
taire dans le cas d'une lentille convexe et à la fomme de cette épaifieur et de
l'épaififeur mathématique dans le cas d'une lentille concave) , que, dans les con-
ditions formulées plus haut, l'épaifieur fupplémentaire peut même furpafl^er con-
fidérablement l'épaififeur mathématique fans que la formule (20) foit infirmée.

Avec cette formule (20) un certain point culminant dans le développement
de la théorie de l'aberration fphérique eft atteint. En effet, cette formule réfume
les réfultats de cette théorie pour autant qu'elle fe rapporte à la première

*) Voir les p. LUI— LV de cet Avertissement.

AVERTISSEMENT-DEUXIÈME PARTIE. LXXIX

approximation et au cas d'une feule lentille. Bientôt les recherches plus générales
d'Eulcr et d'Alembert feront dépaiïer ce point; mais il ne nous femble pas nécef-
faire de pourfuivre auflî loin notre hiftorique, puifque dans la Dioptrique de
Huygens on ne trouve rien qui fe rattache à ces recherches plus modernes, fi on
en excepteles calculs, dont nous avons déjà parlé'*), fur la manière de compenfer
l'aberration d'une lentille par celle d'une autre.

Toutefois nous ne pouvons pas pafTer fous filence la partie de l'œuvre d'Euler
où celui-ci critique une des conclufions auxquelles Huygens avait été conduit.

Il s'agit des confidérations d'Euler fur la théorie de la lunette keplérienne 3).
Nous en mentionnerons le réfultat principal en nous bornant au cas où l'objet fe
trouve à diftance infinie et où les rayons redeviennent parallèles après leur paf-
fage par l'inftrument. Nous fuppoferons de plus que les deux lentilles font
compofées de la même efpèce de verre.

Après avoir remarqué que, dans ces circonftances, il eft impoflible de s'affran-
chir de l'aberration chromatique, Euler écrit: „ïl importe d'autant plus de
rendre infenfible" [dans l'image] „la confufion de la première efpèce" [celle qui
eft caufée par l'aberration fphérique] , „c'eft-à-dire de faire en forte que le rayon
du cercle provenant de cette confufion" [le cercle d'aberration] „ne furpaffe
pas certaine limite" '^). Dans les notations d'Euler cette limite eft défignée

par -k~~^^ où il s'agit de la valeur angulaire du rayon en queftion s).
4

»)Voirlesp.LIX— LXVI.

3) Voir les p. 191 — 224 du Tome II de la Dioptrique d'Euler, ouvrage qui a paru de 1769a
1771 sous les titres: „DioptriciB pars prima continens librum primum, de explicatione priiici-
piorum, ex quibus constructio tam telescopiorum quam microscopiorum estpetenda. Auctore
Leonhardo Eulero Acad. Scient. Borussice Directore vicennali et Socio Acad. Petrop.
Parisin. et Lond. Petropoli. Impensis AcademiiE Imperialis scientiarum. 1769.

Dioptrica; pars secunda, continens librum secundum, de constructione telescopiorum
dioptricorum cum Appendice de constructione telescopiorum catoptrico-dioptricorum.
Auctore etc. 1770.

Dioptricje pars tertia, continens librum tertium, de constructione microscopiorum tam
simplicium, quam compositorum. Auctore, etc. 1771".

4)„Eo magis autem in id est incumbendum, ut confusio primœ speciei ab apertura pendens
insensibilis reddatur, seu ut semidiameter huius confusionis certum quendam limitem, quem
littera k indicavimus, non superet" (p. 193 du T. II de la Dioptrique d'Euler).

5) „Neigiturha;c confusio fiât intolerabilis,necesse est, ut semidiameter confusionis infra certum

limitem subsistât; pro quo limite supra banc formulam constituimus - ^-3 existente k = 40
vel k = 30 circiter" (p. 3 1 du T. II).

LXXX AVERTISSEMENT-DEUXIÈME PARTIE.

D'après fes calculs la condition, pour que la limite ne foit pas dépafTée , peut
être exprimée par l'inégalité:

ou bien :

(21) p'^kx\/ iJL(^Xm + >^^,

dans laquelle x repréfence le demi-diamètre de l'ouverture de l'objeélif, p la
diftance focale de cette lentille , m le groflilTement de la lunette, et fx un fafteur
qui dépend de l'indice de réfraélion n '). Le nombre A fe rapporte à l'objeélif;
c'eft une fonétion de l'indice de réfraélion et du rapport entre les rayons de cour-
bure des furfaces antérieure et poftérieure. Si la lentille a la forme qui préfente le
minimum d'aberration fphérique pour des valeurs données de x et de />, on a
A = I ; pour d'autres formes A eft plus ou moins fupérieur à l'unité. Le nombre
a' eft pour l'oculaire ce que A eft pour l'objeélif.

Euler introduit encore une grandeur 3; qu'il confidère comme la mefure de la
clarté et qui n'eft autre chofe que le demi-diamètre du cylindre lumineux qui entre
dans l'œil; ce cylindre étant fuppofé ne remplir qu'une partie de la pupille 3).
On peut dire aufli que 3^ repréfonte le rayon de la pupille de fortie de la lunette et
on a donc la relation : .

(22) x=zmy,

en vertu de laquelle l'inégalité (21) peut être mife fous la forme:

Dans le cas d'un groftiftement un peu confidérable, on peut négliger le terme
a' vis-à-vis de Aw, parce que A et A' font du même ordre de grandeur. La plus
petite diftance focale, compatible avec la condition prémentionnée, eft donc
donnée par :

(23) p=ky]y'iJUm\

.>) On a u — "C4"— 0

*) Huygens aussi , dans ses considérations sur la clarté des lunettes (voir p. e. les pp. 335, 347,
481 et 493), suppose toujours que cette condition soit remplie, quoiqu'il ne la formule pas
explicitement.

AVERTISSEMENT-DEUXIÈME PARTIE. LXXXI

Après avoir obtenu ces formules, Euler continue ainfi ♦) : „De ce réfultat
il s'enfuit immédiatement que , fi l'on défire un grolRflTement plus fort, la dilhnce
focale de l'objeftif doit être augmentée, . . et cela non pas proportionnellement
à la première puiflance de w, mais prefque proportionnellement à rn^^*^ et un
peu plus loin il dit 5) : „Nous voyons auflî que pour obtenir un plus haut degré
de clarté, il faut augmenter la longueur />, ce qui eft également utile quand
on défire une plus grande netteté de l'image, parce qu'il faut alors donner une
plus grande valeur au nombre ^".

Après avoir expofé ces réfultats, Euler parle dans les termes fuivants des
recherches de Huygens fur le même fujet '^) : „Se bafant en partie fur une théorie
alTez incomplète, et en partie fur des expériences, Huygens a trouvé que la
diftance focale de la lentille objeétive doit être proportionnelle au carré du grolfif-
fement''). Je fuis fi loin de vouloir faire objeétion à cette règle que je la confidère
même comme pratiquement utile, furtout pour le temps de Huygens. En effet,
notre détermination eft fondée fur lafuppofition qu'on puifTe donner aux furfaces
des lentilles une forme exaétement fphérique. Si l'ouvrier peut y réuffir, il n'y
a aucun doute que notre formule ne foit conforme à la vérité et il femble qu'il

*) „Hinc ergo statim apparet, quo maior reqiiîratur multipIicatio,eo maiorcm esse debere lentis
objectiva; distantiam focalem ideoque etiam longitudinem telescopii neque id in ratione sim-
plici,sed fere in ratione sesquitriplicatamultiplicatioiiis, scilicet utw»/3"(p. 193 du Tome II).

5} „ïlinc etiam intelligimus, quo maior gradusclaritatis3'desideretur,eo magisquantitatem/»
augeri debere quod etiam usu venit , si maior distinctio reqiùratur , quia tum llttera k maior
valor tribui deberet" Tp. 194 du Tome II).

**) „Ilugenius partira theoriœ satis incompleta: partim experimentis innixus distantiam focalem
lentis objectivée quadrato multiplicationis proportionalem statuit,cui tantum abest,ut adver-
sari velim, ut potius in praxi eius pr^esertim temporis assentlar, nostra enim deterniinatio,
innititur hulc ratloni quod faciès lentium ad figuramspbîericamperfectesint formata quam si
artifex exacte efficere posset, nullum est dubium, quin nostra formula veritati slt consen-
tanea, quodquidem nunc summorum artifîcium industriaî concedendum videtur; sed quando
figura lentiuni a sphœrica figura tantillum aberrat, notum est, vitium eo magis esse sensibile,
quo maior fuerit distantia focalis lentis, cui propterea aliter occurri nequit,nisi distantiam
focalem maiorem reddendo, quam secundum nostram regulam. Num autem praecise ratio
duplicata inde exsurgat, neutiquam affirmare licet , sed prout qua^que lens feliciori successu
fuerit elaborata co minor distantia focalis sufficit eidem multiplicationi producenda;,seu
potius eadem lens maiori multiplicationi producendaî erit apta, quod etsi perpetuo est obser-
vandum, tamen hic assumo, lentibus non solum sphîericas figuras, sed etiam secundum datos
radios tribui posse" (p. 195' du Tome II).

'') Cette règle, fondée, comme nous le verrons, sur la considération de l'aberration chroma-
tique, ne fut pas donnée explicitement par Huygens, mais elle suit immédiatement des
règles formulées aux pp. 487— 489 et 495 du présent Tome, comme aussi du Tableau
qu'on trouve aux p. 497 — 499.

II

LXXXII AVERTISSEMENT-DEUXIÈME PARTIE.

en foie bien ainfi maintenant grâce aux efforts des grands maîtres dans cet art. Si,
au contraire , la figure des lentilles s'écarte tant foit peu de la forme fphérique , il
cft connu que ce défaut fe fait fentir d'autant plus que la diftance focale eft plus
grande. La feule manière d'obvier à ce défaut fera donc de donner à la diftance
focale une longueur plus grande que celle qui correfpond à notre règle. On
ne faurait affirmer qu'il en réfukera précifément la proportionnalité au carré
du groffiffement, mais on peut dire qu'à mefure qu'on réuflira mieux à former
chaque lentille, le même groffiffement pourra être obtenu avec une diftance
focale plus petite, ou plutôt que la même lentille pourra fervir à produire un plus
fort groffiffement. Bien qu'il faille toujours faire attention à cela, je fuppofe
ici qu'on puiffe donner aux furfaces des lentilles, non feulement des formes
fphériques, mais auffî les rayons de courbure prefcrits".

Ces phrafes ne rendent aucunement juftice aux recherches de Huygens, dont
évidemment Euler a pris connaiflTance d'une manière très fuperficielle. En effet,
comme nous l'avons déjà dit ') , Huygens a déterminé deux fois des règles pour
la longueur et l'ouverture des lunettes, d'abord en confidérant feulement l'aber-
ration fphérique ^^, et plus tard en ne faifant intervenir que l'aberration chro-
matique 3). Or, c'eft la deuxième forme de ces règles à laquelle Euler fait
allufion ; c'eft d'ailleurs la feule qu'il ait pu trouver dans l'édition de la Diop-
trique publiée par de Volder et Fullenius; la première ayant été fupprimée par
Huygens du manufcrit de fa Dioptriquc dont ces favants fe font fervis. Euler
aurait donc pu voir que, dans le paff*age qu'il' avait fous les yeux, Huygens, en
confidérant l'aberration chromatique, avait réfolu un problème entièrement diffé-
rent de celui qu'il venait de traiter lui-même. Il aurait pu favoir auffi que pour
l'efpèce de lunettes qu'il étudiait à l'endroit cité et qui était la même que celle
que Huygens avait eue en vue, ce n'eft pas l'aberration fphérique, mais l'aber-
ration chromatique, dont il importe avant tout de diminuer les effets, comme
Huygens l'avait parfaitement reconnu.

En vérité, le réfultat d'Euler s'accorde entièrement avec les />r(?w/Vré'j règles
de Huygens. Pour le faire voir, nous remarquerons ce qui fuit :

1**. La manière dont Huygens entend la condition que, dans le cas de deux
lunettes, la vifion foit également diftinélc^), revient à l'égalité, pour les deux
inftruments, de la grandeur k introduite par Euler.

*) Voir la p. XI de cet Avertissement.

') Voir, au présent Tome, les p. 339—353 des„Rejecta ex dioptricis nostris".

AVERTISSEMENT-TROISIÈME PARTIE-CHAP. I-DES xéLESCOPES. LXXXIII

2". Pareillement, la condition que la clarté foit la même, s'exprime par l'éga-
lité des valeurs de y^ car, en vertu de la relation (22), cette égalité amène la
proportionnalité du demi-diamètre de l'ouverture au grofïïncment, ce qui eft
précifément la condition formulée par Huygens s).

3°. Un des points fur lefquels Huygens infifte, c'eft que l'aberration fphérique
de l'oculaire a beaucoup moins d'effet que celle de Tobjeélif ''). Cela fe montre
dans les formules d'Euler par les valeurs relatives des termes A»; et A'. La for-
mule (23) correfpond à la fimplification que Huygens obtient en négligeant
l'aberration fphérique de l'oculaire.

4°. Pour Amplifier la comparaifon de deux lunettes on peut fuppofer que A ait
la même valeur pour l'une et pour l'autre. Comme cette valeur dépend du rapport
qui exifte entre les deux rayons de courbure, cela revient à fuppofer avec
Huygens 7) que les objeétifs font des lentilles „de la même efpèce".

5**. La formule (23) montre immédiatement que pour des valeurs données de
y&, 3^ , A et /A la diftance focale p de l'objeétif fera proportionnelle à ms. En com-
binant ce réfultat avec la relation (22) et la formule m=.p:p\o\xp' défignc la
diftance focale de l'oculaire, on voit que/> fera proportionnel à x'S et/ à x^ ou
bienà/>l^. On retrouve ainfi les deux règles énoncées par Huygens ^) dans les
„Rejeéta ex dioptricis noftris".

TROISIÈME PARTIE: DES TÉLESCOPES ET DES
MICROSCOPES. 1685— 1692.

CHAP. I. DES TÉLESCOPES.

Préface et confidéraùom fur le grofftffement et le champ de vifton
des lunettes à deux lentilles.

Le traité „des télefcopes", que nous allons analy fer maintenant, cil précédé
d'une préface qu'on peut dater avec certitude ') de 1685, et il efl: probable

5) Voir les p. 487—499 du présent Tome.

•♦) Voir, au présent Tome, le troisième alinéa de la p. 345 des „Rejecta".

S) Voir la p. 347 en haut. * iru;**;-

<') Voir la p. 341. „

0 Voir le dernier alinéa de la p. 343 et pour la définition de l'expression „de même espèce

la p. 3 1 5.
^) Voir les pp. 343 et 349.
9) Voir la note 2 de la p. 435 du présent Tome. Dans les Appendices I et II , p. 580— 59°. o"

LXXXIV AVERTISSEMENT-TROISIÈME PARTIE-CHAP. I-DES TÉLESCOPES.

que le traité lui-même fut compofé, ou du moins reçut fa forme définitive, en
grande partie pendant cette même année ').

Dans cette préface Huygens s'occupe d'abord de l'invention du télefcope dont
il attribue la priorité à Lipperfheim ou à Zacharias JanlTen ^). À cette occafion il
fe réfère à un document, dont il a pu prendre connaiflfance et qui réfute défini-
tivement les promoteurs de Jacob Metius ^). Toutefois il infifte fur les droits de
Porta à une invention préalable , qui n'était qu'un „rude commencement" et qui
ne portait pas de fruits ^} .

Enfuite Huygens expofe les fervices immenfes rendus par le télefcope h la
fcience de l'aftronomie , et il exprime l'efpoir que fon invention des lunettes fans
tube, en permettant d'arriver à des grofllfiTements beaucoup plus forts, nous
révélera bientôt „d'autres fpeélacles nouveaux et nombreux" s).

Pafl^int alors à la confidération „des caufes et des propriétés de cet œil faftice",
il déduit dans la Prop. I (p- 443 — 450 P*^^^'^ ^^ ^^^ ^^ ^^ lunette hollandaife
la formule bien connue du groflifl^ement. Dans cette Propofition , et dans la Prop.
III (p. 455 — 461) qui concerne la lunette keplérienne, Huygens ne donne pas
moins de trois ou quatre démonllrations différentes de cette formule pour chacun
des deux inftruments. On pourrait s'étonner d'une telle profufion, mais elle
s'explique facilement par le défir de Huygens de montrer, par cet exemple, la
fupériorité de fes méthodes fur celles de fes prédécefl^eurs.

En effet, on peut lire dans fa préface : „on n'efl: pas parvenu jufqu'à ce jour à
ce qui eft le plus important en cette matière, c'ell-à-dire à la connaifTance de la
nature et de la grandeur du groflifiement de l'objet vifé, étant données la
forme et la pofition des lentilles. Kepler ne Pa pas en feigne, quoiqu'il foit
digne de beaucoup de louanges à caufe des explications de phénomènes diop-
triques qu'il a données le premier. Defcartes ne fut pas plus heureux que lui ; en

trouve deux avant-projets de cette préface. Ils doivent dater de la même année.
*) Voir la note i de la p. 434.
*) Voir la p. 437.
3) Nous avons reproduit ce document, d'après la copie prise par Huygens, dans l'Appendice IIl,

P- 591 -593.
-♦) Voir les pp. 437 , 586 , 748 , 780 et 840.
5) Voir les p. 439 — 441.
^) Consultez encore sur l'historique de ce théorème le dernier alinéa de la p. XLIII de cet

Avertissement.

AVERTISSEMENT-TROISIÈME PARTIE-CHAP; I-DES TÉLESCOPES. LXXXV

vérité il s'écarca plutôt de la bonne route dans les démonftrations qu'il voulut
donner de la nature et de rcffct du tclefcope". Ces phrafes nous font com-
prendre la fatiftaftion que Iluygens éprouve évidemment en multipliant les
démonrtrations fimples et élégantes d'un théorème fi important ^); après en avoir
achevé la dernière, pour le cas de la lunette hollandaife, il ajoute: „De cette
manière Defcartes aurait pu établir la théorie du télefcope mieux que par la con-
fidération de l'interfeélion des rayons qui a lieu à la furface de la lentille exté-
rieure", et il critique enfuite les idées par trop exagérées de ce philofophc au
fujet de la pui (Tance qu'on pourrait donner aux télefcopes ^).

Dans la première de les démonftrations, p. 445, Iluygens fuppofe que l'œil
fe trouve immédiatement derrière la lentille oculaire. Alors, d'après une pro-
pofition prouvée dans la première Partie de la Dioptrique ^) , l'objet ei\ vu
fous le même angle que dans le cas où, au lieu de l'oculaire, il y aurait
Amplement un petit trou; on peut dire que dans ces circonftances la len-
tille oculaire fert feulement à rendre la vifion diftinéle fans avoir aucune
influence fur la grandeur apparente. Cette remarque conduit facilement au
théorème que le groffifl^ement efl: déterminé par le rapport des didanccs de
l'objcélif et de l'oculaire au foyer de l'objeétif; c'ell-à-dirc au point où fc
formerait l'image de l'objet éloigné 9) s'il n^y avait pas d'oculaire '°). Sous
,cette forme la règle s'applique à tous les cas, quel que foit l'état d'accom-
modation de l'œil"), pourvu feulement qu'il fe trouve tout près de l'ocu-
laire. Cette rcilriélion n'efl: pas néceffaire quand on fuppofe que l'œil efl:
adapté à une diflance infinie. Dans cette hypothèfe, le point de difperfion
de l'oculaire devra coïncider avec le foyer de l'objeétif, de forte que les
rayons provenant d'un point de l'objet redeviennent parallèles entre eux après

7) Voir la p. 451 du présent Tome.
^) Voir la Prop. I, Liv. II, p. 173.
9)1)0115 le traité des télescopes l'objet est toujours supposé se trouvera une distance quasi

infinie.
'°) Il s'agit de la lunette hollandaise.
") C'est ici la seule fois, dans toute cette troisième Partie de la Dioptrique, que Iluygens parle

d'un observateur myope; dans tout ce qui suit l'œil est supposé adapté à une distance infinie.

D'ailleurs la question d'accommoder une lunette à un autre état de l'œil avait été traitée dans

la première Partie; voir les p. 245 — 253.

LXXXVI AVERTISSEMENT-TROISIÈME PARTIE-CHAP, I-DES TÉLESCOPES.

leur pafTage à travers rinftrument; mais alors, d'après un théorème démontré
dans la première Partie de la Diopcriquc ') , la grandeur apparente de l'objet
fera indépendante de la pofition de l'œil et la règle peut être donnée fous
fa forme ufuelle d'après laquelle le groffiffement égale le quotient des diftances
focales. D'ailleurs, pour trouver cette règle, il fuffira alors de confidérer
la marche d'un rayon incident quelconque, incliné fur l'axe. Pour ce rayon
Huygens choifit fucceflivement un de ceux qui atteignent le centre de l'ocu-
laire (p. 447), un autre qui, après avoir pafTé par le premier foyer de
l'objeélif, parcourt la lunette parallèlement à l'axe Cp. 449) et enfin un rayon
qui paffe par le centre de l'objedif. C'eft ainfi qu'il obtient les trois autres démon-
ftrations.

Dans la Prop. II (p. 451 — 453) il s'agit du champ de la lunette hollan-
daife. Huygens fuppofe qu'on place l'œil tout près de la lentille oculaire
concave, ce qui eft, en effet, la pofition dans laquelle l'œil embrafîe d'un feul
regard le plus grand nombre d'objets. Dans les circonlVances ordinaires, l'éten-
due du champ dépend alors en premier lieu de la grandeur de la pupille de
l'œil, étant déterminée par le cône qui a pour bafe cette pupille et pour fommet
le centre de l'objeélif. Cependant fi la pupille fe contraéle de plus en plus,
ou fi Ton place devant elle un trou de plus en plus petit, le champ ne fe
rétrécira pas indéfiniment; en effet, lorfque la pupille fera réduite à un point,
le champ aura toujours une certaine grandeur, déterminée par les rayons paffant
par le bord de l'objeétif (p. 453). Il faut remarquer auffi que Huygens fe rend
compte de l'affaiblifiTement graduel de l'intenfité lumineufe vers la périphérie
du champ et qu'il fait donc diftinguec , entre la partie centrale uniformément
éclairée et l'étendue totale. Dii jofo

Signalons encore une jolie expérience que Huygens décrit ici (p. 453).
Elle confifl:c à regarder au travers de la lunette après s'être trouvé quelque temps
dans l'obfcurité. On peut remarquer alors que dans les premiers moments
l'étendue du champ efl: plus grande qu'à l'ordinaire, mais qu'elle diminue
rapidement par fuite de la contraétion de la pupille, qui s'était dilatée dans
l'obfcurité.

0 Voir la Prop. XIII, Liv. II, p. 233.

^) Comparez le dernier alinéa de la p. LI de cet Avertissement.

AVERTISSEMENT-TROISIÈME RARTIE-CHAP. I-DES TÉLESCOPES. LXXXVII

Dans la Prop. III (p. 455 — 461) Huygens pafTe aux lunettes keplériennes à
deux verres convexes. Il y détermine le grofTiiTement d'une manière entière-
ment analogue à celle qu'il fuit dans la Prop. I pour le cas de la lunette hollan-
daife; mais il s'occupe aufll de l'endroit où fe trouve la pupille de forticet oii
il faut donc placer la pupille de l'œil fi l'on veut que le plus de rayons pofllbles
contribuent à la vifion; quellion k laquelle il s'était déjà beaucoup interelTé
en 1653 dans la première Partie de la Dioptrique '*). En effet, dans le cas où la
pupille de fortie eft plus petite que celle de l'œil , comme il en était dans les
télefcopes conftruits par Huygens, on peut dire que lorfque l'œil alapofition
indiquée, tous les rayons qui font tranfmis par l'inftrument atteignent la rétine.
La pupille peut alors fe contraéter encore plus ou moins fans que la clarté de
l'image en fouffre (p. 459).

Le champ de la lunette keplérienne eft déterminé fuivant Huygens, par le
cône ayant pour bafe l'oculaire et pour fommet le centre de l'objeétif '); il eft
donc, en général, beaucoup plus étendu que celui de la lunette hollandaife; diffé-
rence fur laquelle Huygens infifte dans fa comparaifon des deux efpèces de
télefcopes (p. 459—461). Il faut dire ici qu'on ne trouve nulle part chez
Huygens une théorie du champ de vifion auflî complète que celle de l'aberration
fphérique, par exemple. Il eft vrai que, dans fa généralité, le problème eft
affez compliqué, revenant h la détermination des lignes droites qu'on peut tirer
par trois plans circulaires, à favoir celui de l'oculaire, celui de la pupille de l'œil
et celui de la pupille de fortie. La queftion fe fimplifie lorfque le centre du
deuxième cercle coïncide avec celui du premier ou du troifième; ce font là
précifémcnt les cas qui fe préfentent dans la lunette hollandaife et dans la lunette
keplérienne, fi l'œil a lapofition que Huygens lui affigne. On obtient auffi une
Amplification en fuppofant qu'un des trois cercles eft très petit. Dans une anno-
tation de l'année 1686 4) Huygens cherche la pofition que l'œil, confidéré comme
un point, doit avoir dans le cas de la keplérienne pour obtenir la plus grande
étendue du champ. Cette pofition s) eft plus rapprochée de l'oculaire que la
pupille de fortie et même que le fécond foyer.

3) On sait qu'en appliquant cette règle on trouve pour le champ visuel une étendue intermé-
diaire entre celle du champ total et celle du champ uniforme.

4) Voir le § 10 de l'Appendice VI , p. 61 1 — 6 1 3 du présent Tome.

5) Elle est représentée par le point tf de la figure de la p. 61 1.

LXXXVIII AVERTISSEMENT-TROISIÈME PARTIE-CHAP. I-DES TÉLESCOPES.

Lunettes à plus de deux lentilles.

Nous avons vu ') que, vers 1653, dans le Traité de la réfraélion et des téle-
fcopes, qui conftituc la première Partie de la Dioptrique, Huygens avait recom-
mandé deux différents syllèmes de lunettes à plus de deux lentilles; l'un (Part. I,
Liv. III, Prop. III, p. 253 — 259) pour les obfervations céleftes, l'autre (Part. I,
Lîv. III. Prop. IV, p. 259 — 264) pour l'ufage tcrreftre; en outre il avait
fait grand cas d'un fyftcme où le redreïïement des images formées par une keplé-
rienne était obtenu à l'aide d'un petit miroir (Part. I, Liv. III, Prop. V,
p. 265—269).

De ces trois syftèmes il n'a jamais abandonné entièrement le premier dont
l'oculaire ell connu fous fon nom. Jufqu'en 1692, il s'en occupe ^) et dans le
projet relatif h l'arrangement des matières dans fa Dioptrique, conçu cette
année, il lui réferve une place prédominante 3). Au contraire les deux fyftèmes
terreilres,cclui à trois lentilles et images droites, et celui à miroir, font confi-
dérés par lui comme inférieurs au fyftème de Campani h quatre lentilles , dès que,
vers 1666 *) , l'expérience lui a fait connaître les mérites de ce dernier.

Guidé par ces confidérations, Huygens a ajouté au manufcrit de fa Dioptrique
une nouvelle propofition (la Prop. V, p. 469— 473, de la troifième Partie) ,
concernant les lunettes de Campani; il a confervé la Prop. III de la première
Partie, mais il l'a foumife à une révifion complète. C'efl: fous cette nouvelle
forme que nous l'avons reproduite comme Prop. IV (p. 461 — 467) de la
troifième Partie.

Cependant, comme nous l'avons indiqué dans les notes s), la nouvelle rédaction
eft un peu fragmentaire et confufe. Déjà la féconde phrafe pourrait donner lieu
à un malentendu. On y lit que „raberration des rayons qui fe dirigent vers l'œil
à partir des différents points de l'objet devient beaucoup moindre" [dans l'ocu-
laire à deux lentilles] „que lorfqu'on prend une lentille oculaire unique, donnant
le même groffiffement".

*) Comparez les p. L — LI de cet Avertissement.

') Voir le § 1 1 de l'Appendice VI, p. 613 — 614 du présent Tome.

') Voira la p. 774 l'indication: „Télescope de 3 qui renverse et fait voir grand champ".

^) Voir la p. 48 du T. VI.

s ■) Voir les notes i et 2 de la p. 466 du présent Tome et la note 7 de la p. 467.

AVERTISSEMENT-TROISIÈME PARTIE-CHAP. I-DES TÉLESCOPES. LXXXIX

Or, il ne peut pas s'agir ici , comme on le croirait au premier abord , dé Teffet
nuilible de l'aberration fphérique ou chromatique fur la netteté des images,
puifqueHuygens favait trop bien que, dans les circonftances ordinaires, l'oculaire
n'y contribue que très peu *^). Il faut donc que Huygens ait en vue un autre
phénomène, dont il ne parle dans fa Dioptrique qu'en pafTant et qui confifte
dans une dillorfion des images caufée par l'aberration fphérique de l'oculaire.
Nous favons, en effet, que, vers 1692, Huygens s'eft occupé de ce phénomène
et nous reviendrons bientôt fur ce fujet.

Ajoutons encore que , dans la nouvelle rédaétion , Huygens a adopté pour les
dimenfions de fon oculaire les relations /, =4/^^,^ = 2/^, où f^ repréfentela
didance focale de la lentille qui fe trouve du côté de l'œil, /^ celle de l'autre
lentille et e leur dillance mutuelle Q. Partant de ces relations, il apprend h cal-
culer quelles doivent être les valeurs de /, ,/*a et <?, fi l'on veut obtenir avec une
lunettte de longueur donnée un grolfilTement donné, et quel eft le lieu précis
où l'on doit placer l'oculaire pour que les rayons venant d'un point très éloigné
redeviennent parallèles entre eux après leur fortie de la lunette.

Quant aux lunettes „Campanines" h quatre verres, l'infpcélion des figures 14
et 15 de la p. 469 en fera connaître immédiatement la difpofition des lentilles.
Huygens préfère ces Campanines à fes propres lunettes terrefires à trois lentil-
les ^) , parce que dans celles-ci „les lentilles oculaires, ou tout au moins celle qui
cfl: la plus proche de l'œil, doivent être compofées de portions plus grandes de
furfaces fphériques, par rapport à la difl:ance focale, fi l'angle vifuel doit être
le môme dans les deux cas ^) , d'où il s'enfuit que les objets femblent colorés et
que les lignes droites auprès des bords paraifl^ent courbées" (p. 469). Plus loin
(p. 473) il ajoute que, toutefois, les Campanines doivent „une grande partie de
leur fupériorité à l'anneau ou diaphragme", qu'on introduit entre les deux
lentilles qui font les plus proches de l'œil et dont l'avantage confifte à „donner
au champ une limite circulaire nette", et à faire „difparaître en même temps les
couleurs aux bords, couleurs qu'il était impoffible d'éviter entièrement avant

*^) Consultez les pp. LXVIII , LXX et XCI de cet Avertissement.

'') Comparez la note 4 de la p. L.

^) Celles dont il est question dans la Prop. IV, p. 259—265 du „Traitédela réfraction et des

télescopes" de 1653.
^) Comparez la note 4 de la p. 468.

12

XC AVERTISSEMENT-TROISIÈME PARTIE-CHAP. I-DES TÉLESCOPES.

cette invention". Or, l'iifage d'un tel diaphragme, qui était auparavant inconnu,
fut expliqué par lui dans fon Syftema Saturnium ').

D'ailleurs les frères Huygens, Conftantyn et Chriftiaan, ont conftruit des
„Campanines" eux-mêmes =). Une d'elles eft confervée à rObfervatoire de
Leiden. Nous en avons indiqué les mefures au §7 de l'Appendice VI, p. 607 3).

Con/îdérations et calculs de Hw^j gens fur la dijïorlton des images.

C'eft ici la place de parler de la diftorfion des images, caufée par l'aberration
fphérique de l'oculaire, puifque les calculs faits par Huygens à ce fujet fe rap-
portent précifément aux deux fyllèmes d'oculaires que nous venons de décrire.

Or, quoique Huygens ait eu, vers 1692, l'intention d'expofer dans sa Diop-
trique fes idées fur la caufe de cette diftorfion et fur la manière de la déterminer
pour un oculaire donné, il n'a pas exécuté ce projet "*). Aufli le feul moyen de
connaître ces idées, c'eft l'examen attentif des deux Pièces qui contiennent les
calculs que nous venons de mentionner. Ces Pièces font reproduites au § 14 de
l'Appendice VI (p. 615 — 617) et dans l'Appendice VII (p. 618 — 620).

Commençons par donner un aperçu des conceptions de Huygens qui ont dû
fervir de bafe à fes calculs. A cet effet nous fuivrons, dans fon parcours à l'inté-
rieur d'une lunette, le faifceau de rayons qui émane d'un point éloigné, fitué à
côté de l'axe de la lunette. Ce faifceau, qui, à fon entrée dans l'inftrument, a la
largeur de l'ouverture de l'objeftif, fe rétrécit enfuite pour fe réduire prefqu'à
un point dans le plan focal. Après avoir paffé ce plan il s'élargit un peu ; mais

*) Voir la note 2 de la p. 473 et comparez encore les notes 2 des pp. 259 et 264 et les pp. 774

et 826.
*) Voir sur une Campanine construite en 1 66j par Constantyn Huygens les pp. 1 5 1 , 1 52 , 1 58 ,

170, 205 et 207 du T. VI et sur une autre, probablement celle de l'Observatoire de Leiden ,

construite par lui en 1683 avec la collaboration de Chrlstlaan Huygens, les pp. 341,

41 1 — 417 et 420 du T. VHI.

3) Voir encore sur les Campanines les § 3 et 4 (p. 600—602) et le § 8 (p. 608) de l'Appen-
dice VI.

4) Consultez la Pièce de 1692 „De Ordine in Dioptricis nostris servando" à la p. 771 , où l'on
lit: „tum de curvatione rectarum apparente"; voir en outre à la p. 616 la phrase entre paren-
thèses: „hujus causa bene exponenda est". Déjà vers 1653 Huygens avait mentionné
Cp« 265) la distorsion des images mais il avait ajouté «qu'il est fort difficile de calculer
d'une manière satisfaisante cette courbure des lignes droites qu'on voit souvent près des
bords des lentilles"; voir encore sur le même sujet les pp. 469 et 821.

AVERTISSEMENT-TROISIÈME l'ARTIE-CHAP. I-DES TÉLESCOPES. XCI

cela n'empêche pas qu'il ne frappe qu'une partie très reftreintede la première fur-
face de l'oculaire. Par fuite, les rayons qui le compofent fuivront dans l'oculaire
des routes très voifines. L'aberration fphérique de cette lentille aura donc à peu
près le même effet fur chacun de ces rayons; elle ne produira pas de diminution
appréciable dans la netteté des images, mais une déviation dans la diredion des
rayons, qui fera à peu près la même pour tous. C'eft cette déviation qui caufe la
diftorfion des images. Afin de la calculer, il fuffirade confidérer un feul rayon du
faifceau, pour lequel on peut choifir, comme Huygens le fait dans les deux cas
traités par lui, le rayon qui, pafTant près du premier foyer de l'objedtif, fe meut
parallèlement à l'axe à l'intérieur du tube entre l'objedtif et l'oculaire s). Pour ce
rayon on peut déterminer en premier lieu l'angle qu'il ferait avec l'axe après fa
fortie de l'oculaire, fimple ou compofé, dans l'hypothèfe où il n'y aurait pas
d'aberration fphérique, et enfuite l'angle qu'il fait, en réalité, avec l'axe après
cette fortie, en tenant compte de l'aberration fphérique. La différence entre
ces deux angles conllituera ce que Huygens appelle l'angle d'aberration fphé-
rique '^). C'eft cet angle qu'il emploie pour mefurer la diftorfion de l'image 7).

Dans la première des deux Pièces que nous venons de citer (§ 14, p. 615),
Huygens démontre que la diftorfion caufée par l'oculaire de Campani à trois len-
tilles, eft égale à celle que produirait une feule de ces lentilles fi l'on s'en fervait
comme lentille oculaire unique. En reproduifant cette Pièce, qui n'eft: qu'une
ébauche, nous avons dû fuppléer mainte fois dans les notes aux lacunes du raifon-
nement. La féconde Pièce (§ 15, p. 618) efl: encore moins achevée. Elle efl: fi peu
explicite que nous avons même héfité fur fa véritable portée lors de fa repro-
duélion dans le texte du préfent Tome ^). Toutefois un nouvel examen a fait
difparaître cette héfitation. Il ne nous femble plus douteux que Huygens y com-
pare , en effet , la diftorfion caufée par l'oculaire , qui porte fon nom, à celle pro-

S) Si l'objectif était sans aberration sphérique on devrait faire passer ce rayon par le premier
foyer de cette lentille; en le faisant couper l'axe un peu plus près du verre on élimine
l'induence de l'aberration de l'objectif.

û) On peut consulter sur cet angle la note 1 de la p. 540.

7) Si l'angle d'aberration était proportionnel à la distance du rayon considéré à Taxe, l'aber-
ration sphérique de l'oculaire ne causerait en première approximation qu'une légère modi-
fication du grossissement; mais puisque cet angle est proportionnel au carré de cette distance,
il se produit une inégalité dans le grossissement des différentes parties du champ de vision
et c'est cette inégalité qui est la cause de la distorsion.

^) Comparez les notes 1 et 4 des p. 618 et 6ip.

XCII AVERTISSEMENT-TROISIÈME PARTIE-CHAP. I-DES TELESCOPES.

venant d'une lentille oculaire unique donnant le même groflîlTement et le même
champ de vifion. Nous croyons que, lorfque Huygens y prend pour angle
d'aberration un angle qui ne lui eft pas égal , il s'agit d'une inadvertance ').
D'ailleurs cette erreur n'infirme pas fa conclufion que l'angle d'aberration (et
par conféquent la diftorfion) propre à fon oculaire eft beaucoup moindre que
l'angle d'aberration qui appartient à la lentille unique; ce qui conftitue l'un des
principaux avantages de fon oculaire.

Difons encore que dans fes calculs Huygens fe fert continuellement d'une
propofition importante (Prop. VI , p. 475 — 479) fur l'égalité des petits angles
entre deux rayons perpendiculaires à l'arête d'un prifme avant leur entrée dans
le prifme et après qu'ils en font fortis; propofition que nous avons déjà men-
tionnée à la p. XLV de cet AvertilTemenc.

Conf dérations générales fur la clarté et la netteté des images

formées par les télé f capes. DéduStîon des nouvelles règles pour la détermination de

r ouverture et du grojjîffement admiffihles dans un télefcope de longueur donnée.

La partie de la théorie des lunettes qui occupe les p. 48 1 — 5 1 1 eft fans doute
la plus importante et celle qui montre le mieux le talent avec lequel Huygens a
fu approfondir les problèmes qu'il fallait réfoudre pour bien comprendre les
effets produits par ces inftrumcnts. Il y confidère les limites qu'on doit s'impofer
dans la conftrudion des télefcopcs pour que l'image ne foit ni trop obfcure,ni
trop confufc et il reprend donc les queftions qu'il avait traitées autrefois dans les
jjRejeéla" et dont nous avons donné un réfumé aux p. LXVI — LXXII de cet
Averti (Temcnt. Seulement les nouvelles règles , qu'il va déduire maintenant , font
bafées fur la confidération de l'aberration chromatique , dont il avait appris à
reconnaître la prépondérance fur l'aberration fphérique, quant à l'effet produit
fur la netteté des images formées par les télefcopes *).

*) Voir la note 5 de la p. 620.

") Comparez les pp. IX et X[ de cet Avertissement. Notons que beaucoup plus tard, vers
1692, Huygens a reconnu que dans les tout petits télescopes, à commencer par ceux de
8 pouces (2 décimètres environ), l'aberration sphérique n'est plus négligeable par rapport
à l'aberration chromatique. Les nouvelles règles de 1684, dont nous allons parler, ne pou-
vaient pas être appliquées à ces instruments (voir les pp. 639, 641 et 643) , et Huygens se
proposait d'ajouter dans sa Dioptrique une remarque à cet effet; ce qu'il n'a pas fait. Un peu
plus loin (p. 643) il exprime l'idée de retourner pour ces lunettes à l'invention de 1665 (voir

AVKRTISSEMRNT-TROISlfelVlE PARTIE-CIIAI». I-DRS TÏiF.ESCOPES. XCIll

Mais c'cll d'abord la clarté des images qu'il étudie 3). Elle eft déterminée par
la quantité de lumière que la rétine reçoit par unité de furface. Huygens démontre
que, dans robfervation à l'œil ou, elle eft indépendante de la diftance à laquelle
on place l'objet (p. 481) et que, fi dans l'obfervation télefcopique la clarté
devait être la même qu'à la vue direéle, il faudrait que le rapport entre le
diamètre de l'objeétif et celui de la pupille de l'œil fût égal au groflifTement.
Cependant il ajoute qu'en réalité cette condition eft trop rigoureufe, et qu'on
peut fe contenter d'une clarté bien moindre. L'expérience lui a appris que , dans
les obfervations diurnes, il fuffit d'avoir une clarté qui eft la fixième ou la feptième
partie de celle qu'on obferve à l'œil nu, et que, dans les obfervations noéturnes
de la lune et des planètes, elle peut être réduite encore fans inconvénient h la
moitié de cette fraétion.

La relation dont il s'agit ici peut, comme on fait, être exprimée bien fimple-
ment quand on y introduit la grandeur de la pupille de fortie de l'inftrument. Si
cette pupille eft plus grande que celle de l'œil, qui fe trouve au même point de
l'axe , et fi , par conféquent, la pupille de l'œil eft entièrement remplie de rayons,
on a la même clarté que dans le cas de l'obfervation direéte. Lorfque, au con-
traire, la pupille de fortie a un diamètre inférieur h celui de la pupille de l'œil, la
clarté diminue dans le rapport qu'il y a entre la furface de cette dernière et
celle de la pupille de fortie. Or, dans les télefcopes conftruits d'après le tableau
de la p. 497, qui étaient deftinés à l'obfervation de Saturne "♦), le diamètre de la
pupille de fortie était la quarantième partie d'un pouce, c'eft-à-dire 0,65 mm.
environ. Si l'on eftime à 2,5 mm. celui de Ja pupille de l'œil s) , on trouve

C — ^ J =r 1 5 pour le rapport en queftion *').

les p. LIX — LXII de cet Avertissement); c'est-à-dire de compenser dans les petites lunettes
hollandaises, dont on faisait parfois usage au théâtre, l'aberration sphcrique de l'objedif par
celle de l'oculaire concave.

Ajoutons enfin qu'au § 4 de l'Appendice IX (p. 633) on trouve le calcul de l'angle d'aber-
ration sphcrique dans le télescope de 30 pieds, et que l'aberration spbériquc qui se présente
dans la lunette hollandaise est considérée aux pp. 638, 640, 641, 642 et 643 du présent Tome.
3) On peut comparer ces considérations sur la clarté à celles de 1666, qu'on trouve aux

P- 333— 337-
'*) Voir la note i de la p. 498.
5) Voir l'article de M. R. A. Tange : „Die normalen Pupillenweiten nach Bestimmungen in der

Poliklinik", Archiv der Augenheilkunde, T. XLVI, i9oi,p. 49—61.
<^) Si Ton applique la règle de la p. 495, on trouve pour le diamètre de la pupille de sortie

0,72 mm., et 1 2 environ pour le rapport en question ; comparez la note 2 de la p. 496. Dans

XCIV AVERTISSEMENT-TROISIEME PARTIE-CHAP. IDES TÉLESCOPES.

Il importe maintenant d'évaluer les effets de l'aberration chromatique. Il
ne paraît nulle part que Huygens ait mefuré les indices de réfraélion de fes
verres pour les rayons de différentes couleurs. .11 fe bafe prefque toujours fur le
réfultat, indiqué en 1672 par Newton, d'après lequel le diamètre du cercle
d'aberration chromatique ferait égal à la cinquantième partie du diamètre de
la lentille employée '). Or ce réfultat, il l'a mal interprété en confondant
le cercle d'aberration vifé par Newton, qui eft fitué dans un plan placé à
mi-diftance entre les foyers des rayons rouges et des rayons violets, avec le cercle
d'aberration , tel qu'il le concevait lui-même , c'eft-à-dire avec celui qui eft fitué
dans le plan focal des rayons violets -) ; les diamètres de ces deux cercles étant
dans le rapport de 1 à 2. Si donc, dans le calcul qu'il fait fuivre, il pofe l'aber-
ration chromatique longitudinale égale à la cinquantième partie de la diftance
focale, il réduit , fans s'en douter, l'évaluation de Newton à la moitié.

Pour comparer entre elles les deux aberrations, chromatique et fphérique,
Huygens prend comme exemple (p. 485) un télefcope dont l'objeftif, qui
eft planconvcxe, a une diftance focale d'un pied, et une ouverture d'un demi-
pouce „ce qui eft environ l'ouverture qu'il faut donner h cette lentille 3^ dans
un télefcope d'un pied". L'épaiffeur mathématique"^) d'une telle lentille eft

égale à pouce. Sa furface courbe étant tournée vers l'extérieur, on trouve

le télescope avec lequel Huygens avait fait, vers 1659, ses observations de Saturne la pupille
de sortie n'avait pas plus de 0,61 mm., et en 1662 , en employant, probablement avec la
même lunette, un grossissement de i à 127, il la réduisit à 0,48 (voir la note i de la p. 335).
En s'appuyant sur les résultats obtenus avec ce télescope , Huygens jugea en 1666 que même
la soixantième ou soixante-dixième partie de la lumière qu'on obtient par la vue directe était

suffisante (voir la p. 335). À cette occasion il évalua la largeur moyenne de la pupille à —

45
d'un pouce (4,1 mm. environ), ce qui paraît exagéré. En effet, en 1685 , il estima (p. 482)

ce diamètre à — pouce (2,6 mm.) et dans la note 6 de la p. 450, où l'on doit lire „ — pedis

partem" ( au lieu de — J, à — pouce (2,2 mm ).

^) Voir la p. 3079 de l'article cité dans la note 2 de la p. 156 du T. VII et comparez pour une

autre valeur du rapport de ces deux diamètres, adoptée temporairement par Huygens, la

p. XCVII de cet Avertissement.
^) Consultez à ce propos les notes 3 et 8 des p. 484 et 485. Ajoutons que de Volder etFuUenius,

dans la Préface de leur édition de 1703 des „Opuscula postuma", ont déjà signalé cette

méprise de Huygens.
3) Comparez le tableau de la p. 497 qui donne 0,55 pouces pour cette ouverture.
^) Voir la p. LUI de cet Avertissement.

AVERTISSEMENT-TROISIÈME PARTIE-CHAP. I-DES TÉLESCOPES. XCV

7 1 I

^X = -^ pouce pour l'aberration fphérique longitudinale s). Or, Taber-

ration chromatique longitudinale étant évaluée ^ — pouce, elle eft 39 fois plus

forte que l'aberration fphérique. Elle l'emporte donc de beaucoup fur cette
dernière, et Huygens remarque (p. 487) que dans les télefcopes plus longs la
différence des deux aberrations fera plus grande encore.

Il s'agit, par conféquent, de bafer les nouvelles règles pour déterminer l'ouver-
ture et le grolfifTement d'une lunette de longueur donnée, non plus, comme en
1666 dans les „llejeda", fur l'aberration fphérique*^), mais fur l'aberration
chromatique. Cette fois encore, Huygens fuppofe connues les dimenfions d'une
lunette qui donne des réfultats fatiffaifants et il fe propofe d'en déduire celles
qu'on doit donner à une autre lunette de longueur différente, afin d'obtenir
dans les deux inftruments la même clarté et une netteté égale des images.

Soient donc de nouveau /et f les diflances focales des objeftifs, (p et ç' celles
des oculaires, g et g' les groffifTements, ^et d' les diamètres des ouvertures des
objeétifs. La condition pour l'égalité de la clarté fera la même que celle que
nous avons déduite à la p. LXVIII , c'ell-h-dire:

De même , nous pouvons emprunter à la p. LXIX l'équation:

FF,.d FT\.d'

(0

fip f'¥

qui indique l'égalité des cercles d'aberration fur la rétine; feulement FFj ctF'F',
doivent repréfenter maintenant dans les deux lunettes les diftances des foyers des
rayons rouges à ceux des rayons violets.

Au contraire, la formule (11) de la p. LXVIII fubira une modification
profonde. En effet, on aura cette fois, puisque les aberrations chromatiques
longitudinales font proportionnelles aux diflances focales :

(3) FF. :F'F'. =/:/'.

5) Voir la p. 287 du présent Tome.

<5) Comparez les p. LXVI— LXIX de cet Avertissement.

XCVI AVERTISSEMENT-TROISIÈME PARTIE-CHAP. I-DES TÉLESCOPES.

De ces trois équations, combinées avec la formule (15) de la p: LXIX,on
déduit facilement les relations:

iv d- ^^-yf - g'

qui réfument les nouvelles règles telles qu'on les trouve formulées aux p. 487 — 489
et , quant à la règle pour les groflilTements , à la p. 495.

Partant d'une lunette étalon dans laquelle la diilance focale de l'objeétif eft
égale à 30 pieds, et le diamètre de l'ouverture à 3 pouces , Huygens a déduit
de ces relations , la règle de la p. 495 , et de même le tableau des p. 497 — 499.
Seulement, en calculant ce tableau, il a fuppofé que la diilance focale de
l'oculaire égalait le diamètre de l'ouverture , tandis que , lorfqu'il établiiïait la
règle de la p. 495, qui cil: poilérieure au tableau, il a eilimé qu'on obtiendrait
de meilleurs réfultats en employant avec l'objeétif de 30 pieds un oculaire de
3,3 pouces de diftance focale ^).

Faifons remarquer encore que Huygens eftime que l'évaluation de l'aberration
chromatique longitudinale à un cinquantième de la diftance focale eft exagérée
quand il s'agit de comparer entre elles les deux aberrations, chromatique et
fphérique. Il en donne la raifon (p. 487) que , dans la lumière blanche, les rayons
jaunes préfentent la plus grande intenfité, et que les rayons extrêmes du fpeftre
y font relativement faibles ^). Toutefois dans le texte de la Dioptrique, pour la
théorie des microfcopes comme pour celle des télefcopes, Huygens emploie

toujours cette fraétion — pour repréfenter le rapport de l'aberration longitudi-
nale à la diftance focale, ou, ce qui revient au même , celui du diamètre du cercle
d'aberration, placé au plan focal des rayons violets, au diamètre de l'ouverture de
la lentille. Toutefois dans le dernier projet de rédaftion de fa Dioptrique il

0 Voir encore les notes 2 de la p. 496, et 5 de la p. 497.

') Plus tard, en 1692 , Huygens a fait une remarque analogue h propos du cercle d'aberration
sphérique, où, en effet, la distribution de la clarté n'est pas uniforme non plus, puisque l'aber-
ration latérale est proportionelle à la troisième puissance de la distance à l'axe du rayon
incident ; voir, à la p. 629, le § i de l'Appendice IX.

AVERTISSEMENT-TROISIÈME PARTIE-CHAP. I-DES TÉLESCOPES. XCVII

avait remplacé la fracftion — par 3)^ i\ \q faifak évidemment à propos de quel-
ques recherches qu'on trouve dans l'Appendice IX, et qui ont précédé la rédaélion
définitive de la partie de la Dioptriquc, dont nous nous occupons à préfenr. En
effet, aux §§ 4 — 14 (p. 633 — 654) de cet Appendice, Huygens calcule pour des
microfcopes et petits télercopes,dont les mérites lui font connus, les angles d'aher-
ration fphérique et d'aberration chromatique , en fe fervant pour le calcul de ces

derniers de la fraélion — . Nous avons défini à la p. XCI celui de ces angles qui

fe rapporte h l'aberration fphérique; l'autre eft formé par les rayons extrêmes,
du côté rouge et du côté violet, fortant de l'oculaire et provenant du rayon
blanc qui a pafie par le bord de l'ouverture de Tobjeélif ^); c'eft-à-dire, en
prenant pour ces rayons extrêmes ceux qui embrafl^ent la partie du fpeétre qui eft
fuppofée avoir une influence fenfible fur la netteté des images. Ces deux angles
font évidemment proportionnels aux rayons des cercles d'aberration fur la rétine,
pourvu qu'on néglige les aberrations fphérique et chromatique de l'œil. Si la

fraélion — avait été bien choifie , leurs valeurs refpedives devaient donc pouvoir

fervir à comparer entre eux les effets de Tune et de l'autre aberration fur la
netteté des images. Or, quoique les réfultats des calculs prémentionnés ne fuffent
pas toujours concordants, on peut bien dire qu'ils ont dû donner à Huygens
l'imprefllon que les télefcopes et microfcopes examinés peuvent fouffrir un angle

d'aberration chromatique, calculé avec la fraélion —, beaucoup plus grand que

l'angle d'aberration fphérique qui femblait être admiflîble d'après ces mêmes cal-

3) Voir la p. 777 de la pièce „De ordine in Dioptricis nostris servando", qui date probablement
de 1 692 ; comparez la note 5 de la p. 770.

4) Voici comment Huygens apprend (p. 557) à calculer ce dernier angle.Soient ^/le diamètre de
l'ouverture ACA (voir la Fig. 25 de la p. 489), /la distance focale C F pour les rayons rouges,
/' celle pour les rayons violets et cp la distance focale de la lentille oculaire, pour laquelle

Huygens néglige l'aberration. Posant alors f—f'—r]f, on a FQ =-^»7^et l'o" trouve

pour l'angle cherché ^KDE = LBDF (voir la p. 491) = — 7</:<)P.

Pour le télescope étalon, où/=3o pieds, ^=3 pouces, (jp = 3,3 pouces , on a donc
/.KDE = 7: 2,2, c'est-à-dire pourv = — , Z.KDE = 3i'i5".

»3

XCVIII AVERTISSEMENT-TROISIÈME PARTIE-CHAP. I-DES TÉLESCOPES.

culs ^). Il en devait donc conclure que, lorfqu'on veut rendre comparables entre
elles, quant h l'influence fur la netteté des images, les valeurs obtenues pour les

deux angles en queftion, on doit diminuer confidérablement la fraélion — ; c'eft-

-à-dire rétrécir de beaucoup la partie du fpeétre qu'on fuppofc contribuer fen-
fiblement k TefFet nuifible de l'aberration chromatique ''). Huygens peut d'ailleurs
avoir été conduit k la même conclufion par les confidérations qu'on trouve
au §2 (p. 629 — 631) du même Appendice. Il y calcule les aberrations laté-
rales fphérique et chromatique d'une lentille planconvexe, tournant fa con-
vexité vers les rayons incidents. Appellant R le rayon de la furface convexe ,

et r celui de l'ouverture de la lentille, on trouve -^ . |^ pour l'aberration fphé-
rique latérale et tjr pour l'aberration chromatique, où yj repréfente la frsélion à
laquelle Huygens donne fuccefïïvement les valeurs — et . L'aberration fphé-
rique l'emporte donc fur l'aberration chromatique quand on a r" > -2^R% c'eft-

à-dire quand on a r > - R environ pour )^ = — , et r > - R pour i) = . Or,

par une expérience ingénieufe, pour laquelle nous renvoyons au paragraphe en
quefliion, Huygens arrive à la conclufion que déjà pour r = -R l'effet de l'aber-
ration fphérique furpaflTe celui de l'aberration chromatique ^').

Les nouvelles règles pour les ouvertures et les grofllfl^ements, telles qu'on les
trouve formulées à la p. 495, s'appliquent aux télefcopes qui doivent fervir pour

') Comparez surtout les pp. 636, 639 et 640. D'ailleurs Huygens n'a pas persisté longtemps
dans cette opinion; puisque pendant la rédaction de la dernière Partie de sa Dioptrique il

revient à la valeur ?j = —et qu'il y évalue les angles d'aberration chromatique et sphérique

admissibles à 1 8' et 20' respectivement (voir la p. 565).

0 II faut observer que si Ton prend la valeur 7 = le spectre se réduit presqu'exclusivement

à la partie occupée par les rayons jaunes. Des expériences, exécutées par M. P. Zeeman
avec des lentilles fabriquées par les frères Huygens et conservées au Laboratoire de
Physique de l'Université d'Amsterdam, ont prouvé que pour la matière de ces lentilles

AVERTISSEMENT-TROISIÈME PARTIE-CHAP. I-DES TÉLESCOPES. XCIX

les obfervations noéturnes. Comme il a déjà été dit ^) , les obfervations qu'on fait
pendant le jour exigent une clarté à peu près double; c'cll pour cela que Huygens
s'occupe aux p. 503 — 505 de la manière dont on pourra adapter les lunettes à ces
dernières obfervations. S'il ne s'agifTait ici que de la clarté, on pourrait porter
au double la furfacc de l'objeétif , ou bien changer dans le rapport de i à J/ 2 la
diftance focale de l'oculaire, chacun de ces changements augmentant la clarté
dans le rapport voulu. Mais évidemment le premier moyen nuirait à la netteté des
images; c'efl: donc au fécond que Huygens s'arrête. Cependant il fe demande s*il
n'y aurait pas avantage à agrandir dans une certaine mefure le diamètre de
l'objeétif, en augmentant en même temps plus ou moins la dillance focale de
l'oculaire. En effet, fi le diamètre de l'objedlif eft changé dans le rapport de i à «
et-la diftance focale de l'oculaire dans celui de i à /3, le grofliiïcment, la clarté et
le diamètre du cercle d'aberration fur la rétine changent refpeélivement dans
les rapports de i à /3~', «^ /3^ eta/3"" 0* ^" ^"^^ ^^"c une clarté double et le
même degré de netteté fi l'on fait en forte que « = /3 = 1/^2.

Par conféquent, en portant la furface de l'objeélif à 1,41 fois fa gran-
(leur — et non pas au double — et en augmentant la diftance focale de l'oculaire
dans le rapport de i à 1,19, on obtiendrait la même netteté des images qu'avec
le télcfcope étalon , la clarté néceflaire, et en même temps un groflificment égal h
0,84 de ce qu'il était primitivement, tandis que, fi on laiffait à l'objeétif fon
ouverture primitive, en augmentant feulement la diftance focale de l'oculaire,
le grofliffement ferait réduit dans le rapport de i à 0,71.

La première folution femble donc fe recommander, mais Huygens remarque

la valeur 7 = ^ ou —correspond à la partie du spectre comprise entre les raies C et F,

c'est-à-dire entre la limite rouge-orange et le vert bleuâtre. On en peut conclure que

la valeur 7=— , à laquelle Huygens s'est arrêtée en fin de compte dans le texte de sa Diop-

trique, n'est pas en contradiction avec ces expériences.
3) Voir toutefois les notes 5 , p. 630 et 7 , p. 63 1 ; mais , quelle que soit la cause des inconséquen-
ces signalées dans ces notes, il est sûr, comme nous l'avons indiqué dans la note 6 de la p. 63 1,

que, lorsque le paragraphe cité fut rédigé, Huygens donna la préférence à la fraction — .

*^ Voir la p. XCHI de cet Avertissement.

5) Pour se rendre compte de la dernière de ces expressions il suffit de remarquer que le diamètre
du cercle d'aberration formé au foyer de l'oculaire est proportionnel au diamètre de l'ob-
jectif et que l'angle sous lequel il est vu est inversement proportionnel à la distance focale
de l'oculaire.

AVERTISSEMENT-TROISIÈME PARTIE-CHAP. I-DES TÉLESCOPES.

„que le nuage provenant de l'aberration Newtonienne nuit d'autant plus à la
netteté que l'image formée fur le fond de l'œil eft plus lumineufe" et que l'expé-
rience lui a appris qu'il „ne faut rien changer aux ouvertures".

On voit, par ce qui précède , avec combien de foin Huygens a toujours adapté
fes inrtruments au but auquel ils devaient fervir. Sous ce rapport il faut fignalcr
encore ce qu'il dit (p. 511) de l'obfervation des corps céleftes qui nepréfentent
pas de grandeur angulaire appréciable, tels que les étoiles faibles, ou les fatel-
lites de Jupiter et de Saturne. Dans leur cas on n'a pas à fe préocuper du
grofliffement; l'intenfité de la lumière, qui efl: proportionnelle à la furface de
l'objeélif , et la netteté de l'image importent feules. Pour ces objets on peut donc
avec avantage agrandir confidérablement l'ouverture du télefcope en diminuant
en même temps le groflilTement de manière à conferver la même netteté des
images.

Enfin nous voulons avertir le leéteur que la queftion de l'emploi le plus avan-
tageux de diaphragmes dans le tube d'un télefcope, pouvant empêcher la lumière
qui tombe fur la paroi de pénétrer dans l'œil de l'obfcrvateur, n'a pas non plus
échappé à l'attention de Huygens. Nous renvoyons à ce propos au § 6 de l'Appen-
dice VI , p. 603 — 607 , et furtout à la note 6 de la p. 603.

Eff'ets caufés par la dîff'r action de la lumière dam les télefcopes et

\ ■ j ; rt L n les mîcrofcopes.

Une autre queftion, difcutée par Huygens, donne lieu à une de fes plus impor-
tantes découvertes en optique; celle de l'influence du diamètre du faifceau
lumineux qui entre dans l'œil de l'obfcrvateur fur la netteté des images. C'eft
à propos d'obfervations de la furface de la lune qu'il a fait cette découverte. Le
télefcope étalon , et tous ceux qui en font dérivés d'après les nouvelles règles ,
étaient adaptés furtout à l'obfervation de corps céleftes afl^ez faiblement éclairés,
tel que la planète Saturne ^). Or, fi l'on veut obferver la Lune, dont la diftance
au Soleil eft environ dix fois moindre, et dont, par conféquent, l'éclat eft environ
cent fois plus fort, le télefcope recevra une lumière trop abondante ^). Il femble
donc qu'il ferait raifonnable dans ces circonftances de diminuer l'ouverture de
l'objeétif et en même temps la diftance focale de l'oculaire, de manière à obtenir

') Voir la note i de la 498 du présent Tome.
^) Comparez sur ce qui suit les p 505—509.

AVRRTISSEMENT-TROlSlfeMEPARTIE-CHAP. I-DES TÉLESCOPES. CI

la même clarté que dans le cas de Saturne (c'eft-à-dire une clarté loo fois moindre
qu'avec le télefcope étalon), la netteté normale, et un grofTifTement plus fort.
Les nombres a et /3 que nous avons introduits plus haut devraient alors être tels

que â;^/3=' = Y^, I = I, d'où l'on tirea = ^=:=-^=. Pour le télefcope de
30 pieds, l'ouverture, qui eft de 3 pouces 3), pourrait donc' être réduite à
y/ jz pouce et la diftance focale de l'oculaire pourraitctre prife l/ïô fois plus

petite; le groffifTement deviendrait ainfi j/io fois plus fort.

^ Ce changement femble donc promettre beaucoup, mais l'expérience apprend
h Huygens que cette promefTe ne fe réalife pas et c'efl: avec une fagacité admirable
qu'il fait reconnaître, finon la nature de l'obftacle qui s'oppofe à cette réalifation,
du moins les conditions dans lefqnellcs il fe préfente. „En effet" dit-iM) „plus
l'ouverture efl: diminuée plus minime aufli devient le diamètre du petit cylindre
fuivant lequel les rayons ifTus d'un point quelconque de l'objet parviennent à

l'œil . . or, (i ce diamètre . . eft plus petit que- à -cligne" (0,44 à 0,36 mm.) „. . le

contour net des images difparaît par une caufe inconnue, inhérente h la confti-
tution naturelle de l'œil, foit qu'il faille chercher cette caufe dans la choroïde ou
dans la rétine s) , foit qu'elle provienne de la r^.ature des humeurs de l'œil. Car
auflî, lorfqu'on place devant l'œil nu une lamelle munie d'une ouverture large de

moins de - ou -^ ligne, les bords des objets commencent à paraître moins nets , et

la confufion devient plus grande plus on diminue la largeur de l'ouverture" ^).
Enfuite Huygens montre que, dans le cas de l'exemple choifi plus haut, le dia-

3) Voir le tableau de la p. 499.

'♦) Voir la p. 507.

5) Comparez la p. 795.

^) Voici encore ce qu'on lit à ce propos dans une annotation du 22 avril 1692 (p. 695): „Mais
cette diminution de l'ouverture" [d'un microscope] „a pour effet que les rayons provenant
d'un point déterminé et arrivant à la pupille parallèlement entre eux, occupent un espace
tellement étroit que la vision ne peut plus être distincte. Si, par exemple, on perce une mince
lame de plomp avec la pointe d'une aiguille, de manière à produire un petit trou dont le
diamètre n'est que la septième ou la huitième partie d'une ligne ou moindre encore, tout
sera vu confusément si le trou est placé devant l'œil , mais les objets seront vus distinctement
si le diamètre de l'ouverture est la quatrième ou la troisième partie d'une ligne. Il semble que

la largeur du faisceau lumineux qui entre dans la pupille ne doit pas être inférieure à- ligne".

€fl

AVERTISSEMENT-TROISIÈME PARTIE-CHAP. I-DES TÉLESCOPES.

mètre du faifceau qui entre dans la pupille ferait, en effet, de beaucoup inférieur à

I ligne 0.

Comme on le fait aujourd'hui, il s'agit ici d'un phénomène de diffraftion dont
l'explication devait échapper à Huygens, puifqu'il n'avait pas les notions du
temps de vibration et de la longueur d'onde; en effet, ce n'eft que plus d'un fiècle
plus tard que Frefnel a créé la théorie de la diffraélion. Toutefois les phénomènes
qui fe montrent quand la lumière a pafTé par une ouverture très étroite avaient
été décrits en 1666 par Grimaldi^), et Newton en avait fait mention dans fes
„Principia" de 16873); mais il femble que Huygens n'ait jamais rapproché fes
propres obfervations de celles de Grimaldi qu'il ne connaiflait peut-être que par
les indications données par Newton '^J. Quoi qu'il en foit, il n'en efl: pas moins
remarquable que Huygens ait compris l'importance du rétréciffement des
faifceaux lumineux, dont la confidération eft devenue une des bafes principales
de la théorie moderne des inftruments optiques.

Il efl: d'ailleurs intéreffant de calculer l'influence que la diffraélion doit avoir

^)À cette occasion (p. 509) Huygens remarque que, pour la même raison, il ne faut pas
diminuer l'ouverture de l'objectif quand on veut observer la planète Venus, bien que son
éclat soit encore considérablement supérieur à celui de la lune. Si Ton trouve de Tinconvé-
nicnt à la lumière trop intense, il faudra plutôt y remédier en introduisant une plaqu£ de
verre couverte de noir de fumée. -'i: q fK» ni; ; , ntnf,

^^ Voir l'ouvrage cité dans la note 8 de la p. 523 du T. IX.

3) Dans le „Scholium" (p. 231 de l'édition originale, citée dans la note 2 , p. 168 du T. IX) ,
qui suit la Prop. XCVI du „Liber Primus". On y lit: „Radii autem in aère existentes (ubi
dudum Grimaldus, luce per foramen in tenebrosum cubiculum admissa, invenit,& ipse
quoque expertus sum) in transitu suo prope corporum vel opacorum vel perspicuorum
angulos (quales sunt nummorum ex auro, argento & acre cusorum termini rectanguli circu-
lares, & cultrorum , lapidum aut fractorum vitrorum acies) incurvantur circum corpora,
quasi attracti in eadem; & ex his radiis, qui in transitu illius propius accedunt ad corpora
incurvantur magis, quasi magis attracti, ut ipse etiam diligenter observavi".

^) En effet, il n'y a aucune preuve ni dans la Correspondance, ni dans les ouvrages ou
manuscrits de Huygens qu'il connaissait le livre de Grimaldi. Il ne semble pas improbable
que si Huygens avait connu la description détaillée des expériences multiples et variées
qu'on y trouve, la connexion avec sa propre découverte ne lui eût pas échappé. Déjà
Leibniz avait été frappé de ce que dans le „Traité de la Lumière" Huygens ne faisait aucune
allusion aux phénomènes de diffraction. Dans le projet d'une lettre à Huygens, qui pro-
bablement ne fut jamais envoyée (voir la noter, p. 521 du T. IX), il s'exprime comme
il suit à propos de ce Traité, qu'il venait de recevoir: „Je voudrois que vous eussiés
voulu nous donner au moins vos conjectures sur les couleurs et je voudrois sçavoir aussi
quelle est vôtre pensée de l'attraction que M. Newton reconnoist après le P. Grimaldi dans
la lumière à la p. 23 1 de ses Principes" (p. 523 du T. IX).

AVERTISSEMENT-TROISIÈME PARTIE-CHAP. I-DES TÉLESCOPES. CIII

eue dans les inllruments de Huygens. Lorfqu'unc lentille convergente reçoit un
faifceau de rayons parallèles dont la feétion normale eft un cercle de diamètre ^,
il fe forme dans le plan focal une tache lumineufe centrale entourée d'un fyftème
d'anneaux circulaires. Nous pouvons faire abftra6lion de ces derniers dont la
luminofité diminue rapidement et nous borner au cercle central qui s'étend jufqu'
au premier minimum. Si la difFraftion n'exiftait pas — et fi de plus la lentille ne
montrait aucune aberration — l'image fe réduirait à un point mathématique. La
diftance du premier minimum au centre, c'eft-à-dire le rayon de la tache lumi-
neufe, pourra donc nous fournir une idée de la confufion des images qui ell
caufée par la diffraélion. La valeur angulaire du rayon en queftion eft donnée

par l'exprefllon i, 2 2 -j dans laquelle A reprc fente la longueur d'onde, et on pourra

comparer cet„angle de diffradtion" ^ avec l'angle d'aberration, fi l'on veut évaluer
l'influence relative de ladiffraétion et de l'aberration fur la netteté des images.
En prenant 5,7 x io~"'^mm. pour la longueur d'onde de la lumière jaune,

on trouve 3 = ^t^^-j = f 0? ^^ ^ ^^^^ ^^^^ exprimé en mm. Dans la lunette

étalon de Huygens , et dans tous les inftruments qui en dérivent d'après la règle de
la p. 495, on a ^:= 0,72 mm. On en déduit pour l'angle de diffraétion 3'2o''''). C'eft
moins que la neuvième partie de l'angle d'aberration chromatique 31' 15' qu'on
trouve dans ces mêmes lunettes , arrangées pour les obfervations noéturnes '') ,

5) Comparez les p. 1074 — 1075 de l'article de F. Pockels „Beugung des Lichtes" dans le T. VI
du „Handbuch dcr Physik" de A. Winkelmann, 2'"^ édition, Leipzig, Barth , 1906.

*^) Dans les lunettes construites d'après le tableau des p. 497— 499, qui est antérieur à la
régie de la p. 495 (comparez la note 2 de la p. 496), on aurait «'= 0,654 mm. et $'40''
pour l'angle de diffraction â, et d'après le tableau qui a été mentionné dans la note 5 de la
p. 497 , on aurait même ^= 0,54 mm. et 3 = 4'2o''. Or , ce dernier tableau était probable-
ment de 1684 ou de 1685, mais en 1666 Huygens employait des lunettes où la valeur de </
était réduite jusqu'à 0,48 (voir la note 6 de la p. XCIII) ce qui donne (T= 5'à peu prés. On
voit donc que Huygens a de plus en plus augmenté la valeur de </ en se bornant pour un
objectif donné à un grossissement moins fort que celui qu'il aurait admis auparavant.

Ajoutons que dans le microscope étalon et dans tous ceux qui en dérivent d'après les règles

établies par Huygens vers 16^92 (voir les pp. 549, 551 et 575), on trouve ^ = — pouce

(0,75 mm.) ; ce qui donne â = 3' 10".
^) Voir la note 4 de la p. XC VII; pour les observations diurnes le grossissement était réduit
à la moitié (voir la p. 505) , ce qui ne change pas le rapport des deux angles.

CIV AVERTISSEMENT-TROISIÈME PARTIE-CHAP. II-DES MICROSCOPES.

fi Ton pofe ij = — . Et même en pcfant ;; = '), ce qui réduit l'angle

d'aberration à fa quatrième partie, cet angle eil encore toujours plus du double
de l'angle de diffradion. Il s'enfuit que dans les lunettes en queftion l'cfFet
nuifible de la diffraction pouvait être négligé par rapport à celui de l'aberration
chromatique; mais, en pouffant plus loin le groffiffement, la ténuité du faifceau
qui entre dans la pupille diminuerait bientôt fenfiblcment la netteté de l'image. En

effet, pour la valeur limite, affignée par Huygens, ^=:- à -? ligne (0,44 à

0,36 mm.) , on trouve ê = 5'3o" à 6'3o''.

Remarquons encore que le calcul dont nous venons de nous fervir, et qui fait
dépendre la diffraétion du diamètre du faifceau émergent, c'eft-à-dire de la largeur
de la pupille de fortie, donne le même réfultat que la théorie ufuelle dans laquelle
l'ouverture diffringente ell cenfée être celle de l'objeétif. Pour s'en affureronpeut
employer le raifonnement fuivant, également applicable aux lunettes et aux micro-
fcopes à faible „aperture numérique" tels qu'étaient les instruments de Huygens.

Soient q la dillance de l'objeélif à l'image réelle qui fe forme dans le plan focal
A de l'oculaire, / la dirtancc focale de l'oculaire et D le diamètre de l'objeétif.
Le rayon du cercle de diffraétion qui fe forme dans le plan A a la grandeur

1,2a v=^ et il fera vu fous l'angle 1,22 ^A. Or cette exprelîîon cft identique avec

la valeur 1,22-j parce que, entre le diamètre D de l'objedtif et le diamètre //de
la pupille de fortie , il y a la relation D: dz= q :f.

CHAP. II. DES MICROSCOPES.

Origine et hifîorique des recherches de Huygens fur la conftruSîion et
la théorie des microfcopes.

'Nous avons vu (p. XLVII), qu'environ au même temps où les frères Con-
ffantyn et Chriftiaan Huygens commencent à l'âge de 25 et de 24 ans, à s'occuper
de la fabrication des lunettes, ils s'appliquent auffi à la conftruftion des micro-
fcopes. Si on peut en croire leur père, c'efl: même avec les microfcopes qu'ils

') Comparez les p. XCVII et XOVIII et surtout la note 2 de la p. XCVIII.

AVERTISSEMENT-TROISIÈME PARTIE-CHAP. II-DES MICROSCOPES. CV

réuffiffent premièrement à faire des inftruments qui les fatiffont "). En mars 1655
ils font don à un des amis de leur père, le pafteur A. Colvius de Dordrecht, d'un
microfcope qui vient de fortir de leur atelier 3). H trouvera, lui écrit Chriftiaan,
l'explication du merveilleux grolîifTement qu'on peut obtenir avec des lentilles
ainfi difpofées dans un traité qu'il efpère publier bientôt et qui contiendra
aufli la théorie des télefcopes. En décembre 1657 van Schootcn demande h
Chriftiaan de lui prêter un de fes microfcopes, dont il a entendu louer les
effets 4); mais ce microfcope fe trouve déjà, à ce qu'il paraît, entre les mains
de Ifaac Voffius s).

Nous ne connaiffons pas avec certitude la difpofition des lentilles dans ces
premiers microfcopes fabriqués par les frères Huygens. D'après la defcription
donnée à Colvius ^) , c'étaient des microfcopes compofés de deux lentilles et
il nous femble probable que l'inftrument defliné et décrit aux p. 674 — 675
du préfent Tome en repréfente un exemplaire 7). Dans ce cas cette difpo-
fition différait beaucoup de celle adoptée dans les microfcopes dont Huygens
a expofé la théorie dans fa Dioptrique ^). En effet, dans ces derniers micro-
fcopes le faifceau de rayons émanant d'un point de l'objet eff converti à
la fortie de l'oculaire en un faifceau de rayons parallèles. Au contraire.

') Voir la lettre de Constantyn Huygens, père, à Colvius du 26 février 1655 (p. 318 du T. I),
oùonlit„Microscopijsprlmum ex officina nostra docebimini quanti opifices simus. De niacro-
scopijs nihil hactenus tam certi pollicemur quani olim, Deo volente, prasstituri sumus".

3)„Mitto tibi manibus nostris elaboratum perspicillum, oculum scilicet illum quo diligens
naturîe scrutator carere non débet, hiijus ope minutissimorum insectorum seniinuinque figuras
subtilissimas et in germine ipso herbarum arborumque rudimenta inspectare poteris . .
Constitutio tubi determinata est lineis circumductis, ad quas usque singul» partes perdu-
cendiB sunt. lentem quoque majoreni si quando exemeris pulveris habitu tuo detergendi
gratiâ ut reponere in pristinum locum possis introrsus signum positum est. Inferior tubus vix
quicquam à linea signata unquam dimovendus erit; superiorem vero illo manenteamplius
extrahi licebit, ut majores adhuc imagines oculo ofFerantur, sed sciendum eo quoque minus
lucidas effici. Causas mirabilis augmenti quod a vitris sic inter se adaptatis producitur expli-
care tibi cuperem, si per epistolam fieri posset. Ca;terum de bis integrum vohinien,quo
praîterea telefcopiorum omnis generis demonstratio continetur, propedieni edere spero
tibique impertiri" (voir les p. 321 et 322 du Tome I).

4)Voirlap. 95duT. II.

S) Voir la p. 1 10 du T. II.

*') Voir la note 2.

^S Comparez surtout la phrase „Inferior tubus. . . effici" du passage de la lettre à Colvius, cité
dans la note 2 qui précède, aux remarques sur les deux systèmes de distances A , B, C qu'on
trouve à la p. 675.

^) Aux p. 527 — 585 du présent Tome.

14

CVI AVERTISSEMENT-TROISIÈME PARTIE-CHAP. II-DES MICROSCOPES.

dans le microfcope mentionné, qui doit dater d'environ 1654, une image
réelle et agrandie de l'objet ell formée dans le plan indiqué par les lettres
PPP de la Fig. 2 de la p. 674 '), c'eft-h-dire entre la lentille oculaire et l'œil qui
regarde cette image à une certaine diilance.

LaCorrefpondance nous montre que dans les années qui fuiventjjufqu'en 1677,
Huygens s'ell: occupé plufieurs fois encore de la microfcopie. En 1663, pen-
dant un féjour à Paris,oti il accompagne Ton père, il cherche h y vendre des micro-
fcopes de fa façon, mais, écrit-il à fon frère, ,Jufqu'icy il ne s'efl: point encore
prefentè d'occafion pour débiter de nos Teles- et Microfcopes , quoyque prefque
tous les jours il ne me manque des fpeétateurs" -). A plus d'un endroit 3) il
motive la préférence qu'il donne à fes microfcopes compofés de deux lentilles,
fur d'autres dont les objeétifs font plus petits et fur les boulettes fphériques
que Hudde a commencé à fabriquer pour s'en fervir à la manière d'une loupe "*).
Il leur reproche, outre leur manque de clarté, que „la diftance de l'objet eft: fi
fort déterminée, qu'on ne peut voir le defîus et le deiïbus d'un cheveu en mefme
temps, ce qui eft fort incommode sj, et me fait penfer s'il ne feroit pas bon de
prendre l'objeélif encore moins convexe de beaucoup que céluy qui fe fait dans le
petit creux de fer que vous avez, et de faire en forte que l'objeélif et l'oculaire
fuffent a peu près de la mefme force, chacun environ d'un pouce: car il ell
certain que tant que l'objeétif efl: moins convexe d'autant la diftance de l'objet
fouftre plus de variation. Je viens d'expérimenter qu'avec deux oculaires de Cam-
panine ^') éloignez l'un de l'autre de quelque 14 ou 15 pouces et avec ouverture
de 3 lignes, l'on peut faire quelque chofe de bon, et on n'a qu'a les éloigner
d'avantage fi on veut qu'ils groflifient d'avantage" 7^.

Vers 1677 l'intérêt de Huygens pour la microfcopie reçoit une nouvelle impul-
fion par les obfervations de Leeuvvenhoek fur les infufoires, les fpermatozoïdes
et fur d'autres objets microfcopiques ^); obfervations qu'il avait confidérées au

') Voir aussi la Fig. 7 de la p. 675.

*) Voir sa lettre à son frère Constantyn du ao avril 1663 à la p. 334 du T. IV.

3) Voir ses lettres à Hudde du 4 avril et du 10 avril 1665 aux pp. 304 et 318 du T. V et celles
du 6 avril et du 11 mai 1668 à Constantyn, frère, aux pp. 206 et 213 du T. VI.

4) Voir les pp. 304, 308, 309, 330, 331 du T. V; 90, 91 et 98 (note 3) du T. VIII.

5) Voir à ce sujet les p. CXXXVIII— CXXXIX , qui suivent , de cet Avertissement.
*^) Voir à propos des lunettes „Canipanines" la p. LXXXIX.

') Voir la lettre du 6 avril 1 668 à son frère Constantyn , p. 206 du T. VI ; à la p. 2 1 3 du même

AVERTISSEMENT-TROISIÈME PARTIE-CHAP. II-DES MICROSCOPES. CVII

début avec méfiance î»). À peu près à la même époque il change d'opinion fur
les avantages relatifs des microfcopes compofés par rapport aux boulettes fphéri-
ques. Dès le 26 mars 1678 il déclare préférer aux autres microfcopes ceux
„qui n'ont qu'une petite boule de verre, la quelle forte, tout bien confiderè, je
crois eftre la meilleure et qui fait le plus d'clFedt" '°) et il perfifte dans ce
jugement, pour autant du moins qu'il s'agifTe de l'obfervation d'objets tranfpa-
rents "). C'cft dans ces circonftances que, pendant l'année 1678, il prend une
part très aétive au perfeétionnement de la fabrication et de l'emploi de ces petites
boules de verre '^) et que, durant cette même année, il commence la première
férié de fes remarquables obfervations microfcopiques dont nous parlerons plus
loin '3^. Mais auparavant nous analyferons les confidérations théoriques et
pratiques fur les microfcopes fimples et compofés que Huygcns a expofées dans
la partie de fa Dioptrique dont nous nous occupons à préfent ''♦).

Préface. Microfcope fimplc, i^ni 'Si iist»!

«'

Après une préface très courte '9 où il foutient, avec une certaine réferve,
les droits de Drebbel à la priorité de l'invention des microfcopes compofés **') ,
Huygens commence à expofer la conftruétion et l'emploi des microfcopes fimples
à lentille ou à boulette.

Tome on trouve encore d'antres renseignements sur les microscopes composés dont les frères

Huygens s'occupaient vers cette époque.
^) Voir la lettre de Leeuwenhoek à Huygens du 15 février 1677, p. 2[ , et la'traduction par

Huygens d'un article de Leeuwenhoek, p. 22—27 du T. VHI, comme aussi la note 2 de la

p. 62 et la p. yj du même Tome.
0 Voir à la p. 400 du Tome VH la lettre de Huygens à Oldenburg du 30 janvier 1675 et à la

p. 417 du même Tome la réponse de Oldenburg. ^

^°)VoirsalettreàConstantyn,frère,p.64duT.VHI. 'j"^'"- '•'' ''^

^^) Comparez les pp. 515 et 527 du présent Tome et la lettre à von Tschirnhaus du 10 mars 1687

où on lit à propos de certains microscopes deCampani: „Ausim tamen aflirmarc, quantum

ad amplificationem attinet, non accedere hxc nova ad ea quae solo exili sphœrula constant"

(p. 125 du T. IX).
") Voir les pp.65, 90—93, 96—97, 112, 113, 122—124, 128, 130, 131 01241 du T. VIII

et la p. 730 du T. X.

'3)Voirlesp.CXXXIX—CXLII de cet Avertissement. „ uîi, '>.-.> y

"») Voir encore pour l'origine et l'historique de la théorie dii microscope compose, traitée dans

cette partie , les p. CXIII— CXV de cet Avertissement.
' 5) Voir les p. 5 1 3—51 5 du présent Tome.
'<^)Nous nous abstiendrons de traiter ici cette question de priorité; comparez la note l delà

p. 436. *

CVIII AVERTISSEMENT-TROISIÈME PARTIE-CHAP. II-DES MICROSCOPES.

Il parle d'abord (p. 515) de TefFet d'une lentille convexe à courte di (lance
focale, en fuppofant , comme il l'avait fait auffi dans fa théorie de la lunette , que
l'œil foit adapté à une dirtance infinie. Alors l'objet devra être placé au foyer de
la loupe et la grandeur apparente fous laquelle on le verra fera indépendante de
la pofition de l'œil '). Dès qu'on connaît cette grandeur, on connaîtra auffi le
groffiffement g, que Huygens définit, exaétement ainfi qu'on le fait de nos jours,
comme le rapport entre la grandeur apparente fous laquelle on voit l'objet à
Taide du microfcope, et la grandeur apparente fous laquelle il fe préfenterait
à l'œil nu, s'il fe trouvait à une diftance déterminée =*) pour laquelle Huygens
choifit 8 pouces (2 1 cm.) et que nous repréfenterons par u. Cette „difl:ance de
vifion diftinéte" eft une valeur moyenne de la diftance à laquelle des perfonnes
aux yeux normaux ont coutume de placer les objets qu'elles veulent examiner à
l'œil nu 3).

Cela pofé, le groffiffement produit par la loupe efl: trouvé fans peine fi l'on
imagine que l'œil fe trouve tout près de la furface pofl:érieure. Dans ce cas la
lentille eft fans influence fur la grandeur apparence et n'a d'autre effet que de
rendre la vifion diftinifte *). La grandeur apparente eft donc égale à celle qu'on
obferverait à l'œil nu fi l'objet fe trouvait à une diftance égale à la diftance focale
de la lentille , et on a la formule :

(0 g =

r

On peut obtenir le même réfultat de diff'érentes autres manières. Suppofons
que, dans une direétion perpendiculaire à l'axe, l'objet ait la petite longueur h et
que, par conféquent, fa grandeur apparente ait la valeur h: oo pour un œil nu
placé à la diftance w. D'autre part, la grandeur apparente fous laquelle l'objet
eft vu à travers le microfcope eft donnée par l'angle q) que font entre eux , après
leur paff^age par la lentille , deux rayons quelconques partis des extrémités de
l'objet. Nous aurons donc :

Si on choifit pour les rayons en queftion ceux qui font parallèles à l'axe et qui.

') Voir la Prop. XIII , Liv. II , Part. I , p. 233.

*) Comparez la note 4 de la p. XXXIX de cet Avertissement.

AVERTISSEMENT-TROISièME PARTIE-CHAP. II-DES MICROSCOPES. CIX

par fuite, fe réunilTent, après la réfradtion, au fécond foyer de la lentille, on
aura évidemment cp = hifct Ton retrouve la formule (i).

C'eft là, comme il fcmble s), la méthode fuivie primitivement par Huygens
pour la déduftion de la formule (i). Il s'en fcrt également pour calculer le
groflKTement produit par une fphère en verre. En effet, dans la figure 31 delà
p. 517, CE repré fente l'objet placé au foyer C de la fphère et les rayons dont il
s'agit font CKD, pafTant par le centre K, et EGHD. Or, le point efîentiel dans
l'expofition de Huygens , c'eft que le rayon HD eft parallèle à la ligne EK ; on le
voit immédiatement fi l'on confidère que le point E eft le foyer de la fphère fur
l'axe KE, et que, par conféquent, tous les rayons fortant du point E finiront par
devenir parallèles à cet axe KE. La valeur de 9 cft donc égale à l'angle CKE
fous lequel l'objet ferait vu du centre K. LadiftanceBCétant égale à la moitié

du rayon R de la fphère '^) (fi l'on prend ^ pour l'indice de réfraétion) , on aura

g) = -T^ et , par conféquent , d'après la formule (2) :
o

(3) « = 3R-

Cette formule s'applique aux petites fphères de verre dont Huygens s'eft fervi
fi fréquemment dans fes obfervations microfcopiques 7) et dont il parle dans la
Prop. XI (p. 521) en indiquant la manière de les fabriquer et de les enchâficr entre
deux lamelles d'airain, dans lefquelles on a pratiqué de petits trous ^). Seulement
l'emploi de ces microfcopes extrêmement fimples eft limité au cas où l'objet eft
regardé à la lumière tranfmife '); la petite diftance CB (voir toujours la Fig. 31

de la p. 517) = -R entre la fphère et le foyer ne permettant pas d'éclairer fuffi-

^) Comparez la p. 137 , où Ton voit que Huygens avait commencé par évaluer cette distance à

un pied Cs i cm.).
•*) Voir la Prop. I , Liv. II , Part. I , p. 1 73 •
5) Voir la note 5 de la p. 514.
'5) Voir la Prop. XIII , Liv. I , Part. I, p. 79-81.
0 Voir la p. CVII de cet Avertissement.
8) Comparez pour plus de détails les pp. 683-685.
'■'') Voir pour ce qui suit les pp. 517—519-

ex AVERTISSEMENT-TROISIÈME PARTIE-CHAP. II-DES MICROSCOPES.

famment le côté de l'objet qui efl: tourné vers la boulette. Sous ce rapport les
boulettes sont inférieures aux petites lentilles, auxquelles, pour avoir le même

groffilTement, on doit donner une diftance focale égale à ^ fois le rayon de la bou-
lette •). Dans le cas où Tépaifleur de ces lentilles pourrait être négligée, l'efpace
difponible pour l'éclairage, ferait donc trois fois plus grand pour les petites len-
tilles „mais comme . . il faut nécefTairement leur laifler une certaine épaiiïeur, afin
qu'elles ne deviennent pas incapables d'être maniées à caufe de leur extrême
petitefle et qu'elles ne prennent pas moins bien la forme fphérique" (p. 519) , cet
efpace s'amoindrit nécefTairement. Toutefois, pour un cas extrême (repréfenté

par la Fig. 33 de la p. 519) , où l'épaiiïeur de la lentille efl: égale à i- fois fa

difl:ance focale comptée depuis fa furface inférieure, il trouve que l'efpace difpo-
nible fous la lentille efl: encore toujours le double de l'efpace libre fous une
boulette donnant le même grofljfl^ement *).

Huygens n'a pas négligé non plus de confidérer l'étendue du champ et la
netteté des images qu'on peut obtenir avec les microfcopes fimples. Quand on fe
fert d'une boulette il faut placer l'œil tout près du verre pour avoir le champ le
plus vaste (p. 523) O- La netteté des images exige en général que les faifceaux
lumineux qui partent des points de l'objet et font admis dans l'œil foient fuffifam-
ment étroits par rapport aux rayons de courbure des lentilles ou boulettes. Quel-
quefois, quand on emploiera par exemple une loupe dont la diftance focale n'efl:
pas inférieure à un demi-pouce (1,3 cm.), la pupille de l'œil elle-même exclura
des faifceaux trop larges (p. 531). Mais il faudra fou vent fe fervir à cet effet
d'un diaphragme convenablement placé *). Ainfi dans le cas des petites boulettes
trouve-t-on grand avantage à placer un écran muni d'un petit trou à une certaine
diftance de l'objet, entre ce dernier et la fource de lumière Q.

Dans la Prop. XIII (p. 531) Huygens démontre que pour de petites lentilles,
dont il eft nécefliiire de limiter les ouvertures, les diamètres de ces dernières
doivent être proportionnels aux diftances focales afin que les images foient
également nettes. Pour autant que le degré de netteté dépende de l'aberration

*) Comparez les formules (1) et (3).
-) Voir la note 4 de la p. 519.

3) Voir encore l'article 6 de la p. 685.

4) Voir la p. 521 et surtout la note 6 de cette page.

AVERTISSEMENT-TROISlfeME PARTIE-CHAP. II-DES MICROSCOPES. CXI

chromatique, cela fe voit prefque immédiatement à l'inlpeélion des figures 36
et 37 de cette page 531. Elles repréfcntent deux lentilles P et /> ayant les foyers
F et/ pour les rayons rouges, B et ^ pour la lumière violette. L'objet fc trouvant
en F ou en/, et D ou tétant un point du bord l'ouverture, les angles EDK =
= FDB '^) et edk =:.fdb feront refpcélivement les angles d'aberration qui déter-
minent, fi l'œil e(l fuppofé fans aberration, les diamètres des cercles d'aber-
ration fur la rétine et, par conféquent, le degré de netteté des images. Or, ces
angles feront égaux fi PD et />^ font proportionnels à PF et/»/, car nous fa vons
que PF : FB =/>/:/^, et les figures DPBF et dph fCcront donc femblables.

Dans le texte de la Dioptrique Huygens ne s'occupe à cette occafion que de
l'aberration chromatique. Il en eft de même dans une annotation de 1684 que
nous avons reproduite au § 2 de l'Appendice VIII (p. 624 — 625), mais à une
époque pollérieure, probablement en 1692, Huygens a ajouté à cette annotation
la remarque „tout cecy convient auifi k l'aberration ancienne".

En effet, les mêmes figures 36 et 37 (p. 531) peuvent fervir quand on veut
confidérer l'aberration fphérique qui dans les lentilles fortement courbées prédo-
mine fur l'autre ''). Soient alors F et /les foyers des lentilles, et B et ^ les points où
des rayons parallèles à l'axe, venant du côté de l'œil, rencontrent l'axe après leur
paiTage par la loupe. Les rayons partant de F ou de /et partant par le centre de
la lentille relieront parallèles à Taxe, c'eft-h-dire qu'ils auront les direétions des
lignes DE et de-^ les rayons FD etfd, au contraire, qui partent par le bord de la
lentille prendront les directions DK et dk qu'on obtient en prenant les angles EDK
et edk égaux aux angles FDB et fdb ^). Les angles EDK = FDB et edk = fdb
feront donc de nouveau les angles d'aberration, et, fi les lentilles P et/» ont des
figures femblables, il ell clair que l'égalité de ces angles réfultera de la fimilitude
complète des figures DPBF et dpbf.

Huygens ne manque pas de parler auflî de la clarté qu'on obtient avec les deux
lentilles repréfentées dans ces figures 36 et 37. Comme les angles DFP et dfp
font égaux, la quantité de lumière qu'un point de l'objet envoie vers la rétine fera
la même dans les deux cas. La clarté de l'image fera donc inverfement propor-

s) Consultez encore les pp. Sj^ et 690.

^) D'après la Prop. VI, p. 475, DK étant le rayon violet, parti du point F, après la réfraction

par la lentille.
0 Comparez encore le P. S. de la p. 625 et le § 5 de TAppendice IX , p. 634.
^) Voir toujours la Prop. VI , p. 475.

y

CXII AVERTISSEMENT-TROISIÈME PARTIE-CHAP. II-DES MICROSCOPES.

tionnelle au carré du groffilTement , c'éft-à-dire proportionnelle au carré de la
diftance focale (p. 530- •^^ employant une lentille qui groflit beaucoup, on
rifquera donc toujours de rendre l'image trop obfcure; on devra y parer en éclai-
rant fortement l'objet, en concentrant par exemple h l'aide d'une lentille conver-
gente la lumière qu'il reçoit.

A plufieurs reprifes Huygens s'eft occupé de la meilleure manière d'éclairer
les objets; le leéleur qui voudra connaître fes idées fur ce fujet pourra con-
fulter, quant à l'éclairage des objets tranfparents les références indiquées dans la
note 6 de la p. 521, et pour l'éclairage des objets opaques le § 2 de l'Appen-
dice VIII Cp. 624 — 625) et le § 12 de l'Appendice X (p. 694 — 697). Il y
verra, comme ailleurs, combien de peine Huygens s'eft donnée pour faire fes
obfervations microfcopiques dans les conditions les plus favorables.

Nous avons déjà vu que l'ufage de petites fphères eft limité aux corps diaphanes
qu'on voit à la lumière tranfmife et que pour l'obfervation des objets plus ou
moins opaques on doit préférer les petites lentilles. Or, Huygens diftingue nette-
ment entre la manière dont fe comportent ces deux efpèces de corps. Un corps
tranfparent „intercepte de la lumière mais n'en émet pas" , tandis que les points
d'un objet opaque „rayonnent eux mêmes" (p. 522). Il veut dire que, lors même
que les rayons qui éclairent un corps opaque font contenus dans un faifceau peu
divergent, la réflexion difFiife peut remplir un cône aiïez large, qu'il faudra
limiter pour ne pas avoir une image trop confufe.

Cependant, en rétrécifl^ant convenablement l'ouverture de la lentille, ce
qu'on pourrait faire, fi l'on avait à fa difpofition une fou rce de lumière fuffi-
famment intenfe , on ferait libre de pouflTer le groflifTement auffi loin qu'on le
voudrait; „mais" comme Huygens le fait remarquer à la p. 533 „même ainfi nous
n'avançons guère, parce que la largeur auprès de la pupille, c'eft-à-dire
celle du petit cylindre lumineux émanant de chaque point de l'objet, duquel
nous avons parlé dans l'explication des télefcopes et qui poflede ici une largeur
précifément égale à celle de l'ouverture , ne peut être diminuée de manière à

devenir inférieure à - ou-? ligne; de forte que de toutes façons un terme eft pofé

0 Parce que , d'après ce que Huygens se propose de démontrer dans sa théorie du microscope
composé, „il existerait" (dans ce dernier genre de microscopes") „une progression pour ainsi
dire infinie du grossissement si la petitesse des lentilles n'y faisait pas obstacle" (p. 533 —
535). Comparez les pp. CXXVI et CXXIX qui suivent.

AVERTISSEMENT-TROISIÈME PARTIE-CHAP. II-DES MICROSCOPES. CXIII

à l'efficacité de ces petites lentilles". Il s'agit donc du môme effet nuifible (celui
de la diffraélion) dont nous avons parlé aux p. C — CIV. Huygens en a compris
toute l'importance auflî bien pour le microfcope que pour le télefcope. Il le men-
tionne comme une des raifons qui doivent faire préférer le microfcope compofé fi
on défirerait des grofliflTements toujours plus forts *). Huygens en voit d'autres
(p. 628) dans la „commodité de voir et d'efclairer h coftè". De plus „les très
petites lentilles malaifement font fi bien formées que les moins petites". Toutefois,
ce qui efl: bien curieux, il femble s'être fervi du microfcope compofé feulement
pour l'obfervation des corps opaques; les petites boulettes le fatiffont pleinement
pour celle des objets tranfparents. Il en donne les raifons dans un paflTage remar-
quable , annoté en marge dans le manufcrit de la Dioptrique *) : „0n doit fe
demander" dit-il „quelle efl: la raifon pour laquelle on ne peut avoir avec les
microfcopes compofés, qui montrent les couleurs des objets, un groffifllsment
aufTi fort que celui qu'on obtient avec les boulettes ou petites lentilles en obfer-
vant les objet tranfparents. Pourquoi ne tournerait-on pas vers la lumière
un microfcope compofé grofliffant beaucoup avec une ouverture plus grande?
Serait-ce parce qu'on ne fait pas former les lentilles afl^ez exaétement? Mais
pourquoi chercher dans cette direction ? Ces microfcopes feraient plus obfcurs
à caufe de la matière de la féconde lentille et des réflexions de la lumière. Et de
plus la lentille inférieure efl: beaucoup plus groflîère qu'une boulette de verre".
Nous croyons pouvoir conclure de ce pafllige que c'étaient furtout les imper-
feélions techniques de la fabrication des lentilles qui ont fait préférer à Huygens
les microfcopes fimples à boulettes aux microfcopes compofés à lentilles.

7 héorie de Huygens an mtcrojcope compoje.

Nous avons vu aux p. CV— CVl quelle était probablement la difpofition des
lentilles dans les premiers microfcopes compofés des frères Huygens. Durant les
années fuivantes des microfcopes compofés de leur fabrique font quelquefois
mentionnés dans les lettres qu'ils échangent 3), mais avant l'année 1679 les rares
renfeignements qu'on y trouve font infuffifants pour faire connaître la flruélure

') Voir la note 6 de la p. 527 du présent Tome .

î)Voir les pp. 318 du T.V (avril 166$), 206, 213 et 219 du T. VI (avril, mai et juin 1668)
et 64 (mars 1678) du T. VIII et consultez aussi la note 4 de la p. 88 de ce dernier Tome.

15

^

CXIV AVERTISSEMENT-TROISIÈME PARTIE-CHAP. II-DES MICROSCOPES.

de CCS iiidniments. Enfin, la Correfpondance de Tannée 1679 nous apporte le
deflîn d'un petit microfcope qui doit fervir à difTéquer des infeéles ou d'autres
objets. Ce deflîn efi: fait par Chriftiaan fur la marge d'une lettre de fon frère
Condantyn du 26 août 1679 ') et répété à une échelle plus petite dans fa
réponfe du 8 feptembre 1679*). Il y s'agit de perfeélionner, au point de vue
de l'éclairage et de la facilité du maniement, l'idée, émife par Conftantyn
dans la première lettre citée, de fe fervir d'un tel microfcope „afin de. . feparer
de petites pièces ou de membres d'infeéles , et autre chofes que je veux obferver
et que l'on ne peut coupper avec l'œil non armé". Quoique ces deflins foient
peu détaillés, il nous femble évident qu'ils repréfentent des microfcopes à deux
lentilles conrtruits d'après les mêmes principes que ceux dont nous parlerons
bientôt.

jdDe cette même année, ou d'un peu plus tôt, doit dater la defcription détaillée
d'un microfcope à trois lentilles, qu'on trouve au § 3 de l'Appendice X (p. d'jj^.
Dans ce microfcope le faifceau de rayons partant d'un point donné de l'objet ell
converti à la fortie de l'oculaire en un faifceau de rayons parallèles et l'œil y
ell placé au lieu où fe forme l'image de l'objeétif ; c'efl:-à-dire là où fe trouve la
pupille de fortie. Il paraît qu'on a affaire ici à un des microfcopes dont les verres
furent polis par la veuve Le Bas et à la conftruélion duquel Huygens avait proba-
blement pris part 3).

En 1684, Huygens découvre les nouvelles règles pour la conllruélion des téle-
fcopcs, bafées fur laconfidération de l'aberration chromatique '*). Dès lors il était
tout indiqué pour lui de tâcher d'établir une théorie analogue pour le micro-
fcope, c'eft-à-dire de rechercher, en partant d'un microfcope étalon , de quelle
manière on devrait en changer les mefurespour obtenir, avec la même clarté et
la même netteté des images, un grofllffement plus fort. Mais ce nouveau problème
était beaucoup plus difficile que l'autre, furtout parce que le faifceau de rayons
émanant d'un point de l'objet ne pouvait pas, ainfi que dans le cas du télefcope,
être confidéré comme un faifceau de rayons parallèles. Aufll Huygens ne s'eft-il

') Voir la p. 205 du T. VIII.
=) Voir la p. 2 13 du T. VIII.
3) Voir, sur la veuve Le Bas et sur les microscopes à 3 lentilles qu'elle vendait, la page 480 du

T. VU et les pp. 202, 204 et 212 du T. VIII.
^) Voir la p. XI de cet Avertissement.

AVERTISSEMENT-TROISIÈME PARTIE-CHAP. II-DES MICROSCOPES. CXV

pas mis à cette recherche avant Tannée 1692 et même alors nVt-il pas complète-
ment réufli à ce propos, comme nous le verrons dans la fuite s).

En attendant , il donne aux §§ 2 et 3 de l'Appendice VIII (p. 624 — 628) quel-
ques calculs relatifs au microfcopc fimple et au microfcope compofé qui datent
de 1684. Ne fe doutant pas encore que Taberration fphérique joue un rôle tout
autrement important dans le microfcope que dans le télefcope, Iluygcns n'y con-
fidère que l'aberration chromatique. Au § 3 il calcule l'aberration chromatique
d'un microfcope h 2 lentilles et la compare à celle d'un microfcope fimple '').

Lorfqu'il eut reconnu plus tard 7) que l'aberration fphérique ne peut pas être
négligée dans les microfcopes, le problème devint encore beaucoup plus com-
pliqué. Toutefois, en 1692, il en entreprit et en acheva la folution.

Les microfcopes compofés dont Huygens a donné alors la théorie confident
en deux verres plancon vexes tournant l'un et l'autre leur furface plane vers
l'objet ^). L'œil étant fuppofé adapté à une diftance infinie , l'objet doit avoir
une pofition telle que l'image réelle formée par l'objedlif fc trouve au foyer
de l'oculaire. La pupille de l'œil coïncidera avec la pupille de fortie de l'infliru-
ment quand on voudra avoir un champ de vifion aufii étendu que pofllble. Si l'on
défigne avec Huygens par b la diftance de l'objet à Tobjeâif , par c la diftance
de cette lentille à l'image réelle, par d la diftance focale de l'oculaire, et enfin par
ûj la diftance de la vifion difl:indle, le grofllfl^ement g fera donné par l'équation :

comme Huygens le démontre à la p. 529.

Dans la déduction des règles pour la confliruétion de ces microfcopes Huygens

5) Voir les p. CXXVI— CXXXI.

^) Nous n'insisterons pas ici sur les détails de ce calcul , que nous avons discutés dans les notes
ajoutées à la Pièce en question.

'') Voir, par exemple, le post-scriptum de la p. 625.

^) Voir toutefois le § 3 de l'Appendice IX (p. 631—632) où il recommande l'emploi de len-
tilles biconvexes ayant l'un de leurs rayons de courbure six fois plus grand que raiitre,cc
qui correspond au minimum de l'aberration sphérique ; voir la p. 291.

CXVI AVERTISSEMENT-TROISIÈME PARTIE-CHAP. II-DES MICROSCOPES.

compare continuellement deux inftruments différents. Mais , pour en donner un
réfumé facilement intelligible , il nous femble préférable d'établir d'abord les
formules générales, applicables h un inftrument quelconque, pour les différentes
grandeurs dont il s'agit. Ces grandeurs font : le groffiiïement ^, pour lequel nous
avons déjà donné la formule (4), la clarté I , l'angle A de l'aberration , foit fphé-
rique C^O' ^^^^ chromatique (Ac), et enfin le diamètre D du faifceau émergent,
ou bien , ce qui revient au même , celui de la pupille de fortie.
Si l'on défigne par a le rayon de l'ouverture de l'objcétif, on a:

relation qu'on trouve immédiatement fi l'on confidère un rayon lumineux qui ,
partant du point où l'axe coupe l'objet, entre dans le microfcope en un point de
la périphérie de l'ouverture, et pafl^e enfuite par le foyer de l'oculaire ').

Pour évaluer la clarté I il faut remarquer que la quantité de lumière qui entre
dans le microfcope peut être confidérée comme proportionnelle à la furface S de
l'objet et à celle de l'ouverture de l'objeélif, et comme inverfement proportion-
nas
nelle au carré de la diilance ^; elle peut donc être repréfentée 3) par -p- multi-
plié par une confl:ante. Si la pupille de l'œil efl: plus grande que la pupille de
fortie, toute cette quantité fera admife dans l'œil et contribuera à la vifion.
D'autre part la partie de la rétine occupée par l'image efl: proportionnelle à S et à
g^. On peut donc pofer :

ou bien:

où K efi: un fafteur conrtant pour un même objet , illuminé de la môme manière.

a(/

') Comparez la p. 551 , où l'expression — représente le rayon de la pupille de sortie.

*) C'est-à-dire le rayon BONI de la fig. 38 de la p. 535.

^) À la rigueur l'angle solide du cône lumineux qui entre dans l'objectif, ayant son sommet

AVERTISSEMENT-TROlSlfeME PARTIE-CHAP. ÏI-DES MICROSCOPES. CXVII

Il nous refte h calculer les angles d'aberration. A cet effet nous fuivronsexaéle-
ment le mode de raifonnement de Huygens, en nous fervant de la figure 38
CP- 535) ^^"s laquelle BPE eft l'axe, PD Tobjeélif, PO = ^ fa dillancc focale,
EZ l'oculaire, BX l'objet et N le foyer de l'oculaire. On aura donc d'après
ce qui a été dit :

(8) PD=:^,PB=:^,PN = c,NE = ^,PO = 54).

Lorfqu'il s'agira de l'aberration chromatique, nous nous figurerons que c'cft
pour les rayons rouges que N eft en même temps l'image réelle du point B et le
foyer de l'oculaire. Nous fuppo ferons de plus que G eft ce foyer pour les rayons
violets et qu'un tel rayon, parti du point N et tombant fur la lentille PD, ren-
contre l'axe au point F. Nous poferons

(9) PF=:^,,EG=:^,.

Lorfque, au contraire, nous voudrons étudier l'aberration fphérique, nous fup-
poferons que, N étant toujours le foyer de l'oculaire, B eft conjugué avec ce
point par rapport à la lentille PD pour des rayons infiniment voifins de l'axe,
tandis que DF fera la ligne fuivie par un rayon provenant de N et atteignant
l'objeétif au point D du bord. Enfin G fera le point de rencontre avec l'axe pour
un rayon RM parallèle à cette ligne et entrant dans l'oculaire au point M que
nous déterminerons bientôt. Et nous nous fervirons de nouveau des notations
(8) et (9).

On voit que, dans les deux cas,FB = b — bj repréfente l'aberration longitudi-
nale de l'objeélif pour des rayons venant du point N , et NG = ^— ^, , celle de
l'oculaire pour des rayons incidents parallèles à l'axe et venant du côté V.

en un point de l'objet, et qui détermine la quantité en question si les rayons venant de

ce point ont la même intensité dans toutes les directions, est proportionnel à la grandeur

I — (_! + fij q"'o« peut remplacer par-l^— |-p+ . . parce qu'on aura Z'>^. Nous

; avons supposé dans le texte que le rapport aièest suffisamment petit pour que cette expres-
sion se réduise à son premier terme. Du reste Huygens se sert souvent d'approximations
analogues.

'^) On a donc dans le microscope étalon, décrit à la p, 549, en prenant pour unité de longueur

17 7

celle d'un pouce (26,16 mm.) /7 = — , ^= q > <^ = 7 i ^= ^'^"^y^*

CXVIII AVERTISSEMENT-TROISIÈME PARTIE-CHAP. II-DES MICROSCOPES.

Voici maintenant comment on détermine l'angle de l'aberration chromatique.

Comme la lumière violette peut fuivre le chemin NDF, elle peut aufli fe pro-
pager fuivant FDN. Par conféquent, un rayon violet qui fuit d'abord la ligne BD
donnera lieu à un rayon réfraétéDK d'une diredion telle que l'angle NDK foit
égal à l'angle BDF; cela réfulte de la Prop. VI , p. 475.

On aura donc un rayon rouge DN et un rayon violet DK provenant du même
point B de l'objet. Le premier entre dans l'oculaire au point I et en fort dans la
direétion de l'axe. Le fécond pafTe par l'oculaire au point M et eft réfraété fuivant
une certaine ligne MS, dont on détermine la direClion en remarquant que le rayon
réfraélé ferait MR, parallèle à l'axe, fi le rayon venait du point G, et que, par
fuite, l'angle SMR eft égal à l'angle GMK 0- C'eft cet angle SMR = GMK
qui détermine l'influence de l'aberration chromatique; en effet, la diftance des
points de la rétine où elle eft frappée par les rayons rouges qui ont la direétion de
l'axe et par le rayon violet MS peut être confidérée comme proportionnelle à
l'angle SMR.

On peut faire un raifonnement tout à fait analogue quand on veut déterminer
l'aberration fphérique. Il faut alors diftinguer les rayons centraux fortant du
microfcope parallèlement à l'axe et les rayons périphériques qui prennent une
direétion différente. Or, comme la lumière peut fe propager fuivant NDF , elle
peut également fuivre le chemin FDN, d'où l'on peut conclure que la direélion
du rayon DK, provenant du rayon périphérique BD, eft déterminée exaélement
comme dans le cas précédent. On trouve ainfi le point M , ce qu'il importe de
remarquer parce que dans le cas préfent la pofition de G dépend de celle de M.
Enfuite , d'après la manière dont le point G a été défini , on peut dire qu'un rayon
incident GM ferait réfraélé fuivant MR, parallèle à l'axe. Par conféquent, fi de
nouveau on prend l'angle SMR égal à GMK, c'eft la ligne MS qui indique la
diredion finale du rayon extrême BD et l'influence de l'aberration eft de nouveau
déterminée par l'angle SMR ou GMK.

C'eft donc cet angle, pour lequel nous avons déjà choifi la notation A, qu'il
faut calculer pour chacune des deux aberrations.

Or, on trouve facilement, en introduifant quelques fimplifications qui font per-
mifes tant que les rayons ne forment pas avec l'axe des angles trop grands.

') Toujours d'après la Prop. VI , p. 475 , déjà citée.

AVERTISSEMENT-TROISIÈME PARTIE-CHAP. II-DES MICROSCOPES. CXIX

et en traitant comme infiniment petites les grandeurs qui proviennent des aber-
rations :

Z.KDN=: Z_BDF = ^%^')-«),

NK = PN X 2-KDN = ^£^^ ,

C,o) L^mK=^ = -'-<'^à

NE~~~ b'ti "•

Refte h calculer l'angle NMG. On a d'abord, fi la ligne DN prolongée ren-
contre la lentille oculaire au point I :

EI = ^',

ûd 1) .^^'j ■}]) ')\\'

c

MI

^^±^xNK.^ri+^y<^-^').

Si donc nous pofons:
(il) ME = s,

on aura: '

et nous trouvons en fin de compte : riade'i oL :';}•• >

r ...^.^ ^î,

OU bien :

(14) Z.1NMG_ ^^^ + ^^^j— + ^=^ '

etenfin: '- ''" f'' '

(15) ^GMK=^NMK+^NMG=^^^|^V^^^ +

0 Puisqu'on a: 2ABDF = 60=* X^BDF = DP XBF et, par suite: ^'XZ.BDF = <»(* b,).

CXX AVERTISSEMENT-TROISIEME PARTIE-CHAP. II-DES MICROSCOPES.

Après ces calculs préparatoires il fera facile de comprendre la portée des
théorèmes de Huygens.

La Prop. XIV (p. 535 — 543) nous apprend que, lorfqu'un microfcope quel-
conque e(l donné, on peut, en confervant la lentille oculaire, trouver un autre
microfcope plus court, dont le groffiffement et la clarté de l'image font les
mêmes tandis que la vilion ell: plus nette ou bien le groffifîement et la netteté
les mêmes et la clarté plus grande. Huygens démontre qu'il fuffira pour obtenir
le premier de ces avantages de diminuer dans le même rapport la diftance focale
^de l'objeélif, le rayon a de l'ouverture et la diftance h de l'objet à l'objeétif.

En effet, on conftate facilement que, quelle que foit l'aberration qu'on a en vue.^
la proportionnalité des valeurs de e^a^tb dans les deux inftruments qu'il s'agit de
comparer entraîne celle de ces grandeurs avec b^ et c. Les formules (4) et (7) ^)
montrent que le groffiflement g et la clarté I ne changent pas. Il en eft de même
de la largeur D ^) du faifceau émergent, comme Huygens ne manque pas de le
faire remarquer s), mais l'angle NMK, qui eft déterminé par l'équation (10)
diminue dans le même rapport que les longueurs indiquées. Quant à l'angle NMG,
déterminé par l'équation (13), on peut remarquer d'abord que la grandeur ^, défi-
nie par la formule (12), fe compofe de trois parties — , — ^^ — ^et — ^î——

dont la première et la dernière reftent conftantes, tandis que la féconde diminue.
La fomme s devient donc plus petite, et il en eft de même de l'angle NMG,
parce que la différence d—di refte conftante dans le cas de l'aberration chroma-
tique et diminue dans celui de l'aberration fphérique à caufe de la diminution de
ME = s 4). En fomme on voit que l'angle d'aberration SMR = GMK =
= NMK -f- NMG eft devenu plus petit, en même temps que la longueur c -\- d
du microfcope; mais fi l'on préfère une augmentation de clarté, on peut, en
facrifiant en partie ou entièrement l'avantage de la plus grande netteté , agrandir
un peu l'ouverture ia de l'objedlif et obtenir en même temps une plus grande
largeur D du faifceau émergent 3).

') Voir les p. CXV— CXVI de cet Avertisssement.
') Voir la formule (5) de la p. CXVI.
3) Voir la p. 543 du présent Tome.
"*) Voir toujours la fig. 38 de la p. 535.

AVERTISSEMENT-TR.OIS1ÈME PARTIE-CHAP. II-DES MICROSCOPES. CXXI

Jufqu'ici nous avons maintenu dans l'expreffion (15) tous les termes qui repré-
fentent les grandeurs dont il eft queftion dansladifcuffion de la Prop. XIV par
Hiiygens, et nous avons pu démontrer l'exaélitude de cette Propofition en fuivant
de très près Ton raifonnement. Or, dans les Propolîtions qui fui vent, Iluygens
néglige les termes qui proviennent de l'angle NMG, ce qui veut dire qu'il
confidère l'aberration caufée par l'oculaire comme négligeable par rapport à
celle qui dérive de l'objeélif Q- Nous commencerons par admettre cette fim-
plification, fauf à examiner plus loin jufqu'à quel point elle peut être acceptée.

Nous attribuons donc h l'angle d'aberration la valeur :

(16) A — ^^ .

Or, dans la Fig. 42 de la p. 559, où DP rcpréfente l'objeélif, B la place
occupée par l'objet, O le foyer, OH = e — e^ l'aberration longitudinale pour des
rayons parallèles à l'axe et BF zrzh — à^ l'aberration des rayons partant du point
N,ona:

AFDB : AHDO = Qb-h,') : (^-f,) = b'L^BV» : ^=Z_HDO.

Dans le cas de l'aberration chromatique les angles FDB et ODII peuvent être
confidérés comme égaux d'après le Lemme i de la p. 551. On en déduit ., ' =

= — "~ =-, et l'on trouve donc:
e^ e

(■7) A, = f.

Au contraire , dans le cas de l'aberration fphérique , l'égalité des angles FDB
et ODII ne peut pas être admife puifque le Lemme 3 de la p. 561 , qui correfpond
pour l'aberration fphérique au Lemme i que nous venons de citer, a befoin
d'une correélion que nous avons indiquée dans la note 4 de cette p. 561. En

5) Voir. p. c. les pp. 547, 555, 563, 571, 581 et 647; mais on remarquera qu'on ne trouve
nulle part, dans le texte de la Dioptrique, ni dans les Appendices, une démonstration satis-
faisante de ce qu'il est permis de négliger l'angle NMG par rapport à l'angle NMK dans
le microscope étalon et dans ceux que Huygens en déduit.

16

CXXII AVERTISSEMENT-TROISIÈME PARTIE-CHAP. II-DES MICROSCOPES.

tenant compte de la différence des notations, employées ici et dans cette note,
on peut écrire :

(i8) L¥DB = Çi-f)LimO,

où la valeur de

dépend de la grandeur des rayons de courbure R ^ et R^ des furfaces fphériques
de la lentille objeélivc, R. appartenant à la furface qui efl: ici tournée vers l'œil.
Il en réfulte :

mais on fait que l'aberration fphérique longitudinale Ce — e^y d'une lentille
d'épaiiïeur S efl: approximativement égale à 5,J, où e^ efl: un coefficient qui
dépend de la forme de la lentille , prenant , par exemple , une valeur égale à

Y dans le cas d'une lentille planconvexe tournant fa convexité du côté de l'œil ^).

Appliquant en outre la formule (6) de la p. LVIII *), en y pofant n = ^^ on
trouve facilement :

où fi et A font déterminés par la forme de l'objeélif.

U«.

Nous pouvons maintenant réfumer le contenu des Prop. XV (p. 543) et XVIII
(p. 569) où Huygens montre comment on peut faire en forte qu'en diminuant la
longueur du microfcope on obtienne un groffiffement plus fort, tout en confer-
vant la même clarté et la même netteté, ainfi que la même largeur du faifceau

*) Voir la p. 287 du présent Tome.

^^ Dans les notations employées ici cette formule s'écrit: S.

2(« — i')e'

AVERTISSEMENT-TROISIÈME PARTIE-CHAP. Il-DES MICROSCOPES. CXXllI

émergent, et la même valeur du rapport de b àc, c'eft-h-dirc de BP à PN 3).
Il s'occupe d'abord (Prop. XV, p. 543 — 551) de l'aberration chromatique^
Or, on voit facilement que fi les dillances ^ et c changent dans le même rapport
il en (era de même de la diftance focale e de la lentille DP, puifqu'on a :

, . I I I

Cil) r + -=^-.

^ ^ ace

Par confcquent, fi l'angle d'aberration A^ ne change pas de valeur, cela
exige, d'après la formule (17), qu'il en foitdcmêmedu rapport de^h^. De
plus, comme la clarté doit demeurer la même, il faudra , d'après la formule (7)

de la p. CXVI, que — refl:e confiant. CelaaflTure en même tempsque le diamètre

de la pupille de fortie ne variera pas *). Mais fi ^ et — doivent refter confiants,

c doit varier proportionnellement au carré de a ou de ^, et de même b et e.

Quant au grofll fixement g=j^^), il variera dans le rapport inverfe de d; c'eft-

-à-dire dans le rapport inverfe de la racine carrée de c. On voit donc qu'on
peut en effet obtenir de cette manière un groflifl^ement plus fort avec une longueur
c-{-d plus petite , et que, fi l'on diftingue par un accent les valeurs qui fe rappor-
tent au microfçope plus court , les relations qui exiftent entre les grandeurs
appartenant aux deux microfcopcs peuvent être exprimées par les formules de
transformation: ntW il.

(23) a z= ka-^ b' =:k'lp'^ c =z k^C'^ d' ■=kd; e =k^'e; g =k-'g'^ ^

D' = D;I' = I; A',=^A/).

t
Nous ajoutons que d'après la formule (21) on aura alors:

(24) A', = y^-=A,;

■ i vb H£ .^!

3) Voir toujours la Fig. 38 de la 535.

4) Voir la formule (5) de la p. CXVI.

5) Voir la formule (4) de la p. CXV.

<î) De la même manière la transformation dont il s'agit dans !a Prop. XIV (voir la p. CXX) se
résume comme il suit :

CXXIV AVERTISSEMENT-TROISIEME PARTIE-CHAP. II-DES MICROSCOPES.

mais cette formule nous montre qu'on ne peut pas pourfuivre indéfiniment la „pro-
greiîîon des microfcopes" de plus en plus puifTants et de plus en plus courts, qu'on
obtiendrait par l'application des formules (23). Huygens s'en cft aperçu. En
effet, après avoir trouvé (p. 565) que dans un microfcope déduit du microfcope

étalon, en pofant /('=--, l'angle de l'aberration fphérique efl: à peu près égal à 20',

il ajoute: „Par conféquent, cet angle fera lui auffi h peine affez grand pour
nuire; de forte que l'effet obtenu avec un microfcope de ce genre fera excellent.
Mais fi nous conllruifons, d'après la formule de la règle trouvée plus haut, des
microfcopes encore plus courts et plus groffiffants, cet angle d'aberration croîtra
toujours; et cette caufe empêche donc que , en nous bafant fur cette règle , nous
puiffions augmenter indéfiniment la puifTance des microfcopes".

Pour contrôler cette aflTertion et pour trouver la valeur minimum de k qu'on
puiffe admettre, nous calculerons d'abord l'angle de l'aberration fphérique dans
le microfcope étalon de Huygens, dont nous avons indiqué les dimenfions dans la
note 4 de la p. CXVII.

À cet effet nous obfervons que la lentille DP ^) était dans les microfcopes de
Huygens une lentille planconvexe tournant fa furface plane vers l'objet -') , qui

fe trouve en B. Dans ces circonftances on a 5^ = ? 3^; A = — i '^) et l'on trouve

facilement A^ = -^ =: 5'38''; ce qui correfpond aiïcz bien avec la valeur

5' g' trouvée par Huygens s) , fi l'on prend en confidération qu'il a négligé le

faéleur i— = — . „ v .\.4 h .^ti- -. \. .s-.

Cet angle de 5', ou d'un peu plus, efl trop petit pour nuire d'une manière
fenfible à la netteté de l'image. Huygens s'en aff'ure en retournant l'objeétif
de manière à tourner fa furface fphérique vers l'objet ^^. L'aberration fphérique

*) Voir toujours la l'ig. 38 de la p. 535.

-) Voir la p. 561.

3) Voir la p. 287.

'») Voir la formule (19") de la p. CXXII, où l'on doit substituer Ra= 00 .

5) Voir la p. 563.

•5) Consultez les p. 563 — 565.

7~) D'après le calcul de Huygens, (jui néglige-le. facteur ( 1 ^ ), le rapport des angles d'abcr-

AVERTISSEMENT-TROISIEME PARTIE-CHAP. II-DES MICROSCOPES. CXXV

doit devenir alors, d'après le calcul de Huygcns, à peu près quatre fois plus
grande^) et l'angle A, fera donc porté à 20' environ; toutefois il peut à peine
obferver une diminution de la netteté. Il en conclut que non feulement un angle
de 5', mais même un angle de 20', peut être toléré, et cela malgré la circon-
llance que l'angle de l'aberration chromatique s'y ajoute encore.

Suivant notre calcul plus complet , on aurait après le retournement de l'ob-

jcéliff^ = ^, A = — ; ce qui conduit à A^ := ^^ = 1719'. On voit donc

que , dans l'application des formules (23) , on ne peut pas , en partant du micro-
fcope étalon, prendre k beaucoup plus petit que -, et que ce fait ert reconnu par

Huygens. C'ert pourquoi , pour obtenir des groffifTements plus forts, il a recours
dans la Prop. XVIII, p. 569 — 575, à d'autres règles, qu'il déduit cette fois de
la confidération de l'aberration fphérique.

En effet, fi l'on admet, comme plus haut^), la proportionnalité des grandeurs ^,
c et e dans les deux microfcopes, la condition que la clarté et l'angle d'aber-
ration fphérique ^) doivent relier confiantes exige qu'il en foit de même des

exprefïïons — et -j^ et, par conféquent, auflî de leur produit -y. On fatisfait à

cette dernière condition en pofant d :=.h}a^ é •=. he\ ce qui entraîne b' •=. hb ^
c z=ihc et enfin, à caufe de la valeur confiante de la clarté, i' = /^^, d'où l'on
déduit les nouvelles formules de transformation :

(25) a = k^a\ b' z= W; c =: k'^C'^d' = kd'^ e = k^e-^ g = k^^g;
U = D; r = I; A, = /^=A,; A', = A,.

Comme on le voit , la condition que le diamètre de la pupille de fortie '°) ne
varie pas, condition d'ailleurs équivalente à celle de la confervation de la clarté,
efl réalifée elle auffi par la nouvelle transformation. Il femble donc qu'on pourrait

ration serait de -^ (voir la p. 285) à -|-, c'est-à-dire de 27 à 7. En prenant en considération

la valeur différente dans les deux cas du facteur mentionné, on trouve 237 à jj.
^) Voir la p. CXXIII de cet Avertissement.
9) Voir les formules (7), p. CXVI, et (21), p. CXXII.
^°) Voir la formule (5), p. CXVI.

CXXVI AVERTISSEMENT-TROISIEME PARTIE-CHAP. II-DES MICROSCOPES.

obtenir à l'aide de cette transformation , comme Huygens le dit ') „iine progref-
fion pour ainfi dire infinie du groffiffement, fi la petitelTe des lentilles n'y faifait
obfl:acle, laquelle devient bientôt telle que nous ne pouvons ni leur donner des
formes fphériques parfaites ni nous en fervir afl^ez aifément, attendu qu'elles
finiiïent par échapper même aux regards". Mais il efl: clair que tout dépend de
l'exaditude des expreflions (17) et (21) pour A^et A^, dans lefquelles nous
avons omis les termes qui proviennent de l'angle NMG ; c'eft-à-dire de l'aber-
ration caufée par l'oculaire. Examinons donc jufqu'à quel point cette omiflîon efl
permife.

Nous commencerons par déterminer, pour le cas de l'aberration chromatique,
le rapport des termes dans A^ , que nous avons omis, à celui que nous avons pris'
en confidération , ou , ce qui revient au même =) , le rapport des angles NMG
etNMK.

On trouve facilement pour ce rapport 0 •

, 4NMG _ bXd-d^ d-d, d-d,

^^ L^MK— cXl^-b,y d "^"T"'

formule qui s'applique aux deux aberrations.

Dans le cas de l'aberration chromatique on a, comme nous avons vu ^') :

b—b, __e—e^ _ y . ^ j j

-jr---^ -j'->d-d,=vid.

On en déduit :
.^^ Z.NMG de d

^'^^ rNMK = ?^+'^n^-

0 Voir le dernier alinéa de la p. 533 du présent Tome.
^) Voir la p. CXXI de cet Avertissement.

3) Voir les formules (10) et (14) de la p. CXIX.

4) Voir la p. CXXI.

Ô Comparez la note 2 de la p. XCVIII.

*^) Voir pour les dimensions de ce microscope la note 4 de la p. CXVII.

7) Celle représentée par les formules (23) de la p. CXXIII.

^) Voir la p. CXXV. ^ ,

AVERTISSEMENT-TROISIÈME PARTIE-CHAP. II-DES MICROSCOPES. CXXVII

Pofantiî=^ s) , on trouve pour le microfcope étalon *') :

roR^ CZ-NMG),„,o„ ___i9_

^^ (^NMK),„,„„ -350'

et pour ceux qu'on en déduit k l'aide de la première transformation 7) :

^^^ Z.NMK —50^175^ •

Or, puifque Huygens n'a pas l'intention de pouffer à l'aide de cette trans-
formation la réduction des dimenfions des microfcopes beaucoup plus loin

"que jufqu'à celle qui correfpond à la valeur ^ = - ^) , on peut en conclure que

l'omiflion des termes dépendant de l'angle NMG efl: juftifiée dans ce cas.
Quant à la féconde transformation (25) , elle donne :

, . Z-NMG I 6 ,_,

^3°) LWMK = Yo^Tf-5^ ->

mais on doit obferver que par cette transformation l'angle NIVIK diminue dans le
rapport de i à /^'^ î*). Il faut donc plutôt comparer la valeur de l'angle NMG dans
le microfcope plus court à celle de l'angle NMK dans le microfcope étalon,
valeur que l'expérience a fait connaître comme admiflible. On a alors:

^^^ CLNMKX,o„^5o^+i75'' '

ce qui montre déjà qu'on ne peut pas diminuer indéfiniment la valeur de ^; mais
nous découvrirons dans l'aberration fphérique un obftacle beaucoup plus férieux
à la „progreflion indéfinie du grofliflTement" que Huygens fuppofe poflible avec
cette féconde transformation. > •

9) Voir la formule ( 10) de la p. CXIX, où ^-j^=~^=^; comparez la p. CX XI.

CXXVIII AVERTISSEMENT-TROISIEME PARTIE-CHAP. II-DES MICROSCOPES.

Dans le cas de l'aberration rphérique,dont nous allons traiter maintenant, on a:

où è^ repréfente l'épailTeur mathématique 3) de la lentille oculaire quand on
lui attribue la demi-largeur ME = j. De plus, e^ eft un fadeur qui dépend de
la forme de la dite lentille, et Ton a d'après la formule (i 2) de la p. CXIX :

(33) -f+0+4)^^^^=7+(- + F)-'r(-7)^

A étant déterminée, fuivant la formule (19), p. CXXII, par les rayons de cour-
bure des furfaces de l'objeélif.

On a donc, en fubftituant les valeurs de — p-^et^—^, dans la formule (26):
4NMG_ e£j^ . m! . !^

.,^w(i--;

Si maintenant on calcule la valeur de s dans les microfcopes qu'on déduit du
microfcope étalon par chacune des deux transformations, on trouve, en pofant

fj = fa = 4- , A = — I '^) , dans le cas de la première transformation s) :
et dans celui de la féconde '^) :

(36) ,= ±4- " y^+_lL_;^-

70 3360 II760

Or, pour les inftruments dérivés du microfcope étalon par la première trans-
formation l'équation (34) peut s'écrire:

^à7J Z.NMK— 11^^ +24^ '^ "^T^^^ *

^) Comparez le dernier alinéa de la p. CXXI.

^^ Comparez les considérations sur la valeur de e — e^ qu'on trouve à la p. CXXII.

3) Comparez la p. LUI.

4) Voir le troisième alinéa de la p. CXXIV.

AVERTISSEMENT-TROISIÈME PARTIE-CHAP. II-DES MICROSCOPES. CXXIX

Kn fubrtituant dans cette formule k = \ et à ^ la valeur correfpondante 0,0246
qu'on obtient h l'aide de la formule (35) , on trouve:

Z_NMG

De la môme manière ce quotient efl: trouvé égal à 0,00920 pour k-=:-. Il eft

donc évident qu'il n'y a rien qui s'oppofe à l'emploi de la première transformation
jufqu'à la limite indiquée par Huygens ') , du moins lorfqu'on applique cette
transformation à des niicrofcopes qui ne font pas trop différents du microfcope
étalon de Huygens.

Dans le cas de la deuxième transformation la formule (37) doit être remplacée
par l'équation :

Or, fi dans cette équation on fubftitue fucceflivemcnt -, - et ^ à ^, et à j les

4'5 6 '

valeurs correfpondantes qu!on déduit de la formule (36), on trouve pour le

quotient des angles NMG et NMK: dans le premier cas 0,155, ^^"^ ^^ deuxième

0,627 et ^^"s ^^ troifième 2,196. Cela nous apprend que déjh pour A' = 7 la fomme

des trois derniers termes de l'expreffion (15), p. CXIX, qui ont été négligés,
dépafTe confidérablement le premier terme de cette expreffion , le feul qui ait été
pris en confidération par Huygens. Il en ré fuite qu'on ne pourrait guère obtenir
par la féconde transformation qu'un groflifTement un peu plus que cinq fois plus
fort que celui du microfcope étalon (qui groflît 36 fois) fans une diminution
fenfible de la netteté des images; ce quied bien loin de la „progre(ïïon pour ainfi
dire infinie du groflifl^emcnt" fuppofée par Huygens. Il eft vrai d'ailleurs que déjà

pour ^ = - la lentille objeélive devient d'une petite (Te extraordinaire puifque fa

diftance focale eft proportionnelle h la quatrième et le diamètre de fon ouverture
à la troifième puifl^ance de k.

5) Voir les formules (23), p. CXXIII.
^S Voir les formules (25), p. CXXV.
0 Voir la p. CXXV.

17

CXXX AVER-TISSEMENT-TROISIÈME PARTIE-CHAP. II-DES MICROSCOPES.

Ajoutons enfin que nous n'avons trouvé aucune indication que Huygens ait
jamais effayé de mettre en pratique les réfultats des confidérations théoriques
qui précèdent; c'ell-à-dire, qu'il ait jamais conftruit en réalité des microfcopes
dérivés de fon microfcope étalon d'après l'une ou l'autre des deux transformations.

Il nous faut dire encore quelques mots à propos du faéteur Ci J qu'on

rencontre dans la formule (20) de la^. CXXII,et qui a été négligé par Huygens.
Comme celui-ci ne connailTait pas la formule générale de l'aberration longitudinale
des rayons émanant d'un point quelconque de l'axe *), il lui était impofTible de
déterminer avec exaélitude la différence b — b^ dans le cas de l'aberration fphé-
rique. Il s'ell tiré d'affaire en admettant après quelque héfitation =), la proportion :

(39) (b-bj:(e-ej=zb':e'

qui eft vraie pour l'aberration chromatique 3), et qu'il croyait pouvoir démontrer
auffi pour l'aberration fphérique^), du moins dans le cas, qui fe pré fente dans
le microfcope , où ^ efl: peu différent de e s).

Nous avons fignalé dans la note 4, p. 559 '^), l'erreur qui s'efl glifTée dans
cette démonllration et nous avons montré plus haut à la p. CXXII de cet Aver-
tiffement comment cette erreur eft corrigée par l'introduélion du faéteur en
queftion dans les formules (20) et (2 1). Il en ré fuite que , même dans le cas où
l'objet fe trouve tout près du foyer, le calcul de Huygens ne conduit pas h un
réfultat bien exaét, puifque la préfence de ce faéleur augmente la valeur de A5,
calculée d'après la formule (21), dans le rapport de 10 à 1 1 lorfque la lentille

0 Comparez les pp. LXIII, LXXIV et LXXV.

") Aux §§ 13 et 14 de l'Appendice IX (p. 652—653), Huygens admet implicitement la relation
^ — ^1 = ^ — ^i; dans une remarque qu'on rencontre vers la fin du § 19 du même Appen-
dice (p. 662), il mentionne la proportion Çb — b^) : (e — e{)^b: e, mais cela semble pro-
venir d'une inadvertance.

3) Voir le lemme i de la p. 551 du présent Tome. Nous ayons vu h la p. CXXI de c€t
Avertissement que ce lemme entraîne nécessairement la proportion (39).

'♦) Voir le lemme 2 de la p. 559.

S) Voir l'annotation citée dans l'avant-dernier alinéa de la note 7 de la p. 556.

") Voir aussi la note 7 de la p. 556.

0 Voir les §§ 7 (p. 637) et 17 (p. 656) de l'Appendice IX. Le théorème nous apprend que
lorsqu'on intervertit les deux lentilles d'un microscope composé, de telle manière que leur
distance mutelle reste la même et qu'elles tournent le même côté vers l'objet, le grossissement

AVERTISSEMENT-TROISIÈME PARTIE-CHAP. ÎI-DES MICROSCOPES. CXXXI

objeélive tourne fa furface plane vers l'objet, et qu'elle la réduit dans le rapport
de 90 à 79 lorfque cette lentille eft dans la pofition inverfe.

Or, il eil curieux de conftater que Huygcns lui-même n'a pas manqué de décou-
vrir la défeétuolîtc de fa démonftration. Cela réfulte du § 19 (p. 661 — 662) de
l'Appendice IX. Huygens y montre d'une façon ingénieufc que le théorème de
l'égalité des angles de deux rayons, avant et après la réfraétion par un prifme
très aigu, n'efl: pas fuffifamment exaét pour juftifier l'application qu'il en a faite
dans fa démonftration. Il prouve à cet effet, par un exemple particulier, que ce
théorème peut induire en erreur, quand on l'emploie pour le calcul de l'aber-
ration fphériqùe d'un faifceau de lumière partant d'un point de l'axe fitué à
diftance finie, en fuppofant connue l'aberration près du foyer.

C'efl: à cette occafion qu'il fe réfoud à ne pas admettre dans fa Dioptrique un
théorème fur les effets de Tinter vertilTement des lentilles oculaire et objeélive dans
un microfcope compofé-'); théorème dont la démonftration lui femble devoir

ne change pas; mais que, dans le cas où, comme Huygens le suppose tonjours, la distance

focale de l'oculaire excède celle de l'objectif, les deux aberrations sont plus fortes dans le

microscope interverti. Pour apprécier l'exactitude de ce théorème nous représenterons par rt',

b\ c\d\ e' les grandeurs qui correspondent dans le microscope inverti aux grandeurs a^ b,c,

d, e du microscope primitif. On a alors d' = e,e' = d,c' = c -\- d — e. Ensuite les relations

I ,111,11 , , ,, d(c-\-d — e) bdCcA-d — e)

— i — ; h V, =-, et — h -r =— nous donnent b' = -^^ — ^ = — '^ — ' -.

c -\- d — e ^ b d c ^ b e c — e ce

Enfin la conservation de la clarté exige a' :b' = a: b\ par conséquent : a' = — ^ •

On en déduit, en négligeant l'aberration causée par l'oculaire :

, c'a cm , rja'c' __ i]a(lc -\- d — ey _d ^ /c-\-d—eV . ,

^^b'J'^~fd=^^'>^^'^~J7- ^? ~1^\ ~c J ^'

La première de ces relations nous fait connaître l'égalité du grossissement; proposition dont
nous avons donné, à l'exemple de Huygens, une démonstration plus élégante dans le dernier
alinéa de la note 4 de la p. XXXIX. La deuxième relation amène A^.> A^, pourrf> e.

Pour obtenir la troisième on a dû s'occuper du facteur (i — —J dont la valeur n*estpas

la même dans les deux cas et que Huygens ne savait pas calculer. Toutefois on peut remar-
quer que, quand on considère d et e comme petits par rapport à c, l'inégalité A' > A

résulte immédiatement de la présence du facteur -. De plus pour i=— i (valeur qu'on doit

CXXXII AVERTISSEMENT-TROISIÈME PARTIE-CHAP. II-DES MICROSCOPES.

dépendre de la proportion (39) dont rexaélitude lui parait maintenant douteufe.
Il maintient au contraire les Prop. XV et XVIII, concernant la conftruftion de
microfcopes plus puiffants, déduits du microfcope étalon ') , parce que la démon-
flration de ces propofitions peut être rendue indépendante de la proportion (39)
en appliquant le „Theorema demonftrandum" du § 15 de l'Appendice IX
(p. 654) dont il ne femble pas mettre en doute la juftefTe =). Et nous avons vu,

en effet, que le faveur Ci Jn'a pas d'influence fur les formules de transfor-
mation (23) et (253 puifquc fa valeur ne change pas par ces transformations.

Dans la dernière des propofitions de fa Dioptrique (la Prop. XIX, p. 577)
Huygens s'affranchit d'une reftridion qu'il s'eft impofée dans les propofitions

précédentes, à favoir de la condition que le rapport- des difl:ances PB 3) et PN

de l'objeftif à l'objet et à l'image réelle foit maintenu confiant.

En premier lieu il confidère comme données les valeurs de la diftance focale
EN=:^de la lentille oculaire, du groffiffement g, de la clarté I et de l'angle
A^ d'aberration chromatique et il fe propofe d'en déduire la diftance focale e de
l'objcélif, la pofition de cette lentille, c'eft-à-dire les diftances b et c, et le rayon
a de fon ouverture.

Pour déterminer ces inconnues , nous avons les quatre équations fuivantes '*) :

De la première et de la deuxième on déduit facilement: - = — ; enfuite la

quatrième donne a, la troifième c et la deuxième ^; de cette manière on trouve:

choisir dans le cas où les deux lentilles sont des verres planconvexes (tournant leur surface
plane vers le bas) tous les facteurs par lesquels A^ est multiplié surpassent l'unité.

') Par les formules de transformation (23) (p. CXXIII) et (25) (p. CXXV).

-) Voir, pour plus de détails, la note 8 de la p. 663.

3) Voir toujours la Fig. 38 de la p. 535.

*) Toujours en négligeant avec Huygens l'aberration qui est causée par l'oculaire.

S) Voir la formule (4), p. CXV.

^) Voir la formule (7), p. CXVI.

7) Voir la formule (17), p. CXXI.

AVERTISSEMENT-TROISIEME PARTIE-CHAP. II-DES MICROSCOPES. CXXXIIl

"0 po=,=,^|^e,,lAî, po=.=-^.,i/^™=

Ces formules montrent de nouveau que, pour autant qu'elles relient applicables,
on peut augmenter le grofriflTcment en diminuant les dimenfions de Tobjeélif.
Huygens en déduit encore (p. 579) qu'on ne peut pas gagner beaucoup fous ce
rapport par un changement de la diftancc focale de l'oculaire. Il le démontre à
l'aide d'une formule, qu'on obtient en éliminant le faéleur Çdg + w) entre les
deux premières formules (41). Dans nos notations cette formule s'écrit:

Elle fait voir qu'en augmentant le grofîiiïement g fans que la diftance focale e
change de valeur, on obtiendrait bientôt des valeurs de b plus petites que <?, furtout

parce que dans le microfcope étalon b n'efl: déjà pas plus grand que — e. Or,

une valeur de b plus petite que e n'eft pas admiflible.

^) Pour montrer la conformité de ces formules avec celles données par Iluygens aux
p. 577 — 579 de la Prop. XIX, nous écrirons avec des accents les lettres qu'il introduit, toutes
les fois que cela sera nécessaire pour ne pas confondre ses notations avec les nôtres. Or, dans
cette proposition Huygens représente la distance focale de l'objectif par jf, la distance BP de

l'objet à cette lentille par x^\q grossissement donné par -, l'angle d'aberration donné par -;

en outre il suppose rj =—. Quant à la clarté, pour la mesurer il introduit le rapport

des angles ZVE et DBP, qu'il désigne par -,. L'angle ZVE n'est autre chose que la grandeur
apparente sous laquelle l'objet BX est vu au travers du microscope, il a donc la valeur
^—, où h représente la grandeur linéaire de l'objet. Comme d'autre part l'angle DBP est

égal à?, on a ^= ^; c'est-à-dire ^ =^, et, par suite, d'après la formule (6) de la
b aoj g b bï

p.CXVI,I = x.^-x-. Les substitutions à faire pour introduire dans les formules (43) les

*' A ^' V /* — —

notations de Huygens sont donc les suivantes: ^ = 3»; ^ = A:;jg-=-; a^. — - ; y/ ^ ^ g'h'
À l'aide de ces substitutions on vérifie aisément l'identité de la première et de la dernière
des formules (41) à celles des pp. 577 et 57p.

CXXXIV AVERTISSEMENT-TROISIÈME PAllTIE-CHAP. II-DES MICROSCOPES.

Cette argumentation efl: irréfutable, mais elle ne montre pas d'une manière con-
vaincante ce qui arrive lorfqu'on augmente le grolîiflTement fans changer la
dillance focale de la lentille objcétive. Pour élucider ce point, nous partirons
plutôt de la première formule (41), en l'écrivant:

(43) ^-7 — ^vl/r-

(U

On voit alors que fi l'on veut maintenir confiante la valeur de e^ le fadeur g-h-j

ne doit pas varier. Ain fi, pour obtenir un groffiiTement plus fort avec la même clarté
et la même valeur de A ^, on doit néceffai rement augmenter la diftance focale de
l'oculaire; mais fi nous repréfentons pnr^o et par d^ les valeurs de g et de ^ dans le
microfcope étalon, le groflifl^ement ne pourra jamais furpafl^er, pour des valeurs

pofitives de ^,la valeur g^ -h ^ *).

Voyons encore ce qui arrive, lorfqu'on approche indéfiniment de la limite

(0

g ■='go 4- -f' Alors d devient infiniment grand (comme aufli PN = c) , la valeur

de PB = ^ devient égale à celle de PO = ^, et DP = ^ prend la valeur limite

wA.
finie:

<«» + 7)

Or, dans le microfcope étalon de Huygens *), on a ^o = î^ po"ces, ^^ = 36,
tandis qu'il fuppofe w = 8 pouces 3). On ne pourrait donc, en partant de ces don-
nées, obtenir avec une lentille oculaire convexe un grofl[ifl"ement g plus grand qu'à
peu près 40, et cela encore feulement en donnant au microfcope des dimenfions
impraticables.

Ajoutons encore que, pour pouvoir appliquer les formules (41) à des exemples
numériques, on doit commencer par calculer pour un microfcope étalon les valeurs

'") Pour des valeurs négatives de </les formules (43) conduisent à un système de lentilles qui ne

fonctionnerait pas de la manière désirée, comme il est facile de s'en convaincre.
^) Voir la note 4 de la p. CXVII de cet Avertissement.
3) Voirlap.CVIII.

AVERTISSEMENT-TROISIÈME PARTIE-CHAP. II-DES MICROSCOPES. CXXXV

des grandeurs conftantes qu'on rencontre dans ces formules. Si nous prenons, à
l'exemple de Iluygens, pour ce microfcope celui dont les dimenfions font
indiquées dans la note 4 de la p. CXVII, nous avons fcn fuppofant toujours

"50/
(44) A, = -'^=j^;V 1=^^=56°;

ce qui donne:

(45) PO = . = -^^^,; PB = ^ = -il^; PN = . =

Pour ^ = 36, ^= 2, on retrouve ainfi, en effet, les dimenfions du microfcope
étalon, et pour g = 72, d=. i, celles de l'inftrumentqui en eft dérivé h la p. 548.

Les formules trouvées (41) ^^^^ P^^^s générales que la règle dont il eftqueftion
dans la Prop. XV (p. 543) et que nous avons réfumée dans les formules de trans-
formation (23) de la p. CXXIII. Elles peuvent fervir à leur tour pour la déter-
mination des dimenfions d'un nouveau microfcope plus grofllfiant qu'un infiru-
ment donné et équivalent à ce dernier au point de vue de la netteté et de la
clarté des images. Mais elles cefl^ent d'être applicables dès que l'aberration fphé-
rique devient trop fenfible. Elles doivent alors être remplacées par d'autres qui
peuvcncêtre confidérées comme une extenfion des formules de transformation (25).

Pour les déduire on doit remplacer la dernière des formules (40) par une
autre qui fe rapporte à l'aberration fphérique, c'eft-à-dire, on doit réfoudre les
équations :

par rapport aux inconnues ^, h^ cet a.

^) Voir la formule (21) de la p. CXXII.

CXXXVI AVERTISSEMENT-TROISIÈME PARTIE-CHAP. II-DES MICROSCOPES.

Cette rcfolution ne préfente aucune difficulté; les trois premières équations
nous font connaître les rapports de c,b Qtake, et la quatrième la valeur de e. De
cette manière on trouve :

^3û,A^

(v/fy^

'^-.. S"/ .." (v/D'^ ^'=''=

(47) \

_//g+cn /T ^^ X ,.

Pour arriver à des applications numériques Iluygens fuppofe, cette fois encore,
que la clarté et l'angle d'aberration font les mêmes que dans le micro-
fcope étalon, mentionné plus haut. Dans ce cas on doit fubftituer dans les
formules (47) :

r ^ o 7 ^ A ixCl'^C r Xë\ II \ /x C(ù ,

(49) « = 8,£.=^,A = -., A, =-y-(.--j=g^-;\/ 1=^=560.

') Pour comparer ces formules à celles communiquées par Huygens à la p. 581 et déduites
par lui au § 23, p. 670 — 672, on doit d'abord poser s = ^ et omettre partout le facteur

\i — , \~\ ignoré par Huygens; ensuite on doit faire les substitutions ^ = 7, Z' = jf,

ff = — ,As = — , \/v= -T-^=-« Quant à la dernière de ces substitutions Oes autres étant
q' w V I ^^g.^ ^ ^

analogues à celle de la note 8 de la p. CXXXIII) on la trouve en remarquant que, pour

/ yvTXf 15-'' ûî

obtenir une mesure de la clarté, Huygens pose cette fois = = -—:=.• d'où l'on déduit

LDVB 1^/

successivement -f- = -— ^•,-^=L^. i ^ « '''" f /_^ (d'après la formule (6) de la

p.CXVI;.\/^ = ^.

AVERTISSEMENT-TROISIÈME PARTIE-CHAP. II-DES MICROSCOPES. CXXXVII

Il eft évident que la théorie afîez compliquée du microfcope compofé, que
nous venons d'analyfer, ne pouvait pas avoir d'avenir. Elle perdait tout Ton intérêt
dès que, par l'invention des lentilles achromatiques et par les perfeélionnemcnts
de la théorie et de la technique de la dioptrique, on avait appris à corriger
presqu'entièrement les défauts dus aux aberrations chromatique et fphérique.

C'eft pourquoi à titre hiilorique nous nous bornerons à fignaler qu'on trouve
un réfumé très précis et très clair de cette dernière partie de la Dioptrique de
Huygcns dans l'ouvrage de Robert Smith que nous avons déjà mentionné plus
d'une fois '^). Toutefois Smith n'a pas fuffifamment approfondi les démon-
ftrations de Huygens pour en découvrir les points faibles. Il a accepté le Lemme
2 de la p. 559 3) fans y apporter la correftion qu'il aurait été à môme de calculer
parce que, comme nous l'avons vu, il connaiflait la formule générale que
Huygens ignorait ^) ; il ne s'eft pas non plus pofé la queftion jufqu'à quelle limite
il efl; permis de négliger, comme il le fait à l'exemple de Huygens s), l'aberration
fphérique de l'oculaire dans la férié de microfcopes de plusOn plusgroflifîants
déduite à l'aide de la transformation (25); férié dont il admet avec Huygens
l'efficacité jufqu'à l'infini fi la limite dépendant de la petitefle des lentilles n'y
faifait pas obllacle ^).

Recherches fur la profondeur du champ du microfcope.

Il y a encore, concernant le microfcope, un dernier fujet, touché par Huygens,
qu'on ne s'attendrait peut-être pas à rencontrer dans un manufcrit du dix-fep-
tième fiècle. Nous parlons de r„incommodité éprouvée dans les très forts

'*) Voir la note 2 de la p. XLIV et la p. LXXIV. Ajoutons que les Prop. VII et VIII de Smith
(p. 270 et 271 de son ouvrage) correspondent aux Prop. XV (p. 543) et XVIII (p. 569) de
Huygens. De même les Prop. IX et X de Smith (p. 272 et 274) correspondent respectivement
aux parties de la Prop. XIX (p. 577) de Huygens où celui-ci traite de l'aberration chroma-
tique et de l'aberration sphérique.

3) Comparez leCoroll.4de la p. 270 de l'ouvrage de Smith avec la formule (2i)de!ap. CXXII
de cet Avertissement.

4) Voir les p. LXXIV— LXXVII.

5) Comparez les articles 699 et 700 de la p. 267 de l'ouvrage de Smith.

'^) „Mr. Huygens found that his microscope would bear this inversion" [le retournement delà
lentille objective]. „But if we try to magnify much more by this proposition" [la transfor-
mation (23)] „the aberrations by the figure will still increase and put a stop to this process;
which nevertheless might be continued to infinity by the following proposition , as this
excellent Author" [Huygens] „has observed, but for the practical difficulty of making the
object-glasses so small as are requisite for that purpose" (p. 27 1 de l'ouvrage de Smith).

18

CXXXVIII AVERTISSEMENT-TROISIÈME PARTIE-CHAP. II-DES MICROSCOPES.

grofliflements qu'une petite différence dans la diflance a une fi grande influence
fur la netteté de l'image que, quand on voit difl:in6lement la furface fupérieure
d'un cheveu étendu fous le microfcope, les parties médianes à côté fe montrent
d'une manière confufc; incommodité qui empêche auflî d'utilifer ces groffilTe-
ments extrêmes" ').

Le pafTage que nous venons de citer efl: de 1684, mais nous avons vu que, déjà
en avril 1668, Huygens avait attiré l'attention de fon frère Confl:antyn fur cet
inconvénient ^). Il reprend le même fujet vers 1690 et le projet de rédaction de
la Dioptrique de l'année 1692 nous montre que l'idée lui était venue de le
traiter fyfl:ématiquement dans cet ouvrage 3). Malheureufement il n'a pas même
donné un commencement d'exécution à cette idée; de forte que nous ne poffé-
dons que deux Pièces peu achevées qui contiennent quelques calculs fe rap-
portant à ce fujet.

La première de ces Pièces 4) date de 1684, c'efl:-à-dire d'une époque à
laquelle Huygens n'avait pas encore développé fa théorie générale du microfcope
compofé, fondée fur la confidération des deux aberrations. Huygens y compare
deux microfcopes donnant le même groffiffement et pofl^édant des oculaires à
diftances focales égales, tandis queladiftance focale del'objeélif et les difliances
de l'objet et de l'image réelle à cette lentille font doublées dans le microfcope
le plus long 5).

Dans ces conditions il calcule l'effet d'un petit déplacement d de l'objet
dans la dircélion de l'axe fur la pofition de l'image réelle formée par l'objeélif.
Il le trouve égal dans les deux cas fi on néglige une quantité de l'ordre de d' '^).

*) Voir la p. 687 du présent Tome.

-) Voir le passage de la lettre à Constantyn, cité à la p. CVI de cet Avertissement.

3) Voir, à la p. 772 de la Pièce „De Ordine in Dioptricis nostris servando", la phrase : „fortasse
et de distinctionis profunditate".

'*) Voir le § 10 , p. 6iY—^'^9 -> de l'Appendice X.

5) Voir les Fig. 15 et 16 de la p. 689. On y a DK = 2 DC ; KV = 2 CP; VN = PM.

'^) Le résultat était à prévoir à cause de la similitude des parties inférieures des deux microscopes,
d'où il s'ensuit que si un déplacement ^ de l'objet détermine dans le plus court des deux un
déplacement d' de l'image, un déplacement 2^ doit dans le plus long causer un déplacement
2d\ par conséquent (si on néglige de petites grandeurs d'un ordre plus élevé) , un dépla-
cement dàoxt conduire à un déplacement d' dans le microscope plus long aussi bien que dans
le microscope plus court.

7) Voir la p. 688.

AVERTISSEMENT-TROISIEME PARTIE-CHAP. II-DES MICROSCOPES. CXXXIX

Il en conclut qu'en doublant la diftance focale de l'objeélif d'un microfcope (en
confcrvant le même groflilTcment) „il n'y a rien a gagner pour avoir une
diftinétion avec profondeur" 7).

L'autre Pièce ^), de 1690, traite d'un cas auflî fpécial. Cette fois c'eft la com-
paraifon des effets de deux microfcopes fimples, dont l'un eft une boulette
fphériquc 9) et l'autre une petite lentille. Et cette comparaifon conduit I luygens
à la conclufion fuivante '°) : „J'ai voulu examiner ici fi une petite lentille ne vaut
pas mieux qu'une boulette fphérique auffi dans ceci qu'elle fouffre plus facilement
une plus grande dimenfion de l'objet dans la direction de l'axe; mais à cet égard
elle furpaffe à peine la boulette de quoi que ce foit" ").

Obfervatîons mîcrofcopiques de Huygens.

Nous avons reproduit dans l'Appendice XI (P.-698 — 732) les comptes rendus
par Huygens de fes nombreufes obfervatîons microfcopiques des infufoires, des
baftéries, des fpermatozoïdes et de quelques autres objets microfcopiques.

On y lira avec intérêt les notes fcientifiques dans lefquclles des favants auffi
compétents que M. M. W. Beijerinck et M. N. H. Swellengrebel '^) ont tâché
d'identifier les organifmes obfervés par Huygens. A ces notes et au réfumé donné
par Huygens lui-même, qu'on trouve aux p. 523 — 527 du préfentTome '^^^
nous n'ajouterons ici que quelques remarques générales que nous devons pour
la plus grande partie à M. Swellengrebel.

On a déjà vu "^3 que l'intérêt de Huygens pour l'examen microfcopique des
infufions de poivre et d'autres fubllances a été éveillé par les communications
qu'il avait reçues au fujet des obfervations de Leeuwenhoek , mais, une fois
qu'il fe met à l'œuvre, il fe fait connaître comme un microfcopifte encore plus
minutieux et plus capable que Leeuwenhoek lui-même. Cela fe montre furtout

8) Voir, au § 11 de l'Appendice X , les p. ()92— 694.

9) Voir sur ces boulettes les p. CVI— CVII de cet Avertissement.
'°) Consultez à propos de cette conclusion la note 14 de la p. 693.
") Voir la p. 692.

'-) Comparez la note 3 de la p. 702.

•3) Voir aussi les lettres échangées en 1678 et 1679 entre Christiaan Huygens et son frère Con-

stantyn aux pp. 65,92, 124, 125, 130, 131 , 204, 205 et 2i3du T. VIII.
'4) Voir la p. CVI de cet Avertissement.

CXL AVERTISSEMENT-TROISIEME PARTIE-CIIAP. II-DES MICROSCOPES.

dans les figures qu'il donne avec une grande profufion. Elles font fouvent fi
décaillées qu'on peut deviner le genre ou l'efpèce qu'il a obfervé.

Comme M.Beijerinck l'a démontré récemment ') d'une façon fi convaincante,
Leeuwenhoek a vu et décrit des bactéries bien avant l'année 1683 qu'on défigne
ordinairement comme l'époque de fa première découverte de ces organifmes. En
vérité il les a rencontrées fous fes microfcopes dès le commencement de fes obfer-
vations en 1675. De même, Huygens n'a pas tardé à les apercevoir. C'efl:
furtout pendant la première férié, de 16^78 à 1680 , de fes obfervations qu'il en a
décrit et defllné plufieurs efpèces différentes , tandis que dans la féconde féric, de
1692, fon attention s'efl: portée plus exclufivement fur l'anatomie des infufoires
et fur la manière dont ces animalcules fe comportent.

A propos des recherches fur ces derniers organifmes nous mentionnons la
defcription des mouvements des cils orales d'un infufoire du genre Oxytricha
(p. 722) et celle de l'anatomie externe des Vorticelles (p. 716 et Ji'j^ dont il
a vu probablement les formes libres (p. 718 et 729) et la divifion (p. 730). Il a
obfervé de même la divifion (p. 703 et 704) et auflî la conjugal fon (p. 71 1 et 7 13)
d'autres infufoires , et il a deflîné bien exadement la forme extérieure des Rota-
toires, où la préfence d'une palpe dorfale ne lui a pas échappé (p. 728 et 73 1) 0-

Ce qu'il y a d'ailleurs de plus intérelTant peut-être dans ces manufcrits , ce font
les idées et les expériences de Huygens fur l'origine des organismes de fes infu-
fions. Il s'y montre un adverfaire convaincu de la génération fpontanée. „ïl feroit
efl:range" dit-il (p. 725 — J'^^^ „que le poivre, le gingembre, et ces queues de
fleurs, engendrafTent tous les mefmes animaux. C'ell pourquoy il efl: plus
probable qu'ils viennent de l'air attirez par l'odeur".

Pour vérifier cette hypothèfe il ferme une de fes fioles , qui contiennent les
infufions, „d'une pièce de chamois liée fur le col; pour voir s'il y naiftra des
animaux" (p. 718). La première fois, en juin 1679 , cette expérience n'a pas le
réfultat qu'il en attend. Après deux jours des organifmes paraifljsnt dans la fiole
fermée ainfi que dans celle qu'il avait laifi^ee ouverte, quoique en moindre quan-
tité; une femaine plus tard „il y a voit dans la fiole fermée aufli bien que dans

^') Voir la note 3 de la p. 702 du présent Tome.

') Voir encore, sur la découverte de la viviparité de l'Anguillula aceti , les pp. 525 et 700, sur
une observation à propos de la distribution inégale des infiisoires dans l'infusion, la p. 711,
et sur une hypothèse ingénieuse mais fausse sur la manière dont le mouvement des infusoires
est produit, la p. 710.

AVERTISSEMENT-TROISIÈME PARTIE-CHAP. II-DES MICROSCOPES. CXLI

l'ouverte de ces grands animaux qui courroienc trcs viftc et des grands a queue ,
outre quantité de médiocres et une infinité d'anguilles" (p. 719). Il en eft autre-
ment dans des expériences faites en 1 6^1. Une „eau de poivre qui avoit eftè cou-
verte et enfermée d'un cuir de chamois" depuis plus de trois femaines contenait
à peine „quelque chofe de vivant" et Huygens ajoute „cela peut avoir entré par
les porcs du chamois" (p. 730). Le jour fuivant il y découvre „grandc quantité
de très petits a grand peine vifibles. qui peut eftre avoient pafTe a travers le
chamois" 3).

