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ŒUVRES

COMPLÈTES

D'AUGUSTIN CAUCHA

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PARIS. — IMPRIMERIE DE GAUTHIER-VILLARS, SUCCESSEUR DE MALLET-BACHELIER. 5050 Quai des Augustins, 55.

ŒUVRES

COMPLÈTES

D'AUGUSTIEN CAUCEN

PUBLIÉES SOUS LA DIRECTION SCIENTIFIQUE

DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES

ET SOUS LES AUSPICES

DE M. LE MINISTRE DE L’'INSTRUCTION PUBLIQUE.

mm C0 0

[“ SÉRIE. — TOME V. |

PARIS, GAUTHIER-VILLARS, IMPRIMEUR-LIBRAIRE

DU BUREAU DES LONGITUDES, DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE,

SUCCESSEUR DE MALLET-BACHELIER ,

Quai des Augustins, 55.

M DCCC LXXXV

U.

NOTES ET ARTICLES

EXTRAITS DES

COMPTES RENDUS HEBDOMADAIRES DES SÉANCES

DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES.

(SUITE. )

NOTES ET ARTICLES

EXTRAITS DES

COMPTES RENDUS HEBDOMADAIRES DES SÉANCES

DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES.

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Mémoire sur l'évaluation et la réduction de la fonction principale dans les intégrales d'un système d'équations l-

nedires. C.R., t. IX, p. 637 (18 novembre 1839).

J'ai fait voir, dans mes Exercices d’Analyse et de Physique mathéma- tique, qu'étant donné un système d'équations linéaires aux différences partielles et à coefficients constants entre plusieurs variables prinei- pales et des variables indépendantes qui, dans les problèmes de Méca- nique, seront, par exemple, trois coordonnées rectangulaires +, y, = et le temps {, on pourra, en supposant connues les valeurs initiales des variables principales et de quelques-unes de leurs dérivées, réduire la recherche des intégrales générales des équations proposées à l’éva- luation d’une seule fonction des variables indépendantes, que j'ai nom- mée la fonction principale. Cette fonction principale n’est autre chose qu'une intégrale particulière de l'équation unique aux différences partielles à laquelle doit satisfaire une fonction linéaire quelconque des variables principales; et si, dans tous les termes de cette équation aux différences partielles, on efface la lettre employée pour représenter

6 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

la fonction principale, on obtiendra, entre les puissances des signes de différentiation Paz D,, PsarrD:,

ce que nous appelons l'équation caractéristique. Ajoutons : 1° que l’ordre n de cette équation caractéristique est généralement la somme des nombres qui, dans les équations données, représentent les ordres des dérivées les plus élevées des variables principales, différentiées par rapport au temps £; 2° que la fonction principale, assujettie à s’éva- nouir au premier instant, c’est-à-dire pour £ — o, avec ses dérivées re- latives au temps et d’un ordre inférieur à » — 1, doit fournir une dé- rivée de l’ordre » — 1 qui se réduise alors à une fonction de x, y, = choisie arbitrairement. Ainsi déterminée, la fonction principale peut toujours être représentée par une intégrale définie sextuple, relative à six variables auxiliaires, et qui renferme sous le signe f une exponen- tielle trigonométrique dont l’exposant est une fonction linéaire des varta- bles indépendantes. Mais, dans beaucoup de cas, cette intégrale définie sextuple peut être remplacée par des intégrales d’un ordre moindre, ou se réduire même à une expression en termes finis. En conséquence, la fonction principale peut admettre des transformations et des réduc- tions qu'il est bon de connaître, et qui sont l’objet du Mémoire que j'ai l'honneur d'offrir aujourd’hui à l'Académie.

Déjà, dans un article que renferme le Compte rendu de la séance du 26 août dernier, j'ai observé que la méthode exposée dans mon Mé- moire sur l'intégration d’un système d’équations aux différences par- tielles continue d’être applicable, lors même qu’on peut abaisser l’ordre de l'équation caractéristique ; et qu’alors les intégrales géné- rales se présentent sous une forme plus simple que celle qu'on aurait obtenue si l’on n’avait pas tenu compte de l'abaissement. C’est ce qui arrive en particulier lorsqu'un système simple, ou un double système de molécules, devient isotrope. En effet, comme les équations du mou- vement, étant chacune du second ordre par rapport au temps, sont au nombre de trois dans un système simple, et au nombre de six dans un double système de molécules, il en résulte que l'équation caractéris-

EXTRAIT N° 69. 7

tique est généralement du sixième ordre pour un système simple, et du douzième ordre pour un double système. Toutefois, lorsque le sys- tème devient isotrope, l’ordre de l'équation caractéristique se réduit à quatre dans le premier cas, et à huit dans le second.

Dans les deux cas que nous venons de rappeler, le premier membre de l'équation caractéristique, réduite à sa forme la plus simple, est dé- composable en deux facteurs rationnels du second ou du quatrième ordre; par conséquent l'équation caractéristique se décompose en deux autres d'ordres inférieurs. De semblables décompositions peuvent être employées avantageusement dans la détermination de la fonctiôn principale. Ainsi, en particulier, je prouve que si l’équation caracté- ristique, étant de l’ordre 2», se décompose en » équations du second ordre, propres à fournir pour le carré de D, des valeurs qui soient entre elles dans des rapports constants, la fonction principale, corres- pondante à l’équation caractéristique de l’ordre 2», offrira pour sa dérivée relative au temps, et de l’ordre 2m», la somme de 77 termes respectivement proportionnels aux fonctions principales qui vérifie- raient les » équations du second ordre. C’est pour cette raison que les équations du mouvement d’un système isotrope, lorsqu'elles devien- nent homogènes, fournissent toujours des intégrales générales sembla- bles à celles que M. Poisson a données dans les tomes VII et X des Mémoires de l’Académie, la fonction principale pouvant alors être ré- duite à celle que l’on obtient en intégrant l'équation du son, et cette réduction pouvant être opérée, quel que soit d’ailleurs le rapport entre les vitesses de propagation des deux espèces d’ondes planes compati- bles avec la constitution du système, par conséquent soit que l’on sup- pose ce rapport égal à V3 avec MM. Navier et Poisson, ou qu'on le ré- duise à zéro comme je le fais dans la Théorie de la lumuére.

Après avoir indiqué les avantages que peut offrir, dans la détermi- nation de la fonction principale, la décomposition de l’équation caracté- ristique en plusieurs autres, je passe à des réductions qui s’opèrent dans le cas même où cette équation est indécomposable. Je trouve en particulier que, dans le cas où elle est homogène, on peut, en consi-

8 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

dérant les deux systèmes de variables auxiliaires comme deux systèmes de coordonnées rectangulaires, et substituant à celles-ci des coordon- nées polaires, réduire l'intégrale sextuple qui représente la fonction principale à une intégrale quadruple. Alors les résultats qu’on obtient sont analogues à ceux que j'ai donnés dans un Mémoire présenté à l’Académie le 17 mai 1830, et dont un extrait a été inséré dans le Bulletin de M. de Férussac de la même année.

Enfin, lorsque l'équation caractéristique est non seulement homo- gène, mais du second ordre, l’intégrale quadruple qui représente la fonction principale se réduit à une intégrale double semblable à celles auxquelles je suis parvenu dans un Mémoire que renferme le XX® Ca- hier du Journal de l'École Polytechnique.

Outre les réductions que nous venons d'indiquer, et qui ne dimi- nuent en rien la généralité des solutions, il en est d’autres qui tiennent à des formes spéciales des fonctions arbitraires introduites par linté- gration. Lorsqu'on adopte ces formes spéciales, on obtient, non plus les intégrales générales des équations données, mais des intégrales particulières qui peuvent souvent se présenter sous une forme très simple et même s'exprimer en termes finis. Telles sont, par exemple, les intégrales qui représentent ce que nous avons nommé les mouve- ments simples d’un ou de plusieurs systèmes de molécules. Mais les mouvements simples et par ondes planes ne sont pas les seuls dans lesquels les variables principales puissent être exprimées par des fonctions finies des variables indépendantes. Il existe d’autres cas où cette condition se trouve pareïllement remplie. Ainsi, en particulier, lorsque dans un système isotrope les équations des mouvements infi- niment petits deviennent homogènes, des intégrales en termes finis peuvent représenter des ondes sphériques du genre de celles que j'ai mentionnées dans le n° 19 des Comptes rendus de 1836 (1° sem.) ("), savoir, des ondes dans lesquelles les vibrations moléculaires soient dirigées suivant les éléments de circonférences de cercles parallèles

(1) OEuvres de Cauchy, S.X, &. IV. — Extrait n° 7, p. 32 et suiv.

EXTRAIT N° 69. 9

tracés sur les surfaces sphériques, ces vibrations étant semblables entre elles, et isochrones pour tous les points d'une même circonfé- rence. De plus, si ce qu'on appelle la surface des ondes est un ellip- soïde, des intégrales en termes finis représenteront encore des ondes ellipsoidales dans lesquelles les vibrations moléculaires resteront les mêmes pour tous les points situés sur une même surface d’ellipsoïde, ces vibrations étant alors dirigées suivant des droites parallèles. Au reste, je reviendrai plus en détail dans un autre Mémoire sur ces di- verses espèces d'ondes qui se propagent en conservant constamment les mêmes épaisseurs.

$ Ie". — Sur les avantages que peut offrir la décomposition de l'équation caractéristique en plusieurs autres.

Considérons, pour fixer les idées, un système d'équations linéaires aux différences partielles et à coefficients constants, entre plusieurs variables principales, et quatre variables indépendantes, dont trois æ, y, pourront représenter des coordonnées rectangulaires, et le qua- trième 4 le temps. Si l’on nomme # l'une quelconque des variables principales, l'élimination de toutes les autres entre les équations li- néaires données fournira une équation résultante

(1) F0 dans laquelle v sera une fonction entière des caractéristiques De, He h, D,

et l’on vérifiera l’équation (1) en prenant pour #, non seulement l'une quelconque des variables principales, mais encore une fonction linéaire quelconque de ces variables. Alors aussi

(2) Nes

sera l'équation caractéristique, et si l’on nomme 7 l'exposant de la plus

haute puissance de D, contenue dans v, x représentera l’ordre ou le

degré de l’équation caractéristique. Enfin, si Le coefficient de D! dans OEuvres de C. — S.1, 1. V. 2

10 - COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

se réduit à l'unité, alors, &(x, y, 3) désignant une fonction arbitraire

des coordonnées, la fonction principale 5 devra vérifier, quel que soit £,

l'équation linéaire

(3) Se,

et, pour { — o, les conditions

(4) © —=0o, D,5 = 0, tif, Pgo; Do —w(r, y;'z). Cela posé, il est facile de reconnaitre les avantages que peut offrir

la décomposition de l'expression symbolique v en d’autres expressions

de même forme.

Supposons, par exemple, V=v'vr,

Ÿ étant du degré n° par rapport à D,, et ayant pour premier terme D*’. Alors, si l’on pose

(5) V’o— Il,

ii sera une fonction principale propre à vérifier, quel que soit £, l’équa- tion linéaire

(6) VHS»,

et, pour { — o, les conditions

(9) :H=o, Do, :..., DA, Doté à

La valeur de IF étant obtenue, on aura pour déterminer 5 l'équation (5) jointe aux conditions

ee”

(8) ne : À D'ù=0, TER MR ei *

la valeur de 7” étant x — »’. Supposons maintenant que l’on ait

f

(9) V= (D? G)(D? —H)..

G, H,... étant seulement fonctions de

EXTRAIT N° 69. {11 et admettons que ces fonctions soient entre elles dans des rapports con-

stants. On aura identiquement

D: o h (10) = — : RE Ÿ D —G D? — H

des fonctions principales propres à vérifier, quel que soit #, les équa-

tions linéaires (11) (D? — Gjæi—0, (D? — H)w: —0, ou

et, pour — 0, les conditions

(12) Di—O;, Do — 0, 4 Dai... = mix, x, 3)

Je prouve de deux manières différentes que l’on aura (13) D o—gmi+/lm:+...,

et, par suite,

(14) m = Di{g0: + mit...)

L'une des deux démonstrations se déduit immédiatement des formules (3), (4), (xx) et (12); l'autre, qui est la plus simple, repose sur là transformation de la fonction principale 5 en intégrale définie, trans- formation qu'il est utile d'opérer lors même que les fonctions G, H cessent d être entre elles dans des rapports constants. Ajoutons que,

n étant supérieur à 2, le signe D? /è = D, (7—2)

indiquera, dans l'équation (14), # —'2 intégrations successives eflec- tuées chacune, par rapport à £, à partir de l'origine { — 0.

Au reste, la proposition contenue dans la formule (14) peut être généralisée; et, en effet, on établit, à l’aide des mêmes ratsonnements,

celle que nous allons énoncer.

12 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE. TuÉORÈME. — Supposons que, dans l'équation caractéristique RER la plus haute puissance de VD, ait pour coefficient l’unité, et que le premier

membre X de cette équation soit décomposable en facteurs de méme forme,

en sorte qu'on ait LS ET ; sotent d'ailleurs D; TDi, T2;

les fonctions principales correspondantes aux équations caractéristiques V0, Vo, +0,

Si l’on a dentiquement

+ D’: oœ L (15) + rs v —— T7 +... £, h, ... désignant des quantités constantes, on en conclura

Do = gai + hwr+..., el par conséquent

(16) D=D, "(go + hw:+...).

SIL — Zransformation de la fonction principale.

Soient Ve F(D>, D, D:, D;)

le premier membre de l’équation caractéristique, et S— F(u,v,w,s) ce que devient ce premier membre, quand on y remplace

Ds, D; D;, D: par les lettres

enfin soient U, ._ V,5 W; À, Ps Ÿ

six variables auxiliaires, et SUPposons : 1° que &, #, æ soient liées avec U, v, W par les formules

u =uy— 1, V—Vy—:1, W—=WY—1;

EXTRAIT N° 69. 13

2° que l’on considère s comme une fonction de w, v, æ déterminée par

le ‘ . equation $S — 0.

La fonction principale 5, assujettie à vérifier, quel que soit 4, l'équa-

tion linéaire Vs = 0,

et, pour { — 0, les conditions == 0, D:5 = 0, PET De = 0, D'ou w(x,7r,3),

sera déterminée par la formule

(1) \ a in & (4 Fe Ds y) eue —2)+0()—p}+4 (22) +56 dÀ du du. d\ dy LA 2 - © F 0 pr) 27 27 27

le signe £ du calcul des résidus étant relatif aux diverses racines s de

l'équation #0. Concevons à présent que l’on transforme les quantités variables FE ra | et

À—ZxX, —7Y, v—3,

considérées comme représentant des coordonnées rectangulaires, en { coordonnées polaires

k, p, q et pr 6, T à l’aide des équations u— k cosp, v — /; sinp cosq, w — k sinpsing, À— x —=pcosb, m—7y—psin0 cosr, y — 3 —psinôsinr.

Posons d’ailleurs, pour abréger,

u(À —. eV (uv — PE z)+viu—y) +w(r ke

— COSp COSÜ + sinp cosq sin 0 cost + sinp sing sing sinr

La]

et = kpy—1.

\

(2)

TD —

{2\ (3)

L

pre =

1% COMPTES RENDUS DE L'ACADEMIE. On devra, dans l'équation (1), remplacer des produits du dv dw, dd dy par ke? sin p dp dq dr, p?sin9 dû dr do; et, en ayant égard à la formule Rehot 1 = 2 Di ekot VTT, gxT

on trouvera

Le À E Li Le 4 U ‘ Je & | Fe — v) RE ur (E) "sn . dp dq dk ” dr do 6) T |

(27 1

un

F(De, D, De, De) est une fonction homogène de

HN D, D alors on aura

S—(ky— 1) F{cosp, sinpcosq, sinpsing,w):

et, en remplaçant

puis effectuant la double intégration relative aux variables auxiliaires

4 eto, on tirera de l'équation (2), différentiée n — 1 fois par rapport à 4,

1% LR F 39% 2 : ‘ F l f f | A LS & sin p sinÿ & À, u,v) dp dy d9 dz r?+ Jo do Jo (UF(cosp, sinp cosg,Sinp sing, ))) cos? dVcos?0 :

0

les valeurs de 2, u, v étant

"AT SEAT : Sin Ÿ cos, sÔ

D

LE. Il * À :

2 Re Û 5 sin ÿ sin,

EXTRAIT N° 69. 15

et le signe € étant relatif à la variable w considérée comme racine de l'équation SRÉSE I) FR F(cosp, sinp cosq, sinp sing, w)—=0o. || UN7y.,” FN

PART DrE 6 4) On tirera immédiatement de l'équation (35) la valeur de 5-en pltant”

}

devant le second membre la caractéristique D? +fe

qui, lorsque 3 — x deviendra négatif, indiquera 7 — 3 intégrations

effectuées par rapport à 4 à partir de l’origine £ — 0. Si l’on suppose simplement x» — 2, le coefficient de D dans F(D,, D,, D., D,) étant l'unité, on trouvera

re ALL 1

— I,

LC {(F(cosp, sinp cosq, sinp sing, w)))

et, par suite, l'équation (3) donnera

T 2% 2T 127 ë I te ; . dp dgq dû dr (5) D == — 6 D. f . | | t? sinpsin£®(à, p,v) EI. 107" di Cuve cos?0yCcos?0

Si l’on suppose en particulier Fiu,v,w,s) — 5? — Au? — Bu? — cv? — 2DVw — 2EWwu — 2FUV, , « e , . 7, . . , . « . . c'est-à-dire, en d’autres termes, si l'équation linéaire à laquelle doit satisfaire la fonction 5 est de la forme

Oo) x En Un + Dm ie 5 He d2w ot? — ox? dy? 02? Ôy 03 “ dz0x 0dxdy

A, B, C, D, E, F désignant des quantités constantes, alors, en admettant que le produit :

Eo(x + 1c0s0, y +tsing cost, z + tsinÿsint)

s'évanouisse pour des valeurs infinies de 4, ou du moins que ce produit acquière, pour { = — æ et pour £ — æ , deux valeurs égales au signe près, mais affectées de signes contraires, on pourra, en vertu d’une

16 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE. formule établie dans la 49° livraison des Exercices de Mathématiques (p.16), effectuer les deux intégrations relatives aux variables auxi- liaires p, g3 et, en désignant par K, 6 deux quantités positives, propres à vérifier les formules

K? == ABC — AD? — BE? — CF? + 2BEF,

Kk? @?— (BC — D?) cos? 0 + {ca — E°?) sin? 0 cos?r + (as — Fr?) sin? 0 sin? + 2{4D — Er) sin?0 sinr Cost + 2(BE — FD) sin6 cosüsinr

+ 2(cF — DE) sin cos O sinr, on trouvera

i der res d8 de { 6) D = = k tsinÿw{,p,v) «ot:

les valeurs de x, , v étant

: D NE 71) ÀÂ=zx+-cos6, my + Siné cosr, —2+5singsinr. Dans le cas où l’on a ES net Het e LA DRAP ES SO on trouve I LE UX 0 — Far

et, par suite, la formule (6) se réduit à

T 2T - (8) NZ SL d. tsin9w{(À,p,v) d0 dr, 4 0 V0

les valeurs de }, p, v étant (g) 1= x + Q1 cosp, = y + Qfsin0 cos7r, y=2:+Qtsin6sinr.

On se trouve ainsi ramené à l'intégrale que M. Poisson a donnée de l'équation linéaire généralement considérée comme propre à repré- senter la propagation du son dans un fluide élastique.

EXTRAIT N° 69. 17

SI. — Zpplication des principes établis dans les paragraphes précédents à l'intégration des équations ligéaires qui représentent les mouvements infi- niment petits d'un système isotrope.

Comme nous l’avons prouvé dans les Exercices d'Analyse et de Phy- sique mathématique, les équations qui représentent les mouvements in- finiment petits d’un système isotrope de molécules sollicitées par des

forces d'attraction ou de ae mutuelle sont de la forme (1) ((E— D DE ne De

£,", € désignant Le d'une molécule mesurés parallèle- ment aux axes des æ, y, z au bout du temps 4, et

Enr étant deux fonctions de D?+ D?+ D:

entières, mais généralement composées d’un nombre infini de termes. Cela posé, le premier membre v de l'équation caractéristique sera de

la forme V=V'v,

les valeurs de +’, V” étant V—D?—E, V’—D?—E-—(D+D?+D2)F.

Soit d’ailleurs

la fonction principale correspondante à l'équation caractéristique 0

Désignons par

(2) 9(2,7,5), 22,73), days), D(a,r,s), X(x,7,2), Wix, y, 3)

les valeurs initiales de

ë UE Es D,Ë, Den, D.ë,

Œuvres de C.— S.I, t. V. 3

18 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

et par 2; 1 Ÿ, ®, X, 4

. . . . 1 . ce que devient la fonetion principale & quand on y remplace successi- vement la fonction arbitraire

w(x,y,2)

par chacune des fonctions (2). Pour obtenir les valeurs générales des variables principales €, », €, il suffira de résoudre, par rapport à ces variables, les équations (r), après avoir remplacé les seconds membres par

V(D+D.o), V(X+Di:x), V(Y + D,v).

En opérant ainsi l’on trouvera, pour intégrales générales d’un système Isotrope, les équations suivantes :

| E V'(® + Do).+ F Ds,

(3) ln=VIX+Di4)+F Ds,

E=V'(Y+ DL +F Ds,

la valeur de # étant ;

(4) 8—D;(9 + Do) + D,(X + Dex) + D:(Ÿ + DY). Si, pour abréger, on désigne par

Dis Go

les fonctions principales qui correspondraient séparément aux deux équations caractéristiques

on aura

et, en nommant

ou Go, X29 do, Po, X», Yo

ce que devient la fonction principale

Di OÙ Gi»

EXTRAIT N° 69. 19 quand on remplace successivement la fonction arbitraire

m(x,7,3)

/

par chacune des fonctions (2), on verra les formules (3) se réduire aux

suivantes : Ë an D, + D:o: Es 25 F De,

(5) Aa= Xi +Dy +FD,s, ri y, VA EE D:Ÿ, mr EF D.

S1 les équations des mouvements infiniment petits deviennent homo-

gènes, on aura [voir le Compte rendu de la séance du 24 juin (‘)| B—UbE ++ DE), F=if,

:, f désignant deux constantes réelles, et, par suite,

MN LV Donc alors la formule (14) du $ I‘ donnera

‘ ot +f\w—-w (6) HD À "e Lu

et la valeur de & se déduira immédiatement de celles des fonctions Dis Go;

dont chacune, en vertu de la formule (8) du $ If, se trouvera repré- sentée par une intégrale double. Cela posé, les intégrales (5), dans le cas particulier que nous considérons ici, deviendront analogues à celles qu'a données M. Poisson dans les Tomes VIII et X des Mémoures de l’Académie. Si l’on y pose f — 2, elles coincideront précisément avec celles que j'avais moi-mêmé obtenues à l’époque où je m'occupais de la théorie des corps élastiques, et qui ne diflèrent qu’en apparence des intégrales données par M. Ostrogradsky. Mais, si l’on admet la suppo- sition f— — 1, à laquelle nous sommes conduits dans la théorie de la

(1) Œuvres de Cauchy, S. 1, 1. IV. — Extrait n° 54, p. 434.

20 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

lumière, la formule (6) donnera simplement

| Fete 7) - w=P);""; pue Ie [ 1 dt dt,

7

et se déduira immédiatement de l’équation V'y — Di, puisqu'on aura, dans cette supposition,

V—D?.

10.

PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Mémoire sur la polarisation des rayons réfléchis ou réfractés par la surface de séparation de deux corps isophanes et

transparents. C. R., & IX, p. 676 (25 novembre 1839).

Dans un Mémoire présenté à l’Académie le 12 janvier 1829, Mé- moire dont un extrait a été inséré dans le tome IX des Mémoires de l'Académie, j'étais parvenu à cette conclusion remarquable que les équations du mouvement de la lumière sont renfermées dans celles qui expriment le mouvement d'un système de molécules très peu écar- tées de leurs positions d'équilibre. Cette conclusion s’est trouvée con- firmée par les recherches que j'ai publiées sur cette matière dans mes Exercices de Mathématiques, anciens et nouveaux, ainsi que dans le Mé- moire sur la dispersion de la lumière. J'ai reconnu en effet que, parmi les mouvements qui peuvent se propager dans un système de molé- cules sollicitées par des forces d'attraction ou de répulsion mutuelle, on doit distinguer les mouvements simples et périodiques, appelés #ouve- ments par ondes planes ; et j'ai prouvé que, dans les mouvements simples d'un système isotrope, les vibrations moléculaires étaient toujours, ou

EXTRAIT N° 70. 21

comprises dans les plans des ondes, ou perpendiculaires à ces mêmes plans. Si, pour abréger, on appelle rayon simple une file de molécules, originairement situées sur une droite perpendiculaire aux plans des ondes, l'axe de ce rayon n’étant autre chose que la droite même dont il s’agit, on pourra dire que, dans un système isotrope, où un mouve- ment simple se propage sans s’affaiblir, les vibrations de chaque mo- lécule sont toujours dirigées, ou suivant le rayon dont elle fait partie, ou perpendiculairement à ce rayon. Ainsi, l'hypothèse admise par Fresnel des vibrations transversales, c’est-à-dire perpendiculaires aux rayons, est devenue une réalité; et il reste prouvé, comme j'en ai fait le premier la remarque dans les Weémotres de l’Académie, que les vibra- tions transversales sont compatibles avec la constitution d’un système isotrope de molécules qui s’attirent ou se repoussent mutuellement. A la vérité, les idées de Fresnel sur cet objet avaient d’abord été vive- ment combattues par un illustre académicien, dans plusieurs articles que renferment les Annales de Chimie et de Physique. Mais l'auteur de ces articles, en discutant les intégrales des équations, considérées par M. Navier et par lui-même comme propres à représenter les mouve- ments infiniment petits d’un système isotrope, a finalement reconnu qu'au moment où les ondes, occasionnées par un ébranlement d’abord circonscrit dans un très petit espace, parviennent à une distance du centre d’ébranlement assez grande pour que les surfaces qui les ter- minent deviennent sensiblement planes, il ne reste en effet que deux espèces de vibrations moléculaires dirigées, les unes, suivant les rayons, les autres, perpendiculairement à ces mêmes rayons. Quant aux diffé- rences qui subsistent encore entre les résultats obtenus par notre il- lustre Confrère et ceux auxquels j'arrive, elles tiennent à ce qu'il est parti des équations aux différences partielles indiquées en 1821 par M. Navier, équations qui me paraissent propres à représenter seulement dans un cas particulier, et dans une première approximation, les mou- vements infiniment petits d’un système isotrope de molécules. Dans le cas général, les équations de ces mouvements ne sont pas homogènes ; et, si on les rend homogènes en négligeant les termes d’un ordre supé-

22 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

rieur au second, le rapport entre les vitesses de propagation des deux espèces d'ondes pourra différer notablement du rapport cité dans le Compte rendu de la séance du 18 octobre dernier, c’est-à-dire de la racine carrée de 3. Il pourra même, comme on le verra dans le présent Mémoire, devenir inférieur à l'unité et se réduire à zéro.

Au reste, les recherches que j'ai publiées dans les Mémotres de l'Aca- démie et dans les Exercices de Mathématiques, en fournissant les moyens d'établir les lois de la propagation de la lumière dans un seul milieu, soit isophane, soit biréfringent, demeuraient insuffisantes pour la so- lution de l'important problème de la réflexion et de la réfraction des rayons lumineux. Avant de résoudre ce problème, il fallait commencer par trouver une méthode propre à fournir les conditions relatives aux li- mites des corps et les équations qui doivent se vérifier dans le voisinage des surfaces de séparation. C’est dans un Mémoire, offert à l’Académie le 18 mars de la présente année, que J'ai, pour la première fois, exposé une méthode générale qui conduit à ce but. J'ai promis d'appliquer en particulier cette méthode à la théorie de la lumière. Je viens aujour- d'hui remplir cette promesse. Pour que les physiciens et les géomètres puissent facilement juger si les conclusions auxquelles je parviens sont exactes, je vais indiquer en deux mots la marche que j'ai suivie.

Étant donnés deux systèmes isotropes de molécules, séparés par une surface plane, je cherche les lois générales de la réflexion et de la ré- fraction d’un mouvement simple, ou par ondes planes, dans lequel les vibrations sont transversales, et qui vient rencontrer la surface de sé- paration. Je trouve que l'expression de ces lois renferme deux con- stantes, dont la première est celle qu’on nomme l’ëndice de réfraction. D'autre part, en définissant un rayon simple, comme je l’ai fait ci-des- sus, je dis que ce rayon simple est doué de la polarisation rectiligne, circulaire, ou elliptique, suivant que chaque molécule décrit une droite, un cercle ou une ellipse. Dans Le premier cas, j'appelle plan du rayon celui qui le renferme, et plan de polarisation un second plan mené par l’axe du rayon perpendiculairement au premier. Enfin, lors- qu'un rayon quelconque tombe sur la surface de séparation, je le

EXTRAIT N° 70. 23 décompose, soit avant, soit après la réflexion ou la réfraction, en deux autres, polarisés, l’un suivant le plan d'incidence, l'autre perpendieu- lairement à ce plan. Cela posé, je parviens aux conclusions suivantes.

Lorsque la seconde des constantes ci-dessus mentionnées se réduit, au signe près, à l'unité, les lois de la polarisation par réflexion où par réfraction sont précisément celles que Fresnel a données pour la pola- risation de la lumière opérée par la première et la seconde surface des corps transparents. Ainsi, en particulier, sous l'incidence perpendicu- laire, la proportion de la lumière réfléchie est précisément celle qui résulte d’une formule donnée il y a longtemps par M. Th. Young, et qui a été vérifiée par l'expérience.

Lorsque la seconde constante ne se réduit pas à l'unité, les formules qu'on obtient sont celles que j'ai indiquées dans le Compte rendu de la séance du 1° juillet dernier, formules qui paraissent d'accord avec les phénomènes offerts par la réflexion de la lumière à la surface des corps qui ne la polarisent pas complètement.

J'ajouterai que, dans le cas où la deuxième constante se réduit à l’unité, ‘la vitesse de propagation des rayons, dans lesquels les vibra- tions sont longitudinales, se réduit précisément à zéro. Or il est re- marquable qu’effectivement, dans le vide et dans les corps isophanes, on observe une seule espèce de rayons lumineux.

Je ne vois pas ce que l’on pourrait objecter à l'analyse contenue dans le présent Mémoire. Que les lois auxquelles je parviens soient rigoureusement déduites des équations des mouvements infiniment petits d’un système isotrope : c’est ce dont chacun pourra aisément s'assurer, en exécutant de nouveau les calculs qui sont assez simples, même dans les cas les plus difficiles à résoudre. Que les lois obtenues, dans le cas où il ne reste qu’une seule espèce d’ondes planes et de rayons, soient précisément celles de la polarisation de la lumière par réflexion et par réfraction, les nombreuses expériences entreprises par Fresnel et par d’autres physiciens, particulièrement par M. Brewster, pour vérifier ces lois qui ont illustré le nom de Fresnel, ne laissent guère place au doute à cet égard. Nous pouvons done, en finissant,

2h COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

conclure, avec quelque confiance, que les lois de la réflexion et de la réfraction de la lumière sont celles de la réflexion et de la réfraction des mouvements simples dans les milieux isotropes.

Analyse. — Supposons deux systèmes isotropes de molécules séparés par une surface plane que nous prendrons pour plan des y, 3; et con- cevons qu'un mouvement simple ou par ondes planes, mais sans chan- sement de densité, se propage dans le premier milieu situé du eôté des æ négatives. Si le mouvement simple dont 1l s’agit, à l’instant où il atteint la surface de séparation, donne toujours naissance à un seul mouvement simple réfléchi et à un seul mouvement simple réfracté, les lois de la réflexion et de la réfraction se déduiront sans peine des formules que nous avons données dans la séance du 15 juillet dernier. Entrons à ce sujet dans quelques détails.

Dans un mouvement par ondes planes, et qui se propagera sans s'affaiblir, nous nommerons, pour abréger, rayon simple une file de molécules originairement situées sur une droite perpendiculaire aux plans des ondes, l’axe de ce rayon n'étant autre chose que la droite même dont il s’agit. De plus, nous dirons que le rayon est doué de la polarisation rectiligne, circulaire ou elliptique, suivant que chaque molé- cule décrira une droite, un cerele ou une ellipse; et quand il s'agira d’un rayon plan ou polarisé rectilignement, nous aurons soin ‘de dis- tinguer le plan du rayon, c’est-à-dire le plan qui le renferme, et le plan suivant lequel ce rayon est polarisé, ou le plan de polarisation, ce der- nier plan étant perpendiculaire au premier et passant comme lui par l’axe du rayon. Enfin les nœuds d’un rayon plan seront à chaque in- stant les points de l’axe occupés par les molécules qui conserveront ou reprendront leurs positions initiales. Cela posé, soient, au bout du temps 4, et pour le point (x, y, =),

Ps TS OUR ESA ou ONE, : FOIE el A LE à ou enfin

EXTRAIT N° 70. 25

les déplacements effectifs d’une molécule, mesurés parallèlement aux axes rectangulaires des x, y, z, et les déplacements symboliques cor- respondants, c’est-à-dire les variables imaginaires dont les déplace- ments effectifs sont les parties réelles : 1° dans un rayon incident qui rencontre la surface de séparation de deux milieux isotropes ; 2° dans le rayon réfléchi par cette surface ; 3° dans le rayon réfracté. Si l’on prend pour axe des 3 une droite parallèle aux traces des ondes incidentes sur la surface de séparation des deux milieux, les trois rayons seront re- présentés par trois systèmes d'équations symboliques de la forme

I ) £ us A eUT+Vy- #. à == |: À te td £ — Mi ge Sp

CA —uX+0y—Sst res —ux+vy—-st RE etre n,=B,e a”

SI

— C, M (3) £' —— Ft nt AOL 1 —_ B’ np ta Fi —- C/ AE u,v,u', 5, À, B, C, À, B,, C, A’, B', C’ désignant des constantes qui pourront être imaginaires. Si les trois rayons, comme nous le suppo-

serons dans ce Mémoire, se propagent sans s’affaiblir, on aura néces- sairement

(4)

u—=uV—1, V==vV/— 1, S—Ss\—1,

U, v, S, U’ désignant des constantes réelles. On pourra même supposer toutes ces constantes réelles, positives. En effet, chaque déplacement symbolique pouvant être l’une quelconque de deux expressions imagi- naires conjuguées, qui ne diffèrent entre elles que par le signe de ÿ —1, on pourra toujours admettre que, dans l’exponentielle népérienne à laquelle chaque déplacement symbolique est proportionnel, le coefti- cient de £Y— 1, représenté par la quantité s, est positif. De plus, pour que le coefficient v de y soit positif, ainsi que s, il suffira de choisir convenablement le demi-axe suivant lequel se compteront les y posi- tives. Enfin, le rayon incident qui passera par l’origine des coordon- nées étant perpendiculaire au plan invariable représenté par l’équa- tion |

UXZ +vy —0,

OEuvres de C. — S. 1, 1. V. 4

26 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

on aura pour ce rayon

et par suite les nœuds de ce rayon, qui correspondront à des valeurs

constantes de l’argument

.9 ,9

Lie ee UZENY—SI—= CR RO D

se déplaceront dans l’espace avec une vitesse dont la projection algé- brique sur l'axe des æ sera le rapport entre des accroissements A+, At de x et de £ choisis de manière que l'accroissement de l'argument s’évanouisse. Cette projection algébrique, déterminée par la formule

U? + v? ——Ar—sM=— (a ie

sera done

Ax - PR

AE Tr vw: et pour qu'elle soit positive, ou, en d’autres termes, pour que es ondes planes incidentes se meuvent dans Le sens des æ positives, comme elles devront le faire en approchant de la surface de séparation des deux milieux, il sera nécessaire que le coefficient vw soit positif. Pour la même raison, le coefticient v’ devra encore être positif, les ondes réfractées devant évidemment s'éloigner de la surface de sépara- tion des deux milieux en se mouvant elles-mêmes dans le sens des x positives.

Considérons en particulier le cas où les mouvements simples pro- pagés dans les deux milieux sont du nombré de ceux dans lesquels la densité reste invariable, c’est-à-dire, en d’autres termes, le cas où, dans les rayons incident, réfléchi, réfracté, les vibrations des molé- cules sont transversales. Alors les coefficients

LS COS AE: A CR à

se trouveront liés entre eux, et avec les constantes imaginaires

EXTRAIT N° 70.

© —{

par les formules

5) Au<+Bv—o, (KA — À,u+B,v—o, A'u'+ B'v — 0.

Soient maintenant

(7) k=—Vu?+v, k'=yu?+v?, et faisons, pour abréger,

(8) - k=kV—1, k'=k ÿ— 1, (9) k? = u? + v?, k'2= u'? + vt. On aura, en supposant les équations des mouvements infiniment petits

des deux milieux réduites à des équations homogènes,

(10 k2=— — k2=—,

(ro) 74

:, s désignant deux constantes qui dépendront de la nature de ces deux milieux ; et, après avoir déterminé k’, à l’aide de la seconde des deux formules (10), on déduira de la seconde des équations (7) la valeur de

tu)

Si d’ailleurs il existe un rayon réfléchi et un rayon réfracté, quels que

. Lo »

be Vk'2 UND

soient la direction et le mode de polarisation du rayon incident, alors, en vertu des principes développés dans un précédent Mémoire (vorr le Compte rendu de la séance du 15 juillet) (‘), on pourra, des valeurs de

D v 2, #, © supposées connues, déduire les valeurs de A, B;, Ci, A’, b’, C’

à l’aide des formules (11), (9) et (6) jointes aux suivantes :

(12) D ne PR

28 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

[ 9 ! v? F 2 LS en ER an) (= De) + tr + u)v Bras)

mA : , A re v? I L\u+u (2 + eu), — . + (u'— u) v? (5 + D (13) ; ÿ* ; R2{r— — A À VU au Lu — , À : v? | I I\u+u ee +uu}|1-—)+{u —-u)v | + —

les valeurs de ©, Ÿ’ étant données par les équations

dans lesquelles ©, ©’ désignent encore deux constantes réelles qui dé- pendent de la nature du premier et du second milieu.

La constante s, comprise dans les formules qui précèdent, est, comme on sait, liée à la durée T des vibrations moléculaires par la formule

27T FD ra et l’on a pareillement 27 27H ee , rss Tr? 7

l, l désignant les longueurs d'ondulation ou les plus courtes distances entre deux nœuds de même espèce : 1° dans le rayon incident ou réflé- chi, 2° dans le rayon réfracté. Si d’ailleurs on nomme .

les vitesses de propagation des nœuds ou des ondes planes dans le pre- mier et le second milieu, on aura

et, par suite,

Enfin, si l’on nomme r, +’ les angles d'incidence et de réfraction, c’est- a-dire les angles aigus formés par les directions des rayons incident \

EXTRAIT N° 70. 29

et réfléchi avec la normale à la surface de séparation de deux milieux. on aura nek cosr, v = ksin7, (15) j / ! th 4 | u'— k' cosr', v'—= v—=k'sinr,

puis on en conclura uu'—v? —kk/cos{r + t'), uu'+v? —kk’cos(r — 7), =

1\

(u'+u)v=kk'sin(:+r) (u'—u)v—kk"sin(r— 7),

et par suite, en posant, pour abréger,

1 1 6) li : de or : . (16) ee 7 h+fjsintc) s 5 (1 + f') sin?r ‘

on tirera des formules (12), (13), (14), jointes aux équations (4) et (5),

la C,__sin(r—7) '_ 2sinr'cosr C sin(r'+r) C sin(r’ +7) l'A, —({i1+66t')cos(r+r')+(&+6')sin(r+r)ÿ—1 €, 18) Fe (1+ 6G')cos(r —r')+(&+0S')sin(r— 7) ÿ—1 C° ee 1H ee c', [A K'(1+6c)cos(r—r)+(8+6')sin(s—r)y—1 €

Soient maintenant

les déplacements d’une molécule mesurés dans les rayons incident, ré- fléchi et réfracté, parallèlement au plan d'incidence, et

les déplacements symboliques correspondants, chacun des déplacements effectifs 2, #,, 8’ étant positif ou négatif, suivant que la molécule déplacée est transportée du côté des x positives, ou du côté des æ négatives.

Comme les déplacements 3, 8,» 8 ,

lorsqu'ils seront positifs, auront pour projections algébriques sur l'axe des æ

RE

30 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

on aura nécessairement F— 6SHre, Er sinr, Pt sigr,

ou, ce qui revient au même,

v Y +. Here = Lt =" et par suite k, k. oe het à BE ar

On pourra donc prendre

— k- + ke ss T HE SR ARE SR de sorte qu’en posant, pour abréger, k k k' (19 H — - A, ne. WA H'— — À, ; v : dd Y

on tirera des équations (1), (2), (3)

(20) y ee H | ee Ed AU Te se C eut+vy—st, (21 ] ù " ce H, CAUSES Ë = C, eTUL+VY St, »2 ) s — H'eux+er-st, e — C'en'x+vy-st,

Si, maintenant, on nomme

hi: 16; hi: 05 Nu)

et si l’on pose en conséquence

| H— heuv-t, H, — he V=T, H:— h'eu/ V1, 23)

l C + 0 eYVTs » Ce c eV, Lo = rl DA'ER

dv, 0, 1, Y désignant des ares réels, les formules (20), (2r), (22)

EXTRAIT N° 70.

donneront

4

(24) 8 —=hcos(uz +vr—st+p), E = ccos(ux +vy —st+v), (25) ee =h,cos(-—uz + vyr—st+u), E—=c,eos(— ur +vyr —si+v,),

(26) s#'—h'cos{(vr+vr —si+u), Et = c'cos{v'x +vr —st+r).

Le système des formules (24) représente le rayon incident; # et £ dési- gnent, dans ce rayon, les déplacements d’une molécule mesurés paral- lèlement au plan d'incidence et perpendiculairement à ce plan. Si lun de ces déplacements venait à s’évanouir, le rayon incident deviendrait un rayon plan renfermé dans le plan d'incidence, ou polarisé suivant ce même plan, et qui pourrait être représenté, dans le premier cas, par

la seule formule

(27) g—hcos(ux+vr—s{t+p)} dans le second cas, par la seule formule

(28) É—ccos(uxz + vy — 5 + y).

Comme le rayon représenté par le système des formules (24) offre tout à la fois les deux espèces de déplacements moléculaires observés dans les rayons plans que représentent les formules (27) et (28) prises cha- cune à part, on dit que le premier rayon résulte de la superposition des deux autres. Chacun des rayons réfléchi et réfracté peut, d’ailleurs, aussi bien que le rayon incident, être considéré comme résultant de la superposition de deux rayons plans; l’un de ces derniers étant renferme dans le plan d'incidence, ou, ce qui revient au même, polarisé perpen- diculairement à ce plan, et l’autre étant, au contraire, polarisé suivant ce même plan. Cela posé, après la réflexion ou la réfraction, le rayon plan, renfermé dans le plan d'incidence, sera représenté par la pre- mière des formules (25) ou (26), et le rayon polarisé suivant le plan d'incidence par la seconde.

Observons encore que, dans les formules (24), (25), (26), les demi- amplitudes des vibrations et les paramètres angulaires se trouvent repré-

sentés par hihi à" et PAT RE à

32 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE. pour les rayons renfermés dans le plan d’incidence, et par

RES RE et CASE Es

pour les rayons polarisés suivant le même plan. Au point où le rayon incident rencontre la surface réfléchissante on à

Lt 0,

ce qui réduit les formules (20), (21), (22) aux suivantes :

(29) 8 — H ere, £ —C evr-st, (30) cr HET, nt ent, (31) y N'est Cane,

et les formules (24), (25), (26) aux suivantes :

(32) 8 —h cos(vy—st{ +), É —=c cos(vy —st +), (33) 8, —h,cos(vy—st+,), E,=c,cos(vy — st +), (34) 8 — h' cos{vr — 5! + nu’), lt its Er Cor) V F } V /

Il suit des formules (29), (50), (31) que la réflexion ou la réfraction d'un rayon simple renfermé dans le plan d'incidence, ou polarisé sui- vant ce plan, fait varier dans ce rayon le déplacement symbolique

3 ou € dans un rapport constant. Ce rapport, qui sera d’ailleurs imaginaire, est ce que nous nommerons le coefficient de réflexion ou de réfraction. Si on le désigne par

Li 00.4 pour le rayon plan renfermé dans le plan d'incidence, et par

à

pour le rayon polarisé suivant ce plan, on aura

/ f

vid SA PERL 5 OR OA SH Lo (i=g= :

(35)

EXTRAIT N° 70. 33

et, par suite, eu égard aux formules (17), (18),

(36) 1 ARE J' — RP EURE. sin(t'+t) sin(T+T) I — (1+€c')cos(r+r)+(G+6')sin(r+r)ÿ—1. (3m) (1H GE')cos(r—7')+(G+C')sin(r— 7 }y—:1 CE dt Fr - 1 + CC nn. (1+68')cos(r—r')+(&+6)sin(r—r}y—:1

Il suit des formules (32), (33), (34) que la réflexion ou la réfraction d'un rayon simple, renfermé dans le plan d'incidence ou polarisé sui- vant ce plan, fait varier, dans ce rayon, l'amplitude des vibrations mo- léculaires dans un certain rapport donné, et ajoute en même temps au paramètre angulaire un certain angle. Ce rapport et cet angle sont ce que nous appelons le module et l'argument de réflexion ou de réfrac- tion. Si l'on désigne le module et l'argument de réflexion ou de réfrac- tion par

es

| A: Et ou par Let pour le rayon renfermé dans le plan d'incidence, et par FN n::oupar: et. 7,

pour le rayon polarisé suivant ce même plan, les constantes positives 4 : h | U (38) I — h° Fes Li J at

seront, en vertu des formules (35), les modules des éxpressions imagi- naires

tandis que les arcs réels (39) pp pp janv, j'=v—v

représenteront les arguments de ces mêmes expressions. On aura donc

(40)

Qt

CEuvres de C.— S.I,t.V,

31 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

Ces dernières formules, jointes aux équations (36) et (37), suffiront pour déterminer complètement les valeurs des modules et des argu- ments de réflexion et de réfraction.

Lorsqu'un rayon doué de la polarisation rectiligne, ou circulaire, ou elliptique, est considéré comme résultant de la superposition de deux ayons plans, dont l’un est polarisé suivant un plan fixe donné, et l'autre perpendiculairement à ce plan, nous appelons anomalie du rayon résultant la différence entre les paramètres angulaires des rayons com- posants. Cette anomalie, qu'on peut sans inconvénient augmenter ou diminuer d’un multiple de la circonférence 27, peut être censée ré- duite à zéro ou à + pour un rayon doué-de la polarisation rectiligne, et à

T à 2e , . . . . — — ou à ; Pour un rayon doué de la polarisation circulaire. Nous appe- 2 d + \

lons encore azimut du rayon résultant, par rapport au plan fixe, l’azimut qu'on obtiendrait si l’anomalie se réduisait à zéro, c’est-à-dire l'angle aigu que formerait dans cette hypothèse le plan du rayon résultant avec le plan fixe. Donc l'azimut sera toujours l'angle aigu qui aura pour tangente trigonométrique le rapport entre les amplitudes des deux ayons plans et polarisés, l’un perpendiculairement au plan fixe, l’autre suivant ce même plan.

Concevons maintenant que le rayon donné soit un rayon incident sur la surface de séparation de deux milieux et représenté par les équations (24). Si l’on prend pour plan fixe le plan d'incidence, l’ano- malie de ce rayon pourra être exprimée par la différence

V<h,

et la tangente trigonométrique de l'azimut par le rapport

e <

Pareillement, dans le rayon réfléchi ou réfracté, l'anomalie sera repré- sentée par la différence

L 4 ? ! Vs us: DU. VB)

EXTRAIT N° 70. 39 et la tangente de l’azimut, par le rapport ou h h Cela posé, la tangente de l’azimut et lanomalie, mesurées dans le rayon réfléchi ou réfracté, se déduiront aisément de la tangente de l'azimut et de l’anomalie mesurées dans le rayon incident. On tirera en effet des formules (38) et (39)

AÉRIE JA r (e (41) HE ORNE RES dé et QE Cv p=Qi)+(v-p): pit) + (8).

On doit surtout remarquer le cas où l’anomalie du rayon incident se réduit à zéro et la tangente de son azimut à l'unité, en sorte que ce rayon soit, non seulement doué de la polarisation rectiligne, mais de plus renfermé dans un plan qui forme avec le plan d'incidence un angle égal à la moitié d’un angle droit. Nous appellerons anomalie et azimut de réflexion ou de réfraction ce que deviennent, dans ce cas par- ticulier, l’anomalie et l’azimut du rayon réfléchi ou réfracté. Si l'on désigne par

les azimuts, et par dj:

les anomalies de réflexion et de réfraction, alors, en posant, dans Les formules (41) et (42),

E be 1, Y—1—o, on en tirera tang L tango” L DB'— = O = (43) De CHU

d— y — i, ER D

et, en vertu de ces dernières, on réduira les équations (41), (42) à la

36 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

forme

(44) RL

Observons encore qu’en vertu des formules (40) et (43) on aura

/

(45) — tangweiV-!, £ — tangw'eÿ V-t

mi | = |

et que, pour déterminer à l’aide des formules (45) les valeurs de m, w, 0, 0’,

il suffira d’y substituer les valeurs des rapports

tirées des équations (37). |

Les formules qui précèdent comprennent, comme cas particulier, les équations données par Fresnel pour représenter les lois de la ré- flexion et de la réfraction de la lumière à la première et à la seconde surface des corps transparents, lorsqu'il existe un angle d'incidence pour lequel un rayon simple est toujours, après la réflexion, complète- ment polarisé dans le plan d'incidence. Elles montrent les modifica- tions que doivent subir ces mêmes lois dans la supposition contraire. Cest ce que j'expliquerai plus en détail dans les Exercices d'Analyse et de Physique mathématique. Je me bornerai ici à observer que, dans la première hypothèse, on doit avoir, pour la valeur de + qui répond à la polarisation complète du rayon réfléchi,

et par suite, en vertu de la première des formules (37), (1+ 6G')cos(r +7 )—=0, (G+G')sin(r+r)—0o.

Or, &, &’ étant positifs ou nuls, on ne peut vérifier ces dernières équa-

EXTRAIT N° 70, 37 tions qu’en posant (46) cos(r +7 )—0, Es, &'— 0, et par suite

' T HE (47) Fin? série (RARES

La première des formules (47) montre que l’angle de polarisation com- plète, quand il existe, est celui pour lequel les rayons réfléchi et ré- fracté se coupent à angle droit, suivant la loi découverte par M. Brew- ster. De plus, les deux dernières des équations (46) réduisent les

formules (37) aux suivantes :

: cos(r — 7! 3: , (48) For = —cos(r — 7}, I cCOS(T+T)

et de ces dernières, jointes aux formules (45), on tire : 1° pour le

rayon réfléchi,

cos(r— 7) N tango — OT SE Terre , 8 cos(r+r) $ | <3 (49) ÇA - Rues: « ! 4 tangæ — 7 = Ô—0 ST T —: cos(r—T—7T) ; ; Paie.

2° pour le rayon réfracté, (50) tangm' —cos(T—7')}, d'—o.

Les formules (49) et (5o) sont précisément celles qui ont été vérifiées à l’aide d’un grand nombre d'expériences entreprises par Fresnel et par d’autres physiciens, particulièrement par M. Brewster. Les azimuts et les anomalies de réflexion ou de réfraction, représentés dans ces for- mules par les lettres V#. FPE D

sont précisément les quantités qui servent à faire connaître ce qu'on peut nommer le mouvement du plan de polarisation et la translation des nœuds dans le passage du rayon incident au rayon réfléchi ou réfracté.

33 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

TE

PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Note sur les milieux dans lesquels un rayon

sunple peut être complètement polarisé par réflexion.

C. R., t. IX, p. 726 (2 décembre 1839).

Lorsque les équations des mouvements infiniment petits d’un sys- tème Isotrope de molécules deviennent homogènes, elles se réduisent à celles que nous avons données dans la séance du 24 juin dernier (voir les Comptes rendus, 1° semestre, p. 990) (‘) et renferment deux constantes désignées par les lettres 1 et f. Si, d’ailleurs, le système isotrope que l’on considère est du nombre de ceux dans lesquels un rayon simple peut être complètement polarisé par réflexion, la con- stante f, comme nous l'avons prouvé dans la dernière séance, se réduira au signe près à l’unité, en vérifiant la formule

f— — 1, Donc alors, si l’on nomme, au bout du temps £, bre Mais les déplacements d’une molécule mesurés au point (x, y, =) parallè- lement aux axes coordonnés, et » la dilatation du volume en ce même point, on aura [D?—:(Di+D;+D2)]E +:D,u —o, (1) À [DE (D2 + D? + D2)]n + «Dyu — 0, [DE — «(D2+ D?+ D2?)]£ + «Dev — 0,

la bei de v étant

(2) u=D.Ë+D,n + D.Ë; puis on en conclura, non seulement

(3) D?v— 0,

(1) Œuvres de Cauchy, S. 1, t. IV. — Extrait n° 54, p. 431.

EXTRAIT N° 72. 39 mais encore

(4) [D?— (D? Di + D?)]D?8— 0,

# désignant le déplacement d’une molécule mesuré parallèlement à un axe fixe qui pourra coincider, si l'on veut, avec l’un des axes coordon- nés. Si, d’ailleurs, on nomme @ la vitesse de propagation des ondes planes, correspondantes à un mouvement simple, et sans changement de densité, qui se propage sans s’affaiblir, la constante : ne sera autre chose que Le carré de la vitesse Q, en sorte qu'on aura

(= 02

En vertu des formules (39) de la page 994 (1 semestre) ('), Les vitesses de propagation des deux espèces de mouvements simples qui peuvent, dans un système isotrope, se propager sans s’affaiblir, ont pour carré & et (1 + f). Donc le rapport de ces deux vitesses sera géné- alement ÿ1+ f. Dans les équations adoptées par MM. Navier et Pois- son on à f— 2, et le rapport des deux vitesses devient V3. Mais, lors-

que = — 1, ce même rapport se réduit évidemment à zéro. 2. PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Mémoire sur la polarisation incomplète pro-

duite, à la surface de séparation de certains milieux, par la réflexion

d'un rayon sunple.