De plus, Huygens a fait quelques expériences fur l'influence de la chaleur et
du froid fur les organismes des infufions. Après avoir laifTé geler de l'eau de
poivre dans une petite fiole, il voit revenir „1es petits animaux" deux jours après
le dégel; mais ayant mis une telle fiole dans de l'eau bouillante il ne retrouve rien
de vivant après trois jours (p. 7 1 6 — 7 1 7).

Quant à la technique fuivie dans les obfervations microfcopiques, nous avons
déjà dit (p. CXIII) que Huygens fe fervait prefqu'exclufivement du microfcope
fimple. Il en efl: de même pour Leeuwenhoek, mais avec cette différence que
Leeuwenhoek employait des petites lentilles taillées par lui-même *) , tandis que
Huygens préférait les boulettes, dont il avait étudié fi aflidûment , vers 1677, la

3) Dans le résumé de ses observations microscopiques (p. 525)1! s'exprime bien plus positive-
ment, lorsqu'il dil: „Mais lorsque le vase est fermé, il n'en apparaît aucun". Probablement
il n'avait en vue alors que les organismes plus grands, auxquels on réserve maintenant le
nom d'„infusoires". Voir d'ailleurs, dans la note 5 de la p. 525, l'interprétation donnée par
M. Beijerinck à ces expériences avec des fioles fermées.

*) Voici ce qu'on trouve sur les microscopes de Leeuwenhoek aux p. 403 — 404 de l'ouvrage
de Smith cité dans la note 2 de la p. XLIV: „lVIr. Leeuwenhoek on the contrary in ail his
observations.. made little or no use of any other microscopes but single ones,as we are infor-
mcd by our worthy Vice-Président Martin Folkes Esquire, in the account he has given us of
Mr. Leeuwenhoek's legacy to the Society of 26 of thèse microscopes. . „„These microfcopes
are ail single consisting each of a small double convex-glass, let into a socket, between two
silver plates riveted together and pierced with a small hole. The object is placed on a silver
point or needle, which by means of skrews of the same métal , provided for that purposc,
may be turned about , raised or depressed , and brought nearer or put farther from the glass,
as the eye of the observer, the nature of the object, and the con veulent examination of its
several parts may require. Mr. Leeuwenhoek fixed his objects, if they were solid , to this
silver point with glew; and when they were fluid or of such a nature as not to be commo-
diously viewed unless spread upon glass, he first fitted them on a little plate of talk,or
excessively thin-blown glass; which he afterwards glewed to the needle in the same manncr
as his other objects" ".

CXLII AVERTISSEMENT-COMPLÉMENTS À LA DIOPTRIQUE.

fabrication et l'arrangement pratique '). Il ne s'eft pas donné moins de peine
pour obtenir une bonne illumination des objets tranfparents qu'il obfervait
à travers fes microfcopcs '^^ , et il ell: curieux de faire remarquer à ce propos que
Iluygens efl: peut-être le premier microfcopifte qui fc foit aperçu des avantages
que l'éclairage à fond noir peut préfenter quelquefois 3).

LES COMPLEMENTS X LA DIOPTRIQUE.

Premier Complément. Projets divers de rédaStion de la Dioptrique ,

ou de fes parties.

Nous avons réuni dans ce premier Complément à la Dioptrique les projets de
rédaftion ou de révifion de cet ouvrage que nous avons trouvés dans les manu-
fcrits. Ces projets ont déjà été utilifés dans l'Aperçu de la génèfe de la Diop-
trique 4), qui conftitue le début de cet AvertifTement, et dans l'hiftorique et
ranalyfe de plufieurs des fujets traités s). Qu'il fuffife donc ici de quelques mots
pour fignaler les Pièces les plus importantes qu'on trouve dans ce Complément :
premièrement (p. 738 — 745) ),le projet du Contenu de la Dioptrique", de 1673,
écrit peu de temps après la découverte de la théorie ondulatoire de la lumière et
qui donne l'ébauche d'un ouvrage contenant en même temps la matière de
la préfente Dioptrique et celle du Traité de la lumière, à l'exception de l'expli-

*) Voir la p. CVII de cet Avertissement.

=^3 Comparez la p. ex II.

3) La première fois le 14 mars 1678 (voir la p. Sr)^')., quand il a pu observer à l'aide de ce
genre d'illumination le mouvement assez rapide des organismes contenus dans une mince
pellicule surnageant l'infusion, „on apercevait" écrit-il „ce mouvement par le scintillement
de ces animalcules, parce que dans certaines positions ils luisaient, mais dans d'autres bien
moins. En se tournant directement vers la lumière on ne voit presqu'aucun mouvement,
mais on l'aperçoit quand la lumière tombe d'à côté". Ensuite, le 17 septembre de la même
année, il annote (p. 710). „Je regardois tous ces animaux non pas directement contre la
lumière mais en détournant un peu le microscope , ce qui les fait paroistre sur un fond noir.
On découvre mieux par ce moyen les moindres animaux ayant vie, et l'on distingue aussi
mieux les parties des grands".

'^) Voir les p. X — XI de cet Avertissement.

S) Voir la note 3 de la p. LXXXVIII (systèmes de lunettes), la note 4 de la p. XC (distorsion
des images), les p. XCVI— XCVIl (grandeur de l'aberration chromatique) et enfin la
p. CXXXVIII (profondeur du champ sous le microscope).

AVERTISSEMENT-COMPLÉMENTS X LA DIOPTRIQUE. CXLIII

cation de la double réfraétion , qu'alors il n'avait pas encore trouvée. Enfuite
nous mentionnons le „Commcncement du traité de ma Dioptrique en François
que j'avois deffcin de joindre au Traite de la Lumière" (p. 754 — 770), de 1690,
et enfin la Pièce „Ue Ordine in Dioptricis nortris rervando",de 1692, qui con-
tient les idées de Iluygens fur une révifion projetée de fa Dioptrique, telles qu'il
les avait formées à la même époque où il compofait et rédigeait la dernière partie
de fa Dioptrique, c'eft-à-dire celle dans laquelle il traite de la théorie du
microfcope compofé.

Il avait alors abandonné l'idée d'employer la langue françaife dans la nouvelle
rédaélion de fa Dioptrique. Il fe propofait d'y maintenir la langue latine dans
laquelle fon manufcrit avait été commencé (en 1652) et pourfuivi, et dont il
favait d'ailleurs fe fervir avec facilité et élégance. Or, il eft curieux d'obferver
de quelle manière il fe préparait à cette tache. En effet, on trouvera aux
dernières pages (p. 781 — 782) du Complément, qui nous occupe ici, toute
une férié de mots latins et de bouts de phrafes qui conftitucnt comme un réper-
toire d'expreffions latines variées, concernant la fcience de la Dioptrique. Evi-
demment ces expreffions devaient fervir à faciliter la rédaélion de l'ouvrage
projeté, en y évitant une trop grande monotonie dans les locutions.

Deuxième Complément. Conformation de Pœil et théorie de la vifton.

On doit à l'admiration de Huygens pour „la conftruétion de l'œil et la manière
dont fe fait la vifion" quelques pages d'une haute éloquence. On les rencontre
dans une Pièce intitulée: „De l'œil et de la vifion", dont la première rédaélion
date probablement de 1670'^). Cette Pièce relia inédite jufqu'en 1908, lorfqu'elle
fut publiée par Straub 7). Il nous ferait difficile de nous abftenir d'en citer
ici plufieurs paflTages, fi nous ne penfions pas que le leéteur préférera les lire
en entier aux p. 797 — 799 du préfent Tome ^).

Nous nous bornerons donc, dans ce qui fuit, à indiquer les principaux fujets
de l'optique phyfiologique ou pfychologique dont Huygens s'efl: occupé , en y

*^) Voir la note 2 de la p. 791 du présent Tome.

'') Voir la note 2 de la p. 788 et le dernier alinéa de la note 2 delà p. 791.
^) On trouve des passages de la même portée mais beaucoup moins étendus aux pp. 1 33 — 135>
744-745 et 756.

CXLIV AVERTISSEMENT-COMPLÉMENTS X LA DIOPTRIQUE.

joignant quelques remarques donc nous fommes en grande partie redevables à
feu Manuel Straub, le regretté profeffeur d'ophthalmologie de l'Univerfué
d'Amfterdam.

Déjà la figure (p. 131) defllnée par Huygens dans la première Partie de
fa Dioptrique '), qui repréfente une coupe méridienne de l'oeil, ell remar-
quablement exadte quant à la forme générale et la difpofition des détails. Plus
tard, dans la Pièce „De l'œil et de la vifion" ^), Huygens a pu utilifer les mcfures
prifes, en fa préfence, en février i667,par le médecin Jean Pecquet 3). Il eft
dommage que nous ne connaiiïbns pas les méthodes, dans lefquelles Huygens a
eu probablement fa part, qui furent employées dans cette „ophthalmométrie".
Les réfukats obtenus prouvent qu'elles avaient été bien choifies.

Dans la première Partie de la Dioptrique et de même dans l'article „De l'œil
et de la vifion" on rencontre la defcription d'un œil fimplifié formé par
deux hémifphères de différents rayons '»). La furface de l'un de ces hémisphères
repréfente la cornée, celle de l'autre la rétine s). Or il eft curieux de remar-
quer la grande relTemblance de cet œil fimplifié, projeté par Huygens, avec
l'œil réduit bien connu de Lifting ''). Chez tous les deux les furfaccs réfrin-
gentes de l'œil font remplacées par une feule furface fphérique de telle manière
que le centre de cette furface (le point M de la figure çç, p. 128 du préfent
Tome) correfpond au point K de Lifting 7) dans lequel il a réuni, pour obtenir la
fimplification qu'il cherchait, les deux points nodaux très voifins de l'œil réel,
tandis que le point E de la figure de Huygens correfpond au point F de Lifting.
De plus, puifqu'ils fuppofent tous les deux que l'intérieur de l'œil faftice eft

rempli d'un liquide dont l'indice de réfraétion eft égal à -, il arrive que le rap-

port des diftances du centre M aux deux points focaux , dont l'un fe trouve en
E et l'autre en avant du point B à une diftance égale à ME , eft le même dans les

') Comme nous l'avons exposé aux p. III et IV de cet Avertissement, la „Pars Prima" de la
Dioptrique, qui constituait primitivement un „Tractatus de refractlone et telescopijs", fut
achevée en 1653 et il n'y a, ni dans l'état du manuscrit, ni autrement, aucune raison de sup-
poser que la partie consacrée à la description de l'œil (p. 129 — 135) serait d'une date posté-
rieure.

^) Voir les figures des pp. 789, 790, 794, 795 et 296.

3) Voir les p. 787 — 790 du présent Tome.

'^) Voiries pp. 129 — 131 et 793 — 794.

5) D'après Huygens la choroïde , où il supposait plutôt le siège de Ta vision ; voir la p. 795.

*') Voir les p. 16 — 18 de l'ouvrage cité dans la note 4 de la p. XXV de cet Avertissement.

'') Voir la Fig. 1 1 de la planche I de l'ouvrage de Listing.

AVERTISSEMENT-COMPLÉMENTS X LA DIOPTRIQUE. CXLV

deux conftrudtions , qui, par conféquent, préfentent une fimilitude géométrique
complète.

Toutefois les deux inventions avaient chacune un but différent. Celle de
Listing devait faciliter les calculs et les conftruftions des oculiftes, celle de Huy-
gens avait pour objet l'étude des difpofitions qui font de l'œil réel un inftrument
d'optique fi merveilleux. Ainfi , par exemple , la mefure abfolue du rayon MB ')
n'importe pas à Huygens, tandis que chez Lifting elle eft choifie de manière à
donner des réfultats autant que poffible applicables à l'œil réel. D'autre part
Lifting ne s'occupe guère de la fituation du diaphragme formé par la pupille,
dont les avantages font difcutés par Huygens à l'aide de fon œil Amplifié.

En 1691 Huygens a imaginé un œil fchématique d'une façon différente ^). Il
conferve à la furface antérieure de cet œil, qui repréfente la cornée , fa forme
fphérique, mais il donne à fa furface poftérieure la forme d'une furface de
révolution, dont il apprend à conftruire la courbe méridienne, point par point,
de manière qu'elle reçoive les images des objets très éloignés , formées par les
faifceaux de rayons qui après leur réfraélion par la furface antérieure, pafTent
par une petite ouverture qui repréfente la pupille. Ce modèle peut fervir, entre
autres, pour expliquer, dans l'œil réel, la grande étendue du champ de la vifion
confufeî*), qui excède, pour les deux yeux enfemble fuppofés immobiles et
regardant droit devant eux, un angle de 1 80° ^°).

Huygens a trouvé chez Kepler les notions de la myopie et de la prefbyopie et
nous avons déjà analyfé plus haut ") les règles qu'il a donné pour la conftruétion
des beficles qui doivent corriger ces défauts. Or, il eft intéreffant de noter que
Huygens a fenti le befoin d'une explication de la genèfe de l'emmétropie;
explication dont on commence feulement de nos jours à s'occuper plus expreffé-

7) Voir toujours la Fig. 99 de la p. 1 28.

^) Voir les §§ 3 et 4 du deuxième Complément, p. 800—802 du présent Tome. Dans le premier
paragraphe Huygens exécute, évidemment avec beaucoup d'exactitude, pour un œil fac-
tice, rempli d'eau, les constructions dont il s'agit; dans le second il suppose un œil de verre.

^) Confuse, parce que la forme de l'œil réel ne correspond nullement à la supposition qui sert ici
de base à la construction de Huygens de la surface postérieure de son œil factice. Avec un
tel œil tous les objets pourraient être vus avec une netteté à peu prés égale, diminuée seule-
ment par les aberrations sphérique et chromatique. On remarquera la manière dont le
raccordement des deux surfaces est obtenu.

'°) Voir la note 5 de la p. 801.

"'3 Voir la p. XXVI de cet Avertissement.

19

CXLVI AVERTISSEMENT-COMPLÉMENTS X LA DIOPTRIQUE.

ment '). À ce propos on trouve à la p. 756 du préfent Tome l'annotation fui-
vante: „admirable dans les yeux, que les furfaces de la cornée et du criftallin
font juftement de telle mefure de convexité que les rayons parallèles rompus
concourent dans le fond de la choroïde, peut eftre que dans les petits enfans
cela n'eft pas encore ainfi et que les yeux s'y difpofent en quelque façon, mais
cela mefme n'eft pas moins merveilleux".

Quant à la manière dont l'accommodation fé fait dans l'œil , dans la première
Partie de fa Dioptrique (p. 133) Huygens laifle le choix entre la fuppofition d'un
mouvement en avant du criftallin et celle d'une augmentation de la convexité de
cette lentille. Il admet auffi la poffibilité que les deux caufes agiflent fmiultané-
ment et il décrit les mécanifmes qui devraient, félon lui , entrer en jeu dans l'un
et dans l'autre cas. En 1667, à l'occafion des menfurations faites par Pecquet ''),
il obferve combien le criftallin eft flexible et changeant de forme fous la
preffion des doigts 3). Il en conclut que la deuxième fuppofition eft la plus
probable et il voit dans le peu d'efpace qui eft lailTé au criftallin pour fe mouvoir
en avant une autre raifon pour préférer cette fuppofition à la première. Toute-
fois en 1670 il revient à la conception (fauftè comme on le fait maintenant)
d'un mouvement en avant du criftallin fans changement de forme *^.

Parlant, vers 1653, dans la première Partie de fa Dioptrique des queftions que
nous appelons de nos jours pfychologiques, Huygens dit (p. 135) „qu'elles font
trop obfcures pour que des mortels, quels qu'ils foicnt, puifl^ent en trouver la
folution". À cette même occafion, après avoir écarté la queftion d'examiner
comment il fe fait que la pupille en fe contraétant refte toujours ronde, parce
que „rexamen de ces propriétés de l'œil ne fait pas partie de notre plan",
il ajoute qu'il tâchera „encore moins de répondre à la queftion de favoir comment
l'image des objets vifibles qui fe forme] au fond de l'œil parvient de là à notre
cerveau et à notre efprit, comment étant renverfée, elle nous fait cependant voir
les objets debout, et comment il fe fait, qu'en regardant avec les deux yeux, nous
ne voyons pas les objets doubles".

^) Voir l'article de Straub „Ueber die Aetiologie der Brechnngsanomalien des Auges und den
Ursprung der Emmetropie" dans „v. Graefe's Archiv f'iir Ophtalmologie", Bd. 70, 1909,
P' 130 — 199» et celui deW. P.C. Zeeman„Linsenmessungen und Emmetropisation" dans
le même „ Archiv", Bd. 78 , 191 1 , p. 93 — 128,

0 Voir la p. CXLIV , qui précède.

3) Voir la p. 789 du présent Tome.

^) Voir la p. 794.

AVERTISSEMENT-COMPLÉMENTS X LA DIOPTRIQUE. CXLVII

Toutefois, plus tard, Huygens eft revenu fur les deux problèmes mentionnés
en dernier lieu. A propos de celui recherchant „pourquoy on voit les chofes
droites quoyque tournées dans noftre œil a l'envers" il fe fait connaître dans
le „Projet du Contenu de la Dioptrique" (de 1673) comme „empirifte": „Ce
n'cft" d'après lui „que l'accouftumance de juger, et. . fi nous avions vcu toute
noftre vie toutes chofes et mefme le mouvement de nos mains par un verre qui
renverfe les objets comme un convexe nous dirions encore que nous voions
toutes chofes direéles et ne nous tromperions point en montrant le haut et le bas
de nos mains" s). Or, on fait qu'une expérience analogue à celle indiquée par
Huygens a été exécutée denos jours par Stratton '^).

Quant à l'autre problème, Huygens a développé dans l'article „De l'œil et
de la vifion", qui était deftiné à faire partie de fa Dioptrique , avec une clarté qui
ne laiflTe rien à défircr , la notion des points correfpondants. „Pour ce qui eft de
l'aétion des deux yeux a la fois" dit-il 7) „la nature a pourvu d'une manière bien
particulière a ce qu'ils ne fifient pas paraître l'objet double. C'ert qu'elle a fait
que chaque point du fond de l'œil a fon point correfpondant dans le fond de
l'autre en forte que lors qu'un point de l'objet eft peint dans quelques deux de
ces points correfpondants, alors il ne paroit que fimple comme il eft". Un peu
plus loin il ajoute qu'il eft à noter que ces points font tous deux „du mefme coftè
des axes et non pas difpofez femblablcmcnt a l'égard des deux nerfs optiques"
et il fait encore remarquer que „d'icy il eft aifè de voir pourquoy un objeél
éloigné doit paroitre double lors qu'on difpofe les yeux pour regarder un autre
objeét plus proche, et pourquoy au contraire l'objeél proche fe doit doubler en
voiant fimple celuy qui eft plus diftant". Comme on l'aperçoit, Huygens expofe
ici une théorie afîez complète des points correfpondants des deux rétines, telle
qu'on la rencontre dans les ouvrages des phyfiologiftes modernes ^). D'ailleurs
Huygens , auffi bien que les autres grands mathématiciens du dix-feptième et du

5) Voir la p. 745 du présent Tome. Comparez aussi la p. 829 , oCi Muygens approuve une expli-
cation analogue donnée par Molyneux dans son ouvrage de 1692.

<*) Voir dans le „Psychological Review", Vol. III, 1896, (p. 611— 617) et Vol. IV, 1897,
(pp. 341— 360; 463—481) les articles de G. M. Stratton, intitulés „Some preliminary
experiments on vision without inversion of the retinal image" et „Vision without inversion
of the retinal image".

7) Voir la p. 796 du présent Tome.

^3 À commencer par „Johannes Miiller, Zur vergleichenden Physiologie des Gesichtssinnes des
Menschen und der Thiere nebst einen Versuch uber die Bewegungen des Auges und ûber

CXLVIII AVERTISSEMENT-COMPLÉMENTS Â LA DIOPTRIQUE.

dix-huitième fiècles, a laifTé à Wheatftone le mérite de faire l'obfervation
(en 1838) que les images fur les deux rétines d'objets à trois dimenfions font
néceiïairement inégales ') ; obfervation qui fut d'une importance fi fondamentale
pour la théorie de la vifion binoculaire et qui le conduifit à l'invention du ftéréo-
fcope. Si Huygens s'était rendu compte de ce que l'explication qu'il donne
(p. 796) du fait que, non feulement un point déterminé d'un objet, mais aufli
les points qui l'environnent, font vus fimples, ne pouvait être valable qu'approxi-
mativement, il aurait fait un premier pas vers les découvertes de Wheatftone,
mais on trouve qu'en réalité il n'a pas tiré cette confèquence de la théorie des
points correfpondants.

Nous avons réfervé pour la fin une quefiion à laquelle, vers 1673 , Huygens
a voulu confacrer un chapitre entier de fa Dioptrique ') ; deffein que, toutefois ,
il n'a pas exécuté. Nous parions de l'efl^imation du lieu que nous aflignons h
l'image formée par un fyftème optique.

Huygens a toujours émis l'opinion, qui s'écartait de celle de plufieurs de fes
prédécefl^eurs et de fes contemporains 3) , que cette efi:imation efl: eflentielle-
ment un effet de la vifion binoculaire. Déjà dans la préface ^) de la première
Partie de fa Dioptrique on rencontre l'affirmation „que la vraie caufe du
phénomène que, en regardant d'en haut un vafe rempli d'eau, le fond femble
partout s'élever, . . doit être cherchée en confidérant les rayons de lumière qui
fe dirigent vers les deux yeux".

denmenschlichen Blick", Leipzig, Cnobloch, 1826, p. 71— 79. D'ailleurs on trouve déjà
des considérations analogues aux p. 46— 49 de Touvragede Robert Smitli (de 1738), cité
dans la note 2 , p. XLIV de cet Avertissement.

*) Voir, dans les „Philosophical Transactions of the Royal Society of London for the year
MDCCCXXXVIir'aux p. 371 — 394, Particle de Ch. Wheatstone intitulé „0n some remar-
kable, and hitherto unobserved, phenomena of Binocular Vision". Wheatstone n'avait
réussi à trouver aucune autre allusion à l'inégalité des images sur les deux rétines qu'une
remarque ingénieuse de Leonardo da Vinci (voir la p. 372 de l'article cité) qui explique
de cette manière pourquoi même la peinture la plus parfaite ne peut jamais donner une
impression de relief aussi forte que celle qu'on reçoit devant les objets réels. Cette remarque
de da Vinci fut reproduite aussi par Robert l^mith àla p. 41 des „Remarks" , qu'on trouve
vers la fin de son ouvrage déjà si souvent cité dans cet Avertissement.

*) Voir la p. 745 du présent Tome.

3) On peut consulter sur les idées de Kepler, Descartes, Barrow et Molyneux à ce sujet les
notes 1 1 de la p. -jy^ , i et 3 de la p. 780, 2 et 3 de la p. 830 du présent Tome.

4) Voir la p. 9. Toutefois la date où le commencement de cette préface fut écrit est incertaine
(voir la note 2 de la p. 2), et il se pourrait bien qu'elle fût postérieure à celle de la publi-
cation de l'ouvrage de Barrow , dont nous parlerons bientôt.

AVERTISSEMENT-COMPLÉMENTS \ LA DIOPTRIQUE. CXLIX

En 1669, la qiieftion fut mife à l'ordre du jour par Barrow d'une manière
qui attirait beaucoup l'attention de Tes contemporains. Dans fcs „Le6liones
opticae" 5) , où il traite amplement de la localifation par l'obfervateur des images
formées par les miroirs et les lentilles, il avait été arrêté par une difficulté con-
cernant un cas particulier *^) où l'expérience était en contradiétion avec fes
confidérations théoriques, bafées, comme partout dans fon ouvrage, fur l'hypo-
thèfe que l'image n'eft vue que d'un feul des deux yeux. Ayant tâché en vain
de lever cette difficulté, fur laquelle probablement il n'avait pas manqué de con-
fulter Newton 7), il prit le parti de Texpofer au leéleur, tout en avouant qu'il
n'avait pu réuflir à la réfoudre.

C'était fans doute la déduétion par Barrow du „locus imaginis", comme s'il
s'agiflTait d'une queftion de vifion monoculaire, que Huygens avait en vuelorfqu'il
écrivait à Oldenburg, en janvier 1670, peu de temps après avoir reçu l'ouvrage
de Barrow '): „Pour ce qui ell du Locus Imaginis, j'ofe dire qu'il n'a pas bien
rencontré, et la difficulté qu'il fe forme luy mefme a la fin, de vroit l'en avoir
adverty"^). En effet, en 1673, Huygens commence le réfumé du Chapitre, où il
fe propofait alors de traiter „du lieu de l'image", par les phrafes: „rErreur de
plufieurs en cecy. Qu'on ne juge point la diftance d'un feul œil, les boites
paintes en dedans le font voir ou on regarde par un trou, la difficulté qu'un autre
aura a rencontrer voftre doit avec un œil fermé" "). De même, lorfque, en
1683 "), Fullenius ") le confulte fur les difficultés qu'il avait rencontrées dans
l'explication de quelques expériences ayant pour but la détermination du lieu
apparent des images d'objets qu'on obferve à travers une lentille , Huygens lui
expofe *3) combien ces déterminations font incertaines et fubjeétives quand on

5) Voir l'ouvrage mentionné dans la note 2 de la p. XX de cet Avertissement.

'*) Il s'agit du cas où l'image réelle de l'objet se formerait derrière la tête de l'observateur. Voir,
pour plus de particularités, la note 25 de la p. 775 du présent Tome.

7) Voir la note 23 de la p. 771.

^) Voir les p. 534 du T. VI et 3 du T. VII.

^) Voir la p. 3 du T. VII. Nous profitons de cette occasion pour avertir le lecteur de la cor-
rection que nous avons dû apporter à la note 4 de cette page, laquelle note se rapporte au
passage que nous venons de citer. On trouve cette correction au dernier alinéa de la note
25 qui commence à la p. 775 du présent Tome.

'°) Voir la p. 745.

") Voir les p. 447— 449 du T. VIII.

") Voir sur Bernardus Fullenius, l'un des éditeurs de la „Dioptrica" de Huygens, comme
œuvre posthume, la note i de la p. 443 du T. VIII.

'3) Voir les p. 476—478 du T. VIII.

CL AVERTISSEMENT-COMPLÉMENTS X LA DIOPTRIQUE.

ne fe fert que d'un feul œil et il indique quelques circonftances qui peuvent avoir
de l'influence fur ces évaluations ').

Comme nous l'avons déjà dit Huygens n'a jamais réalifé Ton deflein de traiter
exprelTément de la manière dont on eftime le lieu où l'on voit une image .
En 1692 , il exprime l'opinion que, quant aux images formées par les lentilles,
cette queftion ne vaut pas la peine de s'en occuper, mais qu'il en eft autrement
en ce qui concerne celles qu'on obferve dans les miroirs ^). Et de nouveau il fe
propofe de réfoudre dans fa Dioptrique la „di(Ticulté" de Barrow 3). Or, plus
loin dans la même Pièce ^) on trouve, finon une explication détaillée des phéno-
mènes décrits par Barrow, du moins l'expolition fuivante concernant le cas du
miroir, dont nous croyons utile de traduire ici la partie écrite en latin: „Voiez
la difficulté de Barrow. EfTaier avec un miroir concave. Lorsqu'il penfait que
le lieu et la diftance de l'image peuvent être eftimés d'un feul œil il a donné
contre cet écueil. Là, où il juge du lieu de l'image, ni à l'aide des deux yeux,
ni à l'aide du mouvement d'un feul. car avec les deux yeux l'objet fe voit double
dans ce cas. Et le mouvement d'un feul ne caufc pas de parallaxe, mais l'objet
fe déplace plus que l'œil lui-même. Comment donc le lieu de l'image eft-il perçu
d'une manière quelconque ? Par la feule grandeur apparente de l'objet qu'on con-
naît". Cette annotation efl: accompagnée de quatre figures s) dont les trois
premières repréfentent différents cas qui peuvent s'offrir quand on regarde avec
les deux yeux dans un miroir concave l'image d'un point lumineux ou d'un petit
objet; tandis que la quatrième figure femble avoir rapport à la vifion monoculaire.

*) Voir encore les p. 534—535 du même T. VIII, où Muygens démontre que Fullenius est
entièrement en erreur quand il pense que l'évaluation du lieu apparent serait nécessaire pour
la détermination du grossissement. Ajoutons que dans ses iéttres à Fullenius, Huygens parle
(PP« 477 6t 535) <^es distances dont on peut encore juger à l'aide des deux yeux. D'après son
expérience personnelle elles n'excèdent pas 1 2 ou 1 5 pieds, mais il croit possible que d'autres
personnes, qui ont la vue plus aiguë, en puissent évaluer de plus grandes. Il y voit la cause
pour laquelle les tableaux et les décors de tliéatre peuvent suggérer aux spectateurs les
perspectives les plus lointaines.

') Probablement parce que la plus grande largeur des miroirs permets souvent d'y regarder avec
les deux yeux.

3) Voir la Pièce „De Ordine in Dioptricis nostris servando" à la p. 771 du présent Tome.

^) Voir les p. 775— 776, où Ton doit lire la dernière phrase: „Sola apparenti magnitudine
notas rei".

5) Voir la p. yyô.
) Voiries pp. 124, 125 et 128— 132 du T. VII et surtout la note i de la p. 12p.

AVERTISSEMENT-COMPLÉMENTS X LA DIOPTRIQUE. CLI

Troifîème Complément. Lunettes catoptrtques,

Huygens s'efl: intérefTé vivement an télefcope à miroir, inventé par Newton en
1671, dont la Société Royale de Londres lui avait fait parvenir la defcription
par l'intermédiaire du fecrétaire Oldenburg '^). Il communiqua cette defcription
àfontourà Gallois"), l'éditeur du ,Journal des Scavans",enfaifant reflbrtir
les avantages que le nouvel inftrument avait fur la lunette dioptrique, à favoir:
l'abfence d'aberration chromatique et de la perte de lumière, caufée par les
réflexions multiples aux furfaces des lentilles comme aulfi par l'abforption des
rayons par la matière du verre , et furtout la valeur confidérablement plus petite
de l'aberration fphérique. Et il ajouta: „Si au lieu de miroirs fpheriques , l'on en
pouvoit avoir de paraboliques exaftement formez & polis; ces Lunettes feroient
l'effet que l'on s'efl: promis des verres elliptiques ou hyperboliques : & je croy
bien plus facile de reiiffir aux miroirs".

Dès l'abord il voit toutefois une difficulté dans le fait qu'il fera difficile „dc
trouver une matière pour ce miroir qui foit capable d'un poli aufli beau et uni
que celuy du verre ; et la manière de donner ce poli fans gafter la figure sphe-
rique" ^) , et cette difficulté s'accentue de plus en plus quand il s'efforce de faire
conftruire fous fa propre dircélion des miroirs de 10 à 12 pieds î*). Il finit par
déclarer '°) à propos de cette invention de Newton qu'il a „pu connoiftre par
l'expérience" [que] „le défaut de la matière la rend prefque auffî impoffible
d'exécuter que la difficulté de donner la forme répugne aux Hyperboles de Mon-
fieur Des Cartes de forte qu'a mon avis il en faudra demeurer à nos verres fphe-
riques aux quels nous avons défia toute obligation et qui peuvent recevoir encore
plus grande perfeétion tant par l'augmentation de la longueur des lunettes que par
la corrcélion de la maftiere du verre mefme" "). Ce n'efl: que beaucoup plus
tard, en 1691, que l'idée lui efl: venue, fur laquelle nous reviendrons, qu'il ferait
poffifible d'employer le verre comme matière des miroirs parce qu'il y a des

7) Voir les p. 1 34— 1 37 du T. VII.

') Voir la lettre à Oldenburg du 13 février 1672 à la p. 141 du T. VII.

î*) Voir les pp. 157, 158, 159, 173 et 186 du T. VII.
*°) Voir sa lettre du 10 juin 1673 à la p. 303 du T. VII.

") Comparez encore au même propos les pp. 319, 332 et 392 du T. VII, la p. 534 du T. VIII
et enfin la note 5 de la p. 805 du présent Tome.

CLII AVERTISSEMENT-COMPLÉMENTS X LA DIOPTRIQUE.

moyens de fupprimer ou de diminuer Tinconvénient de la duplication des images.

Du refte, il réfulte des annotations que Huygens a confacrées aux télefcopes
h miroir, bien qu'elles foient très brèves ^) , qu'il avait développé la théorie de
cet inftrument exaétement de la même manière que celle de la lunette keplé-
rienne. Dans ces confidérations il s'agit toujours du télefcope de Newton, qu'il
préfère de beaucoup à ceux que Gregory et Caffegrain avaient propofés de con-
ftruire ").

Or, l'inftrument de Newton fe compofe d'un miroir concave qui fert d'objeftif,
et d'une lentille oculaire convexe vers laquelle les rayons font réfléchis par un
petit miroir plan; il eft donc clair que les effets qu'il produit doivent être fort
femblables à ceux qu'on obtient avec une lunette afl:ronomique.

En premier lieu le groffiffèment eft donné par le rapport entre la diftance
focale du miroir concave et celle de l'oculaire, règle que Newton avait déjà
appliquée à fon télefcope 3) , et que Huygens démontre ^) en confidérant la
marche de deux rayons incidents, l'un coïncidant avec l'axe et l'autre paflTant
dans une direction quelconque par le foyer du miroir concave.

De plus, il détermine l'aberration fphérique longitudinale a pour le cas où le
miroir reçoit des rayons parallèles à Taxe. Il la trouve égale à la moitié de la
diftance AG (voir la figure de la p. 131 du T. VII) entre le point où l'axe coupe
le miroir et le plan qui pafl^e par le bord du miroir. Il donne à cette règle une
démonftration géométrique très élégante dans l'annotation de 1672, ajoutée par
lui à la Pièce contenant la defcription du télefcope de Newton s) et encore, en
1692, une féconde démonftration plus algébrique, qu'on rencontre à la p. 814
du préfent Tome.

Si nous défignons par /la diftance focale du grand miroir et par ^ le diamètre
de l'ouverture, la règle que nous venons de mentionner peut s'exprimer fous
la forme:

0 Voir l'annotation que nous avons reproduite aux p. 131 et 13a du T. VII et de même,
à la p. 813 du présent Tome, la sixième Partie du § 2 du Complément dont nous traitons ici.

-) Voir la critique très défavorable de Fluygens sur ces instruments aux p. 803— 804 du
présent Tome et aux p. 189— 191 du T. VII.

3) Voir l'avant-dernier alinéa de la p. 130 du T. VII.

4) Voir la p. 813 du présent Tome.
Ô Voir les p. 131 — 132 du T. VII.

AVERTISSEMENT-COMPLÉMENTS X LA DIOPTRIQUE. CLIII

Si , au lieu du miroir, on faifait ufage d'une lentille planconvexe, dont la fur-
face fphérique eft tournée vers la lumière incidente, on aurait la formule
analogue '') :

v^; ûi

ou bien , en prenant -- pour l'indice de réfraftion «,

La comparai fon des valeurs de <a{ et de a' fait voir combien , au point de vue de
l'aberration fphérique, le miroir concave l'emporte fur la lentille. Même pour
</== 3/ on trouve, en fuppofant /' =/, que l'aberration longitudinale du miroir
ferait encore un peu plus petite que celle de la lentille. Toutefois Huygens fait
remarquer 7) qu'il n'eft pas permis d'en conclure qu'on puifîè admettre pour le
télefcope catoptrique une ouverture trois fois plus grande que pour une lunette
keplérienne ayant la même diftance focale , et il renvoie à ce propos à ce qu'il
a démontré dans fa Dioptrique fur les ouvertures des lentilles.

Or, puifque l'annotation où l'on trouve cette remarque date de 1672, la partie
de la Dioptrique, que Huygens a en vue ne peut être que la Prop. XI des
„Reje6ta" ^) (p. 339). Et, en effet, les règles qu'il y donne pour la détermi-
nation des ouvertures des lunettes, en tenant compte feulement de l'aberration
fphérique , peuvent fervir également pour déterminer l'ouverture qui convient à
un télefcope à miroir ^).

Cependant, dans la comparaifon d'un tel télefcope à une lunette keplé-
rienne, on doit avoir égard aux faéteurs numériques des formules (i) et (3).
Evidemment les rayons des cercles d'aberration qui fe forment dans le plan focal

auront dans les deux cas refpeétivement les grandeurs -j et — p; c'eft-à-dire ^-j-^

*^) Voir la note 3 de la p. 286 , où v désigne l'indice de réfraction , que nous représentons ici par
«, et ^ l'épaisseur de la lentille. Voir aussi la note 4 de la p. 277, où l'on doit lire
/* == 8 (« — i^ef,e représentant cette fois l'épaisseur de la lentille.

7) Voir la p. 132 du T. VII.

8) Voir sur les „R éjecta" la p. IX, et en particulier sur les règles qui y sont déduites, les
pp. LXVIII et LXIX de cet Avertissement.

9; Comparez les dernières lignes de la p. 814 du présent Tome, où l'on doit lire „ex sola" au
lieu de „ex tota".

20

CUV AVERTISSEMENT-COMPLÔMENTS X LA DIOPTRIQUE.

et "^ 1^. Si Ton divife ces exprefïïons par les diftances focales (f> etç)' des oculaires,
on trouve pour les angles d'aberration A et A':

C4; ^ — 64/^9' 48/' V

Pour que la vifion foit également diftinéle dans les deux cas, il faut que ces
angles foient égaux. Cela nous donne :

es; 4/>""3/'V

D'autre part l'égalité de la clarté des images exige ') :

âq> __ d'cf>'
(6) j—jr.

En combinant cette équation avec la relation précédente , on trouve :

W 4/= -3/'»

ou, enfin, fi les difl:ances focales/et/' font fuppofées égales:

(8) d = '\/^d'=i,75d',

où ^repréfente le diamètre du miroir du télefcope catoptrique et d' à le diamètre
de la lunette keplérienne.
Dans la même fuppofîtion l'équation (6) nous donne :

(9) 9- = }/ ^<)p' = o,57^',

et, par fuite , fi l'on défigne les groffiflements par g et g' :

Or, dans le télefcope de Newton, dont la defcription fut envoyée le I5jan-

*) Comparez la formule (10) de la p. LXVIII de cet Avertissement.
*) Voir toujours les p. 128 — 132 du T. VII.

AVERTISSEMENT-COMPLÉMENTS X LA DIOPTRIQUE. CLV

vier 1672 à Huygens *), le grand miroir avait une diftance focale d'environ un
demi-pied 3). Pour une lentille objeétive planconvexe qui aurait cette diftance
focale, on trouve d'après les règles et le Tableau des „Reje6la" -♦), fondés fur
la confidération de l'aberration fphérique:

</' =: o, 1 85 pouce ; 9' =: 0,905 pouce ; g' = 6,6 s).

D'après ces données la plus grande ouverture admiflible dans le télcfcope de
Newton ferait de 0,32 pouce, la plus petite diftance focale de l'oculaire de
0,52 pouce et le plus fort grofliflement de 11,6, tandis qu'en réalité l'ouverture
du télefcope de Newton était d'environ 2 pouces, la diftance focale de l'oculaire
d'environ 0,16 pouce, et le groflilfement de 38.

Si Huygens a fait ces calculs , il a dû en conclure que le télefcope de Newton
devait laifler beaucoup à défirer au point de vue de la netteté des images. Mais
on ne trouve aucune remarque de cette portée, ni dans l'annotation de 1672 **),
écrite en marge de la defcription de ce télefcope (fi l'on excepte le „poft-fcrip-
tum" fur lequel nous reviendrons) , ni dans fa Correfpondance de cette époque.
En effet, il paraît que dans le jugement porté par Huygens fur l'invention de
Newton tel qu'on le trouve dans l'article du „Journal des Sçavans" du 29 février
1672Q et dans fa lettre privée à Oldenburg du 1 1 février de cette même année ^),
il ne s'eft pas préoccupé beaucoup des dimenfions fpéciales données par Newton
au télefcope dont il avait reçu la defcription, mais qu'il s'eft laifle guider par des
confidérations plus générales.

Ainfi, quand on lit aux endroits cités, à propos des télefcopes catoptriques,
„qu' avec la moitié ou le tiers de la longueur des Lunettes, ou peut eftre encore
moins, on pourra faire l'effet accoutumé", il faut expliquer cette affertion de
la manière fuivante :

3) Newton donne 6— pouces anglais; ceux-ci étaient un peu plus petits que les pouces de

Rhynland employés probablement par Huygens. Ainsi dans le „post-scriptum" et les calculs,
dont nous parlerons bientôt, Huygens estime à 6 pouces la distance focale du télescope de
Newton.

^) Voir les p. 339 — 353 du présent Tome.

S) On se sert le plus facilement des données du Tableau (p. 353) pour une lunette de 8 pieds de

distance focale. Cette distance étant égale à 2'^X— pied, on n'a qu'à diviser, d'après les régies

2

des „Rejecta". l'ouverture et le grossissement par 8 et la distance focale de l'oculaire par 2.
^) Voir les p. 131— 132 du T. VII.
7) Voiries p. 134— 136 du T. VII.
^) Voir les p. 1 38— 1 39 du T. VII.

CLVI AVERTISSEMENT-COMPLÉMENTS À LA DIOPTRIQUE.

On doit confidérer que Huygens était convaincu de ce que la perte de lumière,
caufée dans la lunette keplérienne par les réflexions aux furfaces de l'objeftit
et par l'abforption par la matière de cette lentille, était confidérablement plus
grande que la perte produite par les réflexions aux miroirs de la lunette catop-
trique '). Par fuite l'équation (6) qui exprime l'égalité de la clarté doit être
remplacée par la relation :

où le faéleur k a une grandeur inconnue, mais qui eft, en tout cas, fenfiblement
moindre que l'unité. L'égalité du groflilTement exige :

(") ^=^-

En combinant ces équations avec l'équation (5), qui ne change pas, on trouve:

^"^ /= [/^«f = °.475'«/-

Ainfi, pour avoir p. e./= -f,on doit fuppofer k = 0.70 ").

Il nous faut dire encore quelques mots h propos du „pofl:-fcriptum" ajouté plus
tard à l'annotation de 1672 3)^ mentionnée plus haut. Ce „pofl:-fcriptum" efl:
conçu ainfi : „L'ouverture donnée par Newton h fon télefcope d'un demi-pied efl:
beaucoup plus grande qu'il ne faut. Il efl: certain que, par fuite, l'image doit
paraître comme recouverte par un brouillard. Voyez la caufe au Livre H, p. 7 1 et

précédentes. L'ouverture, qu'il fait de 2 pouces, ne devait pas excéder — pouce".

Les dates afiez nombreufes qu'on trouve difl^éminées fur les pages de ce
Livre H prouvent que la page citée doit avoir été écrite en 1692. A cette

. 1 JtttI JU

') Voir le deuxième alinéa de la p. 136 du T. VII.

'') Il est à peine nécessaire de faire remarquer qu'avec un bon verre la perte de lumière est beau-
coup moindre que celle qui est impliquée par ce nombre. De plus, la perte causée dans le
télescope de Newton par les réflexions aux deux miroirs n'était certainement pas négligeable.
En eiFet, les considérations que nous venons d'exposer n'ont d'autre but que d'expliquer le

AVERTISSEMENT-COMPLÉMENTS X LA DIOPTRIQUE. CLVII

époque Huygens avait pleinement reconnu l'inruffifancc des règles formulées
dans les „Reje6la" *). Il a donc dû fonder la conclufion à laquelle il arrive
dans le „pofl:-fcriptum" fur d'autres confidérations que fur celles que nous
venons d'expofer. Or, les pages qui précèdent, dans le Livre H, la p. 71
citée ont été reproduites par nous aux paragraphes 6 — 10 de l'Appendice IX
(p. 634 — 643). Les calculs qu'on y trouve avaient alors donné à Huygens la
conviélion que le plus grand angle d'aberration fphérique admiflible devait être
eftimé à i'40'' s). Quant à la p.71 elle-même, nous ne l'avons pas reproduite parce
qu'elle efl: biffée et que les calculs qu'elle contient font très confus. Toutefois
on y reconnaît facilement de quelle manière Huygens a cru pouvoir conclure que
l'ouverture d'un télefcope catoptrique de la diftance focale de celui de Newton ne

doit pas excéder - pouce : il a fuppofé que l'angle d'aberration de l'inftrument

devrait au plus égaler cette valeur de i'4o'.

Dans nos notations cela revient à pofer , fuivant l'équation (4) •*) :

(ï3) 5^= i'4o' = 0,000485,

ou bien, en prenant /= 6 pouces, c'eft-à-dire, à peu près égale à ladiftance
■focale du grand miroir du télefcope de Newton :

(14) ^= jXi,i2(jp (en pouces).

i
Si Huygens s'était conformé au groflîflement de 38, indiqué par Newton 7),

il aurait pofé (f = -0/= — pouce et trouvé d=z 0,56 pouce. Au lieu de cela

Huygens a fuppofé qu'on fe contenterait d'un groflilTement de 24 et il a trouvé

que même alors l'ouverture ne devrait pas furpaffer d z= 1 j/ — pouce.
En effet, la formule (14) nous donne alors i= 0,65.

• y'ff !{ I

raisonnement par lequel Huygens doit avoir été guidé en formulant l'assertion rapportée

plus haut.
3) Voir la p. 132 du T. VII.

'^) Voir la p. IX de cet Avertissement. ■

5) Voir surtout les pp. 636 , 639 , 640 et 643 du présent Tome.
'^) Voir la p. CLIV de cet Avertissement.
0 Voir la p. 130 du T. VIL • "^ " ' * ' '

CLVIII AVERTISSEMENT-COMPLÉMENTS À LA DIOPTRIQUE.

C'efl: après avoir obtenu ce réfukat, que Huygens formule la conclufion qu'on
trouve dans la note lo de la p. 132 du T. VII; conclufion qui efl: entièrement con-
forme à celle qui efl: empruntée plus haut au „pofl:-rcriptum" en quefl:ion.

D'ailleurs Huygens n'a pas longtemps perfifté dans l'opinion que la limite de
l'angle d'aberration admiffible doit être fixée à i'4o'. Déjà huit pages plus loin
que la p. 7 1 citée on trouve dans le Livre H un nouveau calcul , reproduit à la
p. 652 du pré Cent Tome, où cette limite efl portée à 4' 10". Enfuite dans le
texte de la Dioptrique (p. 565) il l'évalue à 20', c'efl:-à-dire à douze fois i'4o".
Il va fans dire que cette nouvelle limite aurait conduit à des réfultats numériques
tout différents ') et c'efl: bien pour cette raifon que Huygens a biffé les calculs
de la p. 71.

Nous avons déjà dit ^) que, vers 1691 , Huygens s'efl: propofé de remplacer le
miroir métallique du télefcope de Newton par un miroir en verre , nonobftant la
duplication des images qui femblait devoir réfulter de l'emploi d'une matière
tranfparente. Or, nous avons reproduit les recherches qui s'y rapportent aux
paragraphes 2 et 3 du troifième Complément , p. 805 — 819 du préfent Tome.
^ Au § 2 3) Huygens détermine d'abord la pofition relative des deux images
qu'on obtient dans le cas d'un point lumineux infiniment éloigné, fitué fut
l'axe, en tenant compte des deux réfraélions que fubiiïent les rayons réfléchis
par la furface poftérieure. En défignant par b l'épaifl^eur du verre au milieu

et en négligeant les termes de l'ordre -j il trouve pour la diftance mutuelle

I Q

des deux „foyers" d = -^ b fi les deux furfaces ont le même rayon de cour-
bure (p. 805), et d ■=.~b fi elles font concentriques (p. 807^. Il fe propofe

enfuite de chercher un cas où l'on aura // = o , c'efl-à-dire où les deux
foyers coïncident. Il n'y réufllt pas en suppofant (p. 809 — 810) que l'épaiflieur b

*) Pour le grossissement de 38 , indiqué par Newton , on trouve alors </= 1,28 pouce et pour

celui de 24, supposé par Huygens, ^= 1,50 pouce.
') Voir les p. CLI— CLII de cet Avertissement.
3) Voir les p. 805— 8 14 du présent Tome.

AVERTISSEMENT-COMPLÉMENTS X LA DIOPTRIQUE. CLIX

au milieu efl: fi petite qu'elle peut être négligée, mais il démontre (p. 8io — 8i i)
que la coïncidence fe réalifera fi le rayon de courbure de la furface poftérieure

furpafTe de — ^ celui de la furface antérieure.

Même dans ce cas idéal, où il y aura coïncidence exafte des foyers qui
correfpondent à ces rayons incidents parallèles à Taxe, cette coïncidence
n'cxiftera pas néccflairement pour les deux points de convergence de rayons
parallèles frappant le miroir dans une autre direélion. L'image d'un objet d'une
certaine étendue fera alors plus ou moins confufe vers les bords, et on pourra fe
faire une idée de cet effet en calculant le grofTifiement de chacune des deux
images. Cette difficulté s'ell: en effet préfentée à Huygens ^) et il paraît même
qu'elle l'a conduit en 1691 h rejeter entièrement l'emploi des miroirs en verre s).
Il était alors arrivé à la conclufion que le groflîfiement de l'image formée
par la réflexion à la furface antérieure ell au groffiflement de l'image due à la fur-
face poftérieure comme i efl:à i — — 4); mais une année après il croit que le

raifonnement qui l'a conduit à ce réfultat eft erroné, et il ajoute: „parconfé-
quent une telle conftruélion du télefcope de Newton aura le meilleur fuccès" '^).

Or, la quertion ne peut pas être réfolue, comme Huygens a cru pouvoir le
faire, en confidérant exclufivement les rayons qui participent à la formation du
point de l'image qui fe trouve fur l'axe. Voyons donc quelle en eft la véritable
folution.

À cet effet nous nous fervirons de la figure 5 de la p. 8 1 2 , dans laquelle A eft
le centre de la furface antérieure DF et N celui de la furface poftérieure EG,
tandis que VHK etVHGFK font les chemins qui peuvent être fuivis par un rayon
VH arrivant au point H parallèlement à l'axe. Enfin Q et B font les points où
l'axe eft rencontré par GH et GF prolongées. En prenant, comme plus haut,

AD = ^, DE := ^ et ^ pour l'indice de réfraétion du verre, on aura fucceffive-
ment, fi l'on néglige les termes de l'ordre — :

•*) Voir la p. 812 et surtout la note 2 de cette page.

S) Voir le premier alinéa du „post-scriptuin" de la p. 813.

^) Voir la ligne 6 d'en haut de la p. 813. .< -^oâ .^

CLX

AVERTISSEMENT-COMPLÉMENTS À LA DIOPTRIQUE.

NE = ^ + î^^ 0 . N A = ^^ , DK = i^ 0 . Q A = 2^ 0 ,
(15) QE = 3^-f ^,BE = ^^H-^ 4)^ BD = ^^, BN = -a+fb.

9

ON = 2a-h,KA = -^, BA =-a.
^' 9 2 ' 5

Suppofons maintenant qu'un objet infiniment éloigné ait la grandeur angulaire
S. En fe rappelant que pour une feule furface fphérique,foit qu'elle rcfléchiiïe
la lumière, foit qu'elle la réfrafte, les dimenfions linéaires d'un objet et de fon
image font entre elles dans le rapport de leurs diftances au centre de courbure, on
trouve pour les grandeurs des images :

BN KA
QN^BA*

C.6) p =

KAxê,p'=qAxê.

Il en re fuite:

C>7)

p' BN QA
^ — QN ^ BA

ou bien , après fubftitution des valeurs (15) :

(18)

P 3^

On voit donc que la différence des groflîflements, pré fumée par Huygens en
1691 s)î exifte bien réellement mais dans le fens inverfe de ce qu'il fuppofe.

Notons encore, avant de paffer aux recherches de 1692, qu'il a confidéré aufli
l'aberration chromatique , qui doit réfulter des deux réfraélions à la furface anté-
rieure du verre, des rayons qui font réfléchis par la furface poflérieure ^'). Pour le
cas où les deux furfaces font également courbées, il calcule l'écart entre les foyers

0 Voir la p. 8 10.

*) Puisque K est le foyer de la surface antérieure au cas de la réflexion.

3) Q étant le foyer virtuel de cette même surface pour le cas de la réfraction.

'*) B étant l'image du point Q par rapport à la surface postérieure réfléchissante.

5) Voir la p. 812.

^^ Voir les p. 808— 80p.

AVERTISSEMENT-COMPLÉMENTS X LA DIOPTRIQUE. CLXI

des rayons rouges et des rayons violets, qui fe trouve être feulement la i56'^'"«
partie de l'épaifleur du verre.

Au printemps de 1692 Huygens croit pouvoir conftater, comme nous l'avons
dit, que la difficulté provenant de la difFcrence des groffiflemenrs des deux
images, qui l'avait arrêté en 1691, n'exifte pas. Toutefois il ne fe difli-
mule pas 7) qu'il fera très difficile de donner aux deux furfaces des rayons de

courbure dont la différence efl: exaétement égale à -^^, ainfi que la règle qu'il

a trouvée l'exige.

Sa première idée efl: de former le grand miroir du télefcope d'une plaque de

verre d'une épailTeur partout égale , mais fi petite que l'écart de -^, qu'il a trouvé

0

pour ce cas, n'ait pas d'influence nuifible ^. Enfuite une autre folution delà
difficulté lui femble préférable ^). Au lieu de faire coïncider autant que poffible
les images produites par les deux furfaces on pourra, au contraire, chercher
à augmenter leur diftance mutuelle. Cela aura pour effet que, fi l'une des deux
efl: vue diftinftement à travers l'oculaire, les détails de l'autre ne feront guère
remarqués ^°) ; la netteté avec laquelle la première image fe préfente à l'obfer-
vateur n'en fouffrira que peu. Pourfuivant cette idée, Huygens détermine les
conditions dans lefquelles la dirtance mutuelle des foyers efl: égale à fix fois ^) ou
bien à cinq fois ") l'épaifl^eur du verre, le foyej" je plus éloigné du miroir apparte-
nant dans le premier cas à la furface poftérieure et dans le fécond à la furface
antérieure.

Après avoir achevé ces calculs théoriques, Huygens s'applique à trouver les
moyens pratiques de réalifer fon invention ''"). Enfin dans une dernière anno-
tation '^) il examine l'aberration fphérique du faifceau de rayons, réfléchi par la
furface poftérieure,„33^^ „mbr,ot.

7) Voir le troisième alinéa du P. S. de la p. 813 et la snscription de la deuxième Partie du

§3,p.«i5.
^) Voir toujours le P. S. de la p. 813.
S'avoir la p. 815.

'°) Comparez la note 1 2 de la p. 8 1 5.
") Voirlap. 816.
'') Voir les p. 816— 819.
'0 Voir la p. 819.

21

CLXII AVERTISSEMENT-COMPLÉMENTS X LA DIOPTRIQUE.

Toutes ces recherches nous montrent quelle importance Huygens a attachée
à l'idée de remplacer le miroir métallique de Newton par un miroir en verre.
Pourtant on peut douter fi jamais il y a eu un commencement d'exécution à ce
projet. Dans des lettres du 2 et du 13 juin 1692') Ton frère Conftantyn
l'exhorte à „poufrer" fon „invention ou celle de Newton des Lunettes a miroirs
concaves". Ce font là les dernières traces de cette invention qu'on trouve dans
la Correfpondance.

Quatrième et dernier Complément. Critiques et remarques fur quelques
ouvrages de dioptrique.

Huygens n'appartenait pas k ce genre de favants qui font tellement abforbés
par leurs propres idées et recherches qu'ils ne réuffiiïent pas h prendre con-
naifiance régulièrement des ouvrages des autres; type de favant qui d'ailleurs
était beaucoup plus rare à l'époque où Huygens vivait qu'il ne l'efl: k l'état
aétuel , où la production fcientifique a pris une extenfion incomparablement plus
grande. '* "" '

' Au contraire , Huygens a toujours porté un intérêt très vif (et furtout fur le
terrain de l'optique) auflî bien aux travaux de fes prédécefTeurs (y compris les
anciens '^)) qu'à ceux de fes contemporains. Sa Correfpondance et la préfcntc
Dioptrique en contiennent d'abondantes preuves; ce quatrième Complément en
apporte de nouvelles.

Nous y avons réuni trois Pièces contenant des annotations , qui n'avaient pas
pu trouver place dans la Correfpondance, concernant des ouvrages d'Efchi-
nardo, du père Gottignies et de Molyneux.

La première de ces Pièces 3) corrige la folution d'un des problèmes qu'Efchi-
nardo ^^ s'était pofés dans un „Addendum" à fes „Centuria Problematum
Opticorum." Ce problème s) fe rapporte à la conftruftion d'une lunette hollan-
daife très courte '^) , comparable à l'un des deux tubes d'un binocle tel qu'on en

-m sî \'i rifc.fj eI i-b .^i /! iih 1:1

') Voir les pp.- 289 et 295 du T. X.

^) Voir à ce propos les pp. 3—5,738,747,772, 779,791 01792 du présent Tome.

■'') Voir les p. 820 — 824.

^) Voir sur Francesco Eschinardo et son ouvrage les p. 323 — 3 24 du T. VI.

5) Consultez sur le problème en question la note 7 de la p. 821 du présent Tome.

'^) Comparez la note 6 de la p. 82 1 .

AVERTISSEMENT-COMPLÉMENTS X LA DIOPTRIQUE. CLXIII

fabrique aujourd'hui; lunette, qui pourrait fervir aux mêmes buts auxquels on
emploie maintenant ce dernier inftrument. La folution d'Efchinardo, où Terreur
qui s'y efl: gliflee efl: une erreur de calcul 7), n'ell pas fans intérêt hiftoriquc, puif-
qu'elle montre qu'Efchinardo connailTait, en 1667, c'eft-à-dire avant la publi-
cation des „Le6tiones opticas" de Barrow ^) , la folution générale du problème
ayant pour objet de déterminer pour une lentille planconcave ou planconvcxe î'),
la fituation de l'image d'un point lumineux qui fe trouve fur l'axe de la lentille.

La deuxième Pièce (p. 825 — 826) contient un palfage emprunté à un manu-
fcrit du père Gottignies '°) dont Huygcns a pu prendre connailTance. On y
trouve en outre quelques remarques à propos de ce manufcrit. Cette Pièce,
d'ailleurs , n'a pas beaucoup d'importance.

Il en efl: autrement de la troifième, où Huygens donne (p. 826 — 844) un
réfumé de la „Dioptrica nova" de Molyneux ") , rédigé peu de temps après
qu'il avait reçu cet ouvrage en mars ou avril 1692"). Dans ce réfumé il fuit le
texte de Molyncux prefque page par page et l'accompagne continuellement de fes
remarques. En lifant ces annotations, on aperçoit, comme à vol d'oifcau, prefque
tout le terrain de la dioptrique, tel qu'il fe préfcntait aux favants pendant les
dernières années de la vie de Huygcns.

7) Voir la note 5 de la p. 825.

8) Voir sur cet ouvrage la note 2 de la p. XX de cet Avertissement.

^^ Probablement la solution lui était connue aussi pour une lentille quelconque (voir les notes
7 de la p. 821 et 5 de la p. 825). Nous regrettons de n'avoir pu vérifier cette conjecture à
l'aide de l'ouvrage d'Eschinardo, que nous n'avons pas pu examiner.

'°) Voir sur le père Gottignies la note 7 de la p. 825.

") Voir encore sur l'ouvrage de Molyneux les pp. XXII— XXIV, XXX (note i),XLIII—
— XLIV et LXXIII— LXXIV de cet Avertissement.

") Voir la p. 279 du T. X.

Tables de Concordance de la préfente édition

de la Dioptrique et des éditions de 1703 par de Volder

et Fullenius et de 1728 par 's Gravefande.

I.

Édifions de 1703 et de 1728 ').

Édition préfente.

Époque probable de la
rédaùion.

ÎUOÎ

De refraélione radiorum.
P-i— 5.[P-i— 5].

Prop. I — XX, p. 6 — 74,

[p. 5—57]-

Prop. XXI— XXIII,

p.74— 8i,[p. 57— 62].

Prop. XXIV— XXX,
p. 82 — 1 1 1 , [p.62 — 84].

Prop. XXXI— XXXIII,

p. 112 — 120, [p. 84 — 91].

Prop. XXXIV, p. 121 —

—122, [p. 92—93].

Prop. XXXV, p. 123 — T24,
[P- 93— P4]-

De refradione radiorum,
P-3— ï3-

Part. I,Lib.I, Prop. I— XX,
p. 13—109.

Part. I, Lib. I, Prop.
XXII— XXIV, p. III— 125.

Part. II, Prop. I— VII,
P- 273—313.

Part. I, Lib. I, Prop. XXVI—
—XXVIII, p. 129— 141.

Part. I, Lib. III, Prop. I,

p. 245—247.

Part. I, Lib. II, Prop. I,

P- 173— 175.

Les parties en italiques après
1 6)()6 et peut-être encore beau-
coup plus tard. Le refte vers
1653-

Vers 1653.

Les parties en italiques après
1666. Le refte vers 1653.

Vers 1666.

Vers 1653.

Vers 1653.

Après 1666 et peut-être en-
core beaucoup plus tard.

') Les numéros entre crochets se rapportent aux pages de l'édition de 1728.

AVERTISSEMBNT-TABLES DE CONCORDANCE.

CLXV

Éditions de 1703 etdeij2^^').

Édition pré fente.

É.poque probable de la
rédaùion.

Prop. XXXVI— XLV,
p. 1 25— 1 60 , [p. 95—1 22].

Prop. XLVI— XLVII,

p. 160 — 162, [p. 122 — 124].

DetelefcopiiSjp. 163 — 167,
[p. 124— 128].

Prop. XLVIII— XLIX,
p. 167— 178, [p. 128 — 137].

Prop. L, p. 179 — 182,
[p. 137— 140].

Prop. LI, p. 182—185,
[p. 140—142].

Prop.LII— LIII,p. I86—
— i92,[p. 142— 147].

Prop. LIV, p. 192 — 196,
[p. 147— 150].

Prop.LV— LVIII,p.I96—
— 22o,[p. 150— 170].

De microfcopiis , p. 221,
[p. 170].

Prop. LIX— LX , p. 222—
— 233. [P- 171— 180].

Prop. LXI— LXVI, p.

233— 2^3, [P- 181—202].

Part. I, Lib. II, Prop. II—
-XI,p. 175— 229.

Part.I, Lib.II,Prop.XII—
-XIII,p. 231— 233.

De telefcopiis p. 435 — 443.

Part. III, Prop. I— III,
p. 443— 4^1.

Part.I, Lib. III, Prop. II,

p. 247—253.

Part.III,Prop.IV,p.46i—
—467.

Part.I, Lib. m, Prop. IV—

—V, p. 259— 269.

Part. III, Prop. V, p. 469 —

—473.

Part. III, Prop. VI— IX,
p. 475—511.

De microfcopiis, p. 513 —
— 515-

Part. III, Prop. X— XIII,

p.515— 535-

Part. III, Prop. XIV— XIX,

p. 535—585-

Vers 1653.

ilMl'JL'mgJL'i

Après 1666. Probablement
vers 1690.

Vers 1685.

Entre 1666 et 1685.

Vers 1653.

Entre 1666 et 1685.

Vers 1653.

Entre 1666 et 1685.

Vers 1685.

Entre 167861 1686.

Entre 1678 et 1692.

Vers 1692.

.îitsvf/^HS \

.iftsviioVÎ

'tll-li'f

CLXVI

AVERTISSEMENT-TABLES DE CONCORDANCE.

II.

Édition pré fente.

Publications antérieures.

De refradione radiorum , p. 3 — 13.

Part. I, Lib. I, Prop. I — XX, p. 13 — 109.

Part. I, Lib. I, Prop. XXI, p. lop — m.

Part.I, Lib.I, Prop. XXII— XXIV,
p. III— 125.

Part. I, Lib. I, Prop. XXV, p. 125—129.

Part. I, Lib.I, Prop. XXVI— XXVIII,
p. 129 — 141.

Appendices au Livre I , p. 143 — 171.

Part. I, Lib. II, Prop. I — XIII, p. 173—233.

Appendices au Livre II, p. 235 — 242.
Part. I, Lib. III , Prop. I , p. 245 — 247.

Part. I , Lib. III , Prop. II , p. 247 — 253.

Part.I, Lib. III, Prop. III, p. 253—259.
Part. I, Lib. III, Prop. IV— V, p. 259—269.

Appendice au Livre III, p. 271.
Part. II , Prop. I — VII , p. 273 — 3 1 3.

Part. II, Prop. VIII-XI, p. 315-353-
Appendices à la Partie II , p. 355 — 433.

Éd. de 1703, p. I — 5; de 1728, p. i — 5. De
refraftione radiorum.

Éd. de 1703 , p. 6— 74; de 1728 , p. 5—57 ,
Prop. I— XX.

Nouveau.

Éd. de 1703, p. 74 — 81; de 1728, p. 57 — 62.
Prop. XXI— XXIII.

Nouveau.

Éd. de 1703, p. 112 — 120; de 1728, p. 84 —
—91 , Prop. XXXI— XXXIII.

Nouveau.

Éd de 1703, p. 123 — 162; de 1728, p. 93 —
—124. Prop. XXXV— XLVIL

Nouveau.

Éd. de 1703, p. 121 — 122; de 1728, p. 92 —
—93, Prop. XXXIV.

Éd. de 1703, p. 179 — i82;de 1728, p. 137 —
— 120. Prop. L.

Nouveau.

Éd. de 1703, p. 186— I92;de 1728, p. 142 —
— 147. Prop. LU— LUI.

Nouveau.

Éd. de 1703, p. 82 — I ii;de 1728, p. 62 —
—84. Prop. XXIV— XXX.

Nouveau.

Nouveau.

AVERTISSEMENT-TABLES DE CONCORDANCE.

CLXVII

Édition pré fente.

Publications antérieures.

De telefcopiis, p. 435— 443*

Éd.dei703,p. 163— i67;dei728,p. 124—
— 128. De telefcopiis.

Part. III , Prop. I— III , p. 443—461.

Éd.dei703,p. 167 — 178; de 1728,?. 1 28—
137. Prop. XLVIII—XLIX.

Part. III, Prop. IV , p. 461—467.

Éd. de 1703, p. 182 — i85;dei728,p. 140 —
142. Prop. LI.

Part. III , Prop. V— IX , p. 469— 51 1.

Éd. de i7o3,p. 192— 22o;de 1728, p. 147 —
170. Prop. LIV—LVIII.

De mîcrofcopîis p. 513— 515.

Éd. de 1703, p. 221 ; de 1728, p. 170. De
microfcopiis.

Part. III, Prop. X-XIX, p. 515—585.

Éd. de 1703, p. 222 — 263; de 1728, p.
171—202. Prop. LIX— LXVI.

Appendices à la Partie III , p. 587 — 736.

Nouveau.

Complément I, p. 737—782.

Nouveau.

Appendices au Complément I, p.783— 786.

Nouveau.

Complément II , § i , première partie , p.
787—788.

Nouveau.

Complément II, § i, deuxième partie, p.
788—790.

Klinifche Monatsblatter fiir Augenheil-
kunde, X L VI, Neue Folge, Bd. V, 1 908, p. 297.

Complément II, § i, troifième partie p. 790.

Nouveau.

Complément II ,§ 2 , p. 790— 799.

Klinifche Monatsblatter fur .Augenheil-
kunde, XLVI, Neue Folge, Bd. V, 1908, p.

299—304-

Complément II , 5 3 , p. 800 — 802.

Nouveau.

Compléments III— IV, p. 803—844.

Nouveau.

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LA DIOPTRIQUE 0.

PREMIÈRE PARTIE. TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET
DES TÉLESCOPES.

1^53-

Livre premier. De la réfraction due aux surfaces planes et

SPHÉRIQUES et AUX LENTILLES.

De la Kéfra&ion des Rayons.

Déjà '*) dans l'antiquité on avait remarqué que les rayons de lumière, en tom-
bant fur l'eau ou fur d'autres corps tranfparents, changent de direétion au moment
où ils atteignent la furface de ces corps, et s'écartent du droit chemin. Car parmi
les Problèmes d'Ariftote il en efl: un dans lequel on demande la caufe de la courbure
apparente des rames 3). On dit auffi qu'un opufcule d'Archimède a exifté , dans

'') Sur la première feuille du manuscrit, laquelle est d'un format plus petit que les autres, on lit
de la main de Huygens: „Dioptrice mea, ubi qiisedam tollenda, quaedam addenda.
Figurarum maximampartem lignoincisamhabeo. Addetur de Causis Halonum
et Pareliorum. Item Libella Telescopica, qualis édita in diario Eruditorum
Parisiensi." Ces figures xylographiques furent utilisées par de Volder et Fulleniusdans
leur édition de 1703, citée dans 1',, Avertissement" vers la fin de 1',, Aperçu général"; mais
le plus grand nombre manquait („verum cum longe major pars adhucdum conficienda esset,
non,qualem optaremus, invenire potuimus artificem"). En effet, plusieurs des figures de cette
édition sont assez défectueuses, et comme il était impossible de distinguer avec certitude
celles qui avaient été approuvées par Huygens, il nous semblait préférable de les emprunter
toutes, dans la présente édition, au manuscrit même. Quant à la „Dissertatio de Coronis et
Parheliis," elle fut publiée en même temps que la „Dioptrica" dans l'édition de 1703 ; tandis
que les deux articles de Huygens sur le niveau à lunette avaient paru dans le„Journal des
Sçavans" du „Lundy 29 janvier", et du „Lundy 26 Février" 1680.

^) Toute la partie cursivée au côté latin, qui va suivre , a été écrite au moins après 1 666 , si non
encore beaucoup plus tard. Elle a remplacé, dans le manuscrit que nous suivons, une version
plus primitive qu'on retrouve dans la copie de Niquet et que nous reproduisons dans l'Ap-
pendice I, p. 143 du Tome présent. Et peut-être a-t-il existé encore une préface dans le genre
de celles qui précèdent aux „Tlieoremata de Quadratura hyperboles et circuli" (voir
p. 283 — 287 du T. XI) et à l'ouvrage: „De circuli magnitudine" (p. 115 — 1 19 du T. XH);
laquelle occupait quatre pages du manuscrit , puisque ce manuscrit commence par la page 5 ,

?>

DIOPTRICAO.

[PARS PRIMA. TRACTATUS DE REFRACTIONE ET

TELESCOPIIS.]

[1653.]
[Liber I. De refractione planarum et sphaericarum superficierum

ET LENTIUM.]

De Refra&îone Radîorum.

Radios''') lucîs in aquam aut alia pellucida corpora incidentes^ infîe&i cumfuper-
fîciem eorum attigerint et a via reBa detorqueri^jam antiquis temporibus animad-
verfum fuit. Efî enim inter Arifîotelis Probkmata in quo de remorum apparenti
curvitate quccritur ''''). Itemque Archimedis libellus exftitljje fertur de annulo fub

où on lit en haut: ,,paginas l , 2, 3, 4 rejeci'\ Dans ce cas il est bien dommage qu'elles
ne soient pas parvenues jusqu' à nous.
5) Huygens désigne ici les „ProbIematiim sectiones duse de quadraginta"; mais il semble qu'il
se trompe, puisque ni dans ce traité-ci, ni dans les autres écrits d'Aristote, nous n'avons pu
trouver aucune allusion au phénomène d'une rame paraissant courbée ou brisée.

Du reste, l'illusion optique qui se produit lorsqu'un bâton est en partie sous l'eau est
fréquemment mentionnée par les auteurs anciens. Nous citons: Platon (Rép. X,5):„Le
même objet nous paraît courbé ou droit, selon que nous le regardons dans l'eau ou en dehors
de l'eau." Plutarque (De plac. phil. 3,5): „Nous voyons que les lettres paraissent courbées
dans l'eau; car le rayon optique est fléchi par une force extérieure, vu que la matière de
l'eau est plus dense. Par la même cause, en regardant de loin , nous voyons la rame brisée dans
l'eau". Ptolemée (Opt. II): „Rursus cum fuerit res , quam visus pénétrât, plana, et illud
quod in ea videtur, rectum, pars quoque ejusdem rei videndaj fuerit extra, sicutaccidit in
remis, fît imaginatio , quod ipsa res sit fracta." Lucrèce (De rer. nat. 4 , vs. 439 sq.) :

„Nam quîBCumque supra rorem salis édita pars est
Remorum recta est, et recta superne guberna:
Quœ demersa liquore obeunt, réfracta videntur
Omnia converti , sursumque supina reverti ,
Et reflexa prope in summo fluitare liquore."

Enfin Vitruve (De Archit. VI , 2) , après avoir parlé de l'illusion optique produite par la
perspective, ajoute: jjSimiliter in navibus remi cum sint sub aqua directi, tamen infracti
videntur."

4 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

lequel il confidérait un anneau vu fous l'eau ') ; l'auteur y parlait fans doute de
cette flexion des rayons et de l'illufion optique qui en réfulte. Mais les lois que
fuivent les rayons réfraélés ont été trouvées plus tard; c'efl: de nos jours feulement
qu'on les a découvertes. L'expérience a montré que ces lois font les fuivantes:

-. Confidérons un corps tranfparent liquide ou

folide, fe trouvant du côté de K, et poflTédant
une furface plane, qui efl: coupée fuivant la ligne
AB par un autre plan, celui dans lequel eflideflinée
la figure. Un rayon oblique DC tombe fur cette
furface , faifant avec la droite ECK , qui y efl: per-
pendiculaire, un angle DCE. Ce rayon pénètre
dans l'eau ou dans le verre fuivant la droite CF fai-
fant avec CK un angle moindre que l'angle DCE.
Le phénomène obéit à la loi fuivante : les finus des
deux angles, c'eft-à-dire les perpendiculaires DE , FK correfpondant à ces angles
et abaifl^ées chacune d'un point de la circonférence dont C efl: le centre fur la
droite EK, ont entre elles une proportion bien déterminée et invariable.

Or, cette mefure des réfraélions par la proportion non pas des finus, mais des
angles mêmes, avait été définie anciennement par Alhazen l'Arabe et Vitellion *),
et confirmée plus ou moins par quelques expériences. Mais comme, dans des
inclinaifons plus grandes, cette proportion fe trouvait différer de la proportion

*) La Catoptrique d'Archimède est mentionnée par Théon d'Alexandrie dans son Commentaire
sur TAlmageste de Ptolemée (l, 3); Tagrandisseraent apparent des corps célestes lorsqu' ils
s'approchent de l'horizon y est atribué à la flexion des rayons par les vapeurs humides, „ainsi
qu' Archimède le dit et le démontre dans sa Catoptrique"; par Apulée (Apologiasive de
Magia, Liber XVI); il y déclare qu'il sied au philosophe d'examiner la genèse des images
qu'on aperçoit dans les glaces, et de chercher la cause des inflammations produites par les
miroirs concaves, ainsi qu' Épicure, Archytas, Platon et les Stoïciens l'avaient fait avant
lui; „alia praîterea ejusdem modi plurima, quai tractât volumine ingenti Archimedes Syra-
cusanus"; par l'auteur de la Catoptrique Cprobablement apocryphe) d'Euclide, où il est
dit dans la septième scolie que, d'après Archimède, si l'on admet que la marche d'un rayon
est réversible , les angles du rayon réfléchi et du rayon incident avec le plan réfléchissant sont
nécessairement égaux; par Olympiodore, dans son Commentaire sur la Météorologie d'Aris-
tote (^III); il y parle de la flexion des rayons qui donne naissance aux arcs-en-ciel arti-
ficiels et il ajoute: „Archimède démontre la même chose d'une autre façon: il fait voir la
flexion du rayon visuel à l'aide de l'anneau jeté dans le vase"; enfin par J. Tzetzes (Hist.
var. Chiliades, XII, vs. 971 — 974), où il déclare avoir lu un livre d'Archimède sur la
combustion produite à l'aide des miroirs.

L'expérience de l'anneau, à laquelle Huygens fait allusion, est mentionnée encore entre
autres par Héliodore de Larisse (Optique I, 11) et dans la Catoptrique dite d'Euclide, où
on lit; „Si un objet est jeté dans un vase et que la distance est choisie de telle manière qu'on
ne l'aperçoit plus, alors, lorsque de l'eau est versée dans le vase et que la distance reste la
même , l'objet jeté dans le vase sera vu."

^) Il s'agit des ouvrages cités dans les notes 26, p. 9 et 6, p. 6 du T. I. Alhazen, dans r„Opticae

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653.

aquis vîfo ') , in quo proctd dubià de flexu ijîo radiorum agehatur^ nataque inde
vifus fallacia. Leges vero^ quas ita afeSfi radij fequuntur^ ferius^ ac nofîro
demum avo repertcc funt. Quas hoc modo fefe habere experientia docuit.

Sit liquidi vel foHdi diaphani corporis yerfus K exifîentis fuperficies plana ^
qUiC ah alto piano ^ in quo figura hac defcripta intelligitur^ fecetur fecundum re&am
AB. In liane incidat radius obliquus DC^ qui ad re&am ECK^ fuperfîciei propo-
fttdc perpendicularem ^ faciat angulum DCE; is in aqua vitrove perget fecundum
CF minori angulo ad CK inclinât am^ quam fit angulus DCE. atque ea lege ut
fînus utriufque anguli., hoc efî perpendiculares eorum DE^ FK ex circumferentia
circuli centra C defcripti in reêfam EK demiffce certam , candemque femper inter
fe rationem fervent.

Hac autem refra&ionum menfura^ non fînuum , fed angulorum ip forum pro-
portione ah Alhafeno Arabe et Fitellione ^^ olim defînita fuerat ., et experimentis
quibufdam utcunque confirmata. Sed cum in majoribus radiorum inclinationibus
a vero difcrepare proportio illa reperiretur , diligentius ftbi eandem rem recen-

Thesanrus", décrit les instruments nécessaires pour mesurer les angles d'incidence et de
réfraction, entendant par ce dernier l'angle entre le rayon réfracté et le rayon inci-
dent; après quoi il fait suivre (VII, 3, 10): „Quantitates autem angulorum refractionis
difFerunt secundum quantitates angulorum, quos continent prima linea,per quam extenditur
lux in primo corpore, et perpendicularis exiens a loco refractionis super superficiem secundi
corporis, secundum diaphanitatem secundi corporis. Nam quanto magis crescit angulus,
quem continent prima linea et perpendicularis , tanto crescit angulus refractionis : et quanto
magis decrescit ille angulus, quem continent perpendicularis et prima linea, tanto dccrescit
angulus refractionis. Sed anguli refractionum non observant eandem proportionem ad angu-
los, quos continet prima linea cum perpendiculari, sed ditferunt hce proportiones in eodem
corpore diaphano. Cum ergo prima linea per quam lux extenditur in primo corpore, con-
tinuerit cum perpendiculari duos angulos ina;quales, in duobus diversis temporibus.aut in
duobus locis diversis: tune proportio anguli refractionis, quaî est ab angulo minore ad angu-
lum minorem , minor erit proportione anguli refractionis anguli majoris ad anguli majorem."
Si les valeurs numériques manquent chez Alhazen, Vitellio (Optica X, 8) a donné
des tables pour les angles de réfraction pour trois combinaisons de milieux différents, savoir
air-eau, air-verre et eau-verre. Ces tables sont tellement justes qu'on peut vérifier à leur aide
d'une manière tout-à-fait probante la constance du rapport des sinus et même la relation bien
connue entre les trois indices de réfraction; comme M. Bosscha l'a montré dans les Archives
Néerlandaises, T. XIII, 1908, p. XIV du „Programme de la Société Hollandaise des Sciences."

Nous faisons suivre ici la table pour le cas où la lumière passe de l'air dans Peau:
Angle d'incidence 10° 20° 30° 40° 50° 60" 70° 80'*
Angle de réfraction 73/^° 15 V 22^^° 29° 35° 4°'/»° 457." So"

Cette table ne diffère que par le premier des angles de réfraction de celle qu'on rencontre
dans l'Optique de Ptolemée, ouvrage inconnu à Iluygens et ses contemporains. Là on trouve
8° au lieu de 73/^°.

Comme on le voit, les anciens savaient parfaitement que les angles d'incidence et de
réfraction ne sont pas proportionnels et ils connaissaient le sens dans lequel leur rapport
change quand l'angle d'incidence augmente; mais, comme Iluygens le dit, il était réservé
aux modernes de trouver la loi exacte de ce changement.

^^

TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

véritable les modernes ont jugé qu'il leur fallait examiner la chofe avec plus de
* Voir les Para- foin. Parmi eux Kepler, après plufieurs vains efforts *, n'a pas trouvé, il eft vrai, la
lionrm')'^ '^'^'^^" véritable loi; mais par fes conjeétures et fes différentes tentatives il a beau-
coup contribué aux études de fes fuccelTeurs. Après lui Willebrord Snel-
lius, lorfquc l'importance de la chofe était devenue plus manifcfte, vu que
le télefcopc avait été inventé, parvint avec beaucoup de peine et après avoir
fait de nombreufes expériences, à mcfurer convenablement la grandeur des
réfraftions , fans toutefois comprendre fiîfiffamment ce qu'il avait trouvé. Car en
prenant par exemple comme furface de l'eau le plan AB, et comme objet vifible
fous l'eau le point D, que l'oeil placé en F doit alors apercevoir fur la droite FC,

Snellius prolongeait cette droite FC, jufqu' à ce
qu'elle rencontrât la droite DA au point G, DA étant
perpendiculaire à la furface de l'eau. Ayant fait cette
conftruétion , il affirmait que l'image de l'objet vu
apparaît en G, et que les droites CD et CG ont
entre elles une proportion déterminée , favoir pour
l'eau 4 : 3. C'etl là en effet la vraie proportion de
ces droites, et cela s'accorde avec cette loi de la
réfraélion que nous venons d'expliquer. Car CD efl: à
^ ' CG, fuivant la doctrine des triangles, comme le finus

de l'angle DGC ou AGC ou HCF eft au finus de l'angle CDG ou DCE. Mais
Snellius n'a aucunement fait attention à cette proportion des finus. Il fe figurait
que la chofe dépend fi complètement de l'image apparente qu'il croyait recon-
naître même dans un rayon perpendiculaire , tel que HC , l'effet de la réfraélion ,
confiftant, comme il penfait à tort, en un raccourciffement du rayon vifuel "). Il
était trompé par le fait que lorfqu'on regarde d'en haut un vafe rempli d'eau, le
fond femble partout s'élever. Or, la vraie caufe de ce phénomène doit être cherchée

') II s'agit de l'ouvrage: Ad Vitellionem Paralipomena, Quibus Astronomia; pars optica tra-
ditnr; Potissimùm de artificiosa Observatione et Aestimatione Diametroriim deliquiorumque
Solis & Luna^. Cum Exeniplis insignium Eclipsium. Habes hoc Libro, Lector, inter alia
multa noua, Tractatum luculentum de modo visionis, &humorum oculi usu , contra Opticos
& Anatomicos, Authore Joanne Keplero, S. C. M."* Mathematico. Francofurti, Apud Clau-
dium Marnium & Ha^redes Joannis Aubrii. AnnoM.DCIV. Cum Priuilegio S.CoMajestatis.
Au quatrième chapitre „De refractionum Mensura" de cet ouvrage, Kepler réfute d'abord
quelques opinions erronées au sujet de la réfraction et cherche ensuite à trouver des con-
structions et des algorithmes permettant de calculer l'angle de réfraction en fonction de
l'angle d'incidence. Ainsi, aux p. loi — 105, il démontre qu' en choisissant convenable-
ment une hyperbole et un point A, situé sur son axe, on peut obtenir que, pour deux
valeurs données de l'angle d'incidence, les rayons qui partent du point A en faisant avec
l'axe ces angles donnés seront réfléchis par l'hyperbole (d'après la loi de l'égalité des angles
avec la normale) de manière que leurs rayons réfléchis feront avec l'axe des angles égalant
les angles correspondants de réfraction , pris de la table de Vitellion, citée dans la note pré-
cédente. Et si cette hyperbole peut servir, en appliquant le même procédé à tous les angles

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653.

dores invefttgandam exifîîmarunt. In quibus Keplerus , plurimis frufîra f enta fis ♦, * FideParaiipom.

ipfam quîdem rei veritatem non eft ajjecutus; conje&uris tamen fuis, varijfque'"'^'''"'°"""''^-

molitionibus non parum fequentium ftudia adjuy'tt. Poft eum vero Willehrordus

SneUius, cumjam ma] us opéra pretium appareret, quippe exorto telefcopij inventa^

multo labore multifque experimentis eo peryenit ut ver as quidem rej'raciionum

menfuras teneret, nec tamen quod invenerat j'atis intelUgeret. Nam pofttâ, ex.

gratta , aqua fuperficie JB , vijibiU vero fub aqua in D , quod oculo in F pofito

appareat quaft in re&a FC, continuabat liane FC, donec in G pun&o occurreret

re&a DA^ ad [uperpciem aqua perpendiculari^ hifque ita defcriptis , ftatuebat

imaginent rei vifa apparere in G, r eu a que CD ad CG certam efe rationem,

veluti in aqua Jè/'quitertiam. Qua re&arum inter je ratio ver a efî^ ac convenit

prorfus cum ea quam paulo ante explicuimus refra&ionis lege; quia CD efî ad

CG, ex doctrina triangulorum , ut finus anguli DGC^vel AGC , feu HCF , ad

lînum an g'. CDG, ftve DCE. Verum ad hanc ftnuum proportionem nequaquam

attendit SnelUus et ufque adeo ab apparente imagine rem omnem pendere exifîi-

mavit, ut etiam in radio perpendiculari qualis HC, eff'e&um refraEtionis ,feu, ut

falfo opinatur, decurtationem radij viforij agnofcat ^). deceptus eo quod etiam re&à

d'incidence, pour la réfraction dans l'eau , d'autres hyperboles mesureront les réfractions des
autres milieux.

Plus loin Kepler procède d'une autre façon. Il suppose (Prop. III, p. 1 1 1) que la différence
/ — r entre l'angle d'incidence et l'angle de réfraction est la somme de deux parties, l'une
proportionnelle seulement à l'angle d'incidence, l'autre proportionnelle en outre à la sécante
de cet nngle. Puis après (Prop. VI, p. i i3)ilcorrigecette supposition en remplaçant lasécante
de l'angle d'incidence par celle de l'angle de réfraction. Enfin (Prop. VIII, p. 1 14— 1 15) il
prend, au lieu de la sécante même, celle-ci diminuée de l'unité et le calcul qu'il adopte
finalement équivaut à l'emploi de la formule:

/ — r ^ C/ 4- Ci (sec r — i) = C/ sec r.

Comparant ensuite les valeurs calculées de ; — r , avec celles qui résultent de la table men-
tionnée, il arrive au résultat suivant:

Angle d'incidence 10° 20°

Valeur calculée de /■ — r 2°26' 4°
Valeur déduite de la table 2°i5' 4°

La différence entre les valeurs calculées et les valeurs observées paraît très faible et Kepler
fait suivre: „Neque te moueat tantilla discrepantia, credes mihi, infrà tantam subtilitatem ,
experientiam in hac minus apta materia non desccndere. Vides inaequalitatem inesse magnam
differentiis mearum & Vitellionarum. Meaî verô refractiones ex œqualitate & ordinepro-
fecta; sunt. Ergô in Vitellionis refractionibus culpa ha^ret. Id tantô magis credes, si ad
incrementorum incrementa in Vitellione respexeris. Surguntenim per 30' minuta. Certum
igitur est, Vitellionem suis ab experientia captis refractionibus manum admouisse vt in
ordinem illas per secundorum incrementorum a.*qualitatem redigeret."
^') Le manuscrit de Snellius est perdu^mais le passage dont il s'agita probablement été repro-
duit textuellement par Golius dans une lettre du i" novembre 1632 mentionnée dans
l'article qu'on trouve cité dans la note 2 , p. 9 qui suit. Voici alors le passage en question :
„Esto medii densioris terminus AB , visibile V , radius incidenti» VR, refractus in rariore

20°

30°

40°

50°

60°

70°

80°

4°59'

7°49'

II°2'

I4V

I9°8'

24°Il'

30V

4"3o'

7"3o'

llV

I5V

19^30'

24^30'

30V

90°

36^30'

TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

en conlidérant les rayons de lumière qui Ce dirigent vers les deux yeux. Tout
ceci, expofé par Snellius dans un livre entier fur la réfraftion, efl: refté inédit. Nous
avons vu ce livre autrefois *) et nous avons appris que Defeartes l'a vu également.
C'efl: peut-être de ce livre que Defeartes a tiré fa loi des fmus ^), dont il s'efl: fervi
fort heureufement dans l'explication de l'arc-cn-ciel 3) et dans la recherche de
la forme des lentilles 4). La valeur numérique de ce rapport des fmus, lorfque le
rayon tombe de l'air dans l'eau, ou dans le verre, ou dans d'autres corps tranfpa-
rents, peut être cherchée à l'aide d'un prifme, comme Defeartes l'indique s) , ou
par d'autres procédés , que celui qui aura bien compris ce qui précède n'aura pas
de peine à trouver. Quant à nous, les procédés que je vais décrire nous ont paru
être plus commodes que les autres. Si la matière tranfparente efl: liquide, il faut
remplir avec ce liquide un vafe de verre dont la paroi a la forme d'un cylindre ou
tout au moins celle d'une furface de révolution autour de l'axe *^). Plus ce vafe efl:
volumineux , et plus le verre en efl mince , mieux il convient à l'expérience. Soit

[Fig. 3.]

ABCD ce vafe. Plaçons-le de telle manière que fon
axe foit perpendiculaire à la diredion des rayons
folaires ou à celle des rayons venant d'une fource
lumineufe lointaine. Ces rayons, s'ils tombent fur
le vafe du côté DC, convergeront de l'autre côté du
vafe après avoir traverfé le verre et l'eau qui y efl:
contenue, et fi le vafe a une forme cylindrique, ils
engendreront une ligne lumineufe telle que KL, fur
une furface plane parallèle aux génératrices du cy-
lindre. Lorfqu'on aura obtenu la ligne la plus bril-
lante et la moins large poflible, on prendra au compas
la difl:ance GF qui fépare la furface plane du vafe , et on marquera cette difl:ance

medio RO , oculi situs in puncto O. Videbitur itaque imago rei visibilis in concursu radii

refracti OR continuati et perpendicularis incidentiîe; qua, sit
VP et punctnra concursiis I. In eodeni itaque medio, se. hic
densiore, radius incidentiœ verus erit VR, suusque apparens
B RI. Docent observata qua; ratio est VR ad RI, semper obtinere
eandem inter quoscumque radios similes; ut U'R' et R'I', quin
in ipso radio perpendiculari et irrefracto UA ubi incidentis
ipsius pars est radius apparens; neque enim res visibilis U spec-
tata perpendiculariter suo apparet loco, sed superiore in J:
atque ut UA ad AJ,ita VR sehabetad RI. Unius itaque radii obliquatione,aut perpendi-
cularis contractione cognita, quod modis pluribus facile fieri potest, cognoscetur ratio ca'te-
rorum incidentium et apparentium omnium , quœ , exempli gratià, in aqua ut 4 ad 3 , in vitro
ut 3 ad 2, quando se. utrobique oculus consistit in aëre."

II est presque superflu de remarquer que la réfraction d'un étroit faisceau de lumière issu
du point U dans la direction UA donne lieu à une image virtuelle qui se trouve précisément
au lieu J indiqué par Snellius.

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653.

defuper in vas aqua plénum infpkienti^ fundus omni parte attolli videtur. Cujus
rei ver a eau fa ex radijs ad utrumque oculum tendentibus petenda efî . Hac autem
omnia qme de refraSîionis inquifitione volumîne integro Snellius expofuerat inedita
manfere^ qua et nos vidimus aliquando *) et Cartefîum quoque vidiffe accepimus ,
ut hinc fortajfe menfuram illam qucc in ftnihus confifîit^ elicuerit ^),- quâ in expli-
canda Iride 3) ^ vitrorum figuris inveftigandis ^^ felicijjtmè efî u fus. Cujusmodi
verofitillaRefraâionisinfimbusproporlio cum radius ex aère in aquam^vitrumve,
aut alia corpora diaphana defertur^ id vel prifmate , ut Cartefius pracipit Q
inquiri poiefî , vel alijs modis ; quos qui prcccedentia intellexerit, non difficulter
inveniet. Nobis hi, quos jam docebo, cccteris faciliores vift funt. nam fi liquida
diaphani materia data fie, ea vitreum vas impleatur, quod vel cylindri formam
habeat, vel ejufmodi folum quae circa axem rotunda fit*^); quo autem capa-
cius erit, quoque tenuiori vitri, eo melius. Efl:o illud ABDC, atque ita col-
locetur, ut axem habeat folaribus radijs, vel ab lumine longinquo venientibus,
diredlè oppofitum. Hi igitur radij fi cadant in latus DC, concurrent ex parte
altéra vafis, pofliquam et vitrum et aquam eo contentam tranfierint, et, fi cylin-
draceum vas fuerit, lineam quandam lucidam fignabunt ut KL in plana fuper-
ficie vafis lateri parallela. Ea ubi perfeftiflîma contigerit linea minimaeque
latitudinis, circino capiatur diftantia GF qua planum a vafe abefl:, eaque difl:antia
in chartam annotetur: atque apponatur deinde femidiameter vafis FE à centro ad

') Probablement vers 1662 ou 1663. Jusqu'en 1662, la dernière fois le 8 mars 1662 dans sa
lettre à son frère Louis (T. IV , p. 71), Huygens n'a jamais mentionné, en connection avec
la loi de la réfraction, que le seul nom de Descartes. Au 2 janvier 1665 il écrit à Moray „Je
vous remercie de la table des refractions, qui vérifie fort bien le principe dont depuis Snellius
et Monsieur des Cartes l'on s'est servi en la dioptrique." (T. V, p. 188). Alors donc les droits
de Snellius à l'invention de ce principe étaient connus à Huygens et à Moray et il semble
probable que Huygens les a fait connaître à celui-ci pendant son second séjour à Londres en
1663. Or, ces droits furent, en elFet, revendiqués publiquement pour la première fois en
1662 par Isaac Vossius dans son ouvrage „De lucis naturaetproprietate", où il ditque le
fils de Snellius lui avait montré le manuscrit de son père.

*) On peut consulter sur cette question l'article de M. D. J. Korteweg, „Descartes et les
Manuscrits de Snellius" dans la „llevue de Métaphysique et de Morale, 4^ année, 1896,
p. 489 — 501" (aussi Nieuw Archief, sér. 2, T. UI, p. 57 — 71).

3) Dans le „Discours Huitiesme" des „Meteores", intitulé „De l'arc-en-ciel" (T. VI , p. 325—
344 de l'édition récente des Œuvres de Descartes par Adam et Tannery).

'^) Dans le «Discours Huictiesme" de „La Dioptrique", intitulé „Des figures que doiuent auoir
les corps transparens pour détourner les rayons par refraction en toutes les façons qui seruent
à la ueuë" (T. VI , p. 1 65— 1 96 de l'édition d'Adam et Tannery).

S) Dans le «Discours Dixiesme" de l'ouvrage cité dans la note précédente (T. VI, p. 211 — 213
de l'édition d'Adam et Tannery). On peut consulter encore sur cette méthode la p. 218
duT.I.

^") Comparez la dernière phrase de l'Appendice I , p. 145 du Tome présent. À partir d'ici , il y
a concordance entre le manuscrit principal et la copie de Niquet, à l'exception des lieux
que nous signalerons plus loin.

2

10

TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

fur une feuille de papier. On y ajoutera le rayon FE du vafe , c'eft-à-dire la
diftance du centre à la furface extérieure. Soit H le point qui partage ce rayon
en deux parties égales. L'indice de réfraétion de l'eau ou en général du fluide
confidéré fera alors le rapport EG:GH;ce fera toujours ce rapport qu'on trou-
vera entre les deux finus, comme je l'ai dit plus haut. Mais les rayons, après avoir
traverfé le verre, convergeront plus exaétement finous ne laiflTons pafler que
ceux-là feulement qui pénètrent dans le vafe cylindrique par le milieu; il faut
donc couvrir les deux côtés jufqu' à une certaine diftance du milieu. On trouvera
la démonftration de ce qui vient d'être dit dans la fuite de ce traité , au théorème
XIII du premier livre '). On verra en outre, d'après le théorème XXV du
livre I *) , que les réfraétions qui ont lieu dans le verre ne nous empêchent
nullement de confidérer le cylindre ABCD comme formé entièrement d'eau.

Et fi l'on veut obtenir par un procédé tout aufli rapide l'indice de réfraélion du
verre ou du cristal, il faut prendre une lentille formée de cette fubftance et polTé-
dant une furface plane et une furface convexe telle que la lentille ABC. On expo-
fera la furface plane aux rayons du foleil ou à ceux d'une lampe placée à grande
diftance de forte que les rayons tombent perpendiculairement fur cette furface.
Derrière la lentille on placera une furface plane et on l'éloignera de la lentille
à une diftance telle que les rayons, en convergeant vers cette furface, y engen-
drent l'image la plus nette poifible du foleil ou de la flamme. Soit cette image en
E. Que l'on mefure alors la diftance EB de cette image à la furface convexe de
la lentille , et que l'on fâche que l'indice de réfraétion du verre ou du cristal
confidéré eft égal au rapport de la fomme du rayon de courbure DB de la
furface convexe et de la longueur mefurée BE, c'eft-à -dire de DE d'une part,
et de la longueur BÉ elle-même d'autre part. Cette propofition fera démontrée
au théorème IX du premier livre 3). Il fera avantageux de couvrir les bords de la
lentille jufqu' à une certaine diftance du centre , afin qu'elle donne une image
plus nette de la fource lumineufe. Je pourrais aux méthodes décrites en ajouter
d'autres plus laborieufes, conduifant plus fubtilemcnt à la connaifl^ance de ce
même indice de réfraétion. Mais comme il n'eft pas fort important de chercher la
valeur numérique de cet indice avec une grande précifion , et que cette valeur eft
quelque peu différente, comme je l'ai déjà dit '^), pour diverfes fortes de verres ou
d'eaux , il me femble inutile de faire connaître d'autres procédés. J'ajoute toute-
fois que l'indice de réfraétion de l'eau de pluie, mesuré avec précifion, s'eft
trouvé avoir la valeur 250: 187., peu fupérieure à la fraétion J; c'eft ce que
Defcartes a inféré ingénieufement de la confidération du diamètre de l'arc-
en-ciel 7). D'après cette même méthode , nous avons calculé l'indice de réfraftion
du verre, en nous fervant d'une petite fphère folide de cette fubftance, et
en obfervant ^) à l'aide de cette fphère que le rayon d'un arc -en-ciel pour une

^) Voir la p. 79 du Tome présent.
^') Voir la p. 125 du Tome présent.

Il

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653.

excimam fuperficiem, qiiae bifariam fecetur in H. Jam proportio refradionis
aqiiae, vel quicunquc liquor fueric , habcbitur ea quae ell: EG ad GH, quse nempe
cadem feniper in finibus exillet ut fuperius expofui. Accuradus autem radij poft
vitrum colligentiir fi tantum eos transire finamus qui circa médium cylindrum
pénétrant, lateribus utrinque aliquoufque contcftis. Ac demonftratio quidem
hujus in fequentibus invenietur, libri primi propof. [XIII] '). nec refraéliones
quae in vitro hic accidunt quicquam obefie, quo minus cylindrus ABCD velue
totus aqueus cenfeatur, patebit ex ijs, quae dicentur lib. [I] propof. [XXV]').

Quod fi vitri aut cryftalli refraétiones finiili compendio inquirere libeat,lentem
ex ea matéria formatam accipe, fuperficie altéra plana, altéra convexa,qualis
hic eft lens ABC. Superficiem planam soli oppone vel lucernse procul pofitse ut
radij incidant ad reétos angulos : poft lentem vero adhibe plé-
num aliquod, ac tantum remove, ut in eo radij coeuntes
imaginem solis aut flammse quam nitidiffimam depingant:
Efto in E. Tumdiftantiam hujus imaginisab lentisconvexa
fuperficie metire EB, et quam rationem habet femidia-
meter convexitatis ABC puta DB unà cum inventa longi-
tudine BE, hoc eft, tota DE ad hanc ipfam BE,eandem
fcito QÏTe refraétionis vitri vel cryftalli propofitse. hoc enim
demonftrabitur lib. I. prop. [IX] 3). Lentem vero circa
latera aliquatenus texiffe proderit, ut imaginem lucidi eo
nitidiorem référât. Alios modos adjungere his poiïem ope-
rofiores, quibus proportio eadem refraélionis fubtilius +)
colligatur, sed cum non multum tnterfit fcrupulofe eam
depniri s) et in diverfi generis vitris aquifve, ut jam dixi '^),
diverfa aliquantum deprehenditur, operae pretium non vide-
tur plura de his prgecipere. Aquje tamen pluvise refraftio,
ut hoc addam, accuratè dimenfa reperta eft ut 250 ad
187, paulo fcilicet major fefquitertia; idque ex Iridis
amplitudine Cartefius fubtiiiter fane collegit 7). Similique
ratione, adhibita fphserula vitrea folida, inventaque ex
obfervatione ^) femidiametro iridis in pluvia vitrea, fi qua

3") Voir la p. 35 du Tome présent.

'*) La copie de Niquet ajoute: „accuratiusque", mot qu'on trouve aussi dans le manuscrit
primitif mais que Huygens biiFa plus tard.

S) La copie de Niquet donne: „Sed quia nulla nécessitas scrupulosam adeo inqui-
sitionem exigit".

'^) C'est-à-dire dans la rédaction primitive, rejetée depuis, du début de l'ouvrage présent; con-
sultez la p. 144 du Tome présent où nous donnons cette rédaction.

7) Voir la note 4, p. 153 du Tome présent.

8) Voir la lettre à G. van Gutschoven du 6 mars 1653 , p. 225 du T. I , où on lit entre autres:

12 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

pluie de verre, fi jamais une telle pluie venait à tomber, ferait de 21° 45'.
Nous expliquerons ce calcul ') dans le traité des Parélies '). Quant à la valeur
de l'indice, nous avons trouvé 3) qu'elle efl: fupérieure h y/, c'eft-à-dire à |,
mais inférieure à y^. Il eft donc permis de prendre la valeur |; l'erreur ainfi
commife eft négligeable. D'ailleurs nous n'avons nullement, dans les théo-
rèmes qui fuivent, eu égard à cette valeur là plutôt qu' à aucune autre, et il faut
favoir que ce que nous établirons dans ces théorèmes eft vrai, indépendam-
ment de la valeur numérique de l'indice de réfracflion.

Les trois théorèmes fuivants, dont nous ferons par la fuite un fréquent ufage,
découlent aifément de la loi des réfractions, que nous venons d'expofer.

Proposition I '^).

Soit donnée une fur fa ce quelconque AB, bornant un corps
tranfparent exiftant du côté C, et foit AC le rayon réfracté
provenant du rayon DA qui tombe de l'extérieur sur ce corps.
Prolongeons DA vers F et CA vers E. Imaginons-nous enfuite
que le corps tranf parent change de place de telle manière
qu'il reste borné par la même fur fa ce AB, mais qu'il v ienne
fe trouver de l'autre côté de cette fur face, c'eft-à-dire du
côté E. Je disqu' alors le rayon réfracté, provenant du rayon
FA, fera AE.

[Fig.5-]

En effet, foit MAG qui coupe la furface au point A,
une perpendiculaire à cette furface. Le rayon DA et le
rayon réfraélé AC font par conféquent dans le même
plan paffant par HG. Vu que le rayon DA, lorfque le
corps tranfparent eft fitué du coté G, fait avec la per-
pendiculaire HG le même angle que le rayon FA, lorf-
que le corps tranfparent eft fitué du côté H (car DAF
eft par hypothèse une ligne droite) , les rayons réfraétés
provenant de chacun de ces rayons feront aufli avec HG
des angles égaux. Or, le rayon réfraélé AC, prove-
nant du rayon DA, fait avec AG l'angle CAG. Le
rayon réfradé provenant du rayon FA fera donc un
angle égal avec HA , c'eft-à-dire un angle de grandeur

„Nempe sicut ex angulis semidiametri iridis cîelestis utriusque Cartesius aquîe refractionetn
invenit ver« proximam; Ita ego comparato mihi exiguocylindro vitreominimi digiti cras-
situdinera habente, soli eum exposui , observavique instrumente Geometrico sub quo angulo
color ruber appareat. Et sic comperi semidiametrum maximam iridis primariîe in plnvia
vitrea fore circiter graduum 21.50. secundaria^minimam graduum 89." On peut consulter

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653. I3

talis caderet, grad. 21. 45'; proportionem refraétionis vitri inde calculo ') fub-
duxinnis, cujus ratio in ijs, qua de Pareliis^ explicabitur ="), comperimufque
majorem qiiam 114 ad -jô^ five qiiam 3 ad 2, minorem veroquam 115 ad 76.
ut ferquialteram ufurpare abfque errore liceat 3). Caterum '*) non ad Iianc
magis quam ad aliani qiiamlibet in fequenîibus theorematis refpeximus quaque
ijs definiemus omnia eodem modo Je hahitura fciendum eft Q , quaecunque demum
fuerit'refraftionis proportio.

Porro ex lege refraélionum modo expHcata tria haec Theoremata facile dedu-
cuntur, quorum in cjeteris frequcns ufus erit.

Propositio [IJ '^).

Si fuerit fuperficies quaelibet AB, terminans diaphanum ver-
fus C exiftens, fitque radij DA cxtrinfecus in illam incidentis
refrac tio AC, et producatur DA ver fus F, et CA ver fus E. Et
intelligatur deinde diaphanum ita tranfponi uteadem fuper-
ficie AB terminetur, fed exiftat ad partem ejus contrariam,
ubi nempe est E. Dico jam radij FA refractionem fore AE.

Sit enim reéta HAG quse penetret fuperficiem AB ad àngulos reélos in
A. Sunt ergo in eodem piano per HG duéto tum DA tum refraélio ejus AC.
Quia vero radius DA ad perpendicularem HG exillente diaphano verfus G
eodem angulo inclinatur, quo radius FA, exiftente diaphano verfus H, efl: enim
DAF, exhypothefi, linea reéta, etiam refradiones utriufque cum ipfaHG angulos
sequales conftituent. Radij autem DA refraélio AC facit angulum CAG,ergo

encore l'Appendice III, p. 154 du Tome présent qui contient des observations exécutées
en 1658.

*) Consultez sur ce calcul l'Appendice II. On y trouvera la règle suivant laquelle il doit
être exécuté et l'application au cas de l'eau, où le demi-diamètre de l'arc-en-ciel est supposé
être égal à 41° 30'; voiries p. 151 — 153 du Tome présent.

^) De cette phrase, ajoutée après 1666, c'est-à-dire après la date de la copie de Niquet, où elle
manque, il résulte que Huygens avait alors l'intention de joindre le contenu de l'Appen-
dice II à l'ouvrage projeté „De Coronis et Parheliis" qui n'a paru qu' après son décès et qui
ne contient rien de semblable. Ce tut depuis 1658 que Huygens s'occupa du sujet des
parélies; comparez les pp. 2 19 et 496 du T. II.

3) Dans la Correspondance de 1652 et 1653 (voir les pp. 192, 204 et 225 du T. I) Huygens
donne le même rapport comme étant de 600 à 397 , ce qui revient à celui de 1 14,8. . iij6.

4) „Nos autem" dans la copie de Niquet.

5) La copie de Niquet donne au lieu des mots cursivés : „fequentia theoremata adstruixi-
mus; sed universalem hanc eifecimus contemplationem , adeo ut, quae defi-
niemus omnia eodem modo se habitura sint."

*) Plus tard Huygens a annoté : „Nous n'avons a faire de celle cy qu'en traitant des
surfaces caves."

14 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE 1. 1653.

HAE, CAE étant une ligne droite. Mais de plus FA et AE fe trouvent dans le
même plan pafTant par la droite HG , vu que FA eft le prolongement de DA , et
AE de CA. Il eft donc évident que le rayon réfrafté provenant du rayon FA n'eft
autre que AE, lorfque le corps tranfparent fe trouve du côté H. C'eft ce qu'il
fallait démontrer.

Proposition II.

Soit AB la furface d'un corps tranfpa-
rent, la forme de cette furface étant arbi-
traire. Soit DC un rayon oblique tombant
du dehors fur cette furface, CG le rayon
\ réfracté, et la droite ECP une normale à
la même furface. Prenons un point quel-
conque F fur cette normale, à l'intérieur
du corps tranfparent, et tirons FG paral-
lèle au rayon DC. Je dis que cette paral-
lèle cou pelé rayonréfracté CG et que
le rapport CG: GF est égal à l'indice de
réfraction.

Car l'angle FCG eft plus petit que l'angle DCE à caufe de la réfraction; cet
angle fera donc auffi plus petit que l'angle PFG; c'eft pourquoi les droites CG et
FG fe couperont néceïïairement. De plus, félon la loi des réfraétions expofée
plus haut le rapport du fmus de l'angle DCE au finus de l'angle FCG eft égal
à l'indice de réfraction. Or , le finus de l'angle DCE eft le même que celui de
l'angle DCF ou CFG. Par conféquent dans le triangle CFG le rapport du
finus de l'angle CFG au finus de l'angle FCG eft égal à l'indice de réfrac-
tion. La même chofe fera donc vraie pour le rapport du côté CG au côté
GF, car dans tout triangle les côtés font entre eux comme les finus des angles
oppofés.

Il eft clair que la réciproque de cette propofition eft également vraie. C'eft-à-
dire , lorfque FG eft parallèle au rayon DC et rencontre la droite CG , et que le
rapport CG : GF eft égal à l'indice de réfraétion , CG fera le rayon réfraélé qui
correfpond au rayon DC.

TRACT ATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1 653. 1 5

huic aequalem angulum efficiet refraftio radij FA cum ipfa HA, hoc eft gequalcm
angulo HAE, efl: enim CAE linea redta. Sed et in eodem piano, per redam
HG duclo, funt FA et AE, quum fint in direftum ipfis DA , CA. Ergo patet
radij FA refraélionem fore ipfam AE quando diaphanum eft a pane H. quod
erat dem.

Propositio [II].

Si fuerit diaphani fuperficies quselibet AB, inquam extrin-
fecus cadat obliquus radius DC, qui refringatur fecundum
CG; fitque recta ECP fecans diaphani fuperficiem ad angu-
los rectos, et fumatur in ea intra diaphanum punctum quod-
vis F, unde ducatur FG parallela radio DC. dico ha ne occur-
rere refractioni CG, et habere CG ad GF rationem eam quae
eft refractionis.

Quia enim propter refraftionem angulus FCG minor eft quamDCE,idem
quoque minor erit quam PFG, ideoque CG, FG neceflario concurrent. Porro
quia fecundum refraétionum legem fuperius expofitam, finus anguli DCE ad
finum anguli FCG rationem habet eam , quse eft refractionis. Sinus autem anguli
DCE idem eft qui anguli DCF feu CFG. Ergo in triangulo CFG habebit
finus anguli CFG ad finum anguli FCG rationem refraétionis. Quare eandem
quoque habebit latus CG ad latus GF. Quia nempe in omni triangulo, latera
inter fe eandem proportionem fervant, quam finus angulorura, quibus illa fub-
tenduntur.

Patet autem et converfae hujus *) veritas. Nempe fi FG parallela exiftente
radio DC, redtaeque CG occurrente, fuerit CG ad GF ratio eadem quae eft
refraétionis, tune CG fore refraftionem radij DC.

*) La copie de Niquet intercale le mot „propositionis" ; qu'on retrouve dans le manuscrit
même, mais qui y fut biffé depuis. ' v ' .

l6 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

Proposition III.

Soit AB [Fig.7] la furface d'un corps tranfparent, la forme de
cette furface étant arbitraire. Le corps transparent fe trouve
du côté L. Soit DCun rayon à l'intérieur de ce corps. Ce rayon
fort du corps au point C et eft réfracté félon CM. Soit ECP
une normale à la furface. Prenons fur cette normale un point
quelconque L et tirons de là une parallèle LH au rayon
DC. Je dis que cette parallèle coupe le rayon réfracté CH,
et que le quotient LH: HC eft égal à l'indice de réfraction.

Car le rayon DC quitte le corps après avoir été réfracté à la furface; l'angle
PCH fera donc plus grand que l'angle LCD , c'eft-à-dire que l'angle CLH. Il en
ré fuite manifeftement que les droites CH et Lll fe coupent.

De plus, fuivant la loi des réfractions, le rapport
du fmus de l'angle PCH au fmus de l'angle LCD ou
CLH efl: égal à l'indice de réfraction. Or, le fmus de
l'angle PCH efl; le même que celui de l'angle LCH.
Par conféquent dans le triangle LHC le rapport du
fmus de l'angle LCH au fmus de l'angle CLH fera
égal à l'indice de réfraction. La même chofe fera donc
vraie pour le rapport des côtés LH et HC. Ce qu'il
fallait démontrer.

Ici aufli la réciproque de la propofition efl: évidem-
ment vraie. C'efl:-à-dire, lorfque LH efl: parallèle au
rayon DC et rencontre la droite CH , et que le rapport LH : HC efl: égal à
r indice de réfraélion, CH fera le rayon réfraété qui correfpond au rayon DC.

Nous expliquerons dans la fuite comment on trouve les points où fe réunifl^^nt
les rayons après avoir été réfraétés par quelque furface plane , convexe ou con-
cave, ou bien ceux où les rayons, difperfés par cette réfraétion, fe coupent
lorfqu'on les prolonge en fens inverfe. Nous les appellerons points de concours ou
points de difperfion. Toutefois, "comme nous défignerons également par ce nom
des points auxquels ne correfpondent pas exaélement, comme on le fera voir, tous
les rayons réfraétés, nous devons dire en peu de mots ce qu'il faut alors entendre
par là. Lorfqu'il peut être démontré que les rayons qui tombent parallèlement fur la
lentille ABC [Fig. 8] coupent tous l'axe DBE, après la réfraélion , en-deçà d'un
certain point E, ou bien qu'ils coupent tous l'axe au-delà de ce point, et cela
de telle façon que plus un rayon incident efl: proche de l'axe , plus le point où
le rayon réfra<5lé, qui y correfpond, coupe l'axe efl: proche du point E, et que cette

."' '^ TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653.

ï?

Propositio [III].

Si fuerit diaphani fu perfides quaecunque AB [Fig. 7] , ter-
minans diaphanum ver fus L exiftens: radius autem intra
diaphanum fit DC, qui in C egrcdiens '), refringatiir in CH.
Et duc: a ECP, quae fuperficiem fecet ad angulos rectos,
fumatur in ea punctum quodvis L, unde ducatur LU parai-
lela radio DC. dico ha ne occurrere refractioni CH, atque
eÇÇe LH ad HC rationem eam quse est refractioni s.

Quia enim radius DC refraétus exit àdiaphano, erit angulus PCH major
angulo LCD, hoc eft, angulo CLH. Unde manifeftum eft reétas CH, LH
concurrere.

Porro autem, quia fecundum legem refraélionis, finus anguli PCH ad finum
anguli LÇD five CLH, proportionem refraélionis habet,
sinus autem anguli PCH idem ert qui finus anguli LCH,
habebit itaque in triangulo LHC , finus anguli LCH ad
finum anguli CLH proportionem refradionis. Quare eandem
quoque habebit latus LH ad latus HC. quod erat probandum.
Rurfus autem et converfa propofitionis hujus manifefta
ell. Nempe fi LH parallela exifiente radio DC, re(5lœque
, ■ ■ . ■ , CH occurrentc, fuerit LH ad HC ratio ea qua? refraftionis,
A^^i— J — I — i—r^ etiam CH fore refraélionem radij DC.

Nunc quomodo punéla ea inveniantur, ad quae radij, pofl:-
quam in fuperficie aliqua plana convexa aut cava refraéti
fuerint,colliguntur, vel adquœ difperfi refpiciunt , deinceps
exponemus; quae quidem punéla concurfus vel difperfus
vocabimus. Quôniam vero '*) hoc nomine etiam illa punda
defignabimus ad quse tamen radios omnes refraétos non accu-
ratè pertinere ofl:enfum fuerit, id quomodo tune intelligen-
dum fit paucis declarandum efl:. Ergo fi radios parallelos in
lentem ABC [Fig. 8] incidentes omnes poil refradtionem convenire oftendatur
cum axe DBE citra punftum quoddam E, vel omnes ultra idem punétum , verùm
hoc paélo ut quo quifque radius axi propinquior fertur eo refraétus concurrat
propius ad punftum E, idque ad difliantiam tandem quavis dataminorem, tum

*) La copie de Niquet intercale: , , diaphanum" ; mot qui fut biffé dans le manuscrit que nous

suivons.
*) La copie de Niquet intercale „plerumque" , mot biffé dans le manuscrit.

x8

TRAITÉ DE LA REFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

dernière diftance finit par devenir plus petite qu'une grandeur donnée quelconque,
alors aufli le point E fera appelé le point de concours. Et
de même pour une lentille concave KFG [Fig. 9], lorfque
nous aurons démontré que les rayons parallèles venant du côté
H font difperfés après la réfraélion de telle façon que prolon-
gés en fens inverfe ils rencontrent tous l'axe FH foit en-deçh
foit au-delà d'un certain point H , et cela avec les mêmes con-
ditions que nous avons auffi pofées pour la lentille convexe,
alors le point H fera appelé le point de difperfion '). Même
nous confidérons dans la plupart des cas ces points comme
déterminant exaélement le concours ou la difperfion des
rayons; nous pourrons le faire en ayant égard feulement aux
parties centrales des lentilles ou des furfaces, parties dont les
dimenfions, par rapport aux diamètres de la convexité ou delà
concavité, doivent être afTez faibles pour que ce qui efl: impar-
fait dans le fens géométrique parai (Te parfait à nos yeux. Car il
efl: certain que les dimenfions latérales des lentilles fatiffont à
cette condition; cela efl: vrai auflî bien pour les lentilles que
nous voyons donner dans l'obfcurité une image des objets que le foleil éclaire en-
dehors, que pour celles dont fe compofent les lunettes ou les télefcopes: s'il en
était autrement, on n'obtiendrait pas avec ces lentilles des effetsaufli remarquables.

[Fig. 10.]

Proposition IV.

Problème i 3^.

Etant donnée la fur face
plane d'un corps tranfpa-
rent et le point où fe diri-
gent les rayons au moment
oùilstombentdudehors fur
cette furface, trouver le
point de concours des rayons
réfractés 4).

Soit AE la furface plane du corps
tranfparent , ou plutôt foit AE une
ligne droite fituée fur cette furface ,
:"«,rfmi^ ^^^^ donné le point D où fe diri-
gent les rayons LF , OE , au moment où , venant du dehors , ils rencontrent cette
furface. Soit DA une perpendiculaire fur cette furface, et figurons-nous que

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653. I9

quoqiie pundliim E concurfus piinélum dicetur. Similiterque in lente cava KFG
[Fig.9],ri parallèles radios à parte H venientes poft refraélionem ita fpargi often-
derimiis, ut retrorfum produfti conveniant ciim axe FH omnes citra punétiim
quoddam H, vel omnes ultra, ijfdemque etiam conditionibus quas in convexa
pofuimus, tum punélum H dicetur punftum difperfus '). Quin etiam hsec
punfta plerumque fie accipiemus *) , tanquam concurfum aut difperfum radiorum
exaélè determinarent; médias videlicet lentium aut fuperficierum partes refpi-
cientes, quarum fatis exigua fit proportio ad convexitatis vel cavitatis dia-
metros, ut quantum ad fenfum oculorum attinet perfeélum videatur quod
geometrica ratione efl: imperfeftum. Ita enim ^qÇq habere lentium latitudines
certum eft, tum earum quibus in tenebris picturam reprefentari videmus rerum
quae foris a Sole illuminantur, tum quibus perfpicilla feu telefcopia confiant;
neque enim alioqui tam infignes earum efFeélus cernerentur.

[Propositio IV.]

Problema [i.] 3)

Data diaphani fuperficie plana, et puncto, ad quod radij
tendentes in fuperficie m extrinfecus impingant; Invenire
p u n c t u m c o n c u r f u s r e f r a c t o r u m '^J.

Sit [Fig. 10] diaphani fuperficies plana AE,hoc ell, in qua eft linea refta AE,
fitque datum punétum D, ad quod tendentes radij ut LF, OE, fuperficieidiétse
extrinfecus occurrant. Sit autem DA eidem ad angulos reélos,omnefque linese

*) On retrouve cette définition des points de concours et de dispersion dans les lettres à Van
Gutschoven du 4 novembre 1652 et du 6 mars 1653 (pp. 191 et 224— 225 du T. I). Dans
toute la présente partie de sa Dioptrique Huygens s'y tient strictement sans se rebuter des
complications qu'elle apporte dans les démonstrations géométriques à la mode des anciens.

=*) La copie de Niquet donne: „frequenter ita considerabimus," ce qui constitue la leçon
primitive du manuscrit, biffée depuis et remplacée par les mots cursivés.

3) Huygens a ajouté en marge: „hoc cum 3bus sequentibus forsan melius post refrac-
tiones singularum sphaericarum superficierum". L'annotation est sans doute d'une
date de beaucoup postérieure à la rédaction primitive et même à la copie de Niquet où l'indi-
cation n'a pas été suivie.

*) Les propositions IV — VII contiennent, pour les divers cas qui peuvent se présenter, la
déduction de la relation d^ = nd^^ , où d^^ et d^ désignent les distances à la surface plane des
points de concours des rayons qui se trouvent dans le premier et dans le second milieu, et
où n représente l'indice de réfraction du second milieu par rapport au premier.

Ici , et dans la suite, nous appelons ^premier milieu" celui où les rayons se trouvent avant
la réfraction.

20

TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

[Fig 10.]

toutes les droites qui apparaiiïent dans la figure foient fîcuées dans un plan paf-
fant par AD. Prolongeons AD et choififTons le point T de telle manière que le
rapport TA : AD foit égal à l'indice de réfraétion. Je dis que ce point T fera le
point de concours cherché. Or, en premier lieu je démontrerai qu' aucun rayon
réfrafté ne rencontre l'axe AD en-deçà du point T. Soit en effet FC le rayon
réfraaé provenant du rayon LF. Achevons la conftruftion du parallélogramme
CDFP. FF fera donc perpendiculaire à la furface AE et PC fera parallèle au
rayon LF et rencontrera le rayon réfrafté provenant de ce rayon en C. Le rap-

* Prop.il. portFC: CP fera donc égal à l'indice de réfraétion*. Or, FD eft égaleàCP.Par

conféquent le rapport CF : FD fera
lui auffi égal à cet indice de réfrac-
tion, c'eft-à-dire à TA : AD. Le
carré de CF ell: donc auffi au carré
de DF, comme celui de TA eft à
celui de AD. Le carré de CF eft
donc au carré de DF, comme une
quantité plus grande eft à une quan-
tité moindre. Par conféquent, fou f-
trayant des deux côtés le carré de
AF, on voit que le rapport CA^:
: AD^ eft plus grand que le rapport
CF" : DF% c'eft-à-dire que le rap-
port TA' : AD^ Le carré de CA
fera donc plus grand que celui de
TA, et la ligne CA elle-même fera
plus grande que TA: d'où il appert
que le rayon réfraété FC rencontre

Taxe AD au-delà du point T.

Il faut démontrer en fécond lieu que les rayons réfraftés provenant de rayons
fitués plus près de la droite AD la rencontrent en un point plus rapproché du
point T que ceux provenant de rayons plus éloignés de cet axe. Soit , en effet , le
rayon OE plus éloigné de l'axe que le rayon LF, et foit EG le rayon réfrafté cor-
ref pondant à ce rayon-là. Joignons les points C et E par une droite. Le carré de
CE furpaffe alors le carré de ED d'une quantité égale à la différence des carrés de
CF et de DF, vu que cette différence, ainfi que la première , eft égale à la fomme

* Prop. 12. 1. 2. du carré de CD et de deux fois le reétangle fur les lignes CD et DA. Or, le carré

de CE eft plus grand que celui de CF. Le rapport CE^' : ED= eft donc plus petit
que le rapport CF= : FD^ C'eft pourquoi le rapport CE : ED eft auffi inférieur
au rapport CF : FD. Mais CF eft à FD comme GE à ED. En effet, on peut
démontrer pour les lignes GE et ED , comme cela a été démontré pour les lignes
CF et FD , que leur rapport eft égal à l'indice de réfraétion : cela réfulte de ce

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653. 2 I

quae in fchemate apparent intelligantur in piano per AD dudto. Producatur AD
et habeat TA ad AD racionem eam qiige efl: refradionis. Dico T fore punétum
concurfus qusefitiim. Et primo qiiidem oftendam nullius radij refraétionem con-
currere ciim AD citra punétum T. Sic enim FC refraélio radij LF; et perficia-
tur parallelogrammum CDFP. Erit igitur FP fuperficiei AE ad angulos reftos,
et PC parallela radio LF , ejufqiie refractioni occiirrens in C. Qiiare FC ad CP
habebic proportionem qu« efl refractionis *. Efl: autem FD aequalis CP. Ergo * [Prop. IL] *)
etiam CF ad FD proportionem refraétionis habebit, boc efl,eam quam TA ad
AD. Ergo et quadratiim CF ad quadr. DF, ut qiiadr. TA ad quadr. AD. Ergo
ratio quadrati CF ad quadr. DF efl: majoris ad minus. Quare auferendo utrin-
que quadratum AF, erit ratio quadrati CA ad quadr. AD major quam qua-
drati CF ad quadr. DF, hoc efl: quam quadrati TA ad quadr. AD. Itaque
quadratum ÇA majus erit quadrato TA, et CA linea major quamTA:unde
apparet refractionem FC convenire cum axe AD ultra punétum T.

Secundo loco oftendendum efl: radiorum reftae AD propinquiorum refrac-
tiones propius concurrere ad punétum T quam remotiorum. Sit enim radius OE
remotior radio LF, et refradtio ejus fit EG : et jungatur EC. Quadratum igitur CE
excedit quadr. ED ;, quantum CF quadratum excedit quadr. DF , quia utrorum-
que difFerentia efl: aequalis quadrato CD et duplo reélangulo CDA '') *. Efl: *prop. [i2.]La.
autem quadratum CE majus quadrato CF. Ergo minor efl: ratio quadrati "^ ^'
CE ad quadr. ED , quam quadrati CF ad quadratum FD. Quare et linese CE
ad ED minor ratio quam CF ad FD. Ut autem CF ad FD ita efl CE ad ED. Nam
ficut de lineis CF, FD oftenfum fuit, oftendi etiam potefl: de lineis GE,ED,
habere eas rationem quge efl refraétionis , quia fcilicet EG fl:atuitur efle refraftio
radij OE tendentis ad D. Igitur minor erit ratio CE ad ED quam GE ad
ED: ac proinde GE major quam CE. Unde facile perfpicicur AG quoque
majorem eiïe quam CA; adeoque concurfum refraéli radij OE longius abefl^e
a pundto T quam radij LF.

Denique oflendere oportet aliquos radios refradlos convenire cum AD
produ6ta in punélo quod dato quolibet intervallo minus diftet à punfto T.
Sumatur punftum C, dato intervallo propius fitum pun<5to T et ulteriusdiftans
ab A quam ipfum T; et ficut differentia quadratorum TA, AD ad quadr.
AD, ita fit differentia quadratorum CA, AD ad quadr. DS. Ergo quia diffe-
rentia prior minor efl: pofteriore, erit et quadratum AD minus quam quadra-

')Ici, et souvent dans la suite, Huygens a indiqué par un astérisque les lieux où une citation
lui semblait désirable, sans toutefois donner cette citation ; ce qui fut fait alors par de Volder
et Fullenius à l'occasion de la première publication , en 1703 , des „Opera Posthuma".

^) Il s'agit du rectangle qui a CD et DA pour côtés.

3) Le numéro de la proposition fut laissé en blanc par Huygens. Il manque de même dans la
copie de Niquet; mais il s'agit clairement de la Prop. 1 2 du Livre 2 des ^Éléments" d'Euclide;
proposition qu'on trouve citée dans la note 15, p. 29 du T. XII.

aa TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

que EG efl: par hypochèfe le rayon réfrafté provenant du rayon OE dont le pro-
longement paiïe par le point D. Le rapport CE : ED fera donc inférieur au rap-
port GE : ED ; par conféquent GE eft plus grande que CE. On voit donc aifément
que AG auffi eft plus grande que CA , et que le point où le rayon OE coupe l'axe
après avoir été réfraété eft par conféquent plus éloigné du point T que le point fur
l'axe qui correfpond au rayon LF.

Il faut enfin faire voir que quelques rayons réfraftés rencontrent le prolonge-
ment de AD en un point fitué du point T aune diftance inférieure à un intervalle
donné quelconque. Prenons un point C fitué à une diftance moindre du point T que
la diftance donnée et plus éloigné du point A que le point T lui-même. Comme la
différence de TA' et AD' eft à AD% ainfi foit la différence de CA' et AD' à
DS'. Par conféquent, comme la première différence eft inférieure à la féconde, le
carré de AD fera auffi plus petit que celui deDS; et la ligne DA fera plus petite
que DS. Ainfî, fi l'on décrit une circonférence avec le centre D et le rayon DS ,
cette circonférence coupera la droite AF par exemple en F. Joignons le point F
aux points C et D, et prolongeons DF jufqu'en L. Vu qu' alors la diffé-
rence de TA' et AD' eft à AD' comme la différence de CA' et AD' eft à
DS' ou à DF', on aura, par compofition, TA' eft à AD' comme la différence
de CA'et AD', augmentée de DF', eft à DF'. Or, la différence CA'— AD',
c'eft-à-dire CD' + o. CD. DA, ajoutée à DF' donne une fomme égale à CF'. Par
conféquent, TA' : AD' = CF' : DF'. Et CF : DF = TA : AD. Or TA : AD eft
égal à l'indice de réfraâion. Dans le triangle CFD on a donc CF : FD égal à ce
même indice; et il en eft de même pour le rapport des finus des angles CDFou ADF
d'une part, FCD d'autre part. Or, l'angle ADF eft l'angle entre le rayon incident
LF et la perpendiculaire, et l'angle FCD eft celui entre la même perpendicu-
laire et la ligne FC. Il eft donc certain que FC eft le rayon réfraélé provenant du
rayon LF. Nous avons ainfi démontré que le rayon réfraélé provenant d'un certain
rayon incident coupe l'axe AD en un point fitué du point T à une diftance plus
petite qu'un intervalle quelconque. A caufe de tout cela le point T fera le point
de concours cherché.

Proposition V.

Problème 2.

Etant donnée la furface plane d'un corps tranfparent et un
point d'où proviennent des rayons qui tombent du dehors
fur cette furface, trouver le point de difperfion des rayons
réfractés.

Soit [Fig. 1 1] AE la furface plane du corps tranfparent et D le point donné,
d'où procèdent des rayons tels que DF fe dirigeant vers ce corps. Soit la ligne DA

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653.

23

tum DS : Et linea DA minor quam DS. Ideoque fi centre D intervalle DS,
circiimferencia defcribatur, ea fecabit reélam AF. Secet in F, et jungatur
CF, itemqiie DF, qiise producatur verfiis L. Quoniam igitur differentia qua-
dratoriim TA, AD eft ad quadr. AD ut différencia quadratorum CA, AD ad
quadracum DS vel DF; erit, componendo, quadracum TA ad quadr. AD ut
différencia quadratorum CA, AD una cum quadraco DF ad quadracum DF. Efl

aucem différencia quadracorum CA,

dupio rectangulo CD A, addita qua-
drato DF aequalis quadrato CF.
Ergo ficuc quadr. TA ad quadr.
AD, ica quadr. CF ad quadr. DF.
Ec linea CF ad DF uc TA ad AD.
Eft aucem racio TA ad AD ea quae
refradlionis. Ergo in criangulo CFD
habec iatus CF ad FD proporcionem
refraétionis; ac proinde candem quo-
que habebic finus anguli CDF vel
ADF, ad finum anguli FCD. Eft
aucem angulus ADF qiio radius
incidens LF inclinatur ad perpendi-
cularem, ec angulus FCD quo ad
eandem perpendicularem inclinacur
linea FC. Ergo confiât radij LF
retraftionem cfTe FC. Acque ica oftenfum eft alicujus radij refraftionem quo-
libec intervallo propius concurrere ad punélum T cum axe AD. Ericigicurpropcer
haec T punétum concurfus quaeficum.

[Propositio V.]

Problema [2].

Daca diaphani fuperficie plana, ecpuncco, à quo venientes
radij inillam extrinfecus incidant; invenir e punctum dif-
perfus refractorum.

Diaphani fuperficies plana fit AE [Fig. 1 1] ec punétum dacum D, ex quo radij
in diaphanuni procedanc uc DF. Sic linea DA f uperficiei AE ad reétos angulos,

H

TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

* Prop I.

perpendiculaire à la furface AE. Prolongeons-la , et foitTA : AD égal à l'indice
de réfraftion. Je dis que T fera le point de difperfion cherché, c'eft-à dire
que les rayons réfraélés, tels que FN, provenant de rayons iflTus du point
D, tels que DF, ont dans le corps tranfparent la direélion qu'ils auraient en
venant du point T.

En effet, prolongeons DF du côté L et joignons les points F et T. Alors il fera
clair par ce qui précède que fi, contrairement à notre hypothèfe, nous nous
figurons que la furface AE limite un corps tranfparent fitué du coté D, les rayons,
qui fe dirigent vers le point D ont après la réfraftion leur point de concours en T,
de forte que FT fera le rayon réfradté provenant du rayon LF. Or, FD efl: le pro-
longement de LF , et FN efl: celui de TF. Par conféquent , FN fera ici le rayon
réfrafté provenant du rayon DF *. Le rayon DF a donc après la réfraélion la
même direélion que s'il provenait du point T; c'efl: pourquoi le point T fera le
point de difperfion cherché. Il efl: évident qu'en vérité les rayons réfraétés, pro-
longés en fens inverfe, coupent l'axe AD au-delà du point T.

Proposition VL

Problème 3.

Étant donnée la furface plane d'un corps tranfparent et un
point d'où proviennent des rayons tombant de l'intérieur fur
cette furface, trouver le point de difperfion des rayons
réfractés.

Soit AE [Fig. 12] la furface plane du corps
tranfparent et T le point donné, d'où les rayons,
tels que TF, fe dirigent vers la furface AE. Soit
TA une droite perpendiculaire à la furface AE.
Divifons-la par le point D de telle façon que TA :
: DA foit égal à l'indice de réfraétion. Je dis que
D fera le point de difperfion cherché, c'efl:-à-dire
que FL, le rayon réfraété correfpondant au rayon
TF, aura une direélion telle qu'il femblera pro-
venir du point D. En effet, joignons les points
F et D. Si donc LF était un rayon tombant fur
la furface AE et fe dirigeant vers le point D , le
rayon réfraélé qui y correfpondrait ferait FT,
I , vu que le rapport TA : AD eft égal à l'indice

ainfi qu'il fuit du problème

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653:

25

et producatur , habeatque TA ad AD proportionem refraftionis. Dico T fore
punélum difperfus quaefitum: Hoc'efl: radiorum ex D procedentium refraétiones ,

ficut FN eft|radij DF, intra diaphanum
ita ferri , quafi venirenc ex punéto T.

Producatur enim DF verfus L, et
jungatur FT. Igitur fi fuperficiem AE,
contra quam hîc'pofitumj eft, terminare
imaginemur diaphanum verfus D exiftens,
manifeftum eft per praeced. radiorum ad
D tendentium refraéliones concurrere ad
punftum T: ita ut radij LF refraélio
futura fit FT. Eft autem FD in direc-
tum ipfi LF, et FN in direftum ipfi
TF. Ergo et FN erit hic refraftio radij
DF *. Itaque radius DF refraélus ita fer-
tur quafi ex punélo T manaret, ideoque
erit T punélum difperfus quaefitum. Patet
autem ejufmodi efle, ut radiorum refrac-
tiones rétro produélas ultra ipfum T, cum
reéta AD conveniant.

[Prop. L]

[Propositio VI.]

Problema [3].

Data diaphani plana fuperficie et puncto ex quo manan-
tes radij intrinfecus in eam deferantur; invenire punctum
difperfus refractorum.

Sit [Fig. 1 2] plana fuperficies diaphani AE et punftum T datum , ex quo radij
ad fuperficiem AE ferantur ut TF. Sit TA refta ad fuperficiem AE perpendicu-
laris, eaque dividatur in D ita ut TA ad DA habeat proportionem refraâionis.
Dico D fore punétum difperfus quaefitum: ut nempe FL refraélio radij TF
feratur quafi ex punéto D procederet. Jungatur enim FD. Si igitur LF efl^et
radius incidens in fuperficiem AE, tendenfque ad punétum D, ejus refraélio
foret FT, ut ex probl. [i] eft manifeftum; quia nimirum TA ad DA eft pro-

4

a6 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. I653.

de réfradtion. Par conféquent le rayon FL fera inverfement le rayon réfrafté
provenant du rayon TF; car telle eft la loi des réfraétions, comme cela a
été expofé plus haut. D eft donc le point de difperfion cherché. Ce point fera
tel que tous les rayons réfraélés rencontrent l'axe en-deça de D, c'eft-à-dire
en un point plus rapproché que D lui-même de la furface A. Cela peut facile-
ment être démontré à l'aide des confidérations du problème i.

Proposition VII.

Problème 4.

Etant donnée la furface plane d'un corps tran fparent et
un point en-dehors de ce corps où fe dirigent des rayons qui
tombent du dedans fur cette furface, trouver le point de con-
cours des rayons réfractés.

Soit AE [Fig. 1 3] la furface plane du corps tranfparent et T le point donné
en-dehors de ce corps, où fe dirigent des rayons tels que LF lorfqu' ils rencon-
trent la furface AE en venant du dedans. Soit TA une perpendiculaire à la
furface. Prenons fur cette droite le point D de telle manière que le rapport
TA : AD foit égal à l'indice de réfraftion. Je dis que D eft le point de concours
cherché. Car il eft clair d'après le probl. 2 que, fi DF eft le rayon incident, le
rayon réfraélé qui y correfpond fera FL, vu que FL eft le prolongement de
TF et que le rapport TA : AD eft égal à l'indice de réfraétion. Par conféquent
FD fera ici inverfement le rayon réfrafté provenant du rayon LF , et partant D
le point de concours des rayons qui fe dirigeaient vers T. Ajoutons qu' aucun
rayon ne rencontre l'axe au-delà du point D.

Lemme i. ^)

Soit ABC [Fig. 14] un triangle poffédant un angle obtus A.
Une droite partant de B rencontre AC, prolongée du côté
C, au point D. Je dis que le rapport BD : DA eft plus petit
queBCiCA.

En effet, foit CE une parallèle à DB. Comme l'angle A eft par hypothèfe

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. I653. ^7

portio refraétionis. Igitur viciflim radij TF refraftio erit FL; haec enim refraélio-
num lex efl: ut fupra fuit expoficum. Igitur D eft punaum difperfus qusefitum.
Erit autem ejufmodi ut radiorum refraéliones omnes citra D concurrant, hoc
efl: ut concurfus earum minus diftet a fuperficie A quam punâum D. Quod
facile probari potefl: ex iis quae habentur in Probl. [i].

[Propositio VII.]

Problema [4].

Data diaphani fuperficie plana, et puncto extra diapha-
num ad quod tendentes radij intrinfecus in fuperficiem ejus
incidant, invenire punctum concurfus refractorum.

Superficies diaphani plana fit AE , et punftum
extra datum T, quo tendentes radij ut LF , occur-
rant fuperficiei AE intrinfecus. Sit TA fuper-
ficiei ad angulos reétos , eaque fecetur in D, ut
TA ad AD fit proportio refraélionis. Dico D
efle pundlum concurfus quaefitum. Confl:at enim
ex probl. [2] fi DF fit radius incidens, ejus
refraélionem fore FL , quoniam FL eft in direc-
tum ipfi TF , ratio autem TA ad AD eadem quae
refraftionis. Igitur viciffim hic erit FD refradio
radij LF; ac proinde D punftum concurfus radio-
rum tendentium ad T. Nullus autem radius con-
curret ultra D.

Lemma [i.] 0

Sit triangulum BAC [Fig. 14] angulum A obtufum habens,
et ducatur ex B quae occurrat AC, verfus C productae in D.
Dico minorem effe rationem BD ad DA quam BC ad CA.

Sit enim duéta CE parallela DB. Quoniam ergoangulus A obtufus eft; angu-

') Huygens a annoté en marge: „haec 4 lemmata possunt omitti.*' Cette annotation doit
dater d'avant 1666, puisqu'on la rencontre de même dans la copie de Niquet.

28

TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

obtus , et que l'angle BEC eft égal à la fomme des angles A et ECA , BEC
fera un angle obtus, et par conféquent dans le triangle BEC le côté BC fera plus
grand que le côté EC. C'efl: pourquoi on aura EC : CA < BC : CA. Or,
EC : CA = BD: DA. Donc auffi BD : DA < BC : CA. Ce qu'il fallait
démontrer.

Lemme 2.

Réciproquement, fi nous confidérons de nouveau un tri-
angle BAC [Fi g. 14] poffédant un angle obtus A, et que BD eft
oppofée à ce même angle et rencontre la droite AC ou fon
prolongement, de telle manière que le rapport BD : D A f o i t
plus petit que le rapport BC : CA, je dis que DA eft plus
grande que CA.

En effet, fi nous admettons que DA eft plus petite que CA , on aura par le
lemme précédent BD : DA > BC : CA. Or, par hypothèfe BD : DA < BC : CA.
Par conféquent, DA n'eft pas plus petite que CA. Elle ne^peut pas non plus lui
être égale. La feule poflîbilité qui refte c'eft que DA foit plus grande que CA.
Ce qu'il fallait démontrer.

Lemme 3.

Soit un triangle ABC [Fi g. 15] poffédant un angle obtus

B. Une droite partant de B rencontre AC, prolongée du côté

C, au point D. Je dis qu'on aura AD: DB < AC: CB.

En effet, foit CE parallèle à DB.
Vu que l'angle B du triangle CBE eft
obtus, le côté CE fera plus grand
que le côté CB. Par conféquent, AC:
: CE < AC: CB. Or, AC: CE =
= AD: DB. Donc auffi AD : DB < AC:
: CB; ce qu'il fallait démontrer.

Lemme 4.

Confidérons de nouveau le triangle ABC [Fig. 15] poffédant
unangle obtus B. Tirons BD de manière à ce que cette droite
coupe AC ou fon prolongement en D, et que l'angle ABD foit
également obtus; foit en outre AD: DB<AC: CB. Je dis que
AD eft plus grande que AC.

En effet, foit AD < AC , il réfultera alors du lemme précédent que le rapport

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653. 29

rp. 1 lus aucem BEC aeqiialis utrifque fimul,

^ -^ angulo A et EGA: Erit et BEC angulus

obtufus, ideoque in triangulo BEC latus
BC maJLis latere EC. quare minor ratio erit
EC ad CA quam BC ad CA. ut autem EC
ad CA ita BD ad DA. Ergo minor quoque
ratio BD ad DA quam BC ad CA. Quod
erat propofîtum.

Lemma 2.

Contra autem, pofito ut ante, triangulo BAC [Fi g. 14],
angulum A obtufum habente, fi ducatur BD eidem obtufo
angulo fubtenfa, occurenfque reftasper AC, ita ut minor fit
ratio BD ad DA, quam BC ad CA; dico DA majorem effe
quam CA.

Si enim DA minor dicatur quam CA, erit per prgeced. lemma major ratio BD
ad DA quam BC ad CA. Ponitur autem minor elfe. Ergo DA non erit minor
quam CA, fed nec aequalis potefl: eiïe. Ergo fuperefl: ut DA fit major quam CA.
quod erat propofitum.

Lemma 3.

Sit triangulum ABC [Fi g. 15] angulum B obtufum habens,
et ducatur ex B quae productae AC ver fus C occurrat in D.
Dico minore m fore rationem AD ad DB quam AC ad CB.

Sit enim CE parallela DB. Quoniam ergo trianguli CBE obtufus efl: angu-
lus B, Erit latus CE majus lacère CB: ac proinde minor ratio AC ad CE quam
AC ad CB. Ut autem AC ad CE ita eft AD ad DB. Ergo minor quoque
ratio AD ad DB quam AC ad CB. quod erat propofitum.

Lemma 4.

Sit denuo triangulum ABC [Fig. 15] angulo B obtufo, et
ducatur BD occurrens rcct^ per AC in D, ita ut et angulus
ABD exiftat obtufus, fitque ratio AD ad DB minor ratione AC
ad ÇB. Dico AD majorem eCi^Q quam AC.

Si enim AD minor dicatur quam AC, fequetur ex lemmate praecedenti, ratio-

30 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

AC: CB eft plus petit que le rapport AD: DB. Mais ici nous avons pofé AD:
: DB < AC: CB. Par conféquent AD n'eft pas plus petite que AC. Elle ne lui eft
pas non plus égale , vu que BC et BD font par hypothèfe différentes Tune de l'autre.
Donc AD > AC. Ce qu' il fallait démontrer.

Lemme 5.

Soit une ligne droite AB divifée en C de telle manière que
AC>CB. Prolongeons cette droite du côté B, et foit AD:

:DB = AC : CB. Décri-
[Fig. 1(5.] vons avec CD comme

diamètre la circonfé-
rence de cercle CED.
Si des lignes droites
AE, BE font menées d'un
point quelconque E de
cette circonférence, je
dis q u' o n aura AE : EB =
= AC:CB.Celaa été dé-
montré par Eutocius
dans fon Commentaire aux Coniques d'Apollonius^). Et
mieux parle profeffeur Fr. van Schooten, dans fa reftitution
des lieux plans d'Apollonius 3). Mais fi un point, tel que H,
eft pris en dehors du cercle, et que ce point eft réuni par
des droites à A et à B, je dis qu'on aura AH: HB < AC: CB.

En effet, tirons la droite AK, K étant le point où la droite BH coupe la circon-
férence. On a donc AK: KB = AC : CB ; partant AK > KB. C'eft pourquoi, fi
l'on ajoute des deux côtés KH, on aura AK + KH : HB < AK: KB. Mais HA <
< HK + KA , ou HA = HK + K A , fi H eft pris fur la ligne CD prolongée du
côté D. On aura donc auffi AH : HB < AK : KB, c'eft-à-dire < AC : CB. Ce qu'il
fallait démontrer.

Si nous prenons au contraire un point tel que L à l'inté-
rieur de la circonférence, et que nous joignons ce point par
des droites à A et à B,je dis qu'on aura AL: LB>AC: CB.

En effet, fuppofons que le prolongement de BL rencontre la circonférence
en M. Joignons les points A et M. On a donc AM: MB = AC: CB, et par
conféquent AM > MB. Mais AL + LM>AM, l'égalité ayant lieu fi le point
L eft pris fur la ligne BD. Par conféquent, on aura auffi AL + LM > MB.

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653. 3I

nem AC ad CB minorem efTe quam AD ad DB. hic autem^ ratio AD ad DB
minor ponitiir quam AC ad CB. Non eft igicur AD minor quam AC. Sed nec
aequalis, cum BC, BD diverfae ponantur. Ergo major eft AD quam AC,quod
erat propof.

Lemma [5].

Efto linca recta AB [Fig. 16] divifa in C, ut AC fit major
quam CB. Et producatur ver fus B, habeatque AD ad DB ratio-
nem eandem quam AC ad CB:Et defcribatur circa CD diame-
trum cire u lus CED. Si ad quodvis cire u m fe remise punctum
ut E ducantur rectse AE, BE. Dico eÇi'e AE ad EB ut AC ad CB.
Démon ftratum hoceft abEutocio in comm. adConicaApoll. *)
Et melius a Clari ff. Viro Fr. Schotenio,in locisplanisApol-
1 o n i j ah ipfo ^) reftitutis^). Quod fi vero extra defcriptum cir-
culum fumatur punctum ut H, ad quod rectse inflectantur à
punctis A, B; dico AH ad HB minorem rationem habere quam
ACadCB.

Ducatur enim AK ad interfedtionem circumferentise et reftse BH. Eft igitur
AK ad KB ut AC ad CB: ideoque AK major quam KB. Quare addita utrique
KH, erit AKH ad HB minor ratio quam AK ad KB. Sed HA minor eft quam
HKA vel ipfi aequalis, fi H fumtum fuerit in linea CD verfus D prolongata. Ergo
et AH ad HB minorem rationem habebit quam AK ad KB, hoc eft, quam AC
ad CB. quod erat propofitum.

Rurfus fi intra circulum fumatur punctum ut L ad quod
rectœ inflectantur è punctis A et B. Dico AL ad LB rationem
majorem q^^q quam AC ad CB.

Produéta enim BL occurrat circumferentise in M,et jungatur AM. Eft ergo
AM ad MB ut AC ad CB, ideoque AM major quam MB. Sed ALM major
eft quam AM, vel eidem sequalis, fi punftum L fumtum fuerit in linea BD.
Ergo ALM quoque major erit quam MB. Quare fi utrinque auferatur LM, fiet

*) Voir la p. 5 verso de l'édition de Commandin, citée dans la note 4, p. 6 du T. I.

') La rédaction primitive et la copie de Niquet donnent ,,à fe".

3) Il s'agit de l'ouvrage: Exercitationum Mathematicarum, Lib. III. Continens Apollonii Per-
gsei Loca plana restituta. Lugd. Batav. Ex Officina Johannis Elsevirii. Academia; Typo-
graphi. CI3I3CLVI. On y trouve à la p. 261 une construction et démonstration du lieu
géométrique en question, qui sont bien plus simples que celles d'Eutocius; toutefois, comme
la construction de van Schooten est fondée sur la détermination du centre du cercle CED,
elle est un peu plus compliquée que celle donnée ici par Huygens.

^^

TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES LIVRE I. 1653.

Et, en retranchant des deux côtés LM, le rapport du relie AL au refte LB

fera donc plus grand que celui
[F»g- ï^O de AL + LM et de MB. Or,

AL -h LM : MB > AM : MB.
Le rapport AL: LB fera donc
en tout cas plus grand que le
rapport AM : MB. La vérité
de notre propofition efl donc
établie.

Et il eft clair que la réci-
proque des deux propofitions
elT: également vraie. C'eft-à-
dire que, fi AH : HB < AC : CB, le point H tombe en-dehors de la circon-
férence CED décrite de la manière indiquée. Mais, fi AL : LB > AC : CB, le
point L efl: fitué à l'intérieur de cette circonférence.

Proposition VIIL

Problème 5.

Prop, II »).

Étant donnée la fur fa ce fphérique convexe d'un corps
tranfparent, fur laquelle tombent du dehors des rayons
parallèles, trouver le point de concours des rayons réfractés^).

Soit ABP [Fig. 17] la furface convexe du corps tranfparent et C le centre de
cette furface, fur laquelle tombent des rayons tels que OB, NP parallèles à la
droite AC menée par le centre. Prolongeons AC jufqu' en Q de manière à ce que
le rapport AQ : QC foit égal à l'indice de réfraétion. Je dis que Q fera le point
de concours cherché.

Et d'abord nous démontrerons qu' aucun rayon réfraété ne rencontre le pro-
longement de AC au-delà du point Q. En effet, foit BL le rayon réfraélé pro-
venant du rayon OB (or, BL coupera nécefl^airement AC au-delà du point
C). Joignons les points C et B. Vu qu' alors CB efl: perpendiculaire à la
furface AB , et que BL efl: le rayon réfraété provenant du rayon OB , auquel
CL eft parallèle, le quotient BL : LC fera égal à l'indice de réfraélion *, c'eft-
à-dire à AQ : QC. Mais AL > BL, parce que la première de ces droites pafl'e
par le centre de la circonférence AB. Par conféquent, AL : LC > BL : LC, c'eft-
à-dire > AQ : QC. Et, par partage, AC : CL > AC : CQ; donc CL < CQ. Le
rayon réfraélé provenant du rayon O B ne coupera donc pas AC au-delà du
point Q.

TRACTATUS DEREFRACT. ET TELESC. LIBER 1. I653.

33

major ratio reliquae AL ad reliquam LB qiiam ALM ad MB. Ratio autem
ALM ad MB major ell vel eadem cum ratione AM ad MB. Ergo ratio AL ad
LB major utique erit quam AM ad MB. qiiare confiât propofitum.

Patet autem et couver fiim iitriufque horum. Nempe fi AH ad HB minorem
rationem habeat quam AC ad CB, punftum H cadere extra circulum CED difto
modo defcriptum. Si autem AL ad LB majorem habeat rationem quam AC ad
CB, punétum L intra eundem circulum cadere.

[Propositio VIIL]

Problema [5].

Data diaphani fuperficie fphasrica convexa, in quam radij
paralleli extrinfecus incidant, invenire punctum concurfus
refractorum ^).

Efto fuperficies convexa diaphani ABP cujus cen-
trum C, in quam incidant radij ut OB, NP, paralleli
re6ïx AC quae per centrum duéta eft. Producatur AC
ufque in Q , ut AQ ad QC habeat rationem eam quae eil
refraélionis. Dico Q fore punftum concurfus quaefitum.

Ac primo quidem démon ftrabitur nullius radij refrac-
tionem cum produéla AC concurrere ultra punétum Q.
Sit enim radij OB refraftio BL, (quse neceflario con-
veniet cum AC ultra punétum C) et jungatur CB.
Quiaigitur CB in fuperficiem AB perpendicularis eft,
BL autem refraftio radij OB, cui radio parallela eft
CL, habebit BL ad LC rationem eam quae eft refrac-
tionis *, hoc eft eam quam AQ ad QC. Sed AL major
eft quam BL, quoniam illa per centrum circuli AB
dufta eft. Itaque major ratio AL ad LC quam BL ad
LC, hoc eft, quam AQ ad QC. Et dividendo, major
proinde ratio AC ad CL quam AC ad CQ: ideoque
CL minor quam CQ. Ergo refraétio radij OB non con-
currit cum AC ultra punétum Q.

[Prop. II].

') Les propositions VIII— XI contiennent la déduction de la relation/:

R; où R est

le rayon de la surface sphérique, lequel doit être pris positivement dans le cas où cette surface
est convexe vers le premier milieu; /la distance focale, considérée comme positive quand
le foyer se trouve dans le second milieu, « l'indice du second milieu relatif au premier. Dans
le cas de la proposition présente le second milieu est le milieu le plus dense et on a R positif.

34 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

En fécond lieu nous ferons voir que les rayons réfractés provenant de rayons
fitués plus près de l'axe AC coupent l'axe en des points moins éloignés du point
Q que ceux provenant de rayons fitués à plus grande distance de l'axe. En effet,
foit OB un rayon fitué plus près du dit axe AC que le rayon NP, et foit PK le
rayon réfrafté qui y correfpond. Tirons les droites CP et KB. On verra de la
même manière que plus haut, que les rapports BL : LC et PK : KC font chacun

♦ Prop. II. égal à l'indice de réfraaion ♦. Or, BK > PK. Par conféquent, BK : KO PK : KC,

c'eft-à-dire > BL : LC. Or, l'angle BCL, oppofé à la fois à la ligne BL et à la

♦ Lem. 2. ligne BK, eft néceiïairement un angle obtus. On aura donc CL > CK*. Et ainfi

il eft évident que le rayon réfraété provenant du rayon OB rencontre l'axe en un
point plus rapproché du point Q que celui^qui correfpond au rayon réfrafté pro-
venant du rayon NP.

Nous démontrerons enfin que quelques rayons réfraélés coupent AC en un point
éloigné du point Q à une diftance inférieure à un intervalle quelconque donné. En
effet, confidérons d'abord l'un quelconque NP des rayons incidents et le rayon
réfradté PK qui y correfpond. Prenons entre K et Q un point L éloigné du point Q
à une diftance moindre que l'intervalle donné. Prenons en outre un point T
tel que CQ : QA = CL : LT, et joignons les points P et L. Vu qu'alors

♦ Lem. I. l'angle PCL eft obtus, et CL > CK, on aura PL : LC < PK : KC *. Or, le

rapport PK : KC eft égal à l'indice de réfraétion, puifque PK eft par hypothèfe
le rayon réfrafté provenant du rayon NP. Par conféquent, comme le rapport
PL : LC eft plus petit que le rapport PK : KC, il fera également inférieur au
rapport TL : LC , car, en vertu de notre conftruétion , on a TL : LC = AQ : QC ,
c'eft-à-dire = PK : KC. PL eft donc plus petite que TL. Mais TL < AL; car
CT < CA, vu que CL < CQ. La circonférence décrite du centre L avec le
rayon LT doit donc nécefTairement couper la circonférence AP entre A et P.
Admettons qu'elle la coupe en B. Tirons BO parallèle à AC, et joignons B avec
L et avec C. Comme CB eft alors perpendiculaire à la furface AB, et que le
rapport BL : LC, c'eft-à-dire TL : LC, eft égal à l'indice de réfraélion, BL
fera le rayon réfraété correfpondant au rayon OB, parallèle à la droite AC.
On voit ainfi que les rayons réfraélés provenant de ce rayon-là et de tous ceux
qui feront fitués plus près de Taxe, coupent l'axe en des points éloignés du point
Q à une diftance plus petite que l'intervalle donné. Et pour cette raifon Q fera
le point de concours des rayons réfraélés, ce qu'il s'agilTait de trouver.

Proposition IX.

Problème 6.
Etant donnée la furface fphérique convexe d'un corps

35

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653.

Secundo loco oftendetiir radiorum axi AC propiorum refradiones propius
accedere ad punétum Q quam remotiorum. Sit enim radius OB diétse AC propior
quam radius NP, atque hujus refraétio fit PK. Et jungantur CP,KB. Eâdem
igitur rationequa mod6, et BL ad LC et PK adKC habebit proportionem refrac-
tionis *. Efl: autem BK major quam PK. Ergo major ratio BK ad KC quam PK
adKC, hoc efl:, quam BL ad LC. Angulus autem BCL necefTario efl obtufus,
cui utraque linearum BL, BK fubtenditur. Ergo major erit CL quam CK *.
Atque ita apparet, refraétionem radij OB propius concurrere ad punftum Q
quam refraftionem radii NP.

Denique ollendemus aliquos radios refrados con-
venire cum AC ad punélum quolibet date intervallo
minus difl:ans à punélo Q. Sit enim primb quilibet radius
parallelus incidens NP, et refractio ejus PK, etfuma-
tur inter K et Q punétum L dato intervallo propin-
quius punfto Q. Quam autem rationem habet CQ ad
QA, eam habeat CL ad LT, et jungatur PL. Quo-
niam igitur angulus PCL obtufus efl:, et CL major
quam CK, erit minor ratio PL ad LC quam PK ad
KC *. Efl: autem ratio PK ad KC eadem qu3e refrac-
tionis, quia PK ponitur efle refraétio radij NP. Ergo
cum ratio PL ad LC fit minor quam PK ad KC, eadem
quoque minor erit ratione TL ad LC,namper confl:r.
eft TL ad LC ut AQ ad QC, hocell, ut PK adKC.
Igitur PL minor quam TL. Sed TL minor efl: quam
AL; efl: enim CT minor quam CA, quia CL minor
quam CQ. Ergo circumferentia defcripta centro L, radio
LT, necefl"e efl: ut fecet circumferenciam AP inter A
et P. Secet ergo in B, et ducatur BO parallela AC,
jungantur BL, CB. Quia igitur CB ad fuperficiem
AB perpendicularis efl:, habetque BL hoc efl: TL ad LC proportionem
refradtionis , erit BL refradtio radij OB, reétîe AC paralleli. Itaque patet
et hujus radij, et omnium qui ab axe AC minus diftabunt refraéliones con-
currere ad punéta dato intervallo minus remota à punéto Q. Et ob haec quidcm
erit Q punélum concurfus radiorum refraétorum, quod invenire oportebat.

[Prop. II].
[Lem. 0.]

[Lem. I.]

[Propositio IX.]
Problema [6].
Data diaphani fuperficie fphaerica convexa cui paralleli

36 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

tranfparent, fur laquelle tombent du dedans des rayons paral-
lèles, trouver le point de concours des rayons réfractés^).

Soit AB [Fig. 18] la furface convexe, et C fon centre où pafle CA parallèle
aux rayons incidents. Prolongeons cette droite jufqu'en R, et foit le rapport CR:
: RA égal à l'indice de réfraélion. Je dis que R eft le point de concours cherché.

Nous démontrerons donc en premier lieu qu' aucun rayon réfrafté ne rencontre
le prolongement de CA au-delà du point R. En eiFet, foit BL le rayon réfrafté
provenant du rayon OB parallèle à la droite CA. Joignons B et C. Comme
CB eft perpendiculaire à la furface AB, et CL parallèle au rayon OB, le
Prop.in. rapport CL : LB fera égal à l'indice de réfraélion *, c'eft-à-dire à CR:RA.
Mais LA < LB. Par conféquent, on aura CL : LA > CL : LB, c'eft-à-dire

> CR : RA, et, par partage, CA : AL > CA : AR. Donc AL < AR, et il eft
clair que le rayon réfrafté provenant du rayon OB coupe l'axe en-deçà du
point R.

Il faut faire voir en fécond lieu que les rayons réfraélés provenant de rayons
fitués plus près de la droite CA coupent l'axe plus près du point R. Soit donc le
rayon OB plus près de CA que le rayon NP, et foit PK le rayon réfraété prove-
nant du rayon NP. Joignons les points B et K d'une part, C et P d'autre part.
Le rapport CK: KP fera donc égal à l'indice de réfraction', et le rapport CL : LB
de même. Mais comme KB < KP, on aura CK : KB > CK : KP, c'eft-à-dire

> CL : LB. Et les angles CBL et CBK fontnéceffairement obtus. On aura donc
CL > CK, ce qui démontre notre propofition.

Il faut enfin démontrer qu'un des rayons réfradés coupe le prolongement de
CA en un point éloigné du point R à une diftance plus petite qu'un intervalle
donné. Soit NP l'un quelconque des rayons parallèles et PK le rayon réfraélé qui
y correfpond. Prenons un point L encre K et R, tel que LR foit inférieure à
l'intervalle donné. Soit' le rapport CL: LT égal à l'indice de réfraélion, c'eft-à-
dire à CR : RA. Vu qu'alors AL < AR, on aura CA : AL > CA: AR. Et,
par compofition, CL: LA > CR: RA, c'est-à-dire > CL : LT; d'où l'on tire
LT > LA. Joignons les points L et P. Alors, comme l'angle CPK est obtus et
que CL eft par hypothèfe plus grande que CK, l'angle CPL fera également obtus:
Lem.3. et partant on aura CK:KP> CL: LP*. Or, CK:KP = CL: LT, car ces rap-
ports font chacun égal à l'indice de réfraétion. Par conféquent, CL : LT > CL : LP
et LT < LP. Mais on a démontré que cette même longueur LT eft plus grande
que LA. Si l'on décrit du centre L et avec le rayon LT une circonférence, celle-ci

') Voir la note i , p. 33 du Tome présent. Dans le cas présent on doit substituer R = — AC,
« = «i~S où », désigne l'indice de réfraction du milieu le plus dense. On trouve alors
d'après la formule mentionnée; AR = AC : («j — i); c'est-à-dire CR = «, . CA.

37

TRACTATUS DE REFRACT. ETTELESC. LIBER I. 1653.

radij intrinfecus occurrant, invenire punctum concurfus
refractorum ').

[Fig. 18.] Sic fuperficies convexa AB, centro C , per quod

dufta fit CA radijs incidentibus parallela. Prodii-
catur ea ad R, et habeat CR ad RA proportionem
refraétionis. Dico R eflTe punélum concurfus quae-
fitum.

Primùm ergo demonftrabimus nullîus refraétio-
nem radij convenire cum produéla CA ultra punc-
tum R. Sit enim radij OB ipfi CAparalleli refraélio
BL, et jungatur BC. Ergo cum CB ad fuperficiem
AB perpendicularis fit, et CL parallela radio OB,
habebit CL ad LB proportionem refraélionis *, *[Prop. III].
hoc eft, eam quam CR ad RA. Sed LA minor
eft quam LB. Igitur CL ad LA majorem habebit
rationem quam ad LB, hoc eft quam CR ad RA :
Et dividendo CA ad AL majorem quam CA ad
AR. Ergo AL minor quam AR. patetque radij
OB refractionem concurrere citra punélum R.

Porro oftendendum eft radiorum reâise CA pro-
pinquiorum refraétionespropius pervenire ad punc-
tum R. Sit itaque radius OB quamNPpropiorCA,
et refraétio radij NP fit PK; et jungantur BK,
CP. Habebit igitur CK ad KP refraélionis pro-
portionem * aeque ac CL ad LB. quia autem KB minor eft quam KP, erit * [Prop. III].
major ratio CK ad KB quam CK ad KP,hoc eft, quam CL ad LB. Suntque anguli
CBL, CBK uterque necefllirio obtufi. Ergo major erit CL quam CK,exquo
propofitum patet.

Denique eft oftendendum , alicujus radij refraftionem occurrere CA produébe
in pundlo, quod dato quolibet propius fit punéto R. Sit aliquis è parallelis
radijs NP, cujus refraélio PK: Et fumatur pundtum L inter K et R, dato inter-
vallo propius punfto R, et habeat CL ad LT rationem refraétionis, candem
nempe quam CR ad RA. Quia ergo AL minor eft quam AR, erit CAad AL
ratio major quam CA ad AR. Et componendo major ratio CL ad LA quam
CR ad RA, hoc eft quam CL ad LT. Qiiare LT major erit quam LA. Jungatur
LP. Itaque quia angulus CPK eft obtufus, et ponitur CL major quam CK, erit
quoque obtufus angulus CPL: ac proinde major ratio CK ad KP quam CL ad
LP*. Ut autem CK ad KP ita eft CL ad LT, nam utraque eft ratio eadem * [Lein.3].
quam refraftionis. Ergo major ratio CL ad LT quam CL ad LP, ac proinde LT
minor quam LP. SedeademLTmajor eft oftenfaquam LA. Ergo fi centro L,

38

TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

Prop. III.

coupera donc la circonférence AP entre A et P, par exemple en B. Soit BO
parallèle à AC. Joignons en outre le point B avec les points L et C. Comme
alors CL: LT, c'eft-à-dire CL: LB, eft égal à l'indice de réfraélion,et queCB eft
perpendiculaire à la furface AB, BL sera le rayon réfraélé qui correfpond au
rayon OB *). Il eft donc démontré qu'un certain rayon réfraélé, provenant d'un
rayon parallèle à CA, coupe le prolongement de cette même droite AC en un
point éloigné du point R à une diftance plus petite qu'un intervalle quelconque
donné. Pour ces raifons le point R sera le point de concours cherché.

Proposition X.

Etant donnée la furface fphérique concave d'u n corps trans-
parent fur laquelle tombent du dehors des rayons parallèles,
trouver le point de difpersion des rayons réfractés^).

Soit AB la furface concave faifant partie d'une fphère à
centre C. Sur cette furface tombent des rayons parallèles à la
droite CA, tels que OB. Prolongeons AC et prenons un
point Q tel que le rapport AQ: QC foit égal à l'indice de
réfraélion. Je dis que Q eft le point de difperfion cherché,
autrement dit, que par la réfraétion les rayons changent
leur direélion de telle manière qu'ils femblent provenir du
point Q.

En effet, menons la droite QB et prolongeons-la du côté L;

prolongeons auffi le rayon OB du côté N. Alors, de même

que, lorfque la furface AB eft convexe, c'eft-à-dire lorfque le

corps tranfparent eft fitué du côté C, BQ eft le rayon réfrafté

provenant du rayon NB *, de même ici, le corps tranfparent

étant fitué de l'autre côté, BL fera le rayon réfraété provenant

du rayon OB *, vu que BO eft le prolongement de NB et BL

celui de BQ. Il faut favoir pourtant que le rayon réfraété BL

et tous les autres rayons réfraélés, lorfqu' on les prolonge en

fens inverfe, ne coupent pas l'axe au point Q lui-même,

mais un peu en-deçà de ce point, parce que le rayon réfraété

provenant du rayon NB, confidéré comme rayon incident

* Prop. VIII. tombant fur une furface convexe, coupe lui auffi l'axe en-deçà du point Q *. Mais

nous négligeons ici cette petite différence, comme je l'ai déjà dit plus haut'); cela

tient à ce que nous confidérons furtout les rayons qui font fitués à une faible

diftance de l'axe AC.

Il relTort manifeftement de cette propofition, que les rayons qui fe dirigent vers

Prop. VIII.

Prop. I.

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC, LIBER I. 1653.

39

femidiametro LT circumferentia defcribatur, ea
fecabit circumferentiam AP inter A et P. Secet
in B punéto,etfit BOparallela AC,etjiingantur
LB, BC. Quia ergo CL ad LT, hoc eft, ad
LB habet proportionem refraélionis, eftque CB
ad fuperfîciem AB perpendicularis, erit BL
refraélio radij OB ♦. Quare oftenfum eft alicuius
radij reébe CA parai leli refraélionem concur-
rere cum eadem AC produéta, in piindo quod
dato quolibet intcrvallo minus abfit à punflo R.
Atque ob haec erit R pundum concurfus quae-
fitum.

Propositio [X].

Data diaphani fuperficie fphaerica
cava in quam radij paralleii extrin-
fecus incidant, invenire punctumdif-
perfus refractorum ').

Sit [Fig. 19] fuperficies cava AB ex fphaera
cujus centrum C, incidantque in eam radij redse CA paralleii ut OB. Produ-
catur AC, et habeat AQ ad QC proportionem eam quse eft refraétionis. Dico
Q efte punétum difperfus quaefitum: hoc eft, radios ita refraélione infleéli ut
pergant tanquam ex punélo Q promanantes.

Jungatur enim QB et producatur verfus L, et radius OB verfus N. Itaque
(îcut fuperficie AB convexa exiftente , id eft, diaphano ad partem ubi eft C col-
locato, radij NB refraftio eft BQ *: ita hîc ubi diaphanum ad concrariam partem
fitum eft, erit radij OB refraftio BL ♦ , quia BO eft in direétum ipfi NB, et
BL ipfi BQ. Sciendum tamen refraélionem BL atque omnes alias rétro produélas
non ad ipfum punétam Q concurrere , fed paulo citra, quoniam etiam radij NB
in convexam fuperfîciem incidentis refraétio citra punétumQ cum axe AC con-
currit *. Verum exiguum difcrimen pro nullo hîc habemus , ficut fupra jam admo-
nui ') ; quia videlicet illos radios prsecipuè refpicimus qui proximi funt axi AC.

Manifeftum autem eft ex propofitione hac, radios tendentes ad punétum

[Prop. III].

[Prop. VIII].
[Prop.I].

[Prop. VIII].

*) Voir la note i, p. 33 du Tome présent. Dans ce cas-ci il faut substituer dans la formule géné-
rale : R = — AC; /■= — AQ.
") Voir, p. 16 — 19 du Tome présent, les explications qui précèdent à la Prop. IV.

40 TRAIxé DELA REFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

* Prop.IX.

* Prop. I.

le point Q, tels que LB, et qui tombent du dedans fur la furface concave AB,
deviennent après la réfraélion parallèles à l'axe AC. Car fi le rayon réfraélé,
provenant du rayon OB, eft BL, alors BO fera aufîi le rayon réfraélé provenant
du rayon LB.

Proposition XI.

Etant donnée la furface fphérique concave d'un corps
tranfparent, fur laquelle tombent du dedans des rayons paral-
lèles, trouver le point de difperfion des rayons réfractés ^).

Sur la furface concave AB, dont C efl: le centre, tombent des
rayons parallèles à la droite AC, tels que OB. Prolongeons CA,
et prenons un point R tel que le rapport CR: RA foit égal à l'in-
dice de réfraélion. Je dis que R eft le point de difperfion cherché.

En eifec, joignons R et B et prolongeons RB du côté L; pro-
longeons aulTi OBdu côté N. Si la furface AB était convexe,
le rayon NB ferait réfraélé fuivant BR *. De même, cette fur-
face étant concave, BL fera le rayon réfraélé provenant du rayon
OB*, vuque OBN et RBL font des lignes droites.

On voit par là que les rayons qui fe dirigent vers R, tels que
LB, font réfraélés de telle manière par la furface concave AB,
qu'ils deviennent parallèles à la droite AC. Car BL étant le
rayon réfraélé provenant du rayon OB, BO fera le rayon
réfraélé provenant de LB.

DÉFINITION.

Nous dirons que les rayons incidents ou les rayons réfractés
correfpondent au point vers lequel ils fe dirigent ou dont
ils proviennent ou femblent provenir.

Proposition XIL

Etant donnée la furface fphérique convexe ou concave
d'un corps tranfparent et le point auquel correfpondent les
rayons qui tombent fur cette furface; conftruifons fur l'axe,
qui pa ffe par le centre et par le point donné, une quatrième
proportionnelle à trois longueurs ayant chacune une extré-
mité encepoint. Lapremièredeceslongueurs eftla diftance
du point donné au point auquel correfpondraient les rayons
réfractés provenant de rayons parallèles à l'axe venant de
l'autre côté. La féconde eft la diftance du point à la furface

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653. 4I

Q, uc LB, incidentefque incrinfecus in fuperficiem cavam AB, refraétione fafta,
evadere parallèles axi AC. Nam fi radij OB refraétio eft BL,erit et radij LB
refraétio BO.

Propositio [XI].

Data diaphani fuperficie fphaerica cava, in quam radij
paralleli intrinfecus incidant, invenirepunctumdifperfus
refractorum ').

Ad fuperficiem cavam AB [Fig. 20] cujus centrum C,accidant radij paral-
leli reélae AC, ut OB. Producatur CA, et habeat CR ad RA proportionem
refraélionis. Dico R efie punétum difperfus qusefitum.

Jungatur enim RB et producatur verfus L, itemque OB verfus N. Si igitur
fuperficies AB efl^et convexa, radius NB rcfringeretur in BR *. Itaque eâdem * [Prop.ix.]
cava exiftente, erit quoque radij OB refraétio BL *, quandoquidem OBN, • [Prop.i.]
RBL funt linese reftse.

Hinc vero manifeftum efl: radios ad R tendentes ut LB, ita refringi ad eandem
cavam fuperficiem AB , ut pofl:ea fiant redise AC paralleli. Nempe quia BL eft
refraétio radij OB , etiam BO erit refraétio radij LB.

Definitio.

Pertinere ad punctum illud radij vel radiorum refractio-
nes dicuntur, ad quod tendunt, vel a quo exeunt, vel ad
quod eo modo fe habent, ac fi inde prodijffent.

Propositio [XII].

Data diaphani fphaerica fuperficie convexa, vel cava, et
puncto, ad quod pertinentes radij fuperficiei dictxoccur-
rant; fi tribus ab illo puncto diftantijsquartaproportionalis
conftituatur, in axe qui per centrum fuperficiei et punctum
ipfum tranfit; quarum diftantiarum prima fit à puncto dato
ad illud quo pertinerent refractiones radiorum axi paralle-
lorum à contraria parte advenientium; fecunda ad fuperfi-
ciem refringentem, tertia ad centrum illius; terminus quarts

M Voir toujours la note i, p. 33 du Tome présent; où on doit substituer dans la formule géné-
rale: R = AC;/= — AR; « = «,-' pour obtenir la relation: AR = AC: («, — Oî
c'est-à-dire CR = », AR.

6

41 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

réfringente. La troifième eft la distance au centre de cette
furface. La quatrième f'étendra alors jufqu'au point qui
correfpond aux rayons réfractés. Cette quatrième diftance
doit être prife à partir du point donné dans un fens tel que
toutes les quatre foient dansle même fens ou bien deux dans
un fens, deux dans l'autre'').

Nous diviferons ce Théorème en huit parties, car la furface fphérique eft con-
vexe ou concave, et dans chacun de ces deux cas les rayons peuvent venir du
dehors ou du dedans; ils peuvent en outre venir d'un point donné ou bien fe
diriger vers un point donné. Et dans la plupart des huit parties il y a encore lieu
de diftinguer plufieurs cas.

Première partie.

La furface eft convexe et les rayon squi partent du point
donné tombent du dehors fur la furface.

Soit [Fig. 21] AB la furface fphérique convexe du corps tranfparent, et C
fon centre. Soit D le point d'où partent les rayons tels que DB qui tombent fur
cette furface. Menons une droite par les points D et C et prenons fur elle un point
R tel que le rapport CR : RA foit égal à l'indice de réfraétion. R eft donc le
Prop.ix. point de concours des rayons parallèles venant de l'autre côté*. Or, le point D
pourra être à plus grande ou bien à plus petite diftance de la furface convexe
que le point R; car s'il coïncide avec R, les rayons qui en partent feront eftimés
parallèles, ainfi qu'il réfulte de la prop. IX,- en effet, cela fe tire de ce que, comme
nous l'avons dit, des rayons parallèles qui viennent du côté C fe dirigent, après
avoir traverfé la furface AB, vers le point R. Soit donc d'abord le point D à
plus grande diftance de la furface que le point R, et comme DR eft la première
des diftances dont nous avons parlé, DA la féconde et DC la troifième, faifons
en forte qu'on ait DR : DA = DC : DS. Je dis que S fera le point dé concours
des rayons provenant du point D. En effet, nous démontrerons d'abord qu'aucun
rayon réfraété ne rencontre l'axe AC au-delà du point S, et cela de la façon fui-
vante. Soit BL le rayon réfraélé provenant d'un rayon quelconque DB. Tirons

') Soient, pour le premier et le second milieu, d^ et d^ les distances , jusqu'à la surface de sépa-
ration, des points de concours des rayons, comptées positivement quand ces points se trou-
vent dans le même milieu avec les rayons auxquels ils appartiennent ; soit de plus/j la distance
focale pour les rayons parallèles partant du second milieu, laquelle est considérée comme
positive quand le foyer se trouve dans le premier milieu ; soit enfin R le rayon de la surface
sphérique de séparation, compté positivement quand la surface est convexe vers le premier
milieu. On a alors d'après la proposition présente ;

Or, d'après la Prop. IX, /, = R: (« — i) ; où « désigne l'indice de réfraction du second

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653.

43

diftantiae erit punctum quo pertinebunt radij
refracti. H sec aiitem quarta diftantia in eam
dati puncti partem fumenda eft,utvel omnes
eodem ver fus habeantur, velbinaeutrimque*).

"^ Hoc Theorema in partes oélo diftribuemus, nam fuperfi-

cies fphaerica vel convexa eft vel cava, et utrique vel extrin-
fecus, vel intrinfecus radij occurrunt,et vel adato, vel ad
datum punftum tendentes. Partes vero pleraeque fuos cafus
habebunt.

Pars i.

Cum fuperficies eft convexa, et a puncto
venientes radij extrinfecus in eam defe-
r u n t u r.

Efto diaphani fuperficies fphgerica convexa AB, cujus
centrumC, et punctum D a quo venientes radij in illam
ifJ deferantur ut DB. Agatur reéla per DC, inque ea figne-
tur punftum R, ita ut CR ad RA habeat proportionem
refraftionis. Efl igitur R punélum concurfus radiorum
parallelorum à contraria parte venientium *. Pundlum autem
D aut magis aut minus à convexo diftabit quam pundlum
R; nam fi in ipfum R incidit, radij ab illo venientes pro
parallelis habentur, ut ex. prop. [IX] manifeftum eft; quia
nempe uti diximus paralleli ex parte C venientes a fuper-
ficie AB detorquentur ad punélum R. Prim6 igitur fit punc-
tum D remotius quam R, et quandoquidem DR eft prima
diétarum diftamiarum, DA fecunda, DC tertia,fiat ut DR
ad DA ita DC ad DS. Dico S fore punélum concurfus
radiorum ex D procedentium. Nam primùm quidem,nul-
lius radij refractionem cum axe AC ultra punétum S
convenire, fie oftendemus. Sit radij cujufvis DB refradtio
BL, et ducatur CM parallela DB, et producatur verfusC

M]

[Prop. IX].

milieu par rapport au premier. En substituant cette valeur de/, dans la proportion obtenue
on arrive facilement à la formule bien connue :

- + -

n — I

avec laquelle la relation de Huygens se trouve donc être équivalente.

44 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

CM parallèle à DB et prolongeons-la du côté C jiifqu' à ce qu'elle rencontre la
furface AB en F. Vu qu' alors FM qui paiTe par le centre de la furface convexe
eft parallèle au rayon DB, et que BM eft le rayon réfraété qui y correfpond, il eft
Prop. VIII. certain que FM fera plus petite que CR * '), et CM par conféquent plus petite
que AR. Or, DB > DA. On a donc DB : CM ou DL : LC> DA : AR; et, par
converfion, LD : DC < AD: DR ou SD : DC. Par conféquent, DL fera plus
petite que DS. On voit donc que BL,le rayon réfraélé qui provient du rayon DB,
coupe l'axe AC en-deçà du point S, et qu'il en eft de même pour tous les autres
rayons.

Nous démontrerons en fécond lieu que les rayons qui font à plus petite diftance
de l'axe AC, fe rapprochent davantage du point S, après avoir été réfraétés. Sup-
pofons que le rayon DP eft plus éloigné de l'axe que le rayon DB, et foit PK le
rayon réfraélé qui y correfpond. Menons la droite CN parallèle à DP; cette
parallèle rencontre la furface en E. L'angle ADP ou ACE eft alors plus grand
que l'angle ADB ou ACF. Mais la partie A P de la circonférence eft auffi plus
grande que AB. Ainfi l'arc EP fera à plus forte raifon plus grand que l'arc FB. Il
eft donc évident que le point de concours du rayon DP réfraélé avec la droite ECN
eft plus rapproché du centre C que le point de concours du rayon DB réfraété
Prop. VIII. avec la droite FM *. Par conféquent, CN < CM. Mais DP > DB. On aura donc
DP:CN ou DK:KC > DB:CM ou DL:LC. Et, par partage, DC:CK>
> DC : CL. Donc CK < CL, ce qu'il fallait démontrer.

Enfin on peut démontrer que certains rayons réfraélés coupent l'axe AC
en des points éloignés du point S à une diftance plus petite qu'un intervalle
quelconque. En effet, on a DL : LC = DB : CM et l'on peut obtenir, en rappro-
chant le rayon DB de l'axe DAC, que la différence entre DB et DA devienne
plus petite qu'une longueur quelconque donnée; il en fera de même de la différence
entre CM et AR; car l'excès de AR fur CM fera d'autant plus petit que l'arc
BF fera plus petit. Il paraît donc qu'on peut obtenir que le rapport DB : CM,
c'eft-à-dire DL : LC diffère auffi peu qu'on le voudra du rapport DA : AR.
Et partant, par converfion, on obtiendra que la valeur du rapport LD : DC
fe rapproche autant qu'on le voudra de celle du rapport AD : DR ou SD : DC.
Et ainfi DL fera à peu près égale à DS, c'eft-à-dire le point L où le rayon DB
coupe l'axe AC fera auflî près qu'on le voudra du point S. Pour ces raifons S
fera le point de concours des rayons qui proviennent du point D.

Soit maintenant [Fig. 22] le point donné D fitué entre les points A et R. Faifons
de nouveau DR : DA = DC : DS , la diftance DS étant portée dans le fens DR,
et non pas dans le fens DC. Je dis que les rayons qui tombent du point D fur la

') En identifiant la droite FM avec l'axe AK de la figure 17 (p. 33) , il est clair, d'après la pro-
position VIII , que le point M doit se trouver en-deçà du foyer des rayons parallèles à FM.
Mais , par construction , la distance de ce foyer au point F est égale à CR.

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER T. 1653.

45

qiioufqiie occiirrat fuperficiei AB in F. Cum igitiir FM per centrum convexi

ducta fit parallela radio DB, ficqiie refraftio hiijus BM , confiât FM minorem fore
quam CR* ^),et CM proindc minorem quam AR. DB autem
major ell quam DA. Itaqiie major ratio DB ad CM , hoc
eft, DL ad LC, quam DA ad AR; ideoque per conver-
fionem rationis minor ratio LD ad DC quam AD ad DR ,
hoc eft, quam SD ad DC. Ergo DL minor erit quam DS.
Patet igitur radij DB refraélionem BL convenire cum
■■1^\ axe AC citra punétum S, ac proinde reliquorum quoque

omnium.

Deinceps demonftrabimus radios eos qui minus diftant ab
axe AC, refradlos propiusaccederead pundtum S. Efto radius
DP remotior quam DB, et refraétio illius fit PK. Ducatur CN
parallela DP, et occurrat fuperficiei in E. Angulus itaque
^JJ^^-fn^X^ ADP , hoc eft ACE major eft quam ADB five ACF. Sed et
circumferentiae pars AP major eft quam AB. Itaque arcus EP
major omnino erit arcu FB. Quare conftat concurfum radij
DP refraéli cum refta ECN propiorem efTe centro C quam
concurfum radij DB refraéli cum redaFM*. Ergo CN minor
quam CM. Sed DP major eft quam DB. Ergo major ratio
DP ad CN, hoc eft , DK ad KC quam DB ad CM , hoc eft,
quam DL ad LC. Et dividende, major DC ad CK, quam
DC ad CL. Ergo CK minor quam CL, quod oftendere
M\ l \ oportebat.

Denique aliquos radios refraéVos cum axe AC concurrere
ad punéta quolibet intervallo propiora punéto S hinc erit
manifeftum. Etenim quia DL eft ad LC ut DB ad CM,
poteftque fieri appropinquando radium DB ad axem DAC ut
differentia inter DB et DA fit qualibet data minor, ut et ea
quae eft inter CM et AR; nam excefius AR fuper CM eo
minor erit quo minor fuerit arcus BF ; apparet fieri pofl^e ut
ratio DB ad CM , hoc eft DL ad LC quamlibet proxime
eadem évadât quae DA ad AR; ac proinde per converfionem
rationis ratio LD ad DC quamlibet proxime eadem quse
AD ad DR, hoc eft quam SD ad DC. Atque ita DL
proxime ^qualis DS. hoc eft ut punélum L ubi radius DB
S convenit cum axe AC quamlibet propinquum fiât punéto

S. Propter hase igitur erit S punftum concurfus radiorum ex

D manantium.

Efto autem nunc punélum D [Fig. 22] inter A et R datum ; et fiât rurfus

ut DR ad DA ita DC ad DS; accipiatur autem DS non verfus C fed verfus

[Prop. VIII].

[Prop. VIII].

46

TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

[Fig. 22].

furface AB changent de direftion après la réfraftion de telle manière qu'ils fem-
blent provenir du point S, en d'autres termes, S fera, dif-je, le point de difper-
fion des rayons réfraélés.

En effet, nous démontrerons d'abord que tous les rayons réfraftés dont nous
avons parlé, rencontrent l'axe, lorfqu'on les prolonge en fens in verfe, à une diftance

plus grande que AS du point A. Soit DB un rayon inci-
dent et BM le rayon réfra(5lé qui y correfpond, lequel
prolongé en fens inverfe coupe l'axe AC en L. Bien
entendu, il faut que DB foit plus petite que les deux tiers
de DC ^), pour que le rayon réfradté BM prolongé en
fens inverfe coupe l'axe AC; s'il en était autrement, ce
rayon ferait parallèle à l'axe ou il le couperait après
avoir été prolongé dans le fens direft, comme cela refîbrt
de ce qui a été démontré plus haut (prop. IX) ^). Donc,
CM étant menée parallèle à DB, on aura de nouveau ,
comme dans le cas précédent,CM< AR. Mais DB>DA;
c'eft pourquoi DB: CMouDL:LC> DA: AR.Et,par
inverfion, CL: LD < RA: AD et, par partage, CD:
: DL < RD: DA ou CD: DS. C'eft pourquoi DL >
> DS. Par conféquent, le point de rencontre L efl: plus
éloigné du point A que le point S. Il faut obferver qu'
en prenant le point D fort près du point R on pourrait
avoir DB > CM, et qu'ainfi les rayons réfractés prove-
nant de certains rayons fuffifamment éloignés de l'axe le
couperaient au-delà du point C s).

On démontre de la même manière que dans le cas pré-
cédent que les rayons réfractés provenant de rayons plus
rapprochés de l'axe AC, prolongés en fens inverfe,
coupent l'axe plus près du point S. Il n'y a entre cette
démonftration et celle du cas précédent que cette feule
différence qu' après avoir démontré que DK : KC > DL :
: LC, nous en conclurons maintenant, par inverfion
et par partage , que CD : DK < CD : DL, et , par con-
féquent, que CK > CL, d'où l'on tire DK > DL.

Enfin on fait voir, de nouveau comme dans le cas précédent, que les rayons
réfractés provenant de certains rayons incidents coupent l'axe en des points
éloignés du point S à une diflance plus petite qu'un intervalle quelconque donné.
S fera donc le point de difperfion des rayons provenant du point D.

*) C'est-à-dire, en supposant l'indice de réfraction du verre égal à 3 : 2. Comparez la p. 13 du
Tome présent.

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653. 47

R. Dico radios ex punfto D in fuperficiem AB incidentes poil: refraftionemita
infleéti quafi vcnirenc ex punélo S, five S fore punftiim difperfiis radiorum
refractorum.

Ecenim primo oftendemus omnes diétas refradliones rétro produdlas concur-
rere longius ab A quam fit piinftiim S, Sit radius incidens DB, ejufqiie refraélio
BM, quae prodtiéta rétro occurrat axi AC in L. Oportct aiitem DB minorem
elfe duabus tertiis DC) , ut refraétio BM rétro produéta conveniat ciim axe AC,
nam alioqui vel parallela illi fieret, vel occurreretprorfum produéta, ut mani-
feftum ell ex demonftratis prop. [IX] ^). Duéta igitur CM parallela DB, erit
rurfus, lîcut in cafu prsecedenti CM minor quam AR; at DB major quam DA;
ideoque major ratio DB ad CM, hoc eft, DL ad LC, quam DAad AR; Et
invertendo minor CL ad LD quam RA ad AD; et dividendo minor CD ad
DL quam RD ad DA, hoc eil, quam CD ad DS. Quare DL major quam DS.
ideoque occurfus L ulterius dillat ab A quam punétum S. Sumpto autem punSîo
D valde propinquo ipft R poJJ'et fîen DB major quam CM ^ et fie refraEtio radio-
rum quorundam ah axe remothrum concurrere fimul cum axe ultra punctum C 3}.

Porro quod radiorum axi AC propiorum refraétiones rétro produétae propius
concurrunt ad punftum S, demonllratur quemadmodum in cafu prsecedenti; nifi
quod hîc, ubi oftenderimus majorem efTe rationem DK ad KC quam DL ad LC ,
inde fequatur, invertendo et dividendo, rationem CD ad DK minorem q^q quam
CD ad DL , ideoque CK majorem efTe quam CL , unde DK major quam DL.

Denique aliquorum radiorum refraéliones quolibet intervallo propius concur-
rere ad punétum S eodem quoque modo oftenditur atque in cafu priori. Erit
igitur S punétum difperfus radiorum ex D promanantium.

*) Supposons que le rayon réfracté BM coupe, en effet , la droite CR en un point L , situé sur
le prolongement de CA. Soit D' (pas marqué dans la figure) un point choisi de manière à ce
que le rayon D'B soit réfracté selon une parallèle BL' à Taxe AC. Il faut alors qu'on ait
AD'> AD, puisque l'angle de BL' avec la normale CB est plus petit que celui de BLavecCB,
et qu'il doit donc en être de même. pour les angles de DB et D'^ avec cette même normale.

D'C

Or, d'après le second alinéa de la démonstration de la Prop. IX on a jy-ï^=:«; donc, d'après

DC I •

le lemme 3 (p. 29 du Tome présent), ^tb !>• «, ou bien DB •< - DC , c'est à dire, dans le

cas du verre, DB<[f DC. Pour que BM coupe l'ave sur le prolongement de CA il faut

donc qu'on ait DB <<| - DC et la réciproque se démontre de la même façon.

3) Les mots cursivés au côté latin manquent dans la copie de Niquet. Quant au cas mentionné

on a vu qu'il se présentera dès que DB > - DC. Or, puisque D a été pris entre A et R , on

D \ RA I

aura toujours ^^ <! î^p = - j donc ce cas ne pourra se réaliser que pour des rayons qui font,

partant d'un point donné D, avec l'axe un angle plus grand qu'un certain angle minimal qui
toutefois deviendra de plus en plus petit à mesure que le point D se rapproche du point R.

48

TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

Deuxième Partie.

La furfaceeft convexe et les rayons qui fe dirigent vers
le point donné tombent du dehors fur cette fur fa ce.

Soit donnée la furface convexe AB du
corps tranfparent et le point D où fe dirigent
des rayons tels que FB et GP , au moment
où ils tombent du dehors fur la dite furface.
Soit C le centre de courbure, et DCA une
droite pafTant parce centre. Prolongeons DA,
et prenons un point R tel que le rapport
CR : RA foit égal à l'indice de réfraction. R
fera donc le point de concours des rayons paral-
lèles venant de l'autre côté.

Conftruifons enfuite une quatrième pro-
portionnelle DS à DR, DA et DC. Je dis que
S ell: le point auquel correfpondent les rayons
réfractés qui fe dirigeaient avant la réfraélion
vers le point D.

La conftruction eft univerfelle, la même
pour tous les cas; mais pour la démonftration, il
faut faire une différence entre trois cas. Car
le rapport de DC au rayon CH eft plus grand
que l'indice de réfraction, ou plus petit, ou
égal à cet indice. Et dans ce dernier cas il
mérite d'être remarqué que tous les rayons fe
réunissent exactement au point unique S,
comme je l'ai déjà remarqué il y a long-
temps, lorfque j'indiquais que dans un cas
particulier une des ovales, que Descartes avait
imaginées pour réunir les rayons, fe réduit à
une circonférence de cercle, ce que Franc,
van Schootcn a inféré dans fes Commentaires
fur la géométrie de Defcartes 3).

Parcourons par ordre ^j les trois casque j'ai
nommés. Soit d'abord [Fig. 23] le point D
fitué de telle manière que le quotient DC : CH
foit fupérieur à l'indice de réfraélion, c'eft-à-
dire plus grand que CR : RA. Et foit S le point trouvé de la manière que nous
venons d'indiquer. Suppofons que le rayon réfraété provenant d'un rayon quel-

tractatus de refract. et telesc. liber i. 1653. 49

Pars 2.

Cil m fuperficies convexa eft, et ad punctum tendentes
radij extrinfecus illi occurrunt.

Efto data convexa diaphani fuperficies AB, et punétum D, quo tendentes radij
utFB, GP, exterius incidant in diélam fiiperficiem. Centrum autcm convexi-
tatis fit C, per quod ducla fit reéla DCA. Producatur DA, et habeat CR ad RA
proportionem refraftionis. Erit ergo R concurfus parallelorum à contraria parte
venientiiim.

Deinde tribus hifce DR , DA, DC, inveniatur quarta proportionalis DS. Dico
punétum S efl^e quo pertinent radij refrafti ad D tendentes.

Et confl:ruâ:io quidem univerfalis cfi: ad omnes cafus pertinens; in demonfl:ra-
tione autem triplex fpeftanda ell differentia. Nam DC ad radium CH vel majorem
racionem habet quam fit refraétionis ratio , vel minorem , vel eandem. Atque hoc
ultimo caiu animadverfione dïgnum eft radios omnes perfeftè cotre ^) ad punétum
unum S^')^ ut jam olim adverteram cum Ovalem quandam ex ijs quas Carteftus
excogit avérât ad coUïgendos radios uno cafu cîrculum fieri admonui; quod fuis in
Cartefij geometriam commentarijs Franc. Scliotenius inferuit 3) .

Ut autem très quos diximus cafus ordine '^) perfequamur ^ fit primo [Fig. 23]
punélum D ita poficum, ut major fit ratio DC ad CH, ratione refraftionis , hoc
efl: quam CR habet ad RA. Sitque S punâ-um repertum eo modo quo diximus.
Radius autem quilibet ut FB tendens adpunélumD, refraétus conveniat cum

*) On trouve dans la copie de Niquet, et on lisait primitivement dans le manuscrit, comme
début de cette phrase: „ Atque hoc ultimo casu radij omnes perfectè coeunt".

*) Dans la copie de Niquet et dans la rédaction primitive du manuscrit, cette phrase se terminait
simplement par: „ut postea videbimus". Tous les mots que nous avons cursivés au côté
latin y manquent, et la phrase suivante commence par: ,,Sit autem primo", etc.

3) Voir la p. 270 de la seconde édition (de 1659) de l'ouvrage cité dans la note i, p. 218 du
T. I. Après avoir mentionné l'invention de Huygens, van Schooten ajoute „Quod seapertiùs
in traccatu de Dioptricis demonstraturum suscepit, in quo multa egregiaac ingeniosé a se
inventa, quse hue spectant, brevi, si volet Deus, est exhibiturus." Ajoutons que cette
découverte: que le cercle peut se présenter comme cas particulier des ovales de Descartes ,
fut une des premières faites par Huygens dans la science de la dioptrique. Il la communiqua
à van Schooten dans la lettre du 29 octobre 1652 (Voir la p. 186 du T. I). D'ailleurs la cir-
constance particulière, que les rayons partant d'un point donné se réunissent exactement
dans un autre, ne se rencontre pas seulement dans la „Partie" présente, elle va revenir dans
la troisième, la cinquième et la huitième „Partie" (Voir les pp. 71 , 73 et 79 1"i suivent).

'^) Toutefois Huygens n'a pas suivi exactement l'ordre qu'il avait indiqué, puisque entre les cas
DC : CH < « et DC : CH = « il a intercalé comme un quatrième cas , différent des autres,
celui où le point D est situé entre A et C. Consultez le haut de la p. 59 et la partie du texte,
p. 61 — 63, qui se rapporte à la figure 26.

7

50 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

conque tel que FB, fe dirigeant vers le point D, coupe l'axe en L après la
réfraélion. Alors je démontrerai d'abord que le point L tombe en-deçà du point
S. Joignons B et S par une droite et prolongeons cette droite, ainfi que BL.
Les deux droites prolongées couperont la droite CIVIZ parallèle au raj^on
FBD, la première en Z, la féconde en M. Prenons enfuite un point E tel qu'on
aitDA:AS = DE:ES.

Vu qu' alors DC: CH ou DC: CA > CR: RA, on aura auffi,par permu-
tation, DC: CR > CA: AR. Et, par compofition, DR: RC> CR: RA. Pour

* 33. 5 Élém. 0 cette raifon le rapport du relie DC au refte AC eft plus grand que le rap-

port DR : RC *. Or , on a DR : RC = DA : AS. Car comme on a DR : DA =
z= DC : DS , on aura par permutation et par converfion de cette proportion DR :
: RC = DA : AS. Par conféquent, on a auffi DC : CA > DA : AS. Or, DA:
: AS = DE : ES; donc la fomme de DA et DE eft à celle de AS et SE,
c'eft-à-dire à AE, comme DA eft à AS. Par conféquent, DC : CA ou DC :
: CH > (AD + DE) : AE. Et, par partage, DH : HC > 2DE : EA. Et, en pre-
nant le double du deuxième et du quatrième terme DH : HA > 2DE : 2EA ou
DE : EA. Le point E tombe donc en-dehors de la circonférence ABH; par
conféquent, fi l'on décrit une circonférence , ayant EA comme diamètre , le point

* Lem. 5. *) B fera (itué à l'intérieur de cette circonférence. Mais, DE : ES = DA : AS. Donc

on aura DB : BS > DA : AS *. Or, DB:BS = CZ:ZS, et DA : AS = DR :
: RC ; cela a été démontré plus haut. On aura donc CZ : ZS > DR : RC. Or,
le rapport DR : RC eft compofé des rapports DR: RA et RA : RC, et
DR : RA = DC : CS , parce que nous avons pris le point S de telle façon que
DR : DA = DC : DS. Le rapport CZ : ZS eft donc plus grand que celui qui fe
compofe des rapports DC : CS et RA : RC. Or, le rapport CZ : ZS eft égal au
produit des rapports CZ : ZB et ZB : ZS. Le produit de ces deux derniers rap-
ports fera donc plus grand que le produit des rapports DC : CS et RA : RC.
C'eft pourquoi, fi l'on divife les deux produits par BZ : ZS et DC : CS refpeéli-
vement, lefquels rapports font égaux entre eux, le rapport CZ : ZB fera encore

* Prop. IL •) plus grand que le rapport RA : RC. Et, par inverfion, BZ : ZC < CR : RA.

Or le rapport CR : RA, égal à l'indice de réfraétion , eft égal à BM : MC * , vu
que BM eft le rayon réfraété provenant du rayon FB, auquel on a mené la paral-
lèle CM. Par conféquent, BZ : ZC < BM : MC. Or l'angle BCZ, étant égal à

* Lem. a. *) l'angle FBC, eft néceftairement obtus; et chacune des lignes BM, BZ eft oppofée

à cet angle. On aura donc CM < CZ*, et par conféquent l'angle CBM < CBZ.

') Voir la note 4, p. 125 du T. XII.

^) Voir la p. 3 1 du Tome présent. En effet , les points D , E , S , C de la figure 23 peuvent être
identifiés respectivement avec les points A , C , B , D de la figure 16.

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. I653.

51

axe AC in L. Oftendam igitur primo punftum L cadere citra S. Jungatur BS,
et producatur, ut et BL, et occurrat utraque redise CMZ radio FBD parallelae,

nempe BS inZ,BL in M. Siciit aurem
DAadASitafitDEadES.

Quia ergo ratio DC ad CH five ad
CA major quam CR ad RA; et permu-
tando major erit DC ad CR quam CA
ad AR. Et componcndo DR ad RC
major quam CR ad RA. Quare reliquat
DC ad reliquam AC major ratio quam DR
ad RC *. Ut autem DR ad RC ita elt DA
ad AS. nam quia ut DR ad DA ita DC
ad DS , erit permutando et per conver-
fionem rationis DR ad RC ut DA ad AS.
Itaque ratio DC ad CA major quoque
quam DA ad AS. Ut autem DA ad AS ita
DE ad ES , ideoque duae fimul DA , DE
ad duas AS, SE, hoc ell ad AE, ut DA ad
AS. Igitur major ratio DC ad CA, five
ad CH , quam ADE ad AE : Et dividendo
major ratio DH ad HC quam duplae DE
ad EA. Et fumtisconfcquentium duplis;
major DH ad HA, quam duplae DE ad
duplam EA, hoc efl: quam DE ad EA.
Itaque punélum E cadit extra circuhim
ABH , ideoque fi circa EA diametrum cir-
culus defcribatur, is intra fc complcétetur
punétum B. EU autem DE ad ES ut DA
ad AS. Itaque major erit ratio DB ad BS
quam DA ad AS *. Ut autem DB ad BS
ita ell CZ ad ZS , et ut DA ad AS ita DR
ad RC, fuit enim hoc antca ollcnfum.
Major itaque erit ratio CZ ad ZS quam
DR ad RC. Componitur autem ratio DR
ad RC ex rationibus DR ad RAetRA
ad RC, quarum DR ad RA eft eadem
quae DC ad CS , quia fecimus ut DR ad

33.5.Elera.O

*[Lein.5.]*)

3) Voir la p. 14 du Tome présent.
*) Voir la p. 29 du Tome présent.

5ft TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

Lem. 5.

C'eft pourquoi CL efl: auffi plus petite que CS. L'on voit ainfi que tous les
rayons réfraétés, provenant de rayons qui fe dirigent vers le point D, coupent
l'axe en-deçà du point S.

Nous démontrerons maintenant que de plus
les rayons réfraftés provenant de rayons fitués
à plus petite diftance de l'axe AC, coupent
l'axe plus près du point S , et cela de telle
manière que la diftance du point de rencontre
au point S peut devenir plus petite qu'un inter-
valle quelconque donné. En effet, confidérons
un rayon quelconque GP fe dirigeant vers le
point D et rencontrant la furface AB; foit PK
le rayon réfraété correfpondant. Le point de
concours K eft donc entre les points C et S ,
d'après ce qui a déjà été démontré. Prenons
enfuite entre K et S un point quelconque L,
et divifons DL en T de telle manière que
DT : TL =: DC. AR : LC. CR, le premier
produit étant plus grand que le fécond. En
effet, on a DC : CL > DC : CSou DR : RA
(car l'égalité de ces deux derniers rapports
a été démontrée plus haut) , partant le rap-
port DC : CL eft beaucoup plus grand que
le rapport CR : RA , et ainfi le produit DC.
.AR eft plus grand que le produit CL. CR.
Comme on a donc DT > TL, on peut prendre
fur la ligne DL, prolongée du coté L, un point
Q tel que DQ : QL z= DT : TL. Suppofons que
ce point ait été trouvé et qu'on ait décrit une
circonférence de cercle fur le diamètre QT.
Cette circonférence coupera la circonférence
AP entre A et P , comme cela fera démontré
plus loin. Suppofons qu'elle la coupe au point
B. Tirons la ligne droite DBF et joignons les
points B et L ; prolongeons BL jufqu' à ce qu'
elle rencontre la droite CM, qui doit être
menée parallèle à la dite droite DBF. Vu
qu'alors le point B eft fitué fur la circonférence
dont TQ eft le diamètre, et que DT : TL = DQ : DL, on aura DB : BL =
= DT : TL *, c'eft-à-dire égal à DC. AR : LC. CR. Or, le rapport DB : BL
ou CM ; ML eft le produit des rapports CM : MB et MB : ML ou DC : CL,

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653. 53

DA ita DC ad DS. Ergo ratio CZ ad ZS major qiiam quae componitur ex
rationibus DC ad CS et RA ad RC. Ratio aiitem CZ ad ZS eadem eft compo-
fitae ex rationibus CZ ad ZB et ZB ad ZS. Ergo quae ex duabus hifce compo-
nitur ratio major erit compofita ex rationibus DC ad CS et RA ad RC. quare
ablatis utrinque rationibus aequalibus, hinc DC ad CS, inde BZ ad ZS, major
adhuc erit ratio CZ ad ZB quam RA ad RC. Et invertendo ratio BZ ad ZC
minor quam CR ad RA. Sicut autem CR ad RA, qus eft ratio refraftionis,
ita eft BM ad MC*, quoniam BM eft refradio radij FB,cui parallela dufta * [Prop.ll.]*)
eft CM. Igitur minor eft ratio BZ ad ZC quam BM ad MC. Angulus autem
BCZ, quoniam œqualis eft angulo FBC, neceftario eft obtufus; eique utraque
linearum BM, BZ fubtenfa eft. Ergo CM minor erit quam CZ*, et angulus * [Lem. 2.]*)
proinde CBM minor angulo CBZ. Quare et CL minor quam CS. Itaque appa-
ret omnium radiorum ad D tendentium refraétiones cum axe AC convenire
citra punftum S.

Nunc porro oftendemus refraétiones radiorum axi AC propinquiorum con-
currere propius ad punélum S, idque ad intervallum minus quolibet dato. Sit
enim radius aliquis GP tendens ad D, inque fuperficiem AB incidens, qui refrin-
gatur in PK. Eft igitur concurfus K inter C et S , exjam demonfîratis. Porro
inter K et S quodvis punétum fumatur L : et dividatur DL in T , ut DT ad
TL habeat rationem eam quam reétangulum DC , AR, ad reétangulum LC , CR;
quae quidem erit majoris ad minus. Major enim eft ratio DC ad CL quam DC
ad CS, hoc eft, quam DR ad RA (nam bas eafdem efte fupra oftenfum eft)
ideoque multo major ratio DC ad CL quam CR ad R A , ac proinde reétangulum "^
DC, AR majus reétangulo CL, CR. Quoniam igitur ratio DT adTL eft majoris
ad minus, poteft in linea DL continuata verfus L, fumi punélum Q, ita ut
DQ ad QL habeat eandem rationem quam DT ad TL. Efto itaque inventum,
fitque ad diametrum QT defcripta circuli circumfercntia. Ea fecabit circum-
ferentiam AP inter A et P, ut poftea demonftrabitur. Secet ergo in B, et
ducatur recta DBF , et jungatur BL , eaque producatur , et occurrat reélae CM ,
quae ducenda eft ipfi DBF aequidiftans. Quoniam igitur punétum B eft ad circuli
circumferentiam cujus diameter TQ, eftque DT ad TL ut DQ ad QL;erit
ratio DB ad BL eadem quae DT ad TL*, hoc eft, quse reélanguli DC, AR ad * [Lem. 5.]
reélangulum LC, CR. Ratio autem DB ad BL, hoc eft, CM ad ML compo-
nitur ex ratione CM ad MB et MB ad ML, hoc eft, et DC ad CL. Redangulum
vero DC , AR ad reélangulum LC , CR compofitam habet rationem ex DC ad
CL et AR ad RC. Ergo eadem eft ratio quae componitur ex rationibus CM ad
MB et DC ad CL, compofitae ex rationibus DC ad CL et AR ad RC. Quare ablata

/

*) Voir la p. 14 du Tome présent.
*) Voir la p. 29 du Tome présent.

54 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

et le rapport DC. AR : LC. CR eft égal au produit des rapports DC : CL
et AR : RC. Par conféquent, le produit des rapports CM : MB et DC : CL
efl: égal au produit des rapports DC : CL et AR : RC. C'ell: pourquoi, en divifant
les deux produits par le rapport DC : CL, on aura CM : MB = AR : RC et,
par inverfion, BM : MC = CR : RA, ce qui efl: égal à l'indice de réfraction. Par
conféquent, comme CM efl: parallèle au rayon FB, BLM fera le rayon réfraété
correfpondant à ce rayon-là. Or, le point L a été pris arbitrairement entre K et S.
Il efl donc établi que le rayon réfraété provenant d'un certain rayon incident,
coupe la droite CS en un point éloigné du point S à une difl:ance plus petite qu'un
intervalle quelconque donné. Mais on a démontré aulTi que le rayon qui, après
avoir été réfraété, parvient au point L, efl: fitué plus près de l'axe AC que celui
qui, après avoir été réfraélé, rencontre l'axe au point K. Il en réfulte que les
rayons réfraélés qui coupent l'axe plus près du point S, proviennent de rayons
fitués plus près de l'axe AC. Et il efl: clair que la réciproque efl: également vraie,
c'efl:-à-dire que les rayons réfraftés provenant de rayons fitués plus près de l'axe
AC coupent cet axe plus près du point S. Pour ces raifons S fera le point de con-
cours des rayons provenant du point D.

Quant à notre affirmation d'après laquelle la circonférence décrite avec QT
comme diamètre coupe la circonférence APH entre A et P, la vérité en peut être
démontrée comme fuit. D'abord, comme CS > CL, on aura AC : CL > AC : CS,
et, par compofition, AL : LC > AS : SC. Or, le rapport AS : SC efl: le produit
des rapports AS : SD et SD : SC, dont le premier AS : SD eft égal à RC : CD,
vu que par conftruaion DR; DC = DA : DS. On a aufli SD : SC = DA : AR.
Le rapport AL ; LC fera donc plus grand que le produit des rapports RC : CD et
DA : AR, c'eft-à-dire, que le produit des rapports CR : RA et DA : DC. C'efl:
pourquoi fi l'on divife des deux côtés par le rapport DA : DC, on voit que le
produit de AL : LC et DC : DA ou de LA : AD et DC : CL eft plus grand
que CR : RA. Et, en divifant de nouveau par le rapport DC : CL, on voit que
LA : AD eft plus grand que le produit des rapports CR : RA et LC : CD. Et,
par inverfion, on trouve que le rapport DA : AL eft plus petit que le produit de
DC : CL et de AR : RC, c'eft-à-dire, que le rapport du produit DC. AR au
produit CL. CR, c'eft-à-dire, que le rapport DQ : QL. Donc aufli, par partage,
DL : LA < DL : LQ. Il en réfulte LQ < LA. Or, DC : CL > DQ : QL, car
DC : CL > DC. AR : CL. CR, vu que AR < CR. Il eft donc évident que le
point Q tombe entre les points A et C.

Divifons en fuite DK en deux parties par le point V de telle façon qu'on ait
DV : VK = DC. AR : KC. CR. Le premier de ces produits eft plus grand que le
fécond; en effet, cette inégalité peut être démontrée de la même manière que, plus
haut, celle des produits DC. AR et LC. CR. Choififlx)ns enfuite le point X de telle
façon qu'on ait DV : VK = DX : XK. Le point X tombera alors entre A et C, de
même que le point Q, car ceci aufll peut être démontré de la même manière. Décri-

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653.

55

communi ratione DC ad CL , erit eadem ratio CM ad MB quas AR ad RC.
et invertendo BM ad MC eadem quse CR ad RA , quae efl: ratio refraftionis.
Ergo ciim CM fit parallela radio FB, erit BLM ejufdcm radij refraétio.

Sumtum aiitem fuit punftum L pro
arbitrio inter K et S. Itaqiie conftat ali-
cuJLis radij refraélionem quolibet dato
intervallo propiiis accedere ad punétum
S, in lineaCS. Sed et oftenfum efl: radium,
cujus refraétio pervenit ad punftum L,
propiorem efle axi AC, quam cujus
refraétio ad punélum K concurrit. Ergo
confiât eas refraftiones, quae propius con-
veniunt ad punftum S, pertinere ad
radios axi AC propiores. Cujus conver-
fum quoque verum effe liquet, nimirum
radiorum axi AC propinquiorum refrac-
tioncs propius concurrere ad pundum S.
Ergo ob haec erit S punélum concurfus
radiorum ex D venientium.

Quod autem diélum eil circumferen-
tiam circa QT diametrum defcriptam
fecare circulum APH inter A et P, fie
ollendetur. Primo quia CS major quam
CL, erit major ratio AC ad CL quam
AC ad CS, et componendo, major AL
ad LC quam AS ad SC. Ratio autem
AS ad SC componitur ex rationibus
AS ad SD et SD ad SC; quarum AS
ad SD eadem efl: qu£e RC ad CD, quia
ex conftr. eft DR ad DC ut DA ad
DS. Item ratio SD ad SC efl: eadem
quse DA ad AR. Major itaque erit ratio
AL ad LC quam compofita ex ratione
RC ad CD et DA ad AR : hoc eft, quam
compofita ex ratione CR ad RA et DA
ad DC. Quare ablata utrinque ratione
DA ad DC, erit compofita ex ratione
AL ad LC et DC ad DA, five compofita
ex LA ad AD et DC ad CL major quam CR ad RA. Ablataque rurfus utrin-
que ratione DC ad CL, erit LA ad AD major quam compofita ex rationibus CR
ad RA et LC ad CD. Et invertendo ratio DA ad AL minor compofita ex ratio-

56 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

Lem. 5.

vons une circonférence avec le diamètre XV. Elle coupera la circonférence AP
préci fément au point P où nous avons dit que le rayon GP rencontre la furface con-
vexe AB. En effet, prolongeons PK et menons CN parallèle à GPD; cette paral-
lèle coupera le prolongement de PK. Parcon-
féquent, comme nous avons fuppofé que PK
efl: le rayon réfraété provenant du rayon GP,
auquel CN qui pafîe par le centre efl: paral-
lèle, le rapport PN : NC fera égal à l'indice
deréfraaion. OnadoncCN:NP = AR:RC.
En partant de là, nous raifonnerons de la
manière fuivante. Le rapport CN : NK efl: le
produit des rapports CN : NP et NP : NK ou
DC:CK; par conféquent, le rapport CN: KN
ou DP : PK efl: le produit des rapports AR :
: RC et DC: CK, ou, fi l'on veut, le rapport
des produits AR. DC et RC. CK. On aura
donc DP: PK = AR. DC: RC. CK; donc
auffi DP : PK == D V : VK = DX : XK. C'eft
pourquoi la circonférence dont le diamètre efl:
XV paflera par le point P * comme nous le
di fions.

Or,commeDT:TLr=AR.DC:RC.CLet
que DV : VK = AR. DC: RC. CK, on aura
DT : TL < DV: VK; en effet, RC. CL >
> RC. CK. Par conféquent, le rapport DT :
TK efl: à plus forte raifon plus petit que
le rapport DV : VK; car DK efl: par hypo-
thèfe plus grande que DL. Il apparaît donc
que le point T tombe entre D et V. Je dis
de plus que le point Q tombe entre A et X.
En effet, prenons un point Y tel qu'on ait
DQ : QL = DX : XY. Alors, vu que par con-
flruftion XK : XD = RC. CK : AR. DC, et
que DX : XY = DQ : QL = AR. DC: RC.
CL, on aura en combinant ces deux équa-
tions XK:XY=RC. CK:RC. CL ou CK: CL.
Donc XK : KY = CK : KL. Mais, XK > CK,
comme nous l'avons dit plus haut. Par confé-
quent, on a auflî KY > KL, partant DY < DL. Or, nous avions DX : XY = DQ:
: QL et, par converfion , DX : DY z= DQ : DL. Par conféquent, comme DY <
< DL, on aura aufll DX < DQ. Le point Q tombera donc nécelTairement entre

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653. 57

nibus DC ad CL et AR ad RC; hoc efl:, ratione reftanguli DC, AR ad reftangulum
CL, CR, hoc efl, ratione DQ ad QL. Quare et dividende ratio DL ad LA minor
erit ratione DL ad LQ. Unde patet LQ minorem efTe quam LA. Ert autem ratio
DC ad CL major quam DQ ad QL , nam DC ad CL ratio major efl: quam reélan-
guli DC , AR , ad reélangulum CL , CR , quia AR minor eft quam CR. Itaque
patet pundtum Q cadere inter A et C. Jam porrodividatur DK in V, ut habeat
DV ad VK rationem eam quam reélangulum DC , AR ad reélangulum KC , CR.
Haec autem ell majoris ad minus , fiquidem hoc eadem ratione oftenditur qua
fupra ofl:enrum fuit reélangulum DC,ARmajus efle reélangulo LC,CR. Deinde
fiât ut DV ad VK ita DX ad XK, cadetque punélum X inter A et C,aequè ac
punélum Q, nam hoc fimiliter quoque demonfl:rari poteft:. Sit autem circuli cir-
cumferentia circa XV diametrum defcripta. Ea fecabitcirculum APin ipfopunélo
P ubi radius GP convexo AB occurrere diélus efl:. Producaturenim PK,etoccur-
rat ei CN parallela GPD. Ergo quia PK pofita ell efl^e refradio radij GP,cui
parallela ex centro duéla efl: CN, habebit PN ad NC rationem refraélionis. Eft
igitur CN ad NP ut AR ad RC. Unde fie porro argumentabimur. Ratio CN ad
NK componitur ex rationibus CN ad NP et NP ad NK, hoc ell, et DC ad CK;
igitur ratio CN ad NK, hoc efl:, DP ad PK, componitur ex rationibus AR ad RC
et DC ad CK, ex quibus componitur quoque ratio reélanguli AR, DC ad reélan-
gulum RC, CK. Igitur DP ad PK erit ut reélangulum AR, DC ad reélangulum
RC , CK. ac proinde etiam ficut DV ad VK, nec non ut DX ad XK. Quare cir-
cumferentia cujus diameter XV, tranfibit per punélum P * , ut dicebamus. * [Lem. 5.]

Jam quia ratio DT ad TL efl: eadem quse reélanguli AR , DC ad reélangulum
RC, CL; ratio vero DV ad VK eadem quae reélanguli AR, DC ad reélangulum
RC, CK; minor erit ratio DT ad TL quam DV ad VK, quia reélang. RC, CL
majus efl: reélangulo RC, CK. Itaque multo minor ratio DT ad TK quam DV
ad VK; nam DK major efl: pofita quam DL. Apparet igitur punélum T cadere
inter D et V. Punélum vero Q dico cadere inter A et X. Sit enim ut DQ ad QL
ita DX ad XY. Ergo quia XK ad XD per conllr. ut reélang. RC, CK ad reélan-
gulum AR , DC ; DX autem ad XY ut DQ ad QL , hoc eft ut reftang. AR , DC
ad reélangulum RC, CL: erit ex sequo XK ad XY ut reélang. RC, CK ad
reftang. RC, CL, hoc eft, ut CK ad CL. Et XK ad KY ut CK ad KL. Eft
autem XK major quam CK, ut fuperius diélum fuit. Ergo KY major quoque
quam KL, ideoque DY minor quam DL. Erat autem DX ad XY ut DQ ad QL,
et per converfionem rationis DX ad DY ut DQ ad DL. Ergo quum DY fit
minor quam DL, erit et DX minor quam DQ. Unde necefl^ario punélum Q
cadet inter A et X, nam quod inter A et Ccadat jam ante oftenfum fuit. Sed
punélum T oftendimus diftare ab A ultra punélum V. Ergo manifeftum eft cir-
cumferentiam QBT fecare circulum APH inter A et P. Quod demonftrandum
(upererat.

Sit nunc ratio DC ad CH minor ratione refraélionis, hoc eft ratione CR

8

58 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1 653*

A et X, car nous avons déjà démontré que ce point tombe entre A et C. Mais
nous avons fait voir que le point T efl: plus éloigné du point A que le point V. Il
èft donc évident que la circonférence QBT coupe la circonférence APH entre A
et P. C'eft ce qui reftait à démontrer.

Suppofons maintenant que le rapport DC : CH efl: plus petit que l'indice de
réfraélion , c'eft-à-dire que CR : RA. Et foit le point D fitué, foit en-dehors de la
circonférence ABH [Fig. 24] , foit en-dedans de cette circonférence [Fig. 25] ,
de telle manière toutefois que ce point foit plus éloigné du point A que le centre
C. Car fi ce point efl: fitué entre A et C, on aura encore un autre cas particulier
que nous examinerons bientôt. FB étant un rayon qui fe dirige vers le point D ')
et qui, après la réfraélion, rencontre l'axe AC au point L, je dis que L efl: plus
éloigné de A que le point S. En effet, joignons B et S et menons CM parallèle à
FD; fuppofons que cette parallèle rencontre les prolongements de BS et de
BL en Z et en M refpeélivement; et prenons un point E tel que DA : AS =
= DE : ES. Si alors le point D efl: pris à l'intérieur de la circonférence ABH , le
point È lui aufli tombera nécefl^airement à l'intérieur. Mais fi le point D efl pris
en-dehors de la dite circonférence, le point E tombera néanmoins à l'intérieur,
comme cela réfulte de la démonftration fuivante.

Vu que DC : CH ou DC : C A < CR : R A , on aura aufli par permutation
DC : CR < CA : AR et, par compofition, DR : RC < CR : RA; c'eft pourquoi
le rapport du refte DC au refte CA fera plus petit que le rapport DR : RC ou DA :
: AS ; l'égalité de ces deux derniers rapports fe démontrant de la même manière
que dans le cas précédent''). Or, on a par conftruélion DA : AS = DE:ES ,
donc aufli (AD + DE) : (AS H- ES) (ou AE) = DA : AS. Par conféquent, DC :
: C Aou DC : CH < (AD -f- DE) : AE, et, par partage, DH : HC < 2DE : EA.
Et, en prenant le double du deuxième et du quatrième terme DH : HA < 2DE :
: 2EA ou DE : EA. Le point E tombera donc à l'intérieur de la circonférence ABH.
Dans les deux cas nous continuerons à raifonner de la façon fuivante. Vu que le
point E tombe entre A et H, le point B fera en-dehors d'une circonférence décrite
avec AE comme diamètre. Or, DA : AS = DE : ES. On aura donc DB : BS < DA :
Lem. 5. : AS *. De plus DB : BS r= CZ : ZS, et D A : AS = DR : RC. On a donc CZ : ZS <
< DR : RC. Or, le rapport DR : RC eft égal au produit des rapports DR : RA
et RA : RC, dont le premier eft égal à DC : CS, vu que par conftruétion DR :
: DA=:DC : DS. Par conféquent le rapport CZ : ZS fera plus petit que le pro-
duit des rapports DC : CS et RA: RC. Or, le rapport CZ : ZS eft égal au produit
des rapports CZ : ZB et ZB : ZS. En divifant des deux côtés par des rapports
égaux , favoir par BZ : ZS d'un côté et par DC : CS de l'autre , le rapport
reftant, favoir CZ:ZB, fera auflî plus petit que le rapport RA : RC. Et,

^) Ce qui suit se rapporte également aux deux cas représentés par les figures 24 et 25; lesquelles
on peut consulter indifféremment l'une ou l'autre.

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653.

59

ad RA, fitqiie piindum D vel extra circulum ABH [Fig. 24] vel intra [Fig. 25],
ita tamen ut ultra centrum C diftet ab A. Nam cum inter A et C pofitum cfl: adhuc
fingularis eft cafus, quem mox videbimus. Radio igitur exiftente FB '), qui tendat
ad punétum D, conveniatque refraâus cum axe AC in pundto L : dico L diftare ab

A ulterius quam punftum S. Jungatur enim BS,
et ducatur CM parallela FD,quae occurrat pro-
duélis BS, BL in Z et M ; Et ficut DA ad AS ita
fit DE ad ES. Si igitur punctum D intra circulum
ABH ponatur, cadet neceffario et E intra eun-
dem. Si vero D extra diélum circulum ponatur,
tamen E punétum intra circulum cadere fie
ofl:enditur.

Quia enim minor ratio DC ad CH, vel DC
ad CA quam CR ad RA , permutando quoque
minor erit DC ad CR quam C A ad AR, et com-
ponendo, minor DR ad RC quam CR ad RA;
quare reliquae DC ad reliquam CA minor erit
ratio quam DR ad RC, hoc efl:, quam DA ad
AS, namque bas eafdem efTe ficut in cafu praece-
denti oftenditur ^). Ut autem DA ad AS ita eft:
DE ad ES ex confl:r. ideoque et duae fimul AD ,
DE ad duas fimul AS, SE, hoc eft ad AE, ut
DA ad AS. Igitur minor ratio DC ad CA, vel
DC ad CH, quam ADE ad AE: Et dividendo
minor ratio DH ad HC quam duplae DE ad EA.
Sumtifque confequentium duplis , minor DH ad
HA quam duplse DE ad duplam EA , hoc eft ,
quam DE ad EA. Ergo pundnm E cadet intra
circulum ABH.

Jam utroque cafu fie porro argumentabimur.
Quoniam E cadit inter A , H , fi circa AE diametrum circulus defcribatur, extra
eum erit pundum B. Eft autem ut DA ad AS ita DE ad ES. Ergo erit DB ad BS
minor ratio quam DA ad AS *. Ut autem DB ad BS ita eft CZ ad ZS ; et ut DA
ad AS ita DR ad RC. Ergo minor eft ratio CZ ad ZS quam DR ad RC. Ratio
autem DR ad RC componitur ex rationibus DR ad RA etRA ad RC, quarum
DR ad R A eft eadem quse DC ad CS, quia ut DR ad DA ita DC ad DS ex conftr.
Ergo ratio CZ ad ZS minor erit compofitâ ex rationibus DC ad CS et RA ad
RC. Ratio autem CZ ad ZS eadem eft compofitge ex rationibus CZ ad ZB et ZB
ad ZS. Itaque ablatis utrinque rationibus aequalibus, hinc BZ ad ZS , inde DC ad

[Lcni. 5.]

') Voir le second alinéa de la p. 5 1 du Tome présent.

6o

TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

* Lem. 2.

par inverfion, on aura BZ : ZC > CR : RA; mais le rapport CR : RA qui efl:
* Prop. VIII. 0 égal à l'indice de réfraftion eft égal auffi à BM : MC *, vu que BLM eft le
rayon réfradlé provenant du rayon FB, auquel CM efl: parallèle. Par conféquent,
BZ : ZC> BM : MC. Mais l'angle BCM, oppofé à la fois à BM et à BZ, ert nécef-
fairement obtus, étant égal à l'angle FBC. Par conféquent, CZ fera plus petite que
CM*, et l'angle CBM > CBZ. Donc auffi CL > CS. Ce qu'il fallait démontrer.
On pourrait en fuite faire voir par une démonftration à peu près pareille à celle
employée dans le premier cas ^), que les rayons réfraélés provenant de rayons litués
à une plus petite diftance de l'axe AC (j'entends par cela des rayons qui coupent
la circonférence plus près du point A) rencontrent l'axe plus près du point S , et
cela de telle manière que la diftance du point de rencontre au point S foit plus
petite qu'un intervalle quelconque donné. Mais nous ne répéterons pas ici cette
argumentation prolixe. Nous nous contenterons de faire voir que certains rayons
réfraétés rencontrent l'axe en des points rapprochés autant qu'on le voudra du
point S. Cela fe démontre de la façon fuivante. Suppofons que le prolongement

de MC rencontre la circonférence en N [Fig. 25].
Les triangles LDB et LCM font femblables, d'où
l'on tire DB : CM = DL : LC; et l'on peut obte-
nir, en rapprochant le rayon FB de l'axe AC, que
la différence de longueur des lignes DB et DA
devienne plus petite qu'une grandeur quelconque
donnée, et de même auffi celle des lignes CM et
AR; en effet, cette différence fera d'autant plus
petite que l'arc BN fera plus petit, ainfi qu'il ap-
pert par le problème 5 s) , eu égard à ce que BM :
:MC r=z CR : RA. Il en réfulte qu'on peut obtenir
que le rapport DB : CM ou DL : LC acquière une
valeur différant auffi peu qu'on le voudra de celle du
rapport DA : AR ou DS : SC, et qu' ainfi le point
L, où le rayon réfraété FB coupe l'axe AC, fe rap-
proche indéfiniment du point S.

Soit maintenant le point donné D [Fig. 26] fitué
entre A et C. Dans ce cas auffi BL, le rayon réfraélé
provenant du rayon FB , tombera entre D et C. Je
dis que le point de concours L fera de nouveau fitué
à plus grande diftance du point A que le point S.
Prolongeons BL et fuppofons que CM, parallèle à FBD, rencontre ce prolonge-
ment au point M. Vu qu' alors le point D fe trouve fur le diamètre entre A et le

^) Voir la p. 33 du Tome présent.

*) Consultez les pp. 53 et 55 du Tome présent.

3) Le Problème 5 est identique avec la Prop. VIII; voir la p. 33 du Tome présent. Or, d'après

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653.

61

es, minor quoqiic eric reliqiia ratio CZ ad ZB quam RA ad RC: Et invertendo,
major BZ ad ZC quam CR ad RA. Sicut antem CR ad RA qnae efl: ratio refrac-
tionis ita eil BM ad MC *, quoniam BLM eft refradio radij FB, cui parallela * [Prop- vili.]*)
du6la eil et CM. Igitur major ell: ratio BZ ad ZC quam BM ad MC. Angulus
autem BCM, cui utraque BM, BZ fubtenditur, necefTario efl:obtufus,quippe
aequalis angulo FBC. Ergo CZ minor erit quam CM *, atque angulus proinde * [Lem. 2.]
CBM major angulo CBZ. Quare et CL major quam CS; quod erat probandum.

Porro fimili fere demonftratione, atquc in cafu
primo ^), oftendi pofîct refraftiones radiorum axi
AC propinquiorum (intelligo autem propin-
quiores qui minimam circumferentige partem
verfus A abfcindunt) propius coire ad punftum
S , idque ad intervallum quolibet dato minus.
Sed prolixam argumentationem hîc non repe-
temus. Illud tamen, quod ad punéla quamlibet
proxima pundo S , radiorum aliquorum refrac-
tiones concurrunt, hoc modo evinci poteft. Pro-
duéla MC occurrat circumferentise in N [Fig.
25]. Quoniam ergo propter triangula fimilia
LDB, LCM, ficut DB ad CM, ita DL ad LC;
poteftque fieri appropinquando radium FB ad
axem AC, ut differentia longitudinis linearum
DB,DA évadât qualibet data minor, ut eteaquse
eft inter CM et AR; (haec enim differentia eo
minor erit quo minor continget arcus BN, ut
patet ex problemate [5] 3), quia nempe ratio BM
ad MC eft eadem quae CR ad RA) apparet hinc
fieri pofTe ut ratio DBad CM,hoc eft, DL ad LC,
quamlibet prope^') eadem cfficiaturquse DA ad
AR, hoc eft, quse DS ad SC. atque fie punétum
L, quo nempe radius FB refraélus cum axe AC
convenit, quamlibet propinquum fiât pundo S.
Sit jam punftum D inter A et C datum
[Fig. 26], cadet autem et hîc radij FB refraétio
BL inter D et C. Dico concurfum L rurfus hic diftare longius ab A quam punc-

la démonstration de cette proposition le point M se rapprochera indéfiniment d'un point Q
(voir la fig. 1 7) qu'on doit choisir sur le prolongement de CM de manière que le rapport NQ :
:CQ égale l'indice de réfraction , c'est-à-dire, le rapport CR : AR , d'où il suit facilement,
puisque CN = C A, qu'on aura CQ = AR et que CM se rapprochera indéfiniment en longueur
de AR.
*) Dans la copie de Niquet, comme aussi dans la rédaction primitive, il y a „proxime'*.

TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

centre C, DB fera plus grande que DA. Mais CM < AR, ainfi qu'il reïïbrt de
la propos. VIII, vu que CM eft parallèle au rayon FB, auquel correfpond le
rayon réfrafté BM. On a donc BD : CM ou DL : LC> DA : AR. Or, DA :
: AR = DS : SC. Par conféquent DL : LC > DS : SC, et, par compofition,
DC : CL > DC : CS. Donc CL < CS. Il eft évident par là que le point L eft plus
éloigné que le point S du point A.

On démontre enfuite, de la même manière que dans le cas précédent, que dans
ce cas auffi certains rayons réfraélés fe rapprochent indéfiniment du point S. Par
conféquent, S fera le point de concours des rayons qui fe dirigent vers le point D.

Refte à démontrer la propofition dans le dernier cas, celui où le point D eft
placé en-dehors de la fphère ABH [Fig. 27] de telle manière que l'on ait DC :
: CH r= CR : RA, ce qui eft égal à l'indice de réfraélion. Nous avons dit que
dans ce cas les rayons réfraélés provenant de tous les rayons qui fe dirigent vers
le point D fe coupent exaélement au point S qui eft fitué de telle façon que l'on
ait DR : DA = DC : DS. En effet, ayant placé le point D comme nous l'avons
dit, fuppofons que FBD foit un rayon quelconque fe dirigeant vers ce point et
rencontrant la furface au point B. Joignons le point B au point S. Je dis que BS
eft précifément le rayon réfraélé provenant du rayon FB. En effet , prolongeons
BS et menons CM parallèle à FBD; cette parallèle coupera le prolongement de
BS. Joignons les points B et C.

Vu qu' alors DC : CH ou DC : CA = CR : RA, la ligne entière DR fera
auffi à RC, comme CR eft à RA. Or, DR : RC = DA : AS, parce qu'on a par
conftruétion DR : DA = DC : DS. Par conféquent, on a auffi DA : AS =
= CR : RA ou DC : CH. En retranchant DC de DA, et CH (ou CA) de AS,
le refte CA, ou CH, fera au refte CS comme DC eft à CH. Or, CB z= CH.
Donc auffi BC : CS = DC : CB et, par conféquent, les triangles DCB et BCS
font femblables, attendu que ces triangles ont auffi en commun l'angle C compris
entre les côtés proportionnels. Par conféquent, le troifième côté DB du premier
triangle fera au troifième côté BS du fécond triangle, comme DC eft à CB ou à
CH, et l'angle SBC fera égal à l'angle BDC. Il en réfulte que, dans les triangles
DBS et BMC, l'angle MBC fera égal à l'angle BDS. Mais l'angle BMC eft de
plus égal à l'angle DBS, à caufe du parallélifme des droites BD et CM. Par con-
féquent , les dits triangles DBS et BMC feront auffi femblables, et l'on aura donc
BM : MC =: DB : BS ou CD : CH ou CR : RA. Le rapport BM : MC eft donc
égal à l'indice de réfraélion, et CM eft parallèle au rayon FB. Par conféquent,
Prop. IL ') BSM eft le rayon réfrafté provenant du rayon FB *, ce qu'il fallait démon-

^) Dans la copie de Niquet, comme dans la rédaction primitive, il y a ,,circulum".

') La leçon primitive, biffée depuis, et la copie de Niquet donnent: ,,ideoque permutando

et per conversionem rationis ut DR ad RC ita DA ad AS. Ergo".
3) Voir la p. 15 du Tome présent.

TRACTATUS DE RËFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653.

63

tum S. Producatur BL, et occurrat ei CM parallela FBD in M. Quia itaquepunc-
tum D efl: in diametro inter A et centrum C, erit DB major quam DA. Sed CM
minor efl quam AR ut confiât ex propof. [VIII] , quia CM parallela efl radio
FB ciijus refradio efl BM. Ergo major efl ratio BD ad CM, hoc efl, DL ad LC,
quam DA ad AR. Sicut autem DA ad AR ita efl DS ad SC. Ergo major ratio
DL ad LC quam DS ad SC; et componendo, major DC ad CL quam DC ad CS.
Ergo CL minor quam CS. Unde liquet punftum L ulterius quam S diflare ab A.

Porro autem, eodem modo quo in cafu prae-
cedenti, ollenditur hîc quoque radiorum aliquorum
refraftiones propius concurrere ad punélum S ,
qualibet data diflantia. Erit igitur et hîc S punélum
concurfus radiorum ad D tendentium.

Ultimus cafus demonflrandus reflat, cum punc-
tum D extra fphccram ^) ABH [Fig. 27] fie col-
locatum efl, ut DC ad CH habeat rationem eandem
quam CR ad RA , hoc efl, rationem refraftionis.
Quo cafu diximus omnium radiorum ad D tenden-
tium refractiones accurate colligi in punélo S:
quod nempe invenitur faciendo ut ficut DR ad DA
ita fit DC ad DS. Punéto igitur D ficut diélum efl:
pofito, fit quilibet radius illuc tendens FBD et ab
occurfu B ducatur ad pundum S reéla BS. Dico
radij FB refraftionem efl^e ipfam BS. Producatur
enim BS et occurrat ei CM parallela FBD, et
jungatur BC.

Quia igitur DC ad CH five CA , ut CR ad RA,
erit quoque tota DR ad RC ut CR ad RA. Ut
autem DR ad RC ita efl: DA ad AS, quia videlicet
ex conflr. efl ut DR ad DA ita DC ad DS. Itaque =) et DA ad AS ut CR ad RA,
hoc efl ut DC ad CH. Ergo fi à DA auferatur DC et ab AS auferatur CH five
CA, habebit et reliquaCA, feu CH, ad reliquam CS eandem rationem quam
DC ad CH. Efl autem CB sequalis CH. Ergo et BC ad CS ut DC ad CB : ideoque
trianguli DCB, BCS fimiles, quoniam et angulum ad C communem habentqui à
lateribus proportionalibus comprehenditur. Igitur et latus illius reliquum DB
erit ad hujus trianguli latus reliquum BS ut DC ad CB five CH, et angulus
SBC eritaequalis anguloBDC. Hincjam igitur in triangulis DBS, BMC, angulus
MBC aequabitur angulo BDS. Efl: autem et angulus BMC aequalis angulo DBS ,
propter parallelas BD, CM. Igitur diéli trianguli DBS, BMC fimiles quoque
erunt, ac proinde BM ad MC ut DB ad BS, hoc efl, ut DC ad CH , hoc efl, ut
CR ad RA. Itaque BM ad MC rationem eam habet quae efl: refraélionis; efl:que
CM radio FB parallela. Ergo BSM efl refradtio radii FB ♦. quod erat oHen-

♦ [Prop. II.]')

«4

TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

trer. Tous les rayons qui fe dirigent vers le point D et qui rencontrent la furface
convexe AB convergeront donc, après la réfraétion, vers le point unique S.

Il eft manifefte que, fi nous fuppofons conftruites autour du centre C deux fur-
faces fphériques avec les rayons CD et CS et que nous prenons fur elles deux
points quelconques K et P fitués fur le même rayon CK, tous les rayons qui fe
dirigent vers le point K font réfraélés par la furface ABH du corps tranfparent
de telle manière qu'ils convergent exaétement vers le point P : aucune furface
autre qu'une furface fphérique ne peut préfenter ce phénomène.

Nous pourrons maintenant, à l'aide des réfultats obtenus, attendu que nous
avons appris à connaître a fond la réfraélion produite par le verre et qu'une furface
fphérique efl: facile à polir, fabriquer des lentilles qui font converger en un point
donné les rayons qui fe dirigent vers un autre point donné. Et de même des lentil-
les qui réfradlent les rayons venant d'un point donné de telle manière qu'ils femblent
provenir d'un autre point donné. En effet, foient donnés les points A et B [Fig.
28] et fuppofons qu'il faille faire converger en B les rayons qui fe dirigent vers
le point A. Divifons AB en deux parties par le point C de telle manière que le

[Fig. 29.]

rapport AC : CB foit égal à l'indice de réfraftion du
verre, c'eft-à-dire à |. Prolongeons enfuite AB jufqu'
en D, de telle manière qu'on ait CD ; DB z= AC : CB.
Décrivons une circonférence EFG avec le centre D
et le rayon DC, et une deuxième circonférence EHG
avec le centre B et le rayon BH, un peu plus petit
que BF. Cette circonférence coupera nécefTairement
la première, mettons aux points E et G: et la lunule
EFGH repréfentera la forme de la lentille cherchée
coupée par le milieu '). En effet, les rayons qui fe
dirigent vers le point A en tombant fur la furface
EFG fe dirigeront après y avoir été réfradés vers le
point B, d'après ce que nous venons de démontrer =),
et y parviendront, vu qu'ils ne feront pas réfraélés de
nouveau par la furface EHG, dont le centre eftpréci-
fément le point B.

Et la même lentille pourra nous fervir pour réfrac-
ter des rayons qui proviennent du point B de telle
manière qu'ils femblent provenir du point A.

De la même manière, étant donnés les points A et
B [Fig. 29], fi, après avoir trouvé la circonférence

') On retrouve la même construction dans la Lettre N°. 414 a van Schooten, du 12 octobre

1657; voir la P- 67 du T. II.
*) La construction est juste; mais la démonstration semble incomplète. En effet, en remarquant

que les points A, B, C, D de la figure présente correspondent avec les points D, S , H, C de

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653.

^5

[Fig. 28.]

dendum. Omnes igitur radij ad D tendentes atque occurrences fuperficiei convexae
AB, refraéti concurrent ad punéVum unicum S.

Manifeftum aucem eft, fi circa centrum C duae fphaericse fuperfîcies intelligantur
femidiametris CD , CS. atque in illis duo quaepiam punéta fumantur K, P, radio
eodem CK connexa, omnes radios ad K tendentes refringi in diaphani fuperficie
ABH , ut exaftè concurrant ad punétum P : quod quidem nuUa alia quam fphaerica

fuperfîcies praeftare queat.

Poterimus porro per hgec, cum et refraftionem
vitri penitus cognitam habeamus, fitque fphaerica
fuperfîcies expolitu facilis, lentes confîcere quae
radios ad datum punétum tendentes ad datum aliud
punftum concurrere faciant. Item quae venientes ex
dato punélo ita infleétant quafi ex alio punélo dato
promanent. Dentur enim punéla A, B [Fig. 28] ,
oporteatque efficere ut radij tendentes verfus A
% colligantur in B. Dividatur AB in C uthabeat AC
ad CB rationem quae eft refraélionis vitri, hoc eft,
fefquialteram. Deinde producatur AB ufque in D,
ut fit CD ad DB ficut AC ad CB, et centro D radio
autem DC defcribatur circumferentia EFG; et alia
EHG, centro B, radio BH, paulo minori quam eft
BF. Haec autem priorem circumferentiam necef-
fario fecabit, velut in punttis E, G : etmenifcus
EFGH figuram qusfitae lentis per médium feftse
exhibebit '). Radij enim tendentes ad A et in fuper-
ficiem EFG incidentes ibique refraéli vergent ad
pun6tum B, fecundum ea quae modo oftenfa fue-
runt ^), atque e6 quidem pervenient cum nullam
amplius patiantur refraélionem in fuperficie EHG,
quippe cujus centrum eft ipfum B punftum.

Eadem vero lens efliciet etiam , ut radij ex B
venientes infleétantur quafi ex A venirent.
Similiter datis punétis A B [Fig. 29] , inventaque circumferentia EFG ficuti

la figure 27 , il est clair qu'il s'agit de prouver, dans cette figure, les relations DH : HS — «
et CH : CS = «; or, à la p. 63 il est démontré, en vérité, que CH : CS= DC : CH = »; mais
on cherchera vainement, dans ce qui précède, la démonstration de la relation DH : HS = ».
Pour combler cette lacune il suffit toutefois de remarquer que de la proportion CH : CS =
= DC : CH il suit (DC — CH) : (CH — CS) = DC ; CH , c'est-à-dire, DH : HS = DC :
:CH = «.

Ajoutons que nous ne connaissons pas la ^demonstratio brevissima" dont il est question
dans la lettre à van Schooten , citée dans la note précédente.

9

66 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

EFG comme nous l'avons dit, nous décrivons avec le centre B et le'rayon BN,
un peu plus grand que BF, une autre circonférence LNM,la figure ELNMGF
repréfentera la feftion d'une féconde lentille dont on fe fervira pour faire con-
verger en A les rayons qui fe dirigeaient vers le point B. En eifet, puifque
EFG, étant une furface convexe du verre, fait converger vers B' les rayons
qui fe dirigeaient vers A; il en réfulte que cette même furface, étant, comme c'eft
le cas ici, une furface concave, doit faire converger vers A les rayons qui fe
dirigeaient vers B; c'eft ce qui reftbrt clairement de la propos. I '). Quant à la fur-
face LNM elle ne change rien ici au cours des rayons qui fe dirigent vers le point
B, attendu que cette furface a le point B comme centre.

Et la même lentille concave réfraftera les rayons qui proviennent du point A
de telle manière qu'ils femblent provenir du point B.

Troisième partie.

La furface eft convexe, et les rayons qui proviennent d'un
point donné rencontrent cette furface envenantdel'intérieur.

Soit AB la furface convexe du corps tranfparent et S le point donné, d'où
proviennent des rayons tels que SB tombant fur cette furface; en fortant du corps
tranfparent ces rayons feront réfraélés, à moins que S ne coïncide avec le centre
C de la furface convexe. Mais, en outre, le cas doit être divifé en deux parties.
En effet, tirons la droite SC et prolongeons-la jufqu' à ce qu'elle coupe la circon-
férence AB au point A. Si nous choififlbns alors le point Q de telle manière que
le rapport AQ : QC foit égal à l'indice de réfraélion , le point S fera ou bien plus
près ou bien plus éloigné du point A que le point Q. Car s'il coïncide avec le point
Q, il eft évident d'après la propos. VHP), que les rayons réfraélés ne convergent
pas vers un point mais font confidérés comme parallèles: en effet, Q eft le point de
concours des rayons parallèles tombant du dehors fur la furface AB.

Suppofons donc d'abord que le point S eft plus éloigné du point A que le point
Q [^'S- 3°] • ^^ prenons le point D de telle manière que l'on ait SQ : SA = SC :
: SD. Je dis que D fera le point de concours des rayons réfraélés qui atteignent la
furface AB, étant partis du point S. Pour le démontrer, prenons AR = CQ, de telle
manière que A tombe entre R et C. Alors le rapport CR : RA fera égal à l'in-
dice de réfraélion, de même que le rapport AQ: QC. Et il eft manifefte en outre
que le point R tombe entre A et D. Car, comme on a SQ : SA = SC : SD, on
aura, par permutation et par partage, SQ : QC =. SA : AD; partant, comme SQ <
< SA,QCou AR fera auffi plus petite que AD. De plus, comme SA: AD= SQ:
* 19. 5. ') : QC ou SQ : AR, le refte Q A ou CR fera auffi au refte RD comme SA eft à AD *.

') Voir la p. 13 du Tome présent.

(1

TIIACÏATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653.

67

diximus, fi centro B, intervallo aiitem BN paulo majori quam BF alia circiimfe-
rentia defcribatiir LNM : figura ELNMGF fcdionem alterius Icncis refcret, qiiœ
eftkiec uc radij tcndentes ad punétum B dirigantur verfus A. Si enim convexa
exifiens vitri fuperficies EFG radios ad A tendentes defleétere facit ad B, necefie
e(l uc eadem fuperficies cava exifl:ens ut hîc, radios ad B tendentes mictat verfus
A : ut facile colligere efi ex propof. [I] '). Superficies autem LNM nulla refrac-
tione hîc radios inflexit ad B tendentes, quoniam hoc centrum habet.

Eadem verolens cava radios ex A venicntes ita franget ut videantur procedcre
ex punéto B.

Pars 3.

Cum convexa eft fuperficies, et à puncto egredientes radij
i n t r i n f e c u s i 1 1 i o c c u r r u n t.

Sit convexa diaphani fuperficies AB et punétum S, ex quo
in illam perveniant radij ut SB, qui quidem egredientes dia-
phanum refringentur, nifi S fit idem cum convexi centro C. Eft
autem prseterea quoque duplex cafus. Junââ enim SC, eadem-
que produétâ, ac circumferentiam AB fecante in A, fi feceri-
mus ut AQ adQC habeat rationem quae eft refraftionis, erit
punétum S vel propius punfto A quam punftum Q, vel
ulterius remotum. Nam fi convenit cum punéto Q, perfpi-
cuum eft ex propof. [VIII] ^) radios poft refraétionem non
concurrere ad punélum aliquod, fed pro parallelis haberi: eft
enim Q punétum concurfusradiorumparallelorum extrinfecus
in fuperficiem AB incidentium.

Sit igicur primo punélum S ulterius diftans ab Aquampunc-
tum Q [Fig. 30]. Et fiât ut SQ ad SA ita SC ad SD. Dico D
fore punctum concurfus radiorum refradorum qui à punfto S
procedunt ad fuperficiem AB. Ponatur enim AR asqualis CQ,
ita ut A inter R et C cadat. Ergo et CR ad RA proportionem
refractionis habebit œque ac AQ ad QC. Et prseterea mani-
feftum eft punélum R cadere inter A et D. Nam quia ut SQ ad
SA ita SC ad SD, erit permutando et dividendo, ut SQ ad QC
ita SA ad AD; unde, cum SQ fit minor SA , erit et QC , hoc
eft, AR minor quam AD. Porro quoniam eft SA ad AD ut SQ
ad QC, hoc eft AR, erit et reliqua QA, hoc eft, CR ad
reliquam RD ut SA ad AD ♦. Et componendo CD ad DR ut

^) Voir la p. 33 du Tome présent.

3) Il s'agit de la Prop. 19 du Livre 5 des Éléments d'Euclide. On la trouvera citée dans la note
26, p. 31 1 du T. XI. L'astérisque fut placé par Huygens, mais l'indication de la proposition
fut faite par De Volder ou Fullenius. Comparez la note i de la p. 2 1 .

[19-5.]')

68

TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

mière partie de la
Prop. présente

Et, par compofition, CD : DR =: SD : DA, et, par inverfion et permutation,DR:
: DA = DC : DS. Par conféquent, d'après lapremière partie de la propofition pré-
sente , les rayons qui proviennent du point D feront réfraétés de telle manière à la
furface AB qu'ils convergeront vers S. Réciproquement, les rayons qui provien-
nent du point S seront donc réfraftés par la même furface de telle manière qu'ils
convergeront vers D. Ainfi D fera le point de concours cherché, et cela dans le
même fens que le point S dans les propofitions précédentes. C'eft-à-dire, les
rayons ne convergeront pas exaélement ici vers le point D, mais tous en-deçà de ce
point; cela fe démontre de la façon fui vante. Un rayon quelconque provenant du
point D, tel que DB, après avoir été réfraélé à la furface AB, rencontre la droite
D'après la pre- DC cn-dcçà du point S *, par exemple en P. C'eft pourquoi BD fera réciproque-
ment le rayon réfraété provenant du rayon PB. Par conféquent, le rayon réfraété
BN provenant du rayon SB rencontrera l'axe en-deçà du point D. En effet,
attendu que les rayons PB et SB fe dirigent vers le même point de la furface, il
eft néceffaire que ces rayons fe coupent après la réfraélion, comme cela se déduit
aifément de la première propriété des réfraétions.

Soit maintenant S [Fig. 31], le point donné, fitué de telle manière que fa
dillance du point A foit plus petite que QA. Il fera donc ficué soit entre Q et C,
soit entre C et A. Car s'il coïncide avec C, aucune réfraélion n'aura lieu, comme
nous l'avons déjà dit. Suppofons d'abord que le point S foit
entre Q et C; et faifonsde nouveau SQ :SA=SC : SD; portons
cette dernière diftance du côté oppofé au centre C. Je dis que
D fera le point de difperfion des rayons réfraétés qui provien-
nent du point S. En effet, prenons, comme plus haut, AR
égale à CQ. Alors le rapport CR : RA, étant égal au rap-
port AQ : QC, feraauffi égal à l'indice de réfraélion. Et comme
on a SQ : SA = SC : SD, on aura auffi, par compofition, QA
(ou RC) : AS = CD : DS. C'eft pourquoi la fomme de RC et
CD, c'eft-à-dire DR, fera auffi à la fomme de AS et DS,
c'eft-à-dire àDA,commeDC eft à DS. Par conféquent, S fera
le point de concours des rayons qui fe dirigent vers D et qui
font réfraélés par la furface convexe AB*. Réciproquement,
D fera donc le point de difperfion des rayons qui tombent du
point S fur la même furface AB, mais en venant du dedans. Or,
dans un feul cas D fera exactement le point de difperfion;
favoir lorfque le rapport AC : CS fera égal au rapport AQ :
: QC, c'eft-à-dire à l'indice de réfraétion '). En effet, fi l'on a
AQ : QC = AC : CS, et qu'on retranche AC de AQ et CS de
QC, le rapport du refte CQ au refte QS fera aufli égal à AQ :
: QC. Comme on a en outre QA : AS = CD : DS, ainfi que cela a été démontré
antérieurement, on aura auffi, par converfion de cette proportion, AQ:QS =;

* D'après la se-
conde partie de la
Prop. présente.

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653.

69

SU ad DA, et invertendo et pernuitando DR ad DA ut DC ad DS. Quare
per propof. [hujus part, i.] radij ex piinélo D fluenies in fuperficie AB ita
refringentur ut tendant ad S. Ideoque et vice verra,qui
veniunt ab S punéto, ad eandem fuperficiem ita refrin-
gentur ut tendant ad D. Igitur D erit punélum concurfus
qusefitum. Ea nempe ratione qua punélum S in propo-
(itionibus antecedentibus. Etenim non perfedè ad D radij
hîc concurrent fed omnes citra; quod fie oflienditur. Radius
quilibet ex D veniens ut DB atque a fuperficie AB refrac-
tus, convenit cum reéta DC citra punélum S*, velut in * [Parsi.Prop.
P. Quare et viciffim radij PB refraélio erit BD; Ideoque "^"^-'
radij SB refraétio puta BN , concurret citra punélum D.
quia cum ad idem fuperficiei punélum tendant radij PB,
SB,nece(re efl: ut pofl: refraélionem fiât interfeélio, ut facile
colligitur ex prima refraélionum proprietate. / i!i>i; il :.
Sit nunc punélum S datum [Fig. 31] , ut minus diftet
ab A quam punélum Q. Erit autem vel inter Q et C vel
inter C et A. nam cum in C incidit nullam fieri refraélio-
nem jam diximus. Sit primo inter Q et C punélum S;
et fiât rurfus ut SQ ad SA ita SC ad SD quae fumatur
in partem à centro C averfam. Dico D fore punctum
difperfus radiorum refractorum qui ab S punélo egre-
diuntur. Sumatur ehim, ùf ante, AR aequalis CQ. Erit
ergo et CR ad RA proportio refractionis, eadem nempe
quse AQ ad QC. Et quoniam SQ ad SA ut SC ad SD,
erit et componendo QA, hoc efl:, RC ad AS ut CD ad
DS. quare et utraque fimul RC, CD hoc efl: DR ad
utramque fimul AS, DS, hoc efl: ad DA ut DC ad DS. Ergo radiorum ad
D tendentiuni et in convexa fuperficie AB refraélorum punélum concurfus
erit S*. Quare et viciflim radiorum ex punélo S in fuperficiem eandem AB, * [Prop. hujus
fed intrinfecus, incidentium, punélum difperfus erit D. Erit autem D punc- P^""^ ^'^
tum difperfus accuratè uno cafu, cum nempe ratio AC ad CS erit eadem
quae AQ ad QC, five quge refraélionis '). Si enim ut AQ ad QC ita AC
ad CS; auferendo AC ab AQ et CS ab QC erit et reliquat CQ ad reli^
quam QS eadem ratio quae AQ ad QC. Quia porro QA ad AS ut CD ad DS,
uti antea oftenfum efl:, erit et per converfionem rationis AQ ad QS ut DC ad
CS. Sed CS ad CA ut CQ ad AQ ; ergo erit ex œquo in proportione pertur-

j 11

jaiiA 'JX-JV(ÎU:> 'jjdliuiUÏ iu i jiijihiiOj y î

») Huygens a ajouté plus tard en marge „casus perfectus figura representetur,'

yo TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

= DC: es. Mais CS : CA = CQ: AQ. On aura donc par la règle de la pro-
portion dérangée 0, DC:CA (ou CH) == CQ:QS, ou AQ:QC, rapport
qui efl: égal à l'indice de réfraétion. Comme donc le rapport DC:CH lui-auffi
eft égal à cet indice, et que DR : DA = DC : DS, comme nous l'avons démontré
ici, il ell clair que tous les rayons qui fe dirigent vers le point D et qui font
réfraétés par la furface convexe AB, fe réunifTent exaélement au point S ^). Réci-
proquement, les rayons qui proviennent du point S feront donc réfraétés de telle
manière par la même furface qu'ils femblent provenir du point D. Et fi le rapport
ACiCSeft plus petit que le rapport AQ:QC, tous les rayons réfraélés pro-
venant de rayons ilTus du point S couperont l'axe AC, lorfqu'on les prolonge
en fens inverfe, au-delà du point D. Si l'on a au contraire AC : CS > AQ: QC,
tous ces prolongements couperont l'axe en-deçà du point D, comme cela fe
déduit aifément de la deuxième partie de la propofition préfente.

Enfin, le cas où le point donné S fe trouve entre A et C [Fig. 32], conduit
à la même conllruétion que le dernier cas confidéré et ladémonfl:rationell:lamême
également. En effet, comme on a SQ:SA == SC:SD,on aura par compofition
QA (ou RC) : AS = CD : DS. C'efi: pourquoi, fi nous retranchons CD de
RC et DS de AS , le refte DR fera au refl:e DA comme DC eft à DS. Nous en
tirerons les mêmes conclufions que dans le cas précédent. Ainfi D fera le point
de difperfion en ce fens que cous les rayons réfraétés, prolongés en fens inverfe,
coupent l'axe en-deçà de ce point, c'eft-à-dire entre D et A.

Quatrième Partie.

La furface eft convexe, et lesrayons qui fe dirigent vers un
point donné rencontrent la furface en venant de l'intérieur.

Soit AB la furface convexe du corps transparent et S le point donné où fe diri-
gent des rayons tels que LB au moment où ils rencontrent la furface en venant de
l'intérieur. Soit C le centre de la furface convexe. Tirons la droite SC et fuppo-
fons qu'elle coupe la furface en A. Prolongeons-la jusqu'au point Q de telle
manière que le rapport AQ: QC foit égal à l'indice de réfraélion, et prenons un
point D tel qu'on ait SQ : SA ::= SC : SD. Je dis que D eft alors le point de concours
des rayons réfraétés provenant de rayons qui fe dirigeaient vers le point S. En effet,
foit AR 1= CQ. Alors le rapport CR : R A fera lui-auffi égal à l'indice de réfraétion.
Et comme on a SQ : SA z= SC : SD, on aura, par partage,QA (ou CR) : S A=: CD :
: DS. C'eft pourquoi, en retranchant CD de CRet DS de SA, nous trouverons
que le refte DR eft au refte DA comme DC eft à DS. Par conféquent, comme les
rayons qui, iffus du point D, tombent fur la furface convexe AB et y font réfraétés.

^) On peut consulter sur le théorème en question la note 2 2, p. 304 du T. XI. Dans le cas présent,
pour appliquer la règle de la proportion dérangée sous la forme que nous lui avons donnée

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653.

71

bâta 0 DC ad CA fi vc CH ut CQ ad QS , hoc eft , ut AQ ad QC , quae eft pro-
portio refraccionis. Cum autem DC ad CH habet proportionem rcfraftionis,
eftque DR ad DA ut DC ad DS, ut hic efîe ortendimus, conftat radios omnes
ad punélum D tendentes, atque ad fuperficiem convexam AB refra6los,colligi
[Fig. 32.] exaélè ad punélum S ^). Ergo et viciflîm qui veniunt expunélo S,
ad eandem fuperficiem ita refringentur,ut,apun6lo D procedere
videantur. Quod fi vero minor ratio fuerit AC ad CS quam AQ ad
QC, omnium radiorum ex S venientium refraftiones rétro produélae
ultra punétum D concurrent cum axe AC,* fi autem ratio AC ad CS
major fuerit quam AQ ad QC, egedem omnes citra punétum D con-
current, ut ex propof. [hujus parte 2] facile colligitur.

Cafusdeniqueisquo punélum S inter A etC datum eft [Fig. 32],
eodem modo conftruitur quo novifiime praecedens nec diflimilem
demonftrationem habet. Nempe cum fit SQ ad SA ut SC ad SD,
erit componendo, QA, hoc eft RC ad AS ut CD ad DS. Quare
auferendo CD ab RC, et DS ab AS, erit et reliqua DR ad reli-
quam DAut DCad DS. Unde reliqua eodem modo concludemus.
Erit autem D punétum difperfus ejufmodi, ut refraétiones omnes
rétro produéise citra ipfqm concurrant, hoc eft inter D et A.

fi

[Fig- 33-]

Pars 4.

Cum f u p e r f ic i e s c o n v e x a e f t, et ad p u n c t u m

fi

r

, tendentes radij, inixinfecus fuperficiei oc
c u r r u n t.

Efto diaphani convexa fiiperficies AB, et datum punéliim
S, quo tendant radij, ut LB intrinfecus fuperficiei occur-
rentes, centrum vero convexi fit C. Jungatur SC fecetque
fuperficiem in A, et producatur ad Q, ut AQ ad QC
habeat proportionem refraélionis ; et ut SQ ad SA ita fit
SC ad SD. Dico D eflïe punélum concurfus radiorum
refractoriim qui ad S punétum pergunt. Sit enim AR
îequalis CQ ; ergo et CR ad R A habebit proportionem
refraétionis. Et quia SQ ad SA ut SC ad SD,eritdivi-
dendo, QA, hoc eft, CR ad SA ut CD ad DS. Quare
auferendo CD à CR, et DS ab SA, erit et reliqua DR
ad reliquam DA ut DC ad DS. Ergo quum radij ex D in

dans la note mentionnée, on doit poser, après avoir changé l'ordre des rapports dans l'avant-
-derniôre proportion , DC=a; CS= ^; CA = c; CQ =//; AQ=e; QS ==/".
0 Voir la p. 49 du Tome présent.

r»

TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

* D'après la pre- ont le poiiît S * pouF point de difperfion; réciproquement les rayons qui fe dirigent

mière partie de la
Prop. préfente. ')

vers le point S feront réfraélés par la même furface de manière à fe diriger vers le
point D. Toutefois, ils ne fe dirigeront pas rigoureufement vers ce point. Les
rayons qui proviennent du point D, prolongés en fens inverfe, ne fe coupent pas
exaélement au point S, mais rencontrent tous l'axe à une plus grande diftance du
point A. Par conféquènt, les rayons qui fe dirigent vers le point S rencontreront
l'axe en des points différents, non pas au point D lui-même mais feulement à petite
diftance de ce point entre A et D. Ces points feront d'autant plus rapprochés du
point D que le rayon incident fera plus rapproché de l'axe CA.

Cinquième Partie.

Prop. I. *)

'' La furface eft concave et les rayons qui proviennent d'un
point donné tombent fur cette furface du côté extérieur.

Soit AB [Fig. 34 et 35] la furface fphérique concave et
C fon centre. Suppofons que des rayons iftiis du point D,
tels que DB, tombent fur cette furface. Tirons DC et admet-
tons que fon prolongement coupe la furface en A. Choifif-
fons le point R de telle manière que le rapport CR : RA
foit égal à l'indice de réfraétion. R fera donc le point de
difperfion des rayons parallèles venant du côté oppofé. Pre-
nons un point S tel qu'on ait DR : DA = DC : DS. Je dis que
S fera le point de difperfion des rayons iffiis du point D
après leur réfraétion par la furface AB.

En effet, fi nous joignons les points S et B par une droite
et que nous prolongeons cette droite vers L, et DB vers N,
il eft clair que BS ferait le rayon réfraélé provenant du rayon
NB, fi la furface AB était convexe. Par conséquent, mainte-
nant qu' elle est concave, c'eft-à-dire qu' elle limite un corps
transparent placé de l'autre côté , BL fera le rayon réfrafté
provenant du rayon DB, puifque NBD et SBL font des
lignes droites *. Ainfi S fera le point de difperfion des rayons iflTus du point D.

Or, il y a trois cas. Car le point D peut être donné de telle manière que le
rapport DC:CA eft ou plus grand que le rapport CR:RA, ou plus petit, ou
bien égal à ce rapport. Et fi le rapport DC: CA eft égal au rapport CR:RA,
c'eft-à-dire à l'indice de réfraétion, S fera le point auquel correfpondront exaéle-

^) Voir cette première partie à commencer en bas de la p. 45.

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653.

73

convexiim AB incidentes refraétique habeant punélum dirperfus S *; vicifïïmqui * [Pars i. Prop.
ad S tendiinc ab eadem fuperficie infleétentur verfus pundum D. Non tamen ''"J"*-^ ^
accurate; fed quia qui ex D veniunt refraéli, retroque produfti , non in ipfum
punélum S concurrunt, fed omnes ulterius ab A, idcirco et ij qui tendunt ad
punétum S, tantum prope D inter A, D, concurrent ad punda diverfa, quas
eo propiora crunt punfto D, quo radius incidens propior fuerit axi CA.

Pars 5.

Cum fuperficies cava eft, et radij a puncto venientes
extrinfecus ei occurrunt.

[Figv35'3 Sit fuperficies fphasrica cava AB [Fig. 34 et 35] cujus

centrum C , incidantque in eam radij a punélo dato D pré-
cédentes, ut DB. Jungatur DC, et produéta fecet fuperficiem
in A , et habeat CR ad RA proportionem refraélionis. Erit
ergo R punétum difperfus radiorum parallelorum ab oppofita
parte venientium. Jam ficut DR ad DA ita fit DC ad DS.
Dico S fore punélum difperfus radiorum ex D egredicntium
poftquam in fuperficie AB refraéti fuerint.

Junélâ enim SB, produftâque verfus L, et DB verfus N:
conftat radij NB refraétionem fore BS, fi fuperficies AB
convexa eflfet. Ergo cum cava nunc fit,hoc efl:,diaphanum
ab contraria parte pofitumterminet, cumque NBD, SBL fint
lineae reétae,, erit radij DB refraétio BL *. Itaque erit S
pundlum difperfus radiorum ex D manantium. i \

Sunt autem cafus très. Nam punétum D ita datum eft,

ut ratio DC ad CA fit major ratione CR ad RA, vel minor,

vel sequalis. Et fi quidem eadem eft ratio DC ad CA

quae CR ad RA, five quae refraftionis, erit S punftum quo exafte omnes

radij refrafti pertinebunt. Si vero ratio DC ad CA major, refraétiones

omnes rétro produétge citra S punétum cum axe AC convenient. Si minor,

[Prop. I.]*)

itjmt J

") Voir la p. 13 du Tome présent.

10

74

TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

* Prop. I.

ment tous les rayons réfraélés. Mais fi le rapport DC:CA efl: plus grand, tous
les rayons réfraélés prolongés en fens inverfe rencontreront Taxe AC en-deçà
du point S. S'il eft plus petit, au-delà de ce point. Tout ceci réfulte clairement
de ce qui eft contenu dans la deuxième partie de cette propofition ^).

Sixième Partie.

La furface eft concave et les rayons qui fe dirigent vers le
point donné coupent cette furface en venant du dehors.

Soit AB [Fig. 36 et 37] la furface fphérique, C fon centre. Suppofons que les
rayons, tels que OB, qui fe dirigent vers le point donné D, tombent fur cette fur-
face. Menons une droite par les points D et C qui coupe la fur-
face en A. Prenons les points R et S de telle façon que le rap-
port CR : RA foit égal à l'indice de réfraéVion et que l'on ait
DR : DA = DC : DS. Je dis que dans le premier cas [Fig. 36] ,
lorfque R tombe entre A et D, le point S fera le point de
difperfion des rayons qui fe dirigeaient vers le point D. Et
dans le fécond cas [Fig. 37] , lorfque D tombe entre A et R,
je dis qu'au contraire S fera leur point de concours. Mais fi
D coïncide avec le point R, les rayons qui tendent vers D,
deviendront après la réfraétion parallèles entre eux et à Taxe
AC, comme cela a été obfervé dans les propos. [IX et I] ').
Dans les cas ici confidérés la démonftration eft la fui-
vante. Tirons la droite SB et prolongeons-la du côté L. Les
lignes SBL et DBO font droites et il a été démontré plus
haut dans lapremière partie de la propofition préfente s) que les
rayons provenant du point D et réfraélés par la furface con-
vexe AB fe coupent au point S de manière que, DB étant
un rayon incident, BS devient le rayon réfraété correspondant.
Il en réfulte que dans le cas aétuel le rayon réfraélé provenant
du rayon OB qui fe dirige vers le point D et qui tombe fur la
Il \ furface concave AB eft BL *. Toutefois, pour parler exaéle-

t"^ ment, lorsque S eft le point de difperfion, le rayon ré fraélé

provenant de OB coupera l'axe AC en-deçà du point S; et
lorfque S eft le point de concours, il coupera l'axe au-delà
* -"'^ ^"-^ de ce point.

Septième Partie.

La furface eft concave et les rayons qui proviennent d'un
point donné tombent du dedans fur cette furface.

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653.

75

ultra. Qu£e omnia ex ijs qusepropofitionishiijus parte fecunda ') habentur mani-
fella func.

Pars 6.

Cum fuperficies cava e ft, et radij ad piinctum tendent es
e X t r i n fe c u s i 1 1 i o c c u r r un t.

[Fig. 37.]

Sit fuperficies fphaerica cava AB [Fig. 36 et 37] , centro C; incidantque in
eam radij ad punétum datum D tendentes, ut OB. Agatur rcdta pcr DC, fecans
luperficiem in A, et habeatCR ad RA proportionem refraétionis.
Et ut DR ad DA ita fit DC ad DS. Dico priore cafu [Fig. 36],
cum R cadit inter A, D,punctum S fore punctuni difperfus
radiorum qui ad D tendebant. Altero ver6 cafu [Fig. 37], cum
D cadit inter A , R, eventurum contra ut S fit punétum eorum
concurfus. Si autem D fuerit idem quod punélum R, radij eo
tendentes, poil refraétionem fient inter fe etaxi ACparalleli,
ut in propof. [IX et I] ^) annotatum fuit.

Cafus autem hîc propofiti demonllrabuntur duétâ SB,
eâdemque verfus L extenfâ. Quia enim reéla? funt lincas SBL,
DBO, efl:que fuperius demonftratum, propof. [hujus pars i] s)
radiorum ex D venientium ad fuperficiem AB convexam
refraétiones concurrere ad S punctum , ita ut fi DB fit radius
incidens refraélio ejus fiât BS; necefl^e efi: hîc radij OB ad D
tendentis atque in cavam fuperficiem AB incidentis refrac-
tionem eflTe BL *. Quamquam exaéla ratione tamen radij OB refraélio con-
curret cum AC citra punftum S, quando S efl: punélum difperfus. Sed ultra,
quando contingit S qÇÇq punétum concurfus.

[Prop.I.]

Pars 7.

Cum fuperficies cava eft et radij à puncto venientesintrin-
fecus illi occurrunt.

*) Voir la p. 49 du Tome présent.

') Voir les pp. 36 et 1 3 du Tome présent.

3) Voir la note i ,p. 72 du Tome présent.

7^

TRAITÉ DE LA REFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

Soit AB [Fig. 38] la furface concave et C Ton centre; et foit S le point d'où
proviennent des rayons tels que SB qui rencontrent la furface en venant de l'inté-
rieur. Menons une droite par les points S et C qui coupe la furface en A, et
fuppofons que le rapport AQ:QC foit égal à l'indice de réfraétion. Q eft alors
le point auquel correfpondraient des rayons parallèles venant de l'autre côté.
Par conféquent, foit SQ: SA r= SC: SD. Je dis que D fera le point de dif-
perfion des rayons qui proviennent du point S: en d'autres termes que, fi l'on
joint les points D et B et qu'on prolonge DB du côté deL,BL fera le rayon
réfrafté provenant du rayon SB. En effet, fi l'on prolonge également SB du côté
de N, il eft clair que BD eft le rayon réfraété provenant du rayon NB, fi la fur-
* D'après laqua- face AB eft fuppoféc convcxc *. De même ici, le corps tranfparent fe trouvant
Prorpréseîte'^' de l'autre côté de la furface AB, BL fera le rayon réfraélé provenant de SB *.
♦Prop.l. Par conséquent, D fera le point de difperfion des rayons provenant du point S,

et cela de telle manière que tous les rayons réfractés coupent l'axe en-deça de ce
point, c'eft-à-dire plus près de la furface AB.

[Fig. 3P-]

r ;

•1;

* D'après la
seconde partie de
la Prop. présente.

Huitième Partie.

La furface eft concave et les rayons qui fe
dirigent vers un point donné tombent du dedans
fur cette furface.

Soit AB [Fig. 39, 40 et 41] la furface concave du corps
tranfparent, et C fon centre; et foit S le point donné oij fe
dirigent des rayons tels que OB au moment où ils rencontrent
la dite furface, en venant de l'intérieur. Menons la droite S C
qui coupe la furface en A, et fuppofons que le rapport AQ: QC
foit égal à l'indice de réfraftion. Soit en outre SQ:SA= SC:
: SD. Je dis que dans le premier cas [Fig. 39] , lorfque le point
Q tombe entre A et S, D fera le point de difperfion des rayons
qui fe dirigent vers le point S. Mais dans les deux cas fuivants
[Fig. 40 et 41] , où S tombe entre A et Q, je dis que D fera le
point de concours de ces mêmes rayons. Joignons les points D et
B et prolongeons DB du côté de L. Alors, fi nous fuppofons
que AB eft une furface convexe de forte que le corps tranfparent
fe trouve du côté de C, il eft clair que le rayon réfrafté provenant
du rayon SB eft DB dans le premier cas et le prolongement de
DB, c'eft-à-dire BL, dans les deux cas fuivants *. Réciproque-
ment, le corps tranfparent étant actuellement placé de l'autre
côté de la furface, BL fera le rayon réfraété provenant du
rayon OB dans le premier cas, et BD fçra le rayon réfraété dans

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653.

77

[Fig. 38.]

[Fig. 40.]

Sic fuperficies cava AB, cujiis centrum C; et punc-
tum S, unde digreffi radij ut SB intrinfecus in fuper-
ficiem ferantur.

Ducatur reéla per SC, fecans fiiperficiemin A, et
habeat AQ ad QC proportionem refraétionis. Erit
igitiir punélum Q qiio pertinerent radij paralleliàpane
contraria advenientes. Quare ut SQ ad SA ita fit SC
ad SD. Dico D fore punéliim difperfus radiorum ab
S manantium: hoc eft, fi jiingatur DB et producatiir
verfus L, futuram BL refraftionem radij SB. Si enim
et SB producatur verfus N, confiât radij NB refraélio-
nem eflfe BD , fi fuperficies AB convexa intelligatur *.
Itaque hîc, cum diaphanum ad alteram partem fuper-
ficiei AB pofitum fit, erit et BL refraftio radij SB*.
Ideoque D punétum difperfus radiorum ab S venien-
tium. Efi: autem ejufmodi ut refraéliones omnes citra
ipfum cum axe conveniant, hoc efi: minus procul *) a
fuperficie AB.

p. 4.]

[Hujus Prop

[Prop. L]

CF»g-4i.] Pars 8.

Cum fuperficies cava efi^, et
radij ad punctum tendentes
i n t r i n f e c u s i 1 1 i o c c u r r u n t.

Sit diaphani cava fuperficies AB [Fig.
39, 40 et 41]; centrum ejus C; etpunc-
tum datum fit S quo tendentes radij ut OB,
intrinfecus diftse fuperficiei occurrant.
Ducatur refta per C, fecans fuperficiem in
A, habeatque AQ ad QC proportionem
refraélionis. Porro ut SQ ad SA ita fit SC
ad SD. Dico priore cafu [Fig. 39] , cum
pundum Q cadit inter A et S, futurum D
punélum difperfus radiorum ad S tenden-
tium. Pofterioribus vero duobus [Fig. 40
et 41] quibus S cadit inter A , Q , dico D fore eorundem radiorum pun^um con-
curfus. Jungatur DB et verfus L producatur. Itaque fi fuperficies AB convexa
ponatur, ut diaphanum fit verfus C , confliat radij SB refraétionem efie DB priori
cafu, duobus ver6 reliquis in produaa DB, hoc efi BL *. Quare è diverfo hîc, * [Prop. h. p. 2.]

») L9 leçon primitive et la copie de Niqiiet donnent „longè".

78 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

♦Prop. L les deux autres cas*. En elFet, OBS et DBL sont des lignes droites. Par con-
séquent, D efl: dans le premier cas le point de difperfion des rayons qui fe dirigent
vers le point S, et leur point de concours dans les deux autres cas. Du relie, il peut
arriver que D devienne exactement le point de concours; cela aura lieu lorfque
le rapport AC:CS [Fig. 41] cil précifément égal à l'indice de réfraélion, donc
aufli au rapport AQ : QC . Mais dans les cas où D efl: le point de difpersion , les
rayons réfraélés prolongés en fens inverfe couperont toujours- l'axe en-deçà du
point D.

Ayant appris à connaître par ce qui a été démontré jufqu'ici la façon dont
chacune des furfaces confidérées réfraéle les rayons, nous pourrons maintenant
trouver les points de concours ou de difperfion pour des lentilles convexes ou
concaves quelconques ou pour des lentilles compofées de diverfes façons de fur-
faces convexes, concaves ou planes; et cela tout auffi bien dans le cas où les rayons
incidents font parallèles que lorfqu'ils partent d'un point donné ou fe dirigent vers
un point donné. Et dans la confl:ruâ:ion de ces points de concours ou de difperfion
nous pourrons fou vent auflî faire ufage de méthodes plus rapides, comme cela
deviendra manifefte dans ce qui fuit.

Proposition XIII.

Etant donnée une fphère compofée d'une fubftance tranf-
pa rente, trouver le point de concours d'un faifceau de
rayons parallèles tombant fur cette fphère.

Soit donné une fphère dont C efl: le centre. Soit BA Taxe et la circonférence
BPA une feétion centrale. Suppofons que les rayons incidents, tels que OP,
foient parallèles à l'axe BA. Divifons le rayon CA en deux parties égales par le
point E et prolongeons ce rayon de telle manière que le rapport CD : DE foit
égal à l'indice de réfraétion de la matière dont fe compofe la fphère. Par exemple,
fi la fphère confidérée efl de crillal ou de verre, il faut que le rapport CD: DE
foit environ égal à |, mais fi elle efl: d'eau, à |. Je dis que D fera le point de con-
cours cherché ^).

En effet, prenons fur l'axe AB prolongé des deux côtés les points S et Q de
telle manière que les rapports BS : SC et AQ : QC foient l'un et l'autre égal à l'in-
dice de réfraétion, c'efl:-à-dire au rapport CD : DE. On aura alors CS =:CQ. Les
rayons parallèles à l'axe BA, tels que OP, feront donc réfraétés de telle manière
♦Prop. VIII. *) en entrant dans la fphère qu'ils fe dirigeront vers le point S *. Enfuite, comme
on a CD : DE = BS : SC, on aura aufli par partage CE (ou EA) : ED = BC
(ou CA) :CS. Donc aufli EA : AD = CA : AS. Or, EA efl la moitié de CA, par

TRACT ATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653.

79

ubi diaphanum à parte altéra fuperfîciei collocacum eft, erit radij OB refraftio BL * [Prop. i.]
in cafii primo, in reliquis vero BD *. Quia videlicet OBS, DBL funt reélae
linese. Eft igitur priori cafu D piinétum difperfus radiorum ad Stcndentium,
reliquis duobus punétum concurfus. Poteft autem fieri ut fiât D punétum concurfus
accuratè; nempe fi AC ad CS [Fig. 41] habeat rationem eam quae eft refracîlionis,
hoc eft eandem quam AQ ad QC. Quandocunque autem D fit punftum difperfus
femper radij refrafti rétro produfti convenient cum axe citra pundum D.

Cognita fingularum fuperficierum refraftione exhisquaehaâenusdemonftrata
funt , poterimus jam lentium quarumlibet convexarum vel cavarum vel quae ex
convexis, cavis, planifque fuperficiebusdiverfimodecomponuntur,pun(5ta con-
curfus vel difperfus invenire, sequè cum paralleli radij incidunt , atquc cum ex
dato vel ad datum punétum feruntur: Qua in re faepe.etiam compendia quaedam
fequi licebit, ut in fequentibus manifeftum fiet.

Propositio [XIII].

Sphaera data quae fit ex materia diaphana, invenire punc-
tum concurfus radiorum parallelorum in illam incidentium.

Efto fphaera cujus centrum C axis BA , feétio per cen-
trum circulus BPA. Incidant autem radij paralleli axi BA,
ut OP. Dividatur femidiameter CA bifariam in E, et pro-
ducatur, et habeat CD ad DE proportionem refraftionis ,
eam nempe quae convenit materise ex qua fphœra compo-
nitur. Veluti fi cryftallina aut vitrea fphsera proponatur
oportet rationem CD ad DEefl^e fefquialteramproximè,
fi vero ex aqua, fefquitertiam. DicoD forepunétum con-
curfus quaefitum ^).

Signentur enim in axe AB utrinque produfto punéla S et
Q, ut tam BS ad SC quam AQ ad QC habeat proportio-
nem refraélionis , hoc eft, eandem quam CD ad DE:
fientque inter fe aequales CS , CQ. Radij igitur axi BA
paralleli, ut OP,in ingrefTu ita frangentur, ut tendant
ad punftum S*. Porro autem quia CD ad DE ut BS ad * [Prop. vu i.]')
SC, erit et dividendo CE five EA ad ED, ut BC five
0 En posant R pour le rayon de la sphère, « pour l'indice de réfraction, on trouve de cette

manière CD =

R;AD

2(«— I)

*) Voir la p. 33 du Tome présent.

2C«-l)

R.

8o

TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

conféquent AD eft aufli précifément la moitié de AS. Mais SC eft auflî la moitié

de SQ. Donc SQ : SC = SA : SD, où il eft permis d'échanger le deuxième et le

( troifième terme. Mais Q eft le point de concours des rayons parallèles tombant

de l'autre côté fur la furface A. Par conféquent D fera le point de concours des

* D'après la qua- rayons qui fe dirigent vers le point S et qui font réfraftés par la même furface A*.

Prop.^xi"'*) ^ ^ Nous avons déjà dit qu' après la première réfraélion qui a lieu à la furface BP,

les rayons fe dirigent vers le point S. Il eft donc évident qu' après avoir pafTé par

la fphère entière les rayons ont le point D pour point de concours. Ce qu'il fallait

démontrer.

Il faut favoir que ceci ne doit être eftimé vrai que pour les rayons fitués à fort
petite diftance de l'axe BA, comme dans la plupart des cas traités antérieurement.
Ce font ces rayons, en effet, qui ont le pouvoir de brûler, lorfque la fphère eft
expofée au foleil et qui peuvent produire une image des objets à la diftance AD.
Cette diftance fera à peu près égale au quart du diamètre pour une fphère de
verre, à la moitié du diamètre pour une fphère d'eau '*). On comprendra mainte-
nant la raifon de l'artifice fervant à mefurer l'indice de réfraction, que j'ai fait
connaître au commencement *). En effet, la démonftration donnée ici s'appli-
que également à un cylindre ou à un autre vafe rond quelconque coupé perpen-
diculairement à fon axe.

[Fig.43.]

Proposition XIV.

Etant donnée une lentille qui poffède une
furface plane et une furface convexe, trou-
ver le point de concours des rayons parallèles
à l'axe.

Soit donnée une lentille dont ABC [Fig. 43 et 44] ,
partie d'une fphère à centre D, foit la furface convexe,
et AFC la furface plane. Et fuppofons d'abord [Fig. 43]
que cette dernière furface foit opposée aux rayons paral-
lèles. Tirons la droite DBE qui représente l'axe de la
lentille, c'eft-à-dire qui coupe le plan AFC à angles
droits; prolongeons-la jufqu'en E de telle manière que
le rapport DE : EB foit égal à l'indice de réfraétion qui
eft toujours fuppofé connu. Il eft clair que E fera alors le
^ point de concours cherché s). En effet, les rayons paral-

lèles à l'axe DF ne feront nullement réfraétés en tombant à angles droits fur la
furface plane AC. Ils feront donc encore parallèles en atteignant la furface
ABC où ils feront réfraftés de telle manière qu'ils fe dirigeront vers le point E
d'après la propofition IX ^').

i

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653.

81

CA ad es. Unde et EA ad AD ut CA ad AS. Eft autem
EA dimidia ipfius CA, ergo et AD dimidia erit ipfius AS.
Sed et se eft dimidia ipriiis SQ. Ergo ut SQ ad SC ita SA
ad SD, et permutando. Eft autem Q punélum concurfus
radiorum parallelorum à parte contraria in fuperficiem A
incidentium. Itaque erit D punctum concurfus radiorum ad
S tendentium atque ad fuperficiem eandem A refracto-
rum*. Diximus autem radios parallelos poft primam refrac-
tionem in fuperficie BP tendere ad punétum S. Ergo totâ P*
fphgerâ penetratâ liquet eos concurrere ad punftum D. quod
erat demonftrandum.

Sciendum autem eft de radijs axi BA proximis haec intel-

ligenda, ut fuperius quoque plerumque faélum eft. Quiqui-

dem radij et comburendi facultatem habent, fphaerâ foli

expofitâ; Et rerum imagines pingendi ad diftantiam AD.

Haec autem erit proximè quarta pars diametri in fphsera

vitrea, in fphœra aquea vero femiffis *). Undejamarti-

fîcij 3) ejus ratio manifefta eft, quo proportionem refractionis initio inquirere

docui ^). Quoniam haec demonftratio ad cylindrum quoque pertinet, vel ad aliud

omne vas rotundum cujus feftio ad axem reéta fit.

Propositio [XIV].

Data lente quae fuperficiem unam plana m habeat, altéra m con-
vexam, invenire punctum concurfus radiorum axi parallelorum.

Sit data lens cujus fuperficies convexa ABC [Fig. 43 et 44] , ex fphaera quae
centrum habeat D. Plana autem fuperficies fit AFC. Atque haec prim6 [Fig. 43]
radijs parallelis oppofita fit. Duétâ igitur DBE refta, quae axem lentis référât, hoc
eft, quae fuperficiem AFC fecet ad angulosreftos, eâque produéta ad E, ita ut DE
ad EB habeat proportionem refractionis, quae femper data inteliigitur: manifef-
tum eft E fore punétum concurfus quaefitum s)- Radij enim axi DF paralleli, cum
in fuperficiem planam AC incidant ad reftos angulos, nullam refra(5lionem ibi
patientur, ac proinde paralleli venient ad fuperficiem ABC. cujus refraétione ad
E punélum fleétentur per [prop. IX] ^).

') Voir la p. 71 du Tome présent.

=^3 En posant «=3:2 pour le verre et « = 4 : 3 pour l'eau. Comparez les pp. 1 3 et 1 1 du Tome

présent.
3) La leçon primitive et la copie de Niquet donnent: „Hinc autcm et methodi".
'*) Comparez les p. 9 — 1 1 du Tome présent.
5) Soit R le rayon de la surface convexe; on trouve alors pour la distance focale BE =

= R:C«-i).
*') Voir la p. 35 du Tome présent.

II

♦ [Pr
4.]')

Prop. XII.

82

TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

Or, la distance BE fera égale au diamètre de la surface convexe ou au double
de DB fi la lentille efl: en verre, vu que le rapport DE : EB efl: alors égal à |.

Suppofons en fécond lieu que la furface convexe ABC foit oppofée aux rayons
[Fig. 44]. Si nous prolongeons maintenant l'axe BD jufqu'en G de telle
manière que le rapport BG : GD foit égal à l'indice de réfraélion, G fera le point
* Prop. VIII. 0 où fe dirigent les rayons après la première réfraction qui a lieu à la furface ABC *.
Divifons GF par le point H de telle manière que le rapport GF: FH foit égal lui
aufli à l'indice de réfraftion. Je dis que H fera le point de concours des rayons
parallèles après que ceux-ci auront traversé les deux furfaces de la lentille ^).
En effet, puifque les rayons fe dirigent vers le point G après la réfraélion qui a
lieu à la furface ABC et qu'ils tombent du dedans fur la furface plane AFC ayant
♦Prop. VIL *) cette direélion, cette furface les dirigera enfuite verslepoint H *, attendu que
le rapport GF : FH efl: égal à l'indice de réfraétion.

Or, il efl: évident que la difl:ance FH n'efl: inférieure que de peu à la difl:ance
BE trouvée plus haut, et qu'elle efl à cette dernière comme GF efl: à GB. Partant,
fi nous négligeons l'épaifleur FB de la lentille, on aura FH = BE, en d'autres
termes FH fera égale au diamètre de la fphère dont ABC efl: une partie, fi la len-
tille efl en verre.

On verra en confidérant exaétement la façon dont les rayons réfraélés par cette
lentille fe réunifient fur l'axe et en faifant un calcul là deflus , qu'ils fe réunifl^ent
un peu mieux, c'efl:-à-dire que les points où ils coupent l'axe font
fitués un peu plus près d'un point unique, dans la deuxième pofition
de la lentille, c'efl:-à-dire, lorfque la furface convexe eft op-
pofée aux rayons incidents, que lorfque la furface plane leur eft
oppofée '^).

[Fig. 45.]

Proposition XV.

Etant donnée une lentille qui poffède une fur-
face concave et une furface plane, trouver en avant
de cette lentille le point de difperfion des rayons
parallèles.

Soit donnée une lentille de la forme indiquée, dont B [Fig. 45
et 46] foit la furface concave , D étant le centre de la concavité ,
et F la furface plane.

Si donc la furface plane eft oppofée aux rayons incidents [Fig.
45] •> prolongeons DB jufqu' en E, de telle manière que le rapport
DE : EB foit égal à l'indice de réfraétion. E fera alors le point de

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653.

83

Eric autem BE diftantia diametro convexi five duplae DB aequalis fi lens
vitrea fuerit quia ratio DE ad EB eft fefquialtera.

Sic nunc fuperficies convexa ABC radijs oppofita [Fig.
44]. Si igitur axis BD producatur ad G, ut BG ad GDhabeat
proportionem refraélionis, erit punftum G quo tendent radij
pofl: primam refraélionem in fuperficie ABC *. Dividatur * [Prop. viii.] »)
autem GF in H , ita ut GF ad FH habeat quoque refrac-
tionis proportionem. Dico H fore punétum concurfus radio-
rum parallelorum poftquam utramque fuperficiem lentis
tranfierint ^). Quia enim pofl: refraélionem in fuperficie
ABC tendunt ad punétum G, atque ita occurrunt intrin-
fecus fuperficiei planae AFC, haec eos diriget porro ad
punftum H * , quoniam GF ad FH proportio eft refraftionis. * [Prop- vu.] *)

Manifeftum autem eft diftantiam FH paulo tantum mino-
rem efle quam BE fupra inventam, rationemque ad eam
habere quam GF ad GB. Unde, fi craflitudo lentis FB pro
nulla habeatur, erit FH ipfi BE aequalis, hoc eft, diametro
fphaerae cujus portio eft ABC fi lens vitrea fuerit.

Patebit autem , fi concurfus radiorum ab bac lente refraç-

torum exaftè expendatur atque ad calculos revocetur, accu-

ratius aliquanto eos propiufque ad unum punftum convenire

hoc pofteriore lentis fitu, nempe cum fuperficies convexa venientibus oppofita

eft radijs, quam fi plana ad illos convertatur '^).

H

r

[PropositioXV.]

Data lente qu« cavam et planam fuperficiem habeat, inve-
nire ante ipfam punctum difperfus radiorum parallelorum.

Efto lens ejusmodi cujus cava fuperficies fit B [Fig. 45 et 46] ,centrum cavi-
tatis habens D , plana autem F.

Quod fi ergo fuperficies plana radijs advenientibus obverfa eft [Fig. 45] ,
producatur tantum DB in E, ut DE ad EB fit proportio eaqu« eft refraftionis;

*) Voir la p. 33 du Tome présent.

') Si nous posons e pour l'épaisseur de la lentille la construction de Huygens amène facilement

n — I n
3) Voir la p. 27 du Tome présent.

*)0n retrouvera cette question, traitée en détail, dans une des premières Propositions de la
Seconde Partie de la Dioptrique, écrite vers 1665, „De aberratione radiorum ex foco"i mais

84

TRAITÉ DE LA REFRACTION ET DES TELESCOPES. LIVRE I. 1653.

/3>.

difperfion cherché, comme cela résulte de la prop. XI ^). En
efFet, aucune réfraétion n'a lieu à la furface plane F parce que ,
par fuppofition, les rayons tombent perpendiculairement fur cette
furface; ils feront donc encore parallèles en atteignant la fur-
face B.

Mais fi la lentille eft retournée [Fig. 46] , il faut prolonger BD
jufqu' en G de telle manière que le rapport BG : GD foit égal à
l'indice de réfradion. Enfuite il faut divifer GF par le point E de
telle manière qu' auffi le rapport GF : FE foit égal à ce même indice
de réfraélion. Ainfi on aura de nouveau trouvé le point de difperfion
E =). En effet, les rayons parallèles, après avoir été réfraétés
à la furface concave B, auront enfuite le point G pour point de
difperfion, fuivant la prop. X 3). Mais les rayons qui , venant du
point G , atteignent la furface plane , y font réfraétés une féconde
fois, et continuent leur route comme s'ils étaient ilTus du point E,
fuivant la prop. VI ^). Par conféquent, E eft le point de difperfion
cherché.

Mais comme on a GF : FE = BG : GD, et que GF > BG,
on aura auflî FE > GD , tandis que la ligne BE du premier cas
eft égale à cette même GD. En retranchant des deux côtés Tépaif-
feur BF de la lentille, on verra auffi que la diftance BE eft plus
grande dans le fécond cas que FE dans le premier cas.

Proposition XVI.

Etant donnée une lentille convexe à furfaces égales ou
inégales, les deux pouvant être convexes ou l'une convexe
et r autre concave, la concavité étant dans ce dernier cas
moindre que la convexité, trouver le point de concours d'un
faifceau de rayons parallèles.

il résulte de la lettre à van Gutschoven du 6 mars 1653 que Huygens s'en était déjà occupé
avant cette dernière date. En effet, on y lit (p. 225 du T. I) „Porro quod sensibilem tibi
latitudinem obtinere haec concursus puncta" [les foyers des lentilles] „videntur, nescio
unde id conjicias, nisi forte spatium illud in quo lens soli opposita comburitpro latitudine
puncti concursus habueris radiorura parallelorum. Ita vero nequaquam aestimari conve-

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653. ^5

eritqiie E punétum difperfus quaefitum, mi manifeftum eft ex prop. [XI] *).
NuUa fiquidem contingit refraftio in fuperficie plana F quum radij ad angu-
los redos in hanc incidere ponantur, ideoque paralleli perveniant in fuper-
ficiem B.

Si vero aliter converfa fuerit lens [Fig. 46] , producenda eft BD ad G, ita
ut BG ad GD fit proportio refraftionis ; deinde dividenda GF in E ut etGF
ad FE proportionem refradlionis habeat eandem; atque ita rurfus inventum
erit difperfus punélum E ="). Radij enim paralleli refradli in fuperficie cava B,
habebunt inde pundtum difperfus G, per [Prop. X] 3). qui 'vero ex G venientes
incidunt in fuperficiem planam, fecundb ibi refraélionem fubeunt , perguntque
deinceps quafi ex pundto E procédèrent, per [Prop. VI] 4). Itaque E eft punélum
difperfus quaefitum.

Quia vero GF ad FE ut BG ad GD , eftque GF major quam BG, erit et FE
major quam GD, cui zequalem effe confiât BE in cafu priori. Unde ablata utrinque
BF craflitudine lentis, etiam diftantia BE in pofteriori cafu major erit quam FE
in priori.

[Propositio XVI.]

Data lente convexa pari u m vel difparium fuperficie-
rum, five u traque convexa fit, five altéra cava; fed cavi-
tas fit convexitate minor;invenire punctum concurfus paral-
1 e 1 o r u m.

nit, quum spatium istud latitudinetn accipiat ex angulo sub quo sol nobis apparet"...
„Contra verô quam plané insensibilem amplitudinem habeat punctum concursus radiorum
parallelorum vel qui ex unoaliquo puncto prodierunt, demonstrat pictura per lentem con-
vexam in cubiculo obscuro nitidissima, si modo lentis superficies non nimis magnum
superficiel sphïericaj portionem complectantur" . . . „Sed et numeris ha;c sœpe examinavî,
quibus solis percipi potest quantum ab accurata ratione ista distent,oculis vero non facile".
Malheureusement nous ne connaissons pas ces premières recherches sur l'aberration sphé-
rique, lesquelles furent reprises avec tant de succès vers 1665. Consultez la p. VI de l'Aver-
tissement.
*) Voir la p. 41 du Tome présent. Soit R le rayon de la surface concave, n l'indice de réfraction;
on aura EB = R: (« — i).

=') Cette fois on aura FE =— — f- - , où ^ représente l'épaisseur de la lentille.

3) Voir la p. 39 du Tome présent.
■♦) Voir la p. 25 du Tome présent.

TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

[Fig. 48.]

Soit CD [Fig. 47 et 48] Tune quelconque des lentilles décrites,
et foit A le centre de la furface C, B celui de la furface D. Joignons
A et B et prolongeons AB des deux côtés. Faifons en forte que les
rapports CE : EA et DL : LB foient l'un et l'autre égal à l'indice de
réfraction. Prenons enfuite un point N tel qu'on ait EL : ED = EB :
: EN , la longueur EN étant portée dans le fens indiqué dans la prop.
XII ^). N fera alors le point de concours de rayons parallèles à l'axe
qui viennent du côté de C ^J. En effet, de tels rayons, réfraélés première-
ment par la furface C, fe dirigent après cette réfraétion vers le point E,
comme cela a été démontré à la prop. VIII 3). Mais les rayons qui fe
dirigent vers le point E font réunis au point N après avoir été réfraélés
à la furface D. Cela réfulte de la quatrième partie de la prop. XII '^),
et, fi la feélion de la lentille a la forme d'une lunule [Fig. 48], de
la huitième partie de la prop. XII s).

De la même manière , fi nous faifons LE : LC = LA : LO , O fera
le point de concours des rayons parallèles qui viennent du côté de
D '^). Et il faut obferver que les dirtances DN et CO font à peu près
égales entre elles et que l'unique caufe de leur inégalité confifte dans
le fait que la lentille a une certaine épailTeur. Et fi la furface D fait
partie d'une plus grande fphère que la furface C, c'efl:-à-dire fi BD
efl: plus grande que AC , la diftance CO fera plus grande que DN 7^) ,
ce qui fe démontre comme fuit. Attendu qu'on a DL : LB = CE :
: EA, on aura aufli par converfion de cette proportion et par inverfion
DB : DL = CA : CE. Or, DB > CA, donc auffi DL > CE. Si l'on
retranche DC de chacune de ces lignes dans le cas de la lentille bicon-
vexe, tandis que dans le cas de la lunule on ajoute la même lon-
gueur DC à DL et qu'on la retranche de CE; il fera évident que dans
les deux cas le rapport LC : DE devient plus grand que le rapport
LD : CE ou LB : AE. C'eft pourquoi le reétangle LC.AE fera plus

*) Voir la p. 41 du Tome présent.

'^) Posant Rj et R^ pour les rayons de courbure de la surface antérieure et de la
surface postérieure de la lentille , « pour l'indice de réfraction et e pour l'épais-
seur de la lentille, on trouvera aisément, d'après la construction indiquée, dans
le cas de la figure 47 :

wR.R,

— Ro^

DN

«(R, + R,)-(«-i)^

et dans celui de la figure 48 :

TRACT ATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653.

87

Sit lens utravis harum CD [Fig. 47 et 48] , et fuperficiei
C centrum A, B vero fuperficiei D. Jungatur AB et produca-
tur utrimque et fiât ut tam CE ad EA, quam DL ad LB
rationem habeant quae eft refraélionis. Deinde ficut EL ad ED
ita fit EB ad EN, haec autem EN in partem eam fumenda eft ,
quam prsecipit prop. [XII] '). Eritque N centrum concurfus
radiorum axi parallelorum qui veniunt a parte C *). Refraéli
enim primb in fuperficie C pertinent inde ad punftum E,
ut oftenfum eft Prop. [VIII] 3). qui autem ad E pertinent
refradti in fuperficie D colliguntur in punélo N , [per part. 4.
Prop. XII] ^') et in menifco [Fig. 48] per [part. 8. Prop.

XII] 5).

Eadem ratione fi fiât ut LE ad LC ita LA ad LO, erît
O punftum concurfus parallelorum qui ad veniunt a parte D '^).
Et notandum quod diftantiae DN et CO proximè inter fe funt
jequales, caufamque inaequalitatis oriri tantum acralïïtudine
lentis. Et fi quidem fuperficies D fit ex majori fphaera quam
fuperficies C, hoc eft, fi BD fit major quam AC, erit CO
diftantia major quam DN ^) ; quod fie oftenditur. Quia ut DL
ad LB ita CE ad EA , erit et per converfionem rationis et
invertendo ut DB ad DL ita CA ad CE. Eftque DB major
quam CA, ergo et DL major quam CE. In cafu igitur lentis
utrinque convexse, fi ab utraque harum auferatur DC; in
menifco autem fi eadem DC addatur ad DL, auferatur vero à
CE;patet utrobique majorem fieri rationem LC ad DE, quam
fit LD ad CE, hoc eft, quam LB ad AE. quamobrem reélan-

«R,Ra

R„^

DN =

«(R,-R04-(«-0^'

formule qu'on peut déduire de la précédente en changeant le signe de R;,.

Ajoutons que la construction du foyer N, pour le cas de la figure 47, fut communiquée

par Huygens dans sa lettre à Van Gutschoven du 4 novembre 1652 (p. 192 du T. I), comme

spécimen des résultats qu'il avait obtenus dans ses recherches de dioptrique. Et de même à

Tacquet le 10 décembre de la même année (p. 204 du T. I).
3) Voir la p. 33 du Tome présent.
"*) Voir la p. 71 du Tome présent.
5) Voir la p. 27 du Tome présent.
<^) On aura respectivement dans les cas des deux figures :

«RxRg _R^, ^R-A-4-R,.

C0= .- "~^ . ^; C0 =

n— I

«(R, + R,)-C«-0^'
') Comparez les formules des notes 2 et 6.

«(R^-RO + («-0^

88 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

[Fig.50.] grand que le redangle DE.LB. Or, le reél. LC.AE eftégal au reft.

/ LE.CO , vu qu'on a LE : EA = LC : CO. Et le reft. DE.LB eft égal

1 au reét. EL.DN, attendu qu'on a EL : LB = ED : DN. Le reét.

^1 LE.CO efl: donc plus grand que le reft. LE.DN, et par conféquent

l CO>DN.

Mais fi nous négligeons l'épaiiïeur CD de la lentille , comme nous
le ferons prefque toujours dans ce qui fuit, je dis que O et N, les points
de concours des rayons parallèles , font fitués à égale diftance de la len-
tille. Remplaçons les points D et C par le point unique D [Fig. 49
et 50] , fitué au milieu de la lentille.

Vu qu'alors LE : LA = LD : LO, on auraauffi LE : EA = LD :

:DO, donc LE.DO = EA.LD. Or, le reftangle DE.LB eft égala

' ce dernier reftangle, attendu qu'on a DE : EA = DL : LB, et

d'autre part DE.LB = EL.DN, parce que EL : LB = ED : DN.

, , A Par conféquent, les reétangles LE.DO et EL.DN font égaux, partant

^ DO = DN. Ce qu'il fallait démontrer.
■ '"^ Et nous pourrons maintenant trouver plus aifément les points O et

N. En effet, il fufRt'de trouver le feul point L, ce qui fe fait de la même
'• £ manière qu' auparavant, c'efl-à-dire en rendant le quotient DL : LB
égal à l'indice de réfraction, et de faire enfuite BA : AD = LB : DN
(ou DO) '). En effet, comme DL : LB z= DE : EA, on aura par con-
, ^ kf verfion LD : DB = ED : DA et , par permutation , LD : DE = BD :
: DA. Donc auffi LE : ED = BA : AD. Mais nous avons pris le point
- '"L N de telle manière que BA : AD = LB : DN. Par conféquent, LE :
: ED rz: LB : DN. Et, par permutation , EL : LB = ED : DN. Donc
auffi EL : EB = ED : EN, et N efl: par conféquent le point de concours
cherché; car cela a été démontré antérieurement. Pour une lentille en verre on
aura donc le théorème fuivant. La fomme des rayons de courbure des deux fur-
faces convexes , ou bien pour la lunule la différence des deux rayons de courbure,
eft à l'un des deux rayons comme le double de l'autre eft à la diftance du foyer. En
effet, LB devient alors le double du rayon BD , parce que DL : LB =r 3 : 2 , ce
qui eft l'indice de réfraétion pour le verre. Dans le cas où les deux furfaces
convexes ont le même rayon on trouve que la diftance focale fera égale à
ce rayon.

Proposition XVIL

Etant donnée une lentille concave à deux furfaces fphéri-
ques trouver le point de difperfion des rayons parallèles.

') La construction conduit aux formules /= j '^rR^'-l-R ^ (pour le cas de la figure 49)

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653. 89

[Fig.49.] g^^uî" LC, AE majus erit reftang.ulo DE, LB. Reftangulum autem
* LC , AE aequale eft reftangulo LE , CO , quia ut LE ad EA ita LC ad
^ CO ; et reétangiilum DE , LB aequale eft reétangulo EL , DN , quia ut
EL ad LB ita ED ad DN. Ergo majus ci\ reftang. LE, CO reftangulo
LE , DN, ideoque CO major quam DN.

At fi craflitudinem lentis CD pro nulla habeamus, uti fere femper in

fequentibus fiet, dico punéla concurfus parallelorum O et N sequaliter a

^ ^ lente remota efle. Sit enim nunc punétum médium lentis D pro utrifque

D et C[rig. 49et5o].
^O Quia ergo LE ad LA ut LD ad LO, erit et LE ad EA ut LD
ad DO, unde reétang. LE, DO sequale reélangulo EA, LD. huic autem
aequale eft reélang. DE, LB, quia DE ad EA ut DL ad LB, et rurfus
reélangulo DE, LB sequale redang. EL, DN, quia ut EL ad LB ita
^ ED ad DN. Ergo reélang. LE , DO aequabitur redangulo EL, DN;
ac proinde DO ipfi DN; quod erat probandum.

Punéla autem O vel N faciliori ratione nunc invenire licebit. Etenim
folum inveniendum eft punétum L ficut antea, faciendo nimirum ut DL
.'/k ad LB fit proportio ea qux eft refraftionis; ac deinde ut BA ad AD
. ita LB ad DN vel DO '). Quia enim DL ad LB ut DE ad EA , erit per
"'^ converfionem rationis LD ad DB ut ED ad DA,et permutando LD
ad DE ut BD ad DA. Unde et LE ad ED ut BA ad AD. Ut autem BA
ad AD ita fecimus LB ad DN. Igitur LE ad ED ut LB ad DN. et per-
mutando, EL ad LB ut ED ad DN. Unde et EL ad EB ut ED ad EN ,
ideoque N punftum concurfus qusefitum; nam hoc antea fuit oftenfum.
Itaque, in lente vitrea, ficut duîe fimul convexitatum femidiametri; in

ti( menifco autem ut earum differentia, ad alterutram ipfarum, ita reliqua
bis erit ad foci diftantiam. fit enim tune LB dupla radij BD, quia DL
ad LB ut 3 ad 2 quae in vitro eft proportio refraftionis. Quod fi autem
fuperficies utraque fuerit cequaliter convexa, apparet jam foci diftantiam femi-
diametro convexitatis asqualem fore.

[Propositio XVIL]

Data lente cava du arum fuperficierum fphsericarum, punc-
tum difperfus radiorum parallelorum invenire.

R R
et /= p r/n n s Cpo"r l'autre cas) , où /représente la distance focale.

Q« — OC^^a i^J

On en déduit facilement les relations bien connues:

12

po

TRAITÉ DE LA REFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

Soit donnée la lentille CD pofîedant deux furfaces concaves [Fig. 51] ou bien

une furface convexe et l'autre concave [Fig. 52] , la première étant celle

qui fait partie de la furface fphérique la plus grande. Soient AC et

[Fig. 52.] BD les rayons de courbure des deux furfaces; prolongeons-les jufqu'

aux points L et E de telle manière que les rapports CE : EA et DL :

: LB foient l'un et l'autre égal à l'indice de réfraction. Et prenons un

1+ û point N tel qu'on ait EL : ED = EB : EN. Je dis que N fera le point

de difperfion des rayons parallèles qui arrivent du côté C ^).

En effet, les rayons qui tombent parallèlement fur la furface C et
y font réfradtés , correfpondent enfuite au point E , fuivant la prop.
X^), vu que le rapport CE : EA eft égal à l'indice de réfraétion.
Mais comme on a EL:ED = EB:EN, les rayons qui provien-
nent du point E auront après avoir été réfractés par la furface D, le
point N pour point de difperfion , d'après la prop. XII , part. 7 et
part. 3 '*). Le point N eft donc le point de difperfion des rayons
parallèles après la double réfraftion produite par la lentille CD.
Cependant, dans le cas de la lentille cavoconvexe, il eftnécefîaire
que le rayon BD furpafTe le rayon AC fuffifammentpour que Ton
trouve le point L plus éloigné de la lentille que le point E. Car, s'il
en eft autrement, les rayons qui viennent du point E, ne pourront
pas diverger après la réfra(5lion due à la furface D , comme cela eft
manifefte par la prop. XII part. 3.

Enfuite, fi l'on choifit un point O tel que LE : LC = LA :
: LO, ce point fera le point de difperfion des rayons parallèles
qui viennent du côté D^). En effet, après la première réfraétion,
celle due à la furface D, ces rayons correfpondront au point L,
' d'après les prop. X et VIII ^). Et, comme on a LE : LC =

= LA : LO, après la deuxième réfraélion qui eft due à la fur-
face C, les rayons feront difperfés comme s'ils provenaient du point O, d'après
la prop. XII part. 7 et part. 8 ^). Or, DO fera plus petite que CN fi AC

0 Posant, dans les deux figures, AC = R,, BD = R^, la construction indiquée conduit
pour la première figure à la formule :

«R,R,

DN

+ R.^

«(R, + R,) + («-!).'

et pour la seconde, où l'on doit donc supposer que les rayons parallèles arrivent du côté où
se trouve le point L , à celle-ci :

TRACTATUS DE RËFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653.

91

Sit data lens CD qiiae fiiperficiem utramque cavam habeat
[Fig. 51 1, vcl akcram earum convexam [Fig. 52], fcd quae
majoris fit fphaerse qiiam cava. Sint autem fcmidiametri fiiperfi-
cieriim AC, BD , quae producantur ad L et E ; ut tam CE ad EA
quam DL ad LB habeat proportionem quae refraétionem metitur.
Et ut EL ad ED ita fit EB ad EN. Dico N fore pundlum difper-
fus radiorum qui paralleli incidenc a parte C *).

Qui enim paralleli advenientes refringuntur in fuperficic C,
exinde pertinent ad punétum E, per [prop. X] *);quiaCEad
EA eft proportio refraiftionis. Sed quia ut EL ad ED ita EB ad
EN, ideo qui ad E, vcl qui ex E veniunt 3), refraéti à fuperficie
D, habebunt punftum difperfus N, ut conftat ex prop. [XIL
part. 7. et p. 3] '^). Igitur punftum N efl: punétum difperfus radio-
■-0l \ ^'^^^^ parallelorum poil geminam in lente CD refraélionem. Opor-
A \ \ tet autem in lente cavoconvexa, ut femidiameter AC s) tanto
ialtem major fit femidiametro BD, ut punélum E ulterius quam
L a lente remotum inveniatur. Nam alioqui radij qui ad E ten-
dunt ^), refraéli in fuperficie D non poterunt difpergi, ut conftat ex
prop. [XIL part. 3]. .l'Un ,

Porro fi fiât ut LE ad LC ita LA ad LO , erit O punélum
difperfus parallelorum qui adveniunt a parte D ''). Primum fiqui-
dem per refraftionem fuperficiei D, pertinebunt radij ad punftum
L, per [prop. X. et VIII] «). Et quia LE ad LC ut LA ad LO,
ideo poli: alteram refraélionem in fuperficie C, difpergentur
quafi procédèrent è punéto O, per [prop. XII. p. 7. et 8] ^). Erit autem jam DO

iU

«R,R,

+ Ra^

DN =

^) Voir la p. 39 du Tome présent.

3) Toutefois, dans les cas considérés ici, E sera toujours un point de dispersion et jamais un point

de concours ; lisez donc plutôt „ideo qui ex E veniunt", en omettant les mots „qui ad E, vel."
^) Voir les pp. 75 et 6y du Tome présent.
S) Lisez pour cette partie de la phrase: „ut semidiameter BD tanto saltem major sit semidia-

metro AC, ut punctum L ulterius quam E a lente remotum inveniatur".
<5) Lisez plutôt „qui ex E veniunt".
7) On trouve respectivement dans les deux cas:

Rjg

«RiRs

C0(fig.5i)^

«(R, + RJ + («-i).

et CO (fig. 52)

_ R,tf

®) Voir les pp. 39 et 33 du Tome présent.
^} Voir les pp. 75 et y^ du Tome présent.

92

TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

[Fig. 52-1

efl: plus petite que BD ^) , et réciproquement =). Car, puifqu'on a BD : AC =
= DL : CE et que BD a été fuppofée plus grande que AC , on aura
auffi DL > CE. Par conféquent fi, dans le cas de la lentille biconcave,
on ajoute à chacune des deux dernières lignes l'épaifTeur DC de la
lentille, et que, dans le cas de la lentille cavoconvexe, on retranche
DC de DL et qu'on l'ajoute à CE, dans l'un et l'autre cas on aura
LC : DE < LD : CE ou LB : AE. Par une argumentation fem-
blable à celle dont nous nous fommes fervis plus haut dans le cas de
la lentille convexe, on prouvera que le rcétangle LE.CO eft plus petit
que le reélangle LE.DN, et par conféquent CO < DN; la différence
efl: toutefois petite: elle provient de l'épaifTeur de la lentille. Car fi
nous négligeons cette épaifTeur, de forte que les deux points D et C
coïncident au point D , les difl:ances DN et DO deviendront égales
entre elles, ce qui fe démontre de la même manière que dans le cas
de la propofition précédente fe rapportant à la lentille convexe.

Or, ici auffi les points de dif^^erfion O et N pourront maintenant
être trouvés plus rapidement; il fuffit de faire en forte que le rapport
DL : LB foit égal à l'indice de réfraélion, comme auparavant, et
qu'on ait enfuite BA : AD = BL : DN ou DO 3). La démonftration
efl: également la même que pour la lentille convexe.

Il efl: évident que fi les deux furfaces concaves [Fig. 51] ont la
même courbure, donc fi AD =:DB, DN ou DO fera égale à la
moitié de LB et par conféquent, fi la lentille efl: en verre, préci-
fément égale au rayon- AD ou BD. Et cela pour la même raifon que
celle qui a fervi pour le point de concours de la lentille convexe.

^) Dans le cas de la figure 51 on a :

«11, R,

DO

n — I

•«CR, + RO+C»-0^

dans celui de la figure 52:

— ei CN =

«— I

R„^

«CR,+RO + C«-i>

^•■>

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653.

93

minor quam CN, fi AC fiierit minor quam BD '), et contra '').
Quia enim BD ad AC ut DL ad CE , poniturque BD major quam
AC, erit et DL major quam CE. Itaque in cafu lentis utrim-
que cavae fi addatur utrifque DC lentis craflitudo, in cafu vcro
cavoconvexse, fi auferatur DC à DL, eadem vero addatur ad
CE, fiet utrobique minor ratio LC ad DE quam LD ad CE,
hoc efl:, quam LB ad AE. Unde fimili argumentatione ac fupra
in lente convexa efficietur reéttangulum LE, CO minus elTe
reélangulo LE, DN , ideoque CO minorem quam DN; difFerentia
vero efi: exigua , quse oritur ex craffîtudine lentis. Namque fi pro
nulla habeatur lentis craflitudo, ita ut pro punftis D et C fit
unum D, jam difl:antiae DN, DO inter fe aequales fient, quod
eodem modo demonfl:ratur atque fuperiori propofitione in lente
convexa.

Poterunt autem hic rurfus punfta difperfus O vel N brevius
nunc inveniri, faciendo tantum ut DL ad LB habeat rcfraélionis
proportionem , ficut prius; ac deinde ficut BA ad AD ita BL ad
DN vel DO 3); cujus eadem quoque efi: demonftratio quse fuit in
lente convexa.

Liquet autem, fi utraque fuperficies fuerit sequaliter concava
[Fig. 51], hoc efi, fi AD sequalis DB, quod DN vel DO erit sequa-
lis dimidi^ LB: ac proinde, fi lens vitrea fuerit '*) , œqualisipfi
AD vel BD femidiametro. Eadem fcilicet ratione qua id in lente
convexa de concurfus punfto oftenfum fuit.

^

iU

D0 =

— R,^

«R,R,

«CR,-R0-(«-O^

— e-, CN =

R.^

«(R,-RO-(«-0^

— e.

*) C'est-à-dire dans le cas de la figure 51; dans celui delà figure 52 on a toujours, par sup-
position, AC = R, < BD = R^,

3) Ce qui amène respectivement -Tf = («— i) T-j^ ~f~ir J^'t^^C" — ^^CrT — R J'

où /représente la distance focale.
^_) C'est-à-dire dans le cas « = |.

94

TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

Proposition XVIII.

Trouver une lentille poffédant une fur fa ce convexe égale
à une fur fa ce donnée, et ayant fon point de concours des
rayons parallèles à une distance donnée.

-3

tA

[Fig.53.] [Fig.54.] Soit donnée Tune des furfaccs de la lentille C, c'eft- à-dire fon
rayon de courbure AC. Soit CO la diftance donnée. On demande
de trouver une féconde furface qui, jointe à la première, puifTe
conftituer une lentille capable de réunir les rayons incidents
parallèles au point O.

Prolongeons AC jufqu'en P de telle manière que le rapport
AP:PC foit égal à l'indice de réfraétion. Alors fi la diftance
'■/l OC eft trouvée être précifément égale à la diftance CP, la

deuxième furface de la lentille devra être plane, ainfi que cela
eft manifefte par la prop. XIV ^). Mais fi OC et CP font inégales,
on prendra un point B tel que leur différence PO fera à OC
comme AC eft à CB *). Cette dernière longueur fera portée du
côté P, fi PC> CO, et de l'autre côté fi PC < CO. Et dans
le premier cas [Fig. 53] la deuxième furface de la lentille fera
convexe et aura BC pour rayon; dans le deuxième cas [Fig.
54] cette furface fera concave , de forte que la feélion de la len-
tille aura alors la forme d'une lunule. La preuve de ce que nous
venons de dire eft la fuivante. Comme on a AC : CB := PO :
: OC, on aura par compofition, dans le premier cas , AB : BC =
= PC : CO , et le même résultat fera obtenu dans le fécond cas
en prenant la différence des termes dont nous prîmes tantôt la
fomme. Or, le rapport AP : PC eft égal à l'indice de réfrac-
^ Q tion. Par conféquent, O eft le point de concours des rayons qui
tombent parallèlement fur la lentille C, d'après la prop. XVI 3).
On voit donc que la lentille qui fatisfait au problème a été trouvée.

"0

.<?

^3

-'?

*) Voir la p. 8 1 du Tome présent.

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653. 95

[Propositio XVIII.]

Lenteminvenire cujus fuperficies altéra convexafit eadem
datîe, quœque punctum concurfus parallelorum habeat ad
datam diftantiam.

Sit lentis C fuperficies altéra data, hoc efl: femidiameter ejus convexitatis
AC. deturque diftantia CO, oporteatque invcnire fuperficiem alteram quae
junéta priori , lentem efficiat quae radios parallelos cogat ad punélum O.

Producatur AC ufque in F, ut fit AP ad PC proportio refractionis. Tum fi
quidem difl:antia OC ipfî CP aequalis in veniatur,debebit altéra lentis fuperficies
plana effe, ut ex [prop. XIV] *) manifeftum efi:. Si vero OC, CP inae-
quales fuerint, fiât ficut differentia earum PO ad OC, ita AC ad CB '^);quje
accipiatur verfus P, fi PC major fuerit quam CO; at verfus partem alteram fi
minor PC quam CO. Eritque priore cafu [Fig. 53] fuperficies lentis altéra con-
vexa à femidiametro BC; polleriore [Fig. 54] autem cava, adeout tuncmenif-
cus habeatur. Demonftratio autem efl: hujufmodi. Quoniam efl: AC ad CB ut
PO ad OC, erit componendo in priorè cafu, in altero vero per converfionem
rationis contrariam ut AB ad BC ita PC ad CO. Eli autem AP ad PC pro-
portio refraftionis. Igitur erit O punftum concurfus radiorum qui paralleli inci-
dunt in lentem C, ut conftat ex prop. [XVI] 3)- Patetque lentem, qualis
requirebatur, effe inventam.

') Posant AC = R, , CO =/, CB = R^ cette proportion s'écrit dans le cas où PC > CO

(„-%-ï-/)^/=R. = R.

et dans le cas où PC «< CO :

ce qui amène respectivement les relations :

I j_ I

R,-(«-i)/ R/'^R.-R, («-0/

3) Il s'agit tlu dernier alinéa de la Prop. XVI , p. 89 du Tome présent. Toutefois pour rendre
directement applicables ici la construction et les raisonnements de cet alinéa , il faudrait les
modifier légèrement.

96 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

Proposition XIX.

[Fig.56.] Étant donnée une lentille poffédant deux fur face s
I convexes inégales ou à fection en forme de lunule,

trouver une autre lentille équivalente ayant une fur-
face convexe et une fur face plane ou bien deux fur-
1*^ faces convexes de même courbure^).

Soit donnée une lentille D biconvexe [Fig. 55] ou à feétion en forme
de lunule [Fig. 56]. Et foient A et B les centres des furfaces. Prenons
un point K tel qu'on ait BA : AD = BD : DK. Je dis que DK eft
le rayon de courbure de la furface convexe d'une lentille dont la
féconde furface eft plane et qui eft équivalente à la lentille D ^).
En effet, prenons les points L et N de telle manière que le rap-
port DL : LB foit égal à l'indice de réfraétion, et qu'on ait BA :
: AD = LB : DN. N fera donc le foyer de la lentille D , d'après ce qui
a été démontré à la prop. XVI ^). Mais on a auffi BA : AD = BD :
: DK; par conféquent, BD : DK = LB : DN. Et , par permutation ,
BD : BL = DK : DN. Donc on aura, par compofition, DL : LB = KN :
: ND. C'eft pourquoi auffi le rapport KN : ND fera égal à l'indice de
réfraétion. Par conféquent, fi une lentille eft placée en D polTédant une
furface convexe à rayon de courbure KD , et une deuxième furface
plane du côté K, fon foyer fera le point N , comme cela eft manifefte
d'après la prop. XIV 3).