C R.,t, IX, p. 727 (2 décembre 1839).

Concevons qu'un rayon simple, et dans lequel les vibrations sont transversales, étant réfléchi par la surface de séparation de deux mi- lieux isotropes, ne se trouve jamais complètement polarisé dans le plan d'incidence, et que l'impossibilité d'arriver à la polarisation com-

(1} Œuvres de Cauchy, S. 4, &. IV. — Extrait n° 54, p. {40.

h0 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

plète résulte de la nature, non du premier, mais du second milieu, en sorte qu’il suffise de changer la nature de celui-ci pour obtenir, sous une certaine incidence, un rayon réfléchi qui soit complètement pola- risé. Alors, des deux constantes désignées par

FRE tj

dans le Compte rendu de la précédente séance, la première f se réduira au signe près à l'unité, en vérifiant la condition

et l’on aura, par suite,

Mais la constante f’, prise en signe contraire, différera de l’unité; par conséquent, la quantité &’ sera, non pas égale, mais supérieure à zéro. Ces principes étant admis, concevons que le rayon incident soit dé- composé en deux autres, l’un renfermé dans le plan d'incidence, l’autre polarisé suivant le même plan ; pins, représentons Îles coe/ji-

cients de réflexion où de réfraction par

F'oN +

pour Île premier des rayons composants, et par

F-oû +

pour le second. On aura, en vertu de ce qui a été dit dans la dernière séance,

(1) net) 7 _ 25inr' cost sin(r ++) sin(r' +t)°

— J,

| ES cos(r +7) +G sin(r+T)y—1- | cos(T — r') + G'sin(r—r')ÿ—1

»

# I = ; = J l cos(r — 7’) +G'sin(r—7')ÿ—1

r, 7 désignant les angles de réflexion et de réfraction, et la valeur de &’ étant

(3) C' — AR : ; [: rase)

[CPS

EXTRAIT N° 72. h1 Comme les formules (1) ne renferment pas &’ et sont, par suite, indé- pendantes de la constante f”, il en résulte que les lois de la réflexion et de la réfraction, relatives au rayon polarisé suivant le plan d'inei- dence, restent les mêmes dans le cas où l’on peut obtenir la polarisa- tion complète par réflexion, et dans le cas où la polarisation demeure généralement incomplète, quelle que soit l'incidence. Cette proposi- tion, que j'ai déjà énoncée dans la séance du 1% juillet, parait con- forme à des expériences entreprises depuis cette époque.

Soient maintenant

les azimuts et

les anomalies de réflexion ou de réfraction, c’est-à-dire, en d’autres termes, ce que deviennent, après la réflexion ou la réfraction, l’azimut et l’anomalie du rayon résultant quand, ce rayon étant primitivement doué de la polarisation rectiligne, son azimut primitif, mesuré par rapport au plan d'incidence, est la moitié d’un angle droit. On aura, en vertu des formules établies dans la dernière séance,

er Fi (4) tangæ eèv—! Tr tangæ'.e9 V1 — — ;

puis, de ces dernières équations jointes aux formules (2), on tirera

(5) tangw' .e V1 — COS (Tr — +’) + G' sin(r—+)}y—1, et (6) ——. etè—Ë)ÿ-1 — — COS(T+T') + G' sin (7 + r')=1.

On vérifiera la formule (5), relative au rayon réfracté, en posant

{ lang?" — cos? (r — T)+G'?sin?(r— 7)

(7) |

9 — arctang[©’ tang(r—r})]. On vérifiera ensuite la formule (6) en posant

(8) cot?æ — [cos?(r +7) + G'?sin?(r+7r')]cot?x", OEuvres de C. — S.1,t. V. 6

42 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE. et, de plus,

! À LS : T | = d'+ arctang[©'tang{r+7')|+r, si r+7 et

(9) | l d — d'+ arc tang[ &’tang(r + 7')], Si T+T >

SIA

Si f”, étant inférieur à — 1, en diffère très peu, en sorte qu’on ait

19

1+f——5?,

:’ désignant une constante positive très petite, on trouvera sensible-

ment

Cotrsnri

; ne ; : SinT ; puis, en nommant 4 l'indice de réfraction sine et posant pour abréger ç’ ci 9?

on trouvera encore (10) : G'— esinr.

Cela posé, les formules (7), (8), (9) donneront à très peu près

tang?m” == Cos?{r — +) + e? sin?r sin?{r — 7’), DA | d'-— arctang{esinrtangir —7'}|]; (12) col?æ — [cos?{r+ 7) +e2sin?rsin?{r+ r')]cot?w' et

| d—0d"+ arctang{e sinr tang{r + VIENS tre 4 (13)

| d— 0’.+ arctang[esinttang{r + 7')], si rT+r> 2.

On se trouve ainsi ramené aux formules que j'ai données dans la séance du 1 juillet, page 9 (*).

(1) Œuvres de Cauchy, S.X, 1. IV. — Extrait n° 35, p. 456.

EXTRAIT Ne 73. 3

15.

PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Sur la réflexion des rayons lumineux produite

par la seconde surface d'un corps isophane el transparent.

C. R., t. IX, p. 764 (9 décembre 1839).

Dans un grand nombre de questions relatives à la Physique mathé- matique, il s’agit de savoir sous quelles conditions un mouvement vi- bratoire, qui a pris naissance dans un milieu donné, se transmet à un autre milieu, et quelles sont les lois suivant lesquelles le mouvement se réfracte en passant du premier milieu dans le second, ou se réfléchit dans l’intérieur du premier milieu. De semblables questions se rencon- trent à chaque instant, non seulement dans la théorie de la lumière, mais encore dans la théorie du choc des corps, dans celle des plaques vibrantes, etc., ...; et cette remarque explique suffisamment tout l'intérêt que les physiciens et les géomètres attachaient avec raison à la recherche des équations qui doivent être remplies dans le voisinage de la surface de séparation de deux milieux, par exemple de deux systèmes de molécules. Comme la nature des phénomènes observés se trouve intimement liée à la forme de ces équations, tant que celles-ci demeuraient inconnues, il fallait renoncer à traiter d’une manière rigoureuse les plus belles questions de la Physique, par exemple la réflexion et la réfraction de la lumière. Heureusement, dans un précé- dent Mémoire, je suis parvenu à vaincre la difficulté que je viens de signaler, en donnant une méthode générale pour la formation des équations relatives aux limites des corps. Pour montrer de plus en plus les avantages de cette méthode, je me propose de l'appliquer suc- cessivement aux divers problèmes de Physique mathématique; et déjà, dans les précédentes séances, on a pu voir avec quelle facilité elle donnait les lois de la polarisation des rayons lumineux réfléchis ou réfractés par la première surface d’un corps isophane et transparent. Les formules qui expriment ces lois renferment deux constantes dont

hr COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

la première, bien connue des physiciens, est celle que l’on nomme #n- dice de réfraction, et varie avec la nature du corps transparent entre les limites r et +, traire, diffère généralement très peu de l'unité. Lorsque cette der-

ou r et3; tandis que la seconde, prise en signe con-

nière constante se réduit, au signe près, à l'unité, un rayon polarisé rectilignement, suivant un plan quelconque, peut tomber sur la surface réfléchissante sous une incidence telle qu'il se trouve, après a ré- flexion, complètement polarisé dans le plan d'incidence; et l'angle d'incidence pour lequel cette condition est remplie, ou ce qu’on nomme l'angle de polarisation complète, a précisément pour tangente trigonomé- trique l'indice de réfraction, conformément à un théorème de M. Brew- ster. Dans ce même cas, les formules qui représentent les lois de la po- larisation sont précisément les formules si remarquables qui ont été données par Fresnel, et qui se trouvent ainsi pour la première fois déduites de méthodes exactes. Mais il en est autrement lorsque la deuxième constante ne se réduit pas, au signe près, à l’unité; et alors on voit disparaître l'angle de polarisation complète, en sorte qu'il n'existe plus d'incidence pour laquelle un rayon simple soit toujours polarisé par réflexion dans le plan d'incidence, quel que soit, d’ail- leurs, l’azimut primitif de ce rayon, c’est-à-dire l’angle formé avec le plan d'incidence par le plan qui renferme le rayon incident. Dans ce dernier cas, les lois de la polarisation se trouvent exprimées par des formules que j'ai données dans la dernière séance et qui renferment, comme cas particulier, les formules de Fresnel relatives aux corps transparents.

Au reste, les diverses formules que je viens de rappeler supposent l'existence d’un rayon réfracté qui se propage dans le second milieu sans s’affaiblir. Cette supposition est toujours conforme à la réalité lorsque, les deux milieux étant transparents, l'indice de réfraction, c'est-à-dire le rapport entre le sinus d'incidence et le sinus de ré- fraction, est supérieur à l'unité; attendu qu’alors, en passant du premier milieu dans le second, un rayon simple se rapproche de la normale à la surface réfléchissante. Mais c’est précisément le con-

EXTRAIT N° 73. h5 traire qui aura lieu si l’indice de réfraction est inférieur à lunité. Alors, en effet, à l'instant où l’angle d'incidence, venant à croître, offrira un sinus égal à l'indice de réfraction, le rayon réfracté rasera la surface réfléchissante. Si, l’angle d’incidence croissant encore, son sinus devient supérieur à l’indice de réfraction, le rayon réfracté dis- paraïitra, ou plutôt il s’éteindra en pénétrant à une petite profondeur dans le second milieu; par conséquent, ce second milieu, qui était transparent sous des incidences moindres, remplira les fonctions d’un corps opaque, et l’on obtiendra ce qu'on appelle le phénomène de la réflexion totale, V'angle de réflexion totale n'étant autre chose que celui qui a pour sinus l'indice de réfraction. La réflexion totale s’observe toutes les fois qu’un rayon propagé dans l’air, après avoir traversé la première surface d’un verre ou d’un cristal, tombe sur la seconde sur- face de manière à former ave la normale un angle supérieur à celui que nous venons d'indiquer.

Les formules que je présente aujourd’hui à l'Académie sont relatives à la réflexion totale produite, comme on vient de le dire, par la se- conde surface d’un corps transparent. Ces formules renferment encore les deux constantes, dont la première est l’indice de réfraction, et fournissent, lorsque la deuxième constante se réduit, au signe près, à l'unité, les résultats auxquels Fresnel était parvenu en cherchant, di- sait-il, ce que l'analyse voulait indiquer par les formes, en partie ima- ginaires, que prennent dans le cas de la réflexion totale les coefficients des vitesses absolues déterminées dans l'hypothèse de la réflexion par- tielle. En vertu de ces mêmes formules, l’azimut de réflexion se réduit à l’unité, par conséquent le rayon incident et le rayon réfléchi offrent toujours le même azimut dont la tangente trigonométrique représente le rapport entre les amplitudes des vibrations mesurées perpendicu- lairement au plan d'incidence et suivant ce même plan. Donc la ré- flexion fait varier seulement l'anomalie du rayon incident, ou, ce qui revient au même, la distance entre les nœuds de deux rayons plans qui, par leur superposition, produiraient le rayon incident, et dont l’un serait polarisé suivant le plan d'incidence, l’autre étant renfermé dans

46 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

ce plan. Donc si l’on fait subir à un rayon primitivement doué de la polarisation rectiligne une suite de réflexions totales sur des surfaces perpendiculaires à un même plan d'incidence, le dernier rayon réflé- chi, quand il sera doué lui-même de la polarisation rectiligne, offrira toujours un azimut égal à celui du rayon incident; en d’autres termes, ces deux rayons formeront avec le plan d'incidence des angles égaux, mais qui pourront se mesurer en sens contraire de part.et d'autre de ce plan.

Quant à l’anomalie de réflexion, qui représente la différence entre les anomalies des rayons réfléchi et incident, elle varie dans le cas de la réflexion totale avec l’angle d'incidence, et s’évanouit : 1° lorsque, l'angle d'incidence étant l'angle de réflexion totale, le rayon réfracté rase la surface réfléchissante; 2° lorsque, l'angle d'incidence étant droit, le rayon incident rase la même surface. Entre ces limites, il existe un angle d'incidence pour lequel l’anomalie de réflexion atteint un maximum, et le supplément de ce maximum est précisément le quadruple de l'angle de polarisation complète.

Pour qu'un rayon soit polarisé circulairement, il suffit que son ano- malie se réduise à un angle droit, son azimut en étant la moitié. De cette remarque, jointe à la règle que nous venons d’énoncer, on con- clut facilement qu'un rayon plan peut être transformé en un rayon doué de la polarisation circulaire par deux réflexions totales opérées sur la surface intérieure du verre, sous un angle d'environ 52°, ou par une seule réflexion opérée sur la surface intérieure d’un diamant, sous un angle d'environ 33°. On se trouve ainsi ramené, d’une part, à un résultat énoncé par Fresnel, et que cet illustre physicien a vérifié à l'aide de l'expérience; d'autre part, à une proposition que j'ai déjà indiquée dans une lettre adressée à M. Ampère (voir le Compte rendu de la séance du 11 avril 1836) (").

Je remarquerai, en finissant, que mes formules fournissent encore le moyen de calculer des quantités qui, selon toute apparence, ne pour-

(1) OEuvres de Cauchy, S. X, t. IV. — Extrait n° 5, p. 21.

EXTRAIT N° 53. k7 raient facilement se déduire d'expériences directes, par exemple la

rapidité avec laquelle s'éteint la lumière en pénétrant dans le second des milieux donnés, et d'obtenir les lois de cette extinction.

ANALYSE.

Considérons, comme dans la séance du 25 novembre (p. 679 et suiv.) (‘), deux milieux isotropes séparés par une surface plane que nous prendrons pour plan des y, 3; et concevons qu'un mouvement simple et par ondes planes, mais sans changement de densité, se pro- page dans le premier milieu situé du côté des x négatives. Supposons encore qu'à l'instant où ce mouvement simple atteint la surface de sépa- ration, 11 donne toujours naissance à un seul mouvement simple réflé- chi et à un seul mouvement simple réfracté. Lorsqu'on prendra pour axe des 3 une droite parallèle aux traces des ondes incidentes sur la surface réfléchissante, les équations symboliques des trois mouvements simples, incident, réfléchi et réfracté, se réduiront aux formules (1), (2), (3) de la page 680 (?), les valeurs des constantes imaginaires

A, Sa, pc:

4

étant liées à celles des constantes

par les formules (6), (12) et (13) [ p. 682 et 683 (*)], et les valeurs des coefficients

u=U0Y—“\, v—vy—1, u! étant liées elles-mêmes à l'angle d'incidence + par les formules (9) et (15) [p. 682 et684 (*) |, en vertu desquelles on aura non seulement (a) u — k cosr, v= ksinr, mais encore u? == #"? — 6? — y? — k°? et, par conséquent,

(2) u'2— k?sin?r — k’2.

(1) OEuvres de Cauchy, S. 1, & V. — Extrait n° 70, p. 20 et suiv. ( Id. Id. p.25:

LE Id. Id. p.. 27 et 28. (+) Id. El. p. 27 et 29.

k8 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE. Lorsque les constantes réelles k, k’ vérifient la condition K°>Kk, l'équation (2) fournit une valeur toujours négative de w'?, par consé- quent, des valeurs toujours imaginaires de &w’; et, par suite, quel que soit l’angle d'incidence, le mouvement réfracté se propage sans s’affai- blir. Alors aussi, en nommant +’ l'angle de réfraction, et 0 l'indice de réfraction, on a x kit sir,

(3) s sit: KL:

de sinr _k°

par conséquent, la formule (2) se réduit à u'2—k'2{sin?z — 1) — — k'? cos?r', et on la vérifie, comme on devait s’y attendre, en posant uw @V—1, v—=k'cos7. Dans tous les cas, si l’on combine la formule (2) avec la suivante (4) k'— 6k, on en tirera

/

(5) u'?— k2 (sin?r — 02).

Si d’ailleurs on nomme 5 l’azimut et à l’anomalie de réflexion, la pre- mière des formules (45) [p. 6go (‘)] donnera

(6) tangw eV 1 — _

tandis que l'on tirera des formules (12), (13) et (35) [pages 682, 685 et687 (*)]

(o2— uu'){: So )+ lu +u)s4 4 r) + VD" US (7) l te : J,

s ; e I 1 (v2 + uu (- ne (u “ete + ee

(1) OEuvres de Cauchy, S. 1, t. V. — Extrait n° 70, p. 36. (2) Id. Ii. p. 27, 28 et 32.

EXTRAIT N° 73. 49

les valeurs de ©, ©’ étant 1

9 k? ; L $ #9 2 3 (8) = ” Lt , v'=(w- = :

Concevons maintenant que l’on ait k'Ck. Alors l'indice de réfraction 0, déterminé par la seconde des formules (3), deviendra inférieur à l'unité; et si l’on pose, pour abréger, (9) d — arcsin0, l'équation (5) ne fournira une valeur négative de w'?, par conséquent des valeurs imaginaires de w', qu’autant que l’on supposera TL, ou, ce qui revient au même, sinr << 6. Si l’on a, au contraire, T> 4, et, par suite, sin+>0, l'équation (5) fournira une valeur positive de w'?, par conséquent deux valeurs réelles de w’, l’une positive, l’autre né- gative; et la valeur négative deu’ sera 10) uw — LU,

U désignant une constante positive déterminée par la formule

nÉ . | (13) U=Kk{sin?:— 8)?—ksin? (+ 4)sin?(r — dd).

/

Alors le mouvement réfracté s’éteindra en se propageant dans le second milieu; et l'amplitude des vibrations moléculaires, étant proportion- nelle à l’exponentielle ; "Ur décroitra en progression géométrique, tandis que l’on fera croitre en progression arithmétique l’abscisse æ, c'est-à-dire la distance d’une molécule à la surface réfringente.

Dans le cas que nous considérons ici, l’azimut et l’anomalie de ré-

flexion peuvent encore être déterminés à l’aide des formules (6), (7) OEuvres de C.—S.1,t. V. 7

50 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE:

et (8). Si la nature des deux milieux est telle qu’un rayon simple se trouve toujours, sous une certaine incidence, complètement polarisé

par réflexion, on aura

I / ER PE Er (12) f—— 1, ff——:1, TS 05 — —=0,

et, par suite, les équations (6), (7) donneront

S rc + uu (13) tangw.e’V RE TELE PE puis, en ayant égard aux formules u—kcosTy/—1, v—=ksinry—1, u—=— KkU,

on tirera de l’équation (12)

+ .— sinr+Ucosry—1: (14) tango. eiV-1 — V .

sin? 7 — Ü cosz ÿ—:1

On vérifiera la formule (14) en posant

(15) tangw — 1

et

G : U cos

(16) 0 2 APCE sin?

Si, dans l'hypothèse admise, et en supposant les conditions (12) vé- rifiées, on calcule, non plus seulement les valeurs de 5 et de ÿ, ou, ce

. , A + [l à qui revient au même, la valeur du rapport — mais encore les deux

termes de ce rapport, Let}, qui représentent les coefficients de ré- flexion d’un rayon renfermé dans le plan d’incidence ou polarisé sui- vant ce plan, on reconnaitra que les modules de ces coefficients se réduisent, tout comme le module de leur rapport, à l'unité. Par consé- quent, dans cette hypothèse, les amplitudes des vibrations moléculaires ne varient pas quand on passe du rayon incident au rayon réfléchi; ce qui fait dire que la réflexion est totale. L’angle de réflexion totale est l'angle d'incidence pour lequel la réflexion totale commence à se pro-

EXTRAIT N° 73. o1 duire, c'est-à-dire l'angle Ÿ déterminé par la formule (9). Il suit d’ail- leurs de la formule (15) que, dans le cas de la réflexion totale, l’azimut de réflexion se réduit à la moitié d’un angle droit, et par suite l’azimut du rayon réfléchi à l’azimut du rayon imeident. Quant à l’anomalie 5, on la tire aisément des formules (11) et (16), ou, ce qui revient au

même, de la suivante

£ 4 es à sin?(r+d)sin®(r— 4) °AESE LE (17) lang — — 22 25 fl, RAP à sin (angr (! ae RER Pa “HSIT: et comme, en vertu de ces formules, on aura encore . ORNIA Ô sin?r — 02)}{(1 — sin?r 1— 02\2 1 + 02 6) 2 (18) tang?- — : 1 ) — sas ain sert LE 2 sin‘ 7 2 0 2 0 sin?7

il est clair que cette anomalie, qui s’évanouit : 1° pour + — 4, 2° pour

T Ra T > F5 = 5» acquerra, entre les limites + —%, += => une valeur maximum

pour laquelle on aura

I sin?r — == ————°. (19) 1 + 02° 2 9. 0

Lorsque, les conditions (12) étant remplies, l’angle d'incidence - reste inférieur à l’angle de réflexion totale, alors, pour que le rayon réfléchi soit complètement polarisé dans le plan d'incidence, il faut que

l’on ait [voir la formule (47), p. 691 (‘)]| NT: 2

De cette dernière formule, jointe à là première des équations (2), on

conclut tangr — 0.

Done, si l’on nomme o l'angle de polarisation complète, on aura (20) o — arc tang0,

et, par suite, la seconde des formules (r9) donnera < — (21) T—È—49.

(1) Œuvres de Cauchy, S. 1, t. V. — Extrait n° 70, p. 37.

52 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

Ainsi, a réflexion totale, l’anomalie maximum a pour Ainsi, dans le cas de la réflexion totale, 1 P

supplément le quadruple de l'angle de polarisation.

14.

THÉORIE DES NOMBRES. — T'héorèmes relatifs aux formes quadratiques

des nombres premiers et de leurs puissances. C.R.,t. X, p. 51 (13 janvier 1840).

Parmi les résultats auxquels je suis parvenu dans le Mémoire pré- senté à l’Académie le 31 mai 1830, et inséré par extrait dans le Bulletin des Sciences de M. de Férussac, il en est un qui a particulièrement attiré l'attention des géomètres. Je veux parler du théorème suivant lequel une puissance d’un nombre premier p, ou le quadruple de cette puis-

sance, peut toujours être converti en un binôme de la forme x?+ ny

lorsque, » étant un diviseur premier de p — 1, et de la forme 4x + 3, on prend pour exposant de la puissance Le double du plus petit nombre entier équivalent, abstraction faite du signe, et suivant le module n, à

celui des nombres de Bernoulli,

de 6» :40x* Amir

dont le rang est représenté par le quart de » + 1. D'ailleurs ce même exposant a pour valeur exacte, ou la différence entre le nombre des résidus et le nombre des non-résidus inférieurs à la moitié du module », ou le tiers de cette différence, suivant que ce module divisé par 8 donne pour reste 7 ou 3. Or non seulement la proposition que je viens de rappeler renferme, comme cas particulier, un théorème remarquable énoncé par M. Jacobi dans le Journal de M. Crelle, mais il est bon d’ob- server qu'elle se trouve elle-même comprise dans une proposition plus

EXTRAIT N° 74. 53 générale qui me parait digne d’être signalée, et que je vais énoncer en peu de mots.

Supposons que, » représentant toujours un diviseur impair dep — 1, ce diviseur 2 soit encore de la forme 4x + 3, mais cesse d’être un nombre premier. Soit d’ailleurs 2 l’un quelconque des nombres entiers, prémiers à x et inférieurs à : 2. Lorsqu'on prendra successivement pour modules les divers facteurs premiers de », que nous supposerons inégaux entre eux, 2 pourra devenir plusieurs fois un non-résidu qua- dratique, et ce nombre de fois pourra être ou pair ou impair. Cela posé, comptons les valeurs de 2 qui se trouvent dans l’un des cas, et, du nombre de ces valeurs, retranchons le nombre de celles qui se trou- vent dans l’autre. Le quadruple de la puissance de p qui aura pour ex- posant, ou la différence obtenue, si » est de la forme 8x + 7,ouletiers de cette différence dans le cas contraire, pourra toujours être converti en un binôme de la forme x°+ #y?; et l’on pourra effectuer immédia- tement cette conversion en multipliant l’un par l’autre, dans un certain ordre, les facteurs primitifs du nombre premier p.

Des théorèmes analogues sont relatifs au cas où le nombre » serait pair, ainsi qu'au cas où 2, étant impair, serait de la forme 4x +1, pourvu que, dans ce dernier cas, le nombre p — 1 soit divisible par 4.

ANALYSE. p étant un nombre premier, ñ un diviseur impair de p — 1, en sorte qu'on ait p — 1 = #5, 9 une racine primitive de l’équation x? = 1, e une racine primitive de l’équation æ*= 1, tune racine primitive de l’équivalence x?-!=1 (mod. p), et À, k des quantités entières,

posons

(1) 04 = 0 + ph 0 + ph +, + ptp-2)A QU 2

(a) R, — 0204.

54 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

En vertu des principes exposés dans le Bulletin des Sciences de M. de Fé- russac (septembre 1829) et rappelés dans la séance du 28 octobre dernier (*), on aura : 1° en supposant À divisible par »,

(3) 84— 09 ——1;

2° et supposant À non divisible par »,

(4) 020-x—(—i)Ap, Raa= —(—1)7#p.

On trouvera par suite, en supposant 2 ou # divisibles par », (5) Rx —1,

et, en supposant À, #, ainsi que À + #, non divisibles par », (6) RES er De plus, si » est pair, alors la valeur de

0, = 0 n = 0 — 0! + ASERRE Re pure. ger —?

2 2

sera déterminée par la formule

(7) (Q— 9t+ Gt... + QT — GP 21) 2 p. Enfin nous désignerons, avec M. Legendre, par la notation O O

)

PA 2 le reste de la division de À * par le nombre p, et par suite l’on aura

(2) (5) =: ou “À = 4, P P

selon que sera résidu quadratique ou non résidu quadratique suivant le module p.

(1) OEuvres de Cauchy, S. I, t. IV. — Extrait n° 64, p. 506.

Pour obtenir les formules que nous donnons ici, il suffit de remplacer, dans celles que renferme le Compte rendu de la séance du 28 octobre, 2 par #4, et k par 54, puis d'écrire, pour abréger, 6x, @x, R,x, au lieu de 05, Ow5x, Ron,mk.

EXTRAIT N° 74, 39

Cela posé, considérons d’abord le cas où 2 est un nombre impair, et

soient

les facteurs premiers de 2, que nous supposerons, pour plus de simi- plicité, inégaux entre eux. Concevons d’ailleurs que, k étant un nombre entier, premier à #, on pose, avec M. Jacobi ('),

CENCAIE

Parmi Les nombres entiers, inférieurs à » et premiers à », les uns

{a QT | 1 08

vérifieront la condition

les autres vérifieront la condition

Cela posé, faisons

1 — 04 0x Or. .., J — 00; 0,.

Ke À

sn) () (5)

le nombre des entiers inférieurs à x et premiers à ». Si le diviseur 7

et soit

de p — 1 est de la forme 4x + 1, on aura ) cn te Pere D nm ne à) k4\ _{ D ot et par suite, en vertu de la première des formules (4), x x (8) ‘ 1 p", J Re

(1) Comptes rendus des séances de l’Académie de Berlin, octobre 1837.

56 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

Mais 1l n’en sera plus de même, lorsque 7 sera de la forme 4x + 3, et

que l’on aura en conséquence

Soient, dans ce dernier cas,

À on 0 os AT, ce que devient le polynôme

Q—G+G—,.,.+ 0m per,

quand on y substitue à p le nombre premier

CRE CS NE 1 D Se à 9, une racine primitive de l'équation

Fred ou rer ou ET, ss

enfin, à £, une racine primitive de l’équivalence 2v-tæ1 (mod.v), où 2"-'ær (mod.»'}, ou x*-1=1 (mod.v”)}, On trouvera

9) ESA HONTE, 11 -"BANAT +,

À, B désignant deux quantités entières, qui, pour certaines valeurs de », pourront être divisibles par p ou par une puissance de p. Comme on

aura d’ailleurs

par conséquent

(10) AAA" (1) n;

et de plus, en vertu de la première des formules (4),

-

(11) D=p!,

EXTRAIT N° 74. 57 on tirera des équations (9) et (10), en supposant » de la forme 4x +3,

N 2

(12) ip Concevons maintenant que l’on ait

RP) ue

”, v, v', ... désignant toujours des facteurs premiers impairs, et suppo- sons que, étant un entier premier à », par conséquent impair, on représente par | (ee 7)

\

la quantité + 1 où — 1 à laquelle on peut réduire le reste de la divi- sion de 2 par 4. Posons d’ailleurs généralement

ÉMOTION

Enfin partageons les entiers inférieurs à # et premiers à x en deux groupes | LPS RE DRE D et ANR AA

les termes du premier groupe étant ceux qui vérifient la condition

(es .

et les termes du second groupe, ceux qui vérifient la condition

D.

En raisonnant comme ci-dessus, désignant par

n l ll a 2 v} \ y le nombre des entiers inférieurs à », mais premiers à », et posant tou-

Jours [= 0,0% 0x1..., J—= 040 Oyr..., OEuvres de C.—S,. I, t. V. : 8

58 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE. on trouvera, si x est de la forme 4x + 3,

N 4 )

(13) Ep = pt.

Si au contraire z est de la forme 4x + 1, on obtiendra la formule

Z

(14) 2— A2+ yy'y”...B?,

ou, ce qui revient au même, la formule (15) pe Ar

A, B étant des quantités entières, qui pourront être divisibles par p ou par une puissance entière de p.

Supposons encore n—=8Suvy",..,

v, v', v”, ... étant des facteurs premiers impairs. Alors le nombre des entiers inférieurs à x et premiers à z sera toujours

Concevons d’ailleurs que l’on partage ces entiers en deux groupes

US AR RS HUE Re

en plaçant dans le premier groupe ceux qui, étant de la forme 8x +1 ou 8x + 7, vérifient la condition

h ——°Î cri UE PER 4

et ceux qui, étant de la forme 8x + 3 ou 8x + 5, vérifient la condi- tion

Alors, en supposant toujours

1 — 9; 0x Opr .…, J = 64 0 Or ...,

EXTRAIT N° 74. 59

on trouvera, si = est de la forme 4x + 1,

(16) p'=A?+ouwy"... B?,

ou, ce qui revient au même,

A, B désignant des quantités entières qui peuvent être divisibles par p ou par une puissance de p. Pour rendre la formule (17) applicable au cas où z serait de la forme 4x + 1, il suffirait de prendre pour

! A CCR | OS LA

ceux des entiers, inférieurs à » et premiers à z# qui, étant de la forme 8x +1 ou 8x + 3, vérifient la condition

à h _. vy'v" Ta

et ceux qui, étant de la forme 8x + 5 ou 8x + 7, vérifient la condi-

tion

Soit maintenant p'

la plus haute puissance de p qui, dans les formules (12), (15), (17), divise simultanément A et B. Si l’on pose

A=piz, B=py et

= 2 —n,

ces formules donneront respectivement : 1° pour x = vy'v"...,

(18) Apl=x2+n7?;

60 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

2° pour n = 4vw'v”... ou pour nr = 8vwv'v’..., 19) ph= a+

æ, y étant des nombres entiers, non divisibles par p.

Il reste à expliquer comment on peut obtenir dans chaque cas la valeur de l’exposant y.

Or, parmi les entiers premiers à 2, mais inférieurs à £n, les uns. dont nous désignerons le nombre par #, appartiendront au groupe

ÈS SO: REA S les autres, dont nous désignerons le nombre par , au groupe

RS DAS dre

é HE N et, comme le nombre total de ces entiers sera évidemment = les nom- bres , j vérifieront la condition

u

(20) FIRE:

Cela posé, si l’on étend à tous les cas la méthode de caleul que nous avons suivie dans le Mémoire du 31 mai 1830, lorsque 7 était un nombre premier de la forme 4x + 3, on arrivera aux conclusions sui- vantes.

Si Le nombre z est impair et de la forme 4x + 3, l’exposant w se ré- duira simplement à la valeur numérique de la différence

i— 7}, ou au tiers de cette valeur numérique, suivant que x divisé par 8 don- nera pour reste 7 ou 5. : F ea 2e n Si, le nombre À étant divisible par 4, — est de la forme 4x ++, ou 4

six, étant divisible par 8, donne pour quotient un nombre impair, l’ex- posant y se réduira simplement à la moitié de la valeur numérique de

la différence ? — y.

Quant aux valeurs entières de x propres à vérifier les formules (18),

EXTRAIT N° 74. 6!

(19), on les déduira, si x est impair, de la formule

(21) = plat +5) et, siz est pair, de la formule

(22) ne VA rit « \ M LA ar 7 I

Si d’ailleurs on pose, pour abréger, O

(23) { Pr Rx RM. Q GE Rx, Re, ss

on trouvera : 1° en supposant z de la forme 8x + 7,

x |

/ | M

2° en supposant » de la forme 8x +53,

PA à Fe 0

3° en supposant 2 divisible par 4 ou par 8,

(26)

Il est bon d'observer que les seconds membres des formules (21), (22) peuvent être réduits, en vertu de la formule (2), à des fonctions rationnelles de 5. Cela posé, si, dans ces seconds membres, on remplace la lettre » qui représente une racine primitive de l'équation

DUT par une racine primitive r de l’équivalence at = (mod.p),

alors, en ayant égard à la formule (6) et aux principes établis dans l’article déjà cité dans le Bulletin des Sciences, on obtiendra facilement

un nombre équivalent à æ? suivant le module p; puis on en déduira

62 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

immédiatement la valeur de x?, si se réduit à l’unité. Mais si y sur- passe l’unité, alors, pour déterminer x, on pourra, ou recourir direc- tement à l’équation (21) ou (22), ou bien remplacer dans le second membre de cette équation la lettre ÿ par une racine primitive de l’équi- valence | æt—=1 (mod.p#). Pour montrer une application des formules précédentes, supposons

n — 8. On aura

1 = 0,03 —=R;,3:0:, J — 6;0; = R;,:0:,

1 _ Res _ p°

TJ Res Res et, par suite, les formules (19) et (22) donneront

PEF+ar

Si, dans la dernière formule, on remplace la racine primitive o de l'équation

SN 23 par une racine primitive 7 de l’équivalence

æ=1 (mod.p),

alors on devra remplacer aussi R;,, par le rapport

EXTRAIT N° 74. 63

#7.

/ ARE | ; , la valeur de 5 étant À = et l’on pourra prendre en conséquence

Rd me (mod. p).

Ces conclusions s'accordent avec une formule donnée par M. Jacobr.

__ Les seuls cas auxquels les formules (18) et (19) ne soient pas appli- cables sont : r° le cas où l’on supposerait x — 3; 2° le cas où l’on sup-

poserait n — 4. Dans le premier cas, où l’on a

RE, Er Es i) fre, Îi—j=1, on doit prendre y = 1=41— 7; et alors, en partant de l'équation P — R,: R>2 2

=

on est conduit aux formules

Ep=2?#37?, Ne PERRET

données par M. Jacobi (Journal de M. Crelle, 1827). Dans le second cas, où l’on a

sr: ke 4%: FE Fes 0, Ê—J =1, on doit encore prendre u = 1 —i—/; et alors, en partant de l'équa- tion

PL Ri,1 Rs,s,

on est conduit aux formules

qui ont été obtenues par M. Gauss, dans son beau Mémoire sur la théorie des résidus biquadratiques (avril 1825) (").

(1) Voir les Mémoires de Gôttingue, de 1827.

6h COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

Nous indiquerons dans un autre article diverses conséquences re- marquables qui peuvent encore se déduire des formules ci-dessus éta-

blies.

Fe L 4 19, TuéORIE DES NOMBRES. — Observations nouvelles sur les formes quadratiques

des nombres premuers et de leurs puissances.

C.R.,t. X, p. 85 (20 janvier 1840).

Les divers théorèmes énoncés dans le Compte rendu de la dernière séance, et relatifs aux formes quadratiques de certaines puissances des nombres premiers ou du quadruple de ces puissances, peuvent ètre aisément établis à l’aide des considérations suivantes.

S 1. — Somme des racines primitives d’une équation binôme.

Fonctions symétriques de ces racines. Soient ñn un nombre entier quelconque, h, k, 1. les entiers inférieurs à », et premiers à », N le nombre des entiers À, #, L, .…, : une racine primitive de l'équation

(1) eg À

Les diverses racines primitives de la même équation seront pr, ph, pl

Nommons s la somme de ces racines, en sorte qu’on ait

(2) BE NE

Si x se réduit à un nombre premier impair v, ou à une puissance d’un semblable nombre, alors, pour obtenir s, on devra former la somme

EXTRAIT N° 75. 65

totale des racines de l'équation (1), et de cette somme retrancher celle des racines de l’équation

À ÉomErS 0h

Or comme, la première de ces deux sommes étant toujours nulle, la seconde offrira pour valeur l'unité ou zéro, suivant que l’on aura

{em , ou ni,

il est clair qu’on trouvera

= — 1,

si » est un nombre premier impair, et

oO 0

si 2 est le carré, le cube, ... d’un tel nombre. La supposition x — 2

donnerait évidemment ne EE VO

Si x représentait une puissance de 2 supérieure à la première, alors, en vertu des formules

(3) P=—r pp

les valeurs de OR TEE À

seraient deux à deux égales, au signe près, mais affectées de signes contraires, et par suite on trouverait encore

= 0),

Enfin, si x était un nombre composé quelconque, en sorte qu'on eût (4) MERS 0.)

a, b,c, ... désignant des exposants entiers, et v, v’, y”, .… des facteurs premiers dont l’un pourrait se réduire à 2; alors une racine primitive

quelconque de l'équation (1) serait le produit de facteurs correspon- dants à <

ŒEuvres de C.—S.I,t. V. 9

66 .. COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

et dont chacun représenterait une racine primitive de l’une des équa- {ions

1b

' < A à, ASE \ MS NL (5) FLAN 8 AS À nn à

Donc alors la valeur de s, correspondante à l'équation (1), serait le produit des valeurs de s correspondantes aux équations (5). Ilest aisé d'en conclure : 1° que, si » est un nombre pair ('), ou impair, divi- sible par un carré, la somme s des racines primitives sera toujours nulle; 2° que si x est un nombre pair ou impair, dont les facteurs pre- miers v, v', v’, ... soient inégaux entre eux, la somme 8 sera équiva- lente à — 1, quand les facteurs premiers v, v’, y’, ... seront en nombre impair, et à +1 quand ces facteurs premiers seront en nombre pair.

Ainsi, en particulier, la somme des racines primitives sera — 1 pour

chacune des équations

Te, À 8 Leman LS HA anis 1 Tim Ain 2 ons

zéro pour chacune des équations

Te À A ere LP ANT, DER FA Ent à 1e : et +1 pour chacune des équations DIN, SA PA LAIT L'or, FPE Meme PA PAS mc LA

Quant au nombre N des racines primitives, correspondant à la va- leur de x fournie par l'équation (4), il sera, dans tous les cas, donné

par la formule (6) No per pe, Dr (eu (ot 1),

\

ou, ce qui revient au même, par la formule

k A nr

Ce nombre sera donc toujours pair, à moins que l’on n'ait na — 2, et

par suite N — 1.

(1) Cette partie de la conclusion peut encore se déduire généralement des formules (3).

EXTRAIT N° 75. 67 n'étant un entier distinct de », et o le plus grand commun diviseur

de x, n', on peut toujours trouver des nombres entiers &, + propres à

vérifier la formule nu—nv—0@.

Cela posé, toute racine commune aux deux équations x! es F, xt" — F.

devra évidemment vérifier encore l'équation plus simple æ*"" = 7,

ou Ÿ ske lement

Réciproquement, toute racine de la dernière équation devra encore vérifier les deux autres. Or, comme le diviseur commun o ne variera pas, si, »’ étant un nombre composé, on efface dans »’ un facteur pre- mier à », il est clair qu'après une telle suppression l’équation

A)

continuera toujours de subsister. Ce principe étant admis, soit #2 un nombre premier à ». Si l’on a

oh —— ere, par conséquent prm(A—h) nel : R

h, Æ étant premiers à », et inférieurs à x; alors », devant vérifier si- multanément l'équation (1) et la suivante

amntk-h) — É: sera, d’après ce qu'on vient de dire, une racine de l'équation

ak-h — | 0

On aura donc

Done, si ?* diffère de 2”, ,”* devra différer de 2”#. Donc, en supposant, comme nous le faisons, que

SE ER À

représentent des nombres distincts, inférieurs à » et premiers à », on

68 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

pourra représenter les N racines primitives de l'équation (1), non seu- lement par pe DM plates mais encore par on, pk, pe, Ai

m pouvant être lui-même un quelconque des nombres k, #, /, ...; et la seconde suite offrira les mêmes termes que la première, mais rangés dans un ordre différent. En multipliant de nouveau chaque exposant par », une ou plusieurs fois, on obtiendra d’autres suites qui seront elles-mêmes propres à représenter les racines primitives, savoir

2 : £ pe k, id k, 0 d,

8 3x 3 sra, pe : p’e,

Donc les termes de la suite

>, pr, pra,

dont les exposants croissent en progression géométrique, représente- ront autant de racines primitives distinctes qu'il y aura d'unités dans l’exposant : de la plus petite puissance de 72 propre à vérifier l’équiva- lence

(8) m'=1 (mod.n).

Si x est un nombre premier impair ou une puissance d’un tel nombre, alors, » étant premier à z, on trouvera

: = N,

et en conséquence les racines primitives de l'équation (1) seront égales aux différents termes de la suite

ph, puh, ph, EU pmN— a, qui se réduiront en particulier à

2 Ne 0, pre, eh } FE pre #

EXTRAIT N° 75. 69

lorsqu'on prendra, comme on peut le faire, À — 1. Si x est précisément un nombre premier impair, on aura

N—n—:,

et dans ce cas les diverses racines primitives pourront être représen- tées par les divers termes de la suite

9, pr, A REP De,

e désignant l’une quelconque de ces racines, et 2 un nombre entier quelconque, premier à 2. Donc alors les termes de la suite

2 n—2 0, pe, D os x PPS pe :

dans laquelle les exposants croissent en progression géométrique, se- ront les mêmes, à l’ordre près, que les termes de la suite

9

Ps P° p, ss pre,

dans laquelle les exposants croissent en progression arithmétique. Soit maintenant fe) une fonction entière de la racine primitive » de l'équation (r). On pourra toujours, dans cette fonction, réduire l’exposant de chaque puissance de o à un nombre entier plus petit que », et poser en consé- quence

(9) (lo) ra abat asp

A6 Ai As ee. dy désignant des coefficients indépendants de o. Sup- posons d’ailleurs que les différents termes du polynôme représenté par f(o) se transforment les uns dans les autres, quand on y remplace la racine primitive 9 par une autre racine primitive £”*; f(e) sera ce qu'on peut nommer une fonction symétrique des racines primitives de l'équa- tion (1). Or, en écrivant suecessivement à la place de 5 chacune des racines primitives RON AE SRE

70 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

on reconnaitra que, dans f(£), ceux des termes de chacune des suites

o?h, n°8, pe, Res pi#, A ps, oi _ qui sont distincts les uns des autres, doivent avoir les mêmes coeffi- cients. D'ailleurs ces mêmes termes se réduisent toujours aux diverses acines primitives de l’équation (1), ou du moins d’une équation de la forme

(10) . TRES

w étant un diviseur du nombre 7 qui peut devenir égal à ce même nombre. Done, dans f(2), les diverses racines primitives de l’équa- tion (ro) devront offrir les mêmes coefficients; et une fonction syme- trique des racines primitives de l'équation (1) se réduira toujours & une Jonction linéaire des diverses valeurs que peut acquérir la somme des ra- cines prümulives de l'équation (10), quand on prend successivement pour w chacun des diviseurs du nombre n, y compris ce nombre lui-même. Si par

exemple z se réduit à un nombre premier, alors la suite pp Ph

renfermant les mêmes termes que la suite

PE PS DC ES Sie

les termes de cette dernière devront offrir, dans f(2), des coefficients égaux, et l’on aura en conséquence

Af— A2— ... — Ay_1; (18) f(p)} = a0+ afp +p+... + pt). S IL. — Somme alternée et fonctions alternées des racines primitives

d’une équation binôme.

Supposons à présent que, dans le cas où l’on remplace la racine primitive ? de l'équation (1) par une autre racine primitive #" de la

: EXTRAIT N° 75. 71 même équation, les différents termes contenus dans f(9) se transfor- ment, au signe près, les uns dans les autres, et que deux termes, qui se déduisent ainsi l’un de l’autre, se trouvent toujours affectés du même signe pour certaines valeurs

Mod : RUES Ch -du nombre », mais affectés de signes contraires pour d’autres valeurs 5 k, k’, | Ca

du même nombre; en sorte que, sous ce point de vue, les entiers in- férieurs à », et premiers à », savoir,

se partagent en deux groupes He Mo D ..: et NET OS Lie

Alors dans f(+) le coefficient a, s’évanouira nécessairement; et f(:)

sera une fonction linéaire, non plus de chacune des sommes

ph + ph + pt RER p?2h + ph + pal + ss

ph p3k + O3 + 4

mais de chacune des sommes algébriques

{

4 + ph + p#” +... —p# — p{ — ph" Len (12) ) ph 4 p2h" + ph" + cr pk 2 va ph" |

2 | | p3h + p3h an 3h" + ee ph — pSk O5, ns

où l’on ne doit admettre que des termes distincts les uns des autres, propres à représenter les diverses racines primitives de l'équation (ro), pour une certaine valeur de w, et pris en partie avec le signe +, en partie avec le signe —. D'ailleurs, les termes que précède le signe + devant se changer en ceux que précède le signe —, quand on rem-

72 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

place o par L”, les termes de l’une et l’autre espèce devront être en même nombre dans chacune des sommes algébriques dont il s'agit, aussi bien que dans la fonction f(,); et si, dans ces sommes ou dans cette fonction, on fait succéder à un terme précédé du signe + un terme correspondant précédé du signe —, on pourra obtenir une suite de termes alternativement positifs et négatifs. Pour cette raison, nous désignerons sous le nom de fonction alternée et de sommes alternées la fonction f(#) et les sommes (12), dont chacune peut acquérir seule- ment deux valeurs et deux formes distinctes, quand on y remplace une racine primitive par une autre. Cela posé, si l’on désigne par A la somme alternée des racines primitives de l'équation (r), A sera la pre- mibre des sommes algébriques (12), en sorte qu’on aura

13) A PE PRE PE se = PEROU Or comme, dans cette somme, les termes

L h' h" 1 ” SE PET EN AS PR RE

seront tous distincts les uns des autres, et en nombre égal à N, le nombre des termes positifs ou des entiers

et le nombre des termes négatifs ou des entiers

k, k', Te

A ’ LA La “ N e . devront y être séparément égaux à 5° ce qui suppose N pair. Si x se réduit au nombre 2, l'équation

9

Fr Haine

n'offrira qu'une seule racine primitive 9 — — 1, avec laquelle on ne pourra composer une fonction alternée, ou une somme alternée, puisque N cessera d’être pair, en se réduisant à l’unité.

Si x est un nombre premier impair, les sommes (12) se réduiront

: EXTRAIT N° 75. 73

\ LÆ # ESE LE D toutes à la première, et par suite f(2) sera de la forme F5 1 5

(UNrper ” ZEN its N RSI ù (14) f(p)— aa, ie HD) : RE FORNIA. 7 c’est-à-dire que la fonction alternée f(+) sera proportionnelle à la somme alternée A des racines primitives de l'équation (1).

Observons maintenant que si l’on prend pour » l’un des nombres BEN re,

les termes 6” et L”*, ou P”* et P#*, ou P* et L**, ..., comparés deux à deux, devront être généralement affectés de signes contraires dans le second membre de l’équation (13); et puisque L* y est affecté du signe +, p** devra s’y trouver affecté du signe —, ”* du signe +, p”"* du signe —,.... Donc la somme alternée A sera représentée en partie ou en totalité par la somme algébrique

9e —! ph aa pmh ee omh 5e ph NES pm k,

que l’on réduira simplement à

(15) p— pn+ pm... — pm",

en prenant, comme on peut le faire, À = 1. Dans la somme (15), comme dans l'équation (8), #° désigne la plus petite des puissances de 72 qui soit équivalente à l'unité suivant le module ».

Si x est un nombre premier impair, ou une puissance d’un tel nombre,

alors les entiers SONT. CR RUE

inférieurs à x et premiers à », vérifieront l’équivalence (16) aN\=1 (mod.n)

les uns étant résidus quadratques, et racines de l’équivalence

N .2

ACT

les autres non-résidus quadratiques, et racines de l’équivalence

CEuvres de C.—S.1I,t. V. 10

74 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE,

D'ailleurs, 2 étant l'un quelconque des nombres 2, #, £, ..., la substi- tution de 2” à changera non seulement 9 en 2”, mais aussi 9” en gp”; et par suite, dans la somme alternée A, £"° devra être précédé du même signe que o. Donc, si op y est précédé du signe +, on pourra en dire autant de toutes les puissances de 9 qui offriront pour exposants des ré- sidus quadratiques ; et, comme le nombre de ces puissances sera pré-

+ N : à cisément -; les autres puissances, qui auront pour exposants des non-

résidus quadratiques, devront être toutes affectées du signe —. Donc alors les nombres #, £', ..., et par suite le nombre 77, dans la somme (15), ne pourront être que des non-résidus. D'ailleurs, si l’on prend pour »2 un tel nombre, on aura : — N; par conséquent la somme (15), renfermant autant de termes que la somme A, représentera en totalité cette dernière somme; et la valeur de À, réduite à

/ 2 de (17) A = p— pr + pri — + pt ;

\

sera effectivement une fonction alternée des racines primitives de l'équa- tion, attendu qu’elle acquerra seulement deux valeurs égales, au signe près, mais affectées de signes contraires, lorsqu'on y remplacera suc- cessivement la racine primitive ? par l’une des autres racines primi- Lives

N—1

pe; pr 7 pr Si x se réduit à un nombre premier impair, on aura N—n —1,

\

de, AZ p— pr pr. + pt,

/ /

et d’après un théorème de M. Gauss, rappelé dans une précédente

séance, Lies 19) M=(—i) tn. Mais, si l’on a REV

Y étant un nombre premier impair, et & un entier supérieur à l’unité,

on trouvera N=—va-1{y— 1),

EXTRAIT N° 75. 75 et, m» étant un nombre quelconque premier à », les divers termes de la progression arithmétique

1 — 4 m, m + y, m +2, ….., nm + (ya dur 10 |

seront tous à la fois résidus quadratiques ou non-résidus quadratiques. Or, la somme des puissances de ?#, qui auront pour exposants ces mêmes termes, se réduisant à

as Fr na

CEE de PS

0,

p nt

et ces puissances étant les seules qui, dans la somme alternée A, offrent des exposants équivalents à 72, suivant le module v,ilen résulte que, en supposant # — v*, on obtiendra une valeur nulle de A. Alors aussi lon obtiendra encore des valeurs nulles pour celles des sommes (12) quine se réduiront pas à la somme ® des racines primitives de l'équation

LV=T, Done, lorsque x représentera une puissance quelconque d’un nombre premier impair, non seulement on aura (20) 0 mais de plus f(2) sera de la forme

(at) f(p) = a ®.

Nous avons déjà observé qu’il n'existe point de somme alternée des racines primitives de l’équation (1), dans le cas où l'on suppose x = 2. Mais il n’en sera plus de même quand on prendra pour z#une puissance de 2. Concevons qu'alors on réduise toujours l’un des nombres

MONS à l'unité. Si, pour fixer les idées, on suppose 7 — 4, on trouvera

Aue, ft et

(22) A=p—#p

76 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

sera une somme alternée des racines primitives de l’équation MIET.

Cette même somme, égale à 29, vérifiera d’ailleurs la formule

(23) A2=— 4.

Si l’on suppose 2 — 8, on pourra prendre

à Ent D ee 3 F5, 1. ou bien

LEE l'in e k=a RE ou enfin

Pas, ken, Ka, Rat

et obtenir ainsi trois sommes alternées des racines primitives de l’équa-

tion MOT.

De ces trois sommes alternées, la première, savoir . (24) A=p+pi—pi— pt, vérifiera la formule

(25) A?= — 8;

la seconde, savoir

(28) A=p+ps—pt—p, se réduira simplement à

(27) A6

et la troisième, savoir

(28) A=p+pt—p—p5, vérifiera la formule

(29) A? — 8,

Enfin, si x est une puissance de 2 supérieure à la troisième, alors, en

1 1

EXTRAIT N° 75.

partant de la formule

on reconnaitra que toute somme alternée des racines primitives vérifie la formule (20), ou ETS En résumé, si x est un nombre premier ou une puissance d’un tel nombre, À sera nul, à moins que » ne se réduise à 4 ou à 8, ou à un nombre premier impair. D'ailleurs, dans ce cas, on aura toujours A? — + n, savoir

KT;

si z est de la forme 4x + 1;

si À est égal à 4, ou de la forme 4x + 3; enfin

AT A, ou = — n, si a est égal à 8.

On peut encore s'assurer facilement que, dans le cas où, x étant 7 ou 8, A? se réduit à + 7, ou à — », les sommes (r2) s’évanouissent toutes à l'exception de la première. Done, alors, une fonction alternée des racines de l'équation (1) est encore proportionnelle à la somme alternée de ces racines.

Quand » est un nombre composé, alors, pour obtenir une somme alternée des racines primitives de l'équation (r), ou une valeur de A correspondante à cette équation, il suffit de multiplier les unes par les autres des valeurs de A correspondantes séparément à chacune des équations (), en laissant toutefois de côté l’équation

9

Leeds

lorsque le facteur » est une seule fois divisible par le nombre 2. Le produit ainsi obtenu ne pourra différer de zéro, en offrant pour carré + n, que dans le cas où les facteurs premiers et impairs de x seront inégaux, le facteur pair étant 4 ou 8. Dans le même cas, une fonction

78 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

alternée f(,) des racines primitives de l'équation (1), étant nécessaire- ment une fonction alternée des racines primitives de chacune des équa- tions (5), sera tout à la fois proportionnelle aux diverses valeurs de A qui correspondent à ces diverses équations. Donc f(2) sera proportion- nelle au produit de ces valeurs; et comme le carré de ce produit sera

+7, on aura

30. fp)P=Æ ne,

a désignant le coefficient de p dans f(o).

S HE. — Application des principes établis dans les paragraphes précédents.

Concevons à présent que, p étant un nombre premier impair, x dé-

signe un diviseur de p — p, Aux divers entiers h, V l,

inférieurs à 2, mais premiers à 2, correspondront autant de facteurs primitifs du nombre p représentés, dans le Compte rendu de la dernière séance, par

Os 065 D: Soient d'ailleurs N le nombre des entiers 2, #, {, ..., 5 une des racines primitives de l'équation (1), et concevons qu'avec les diverses racines primitives

k

L p#,

l

p

de la même équation on forme, s’il est possible, une somme alter- née À, dont le carré A? soit égal à + ». Enfin partageons les exposants des diverses puissances de 5 dans ces racines primitives, c'est-à-dire les entiers

en deux groupes h, , 1, Vu et k, *. Le eos

en plaçant ces entiers dans le premier ou le second groupe, suivant que les puissances correspondantes de se trouvent affectées du signe

EXTRAIT N° 75. pe + ou du signe — dans la somme alternée A. Les facteurs primitifs Os x se trouveront eux-mêmes partagés en deux groupes On, Mur On ne et Oz, y, Our,

et, si l'on pose = 0z 0x: 0 +3 he 0704 Or ts

on reconnaitra que [+7J

est une fonction symétrique des racines primitives de l'équation {1}, et I—7J

une fonction alternée deces mêmes racines. On aura par suite

et, en vertu de la formule (30), (F—J=—=2+LnB?,

A, B désignant deux nombres entiers; puis on en conelura AE = A2 nB?;

et comme on aura d’ailleurs

on trouvera encore

(31) 4p

La formule (31) se rapporte au cas où l’on a A?— + n, c'est-à-dire au

= AE nb*.

cas où, les facteurs impairs de 7 étant inégaux, le facteur pair se ré-

duit à l’un des nombres CONS Nes

Si l’on a en particulier

#

AR, ce qui suppose z divisible par 8, ou de l’une des formes

ix+r, 4(4x+3),

80 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

on trouvera x x Isis M, A ap, | Re à M Mais si l’on à A2= — n, ce qui suppose » divisible par 8, ou de l’une des formes 4x +3, 4(4x+:),

B cessera de s’évanouir, et le double signe, dans la formule (31), se réduira au signe +. Soit alors p} la plus haute puissance de p qui di- vise simultanément A et B, et posons : N

A=pæ, B—p\y, Re 2). La formule (31) donnera (32) Apu= x?+ ny?, x, y, t. désignant trois nombres entiers dont le dernier sera pair ou : ' ; LE L : ; Hé impair en même temps que =: Si d'ailleurs 7, étant pair, est divisible par 4 où par 8, x devra être pair, et, en posant x — 2x’, on tirera de la formule (32)

(33) ph= 22+ 7"

Ainsi la formule (32) comprend toutes celles que nous avons établies dans la dernière séance. Observons encore que, si æ, y sont impairs dans l'équation (31), x?, y? seront équivalents à l’unité, suivant le module 8, et x? + ny? ou 4p", non seulement à 4 (p# étant un nombre impair), mais aussi à » + 1. Done +, y ne pourront être impairs, dans l'équation (32), que dans le cas où n +1 sera de la forme 8x +4 et » de la forme 8x + 3. Si au contraire » est de la forme 8x + 1; alors, dans l'équation (32), æ, y seront nécessairement pairs, et, en posant

on réduira cette équation à

31) Ph = x? + ny2, .

EXTRAIT N°76. 81 Si l’on pose par exemple » = 7, on aura & — 1, et l’on retrouvera une formule donnée par M. Jacob1.

16.

e

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fonctions alternées et sur diverses formules d'Analyse.

C.R.,t. X, p. 178 (3 février 1840).

Après les fonctions symétriques de plusieurs variables, c’est-à-dire après les fonctions qui censervent les mêmes valeurs quand on échange ces variables entre elles, viennent naturellement se placer les fonc- tions que j'ai nommées fonctions alternées, et qui, étant composées de termes alternativement positifs et négatifs, peuvent seulement changer de signe, en conservant, au signe près, les mêmes valeurs quand on échange entre elles les variables ou les quantités qu’elles renferment. La considération de ces fonctions conduit à un grand nombre de for- mules remarquables, soit dans l’Algèbre, soit dans la théorie des nombres. Entrons à ce sujet dans quelques détails.

J'ai déjà fait voir, dans l'Analyse algébrique, que la considération des fonctions alternées offrait la méthode la plus facile pour l’établis- sement des formules générales relatives à la résolution des équations du premier degré, quel que soit d’ailleurs le nombre des inconnues, En appliquant cette méthode au développement du produit de plu- sieurs facteurs de la forme

IH TZ, 1422, 1H 232, ...,

on trouve ;

| (1+æz)(i+x?z)(i+xsz)...(1+x"3)

D Eee \ De ZXt ne | 1) : | PTS PE A PT PEL HE ts Pb ne an | ir U—æ)h =)

OŒEuvres de C:—S.I, t. V. Il

82 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

Lorsque la variable +, réelle ou imaginaire, offre un module inférieur à l'unité, il suffit de faire croître #2 indéfiniment pour déduire de l’équa- tion (1) une formule donnée par Euler (Zntroduct. in Analysin infruto- rum, Cap. XVI), savoir,

/ æ x? , (1+zz)(i+x?z)(i+ riz)... —=1+ - 3 + pret À ; 1— ZX (1— (sr — 25)

Les théorèmes importants qu’Euler a déduits de cette dernière formule se trouvent évidemment renfermés, comme cas particuliers, dans les théorèmes analogues qui se déduisent immédiatement de la for- mule (r).

Si dans l'équation (1) on remplace d'abord x par x?, puis z par =>

on en tirera

oi t+xz)(i+xsz)(r + xt ne { L I1— x2n 1— 2m 2m—2 9 OR mn PU és ER 1 — x? (1—x?)(1— xt)

. l . Si dans les formules (r)et (2) on remplace z par — "on obtiendra

des formules de même genre qui fourniront les développements des produits

(3) (3— æ)(3 —2t)..:(3.0m), (2—x)(z—x3)(3 — xmt),

suivant les puissances descendantes de z.

Si, au lieu de développer les produits (3), on se proposait de dé- composer en fractions simples des fractions rationnelles qui offri- raient pour dénominateurs ces mêmes produits, on y parviendrait aisé- ment à l’aide de la formule d’interpolation de Lagrange. Ainsi, par exemple, en désignant par f(z:) une fonction entière de z, d’un degré inférieur à », on trouverait généralement

(i—x)li— xt)... (1—x) (32—x)(32—2x?)...(2— x) (3) Rs H#) Poe. D f(æ?) (1—æm)(r — xm-1) de DA Ro a2(m—1) (1 APE æ)(3 + x) us f(æs) (i1—zm)(r—pm-t){5 pme) L DOERT Fiæem) pi pm +7 Re. «fe 5 Ù

xä(ni—1) (i—x)(i-—x?)(2— 23) amCMm-1) g — gMm

EXTRAIT N° 76. D 83 Dans les divers termes du développement que renferme la for-

mule (1), les puissances entières de z se trouvent respectivement mul- tipliées par les facteurs |

“ CHÈŸC PRE LOUE c'est-à-dire par les puissances de æ dont les exposants se réduisent aux nombres triangulaires. Si l’on nomme $,, ce que devient le déve- loppement dont il s’agit quand on supprime ces facteurs, on aura

SENS a _ me PSE au ae ED er {= æ%7t)

Det one 80, 1— 2 (1—æ)(i — 2?)

[OL

et l’on en conclura, non seulement

( RES LL om S, ET is = MA Z + an? 3? ER 6 1— ZT El (a—xmt)(r — x?) + An 73 —- — Fe U—z)t1 2)

2 ss HET"

Sr Een (1 + 2) Sms —+- (1 — Lt 3m O:

1 Si, dans la formule (6), on pose : — x”, elle donnera

m

(8) is)

et l’on aura par suite / £ am | CSN is). et)

(9) F sm. (1—xm)(i— xt) m | = + “3 ZX + . + x | æ (1— x)(1— x?)

® Si, dans la formule (5), on pose 3 — — 1, elle donnera

(10) Sm — (1— x 1)Smo,

et l’on aura par suite

| {i—æ)(i—æ)..,(1— mt)

(ar) 1— æ?m (1— x2m)(1— x2m-2) | =I— PRG SON R TS — HI. 1—

84 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

Ainsi la considération du développement désigné par $,, conduit im- médiatement aux formules (9) et (11), que M. Gauss a données dans le Mémoire intitulé Summatio serierum quarumdam singularium.

Dans la théorie des nombres, la considération des fonctions alternées fournit, comme je l’ai fait voir précédemment, des théorèmes relatifs aux formes quadratiques des nombres premiers et de leurs puissances. Elle conduit aussi de la manière la plus directe au beau théorème de M. Gauss sur la forme quadratique que peut acquérir le premier membre d’une équation binôme, débarrassée de la racine 1; théorème qui peut être étendu, comme l’a remarqué M. Dirichlet, au cas même où l’exposant n’est pas un nombre premier. Voulant montrer comment cette extension peut être opérée, M. Dirichlet a choisi pour exemple le :as où l’exposant est le produit de deux facteurs premiers impairs. La formule qu’il a ainsi obtenue, et les formules analogues qui corres- pondraient au cas où l’exposant contiendrait plus de deux facteurs, se trouvent renfermées dans le théorème général qui comprend celui de M. Gauss, et qu’on peut énoncer comme il suit :

THÉORÈME. — Supposons que, dans l'équation binôme LM F0, les facteurs premiers impairs de l’exposant n soient inégaux, le facteur pair, s'il existe, étant 4 ou 8. Lorsqu'on aura débarrassé l'équation de ses

racines non primitives, le quadruple du premier membre pourra être pre-

senté sous la forme quadratique X2Æ n Y?,

X, Y désignant des fonctions entières de la variable x, dans lesquelles les diverses puissances de cette variable auront pour coefficients des nombres

entiers. Nota. — Si, aux racines primitives de l'équation binôme XI 0, on substitue les racines correspondantes de l'équation binôme

rte 0,

EXTRAIT N° 77. 85

le produit des facteurs linéaires correspondants aux racines dont il s’agit sera encore de la forme

Seulement X et Y représenteront deux fonctions entières, non plus d’une variable unique x, mais des deux variables x, y. |

:

THÉORIE DES NOMBRES. — Suite des observations sur les formes quadratiques de certaines puissances des nombres premiers. T héorèmes relatiyjs aux

exposants de ces puissances.

C.R.,t. X, p. 181 (3 février 1810).

Adoptons les notations dont nous avons fait usage dans les articles précédents, et soient en conséquence

p un nombre premier impair,

n un diviseur dep — 1,

h, k, 1, ... les entiers inférieurs à 2, mais premiers à n,

Oz, 0x, 07 .. les facteurs primitifs correspondants du nombre p,

N le nombre des entiers , #, {, ...,

e une racine primitive de l'équation (1) ht,

enfin A une somme alternée des racines primitives de cette même équation. On pourra partager les entiers

en deux groupes AN À 1. et M AT

en plaçant ces entiers, ou dans le premier ou dans le second groupe,

86 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

suivant que les puissances de », dont ils seront les exposants, se trou- veront affectées du signe + ou du signe — dans la somme alter- née A; et alors les facteurs primitifs

0x, 0x, O7, se trouveront eux-mêmes partagés en deux groupes DA D am 5: et 0x, Ox, Oz, Cela posé, soient (2) 1= 60,0% 0z..., J—0,0x0,»r ..; on aura généralement

N

(3) 1] — p?.

‘

De plus, des deux binômes

le premier sera une fonction symétrique, le second une fonction alter- née des racines primitives de l’équation (1); et, si la somme alternée A est telle que l’on ait

(4) ME,

on trouvera, non seulement

(5) 1+J—A,

mais encore

(6) I—J— BA,

A, B désignant deux quantités entières, dont la seconde pourra s’éva- noutr. Alors aussi l’on aura généralement

Fi h+h-+h+... =k+k+k"+...=zo (mod. nn).

Toutefois, ces diverses formules ne sont pas applicables aux cas parti- culiers où » se réduirait à l’un des nombres 3, 4, 8. Mais ces trois cas peuvent être traités séparément et fournissent des résultats déjà connus (voir les pagés G2 et 63).

EXTRAIT N° 77. 87 Si l’on suppose l’équation (4) réduite à

A1,

on trouvera

et par suite

Mais, si l'équation (4) se réduit à

(8) A?—=— n,

B offrira une valeur différente de zéro. Alors aussi des équations (5, (6), jointes aux formules (3) et (8), on tirera

(9) 4 p = À? + B?.

Si d'ailleurs on nomme p”? la plus haute puissance de p qui divise simultanément À et B, on aura

(10) A='pPs; B=prr,

x, y désignant deux quantités entières, non divisibles par p; et, en d - 1

posant :

N À (ui) p=—— 2À, on verra la formule (9) se réduire à la suivante * (22) Gp xt + ny.

La condition (8) se trouvera effectivement remplie et entrainera la for-

mule (12), si le nombre » est de l’une des formes 4x +3, 4

ou bien encore de l’une des formes 8(4x +1}, 8(1x +3),

pourvu que dans la dernière hypothèse on choisisse convenablement

88 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

ceux des entiers

qui devront composer le premier groupe k, X', #”, .... Ajoutons que l'on pourra prendre pour RES AS | RE

si x est de la forme 4x + 3, ceux des nombres entiers À, #, L, qui vérifieront la condition

si À est de la forme 4(4x + 1), ceux qui vérifieront, ou les deux con- ditions

(r)=—, h=5 ou 5 (mod.8);

enfin, si x est de la forme 8(4x +3), ceux qui vérifieront les condi- tions (=) et, h=1 ou 7 (mod.8),

ou les conditions

h \ ( =J=—1, h=3ou5 (mod.8).

r- s/

La valeur de l’exposant , qui correspond à une valeur donnée de n, peut être facilement déterminée à l’aide des considérations suivantes.

EXTRAIT N° 77. 89 En ayant égard aux équations (13) do——1, @07—R,r0:,r,

et à la formule (7), on tirera des équations (2)

h4) TR; x Ras ne Rasnene nm ..., 14. J Re. or R,,, Rex, Re ar AL D'autre part, "ASE à

étant deux nombres inférieurs à x et premiers à x, on aura générale-

ment ReR = p,

par conséquent (15) ReeRn int = p; et, comme des deux sommes Det tale Jon (EU,

renfermées entre les limites o, 2n, il y en aura toujours une comprise entre les limites o, 2, l’autre étant comprise entre les limites », 2n, il résulte des formules (14) et (15), jointes à l'équation (3), que l’on

aura toujours

F G 9

(16) I=—pfe J=— ps

f, & désignant deux nombres entiers propres à vérifier la condition

us ER Le Free

et F, G des produits composés avec des facteurs de la forme Rz,r,

dans chacun desquels on pourra supposer les indices /, tous deux in-

férieurs à », et Leur somme / + / renfermée entre les limites », 27. Si,

d’ailleurs, on substitue dans la formule (5) les valeurs I, J fournies par - CEuvres de C.—S.I,1. V. 12

90 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

les équations (16), on trouvera, en ayant égard à la première des équa-

tions (10), pfE?-E p8G? + pFGx — 0, et par suite

(18) pf-mF3 au pe" G? Le p}-m EGzx — 0,

m étant un nombre entier quelconque que l’on pourra réduire au plus petit des trois nombres .

J, & à afin que chacun des trois exposants

f—m, g—m, 1—m soit nul ou positif. Posons maintenant, pour abréger,

(r9) P—1=n% et Fa Free 1.2.8... a4T}o

(LR IR se. Lo) On reconnaîtra aisément que, si, dans l’expression R,r,

on substitue à la racine primitive » de l'équation (1) une racine primi- tive r de l’équivalence

æ"=1 (mod.p}), cette expression se transformera en une quantité équivalente, au signe pres, à

Se U_/,n-v.

Supposons qu'en vertu de cette même substitution les deux produits représentés par

se transforment en des quantités équivalentes à certains entiers repré-

sentés par : + et 0

EXTRAIT N° 77. 91 la formule (18) entraînera la suivante :

(21) pfom$? + ps"? + pion Ga == 0 (mod.p}.

D'ailleurs, Z, l étant deux entiers inférieurs à 72, la condition Ih-/,n-v = 0 (mod.p )

se vérifiera toutes les fois que la somme / + / restera comprise entre les limites o, n, mais elle n’aura plus lieu lorsque la même somme sera comprise entre les limites », 27. Donc les nombres entiers #, Ç seront premiers à p, ainsi que x. D'ailleurs, pour que la somme de trois nombres entiers soit divisible par p, il faut que p les divise tous trois, ou que deux au moins soient premiers à p. Done, lorsque, dans la formule (21), on prendra pour #2 le plus petit des trois nombres

alors, des trois exposants f--m, g—m, À1—m,

deux, au moins, devront s’évanouir simultanément; et comme la sup-

position

f—-m=g—-mz=o

entrainerait l'égalité des nombres /, g, il est clair que, si ces nombres sont inégaux, l’un des exposants nuls sera

À— M,

l’autre étant . g—m où f—m.

Supposons, pour fixer les idées, que les deux exposants nuls soient g—metx— mn, on aura

(22) pe et par suite on tirera de la formule (rr), jointe à la formule (17), (23) = f—8.

Si l’on eût supposé nuls les deux exposants / — m» el x — 7», on aurait

92 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

trouvé u — g — f. Enfin, de la formule (21) combinée avec une for- mule du même genre qui se déduirait, non plus de l'équation (5), mais de l'équation (6), on conclura aisément que, si / devenait égal à g#, on aurait À = f —g, et par suite w = 0 — f — g. On peut donc affirmer que, dans l'équation (12), l'exposant y. sera toujours équivalent à la valeur numérique de la différence entre les deux nombres représentes par f et g.

Au reste, dans les diverses applications que nous avons faites de nos formules, nous avons toujours obtenu pour la différence f — g une quantité positive; et l’on peut d’ailleurs démontrer que cette différence, qui s’évanouit quand on a |

A?=n, cesse toujours d’être nulle quand on a, au contraire, comme nous le supposons ICI, A?—— n.

L’équation (2r) fournit encore un moyen facile de trouver une quan- tité à laquelle + soit équivalent suivant le module p. On en tire, par exemple, en supposant f > g, et par conséquent »m — À = g,

a

1

Fe 24) X=— = (mod. p}).

Ÿ

D'après ce qui a été dit dans un autre Mémoire (vor la séance du

28 octobre 1839 )("),on pourra facilement calculer les nombres entiers f, ( qui sont renfermés dans la formule (24), et dont chacun est le pro- duit de plusieurs facteurs de la forme IF ,,7,

!, désignant des entiers inférieurs à 7. On peut simplifier encore le calcul de l’exposant », en opérant comme 1l suit.

Posons, comme à la page Gr,

(25) P=bBa zh. QeRerhén cs

(1) Œuvres de Cauchy, S. T,t. IV, -— Extrait n° 64, p. 506.

EXTRAIT N° 77. 93

ou, ce qui revient au même,

0; O7 ... 2 4 PO D — Q = —— (28 P OA O2k ... 3 ai Ox Op ... 6

on en conclura, eu égard aux formules (2), en P_ 6 Fe Q J6 On trouvera d’ailleurs : 1° en supposant » de la forme 8x + 7,

G)=, ()=G)

Gad: 06m... O:x00py...— 010...

et par suite

= V: Pré (28) PL 0-1 D 1 k 2° en supposant » de la forme 8x + 3, (2) = re re. n ) Lo r)’ et par suite O2 Op. dus à, OPYACEYA — 00} “eus El Fr 2 J2 P L° (29) He à ae o

3° en supposant 2 divisible par 4 ou par 8,

02x02... 02x02. .., et par suite ; LL . 3 Tr (30) =:

Supposons maintenant que, parmi les entiers premiers à », mais infé- rieurs à ;7, On distingue ceux qui appartiennent au groupe

HAT À

et dont le nombre sera désigné par :; les autres, dont le nombre sera

9% COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

désigné par 7, formant une partie du groupe

RE on aura évidemment

(31) += —)

et, en raisonnant comme ci-dessus, on trouvera

A à + (32) PE: QE, U, V désignant des produits composés de facteurs de la forme

Rev,

dans chacun desquels on pourra supposer les indices L, l' tous deux in- férieurs à », et leur somme / + /’ renfermée entre les limites x, 27. Or les formules (Q6)et(32) donneront

(33) bee Lepil

et de celles-ci, combinées avec les équations (28), (29), (30), on dé- duira trois formules analogues à l'équation (18); puis, en remplaçant encore p par r dans ces trois formules, on en conelura immédiatement

(34) TRE si x est de la forme 8x + 5;

ts (35) f-g= si À est de la forme 8x + 3; et

(36) f=s= 1,

si 2 est divisible par 4 ou par 8. Puisque, des deux différences

J— S l— j,

la seconde est le produit de la preinière par l’un des nombres entiers

EXTRAIT N° 78. 95

1, 2, 3, si la première s’évanouit, la seconde s’évanouira pareillement, et l’on aura, en vertu de la formule (31),

Or cette dernière condition ne peut être remplie que dans le cas où les divers facteurs de l’un quelconque des produits P, Q, facteurs dont le

nombre est À, sont, deux à deux, de la forme Re, R7,-1; par conséquent dans le cas où l, n—1l

appartiennent au même groupe, ce qui suppose A? — 7. Donc, lorsque A? — n, la différence : — 7, et par suite la différence / — g, ne peu- vent s’évanouir.

18.

THÉORIE DES NOMBRES. — Discussion des formes quadratiques sous lesquelles se présentent cerlaines puissances des nombres premiers. Réduction des

exposants de ces puissances. C.R.,t. X,p. 229 (10 février 1840).

Soient toujours

p un nombre premier impair, *n un diviseur de p — 1,

h, k, 1, ... les entiers inférieurs à 2, mais premiers à »,

0, 3, 8 ... les facteurs primitifs correspondants du nombre p, N le nombre des entiers L, #, {, …,

e une racine primitive de l'équation

(1) Fi —- 1)

96 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

enfin A = ph+ph + ph" +. ' — ph — ph — Dh — :

une somme alternée des racines primitives de l'équation (1), les en- tiers RON AO 68 étant ainsi partagés en deux groupes a et M Si le nombre x est tel que l’on ait

(2) Va Lier, &

sans toutefois se réduire à l’un des trois nombres

À 4, 8, on aura h+h+h +... =k+k+k"+...=o (mod.n);

et alors, en posant (3) I— 0,0} Or. .., J— 0,8; 0,"..., on trouvera, non seulement

N (4) = P°;

mais encore

[+ J—A, I—J—BA,

Qt

et par suite N (6). 4p?= A?+nB?, A, B désignant deux quantités entières. Si d’ailleurs on nomme pla plus haute puissance de p qui divise si- multanément A et B, on aura

\

1 A—phr, B—p\y,

EXTRAIT N° 78. 97

x, y désignant deux quantités entières non divisibles par p; et, en posant

(8) pb. = — 2À,

on verra la formule (6) se réduire à (9) fpt=2?+np?.

Or, de ce qui a été dit précédemment (p. 92 et 94), 1l résulte que l'exposant », dans la formule (0), pourra être calculé directement à l’aide de la règle suivante :

Concevons que, parmu les entiers US. DE:

dont le nombre total est 5: N, ceux qui restent inférieurs à £n soient en nombre égal à 1, et ceux qui surpassent = n, en nombre égal à j. L'expo- sant u. sera representé par la valeur numérique de la différence

l— 1], si n est de la forme 8x + 7; par le tiers de cette valeur numérique, sin est

de la forme 8x + 3; et par la motte de la même valeur numerique, st n

est divisible par 4 ou par 8.

La valeur de » étant ainsi déterminée, la valeur de x se déduira de

1 /N Nc

ou, ce qui revient au même,

la formule (8) et sera

+ —p

(10) 7 — DE ES 48 2 On pourra ensuite obtenir facilement la valeur de + ou la valeur de y, à l’aide des équations (5) et (7), desquelles on tirera T—7J A

OEuvres de C.—S.I,t,. V. 13

(11) æ—=ph\(I1+J), = pr?

98 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

Enfin, en posant, pour abréger,

et ayant égard aux formules Rent 2p, RarRa inv —=p;,

qui subsistent quand /, l représentent des entiers inférieurs 7, on

trouvera F G (12) I=— pl à =: f, g désignant deux nombres dont le plus petit sera X, et le plus grand à + w., tandis que chacune des lettres

F, G

désignera, au signe près, un produit composé avec des facteurs de la

forme Re,

dans chacun desquels on pourra supposer les deux indices /, lpositifs, mais inférieurs à », et leur somme / + l renfermée entre les limites », 2171.

IL est important de rappeler que des formules (11) et(r2) on peut al- sément déduire un nombre équivalent àx suivant le modulep, et même suivant le module p#. Si, pour fixer les idées, on suppose g —2, et si d'ailleurs on nomme f, G ce que deviennent F, G quand, à la racine primitive & de l’équation (1), on substitue une racine primitive r de l’équivalence

an=1 (mod.p), :

on tirera des formules (11) et (12)

>

: (13) 2=— 7 (mod. p).

À

Cette dernière équation suffit seule à la détermination de la valeur nu-

EXTRAIT N° 78. 99

mérique de æ, toutes les fois que l’exposant » se réduit à l’un des nombres LT

Après avoir rappelé les formules fondamentales relatives aux formes quadratiques de certaines puissances d’un nombre premier, ou plutôt du quadruple de ces puissances, nous allons maintenant discuter ces mêmes formules.

Nous avons déjà observé que l’on peut réduire l'équation (9) : 1° lorsque » est un nombre impair de la forme 8x + 7, à la formule

(14) DRE NI RET:

2° lorsque 2 est un nombre pair, divisible par 4 ou par 8, à la formule

QT > e à 12 +

Nous ajouterons que l’exposant sera impair si 2 est un nombre pre- mier, et deviendra pair dans le cas contraire. Effectivement, si nous prenons d’abord pour # un nombre impair, ce nombre sera, dans l’équa- tion (9) ou (14), de la forme 4x + 3, et l’exposant », représenté par la valeur numérique de la différence i— 7},

ou par le tiers de cette valeur, sera pair ou impair avec cette diffé- rence, suivant que la somme

SRE à EITI=Z

o

b

sera elle-même paire ou impaire. Comme on aura d'ailleurs, si x est un

nombre premier impair, N= nn —:1,

et, si x est Le produit de plusieurs nombres premiers impairs v, v, ... N—{y—1)(v —3)..., » L . N . nous pouvons affirmer que y sera impair, avec —, si x est un nombre

r

. « e N e premier de la forme 4x + 3, et pair, avec —; si » est un nombre com-

190 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE. posé de la même forme 4x + 3. Dans l'un et l’autre cas, HS iN, De

seront ceux des entiers inférieurs à z, et premiers à », qui vérifieront

la condition

Supposons maintenant que l’on prenne pour 7», non plus un nombre impair de la forme 4x +3, mais un nombre pair divisible par 4; ce nombre devra être, dans l'équation (15), de la forme

AVE PE

v, v, v’, .. étant des facteurs premiers impairs, inégaux entre eux, et dont le produit soit de la forme 4x + r. Alors aussi les nombres

! " (PÈT | JE | SRE

seront ceux des entiers inférieurs à 2, et premiers à z, qui vérifieront

les deux conditions

()=r. h 1. “med ii

Fa, ou les deux conditions

1 PEL

()=-r h=—1 (mod. 4). On peut en conclure que, dans le groupe HN RIT SR

: Ve CRE * à les nombres inférieurs à - seront, deux à deux, de la forme n M, -—h, 2.

Done, dans l'hypothèse admise, à sera pair; et, comme

4j == —a)(y 1).

EXTRAIT N° 78. 101

sera, non seulement pair, mais divisible par 4, on peut affirmer encore :

1° que 7 sera pair, 2° que la somme

+ D

DIS.

sera paire elle-même, avec la différence

et par conséquent avec le nombre y précisément égal à la valeur nu- * L — 1] ; < mérique de —%. 2 Supposons enfin que l’on prenne pour # un nombre pair, divisible par 8. Ce nombre devra être, dans l'équation (15), de la forme

HUE EN L'ESPRIT

v,v,v’,... étant des facteurs premiers, impairs et Inégaux; et les en- tiers N°",

nm

seront : 1° Si 3

est de la forme 4x +,1, ceux qui vérifieront les deux conditions

h un ES 7 ht où 3 {mod. 8 }; SH : à 8 / ou les deux conditions

h à

er h=5 ou 7 {mod.S8 ; <n j 8 s .n . PR. sis

2° si & est de la forme 4x + 5, ceux qui vérifieront les deux conditions ()=" h=1 où 5 mod. à)

ou les deux conditions

1 $ n

(=, h=3 ou 5 (mod.8)

102 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

On en conclut encore que, dans le groupe

His Han

. , . 1 n \ re les nombres inférieurs à n seront, deux à deux, de la forme

n h, —-—h. 2

Donc # sera pair; et comme

tj = af —i)(ÿ 1).

sera, non seulement pair, mais divisible par 4, on peut affirmer que

J

À ; +de par suite — 2 2

Di

seront pairs avec le nombre y précisément égal à la valeur numérique de =

Ainsi, en résumé, l’exposant » sera, dans l'équation (9), (14) ou (15), un nombre pair, suivant que » sera un nombre premier, ou un nombre composé. Il nous reste à montrer comment on peut, dans le dernier cas, réduire la valeur numérique de l’exposant y.

Prenons d'abord pour x? un nombre composé de la forme 8x + 5. Alors l’équation (9) pourra être remplacée par la formule (14) dans laquelle y sera un nombre pair; et, comme par suite p* sera un carré impair, c’est-à-dire de la forme 8x + 1, x? devra être un carré de la même forme, et y* un carré pair. Cela posé, les deux facteurs

Le B P°2, pP4+#, u dont la somme sera 2p° et le produit p# — x? — ny°?, auront évidem- ment pour plus grand commun diviseur le nombre 2; et, pour satis- faire à l'équation (14), on devra supposer

EXTRAIT N° 78. 103 par conséquent | (r6) p 2, 6, u, * désignant d. nombres entiers qui vérifieront les conditions (17) as En.

(18) UV = Y.

Il y a plus : comme le produit 46 — n sera diviseur de p — 1, on aura

{ p\ ) ()=" ee

et par suite la formule (16) entrainera les conditions

eo Gauss (hr

auxquelles Les facteurs x, 6 devront encore satisfaire. Enfin, on prouve aisément que la loi de réciprocité, comprise dans la formule

$ 8\ LR cb. " » - ()

est applicable au cas où l’on représente par «, 6, non seulement deux

nombres premiers supérieurs à 2, mais encore deux nombres impairs quelconques; et comme, x étant de la forme 4x + 3, l’un des fac- teurs x, 6 doit être de la même forme 4x + 1, il est clair que, dans l'hypothèse admise, la première des conditions (19) entrainera la se- conde et réciproquement. Done, lorsque n sera un nombre composé de la forme 8x + 7, l'équation (14) entrainera la formule (16), dans la-

quelle x, 6 devront vérifier les seules conditions (aa) x8— n, ()=r

Supposons, pour fixer les idées, » — 15 — 3.5. On trouvera pour k, h',... les nombres

10% COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

. . Us Re REA dont trois sont inférieurs et un seul supérieur à = — 73. On aura donc

alors

et l'équation (14), réduite à

ati, entrainera la formule p=au?+ 6v?,

, 6 étant des entiers assujettis à vérifier les deux conditions

Or, de ces deux conditions, la première sera vérifiée si l’on prend pour

re ; | 5 +, 6 les nombres 1 et 15, ou 3 et 5. Mais, comme on a (3) = — 1, la

seconde condition nous oblige à rejeter les nombres 3 et 5, en prenant pour , 6 les nombres 1 et 15. Donc, p étant un nombre premier de la forme 15x + 1, ou, ce qui revient au même, de la forme 3ox + 1,.la considération des facteurs primitifs de p fournira la solution en nom-

bres entiers de l’équation

p=u +15v?.

Prenons maintenant pour » un nombre composé de la forme 4x + 3. Alors on pourra vérifier en nombres entiers l'équation (9); et les deux facteurs

Le Le 2)3—%,, A4 EX, Le . dont la somme sera 4p°, et le produit 4p"*— x? = ny*, resteront pre- miers entre eux, si æ?, y? sont des carrés impairs. Donc alors, pour

satisfaire à l'équation (9), on devra supposer

nt La 2p°— 42 —4u?, 2p2+ x = 6v?, et par suite b (22) 4p?= au? + 6v?,

EXTRAIT N° 78. 105 2, 6, u, + étant des nombres entiers qui vérifieront les formules ac Her,

avec les conditions (19). Si, dans le cas que nous considérons, +°, y’ étaient des carrés pairs, on pourrait, comme dans le cas précédent, réduire l’équation (9) à l’équation (14), et l’on arriverait à la for- mule (16) qui peut être censée comprise dans la formule (22), de la- quelle on la déduit en remplaçant & par 2u et 6 par 26. On peut donc énoncer la proposition suivante :

Lorsque n est un nombre composé de la forme 8x + 3, l'équation (9)

entraine la formule (22), dans laquelle x, 6 doivent verifier les condi-

Lions (21).

Prenons maintenant pour z un nombre composé, divisible par 4,

mais non par 8. Alors on pourra satisfaire en nombres entiers à l’équa- ° . n . tion (15), si 3 est de la forme 4x +1; et, par des raisonnements sem-

blables à ceux dont nous venons de faire usage, on prouvera que l’équa- tion (15) entraine l’une des deux formules

1143) p?= au? + 86v?,

(24) 2p? = au? + 6v?,

2, © désignant des nombres impairs assujettis à vérifier la condition

n 25 a8 = - ( ) in

et u, # des quantités entières qui vérifieront l’une des conditions

ET, CRE

D'ailleurs, le produit 46 — 7 étant de la forme 4x +1, #, 6 seront tous

deux de cette forme, ou tous deux de la forme 4x +3; et, comme l'équation (23) entrainera les formules (19), en vertu desquelles l'équation (20) donnera

(26 CORRE OEuvres de C. —S.1I, t. V. }

EN

106 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

il est clair que, dans l'équation (23), «, 6 ne pourront être tous deux de la forme 4x +3. Ils y seront donc l’un et l’autre de la forme 4x +1. Quant aux valeurs de x, 6 contenues dans l'équation (24), elles devront vérifier les formules

6e ACC)

desquelles on tirera, en les combinant avec les formules (20), (25),

(27)

*

CE (Ej=ies

re sn

et, comme &?, #* devront être impairs dans l'équation (24), cette équa- tion donnera encore

(29) 2=2+6 (mod.8). Or, en vertu des formules (28), (29), les entiers «, 6 devront être tous

deux de la forme 8x + 1, ou tous deux de la forme 8x + 5, si est de

Â

la forme 8x +1; et l’un de la forme 8x + 3, l’autre de la forme _8X +7, SI n est de la forme 8x + 5. On peut donc énoncer la propo- sition suivante :

Lorsque n est un nombre composé, divisible par ! et non par 8, l’équa- lion (15) entraine, ou les formules (23) et (25), «x, 6 étant deux entiers de la forme 4x + 1; ou les formules (24) et (25), 2, 6 élant deux nombres

umpairs qui devront être tous deux de la forme 8x + 1 ou tous deux de

n .n , ’ la forme 8x + 5, si 7 est de la forme 8x + 1, et l’un de la forme 8x + 3,

Â

, .n l'autre de la forme 8x +7, si-

À

devront encore satisfaire, si la formule (23) se vérifie, à l’une des équa-

est de la forme 3x + 5. Ajoutons que x, 6

Lions (19), et, si la formule (24) se vérifie, à l’une des équations (27).

En appliquant au cas où » est divisible par 8 des raisonnements semblables à ceux dont nous venons de faire usage, on obtiendra la proposition suivante :

Lorsque n est un nombre composé, divisible par 8, l'équation (15) en-

EXTRAIT N° 78. 107 traine la formule A (30) p?=au?+ 26v?,

x, 6 étant deux nombres impairs assujettis à vérifier la condition

(31) =

avec les deux suivantes

È = 9-6)

\

desquelles on tire, eu égard à la formule (20),

el, par conséquent,

a—16—1 1at—I a+ == — (mod. 2), 2 2 "ERE 2 ou, ce qui repient au même, (33) (æ—1)(æ—26+3)=0 (mod. 16).

En vertu des diverses propositions que nous venons d'établir, l'expo- sant w de la puissance de p renfermée dans la formule (9), (14) ou(15) peut être réduit, lorsque 7 est un nombre composé, à l'exposant =. Ce dernier exposant, s’il est pair, pourra souvent lui-même être réduit à 53 et cette nouvelle réduction sera particulièrement applicable aux formules (16), (22), (23), (30), si dans ces formules « se réduit à l'unité.

Pour vérifier cette observation sur un exemple, supposons n —68— 4.17. Alors, entre les limites o et 17, ceux des entiers, pre- miers à 68, qui feront partie du premier groupe, savoir

CR ES PRE LT À

seront au nombre de six, et ceux qui feront partie du second groupe,

108 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

savoir AE ET

seront au nombre de deux. On aura par suite

On pourra donc résoudre en nombres entiers l'équation p'= «+17. Or celle-ci entrainera l’une des formules PA +177, 2pP°= 0? +176? dont la première à son tour entrainera l’une des suivantes Pt rate, 2p—=#s +170,

s, t désignant encore des nombres entiers. Effectivement, on sait que tout nombre premier de la forme 68x + 1 peut être représenté par l’une des formules

+272 +183? = (y +2) +172,

relais 2

2Y2+2Y2+ 92° —

Les Tables d'indices, publiées par M. Jacobi, fournissent le moyen d'obtenir facilement, dans tous les cas, non seulement les nombres qui

composent chacun des groupes

AE. ES PAU et k, NS es ci,

par conséquent les valeurs de z et j, et celle de l’exposant », dans cha- cune des formules (9), (14), (15), mais encore des nombres équiva- lents à æ et à y suivant le module p. C’est ce que j'expliquerai plus en détail dans les Exercices d'Analyse et de Physique mathématique. Je me bornerai pour le moment à observer que, si 2 est un nombre premier de la forme 4x3 +5, représentera le nombre des entiers qui, étant

EXTRAIT N° 78. 109

. AE. <: . . . . . .

inférieurs à =; offriront un indice pair. Si au contraire z est un nombre fi

premier de la forme 4x +1, alors représentera Île nombre des en-

tiers impairs, et inférieurs à 2, qui, étant de la forme 4x + 1, offriront un indice pair, ou qui, étant de la forme 4x + 3, offriront un indice impair. Comme on aura d’ailleurs, dans l’un et l’autre cas,

ASE cc n—1 / I+J=R—1, NE RE %.:.2 2 \ les Tables de M. Jacobi donneront : Re re IT PDU dit ir leu ut ce © PORN à CU GORE PUY Te NN RE MT CNP Pen Un LUS: DT . Mt : D here. Vos PO MR IL : MR issue durs es PISE. COTE POELE PO à EEE À ‘ D'ACCUEIL ESA RE Fri #0: 40 09 09,8, , Er SNA ER M PDU. AE Di 20 N n 1 De nn en Bonnie nje pen à 0 10 10 10 ; RE 1 Cemun —< .….... . .…. . l, I, 3, 1, 4 , 0 n ex / 3 ri de a CUS e du 13, F7. 38 er 41, A i à o . . .... 7 2, Â, 6, 1O, 10, 14, $ J .. CRC CR ... O0 br. % À 8 6 4 , , 29 4 , , , : be — 4 , 6... .…... 2; 2, 4, 6, 2, 5,

Si d’ailleurs on pose généralement

? Ameeih | æ—/!

, ù IL; —

(hits 4 ..75)

la valeur entière de + qui vérifiera l'équation (9) sera équivalente, au

110 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

signe près, suivant le module p : POUF RE, à

Pourn= re,

Pour nr — 19,

NP eue ie ie eue. TR NUE à Re ET à

Pareillement la valeur de æ qui vérifiera l'équation (15) sera équiva-

lente, au signe près, suivant le module p :

CC CREORC EE

re | + Pourn=2—41.5 à — Ils: =2+ -11?,, 2 ; 2 + 4 T5 1,17 IT,, 1511; ,19 POUTA 028.13 à — _— 2 IL:,3 I;,21

* NU HA del due Na) Pine. 0 90 DR nie lee dede e ed cie aie Re à A

Les valeurs de æ, y étant connues, on en déduira immédiatement celles de #, #, et l’on pourra même obtenir facilement un nombre équi- valent à #* ou à 6? suivant le module p. Ainsi, par exemple, si l’on

+: 2

CE NE CU CE OS EL 2 2e CA OT PU I

prend » — 20 — .5, l'équation (15), réduite à

p?=x?+5y?,

entrainera la suivante p=u?+ 5,

attendu que la condition (?) — — 1 exelura dans ce cas la formule (24).

Cela posé,

(ME

z+5yy—1 devra être égal, au signe près, à

re +5 =)

et par suite æ à u? — 59? — ou? — p. On aura donc

D)

au?=+zx (mod.p)

u2=— 5pv?=+{IT, ol;

(mod. p).

EXTRAIT N° 79. 111

Si, pour fixer les idées, on prend p — 101, la dernière formule donnera

MA. u?=+ 20 =—+ 81, vè= À = 2?, u?= 81 = 9}.

Or effectivement

10

PuySIQUE MATHÉMATIQUE. — Considérations nouvelles sur les conditions rela- uives aux limites des corps. Méthode élémentaire propre a conduire aux lois générales de la réflexion et de la réfraction des mouvements süumples gui rencontrent la surface de séparation de deux systèmes de mole-

cules. | C.R,t. X, p. 266 (17 février 18/0).

Comme j'en ai déjà fait ailleurs la remarque, la solution des ques- tions les plus importantes de la Physique mathématique dépend sur- tout des équations relatives aux limites des corps considérés comme des systèmes de molécules. Il devient nécessaire de rechercher ces équations aussitôt que l'on se propose de caleuler les lois relatives à la réflexion et à la réfraction de la lumière, à la transmission du son d’un milieu dans un autre, aux vibrations des plaques élastiques et à une multitude d’autres phénomènes. Toutefois la difficulté de par- venir, à l’aide de méthodes exactes et sûres, aux équations dont il s’agit, avait paru telle aux plus habiles géomètres, que jusqu’à ces derniers temps ils s'étaient bornés à faire sur la forme de ces équa- tions des hypothèses plus ou moins vraisemblables. Si, après de lon- gues méditations sur cette matière, j'ai été assez heureux pour vaincre la difficulté que je viens de signaler, si, parmi les Mémoires que j'ai eu l'honneur de présenter à l’Académie, celui où je traite ce sujet est l'un de ceux auxquels les savants paraissent attacher le plus de prix, il est juste toutefois d’avouer que la théorie qui s’y trouve développée ne

112 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

saurait être étudiée avec fruit que par des personnes déjà familiarisées avec les hautes Mathématiques et les applications de l'Analyse infinité- simale. Les physiciens apprendront sans doute avec quelque intérêt que les conclusions auxquelles je suis arrivé peuvent être énoncées en des termes fort simples et mises à la portée des amis de la Science qui n'auraient approfondi ni le Calcul intégral ni la théorie de la variation des constantes arbitraires. On verra même, dans. ce Mémoire, qu'à l’aide de raisonnements qu'il est facile de saisir, on peut démontrer en quelque sorte, sans le secours d’aucune formule analytique, la plupart des résultats que j'ai obtenus. Entrons à ce sujet dans quelques détails.

Un mouvement vibratoire et infiniment petit, qui se propage dans un système de molécules, se réduit à l’un de ceux que j'ai nommés mouvements simples, où du moins peut être censé résulter de la super- position d’un nombre fini ou infini de mouvements simples. Cela posé, ce qu’il importe surtout d'étudier, ce sont les caractères des mouve- ments simples, et les lois suivant lesquelles un mouvement simple se modifie en passant d’un système de molécules à un autre. Or, les posi- tions des molécules d’un système étant rapportées à trois axes coordon- nés rectangulaires, ce qui caractérise un mouvement simple, ce sont les deux quantités que j'ai nommées l'argument et le module; quantités qui varient avec le temps et la position d’une molécule, de telle sorte que l'argument et le logarithme népérien du module se réduisent toujours à deux fonctions linéaires des variables indépendantes, savoir des coor- données et du temps, et s’évanouissent avec ces variables. Le mouve- ment simple correspondant à un module et à un argument donné n'est autre chose qu’un mouvement infiniment petit dans lequel le déplace- ment d’une molécule, mesuré parallèlement à un axe fixe, est toujours proportionnel au produit du module par le cosinus d’un certain angle appelé phase; et la phase elle-même est la somme qu’on obtient quand on ajoute à l'argument une certaine constante relative à l’axe dont il s’agit, et que j'ai nommée le paramètre angulaire relatif à cet axe. Ces définitions étant admises, on reconnait aisément que, dans un mou- vement simple, toutes les molécules décrivent des lignes droites ou

EXTRAIT N° 79. 113

courbes renfermées dans des plans parallèles à un premier plan inva- riäble, mené par l’origine des coordonnées. Un second et un troisième plan invariable, qui passent encore par la même origine, sont ceux dont on obtient les équations en réduisant le temps à zéro dans l’argu- ment et dans le logarithme népérien du module. D'ailleurs, pour faire évanouir le déplacement d’une molécule, mesuré parallèlement à un axe fixe, il suffira de réduire à zéro le cosinus de la phase, par consé- quent il suffira d'attribuer à la phase une série de valeurs équidi- stantes, que l’on pourra déduire les unes des autres en faisant varier de quantités égales, ou le temps, ou la distance d’une molécule au second plan invariable. Les quantités égales dont il s’agit représentent chacune, dans le premier cas, la moitié de la durée d’une vibration moléculaire, et dans le second cas, l'épaisseur d’une tranche comprise entre deux plans parallèles qui renferment des molécules dont les déplacements projetés sur l'axe fixe s’évanouissent. La réunion de deux semblables tranches, contiguës l’une à l’autre, et respectivement composées de molécules dont les déplacements se mesurent en sens contraires, forme ce que nous appelons une onde plane. L'épaisseur de cette onde, ou la double épaisseur de deux tranches contiguës, est ce qu’on appelle la longueur d'une ondulation. Le temps venant à croitre, les ondes planes et les plans qui les terminent, appelés plans des ondes, se déplacent, dans le système de molécules que l’on considère, avec une vitesse de propagation précisément égale au rapport entre la longueur d’une ondulation et la durée d’une vibration moléculaire.

Pour donner une idée des valeurs plus ou moins considérables que peuvent acquérir les diverses quantités que nous venons de passer en revue, nous rappellerons ici quelques résultats connus.

Dans l’acoustique, la durée des vibrations moléculaires sert à dis- tinguer les uns des autres des sons plus ou moins graves, plus ou moins aigus. Cette durée, dans les sons que l'oreille apprécie, varie entre des limites fort étendues, le nombre des vibrations par seconde pouvant croître depuis G environ jusqu’à plus de 24000. D'ailleurs, la vitesse de propagation du son dans l'air étant d'environ 335" par se-

OEuvres de C. —- S.I,t. V. 19

in COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

conde, il résulte, de ce qui a été dit plus haut, que la longueur d’on- dulation des sons appréciables pour l'oreille varie dans ce fluide de- puis 56% jusqu'à environ 147%,

Dans la théorie de la lumière, la durée des vibrations a une grande influence sur la nature de la couleur, et varie entre des limites assez resserrées, puisqu'elle n’est pas même doublée quand on passe d’une extrémité du spectre solaire à l’autre, c’est-à-dire du violet au rouge. D'ailleurs, pour le rayon moyen du spectre, la longueur d’ondulation, déduite de la mesure des anneaux colorés, est d'environ un demi-mil- lième de millimètre. Cela posé, comme la vitesse de propagation de la lumière est d'environ 80000 lieues, de 2000 toises par seconde, il résulte encore de la loi précédemment énoncée que Le nombre des vi- brations exécutées par une molécule d’éther, placée dans le vide, s'élève moyennement à G4o millions de millions, pour une seconde sexagésimale.

Parlons maintenant du module d’un mouvement simple propagé dans un système de molécules. Ce module se réduira toujours à l’unité si le mouvement simple est durable et persistant, et si d’ailleurs il se pro- page sans s’affaiblir; c’est-à-dire, en d’autres termes, si le mouvement ne s'éteint, ni pour des valeurs croissantes du temps, ni en raison de sa propagation dans l’espace. Alors aussi la ligne décrite par chaque mo- lécuie sera toujours une petite portion de droite, ou un cercle, ou une ellipse; et le mouvement simple offrira ce qu’on nomme la polarisation rectiligne, où circulaire, où elliptique. Réciproquement, si le module d'un mouvement simple se réduit à l'unité, ce mouvement ne s’affai- blira, ni en raison de sa durée pour des valeurs croissantes du temps, ni en raison de sa propagation dans l’espace, pour des valeurs croissantes de la distance d’une molécule à un plan fixe. Mais, si au contraire le module d’un mouvement simple diffère de l'unité, le logarithme népé- rien de ce module se composera généralement de deux parties, l'une proportionnelle au temps, l’autre proportionnelle à la distance d'une molécule au troisième plan invariable. Alors, si le coefficient du temps n’est pas nul, il devra être négatif pour que le mouvement vibratoire

EXTRAIT N° 79. 115

ne cesse pas d’être infiniment petit, et représentera ce que nous ap- pellerons le coefficient d'extinction relatif au temps. Alors aussi le coefti- cient de la distance au troisième plan invariable, dans le logarithme népérien du module, sera ce que nous appellerons le coefficient d'ex- tinction relatif à l'espace; et ce coefficient, s'il n’est pas nul, pourra être positif ou négatif, savoir, positif si le mouvement devient plus faible quand la distance au plan invariable est moindre, et négatif si le mouvement s’affaiblit quand la distance au plan invariable devient plus grande. Dans l'un et l’autre cas, les dimensions des courbes dé- crites par les molécules décroitront en progression géométrique, tandis que le temps ou la distance d’une molécule au troisième plan invariable croitront en progression arithmétique.

Considérons maintenant un mouvement simple propagé à travers un système de moléeules dans le voisinage d’une surface plane qui sépare ce premier système du second, le mouvement dont il s’agit pouvant d’ailleurs être dirigé de manière que les ondes planes s’approchent ou s’éloignent de la surface plane; et prenons cette surface pour l'un des plans coordonnés. On pourra considérer l'argument du mouvement simple, et Le logarithme népérien de son module, comme composés chacun de trois termes différents, savoir, d’un terme proportionnel au temps, d'un terme proportionnel à la distance qui sépare une molécule de la surface plane, et d’un terme proportionnel à la distance qui, sur cette surface même, sépare la projection de la molécule de la trace du second plan invariable. La même remarque s’appliquerait à l'argument et au logarithme népérien du module d’un mouvement simple propagé dans le second système de molécules. Cela posé, nous appellerons mouvements conjugués où correspondants, des mouvements simples, propagés dans les deux systèmes de molécules, ou dans l’un des deux seulement, mais caractérisés par des arguments et des modules qui ne différeront entre eux qu’en raison des coefficients par lesquels la dis- tance d’une molécule à la surface de séparation se trouvera multipliée dans chaque argument, ou dans le logarithme népérien de chaque mo- dule. En partant de cette définition, on reconnaîtra facilement :

LI

116 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE

1° que deux mouvements simples correspondants sont toujours deux mouvements isochrones, c’est-à-dire dans lesquels les durées des vibra- tions moléculaires sont les mêmes; 2° que deux semblables mouve- ments offrent des ondes planes dont les traces sur la surface de sépara- tion sont parallèles à une même droite; 3° qu'ils offrent des longueurs d'ondulation proportionnelles aux sinus des angles formés par les per- pendiculaires aux plans des ondes avec la même surface.

Concevons à présent qu'un mouvement simple propagé dans le pre- mier système de molécules rencontre la surface de séparation qui sé- pare ce premier système du second, et donne alors naissance à d’autres mouvements réfléchis ou réfractés. Il est naturel de croire que, dans le passage du mouvement incident à ces autres mouvements, un seul des trois termes qui peuvent être censés composer l'argument ou le logarithme népérien du module se trouvera modifié, savoir, le terme qui dépend de la distance d’une molécule à la surface réfléchissante, et que l’action de cette surface, dans le passage dont il s’agit, altérera seulement le coefficient de cette distance, sans faire varier en aucune manière ni la durée des vibrations moléculaires, ni la trace du premier plan invariable sur la surface, ni les épaisseurs des ondes mesurées parallèlement à la surface. On peut donc admettre, comme première loi de la réflexion ou de la réfraction, celle qui s’énonce dans les termes suivants :

PREMIÈRE LOI. — Étant donnés deux systèmes homogènes de molécules, separes par une surface plane, si un mouvement simple, propagé dans le premier système, rencontre la surface de séparation, et donne alors nais- sance à des mouvements réfléchis et réfractés, les mouvements incident,

réfléchis, réfractés, seront toujours des mouvements correspondants.

De cette loi, que nous avons établie par le ealeul dans les Exercices d'Analyse et de Physique mathématique, et à laquelle on se trouve ra- mené par les considérations précédentes, il résulte immédiatement : 1° que la durée des vibrations moléculaires reste la même dans les mouvements incident, réfléchis et réfractés; 2° que, dans ces divers

EXTRAIT N° 79. His

mouvements, les traces du second ou du troisième plan invariable sur la surface de séparation, et par suite la direction des traces des plans des | ondes sur cette surface, restent aussi les mêmes ; 3° que les sinus d’in- cidence, de réflexion et de réfraction sont proportionnels aux longueurs des ondes incidentes, réfléchies et réfractées. Au reste, ce sont là des conclusions auxquelles on se trouve conduit par l'observation aussi bien que par le calcul. L’invariabilité de la durée des vibrations molé- culaires, et, par conséquent, dans un grand nombre de cas, l’invaria- bilité de la couleur, soit avant, soit après la réflexion ou la réfraction, est un fait admis dans la théorie de la lumière; et des expériences nombreuses, exécutées avec beaucoup de soin par un de nos illustres confrères, M. Savart, prouvent que les vibrations sonores, transmises d’un corps à un autre, sont toujours telles que les deux corps vibrent à l'unisson ('). Quant à la proportionnalité qui doit exister généralement entre les sinus d'incidence, de réflexion ou de réfraction, et les épais- seurs des ondes incidentes, réfléchies ou réfractées, elle a déjà été constatée dans la théorie de la lumière. Il serait à désirer qu’on püt la constater de même dans l’acoustique, et c’est là, ce me semble, un sujet de recherches qui mérite une attention spéciale de la part des observateurs et des physiciens.