Mais fi KD eft doublée , on aura par là le rayon de courbure de la
lentille biconvexe fymétrique , d'après la prop. XVI.

•A

'%

. K

11

') Posant AD = R j , BD = Ra etR pour le rayon cherché, la construction nous conduit à la for-

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653. 97

[Propositio XIX.]

[Fig- 55-] Datas lenti i nîcqu aliter co n vexas vel menifco, len-
i^-j- tem aliam aeqiiivalentcm invcnire, quas convcxam

et plana m fuperficiem habeat vel utramque convexam

îe q u a 1 i t e r.

Sic data lens D qiialem diximiis [Fig. 55] vel menifcns [Fig. 56].
Et centra fuperficierum fint A et B. Fiat ut BA ad AD îta BD ad
DK '). Dico DK eiïe feniidiametrum convexi, lentis qiise alteram
fuperficiem planam habeat, qiiîeque paria faciat cum lente D. Ilabeat
enim DL ad LB proportioncm quse ed refradtionis, et ut B A ad AD
ita fit LB ad DN. Erit ergo N focus lentis D, per ea quae in prop.
[XVI] =) demonrtrata funt. Verum ut BA ad AD ita quoque efl: BD
ad DK; ergo BD ad DK ut LB ad DN. Et permutando BD ad BL
ut DK ad DN. Et componendo igitur erit ut DL ad LB ita KN ad ND.
quare et KN ad ND erit refraélionis proportio. Itaque fi in D lens con-
ftituatur qiiœ fuperficiem alteram convexam habeat fcmidiametro KD,
alteram vero verfus K planam, ejus erit focus punélum N, ut ex prop.
XIV] 3) manifeflum eft.

Si vero KD duplicetur, habebitur femidiameter convexitatis ad
lentem duarum sequalium fuperficierum , ut patet ex prop. [XVI].

mule ^= ^j^ ± -^j^, où le signe -|- se rapporte au cas de la fig. 55 et le signe — à l'autre cas.

'^) Voir, à la p. 89 du Tome présent, le dernier alinéa de la démonstration de la propo-
sition citée.
3") Voir la p. 8 1 du Tome présent.

13

TRAITÉ DE LA REFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

Proposition XX.

[Fig.57.][Fig-58.][Fig-59.]

rL

Etant donnée une lentille quelcon-
que convexe ou concave, poffédant foit
deux fu r f a c e s f p h é r i q u e s foit une fu r-
face fphérique et une furface plane;
étant donné de plus fur l'axe de cette
l'en tille un point où fe dirigent ou d'où
proviennent des rayons lumineux qui
tombent fur la lentille: fi l'on conftruit
une troifième proportionnelle à deux
longueurs, dont la première eft la dif-
tance du point donné au point auquel
correfpondent les rayons réfractés pro-
venant de rayons incidents parallèles
venant de l'autre côté, et la féconde la
diftance du point donné à la lentille
elle-même, alors l'extrémité de la troi-
fième, portée fur l'axe à partir du point
donné dans le même fens que la pre-
mière longueur, fera le point de con-
cours ou de difperfion des rayons qui
proviennent du point donné ou qui fe
dirigentverslui^). ^

Soit C ^) la lentille , dont nous négligerons ici
l'épaifTeur, et foit D le point donné fur l'axe AC
de la lentille d'où proviennent ou vers lequel fe diri-
gent les rayons qui tombent fur la lentille C. Et foit
O le point auquel correfpondent les rayons réfraélés
provenant de rayons incidents parallèles venant de

') Afin d'obtenir pour les lentilles des formules valables quelles que soient la s uation de l'objet
et de son image on peut marquer sur l'axe optique ce qu'on considérera comme la direction
positive et assigner à un segment donné AB une valeur positive ou négative selon que la
direction de A à B coïncide, oui ou non , avec la direction positive.

Si alors on prend p. e. pour la direction positive celle du rayon qui parvient à la lentille

■ suivant l'axe, la construction de Huygens est interprétée par la formule DO X DP = DC" ;

où D représente l'objet, C la lentille, P l'image et O le foyer des rayons parallèles à l'axe,

qui viennent de la direction négative.

Cette formule nous semble bien remarquable à cause de sa simplicité et de sa généralité. En

TRACTAÏUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653.

99

[Propositio XX.]

[Fig.6o.][Fig.6i.][Fig.62.]

Pofita q II avis lente convexa vel cava,
five utraque fuperficie fphaerica con-
ftet, five altéra plana; datoque in axe
ejus piincto, k quo vel ad quod radij
te n dentés lenti occurrant: Si duabus ab
eo puncto diftantijs tertia proportio-
nalis ftatuatur, quarum distantiarum
prima fit ad punctum quo pertinent
refractiones parallelorum a contraria
parte incidentium, fecunda ad lentem
ipfam; erit terminus tertise diftantise,
fumendae à puncto dato in partem ean-
dem cum prima, punctum concurfus vel
difperfus radiorum à dato puncto vel
ad datum tendentium ').

Sit lens C ^) , cujus quidem craflltudinem tan-
quam fi nulla effet hic confiderabinms, in axe autem
lentis AC datum fit punélum D , a quo vel ad quod
tendentes radij lenti C occurrant. Sitque O punc-
tum quo pertinent refraftiones radiorum parallelo-

y substituant DC-j-CO pour DO et DC + CP pour DP,
on trouve CO X DC + CO X CP + DC X CP = o ,
ou bien

DC^CP

I

ôc

formule qui, dans le cas de la figure 57 , amène la relation
bien connue

-4-----

mais qui est également applicable aux autres cas, pourvu qu'on tienne compte du signe des
segmentsDC,CPetOC.

Ajoutons qu'en introduisant l'autre foyer O' et en substituant dans la formule de Huygens
DO + 2 OC -f O'P pour DP et DO -|- OC pour DC, on arrive à la relation DO X O'P =
= OC* , dont on fait quelquefois usage dans la dioptrique.
*) Voir les figures 57 — 68. Ces nombreuses figures représentent, sans même les épuiser, les diffé-
rentes situations relatives possibles des points A, B, C, D, E, L, O, P et R. Dans toutes la
lumière est censée partir d'en haut de la page , de manière que les rayons frappent en premier
lieu la surface dont le centre de courbure se trouve en A.

lOO

TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

[Fig. 66.-]
\

[Fig. 67.] [Fig. 68.]

■f^

l'autre côté. Prenons DP égale à la troifième pro-
portionnelle à DO et DC; cette diftance DP étant
toujours prife dans le même fens que DO. Je
dis que P fera le point de concours ou de dif-
perfion des rayons qui proviennent du point D
ou qui fe dirigent vers lui. Le cas où D coïncide-
rait avec O eft exclu, vu que dans ce cas les
rayons qui proviennent du point D ne feront pas
réunis en un point par la réfraétion due à la len-
tille, mais qu'ils deviendront parallèles, d'après
la prop. . . ^).

La preuve du théorème, lorfque les deux fur-
faces de la lentille font fphériques, fera la fuivante.
Soit A le centre de courbure de la furface fphé-
rique que les rayons incidents rencontrent la
première, et B celui de la deuxième furface. Con-
ftruifons les points E et L de telle manière que les
rapports CE : EA et CL : LB foient l'un et
l'autre égal à l'indice de réfraftion. Prenons CR
égale h AE, et portons-la fur l'axe de l'autre
côté de la lentille. Il en réfultera que AR :
: RC = CE : EA. Cherchons enfuite une qua-
trième proportionnelle DN à ces trois grandeurs
DR, DC et DA et portons-la dans un fens tel que
les quatre longueurs aient ou bien toutes le même
fens à partir du point D ou bien deux d'entre elles
un fens et deux l'autre ^'). Et dans le cas où D
coïncide avec le point A, il faudra fe repréfenter N
comme coïncidant également avec les deux points
nommés. Mais fi R coïncide avec D, nous aurons un
cas qui fera traité à-part 3). Jamais d'ailleurs N ne
coïncidera avec L, fi D diffère de O '^), comme nous avons dit que cela doit être.
Comme donc les rapports CE : EA et CL : LB font égaux l'un et l'autre
à l'indice de réfraélion, et que le point O efl: celui qui correfpond aux rayons
réfraétés provenant de rayons parallèles, ces quatre longueurs LE, LA, LC et
* D'après lesProp. LO formeront une proportion géométrique *. Il en réfulte qu'on aura LE : EA=r
XVI et XVII >). =LC:CO et, par permutation, LE : LC = EA (ou CR) : CO. Donc aufii
LE : EC = CR : RO. Vu que de plus , par conftruftion , DR : DA = DC :
: DN, on aura auffi DR : R A (ou EC) = DC : CN et, par inverfion, NC : CD =
= EC:DR. Par conféquent, NE : RC = EC : DR. Mais nous avons dit
que RC : RO := LE : EC. On aura donc , par la règle de la proportion déran-

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653.

loi

[Fig. 63.] [Fig, 64.] [Fig.65.] rum a contraria parte incidentium. Et ponatiir duabus

K

i.L

:■?

-i

-A \'/\

i-D

DO,DC tertia proportionalis DP, ita ut DO, DP
fempcr fïnt verfus partem eandem. Dico P fore punc-
tum concurfus vel difperfus radiorum ex D vel ad D
procedentium. Débet autem D non incidere in O,
quia tune radij ex D venientes refradlione lentis non
cogentur ad punélum, fed paralleli évadent, ut con-
fiât ex prop. ...').

Demonftratio autem , quando utraque lentis fuper-
ficies fphîerica ell, crit hujusmodi.

Sit A centrum fphsericce fuperficiei cui primum
incidentes radij occurrunt; B vero centrum reliquse.
Et inveniantur punda E et L, uttam CE ad EA quam
CL ad LB habeat proportionem refradionis. Et pona-
tur ipfi AE œqualis CR ad partem lentis alteram; unde
AR erit ad RC ficut CE ad EA. fiât quoque tribus
hifce DR, DC, DA quarta proportionalis DN,
fumendain eam partem ut vel quatuor omnes à pundto
D eodem verfus habeantur vel binae utrimque ^).
Quod fi D fit idem quod A punftum , etiam N cum
hifce coincidere cogitandum efl:. Si vero R cadat in
- P D, is cafus feorfim demonfl:rabitur 3). Nunquam vero
■ 'r^ N cadet in L, cum D diverfum fit ab O "*) , uti dixi-
mus efl!e debere.

Quia igitur CE ad EA, item CL ad LB efl: pro-
portio refraélionis, pundtumque O quo pertinent
refradliones parallelorum; erunt proportionales hae
quatuor LE , LA ; LC , LO *. quare et LE ad EA

t

\

0

Prop. [XVI et

7 7 7 1 XVII 1 *")

Ut LC ad CO , et permutando LE ad LC ut EA five '■' ^
|^/ I CR ad CO. Unde et LE erit ad EC ut CR ad RO.

Quia porro ex confl:ructione proportionales funt
DR, DA; DC, DN, erit et DR ad RA feu EC ut DC ad CN; et invertendo

*)La circonstance évidente qu'on peut intervertir le sens dans lequel un rayon et son réfracté
sont parcourus par la lumière, n'a pas été formulée par Iluygens dans une proposition.

^) Le premier cas se présente dans les figures 57 , 6o, 6i , 62 , 63 , 66 , 67 et 68; le second dans
les figures 5 8, 59, 64 et 65.

') Voir la p. 105 et la note i de la p. 104.

•*) Puisqu' on a (voir quelques lignes plus loin à la page qui suit) LE.DO = LN.DR,la
supposition LN = o, DO=ro, entraîne LE = o; mais alors évidemment AB = o et la
lentille, dont la surface convexe et la furface concave ont le même rayon et dont l'épaisseur
est négligée, n'aura aucun effet optique.

S) Voir les pp. 87 et 9 1 du Tome présent.

I02 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

[Fig.57.] [Fig.58.] [Fig.59.] [Fig.6o.] [Fig.61.] [Fig.62.]

géeO, EN : RO = LE:
: DR. Et , par permutation
et inverfion , LE : EN =
= DR : RO. D'où encore
LE: LN = DR:DO,et
par fuite reft. LE.DO =
= reét. LN.DR. Or on a
D0:0C=re6t.D0.LE:
:reft. OC.LE. On aura
donc DO : OC = redl.
LN.DR :rca OC.LE ou
reft. LC.RC. En effet,
nous avons dit auparavant
queLE:LC=CR:CO.
Mais DO : OC = DC :
:CP, vu que, par con-
ftruftion, DO, DCetDP
forment une proportion
géométrique. Par confé-
quentDC:CP = LN.DR:
: LC.CR. Or,LC.CR =
z= LB.AR, vu que, par
conftruélion , CL : LB =
= AR : RC. Par confé-
quent, DC : CP = DR.
.LN: LB.AR, où le der-
nier rapport eft compofé
des rapports DR : RA et
LN : LB. Mais le rapport
DC : CP efl compofé des
rapports DC : CN et CN : CP; donc (DR : RA) x (LN : LB) = (DC : CN) x
X (CN : CP). Or, DC : CN = DR : RA parce que par conftruétion DR : D A =
= DC : DN. On en conclut l'égalité des rapports qui relient , LN : LB = CN :
: CP. Donc auffi NL : NB = NC : NP.

Par conféquent, comme DR : DA = DC : DN, on voit en premier lieu, d'après
la prop. XII ''), que les rayons qui proviennent du point D ou qui fe dirigent vers
lui, font réfraétés par la furface dont A eft le centre, de telle manière qu'ils cor-
refpondent en fuite au point N. Mais comme on a auffi NL : NB = NC : NP , les
rayons qui fe dirigent vers N ou qui proviennent de ce point, correfpondront
en fécond lieu au point P , après avoir été réfraétés par la deuxième furface dont
B eft le centre, comme cela eft manifefte d'après la même propofition 3). Il paraît

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653.

103

NÇ ad CD ut EC ad DR. Qiiare et NE ad RC ut EC ad DR. Sed ut RC ad RO

rpiff 6'i 1 rpie 6a 1 ^^^ diximus efTe LE ad EC. Ergo ex aequali in ratione pertur-
L g. 3.JL g. 4.J ^^^^ ,^^ ^^.^ ^^ g^ ^^ ^ç^ .^^ ^^^ j^^ g^ permutandoct

l invertendo, ut LE ad EN ita DR ad RO. Hinc vero et LE ad

|K LN ut DR ad DO, ac proinde reftang. LE, DO œquale LN,

DR. EU autem ficut DO ad OC ita reftang. DO, LE ad OC,
LE. Ergo erit DO ad OC ut reftang. LN, DR ad OC, LE, hoc
eft ad reélang. LC, RC. Diftum enim fuit antea quod LE ad
LC ficut CR ad CO. Eft autem ut DO ad OC ita DC ad CP ,
quia ex conftr. proportionales funt DO, DC, DP. Ergo DC
ad CP ficut reftang. LN, DR ad LC, ÇR. Redangulura
autem LC, CR aequale eft LB, AR, quia CL ad LB ex conftr.
ut AR ad RC. Ergo DC ad CP rationem habet quam reétang.
DR, LN ad LB, AR, hoc eft, compofitam ex rationibus
DR ad RA et LN ad LB. Ratio autem DC ad CP componitur
quoque ex rationibus DC ad CNetCNadCP. Ergo eadem
eft ratio compofita ex rationibus DR ad RA et LN ad LB ,
compofitaî ex rationibus DC ad CN et CN ad CP. Ratio
autem DC ad CN eft eadem quae DR ad RA, quia ex conftr.
proportionales funt DR, DA; DC, DN. Ergo et reliqua ratio
LN ad LB eadem eft reliquae CN ad CP. Unde proportio-
nales quoque erunt NL , NB; NC , NP.

Primum itaque quia proportionales funt DR, DA; DC,
DN conftat ex prop. [XII] ^) radios qui ex punéto D vel ad
D feruntur, refringi a fuperficie cujus centrum A, utexinde
pertineant ad pundlum N. At quia porro proportionales quo-
que funt NL, NB; NC, NP;ideoqui ad N vel ex N ferun-
tur, refraéli in fuperficie altéra cujus centrum B , pertinebunt
ad punétum P , ut ex eadem prop. manifeftum eft 3). Itaque
patet P efie punétum concurfus vel difperfus radiorum
, . si 'l^i ^^ D punélo promanant, vel eo tendunt ; quod erat demon-
ftrandura.

*'L

^) On peut consulter sur le théorème en question la note 22 , p. 304 du T. XI.

*) Voir la p. 41 du Tome présent. En effet, il est facile de vérifier que le point R ,dont la

construction est indiquée k la p. loi, coïncide avec le foyer des rayons qui, avant leur

réfraction à la surface dont A est le centre, se mouvaient, à l'intérieur de la lentille, dans

la direction de l'axe , de bas en haut.
3) Puisque, de même, L est le foyer des rayons qui, avant leur réfraction par la surface

dontB est le centre, se mouvaient, à l'extérieur de la lentille, parallèlement à l'axe, de

bas en haut.

I04 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

donc que P efl: le point de concours ou de difperfion des rayons qui émanent du

point D ou qui fe dirigent vers ce point. Ce qu'il fallait démontrer.

[Fig. 69.] [Fig. 70.] Mais lorfqu'il arrive que les points D et R coïncident 0,1a
^L démonftration, après que nous aurons conftruit [Fig. 69 et 70]
le refte comme auparavant , excepté le point N, fera la fuivante.
Nous avons dit qu'on a EL : LC = RC : CO. On aura donc RO
(ou DO) : OC = EC : CL. Mais DO : OC = DC : CP, et EC :
: CL ziz RC : LB, vu que, par conftruétion, CE : EA (ou
CR) = CL : LB. Par conféquent, DC : CP = RC (ou DC) :
: LB. La diftance CP efl: donc égale à LB. Et en ajoutant des
: 'î / deux côtés BC, on aura auflî BP = LC. Le rapport BP : LB ou

BP : PC eft donc égal au rapport CL : LB. Mais c'efl: là, par
.A 1+^ confl:ruâ:ion, l'indice de réfraétion. D'après les prop. XI et IX 0,
on voit donc en premier lieu, attendu que le rapport AR : RC
efl: suppofé égal à l'indice de réfraétion , que les rayons qui cor-
refpondent à R ou à D et qui font réfraélés par la furface dont A
efl: le centre, auront tous la même direétion à l'intérieur de la
lentille. Mais ces rayons, tombant parallèlement fur la furface
dont B efl: le centre, correfpondront enfuite au point P ,vu que
le quotient BP : PC efl: égal à l'indice de réfraélion. Par confé-

'PT'^ l quent, P efl: le point de concours ou de difperfion des rayons

qui émanent du point D ou qui fe dirigent vers ce point. Ce
qu'il fallait démontrer.

Mais fi l'une des deux furfaces de la lentille efl: fphérique
et l'autre plane, l'une ou l'autre fera expofée aux rayons inci-

([ dents. Et fi c'efl: la furface fphérique dont A eft le centre qui leur
j eft expofée [Fig. 71—76], il faut conftruire à DO,DA et DC
une quatrième proportionnelle DN et la porter fur l'axe de telle
manière que ces quatre lignes aient ou bien toutes le même fens ou bien deux
d'entre elles un fens et deux l'autre. On aura donc DO : OA = DC : CN et, par
permutation , DO : DC = OA : CN. Mais on a aufli DO : DC = OC : CP, vu
que, par conftruétion, DO, DC et DP forment une proportion géométrique. Par

■ L

*) Vu la propriété du point R , laquelle nous avons indiquée dans la note 2 de la p. 103 , il est
clair que le cas dont il s'agit maintenant est celui où les rayons deviennent parallèles après la
première réfraction. Il en résulte qu'alors Huygens ne peut pas se servir de leur nouveau
point de concours N et qu' il se voit forcé d'apporter des changements dans sa démonstration.

^) Voir les pp. 41 et 35 du Tome présent. La Prop. XI se rapporte au cas de là figure 69, la
Prop. IX à celui de la fig. 70.

TRACT ATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653.

105

Cum vcro contingit piinda D et R in unum coire ') , conftruftis [Fig. 69 et

70] cseteris ut priiis, prêter punétiim N, dcmonftratio erit hujufiTiodi. Nimiriim

quia diaum fuit eiïe EL ad LC ut RC ad CO , erit RO feu DO ad OC ut EC ad

CL. Sicut autem DO ad OC ita eft DC ad CP,et ut EC ad CL ita RC ad

LB, quia exconftr. ell CE ad EA five CR ut CL ad LB. ItaqucDCadCP

ut RC feu DC ad LB. ac proinde CP ipfi LB sequalis. Et addita utrique BC,

erit quoque BP îequalis LC. Ergo eadem ratio BP ad LB feu PC quœ CL ad LB.

Haec autem efl: ratio refractionisex conftrudlione. Quia itaqueprimum AR ad RC

pofita efl: refraélionis proportio, confl:at ex prop. [XI et IX] =') quod radij ad R,

^, . _ hoc ell, ad D pertinentes, atque
[Fig.7..][Fig.7=.][Fig.73.][Fig.74.][F.g.75-][F.B.76.] ;„ a,p^,fi^;^ ^ujus centrum A

refraéti, paralleli intra lentem
incedent. Qui autem paralleli
occurrunt fuperfîcici cujus B
centrum efl;, pertinebunt dein-
ceps ad punftum P, quia BP
ad PC efl proportio refraftio-
nis. Itaque P efl punftum con-
curfus vel difperfus radiorum
ex D vel ad D tendentium;
quod erat dem.

Quod fi vero fuperficierum
lentis altéra fphjerica fuerit
altéra plana, erit vel hœc
vel illa radijs venicntibus ex-
pofita, ac fi quidem fphserica
ijs exponatur, cujus centrum
À [Fig. 71 — yô] fiât tribus
DO , DA , DC quarta propor-
tionalis DN, quae accipiatur in
eam partem ut vel omnes qua-
tuor eodem verfus habeantur
vel binae utrimque. Erit igitur
et DO ad O A ut DC ad CN,
et permutando DO ad DC ut
OA ad CN. Sed et DO ad DC
eft ficut OC ad CP, quia ex
conftr. proportionales funt DO,
DC, DP.Itaque OA ad CNut
OC ad CP; et permutando AO
ad OC ut NC ad CP. Ratio
14

Io6 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

* Prop.
XV 0-

Prop. XII •).

* Prop. VI et
VII ').

* Prop. XIV et
XV 0-

[Fig.75.] [Fig-7^'] conféquent, OA : CN = OC : CP et, par permutation, AO :
: OC zz: NC : CP. Or, le rapport AO : OC eft égal à l'indice
de réfradion , attendu que O ell: le point auquel correfpondent
XIV et R \ les rayons réfraélés provenant de rayons parallèles *. Le rap-

port NC : CP fera donc aufll égal à l'indice de réfraétion. Et
comme nous avons fait DO : D A = DC : DN , il paraît donc
que tous les rayons qui fe dirigent vers le point D ou qui pro-
viennent' de ce point , font réfraétés à la furface dont A efl: le
centre de telle façon qu'ils correfpondent en fuite au point N *.
Mais comme le rapport NC : CP efl: égal à l'indice de réfrac-
tion, les rayons qui correfpondent au point N, après avoir été
réfraétés à la furface plane delà lentille, correfpondrontenfuite
au point P *. Dans ce cas le théorème efl: donc également vrai.
Mais fi les rayons tombent d'abord fur la furface plane de
la lentille [Fig. y^ — 82], et que A efl: de nouveau le centre de
la furface fphérique, il faut prendre le rapport CE : EA égal
à l'indice de réfraétion , et de même aufli le rapport MC : CD.
Puifque donc O efl: le point auquel correfpondent les rayons
parallèles, CO fera égale à AE *, et on aura donc aufli CE :
: CO = CE : EA, ou MC : CD. C'eft pourquoi auffi ME :
: OD = MC : CD. Mais OD : OC = DC : CP, vu que, par con-
fl:ru6lion, DO, DCet DP forment une proportion géométrique.
En combinant les deux proportions, on trouve donc ME:
: OC (ou EA) = MC : CP, et par conféquent, ME : MA =
= MC : MP. Comme nous avons pris le rapport MC : CD égal
à l'indice de réfraélion , les rayons qui proviennent du point D
ou qui fe dirigent vers lui, correfpondront au point M après
avoir été réfraftés à la furface plane de la lentille *. Et comme
*Prop.iVctV=). on a ME : MA = MC : MP, il efl: prouvé * que les rayons qui

♦ Prop. XII *). correfpondent au point M, après avoir été réfraétés à la furface

\^ dont A efl: le centre correfpondront enfuite au point P. C'efl:ce
qui refl:ait à démontrer.
Il réfulte clairement de ce qui précède que, en ce qui regarde la difl:ance des
points de concours ou de difperfion des rayons qui émanent de points quelcon-

D

•■0

t

^) Voir les pp. 81 et 83 du Tome présent.

^) Voir la p. 41 du Tome présent.

3) Voir les pp. 25 et 27 du Tome présent.

'*) La leçon primitive et la copie de Niquet donnent ,,habeat CE ad EA proportionem

refractionis."
5) Voir les pp. 19 et 23 du Tome présent.

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653.

107

auccm AO ad OC e(ï ea qiiae refraélionis, quia O efl: punftum quo pertinent
refraéliones radioruni paralleloriim *. Igitiir et NC ad CP erit refraélionis pro- * Prop. [xiVct
portio. Quia icaque fecimus proportionales DO, DA; DC, DN; apparct radios '-' ^
omnes qui ad D vel ex Dferuntur, refringi in fuperficie cujus centrum A,ut
exindc pertineant ad punétum N *. Sed quia NÇ ad CP rationcm habet quae eft * l'rop. [xii.] ')
refraétionis, ideo qui ad punélum N pertinent, refraéti in plana lentis fuperficie,

pertinebunt indc ad punc-
[Fig.77.][Fi8.78.][Fig.r9.] [Fig.80.] [Fig.81.] [Fig.82.]

Ml

tum P *. Ergo et hic con-
ftat propofitum.

Si vero in planam lentis
fuperficiem primum radij in-
cidant [Fig. 77 — 82], rur-
fusque centrum fuperficiei
fphsericae fit h-^ fiât ut CE ad
EA proportionem refraélio-
nis habeat^')^Vitc^\\Q. itemMC
ad CD. Quia igitur O punc-
4 tum eft quo pertinent refrac-
/ tionesparallelorum,erit CO
/ sequalis AE*;ideoquectCE
I ad CO ut CE ad E A, hoc eft,
/ utMCadCD.QuareetME
/ ad OD erit ut MC ad CD.
Eft autem ut OD ad OC ita
DC ad CP, quia ex conftr.
proportionales funt DO,
DC, DP. Igitur ex aequo,
ut ME ad OC five EA ita
MC ad CP; ac proinde ut
ME ad MA ita MC ad M P.
Quia igitur pofita eft ratio
MC ad CD eadem quae
refraélionis , ideo radij ex D
vel ad D tendentes, poft
refraftionem in fuperficie
lentis plana, pertinebunt
ad punélum M *. Et quia
proportionales funt ME,
MA; MC, MP, conftat*
radios qui ad M punélum
pertinent, refraftos in fuper-

* Prop.
VIL] 0

[VI et

* Prop. [XIV et

XV.] •)

* Prop,
V.]0

[IV et

Prop. [XII.]»)

Io8 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

qiies ou qui fe dirigent vers des points quelconques, il ne fait aucune différence
de tourner l'une ou l'autre des furfaces de la lentille vers le côté des rayons
incidents.

On voit auffi que des lentilles à furfaces différentes, mais pofTédant des points
de concours ou de difperfion des rayons parallèles fitués à égale diftance, font
équivalentes fous les autres rapports. Cela réfulte de ce fait que dans la conftruélion
on n'a pas égard aux centres de courbure des deux furfaces de la lentille, mais feule-
ment aux points de concours ou de difperfion des rayons incidents parallèles ').

Proposition XXI.

Placer en un lieu donné une furface fphérique capable de
réunir en un point donné les rayons provenant d'un autre
point donné ou fe dirigeant vers un tel point ^).

[Fig. 83.] [Fig. 84.] Soient A, B et D [Fig. 83 - 87] 0 les points donnés,
fitués fur une ligne droite, et foit demandé de placer
au point D une furface fphérique capable de réunir
au point B les rayons qui proviennent du point A ou
qui fe dirigent vers ce point.

Il faut favoir qu'en un feul cas on ne trouve pas
une furface fphérique mais, au lieu d'elle, une furface
plane. Cela aura lieu lorfque le point A ell: fitué entre B
et D, et que le rapport BD : DA efl: égal à l'indice de
réfraétion, comme dans le premier des cas confidérés
[Fig. 83]. Car fi l'on fait pafTer par le point D une fur-
face plane limitant un corps tranfparent qui fe trouve
du côté de A, cette furface forcera les rayons qui fe
dirigeaient vers le point A de fe réunir au point B,
comme cela a été démontré plus haut 4). Dans les autres
cas [Fig. 84 — 87] , la conftruétion fera la fuivante.
Prolongeons DA jufqu' en K de telle manière que
le quotient KD : DA foit égal à l'indice de réfraélion ,
et conflruifonsune quatrième proportionnelle BC àBK,
BA et BD^ Portons-la fur la droite donnée dans un fens
tel que les quatre longueurs aient ou bien toutes la même
direétion ou bien deux d'entre elles une direâ:ion et les
deux autres la direélion oppofée. Si nous décrivons alors

^) A une date de beaucoup postérieure, probablement en 1692, Huygens a annoté ici „NB.
Hic inserenda qu« de aberratione radiorum in lentibus , quïe incipiunt pag.

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER L 1653. lOp

ficie, CLijus centrum A, pertinere porro ad punétiim P. Quod demonftrandum
fupererat.

Manifeftum autem ex his eft, quantum ad diftantiam punélorum concurfus vel
difperfus radiorum, à quibufvis vel ad quselibec punéta tendentium, nihil intereffe
utra lentis alicujus fuperficies radijs incidentibus obvertatur.

Item diverfarum fuperficierum lentes, quse punfta concurfus vel difperfus
parallelorum aeque remota habent, etiam ad cjetera équivalentes eiïe. Nempe
quia in conftruétione non attenduntur centra fmgularum lentis fuperficierum , fed
tantummodo punétum concurfus vel difperfus radiorum parallelorum ').

[Propositio XXL]

Indato loco fuperficiem fphaericam constituere, quae radios
ex dato vel ad datum punctum pergentes,ad punctum aliud
d a t u m c o n c u r r e r e f a c i a t ^).

Sint data punéta A, B et D [Fig. 83 — 87] 3) in linea reéta et oporteat ad D
fuperficiem fphsericam conftituere quse radios ex A vel ad A tendentes colligat
in punélo B.

Sciendum quod uno cafu fuperficies fphaerica non invenitur, fed plana ejus
loco. Nempe cum punétum A inter B et D fitum eft, habetque BD ad DA ratio-
nem quae efl: refraftionis, ut in cafu horum primo [Fig. 83]. Nam fi per punélum
D plana fuperficies ducatur diaphanum terminans quod fit a parte A , ea radios
verfus A punftum tendentes coget ad punélum B , ut fupra demonfl:ratum fuit 4).
In cseteris autem cafibus [Fig. 84 — 87] hsec erit confliruélio. Producatur DA
ad K, ut KD ad DA fit eadem quae refraélionis ratio ; et tribus hifce BK, BA,
BD, inveniatur quartaproportionalis BC, ponaturque in eampartem ut vel omnes
in eandem tendant, vel binae in utramque. Jam fi centro C circumferentia
defcribatur DE, ea fedtionem quasfitae fuperficiei exhibebit, diaphanum habentis a

45 rubric". Voir, sur cette pagination en rouge et sur les raisons qui nous ont conduit à ne
pas suivre cette indication , les dernières pages de r„Aperçu général", qui constitue le début
de r„Avertissement".

*) Beaucoup plus tard Huygens écrivit en marge „hasc omittatur" et un peu plus hautJ
„Prop. pag. 65." [Voir la Prop. I du Livre III] „tum de radijs obliquis" [Prop.
XXII, p. 1 1 1] „tum de oculo." [Prop. XXVI, p. 129] „de emendando visu". [Prop.
XXVII, p 135] „aquae refr." [Prop. XXVIII, p. i39];mais, puisque nous voulons faire
connaître la „Dioptrique" telle qu'elle était conçue par Huygens dans les années 1652 et
1653, nous avons cru ne pas devoir omettre la proposition présente.

3) Dans toutes ces figures les rayons sont censés arriver d'en haut de la page.

'^) Voir la Prop. IV , p. 1 9 du Tome présent.

I lO TRAITÉ DE LA REFRACTION ET DES TELESCOPES. LIVRE I. 1653.

[Fig.85.]

[Fig. 86.]
1^

une circonférence DE avec C pour centre , cette circonférence repréfentera la
feétion de la furface cherchée, le corps tranfparent étant placé du côté de B. Cette
furface fera convexe dans tous les cas , excepté un feul
[Fig. 87] où elle fera concave , favoir le cas où le point
A ell: placé entre D et B de telle manière que le rapport
BD : DA ell: plus grand que l'indice de réfraélion.

Quant à la démonftration , elle eft la fuivante. Pofons
DF z=. AK, d'où réfulte que l'on aura en même temps FA =
i=D K, et faifons en forte que le rapport CR : RD foit égal
à l'indice de réfraélion , c'eft-à-dire au rapport KD : DA.
Comme BK : BA = BD : BC on aura donc BK : KA =
= BD : DC et, par permutation, BK : BD = KA (ou DF) :
: DC. Donc auffi KD (ou AF) : DB = FC : CD ; et , par
permutation et inverfion, FC : FA = DC : DB. Enfuite,
comme FA •=. KD par conftruétion , on aura FA : AD =
= KD : DA ou CR : RD. Donc auffi, par converfion, AF :
: FD = RC : CD. Mais nous avions FC : FA = DC : DB.
On aura donc , par la règle de la proportion dérangée ''),
FC : FD = RC : DB. De plus , comme FA : AD = CR :
: RD, on aura, par partage, FD : DA ■=. CD : DR et,
par permutation , FD : CD = D A : DR. Donc auffi FD :
: FC =z DA : AR. Et, par inverfion, FC : FD = AR : AD.
Mais nous avions démontré FC : FD zzz RC : BD. Donc
auffi AR : AD= RC : BD. Et, par permutation, AR : RC rr: AD : BD. Par confé-
quent, AR, AC, AD et AB forment également une proportion géométrique. lien
réfulte que les rayons qui correfpondent au point A fontréfraélés dételle manière
par la furface DE qu'ils fe réunifTent au point B =). Ce qu'il fallait démontrer.
Or, fi l'on ajoute à la furface trouvée une deuxième furface à centre B et de
rayon inférieur à BD, les deux furfaces formeront enfemble une lentille capable
de produire l'effet défiré; car aucune réfraction n'aura lieu à la deuxième furface,
vu que les rayons fe dirigent vers fon centre 3).

Proposition XXII.

Chercher les points de concours ou de difperfion des rayons
qui correfpondent à un axe de la lentille faiblement incliné
par rapport à l'axe principal, et démontrer que la diftance

') Voir la note i , p. 103.

=) D'après la Prop. XII , p. 41 ; puisque R est le point de concours des rayons arrivant d'en bas
de la page.

3) On peut remarque encore que la lentille ainsi construite pourrait être remplacée, en appli-
quant les prop. XVIII ou XIX Cp. 95 et 9^^ , par d'autres lentilles équivalentes.

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653. I I I

parte B. Quae quidem caeceris cafibus convexa, uno vero cavaerit [Fig, 87],

nempe fi punftum A pofitum fueric inter D et B, et major ratio BD adDA

ratione refraélionis.

Ad demonftrationem aiitem, ponatur DF aequalis AK , ut fimul fiât

[F»g« 87-] p^ aequalis DK. etJaabeat CR ad RD rationem qu» eft refraétionis, hoc
efl: , quam habet KD ad DA.

Quia igitur BK ad BA ut BD ad BC, erit et BK ad KA ut BD ad DC,
et permutando, BK ad BD ut KA feu DF ad DC. Quare et KD feu AF
ad DB, ut FC ad CD; et permutando et invertendo FC ad FA ut DC
^± ad DB. Porro quia FA aequalis KD ex conftrudione , erit FA ad AD
ut KD ad DA, hoc efl:, ut CR ad RD. Igitur et per converfionem
rationis, AF ad FD ut RC ad CD. Sed ut FC ad FA ita erat DC ad
DB. Igitur ex gequali in proportione perturbata ^) , erit FC ad FD ut
RC ad DB. Infuper quia ut FA ad AD ita CR ad RD, erit et divi-
dende, FD ad DA ut CD ad DR; et permutando, FD ad CD ut DA ad
DR. Ergo et FD ad FC ut DA ad AR. et invertendo FC ad FD ut AR
ad AD. Sed ut FC ad FD ita oftenfa fuit RC ad BD. Igitur et AR ad
AD ut RC ad BD : Et permutando AR ad RC ut AD ad BD. Ideoque
et proportionales AR, AC; AD, AB. Unde liquet radios ad punélum
A pertinentes, ita refringi in fuperficie DE ut congregentur in pundo
/j-^ B ^). Quod erat demonftrandum.

Si vero inventae fuperfîciei altéra jungatur centro B , femidiametro
minore quam BD; confl:ituent fimul lentem, quse propofitum efficiet;
nam in pofteriori fuperficie nulla amplius continget refraétio , quum

radij ad ipfius centrum ferantur 3).

f Propositio XXII.]

Radiorum^^^ qui ad axes lentium pertinent ah axe pri-
mario paulum déclinantes^ puncta concurfus vel difp erfus
inveftigare. Et oftendere eandem fere horum effe a lente di-

^) La partie cursivée au côté latin, qui va suivre, est d'une date inconnue; mais après 1666.
Elle remplace la rédaction suivante qu'on retrouve dans la copie de Niquet :

Radiorum qui a punctis extra axe m lentis positis éma-
nant concursus vel dispersus puncta investigare.

Proprium eft sphaericis diaphanorum superficiebus ut non tantum aptae sint
ad cogendos dispergendosve radios qui uni cuidamlineae paralleli feruntur,
vel a puncto in ea linea posito profiscuntur, sed et ad innumera alla , a quibus

lia TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. I 653.

de ces points à la lentille eft à-peu-près la même que celle
des points qui appartiennent à des rayons correfpondant à
Taxe principal, fi ces rayons étaient parallèles ou éma-
naient de points fi tu es à la même diftance de la lentille.

[Fig. 88.]

Jufqu' ici nous avons examiné des fyftèmes de rayons parallèles aux axes des
lentilles ou correfpondant à des points fitués fur ces axes.
Mais il eftnéceflaire d'avoir égard auffi aux rayons qui cor-
refpondent à des points fitués en-dehors de l'axe , attendu
que les merveilleux phénomènes qui fe préfentent dans
l'oeil et dans les inftruments optiques de toute efpèce
dépendent également de ces rayons-là. Il faut examiner
d'abord ce qui a lieu à une feule furface, parce que, ceci
étant connu , la chofe fera auffi plus facile pour les len-
tilles.

SoitEA [Fig. 88] une furface fphérique convexe, C fon
centre, AC fon rayon de courbure. Prolongeons ce rayon
jufqu' au point B, de telle manière que le rapport AB : BC
foit égal à l'indice de réfraftion. Imaginons-nous de plus
une furface fphérique concave BD , avec le même centre
C, qui recevra les rayons. Alors non feulement les
rayons parallèles à la droite CB et tombant fur la furface AE fe réuniront en
B, comme cela a été démontré à la Prop. VIII ') , mais ceux qui fe mouvront
parallèlement à la droite CD, formant un angle quelconque avec CB, fe réuniront
de la même manière au point D.

En fécond lieu, fi les rayons qui proviennent d'un point quelconque G
[Fig. 89] ou qui fe dirigent vers un tel point [Fig. 90] , et qui font réfraélés
à la furface fphérique AE , ont un point de concours H , lequel eft trouvé
à l'aide de la Prop. XII , p. i et 4 3) , et que nous nous figurons les furfaces
fphériques GK, HL à centre C, alors les rayons qui proviennent de K,
point de la furface GK, ou qui fe dirigent vers K, fe réuniront de la même
manière en un point de la furface HL , tel que L. Cela eft évident par foi-même
dans tous les cas.

radios recipere possint, comparatse sint. Maximeque omnium superficies
singulae, uti ex adjuncta descriptione perspicuum fit. Sit enim superfi-
cies ," etc.
') Voir la p. 33 du Tome présent.

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653.

"3

[Fig. 89.]

[Fig- 90-]

ftantiam ac eorum quœ ad puncta radiorum in axe pofitorum
pertinent^ fi vel paralleli vel aque procul diftantibus punc-
tis radij fuerint egreffi.

HaEîenus complexus radiorum examinavimus qui ad axes lentium referuntur.
Sed necejfe eft eos quoque infpicere qui ad pun&a extra axem pojtta pertinent ^
quoniam ah his radij s ccque ac ah illis pendent îum ocuîi tum omnis generis per/pi-
cillorum miri eff'eStus. ac videndum primo ^ quid fîat in fuperficiebus fingulis ^ quia
hoc cognito^ etiam de lentibus res erit facilior.

Sic fuperficies fphaerica convexa EA [Fig. 88], cujus centrum C, femidia-
meter convexitatis AC, quae producatiir ad B, ut fie ratio AB ad BC eadem
qiise efl: refradlionis. Intelligatur porro fuperficies fphserica cava, radios exceptura,

BD; centrum idem habens C. Jam non
tantum radij paralleli reélae CB,inruper-
ficiem AE incidentes, convenient in B, ut
in [Prop. VIII] ') demonfl:ratum efi:, fed et
ij qui reétae CD , angulum qualemcumque
cum CB confl:ituenti, paralleli ferentur,
eodem modo ad D concurrent.

Rurfus fi à punfto [Fig, 89] veladpunc-
tum aliquod G [Fig. 90] tendentes radij
fractique in fuperficie [ph^crica AE ^) ,
habuerint punftum concurfus H; hoc autem
inveniturper [Prop. XII, part, i et 4] ') et
centro C intelligantur fuperficies fphaericse
GK, HL, tune radij ex K punfto fuperficiei
GK venientes , vel ad K tendentes *), con-
current fimiliter ad punélum in fuperficie
HL, ut L. atque haec per fe manifefta funt

in quihufcunque cajihus 4).

^) Au lieu des mots en italique qui précèdent , on lit dans le manuscrit de Niquet : „aliquo G

venientes radij , refractique in superficie eadem AE."
^) Voir les pp. 43 et 71 du Tome présent.
^) Ces mots manquent dans la copie de Niquet.

15

I 14 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

ConfidéronsOniaintenant une lentille convexe AO [Fig. 9 1], avec BAE comme

axe, fur lequel fe trouvent donc les centres des fur-
faces AN et OP, c'eft-à-dire, les points C et G. Les
rayons qui proviennent du point B et qui rencon-
trent la furface AN, y font réfraétés de manière à
fe diriger vers le point E; enfuite, après avoir
été réfraftés de nouveau à la furface OP, ils fe
dirigent vers le point V. Suppofons *) de même que
des rayons ilTus d'un point D fitué en-dehors de
l'axe et fe trouvant à égale diftance que le point B

') Dans la copie de Niquet on trouve au lieu de la partie
qui débute ici , et que nous donnons en italique au côté
latin, la leçon suivante, plus primitive, où nous avons
changé quelques notations afin de les conformer à celles
de la figure 91.

On remarquera que la démonstration y est moins com-
plète que celle qui l'a remplacée , puisqu' elle ne traite
que le cas des rayons parallèles, c'est-à-dire, celui où
les points B et D se trouvent à l'infini.

„Proponatur vero nunc lens ANP [voir les
figures de la p. 1 15] cava vel convexa cujus super-
ficies OP, AN fuit a centris G , C. Axis ergo
lentis est GC. Producatur is utrinque ad E et
D ut tam AE ad EC quam OD ad DG rationem
habeat quae est refractionis; et centris C et
G intelligantur superficies sphsericse ES , DM.
Si igitur propositum sit parallelorum radio-
rum, non axi GC sed alij redlae ut FC punétum
concursus invenire, post lentem convexam,
vel punctum difpersus ante lentem cavam, pri-
mum notetur interseélio lineae FC et circum-
ferentiae ES, quae fit in punfto S; namque
erit hoc punctum quo pertinebunt radij rectse
FC paralleli post primam refractionem in super-
ficie AN, ut ex prop. [VIII , pag. 33 et X ,
pag. 39] est manifestum. Jungatur SG , et pro-
ducta occurrat superficiel DM in M. Itaque
quoniam radij ad punctum S pertinentes, inci-
dunt in superficiem sphsericam POQ , per cujus
centrum ducta est SGM, erit in hac linea punc-

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653.

"5

Ponatur ') nunc lens convexa AO [Fig. 91] cujus axis B/iE^in quo nempe
centra fuperficierum AN^ OP fint C et G. Radij autem a punBo B mariantes
in fuperfîciem AN^franguntur ut inde tendant adpunBum E; atque iterum fra&i
in fuperficie OP pergant ad punSîum V. Item -) a punEîo D extra axem^ quodque
tantundem ac B diftet à fuperficie AN ^yelà centro ejus C, egrejjt radij in fuper-

tum L conciirsus vel dispersiis refractoriim; quod quidem invenitur si fiât ut

P SM ad SG, ita SQ ad SL; ut
constat ex prop. [XII part. 4,pag.
71 et part. 7, pag. 77] ex eadem
vero si fiât ut ED ad EGita EO ad
EV , patet in puncto V fore con-
cursum vel dispersum radiorum
axi GC parallelorum. Et quoniam
eadem proxime est ratio linearum
ED ad EG et SMadSG;etEO
proxime quoque aequalis ^Q-^
etiam OV, QL, fere aequales
erunt. Quare sequali fere inter-
vallo a lente distabunt puncta
V et L, alterum concursus vel
dispersus radiorum axi lentis
parallelorum , alterum eorum qui
tantum inter se, non autem axi
paralleli incidunt."

„Quae autem de parallelis radijs
dicuntur, intelligenda sunt etiam
de illis qui a singulis punctis visi-
bilis longinqui exeunt , quoniam
hi pro parallelis habentur. Simili
vero ratione, et, a propinquis punctis extra axem positis, venientium radiorum
puncta concursus vel dispersus investigari possunc."
*) A partir de cette phrase, nous possédons encore une autre leçon de toute la partie en italique
qui suit. Elle doit avoir précédé celle que nous donnons et n'en diffère que dans le mode de
rédaction de plusieurs phrases. En voici, par exemple, le début : ,,Porro etiam à puncto D
îeque ac B distante à superficie AN, atque extra lentis axem CABposito,
incidant radij in fuperficiem hanc quorum punctum concursus L post binas in
lente refractiones ita inveniemus. Ducta recta DC ea secabit superficiem AN
ud rectos ang. in N, invenieturque in eadem linea producta punctum S quo
concurrunt radij ex D venientes ex refractione superficiel AN per prop. . . .
Et apparet" , etc.

I l6 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

de la furface AN, c'eft-à-dire de fon centre C, tombent fur elle. Nous trouvons

de la manière fuivante le point de concours
L de ces rayons après les deux réfraftions
dues à la lentille.

Tirons la droite DC, qui coupera la fur-
face AN perpendiculairement en N et cher-
chons fur le prolongement de cette même
ligne le point S où fe réuniflTent les rayons
qui proviennent de D après avoir été réfraélés
à la furface AN, d'après ce qui a été expofé
plus haut. Or, il appert que les dillances CS
et CE feront égales. Joignons maintenant les
points S et G par une droite qui coupera la
furface OQ normalement en Q. Par confé-
quent, le point de concours L des rayons qui
après la première réfraétion fe dirigent vers S
et qui font réfraétés de nouveau à la furface
OQ , fe trouve fur cette même droite SG.
Ce point de concours peut donc être trouvé
d'après ce qui a été dit plus haut.

Et que le point L eft à peu près à la
même diftance de la lentille que le point
V, on le démontre de la manière fuivante.
Si les points E et S, fommets des cônes
lumineux ') , étaient à égale diftance de la
furface OQ, qui par fa réfraélion change
ces cônes en d'autres dont les fommets font
L et V , ces deux derniers fommets feraient
eux auffi à égale diftance de cette furface.
Or, les diftances QS et OE font à-peu-
-près égales: elles ne diffèrent l'une de
l'autre que d'une fort petite quantité, favoir
de l'excès de GE ou de la fomme de
GC et CS fur GS. Par conféquent, les
diftances LQ et VO elles aufli feront à-peu-
près égales. Mais comme nous fuppofonsque
les droites qui joignent les points B et D
d'une part et les points V et L d'autre part ,
font fort petites et que ces points eux-mêmes
font à égale diftance de la lentille, elles peu-
vent être confidérées comme perpendiculaires à l'axe BE de la lentille.

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653. I IT

ficiem hanc incidant. Horum pun&um concurfus L pofî binas in lente refra&iones
ita invenimus.

Ducatur reBa DC^ qua fecabit fuperfîciem ^Nin iV, adreSîos angulos: inve-
nieturque in eadem linea produSfa punEium S quo concurrunt radij ex D venientes
pofî refraBionem in fuperfîcie AN ^ per fuperius expoftta. Et apparet difîantias
es, CE fore aquales. Jungatur jamSG ^ qua; fuperfîciem OQjiormaliter fecabit
in Qj eritque propterea in ipfa S G pun&um concurfus L^radiorum ex prima
refraBione tendentium ad S, ac rur fus refraBorum in fuperfîcie 0^, atqueinve-
nietur inde ifîud concurfus punStum ex fuperioribus.

Quod autem punBum Lproxime eandem difîantiam habebit à lente acpun&um
V , hinc confîabit. Si enim punBa E , S, vertices nempe conorum radio forum *)
aqualiter diftarent a fuperfîcie OQ, cujus refractione mutantur ht coni in conos
quorum vertices L et V ; etiam hi vertices aqualiter difîarent ab hac fuperfîcie,
Sunt autem difîantia QS, OE proximè aquales , quippe minimo quopiam diffé-
rentes, quanto nimirum GE five dua fîmul GC, CS fuperant G S. Ergo et
difîantia LQj, VO proximè aquales erunt. ReBa; autem qu<t punBa B,D, item-
que F , L, conjungunt, quia minimal effe cenfeniur , et punBa ipfa aqualiter a lente
difîant,poffunt tanquam ad axem lentis BE perpendiculares haberi.

Hac autem non difficulter ad cavas quo que lentes, et ad eas qua alteram
fuperfcierum planam habent ^ omnemque cafuum diverfitatem , facile tr ans fer ri
poffunt radios parallelos tanquam ad punBum infinité difîans conftderando.

') A propos de ces cônes Huygens ajouta en marge, probablement à une époque encore bien
postérieure, l'annotation suivante: „Conos radiosos utrimque lentem pro basi haben-
tes nullo modo se mutuo impediri , cujus ratio vix aliter comprehendere potefl;
quam eo modo quem in libro de lumine explicuimus." Voir les dernières pages du
Chapitre I du „Traité de la lumière," publié en i6po.

'.i'j •îitq-.H?

I l8 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

Or, ceci peut être étendu fans difficulté aux lentilles concaves et à celles qui
ont une furface plane et à tous les autres différents cas; les rayons parallèles étant
confidérés comme correfpondant à un point infiniment dillant. La féconde
figure [Fig. 92] explique cette affirmation par un feul exemple, celui de la
lentille planconcave.

En effet, la furface plane AN de cette lentille reçoit les rayons qui fe dirigent
vers le point B de l'axe, et de même d'autres rayons qui fe dirigent vers le point D
fitué à petite difl:ance de l'axe et à la même diftance de la furface AN que le point
B. Or, fi nous fuppofons que les rayons qui fe dirigeaient vers le point B , devien-
nent parallèles à l'axe AE après la deuxième réfraftion à la furface OQ , autre-
ment dit, qu'ils tendent à fe réunir au point V fitué fur l'axe à une difi:ance infinie,
alors les rayons qui fe dirigent vers le point D deviendront eux auffi parallèles
par la deuxième réfraction due à cette même furface OQ; autrement dit, ils cor-
refpondront à un point L fitué fur la ligne QGS à une diftance infinie. Cette
ligne efl: trouvée de la même manière que dans le cas précédent ; et l'on démontre
auffi de la même manière qu' après la deuxième réfraétion les rayons deviennent
parallèles tant pour le deuxième faisceau incident que pour le premier, avec cette
différence que dans ce cas-ci, des deux grandeurs GE et GS qui font confidérées
comme égales, la première efl: un peu plus petite que GS ; en effet, AE et NS font
égales.

De plus il reffort clairement de ce qui précède que les cônes lumineux, obliques
ou droites , tranfmis par deux ou plufieurs lentilles , ont leurs derniers fommets à
égale difl:ance de la dernière lentille, fi les rayons fe rapportent primitivement à
des fommets de cônes également difl:ants de la première.

La vérité de ce qui a été démontré ici efl: confirmée par l'expérience de l'image
formée par une lentille placée devant une ouverture en un lieu obfcur. En effet,
cette image efl vue avec une netteté admirable non feulement fur l'axe de la len-
tille , mais auffi autour de l'axe fur une étendue affez confidérable de manière
que les plus petits détails font clairement aperçus dans l'image. Et les effets
remarquables obtenus avec des télcfcopes compofés de deux, de trois ou de quatre
lentilles montrent auflî la vérité de notre théorème.

Proposition XXIH.

A l'intérieur de toute lentille poffédant deux fur face s con-
vexes, ou deux fur fa ces concaves, il exifte un point déter-
miné tel qu'un rayon quelconque paffant par ce point a

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653.

119

[Fig. 92.]

Quod uno etiam exemplo in lente planoconcava fchema alterum [Fig. 92]

explicat.

Hujus enim lentis plana fuperficies AN
radios ad punctum axis B tendent es excipit^
itemque altos tendentes adpunBum D , ab axe
exiguo difîans^ etaque ac B à fuperfîcie AN.
Quod ft jam ponamus eos qui ad B tendebant^
poft alteram refraùionem in fuperfîcie OÔ
fîeri parallelos axi AE ; five ad punBum V
in axe infinité difians concurrere , fient etiam
qui ad D tendunt^ ejufdem fuperficiei OQ^
altéra refraùione^ inter fe paralleli ^ five ad
pun&um L in Une a QGS infinité difians per-
tinebunt. Qucc linea invenitur eodem modo ac
in cafu pracedenti; eademque efi démon firatio^
qua ofiendatur ex pofirema refractione radios
utrobique fieri parallelos^ nifî quod hoc cafu
è duabus GE^ GS^quce ut aquales cenfentm\
GE nunc pauxillo minor efi quam GS^quippe
cum icquales fint AE , NS.

Porro ex his manifefium efi, etiam per binas
plurefve lentes tranfmijjos conos radio fos tam
obliquas quam re&os, ^quali difiantia à lente
pofirema vertices fuos ultimos habere, ft ad
aque remotos conorum vertices radij primitus
fpeSîent.

Comprobat autem qua hic ofienfa funt expe-
rmentum piBura, quam lens foramini oppofita
in loco tenebrofo exhibet, cum non tantum in
axe lentis, fed et circum ample fatis f patio

hac pi&ura mirabili nitore confpiciatur , ut minima quoique difiinStè exprimat.

Eadem vero et telefcopiorum ex binis, ternis , quaternifve lentibus compofitorum

egregij effeùus ver a ejfe ofiendunt.

Propositio [XXIIl].

In omni lente, du arum convexarum aut concavarum fuper-
ficierum, punctum quod dam eft intus, per quod radius qui-
libet tranfiens an te et poft lentem fibi ipfe parallelus in-

120 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

la même direction avant d'entrer dans la lentille et après
l'avoir traverfée. Mais un point de ce genre est trouvé à
l'extérieur de la lentille, du côté de la plus petite fphère,
lorfque la fection de la lentille a la forme d'une lunule, ou
que fa furface concave a un rayon de courbure plus petit que
fa furface convexe*).

[Fig. 94.] Suppofons que la lentille foit une de celles [Fig.

^2 — 96] dont l'une des deux furfaces eft décrite du
centre E avec le rayon ED, l'autre du centre F avec le
rayon FB , et que de ces deux rayons FB foit le plus
grand; tirons la droite FE qui coupe la lentille en D et
enB.

Or, fi nous pofons: BL eft à LD comme le rayon
FB eft au rayon ED, de telle manière que le point L "*)
(fi la lentille eft biconvexe [Fig. 93] ou biconcave
[Fig. 94]) tombe fur la droite BD même qui fait con-
naître l'épaifteur de la lentille, mais que ce point tombe
en-dehors de la lentille du côté de la plus petite fphère,
dans le cas où la feétion de la lentille a la forme d'une
lunule et dans les autres cas; je dis que tout rayon, comme
PNMO, qui pénètre dans la lentille de telle manière que
la partie NM de ce rayon contenue dans la lentille
pafTepar le point L ou correfpond à ce point, fuivra après avoir traverfé la lentille
une direftion parallèle à la direction que ce rayon avait avant d'atteindre la len-
tille, c'eft-à-dire, la partie PN fera parallèle à la partie MO.

En effet, tirons FN et EM et figurons-nous les plans
qui touchent les deux furfaces fphériques de la lentille
aux points N et M. On aura FB : ED = BL : LD
et, par permutation, FB : BL ^ ED : DL. Donc aufli
BF (ou NF) : FL = DE (ou ME) : EL. Comme les
triangles NFL et MEL ont, par conféquent, la même
proportion des côtés qui avoifinent les angles E et F ref-
peétivement, qu'ils ont des angles égaux au point L et que
ces angles L [Fig. 93 et ^6'] ou bien les angles M et N
[Fig. 94 et 95] font obtus Qcar on voit facilement qu'il
en eft néceifairement ainfi), ces triangles font forcément
femblables. C'eft pourquoi les angles compris entre les
côtés proportionnels feront auflî égaux, je veux dire que
l'angle NFL fera égal à l'angle MEL. Par conféquent, les
droites FN et EM feront auffi parallèles. Mais ces droites

[Fig. 96 ]

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653.

lai

cedic. In menifco autem, et in illa quœ minori cavo quam
convexo conftac, punctum ejufmodi ^') extra lentem, a parte
fphaerîe minoris reperitur'*).

Sic lens quaelibet iftarum [Fig. 93 — 96], cujus fuper-
ficies altéra defcripta fit centre E, radio ED, altéra
centro F, radio FB, quorum FB fit major altero: et
jungatur FE , quse fecet lentem in D et B.

Quod fi jam ficut radius FB ad radium ED ita ponatur
BL ad LD ; ut cadat 3) punélum L '*) , (fi quidem dua-
rum convexarum [Fig. 93] vel concavarum [Fig. 94]
fuperficierum fuerit lens) in ipfa linea BD , quae lentis
craflîtudinem définit ; extra lentem vero , verfus fphœ-
ram minorem, in menifco et cafibus reliquis; dico
radium omnem qui lentem pénétrât, ut PNMO, ita ut
pars ejus NM intra lentem contenta tranfeatper punc-
tum L, vel ad ipfum pertineat, fibi ipfi , ante ingrefl^um
et pofl: egrefium ex lente, parallelum ferri, hoc eft par-
tem PN parti MO.

Jungantur enim FN, EM, et intelligantur planae
fuperficies in punélis N et M utrafque lentis fuperficies
fphaericas tangentes. Quia igitur ut FB ad ED ita BL
ad LD; erit et , permutando, FB ad BLutEDadDL.
Unde et BF five NF ad FL ut DE five ME ad EL. Cum
itaque triangula NFL, MEL, latera circa angulos E et
F proportionalia habeant, angulofque aequales ad L,
qui vel ipfi obtufi funt [Fig. 93 et ^6'] vel reliqui ad M
et N [Fig. 94 et 95], (hoc enim necefl^ario ita efie facile
perfpicitur) fimilia proinde triangula haec efie neceflls
efl:. Quare et anguli lateribus proportionalibus compre-
henfi aequales erunt, angulus nempe NFL angulo
MEL ; ideoque parallelae inter fe reélae FN, EM. Hse
autem ad angulos reftos funt planis quae fuperficies lentis

[Fig- 95-1

0 On trouve dans la rédaction primitive et dans la copie de Niquet: ,,simile punftum".

')Plus tard, à une époque inconnue, Huygens a annoté en marge par rapport à cette propo-
sition: „Omittatur de menisco et caeteris , quia non facit ad sequentia. Dicatur
parvum in fine." Et ensuite „maneat unus meniscus".

^) La leçon primitive et la copie de Niquet donnent: ,,sumendo". '

^) Inutile de dire que le point L n'est autre que l'un des deux centres de similitude des deux
surfaces de la lentille.

16

122 TRAITÉ DE LA REFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. I 653.

font perpendiculaires aux plans que nous fuppofons tangents aux furfaces de la
lentille aux points N et M. Ces plans font donc auffi parallèles entre eux. C'eft
pourquoi il efl: nécelTaire que le rayon NMqui fait des angles égaux avec ces deux
plans, foit dévié par le même angle en fortant de la lentille que lorfqu' il y entrait.
L'angle PNM eft donc égal à l'angle N MO. Or ce font des angles alternes : il
efl: donc certain que PNet MO font parallèles , ce qu'il fallait démontrer.

Nous n'avons pas mentionné les lentilles planconvexes et les lentilles plancon-
caves. Il reflbrt de ce qui a été démontré que pour ces lentilles le point L tombe
au milieu de la furface fphérique de la lentille.

Proposition XXIV.

!¥■

Le diamètre de l'image d'un objet quelconque qui eft tor-
mée dans un plan fitué derrière une lentille convexe, eft à
celui de l'objet comme la dif tance de l'image à la lentille eft
à celle de l'objet à la lentille').

Soit ADCB [Fig. 97] la lentille convexe. Soit la droite KF l'objet. Suppofons
que l'axe de la lentille efl: perpendiculaire à cette droite et pafle par fon milieu E.
Partant des points K , E et F et de tous les autres points qu'on peut fe figurer fur

[Fig- 97-]

cette droite , des rayons tomberont donc fur toute la len-
tille ABC et après une double réfraélion , je veux dire la
réfraétion aux deux furfaces de la lentille , ils fe réuniront
en un même nombre de points du plan IHG. Ceux qui pro-
viennent de K , de E et de F fe réuniront en G , en H et en
I refpeftivement ; pour autant que nous fuppofons que
l'image efl: difl:in6te. Or, comme la lumière qui émane
du point K pafl^e par tous les points qui fe trouvent à
l'intérieur de la lentille ABC, il adviendra nécefl^aire-
ment qu'un rayon déterminé parmi ceux qui partent de K
pour fe réunir en G pafl^e par le point L de la lentille,
c'ell-à-dire par le point dont nous avons parlé dans la pro-
pofition précédente, et ce rayon fuivra avant d'atteindre
la lentille et après l'avoir traverfée une même direétion.
Et comme un autre rayon fe meut de la même manière
de F vers I, il apparaît que l'un et l'autre de ces rayons
peuvent être confidérés comme des lignes droites qui
"^ fe coupent au centre de la lentille, l'épaifleur de la len-
•^ tille étant négligée. Ils forment donc d

de cette façon

deux triangles ifocèles femblables, dont KF et IG font les bafes; c'efl: pour-

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1 653. I 23

in piinétis N et M contingere intelliguntur. Ergo et plana ifta inter fe parallela
erunt. Quamobrem cum radius NM sequalibus angulis ad illa inclinetur, neceiïe
ell eum îequali angnlo fleéli, iibi lentem egreditur atque ubi intrabat, hocefl:,
angulum PNM e(Te cequalem angiilo NMO. Siint autem altcrni : itaquc confiât
PN , MO effe parallelas , quod erat dem.

Lentes planoconvexas et planoconcavas hic non reccnfiiimiis, in quibus
tamcn per ha^c ipfa confiât punétum L cadcre in mediam lentis iupeiTicicm
fpliaericam.

Propositio [XXIV].

m

Pictura cujufqiie vifibilis quce fit in piano poft lente
convexam, ad vi fi bile ipfum eam habet rationem, fecundum
d i a m c t r u m , q u a m p i c t u r se d i f t a n t i a a lente ad v i fi b i 1 i s a b
ea diftan tiani ').

Sitlens convexa ADCB [Fig. 97]. Vifibilc vero linea re6taKF,quam axis lentis
mediam fecet, atque ad angulos reétos, in E. A punftis igitur K , E , F œquè ac ab
alijs omnibus, quae in propofita linea imaginarilicet,radij ferantur in totam lentem
ABC , qui poil geminam refraftionem , in utraque nimirum lentis fuperficie, col-
liguntur in totidem punétis tabulai IIIG; ncmpe qui ex K in G, qui ex E in H , et
qui ex F in I; quatenus quidem diflinétam ponimus exiflere hanc pifturam.
Quum igitur lux à punSîo Kmanans^omniapunBa qua [uni mtr a lentem ABC
petyadatfîet necejfarib ut =") aliquis radiorum ex K manantium, atque in G collec-
torum , tranfeat per punftum lentis L , illud nimirum quo de egimus propof.
fupcriori; atque is radius ante et poil lentem fibi ipfi parallelus ferecur; quumque
ftmiliter aliquis 3) tranfeat ab F ad I , apparet utrofque 4) pro lineis reélis haberi
poflTe, in centro lentis ^^'io. interfecantibus; non confiderata videlicet lentis cralîi-
tudine. Cumque hoc modo duos triangulos ifofceles fimiles efîiciant, quorum
bafes KFetlG; hte utique eandem inter fe rationem fervahunt quam triangulorum

0 Plus tard, après 1666, Huygens annota en marge „omittatur" et bifi'a toute la proposition

y compris la démonstration et la remarque du dernier alinéa.
') Ces mots, en italique au côté latin, furent intercalés après 1666.
3) La rédaction primitive et la copie de Niquet donnent: „similis radius".
^) La rédaction primitive et la copie de Niquet donnent: ,,hos".

I 24 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

[Fig- 97-]

quoi ces bafes auront entre elles la même proportion que
les hauteurs des triangles; c'eft-à-dire que les diflances des
bafes à la lentille ABCD. Ce qu'il fallait démontrer.

Mais fi nous ne négligeons pas l'épaifTeur delà lentille et
qu'on demande d'indiquer plus exaélement le fommet du
triangle formé derrière la lentille, il faut divifer l'intervalle
LD qui fépare le point L de la furface poftérieure de la
lentille, par le point V, de telle manière que le quotient
LD : DV foit égal à l'indice de réfraélion : V fera alors le
fommet cherché. Cela réfulte de la prop. VI 3), vu que la
petite partie de la furface ADC qui eft interceptée entre
les rayons qui fe croifent en L, peut ici être confidérée
comme une furface plane '*).

Proposition XXV s).

Deux corps tranfparents qui poffèdent des

I u ^pouvoirs réfringents différents fe touchent

fui van t une furface commune; un rayon qui

vient du corps le moins réfringent et qui pénètre dans celui
qui réfracte plus fortement, eft incliné du côté de la perpen-
diculaire, l'indice qui correfpond à cette réfraction étant le
quotient des indices de ces deux corps par rapport à l'air.

Il eft établi par voie expérimentale que lorfque la furface de l'eau ou d'un autre
liquide tranfparent eft recouverte par une mince lame de verre , tout rayon qui
tombe du dehors fur cette lame fubit, en pafîant à l'intérieur du liquide qui fe trouve
au-deflbus d'elle, le même changement de direction que lorfqu' aucune fubftance
n'eft interpofée, et que le rayon eft, par conféquent, réfraété uniquement à la fur-
face du liquide. C'eft à caufe de cette même propriété que dans une fphère de verre
mince remplie d'eau, on obferve les mêmes réfraétions que dans les gouttes d'eau
qui poiïedent une forme fphérique 7). Il faut pourtant obferver que , quelque
mince que foit la lame de verre, elle a néanmoins deux furfaces et que, par confé-
quent, les réfraétions font auffi au nombre de deux; on peut donc confidérer une
lame de ce genre comme fort épaifîe , les angles de réfraétion n'en feront pas
moins les mêmes.

') Au lieu des mots en italique au côté latin , la rédaction primitive et la copie de Niquet don-

nen „eadem inter se ratione erunt atque".
^) La leçon primitive et la copie de Niquet donnent ,,distantiae ipsarum".
3) Voir la p. 25 du Tome présent.
'*) Pour trouver plus précisément la situation du point V il faudrait se rapporter au dernier alinéa

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. I 653. I 2^

ip forum ^^ altitudines; hoc ^ii^ quam dijîantia ba/ium ''') à lente ABCD. quod
erat dem.

Quod fi vero lentis craiïîcudo etiam confideretur, apexque trianguli pofl: lentem
efFeéti accuratius defignandus (îc, oportet dividere intervallum LD inter punétiim
L et fiipcrficiem lentis polleriorem, in V, ut fit LD ad DV ratio eadem qu»
eft refraétionis, eritque punélum V apex qusefitus; quod quidem manifeftum eft
ex prop [VI] 3) quoniam fuperficiei ADC particula inter radios deculTatos inter-
cepta tanquam plana hic cenfuri potefl: ^^,

Propositio [XXV] s).

Diaphanis duobus diverfse refractionis communi fuperficie
inter fe conjunctis, radius e minus réfringente in id quod
magis refringit penetrans, ver fus perpendicularem inclin a-
tur eamque fervat refractionis proportionem, qua différant
inter fe proportiones utriufque diaphani in aère**).

Experimento confl:at cum aquîe aut alterius liquidi diaphani fuperficies lamina
tenui vicrea terminatur, quemvis radium extrinfecus incidentem eodem modo
intra fubjacens liquidum deflefti, ac fi nulla re interpofita, tantum ad liquidi
fuperficiem refraétus fuiflet. Hinc quoque fit ut in fphaera ex tenui vitro aqua
plena, esedem refraftiones animadvertantur, quae in aquae guttis, fphgerse formam
habentibus''). Sciendum vero quod quantumvis tenui exifi:ente lamina vitrea duse
tamen ejus funt fuperficies, totidemque propterea fiunt refraéliones ac proinde
laminam ejufmodi ut valde craffam confiderari pofl[*e, nec tamen ob hoc alios
fieri refraétionum angulos.

(p. 71 du Tome présent) de la troisième partie de la Prop. XII. En effet, le rapport LD : DV
correspond au rapport SA : AD de la figure 32. Or, d'après l'alinéa que nous venons de citer,
on a SA:SD=SQ:SC, donc SA:AD = SQ:QC; mais puisque le point S, correspon-
dant au point L de la figure 97 , se trouve, dans le cas présent, très près du point A , le rap-
port SQ : QC peut être remplacé par le rapport AQ : QC qui est égal à l'indice de réfraction.

S) Cette proposition et sa démonstration ont disparu du manuscrit de la Dioptrique. Nous
les avons empruntées à la copie de Niquet. Elles ont fait partie, sans aucun doute, du manu-
scrit original de 1653. En effet, Huygens y renvoie dans un passage qu'on trouvera repro-
duit plus loin dans la note 4, p. 139 du Tome présent. Elles manquent toutefois dans
l'édition de 1703 des „Opuscula postuma" par De Volder et Fullenius et de même dans
celle des „Opera reliqua" par 's Gravesande.

<^)La rédaction de cette proposition pourrait donner lieu à des malentendus; mais d'après la
démonstration qui va suivre il est clair que Huygens veut indiquer de cette manière la loi
bien connue de la réfraction relative.

7) Comparez les pp. p et 1 1 du Tome présent.

126 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. I 653-

Soit donc donnée une lame de ce genre , dont les deux furfaces, vues de côté ,
foient repréfentées par les lignes parallèles AB et DK [Fig. 98] ; fuppofons que
la même furface DK limite auffi un autre corps tranfparent placé au-deiïbus d'elle
et doué d'un pouvoir réfringent moindre. Soit CB un rayon qui fe meut dans l'air
et qui, après avoir été réfraété, fuivra à l'intérieur du premier corps tranfparent
la direftion BD. Ce rayon paflTe enfuite dans le corps tranfparent inférieur et
prend la direélion DF; et, après avoir tiré BE et HDQ perpendiculaires aux
furfaces DK et AB, on peut mener au rayon BC les parallèles DE et HP, BH
étant parallèle à DF.

Or, comme l'expérience enfeigne que la droite DF , ou la droite BH qui lui
eft parallèle , forme avec CB un angle égal à celui qui ferait formé par le rayon
incident et le rayon réfraélé fi CB était réfraété direétement par un corps tranfpa-
rent femblable à celui qui fe trouve au deflbus de DK, il eft évident que BH eft plus
éloignée que BD de la perpendiculaire BE. L'angle HBE eft donc plus grand
que l'angle DBE , mais l'angle FDQ eft égal à l'angle HBE, et l'angle BDH à
l'angle DBE. Par conféquent, l'angle FDQ eft auifi plus grand que l'angle BDH.
Donc, le rayon BD qui vient du corps tranfparent le plus réfringent et qui pénètre
dans celui qui réfrafte moins fortement, s'écarte de la perpendiculaire DQ. Réci-
proquement, DB eft le rayon réfraélé qui provient du rayon FD venant du corps
tranfparent le moins réfringent. Il paraît donc que ce rayon réfraélé fe rapproche
de la perpendiculaire DH, vu qu'on a démontré que l'angle HDB eft plus petit
que l'angle QDF.

Soit maintenant L : M l'indice de réfraélion du corps tranfparent ABKD par
rapport à l'air, et N : M celui du corps tranfparent qui fe trouve au deftbus de DK.
Le rapport L : M diffère donc du rapport N : M par le rapport L : N, vu que
(N : M) X (L : N) = L : M. Il faut donc démontrer : fin FDQ : fin BDH = L : N.

Donc, comme BD, à l'intérieur du corps tranfparent ABDK, eft le rayon réfraété
provenant du rayon CB, et que DE eft tracée parallèlement à cette même CB et
rencontre la perpendiculaire BE en E, le rapport BD : DE fera d'après la prop.
II ') égal à l'indice de réfraétion du corps tranfparent ABDK par rapport à l'air,
c'eft-à-dire égal a L : M. Pareillement, comme la droite BH, parallèle à DF,
forme avec le rayon BC le même angle que fi elle repréfentait le rayon réfraété ,
provenant de BC, lorfque ce rayon tombe fur un corps tranfparent femblable à
celui qui fe trouve au de flous de DK, et comme HP eft parallèle à BC, le rapport
BH:HP fera, d'après la même prop. II, égal à l'indice de réfraétion du corps
tranfparent au defibus de DK par rapport à l'air, c'eft-à-dire à N : M. D'où
l'on tire, par converfion, PH : HB = M : N, Comme on a donc BD : DE = L :
: M, et DE (^ou HP) : HB r= M : N,on obtient, en combinant ces deux équations,
BD:BH = L:N. Mais comme DB eft à BH, ainfi eft le finus de l'angle

^) Voir la p. 15 du Tome présent.

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653.

127

M

[Fig. 98.] Sic igitur lamina hujus-

modi, cujus duae fuperficies
a latere infpedlae, referan-
tur lineis parallelis AB, DK
[Fig. 98] ac fuperficies qui-
^ dem DK eadem quoque
terminée diverfi generis fub-
jeétum diaphanum , quod
minoris fit refraétionis.Fera-
tur autem in aère radius CB,
cujus intra fuperius diapha^
num refraélio fit BD; inde
vero inferiori fe immittat
fecundum reétam DF; duc-
tifque BE, HDQ , perpendicularibus ad fuperficies DK, AB, fint DE, HP paral-
-lelse radio BC ;BH vero parallela DF.

Quum igitur experimentum doceat reftam DF, five ei parallelam BH, ita incli-
nari ad CB, utiinclinaretur ipfius CB refraétio intra diaphanum fimile ci quod fub
DK; manifefl:um efl: BH minus ad perpendicularem BE accedere quam BD; hoc
eft, angulum HBE majorem efl^e angulo DBE, angulo autem HBEaequaliseft
FDQ , et angulo DBE sequalis BDH. Ergo et angulus FDQ major quam BDH.
Radius igitur BD ex diaphano magis réfringente in id quod minus refringit pene-
trans a perpendiculari DQ recedit. Efl: autem viciflim radij FD , ex diaphano
minoris refraélionis veniente, refraélio DB. Ergo hanc ad perpendicularem DH
accedere apparet, cum angulus HDB minor ofl:enfus fit quam QDF.

Sit jam proportio refraétionis in aère diaphani ABKD , ea quse L ad M , dia-
phani vero fiib DK ea quae N ad M. Excedit itaque ratio L ad M rationem N
ad M, ratione L ad N; quandoquidem ratio L ad N addita rationi N ad M com-
ponit rationem L ad M. Quarc ollendendum efl: finum anguli FDQ efle ad
finum anguli BDH ficut L ad N.

Quia ergo radij CB, intra diaphanum ABDK, refraélio eft BD, ipfi verb CB paral-
lela dufta efl DE, occurrens perpendiculari BE in E; erit ex prop. [II] 0 ratio
BD ad DE eadem quse refraftiones metitur diaphani ABDK in aère conftituti;
hoc eft, ea quse L ad M. Eadem ratione, cum BH parallela DF, ita inclinetur
ad radium BC ac fi efiet ejus refraélio in diaphanum fimile ei, quod fub DK , inci-
dentis; fitque HP ipfi BC parallela; erit ex eadem prop. [II] ratio BH ad HP
fimilis ei quse refraftiones metitur diaphani fub DK in aère exiftentis, hoc eft ea
quœ N ad M. Unde et convertendo PH ad HB ficut M ad N. Cum fit igitur BD
ad DE ut L ad M; DE vero five illi aequalis HP ad HB ut M ad N ; erit ex
sequo BD ad BH ut L ad N. Sicut autem DB ad BH , ita fmus anguli DHB, ad
finum anguli HDB , ficut L ad N , quod erat oftendendum.

I 28 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

DHB à celui de l'angle HDB. Ces deux fmus font donc dans le rapport L : N ;
ce qu'il fallait démontrer.

Il réfulte de ces confidérations que fous l'eau l'indice de réfraftion du verre
eft égal à 9 : 8. En effet , fi le corps tranfparent ABKD eft en verre , on aura L :
:M = 3:2 ou = 9:6, parce que nous avons trouvé que telle eft la grandeur de
l'indice du verre par rapport à l'air '). Mais l'indice de réfraftion N : M du corps
tranfparent fous DK fera, au cas que ce corps foit de l'eau, égal à 4 : 3 ') ou à 8 : 6.
D'où l'on tire L : N = 9 : 8.

Proposition XXVI.

Expliquer la conftruction de l'oeil et la manière dont fe fait

la vifion^).

Après avoir bien réfléchi à ce que nous
avons démontré à la propofition XXII, il
ne ferait pas abfurde de fuppofer que l'oeil
aurait pu être conftruit de la façon fuivante.
La figure d'un hémifphère aurait pu être
donnée à fa partie extérieure ABC, laquelle
doit être tranfparente partout, et le fond
de l'oeil aurait pu avoir également la forme
d'un hémifphère DEF, oppofé au premier,
mais concentrique avec lui, le rayon ME
étant pris égal à trois fois le rayon MB
du plus petit hémifphère; enfuite toute la
cavité DABCFED aurait pu être remplie
d'une humeur aqueufe. Car de cette façon
les rayons émanant de points H, G, I
quelconques faifant partie d'objets fort
éloignés pourraient fe réunir, après avoir
été réfraétés à la furface ABC, en autant de
points de l'hémifphère concave DEF; ceux
qui proviennent de G en E, ceux qui partent de H et de I en L et en K refpeéti-
* Prop. XXII •). vement *. Mais comme la façon dont une furface fphérique raffemble les rayons
n'eft pas fufïisamment parfaite, excepté feulement pour les rayons qui fe meuvent
dans le voifinage immédiat de l'axe il fallait remédier à cet inconvénient , ce qui
pouvait fort bien fe faire en couvrant toute la base AC du plus petit hémifphère à
l'exception de la partie près du centre M, où il fallait laiffer une ouverture de gran-

*) Consultez la p. 13 du Tome présent.
") Voir la p. 11 du Tome présent.

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653.

129

CFÎg.98.]

M

N

Ex his manifeftum fit pro-
porcionem refraélionis vitri
fub aqua elTe eam quse
novem ad odlo. Si enim dia-
phanum ABKD fit vitrum,
erit L ad M ut 3 ad 2 , five
9 ad 6, quia hanc invenimus
efle proportionem refraftio-
nis vitri in aère *). Dia-
phani autem fub DK , fiqui-
dem aqua fuerit, refraftionis
proportio , hoc eft N ad M ,
erit ea quae 4 ad 3 ^) , five

8 ad 6. Unde fit L ad N ut

9 ad 8.

[Propositio XXVI.]
Oculi conftructionem et quae fit videndi ratio explicare').

Perpenfts^') quae fuperius Prop. [XXII] expofuimus, videatur hoc modo non
abfurde oculum fabricari potuifTe; nempe hemifphserij figuram tribuendo parti
ejus exteriori ABC [Fig. 99] , quae tota fit pellucida. fundum vero oculi alterum
hemifphaerium faciendo DEF, priori oppofitum, fed idem centrum habens,
femidiametrum vero ME triplam ponendo femidiametri MB minoris hemif-
phaerij; ac totam deinde cavitatem DABCFED aqueo humore replendo. Hoc
paéto enim radij , à quibuslibet rerum procul pofitarum punétis manantes ut H, G,
I, fraétique in fuperficie ABC, ad totidem punéta cavi hemifphaerij DEF colleéli
fuiflfent; nempe qui ex G in E, qui ex H in L , qui ex I in K *. Quoniam autem *[Prop. xxil.]*)
non fatis perfeéla eft, quae fit a fphaerica fuperficie, radiorum colleftio, nifi eorum
tantum qui axi proximi incedunt; oportune remedium ei rei adhiberi poterat,
obvelando totam hemifphaerij minoris bafin AC , praeterquam circa centrum_M ,

3) Plus tard Huygens est revenu plus d'une fois sur la construction de l'oeil et la théorie de la
vision; consulter là-dessus la „Table des matières" du Tome présent, sous les articles : ^Con-
formation de l'oeil" et «Théorie de la vision".

4) La copie de Niquet et la leçon primitive donnent: „ïn mentem revocando".

5) Voir le premier et le second alinéa non en italique de la démonstration de cette Proposition,
p. 113 du Tome présent. D'après la construction indiquée dans ces alinéa's le rapport des
rayons ME : MB doit égaler i : (« — i), c'est-à-dire, dans le cas de l'eau ,1:3-.

17

130 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

deur convenable. Car ceci vaut beaucoup mieux que de couvrir la furface exté-
rieure ABC en laiiïant une ouverture autour du point B , vu qu' alors la furface
ABC n'aurait pas été aufïï propre à recevoir les rayons venant des points H et I
qu' à recevoir ceux qui viennent de G, tandis que, l'ouverture étant auprès de M,
elle eft également propre à recevoir tous les rayons nommés. De prime abord
cette conftruétion de l'oeil pourrait donc fembler convenable. Nous verrons
cependant plus loin que la providence de l'auteur fuprême y a fagement apporté
quelques changements et y a auffi ajouté certaines chofes néceiïaires, quoique, en
faifant cela, elle fe foit fervie de procédés fi fubtils qu'il ne nous eft pas donné de
comprendre fon œuvre dans tous les détails. Le premier changement eft le fuivant.
L'auteur fuprême n'a pas voulu faire ufage de tout l'hémifphère ABC; il en a
confervé la partie fupérieure, mais en a beaucoup ôté aux côtés, fans toutefois
diminuer par là l'étendue du champ que l'oeil embrafle d'un seul regard. La
raifon qu'il avait pour ôter cette partie de l'hémifphère ABC était celle-ci : il
voulait également enlever une partie de l'hémifphère DEF, en ramenant vers
l'intérieur les points D et F et leur entourage, et il défirait de cette façon donner
à l'oeil une forme qui fe rapprochât le plus poffible de la forme fphérique. Car il
voulait que l'oeil fût mobile et pût tourner de tous les côtés dans la cavité qui
le contient. Il lui donna donc une forme extérieure telle qu'elle a été indiquée
dans la deuxième figure ci-jointe [Fig. loo] , laquelle repréfente l'oeil humain
coupé par un plan pafTant par l'axe. Les dimenfions de toutes les parties y ont
été doublées pour les rendre mieux vifibles.

Dans cette figure la partie tranfparente de la cornée eft ABC; le refte AXYC,
qui compofe la tunique extérieure de l'oeil, eft de plus faible courbure et opaque.
Au dedans de cette tunique les anatomesen diftinguent deux autres, dont l'inté-
rieure eft appelée rétine; elle eft formée d'un tifTu de fibres extrêmement fines
du nerf optique VT, et présente une couleur blanchâtre auprès du fond KEL
de l'oeil. Il faut favoir de plus que l'auteur a rempli la cavité de l'oeil non pas
d'un feul fluide, mais de trois fluides différents; dont celui qui eft contenu dans
l'efpace ABCFNORDA eft tout-à-fait fluide, tandis que celui qui fe trouve dans
l'efpace DRPNFLKD eft un peu plus épais comme l'albumine d'un oeuf. Quant
au troifième qui forme une petite lentille RONP adhérente au deuxième fluide et
attachée par des filaments DR, NF, étendus tout autour d'elle, il eft en quelque
forte dur, comme du blanc d'oeuf bouilli, mais en même temps parfaitement tranf-
parent comme les deux autres. Il diffère aufïï de ces deux autres par fon indice de

^) La copie de Niquet et la leçon primitive donnent : ,,divinam".

*) „per omnia" , 1. c.

^) Au lieu de la partie en italique qui suit, la copie de Niquet et la leçon primitive donnent:
„cum non opus esset uno obtutu tantum spacij oculo comprehendi. Praesertim
vero eofine, ut et ab hemisphaeris DEF, partes circa D et F auferret, atqueita

TRACT ATUS DE REFRACT. ET TF.LESC. LIBER I. 1653.

13Ï

ubi foramen modicum relinquendum erat. Hoc enim mukomeliusquamfiexterior
fiiperficies ABC contegatur, relifto circa B foramine; quia tune fuperfîcies ABC
non aequè benè comparata fuifTet ad excipiendos radios a punélis H et I venientes
atque ad illos ex G , ad quos omnes nunc eodem modo fefe habet , fado foramine
ad M. Hsc igitur oculi conftruétio non aliéna prima fronte cenferi pofTet: in
qua tamen aliqua prudenter mm^iTe fummi opificis ') providentiam, aliqua etiam
necefTario addidifTe, deinceps videbimus, etfi adeo fubtili ratione in his verfata
fit, ut non in omnibus'^ artificium ejus afTequi liceat. Ac primum quidem non
totum hemifphserium ABC adhibere voluit, fed, retenta parte fuperiori , circa
latera multum abftulit, neque 3) eo tamen fpatium quoduno obtutuvifus compre-
hendit angu^ius eff'ecit. Caufa autem auferendi erat ut et hemifpharij DEF
partes circa D et F introrfum reduceret^ atque iia oculum ad fphara rotundi-
tatem , quatenus id fîeri pojjet^ formaret. Volebat enim mobilem efîe ut in '^) cavo
quo continetur quaquaverfum qox\^oW\ pojfet ^'). Figuram igitur exteriorem dédit
hujufmodi qualem fchema hoc alterum exhibet [Fig. loo] , quod oculum hominis
per axem difTeftum refert, duplicata omnium magnitudine quo clarius pateant.

Hîc cornese pars pellucida eft ABC

[Fig. 100.]

reliqua majoris fpha;r<e s^ et opaca
AXYC, quae exteriorem oculi tunicam
componit. Intra hanc duas alias anato-
mici diftinguunt , quarum intima ex
tenuiffimis nervi optici VT fibris con-
texta,ac circa fundum oculi KEL albe-
fcens, retina dicitur. CîEterum cavita-
tem oculi non uno liquore , fed tribus
inter fe diverfis complevit; quorum
qui fpatio ABCFNORDA continetur
plane fluidus eft, qui vero fpatio
DRPNFLKD paulo craffior inftarovi
albuminis. tertius autem qui lenticulam
conftituitRONP, fecundo liquori adhas-
rentem, et filamentis, DR, NF circum
undique extentis affixam , durus quod-
ammodo, ficut albumen igni coélum;
verum pellucidus plane, uti reliqui duo.
Differt autem ab illis etiam refraétione,
quam aliquanto majorem habet, unde

totius oculi forniam ad sphsericam rotunditatem quatenus fieri poftet reduceret."
0 '„inque" et „pofre" , 1. c
0 „niagis convexa", 1. c

13a TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

réfraftion, qui eft un peu plus grand; d'où il réfulte que les rayons venus du
dehors des points H, G, I et qui convergeaient déjà après avoir été réfraétés à la
furface ABC de la cornée, fouffrent de nouveau une faible réfraélion aux deux
furfaces de la lentille OP. Cette réfraétion les fait converger encore un peu
davantage, de telle manière qu'ils forment l'image des points H, G, I d'où ils
font venus en autant de points L, E, K fitués au fond de l'oeil. Et il eft poffible
que cette féconde réfraélion produite par la lentille RN fuffife pour donner aux
rayons une direétion telle que la furface concave KEL puifle fervir à recevoir
l'image des objets. Si cette réfraélion n'exiftait pas, la furface KEL devrait
faire partie d'une fphère plus grande telle qu'elle a été repréfentée dans la figure
précédente. Mais il exiftait une autre raifon plus forte pour faire ufage de cette
lentille: il fallait rendre l'oeil capable de diftinguer les objets lointains auffi bien
que les objets fitués à faible difl:ance; laquelle propriété faifait défaut à cet oeil
imaginé par nous, dont nous avons parlé plus haut. Or cela peut être obtenu de
deux manières; d'abord en diminuant la difiance entre la furface de la cornée et
la dite lentille lorfque nous voulons regarder des objets fitués à faible diftance; et
en fécond lieu en donnant à la lentille une forme un peu plus convexe ; ou aufli en
combinant les deux moyens. S'il efl: vrai que la lentille fe rapproche de la cornée,
ce mouvement doit être le réfultat d'une preffion exercée par les mufcles fur les
furfaces latérales de l'oeil et en même temps fur le liquide vitreux auquel la len-
tille RN adhère, comme nous l'avons dit. Mais ^) fi nous admettons que la lentille
change de forme et devient plus convexe lorfque nous regardons des objets rap-
prochés, il femble qu'il faut en chercher la caufe dans une détente des filaments
DR, NF due à la preffion exercée fur l'oeil par les mufcles: latenfion de ces
filaments, agifiant partout fur la lentille, lui donnait auparavant une forme plus
plate. Mais, comme je l'ai déjà dit, il efl: poffible auffi que les deux caufes agifl^ent
fimultanément. De plus, la providence a placé la pupille M non pas, comme nous
l'avons fait plus haut, au centre de la furface convexe ABC, mais un peu plus près
d'elle. La raifon de ce déplacement nous femble incertaine. Il efl: poffible toutefois
que ce changement ait pu contribuer auffi quelque peu à rendre la furface KEL de
la rétine, pofiedant fa courbure aétuelle, apte à recevoir les images, tandis que
autrement elle aurait dû faire partie d'une plus grande fphère. Je trouve que le dia-
mètre AL de la fphère entière efl: environ la douzième partie d 'un pied de Leyde ^)

^) Voici la rédaction primitive de la partie du texte qui va suivre. Elle fut biffée depuis
et remplacée par celle du texte avant que la copie de Niquet fut faite, où déjà on ne la
retrouve plus: „etfi non satis apparet quo recessurus sit interea aqueus humor qui
spatium inter corneam lentemque hanc interjectum omne complet, nisi aliqua-
tenus inter tunicasoculi sese insinuare putetur. Rursus si figuram mutare lens
dicatur necesse est igitur presso à musculis oculo remitti filamenta DR, NF,
quae prius undique eam tendentia planiorem efficiebant. Attamen contentionem

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653.

133

fit ut radij , qui extrinfecus a punétis H , G , I , venientes , atque in corneae fuper-
ficie ABC fraéll, jam convergebant , exiguam iterum refradlionem patiantur in
utraque lentis OP fuperficie; qua quidem paulo magis adhuc convergunt, atque
ita ut in totidem punélis L, E, K, in fundo oculi référant illa, unde venerunt,

punéta H, G, I. Ac fortafTe quidem.

[Fig. 100.]

fecunda illa refractione in lente RN,
ita radij diriguntur ut recipiendae rerum
piéluras apta jam fit cavitas fuperficiei
KEL , quse alioqui e majori fphsera ^^t
deberet, ficut in priori figura effiftafuit.
Verum et alia major fuit neceflltasadhi-
bendse lentis hujus, nempe ut ejus auxilio
seque ad res longinquas, ac in proximo
fitas, oculus adaptaretur ; quod in noftro
illofuperius expofito oculo deerat. Hoc
autem fieri potefl: duobus modis, ut vel
accédât propiiis ad cornese fuperficiem
diéta lens cum res prope pofitae contuen-
dae funt , vel ut in formam paulo con-
vexiorem colligatur; vel etiam ut utrum-
que accidat. Quod fi accedit ad corneam,
id fieri oportet prementibus oculi latera
mufculis, atque una humorem vitreum
cui lens RN inhserere diéta efl;. At fi *)
figuram mutare lens eadeni dicatur,
rotundiorque fieri cum ad res prope admotas refpicimus, videtur preflTo à muf-
culis oculo remitti filamenta DR , NF , quse prius undique eam tendentia planio-
rem efficiebant. Potefl: aucem, ut jam dixi^ et utrumque horum fimul fieri.
Porro pupillge M locum, non ita ut nos fupra, in centro convexitatis ABC
fl:atuit, fed propius paulo illi admovit, incertum qua de caufa, nifi quod et hoc
aliquid facere poteft, quo fuperficies retinae KEL , ea qua nunc efl: cavitate, apta
fit recipiendis imaginibus, cum alioqui amplioris fphaerse efl"e debuifl^et. Dia-
metrum fphaerae totius AL invenio unciam circiter efl^e pedis noftri Lugdunenfis*},

oculi nullam sentimus cum ad res longinquas respicimus , maxime vero cum
ad valde propinquas. In his igitur quid secuta sit natura haud facile est dicere,
quae tamen akerutro ex his modis utitur , vel utrumque adhibet. Porro", etc,
^) Le pied en usage à Leyde était le „pied de Rliijnland" ou „pied du llliin," divisé en 12
pouces. D'après van Swinden (voir la p. 23 de ses „Tables de Comparaison entre les Mesures
hollandaises de longueur et le Mètre, avec l'instruction nécessaire sur ces mesures, Amsterdam,
1 8 1 2") l'étalon original en est perdu depuis longtemps. Par décret du 1 8 février 1 808 le Roi
de Hollande a établi exclusivement pour unité de la Mesure du Rhin la verge de fer qui se

1 34 TRAITÉ DE LA REFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. I 653.

qui eft a peu près le même que l'ancien pied des Romains ^); et que le dia-
mètre de la fphère dont la cornée ABC fait partie eft égal à J pouce. Quant
à la pupille M, fa largeur n'a pas de dimenlion fixe: en effet, comme tout-le-
monde peut Ten afTurer par l'expérience, cette largeur eft d'autant plus grande
que la lumière qui éclaire l'oeil a une moindre intenfité, et la vue d'un objet vive-
ment éclairé suffit pour caufer fa contraétion. Le même phénomène fe paffe lorfque
nous tâchons de regarder des objets placés près de l'oeil. C'eft avec un art mer-
veilleux que la pupille a été conftruite de manière à relier toujours ronde lorfque
fa grandeur change. Mais l'examen de ces propriétés de l'oeil ne fait pas partie de
notre plan. Nous tâcherons encore moins de répondre à la queftion de favoir com-
ment l'image des objets vifibles qui fe forme au fond de l'oeil, parvient de là à
notre cerveau et à notre efprit, comment, étant renverfée, elle nous fait cepen-
dant voir les objets debout, et comment il fe fait, qu'en regardant avec les deux
yeux, nous ne voyons pas les objets doubles. D'ailleurs, toutes ces queflions font
à mon avis trop obscures pour que des mortels, quels qu'ils foient, puilTent en
trouver la folution.

Proposition XXVII.

Porter fe cours aux yeux des vieillards et des myopes
à l'aide d'une lentille en verre.

D'après l'explication que nous avons donnée de la conflruélion de l'oeil et
des conditions de la vifion, il eft facile de conclure en fuite en quoi la condition
des yeux de ceux qui, comme les vieillards, ne voient diftinélement que les objets
éloignés, s'écarte de la condition ordinaire; et de même pour ceux qui ne
diftinguent que les objets fort rapprochés, favoir les myopes. Car comme le
point de concours des rayons qui viennent d'un objet peu éloigné eft néceffaire-
ment à plus grande diftance de la furface extérieure de l'oeil que celui de ceux
qui viennent d'un point fort diftant, une image parfaite d'un objet fort diftant
et celle d'un objet peu éloigné ne pourront être formées dans le même oeil à
moins que celui-ci ne foit doué de la faculté de pouvoir changer quelque peu la
forme ou la pofition du liquide cryftallin , et de s'ajufter de cette manière tantôt
aux objets rapprochés tantôt aux objets éloignés. C'eft pourquoi il eft certain que
ceux dont les yeux font également bons pour toutes les diftances , ont reçu des
yeux qui pofledent cette propriété. Mais les yeux des vieillards , et auffi ceux de
bien des gens qui ne font pas encore âgés, font plus rigides et moins mobiles à
l'intérieur; chez eux, feuls les rayons qui viennent de loin ou pour le moins d'une
diftance de deux ou trois pieds, fe réuniffent exaftement fur la furface intérieure
au fond de l'oeil. Au contraire les myopes, autrement dit ceux qui ont la vue

trouvait alors à T Académie de Leyde, de laquelle le professeur Lulofs s'était servi dans le siècle
précédent pour déterminer la longueur du pendule simple à Leyde etqu'il adécriteàlap.438
du troisième volume des Mémoires de la Société Hollandaise des Sciences à Harlem; verge qui

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653. I35

qui pêne idem eft ac vêtus Romanorum '); uncige vero très quintas habet
diameter convexitatis corneae ABC. Pupillae M latitudo certam menfuram non
habet; eft enim, uti quivis experiendo explorare potell:, major cum minor lux
oculo afFulget: foloque^^ lucidae rei afpeétu contrahitur, vel item cum ea quae
prope oculo admoventur intueri conamur. Infigni autem artificio ita fabricata eft
ut , mutata magnitudine , femper fibi conftet rotunditas. Sed in hœc inquirere non
eft noftri inftituti, multoque minus quomodo quse in fundo oculi piétura vifi-
bilium formatur, inde ad cerebrum mentemque noftram perferatur, cumque
inverfa fit reélas tamen res nobis videri faciat, utque oculis duobus,non tamen
duplices. quse et obfcuriora omnia arbitrer, quara ut mortalium ulli perveftigari
queant.

[PropositioXXVIÏ].

Senum et niyopum oculis auxilium comparare lente vitre a.

Ex hîs 3) quse de conftruélione oculi ac videndi ratione explicuimus, facile ejî
porro colUgere^^ quomodo affeéti efie debeant oculi eorum qui tantum remota
diftinfte cernunt, ut fenes; vel qui tantum proxima, ut myopes. Cum enimradio-
rum e propinquo punfto venientium concurfus neceflario longius abfit a fumma
oculi fuperficie quam eorum qui a longe remoto adfluunt , non poterit et longin-
quse rei et propinquse in eodem oculo perfefta imago depingi, nifi ea facultate prse-
ditus fit ut humoris cryftallini vel figuram vel fitum aliquatenus immutare poflit,
atque ita nunc ad bas nunc ad illas res fe accommodet. Quare quibus ad omnia
îeque oculi valent , ijs taies obtigifie certum eft. Senibus vero ac multîs quoque
cïtra fenectutem rigidiores funt , parumque intus mobiles, quibus proinde tantum
qui à longinquo veniunt radij , aut certe à duorum vel trium pedum intervallo,
accuratè in fundo oculi coguntur. At myopes feu lufcitiofi propinqua omnia ,

fat trouvée égale à 3,767358 Mètres. Le pied en est la douzième partie, ou 0,3139465 M.
L'auteur, van Swinden, adopte cette valeur „quoique" dit-il „ci-devant j'eusse déterminé,
d'après lès mesures de M. Lulofs lui-même, le Pied du Rhin de 0,3138216 M."

Nous ne savons pas de quelle manière les mesures mentionnées par Huygens ont été
obtenues.

') Les étalons qui se conservaient à Rome dans le temple de Juno Moneta n'ont pas été con-
servés. On en possède toutefois de nombreuses copies. Elles donnent pour le pied romain (pes
monetalis) une valeur moyenne de 0,2957 M. (R. Lepsius,„Die Lângenmaasse der Alten,
Berlin 1884", p. 44).

*) La copie de Niquet et la leçon primitive donnent ,,Solius".

^)„Intellectis",l. c.

'^) „inde colligere eft", 1. c.

136 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. I 653.

faible, voient clairement tous les objets rapprochés pourvu qu'ils ne foient pas
à une diftance fupérieure aux deux tiers d'un pied et même moins , d'où il fuit
qu'ils peuvent peut-être accommoder un peu la forme de leurs yeux aux diftances
diverfes des objets vifibles, mais non pas jufqu'au point de réunir en un même
point de la rétine des rayons incidents parallèles ou venant d'un objet fitué à
grande diftance. Mais, à caufe d'une trop grande convexité, ils réunifTent
ces rayons avant qu'ils n'aient atteint le fond de l'oeil. Et ce qui rend la
vérité de ces propofitions manifefte, c'eft précifément le fait que le défaut,
tant des uns que des autres, peut être corrigé en approchant de l'oeil des
lentilles d'une certaine forme. Car une lentille concave diminue la trop grande
convexité chez le myope , l'oeil du pref byte au contraire ell: corrigé par une len-
tille convexe. Pour trouver la forme la plus efficace des lentilles pour les yeux de
chaque homme, il faut d'abord examiner la conftitution de ces yeux et la mefure
de leur défaut. C'eft ce qu'on peut faire de la façon fuivante.

Si l'on veut porter fecours à un vieillard, il faut éloigner lentement de fes yeux
un objet vifible quelconque, jufqu'au moment où il commence à l'apercevoir
diftinélement et fans eifort, et noter cette diftance, parce qu'elle détermine avec
certitude la conftitution de fa vue. Car fi l'on a trouvé une longueur AB [Fig.
loi] pour la dite diftance et que celui auquel cette diftance fe rapporte et qui eft
placé en A , tâche de voir un point C plus rapproché; il arrivera bien que, lorf-
qu'il dirige le regard de fes deux yeux vers C, un petit changement a lieu à l'inté-
rieur d'eux par rapport à la difpofition qui leur fervait à regarder au loin , mais
néanmoins ils ne parviendront à voir diftinélement que les objets fitués à la diftance
AB. Il leur faut donc une lentille qui , placée devant l'oeil , change la direétion
des rayons qui viennent du point C de telle manière qu'ils femblent provenir du
point B. Prenons donc un point O tel qu'on ait BC : CA = CA : CO. Alors la
diftance entière AO fera le rayon de la furface d'une lentille en verre ^) de forme
fymétrique qui fatiffait au problème. Et toute lentille de forme quelconque ayant
AO pour diftance focale y fatisfera également.

En effet, comme on a, en vertu de la conftruétion , CO : CA = CA : CB , et
que CO et CB font fituées du même côté du point C, tandis que O eft le foyer de
la lentille fituée en A, il s'enfuit de lapropofition XX ^) que les rayons qui émanent
du point C , font réfraélés par la lentille en A de telle manière qu'ils femblent
provenir du point B. C'eft pourquoi, pour l'oeil dont nous parlons , chaque objet
éloigné à une diftance AC fera clairement aperçu à l'aide de lentilles de ce genre.

D'autre part, s'il faut conftruire pour un myope une lentille qui lui permette
de bien discerner les objets éloignés , il fuffit de chercher la plus grande diftance à
laquelle il voit diftinélement un objet qu'on approche de lui; cette diftance fera
précifément la longueur du rayon de la furface fphérique en forme de laquelle il

')„unius",i.c.

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER. I. 1653. I37

dummodo non ultra certum terminum, puta pedis duas tertias ') aut etiam minus,
recefTerint, diftinélè confpiciunt; uviàQ parumper forfan''^ formam oculorum
accommodare pojjunt diver/ts vifibilîum dtfîantîjs 3) , fed non eoufque ut radios
parallelos, five a procul diffita re venientes, in retina ad punftum colligant. Sed
ob nimiam convexitatem ante eos colligant quam ad oculi fundum ^) perve-
1 nerint. Et haec quidem ita fe habere eo ipfo manifeftum eft, quod
vitium utrumque, admotis oculo certse figurae lentibus, emendari
<$"] poteft. Myopi enim nimiam convexitatem minuit lens cava, pref-
bytis vero convexa contraria ratione medetur. Quarum itaque lentium
figura ut cujufque oculis quam aptiffima inveniatur, primùm confti-
tutio eorum et defeélus quantitas hoc modo exploranda eft.

Si feni auxilium quseratur, vifibile aliquod paulatim ab oculis ejus
removere oportet, quo ad primum diftinéle illud abfque incommodo
fuo cernât; atque eam diftantiam fignare, quia vifus conftitutionem
certo déterminât. Si enim diéta diftantia fit inventa AB [Fig. ici],
atque isadquem pertinet pofitus in A, conetur videre punétum propin-
quum G; fiet, dirigendo oculum utrumque ad C, ut fimul utrique
intrinfecus quidem aliquantum mutentur ab eadifpofitionequamhabe-
bant ad longinqua confpiciendum , fed hoc tantummodo confequentur
ut diftinfte contueantur ea quse funt ad diftantiam A B. Itaque lente
ejufmodi opus eft, quîe oculo admota radios ex C punéto venientes
infleétat quafi veniant ex B. Sit igitur ut BC ad CA ita CA ad CO.
Eritque tota AO femidiameter fuperficiei lentis vitrese s) utrinque
sequaliter convexae, quse propofitum efiiciet. Vel idem qiîoque efficiet

Tiens quaevis quse focum feu punétum concurfus parallelorum habebit
ad diftantiam AO.

Quia enim, ex conftrudione , CO eft ad CA ut CA ad CB; funtque
CO et CB ad eandem partem punéli C; O vero punftum concurfus parallelorum
lentis in A ; fequitur ex propof. [XX] '^) radios a C punfto manantes, poft refrac-
tionem in lente A, ita fleéli ac fi venirent ex B. Quare oculo illiquem diximus,
cunéta intervallo AC remota, ejufmodi lentium ope diftinéle percipientur.

Rurfus fi myopi comparandum fit confpicillum quo longinqua perfefte dif-
cernat, quserenda eft tantum diftantia maxima, ex qua 7) vifibile admotum videat

O-

C"

**) „nbn nihil quidem" , I. c.

^) „immutare eos, ac diversis distantijs aptare apparet", i. c.

^)„retinam",l. c.

5) Cest-à dire d'une lentille pour laquelle l'indice de réfraction est égale à |. Consultez à ce

propos les dernières lignes de la prop. XVI , p. 89 du Tome présent.
<^) Voir la p. 99 du Tome présent.

^),,adquam", 1. c. ..... ^

18

138 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

faut conftruire les deux furfaces concaves de la lentille en verre. Ou, fi l'on défire
qu'elle foit concave d'un côté feulement et plane de l'autre, il faut que le rayon
de la furface concave foit la moitié du rayon précédent. Car chacune de ces len-
tilles, placée devant fon oeil, aura pour effet de réfraéler les rayons incidents paral-
lèles (car on eftime parallèles les rayons qui viennent de points fort éloignés) de
telle manière qu'ils femblent provenir du foyer de la lentille , dont la diftance à
l'oeil fera précifément celle à laquelle il voit dillinétement, comme cela ré fuite
des propofitions XV et XVII ').

Proposition XXVIII.

Trouver une lentille en verre qui permette de voir claire-
ment aux perfonnes placées fous l'eau.

Il eft certain que ni les poilTons tirés de l'eau ni les autres animaux fubmergés
dans l'eau ne peuvent voir diftinélement quoi que ce foit '*). Car quant aux yeux de
ces derniers, vu que le liquide aqueux qui fe trouve au-deflbus de la cornée poflede
environ le même indice de réfraétion que l'eau, comme cela a été trouvé par expé-
rience, il s'enfuit nécefiairement que, lorfqu'ils font fubmergés, aucune réfraétion
des rayons incidents ne fe produit à l'entrée de l'oeil. Le fait que le pouvoir
réfringent de la cornée elle-même a une valeur différente, n'a aucune influence
car puifque ses deux furfaces font parallèles , et qu'elle fe trouve entre deux
milieux tranfparents de même pouvoir réfringent, elle tranfmettra tous les rayons
fans changement de direétion appréciable. Par conféquent, les rayons qui,
lorfque l'oeil fe trouvait hors de l'eau , étaient réfraélés à la furface de la cornée
et fe dirigeaient de là en convergeant vers le liquide cryftallin , atteindront main-
tenant ce dernier en fuivant des routes parallèles; et le pouvoir réfringent du
liquide cryftallin ne fera pas fuffifant pour les amener , comme d'habitude , à fe
réunir au fond de l'oeil, mais leur point de concours fera fitué plus loin: de
là la vifion confufe. D'autre part dans l'oeil des poiffons il y aura hors de l'eau
une forte réfraélion à la furface extérieure ,réfra6tion qui fous l'eau était nulle
ou du moins beaucoup plus faible, et ainfi dans leurs yeux le concours des
rayons aura lieu avant que ceux-ci n'aient atteint le fond. Il en réfulte qu'ils ne
pourront rien voir fi ce n'efl: confuféraent. Mais pour corriger la vifion d'un
homme fous l'eau, il faut trouver une lentille qui, placée devant l'oeil, tranfmette
les rayons au liquide cryftallin en les faifant converger autant que lorfqu'ils ont
été réfraétés à la furface extérieure de l'oeil chez ceux qui fe trouvent en-dehors de
l'eau. Ce problème eft facile à ré foudre '^') , vu que nous favons que l'indice de
réfraélion du verre par rapport à l'eau a la valeur § (en effet, cet indice eft le pro-

0 Voir les pp. 83 et 89 et surtout le dernier alinéa de la p. 93 du Tome présent.

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653. I39

diftinélè, atque ea ipfa erit longitude femidiametri fphaerae fecundum quam ab
utraque parte lentem vitream excavare oportet. Vel fi ab altéra tantum parte cava,
ab altéra plana defideretur oportet ejus cavitatis femidiameter fit prions fubdupla.
Qiiaevis enim harum lentium oculo admota efficiet ut radij incidentes paralleli
(taies enim cenfentur a longinquis punftis venientes) infleétantur tanquam
venirent a punéto difperfus, cujus difl:antia ab oculo erit eadem , quae illi diftinéle
videndi menfura erat, ut apertum eft ex propof. [XV et XVÏI] *).

Propositio [XXVIII].

Lentem vitream invenire qua fub aquis pofiti diftincte

vide an t.

Certum eft nec pifces ex aqua extradlos, nec animalia caetera fub aquam
demerfa, diftinélè quidquam cernere pofTe ^). In horum namque oculis,quo-
niam humor aqueus, qui cornese tunicse fubjacet , /^r*? ^) eandem aquae refraftio-
nem habet, ficut experientia compertum eft, necefl^e eft fub aquam merfis nullam
in primo oculi introitu fieri radiorum extrinfecus incidentium refraétionem. nec
refert quidem an cornese ipfius refraétio diverfa fit, quia cum duabus fuperficiebus
conftet parallelis, atque utrimque sequalis refraélionis diaphano tangatur, radios
omnes quafi reélos tranfmittet. Radij itaque qui, oculo extra aquam pofito,ad
corneae fuperficiem refraéti, inde jam convergentes tendebant ad humorem
cryftallinum, ij nunc in eum paralleli deferentur; neque fufficiet humoris crystal-
lini refraélio ad cogendos eos in fundo oculi, ficut folet, fed ulterius fitum erit
eorum concurfus punftum , unde videndi confufio. Pifcibus autem , extra aquam,
magna continget in exteriore oculo refraélio, quœ fub aquis vel nulla erat , vel
certe multo minor. Atque ita in eorum oculis concurfus radiorum fiet antequam
ad fundum pervenerint, unde nihil nifi confufe confpicere eos pofi^e confequitur.
Caeterum hominis vifus fub aqua ut emendetur, ejufmodi lens invenie'nda eft,quse
oculo admota radios aeque convergentes ad humorem cryftallinum tranfmittat,
atque a fuperficie oculi exteriore venire folent extra aquam agentibus. Quod
quidem facile '») ejî^cum refra&îonh vitri fub aqua fciamus eam ejje proportionem

'*) Huygens, à nne époque postérieure, a ajouté ici en marge: Videndum de amphibys,
crocodilo, Hippopotamo, ranis." De plus il a marqué sur une petite pièce séparée :
„Urinatores sub aqua vident quidem, sed distincte videre nequeunt; at eo ferc
modo quo fenex cum lentem valde cavam oculo apponit".

3) La copie de Niquet et la rédaction primitive donnent: ,,pene".

4) Au lieu du passage , en italique au côtélatin,qui va suivre, la copie de Niquet et la rédaction
primitive donnent: „erit cum refractionem vitri sub aqua jam cognoverimus,cujus
proportio erat quae 9 ad 8 [voir le dernier alinéa delà Prop. XXV, à la p. 129 du Tome

140 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653.

duit de Tindice du verre par rapport à l'air, qui a la valeur |, et de l'inverfe de
l'indice de l'eau par rapport à l'air qui a la valeur |. Car cela s'accorde avec
l'expérience ^) et auffi avec la théorie phyfique que nous avons expofée dans le
Traité de la Lumière^). Suivant cette théorie, le rapport de la vitefle de la
lumière dans l'eau à celle dans l'air étant pris égal à |, et celui de la vitelTe dans
Tair à la vite (Te dans le verre à|, il faut conclure que la vitefle dans l'eau ell:
à celle dans le verre comme 9 eft à 8) , et que nous connaUfons le rayon de cour-
bure de la cornée à l'endroit où elle eft tranfparente. En effet, c'eft une partie
d'une furface fphérique dont le diamètre eft égal à | pouce de notre pied ou du
vieux pied romain, comme nous l'avons indiqué dans la defcription de l'oeil ^).
Soit donc AC [Fig. 102] la furface convexe extérieure de l'oeil, et AB fon
rayon. Admettons que l'indice de réfraélion du liquide aqueux eft égal à celui de
l'eau, c'eft-à-dire J ^'). Si nous prenons donc BD égale à trois fois le rayon AB,il
eft certain que les rayons parallèles, l'oeil étant hors de l'eau, font réfraélés de telle
manière à la furface AC qu'ils doivent fe réunir après avoir parcouru la diftance
AD''). Mais lorfque l'oeil eft fubmergé, aucune réfraétion ne fe produit à la
furface AC;il faut donc placer devant cette furface une lentille en verre qui par fa

réfraélion fous l'eau puifl^e réunir au point D les rayons

L ig. ^°2.j^ parallèles à l'axe AB. Soit FAK cette lentille ayant

une furface plane tandis que l'autre, qui doit être à

^ s. ^-^t^c ^^^^ petite diftance de l'oeil, eft convexe et a un rayon

N^y^^^ f > HA. Si donc par cette lentille les rayons incidents paral-

lèles font réunis au point D, le rapport HD : DA fera égal
à l'indice de réfraélion, comme cela réfulte de la prop.
XIV ^). Or cet indice, celui du verre placé dans l'eau,
eft égal à §. Par conféquent HD : DA = 9:8, et, par
partage, HA : AD =1:8. Mais DA : AB = 4 : i ou =
= 8:2. Donc, en combinant les deux proportions, HA :
^ *• : AB =: I : 2. Or, AB était de j?_ pouce. Par conféquent

HA eft de -^^ pouce , et la forme de la lentille FAK eft
donc connue. Mais fi, au lieu d'elle, nous en défirons une autre G également
convexe des deux côtés , il paraît que fes deux furfaces auront la même convexité
que la furface AC de la cornée; c'eft-à-dire qu' elles feront partie d'une fphère
ayant un diamètre de |- pouce.

FIN DU PREMIER LIVRE.

<0

présent], nec non corneae tunicse, quadiaphana est, convexitatem. Ejus enim
convexitatis diameter ut prop. [XXVI, voir la p. 135] annotavimus eratf unciae
pedis nostratis seu Romani veteris".

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. 1653. I4I

qua ç ad S Qqua nempe componitur ex proportione refraStionis vitri inaere^qua
efi '>^ad i^et aqua in aère inverfa^ qua eft 3 ad 4. Hoc enim cum experientia con-
fentit '), tum rationiphyfîca^ quam in libro de Luce ') expofîmus. Quandoquidem
poftta celeritate lucis in aqua ad celeritatem ejus in aère , ftcut 3 ad 4; itemque celé-
ritate in aère ad celeritatem in vitro , ficut 2 ad 2, fequitur celeritatem in aqua ad
celeritatem in vitro effe ut ç ad S') cumque et cornea tunica qua diaphana eft, con-
vexitatem cognitam habeamus. Eft enim fphariccc fuperficiei portio cujus diameter
J uncicc pedis noftratis jeu Romani veteris, ut in oculi defcriptione annotavimus 3).
Sk jam igitur^") AC [Fig. 102] exterius oculi convexum cujus femidia-
meter AB. et ponatur ratio refraétionis humons aquei eadem quae eft aquœ, id
eft, 4 ad 3 s). Igkur fumpta"^^ BD tripla femidiametri AB,certum eft radios
parallclos, oculo extra aquam pofito, ita flecfti ad fuperficiem AC ut cogantur ad
diftantiam AD''). Demerfo autem oculo nulla ad AC fit refra6lio;quare oppo-
nenda ibi eft lens vitrea quse refraétione fua fub aqua, radios parallèles axi AB
colligat in punéto D. Sit ea lens FAK, fuperficie una plana, altéra vero, quse
proxime oculo admoveatur, convexa femidiametro HA. Si igitur hac lente radij
paralleli colliguntur ad punftum D, habebit HDadDAproportionem refraétionis,
ut conftat ex propof. [XIV] ^). Eft autem proportio hsec, refradlionis nempe
vitri fub aqua, quse 9 ad 8. Itaque HD ad DA ut 9 ad 8. et dividende HA ad AD
ut I ad 8. Sed DA eft ad AB ut 4 ad i , five ut 8 ad 2. Ergo, ex aequo HA ad AB
ut I ad 2. Erat autem AB y^ô uncise'. Ergo HA ^^ uncise, atque ita nota jam eft
forma lentis FAK. Quod fi vero in locum ejus aliam defideremus uti G aequa-
liter utrinque convexam, apparet ejus fuperficies utrafque ejufdem fore con-
vexitatis cujus eft cornese fuperficies AC. hoc eft è fpha^ra cujus diameter habeat
uncise J.

[FINIS PRIMI LIBRI.]

') Voir le début de la démonstration de la Prop. XXV , p. 1 25 du Tome présent.

'^) Il s'agit du troisième Chapitre : „De la reflraction", du „Traité de la lumière," ouvrage qui ne

parut qu'en 1690.
3) Voir la p. 135 du Tome présent.
0„enim",l.c.

S) Consultez la p. 1 1 du Tome présent.
6 „pofita" , 1. c.

7) Voir la Prop. VIII, p. 33 du Tome présent.
^) Voir la p. 8 1 du Tome présent.

APPENDICE 10

AU PREMIER LIVRE DU „TraCTATUS DE

REFRACTIONE ET TELESCOPIIS

9»

[1^52.]

Quando ex aère in vicrum, aut lapides diaphanes radius lucis incidit, auc in

aquam aliofve liquores tranfparentes, docuit experien-
tia hoc modo refraélionem fieri. Sic exempli gratia
aquae fuperficies plana AB, in qiiam cadat radius CD,
in aère exiftens: Sic aucem duéla per D punétum per-
pendicularis ad diétam fuperficiem, reéta FDG, ec
cencro D fcribacur circulus CFE. Radius igicur CD ,
cum ad perpendicularem inclinecur angulo FDC, idem
vicro ferecur fecundum reélam DE, ica uc minorcm
angulum cum eadem perpendiculari conftituac EDG.
Sinus vero anguli FDC, qui efl: CH, ad fmum
anguli EDG nempc EK, cercam quandam proporcionem fervac: quae in omni
inclinacione eadem perpecuo invenicur ^). Ec in aqua quidem haec proporcio pro-

A ^

A

iir/

ii'C^

B

G

') Cet Appendice contient le début du manuscrit de la Dloptrique, tel qu'il était vers 1666 ,
lors que la copie de Niquet fut prise. Il constitue probablement la leçon primitive, précédée
peut-être d'un mot au kcteur ou préface, comme nous l'avons remarqué dans la note 2, p. 2
du Tome présent.

Sur la copie de Niquet on peut consulter l'^Aperçu général" qui constitue le début de
r„Avertissement".

*)0n peut conférer cette rédaction de la proposition fondamentale de la dioptrique avec la
rédaction de la p. 5 du Tome présent.

144 TRACT ATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. APPENDICE I. 1652.

xime eft refquitercia; uc nempe CH fit partium quatuor qualium EK eft trium. In
vitro autem et cryftallo circiter fefquialtera. Nec accurate ea definiri in univerfum
poteft, cum nec in vitro omni, nec in omni aqua, prascife eadem fit. Sed pro-
pofita quasvis materia pellucida quaenam in eo fit Refraftionis proportio, ita enim
deinceps eam vocabimus, inquirere licebit methodo aliqua earum quas paulo pofl:

adferemus ').

Rurfus vero cum ex vitro aut aqua, fimilive
corpore refraélionem faciente, radius lucidus egre-
ditur, contrario modo is infleétitur, fednihilomagis
minufve quam in ingreflli; velut quia râdij CD
refradtio intra aquam efl: fecundum DE, hinc vice
verfa fi radius ED occurrat intrinfecus eidem aquae
fuperficiei AB incedet refraélus fecundum DC.
Haec autem ita fe habere plurimorum experimen-
„ tis et obfervationibus accuratiflimis compertum efl::

Imo eorum quoque qui hanc refraélionum legem nec-
dum intelligebant. Ita enim a Keplero, cum angulus CDH efl: maximus omnium
qui efle poffunt, hoc efl: gr. 90° vel potius tantillo minor, invenitur angulus EDK,
gr. 42, quod jam diétis plané confonum efl:, quia nempe ut 3 ad 2, quam
diximus efl^e proportionem refraélionis vitri, ita efl: quam proxime finus gr. 90
hoc efl: 100000 ad finum gr. 42, hoc efl:, 66913. Quod vero angulo CDH, 30
gradibus minore exiftente, définit angulum EDK duabus tertijs ipfius CDH
aequalem, ne in hoc quidem maie nobifcum convenit , quando quidem in angulis
qui 30 gradibus minores fint, eadem proxime finuum inter fe atque ipforum angu-
lorum ratio efl: =).

Porro ad rationem ipquirendse refraftionum mensurse seuproportionis, quod

A D

^\rr

\/

K^y

£^^^_J

') Voir les p. 9 — 13 du Tome présent.

*) Il s'agit ici de la „Dioptrique" de Kepler, c'est-à-dire de l'ouvrage cité dans la note 5, p. 6 du
Tome I. Dans cet ouvrage Kepler adopte, entre autres , les axiomes suivants : „VI. Axioma.
Crystalli et vitri refractiones sunt proxime eœdem"; „VII. Axioma. Crystallirefractiones
usque ad tricesimum inclinationis, sunt ad sensum proportionales inclinationibus"; IIX.
Axioma. Angulus refractionis in Crystallo est usque ad dictum terminum,quàni proxime
tertia pars inclinationis in aëre;„IX. Axioma. Refractio Crystalli est circiter 48 gradus." Or,
comme Alhazen (voir la note 2, p. 5 du Tome présent), Kepler entend par „angulus refrac-
tionis" l'angle entre le rayon réfracté et le prolongement du rayon incident. Le huitième
axiome exprime donc, en effet, que l'angle EDK de la figure du texte est sensiblement égal au
deux tiers de l'angle CDH, lorsque ce dernier angle ne surpasse pas 30°, et l'axiome suivant,
que l'angle EDK est, au maximum, égal à 42°.

TRACTATUS DE REFR.ACT. ET TELESC. LIBER I. APPENDICE I. 1652. 145

attinet, quoniam complures eam non una via tradiderunt ut Carcefius^), Keplerus*),
alijque, sufficeret fortafTe fi ab ijs peti juberem; neque etiam difficile fuerit
ijs qui prsecedentia intellexerint, nova ad hoc artificia excogitare. Verum
tamen quia minimo negotio, et fatis accurate fequentibus modis inveftigari
poteft, operae praetium erit hic eos adfcribere. Ergo fi liquida quavis materia
data fit 5).

• "î

3) Voir la note 5, p. 9 du Tome présent.

4^ Kepler, dans sa Dioptrique, décrit deux méthodes pour déterminer
les angles d'incidence et de réfraction. D'après la première (Problema
IV, p. i) il mesure la longueur de l'ombre d'une paroi verticale sur un
plan horizontal avant et après qu'on a placé contre cette paroi, du côté
de l'ombre, un parallélipipède de la matière transparente. Pour
appliquer la seconde (Problema V, p. 2) un cylindre transparent est
placé de manière que les rayons du soleil soient perpendiculaires à son
axe. Alors, si AB représente la direction de ces rayons, D un petit
objet intransparent, E son ombre, l'angle d'incidence est ACD et
celui de réfraction est la différence entre les angles ACD et CDE. En
rapprochant l'objet du point F on trouve de cette façon le plus grand
angle de réfraction.

') Voir la suite à la p. 9 et suivantes du Tome présent après la partie en italique.

ï9

APPENDICE IIO

AU PREMIER LIVRE DU ^^TrACTATUS DE REFRACTIONE

ET TELESCOPIIS".
[PROBLEIVIA UTILE AD INVESTIGANDAS REFRACTIONES.]

22 Dec. 1652.

1652.

Data proportione refractionis inve-
nire anguliim fub quo Iris primaria
fpectari debeat. Et contra; Problema
utile ad inveftigandas refractiones^).

Sit fphaera diaphana fefta piano per centrum A ,
et maximus in ea circulus FBK, cujus diameter BM.
Et fit radius folis ipfi BM parallelus PF,quipri-
mum refraélus in F pergat fecundum FD ; deinde
in D refleétatur verfus K , eruntque FD , DK prop-
terea sequales ; et rurfus in K refraélus pergat fecun-
dum KO. Et ducatur KN parallela BM vel PF.

Confiât igitur ex Cartefij de Iride traétatu 3)
radios eos qui primam iridem producunt eo modo
ferri quo radius PF.

Conftat etiam determinationem habere angulum
NKO, ita ut certo angulo major fieri non poffit ex
quocunque radio ipfi PF parallelo originem ducat,
atque is quidem angulus femidiametrum iridis maxi-

^) La pièce est empruntée aux p. 227—233 du manuscrit N°. 12, mentionné dans la note i

à la page 7 du Tome XI.
^) Comparez les p. 1 1 — 13 du Tome présent.
3) Il s'agit du „Discours Huitiesme" des „Meteores", intitulé: „De rarc-en-ciel" (T. VI,

P- 325—344 de l'édition récente des Œuvres de Descartes par Adam et Tannery).

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. APPENDICE II. 1652. I47

mam définit; Eftqiie diverfus pro diverfa proportione refraftionis quam habet
materia fphœraî diaphan». Si ex aqiia conftat angulus OKN cum maximus eft
squat grad. 4 1. 30' '*) atqiie ea eft femidiameter qiioque iridis casleftis. At fi vitrea
ell, idem angulus NKO eft 21 gr. 52' s) circiter.

Data igitur refraélionis proportione inveftigandum fit quantus maximus efle
poflit angulus NKO.

Jungatur AD, et producatur doncc occurrct produélo radio PF in R,ctjun-
gatur RK. Ea igitur erit in dircétum ipfi KO. Nam quia FD, DK œquales funt,
eadem quantitate refringitur radius DK egrediendo denfi.uTi, atque PF ingre-
diendo. ideoque angulus DKO sequalis angulo DFP: fed et angulus DKR angulo
DFR aequalis eft , quia triangula KDR, FDR habent angulos ad D et latera eos
comprehendentia sequalia, ergo duobus fimul angulis DFP et DFR hoc eft duobus
redis sequales funt anguli DKO et DKR; ideoque RKO linea refta. Eft autem
angulus OKN îequalis angulo KRF quia KN parallela RF. eftque angulus KRF
duplus anguli ARF five DAB. Igitur et angulus OKN anguli DAB duplus. Ergo
ut angulus OKN fit maximus qui efl^e poflit, oportet angnlum BAD quoque
maximum efte. Eft autem data ratio lineje FDC ^') ad CA, nam hsec eadem eft quae
ratio refraftionis '') , quia FD ponitur refraftio radij PF ipfi AC paralleli, ficut
in dioptricis oftendimus ^). Igitur hue tota res redit ut quaeratur punétum F in
circumferentia MFB, ejufmodi, ut dudâ FC quae ad CA datam habeat rationem,
abfcindatur arcus BD maximus qui hoc modo abfcindi poteft. ducantur ad MB
perpendiculares FG, DL. Ergo AL minimam oportet efie,qu£e poflit. Vocetur
fcmidiam. AM , r; et proportio refraélionis fit quse eft linese p ad r, et AC fit x.

Ergo quia ut r ad /> ita eft AC ad CF erit CF 00 —, et per 1 3 1. 1 . Elem. ^} erit

ppxx

^^ — XX — rr

AG DO

2Jf

*) Cette valeur correspond exactement avec celle donnée par Descartes; voir les pages 339 et
340 du T. VI de l'édition citée dans la note 3 de la page précédente. Elle y est empruntée à
la table où Descartes fait connaître , en prenant 250 : 1 87 pour l'indice de réfraction de l'eau,
dix-neuf valeurs de l'angle NKO, calculées pour autant de valeurs différentes du rapport
de FG au rayon de la sphère, pour en choisir la plus grande comme valeur maximale de
l'angle NKO.

5) Valeur déterminée par Huygens lui-même. Comparez la p. 1 1 du Tome présent vers la fin.

'^) Le point C, dont il est question ici, est le point d'intersection des droites BM etFD. Ce n'est

que par accident que dans la figure il se trouve si près de la droite KR.

7^/^ <r FC sin FAG' sinRFA

7") On a en effet ^^rv = — — tvpX = • i^pa '
'^ CA sin DFA sin DFA

') Il s'agit de la „Prop. Il", p 15 du Tome présent.

9) Lisez „i2 1. 2. Elem." Il s'agit des „Elementa" d'Euclide; consultez pour le théorème en

question la note 1 8 , p. 29 du T. XII.

148 TRACTATUS DE REFllACT. ET TELESC. LIBER I. APPENDICE II. 1652.

Fiat deinde ut

Ergo FD 30 ^ - ^^^, ^ 0'

^-^- x^ — rr

Ad AG -^

2X

addatur AC x

^— \- XX — rr\ ^ ,

.ppxx

ad

2pprrx^

fubt. fub eundem denom. reduéla (AG ^ ^^ ^^ f-

ipprrx^

AT PP^^x^ — ^^^^ + ppr^xx 4- sf'^icx — r^
2pprrx^

1 AT 2N C^/^ ~~ ''O ^"^ + (/>/>rr 4- 2r4) xa; — r*^

Ponatur jam AT + 3^ oo x et fubftituantur poteflates ejus in locum poteftatum
X, m rurfus habeatur AL , quœ cum prsecedenti comparetiir 3^.

fit AL

ppx"^ H- ^ppx^y -h 6ppxxyy + ^ppxy^ -^ppy* \ I />^^'^
— rrAT'* — 4.rrx^y — ôrrxxyy — ^rrxy^ — rry^ I i — rrx'*
4- 2r^xx 4- 4r^xy 4- 2r43'3; 1 ^ + ^^''^^ \ ^L,

4- pprrxx 4- 2pprrxy 4- pprryy I 1 4- pprrxx

2/>/>a;3 4- 6ppxxy 4- ôppxyy 4- 2/>/>3^3 2/)/>x3

^) Le manuscrit donne „— ^t — . mais nous avons cru devoir remplacer ici et plus loin

cette notation un peu embarassante par la notation moderne équivalente.
*) Huygens indique encore dans le texte une autre manière de calcuter AL, comme il suit:

„Oportebat dicere CF ad CG ut CD ad CL quam autem s[ubtracta] à

CA 00 X, fit LA."
3) Consultez sur la méthode dont Huygens se sert ici, pour calculer la valeur maximale de LD ,

le § 1 1, p. ip du Tome XL

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER. I. APPENDICE II. 1652. 140

Poft alternas multiplicationes per denominatorem utrumque omnia dividenda

per^;; quo faélo ege quantitates quibus adhuc y aderit
omnes delendae funt, féd quae deleri dcbcre conftat
non opus eft fcribere ut hic erunt omnia prseterquam
quibus fimplex^^ inerit ^).

Ergo ^p^x'^y — ^pprrx'^y + Sppr^x^y -h

+ /\.p^rrx^y oo ôp^x^y — 6pprrx^y -|-
+ I ippr^x^y H- ôp^r^'x^y — 6ppr^xxy

ppx^ — rrx'^ — ^r^xx — pprrxx +
+ 3r'^ 00 o

dividitur ^^xxx — rr et ^ippxx — rrxx — ^f"^ oo
00 0 non tamen xx oo rr propofito convenit fed

XX 00

3^4

pp — rr

Ergo/>/>co^ — ; /> oo —]/ 3 rr + xx

JvJy

X

n «•4 I ffXX

Verùm ut q.AB (rr') adpp hoc eft — — -^^

ita eft q.AC (xx) ad q.CF

XX

Ergo q.CF 00 3rr
Subtr. q.AC
+ q.AF

reliq. 2rr 00 2 □ CAG s), div. peu 2 CA (2x)

3^4

rr r^

Ergo AG 00 — . Ergo q.AG 00 — . Sed xx 00

X XX

pp — rr

fyfy f*f* *

Ergo q.AG 00 ^^ — . Itaque cognitis p Qtr facile cognofcitur AG, et hinc

angulus NKO. Nam ex finu AG datur angulus AFG, cujus complementum angulus
GAF. ergo datur et finus GF ^). Habet autem GF ad AQ perpend. in FD pro-
port, refraâiionis eandem fcilicet quam FC ad CA quse data eft. Ergo hinc datur
AQ finus anguli AFQ; cujus complementum angulus QAF. Hic autem bis sump-

4) Comparez la note 1 1 , p. 48 du Tome XL

5) Huygens ajoute en marge ,,13. i. Elem."; mais consultez la note 9 de la page 147.

<^) Huygens ajoute encore en marge: „Vel subtrahendo q.AG à q.AF invenitur
^^ 4 rr — pp"

150 TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. APPENDICE II. 1652.

tus, addito angulo FAG, confticuit angulum GAD quo ablato ex duobis reélis

reliât angulus DAB, cujus diiplus eft NKO, fub
quo femidiameter iridis confpicietur ut fuperius
diélum fuit ').

dato autem angulo NKO refraétionis proportio-
nem invenire solidum *) eft. Dato enim angulo
NKO datur quoque dimidium ejus nempe angulus
DAB. Ergo data eft AL, quae vocetur a-, et fit AC
ficut prius 00 X. Inventum autem fuit quod cum

rr

angulus NKO maximus eft, AGeft — ,EttotaCGx)

X

rr

00 a; H . Sed haec aliter quoque nunc exprimetur

atque inde habebitur aequatio.

Sciendum itaquequod CD eft ad CF ut □ FCD

ad qu. FC. Eft autem □ FCD od n MCB hoc

eft differentise quadratorum AC , AB five xx — • rr\

et antea inventum fuit qu. FC oo 3/T + xx. Ergo

CD ad CF ut xx — rr ad 3rr + xx fed ut CD

ad CF ita CL ad CG; eftque CL oo x — <âf. Ergo erit

^^ x"^ + rirrx — axx — 'irra ,. rr

CG 00 ^2 -^ œqualis x +

XX — rr

X

prius mventse.

x^ H- '^rrxx — ax^
<7,rrxx

X

3

a

- '^arrx 00 x^
'^rrx

H sequatio dividi nequit.

a

00 o

ad auferendum fecundum terminum ponatur z -\ ^ 00 x 3)

Et invenitur

yZ

?>r

■4 ar

z —

4- 'T^rrz

3^4

2r'

a^

2r^

H 00 o

a

vel 2^ _ ^ 5; 30 ^^ ^ ""^^ P^^ methodum Vietae, Probl. 1 1

4- 2^rz

') Le premier problème: celui de trouver le diamètre de l'arc-en-ciel étant connu l'indice de
réfraction, est donc résolu, et Huygens va s'occuper du problème inverse.

') C'est-à-dire, il s'agit d'un problème solide menant à une équation cubique ou biquadratique.

3) On peut comparer dans le Livre III de la Géométrie de Descartes le paragraphe «Comment
on peut oster le second terme d'une Equation" (p. 449 — 450 du T. VI de l'édition d'Adam
et Tannery).

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. APPENDICE II. 1652. I5I

de Numerofa Poceft. Réf. radix excrahetur '*), redaélis prius omnibus ad
numéros. Sic igitur inventa quantitate 2, addendum eft — (quse eft secans an-
guli DAB) et habebitur jkt, unde porro^ innoce fcet,nam in ventum eft fuperius
pp 00 ^ . Ergo inventa erit proportio refraélionis nam ea eft ut p ad r.

XX

Si — fecans anguli DAB quae data eft vocetur s. Erit

iEquatio haec z"^ ^ ( 2 00 2^^ _ ^rr^
+ 3rr j

Et rurfus {\ss — rr vocetur //, (eft enim ss — rrzo qu °. tangentis anguli DAB)
Erit iEquatio haec z^ _ >^ttz oo im.

Itaque daco angulo sub quo femidiameter Iridis maxima speétatur, proportio
refraélionis invenietur per regulam fequentem:

Régula : Inveniatur numerus qui duBus in quadratum [uum multatum tripîo
quadrato tangentis dimidij anguli dati^pat aqualis quadrato ejufdem tangentis^
duBo in duplam fecantem fuam (quod fiet per methodum à Vieta traditam Probl.
XI de numerofa poteftatum afFed. Refolutione;) atque is numerus diBcC [ecanti
addatur. Habebit radix quadr. duBa ex quadrato ejus fumm^e et tripla quadrato
radij ad ipfam fummam proportionem eam qua efl RefraBionis s).

Exempli gratia proponatur invenienda proportio refraétionis aquse ex eo quod
femidiameter Iridis caeleftis maxima confpicitur fub angulo 41 gr. 30'.

Dimidium ejus anguli eft 20. 45' hujus tangens 37886. hujus quadratum
1435348996. triplum ejus 4306046988. fecans autem 20. 45' eft 106936
cujus duplum 213872 duétum in quadratum tangentis 1435348996 facit
3069809604725 I 2.

Si igitur numerus inveniendus vocetur x erit aequatio ifta;

x3 — 4306046988 Jtr 00 306980960472512.

unde invenitur per Vietae regulam x 00 88269 circiter.
add. fecans 20. 45. 106936

fum. 195205

■♦) Voir à la page 198 de l'ouvrage cité dans la note 31 , p. 10 du T. I le „Problema XI. E dato
in numeris cubo adfecto multa solidi sub latere & dato coëfficiente piano, latusanalytice
elicere". Viète y applique sa méthode successivement aux équations: i C[ubus] — 10
N[umerus] 00 13584 et i C — 1 16620 N 00 352947, trouvant pour les racines 2461 343.

5) C'est-à-dire, v'^c- -f- 3^" : x =p : r; proportion qu'on déduit facilement de la formule pour
p qu'on trouve plus haut. La règle fut communiquée à van Gutschoven dans une lettre du
6 mars 1653 (p. 226 du T. Q.

152 TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. APPENDICE II. 1652.

Summaehujus quadratum eft 38 104992025 ) ,
triplum qu. radij 30000000000 i

fum. 68104992025 cujus radix 260969
'95^°5 1 00000 260969 ')

1*0
183*
17598*

134^157*
72023265*

6576455005*

26096900000 i33<^893^

195^0555555
195200000

1952222 : . ^î* ■■:-. ■'■1:

19555

199
I

Ergo 133689 ad 1 00000 eft proporcio refraftionis aqiise quse proxime efl:

') La proportion indiquée dans la note précédente est appliquée ici sous la forme jc (AC) : r=
= 1/^^41^:^.

'*) Dans le manuscrit tous les chiffres, qui participent à l'opération qui suit, sont biffés à l'excep-
tion de ceux que nous avons marqués d'un astérisque, et de ceux du quotient 1 33689.

3) Pour expliquer l'algorithme suivi par Huygens dans cette division du nombre 26096900000
par 195205, il sera utile de représenter ici quelques uns des états successifs du calcul en
question, où partout les chiffres qui se trouvent à l'intérieur de la ligne brisée doivent être
supposés avoir été biffés à mesure qu'ils furent employés.

657H

26096900000 { I
195205

260969

00000 { I 3

19520

booo 13

7202

"65764I5
2609690

1952055
19520!

0000 |i3

7202

657Ô4\5
2609690

1952055

19520I0

1952

0000 1 133
5

La première figure nous fait connaître le commencement du calcul. Dans la seconde le
deuxième chiffre du quotient vient d'être obtenu par la division approximative du reste
6576400000 par le diviseur 195205. Dans la troisième l'opération avec ce deuxième chiffre
est en marche. Le calculateur n'a plus qu'à multiplier le 9 du diviseur par 3, à y ajouter le i de
1 5 qu'il a retenu et à soustraire 8 de 65, ce qui lui donne le 7 qui manque encore au nouveau
reste; ensuite il multipliera i par 3, y ajoutera le 2 de 28, qu'il a retenu, ce qui fera dispa-
raître le 5 de 57 = 65—8 et amènera la quatrième figure.

Enfin la dernière figure nous représente le moment où le troisième chiffre a été obtenu par
la division du nouveau reste 720250000 par le diviseur 195205.

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. APPENDICE II. 1652. I53

eadem qiiam 250 ad 187 et paulo major quam 4 ad 3 ficut et Cartefius ipfam ex
Iride invenit, fed ope tabulse ad hoc conftruftae '*).

Contra autem cum proportio refraftionis data eft invenietur angulus fiib qiio
femidiameter Iridis maxima speftari debeat per Regulam hujufmodi.

Régula. Ut minor proportionis terminus ad major em ita fit radius circuit qui
efî in Canone ad alium numerum. Ejus numeri quadratum auferatur à quadrupla
quadrato radij. Et e triente reftdui eliciatur radix quadratica s). Porro ut major
proportionis terminus ad minorem ita fit radix inventa ad alium numerum *^) et
quoiratur cujus anguli fit finus hic numerus in canone. Nam fi ab anguU hujus
duplo auferatur angulus cujus finus efî radix pradiSla , reliquum bis fumptum
dabit angulum femidiametri Iridis quaefitum ^').

Exempli gratia fit data proportio refraélionis aqiise quse eft 250 ad 187.

minor terminus major terminus radius

187 250 1 00000/133690 hujus numeri quadratum eft

1 7873016 100 quod ablatum à quadruplo quadr. radij nempe 40000000000, relin-
quit 22 126983900 cujus tertiapars eft 7375661300.

Hujus radix quadr.^ eft 85881
250 187 85881/64238, qui numerus eft finus anguli 39.58'

duplum 79-5<^')auf
angulus cujus fin. 85881. 59.11' j

resid. 20.45
2

dupl. 41.30' angulus
fub quo femidiam. Iridis maxima fpectatur ^).

■♦) En réalité Descartes dans ses„Meteores",au lieu cité dans la note 4, p. 147 du Tome présent,
ne prétend pas avoir mesuré exactement le diamètre de l'arc-en-ciel. Tout au contraire, au
moyen de la table en question, il calcule ce diamètre en partant du rapport 187 à 250 de la
réfraction „le plus iustement" comme il dit (voir la p. 337 du T. VI de l'édition d'Adam et
Tannery) „que j'aye pu la mesurer."

S) Huygens ajoute ici en marge „Hinc apparet proportionem refractionis non majorem
dupla esse debere, ut Iris conspici possit." Consultez la note 6, p. 149 du Tome pré-
sent. Le nombre calculé jusqu' ici représente la ligne FG de la figure.

'') Ce nombre représentera la ligne AQ.

7) En effet, 2 /.QFA — LFAG = LDAC = LFKA = | ^NKO. Cette règle, de même que la
précédente, fut communiquée à van Gutschoven dans la lettre mentionnée dans la note 5,
p.151.

^) On rencontrera plus loin dans l'Appendice VIII, p. 163, des calculs qui se rapportent à Parc-
-en-ciel secondaire.

20

APPENDICE IIIO

AU PREMIER LIVRE DU „TrACTATUS DE REFRACTIONE

ET TELESCOPIIS",

1658.

3 Maj. 1658. 5 pomerid.

Angulus exploratus femidiametri prim« iridis in fphaera cryftallina, fuit in

prima obfervatione 18.55'

in a^a. 18.20'

in 3^ 18.10'

in 4^. 18.32'

unde vero proximum puto 18.22 ^^ circiter.

paulo adhuc minores anguli. quia aliquid perdimus de akitudine folis dum illa
porterior obfervatur. 6' vel 7'. fit ergo 18.16.

At in vicro veneto erat 22.0'. Ergo diverfa aliquantum refraélio cryftalli repe-
ritur ac vitri.

') La pièce est empruntée à la p. 18 du Manuscrit A. Comparez sur la méthode employée les
pp. 1 1 et 13 du Tome présent et 1',, Appendice H", qui précède.

*) Huygens écrivit primitivement 18.21, ce qui est la moyenne des deux dernières obser-
vations ; après il changea le i en un 2.

APPENDICE IV 0

AU PREMIER LIVRE DU „TrACTATUS DE REFRACTIONE

ET TELESCOPIIS".

[1664.]

Ad metiendos refractionum angulos omnes uno triangulo
vicreo rectangulo.

AB eft latus fuperius
trianguli vitrei , ligno in-
cliifi, lateri maximo BC
charta alba gliitine affi-
genda. Angulus ad A
réélus accurate forman-
dus. Latus AB diverfi-
mode ad folem inclinatur.
AD eft radius redus AE
radius refraftus.

Charta HK'divifiones
habet graduum.

')La pièce se trouve à la p. 158 du Manuscrit B. D'après le lieu qu'elle occupe elle doit
dater de 1 663 ou 1 664.

v>

APPENDICE V 0

AU PREMIER LIVRE DU „TrACTATUS DE REFRACTIONE

ET TELESCOPIIS".

1664,

d. ven[eris]. 19 Sept. 1664.

Vase vitreo aqua pleno, inveftigavi proportiotiem refractionis aquge qiige fuit ea
quai linese AB ad BC. Ex fofTa haufta erat. Eâdem fale faturatâ pauxillo major
inventa eft refradlionis proportio, nempe quîe AD ad DC. Efl: autem ratio AB
ad BC paulo major quam 4 ad 3 , hoc eft quam AE ad EC.

') La pièce est empruntée à la p. 160 du Manuscrit B.

\^

A

APPENDICE VI ■)

AU PREMIER LIVRE DU „TraCTATUS DE
REFRACTIONE ET TELESCOPIIS".

Il 666.']

DB efc lens convexa. Acentrum fuperficiei
BE. C centrum fuperf. DF.

quaeritur punctum in axe AC ad quod
coguntur radij paralleli dicto axi ut HF,
poft duasrefractiones etunamreflectionem.

Sit DK tripla DC. Ergo primum radius HF fraftus in
F tendat ad K ="). Sed refleélitur in E , ea lege ut , dufto
AE radio , fiant anguli aequales FEA , AEO.

Sit KEF produéla in G. et fit SE parall. AB. Ang. EAB
ad ang. EKB (quia minimi intelliguntur) ut BK ad BA ,
five ut DK 3) ad BA.

^) La pièce est empruntée aux p. 121 recto et verso du Manuscrit
C. D'après le lieu qu'elle occupe elle doit dater de la fin de
l'année 1666 ou du commencement de l'année suivante. Huygens
y calcule la distance à la lentille du point de concours, après deux
réfractions et une réflexion, des rayons parallèles à l'axe tombant
sur une lentille biconvexe; ensuite il déduit des résultats obtenus
une méthode expérimentale pour déterminer les rayons de cour-
bure des deux surfaces d'une lentille biconvexe à l'aide des points
de concours mentionnés, tels qu'on les obtient en exposant la
lentille à des rayons parallèles vers lesquels on tourne alternative-
ment ses deux côtés.

'^) C'est-à-dire en prenant | pour l'indice de réfraction du verre;
comparez la „Prop. VIII" , p. 33 du Tome présent,

3) En négligeant l'épaisseur de la lentille.

158 TRACT ATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. APPENDICE VI. 1666.

Ang. AES aeqii. angulo EAB. Et ang. SEG seq.ang°. EKB. Ergo ang. AES
ad angulum SEG ut DK ad BA.*Hoc eft ut tripla DC ad BA. et angulus AEG ad
ang. [AES ut 3 DC + BA ad 3 DC. Sed ang. AEO «qu.
ang°. AEG. et ang. EAO sequ. ang°. AES. Ergo ang. AEO
ad ang.'EAO ut 3 DC + BA ad 3 DC.

Ergo AO ad ÔE (OB) ut 3 DC + BA ad 3 DC.

Ergo AB ad BO ut 6 DC + BA ad 3 DC. negleéta
autem lentis craffitudine eadem eft BO ac DO.

Fit porro alia refraélio in X, atque inde radius tendit
fecundum reftam XV, concurrens cum axe in V. Quod
punélum invenitur faciendo ut OK ad OC ita OD ad OV ^).
Et auferendo OV ab OD relinquitur DV diftantia à lente
qusefita punfti concurfus parallelorum reflexorum.

Sit AB 00 ^; CD 00 ^. Ergo DK 00 3^.

6^+^ad3^ut^CAB)ad^|^^BOOvelDO/ ,,, ,
-^ ô ^ ^ 6b + a ^ a[dde].

3^ 3DC

i^bb -h 6ab
6b -\- a

OK

Mb-{-6ab\
6b -\- a )

adOC(

6bb -h \ab\
~6b

ad OV (-

ut

\6b + aJ

o^ab

a J^''^'^ \6b -\- a.
Q^abb H- ^aab \ ^')

6abb -f- aab
l'^bb + ()ab •+■ aa

Ub
'') divid. per 6b + a VD

)

<^ab + aa
ab

Sb-\-a

Siaco bûtVD co ^a.

Si a infinité magna fit VD 00 b.

Si b infinité magna fit VD co ^a.

ba

t diftantia concurfus cum radij in fuperficiem BE

primum incidunt, defcripta ex VD mutatis invicem a in b.

4) D'après la „Prop XII", p. 41 du Tome présent.

5) Il s'agit de la proportion (6 DC + BA) : 3DC = AB
démontrée plus haut.

*^) Nous supprimons quelques calculs.

0 Puisqu'on a VD = OD - OV = ^^^ 3^-^^ + ^^^^

BO,

6b-{-a (6^+^)(3^ + /2)*

n

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. APPENDICE VI. I 666. I 59

C""i fii^ 'Zf-jrrj ^^ \a + h ""^ 3^ + ^ ^d 3^ + ^ î apparat fi a major quam

^, etiam "t^— 7— majorem fore quam , , hoc eft , concurfum tum longius

dillare ciim convexior fuperficies foli obvercitur.

Si lens planoconvexa fit, et convexa fuperficies radijs exponatiir, fit diftantia
concurfus aequalis radio convexi. Sed fi plana radios primum excipiat fit eadcm
diftantia concurfus aequalis i radij convexitatis.

Imo VD 00 —, 05 p ^) : ^2 00 /i-^

yy -{- a ^ ^' h—p

eadem ratio invenietur necefiario h x>

3^^
a—q

h 00 ^^- -)

Ergo a2iàih ut 3j>— ^ ad '^q—p. bon

ad cognoscendas convexitates lentis dataî pcrreflexionem.

^) À partir d'ici il s'agit de trouver les expressions pour les rayons de courbure atx.b^ qu'on
obtient en supposant connues les distances p tx. q àyx point de concours V à la lentille dans
le cas de la figure et dans celui où la lentille se trouve dans la position inverse.

^) Cette expression est obtenue en substituant b = dans ^ = , _ ..

'°) L'expresssion a été déduite par Huygens en partant de l'équation : b = — ^-^ — ,d'où il suit
-^— ; ensuite cette valeur de a est égalisée à — ^^ , ce qui permet enfin de calculer

b — M 11— P

la valeur de b. Nous avons supprimé ces calculs.

APPENDICE VII 0

AU PREMIER LIVRE DU „TrACTATUS DE REFRACTIONE

ET TELESCOPIIS".

febr. 1667.

1657.

Data lentis utraque convexiiate et craffitu-
dine et foci diftantia à lentis fuperficie, irive-
nire proportionem refractionis.

Sit lens RS, cujus craflitudo CD, radius convexi RCS
radijs parallelis obverfi fit AC, convexi alterius RDS fit radius
BD deturque foci diftantia DO. Vocetur AC. ^; BD. ^; CD.
c; DO. e\ CE. x. Ponendo CE ad EA habere rationem quae
eft refraftionis. Et ut AC (^d) ad CE (x) ita fit BD Çh) ad

Jam per propof. [XVI] dioptricorum erit ut EL
(x +^ - c) ad LB(^ - h) ita ED {x-c) ad DO 3)

portion EL : ED

') La pièce est empruntée aux pp. 141 el 143 du Manuscrite.

') De cette manière on a DL : LB = CE : AE; c'est-à-dire les deux rap-
ports DL : LB et CE : AE sont égaux à l'indice de réfraction et les
points E et L correspondent aux points homonymes de la figure 47 de
la p. 87 du Tome présent.

3) Voir la p. 87, citée dans la note précédente; on y trouve la pro-
: EB : EN, où le point N est identique avec le point O de notre figure et

d'où l'on déduit facilement la proportion EL : LB = ED : DO du texte.

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. APPENDICE VII. 1667. 161

[ED] x-c
[LB] ^-^

ffx -\- bc

^ "L DO 00.

bx

X -\ c

a

bxx— bcx—abx -i- abc oo aex 4- bex—ace

xx^ -\- ex — ac

aec

+ ax j—

b

•+- ex

aex

fit ut BD (b^ ad AC (^) ita DO (e) ad CQ ~
i, ae

fit y-hC-h^Z + ^CO^

XX zo px—ac

aec
V

x:xilp-^\/ \pp-ac — r- ^

Cognita x, nofcetur et proportio x ad x— a^ hoc ell , CE ad EA , quœ efi: pro-
portio refraétionis.

'*) La racine inférieure ne peut pas servir. En eiFet, cela exigerait

Si
c'est-à-dire :

d'où Ton déduit facilement :

e (a-\- F) <Cec.

Ainsi l'épaisseur c de la lentille devrait dépasser la somme des rayons de courbure de ses
surfaces, ou le point O devrait se trouver, dans la figure , au-dessus du point D.

21

l62 TRACT ATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. APPENDICE VII. 1667.

Régula. Ut radius convexi interioris ad rad. convexi exterioris ita fit foci
diftantia data ad aliam P s) ad quam addatur diéla foci dift.a atque item rad. con-
vexi exterioris et lentis craffitudo data. Summae '^) hujus capiatur dimidium a
cujus quadr.° auferatur quod fit à P -f- radio convexi exterioris duétis in lentis
craffitudinem Q. refidui radix qu. addatur ad diétum fuminse dimidium. habebitur
terminus major proportionis refraélionis à quo fi auferatur rad. convexi exterioris
orietur terminus minor.

S) On a donc P = ^* = CQ.

ae

*) Cette somme égale -^-\-e-^a-\-c = p.
7) C'est-à-dire le rectangle Ç~l -\~ ^j'^-

APPENDICE VIID

AU PREMIER LIVRE DU „TrACTATUS DE REFRACTIONE

ET TELESCOPIIS".

1667.

Parifijs. 9 Marc. 1667.

Ex data proportione refr ac-
tion is invenire angulum iridis
fecundarise ^).

Sit 3) ang. CBH dd BAE. fit VBH oo
00 BAH; fed VBH -f- HBA + ABC ôo
00 1 réélis et BAH + HBA -+- BH A 00
00 2 redis. Ergo BHA 00 ABC.

Sit DK parall. BH, itemque MO.
Jam ang. DKE 00 BHA fi ve ABC. KDE
vero 00 2 CMO vel 2 BML ex noilris

') La pièce a été empruntée aux p. 148 — 151

du Manuscrit C.
^) Le même problème fut traité par Descartes
au lieu cité dans la note 3, p. 1 46 du Tome
présent. Consultez sur sa méthode la note
4, p. 147. La table, dont il est question
dans cette note, contient de même les
valeurs de l'angle DEA de notre figure,
et Descartes trouve de cette manière 51°
54' pour sa valeur minimum dans le cas de
l'eau.

3) Huygens annota en marge „hîec melius folio sequenti". Voir, à ce propos, r„Appendice
IX", p. 169 du Tome présent, qui donne une autre leçon de beaucoup simplifiée du début de
la pièce présente jusqu' au commencement des calculs.

l"

164 TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. APPENDICE VIII. I 667.

de Iride 4). ablatis autem DKE et
KDE à 2 reélis fit DEK quem opor-
tet minimum effe. Ergo fummam an-
gulorum DKE et KDE maximam efle
oportet.

Ergo et fummam ipforum femiflîum ,
hoc eft angulorum SBM, S MB s), maxi-
mam cfTe oportet, hoc eft angulum LSB
five AVB.

Sit angulo MBC vel MBP «qualis
BMP '^). Oportet ergo totum angulum
SMP efTe maximum, unde produéta
MP ad circumferentiam in Y, oportet
YZ efle maximam, aut MZ minimam.
Optime quaeritur MZ.

MA 00 a ; MT oo ^ ; <« ad ^ ratio refr.
^ ad ^ ut MT (x) ad TA (-^) '^

AT (^) ad TX {x + a) ut TL (x- a) ad TB (■

TA (

h XX — aab

ax

ax\
TJ

r[ubtr.]

.„ ax hxx—haa ^ aaxx — hhxx -\-bhaa

AB 00 -i^ five i

b ax abx

'^) Il s'agit de 1',, Appendice H", p. 146 du Tome présent. En effet, puisque l'angle CBH est
égal à l'angle BAE, HB représentera le rayon incident dont BC est le rayon réfracté. On
peut donc identifier HB avec le rayon PF de la figure de la p. 146 et DE avec le
rayon KO de cette même figure; mais alors la relation ^OKN = 2 LDAB , démontrée à la
p. 147, se réduit à celle du texte, c'est-à-dire, à /.EDK = 2 ^CMO. Quant à la relation
^EDK=2^BML, pour la déduire il faut observer que EDK est l'angle qu'un rayon comme
HB ou EA fait avec le rayon qu'il engendre après deux réfractions et uneréfiexion. En
identifiant ensuite EA avec le rayon PF de la figure de la p. 146, on voit que la relation
mentionnée, /.OKN = 2 ^DAB, amène cette fois Z.EDK = 2 /.BML.

5) On a DKE = BHA = ABC = 2 SBM et KDE = 2 BML = 2 SMB.

<^) De cette manière AMBP devient isocèle et M P parallèle à CB.

7) Comparez la Prop. H de la p. 15 du Tome présent.

TRACTATUS DE RRFRACT. ET TELESC. LIBER I. APPENDICE VIII. l667. 165

ab(

aaxx— bbxx -f- bbaa \

abx

xi h

ad BM C^) Ut BM Ca^^W^

^ ^

BP

a^bx

aaxx— bbxx -+• bbaa

five PM

>^/è^t\f

^r^ bxx-aab , ^-, _

a[dde]

MN

TM

f m V

aaxx

'~br

qzoTV

■aa—xx ^3

^x

X

aabx^—b^x^->r-iaab^xx—b^a^
a^x^ — abbx^ + a'^bJx

'*sj« ■"-"r-'^lij !

TA (^) ad TN A -^~-aa + xx ^ ut TP (^) ad

^aâxx

IX

aaxx—aabb + ^^^x .

labxx
exx

in ^ TQj

tm'

f[ubtr.]

labx^ — Qaaxx —aabb 4- bbxx') in ^

2abxx

QM

a^x^—abbx^ + ^^^^x
a^'»^^^ - ^aab^x^ + 2^^^îx4

^^^AT'* ^^—b^x^ + laab'^xx —b^a^
— aaxx— bbxx + /âr^»^^

— aab'^x^ -\-b^x^ —laab^x^ -h ^'^^%x
+^'^^3j^4_^^^sji;4 _|_ ^a^b^xx—a^b^

— a'^bx^ — a^b'^x'> —o^aab^x^ + ^ï'^^^^jc

^) MN est calculé à l'aide du AAMT dont les trois côtés sont connus.