La première loi de réflexion ou de réfraction peut servir seulement à déterminer, dans les mouvements réfléchis ou réfractés, les directions des plans invariables, et par suite des plans des ondes. Cette loi étant admise, il nous reste à dire sous quelles conditions un mouvement simple peut être réfléchi ou réfracté, et à montrer comment un mou- vement vibratoire peut se transformer, sans transition brusque, en passant d’un système de molécules à un autre. C’est ce que nous allons maintenant expliquer.

Dans le voisinage de la surface de séparation de deux systèmes de

(1) Cet accord remarquable entre la loi donnée par le calcul et celle que M. Savart a tirée de l'observation a déjà été signalé dans plusieurs articles très remarquables que renferme le journalntitulé l’Zastitut ; articles dont j'aimerais à faire ici l'éloge, si l’auteur, M. l'abbé Moigno, n'avait pas jugé mes théories avec tant de bienveillance.

118. COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

molécules, la constitution de chacun de ces deux systèmes se trouve _altérée et il serait difficile, pour ne pas dire impossible, d'arriver à connaître d’une manière précise toutes les circonstances de cette alté- ration, Ce que nous pouvons affirmer, c’est que l’altération dont il s'agit, et par suite l’altération des actions auxquelles les molécules se trouvent soumises, ne sont généralement sensibles qu’à une très pe- tite distance de la surface. Cela posé, pour que l’on soit assuré qu’un mouvement simple peut être transmis de l’un des systèmes de molé- cules à l’autre, la première condition indiquée par le calcul est que, si l’on mesure, à partir de la surface de séparation, la distance à laquelle la constitution de chaque système de molécules se trouve sensiblement altérée, cette distance soit petite relativement à la longueur d’ondula- tion du mouvement simple. Cette condition était jusqu’à un certain point facile à prévoir; car, si elle n’était pas remplie, et si au contraire les longueurs d’ondulation étaient très petites relativement à la dis- tance à laquelle l’altération devient sensible, il serait tout naturel qu'en traversant la couche qui aurait la surface de séparation pour base et cette distance pour épaisseur, la régularité du mouvement simple se trouvât détruite, et que celui-ci, perdant sa nature et les caractères qui lui sont propres, se trouvât transformé en un mouvement d'une nature toute différente. Alors, à la vérité, chaque point de la sur- face de séparation pourrait bien encore être considéré, par rapport au second milieu, comme un centre d'ébranlement. Mais les mouvements propagés dans le second milieu, à partir de cette surface, ne se rédui- ratent plus à un seul mouvement simple, et seraient généralement, comme ceux que produisent des ébranlements arbitraires, en nombre infini. Au reste, sans insister davantage sur cette condition que le calcul m'a donnée, je vais, en la supposant remplie, montrer de quelle manière on peut obtenir les équations particulières qui doivent être vérifiées dans le voisinage de la surface de séparation de deux systèmes de molécules, et qui fournissent le moyen de déterminer toutes les cir- constances des phénomènes que présente la réflexion ou la réfraction des mouvements simples.

EXTRAIT N° 79. 119 La constitution d’un système de molécules étant donnée, on sait quels sont les mouvements simples qui peuvent se propager à travers ce système; et réciproquement, la nature de ces mouvements simples se trouve tellement liée à la constitution du système, que, si on les connaît, on pourra généralement tirer de cette connaissance celle des équations aux différences partielles qui représenteront les mouvements vibratoires et infiniment petits des molécules. Ce n’est pas tout; étant proposés deux systèmes homogènes de molécules, séparés par une sur- face plane, on pourra dire quels sont, pour chacun d'eux, les mouve- ments simples correspondants à un mouvement simple donné. Si celui-ci est du nombre de ceux qui sont durables et persistants, et qui se pro- pagent sans s’affaiblir, l’un quelconque des mouvements correspon- dants sera lui-même un mouvement durable et persistant qui pourra, ou se propager sans s’affaiblir, ou être moins sensible à de plus grandes distances de la surface de séparation, ou être moins sensible à de plus petites distances de cette surface. Suivant que le premier, le second ou le troisième cas aura lieu, nous dirons que le mouvement corres- pondant dont il s'agit est un mouvement simple de premuére, de seconde ou de troisième espèce. D'ailleurs, le logarithme népérien du module re- latif à chaque mouvement de seconde espèce renfermera un coefficient d'extinction par lequel se trouvera multipliée la distance d’une molécule à la surface donnée. Cela posé, la loi indiquée par le calcul, comme propre à faire connaitre les diverses circonstances que présentent la réflexion et la réfraction des mouvements simples, peut s'énoncer de la manière suivante :

Deuxième LOI. — Lorsqu'un mouvement simple rencontre la surface de séparation de deux systèmes homogènes de molécules, alors, pour rendre compte de tous les phenomenes de réflexion et de réfraction, 1 suffit de Joindre au mouvement incident les mouvements réfléchis et réfractes qui restent sensibles à une grande distance de la surface réflechissante, et de leur superposer, dans le voisinage de la surface, des mouvements corres- pondants de seconde espèce, qui offrent dans chaque milieu des coefficients

d'extinction plus considérables.

120 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

Pour ne pas abuser de l’attention de l’Académie, je renvoie à un

autre article la discussion de cette loi remarquable, à laquelle on peut

arriver encore, d'une manière presque rigoureuse, par de simples rai- sonnements que tout le monde peut saisir, et l’application de cette même loi aux phénomènes que présente la réflexion ou la réfraction des rayons lumineux.

80.

PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Considerations nouvelles relatives à la reflexion

el à la réfraction des mouvements simples.

C.R.,t. X,p. 347 (2 mars 18/0).

Suivant la première des deux lois relatives à la réflexion et à la ré- fraction des mouvements simples, si l’on donne deux systèmes homo- genes de molécules séparés par une surface plane, et un mouvement simple qui se propage dans le premier système jusqu’à la surface de séparation, ce mouvement, que nous appelons mouvement incident, et les mouvements réfléchis, réfractés, auxquels il pourra donner nais- sance, seront toujours des mouvements correspondants (séance du 17 février).

Cette loi étant admise, voyons comment on pourra obtenir les di- verses équations propres à représenter toutes les circonstances de la réflexion et de la réfraction d’un mouvement simple.

La constitution des deux milieux ou systèmes de molécules étant connue, on pourra dire quels sont pour chacun d’eux les mouvements simples correspondants au mouvement incident. Or, en vertu de la première loi, c’est en superposant deux ou plusieurs de ces mouve- ments simples que l’on pourra représenter dans le premier milieu les mouvements incident et réfléchis, dans le second milieu, le mouve- ment ou les mouvements réfractés. D'ailleurs, pour chacun des mouve- ments simples correspondants au mouvement incident, la longueur

EXTRAIT N° 80. 121

d’ondulation se trouvera complètement déterminée ainsi que la direc- tion des plans des ondes; mais on ne saurait en dire autant, par exemple, de l'amplitude des vibrations moléculaires qui sera inconnue a priori, et devra s’évanouir pour ceux de ces mouvements que l’on vou- drait exclure de la superposition indiquée. On pourra donc représenter les déplacements moléculaires relatifs, dans le premier milieu, aux mouvements incident et réfléchis, ou, dans le second milieu, aux mouvements réfractés, par des sommes de termes qui renfermeront plusieurs indéterminées dont quelques-unes pourront s’évanouir. Mais il est clair que ces déplacements moléculaires, et celles de leurs dé- rivées que ne déterminent pas les équations aux différences partielles des mouvements infiniment petits, ne sauraient varier d’une manière brusque tandis que l’on passera d’un milieu à l’autre : donc ces dé- placements et ces dérivées, calculés successivement pour l’un et l’autre milieu, devront satisfaire à la condition de reprendre toujours les mêmes valeurs en chaque point de la surface de séparation. Il y a plus : d’après ce qui a été dit dans la séance du 17 février, la conclu- sion précédente doit être étendue au cas même où l’on tient compte des altérations qu’éprouve la constitution de chaque système dans le voisinage de la surface réfléchissante, pourvu que la distance à laquelle ces altérations deviennent sensibles reste très petite par rapport aux longueurs d'ondulation. La condition que nous venons d’énoncer four- nit d’ailleurs à elle seule les diverses équations qui doivent être véri- fiées dans le voisinage de la surface.

Supposons maintenant.que le mouvement incident soit un mouve- ment durable et persistant, qui se propage sans s’affaiblir. L'un quel- conque des mouvements correspondants sera lui-même un mouvement durable et persistant, qui pourra, ou se propager sans s’affaiblir, ou être moins sensible à de plus grandes distances de la surface de sépa- ration des deux milieux, ou être moins sensible à de plus petites dis- tances de cette surface. D'ailleurs le troisième cas. est exclu par la condition que le mouvement reste infiniment petit à de grandes dis-

tances de la surface : donc, pour obtenir les lois de la réflexion et de OEuvres de C. — S.I, 1. V. ; 16

122 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

la réfraction, on ne devra, dans chaque milieu, superposer au mouve- ment incident que deux espèces de mouvements correspondants, sa- voir, ceux qui se propageront sans s’affaiblir, et ceux qui deviendront insensibles à de grandes distances de la surface réfléchissante. D’ail- leurs, parmi ces derniers, ceux qui offriront dans leurs modules des coefficients d'extinction plus considérables sont précisément ceux qui deviendront plus promptement insensibles quand on fera croitre la distance à la surface. Donc, lorsqu'un mouvement simple rencontre la surface de séparation de deux systèmes homogènes de molécules, alors, pour rendre compte de tous les phénomènes de réflexion et de réfraction, 1l suffit de joindre au mouvement incident les mouvements réfléchis et réfractés qui restent sensibles à une grande distance de la surface réfléchissante, et de leur superposer des mouvements corres- pondants qui n’altèrent les premiers d’une manière sensible que dans le voisinage de la surface dont il s’agit. Telle est, en effet, la seconde des lois de réflexion et de réfraction énoncées dans la dernière séance.

Considérons, pour fixer les idées, le cas particulier où, les deux sys- tèmes de molécules étant isotropes, le mouvement incident donne naissance à un mouvement simple réfléchi et à un mouvement simple réfracté, qui, comme lui, se propagent sans s’affaiblir. Alors il arri- vera de deux choses l’une : ou le système des mouvements incident et réfléchi, propagés dans le premier milieu, s’accordera, en chaque point de la surface réfléchissante, avec le mouvement réfracté qui se propage dans le second milieu, de sorte que, sur cette surface, les dé- placements moléculaires et leurs dérivées, calculés dans le premier et le second milieu, reprennent toujours les mêmes valeurs; ou cet ac- cord n’existera point, et, pour le rétablir, on sera obligé de superposer aux trois mouvements incident, réfléchi, réfracté, qui, par hypothèse, se propagent sans s’affaiblir, d’autres mouvements correspondants, qui, étant insensibles à de grandes distances de la surface, deviennent sensibles dans son voisinage. Dans le premier cas, le système des mouvements incident et réfléchi se transformera de lui-même, et sans transition brusque, en traversant la surface réfléchissante, en mou-

vement réfracté. Mais, dans le second cas, cette transformation sans transition brusque ne deviendra possible que par la superposition indi- quée. Le premier cas se présente, dans la théorie de la lumière ré- fractée par la surface de séparation de deux milieux isophanes, lors- qu’on suppose le rayon lumineux polarisé suivant le plan d'incidence, c’est-à-dire, en d’autres termes, lorsqu'on suppose les vibrations du fluide éthéré parallèles à la surface réfléchissante. Alors les lois de la réflexion et de la réfraction sont beaucoup plus faciles à établir que dans toute autre supposition, et il est permis de faire abstraction des mouvements simples qui pourraient se propager dans l’éther sans oc- casionner des phénomènes lumineux. Mais il n’en est plus ainsi dans la supposition contraire, et c’est ce qui explique pourquoi Fresnel à eu plus de peine à découvrir les formules relatives à la réflexion d’un rayon de lumière polarisé perpendieulairement au plan d'incidence.

Je présenterai ici une dernière observation. Quand on applique les principes que je viens d'exposer, ou, ce qui revient au même, la mé- thode exposée dans mes précédents Mémoires, à la réflexion et à la réfraction des mouvements simples, produites par la surface de sépa- ration de deux milieux isotropes, on obtient des formules générales qui comprennent, comme cas particulier, les formules de Fresnel rela- tives à la réflexion de la lumière. Pour réduire les unes aux autres, 1l suffirait, comme je l’ai déjà remarqué, de supposer, dans chaque mi- lieu, une certaine constante que désigne la lettre f ou f’, réduite au signe près à l'unité, c’est-à-dire, en d'autres termes, de supposer nulle, dans chaque milieu, la vitesse de propagation des vibrations longitudinales. Mais cette supposition n’est pas la seule qui repro- duise les formules de Fresnel. En examinant de nouveau la question, j'ai reconnu qu’on arrivera généralement à ces mêmes formules, si l’on suppose imaginaires, et de plus égales entre elles, les caractéris- tiques des deux mouvements simples qui, étant seulement sensibles à de très petites distances de la surface réfléchissante, servent à trans- former, sans transition brusque, le système des mouvements incident et réfléchi en mouvement réfracté, ou bien encore, si l’on suppose ces

: N ù C4i} AITA } EXTRAIT N° 80. 7

124 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

caractéristiques réelles, mais infiniment petites. Dans ces deux cas, on verra disparaitre les vibrations longitudinales, qui cesseront de se pro- pager lors même que les caractéristiques deviendront infinies ou nulles, attendu qu’alors la vitesse de propagation de ces vibrations deviendra nulle ou infinie.

En rapprochant les formules obtenues comme on vient de le dire de celles que renferment les Nouveaux Exercices de Mathématiques, pu- bliés en 1835 et 1836 (2° et 7° livraison), on est conduit à penser que l’on doit attribuer des valeurs réelles très petites aux caractéristiques des mouvements simples qui restent sensibles à de très petites dis- tances de la surface réfléchissante. Cette supposition est effectivement celle que j'ai admise dans le Mémoire présenté à l’Académie des Sciences en octobre 1838 ('), et inséré par extrait dans les Comptes rendus des séances de cette même année. Ainsi, en définitive, nous sommes ramenés aux conclusions énoncées dans ce Mémoire, qui avait pour objet de montrer comment les équations de condition données à la page 203 des Nouveaux Exercices de Mathématiques, pour la surface de séparation de deux milieux, se déduisent de la méthode exposée dans la première Partie du Mémoire lithographié sous la date d’août 1836.

ANALYSE.

Analyse. — Pour montrer une application des principes que nous venons d'exposer, considérons deux milieux homogènes et isotropes séparés par une surface plane que nous prendrons pour plan des y, z. Soient d’ailleurs

br les déplacements effectifs d’une molécule mesurés au point (x, y, 3), parallèlement aux axes coordonnés, dans le premier milieu situé du côté des æ négatives, et

ë, UE 6 les déplacements symboliques correspondants. Les équations symbo-

(1) Œuvres de Cauchy, S. 1, t. IV. — Extrait n° 19, p. 99.

EXTRAIT N° 80. 125 liques des mouvements infiniment petits du premier milieu se rédui- ront aux formules (3) de la page 138 du Mémoire sur la réflexion d’un mouvement simple (voir les Exercices d'Analyse, ete.); et, par suite, les équations finies d’un mouvement simple, propagé dans ce premier mi-

lieu, seront de la forme

( I ] a Aeut+vy+wzst, 1 — Beuctrytwz-st, a == Ceur+vy+wz-st,

u, », w, 5, À, B, C étant des constantes réelles ou imaginaires, propres à vérifier l’un des deux systèmes d'équations

(2) er, uA +vB+wC—o, (3) s—€c+f$k?, : RU ne 0 CRT ew

dans lesquelles €, $ désignent deux fonctions de la somme (4) u? + p? + 2 = k?,

Si d’ailleurs on suppose les équations aux différences partielles des mouvements infiniment petits réduites à des équations homogènes, on

aura

CR rE STE

_

:, f désignant deux constantes réelles qui dépendront de la nature du

premier milieu, et, par suite, la première des formules (2) ou (3) don-

nera

(5) Feu ou

(6). s?—4(1+f)k2,

Si l’on considère un mouvement simple dans lequel le second et le troisième plan invariables soient parallèles à l’axe des z, les plans des ondes seront eux-mêmes parallèles à cet axe; et, comme on aura

(7) (= 0,

126 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE,

on tirera de la seconde des formules (2) (8) uA + vB—o,

ou, de la seconde des formules (3), (9) =, Co.

Concevons maintenant que l’on fasse tomber sur la surface de sépa- ration des deux milieux un mouvement simple, durable ou persistant, et qui se propage dans le premier milieu, sans s’affaiblir. On aura, pour ce mouvement simple,

(10) u—UuYy—:1, VEN W—=WY—1, sS—Sy—:1,

U, v, W, S désignant des quantités réelles, qui pourront être censées positives, si les ondes incidentes s’approchent de la surface de sépara- tion des deux milieux; et l’on pourra prendre encore

Fa k=kV=—:r,

/

la valeur de k étant

(12) k — Yu? + v'+ wi,

Si d’ailleurs le mouvement incident dont il s’agit donne naissance à des mouvements réfléchis et réfractés, en vertu de la première loi de ré- flexion ou de réfraction, ces mouvements incident, réfléchis et réfrac- tés seront des mouvements correspondants, pour lesquels les coefficients des trois variables indépendantes |

dans l'argument et dans le logarithme népérien du module, resteront les mêmes, les valeurs de ces coefficients étant toujours

(13) V—=NY—!, W—=WY-—=1, s=sÿ— 1.

Quant au coefficient w de la variable x, il changera de valeur avec la constante #, tandis que l’on passera du mouvement incident aux mou-

EXTRAIT N° 80. 127

vements réfléchis ou réfractés ; et comme, de l'équation (4), jointe aux formules (13), on tirera

(14) u?2—= v?+ wW?+ k?,

il est clair que les diverses valeurs de w relatives aux mouvements ré- fléchis et réfractés seront comprises parmi celles que fournit l'équa- tion (14), quand on y substitue pour #? une valeur tirée de la première des formules (2) ou (3).

Supposons, pour fixer les idées, que, les équations aux différences partielles des mouvements infiniment petits de chaque milieu se rédui- sant à des équations homogènes, le mouvement incident soit du nombre des mouvements simples dans lesquels les vibrations moléculaires res- tent parallèles aux plans des ondes. Alors la première des formules (2) ou (3)se réduira simplement à l'équation (5) ou (6), et la valeur de#, relative au mouvement incident, sera donnée par l'équation (5), de laquelle on tirera, eu égard aux formules (11), (13),

S2— — S2—1k2—— 1k? et, par suite, (15) k2=— — k?, = v?+w— k?= — u?, la valeur de k? étant (16) a

Alors aussi la formule (6) donnera

s? k° K?— — 7 — 1(1+f) (1 + f) 1+f et, par suite, (17) k? E 2— 4? + w° . Fe ES es F LEON ETS 2 7 ET 1+ f

Les deux valeurs de &, fournies par la seconde des formules (15), sa- voir

(18) U—=UV—3,: -u——U0y—1,

se rapporteront, l’une au mouvement incident, l’autre au mouvement .

128 | COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

réfléchi, ou, plus généralement, à celui des mouvements réfléchis qui, se propageant sans s’affaiblir, demeurera sensible à de grandes dis- tances de la surface réfléchissante. Quant à la seconde des formules (17), elle fournira deux valeurs réelles de &, l’une positive, l’autre négative, si l’on a |

9

(19) L Érig °08 UE à D

et alors à la valeur positive

»

(20) a=\/v+w-

correspondra un mouvement simple qui deviendra de plus en plus in- sensible à mesure que l’on s’éloignera de la surface réfléchissante dans le premier milieu situé du côté des x négatives. Supposons d’ailleurs que les équations aux différences partielles des mouvements infiniment petits ne soient sensiblement altérées dans leur forme qu’à de très pe- tites distances de cette même surface. Alors, en vertu de la seconde loi de la réflexion, on pourra compter, parmi les mouvements incident et réfléchis, les mouvements simples correspondants, non seulement aux valeurs imaginaires de w, données par les formules (18), mais encore à la valeur positive de w déterminée par la formule (20). Concevons à présent que, pour abréger, l’on désigne par

3 (21) U—UY—1, U,—=—UVÿ—1, a, =\fe+wm-

et nommons

ce que deviennent

quand on met u, ou 4, à la place de w. Lorsque, en supposant remplie la condition (19), on tiendra compte à la fois du mouvement incident et des mouvements réfléchis dans lesquels le coefficient # de æ acquerra

L

EXTRAIT N° 80. 129

les valeurs &,, u,, les déplacements symboliques des molécules du pre- mier milieu seront déterminés par des équations de la forme

os

—— uUuL+vy+wz-st U,X+VY+wz—sl uUuyL+VY+Wwz—-st —Ae J+Wwz-st D À eurc+vy + À ,euuc+vy £

SI Sr

(22) — Beux+vy+wz-st ne B, el +V} Hz st Bet CHVY HWZ SE,

sX|

— Ceur+tvy+wz-st LE C, et C+VY+Wwz-st LE ( eus C+Vy+Wwz—st, [24

dans lesquelles on aura

(23) uA +vB+wC—o, ‘u À, + vB,+ wC = 0 et A B C "1 EU — Un HN, (24) u CHR"

Soient d'autre part

tandis que l’on passe du premier au second milieu. Outre la for- mule (16), on obtiendra la suivante

(25) ire.

L

Supposons d’ailleurs que les équations aux différences partielles des mouvements infiniment petits se réduisent encore, dans le second mi- lieu situé du côté des æ positives, à des équations homogènes dont les formes ne soient sensiblement altérées qu’à de très petites distances de la surface réfléchissante. En vertu des lois exposées dans l’avant- dernière séance, on ne pourra compter parmi les mouvements réfrac- tés que des mouvements simples qui correspondront à des valeurs de w propres à vérifier l’une des équations

(26) . ui =? + w?— k'?,

(27) HR Re

OEuvres de C. — S. 1, t. V. 17

130 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

et choisies de manière à offrir une partie réelle nulle ou négative. Cela posé, si la condition - k’2

(8) ki v+ ur D

se vérifie, on pourra prendre pour mouvements réfractés les mouve- ments simples correspondants aux valeurs de & qui, étant représentées par

seraient déterminées par les formules

(29) M nt dE us

L

” : k'2 2

(30) u'—— (se + wW? — à ‘ En

Donc, en nommant

1 Mr PT Co 1 3 S

les déplacements symboliques des molécules dans le second milieu, on pourra prendre généralement

er peser > PACE D RES TESTS NT

L A eu r+vy+wz-st Le A et” tT+vy+wz se, / re , fr * ARE "1 4 Ps mi (31) én —=B'evrteytwi-st E B'eu’r+ey+wz-st,

b'=C eu L+Py+Wwz- st NU EUT AH VT HW SE,

les constantes A”, B', C’, 4”,.B”, C”’ étant liées aux constantes w’, 6, «, u"par des équations analogues aux formules (23), (24), savoir,

(32) TA. EST À à LEE wC'— 0,

l/4 ” à/7/2 (33) LS ER 2 JE u* U «w

C'est en égalant, pour chaque point de la surface réfléchissante, les va- leurs de

EXTRAIT N° 80. PE

tirées des équations (22), qu’on obtiendra les équations de condition relatives à la surface, et à l’aide desquelles on pourra déterminer toutes les circonstances de la réflexion et de la réfraction.

Lorsqu'on suppose, dans le mouvement incident, les plans des ondes parallèles à l'axe des z, on a, comme on l’a déjà remarqué, & — 0, et par suite, en vertu des formules (24), (33),

Ce, ré:

Donc alors la dernière des formules ( 22) se réduit à

[AN

34) = Ceurtvy-st + Gerwerer-s,

attendu que l’on a uw, — — u, et la dernière des formules (31) se ré- duit à

(35) E —C'evrter-se

En combinant, avec les formules (34), (35), les deux équations de con- dition |

TRES Ft. Dit.

qui doivent être satisfaites pour chaque point de la surface réfléchis-

sante, ou, en d’autres termes, pour une valeur nulle de x, on trouvera C+C.=cC", u({C--C,)=uC,

et par suite

8 RER à À ve 7 (37) RP ES Ë u + C Hu +

\

On sera donc ainsi ramené aux équations (65) du cinquième para- graphe du Mémoire sur la réflexion des mouvements simples. On dé- duira pareillement les formules (56) ou (66) | ibidem | des formules (22) et (31) combinées avec les équations de condition

— 1; D. i = Dré, Dsn' = D,

(38)

o li

"y | Î frxl

qui devront encore être satisfaites pour une valeur nulle de x. Obser- vons seulement que les valeurs du coefficient w, représentées dans les

132 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

équations (22), (3r) par &, et par w”, se trouvent représentées au con- traire dans le Mémoire dont il s’agit par — ©, — Ù'; et qu'il s’est glissé une erreur de signe dans Le premier membre de la formule (15) [ pag. 94 (*)}, où l’on doit remplacer © par — ©.

Les formules (37) se rapportent à la réflexion et à la réfraction d’un rayon polarisé suivant le plan d'incidence. Au contraire, les formules déduites des conditions (38) se rapportent à un rayon polarisé perpen- diculairement au plan d'incidence. Pour que ce dernier rayon dispa- raisse après la réflexion sous une certaine incidence, il faut que l’on

ait

I L e VE

© me O+ 0 —=0, ou, ce qui revient au même, (39) u,+u"=0,

par conséquent, eu égard aux formules (21) et (30),

AR RER PAR RUE à

(40)

Telle est la condition qui doit être vérifiée pour que la surface de sépa- ration de deux milieux isotropes polarise toujours suivant le plan d’in- cidence un rayon réfléchi sous un certain angle. L'hypothèse que nous avons admise. dans le Mémoire ci-dessus rappelé, et qui consistait à supposer

Fleet,

offre seulement un des cas particuliers dans lesquels cette condition se vérifie.

D'autre part, pour que les valeurs de

fournies par les équations (21) et (30), restent réelles dans le cas même où, les plans des ondes étant parallèles à la surface réfléchis-

(1) OEuvres de Cauchy. — S.1I, t. IV, p. 471.

EXTRAIT N° 80. 133 sante, on a simultanément Y=0, W== 0, LAS EL

il est nécessaire que les binômes

1+f, 1+f

deviennent nuls, ou infinis, ou négatifs. Or chacun de ces binômes est positif lorsque, dans le milieu qui lui correspond, les vibrations trans- versales et longitudinales peuvent se propager sans s’affaiblir, et alors il représente précisément le carré du rapport entre les vitesses de pro- pagation des vibrations longitudinales et des vibrations transversales. Done, lorsque la surface de séparation de deux milieux isotropes pola- rise complètement suivant le plan d'incidence un rayon réfléchi sous un certain angle, chacun de ces milieux est du nombre de ceux dans lesquels les vibrations longitudinales se propagent avec une vitesse nulle, ou infinie, ou ne peuvent se propager sans s’affaiblir.

La méthode que je viens d’exposer est distincte de celle que ren- ferme le Mémoire inséré par extrait dans le Compte rendu de la séance du 29 octobre 1838 ('). L'une et l’autre méthode fournissent les équa- tions de condition que j'ai données, en 1836, à la page 203 des Nouveaux Exercices de Mathématiques, et qui, étant appliquées à la théorie de la lumière, reproduisent Les formules de Fresnel. J'aurais voulu comparer ici ces deux méthodes, et montrer de plus avec quelle facilité les for- mules de Fresnel, relatives à un rayon polarisé perpendiculairement au plan d'incidence, se déduisent des équations (22), (31), jointes aux conditions (38). Mais le désir d'exposer clairement, et de manière à être compris des lecteurs, une théorie qui peut contribuer notablement aux progrès de la Physique mathématique, et qui permet de résoudre avec facilité des questions dont l'importance est généralement sentie, m'a forcé d’entrer dans quelques détails qui ont déjà fait dépasser à cet article les bornes que j'aurais voulu me prescrire. C’est pour là même raison que je me bornerai à dire un mot d’un Mémoire, sur les formules de Fresnel, lu à l'Université d'Édimbourg le 18 février 1839, et que

(1) Œuvres de Cauchy, S. X, &. IV. — Extrait n° 19, p. 99.

134 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

l'auteur, M. Kelland, a bien voulu m'adresser par l'intermédiaire de M. Forbes. En voyant, à la tête de la seconde Section de ce Mémoire,

des formules qui ne différent pas au fond des équations (22) et (31),

LE

j'ai été un instant porté à croire qu’il y avait identité entre la méthode de M. Kelland et l’une des miennes; d'autant plus que les considéra- tions placées en tête de cette Section s'accordent, non seulement avec celles que j'ai développées dans les deux Mémoires d’août 1836 et d'oc- tobre 1838, mais aussi avec celles qui se trouvent exposées dans le pré- sent article. Je m'attendais donc à voir les formules (38) se présenter dans le Mémoire de M. Kelland, aussi bien que dans celui-ci, comme étant les véritables équations de condition relatives à la surface de sépa- ration de deux milieux, pour le cas où les vibrations sont renfermées dans le plan d'incidence. Mais, à la suite des formules (22), (3r), ou plutôt de celles qui les remplacent, dans le Mémoire de M. Kelland, page 407, je trouve, au lieu des équations (38), une série de formules qui se prolonge jusqu’à la page 416. Or, de ces dernières formules, plusieurs sont fondées sur des hypothèses qui semblent pouvoir être contestées ; et je ne vois pas d’ailleurs comment elles pourraient servir, dans ces hypothèses, à déduire des équations (22) et (31), ou plutôt de celles qui les remplacent, les formules de Fresnel. Car cette déduction, loin de s'effectuer généralement, et en vertu de la seule forme des équations de condition relatives à la surface réfléchissante, ne peut réussir au contraire que dans un cas particulier, et pour des valeurs numériques égales des coefficients représentés dans mes calculs par ©, ©’; or cette égalité entre les valeurs numériques de ©, ©’, et par suite entre les va-

leurs des rapports k? k'2

RES Pr nr

ne s'accorde point avec l'hypothèse admise par M. Kelland, et suivant

laquelle on aurait IH == EPST Le

la constante k’ étant d’ailleurs différente de la constante k.

(1) Transactions of the Cambridge Philosophical Society, vol. VI, p. 180.

EXTRAIT N° 81. 135

Je développerai dans un autre article les conséquences que l’on peut déduire de la formule (40), combinée avec celle que renferme le Mé- moire lithographié sous la date d'août 1836.

51.

THÉORIE DES NOMBRES. — 7ZAcoremes divers sur les residus

el les non-résidus quadratiques.

C.R.,t. X,p. 437 (16 mars 1840).

SI. — Sur les résidus inférieurs à un module donné.

Les formules nouvelles que nous nous proposons d'établir, se trou- vant liées avec celles que M. Gauss a données, dans le Mémoire inti- tulé Summatio serierum quarumdam singularium, nous allons d’abord rappeler ces dernières en peu de mots. On a, pour une valeur entière du nombre #7 et pour une valeur quel- conque de æ (séance du 3 février, p. 180) (!),

F È 1— 2m (1— v2n){(1 2 y2m-2) (i—x)(i— x)... (im) — 1 — Fe. EE

L-—# (wi) Si, dans cette formule, on pose 22 — n — 1 et = pi e étant une racine primitive de l'équation (a) 4, on trouvera

Î — -n(n—1)

(= p}(i—p3}...(1— pr) =r + pt + ps +, + p

»

puis, en remplaçant 9 par 5°, (1 —pT?) (4 — pT6) Fer (t ERETS DRE) CU ES +02 —+- p5 + Stez de DR UX

(1) OEuvres de Cauchy, S. 1, t. V. — Extrait n° 76, p. 83.

136 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

Enfin, si l’on multiplie les deux membres de la dernière équation par

(=)

p ,

en ayant égard aux formules

2

TR AU TS PAR m(m—1)+ (° ) rs (mod n), -

(=) +8 +644 (n—),

on trouvera définitivement (2) (p— pt) (p9 — pr). (pet — pr) Li + p + p8 + p9 +. + pre,

Si, pour abréger, on désigne par A la valeur commune des deux membres de la formule (2), on aura non seulement

n—1 a deu Eu * P ; (1—p?)(1—0p6) ...(1— p?r—s), mais encore n —1\t en (1 p2n-2),

et par suite ne

DE) pl pr pt 0 A pans,

ou, ce qui revient au même,

n— 1

GE AP NE RE MS Rene ph pet),

Or de l'équation identique

on tirera

À ; Lot CT CT ET ee - à =(x—pl(x—p?)...{(x—p"-1),

puis, en posant æ = 1, | | (4) n = (12 p}f ep) 1 fée mt

Donc la formule (3) donnera

(5) Ares laie

EXTRAIT N° 81. 137

Les diverses racines p de l'équation (1) peuvent être présentées sous la forme

(6) p = emaV-1 — cosme + V—1sinms,

la valeur de w étant

{ 27H (7) se,

et m» désignant l’un des nombres

CARE PAR. PIS. POP PUR | Cal Ajoutons que la valeur de », déterminée par l'équation (6), sera une racine primitive, si 2 est premier à ». Ainsi, par exemple, à la valeur 1 de #7 correspondra la racine primitive

(8) p = eV = coso + ÿ—1sine.

En substituant cette dernière valeur de » dans les deux membres de l'équation (2), on trouve

n—1

| A—(2yÿ—1) ? sinwsin3w... sin(n —2)w (9) | —1+ COSO + COS4w +...+ Ccos(n —1}?&

+ [sine + sinfwo+...+ sin(n —1}?0]yÿ—1;

et, comme chacun des angles

sera compris entre les limites o, +, il est clair que, si l'on prend

ms

{io) Q = sinwsin2w ...sin ( 2

a) = sin sin3o ...sin(z —2)0, le produit @ sera positif. Donc, puisqu'on tirera des formules (5), (9) et(ro)

ant — 1,

on aura nécessairement n —1 e (11) "D = va;

OEuvres de C.—S.H, t. V. 15

138 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

et, comme on trouvera encore

(n—1)(n—3)

è

É : : ._ (n—1 sin® sin2@ ...sin{n—2)w—{—1) sino Sin26 ... sin (— o),

la formule (9) donnera

| n—1\? (12) An , le En d’autres termes, on aura (13) | A = n?, lorsque 2 sera de la forme 4x + 1, et (14) Pt NE ÉTÉ

lorsque » sera de la forme 4x + 3. Ainsi, par exemple, on trouvera,

porn + 4 2T — , 27 1 3 = COS —— — ISSN — —=— — + — ÿ/— P 3 eV 3 2 en ME de : RER A=rt+p+pt=1+ 29 = 3 #ÿ—:; DOM RS, 1 27 à A=1+p+pt + PHpi=itap+apt=ité cos — = 5; PO A0), 09 —] : A—1+ p + pi + A

podtrui,

A=1+p+pi+...+ pr 3 + Gp9 + 2pl1+p8 +...+ pi)

2F ES Fr — AT Gp? + Pa = 3 + bp —3{(1+ ape 3.3*V— 1;

pour nr t5 3,5,

A—1+p + pi + ee Hp = ri + 4p + fpi + 206 + 20 + d Ted

= (1+ 2p10) {1 + 2p6-+ 209) )=(—5 )(— 3! L'ENDENT NET

2 Mad RO PAR ES PS RE SR ST D EE D EN D ONE D fe OC DE DE OC ON AC M C7 0 NN le Gien que:

EXTRAIT N° 81. 139 Les formules (9) et (ro) se rapportent au cas où la valeur de b est dé- terminée par l’équation (8). Supposons maintenant que, la valeur de à étant généralement déterminée par l'équation (6), on prenne encore

(15) AZr+p+pi+p9+... Hp,

Sim est premier à », alors, p étant une racine primitive de l’équa-

A b

tion (1), on se trouvera de nouveau conduit aux formules (4), (5), et par suite la valeur de A sera, au signe près, celle que détermine la

D - . PE . AC A d / formule (12). D'autre part, si / désigne un nombre inférieur à => on

aura (n—l}?=l® (mod.n),

et, en conséquence, la formule (15) pourra toujours être réduite à

n—1\? (16) Not io Cd Considérons en particulier le eas où x représente un nombre pre- mier. Alors si, parmi les entiers positifs et inférieurs à x, on nomme Rire

ceux qui, étant résidus quadratiques, vérifient la condition

fe RE,

ceux qui, étant non résidus quadratiques, vérifient la condition

18 (=.

on verra la formule (16) se réduire à (19) Ai 2 (pt + ph pt...

Si d’ailleurs p ne se réduit pas à l'unité, on aura

PÉRÉR HS. HFAT Se = 0

140 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE. ou, Ce qui revient au même,

(20) D+ ph php pÉ + pi pit... —o,

Donc alors la formule (19) donnera (21) A = ph + ph + pl 1 — ED DEN

Donc lorsque, » étant un nombre premier, » ne se réduit pas à l'unité, la valeur de A, fournie par l'équation (15) ou (16), est une fonction alternée des racines primitives de l'équation (1). Cette valeur sera même une somme alternée de ces racines si 9 désigne l’une d’entre elles, et par conséquent alors on aura

conformément à l'équation (5). Il y a plus : puisqu’en supposant la valeur de : donnée par l'équation (8) on a trouvé

’ (=) 3 j— 3

(V— 5) ,

on trouvera, au contraire, en supposant la valeur de » donnée par l’é-

quation (6), (29) a= (Te) #(VT 5)

Si 9 se réduisait simplement à l'unité, la formule (15) donnerait évi- demment (23) AA.

Au reste, à l’aide des formules ci-dessus établies, on caleulera faci- lement la valeur que peut acquérir l'expression A, déterminée par la formule (15), non seulement lorsque x représente un nombre premier ou une puissance d’un tel nombre, mais aussi lorsque » est le produit de certaines puissances

EXTRAIT N° 81. 11

Dans ce dernier cas, on reconnaît sans peine que l'expression A, dé- terminée par la formule (15), est le produit d'expressions du même genre qui correspondent, non plus à la valeur

ya y'è "ce

mais aux valeurs

de l’exposant x; puis on en conclut immédiatement que la formule (22 peut être, aussi bien que la formule (12), étendue à des valeurs quel- conques de », par exemple à la valeur

“ce

nes ‘LR Pal HU

pourvu que, 2 étant premier à z, on pose avec M. Jacobi

1 NC RES

Lorsque les exposants

se réduisent à l’unité, la formule (24) se réduit à

sn D-O6E

et la valeur de A peut être censée fournie par l'équation (21), pourvu que l’on nomme

HO RS CETTE ou FRE OEM ceux des entiers inférieurs à 2, mais premiers à », qui vérifient la con- dition (17) ou la condition (18).

Si l’on substitue dans la formule (22) la valeur de A, tirée des équa- tions (16) et (6), on trouvera

I n—1\? : + COS MG + COS ME + ... + COS (=) m6) =

; S . {n—1\? RE (26) + | sinmo + sinfmo +... + sin s }molv=

“a hé)

142 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

On aura donc, par suite, si » est de la forme 4x +1, : I n —1:\? nn (27) + cosma + cosfme +... + cos ("—") mu! (#) VA,

et, si x est de la forme 4x + 3, Le ; | . {n—1\? 1 /m\ — ‘28 sin Mo + Sin {mo + ...+ sin (—) maE= > () VA.

’uretllement, on tirera des formules (6), (16) et (21), lorsque x sera de la forme 4x +1,

| m\ — (29) Scosmho — Scosmko — (&) Va, et, lorsque » sera de la forme 4x + 3,

/

a ; : m\ - (30) Ssinmhm — $S sin mo — (5) Va,

le signe S indiquant une somme de termes semblables entre eux, et relatifs aux diverses valeurs de À ou de #, qui vérifient la condition (13) ou (18). Si l’on suppose en particulier #7 — 1, on aura simplement,

lorsque x sera de la forme 4x +1,

(31) S cos An — S cosk eo — Vu, et, lorsque x sera de la forme 4x +53,

(32) Ssin Low — Ssinko — Vu.

SIL —- Sur les résidus et les non-résidus quadratiques inférieurs à la moitié d'un module donné.

Parmi les entiers inférieurs à un nombre impair x, mais premiers à x, considérons en particulier ceux qui ne surpassent pas la moitié de ce même nombre, et soit / un de ces entiers. On aura généralement

Ge (ct)

EXTRAIT No 81. 143

puis on en conclura, si » est de la forme 4x +1,

E)=6)

et, si x est de la forme 4x + 3, n — FE .) n }= n

Fe £ À ; SRE En : . : Cela posé, parmi les entiers inférieurs à =; mais premiers à 7, nom-

D

= co

mons À un quelconque de ceux qui vérifient la condition

oE

et # l'un quelconque de ceux qui vérifient la condition

Vase

Les entiers inférieurs à nr, mais premiers à », seront, entre les li-

= ds Rom

Qt Frs

+ nr mites O0, =» de l’une des formes

À: &: , . n et, entre les limites SA, de l’une des formes n—h, n—k.

De plus on aura, si x est de La forme 4x +1,

a en (re (De (-—

et, si z est de la forme 4x + 3,

er (ee (ee (-

Cela posé, si, dans les formules (31), (32) du $ I*', on étend le signe S

. n ve aux seules valeurs de 2 ou de # qui ne surpassent pas =>; on verra évi-

144 | COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

demment ces formules se réduire aux suivantes :

(8) S cos Lo —S cosk wo — =Vn, pour n=1 (mod. 4), (9) S sin #w — S sin kw — =Vn, pour n = 3 (mod. 4), la valeur de w étant toujours

(10) D nn

Alors aussi, 72 étant premier à 2, on aura, en vertu des formules (29), (30) du $ I°,

. 1[m\ (11) Scosmho— Scosmho =; |) vr, pour n= (mod. 4), .. ; 1 {m\ - {r2) Ssinmko — Ssinmko = } (2) vn, pour n=3 (mod./).

Observons maintenant que, # étant impair, ou premier à 2, les en- tiers inférieurs à 7, mais premiers à », pourront être représentés in- différemment, ou par les divers termes de l’une des formes

h, Kk, n—h, n—k,

ou par les nombres qu’on obtiendrait en doublant ces termes et divi- sant les résultats par ». D'ailleurs ces derniers nombres seront de l’une des formes

2h, 24, n—2h, n—2k.

Enfin on trouvera généralement

13) =

, . 2 , . . « . , c'est-à-dire que (5) se réduira simplement à +1, si x est de l’une des formes 8x +1, 8x +7, et-à — 1, si n est de l’une des formes

8x + 3, 8x + 5; et l’on aura par suite, eu égard aux formules (6), (7) : 1° Six est de la forme 8x +1,

Fix (2) (221) Ce (2) (14) — = 1; PÉTER es LS R)=—s RL ES A n n n HS

EXTRAIT N° 81. 145

2° Sinest de la forme 8x + 5,

ee 22) (=) (#) (=) (19) Ée on) —= 1, — = I, tie da n n CEA n

3° Sin est de la forme 8x + 3,

Ar n—2k\ AVE n—2h\ 7) (Æ)=. (=, (= D }=-".

Cela posé, il est clair que, si l’on suppose le module » de la forme 8x +1, les mêmes nombres inférieurs à », et premiers à 7, pourront ètre représentés, à l'ordre près, soit par les termes de la forme

hf soit par les termes de la forme oh, n—2h.

Done, en étendant le signe $S à toutes les valeurs de 2, on aura, dans cette hypothèse, S(h)+S(n—h)=S{2h)+S{(n—2h),

et même, plus généralement,

Sf(A)+Sf(n—1)=Sf(2h)+S fin —2h), f(æ) désignant une fonction quelconque de x. On trouvera, par exemple, en prenant pour 77 un nombre entier,

Shin + S{n— hr —S{ah}n + S{n—2h)".

Par des raisonnements semblables, on tirera des formules (14), (15), (16), (17), comparées aux formules (6) et (7) : 1° Sin est de la forme 8x +1,

{ Sam + Sn — h}n = S(2h}" + S{n— 2h},

À Sn + S(n — kr} = S(ak}m + S{n — 2h)"; ŒEuvres de C. — S.1,t. V. 19

(18)

146 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE. 2° Sin est de la forme 8x + 5, ({Shm+S(n—Aje = S(ak)" + S(n — ak)”, | Sem + S{n — frÿm —S(ah}m + S(n—2h}"; 3° Si nest de la forme 8x + 3,

{ Shm + S(n— k}" = S(2k)" + S(n— 2h)7, | Sem + S(n— h}m—S(2h}" + S(n—2k)";

(20) 4° Sinest de la forme 8x + 7,

Shin + S(n—k}" = S{(2h}" + S{n—2k}", { Skm + S{n — hr —S{2k}" + S{(n— 2h)".

Posons maintenant (22) SE rt PR ST Enter VS (23) te 60; EST : sera Le nombre des valeurs de À, et 7 le nombre des valeurs de # infé- : , n ; rieures à —: tandis que Si OU C1

représentera la somme de ces valeurs de k ou de #,

S$>2 OU 2 la somme de leurs carrés, ss -OÙ +:

la somme de leurs cubes, etc.; et, si dans les formules (18), (19), (20 (21), on pose successivement

He 0, Mot, mm “+ %, m=S; PE

on obtiendra des relations diverses entre les quantités

Si l’on combine, par voie d’addition, les deux formules (18), ou

EXTRAIT N° 81. 147

(19), ou (20), ou (2r), on obtiendra seulement des relations entre les

sommes +, Siklis S2+ las. Sa + és,

dont la valeur est connue, puisque le système entier des nombres des deux formes 2 et Æ ne diffère pas du système des entiers inférieurs à in, et premiers à ». Mais, si la combinaison a lieu par voie de sous- traction, on obtiendra des relations entre les différences

Ê—}, Si—ts, S2—t:, Ss—ts,

Alors, en posant

en sorte qu'on ait

; 2M —7

(25) Le (Sn — tm) = Um pour ñ—=1 Où 7 (mod.8),

et

: ML $

(26) un mr Im) = Um, pour n=3 ou 5 (mod.8), LE

on trouvera : 1° Si nest de la forme 4x +1,

mim—1)

= D LS} Rue

VU = HLUEE

Ve ——, KE Ve 0 1,3 2° Sinest de la forme 4x + 3,

{ mim—I1 (28) — Um + Vo — MU: + CR À Un =E 0: I

On aura donc, si x est de la forme 4x +1,

Up == O, Vo — 2 0! FF 2 VU) Le 0; \ (29) Vo — Bu, + us — 0,

(22 ae Avi + Gus — fus + 2u: — 0,

118 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

par conséquent (30) Vo — 0, Von p.00; Vi 20S V0, et, si À est de la forme 4x + 3,

/

Vo Tr 20i— 0,

Up — 20; — 0,

(31) Vo — Bui + Bus — 203 — 0, | vo — Avi + Gus — us —0o, RS ed de Di ei ;

par conséquent (32) Uo — 2U1— 0, Vi — By» + 2u3 — 0,

On aura d’ailleurs, en vertu des formules (23), (25)et! 26), ) } EUX

(33) Ds 0) Si A=1 Où 7 (mod.8), (34) vo—2{1— 7), si a=3 ou 5 (mod.8.

Cela posé, les formules (30) et (32) donneront : 1° Si» est de la forme 8x +7,

3(52 — 2) —=n(s; — ti), (35) | 15(55 — 43) =n[14(ss— 15) — 3n(s3 — f)],

(36)

EXTRAIT N° 81. 149 4° Sinest de la forme 8x + 7, (38) sit 14(s5— a) gn(s — 4), Ajoutons que, si l’on désigne par Sn Ou T»

; ; EN LR la somme des x%%% puissances des entiers inférieurs, non plus à =; mais

à », et qui, étant premiers à », vérifient la condition (4) ou {5} les valeurs deS,,, T,, pourront être représentées par les premiers membres des formules (18) et (19), ou (20) et (21); et que l’on aura en consé- quence :

1° Sinest de la forme 4x + 53,

| Sn — TL = Sm — tm + n° ( — j) Ge LL SE (si =. li) (39) ‘ mim—:1) F | + ———— nu ss — (2 )—...; 2

2° Sinest de la forme 4x + 3, Sn — Tn = Sm — lm — n(i — J) te mn i(s, a li)

Ts | (49) | nm) 2(52 — Lo) +..

D'autre part, les sommes So + To, Si+ Ti, Se + To,

seront des quantités connues; et, en nommant N le nombre des entiers inférieurs à », mais premiers à », on trouvera, si z n’est pas un carré,

(4) So—To—{iN, So + To = N.

Cela posé, si, dans les formules (39), (40), on attribue simultanément

à m les valeurs : CIS US PO COMPTE

on tirera de ces formules : 1° En supposant que » soit un nombre, non carré, de la forme 4x +1,

(42 FAR Sets Sa — To — 2[so —to— n(si—1:)], pis

150 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE. 2° En supposant 2 de la forme 4x + 3, Si —Ti—2(ss—t)—n(i—;), (43) | S2 — Te —on(s;—1,;)— n?(i— 7} et par conséquent (44) T3 SAT, — Si). On trouvera en effet, pour nr — 3,

Ti—S,—=2—1—1, Te — So =

_ | Î QC

pour x — 7, Ti—S=3+5+6—1—-2—4—7 Te — S: = {9 — pour 2 —1II,

Ti—Si—2+6+5+8+10—1—3—4—5—9—11, Es = ait. ji; Paur n-= 1, Ti—Si— 7 +ri+13+14—1— 2 — 4 — 8-— 30,

Ta — Sa = 450 — 15.30,

ARS SERRE DNS I NE PS OU PU D 1

En combinant les formules (42), (43), (44), avec les formules KES, (36), (37), (38), on en concelura : 1° Si nest de la forme 8x +1, sans être un carré,

(45) D SF, S2 — To — (le — 52), 2° Sinest de la forme 8x + 5, ‘46) = T, 2 PES 1 3(S2 — To) = 4(t9 — 52),

3° Sin est de la forme 8x + 3,

(47) Ti Si=n 4, Bidestsat

EXTRAIT N° 81. 151

4° Sin est de la forme 8x + 7,

(48) Death Ts Snt-—d, 0H

Si r était un carré impair, alors, la condition (4) se trouvant vérifiée pour tout nombre premier à », 4, et T,, s'évanouiraient généralement, et l’on tirerait des formules (35), (39), jointes à la seconde des for- mules (41),

(49) 3sa — ns, 155, — n(1453 — ns2), ru

(50) MSIE N, SH, Se = n°1 — 452,

Dans le cas particulier où » se réduit à un nombre premier impair, les entiers ci-dessus désignés par À ou # ne sont autres que les résidus ou les non-résidus quadratiques inférieurs à . Done alors £ ou j repré- sente le nombre de ces résidus, ou le nombre de ces non-résidus, et Sn Où {, la somme de leurs puissances du degré m#. Cette même somme devient S,, ou T,,, lorsqu'on y admet tous les résidus ou non-résidus inférieurs à 77.

Parmi les formules qui précèdent, celles qui renferment seulement

les trois différences u — J; Si — ti, : Si —Ti

étaient déjà connues, au moins pour le cas où » se réduit à un nombre premier. Ainsi, en particulier, on connaissait les deux premières des formules (42); et M. Liouville m'a dit être parvenu à démontrer direc- tement la première des équations (37) ou (38), ainsi que la première des équations (47) ou (48). J'ajouterait que la première des équa- tions (47) et la première des équations (48) résultaient déjà de la comparaison de formules données par M. Dirichlet.

Dans un autre article je montrerai comment, des formules précé- dentes, combinées avec les équations connues qui fournissent les dé- veloppements des fonctions en séries ordonnées suivant les sinus ou

152 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

cosinus des multiples de w, on peut déduire le signe de la différence 1— 7, quand » est de la forme 4x + 3, et des limites entre lesquelles cette différence se trouve comprise. J’examinerai aussi quelles sont les formules qui doivent remplacer les précédentes, lorsque la lettre x représente, non plus un nombre impair, mais un nombre pair.

82.

THÉORIE DES NOMBRES. — Méthode simple et nouvelle pour la détermination complète des sommes alternées, formées avec les racines primitives des

équations binômes.

C.R.,t. X, p. 560 (6 avril 1840).

Il est, dans la théorie des nombres, une question qui, depuis plus de trente ans, a beaucoup occupé les géomètres, et qui, tout récemment encore, a été mentionnée dans plusieurs Notes publiées par divers membres de cette Académie. Elle consiste à déterminer complètement la somme alternée des racines primitives d’une équation binôme, ou, ce qui revient au même, la somme de certaines puissances de ces racines, savoir, des puissances qui ont pour exposants les carrés des nombres inférieurs au module donné. Supposons, pour fixer les idées, que le module soit un nombre premier impair. Le carré de la somme dont il s’agit se réduira, au signe près, au module, et sera d’ailleurs positif ou négatif, suivant que le module, divisé par 4, donnera pour reste 1 ou 3. C’est ce que M. Gauss avait reconnu dans ses recherches arithmétiques imprimées au commencement de ce siècle. Mais lorsque du carré de la somme on veut revenir à la somme elle-même, on a un signe à déterminer, et cette détermination, comme l'ont observé MM. Gauss et Dirichlet, est un problème qui présente de grandes diffi-

EXTRAIT N° 82. 153

cultés. Les méthodes à l’aide desquelles on est parvenu jusqu'ici à surmonter cet obstacle sont celles que M. Gauss a développées dans le beau Mémoire qui a pour titre : Summatlio serierum quarumdam singu- - larium, et celle que M. Dirichlet a déduite de la considération des inté- grales définies (‘). En réfléchissant sur cette matière, j'ai été assez heureux pour trouver d’autres moyens de parvenir au même but; et d’abord il est assez remarquable que la formule de M. Gauss, qui dé- termine complètement les sommes alternées avec leurs signes, se trouve comprise comme cas particulier dans une autre formule que j'ai donnée en 1817 dans le Bulletin de la Societé philomathique. Cette der- nière formule, qui parut digne d'attention à l’auteur de la Mecanique céleste, sert à la transformation d’une somme d’exponentielles dont les exposants croissent comme les carrés des nombres naturels; et, lors- qu’on attribue à ces exposants des valeurs imaginaires, on retrouve, avec la formule de M. Gauss, la loi de réciprocité qui existe entre deux nombres premiers. Mais la formule de 1817 était déduite de la consi- dération des fonctions réciproques, par conséquent de théorèmes rela- tifs au Calcul intégral; et ce que les géomètres apprendront sans doute avec plaisir, c’est que, sans recourir ni au Calcul intégral, ni aux séries singulières dont M. Gauss à fait usage, on peut directement, et par une méthode fort simple, transformer en produit une somme al- ternée, en déterminant le signe qui doit affecter ce même produit. Cette méthode a d’ailleurs l'avantage d’être applicable à d’autres ques- tions du même genre. Ainsi, en particulier, on reconnaitra sans peine que, si, » étant un nombre premier, » — 1 est divisible par 3, ou par 5, etc., un facteur primitif de », correspondant au diviseur 3, sera

. . HE ES . proportionnel au produit de —;— facteurs trinômes, tandis qu’un fac-

teur primitif de », correspondant au diviseur 5, sera proportionnel au

ee!

produit de facteurs pentanômes ou composés chacun de cinq

n 5

termes; et le rapport du produit en question au facteur primitif de »

(1) Voir aussi un Mémoire de M. Lebesgue, qui vient de paraître dans le Zournal de Mu- thématiques de M. Liouville (février 1840).

Œuvres de C. — S.1I, t. V. 20

15% COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

sera la somme de certaines racines de l'unité respectivement multi- pliées par des coefficients qui seront équivalents, suivant le module », à des quantités connues. J’ajouterai que, des formules relatives à la détermination complète d'une somme alternée, dans le cas où » est un nombre premier, on déduit aisément les formules analogues qui se rap- portent au cas où z est un nombre composé quelconque, et la démon- stration du théorème suivant lequel, dans une semblable somme, ou la plupart des termes positifs, ou la moitié de ces termes, doivent offrir des exposants inférieurs à ;n.

S Ie". — Valeurs exactes des sommes alternées des racines primitives

d’une équation binôme. Nommons » l’une des racines primitives de l’équation binôme (1) ai, et A une somme alternée de ces racines, qui soit en même temps une fonction alternée des racines primitives de chacune des équations que l’on peut obtenir en remplaçant x par un diviseur de x. Si nr est un

nombre impair dont les facteurs premiers soient inégaux, la valeur de

A sera égale, au signe près, à celle que donne la formule (2) AZit+p+pi+p+...+ ptet},

Si d’ailleurs on pose, pour abréger,

(3) SE 2.

on pourra prendre

(4) p— eV”,

et alors la formule (2) deviendra

(5) A+ eoV-T LE ete t ip, + ete Vt,

Or la valeur de À, donnée par l'équation (5), est ce que devient la

EXTRAIT N° 82. | 155 somme des x premiers termes de la série

(6) Ni rerdrec sé ertar,

quand on y remplace a? par —wy—1; et j'ai remarqué dès l'année 1817, dans le Bulletin de la Société philomathique, comme dans mes Leçons au Collège de France, que la considération des fonctions réci-

proques fournit, entre les termes de la série (6) et ceux de la série sem- blable

( m A € | a DL ER 2 (n) 1 erb, er b?, e16*,

une relation exprimée par la formule

Kl=

k 4 (8) gite +esta+., )=b°($+et+ers +...)

quand a et b représentent deux quantités positives, assujetties à vérifier la condition

(9) ab = Tr.

La formule (8) parut digne d'attention à l’auteur de la Mécanique ce- leste, qui me dit Favoir vérifiée dans Le cas où l’un des nombres «&, b de- vient très petit. Effectivement la formule (8), qu’on peut encore écrire comme 1l suit :

1[ REA et “hodiems. |=mUre He ENS

donnera sensiblement, si a se réduit à un très petit nombre %,

afi+er#+e rs +...)—{$ir";

et, pour vérifier cette dernière équation, 1l suffit d'observer que, d’après la définition des intégrales définies, le produit

ali er +e ri +...) a pour limite l'intégrale

(io) [ er dx — 5T:. ; “0

[UE

156 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

Il est d’ailleurs facile de s'assurer que la formule (8) peut subsister, comme l’a remarqué M. Poisson, lors même que la constante a devient imaginaire. Nous ajouterons seulement qu’alors la partie réelle de cette constante devra être positive, si elle ne se réduit pas à zéro.

Lorsque, dans la série (6), on pose & — — wy— 1, la valeur de étant fournie par l'équation (4), ou, ce qui revient au même,

(17 2=— — ÿ— su É re la formule (9), ou a?b? — +?, donne RTE d (12) br — Ty.

Alors les termes distincts de la série (6) se réduisent à une partie de ceux que renferme le second membre de la formule (5), et les termes distincts de la série (7), à ceux qui composent le binôme

(13) ie ct

On doit donc s'attendre à voir l'équation (8) fournir la valeur du rap- port qui existe entre la somme alternée A et le binôme dont il s’agit. Or, en effet, pour obtenir cette valeur, il suffira de supposer, dans l'équation (8),

/ à » 9 27 HU

(14) ne lets

n

2? désignant un nombre infiniment petit. Soit, dans cette hypothèse,

(15) bg Vis 2

=

EXTRAIT N° 82. 15

de sorte qu'on pourra prendre

26

(16) e.

na

Cela posé, si l’on multiplie par #+ les deux membres de la formule (8), les termes de la somme alternée À ou du binôme (13) s'y trouveront multipliés par des sommes qui se réduiront sensiblement, dans le pre-

mier membre, au produit

Æ 20 a? . ex dx — +? a, 0

et, dans le second membre, au produit

|= [=

0

Donc, en laissant de côté le facteur

» 4 Î e* dr —{r", 0

qui deviendra commun aux deux membres de la formule, on trouvera définitivement

nl Kl—

\

(19) di ss)

ou, ce qui revient au même,

(18) A—

de laquelle on tirera (voir l'Analyse algébrique, Chap. VIFet IX}

1 DH T EE BRI De Jet FE UN ton n

E

158 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

et par suite T n\? VTT n° — (19) =) 2”: = —(1+ vi). Donc, en supposant À déterminé par la formule (15), on aura, non

seulement pour des valeurs impaires du nombre », mais généralement

et quel que soit ce nombre,

Kl=

nr \ n sn a pin (20) a + e 4 À On trouvera, en particulier : 1° Sinest de la forme 4x, ! te (2r) A=n°(14 y}:

> Si nest de la forme 4x +1,

(22) ne.

3° Sin est de la forme 4x + 2, (23) hs

4° Sinest de la forme 4x + 3,

Ne (24) A=n°y—r. Ainsi les formules (20), (21), (22), (23),(24), que M. Gauss a établies dans un de ses plus beaux Mémoires, et dont M. Dirichlet a donné une démonstration nouvelle qui a été justement remarquée des géomètres, se trouvent comprises comme cas particuliers dans la formule (8), de laquelle on déduit immédiatement l'équation (20) en attribuant à l’ex- posant — a? une valeur infiniment rapprochée de la valeur imaginaire

DR te en ; ; . ; ; 4 * : — ÿ— 1, ou, ce qui revient au même, en réduisant l’exponentielle e—4

à l’une des racines primitives de l'équation (1), savoir, à celle que dé- termine la formule (4).

+

EXTRAIT N° 82. 159 Si l'on supposait «? déterminé, non plus par la formule (11), mais par la suivante

(25) A = — ——ÿ—:1,

m étant premier à x, alors, en opérant comme ci-dessus, on obtien- drait, au lieu de la formule (20), une équation qui, combinée avec cette formule, reproduirait immédiatement la loi de réciprocité entre

deux nombres premiers, ou même cette loi étendue à deux nombres impairs quelconques.

SIL. — Transformation des sommes «lternées en produits.

Soit

une racine primitive de l'équation (a) AE,

ñ étant un nombre premier impair. Les diverses racines primitives de l'équation (1) pourront être représentées, ou par LOC a EC ou par ou nn, pie, Re pin time

m étant premier à ». Soit d'ailleurs À une somme alternée de ces ra- cines primitives. Cette somme sera de la forme

(2) A = ph + pu pe — où — pt — DE —...,

les exposants

étant ainsi partagés en deux groupes ROTH et ONE AUS AE OS

dont le premier pourra être censé renfermer les résidus quadratiques

160 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE. et le second les non-résidus suivant le module ». Si l’on suppose en particulier » — 3, on aura simplement

LA

pp — pt ni A=p'—pr=pt—p"t,

en sorte qu'une somme alternée A pourra être représentée, au signe près, par le binôme pt mer, pt,

ou plus généralement par le binôme

ie rat, 7

m étant non divisible par 3. Si n devient égal à 5, les binômes de cette forme se réduiront, au signe près, à l’un des suivants

p'—pi—=pt— pri, p?—pi—p—0"?, et le produit de ces deux binômes

(pt pt} (pr pt} = pt + psp pt représentera encore, au signe près, la somme alternée Apple pt ps,

qui pourra s'écrire comme il suit :

A= (pt —p"1}{p3 — ps).

J'ajoute qu'il en sera généralement de même, et que, pour une valeur quelconque du nombre premier #, la somme alternée A pourra être réduite au produit P déterminé par la formule

(3) P—{(pt—p"t) (05 —p"3)...(pr-2 — prtn-2)), Effectivement ce produit, égal, au signe près, au suivant

(pr pe pRa) se, Co e He)

changera tout au plus de signe, quand on y remplacera s par #”", attendu

EXTRAIT N° 82. 161 qu'alors les termes de la Suite LP» p?, p°, Has l'er

se trouveront remplacés par les termes de la suite

2”, pr, pee, RER passe qui sont les mêmes, à l’ordre près, et un binôme de la forme

pt — pr?

par un binôme de la même forme

pri + pe ee

Donc le produit P ne pourra représenter qu’une fonction symétrique, ou une fonction alternée des racines primitives de l'équation (1). Donc

il sera de l’une des formes PRE Var

a désignant une quantité entière positive ou négative, et son carré P° sera de l’une des formes Comme on tirera d’ailleurs de l'équation (3), non seulement

P — pire R(n—2)| a p”) (1 — p"6) Ne (i — pr2(2—2))

ou, Ce qui revient au même,

n—1\! PA : À (1 pr?) (1— pt) (rep),

pr) p UT D (n—pa)(i— pt). (1— pr)

et par suite A A P2—{—:1) 2 (1—p?)(1—0p) (1 — pi) run (1 — pr—6) (1— pr) (1 — pr?)

n—1 1

D 0 0 pepe pm mu) im

il est clair que P?, n'étant pas de la forme a?, devra être de la forme OEuvres de C. — S. I, t. V. 21

162 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

a? A?. On aura donc n —1

(4) (— 1) ? n=a?A?, PF -a).

\

Or, A ne pouvant être qu’une fonction symétrique de p, p?, … et par con- séquent un nombre entier, la seule manière de vérifier la première des équations (4) sera de poser

dt, A=(—1) * n On aura donc a T1: et par conséquent (5) PA:

et toute la difficulté se réduit à déterminer le signe qui doit affecter Le second membre de la formule (5). Or si, dans la somme alternée

A=ph+ ph ph ph DE DE

, ot par |-};, ; n

cette somme sera remplacée elle-même par la suivante

(5) Fa (Fe) ie (2) _ (Een (mod. nr), n n n n :

tandis que la somme alternée — A se changera en

on remplace généralement

—{(n—1)=1 (mod.n).

Donc, pour décider si dans la formule (5) on doit réduire le double signe au signe + ou au signe —, il suffira de chercher la quantité en laquelle se transforme le développement de P quand on y remplace

chaque terme de la forme p/ par (=) » et de voir si cette quantité, divi-

sée par 4, donne pour reste — 1 ou + r. Or, comme le développement de P se composera de termes de la forme

+ RP,

EXTRAIT N° 82. 163

le signe qui précède » étant le produit des signes qui précèdent les 5)

nombres 1,3, 5, ..., la quantité dont il s’agit sera la somme des ex-

pressions de la forme

| n

le signe placé en dehors des parenthèses étant le produit des signes placés au dedans. Elle sera donc équivalente, suivant le module 7, à la somme des expressions de la forme

n—1!

(6) tt abas. :ÆE(n-—2)l:

\

Ainsi, en particulier, elle sera équivalente, pour » — 5, à

n—(—i—=2=—1 (mod.3); pour n — 5, à

(14 3)2+(—1—3}2—{—-1+3?—{(1—-3}—4{=—1 (mod.5)}

D'ailleurs, si l’on suppose le nombre de lettres a, b, c, ... égal an, la

€

somme des expressions de la forme

) M ÉbAR BE et...)

SI

étant développée suivant les puissances ascendantes de &, b, ec, ..., ne pourra, si le signe extérieur est le produit des signes intérieurs, ren- fermer aucun terme dans lequel l’exposant de a, ou de D, ou de €, s'évanouisse, puisque le coefficient d'un semblable terme dans cette somme serait évidemment

ani HET, ami oO:

Donc la somme des expressions (7)se réduira au produit de leur nombre

2 par le seul terme F:2490 nt 40.

et, si l’on prend pour

les nombres

164 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

cette somme aura pour valeur le produit am(1.2.3...m)r.3.5...{am—1)—1.2.3.4...2m.

Done la somme des expressions (6) aura elle-même pour valeur le pro-

duit 1.2.3...{(n—1)=—1 (mod.»);

et P se transformera en une somme équivalente à — 1, si l’on y rem- , 2 l “ . . x , . M A

place généralement 9° par (S): d’où il suit que l’équation (5) devra être n

réduite à

(8) P—A.

En d’autres termes, on aura

(9) (o1— p=1)(p3— p=3).. fon2— DRE) oh DRE RTE DE Dh DR,

h, hk',h",... étant les résidus, et #, #',#”,... les non-résidus inférieurs

au module ». Comme on aura d’ailleurs

(10) oO—1+ ph + ph + ph +, + php Hp +...

Le

on tirera des formules (9) et (ro), combinées entre elles par voie d’ad- dition,

(ur) (pt— prt)(03— 0738), ,, (pn-2 — G—(n-2)) y + a ph + aph+ ont... ; par conséquent ES it ont Et) net 2e PAC clone die de te LÉ LS RS ee

Des formules(o) et (12), relatives au cas où z est un nombre premier impair, on déduit aisément celles qui sont relatives au cas où x est un nombre composé quelconque, comme je le montrerai plus en détail dans un autre article. J'observerai en finissant que, si x, étant un nombre premier de la forme 3x + 1, « désigne une racine primitive de l'équation

AE a,

et m une racine primitive de l’équivalence

æn-1=1 (mod.n),

EXTRAIT N° 82. 165

on obtiendra un produit P proportionnel à un facteur primitif de x, non seulement lorsqu'on supposera la valeur de P donnée par la formule (3), mais aussi lorsqu'on prendra

n —1 #1

P 6 + ap Re + ap 3

n—1 n—-1\

( 1 3 9 1+2 ET] ) Fo 2 jt Rap net ae Le

\

CASE" / Hs À OL le nombre des facteurs trinômes étant ——: Le facteur primitif de »,

auquel cette dernière valeur de P deviendra proportionnelle, sera D DE Apr Rp Ep. HE apart, On trouvera par exemple, pour x = 7, m—53, (p + ap? + a2pt)(p3 + ap6 + a2p5) — a?[p + p6 + xp + pt) + a2(p? + pi]

ou, ce qui revient au même, P— 220;

pour n» — 13, m= 6, (p + 2p9 + a2p3)(p8 + ap? + a?205) [p10 + apt2+ a2pt)(p8 + apT + a?p!!) —=(14+2a)[p+p8+pt2+ p5+ & (064 p9+ pT+ pt) + x (p10+ p+ pi + pl]

ou P—{(i1+2x)0,

D'ailleurs, pour établir la proportionnalité de P et de 6, considérés : ‘ P comme fonction de », il suffira d’observer que P se change en — quand 4 on y remplace 9 par 2”, Quant au ra dt il ne pourra être qu'une y P p par p $ PP 6”? à à à Q

fonction entière de x, que l’on pourra réduire à la forme a + bz;

et une méthode semblable à celle par laquelle nous avons déterminé le signe de A dans la formule (17) fera connaître les nombres entiers à, b, ou du moins des quantités équivalentes à ces mêmes nombres sui- vant le module ». Enfin on pourrait étendre les propositions que nous

166 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

venons d'indiquer à des produits P composés de facteurs polynômes dont chacun offrirait plus de 3 termes; par exemple, 5 termes si z — 1 était divisible par 5, 7 termes si n — 1 était divisible par 5, ete.

83.

THÉORIE DES NOMBRES. — Sur la sommation de certaines puissances d'une racine primitive d'une équation binôme, et en particulier, des puissances qui offrent pour exposants les résidus cubiques inférieurs au module

donne. C.R.,t. X, p. 594 (13 avril 1840).

Le module p étant un nombre premier, concevons qu’une racine pri- mitive d'une équation binôme du degré p soit successivement élevée à des puissances qui offrent pour exposants les résidus quadratiques in- férieurs au module p. La somme de ces puissances pourra seulement acquérir deux valeurs distinctes en vertu de la substitution d’une ra- cine primitive à une autre; et la différence entre ces valeurs sera une fonction alternée que M. Gauss a le premier appris à déterminer. Or, après avoir exposé, dans la dernière séance, une méthode fort simple qui reproduit les résultats de M. Gauss, j'ai dit que la même méthode pouvait être étendue à d’autres déterminations analogues. C’est ce que l’on verra dans cette Note, où la méthode dont il s’agit se trouvera par- tüiculièrement appliquée à la solution du problème que je vais in- diquer.

Supposons que, le module p étant du nombre de ceux qui, divisés par 3, donnent 1 pour reste, on élève une racine primitive aux diverses puissances qui offrent pour exposants les résidus cubiques. La somme de ces puissances, quand on y remplacera la racine primitive donnée par d’autres, pourra successivement acquérir trois valeurs distinctes, et ces trois valeurs seront les trois racines d’une équation connue, à

EXTRAIT N° 83. | 167

laquelle on parvient à l’aide de la théorie de M. Gauss. D'ailleurs la fonction alternée la plus simple que l’on puisse former avec ces trois valeurs est le produit des trois différences que l’on obtient en les re- tranchant l’une de l’autre. Or la détermination complète de cette fonction alternée est évidemment un problème analogue à celui dont j'ai donné deux solutions nouvelles dans la dernière séance. Seulement ce nouveau problème est d’un ordre plus élevé, attendu que les résidus quadratiques se trouvent ici remplacés par des résidus cubiques. Mais quoique, en raison de cette circonstance, la difficulté semble s’accroitre, toutefois je parviens à la surmonter en suivant une marche semblable à celle que j'ai adoptée dans mon dernier Mémoire.

J'indique aussi quelques-unes des conséquences auxquelles on se trouve immédiatement conduit par la solution du problème que je viens d'énoncer.

ANALYSE.

S I. — Z'héorèmes divers, relatifs aux modules qui, divisés par 3, donnent

l'unité pour reste.

Soient pun nombre premier impair, 0 une racine primitive de l’équa- tion

(1) RPEGE, et 4 une racine primitive de l’équivalence (2) xP-t=1 (mod.p).

Les divers entiers inférieurs au module p seront équivalents, suivant ce module, aux divers termes de la progression géométrique,

De Meme NS oies 7

et en conséquence les diverses racines primitives de l'équation (1) pourront être représentées, ou par les termes de la suite

168 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE. ou par les termes de la suite De Ve OUR dr 00 À

Si d’ailleurs on nomme s la somme de ces racines primitives, c’est- a-dire, si l’on pose

(3) S—0+0+ 04... + og,

on aura évidemment 1 + 8 — 0, ou, ce qui revient au même,

#1

d ]

(We)

Concevons maintenant que le module p, divisé par 3, donne l'unité pour reste, et posons

A 1 )) D —— \ L 3

La progression géométrique 1, l, r d5,

ip?

LE à

pourra être décomposée en trois autres, savoir

PR ES ST en l, 5 47; > ET, CNT ES 2 PO CORRE à on à.

et la somme $ en trois parties correspondantes 50, S1, S2, respectivement déterminées par les équations | So 6 ++ O4... +00, 6) Sy —= 0 + D + QE +... + 0, | Sa = 0 + D + QE +... ge, Cela posé, comme les divers résidus cubiques, inférieurs au module p,

seront équivalents, suivant ce module, aux divers termes de la pro-

gression géométrique Hop dt Fi her,

EXTRAIT N° 83. 169

il est clair que 8, représentera la somme des puissances de 4 qui offri- ront pour exposants ces résidus cubiques. Quant aux sommes 8,, $,, on les déduira évidemment de la somme s8,, en remplaçant la racine primitive 0 de l'équation (1) par la racine primitive 4° ou 9°. Il y a plus, si à la racine primitive 0 on substitue successivement toutes les autres, la somme des puissances de 9, qui offrent pour exposants les résidus cubiques inférieurs au module p, pourra seulement acquérir trois va- leurs distinctes qui seront précisément

Enfin, si l’on nomme S, la somme des puissances de 9 qui ont pour exposants les cubes des nombres

OR ER US peer Pot,

et S,,S, ce que devient S, quand on y remplace successivement 6 par 0 et par 0”, on aura

( ) So = 1 + 330, S,—=1+38,;, So = 1 + 383,

SI

En effet, les nombres HERMANN pren

peuvent être censés représenter les diverses racines de l’équivalence XP 1 ou æ5=1 (mod.p)

qui se décompose en plusieurs autres, savoir,

(8) x=1, a= 3, xi= 45, + æ= 1" (mod.p});

et par conséquent trois d’entre eux vérifieront chacune des équiva-

lences (8). Done, si l'on pose

(9) So —1+ 01+ 02 +03 +,.,+06ip-1),

on aura encore So —1+ 3(0 +0 + 0% +...+ 907"),

ou, Ce qui revient au même,

So me D 380. Œuvres de C.—S. I, t. V. 22

170 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

On retrouve ainsi la première des formules (7), de laquelle on déduira la seconde et la troisième en remplaçant 6 par 6° et par 0°. Il est bon d'observer que, si ” désigne un terme quelconque de la ©

suite Dents Ni ans Aa

un autre terme de la même suite sera équivalent à

— [3m — (— La LS

et même, comme on aura

=—1 (mod.p),

il est clair que le terme équivalent à — #?” sera

p—1 +?

T +3 nm 3 m+T) — | 2

Cela posé, les différents termes de chacune des sommes CPE PRO 7 seront deux à deux de la forme gt, gt; et comme, 0 étant une racine primitive de l'équation (r), 0’, 0-{ repré- senteront deux expressions imaginaires conjuguées, la somme partielle pt + 0-2 se réduira simplement à une quantité réelle. Donc les trois sommes So 31» 32 Seront trois quantités réelles, et l’on pourra en dire autant des trois sommes $S,, S,, S,, qui seront d’ailleurs les trois racines d'une équation connue du troisième degré. Cette équation, et celle qui aura pour racines les trois autres sommes, pourront d’ailleurs s’ob- tenir à l’aide des considérations suivantes. Si l’on élève au carré la valeur de $s, fournie par la première des équations (6), on trouvera 8} — O1HI D QUHE QUES EH QUE he DEEE OP GRR ER LRO

(10) 4

D Re M TP D TE CR M A CU ON PE A AN UE RUN de

EXTRAIT N° 83. 171 Dans le second membre de cette dernière formule, les termes que ren-

ferme une même colonne verticale se déduisent les uns des autres

quand on remplace successivement dans le premier FD 0, oùpar 4, .... oupar 0%

Done la somme de ces termes se réduit toujours, ou à l’une des sommes

p —1 3

ticulier où l’exposant de 0 dans le premier terme s’évanouit, ce qui à

ou bien au nombre de ces termes, c’est-à-dire à » dans le cas par-

lieu lorsque le premier terme est.

Donc la formule (10) donnera

9 Ft > (11) 82 — P= + a 80 + bS1 + CS», 9

a, b, e désignant trois nombres entiers dont la somme, inférieure d’une unité au nombre des termes g1+1, our, gi, Ar gi+eæ

sera

(12) a+tb+c—/?—

Or, quoique, au premier abord, la détermination des entiers à, b, € semble exiger le calcul numérique des divers termes de la suite

PS FR ER. PUS,

néanmoins ce caleul n’est pas nécessaire, et la détermination dont il s'agit peut aisément s'effectuer, comme on va le voir, à l’aide d'une méthode analogue à celle que nous avons employée dans la précédente séance.

La valeur de 8? donnée par la formule (11) peut s’écrire comme il

172 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

suit | s2 = 00+a{ô +0+..,+ 047) (13) | + D(9 + 0 +... + 60) | + C(OF+ GE +. + OP);

et, pour déduire celle-ci de la formule (ro), il suffit d'y faire croître ou décroitre d’un multiple de p l’exposant / de chaque terme de la forme

GF,

Or concevons que, dans l’une ou l’autre formule, on remplace généra- lement A D par CRE,

Comme /7 croitra ou décroîtra d’un multiple de p, en même temps que /, lestelair que, après le remplacement dontil s’agit, les seconds membres des formules (10) et (13) se transformeront en deux quantités qui se- ront équivalentes entre elles suivant le module p. D'ailleurs, », l'étant

deux nombres entiers, on aura (43m) — EL Liens |

(émt)s = (im)p-tje = 70, (mod. p}

ame (am )p=1 po — 20,

(eme (om) 15 (mod. p).

Done les quantités dans lesquelles se transformeront les seconds membres des formules (10) et (13) seront équivalentes aux deux pro- duits qu'on obtient en multipliant

d’un côté, par la somme (++ (i+8)s+...+(r+ er), d’un autre côté, par le trinôme

a + bim + ce20,

EXTRAIT N° 83. 173 On aura donc (14) a+bis+ct5={i+i}0+(i+s)s+...+(i+iP-3)5 (mod.p). De même, si, dans les seconds membres des formules (10) et (13), on remplace généralement ÿf per le, on trouvera

POP a+ DÉS CRE fe + (4 PE: ft 427197 (mod. p).

Concevons à présent que, dans les seconds membres des formules (14),

(15), on développe chaque binôme de la forme (1 + pme ou (1 + pm ile

La somme des valeurs que prendra un terme du développement, quand

on attribuera successivement à 72 les diverses valeurs

/ D — O0, Es. 0 does Ps, É d sera de la forme 10e 10 RP RE EE ar ERRE

Donc cette somme sera nulle, à moins qu'il ne s'agisse d'un terme dans lequel l’exposant de 4 soit multiple de 35 — p — 1. Il est aisé d'en con- elure que les formules (14), (15) donneront

(16) a+ bio +ci5= 2%, a+b{?5+ct5={(2+Ilz (mod.p},

la valeur de I étant

R _(o+i)(m+oa) 25 (17) BR 9, 1:..0 Soit d’ailleurs (18) r= 1;

r représentera une racine primitive de l'équation

(19) æ=1 (mod.p},

174 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE. et, COMME on aura — I I ; o=1= =— 3 (mod. p},

I ab +c=— >»; d (20 a+ br +er=— À, t mod. p). | 3 P a+br?+cr 2 il 9 r? = — = — — . eo Enfin on tirera de ces dernières 8 Il 2 I 2 21) A=— - — —; b=— - —7, LÉ oermtnd ÉE É 0: CO LE 9 0 9

Les valeurs de à, b, © étant ainsi déterminées, on pourra les substituer dans la formule (11), et dans celles qu’on en déduit lorsqu'on y rem- place 0 par 9° ou par 6", c’est-à-dire dans les trois équations

|

à ‘8

>

= D + a So + bS,+ CS»,

(22) = 5 + a91+b8:+ CS,

2 0 2 1 2 }

S5 = © +a82+ b86+ CS.

D'autre part, on aura, en vertu de l'équation (4), (23) So +814 Sa — 1,

et de cette dernière, combinée avec les formules (22), on tirera suc- cessivement

> 2

(24) S5 + 8? + 8? — 2m +1, Be S1 + Di 88 + Sade 0:

(25) S591 + 8492 + 8580— bp — &°, S08i + 8193 + 9285 — Cp — w?;

EXTRAIT N° 83. Robe

7 ; À RG puis, en ayant égard à la formule (12), CAS ‘ \ 74 ( ER ee \ AE À I D? — ST I ù ( d'H <e 4 À /

Il suit des formules (23), (24), (28) que 8,,s,, s, sont les trois valeurs de s propres à vérifier l'équation D—3m—1—ap

(29) S3+ 82— w8 + 3 re

Si, dans cette dernière, on pose

S—1 +90 ou S —

on obtiendra la suivante (30) S3 — 3p$ — pA = 0,

la valeur de A étant

(31) A = 8 — p + 91. L'équation (30) étant précisément celle qui à pour racines les trois sommes réelles | So Si; S>, le produit des différences entre ces trois racines, savoir (So — S1)(S1 — S2)(S2 — So) — 380 — S1)(81 — S2)(82 — So),

aura pour carré, d’après une règle connue, le binôme

4(3p}° — 27(Ap}°= 27p°(4p nr A2). On aura donc

(32) 27 (80 — 81)2(81— 82}?(82 — 80)? = p?(4p — A?). D'autre part, si l’on pose

(33) B—b—c,

l'équation (26) donnera

(34) (So— 81)(81 — 82)(82 — 80) — — Bp;

176 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

et l’on tirera des formules (32), (34) (35) 4 p = A? + 27B?.

Enfin les équations (31), (33), jointes aux formules (21), donneront a PP —r (36) An, Be 1} (mod). 9 Donc : 1° l'équation (35) pourra être vérifiée, comme l’a dit M. Jacobi,

par des nombres entiers + A, + B, et la quantité A dont la valeur nu- mérique sera inférieure à

Vâp—27=3Vp?—{(p —8)— 44, par conséquent à ;p, pourra être complètement déterminée, ainsi que la quantité B, inférieure elle-même, abstraction faite du signe, à ?yp, à plus forte raison, à 5p, par le moyen des formules (36); 2° si, dans la formule (50), on substitue la valeur de A choisre de manière à véri-

fier, non seulement la formule (35), mais encore la condition (31), pré-

sentée sous la forme A=—{(p+1) (mod.o),

l'équation (50) aura pour racines réelles Les trois sommes So; Si, So.

Cette dernière conclusion s'accorde avec des remarques déjà faites par M. Libri et par M. Lebesgue (voir le Journal de Mathématiques de M. Liouville, février 1840). Nous ajouterons que, l'équation (28) pou- vant être réduite à

(37) 27809182—= (A+ 3)p —1,

et le produit 848,8, étant nécessairement une quantité entière, on aura par suite

(38) (A+3)p=31 (mod. 23). Ainsi, en particulier, on trouve, pour p = 7,

At, (1+3)5—28=1 (mod. 23);

EXTRAIT N° 83. 177 pour p — 13,

Azk-S, (—5+3)13——26=1 (mod.27)

F3

etc... De plus la fonction alternée la plus simple que l’on puisse for- mer avec les trois quantités 5,, 8,,8,, ou le produit

(So — 81) (S1— 82)(82 — So),

dont le carré peut se déduire de la formule (29) ou (30), offrira une valeur qui sera complètement déterminée par la formule (34).

SIL. — Conséquences diverses des principes établis dans le premier paragraphe.

On peut, des formules établies dans le premier paragraplie, déduire diverses conséquences que nous nous bornerons à indiquer. D'abord il résulte de la formule (34) que les trois sommes

rangées d’après leur ordre de grandeur, seront trois termes consécu- tifs de la suite périodique

50 S4) S2 90» 54) S2,

Oo y » » >» > 90» 92, DIT 905 92) O9

si B est positif. Ajoutons que l'ordre de grandeur des sommes

So; Si, So

sera, en vertu des formules (7), précisément le même que l’ordre de grandeur des sommes S0» S4, S2. Observons encore qu’en vertu du théorème de Lagrange, les racines

de l'équation (30), rangées dans leur ordre de grandeur, seront respec- tivement

KE

Æ S——(3p) 6+{aA, S—— £aA, S—(3p; 6++xA, OEuvres de C.— S.1,t. V. 23

178 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

les valeurs de x, 6 étant données par les formules

A 6 A: : 0:6,1A1 = 3%p 1.2 36 p2 1:99 3° p°

nn 1[3 A? 4 9:7.9 or . da ro

et que les séries, dont les sommes représentent les seconds membres

A=I +

Le

OO)

de ces formules, seront toujours convergentes, eu égard à la condition A2< Ap:

Pour obtenir l’ordre de grandeur tel que nous venons de l'indiquer, il suffit d'observer que cet ordre reste le même pour toutes les valeurs de A qui vérifient la condition A? < /p, et que les trois racines de l’équa- tion (30), rangées d’après cet ordre, seront évidemment

Fu V3p, 0, V3p, si l’on remplace À par zéro.

Enfin, si l’on cherche le nombre des solutions que peut admettre chacune des formules

X+Y=32, x+y+23=o (mod.p},

quand on prend pour x, y, = des résidus cubiques positifs et inférieurs à p, on conclura de la formule (11) que ce nombre est

AD —

Ps tPFA TS 3 9

Si l’on assujettissait +, y, 3 à vérifier la condition x <Y<2Z, le nombre des solutions deviendrait

am pP—ip+A—S

10:93 2 31

EXTRAIT N° 83. | 179 dans le cas où 2 ne serait pas résidu cubique de p, et

p —1 p+A—35

av I ù — D — CE TA 2 2, 3!

dans le cas contraire. D'ailleurs ce nombre de solutions sera pair, at- tendu que trois valeurs données de Li ose pourront être remplacées par trois autres valeurs de la forme nn et, pour qu'il s'évanouisse, il faudra que l’on ait, dans le premier cas, p+A—8—o, dans le second cas, ‘Em te k-=3=0. Or ces dernières formules, jointes à la condition ii 2

donneront, dans le premier cas,

= PS 8, p <16, et dans le second,

l m4 sP<S, p <70.

D'ailleurs les seuls nombres premiers inférieurs à 16, et de la forme 30 +1, sont 7 et 13, pour lesquels la condition

p+A—8—o

est effectivement vérifiée ; et l’on reconnaitra pareillement que la con-

dition P + À — 35 — 0

se vérifie pour les nombres premiers 31, 43, qui, seuls au-dessus de 70,

180 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

sont de la forme 35 + 1, et offrent des résidus cubiques dont l’un est égal à 2. |

Au reste, les formules obtenues dans le premier paragraphe peuvent encore être déduites, comme je le montrerai dans un autre article, de la considération des facteurs primitifs du nombre premier p; et l'on peut, à l’aide des mêmes méthodes, établir des formules analogues, qui soient relatives, non plus aux résidus cubiques, mais aux résidus des puissances supérieures à la troisième.

84.

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Considérations nouvelles sur la théorie

des suites et sur les lois de leur convergence.

C. R.,t. X, p. 640 (20 avril 1840).

Parmi les théorèmes nouveaux que j'ai publiés dans mon Mémoire de 1831, sur la Mécanique céleste, l’un des plus singuliers, et en même temps l’un de ceux auxquels les géomètres paraissent attacher le plus de prix, est celui qui donne immédiatement les règles de la convergence des séries fournies par le développement des fonctions explicites, et réduit simplement la loi de convergence à la loi de con- tinuité, la définition des fonctions continues n'étant pas celle qui a été longtemps admise par les auteurs des Traités d’Algèbre, mais bien celle que j’ai adoptée dans mon Analyse algébrique, et suivant laquelle une fonction est continue, entre des limites données de la variable, lorsque entre ces limites elle conserve constamment une valeur finie et déterminée, et qu’à un accroissement infiniment petit de la variable correspond un accroissement infiniment petit de la fonction elle- même. Comme le remarquait dernièrement un ami des sciences, que je m’honore d’avoir vu autrefois assister à quelques-unes de mes le-

EXTRAIT N° 84. 181

cons, le théorème que je viens de rappeler est si fécond en résultats utiles pour le progrès des Sciences mathématiques, et 1l est d’ailleurs d’une application si facile, qu'il y aurait de grands avantages à le faire passer dans le Calcul différentiel, et à débarrasser sa démonstration des signes d'intégration qui ne paraissent pas devoir y entrer nécessai- rement. Ayant cherché les moyens d'atteindre ce but, j'ai eu la satis- faction de reconnaitre qu’on pouvait effectivement y parvenir, à l’aide des principes établis dans mon Calcul différentiel, et dans le Résumé des leçons que j'ai données, à l'École Polytechnique, sur le Calcul infi- nitésimal. En effet, à l'aide de ces principes, on démontre aisément, comme on le verra dans le premier paragraphe de ce Mémoire, diverses - propositions parmi lesquelles se trouve le théorème que je viens de citer; et l’on peut alors, non seulement reconnaître dans quels cas les fonctions sont développables en séries convergentes, ordonnées suivant les puissances ascendantes des variables qu’elles renferment, mais encore assigner des limites aux erreurs que l’on commet en né- gligeant, dans ces mêmes séries, les termes dont le rang surpasse un nombre donné.

Le second paragraphe du Mémoire se rapporte plus spécialement au développement des fonctions implicites. Pour développer ces sortes de fonctions, on a souvent fait usage de la méthode des coefficients indé- terminés. Mais cette méthode, qui suppose l’existence d’un développe- ment et même sa forme déjà connues, ne peut servir à constater ni cette forme, ni cette existence, et détermine seulement les coefficients que les développements peuvent contenir, sans indiquer les valeurs entre lesquelles les variables doivent se renfermer pour que les fone- tions restent développables. Il est clair, par ce motif, que beaucoup de démonstrations, admises autrefois sans contestation, doivent être regardées comme insuffisantes. Telle est, en particulier, la démonstra- tion que M. Laplace a donnée de la formule de Lagrange, et que La- grange a insérée dans la Théorie des fonctions analytiques. Des démon- strations plus rigoureuses de la même formule sont celles où l'on commence par faire voir que la multiplication de deux séries sem-

182 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

blables à la série de Lagrange reproduit une série de même forme, et celle que j'ai donnée en 1831 dans un Mémoire sur la Mécanique cé- leste. Mais, de ces deux démonstrations, la première est assez longue, et la seconde exige l'emploi des intégrales définies. Or, comme la for- mule de Lagrange et d’autres formules analogues servent à la solution d’un grand nombre de problèmes, j'ai pensé qu’il serait utile d’en donner une démonstration très simple, et en quelque sorte élémen- taire. Tel est l’objet que je me suis proposé dans le second paragraphe du Mémoire que j'ai l'honneur de présenter à l’Académie.

ANALYSE.

S I, — Développement des fonctions en séries convergentes. Règle sur la convergence de ces développements, et limites des restes.

La théorie du développement des fonetions, en séries ordonnées sui- vant les puissances ascendantes des variables, est une conséquence immédiate de deux théorèmes, dont la démonstration se déduit, comme on va le voir, des principes établis dans mon Calcul différentiel et des propriétés connues des racines de l'unité.

Tu£oRÈME 1. — Soit M rePV-1

une variable imaginaire dont le module soit r et l'argument p. Soit encore

mx)

\

une fonction de la variable x qui reste finie et continue, ainst que sa dé-

rivée w'(x), pour des valeurs du module r comprises entre certaines limutes ds ‘sn.

Enfin nommons n un nombre entier, susceptible de croître indéfiniment,

et prenons + À: 20 loue O—e" Vati

D représentera une racine primitive de l'équation

Lrdébas fee

EXTRAIT N° 84. 183 et si, en attribuant à r l’une quelconque des valeurs comprises entre les {=

mites r,, R, on pose

F

(1) Nm (r) +80 (0r)+@2w'(62r) +... +0 (9%) d

à s'épanouira sensiblement pour de très grandes valeurs de n; par conse-

quent la moyenne arithmétique entre les diverses valeurs du produit ga (0"r), correspondantes aux valeurs (+ PE PURE PE SE du nombre m, se réduira sensiblement à zéro, en même temps que = : Démonstration. — En effet, si l’on nomme : un accroissement attri- bué à une valeur de x dans le voisinage de laquelle la fonction 5{x)

et sa dérivée (x) restent finies et continues, on aura, pour des va- leurs de : peu différentes de zéro (votr le Calcul différentiel),

o(r+i)—o(z)= ile" (x) +]

J devant s’évanouir avec #. On aura done par suite

— »

sé «

Dos Dis... 0, devant s’évanouir avec Ü — r, ou, ce qui revient au 0 1 n—1

a Û : / même, avec =; puis, en posant, pour abréger,

do +de. + dpt n

— — 0,

c’est-à-dire, en représentant par — à la moyenne arithmétique entre les expressions imaginaires

184 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE. on tirera des équations (2)

w(0%r) —w(r)

(O—:})r

=w{r)+60w'{(0r)+...+0-1m'(0"—1r) — nd.

Enfin, comme on aura précisément pr, œ(ér)=(r),

l'équation (3) se réduira simplement à l'équation (1). D'autre part, comme la somme de plusieurs expressions imaginaires offre un module inférieur à la somme de leurs modules, la moyenne — 3 offrira un mo- dule inférieur au plus grand des modules de

4 PR CT DRE) PRE

Donc à s’'évanouira en même temps que chacun d’eux, c’est-à-dire en

A I 4 CA 2 4 même temps que => ce qui démontre l'exactitude du théorème I.

TaéorÈme Il. -- Les mêmes choses étant posées que dans le théorème I, si l’on fait, pour abréger,

wir) +w(0r)+...+mæw(0"-tr) (4) ne PAS nb »

c'est-à-dire, st l'on représente par M{r) la moyenne arithmétique entre

les diverses valeurs de al ( Qi r)

correspondantes aux valeurs 0, fiv D ea

du nombre m; alors, pour de grandes valeurs de n, la fonction K(r) res-

tera sensiblement invariable entre les limites r = r,, r —R.

Démonstration. — Supposons qu'à une valeur de 7, comprise entre les limites 7,, R, on attribue un accroissement & assez petit pour que r + 9 soit encore compris entre ces limites. Les accroissements corres- pondants des divers termes de la suite

w(r)}, æ(ôr), ..., æ(6-1r)

EXTRAIT Ne 84. 185 seront de la forme

ne. —w(r) =pfo(r)+al, la[ô(r+p)] —w(8r) —=p[6w(6r)+el,

és Es «.. tn désignant des expressions imaginaires qui s'évanouiront

I . . Fee A A avec =: et par suite la moyenne arithmétique entre ces mêmes accrois- sements, ou la différence

Hir+p)— Ur),

se trouvera déterminée par la formule

A

(6) N(r+p)— Ur) =]

m'(r)+O0w'(0r)+...+02-1æ' (00-17). | ei ls la valeur de & étant

Ea + Ets is -i En—1 I

(7) te

On aura donc, eu égard à la formule (r), H{r+p)—Il{r) =p(e— ë), ou, ce qui revient au même, (8) H(r+ep)— Ir) = 4%, . représentant la différence & — ÿ, et devant, comme s et à, s'évanouir I avec —- ñn \ On conclura facilement de la formule (8) que, pour de grandes va- leurs de », la fonction Ir) reste sensiblement invariable entre les

limites r —r,, r —R, en sorte qu'on à par exemple, sans erreur sen- sible,

(9) H(R)—II(r").

Effectivement, pour établir cette dernière équation, il suffira de par-

tager la différence R—7r

OŒEuvres de C. — SH, t. V. 21

186 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

en éléments très petits égaux entre eux, et la différence HR) — (ro)

en éléments correspondants, puis d'observer que, si l’on prend pour à un des éléments de la première différence, la seconde différence sera, en vertu de la formule (8), le produit de b par la somme des valeurs de :, ou, ce qui revient au même, le produit de R — r, par une moyenne arithmétique entre les diverses valeurs de r. Soit[ cette moyenne arith-

métique, on aura ITR) — Il{r) = I(R Le ro);

et, comme le module de I ne pourra surpasser le plus grand des mo-

dules de :, il est clair que [, tout comme :, devra s’évanouir avec =. Donc le produit

AE EX devra lui-même s’évanouir sensiblement pour de grandes valeurs de 7, du moins tant que R conservera une valeur finie. On prouverait de la même manière que, si la valeur de rest comprise entre les limites r,, R, on aura sensiblement, pour de grandes valeurs de n,

(to) H(r) = (ro).

Nota. — Le second membre de la formule (4) n’est autre chose que

la moyenne arithmétique entre les diverses valeurs de la fonction w(x)

qui correspondent à un même module r de la variable +, et à des va- leurs de © représentées par les diverses racines de l'unité du degré n. La limite vers laquelle converge cette moyenne arithmétique, tandis que le nombre x croît indéfiniment, est ce qu’on pourrait appeler la valeur moyenne de la fonction &(x+), pour le module donné 7 de la va- riable x. Lorsqu'on admet cette définition, le théorème IT peut s’énon- cer de la manière suivante :

St la fonction w{x) et sa dérwée w'(x) restent finies et continues pour

un module r de x renfermé entre les limites r,, R, la valeur moyenne de

EXTRAIT N° 84. 187

w(x) correspondante au module r, supposé compris entre les lumites r,, R, sera indépendante de ce module.

Corollaire I. — Les mêmes choses étant posées que dans les théo- rèmes I et IE, si la fonction &(x) et sa dérivée restent encore continues, pour un module r de x renfermé entre les limites o, R, on aura sen- siblement, pour un semblable module et pour de grandes valeurs de 7,

(ri) H(r)=H(o). Corollaire II. — Les mêmes choses étant posées que dans le corol- laire F, si la fonction 5(x) s’évanouit avec x, on pourra en dire autant

de la fonetion H(x), et par suite on aura sensiblement, pour de grandes valeurs de x,

(12) Ir) = 0. Corollaire III. — Concevons maintenant que l’on pose

ae). (13) ma) Te,

f(z) désignant une fonction de z qui reste finie et continue avec sa dérivée f’(z), pour un module r de 3 compris entre les limites o, R. (=), ainsi que &(z), s'évanouira pour une valeur nulle de =; et si, en posant, pour abréger,

(14) p(s)= : . - [(2), (3) = — f(x),

on nomme

ce que devient I(z) quand on remplace &(z) par o(z) ou par Ÿ(2), alors, en vertu de la formule (12), on aura sensiblement, pour de grandes valeurs de », et pour un module r de z inférieur à R,

(15) Pr) — Wir) —o.

D'autre part, si l'on suppose le module 7 de z supérieur au module de *,

188 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

on aura

nn De DUR “le MU DRE DE PSS

LA

et par suite, eu égard aux propriétés bien connues des racines de

l’unité,

Donc alors la formule (15) donnera sensiblement, pour de grandes va-

leurs de n», (16) f(x) = ®(r), ou, Ce qui revient au même,

1 r 0 RUE ee (pr) {Op —1p (19) f(x) — 1 fr be pee LE +... + D to En vertu de cette dernière équation, qui devient rigoureuse quand » devient infini, la fonction f(x) pourra être généralement représentée

par la valeur moyenne du produit

(18)

correspondante au module r de la variable 3, si la fonction f(z) et sa dérivée f'(z) restent finies et continues pour ce module de z ou pour un module plus petit. D'ailleurs la fraction

3

? Smet” À

et par suite le produit (18), seront, pour un module de x inférieur au module r de z, développables en séries convergentes ordonnées suivant les puissances ascendantes de x. On pourra donc en dire autant du second membre de la formule (17) et de la fonction f(x), quand le mo- dule de x sera inférieur au plus petit des modules de 3 pour lesquels la fonction f(z:) cesse d’être finie et continue. On peut donc énoncer la proposition suivante :

TéorèME HI. — Sc l’on attribue à la variable x un module inferieur au

EXTRAIT N° 84. 189

plus petit de ceux pour lesquels une des deux fonctions f(x), f'(æ) cesse d'être finie et continue, la fonction f(x) pourra être représentée par la

valeur moyenne du produit

ren 4

correspondante à un module r de z qui surpasse le module donné de x, et sera par conséquent développable en série convergente, ordonnée suivant

les puissances ascendantes de la variable x. P

Nota. — Comme, en supposant la fonction f(x) développable suivant les puissances ascendantes de +, et de la forme

(19) fit) = 40 + ax + ax? +...,

x

on tirera de l’équation (r9) et de ses dérivées relatives à x

lo) PR Ra DM 1 re 1-2

il est clair que le développement de f(x), déduit du théorème TE, ne différera pas de celui que fournirait la formule de Taylor. On arrive en- core aux mêmes conclusions en observant que le produit

développé suivant les puissances ascendantes de x, donne pour déve- loppement la série f(2 f(z pendre +. A 5 Donc, dans le développement de f(x), le terme constant devra se ré- duire à la valeur moyenne de f(z), laquelle, en vertu du théorème IF, est précisément f(o), le coefficient de æ à la valeur moyenne du rap- f(z)

port ——» ou, ce qui revient au même, du rapport

et par conséquent à la valeur commune f’{o), que prennent ce rapport et la fonction f’(z), pour z — o, etc. |

190 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

Quant au reste qui devra compléter la série de Taylor, réduite à ses n premiers termes, il se déduira encore facilement des principes que nous venons d'établir.

En effet, puisqu'on aura

z FT... Æ — æ" D zn-1(2 x) et, par suite, Z x 2 anTi x? = — f!{ tie SEE \ “e {3\ eu fa} = ta) + tie laide Darren pire pren le).

il est clair que le reste dont il s’agit sera la valeur moyenne du pro-

duit x!

A ml re Re x) f(3), r

considéré comme fonction de z, pour un module r de 3 supérieur au module donné de x. Donc, si l'on nomme & le plus grand des modules de f(z) correspondants au module r de z, et X le module attribué à la variable +, le reste de la série de Taylor aura pour module un nombre

inférieur au produit X2

rer — x)

par conséquent inférieur au reste de la progression géométrique que l'on obtient en développant, suivant les puissances ascendantes de +, le rapport

rR

r=X On peut donc énoncer encore la proposition suivante :

TaéorÈmE IV. — Les mémes choses étant posées que dans le théorème II, si l’on arrête le développement de la fonction f(x) apres le nième terme, le

reste qui devra compléter le développement sera la valeur moyenne du pro-

duit æ\n—-txf{z) à : , È 2— x

EXTRAIT N° 84. 191

pour ur module r de 3 supérieur au module donné de x. Si d’ailleurs on nomme & le plus grand des modules de (3) correspondants au module r de z, et X le module attribué à x, le module du reste ne surpassera pas le

produit

se XAR NE

Les principes ci-dessus exposés, particulièrement les notions des valeurs moyennes des fonctions pour des modules donnés des variables, et Les divers théorèmes que nous venons d'établir, peuvent être immé- diatement étendus et appliqués à des fonctions de plusieurs variables. On obtiendra de cette manière de nouveaux énoncés des propositions que renferme le Mémoire lithographié sur la Mécanique céleste, présenté à l’Académie de Turin, dans la séance du 11 octobre 1831; et l’on ar- rivera, par exemple, au théorème suivant :

TaéorèmE V. — Soient x, y, =, ... plusieurs variables réelles ou Uma gi- naires. La fonction f(x, y, z, ..….) sera développable par la formule de Maclaurin, étendue au cas de plusieurs variables, en une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de x, y, 3, ... st les modules de æ, y, 3, ... conservent des valeurs inférieures à celles pour lesquelles la fonction reste finie et continue. Soient r, r',r", ... ces dernières valeurs. ou des valeurs plus petites, et & le plus grand des modules de f(x, y, 3, ..….) correspondants au module r de x, au module r' de y, au module r” de z, ..…. Les modules du terme général et du reste de la série en question seront res- pectivement inférieurs aux modules du terme general et du reste de la série

qui a pour somme le produit

! 2 F à ei . R.

/ 1 de : r—Lr YF —3

$S II. — Développement des fonctions implicites. Formule de Lagrange.

Les principes établis dans Le paragraphe précédent peuvent être appli- qués, non seulement au développement des fonctions explicites, mais encore au développement des fonctions implicites, par exemple, de

192 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

celles qui représentent les racines des équations algébriques et trans- cendantes. Alors la loi de convergence se réduit encore à la loi de con- tinuité. Concevons, pour fixer les idées, que la variable æ soit déter- minée en fonction de la variable « par une équation algébrique ou transcendante de la forme

(1) t=teir),

/

5(x) étant une fonction explicite et donnée de x qui ne renferme point «, et ne devienne point nulle ni infinie pour æ = o. Parmi les racines de l’équation (1), il en existera une qui s’évanouira en même temps que e. Or cette racine, si l’on fait croitre le module de e par de- grés insensibles, variera elle-même insensiblement, ainsi que sa dérivée relative à :, en restant fonction continue de la variable e, jusqu'à ce que cette variable acquière une valeur pour laquelle deux racines de l'équation (1) deviennent égales, pourvu toutefois que dans l'intervalle la valeur de &(x), correspondante à la racine dont il s'agit, ne cesse pas d’être continue. Done, si la fonction 5(x) reste continue pour des valeurs quelconques de +, celle des racines de l'équation (1) qui s’éva- nouit avec « sera développable en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de «, pour tout module de la variable e in- férieur au plus petit de ceux qui introduisent des racines égales dans l'équation (1), et rendent ces racines communes à l'équation (r) et à sa dérivée

LS NIRT, par conséquent, pour tout module de e inférieur au plus petit de ceux qui répondent aux équations simultanées

à mA , MA

la 2 a &(x) æ

Ainsi, par exemple, la plus petite racine x de l’équation TX — ECOSX

sera développable en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de :, pour tout module de & inférieur au plus petit de ceux

EXTRAIT N° 84. 193 qui répondent aux équations simultanées

TX COST Das L et COST TX

—=— sinx ou tangx —=— x.

Or ce plus petit module, qui correspond à la racine imaginaire x —1,199678...ÿ—1 de l’équation tangx = — x, sera 0,662742...; et par conséquent la plus petite racine de Féquation

L'—=E COST

sera développable en série convergente ordonnée suivant les puis- sances ascendantes de :, pour tout module de & inférieur au nombre 0,662742.... On se trouve ainsi ramené immédiatement à un résultat auquel M. Laplace est parvenu par des calculs assez longs dans son Mé- moire sur la convergence de la série que fournit le développement du rayon vecteur d’une planète suivant les puissances ascendantes de l’ex- centricité.

Il nous reste à indiquer une méthode très simple, à l’aide de laquelle on peut souvent construire avee une grande facilité les développe- ments des fonctions implicites. Pour ne pas trop allonger ce Mémoire, nous nous contenterons ici d'appliquer cette méthode au développe- ment de la plus petite racine x de l’équation (1), ou d’une fonction de cette racine.