9)11 s'agit ici du calcul du numérateur de l'expression pour QM, après substitution de la
valeur de q.

l66 TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. APPENDICE VIII. 1667.

a^bx^—iaab^x^ +a^b^x^—'^aab^x'^ + a^b^xx—a^b^
-\- b^x^ H- Q,a'^b^xx per b. '°)

Vm( ^ zrrVdMQ

\aaxx—bbxx—aabby ^

■ ' '^ ^a^x^ 4- b^x^—iaabbx^ + âf^^^x'^— 3^^^%'^^

( -\- a^bbxx -\- '^a'^b'^xx—a'^b^ )

V 7 -^ 77S y ut YM C^) ad MZ (^)

^ 2axx. ax. Çaaxx—bbxx -\- aabb) -^ ^ ^ ^ ^

^"^x*^ + a^bbx'^ + a^bbxx—a'^b^
b'^x^—'^aab'^x^ +'^a'^b'^xx
— laabbx^

-77— DO ^ ")

i.a'^x^—ia^bbxx + \a^b'^ oo o
-\-ib''x^—6a'>b'>xx
— ûfaabbx^ l

■\- a^x^ — a^bhxx -^-'la^b^ oo o bon. ")
— laabbx^

*°) L'expression trouvée pour le numérateur ^nbx'^ {a'^x'' — abbx^ -\- a^bbx^ -\- (aabx^ —

— b^x^-\- laab'^xx — ^3^4^ ^ — aaxx — bbxx -\- aabb") est divisée par b puisque ce facteur

apparaît dans le dénominateur aabxx Qa'^x'^ — abbx'^ -\- a^bbxy
.**) Voici donc la grandeur qui doit être rendue maximum; pour en trouver la condition Huy-

gens applique la régie exposée en 1 659 par Hudde à la p. 5 1 1 de l'ouvrage cité dans la note 5 ,

p. 360 du Tome II.
")Plus tard Huygens ajouta: „pocesc dividi. vid. lib." En elFet, l'équation dont il s'agit

peut s'écrire

[(^" — b^) x' — iaH^~\ IQa -\- b') x"" — ba'''\ \_(a — b) x^ + ba^'] = o.

Or, des trois valeurs pour x^ auxquelles cette équation conduit, la première x'^ = 2a^b^:
: (^a'^ — Z"^), est la seule qui puisse servir. Elle amène

MN = TA' — TM' — MA' _ (ja^ — b^^ x^ — a^b"- _aVa' — b"-
2MT ~ 2b'' X 2b \/ 2

c'est-à-dire, si /représente l'angle d'incidence XMA, et « l'indice de réfraction:

TRACT ATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. APPENDICE VIII. 1667. 167

Dara proportion e refractionis invenire angiilum quo com-
prehendatur diameter Iridis fecundariae. ,.jt

Sic data proportio refractionis quae niimeri a ad h. majoris ad minorem. Inve-
niatur valor xx in aequatione hac '^ j ^'^ oo ^ — >». „_ poftquam in

cos / = —

bVf> 1/8

ce qui est conforme à la formule générale :

cos» = \/ 7-r- — c^î

pour l'angle d'incidence qui appartient au P"'= arc-en-ciel (voir p. e. J. M. Perntner, Meteo-
rologische Optik , Wien , Braumûller , 1906 , p. 498 — 502).

Quant aux racines x^ = ^<î^ \{a-\-F) et x^^ — ba^ -, {a — ^) qui, en posant a = n,
b=i, conduisent aux valeurs:

cos / = i(« — 2) l/«+ I et cos; = — 1. (« + 2) v/i — «,

elles s'expliquent par le fait que Huygens n'a pas déterminé directement la valeur minimum
de l'angle DEA=i8o° — 6r-{-2i (où r est l'angle de réfraction MAB) ; mais celle du seg-
ment MZ = <? cos LMY= ^ cos (sr — /).

De cette manière il introduit nécessairement dans sa solution les valeurs de /qui satisfont à
la relation sin (y — i^ = o; dont on déduit ^r = i ou ^r = n-\-i, ou bien

sin 3r = + sin / = + « sin r,

d'oùilrésultesuccessivement:sin^r = ^(3 + «); sin''/ = |- «* C3 + «); cos=^ / = ^(^4. —
— 3«=' + «3^=: i^^ipa)* (i+«); conforme aux valeurs fausses indiquées quelques lignes

plus haut.

Ajoutons que l'endroit cité par Huygens , où il expose la réductibilité de l'équation en x
se trouve dans le Manuscrit G , à la page 25, sous la suscription : „sequatio ad seciindam
Iridem seii Exteriorem inveniendam ex refractionis proportione data, qu« est
inventa in libro C. Hanc ibi non videram quomodo posset dividi." Il y com-
mence par réduire cette équation a la forme y^ — aay — 3bby-\- 2aab — 2^' = o à l'aide de
la substitution xx=baay : (aa — bb") ; ensuite il divise par 31 — 2^ ; ce qui amène 3(3» -f- 2^3^ -f-
J^bb — aa = (j-\-b-\-a)(j+b — a)^o. Rejetant enfin la solution y = — b — a, sans
doute parce qu'elle conduit à une valeur imaginaire pour jf, il conclut : „ErgO y CO 2h vel

70. 7 r ibbaa . t c ^ ^^^ "

y 00 a — b. Siy co ib mxxco ^; S13? co a — b ht ^x 00 ^.

D'après le lieu où elle se trouve cette annotation doit dater de 1688 ou de 1689.
^3") Comme nous l'avons montré dans la note précédente, Huygens , s'il avait réussi à écarter les

racines inefficaces de cette équation, aurait pu la simplifier à la forme: xx = ^^^^^^ et

• n/TTVT a \/ a
trouver ensuite MN =

2bV2

l68 TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. APPENDICE VIII. I 667.

numeris exhibica fueric. dein ex :3c:r nidicem extrahendohabebitur valor JC, quse
reprefentat lineam MT , quando numerus a etiam radium MA fignificat. Porro ut
^ ad ^ ita fit x ad aliam, ea erit TA. Et ex tribus lateribus trianguli MTA,
faciendo ut MT ad fummam TA, AM itaeorum difFerentia ad aliam, et ab ea
auferendo TM, et accepte refidui femiiïe habebitur MN. Jam ut AM ad MN ita
fit radius in canone finuum ad aliam quse erit finus anguli MAN et ejus compli-
menti AMN finus erit AN. Ut autem ^ ad ^ ita fit finus AN ad alium , is erit MR
finus anguli MAR. Denique angulus MAN una cum triplo MAR aufe-
ratur a duobus reélis; reliquum bis fumtum dabit angulum femidiametri Iridis
fecundarise ^^).

^4) La page 151 du manuscrit contient encore quelques calculs qui se rapportent au cas de l'eau
<5r=4, ^ = 3 , mais qui n'ont pas abouti.

APPENDICE IX 0

AU PREMIER LIVRE DU „TrACTATUS DE REFRACTIONE

ET TELESCOPIIS".

1668.

Cum ang. AED ') debeat elTe mini-
mus etiam femiffis ejiis vidcl. ang.
AEM, ac proinde et SMK erit mini-
mus. Sic MY parall. CB, fecans AB
in P. Ergo ang. SM Y squ. ang.° MSK
iinde et ang. MYZ aequ. SMK. Ergo
et ang. MYZ minimus efle débet. Ideo-
qiie MZ minima 3).

17 Jun. 1668.

') La pièce, empruntée à la p. 149 du Manuscrit C, contient une leçon améliorée du début de la

pièce qui précède. Comparez la note 3 de la p. 163.
') On remarquera que la figure, dessinée avec plus de soin, est presque identique avec celle

des p. 163 et 164.
"*) Voir, pour la suite, le calcul qui commence à la p. 1 64 et qui n'a besoin d'aucune modification

pour le faire correspondre au nouveau début.

22

/K.

M-

APPENDICE X 0

AU PREMIER LIVRE DU «TrACTATUS DE
REFRACTIONE ET TELESCOPIIS".

[1690.]

Datas lentis invenire convexitates utriiifque
fuperficiei.

Sit C centrum fiiperficiei N. P centrum fuperfîciei A. CN
feu CA co X ÇCA co CN quia pro nul la habetur craffitudo
AN). PA feu PN oo y. Ergo fumta NM œ 2 CN feu ix, erit
M focus parallelorum fuperficiei N =). Et fumta DA 00 2 PA
feu 23?, erit D focus parallelorum fuperficiei A.

Débet radius RS refringi in ST, ita ut haec fit perpendi-
cularis in fuperf. NT; tune enim revertetur radius à T ad S, et
inde ad R.

a 00 RA data in punélo confufionis cum oculus et lumen in R.

b 00 NO in punélo confufionis cum oculus et lumen in O.

RD Ç2y - a) ad R A (^) ut RP (a ^-f) ad RC 3) Q^^^ oo

00 CA— AR 00 x—a

^) La pièce est empruntée à la p. 53 verso du Manuscrit G. Pour le cas de
deux réfractions et d'une réflexion Huygens y détermine la position
de ce qu'il appelle le point de confusion, c'est-à-dire, du point où il
faut placer une source de lumière afin que ses rayons retournent pré-
cisément à leur origine , après avoir subi une première réfraction à la
surface antérieure de la lentille , une réflexion à sa surface postérieure
et une seconde réfraction à la surface d'entrée. Ensuite Huygens
montre comment on pourrait déterminer approximativement les
rayons de courbure des surfaces d'une lentille biconvexe en utilisant les distances de ces
surfaces aux deux points de confusion, un à chaque côté de la lentille.

Ajoutons que la détermination expérimentale de la position des points en question pour-
rait se faire en cherchant l'endroit où il faut placer un objet pour qu'il coïncide avec son
image, ou bien en réglant la position d'une source de lumière de telle manière qu' en plaçant

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER I. APPENDICE X. 169O. I7I

aa ->r ay^ ^ixy — iay — ax-\-aa
'^ay'X) ixy—ax

00 iC

ly^a

OMC2x-^)adON(^)utOC(^+^)adOP-^^±^D0 3?-^

bb->rbx ^ 2xy — 2hx— by — bb

'^bx—ixy zo —by

by riay

2y — 2b ^y — ^

2by — ab oo 6ay—^ab

A.ab 1

—^ — j- 00 y bon
^a—b '^

'xbx ax

-^ r 00 7 00 ■ 00 y

IX— b *' 2x— 3(« *^

6bx—^abco iax—ab\ atoo-J bon; ^ oo 30; ^ 00 20; a: X) 80; 3? 00 34I.

-I ■3U'"JI

l'oeil à côté de cette source, à la même distance de la lentille, on voie un éclairement uni-
forme de cette lentille.

C'est, en effet, cette dernière méthode qui fut suivie par Huygens en 1683; comme cela
résulte d'une annotation de cette année à la p. 164 du Manuscrit F. À cette page il calcule
la position des points de confusion R et O dans les cas particuliers d'une lentille biconvexe
à courbure égale des deux faces , et d'une lentille planconvexe. Dans le premier cas il trouve
RA = i CA, et il ajoute: „Ergo distantia ex qua se oculus confufe videt, vel
lucernae flammam sibi proximam , ita ut totam lentem impleat, est dimidia foci
distantiœ , nempe in lente sequaliter utrinque convexa."

Quant au second cas , il y trouve la distance de la lentille au point de confusion du côté
sphérique égale à la distance focale, et à l'autre côté égal à la troisième partie de cette
distance; résultats qui se déduisent aifément de la formule 3^731 = 2 ^c^y — ^j;, déduite dans
cet appendice, en posant successivement :»:=3';;c= co;3f= co.

D'ailleurs Huygens conseille dans ses „Commentarii de formandis poliendisque vitris
ad telescopia" d'avoir recours au phénomène en question pour examiner les défauts des len-
tilles. Voir encore le dernier alinéa de la note 2 , p. 173.

^) C'est-à-dire dans le cas du verre où «= | ; comparez la Prop. IX, p. 35 — 37 du Tome présent.

3) Consultez sur cette proportion la Prop. XII, p. 41 du Tome présent. Pour l'obtenir on
doit considérer R comme le point donné, mentionné dans la proposition , auquel correspon-
dent des rayons tombant sur la surface SA, et C comme le point auquel correspondent les
rayons réfractés.

LA DIOPTRIQUE.

PREMIERE PARTIE. TRAITE DE LA REFRACTION ET
DES TÉLESCOPES.

1653-

Livre deuxième. De la grandeur apparente des objets vus par réfraction.

Proposition I ').

[Fig. I.]

Les objets qu'on aperçoit confufé-
ment foit à caufe des lentilles pla-
cées entre eux et le fpectateur foit
à caufe de la diftance, peuvent être
rendus nettement vi fi blés foit à
l'aide d'une lentille unique placée
devant l'oeil foit à l'aide d'un écran
placé au même endroit et pourvu
d'une très petite ouverture, fi du
moins l'oeil ne fe trouve pas préci-
fément au point de confufion maxi-
mum^). L'image aperçue fera la même
en grandeur et en pofition quelle
que foit celle des deux méthodes dont on fe ferve pour cor-
riger le défaut de netteté.

En effet, fi les rayons partis d'un point quelconque d'un objet fe dirigent vers
l'oeil et qu'ils ont un point de concours placé derrière l'oeil, on comprend aifément,
d'après ce qui a été démontré plus haut, par quelle efpèce de lentille concave on
peut les rendre parallèles 3). Et de même s'ils atteignent l'oeil en divergeant de

^) La rédaction de cette proposition et de sa démonstration , telle que nous la faisons suivre ici,
doit dater d'une époque inconnue, mais postérieure à Tannée 1666. On trouvera la rédaction
primitive, qui nous a été conservée par la copie de Niquet , dans T Appendice I au Livre II ,
p. 235 du Tome présent. Elle diffère de celle que nous donnons ici surtout parce que l'idée,
d'obtenir des images distinctes à l'aide d'une lentille placée devant l'oeil , n'y est mentionnée
qu' en passant, vers la fin de la démonstration.

*) Le „point de confusion maximum", ou simplement „point de confusion", comme Huygens
l'a appelé plus tard (Voir l'Appendice X du Livre I , p. 170 du Tome présent), est le point

<<^

DIOPTRICA.

[PARS PRIMA. TRACTATUS DE REFRACTIONE ET

TELESCOPIIS.]

[1653.]

[Liber IL De apparenti augmento vel decremento eorum, quje per

REFRACTIONEM CONSPICIUNTUR.]

[Propositio L] ')

Qucc vel oh înterpofitas, lentes^ vel ratione diftantîa ^ con-
fufè fpectantur^ diftincta reddi poffunt ^ vel addita lente una
juxta oculum^ vel oppofita ibidem lamina cum foramine
minimo; dummo do non in ipfo maxima confusionis puncto^^
oculus pofitus fuerit. Utracunque vero correctio adhiheatur ^
eadem magnitudine et pofitu vifibile fpectabitur.

Si enim ah unoquoque rei vifa pun&o egrejjî radij ad oculum ferantur tendant-
que velut ad pun&um pofî oculum , facile ex fupra demonfîratis intelligitur cujus-
modi cava lente reddantur paralleli 3). Item [i divergentes ^ ac tanquam ex punSto

où il faut placer l'oeil pour que l'agrandissement, tel qu'il est défini par Huygens dans les
propositions qui suivent, devienne infiniment grand. Ainsi, dans le cas d'une seule lentille,
ce point se confond pour un objet très éloigné, dans la direction de l'axe, avec le foyer de la
lentille, pour d'autres objets, placés dans l'axe de la lentille, avec le point de l'axe où se forme
leur image.

Si l'objet est une source lumineuse étroite on voit donc , en approchant l'oeil du point de
confusion, l'image de la source s'agrandir démesurément et devenir de plus en plus confuse,
jusqu' à ce qu'elle est remplacée, lorsque l'oeil se trouve précisément dans le point en
question, par une clarté uniforme s'étendant sur toute la surface de la lentille. Ensuite, en
passant avec l'oeil à l'autre côté du point de confusion , on voit l'image directe changée dans
une image renversée ou vice versa.

Ajoutons que dans la „Correspondance" de Huygens le point de confusion n'est men-
tionné qu'une seule fois. C'est dans une lettre au frère Constantyn du 7 octobre 1686 que
l'on lit (p. 104 du T. IX) à propos d'une lentille d'environ 90 pieds de distance focale :
„Cependant je l'ay exposé à la reflexion de la chandelle, dont il renverse la flamme assez bien
mais tenant l'oeuil au foier et dans le point de confusion il me semble que j'y vois des choses
qui marquent quelque défaut et beaucoup de drabbigheyt [trouble]". II est clair qu'il s'agit ici
d'un point de confusion dans le genre de ceux traités dans l'Appendice X mentionné plus haut.
3) Voir la Prop. XV, Liv. I, p. 83 du Tome présent.

1^4 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE II. 1653.

telle façon qu'ils femblent provenir d'un point placé devant l'oeil , on comprend
aifément comment ils peuvent être rendus parallèles à l'aide d'une lentille con-
vexe '). Dans l'un et l'autre cas la vifion eft rendue nette par ce moyen. Mais
nous obtiendrons le même réfultat en plaçant une très petite ouverture devant
l'oeil. Car dans ce cas l'on peut dire que parmi les innombrables rayons qui font
autrement envoyés à la pupille par chaque point de l'objet un feul eft tranfmis
par l'ouverture. En effet , fuppofons que les rayons partis des points extrêmes
de l'objet atteignent la pupille AB [Fig. i et 2] de l'oeil comme s'ils provenaient
des points F et G. Et plaçons devant l'oeil une petite ouverture C [Fig. i] percée
dans un écran et ne laiffant pa(rer,pourainfi dire, que les rayons uniques FC,
GC qui atteignent le fond de l'oeil aux points H et I. Là fe formeront donc les
images des différents points de l'objet vu, d'où font partis les rayons FA, FC,
FB et GA , GC , GB. Et à cause de l'exclufion des rayons autres que FC , GC ,
l'image fera nette et la vifîon donc également.

Faifons de nouveau les mêmes fuppofitions, mais enlevons l'écran perforé et
foit placée en fon lieu , fort près de l'oeil , la lentille DE [Fig. 2] par laquelle
la vifion eft rendue nette. Je dis que l'image aperçue fera la même qu'
auparavant en grandeur et en pofition. En effet, comme les rayons FC,GC
♦ Prop. XXIII, paffent fans changer de direélion par le milieu de la lentille DE *, dont nous
^* négligeons l'épaiffeur , il eft évident qu' à l'intérieur de l'oeil ils fuivent la même

route qu'auparavant, lorfqu'ils traverfaient l'ouverture C, et qu'ils atteindront
donc le fond de l'oeil aux mêmes points H , I. Et comme, par hypothèse, la vifion
devient nette lorfque nous plaçons la lentille DE devant l'oeil , il eft néceflaire
que tous les rayons qui proviennent de G fe réuniffent en un feul point au fond
de l'oeil, et ceux qui proviennent de F pareillement. Par conféquent, tous
les rayons qui font partis du point G fe réuniront en I et tous ceux qui font
partis de F en H: les images des points extrêmes de l'objet fe formeront donc
nécefTairement en H et en I. Il s'enfuit que les dimenfions latérales de l'objet
feront en apparence les mêmes, que fe foit une lentille DE ou une très-petite
ouverture que l'on place devant l'oeil. Et la pofition de l'image fera aulfi la
même. Ce qu'il fallait démontrer.

Ainfi , lorfque dans la fuite nous définirons la grandeur apparente même dans
les cas où la vifion eft confufe, nous entendrons par là la grandeur que l'on voit
après que la confufion a été corrigée, foit à l'aide d'une lentille foit à l'aide d'une
très-petite ouverture , comme nous l'avons déjà dit.

Proposition II.

Lorfque l'oeil eft placé entre une lentille convexe et fon
foyer, un objet quelconque eft vu droit et agrandi à travers
la lentille. Si alors l'objet eft fort éloigné la grandeur appa-

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER II. 1653.

175

[Fig. i]. [Fig. 2]. ante oculum egrejjt adveniant^ quomodo convexa

lente ad paraîlelifmum redigantur ^),* uf roque vero
cafu vifto efficttur diftin&a, Sed hoc idem quoque
confequemur oppoftto ad oculum minimo for aminé ^
quia tune y élut uni tantum radiorum qui a fingulis
rei vifa punëiis innumeri alioqui ad pupillam ferun-
tur^ tranfttus datur. Ponantur enim radij ah extre-
mis rei vifa pun&is profe&i ^ ad oculi pupillam AB
[Fig. I et 2] accidere tanquam ex punêîis F ^ G ^
venientes. Et ohjiciatur ante oculum foramen in
lamina exiguum C [Fig. i] ; nonnifi jingulos veluti
radios FC, GC admittens, qui occurrant oculifundo
in pun&is H et I. Itaque hic pingentur pun&a rei
vijce fîngula^ unde manarunt radij FA^ FC^ FB ; et GA^ GC, GB. Et pr opter
exclufos ceteros radios prater FC, GC^ diflin&a eritpi&ura eoque et yifio.

Rurfus ijfdem pofîtis^ fed ahlatâ lamellâ perforatâ ^ fit hujus loco lens oculo
proxima DE [Fig. 2] qua diftin&am vifionem effîciat. Dico eadem quaprius mag-
nitudine eodemque pojttu fpeBatum iri vifthile. Quia enim per mediam lentem DE,
cujus craffîtudo tanquam nulla cenfetur, radij FC, G C, re&is lineis pénétrant *. * ex propos,
manifeftum efl eos eodem modo intra oculum ferri , atque ante per foramen Ctranf- '- » ' • -J >>
euntes., atque idcirco oculifundo in ijfdem punBls //, I occurfuros. Cum autem oh
interpoftîam lentem DE dîftin&a vifto feri ponatur ^neceffe efî omnes radios ex G
venientes ad unum punBum in fundo oculi convenire, atque ita quoque omnes ex F
venientes. Igitur omnes a puriBo G egrejjt conventent in /, et omnes ex F egrejjt
convenient in H. atque idcirco pingentur neceffario extrema illa rei vifa pun&a in
H et 1. eoque non alla apparehit ejus lattîudo ohje&u lentis DE,ac foraminis
mtnimi; nec non pofttus quoque idem ; qua fuere demonftranda.

Itaque cum in fequentihus apparentem magnitudinem defînîemus etiam ijs cajlhus
quthus confufa vifto contingit, intelligenda erit ea magnitudo qua cernitur corre&a
confujione , feu lente feu minimo for aminé , utjam diximus.

Propositio [II].

Oculo c on ftituto inter lentem convexametfocumejus, vifi-
bile quodvis per lentem fpectatur fitu recto, et auctum mag-
nitudine; habetque magnitudo apparens ad veram, fi vifibile

0 Voir la Prop. XIV, Liv. I, p. 8 1,
^) Voir la p. i ip du Tome présent.

1^6 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE II. 1653.

rente eft à la grandeur vraie comme la diftance focale de
la lentille eft à la diftance du foyer à l'oeil; mais fi l'objet fe
trouve à une plu s petite diftance, le rapport de la grande urap-
[Fig. 3.] parente à la grandeur vraie fe compofe du rap-
t\ t n[ P^^*^ ^"^ nous venons de nommer et du rapport de
:f« la diftance entre l'oeil et l'objet à la diftance
entre l'objet et le „point dirigeant" '). Mais 1 or f-
que l'oeil eft placé dans le foyer de la lentille,
les objets éloignés paraiffent infiniment grands,
et les objets rapprochés paraiffent agrandis dans
un rapport égal à celui de la diftance de l'objet à
l'oeil à la diftance de l'oeil à la lentille^).

Soit donnée la lentille convexe AB , dont A eft le centre et O le
foyer. L'oeil D foit placé fur l'axe AO de la lentille. L'objet foit
la ligne NM parallèle à la lentille et dont le point milieu E fe trouve
1^ fur le même axe. Il eft évident qu'un objet quelconque , placé au
même endroit, fera néceffairement agrandi dans une direftion laté-
rale dans la même proportion que cette ligne ou qu'une partie EN de
cette ligne vue à travers la lentille. Soit enfuite DP une troifième
proportionnelle à DO et DA. P fera alors le point qui corref-
pond à l'oeil D. En effet, comme d'après la prop. XX, Liv. I ^ ) les
rayons qui proviennent du point D font réfraftés par la lentille AB
de telle manière qu'ils continuent leur chemin comme s'ils prove-
naient du point P, il eft clair que, réciproquement, les rayons qui fe
dirigent vers P, au moment où ils rencontrent la lentille AB, auront
le point D où fe trouve l'oeil comme point de concours. Tirons
la droite NP qui coupe la lentille en B (elle la coupera puifque nous
fuppofons que le point N eft vu à travers la lentille), et joignons les
points B et D. Ainfi le point N fera aperçu à travers le point B de la
lentille, vu que le rayon NB eft réfraélé de telle manière qu'il fe
dirige enfuite vers D, le point où fe trouve l'oeil, ce qui n'eft vrai
pour aucun autre rayon provenant du point N. Quant au point E ,
il eft clair qu'il doit être vu à travers le centre A de la lentille, parce
* que , ce point étant fitué fur l'axe de la lentille , le rayon ED atteint

l'oeil fans avoir été réfraété.

Nous voyons donc en premier lieu que l'image de l'objet NM eft droite, puif-
que le point B eft fitué du même côté de l'axe EAO que le point N qui lui corref-

O

o >

^) La leçon primitive et la copie de Niquet donnent „correspondens". Il s'agit du point où
la lentille fait apparaître l'image de l'oeil, c'est-à-dire d'un point tel que, réciproquement, les

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER II. 1653. lyj

longinquum eft, rationem eam quam diftantia inter lentem et
foc uni ad diftantiam inter focum et oc u lu m; fi vero propin-
quum, rationem compofitam ex eadem quse dicta eft, et ex
ratione diftantise inter oculum et vifibile, ad diftantiam inter
vifibile et punctum dirigens^')'^ Si vero in foco lentis oculus
ftatuatur, vifibilia longinqua in infinitum augentur; propin-
qua vero fecundum rationem quam liabet diftantia corum ab
oculo ad diftantiam oculi a lente ^).

Efto lens convexa AB [Fig. 3], cujus médium pun6tum feu umbilicus A. focus
O. Oculus vero D, in axe lentis AO pofitus. Vifibile vero linea NM, lent! parallela,
cujufque médium E fit in eodem axe. Quantum enim linea haec vel ejus pars EN
augebitur, trans lentem fpeélata, tantum quoque aliud quodvis vifibile, eoloci
pofitum, fecundum diametrumaugeri neceJJ'eefî^'). Porro duabusDO,DA fit tertia
proportionalisDP, eritque Ppunélum oculo D correfpondens. Quia enim radij ex
punélo D prodeuntes a lente AB ita infleftuntur utpergant indetanquamvenientes
ex P, per prop. [XX, Lib. I]'*) viciffim quoque qui ad P tendentes incidunt in
lentem AB concurrent ad punftum oculi D. Ducatur NP reda fecans lentem in B,
(fecabit enim quia punélum N per eam confpici ponimus) et jungatur BD.
Itaque per punélum lentis B cernetur punétum N,quum radius NB refringatur
verfus punétum oculi D, neque alius quifquam eorum qui ex N promanant.
Pundtum autem E per médium lentis A apparere manifeftum eft, quia cum in
axe lentis fitum fit radius ED irrefraftus ad oculum pervenit.

Patet itaque primùm, vifibile NM confpici fitu ereéto , quum punélum B fit
ad eandem partem axis EAO ac punétum N quod ibi refertur. Liquet etiam

rayons émanant de ce point correspondraient, après la réfraétion, avec le point où se
trouve l'oeil. Consultez encore sur cette nomenclature les notes i , p. 1 80 et 2, p. 185.
^) Soient 0 et ries distances de l'oeil et de l'objet à la lentille, /sa distance focale, ^^ le grossisse-
ment; alors la proposition présente équivaut, dans le cas le plus général , à la relation :

>,— / y o-\-^' __/Ci±^0_

' ' / — 0

f 0 }- V
laquelle dans le cas v = 00 se réduit à ^ = -yr^ — et dans celui où 0 ==/à — '

0

De plus, puisque le numérateur excède le dénominateur par la valeur de or, il est clair
qu'on aura toujours ^> i.
5) La leçon primitive et la copie de Niquet donnent „sciemus".
*) Voir la p. çç du Tome présent.

^3

1^8 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE II. 1653.

[Fig. 4.]

pond. Il eft également évident que BA eft l'étendue occupée dans la lentille par
l'image de la ligne NE. Or, fi nous tirons une droite ND qui coupe la lentille en
C, il eft clair que AC fera l'étendue occupée par le même objet EN dans un plan
où n'aurait lieu aucune réfraétion. Le rapport BA : CA définit donc le rapport
de la grandeur apparente à la grandeur véritable , et il eft évident que BA eft plus
grande que CA, vu que BA ; NE = PA : PE, tandis que CA eft à la même lon-
gueur NE comme DA : DE. Or PA : PE > DA : DE, parce que PA : AE >
> DA : AE. En effet PA > DA, attendu que D tombe ici nécefl^airement entre
A et P. Il eft donc déjà établi par ce raifonnement que l'image de l'objet eft droite
et plus grande que l'objet.

Il s'agit maintenant de faire voir que lorfque l'objet NM eft fort éloigné B A :
: C A = AO : OD , mais que lorfqu'il eft fitué à plus petite diftance BA : CA eft
compofé des rapports AO : OD et DE : EP. Le premier théorème découle du
fécond; c'eft pourquoi nous démontrerons celui-ci d'abord. Le rapport BA : CA
fe compofe des rapports BA : NE et NE : CA. De ces deux derniers rapports
BA : NE eft égal à PA : PE. Quant au rapport NE : CA il eft égal à ED : AD.
Par conféquent, le rapport BA : CA fe compofe de PA : PE et de ED : AD, c'eft-
à-dire, il eft égal à celui des reétangles P A, ED et PE, AD. Mais ce
dernier rapport fe compofe des rapports ED : EP et PA : AD, ou
AO : OD, car comme on a, par conftruétion, PD : DA = AD : DO,
on aura auflî, par compofition, PA : AD = AO : OD. Le rapport
BA : CA fe compofe donc des rapports AO : OD et ED : EP.

Si, enfuite, nous fuppofons l'objet placé à grande diftance, le
rapport ED : EP eft égal à l'unité; ce rapport, compofé avec le
rapport AO : OD, ne l'augmente donc ni ne le diminue. Le rapport
BA : CA fera donc alors égal au rapport AO : OD. Et c'eft cela
qu'il fallait démontrer pour le cas où l'oeil eft placé entre la lentille
et fon foyer.

Suppofons maintenant que l'oeil fe trouve précifément dans le
foyer O [Fig. 4] et que NM foit un objet rapproché. Menons NB
parallèle à l'axe EA et foit B le point où cette droite rencontre
la lentille. Tirons aufii BO et NO qui coupe la lentille au point C.
Comme le rayon NB eft donc parallèle à l'axe de la lentille AB, il eft
néceflaire que ce rayon foit réfraété de manière à fe diriger vers le
foyer O où nous plaçons l'oeil. C'eft pourquoi le point N fera vu
feulement à travers le point B de la lentille. Mais le point E , qui
fe trouve au milieu de NM, eft aperçu comme auparavant au
centre A de la lentille. L'image de l'objet NM eft donc droite, et
le rapport de la grandeur apparente à la grandeur vraie eft de
nouveau égal à BA : CA. Mais comme BA, c'eft-à-dire NE, eft à CA, ainfi
eft EO à AO. L'image eft donc plus grande que l'objet dans le rapport EO : AO.

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER II. 1653.

^79

[Fig.3.]

BA fpatium elTe quod in lente occupât imago lineae NE. At vero dufta ND
reftâ quae fccet Icntem in C , apparet AC fore fpatium quod occuparet idem vifi-
bile EN in fuperficie quse refraétionis expcrs effet. Itaque ratio
BA ad CA définit proportionem magnitudinis apparentis ad veram.
atque apparet quidem BA ipfa CA majorem effe, cum BA ad NE
fit ut PA ad PE; CA vero ad eandem NE ficut DA ad DE; ratio
autem PA ad PE major quam D A ad DE , quia P A ad AE major
quam DA ad AE ; efl: enim P A major quam D A quia D cadit hic
neceffario inter A et P. Ergo jam et reéto fitu et auftum magnitu-
dine vifibilé cerni per haec confiiat.

Nunc porro oftendendum , cum vifibilé NM longinquum efl:,
habere BA ad CA rationem eam quam AO ad OD; cum vero
propinquum, rationem compofitam ex AO ad OD et ex DE ad EP.
Prius autem ex pofl:eriori fequitur ac proinde hoc primum demon-
fi:rabimus. Ratio BA ad CA componitur ex ratione BA ad NE et
NE ad CA; quarum ratio BA ad NE efl: eadem quse PA ad PE:
ratio vero NE ad CA eadem quse ED ad AD. Habet igitur BA ad
CA rationem eandem compofitae ex rationibus PA ad PE et ED ad
AD, hoc ell, rationem quam redtangulum PA, ED ad reélangulum
PE, AD. Hsec autem componitur ex ratione ED ad EP et PA ad
AD five AO ad OD, nam ex conftructione cum fit PD ad DA ut
AD ad DO, etiam componendo erit PA ad AD ut AO ad OD.
Ergo ratio BA ad CA componitur ex ratione AO ad OD et ED
adEP.

Porro cum longinquum intelligitur vifibilé, ratio ED ad EP efl:
ratio œqualitatis, quae proinde compofitacum ratione AO ad OD,
eam nec auget nec diminuit. Itaque tum ratio BA ad CA erit
eadem quae AO ad OD. Atque haec quidem demonfl:randa erant
oculo inter lentem focumque ejus confl:ituto.

Ponatur autem nunc oculus in ipfo foco O [Fig. 4] , et fit
propinquum vifibilé NM. Ducatur NB parallela axi EA quse
occurrat lenti in punfto B, et jungatur BO, itemque NO fecans
lentem in punéto C. Quia igitur radius NB parallelus efl: axi
lentis AB, eum neceffe efl: refringi verfus focum 0,ubi oculus
ponitur. Quamobrem punftum N fpeétabitur per folum lentis punftum B. Sed
punélum E médium NM fpedtatur, uti prius, in centro lentis A. Igitur ereélum
apparet vifibilé NM; et magnitudo apparens ad veram rurfus eam rationem
habet quam BA ad CA. Verum ut BA, hoc eft, NE ad CA, itaEO ad AO;
ergo auélum cernitur fecundum rationem EO ad AO.

Quod fi vero longinquum fuerit vifibilé, jam ratio EO ad AO erit tanquam

O'

infinitae insequalitatis majoris, ac proinde infinita continget ampliatio.

l80 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE II. 1653.

rpijr A.l Mais fi l'objet efl: placé à grande diftance, le rapport EO : AO fera

celui de deux longueurs dont la première efl: infiniment plus grande
que la fisconde. L'agrandi fixement fera, par conféquent, infini.

Et il mérite d'être remarqué que lorfque l'oeil occupe cette
pofition l'image de l'objet NM paraît toujours de même grandeur,
quelle que devienne la difl:ance de l'objet à la lentille. En effet, le
point N fera toujours aperçu au même endroit B.

Proposition III.

Si nous plaçons l'oeil fur l'axe d'une lentille
convexe, mais de telle manière que fa diftance à
la lentille foit plus grande que la diftance focale,
l'objet, placé de l'autre côté de la lentille, mais
en-deçà du point correfpondant^), eft aperçu droit
et agrandi. Mais s'il eft plus éloigné de la lentille
que le point correfpondant,il fera vu renverfé et
plus grand ou plus petit félon la diverfité de fa
diftance et de celle de l'oeil à la lentille. Le rap-
port de la grandeur apparente à la grandeur vraie
fe trouvera de la même manière que dans le théorème pré-
cédent^).

Suppofons comme plus haut que la lentille foit AB [Fig. 5 et 6] et O fon foyer.
Quant à l'oeil, il efl: placé au point D de l'axe, lequel efl: plus éloigné de la len-
tille que le foyer. Et foit DP une troifième proportionnelle aux deux longueurs
DO et DA; d'après la prop. XX, Liv. 1 3) P fera alors le point qui correfpond à
l'oeil, vu que, de même que les rayons ifliis de D fe dirigent vers le point P
après avoir traverfé la lentille , de même aulïï ceux qui viennent de P fe dirigent
vers l'oeil D.

Suppofons que, comme auparavant, l'objet foit repréfenté par la droite MN ,
divifée en E par l'axe de la lentille en deux parties égales, et fuppofons en
premier lieu que l'objet foit fitué entre la lentille AB et le point correfpondant P
[Fig. 5]. Tirons du point P par l'extrémité N la droite PNB qui rencontre la len-
tille en B et joignons les points B et D. Tirons aufli la droite ND qui coupe la len-
tille au point C. Il efl: évident par cette conftiruftion que l'extrémité N de l'objet
fera aperçue à travers le point B de la lentille , tandis qu'elle ferait vue en C fi le

') C'est le „punctura dirigens" de la proposition précédente. Comparez la note i , p. 176.

\

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER II. 1653. 181

Eft autem animadverfione dignum, hoc oculi pofitu , eadem feniper magnitu-
dine cerni vifibile NM, qiiantumcunque a lente recelTerit; femper enim punftum
FFig. 5.1 N ^" eodeni punéto B percipietur.

^'

Propositio [III].

Pofito ociilo in axe lentis convexse, fed ita ut
ultra focum ab ea diftet, vifibile ad alteram par-
tem lentis fitum, fed citra punctum correfpon-
dens^), erectum et majus fpectatur. Ulterius vero
quam punctum correfpondens a lente remotum,
videbitur inverfum, et majus vel minus prodiver fa
ipfius atque oculi a lente diftantia. Ratio autem
magnitudinis apparentis ad veram fe habebit eodem
modo atque in Theoremate prsecedent i ^).

Ponatur ut fupra lens AB [Fig. 5 et 6] , et focus ejus O. Oculus
autem in punéto axis D, diftans a lente ultra focum. Et duabus DO,
DA ponatur tertia proportionalis DP, fecundum prop. [XX,
Lib. I] 3^. Erit igitur P punftum oculo correfpondens, quum licuti
radij ex D procedentes diriguntur à lente verfus punftum P , ita
viciffim qui ex P veniunt dirigantur ad oculum D.

Sit jam vifibile, ut antea, reéta MN, quam mediam dividat axis
lentis in E, fitque primo fitum inter lentem AB punétumque corref-
pondens P [Fig. 5]. et ducatur ex P per terminum N reéla PNB,
lenti occurrens in B, et jungatur BD. Ducatur autem et reéla ND
fecans lentem in punélo C. Manifeftum itaque eft per punélum
lentis B appariturum vifibilis terminum N, quod confpiceretur
in C fi radius ND fine refraélione tranfmitteretur; punélum vero

^) En employant les notations de la note 2, p. 177 la proposition amène, dans le cas de la fig. 5,
la relation:

^_ / y o-\-v f(o + 0

^— o — f^ 0^ ~vf—vo-\-or

c'est-à-dire, la même formule que celle de la note citée. Et il est clair qu'on peut retenir
encore cette formule dans le cas de la fig. 6, pourvu qu'on attribue à une image renversée un
grossissement négatif.
3) Voir la p. 99 du Tome présent.

I«2

TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE II. 1653.

rayon ND était tranfmis fans réfraftion. Mais le point E doit être

[Fig-5-] aperçu dans l'un et l'autre cas à travers A, vu qu'aucun rayon

ifîii de E ne parvient à D fi ce n'efl: EA qui coupe à angles droits les

^■J deux furfaces de la lentille et qui continue donc fa route fans être

réfraélé.

Il efl: donc établi que dans ce cas l'image de l'objet apparaît droite,
vu que les points N et B fe trouvent du même côté de l'axe P AD. Et
^ji j de nouveau le rapport de la grandeur apparente à la grandeur vraie

/în" ' fera égal au rapport B A : C A. C'eft pourquoi, BA étant plus grande

' '» que CA (car BA > NE > CA), l'image de l'objet NE fera agrandie.

Suppofons enfuite que, dans l'autre cas, l'objet MN [Fig. 6] foit
placé au-delà du point correfpondant P et faifons lamêmeconftruc-
tion qu'auparavant. Par conféquent, le point N fera de nouveau
aperçu à travers le point B de la lentille et le point E à travers le
point A. Mais fi le point N fe trouve en vérité au-deflTus du point
E, il fera maintenant vu en-deflbus, parce que les points E ^)
\c \^ et B font fitués de différents côtés de l'axe EAD. L'image de l'objet
MN fera donc maintenant renverfée. Or, le rapport de l'agrandifie-
ment apparent fera de nouveau, comme dans le cas précédent, égal
à celui des longueurs BA et CA. Il faut donc démontrer que ce
rapport, lorfque l'objet efl: rapproché, efl: compofé des rapports
AO : OD et ED : EP; et qu'il eft égal à AO : OD , lorfque l'objet
eft fitué à fort grande difl:ance , ce qui ne peut avoir lieu que dans le
fécond cas. Et la démonftration de ce théorème eft la même que
celle du théorème précédent. Il eft donc manifefte que dans le
deuxième cas les objets éloignés font vus agrandis lorfque AO >
> OD, et réduits, lorfque AO < OD, et en vraie grandeur lorfque
AO = OD. Mais lorfqu'il s'agit d'un objet rapproché, et qu'on veut
favoir quand cet objet doit être vu agrandi Ou réduit, il faut exa-
^ miner fi le rapport AO : OD eft plus grand ou plus petit que le rap-

port EP : ED, ou fi les deux rapports font égaux, car fuivant que cela fe
trouve, le rapport qui eft compofé des rapports AO:OD et ED : EP, c'eft-à-
-dire le rapport B A : CA , fera celui d'une quantité plus grande à une quantité
plus petite, d'une plus petite à une plus grande ou enfin celui de deux quan-
tités égales.

Il eft d'ailleurs évident dans les deux cas, que le rapport de la grandeur appa-
rente à la grandeur vraie augmente d'autant plus que l'objet fe rapproche davan-
tage du point correfpondant P, l'oeil et la lentille demeurant fixes; cela résulte
de ce que le rapport DE : EP augmente, tandifque le rapport AO : OD demeure
invariable. On en conclut aufli qu'un objet placé précifément au point P doit être
vu infiniment agrandi.

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER II. 1653.

183

?

A

[Fig.6.] E utroque modo per A cerni necefle eft, quia radius exE ad

AlJ^flf D nullus pervenit praeter EA qui utramque lentis fuperficiem

fecac ad reétos angulos , ideoque irrefraftus permeat.

Confiât itaque hic vifibile cerni fitu erefto quum punfta N
et B fint ad eafdem partes axis PAD. Rurfufque ratio appa-
rentis magnitudinis ad veram erit ea , qu« BA ad CA. Quare,
cum BA fit major quam CA (nam BA major eft quamNE,
et NE major quam CA) au<5tum magnitudine confpicietur vifi-
bile NE.

Porro in cafu altero [Fig. 6] fit vifibile MN pofitum ultra
punélum correfpondens P, et eadem conftruantur quae prius.
Igitur per punéîum lentis B rurfus afpicietur punétum N, etE
per A. Sed fi N fuerit reipfafuperiuspunélo E, nunc cernetur
inferius, quia ad contrarias partes axis EAD fita funt punéla E ')
et B. Itaque inverfumjam apparebit vifibile MN. Ratio autem
apparentis incrementi rurfus ut in cafu priore, erit ea quse
BA ad CA ; ideoque demonftrandum eft rationem hanc , cum
vifibile propinquum eft, componi ex rationibus AO ad OD et
ED ad EP. Cum vero longinquum, quod tantum pofteriore
cafu locum habet , eandem efle qu« AO ad OD. Quîe quidem
demonftratio eadem eft quae in Theoremate praecedenti. Itaque
manifeftum eft pofteriore cafu majora cerni vifibilia longinqua
quando AO major fuerit quam OD, et minora cum minor,
cumque aequalis, œqualia. Sed vifibili propinquo, ut fciatur
quando auélum vel diminutum fpeélari debeat, videndum utrum
major ratio AO ad OD quam EP ad ED , an minor an aequalis.
nam prout hase fe habuerint , ratio quoque compofita ex ratione
AO ad OD et ED ad EP, hoc eft, ratio BA ad CA erit
majoris vel minoris inœqualitatis , vel denique aequalitas ipfa.
Manifeftum autem utroque cafu , quod quanto propius accé-
der vifibile ad punélum correfpondens, manente oculo et lente, tanto major
erit ratio apparentis ad veram magnitudinem; crefcente nimirum ratione DE ad
EP, at ratione AO ad OD eadem manente; adeo ut pofitum in punéto ipfo P,
augeri debeat in infinitum.

0 Lisez N.

184 TRAITÉ DELA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE II. 1653.

Proposition IV.

Lorfque l'oeil eft placé derrière une lentille concave, les
images detous les objets font vues droites et plus petites que
les objets eux-mêmes, et la grandeur apparente eft à la gran-
deur vraie, lorfque l'objet eft placé à grande diftance,
comme la diftance entre la lentille et le point de difperfion
eft à la diftance de ce point à l'oeil. Mais fi l'objet eft rap-
proché, le rapport de la gra_ndeur apparente à la grandeur
vraie fe compofera du rapport dont nous venons de parler,
et du rapport de la diftance entre l'oeil et l'objet d'une part
et la diftance de l'objet au point dirigeant^) d'autre part.

[Fig.7-]
M 1 W

♦ Prop.XX,
Liv. I. ')

Soit AC la lentille concave, et AO fon axe; foit O le point de difper-
fion, et D l'oeil placé fur l'axe. Suppofons de plus que l'objet MEN
fe trouve de l'autre côté de la lentille, étant donc placé de la même
manière que dans le théorème précédent. Prenons DP comme troifième
proportionnelle aux deux longueurs DO et D A et dans le même fens que
celles-là. P fera le point vers lequel tendent les rayons qui font réfrac-
tés par la lentille AC de manière à fe diriger vers l'oeil D, parceque
les rayons qui proviennent de D et qui tombent fur cette même lentille
font réfradés de telle manière qu'ils femblent provenir du point P *.
Tirons la droite NP qui coupe la lentille en B et joignons les points
B et D; tirons auffi la droite ND qui coupe la lentille en C. Le point
N fera donc aperçu au point B, et la ligne NE correfpondra à l'inter-
valle BA de la lentille, tandis qu'elle correfpondrait à l'intervalle
CA fi au lieu de la lentille il y avait une furface plane où n'aurait lieu
aucune réfraélion.

On voit donc en premier lieu que l'image de l'objet MN efl: droite, vu
que le point N de l'objet eft aperçu à travers la lentille AC du même
côté de l'axe où ce point fe trouve en réalité; il en eft nécefliairement

ainfi, parce que le point P eft plus éloigné de NE que le point A.

Quant à notre thèfe d'après laquelle l'image eft plus petite que l'objet, la

vérité en peut être démontrée de la façon fuivante. EA : AP > EA : AD. D'où

l'on tire par compofition EP : PA > ED : DA. Mais EP : PA = NE : BA. Et

ED : DA = EN : CA. Par conféquent, NE : BA > NE: CA; partant BA < CA.

Or, le rapport de la grandeur apparente à la grandeur vraie eft égal à BA : CA.

Il eft donc établi que la grandeur apparente eft plus petite que la grandeur véritable.
On peut démontrer enfuite que le rapport BA : CA, lorfque l'objet eft fitué

à grande diftance, eft égal au rapport de la diftance de la lentille au point de

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER II. 1653. 185

Propositio [IV].

Pofito oculo poft lentem cavam, vifibilia omnia erecta
videntur et vero minora; habetque magnitudo apparens ad
veram, fi vifibile fuerit longinquum, rationem eam qiiam dif-
tantia inter lentem et puncîum difpergens ') ad diftantiam
hujus ab oculo. Si vero propinquum, rationem compofitam
ex illa qiiae dicta eft, et ex ratione diftantiae inter oculum et
vifibile ad diftantiam vifibilis a puncto directionis^'),

Efto lens cava AC, ciijiis axis AO; punftum difpergens O; oculusveroin
axe pofitus fit D. Vifibile vero ad alteram partem lentis MEN, itafitumutiin
Theor. prsecedenti. Et fiât duabus DO, DA tertia proportionalis DP, fumenda in
partem eandem ac diiae reliqiise. Eritque Ppunftum quo tendentesradij fleéluntur
a lente AC verfiis oculum D , quoniam qui veniunt ab D in eandem lentem, ita
fleftuntur quafi procédant a punéto P *. Ducatur reétaNP fecans lentem in B , et ♦ [prop. xx,
jungatur BD; ac deriique redta ND fecet lentem in C. Percipietur ergopunâum L'^- ^-^ *)
N in pundto B, lineaque NE occupabit in lente intervallum BA, quîe occuparet
intervallum CA, fi loco lentis efl^et fuperficies refradlionis expers.

Ac primum quidem apparet ereétum fpeélari debere vifibile MN, cum punftum
ejus N fpeéletur in lente AC ad eandem partem axis ubi rêvera fitum efl:; quod
quidem necefiario fieri liquet eo quod punétum P ulterius quam A diftet ab NE.

Quod autem magnitudine diminutum fpeélabitur fie confl:abit. Ratio EAad AP
major efl: quam EA ad AD. Unde et componendo, ratio EP ad PA major
ratione ED ad DA. Sicut autem EP ad PA ita eft NE ad BA. at ficut ED ad DA
ita EN ad CA. Ergo major ratio NE ad B A quam NE ad CA; ideoque BA minor
quam CA. Ratio autem apparentis ad veram magnitudinem eft ea quse BA ad CA,
itaque illam magnitudinem hac minorem eflTe conftat.

Porro quod ratio BA ad CA, cum vifibile longinquum eft, eadem fiât, qu£e
diftantize lentis a punéto difperfus ad diftantiam hujus ab oculo, hoc eft, quae AO

0 La leçon primitive et la copie de Niquet donnent „lentis a puncto dispergente" Il s*agit
du foyer virtuel des rayons parallèles ayant la direction EA.

*) Dans la leçon primitive et la copie de Niquet le dernier mot manquait, étant indiqué toute-
fois par des points. Huygens semble doncavoir beaucoup hésité sur le nom à donner au point
correspondant à l'oeil , c'est-à-dire au point dont l'image coïncide avec l'oeil et qui joue un
rôle si important dans la formulation des propositions du Livre présent.
Quant à la proposition présente, elle conduit à la formule :

^~f+o^ , o±_-yf-{-vo+or

^ f+o
qui se déduit de celle de la note 2 , p. 177 en remplaçant /par — /.
3} Voir la p. pp du Tome présent.

24

l86 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET D^fi TÉLESCOPES. LIVRE II. 1653.

difperfion d'une part et de la diftance de ce dernier point à l'oeil d'autre part,
c. à. d. au rapport AO : OD; mais que, lorfque l'objet eft fitué plus près, il fe com-
pofe du rapport dont nous venons de parler et du rapport DE : EP. Cette double
démonftration eft identique mot à mot à celle de la propofition II de ce Livre ^).

Or, il réfulte clairement de tout ceci que, lorfque l'oeil et la lentille concave
demeurent fixes, le rapport de la grandeur apparente à la grandeur véritable
devient d'autant plus petit que l'objet s'éloigne davantage de la lentille. En effet,
le rapport DE : EP fe rapproche alors de plus en plus de l'égalité.

Il eft évident en outre que fi l'oeil D fe trouve très-près de la lentille C le point
P lui auffi s'en rapproche indéfiniment, de forte que les rapports AO : OD et DE :
: EP doivent alors l'un et l'autre être eftimés égaux à l'unité. C'eft pourquoi en ce
cas ni les objets éloignés ni les objets fitués à petite diftance ne feront alors aper-
çus plus petits que lorfque la lentille eft ab fente ^').

[Fig. 8.] Proposition V 3).

Étant données deux lentilles et leurs pofitions tant
celle de Tune par rapport à l' autre que celles par rap-
port à l'oeil et à l'objet, trouver dans quel rapport
elles augmentent ou diminuent la grandeur del'objetet
fi l'image qu'el les en donnent eft droite ourenverfée^).

Il y a quatre combinaifons de deux lentilles, car elles peuvent être con-
vexes l'une et l'autre, ou toutes les deux concaves; ou bien celle qui eft le
plus près de l'oeil peut être concave et l'autre convexe; ou inverfement '^).
Suppofons donc d'abord que les deux lentilles données foient la len-
tille convexe A et la lentille concave B , et que cette dernière foit placée
le plus près de l'oeil [Fig. 8 — 12]. Suppofons en outre l'oeil fitué en C
iç fur l'axe commun aux deux lentilles, et foit l'objet la ligne droite DF per-
** pendiculaire à ce même axe et divifée par elle en E en deux parties égales.

'') Voir la p. 179 du Tome présent.

-) Huygens a annoté ici, à une date beaucoup plus récente, probablement en 1684 ou
plus tard: „Hinc perge ad Propositionem quse in fine pag. y 6 a: Si
fit angulus etc." Nous donnerons cette proposition comme Appendice III au
Livre présent (voir la p. 238).

L'annotation, comme aussi celles que nous faisons fuivre, prouve une fois de plus

que Huygens avait alors en vue une révision assez étendue de toute sa „Dioptrique".

3) Huygens a annoté plus tard : ,,Haec necessaria ad sequentem" et ensuite ,,H£ec

universalis prop.o ponenda non hic sed ante illam quse pag. 91" [voir la

f Prop. VI, p. 199] „cui probandae prsecipue conducit, tamen casus tele-

scopij et microscopij rursus hic annotentur."

Ajoutons que dans la leçon primitive et la copie Niquet la proposition présente étaitsuivie
de la Prop. III du Livre III (p. 253 du Tome présent), dont on trouvera une autre leçon

I

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER II. 1653. l87

ad OD; ciim vero propinquum, eadem compofitae ex jara diéta ratione et ex
racione DE ad EP: haec utraque ijfdem verbis demonftrantur ac in propo-
ficione [II hujiis Libri] ').

Manifeftum vero hinc eft, manente oculo et lente cava, quo magis remove-
bitur ab ea vifibile, eo magis diminui rationem apparentis ad veram magnitu-
dinem, quippe ratione DE ad EP magis ac magis accedente ad œqualitatem.

Manifeftum quoque fi oculus D fit lenti C proximus etiam punélum P proximum
fieri, adeo ut œque ratio AO ad OD, ac DE ad EP, tune habendae fint pro ratione
aequalitatis. Quamobrem nec longinqua nec propinqua tune minora confpicientur
quam lente remota =*).

Propositio [V] 3).

Datis duabuslentibus, etpofitione earum,taminterfe,quam
interoculumetvifibile, invenirequaproportioneilludaugeant
vel imminuant, et utrum fitu erecto an everfo référant*).

Duarum lentium quatuor funt conjugationes s), nam vel convexa eft utraque,
vel utraque cava; vel cava quse propior eft oculo , altéra convexa; vel contra *^).

Sint igitur primum propofitae lentes duae, convexa A et concava B , ita ut haec
oculo propior confiftat [Fig. 8 — 12], Sit autem oculus ad C,in communi duarum
lentium axe conftitutus; vifibile vero DF fit linea reéla eidem axi ad angulos

plus récente et profondément altérée dans la Prop. IV de la troisième Partie de cette
„Dioptrique".

Quant aux cas „du télescope et du microscope," on les trouvera traités de même dans
cette troisième Partie, là où il s'agit des lunettes à deux verres convexes et du microscope
composé.

♦) Plus tard, à une époque inconnue, Huygens ajouta: „Et ostendere in Telescopijs ex
convexa et cava lente compositis res vifas longe remotas augeri secundum
rationem foci distantiae lentis cpnvexœ ad distantiam puncti dispersus lentis
cavas. In telescopijs ver6 quae gemina convexa lente componuntur amplifica-
tionem istam fieri secundum rationem foci distantise lentis convexae exterioris
ad foci distantiam interioris sive ocularis." Toutefois ces phrases furent biffées depuis.

5j La leçon primitive et la copie de Niquet donnent ,,esse variationes seu differentias
constat."

^) Aux lieux cités on lit encore: quarum secunda differentia minuendo visibilc tantum
idonea est: posterior et augere potest et minuere, sed nullo egregio effectu.
Reliquae vero duae in augendis rerum speciebus, seu remotarum seu propin-
quarum,multo maximi sunt usus, ut pridemexperientiacognitum est. Ratio
autem omnium hic manifesta fiet. Nam quamvis positiones utiles tantum perse-
qui propositum sit; tamen et reliquas quiviscum hiscompararepoterit,quia
eodem modo in quavis differentia magnitudo apparens definitur."

TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE II. 1653.

[Fig.ii.][Fig.i2.]

*-M!'^

On demande de trouver le rapport de la grandeur vue à travers les deux lentilles
à la grandeur qu'on apercevrait fans lentilles.

Or, comme les lentilles font données, on connaît auffî le foyer G de la lentille
convexe correfpondant aux rayons parallèles venant du côté de l'objet, et le point
de difperfion H de la lentille concave. On doit donc conftruire d'abord une
troifième proportionnelle CK aux deux longueurs CM et CB, laquelle doit
être portée vers le point H; et enfuite une troifième proportionnelle KL aux
deux longueurs KG et KA qui fera portée du côté de G, à moins que le point
K ne coïncide avec le point G [Fig. 12]. Dans ce dernier cas on doit omettre
la troifième proportionnelle KL '). Je dis maintenant que le
rapport de la grandeur apparente vue à travers les lentilles à
celle qu'on apercevrait à l'oeil nu efl: composé des rapports
HB : HC, AG : GK et EC : EL ou bien dans le cas que nous
avons excepté , celui où EL n'exifl:e pas , des rapports HB :
:HC etEC.-AK.

En effet, menons une droite par les points L et D qui coupe
la lentille A en M, ou bien, dans le cas où L n'exifl:e pas
[Fig. 1 2] , menons la droite DM parallèle à l'axe des lentilles.
Tirons enfuite MK qui coupe la lentille B en N, et joignons les
points N et C. Menons enfin du point F à l'oeil C la droite FC
qui coupe la même lentille B en O. Vu que G efl: le foyer de la
lentille convexe A , et que KG efl: k KA comme KA efl: à KL ,
il s'ensuit que les rayons qui iflTus du point K rencontrent la len-
tille A , font réfractés de telle manière qu'ils correfpondent en-
fuite au point L 4). D'où l'on conclut que réciproquement les
rayons qui partent du 'point L , ou qui fe dirigent vers lui
en venant de l'autre côté de la lentille, fe réuniront au point
K. Et comme les longueurs CH, CB et CK forment une
proportion et que H efl: le point de difperfion de la lentille
B pour les rayons venant du côté A , il efl établi que les
rayons qui proviennent du point C font réfraétés par la lentille
B de manière à correfpondre enfuite au point K 4). D'où l'on
conclut que réciproquement les rayons qui rencontrent la len-
tille B en venant de l'autre côté et qui fe dirigent vers le point
K feront réfraélés de telle manière qu'ils fe réuniront au point
C. Il apparaît donc que le rayon DM qui va d'un point D de l'objet à la lentille A
et qui correspond au point L efl celui qui atteint l'oeil C après avoir été réfradé
par la première lentille en M et par la féconde en N. L'oeil verra donc le point
D au point N de la lentille B et la droite DE occupera dans la lentille B la
partie BN. Or, la droite EF qui efl égale à ED, occuperait dans cette même
lentille B la partie OB fi elle était aperçue sans aucune réfraftion par les lentilles.

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER II. 1653.

189

[Fig.p.] [Fig. 10.]

rcélos, ab eoque in E bifariam divifa. Et oporteat invenire rationem magni-
tudinis per utramque lentem confpeftse ad eam quae fine lentibus perciperetur.
Quia autem dat^e funt lentes, datur et convexas focus G, radiorum a parte
vifibilis advenientium , et concavae punéliim dirperfus H. Igitur primum inve-
niatur diiabus CM, CB tertia proportionalis CK, verfus H fiimenda. Deinde
duabiis KG, KA tertia proportionalis KL, fumenda verfus G, nifi contingat
punftum K incidere in G [Fig. 12] , quo cafu proportionalis KL omittenda ').
Dico jam rationem apparentis magnitudinis trans lentes ad
eam quse nudo oculo fpedtaretur, habere rationem compo-
fitam ex rationibus HB ad HC, et AG ad GK, et EC ad
EL, vel, in cafu excepto, ubi deeft EL, ex rationibus HB
ad HC et EC ad AK.

Ducatur enim reéta per L, D, fecans lentem A in
M , vel in cafu quo deefl: L [Fig. 1 2], agatur DM axi len-
tium parallela. Deinde ^) ducatur MK fecans lentem B in
N, et jungatur NC. Et tandem ex F ad oculum C proten-
datur reéta FC, fecans eandem 3) lentem B in O. Quoniam
igitur lentis convexa; A focus ell G, eftque KG ad KA ut
hîec ad KL; fequitur radios qui à punéto K venientes
occurrunt lenti A , ita fleéli ut pertineant inde ad punftum
L '^). Unde viciffim qui a punéto L exeunt vel ad ipfum
feruntur, occurrentes lenti ab altéra parte, concurrent
ad punétum K. Rurfus quia proportionales funt CH,
CB, CK, clique H punélum diïperfus lentis B radiorum
a parte A venicntium; confiât radios a C punélo venien-
tes, fleéli à lente B ut inde pertineant ad punélum K *).
Unde viciffim qui ab akera parte occurrunt lenti B ten-
duntque ad punétum K, ita infleélentur ut concurrant
ad pundtum C. Patet itaque radium DM , qui per punélum
rei vifibilis D ducitur ad lentem A , pertinetque ad punc-
tum L, eum efîe qui post refraélionem in lente utraque
primum in M, deinde in N, pervenit ad oculum C; a quo
itaque cernetur punélum D in punélo N lentis B,occupa-
bitquc reéla DE in lente B partem BN. reéla autem EF
ipfi ED cequalis, fi nulla in lentibus refraélione cerneretur, occuparet in eadem
lente B partem OB, quoniam FOC reéta efl: linea. Itaque ratio magnitudinis

apparentis per lentes ad veram efl; ea quae redise BN ad BO.

') Puisque KG = o amène KL = 00 d'après la proportion KG 1 K A = KA : KL.

*) La leçon primitive et la copie de Niquet donnent „Porro".

3) Ce mot manque aux lieux cités.

^) D'après la Prop. XX du Liv. I , p. 99 du Tome présent.

IpO TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE II. 1653.

[Fig.ii.][Fig.i2.]

VU que FOC eft une ligne droite. Le rapport de la grandeur apparente vue à
travers les lentilles à la grandeur véritable eft donc égale à BN : BO.

Or, le rapport BN : BO eft compofé des rapports BN : AM, AM : ED e:
ED : BO. Le premier, BN : AM, eft égal à BK : AK. Et le deuxième AM :
:ED, eft égal à AL : EL; ou bien, dans le cas [Fig. 12] où DM eft parallèle
à EA, au rapport de deux longueurs égales. Enfin, le troifième rapport ED ou
FE : BO eft égal à EC : BC. Le rapport BN : BO fera donc compofé des rapports
BK : AK , AL : EL (qui fe réduit à celui de l'égalité dans le cas excepté) et EC:
: BC. Or, le rapport qui eft compofé des rapports BK : AK et EC : BC eft égal au
rapport qui fe compofé des rapports BK:BC et EC: AK. Par conféquent, le
rapport BN : BO fera compofé des rapports BK : BC, EC : AK et AL : EL, et,
dans le cas excepté, des deux premiers feulement, vu que le
rapport de deux longueurs égales n'augmente ni ne diminue
les rapports avec lefquels on le compofé. D'autre part le rap-
port qui eft compofé des rapports EC : AK et AL : EL eft égal
à celui qui fe compofé des rapports EC : EL et AL : AK. Par
conféquent, le rapport BN : BO fera compofé des rapports BK :
: BC, AL : AK et EC : EL; mais comme CH : CB = CB:
: CK, on aura auffi CH : HB = CB : BK, et, par inverfion,
HB : CH = BK : BC. De même, comme KG : KA = KA : KL,
on aura auffi KG : AG = KA : LA, et, par inverfion, AG : GK =
= AL : AK. Par conféquent, le rapport BN : BO, celui de la
grandeur apparente à la grandeur vraie, fera compofé des rap-
ports HB: HC, AG:GK et EC:EL, et dans le cas excepté
des rapports HB : HC et EC : AK. ; ce qu' il fallait démontrer.
Il faut remarquer cependant que fi la lentille concave B eft
placée de telle manière entre la lentille A et fon foyer G que la
diftance BG eft égale à la diftance BH [Fig. 9 et 10] de la len-
tille B à fon point de difperfion, ce qui eft la pofition ordinaire
dans un télefcope de ce genre, parce que les rayons venant d'un
point quelconque de l'objet parviennent alors parallèlement à
l'oeil, la grandeur apparente d'un objet fort éloigné fera toujours
la même en quelque endroit que l'oeil C foit placé derrière la len-
tille B : et que le rapport de la grandeur apparente à la grandeur
vraie fera égal à AG : GB ou BH. En effet, il a été démontré
que le rapport de la grandeur apparente à la grandeur vraie fe
compofé des rapports HB : HC, AG : GK et EC : EL ; de plus,
le rapport EC : EL eft ici celui de deux longueurs égales parce que l'objet eft par
hypothèfe à grande diftance et que, par conféquent, le point E eft fuppofé infini-
ment éloigné tant de C que de L, dont la diftance eft ici finie. Il en résulte que

le rapport de la grandeur apparente à la grandeur vraie eft compofé des rapports

ipl

[Fig.p.] [Fig. lo.]

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER II. 1653.

Ratio aiitem BN ad BO componitiir ex rationibus BN ad AM et AM ad ED ,
et ED ad BO. quarum ratio prima BN ad AM efl: eadem qiiae BKad AK. Secunda
vero AM ad ED eadem quas AL ad EL; aut, in cafii [Fig. 12] ,quo DM eft
parallela EA, eadem cum ratione sequalitatis. Et denique tertia ratio ED velFE *)
ad BO, eadem quae EC ad BC. Igitur ratio BN ad BO componetur ex rationibus
BK ad AK, et AL ad EL,(cujus loco in cafu excepto efl:
ratio sequalitatis) et ex ratione EC ad BC. Ratio autem
compofita ex ratione BK ad AK , et EC ad BC eft eadem
compofitœ ex BK ad BC et EC ad AK. Igitur ratio BN
ad BO componetur ex rationibus BK ad BC et EC ad
AK et AL ad EL; et in cafu excepto ex duabus priori-
bus tantum, cum ratio aequalitatis rationes quibufcum com-
pofita eft non augeat nec imminuat. Rurfus vero ratio
compofita ex EC ad AK et AL ad EL eadem eft compo-
fita ex EC ad EL et AL ad AK. Igitur ratio BN ad BO
compofita erit ex rationibus BK ad BC et AL ad AK etEC
ad EL. quia autem CH ad CB ut CB ad CK, erit quoque
CH ad HB ut CB ad BK : et invertendo, ratio HB ad CH
eadem quœ BK ad BC. Item quia KG ad KA ut KA ad
KL , erit et KG ad AG ut KA ad LA; et invertendo, ratio
AG ad GK eadem qux AL ad AK. Itaque ratio BN ad BO,
apparentis nempe magnitudinis ad veram, componetur ex
rationibus HB ad HC et AG ad GK et EC ad EL; et in
cafu excepto ex rationibus HB ad HC et EC ad AK. quod
erat demonftr.
Notandum vero, fi lens cava B ita pofita fit inter lentem A
I U| focumque ejus G, ut diftantia BG fit aequalis BH [Fig. 9 et

1 II ï°] 4"* ^^ ^"^^^ lentem B etpunftum fuum difperfus,quae

•* »■ pofitio ordinaria eft telefcopij hujufmodi, ^ua nempe paral-

leli ad oculum feruntur radij a fmgulis rei vifa; punStis
manantes^')^ quod eadem tune fi^mper erit magnitudoappa-
rens rei longinqu», quocunque loco oculus C poft lentem B
ftatuatur: ac ratio ejus ad veram magnitudinem ea quae AG ad GVtvel BH^^.
Cum enim oftenfum fit rationem apparentis magnitudinis ad veram componi ex
rationibus HB ad HC , et AG ad GK , et EC ad EL ; cumque hic ratio EC ad EL
fit aequalitatis, eo quod v\Gb\\Q \or{gm(\\mm ^on^itm -^ eoque punSfum E cerifeatur

^)Ces deux mots manquaient dans la leçon primitive, où ils ont été ajoutés depuis. Ils man-
quent de même dans la copie de Niquet.

=*) La leçon primitive et la copie de Niquet donnent: ,,ut postea dicetur".

3) Les mots en italique manquaient dans la leçon primitive, où ils ont été ajoutés depuis. Ils
manquent de même dans la copie de Niquet.

IÇZ TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE II. 1653.

HB : HC et AG : GK. Mais comme CH : CB = CB : CK, on aura auffi CH :
: CB = HB : BK, c. à. d. = GB : BK , vu que GB = HB. Donc auffi CH : HB =
= BG : GK et, par converfion, BH : HC = KG : GB. Par conféquent, le rapport
de la grandeur apparente à la grandeur véritable eft compofé des rapports AG :
: GK et GK : GB; ce rapport fera donc égal au rapport AG : GB ou BH.

Il efl: donc établi 3) que dans un télefcope pourvud'une lentille convexe et d'une
lentille concave la grandeur apparente des objets fort éloignés eft à celle qu'on aper-
çoit à l'oeil nu, comme la diftance focale de la lentille convexe eft k la diftance du
point de difperfion à la lentille concave. Cela fera démontré de nouveau plus loin s).

La confidération des figures fuffit pour faire voir fi dans chaque cas particulier
l'image doit apparaître droite ourenverfée. On remarquera que l'image fera droite
dans tous les cas excepté celui où le foyer G de la lentille A tombe entre la lentille
et le point K, et où l'objet eft en même temps fitué au-delà du point L [Fig. 8] ;
car alors le point D eft aperçu à travers le point N de la lentille B qui eft situé de
l'autre côté de l'axe EB, et l'image paraîtra donc nécefîairement renverfée.

Suppofons maintenant que les deux lentilles foient convexes, et foit G
[Fig. 13 — 21] de nouveau le foyer de la lentille A, et H le foyer de la lentille B;

4l_1

') Les mots en italique manquaient dans la leçon primitive, où ils ont été ajoutés
depuis. Ils manquent de même dans la copie de Niquet.

^^ La leçon primitive et la copie de Niquet donnent „Ttaquc".

3) La leçon primitive et la copie de Niquet donnent „Itaque". De plus , on y
trouve intercalé entre cet alinéa et celui qui précède le passage suivant, biffé
depuis: „Porro quoque ex ante demonstratis colligitur, si punctum
C incidat in B, hoc est si oculus lenti cavse prope admoveatur,
quod lens cava tune effectu carebit quantum ad apparentem visibilis
magnitiidinem, sive longinquum sive vicinum, quae tanta erit quanta
foret si lente B amota per solam lentem A oculus intueretur.
Cadat enim C in B [voir la figure de cette note]. Ergo et K in B
incidet, quia continué debent esse proportionales CH, CB, CK.
Itaque jam ratio HB ad HC erit sequalitatis, quse cum in compo-
sitione pro nulla sit habenda, dicemus jamrationemapparentismag-
nitudinis ad veram componi ex rationibus, AG ad GK et EC ad
EL, hoc est ex rationibus AG ad GB, et EB ad EL. Estautem
duabus BG, BA tertia proportionalis BL, quia hge très jam eaedem
sunt quam KG, KA, KL. Ergo cum per ea quïe supra demonstrata
sunt, ratio apparentis magnitudinis ad veram, rei per solam len-
tem A spectatse posito oculo in C, similiter componatur ex rationi-
bus AG ad GB et EB ad EL [d'après la Prop. II, p. 175; le point L étant
ici conforme au „point dirigeant" P de la figure 3], apparet eam nunc plane

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER II. 1653.

193

[Fig. 9.] [Fig.

■p. — J

10.] infinité remotum tam à C quam ah L, cujus hic définit a efi
dipantia ^) , componetur ergo ratio apparentis magnitudinis
ad veram ex rationibus HB ad HC et AG ad GK. Quia autem
ut CH ad CB ita CB ad CK, Erit etiam ut CH ad CB ita HB
^ ad BK , hoc eft , ita GB ad BK , quia GB œqualis HB. Itaque
y et CH adHB,utBGadGK,etconvertendo,BHadHCut
KG ad GB. Proinde =) ratio apparentis ad veram magnitu-
dinem componitur ex rationibus AG ad GK et GK ad GB,
hoc eft, erit eadem ac ratio AG ad GB velBH ').

Confiât igitur 3) in telefcopio, quod convexo et cavo
vitro inftruélum fit , effe magnitudinum apparentent ^) rerum
procul diffitarum ad eam quse nudo oculo percipitur, ficut/o«
difiantia lentis convexa ad diftantiam pun&i difperfus a lente
cava. Quod etiam in fequentibus ofiendetur s).

Porro ex fola infpeétione fchematum ad cafus fingulos,
apparet utrum ereftum cerni debeat vifibile an everfum.
Nempe omnibus cafibus ereétum appariturum prîeterquam
in [illo cafu] ubi nimirum focus G lentis A cadit inter ipfam
et punctum K, fimulque vifibile remotum eft ultra punftum
L [Fig. 8], hic enim punélum D fpectatur perpunftumN
lentis B quod ad alteram partem axis EB fitum eft,ideoque
vifibile everfum fpedari necefl^e eft.

Proponatur nunc convexa lens utraque, et rurfus lentis A
[Fig. 13 — 21] fit focus G ; lentis vero B focus H , uterque a

eandem esse licet duae lentes inter oculum et visibile interjiciantur dummodo
altéra earum oculo contigua sit.

Apparet prseterea, etiam hicrationem EB ad EL, si visibile longinquum
ponatur, fieri rationem 2equalitatis;ideoque tune rationem magnitudinis appa-
rentis ad veram esse eam quge AG ad GB."

Remarquons que, en effet, ce passage biffé était devenu superflu depuis la nouvelle rédac-
tion donnée à la Prop. I, p. 174, laquelle conduit bien plus simplement à la même con-
clusion, c'est-à-dire à celle que dans le cas considéré la lentille B n'a aucun cffef surle
grossissement.
^) La leçon primitive et la copie de Niquet donnent „erit magnitudo apparens."
S) Aux lieux cités on trouve „distantia lentis convexae à foco suo, seu puncto
concursus parallelorum a parte rei visse venientium, ad distantiam ejusdem
foci a lente cava cui oculus admovetur; quod hucusque a nemine fuit demon-
stratum." On doit remarquer à ce propos que, vu aussi la manière dont cette régie a été
déduite dans la leçon primitive et la copie de Niquet, elle est plus générale que celle dont

as

194 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE II. 1653.

[Fig.18.]

l'un et l'autre fe trouvant du côté oppofé à celui où eft placé l'objet FED. L'oeil
eft en C. Soient CH, CB, CK trois grandeurs qui forment une proportion con-
tinue, et KG, KA, KL de même. Suppofons le refte con-
ftruit comme auparavant. Tout ce qui a été dit plus haut à
propos de la grandeur apparente de l'image formée par la
lentille convexe combinée avec la lentille concave, fera
applicable également aux deux lentilles que nous confidé-
rons maintenant , et la démonftration fera la même. Seule-
ment l'oeil C peut ici être placé au point H [Fig. 17],
auquel cas on ne peut pas trouver le point K, mais où l'on
doit prendre AL = AG et tirer du point D la droite DLM
qui rencontre la lentille A en M, d'où l'on doit mener la
droite MN parallèle à l'axe AB , laquelle rencontre la len-
tille B en N. Il faut enfuite joindre les points N et C. La
démonftration eft la fuivante. Le rapport BN : BO
[Fig. 17], celui de la grandeur apparente à la grandeur
vraie, eft compofé des rapports BN : DE ou AM : DE
et DE : BO. De ces rapports le premier AM : DE eft égal
à AL : LE, et le fécond DE : BO à EC : BC. Le rapport
BN : BO fe compofe donc des rapports AL : LE et EC : BC,
c'eft-à-dire des rapports AL : BC et EC : EL =). D'où Ton
conclut que fi l'objet eft placé à grande diftance, vu qu'alors
le rapport EC : EL eft égal à l'unité, le rapport AL : BC
fera le feul qui refte et qui représentera celui de la gran-
deur apparente à la grandeur vraie. Or, AL eft la diftance
focale de la lentille A, vu que AL = AG , et BC eft la
diftance focale de la lentille B s).

Lorfque le point K coïncide avec le centre de la lentille
A [Fig. 18], ce qui arrive lorfque l'oeil C eft placé de telle
manière qu'une troifième proportionnelle CK prife par
rapport aux deux longueurs CH et CB fe trouve être égale à la diftance CA, le
point L coïncidera également avec le centre de la lentille A , et le rapport de la
grandeur apparente à la grandeur vraie fera compofé des feuls rapports HB : HC

Huygens s'est servi dans la leçon actuelle, puisqu' elle s'étend au cas où BG =[= BH , c'est-à-
dire , à celui où il n'y a pas de coïncidence des foyers.

Quant à la dernière phrase de cette leçon elle se rapporte à la Prop. I de la troisième
Partie. Voir le dernier alinéa de la note 3 , p. 187.
^) On trouve aux lieux cités: „lentis vero focus H et oculus in C."
^) Dans le cas traité le rapport AL : BC remplace donc le rapport composé de HB : HC et de
AG : GK , lequel a servi (voir la p. 189) dans le cas général , mais qui,^erd ici toute signifi-
cation puisqu'on a HC = o et que GK est devenu infini.

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER II. 1653.

195

[Fig. 13.]

[Fig. 16.]

viftbili FED averfus. Oculus
vero ') in C. Et continué pro-
portionales CH, CB, CK,
itemque KG, KA, KL; et reli-
qua fimiliter uti prius con-
ftruantur. Et omnia quae modo
de convexa et cava lente diéta
fuere ad apparentem magni-
tudinem attinentia, etiam his
lentibus convenient, eademque
erit démon ftratio. Nifi quod
hic potell poni oculus C in
pundïo H [Fig. 1 7] , quo cafu
punctum K non invcnitur , fed
fumenda eft AL aequalis AG ,
et ex punélo D ducenda re(5la
DLM occurrens lenti A in M ,
unde parallela facienda MN
axi AB , quse occurrat lenti B
in N, et jungenda NC. Demon-
ftratioque erit hujufmodi:
Ratio BN ad BO [Fig. 17],
nempe apparentismagnitudinis
ad veram, componitur ex ratio-
nibus BN feu AM ad DE et
DE ad BO. Quarum AM ad
DE eadem eft quse AL ad LE :
et DE ad BO eadem quse EC
ad BC. Ergo ratio BN ad BO
componetur ex rationibus AL ad LE et EC ad BC, hoc eft,ex rationibus LA
ad BC et EC ad EL ^). Unde fi vifibile longinquum fuerit, quia tune ratio
EC ad EL eft œqualitatis , fupererit fola ratio AL ad BC, quae erit appa-
rentis magnitudinis ad veram. Eft autem AL foci diftantia lentis A , quippe
aequalis AG; et BC foci diftantia lentis B 3).

Quando autem punftum K incidit in centrum lentis A [Fig. i8],quodcontingit
quando oculus C ita pofitus eft, ut, fumtaduabus CH, CB tertiaproportionali
CK , ea aequetur diftantiae C A; etiam pundtum L eodem incidet , ratioque magni-

//f

3) Huygens annota ici en marge : „vide ad dioptr. spectantia ubi haec mutavi". Quoique
nous possédions une feuille séparée qui porte lasuscription „Ad Dioptricen spectantia'",
écrite de la main de Huygens , nous n'avons pu trouver la nouvelle leçon mentionnée.

196 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TELESCOPES. LIVRE II. 1653.

et EC : EL, parce que le troifième rapport AG : GK eft alors égal à l'unité. Et
cette difpofition de l'oeil eft utile dans le cas des télefcopes et des microfcopes ^),
attendu qu' une grande partie de l'objet eft alors aperçue d'un feul regard, puifque
l'image remplit toute la lentille B, même fi l'ouverture de la lentille A eft fort petite.

Mais quand il arrivera que le foyer" G [Fig. 20] de la lentille A tombe entre
cette lentille et la lentille B et que la diftance GB eft égale à la diftance BH ,c'eft-à-
dire à la diftance focale de la lentille B,le rapport de la grandeur apparente à la
grandeur vraie d'un objet placé à grande diftance fera égal à AG : GB, en quelque
point de l'axe des lentilles que l'on place l'oeil C. Il sera donc égal au rapport
des diftances focales de la lentille extérieure et de la lentille intérieure, c'eft-à-dire
de la lentille placée près de l'oeil, comme cela a été démontré plus haut dans le
cas de la lentille convexe combinée avec la lentille concave ^). En effet, la démon-
ftration donnée dans ce cas eft applicable également au cas que nous confidérons
maintenant. Or, c'eft là la difpofition ordinaire dans les télefcopes à deux lentilles
convexes par laquelle il fe fait que ceux qui ont la vue fans défaut voient claire-
ment les objets fitués à grande diftance ^).

D'ailleurs, comme auparavant, il reffort clairement de la confidération des
figures dans chaque cas particulier fi l'image eft aperçue droite ou renverfée. Car
là où les points N et D fe trouvent du même côté de l'axe AB, l'image apparaîtra
droite, mais là où ces points fe trouvent de différents côtés de l'axe, elle fera ren-
verfée, et il appert que l'un auffi bien que l'autre peut avoir lieu dans différents
cas qu'il ne vaut pas la peine d'examiner à part.

*) C'est-à-dire, la disposition où l'oeil est placé à l'endroit où l'image de l'objectif est formée par
l'oculaire. Consultez encore à ce propos les Prop. III et IV du Liv. III (pp. 255 et 259 du
Tome présent) et de même les propositions de la troisième Partie de cette „Dioptrique", les-
quelles traitent le télescope à deux verres convexes et le microscope composé.
') Ces mots en italique furent ajoutés à une époque postérieure à celle où la copie de Niquet

fut prise.
,3) La leçon primitive et la copie de Niquet donnent ,,At cum".
>) Aux lieux cités: „est".

S) Aux lieux cités le mot ,,rursus" se trouve intercalé.
^) Mots qui manquent aux lieux cités.

7) Voir la p. 191 du Tome présent, à commencer par les mots: „Notandum vero".

8) Aux lieux cités: „Et haec".

s*) Huygens annota encore en marge à propos des figures 13 — 22: ,,an addendus casus cum
ocularis ponitur in foco anterioris lentis ?" (phrase qu'on retrouve dans la copie de
Niquet). Mais il ajouta plus tard „nil opus". En effet, la figure qu'il ne manqua pas de
dessiner, tout en la biffant ensuite, ne diffère de la fig. 14 que par la seule circonstance que
le point G s'y trouve marqué dans l'intérieur de la lentille B.

•°) Aux lieux cités „representetur".

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER II. 165g.

»97

tudinis apparentis ad veram componecur tantum ex rationibus HB ad HC et EC
ad EL, quia ratio tertia AG ad GK jam efl: «qualitatis. Et haec quidem oculi
difpofitio utilis efl: in telefcopijs ac microfcopijs '), quia magna rei vifae pars uno
intuitu fie percipitur, totam lentem B complente imagine, etiam fi kntis A
mmma fuerit apertura ^^ .

[Fig-i9«] CFig.20.]

u

gillatim mquirere operse pretium non efl:.

Quandocunque autem 3) foco
[Fig. 22.] G [Fig. 20] lentis A cadente
inter ipfam lentemque B,
diftantia GB œqualis erit ^)
BH, qua diflat a lente B focus
fuus H : erit ratio s) apparen-
tis ad veram magnitudinem rei
longinquse, ubicunque oculus
C in axe lentium **) ponatur
ea quse AG ad GB, hoc ejî
ea qua foci diftanîiarum lentis
exterioris atque interioris five
oculo proxima ^) , ficut ante
in compofitione lentis convexse
cum cava oftenfum efl ").
Demonjîratio enim eadem qua
illic habetur etiam huic cafut
accomodata efl ''). Hac vero ^)
ordinaria efl telefcopij ex dua-
bus convexis difpofitio, qua
nempe fit ut, qui nullo vifus
vitio laborant, res remotas dif-
tinfte contueantur 9).

De csetero utrum ereélo fitu
• - ^ an everfo vifibile fpeStetur '°),
ex figuris cujufque cafus hic
quoque manifeftum efl. Nempe
ubi punéla N et D reperiun-
tur ad eandem partem axis AB,
ereftum fpeftabitur vifibile; ubi
vero ad contrarias axis partes ,
inverfum erit, atque apparet
utrumque horum varijs cafibus
contingere pofi^e, dequibus fin-

IC^8 TRAITÉ. DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE II. 1653,

Proposition VI.

Lorsqu' un objet eft vu à travers un nombre quelconque
de lentilles, et qu'on intervertit les pofitions de l'oeil et de
l'objet tandis que les lentilles demeurent en place, la gran-
deur apparente de l'objet fera la même et l'image aura la
même pofition, droite ou renverfée '^).

^) Ce théorème fut mentionné pour la première fois dans une lettre à Kinner à Lôwen-
thurn du 16 déc. 1653 (p. 261 du T. I). Comme Bosscha l'a remarqué (^Arch, Néerl,
V Sér. T. XXIX (1896), p. 394) il constitue bien certainement le premier théorème trouvé
et publié (en 1703) qui s'applique à un système centré quelconque de lentilles et de plus il
contient en germe toute la théorie d'un tel système. Pour le reconnaître il suffira déconsi-
dérer (avec Bosscha) sur l'axe d'un système C . . . D , six points successifs A , B , C , D , E,
F, dont C et D représentent les lentilles extrêmes, E l'image de A , F celui de B. Posons
alors A C == X , BC = x' , DE = 3» , DF = y'. Si donc un objet de hauteur h est placé en A ,
l'oeil, que nous supposons se trouver en F, verra l'image formée en E sous un angle GA:
: (3;' — 3;), lorsque G est l'agrandissement. Si, au contraire, le même objet se trouve en F,
l'oeil en A, il se formera une image en B qui se montrera à l'oeil sous un angle h:Qi' {x — j:'),
lorsque G' est l'agrandissement de l'image en F d'un objet qui se trouverait en B. Or, d'après
le théorème de Huygens, ces deux angles sont égaux. On a donc GG' = (j' — '§) : (a; — x'\

Pour introduire ensuite dans cette équation les constantes du système , on pourra supposer
que l'objet se trouve placé en C , contre l'objectif, que l'image se forme alors à une distance
Or, en arrière de D et que son agrandissement soit G^. En introduisant ces deux constantes de
l'appareil dans la formule au lieu de j' et de G', on aura GG^ = ((?a — 'i)''X. De même, si
nous supposons que l'image se forme en D , la distance de l'objet à C sera une autre constante
du système que nous désignons par 0^. Il en sera de même de l'agrandissement Gj de l'image
en D. On aura donc encore GG, = — 3':(x — o,). De ces deux dernières équations on
peut éliminer soit G , soit x , et arriver de cette manière à des formules de la forme r -f- ^Jc -j-
\- c'j -\- pxrj = otX.G=^s-\-py qui suffisent pour résoudre tous les problèmes relatifs au
lieu et à la grandeur des images, ou plus généralement à la marche d'un rayon à travers le
système. Quanta la signification optique des constantes Oj, 0^, Gj et G^ et quelques autres con-
sidérations qui se rapportent à ce qui précède nous renvoyons à la note originale de Bosscha.

Voici, d'ailleurs, une démonstration du théorème de Huygens pour le cas général où
l'indice de réfraction « et le rayon de courbure R des surfaces de densité égale varient con-
tinûment le long de l'axe.

Soient X et y les coordonnées cartésiennes des points d'un rayon, x étant compté le long de
l'axe et 3» perpendiculairement sur lui. Soient P_, Çx — Aa:,3/-i), P (x,3i), P4., (a?-|- ^•'c',
3? + i) trois points consécutifs du même rayon, où les indices sont n_i ,n,n + ,. Remplaçons
d'abord la distribution continue de la matière transparente par une autre où l'indice change
subitement à la surface de densité égale qui passe par P de la valeur !(«— i -j" «) à la valeur
i («-}-«+ i); on aura alors , négligeant les infiniments petits de second ordre:

iC»-. + »)C^+i)=5(« + «..)(ii2^+i)

On en déduit ensuite par les substitutions :

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER II. 1653. 199

[PROPOSITIO VI.]

Theorema ").

Si per lentes quotlibet vifibile confpiciatur, ijfque manen-
tibus oculus et vifibile viciffim loca permutent. Eâdem hoc
quâ prius magnitudine apparebit, fimilique fitu").

Téquation différentielle ;

dx I "S an

Soient maintenant P, et P^ deux points de l'axe, x^ et x^ leurs coordonnées,^ = « et:y =v
les équations de rayons passant respectivement par P, et par P^; soit, de plus, «^ la valeur de
«pour^=:j:a, c'est-à-dire, dans le voisinage du point P^jV, celle de v dans le voisinage du
point Pj.

Alors les grossissements ^g-i, d'un objet placé en P^ et vu de P,, et 5-^, d'un objet en P, vu
de Pa , seront:

^' \dxj, x^ — x,' ^^ K^dxJ^-x^ — x,-'

et on aura :

(~^
Sx ^ r, \dx^j^

\dx^^

Or, puisque « et v satisfont à l'équation différentielle déduite plus haut, on trouve
aisément:

dv

ou bien , en intégrant:

o,

/ du dv\ ^

où C est une constante.

Aux voisinages des points Pj et P» cette dernière formule se réduit respectivement à :

/'du\ _C_ /dv\ _ C_

donc jfi : ^a = "a : «I ; d'où résulte , pour n^ = n^, le théorème en question.

Voir encore sur ce théorème (en outre de la partie de l'Avertissement laquelle traite le

Livre présent) l'Appendice IV (p. 240), qui en contient une vérification numérique par

Huygens, datant de 1692. Ajoutons qu'on en rencontrera des applications remarquables aux

Prop. III et IV du Liv. III, pp. 257 et 261; voir surtout la note i delà p. 256.

') Plus tard Huygens souligna les deux mots „similique situ" et il ajouta en marge: „omittatur

200 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE II. 1653.

Cô

T

0"

-B--

^

ai"

Considérons d'abord le cas où une lentille unique A [Fig. 23 — 26] ') eft placée
entre l'oeil fitué au point D et l'objet fitué au point E. Je dis que fi l'oeil eft
tranfporté en E et l'objet en D , tandifque la lentille demeure en place , la gran-
[Fig. 25.] [Fig. 26.] deur apparente de l'objet fera la même que lorfque l'oeil fe
trouvait au point D et l'objet au point E.

En effet, foit Ole foyer delà lentille A, c'eft-à-dire le point
qui correfpond aux rayons parallèles venant du côté de E.
Prenons DP comme troifième proportionelle aux deux gran-
deurs DO et DA, et portons DP du côté de O. Le point P eft
donc conjugué avec l'oeil qui fe trouve au point D. C'eft pour-
quoi, d'après laprop. II =), ou III 3), ou IV 4), lorfque l'oeil eft
placé en D , le rapport de la grandeur apparente de l'objet
placé en E à f a grandeur véritable fera compofé des rapports
AO : OD et DE : EP. Pour ces mêmes raifons , lorfque l'oeil
fera placé en E et l'objet en D, qu'on aura pris Aw = AO et
Ett comme troifième proportionelle aux deux grandeurs Ew
et EA , le rapport de la grandeur apparente de l'objet placé en
D à fa grandeur véritable fera compofé des rapports Aw : wE
et ED : Dtt.

Par conféquent, comme dans les deux pofitions la grandeur
véritable de l'objet eft évidemment la même, il s'agit de démon-
trer que le rapport de la grandeur apparente à la grandeur
véritable eft le même dans les deux cas. En d'autres termes ,
il faut démontrer que le rapport compofé des rapports AO :
: OD et DE : EP, c'eft-k-dire le rapport des reélangles AO,
DE et OD, EP eft égal au rapport compofé des rapports Aûj :
: ûjE et ED : Dr, c'eft-à-dire au rapport des rectangles Aw,
ED et wE, Dr. Or, les premiers termes des deux rapports font
égaux entre eux, c'eft-à-dire le reélangle AO, DE eft égal au reftangle Aw,
DE , vu que AO = Aw ; il fuffit donc de faire voir que le reftangle OD , EP eft
égal au rectangle wE, Dtt. Cela peut fe faire comme fuit. Comme DO : DA =
= DA : DP, on aura auffi DO : OA = DA : AP, et, par permutation, OD : DA =
= OA (ou wA) : AP. Donc auffi OD : OA = wA : «P. D'autre part, comme Ew :
: EA = EA : Et, nous aurons Ew : wA = EA : Ar et, par permutation, Ew :
E A = wA (ou OA) : Att , d'où réfulte Ew : wA = OA : Ot. Mais nous avions
trouvé û)A : ojP := OD : O A. Nous avons donc, par la règle de la proportion déran-
gée s) , Ew : a»P = OD : Or, et par con féquent auffi Ew : EP zr: OD : Dr. C'eft pour-
quoi le reétangle Ew, Dreft égal au reélangle EP, OD. Ce qu'il fallait démontrer.

0 -

T-

<P-

forsan de situ quia in binis vitris longa est demonstr." On remarquera que, en
effet, cette démonstration manque dans le texte; probablement elle n'a jamais été rédigée.

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER II. 1653.

201

[Fig. 23.] [Fig. 24.]

Primùm efto lens unica A [Fig. 23 — 26] 0, pofica inter ociilum in D et
vifibile in E. dico fi oculus tranfeat in E et vifibile in D , lente A non mota , quod
eadem fie magnitudine fpeftabitur , atque cum oculus erat in D et vifibile in E.

Sic enim O focus lentis A feu punélum quo pertinent
radij paralleli venientes a partibus E. Et duabus DO , DA
fit tertia proportionalis DP fumpta verfus O. Eft igitur
punétum P oculo inDconjugatum. Quapropterperpropof.
[II] 0 aut [III] 3) aut [IV] 4) , oculo in D conllituto
ratio magnitudinis apparentis ad veram vifibilis in E erit
ea quae componitur ex rationibus AO ad OD et DE ad
EP. Per haec eadem , cum oculus ponetur in E et vifibile in
D, fumpta Aa> îequali AO, et duabus Ew, EA tertia pro-
portionali Ett, erit ratio magnitudinis apparentis ad veram
vifibilis in D, compofita ex rationibus Aw ad wEetED
ad Dr.

Itaque cum utraque pofitione vera magnitudo fit prorfus
eadem, oportet ofl:endere rationem magnitudinis apparentis
ad veram utrobique eandem efl"e. Hoc efl; rationem com-
pofitam ex rationibus AO ad OD et DE ad EP, quse eft
ratio reétang. i AO, DE ad reftang.m OD, EP, efle eandém
rationi compofitse ex rationibus Aw ad wE et ED ad Dt,
hoc eft rationi reélang.» Acy, ED ad reétang. wE,Dt. Atqui
priores termini rationum funt aequales, hoc eft, reétang.
AO, DE aequale reétang. Aw, DE, quoniam AO gequalis
Aw, ergo opus tancum eft oftendere , quod reétang. OD,
EP œquale reétang. wE, Dt. Quia ergo DO ad DA ut
DA ad DP, erit et DO ad OA ut DA ad AP, et permu-
tando OD ad DA ut OA five wA ad AP; quare et OD ad
OA ut ûjA ad «P. Rurfus cum fit E« ad EA ut EA ad Ett
erit E«t) ad wA ut EA ad At, et permutando Eco ad EA ut
û)A five OA ad Att, quare et Eco ad wA, ut OA ad Ot. Erat
autem ut «A ad wP ita OD ad OA. Ergo ex sequali in per-
turbata proportione s) erit Ew ad ojP ut OD ad Ot. ideoque et Ew ad EP ut OD
ad Dt. Quare reétang. Ew, Dx œquale reétang.o EP, OD,quod erat oftendendum.

') À propos de la fig.23,Huygens annota en marge: „Cadat potius P intra E ut inver-
sum spectetur. nam eadem est demonstr." C'est le cas de la fig. 26 , qui fut dessinée
plus bas sur la même feuille du manuscrit.

^) Voir la p. 175 du Tome présent.

3) Voir la p. 181.

'*) Voir la p. 185.

5) Voir la note i , p. 103.

26

101 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE II. 1653.

[Fig. 25.] [Fig. 26.]

•1 «

0)

cp-

0'-

T.

^

65"

Quant à la queftion de la pofition , c'eft-à-dire, de fa voir fi l'image efl: droite ou
renverlée, il eft manifefte fi la lentille efl: concave [Fig. 24] que l'image fera dans
la même pofition dans les deux cas , vu que pour celui qui regarde à travers une
lentille de cette efpèce toutes les images font droites '). Mais
fi la lentille efl: convexe la démonfl:ration fera la fuivante.

D'abord , fi l'oeil efl: fitué en D entre A et O [Fig. 25] ,
il voit, d'après la prop. II "^J, d'un objet en E une image
droite quelle que foit la diftance AE. D'autre part , fi l'oeil
efl: tranfporté en E et l'objet en D , le point t 3) conjugué
avec l'oeil tombera au-delà de D, vu que Ew, EA et Ett
forment une proportion continue et que par conféquent tA
efl plus grande que Aw ou que AO. C'efl: pourquoi l'image
d'un objet en D fera vue droite l'oeil étant placé en E "♦) ; de
même que l'image d'un objet en E fe trouvait être droite pour
l'oeil placé en D.

Lorfqu' en fécond lieu l'oeil efl: placé au point D en-dehors
de AO [Fig. 23 et 26], le point conjugué P tombera de l'autre
côté de la lentille. Et fi l'image de l'objet fitué en E efl: ren-
verfée pour l'obfervateur dont l'oeil fe trouve en D, la caufe
en efl: que E eft fitué au-delà de P [Fig. 26] s). Mais alors ,
vu que D eft conjugué avec le point P (en effet, la conju-
gaifon eft réciproque), et que le point E eft plus éloigné de la
lentille que le point P, le point t qui eft conjugué avec le point
E tombera en-deçà du point D. Par conféquent, du point E
on verra une image renverfée des objets placés en D, de même
qu'au point D on voit une image renverfée des objets placés
en E. Mais fi le point conjugué avec le point D eft plus éloigné
de la lentille que le point E [Fig. 23] , c'eft-à-dire fi l'objet
fitué en E eft aperçu droit par l'oeil placé en D , le point t,
conjugué avec le point E, tombera pour la même raifon au-delà de D. Par con-
féquent, l'oeil en E apercevra alors une image droite de l'objet placé en D,
ce qui était également le cas lorfque l'objet fe trouvait en E et l'oeil en D.
C'eft ce qu'il fallait démontrer.

Confidérons maintenant le cas de deux lentilles A et B [Fig. 27 et 28] '^) et
fuppofons que l'objet fitué en E foit vu par l'oeil placé en C. Je dis qu'on aper-
cevra une image de même grandeur fi l'oeil eft placé en E et l'objet en C. En effet,
foit G le foyer de la lentille A et H celui de la lentille B, et K le point conjugué
avec l'oeil placé en C par rapport à la lentille B , de forte que CH , CB et CK
forment une proportion continue. Soit de même L le point conjugué avec le
point K par rapport à la lentille A , de forte que KG , KA et KL forment une
proportion continue. Par conféquent, lorfque l'objet placé en E eft regardé

0 -

T-

O-

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER II. 1653.

203

[Fig. 23.] [Fig. 24.]

De fitu vero, quod fimilis utrâque pofitione appareat, id quidem fi lens cava fit
[Fig. 24] manifefl:um efl:, quoniam omnia per hanc fpeftanti ereéla apparent ').
In convexa autem ofl:endetur in hoc modo.

Primùm fi oculus in D inter A et O [Fig. 25] fitus
fuerit, ereftum confpicit vifibile in E quaecunque fuerit AE
difl:antia per prop. [II] *). Et viciflim tranflato oculo in E,
vifibili in D, cadet punétum oculo conjugatum t ') ultra
D quoniam in continua funt proportione Ew, EA, Et
ideoque tA major quam Au five AO. Ergo vifibile in D
ex E fpeélabitur ereétum ^^ , ficut in E ex D.

Rurfus pofito oculo in D extra AO [Fig. 23 et 26], cadet
punétum conjugatum P ad alteram lentis partem. Et fi
quidem vifibilel in E inverfum fpedtatur ex D, fit hoc quiaE
fitum efl: ultra P [Fig. 26] s). Tune vero quia punfto P con-
jugatum efl:D, (efl: enim conjugatio reciproca) etdiftat
punélum E ulterius à lente quam P, cadet punftum ipfi
E conjugatum quod efl: t, citra D. Ideoque ex E vide-
buntur quse in D funt fitu everfo, ficut ex D quaeinE.
Quod fi punélum ipfi D conjugatum ulterius à lente abfit
quam E [Fig. 23], hoc efl: fi vifibile in E oculo in D fpec-
tatum fuerit ereélum, cadet fimili ratione punélum t ipfi E
conjugatum ultra D, atque idcirco erectum tune confpicie-
tur vifibile in D ex E, ficut et in E pofitum fpeélabatur ex
D. Quae quidem erant oftendenda.

Proponantur nunc lentes duae A et B [Fig. 27 et 28] *^),
fitque vifibile in E fpedlatum oculo in C. Dico eâdem
magnitudine fpeélatum iri fi oculus in E ponatur et vifibile
in C. Sit enim lentis A focus G et H lentis B et oculo in
C conjugatum pundlum K, pertinens ad lentem B,ut fint
videlicet in continua proportione CH, CB, CK. Item
punélo K conjugatum punctum fit L pertinens ad lentem
A, ut fint in continua proportione KG, K A, KL. Itaque

0 Voir la „Prop. IV ," p. 1 85.

^) Voir la p. 175 du Tome présent.

3) Ce point manque dans la figure.

♦)Cest-à-dire, d'après la Prop. III dont la première partie est applicable, puisque AD <
<A0 < An.

5) Comparez la seconde partie de la Prop. III, p. 181 du Tome présent.

^) De ces deux figures la première représente le cas de deux lentilles convexes, la seconde celui
où l'une des lentilles est convexe et l'autre concave. Quant à l'annotation ,,flt potius E
ultra y", qu'on lit sur la seconde figure, il est à remarquer qu'une troisième figure fut des-
i^^née où la condition indiquée est remplie; mais elle fut biffée depuis.

204 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE II. 1653.

[Fig. 28.]

/

^

et

par l'oeil placé en C , le rapport de la grandeur apparente à la
grandeur véritable eft compofé des rapports HB: HC, AG : GK
et EC : EL, comme nous l'avons démontré à la propof. V '). De
même, lorfque l'oeil eft placé en E et l'objet en C , appelons y
le foyer de la lentille A et Ô celui de la lentille B, et k le point con-
jugué avec le point E par rapport à la lentille A, de forte que Ey,
EA et Ex forment une proportion continue ; appelons aufli A le
point conjugué avec ce point y, par rapport à la lentille B, de forte
que xô,xB et kX forment une proportion continue. Le rapport de
la grandeur apparente à la grandeur véritable fera compofé alors
des rapports Ay.yE, Bô : Ùk et CE : CA. Or, la vraie grandeur
eft la même dans les deux pofitions. Il s'agit donc de démontrer
, que le rapport compofé des trois rapports que nous venons
de nommer eft égal à celui compofé des trois rapports nommés
plus haut. Or , le rapport compofé des trois rapports nommés
plus haut eft égal à celui du folide HB , AG , EC au folide HC ,
GK , EL. Mais le rapport compofé des trois rapports nommés
en fécond lieu eft égal à celui du folide Ay , BÔ , CE au folide
7E, ô«, Ca. Et le folide HB, AG, EC eft égal au folide
Ay, B(5, CE, vu que les lignes font égales deux à deux,
favoir HB = Bô et AGrzrAy, tandis que CE eft la même
dans les deux folides. Il fuffira donc de faire voir que le folide
HC, GK, EL eft égal au folide 7E, ô>c, CA. C'eft ce que nous
démontrerons de la manière fuivante. Vu que CH : CB = CB :
: CK , on aura auffi CH : CB = HB (ou Bô) : BK , et, par confé-
quent , CH : HB = Bô : ÔK. De même , comme k& : kB = kB:
: xA, on aura auifi kÙ : xB = (3B (ou BH) : Ba, et, par conféquent,
xô : Bô = BH : HA. Mais nous avions Bô : ÔK = CH : BH.
D'après la règle de la proportion dérangée *) , on aura donc kÙ :
: ÔK = CH : Ha. Donc auffi Ùk : xK = CH : CA et , par permu-
tation, Ùk : CH = xK : Ca. D'autre part , comme Ey : EA =
= EA : Ex, on aura Ey : EA = y A (ou AG) : Ax, et, par con-
féquent, Ey : y A = AG : Gx. De même, comme KG : KA =
= KA : KL , nous aurons KG : KA = GA (ou y A) : AL , et ,
par conféquent, KG : AG = y A : yh. Or, nous avions AG :
: Gx = Ey : y A. Donc , d'après la règle de la proportion déran-
gée, nous aurons KG : Gx = Ey : yh. Donc auffi KG : Kx = Ey ;
: EL et , par permutation et inverfion , Ey : KG = EL : Kx.
Mais le rapport EL : Ca eft compofé des rapports EL : Kx et
Kx : Ca, dont le premier EL : Kx eft égal à Ey : KG, et le fécond
Kx : Ca , comme nous l'avons démontré , à ôx : CH. Le rapport

TRACT ATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER II. 1653.

205

y]

cum ex C confpicitur vifibile in E pofitum, ratio apparentis ad
veram magnitudinem efl: ea quœ componitur ex rationibiis HB ad
HC, AG ad GK et EC ad EL ut oftenfum fuit propof. [V] 0-
Similiter pofico oculo in E et vifibili in C , et notato y in foco lentis
A, et ô in foco lentis B: et punfto a ipfi E conjugato ad lentem
A ut fint in contin. prop. Ey, EA, Ex. et punéto A conjugato
ipfi X ad lentem B ut fint in contin. prop. xô , xB , xA. componetur
magnitudinis apparentis ad veram ratio, ex rationibus Ay adyE,
Bô ad 6>t et CE ad CA. EU autem vera magnitudo utraque pofitione
eadem. Igitur ofl:endendum quod compofita ex tribus hifce ratio-
nibus eadem ell compofitae ex tribus illis. Efl: autem ratio ex
prioribus tribus compofita quse folidi ex HB, AG, EC ad folidum
exHC, GK, EL. At ratio ex tribus pofterioribus , ea quae folidi
ex Ay, Bâ, CE ad folidum ex yE, ô;t, CA. Efl;que folidum ex
HB, AG, EC aequale folido ex Ay, Bô, CE, quum lineae fingulse
fingulis fint sequalis, nempe HB ipfi Bô, et AG ipfi Ky et CE
utrimque eadem. Igitur opus tantum erit ollendere quod folidum
ex HC, GK, EL tequale folido ex yE, ôx, Ca. Id vero fie
ofl:endemus. Quoniam efl: CH ad CB ut CB ad CK, erit et CH ad
CB ut HB five Bô ad BK. ideoque ut CH ad HB ita quoque Bô ad
ÔK. Similiter cum fit >cô ad xB ut ;cB ad xA, erit et xô ad xB ut ÔB five
BH ad BA, ideoque /i ad Bô ut BH ad HA. Erat autem Bô ad ÔK
ut CH ad BH. Igitur ex œquo in prop.e perturbata -) , erit xô ad
ÔK ut CH ad Ha. Quare et ôx ad xK ut CH ad Ca et permutando
ôx ad CH ut xK ad CA. Rurftis quoniam Ey ad E A ut EA ad Ex ,
erit Ey ad EA ut yK five AG ad Ax , ideoque ut Ey ad yK ita AG
ad Gx. Similiter quia KG ad KA ut KA ad KL, erit KG ad KA
ut GA five y h ad AL , ideoque ut KG ad AG ita yK ad yL : et
erat AG ad Gx ut Ey ad yA: Ergo ex sequo in perturb. prop.
erit KG ad Gx ut Ey ad yL. Quare et KG ad Kx ut Ey ad EL ,
et permutando et invertendo Ey ad KG ut EL ad Kx. Ratio autem
EL ad Ca componitur ex rationibus EL ad Kx, et Kx ad CA, qua-
rum EL ad Kx eadem efl: quse Ey ad KG ; altéra vero Kx ad CA eadem
quoque ofl:enfa fuit quœ ôx ad CH. Ergo ratio EL ad CA compone-
tur ex rationibus Ey ad KG et â^f ad CH , ac proinde eadem erit
quîe reélang.i fub Ey, ôx ad reétang."^ fub KG, CH. Ideoque folidum

'»"

\

') Voir les pp. 189 et 191 du Tome présent.
^^ Voir la note i , p. 103.

2o6 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE II. 1653.

[Fig. 29.]

0

o-

<P'

EL : CA sera donc compofé des rapports Ey : KG et ^k à CH, c'eft-à-
dire il fera égal à celui du reélangle Ey, â>c au reétangle KG, CH. Par
conféquent, le folide EL, KG, CH fera égal au folide CA, Ey,
0x; ce qu'il fallait démontrer.

Et lorfqu'on veut confidérer trois ou plufieurs lentilles, on pourra
en vérité donner une démon ftration femblable à celle qui précède.

Ainfi donc, lorfque nous voudrons examiner quelles font la grandeur
et la pofition ^) apparente des objets et déterminer fi la vifion fera
diftinéte , on pourra obtenir des réponfes à ces trois quefl:ions ^) en les
pofant pour le cas où l'objet occupe la place de l'oeil et l'oeil récipro-
quement celle de l'objet. En effet , on pourra aifément déduire toutes
ces réponfes en confidérant la marche et la flexion des rayons. Suppo-
fons, par exemple, que dans les figures propofées [fig. 27 et 28] les
rayons qui proviennent des différents points E de l'objet correfpon-
dent au point x après la réfraélion due à la lentille A, et enfuite au
point A, lorfqu' ils ont traverfé la lentille B. On en conclura aifément
fi pour un oeil placé en C la vifion ell: difliinéle ou non.

Proposition VII 3).

Lorfque l'oeil et l'objet occupent dès pofition s
invariables, on apercevra une image droite, à quelque
endroit qu'on place entre ces deux une lentille con-
vexe dont la diftance focale eft plus grande que le
quart de la diftance de l'oeil à l'objet et l'image fera
la plus grande, lorsque la lentille fera placée au
milieu entre l'objet et l'oeil. Mais fi la diftance
focale de la lentille fera plus petite que le quart de
la diftance de l'oeil à l'objet, l'image f^era auffi quel-
quefois renverfée, et cette image renverfée fera la
plus petite lorfque la lentille fera placée au milieu
de la diftance confidérée '^).

Suppofons l'oeil placé en D, l'objet en E et la lentille convexe en
un point A quelconque entre ces deux. Soit O le foyer de la lentille
et confidérons d'abord [Fig. 29] une difl:ance focale AO fupérieure
au quart de la difl:ance DE. Il faut démontrer en premier lieu que
l'image de l'objet placé en E fera droite. Or, il y a un cas où cela

^) Comparez toutefois la note 2 , p. 199.

*) Toutefois il est à remarquer que la réciprocité, indiquée dans la proposition
quant au grossissement et à la position, n'existe nullement par rapport à la vision
distincte. Ainsi p. e. dans le cas d'une seule lentille convexe l'objet placé au

I

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER II. 1653. 207

fub EL , KG, CH «quale erit ei quod fub Ca, E7, h. quod erat oftendendum.

Propoficis vero tribus pluribufve lentibus démon (îratio ad praecedentium (îmili-
tudinem confcribi poterie.

Per hsec igitur quando de apparente vifibilium magnitudine et fitu '), inquircre
volemus, itemque an diftinéla futura fit vifio, hsc tria =*) fimul cognorcere poteri-
miis, fi eodem modo rationem ineamus ac fi vifibile in oculi loco fueritconftitutum
et hic viciflim in illius locum fuccefl^erit. Omnia enim ex progrefl^u flexuque
radiorum facile apparent. Ut ex. gr. in fig. propofit. [Fig. 27 et 28] quum radij
ex fingulis punftis E vifibilis promanantes pofi: refraftionem in lente A pertineant
ad punélmn J6;deinde vero pofl:qiiam lentem B tranfierint, ad pundlum A, facile
hinc coUigetur utrum oculo in C diftinéta fit futura vifio an fecus.

[Propositio VII.] 3)

Manente oculo et vifibili quocunque loco inter utrumque
lens convexa ftatuatur eu jus foci diftantia major fit quarta
parte intervalli quod inter oculum et vifibile, e rectum hoc
confpicietur; et maximum tune apparebit, eu m medio loco
inter vifibile et oculum lens ftatuetur. Si vero foci à lente
diftantia dicti intervalli quarta parte minor fuerit, etiam
inverfum quandoque vifibile confpicietur; eritque inverfa-
rum fpecierum minima, cum lens médium intervalli locum
tenebit ^).

Pofitus efto oculus in D, vifibile in E, et lens convexa quovis loco inter
utrumque ut in A, focus autem lentis fit O, et difl:antia AO primum [Fig. 29]
major quarta parte intervalli DE. Ofl:endendum efi: imprimis quod vifibile in E

foyer sera vu distinctement partout à travers la lentille par un oeil accommodé pour l'infini;
mais en plaçant l'oeil à ce même foyer on ne verra distinctement que les objets qui se trou-
vent près de l'autre foyer. En effet, comme Huygens l'indique à la fin de cet alinéa, il faut
décider si la vision sera distincte ou non d'après la position de la dernière image.

3) Cette proposition et la suivante furent mentionnées par Huygens dans sa lettre à de Sluse du
1 2 octobre 1657 (p- <56 du T. II) , comme faisant partie du traité sur la Dioptrique , rédigé
par lui il y avait alors quatre ans.

4) Si nous posons o-{-v = d, où d représente la distance entre l'oeil et l'objet, la formule delà
note 2, p. 177 peut s'écrire

fd
^~ fd — vo'

Il est donc clair que pour obtenir un grossissement m.inimum ou maximum, /et v -\-o = d
étant données, il faut qu'on aît v = o = ld, et que l'image sera toujours droite quand on
aura f>\d-^ mais qu' elle sera invertie dans la position du grossissement minimum pour

208 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE II. 1653.

[Fig.32.][Fig-33.
\

!^

A-

A4

7t X^
7t

-9'

0' ùi"

i

^

Ci"

] ell évident d'après la Prop. II ''); c'eft celui où la lentille eft
placée fi près de l'oeil que ce dernier fe trouve entre la lentille et
fon foyer [Fig. 31 et 32]. Maislorfque la lentille fera placée à
plus grande diftance de l'oeil [Fig. 30 et 33], la démonftration
fera la fuivante. Soit P le point conjugué avec l'oeil placé en D :
pour trouver ce point il faut prendre une troisième proportion-
nelle DP aux deux longueurs DO et DA. Prenons auffi Ao- =
AO. Alors, comme DO : DA = DA : DP, on aura DO:
: DA = OA (ou Acr) : AP et, par conféquent , DO : OA z= h<r :
ro-P. Il s'^enfuit que la fomme de DO et (tP n'eft pas plus
petite que celle de OA et Ao-. Mais cette dernière fomme
eft plus grande que la moitié de DE, vu que chacune de fes par-
ties eft fupérieure au quart de DE. En y ajoutant encore OD et
o-P on voit donc que la diftance totale DP doit être plus grande
que DE. Par conféquent, le point P conjugué avec l'oeil tombe
au-delà de l'objet fîtué en E et l'image fera donc nécefTairement
droite d'après la Prop. III =).

Il faut démontrer en fuite que lorfque le point où eft placé la
lentille divife la diftance DE en deux parties égales, l'objet fitué
en E donnera l'image la plus grande poiTible. Soie donc A, le
point où la lentille eft placée d'abord, fitué au milieu entre D et
E; et fuppofons enfuite que la lentille foit placée en un autre
point ce quelconque , plus près de l'oeil D , ou en un point /3 plus
éloigné de l'oeil et à la même diftance du point A. Ainfi , lorf-
que nous aurons fait voir que l'image eft plus petite quand la
lentille eft placée en ce que quand elleeft placée en A, ils'en-
fuivra d'après la propofition précédente qu'elle fera également
plus petite lorfque la lentille fera placée en /3. En effet, tranf-
porter la lentille de a en /3 équivaut à laifTer la lentille elle-même
en fa place a, mais à faire changer de pofition l'oeil placé en D
et l'objet placé en E. Or, dans le premier cas que nous avons
fuppofé, la démonftration fera la fuivante. Soit le point w le
foyer de la lentille placée en cc-^ prenons «A = aoô et foit t le
point conjugué avec l'oeil placé en D 4) par rapport à la lentille
ûî, en d'autres termes foit Dr la troifième proportionnelle à Doj
et Diz. Par conféquent , pour un obfervateur qui regarde l'objet
à travers la lentille placée en A, le rapport de la grandeur
apparente à la grandeur véritable fera compofé des rapports
AO : OD et DE : EP, d'après les prop. II et III s). Et pour un
obfervateur qui regarde à travers la lentille placée en ce, le rap-
port de la grandeur apparente à la grandeur véritable fera corn-

TRACTATUS DEREFRACT. ET TELESC. LIBER II. 1653.

309

O'-

cj.

[Fig.3o.][Fig.3i.] ereétiim confpicietiir. Hoc autem uno cafii [Fig. 31 et 32]
manifeftum cil:, fcilicet fi tam propinqua oculo lens collocctur,
ut is inter ipfam et focum confiftat. per Theorem. [Prop. II] ').
At ciim iilteriiis [Fig. 30 et 33] ab oculo dilhbit fie dcmon-
llrabitur. Sit oculo in D punétum conjugatum P, faciendo nimi-
rum ut duabus DO , DA fit tertia proportionalis DP. et funiatur
-^> ipfi AO sequalis Aj-. Ergo quoniam DO ad DA ut DA ad DP

^ - • crit et DO ad DA ut OA fivc Ao- ad AP, quare et DO ad OA ut

AfT ad <rP; itaquc DO eto-P fimul funt non minores duabus finiul
O A , Ao". Sed hae fimul duœ majores funt dimidia DE , cum fint
fingulîB quarta parte majores, ergo additis OD et o-P, crit tota
DP major quam DE. Ergo punétum oculo conjugatum P cadit
ultra vifibile in E, ideoque ereélum hoc fpeftari necefTc efl: per
theor. [Prop. III] =).

Porro demonfirandum quod cum locus lentis intervallum DE
bifariam dividit maximum apparebit vifibile in E. Sit igitur A
médium inter D etE, ubi primo lens conrtituta fit, deinde et
alto quovis loco in a poftta întelligatur 3) oculo D propinquior;
vel in /3 tantundem ab oculo remotior. Quod fi igitur poftta lente
in a oflendatur minus apparere vifibile quam eadem pofita in A ;
etiam pofita in /3 , minus apparebit ex prop. prac. quia nempe
tranfp onenda lente ex ce in /3 idem fît ac fi ipfa manente in a ,
oculus et vifibile invicem local) et E. permutent. Horum vero prius
iflud fie ofîendemus. Sit 00 pun&um focus lentis in oc pofita^ et fuma-
tur ccX aqualis ctw^ fitque^'^') oculo in D conjugatum punétum
TT ad lentem in a. pertinens, pofita nimirum duabus Dw, Y)a.
tertia proportionali Dt. Itaquc fpedtando vifibile per lentem in
A, ratio apparentis ad veram magnitudinem crit ea quaî compo-
nitur ex rationibus AO ad OD et DE ad EP , per prop. [II et
III] 5) et infpiciendo per lentem in a ratio magnitudinis appa-
rentis ad veram componetur ex rationibus ccm ad wD et DE ad

^.

.alius intelli-

^) Voir la p. 175 du Tome présent.
=) Voir la p. 18 1 du Tome présent.

3) La leçon primitive et la copie de Niquet donnent:
gatur situs ejus in ûù\

4) Aux lieux cités on trouve : „atque tum focus sit w punctum. Dico
visibile in E majusconspici per lentem in A constitutam quam
in Ci. Sumatur enim aX aqualis aw. Et sit".

5) Voir les pp. 175 et 181 du Tome présent.

^7

2 lO TRAITÉ DE LA REFRACTION ET DES TÉLESCOPES, LIVRE II. 1653.

[Fig.32

<r

f

1

TT

CA"

A

•] [Fig-33] pofé des rapports aw : wD et DE : Ett. Or, la vraie grandeur eft
la même dans les deux pofitions, vu que nous avons admis que
l'oeil et l'objet demeurent en place. Il s'agit donc de démontrer
que le rapport compofé des rapports AO:OD et DE:EP, qui
efl: auffi celui du reélangle AO,DE au reétangle OD,EP efl:
plus grand que le rapport compofé des rapports aa' : û'D et DE :
: Et, c'eft-à-dire que le rapport du reélangle aa^ DE au reétangle
ûiD , Ett. Mais les premiers termes de ces rapports font égaux
entre eux, c'eft-à-dire le reftangle AO, DE eft égal au reftangle
ûja', DE, vu que tzcô = AO. Il faut donc démontrer que le rec-
tangle OD, EP eft plus petit que le reétangle ojD, Et. Or, comme
on a AD = AE et AO = Ao-, on aura auffi OD = o-E. De
même, comme AO = ûjw, on aura, après avoir retranché
[Fig. 30—32] ou ajouté [Fig. 33] des deux côtés la même
grandeur ûiO, ce A = Ow. De la même manière on verra que àœ
eft égale à Aa, partant auffi à Ou. Mais nous avons démontré un
peu plus haut que DO : OA z= Acr: o-P; il en réfulte que le
reélangle DO, cP eft égal au reétangle OA, Ao-, c'eft-à-dire au
carré de OA. Et le reélangle DO, o-E eft égal au carré de OD,
attendu que, comme nous l'avons démontré, <rE eft égale à DO.
Par conféquent l'excès du reélangle DO, o-P fur le reélangle
DO, fl-E ou DO, EP eft égal à l'excès du carré AO fur le carré
OD. En effet, il eft certain que AO eft plus grande que OD,
parce que AO eft plus grande que la quatrième partie de la lon-
gueur totale ED et, par conféquent, plus grande auffi que la
moitié de AD. Et il eft certain auffi que le reélangle DO, o-P eft
plus grand que le reélangle DO, <rE; car, fi O tombe entre A et D
[Fig. 30 et 33] , <r tombera entre A et E et P fe trouvera devant
la lentille et au-delà de l'objet placé en E, attendu que, comme
nous l'avons démontré, l'image aperçue fera droite. D'autre
part, lorfque D fe trouve entre A et O [Fig. 31 et 32], E tombe
auffi entre A et o- et P derrière la lentille. Par conféquent, dans
ces cas E eft toujours (itué entre o- et P, d'où il réfulte que o-P
eft plus grande que o-E et que le reélangle OD, o-P furpafte
donc le reélangle OD, o-E. De plus, comme Dû' : Dû: = Dûj : Dt,
on aura auffi Dû» : Dû: = ûja (ou ccX):ûùt, d'où Ton tire Dw:
: û3ûi = cûûc : ^TT. Par conféquent , le reélangle Da', Att eft égal
au carré a'^. Or, dans le premier cas [Fig. 30] auffi bien que
dans le fécond cas [Fig. 31], le reélangle cD, Ett eft égala
l'excès du reélangle a^D, At fur le reélangle a^D, aE s). Le même
reélangle wD, Ett eft donc égal à l'excès du carré ca ou OA fur

A

714

ai

^"

CD"

-rr-

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER II. 1653.

21 1

eO-

[Fig.3o.][Fig.3i.]ET. Eli autem apparens ') magnitude pofitione ucrâque eadem,
quoniam oculiis et vifibile manere dicuntiir; Itaqiic oftendere
oportet majorem elTe rationem compofitam ex rationibus AO ad
OD et DE ad EP quae eft reftang.' AO, DE ad reftang. OD,
EP, quam compofitam ex rationibus ccu ad wD et DE ad Et,
hoc e(t,quam rationem reélang.' aw, DE ad reélang. wD, Et.
^1* Priores autem rationum tcrmini aequales funt, reélang. fcilicct

/p.. AO, DE, reélang.o ao, DE, quoniam Aw *) aequalis AO.

Ergo ollendendum quod reétang. OD, EP minus ell reétang.» ûjD,
Et. Quoniam igitur AD aequalis AE et AO aîqualis Ao-,
erit et OD aequalis ctE. Item quia AO aequalis aw demtâ
[Fig. 30 — 32] vel additâ [Fig. 33] communi aO erit aA
aequalis Oa. Eadem ratione erit Ao- ipfi Aa, aequalis ac proinde
quoque ipfi Oco, Quoniam ergo paulo ante ofienfum fuit quod
DO ad OA Lit A<r ad <rP erit reélang. DO , <rP aequale rec-
tang.o OA, Aa- hoc efl: quadr.o OA. Et ell reélang. DO, o-E
aequale quadr.» OD, quia o-E îequalis oftenfa ell ipfi DO. Itaque
cxcefl^us reétang.i DO, <rP fupra reélang. DO, crE hoc ell rec-
tang. DO, EP aequale excelTui quadr.' AO fupra qu.'iOD. Ete-
nim manifeflium eil quod A O exceditOD, quoniam AO major
efl: quarta parce totilis ED , ideoque major dimidiâ AD. et mani-
fellum quoque quod reétang. DO, o-P excedit reélang. DO, <rE,
nam fi O cadit inter A, D [Fig. 30 et 33] ,cadet o-inter AE;
et P ante lentem ultraque vifibile in E , quoniam ereélum con-
fpici ollenfum fuit. Rurfus cum D inter A, O [Fig. 31 et 32] ,
etiam E inter Acr, et P cadit poil lentem. Sempcr ergo his
cafibus E inter (t et P fitum efl:, unde major <rP quam o-E , et
proinde reélang. OD, o-P excedit reélang. OD, crE. Porro
^\ quoniam Dw ad Da ut Da ad Dt, etiam Dw ad Doc ut oûûc five ccÀ
ad (XT , unde et Dw ad œcc ut œa, ad At , Ergo reélang. Dw , At
îequale qu. (ûûc. Ell autem in primo et fecundo cafu [Fig. 30
et 31] reélang. wD , Et îequale excefTui reélang.i' wD, At fupra
reélang. coD, AE s). Ergo idem reétang. ojD, Et œquale exccf-
fui quadrati ux, hoc ell qu.» OA fupra reélang. wD, aE. In tertio

/It

Tt"

') Lisez: ,,vera".
^^ Lisez : „aw".

3) Puisque, dans ces deux cas, des trois points E , À et /r, les points extrêmes
sont l et n.

212 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE II. 1653.

[Fig. 32.] [Fig. 33,

1>-

0-

4

A-

7t

ù"

(X

^

d"

] le reftangle wD, XE. Mais dans le troifième et le quatrième
cas [Fig. 32 et 33] le redangle wD, Et eft égal à la
femme des deux reélangles wD, Xvr et wD, aE '). Par confé-
quent , le même rectangle ojD , Et eft ici égal à la fomme
du reélangle wD, aE et du carré ù?iz ou OA. Or, il a été
démontré que le reétangle DO, EP eft égal à l'excès du carré
OA fur le carré OD. Il en réfulte que dans le troifième
et le quatrième cas le reétangle DO, EP eft plus petit que
le reélangle wD, Ett, ce qu'il fallait démontrer. Mais dans
le premier et le fécond cas la même chofe peut féparément
être démontrée de la manière fuivante. Vu que dans le pre-
mier cas [Fig. 30] Doi < DO, on aura «O : Dw > wO : DO,
ou fl-A : (tE. En effet, nous avons fait voir que DO = E<r,
et que Oùj =z o-A. On a donc, par compofition, OD : Dw >
> aE : EfT. C'eft pourquoi le reétangle OD, Eo- ou le carré
OD fera plus grand que le reélangle Dw, aE. L'excès du
carré AO fur le carré OD eft donc plus petit que celui du
même carré AO fur le reélangle Dw, aE. Mais le reétangle
OD, EP était égal au premier de ces deux excès, et le
reétangle a'D, Et au fécond. Le premier redtangle eft donc
inférieur au deuxième. Et dans le deuxième cas [Fig. 31] ,
attendu que Dca > DO, on aura Da^ : Oo? > DO : Oas ou
<rE : <rA. On obtient donc, par converfion de ces rapports,
ci'D: DO < (tE : Ea, et, par conféquent, reélang. DO, Eo-,
ou carré DO > reélang. a^D, Ea. Nous en conclurons, de
la même manière que dans le cas précédent, que le rec-
angle OD, EP eft inférieur au reélangle coD, Et. Ce qu'il
fallait démontrer.

Et dans le cinquième cas, celui où O tombe en D
[Fig. 34] '^), le point <r coïncide auffi avec E. Pour un

') Puisqu'ici E et tt sont les extrêmes. Remarquons que le cas où
les extrêmes sont E et A ne peut pas se rencontrer dans la sup-
position , énoncée dans la première partie de la proposition , que la
distance focale excède la quatrième partie de la distance entre l'objet
et l'oeil.

Soit, pour le montrer, a la distanceDA, a — /la distance DO
(/ la distance focale) et x la distance «A. Nous tenons compte ici
er dans ce qui suit de la direction positive ou négative des segments,
comme nous l'avons indiqué dans la note i , p. 98 du Tome présent.
On trouve alors DE = la, Dl== a — x-\-f, XE = a-\- x — /,

-rr-

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER II. 1653.

213

[Fig:3o.] [Fig.31.] aiitem et quarto cafu [Fig. 32 et 33] reétang. wD, Et
aequale diiobus fimul reétang.o wD, At et reélang. wD,
aE ^) ; Ergo hic idem reftang. wD, Et aequale eft reftang.
wD, AE cum qu. oa hoc eft cum qu. OA. Oftenfuni autem
quod reftang. DO, EP aequale excelTui quadr.' OA fupra
qu. OD. Apparet itaque in tertio et quarto cafu quod re(5tan-
'^/J' gulo wD, Et minus efl: reélangulum DO, EP, quod erat

j> ' • demonftr. In primo autem et fecundo cafu fepararim idem

oflendetur hoc modo. Quoniam in primo [Fig. 30] cft Dw
minor quam DO, erit major ratio uO ad Dw quam uO ad
DO, hoc efl: quam <rA ad (tE. oflenfum enim quod DO 00
DO Eo". quodque Ou do o-A. Itaque componendo major ratio
OD ad Dw quam AE ad Eo-. Quare majus erit redlang.
OD, Efl- hoc efl: qu. OD quam rectang. Dw, AE. Unde
minor efl: excefl^us quad.» AO fupra quad. OD, quam ejufdem
qu.i AO fupra reélang. Dw, aE. Erat autem priori horum
excelTuum aequale reétang. OD, EP, alteri vero aequale
reétang. wD , Et. Ergo illud quàm hoc minus efl:. In fecundo
autem cafu [Fig. 31] quoniam Dw major efl: quam DO, erit
major ratio Dw ad Ow quam DO ad Ow. hoc efl: quam <rE
ad fl-A. Proinde pcr converfionem rationis erit minor ratio
wD ad DO quam <rE ad Ea, ideoque reétang. DO, E<r
hoc eft qu. DO majus reélang.o wD, EA: unde reliqua fimi-
liter concludemus ut in cafu praecedente. nempe quod rec-
tang. OD, EP minus eft reétangulo wD, Et. Quod demon-
ftrare oportebat.

Quinto autem cafu cum O incidit in D [Fig. 34] *),

O"

ej.

O"

Dm=:a — X — f,Dn=Qa —xy:(^a — x—f), d'où l'on déduit
Xn = P:Ça — x—f)etEn = Çx^-{-2 af— a^^:(a — x — /).
Or, puisqu'on a /> |;DE=| a, les numérateurs des expressions
pour kn et nE auront toujours le même signe, tandis que les déno-
minateurs sont les mêmes; donc In et ETrauront la même direction,-
ce qui exclut le cas où A et E seraient les points extrêmes.
^) Il s'agit ici du cas intermédiaire entre ceux des figures 32 et 33. En
effet, quand D et O se confondent , on trouve facilement que E et 71
sont les extrêmes des trois points E, A, jt. Ainsi la transition du cas
de la fig. 30 à celui de la fig. 31 (où Hetn sont les extrêmes dans les
deux figures, mais où la situation de D et O diffère) ne peut pas se
faire directement d'une manière continue, mais seulement en passant
successivement par les cas des figures 33 et 32. Consultez encore, sur
la transition entre les cas des figures 30 et 33 , 32 et 3 1 , les notes 2 ,
p. 214, et 5, p. 215.

214 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE II. 1653.

pp. -, observateur qui regarde à travers la lentille placée en A, le rapport

^jj/ ' ' de la grandeur apparente à la grandeur véritable ell alors égal à

nr ED : DA, c'eft-à-dire à 2, d'après la prop. II "). Mais fi l'on regarde

à travers la même lentille tranfportée en ce ^ h rapport en queftion efl:

égal , comme plus haut , à celui du reétangle ccœ , DE au reétangle coD ,

Et. Or , dans le cas présent le reétangle aw, DE efl: égal au double

du carré aw, attendu que DE = 2 AO = 2 ûcœ. Et le redangle a^D,

Ett efl: égal à la fomme du reélangle a'D, àt et du reftangle a'D, aE,

dont le premier (a'D , At) feul, d'après ce que nous avons démontré,

efl égal au carré aœ. Par conféquent, le reétangle aw, DE efl: plus

•% petit que le double du reâangle a'D, Et. Il en réfulte que le rapport

de la grandeur apparente à la grandeur véritable efl inférieur à 2 , la

valeur qu'avait ce rapport lorfque la lentille fe trouvait en A.

Enfin, fi ûj coïncide avec D [Fig. 35] ^), le rapport de la gran-
deur de l'image à celle de l'objet efl compofé, comme précédemment,
des rapports AO:OD et DE (ou oiE) : EP, lorfque la lentille efl
placée en A, mais lorfque la lentille elt placée en ûj, ce rapport fera
égal à Eai : cca d'après la prop. II 0. Or, le rapport Eu : wcc efl com-
pofé des rapports Ew : EP et EP : Wfac, dont le dernier (EP : (aix) efl:
inférieur à AO : OD. En effet, nous avons démontré dans ce qui
précède que P<r : crA (ou coa) == AO : OD s). Et PE < Po-, attendu
que E tombe entre P et cr, comme nous l'avons également démontré
plus haut '*). Le rapport compofé des rapports Eco : EP et EP : wa,
efl: donc plus petit que celui qui fe compofé des rapports cuE : EP
0 ^ et AO : OD. Le rapport de la grandeur de l'image à celle de l'objet ,

lorfque la lentille efl placée au point a, efl donc plus petit que
^3) -|t*' lorfqu' elle fe trouve en A s).

i<r

-x

Suppofons maintenant que la diftance AO [Fig. 36J qui fépare la lentille
de fon foyer foit moindre que la quatrième partie de l'intervalle DE qui efl
celui de l'objet à l'oeil. Il s'agit donc de démontrer en premier lieu que la len-
tille peut être placée en un point tel que l'image paraît renverfée '^). Comme

') Voir l'avant-dernier alinéa de la p. 179 du Tome présent.

-) Il s'agit du cas intermédiaire entre le cas de la figure 30 et celui de la figure 33. Dans ce cas

le point 7r s'éloigne à l'infini et ne peut plus servir dans la démonstration.
^) Voir le premier alinéa de la p. 209.
'^} Voir la p. 211.

A-

TRACTATUS DE REFIJ.ACT. ET TELESC. LIBER II. 1653. QIC

[Fig- 34 ] etiam <r cadic in E. Et tum quidem per lentem in A pofitam infpi-
ciendo apparentis magnit.'s ad veram ratio eft ea quae ED ad DA
per prop. [II] ') hoc eft, dupla. At infpiciendo per eandem tranf-
pofitam in «, diéta ratio ut antè eft ea qiiae redtang. aw, DE ad rec-
tang. wD, Et. Eft autem hic reélang. aw, DE aequale diiplo qu. acù),
quia DE dupla AO , vel aoû. Et eft reétang. wD , Et aequale reftang.
wD, Xt unacum reétang. wD, aE quorum folum reétang. a)D,AT
oftenfum fuit asquale qu. ûcoo. Itaque reétanguhim ûccc, DE, minus
eft quam duplum reétang. wD, Et. Et minor proinde jam ratio
apparentis ad veram magnitudinem quam dupla, qualis erat pofitâ
lente in A.

Denique fi u incidat in D [Fig. 35] '^') , erit ratio augmenti pofitâ
lente in A, ut in praecedentibus ea quse componitur ex rationibus
AO ad OD et DE five wE ad EP. at lente pofitâ in a ratio augmenti
erit ea, quse Ew ad cou per prop. [II] *). Componitur autem ratio Ecd
ad œûi ex rationibus Eûj ad EP et EP ad wa, quarum EP ad ua
minor eft quam AO ad OD. Nam oftenfum fuit in praecedentibus
quod Va- ad j-A feu cox ficut AO ad OD ^') ; et eft PE minor quam
P<r quia E cadit inter P et (t, ut oftenfum itidem eft fuperius '^).
Itaque compofita ex rationibus Eco ad EP et EP ad ux minor eft
compofitâ ex rationibus wE ad EP et AO ad OD. Hoc eft ratio aug-
, menti pofitâ lente in ce minor quam cum eadem ponitur in A s)'

a^

Efto nunc diftantia AO [Fig. 36] quae eft inter lentem et focum,
minor quarta parte intervalli DE quod inter vifibile et oculum.
Itaque primum oftendere oportet quod lens eo loco poni poteft ut
inverfum confpiciatur vifibile ^). Quoniam ergo AO minor eft

^5) Le cas intermédiaire entre ceux des figures 3 1 et 32 n'est pas traité. Dans ce cas les points E
et l se confondent; mais alors aucun des points entrant dans les démonstrations ne s'éloigne
à l'infini et les démonstrations du deuxième et du troisième cas sont également applicables
avec des modifications bien évidentes.

^) D'après la formule de la note 4, p. 207, il est clair que l'image sera invertie toutes les fois
qu' on aura fd < m Posons donc v = ^d-\-s,o = ^d — s.oùe désigne la distance A«
de la lentille au point A qui se trouve au milieu du segment DE = </. La condition
s'écrit alors:

conforme à celle , A«' < |: DE* — AO.DE , du texte.

2 l 6 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE II. 1653.

AO efl: inférieure au quart de DE, le reélangle AO, DE fera excédé d'une cer-
taine quantité par le quart du carré DE, c'eft-à-dire par le reétangle DAE.
Prenons une longueur Aadont le carré foit moindre que cette quantité, et plaçons
la lentille en ce. Je dis que l'image de l'objet placé en E fera renverfée. En
effet, fuppofons les autres conftruélions faites comme dans les cas précédents.
Vu que DE eft alors divifée en deux parties égales par le point A et en deux
parties inégales par le point u, le carré Aa, fera égal à l'excès du reélangle DAE
fur le reétangle D^E. Mais le même carré A<z eft plus petit que l'excès du
reétangle DAE fur le reélangle DE, AO, d'après notre conftruétion. Ce der-
nier excès eft donc plus grand que le précédent, et, par conféquent , reélang.
DE, AO < reétang. DaE. C'eft pourquoi le rapport DE : Ecc eft plus petit que
le rapport ccD : AO (ou aw). Et, par converfion, ED : Doc > ccD : Dey. Mais
ttD : Dec =. ciD : Dû». Par conféquent, ttD < ED. Or, tt eft le point conjugué
avec le point D, où fe trouve l'oeil, par rapport à la lentille placée en a. L'image
de l'objet fera donc néceftairement renverfée d'après la prop. III ^). C'eft ce
qu'il fallait démontrer. Par conféquent , la lentille, pour donner une image ren-
verfée, pourra également être placée au-delà du point milieu A dans un inter-
valle égal à celui où elle peut être placée en-deçà de ce point. C'eft ce qui eft
évident d'après le théorème . . . ^).

Or, on peut faire voir de la manière fuivante que la lentille, placée précifément
au point milieu A, donne auflî des images renverfées. Les longueurs DO, D A
et DP forment une proportion continue, où DO > |^D A, attendu que AO < ^DA.
Il en réfulte que DA eft plus grande que | DP, et par conféquent DP < DE. Or,
P eft le point conjugué avec le point où fe trouve l'oeil, par rapport à la lentille
placée en A. Par conféquent, dans cette pofition la lentille donne une image ren-
verfée de l'objet placé en E.

Refte à faire voir que l'image aperçue à travers la lentille placée au point
milieu A eft plus petite que l'image aperçue à travers la lentille placée en a.
Cela fera démontré lorfque, contrairement à ce qui a été prouvé antérieure-
ment, nous aurons fait voir que le reétangle OD, EP eft plus grand que le
reftangle cyD, Et. Comme le point P tombe ici entre o- et E 3), le reétangle
OD, EP fera égal à l'excès du reftangle OD, <rE fur le rcélangle OD, o-P, c'eft-
à-dire à l'excès du carré OD fur le carré OA. En eifet, nous avons démontré
plus haut 4) que le reétangle OD, <rE eft égal au carré OD , et le reétangle OD,
o-P au carré AO. Mais le reélangle wD, Ett fera égal à l'excès du reélangle wD,
AE fur le reélangle wD, At, c'eft-à-dire à l'excès du reélangle wD, AE fur le carré
AO. En effet, nous avons démontré également "*) que le reétangle wD, A^rcft
égal au carré ccu ou AO. Or, le carré OD eft plus grand que le reélangle wD,
AE: cela fe démontre de la même manière que dans le premier des cas précé-

*) Voir la p. 1 8 1 du Tome présent.

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER II. 1653. 217

-rc

<r-

[Fig. 36.] quartâ parte DE, fuperabitur reftang. fub AO, DE à |: quadrati
^X DE hoceft a redtang.o DAE certo exceffii. Ponaturautem Aacujus

quadr. ifto excefTu minus fit , et conftitiiatur lens in a. dico inverfam
exhibitum iri vifibilis in E fpeciem. Sint enini reliqua conftruéla ut
in cafibus prioribus. Quia igitur DE bifariam œqualiter fcdla efl: in
A et insequaliter in a , erit quadr. Ace œquale excefTui reélang.' DAE
fupra reélang. DûjE. Idem vero quadratum Aa, minus efl exccflTn
^•j- reétang.i DAE fupra reftang. fub DE, AO ex conftr. Itaque hic

excefTus quam ille major eft, ideoque reftang. fub DE, AO minus
erit rcélang.oDûjE. Quare minor ratio DE ad Èa quam ccD ad AO feu
cccû. Et per converfionem rationis major ratio ED ad Da quam aD ad
Doj. Sed ell ttD ad Da ut aD ad Dw. Ergo ttD minor cil quam ED.
Eli autem t punctum oculo in D conjugatum ad lentcm in et. Itaque
>J- per prop. [III] ^) inverfum apparere necefTe efl: vifibile. quod erat

ofl:endendum. Poterit ergo et ultra médium A lens confl:itui ut
inverfam fpeciem exhibeat, tanto quidem intervallo, quanto citerior
cfie poteft; idque conft:at per [Theor. . .] -^.

At in ipfo A medio conftitutam inverfa quoque vifui offerre fie
fict manifellum. Quoniam fcilicct in continua funt proport.^ DO,
DA, DP , efi:que DO major dimidiâ DA, quia AO efl minor dimidia
DA , erit et DA major dimidia DP , ideoque DP minor quam DE.
Efl: autem P punélum oculo conjugatum ad lentem in A. Ergo et hic
inverfum exhibet vifibile in E pofitum.

Superefl: ut ofl:endatur minus fpeélari vifibile per lentem in A
medio pofitam, quam per eandem in a. De quo conftabit fi contra
quam in prïecedentibus ofl:enfum fuerit quod reftang. OD, EP
majus efl: reftang. wD, Et. Quum igitur hic cadat P inter <r et E •'),
erit reélang. OD, EP aequale excefTui redlang. OD,(rE fupra reétang.
OD, fl-P, hoc efl exccffui qu.' OD fupra qu. OA; nam reftang. OD,
(tE fuperius 4) squale ofl:enfum fuit qu. OD,et reélang. OD, <rP
œquale qu. AO. Reélang. ver6 wD, Et, œquale erit excefTui

ÛJ'

reélang. coD, AE fupra reélang. coD, At; hoc efl:, excefTui reftang. wD, aE fupra
qu. AO, nam oflenfum quoque fuit'*), quod reftang. wD, At aequale qu. uw
five AO. Efl autem qu. OD majus reétang.» coD, AE, nam hoc eodem modo

' Il s'agit d'un théorème que nous donnerons plus loin, p. 237, comme Appendice II au Livre
présent. Ce théorème fait suite dans la leçon primitive à la Prop. VI (p. 199 du Tome pré-
sent); mais il fut biffé et on ne le rencontre pas à cette place dans la copie de Niquet; con-
sultez toutefois la note 3 , p. 222.

3) Employant les notations de la note 4, p. 207, on aura DP= . ?_ /• > Cè^-\~f) = ^'^'

*) Voir la p. 21 1 du Tome présent.

28

2 I 8 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE II. 1 653.

dents 0- Par conféquent l'excès du carré OD fur le carré OA, c'eft-à-dire le
reftangle OD, EP, eft plus grand que l'excès du reétangle wD, aE fur le carré
OA, c'eft-à-dire que le reétangle wD, Et. Ce qu'il fallait démontrer.

[Fig' 37-] Proposition VIIÏ.

Suppofons l'oeil et l'objet fi tués en des points fixes
et une lentille concave placée entre eux: plus cette
lentille fera proche du point milieu entre l'oeil et
l'objet, plus auffi l'image fera petite. Elle aura les
plus petites dimen fions, lorfque la lentille fera pla-
cée précifément au point milieu*).

Suppofons [Fig. 37] l'objet placé en E, l'oeil en D, et foit M le point
milieu de l'intervalle DE. Plaçons d'abord la lentille concave en A
entre M et D, et enfuite en a^ entre A et D, de telle manière que la
diftance aM foit plus grande que AM. Il faut démontrer que l'image
de l'objet fitué en E fera plus petite lorfqu'on regarde par la lentille pla-
cée en A que lorfque celle-ci fe trouve en a. Soit O le point de difperfion
de la lentille placée en A , et w celui de la lentille placée en ûl. Et con-
ftruifons la figure entière de la même manière que celle qui correfpond
au théorème précédent»). Par conféquent la même manière de raifonncr
*P ' nous conduira à dire qu'il fuffit de démontrer que le reétangle OD ,

CJ-

(V

d" '

Xr

EP efl: plus grand que le reétangle wD , Et , tandis que dans le cas
précédent il devait être plus petit s). Comme DA < AE, et AO •=. A<r,
'V\ la fomme de DA et de AO , c'eft-à-dire DO , fera plus petite que celle
de AE et de Acr, c'eft-à-dire que Eff*. Mais les trois longueurs A<:k, Oa>,
<rX font manifeftement égales entre elles, comme auparavant. Et de
I même les reétangles DO, crP et wD, At font chacun égal, comme
/j> A plus haut 5), au carré AO. Mais ici l'excès du reélangle OD, <rE fur
le reftangle OD, <rP eft égal au reétangle OD, EP; et l'excès du
reftangle wD, AE fur le reétangle wD , At eft égal au reélangle wD , Et. Il faut
donc démontrer que le premier excès eft plus grand que le fécond , ce qui fera
établi dès que nous aurons fait voir que le reélangle OD, o-E eft plus grand
que le rcétangle wD , aE : en effet , nous avons dit que les reétangles OD , <rP et
wD, At font égaux entre eux. Comme Dûj < DO , on aura Ow : wD > Ow : OD.
Mais ce dernier rapport eft également plus grand que crA : o-E ; en effet, nous
avons dit que cA = Oûj, et o-E > DO. Par conféquent , Ow : wD > aA : «rE.
Et, par compofition, OD : Dû) > aE : Eo-. C'eft pourquoi le reélangle OD, Eo-
eft aulfi plus grand que le reélangle Dw, aE , ce qui reftait à démontrer.

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER II. 1653. 219

oftenditur qiio in cafiiiim prsecedentium primo '); Ergo exceffiis qu. OD fupra
qu. OA, hoc ell reftang. OD, EP majiis eft excelTu rectang. wD, aE fupra
quadr. OA , hoc efl: rcétangiilo wD, Et. quod crat ollendendum.

[Propositio VIII.]

M an ente oculo et vifibili, fi lens cava in ter utr unique con-
ftituatur, quo propinquior crit loco inter oculum et vil'ibile
medio, eo m in o rem hujus fpcciem eff ici et, et mi nim a m om-
nium eu m médium tenebit ipfum^).

Ello vifibile in E pofitum [Fig. 37] , ocuUis in D ^ Citque pun&um ^) M inter-
valli DE médium; Et primum lens cava conllituatur in A inter M et D, deinde
autem in a, inter A , D , ita ut dillantia ^^M major fit quam AM. Oportet often-
dere quod minor erit fpecies vifibilis in E per lentem in A fpeélati quam per
eandem in ce. Sit O punftum difperfus lentis in A. Scd u cum ell in ce. Et omnia
fimiliter conilruantur ac in theorem. pra^cedenti 4). Itaque eâdem argumentandi
ratione devenietur eo, ut oftendere oporteat reftang. OD, EP majuscflerec-
tang.o wD, Et, cum illic oftenfum fuerit minus sj. Quia ergo DA minor efl:
quaniAE, et AO œqualis A<r; Erit utraque fimul DA, AO hoc ell DO minor
utrâque AE, Ao-, hoc ell Eo-. Très autem hx Aa, Ooj, crA manifello inter fe funt
squales, ficut et in prsecedentibus. Itemque reétang.i" DO, <rP et reélang. &jD,
At ut illic 5) fingula sequalia qu.» AO. EU autem hic excelTus reétang.' OD,
(tE fupra reélang. OD, <rP sequalis reélang. OD, EP: etexceflus rcdlang.' wD,
aE fupra rcétang. «D , Xtt îequalis reétang. wD^ Et. Ergo ollendendum ell quod
excelTus ille quam hic major ell; quod erit manifellum fi oftendatur reftang.
OD, (tE majus reétang.o ojD, aE. cum reétang.^ OD, orP et wD, At inter fe
aequalia diéta fint. Quia ergo Dw minor ell quam DO erit major ratio Oœ ad wD
quam Ou ad OD. Sed hœc etiam major efl: quam (tA ad <rE; nam didtum eft quod o-A
aequalis Oa>: quodque cE major quam DO. Ergo major ratio Om ad «D quam <rA
ad <rE. Et componendo, major OD ad Dco quam aE ad Ecr. Quamobrem majus
quoque reétang. OD, E<r reétangulo Dw, AE, quod reliquum erat oftendcre.

') Voir la p. 213.

^) Posant DE = 0 -\-y = c^,ona d'après la formule delà note 2 , p. 1 85 :

_ fcl

Le grossissement sera donc minimum quand ov est maximum pour o-\-v donné, c'est-à-dire,
quand on aura o = v;etsi Ton pose(?= §</— e, v= \d -\-s,\\ est clair, qu'il diminue
avec s.

^) Les mots en italique manquent dans la leçon primitive et dans la copie de Niquet.

'^) Consultez les pp. 209 et 21 1 du Tome présent.

5) Voir la p. 211.

220 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE II. 1653.

Mais fi l'on prend un intervalle égal à MA et fitiié de l'autre côté du point
milieu M , et qu'on place la lentille à l'extrémité de cet intervalle, l'image aura la
même grandeur que lorfqu' on regarde à travers la lentille placée en A , comme
nous l'avons fait voir à la prop. . . ') Il ell: évident en outre que l'image fera
d'autant plus petite que la lentille ell fituée à une plus petite difl:ance du point
milieu M. Il en réfulte enfin que l'image efi la plus petite lorfque la lentille eft
placée précifément au point milieu M. Ce qu'il fallait démontrer.

Proposition IX.

Théorème ^).

Si la d i f t a n c e de l' o e i 1 à une lentille convexe demeure
invariable et que l'oeil eft fitué entre la lentille et fon foyer,
l'image apparaîtra d'autant plus petite que l'objet fera placé
à une plus grande diftance. Mais fi la diftance de l'oeil à la
lentille eft plus grande que la diftance focale, l'objet en
s' éloignant paraîtra devenir plus grand, auffi longtemps
que l'image eft droite; mais dès que l'image fera devenue ren-
verfée fa grandeur diminuera lorfqu' on continue h éloigner
l'objet. Et fi l'oeil eft fitué au foyer de la lentille, l'image
aura toujours la même grandeur, quelle que foit la diftance
de l'objet à la lentille 3).

Prenons les mêmes notations que précédemment et fervons nous des réfultats
obtenus là où il était quellion de l'agrandiflement apparent produit par une feule
lentille convexe '^). En premier lieu, comme le point conjugué P, lorfque l'oeil
eil placé derrière la lentille h une difl:ance inférieure à la diftance focale 5^, tombe
en-deçà de la lentille et de l'oeil, il eft clair qu'alors plus on éloigne l'objet MN
plus aufii la longueur AB diminuera: en cff*et, NBP eft une ligne droite; mais
DA, la diftance de l'oeil à la lentille, demeure la même par hypothèfe; l'angle
ADB devient donc plus petit lorfque l'objet s'éloigne; c'eft pourquoi l'image
doit devenir plus petite.

Lorsque, au contraire, l'oeil eft placé à une diftance de la lentille fupérieureà la
diftance focale 7), et que le point P tombe donc au delà de la lentille, il eft évident
que, aufii longtemps que l'image de l'objet MN eft droite, c'eft-à-dire auflî long-

^) Voir le théorème mentionné dans la note 2 , p. 217.

-) On trouve encore en marge l'annotation suivante: „Ordo theorematum sit hic. Primum
de augmentolentiumsingularum" [Voir les Prop. II, p. 175, III, p. 181 et IV, p. 185]
„Tum de duarimi" [Prop. V, p. 187] „et tclescopio" [Voir la note 3, p. 186, là où il
s'agit du cas du télescope]. ,,Tum de lentibus quotcunque interpositis" [Prop. VI ,
p. 199]. „Tum de aequali ab oculo vel visibili distantia et maximo minimoquc in

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER II. 1653. aai

Quod 11 ver6 ipfi MA intervallo ad alteram partcm/if/«<^/ medij M sequale fuina-
tiir, ac in eo lensconftituatiir. Eâdem magnitudine cernctur vifibilc atqiic pcr len-
tem in A, ut ollenfum ell propof. . . ') Proinde conilat canto exilius confpici quanto
propior eric lens pufî&o medio M. Ex quo denique manifellum e(l, minimum
confpici vifibile cum in ipfo Mpunfto Icns conllituitur. Quae fuere demonllranda.

[Propositio IX.]

Theorema '^').

Manente diftantia oculi à lente convexa, fi inter lentem
et focum oculus fitus fit, quo magis vifibile removebitur eo
minori confpicietur magnitudine. Si vero ultra focum ocu-
lus à lente diftet, abfcedens vifibilc augebitur, quamdiu
erectum apparet; inde vero fi porro removeatur decrefcet
in ver fa imago. Quod fi in foco lentis constitutus fuerit ocu-
lus, quacunque vifibilis à lente diftantia, eâdem femper
magnitudine c e r n e t u r 3).

Ponantur quge in prsecedenti; nempe in quo de augmento unius lentis con-
vcxae '^). Primum itaque quoniam oculo citra focum à lente disante, punftum
conjugatum P cadit poil lentem et oculum s), manifellum ell quo magis vifibile
NN**} removebitur, eo minorem fore AB; reéta enim dufta ell NBP, verum
DA dillantia oculi à lente eadem manere ponitur; ergominuitur angulus ADB
recedcnte vifibili, quapropter minui fpeciem ejus necefTe ell.

Oculo autem ultra focum remoto^), quoniam punétum P cadit ante lentem,
apparet quamdiu vifibile NN •*) ereétum fpeélatur, hoc ell, quamdiu non ultra

medio" [VoirlesProp. VIl,p. 207 et VIII, p. 219]. „Tum theorema quod hic juxta
positum est" [Voir la note 3, p. 222]. „Tum denique quod est in fine hujus
pag.=K" [Prop. X , p. 223].

Ajoutons que cette annotation se retrouve dans le manuscrit de Niquet. Elle doit donc
dater d'avant 1666.
3) Employons les notations des notes 2 , p. 177 et 1 8 1 ; il est évident alors que la grandeur de
l'image, étant proportionnelle au grossissement g et inversement proportionnelle àla distance
0 -{- V , dépendra dans les trois cas de la valeur du facteur ;

/

yf — vo -\- of '

où V doit être considérée comme la seule variable , et il est bien facile de déduire , à l'aide de
cette expression , les résultats formulés dans la proposition présente; toutefois, ici, les con-
sidérations géométriques du texte mènent encore plus simplement au but désiré.

*) Il s'agit des Prop. II (p. 175) et III (p. 181) du Livre présent.

5) Voir la fig. 3 , p. 1 76 , où l'oeil se trouve en D , et où O est le foyer.

<^) Lisez MN.

'') Voir la fig. 5, p. 182.

222 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE II. 1653.

temps que cet objet n'efl: pas plus éloigné de la lentille que le point P , AB fera
d'autant plus grande que l'objet fera moins éloigné du point P. L'angle ADB
augmentera donc en même temps, attendu que la diftance AD eil invariable.
Mais dès que l'image fera devenue renverfée ^), ce qui aura lieu lorfque l'objet
aura dépalTé , en s'éloignant , le point P , AB deviendra d'autant plus petite que
l'objet ira plus loin, et il en fera par conféquent de même de l'angle ADB.

Et lorfque l'oeil ell placé au foyer même de la lentille ^), aucun point conjugué
ne pourra être trouvé, ainfi que nous l'avons dit, mais la droite NB deviendra
parallèle à l'axe EA. Quelle que foit la diftance de l'objet , AB a donc la même
grandeur, et l'angle ADB aufli. On apercevra donc toujours une image de même
grandeur. Ce qu'il fallait démontrer.

Proposition X 3).

Théorème.

Si la diftance d'une lentille convexe à l'objet demeure
invariable et que l'objet fe trouve entre la lentille et un de
fes foyers, l'image fera d'autant plus petite que l'oeil fera
plus éloigné de la lentille. Mais fi l'objet fe trouve à une
diftance de la lentille fupérieure à la diftance focale,
l'image grandira, tant qu'elle eft droite, lorfque l'on éloigne
l'oeil de la lentille. Mais dès que l'image fera devenue
renverfée, elle deviendra plus petite lorfqu'on continue à
éloigner l'oeil. Et fi l'objet fe trouve au foyer de la len-
tille, l'image aura la même grandeur quelle que foit la
diftance de l'oeil à la lentille.

La démonftration de cette propofition eft évidente: il fuffit d'appliquer à notre
théorème ce qui a été dit 4) de la permutation mutuelle des endroits où font
fitués l'oeil et l'objet.

M Voir la fig. 6,p. 183.
^) Voir la fig. 4, p. 178.

3) Entre cette proposition et celle qui précède le manuscrit que nous suivons, et de même la copie
de Niquet, intercalent: ,,Intercedit Theorema. Manente distantia visibilis ab oculo.

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER II. 1653. 223

P diftat; tanto majorem fore AB quanto propius ad P vifibile accefferit. Ergo
tanto major quoque fiet angulus ADB , quia diftantia AD non mutatur. Scd port-
quam everfo fitu fpeélari ceperit ') , remotiim videlicet ultra punftum P , quanto
ulterius ibit tanto minor fiet AB , ideoque et angulus ADB.

Pofito autem oculo in foco lentis ipfo =") , nullum inveniri punftum conju-
gatum diximus , fed reftam duci NB axi E A parallelam, igitur quacunque vifibilis
diftantia aequè magna eft AB ideoque et angulus ADB. Quare ejufdeni ubique
magnitudinis vifibile confpicietur. Quae fuerant demonftranda.

[Propositio X.] 3)

Theorema.

Manente diftantia lentis [convexae] ab afpectabili, fi fue-
rit hoclenti propius quam foc us fuus; quo magis oculusà
lente diftabit, eo minori magnitudine confpicietur. Si vero
ultra focum à lente diffitum fuerit afpectabile removendo
oculum à lente, augebitur quandiu erectum apparebit. Inde
vero fi porro recefferit oculus, everfa fpecies diminuctur.
Quod fi ad focum lentis fitum fit, quacunque oculi à lente
diftantia aequali magnitudine confpicietur.

Cujus demonftratio evidens eft, fi id quod mododepermutatione loci mutua
inter oculum et rem vifam didlum fuit 4) , applicetur Theoremati.

&C." Il n'est presque pas douteux qu'il s'agît du théorème mentionné dans la note 2 , p. 2 17.
Mai? ce théorème ne serait pas bien placé au lieu indiqué ici par Iluygens, puisqu' il s'en
est déjà servi dans les propositions VII (voir la note citée) et VIII (voir la note i , p. 220)
qui précèdent. Ainsi il était mieux à sa place là où il se trouvait primitivement, c'est-à-dire,
immédiatement après la Prop. VI; mais puisqu'il fut biffé et que, déplus, les phrases en
italique de la p. 209 prouvent que Huygens se proposait de s'en passer, nous avons préféré
le reléguer à un appendice (voir la p. 237).
^) Voir la Prop. VI, p. 199 du Tome présent.

224 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE II. 1653.

-:?.

[Fig.38.]

l'I

Proposition XI ^).
Théorème '^).

Si, au lieu de prendre une lunette compofée
de deux lentilles, l'une convexe et l'autre con-
cave, on adapte à l'oeil un corps conftruit d'une
matière folide et tranfparente et poffédant une
furface convexe et une fur face concave, ce corps
agrandira les objets lointains dans la même pro-
portion que la lunette compofée de deux len-
tilles. C'eft-à-dire, le rapport de la grandeur
apparente de l'image à celle de l'objet fera égal
au rapport de la diftance focale de la furface
convexe à la diftance du foyer de cette furface
à la furface concave, contre laquelle fe trouve
l'oeil.

Soit AM [Fig. 38] la furface convexe d'une lunette de ce
genre , conftruite d'une pièce , et N le centre de courbure de
cette furface. Soit en outre BQ la furface concave , et P fon
centre de courbure. Suppofons que G foit le foyer de la furface
AM , c'ell-à-dire le point de concours de rayons incidents paral-
lèles, et R le point de difperfion de la furface BQ pour des
rayons parallèles fe mouvant à l'intérieur du corps folide. Soit
de plus DED un objet vifible fitué à grande diftance. Nous
devons donc démontrer que lorfque l'oeil eft appliqué à la fur-
face B, l'objet DED efl: augmenté dans le rapport AG : GB ^).