Nommons « celle des racines de l’équation (r) qui s'évanouit avec e, et que nous supposons être une racine simple. On aura identiquement

(3) æ-—emw(x)—(x—a«)ll(x),

H(x) désignant une fonction de æ qui ne deviendra point nulle ni in- finie pour + — 0. Or de l’équation (3), jointe à sa dérivée, on déduira la suivante

1—em(x) i IW'(x) æ—<em(x) x—ax Il(x)

ŒEuvres de C.—S.I, t. V. 25

(4)

19% COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

que l’on obtiendrait immédiatement en prenant les dérivées logarith- miques des deux membres de l'équation (3). On aura donc par suite

(5) Re — L

D'ailleurs, pour des valeurs de x suffisamment rapprochées de zéro, la fonction

sera généralement développable en une série convergente ordonnée

suivant les puissances ascendantes, entières et positives de x. Ainsi, en

particulier, si H(x+) est une fonction entière de x et si l’on nomme 6,

y, .… les racines de l’équation

(6) Hir) =a,

on aura identiquement

(7) I(x)=k(z—6)(x—7)...,

k désignant un coefficient indépendant de æ; et par suite Ô Î

Il'(x) I I (8) se (8 Nix) 2-6 2-7"

Donc alors on aura, pour tout module de x inférieur aux modules des racines 6, y. ..,

(o) mixte: HET (LE ++ ;

9 ll = é , . 82 E Vie :

Donc aussi le second membre de l'équation (5) devra être dévelop- pable, pour des modules de x qui ne dépassent pas certaines limites, en une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes, entières et positives de æ. Or il semble au premier abord que, pour de très petits modules de «, ou, ce qui revient au même, pour de très petits modules de x, ce développement ne puisse s'effectuer. Car, si le module de « devient inférieur à celui de x, et le module de & à T° .

celui de a alors, en posant, pour abréger,

EXTRAIT N° 84. 195 on trouvera

(ro) _

; 1—em (x I 5, 4 2 Re. 3 X3 (11) = Lee (SE) En) Sn) — x æ 2 x? s

z—em(x) PE

De plus, en désignant par : un nombre infiniment petit que l’on devra réduire à zéro, après les différentiations effectuées, et par 5 ce que de- vient X quand on remplace æ par :, on aura encore, en vertu de la for- mule de Maclaurin,

(12) | M? J2+ Di5?+ QU le

et / au a" nt J nu Dr EE Tr x? 1,2 a) X,2 : D,5 es“ 32 I #2 ! | n. RS on te re à + — DS 52+..., \ x? x 1 x? Ho

et par suite le second membre de la formule (5), développé suivant les puissances ascendantes de æ, renfermera en apparence non seulement des puissances positives, mais encore des puissances négatives de x;

ces dernières même étant, à ce qu’il semble, en nombre infini. Toute- _fois il importe d'observer qu’en supposant le module de « très petit, on pourra développer e, &, ..., et par suite les seconds membres des formules (11) et (5), suivant les puissances ascendantes de :. Alors le second membre de la formule (5), développé suivant les puissances ascendantes de x et de x, offrira, il est vrai, des puissances positives et des puissances négatives de x, mais seulement des puissances positives de «; et le coefficient d'une puissance quelconque de #, par exemple de x”, dans ce second membre, sera la somme ,, d’une série qui ren- fermera un nombre infini de puissances positives de x, avec les seules puissances négatives

196 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

D'autre part, en vertu des principes établis dans le paragraphe précé- dent (théorème V), le facteur Te sera développable en une série con- vergente ordonnée suivant les puissances ascendantes, entières et posi- üives de æ et de «, tant que les modules de x et de « ne dépasseront pas les limites au delà desquelles cette fonction cesse d’être continue; et le coefficient de ”, dans le développement, sera la somme v,, d’une série qui renfermera seulement les puissances entières et positives de x. Donc, puisque deux développements, ordonnés suivant les puis- sances ascendantes, entières et positives de x, ne peuvent devenir égaux sans qu'il y ait égalité entre Les coefficients des mêmes puissances, les deux coefficients de &” que nous avons désignés par u,, », et qui re- présentent les sommes de deux séries ordonnées suivant les puissances ascendantes de x, seront égaux; d’où il résulte que, dans la première de ces deux séries, chacun des » premiers termes, proportionnels à

des puissances négatives de æ, devra s’évanouir. Donc le terme pro- portionnel à > en particulier, s'évanouira dans la série dont la somme u,, sert de coefficient à &”*, quel que soit d’ailleurs le nombre »; d’où il résulte que la somme des termes proportionnels à _. s'évanouira

elle-même, dans le développement du second membre de la for- mule (5) suivant les puissances ascendantes de æ et de «. Or cette somme, en vertu des formules (9), (10), (13), sera évidemment

e2 e3 re D, $2 + = D253+...— 0x. 12 15229 On aura donc x €? €? 9 (14) a = ES+ — D,52+ —— D}55 +..., 1,9 1:0:9

la valeur de : devant être réduite à zéro, après les différentiations effec- tuées. La formule (14), qui subsiste tant que «et sa dérivée relative à e restent fonctions continues de «, est précisément la formule donnée par Lagrange pour le développement de « suivant les puissances ascen- dantes de e. Si l’on égalait à zéro, dans le développement du second

EXTRAIT N° 84. 197

. à . membre de la formule (5), non plus le coefficient de => mais ceux de

I I 2 . . ; . : mL de 747.2%95.00 obtiendrait immédiatement les formules données

par Lagrange pour le développement de #?, *, ..., suivant les puis- sances ascendantes de :. Enfin, si l’on égalait les coefficients des puis- sances positives

TX, ZX”, à ceux qui affectent les mêmes puissances dans le second membre de la formule (0), on obtiendrait les valeurs des sommes

I mnt. a+

| =

I 3 + 6 / y? développées encore suivant les puissances ascendantes, entières et po- sitives de &.

Soit maintenant f(x) une fonction qui ne devienne pas infinie pour æ — 0. Après avoir multiplié par le rapport

f(x) — f(o) X

les deux membres de la formule (5), on pourra, tant que la fonction f(x) ne deviendra pas discontinue, développer le second membre sui- vant les puissances ascendantes de x; et, comme, dans ce développe- ment effectué à l’aide des équations (ro), (11), (13), ou de formules ana-

ad . I . x . logues, le coefficient de —; devra disparaitre, on en conclura facilement

(5) fa)—f(o)=esP{)+ ÉDILS21()] + ÈS DES (LT +...

la valeur de : devant être réduite à zéro après les différentiations effec- tuées. On retrouve encore ici la formule donnée par Lagrange pour le développement de f(x). Il est bon d'observer que, dans cette formule,

à + €” , Li , ‘ le coefficient de —; déterminé par la méthode qu'on vient d'exposer,

sera le coefficient de = dans le développement du produit

( XA ) PAR ME : ; 4 À La

198 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

: : " ns I , ou, ce qui revient au même, le coefficient me dans le développement

de Ja fonction

16) — De }[f(æ) —1(0)] De (St

Mais, comme la dérivée du second ordre d’un développement ordonné suivant les puissances ascendantes et entières de x ne peut renfermer : , . I . . A , la puissance négative => cette puissance disparaîtra dans le dévelop-

pement de

pe] ete 100) xs = D:

x!

[t(æ) — f(o)] De(+) | LR,

Z x"

d’où il suit qu’elle sera multipliée par un même coefficient dans les développements de l'expression (16) et de la suivante

XAf'(x)

a !t

i Ne ere Donc, dans le second membre de la formule (15), le coefficient de Fi

devra se réduire, comme nous l'avons admis, à

I

1.2...(n —1) “ie ls Fte)], . devant être réduit à zéro après les différentiations.

La même méthode, comme je l’expliquerai plus en détail dans un autre article, peut servir à développer, suivant les puissances ascen- dantes d’un paramètre contenu dans une équation algébrique ou trans- cendante, la somme des racines qui ne deviennent pas infinies quand le paramètre s’évanouit, ou plus généralement la somme des fonctions semblables de ces racines. On retrouve alors les résultats obtenus dans le Mémoire de 1837.

On pourrait, au reste, démontrer rigoureusement la formule de La- grange, en combinant la méthode que M. Laplace a suivie avec la théorie que nous avons exposée dans le premier paragraphe.

EXTRAIT N° 85. 199

89. THÉORIE DES NOMBRES. — Sur quelques séries dignes de remarque, qui se

présentent dans la théorie des nombres.

C.R.,t.X, p. 719 (11 mai 1840). Soient

ñn un nombre entier donné; h, k, 1, ... les entiers inférieurs à », mais premiers à »; ° l’une des racines primitives de l'équation

(1) Re. et (2) REED here pl Rp...

une somme alternée, formée avec ces racines, les entiers

étant ainsi partagés en deux groupes RS et A RE GP

dont le premier sera censé renfermer l'unité. Enfin supposons que la somme A vérifie la formule

(3) DST, par conséquent l’une des suivantes

(4) A—+n, (5) A—=— n, et posons, pour abréger.

(6) ad

200 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

On peut démontrer, soit à l’aide des méthodes employées par MM. Gauss et Dirichlet, soit à l’aide de celles que j'ai données moi-même dans la séance du 6 avril dernier, que, si l’on prend

p cer eov-1,

on tirera d’une part de la formule (4), d’autre part de la formule (5),

Si l’on prend au contraire

D emwV-1 ;

m étant un nombre entier quelconque, les formules (7) et (8) devront être remplacées par les suivantes :

4 (9) ATP Re (10) A=imn ÿ— 1,

le coefficient :,, devant être réduit à l’une des trois quantités

. : ; . nm ; . « . savoir, à zéro, lorsque la fraction + sera réductible à une expression

plus simple, et dans le cas contraire, c’est-à-dire lorsque 7x sera pre- mier à 2, tantôt à + 1, tantôt à — 1, suivant que m», augmenté ou di- minué, s'il est nécessaire, d’un multiple de z, fera partie du groupe k, h', k”, .. ôu du groupe #, #, 8,5 |

Des formules (9) et (10), combinées avec les équations connues qui servent à développer les fonctions en séries ordonnées suivant les sinus ou les cosinus des multiples d’un arc, on peut déduire divers résultats dignes de remarque, et en particulier ceux que M. Dirichlet a obtenus, à l’aide de semblables combinaisons, dans plusieurs Mémoires qui ont attiré l'attention des géomètres. Concevons, par exemple, que l’on

EXTRAIT N° 85.

combine les formules (9), (ro) avec l'équation

nt(e)= | fu) du +2 | cosa(æ— u) f{u) du +» [| cos2@{(x —u)f{u) du +... Can ; 0 0

da

a a f{u) dus cosuz | cosuf{a) du +acos2oæ | cos2œouf{u) du +. 0

0 0

a a ; +asmos | sin au f{u) du +asinonx | sin2œwuf{u) du +... 0 y 0

qui subsiste, pour la valeur de © fournie par l'équation (6), et pour des valeurs de a positives, mais inférieures à +, entre les limites æ —0, æ = a de la variable æ, pourvu que la fonction f(x) reste continue entre ces limites; ou bien encore avec les deux équations

«

[44 «a I £ : AN -afix)= flu) du + 2 coswx cosou flu) du+2cos20x cos2œou flu) du + …. 2 ] 1 had 0

,

0 v 0 j «a « - nf(x) — >sinoz | sin ou f{u) du+asinaur | sin 264 flu) du +... D | “0 0

e “ 9 L 4 que l’on peut substituer à la précédente, dans le cas où la constante «

Le 4 A n ’ LA £ reste inférieure à ,° æ élant toujours plus petit que a. On trouvera, en

supposant A°=— n,

{ 1 2 në(f(4) + f(4) +R) — (#)—..]

2 te tr | cosouf{u) du + & f cos2ou f{u) du \ / 3

0 0 a + a f cos3ouflu)du +..., 0

et, en supposant A°— — n,

«a

, 2 | = ne [f(4) +4) +. f(k) — (6) —...]

; «a (ts) Fr of sin ou fiu) du +12 f sin2ou f{u) du \ / € 0

« + ts fé sin3œuf{u) du +..., 0

OEuvres de C. —- S.I.t. V. 26

202 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

non seulement lorsqu'on admettra, dans les premiers membres des for- -mules (11), (12), les valeurs de f(x) correspondantes à toutes les va- leurs de 2 ou de # représentées par

ARBRE: QE. PACE ou ES LE DR OURS

mais aussi lorsqu'on aura seulement égard à celles des valeurs de 2 ou . , . . n de # qui sont renfermées entre les limites o, 5° Pourvu que l'on sup-

pose, dans le premier cas, a inférieur ou tout au plus égal à 7, mais supérieur à 2 — 1; et dans le second cas, a inférieur ou tout au plus

C4 \ n cd 4 be sd id # \ 2 4 e égal à —. mais supérieur au nombre entier qui précède immédiatement

si 2 est impair.

n , \ we \ n . . \ He -— I —, c'est-à-dire à = — 1 si n est pair, et à > 2 2

Observons maintenant que, #2 étant un nombre entier quelconque,

on aura généralement

COSMOU —= (emouy—1 srl e-mouV1),

I #4 1

siNmou — ETES Cemwuy-1 __ p—mouy-1 à 2V—1I ,

et

e cn MOUV—A “ ee D SsMOUN ri :l emœuY-1 du — F PR . e -mouy—1 — : < . 0 0

mo Y— 1 moV— 1

De plus, si l’on différentie / fois, par rapport à w, les deux équations précédentes, on en tirera, en indiquant par le moyen de la caractéris- tique D, chaque différentiation relative à w,

. nes ae V= I d emwuY—1 ETS nigmou Nr du, = pires 0 mo ÿ—1

a La SR L À = k ule-mou\-1 Qu — (= ï D.) 1 — e—mou—t ; “ déc mo Y—1

Cela posé, en désignant par f(x) une fonction entière de x composée

d’un nombre fini ou même infini de termes, on tirera évidemment des formules (11) et(12) :

EXTRAIT N° 85. 203

1° En supposant A — 7,

re — e-waV-1 par _ e-2waŸ=1 AL NIET De) Sn +ur(s ‘n,.) VAE LEE +... { DY— 1 2 20Y— 1 Hay=T FRE 20aV-1 — | hi ns à Rd ne OY—1 LA 2 20 ÿ—1

2° En supposant A°= — n,

Dr CE(A) + CCR) + 14) —() — 14) |

Mur —_ e-waÿ-1 ER __ e-2waÿ=1 = taf ( ESPN RTE Die +... Y G) 2

20)

EUR __ POAŸ—A fe __ P9waÿ-1 | ne ur in, +... .

G) 24%

Pour montrer une application des formules (13) et (14), concevons que, #7 étant un nombre entier quelconque, on prenne

f(x) = HT, et représentons par Dyn Om

les deux valeurs qu’on peut obtenir pour l'expression

li de L' As D LE km J'm ==

lorsqu'on y admet toutes les valeurs de 2 et de #, ou seulement celles qui sont inférieures à £n. Si, comme dans un précédent Mémoire (pages 146 et 149), on désigne par S,, T,, ou par s,, t,, les valeurs qu'acquerront dans ces deux hypothèses les sommes

fon fm, fm L'm .,

on aura évidemment (15) D = Sn ue A dm == Sm MG TEE LITE

et, en supposant A? — », on tirera de la formule (13) :

204 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE. 1° Pour des valeurs paires de m,

m 1

(16) (— 1) 27 On = De (e

sin o« Lo SiNn2&wa ta Sn3wa Fe 6) 2 924 3m 36 ri R

2° Pour des valeurs impaires de 7,

on — 1 1

/ } Les (— 1) à 2 A On = D (u

—— _

SI

ui

1 — COSHA Lo 1 — COS20u la 1— COS30A L ONE à Sa er ee 6) Las 26) à jus 3 6) |

Au contraire, en supposant À = — », on tirera de la formule (14) : 1° Pour des valeurs paires de »2,

m 1

I = 1—- COSHA Lo I— COS204 13 1— COS30A (18) (— 1) - n° Oh» —D# Li me ———— ee RES 2 ‘ 2 6) om 26) 3m 30 k

2° Pour des valeurs impaires de 2,

«

ire sinoa L Sin264 13 Sin3ma

\ ; 2 2 3 S , (19) (—a) ? = nOn=Dé lu + UE \ LE Œ w &)

2 24) 3m: 50

Les formules (16), (17), (18), (19) supposent la quantité a supérieure à An —1, mais inférieure ou tout au plus égale à ». Elles subsistent en particulier quand on y suppose a — n. Si l’on posait, au contraire,

dans les seconds membres de ces formules, a — on devrait dans les premiers membres remplacer ®, par à.

ILest important d'observer que les différentiations indiquées par la caractéristique D, dans les seconds membres des équations (16), (17), (18), (19), peuvent être aisément effectuées à l’aide de la formule

Mr Re A 7 Ts PS

m me - 6) . mo? 2 DA (o-1Q)—{(— 1)" 0 — = DO + —DS0—...),

I

qui subsiste pour des valeurs quelconques de @ considéré comme fonc- tion de w. Faisons maintenant, pour abréger,

: Me La L3 DATE Er 4 DRE LS 7 irons

EXTRAIT N° 83. 205 et généralement

É La

Peu D gm dt? ou, ce qui revient au même, puisque 1, — 1,

— to Sn (20) 4 Ron M

Si, dans les seconds membres des formules (16), (17), (18), (19), on pose, après les différentiations, « — x, par conséquent

l' NO sm 25;

alors, en supposant A? = n, on trouvera :

1° Pour des valeurs paires de 72,

FE US he cles.

Er HO

+ { m+,[ om (m—2)(m—im CE or)

2° Pour des valeurs impaires de 7»,

m+5[ m (m—2){(m—i1)m HALEINE Da an he 0 — D Shell (27)? (art (27

mais, en supposant A? — — 7, on trouvera : 1° Pour des valeurs paires de 7»,

m+5 Qi. (m—1)m kim Dr=—2n te y es ST Dm 1 |; 27 (27 )°

2° Pour des valeurs impaires de »2,

(21) Di — 0, Dr = n°, B3 = — 72 h', “..s

206 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

tandis qu’en supposant A? — — » on trouvera 9 5, 3,4, AA TE T T 27T &::

Pareillement, si l’on pose, pour abréger,

12 13 La U3 = 1, — - CAMES Meur DIODES et généralement L2 L3 ti m 3m pu ;

ou, ce qui revient au même, (23) ni — ha —7.,, et si, dans les seconds membres des formules (16), (17), (18), (19), on pose, après les différentiations, «a = £n, par conséquent AD=T,

ces formules, dans lesquelles on devra remplacer @,, par à, fourni- ront des résultats dignes de remarque. On en tirera effectivement, en supposant A? — n : |

1° Pour des valeurs paires de 72,

* n\” {fm ({m—2){(m—1m.. Ds 29: PET: : IP 20 = (2) AE LE —- à ) L+... 2% À 7 ;

T 4 ‘ TT m

2° Pour des valeurs impaires de »,

RÉ (= 2} 0m eme 4 1:2:3.4.. m PE PS , ’ +

> m2 T* j nes nt

et en supposant A = — n : 1° Pour des valeurs paires de 7»,

à n\” il; mi — 1)\m 1.2.3: 42m ! d=(2) [ir + SR ae (ln + Sm)

TR rô 1 SA

(Lu+: + dm |

EXTRAIT N° 85. 207

2° Pour des valeurs impaires de 7»,

£ CLR. RS D m —1}m 2:34 74m = (?) [in en Et, |.

T Tr rm

NN N l Bb + So 5 ! LE i (24) == 0, Œrrr de n”";: Mr ist) - tandis qu’en supposant A? — — x on trouvera EL +4 < x CR PAL k à : rl +Ss\ À (25) do = EUR h—=-n?, O2 — crie T 3% 4 7 : POS de

Avant d'aller plus loin, il est bon d'observer que les quantités

ou les diverses valeurs de I,,, sont liées aux quantités J4, J», S 3

ou aux diverses valeurs de 5,, par des équations qu’il est facile d’ob- tenir. En effet, comme on à généralement

{ cool sr \ 26) Emm! — Umlm's Emem! m"— tm tm! lim";

et par suite

lom — l2lms on en concluüra on Lr pre m gr Pie (9e — I»),

par conséquent Lo (27) In = (1 — me) Sm -

Cela posé, les formules (24) et (25) donneront, pour A° = »,

Ve 2 PAL - (28) d9—0, = (i—%)2n, d=— (it)

208 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

et pour A= — 7, 1 + (Tr ta) en, ns 3, À (29) di—=(1—12) — n° (29) = | Hire ,

5 h La \ ds 12 S3 n° 2 == — I — NT LT = — = PE 2] T 8) OUR EC Observons encore que, si l’on désigne par

MÈRE -Pe

les facteurs premiers qui ne divisent pas », on aura, en vertu des for- mules (26),

par conséquent

ee LA MB NES (30) On = ( — =) ( res gr) ..

Or, comme les facteurs que renferme en nombre infini le second membre de la formule (30) sont tous positifs, il en résulte que la va- leur de 5,, donnée par cette formule ne sera jamais négative. Donc 5, et par suite [,, ne pourront jamais être que nuls ou positifs. Ajoutons que la valeur de 5,, sera toujours comprise entre les deux limites

! ] Li I Le 2m 0 afin),

2 mn

qui sont toutes deux positives dès que »2 surpasse 2, et se réduisent, pour 7» — 2, aux deux quantités

ere F 64 t

I ca Fa s.. — 7 —1,90400..... e Be

4 9 6 : 9499 Si, parmi les entiers premiers à » et inférieurs à ° On distingue

ceux qui font partie du groupe , 4’, 4”, ... d'avec ceux qui font partie

du groupe #, #', 4”, ..., alors, en nommant # le nombre des premiers

EXTRAIT N° 85. 209

et j le nombre des seconds, on aura évidemment (31) do LL.

Donc la première des formules (28) ou (29) fournira la valeur de la différence : — 7, et cette différence sera toujours ou nulle ou positive avec la quantité 3,, et toujours nulle en particulier lorsqu'on aura en.

Il est assez remarquable que, parmi les valeurs de 5,,, les seules

quantités do SPP J6;,

,

entrent dans les seconds membres des formules (21),(28), et les seules

quantités JG 3520

5

dans les seconds membres des formules (22), (29). Il en résulte que les divers termes des deux suites

Dis Po, Ds, Di, Ps, Dé; 00 1, do, d3, 4» 5) d6,

sont liés entre eux par des équations de condition qu’on obtiendra sans peine, en éliminant les quantités |

S2, da, de, entre les formules (21) et (28), ou les quantités

CTP

59 v°

entre les formules (22) et (29). En opérant de cette manière, on tirera par exemple des formules (21), (28)

ou, ce qui revient au même,

Sami à

(32) da — nôi, Da — — f d2, D3 — Sn Das

4 — 12 Prat à -

OEuvres de C. — S.I, t. V. 2

210 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

et des formules (22), (29),

20; LEE n do ee D» re Ah n

ou, ce qui revient au même,

RL PES PRE i— Ne _ — \ sa PRRSFORES be 9 = — mms a Fan B=—n- . D de Dans l'application de chacune des formules (32), (33), on doit dis-

tinguer trois cas correspondants aux trois valeurs HE 0,.c1

que peut acquérir la quantité ,. Ainsi, en prenant pour x un nombre impair, on tirera de ces formules :

1° Lorsque 7 sera de la forme 8x +r, I

O4 Dr = — “<— Ôd, Po = — 2n°?01;

2° Lorsque x sera de la forme 8x + 3,

nÔ, D, @r= — sn?ôi;

(36) d2 = :

4° Lorsque » sera de la forme 8x + 7, (37) dr 0, Di=—n(i—;}) Da — n°{i—j).

f

Au contraire, en prenant pour #2 un nombre pair divisible par 4 ou par 8, on tirera des formules (32) et (33) : 1° Lorsqu'on aura A? = n,

(38) ds — dis Do = — nÔ4, Da = -— n°01:

2

EXTRAIT N° 85. 211

2° Lorsqu'on aura A°= — x,

LS Et — } RE l— (39) din J, PB=—n : J, D=—n—{.

On vérifiera aisément ces diverses formules, non seulement lorsque x sera un nombre premier impair, mais encore lorsque » cessera d’être un nombre premier; et l’on trouvera, par exemple :

3

Pour nr = 4, A = — 4, A = p — p°,

Û

É n ee he = — 2, da——8— UE Mi=ms6= =" n0;, AI PL Pour n — 8, A°— — 8, A=p+p—p°—p", P 2 He i— J] —?2, NS lé | Met 1 — d—=4—=n J, Di=—-8——n :, De = — 64 — — n°4; 4 2 2 Pour n — 12, A?— 12, A=p+p'— p°— p", N n'x 2. ie |: do = — 24 — 5 91 Do = 48 — — nû1, D3 = 864 — — HOT 2 2 Pour n —19,4°— —15,A— p'+p° + p* + p° — p—p''—p°—p'",

212 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

Pourn—21, A—0+09"+05+pt6 ppt 020 92 08 0

Da 168— — End: Ds = 5292 — — > n°0.

_Les diverses formules établies dans cette Note comprennent, comme cas particuliers, les formules du même genre, trouvées par M. Di- richlet, et sans doute aussi celles que M. Liouville nous a dit avoir obtenues en généralisant les conclusions de ce jeune géomètre. J’ajou- terai que les équations de condition par lesquelles se trouvent liés les uns aux autres les termes des deux suites

D, Do, (CDR do» CIE d», dur

s'accordent avec celles que nous avons obtenues dans le Compte rendu de la séance du ro mars.

86.

PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Rapport sur un Mémoire présenté à l’Académie P

par M. Duhamel, et relatif à l’action de l’archet sur les cordes.

C.R.,t. X, p. 855 (1° juin 1840).

L'Académie nous a chargés, MM. Savart, Coriolis et moi, de lui rendre compte d’un Mémoire de M. Duhamel. Ce Mémoire a pour objet principal une question de Physique qui n'avait pas encore été traitée d’une manière satisfaisante, la question de savoir en quoi consiste précisément l’action de l’archet sur les cordes. L'auteur, déjà connu avantageusement par des recherches sur divers points de Physique ma- thématique, observe qu'en glissant sur une corde, l’archet produit un frottement représenté par une force qui, en vertu des expériences de

EXTRAIT N° 8. i 213

Coulomb et de M. Morin, est proportionnelle à la pression exercée par l’archet sur la corde, dirigée dans le même sens que la vitesse avec la- quelle l’archet s'éloigne de la corde, et indépendante de la grandeur de cette vitesse. Le Mémoire de M. Duhamel est divisé en deux Parties. Dans la première, l’auteur résout par l'analyse plusieurs questions re- latives à l’équilibre et au mouvement des cordes vibrantes. La seconde Partie renferme diverses applications des principes établis dans la pre- mière, et l'indication des expériences à l’aide desquelles l’auteur a con- firmé les résultats du calcul.

Parlons d’abord de la première Partie. L'auteur commence par repro- duire, en les extrayant de la Mécanique de M. Poisson, Les équations aux différences partielles qui expriment les mouvements infiniment petits d’une corde attachée par ses extrémités à deux points fixes. Ces équa- tions renferment deux variables indépendantes, savoir, le temps, etune abscisse mesurée sur la corde tendue en ligne droite, avec trois va- riables principales qui représentent trois déplacements parallèles à trois axes rectangulaires. D'ailleurs les trois variables principales se trouvent séparées dans ces mêmes équations. Lorsque la corde se meut en vertu d’un déplacement initial, et sans qu'aucune force extérieure soit appliquée à chacun de ses points, les trois équations du mouve- ment sont, non seulement linéaires, mais à coefficients constants, et chacune d'elles exprime que l’une des trois variables principales, dif- férentiée deux fois de suite, par rapport au temps ou à l’abscisse, four- nit deux dérivées du second ordre proportionnelles l’une à l’autre. Pour passer de ce cas particulier au cas plus général où une force ac- célératrice extérieure est appliquée à chaque point de la corde, il suf- fit d'ajouter aux seconds membres des trois équations les projections algébriques de cette force accélératrice sur les trois axes coordonnés. Enfin, si dans les trois équations du mouvement on efface les dérivées relatives au temps, on obtiendra précisément les équations d’ nn de la corde que l’on considère.

L'intégration des équations d'équilibre, comme l’observe l’auteur lui-même, ne présente aucune difficulté; mais elle conduit à quelques

214 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

résultats curieux. Ainsi, par exemple, tandis qu’une force appliquée au milieu de la corde, et perpendiculaire à la droite qui joint ses ex- trémités, donne pour figure d'équilibre le système de deux droites, la même force, distribuée uniformément dans toute l'étendue de la corde, donnera pour figure d'équilibre une parabole, et l'ordonnée maximum de cette parabole ne sera que la moitié du déplacement du point milieu de la corde dans la première hypothèse.

Quant aux équations du mouvement, on peut encore les intégrer à l'aide de méthodes déjà connues, et même leurs intégrales générales se trouvent comprises parmi celles que l’un de nous a données dans un Mémoire sur l'application du calcul des résidus aux questions de Physique mathématique. Mais il est juste d'observer que ces intégrales peuvent être obtenues par divers procédés et sous des formes diverses. Or la méthode que M. Duhamel a suivie l'ayant conduit à quelques théorèmes dignes de remarque, il nous paraît convenable d’en signaler les avan- tages, et d'entrer à ce sujet dans quelques détails.

Lorsque la corde, n’étant sollicitée par aucune force extérieure, se meut en vertu d’un déplacement initial, et de vitesses primitivement imprimées à ses divers points, l'intégrale de chacune des équations du mouvement se présente sous une forme bien connue depuis longtemps, et chaque déplacement se trouve exprimé par une fonction périodique de l’abscisse et du temps, la durée de la période étant ce qui détermine la nature du son fondamental que la corde peut rendre dans les vibra- tions transversales, ou dans les vibrations longitudinales. Concevons maintenant que de ce cas particulier on veuille passer au cas général, dans lequel le second membre de chaque équation se trouve augmenté d’une fonction des variables indépendantes propre à représenter la pro- jection algébrique d’une force extérieure appliquée à un point quel- conque de la corde. Il suffira d'ajouter au déplacement, calculé dans la précédente hypothèse, une intégrale particulière de la nouvelle équa- tion, savoir le déplacement qu’on obtiendrait, dans la seconde hypo- thèse, au bout d’un temps quelconque, si le déplacement initial et la vitesse initiale se réduisaient à zéro en chaque point. Or cette intégrale

EXTRAIT N° 86. 215

particulière peut être facilement obtenue, comme on peut le voir dans le Mémoire déjà cité et dans le XIX° Cahier du Journal de l’École Poly- technique. Mais ce n’est point ainsi qu'opère M. Duhamel. Il commence par rechercher, non pas les déplacements variables des divers points de la corde mise en mouvement, partant avec une vitesse nulle de sa po- sition naturelle, et sollicitée d’ailleurs par des forces quelconques, mais les déplacements constants des-divers points de la corde parvenue à l’état d'équilibre sous l’action de forces constantes. C'est par ce moyen que, dans le cas où les forces extérieures ne dépendent pas du temps, M. Duhamel obtient de chaque équation une intégrale particu- lière de laquelle on peut immédiatement déduire l'intégrale générale. On se trouve alors conduit à une proposition que l’auteur énonce dans les termes suivants :

Lorsque les différents points d'une corde sont sollicités par des forces quel- conques qui ne dépendent pas du temps, les déplacements de ces points, esti- més par rapport aux positions d'équilibre qu'ils prendraient sous l'influence de ces forces, sont à chaque instant les mêmes que s'il n'existait aucune force extérieure et que l’état initial fût par rapport à l’état naturel ce qu'il

est réellement par rapport à l’état d'équiibre.

Au reste, lorsque les forces extérieures restent indépendantes du temps, il existe un moyen fort simple d'obtenir les intégrales des équa- tions du mouvement. Ce moyen, déjà employé par M. Liouville, dans une occasion semblable, consiste à faire d’abord disparaître les forces en différentiant chaque équation par rapport au temps. En intégrant les équations ainsi différentiées, on arrive au même résultat qu'aurait fourni la méthode d'intégration précédemment rappelée, et l’on obtient le théorème suivant :

St trois cordes semblables se meuvent, la première en vertu d’un déplace- ment initial, la seconde en vertu de vitesses primitivement imprimées à ses différents points, la troisième en vertu de forces extérieures appliquées a la corde partant avec une vitesse nulle de sa position naturelle, et st d’ailleurs

on mesure ces déplacements, ces forces et ces vitesses parallèlement à un axe

*

216 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

Jixe, la relation qu existera, pour la première corde, entre le déplacement uutial d’un point quelconque et son déplacement au bout du temps t, exis- tera pour la seconde corde entre la vitesse initiale et la vitesse au bout du temps t, et pour la troisième corde entre la force appliquée et la force qui se-

rait capable de produire le mouvement observe.

Ajoutons que, si les trois causes du mouvement se réunissent pour une seule corde, les trois mouvements correspondants à ces trois : causes se superposeront, en vertu du principe de la coexistence des mouvements infiniment petits que des causes diverses peuvent pro- duire.

Ce dernier principe fournit aussi, comme l’a remarqué M. Duhamel, un moyen facile pour passer du cas où les forces sont constantes au cas où elles deviennent variables avec le temps. Au reste, la règle générale qu'il a établie à ce sujet pourrait se déduire des méthodes d’intégra- tion déjà connues, et particulièrement de celle que renferme le Mé- moire sur l’application du calcul des résidus aux questions de Physique mathématique.

Dans les derniers paragraphes de la première Partie, l’auteur déter- mine ce qu'il appelle /a tension moyenne de la corde vibrante en un point donné; et la considération de cette tension moyenne le conduit à la conclusion suivante : Un point libre d'une corde ne peut rester en repos pendant qu'elle vibre, s'il n'appartient pas à la ligne suivant laquelle la corde serait en équilibre sous l’action des forces qui lui sont appliquées.

Enfin, en admettant seulement dans la corde les vibrations transver- sales, l’auteur prouve qu'un point où il y aurait constamment nflexion serait nécessairement un point immobile, par conséquent un point situé sur la courbe que formerait la corde en équilibre sous l’action des forces donnees.

La théorie exposée par M. Duhamel, dans la première Partie de son Mémoire, se trouve appliquée dans la seconde Partie à la question de Physique qu'il avait principalement en vue, je veux dire, à l’action de l’archet sur les cordes. Après quelques observations sur l'impossibilité d'admettre une explication hasardée par Daniel Bernoulli, M. Duhamel

EXTRAIT N° 86. 217

considère d’abord le cas où la vitesse absolue de l’archet reste toujours plus grande que celle de la partie de la corde avec laquelle il est en contact. Il observe avec raison que, si la pression exercée par l’archet sur une corde varie le plus ordinairement avec Le temps, cette pres- sion peut du moins, sans erreur appréciable, être regardée comme constante pendant la durée très courte d’une vibration entière. Il en résulte que le frottement produit par l’action de l’archet peut être regardée comme une force dont l'intensité demeure constante, la direction de cette force étant elle-même constante dans le cas dont 1l s’agit.

Cela posé, un théorème établi par M. Duhamel, dans la première Partie de son Mémoire, et précédemment rappelé, entraine évidem-

ment la proposition que l’auteur énonce dans les termes suivants :

Si l’on conçoit la figure d'équilibre de la corde sous l’action d’une force égale à celle du frottement auquel elle est soumise, et que cette corde par- tant d'un état initial arbitraire soit soumise à l’action de l’archet, son mouvement par rapport à la figure d'équilibre sera le méme qu'il serait par rapport à la droite qui joint ses extrémités, si l’action de l’archet n'existait pas. La durée des vibrations étant la même dans les deux cas, le son rendu

sera aussi le méme.

Il y a donc identité entre le son que rend une corde par le moyen de l’archet et celui qu’on obtient en la pinçant.

Au reste, cette identité est une conséquence immédiate de la forme sous laquelle se présentent les intégrales des équations du mouvement de la corde sollicitée par des forces constantes, quelle que soit d’ail- leurs la méthode d'intégration que l’on ait suivie. En effet, dans ces intégrales, la durée de la période de temps, au bout de laquelle les variables principales reprennent nécessairement les mêmes valeurs, dépend seulement du coefficient constant que renferme chaque équa-

tion, dans le cas où les forces extérieures disparaissent, et, par consé- ” quent, cette durée est indépendante de ces mêmes forces. Mais la mé- thode d'intégration employée par M. Duhamel met ce résultat en

CEuvres de C.—S. 1,1. V. + 28

218 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

évidence, avant même que l’intégration soit effectuée; et, lorsqu'on suit cette méthode, l'identité observée entre les deux sons dont nous ve- nons de parler est une simple conséquence du principe de la superpo- sition des mouvements infiniment petits. Concevons maintenant que l’archet continue indéfiniment à se mouvoir, la vitesse de l’archet étant toujours supérieure à celle de la corde. Pour déterminer exactement le mouvement de la corde, on devra tenir compte non seulement de la force constante qui représentera la pression exercée par l’archet, mais encore des forces variables propres à représenter les résistances qui proviendraient de l'air ou des supports ; et la valeur générale de chaque déplacement pourra être censée composée de deux parties, la première, indépendante du temps, et correspondante à la force produite par le frottement de l’archet, la seconde, variable avec le temps, et dépen- dante des autres causes qui influent sur le mouvement, savoir : le déplacement initial de la corde, les vitesses primitives de ses divers points, et les résistances dont nous venons de parler. Or cette seconde partie, en vertu des diminutions successives que les résistances font subir à la vitesse, finit par disparaître, comme le prouvent la théorie et l'expérience, dans le cas où la corde est seulement pincée, et doit, par la même raison, disparaître au bout d’un temps plus ou moins consi- dérable, dans le cas contraire. Donc si l’archet, animé d’une vitesse toujours supérieure à celle de la corde, continue à se mouvoir indéfi- niment, la corde finira par s'arrêter dans la position d'équilibre autour de laquelle elle oscillait, et le son finira par s’éteindre. Pour vérifier par l'expérience cette nouvelle conséquence de la théorie, M. Duhamel a remplacé l’archet rectiligne par une sorte d’archet circulaire, c’est- a-dire par une roue polie et frottée de colophane. Il a pu de cette ma- nière non seulement produire une pression constante, mais encore prolonger indéfiniment l'expérience qui a donné le résultat prévu. La corde a commencé par faire entendre fortement le son fondamental, qui peu à peu a diminué d'intensité avec le mouvement de la corde, et, au bout de quelques instants, la corde s’est trouvée sensiblement im- mobile et sans résonance, tandis que la roue continuait à tourner avec

D

EXTRAIT N°87. 219 vitesse. Seulement on entendait une sorte de grincement qui n’avait aucun rapport avec les sons qui peuvent résulter des vibrations trans- versales de la corde.

Nous ne suivrons pas M. Duhamel dans l'analyse des phénomènes qui se produisent lorsque l’archet n’a pas toujours une vitesse supé- rieure à celle de la corde. Cette analyse, l’auteur en convient lui-même, est incomplète; et, comme elle repose, non sur des calculs précis, mais sur des aperçus qui n’offrent point une rigueur mathématique, nous nous contenterons d’énoncer, sans la considérer comme suffisamment démontrée par la théorie, une proposition à laquelle il est parvenu, et qui d’ailleurs se trouve conforme à l’expérience, ainsi que vos Com- missaires ont pu s’en convaincre. Cette proposition consiste en ce qu'une corde dont la vitesse devient égale ou supérieure à celle de l'archet peut faire entendre un son plus grave que le son fondamental. Le son peut être ainsi abaissé même d'une quarte, c'est-à-dire dans Île rapport de 4 à 3. |

Au reste, vos Commissaires pensent que, dans le Mémoire soumis à leur examen, M. Duhamel a donné de nouvelles preuves de la sagacité avec laquelle il avait déjà traité diverses questions de Physique mathé- matique. Ils croient ce Mémoire digne d’être approuvé par l’Académie

et inséré dans le Recueil des savants étrangers.

Le 81. PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Mémorre sur les deux espèces d'ondes planes qui peuvent se propager dans un système isotrope de points matériels. C. R.,t. X,°p. 905 (15 juin 1840). J'ai donné le premier, dans les Exercices de Mathématiques, les équa-

tions générales aux différences partielles qui représentent les mouve- ments infiniment petits d’un système de points matériels sollicités par

220 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

L

des forces d'attraction et de répulsion mutuelles. De plus, dans divers Mémoires, que j'ai publiés, les uns par extraits, les autres en totalité, dans les années 1829 et 1830, j'ai donné des intégrales particulières ou générales de ces mêmes équations, et j'ai conclu de mes calculs que les équations du mouvement de la lumière sont renfermées dans celles dont je viens de parler. D'ailleurs, parmi les mouvements infiniment petits que peut acquérir un système de molécules, ceux qu'il impor- tait surtout de connaître étaient les mouvements simples et par ondes planes, qui peuvent être considérés comme les éléments de tous les autres. Or, ayant recherché directement, dans les Exercices de Mathe- matiques, les lois des mouvements simples propagés dans un système de molécules, j'ai trouvé, pour chaque système, trois mouvements de cette espèce, et j'ai remarqué que, dans le cas où le système devient Isotrope, ces trois mouvements se réduisent à deux, les vibrations des molécules étant transversales pour l’un, c’est-à-dire, comprises dans les plans des ondes, et longitudinales pour l’autre, c’est-à-dire, per- pendiculaires aux plans des ondes. Enfin, comme les vibrations trans- versales correspondent à deux systèmes d'ondes planes, qüi se con- fondent en un seul, ou se séparent, suivant que le système de points matériels est isotrope ou non isotrope, je suis arrivé, dans les Mé- moires publiés en 1829 et 1830, à cette conclusion définitive que, dans la propagation de la lumière à l’intérieur des corps isophanes, les vi- tesses des molécules éthérées sont transversales, c’est-à-dire perpen- diculaires aux directions des rayons lumineux. Je me crus dès lors autorisé à soutenir et à considérer comme seule admissible l’hypo- thèse proposée par Fresnel, mais si vivement combattue, dans les 4x- nales de Chimie et de Physique, par l’illustre géomètre dont l'Académie déplore la perte récente. Il est vrai que, sur ce point, comme sur plu- sieurs autres, j'ai eu la satisfaction de voir les idées que j'avais émises finalement adoptées par notre honorable Confrère. On sait en particu- lier que l’existence de pressions généralement obliques aux plans qui les supportent dans l’intérieur d’un corps solide, les théorèmes relatifs à ces pressions, la formation des équations qui subsistent entre Îles

EXTRAIT N° 87. 291

pressions ou tensions et les forces accélératrices, enfin les théorèmes sur les corps solides dans lesquels la pression ou tension reste la même en tous sens autour de chaque point, ont, comme la propriété que pos- sèdent les milieux isotropes de propager des vibrations transversales, reçu l’assentiment de notre Confrère, et lui ont paru assez dignes d’at- tention pour qu'il ait cru devoir les exposer de nouveau, ou les confir- mer par de nouveaux caleuls. L'accueil favorable qu'il a fait, dans ses Ouvrages, aux théories et aux propositions que je viens de citer, me permet de croire que j'ai pu, sans être trop téméraire, y attacher quel- que prix. Cette même circonstance m'encourage à poursuivre l’expo- sition de ces théories, et me donne lieu d'espérer que leurs dévelop- pements sembleront, aux yeux des amis de la Science, mériter quelque intérêt.

Le Mémoire que j'ai l'honneur d'offrir en ce moment à l’Académie est relatif aux deux espèces d'ondes planes qui peuvent se propager dans un système isotrope de points matériels, et aux vitesses de pro- pagation de ces mêmes ondes. Ce qu'il importe surtout de remarquer, c’est qu'à l’aide des méthodes exposées dans les Nouveaux Exercices de Mathématiques, et dans le Mémoire lithographié sous la date d'août 1836, on peut, sans réduire au second ordre les équations des mouvements infiniment petits, et en laissant au contraire à ces équa- tions toute leur généralité, parvenir à déterminer complètement Îles vitesses dont il s’agit, et à les exprimer, non par des sommes ou inté- grales triples, mais par des sommes ou intégrales simples aux diffé- rences finies. Si l’on transforme ces mêmes sommes en intégrales aux différences infiniment petites, la première, celle qui représente la vi- tesse de propagation des vibrations transversales, s’évanouira, lors- qu'on supposera l’action mutuelle de deux molécules proportionnelle au cube de leur distance r, ou plus généralement à une puissance de r intermédiaire entre la seconde et la quatrième puissance. Mais cette vitesse cessera de s’évanouir, en offrant une valeur réelle, si l’action moléculaire est une force attractive réciproquement proportionnelle au carré de la distance r, ou une force répulsive réciproquement pro-

229 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

portionnelle, au moins dans le voisinage du contact, au bicarré de r:; et alors la propagation de vibrations excitées en un point donné du système que l’on considère sera due principalement, dans la première hypothèse, aux molécules très éloignées, dans la seconde hypothèse, aux molécules très voisines de ce même point. Ajoutons que, pour un mouvement simple, la vitesse de propagation de vibrations transver- sales sera, dans la première hypothèse, proportionnelle à l'épaisseur des ondes planes, et, dans la seconde hypothèse, indépendante de cette épaisseur. Quant aux vibrations longitudinales, elles ne pour- ront, dans la première hypothèse, se propager sans s’affaiblir. Enfin, dans la seconde hypothèse, le rapport entre les vitesses de propagation des vibrations longitudinales et des vibrations transversales se présen- tera sous la forme infinie ;, à moins que l’on ne prenne pour origine de l'intégrale relative à r, non une valeur nulle, mais la distance entre deux molécules voisines.

Observons encore que, supposer la vitesse de propagation des ondes planes indépendante de leur épaisseur, c’est, dans la théorie de la lu- mière, supposer que la dispersion des couleurs devient insensible, comme elle paraît l'être, quand les rayons lumineux traversent le vide. Donc la nullité de la dispersion dans le vide semble indiquer que, dans le voisinage du contact, l’action mutuelle de deux molécules d'éther est répulsive et réciproquement proportionnelle au bicarré de la distance. Au reste, cette indication se trouve confirmée par les con- sidérations suivantes.

Supposons que, l’action mutuelle de deux molécules étant répulsive et réciproquement proportionnelle, au moins dans le voisinage du con- tact, au bicarré de la distance, les vitesses de propagation des vibra- tions transversales et des vibrations longitudinales puissent être, sans erreur sensible, exprimées par des intégrales aux différences infini- ment petites. Alors, d’après ce qui a été dit ci-dessus, la seconde de ces deux vitesses deviendra infinie, ou du moins très considérable par rapport à la première; et c’est même en ayant égard à cette circon- stance, que, d’une méthode exposée dans la première Partie du Mé-

EXTRAIT N° 87. 223 moire lithographié de 1836, j'avais déduit les conditions relatives à la surface de séparation de deux milieux, telles qu’on les trouve dans la 7° livraison des Nouveaux Exercices de Mathématiques, publiée vers la même époque. M. Airy a donc eu raison de dire que mes formules donnent pour la vitesse de propagation des vibrations longitudinales une valeur infinie; et cette conséquence est conforme aux remarques que j'ai consignées, non seulement dans une lettre adressée à M. l'abbé Moigno, le 6 octobre 1837, mais même dans une lettre antérieure adressée de Prague à M. Ampère, le 12 février 1836, et insérée dans les Comptes rendus de cette même année. Or, lorsque la vitesse de pro- pagation des vibrations longitudinales devient infinie pour deux mi- lieux séparés l'un de l’autre par une surface plane, les vibrations transversales peuvent être réfléchies sous un angle tel que le rayon résultant de la réflexion soit complètement polarisé dans le plan d'in- cidence, et l’angle dont il s’agit a pour tangente le rapport du sinus d'incidence au sinus de réfraction. D'ailleurs, la polarisation des rayons lumineux sous ce même angle est précisément un fait constaté par l'expérience, et c’est en cela que consiste, comme l'on sait, la belle loi découverte par M. Brewster. Par conséquent, notre théorie établit un rapport intime entre les deux propriétés que possèdent les rayons lumineux de se propager, sans dispersion des couleurs, dans le vide, c’est-à-dire dans l’éther considéré isolément, et de se pola- riser complètement sous l’angle indiqué par M. Brewster, quand ils sont réfléchis par la surface de certains corps; en sorte que, le pre- mier phénomène étant donné, l’autre s’en déduit immédiatement par le caleul.

Au reste, comme je l’ai dit, c’est en Supposant les sommes aux dif- férences finies transformées en intégrales aux différences infiniment petites que j'ai pu déduire de la théorie la propriété que l’éther isolé parait offrir de transmettre avec la même vitesse de propagation les rayons diversement colorés. La possibilité d’une semblable transfor- mation résulte de la loi de répulsion que j'ai indiquée, et du rappro- chement considérable qui existe entre deux molécules voisines dans le

2% COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

fluide éthéré. Mais, quelque grand que soit ce rapprochement, comme on ne peut supposer la distance de deux molécules voisines réduites absolument à zéro, il est naturel de penser que, dans le vide, la dis- persion n’est pas non plus rigoureusement nulle, qu’elle est seulement assez petite pour avoir, jusqu'à ce jour, échappé aux observateurs. S'il y avait possibilité de la mesurer, ce serait, par exemple, à l'aide d'observations faites sur les étoiles périodiques, particulièrement sur celles qui paraissent et disparaissent, et sur les étoiles temporaires. in effet, dans l'hypothèse de la dispersion, les rayons colorés qui, en partant d’une étoile, suivent la même route, se propageraient avec des vitesses inégales, et par suite des vibrations, excitées au même instant dans le voisinage de l'étoile, pourraient parvenir à notre œil à des époques séparées entre elles par des intervalles de temps d'autant plus considérables que l'étoile serait plus éloignée. Ainsi, dans l'hypothèse dont il s’agit, la clarté d’une étoile venant à varier dans un temps peu considérable, cette variation devrait, à des distances suffisamment grandes, occasionner un changement de couleur qui aurait lieu dans un sens ou dans un autre, suivant que l'étoile deviendrait plus ou moins brillante, une même partie du spectre devant s'ajouter, dans le premier cas, à la lumière propre de l'étoile dont elle devrait être sous- traite, au contraire, dans le second cas. IT était donc important d'exa- miner sous ce point de vue les étoiles périodiques, et en particulier Algol, qui passe dans un temps assez court de la seconde grandeur à la quatrième”: c’est ce qu'a fait M. Arago dans le but que nous venons d'indiquer. Mais les observations qu'il a entreprises sur Algol, comme celles qui avaient pour objet l'ombre portée sur Jupiter par ses satel- lites, n’ont laissé apercevoir aucune trace de la dispersion des cou- leurs. |

Aux considérations qui précèdent je joindrai une remarque assez curieuse. Si l’on parvenait à mesurer la dispersion des couleurs dans le vide, et si l’on admettait comme rigoureuse la loi du bicarré de la distance, la théorie que nous exposons dans ce Mémoire fournirait le moyen de calculer approximativement la distance qui sépare deux mo-

EXTRAIT N° 87.

lécules voisines dans le fluide éthéré. Déjà même, en partant de la loi dont il s’agit, nous pouvons calculer une limite supérieure à cette dis- tance. En effet, admettons que la lumière d’Algol perde en moins de . ‘ quatre heures plus de la moitié de son intensité, et nous pourrons sup- poser que les observations faites sur cette étoile parviendratent à rendre sensible la dispersion des couleurs dans le vide, si l'intervalle de temps, renfermé entre les deux instants qui nous laissent aperce- voir des rayons rouges et violets partis simultanément de l'étoile, s’éle- vait seulement à un quart d'heure. D'ailleurs, vu la distance considé- rable qui sépare de la Terre les étoiles les plus voisines, distance que la lumière ne peut franchir en moins de trois ou quatre To le

quart d'heure dont il s’agit n’équivaut pas assurément à la partie

100000 du temps que la lumière emploie pour venir d’Algol jusqu’à nous, et par conséquent il indiquerait, entre les vitesses de propagation des io violets et rouges, un rapport qui surpasserait l'unité au plus de —"—. D'ailleurs, en admettant ce rapport, on trouve par le calcul

que la distance vs deux molécules voisines du fluide éthéré doit se

réduire à environ de millimètre, ou, ce qui revient au même, à

NT

environ de la longueur moyenne d’une ondulation lumineuse. Si

ts l’on pire cette même distance dix fois plus petite, c’est-à-dire

réduite à d’une longueur d’ondulation, la différence d’un quart

TT d'heure entre l’arrivée des rayons rouges et des rayons violets, partis au même instant d’une étoile, ne pourrait avoir lieu que dans le cas où la lumière de cette étoile emploierait, non plus trois années, mais en- viron trois siècles pour arriver jusqu'à nous. Or, comme nous l'avons remarqué dans un autre Mémoire, la longueur d’une ondulation lumi- neuse doit être considérable à l’égard de la distance à laquelle l’action mutuelle des molécules étliérées demeure sensible, et, à plus forte rai- son, à l'égard de la distance qui sépare deux molécules voisines. I

est donc vraisemblable que le rpRere de cette distance à la longueur

_ d’une ondulation est inférieur à -{, ou même à Donc, on ne peut

T0 guère espérer de parvenir jamais à mesurer la dispersion de la lumière dans le vide, vu qu'il serait très difficile de constater les changements

CEuvres de C.—S.I,t. V. 29

226 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE. de couleur dans les étoiles périodiques dont la lumière ne pourrait qu'au bout de plusieurs siècles arriver jusqu’à nous.

ANALYSE. Considérons un système isotrope de points matériels, et soient, dans l’état d'équilibre,

æ, y, = les coordonnées rectangulaires d’une première molécule m; Æ+X, Y + y, 5: + les coordonnées d’une seconde molécule m» ;

r— Vx°+ v° +2? la distance qui sépare les deux molécules m, 7»;

mr /f(r) l’action mutuelle des deux molécules m, 72, prise avec le signe + ou avec le signe —, suivant que ces deux molécules s’at- tirent ou se repoussent;

enfin, # étant une fonction quelconque des coordonnées +, y, =, dési-

gnons par

A3

l'accroissement que prend cette fonction quand on passe de la molé- cule an à la molécule 2, c’est-à-dire, en d’autres termes, quand on attri-

bue aux coordonnées a, VA pu

les accroissements Ar = X, AFS, As, On aura généralement M (es MED 1)8,

par conséquent Ame bein tip à:

Done, en représentant, comme on l’a fait quelquefois, chacune des ca-

ractéristiques DÉS ED:

par une seule lettre, et posant en conséquence

up, VD, w = D,,

EXTRAIT Ne 87. - on aura simplement (x) A—e"x Fey 1-7;

Concevons maintenant que le système des molécules m, 72, m', ... vienne à se mouvoir, et soient, au bout du temps £,

Css

à 7 3 Me ©

les déplacements de la molécule m mesurés parallèlement aux axes coordonnés. D’après ce qui a été dit dans les Exercices d'Analyse et de Physique mathématique (tome 1, page 119), les équations des mouve- ments infiniment petits du système supposé isotrope seront de la forme

(E sas D?) De FD:(D.Ë + D,n —+— D: C) 0: (2) (E — D?)n + FD, (DE + Din + D:6) = 0, (E — D})6 + FD. (DE + Dyn + DE) = 0,

:, F étant deux fonctions déterminées du trinôme

D2 + D + D£ que nous désignerons pour abréger par Æ?, en sorte qu'on aura (3) k?=u?+ v2+ w?,

Ajoutons que, si, en indiquant par le signe S une sommation relative aux molécules 72, mn, ..., on pose

anni (r)A], : (4) | H — sie is [a (xu + yv + zw) — CE se Eee |},

G, H se réduiront, dans l'hypothèse admise, à deux fonctions de #*, desquelles on déduira E, F à l’aide des formules

d 1 dH Kk dk’ k dis

—— Qt ché

E= G +

19

28 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

Soient maintenant

les angles que forme le rayon vecteur r avec les demi-axes des coor-

données positives. On aura X—rt0S®, Ya Fc0N6, L'—T008#;:

par conséquent le trinôme XU + yYv+Zzw,

dont G, H représentent des fonctions, en vertu des formules (1) et (4), sera équivalent au produit

ru COSx + V COSÉ + w COS y). D'ailleurs, G, H devant se réduire identiquement à des fonctions de u? + V2? + w?,

on pourra opérer généralement cette réduction, et dans cette opération il importe peu que l’on considère w, #, # comme des caractéristiques ou comme des quantités véritables. Seulement, dans le dernier cas, on devra laisser les valeurs de &, 6, entièrement arbitraires. Or, lorsque

l’on considère

comme des quantités véritables, alors, en supposant

k = Vu? + v2 + w?

et nommant à un certain angle formé par le rayon vecteur r avec une droite OA menée par l’origine O des coordonnées, perpendiculairement au plan que représente l'équation

uUx + 28 A As — on à

(6) U COS & + COS 6 + ww COS y — À cos;

par conséquent, UuX + vy + wz = krcoso.

EXTRAIT N° 87. 229 Donc alors, en vertu des formules (1), (4), les sommes G, H, réduites à | GE Fr) (er 8 — 1] (7) H—S [= d'ftr) ie Re hr es |,

Fr. ar 2

sont l’une et l’autre de la forme É(k cos),

et dire qu’elles doivent se réduire à des fonctions de Æ, c'est dire qu’elles demeurent constantes, tandis que l’on fait varier dans chaque terme l’angle ÿ, en faisant tourner d’une manière quelconque l'axe OA autour du point O. D'ailleurs, lorsqu'une somme de la forme

(8) X — 8 F(k cos)

\

remplit la condition que nous venons d’énoncer, on a, en vertu d'un théorème démontré dans le Mémoire lithographié d'août 1836, et dans

les Exercices d’ Analyse (tome I, page 25),

K

x=18 | (kcosë) sind do; © 0 ou, ce qui revient au même, 1

GE x=18 | 4(H0) 40,

CAES la valeur de 9 étant

9 — coso.

Done, en remplaçant successivement la fonction $(#9) par les deux

suivantes

t/ 2 r2 02 ekr0 y, eo 1 — kr0 —

?

on tirera des formules (7)

_

230 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

Les équations (10), jointes aux formules (5) et à la suivante,

L | err — e*r ke2 r? de AR r' Lf LE EDEN SEA M 2 2kr UD 62310 ;

suffisent pour déterminer complètement les valeurs des caractéris- tiques E, F que renferment les formules (2), en fonction de la caracté- ristique |

ke? = D2+ D?+ D2.

En effectuant les différentiations relatives à #, on trouve

35 + sua Si d’ailleurs on pose, pour abréger, RÉF NA en sorte que l’action mutuelle de deux molécules m, 2 soit représentée simplement par | mmf(r),

la première des équations (10) pourra encore être présentée sous la

forme LR 12 S T D,frif 1] 4e h si=D [re f( Fi FL ÉTé res de dE sat ete.

Si, au lieu de développer E, F en séries, on se borne à substituer dans les formules (5) les valeurs de G, H formées par les équations (10), on trouvera |

[ k —k RS DAT | = p,.| (£ ee. Fi Fur) fr) |

EXTRAIT N° 87. 231 Ces dernières formules, comme on devait s’y attendre, s'accordent avec les équations (12) et (13). : Soient maintenant

e En >» =

. ” , lis s

les déplacements symboliques des molécules dans un mouvement simple ou par ondes planes. Ces déplacements symboliques seront de la forme

DA V QUXHVY HW —S{ C—Ce da, À

ULX HV) +43: —$st UL+VY+Wwi:—st Ae En : — Be QE

Tao

(15)

,

pourvu que les lettres

cessant de représenter les caractéristiques De, D, D:,

désignent avec les lettres PRE TT.

des constantes réelles ou imaginaires ; et les équations (2), qui devront

encore être vérifiées quand on y remplacera

NS PES par

[Rad

A

" st

v

donneront, ou

(16) FE, uA + vB + wC—=o, ou £ Me 6 (15) s°=E+/4?F, dE me, u U 2

E, F désignant encore des fonctions de &, , æ déterminées par les for- mules (14), et la valeur de # dans ces formules étant toujours choisie

de manière que l’on ait : k2= u?+ v?+ w?,

Si le mouvement simple que l’on considère est du nombre de ceux qui

232 | COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE. se propagent sans s’affaiblir, on aura TRES EN LRES E VU LU ay V1, = AN, U, V, W, : désignant des quantités réelles ; et, si l’on pose encore k=kV—:1, k sera lui-même une quantité réelle liée à v, v, w par la formule

(18) KI UAH VE E w2,

Ajoutons que, dans le cas dont il s’agit, la durée T d’une vibration, la longueur / d’une ondulation, et la vitesse de propagation & des ondes

planes, seront respectivement

2

(19) Le

TC S

, S ; re ps , Q — Kk et que le plan invariable parallèle aux plans des ondes sera représenté

par la formule ELET LE à We — 0

Comme d’ailleurs la seconde des formules (16) ou (17), jointe aux

équations (15)et(r18), donnera, ou

UÉ+Vn+W£—=o, UE+vVn+wW£—=o, ou ETS ARSe AOME ET" DURS = Poe re U + U V

il est clair que les vibrations moléculaires seront, ou transversales, c’est-à-dire comprises dans les plans des ondes, ou longitudinales, c'est-à-dire perpendiculaires à ces mêmes plans. Enfin, de la première des formules (16) ou (17), jointe aux équations (14) et aux formules

s—sV—:1, ES 6 En

on conclura que le carré de la vitesse de propagation & est, pour les

tas a nie he ri pres Va pp 2

we £g À

EXTRAIT N° 87. _. 233

vibrations transversales,

m 7 Sikr Nes 5 s)D, | (coskr— PK LOI

et, pour les vibrations longitudinales,

(20) Q2—

\

Step. à Mo coskr— krsinkr+zkert) fr) ki (r2 ; kr j LE

(a) ét I sinkr\ f{r)

+ —S| m|coskr— —— |: K3 + kr r

Les valeurs de @& fournies par les équations (20), (21) sont précisé-

ment les deux vitesses relatives aux deux espèces d'ondes planes qui peuvent être propagées par un milieu isotrope. Si l’on développe en séries les seconds membres de ces équations, on trouvera, pour les vi- brations transversales,

nm

S}2 D[ri rer] .

et, pour les vibrations longitudinales,

ftr)+3rf(r) É È 2f{r)+5rl(r) { Le Re HA MTS host KE à DR re (33 S] ms 5 | 1.2.3.4.5 S| ms 7 |

/

D

ce que l’on pourrait aussi conclure des formules (12), et ce qui s’ac- corde avec les équations données dans les nouveaux Exercices de Ma- thématiques. Enfin, si l’on discute les valeurs précédentes de ?, en examinant spécialement le cas où les sommes indiquées par le signe $ peuvent être, sans erreur sensible, transformées en intégrales définies, on obtiendra précisément les résultats ci-dessus énoncés. C’est au reste ce que nous expliquerons avec plus de détails dans les Exercices d’A- nalyse et de Physique mathématique.

OEuvres de C. — S.I, t, V. 30

23% COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

88.

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Règles sur la convergence des séries qui repre- sentent les intégrales d'un système d'équations difjérentielles. Applica-

tion à la Mécanique céleste. C.R.,t. X, p. 939 (22 juin 1840).

Dans un Mémoire lithographié qui porte la date de 1835, j'ai fait voir que l’intégration d’un système quelconque d'équations différen- tielles pouvait toujours être réduite à l'intégration d’une seule équation caractéristique aux différences partielles et du premier ordre; puis, après avoir indiqué les moyens d'intégrer par séries l'équation carac- téristique, et par suite les équations différentielles proposées, j'ai donné des règles sur la convergence de ces séries. D'ailleurs, comme on devait s’y attendre, les résultats auxquels on est conduit par l’ap- plication de ces règles s'accordent avec ceux que l’on déduit directe- ment du principe fondamental dont j'ai donné 11 y a peu de temps une démonstration élémentaire. Suivant ce principe, une fonction d’une ou de plusieurs variables est développable en série convergente or- donnée suivant les puissances ascendantes de ces variables, tant que les modules de ces variables conservent des valeurs inférieures à celles pour lesquelles la fonction, ou ses dérivées du premier ordre, pour- raient devenir infinies ou discontinues. Supposons, pour fixer les idées, que les équations différentielles données se trouvent, comme on peut toujours l’admettre, réduites au premier ordre. On pourra supposer encore qu’elles offrent pour seconds membres des fonctions connues des diverses variables, et pour premiers membres les dérivées du pre- mier ordre des variables principales prises par rapport à la variable indépendante, par exemple, dans les questions de Mécanique, les dé- rivées du premiér ordre, des coordonnées et des vitesses des points mobiles, différentiées par rapport au temps. Or, dans ce cas, en consi-

EXTRAIT N° 88. 235 dérant les intégrales des équations différentielles données comme les limites vers lesquelles convergent les intégrales d’un système d'équa- tions aux différences finies, tandis que la différence finie du temps devient de plus en plus petite, on prouvera, par des raisonnements semblables à ceux que j'ai développés dans le cours de seconde année de l’École Polytechnique, que les coordonnées et les vitesses des points matériels, au bout d’un temps quelconque, ou leurs dérivées du pre- mier ordre, restent généralement fonctions continues du temps et des constantes arbitraires introduites par l'intégration, par exemple, des coordonnées et des vitesses initiales, tant que les modules du temps et des constantes arbitraires conservent des valeurs inférieures à celles pour lesquelles les seconds membres des équations différentielles don- nées, ou les dérivées du premier ordre de ces seconds membres, prises par rapport aux droites variables, deviendraient infinies ou disconti- nues. Donc les intégrales des équations différentielles que l’on considère seront généralement développables en séries ordonnées suivant les puis- sances ascendantes du temps et des constantes arbitraires introduites par l'intégration, tant que les modules du temps et de ces constantes resteront inférieurs aux limites pour lesquelles se vérifierait l’une des conditions que nous venons d’énoncer. Ainsi, en particulier, comme dans la Mécanique céleste, les seconds membres des équations différen- tielles données ne deviennent infinis, pour des valeurs finies des coor- données, que dans le cas où Les distances mutuelles de deux ou de plu- sieurs astres se réduisent à zéro, les inconnues déterminées par ces équations seront généralement développables en séries ordonnées sui- vant les puissances ascendantes des excentricités et des autres con- stantes arbitraires, tant que les modules de ces constantes ne dépasse- ront pas les valeurs qui permettent de vérifier l’une des équations de condition qu’on obtiendrait en égalant à zéro les distances des planètes au Soleil ou leurs distances mutuelles. C’est par cette raison que, dans le mouvement elliptique d’une planète autour du Soleil, les coordon- nées et le rayon vecteur mené de la planète au Soleil sont développables en séries convergentes ordonnées suivant les puissances ascendantes

236 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

de l’excentricité, tant que le module de cette excentricité ne dépasse pas le plus petit de ceux auxquels correspondent des valeurs nulles du

ravon vecteur.

89.

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l'intégration des systèmes d'équations

différentielles.

C.R.,t. X, p. 957 (29 juin 1840).

Une méthode générale, que j'ai exposée dans un Mémoire de 1835, ramène l'intégration d’un système quelconque d'équations différen- tielles à l'intégration d’une seule équation aux différences partielles, que je nommerai, pour abréger, l'équation caractéristique. W suffit en effet d'intégrer cette équation caractéristique pour obtenir immédiate- ment la valeur de chacune des variables principales, ou même la va- leur d’une fonction quelconque de ces variables, exprimée en fonction de la variable indépendante. On sait d’ailleurs que parmi les fonctions des variables il en existe une que M. Hamilton a nommée la fonction caractéristique, et qui, d’après les savantes recherches de cet auteur, publiées en 1834 et 1835, vérifie deux équations aux différences par- tielles. M. Hamilton a fait voir que de la fonction caractéristique sup- posée connue on pouvait déduire très simplement les intégrales du système d'équations différentielles proposé; et M. Jacobi a prouvé dans une suite de Mémoires qu’on pouvait se borner à intégrer une seule des deux équations aux différences partielles données par M. Hamilton. Toutefois, malgré cette importante remarque ajoutée aux théorèmes de M. Hamilton, et tout le parti que M. Jacobi a su en tirer, je persiste à croire que, pour l’intégration d’un système d'équations différentielles, une des méthodes les plus générales et les plus simples est celle qui se trouve exposée dans le Mémoire de 1835 déjà cité. Les avantages

EXTRAIT N° 89. 237 qu’elle me paraît offrir sont ceux que je vais indiquer en peu de mots.

L’équation aux différences partielles, que je nomme l'équation carac- téristique, n’est pas seulement vérifiée par une fonction particulière des variables, par exemple, par celle que M. Hamilton nomme la fonction caractéristique; mais, comme je l'ai déjà dit, elle peut servir à déter- miner en fonction de la variable indépendante une fonction quelconque des variables principales. De plus, l'équation caractéristique a sur les équations aux différences partielles de M. Hamilton le grand avantage d’être linéaire, ce qui permet, non seulement de développer immédia- tement son intégrale en une série qui reste convergente tant que le module de l’accroissement attribué à la variable indépendante ne dé. passe pas certaines limites, mais encore de rendre utiles pour linté- gration d’un système quelconque d'équations différentielles tous les théorèmes relatifs à l'intégration des équations linéaires.

Parmi ces théorèmes, il en est un surtout qui se prête à de nombreuses applications, et qu’il me paraît utile dénoncer ici dans toute sa géné- ralité. On sait qu’une équation différentielle ou aux différences partielles à coefficients constants étant intégrée, l'intégration peut être étendue au cas même où l’on introduit dans l'équation un second membre qui soit fonction des variables indépendantes ; et j'ai prouvé, dans le XIX® Cahier du Journal de l'École Polytechnique et dans les Exercices de Mathématiques, qu'alors le terme ajouté à l'intégrale diffère des autres par la forme en ce seul point qu'il renferme une intégration de plus, cette nouvelle intégration étant, dans les questions de Mécanique, effectuée par rapport au temps. D'ailleurs, si l’on compare la valeur que prend ce nouveau terme dans le cas général à celle qu'il obtien- drait si dans le second membre de l'équation proposée le temps était remplacé par une constante arbitraire, on obtiendra une règle donnée par M. Duhamel. On peut aussi comparer directement l'intégrale gé- nérale, relative au cas où il existe un second membre, à l'intégrale générale relative au cas où ce second membre disparait, et alors on obtient encore une règle fort simple suivant laquelle la seconde inté-

238 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

grale se déduit de la première à l’aide d’une seule intégration relative à une variable qui remplace le temps. Or ce qu'ilimporte de remarquer, c'est que ces règles s'étendent au cas même où il s’agit d’une équation linéaire, non à coefficients constants, mais à coefficients quelconques, et fournissent en conséquence un moyen très simple de développer en séries les intégrales générales d’un système d’équations différentielles, quand on connaît des valeurs approchées de ces intégrales.

Concevons, pour fixer les idées, que les équations différentielles données soient celles de la Mécanique céleste. Alors la variable princi- pale de l'équation caractéristique pourra être exprimée en termes finis, quand on conservera seulement, dans les équations différentielles, les termes desquels dépendent les mouvements elliptiques des planètes et de leurs satellites. C’est en cela que consiste la première approxima-

tion. Or, d'après ce qu'on a dit tout à l'heure, si, en cessant de négliger ces mêmes termes, on veut obtenir successivement une seconde, une troisième approximation, etc., la seconde partie de chaque variable principale, ou celle qui dépend de la seconde approximation, pourra être déduite immédiatement de la première à l’aide d’une seule inté- gration effectuée par rapport à une variable auxiliaire qui remplacera le temps; et par conséquent cette seconde partie pourra être repré- sentée par une intégrale définie simple et unique. Pareillement la troi- sième partie de la variable principale, c’est-à-dire, la partie qui dépen- dra de la troisième approximation, pourra être représentée par une seule intégrale définie double, etc...

Ainsi, dans la Mécanique céleste, chacune des variables principales, ou même une fonction quelconque de ces variables, se composera de plusieurs parties correspondantes aux approximations du premier, du second, du troisième ordre, ..., et la première partie s’exprimera toujours en termes finis, la seconde à l’aide d’une intégrale définie simple...

Il y a plus, lorsque le temps n’est pas explicitement contenu dans les équations différentielles données, comme il arrive dans la Mécanique céleste, les intégrales définies qu’on obtient sont susceptibles de trans-

EXTRAIT N° 89. 239

formations remarquables qui peuvent devenir très utiles, comme nous le montrerons par des exemples, et peuvent même très souvent dis- penser d'effectuer les intégrations relatives au temps.

Enfin, au lieu de prendre pour valeurs approchées des variables prin- cipales celles qui correspondent au mouvement elliptique, on peut prendre pour valeurs approchées celles qui correspondent au mouve- ment circulaire, et alors on obtient immédiatement de la manière la plus directe les valeurs des variables principales exprimées sous des formes qui se prêtent assez facilement au caleul. C’est au reste ce que l’on verra plus en détail dans de nouveaux Mémoires que j'aurai l’hon- neur d'offrir à l’Académie.

$ Er, — Réduction d'un système d'équations différentielles à une seule équation aux différences partielles.

Des variables principales æ, y, 3, ..., que l'on considère comme fonctions d’une variable indépendante , peuvent être censées comple- tement déterminées par un système d'équations différentielles dont le nombre est celui des variables principales, quand on connaît d’ailleurs les valeurs particulières de ces dernières variables, pour une valeur par- ticulière de £. On peut d’ailleurs, quand les équations données sont du premier ordre, les résoudre par rapport aux dérivées de æ, y, z, par conséquent les réduire à la forme

(1) Dire P, Rp rs

P, Q, ... étant des fonctions connues de x, y, z, ...,4{; et nous ajou- terons qu'on peut ramener le cas général à celui-ci, attendu que l’on réduit immédiatement au premier ordre des équations différentielles d’un ordre plus élevé, en augmentant le nombre des variables princei- pales, et considérant comme telles une ou plusieurs des dérivées de x, Y,.... I suffira done de s'occuper de l’intégration des équa- tions (1).

Pour établir l'existence des intégrales générales des équations (1), il suflit de recourir à la méthode que j'ai développée dans le cours de la

240 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

deuxième année de l'École Polytechnique, et par laquelle on ramène l’intégration approximative de ces équations à l'intégration d'équations aux différences finies, de manière à pouvoir augmenter indéfiniment le degré d'approximation, et à fixer les limites des erreurs commises. Cela posé, soient

et

deux systèmes de valeurs des variables qui se trouvent liées entre elles par les équations (1). Les intégrales générales de ces équations fourni- ront, en fonction de +et de x, y, z, ...,t, les valeurs de

Ms Us

ou même une fonction quelconque f{x, v, z,...) de x, v,z,...; par conséquent elles pourront être présentées sous la forme

(2) Korea LE NES A AN DL PEUT Put POP UE ou plus généralement sous la forme

CARRE EE PRES NOR LE LE Ro ir), X(x, 7, TR

les seconds membres des équations (2), (3) devant se réduire identi-

quement à ES UPS Ses UE

quand on pose + — {, en sorte qu’on aura identiquement o{æt,Y; Z; ….. 6, t) = À, vi, Z; «9 É; D à et par suite \

lp, LA AE PA RU EE Re).

Ajoutons que l'on peut évidemment échanger entre eux les deux sys- tèmes de valeurs des variables, savoir

EXTRAIT N° 89. 241

et remplacer en conséquence les formules (2), (3) parles suivantes :

(4) ERA. util) DA D AE 00 CORNE SA ENT

(5) To, 7,2,.,.,1,t}, Y{x,3,2,...,tt), sl.

On peut d’ailleurs, dans ces deux espèces de formules, faire varier une

seule des deux valeurs 4, + de la variable indépendante, et par suite Lu A : Là

avec /, ou +, un seul des deux systèmes de quantités

MN dr sv) ou ; PE. OS

et alors les quantités dont se compose celui des deux systèmes qui ne varie pas peuvent être censées représenter les constantes arbitraires que doivent renfermer les intégrales générales des équations différen- tielles données.

Chacune des formules (2) ou (4), ou plus généralement la formule (3) ou (5), dont le second membre renferme, avec les deux valeurs de la variable indépendante, un seul des deux systèmes de valeurs de la variable principale, est ce que nous nommons une intégrale principale du système des équations (1).

Désignons maintenant, pour abréger, par

7e 3) les seconds membres des formules (2), et posons encore ÉD dE M/S en Éect ÉS 2 ET Te ES 4 D 0 0 MERE

les intégrales générales (2) des équations (1) se réduiront aux intégrales principales

(6) Le. A LD € RES

dont chacune se trouvera comprise dans la formule

(7) fera À

S désignant, aussi bien que X ou Y, ..., une fonction des seules quan- tités

NT rues TT. OEuvres de C.—S.I,t. V. 31

242 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

Or, si dans l'équation (7) on fait varier les seules quantités RSS NS Pr CNET on en tirera, eu égard aux formules (1),

(8) o = DS + PD:S + QD,S +...

\

D'ailleurs, lorsque, S étant supposé connu, on aura effectué, dans le second membre de l'équation (8), les différentiations indiquées par les

e

caractéristiques D, De ir os

cette équation devra nécessairement, ou devenir identique, ou établir

une relation entre les seules quantités

Sp: V5 ny 278 0%

Mais puisqu'on peut choisir arbitrairement toutes ces quantités, sans établir entre elles aucune relation, aucune dépendance, la dernière des deux hypothèses que nous vénons d'indiquer est évidemment inad- missible. Donc S, considéré comme fonction æ, y, z, ..…., 1, devra satis- faire identiquement à l'équation (8), c'est-à-dire à une équation linéaire aux différences partielles du premier ordre, qui se trouvera ainsi sub- stituée aux équations (1).

En résumé, la formule (7), propre à représenter une intégrale prin- cipale quelconque des équations (1), aura pour second membre une intégrale S de l'équation (8). On pourra d’ailleurs choisir arbitraire- ment

ÉD PO c'est-à-dire la fonction de æ, y, z, ... à laquelle S devra se réduire, quand on y supposera += {; ou, ce qui revient au même, { — 7. À chaque forme donnée de la fonction f(x, y, ...) correspondra une seule intégrale S de l'équation (8), et une seule intégrale principale ss de l'équation (1).

EXTRAIT N° 89. | 243

Si, pour abréger, on pose

O = PD;+ QD, +..., l'équation (8) deviendra (9) DS + OS —o.

La méthode de réduction que je viens d'appliquer à un système d'équations différentielles ne diffère pas de celle que j'ai donnée dans le Mémoire de 1835, et à laquelle j'avais pensé depuis longtemps, comme je l'ai dit dans ce Mémoire. Je viens en effet de la retrouver

dans une Note qui porte la date du 3r août 1824, à la suite de Mémoires divers présentés à l’Académie en l’année 1823.

$ IL. — /ntégration des équations linéaires aux différences partielles.

Considérons une équation linéaire aux différences partielles du pre- mier ordre entre la variable principale S etles variables indépendantes

PA FAO CPS ER GE 1

d L

dont la dernière, dans les questions de Mécanique, représentera le temps. Cette équation, si elle ne renferme point de termes indépen- dants de S, pourra être présentée sous la forme

(1) DS + ÜUS=o ou D,S = — OS, la caractéristique ( étant elle-même de la forme O = PD; + QD, + ..+K,

et P, Q,..., K désignant des fonctions de x, y, z, ..., 4. Cela posé, représentons par

LE TS ce) la fonction de x, y, 5, ..., +, à laquelle S devra se réduire quand on prendra 4 — +, En intégrant les deux membres de l'équation (1) par rapport à £, et à partir de l'origine £ — +, on trouvera

t S—1=— f OS dt. T

244 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

Donc, si l’on pose, pour abréger, et quelle que soit la fonction de Ty Y1 3, «+. t désignée par 8,

t ve { [ 8 dt, x

(2) S—s—VvS ou (1— V)S—s.

on aura

Cette dernière formule comprend à elle seule les deux conditions aux- quelles la fonction S doit satisfaire, savoir, de vérifier l'équation (r), et de se réduire à s pour {= +. Si l’on écrit, pour plus de simplicité, V2, V3,

au lieu de

| on tirera successivement de la formule (2)

S—s+ VS sb VS V2 =s + Vs + Vis-i Vis

Done, si V'S décroit indéfiniment, tandis que z augmente, on aura (3) S—s+Vs+V?s+.... D'ailleurs, toutes les fois que la série

SE VE

sera convergente, la valeur de $S, déterminée par l’équation (3), véri- fiera évidemment la formule (2). Donc alors l’équation (3) sera l’inté- grale générale de l'équation (r).

Si l’on écrit, pour abréger,

au lieu de

1HV+HV2+..., etde (+VÆEVi+...)s=s + Vs + V?s +...,

EXTRAIT N° 859. 245

l'équation (3) pourra être présentée sous la forme (4) S=——

Enfin, si les fonctions P, Q,..., K ne renferment pas le temps 4, la

t + se | Oudt=- 0 | vdé Gr LA:

0

formule

donnera successivement

Va—{(r—1t)0le, V3 — — O?3, : 1.2 et par suite la formule (3) deviendra F T T — t}2 (5) S = s + me ge O?s + Donc alors, en posant, pour abréger, Tri T—t} “ te OT int “ g2+...—et 0,

on verra l'intégrale de l’équation (1) se réduire à (6) S— ets.

Si l’on considère en particulier le cas où les coefficients P, Q, ..., K deviennent constants, alors, en remplaçant s par f(x, y, ...), et ayant égard à l'équation symbolique

elDrf(x)—=f(x+h), on verra la formule (6), ou

S — et tPDre+ QD, +. is f(x, Hs

\ °]s

se réduire à

S— et —0 ff + P(r— 1), y + Q(r—i), ...]. Telle est effectivement, pour des valeurs constantes de P, Q, ..., K. l'intégrale générale de l’équation

D,S + PD,S + QD,S +...+KS—o,

216 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

quand on représente par f(x, y, ...) la valeur particulière de S qui

correspond à {= 7.

Pour que la formule (1) devienne l'équation caractéristique d’un système d'équations différentielles, il suffit (voir le $ I) que la fonc- tion désignée par K s’évanouisse. :

Concevons maintenant qu’au lieu de l'équation (1) on considère la

suivante 7) (D+0)Sæul(x,r,...,40),

m(æ,y,...,t) désignant une fonction des variables indépendantes; et soit toujours f(æ, y, ...) la valeur de s correspondante à 4 — =. Alors, en intégfant, à partir de 4 — +, les deux membres de la formule (5), on obtiendra, non plus l'équation (2), mais la suivante

t (8) (—V)S=s+ f w(z7,...,4)dt,

Ce

et, par suite, le second membre de l'équation (3) se trouvera augmenté de la quantité t G+V+V+,.)f a(ey..t)de T

qu'on pourrait écrire, pour plus de simplicité, sous la forme

É Î mir, 7;:.:,#6at de 1 V

D'ailleurs, ? étant un nombre entier quelconque, si les coefficients P, Q, ..., K, contenus dans CO, ne renferment pas la variable #, on aura

t t r . w(x, y, es t)dt=(— 0e f À NET des) GTI, T T T

I y a plus, comme une fonction T de #, assujettie à vérifier, quel que soit {, une équation de la forme

DETT=v (4),

EXTRAIT N° 89.

19 = {

et, pour, { = 7, les conditions + 5), DE —0, ee Dr 20.

peut être évidemment présentée sous l’une ou l’autre des deux formes

suivantes

: t t lée-0 ER = f. ...w(t) dtnst, = f ET (8) d8, DR 1:23...

O

on aura identiquement

TE A te |) sta f LR Te À NÉE à IS HRURCEUT

On trouvera donc par suite

t (9 — 4e | | VA OZ, T7; na à = F5 Dro(x,, r:3 0) 63;

t T

et l'intégrale générale de l'équation (7) sera t : (OF à s— et o0s +] OU (x, y, ..., 0) d0. :

Au reste, pour s'assurer de l'exactitude de cette intégrale, il suffit de la substituer directement dans la formule (7).

En vertu des formules (6) et (9), la différence entre les intégrales deséquations (1)et(7), ou, ce qui revient au même, la valeur que prend l'intégrale de l’équation (7), quand f(x, y, ...) vient à s'évanouir, se trouve représentée par l'intégrale définie

t à 0 d9, 5 Ja valeur de 6 ou la fonction sous le signe f étant

= 8 = 90 uit, F5: 0):

Or cette fonction est précisément ce que devient l'intégrale

et OÙ f(x, y, .….)

218 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

de l'équation (1), quand on y remplace f(x, y, ...) par &(æ, y, ...,0) etr par 0. On peut done énoncer la proposition suivante :

THÉORÈME. — Sort 0 ce que devient l'intégrale générale de l'équation ( D, & 14 O0) SO ,

quand on représente par 5(x, y,...,0) la valeur de S correspondante à 1 — 0. La différence entre les intégrales générales des deux équations (7) el (1), ou, ce qui revient au même, la valeur que prend l'intégrale générale de l'équation

(D+D0)S=w(x,r, ..., 0),

quand on assujettit cette intégrale à s'épanouir pour t = 7, sera

t 10) ul. 0 dt, Vz

Pour plus de commodité, dans les calculs qui nous ont conduit à ce théorème, nous avons supposé les coefficients P, Q, ...,K, que renferme la caractéristique EC}, indépendants de la variable #. Mais cette supposition n’est pas nécessaire, et l’on peut donner du même théorème une démonstration très simple, qui subsiste dans tous les cas. En effet, 6 étant choisi de manière à vérifier, quel que soit £, l’équa-

tion

(D + D) — O, et, pour £ —0, la condition

Demi. 0 Mdr ill

la substitution de la valeur de S, que fournit la formule (10), dans l'équation

(D. DS = als rs ti rendra évidemment le premier membre égal au second.

Le théorème précédent peut être étendu à un système quelconque d'équations linéaires, ou différentielles, ou aux différences partielles ; et, dans le premier cas, il remplace avec avantage les théorèmes con- nus de Lagrange sur les équations différentielles linéaires, auxquelles

EXTRAIT N° 90. 249

on ajoute des seconds membres qui soient fonctions de la variable in- dépendante.

Dans plusieurs questions, et en particulier dans la Wécanique céleste, la formule (5) ou (6) ne pourrait être employée que pour de petites va- leurs de £; et alors il convient de substituer généralement à cette for- mule celles que l’on peut déduire du précédent théorème, comme on le verra dans un prochain article.

90.

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l'intégration des équations différentielles

ou aux différences partielles.

C.R., t. XI, p. 1 (6 juillet 1840).

En suivant la méthode que j’ai publiée en 1835, et que j'ai rappelée dans le Mémoire présenté lundi dernier à l’Académie, on ramène l’in- tégration d’un système d'équations différentielles d’un ordre quel- conque à l'intégration d’une seule équation linéaire du premier ordre aux différences partielles. Par conséquent cette méthode a l'avantage de rendre utiles, pour l'intégration des systèmes d'équations différen- tielles, les théorèmes relatifs à l'intégration des équations linéaires. Or, parmi ces théorèmes, il en existe un qui mérite surtout d’être re- marqué. Ce théorème, appliqué à une équation aux différences par- tielles qui ne renferme que des termes proportionnels à la variable principale et à ses dérivées du premier ordre, sert à passer immédia- tement de l'intégrale générale d’une semblable équation à l'intégrale d’une équation qui renfermerait, de plus, un terme représenté par une fonction des variables indépendantes. J'ai fait voir que la seconde in- tégrale se déduit toujours de la première à l’aide d’une seule intégra- tion définie qui, dans les problèmes de Mécanique, est relative au

OEuvres de C.—S.A, t. V. 32

250 ; COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

temps. J'ai ajouté que le même théorème pouvait être étendu à un sys- tème quelconque d'équations linéaires aux différences partielles, et que d’ailleurs 1! se prêtait aisément à de nombreuses et importantes applications. La preuve de ces deux assertions résulte des calculs qui seront développés dans les deux paragraphes du présent Mémoire. On verra, en particulier, dans le second paragraphe, avec quelle facilité, à l’aide du théorème dont il s’agit, on peut développer en séries les va- riables principales d’un système d'équations différentielles, ou même une fonction quelconque de ces variables principales, lorsqu’on sup- pose déjà connues des intégrales approchées de ces mêmes équa- tions. On a ainsi, dans l’Astronomie, un moyen très simple de passer des mouvements elliptiques des planètes et de leurs satellites aux per- turbations de ces mouvements produites par leurs actions mutuelles.

SI — Théorème général relatif à l'intégration d’un système quelconque d'équations linéaires aux différences partielles,

Soient ART PE TRES

plusieurs variables indépendantes, dont la première, dans les ques- tions de Mécanique, pourra représenter le temps. Soient encore

CARE a

plusieurs variables principales, considérées comme fonctions de 4, æ, y, 3, .. et liées entre elles par des équations linéaires aux différences partielles, qui renferment seulement des termes proportionnels à ces variables principales et à leurs dérivées partielles des divers ordres. Supposons d’ailleurs que, dans ces équations, les dérivées de S, T, des ordres les plus élevés relativement à £ soient respectivement

FE AD à Lu MÉRAA

et ne se trouvent soumises à aucune différentiation relative aux va- riables æ, y, =, ...; les équations dont il s’agit pourront être présen-

EXTRAIT N° 90. , 251 tées sous les formes

D!S + DS + Di,2T ment aie Oo DPT + O,1S + O2 T +... me à D

| Éd ae dat re MSA eS0:r.6.6b.0.9,6, 9 0 0e 6e € ,

chacune des caractéristiques Cite Chié "vx st étant à la fois une fonction quelconque des variables indépendantes ?, æ, Y, 3, ..., et une fonction entière des caractéristiques PR CNE RP en sorte que l’on aura, par exemple, DL BD On... ÉD? FD + à GD,D, +...

A, B,C,..., E, F, G, … désignant des fonctions données de 4,æ, y, .…., et l’'exposant de D, ne pouvant surpasser le nombre /— 1 dans les va- leurs de 4, Dis, --., le nombre »2 — 1 dans les valeurs de G,,,, Ds,» .... Enfin soient L, M,

d’autres fonctions données de #, æ, y, 7, .... Des intégrales supposées connues des équations (1) on pourra immédiatement déduire les inté- grales générales des suivantes

DÉS +18 + Cie +...=L, à DT + Ca + OreT + = M,

un D Nour

FR OBS CN SENTE Ne MIDIE ose ne, 0 6: 4 6; 65e: y

et, pour obtenir les différences de ces dernières intégrales aux pre- mières, ou, ce qui revient au même, pour obtenir des valeurs de $, T,... qui aient la double propriété de vérifier, quel que soit #, les équations (2), et de vérifier les conditions

ar D,S =, te DS 0, HR 'S 0, (3) ie DT—o, a De To, De "T0,

252 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE. pour une valeur donnée + de la variable £, il suffira de recourir à la règle que nous allons énoncer. |

Sotent firme

ce que deviennent FRE RE UT

quand on remplace la variable t par une nouvelle variable 9. Soient

cncore

des valeurs de S, T, ... propres à vérifier, quel que soit t, les équations (1), par conséquent, les formules

D!s + [1,1 —+- [Ui,2 © nie er,

(4) ES

et, pour t =, les conditions

en DST, ES Df25 mer DS =$£, (5) | be 0: D.& — 0, nor DE, DR Me DRE x HR RATS A PAIN RME sh CS SUR tue

Les valeurs cherchées de S,T, ..., savoir, celles qui auront la double pro- prieté de vérifier, quel que soit t, les équations (2), et pour t — +, les con-

ditions (3), seront respectivement

: t : t (6) Eh S dÿ, Ia & dô, Tr 7

Démonstration. — En effet, en vertu des conditions (5) qui se véri- fient quand on pose { — 6, où, ce qui revient au même, quand on pose ÿ — 4, on tirera des formules (6), différentiées plusieurs fois de suite,

par rapport à £,

At t t a { ST sd DS = f D,5 dé 4 fie al D£-'8 40, D!S —L + / D£s d9, L + T L +

T

L t t t L= [ & d9, DT dif D,& d9, F9 DET*T se fi D}T'& d5, D'T—M + [ D? d5, VT FT + +

dr TS Te TA r A mes vide eo see

EXTRAIT N° 90. 253

Or ces dernières valeurs de S DS MR DSi FT, DT, .…., DP'T, DT,

remplissent évidemment les conditions (3), quand on pose ? — 7; et de

plus leur substitution, dans les équations (2), réduit ces dernières, en vertu des formules (4), aux équations identiques

LL; M—=M, Corollaire. — Lorsque les équations (1) se réduisent à une seule équation du premier ordre et de la forme (De —+- (m ) S Es mc 9 T°

les formules (2) se réduisent elles-mêmes à une seule équation de la

forme (D+0)S=w(x,y,..., 1),

et, pour obtenir la différence entre les intégrales de ces deux équa- tions, ou, ce qui revient au même, pour obtenir l'intégrale de la der- nière en l’assujettissant à s’évanouir pour { — 6, il suffit, en vertu de

la règle énoncée, de recourir à la formule

t 8=f s dé, T

$ étant une fonction de æ, y, ..., « assujettie à vérifier, quel que soit z, l'équation

(D: + Ü}s LaiQ et, pour 4 —6, la condition

Samir) se. ., 0).

On se trouve ainsi ramené au théorème que nous avons établi dans le dernier Compte rendu.

25% COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

SIL. — Zntégration par séries d’un système d'équations différentielles.

Supposons les variables principales

exprimées en fonction de la variable indépendante # par un système d'équations différentielles du premier ordre. Concevons d'ailleurs qu'en négligeant certains termes on puisse facilement intégrer ces équations différentielles réduites à la forme

(1) Dr =?P, Dr=0 Soir l'équation caractéristique correspondante aux équations (r) sera ra (D: +0)S =,

la valeur de © étant D Ph;+O0D +,

et l'intégration des équations (r) entrainera celle de l'équation (2). Admettons, pour fixer les idées, que

OR D représente un nouveau système de valeurs des variables Le. dr

les intégrales générales des équations (1) pourront être censées ren- fermer seulement les quantités æ, y, ...,4, x, Y, ..., 7: et ces inté- grales, résolues par rapport à x, y, ..., se présenteront sous la forme

(3) X— À, + eu

X, Y,... désignant des fonctions des seules quantitésæ, y,3,..., 1,7, Cela posé, la forme générale des intégrales principales des équations (1) étant

(4) fs, IX Y, US

EXTRAIT N° 90.

LE [14 OC

l'intégrale générale de la formule (2) sera (5) S—f(X, Y, ...),

si l’on désigne par f(x, y, 3, ...) la valeur de S correspondant à l— 7.

Concevons maintenant que, dans le cas où l’on ne néglige aucun terme, les équations différentielles données deviennent

(6) Dex — P + de, Dr—Q+92, PR

®, 9, ... désignant, ainsi que P, Q, ..., des fonctions connues de x,

Y, ..., L; et posons =D, +9, +...

L'équation caractéristique relative au système des équations (6) sera de la forme (7) (D: #0 +0')T = 0,

T désignant la nouvelle variable principale. Or on vérifiera évidem- ment l'équation (7) en posant

(8) T=S+S,+S,+..., pourvu que l’on assujettisse S, S,, S,, ... à vérifier les formules

Pose AO

Lo) (D, + O)S, —=—0'S, D = et que la série

AD AR. €

soit convergente. Or la première des formules (0) sera précisément l'équation (2), dont l'intégrale S pourra être prise pour premier terme de la série. Quant aux autres termes

il suffira, pour les obtenir, d'intégrer successivement la seconde, la » O

256 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

troisième des équations (9), .., en assujettissant les mêmes intégrales à s'évanouir pour {—7. D'ailleurs, à l’aide des principes établis dans le précédent Mémoire, ou dans le premier paragraphe de celui-ci, on déduira sans peine de la valeur de S supposée connue la valeur deS,, puis de la valeur deS, celle de $S,, ...; et par suite l'intégration en termes finis des équations (1), ou, ce qui revient au même, de l’équa- tion (2), entrainera l'intégration par séries des équations (6), ou, ce qui revient au même, de l’équation (7).

On arriverait encore aux mêmes conclusions de la manière sui- vante. :

Concevons que, # désignant une fonction quelconque de x, y, ..…., £, on pose, pour abréger,

t t = | [ze dt et va f O's dt; T T

et désignons par

EL LAN EN ERS la fonction de x, y, ... à laquelle doit se réduire, pour 4 — 7, l’inté- grale générale S ou T de l'équation (2) ou (7). On tirera de l'équa-

tion (2), intégrée par rapport à £ et à partir de — 7,

S—s=VS, (r— V)S—s,

et, par suite,

(10) Sfr VV le On tirera pareillement de l'équation (7) T-sENT ENT HUNVITS=s ENT

et, par suite,

free Ven VER EN R Dee + SNS me eV ST LS DS NUNNSE SE CS TU

EXTRAIT N° 90. 257 Donc, en supposant convergente la série

f + ns I à des Se tbe Tue V7 AR, « Ca Sie AE * FREE PISE

on trouvera définitivement

RU RRE E S + V! AE = Ne V! Si 25:

Il est d’ailleurs facile de s'assurer que, dans la supposition dont 1l s’agit, la valeur de T, déterminée par la formule (11), vérifie en effet l'équation G—V)T=s+VT,

et par conséquent l'équation (7), dontelle représente l'intégrale géné- rale. Ajoutons que, pour déduire de la formule (1 r) une intégrale prin- cipale des équations (6), il suffit d'y remplacer le premier membre T par la constante PÉSRAE CR CDR à

Il est bon d'observer que, en vertu de la formule (10), l’équation(r1) peut être réduite à

I ; I -, I / Kana care runs DÉC EE

(12) T=sS+

On aura donc généralement

T=S+S +S,+...,

pourvu que l’on pose

ve.

à I (13) S,—= [24 pas V 4

ME re

Or, comme Ve et V'e s’évanouissent généralement pour {= 7, il est clair qu’en vertu des formules (13) on pourra en dire autant de K,, S,, .... D'ailleurs on tire de ces mêmes formules

(i—V)8 VS, (1 V)S, = VS, ..., puis, en différentiant par rapport à £,

(D+0)S,=-0'S, (D:+0)S,=—0"'S,

OEuvres de C. — S.I,t. V. 33

258 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

Donc les valeurs de S,, S,, ..., déterminées par les formules (13), sont précisément celles qui ont la double propriété de vérifier les équa-

tions (9) et de s'évanouir pour { = 7. Considérons en particulier le cas où les fonctions

| & Q, Fr æ, 9; sont indépendantes de la variable £. Alors on aura

S s FR et-o0Ù0, 1 —V

et, par suite, g's=— g'ett°Ùs,

Cela posé, la seconde des équations (9) deviendra (14) (D + 0)S —— g'er-90,,

\

et, d’après ce qui a été dit dans le S 1, on aura

F- s= | 0 dÿ, e

st

_ CN

9 étant assujetti à la double condition de vérifier, quel que soit #,

l'équation (De + 0 } 0—=0o

et de se réduire à us n'etv0,

pour 4 — 6. On aura d’ailleurs, sous ces conditions, e—et2Dgr'es-d0,

et, par suite, on trouvera

‘

t (16) S;= — + eOD pe, 40.

= m

Si l’on nommait s ce que devient

SE efoÙs

EXTRAIT N° 90. 259

quand on y remplace £ par 6, on aurait

(17) s— ef" Ds,

et, par suite, la formule (16) se réduirait à

t (18) s,=- | 9-00 Ds 6. T De même, si l’on nomme s, ce que devient S, quand on y remplace 4 par 6, on aura

t (19) 8, — — f ets d6,

< et ainsi de suite.

Si la fonction s est telle que l'on ait (20) Lis ==" 0

on en conclura = e®° oÙ, es

,

et par suite la valeur de S,, que détermine l'équation (16), se trouvera réduite à t (21) s—— | evO0G's de. T Nous donnerons dans d’autres articles les applications de ces diverses formules à la Mecanique céleste.

Post-scriptum. — Le théorème énoncé dans le $ I‘ subsiste dans le cas même où les équations (1) et (2) de ce paragraphe, cessant de ren- fermer les variables æ, y, ..., se réduiraient à des équations différen- tielles, auxquelles devraient satisfaire les variables principales S, T, considérées comme fonctions de la seule variable indépendante z.

Concevons, pour fixer les idées, les équations (2) du $ I‘ réduites à

la suivante :

Si l’on veut intégrér celle-ci, de manière que l'intégrale et sa dérivée s’évanouissent pour & = 7, il suffira, en vertu du théorème établi, de

260 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE. chercher une valeur de s qui ait la double propriété de vérifier, quel

que soit #, la formule pas = à

et pour £ — 6, les conditions

nn à DS — (6);

puis de substituer cette valeur de $, savoir

dans la formule 4 S = S dû. 2

Effectivement, on tirera de ces dernières

t . 93 (0 D = 2 — — ad | 4e, l 30 2 / :

B\ w(0) — ER ARS, ja D,S à (or a) 30 d9, e 03\ w(0 D? Cafi=%) er d+ais)

et par suite

| D,S— S=v(1) MÉCANIQUE CÉLESTE. — Methodes générales pour la determination |

des mouvements des planètes et de leurs satellites. C. R.,t. XI, p. 179 (3 août 1840). La détermination des mouvements des planètes et de leurs satellites

est, comme lon sait, un grand problème que l’on parvient à résoudre, plus où moins rigoureusement, à l’aide d’approximations successives. À

EXTRAIT N° 91. 261

La première approximation, celle qui réduit chaque orbite à une el- lipse, peut s'effectuer assez simplement à l’aide des méthodes connues. Parmi ces méthodes, l’une des plus remarquables est, sans contredit, celle qui se trouve exposée dans le deuxième Chapitre du second Livre de la Mécanique céleste, et qui ramène l'intégration des équations diffé- rentielles du mouvement elliptique à l'intégration d'une seule équa- tion linéaire aux dérivées partielles. On peut voir, dans le Chapitre cité, avec quelle facilité cette équation aux dérivées partielles fournit les équations finies du mouvement elliptique; et l’on a ainsi, dans l’As- tronomie, un premier exemple des avantages que présente la considé- ration de l'équation linéaire que je nomme caractéristique, c'est-à-dire la considération d’une seule équation aux dérivées partielles substituée à un système donné d'équations différentielles. Les équations finies du mouvement elliptique étant connues, on en déduit, par la formule de Lagrange, les valeurs de l’anomalie et du rayon vecteur développées en séries dont tous les termes, si l’on excepte Le premier dans le déve- loppement de l’anomalie, sont périodiques et renferment le temps 4 sous les signes sinus et cosinus. Les règles de la convergence de ces sé- ries, et les limites des erreurs que l’on commet lorsqu'on néglige les termes dont l’ordre surpasse un nombre donné, se déduisent immédia- tement de la théorie générale que j'ai présentée dans un Mémoire de 1831, et dans plusieurs articles que renferment les Comptes rendus des séances de l’Académue.

La théorie du mouvement elliptique étant établie, comme on vient de le dire, il reste à examiner comment on passera de cette théorie à celle des mouvements troublés par les actions réciproques des planètes et de leurs satellites. Alors se présentent à résoudre deux problèmes importants d'Analyse, dont M. Laplace s’est occupé dans le emquième Chapitre du second Livre de la Mecanique céleste, et dont je vais rap- peler l’objet en peu de mots.

Le premier problème est l'intégration complète d’un système d'équa- tions différentielles, lorsqu'on suppose connues les intégrales appro- chées relatives au cas où l’on néglige certains termes. M. Laplace

262 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

applique à la solution de ce problème deux méthodes distinctes, sa- voir : 1° la méthode des facteurs, qui ne réussit que dans le cas où les équations données sont linéaires, et reproduit alors les résultats obte- nus par Lagrange; 2° la méthode des approximations successives, dont l’idée première pourrait être attribuée à Newton. L'application directe de cetté dernière méthode à un système d'équations différentielles ne donne leurs intégrales complètes que dans des cas particuliers, par exemple, dans celui qu'indique M. Laplace, et où la suppression des termes, que l’on néglige d’abord, transforme ces équations différen- tielles en équations linéaires à coefficients constants. Mais fort heureu- sement l'application de la même méthode à l'équation caractéristique résoudra le problème dans tous les cas; alors le théorème très simple, que j'ai donné dans une précédente séance, fournira toujours immédia- tement l’intégrale en série de cette équation caractéristique, et par con- séquent les intégrales générales des équations différentielles données. Ainsi la considération de l'équation caractéristique, correspondante à un système d'équations différentielles, fournit, non seulement d’élé- gantes méthodes d'intégration, lorsque les intégrales rigoureuses peuvent s’obtenir en termes finis, mais encore le développement des intégrales complètes en séries régulières, lorsqu'on ne peut obtenir en termes finis que des intégrales approchées. J’ajouterai que les dévelop- pements ainsi trouvés se présentent sous une forme telle qu'il devient facile d'y effectuer ce qu’on appelle un changement des variables indé- pendantes, dans le cas surtout où les premières valeurs approchées des variables principales deviennent constantes. Ce cas se présente dans l’Astronomie quand, aux équations différentielles du second ordre qui déterminent les coordonnées des planètes et des satellites, on sub- stitue les équations différentielles du premier ordre qui déterminent les éléments elliptiques des orbites considérés comme variables avec le temps,

Au reste, au théorème général que je rappelais tout à l'heure, et au- quel les géomètres ont bien voulu faire un accueil si favorable, je vais joindre, dans ce Mémoire, d’autres propositions plus importantes, ce

EXTRAIT N° 91. 263

me semble, qui me paraissent devoir plus particulièrement intéresser les astronomes, et contribuer aux progrès de la Mécanique céleste. Entrons à ce sujet dans quelques détails.

Les équations différentielles qui déterminent les variations des élé- ments elliptiques renferment, avec ces éléments et leurs dérivées du premier ordre relatives au temps £, les dérivées partielles d’une cer- .taine fonction désignée par R dans la Mécanique céleste; et quand on se propose d'intégrer par séries ces équations différentielles, il est utile de commencer par développer la fonction R en une série périodique dont chaque terme soit, ou constant, ou proportionnel au sinus ou au cosinus d’un arc représenté par une fonction linéaire du temps. Effec- tivement, on peut substituer à R un développement de cette forme qui représentera R au bout d’un temps quelconque. La fonction R étant développée comme on vient de le dire, les intégrations simples ou multiples, et relatives au temps, qui se trouvent successivement ame- nées par la seconde approximation et par les suivantes, produiront, dans les équations intégrales , le temps £ hors des signes sinus et cosi- nus. On ne doit pas, pour cette raison, rejeter absolument les inté- grales dont il s’agit, ni s’imaginer qu'au bout d’un temps considérable elles cessent de fournir le développement des inconnues en séries con- vergentes; car la même circonstance se présente déjà dans l'intégration d’une seule équation linéaire à coefficients constants, et alors le déve- loppement de la variable principale offre une série ordonnée, il est vrai, suivant les puissances ascendantes de /, mais néanmoins toujours convergente, puisque cette série a pour somme une exponentielle né- périenne dont l’exposant est proportionnel au temps. Toutefois, il est juste d'observer que des séries de cette espèce, sans cesser même d’être convergentes, peuvent, au bout d’un temps considérable, se prêter dif- ficilement au calcul, attendu que les termes proportionnels au temps ou à ses puissances finissent par croitre très rapidement, et que le nombre des termes dont on doit tenir compte, pour que l'erreur com- mise soit insensible, devient alors de plus en plus considérable. Pour remédier à cet inconvénient, on a cherché à faire disparaitre dans les

264 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

développements obtenus les termes non périodiques. Euler, Clairaut, d’Alembert et Lagrange ont imaginé, dans ce but, divers artifices de calcul applicables à des cas plus ou moins étendus; et dans le Chapitre déjà cité, l’auteur de la Mécanique céleste fait sentir combien 1l importe d’avoir pour cet objet une méthode simple et générale. Lui-même en propose une qui lui semble offrir ce double caractère. Mais elle repose sur un principe qui paraît sujet à de graves objections (").

Quelques méditations approfondies sur ce sujet délicat m'ont con- duit à découvrir un autre principe, qui peut sans difficulté servir de base à l'élimination des termes non périodiques et à la théorie des iné- galités séculaires des mouvements des planètes. Il repose sur une pro- priété remarquable et très générale des séries qui représentent les in- tégrales d’un système d'équations différentielles. Disons 1e1 quelques mots de cette propriété.