Suppofons d'abord que l'oeil, fitué en C, ne foit pas encore
proche de la furface BQ et confl:ruifons une quatrième propor-
tionnelle CK à CR, CP et CB , d'après la prop. XII s). Comme
alors des rayons partis du point C correfpondraient au point K
après avoir été réfraétés à la furface BQ , réciproquement les
rayons qui, à l'intérieur du corps tranfparent folide, fe dirigent
vers le point K, correfpondront au point C après avoir été
réfractés à la furface B. De la même manière il arrivera, fi
l'on confl:ruit une quatrième proportionnelle KS aux trois lon-

*) Les considérations qui suivent , et qui ont amené la proposition présente, ont leur origine
dans la tliéorie du grossissement des lunettes exposée par Descartes dans le „Discours sep-
tiesme" de sa Dioptrique„Des moyens de perfectionner la vision" (voir les p. 155— 160 du
T. VI de l'édition récente des Oeuvres de Descartes par Adam et Tannery).

Cette tliéorie , vague et erronée, se fonde en premier lieu sur l'examen du cas où le tuyau

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER II. 1 653., ?/,>>. fttC

[Propositio XI.] *)
Theorema '*).

Si loco confpicîlli duarum lentium ejufmodi adaptetur
ex folido materise diaphanae frufto, cujus altéra fuperfi-
cies convexa fit altéra cava, câdem proportione vifibilia
aiigebit longinqiia, atqiie confpicillum duarum lentium.
Scilicit augmenti ratio ea erit, quœ diftantiae fuperficiei
convexas à foco fuo ad diftantiam foci à cava, cui oculus
admotus eft.

Efto talis fpecilli continui fuperficies convexa AM [Fig. 38] , ex fphasra
cujus N centrum. Superficies vero BQ cava centro P. Et focus fuperficiei AM i'eii
concurfus parallelorum fit G punélum. at R punftum difperfus fuperficiei BQ ^
radiorum parallelorum qui intra folidum feruntur ^^. Porro vifibile longinquum
fit DED. Icaque ollendendum cum oculus fuperficiei B applicabitur ea propor-
tione vifibile DED augeri, quam habet AG ad GB "*).

Ponatur prius oculus in C non adhuc fuperficiei BQ prope admotus, et tribus
hifce CR, CP, CB, ponatur quarca proportionalis CK, fecundum prop. [XII] s).
Ergo quoniam radij ex C punfto fi egrederentur, refrafti in fuperf. BQ per-
tinerent ad punétum K , ideo vicifllm qui intra diaphani foliditatem ita feruntur
ut tendant ad K , pertinebunt poft refraélionem in fuperf. B ad punélum C.

de la lunette serait rempli entièrement d'une matière réfringente homogène bornée par deux
surfaces courbes, Toeil étant placé devant l'une d'elles.

C'est dans une lettre du 2 avril 1654 a Grégoire de St. Vincent qu'on rencontre dans la
Correspondance la première allusion à la proposition présente; on y lit (p. 281 duT. I)
„In reliqua autem Cartesij explicatione et pra^sertim ubi ad telescopij venit demonstrationem
pUirima mihi quoque improbantur. Seposui ad tempus qua; in hac materia conscripta habeo."

•) Huygens annota plus tard en marge : „Omittatur haec vel paucioribus demonstre-
tur. debebat dici BG esse distantiam puncti dispersus parallelorum a parte G
venientium ad cavum BQ. estque BG 00 |BR." Nous reviendrons sur cette anno-
tation dans la note 3 , p. 227.

3) Les mots en italiques manquent dans la leçon primitive et dans la copie de Niquet.

*) C'est là, en effet, la valeur de l'agrandissement dans le cas de deux lentilles dont les distan-
ces focales coïncident avec celles des surfaces A M et BQ , quand l'oeil se trouve à l'inter-
section de l'axe et de la surface de la lentille concave. Pour s'en convaincre il suffit de
consulter la note 3 de la page 192, ou bien de considérer que, d'après la Prop. I du Livre
présent (p. 173), l'agrandissement ne dépend pas de la lentille concave contre laquelle l'oeil
est appliqué, mais seulement de la lentille convexe. Il est donc égal, d'après la première
partie de la Prop. II , p. 175 , au rapport de la distance focale AG à la distance BG du foyer
à l'oeil.

S) Voir la p. 41 du Tome présent.

29

226 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE II. 1 653.

[Fig. 38]. gueiirs KG, KN et KA, que les rayons qui fe dirigent vers le

^* point S et qui font réfraétés à la furface AM, fe dirigent vers le

point K. Tirons la droite DS qui coupe la furface AM au

point M, et enfuite la droite MK qui coupe la furface BQ

en Q. Joignons aufli les points Q et C. Et que la droite DC

coupe la furface BQ en O. Par conféquent, le rayon provenant

du point D de l'objet et qui fe meut félon la droite DM , fera

réfraété au point M de manière à fe diriger vers le point K,

mais après avoir été réfraété une deuxième fois en Q , ce rayon

parviendra à l'oeil fitué en C. Il eft donc établi que le point

D eft aperçu au point Q de la furface BQ : tandis que ce point

ferait vu en O fi , au lieu de la lunette, il n'y avait qu'une feule

furface B , où n'aurait lieu aucune réfraélion. Le rapport de la

r^i , grandeur apparente à la grandeur véritable, lorfque l'oeil eft

/V 'If placé en C, eft donc égal au rapport QB : OI3. Mais le rapport

'Kl IH Q^ • ^^ ^^ compofé des rapports QB : MA, MA : ED et ED :

: OB qui font refpeftivement égaux aux rapports KB : KA, SA t

: SE et EC : BC. Or, le rapport compofé des rapports SA : SE et

\^}%C EC : BC eft égal à celui que compofent les rapports SA : BC et

<1 1 EC : SE. Le rapport QB : OB fera donc compofé des rapports

J 1^ KB : KA , SA : BC et EC : ES. Mais le rapport compofé des
V ^1 rapports KB : KA et SA : BC eft égal au rapport compofé des

^ ^1 I rapports KB : BC et SA : KA , et le rapport EC : ES eft égal à
l'unité , attendu que nous fuppofons l'objet DED fitué à grande
diftance. Par conféquent le rapport QÏB : OB eft compofé des
rapports KB : BC et SA : KA. Mais comme, par conftruction,
CR : CP = CB : CK , on aura PR : RC = KB : BC. De même,
comme KG : KN = KA : KS , il s'enfuit NG : GK = S A : AK.
Le rapport QB : OB fera donc compofé des rapports PR: RC et
NG : GK, l'oeil étant toujours placé en C. Mais lorfque l'oeil
eft fuppofé très-voifin de la furface BQ , le point C tombera en
B , et le point K également en B; en ce cas le rapport PR : RC
_ (ou RB) fera donc égal à l'indice de réfraélion '), et, par con-

féquent, auffi au rapport AG : NG =). Mais le rapport NG : GK
devriendra NG : GB. Le rapport QB : OB, qui eft celui de la grandeur apparente
à la grandeur véritable , fera donc alors compofé des rapports AG : NG et NG :
: GB; il fera donc égal à AG : GB. Ce qu'il fallait démontrer.

Il eft nécefîaire toutefois que la courbure de la furface BQ ait une valeur
déterminée pour que la vifion foit diftinéle s). Mettant cela de côté, l'agrandi (Te-
ment ferait, en effet, abfolument le même , foit qu'on fuppofe cette furface plus

ou moins concave foit qu'on la fuppofe plane ou même convexe, fi feulement

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER II. 1653. 227

eâdem ratione fi tribus hifce KG,KN, KA collocetur quarta proportionalis
KS , fiet ut radij ad punétum S tendentes refraétique in fupcrficie AM tendant
ad punftum K. Jungatur DS fecans fuperf. AM in M. deinde MK fecans
fuperficiem BQ in Q, et conneétatur QC. Re&a vero DC fecet fuperpciem
BQ^in O. Itaque radiorum ex punéto vifibilis Dis qui fertur fecunduni redam
DM, fleftetur ab M verfus K, fed iterum refraélus in Q perveniet ad oculum
in C. Quare conftat in punéto Q fiiperficiei BQ fpedari pundum D ; quod
fpeélaretur in O fi loco fpecilli, una tantum fuperficies Bponeretur refraétionis
expers. Eil: igitur ratio magnitudinis apparentis ad veram oculo in C conftituto,
ea qu« QB ad OB. Ratio auteni QB ad OB compofita efl: ex rationibiis QB ad
MA; et MA ad ED; et ED ad OB. qu« funt eaedem rationibus KB ad KA; SA
ad SE; et EC ad BC. Et efl: ratio compofita ex rationibus SA ad SE, et EC ad
BC, eadem compofitse ex rationibus SA ad BC et EC ad SE. Itaque ratio QB
ad OB componetur ex rationibus KB ad KA, SA ad BC, et EC ad ES; ratio
aiitem compofita ex rat.* KB ad KA et SA ad BC eil eadem compofitœ ex rat.
KB ad BC et SA ad KA, reliqua vero EC ad ES efl: ratioîequalitatis,quoniam
vifibile DED longinquum ponitur. Ergo ratio QB ad OB compofita ex ratione
KB ad BC et SA ad KA. Quia ver5 ex conftr. eft CR ad CP ut CB ad CK, erit
PR ad RC ut KB ad BC. Item quia KG ad KN ut KA ad KS erit NG ad GK
ut SA ad AK. Igitur ratio QB ad OB componetur ex rat.s PR ad RC et NG ad
GK , oculo adhuc in C conftituto. Cum vero fuperficiei BQ oculus contiguus
ponetur cadet C in B, item K in B, quare tune erit ratio PR ad RC feu RB eadem
quaeeft refraélionis O^^c proinde eadem rationi AG ad NG -). Ratio vero NG ad
GK erit NG ad GB. Ergo tune ratio QB ad OB , quae eft ratio magnitudinis
apparentis ad veram erit compofita ex rat.» AG ad NG et NG ad GB hoc eft,
erit ea quae AG ad GB; quod erat demonftr.

Oportet autem fuperficiem BQ certa ratione cavam efl^e fi diftinda vifio requi-
ritur^). Nam alioqui etfi magis minufve cava elTet, aut plana autconvexaquoque,
idem prorfus contingeret augmentum, fi modo oculus prope admotus ponatur.

' ) Voir la Prop. X I , p. 4 [ du Tome présent.

*) VoirlaProp. VIII,p. 33.

3) Cette condition exige, pour un oeil accommodé pour l'infini, que le foyer G de la surface
convexe AM coïncide avec le point de dispersion des rayons parallèles venant du côté S et
tombant sur la surface concave BQ. Or, posant n pour l'indice de réfraction , on aura alors,
d'après la Prop X , p. 39, BG = «. BP : (« — i) ; mais d'autre part BR = BP : (« — 0»
d'après la Prop. XI, p. 41. On aura donc dans ce cas BG = //.BR, c'est-à-dire, pour le
verre : BG = ^ BR.

Si nous revenons maintenant à l'annotation citée dans la note 2 , p. 225, il devient évident
que Iluygens se propose de simplifier la démonstration en se bornant au cas de la vision
distincte dans lequel on aura, en effet, BG = | BR ou, plus généralement, BG = n. BR.

228 TRAITÉ DE LA REFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE II. 1653.

l'oeil eft fuppofé voifin de la fiirface. Car on pourra démontrer toujours de
la même manière que le rapport de la grandeur apparente à la grandeur véri-
table efl: égal au rapport AG : GB.

Cependant ces conclufions ne font nullement d'accord avec la théorie par
laquelle Defcartes eflaie d'expliquer l'invention du télefcope en nous amenant
à confidérer un corps tubulaire folide de cette conformation. Car il veut
que la furface concave foit telle qu'elle faiïe changer de direétion les rayons
provenant des divers points de l'objet, après qu'ils auront traverfé la furface
extérieure du corps tubulaire , et qu'elle les dirige vers l'oeil de façon qu'ils fem-
blent provenir de points fitués à plus petite diilance. Et il affirme que le rap-
port de la diftance de ces points plus proches à la diftance de l'objet lui-même
efl égal au rapport *} de la grandeur apparente à celle qu'on apercevrait à
l'oeil nu ^). Comment cela pourrait-il être vrai, attendu que pour les yeux
des vieillards la conftruétion des télescopes doit être telle que les rayons , en
atteignant l'oeil , foient convergents ou au moins parallèles , mais non pas telle
que ces rayons femblent provenir d'un point plus rapproché ? Et l'on fait pour-
tant que les images s'agrandifTent non moins pour les vieillards que pour ceux qui
ont la vue bonne.

Il y a encore cela d'abfurde dans l'explication de Defcartes: il dit que
tous les objets font vus agrandis parce que les rayons provenant des divers
points de ces objets fe croifent à la furface extérieure convexe du corps tubu-
laire, tandifque, fi ce corps était abfent, ils fe croiferaient dans la pupille
de l'oeil 3). Or, s'il y avait une furface plane ou concave au lieu de la furface
convexe, il y aurait là néanmoins un femblable croifement des rayons. Ainfi
tous les objets devraient être également vus agrandis lorfque le tube eil retourné.
Mais cela efl: en con tradition avec ce qui a été démontré plus haut et de plus
avec l'expérience.

') Il s'agit en vérité du rapport réciproque.

-) Voir le passage, d'ailleurs difficile à comprendre, qu'on trouve à la p. 158 du lieu cité dans
la note i, p. 224 et qui débute comme il suit: „Puisde rechef, que ces mesmes rayons,"
[venant d'un même point de l'objet] „en sortant de ce tuyau se plient «Se se redressent en
telle sorte qu'ils puissent entrer dans l'oeil tout de inesme que s'ils n'auoient point du tout
esté plies, mais seulement qu'ils vinssent de quelque lieu qui fust plus proche. Et ensuite,
que ceux qui viendront de diuers points, s'estant croisés dés l'entrée de ce. tuyau, ne se
decroysent point à la sortie, mais qu'ils aillent vers Toeil en mesme façon que s'ils venaient
d'un obiet qui fust plus grand , ou plus proche."

3) Allusion au passage suivant qui se trouve p. 155 — 157 du lieu cité dans la note que nous
venons de mentionner: „I1 ne reste plus qu' vn autre moyen pour augmenter la grandeur des
images, qui est de faire que les rayons qui viennent de diuers points de robiet,se croisent
plus loin qu'il se pourra du fonds de l'oeil ; mais il est bien , sans comparaison , le plus impor-
tant& le plus considérable de tous. Car c'est l'vnique qui puisse seruir pour les obietsinacces-

TRACTATUS DE REFRÂCT. ET TELESC. LIBER 11. 1653.

229

Nam femper eadem démon (Iratione oftendetur magnitudinis apparcntis ad vcram,
effe rationem eandem , qiiae AG ad GB.

Hifce vero nequaqiiam confentiiint ea qiiibus Cartefius Telcfcopij invcntum
explicare concendit, fimilem hiiic tubum proponens folidum. Vult enim cavam
fiiperficiem ejufmodi eiïe ut radios à fingulis vifibiliiim punélis procedcntes
et per fuperficiem tubi exteriorem tranfmiflTos, ita 'inûe6t^t ac ad oculutn miffat
tanqiiam fi a propioribus punélis advenirent. Et quam rationem habuerit
diftantiahoriim pimdtorum propinqiiiorum ad diftantiam ipfius vifibilis, eandem ')
magnitudinis apparencis ad eam quge folis oculis perciperetiir définit '). Hoc
autem quomodo verum fit, quum fenum oculis ea conveniat telefcopij con-
llitutio, ut radij convergentes aut certè paralleli ad oculum deferantur, non
autem quafi ex punéto aliquo propiori manantes. Et notum eft taraen non
minus fenibus quam qui vifu pollent fpecierum magnitudines multiplicari.

Porro illud quoque in eâdem Cartefij explicatione abfurdum , quod eam ob
caufam majora omnia videri ait, quoniam ex diverfis rei vifce punélis venientes
radij decufientur in exteriori convexa tubi fuperficie,qui tubonon adhibitoad
pupillam oculi decufliarentur 3); quoniam enim fi plana aut concava effet loco
convexae fuperficiei nihilominus decufîatio fimilis ibi contingerct. efficietur
seque etiam inverfo tubo majora omnia confpici debere. Quod ijs quœ fuperius
demonfiirata fuere atque ipfi adeo experientiœ adverfatur.

sibles, aussy bien que pour les accessibles, & dont Telfet n'a pas de bornes: en
sorte qu'on peut, en s'en seruant, augmenter les images de plus en plus
jusques a vue grandeur indéfinie." Comme, par exemple, d'autant que la pre-
mière des trois liqueurs dont l'oeil est rempli, cause a peu près mesme refrac-
tion que l'eau commune, si on applique tout contre vn tuyau plein d'eau ,
comme EF , au bout duquel il y ait vn verre GHI , dont la figure soit toute
semblable a celle de la peau BCD qui couure cete liqueur, & ait mesme
rapport a la distance du fonds de l'oeil, il ne se fera plus aucune refraction
a l'entrée de cet oeil; maiscellequi s'y faisoit auparauant, (»& qui estoit cause
que tous les rayons qui venoient d'vn mesme point de l'obiet commençoient
a se courber dés cet endroit là, pour s'aller assembler en vn mesme point sur
les extrémités du nerf optique, & qu' ensuite tous ceux qui venoyentde
diuers points s'y croisoient, pour s'aller rendre sur diuers points de ce nerf),
se fera dés l'entrée du tuyau GI:si bien que ces rayons, se croisans dés là,
formeront l'image RST beaucoup plus grande que s'ils ne se croisoient que
sur la superficie BCD; & ils la formeront de plus en plus grande selon que
ce tuyau sera plus long. Et ainsi l'eau EF faisant l'office de l'humeur K ; le
verre GHI, celuy de la peau BCD; & l'entrée du tuyau GI, celuydela
prunelle; la vision se fera en mesme façon que si la Nature auoit fait l'oeil
plus long qu'il n'est de toute la longueur de ce tuyau".

230 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE II. 1653.

Proposition XII ').

Lorfque fur la droite qui joint l'oeil et l'objet font pla-
cées des lentilles ou des furfaces en nombre quelconque et
de forme arbitraire, ayant cette même droite pour axe com-
mun, l'oeil apercevra après toutes les réfractions une cer-
taine partie de l' objet, même dans le cas oùl'oeilestpour
ainfi dire réduit à un point unique, pourvu que ce point ne
foit pas celui où concourent après la réfraction les rayons
if fus du point de l'objet qui fe trou ve fur l'axe.

Soit FE l'axe commun fur lequel fe trouve l'oeil au point A , et les lentilles en
B et en C. Cherchons enfuite d'après le théorème. . . *) le point F auquel corref-
pondent des rayons tels que GF qui par la réfraélion due à la lentille B doivent
parvenir à l'oeil A en fe mouvant félon HA. Cherchons de même le point D
auquel correfpondent des rayons tels que DG qui par la réfraélion due à la len-
tille C doivent prendre la direélion GF, de forte qu'ils correfpondent alors au
point F; et ainfi de fuite s'il y a un plus grand nombre de lentilles ou de furfaces.
Or, le point F ou le point D peuvent être fitués à une diftance infinie et dans ces
cas les rayons GF ou les rayons DG deviennent parallèles à l'axe. Alors fi l'objet
était placé au point D, il paraît que l'oeil ferait fitué au point de concours des
rayons qui proviennent du point D, et que, par fuite, ce point unique de l'objet
donnerait alors une image quafi infinie. Mais fuppofons ici que l'oeil ne foit pas
fitué au point de concours nommé. Le point D tombe donc foit au-delà foit en-
deçà de l'endroit où eil: fitué l'objet , lequel puiflle fe trouver en E ou en K.

Comme la droite FHG peut être tracée de telle manière que les angles GFC,
GDC ou EDN deviennent chacun aufli petit qu'on le voudra, il paraît qu'on
peut obtenir que les droites FHG et GDN ne tombent pas à l'extérieur des len-
tilles B et C. La dernière de ces droites, GDN , interceptera nécefl^airement une
partie des droites EM ou KL perpendiculaires à l'axe , telle que NE ou KO, que
l'oeil apercevra sous l'angle BAH. L'oeil verra donc une certaine partie de l'objet,
ce qu'il fallait démontrer.

Mais fi le point D efl: à une difl:ance infinie, DG, parallèle à l'axe, interceptera
de nouveau une partie des droites EM ou KL. Et fi F efi:à une difl:ance infinie,
FH devient parallèle à l'axe; cela ne change rien dans la démonfliration du
théorème.

') Cette proposition et la suivante manquent dans la copie de Niquet. Elles doivent donc dater
en tout cas d'après 1666, et probablement de beaucoup plus tard.

231

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER II. 1653.

[Propositio XII.] ')

Difpofitis in linea recta^ oculum et vifibile jungente lenti-
bus aut fuperficiebus quotvis et quibuslibet^ communem axem
habentibus eandem lineam rectam^ Percipiet oculus poft om-
nium refractiones aliquam vifibilis partem etiamfi veluti
ad punctum reductus fuerit dummodo hoc punctum non fit quo
poft refractionem concurrunt radij a puncto vifibilis quod
in axe eft egreffi.

Sit re&a FE axis communis in quo oculus ad A pun&um , lentes
ad B et C. Invenîatur porro ex Theor. . . . *) punStum F ad quod
pertinentes radij ut GF fie&antur refra&ione lentis B per HA ad
punBum oculi A. Itemque inveniatur punSîum D , ad quod perti-
nentes radij ut DG fle&antur refra&ione lentis C in GF;ut perti-
neant adpunBum F atque ita porro ft plures fuerint lentes fuperficiefve.
Poteft autem infinité diftare punSfa F vel D. quibus cafibus axi
paralleli fiunt radij GFvel DG. Quodfijam vifibile adpun&um D
pojttum effet ^ apparet oculum fore in punSîo concurfus radier um e
pun&o D venientium , eoque unum hoc vifibilis punSîum tantummodo
infinité tuncexpanfum cernî. Ponîmus autem hic oculum effe extra hoc
concurfus punBum. Ergo punBum D cadit vel ultra vel citra locum
rei vifibilis^ quce nempe fitin E vel K.

Quoniam igitur ita duci potefi FHG ut quamlibet exigui fiant
anguli fmguli GFC, GDC, jeu EDN, apparet effici poffe ut
reSfa FHG, GDN non extra lentes B, C aberrent. Harumvero
poftrema GDN, necefario partem aliquam reBarum EM vel KL
axi perpendicularium intercipiet, velut NE vel KO , quas oculus com-
prehendet angulo BAH. Itaque aliquam vifibilis partem cernet , quod
erat dem.

Quod fi infinité difiet punBum D , tune DG axi parallela interci-
piet rurfus partem reSîarum EMvel KL. Si vero F infinité diftatfit
F H axi parallela, nec idquicquam in démon ftratione mutât.

0 Voir la Prop. XX, Lib. I , p. 99 du Tome présent.

232 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE II. 1653.

Proposition XIII.

* Prop. XXIL
Liv. I ').

Si entre l'oeil et T objet font placées un nombre
quelconque de lentilles ou de fur fa ces d'un corps
tranfparent et que des rayons if fus d'un point de
l'objet fi tué fur l'axe commun de toutes ces len-
tilles et fur fa ces fortent parallèles après les avoir
traverfées, la grandeur et la pofition de l'image
feront les mêmes à quelque diftance derrière elles
que fe trouve l'oeil.

Soit ABC l'axe commun d'un nombre quelconque de lentilles
ou de furfaces fphériques , et la ligne AF , perpendiculaire à l'axe
ABC , l'objet. Le point F y foit fitué à (î petite diftance du point
A qu'il peut être aperçu par l'oeil, placé en K ou en C, deux
points quelconques de l'axe, et réduit à un point: en eifet, la pro-
pofition précédente fait voir que cela eft poffible. Je dis que pour
les deux pofitions de l'oeil la ligne AF donnera une image de
même grandeur. En effet , attendu que les rayons ilTus du point A ,
après avoir traverfé les corps transparents interpofés, deviennent
parallèles entre eux, les rayons provenant du point F feront égale-
ment parallèles entre eux en fortant*. Suppofons que de ces rayons
DC parvienne à l'oeil fitué en C , et LK à l'oeil fitué en K. Attendu
que les rayons DC et LK font parallèles entre eux , les angles BKL et BCD
feront égaux. Mais par un oeil fitué en K la droite AF eft vue fous un angle BKL ,
et par un oeil fitué en C la même droite AF eft vue fous l'angle BCD. Dans l'un
et l'autre cas cette droite eft donc vue fous le même angle et fon image aura , par
conféquent, la même grandeur. Mais il paraît aufli que les droites CD et KL
tombent du même côté de l'axe, puifqu' elles émanent parallèlement des points C
et K. On apercevra donc une même pofition de la ligne AF foit qu'on regarde du
point C , foit qu'on fe trouve placé en K. Ce qu'il fallait démontrer.

FIN DU DEUXIEME LIVRE.

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER II. 1653. 233

[Propositio XIII.]

Si inter oculum et rem vifam quotlibet lentes aut fuper-
ficies diaphani inter j aceant et a puncto rei vifa quod fit in
omnium axe communi manantes radij, trajectis ijfdem lenti-
bus aut fuperficiebus p aralleli exeant; quocunque intervallo
poft ipfas oc u lu s ftatuatur, eadem apparebit rei vifa mag-
nitude; idemque pofitus.

Sit axis communis [Fig. 40] quotlibet lentium vel fuperficierum fpharicarum
JBC^resvifa Une a AF ^ axi ABC perpendicularis in qua pun&um F tam pro-
pinquum fit ipjt A^ ut oculo in K aut C, quibuslibet nempe duobus axis punStis ^
collocato et ad punBum redaSîo , in confpe&um venire poffit.hoc enim pojjîbile ejje
ex prop. antécédente confiât. Dico utroque oculi pofitu^ eadem magnitudine appa-
rituram lineam A F. Quum enim apunSîo A manantes radij ^ trajeSfis inter pofttis
diaphanis inter fe fiant paralleli^ ettam ab F punSîo egrefjî inter fe paralleli
exibunt *. Quorum DC ad oculum in Cpofttumpergat^ LK ad oculum po/itum in [*PcrProp.xxn.
K. Quia igitur inter fe paralleli funt radij D C, LK^ cequales erunt anguli BKL , ' • ^-J ^
BCD, atqui oculo in KfpeSîatur re&a AF angulo BKL., oculo vero in Cfpe&atur
eadem A F angulo BCD, Ergo utrobique aquali angulo ., ideoquepari magnitudine.
Sed et ad eandem axis par tem cadere apparet re&as CD , KL^ cum expun&s C,
K parallèle exeant. Ergo five ex Cfive ex K idem pofitus percipietur linea AF.
Qiia; erant dem.

[FINIS SECUNDI LIBRI.]

') Voir la p. 1 1 1 du Tome présent.

30

h/

APPENDICE I ■)

AU DEUXIÈME LIVRE DU „TrACTATUS DE REFRACTIONE

ET TELESCOPIIS".

[1^52-]

Propositio.

Per foramen minimum incuenti, quse prius vel ratione
diftantise, vel ob interpofitas lentes, confufa cernebantur,
diftincta apparebunt, et fi minus lucida; quse vero diftincta
cernebantur ita videri perfeverabunt, eademque qua prius
magnitudine ac fi tu.

Manifeftum eft ex fuperioribus confufam vifionem non aliunde fieri quamquod
radij ab uno vifibilis rei punfto ad oculum feruntur, fivefimpliciter id fiât, five
trajeétis quibufvis lentibus, ad unum rurfus retiformis punélum non conveniant,
fed alij alio loco fiftantur. Quod fi jam pupilla eoufque arétari intelligatur, ut
quafi unius punéli rationem habeat; vel fi lamina minimo foramine pertufa ante
oculum apponatur , liquet hoc padlo tantum uni veluti radiorum , qui a fingulis
punftis innumeri alioqui ad pupillam feruntur , tranfitum concedi , qui proinde in
uno tantum retiformis punfto locum ejus unde emifl^is eft punfti fignare queat.
Ex quo diftindla vifio fequatur neceffe eft. Minus lucidam vero fore hinc mani-
feftum eft, quod cum antea tôt radij , quod a vifibilis punéto pupillam intrabant,
ejus punéli imaginem in fundo oculi illuftrarent, nunc pauciflimus ac veluti unus
tantum eorum radiorum oculum ingrediatur.

Ad alteram porro propofitionis partem demonftrandam repetatur figura ad oculi

') Cet Appendice nous fait connaître la rédaction primitive du début du deuxième Livre, telle
qu'on la retrouve aux p. 42 et 43 de la copie de Niquet.

236 TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER II. APPENDICE I. 1653.

explicationem fiiperius defcripta *). Quiim igitur diftinfta vifio ponatur fieri, ad
quam requiritur ut radij omnes qui a punétis fingulis rei vifse, ut H, G, I, ad
oculum promanant, five per aerem tantum, five perquaslibet lentes tranfierint,
ad totidem rurfus punéta in fundo oculi colligantur, ut L, E, K;clarumefl:,
quod fi oppofito ad oculum exiii foramine , tantum unus veluti a fingulis punétis
radius admittatur, is nihilominus eodem quo prius loco in fundum oculi incidens,
punélum unde effluxit, etfi minus dilucide,ibipinget. Quare nec magnitudinem
nec fitum rei vifae quicquam immutatum iri confl:at, fed eodem modo fefehabi-
tura atque antea cum fine interpofita lamina libère ad oculum radij deferebantur.

Quando igitur in fequentibus ad ineundam apparentis àc verse magnitudinis
rationem, infl:ar punéli oculum efle fl:atuemus reâ:e procedere eas demonllrationes
ex his manifeftum erit, cum nihil interfit, quantum ad perceptarum imaginum
magnitudinem an ad punéti exilitatem oculi apertura redufta fit an tota, ut folet,
pateat.

Quando autem apparentem rei trans lentes vifae magnitudinem ijs quoque
cafibus definiviiïe inveniemus,quibusdiftinéla vifio non contingit,tum quod primo
loco hic ortenfum fuit, in mentem revocetur, nempe confufam vifionem femper
emendari pofl^e, contraéla uti diftum efl: oculi apertura. Qu[am]vis et lente
infuper aliqua, cava vel convexa, oculo proximc admota,confusionem ab alijs
lentibus ortam , tolli.

i. ,uv

') Voir la fig. 100, p. 1 33 du Tome présent.

.n

APPENDICE II

AU DEUXIÈME LIVRE DU „TKACTATUS DE REFRACTIONE

ET TELESCOPIIS".

^1 [i^53.]

Theorema ^).

Manenteoculoetvifibili, perlentemquamlibetintei-
pofitam fpectato, fi tranfferatur lens, ut quantum prius
^ àb oculo remota fuit tantum poftea diftet à vifibili.
Eâdem hoc quam prius magnitudine fpectatum iri,
fimilique fi tu.

Efto ^) ut fpcdletur vifibile in E oculo in D , per interpofitam lentcm in
^ A. Pofteaque fpeéletur idem per lentem in « tranflatam fumpta Y^cc aequali
DA. Dico utraque pofitione vifibile in E ejufdem apparere magnitudinis,
et fitum fimiliter.

Nam quale apparet per lentem in A magnitudine et fitu , taie appareret
pofito oculo in E et vifibili in D, lente non môta, per antcced. 3). Sed
taie apparet vifibile in D , pofito oculo in E , per lentem in A , quale fi fit
illud in D et lens in ûc\ quoniam intervalla fingula D<a{, «E, seqqalia funt
inccrvallis EA, AD. Itaque vifibile in E oculo in D «que magnum apparet,
fpeélatum per lentem in <«, fimilique fitu, atque cum pofita fuit in A. quod erat dem.

1

') Consultez sur ce théorème les notes 2 , p. 217 et 3 , p. 222.

^) Nous donnons la leçon primitive de la démonstration. Plus tard elle fut remplacée par la

suivante: „Efi: enim idem ac fi oculus ac res vifa invicem locum permutent

manente lente intermedia" \ mais tout fut biffé depuis.
3) Voir la „Prop. VI", p. 199 du Tome présent.

APPENDICE mO

AU DEUXIÈME LIVRE DU „TrACTATUS DE REFRACTIONE

ET TELESCOPIIS".

[1684?]

Si fit angulus minimus BAC
quo duoplanadiaphanum foli-
dum terminantia inclinentur,
fit praeterea inplanoper ABC
etiam recta DBR planiim AB
normaliter fecans et ab ea
minimis angulis déclinantes
radij EB, GB; e quibus EB intra
diaphanum feratur per BH,
atque exeat in HK : GB vero
feratur intra per BC, exeat
per CL. dico angulo EBG radio-
rum incidentium aequale cen-
fe ri po ffe eu m quo egreffi
HK, CL in ter fe inclinantur. quatenus nempe tam parvi funt
anguli EBD, GBD,* KHN, LCM ut finubus fuis proportionales
reputentur. quod ufque ad 30 gr. fumi fol et. tanto magis in
multo minoribus quibus id applicabimus concedendum eft.

^) La pièce est empruntée à une feuille séparée, numérotée 76or. Suivant les autres matières,
traitées sur la même feuille, elle daterait de 1684 ou plus tard encore; mais il est sûr que le
théorème en question était connu à Huygens bien plus tôt; comme cela résultera de la
note 1 , p. 340 du Tome présent. En tout cas , la pièce présente peut être considérée comme

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER II. APPENDICE III. I684. 239

Ducantur enim reftae MCQ, NHP quae fecent DBR in S et R. Etangiilus
BAC vocetur ^; DDE, b\ DBG,c. Ergo ang. DBE ad RBH cenfetur habere
rationem eandem qiise efl: refraftionisin finiibus,propter parvicatem anguloriim.
hoc efl: in vitro, ut hic ex. gr. ponimus , eam quam 3 ad 2. Eft ergo ang. RBH 00
30 1^. hic vero additus ad ang. BHR efficit BRP feu BAC. Ergo BHR erit
^— f ^0- rurfus vero anguli BHR fefquialter efl: NHK. Ergo NHK 00 | a—b,

Eadem ratione, cum ang. DBG fit 00 c,erit SBC 00 f c, etBCS oo tf— |cet
MCLoof^— r. Sit HI parall. CL. Efl: ergo ang. IHK inclinatio reélarum HK,
CL. Et ang. NHI erit |^— c, quippe aequ. MCL. Itaque ablatus ab NHK qui
erat ^a—b relinquet IHK 00 c — b hoc efl: angulo EBG. Quod erat d[emon-
ftrandum] .

Et facile perfpicitur id quavis prop. refraétionis idem contingere.

Quod fi igitur radij EB, GB vel ipfis paralleli incidant in ipfum velut angulum
diaphani A. manifeftum ell ad eandem verticem A conveéturos angulos duos
aequales notatos 0 , quos bini incidentes ac bini refradi radij conftituent.

la première rédaction d'une proposition de la même portée, qu'on rencontrera dans la
troisième Partie de cette „Dioptrique".
*)Huygens a intercalé ici l'annotation suivante „vel altero cafu CO f f — ^ et MCL
c-la qui tune additum ad NHK faciet rurfus IHK oo EBG." Et il y a encore
d'autres cas à distinguer. Ainsi dans la rédaction définitive, mentionnée dans la note précé-
dente, Iluygens en traite cinq différents.

^»v«

APPENDICE IV 0

AU DEUXIÈME LIVRE DU „TRACTATUS DE
REFRACTIONE ET TELESCOPIIS".

ii«

i^r*

«•

looaya^

e-^

y/

[1(592.]

Theorema ex dioptricis noftris a dubio
libérât um, ac numeris comprobatum, de
permutatione oculi et rei vif» mutua ac

*) La pièce est empruntée à la p. 24 verso du Manuscrit II.
D'après le lieu où elle se trouve elle doit dater des premiers
mois de l'année 1692. On y trouve une vérification numérique
de la Prop. VI, Liv. II (p. 199), qui énonce que l'oeil et l'objet
peuvent être échangés sans altération du grossissement. Toute-
fois cette vérification se borne au cas de deux lentilles A et B
qui ont un foyer commun au point G.

Remarquons que les notations de la figure correspondent en
général avec celles de la fig. 27 de la p. 205. Ainsi y et G , G et
H représentent les foyers des lentilles A et B, dont les distances
focales sont supposées égales respectivement à 10 et à i ; E est
l'objet se trouvant à la distance 1000 de la lentille A; C l'oeil
)ji<n« qui se trouve à cette même distance de la lentille B. Ensuite K

est le point correspondant à l'oeil C par rapport à la lentille
B de manière que le calcul donne CK = 100 i^i^, GK
^i^ ; enfin L est le point correspondant à K par rapport à la
lentille A , et on trouve KL = 99880^^^.

Ces données permettent de calculer, par la règle énoncée
dans la Prop. V, Liv. II (p. 195 du Tome présent) , le gros-
sissement de l'objet placé en E et vu par l'oeil en C.

Pour obtenir ce grossissement dans le cas réciproque, où
l'oeil est en E et l'objet en C, Huygens détermine successive-
ment la position du point x correspondant à E par rapport
à la lentille A et celle du point X correspondant à x par rapport
à la lentille B. De cette manière il retrouve la même propor-

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER II. APPENDICE IV. 1 692. 24 1

manente eadem ratione magnitudinis apparentis ad veram.
Vide ibi pag. 92 ^).

CH (c-a) ad CB (0 ut CB (c) ad CK 3) (~~^\
999 looo looo \c — ay\

looi^lç

lOOI

KG Cji^-) ad KA (io-5^^) ut KA (lo— ^i^) ad KL (99880^^5) 4)
HB ad HC ut i ad 999
AGadGKut 10 ad ^x^

EC ad EL ut 201 1 ad loio— ^^^ + 99880 + ^^^
201 10 ad 100890. bon
ratio augmenti, quae ell potius diminutionis oculo in C s).

Ey C990) ad EA (1000) ut EA (1000) ad Ex (ioioi§) 4) )

l f fubtr-l
EGCioio) j -"

Gk 00 jcÔ *) 00 i§

KO (i§) ad ;cB (i-l§) ut «B (I -^§) ad xA (8^,^^; 0

tion 201 10 à 100890 représentant le grossissement, ou plutôt ramoindrissement, dans les
deux cas.
") C'est la page, dans la numération en noîr du manuscrit de la „Dloptrica", qui contient le
commencement de la démonstration pour le cas de deux lentilles de la règle de la Prop. VI ,
citée dans la note précédente.

3) Voir la Prop. XX du Livre Premier , p. 99 du Tome présent.

4) Nous supprimons quelques calculs.

5) Voir la règle de la p. 189 du Tome présent, confirmée pour le cas de deux lentilles convexes
à la p. 195.

*) Ici d représente Pun des foyers de la lentille B, lequel coïncide avec G dans le cas considéré.

3»

242 TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER II. APPENDICE IV. 1692.

hy ad yE ut i o ad 990

f

Bô ad ôx ut I ad ^|g
CE ad Ca ut 201 1 ad (1000 + 85^5 + i -f §) ^%V ^ 0
20 II o ad 100890 bon.
ratio diminutionis cum oculus eft in E. res vifa in C.

radij qui ab M ad A tendunt , fleftuntur in lente B ut pergant ad k, hinc dimi-
nutio ingens '^).

*) Nous supprimons quelques calculs.

^) Évidemment Huygens a en vue la construction suivante, qui peut conduire à une déter-
mination, indépendante de la formule employée, du grossissement: Tirons la droite MA et
soit (î le point où elle traverse la lentille B ; tirons de même la droite ^x et soit « le point où
le prolongement de cette droite rencontre la lentille A ; tirons enfin aE; alors la ligne brisée
M/?aE représentera le parcours du rayon de lumière qui, partant du point M , atteindra l'oeil
placé en E. Soit donc CM = i; alors on trouvera successivement pour les angles CiM,

I I 8-^- I

Cx/9 et CEa, supposés très-petits, les valeurs —^r-. ;r-;r X -h^ et r-^ X

^ ' ^^ ^ 1008JL' 1008/5 J2_ 1008/5

99

o_iL 10—° I I

X -K^ X — ^ = 5- et enfin pour l'angle CEM, sous lequel robietCM serait

89 1000 10089 2011^ ^ » n j

'99'
vu sans l'intervention des lentilles. Le rapport de la grandeur apparente à la grandeur véri-
table , c'est-à-dire le rapport des angles CEa et CEM , est donc de 201 1 à 10089 , conformé-
ment à la valeur déduite dans le texte.

Mais cela n'explique pas la remarque de Huygens qui semble manquer de justesse, puisque

la réfraction en B amène le facteur -5^^ et qu'elle a donc plutôt la tendance de diminuer

~~99
l'amoindrissement.

LA DIOPTRIQUE.

PREMIÈRE PARTIE. TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET
DES TÉLESCOPES.

1^53.

Livre troisième. Des télescopes.
Proposition I ^).

Accommoder à un oeil quelconque une lunette compofée
de deux lentilles données.

Il eft certain que de chaque point d'un objet partent des rayons qui atteignent
toutes les parties de la pupille; et ces rayons font eftimés parallèles lorfqu'ils
émanent d'un point fort éloigné. Or, comme ceux qui jouifTent d'une bonne vue
ont naturellement les yeux difpofés de telle manière que fans effort ils aperçoivent
dirtinétement les objets éloignés, c'eft-à-dire que leurs yeux ralTemblent en
un point unique de la rétine un faifceau de rayons incidents parallèles , il s'en-
fuit que pour eux il faut placer les lentilles de telle manière que les rayons
émanant de chaque point de l'objet redeviennent parallèles après avoir traverfé les
deux lentilles. Par conféquent, fi AB repréfente une lentille convexe [Fig. i et 2] ,
ayant pour axe la droite BE et que les rayons émanant d'un point de l'objet font
réfraétés par cette lentille de telle façon qu'ils vont fe réunir au point E , foyer
de la lentille A , lorfque l'objet efl: à grande diftance , et en un autre point qu'on
trouve d'après lapropofition XX du premier livre s) lorfqu'il ell à petite diftance,
etlîGEeftla diftance focale de la féconde lentille DD fuppofée convexe [Fig. i]

')Muygeiis annota en marge „Omittetur, et docebitur hoc obiter in Explicatione
peculiari telescopiorum". Il s'agit bien des Prop. I et III de la troisième Partie de la

J*

DIOPTRICA.

' ! [PARS PRIMA. TRACTATUS DE REFRACTIONE ET

TELESCOPIIS.]

. [Liber III. De telescopiis.]

[Propositio I.] *)

Perfpicilliim ex datis du abus lentibus compofitum cuilibet

vifui accommodare.

A ^) punétis fingulis rei vifse ad totam oculi pupillam radios manare confiât 3) :
qui quidem pro parallelis habentur cum proccdunt a procul remotis. Itaque cum
refta oculi conftitutione gaudentibus ita fponte fua difponantur ut longinqua
diftinéle cernant, hoc eft, ut radios parallelos fibi incidentes colligant in unum
retinse punétum; fequitur ijs ita lentes collocari debere , ut radij a punélis fingulis
rei vifae vementes^), poftquam utramque lentem penetrarint denuo fiant paral-
leli. Quamobrem fi lens convexa ponatur AB [Fig. i et a] , axem habens BE,
et radij a rei vife punéto exeuntes ejus rcfraétione cogantur ad punétum E,
quod erit in foco lentis A, fi vifibile longinquum fuerit;fi vero propinquum
invenietur per propof. [XX. Lib. I] s) , fuerit autem lentis alterius DD foci

Dioptrique; toutefois on ne trouvera que dans la première de ces propositions quelques lignes
qui se rapportent à l'accommodation d'une lunette à la vue des myopes.

*) Dans la copie de Niquet et dans la leçon primitive ce mot était précédé par „Notum est".

3) Aux lieux cités : „advehi".

'^) „manantes" , 1. c

5) Voir la p. çç du Tome présent.

2^6 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE III. 1653.

OU la diftance du point de difperfion de cette lentille fuppofée concave [Fig. 2] ;
tout ceci étant pofé , il faut porter la dite diftance EG à partir du point E du
côté de la lentille A et placer la lentille concave au point G, ou bien il faut porter
la même diftance dans le fens oppofé k partir du point E et placer la lentille con-
vexe en fon extrémité G. En effet , de cette façon il arrivera dans l'un et l'autre
cas que les rayons, après avoir traverfé la lentille DD, atteignent l'oeil paral-
lèlement, ainfi que cela réfulte des prop. XVI et XVII du Livre Premier ^) ,
et ainfi une image diftinéle fera aperçue par celui dont la vue eft bonne.

Mais lorfqu'il s'agit d'accommoder cette même lunette à un myope qui com-
mence feulement à voir diftindtement un objet lorfque celui-ci fe trouve à la
diftance FH , il faut prendre FL '*) égale à GE , diftance du foyer ou du point de
difperfion à la lentille DD , car cette dernière diftance eft donnée. Il faut retran-
cher FL de FH lorfque la lentille DD eft concave, et ajouter ces deux longueurs
lorfqu'elle eft convexe. Cherchons, de plus , une longueur qui foit à LF, comme
LF eft à HL. Je dis que cette longueur eft égale à l'intervalle GF qui repréfente
dans l'un et l'autre cas la grandeur dont il faut diminuer , pour qu'elle convienne
au myope, la longueur de la lunette qui était auparavant GB ^').

En effet, plaçons la lentille DD en F et prenons FK égale à FL. Comme HL :
: LF == LF : FG ou = FK : KE, on aura auffi HF : FL (ou FK) = FE : EK.
Et, par permutation, HF : FE = FK : KE; donc auffi HE : EF = FE : EK.
Comme le point E eft celui où fe dirigent ou dont proviennent les rayons
qui rencontrent la lentille DD et le point K celui auquel correfpondent les rayons
réfraétés provenant des rayons parallèles venant du côté oppofé , il s'enfuit que
les rayons qui fe dirigent vers le point E ou qui en émanent font réfraftés de telle
manière par la lentille DD qu'après cette réfraétion ils femblent provenir du
point H '^). Par conféquent, la lunette fera dans l'état propre à donner des images
diftinctes pour l'oeil du myope.

Proposition II s).

Indiquer la conftruction d'un télé fc ope fervant à obferver
les éclipfes ou les taches du Soleil et faire voir quelle fera
la grandeur de fon image.

*") Voir les pp. 85 et 89.

") Plus tard Huygens ajouta en marge: „non definivifti punftum F." En effet, pour exé-
cuter la construftion indiquée on doit faire une figure à part.

3) Soit donc d la distance de la vue distincte, /la distance focale de l'oculaire; on trouve alors
dans le cas de l'oculaire convexe GF = /^ : (^^ -{- /) ^^ ^^"^ ^^^^^ ^^ l'oculaire concave
G¥=P:(d — f).

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER III. 1653.

H7

[Fig.2.]

diftantia GE, fi convexa fit [Fig. i]; fi vero cava
[Fig. 2] , diftantia punéli difperfus. His inquam pofitis,
accipienda eft diéla diftantia EG à piinélo E verfus len-
tem A ponendaque lens cava in punélo G ; vel eadeni
diftantia accipienda verfus alteram partem a punéto E ,
atqiie in termine G ponenda lens convexa. Sic enim
utroqiie cafu fiet ut penetrata lente DD radij paralleli
ad oculum perveniant, ut conftat ex prop. [XVI et
XVII. Lib. I] *) atque ita diftinéta continget vifio ei
qui bona eft oculi formatione.

Si vero myopi aptandum fit idem perfpicillum qui
vifibile ad diftantiam FH demum diftinétè cernere
pofllt, fumatur FL ") aequalis diftantiae GE, quafocus
fuus aut punétum difperfus abeft a lente DD, haec
enim data eft; Et auferatur quidem FL ab FH fi lens
DD cava fit , addatur vero fi convexa. Et ut HL ad LF
ita fit LF ad aliam. dico huic sequale fumendum eflTe
intervallum GF fecundum quod minuenda eftutroque
cafu longitudo perfpicilli , quae prius erat GB, ut myopi
conveniat 3).

Pofita enim lente DD in F et fumtâ FK aequali FL.
quia HL ad LF ut LF ad FG, five ut FK ad KE; erit
et HF ad FL five FK ut FE ad EK : Et permutando
HF ad FE ut FK ad KE, quare et HE ad EF ut FE ad EK. Cum itaque pundum
E fit ad quod vel a quo tendentes radij occurrunt lenti DD ; punétum vero K fit
illud, quo pertinent refraéliones parallelorum a parte oppofita venientium;
fcquitur radios ad E vel ab E venientes ita fleéti a lente DD, ut inde ferantur tan-
quam egrefiî a punélo H 4). Unde reéle fe habebit perfpicillum ad diftinétam
vifionem myopi prseftandam.

[Propositio II.] 5)

Conftitutionem telefcopij ad obfervandas Solis Eclipfes
maculafve demonftrare et quanta futura fit ejus imago.

4) D'après la Prop. XX du Livre Premier , p. 99 du Tome présent.

5) Plus tard Huygens annota en marge „hoc ubi de usu telesc" Dans le manuscrit la Pro-
position présente précédait celles du Livre Deuxième, qui débute à la p. 1 73 du Tome présent.

248 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE II. 1653.

[Fig.5.]

On a trouvé que pour obferver les éclipfes
du foleil et les taches qui circulent à fa furface,
il eft utile de fe fervir du télefcope, pourvu qu'on
faffe tomber l'image du soleil, obtenue par le paf-
fage de fes rayons à travers les deux lentilles,
fur une table blanche qui ne reçoit d'ailleurs
aucune lumière. Pour comprendre cette inven-
tion , il faut d'abord connaître la difpofition des
lentilles: c'eft-à-dire favoir comment elles doi-
vent être placées pour donner l'image la plus
brillante du foleil.

Soit donc AB la lentille convexe oppofée au
foleil et E fon foyer [Fig. 3 et 5]. Suppofons la
féconde lentille , concave ou convexe , fituée en
D. L'une et l'autre forme de télefcope peut fer-
vir ici,* mais la meilleure eft celle qui eft com-
pofée de deux lentilles convexes, parce qu'elle
donne des images droites, tandis que l'autre
les renverfe. Soit K le point de concours ou
de difperfion de la lentille D pour des rayons
parallèles venant du côté H, et fuppofons placée
en H une table blanche fervant à recevoir l'image
du foleil. Pour que cette image paraiiïe diftinéte
et que fon contour foit net, il eft néceflaire que
les rayons , provenant d'un point du foleil et qui
tombent donc parallèlement fur la lentille AB,
fe réunifient de nouveau en un feul point de la
table. Il faut donc que la diftance des lentilles
AB et D foit un peu plus grande que dans la con-
dition moyenne du télefcope, c'eft-à-dire dans
celle qui convient à une perfonne ayant la vue
bonne : la pofition de la lentille D doit être telle que les grandeurs EK, ED et EH
forment une proportion continue. En effet, de cette façon il arrivera que les
rayons qui fe dirigeaient vers E , foyer de la lentille AB , font réfraétés de telle
manière qu'ils fe dirigent vers le point H après cette réfraftion ^). Mais dans la
condition moyenne du télefcope le point K doit coïncider avec le point E, comme
nous l'avons démontré plus haut 3). Il en réfulte qu'ici la diftance des lentilles doit
être augmentée de l'intervalle EK, lequel doit néceflairement être d'autant plus
petit que la diftance EH eft plus grande; car la longueur DK qui eft donnée, vu
que c'eft la diftance focale ou la diftance du point de difperfion de la lentille D,
doit être divifée par le point E de manière qu'on ait HE : ED = ED : EK.

tractatus de refract. et telesc. liber III. 1653.

249

[Fig.4.]

Obfervandis folis eclipfibus nec non maculis
qu« in fuperficie ejuscircirniferunturtelefcopium
utilicer adhiberi inventum eft, fi nimirum folis
imago per ucramque lentem trajedta tabula alba
excipiatur, in quam nullum aliunde lumen ad ve-
niat. Cujus invend ratio ut intelligatur primum
difpofitio lentium cognolcenda eft, quomodo
nempe aptatae piéluram folis quam nitidiilimam
efficiant.

Sit igiturlens convexa AB foli obverfa [Fig. 3
et 5], cujus focus E punftum. Altéra vero
in D concava vel convexa, nam utraque tele-
fcopij forma huic rei idonea eft , et magis quidem
quae duorum eft convexorum, quoniam pidluras
ereftas exhiber, cum altéra invertat. Lentisautem
D fit K punétum concurfus vel difperfus radio-
rum parallelorum à parte quaeft^^ H venientium.
fitque in H conftituta tabula alba ad excipiendam
folis imaginem. Quae igitur ut diftindta ac termi-
nata appareat, oportet radios qui ab uno folis
punélo procedunt, hoc eft, quiparalleli inter fe
deferuntur in lentem AB, in uno rurfus tabulae
punélo colligi. Quapropter paulo major débet
effe diftantia lentium AB et D quam in confti-
tutione telefcopij média, five quae bene videnti
fuerit accommodata; ac talis requiritur pofitio
lentis D, ut in continua fint proportione EK,
ED, EH. Sic enim fiet ut radij tendentes ad E,
foçum lentis AB, deducantur ad punftum H ').
at in telefcopij conftitutione média congruere
débet punftum K focoE,ut fuperius eft oftenfum 3). adeo ut hic diftantia lentium
augenda fit intervallo EK , quod quidem tanto minus efte neceffe eft quanto
diftantia EH fuerit major; nam longitudo DK qus data eft, quippe diftantia foci
vel punéti difperfus lentis D, ea fie dividitur in E ut ficut HE ad ED ita fit haec
ad EK.

*) Les mots en italiques manquent dans la leçon primitive et dans la copie de Niquet.
^) Voir la Prop. XX, Lib. I , p. 99 du Tome présent.
3) Voir les pp. 245 et 247 du Tome présent.

3a

250 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE III. 1653.

[Fig.5.]

* Voir la Prop
XXIII. Liv. I. 0

Nous apprendrons à connaître le diamètre de
l'image du foleil fur la table H de la manière
fuivante. Tirons les droites BP et BQ [Fig. 4 et 6]
du centre de la lentille AB à la lentille D, l'angle
de ces deux droites étant égal à celui fous lequel
on voit en regardant fans télefcope le diamètre du
foleil. Soit BG une troifième proportionnelle à
BK et à BD. Tirons les droites GP et GQ et pro-
longeons-les jufqu' à ce qu'elles rencontrent la
table placée en H aux points L et M. Je dis que
LM fera le diamètre du foleil fur la table LHM.
En effet, prolongeons PB et QB du côté de O
et de N. Comme les rayons ifTus d'un point fitué
à droite du difque folaire tombent fur toute la
furface de la lentille AB et que tous ces rayons
font eftimés parallèles entre eux et à la droite
OB, l'un d'eux fe mouvra fuivant la droite OB,
et ce même rayon, après avoir traverfé la lentille
AB , fuivra enfuite la route BP * , parce que B eft
le centre de la lentille , dont nous négligeons
l'épaiffeur. De la même manière un des rayons
parallèles ifTus du bord gauche du foleil fe mouvra
fuivant la droite NBQ, Plus tard les deux rayons
nommés feront réfraétés par la lentille D de
manière à fe mouvoir fuivant les droites PL et
QM, prolongements de GP et de GQ, d'après
la propofition XX ^) ou. . . 3) du Premier Livre.
En effet, BK, BD et BG forment une proportion
continue. Il ell donc évident que l'image d'un
point fitué à droite fur le contour du foleil tombe
en L, et celui d'un point fitué à gauche en M. Car
en tant qu'il fe forme une image diftinéle du foleil entier, il ell néceffaire que là
où un des rayons ilTus d'un point quelconque du foleil efl: arrêté par la table, les
autres rayons partis du même point s'y réunifient également. Par conféquent le
diamètre de l'image fera LM , comme nous l'avons dit.

Or il faut favoir que plus l'image LM du foleil fera grande , lorfque les len-
tilles AB et D refilent les mêmes, moins elle fera lumineufe. Si tous les rayons
partis du foleil et parvenant à la lentille AB occupent de nouveau fur la table
LHM un efpace auffi large que la lentille AB, c'eft-à-dire s'ils forment une
image du foleil égale à la partie découverte de cette lentille , cette image fera
aufli lumineufe que fi le foleil éclairait la table, aucune lentille n'étant interpofée;

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER III. 1653.

251

[Fig. 3.]

CFig.4.]

Quanta porro fiitura fit diameter piélurae folis
in tabula H fie definiemus: ducantur ex centro
lentis AB [Fig. 4 et 6] ad lentem D reétae
BP, BQ comprehendentes angulum aequalem ei
quo folis diameter comprehenditur abfque tele-

iij^i ( w fcopio fpeftantibus; Et fit duabus BK, BD

\\~^ AiÉs:p=>* tertia proportiondis BG,et jungantur GP, GQ,

et producantur ufque dum tabulae ad H collo-
catge occurrant in punétis L , M. Dico LM fore
diametrum folis in tabula LHM. Producantur
enim PB, QB verfus O et N. Itaque cum apunéto
circumferentiœ folis dextro radij ferantur ad
fuperficiem totam lentis AB, qui omnes inter
fe et reélae OB parallcii cenfentur, incedetunus
iftorum radiorum fecundum lineam OB, idem-
que, penetrata lente AB, perget fecundum lineam
BP *, quoniam B centrum eft lentis cujus crafll-
tudinem pro nulla ducimus. Eadem ratione
unus radiorum parallelorum è finiflro folis mar-
gine venientium incedet fecundum reétam NBQ.
Porro autem uterque a lente D infledtetur ut
pergant fecundum reftas PL , QM , in quas pro-
duaœ funt GP, GQ per [prop. XX] 0 vel. . . 3)
hujus [Libri] '*) quia fcilicet in continua pro-
portione funt BK , BD , BG. Itaque manifefl:um
ell pundtum in dextro folis latere pingi in L,
punélum vero oppofitum in finiftro in M. Quatenus
enim diftinéla totius folis piétura exifliit, necefl^e
cfl: ubi unus radiorum a quolibet ejus punéto
venientium in tabula fiftitur, ibi quoque caeteros
colligi ab eodem punélo egreflx)s. Ergo diameter piélurae uti diximus erit LM.
Sciendum vero, quo major erit imago folis LM, lentibus AB et Dijfdem
manentibus, eo minus lucidam fore. Etenim fi radij omnes a foie in lentem AB
de fcendentes, occupent rurfus in tabula LHM fpatium seque latum atque efl: lens
AB, hoc efl:, fi folem depingant lenti AB quatenus adaperta efl: œqualem , erit
haec imago îeque clara ac fi nullis interpofitis lentibus fol tabulam illuftraret; non

') Voir la p. 119 du Tome présent.
'*) Voir la p. ç^ du Tome présent.

5) Nous ne savons pas quelle autre proposition Huygens aurait pu citer encore.
^) C'est-à-dire du Livre I, auquel la Proposition appartenait primitivement; voir la note 5 de
de la p. 247,

* vid. Propos.
[XXIII, Lib.I]')

1^1 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE III. 1653.

bien entendu , fi nous ne tenons pas compte des rayons réfléchis par les len-
tilles ou abforbés par elles à caufe du manque de tranfparence de la matière
dont elles font formées, la réflexion et l'abforption pouvant parfois faire perdre
la moitié de tous les rayons ou davantage. Mais fi l'image efl: plus grande,
comme cela efl: nécefl"aire dans les obfervations de ce genre, elle fera aufli
d'autant plus obfcure. L'expérience fera voir quelle eft l'amplitude la plus
propre aux obfervations: pour la trouver, il faut efl^ayer toutes fortes de diftances
de la table au télefcope. Il faut obferver à ce fujet que , lorfque cette difl:ance
augmente , on doit diminuer un peu en môme temps celle qui fépare les lentilles
AB et D pour obtenir une image nette : la raifon en efl: facile à découvrir d'après
ce qui précède.

Proposition III *).

Faire voir que les télé fc opes précédents peuvent être ren-
dus meilleurs lorfqu'on remplace les deux lentilles convexes
par trois lentilles; ce qui eft vrai auffi pour ceux dont nous
nous fervons la nuit pour obferver les étoiles.

Quoique les lentilles ne doivent pas être multipliées fans neceflité, parce que
beaucoup de lumière eft perdue à caufe de l'épaifl^eur du verre et par les réflexions
répétées, l'expérience a cependant montré qu'ici il y a avantage à le faire.
Car fi nous ajoutons à la grande lentille deux oculaires ayant entre eux un cer-
tain rapport et une diftance déterminée, non feulement le champ du télefcope eft
admirablement élargi, de forte qu'on embraflfe d'un feul regard beaucoup plus
que lorfque l'inftrument eft conftruit avec une feule lentille oculaire, mais auflî
les images paraifl^ent moins déformées. Enfin toute impureté due aux irrégularités
des oculaires eft fouftraite au regard d'une façon fi complète que , quoiqu' il y
ait deux lentilles, on ne l'aperçoit aucunement tandis que dans le cas d'une feule
lentille elle nuit beaucoup à la netteté des images *}. Nous décrivons ici finon
la meilleure combinaifon des lentilles parmi toutes celles qui font poflibles, ce
qui ferait d'ailleurs difficile et peut-être impofllble , du moins celle que l'expé-
rience nous a montré être utile.

Suppofons donc que AB [Fig. 7] foit la grande lentille ou l'objectif, et LG fa
diftance focale qui peut être de deux ou de trois pieds feulement, ou bien de 6, de
10 ou de 20 pieds, car nous pouvons employer les mêmes oculaires en combi-
naifon avec chacun de ces objeélifs. Soient EF et CD les oculaires, et
fuppofons la diftance focale KT du dernier quatre fois plus grande , ou un peu

^) La Proposition présente, où Huygens décrit l'oculaire qui porte son nom, fut presqu' entière-
ment refondue à une époque inconnue, mais après 1666 et probablement beaucoup plus
récente. Pour cette raison, nous croyons utile de donner ici, par exception , le texte tel qu'il
était en 1666, lorsque la copie de Niquet fut prise; sauf à faire connaître dans les notes

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER III. 1653. 253

habita videlicet ratione eorum quos lentes refleélunt vel propter obfcuritatem
materiae non tranfmittunc, quo forte dimidia pars omnium vel amplius interver-
titiir. Qiiod fi vero major imago fiierit, ut in hujufmodi obfervationibus exigitur,
jam tanto quoque erit obfcurior. Expericntia vero ollendet quaenam amplitude ad
obfervationem utilifiimè adhibeatur, tentata alia atque alla tabulas a telefcopio
diftantia. Ubi illud obfervandum ut auéla hac diftantia fimul tantillum minuatur
ea quae efl: inter lentes AB et D, ut diftinéta piftura efficiatur: cujus ratio ex ante
diétis intelligitur.

Propos [iTio III] ').

Quomodo pro duobus convexis tria adhibendo meliora
fiant praecedentia telefcopia oftendere, ut et iUa quibus
noctu ad fidera fpectanda utimur.

Quanquam lentes non fruftra fint mutiplicandae , quod et vitri craflitudine et
iteratis reflexionibus non parum lucis depereat; hic tamen utiliter id fieri expe-
rientia docuit. Adfumtis enim prseter magnam lentem ocularibus duobus certam
inter fe rationem diftantiamque habentibus, cum mirum in modum dilatatur tele-
fcopij confpeétus ut plura longe unico intuitu comprehendat quam fi fimplici
lente oculari infl:ruatur; tum diftortse minus rerum fpecies apparent; acdenique
naevi impuritas omnis lentium ocularium ita vifui fubducatur, ut licet binae fint
nulla prorfus animadvertatur cum alioqui ex una lente non parum adferat incom-
modi ''}. Dabimus autem in his, etfi non omnium optimam lentium compofitionem,
quam invefliigare longum efTet ac forfan impoffibile, at ejufmodi quam nobis
experientia utilem efle ofl:endit.

Efto igitur [Fig. ;7] lens magna five exterior AB, quae foci diftantiam
habeatLG, five ea fit duorum aut trium pedum tantum, aut etiam 6 vel lo
vel 20, pofTumus enim ad omnes has ijfdem ocularibus uti, hae vero fint EF,
CD, quarum poflierioris foci diftantia KT quadrupla fit, vel paulo minus.

quelques variantes d'après une leçon encore plus primitive, qu'on retrouve, biffée, dans le
manuscrit écrit par Huygens lui-môme. Quant à la leçon définitive on la trouvera plus loin
dans la Prop. IV de la troisième Partie de cette „Dioptrique".

Ajoutons, qu'il y a lieu de supposer que même la première leçon doit dater de 1662 ou de
plus tard, puisqu'en juin 1662 (voir la p. 152 du T. IV) Huygens parle de l'emploi de deux
oculaires au lieu d'un seul, pour augmenter le champ de vision, comme d'une ^manière
nouvelle". En effet, dans la lunette de 23 pieds, dont il se servit en 1656 dans les obser-
vations de Saturne , les deux lentilles oculaires étaient contigues; comme cela résulte indubi-
tablement de ce qu'on lit aux pp. 358 et 362 du T. II et à la p. 58 du T. III.
*)La leçon primitive fait suivre encore: „runt enim in ipfa vitri materia femper
bullse quaedam minutiifimaî quibus tranfitus radiorum impeditur, quaeveluti
punéta nigra rébus ipfis quas telefcopio afpicimus in[ha5re]re videntur. Hac
autem quam defcribimus lentium compofitione omnia evanefcunt".

254 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE III. 1653.

[Fig. 8.]

/»

>fr

moins, que la diftance focale SH de la lentille EF ^),
laquelle ne dépafîe pas deux pouces. La largeur CD foitde
3f pouces et la largeur EF la moitié '^). Suppofons la diftance
SK des deux lentilles égale au double environ de la diftance
SH. Elles doivent être combinées avec la lentille exté-
rieure AB de telle manière que le foyer G de cette der-
nière tombe entre la lentille EF et fon foyer H, et que
GT, GK et GH forment une proportion. En effet, on
obtiendra ainfi que les rayons ifTus d'un point lointain , tel
que Q, qui, après avoir traverfé la lentille AB, viendraient
fe diriger vers fon foyer G, fe réuniiïent maintenant en
H 3), s'y croifent et arrivent à l'oeil M parallèlement après
avoir pafle par la lentille EF et y avoir été réfraélés. La
meilleure place qu'on puifTe donner à l'oeil eft une place
telle que les longueurs VH , VS et VM forment une pro-
portion, où V repréfente le point dans lequel la lentille CD
réunit les rayons ifTus du centre L de la lentille AB s). Par
cet artifice l'oculaire EF fera vu rempli d'images, quelle
que petite que foit l'ouverture de la lentille AB; attendu
que tous les rayons qui pafîent par L fe réuniffent au point
M après avoir traverfé les lentilles CD et EF. Et le rap-
port dans lequel feront agrandis les objets lointains fera
égal au produit des rapports LG : GK et KH : HS , ce qui
fe démontre de la façon fuivante. Suppofons que les rayons
QA et QB , allant du point lointain Q à l'extrémité de la
lentille AB, foient féparés par la diftance XY, lorfqu'ils
font arrivés, après les réfraftions par les trois lentilles,
près de l'endroit M où eft fitué l'oeil. Par conféquent,
fi nous faifons changer de place l'oeil et l'objet, tranfpor-
tant l'oeil en Q et l'objet en M, nous verrons la ligne XY
occuper toute la largeur de la lentille AB. Elle paraîtra

') La leçon primitive donnait au lieu du passage qui précède: „Sit
igitur lens magna sive exterior AB , oculares CD et EF ,
quarum CD habeat foci distantiam KT quadruplam
circiter vel quintuplam foci distantiae HS, quae est lentis
EF. Ut enim exaéte quadrupla sit nihil refert, sed
banc proportionem experientia utile esse demonstravit.
Distantia lentium KS sit dupla HS." Ajoutons qu'il y a
encore une leçon intermédiaire qui débutait comme dans le texte
mais qui, après les mots „h£e vero sintEF, CD", faisait suivre:

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER III. I 653.

155

foci diftantiae lentis EF quae fie SH *). Et haec quideni duos
polliccs non exccdat. latitudo CD fit 2i poll. EF duplo minor ').
Incervallum SK inter utramque lentem fit circiter duplum SH.
Ita vero cum lente exteriori AB componantur ut hujus focus
G cadat inter lentem EF et focum ejus H,atquefint propor-
tionales GT, GK, GH. Sic enim fiet ut radij a punélo longinquo,
puto Q, advenientes, qui trajeéta lente AB tenderent ad focum
ejus G , nunc concurrant ad M s) , atque ibi faéla interfeftione
pergentes ad lentem EF, ejus refraétione paralleli ferantur
ad oculum M. Hic autem ita optime coUocatur *), ut fi punc-
tum V fit illud que lens CD cogit radios ab L punéto medio
lentis AB venientes, fiant proportionales VH, VS, VM s).
quandoquidem '^) hoc padto, quantulocunque^) foraminepateat
lens AB, tamen ocularis EF tota imaginibus plena fpeftabitur,
quoniam radij omnes per L tranfeuntes colliguntur ad punéhim
M,poftquam lentes CD, EF penetrarint. Proportio autem incre-
menti rerum procul difiitarum erit ea quae componitur ex rationi-
bus LG ad GK et KH ad HS. quod fie oftenditur. Putemus radios
QA , QB a punélo remoto Q ad extremam utrimque lentem AB
manantes, poil trium lentium refraétiones, comprehendere lati-
tudincm XY quo loco ponitur oculus M. Quod fi itaque faéla
permutatione tranfferatur oculus in Q et res vifa in M, videbitur

„quarum posterioris foci distantiae lentis KT tripla fit, vel
paulo amplius".

^) Les phrases précédentes à commencer par „Et haec quidem" furent inter-
calées à une époque inconnue avant 1666. Ajoutons qu'on trouve
en marge du texte une figure que nous reproduisons, à côté de la
fig. 7, comme fig. 8. Comme on le voit, les dimensions des diverses
parties y difFérent.notablement de celles de la fig. 7, à laquelle se rapporte
évidemment la description donnée dans le texte. Puisque cette figure 7
fut attachée par Huygens avec de la cire à la feuille en question du
manuscrit, couvrant la fig. 8 , il est clair que celle-ci est la plus primitive
et qu'elle fut même dessinée avant que le texte fut écrit.

3) Comparez la Prop. XX , p. 99 du Tome présent. H et G sont des points
correspondants par rapport à la lentille CD.

^) Dans la leçon primitive on trouve ,,constituendus".

5) De cette manière l'oeil est placé au point qui correspond à V par rap-
port à la lentille EF; c'est-à-dire au point qui correspond au centre
L de l'objectif après les deux réfractions par les lentilles oculaires CD
et EF. Consultez encore la note i , p. 196 du Tome présent et le texte
auquel elle se rapporte.

*) „quoniam", d'après la leçon primitive.

'') „licet exiguo tantum", d'après la leçon primitive.

N H

tl^6 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE III. 1653.

^ donc agrandie dans le rapport AB : XY, puifque, en effet, le point Q efl: fitiié à

grande diftance tant par rapport à la lentille AB que par rapport à la ligne XY et
que, par conféquent, les angles AQB et XQY ont entre eux le même rapport que
les largeurs AB et XY '). Mais le rapport AB : XY ou AB : Zà efl: compofé des
rapports AB : AO et AO : ZA, dont le premier e(l égal à LG : GK et le fécond à KH :
: HS. Il apparaît ainfi que, lorfque l'oeil efl: placé en Q et l'objet en M, le rapport
qui exprime l'agrandifTement efl: compofé des rapports LG:GK et KH:HS. C'efl:
pourquoi lorfque l'oeil efl: placé en M et l'objet en Q, où fe trouve PR, Tagran-
* prop. VI, dilTement fera indiqué par ce même rapport *. C'efl: ce qu'il fallait démontrer.

Liv.li •). Qj.^ (] „Qyg fuppofons la difl:ance focale KT exadlement quatre fois plus grande

que la diftance focale SH, et l'intervalle KS égal au double de SH, le rapport qui
exprime l'agrandifl^ement fera Amplement égal à LG : GK. Et l'intervalle HG
devra être le tiers de HS ou de HK 3). Or la difl:ance entre l'oeil et la lentille EF
dépend dans une certaine mefure de la grandeur de la difl:ance focale LG de l'ob-
jeélif. Mais elle fera toujours plus petite que SH, attendu que VH, VS et VM for-
ment une proportion, comme nous l'avons dit plus haut. Il réfulte de cette petite flTe
de la difl:ance de l'oeil à la lentille que les taches ou bulles d'air très petites dont la
matière du verre n'efl: jamais exempte ne peuvent pas être aperçues dans la lentille
EF. Mais on ne les voit pas non plus dans la lentille CD, attendu que l'oeil aper-
çoit confufément les objets placés là et dilHnélement ceux qui fe trouvent
auprès de H *).

Nous avons tracé de plus dans la figure ci-jointe [Fig. 7], pour que la nature et
l'effet de ce télefcope puilfent être mieux compris, les rayons qui proviennent de
quelques autres points de l'objet non fitués fur l'axe, tels que P et R. Car de même
que les rayons iffus du point Q, après avoir traverfé les lentilles A B et CD, fe
réunifl^ent au point H; de même auffi les rayons partis du point P font afl^emblés
en O , et ceux qui viennent de R , au point N. Mais enfuite , après avoir atteint la
lentille EF, ils fe dirigent tous parallèlement vers l'oeil M; c'eft-à-dire ces rayons
ne font pas tous parallèles entre eux, mais ceux qui viennent du point O font paral-
lèles à la droite FM et ceux qui viennent de N parallèles à la droite EM, de même
que ceux qui proviennent du point H deviennent parallèles à l'axe des lentilles. Il
s'enfuit que l'oeil aperçoit clairement et féparément les points P, Q et R. Et fi nous

'') De ce raisonnement il résulte que dans chaque lunette où un anneau oculaire existe, le gros-
sissement sera égal au rapport du diamètre de l'objectif à celui de cet anneau , quel que soit
l'arrangement des lentilles. C'est, comme on sait, le principe sur lequel Ramsden a fondé
l'emploi de son dynamétre.

^) Voir la p. 199 du Tome présent.

3) En effet , puisque H et G sont des points correspondants par rapport à la lentille CD dont
KT est la distance focale, on doit avoir, d'après la Prop. XX, Liv. I, p. 99, HT' : HK =
= HK : HG, où T' représente l'autre foyer de la lentille CD et HT' = KT— HK = 3HK;
donc HK:HG= 3:1.

^^ À une autre occasion, vers 1 661 , à la p. 23 du Manuscrit B, Huygens a formulé la condition

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELÉSC. LIBER III. 1653.

257

linea XYocciipare latitudinem omnem lentis AB: ideoque auéla
apparebit fecundum rationem ipfius AB ad XY; quia videlicet
punétum Q in longinqua dillantia eft tam refpcétu lentis AB
quam lineae XY , ac proinde angiili AQB , XQY eandem inter fe
rationem fervant quam latitudines AB, XY '). Ratio autem AB ad
X Y five ad Za, componitur ex rationibus AB ad A<ï> et A<I> ad ZA;
quarum AB ad AO eadem quae LG ad GK et A<I> ad ZA eadem
quse KH ad HS. Itaque apparet, pofito oculo in Q,vifibili vero
in M, rationem incrementi efîe eam quse ex rationibus LG ad
GK et KH ad HS componitur. Quamobrem et oculo ad M
collocato vifibili vero ad Q , uti efl: PR, eadem quoque erit incre-
menti ratio *. Quod erat oftendendum.

Quod fi ponatur foci dillantia KT exaétè quadrupla foci
dirtantise SH, et intervallum KS duplum SH; erit ratio incre-
menti fimpliciter ea quae LG ad GK, ac debebit intervallum HG
efle pars tertia HS vel HK 3). Diftantia autem inter oculum ac
lentem EF pendet aliquatenus ab amplitudine foci diftantiae lentis
exterioris , LG. Sed minor femper erit quam SH, quoniam pro-
portionales funt VH, VS, VM ut antea diximus. Atque ex hac
oculi propinquitate fit primum ut ngevi, feu bullulae minutiflimae,
quibus vitri materia nunquam caret, in lente EF percipi non
pofllnt. Sed neque in lente CD ; quoniam oculus confufe cernit
quse hic objiciuntur, difl:in6te vero quae ad H "*).

Caeterum expreflimus in fchemate hoc, quo penitiusperfpici
queat telefcopij hujus natura atque efFeétus, etiam radios illos qui
ab alijs pundis rei vifae, praeter id quod in axe lentium pofitum
efl:, procedunt: uti h P et R. Nam ficut qui a punélo Q exeunt,
penetratislentibus ABetCD, conveniunt ad punélum H; ita, qui
à P , colliguntur ad O , et , qui ab R , ad N. Deinde vero ad len-
tem EF delati omnes paralleli ad oculum M pergunt; non qui-
dem paralleli inter fe omnes , fed qui ab O , paralleli reétse FM ;
qui ab N, reftae EM, quemadmodum qui ab H lentium axi
paralleli efficiuntur. Atque ita fingula pundla P, Q, R diftinfta

• [Prop.VI,
Lib. IL] *)

Ni H

de l'invisibilité des défauts des lentilles comme il suit: „efficiendum
ne ullius coni radiorum vertex in vitrum aliquod incedat ut
hic ," (il s'agit du dessein d'un système de lentilles où l'un des som-
mets des cônes, formés par les rayons qui entrent dans l'objectif paral-
lèles à l'axe , tombe dans l'intérieur d'une lentille) „quia omnes naevi
ejus vitri apparebunt".

33

258 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE III. 1653.

[Fig. 9.]

* Prop. XX.
Liv. I. *)

A

-i.

Zf'

X

approchons de la lentille EF le miroir dont nous parlerons plus
,< loin ^\dQ telle manière que ce miroir touche à-peu-près la len-
tille EF, l'oeil verra les objets debout. Ce redrelFement eft indif-
penfable dans l'emploi pendant le jour; mais lorfqu'on veut con-
templer les étoiles pendant la nuit il vaut mieux omettre le miroir.

Proposition IV '^).

Voir diftinctement et debout les objets loin-
tains à l'aide de trois lentilles convexes, le grof-
fiffement étant donné.

Prenons unegrande lentille AB, dont ACefl: la diftance focale;
et enfuite deux plus petites DT et QR, dont les diftances foca-
les EL et H F font égales entre elles et telles que AC ell: à l'une
d'elles dans un rapport égal à celui qui exprime l'agrandifTe-
ment. Plaçons ces deux lentilles de telle manière que la diftance
CE qui fépare l'une d'elles du foyer de la lentille A, foit égale
à 2 EL , et l'intervalle EH qui les fépare l'une de l'autre à 3 EL.
Enfuite plaçons l'oeil au point K , la didance HK étant prife
égale au double 3) de la longueur nommée, EL ou FH. Je dis
que cet arrangement fatisfait au problème.

En effet, fuppofons l'objet fitué à grande diftance et foit S le
point où l'axe commun des lentilles palTe par cet objet. Les
rayons, tels que SB et SY, qui viennent du point S à la lentille
AB, doivent donc être eftimés parallèles et fe réuniront donc
au foyer C où ils fe croiferont. Or, L ell le foyer de la lentille
DE, CL eft égale à la moitié de CE et EF à CE elle-même,
attendu que EH eft égale à trois fois FH ou LC. Les longueurs
CL, CE et CF formeront donc une proportion continue. Il
en réfulte que les dits rayons réfraétés par la lentille DT aux
points M et Z fe réuniront de nouveau au point F * et qu'
enfuite , rencontrant la lentille QR en I et en G, ils deviendront
parallèles par la réfraélion due à cette lentille, vu que F eft le
foyer de la lentille HG. Ils arrivent donc à la pupille de l'oeil,
placée en K, félon les droites parallèles IP et GN, et de cette
façon une vifion dirtinéle fera obtenue. Et nous avons placé l'oeil
en ce point pour qu'il puiffe embraffer d'un feul regard un plus
grand nombre d'objets : il en fera ainfi parce que , fi nous confi-
dérons des rayons tels que AT et AD allant du centre de la len-
tille AB aux bords de la lentille E , ces rayons fe réuniront au-

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER III. 1653. 259

vifione ociilus percipit. ac admoto quidem fpcculo de quo inferius dicetur *) fed
ita ut pêne lentem EF contingat, ereéla cernet vifibilia. Quod intcrdiu plane
necefle eft; noétu vero ad fidera fatiiis eft omitti.

[Propositio IV.] *)

Tribus convexis lentibus diftincta et erecta fpectare vifi-
bilia longinqiia et majora fecundumdatam rationem.

Accipiatur lens major AB [Fig. 9] , cujus foci diftantia fit AC. Deinde vero
aliae duae minores DT et QR, quarum foci diftantiae EL, HF fint inter fe squa-
les et ad quarum utramvis habcat AC rationem eam fecundum quam facienda eft
multiplicatio. Collocentur autem hoc padto ut diftantia CE, qua altéra earum
abeft à foco lentis A, fit dupla EL: Et EH intervallum inter utramque ejuf-
dem EL triplum. Denique ad K punélum conftituatur oculus,fumtâ HK diftantia
didtse EL vel FH dupla 3). Quibus fie comparatis propofitum dico abfolvi.

Sit enim vifibile longinquum cui axis lentium communis occurrat in pundo S.
Radij itaque ex pun6lo S ad lentem AB delati ut SB, SY habendi funt pro paral-
lelis, ideoquc convenient in foco C, ibique erit eorum interfeélio. Eft autem L
focus lentis DE , et CL fubdupla CE , et EF aequalis EC , quoniam EH eft tripla
FH feu LC; ergo erunt in continua proportione CL, CE, CF. Quare radij
ijdem refraéti in lente DT ad M et Z denuo convenient in punéto F *, atque inde lj^ [Prop.xx,
occurrentes lenti QR in I et G, refraélione ejusefficientur paralleli,quia F eft
focus lentis HG. Paralleli itaque fecundum reétas IP, GN perveniunt ad pupil-
lam oculi qua efl in K s), eoque vifio fiet diftinéla. Pofuimus autem oculum hoc
loco utunico intuitu plura fimulconlpiceret: cujus ratio eft, quod fi à centro lentis
AB intelligantur radij pervenire ad extrcmas margines lentis E, veluti AT, AD,
hi cum axe convenient poft lentem in punélo O, quod erit in foco lentis E,

^) Voir la Prop. V , p. 265 du Tome présent.

") Beaucoup plus tard Huygens ajouta en marge: „Sufiiciet dicere hoc fieri posse" [Com-
parez le dernier alinéa de la Prop. III de la troisième Partie de cette „Dioptrique"] „sed
melius adhibitis 4 lentibus" [Voir la Prop. V de cette troisième Partie] „quia niajo-
rem campum aperiunt. Varias conjugationes lentium quaesitas fuisse ante has.
deinde invento diaphragmate nostro quaternas optimèjunctas fuisse nescio à
quo. an Campano?"

3) La copie de Niquet et la leçon primitive ajoutaient: „vel paulo amplius". Comparez les
notes I et 2 des p. 260 et 261.

♦) Voir la p. 99 du Tome présent.

5) „in K constituti" (1. c).

26o TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE III. 1653.

[Fig.9-]
^ 5

}:k

-delà de la lentille au point O , foyer de la lentille E, vu qu'ils
< font parallèles à l'axe '). Par conféquent OF fera égale à FH et
HK au double de FH ^) , comme nous avons dit qu'il faut la
prendre , et le point K fera celui où fe réuniront les rayons DO
et TO après avoir traverfé la lentille QR et la lentille H dont
la largeur eft égale au double de celle de la lentille E paraîtra
toute entière illuminée d'images : elle nous fera voir tout ce qui
elt compris dans l'angle DAT ou VAX.

Enfuite on voit aifément, en conlldérant les changements de
direélion éprouvés par les rayons, que l'objet placé en S donne
une image droite. En effet, fi nous confidérons l'oeil, placé en
K, comme un feul point, les droites brifées qui représentent les
h rayons font KQTAV et KRDAX. Il apparaît par là que le point
V de l'objet eil aperçu en Q , et le point X en R : chaque point
eft donc vu du côté de l'axe où il fe trouve réellement.

Nous démontrerons enfin de la manière fuivante que le grof-
fifl^ement doit être égal à AC : CL, ou LE, ouFH. Suppofons '^)
l'objet placé en K fur lequel nous notons les points N et P; et
que l'oeil fe trouve au point S. Comme le rayon ifili du point
N parviendra ainfi à l'oeil S fuivant la droite BS et celui qui
vient de P fuivant la droite YS et que l'oeil eft placé à grande
diftance, il s'enfuit que l'oeil apercevra l'objet PN grofli dans le
rapport YB : PN, attendu que l'angle YSB fera à l'angle formé
par les droites SP et SN comme YBeftàPN. Or,onaYB:
: MZ = AC : CE et MZ : IG (ou PN) = EF (ou EC) : FH.
On aura donc, en combinant ces deux proportions, YB : PN =:
= AC:FH, ou EL. Il en réfulte que, l'oeil étant placé en
S , l'objet PN paraîtra grofli dans le rapport AC : EL ; c'eft
pourquoi auflî le groflifl^ement de l'objet, lorfqu'il eft placé à
grande diftance au point S , et que l'oeil eft tranfféré en PN ou
au point K , fera le même Q- H eft évident aufli que le grofllfljs-
ment ne change pas lorfque la diftance de l'oeil à la lentille QR
eft augmentée ou diminuée, attendu que YBetPN confervent
leurs valeurs. C'eft ce qu'il fallait démontrer.

Ceci ^) peut être démontré autrement, fans qu'il foit nécefl^aire
de fe fervir du théorème fur la tranfpofition de l'oeil et de

*) Au lieu des mots en italiques on lit aux lieux cités :„tantillo plus abest
a lente E quam sit ejus foci distantia; quia videlicet in con-
tinua erunt proportione AL, AE,AO." Remarquons , que la

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER III. 1653. 26 1

quia axi parallela funt '). Itaque OF aqualts erit FH ^ et HK dupla ad
FH'^^ ficut fumendam diximus,piin<5lumque K erit illud quo conveniem radij
DO, TO, poftquam tranfierint lentem QR. ac 3) lens coca H duplam habens lad-
tiidinem lentis E, imaginibus liicida apparebit, omniaque fpe6tanda/r<zr^tfW/*)
quae angulo DAT five VAX comprehenduntur.

Porro ereflum fpeétari vifibile ad S pofitum facile apparet ex ipfis radiorum
flexionibiis; fi enim oculus ad K punfti inftar confideretur, flexiones illae funt
KQTAV , KRDAX , ex quibus manifeftum fit punélum vifibile V fpeâari in Q ,
et X in R, fingiila nimirum ad eandem qiiam obtinent axis partem.

Denique quod ratio incrementi continget ea quae eft AC ad CL, vel LE vel
FH^^ , ofliendetur hoc modo. Putemus *^) vifibile collocari in K , inque eo notari
punéta N et P : oculus autem intelligatur in punéto S. Quia itaque radius ab N
pundto fluens perveniet ad oculum S per reftam BS, et qui à punflo P, per reétam
YS ; oculus autem in longinqua pofitus eft diftantia; fequitur ipfi vifibile PN auc-
tum videri fecundum rationem YB ad PN, quia angulus YSB ad angulum quem
facerent SP , SN, eandem rationem habebit quam YB ad PN. Quia autem YB ad
MZ ut AC ad CE ; MZ vero ad IG five PN ficut EF , five ipfa EC , ad FH. Erit
igitur ex aequo YB ad PN ut AC ad FH five EL. Itaque patet oculo in S confti-
tuto vifibile PN auétum videri fecundum rationem AC ad EL. acproindeet
vifibile longinquum in S pofitum , oculo in PN five ad K tranflato fecundum ean-
dem rationem auélum fpeélabitur 7). Quam etiam nihil mutari liquet etfi oculus a
lente QR plus minufve removeatur , quod ejedem maneant YB et PN. Atque haec
quidem erant demonllranda.

Hoc ^) aliter démon fîrari poteft, ut non opus fît theoremate de tranf po/itione

leçon du texte est embrouillée. En effet, si radjectif„parallelse" se rapporte aux lignes AT
et AD, il est évident que les lignes indiquées ne sont parallèles que par approximation.
Ainsi, ici et dans le passage qui suit, l'ancienne leçon est préférable à la nouvelle, qui doit
provenir de quelque inadvertance.

') „paulo tantum minor erit quam FH ; ideoque si fiât ut OF ad OH ita haec ad
OK , fiet HK paulo major quam dupla FH" (1. c).

0 „Unde etiamsi exiguo tantum foramine pateret lens AB, nihilo minus" (!• c)

^) „praeberet" (1. c).

0„siveadHF"(l.c.).

<^) Huygens ajouta en marge : „hoc aliter demonstrari potest , ut non opus sit theore-
mate de transpositione oculi et objecti." Comparez l'alinéa en italique qui va suivre.

7) Voir la Prop. VI du Liv. II , p. 199 du Tome présent.

*) L'alinéa qui suit manque dans la copie de Niquet et nous ne l'avons trouvé nulle part dans
les manuscrits de Huygens. Il ne nous semble pas improbable qu'il ait été intercalé par de
Volder et FuUenius lors de la préparation de l'édition de la „Dioptrique" de 1703, d'où nous
l'avons emprunté.

a62 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE IIL 1653.

4^ 'W

.] l'objet. En effet, le rapport HKR [Fig. 1 1] 0 : SAX 0 , ou

' AAA, efl: compofé des rapports HKR : HOR, ou HO : HK, et

H OR (ou EOD) : AAA, c'eft-à-dire , AA fou AC) : EO (ou

EL\ Mais comme HO = HK, on auraHKR: SAX = AC:

: EL ; ce qu'il fallait démontrer.

Il n'eft d'ailleurs nullement nécefTaire de choifir les len-
tilles DT et QR également convexes. En effet, fi au lieu d'une
des petites lentilles convexes on en prend une autre, par
exemple au lieu de la lentille QR une dont la diftance focale
ell: Fû [Fig. 9], il fuiïïra déplacer cette dernière en A, tandis
que les autres relient aux endroits qu'ils occupaient; le grof-
fifTement fera alors plus confidérable que dans le premier cas;
en effet il fera exprimé par le rapport AC : AF 3). Mais fi
au lieu de la lentille DT nous en prenons une autre de con-
' vexité quelconque et que nous la plaçons de telle manière que
les cônes de rayons MCZ et MFZ font égaux , c'eft-à-dire
que CE = 2 EL, EL étant la diftance focale de la lentille
DT, le groffifTement ne fera pas changé du tout 4). Quant
à la lentille QR, elle doit toujours être placée de telle
manière que fon foyer tombe au point F s).

11*^) faut fa voir toutefois que les télefcopes de ce genre font
compofés de plus de deux lentilles dans le feul but d'agrandir
le champ qu'on embraffe d'un feul regard; mais qu'il eft cer-
tain d'autre part que les lunettes compofées d'une lentille con-
vexe et d'une lentille concave groififfent davantage les objets
(eu égard à leur longueur) et donnent des images plus nettes
et dépourvues des bandes colorées qu'on ne peut guère éviter
lorfqu'on fe fert de la combinaifon décrite de trois lentilles.
Cependant ces couleurs étrangères difparaiffent plus ou
moins fi du côté de l'oeil on ajoute encore une ou deux len-
tilles, et les images des objets apparaifîent alors moins défor-

') On remarquera auprès de lafigurep l'annotation de Huygens:„Faire
deux figures de celle-cy." Or, deux pages du manuscrit plus loin
ce dédoublement a été accompli et les deux fig. 10 et 1 1 en sont le
résultat. Seulement il y a un petit changement , en comparaison avec
la fig. 9, dans le placement des points O et K. En effet, le point O
n'est pas seulement comme dans la figure 9 (d'après la leçon primitive
de la note i , p. 260} très-près du foyer de la lentille E , mais il se
confond avec ce foyer de manière que les points O et F divisent la
distance des lentilles E et H en trois parties égales. Ensuite K est le

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER III. 1653. ^^3

oculi et obje£îi. Scilicet HKR [Fig. ii] ') ad SAX ^^ ftve JA^rationem habet
compofttam ex HKR ad H OR, id eft, ex HO ad HK, et ex HORfive E OD ad
^AA, id eft, ex A A ftve AC ad EO ftve EL\ quia vero HQ aqualis HK, erit
HKR ad SAX ita AC ad EL. q. e. d.

Caecerum haiidquaquam necefTe eft aequaliter convexas fumi lentes DT,QR.
Etenim fi e minori convexo adhibeatur aliapro lente QR, putaquae foci diftan-
tiam habeat œqiialem FA [Fig. 9] , ea tantum in A collocanda erit, manentibus
reliquis ut prius, eritque ratio incrementi major priori , videlicet ea qiiae AC ad
AF 3). Quod fi vero pro lente DT aliam qiiamvis convexam accipiamus, eamque
fie collocemus, ut coni radiorum MCZ, MFZ gequales fint; hoc eft, ut CE
fit dupla intervalli EL,quo diftat à lente DT focus fuus; nihil prorfus ratio incre-
menti inde immutabitur '*). Débet autem ita femper difponi lens QR ut focus
ejus incidat in pundtum F s).

Sciendum*^) vero ea tantum gratia ex pluribus quamduabus lentibus teJefcopia
hujufmodi componi, ut latior fiât unointuitu prorpeâ:us,cum alioqui certum fit
ea quse ex convexa et cava lente componuntur magis augere, pro fua longitudine,
res vifas, atque etiamdiftinélioresefficere, nullifque colorum pigmentis infedas
quod in hac lentium trium compofitione aegre vitari poteft. Veruntamen fi a parte
oculi alia adhuc lens vel duae infuper addantur evanefcunt aliquatenus adventitij
colores ifti, minufque diftortge apparent rerum imagines, ac plures etiam uno obtutu

point correspondant de O par rapport à la lentille H , d'où il suit HK = OH , puisqu' alors
OF : OH = OH : OK (voir la Prop. XX, Liv. I, p. 99). L'oeil K n'est donc pas, comme
dans la fig. 9 (d'après la leçon primitive), placé là où se trouve l'anneau oculaire, mais un
peu plus près de la lentille (comparez la note 2 , p. 261), ce qui ne change pas le grossisse-
ment, suivant la Prop. XUI du Liv. II, p. 233.

*) Le point A , qui manque dans la figure , est le foyer de la lentille A, par lequel passent les
lignes Vô et XA.

3) À propos de cette remarque Huygens ajouta en marge : ,,hoc ostende , ut est in lib. G
pag. 129." Voir l'Appendice au Livre présent, p. 271.

^) C'est-à-dire le grossissement sera toujours mesuré par le rapport AC : F H.

S) Dans la copie de Niquet et dans la leçon primitive, où elles furent biffées depuis, on trouve
encore les phrases suivantes : „Sed et retenta lente utraque DT, QR [Fig. 9] , ac
tantum situ earum mutato, amplius augere licebit visibilia. Si enim DT pro-
pior fiât foco C, erit quidem CE quam fueratminor, at EF, distantiapuncti
correspondentis, major, et FH eadem qu» prius. unde major quam antea erit
ratio AC ad CE , itemque ratio EF ad FH , ex quibus componitur ratio YB ad
PN,secundum quam res visas augeri diximus." Plus tard Huygens annota en marge:
„omittatur".

*) A côté de l'alinéa qui va suivre on trouve en marge les annotations suivantes : l „Haec
mutanda dicendumque de telescopio ex 4 lentibus cum diaphragmate" [Comparez
la note 2, p. 264 qui suit] „quod est optimum ad usus diurnos diaphragma a nobis

^64 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE IIL 1653.

mées et le champ vifuel s'agrandit. Or, la longueur du télefcope n'augmente pas
par l'addition de ces lentilles, attendu qu'elles font placées de telle manière que
les rayons ne fe croifentque deux fois, comme dans le cas de trois lentilles. Cepen-
dant les différentes perfonnes combinent différemment entre elles les lentilles
oculaires de ces télefcopes, cherchant le meilleur fyftème par la feule expérience.
Et certes , il ferait malaifé de donner à ce fujet des préceptes théoriques , parce
que la confidération des couleurs ne peut être réduite à des lois géométriques,
et qu'il eft fort difficile de calculer d'une manière fatiffaifante cette courbure des
lignes droites qu'on voit fouvent près des bords des lentilles. Je pourrais en vérité,
en reproduifant les réfultats des inveftigations laborieufes d'autres auteurs, faire
connaître quelques conftruétions de télefcopes de ce genre; mais comme je penfe
que celle que je décrirai dans ce qui fuit ^) , dans laquelle les images ne font pas
redreffées par la multiplication des lentilles mais par la réflexion d'un miroir, eft
beaucoup meilleure, il me femble que je ne dois pas m'attarder plus longtemps fur
ce fujet.

Proposition V *).

Conftruire à l'aide de deux lentilles convexes un téle-
fcope donnant des images droites et qui nous permette d'em-
braffer d'un feul regard un champ étendu 3).

Nous avons indiqué à la Prop. V, Liv. II ^) comment on peut conftruire avec
deux lentilles convexes convenablement placées , l'une par rapport à l'autre et
par rapport à l'oeil, un télefcope permettant d'embraffer d'un feul regard un
champ étendu. Ce télefcope eft le plus utile de tous pour contempler les étoiles;
en effet, quoiqu'il donne des images renverfées, il n'en réfulte qu'un inconvé-
nient faible ou nul. Mais lorfqu'on veut obferver du jour des hommes, des tours
ou des navires fe trouvant à grande diftance, l'inverfion des images ne permet

inventum*'; 2. „An non de telescopijs singulis parvulis ex convexa et cava"
[Voir les Prop. I et II de la troisième Partie] „nocturnis ex 2 convexis" [Prop. III de la
Troisième Partie] „diurnis ex 4 convexis de aperturis"; 3. „de inventore" [tele-
scopij]. ,,de nostra mechanica" [probablement les machines à fabriquer les lentilles].
Toutes ces annotations sont de dates probablement différentes et de beaucoup postérieures à
celle du texte.

*) Voir la Prop. V qui suit.

^) Plus tard, après 1666, Huygens ajouta en marge: „Omittenda ac potius telescopium
4 lentium convexarum explicandum," [voir la Prop. V de la troisième Partie de cette
„Dioptrique"] „cui diaphragma exnostroinvento additum perfectionem attulit."
Le diaphragme en question est, en effet, mentionné dans la proposition citée.

■*) Huygens a longtemps attaché beaucoup d'importance aux lunettes à miroir , dont il s'agit

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER IIL 1653. fl6$

comprehenduntur; nec longitude telefcopij propterea augetur, quoniam ita lentes
collocantur , ut non plures quam duae fiant radiorum interre(5tiones, (icuti in com-
pofitione triuni. AUj vero aliter lentes oculares in his intcr feconfociant, fola
experientia duce quid optimum fit quaerentes. nec fane facile foret certa ratione
aliquid circa haec praecipere, quum colorum confideratio ad geometrise leges revo-
cari nequeat, nec nifi difficile admodum illa quae circa latera lendum faepecernitur
reétarum linearum incurvatio. Pofiem equidem, quae ab alijs magno labore hic
inveftigata funt, proponendo, aliquot ejufmodi perfpicillorum conftruéliones
docere,fed cum longé potiora exiftimem quae in fequentibus proferam *), ubi non
multiplicatione lentium fed fpeculi reflexione vifibilia eriguntur, non videtur
diutius in his immorandum.

[Propositio V.] ")

E du abus convexis lentibus telefcopium conftruere quo
vifibilia erecta fpectentur ac magna copia fimul uno intuitu
comprehendatur^).

Convexis duobus reéte inter fe atque ad oculum comparatis telefcopium com-
poni quo infignis vifibilium amplitudo uno intuitu apparet propof. [V, Libr. II] *)
indicavimus quod ad fidera contemplanda omnium efl: utiliffimum, quia licet
inverfas rerum imagines référât, exiguum inde aut nullum incommodum nafcitur.
Sed interdiu ad confpiciendos homines turrefve aut naves procul dilfitas , fitus

ici. On les trouve mentionnées pour la première fois dans sa lettre à van Schooten du 20 sept.
1653 (p. 242 du T. I), dans laquelle il invite celui-ci à venir voir sa nouvelle forme de
lunette. Ensuite le 24 août 1654 (P- 295 du T. I) le frère Constantyn avertit Christiaan
qu'il a parlé à un visiteur, qui s'intéressait aux lunettes, „de vostre invention des petits miroirs
d'acier sans la luy enseigner pourtant quoy qu'il l'eust voulu scauoir de tout son coeur." Et
plus tard il est encore souvent question de ces sortes de lunettes; à propos de quoi on peut
consulter les pp. 277 (22 nov. 1658) du T. II; 14 (25 janv. 1662), 100, 112, 118, 133, 136,
210, 215, 236, 241 , 250, 303 (i févr. 1663) du T. IV ; 145 (nov. 1664) du T. V et 87
(5 nov. 1666) du T. VI.
*) Voir l'alinéa qui commence au pied de la p. 195. Toutefois cette citation et la suivante de la
même portée ne se rapportent pas précisément à la Prop. V, Liv. II dans la rédaction de
1653 que nous avons donnée p. 187 — 197 du Tome présent, mais à une nouvelle rédaction
projetée, esquissée par Huygens dans l'annotation reproduite dans la note 3 de la p. 186, où
on lit „casus telescopij et microscopij rursus liic annotentur"; ce qui veut dire que Huygens
se proposa de faire débuter la partie de la „Dioptrique" qui traite les télescopes et les micro-
scopes par une discussion du télescope et du microscope à deux lentilles. En effet, cette
intention a été réalisée, quant au télescope, dans les Prop. I, II et III de la troisième Partie de
la „Dioptrique", lesquelles on trouvera plus loin; mais ces propositions ne furent rédigées
que bien plus tard, au moins après 1665, puisqu'on ne les trouve pas dans la copie de Niquet.
Toutefois il sera utile de prendre connaissance à l'occasion présente de la troisième de ces
propositions qui traite le cas de deux lentilles convexes.

34

!l66 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE III. 1653.

[Fig. 12.]

pas de reconnaître les objets; c'efl: pourquoi on a coutume
de fe fervir alors de plufieurs lentilles convexes, dont quel-
ques-unes doivent redreffer l'image renverfée produite par
deux d'entre elles. Nous avons parlé de ces chofes dans
la propofition précédente. Mais comme ce réfultat ne peut
être atteint fans qu'on augmente beaucoup la longueur du
tube et que le champ vifuel fe rétrécilTe confidérablement ,
nous avons inventé la méthode fuivante d'après laquelle les
images renverfées produites par un télefcope de deux len-
tilles convexes font renverfées en plaçant près de l'oeil un
petit miroir, dont nous expliquons la pofition dans la figure
fuivante.

Soit AB [Fig. 12] ^) la lentille extérieure, CD la len-
tille oculaire, lefquelles compofent le télefcope tel que
nous l'avons décrit plus haut à la Prop. V , Liv. Il ^j ,
où nous avons dit que le point O où il faut mettre l'oeil
doit être choifi de telle manière que fa diftance à la len-
tille CD foit à peu près égale à la diflance focale ^'). Nous
plaçons donc un miroir plan FG entre cette lentille et le
point O où l'oeil devrait fe trouver fi le miroir était abfent.
Ce miroir efl: de forme elliptique et a la longueur d'un
pouce; il a été fondu en métal et foigneufement poli (les
miroirs de verre ne peuvent servir en aucune façon à
caufe de leur furface double). Nous l'inclinons fous un
angle de 45° ou un peu moins fur l'axe de la lentille
et nous l'enfermons dans le tube de telle manière que
l'oeil N puifl^e en être approché jufqu' à une fort petite
difl:ance. On regarde vers le miroir d'en haut à travers une
ouverture pratiquée dans la paroi du tube , en inclinant la
tête vers la terre; l'oeil voit ainfi debout les objets vers lef-
quels le télefcope efl: dirigé et le champ vifuel efl: aufli
étendu que fi l'oeil fe trouvait en O et que le miroir était
abfent. La raifon en efl: évidente pour celui qui fait que les
rayons incidents et les rayons réfléchis forment avec un
miroir plan des angles égaux. On peut voir la marche de ces
rayons dans la figure ci-jointe où nous avons tracé tant ceux
qui, iflTus du centre de l'objet, tombent parallèlement

^) La copie de Niquet et la leçon primitive donnent ,,explicabimus".

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER III. 1653.

262

everfio res agnofci non patitur, atque ideo plures convexae lentes adhiberi
folent, ut imaginem qiiam duse invertunt alise denuoerigant,dequibuspropof.
prsecedenti egimus. Quia vero hoc fieri nequit quin fimul infigniter augeatur
tubi longitudo atque amittatur multum de piélurae amplitudine ; excogitavimus
rationem hanc qua everfje fpecies in telefcopio duorum convexorum erigantur
adjeélo ad oculum fpeculo exiguo, cujus pofitum locumque fequenti schemate
explicamus ').

Efto lens AB [Fig. 1 2] ") exterior, CD vero quae oculo propinquior eft, è qui-
bus compofitum fit telefcopium quale fupra exhibitum fuit prop. [V, Libr. II] 3)
ubi diximus refte fie coUocari oculum in O, ut a lente CD diftet circiter quantum
focus ejus '*). Itaque inter lentem hanc punétumque O, ubi alioqui oculus ftatuen-
dus foret, fpeculum planum FG interponimus, elliptica forma, longitudine pol-
licari, e métallo fufum atque accurate expolitum, (nam vitrea ob duplicem
fuperficiem omnino ad hune ufum inepta funt) anguloque inclinamus femireélo
ad axem lentium, aut paulo etiam minore, atque ita tubo includimus,ut quam
proxime illi admoveri poflit oculus N; qui defuper per foramen , in tubi lamina
excavatum, in fpeculum aciem dirigit, inclinato capite terram verfus, atque ita
vifibilia ad qu£e tubus dirigitur et ereéta confpicit et eadem copia, acfi,nullo
interpofito fpeculo, in O conftitutus efiet. Neque caufa ignotaeflTe potefteiqui
in fpeculo piano radios incidendo ac refiliendo îequalesangulosfacerenoverit,
quos radios uti hic feruntur in schemate delineatos cernere licet; tumhosqui a
medio rei vifse punéVo venientes, paralleli incidunt in lentem AB ac denique

*) La figure du manuscrit étant endommagée nous empruntons la figure présente à l'édition de

de Volder et Fulleniusde 1703. De plus nous reproduisons
ici deux petites figures se rapportant à la partie oculaire
d'une lunette à miroir. La première, qu'on trouve à la
p. 62 du Manuscrit A, doit dater de 1659; l'autre, em-
pruntée à la p. 75 du Manuscrit B , de 1662.
3) Voir la note 4 de la p. 265.

'^) Plus précisément au lieu où se trouve l'image de l'objec-
tif, formée par l'oculaire, comme, d'ailleurs, le cours des
rayons ECFN et EDGN l'indique; mais ce lieu se trouve à
peu de distance du foyer en question puisque, si H repré-
sente le foyer de l'oculaire, lequel est situé du côté de
l'objectif, et K le point milieu de l'oculaire, on doit avoir
(d'après la Prop. XX, Liv. I, p. 99) EH:EK = EK:EO,
ou bien, EH : HK = EK:KO. Or, le rapport EH : EK
ne diffère pas beaucoup de l'unité, il en est donc de même

pour le rapport HK : KO. Voir encore la „Prop. HI" de la troisième Partie de cette

„Dioptrique".

268 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE IIL 1653.

fur la lentille AB et à la fin arrivent parallèlement à l'oeil N, que ceux qui
partent des points extrêmes de l'objet et qui, après s'être croifés au centre de
la lentille AB , atteignent l'oeil en fe mouvant félon les lignes ECFN et EDGN.
Le télefcope ainfi conftruit, et qui fous d'autres rapports eft le mieux approprié
à nous donner une image des objets qu'on voit fur la terre et fur la mer, a cepen-
dant un feul défaut, celui de nous faire voir à notre gauche ce qui fe trouve à notre
droite; mais c'eft là un faible inconvénient , pourvu qu'on en foit averti.

FIN DU TROISIEME ET DERNIER LIVRE.

TRACTATUS DE REFRACT. ET TELESC. LIBER III. 1653. 269

etiam paralleli ad oculum N deferuntur; tum eos qui ab extremis pundlismit-
tuntur, atque in média lente AB Cefe interfecantes, inde ad oculum pergunt
fecundum lineas ECFN, EDGN.

Hsec vero telefcopij ratio alioqui praeftantilîima ad ea qiiae terra marique fpec-
tanda occurrunt, hoc unum habet incommodum quod qiiae dextra funt finiftra
videri faciat; fed hoc admonitis exiguum eft.

[FINIS TERTII ET ULTIMI LIBRÏ.]

APPENDICE 0

S"

at'^

^-.i^â

'■■L

=5<

AU TROISIÈME LIVRE DU „TrACTATUS
DE REFRACTIONE ET TELESCOPIIS".

[169I.]

y& OFadOA utOA adOZ

'"* oftendendum/.QZA adQOA feu RKH ») ut OE

feu FH ad FA
hoceftOA ad AZiuFHadFA

demonllratio OF ad OA ut O A ad OZ
OFadFA utOA ad AZ
HFo'adFA UtOA ad AZ.

') La pièce est enipruntéejà la p. 129 du ^Manuscrit G". Elle
sert à démontrer l'assertion , faite à la p. 263 du Tome pré-
sent, que si dans la lunette représentée par les figures 10 et
II, p. 262 on remplace la lentille H, dont la distance
focale FH est égale à celle de la lentille E (EL ou OE), par
une autre, dont la distance focale FA soit plus petite, le
grossissement sera mesuré par le rapport AC : FA, où AC
égale la distance focale de robjectif. À cet effet , après avoir
supposé que la nouvelle lentille soit placé en A , Huygens
commence par déterminer le point Z correspondant au point
O, par rapport à la lentille en A, pour y placer l'oeil.

Or, comme il a démontré dans la Prop. IV (voir la p. 261)
que dans le cas où la lentille de distance focale H F fût
placée en H le grossissement se mesure par le rapport
AC : EL , où EL = HF , il suffira de prouver que l'ancien
et le nouveau grossissement sont dans le rapport inverse
des distances focales des lentilles employées, c'est-à—dire,
que ie nouveau grossissement se rapporte à l'ancien
comme FH à FA. Or, il est clair que ces grossissements
sont dans le rapport des angles QZA et RKH, puisque
l'angle qui correspond à l'angle SAX de la figure 1 1 de la
p. 262, (voir la note 2, p. 263) et qu'on retrouve ici (égale-
ment sans lettre) dans la figure de gauche, est le même
dans les deux cas. Il reste donc à démontrer qu'on a
LQZA: Z.RKH = FH : FA. C'est là la deuxième pro-
portion du texte, où nous renvoyons pour le reste de la
démonstration.

') L'égalité des angles QOA et RKH résulte de celle des seg-
ments H K et HO^laquelle est expliquée dansla note i , p. 262.

3) 0F= HF puisque les points O et F divisent la distance EH
en trois parties égales. Comparez la note i , p. 262, déjà citée.

A.

a^mâu^LA DIOPTRIQUE.

DEUXIÈME PARTIE 0- DE L'ABERRATION DES RAYONS

HORS DU FOYER.

IbeC l6(56.

Propos iTfofi f.^''

Dans des fegments extrêmement petits d*un même cercle
le rapport des hauteurs ou diamètres des fegments peut être
eftimé égal à celui desxarxés de&.Jaafes.

b 'il n'joi 'j'iiifiîzih iA 'jh

Suppofons que CAD et EAF foîent deux petits feg-
ments d'un même cercle; puifTele diamètre AB du cercle
les divifer l'un et l'autre en deux parties égales, et foient
AG et AH les hauteurs de ces fegments. Je dis que le
rapport AG : AH eft à peu près égal à celui du carré de
la bafe CD au carré de la bafe EF. En effet , comme le
reftangle BGA eft égal au carré de GD et le reélangle
BHA au carré de FH, il apparaît que le reélangle BGA
eft au reétangle BHA comme le carré de GD eft au
carré de HF, ou comme le carré de CD eft à celui de
EF. Mais AG eft à AH comme le reftangle BGA eft
au reétangle BG, HA qui eft tant foit peu plus petit
que le reélangle BHA. Par conféquent le rapport AG : i\Ii ^ft un, peu plus
grand que celui du carré de CD au carré de EF. ÎTf"**jr \

Suppofons que le diamètre AB ait une longueur de 20000000 parties et que
l'arc CAD foit égal à 3*5 de la circonférence ou k 10 degrés. La droite DG

^) Sur la marge de la première feuille de la partie du manuscrit à laquelle nous empruntons cette
„Pars secunda" on lit de la main de Huygens les phrases suivantes écrites à une époque
inconnue après 1672: „Ha:c quse paginis hisce 38 continentur non edenda sunt;

«rv*

DÏOPTRICA.

[PARS SECUNDA ')• DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCOj.

Il 666. 2

Propos [iTio I].

In minimis circuli ejufdem fegmentis, altitudines (eu dia-
metri fegmentorum eandem inter fe rationem habcre cen-
fendse qiiam quadrata b a fin m.

Sint ejufdem circuli exigua fegmenta CAD, EAF [Fig. i] , quse utraque dia-
meter circuli AB bifariam fecet , fincque fegmentorum altitudines AG , AH , dico
rationem AG ad AH proxime eandem e{re,qugequadrati bafeos CD ad quadr.
bafeos EF. Quia enim reftangulum BGA sequale quadrato GD: et redangulum
BHA aequale quadrato FH; apparet efTe ficut quadratum GD ad qu. HF,five
ut qu. CD ad qu. EF ita reftangulum BGA ad reélangulum BHA; ficut autem
reétangulum BGA ad reftangulum BG, HA, quod pauxillo minus efl: reétan-
gulo BHA, ita efl: AG ad AH. Ergo et AG ad AH exiguo majorem rationem
habet quam quadratum CD ad qu. EF.

Sit AB diameter partium 20000000; arcus CAD -^^ circumferentise five 10
graduum. fit DG partium 871557, cujus fi FH dimidiaponatureritea 435778.

quia aliunde quam a figura spherica imperfectus radiorum concursusoritur,
ncmpe ex principio illo dispersionis a Newtono observato." Or, plus tard,
Huygens, ayant reconnu sans doute l'exagération de ce jugement, a biffé ces phrases, et des
38 pages numérotées il a admis les 20 premières dans sa „Dioptrique" projetée. Il en a
rejeté seulement les 18 dernières, qui se trouvent dans une couverture portant le titre:
„Rejecta ex dioptricis nostris". Ces dernières pages n'ont jamais été publiées; nous les
avons reproduites aux p. 315 — 353 du Tome présent.

35

2^74 DE l'aberration DES RAYONS HORS DU FOYER. 1666.

acquiert une longueur de 871557 parties, et fi nous fuppofons que FH foit
égale à la moitié de cette droite, FH aura 435778 parties. Mais AG a une
longueur 38053, et le quart de ce nombre efl: 9513- Si AH avait la longueur
exprimée par ce dernier nombre , le rapport AG : AH ferait égal à celui du carré
de CD au carré de EF. On trouve cependant que AH a une longueur de 9500
parties, de forte que la différence n'eft que de ^f-lô o" àe j^j AH et feule-
ment de 505^^555 du diamètre AB.

Or, les furfaces convexes ou concaves des lentilles que nous confidérerons
dans ce qui fuit n'embrafTent en général que la centième ou la deux-centième
partie d'une circonférence de cercle, comme nous le dirons plus loin ^). L'erreur
qu'on commet en admettant la relation mentionnée plus haut entre le rapport
des bafes et celui des hauteurs efl donc beaucoup moindre.

Proposition II.

Dans des fegments extrêmement petits appartenant à des
cercles différents et qui poffèdent la même bafe ou des bafes
égales, le rapport des hauteurs des fegments peut êtreeftimé
égal à l'inverfe de celui des diamètres °).

Confidérons deux petits fegments ABC et ADC [Fig. 2] appartenant à des
cercles différents et poiïedant la même bafe AC; puifTent-ils être divifés en
deux parties égales par la droite DE fur laquelle coïncident des diamètres des
deux cercles, favoir BF, diamètre du cercle auquel appartient le fegment ABC,
et DG, diamètre du cercle plus petit dont le fegment ADC fait partie. Je dis que
le rapport des hauteurs DE et BE ell: à peu près égal à celui de BF à DG. En
effet, comme les reftangles FEB et GED font égaux entre eux, vu qu'ils font
l'un et l'autre égal au carré de EC, on aura FE : GE = DE : EB. Mais le rap-
port des diamètres FB et GD ell: à peu près égal à celui de FE et de GE , attendu
que les parties EB et ED font fuppofées fort petites par rapport aux diamètres
entiers. On en conclut que DE efl à la hauteur BE à peu près comme le diamètre
FB eft au diamètre GD.

Suppofons de nouveau que l'arc ADC foit égal à -^^ de la circonférence ou à
10 degrés et le diamètre DG à 20000000 parties. La droite ED comprendra
donc 38053 parties. Et fi nous admettons que le diamètre BF efl égal au double
du diamètre DG , donc à 40000000 parties , on trouvera que la droite EB com-

*) On peut consulter la Prop. XI des ^Rejecta", p. 339 — 353, quoiqu'en vérité Huygens ne
soit pas revenu expressément sur la détermination de l'étendue relative de l'arc CAD, par
rapport au cercle complet, admissible dans une lentille.

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. I 666.

275

At AG efl: 38053; ciijus qiiarta pars 9513, cui fi œqualis effet AH, jam efTer
eadcm ratio AG ad AH quîe quadrati CD ad qii. EF. Nunc aiitem invenitur AH
partium 9500, adeo ut differentia tantum fit ^§-§5 five j^j ipfius AH,ac tantiim
îssèiôss^iametri AB.

Superficies vero convexse aut concavse lentium quas in fequentibus confidera-
bimus plerumque tantum j^q vel ^§5 partem circumferentiae compleduntur ut
pofiea dicetur *),in quibus proinde multo minus fallit diélabafiumaltitudinumque
proportio.

Propos [iTio II].

In minimis circulorum ina^qualium regmcntis,sequales vel
e a f d e ni b a fe s h a b e n t i b u s , a 1 1 i t u d i n e s fc g m c n t o r u m , d i a m e t r i s
ip forum circulorum, contraria ratione refponderc cenfen-
dîe funt ^).

Sint fegmenta exigua inaequalium circulorum,
ABC, ADC, eandem bafin AC habentia, ac bifa-
riam divifa reéta DE; in qua diametri circulorum,
BF quidem ejus ex quo fegmentum ABC, DG vero
minoris ex quo fegmentum ADC. Dico ficut BF ad
DG ita proxime efl^e akitudinem DE ad BE. Cum
enim re(5langula FEB, GED inter fe sequalia fint,
quippe quse fingula aequentur quadrato EC, Erit
proinde ut FE ad GE ita DE ad EB. Sed ut FE ad
GE, ita ell proximè diameter FB ad diametrum
GD, cum partes EB, ED minimal ponantur totarum
diametrorum refpeétu. Ergo etiam ut diameter FB
ad diam. GD ita efl: proxime DE ad akitudinem BE.
Sit arcus ADC rurfus ^^^ circumferentiœ five 10 gr.
et diameter DG partium 20000000; Erit ED partium 38053. Jam fi diameter
BF diametri DG dupla ftatuatur, hoc ell, partium 40000000, invenieturEB

') Comme nous lemonireronsplus loin(voirp.e.rAppendiceI,p. 355 — 375duTome présent),
c'est par l'application continuelle de cette proposition et de la précédente que Iluygensa
pu réussir à déduire les formules approximatives qui donnent l'aberration sphériquc des
lentilles en fonction de leurs rayons de courbure et de leurs épaisseurs.

2/6

DE l'aberration DES RAYONS HORS DU FOYER. l666.

prend 19000 parties, tandis qu'elle devait être égale à la moitié de ED, c'eft-à-
dire à 19026 parties. Par conféqiient, il n'y a qu' une différence de 1/5^00 ou
^iy EB ou de ^55§gg^5 du diamètre BF. Et fi nous prenons un arc ADC plus
petit , le rapport des hauteurs et le rapport inverfe des diamètres feront encore
moins éloignés de l'égalité.

Définitions.

[Fig. 5.]

[Fig. 6.-]

Appelons „épaifleur d'une lentille convexe" la diftance qui fépare les points
milieux des deux furfaces lorfque les bords des deux
furfaces coïncident. Ainfi l'épaifTeur de la lentille
ABCD [Fig. 3 et 4] dont les bords coïncident avec
la même circonférence de cercle AC, eft BD : en
effet, c'ell: là la diflance des points milieux des deux
furfaces.

Par „épaifreur d'une lentille concave" nous enten-
drons au contraire la difl:ance [Fig. 5 et 6] entre les
bords circulaires des deux furfaces lorfque leurs points
milieux coïncident. Ainfi l'épaifTeur de la lentille
DEFGH, dont les points milieux coïncident en E , cft
DH ou FG : en effet, c'efl: là la génératrice d'un cylindre qui renferme les deux
furfaces.

Dans la fuite nous confidérerons donc toujours les lentilles de cette façon : et
quoique les lentilles convexes aient le plus fouvent une certaine épaifTeur près
des bords et que les lentilles concaves en aient toujours une au milieu, nous ne
tiendrons compte que de cette épaiffeur-là feulement qui relierait fi les deux fur-
faces coïncidaient aux bords ou fe touchaient au milieu.

,'-i!i

Proposition III.

Les lentilles convexes poffédant la même diftance focale
et les lentilles concaves ayant la même diftance du point de
difperfion, auront la même épai ff eur fi leurs largeurs font
égales^).

*) Lisez: ,,19000". Il est évident, en effet, que 19074 ne peut pas être juste, puisque néces
sairenient EB <^ ED.

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. 1666. IJJ

partium 19074 ^), quae debebat eflTe dimidia ED, hoc eft parcium ipoid.
Itaque différencia tantum eft tïjsVt ^^^^ T57 0 ^ •P^"^ EB, nec nifi ^gç^gg^g 3)^
diamecri BF. Et fiimto minore arcu ADC tanto exaétius quadrabit difta akitu-
dinum ac diametrorum contraria proportio.

[Definitiones.]

Craffitudo lentis con vexas dicatur intervallum quo inter fe dillant

pun(5ta média iitriurqiie fiiperficiei , lateribus coeuntibus.

[Fig«3'] Ita lentis ABCD [Fig. 3 et 4] cujus latera in unum

circulum AC conveniunt, craffitudo efl: BD, diftantia

nempe punftoriim mediorum utriurque fiiperficiei.

^ Craffitudo autem lentis cavœ dicatur diftantia

[Fig. 5 et 6] circumferentiarum utriufque fuperficiei,

[Fig. 4.] j 'r,^:^ coeuntibus earum punétis medijs. Ita lentis DEFGH,

I ,i^, I cujus pundla média in E {ç:{q. contingunt, craffitudo

I ^^^^-""^^ — ^^ eft DH vel FG , latus nimirum cylindri utramque fuper-

i, ^-^^^ ^ ^---x. ^ ficiem comprehendentis.

Hoc modo enim in fequentibus lentes confidera-
bimus. Et quamvis convexae lentes plerumque craffitudinem aliquam in ambitu
habeant, cavae vero aliquam femper in medio. Eam tamen cenfebimus tantum
omnium tS^t craffitudinem, quae fupereflet fuperficiebus fe mutuo vel in ambitu
vel in medio contingentibus.

Propos[itio III].

Lentes convexse eandem foci diftantiam habentes, cavae
vero eandem diftantiam puncti difperfus fi et latitudinem
aiqualem habuerint, etiam aequali erunt craffitudine*).

'; Lisez: „ sive

-' "19000 731

3) Lisez; — "-

'40000000
^) La proposition présente n'est démontrée dans ce qui suit que pour des lentilles en verre où

l'indice de réfraction est supposé égal à — . Toutefois elle est vraie pour des lentilles d'une

matière quelconque , puisqu'on a (p. 88 , note i) -4 =(« — 0("D7i"n~) ^^ ^" même

temps * = ~Q ^ {"a- à-n~} ^^ tf représente l'épaisseur de la lentille et </ sa latitude ou
son diamètre. On en déduit dans le cas général d^ =.%(j — i) «/et pour le verre d^ = 4^/.

278

DE L*ABERRATION DES RAYONS HORS DU FOYER. 1666.

* Prop. XVI,
Part. I, Liv. I »).

* Prop. II ').

* Par la même
Prop. •).

* Prop. XVI,
Part. I, Liv. I *>

Suppofons en premier lieu que AB, l'une des deux lentilles , foit planconvexe;
et foit DC le rayon de courbure de la furface ACB , CE l'épaifleur de la len-
tille, CF la diftance focale qui fera le double de CD '). Prenons pour l'autre
lentille la lentille biconvexe GH [Fig. 8] , dont la largeur eft par hypothèfe
égale à celle de la lentille AB et dont la diftance focale MP eft égale à CF. Je
dis donc que l'épaifTeur KM de la lentille GH eft égale à EC , l'épaiiTeur de
la lentille AB.

En effet, foit LK le rayon de courbure de la furface GKH de la lentille GH ,
et MN celui de la furface GMH de la même lentille; et puiffe la droite GH
couper l'épaifTeur KM de la lentille en O.

On a alors: (LK + NM) : NM = 2LK : MP*; MP étant
la diftance focale qui eft fuppofée égale à CF. Par conféquent ,
(LK 4- NM) : NM = 2LK : CF = LK : i CF = LK : DC.
Mais comme on a LK : NM =z MO : OK * , on aura , par com-
pofition, (LK + NM) : NM = MK : KO. Donc auffi MK :
: KO = LK : DC. Mais LK : DC = CE : KO *, parce que la
corde GH eft égale à la corde AB. Il s'enfuit que MK : K0= CE :
: KO. Par conféquent, MK= CE; ce qu'il fallait démontrer.
Remplaçons maintenant la lentille GH par une lentille con-
cavo-convexe [Fig. 9] , dont GMH foit la furface concave.
La différence KM de KO et MO conftituera fon épaiffeur.
Faifons d'ailleurs les mêmes fuppofitions qu' auparavant. Comme
(NM-LK) : NM = 2 LK : MP * , diftance focale qui eft fup-
pofée égale à CF, on aura auffi (NM— LK) : NM = 2 LK :
: CF = LK : i CF := LK : DC. Mais comme NM : LK =
= OK: OM, il s'enfuit qu'on a également (NM-LK) : NM =
= KM : KO. Donc auffi KM : KO = LK : DC. En partant
de là on démontrera de la même manière que dans le cas de la lentille bicon-
vexe que MK = CE.

Comme donc toute lentille biconvexe ou concavo-convexe qui pofledelamême
diftance focale et la même largeur que la lentille planconvexe AB a auffi la
même épaiffeur que cette dernière, il s'enfuit que toutes les lentilles bicon-
vexes ainfi que toutes les lentilles concavo-convexes qui ont la même diftance
focale et la même largeur auront également la même épaiffeur.

[Fig. 9.1
i

/t^L

^/'■-

^.-

^) Voir le premier alinéa de la p. 83 du Tome présent, où il s'agit d'une lentille en verre.
^) Voir la règle exposée dans les six dernières lignes de la Proposition citée, p. 89 du Tome
présent.

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. l666.

279

[Fig./.]

[Fig.8.]

n4

Sic primo lentiiim altéra AB [Fig. 7] planoconvexa, fitque fuperficiei

ACB femidiam. convexitatis DC. craf-
fitudo lentis CE, foci diftantia CF, quse
erit dupla CD '). Lens autem altéra
utrimque convexa fit GH [Fig. 8], cujiis
latitudo eadem quse lentis AB, et foci
diftantia MP sequalis CF. Dico igitur
et craflitudinem KM lentis GH sequalem
efTe EC craflîtudini lentis AB.

Sit enim in lente GH fuperficiei GKH
femidiameter convexitatis LK; fuper-
ficiei vero GMH femidiam. convexitatis
MN. redaque GH fecet craflltudinem
lentis KM in O.

Quia igitur ut duae fimul LK, NM
ad NM ita dupla LK ad foci diftantiam
MP ♦. qu2e aequalis ponitur CF. Erit
proinde ut duae fimul LK, NM ad NM ita
dupla LK ad CF , five ita LK ad dimi-

^--^^^^H

I

M

L-

P^

* Propos. [XVI,
Pan. I,Lib. I.]*)

diam CF hoc eft ad DC. Quia autem ut LK ad NM ita MO ad OK ♦. eritet * Propos, [il.]*)

componendo ut aux fimul LK, NM ad NM ita MK ad KO. Itaque et MK ad

KO ut LK ad DC. Sed ut LK ad DC ita quoque eil CE ad KO ♦, quia fcilicet [*] per eadem*).

fubtenfa GH sequalis AB; Ergo MK ad KO ut CE ad KO; ac proinde MK

aequalis CE : quod erat oftendendum.

Sit jam pro lente GH menifcus [Fig. 9] , cujus fuperficies cava GMH; craf-
fitudo autem menifci KM erit id quo KO fuperat MO. Pofitis itaque caeteris ut
prius; quia ut excefl[us NM fupra LK ad NM ita dupla LK ad foci diftan-
tiam MP *, quae aequalis ponitur CF, Erit proinde ut diétus excefl^us duarum • Propos. [xvi,
NM, LK ad NM ita dupla LK ad CF, five ita LK addimidiam CF, hoc eft, p*"- '' ^'^-^-^ *)
ad DC. Quia autem ut NM ad LK ita OK ad OM erit etiam ut excefl!us NM
fupra LK ad NM ita KM ad KO. Itaque et KM ad KO, ut LK ad DC. Unde
porro ficut prius in lente utrinque convexa oftendetur quod MK sequalis CE.

Cum igitur quaevis lens utrimque convexa vel menifcus, sequalem foci diftan-
tiam eandemque latitudinem habens atque lens planoconvexa AB, etiam crafll-
tudinem ei aequalem habeat, fequitur et omnes utrimque con vexas atque omnes
menifcos qui foci diftantiam latitudinemque inter fe aequalem habuerint, etiam
pari craflitudine futuros.

3) Voir la proposition qui précède, p. 275.

28o

DE l'aberration DES RAYONS HORS DU FOYER. I 666.

[Fig. 12.]

Confidérons maintenant une lentille planconcave
ACBba [Fig. lo] , dont les deux furfaces fe touchent au
point C ; et fuppofons de nouveau que D foit le centre de
la furface ACB et CF la diftance du point de difperfion ,
diftance qui eft égale à 2 CD '). Soit Aa ou CE Tépaif-
feur de cette lentille. Soit GKHhMg l'autre len-
tille; elle eft biconcave [Fig. 11] ou convexo-concave
[Fig. 1 2] et a une largeur égale à AB et une diftance PM
du point de difperfion égale à FC. Les deux furfaces de
ces lentilles fe touchent par hypothèse au milieu, de forte
que les points K et M coïncident et que l'épai fleur de la
lentille eft égale foit à la fomme des longueurs KO et Mo
qui repréfentent les hauteurs des deux furfaces fphériques,
foit à leur différence. Pour démontrer que cette épaifl^eur
eft égale à l'épaifl^eur CE de la lentille ACBba, il fuffit
de répéter les deux démonftrations précédentes; la pre-
mière s'applique à la lentille biconcave , la féconde à la
lentille convexo-concave. Il faut obferver cependant
qu'au lieu de la diftance focale on doit toujours lire la
diftance du point de difperfion et il faut avoir égard à

Ice que la fomme ou la différence des deux grandeurs KO
et Mo eft maintenant Oo, tandis qu' auparavant elle était
égale à KM.
Ces démonftrations nous permettent de conclure que la propofition eft vraie
auffi pour les lentilles biconcaves ou convexo-concaves.

Proposition IV.

Indiquer comment on peut trouver rapidement pour les len-
tilles les aberrations des rayons provenant de la forme fphé-
rique des furfaces s).

') Voir la Prop. XV , Part. I , Liv. I , p. 83.

^) Lisez plutôt „convexocoiîcava", puisque la lentille, d'après les définitions de la p.. 277,

compte parmi les lentilles concaves. L'usage de Huygens n'est pas constant à ce propos;

comparez la p. 305.
3) Dans la leçon primitive et dans la copie de Niquet cette proposition portait la suscription :

„Quaenam lens sphaerica convexa melius radios paralleloscolligatinveftigare".

Or, de cette suscription et de la phrase, bilFée depuis, que nous rapportons dans la note 2 ,

p. 283 , il nous semble permis de conclure que dans ses recherches sur l'aberration sphérique

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. 1666.

281

[Fig.io.]

F

[Fig.ii.]

.-L

Sit jam etiam lens planocava
ACBba [Fig. lo] fiipcrficie utraque
contigua in C; fitque rurfus fuper-
ficiei ACB centrum D, et CF
diftantia punfti difperfus, quae eft
dupla CD '); craffitudo aiitem fit
Aa vel CE. Lens autem altéra, vel
utrimque cava [Fig. 1 1 ] vel cavo-
convexaO [Fig- 12] fit GKHhMg
aequalem ipfi AB latitudinem habens,
punftique difperfus diftantiam PM
îeqiialem FC. Harum autem lentium
fuperficies utraeque ÏqÇq in punéto
medio contingere ponuntur, ita ut
punéla K et M in unum conveniant,
ac craffitudo lentis fit, vel fumma
duarum KO, Mo, quae altitudines
utriufque fph^ericse fuperficiei refe-
runt, vel earum differentia. Quse
craffitudo ut aequalis ofl:endatur craf-
fitudini CE lentis ACBba, repetenda
tantum efl: utraque prsecedens demon-
llratio, quarum prior convenit lenti
utnmque cavae, pofl:erior cavoconvexae ='), ubi obfervandum tamen ut pro foci
diilantia femper legatur dillantia punfti difperfus, et animadvertendum fummam
aut differentiam duarum KO, Mo, hic efl^e Oo, cum illic fuerit KM.

Ex his vero rurfus fequitur, veram quoque efie propofitionem in quibufvis
lentibus utrimque cavis vel cavoconvexis ^).

<2>"

hf'#

[Propositio IV.]

Qjiomodo in leiitibus ah err ationes r adîoriim quce ex figur a
fuperficierum fpharica oriuntur compendio inveniuntur ^^.

Huygens était surtout inspiré par le désir de trouver la forme la plus avantageuse à donner,
par rapport à cette aberration , à une lentille convexe. Déjà, depuis 1^)53, il savait p. e. que
l'aberration sphérique d'une lentille planconvexe est moindre „lorsque la surface con-
vexe est opposée aux rayons incidents , que lorsque la surface plane leur est opposée." Voir
la p. 83 du Tome présent.

36

282

DE l'aberration DES RAYONS HORS DU FOYER. 1666.

Nous entendons par lentilles convexes toutes celles qui font concourir les
rayons parallèles, foit qu'elles polTèdenc deux furfaces convexes, foit qu'elles aient
une furface convexe et une furface plane ou une furface convexe et une furface
concave. Parmi celles de ces lentilles qui pofledent la même diflance focale , les
unes font concourir les rayons parallèles mieux que les autres vers ce point qu'on
appelle le foyer ; c'elt-à-dire en prenant égales entre elles les largeurs ou ouver-
tures des lentilles. Quoique cela ne foit pas de grande importance dans la con-
rtrudlion des télefcopes à caufe d'une autre aberration bien plus confidérable et
d'une autre nature, dont nous parlerons lorfque nous ferons arrivés à ce fujet'), ces
confidérations ont cependant leur utilité ailleurs dans la théorie des microfcopes;
nous ne devons donc pas les pafTer fous filence ^). Nous prendrons partout
dans ces confidérations la valeur | pour l'indice de réfraftion du verre: en effet,
on trouve à fort peu près cette valeur-là, comme nous l'avons expliqué plus hauts).
Commençons donc 4)par le cas d'une lentille planconvexe placée de telle manière
que fa furface plane eil: expofée aux rayons parallèles; c'eftdans
ce cas-là que le calcul ell le plus facile. Je fuppofe que le feg-
H ment de cercle KBC [Fig. 13] repréfente la feélion faite dans
une lentille de ce genre par un plan paflant par l'axe. Le point
A eft le centre de ce cercle , donc auflî celui de la furface con-
vexe. La droite ABD repréfente l'axe de la lentille ; elle divife
l'arc KC en deux parties égales au point B et la corde KC au
point G. La furface convexe KBC coupe la furface plane KC
fuivant une circonférence qui conIHtue le bord de la lentille.
On demande d'examiner la réfraétion du rayon HC parallèle à
l'axe de la lentille et éloigné de cet axe à une diftance aufli
grande que poffible. Le rayon réfraéïé ell repréfente par la
droite CD: il efl: évident que dans cette lentille il n'y a qu'une
feule réfraftion qui a lieu à la furface convexe CBK. Quant au
foyer E de la lentille, il fera fitué au-delà du point D, comme
cela a été démontré à la prop. IX du livre I de la première Par-
tie 5); on le trouvera en prenant AE = 3 AB; en effet, de cette façon on aura
AE : EB = 3:2, valeur que nous avons adoptée ici pour celle de l'indice de
réfraétion. Nous devons donc trouver la grandeur du fegment DE, où tous
les rayons réfraétés provenant de rayons incidents parallèles rencontrent l'axe
de la lentille: on fait que plus un rayon eft proche de l'axe AB plus auffi
il rencontre l'axe à petite diftance du foyer , comme nous l'avons démontré à
la propofition IX citée. Tirons la droite AC et foit celle-ci, ou AB, égale
à ^ , et CG à ^ : ce font là deux grandeurs données. Soit en outre AD = x.
Comme le rapport AD : DC eft égal à l'indice de réfraétion '^), on aura DC = ^x.
Et fi nous retranchons le carré GC du carré DC nous trouvons que le carré
GD eft égal à ^xx—bb^ et GD à \^^xx—bb. D'autre part en retranchant le

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. 1666. 283

Lentis fphaericae convexae nomine omnes eas intelligimus quse radios parallèles
concurrere faciunt, five duabus convexis fuperfîciebus confient, five convexa et
plana , five convexa et concava , harum vero sequales foci diftantias habentium
aliae alijs perfeétius radios parallelos verfus punftum illud quod focus dicitur
inclinant, fumptis nimirum latitudinibus feu aperturis lentium aequalibus.
quod licet in telefcopiorum rationibus parum référât^ pr opter aliam aber-
rationem longe majorent atque alterius natura^ de qua ^ubi eo ventum erit ^ dice-
mus ^), habet tamen in micro fcopiorum examine alibi utilitatem hac cognitio^
eoque non efî pratereunda ^). Proportionem refraétionis vitri fefquialteram in his
ubique ufurpabimus, quse quam proxime ejufmodi invenitur ut in prsecedentibus
diftum fuit 3).

Incipiendo '*) itaque a planoconvexa lente atque ea illius pofitione qua fuper-
ficies plana radijs parallelis expofita eft, ubi calculi ratio omnium facillima eft;
Sit lens ejufmodi [Fig. 13], cujus feélio per axem fegmentiim circuli KBC,
cujus circuli atque item fuperficiei convexse centrum fit A, axis vero lentis
ABD, fecans bifarium arcum KC in B et fubtenfam KC in G, conveniatque
fuperficies convexa KBC cum plana KC in lentis margine, et propofitum fit
examinare refraélionem radij HC axi lentis paralleli atque ab eo remotifllmi,
quse refraftio ponatur efl^e CD, et confl:at quidem in hac lente tantum unam
fier! in fuperficie convexa CBK. Focus autem lentis E erit ultra punftum D ut
ofl:enfum efl: prop. [IX, Part. I, Lib. I] s) invenieturque fumendo AE triplam AB
ita enim AE ad EB habebit rationem fefquialteram, quse hic efl: proportio refrac-
tionis. Inveniendum itaque efl: fpatium DE, intra quod radiorum omnium paralle-
lorum refraétiones cum axe lentis conveniunt; etenim tanto quseque propius
convenit quanto vicinior radius fuerit axi AB, ut oilenfum propof. [IX, Part. I,
Lib. I] s). Jungatur AC , fitque hsec five AB oo ^, CG oo ^, quarum utraque
data efl:. AD vero fit oo x. Quia itaque AD ad DC habet rationem quae refrac-
tiones metitur*^), erit DC 00 |x. Et ablato quadrato GC à quadrato CD,fiet
quadratum GD 00 ±xx — bb ^ et GD 00 j/" jxx — bb. Rurfus ablato eodem

') Voir la troisième Partie de cette Dioptrique, là où il s'agit du chromatisme des lentilles.

^) Au lieu de la phrase en italiques qui précède on lisait dans la rédaction primitive et dans la
copie de Niquet ce qui suit: „cunique quse cseteris hac in re prseflant ad telesco-
piorum usum omnino prseferenda fint, operae prsetium erit omnes earum difFe-
rentias pervestigare, ac definire denique quaenam sit omnium optima" [voir plus
loin les p. 291 — 295] „quod hactenus cognitum non fuit. Cui simile examen
deinde" [Prop. V , p. 297 — 307] ,",et in cavis lentibus instituemus".

3) Voir la p. 13 du Tome présent.

4) Plus tard Huygens annota en marge: „Ostende originem regulge pag. sequ. et csete-
rarimi calculum non persequere sed refer tantum quid producat."

5) Voir la p. 37 du Tome présent.

^) D'après la Prop. 111 du Livre I de la première Partie. Voir la p. 17 du Tome présent.

284

DE l'aberration DES RAYONS HORS DU FOYER. I 666.

même carré CG du carré AC,nous trouverons que le carré G A efl: égal à aa — bb et
AGz]/^aa—bb-^et en ajoutant cette expreflion à GD, c'eft-à-dire à ]/ ^xx — bb ,
nous obtiendrons pour la longueur entière AD ou x la valeur \/^^xx — bb -h
-\- }/^-bb. D'où l'on tire ^ = f \/ ^aa — çbb -h ^]/ iaa—^bb. Cette for-
mule fait voir que fi l'on prend la longueur AB égale à 6 pieds ou à 72 pouces et
la longueur GC égale à i pouce, on trouve que x ou AD efl: un peu plus grande
que ^iS^^JJ'Jo'^ et fi l'on retranche cette longueur de AE 1= 2 16, le refl:e DE
devient un peu plus petit que roèMoô pouce. Par conféquent, dans une lentille
de ce genre dont la diftance focale BE ell de 1 2 pieds et l'ouverture KC de deux
pouces, tous les rayons coupent l'axe dansl'efpace DE.

Nous appellerons cet intervalle DE, c'efl:-à-dire la difl:ance qui pour une lentille
quelconque fépare le foyer du point où les rayons extrêmes coupent l'axe,
l'aberration du rayon extrême.

Il faut favoir en outre que pour une lentille donnée on
peut auiïi trouver cette aberration d'une autre manière plus
facile '), attendu que pour toute lentille plan con-
vexe dont la fur face plane eft à l'extérieur
l'aberration du rayon extrême eft égale à §
fois l'épaiffeur de la lentille^). Il efl: vrai qu'il
y a une différence minimale , mais elle efl: fi petite que pour
des lentilles d'une largeur telle qu'elle convient aux télc-
fcopes elle n'efl: d'aucune importance. Dans la lentille con-
fidérée par exemple nous trouverons, en prenant DE r=

[Fig. 14.]

§GB , une difl:ance de i^ooooo pouce environ , tandis que
le calcul antérieur nous donnait ^^î.^^^

I 00 oooo*

Si nous retournons cette même lentille de telle manière
que les rayons font réfraétés d'abord par la furfacc con-
vexe , nous obtiendrons un raffemblement des rayons bien
plus parfait 3^. Or, le calcul fe fait de la manière fuivante.
On prend d'abord BR [Fig. 14] égale au triple du rayon BA,
de forte que R devient le foyer de la furface convexe KBC. On
pofe en fuite GE égale aux deux tiers de GR et alors E fera
le foyer de la lentille KBC, comme on le voit par la propo-
fition XIV du Liv. I de la première Partie 4); la même propofition fait voir que la
diftance focale GEefl: à-peu-près la même que celle qui correfpondaitàlapofition

•) Voir pour la déduction de la règle qui va suivre la première partie du § 2 de l'Appendice I ,

p. 359 du Tome présent.
^) En représentant par v Tindice de réfraction et, comme Huygens le fera plus loin, par ^

l'épaisseur de la lentille, on aura pour l'aberration en question:

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. 1666.

285

qiiadrato CG à quadrato AC, fiet quadratum GA oo aa—bb
et AG 00 \/^ aa—bb. qua addita ad GD oo \/^xx -^bb fiet

tota AD five x oo '\/^xx
nitiir a;oo ^^/^gaa

9bb+l

'^ 4- \/aa-bb. Unde inve-
\/ \aa—<)bb. Secundum quae

fi AB ponatur pedum 6 five polliciim 72 et GC pollicis i ,
invenitur x five AD paulo major quam aiS^çy^oVôi 9"^
ablata ab AE x> 216, reliqua fit DE paulo minor quam
rlèfooo wnius pollicis. Itaque in lente hujufmodi cujus foci
dillantia BE eft 12 pedum, apertura vero KCduorumpollicum,
radij omnes intra fpatium DE cum axe conveniunt.

Dicatur autem intervallum ifl:ud DE, quo nempe radij
extremi , in quavis lente , concurfus dillat a foco lentis : A b e r-
ratio radij extremi.

Hanc porro, in propofita lente, alia quoque faciliori ratione
reperiri fciendum eft ^); quandoquidem: In omni lente
planoconvexa cujus plana fuperficies exterior
eft, aberratio radij extremi eft quadrupla fefquia Itéra five
§ craffitudini s lentis '^); Exigua quidem difFerentiola, fed quîe in illa
lentium latitudine quse telefcopiorum ufibus idonea eft, nullius fit momenti. Ita,
in propofita lente, fi fumatur DE 00 § GB, inveniemus eam fl-èM-g-o unius pol-
licis proximè, cum ex priori calculo habuerimus i-fèo|§^.

In lente eadem inverfa, ut fuperficies convexa primum radios infleétat, multo
melior radiorum colleétio invenietur 3). Eft autem calculi ratio hujufmodi. Primo
fumitur BR [Fig. 14] tripla femidiametri BA, ut fiât R focus fuperficiei con-
vexse KBC, deinde ponitur GE sequalis duabus tertijs GR; tumque erit E focus
lentis KBC, ut conftat ex [Propof. XIV, Part. I, Lib. I.] 4) ex qua apparet
infuper foci diftantiam GE proxime eandem efle quse fuit fuperiori lentis pofitu.

A n-^

V , V a' ,

y — ■ I ' ' 2a'

formule qu'on obtient facilement par la résolution de l'équation

DC=

:^ = AD^ -\- AC^ — 2 ^G. AT) = x^ -\- a- — 2x {a — ^j.

en développant en série l'expression irrationnelle.
Pour y = I elle donne :

«=§î+-HÏ+--

3) Comparez le dernier alinéa de la Prop. XI V , p. 83 du Tome présent.
'♦) Comparez la p. 83 du Tome présent.

286 DE l'aberration des rayons hors du foyer. 1666.

précédente de la lentille. Or, le rayon extrême HC parallèle à l'axe eft d'abord
réfrafté par la furface convexe KBC de manière à fe diriger vers le point P, de
telle façon que le rapport CP : PA devient égal à l'indice de réfraélion , c'eft-

* Prop. II, Part. I, à-dire à 3:2*; quittant enfiiite la lentille par la furface plane KC le rayon eft

•^* réfrafté de manière à fe diriger vers le point D , de telle façon que de nouveau

* Prop. III, Part. I, le rapport PC : CD devient égal à l'indice de réfraétion * et CD, par conféquent,

'^' ■^' égale à AP. Pour trouver AP il faut pofer AB=za, CG = b^ comme plus
haut , et AP = X. Nous aurons donc PC = f^r, et fidu carré ^xx de cette expref-
(ion nous retranchons les carrés PA = xx et CA ■=: aa^ le refte \xx —aa fera
égal au double du reélangle PAG, c'eft-à-dire à ^x \/^ aa — bb. De cette éga-
lité on tire x z=z^\/ aa — ^^ 4- 1 \/^aa — bb. Ayant trouvé ainfi la diftance
AP, à laquelle CD eft égale comme nous l'avons dit, on retranche le carré CG
du carré CD. Refte le carré GD , et fi l'on retranche GD de GE , il refte DE
comme aberration du rayon extrême.

Mais la même longueur DE peut être trouvée fans un fi laborieux calcul ,
attendu que pour une lentille planconvexe dont la furface con-
vexe reçoit les rayons, l'aberration du rayon extrême est
égale a \ fois l'épai ff eur de la lentille 3); et fi nous indiquons
les méthodes de calcul, c'eft feulement dans le but de donner à tout-le-monde
l'occafion de fe convaincre par des exemples numériques de la jufteffe de nos
règles. Pour la lentille confidérée on trouve par le calcul indiqué plus haut,
en pofant comme précédemment AB égal à 72 pouces et CG à i pouce, DE =
= rôo^oVoô pouce à peu près. Mais fuivant la règle, c'eft-à-dire en prenant
pour DE les J de l'épaiffeur BG, on obtient pour cette longueur la valeur
i obtint b à peu près.

Il apparaît par là combien l'aberration eft plus petite pour la même lentille
planconvexe lorfqu'on la place dans cette pofition que lorfque fa furface plane
reçoit les rayons parallèles. En effet, les fractions ^ et § font entre elles comme
7 eft à 27 , de forte que l'aberration eft à peu près quatre fois plus petite dans le
premier cas.

On peut auffi confidérer l'aberration due feulement à la furface convexe
KBC, laquelle eft repréfentée ici par PR, R étant le foyer de cette furface ; cette
longueur PR eft toujours égale à | BG *) , où BG repréfente la hauteur de la fur-
face convexe.

^) Voir la p. 15.
^) Voir la p. 17.
3) Voir, pour la manière dont cette relation a été déduite par Huygens, la première partie du

§ I de l'Appendice I, p. 355 — 357. Par des procédés analogues à ceux indiqués dans la

note 2, p. 284, on trouve en employant les notations de cette note:

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. 1666.

287

[Fig. 14.] Radius autem extremus HC axi parallelus a fuperficie con-

vexa KBC primum fleéticur verfus P, ita ut CP ad PA habeat
rationem quse eft refraélionis, nempe 3 ad 2 *; deinde ex * Propos. [ii,
fuperficie plana KC egrediens refringicur verfus D, ut PC ^^"•^' Lib. i.]')
ad CD rurfus habeat rationem quae eft refraftionis *, ita ut * Propos, [iii,
CD proinde aequalis fit AP. Ad inveniendam vero ^P, ^*"'^'^'*''**^*^
pofitis ut ante AB oo a\ CG 00 ^, AP vero oo x\ erit PC do
oo|a;. à cujus quadraco |xx, fi auferantur quadrata PA 00
00 XX et CA 00 tftf , quod reftat ^xx—aa sequabitur duplo
reétangulo PAG hoc eft ixX^ aa—hh. Ex qua aequatione
fit ^ 30 f \/^aa — hb-\-f l/^^aa — bb. Itaque inveftigatâ
fecundum bsec AP, cui aequalem diximus CD, aufertur
deinde ab hujus quadrato quadratum CG; unde relinquitur
quadr. GD. ablata autem GD à GE, reftat DE aberratio
radij extremi.

Eadem vero DE abfque tanto calculi laborc haberi poteft,
quia In lente planoconvexa cujus convexa
fupcrficies radios parallelos excipit, aber-
ratio raidij extremi eft^craffitudinislentis^).
Atque eo tantum fupputandi methodos defcribimus ut has
régulas veras eflTe quivis per numéros examinare pofllt. Et in hac quidem lente
pofita AB ut ante pollicum 72; CG poUicis i , invenitur prsediélo calculo DE do
DO -ri-ioooo o unius pollicis proximè. Secundum regulam vero, hoceft,fumtâ
DE 00 l craflltudinis BG , fit ipfa proxime xoVo^oyoo-

Patet autem hinc quanto minor aberratio fit in eadem lente planocon-
vexa hoc modo coUocata, quam fi plana ejus fuperficies radios parallelos
excipiat. ficut enim ^ ad | ita 7 ad 27 , adeo ut aberratio fere quadruplo
minor fit.

Poteft etiam folius fuperficiei convexœ KBC aberratio confiderari , ut hic PR,
cum R fit focus illius fuperficiei : Eftque PR femper aequalis J BG ^) five altitu-
dinis convexi.

y3 2 yg -j- 2 y' (y— l)(v3— 2v2-|-2)— I ^

v(v l)

ce qui amène pour v = | :

^ +

2yJ

I_i_

«==|^-îV5-^+

*) Plus généralement on trouvera

4 r

PR= , ^ . V-_|_.. c'estàdire,poury=^,PR = f^ — à'V^4-...

288 DE l'aberration des rayons hors du foyer. 1666.

Suppofons maintenant que la lentille confidérée IC [Fig. 15] foit biconvexe et
que le point A repréfente le centre de la furface IBC qui reçoit les rayons paral-
lèles, tandis queNefl: le centre de la furface IMC, par lesquels palTe la droite NA
qui foit prolongée des deux côtés. Nous confidérons comme donnés les rayons
AB et NM , et le rayon GC de la lentille. Si nous appelons E le foyer de la len-
tille IC et que nous prenons BR = 3 BA et MX = 3 MN, nous devrons avoir
RX : RN = RM : RE ')• Or, les trois premières longueurs, RX, RN et RM, font
connues, car comme AB ou AC efl donnée et CG auffi, AG fera également con-
nue. Et de même NG fera connue vu que NC et CG le font. Mais la longueur
AR elle auiïi eft donnée , vu qu'elle ell égale à 2 AB , et de même NX =r 2 NM.
Par conséquent la longueur entière RX fera donnée , ainfi que RN et RM. Il
en réfulte que la quatrième proportionelle RE fera également connue.

Suppofons enfuite que le rayon extrême parallèle à l'axe, HC , acquière après
la première réfraétion à la furface IBC une direélion telle que, s'il confervait
cette direétion, il rencontrerait l'axe au point P, et que par la deuxième réfraction
à la furface CMI ce rayon acquière la direétion de la droite CD rencontrant
l'axe au point D. L'aberration du rayon HC eft donc DE , qu'on trouvera de la
façon fuivante.

Suppofons la droite NZ parallèle à CP et puifle le prolongement de CD la
couper au point Z. Soit en outre CV une perpendiculaire à NZ et NF une per-
pendiculaire au prolongement de PC. On trouve donc premièrement AP,puif-
que AB et CG font données , de la même manière qu' auparavant dans le cas de
la lentille planconvexe '). Or , AP eft à PC comme 2 eft à 3 3) ; par conféquent,
la grandeur PC elle auffi fera donnée. Mais AP et AR étant données, PR l'eft
également; et fi nous retranchons PR de RN qui eft connue d'après ce que nous
avons démontré , il refte PN. On a enfuite PC : CG = PN : NF (ou CV) ; par
conféquent, cette dernière grandeur fera également connue.

Nousdevons maintenant confidérer NZ comme l'axe de la furface convexe CYl
qui dirige le rayon FC parallèle à l'axe vers le point Z fitué de telle manière
que le rapport NZ : ZC eft égal à l'indice de réfraélion , c'eft-à-dire à 3 : 2 4);
NC et CV étant données on pourra donc trouver NZ de la même manière qu'
auparavant dans le cas où la lentille planconvexe fe trouvait dans fa première
pofition 5). Mais les triangles femblables ZND et CPD font voir que ZN : CP =
= ND : DP ; et , par compofition , que la fomme de ZN et de CP eft à CP comme
NP eft à PD. Or, nous avons fait voir que les longueurs ZN, CP et NP font don-
nées; il en réfulte que la longueur PD elle auffi eft connue. Mais PR eft égale-
ment connue. DR l'eft donc auffi, et fi de cette dernière l'on retranche la
longueur RE antérieurement trouvée, on obtiendra l'aberration cherchée DE du

') Voir la p. 87 4u Tome présent.

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. 1666.

289

Ello jam propofita lens utrinque convexa IC [Fig. 15], fitque fuperficiei IBC,
quae radios parallèles excipit, centrum A; fuperficiei vero IMC centrum N, per

quae tranfiens axis lentis NA utrimque produétus fit. datas
autem ponimus femidiametros AB, NM, et femidiame-
trum lentis GC. Jam fi E ponacur focus efle lentis IC
et fumatur BR tripla BA et MX tripla MN , debebit efl[e
ut RX ad RN ita RM ad RE '). Dantur autem très iftae
priores RX, RN, RM, nam quia AB feu AC dataeft
itemque CG, dabitur et AG. fimiliterque propter datas
NC, CG dabitur NG. fed et AR datur, quippe dupla
AB , et NX dupla NM. Ergo tota RX data erit nec non
RN et RM. Quare et quarta proportionalis RE data erit.
Ponamus jam porro radium extremum, axi parallelum,
HC, poft refraftionem primam in fuperficie IBC ita
ferri, ut cum axe concurfurus fit in P, altéra deinde
refraétione in fuperficie CMI flefti fecundum reélam CD
quîe axi occurrat in D. Aberratio itaque radij HC eft DE,
quse hoc modo invenietur.

Sit NZ parallela CP , atque ei occurrat produéta CD
in Z. Sitetiam CV perpendicularis ad NZ, et NF perpen-
dicularis in PC produétam. Primum itaque ex datis AB ,
CG invenitur AP ficut paulo ante in lente planocon-
vexa''). Efl: autem AP ad PC ut 2 ad 3 3) ergo et PC data
erit. Ex datis autem AP et AR, datur PR; qua ablata ab
RN, quam datam ofl:endimus, relinquitur PN. ficut porro
PC ad CG ita PN ad NF five CV , itaque et haec dabitur.
Jam confideranda efl: NZ tanquam axis fuperficiei con-
vexae CYI, quae radium axi parallelum FC itafleftit verfus
Z, ut NZ ad ZC habeat rationem quae efl: refraélionis,
hoc eft , 3 ad 2 '^) ; unde ex datis NC et CV invenietur
NZ , eodem modo atque fuperius in prima pofitione lentis
planoconvexae s). Jam vero propter triangula fimilia ZND,
CPD, erit ZN ad CP ut ND ad DP ; et componendo, ZN
una cum CP ad CP ut NP ad PD. datas autem oftendimus ZN, CP, NP : ergo et
PD hinc data erit. datur autem et PR. Ergo et DR. à qua fi auferatur RE jam

*) Voir la p. 287.

3) Voir la Prop. II , Part. I , Lib. I , p. 1 5 du Tome présent.

*) Voir la Prop. III , Lib. I , p. 17

5) Voir la p. 285.

37

290 DE l'aberration DES RAYONS HORS DU FOYER. 1666.

rayon HC. Et c'efl cette méthode qu'on devrait fuivre pour calculer exaétement
cette aberration.

Mais nous avons trouvé ^) pour ce cas auflî une règle abrégée qui nous permet
de déterminer la ligne DE d'une manière femblable à celle dont nous nous Tom-
mes fervis dans le cas précédent de la lentille planconvexe et avec le même degré
de précifion, en évitant le travail du calcul rigoureux. En effet, après avoir
trouvé feulement BG et GM à l'aide des longueurs données AB , NM et CG ,
nous aurons, en pofant la longueur totale BM, c'eft-à-dire l'épaiffeur de la
lentille , égale à ^, le rayon AB égal à ^ , et NM à n ,

Pjp, ^jaaq + 6 anq + 7 nnq ^^

en d'autres termes : l'épaifleur BM de la lentille fera à l'aberration DE du rayon
extrême comme 6 fois le carré d'une ligne égale k la fomme de A B et de N M
eft à la fomme de 27 fois le carré AB, de 6 fois le reélangle AB,NM et de 7
fois le carré NM. Cette règle, de même que celles que nous donnerons dans la
fuite, a été trouvée en négligeant des quantités fort petites; ce que nous avons
fait pourtant avec le difcernement qui était nécefTaire.

Si donc, par exemple, la lentille IC eft une lentille biconvexe symétrique,
c'eft-à-dire fi a-=n^ la longueur DE deviendra égale à f de l'épaifteur BM. Il
s'enfuit qu'une lentille fymétrique de ce genre et qui poffède une largeur et une
diftance focale égales aux grandeurs correfpondantes d'une lentille planconvexe,
dont la furface convexe eft fituée a l'extérieur, rafîemble les rayons parallèles
moins bien que cette dernière. En effet, puifque l'épaifTeur de ces lentilles eft la
même d'après la prop. III 3), les rayons qui tombent fur la lentille planconvexe
atteindront l'axe dans un efpace égala ^ fois l'épaifTeur, tandis que pour la
lentille symétrique l'efpace correfpondant fera égal à | fois l'épaifTeur (qui eft la
même): ces deux intervalles feront donc entre eux comme les nombres 7 et 10.

Si nous fuppofons que les rayons AB et NM foient entre eux comme 2 eft à
5, c'eft-à-dire que a foit compofé de 2 et « de 5 parties, la diftance DE deviendra
égale d'après cette règle à |^, où ^ repréfente l'épaifTeur de la lentille. Une len-
tille de cette efpèce eft donc équivalente fous ce rapport à la lentille planconvexe
confidérée ^). De cette façon on peut aifément examiner la valeur relative de
diverfes lentilles quelconques pofTédant des furfaces convexes de courbure
inégale.

Mais fi l'on demande de déterminer le minimum, c'eft-à-dire de chercher la
forme de la lentille qui donne une aberration DE moindre que celle due à toute
autre lentille, je trouve s) qu'on doit avoir AB : NM = i : 6 '^) et qu' alors la

') Consultez sur la déduction de cette règle la première partie du § 3 de l'Appendice I,
p. 360 — 364 du Tome présent.

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. 1 666. 2Ç 1

ante inventa, relinquetur DE aberratio radij HC quxfita. Et h»c quidem metho-
diis ad exaélam fiipputationem adhibenda eflet.

Invenimus ') aiitem et hic Regulam compendiofam qua, abfque labore illo,
lincani DE, (icut in prsecedenti lente planoconvexa, atqiie sequc accuratc defînire
licet. Rcpertis enim tantummodo BG, GM, ex datis AB, NM, CG; ponen-
doqiie totam BM, hoc eft, lentis craffitudinem oo ^. femidiametrum AB do ^;

NM 00 n. Erit DE oo ^^^^^+^^^^ + 7^^^^),hoc eft,ficut fexciiplumquadra-

tum lineae seqiialis duabiis AB, NM, ad vigintifeptuplumquadratum AB,plus
fexcuplo reélangulo AB, NM, pUis feptuplo quadrato NM, ita erit craflitudo
lentis BM ad aberrationem radij extremi DE. Quse régula ut et fequentes quas
dabimus inventa efl: negleélis minimis, fed necefTario cum deledtu.

Si itaque, exempli gratia , lens IC fuerit sequaliter utrinqiie convexa, hoc efl:, fi
^7 30 «, fiet DE 00 I craffitudinis BM. Unde patet lentem utrimque aequaliter
convexam, latitudine et foci difl:antia ijfdem, cum lente planoconvexa, cujus
convexum exterius fitum fit, non «que bene atque illam radios paralleloscolligere:
talium enim lentium sequalis cum fit craflitudo, ut oftenfum propof. [III] 3),
convenient radij in planoconvexa intra ^ fuse craflitudinis; at in hac œqualiter
convexa intra ffuse, hoc efl, ejufdem craflîtudinis. quorum intervallorum pro-
portio efl ea quse 7 ad 10.

Quod fi femidiameter AB ad NM ponatur ut 2 ad 5; hoc efl:, a partium 2 , et «
partium 5; fiet ex hac régula DE œqualis ^q five craflîtudinis lentis. adco ut
hujufmodi lens sequiparanda fit diélse planoconvexae 4). atque ita facile in quibus-
libet inasqualium convexorum lentibus inveftigari potefl: quanto quœque meliorfit.

Qucefita vero minimi determinatione, hoc efl:, qusenam forma lentis faciat aber-
rationem DE reliquis minorem, invenio s) debere efle AB ad NM ut i ad 6 "^^ ; ac

^) On trouve plus généralement pour l'aberration DE :

a^4- ( 2v ]an4-( V — i -\ — ^ >- ) «*

y — I ' \ y — ly ' \ ' vCv — 1) y ,

Ça -\- ny '

où V représente l'indice de réfraction. On peut obtenir ce résultat assez facilement en suivant
pas à pas les indications données dans le texte; pourvu qu'on néglige à tout moment les petites
quantités qui sont du second ordre par rapport à l'épaisseur q de la lentille.

3) Voir la p. 277 du Tome présent.

^^3 Voir la deuxième et la quatrième partie du § 3 de l'Appendice I , pp. 365 et 367 — 368 du
Tome présent.

5) Voir la troisième partie du § 3 de l'Appendice I et surtour l'erç^xa du 6 août 1665, p. 366 —
367 du Tome présent. Ajoutons encore, que le résultat ici énoncé fit partie des anagram-
mes envoyés en septembre 1669 au secrétaire de la Société Royale de Londres (voir les
p. 486— 487 du T. VI).

<') Dans le cas général, où v représente l'indice de réfraction, on trouve AB : NM = (4 -j-î' —
— 2v*): (sv^-f-v).

292

DE l'aberration DES RAYONS HORS DU FOYER. 1666.

[Fig. 17]-

diftance DE devient égale à Ij de répaiffeur '). Cette lentille-là
doit donc être confidérée comme la meilleure de toutes; quoique
la lentille planconvexe ne lui foit pas beaucoup inférieure.

Il faut remarquer toutefois que le rayon AB doit toujours être
confidéré comme appartenant à la furface qui eft expofée aux
rayons. Car cette même lentille la plus excellente de toutes
devient beaucoup moins bonne, lorfqu'on la retourne : elle donne
alors une aberration DE égale à ^^ fois fon épailTeur =*).

Si l'on demande enfuite de déterminer l'aberration DE du
rayon extrême , lorfque la diftance focale de la lentille et le rayon
de courbure de la furface extérieure font donnés , on peut de la
façon fuivante déduire une nouvelle règle de celle qui précède.
Soit d la diftance focale , et foit comme plus haut AB = a^ NM =

4f

lan

:=n Qt l'épaifTeur de la lentille = ^. Attendu quei= ,

comme cela reflTort de la propof. XVI, Part. I, Liv. l3),on
aura n =z — ■ , . En fubftituant partout cette valeur de « dans

Q-a—d

la formule précédente— ^^ — ^ ^-^—-^ — ^ = ED , on trouvera

l'jaaq — ^\adq + jddq

6aa

6Ça-\-ny
EDO-

Pour une lentille concavo-convexe la méthode du calcul eft la
même que pour une lentille biconvexe , foit que la furface convexe reçoive les
rayons parallèles, foit qu'ils tombent fur la furface concave. Nous avons ajouté ici
deux figures [Fig. 1 6 et 17] correfpondant à ces deux cas. Il faut obferver cepen-
dant qu'ici ce n'eft pas la fomme des longueurs NZ et CP mais leur différence qui
eft à CP comme NP eft à PD.

Si nous attribuons aux lettres les mêmes fignifications qu' auparavant , c'eft-à-
-dire que le rayon AB de la furface extérieure IBC eft repréfenté par ^, le rayon
NM de la furface IMC par «, et BM , l'épaifTeur de la lentille, par q, la règle qui

fert à trouver ED , fera exprimée par la formule ED = ^7^aq-^am^7^H s\

Q,'/aaq—6anq + 'jnnq^

Mais dans le deuxième cas, où ^ > «,on trouvera ED :

6(a—ny

).

') Voir la conclusion de la troisième partie du § 3 de l'Appendice I, p. 367 du Tome présent.

Dans le cas général on trouve DE = ( i — -5_ J A _ .i 3 ^

V 4^~4v(y— i) "^vCv-f-a)/^'

*) En général, DE = T 4 v — 3

II

4v '" 4v(v — i) v(vJ^^

y.

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. 1666.

293

[Fig. 16.]

tum qiiidem fit DE œqualis i J *) craflîtudinis. adeo ut haec lens optima omnium

cenfenda fit. quanquam planoconvexa non multum ei cedat.

Notandum autem femidiametrum AB femper fumi ad eam
fuperficiempertinerequîE radios parallelos primum excipit.
Nam hœc eadem lens optima, fi in vertatur,multo deterior fit,
facitque aberrationem DE aequalem ^^ craflitudinis fuae *).
Porro fi ex data lentis foci dift:antia, ac femidiametro
convexi exterioris invenienda fit aberratio DE radij ex-
tremi; ex précédente régula habebitur alia hoc modo.
Nempe fi foci difliantia fit oo d^ et ficut prius AB co a^

NM 00 n^ craflîtudo lentis oo q. quoniam ^eft: oo

a -\- n
ad

ut

patet ex propof. [XVI, Part. I, Lib. I] 3),erit n oo ^ ,.

quo ubique fubrogato in locum n in Régula priori
i-jaaq + 6anq + -jnnq ^ ^^ ^^^ l'jaaq-i^adq^-'jddq ^

6qu. <^4-« ' daa

00 ED 4).

In menifco eadem ratio eft fupputandi, quas in lente
utrimque convexa,five convexa fuperficies radios parallelos
excipiat, five cava; cujus utriufque cafus figuram hic
adfcripfimus [Fig. i6 et 17]; illud tamen obfervandum
non fummam fed dilFerentiam duarum NZ, CPefl^ehicad
CPutNPadPD.

Pofitis vero literarum fignificationibus ijfdem, qua2
prius, ut nempe femidiam. AB fuperficiei exterioris
IBC fit a, fuperficiei IMC femidiam. NM 00 «, et BM
„ , , . .1 T^TA 17 aaq — 6anq-\-7nnq .^
craflîtudo lentis 00 q. Régula ad mveniendam ED 00 -^ 6qu n—a — ^*

^ ^ . . r-T^. n , . . r T-T-i 17 auq^danq-^-^nriq ^^
Pofteriori vero [Fig. i7],ubi^major quam«,fitED oo —^ — ^ ^J_^ )-

3) Voir le dernier alinéa de cette Proposition , p. 89 du Tome présent.

4) Voir le début de la troisième partie du § 3 de l'Appendice I, p. 366. On a en général:

DE =

(2y+i)^^+(^v+i-~)

s) La règle se déduit immédiatement par le changement du signe de n de celle qui précède et
qui y correspond dans le cas d'une lentille convexe des deux côtés; toutefois Huygens^en a
donné une déduction indépendante qu'on trouvera dans la première partie du § 4 de l'Ap-
pendice I , p. 368 — 369.

'') Comparez le § 5 de l'Appendice I,p. 371-

294 DE l'aberration des rayons hors du foyer. 1666.

A l'aide de ce réfultat les lentilles concavo-convexes quelconques peuvent,
elles auffi, être comparées entre elles et avec les lentilles biconvexes. Si, par
exemple, dans le premier cas [Fig. 16] nous prenons le rayon NM de la furface
concave égal à trois fois le rayon AB, c'eft-à-dire fi ^ = i et /? =: 3 , la difl:ance
ED deviendra égale à 3^, c'eft-à-dire à trois fois l'épaifTeur BM. Mais dans la
meilleure lentille, définie plus haut, l'aberration DE ne ferait égale qu'à || de fon
Prop. m 0. épaifTeur, la diftance focale et la largeur, donc auffi l'épaifl^eur *, étant les mêmes
que pour la lentille concavo-convexe IBCM. Il apparaît ainfi qu'une lentille
concavo-convexe de ce genre concentre les rayons environ trois fois plus mal que
cette lentille la meilleure de toutes.

Mais non feulement qu'aucune lentille concavo-convexe n'efi: auffi bonnequ'une
lentille planconvexe, dont la furface fphérique efl: placée à l'extérieur: on peut
même dire qu'elle efl: d'autant plus mauvaife que l'une de fes deux furfaces efl: plus
concave, la diftance focale et la largeur gardant les mêmes valeurs. Dans le premier
cas cela peut être démontré comme fuit. Défignons de nouveau par la lettre ^la

diftance focale. Vu qu'elle eft égale à — — , comme cela reflbrt de la propof. XVI ,

dfi
Part.I, Liv.I ^), on aura<âf= -,. Subftituant partout cette valeur de a dans

la première règle , on trouvera DE = -^ — i- — ^ — ^ — ^ — ^ ou l — ^ H- | — -h
° 6nn ^ nn ^ n

H- ^ ^. On en conclut aifément que plus «, c'eft-à-dire le rayon NM, eft petit,

plus la diftance DE fera grande s); et que, quelque grande que foit la valeur

qu'on donne à «, DE fera toujours supérieure à ^ </.

Dans le fécond cas, celui où la furface concave de la lentille concavo-convexe

eft tournée à l'extérieur, on aura «= -^, parce que ^, la diftance focale, eft

égale à . En fubftituant partout cette valeur de n dans la deuxième règle on

trouve DE = ^^ — ^ — -^ — ^ — ^ — ^ ou ^q 4-^+7 — f. Cette formule montre

6aa ^^ a ^ aa

que plus ^, le rayon de la furface concave, eft petit, plus la diftance DE devient
grande; et que, quelque grande que foit la valeur qu'on donne à ^,'DE fera tou-
jours fupérieure à ^/ q ou § q. Il en réfulte qu'une lentille planconvexe, même
lorfque fa furface plane eft placée à l'extérieur, eft toujours meilleure qu'une
lentille concavo-convexe, dont la furface ^concave eft également tournée vers
l'extérieur. En effet, il a été démontré qu'une lentille de ce genre donne une
aberration DE égale à § fois fon épaifteur '^).

') Voir la p. 277 du Tome présent.

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. 1666.

295

Secundum quae et menifci quilibet inter fe et cum lentibus utrimque convexis
comparari poiïunt. Ut fi, exempli gratia, in priore cafu [Fig. i6], ponatur
fuperficiei cavae femidiameter NM tripla femidiametri AB, hoc eft, ^st oo i , w oo 3.
fiet ED 00 3^, hoc ed, tripla craflitudinis BM. At in lente optima fiipra definita,
cujus foci diftantia ac latitudo eadem eflet qii« menifci IBCM, ac proinde
eadem quoque craflîtudo*, aberratio DE tantiim H haberet craflitudinis fiiae, * Propos, [iii]').
itaque apparet menifcum hujufmodi fere triplo deterius radios parallelos colligere
quam lens illa omnium optima.

Sed nec ullus menifcus tantum praeftat quantum lens planoconvexa, cujus fphae-
rica fuperficies extrorfum collocatur. et tanto quifque pejor eft quanto magis
cavam fuperficiem alteram habuerit, eadem fcilicet manente foci difl:antia ac lati-
tudine. quod in priore quidem cafu fie fiet manifefl:um. Sit rurfus foci diftantia

30 d. Ergo quia haec aequalis.efl: ut patet ex propof. [XVI, Part. I, Lib. I] ")

fi U

dfi
erit^ 30 -,, quo fubfl:ituto ubique in locum a in Régula harum priori, fiet DE oo

00 i- — 2 — ^ — 1 — Z — 1 (ive \ — ^ + I + ff ^- Ubi facile perfpicitur quominor

fumetur n hoc efl: femidiameter NM , eo majorem fore DE 3). Et quantumlibet
magna fumetur n , femper DE majorem fore quam ^ q.

Secundo cafu, cum nempe cava fuperficies menifci extrorfum converfaeft,

quia foci difl:antia d oo , erit n 30 ji quo ubique fubftituto in locum

^ a—n 2a-i-d^ ^ ^

n in pofteriori régula fit DE oo V^l + ^^^dq + rddq ^^^ ,^ ^ 4^ ^ ,^

Ubi manifeflium efl:, quo minor fumetur ^, hoc efl: femidiameter fuperficiei cavae,
eo majorem fieri DE. Et quantumvis magna fumetur ^, femper DE majorem fore
quam ^^^ five §^. adeo ut lens planoconvexa, licet plana fuperficies extrorfum
collocetur, femper tamen melior fit menifco cujus cavitas itidem extrorfum con-
verfa fit, oftenfum enim efl: eam lentem facere aberrationem DE oo fcraflîtu-
dinis fuse '*).

^^ Voir, p. 89, le dernier alinéa qui se rapporte à la Prop. XVI.

3) Déjà plus tôt dans la deuxième partie du § 4 de l'Appendice I , p. 369— 37°» Huygens avait
trouvé (par l'application de la formule qui exprime DE en a, d et q) qu'il n'y avait pas
d'aberration minimale dans le cas considéré; maintenant il est en possession d'une formule,
qu'on ne retrouve pas dans cet Appendice, à l'aide de laquelle la nature de la relation entre
l'aberration et le rayon de courbure de la surface concave se montre plus clairement.

^) Voir la p. 285 du Tome présent.

296 DE l'aberration DES RAYONS HORS DU FOYER. 1 666.

Proposition V.

Chercher quelles font parmi toutes les lentilles concaves
celles qui difperfent le mieux les rayons parallèles.

Nous entendons par „lentilles concaves" toutes les lentilles capables de dif-
perfer les rayons parallèles, même lorfqu'elles ont une de leurs furfaces plane
ou même convexe '). Parmi elles il faut dire qu'une lentille quelconque difperfe
d'autant mieux les rayons qu'elle leur donne à moins de chofe près des direftions
telles qu'ils femblent provenir d'un point unique, en d'autres termes, que les
rayons réfractés prolongés en fens inverfe interceptent fur l'axe une plus petite
diftance.

Confidérons d'abord la lentille planconcave KBCOI [Fig. 18] dans le cas où
la furface plane 01 reçoit les rayons parallèles; foit A le centre de la furface con-
cave, ABE l'axe de la lentille et HO le rayon parallèle'extrême qui traverfera
la furface plane fans être réfrafté. Suppofons qu'en quittant la furface concave ce
rayon foit réfraété de manière à acquérir la direétion de la droite CL laquelle pro-
longée en fens inverfe coupe l'axe au point D. Le point de difperfion de la lentille
foit défigné par E; on trouve ce point en prenant BE = 2BA, comme cela refTort
de la propofition XI , Part. ï , Liv. I '*).

Cette propofition fait voir auffi 3) que tous les rayons parallèles moins diftants
de l'axe que HO, rencontrent l'axe en un point plus voifin de E que celui où LCD
coupe l'axe; c'eft-à-dire lorfqu'on prolonge tous ces rayons réfraétés en fens
inverfe. L'aberration due à cette lentille ert donc la diftance DE. Pour la trouver
il faut fuivre la même méthode de calcul que pour la lentille planconvexe. En effet,
prolongeons HC vers Q, prenons la droite CG perpendiculaire à AB et tirons
la droite CA; fi nous fuppofons alors que KBCGdéfigne une lentille planconvexe,
fur laquelle tombe le rayon QC parallèle à l'axe , il eft nécefîaire que ce rayon
foit réfraété de telle manière au point C fitué fur la furface KBC qu'il tombe
en fuite dans le prolongement de CL, rayon réfraété provenant du rayon
Prop. I, Part. I, HC *. Il fuivra donc la voie CD, et l'on calculera de la même manière que plus
haut pour la lentille planconvexe s) le point où cette droite CD coupe l'axe AE.
Comme dans ce cas-là l'aberration ED fera donc dans celui-ci égale à § fois
l'épaiffeur OC ou BG de la lentille , épaiffeur qui eft trouvée ici, comme aupara-
vant, à l'aide des grandeurs données AB et XZG.

*) Comparez la deuxième définition , p. 277 du Tome présent.
^} Voir la p. 41 du Tome présent.

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. 1666.

297

[Propositio V.]

[Fig.i8.]

Concavarum lentium quaenam melius radios parallèles dif-
pergant inveftigare.

Concavarum nomine omnes eas lentes intelligimusquae radios parallelosdifper-
gere aptse funt, etfi akeram fuperficierum planam, aiit etiam convexam habeant ').
Earum vero tanto melius quaeque difpergere radios dicenda eft^quantopropius
ita eos inclinât ut tanquam ab unopunfto manare videantur,five ut refraétiones
eorum rétro produétae intra minimum fpatium cum axe lentis conveniant.

Sit primum lens planoconcava KBCOI [Fig. i8],fuper-
ficie plana OI radios parallelos excipiente, centrum vero
fuperficiei concavse fit A, axis lentis ABE ; radius autem axi
parallelus extremus fit HO, qui planam quidem fuperficiem
irrefraétus tranfibit. ex cava autem egrediens ita frangatur ut
pergat fecundum CL, quae rétro produâ:a conveniat cum axe
in D. Punélum autem difperfus lentis fit E, quod invenitur
ponendo BE duplam BA , ut confl:at ex propos. [XI, part. I ,
lib. I] =).

Ex qua etiam apparet 3), radios omnes parallelos qui minus
ab axe difl:ant quam HO, propius concurrere ad punftum E
quam LCD, fi nempe fimiliter refraéliones eorum rétro pro-
ducantur. Eli itaque lentis hujus aberratio DE, quœ ut inve-
niatur eadem eft calculi ratio atque in lente planoconvexa.
Produéta enim HC verfus Q, fadtaque CG perpendiculari ad
AB, junétaque CA, fi putemus lentem planoconvexam efîe
KBCG, in quam cadat radius axi parallelus QC,neceneert
eum ita refringi in C, punéto fuperficiei KBC , ut refraétio
ejus fit in direélum refractioni CL radij HC *. itaque incedet fiscundum CD. * Prop. [i. Part, i,
cujus proinde concurfus cum axe AE , eodem calculo quo fupra in lente piano- '••-!>'
convexa invefl:igabitur s). Quemadmodum igitur illic ita et hic erit aberratio
ED aequalis § craflîtudinis lentis OC, five BG. quae craflîtudo invenitur ut illic
exdatisAB,CG.

3) C'est-à-dire en consultant de même la p. 37 delà Prop. IX, Part. I, Liv. I.

'*) Voir la p. 13 du Tome présent.

5) Voir les pp. 283 et 285 du Tome présent.

38

298 DE l'aberration DES RAYONS HORS DU FOYER. 1666.

Mais dans la même lentille placée dans la pofition inverfe [Fig. 19], celle où
la furface concave KBC eft expofée aux rayons parallèles, deux réfractions des
rayons fe produifent. En eiFet, le rayon HC eft réfraété d'abord au point C et fe
meut en fuite félon Cx qui, prolongée en fens inverfe, doit couper l'axe en un point
P; quittant enfuite la lentille au point k par la furface plane ce rayon fe dirige
fuivant une droite kL qui, prolongée en fens inverfe, rencontre l'axe en-deçà
du point P, fuppofons en D. Or, la diftance BE (\u point de difperfion de la len-
tille ainfi placée eft de nouveau égale au double de BA *); et l'on trouve l'aber-
ration ED du rayon extrême de la façon qui fuit.

D'abord le rayon Ck, provenant de la réfraélion du rayon HC à la furface con-
cave KBC, tombe fur la même droite que le rayon réfraélé qui proviendrait du
rayon OC parallèle à l'axe de la lentille fi la furface CBK était convexe. Par con-
féquent, la diftance AP du point de concours de la droite Ck prolongée au centre
A fera trouvée de la même manière que plus haut dans le cas de la lentille plan-
convexe *). Et on a de nouveau ici AP : PC = 2:3. La diftance PC fera donc
également donnée. Mais GP:PC=:BP:Px. Cette dernière fera donc aufti
connue, et l'on tirera Bx de la confidération des mêmes triangles femblables. Mais
comme le rayon Ck acquiert par la deuxième réfraélion une direétion kL telle
que, fi kL rencontre l'axe au point D, le rapport Px : xD devient égal à l'indice
de réfraétion du verre, c'eft-à-dire à 3:2, et que Px eft donnée, il en ré fuite
que kD fera également connue. Et fi du carré de cette dernière diftance nous
retranchons le carré de Bx, nous obtiendrons le carré de BD, donc auflî BD elle-
même, et enfuite aufli la longueur DE.

Or, de même que pour la lentille planconvexe dont la furface fphérique eft
placée à l'extérieur, de même auflî pour la lentille planconcave ainfi placée l'aber-
ration ED eft à peu près égale à ^ fois l'épaisseur CO ou GB.

Il faut donc dire que de cette façon une lentille concave difperfe beaucoup
mieux les rayons parallèles que lorfqu'elle les reçoit d'abord fur fa furface plane.

Confidérons maintenant une lentille biconcave IBCKB/ [Fig. 20]. Soit A le
centre de la furface IBC expofée aux rayons parallèles et N celui de l'autre fur-
face /BK. L'axe NA de la lentille qui traverfe ces deux centres doit être fuppofé
prolongé dans les deux fens. Etant donc donnés les rayons AB et NM, la diftance
BE du point de difperfion des rayons parallèles fera également donnée. En effet,
fi l'on prend BR égale à 3BA et MX 3) égale à 3MN, il eft certain qu'on aura
*Prop.xvii, RX:RN = RB:RE*; d'où il apparaît que RE,et,par conféquent, aufli EB,
Part.i,Liv.n). font connues.

') Comparez la Prop. XV , Part. I , Liv. I, à la p. 85 du Tome présent.
') Voir les pp. 285 et 287.

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. 1666:

299

[Fig. 19].

At in eadem lente contrario modo collocata , ut nempe fuperficies cava KBC
[Fig. 19] radios parallelos excipiat, duae fiunt radiorum refraétiones. radius enim
HC primum in C frangitur, ferturque inde fecundum C>c,
qu3e rétro produéta cum axe convenit in P, ac rurfus ex
plana fuperficie egrediens in k pergit fecundum xL, quae
rétro produfta convenit cum axe citra punftum P, puta
in D. Eli: autem diftantia BE punéli difperfus lentis ficpofitae
dupla rurfus BA ') : Inveniturque aberratio radij extremi
ED hoc paélo.

Primum refraélio radij HC fafta in fuperficie cava KBC

nempe Cx in eandem reélam convenit cum refraélione radij

OC axi lentis paralleli fi fuperficies CBK convexa foret,

adeoque invenietur AP intervallumquodiftatconcurfuspro-

duélae Cx, à centro A, eodem modo atque fupra in lente

planoconvexa ^); efl:que hic rurfus AP ad PC ut 2 ad 3.

j^— — ^ — ^Ic Ergo et PC dabitur. Sicut autem GP ad PC ita BP ad Px.

' ■ ^""^ Ergo et hsec data erit , et ex eadem triangulorum fimilitu-

dine dabitur et Bx. Jam vero cum fecunda refradtione radius

Ck ita infleélatur in xL, ut, concurrente ea cum axe in D ,

ratio Px ad xD fit eadem quae refraéliones vitri metitur,

nempe quae 3 ad 2; dataque fit Px. etiam xD dabitur, a cujus

quadrato auferendo quadr. Bx, habebitur quadr. BD, unde

et ipfa BD , ac proinde et DE.

Efl: autem ficut in lente planoconvexa, cujus fphaerica fuperficies exterior poni-

tur, ita et in hac lentis concavoplanae pofitione, aberratio ED proximè | craflltu-

dinis CO five GB.

Adeo ut hoc modo longe melius radios parallelos hsec lens cava difpergere
dicenda fit quam cum fuperficie plana illos primum excipit.

Efl:o autem jam lens utrinque cava IBCKB/ [Fig. 20]. Sitque fuperficiei
IBC, quae parallelos radios excipit, centrum A alterius vero fuperficiei iBK
centrum N. per quae tranfiens axis lentis NA utrimque produftus intelligatur.
datis igitur femidiametris AB, NM, dabitur et BE diftantia pundti difperfus
radiorum parallelorum. faétis enim BR tripla BA, et MX 3) tripla MN,
confiât eflTe ut RX ad RN ita RB ad RE *; unde RE, ac proinde et EB, datam
eflTe liquet.

Part

[Prop. XVII,
.I,Lib.I]*).

3) Les points B et M coïncident; mais considérez toujours les définitions de la p. 277.
^') Voir la p. 91 du Tome présent.

300 DE l'aberration des rayons hors du foyer. 1666.

Suppofons enfuite que le rayon extrême parallèle à Taxe HC fuive après la
première réfraétion à la furface IBC la voie Cx, de telle manière que ce rayon
prolongé en fens inverfe rencontre l'axe au point P; et que par la deuxième
réfraélion à la furface iMK ce rayon acquière la direélion de la droite xL qui,
prolongée en fens inverfe, coupe l'axe au point D. L'aberration du rayon extrême
HC efl: donc DE, laquelle, comme nous le montrerons, doit être trouvée ici un
peu autrement que pour la lentille biconvexe '). Mais il faut remarquer d'abord
que, quoique la furface tMK foit fuppofée prolongée jufqu'à x et qu'elle ait donc
une étendue un peu plus grande que la furface IBC, nous confidérons cependant
ici comme épaiffeur de la lentille la longueur Gy égale à CK,c'efl:-à-dire à la
partie de la droite HC qui eft interceptée par les deux furfaces. De même il faut
confidérer comme ouverture de la lentille le double de CG, et non pas le
double de la diftance du point x à l'axe.

Suppofons maintenant que NZ foit parallèle à CP et que le prolongement de
kD la coupe en Z. Menons enfuite une perpendiculaire xV à NZ et une autre
NF au prolongement de Px.

D'abord on trouve donc AP et PC, d'après les longueurs données AB et CG,
comme plus haut dans le cas de la lentille planconcave. Mais AP et AR étant
données, on connaît aufli PR et fi l'on retranche cette longueur de RN , qui eft
donnée, il refte PN. On fait enfuite que le rapport des longueurs données PC
et CG eft égal au rapport PN:NF; et en retranchant le carré de cette dernière
longueur du carré de N;6, on obtient comme refte le carré de ;cF. Mais comme
PC eft à PG (qui eft connue, vu que AP et AG font connues), ainfi eft PN à PF,
et fi l'on en retranche la longueur trouvée xF, il reftera Px. En confidérant de
nouveau NZ comme axe de la furface concave kYi qui réfraéle le rayon Ck
de telle manière que, fi l'on prolonge kL jufqu'au point Z, on a NZ : Zx = 3 : 2,
on trouvera la diftance NZ au moyen du rayon donné NY et de Vk, qui eft égal
à la longueur trouvée NF, de la même façon qu'antérieurement dans le cas de la
lentille planconvexe dans fa première pofition ^). Mais la fimilitude des triangles
DP;c et DNZ nous conduit à la relation NZ : Px = ND : DP; d'oij l'on tire, par
compofition, que la fomme de NZ et ?k eft à Vk comme NP eft à PD. Si l'on
ajoute cette longueur PD à la longueur donnée PR et qu'on retranche RE de leur
fomme , il reftera ED qui était demandée. Voilà la méthode exacte de ce calcul.

Mais la même diftance ED peut être trouvée fans qu'on prenne la peine de faire
ce calcul , d'après une règle entièrement identique à celle qui nous a fervi pour
la lentille biconvexe 3). En effet, en pofant comme dans le cas de cette lentille
AB = ^, NM = «, et l'épaifteur de la lentille qui eft ici CK o\iGyz=q,on

') Voir la p. 289 du Tome présent.
*) Voir les pp. 283 et 285.

DE ABERRATIONE UADIORUM A FOCO. 1666.

301

Ponamus porro radium extremum HC , axi paral-
lelum, poil refraétionem primam in fuperficie IBC,
ita ferri fecundum Cx, ut, rétro produélus, conveniat
cum axe in P. Akera vero refraélione, in fuperficie
<MK, flefti eum fecundum xL, quae rétro produfta
conveniat cum axe in D. Aberratio itaque radij extremi
HC eft DE, quam paulo alia ratione hic inveniri
oftendemus quam in lente utrinque convexa '). Sed
prius animadvertendum eft, licet fuperficies /MKad
K produéla intelligatur, atque ita paulo amplius pateat
quam fuperficies IBC, craffitudinem tamen lentis eam
hic ftatui Gy qux eft aequalis CK parti nimirum reélse
HC inter fuperficiem utramque interceptae. ficut et
apertura lentis dupla CG cenfenda eft, non vero
diftantia dupla ab axe punéli k.

Sit jam NZ parallela CP; atque ei occurrat pro-
duéta kD in Z. ducatur deinde kV perpendicularis ad
NZ , et NF ad Px produftam.

Primum itaque ex datis AB, CG, inveniuntur AP ,
PC, ut modo in lente planoconcava. Ex datis autem
AP, AR datur PR, qua ablata ab RN quae data eft,
relinquitur PN. Porro ficut PC ad CG quae datae funt
ita PN ad NF, cujusquadrato fubtrafto a quadr. Nx,
reliquum erit quadratum >cF. Sicut autem PC ad PG ,
(quae data eft , propter datas AP , AG) ita PN ad PF,
à qua fi auferatur inventa xF, fupererit Px. Confi-
deratâ jam rurfus NZ tanquam axe fuperficiei cavae
kYi , quae radium Ck ita fleétit , ut produéla xL ad Z ,
fit NZ ad Zk ut 3 ad 2 , invenietur ex data femidia-
metro NY et Vx,quae aequalis eft inventas NF, diftantia
NZ,eodem modo atque fupra in lente planoconvexa ac
pofitione ejus prima ''). Propter triangula autem fimilia
DPx, DNZ , erit ut NZ ad Px ita ND ad DP , et com-
ponendo ut utraque fimul NZ , Px ad Px ita NP ad PD. qua addita ad datam PR ,
et ablata ab utrifque RE, fupererit ED quae requirebatur. Ethaec quidem calculi
ratio exaéla.

Verum eadem ED , régula prorfus fimili atque in lente utrinque convexa 0 ,
invenitur abfque illo calculi labore. Nam pofita ut illic AB oo ^;NIVI oo «,
et cralfitudine lentis quae hic eft CK five Gy, co q, fit femper ED oo

5) Comparez la p. 291.

302

DE l'aberration DES RAYONS HORS DU FOYER. 1666.

K

M

X^'

aura touiours EU = — — ^-^7 — . \^ — - M

avec une

approximation telle que la différence eft négligeable par
rapport à la diftance ED elle même.

Au moyen de cette formule toutes les lentilles bicon-
caves peuvent être comparées entre elles et l'on peut trou-
ver combien chacune d'elles difperfe les rayons mieux
qu'une autre. La meilleure fera trouvée par la détermi-
nation du minimum, laquelle fera néceflairement identique
h celle qui fe préfentait dans l'étude de la lentille bicon-
vexe **). On trouve donc que aetn, c'eft-à-dire les rayons
AB et NM, doivent être entre eux comme i eft à 6 3). Il
en réfulte qu'une lentille de ce genre doit être confidérée
comme meilleure que toutes les autres pour corriger la
vue des myopes et auffi pour rendre parallèles les rayons
qui fe dirigent vers un point unique quelconque.

Mais comme dans les télefcopes la lentille convexe anté-
rieure ne concentre pas parfaitement tous les rayons en un
point unique, il s'enfuit que fi l'on cherche la lentille con-
»I cave la plus apte à les rendre parallèles et à les transmettre
^i à l'oeil dans cette condition , il ne faut aucunement choifir
la lentille à rapport fextuple dont nous avons parlé , mais
d'autres lentilles moins parfaites, telles que par leurs défauts
ceux de la lentille convexe foient compenfés et corrigés'^);
de forte qu'onpeut obtenir par cet artifice des effets prefque
auffi excellents que ceux qu'on efpère des lentilles de forme
elliptique ou hyperbolique. Mais nous en dirons plus un
peu plus loin s^.

Ces lentilles moins parfaites mais plus utiles poflMèdent
une furface convexe et une furface concave faifant partie
d'une plus petite fphère. Or, le calcul relatif à ces lentilles
eft à peu près le même que pour une lentille biconcave.
Mais il y a deux cas : la furface concave peut être tournée
du côté des rayons parallèles incidents, ou bien c'eft la fur-
face convexe qui leur eft oppofée , comme on peut le voir
dans les figures ci-jointes [Fig. 21 et 22]. Il faut remarquer
à leurpropos que ce n'eft pas la fomme mais la différence des
deux longueurs ZN et xP qui eft à xP comme NP eft à PD.

Attribuons aux lettres les mêmes fignifications que dans
le cas de la lentille biconcave , c'eft-à-dire repréfentons par a le rayon AB de la
furface qui reçoit d'abord les rayons , par « le rayon NM de la deuxième furface

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. 1666.

303

^ 27^^^ 4- 6anq + ynnq ,. . . .

[Fig. 21.] 00 6qu a\-n — -^ * ^^"^ P^ope nimirum ut nul-

lius momenti fit difFerentiarefpeélii ipfius ED.

Secundum hsec omnes lentes utrimque cavae inter fe
comparari pofîiint, ac qiianto quseque melius radios
difpergat reperiri. Optima autem ex minimi determina-
tione invenietur, quae hic neceflario eadem eft atque in
lente utrimque convexa''); ut nempe ration ad /7,hocell
femidiametri AB ad NM fit ea quœ i ad 6 3). Adeo ut
hujufmodi lens ad corrigendam myopum vifioncm om-
nium optima cenferi debeat. nec non ad radios , qui ad
unum aliquod punftum feruntur parallelos efficiendos.

Sed quoniam in telefcopijs lens anterior convexa non
perfeéle ad punétum unum radios infleélit, hinc fit ut
fi cava quaeratur quse optime ad parallelifmum eos redu-
cat, atque ita ad oculum tranfmittat, nequaquam illa
quam diximus rationis fexcuplae deligenda fit, fed alise
minus perfeélae, quarum nempe vitijs compenfantur ac
corriguntur vitia lentis convexae '^), ut idem pêne , quod
de EUipticse ac hyperbolicîe figurae vitris rperatur,hac
arte confequi liceat. Qua de re paulo poft pluribus
agetur s).

Sunt autem ifl:a imperfediora fed ufu meliora quibus
fuperficies altéra convexa, altéra ex minori fphaera con-
cava, in quibus calculi methodus eadem plane quae in
lente utrimque cava. duplex autem cafus , quia vel cava
fuperficies radijs parallelis obvertitur, vel convexa, ut
in adjeélis fchematis [Fig. i\ et 22] videre efl:. In qui-
bus obfervandum, non fummam fed difFerentiam dua-
rum ZN , >tP efle ad xP ficut NP ad PD.
Pofitis vero literarum fignificationibus ijfdem quse in lente utrimque cava , ut
nempe femidiameter AB, fuperficiei quae primum radios accipit , fit ^ , femidia-

') Comparez pour la déduction de cette formule le § 6 de l'Appendice I, p. 371 — 375 du Tome
présent.

*) Voir la p. 291 , en bas.

3) Consultez encore le § 5 de l'Appendice I , vers la fin , aux p. 374 — 375.

'») L'idée de compenser l'aberration sphérique de l'objectif par celle de l'oculaire s'est présentée
à Huygens en septembre 1665 , comme cela résulte d'une lettre à de Sluze du onzième de ce
mois. Nous n'en possédons (voir p. 477 du T. V) que le sommaire où on Ht: „Inventionem
me invenisse œmulandi hyperbolicîe figur» perfectionem lentibus sphaericis se mutuo corri^
gentibus in telescopio ex duabus tantum composito."

S) Voir la Prop. IX , p. 319 — 331, qui fait partie des „Rejecta ex dioptricis nostris."

304 DE l'aberration DES RAYONS HORS DU FOYER. 1666.

et par q l'épailTeur CK, ou Gy, de la lentille. La règle qui fert à trouver l'aber-
ration ED du rayon extrême fera exprimée dans le premier cas par la formule

ED = — Z — ^-^ ^.-^ — ^, et dans le deuxième cas, où a '> «, par la for-

mule ED = -^ — j~ ^ ^ — ^ ^). Or, il apparaît que ces formules font abfo-

lument les mêmes que celles que nous avons données plus haut dans le cas des
lentilles concavo-convexes ^). Elles nous permettront de comparer entre elles les
lentilles concaves confidérées et de déterminer les grandeurs relatives des aber-
rations propres à chacune d'elles. On peut démontrer en général que la même
lentille convexo-concave placée comme dans le fécond cas, c'eft-à-dire de
telle façon que fa furface convexe reçoit les rayons, difperfe moins bien ces
rayons que lorfqu'elle eft retournée. En effet, fi les deux figures [Fig. 21 et 22]
repréfentent la même lentille mais dans des pofitions différentes et que, par confé-
quent, NM dans le deuxième cas efl: égale à AB dans le premier cas , defquelles
l'une et l'autre s'appelle a , et que, de même, AB dans la deuxième figure efi:
égale à NM dans la'première defquelles l'une et l'autre s'appelle «, il efl: évident

que dans le deuxième cas on aura ED =: — — ^^^7 ^^, ^ — ^ . Mais dans le

^ 6{n—ay

premier nous avions ED = —^ — ^^ v~^ — • Comme n eft plus grand que

a et que, par conféquent, o.ynn-^-'jaay- lyaa-^'/nn^ il apparaît donc que la
diftance ED fera toujours plus grande dans le deuxième cas que dans le premier.
Et il eft aifé de voir que la même chofe eft vraie pour une lentille concavo-con-
vexe placée dans les deux pofitions confidérées.

De même que nous avons démontré 3) que toute lentille concavo-convexe con-
centre les rayons d'autant plus mal que l'une de fes deux furfaces eft plus concave,
lorfque la diftance focale et la largeur de la lentille reftent invariables, de même
auffi nous pourrons faire voir ici qu'une lentille convexo-concave difperfe les
rayons parallèles d'autant plus mal que l'une de fes deux furfaces eft plus convexe.
En effet , comme ME , ou d^ diftance du point de difperfion , eft égale ici , dans

, . , ^an ,. ^ -, dn ,,

le premier cas, a _ '^j et que, par conféquent, ^=^ ^, on trouvera d après

dî2
la première règle, en fubftituant partout pour a l'exprelfion -j, DE =

7 ddq-\- â.dnq-^jnnq jddq „ dq ^ ,^ ^ . ^ . . ,

= — ^ — ^ — - — - — - ou ^Y~^ "•" f + 1 ^- Cette formule fait voir que plus

la valeur qu'on prend pour « eft petite, plus la diftance DE fera grande, et qu'elle
fera toujours fupérieure à ^q.

Dans le fécond cas on aura f? = -,, attendu que dr= -^ — . En fubfti-

2a-\-d^ ^ a—n

305

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. 1666.

meter fuperficiei alterius NM fit «; craflitudo lentis CK five Gy dicatur ^;
Régula ad inveniendam aberrationem radij extremi ED, priori cafu eritilla,

ED 00 -^ — ^ ^—^ — ^. Pofteriori vero, ubi a major quam «, erit haec, ED dd

00 — ^ — V^ — ^ — - — — ')• Quas apparet plane eafdem efîe quasantein menifcis

dedimus ^). Poterimus autem fecundum bas comparationem inftituere lentium
hujufmodi cavarum , et quanto quseque majorem aberrationem faciat definire. In
univerfum vero oftendi poteft lentem eandem convexoconcavam , ita collocatam
ut in cafu horum pofteriore, ut nempe fuperficies convexa radios parallelos
accipiat, minus bene eos difpergere, quam fi aliter inverfa fit. Sienim in sche-
mate horum utroque [Fig. 21 et 22] lenseadem fed diverfo pofitu intelligatur ,
fitque proinde NM cafu pofl:eriore aequalis AB in priore, ac utraque dicatur ^:
item AB in pofteriore aequalis NM in priori, atque utraque dicatur n: mani-

feftum eft, pofteriore cafu fore jam ED do ^ ^ ^ — ^ — ^. At priore erat

ED 00 -—^ — ^ i_Z — i_, Ergo cum n fit major quam a ideoque 2ynn -\- yaa

major quam ijaa + 7««, apparet ED pofteriore cafu femper majorem fore quam
priori. Atque idem in menifco diverfimode collocato obtinere perfpicuum eft.

Quaporrorationemenifcus quifque tantopejus radios colligere oftenfus fuit 3),
quanto magis cavam fuperficiem alteram habuerit,manenteeademfocidiftantia
ac latitudine lentis , eâdem poterit et hic de lente convexoconcava oftendi , tanto
pejus eam radios parallelos difpergere, quanto magis convexam alteram fuperfi-
ciem habuerit. Etenim cum hic, priore cafu, fit punéti difperfus diftantia ME,quae

dicitur ^, aequalis '^) : ideoque /? oo -,, fict ex priore régula, fubftituto

ubique ^ in locum «, DE co ràdq+^dnq+ymq ^^^^ 7ddq_ ^ à . r^ q.

ubi patet, quanto minor fumetur « tanto majorem fore DE, ac femper majorem
fore quam ^ q,

Rurfus fecundo cafu , cum fit d 00 , erit n 00 — ,, quo ubique repofito

') Le manuscrit auquel nous avons emprunté l'Appendice I (voir la note i de la p. 355),
contient encore à la p. 27 une déduction directe de cette dernière formule; mais la voie
suivie ressemble tellement à celle que nous avons reproduite dans le § 6 de cet Appendice ,
p. 371 — 374, pour la déduction de la formule correspondante dans le cas d'une lentille
biconcave, que nous avons cru pouvoir supprimer cette déduction.

*) Voir la p. 293 du Tome présent.

2 ) Voir la p. 295 du Tome présent.

^) D'après la Prop. XVII, Part. I, Lib. I; voir à la p. 93 Pavant-dernier alinéa qui se rap-
porte à cette proposition.

39

3o6

DE l'aberration DES RAYONS HORS DU FOYER. 1666.

tuant partout cette expreflion à n dans la féconde règle, on trouve DE =
ijaaq -t- ^^adq + jddq ^ ^dq

I -^. Cette formule fait voir que plus

la valeur de a eft petite , plus la diftance DE, ici aufli, devient grande, et qu'elle
doit toujours être fupérieure à §^. Voilà donc les formules qui permettent d'exa-
miner le degré dans lequel chaque lentille convexe ou concave a le pouvoir de
concentrer ou de difperfer les rayons; mais avant de montrer leur utilité, nous
devons commencer par établir les deux théorèmes fuivants.

Proposition VI.

Prop. I *).

Dans des lentilles de largeurs diverfes, convexes ou con-
caves, dont les fur fa ces expo fées aux rayons ont la même
courbure, et dont les furfaces oppofeés ont également la
même courbure quoique différente de la première, ou qui
poffèdent chacune une fur fa ce plane, les aberrations des
rayons extrêmes parallèles à l'axe font entre elles comme
les épaiffeurs des lentilles, ou bien comme les carrés des
largeurs.

On démontre facilement à l'aide de ce qui a été établi à la propof. I ^) que les
épaiffeurs de différentes lentilles de ce genre font entre elles comme les carrés de
leurs largeurs. En effet, fi elles font biconvexes comme le premier couple des
lentilles ici repréfentées, ACBD et FHGK [Fig. 23] , dont les épaiffeurs ou les
axes font CD et HK , et qu'on confidère donc dans ce cas les droites AB et FG
comme définiant la largeur des lentilles, lefquelles droites coupent CD et HK en
E et en L ; il eft certain , attendu que ACBE et FHGL font des fegments de cer-
cles égaux, que leurs hauteurs CE et HL
feront l'une à l'autre comme le carré AB eft
au carré FG *, bien entendu à fi peu de chofe
près pour les petites parties des cercles confi-
dérées ici que la différence n'eft d'aucune im-
portance. Pour la même raifon DE fera auffi à
KL comme le carré AB eft au carré FG, et,
par conféquent, l'épaiffeurCD toute entière
fera à HK comme le carré AB eft au carré FG.
Mais dans le cas des lentilles concavo-con-
vexes [Fig. 24] qui font confidérées ici en fécond lieu , nous conclurons auffi que
la différence des deux longueurs CE et DE eft à celle des deux longueurs HL et
KL, c'eft-à-dire, que l'épaiffeur CD eft à HK comme le carré AB eft au carré FG.
Dans le cas des lentilles biconcaves [Fig. 25], dont nous fuppofons que les fur-

a:

[Fig. 26.]
5

■ c9>

W*

I

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. 1666. 307

in lociim « in polleriore régula , fit DE oo -^ — ^ — ^ — ^-tZ — 1 five § ^ 4-

+ ^^ + z -~' Ubi apparet , quo minor fumetur a , eo majorem iterum fier!

DE : Eamque femper majorem fore quam § q. Et haec quidem ad examinandam
ciijufqiie convcxge aut cavae Icntis in colligendis aut difpergendis radijs facul-
tatem ac praeftantiam , quorum antequam utilitatem oftendamus, theoremata
duo fequentia praemittenda funt.

Propo[sitio VI].

In lentibus diverfarum latitudijnum, convexis aut concavis,
qux fuperficies radijs expofitas ex eadem fphara habuerint,
itemque adverf as fuperficies ex eadem fphara licet a priori
di y e rfa^ v el qua alteram harumfupe rfi cierum planamhabue-
rint^^^ aberrationes radiorum extremorum axi parallelorum
funt inter fe ficut lentium craffitudines, five etiam ut lati-
tudinum quadrata.

[Fig. 23.] Craffitudines lentium hujufmodi efle

^_„,J^-^.,^ H inter fe ficut quadrata latitudinum , facile

/{j^ A ^^^ '^'^ZS^^ oft:enditur ex demonfl:ratis propof. [I] 0-

" — i^"" K Si namque fint utrimque convexae, ut pri-

mum par hic depiétarum, ACBD , FHGK
L ig* 24-J [Fig- 23] , quarum craffitudines feu axes

H CD, HK. hic ergo duftis AB, FG reftis

fcr^ 'f.^^^^'^Ç quge latitudines lentium definiant , fecent-
"" que CD, HK in E et L ; confiât , quia feg-

menta ACBE, FHGL funt aequalium circulorum , fore eorum altitudines CE ad
HL ut quadr. AB ad quadr. FG *; tam prope nimirum in exiguis hujufmodi cir- * C^rop. i] *).
culorum portionibus ut nullius momenti fit difFerentia. Eadem ratione et DE erit
ad KL ut quadr. AB ad FG. ac proindeettotaCDadHKutquadr. ABadqu. FG.
In menifcis autem, qui fecundo loco hic ponuntur [Fig. 24],concludemuset
differentiam duarum CE, DE, efle ad differentiam duarum HL, KL,hoceft,
craffitudinem CD ad HK, ut quadr. AB ad FG.

In lentibus utrimque cavis [Fig. 25], quarum fuperficies ACB, aDb fefe

') La leçon primitive et la copie de Niquet donnent au lieu des mots en italiques : „tam ante-
riores quam pofteriores superficies ex ijsdem sphaeris habent, vel altéras
planas".

*) Voir la p. 273 du Tome présent.

3o8 DE l'aberration des rayons hors du foyer. 1666.

faces ACB et aDb, comme aiiflî FKG et fKg, fe touchent, et dont les épailTeurs
font Ee et Ll , la démonftration eft la même que dans le cas des lentilles bicon-
vexes. Et dans le cas des lentilles convexo-concaves elle eft identique à celle qui
a fervi dans le cas des lentilles concavo- convexe s. Enfin, dans le cas ou l'une des
deux furfaces, foit des lentilles convexes, foit des lentilles concaves, eft plane, la
démonftration eft manifefl:e d'après ce qui a été dit.

Il nous refte à démontrer que pour chaque couple de lentilles les aberrations
des rayons extrêmes font entre elles comme les épaifteurs. Pour les lentilles
planconvexes et planconcaves il eft manifefte qu'il doit en être ainfi, attendu
que pour ces lentilles-là l'aberration du rayon extrême eft égale, d'après ce
qui a été dit plus haut 0^ ^ § ^^^^ l'épaifteur des lentilles lorfque la furface plane
reçoit les rayons parallèles, ou à ^ fois la même épaifteur lorfque la furface fphé-
rique eft expofée à ces rayons. Mais dans le cas des autres lentilles compofées,
attendu qu'il reflbrt des règles énoncées plus haut que , lorfque les rayons des
deux furfaces reftent les mêmes 4^, le rapport de l'épaifteur de la lentille à l'aber-
ration ED [Fig. 15 — 22] du rayon extrême refte également le même, il s'enfuit
que cette aberration diminue dans le même rapport que l'épaifteur de la lentille ,
en d'autres termes dans le rapport des carrés des largeurs. Par exemple , comme
nous avons dit '^) que dans le cas de la lentille biconvexe l'épaifteur de la lentille
eft à l'aberration ED comme 6 fois le carré de la fomme des deux rayons de cour-
bure eft à 27 fois le carré AB + 7- fois le carré NM + 6 fois le reélangle AB,
NM, il en réfulte que le rapport de ces deux grandeurs refte le même lorfque les
rayons AB et NM ne varient pas Q et, par conféquent, que les aberrations
propres aux lentilles poftedant de telles furfaces convexes font entre elles comme
leurs épaifleurs.

Proposition VII.

Dans le cas d'une lentille quelconque, convexe ou con-
cave, les aberrations des rayons parallèles à l'axe font entre
elles comme les carrés des diftances de ces rayons à l'axe.

^) Lisez plutôt: „convexoconcavis"; voir la note 2 , p. 280.

*) La leçon primitive et la copie de Niquet intercalent: ,,autem'

-'') Voir les pp. 285 , 287 , 297 et 299 du Tome présent.

DE ABERRATIONE RADIOIIUM A FOCO. 1666. 309

contingere ponuntur, itemque FKG, fKg; quarumque craffitudines EeetLl,
eadem efl demonftratio , quae in utrinque convexis. Et in cavoconvexis ') , eadem
quîe in menifcis. Qiiod fi vero vel convexarum vel cavarum lentium altéra
luperficies plana fuerit , manifella ex his quse diéta funt ert demonltratio.

Supereil ^} \\t oftendainiis aberrationes radiorum extremorum in unoquoque
pari efle inter fe ut lentium craffitudines. quod in planoconvexis et planocon-
cavis quidem ita le habere manifeihnn eil , cum in his aberratio radij extremi ex
fupra fcriptis 3) fit vel § craffitudinis lentium , fi nempe plana luperficies radios
parallèles excipiat, vel ^ ejufdem craffitudinis, fi fphîerica fuperficies radijs diétis
exponatur. At in lentibus rcliquis mixtis, quum ex Regulis fupra tradicisappareat
mancntibus ijfdem femidiametris utriufque fuperficiei '^) eandem etiam manere
rationem craffitudinis lentis ad aberrationem radij extremi , ED [Fig. 15 — 22];
fequitur eadem proportione aberrationem hanc imminui qua decrcfcit lentis craf-
fitudo; hoc efî^fecundum rationem quam habent latitudinum quadrata s). Exempli
gratia, cum in lente utrimque convexa dixerimus '') efl"e ficut iexcuplum qua-
dratum compofitae ex femidiametris utriufque convexitatis ad vingintifeptu-
plum quadratum AB, plus feptuplo quadrato NM, plus fexcuplo reétangulo
AB , NM , ita craffitudinem lentis ad aberrationem ED. apparet rationem quœ
efl: inter bas eandem manere, manentibus femidiametris AB,NM ijfdem '),ac
proinde ficut craffitudines lentium talibus convexis prœditarum , ita efie inter fe
earum aberrationes.

Propos [iTio VU].

In lente quavis convexa aut cava aberrationes radiorum
axi parallelorum funt inter fe ficut quadrata dift antiarum
eorundem radiorum ab axe. .

'») La leçon primitive et la copie de Niquet intercalent: „vel tantum manente eadem pro-

portione semidiametrorum".
5) Aux lieux cités on trouve au lieu des mots en italiques: „manentibus nempe superfie-

rum convexitatibus vel cavitatibus ijsdem: imo etiam manente tantum eadem

semidiametrorum proportione".
'^) Vorr la p. 291 du Tome présent.
")Aux lieux cités on trouve intercalée la phrase: „vel ut eandem inter se rationem

servent".

310

DE l'aberration DES RAYONS HORS DU FOYER. 1666.

Dans le cas des lentilles concaves la démonftration de cette propofition eft la
plus facile: elle dépend de la démonftration précédente. En effet, foit ACBDCF
[Fig. 27] la lentille concave , CE fon axe et E fon point de difperfion. Sup-
pofons en outre que le rayon parallèle à l'axe qui frappe le point B foit dif-
perfé de telle manière que prolongé en fens contraire il rencontre l'axe au point
G, tandis qu'un autre rayon parallèle à l'axe mais plus près de ce dernier et
frappant le point H foit difperfé de telle manière que prolongé en fens inverfe
il coupe l'axe au point K. Pour qu'il apparaifte que l'aberration EG eft à
l'aberration EK comme le carré de la diftance du point B à l'axe eft au carré de
la diftance correfpondante du point H, il faut confidérer que le cas eft le même
que s'il y avait deux lentilles différentes DBA et NHF dont les demies lar-
geurs feraient égales aux diftances refpeétives des points B et H à l'axe. Et
comme les furfaces fphériques des deux lentilles font les mêmes , il réfulte de
la propofition précédente que leurs épaiffeurs BD et HN font entre elles comme
les carrés de ces demies largeurs. Mais comme les épaiffeurs BD et HN, ainfi font
entre elles les aberrations EG et EK. Par conféquent le rapport de ces dernières
eft de même égal à celui des carrés des diftances des points B et H à l'axe.

La démonftration eft femblable dans le cas de la lentille
planconvexe, lorfque la furface plane reçoit les rayons paral-
lèles. En effet, foit ACB [Fig. 28] une lentille de ce genre,
ayant l'axe DE et le foyer E, laquelle réfraéte les rayons pa-
rallèles qui tombent fur la furface convexe aux points B et H
après qu'ils ont traverfé la furface plane AB fans changer
de direélion ; fuppofons que ces rayons rencontrent l'axe aux
points G et K. On peut donc, après avoir mené à l'axe DC
la perpendiculaire HN, procéder de nouveau comme s'il
y avait deux lentilles planconvexes , dont les épaifîèurs font
DC et NC. Mais DCeftàNC, comme le carré BD eft au
carré HN; et l'aberration EG eft à l'aberration EK comme
DC eft à NC, attendu que EG = § DC ') et EK = § NC.
Par conféquent aulïï l'aberration EG eft à l'aberration EK
comme le carré BD eft au carré NH.
Suppofons maintenant la même lentille inverfement placée [Fig. 29] ,c'eft-
à-dire de telle manière que les rayons parallèles tombent d'abord fur la fur-
face convexe ACB , dont IC foit le rayon. Le foyer E peut donc être trouvé en
prenant d'abord CR = 3 CI et enfuite DE = | DR ^). Suppofons que le rayon

[Fig. 28.]

^) Voir la p. 285 du Tome présent.

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. I 666.

3"

In cavis lentibus facilior hujus rei eft demonftratio pendetque à proximè
prœcedenti. Sit enim lens cava ACBDCF [Fig. 27] cujus axis CE: punc-
tiim difperfus E. Radiufque axi parallelus in B punétum incidens ita difper-
gaciir ut rétro produétus conveniat cum axe in G. alius vero radius parallelus
axi, fed propinquior incidens in H punftum difpergatur ,
ita ut productus rétro conveniat cum axe in K. Ut igitur
appareat aberrationem EG efle ad EK licut quadr. diftan-
tiae punfti B ab axe, ad quadr. diftantiae pundi H,
confiderandum eft ita fe rem habere ac fi fint lentes
duœ diverfae DBA, NHF, quarum dimidiae latitudines
fint di6tx diftantiae punélorum B et H ab axe. Cumque
fphaericx fuperficies utrique lenti fint eaedem, patet ex
prop. pr«cedenti craflîtudines earum BD, HN, ita eflTe
inter fe ficut quadrata illarum dimidiarum latitudinum.
Sicut autem craflîtudines BD, HN, ita funt inter fe
et aberrationes EG, EK. Ergo et harum ratio eadem
eft quîe quadratorum à diftantijs punctorum B et H
ab axe.

Non abfimilis quoque demonftratio eft in lente plano-
convexa, cum plana fuperficies radijs parallelis oppofita
eft. Si enim fit lens hujufmodi ACB [Fig. 28] , axem
habens DE, focum E, in qua refringantur radij paral-
leli qui incidunt in punéta B et H,fuperficiei convexae,
poftquam planam AB irrefraâi tranfierint: occurrant
autem axi in G et K. Hîc igitur duélâ HN perpendiculari
ad axem DC, rurfus tanquam duse lentes planoconvexse confiderandae funt,
quarum craflîtudines DC et NC. ficut autem quadratum BD ad quadratum HN
ita eft DC ad NC; et ficut DC ad NC ita aberratio EG ad EK, cum EG
aequetur § DC ') , et EK | NC. Ergo ficut quadr. BD ad quadr. NH ita quoque
aberratio EG ad EK.

Sit autem nunc eadem lens contraria ratione difpofita [Fig. 29] , ut nempe
radij paralleli incidant primùm in fuperficiem convexam ACB, cujus femidia-
meter fit IC. Focus ergo E invenitur fumta primum CR tripla CI , ac deinde
pofita DE aequali | DR *). Ponatur radius extremus axi parallelus incidens in B,
convenire cum axe in G, adeo ut aberratio ejus fit EG, radius vero parallelus

0 Voir la Prop. XIV , Part. I , Liv. I à la p. 83 du Tome présent. Le point R foyer de la sur-
face BCA , remplace le point G de la Fig. 44 de la Prop. citée.

312 DE l'aberration DES RAYONS HORS DU FOYER. 1666.

extrême parallèle à l'axe qui tombe fur la lentille au point B rencontre Taxe au
point G , de forte que fon aberration foit EG , et que le rayon parallèle qui ren-
contre la lentille au point H fe meuve enfuite félon la droite HP qui coupe la
furface AB en S , où il eft réfraélé de nouveau , rencontrant ensuite l'axe au
point K , de forte que l'aberration de ce rayon foit EK. Il faut donc démontrer
que l'aberration EG eft à l'aberration EK comme le carré BD eft au carré HN.
Menons la droite HQ parallèle àSK;puifte-t-elle rencontrer l'axe en Q. Soit éga-
lement HT une parallèle à l'axe CD qui coupe la furface AB au point T; et fup-
pofons enfin que la droite KS prolongée rencontre la droite HT au point V.

Si nous confidérons maintenant la partie HCFN comme une autre lentille plan-
convexe, fon foyer O pourra être trouvé en prenant NO = |NR ^). Or, le rayon
extrême parallèle à l'axe qui tombe fur cette lentille au point H et qui eft réfrafté
d'abord à la furface BCA de manière à fe diriger vers le point P , fe mouvra
nécefîairement félon la droite HQ après la deuxième réfraétion à la furface plane
HN ; cette droite HQ étant parallèle à la droite SK fuivant laquelle le rayon fe
meut après avoir été réfraété à la furface BD. Par conféquent, QO ferait l'aber-
ration du rayon extrême de la lentille HCFN; et il eft connu que cette aberration
eft à l'aberration GE du rayon extrême de la lentille ACB comme le carré HN eft

* Par la Prop. au carré BD *. Si donc on démontre que l'aberration EK du rayon HH, après que
^^ ^' celui-ci a traverfé la lentille ACB, eft égale à l'aberration OQ, il s'enfuivra

aufli que l'aberration EG eft à l'aberration EK comme le carré BD eft au carré
HN. Mais c'eft ce qu'on démontre comme fuit : Comme le rapport PS : SK eft

* Prop. III, à peu près égal au rapport PD : DK ^) , et que le rapport PS : SK égale 3:2*,
Part. I, Liv. I •)• on aura auffi approximativement PD : DK =3:2. Mais comme PD eft à DK ainlî

HT eft à TV , à caufe de la fimilitude des triangles SPD , SHT et SKD , S VT.
Par conféquent , on a aufli à peu de chofe près HT : TV r=: 3 : 2 ; et par fuite HV
eft à peu près égale au tiers de HT. Mais HV = QK. La longueur QK eft donc
égale elle aufli au tiers de HT ou de ND. Mais comme d'après notre conftruétion
RE eft égale au tiers de RD et RO au tiers de RN, la diff'érence OE des longueurs
RE et RO fera égale au tiers de la difi'érence DN des longueurs RD et RN.
Il apparaît donc que OE = QK. C'eft pourquoi, en ajoutant ou en retranchant
(car ce cas -là peut auffi fe préfenter) des deux côtés la longueur OK , on aura
KE = QO. C'eft ce qu'il reftait à démontrer. Il faut entendre cette démon-
ftration en ce fens qu'elle eft valable fi l'on néglige de fort petites difi'érences qui
par rapport à KE et à QO ne font d'aucune importance. En ce même fens le
théorème fera vrai auffi pour toutes les autres lentilles convexes ou concaves,
comme nous l'avons trouvé par un calcul analytique "*).

') Voir la note 2, p. 311.

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. 1666.

313

[Fig. 29.]

incidens in punétiim H , feratur inde fecundum reftam HP quae fecet fuperficiem
AB in S , ubi facfla altéra refradlione , conveniat cum axe in K , adeo ut aberratio
radij hiijus fit EK. Oftendendiim eft igitur, quod fient quadr. BD ad quadr. HN
ita aberratio EG ad EK. Ducatur HQ parallela SK; atque occurrat axi in Q.
Sit etiam HT parallela axi CD, quae fuperficiei AB occurrat in T;acdenique
produéla KS occurrat ipfi HT in V.

Quod fi jam confideretur tanquam lens alia planoconvexa HCFN , ejus focus
O invenietur fumendo NO aequalem | NR *). Radius autem ejus extremus axi
parallelus qui incidit in H, primaque refraétione in fuperficie BCA fleftitur verfus
punétum P, is necefiario pofl: fecundam refradlionem in fuperficie plana HN

feretur fecundum HQ, quia haec parallela eft SK,
fecundum quam incedit refradlus a fuperficie BD. Efl^et
itaque QO aberratio radij extremi lentis HCFN; quam
conftat eiCe ad aberrationem GE radij extremi lentis
ACB, ficut quadr. HN ad quadr. BD *. Quare fi often-
datur aberrationem EK radij HH , trans lentem ACB
miflî, sequalem efl"e aberrationi OQ; patebit etiam efie
quemadmodum quadr.BD ad qu. HN ita aberrationem
EG ad EK. Illud vero fie oftenditur. quum PS ad SK
habeat eandem proxime rationem quam PD ad DK '') ;
ratio autem PS ad SK fit ut 3 ad 2 *, erit et PD ad DK
ut 3 ad 2 proximè. Sicut autem PD ad DK ita eft HT
ad TV, propter fimilitudinem triangulorum SPD,
SHT, et SKD, SVT. Ergo et HT ad TV proxime ut
3 ad 2 ; ac 'proinde HV proxime pars tertia HT. Sed
HV aequalis eft QK. Ergo et QK fimiliter pars tertia
HT vel ND. Cum vero ex conftruélione fit RE pars
tertia RD; et RO pars tertia RN; erit et differentia
duarum RE, RO, nempe OE, pars tertia difFerentiae
duarum RD , RN , quae eft DN. Itaque apparet OE
aequalem efie QK. quare fi utrique addatur OK , vel utrinque auferatur (nam et
hoc contingere poteft) erit et KE aequalis QO; quod oftendendum fupererat.
Haec autem intelligenda funt ita fe habere negledis minimis difFerentijs quae ref-
peélu ipfarum KE, QO nullius momenti funt. Qua ratione theorema in caeteris

Prop. prxc.

• [Prop. III,
Part. I, Lib. I.] »)

quoque omnibus convexis cavifque lentibus verum erit, ut calculo analytico
comperimus ^j.

')La leçon primitive et la copie de Niquet intercalent: „propter exiguam differentiam

inter PS , PD, et inter KS , KD."
3) Voir la p. 1 7 du Tome présent.
'*) Voir l'Appendice II à la présente Partie de la Dioptrique , p. 376—378.

40

314 DE l'aberration DES RAYONS HORS DU FOYER. 1666. PROP. ÉCART.

PROPOSITIONS ECARTEES DE NOTRE DIOPTRIQUE ')•

Proposition VIII '*).

Dans les lentilles de même efpèce les aberrations des
rayons extrêmes, parallèles à l'axe, ont entre elles un rap-
port composé du rapport des carrés des diamètres de l' ouver-
ture des lentilles et de celui des diftances focales pris inver-
fement. Mais les diamètres des cercles d'aberration 3) ont
entre eux un rapport compofé du rapport des cubes des dia-
mètres des dites ouvertures et du rapport inverfe des carrés
des diftances focales.

Nousdifons que deux lentilles font de même efpèce lorfqu'elles font, foit toutes
les deux planconvexes, foit l'une et l'autre biconvexes ou convexes d'un côté et
concaves de l'autre de manière que les rayons de courbure des deux furfaces, con-
vexes ou concaves, ont entre eux la même proportion. Et nous fuppofons ici de
plus que les lentilles font placées de la même façon par rapport aux rayons paral-
lèles qu'elles reçoivent, c'eft-à-dire que la furface la plus convexe de toutes les
deux lentilles fe trouve, foit du côté des rayons incidents , foit du côté oppofé.

Confidérons donc deux lentilles de
^^g-3°;^ [Fig. 31.] [Fig. 32.] ^^ g^^^^^ ç^^.^ ^g |-pig^ ^^-j p^y^g^.

^ ^^ '^ '^~^ ' -^'^^ — — ^^ ture de la première, CD fa diftance

focale, BEF le rayon réfraété cor-
refpondant au rayon extrême paral-
lèle à l'axe, lequel donne lieu à
l'aberration ED , et , par fuite , DF le
rayon du petit cercle d'aberration.
L'autre lentille eft cenfée avoir une
ouverture GH [Fig. 31] et une
diftance focale KL ; le rayon réfrafté
HMN, correfpondant au rayon inci-

*) Les quatre propositions (VIII - XI) qui suivent et qui sont publiées ici pour la première
fois faisaient partie pendant plusieurs années du manuscrit de la „Dioptrique". On les
retrouve de même dans la copie de Niquet. Or, vers 1673 , sous l'influence des découvertes
de Newton sur l'aberration chromatique, elles furent écartées du manuscrit en question et
réunies dans une couverture portant la suscription: „Rejecta ex dioptricis nostris". Voir,
pour plus de détails sur les circonstances qui déterminèrent leur rejet, r„Avertissement"
qui se trouve au début du Tome présent.

'^) Cette proposition et sa démonstration, desquelles on trouvera une autre leçon plus primitive
dans l'Appendice III à la présente Partie de la Dioptrique (p. 379 — 381) ont été rédigées

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. 1666. REJECTA.

REJECTA EX DIOPTRICIS NOSTRIS').

315

[Propositio VIII.] »)

In lentibiis ejufdem generis, aberrationcs radiorum extre-
morum, a xi paralleloriim, rationem habent compofitam ex
rationeqiiadratorum à diametris aperturae lentium, et ex ea
quam habent foci diftanti», contrarie fumta. Diametri vero
circellorum aberrationis 3) rationem habent compofitam ex
ratio ne eu boni m a dictisaperturaru m diametris, etexratione
quadratonim a foci diftantijs, contrarie fumta.

Lentes duas ejufdem generis efTe dicimus cum ambae vel planoconvexse funt,
vel utrinque convexae, vel cava et convexa fuperficie compofitse, ac femidiametri
utriufque convexi vel cavi eandem inter fe rationem fervant. Et hîc quidem fimi-
liter pofitas efTe infuper poftulamus refpeftu radiorum parallelorum quos exci-
piunt, ut nempe utriufque lentis fuperficies convexior ad illos obverfa fit vel ab
ijfdem averfa.

Sunto igitur duae ejufmodi lentes, quarum alterius apertura AB [Fig. 30] , foci
diftantia CD, radij extremi ad axem paralleli refraélio BEF, faciens aberrationem
ED, femidiametrum vero circelli aberrationis DF. Alterius vero apertura GH,
[Fig. 31] foci diftantia KL , radij extremi refraftio HMN, faciens aberrationem

après la Prop. IX qui suit, puisqu'on trouve en marge du Manuscrit des „Rejecta" l'anno-
tation suivante, écrite de la main de Huygens: „Inserenda ante propositionem pag.
20.", ce qui se rapporte à la Prop. IX.

3) C'est ici qu'apparaissent pour la première fois dans l'œuvre de Huy-
gens ces „cercles d'aberration"; la raison en est qu'il est arrivé à la
conclusion que la netteté de la vision dépend du diamètre de ces cer-
cles et non pas dé l'aberration sur l'axe, qu'il a considérée exclusive-
ment jusqu'ici. Voici, à ce propos, une annotation qu'on trouve à la
p. 23 du manuscrit dont il sera question dans la note i de l'Appen-
dice I , p. 355 du Tome présent:

„in pictura tabulae" [d'une chambre obscure] „considerandse
OQ non OL. in oculo vero si eadem proportione pictura
haec diminuatur, latitudincs OQ similiter minuentur. Sed fi
diminuatur pictura in oculo, jam tantoquoque minuiturOQ.
Puta primo tabulam idem efTe quod fundum oculi."
Comparez encore les p. 341 — 345 qui suivent. On remarquera d'ail-
leurs que les cercles d'aberration de Huygens ne sont pas identiques
avec ceux de la dioptrique moderne qui représentent la section minimale du faisceau de
lumière par un plan parallèle au plan focal. Toutefois les rayons des deux cercles ont entre
eux un rapport constant; voir la note i de la p. 390 qui suit.

3 l6 DE l'aberration des rayons hors du foyer. 1666. PROP. ÉCART.

dent extrême, y donne lieu à l'aberration ML, et LNrepré fente le rayon du cercle
d'aberration. Il faut donc démontrer en premier lieu que le rapport des aber-
rations ED : ML eft compofé du rapport AB^ : GH=^ ou CB^ : KH= et du rap-
port KL: CD.

Prenons une troifième lentille OP [Fig. 32], également de mêmeefpèce,
dont la diftance focale QR foit égale à CD, tandis que le rayon QP de l'ouverture
eft à la diftance focale QR comme HK ell: à KL. Soit PST pour cette lentille le
rayon réfraété provenant du rayon incident extrême, SR l'aberration correfpon-
dante et RT le rayon du cercle d'aberration.

Le rapport ED : ML ell compofé des rapports ED : SR et SR : ML , dont le
premier ED : SR eft égal à CB^ : QP^ 0, et le fécond SR : ML à QR (ou CD) :
: KL ^). Il en réfultc que le rapport ED: ML eft compofé des rapports CB=:
: QP- et CD : KL. Or, le rapport CB^ : QP* eft compofé à fon tour des rapports
CB* : KH= et KH^ : QP% ou KL= : QR% ou KL=^ : CD^ Mais le rapport CD : KL
eft égal à celui du carré CD au reélangle CD , KL. Le rapport ED : ML fera
donc compofé des rapports CB* : KH% KL= : CD* et CD* : CD. KL, mais le
rapport compofé des deux derniers rapports eft égal au rapport du carré KL
au reélangle CD, KL, ou à KL : CD. Le rapport ED : ML eft donc compofé du
rapport CB* : KH* et du rapport KL: CD, ce qui conftitue le premier théo-
rème qu'il fallait démontrer.

Nous démontrerons maintenant le fécond théorème , fuivant lequel le rapport
DF : LN eft compofé du rapport Cfis : KH3 et du rapport KL* : CD*.

En effet, le rapport DF : LN eft compofé des rapports DF : DE, DE : ML
et ML : LN, dont le premier DF : DE eft égal à CB : CE^ou CB :;CD (car
ici la petite différence ED eft négligeable) et le dernier ML : LN^à MK (ou
LK) : KH. Le rapport DF : NL eft donc compofé des rapports CB : CD , KL :
: KH et ED : ML. Mais le rapport compofé des deux premiers rapports eft égal
au rapport des reélangles BC, KL et CD, KH, c'eft-à-dire au rapport compofé
des rapports CB : KH et KL : CD. Le rapport FD : NL eft doncVompofé des
rapports CB : KH, ED : ML et KL : CD. Mais il a été démontré que le rap-
port ED : ML eft compofé des rapports CB* : KH* et KL : CD. Par conféquent,
le rapport FD : NL fera compofé des rapports CB : KH et CB* : KH*, qui enfemble
produifent le rapport CB^ : KH^, et de deux fois le rapport KL : CD. Il appa-
raît donc que le rapport FD : NL eft compofé des rapports CB^ : KH3 et KL*:
: CD*. C'eft là le fécond théorème que nous nous propofions de démontrer.

0 Par la Prop. VI , p. 307. En efFet, il est clair que pour les deux lentilles ACB , OQP doni les
rayons de courbure des surfaces antérieures et postérieures sont dans le même rapport les
distances focales seront proportionnelles à ces rayons. Si donc ces distances sont égales il faut
que les rayons le soient aussi. La proposition mentionnée est donc applicable.

*) À cause de la similitude complète des figures 31 et 32.

DE ABliRRATIONE RADIORUM A FOCO. 1666. RKJECTA.

3»7

[Fig. 30]. [Fiff. 31]. [Fig. 32]. ML, femidiametrum vero circelli aber-

rationis LN. Primo itaqueoftcndendum
eft aberrationem El) ad ML rationem
habere compofitam ex ratione quadrati
AB ad qii. GH , fivc qu. ÇB ad qu. KH,
et ex ratione KL ad CD.

Efto lens tertia OP [Fig. 32] ejuf-
dem quoque generis, cujus foci diiîan-
tia QR fit aequalis CD, aperturae vero
femidiamcter QP ad foci dillantiam QR
fe habeat ut HK ad KL. Rcfraftio
auteni radij excremi in hac lente fit PST, faciens aberrationem SR, et femidia-
metrum circelli aberrationis RT.

Quia ergo ratio ED ad ML componitur ex rationibus ED ad SR et SR ad ML;
quarum ED ad SR eadem quae quadrati CB ad qu. QP '); altéra SR ad ML
eadem quse QR fivc CD ad KL ^); apparet rationem ED ad ML componi ex
rationibus quadrati CB ad qu. QP et rcSix CD ad KL^. Ratio autem quadrati CB
ad qu. QP rurfiis compofita efl: ex rationibus quadrati CB ad qu. KH , et quadrati
KH ad qu. QP , five quadrati KL ad qu. QR, hoc cfi:, ad qu. CD. At ratio CD
ad KL efl: eadem quge quadrati CD ad reftangulum CD, KL. Itaque ratio ED ad
ML jam compofita erit ex rationibus quadrati CB ad qu. KH , et quadrati KL ad
qu. CD et quadrati CD ad reélangulum CD, KL: quse duœ pofl:eriores rationes
îequantur rationi quadrati KL ad recflang. CD, KL, five rationi KL ad CD. Ergo
ratio ED ad ML componitur ex ratione quadrati CB ad qu. KH et ex ea quam
habet KL ad CD , quod erat primum.

Nunc alterum quoque oftendemus nimirum rationem DF ad LN componi ex
ratione cubi CB ad cubum KH et ex ratione quadrati KL ad qu. CD.

Quia enim DF ad LN rationem habet compofitam ex rationibus DF ad DE et
DE ad ML et ML ad LN, quarum prior DF ad DE eadem eft quai CB ad CE
five CD, (nam exigua diffcrentia ED hîc nullius momenti eft,) poftcrior vero
ML ad I.N eadem quae MK feu LK ad KH. Componitur igitur ratio DF ad NL
ex rationibus CB ad CD , et KL ad KH et ED ad ML. Harum vero priores duae
conftituunt rationem reftanguli BC, KL ad reélang. CD, KH, hoc eft eandem
compofitae ex rationibus CB ad KH, et KL ad CD. Itaque ratio FD ad NL com-
pofita eft ex rationibus CB ad KH , et ED ad ML et KL ad CD. Demonftratum
vero fuit rationem ED ad ML componi ex rationibus quadrati CB ad qu. KH et
ex ratione KL ad CD. Ergo FD ad NL componetur jam ex rationibus CB ad
KH et quadrati CB ad qu. KH; quae fimul efficiunt rationem cubi CB ad cubum
KH ; et ex ratione KL ad CD duplicata. Patet itaque rationem FD ad NL com-
poni ex ratione cubi CB ad cubum KH et quadrati KL ad qu. CD. quod erat
alterum eorum quae demonftrando proponebantur.

3l8 DE l'aberration des rayons hors du foyer. 1666. PROP. ÉCART.

Proposition IX.

Compofer à l'aide de lentilles fphériques concaves et con-
vexes des télé fc opes plus parfaits que les télescopes ainfi
c o n f t r u i t s q u' o n connaît j u fq u' à ce jour et qui p u i ffe n t
égaler en perfection ceux qui font compofés de lentilles
elliptiques ou hyperboliques^).

Dans les télefcopes compofés d'une lentille convexe et d'une lentille concave,
il efl: néceflaire que les rayons parallèles, c'eft-k-dire , ceux qui proviennent d'un
point fort éloigné de l'objet, et qui font réunis en un point unique par la lentille
convexe, redeviennent parallèles par la réfraétion de la lentille concave et par-
viennent ainfi à l'oeil. Mais ni la lentille fphérique convexe ne peut rafiembler
exaélement en un point unique les rayons parallèles; ni la lentille concave, en
fuppofant qu'ils tendent réellement vers un point unique, ne peut les rendre de
nouveau exaélement parallèles. On a donc cru jufqu'ici que les furfaces fphé-
riques font, pour ces deux raifons, moins propres à cet ufage : personne ne foup-
çonnait que le défaut des lentilles convexes pût être corrigé à l'aide des lentilles
concaves. Mais nous démontrerons ici que cette corredlion efl: poffible et que , par
conféquent, les télefcopes de ce genre peuvent être rendus plus parfaits que ceux
qu'on conft:ruit ordinairement.

Si l'on pouvait également corriger à l'aide d'une lentille oculaire convexe
l'aberration de la lentille extérieure (en effet, pour obferver les étoiles il faut
néceffairement fe fervir de télefcopes compofés de lentilles convexes parce que
ceux-ci embraflfent un champ plus large) , rien ne ferait plus défirable dans cet
art ^). Mais il efl: certain que cette correélion mutuelle n'a pas lieu dans le
cas d'une combinaifon de deux lentilles convexes. Au contraire , le défaut de la
lentille extérieure efl toujours quelque peu augmenté par la lentille oculaire 3) et
il n'y a aucun moyen d'y remédier.

Mais lorfque la lentille convexe efl: combinée avec une lentille concave, la
méthode à fuivre fera la fuivante.

*) Comparez la note 4 de la p. 303.

■

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. l666. REJECTA. 319

Propos [iTio IX].

Ex lentibus fphaericis cavis et convexis telescopiacompo-
nere hactenus cognitis ejus generis meliora, perfectionem-
que eorum quae ellipticis hyperbolicisve lentibus confiant
ae m u 1 a n t i a ^).

Ciim in telefcopijs, ex convexa et concava lente compofitis, requiratur ut
radij paralleli, hoc eft, à punftolonginquo rei vif» venientes, atque opéra con-
vexae lentis verfiis punélum unum contra6li,lentis cavse refraftionerurfus paral-
leli fiant, atque ita ad oculuni perveniant; cumque nec lens fphaerica convexa
exaéte ad punélum iinum radios parallelos fleétere poflît; neque cava utjamad
punftiim unum tendant, exaftè deniio parallelos efficere, creditum eft haélenus
utraque de caufa fieri ut fphaericae fuperficies minus aptae eflent his ufibus,
nemine fufpicante vitium convexarum lentium lentibus cavis tolli polTe. Hoc
autem fieri licere, eoque telefcopia hujus generis praeftantiora quam folita fint
confi:rui , hic ollendere pergemus.

Quod fi perinde convexa lente oculo admota aberratio lentis exterioris corrigi
pofTet (ad fidera cnim fpeétanda ex convexis lentibus telefcopia componi necefîe
eft: quo amplius fpatium intercipiant),nihil in hac arte foret optabiliiis ^). Sedcer-
tum efl: in convexis inter se compofitis emendationem illam mutuam non reperiri.
Imo contra, vitium exterioris lentis a lente oculari augetur femper nonnihil 3)
neque id ulla ratione impediri potefl:.

In compofitione autem convexae lentis cum cava haec erit methodus.

*) Voici de cette phrase une leçon plus primitive, qui fut biffée et remplacée par celle du texte
avant que la copie de Niquet fut prise (en 1667 probablement): „Quod fi convexa lente
oculo admota aberratio lentis exterioris fimiliter corrigi pofl^et, nihil in hac
arte foret optabilius. Ad fidera enim fpedlanda ex convexis lentibus telefcopia
componi neceflTe eft quum lonp;a efl^e debeant multaequc mukiplicationis; nani
in his fi cava lens a parte oculi adhibeatur, tam exiguum fpatium vifu com-
prehenditur ut difficile fit ftellas invenire, et invent» fubito ob coeli motum
diffugiant."

3) Comparez la p. 341 qui suit.

320 DE l'aberration DES RAYONS HORS DU FOYER. 1666. PROP. ÉCART.

Suppofons donnée la grande lentille , c'eft-à-dire la lentille extérieure ABCD
[Fig. 33] du télefcope, laquelle a une diftance focale DE. Nous fuppofons
également donné le groffilTement, c'eft-à-dire le rapport fuivant lequel le télefcope
à conftruire doit agrandir les diamètres des objets; foit b : c^ par exemple lo : i ,
ce rapport. Divifons la droite DE en F de telle manière que DE foit à EF comme
^ eft à c, ou dans le cas confidéré comme loeftà i. Il eft connu que la lentille
Prop. v,^Part. I, concave doit être placée au point F pour que le grofliftement requis ait lieu *; il
faut bien entendu que le point de difperfion de cette lentille pour des rayons
parallèles venant du côté E foit le point E. Mais comme les furfaces de la lentille
ABCD font données, l'aberration propre à cette lentille fera également donnée,
c'eft-à-dire, le rapport de l'aberration du rayon extrême à l'épaifleur de la
lentille; foit/: g ce rapport. Par exemple fi la lentille ABCD eft de la meil-
leure forme telle que nous l'avons définie précédemment ^) , le rapport/: g fera

égal à 15 : 14, vu que l'aberration due à une lentille de ce genre eft égale à --

f
fois fon épaifleur. Prenons un nombre tel que c foit à b (ici i : lo) comme ^

o

(ici — ) eft à ce nombre ; ce nombre fera — (ici -^ ou '-^ ). Il faut alors trouver
\ 14/ ' c^V 14 7/

une lentille concave à placer au point F , ayant FE comme diftance du point

de difperfion et dont l'aberration du rayon parallèle à l'axe venant du côté

bf
E foit égale au produit de fon épaiiïeur par le nombre -J- , c'eft-à-dire dans le cas

^^
confidéré, à ^ fois fon épaifl^eur. Cette lentille pourra être biconcave fi la frac-
tion-^ eft inférieure à — 3) ; mais fi cette fraélion eft plus grande, comme dans

le cas confidéré, il faut prendre une lentille convexo-concave et la meilleure fera
celle dont la furface convexe doit être tournée du côté de l'oeil 4), vu qu' alors elle

') Voir la p. 193 du Tome présent.

^) Voir la p. 291 en bas.

3) Puisqu'alors l'aberration se trouve être plus petite que celle d'une lentille planconcave,
recevant les rayons sur le côté plan (voir la p. 297) et qu'elle est nécessairement plus
grande que celle d'une lentille de la meilleure forme, attendu que b:c surpasse toujours
l'unité et que/: g est égal ou supérieur à l'aberration d'une telle lentille.

*) La leçon primitive donnait au lieu des quatre derniers mots: „radijs parallelis obverfa
est." Or, cette leçon primitive ne fut pas biffée, mais les mots du texte furent écrites au-
-dessus comme constituant une leçon alternative. Et, en effet, les deux leçons indiquent la

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. 1666. REJECTA.

3»!

[Fig. 33.]

[Fig. 34.]

Data fit lens telefcopij magna five exterior ABCD [Fig. 33] , foci diftantiam
habens DE. ac data praeterea ratio mukiplicationis , hoc eft , fecundum quam res
vifas telefcopio conftruendo augeri cupimiis fecundum diametrum; quae fit ea
quae ^ ad c, exempli gratia 10 ad i. Divifa igitur DE in F, ut fit ficut ^ ad c,

vel hîc, 10 ad i , ita DE ad EF; confiât
lentem cavam ad F conftituendam fore , ut
fiât diéla multiplicatio *. cujus nimirum len- • [Prop. v,Part.l,
tis punâum difperfus radiorum parallelo- ^^^' ^'-^ '^
rum a parte E venientium fit in E. Quoniam ■"

vero et fuperficies lentis ABCD datae funt,
dabitur et Aberratio ejus, hoc eft, ratio
quam habet aberratio radij extremi ad lentis
^raflitudinem, quae fit ea quae/ad g. Ex. gr.
fi lens ABCD ponatur omnium optima,
quam in praecedentibus definivimus ^) , erit
ratio /ad g ea quae 1 5 ad 14, quia aberratio

lentis eiufmodieft -^ fuae craflltudinis. Tarn
•' 14 •'

ficut c ad ^, (hîc i ad 10) ita fit -^hic —j

ad alium numerum qui erit

g

^(fhic 15?
cg\ 14

five ^\ Inveniaturque lens cava ad F con-

ftituenda, ac punéli difperfus diftantiam
habens FE, cujus aberratio radij axi paral-
leli à parte E venientis sequetur craflltudini

fuae duélae in numerum -^: hoc eft, in hoc

cg'

exemplo, cujus aberratio fit — fuae craflltu-
dinis. Quae quidem lens poterit utrinque

cava efle, fi — fit minus quam — 0 ^ ^' vero
^ cg 2 ^

majus, ut hic,quaerenda eft cavoconvexa, meliorque erit cujus fuperficies convexa

ad oculum convertenda erit ^^ , quia minus cavam fuperficiem quam altéra requi-

méme position de la lentille puisque les rayons parallèles de la leçon primitive sont ceux
qui , sortant de la lentille, vont pénétrer dans l'oeil.

4»

322 DE l'aberration DES RAYONS HORS DU FOYER. 1666. PROP. ÉCART.

exige une furface moins concave que dans l'autre cas ^). Si donc nous appelons
a le rayon de courbure de la furface convexe de la lentille cherchée, ^/ la diftance
EF du point de difperfion, et ^ l'épaifTeur de la lentille, l'aberration du rayon
extrême eft donnée d'après la règle énoncée plus haut '') par l'expreffion

-^ — ^ J^ — ^ ^ — 2. Il faut donc que cette expreffion foit égale à — ^, et

dans le cas confidéré à ^^. Cette équation permet de trouver /7, le rayon delà

furface convexe , lequel aura ici à-peu-près la valeur d 3). Mais lorfque le

rayon a eft connu , on trouvera aufli n , le rayon de la furface concave , attendu
que, comme nous l'avons dît plus haut ^), « ^ ; — j. Ici l'on aura «=r — d

ou-^^. Suppofons donc la lentille GH [Fig. 33] conftruite avec les rayons

trouvés de la furface convexe et de la furface concave. Je dis qu'un rayon quel-
conque parallèle à l'axe , tel que CC et KK, qui tombe fur la lentille AC, fortira
de nouveau parallèlement à l'axe après avoir traverfé cette lentille-là et enfuite la
lentille GH. En effet s), pour démontrer ce théorème d'abord pour le rayon
extrême CC , fuppofons que celui-ci après avoir traverfé la lentille AC fe meuve
fuivant la droite CO , qui coupe la lentille GH au point H , par lequel nous
tirons la droite HI parallèle à l'axe. Confidérons enfuite une autre lentille PQR
[Fig. 34], qui foit planconvexe et dont la diftance focale ZS et la largeur
foient les mêmes que pour la lentille AC. Prenons ST =rEF et plaçons au point
T une lentille planconcave YTV, ayant le point de difperfion en S. Soit, pour la
lentille PQR, RR le rayon extrême parallèle à l'axe, lequel après avoir été
réfraélé par la lentille fe meuve fuivant la droite RX qui coupe la lentille YTV
au point V.

^) En effet, il s'agit ici de choisir des deux positions possibles de la lentille celle pour laquelle
son aberration pour des rayons parallèles, arrivant du côté de l'oeil, est la plus grande, puisqu'
ainsi l'aberration désirée, qui doit compenser celle de l'objectif, peut être obtenue avec une
moindre déviation de la forme planconcave.

'*) Voir la p. 307 du Tome présent.

5) Il s'agit de la résolution de l'équation quadratique 261 /z^ — 168 ^</— 49 ^ = o. Pour Tune
des racines on trouve, en effet, // = 0,861 .^; pour l'autre /? = — 0,218 .d. De cette der-
nière il résulte « = — 0,386.^. Elle se rapporte donc à une lentille convexo-concave dont
la surface concave, plus courbée que celle de la lentille choisie par Huygens, est tournée
vers l'oeil.

*) Voir la p. 305.

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. 1666. REJECTA.

3*3

[FJg- 33-]

[FIg.34.]

rit *). Quia igitur, pofitâ femidiametro con-
vexae fuperficiei lentis quaeficse oo a etpunfti
difperfus diftantia EF do d\ craflitudine
vero lentis oo ^; fit fecundiim regulam
fupra traditam *) aberratio radij extremi do
^yaaq+^^adq-^jddq . ,

00 —^ ^ — Kaa — — "* °P°"^^ promde

hancaequari-^^^, et in hoc exemple ^q.

Ex qua sequatione invenietur a femidia-
meter fuperficiei convexse; quae hic erit

proxime ;:^^3^. data autem ^invenietur

100

et « femidiameter fuperficiei cavje; quia,
ut fuperius diélum eft *), n do ■. — r. fiet-

five — d.

2a -^ d'
His itaque

que hic « oo d,

^ 272 '. 100

femidiametris fuperficiei convexse et con-
cavae formata fit lens GH. Dico radium
quemvis axi parallelum atque in lentem AC
incidentem ut CCet KK, penetrata illa,ac
pofl:ea lente GH, rurfus axi parallelum
evadere. Ut enim s) de radio CC extremo
primùm hoc demonfl:remus, ponamus eum
ex lente AC egrefîum pergere fecundum
reétam CO, quse fecet lentem GH in H,
unde agatur HI axi parallela. Sit deinde lens
alla planoconvexa PQR [Fig. 34] , cujus
foci diftantia, ZS, atque etiam latitudo, eadem fit quîe lentis AC. Et fumta ST
aequali EF, ponatur in T lens planoconcava YTV, punftum difperfus habens
S. Sitque in lente PQR radius extremus axi parallelus RR , qui ab ea fraélus
incedat fecundum reétam RX fecantem lentem YTV in V.

S) À propos de la démonstration assez longue qui va suivre Huygens, à une époque inconnue,
annota en marge:,,?. S. non videtur tota hac demonstratione opus e(re,cum ex
dictis in constructione omnia appareant."

Voici , en effet , de quelle manière il nous semble que la formule 27^* -\-24.ad-^7d*^

=z—la'^^ qui résume le résultat de cette démonstration, aurait pu être obtenue sans Parti-

3H

DE l'aberration DES RAYONS HORS DU FOYER. 1666. PROP. ÉCART.

[Fig. 33-]

[F'g. 34-]

Prop. III ')•

Comme donc la diftance focale ZS eft
égale au diamètre de la fiirface PQR ^) , et
la diftance TS du point de difperfion au dia-
mètre de la furface concave YT V ^); comme
en outre ZS : ST = RZ : VT (car les points
X et S font fi peu éloignés l'un de l'autre que
le rapport ZS : ST peut ici être eftimé égal
au rapport ZX : XT), les arcs de cercle QR
et TV feront femblables; et,parconféquent,
le rapport de l'épaifTeur QZ à celle de la
lentille concave au point V fera égal à ZS :
: ST. Or, l'épaiiïeur BD de la lentille AC eft
égale à l'épaifleur QZ de la lentille PR,
à caufe de l'égalité des diltances focales et
des largeurs des deux lentilles *, et pour la
même raifon l'épaifTeur de la lentille con-
cave GH au point H fera égale à celle de la
lentille YV au point V. Par conféquent,
l'épaifTeur BD fera auffi à l'épaifTeur de la
lentille GH au point H comme ZS eft à ST,
ou comme DE eftàEF, c'eft-à-dire comme
^ eft à c. Si l'on pofe DB = ^, l'épaifTeur
de la lentille GH au point H fera donc égale

es
à -r-;mais l'aberration du rayon IH , réfraété

par la lentille GH et prolongé en fens in-
verfe, eft égale, d'après la conftruélion, à
l'épaifTeur de la lentille au point H multi-

■^ Cette aberration

pliée par l'exprefTion

cg

ce

fera donc égale au produit de ~ par ^, c'eft-à-dire, à ^. Mais comme l'épaif-
Teur DB eft e et que cette épaifTeur eft à l'aberration du rayon extrême due à la
lentille AC commegeftà/, on voitque cette aberration-là eft également exprimée

fe
par ^—. Attendu que l'aberration du rayon IH eft donc égale à celle de ce rayon

extrême et que par conféquent le rayon réfraélé provenant du rayon confidéré
correfpond au point O, lorfqu' on le prolonge en fens inverfe, il s'enfuit que le

fice, d'ailleurs très ingénieux, employé par Huygens en introduisant le système de lentilles
de la fig. 34.
Soient donc, à cet effet, e^ = BD l'épaisseur de la lentille A BCD , ^, = AC sa largeur,

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. 1666. REJECTA. 325

Qiiiaergo foci diftantia ZS eftdiameter convexitatisPQR •),ct didantia punéti
diCpcrfus TS diamecer cavitatis YTV ='); fient autcm ZS ad ST ita RZ ad VT;
(nam punfta X, S , tam pariim diftanc ut ratio ZS ad ST cadem hic qua^ ZX ad
XT ccnfcri poffit) eriint arcus fimiles QR , TV; ideoque et craffitudo QZ ad eraf-
fitudinem lentis cavae in V fieut ZS ad ST. Efl: autem cralTitudo lentis AC , nempe
BD, œqiialis craflitudini QZ lentis PR, propter focorum diftantias latitudinefque
utriiifque œqualcs*; eandemque ob rationem lentis cavae GH craflitudo in II *[i'rr.p. m.]*)
aequalis craflîtudini lentis YV in V. Erit ergo et craflitudo BD ad craflitudinem
lentis GH in H ficut ZS ad ST , five ut DE ad EF , hoc eft ut b ad c. Unde fi DB

dicatur «?, erit craffitudo lentis GH in H aequalis -> , atqui aberratio radij IH,

refradli in lente GH, retroque produfti, aequalis efl:, ex conftruélione , craffitudini

bf ce

ejus quam habet in H , duétae in -•'-. Ergo hsec aberratio erit id quod fit dudo -r

in -^, nempe ^. Sed cum craffitudo DB fit (?, cumque ipfa fit ad aberrationem
radij extremi in lente AC ut g ad/, patet etiam hanc aberrationem efle =L. Cum

6

igitur huic aequalis fit aberratio radij IH, ac proinde refraftio ejus rétro
produéla pertineat ad punétum O; fequitur et radium CH ad O tendentem ita

e^ = MM l'épaisseur et J^ = 2FH la largeur de la partie effective de la lentille GFH , /, et
/; les distances focales de ces lentilles (/, :/; = ^ : c). «i^i et «a^a les aberrations des rayons
ce et IH (a, =/: g); alors , si E est le fo>er commun des deux lentillis, il faut qu' on ait
a^e^ = EO = «i^i pour que le rayon extrême CC , dirigé vers O après sa réfraction par la
lentille ABCD, redevienne parallèle à l'axe optiqne après la réfaction par la lentille GFH.

On a donc«„='^: mais, d'après un théorème qui se déduit facilement de le dernière

remarque de la note 4, p. '277 , et qu'on s'étonne un peu de ne pas trouver parmi les propo

sitions énoncées par Ihiygens, on doit avoir -^=-^^^H- Or, dans le cas de la figure 33

ona^,:rî'„=BC:FH = BO:FO=/;:/;.Ilenrésulte:«^=4-7^=i^^' " ^"^ ^'"^"^
dans les notations de Iluygens:

nja^ + 2^ ad -f- 7^' = -^ a'.

') D'après la Prop. XIV , Liv. I , Part. I; voir la p, 83 du Tome présent.
-) D'après la Prop. XV , Liv. I , Part. I ; voir la p. 85.
3) Voir la p. 277.

326 DE l'aberration DES RAYONS HORS DU FOYER. 1666. PROP. ÉCART.

rayon CH qui fe dirigeait vers le point O eft réfradé de telle manière par la lentille
concave au point H qu'il fe meut enfuite fuivant la droite HI parallèle à l'axe.

Or, la même chofe peut maintenant aifément être démontrée pour un rayon
quelconque plus rapproché de l'axe , tel que KK. Suppofons que ce rayon , après
avoir été réfraété par la lentille AC , fe meuve fuivant la droite KN qui coupe la
lentille GH au point L et rencontre l'axe au point N, et foit LM une droite paral-
lèle à l'axe. Comme la diftance du point H à l'axe eft alors à la diftance de L
comme la diftance de C eft à la diftance de K , les carrés des diftances nommées
feront auffi dans les mêmes rapports. Or, comme le carré de la diftance de C eft
au carré de la diftance de K, ainfi eft l'aberration OE du rayon CC à l'aber-
♦ Prop. VII *)• ration NE du rayon KK *. Et comme le carré de la diftance de H eft au carré de
la diftance de L, ainfi eft l'aberration du rayon IH, réfradé par la lentille GH,
aberration égale à OE d'après ce qui a été démontré, à l'aberration du rayon
ML. Par conféquent, l'aberration du rayon ML, elle aufll, fera égale à l'aberration
NE. Il en réfulte que comme le rayon réfradé provenant du rayon ML corref-
pond au point N lorsqu'on le prolonge en fens inverfe , le rayon KL qui fe dirige
vers le point N doit réciproquement être réfradé félon LM ; en d'autres termes ,
ce rayon réfradé fe mouvra parallèlement à l'axe , ce qu'il fallait démontrer.

Nous avons trouvé par le calcul, d'après la méthode décrite, les rayons des fur-
faces contenus dans le tableau fuivant; ce font ces valeurs qu'il faut donner aux
rayons de courbure des deux furfaces de la lentille convexo-concave pour obtenir
quelques télefcopes parfaits de cette efpèce. La plus grande des deux lentilles y
eft fuppofée planconvexe, avec la furface fphérique tournée vers l'extérieur,
parce qu'une lentille de ce genre eft plus facile à conftruire que la lentille de la
meilleure forme décrite plus haut pofîedant un rayon 6 fois plus grand que
l'autre ^) , et que fon aberration peut être corrigée par une lentille concave tout
auffi bien que celle de la lentille de la meilleure forme 3^.

^) Voir la p. 307.

*) Voir les pp. 289 et 291.

f 7
3) Dans le cas de la table qui suit , on a donc i-= -^ (voir la p. 285). Posant ensuite y pour

le grossissement, on arrive'aux formules:

a^a"^ 4" 24^^+ -jd"^ 7 ad

où d représente la distance focale de l'oculaire, laquelle est égale à la y'*"* partie de celle de

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. 1666. REJECTA. 327

frangi à lente cava in H ut inde feratur fecundum reftam HI axi parallelam.
Idem vero et de radio quolibet axi propiore ut KK facile nunc oftendetur.
Pergat enim hic, poft refraftionem in lente AC, fecundum reélam KN quae fecet
lentem GH in L , et conveniat cum axe in N , et fit LM axi parallela. Cum ergo
diftantia punéti H ab axe fit ad difl:antiam L ut diftantia C ad diftantiam K erunt
et quadrata earum diftantiarum in eadem ratione. Sicut autem quadr. diftantise C
ad quadr. diftantiae K ita efl: aberratio radij CC quae eft OE ad aberrationem radij
KK, quae efl: NE *. Et ficut quadr. difl:antiae H ad quadr. dillantiae L ita eft abcr- * [Prop. vu.] •)
ratio radij IH, fraéli in lente GH, quae aberratio ipfi OE sequalis oftenfa eft, ad
aberrationem radij ML. Itaque aberratio radij ML aequalis quoque eritipfi NE.
Quare cum refraftio radij ML rétro produéla pertineat ad punétum N , etiam
radius KL tendens ad N fleéletur fecundum LM , hoc eft, axi parallelus feretur,
quod erat oftendendum.

Secundum haec inftituto calculo invenimus femidiametros fuperficierum ,
fequenti tabella comprehenfas, quibus utrumque latus lentis cavoconvexae for-
mari debeat, ad perfeéta aliquot hujufmodi telefcopia. Ponitur autem in hislens
major planoconvexa, fuperficie fphaerica extrorfum verfa , quod parabilior fit haec
lens quam optima illa fuperius defcripta rationis fexcuplse ''), aberratioqucejus
lente cava aeque ut in altéra corrigatur 3).

l'objectif, a le rayon de courbure de la surface convexe de l'oculaire, n celui de sa sur-
face concave. II s'agit donc chaque fois de calculer en premier lieu la racine positive de
l'équation :

(7y — 27) <7^ — iiifad — 7^ = 0,

la racine négative correspondant à un oculaire dont la surface concave devrait être tournée vers

l'oeil. Ainsi dans le second cas de la liste on a y = 9 et l'équation ^60^ — i\ad — "jd^ = o

j j g

donne a = — d -{■ -j-d v/i i , ou bien, pour ^=:—, ^ = 0,7876. ..;ensuiteon trouve « =

= 0,2841 .. . Notons, en passant, que le premier exemple de la liste est calculé fautivement.
D'ailleurs pour montrer tout de suite par un exemple la grandeur de la
courbure qu'on doit donner aux surfaces de l'oculaire pour obtenir la com-
pensation désirée, nous reproduisons ici une petite figure empruntée au
manuscrit dont il sera question dans la note i de la p. 355. Elle y est accom-
pagnée de l'annotation suivante: „talis circiter lens ad augmentum 25cupluni jn
telescopio 3 pedum 7 poU.habet punctum dispersus ad 2 pollices."

328 DE l'aberration DES RAYONS HORS DU FOYER. I 666. PROP. ÉCART.

Diftance focale de

la grande lentille (qui

eft planconvexe).

Groflîflement

du télefcope fuivant

le diamètre.

Rayon de la furface

convexe de la lentille

oculaire en parties

de pouces.

Rayon de la furface

concave de la lentille

oculaire en parties

de pouces.

4

5

I5«4 ï")

1000 "^

318 2^
1000 -^

pouces

8

9

788
1000

-

284
000

/ '

12

1000

1

!^77

■è

16

S19

1000

^70
000

1 =

20

4S»
1000

2S8
000

2i

24

404
1000

'45
000

3

27

S93
1000

_247
000

3*

30

3«o
1000

000

pieds / 4

34

3SO
1000

138
000

5

40

331

1000

230
000

6

46

3«3
1000

^24
000

8

58

^3

1000

ai9

1000

10

68

i7l
1000

208
1000

12

78

2£l

1000

204
1000

\,.

100

175
1000

141

000

L'ufage du tableau eft manifefte. Si j'ai par exemple une lentille planconvexe
pofledant une diftance focale de 3 pieds et que je défire conftruire avec cette len-
tille un télefcope qui grofîit les diamètres des objets dans le rapport de i à 27 , le
tableau m'apprend qu'il faut prendre le rayon de la furface convexe de la lentille

oculaire égal à-

^^^ OU — pouce à peu près et le rayon de la furface concave de

cette même lentille à

247 I

— =ï^^— ou — pouce environ.
1000 4^

Mais fi avec cette même lentille convexe de 3 pieds je défire conftruire un téle-
fcope qui groflît 40 fois le diamètre des objets et trouver la lentille concave nécef-
faire à ce but, il faut, puifque le tableau indique ce groflîfiement pour un télefcope

de 5 pieds dont les rayons de la lentille concave font ^^ et — ~ — , prendre un

1000

1000

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. 1666. REJECTA.

329

l*oci diftantia

lentis majoris plano-

convexae.

Multiplicatio

Telefcopij fecundum

diametrum.

Semidiam. fuperficiei

convexae lentis

ocularis in partibus

pollicum.

Semidiam. fiiperficiei

cavœ lentis

ocularis in partibus

poil.

4
pollices

' 8

5
9

«»«4 l^
1000 J

r»8
1000

SI» i\

1000 y

«»4

1000

»• 1

12

tfl9
1000

«77
looo

li

16

S19
1000

_»7o
1000

2

20

4S«
1000

1000

1 2i

24

404
1000

«4f

1000

1 ^

27

393
1000

•47
1000

jai

30

3«o
1000

1000

pedes <

*

34

3SO
1000

ï3»

1000

5

40

331
1000

SJO

1000

6

46

313
1000

a24
1000

8

58

»«3
1000

119
1000

10

68

»7a
1000

sol

1000

12

78

361

1000

B04

1000

l

12

100

VU
1000

«4»
1000

Ufus tabellae manifeftus eft; lu fi habeam lentem planoconvexam cujus foci
dillantia 3 pedum, cupiamque ex ea telefcopium adaptare quod 27*^ res vifas
fecundum diametrum multiplicet; docet tabella femidiametrum fuperficiei con-

vexas lentis ocularis debere fumi -^^ five — proxime unius pollicis; feniidiame-

1000 5^ r ■)

trum vero fuperficiei cavœ ejufdem lentis, — ^ five proxime —pollicis.

Quod fi vero eadem lente convexa 3 pedum telefcopium parare velim cujus
multiplicatio fit quadragecupla, lentemque cavam reperire quae adhocrequiritur,
quoniam tabella hanc multiplicationem dat telefcopio pedum 5 , cujus cavae lentis

femidiametri funt -^^ , ^^ , oportet facere ut longitudo pedum 5 ad longit.
1000' 1000 ^

) Lisez ^. *) Lisez ^

^ 1000 y X

347

ooo»

42

33© DE l'aberration des rayons hors du foyer. 1666. PROP. ÉCART.

nombre tel que la longueur de 5 pieds foit à la longueur de 3 pieds comme la frac-
tion-^^ eft à ce nombre. On trouve ainfi le nombre—^ qui repréfente le rayon
1000 1000 ^ ^ •'

de la furface convexe de la lentille oculaire cherchée. En prenant de nouveau un

nombre tel que <: eftà q comme ^ efl: à ce nombre-là, on trouve le nombre ^ .
^ "^ "^ 1000 ' 1000

Il repréfente le rayon de la furface concave.

Il efl: fuffifamment clair d'après ce qui a été dit plus haut qu'il faut tourner du
côté de l'oeil la furface convexe de la lentille oculaire. Il faut avoir foin depla:cer
les axes des deux lentilles exaftement fur la même droite et d'amener la pupille
de l'oeil au centre de la lentille concave. Pour pouvoir le faire plus facilement, on
doit couvrir le refte de la lentille et lailTer au centre une ouverture de la grandeur
de la pupille ou même un peu plus petite. Car quoique le champ vifuel du téle-
fcope devienne moins étendu de cette façon , fa clarté ne fera diminuée en aucune
façon, attendu que le cône des rayons à l'endroit où fe trouve la lentille oculaire efl:
réduit déjà à un (i petit diamètre que fouvent il ne remplit ni la moitié, ni même le
tiers, de la largeur de la pupille, comme on le voit aifément par le calcul. Si , par
exemple, dans le télefcope de 1 2 pieds qui donne un grofliffement centuple, l'ouver-
ture de la plus grande des deux lentilles efl: de 3 pouces, ce qui fuffit amplement,
comme nous l'expliquerons plus loin ^), la largeur du cône lumineux là où il coupe

la lentille oculaire fera feulement la centième partie de 3 pouces, c'efl:-à-dire, les -^

d'un seul pouce, largeur inférieure au tiers d'une pupille médiocrement ouverte.
L'utilité des lunettes de ce genre, l'avantage qu'elles ont fur celles qu'on a con-
ftruit ordinairement jufqu' à ce jour à l'aide de lentilles convexes et concaves fera
d'abord celui-ci qu'ils rendront la vifion plus nette , attendu qu'ils envoient paral-
lèlement à l'oeil les rayons i(Tus des différents points de l'objet, à-peu-près comme
le feraient des verres de forme elliptique ou hyperbolique ^) ; mais furtout que ,
fans être plus longs que les télefcopes ordinaires , ils pourront groflir beaucoup
plus les objets, vu que leurs lentilles extérieures fouffriront une ouverture plus
grande que celles des télefcopes ordinaires parce que l'aberration de cette len-
tille due à la propriété de la figure fphérique efl: corrigée par la lentille oculaire.
Mais il faut favoir furtout que, pour atteindre ce but, il efl indifpenfable que les
furfaces de la plus grande lentille, auffi bien que celles de la lentille oculaire, foient
parfaitement fphériques. Or, il y a raifon de croire que même les furfaces qu'on
penfe être travaillées avec la plus grande perfeélion, en font en réalité bien
éloignées, comme nous le ferons voir après plus explicitement 3); de forte qu'
à mon avis il faut avec un nouveau zèle et en fe fervant de nouveaux infl:ruments,
s'appliquer à la confl:ruétion des lentilles, fi nous défirons obtenir des réfultats
f upérieurs à ceux de nos prédécefTeurs et faire en forte que les effets s'accordent
avec les dérrionfl:rations ^).

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. 1666. REJECTA. 33 1

pedum 3 , ita-^^adaliud, nempe ^^, quae erit femidiameter fuperficiei con-

vexaelentis ocularis quaefitae, ac rurfus ut 5 ad 3 ita — ^ ad aliud , nempe ''^

1000 * 1000'

quae erit femid. fuperficiei cavae.

Porro convexam lentis ocularis fuperficiem ad oculum obvertendam ex jam
diélis fatis patet. cura autem adhibenda eft ut axes utriufque lentis in eandem
exaéle lineam difponantur, atque oculi pupilla ad punélum médium cavas admo-
veatur, quod quo facilius fiât, tegendae funt reliquae partes lentis, ac foramen in
medio relinquendum ad pupillae magnitudinem , vel etiam minus aliquanto. Nam
licet hoc modo angufliius fiât fpatium quod confpeétu telefcopij comprehenditur,
claritati tamen nihil decedet , quoniam conus radiorum , eo loco ubi lens ocularis
confiftit, adeo jam in arélum contrahitur ut nec dimidiam nec faepe tertiam partem
pupillae latitudinis sequet , ut calculo facile deprehenditur. Si enim ex. gr. in tele-
fcopio 1 2 pedum, cujus multiplicatio centupla, apertura lentis majoris fit 3 poUi-
cum, quae abunde fufficit, ut infequentibus dicetur ^), hic jam latitudo coni radiofi,
quo loco lenti oculari occurrit, centefima tantumpars eft pollicum trium, id eft,

-^ pollicis unius, quae latitudo minor eft parte tertia pupillae mediocriter apertae.

Utilitas autem ac praeftantia hujufmodi perfpicillorum, prae ijs quae hue ufque
ex convexis et cavis lentibusfieri confuerunt,haecprimum erit, quod diftinftio-
rem vifionem efficient, quoniam radios à fingulis rei vifaepunftis manantes paral-
lelos ad oculum mittunt, ficuti fere figurae ellipticae aut hyperbolicae vitra ') ; prae-
cipua vero quod, longitudine vulgaribus sequalia, longe magis res vifas multiplicare
poterunt, eo quod in lente exteriori folito majorem aperturam ferent,quum
aberratio ejus lentis a figurse fphaericae proprietate profeéla , lente oculari corriga-
tur. Sed ad haec requiri omnino fciendum ut tam majoris quam ocularis lentis
fuperficies perfeftam fphaericae convexitatis figuram accipiant, a qua multum
abefte, etiam illas quse exquifîtiflîme elaboratae creduntur, putandum eft, ut poftea
pluribus docebitur 3). adeo ut nova induftria novifque machinationibus hac in re
incumbendum exiftimem,fi quid praeteritis majus confequi cupimus, atque efficere
ut cum demonftrationibus effeftus confentiant *).

*) Voir la p. 335 qui suit, où il est dit qu'une ouverture de 2^ pouces suffit pour un grossisse-
ment de 125 fois.

^) Voir le ^Discours Huictiesme" de la Dioptrique de Descartes, p. 165 — 196 du T. Vide
l'édition d'Adam et Tannery des „Œuvres de Descartes".

3) On n'en trouve rien dans la ^Dioptrique".

*) Comme il était à présumer , Huygens n'a pas manqué de mettre sa découverte à l'épreuve de
la pratique. Toutefois, par des circonstances faciles à deviner, ce ne fut que plus de deux
années plus tard que des efforts sérieux furent faits dans cette direction. En effet , en septem-
bre 1665, date de l'invention, il était depuis trois mois (voir la p. 375 du T. V)en pos-
session de l'appel de Louis XIV de venir demeurer à Paris. Il n'y donna suite qu'en avril

332 DE l'aberration des rayons hors du foyer. 1666. PROP. ÉCART.

Proposition X.

Examiner le degré de clarté qu'on peut obtenir avec des
télé fc opes quelconques.

Le groffiffement qu'on obtient avec des télefcopes compofés de deux lentilles
convexes eft égal au rapport de la diftance focale de la lentille extérieure à celle
de la lentille intérieure. Il eft donc évident qu'on peut donner à cette lentille
intérieure ou oculaire des rayons de courbure fi petits que les objets confidérés,
même avec un télefcope de petite longueur, paraiflent groffis dans un rapport
arbitrairement grand. Il en eft de même pour les télefcopes compofés d'une len-
tille convexe et d'une lentille concave, attendu que le groffifTement eft égal au
rapport de la diftance focale de la lentille extérieure à la diftance du point de
difperfion de la lentille concave. Il y a pourtant deux raifons pour lefquelles il
faut dans l'un et l'autre cas obferver une certaine mefure. La première , c'eft
que, lorfque l'ouverture de la lentille extérieure refte la même, le télefcope rend
les objets d'autant plus obfcurs qu'il les groffit davantage. La féconde, c'eft qu'il
donne auffî des images de moins en moins diftinétes; nous traiterons plus loin de
ce fujet*). Mais pour comprendre comment il faut évaluer le degré de l'obfcurité,
il faut faire attention à l'image qui, comme nous l'avons dit fouvent '), fe forme
au fond de l'oeil et obferver qu'elle eft d'autant plus lumineufe qu'un plus grand
nombre et d'autant plus obfcure qu'un plus petit nombre de rayons, iffus de
l'objet, arrivent à l'oeil pour la former. Par exemple, fi je regarde d'abord un
objet à l'oeil nu et que je confidère enfuite le même objet à travers une ouverture
placée fort près de l'oeil et dont le diamètre n'eft que la moitié de celui de la
pupille et la furface donc quatre fois moindre , l'image formée au fond de l'oeil
de l'objet regardé à travers l'ouverture, deviendra auiïi quatre fois plus obfcure

1666; mais, comme il écrivit à Moray (voir la p. 23 du T. VI), depuis plus de six mois il
était „tousjours comme sur son départ". Ensuite les préoccupations de son installation et de
sa nouvelle position retardèrent, sans doute, le moment où enfin, en avril 1668 (voir la
p. 209 du T. VI), il pria son frère Constantin de lui procurer des lentilles oculaires con-
struites sur les mesures qu'on retrouve dans la quatrième entrée de la table de la p. 329,
laquelle se rapporte à une lunette d'un pied et demi.

De même , le 1 1 mai de la même année , il communique (p. 214 du T. VI) à son frère les
mesures d'un oculaire pour une lunette de 2^ pieds „comme vous en faites", calculées pour
un grossissement de 30; calcul qu'on retrouve, en effet, à la p. 245 du Manuscrite „Ce
composé" lui écrit-il „doibt faire autant que les lentilles hyperboliques. . . . C'est pourquoi
je ne puis pas déterminer l'ouverture de l'objectif qui peut estre pourra estre 3 ou 4 fois plus
grande qu'a l'ordinaire, mais si nous la pouvons seulement faire double ce sera beaucoup
gaignô et la clarté sera assez grande pour la multiplication de 30."

L'essai fait enfin en juin 1668 (p. 22oduT. VI)avec la moitié d'un oculaire des dimensions
demandées diminue de beaucoup l'espoir d'un grand succès dont une lettre de quelques jours

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. I 666. REJECTA. 333

[Propositio X.]

Rationem lucis et obfcuritatis in perfpicillis quibuflibct
examinare.

Quandoquidem ratio incrementi fecundum quam fpecies rerum augentur in
telefcopijs, quae duabus convexis lentibus confiant, eft ea quae foci diftantise lentis
excerioris ad foci diftantiam interioris, manifeftum eil adeo exigui convexi afTumi
poiTe lentem banc interiorem five ocularem , ut res vifae, etiam brevi telefcopio,
quantumlibet audlse appareant. Eodemque modo fe res habet in bis quae ex con-
vexa et cava lente componuntur, quum ratio incrementi fit ea quae foci diftantiae
lentis exterioris ad diilantiam punéti difperfus lentis cavae. Cur tamen modus
utrobique adhibendus fit duplex eau fa e fi:: una, quod manente eadem apertura
lentis exterioris, quanto magis telefcopium res vifas dilatât tanto quoque obfcu-
riores videri facit. altéra quod et minus diftinétasexhibet,cujusconfideratioad
fequentia *) pertinet. Obfcuritatis autem ratio quomodo eftimanda fit ut intelli-
gatur ad pifturam illam attendendum efl: quse in fundo oculi fsepe fieri diximus *),
ac tenendum eam tanto lucidiorem aut obfcuriorem contingere quanto plures
pauciorefque radij ad eam formandam ex re vifa affluunt. Ut fi ex. gr. oculo libero
primum rem aliquam intuear, deinde vero trans foramen eandem afpiciam oculo
proxime admotum cujus diameter tantum dimidia fit diametri pupillae, ac proinde
capacitas quadruplo minor. fiet in fundo oculi imago rei trans foramen fpcftatae

plus tôt (p. 219 du T. VI) témoignait encore. Ce demi oculaire „fait assez bien quand
rouuerture n'est que de la grandeur ordinaire. . . . mais en découvrant tout le verre je vois un
peu de couleurs ce qui me fait croire qu'il y a un inconvénient de ce costè la, qui provient
de l'angle que font les deux surfaces de l'objectif vers les bords, qui cause nécessairement des
couleurs, de sorte qu'en faisant des verres hyperboliques l'on trouverait la môme chose en les
faisant fort grands." Toutefois il prie Constantin d'achever un verre oculaire entier(pp. 221,
222 et 266 du T. VI) et encore en novembre 1668 (p. 299 du T. VI.) il lui envoie les figures
de plusieurs oculaires afin de pouvoir examiner à fond l'invention dans laquelle il n'a pas
perdu confiance. Ce n'est que le 22 février 1669 qu'il abandonne dans une lettre à son
frère Louis (p. 377 du T. VI) tout projet d'essai dans cette direction parce qu'il croit avoir
trouvé mieux dans sa nouvelle invention du i février, sur laquelle on peut consulter l'Ap-
pendice VI, p. 408 du Tome présent; ce qui pourtant ne l'a pas empêché de reprendre encore
une fois, vers 1 673, la même idée. En effet, on rencontre aux p. 403—404 du Manuscrit D les
annotations suivantes, avec les calculs qui y appartiennent: „planoconvcxae focidistan-
tia 6 poil, multiplicatio 20 ad i . fit semidiam. superficiel con vexae lentis ocularis
i^ lin. Semidiam. vero superficiel cavae ejusdem lentis J lin."; „multiplicatio
12 ad I. fit semidiam. superficiel convexae in oculari lente 3I lin. semidiam.
superficiel cavae ejusdem lentis i| lin."

*) Comparez les p. 387 — 388 de l'Appendice III.

*) Voir la Prop. XXVI, Part. I , Liv. I , p. 1 29— 135 et ensuite les p. 235—236.

334 DE l'aberration des rayons hors du foyer 1666. PROP. ÉCART.

que lorfque je le regardais à l'oeil nu ; parce que la quatrième partie feulement
des rayons iÂTus de l'objet traverfent l'ouverture et que ceux-ci doivent illuminer
fur la rétine le même efpace qu' auparavant.

Par fuite, fi l'on doit conftruire un télefcope qui groflit dix fois le diamètre des
objets et qu'on exige que ce télefcope forme de tous les objets des images aufïï
lumineufes que celles qu'on obtient fans lui, je dis que le diamètre de l'ouverture de
la lentille extérieure devra, lui aufïï, être dix fois plus grand que celui de la pupille,
même dans le cas où pas la moindre partie des rayons ne ferait détruite par la
réflexion due aux lentilles ou par l'opacité du verre. En eifet, de même que la fur-
face de l'image formée fur la rétine à l'aide d'un télefcope de ce genre efl: cent fois
plus grande que celle qui s'y forme lorfqu'on regarde à l'oeil nu, de même aufli
l'ouverture de la lentille extérieure devra embrafllsr cent fois plus de rayons
que la pupille de l'oeil, pour que cette grande image ait le même degré de clarté
dans toutes fes parties que la petite image avait dans les parties correfpondantes.

Mais il faut favoir qu'une clarté bien plus faible fuffit pour les télefcopes de
forte qu'on regarde comme fatisfaifant ceux dont nous nous fervons le jour, fi les
images qu'ils donnent n'ont qu'une dixième partie, ou même moins, de la clarté
de celles qu'on obtient en regardant à l'oeil nu; tandis que les télefcopes de plus
grandes dimenfions que nous n'employons que pour regarder les étoiles, n'exigent
qu'une foixantième ou foixante-dixième partie de cette clarté. Je trouve, par
exemple, que dans un télefcope de 22 pieds ^) qui groflit cent vingt cinq fois les dia-
mètres des objets, l'ouverture de la lentille extérieure efl: de deux pouces et d'un
tiers , c'efl:-à-dire quinze fois plus grande environ que la largeur moyenne d'une
pupille, tandis qu'elle devrait être cent vingt cinq fois plus grande que cette der-
nière fi la clarté d'une image produite par ce télefcope devait être égale à celle
qu'on obtient en regardant à l'oeil nu. Il s'enl^uit que le télefcope confidéré ne
reçoit que la foixante-dixième partie de la lumière qui ferait néceffaire pour cela,
attendu que les furfaces des cercles dont les diamètres font entre eux comme les
nombres 15 et 125, ou 3 et 25, font entre elles à-peu-près dans le rapport i : 70.
La caufe qui fait que nous nous contentons ici d'une fi petite fraftion de la lumière
doit être cherchée dans l'éclat extraordinaire des corps céleiles,c'efl:-à-dire de
la Lune et des autres planètes. Eclairés par les rayons du foleil, ils émettent tant
de lumière qu'il en faut beaucoup moins pour les contempler aifément et difl:inéte-
ment. De la même manière nous voyons qu' aux jours nuageux il refl:e assez de
lumière pour nous faire apercevoir facilement tous les objets, quoique cette
quantité de lumière foit fort petite comparée avec celle que nous envoient les
rayons du foleil. Il faut favoir d'ailleurs que l'eff'et obtenu s'explique aufll en
partie par cette circonfliance que les yeux réagifl™ent fur une bien plus petite
quantité de lumière dans les ténèbres qu'en plein jour et que dans l'obfcurité ils
peuvent apercevoir des objets pour lefquels ils font abfolument aveuglés lorfqu'ils
viennent d'avoir vu la lumière du jour.

■

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. 1666. REJECTA. 335

quadriiplo etiam obfcurior quam dum liberooculo fpeftabatur;quoniam tantum
pars quarta radiorum ab re vifamanantium foramen ingreditur,quibus fpatium
idem quod prius in retina colluftrari debeat.

Quod fi jam telefcopium parandum fit, decuplo augens vifibilia fecundum dia-
metrum, ac poftuletur ut aeque clare omnia référât atqiie cum citra telefcopium
fpeftantur, dico et diametrum aperturae lentis exterioris decuplam eï^e debere ad
pupillae diametrum, idque etiamfi neque ex reflexione lentium, ncque ex vitri
opacitate pars ulla radiorum interciperetur. Sicut enim fuperficies piéturae in
retina ejufmodi telefcopio centupla exiftit ejus quaefit nudooculo fpe6lanti,ita
quoque centuplo plus radiorum apertura lentis exterioris quam pupilla oculi com-
prehendere debebit ut magna haec pictura aeque illuftris fit omnibus fui partibus ac
prius minor illa fuerat.

Sed enim multo minorem claritatem in telefcopijs sufficere fciendum eft, adeo
ut fatis habere exifl:imentur, quibus interdiu utimur, fi modo decimam partem aut
etiam minorem habeant lucis ejus quam nudus oculus percipit. Majora autem,
quibus tantum fidera fpeftamus, non nifi fexagefimam aut feptuagefimam requirant.
Ita namque experior in telefcopio 22 pedum *), quod res vifas centies vicefies
quinquies ampliores fecundum diametrum reddit, aperturam lentis exterioris
efie duorum pollicum cum triente, hoc efl:, circiterquindecuplomajorem quam
fit mediocris pupillœ latitudo; cum tamen centies vicecies quinquies eam conti-
nere debuerit fi lux eadem telefcopio atque oculo non armato percipienda fit.
Unde fequitur tantum feptuagefimam circiter partem ejus quae ad hoc requiritur
luminis difto telefcopio adeflfe: quia areae circulorum, quorum diametri ut 15 ad
1 25 , five ut 3 ad 25 , funt fere ut i ad 70. Caufa autem cur tantilla lucis pàrtiun-
cula hic contenti fimus, infignis ille corporum caeleftium eft fplendor, Lunae
nimirum ac reliquorum planetarum. qui cum folis radijsilluftrentur,tam inten-
fum lumen vibrant ut longe minori opus fit ad ipfa commode ac diftinftè con-
templanda. quemadmodum et diebus nubilis abunde lucis fuperefie videmus ad
rerum omnium facilem perceptionem,etfi lux haec perexigua fit ad eam comparata
quam folis radij inferunt. Caeterum aliquid hic etiam conferre fciendum eft: quod
per tenebras multo minori luce oculi quam interdiu moveantur, atque illa con-
fpicere valeant ad quae a diei luce récentes prorfus caecutiunt.

^) Il s'agit probablement de la lunette avec laquelle les observations sur Panneau de Saturne
furent faites et qu'on trouve décrite dans le „Systema Saturnium" de 1659. D'après cette
description elle avait un tube de 23 pieds, une ouverture de 2^ pouces et multipliait 100
fois; mais avec un oculaire d'une autre façon sa lunette de 22 pieds, bien probablement la
même, supportait un grossissement de 127 fois, comme Huygens écrivit à son frère Louis le
5 octobre 1662 (voir la p. 243 du T. IV).

33^ DE l'aberration des rayons hors du foyer. 1666. PROP. ÉCART.

Enfuite il eft évident, d'après ce que nous avons dit jufqu' ici, que dans deux
télefcopes qui doivent donner des images également lumineufes, le diamètre de
l'ouverture de l'un d'eux furpafTera nécefîairement celui de l'autre dans un rapport
égal au rapport du groffifTement linéaire du premier télefcope à celui du fécond.

Si nous voulons, tandis que l'ouverture du télefcope refte la même , fubftituer
à la lentille oculaire une autre qui groffit deux fois plus, il eil: évident que
tous les objets feront vus quatre fois plus obfcurs , parce que la même quantité
de rayons doit éclairer fur la rétine un efpace quatre fois plus grand qu' aupa-
ravant. Et de la même manière , l'image fera toujours obfcurcie dans un rapport
égal au carré de celui qui exprime l'augmentation du grofliflement. Il ne faut
donc pas à la légère remplacer la lentille oculaire par une lentille plus convexe
ou plus concave, mais calculer exaftement quel agrandi iïement l'ouverture de
la lentille extérieure peut fupporter de manière que le télefcope ne donne pas en
même temps des images moins lumineufes qu'on ne doive les exiger. Et, en vérité,
toute la puiflance et l'effet d'un télefcope quelconque dépendent à ce point de
la grandeur de fon ouverture qu'après avoir confidéré cette dernière on peut ,
fi elle efl: petite, dire avec certitude que le télefcope a peu de puiflance , quel que
foit le nombre des autres lentilles et de quelque façon qu'elles foient placées à
l'intérieur du tube. En effet, pour qu'un groffiffement important foit obtenu avec
une clarté fuffifante il efl: néceflîaire que beaucoup de rayons foient rafl^emblés, ce
qui eft abfolument impoffible fi la lentille extérieure n'a pas une grande ouverture.

Toutefois il en eft autrement pour les microfcopes : ils peuvent grofllr les dia-
mètres foixante ou cent fois ou même davantage , fans que l'image foit obfcure ,
tandis que l'ouverture de la lentille extérieure eft petite, même beaucoup plus
petite que la pupille. Il en faut chercher la caufe uniquement dans la faible diflance
qui fépare l'objet de la petite lentille. Pour expliquer cela par une figure, foit C
[Fig. 35] l'objet placé fous le microfcope et K f^ lentille la plus baffe ou exté-
rieure , AB le diamètre de l'ouverture de cette lentille. Suppofons que D et L
repréfentent les autres lentilles; qu'il yen ait une ou plufieurs, c'eft une chofe
fans importance. EF repré fente la pupille de l'oeil. Tirons à partir d'un point
quelconque de l'objet, tel que C, les droites CA et CB qui interceptent le diamètre
AB de l'ouverture; prolongeons-les jufqu'aux points G et H où elles coupent une
droite tirée par la pupille et faifant des angles droits avec l'axe des lentilles; il
apparaît alors que l'ouverture circulaire AB embrafl^e une quantité de rayons
provenant du point C égale à celle qu'embrafl^erait la pupille de l'oeil fi elle avait
un diamètre égal à la ligne GH. Par conféquent, fi le groffifTement de ce
microfcope ferait exprimé par le rapport de GH à EF, diamètre delà pupflle,
l'objet C paraîtrait aufli lumineux que lorfqu'on le contemple à l'oeil nu et fans len-
tilles '). Mais comme nous pouvons, dans ce cas aufli bien que dans celui des téle-
fcopes, nous pafl^er d'une grande partie de la lumière, le grofliflement peut même
être rendu beaucoup fupérieur à celui qu'exprime le rapport GH : EF. Par

337

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. 1666. REJECTA.

Ex his porro quae diximus haétenus manifefto liquet necefîe elfe ut in telefco-
pijs duobus quorum aequalis futura fie claritas, diamecri apenurarum tantouna
aliam fuperet quanto magis telefcopium illud altero res vifas fecundum diame-
trum amplificac.

Manente vero eadem apertura telefcopij , fi in locum lentis ocularis aliam fub-
ftituere velimus, qu« duplo majus priori incrementum efficiat;patet quadruple
obfcuriora omnia vifum iri , eo quod eadem radiorum multitude ipatium in retina
priorisquadruplum illuftrare jam debeat. atque eadem ratione femper hœc obfcu-
ritatis proportio dupla erit proportionis audli incrementi. Quare non temere lens
ocularis convexiore vel magis cava mutanda ell, fed diligenter expendendum
quale incrementum exterioris lentis apertura perferre valeat, ita ut fimul non
minori luce quam quse requiriturpraeditum fit telefcopium. Ac fane in tantum vis
omnis atque effeétus telefcopij cujuflibet ex aperturœ illiusmagnitudine pendet,
ut hac infpeéta, fi parva efl:, etiam exiguae virtutis telefcopium eflle, ccrtam ferre
fententiam poffimus,quotcunque etiam lentes alise et quocunque modo intratubum
aptatae fint. Ut enim infignis habeatur multiplicatio cum fufiicienti lumine multos
radios colligi neceflTe eft, quod fine magna lentis exterioris apertura nequaquam
fieri poteft.

Attamen in microfcopijs alia ratio efl:, cum in his exiguolicet lenticulae exte-
rioris foramine, imo pupillâ longe minori, multiplicatio fexagecupla vcl centupla
aut major etiam fecundum diametrum praeftari pofllt, non déficiente
luminis claritate. cujus rei caufa non alia eft quam rei vifae a lenti-
cula exigua diftantia. quod ut figura explicemus, efto vifibile micro-
fcopio fubjeétum C, lens ejus infima five exterior K ; cujus aperturae
diameter AB. Reliquse vero lentes una vel plures, hoc enim nihil
refert, funto D, L. Oculi autem pupilla EF. duétis jam à vifibilis
punfto aliquo, ut C, reétis CA, CB, diametrum apertura AB in-
tercipientibus, ijfdem continuatis ufque in G et H, ubi occurrant
redtse per pupillam du6lae, reétofque angulos cum axe lentium
facienti : conftat jam aeque magnam radiorum copiam à pundlo C
venientium apertura circulari AB comprehendi atque oculi pupilla
comprehenderet fi diametrum lineae GH aequalem haberet. Quam-
obrem fi multiplicatio perfpicilli hujus fuerit ea quas GH ad EF
pupill» diametrum, asque illuftre apparebit vifibile C, atque cum
fimplici vifione abfque perfpicillo cernitur '). Sed cum et hic, ut
in telefcopijs, parte magna luminis carere pofllmus, etiam major

') C'est-à-dire, si l'on suppose que dans la fig. 35 l'oeil est éloigné de l'objet d'une distance égale
à celle de la vision distincte (consultez la définition du grossissement d'un microscope qu'on
trouvera plus loin dans la troisième Partie de la Dioptrique), et que dans la position que
l'oeil doit avoir quand on regarde par l'instrument les rayons CA et CB pénètrent dans la
pupille par suite des réfractions qu'ils subissent.

43

[Fig. 35.]

338 DE l'aberration DES RAYONS HORS DU FOYER. 1666. PROP. ÉCART.

exemple, fi GH : EF z= i20, le microfcôpe fupportera aifément un groflifiement
linéaire centuple. On peut même remédier à la trop grande obfcurité des images
en éclairant l'objet plus vivement, ce qui peut être fait de diverfes manières.

Proposition XI.

Chercher les diamètres des ouvertures qui conviennent
aux lentilles extérieures d'un télé fc ope.

Comme la grandeur de l'ouverture des télefcopes eft d'une fi grande importance
que le jugement qu'on porte fur leur puiflance et leur qualité efl: principalement
bafé là-defTus, et comme cette ouverture ne peut pas être choifie arbitrairement,
attendu que fi on la prend trop grande la vifion difl:in6le eft diminuée par la con-
fufion des rayons, tandis qu'une ouverture trop petite donne des images obfcures;
il faut examiner généralement quelle règle on peut donner pour la grandeur des
ouvertures. Mais pourtant il n'eft pas précifément notre intention de rechercher
à l'aide de ces confidérationslaplus grande ouverture pour une lentille donnée: en
effet, c'eft ce que l'expérience peut indiquer le mieux; mais nous nous propofons
de faire connaître , étant données l'ouverture et la longueur d'un feul télefcope
excellent et d'ailleurs quelconque, les ouvertures qui conviennent à d'autres
télefcopes plus longs ou plus courts. La règle doit nous apprendre la grandeur
de l'ouverture pour chaque télefcope féparément, de manière que fa puilTance
ne foit pas inférieure à ce qu'elle doit être eu égard à sa longueur; et cela non
feulement pour ceux de 20 , de 30 ou de 40 pieds qui ont déjà été conftruits
effeétivement, mais aufli pour des télefcopes beaucoup plus grands, par exemple
de 100 pieds, de 200 pieds ou davantage. Il apparaîtra en même temps de cette
façon quels plus grands avantages nous pouvons nous promettre de ces grands
télefcopes dans la confidération des corps céleftes ; et l'on fe fentira encouragé à
faire de nouveaux efforts pour pouffer les effais plus loin.

Or, comme il y a deux fortes de télefcopes, dont les premiers font compofés
d'une lentille convexe et d'une lentille concave, et les féconds de lentilles con-
vexes feulement, il faut favoir que ce que nous dirons ici à-propos des rapports des
ouvertures ne s'applique qu'aux télefcopes de la deuxième efpèce. En effet, nous
avons fait voir plus haut ') comment dans les lunettes compofées d'une lentille
concave et d'une lentille convexe , la lentille concave peut corriger l'aberration
de la lentille convexe, et comment l'ouverture de la lentille convexe peut , par
conféquent, être confidérablement agrandie de manière à furpaffer de beaucoup
les limites que nous lui affignons ici. Mais comme une lentille oculaire concave
ne peut être tolérée dans les tubes de fort grande longueur , parce qu'un efpace
trop étroit eft embraffé par un télefcope de ce genre, nous ne devons attendre un
effet confidérable dans la confidération des corps céleftes que des lunettes pour-
vues de lentilles convexes feulement. C'eft donc de l'ouverture extérieure de ce

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. 1666. REJECTA. 339

muko quam pro ratione GH ad EF mulciplicatio induci poteft. Ut fi GH ad EF
vigecupla eft , facile centuplam multiplicationem fecundum diametrum perferet
niicrofcopium. Quin imo et obfciiritate nimia laboranti remedium adferre licet
validiori luce in rem vifam derivata , quod pliiribus modis fîeri poteft.

[PropositioXI].

i
Apertiirarum amplitudines quae lentibus telefcopij exterio-
ribus conveniant inveftigare.

Ciim aperturas magnitude in telefcopijs tanti fit momenti, ut efficacia ac bonitas
eorum inde prsecipue judicetur, cumque apertura illa non pro lubituconftituipof-
fit, quod nimiam faciendo diftinéla vifio radiorum confufione diminuatur; exigua
autem obfcuritatem pariât, omnino videndum eft quaenam in bis menfura prse-
fcribi poflît. quod tamen non tam eopertinet, ut datselentisalicujusaperturam
maximam hac ratione inquiramus; cum hoc experientia optime docere pofllt;
verum ut unius telefcopij cujusdam optimi apertura ac longitudine data, etiam
aliarum longiorum aut breviorum aperturae cognofcantur; quantae videlicet in
fingulis efiè debeant; ut pro ratione longitudinis effeftus telefcopij non minor
debito fequatur; idque non tantum in bis quae jam arte effeéta habemus pedum 20,
30 vel 40, fed et in majoribus muko, puta quae ad 100 vel 200 pedes, aut
amplius extendantur: quo fimul manifeftum fiât quanto plus opis in his ad
caeleftium contemplationem nobis polliceri poflimus, animiqueaddanturad ulte-
riora conandum.

Cum autem duo fint telefcopiorum gênera, alterum convexa et cava lente
conftans, alterum folis convexis, tantum ad ea quae pofterioris generis funt per-
tinere fciendum quae de aperturarum rationibus hic dicentur. In illisenim,quae
cava et convexa lente componuntur, oftendimus fupra'), qua arte lenscava
aberrationem convexae emendare poffit;eoque apertura convexje infigniterdeduci,
adeo ut limites quos hic ponimus multum excédât. Sed cum lens ocularis cava in
praelongis tubis tolerari nequeat,quod nimis anguftum fpatium telefcopiotali com-
prehendatur, nihil eximium ad fidera fpedanda nifi ab illis fperare debemus quse
folis convexis inftrufta funt. Itaque de horum telefcopiorum exteriori apertura
adturi , inprimis piéturam illam confiderabimus quae lente convexa *) in loco tene-
brofo, vulgata jam arte, exhiberi folet, quoniam perfimilis eft ei quae in fundooculi
effingitur. Sit igitur convexae ejufmodi lentis apertura AB [Fig. 36], axis CD,

*) Voir la Prop. IX , p. 3 1 9 du Tome présent.

*) La leçon primitive et la copie de Niqiiet donnent: „trans lentem convexam'

[Fig.S^.]

340 DE l'aberration DES RAYONS HORS DU FOYER. 1666. PROP. ÉCART.

dernier genre de lunettes que nous parlerons. Nous confidérons d'abord l'image
qu'une lentille convexe, par un artifice fort connu, forme dans un endroit obfcur
attendu qu'elle eft fort femblable à l'image formée au fond de l'oeil. Suppofons
donc que AB [Fig. 36] repré fente l'ouverture d'une lentille convexe de ce genre,
CD fon axe et D fon foyer, c'cft-à-dire , le point où fe réuni iïent les rayons paral-
lèles à l'axe. Soit DG l'aberration du rayon extrême. Prolongeons BG , rayon
réfraété correfpondant au rayon extrême, jufqu'à ce qu'il ren-
contre en E un plan parallèle à la lentille AB et pafTant par le foyer
D. Les rayons réfraftés provenant des autres rayons parallèles à
l'axe s'approchent d'autant plus du foyer D que ceux-ci fe trouvent
à une plus petite diftance de l'axe; il s'enfuit que les extrémités de
toute la férié de rayons parallèles, c'eft-à-dire, de rayons ifliis d'un
feul point de l'oSjet, occupent fur le plan un petit cercle de rayon
DE; plus ce cercle eft petit , plus auffi l'image de l'objet formé fur
le plan fera nette. Or, comme les images formées par deux lentilles
différentes feront également brillantes et également diftinctes lorf-
que les cercles d'aberration que celles-ci produifent feront égaux
entre eux; de même auffi des télefcopes différents donneront lieu à
une vifîon également diftinéle, lorfqu'ils produiront fur le fond de
l'oeil des images également bien définies,je veux dire des images dans
lefquelles les cercles d'aberration ont le même diamètre. Je penfe
qu'il n'exifte pas de propofition plus certaine ou plus évidente qui puilTe ici fervir
de bafe à nos raifonnements. Or, pour qu'on puiffe examiner plus facilement la lar-
geur de ces petits cercles formés furie fond de l'oeil, nous démontrerons d'abord,
vu que la lentille oculaire pourrait fembler donner lieu à quelque difficulté :

Que les petits cercles d'aberration, formés au fond d'un oeil
qui regarde à travers un télé fc ope, font produits prefque
exclu fi ve ment par l'aberration de la lentille extérieure, tan-
dis quela lentille oculaire augmente à peine leur diamètre, de
forte que cette dernière lentille peut dans le télé fc ope être
confidérée comme parfaite, c' e f t-à-d i r e , comme fi elle rendait
exactement parallèles les rayons if fus d'un feul point ^).

En effet, foit AB [Fig. 37] la lentille extérieure du télefcope, et GF la lentille
oculaire; les foyers des deux lentilles coïncident au point C. Suppofons que MB,
le rayon extrême parallèle à l'axe, coupe l'axe au point D, faifantainfi l'aber-
ration DC , et la lentille GF au point G. Joignons les points C et G.

Si nous fuppofons maintenant qu'un rayon HG parallèle à l'axe tombe fur la
lentille FG, ce rayon rencontrera l'axe non pas au point C, foyer de la lentille
GF , mais au point E , fitué en-deçà du point C , de telle manière que l'aberration
CE fera à l'aberration CD comme CF eft à AC. En effet , comme AB et FG font

0 Voir, pour la note citée dans la note i de la p. 238 , la note i de la p. 342 qui suit.

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. 1666. REJECTA.

341

focus, feu punftum quo colliguntur radij ad axem paralleli, D. Aberratio autem
radij extremi fit DG. et producatur BG refraélio ejiifdem radij quoufque occurrat
tabulae, quae per focum D lenti AB parallela intelligenda eft, in E. Cum itaque
radiorum caecerorum axi parallelorum refraéliones, quanto quifque axi propin-
qiiior fertur, tanto propius concurrant ad focum D, fequitiir extremitates totius
feriei parallelorum, five ab uno aliquo rei vifae punélo manantium occupare in
tabula circellum cujus femidiam. DE; qui circellus quo minorifueritmagnitudine
tanto perfeftior erit in tabula rei vifae repraefentâtio. Sicut autem aeque nitidae ac
diftinéiae a duabus diverfis lentibus pifturae futur» funt quando iftos aberrationum
circules aequales facient; ita quoque aeque diftinfta vifio diverfis continget telefco-
rpig. 37.] pijs, cum et ab illis in fundo oculi pidlurae seque terminatae , hoc
' ert in quibus aberrationum circuli aequali latitudine fint, defcriben-
1^ tur. Neque enim certius aut evidentius quicquam fundamenti vice
hic ftatui pofl!e exifl:imo. Ut autem minori negotio circellorum
ifliorum in fundo oculi latitudo inquiratur,quoniamlensocularis
difiicultatem aliquam adferre videri poflît, oftendemus primo ,

Circellos aberrationis, in fundo oculi per tele-
fcopium fpectantis, fere tantum ab aberratione
lentis exterioris oriri, lente oculari vix quic-
quam eorum latitudinem augente, adeo ut lens haec
in telefcopio tanquam perfecta cenferi poffit, hoc
eft, ac fi radios à puncto venientes exacte paral-
lèles redderet^).

Sft enim lens telefcopij exterior AB [Fig. 37] ,ocularis GF,
quarum utriufque foci funt in puncto C. Radius autem extremus
axi parai lelus MB fecet axem in D , faciens aberrationem DC ,
atque occurrat lenti GF in G; et jungatur CG.

Si jam fingamus radium HG axiparallelum incidereinlentem
FG , is non convenie.t cum axe in C , foco lentis GF , fed citra
punétum C in E , ita ut aberratio CE fit ad aberrationem CD ficut
AC adCF 3). Nam cum AB et FG fint portiones fimiles lentium
ejufdem generis, confiât utriufque aberrationes radiorum paralle-

'") La démonstration qui va suivre suppose que l'objectif et l'oculaire sont constitués par des len-
tilles de même espèce; mais il est clair que la proposition reste vraie aussi longtemps que le
rapport de l'aberration à l'épaisseur n'est pas trop différente pour les deux lentilles. Toutefois,
pour une lentille oculaire convexo-concave ou concavo-con vexe, ce rapport pourrait gran-
dir tellement que l'aberration due à la lentille oculaire égalerait celle de l'objectif. Et c'est
même sur cette circonstance que la méthode de compensation est fondée qu'on trouve
décrite dans la Prop. IX, p. 319-331 , comme valable pour la combinaison d'une grande
lentille convexe avec un oculaire convexo-concave.

3) Lisez „CF ad AC".

34 2 DE l'aberration des rayons hors du foyer. 1666. PROP. ÉCART.

[Fig.37.]

des parties femblables de deux lentilles de la même espèce , il eft établi que les
aberrations des deux rayons parallèles qui palTent par les points B et G refpeélive-
ment,font entre elles comme les diftances focales de ces lentilles. C'eft pourquoi,
réciproquement, le rayon ilTu du point E et qui fuit la route EG
fera réfraété de manière à fe mouvoir félon GH parallèle à l'axe.
Mais le rayon DG fera réfrafté de telle manière en GL, que
Tangle HGL deviendra égal à l'angle DGE *. Les deux lentilles
enfemble donneront donc au rayon qui devait être parallèle à
l'axe , une aberration repréfentée par l'angle HGL qui eft égal à
cet angle DGE; tandis que l'aberration de ce rayon n'excéderait
pas l'angle DGC, fi la lentille FG était telle qu'elle rendait paral-
lèles à l'axe les rayons iffus du foyer C. En effet, le rayon CG
étant réfrafté en GH et le rayon DG, comme auparavant, en
GL, l'angle LGH ferait alors égal à l'angle DGC. Il apparaît
donc que la lentille GF augmente l'aberration du rayon BD d'un
angle égal à CGE , lequel eft à l'angle DGC à-peu-près comme
EC eft à CD, ou comme FC eft à CA. Ceci fait voir combien
cette augmentation due à la lentille oculaire eft petite et négli-
geable, furtout dans les télefcopes fort longs qui groififlent les
objets cinquante ou cent fois et davantage.

Nous parlerons maintenant des rapports des ouvertures et nous
démontrerons la propofition fuivante '*) :

Dans des télefcopes de différentes longueurs
il faut, pour qu'ils donnent des objets des images
également lumineufes et nettes, que le rapport
I des diftances focales des lentilles extérieures de

la même efpèce^) foit égal à la f^""' puiffance du
rapport des diamètres des ouvertures de ces mêmes lentilles;
en d'autres termes, il faut que les cubes de ces diftances
focales foient entre eux comme les quatrièmes puiffances des
diamètres 4).

En effet, confidérons deux télefcopes de longueurs différentes ayant des len-
tilles extérieures de la même efpèce: foit AB [Fig. 38] le diamètre de la lentille
extérieure de l'un des deux, ou plutôt de la partie de cette lentille qui n'eft pas
recouverte, et OP la lentille oculaire; les foyers des deux lentilles coïncident au
point D; en effet, cette difpofîtion eft néceffaire pour que les rayons iffus d'un
point lointain arrivent parallèlement à l'oeil après avoir traverfé le télefcope. Sup-
pofons que QR foit la pupille, que le fond de l'oeil fe trouve en X et que tous les
centres C, O, Q, X fe trouvent fur la même droitequieft l'axe du télefcope.

^) Le renvoi est resté en blanc. Aussi le théorème en question n'avait pas encore été rédigé

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. 1666. REJECTA.

343

lorum in B et G incidentium efle inter fe ficut ipfae lentium foci diftantise
Quamobrem itaqiie et vice verfa radius, ex E incidens fecundum EG , fleéletur
fecundum GH axi parallelam. At radius DG ita refringetur in GL, ut angulus
HGL fiât aequalis DGE *. Itaque lens utraque fimul nunc aberrare faciet radium
qui axe parallelus efle debuerat hoc angulo HGL ipfi DGE œquali, qui radius
tantum aberraret angulo aequali ipfi DGC fi lens FG ejusmodi effet ut radios ex
foco C egredientes axi parallelos redderet. Tune enim radio CG refrafto in G H,
et radio DG , ut ante , in GL, aequaretur angulus LGH angulo DGC. Patet igitur
lentem GF augere aberrationem radij BD angulo aequali CGE , qui eft ad angu-
lum DGC proximè ut EC ad CD, five ut FC ad CA. Unde apparet quam exigua
fit hase additiuncula ab oculari lente profeéta, quamque nullius momenti, praefer-
fFig. 38.1 [Fig. 39.] ^i"^ i" praelongis telefcopijs quae quinquagies vel cen-

ties et amplius res vifas multiplicant.

Nunc ad rationes aperturarum pergemus often-
demufque Oî

In telefcopijs divérfae longitudin'is ut
aeque lucidas ac distinctas rerum ima-
gines référant, ration]em foci diftantia-
rum lentium exteriorum, ejufdem gene-
ris3), fefquitertiam effe debere ejus quae
in diametris aperturarum earundem len-
tium; five, cubos dictarum foci dift an-
tiarum, eandem habituros rationem qua-
dratoquadrata diametrorum aperturae-»).
Sunto enim duo diverfae longitudinis telefcopia
lentes exteriores ejufdem generis habentia , quorum
alterius lens exterior, quatenus adaperta, fit AB [Fig.
38] , lens ocularis OP , focis utriufque in idem punc-
tum D compofitis; ita enim collocari neceffe eft ut
radij ad ôculum paralleli perveniant qui à punfto lon-
ginquo ad telefcopium feruntur. Sit autem pupillaQR,
fundus oculi ad X, centraque omnium C, O, Q, X
in eadem reaa quae eft axis telefcopij. Intelligatur

dans le manuscrit de la „Dioptrique" tel qu'il était en 1666; on le retrouve toutefois dans
l'Appendice III au Livre II de la première Partie (p. 238 du Tome présent) et dans la
Prop. VI de la troisième Partie.
^} Comparez avec ce qui suit la leçon plus primitive que nous avons reproduite dans l'Appen-
dice III à la Partie présente, à commencer par l'avant-dernier alinéa de la p. 381.

3) Voir la définition de la p. 315. Sur le cas où les lentilles sont d'espèce difFérente on peut
consulter les p. 385—386 de l'Appendice III , mentionné dans la note précédente.

4) Comme nous l'avons exposé dans l'„Avertissement", qu'on trouve au début du Tome présent.

344 ^^ l'aberration des rayons hors du foyer. 1666. PROP. ÉCART.

Repréfentons en outre par BEP le rayon réfraété provenant du rayon extrême qui
tombe fur la lentille AB; nous fuppofons que ce rayon réfraété coupe la lentille
oculaire en P et que Ton aberration foit ED , de forte que le rayon du petit cercle
d'aberration eft DF. Joignons les points D et P par une droite, et foit PS une
parallèle à l'axe.

Si un rayon DP , provenant du foyer de la lentille oculaire OP , tombe fur
cette lentille, il devient parallèle à l'axe de manière à fe mouvoir fuivant la droite
PS; en effet, nous confidérons ici la lentille OP comme dénuée d'aberration,
comme cela eft permis d'après ce que nous avons démontré plus haut. Il en réfulte
que le rayon EP fe mouvra fuivant PR de telle forte que l'angle SPR devient
égal à l'angle DPE. Suppofons que ce rayon réfraélé coupe la pupille en R et
tirons la droite RT parallèle à l'axe. Comme la difpofition de l'oeil eft telle qu'il
réunit les rayons parallèles à l'axe, tels que TR, au point X, il s'enfuit qu'il
réfraétera le rayon PR vers l'intérieur, par exemple vers un point V de la rétine,
de force que XV y fera le rayon du petit cercle d'aberration. Il apparaît que la
grandeur de ce rayon dépend de la grandeur de l'angle que font entre eux au
point R à l'intérieur de la pupille les rayons réfraétés provenant des rayons PR
* 0- * et TR. Or , cet angle a à l'angle PRT un certain rapport * qui aurait la valeur

I ') fi le pouvoir réfringent' de la cornée pouvait être confidéré comme égal a
celui de l'eau ; mais cette valeur eft ici fans importance.

Il faut fe figurer enfuite que dans le fécond télefcope [Fig- 39] toutes les
mêmes chofes foient fuppofées et les mêmes conftrudions faites, les points
qui correfpondent à ceux de la première figure étant indiqués par les mêmes
lettres, minufcules cette fois, que dans la première figure. Il eft évident que tout
ce qui a été dit jufqu' ici à propos du premier télefcope, s'applique de même au
fécond. Pour que la vifion foit également diftinéte dans tous les deux, il faut donc
que XV foit égal à xu, et, par conféquent, que l'angle TRP foit égal à l'angle trp.
Mais l'angle DPF eft égal à l'angle TRP ou RPS , et de même l'angle dpf eft
égal à l'angle trp. Il faut donc que les angles DPF et dpf foient égaux entre
eux. Pour qu'il en foit ainfi , il faudra qu'on ait PD : DF = pd : df , et , par per-
mutation, PD:pd, ou OD : od (rapport qui doit ici être cenfé avoir la même
valeur) = DF : df .

Prenons un point n tel qu'on ait CD: DO = cd : dn. Si donc, après avoir enlevé

la lentille op, on plaçait une autre lentille oculaire au point n , pofl^édant une

Prop. V, Part. I, diftance focale dn, les grofliftèments des deux télefcopes feraient les mêmes *, mais

Liv. II > qq\u[ que donnerait alors le télefcope -abop *) eft au grofliflement de ce même

cette règle a été remplacée plus tard par Huygens par une autre entièrement différente et
fondée cette fois sur l'aberration chromatique. Voir encore les notes 6 de la p. 349 et 3 de la
p. 350. Ajoutons, qu'au lieu de la démonstration qui va suivre on en trouvera une autre plus
algébrique p. 382 — 383 de l'Appendice III , que nous venons de citer dans la note 2.

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. 1666. REJECTA.

345

[Fig.38.] [Fig.39-]

porro refraétio radij extremi in lentem AB incidentis e(reBEP,quîe occurrat
lenti oculari in P, cujufque aberratiofit ED, circelli vcroaberrationis femidia-

meter DF. Et jungatur DP, fitque PS axi parallela.
Qiioniam igitur, fi in lentem ocularem OP radius
incidat DP,ex focoejus advcniens, is axi parallclus
efficitur, ita ut incedat fecundum rcétam PS; (nam,
ut fupra fieri licere oftendimus, lentem OP quafi
aberrationis expertcm hîc confideramus;) feretur
proinde radius EP fecundum PR, ut angulus SPR
fiât îequalis DPE. Occurrat ergo pupillae in R et aga-
tur RT axi parallela. Quia ergo oculi ca eft difpofitio
ut radios axi parallelos, qualis TR, cogat adpunftum
X, fequitur radium PR interius deflexurum puta ad
punétum retinae V,ita XVillic futura fit femidiameter
circelli aberrationis; cujus quidem magnitudinem
pendere apparet à magnitudine anguli quem refrac-
tiones radiorum PR , TR intra pupillam ad punftum
R efiiciunt. Hic vero angulus certam proportionem
habet ad angulum PRT *,quse rubfefquitertia efiet ^),
fi corneae refraélio eadem quse aquae ponatur; fed
quîecunque fit, nihil hic refert.

Porro in telefcopio altero [Fig. 39] eadem omnia
pofita atque efteéla intelligantur, literis minoribus
ejufdem nominis atque in prière ad punéta corre-
fpondentia adfcriptis; Et confl:at eadem omnia , quae
haélenus difta funt,etiam illi telefcopio convenire. Requiritur itaque,quoaeque
diftinfta utrobique contingat vifio, ut XV fit aequalisxu, ac proinde ut angulus
TRP fit œqualis trp. Angulo autemTRP five RPS a^qualis efl: DPF,fimiliterque
angulo trp aequalis dpf. Ergo requirit-ur ut sequalcs fint anguli DPF , dpf. Quod
ut fiât, debebit efie ut PD ad DF ita pd ad df ; et permutando, ut PD ad pd ,
five, quae eadem ratio hic cenfenda efl:, OD ad od , ita DF ad df.

Sit ut CD ad DO ita cd ad dn. Quod fi igitur, ablata lente op, lens alla ocu-
laris ad n poneretur, foci diftantiam habens dn, jam eadem effet utriufque

').

telefcopij multiplicatio *; fed ea quam tunchaberet telefcopiumabop ^^3 ell ad ♦[Prop.v,Part.i,

') Ici encore le renvoi est laissé en blanc. La proposition dont il s'agit n'avait pas été formulée
explicitement par Huygens; mais elle résulte facilement des considérations qui ont amené le
théorème mentionné dans la note i , p. 342. On en trouvera d'ailleurs une démonstration ,
qu'on doit dater probablement de 1689, dans l'Appendice IX, p. 433*

^) C'est-à-dire, la valeur réciproque de l'indice de réfraction de l'eau , sur lequel on peut con-
sulter la p. 1 1 du Tome présent.

3) Voir la p. 197 du Tome présent.

"*) Lisez plutôt abn.

44

34^ DE l'aberration des rayons hors du foyer. 1666. PROP. ÉCART.

')• télefcope dans le cas où la lentille op y efl: placée , comme od efl: à dn *. Il paraît

donc que le groffîiïement dû au télefcope ABOP eft lui aufli au groffiiïement dû
au télefcope abop muni de la lentille op comme od efl: à dn. Mais comme on
exige que les objets foient vus par les deux télefcopes avec le même degré de
clarté, il faut que le rapport od : dn, c'eft-à-dire le rapport des groffifTements, foit
égal à CB:cb, c'ell-à-dire au rapport des ouvertures. Puis, en partant de là,
nous raifonnerons comme il fuit. Le rapport OD : od eft compofé des rapports
OD : dn et dn : do, dont le premier OD : dn eft égal à CD : cd, puifque nous
avons choifi le point n de telle manière que CD : DO = cd : dn ; tandis que le
fécond dn : do eft égal à cb : CB, comme nous venons de le faire voir. Le rap-
port OD : od fe compofe donc des rapports CD : cd et cb : CB. Or, nous avons
montré plus haut que ce même rapport OD : od eft égal au rapport DF : df , dont

Prop. VIII '). il eft établi qu'il fe compofe des rapports CB^ : cb^ et cd' : CD'' *. Le rapport
compofé des rapports CD : cd et cb : CB fera donc égal à celui que compofent
les rapports CB^ : cb^ et cd^ : CD^ Multiplions des deux côtés par le rapport
CD^ : cd^. Les deux rapports fuivants deviendront donc égaux entre eux: un
premier compofé des rapports CD^ : cds et cb : CB, un fécond des rapports
CB3 : cb3, cd= : CD' et CD" : cd" ; le fécond eft donc Amplement égal à CBs : cbs,
vu que les deux derniers rapports fe détruifcnt mutuellement. Multiplions de
nouveau des deux côtés par le rapport CB : cb. Alors deviendront égaux, un
premier rapport compofé des rapports CD^ : cds , cb : CB et CB : cb. étant
donc Amplement égal au rapport CD^ : cds, et un fécond qui fe compofe des
rapports CB^ : cb^ et CB : cb, et qui eft donc égal au rapport BC^ : bc'^. Comme
le cube de CD eft au cube de cd, ainfi eft donc la quatrième puiflance de CB à
la quatrième puiftance de cb. Ce qu'il fallait démontrer.

Il s'enfuit que fi le rapport des diftances focales CD et cd eft égal à 16:1, celui
des diamètres des ouvertures BA et ba fera 8:1. Généralement, étant donnés dans
un feul télefcope quelconque la diftance focale de la lentille extérieure et la plus
grande ouverture que ce télefcope peut fupporter, nous trouverons d'après cette
règle l'ouverture qui convient à un autre télefcope quelconque ayant une lentille
extérieure de la même efpèce; le plus facile fera de fe fervir de logarithmes. En
effet, fi l'on donne numériquement la diftance focale CD du télefcope donné, le
diamètre AB de fon ouverture et la diftance focale cd du fécond télefcope qu'il
s'agit de conftruire, il faut ajouter au logarithme du nombre AB les trois quarts
du logarithme de cd et retrancher de la fomme les trois quarts du logarithme de
CD : on obtiendra ainfi le logarithme de l'ouverture ab.

^) Le renvoi est laissé en blanc. On comprend difficilement pourquoi une autre proposition que
la Prop. V , citée à la p. 345 , serait nécessaire.

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. 1666. REJECTA.

347

[Fig. 38.] [Fig. 39.]

eam qiitim pr^ftac pofita lente op, ficut od ad dn *, Ergo patet et multiplicadonem * 0-
telefcopij ABOP ad eam qnse ei\ telefcopij abop inftruai lente op, le habere ut

od ad dn. Cum aiitem œqualis claritas iitrinqiie rébus
vifis poftulctur, oportet ut fit od ad dn hoc eil multi-
plicatio ad multiplicationem ficut CB ad cb , aper-
tura ad aperturam , unde jam porro fie argumentabi-
mur. Ratio OD ad od, componitur ex rationibus OD
ad dn et dn ad do; quarum OD ad dn ei\ eadem quae
CD ad cd; cum fecerimus CD ad DO ut cd ad dn;
altéra vcro dn ad do eadem quae cb ad CB , ut modo
ollendinuis; itaque ratio OD ad od componitur ex
rationibus CD ad cd et cb ad CB. Atque eadem
ratio OD ad od gequalis antea ofienfa efl: rationi DF
ad df , quam componi confiât ex rationibus cubi CB
ad cubum cb et quadrati cd ad qu. CD *. Ergo ratio ♦ [Prop, viil.]*)
compofita ex CD ad cd et cb ad CB aequabitur com-
pofitae'ex rationibus cubi CB ad cubum cb et qua-
drati cd ad qu. CD. Addatur utrinque ratio quadrati
CD ad qu. cd. fient igitur îequales inter fe, illinc
compofita ex rationibus cubi CD ad cubum cd et
redise cb ad CB , hinc compofita ex rationibus cubi
CB ad cubum cb et quadrati cd ad qu. CD et qua-
drati CD ad qu. cd; hoc efl:, fola ratio cubi CB ad
cubum cb; quia duae pofteriores fefe mutuo tollunt.
Addatur rurfus utrinque ratio CB ad cb;fientque
rationes asquales, illinc, compofita ex rationibus cubi CD ad cubum cd, et reélae
cb ad CB et CB ad cb , hoc efl: fola ratio cubi CD ad cubum cd. Hinc vero com-
pofita ex rationibus cubi CB ad cubum cb, et redise CB ad cb, quae duae
rationes conflituunt rationem quadratoquadrati BC ad qu. qu. bc. Sicut igitur
cubus CD ad cubum cd ita efl qu. qu. CB ad qu. qu. cb. quod erat dem.

Hinc fequitur, fi ratio foci diftantiarum CD ad cd fit ea quse i6 ad i , rationem
diametrorum aperturae BA ad ba futuram quae 8 ad i. In univerfum vero, data in
uno aliquo telefcopio foci diflantia lentisexterioris, et maxima quam ferre valet
apertura, etiam alij cuivis, ejufdemgenerislentem exteriorem habenti,debitam
aperturam fecundum haec invenimus, et facillime quidem per logarithmos. Si
enim dentur numéro foci diflantia dati telefcopij , CD , et diameter aperturae AB ,
itemque foci difl:antia alterius conflruendi telefcopij cd, oportet logarithmo
numeri AB addere très quartas logarithmi cd et à fumma auferre très quartas
logarithmi CD; fietque logarithmus aperturae ab.

') Voir la p. 315 du Tome présent.

348 DE l'aberration DES RAYONS HORS DU FOYER. I 666. PROP. ÉCART.

Suppofons, par exemple, qu'une lentille ayant une diftance focale de 12 pieds,
fupporte dans fon télefcope une ouverture de deux pouces ^) et qu'on demande
l'ouverture d'une autre lentille ayant une diilance focale de 100 pieds. Le loga-
rithme de 100 ert 2,00000; en ajoutant les trois quarts de ce logarithme, c'eft-à-
dire 1,50000, au logarithme de 2, qui ell: 0,30103 , on obtiendra 1,80103. Si l'on
en retranche les trois quarts du logarithme de 12, c'eft-à-dire 0,80938,11 refle

0,99165, logarithme du nombre - — , qui défigne le nombre des pouces du

diamètre cherché de l'ouverture, lequel eft un peu inférieur à dix, ainfi qu'on
voit. Nous avons conftruit de cette façon le tableau fuivant ') en prenant,
comme nous l'avons dit , une ouverture de 2 pouces pour une lentille de 1 2 pieds,
attendu que l'expérience nous a en feigne qu'une bonne lentille, quoique égale-
ment convexe des deux côtés, peut avoir une ouverture de cette grandeur 3); d'où
il réfulte qu'une lentille planconvexe ou une lentille à rapport fextuple des rayons
de courbure laquelle eft fupérieure à toutes les autres comme nous l'avons
démontré plus haut 4)^ fupporte encore plus facilement une pareille ouverture. Si
une lentille de cette dernière efpèce était donnée et qu'on pouvait être aflTuré
qu'elle était façonnée fort exaélement, on pourrait fe baser fur elle pour trouver
la plus grande ouverture de toutes les autres lentilles de cette efpèce. Mais nous
avons préféré tenir compte de ce qu'on peut efpérer déjà maintenant des efforts
des artisans. Dans le même tableau nous avons indiqué quelles font les lentilles
oculaires qui conviennent à chaque grande lentille; pour trouver leurs diftan-
ces focales, nous admettons qu'une lentille qui a une diftance focale de deux
pouces peut être combinée proprement avec une grande lentille de 12 pieds,
comme l'expérience l'a enfeigné s). En fe bafant là- defîus, on peut calculer la
mefure de chacune des autres lentilles oculaires; en effet :

Dans des télé fc opes de longueurs différentes dont les len-
tilles extérieures font de la même efpèce, les diftances
focales des lentilles oculaires doivent être entre elles comme
les racines bicarrées des diftances focales des grandes len-
tilles*').

Cela fe tire de la manière fuivante de ce que nous avons démontré plus haut.
Nous y ayons montré que les diftances focales, OD et od, des lentilles oculaires
[Fig. 38 et 39] dans les télefcopes confidérés qui forment à l'intérieur de l'oeil
des images également lumineufes et également diftin6tes quoique non pas égale-
ment grandes, font entre elles dans un rapport compofé des rapports CD : cd et
cb : ÇBQ. Par conféquent, la quatrième puiffance du rapport OD : od fera auffi

') On trouve ici intercalée , mais biffée depuis , la phrase : „talem enim bonae lenti conve-

nire re ipfa invenimus".
=) Voirlesp. 351— 353.
3) C'est-à-dire, nonobstant qu'une lentille de ce genre présente une aberration sphérique qui

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. 1666. REJECTA.

349

Ut fi lens , CLijus foci diftantia pedum 1 2, ferat aperturam in telefcopio fuo quae
fit pollicum diiorum ^) , et qiiseratur apertura lentis alius cujus foci diftantia
pedum 100. Logarithmus 100 efl: 2,00000 cujus très quartse 1,50000 additse ad
logarithmum 2, qui eft 0,30103, faciunt 1,80103. Unde fi auferantur |logarithmi

i2,hoceft, 0,80938, reliquum efl:, 0,99165, logarithmus numeri^ — ,quidefig-

nat numerum pollicum diametri aperturœ quaefitae;paulominorem, ut apparet,
denario. Et hoc modo compofita ellfequens tabella =), fumtâ, ut jam diximus,
apertura 2 pollicum in lente pedum 12: quandoquidem bonam lentem eoufque

[Fig.38.] [Fig. 39.]

aperiripofîe re ipfa invenimus, etfi utrimquesequaliter
convexam 3) ; ut tanto proinde facilius id latura fit
planoconvexa, vel illa proportionis fcxcuplae, quae
praeftare cseteris omnibus fupra oftenfa fuit^).Quodfi
quashujufmodidaretur, quamqueconllaretexaéliiïime
formatam, pofiet ab hac omnium aliarum maxima
apertura certo definiri. Nos vero, quid jam nunc ab
artificum induftria fperare liceat, attendimus. In
eadem porro tabella et lentes oculares definivimus
quas cuique majori lenti conveniunt; ad quarum foci
diilantias inveniendas,ponimus eamquaeduospollices
habeat reéte aptari cum lente magna pedum 1 2 , ficut
experientia comprobatum efl s). Hinc vero etreliquae
omnes menfuram fuam accipiunt; quandoquidem :

In diverfse longitudinis telefcopijs,
qui bus lentes exteriores ejufdem funt
gène ris, lentium ocularium foci diftan-
ti« fubquadruplam ratio nem habere de-
bent ejus quam foci diftantiae lentium
magnarùm*^).

Quod ex ante demonfliratis hoc modo conficitur.
Foci difl:anti3e lentium ocularium , OD ad od [Fig.
38 et 39], in telefcopijs Mbi propofitis, quae res
vifas aeque clare ac diftinéle, etfi non œquc amplas, intra oculum depingunt,
rationem compofitam habere oftenfae funt ex rationibus CD ad cd, etcb ad CB 7).

excède celle d'une lentille planconvexe qui tourne sa surface convexe vers les rayons. Com-
parez le troisième alinéa de la p. 291.

'*) Voir la p. 291 en bas.

S) Voir , entre autres , la p. 1 30 du T. V.

*^) Cette règle aussi a été essentiellement modifiée par Fiuygens pour tenir compte de l'aber-
ration chromatique. Comparez la note 4, p. 343.

7) Voir la p. 347 du Tome présent.

350 DE l'aberration des rayons hors du foyer. 1666. PROP. ÉCART.

compofée des quatrièmes puifTances des rapports CD : cd et cb: CB. De ces deux
dernières la quatrième puifTance de CD : cd ell: compofée du rapport CD : cd et
de la troifième puiflance de ce même rapport CD : cd. Et l'autre, la quatrième
puifîance de cb : CB, eft égale, d'après ce que nous avons démontré ^), au rapport
du cube cd au cube CD. Par conféquent, la quatrième puifTance du rapport OD :
: od fera compofée des rapports CD : cd, (CD : cd)3 et (cd : CD)^. Les deux
derniers rapports fe détruifent mutuellement , et il ne refte donc que le rapport
CD : cd égal à la quatrième puifTance de OD : od; c'eft pourquoi le rapport
OD : od fera réciproquement égal à la racine bicarrée du rapport CD : cd. Ce
qu'il fallait démontrer.

D'ailleurs les mefures des lentilles oculaires convexes peuvent fe tirer de ce
qui précède encore d'une autre façon. En effet , de l'ouverture adoptée pour une
lentille de 12 pieds on déduit les ouvertures de toutes les autres lentilles fem-
blables; mais comme les ouvertures, ainfi font entre eux les grolTifTements des
télefcopes donnant des images également lumineufes ; il en réfulte que lorfque
les ouvertures font données et de même auffi le grofTifTement propre à un télé fcope
de 12 pieds, lequel eft de 72 à i lorfque la lentille oculaire de ce télefcope
a une diftance focale de 2 pouces , on connaîtra aufTi le grofTifTement d'un autre
télefcope quelconque. Mais lorfque le grofTifTement et la diftance focale de la
grande lentille font connus , on connaîtra aufTi la diftance focale de la lentille ocu-
laire, attendu que le rapport des diftances focales eft égal au grofTifTement du
télefcope compofé de ces lentilles 3).

Didance focale de la

grande lentille.

Pieds.

Diamètre de l'ouverture

de la grande lentille.

Pouce.

Diftance focale de

la lentille oculaire.

Pouces.

Grofliflement linéaire
du télefcope.

I
2
3

31

JOO
53

100

70
100

100

11
18

25

*) Voir la p. 347 du Tome présent.

') Lisez CD.

3) Voici ce que la Correspondance nous apprend sur l'emploi que Muygensa fait du tableau qui
suit. Le 30 septembre 1667 il communiqua dans une lettre à son frère Constantyn (T. VI,
p. 151) des données pour les lunettes à distances focales de 40, de 60 et de 100 pieds, emprun-
tées évidemment à la deuxième colonne. De même il cita à Colbert,dans une pièce du 9 août
1674 (T. VII, p. 350) intitulée: „De l'efFect des Lunettes d'approche", les grossissements
que des lunettes de 12, de 30 , de 60 , de 80 , de 1 00 , de 1 50 , de 300 et de 600 pieds pour-
raient souffrir d'après le tableau, mais il ajouta déjà alors : „Mais il y a une certaine propriété

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. 1666. REJECTA.

351

[Fig.38.] [Fig.39.]

Itaquc et ratio quadruplicata OD ad od, componetur
ex quadriiplicatis rationibus CD ad cd, et cb ad CB.
Hariim vero CD ad cd quadruplicata componitur
ex (implici ratione CD ad cd et ex eadcm CD ad cd
triplicaca. altéra vero cb ad CB quadruplicata, eadem
oftenfa efl: ^) qux cubi cd ad cubum CB =); Ergo
ratio quadruplicata OD ad od jam componetur ex
rationibus CD ad cd et ex eadem CD ad cd tripli-
cata et ex triplicata cd ad CD. quae duae polleriores
fe mucuo toUunt, adeoque fuperefl: ratio fola CD
ad cd aequalis quadruplicatae OD ad od , quare et
contra, ratio OD ad od fubquadrupla erit rationis
CD ad cd; quod erat oftendendum.

Caeterum alia quoque ratione convexorum ocula-

rium menfurse ex fupra diélis haberi poiTunt. Cum

enim ex conftituta apertura in lente 12 pedum,

aliarum omnium fimilium aperturae deducantur: Sicuti

autem aperturœ inter fe ita et multiplicationes tele-

fcopiorum aequali luce gaudentium: datis proinde

aperturis, itemque multiplicatione telefcopij 12

pedum, quae efl: 72 ad i , cum lens ocularis habeat 2

pollicum foci dillantiam,dabitur et multiplicatio alîus

. cujuslibet. Sed cognita multiplicatione et foci diflian-

tia lentis majoris, noscetur etiam foci difl:antia lentis ocularis, cum harum fit

ratio eadem inter fe quîE efl: multiplicationis telefcopij compofiti 3).

Foci diftantia lentis

majoris.

Pedes.

Diameter apertura.^

lentis majoris.

Pollices.

Foci diftantia lentis
ocularis.
Pollices.

Multiplicatio Telefcopij
fecundum diametrum.

I
2
3

3'

loo
52
loo
7°
too

.2,

,13.
100

l±L

100

II

18

25

et défaut dans les refractions, qu'on a remarqué depuis peu" [la dispersion des couleurs]
^qui trouble ce raisonnement et fait que les grands verres des lunettes ne peuvent pas souffrir
tant d'ouuerture qu'on leur donnoit dans le précèdent calcul. Et comme la clarté dépend de
la grandeur de ces ouuertures, elles deviendroient trop obscures si on les vouloit faire
grossir suivant la détermination de la table susdite". Enfin, le 23 avril 1685 (p. 6 du T. IX)
il fait connaître à son frère Constantijn les nouvelles régies qui ont servi à construire le
tableau qu'on trouvera plus loin , aux p. 497 et 499 de la troisième Partie.

352 DE l'aberration des rayons hors du foyer. 1666. PROP. ÉCART.

Diflance focale de la

grande lentille.

Pieds.

Diamètre de l'ouverture

delà grande lentille.

Pouces.

Diftance focale de

la lentille oculaire.

Pouces.

Groflîflement linéaire
du télefcope.

4

(8

100

T —

100

31

5

■i^

T '^^
100

37

6

x£

I —
100

43

8

lit

100

T ''

100

53

10

100

T —
loo

63

12

2

2

72

15

2^
100

".^

85

20

2^

100

=^

105

25

3—

100

125

30

3-

2^
100

143

35

4^

~I00

2^^
100

161

40

4—

~I00

2^

100

178

45

5—

-'100

=£

194

50

5^

-S

210

60

6iE

100

100

241

70

7^

'100

3—

«JjOO

270

80

8^
100

3—

299

90

6
Vioo

3—

326

• 100

9-

3-

Oioo

353

150

I311

Jioo

3—

479

200

■*£

T"lOO

594

250

■9^

4100

702

300

3<

4—

805

400

' 100

4-

~IO0

999

500

327^

Jioo

1183

600

37-

i»/ 100

5—

Jioo

1354

FIN DE LA DEUXIEME PARTIE.

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. 1666. REJECTA.

353

Foci diftantia lentis
iTiajoris.
Pedes.

Diameter aperturse

lentis majoris.

Pollices.

Foci diftantia lentis
ocularis.
Pollices.

Multiplicatio telelcopij
fecundiim diametrum.

4

88

100

85

100

31

5

100

I "*

100

37

6

1^

100

I—

100

43

8

100

81

100

53

0

1^
100

î —

100

<53

12

2

2

72

^5

2II
100

100

85

20

100

2^
100

105

25

3—

2^
100

125

30

3^

2^

143

35

4-

100

161

40

4—

2*^
100

178

45

5—

2^
100

194

50

5^

2-^
100

210

60

6^

100

2^
100

241

70

7—

3-^

•Jioo

270

80

0 30

3—

299

90

9-

•^100

3"

326

100

81
0 —

3-

Oioo

353

150

13—

3—

Jioo

479

200

16^

100

T'IOO

594

250

19—

4-

1 100

702

300

2 2-^—
100

4—

T^IOO

805

400

27—
i 100

4«^

~IOO

999

500

80
0 100

5-^

J 100

1183

600

37-

«J» 100

5—
^100

'354

[FINIS PARTIS SECUNDiî:.]

45

APPENDICE r)

À LA DEUXIÈME PARTIE DE LA DIOPTRIQUE: „DE ABER-
RATIONE RADIORUM A FOCO."

[Fig. I.]

1665.

Adverfaria ad Dioptrie en

fpeetantia in quibus quaeritur

aberratio radiorum a foeoO.

[Première Partie.]
Planoconvexa convexo radios excipiente.

3 ^

^') Cet Appendice est emprunté aux p. 1 1—27 d'un manu-
scrit contenant 1 1 feuilles séparées de quatre ou deux
pages chacune. Ces pages sont numérotées de 1 1 à 40
avec intercalation des pp. ip. 1 , 31 . i , 31.2^31.3.
Le contenu des pages i — 10, qui manquent, nous est
inconnu.

*} Ces „Adversaria" donnent la déduction des régies pour
le calcul de l'aberration sphérique, communiquées, sans
démonstration, aux p. 285 — 307 du Tome présent.
Nous avons ajouté une division en paragraphes.

3) Ce paragraphe se rapporte au cas d'une lentille plan-
convexe sur laquelle tombe du côté convexe un faisceau
de rayons parallèles à son axe. Dans la première partie
l'aberration sphérique des rayons extrêmes est déter-
minée par un calcul assez embarrassé qui porte les traces
d'un premier essai. Aussi Huygens est-il revenu plus
d'une fois sur cette détermination ; voir le § 6 de l'Ap-
pendice V , p. 402 — 404 et surtout les §§ 2 et 3 de l'Ap-
pendice VII, p. 419 — 420,011 la même aberration est cal-
culée d'une façon beaucoup plus conciseet plus élégante

4) Dans la figure A représente le centre de courbure delà
surface convexe , R le point de concours des rayons parallèles après une première réfraction

35^

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE I. 1665.

[Fig. I.]

PCxPIooPG+-GBO;

TG + — GB 1 00 TM 00 TC 0

m[iilt].

C PCoo PG+ — GBoo-^TG + ^GBooPCs)

324

PG-^GBoD-^TG

122

ApG - 4gB 00 TG

3 18

ex — GR 00 GS

3

ApR 4. _1gB 00 TS 0
3 18

PC 00 PI 00 PB~-BG=:^AP 0

3 2 ^

PBoo-^AP + ^BG

2 3

à cette surface , S le foyer de la lentille. Si donc l'indice
de réfraction égale ^ comme Huygens le suppose pour
le verre, on a d'après le second alinéa de la p. 83 du

Tome présent: BR

3BA,GS = ^GR.

3

^) Ici CP représente la direction du rayon qui, ayant passé
par le point C, a subi une première réfraction à la sur-
face convexe, CI et CM des arcs de cercle dont les cen-
tres sont respectivement P et W. La relation PC = PI = PG -] GB se déduit alors, faci-
lement de la Prop. II (p. 275 du Tome présent); puisque, d'après elle, les hauteurs des
demi-segments CIG et.CBG doivent être inversement proportionelles aux rayons de cour-
bure PC et AB , où PC est à peu près égal à RB , c'est-à-dire à 3 AB.
*) TC représente le rayon qui , après avoir passé par C, a subi les deux réfractions : à la surface

convexe et à la surface plane. On a donc TC = TM = TG -| GB; puisque le rayon de

courbure du demi-segment MGC est à peu près le double de celui du demi-segment BGC.
3) On a trouvé PC = PG -| GB; mais on a de même, d'après la Prop. III, Part. I, Liv. I ,

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE I. 1665. 357

ex BR 00 -2. ar

2

PRoo^PR--BG

2 3

— BGdo— PR

3 2

^BGooPR

3

TS DO — BG -f- 4^BG 00 ^BG 0 convexo exteriore.

9 lo O

Vide calculum pag. 39 7).
[Deuxième Partie.] ^)

MVoo ^MRO; MXoo-GC; BM 00 -BG;

3 ^ 2 4

OM 00 — BM , quia QX 00 QO co 3 AB ^°) ; OM 00 ^BG.

3 ^^

p. 17, PC = v.TC, c'est-à-dire, dans le cas présent : PC =-^(TG-|-^GB).

^^3 D'après cette formule l'aberration TS, qui est la conséquence des réfractions aux deux sur-
faces de la lentille, sera connue si on connaît l'aberration PR causée par la première réfrac-
tion à la surface convexe. Il ne s'agit donc plus maintenant que de calculer PR.

5) Voir la Prop. II, Part. I,Liv. I,p. 15, d'après laquelle PC = ï'.AP.

<^) Comparez la règle énoncée à la p. 287 du Tome présent.

7) Voir l'Appendice V aux p. 402—404, citées déjà dans la note 3 de la p. 355.

^) Dans cette deuxième partie Huygens se propose de comparer les aberrations sphériques de
deux lentilles planconvexes CBG et XBM qui possèdent des surfaces sphériques de même
courbure, mais dont les largeurs GC et MX sont différentes, c'est-à-dire GC = 2MX.

9} Quoique dans les deux parties Huygens se serve de la même figure il attache une signification
différente au point M. Ainsi dans cette deuxième partie M est le point d'intersection de

la surface plane de rayon MX = — GC d'une lentille BXM avec l'axe de cette lentille dont

le point V indique le foyer. De cette manière la relation MV = — MR est analogue à celle

2
GS= — GR, qu'on trouve au début de la première partie.

*°) C'est-à-dire : par approximation; notons que Q remplace pour la petite lentille le point P de
la plus grande, comme M le point G, V le point S et O le point I. De même, dans ce qui suit,
W remplace le point T et Z le point M dans sa première signification. Voir d'ailleurs, pour
la situation réciproque des points M, O , Z , B la petite figure en haut et à droite de la Fig. i

358 DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE I. I665.

QMO+^BGdoQO; WMh- ^BG jooWZ

^ m[ult].

QM + — BG o) -3- WM 4- -^BG

^ 12 2 16

QM-4rBG 00 ^WM

^48 2

Aqm — -^BGoo WM

3^ 72

ex — ]\m 00 MV

^ Aqr 4_ Xbg 00 WV

3 ^ 72

fedORoo-PR, ec-^BGoo Ide^rBGO-

^ 4 ' 72 4 18 ^

Ergo WV co — TS. hoc nihil opus demonftrare poftquam oftenfum quod

aberratio TS oo -Ç^BG , et aberratio WV oo ^ BM.
6 6

*) Dans les formules qui suivent Huygens applique à la petite lentille BXM les mêmes raison-
nements qui l'ont guidé dans le paragraphe précédent, jusqu'au moment où il est arrivé à

la relation;— QR+ ^BG 00 WV.

^} Dans l'ordre logique des choses Huygens devrait calculer QR de la même manière
dont il a calculé PR dans la première partie, mais il aperçoit que la relation PR =

= — BG implique, dans le cas de la petite lentille, la relation QR =— BM, dont

on déduit QR = — PR, puisque BM= — BG, En comparant ensuite terme pour terme

l'expression qu'il vient de trouver pour WV avec celle pour TS trouvée en premier lieu

(P-356) dans la partie précédente, il lui est facile d'en conclure WV = — TS; mais il ne

4
manque pas d'observer que ce résultat n'avait pas besoin d'une démonstration élaborée,
puisqu'il se déduit immédiatement en appliquant à la petite lentille le résultat obtenu
(P- 357) pour la plus grande ainsi qu'il le montre dans la dernière phrase de ce § i. En même
temps il aura entrevu probablement la vérité de la Prop. VI (p. 307 du Tome présent),
dont il a prouvé ainsi un cas particulier.

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE I. 1665.

359

s a 3).

[Première Partie.]

BR 00 ~AR 4)

3 ^

PC 00 PI 00 PB + 3_BG 00 -AP 5^

2 3 /

PB 00 -AP-3.bg

3 2

ex RB 00 -AR
3

PR 00 -RP + i^BG

3 2

— RP 00 ^BG

3 2

RP00-— BG in lente planoconvcxa
piano exteriore feu radios excipiente ^).

[Deuxième Partie.] 7)

forams^nis diametro fubdupla radijsin
p I a n 11 m i n c i d e n t i b u s.

QX 00 QO ^ QB + I BG x ^ AQ

•3

3) Ce paragraphe se rapporte au cas d'une lentille planconvexe sur le côté plan de laquelle
tombe un faisceau de rayons parallèles à son axe. L'arrangement de la page dont nous avons
emprunté le § i et ce § 2 ne laisse aucun doute que la première partie du § i a précédé celle
du § 2; mais il en est autrement des deuxièmes parties. Il est probable que celle du § 2 a été
rédigée avant celle du § i et il est certain qu'elle le fut avant que la dernière phrase du § 1 :
„hoc nihil" , etc. fut écrite.

*) R représente le foyer de la lentille, A le centre de courbure , donc BR ^ 2 AB; comparez
Prop. XIV , Part. I , Liv. I, p. 8 1 du Tome présent.

S) CP représente le rayon qui a subi la réfraction en C, CI un arc de cercle dont? es-, le centre;

on a donc PI = PB + BG -f GI = PB + -^BG, d'après la Prop. II p. 275, et PC =— A P,

d'après la Prop. III, Part. I, Liv. I,p. 17.
<^) Comparez la règle de la p. 285 du Tome présent.
'') Influence sur l'aberration sphérique d'une diminution de la surface réfringente. •

\6q

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE I. l66$.

QBoo -AQ--|-BG

ex BR 00 — AR
3

BG

QR^|QR + |

- QR DO I^BG

3 ^ 8

QR 00 I^BG

§ 3 0-

[Première Partie.]

AB [Fig. 3] =) 00 ^; NM 00 «; BG 00 ^

PR 00 ^b 3); PC 00 PO 00 PB -
3

fedPBoos^-^^
3

^h
3

-^4)

PC 00 ^a—2b

') Ce paragraphe s'occupe du cas d'une lentille à deux sur-
faces convexes. Dans la première partie l'aberration
sphérique d'une telle lentille est exprimée en fonction
des rayons de courbure ^ et « et de l'épaisseur q.
'^) Les notations de la figure sont conformes à celles de la
Fig. 15 , p. 289 du Tome présent, lesquelles sont expli-
quées dans le texte qui appartient à cette dernière figure.
En voici le résumé : N et A sont les centres de courbure
des surfaces de la lentille , E est son foyer , R le point de
concours des rayons parallèles à l'axe venant du côté N
après leur première réfraction à la surface IBC , X celui
des rayons parallèles à l'axe venant de l'autre côté après
la réfraction à la surface IMC, HC est un des rayons
extrêmes parallèles à l'axe, CP la direction qu'il prend
après la première réfraction à la surface IBC, CZ celle
après les deux réfractions; NK est parallèle à FCP, NF et VC y sont perpendiculaires; enfin
K est le point de concours, après leur réfraction à la surface IMC, des rayons qui se meuvent
dans l'intérieur de la lentille dans la direction CP.
3) Voir, p. 357 , la première partie du § i , vers la fin.

*) D'après la Prop. II , p. 275 , on a 0G== — BG; donc B0 = — ^.

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE I. 1665. 361

NM C«) ad AB (^) ut BG (^) ad MG (^^"^ '^

RN 00 -3^ 4- n—b

^ n

RP 00 ^-b

3

PN 00 Q^ H- « — -^^

3 '^
ratio qu.'PC ad qu. PN five qu'CG ad qu.CV '') oo MG ad V Y 0

qu.PC(9^^)adqii.PNC9^^H-6.7«H-««)«)»tMG(^^^)adVY(^^ + — ^+^

ZK 00 -^ VY 00 ^ — -h 3^ + — — vide pag. 1 1 0
ex KN 3«

„«, ^ ab , 1 ^«

"^ 2 « "^ ^ a
PC 3^-2^

^^•

PC + ZN 3« + 3^-5^ —^-- --
PC + ZN (3;;+ 3^-5^-1^-1^) ad PC (3^-2^) ut NP

(^3^4.«_Z^_^^adPD

^aa + n^an- \'^ab — ibn-{ — -bb—^^ 1 — —

PD .«) 30 ^_ ^^ 9a±_rhl

3~'"0J 2«2<«

RXdoBR + MX-BMoo3^ + 3«-^-^

RX(3«4-3^-^-^)adRN(3^+/^-^-f)utRlVl(3^-^-^)adRE'0

5) D'après la même Prop. II.

<î) Par suite de la similitude des triangles PGC et PFN et puisque FN = VC.

''^ D'après la Prop. I , p. 273.

8) La première approximation est ici suffisante.

9) Voir, p. 359, la première partie du § 2, vers la fin.
'°) Nous supprimons quelques calculs.

") Il s'agit de trouver le foyer E de la lentille d'après la règle donnée dans la Prop. XVI, l art. I,
Liv. I, p. 87 du Tome présent.

46

362 DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE I. 1665.

RE')co

3

, 6aab , labb , , aabb
^aa -\-'^an—'jab—~ -—bn-\ -\-bb "

nn

j ab
Z^+'^n—b

, , 6aab 7,, loabb aabb

Q.an—wab — 'sbn \--^bb -{ 1

o o ^ ^ '^ n nn

f[ubc].

PEOoo

ab
n

PE auferenda ex PD reduéla iitraque fub eundem denomin. =)

3^4-3«-^- ^

, Q ab \ bn
3^ + %n-'^b- ^— - - --

in 1 a

j ab
3a+3n-b — ^

, 27 aab 3 ;
ça a -h çan— i^ab -^bn

, 27 , 3 bnn
4- çan-\-çnn—ii>)bn —ab — ^ ~^

, , r r 9 t^bb I bbn

-'^ab-^bn^-^bb^^-—-^- — ^

2 /^

3^^^ , ^abb 9 ^^^^ T , ,

2 ««

9<âr^+ i8^;? 4- 9/7/7 — 34 — ^^— 19 — ^/7
— 16 ^

in 1 a

* ^ Nous supprimons quelques calculs.

^) Voiries trois multiplications qui suivent. Dans la première le produit des dénominateurs es
déterminé; mais dans le résultat les termes sont omis qui contiennent la seconde puissance
àt b. Huygens aurait pu aller plus loin et omettre tous les termes qui ont Z- pour facteur,
comme il le fera dans la suite. Dans la deuxième multiplication le numérateur de PE est
multiplié par le dénominateur de PD; dans la troisième le numérateur de PD par le dénomi-
nateur de PE.

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE I. 1665. 363

; . 6aab 7 , , i o abb aabb
^ ^ ^ n 3 3 n ^ nn

, 9 ab \ bn
^ j «? 2 « ^ a
multiplicantur haec ut tantiim fcribantur in quibus umim b 3).

— '^2^ab—î$abn ^^abn—i^bnn—iSaab

—Ai^aab— iKûbn ^—aab— —abn—^bnn

— 100 — aab — 67 — abn—i^S 16— bnti

■^2 ^2 ^ 2 n 2

gaa H- 3<sr«— i ^ab—ibn

j ab

3a ab ^)
n

^^aab — 6abn — ^ —

— '^^abn— ôbnn—çaab
■^aab —3abn
^a^b

— 3aab

■6oaab — ^^abn—6bnn

I , I , I a^b I ,

40— aab + 10— abn + 40 h lo — bnn

T7T-V '^ ^2 ^ 2 n 2 ,^„

ED —7 j bon

„ I r ^ I ^^b -3 brm i ,

oaa + iSafî + onn—iQ^bn—io ^-- — 34—^''

-^ ^ ^2 in 2 a "^ 2

3) Les termes qui ne contiennent pas b devront disparaître dans l'expression pour DE , puisque
cette grandeur doit s'annuler pour ^ = 0, et ceux qui contiennent ^^ seront négligeables.

^') C'est le numérateur de l'expression pour PD après que les termes qui contiennent bb ont été
écartés.

3^4

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE I. 1665.

'^^aab + 13^^;? + 27 1- ytmb

àna -hn

00 DE ^) bon in divifore hoc rurfus omifi in

quibus b.

ba

fit ^ H co a craffitudo totius lentis BM

fib -\- ab co nq ; ^ oo

fjq

n + a

3/

33^?^;?^ + l'^annq + 17 a^ + jn^ ^ ^^ ,^ ^^^

6 cub. a-\- n

dividitur per a -\-netût - — ^ .„ ^ — -. Ree;ula optima 3).

[Fig.4.]

^ooBM [Fig.4].

dfx> radius convexitatis LBS in q u a m

radij incidiint parall.
«ooradius convexitatis LMS.

E punctum concurfus parallelo-
rum. DE fpatium in axe intra qiiod
radij omnes paralleli coguntur, qiiod
l'patium DE per regulam hanc défi-
ni tiir '^).

^) Huygen s annota plus tard : „hoc jam dividitur per
an-\-nfî''''^ce qu'il a découvert peut-être à propos
de la réduction mentionnée dans la note suivante.

*) Plus tard, posant ^ -j~ " = ''' ^^ substituant « = y — a
dans la formule présente, Huygens a trouvé encore
i^aavq — ^avvq + yy'^q

^ i%aaq - ^avq + -^vvq ^ p^„

6vv

et il applique cette formule aux suppositions DE =

6 g . .

= T^5 5-7 et -^q, trouvant respectivement dans ces

cas:„3,23<5f 00 v" „i,26i/3!oov" et ,,acov''\

Le premier résultat est exact; la seconde solution

qui appartient au même cas représente une lentille concavo-convexe. Le second résultat,

1,261 a = y, repose sur une erreur de calcul. On trouver < a, ce qui amène une lentille

convexo-concave; l'autre solution indiquant une concavo-convexe. À propos du dernier

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE I. 1665. 365

[Deuxième Partie.] s)

6 cub. a -h n 6^

33/^/«;î -t- I ^ann H- 27^3 ^ ^^^s qq 7 cub. a -h n o:> ya^ -\- iiaan + iiann 4- /«^

1 2aan — Sann + ao^r^ oo o
^atî — 2«« 4- saa oo o

416 2

^ <3r^ — <« 7) 00 « lens quae tantundem valet ac plano-

convexa convexo exterius locato.

16

vn

16 4

3_
A.
£o 5.

4 ^

résultat Huygens remarque: ,,imposs. nisi <5f 00 o. rectè"; ce qui prouve qu'il ne s'est
pas aperçu de la véritable solution ^= co , qui convient au cas de la lentille planconvexe,

la seconde solution v = — ^ «appartenant à une concavo-convexe.

3") Comparez la p. 291 du Tome présent.

'^) A la page du manuscrit qui suit on trouve encore un calcul indépendant du cas «=«. Huygens

y trouve DE = —B M et fait suivre: „hoc idem ex régula pag. 17" [la „Regula

optima"] „poterat haberi".

5) Dans cette deuxième partie Huygens calcule le rapport qui doit exister entre les deux
rayons de courbure afin que l'aberration sphérique d'une lentille qui est convexe des deux
côtés, soit égale à celle d'une lentille planconvexe équivalente, c'est-à-dire d'égale épais-
seur, largeur et distance focale, tournant vers les rayons son côté convexe.

'^) La réduction de cette fraction par la suppression du facteur (a -j- «) n'avait donc pas encore
été accomplie par Huygens, lorsqu'il composa cette partie du § 3.

'') Voir le petit calcul à côté.

366 DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO APPENDICE I. 1665.

[Troisième Partie.] ')

^ 00 DE

^locidiltantia: noo y )'•> a-\-nco -,,

, i^aabd K^^^a^b — ij aadb "jaaddb

33^^^"^'^^^:?""^ d ^ ù,aa-\ad + rd

00 DE

\aa — \ad + dd

-^-5 i\ab + 7^^

— ^ 00 DE 3)

^-T^^^ZlM^f + Z^oo DE;^oo BM 00 ^4); ^ 00 ^;

<iiaq — 1/^dq + 7 — ^ ^aaq—\adq + ^^^^

^ ^ 00 00 DE

ta aa

per regulam maximi et minimi s), ut DE fit minima; + û^adq 00 ^ddq\
12^ 00 7^; <35 00 — ^; determinatio lentis optimgead colligendos radios parallèles.

*) Dans cette partie Huygens détermine quel doit être le rapport des deux rayons de courbure,
afin que l'aberration sphérique devienne un minimum en comparaison avec celle de toute
autre lentille possédant la même distance focale, la même largeur et, par conséquent (voir
la Prop. III, p. 277), la même épaisseur. À cet effet il commence par introduire la distance
focale d dans l'expression pour DE, qu'il a trouvée dans la première partie et dont il n'a
pas encore reconnu la réductibilité par le facteur {a -f- «).

^) Voir le dernier alinéa de la Prop. XVI, Part. I, Liv. I, p. 89, d'après lequel pour une
lentille en verre (a -\- ri) '. a =^ in \ d.

3) Nous supprimons quelques calculs.

4) On a «(/ = (« -f- <ï) ^ (voir la p. 364) et ^ (« -[~ ^) = 2^« (voir la note 2).

5) Il s'agit de la règle de Hudde. Consultez la note 1 1 , p. 166 du Tome présent.

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE I. 1665. 367

ad 7 ,
2a— d 2

^ ad » ut -^ ^ ad -^^, ut i ad 6.

12 2

«
Radius convexi objedlivi ad radium convexi interioris in lente optima ut i ad 6.

sv p}iKcc. 6 Aug. 1665.

[Fig. 5.] Confiderandum efl: poni in his omnibus proportionem

refraélionis vitri ut 3 ad 2 '^).

Poterat methodus maximi et minîmî applicari Regulae
pag. 17, atque inde inveniri haec definitio lentis optimae
ponendo « incognitam ^ et ^ cognitas 7).

2 ^ ^ a 6 aa

9_^_m.j^^ ooDEquando^DO-Z-^

^^ ^d ^dd
12 144

^q co DE 3) in lente optima.

[Quatrième Partie.] ^)

-^aaq—^adq-^^ddq

1 00^^

aa . o^

ijaaq — ^û^adq + "jddq oo jaaq

'^) Voir la p. 1 3 du Tome présent.

0 II s'agit de la „Regula optima", p. 364, d'après laquelle DE = ^" (.ç^^nj- ^' ^'*' ^^

minimum de cette expression pouvait s'obtenir par la règle mentionnée dans la note 5 , qui ,
dans le cas présent, en omettant les constantes 6 et ^, conduit à l'équation : — 48 aH —
— ^oa^ri^ + Urfi = o , ou «^ — 5^« — 6^* = o; d'où l'on pouvait conclure n == 6a.

^) Le problème résolu dans la deuxième partie de ce même paragraplie est repris avec la formule
nouvelle qui contient la distance focale au lieu du rayon de courbure».

368

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO APPENDICE I.. 1665.

[Fig. 6.]

■■£

c^.^1

2oaa — ij^ad + '/dd oo o
aa 00 -^ad — ^ dd

20

20

^ 30 -2L ^ I) vel — ^ 0 ; « ^
10 ^ 2 ^'

^^

2^ —

,00 ^^.
4

§ 4 0.

[Première Partie.]

AB 00 ^3f [Fig. 6] ; NM oo ;?; BG oo h.

22^ab— l'habit

jbnn

OD ED 4)

6nn — i ^an + daa

vcl mutatis fignis + et — in numeratore s), poterat
dividi per ;? — ^, et fiebat

*) Cette première solution amènera «= —a^ comme dans

la deuxième partie du paragraphe présent.
*) Inutile de dire que cette seconde solution correspond à la
lentille planconvexe, où « = 00.

3) Ce paragraphe traite le cas d'une lentille concavo-convexe
tournant vers les rayons sa surface convexe. Dans la pre-
mière partie il s'agit du calcul de l'aberration sphérique
en fonction des rayons de courbure AB = <« etNM = «
et de l'épaisseur BM de la lentille.

4) Nous supprimons les calculs qui ont amené ce résultat. Ils
ressemblent tellement à ceux de la première partie du § 3
qu'il nous a paru inutile de les reproduire.

5) Comme on le voit par l'annotation „incertum an infra
E" qu'on trouve dans la figure 6 près du point D, Huygens
a été incertain au début de quel côté du point E , foyer de
la lentille, se trouverait le point D, où le rayon xiC,
après les deux réfractions, coupe l'axe BA de la lentille.
Toutefois dans ses calculs il a supposé la situation relative
de ces deux points telle qu'elle est dans la figure. Il a donc
posé DE ==PE — PD et c'est de cette manière qu'il a tronvé
la valeur de DE. Si, par contre, la supposition contraire
était la véritable on devrait changer les signes dans le numé-
rateur.

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE I. 1665. 369

•jhn—dab -h ^

nb ~ ab zo nq

b 00

nq

n—a

6 cub. « — ^
dividaturper«-^etfit"-Z^^t^^l+Z^ vel "^7^^+ j^^Z^^r j ped

6n«-^ 6n«— ^ ^^

hoc efTe nequit quia 7/7/; major quam 6an quia « major quam a. Ergo PD fempcr
auferenda efl: a PE pag. antecedenti in fine ^). Unde liquet femper D cadere
fupra focum menifci E.

— — ^-^ — =J=^ — iOE. Régula ad inveniendam DE ex datis
6 D n — a °

femidiametris convexae et concavae fuperficiei in menifco.

n radius cavae fuperf.'; a radius convexae quae radios paral-

lelos excipit; q craffitudo menifci.

[Deuxième Partie.] 9)

r • J-/1 • j 2/?« da ^aa

foci diftantia // 00 — — ; «DO-r- ; n—a:fb

n — a"* d — ia'' d—ia

6aadq yddaaq

^ ^ d—ia dd—^ad-\-^aa

dd—\ad+ \aa

*^) Cette remarque fut ajoutée plus tard. Dans ce qui suit Huygens va partir de la formule plus

compliquée qui précède.

ba
7) Dans les calculs que nous avons supprimés Huygens avait trouvé MG = — .

^) Voir la note 5.

9) Dans cette partie Huygens s'eflForce à déterminer quel doit être le rapport de « à <? pour que
l'aberration spliérique devienne un minimum pour une lentille concavo-convexe dont la
distance focale et la largeur (et par suite aussi l'épaisseur) sont données. À cet effet il com-
mence par introduire dans la formule la distance focale //au lieu du rayon «.

47

370

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE I. 1665.

Z^_^^+9 elZ^^=M|^^V£^?;30DE. Régula in menifco.

6 aa ' <3r 2

00 -00 — ^ // 00 « impoffibile

7/^00 I2/3f

12

^00 a

d-^d
0

hic ergo régula de max. et min. non dat determinationem quia itur ad impofîi-
bilem *).

[Troisième Partie.] s)

"jddq—iù^adq H- ^jaaq

24

6aa ^ '°°^

dd y:> ^^ ad -\- ^^aa- //oo 8?^'*) circiter.
7 7 ^ ^

7^^ 00 i^ad— lyaa s)

rfrfoo'iarf-^

aa

144

7-7

189

7-7

impoflr.

[Fîg.7.]

6 qu. « —

^ 2

')

27^^^ — 6^«^ H- 7««^ 00 27»»^ — $^anq + ijaaq
48^» co 20««
12

a ^ n

') Application de la règle de Hudde pour les maxima et minima. Comparez la note 5 , p. 366.

^} Comparez la note 3 de la p. 295.

3) Calcul, pour quelques cas spéciaux, de la distance focale pour une aberration de valeur
donnée.

*) En vérité 4= lia environ.

5) Huygens recherche ici si l'aberration sphérique pourrait s'annuler pour un certain rapport
entre les deux rayons de courbure.

*^) Calcul de la forme (^Fig. 7) d'une lentille concavo-convexe équivalente sous le rapport de
l'aberration aune lentille planconvexe de même épaisseur, largeur et distance focale, tour-
nant le côté plan aux rayons.

37»

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE I. 1665.

8.]

§50.

AB [Fig. 8] ^D ^; NM ^ ni lA^gj^^adg + ijaaq ^^

6aa

^^" 00 d' ^^~^^^H-«»

l'èaannq ±%aanq

a—n

6aa

DE

jnnq—6anq+ i-jaaq
6n a—n

S6«).

AB [Fig. 9] co df ; NM 0 ^o «; BG oo ^: PR co ^ h '«^

3

MN (fi) ad AB (a) uc BG Q?) ad My (^^^ "^

ut qii. Jy ad qii. 5fV five ut qu. CG ad qu. FN five ut qu.
PC ad qu. PN ita My ad YV ").

7) Dans ce paragraphe il s'agit du cas d'une lentille concavo-convexe qui
tourne sa concavité du côté d'où viennent les rayons de lumière. Ce
cas ne se trouve pas traité par Huygens indépendamment des autres,
et il semble avoir estimé que pour l'examiner il suffirait de changer a
en — a dans la formule qui, dans le cas du § 4, p. 370, donne l'aberration sphérique d'une
lentille concavo-convexe en fonction de la distance focale d^ de l'épaisseur q et du rayon
de courbure a de la surface extérieure convexe. C'est, du moins, d'une formule qu'on peut
obtenir de cette manière à l'aide de celle qu'on trouve en haut de la p. 370 qu'il va partir
pour en déduire ensuite la formule qui donne l'aberration en fonction des deux rayons de
courbure, ^ et «, et de l'épaisseur q.

^} Ce paragraphe traite le cas d'une lentille biconcave.

'-') Les points M et B coïncident; comparez le troisième alinéa des j,Definitiones", p. 277.

'°) R est le point de dispersion des rayons parallèles après leur réfraction à la surface BC; PCF
représente la direction du rayon extrême, parallèle à l'axe , après sa réfraction à cette sur-
face. PR se trouverait égale à -^BG =—^ par un calcul tout semblable à celui qu'on ren-
contre vers la fin de la première partie du § 1 de cet Appendice (p. 357); mais ce calcul
manque dans le manuscrit.

") D'après la Prop. II , p. 275.

'=') D'après la Prop. I, p. 273. NYZ est parallèle à FCP. YV, à laquelle Vx et NF sont perpen-
diculaires, est considérée comme la hauteur du demi-segment Y^xVY.

37=

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE I. 1665.

[Fig.p.]

qu.Px (9^^) ad qu PN Ççaa-\-6an-\-nn^
five qu. Ky ad qu. NF vel kV

.M,C|)adVvC-V|.4:).)

fi fumatur loco çaa verum quadr. P;c qiiœ
inventa efl: 3^— ^ H ut infra patet, fiet

tamen, reieétis £'«', VYoo — ^ — b-\ —

' ■' « 3 9 <*

ut hic.

•^ 3

ria-^h PG
•^ 3

PB 3^- H

-^ 3

PG (^3^-2- A ad PC (3^-2^) ^ ut

Pr(3^-

1^-f-^VdP*
3 » ^

•^ 3 »

3^—2^

o^^— 4^^+^ 6ab-^~bb

> t ' ^ 3 «

'xa—^b

■ 3

Px

9^^—10^^ 4-

o^aab

%a—^b

Px

') D'après la Prop. I, p. 273.
^) Voir la première partie du § 3 de l'Appendice I,
p. 360.

■

DE ABERRATIONR RADIORUM A FOCO. Al'PKNDICE 1. 1665. 373

faéla divifione et rejeftis bb fit 3^—^ + ^ Px

•7M ^ 9 ^^ i ^ bn ,

Zrsl 00 3«-^-^^ — 3^-^-- eademqiixpag. 143)

Px + ZN 00 3^? + 3»- 7 ^^ _4^__LÉ^

2 « ^ 2 ^
3^? + » 00 RN

^^ooRP

3

^a+n—^boo PN
3

NZ+.p(3. + 3._?^-4^_±^)ad.P(3.-^ + ^)
ut NP (^3^ + «- ±b^ ad PD 4)

9aa + 3an-6ab~nb-{- ^bb-^^ + ^-^
^ ^ ■ 3 3 » »

PDs)

, 7 ab j i bn

^ ' ^ 0. n ^ 1 a

RX (3^ -h 3/0 ad RN (3^ -f «) ut RM (3^) ad RE (^"^^tf') '^

RP^^
3

3^^ 4- ^« — ^ <a^ — -^«
PE 3 ^

PE fubtrahenda à PD

3) Il s'agit de la première partie du § 3, p. 361 , où la même formule est déduite pour le cas
analogue d'une lentille biconvexe. Ajoutons, que ZDx représente le rayon extrême, passant
par C et parallèle à l'axe, après sa seconde réfraction par la surface M«î, qui est supposée
prolongée jusqu' en x.

4) A cause du parallélisme de NZ et de Px.

5) Nous supprimons le calcul.

•*) Détermination du foyer E de la lentille d'après la règle de la Prop. XVII, Part. 1,, Liv. I,
p. 91 du Tome présent.

374 DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE I. 1665.

—6aab — anh —6abn— hnn

— '^aah — anh — 6abn — hnn + ^ PD ')

— \<)~-aah— l'^—ahn — ^—bnn — lo PE*)

\6 —aab -{- 6— anh -[- 'i — hnn-\- iq

2 !2 -^2 ^ 2 n ^p

'^'^aah + 1 3^«^ + 7^//« + 27 —

j r—y DE eadem omnia quae in lente duorum con-

baa + I lan + onn ^

vexorum s).

Et hic quoque craffitudo a OD h -A : — f— 00 h

^ ^ ^ ^ n ^ n-\- a

Ergo et hic ^laaq^^anq^inng ^ ^^ ,^
^ 6 D a^n ^

et per regulam de max. et minimis n tanquam incognita habetur.

n y^ 6a^^

•3 C'est le numérateur de la fraction qui représente PD après que cette fraction a été réduite au
dénominateur (^ + «)r 3^ -f- 3« — ^^^ 4/» — 1__^ jet que les termes sans i^» et ceux

qui contiennent b^ ont été omis; comparez la note 3 de la p. 363.
*) Il s'agit du numérateur de PE mis sous le dénominateur mentionné dans la note précédente.

Nous avons supprimé le calcul.
3) Comparez la première partie du § 3 de cet Appendice , en haut de la p. 362.
^') C'est la „Regula optima" de la p. 362.
5) Comparez, dans la troisième partie du § 3, p. 367,1a phrase qui commence par les mots

„Poterat methodus". Ici, comme au lieu cité, la remarque en question fut ajoutée après

coup, c'est-à-dire, lorsque la déduction qui va suivre avait été écrite.

DE ABERRATIONR RADIORUM A FOCO. APPENDICE I. 1665. 375

'xaa -A-- an rt ■n' 6\ j '^^^ j \ j ,,. ad

^ — r RE •*) ; ex Q/7: ^ 00 — ; — laa -\- nd zo lan et hic etiam -, on n

a + n ^' ^ a-\-n^ la—d

ergoutillicZ — ^ ^_5lIL_Z„ — ^ qq de unde per reg. de max. et minim.

\^dd co i\ad\ jd -y:, 12 a\ -'—^oo^ergo — ^-j^ve^z y^^-d

a^dn ut -^ ad ^ ut I ad 6.
111

Ergo lens cava optimè radios parallèles difpergit in ufum myopum cujus femi-
diam. cavitatis quae radios excipit ell: ad femidiani. akerius cavitatis ut i ad 6.

^) Comparez , pour ce qui suit , la troisième partie du § 3, p. z66 et 367.

rx

APPENDICE IV)

A LA DEUXIÈME PARTIE DE

LA DIOPTRIQUE „DE ABERRATIONE

RADIORUM A FOCO".

11665.-]

AB co ^ ; NM , j/^ DO « ; BG 00 ^ ;

MGoo — 0

') La pièce est empruntée à la p. 38 du manuscrit dont il
est question dans la note i de la p. 355. Elle contient,
pour le cas d'une lentille biconvexe, une démon-
stration inachevée, „calculo analytico", de la Prop.
VII, p. 309, d'après laquelle les aberrations des
rayons parallèles à Taxe sont entre elles comme les
carrés des distances à l'axe. Comparez la dernière
phrase de la p. 3 1 3. Ajoutons , que la même page du
manuscrit contient pour le cas d'une lentille plan-
convexe, recevant les rayons sur sa surface convexe,
une démonstration de la môme proposition qui ne
diffère pas sensiblement de celle adoptée dans le texte,
p. 311 — 313, et qu'elle contient de plus quelques
calculs analytiques qui se rapportent au même cas.

^) D'après la Prop. II , p. 275.

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE II. 1665. 377

RN3) '^a + n-b-''^

n

[fiibtr.]

RP 1.^4)

3„/_

PN3^ + «-^-^-^

^ 3 n

qu.PC (qii. 3^— 2^) ad qu.Py ut MG ad uoj s)

ab . 1 j . i nb
« 3 9 ^

^ ^ in ^ 1 a |a[ddc]
Px 00 3^ — 2^ — ^7)

V I D I j Q ab i bn

Cv+ Px co 3^+ 3^ — 5^ — ^ —

2 « 1 a

3) R est le foyer de la surface CB;ff celui de la lentille BCjf/foj; E celui d'une lentille plus petite
BCM dont la surface CM a la même courbure que la surface x^m de la première lentille. CxP
représente un rayon qui a subi une première réfraction à la surface CB , ayant été auparavant
parallèle à l'axe; x9^ ce même rayon après sa seconde réfraction et CD le chemin qu'il
aurait pris par la réfraction de la lentille BCM. Or, d'après la Prop. VI, p. 307, on sait que
l'aberration DE du rayon extrême d'une lentille BCM doit être à celle du rayon extrême de
la lentille BCx/xa» comme les carrés des largeurs de ces lentilles; mais si la Prop. VII, qu'il
s'agit de prouver, est vraie, l'aberration Se doit être dans ce même rapport avec l'aberration
de la lentille BCx/iw. Il faut donc qu'on ait (Je = DE; et réciproquement, pour prouver la
Prop. VII , il suffit de démontrer qu'on a DE = ôb, ou, ce qui revient au même, D^ = Es.
Il s'agit donc en premier lieu de calculer D(J.

'^) Voir, p. 357, la première partie du § i de l'Appendice I.

S) On a, à cause delasimilitudedes triangles, PC*: Pv^ = CG*:v()o' ; mais »'qp = «u, puisque
>'K est parallèle à <jpCxP. De plus on a, d'après la Prop. I, p. 273, CG*: xu* = MG:uû».
Dans le calcul de uo», PC peut être comptée pour 3^7, puisque les termes qui contiennent b"
sont négligés dans le résultat. La valeur 3^ — 2b pour PC se retrouve, p. 360, dans la
première partie du § 3 de l'Appendice I.

*)Onafi' = yK — fK,oiUK = ^U(» d'après le § 2, première partie, de l'Appendice I, p. 359.

0 C'est-à-dire, en supposant Cx = M/* = ^, dont elle ne diffère que par des termes du second
ordre par rapport à b.

48

3/8 DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE II. 1665.

PJO

()aa + 3^« — 1 3^^ — ihn — — 6ae — ne

, j Q ab i bn

'xa-f- Q« — Kb — — e

•^ -^ *^ in 1 a

or). -^^^'^

^) On a, à cause du parallélisme de ï-C et de Px, (»'? -j- P") • Px = P»' : P^; mais nous supprimons
le calcul de V5.

^^ En exécutant la division avec omission des termes avec P. on trouvera PJ=^^ , ^ 4-

■^ a-\-n '

H y — j — srï{ —a^b '-abn A "x^^e — baen — —brr — erfSi mais PD est

égale à ce qu'on obtient en posant ^ = o dans l'expression pour P^. Il en résulte D^ =

3) Pour achever la démonstration il suffira de calculer Ee. Or, d'après la règle énoncée à la
p. 87 du Tome présent, on aura RI: R^u = Rj':Rfi, où/u| = 3». Posant donc B/i = ^i on

trouve Ra =.(3^-0(3^ + ^-0 _^+^) _ ^a^-f6an+n^ maisposant
3«4-3«— ^, a^n 3C« + «)

BM = ^„ , on trouve de la même façon RE — ^ v3^ "t" **) — 3<? -f- ^^~r" g jj g^

^ + « 3(^ + «)

résulte E.-RE-R.= -3^:i^^^i^ (.,-0 = ^1 ,-^Î^V = D«î; ce

3ât* + 6an + S»'' ^ ' *^ ^ 3(dr + «) V

qu'il fallait démontrer.

APPENDICE IIIO

À LA DEUXIÈME PARTIE DE LA DIOPTRIQUE „DE ABER-
RATIONE RADIORUM A FOCO".

[1665.]

In lentibus ejusdem generis, aberrationes radiorumcxtre-
moriim rationem habent compofitam ex ratio ne quadratorum
latitudinum, et ex ea quam habent foci diftantiae, contrarie
fumta. diametri vero circellorum earundem aberrationum,
rationem habent compofitam ex ratione cuborum latitudi-
num inter fe, et ex ratione quadratorum foci dift antiarum
contrarie fumta ^).

Lentes duas ejufdem generis eiïe dicimus cum vel utraque planoconvexae fint;
vel cum ambse utrinque convexae vel denique utrinque concavse [vel utraque]
convexoconcavae, atque ita ut femidiametri utriufque convexi vel concavi utro-
bique eandem interfe rationem fervant. Et hic quidem etiam fimiliter pofitas
elTe confideramus refpectu radiorum parallelorum quos excipiunt, ut nempe
utriufque lentis fuperficies convexior ad illos obverfa fit vel ab ijsdem averfa.

Sunto igitur dux ejufmodi lentes [Fig. i et 2] , quarum alterius apertura AB,
foci diftantia CD, radij extremi refractio BEF, faciens aberrationem ED, femi-
diametrum vero circelli aberrationis DF. Alterius vero apertura GH, foci dift.
KL, radij extremi refractio HMN, faciens aberrationem ML, femidiametrum
vero circelli aberrationis LN.

*) Cet Appendice, emprunté aux p. 1 8 — 26 du Manuscrit C, fait connaître une rédaction plus
primitive d'une partie des „Reiecta ex Dioptricis nostris"; comparez la note i,p. 314 du
Tome présent.

^J Cette proposition et le début de sa démonstration sont presque identiques avec la Prop.
VIII, p. 315, et sa démonstration, telles que nous les avons données dans le texte des
„Rejecta", p. 315—317. Plus loin la démonstration prend une allure plus algébrique.

38o

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE III. 1665.

Primo itaqiie oftendendum aberrationem ED ad ML rationem habere compo-
fitam ex ratione qu. AB ad qu. GH et ex ratione KL ad CD.

Sic CD 00^, CB 00 ^,KLooc,KH co d. Et ponatur lens aliaOP [Fig.3] ejufdem
generis cum duabiis alijs, cujiis foci dillantia QR fit «qualis CD five ^, aperturae
vero femidiam. QP ad foci dillantiam QR, fe habeatutHKadKL. refractioautem
radij extremi in hac lente fit PST faciens aberrationem SR, et femidiam. circelli

[Fig. I.]

[Fig. 3-]

aberrationis RT. Quia ergo ut LK ad KH, hoc eft, ut c ad ^ ita ponitur RQ five
a ad QP erit hsec— . Sicut autem qu.CB ad qu.QP hoc eft, ficut bb ad

ita

ce '

eddaa

[* Prop. VI.] 0 eft aberratio ED ad aberrationem SR *. Itaque fi ED ponatur 00 ^, fiet SR oo -yt—

Atqui aberratio SR eft ad ML licut QR ad KL hoc eft, ficut a ad 6r,quoniam
arcus fuperficierum lentium OP et GH funt partes fimiles circumferentige. Itaque

fit aberratio ML 00 , , ad quam ED, five e^ ita fe habere apparet ficut bbc^^à.

') Voir la note i,p. 316.

DE ABERRATIONR RADIORUM A FOCO. APPENDICE III. 1665.

381

dda\ qii3e ratio compofita eft ex ratione qu.'^^ ad i\u.dd hoc eft qu.CB ad qu.

KH, et ex ratione c ad a^ hoc eft KL ad CD, quod erat primo loco oftendendum.

Nunc porro démon ftrabimus circelli aberrationis femidiametros DF ad LN

[Fig.4.]

[Fig.5.]

eam habere rationem quae componitur ex
ratione cubi CB ad cubum KH, et ex ratione
qu.'KLadqu.CD.

Quia ut EC ad CB, five, ob minimam
difFerentiam, ut DC ad CB, hoc eft, ut ^
ad b ita ED, (îve e, ad DF; erit proindc

DFoo-. Similiter quia ut MK ad KH,

five, ob minimam" difFerentiam, ut LK ad

KH, hoc eft, ut c ad ^, ita ML, five -tt— ,

ed^u
ad LN; erit proinde LN oo -rr-. Erat autem

Uo cd^d

DF 00 — . Cujus itaque ratio ad LN five rr~-,

eft ut apparet ea quae b^cc ad d^aa^ hoc eft ,
compofita ex ratione cubi ex b five CB ad
cubum ex d five KH, et ex ratione qu.'ex c
five KL ad qu. ex a five CD, quod fijpererat
demonftrandum.

His praemiflis jam rationem aperturarum
in telefcopijs diverfae longicudinis inquire-
mus, oftendemufque quod ad aeque clara
atque seque diftincta efficienda
telefcopia, ratio foci diftantiarum
1 e n t i u m e x t e r i o r u m e j u f d e m g e n e-
ris débet effe fefquitertia ratio-
nis^) quse in diametris apertura-
rum earundem lentium. Sivc cubos
dictarum foci diftantiarum debere
effe inter fe ficut quadratoqua-
drata diametrorum aperturae')-

vSunto enim [Fig. 4 et 5] duo diverfae longi-

tudinis telefcopia, lentes exterioresejufdemgenerishabentia, quorum alterius lens

j ième

*) C'est-à-dire, la ^ puissance.

3) On trouvera dans les ^Rejecta" une autre leçon de ce théorème et de sa démonstration.
Comparez les p. 343—347 du Tome présent.

38a

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE III. 1665.

[Fig. 4-]

[Fig.5.]

exterior quatenus adaperta fit AB [Fig. 4], lens ocularis OP, focis utriufque in

idem punctum D compofitis. ita enim difponi
necefîe eft, ut radij paralleli ad oculum per-
veniant qui à punélis longinquis ad telefco-
pium feruntur,axi proximi. Sit autem pupilla
QR, fundum oculi ad X, centraque omnium
C, O, Q, X in eandem rectam quse axis eft
telefcopij. Intelligatur porro refractio radij
extremi in lentem AB incidentis efteBEP,
quœ occurrat lenti oculari in P, cujufque
aberratio fit ED, circelli vero aberrationis
femidiameter DF. et jungatur DP. fitque PS
axi parallela.

Quoniam igitur fi in lentem ocularem OP
radius incidat DP ex foco ejus vcniens, is
axi parallelus efficitur, ita ut incedat fecun-
dum reétam PS (quia nempe , ut fupra fieri
licere oftendimus ') , lentem OP quafi aber-
rationis expertem hic confideramus), feretur
proinde radius EP fecundum PR, ut ang.
S PR fiât aequalis ang.o DPE =). Occurrat ergo
pupillae in R, et agatur RT axi parallela.
Quia ergo oculi ea eft difpofitio ut radios axi
parallelos cogat ad punélum X, ideoque
radium TR intro recepturus fit fecundum
reétam RX, fequitur radium PR intraturum
fecundum reélam RV, ita ut ang. XRV fiât
aequalis TRP 3). Occurrat autem fundo oculi
in V, ut nempe circelli aberrationis femi-
diam. fiât XV.

Porro in telefcopio altero [Fig. 5] eadem
omnia efFeda intelligantur, literis minoribus
ejufdem nominis ad punélaadfcriptis. Requi-
ritur itaque ad aeque diftinélam vifionem
faciendam ut XV fitœqualis xu,quodquidem

^} Cette démonstration manque dans la leçon que nous suivons ici , mais on la trouve aux

p. 341—343 des „Rejecta".
^) Consultez sur ce théorème la note 1 , p. 342.
3) Il n'en est pas ainsi; mais ces angles sont dans un rapport constant. Consultez à ce propos la

rédaction postérieure de cet alinéa et de celui qui le précède , laquelle on trouve à la p. 345

du Tome présent.

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE III. I665. 383

fieri neceflTe efl: fi fuerit anguliis XRV aequalis xru, quandoquidem profunditas
oculi XQ aequalis efl: xq. Angulo aiitem XRVaequaliseft TRP 3) fiveRPS et
hiiic aequalis efl: DPF. Eademque ratione angulo xni aequalis efl dpf. Ergo requi-
retur ut aequales fint anguli DPF, dpf.

In priore figura omnia data fint, ut foci diftantia CD oo ^; femidiani. aper-
turae BC oo h. foci difl:antia DO oo d. In altéra autem data duntaxat lentis
exterioris foci difl:antia cd oo c; femidiameter autem aperturae quaefita cb
ponatur oo x. Et do, foci diftantia lentis ocularis quae fimiliter ignota eft, oo y.
Erit ex propof. prjecedenti circelli aberrationis femid. FD ad fd ut bHc ad
x^aa-^ atquoniam aequalis utriufque telefcopij claritaspoftulatur;hoceft,utmulti-
plicatio telefcopij CDO fit ad multiplicationem telefcopij cdo, ut femidiam.

aperturae CB ad cb, quumque multiplicatio telefcopij CDO fit ^, quoniam res

vifas auget fecundum ratione a ad d^ hoc eft CD ad DO. multiplicatio vero tele-

C Cl c

fcopij cdo fimiliter fit — . Oportet itaque efle-^ ad - ficut CB ad cb, hoc eft ut b ad

dx cb cbd
x\ unde —f'^ — , ac proinde y five do oo . At vero ut aequales fint anguli

DPF, dpf, necefte eft PD ad DF eflTe ficut pd ad df ;et permutando, PD ad
pd , five , quae ratio eadem hic cenfenda eft, OD ad od , ut DF ad df. Sed ratio
DF ad df eadem oftenfa eft quam b^cc ad x'^aa\ et ratio OD ad od, ea quae d ad

, ergo quum hae rationes aequales efl^e debeant, hoc eft quantitas b^cc ad x^aa

CwX

ut ^ ad — , fiet -^ 00 x^aad. ideoque b^c^ oo x^a^ , et — ^ oo x\ ac tandem
ax^ ax 9-1 ^3

C3

3 00 jc, quare patet, ut a^ ad c^, hoc eft, ut cubus CD ad cubum cd

ita efte b^ ad x% hoc eft, ita quadratoquadrati CB ad qu.qu.cb. Atque ex his
jam poterimus, data telefcopij unius foci diftantia lentis exterioris, etmaximâ
quam ferre valet aperturâ, etiam alij ejufdem generis exteriori lenti cujus data fit
foci diftantia, debitam aperturam invenire, nec tantum fi ejufdem generis fuerit,
fed et fi alterius, ut pluribus de hinc docebitur 4). Velut fi lens quaîdam data
cujus foci diftantia pedum t i , ferat aperturam duorum pollicum , fit autem pro-
pofita lens alla cujus foci diftantia sexdecuplo major, five pedum 192. Et fi
quidem fuerit foci diftantia lentis unius sexdecupla foci diftantiae alterius lentis,
debebit ratio aperturarum eft*e odupla, numerorum ratio ufus. utendo et in his
logarithmorum compendio; fi enim in telefcopio quodam dentur foci diftantia ^ et
aperturœ femidiameter b numeris expreflae, itemque foci diftantia lentis exterioris
alterius faciendi telefcopij 00 c, oportet logarithmi numeri ^ addere très quartas

*) Voir les p. 385 — 386 qui suivent.

384

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE III. 1665.

logarithmi c et auferre à fumma très quartas logarithmi a. fietque logarithmus
numeri qnaefiti x qui femidiametrum aperturae akerius telefcopij defignat.

Ut fi lens cujus foci diftantia eft pedum 1 2 ferat apercuram , in telefcopio fuo,
polliciim duorum, quam docet experientia lentem bonam perferre polTe ^), quaeri-
turque apertura lentis aliûs, cujus foci difl:antia pedum 100. hic numerus ^ eft 12;

b, 1 ; c, 100. Logarithmus autem numeri i, qui eft o, additus ad — logarithmi

numeri r, hoc eft, ad 1,50000 facit 1,50000; unde fi auferantur-^ logar. 1 2, qua;

4

funt 0,80938, relinquitur 0,69062, logarithmus numeri 4 ^^ . qui itaque eft

00 X, defignatque numerum pollicum qui deberentur femidiam.» aperturas quae-
fitae; adeo ut diameter fiât fere 10 poil. Et hoc modocompofita eft fequens tabella,
nifi quod diametros totas aperturarum non numéro pollicum fed centefimarum
unius pollicis exprefllmus. Pofuimus autem hic rurfus ad lentem pedum 1 2 five
pollicum 144, apertura diametrum duorum pollicum five 2odecimarum,quo-
niam bonam lentem hanc facile perferre invenimus et fortafl^e fi ad fummam
perfeétionem daretur, majorcm ferre poflet. Sane quum utrimque convexailla
fuerit non tantam debuit aperturam pati potuifl"e quantam vel planoconvexa vel
illa proportionis fexcuplae , quam in fuperioribus omnium praeftantiflimam efl"e
docuimus ^). Quod fi quae hujufmodi daretur quamque conftaret exaftifllme for-
matam, pofl^et ab hac omnium aliarum maxima apertura certo definiri; nunc
autem quid jam nunc confequi poflîmus exponimus. Sciendum veroet multipli-
cationis rationem in telefcopio illo lentis 12 pedum fuifl^e quae 72 ad i, cum
lens ocularis haberet foci diftantiam poil. 2. Cumque rationem aperturae lentium
exteriorum fequatur telefcopiorum multiplicatio poterimus hinc fuam cuique
affignare diverfas longitudinis lentibus quas tabella continet 3).

foci diftantia lentis

exterioris telefcopij.

Pedes.

apertura lentis exterioris.
Pollices.

apparens incrementum

rei vifae, ratione

diametri.

31 0

100

1 1

0 Comparez la note 5 de la p. 349 des „Rejecta".

*) Voir en bas de la p. 291.

^) Voir à la p. 349 des „Rejecta" une règle plus explicite pour déterminer les distances focales

des oculaires quand celles des objectifs sont données.
*) Pour les autres nombres de cette colonne nous renvoyons à la colonne correspondante de la

table qu'on trouve p. 351 — 353 des „Rejecta".

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE III. 1665.

385

-Data aberratione duarum diverfi generis lentium quarum
foci diftantiae seqiiales, datâque apertura maxima unius,
lenteque oculari quae eu m illa telefc opium efficiat, invenire
alterius aperturam maximam, fimulque lentcm ocularem illi
conjungendam ut fiât telefc opium aeque clarum et «que
diftinctum priori s)*

Diverfi generis intelliguntur hic etiam illae quae licet utramque fuperficiem
utrique eandem habeant, non tamen eafdem exterius converfas habent.

Sunto lentes telefcopiorum exteriores diffimilis generis AB [Fig. 6], CD

[Fig.6.]

[Fig. 7], quarum foci diftantiae
aequales AF, CM ; aberrationes
autem radiorum extrcmorum
inaequales datae fint FE, IVIL,
pofitis nempe aperturis aequa-
libus, quarum femidiametri
AB, CD. Sicquc AB fcmid.
aperturas maximae quando len-
tis ocularis foci diftantia eftFK.
Oporteat autem invenire CQ
femid. aperturae lentis CD,
itemque lentem ocularem OP,
hoc eft foci diftantiam ejus
OM , ut fiât ex his telefcopium
quo aeque lucidae ac dirtinctae
appareanr res vifae atque eo
quod ex lentibus AB, KH com-
ponitur. Sit femid. aperturae
AB velCDDD^,focidift. AF
vel CM 30 ^; aberratio FE r» c:
foci diftantia FK oo d. aber-
ratio MV X e quae omnia
data funt. Apertura autem
quaefica CQ fit x. foci diftantia
MOco^y.

Quoniam ergo multiplicatio telefcopij AK ad multiplicationcm telefcopij CO
débet efte ut femid. AB ad femid. CQ, ut nempe «que lucida fint tclefcopia;

multip.o autem telefcopij AK defignatur fraftione ^ : et multip." telefcopij CO

S) Cette proposition ne se retrouve pas dans les „Rejecta", qui ne s'occupent que du cas où les
lentilles sont de la même espèce.

49

386

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE III. 1665.

[Fig.6.]

[Fig.r-]

fraftione — . Erit ergo -rad— ut
y ^ d y

AB ad ÇQ , hoc eft, ut a ad ar;

. bx ha y^ da

unde -j- 00 — . bt y oo — ■.
d y -^ X

Porroquia pofita femidiam.»

aperturge CD, aberratio eft

MV five ^, fi fiât ut qu. CD ad

qu. CQ hoc eft ut aa ad xx ita

VM five e ad aliam: fiet

' aa

sequalis ML aberrationi radij

extremi cum femid. aperturae

eft CQ ^). Quod fi porro fiât ut

LC ad CQ, five (quod idem

hic cenfendum eft ob exiguam

difFerentiam) , ut MC ad CQ,

hoc eft ut ^ ad X ita LM five

ad aham, fiet— i- aequalis

aa ' aah ^

MN, femidiametro circelli

aberrationis. at in telefcopio

AK, fi fiât ut EA five ut FA ad

AB hoc eft ut ^ ad ^ ita EF five

Cad aliam, oritur-r- sequalis FG

femidiam. circelli aberrationis. Quod fi radij extremi refraftio BEG continuetur
donec occurrat lenti oculari in H, itemque radij extremi refraftio QLN continuetur
donec occurrat lenti oculari in P, et jungantur FH, MP. Confiât angulos FHG,
MPNsequalesefl^e debere ut aeque diftinéte utrumquetelefcopiumresvifas référât,
ut ex diélis in prop. [XI] =) manifeftum eft. itaque ratio PM ad MN, five,
quœ hic pro eadem habenda eft, OM ad MN, eadem débet efl^e quae HF five

KF ad FG. Itaque ut KF ad FG, hoc eft ut ^ ad -^ ita OM ad MN, hoc eft ita

da j ex^ . j dex^^daac tt j • . . ca^ ^^ \ /\ /c

x^^bââ'^^ promde ^^- ^^^^. Unde mvenit. x^ oo -— ; five x^ay .y --

Hoc eft fi 3).

*) Voir la Prop. VII, p. 309 du Tome présent.

*) Voir à cet eiFet la p. 345 des „Rejecta", ou bien la p. 383 de l'Appendice présent.

3) La suite manque, mais on trouve encore à côté les calculs suivants dont le premier se rapporte

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE III. 1665. 387

Manence in telefcopio lentis exterioris apertura, fi lens
ocularis ^nvexiore mutetiir, minus diftincta fi et vifio*).

[Fig.8.]

Repetatur adhoc fig. propof. [XI] s) ubi lens exterior
telefcopij AB, ocularis PO, fintque omnia fimiliter ut
illic ordinata. Deinde vero pro lente OP fubftitui intelli-
(^ gatur alia convexior HG, quae proinde propius accederc
debebit ad D focum lentis AB, quoniam in idem punélum
D etiam focus ipfius lentis HG convenire débet; et
occurrat radij extremi refraétio BP lenti HG in G: et
jungatur DG. Sicut igitur dum aderat lens OP, magni-

à la comparaison de r„aberratio planoconv. piano extra"
à celle „ejusdem piano intra". Dans ce cas on a donc

(voir les pp. 285 et 287) „e adcut^ ad ^, i. e.54: 14". Il

en résulte „^ : ^ = ]/. ]/ 27 : \/ . \/ f \ ce qui amène le
calcul suivant;

,,2700. 1.3.43136

700. 1. 2.84509 3-43136
0.58627 0.14657

0.14657 3-28479 ï- ^9V
a2iàx ut 2700 ad 1927 prox. 28 ad 20 i. e. 7 ad 5."

Le second calcul traite r„aberr. planoconv. piano intra",
comparée à r,,aberr. lentis opt." (voir les p. 291 et 293).

Ici on a .x ad c ut 5 ad ^" et on trouve „^? ad x ut prox. 48
' 014

ad 47."
Enfin r„aberr. aeque convcx»" (p. 291) est comparée â

r„abevr. planoconvex. piano intra". Alors „^ ad c ut
^ ad ^" , ce qui conduit à „^sf ad X ut prox. i o ad 9."

Remarquons qu'on a ^ : ^ =.7 : ^ = ^ : ^ et que, par suite , le
rapport ^ : ;c représente en même temps le rapport des grossisse-
ments admissibles dans les deux télescopes; c'cst-à-dtre, si 1 on
ne tient compte que de l'aberration sphérique. , p •

4) Cette proposition , comme la précédente , n'a jamais fait partie des ^Rejecta .

5) Comparez la fig. 38, p. 343 des „Rejecta",ou bienlafig. 4de l'Append.ce présent, p. 38..

388 DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE III. 1665.

tudo circelli aberrationis in fundo oculi, unde confufa vifio nafcitur, pendebat
à magnitudine anguli DP F ') ; ica nunc admota lente HG eam pendere confiât a
magn.e ang.i DGF; qui cum major fit quam DPF, etiam circulus aberrationis in
fundo oculi major nunc erit, ac proînde major radiorum confufio quod erat
oft. Et haec altéra ratio ell de qua fuperius diélum ^) cur non pro lubitu intendi
poffit telescopij multiplicatio, patet enim hinc fi lentem ocularem brevioris foci
in locum prioris adhibere velimus, arâiandam efîe lentis exterioris aperturam ut
seque diftinéla ac prius fiât vifio. adeo ut ob hanc caufam et ob majus incrementum
dupliciter crefcat obfcuritas.

'") Voir la p. 345 des „Reiecta", ou bien la p. 383 de l'Appendice présent.
*) Comparez le début de la Prop. X , p. 333.

i^

APPENDICE IV')

À LA DEUXIÈME PARTIE DE LA DIOPTRIQUE „DE ABER-
RATIONE RADIORUM A FOCO".

[1665.]

AC DO a , AK 00 h , AB oo x ,
GKO 00 c. BFH reaa. ALoo AC,
LGF reéla.

qu. AC (jio) ad qu. AB (xx^ ut
GK(0adKH3)(^)

oportec GO efîe maximam.

') L'Appendice présent est emprunté
à la p. 27 du Manuscrit C. Il y
suit donc immédiatement l'Appen-
dice III. Il contient la détermination
du „cercle d'aberration" (ou aber-
ration latérale) tel qu'on le trouve
défini souvent dans les traités moder-
nes, c'est-à-dire, de la plus petite
section qu'on peut obtenir en cou-
pant par un plan perpendiculaire à
l'axe AK le faisceau formé par les
rayons de lumière, primitivement
parallèles à cet axe , après leur pas-
sage par la lentille LAC. En effet,
la signification des lignes tracées
dans la figure est claire: CG et LG
représentent les rayons extrêmes
primitivement parallèles à l'axe de
la lentille mais réfractés ensuite par
la lentille; BH est un autre rayon
réfracté; K est le foyer,- KM,OF,
ED sont perpendiculaires à l'axe;
BD y est parallèle. Or, on voit faci-
lement que la section cherchée doit
se trouver entre les plans perpendi-
culaires à l'axe passant par G et par
K; mais dans la couche comprise
entre ces deux plans on peut distin-

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE IV. 1665. 39 1

HO ad OG ut AG ad GE -») omiffis minimis.
CG ad GD
CA ad AB
HG ad GO ut CA -h AB ad AB.

(ex
QJQ
^

aa j

ryr\ aacx — cx^

uu — T—. 00 maximo.

a^ + aax

a^cx—'^a^cx^ — laacx^ oo o s)
[div.] per aacx a^ — ^axx — nx^coo

per^— 2^ XX -\- 2ax -{- aa co o azoQ,x^)

I

—a 00 X
2

KHoo^^oo-r; HGoolc; GO oo le; OF oo -KM.

aa ^ 4' 4' 4

guer deux espaces, se pénétrant en partie, dont l'un est rempli des parties des rayons situées
au-delà de leurs points d'intersection avec Taxe tandis que l'autre est rempli des parties des
rayons qui se trouvent en-deça de ces points. Le premier espace est limité par le cône ayant
GM pour génératrice et GK pour axe, le second par une surface de révolution qui se rétrécit
vers en bas, et le cercle en question sera donné par l'intersection de ces surfaces. Par
conséquent, si l'on se figure qu'une ligne parallèle à KM se déplace vers le haut, en partant
de la position KM, elle atteindra la position cherchée au point F où MG est coupée pour
la première fois par un rayon qui a traversé la lentille entre A et C. II faut donc chercher
le rayon BH pour lequel la distance GO est un maximum; après quoi il sera facile de cal-
culer OF qui se trouve de cette manière être égale au quart de KM , c'est-à-dire au quart du
rayon de ce que Huygens dans les „Rejecta" (p. 315 — 353") appelle le „cercle d'aberration".

*) C'est donc là l'aberration sphérique du rayon extrême.

3) Voir la Prop. VII, p. 309 du Tome présent.

4)0„a-^ = -0|L=-^= ^,d-oaré.«Ue^=-eA; c'est-à-dire, «omissis „,i„l-

mis'*, HO : OG = AG : GE.

5) Huygens applique ici la règle de Hudde pour trouver la valeur maximum d'une fraction

algébrique; voir la note 1 1 de la p. 166 du Tome présent.
'^) Puisque l'équation qui reste après la division par le facteur a — zx ne mène pas à une solution

utilisable.

APPENDICE V)

À LA DEUXIÈME PARTIE DE LA DIOPTRIQUE „DE ABER-
RATIONE RADIORUM A FOCO".

[1665.]

[Recherches de 166$ '') fur l'aberration fphérique
longitudinale d'un faifceau de rayons de lumière cor-
refpondant à un point donné de l'axe de la lentille.]

[Première Partie.]

Determinatio aberrationis fuperficiei fingiilaris CB,
radiorum ad t tendentium.

AB 3) 00 ^; BG 00 ^; Bt 00 d; NM oo n.
xB Çd) ad AB (^) ut BG (b) ad GY 0 (^)] ^^^^^^^

tG(^-^)J

— r •+■ d—b 00 ttY 00 tC
a

') La pièce est empruntée aux p. 28—33 du manuscrit mentionné dans la note i de l'Appendice

I , p. 355. Nous l'avons divisée en paragraphes.
') On trouvera d'autres recherches sur le même sujet au § i (p. 408) de l'Appendice VI et aux

§§ I (p. 4i8),4(p. 42o)et 6(p. 424)de l'Appendice VII, de 1669.
3) A et N sont les centres des surfaces convexes de la lentille CABYM.
'^) À cause de la Prop. II , p. 275. On a nY = nC et on remplace dans le premier rapport nC

par 7iB.

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE V. 1665. 393

qu. ttC ad qu. tA ut qu. CG. ad qu. Aç oo C« ut BG
ad «A 0

qu. tC (dd) ad qu. tA Qdd-iad+aa') ut BG (^)
^ab aab\

ad Aw (b —

d "^ dd )
4
3

3 3^3^^
ex R A DO ia 7)

8^

3 ■ 3 ^' 3 ^^

4,8^^ 4 aab „ . i

d

-i-d-b

Ct\

(a[dde].

3 3 « 3 '^^

PA + Ctt ad Ct^^^ + d-b^ m tA (d- a) ad x/3 «)

Tj8

0

2ab -\- dd—db—ad —

u

3 z d '}, dd

rè (^+ 2^) ad îtA (^— ^7) ut tB (//")

S) Voir la Prop. I, p. 273. AaiAPR est parallèle à Cn; kq> et Cw
sont perpendiculaires à cette ligne.

<î) PR = — Au) représente l'aberration sphérique du rayon CP qui

provient du rayon tendant vers n, après sa réfraction à la surface CAB, R étant le foyer,

par rapport à cette surface, des rayons parallèles àCn. Comparez la formule - BG = PR

du § I de l'Appendice I, p. 357.

7) Voir la Prop. VIII, Part. I, Liv. 1 , p. 33.

8) À cause de la similitude des triangles PA/Î et Ctt/?.
') Nous supprimons quelques calculs.

*°) Détermination , à l'aide de la Prop. XII , Part. I , Liv. I , p. 41 , du point de concours E après
la réfraction à la surface CAB des rayons qui correspondent à n. Naturellement la même
expression pour tiE peut être obtenue en substituant b = o dans l'expression pour 'n(i.

50

394

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE V. 1665.

tE fiibtr. ex tt/S oo —
[Fig. ..]

—bdd— 6abd-{- Saab j-

^ 3 ^

00 /3E ') bon.
I

^aa + ^ad + dd

fit d co 4.a ; /3E oo -^^.

dco^a cafus perfeélus ubi nulla aberratio, qui efl: in
Comm. Schotenij ^).

-dd -+- 8^^ 00 6ad + -^ -r
3 3 ^

4^3 _j_ 2j^aadco iSadd -\- loa^

id^ 4- iiaady:^ ^add -\- 5^3

^^3 4_ 30^3 00 ^^3 4_ ^^3

4 4

25^3 30 tf 3 b o n et comprobat regulam.

[Deuxième Partie] 3)
n [MN] ad a [AB] ut b [BG] ad — GM 4).

tB^

Tf

^^— ^^|r[ubt].

d-^ ia
dd + lad— dd h- ^7^/

^H- 2^3f

00

3^^

EB

2^
«
%ad + 2^?« H- ^«
d-\- 2a

EN 3)

^) Plus généralement, en représentant par v l'indice de réfraction,
ontrouve:^E=^— >;/-'):51-^:+ ' ^ ^.

=") Consultez la p. 49 du Tome présent d'après laquelle le „casus
perfectus" se présente lorsque l'on a :-t-j^ =v, c'est-à-dire, dans

le cas du verre , -^^ = -. Ce résultat est utilisé dans ce qui
a 2

suit pour vérifier la justesse de l'expression pour (9E qui doit, par conséquent, s'annuler
pour^=— tf.

3) EN = EB 4- BN, mais on peut remplacer BN par MN = «, puisque les termes qui contien-
nent ^ sont supposés négligeables.

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE V. l66$, 395

qu./8C ad qLi./3N ut qu. EB (qu. ^^) ad qu. EN (qu. M^+^^j^

z ] au qu. iL.i\ [ qu. ~ — ^^.
, . Ut MG - ad VY 5).

f)haadd + i ihaadn + dhadàn -\- \haann + ^hadnn + hddnn „„

. , oc v\a^ O/J .ufj.^'
2
gbaadd-^ i ibaadn + 6baddn + \haann ■\- \hadnn + ^^^/7«

laddn

ZK

»\Vv£^\ r

^ [EBfaî . [AB] ut ^ [BG] ad M±i^^ GO 0

Hdd-eahd-^-Uah-^-^'^

3 i-^E/Sn

3) Danscette deuxième partie Huygens se propose de calculer l'aberration sphérique de la lentille
entière BCMY. À cet eiFet il tire la droite NK parallèle à CP et calcule la valeur de VY à

l'aide de la Prop. I, p. 273 pour en déduire celle de KZ = — VY, qui représente l'aberration

sphérique du rayon CP par rapport à la surface convexe CM Y et qui aurait permis de calculer
la valeur de NZ = NK — KZ, puisqu'on a, d'après la Prop IX, Part. I, Liv. I, p. 37, NK
= 3«, K étant le foyer des rayons parallèles à CP par rapporta la même surfaceCM Y. Comme
il avait trouvé de plus Q^ et (?G il lui était facile de déduire de cette dernière valeur celle de

/9N=|9G — GMT— J-|" MN(«) et de calculer ensuite par la similitude des triangles

NDZ et CD|9 la valeur de ND dont la différence d'avec la distance du point N au foyer de la
lentille BACMY (à calculer à l'aide de la Prop. XVI, Part. I, Liv. I, p. 87) ferait enfin
connaître l'aberration cherchée. Mais, comme on l'aperçoit, Huygens n'a pas conduit ce
calcul par les dernières étapes, probablement à cause de la complication des formules. Voir à
ce propos les dernières formules de la note 2 de la p. 396, dans lesquelles il suffit de rem-
placer ^par — d pour trouver le résultat auquel Huygens aurait dû parvenir s'il avait pour-
suivi les calculs, m-^x'

'^) Voir la Prop. II, p. 275. ' ■'

5) On a /9C= : (?N=* = CG*= : FN% à cause des triangles semblables /?CG et |ÎNF; mais FN = CV
et CG=:CV= = MG:VY, d'après la Prop. I, p.273;donc/ÎC=:(?N» = MG; VY,où l'on
peut remplacer (?C par EB et ^N par EN avec une approximation suffisante.

'^) Toujours à cause de la Prop. II, p. 275. On a /?C = (90; mais approximativement /ÎC = EB.
La valeur de GO va servir plus bas quand il s'agit de calculer ÇC plus exactement.

^) Valeur trouvée plus haut vers la fin de la première partie. [/(ft-ffM ,1

396 DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE V. 1665.

Aà^ ; w'. o^ad 2^dd-\-6aad

d-\-Q.a dd -\- ^ad -{- 4.aa

^add-{- 6aad—-bdd-{- 6abd—Saah-\- ^-

/SBoo

dd -^ ^ad -{- 4.aa

ftibtr. BG 30 è 00 ^'?+^''^/+^'"'^
/s(^ + ^ad + 4^<«

'^add-\- 6aad—^ bdd-^- 2abd— \iaab +

^ dd-\- \ad- + 4^^

1 1 ro ^^^ "^ 2^^^ d'^ab + \ciaddb -\- iia'^db + laaddb + 8^"^^

nQ op —6abd^-\-i2aaddb — 2^a^bd-{-çaad^-\-iHa^dd-\-i^a'*b^^

*) Huygens n'a pas poussé plus loin les calculs. Comparez la note 3 de la p. 395.

') Nous supprimons les calculs qui ont amené cette formule parce qu'ils sont analogues à ceux

de la première partie du § 1 de cet Appendice. Inutile de dire que les résultats de cette

première partie et du paragraphe présent peuvent se déduire l'un de l'autre par un simple

changement de signe de la grandeur d.

'• Quoique la figure indique qu'ici encore c'était l'intention de Huygens de déterminer

' l'aberration sphérique de la lentille entière, les calculs n'ont pas été poursuivis dans cette

' direction.

Toutefois, afin de nous en servir dans la suite, nous indiquerons ici le résultat final auquel
les calculs auraient dû conduire dans le cas présent. Nous l'empruntons à la formulé (293) du
§ 268, Chapitre XII, p. 388, de l'ouvrage de James P. C. Southall: „The principles and
methods ofgeometrical optics", New- York, Macmillan, 19 10.

À cet eifet nous remplaçons les notations de Southall par celles employées ici dans le texte,
en représentant de plus par e l'épaisseur de la lentille entière , par ^j la distance à la lentille
du point qui correspond, par rapport à elle, au point 71, et enfin par v l'indice de réfraction.
Alors la formule mentionnée nous donne, après une légère réduction, pour l'aberration

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE V. 1665. 397

JT

§2.

Aberratio fuperficiei fingularisCB, radioriim
a puncto TT venientium.

AB 00 ^: NM 00 n- BG oo ^; MG oo — ; tG oo d-,
tAoo d-^a—b

6ahd+ Saab + ^hdd+— -^^

3 3 "' ^ i3£ =^') b o n

dd—\ad-\-\aa ^ ^

/^

sphérique de la lentille entière l'expression suivante :

(y - l) d,^ e r 3^^ I ^ .2 _ 2y — I ) ^„ -f (y3 _ gy^ 4- 2) «' —

" (3" 4- 0 ^'" + (3"' — 3*' -4)^"' _u Cs^ + O^^»'") ^ où

</»

]

dr =

and

I (^y — i^(a-^n)d — an'

. Posant ensuite , avec Huygens , y = ^, on trouve pour cette même

33 - 7 i
^a-n—'—atr

398

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE V. 1665.

[Fig. 3.]

§3.

Aberratio radiorum ex tt venien-
tium in fuperficiem BC. folidum
versus G habentem.

AB co ^ '); BG oo ^; Bt oo d.

tC fuppon. 00 ttB; CY eft arcus centro t
ttB (^d) ad AB Ça) ut BG (^) ad

^^^^\d) a[dde].

d — b tG I

qu.îrC ad qu.^rA ut qu. CG ad qu. A<jp oo Cûd
ut BG ad Aw 3)

qu.xC(i/) adqu.îrA (aa — 2ad-\- dd) utBG(i')

9

2

2j_9^ + 9^PR4)

2

ex

3^ RA s)

■b-n-C

d

d +

2 dd
ab

3^

8^^

2 dd

*) A est le centre de la surface ACB; tiC le rayon extrême; C/9 sa direction après la réfraction
à la surface ACB ; AXwAPR est parallèle à nC \ Cw et Aqp lui sont perpendiculaires ; Cl est
parallèle à l'axe AGY; de plus on a tiY = tiC. E est le point correspondant de tt, par
rapport à la surface réfringente ACB.

^) Par la Prop. II , p. 275.

3) Par la Prop. I, p. 273.

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE V. l66$.

399

ACooAT(^-^utCT(// + ^-^)adx/3

T)8

2 d 2 dd

Tè (3^-d) ad tA (a-d) m xB Çd) ad tE (^^~Jf) '^
tE fubtr. ex t/3 fit /3E aberratio.

2 ^

^aa—6ad-\-dd

/3E0. bon.

fi ^ 00 I ât, cafus perfeftus, hoc eft aberratio niilla ').

i6--ad-{-7--^zn iQ-aa-\-±-dd

2 ' 1 d ^2 ' ^2

^^^ + 3/î^oo 13^^-}-^^/^
165 + 2700 117 + 75 .
192 00 192 bon

^) On a PR = ^ BG; comparez la première partie du § 2 de TAppendice I, p. 359.

S) Voir la Prop. IX, Part. I, Liv. I, p. 37.

*') Voir la Prop. XII, Part. I, Liv. I , p. 41 ; mais il aurait suffi de poser b = o dans l'expression

pour n^.
0 Plus généralement on trouve, en remplaçant dans la formule de la note i, p. 394, //par — </,

(ya — (v—i)dyd

BA
^) Consultez la p. 69 d'après laquelle le „casus perfectus" se présentera quand on aura —j- = v

et qu'en même temps le point n se trouve plus éloigné de la surface que le point A. On aura

donc ici: j = — ; c'est-à-dire j</= — /7.

a — a 2 ' '3

/ï par — aQtv par — : /9E ■

400

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE V. 1665.

S 40-

AB DO a; BG oo b ; Çt do d

I a^b

/3E0bon

7 y- 4- I Q-a^'b 4- 1 6- ^^^ 4- A~bdd

si d infinité magna fit 4- feu-^ 00 /3E, ut

oportet 3).

Et fimilis expreflio /3E, hoc efl: cum ijfdemfrac-
tionibus, bona efl: in alio cafu pag. 31 '*). quia
refpondet in cafu perfefto s). Infuper confirmatur
hsec régula calcule pag. 31.2 '^).

') Aberration du rayon extrême (jpC d'un faisceau dirigé
vers n avant sa réfraction à la surface CB, où le verre
se trouve du côté du centre A. C^P est le rayon
réfracté, R le foyer d'un faisceau de rayons parallèles à
qpC, E le point de concours des rayons réfractés du
faisceau dirigé vers n.

Sur une autre feuille du manuscrit Huygens traite le
cas, qu'on retrouvera encore dans le § i de l'Appendice
VI , p. 408 , ofi le verre se trouve du côté du point tt,
qui est, cette fois, l'origine du faisceau; ce qui amène la
même formule. En effet, les positions des points E et (?
restent les mêmes dans les deux cas, le rayon nC suivant
maintenant, après sa réfraction , le prolongement de §C.

') Nous avons supprimé les calculs à cause de leur ressem-
blance avec ceux du § 3, qui précède. Il est vrai que la
signification de la lettre d s'écarte un peu de celle
qu'elle a dans ce § 3. Cela entraîne, en effet, quelques
changements dans les expressions pendant le calcul mais
n'a pas d'influence sur le résultat qui se déduit d'ailleurs
de celui du § 3 en substituant — </à </, et en changeant le signe de l'expression finale.

3) Comparez la première partie du § 2 de l'Appendice I, p. 359.

4) C'est le cas du § 3 , p. 3p8.

5) Voir la fin du § 3 , p. 399.

'^^Voir le § 7, p. 405, où la formule pour (ÎE est employée à calculer d'une nouvelle façon
l'aberration sphérique d'une lentille biconvexe à courbure égale des deux faces pour un
faisceau de rayons parallèles. La conformité du résultat obtenu de cette façon avec celui que
nous avons indiqué dans la note 4 de la p. 365 est, en effet, une autre preuve de la justesse
de cette formule.

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE V. 1665.

401

S 5-

Aberratio in fuperficie plana radiorum exeuntium.

A eft concurfus tendentium ad D.
DG 00 a\ AG oo-tf7);jfaoAE aberratio quaefita.

EG zo~ a—x
3

CI eft arcus centro D radio DC. CO eft arcus centre
A radio AC-

2G A (^a\ ad GC (O ut GC Çd)

ad GO proximè - — i

, '^^ Ud[de]

GE-a—x

3

"

[Fig
/

5.] •

V

^^^""""^'^^

?

=\

rà

\

\ A

7

<p'

li

cenfetur EO oo EC etfi rêvera fit AO oo AC

3^+^^_^EOdoEC
4 ^ 3

3

2

8 a 2

3^
2

GO

i^GP)
2 ^ ^

aGD

. ^_ , \ dd Q dd . 3 ^ p./-^

7) Voir la Prop. VII du Liv. I , p. 27 du Tome présent.
«) DC = ^ EC d'après la Prop. III , Part. I , Liv. I , p. 1 7-

. 2

9)GI = ^G0 d'après la Prop. II, p. 275, pui^q^e CD = |CE ou, par approximation.

:^CA.

2

5»

402

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE V. 1665.

Q Kdd
2 Sa

ma Q. a

jc 00 f GI

0

[Fig.<5.]

§60-
[Première Partie.] 3)

BA "*) 00 ^; BG oo b ; PR oo a: aberratio
CI efl: arcus centro R radio RC vcl PC.

BRoo S^Ol/T 1- -\

L i[ubtr.] •

ria — b RGl pr , -1
^ PR ^^""^"-^

^a — b — x PG
I ,

(.j,î>^|ad[de]

*) Inutile de dire que cette formule ne représente qu'un cas spécial
de la formule du §4; on l'obtient en remplaçant dans le premier

terme du numérateur ^Z» par — CG^, en posant ensuite ar=oo,

et en remplaçant enfin la ^ du § 4 par la lettre a, qui dans le para-
graphe présent représente la même distance. Un autre cas, où
un point lumineux se trouve au dehors du milieu réfringent limité
par une surface plane sera traité au § i de l'Appendice VII, p. 41 8,
d'une manière entièrement différente.
^) La troisième et principale partie du paragraphe présent contient uneapplication des résultats
obtenus dans les §§ i, première partie, et 5, qui précèdent. À l'aide de ces résultats l'aber-
ration d'une lentille planconvexe exposée par sa surface convexe à un faisceau de rayons
parallèles à l'axe est calculée d'une façon nouvelle. La première et la deuxième partie con-
tiennent une déduction de cette même aberration d'après les principes déjà appliqués aupa-
ravant au § r de l'Appendice I , p. 355 — 357, mais cette fois d'une manière plus algébrique.

3) Cette première partie donne la déduction de l'aberration PR causée par la seule surface
convexe.

4) A est le centre de la surface CB; R le foyer de cette surface.

5) D'après la Prop. VIII, Part. I, Liv. I , p. 33.
'^) D'après la Prop. II, p. 275.

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCQ. APPENDICE V. 1665. 4O3

ô

m[ult.]

I 4/

3 9

AT 00 -^ in fuperficie fingulari BC.

[Deuxième Partie.]

D focus planoconv. DE oo x aberr.o
GR 00 sa — bj

2 m.

3 I

GDoo!ia—-b')L
3 ^ f.

X

3

-h GOO

ad.

— I m.

2

"^42 ^

7) D'après la Prop. II, Part. I, Liv. I, p. 15, CP représentant le rayon parallèle à Taxe après sa

première réfraction à la surface convexe CB.
^) Comparez la Prop. XIV, Part. I, Liv. I, à la p. 83.
î')DO = DC.
' °) D'après la Prop. III , Part. I , Liv. I , p. 1 7.

404

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE V. 1665.

[Fig.6.]

3^ b — xerzt PC ') feàxco ^b^ PC oo 3^ — 2b 00

00 ria b — —X

42

^xoo—b- ÇbcoxDE in lente planoconvexa convexo
246

exteriori.
[Troisième Partie.]

Si NG =) ponatur oo -PG, fit lineola NE 00 | GI ; eft

autem GI 00 - BG 3). Ergo NE 00 4" BG.
3 ^ 18

- Sed DG eft- RG 4), et NG 00 - PG. Ergo DN 00

00-PR.SedPRoo^BGO.

3 3

Ergo DN 00 - BG ]

^ y ad.

NEoo-^BG

aberratio DE — 0 five vBG.
18 6

') Voir la première partie.

^) N est le point de concours après sa sortie de la lentille d'un faisceau qui, dans l'intérieur de
la lentille, converge vers P. Or, puisque E est le point où le rayon extrême d'un tel faisceau
coupe l'axe après sa réfraction à la surface plane, NE égale l'aberration calculée au § 5 qui

précède. On a donc NE = |-GI, en supposant PI = PC, et NG = - PG.

3) D'après la Prop. II, p. 275, puisqu'on a avec une approximation suffisante PC = 3AB.

4) Puisque D, le foyer de la lentille plancon vexe, est le point de concours d'un faisceau qui,
dans l'intérieur de la lentille , se dirige vers R.

5) Voir la première partie.

'^) Ce paragraphe contient une déduction nouvelle de l'aberration sphérique d'une lentille
biconvexe à courbures égales. Elle est fondée sur l'emploi de la formule du § 4 et doit servir
principalement à vérifier la justesse de cette formule. Comparez la p. 400 et surtout la note 6
qu'on y trouve.

'') Voir la première partie , p. 402 — 403, du § 6 , et comparez la troisième partie , p. 404, où le
même principe, qui va servir ici, est appliqué à un cas plus simple.

^) Il s'agit du § 4 , p. 400.

^) Voir la note 4 de la p. 365.
^°) A et (T sont le centre et le foyer de la surface CB , R est le foyer de la surface CM.

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE V. 1665. 405

[Fig.7.]

-(9

§70.

Lens asqualiter convexa ert MCB. focus parall.m eft E.
quœritur an per régulas pag. 39 7) ce pag. 31.1 «) qux fiint
de fupcrficiebus fingularibus, invcniri poflic aberrationem EL

eiïe I MB ficuc aliter inventum fuit »). Pote ft.

AB '°) oo a, BG vel GM oo b. aC axi parallelus. MR,
B^ 00 3^.

Vide prius calculum pag. 31.3 ").

Rê (6a — 2b} ad RA (4^—2^) ut RB (3^-2^) ad RE '^)
/iiaa— \/\ah + 4^K

6a~ib

2^-^^ RE '3)
3 ^

^^RP^4)

J

2^ — 3^PE
Pj(6^--^)adPA(4^-i^^)utPB(3^--i.)

adPN'O

70 , 100 , ,
I laa — ^ ab -\ bb^

3 9

6a h

3

9

ia — 2b PE

") Voir le § 8 , p. 406 — 407, où un autre problème ,dont la solution

dépend du même principe, est traité plus explicitement.
^^) Détermination du foyer de la lentille biconvexe par la règle de la p. 87.
'3) Valeur approximative qu'on obtient en exécutant la division de 1 2/7/7 — i^b + j^èb pzr

6a — 2b.
'"*) Voir la première partie du § <5 , à la p. 402.

'5)N est le point de concours après sa sortie de la lentille d'un faisceau de rayons dirigés
à l'intérieur de la lentille vers le point P. PN est donc déterminée par la règle de la Prop.
XX,Part. I,Liv. I,p.p8.

4o6

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE V. 1665.

9 ^ad[de]-

-b NL 0
9 ^

^b 00 — ^ 00 EL bon
9 3

nam aberratio paralleli A C eft-J MB et MB oo <ib

3

T^ r^ , i^aa— iAab4-Abb 6aa — A.ab

-RE 00 q^ — 2^—^ :^ — ^ — 00-^ ^S— '

• 6a— ib 6a-

BE 00 ^ — -> MB prox. n o t a n d u m.

BE 00 RB— RE 00 q^ — ib—''^'^'^ x^t^c^^c^.. ^v^ !t^30^— i-

"^ 6a— ib 6a— ^b 3'^~b

[Fig. 8.]

M

\

<F

V

^^-<rr_ —

I ^~^~>^

1

l\'

1^

L.

W \ "'

1
-1)

r

§8=).

^ 00 BA femidiam.arcus BC;BR oo ^a-^ radius MC tendit
adR;BGoo^.

BG^3) 00 2^; RG% RB; RA, RP proportionales 4).

P eft concurfus punélum quod faceret fiiperf. convexa BC.

aberratio PD effet ibi oo 7vBG,utexcalculopag. aSapparet s).

GE 00 -GP*^). E efl: punélum concurfus radiorum ad R

tendentium per lentem planoconvexam BCG. quseritur aber-
ratio EL.

CI eft arcus centro P vel D radio PC vel DC. PC vel DC
cenfetur dupla AB. GI oo — BG ^^ oo— b.

Si GN 00 - GD, erit NL oo| GI(videpag. 39 in fine 0);

hoc eft NL 00 ^~ BG 00 -^ ^.
12 12

N jam confideratur tamquam fi effet punétum concurfus axi
proximoruni tendentium ad D. tune radij CD ^) aberratio eft
NL. quœ ad datam NE additur et facit EL. datur auteni EN
quia datur PD et PG ideoque et DG, unde et NG. nam ut ex
PG datur EG, fie ex DG datur NG.

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE V. 1665. 407

EG 00 ^ GP; NG o) I GD; NE do ^ DP fed DP oo ^b ut fiipra.
à 3 3 o *

NE 30-^
12

NL 00 -H
12

aberratio EL oo — five -^ oo - BG "*^
12 2 2 ^*

') C'est cette valeur qui est calculée par la formule du § 4 (p. 400) en y substituant </ = 3/? —

— -^ b (la GP de la figure présente), ou plutôt d= 3a, ce qui revient au même puisqu'on

peut négliger le carré de If. De cette manière on trouve l'aberration sphérique LN du rayon
extrême CL, relative au point de concours N du faisceau dont il est question dans la note
précédente.
^) Ce paragraphe, qui probablement est d'une date postérieure mais que nous donnons ici parce
qu'il traite un sujet analogue à celui des autres, contient le calcul de l'aberration sphérique
d'un faisceau dirigé vers un point de l'axe d'une lentille planconvexe, la distance de ce point
à la surface convexe antérieure étant égale à quatre fois le rayon de courbure de cette surface.
Ajoutons que ce qui suit sert d'introduction à la pièce que nous mentionnerons plus loin
dans la dernière note de la p. 467. On le trouve avec cette pièce sur une même feuille, mar-
quée 31.3 , du manuscrit cité dans les notes i des pp. 355 et 392.

3) Il y a dans la figure un double emploi de la leltre G. Nous indiquerons par G' le point G qui
se trouve vers le haut de la figure et qui représente le foyer de la surface CB pour un faisceau
de rayons parallèles à l'axe venant de l'intérieur de la lentille.

4) Voir la Prop. XII , Part. I, Liv. I , p. 4 1 . On a donc RP = 2a et, par conséquent , BP = la.

5) Voir la première partie du § i , p. 394, où l'on lit: „sit </ 00 4^;/ÎE OOg-^".

^) Par la Prop. VII, Part. I, Liv. I, p. 27.

") Prop. II, p. 275.

^) Il s'agit du § 5 de l'Appendice présent; voir les p. 401 — 402.

9) CD représente le rayon MC après sa première réfraction h la surface convexe; CL le même

rayon après les deux réfractions.
'°) On arrive au même résultat en substituant </ = — 4/7, « = 00 , ^ = ^ , dans les dernières for-
mules de la note 2, p. 396.

APPENDICE Vr)

À LA DEUXIÈME PARTIE DE LA DIOPTRIQUE „DE ABER-
RATIONE RADIORUM A FOCO".

[Fig. I.]

1669.

Lens compofita hyperbolicae
aemula»

evptjKûi I Febr. 1669 ^).

Aberratio fuperficiei cavae CBD,
radio veiiien te ex M qui in Crefrac-
tus tendit per CO , r e c r o q u e p r o d u c-
tus, occurrere axi ponitur in N.

A eft centr. fuperficiei CBD. AL oo 2AB.
CG perpend. in BA.

Sit AB 00 ^, BG 00 h, MB 00 d.

ML C^+ 3^) ad MA (a 4- d) ut MB Qd)

ad ME ( — '^-j'j' E erit punftum difperfus

radiorum ex M venientium^).

Sit AR parall. CM. Et DR 00 2 DA 00 <ia.

Item RP 00 ^ DH s), pofitâ CH perpend. in

DA. Erit reéla PCO refraétio radij MC, fecun-

dum examinata in dioptricis noftris ''). Sit AF

parall. CH. Et centre M defcriptus arcus CY.

MC (if minimo) ad AB (^) ut BG (^)

adGY(^)0

DE ABERRATIONS RADIORUM A FOCO. APPENDICE VI. 1669.

409

MYDoMCoo^-f^+J^

a

ut qii.MC (^^ -f- minimo) ad qu. MA Qdd ^ iad-\-aa) five ut qu. CG ad
qu. AF vel CH ita BG (h^ ad DH (¥1+ '^^^d + bacr^ «^^

0 La pièce est empruntée aux p. 144—148 du Manuscrit D. Elle se rapporte à l'invention du
I févr. 1669 qui consiste à compenser l'aberration sphérique d'une lentille convexe par
l'adjonction d'une lentille concave, les deux lentilles constituant ensemble l'objectif d'une
lunette.

') Nous reproduisons encore , dans cette note , une annotation qu'on trouve sur une des feuilles
du manuscrit dont nous avons tiré l'Appendice V, p. 392. On y voit reproduite l'invention

4w c^^^ ay-^J^ ^^È|fei^ ' /^^-

dont il s'agira dans la suite; mais l'„Ei"ç)7xa" a été biffé
et un postcriptum y est ajouté, qui déclare l'invention
inutile à cause de l'aberration Newtonienne des cou-
leurs. Les chiffres '25. 10, s'ils désignent une date,
doivent indiquer le 25 octobre 1673; puisqu'avant cette
Y MB^'-i T année Huygens n'avait pas encore attaché une telle

fyr^Y^ jif\J^(rH-f^ importance aux recherches de Newton sur cette aber-

»^Ç^ '^ / j^ ration, desquelles il avait eu connaissance en 1672 (voir

' ^ les pp. 156, 186 et 243 du T. VII). Ajoutons, que pro-

bablement la nouvelle invention n'a jamais été mise en
exécution. Comme nous l'avons dit vers la fin de la
note 4 de la p. 331, elle détermina Huygens à suspendre
les efforts qu'il faisaitpour réaliser l'invention de septembre 1665 (voir la note 4 de la p. 303)
qui lui semblait être inférieure à l'autre; mais les difficultés de la nouvelle entreprise
n'étaient pas moindres et c'est peut-être à propos d'elle qu'il écrivit à Oldenburg le 26 juin
1669 (T, VI, p. 460) : „Je ne scay qui vous a pu mander que j'avois entrepris quelque chose
de considérable en cette matière. Il est vray que je fais travailler depuis quelques semaines
mais je ne me propose encore rien si non de faire des verres exactement spheriques sans que
le poliment en gaste la figure." C'était bien là, en effet, la première condition pour la réali-
sation pratique de la nouvelle idée.
3) Nous avons ajouté une division en paragraphes. Ce premier paragraphe traite l'aberration

sphérique des rayons partant d'un point situé à l'intérieur d'une surface concave.
•^) Voir la Prop. XII, Part. I, Liv. I, p. 41.
5) Voir la première partie du § 2 de l'Appendice I, p. 359. Le point R représente le point de

concours, après leur réfraction, des rayons parallèles à FCM.
<5) Voir la p. 285 du Tome présent.
7) D'après la Prop. II, p. 275.
^) D'après la Prop. I, p. 273.

5a

rtM-

4IO

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE VI. I 669.

[Fig- !•] ; , lab , haa t^t.

^4_9f + 9

d

3^

-PR
exRA

f[ubtr].

3^

9 ^_9^_9^^PA

2 d ^ dd

ah

a[dde].

d^h-\-

MC

9 ^(âf/^

1 dd J

J^d---^- >

ad MC(^+^ + ^) uc AM(^-M) adMN ').

Ergo MN

ME

ad + lab + -^- + db + ^^

7

'-^

%ah

+ d-

9 ^^/^

ad-{- dd
'^a+d

fubcr,

fit EN aberratio.

Uc auferatur ME ab MN, diicanturakernis
denominatores in numeratores et produ6torum
differentise rubfcribetur denominator commu-
nis hoc ell produftiim diiorum denominatorum,
quod neglcélis minimis cfl: qu. 3^ + d^^.

16- abd-[- iQ-aab + A- bdd+7-^ ^^^

2 d

^aa + 6ad + dd

00 EN 3)

Si d infinité magna ponatur patet EN fore — -,v , hoc eft ^ ^ , ut oportet.

CiCi 2

DE ABER.R.ATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE VI. 1669. 41 |

[Fig. 2.]

Cum radij MC rcfraftio pertincat ad punftum N , abcr-
rans à piinéto difpcrliis E fpatio EN; eriint eaedeni aberra-
tiones lentis cavîE VBC [Fig. 2] fi intelligatur fuperficies
altéra BV habcrc centriim M, quia banc fine refraétionc
radius MC penecrabic. Quod fi jam lentem KST convexam
ejufmodi invenire pofllm et cum cava componere, quse
radium axi parallclum QK ipfi MC refpondentem, hoc eft,
dirtantiam ab axe KS ipfi CB œqualem habentem s),
refringat verfus N, focumque habeat et ipfaEpunaum;
Idem radius penetrata deinde lente cava CBV tendet ad
pundum M. Eodemque dirigentur omnes radij paralleli axi
AS, quoniam una aberratione refpondentium radiorum
sequali utrimque exillente, omnes etiam reliquat inter fe
œquales funt ut patet ex demonfliratis in dioptr. '*).

Ponatur faftum et fit lens KST quœ id efficiat. Oportet
igitur foci difiantiam ejus efie œqualem CE, five BE, nam
hx tequales cenfendse funt, quoniam lentes magnae spheraî
confideramus ubi craflitudinem pro nulla habemus.

Sit ergo hîec foci difl:antia lentis KSTG,nempeBE 30

00 2x. quia ergo pofita BM x ^, erat ME x âTtO •>

auferendoque eam ab MB 00 ^ fîebat diftantia punfti dif-
perfus EB 00 — -1 — -,. Erunt sequalia-'-j— 5 et ix. Unde

ioo

a — x'

^) À cause du parallélisme de CM et AP.
-") Nous supprimons ces calculs.

3) Résultat conforme à celui indiqué au §4 de l'Appendice V; voir le deuxième alinéa de la
note I , p. 400.

4) Ce paragraphe traite le cas où la lentille dont ils'agit de compenser l'aberration sphérique
estplanconvexe.

5) À ce propos Huygens annota en marge „C et K quasi idem punftum consideranda".
0 VoirlaProp. Vll,p. 309.

''") Voir le § i,p. 408.

412

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE VI. l66ç.

per[Prop. XIV,
Part. I, Lib. I]
dioptr. *).

Porro quia foci diftantia lentis convexae KST eâdem
manente,itemque lentislatitudine, eadem quoque femper
eft: craffitudo (quid vocetur crafîitudo, in dioptr.) ^) intel-
ligatur primum lens KST planoconvexa; quia igiturpro-
portio refraftionis ponitur 3 ad 2, eric ut 2 ad 3 ita foci
diftantia EB oo 2X ad ipfam EB + radio convexi KST *,
hoc efl: ad 3^; unde ablata EB oo 2x, erit radius convexi
KSToQX; diameter vero 2x. Quia autem arcuum CBT,
KST eadem fubtenfa CT, erunt finus verfi BG ad G S
reciproce ut diametri 3) itaque ut 2^ ad ia ita BG oo ^ ad

GS 00 — r; Itaque etiamfi non planoconvexa fed alia fta-

X

ab

tuatur lens KST, tamen ejus craffitudo erit eadem -^^ *).

Quia vero aberratio EN erat
\6~abd-\- \^~aab + \~bdd-\- 7-

03^ + ^
locum d valore ejus — , fit

fubftituto ubique in

a — x

ENoo

\<)-aaxb \o-aaxxb -j-a'^b — j-aaxb

— + 19-^^^-

a — x ^2

na — X

3x

EN s) 00

^a—x

I ^ahxx + ^bx'^ + I laabx + ^a^b
çaax

7 ab
00^ —
6 X

Ponatur jam KST lens convexa cujus aberratio aequatur ^fuœ craffitudinis
— '^). Ergo ^ — sequari débet aberrationi EN.

^) Voir les définitions de la p. 277 et la Prop. III de la même page.
^) Voir la p. 8 1 du Tome présent.

3) Comparez la Prop. II, p. 275.

4) À cause de la Prop. III, p. 277.

5) Nous supprimons quelques calculs.
<^} Voir la règle de la p. 287.

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE VI. 1669. 413

I Saxx -\-Sx^-\-i laax + ^ aah 0 oo -- aah ^^

I Saxx + 8^:3 -|- i o aax — 8 aab 7) oo o
4^1; 3 -\- ^axx + 6 aax — 4^^^ ') 30 o

c . X 2 ^ .100

ht X proxime 00 - ^, live accuratius a.

^ 5 254

Diximus autem x efTe radium convexi KST. Ergo is eft ad radium cavi CBT

ut 2 ad 5 proximè. Altéra vero fuperficies lentis KST débet efTe plana. Lentis

verocavîe fuperficies altéra VB radium habere MB 00 ^00 -^^^,quod aequabitur

hic 2<?^), eademque erit foci diftantia lentis compositae ex duabusVBC, KST,
quae Hyperbolicse aut EUipticae perfeftionem aemulabitur.

Rad. cavse i: alterius cavse - — : convexae ; piano.

154 254' ^

vel 5133 Rad. cavae; loooo alter. cavse; 2021 conv.; plana; 4042 foci dift.
lentis convexse.

Rad. alterius cavse femper sequalis efl: foci diftantiaei lentis ex duabus com-
pofitîe ^).

§ 3 ^°).

Ponamus rurfus lentem KST efTe optimam illam cujus fuperficies utraque
convexa, fed KST defcripta fit radio qui fit -^ radij fuperficiei alterius KGT ").

Cujus lentis aberratio efl: -^ fuse craflîtudinis ergo ponendum

I Sahxx -\- Sbx^ + i aaabx +- a^h ,

, EN 00 -f —

çaax ï4 ^

") Lisez a^ pour aah.

0 " 100 300

•*) C'est-à-direenposant jc=— /«';pourlavaleurpliisexacte,A; = — /7, on trouve-— <*•

9) Voici le dessin, fait évidemment avec beaucoup de soin par Huygens, d'un objectif composé

de ce genre. Nous l'avons reproduit en grandeur naturelle.
On le trouve dans le manuscrit mentionné dans la note i
de l'Appendice I, p. 355'

*°) Cas de la lentille d'aberration minimum.

") Voir la p. 291 en bas.

414 RE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE VI. I 669.

vel ad faciliorem calculum, porxcndo x zoz—- a^ erit aequatio refolvenda hu-

4
jufmodi

8,1 , I .

^3 14

quse ad quamlibec lentem accommodata efl:, ica ut tantum proporcionem aberra-
tionis, ut hîc, ab una parte asquationis ponere opus fit, ab altéra vero femper
esedem quantitates qu3e hic habeantur.

"5223 _ ^aaz -- "^ — ^3 30 o

^ 14

23 — \ aaz ~ a^ œ o fit -y oo 42

16 224 -^

1.4. 16. 64.

y' - ^aay - 75^ ^3 30 o fit 3; 00 ^^-^^ 0- Ei^g^^: 00^^ a-,

'\ T^ 9 r • J-/T 18 , '^aX 27 ^

ied x = z — ^ a. Era:o x oo ^-a et 2X loci dut. oo — a. a co — oo ~^.

4 ^ 25 25 a~x 16

Radij convexse lentis funt — /^ -) , et hujus fexcuplus.

Radius cavi VB, eademque foci diftantia compofitae.

27 21 . 126

Rad. fuperf. cavae i ; alterius cavse -4: convexse min. — ; conv. mai. .

^ ' 16 ^50 50

vel 593 Rad. cavre fuperfî. ; 1000 alterius cavse et longitude telesc; 249 conv.

minoris; 1493 conv. majoris; 427 foci difl:. convexae lentis.

' ') Lisez plutôt --— a.

') Si Ton appelle R le plus petit des rayons de courbure , la distance focale se trouve égale à

— R. On a donc— R = — ^: c est-a-dire, R = —a.

7 7 25 ' 50

V

[Fig- 3-]

DE ABEllRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE VI. 1 66^. 4 1 5

§4 0-

^^sç^y

t«\-

Sk jam lens KST [Fig. 3] aequaliter iitrimque convexa,ciij

aberratio ell ^ craflitiidinis'^Y
3 ^

US

16

00

I. 4. 16.

32
64.

3
3^3042

51

10 *

Ergo 2 00 ^ ^. Ergo Jf 00 z - ^^ 00 ~ ^. Et a^r 00 ~a.
40 4 40 20

vel accuratius z oo ^^ . Et ^ oo ^-^- 00 -^ ^ 00 ^- ^ ferc
400 a — X 19 "^3

Qiiiim ix fit foci diftantia Icntis convcxce, fitqiie aequaliter
utrimquc convexa, erit radius utriufque fupcrficiei KST, KBT

2x hoc est — a. At radius cavi interioris CB eft a. Ergo pro-

portio eorum ut 21 ad 20, ideoque cavum convexo fereconve-
nit. at in totum convenire non pofî'et, quia fie duie fuperficies
iftas inter fe conjunélse nihil plane efficerent, eoque aberratio
convexi KST non corrigeretur. Ilzec vero parva fuperficierum
diverfitas eam corrigit, nain calculus reéte fe habet. Superficies

VB cava habebit radium MB 00 «^ 00 7- a fere.

* 3

§5 0-
Si KST ponatur lens planoconvexa, fed ita ut plana fuperficies
radios parallelos excipiat, cujus aberratio efl: - craflitudinis.
Ponendo

') Cas d'une lentille biconvexe à courbures égales.

•*) Comparez la p. 291 du Tome présent.

5) Ce paragraphe contient, outre la solution évidente, mais inutile, du cas de la lentille plan-
convexe qui tourne son côté plan vers les rayons, une discussion des résultats obtenus pour
les autres cas.

4l6 DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE VI. 1669.

81 I

- 23 — - ^^2 -f- — - ^3

fit 3223— 6^/3r2-^i6i/âf3 30 o

quod dividi potefl: per z——a^ fit enim Ç2aa + S^^z -\- 3222. Unde liquet tune

z elTe ^<2. Et X 00 2 — -^ 00 /^.
4 4

Tune autem ^ efl: radius eonvexi, adeo ut tune eavum exaete aptetur eonvexo.

fed foei diftantia lentis ita eompofitae ^quae efl: '^ fit , hoe efl infinitae

^ ^ a- X a— a

extenfionis, adeo ut plane inutilis fit lensejufmodi, et rêvera vitro piano gequipollet.

Optima autem efl compofitio lentis proportionis fexcuplae de qua paulo ante,

quia minus longe abfcedit focus compofitîe. nam cum foci diflantia lentis hujus

I O n -7

convexge fit — a. fit foci diflantia eompofitae ex illa et cava -v, adeo ut illa fit ad
25 ' ' 16'

hanc ut i ad 2— fere.
3
Parum autem huic cedit compofitio planoconvexse, eonvexo ad radios parallelos

converfo. nam cum foci difl:antia ejus fit prox. -a, fit foci difl:antia MB 00 s/sr,

inter quae proportio efl: quae i ad 2-.

Huic planoconvexse sequipollentem invenimus ') in dioptr. aliam inaequaliter

convexam cujus superficierum radij ut 5 ad 2, cujus nempe aberratio erit ~ craflî-

tudinis, eonvexo minore ad radios obverfo. quae itaque lens cum eadem cava

componi poterit, eruntque radij -Z— et -^ qualium cavi efl: i , et altéra ^ — .

5133 Rad. cavse fuperf. 10000 alter. cavae. 2829 conv. min. 7073 conv. maj.
4042 foci dist. convexae lentis.

^) Voir l'avant-dernier alinéa de la p. 291.

DE ABERRATIONE RADIQRUM A FOCO. APPENDICE VI. 1669. 41?

Lens e duabus compofita hyperbolicam aemulatur »>

^bcdchilmn'oprstuy
5^214123313223241

... . ,^ ^^^h ' ^^9 mifflim anagr. ad. Soc. Rec. And. ^^

^) Primitivement l'anagramme fut rédigé comme suit: Lens e duabus composita hyper-
bolicam aemulatur, altéra planoconvexa altéra cava utrimque. Semidiametri
fuperficierum sunt proximè duo, quinque, decem.

3) Voir la p. 355 du T. VI.

53

APPENDICE VII 0

À LA DEUXIÈME PARTIE DE LA DIOPTRIQUE „DE ABER-
RATIONE RADIORUM A FOCO".

[1669.]

[Fig. I.]

Aber ratio fuperficiei plans radiorum ex
puncto extrinfecus occurrentium.

MG 00 i; M punftum radians. VG 00 -^; V punc-

tum difperfus s).

Quia LT ad TM 4) ut 3 ad 2 hoc eft ut VG ad GM, vel
ut VS ad SM, (divifa nempe VM in X ut fit VX ad XM
ut 3 ad 2,factoque femicirculo XSG) s) Eft igitur VS parall.
[ LT. Ergo ut TM ad ML ita TS ad aberrationem VL. Sed

TM ad ML ut 2 ad i proxime. Ergo et LV oo - TS

five 00 - GK.

2

MG 00 ^. MV 00 ^//. MX 00 -. -^ 00 -d. GX 00 ^d.
2 525 5

') La pièce est empruntée aux p. 149— 156 du Manuscrit D. Elle suivait donc immédiatement
le contenu de l'Appendice VI. Elle apprend, comme celui-ci, à construire une lentille
composée sans aberration sensible; mais c'est ici la lentille concave auxiliaire qui reçoit les
rayons parallèles.

*)Nous avons ajouté la division en paragraphes. Le résultat de ce premier paragraphe sera
utilisé au § 4, p. 420, qui suit. On pourra remarquer que la manière dont ce cas est traité
diffère entièrement de celle du cas analogue du § 5 de l'Appendice V , p. 401.

3) D'après la Prop. V, Part. I, Liv. I, p. 23 du Tome présent.

4) D'après la Prop. II , Part. I, Liv. I, p. 15. TL est le prolongement en sens inverse du rayon
réfracté passant par T.

5) Voir le Lemme 5, p. 31.

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE VII. 1669. 4I9

[Fig. 2.]

Aberratio axi parallelorum fupcrficiei
convexseBC.

Sit rad. AB oo ^. BRoo3^?0- Craflit. BG do ^. Sit CP
radius refradlus. Et fit centre P radio PCdefcriptusarcusCO.
Quia ergo PC vel PO proxime gequalis RB five 3^,hoc eft

triplse BA. Erit GO oo - BG »). Sed CP ad PA ut 3 ad 2 0-

Ergo et OP ad PA ut 3 ad 2. Ergo OA ad AP ut i ad 2. Sed

OAooAB-BOoo^--^

3

I ad 2 ut OA (^-|^) ad Q^a-^b) AP ] ^^^^^^ .|^

ex (2^) AR J

- ^ 00 PR aberratio.
3

§3.

Aberratio axi parallelorum, lentis planoconvexs, convexo

exteriore.

Sit es refraétio radij CP à fuperficie plana CG exeuntis. Et centro S fit
defcriptus arcus CN.

Quia ergo CS vel SN proxime aeqyalis 2^, erit GN 00 -BG «) x - ^. Sed

PC ad CS ut 3 ad 2 ^°)- Ergo et PC ad SN ut 3 ad 2.

^^ ^"^ I rr u -1 3 ad 2 ut PC (3^- 2^) ad (2^-^^) SN

pRi^KEubt.]. ^ ^"^ ^ 3 Jrfubtr.]

3 I i^ NG

<5)Dans ce paragraphe et dans celui qui suit des résultats obtenus déjà en 1665 sont déduits

de nouveau par un calcul moins compliqué; comparez la note 3 , p. 355*
") Prop. VIII, Part. I, Liv. I , p. 33-
^)Prop. II,p. 275.
î») Prop. II, Part. I, Liv. I, p. 15.
'°) Prop. III, Part. I , Liv. I , p. 17.

420

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE VII. i66q.

PB3^_i^

ia-

1 1

^GS

BO

^-h

f[ubt.].

J

■X

il

f^

ïï

o

h

■

iJ

A

CK^^

c

S^^

N^^

ex2^--^GEoo -ORO
3 3 ^

r.

POvelPC3^-2^

[Fig. 3-]

b SE aberratio.

§4-

Aberratio lentis planocon vexae radiorum a
punctovenientium in fuperficiemplanam.

AB 00 a-^ BG oo ^; MG oo ^, M punétum radians;

MV 00 -i 0 9 ^ punélum difp. fuperf.ei plan« CG ;

MX 00 -MV 00-^0; BO 003^3).

- XG (^^) ad AB {a) ut BG C^) ad GK Q- —^ '^

I

2

4 -^ 00 LV aberratio
0 a

fuperf.ei plan3e,vid. pag. preced. ^)

a[dde].

^^00 VG

2

Srf + l'^LG

o 0 «

LC 00 LG + min. T^ i + minimaj ad AB Ça') ut BG b

ab ^ 5)

adGY^^^A

^KI^+IÏ)'

^) Puisque E représente le foyer de la lentille BCG, on a, d*après la

Prop. XIV , Part. I, Liv. I (voir la p. 83^ , GE = - GR, où GR=

== 3a— I;.
*) Voirie §1 , p. 418.

3) O est le point de concours des rayons parallèles à Taxe venant du côté du point N après leur
réfraction à la surface CBZ; voir la Prop. VIII, Part. I, Liv. I, p. 33.

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE VII. I 669. 42 I

^- 1-^— LY 00 LC

1 6 d r.

'à-d + l-l-a + bhh

2 o a

qu. LC (^dd + minim. J ad qu. LA [j-dd— '^ad -\- aaj five ut qu. CG ad

qu. AF <^) vel CH 0 ita BG (b^ ad DM s).

Hic minimum primi termini negligitur redtc, quia certius terminus ^ minimus
eft. nam etfi non negligeretur, id in quarto termino DH inconfiderabile augmentum
efficeret.

3 d 9 dd

AP parall. LC. U - ^-^* + î||* PR p) ) ^_

ex 3^ AR )

Af parall. CP. j^-S^+^^-^PA ^ C?

ex3^+â4 LC

2 2 ^?

Q r O ^?^ I 9 r I 2^^^ T y

2

2 ^ -^2 dd

utLC(|rf+|^)adLN.

4)ParlaProp. ll,p. 275.

5) Toujours à cause de la Prop. II, p. 275. LC prolongée représente le rayon MC après sa

réfraction par la surface plane; LY = LC.
^^ À cause de la similitude des triangles LCG et LAF.
7} AP est une parallèle à LC.
8)Prop. I,p. 273.

9)pR =£-DH d'après le § 2 (première Partie) de l'Appendice I, p. 359- R- représente le
foyer de la surface Cli pour des rayons parallèles à LC; CP donne la direction du rayon
MC après les deux réfractions par les surfaces plane et spliérique de la lentille.

422

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE VII. 1669.

Hic nihil ômittendum ex minimis primi et fecundi et tertij termini, quia quartus
eft magnus.

-]-^-ab-

-ad-\-

3 aab
2 d

\

1

9 ab

laab

LN ')

, —3^+-^+ ,,
<i d ^ 1 dd

Vo(|^+^-3^)adVA(|i + ^-^)utVB(|^+^)adVE0
Hic rurfus nihil ômittendum quia quartus terminus eft magnus.

^dd-\- '^bd -Vbb- '^ad—ab

4 ^ \7I7iN

5 ^^

6 d

.... y L^ j

a.
VL

'-ab
4

-r-f+^^'+i'"^-

-^ad

2 TI.

\d-\-b-'^a

—

2â.-adb + 1 9 -aab +
^4 -^2

^'ddb

NF ^^

^dd—çad-\-çaa

f.

ex LE

ut auferatur LN ex LE alternis multiplicantur numeratores et divifores , et diffe-
rentia produétorum dividitur per produétum denominatorum, in quo minima
negliguntur quia NE eft minima. Sed et in illaproduétorum differentianegliguntur
in quibus bb, quia hse quantitates refpeélu caeterarum, in quibus tantum b funt
minimse. Tollunt porro fe mutuo omnes, in quibus nullum b, neceflario.

^2aab — 66adb-\- 2,7ddb ^.j^^ ,n r» 11

^ ^-^ -^ 00 NE 3)- Recula a b e r r.is

oqu. (^— 2^) ^ °

§50-

Ex aberratione cognita lentis planoconvexae radiorum a punflo venientium alia
methodus fuppetit lentem compofitam perfeélam conftruendi. Oportet enim
tantum cavoconvexam adjungere STZ [Fig 3], quse radios parallèles excipiens
infleélit quafi venirent a punéto E,habeatque aberrationem sequalem aberrationi
lentis planoconvexse radiorum ex punélo M venientium quam invenimus. Ex. gr.

^) Nous supprimons quelques calculs.

')Prop. XII, Part. I, Liv I, p. 41. E est donc le point correspondant au point M par rapport
à la lentille , eu égard à son épaisseur.

■

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE VII. 1 669. 423

fit MB dupla foci dift.a. lentis CGB. Eric DE ipfi MB «qualiss;. Debebitque
craffitudo cavae lentis CST efle dimidiacraflitudinis BG ut radios parallelosdif-
pergat quafi ex E veniant, ut facile eft probare '). Atqui lentis CGB aberratio
tune invenitur noncupla proximè fuœ craflitudinis 0- Ergo aberratio cavœ débet
efTe odtodecupla fuae craffitudinis. Unde per regulam aberrationismenifci cavi «)
mvenitur proportio radiorum ad defcribendas fuperficies CTet ST,deberee(re
proximè ut 303 ad i55 "*> foci diftamia autem five potius punfti difperfusdatur
BE 00 4^. Unde ipfi radij inveniuntur per regulam in dioptr. traditam "), quia ut
diff. radiorum ad alterutrum ita duplum reliqui ad diftantiam pundi difperfus. hic

fiunt-^^ et— -^ "\
303 155 ^

i-jaaq — 6anq + Jnnq ,
^M ^ 5qu a — n aberr. menifci cavi.

loSmq — 2i6anq + loS aaq oo ^yaaq — 6afiq + ymq
lomnq — iioanq-l-^iaaqzoo

[Fig-4-] 210 81

nn 00 an aa

ICI ICI

n 00 -^^a
303

Siti")oo2-^five^^. ^^00 NE

22 6

3) On arrive au même résultat en substituant a = <x^n = a,e^=b, dans les dernières formules
de la note 2 , p. 396.

'^) Calcul des dimensions de la lentille convexe-concave auxiliaire par laquelle on peut com-
penser, en la plaçant devant la lentille planconvexe, l'aberration spbérique causée par cette
dernière.

5) Puisque les points M et E se correspondent par rapport à la lentille CGB.

■5) Voir la Prop. III, p. 277 et surtout la note 4 de la même page. Avec une légère modifi-
cation dans la démonstration cette Prop. aurait pu être généralisée comme suit; que les
épaisseurs de deux lentilles quelconques dont les largeurs sont égales seront inversement
proportionnelles aux distances focales. Or, dans le cas présent la distance focale BE de la
lentille concave est supposée égale au double de celle de la lentille convexe CBG; il faut
donc que son épaisseur soit égale à la moitié de celle de cette dernière lentille.

^) D'après la Prop. XIV, Part. I, Liv. I, p 81 la distance focale]de la lentille planconvexe égale

2a\ on a àowc d==/^a et la dernière formule du paragraphe précédent donne NE = ^b.

^) Voir la p. 305 du Tome présent.

^) Lisez ,,155 ad 303" et comparez les calculs qui suivent, où, d'ailleurs, a n'indique plus le
rayon de la lentille planconvexe mais bien celui de la surface convexe de la lentille auxiliaire.
'°)Voir la Prop. XVII, Part. I, Liv. I, p. 89; toutefois la règle appliquée ici n'est pas for-
mulée dans la démonstration de la Prop.; mais elle est analogue à celle qu'on trouve à
la même page dans les dernières lignes de la Prop. XVI.
") La tig. 4, dessinée soigneusement, représente probablement le cas traité jusqu'ici.
'^) Il s'agit de l'application des formules à une autre supposition.

424 DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE VII. 1669.

5^ 6ç{\x. a — n 6 ^

''« 5 -': ^"/aa — 6an + ynn oo ii i ^aa — ii^^oan + i ii 5^/^

o 00 io^%aa — iii/[an + i io8««
2224 1108

1088 1088

5C6 277

a a 00 -^—an '-'-mi

272 272

•222

<5r 00 - — n.

272

Radij : plana; loooo conv.; 7764 cav. auxil.!^ 9191 conv. auxil.^î; 25000 foci
dift. compofitse '^). b o n.

§6 3).

Aberratio in lente aequaliter convexa cum radius a puncto
venit,diftante du abus femidiametrisconvexi.

Fit aberratio - craffitudinis. ut dehehat ex eo quod flnt quafi duo: planoconvex^^

*) On a avec une approximation suffisante VE [Fig. 3] = T^û?^ — ^ad\ : f ^^ — S'') =

= (9^^ — 6ad) : (6^ — i id) et VB = —d\ donc BE = i lad: (6d — 1 2a) et , dans le cas

présent,BE=iort[; ce qui représente, par conséquent, la distance focale qu'on doit donner à la
lentille auxiliaire, <ia étant celle de la lentille planconvexe; en appliquant ensuite la règle

de la note 6, p. 423, on trouve pour l'épaisseur ^ de la lentille auxiliaire la valeur— Z».

22'3 I I 1 ^

On en conclut NE = — r^^ = ^ q\ ce qui amène l'équation qui suit dans le texte, dans

laquelle a reprend la signification mentionnée dans la note 9 de la page précédente.

*) En appliquant la règle citée dans la note 10, p. 423, on trouve pour les rayons des surfaces

2^0 2^0
sphériques de la lentille auxiliaire les valeurs ^^ /? et ^^^, où ^ représente le rayon de

courbure de la lentille planconvexe; de plus on a 2\a pour la distance focale de la lentille
composée (2^ pour celle de la planconvexe); ce qui conduit, en eiFet , aux nombres propor-
tionnels du texte.

Consultez encore sur ce système de lentilles l'Appendice VIII qui suit, où Huygens s'est
appliqué à calculer les aberrations exactes de deux lentilles de dimensions données d'un tel
système pour vérifier si la compensation obtenue à l'aide des formules approximatives
serait satisfaisante.
3) Dans le manuscrit ce paragraphe est précédé d'un calcul par lequel Huygens a voulu déter-
miner l'aberration sphérique d'une lentille symétrique biconvexe pour un faisceau de rayons
émanant d'un point quelconque de l'axe; mais il n'a pas achevé ce calcul, évidemment à
cause de la complication croissante des formes algébriques.

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE VII. 1669.

425

[Fig.5.]

^^

^y

in quibus fmguUs aberratio parallelorum planam inciden-
tium ejî^ crajptudinis *).

AB 00 IQ 00 a-, BG do GQ do ^;

MB 00 ia^ M punaum radians. QY do ia.

MC (a^) ad AB C^) lit BG Q?) ad GE C b\ ') ) , . ,

\i J a[dde]
MG(2/? + ^))

lVIED0 2^+-i^D0 MC

2
qu. MC (4^^ + min) ad qii. MA (p^tf) fivc ut qu. CG

ad qu. AF [five CM] ita BG (li) ad DH Q b\^

4
3

)

.4

^0

PRdo3^,

ex AR DO ia i

f[ubt.].

APdo2^-3^doLC8)

ex2tfH-^^D0 MC
2

"^b DO ML
ML (^1 A ad MA (3^) ut MC Ua + \ A

adMNfi"! +
MG2^ + ^

.)j

4) La phrase en italiques a été ajoutée après coup. En effet, puisque
M constitue le foyer de la surface convexe CBD pour des rayons
ayant la direction NM, il est clair que les rayons qui émanent
du point M seront par première approximation parallèles entre
eux à l'intérieur de la lentille et que, par conséquent, on aura

deux fois l'aberration -BG (voir la p. 285).

5) Prop. II, p. 275.

^)Prop. I,p. 273.

7) Voir le § 2, p. 419. PC est donc le rayon extrême après la première réfraction.

^) AL est tirée parallèlement à PC.

54

4^6

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE VII. 1669.

[Fig. 5.]

NG
GI

^aa

^_^_^3oNC0

a.

-h

3 ^

velqu.CGadqu.IKvelCSitaGQ(^)adSjf^+^-/V'^

1 a /

' 1 ^ a
ex I-)/ 3^

•^ 1 4 /5f '
3 ^

a.

3 ^

II

ad IV IMl^Ll^f^ s) ^^•
exIY 3^*^)

'^6aab

00 9^ 00 VY aberratio. bon.

Ergo aberratio VY œquatur 4- craffitiidinis BQ.

^) C'est-à-dire, par approximation en négligeant un ternie propor-
tionnel à ^; ce qui n'importe pas pour la proportion qui va suivre.
^) Pour Z» = o on trouve NI = 00 ; ce qui est conforme à la circon-
stance que M est le foyer de la surface CBD et que, par conséquent, le faisceau de rayons
issu de M formera à l'intérieur de la lentille par première approximation un faisceau de rayons
parallèles.
3) Prop. I,p. 273.
^)y est le foyer de la surface Cô pour des rayons parallèles àlH à l'intérieur de la lentille,

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE VII. 1669. 4»/

S 7 0.

^-jaaq — 6anq + ynnq

6ÛJ^^ ^9^

9 27

Radij

54
loooo convexi

idem convexi alterius
) 6920 cavi auxiliariœ
f 23972 convexi auxil.

20000 longit.o telesc.ij feu foci diftantia conipo-
fitaîlentis^).

voir la Prop. IX, Part. I, Liv. I, p. 35. 0/ = ^SJ, d'après le § 2 (pre-
mière partie) de l'Appendice I, p. 359. CO est donc le rayon extrême
après les deux réfractions par les surfaces de la lentille.

S) À cause de la similitude des triangles IVO et NVC.

^) Y est l'image de M; c'est-à-dire le foyer des rayons qui sont parallèles à l'axe à l'intérieur
de la lentille.

Q Dans ce paragraphe il s'agit de compenser l'aberration d'une lentille biconvexe symétrique
par une lentille convexo-concave placée au-devant d'elle. En effet, il est clair que pour
qu'on puisse obtenir la compensation désirée en se servant des calculs qui précèdent, il faut
en premier lieu que la distance focale de la lentille auxiliaire soit égale à QY [Fig. 5], c'est-
à-dire à 2a. Or, a est la distance focale de la lentille biconvexe symétrique; l'épaisseur q de
la lentille auxiliaire devra donc égaler la moitié de BQ (voir la note 6, p. 423) et son aber-
ration sphérique devra être — BQ = çq.

^) Soit encore a le rayon AB = IQ; on trouvera alors, par la régie mentionnée à la p. 423, pour
les rayons de la lentille auxiliaire — a et "^—a-ceam donne, au lieu des nombres du texte,
la proportion suivante loooo : 6914 : 22407 : 20000.

APPENDICE VmO

A LA DEUXIÈME PARTIE DE LA DIOPTRIQUE „DE ABER-
RATIONE RADIORUM A FOCO".

[Fig- >•]

[16^9.]

§••

Vol ni examinare quantum aberratio a puncto
venientium in fuperficieni planam planoconvexse
lentisaccurate fupputatadi f f e rretabeademaber-
ratione per regulam pag. 7 inventam-).

Punélimi radians eil: M. Cava lens hic nihil ad rem 3).

AC , AB 72 poil. 00 <âf ; CG 5 poil. ; GM 00 1 80 poil. ^

qu.AC - qu.CG 00 qu.AG; AB - AG 00 BG; qu.CG +

-i- qu.GM 00 qu.ClM; ^ qu.CM 00 qu.CL s); qu.CL— qu.

CG 00 qu.GL; GL + GB 00 LB; LB -B A 00 LA; LC ad CG

*) La pièce est empruntée aux pp. 162 — 167; 177 — 180 et 182 duManu-
scrit D. Elle suit donc de bien près, dans ce manuscrit, l'Appendice VII
et doit avoir été composée quelques jours ou quelques semaines plus
tard. Nous l'avons divisée en paragraphes dont le premier se rapporte
aux p. 162 — 167, le second aux p. 177 — 180 et le troisième à la p. 182.

*) Il s'agit du § 4 (p. 420 — 422) de l'Appendice VII qui précède. Aussi la
figure présente correspond-elle à la fig. 3 de la p. 420 et les lettres ont-
-cUes la même signification.

3) Huygens se propose donc de calculer, pour un exemple numérique, la
différence qu'il y a entre la vraie aberration NE du rayon extrême d'un
faisceau émanant du point M et tombant sur le côté plan d'une lentille
planconvexe et celle qu'on obtient par l'application de la règle de la
p. 422. À cet effet il commence par calculer la position exacte du point
N où le rayon extrême coupe l'axe après avoir subi les réfractions à la
surface plane et à la surface courbe de la lentille en question.

'^) À propos des dimensions choisies on peut remarquer que le diamètre de

10 pouces de la grande lentille excède plus de quatre fois celle qui d'après

la table de la p. 353 correspond à la distance focale du système composé,

laquelle est de 15 pieds suivant les nombres proportionnels qu'on trouve , p. 424, à la fin du

§ 5 de l'Appendice VII.

5) LC représente la direction du rayon MC après la première réfraction à la surface plane.

Huygens applique donc ici la Prop. II , Part. I , Liv. I , p. 15.

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE VIII. 1669. 429

Ut LA ad AF oo CH. Sit CHoo/^fit AP do |K9^^^=^+^K4^^^^9#')30
00 C^; CL-Cf co ^L; ^L ad LA ut CL ad LN; LN-LB oo BN Q.

GVoo|gM«);VG-GAc«VA;AOoo2ABO;VA-AOooVO;VA +
+ AB 00 VB; VO ad VA ut VB ad VE; VE- VB oo BE -); BE-BN oo NE.

Aberratio 37g [xBG] ex régula"); s^^CxBG] accurata -); -^[xBG]
differentia '3). ^°

I GOGO ad 9 191 ut 72,00000 ad 66[,] 1752
lOGGo ad 7764 ut 72,00000 ad 55 [,]9oo8 '«)

^) C'est la formule déduite à la p. 285. En effet , on peut considérer LC comme un rayon paral-
lèle à l'axe d'une lentille dont la moitié est représentée par la figure CMD.

7) En exécutant les calculs indiqués, que nous ne reproduisons pas, H uygens trouve BN =
= 711,75429.

^) Par la Prop. V , Part. I , Liv. I, p. 23.

î») Huygens prépare l'application de la Prop. XII , Part. I, Liv. I , p. 41. O est le point de con-
cours de rayons venant de la direction EB et réfractés à la surface CB.

'°) E est donc le point correspondant au point M par rapport à la lentille planconvexe. Huygens
trouve BE = 718,15187 et il en déduit (voir la note 7) NE = 6,39758.

") Voir la règle de la p. 422 , où Ton a maintenant d= -^a , b = BG.

")Dans le cours du calcul Huygens a trouvé BG = 0,17382, mais NE = 6,39758 (voir la
note 10); il en déduit par division NE = 36,80 BG.

^3) Peut-être parce que la différence ne lui semblait pas sans importance, Huygens a essayé encore
de prendre en considération quelques termes contenant bù qu'il avait écrits, mais biffés,
dans les calculs qui accompagnent le texte du § 4, p. 420, de l'Appendice précédent; mais
nous supprimons ces calculs numériques.

'•^) Dans ce paragraphe Huygens va calculer l'aberration sphérique exacte de la lentille auxi-
liaire, trouvée capable, d'après les calculs de la p. 424 du § 5 de l'Appendice précédent, à
compenser en première approximation l'aberration spliérique de la lentille planconvexe
dont il est question dans le § i qui précède.

•5} Comparez les nombres proportionnels de la p. 424. Le rayon de courbure de la surface con-
vexe de la lentille planconvexe y est représenté par le nombre loooo. Or, dans le paragraphe
précédent ce rayon égalait 72 pouces, il s'agit donc de trouver les rayons de courbure de la len-
tille auxiliaire à l'aide des nombres proportionnels correspondants. Maison pourrait s'éton-
ner que Huygens, n'ayant calculé ces nombres proportionnels que jusqu'à quatre chiflrcs, va
pousser ici et plus loin les calculs, que nous avons supprimés, jusqu'à six chiffres et plus
encore. Toutefois ce procédé se laisse justifier jusqu'à un certain point et on peut même
dire que Huygens aurait dû l'appliquer d'une manière plus suivie (comparez la note 11 de
là p. 431). En effet, en partant des nombres proportionnels 9191 et 7764, on peut calculer

430 DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE VIII. 1669.

[Fig. 2.]

AB 00 ^ co 66[,]i752o; NB oo « oo 55[,]9oo8o; CG oo
00 ^ 00 5[,]oooo ')

Ex datis AB oo a^ CG oo h datur AG, itemque AP oo

W

■X

:x>-\/ aa

iy/s

datur vero et AR oo 2AB 4). Ergo et PR 00 AR— AP. Eft
vero BR 00 3AB; BR~BN 00 NR; NR-PR 00 PN; ut
PC ad CG ita PN ad NF ; qu.N>c (feu NB 00 ;?) -qu. NF 00
00 kY ; ut PC ad PG (quae data efl: propter datas AB , AG)
ita PN ad PF; PF + xF 00 P;c. Ex datis NY 00 NB et xN 00

00 N F, quae dicaturp, datur NZ fivexÇ 00 -]/9««— 9/>/> +

+ ^ ^/j[nn-9pp s). P>c— xf 00 CP; ut ^P ad PN ita kV ad

PD;DP + PRooDR;BXoo3BN<');RXooRB-BX;
RXadXButRBadBEO;BE + BRooRE;RE-RDoo
00 DE , quae eft aberratio quaefita.

l'aberration DE en trois ou quatre chiffres, mais pour cela il est néces-
saire d'en avoir un plus grand nombre dans les valeurs de BE et de
ED, dont la différence donnera DE. Il faut donc faire le calcul
comme si les longueurs de AB et de NB fussent connues en six ou
sept chiffres. Bien entendu, les derniers chiffres dans les nombres
qu'on trouve pour BE et BD dépendront aussi bien des chifîres qu'on
a ajoutés, en poussant les opérations arithmétiques du calcul de AB
et NB plus loin que de raison , que de ceux dont on est sûr, mais l'in-
fluence des premiers disparaîtra dans le résultat de la soustraction
finale.

*) Puisque les valeurs de CG doivent se correspondre dans les deux
lentiles.

'*) Voir la p. 287. CxP est la direction du rayon HC après la réfraction
à la surface CB.

3) Par la Prop. II, Part. I, Liv. I, p. 14.

4) R est le foyer de la surface CB pour les rayons ayant la direction EB.

5) Voir la p. 285. DZx représente la direction du rayon CxP après la nouvelle réfraction à la
surface xY; NYZ est tirée parallèle à PFxC; N^ à DZx.

'^^ Préparation à l'application de la Prop. XII , Part, l , Liv. I , p. 41 pour trouver le point E
correspondant à R par rapport à la surface KxB/; X est le point de dispersion des rayons arri-
vant dans la direction RB après leur réfraction à la surface KxB/.

7) Lisez „RX ad XN (oo 2BN) ut RB ad BE" ; proportion qu'on déduit facilement de celle
(RX : RB = RN : RE) qu'on obtient par l'application de la proposition citée dans la note
précédente.

8) Lisez „— Sin.CAG oo Sin.ACP."

DE ABERRATIONE RADIQRUM A FOCO. APPENDICE VIII. 1669.

43»

[Aliter.]
AC 00 AB ad CG ut Rad. tabiilarum ad Sin.Z_CAG vel CAP; ^Sin.CAGc»
co Sin.ACP «). 2_CAG-Z.ACP co ^APC; Sin.APC ad AC ut Sin.ACP
ad AP; AP + AN cxD PN; Nk ad Sin.NP« five APC ut NP ad Sin.NxP;unde
Z.N>6P;| Sin.NxP oo Sin.^;cD, five NxD; lNkP + N?k do Z.*ND;2reai-
- Z-xNB- Z_NxD 00 xDN; Sin.xDN ad kN ut Sin.NxD ad ND; ND -
-NB 00 BD; BR oo 3AB; BX oo 3BN;BR-BX oo RX; RXadXNutRBad
BEO;BE — BDooED.

72o[,]o9oo5BE '°)
7i3[,]34224 BD -)

6[,]6478iDE
'6[,]39758 ")

[0,] 25023

^) Comparez la note 7, p. 430.
")Les calculs, que nous avons supprimés, ont été exécutés d'après la deuxième méthode,

indiquée dans le„Aliter". Ils amènent successivement: CAG=4° 20— ; ACP=2°53'i4';

APC = i** 26' 46"-^ ; AP= 132,08267; NP = 142,35707; NxP = 3'>4i'5'; N«D = i74«'

28'4''; xND = 5V' 51"; ''DN = 24' 5"; ND = 769,24304; BD = 713,34224. Et ensuite
BR = 198,52560; Bx == 167,70240; RX = 30,82320; BE = 720,09005.
") C'est la valeur trouvée au paragraphe précédent pour l'aberration de la lentille plancon-
vexe (voir la note 10 de la p. 429), laquelle, si l'on désire une compensation à peu près
parfaite, devrait égaler la valeur de DE trouvée ici. Comme la différence excède considé-
rablement l'épaisseur de la lentille planconvexe, mentionnée dans la note 1 2 de la p. 429, et

que l'aberration d'une telle lentille, employée sans lentille auxiliaire, n'est que ^ fois cette

épaisseur, le résultat a dû paraître très peu satisfaisant à Huygens. Mais en réalité la compen-
sation est un peu meilleure. En effet, il est clair que le calcul de Huygens, par lequel il n'a
trouvé la valeur de l'angle xDN qu'en secondes entières, c'est à dire à peine en quatre
chiffres, ne permet pas de calculer avec une approximation suffisante la petite diffé-
rence entre BE et BD. C'est pourquoi nous avons refait les calculs, qui nous ont donné
successivement CAG = 4° i9'59'',62; ACP = 2° 53' 1 4^,23; APC = i"* 26' 45^,39; AP =
= i32,o98i;NP=i42,3725;NxP=3°4i'5",23;NxD=i74°28'4",94;xDN = 24'4',4^;
ND =769,536; BD = 713,635; ce qui amène DE ^ 6,455. Par conséquent, la différence
entre l'aberration, que nous avons calculée ici, du rayon extrême de la lentille auxiliaire,
et celle 6,398, que nous avons vérifiée et trouvée exacte, du rayon extrême de la len-
tille planconvexe se réduit à 0,057; ce qui est un peu moins que le tiers de l'épaisseur de
la lentille planconvexe, c'est-à-dire, que les cinq douzièmes de l'épaisseur d'une lentille qui
posséderait la même distance focale que le système composé formé par la lentille plancon-
vexe et la lentille auxiliaire.

43a

DE ABERRATIONE RADIORUM A FOCO. APPENDICE VIII. I 669.

[Fig- 3.]

§3').
NC , NT , AC , AB I ooooooo

ut 72 ad 5 0 ita AC ad CG oo fin. L CAG 3) ;
AG 00 r. compl.Z_CAG; AM^) — AG oo GM;
Z_CAG H- CMG 0 00 Z_OClVJ;-fin.OCM oo
r. ACPO five OCV; ^OCM-OCV oo ACL-
- ACP 00 VCM; Z_CNG- CMN oo MCN;
MCN+ VCM 00 VCN;-3 fin.VCN oo fin.SCD 0

2.

vel fin.NCD; i8o°-NCD-CND oo CDN;
r.CDN ad CN ut fin.NCD ad ND; TE «) oo 2AB

vel 2NT 0.

^) Ce paragraphe fait connaître la méthode pour calculer
exactement l'aberration sphérique du rayon MC qui
tombe sur une lentille biconvexe symétrique en par-
tant d'un point M situé sur l'axe de la lentille à une
distance donnée. Il est évident que ce calcul devait ser-
vir pour vérifier par un exemple numérique jusqu' à
quel point on pouvait réussir à compenser l'aberration
sphérique d'une telle lentille de la manière décrite aux
§§ 6 et 7, p. 424 — 427 , de l'Appendice précédent. Mais
ce calcul n'a pas été entrepris.

^) Ces nombres indiquent les dimensions à choisir pour la
lentille biconvexe. Comparez , à la p. 428, celles de la
lentille planconvexe du § i.

3) C'est-à-dire , dans une table où le rayon du cercle est
représenté par i ooooooo.
4) AM est supposée donnée.

0 L CMG se calcule facilement puisque MG et CG sont connues.

<^) VCP est la direction du rayon MC après sa réfraction à la surface CB.

7) CD est la direction du rayon VCP après la réfraction à la surface CT.

8) E est l'image de M dans la supposition faite au § 6 de l'Appendice précédent, d'après laquelle
MB = 2AB. Alors, comme nous l'avons remarqué dans la note 4 de la p. 425, les rayons
qui émanent de M peuvent être considérés à l'intérieur de la lentille comme parallèles à Taxe
et ils se réuniront donc de nouveau après la sortie de la lentille dans un point E pour lequel
TE = MB = 2AB = 2NT.

9) TE est donc connue, mais TD = ND — NT de même; donc aussi DE, c'est-à-dire, l'aber-
ration cherchée.

^'^

APPENDICE IX 0

À LA DEUXIÈME PARTIE DE LA DIOPTRIQUE „DE ABER-
RATIONE RADIORUM A FOCO".

[1689.]

R concurfus parallelorum. DR ad DO ut DC
ad DP^') Oftendendum angulum DNR ad MNP
feu NPC ut 3 ad 2. ut CR ad ROa).

^■:

01

SNR ad SDR ut DR ad RO *).

Sed SDR 00 NDO ad NPO ut OP ad OD h e ut RC

ad DR 5).

SNR ad NPO 00 MNV ut RC ad RO puto per Euclid. ex

aequo in perturb. ^^

Eft autem NM quae parall. OC refraftio radij RN quia C
centrum fphaer. fuperficiei ON. Ergocumang. SNR ad PNM
ut RC ad RO erit NP rcfraftio radij DN, ex theoremate etc. 7)

*) On peut considérer cette pièce, empruntée à la p. 48 verso du Manuscrit
G, comme constituant une démonstration de la proposition mentionnée
dans la note i de la p. 345, d'après laquelle il existe un rapport constant
entre les angles après et avant la réfraction compris entre deux rayons
qui s'écartent peu de la normale à la surface réfringente et qui pas-
sent par un même point de cette surface.
^) D'après la Prop. XII, Part I, Liv. I, de la p. 41, les points D et P sont
donc des points correspondants par rapport à la surface réfringente NO.
^) Comparez, à la p. 37, la Prop. IX, Part. I, Liv. I. CR : RO représente l'indice de réfraction

qui pour le verre est pris égal, comme partout, à 3 : 2.
'♦) Parce qu'on a par approximation L SNR = L SOR et que le rapport des petits angles SOR

et SDR peut être égalé à celui de leur tangentes.
5) Proportion qui se déduit de celle qui se trouve plus haut dans l'énoncé.
'^) Voir la note 22 de la p. 304 du T XI.
'') Il s'agit de la proposition, citée dans la note 2.

55

>n

-, , :■ i r ,r

•^1 Ile }1

m bn '

/

VOIR AU FASCICULE II LES TABLES SUIVANTES

I. PIÈCES ET MÉMOIRES.
II. PERSONNES MENTIONNÉES.

III. OUVRAGES CITÉS.

IV. MATIÈRES TRAITÉES.
ADDITIONS ET CORRECTIONS.
SOMMAIRE.

-0

; eiNOINGUCTjûi^^lSTWJ

y

Q

113

H89

1888

1. 13

fasc.l

Huygens, Chris tiaan
Oeuvres complètes

P&AScî.

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