Supposons que l’on soit parvenu à intégrer un système d'équations différentielles, en négligeant certains termes, et qu'après avoir ainsi trouvé des intégrales approchées, on veuille déduire de celles-e1 les in- tégrales rigoureuses, à l’aide des méthodes précédemment exposées. II suffira de développer en séries par ces méthodes l'intégrale générale de l'équation caractéristique. Les divers termes du développement que l'on obtiendra pourront être calculés successivement, et le calcul de chaque nouveau terme exigera une intégration nouvelle relative au temps &. Or, ce qu’il importe de remarquer, c’est que chaque intégra- tion nouvelle étant indépendante de celles qui la précèdent pourra être effectuée à partir d’une limite entièrement arbitraire. On peut donc ainsi introduire dans l'intégrale générale de l'équation caractéristique, et par conséquent dans les intégrales générales des équations diffé- rentielles, une infinité de constantes arbitraires. Mais, comme cette in- troduction ne saurait changer la nature même de ces intégrales, il est nécessaire que l'effet qui en résulte puisse également résulter d'un changement opéré dans les valeurs des constantes arbitraires que les

(1) Voir les Remarques faites à ce sujet, par Lagrange, dans les Mémoires de Berlin pour l’année 1783, page 227.

EXTRAIT N° 91. 265

intégrales renferment, quand on effectue chaque intégration relative à {, à partir d’une limite non arbitraire, par exemple à partir de 4 — 0. Cette propriété des intégrales développées en séries ne saurait être révo- quée en doute et se vérifie aisément, dans divers cas particuliers, c’est- à-dire pour certaines formes particulières des équations différentielles.

A l’aide de cette propriété, on reconnait sans peine que, dans un grand nombre de cas, surtout dans celui où les premières valeurs ap- prochées des variables principales se réduisent à des constantes, et où les seconds membres des équations différentielles données sont des séries de termes proportionnels à des sinus ou cosinus d’angles repré- sentés par des fonctions linéaires de #, le temps £, introduit par les in- tégrations successives hors des signes sinus et cosinus, peut être, dans les intégrales générales, diminué d’une constante arbitraire 0. Seule- ment, en admettant cette nouvelle constante, on doit modifier les autres qui changeront de valeur avec elle. C’est ainsi que l’une des consé- quences déduites par M. Laplace du principe dont nous avons parlé se trouve directement et rigoureusement établie. D'ailleurs, les variables étant considérées comme fonctions du temps, et les constantes arbi- traires comme fonctions de 9, les équations intégrales et leurs dérivées devront subsister, quelles que soient les valeurs attribuées à 0 et à #. Elles devront donc subsister, dans le cas même où l’on établirait entre et une relation quelconque, par exemple dans le cas où l’on suppo- serait —0. De cette seule considération je conclus immédiatement que l’on peut, dans les équations intégrales, supprimer tous les termes quirenfermentle tempsthors des signes sinus etcosinus, pourvu que l’on regarde les constantes arbitraires comme des fonctions du temps, et Je déduis sans peine les équations différentielles qui déterminent ces der- nières fonctions, en abandonnantici de nouveau la marche suivie par l’au- teur de la Mécanique céleste qui, pour la seconde fois, a recours au prin- cipe dont nous avons parlé ci-dessus et parvient de cette manière à des équations dont l'exactitude n’est peut-être pas suffisamment démontrée.

Dans un prochain Mémoire, j'aurai l'honneur d'offrir à l’Académie le

développement des principes généraux que je viens d'établir, et leur ŒEuvres de C.—S.1,1.V. 34

266 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

application au calcul des inégalités séculaires des mouvements des planètes. Par ce moyen on pourra juger de l'utilité toute spéciale de ce nouveau travail dans les recherches astronomiques. Je ferai tous mes efforts pour le rendre digne de l'intérêt accordé par mes illustres con- frères à mes précédents Mémoires sur la Mécanique céleste. La marque si éclatante que plusieurs d’entre eux m'en ont donnée, il y a quelques mois, était l'encouragement le plus flatteur que je pusse recevoir après trente-quatre années de travaux assidus dans une carrière où l’illustre Lagrange avait bien voulu guider mes premiers pas. Je saisis avec plaisir cette occasion de leur exprimer ici ma reconnaissance pour ce témoignage de considération auquel j’attache d’autant plus de prix, que je l'avais moins recherché, et me tenais plus à l'écart, pour me livrer, dans le silence du cabinet, à mes études favorites. Jusqu'à ce jour ceux qui avaient reçu ce témoignage se regardaient comme ayant, pour cette raison même, un devoir impérieux à remplir. Lorsqu'ils croyaient avoir fait quelque découverte utile à l’Astronomie, ils s'empressaient de com- muniquer leur Mémoire à la réunion des savants spécialement chargés de favoriser les progrès de la Mécanique céleste, et de le leur offrir pour être inséré dans la Connaissance des Temps. Si je me borne pour le mo- ment à communiquer mon travail à l'Académie, mes honorables con- frères ne m'en feront point un reproche. La fidélité avec laquelle j'ai toujours cherché à remplir mes devoirs leur répond assez de l’empres- sement que je mettrais à m’acquitter encore de celui que je viens de rappeler, si tout le monde était parfaitement convaincu qu'il ne peut y avoir nul inconvénient à ces communications scientifiques. Mais je dois attendre que cette conviction soit formée dans tous les esprits. La seule chose qui soit en mon pouvoir, c’est de redoubler de zèle pour répondre à l’indulgence avec laquelle les amis des sciences ont accueilli mes Ouvrages, et prouver, s’il est possible, que le titre de géomètre n'était pas tout à fait en désaccord avec les occupations habituelles du vieux professeur auquel, dans la précédente année, les maîtres de la Science

avaient bien voulu le conférer.

EXTRAIT N° 92. 267

92,

MÉCANIQUE CÉLESTE. — Sur les fonctions allernées qui se présentent

dans la théorie des mouvements planétaires.

C. R.,t. XI, p. 297 (24 août 1840).

On sait que, dans la théorie des planètes, les variations des con- stantes arbitraires renferment trente coefficients, égaux deux à deux au signe près, mais dont chacun change de signe, quand on échange, l’une contre l’autre, les deux quantités dont il contient les dérivées partielles. Ces coefficients sont donc des espèces de fonctions différen- tielles alternées de ces mêmes quantités. Les fonctions de cette forme jouissent de diverses propriétés, dont la plus importante, découverte par Lagrange, se rapporte à un système d'équations différentielles du genre de celles qu’on obtient dans la Mécanique, ou bien encore à des équations différentielles plus générales, dont j'ai donné la forme dans un Mémoire de 183r. Mais, lorsqu'on veut déterminer exactement ces fonctions, dans la théorie des mouvements planétaires, le calcul direct est assez long. Pour remédier à cet inconvénient, M. Poisson a fait servir à la détermination des fonctions dont il s’agit les intégrales premières des équations du mouvement, en examinant ce que de- viennent ces intégrales dans le mouvement troublé. Je me suis de- mandé s'il n’y avait pas quelque moyen simple d'arriver aux valeurs de ces mêmes fonctions, sans recourir à la considération des forces perturbatrices. Ayant réfléchi quelque temps sur ce sujet, j'ai été assez heureux pour obtenir une méthode qui, non seulement, conduit très facilement au but que je m'étais proposé, mais qui de plus a l’avantage d'ajouter au beau théorème de Lagrange d’autres propositions assez dignes de remarque, par exemple celle que je vais indiquer.

Si l’on combine deux à deux les quatre quantités qui, dans le mou- vement d’une planète, représentent les coordonnées polaires, mesu- rées dans le plan de l'orbite, l’inclinaison de cette orbite, et l’angle

268 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

formé par un axe fixe avec la ligne des nœuds, les douze fonctions alternées que l’on pourra former avec ces quatre quantités, et qui, deux à deux, seront égales au signe près, resteront indépendantes du temps, comme celles que l’on forme avec les valeurs des constantes arbitraires tirées des intégrales du mouvement elliptique. De plus, des six valeurs numériques de ces douze fonctions, quatre s’évanouiront, et le rapport entre les deux autres valeurs numériques sera le cosinus de l’inclinaison de l'orbite.

93.

MÉCANIQUE CÉLESTE. — Sur les fonctions alternees qui se présentent

dans la théorie des mouvements planétaires. C.R.,t. XI, p. 377 (31 août 1840). — Suite. S I. — Considérations générales. AS » 4 4 Concevons qu'à des variables représentées par T, J'> Z,

on fasse respectivement correspondre d’autres variables représentées

par

Soient de plus

des fonctions de ces deux espèces de variables, et posons générale-

ment

[ [S,T]= D;SD,T — D, ST: 6 à () +D,SD.T DID? I

| ÉSDET-DOSET

À Es MARS SU I NT AO

La fonction [S, T], qui changera de signe quand on échangera entre

EXTRAIT N° 93. 269 elles les deux quantités S, T, sera ce qu’on peut appeler une fonction différentielle alternée de ces deux quantités. Cette fonction alternée jouira d’ailleurs de propriétés diverses dont plusieurs peuvent être établies avec la plus grande facilité. Ainsi, en particulier, on tirera immédiatement de l’équation (1)

(2) LT, SJ=—[S,T],

et par suite, en posant T —S$,

(3) [S, S]—0.

Ainsi encore, on déduira de l'équation (1) les propositions suivantes :

TnéorÈme 1. — S: deux variables correspondantes

NOV: M; OMPIM OE V, OU Z et. w,

ne se rencontrent pas sunullanement, l’une dans $S, l’autre dans Y, l’on

aura (4) ESF} 0.

Corollaire. — On trouvera, par exemple,

D, 3]=e, : [, z]=0o, [ay]=e,

[v, w]= 0, [w,u]—o, RUE RE et * Er, #0, Emi 0,

Lr; w]=o, #1 ui=0,

Eu ul (3410.

De même encore, si l’on pose S

r=Va+y+ 3, wo Vu?+v?+ uw,

on trouvera

jantes: Enr :[sr]=e et

[u,w]— 0, [s, © ]— 0, [w,w]— 0.

270 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE. Enfin, si l’on pose U = #7 — vz, V=uz—wx, W=—=vxz—uy, on trouvera im ble Vlr, Es, Wi==o, . [#, Ul=o, 4 VE, Em, Wii 0, THéoRÈME IT. — S: S,T sont des fonctions de fonctions des variables

M NE Es ve D M M ni

s1, par exemple, on suppose S, T exprimés en fonction de

Ro i L, M, ... étant des fonctions de SE UE 25 AS SMS TE j on aura non seulement (5) [S, T]=[L, T]D:S +[M,T]D1S +..., mais encore (6) [S, TJ=[L, MJ[DLSDIT — Du SD T] +.

Démonstration. — Pour établir le deuxième théorème, il suffit évi- demment de combiner l’équation (1) avec les formules connues :

DS =D, SDL + Di SDeM +..., ...,

DeT = D TDeL + DuTD:M +..., ...,

qui supposent S, T fonctions des quantités variables L, M, ..., ces quantités elles-mêmes étant des fonctions de

Vi se Vi Corollaire 1. — Si, pour fixer les idées, on remplace L par

aL+bM+...,

© 1 mn

EXTRAIT N° 93.

a, b, .. étant des quantités constantes, on trouvera (1) [aL+0M+...,T]=a[L,T]+0[MT]+.... On trouvera en particulier

[aL, T]=a[L,T}

par conséquent

(8) Las, T]=a[s, T}:: puis, en posant a — —1, (9) [—S,T]=- [ST].

Enfin, si l'on suppose T=sPl+Q+...,

P, Q,... étant des fonctions de Me Si css Me 14 M)

et g, À, .. des quantités constantes, on tirera de La formule (7), ou

bien encore de l'équation (6),

| [aL+bM+...,gP +AQ +...] (10) ; — ag[L, P]-+ah[L, Q]+...-+ bg[M, P]+ bA[M, Q] +...

On trouvera par exemple (11) [aL,gP]=ag[L,P] et [—b,—P]={L,P] par conséquent Fra es FI—-[STI Corollaire II. — Si l’on suppose

S = AL + BM +..., T= GP +HQ+...,

272 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

A,B,...,G, H, .…… étant, ainsi que L, M, ..., P, Q, ... des fonctions de Bit M D St EM, M 7, 0)

on tirera de la formule (5)

| [AL + BM+...,T]

(13 en AL, TT+BIM TT]... LIA,TI+MfB, TI. et de la formule (6) |

| [AL + BM +..., GP + HQ +... (14) = AG[L, P]+...+ AP[L, G]+... | + LGTA, P]+...+ LPTA, G]+....

Par exemple, en posant, comme ci-dessus, U=—wy — vz, Vsuai-@x W=vx—uy,

on trouvera LS, U]=7y[S, w]—32[S, v] + w[S, r]—v[S, z],

puis, en substituant successivement à S les six variables

et ayant égard aux formules

Eu VER (4, #10, Iwl=o, [r u]=o, [z, au} 4, té di

RON EE À ÉVEAC Cr IS wie r

on obtiendra les équations

Éa Ui=e, [r, U] = — 2, [z, Ur, [AUS Er Ur 0 [w, U] = — v.

On trouvera de même

AVIS TI S [z, Vi= — rt [u, V]=—w, LP VIe, Fa Vu:

EXTRAIT N° 93. 273 et [x, W]=—7, NIS?, Fs, WT=o, tu Wis Eu, WI=—«, SECTE

Enfin, si dans la formule [U, S] S]—z[v, S]J+wf), S]— v[z,S] on remplace S par V, on trouvera [U, V]=vrx—uy =W, et l’on établira de la même manière chacune des trois équations [V,W]I=U, [W,U]=V, [U,V]J=Ww.

Corollaire III. — Si l'on suppose

S—YL2+M+..., T=vPi+ O4. .;;

on tirera de la formule (5)

Li

(15) STI SL TI SIM TI... et de la formule (6)

(16) CS, TJ = SIL, P]+...

Par exemple, en posant comme ci-dessus

r=Var+yt+s, o=Vur+v+uw,

on trouvera

(17) Cr, S]=<(z, S]+ Cr, S]+ SCz, S] et

ul Sr v (18) Lo, S]= = [u,S1+ Le, S1+= Ce, 8]

ou, ce qui revient au même,

(19) [4r,S]=zx[r, S]+rlr, S]+ 2[2,S1, OŒEuvres de C.— S.I, t. V. 35

274 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE,

(20) [£o?, S]—=ulu, S]+v[v,S]+w[w,sS]

De même encore, si l’on pose

-

K=yU:+V:-+ W:, on trouvera

; : U W 1) CK, 8]= ELU, S]+ EIV,81+ ÉCW,S1.

De ces diverses équations, jointes à celles que nous avons précédem- ment obtenues, on déduira immédiatement les suivantes :

u U w

1, = Rein Es, o1= ru X # Z

FAIR me Eee =T, te Te

Ir Ur), LR RER 1r, Win Lo, U]= 0, lo; V0, Eu, WT 0:

UX + VY + wz

1, ete LE , Cr, K]=o, [o, K]—o,

: Vz—Wryr L Wzxr—Uz : : ÜUy—Vx SP une Eee Ki on [ 3, ne cn [u, K]— LA se LA Lo, K]= PEN ['w, ,

K K LUS GET P FL Ris, BR SET

S I. — Des fonctions différentielles alternées, dans lesquelles les variables dépendent de la position et de la vitesse d’un point mobile.

Concevons que y Vs à

représentent les coordonnées rectangulaires d’un point mobile, situé

EXTRAIT N° 93. 275

à la distance r de l’origine des coordonnées, et M 0 ©

les projections algébriques de la vitesse © du même point sur les axes des æ, y, 3. On aura

(x) r=Var?-+ y? + 3° w = Vu? + v? + w2. Si d’ailleurs on nomme Ô l'angle formé par la direction du rayon vecteur r avec celle de la vi- tesse w, on aura encore UuX+VY +wz—orCOosd, par conséquent

UX + VY + w3z or

(2) es CO0S0:

Cela posé, soit 133 K — wrsind

le moment de la vitesse w. Le moment linéaire de cette vitesse sera une longueur représentée par le même nombre que le moment K, mais comptée à partir de l’origine, sur une droite perpendiculaire au plan qui renferme avec l’origine la direction de la vitesse; et, si l’on

nomme HN

les projections algébriques du moment linéaire K sur les axes rectan- gulaires des |

TX, ÿ» 2, on aura (4) U=«w7y — vz, V=uz—wx, W=vx—uy, (5) K — VUr-E V2 Was.

Or, si, dans la fonction alternée représentée par

ESF)

276 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE. on prend pour chacune des quantités $, T, soit l’une des quantités soit l’une de leurs projections algébriques

CARE PU Te RE NET HÉNS E à

on pourra obtenir en tout

13, ie ta valeurs de [S, T], qui, prises deux à deux, seront égales, au signe près; par conséquent 66 valeurs numériques de [S, T] ou [T, S] qui seront immédiatement fournies par les formules du $ I*. Parmi ces

formules, les quinze suivantes :

(6) Née, SEE R Be PAR EUN ER (7) RO LE ETS fr, Nice, tr Wisio; (8) for tee, NOTÉE UE EE © Loi, Wisa; (9) RUE [z, V]—=—#x, Fe WiSS, ho) 1

(11) [z, o]=T

vi Fe a

or

suffisent à la détermination complète des fonctions alternées qui se présentent dans la théorie des mouvements planétaires. D'ailleurs, eu - égard à l'équation (2), la formule (12) peut encore s’écrire comme il

suit :

(13) [r, o] = cos.

EXTRAIT N° 94.

1© CN | EN (

94.

MÉCcaNIQuE cÉLESTE. — Sur les fonctions alternées qui se présentent dans

la théorie des mouvements planétaires.

C.R., t. XI, p. 432 (7 septembre 1840). — Suite.

S III. — 7ransformation des coordonnées rectangulaires en coordonnées polaires.

Adoptons les mêmes notations que dans les deux premiers para- graphes. Soient, en conséquence,

r le rayon vecteur mené de l’origine à un point mobile;

w la vitesse de ce point;

K le moment linéaire de cette vitesse ;

à l'angle compris entre Îles directions du rayon vecteur et de la vi- tesse ;

et désignons par M 2: Mi NW: RASE PAU les projections algébriques des trois quantités Fe COUHEE sur les axes rectangulaires de æ, y, z. Soient de plus

: l’angle formé par la direction du moment linéaire R avec le demi-axe des 3 positives ;

4 l'angle formé avec le demi-axe des x positives par la projection K sin: du moment linéaire K sur Le plan des x, y;

T + , . : 4 9 = +; l'angle polaire formé avec Île demi-axe des æ positives par

la trace du plan du moment de la vitesse sur le plan des +, y ; et p l'angle renfermé, dans le plan du moment de la vitesse, entre la trace dont il s’agit et le rayon vecteur 7.

278 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

En supposant cet angle compté positivement dans un sens tel que z et sinp soient des quantités de même signe, on trouvera non seulement

U = K sin: cosy, V=—Ksin:siny, | W = Kcpst, ou, Ce qui revient au même, (x) U —K sin: sino, V = —K sin: coso, W =K cos, mais encore (2) æ COSY + y Sing = rCOSp, z —rsinpsin.. D'ailleurs les équations |

3) ÜU—wy—vz, V=uz—wx, W=evx—uy

en

entraineront la suivante

Uz + Vr+W3=0,

qui, en vertu des formules (1), jointes à la seconde des équations (2), deviendra

(4) y COSo — x Sins —rsinp Cost, et les formules (2) et (4) donneront

x — r(cosp COS? — sinp sine cost), 5) ‘ y —=r(cospsino + sinp Coso cosi),

z —=rsinp sine.

Enfin, si l’on nomme » la projection de la vitesse w sur le rayon vec- teur r, cette projection étant prise avec le signe + ou le signe —, sui- vant que le point mobile s'éloigne ou se rapproche de l’origine, on aura |

LUS DR 4

U = & COSÈ — ; r

par conséquent (6) uXx+VY+wz—=ur,

et, à l’aide des équations (3), on pourra facilement éliminer de la for- mule (6) deux des quantités u, 6, æ. On reconnaitra ainsi que ces trois

EXTRAIT N° 94. 279

quantités se trouvent séparément liées à la vitesse v par les trois for-

mules x Vz—=W Wz—Uz 3 Uyr—Vzx : a L 5 . es

dont la dernière, eu égard aux formules (1) et (2), peut s'écrire comme

il suit : , K : (7) = (usinp + F cop) sine. Les équations (6), (7), (8), (9), (ro), (11), (12) du second para-

graphe fournissent les valeurs numériques des quinze expressions de

la forme [S, T] ou [T, S],

que l’on peut obtenir en prenant, pour S et T, deux des six quantités NV OM a, 7 | Or concevons qu'à ces mêmes quantités on substitue les suivantes Hs D 9 0&, pP;,

qui sont liées aux premières par les formules (1) et par la dernière des équations (2). Les quinze valeurs numériques des fonctions alternées que l’on pourra composer avec les six dernières quantités se déduiront encore aisément, eu égard à la formule (5) du $ I, des équations (6), (7); (8), (9), (ro), (rr), (12) du S IT. Ces équations donneront effecti-

vement | LE = Li, Rio, PR GETE IH RIS, Er to, r vie; AT en La, F0; [w,o]—=0o; COL. - (8) EPA i=:, [p, => [p;,91=0; EM Pro, K LP; ei me à

\ re [r, o] = cosô.

280 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE,

S IV. — Des fonctions alternées qui se présentent dans la théorie du mouvement d’un point libre, sollicité par une force qui émane d’un centre fixe.

Considérons un point mobile qui se meuve librement autour d’un centre fixe, duquel émane une force attractive ou répulsive, variable avec la distance. Soient, au bout du temps £,

x, y, 3 les coordonnées du point mobile rapportées à trois axes rec- tangulaires qui passent par le centre fixe ;

r le rayon vecteur mené du centre fixe, c'est-à-dire, de l’origine au point mobile ;

f(r) la force accélératrice qui émane du centre fixe, prise avec le signe + ou le signe —, suivant que le centre fixe attire ou repousse le point mobile ;

enfin w, #, les projections algébriques de la vitesse © du point mo- bile sur les axes des æ, y, z.

Le mouvement pourra être représenté par le système des six équa- tions différentielles

Dr = u, Dre, Diferiu, T \ à NAS Du = — = fr) HER f(r), Dép er

desquelles on tirera oD:o —f{r) Der,

Diwy — vz)—=0, D(uz—wx)—o, Divx —uy)=o; par conséquent (1) ufr) +H, (2) wy — vz = U, us—wz= V, HP À

H, U, V, W désignant quatre constantes arbitraires, et /{r) une nou- velle fonction de r dont la dérivée f’(r) sera égale à — f(r). Or, comme les équations (2) donneront

Uxz+Vy+Wz—o,

EXTRAIT N° 9%. 281

ilest clair que la courbe décrite par le point mobile sera une courbe plane dont le plan renfermera le centre fixe. D'ailleurs les 2œuds de cette courbe n'étant autre chose que ceux de ces points qui se trouvent situés dans le plan des æ, y, l'intersection de ce dernier plan avec le plan de la courbe sera ce qu’on nomme la ligne des nœuds. Cela posé, si, en adoptant les notations du troisième paragraphe, on suppose les constantes arbitraires | 0 liées aux constantes arbitraires

PS RO | à par les formules (3) U—Ksinesino, V—— Ksin: cosy, MK CUS!

\

et les variables p, r liées aux variables æ, y, 3 par les formules

(4) æcoso+ysino—rcosp, ycosp—rsing=rsinpcost, Zz—rsinpsine,

la quantité K représentera le moment linéaire de la vitesse, U, V, W étant les projections algébriques dece moment linéaire sur les axes des x, y, 33 désignera l’inclinaison du plan de la courbe sur le plan des x, y, où le supplément de cette inclinaison, et + l'angle polaire, formé par la ligne des nœuds avec l’axe des x; enfin r, p représenteront deux coordonnées polaires, mesurées dans le plan de la courbe que décrit le point mobile, r étant le rayon vecteur mené de l'origine à ce point, et p l'angle polaire que forme le rayon vecteur avec la ligne des nœuds.

Soient d’ailleurs à l'angle formé par la direction du rayon vecteur avec celle de la vitesse w, et

UX + VY + wz À x

U — 6) COSÔ —

la projection de cette vitesse sur le rayon vecteurr, prise avee le signe + ou le signe —, suivant que le point mobile s'éloigne ou s'approche du centre fixe. En différentiant par rapport à # le rayon vecteur r et l'or-

donnée 2 —rsinp sine,

OEuvres de C. — S. 1, t. V. 36

282 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

on trouvera successivement

(5) Der = v CE P w—D,z=—{vsinp + rcosp D,p)sin:;

par conséquent &w — y Sinp sine

r COSp Sin£

D,:p = puis, eu égard à la formule (7) du S HI,

K (6) D:p= =

\ r? Ajoutons que, des formules (4), différentiées par rapport à 4, on tirera

u coso + vsino — D,{rcosp), v coso — usine — costD,{rsinp), w— sintD,{rsinp), et par suite = u?+ + w— {ucoso + vsinp)?+ (vcosy — usinv)?+ w?

= [D,(rcosp)? + [D.(rsinp)P, ou, ce qui revient au même, (7) = (Der) + (rDiep}°.

On peut au reste établir directement les formules (5), (6), (7), des- quelles on tire

Juis, eu égard à l'équation (1), oO \

(8) vt= 2H — r2

+aftr) /

La valeur de » étant déterminée par l'équation (8) en fonction de r, on déduira aisément des formules (5)et (6) la relation qui existe entre r et {ou ret p. En effet, ces formules donneront

À

I dt =:- dr, dp = — dr; v ur?

EXTRAIT N° 94. 283

puis on en conclura, en désignant par « une valeur particulière du rayon r, et par 7, s les valeurs correspondantes des variables £ et p,

jé ta 2° Ù I (9) f—t= — dr, p—e—= K | - dr. Fu ur

Les six équations (1), (2) et (9), desquelles on peut éliminer

"a "'R ét: 5» à l’aide des formules

(io) r=yx?+y2+ 2, w = Qu? + v? + w?, K = YU2+ V?2+ W?

et de l'équation (8), peuvent être considérées comme établissant entre

les variables fr RS me

des relations qui changent avec les valeurs des sept constantes arbi-

traires te Moss Ni.

Concevons maintenant que l’on attribue à l’une de ces constantes, à par exemple, une valeur déterminée; les valeurs des six autres con-

stantes arbitraires PR Ve W

pourront se déduire des équations (1), (2) et(9), jointes aux formules (8), (ro), et s'exprimer en fonction des seules variables

Pt M 2e US Ur: OS

V

Or, si l’on substitue ces mêmes valeurs, combinées deux à deux de toutes les manières possibles, à la place de S et de T, dans la fonction alternée désignée par [S,T] ou [T,S], on obtiendra en tout quinze valeurs numériques de cette fonction alternée, qui se calculeront aisé- ment à l'aide des formules établies dans les paragraphes précédents. Entrons à ce sujet dans quelques détails.

En considérant w comme une fonction de r et de H déterminée par la formule (1), on tirera des équations (8), (11), (12) du $ IT jointes

28 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE. aux équations (7) et (10) [brd. |, et à la formule (6) du S HE,

(na) [HU]=o; [H,V]=o, [H,W]—o, (12) , {s, Hl=w, (13) | A RER

Pareillement les 7°, 8°, 9° et 14° formules comprises, sous le n° 8, dans le S II, donneront

(14) [4 K]=0, [H,1150, [H, ©] = 0, (15) [p; H]= <.

On pourrait, au reste, déduire les équations (14) des équations (11) combinées avec les formules (3), et la formule (15) de la formule (12).

En considérant r comme une fonction de #, +, H etK, déterminée par la première des équations (9), jointe à la formule (8), on tirera des formules (11), jointes aux trois dernières formules du $ 1, et aux équations (7) du S IT,

(16) (ENTER EN h EN

De plus l'équation (13), jointe à la première des formules (14) et à la

suivante

LT Ar Dr = IE U, donnera (17) (Ar Ir,

Ajoutons que des formules (16), combinées avec les équations (3), on tirera

(18) LEE. AC: Ér,91—=6, En considérant p comme une fonction de RER DO : POS . ONE 2: QUE

déterminée par le système des équations (9) jointes à la formule (8),

EXTRAIT N° 9,4. 285 on aura

K Dip=—Dp=— Dép =1.

Cela posé, les ro°, r1° et 12° formules inscrites sous le n°8, dans le

S III, jointes aux trois premières el aux équations (14), (18), donne-

ront

h9) [wKl=r [w=% [mel=e, tandis que la formule (15) donnera

(20) [w, H]— 0.

Ajoutons que les formules (19), combinées avec les équations (5), don- neront

sin © COS 2

Frs EURE sine” LAS es sine

, [w, W]—o,

ou, Ce qui revient au même,

. EE Ivy.

U V= TU N

[w, W]—o.

On pourrait au reste déduire directement les formules (2o)et (21) des formules (11)et (9) du $ IT.

Il nous reste à développer la treizième des formules comprises sous le n° 8 dans le S$ II, c’est-à-dire la formule

IPiri=0: Or, de cette formule, jointe à celle que nous venons d'obtenir et aux équations (16), on déduit immédiatement la suivante :

u[w,t]= Dir — vDup,

dans laquelle r est considéré comme fonetion de 4, +, H, K, et p comme fonction de r, 5, H, K, ces fonctions étant déterminées par les équa- tions (9), jointes à la formule (8). Comme on a-d’ailleurs, sous ces

286 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

conditions, - é a dE 1 Der 0 | mx (:) dr, Dip — K [ se Du (=) dr, 4 vu PER Êr, ; . ’ ‘ K el par suite, eu égard à la formule Div — — à D,v,

Dxr — uDxp, on trouvera définitivement (23) [mtli=e.

En résumé, si, en attribuant à la constante « une valeur déterminée, on tire des équations (1), (2) et (9), jointes aux formules (8), (10), les valeurs des six constantes arbitraires

CRE | PRE UE A SE exprimées en fonction des variables PRE SE DURE FO: PS LAS À les quinze valeurs numériques que pourra obtenir la fonction alternée [S, TT -où [T8 quand on prendra pour S et T deux des six quantités BR GE VU N,

seront fournies par le tableau suivant :

VON EL, EWN,UleV, EU: VI W, ER Vie», (4: Vice, [HE Wlisso: FAR ARE— Dr Er. Vaso, Nil o, : : a. KU KV (24) Roz M rem re La, M GED 1 4 Lo, W]—o, CH, 7] =1, FO HT 0;

\ Ie vire,

la valeur de K étant donnée par la dernière des équations (10 ).

EXTRAIT N° 94.

[Ce A 1

Si, aux trois quantités

on substitue celles qui sont liées avec elles par les formules (3), sa- voir BE #8 0;

les douze premières équations, renfermées dans le tableau qui précède, se trouveront remplacées par les suivantes :

{ Le, = Ets K | mom À OF Lo, K] =,

pm \ l [H, K]=0, ; (Huie, [H,9]—o, 29 {

[rt EF:0; ÉARER EEO [r, o]=0,

Low, K]= 1, La, t]— Le, [æ, #10

Les formules (24) et (25) se rapportent au cas où l’on suppose la valeur de + complètement déterminée, et plusieurs d’entre elles pour- ront subir des modifications, si l’on suppose que la constante x, deve- nant arbitraire, se trouve liée d’une certaine manière aux six con-

stantes arbitraires

eV, NW, ou

Rs M Mu tr: 0:

Toutefois, 1l est important d'observer que les formules (24) et (25! continueront de subsister, sans aucune altération, si l’on prend pour « une valeur particulière de r, correspondante à une valeur donnée # de la vitesse » mesurée sur le rayon vecteur r. Cette valeur particulière de r pourra être, par exemple, une valeur maximum ou minimum de 7, correspondante à une valeur nulle de v. Cela posé, on prouvera aisé- ment que les équations (24), (25) comprennent les formules connues, relatives à la variation des éléments du mouvement elliptique.

288 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

95. Mécanique CÉLESTE. — Methode simple et générale pour la détermination numérique des coefficients que renferme le développement de la fonction

perturbatrice. C.R., t. XI, p. 453 (14 septembre 1840).

On sait que le calcul des perturbations des mouvements planétaires repose principalement sur le développement d’une certaine fonction R en séries de sinus et cosinus d’arcs qui varient proportionnellement au temps. Autrefois, pour calculer les divers coefficients que renferme cette série, on les déduisait les uns des autres. Dans le Mémoire que j'ai publié en 1831, sur la Mécanique céleste, j'ai donné diverses for- mules à l’aide desquelles on pouvait calculer séparément chaque coef- ficient. Mais, quoique ces formules semblent préférables à celles qu’on avait employées avant cette époque, j'ai reconnu qu’on pouvait leur en substituer d’autres plus simples, par conséquent plus utiles, et qui permettront, si je ne me trompe, d'abréger notablement la longueur des calculs astronomiques.

Mes nouvelles formules sont déduites de la considération des inté- srales définies doubles. On sait depuis longtemps que les coefficients renfermés dans les intégrales du mouvement elliptique peuvent être représentés par des intégrales définies simples, et les coefficients ren- fermés dans le développement de la fonction perturbatrice par des in- tégrales définies doubles. M. Hansen, de Gotha, s’est même servi de ces dernières (*), dans sa pièce sur les perturbations de Jupiter et de Saturne, couronnée par l’Académie de Berlin. Mais le calcul dés inté- grales définies doubles, tel qu’on le pratiquait, était encore assez pé- nible, comme l’a remarqué M. Poisson, qui lui-même en avait indiqué l'usage, dans le problème qui nous occupe ici. Pour abréger les calculs,

(1) On peut voir aussi, sur cet objet, un beau Mémoire de M. Poisson, inséré dans la Connaissance des Temps pour l’année 1836.

EXTRAIT N° 95. 289

M. Liouville a proposé une méthode, à l’aide de laquelle on peut ré- duire à des intégrales simples des valeurs approchées des intégrales doubles. Je me suis demandé s’il ne serait pas possible de substituer généralement, et sans rien négliger, des intégrales simples aux inté- grales doubles, par une méthode qui permit de calculer facilement le coefficient du terme général, dans le développement de la fonetion per- turbatrice. Après quelques recherches sur ce sujet délicat, j'ai eu la satisfaction d'obtenir des formules qui résolvent la question affirmati- vement. Ces formules ont d’ailleurs l'avantage de conduire à de nom- breux théorèmes qui ne paraissent pas sans importance dans la théorie des mouvements planétaires.

D'après la méthode que j'ai suivie, chaque terme du développement

-de R se trouve composé de deux facteurs, dont l’un dépend unique- ment des moyennes distances des planètes au Soleil, ou, ce qui revient au même, des grands axes de leurs orbites, des excentricités de ces or- bites et des longitudes des périhélies; tandis que l’autre facteur, re- présenté d'abord par une intégrale définie double, dépend uniquement des inclinaisons des orbites, de l’angle compris entre les traces de leurs plans sur le plan fixe que l’on considère, et du rapport entre les grands axes des orbites de la planète perturbatrice et de la planète troublée. Pour transformer les intégrales doubles en intégrales définies simples, il suffit d'introduire dans le calcul un certain angle qui dépend unique- ment des inclinaisons des orbites et de l'angle compris entre les lignes des nœuds, puis de considérer comme termes séparés ceux qui ren- ferment, sous le signe sinus ou cosinus, des multiples différents du nouvel angle.

La méthode que je propose a cela d’extraordinaire que les perturba- tions des planètes non situées dans un même plan se caleulent à peu près avec la même facilité que les perturbations d’astres qui se mou- vraient tous à la fois dans le plan de l'écliptique.

OEuvres de C.—S.I,t. V. 37

290 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉÈMIE.

ANALYSE.

S KE. — Considérations générales.

Soient M la masse du Soleil ; m,m',m",... les masses des planètes ; r,r,r”,... leurs distances au centre du Soleil ; t, .… les distances de la planète #2 aux planètes mr, .….….; x,Y,2:5&,Y,33x",7",3";...1les coordonnées rectangulaires des di-

verses planètes, le centre du Soleil étant pris pour origine.

En choisissant convenablement l'unité de masse, désignant par «, +, w les vitesses de la planète #2 mesurées parallèlement aux axes des x, Y, 3, et faisant, pour abréger,

NM —M + m,

m'{xx'+ yy'+ 22!) m TS +... :

R=

on trouvera, pour les équations différentielles du mouvement de 72,

de _, url

Ho DE | Do

du AMzxz OR dv ANy dR dw Oz OR = — — = — —— — —) PR CD de GE

Ah 0x” die SE or dti; rè 02

les valeurs de r, 7’, ...,1,... étant

r = ÿx?+ y?+ 2?, r'=yx?+y?+ 32, és

ur zx} +(y=r}R+(z— 2 }, SANS

Si d’ailleurs on nomme à l’angle sous lequel la distance + est vue du centre du Soleil, c'est-à-dire, en d’autres termes, l'angle compris entre les rayons vecteurs r, r', on aura

XX + YY' + 13° rr!

COS —

EXTRAIT N° 95. 291

et, par suite, la valeur de R pourra s’écrire comme il suit

LA

mr m' BORD hi — ons

tv

(1) À =—

r'?

la valeur de « étant

5

=

v—{(r?— 2rr COSÙ + r'?)

ou, ce qui revient au même, 4

1 ! 2 (2) «—rn (5+T- cos) . r F La fonction R, déterminée par l'équation (1), est celle que M. Laplace a nommée la fonction perturbatrice. Lorsqu'on néglige les termes qui en dépendent, les équations du mouvement de la planète 77 s’intègrent, et l'orbite décrite est une ellipse, dont un foyer coïncide avec le centre du Soleil. Soient a le demi-grand axe de cette ellipse; ae la distance du centre au foyer, le rapport « étant ce qu’on nomme l'excentricité ; : l'inclnaison du plan de l’ellipse sur le plan fixe des æ, y, qui peut coincider avec le plan invariable, relatif à notre système planétaire : 9 l'angle formé avec l'axe des æ par la Ugne des nœuds, c’est-à-dire par la trace du plan de l’orbite sur le plan des +, y; p l'angle formé avec cette même ligne par le rayon vecteur r, ou ce qu'on appelle la longitude de la planète ; © la longitude du périhélie; = l'instant du passage de la planète »2 par le périhélie. Les coordonnées rectangulaires +, y, 3 se trouveront liées aux coor- données polaires r et p par les formules

q* = coso coSp Las Sin ® COS:t Sin p,

QU . "+ - 1

. = Sing COS p + COSY COS 4 Sin p,

— sin sin p.

292 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

De plus les coordonnées polaires 7 et p s’exprimeront en fonction de l’anomalie excentrique Ÿ, et cette anomalie elle-même en fonction du temps £, à l’aide des formules

(4) | r—ali—<cosb),

1 5 __ cosd—e : \ __(1—e?)*sintY (5) cos (p Sn ear Ter sin (p — &) — ET UT TT (6) d—esind —c({t— 7),

la valeur de c étant 1

e— (2% cd

Les équations (3), (4), (5), (6) déterminent, dans le mouvement ellip- tique de la planète », les coordonnées x, y, z en fonction du temps 4

— LS | Er

et des six constantes arbitraires

PRIE TRS OI UE OR

Pour passer du mouvement elliptique au mouvement troublé, il suffit d'imaginer que les constantes arbitraires

RSI, 4, D”

i

deviennent variables avec le temps £, leurs dérivées, relatives à 4, étant exprimées en fonctions linéaires des six quantités

OR, OR, OR, OR, OR OR de.‘ 08 !: 0 d®” or par des formules connues, que l’on déduit aisément des principes éta-

blis dans le précédent Mémoire, et dans lesquelles les coefficients des six quantités dont il s’agit renferment seulement

4, 1, 0:04 :09, T5

L'intégration par série de ces formules s'effectue aisément lorsqu'on suppose la fonction perturbatrice R développée en une série de sinus et de cosinus d’ares qui varient proportionnellement au temps 4. Ce déve- loppement est l’objet dont nous allons maintenant nous occuper.

EXTRAIT N° 95. 293 Observons d'abord qu’en vertu des formules (4), (5), (6), jointes à la formule de Lagrange, les quantités

d, cos(p—w), sin(p—w), r,

et par suite les quantités r, COSp, Sinp,

pourront être développées en séries de termes proportionnels aux sinus

et cosinus de l’angle ct—7T).

Pour abréger, nous désignerons par 7 cet angle qu'on nomme l'anoma- lie moyenne. Cela posé, l'équation (8) T=c(t—7) réduira la formule (6) à (9) Ÿ —esind = 7; et puisque les trois quantités | r, COSp, Ssinp seront développables en séries de termes proportionnels aux sinus et

cosinus des multiples de T, on pourra, en vertu des formules (5), en dire autant des coordonnées Æ, Vs 2

ou même du rapport

! ! / " XX + —+ 23 COSUE— E2A ,

Donc, si l’on nomme FRS RES LS

les anomalies moyennes relatives aux diverses planètes

! " M D us

R sera développable en une série de termes dont l'un quelconque sera proportionnel aux sinus ou cosinus des multiples de deux de ces ano- malies. Il y a plus : comme, en vertu de formules connues, de sem-

294 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

blables sinus ou-cosinus s’exprimeront à l’aide des puissances entivres positives ou négatives de deux des exponentielles

eV, era, on aura nécessairement

on R= Dm, m' }n,n er T+RTW Ai,

n, n'étant deux quantités entières positives ou négatives, la notation (m, M'}n,n' désignant le coefficient du produit

e! V4 ÿ—I e" T V1

dans la partie du développement de R qui se rapporte aux planètes 7», m', et le signe D indiquant une somme de termes relatifs, soit aux di- verses valeurs entières de x, x’, soil aux diverses planètes combinées deux à deux de toutes les manières possibles.

SI — Sur la distance mutuelle de deux planètes, et sur leur distance apparente, vue du centre du Soleil,

Avant d'aller plus loin, il importe de voir comment la distance mu- tuelle « de deux planètes », m', et leur distance apparénte, vue du centre du Soleil, ou l'angle 5, s'expriment en fonction des coordon- nées polaires p, r, p', r'.

Soient

rs pe 4 A6 TD BI MIT NES ce que deviennent

ls PR M M 6: 9) 7

quand on passe de la planète 72 à la planète »’. La formule

’ !

T2 TX ©.

COSÔ = — SLAM Fr re | en | RE :

EXTRAIT N° 95. 295

jointe aux formules (3) du $ 1, donnera

cos) — {cosp cosp'+ cost cost sinp sinp') COS (o'— ©) + sins sin’ sin p sin p' n

— {cos sinp' cosp — cos sinp cosp'}sin{o — 9 P P P P

ou, Ce qui revient au même, (1) cos d = p cos (p’— p + I) + vcos{p + p'+®),

\

les valeurs de wcosif, wsinIf, vcos®, vsin® étant fournies par les

équations 1 + COS ce CosL')cos(o'— ©) + sins sine” : COS 4 + COS” | u. COSII — ) Fan > Sin sints 0, > 0! \u i er (1— cose cos”) cos(o'"— 9) — sinssine | COS — COS: y COS® — ——— > y sin ® — ———— sin (2'— 0).

| 2 2

Il'est aisé de voir ce que représentent, dans la formule (1), les deux constantes

mor

L

En effet, on Uire des formules (2)

1 + COSc COS 1” + sine sins COS(p' — 9) [4 er , 2

1 — COS: COSt — sine sine” COS(S — ©)

2

De plus, comme, en vertu des formules (3) du $ 1, le plan de l'orbite de la planète 72 est représenté par l'équation

(x coso — ysino) sint + z cosi — 0,

si l’on nomme I l’inclinaison mutuelle des plans des orbites des deux

planètes 7», m', on trouvera cosi — cos: cos: + sin: sine” cos(o" — »).

Donc, par suite, les valeurs de y et v se rédutront à

Ï , U = COS? —» y = $in? 2

296 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

Considérons maintenant la distance « des deux planètes », m'. L'équa- tion qui détermine cette distance peut s’écrire comme il suit

4 LR 4 < Ë É + = — cos] . 3 \r r : Si les orbites des deux planètes 72, mn’ étaient circulaires, on aurait

line À rm t.

et par suite la demi-somme

(3) = (5 + ST).

Donc, si l'on pose généralement al

(4Y D LS NE (4) (+ T)=2+r

la quantité variable » deviendra nulle avec les excentricités. D'ailleurs comme, eu égard à la formule (4), on aura

Kl—

4 (5) e—{orr"}}(1— cosù + p}?,

et par suite

S'a El

(6) == (arr!) (à — cosà + p) ?,

k à ; I : > il sera facile de développer « et - suivant les puissances ascendantes tv

de p. Ainsi, par exemple, on tirera de l'équation (6), jointe à la for- mule de Taylor,

El

(7) Later) EVE Dé (a — cos) LÉ

EXTRAIT N° 95. 297

Ajoutons qu’en vertu de la formule (3), la valeur de +, savoir

| 1f/r #: (8) p=i(5+ri),

‘

pourra être présentée sous la forme

et que de cette dernière équation, jointe à la formule (4) du S I, on tirera

(9) p=i(T 5) (cost — eco).

F

$ IL. — Développement de la fonction perturbatrice.

Comme nous l'avons vu, dans le $ 1, la fonction perturbatrice R, déterminée par l'équation

mr (1) RARE —:. pourra être présentée sous la forme (2) R—,Y (m, m'en TE TNT,

le signe > s'étendant à toutes les valeurs entières positives ou néga-

tives de », n', ét (m, m'),, désignant un coefficient constant, relatif au système des deux planètes 72, m'. Or, si l’on intègre, entre les li- mites o, 27 de chacune des variables T, T’, les deux membres de la dernière équation, respectivement multipliés par

e-NTeN TS AT dT", on trouvera

r 2T 2H se (3) (m, m'}nn+...= = J [ Re-UT+r1V4TdT, 4T 0 0

OEuvres de C. — S.1,t. V. 38

298 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

la somme LS (mn, m'}nnt +...

étant composée de termes

(m,m')n,n' (m, mn" }n,n's

relatifs à un même système de valeurs de », »', et dont le premier se transforme dans les suivants, quand on remplace successivement la planète 7» par la planète #”, où me", ..…. Pour obtenir en particulier la valeur du coefficient (rm, m'),,, 11 suffira de remplacer, dans le se- cond membre de l'équation (5), la fonction R par la somme

m'r m NET COSÔ — — r'2 v

des deux termes relatifs aux seules planètes », m'. On aura donc (4) (m, m' }a,n = Ann ram B, »', en posant, pour abréger, NOT Lo — Ann = = | [ — cosd e 14x71 QT AT" $ 4T* "R 0 a

et

ne 2m hr, Ba, n° — f . Le-nT+nT)=1qT dT'. : 0 0

D'ailleurs, en vertu du principe des aires, on a

ds Ed af C

K désignant le moment linéaire de la vitesse, déterminé par la for- mule K —a?c(1—e}?; et par suite Ep M K” dp,

© Dir (ee) Le er [= UA — —

ce que l’on pourrait aussi conclure des formules (5), (

EXTRAIT Ne 93. 299

Donc les valeurs de A,,,, B,, peuvent être présentées sous les formes

m + rec | An, nm! — + Î KK’ r3 cosd e-trT+n'T') V4 dp dp a 2 rit L

B, de LL [a KE - se {nr T+n'T) Y=1 dp dp'.

I y a plus : eu égard à la formule (7) du $ IT, la valeur de B,,, de-

(5)

viendra - de cé à Hn Dm p a (6 ) Ba, M Â 7) k [x KK’ ETS re (A = cos) AE RTE -1dp dp ’

Dans l'intégrale double que renferme le second membre de léqua-

si

tion (5) ou (6), la fonction sous le signe f peut être considérée comme le produit de deux facteurs P, Q, dont l’un, dépendant uniquement de l'angle à, est développable suivant les sinus et cosinus des multiples dep et de p', tandis que l’autre facteur, en vertu des formules (4), br (6) du $ I, est développable suivant les sinus et cosinus des multiples de p—w et de p—w. Ces deux facteurs sont respectivement, dans la formule (5), |

| ec’ M ne P — cosd Q= ==> 7r e-T+n' TV (7) _ |

et, dans la formule (6),

4 3 U ré (rr! E p eT+n TV,

{ AE (8) P—(1— cos) : Sa 1 4

de © I D 7 F3

On aura donc, en supposant les valeurs de P, Q données par les for- mules (7),

m' 27% 2T (9) Mu mini ‘s PQ d dp', AT? 0 0 P ;

et, en supposant les valeurs de P, Q données par les formules (6),

! 27H 27% (ro) By n° — ra DJ L PQ dp dp', 0 0

300 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

la caractéristique D; étant relative à la quantité à que renferme la lettre P.

Ine reste plus qu’à trouver, dans l’une et l’autre hypothèse, la va- leur de l’intégrale double

2T 2T Fi L PQ dp dp'. 0 0

Or concevons que l’on désigne par

P:,x oupar Q:»

le coefficient du produit el pV-teh'p'V-1 ou du produit eA(p-5)V=re#'(p-5") V1,

dans le développement de la fonction P ou Q suivant les puissances po- sitives ou négatives des exponentielles

ePV-1 ep! V1 ou etp-m)V-1, etp'-m')V1,

?

en sorte qu’on ait (11 ) Fes Ÿ Panethrewr) EE Q = Ÿ Quweir-men (pm) VTT. On aura évidemment, en vertu des formules (rr),

27 27 = (r2) L : PQ dp dp'— 47? Ÿ Par Qr,-metanmn, 0 0

le signe Ÿ s'étendant à toutes les valeurs entières de À, X’. Par suite, £md ë

on tirera de l'équation (9), en admettant les formules (7), ; 3) An,n' Se m'Ù Pan Q-5,-nrethethemN ; et de l'équation (10), en admettant les formules (8),

( 14 ) By,n' — m\ DS Ps x Q 2 _r'etAs+a"m") Fe pe

EXTRAIT N° 95. 301

Par le moyen des équations (13) et(14), la recherche du développe- ment de R suivant les puissances entières positives ou négatives des quatre exponentielles |

elv1, LA ut DA es v-1, es’ v—1

se trouve réduite à la recherche des développements des fonctions auxiliaires P et Q, déterminées par les formules (7) et (8), suivant les puissances entières des exponentielles |

ePV-1, ep'V-1 ou etp-m)v-1, etp'-m')V-1,

Cette dernière rechérche sera l’objet du paragraphe suivant.

Une remarque importante à faire, c’est qu’en vertu des formules (13) et (14), la fonction R peut être représentée par une série de termes dont chacun est le produit d’un facteur de la forme

m'etas+kor) V1 par deux autres facteurs dont le premier, Fo

P,,» ou D,P,,»,

dépend uniquement des constantes o, », :, +’, c’est-à-dire de la position

_des plans des orbites et du rapport _. tandis que le second,

: Q-,-#r,

dépend uniquement des demi-grands axes a, a’ et des excentricités

LA ie:

$ IV. — Développement de la première fonction auxiliaire.

On développera facilement la première fonction auxiliaire P suivant les puissances entières des exponentielles

ePV=1, eP'V1,

ou, en d’autres termes, on déterminera les coefficients P;, compris

302 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE. dans la formule ER ess a P = P; nretrV-1 eh! p'V-1 en opérant comme 1l suit. D'abord, si l’on suppose, conformément aux formules (7) du $ I, (1) Ps tost, on en conclura, eu égard à la formule (1) du S I, P —p cos{p'— p + IE) + cos(p'+ p+®) —=+4n [ev'-P+Ih V3 + e-'-p+ll v+] + yep +rebiT LE ep +p+ BIT. Donc alors on aura (2) P,,= 0, si les deux indices À, 4’ ne se réduisent pas, au signe près, à l'unité,

et, dans le cas contraire,

13) | P su tver vi, Pi nmive Ex: : er P_ii—iuelvi, P,_i—=$pe vs,

Supposons, en second lieu, conformément aux formules (8) du $ INT,

(4) — (à — cos) ?.

On en conclura

P—[i—pcos(p—p+II)—7vcos(p+ p +®)F;

puis, eu égard à la formule de Taylor,

Lu

(— y )écosi( ERA

PES DA [à — pu cos(p'— p + I1)] :

o) —

le signe Ÿ s'étendant à toutes les valeurs entières nulles ou positives

de &. Soit maintenant

. DE

A=[1—uwcos(p—p+n)]

EXTRAIT N° 95. 303

On pourra développer A suivant les puissances entières de l'exponen- tielle

p+Il) ÿ—1 er-r+IDv-i

ce qui revient à développer 1

(A— ucosp)

suivant les puissances entières de e”-'; et, en posant

2T

LE “is A;j= — (A— pcosp) *e-irv-1 dp,

par conséquent

fi Le cos

(6) dp,

> 2

> | |

0 ([À—mu cos p) on trouvera A = Ÿ'Aseiv pe) "a

le signe Ÿ s'étendant à toutes les valeurs entières positives, nulles ou

négatives de 7. Cela posé, la formule (5) donnera

HO É A à PET ; Er , Ur À mr (3) A \ e 2 Lait [er +p+b) V1 6-(p +p+ D) ie Ep} ÿ-1D;A;.

Si, dans cette dernière équation, on développe le binôme Let'+p+ iv un e-t+p+bv=i | et si, pour abréger, on représente par la notation

ifi—3)...(i—l+3) RE POLE

(8) (ih=

le coefficient de x’ dans le développement de (1 + x)", on trouvera (9) P,,»— 0;

toutes les fois que la somme X + L' sera impaire, et, dans lecas con- traire, :

it Dee (4v) Ê i PAT 0 RO O7 LAN EAN (19) és ie 1.2.3 = (oarente Di Aer DB ert-HAVEA, . . US De : ESS ET ER \

304 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

le signe Ÿ s'étendant à toutes les valeurs entières, nulles ou positives

de # qui, rendant la somme 24 + À + ' divisible par 4, fournissent

pour … A+ 2

un nombre pair.

$ V. — Développement de la deuxième fonction auxiliaire.

La deuxième fonction auxiliaire peut se développer facilement sui- vant les puissances entières des exponentielles

etp-5)V-1, etp'-m'V=1,

à l'aide des considérations suivantes. La formule

\' RER — Q =Y Qyrreñtp-m)V-1 eh'(p'-s')ÿ -1

entraine l’équation

27 27 (a) y = f L Qe-A(p -DW-1e-h"(p-0')V-1 dp dp'.

AR Jo Cela posé, considérons d’abord la valeur de Q fournie par la seconde des équations (7) du $ IT. On pourra la décomposer en deux facteurs q, g', dont l’un se rapporte à la planète m, l’autre à la planète »’, les valeurs de g, g' étant (2) Dates g'= Lenrys, Alors, si l'on désigne par g, le coefficient de e##-5/V-1 dans la fonction q, et par g, le coefficient de e“’P-7'V-1 dans le développement de la fonc- tion g’, on aura, non seulement

Q=— 9";

mais encore

(3) Qu,x = qnqn.

EXTRAIT N° 95. N 305

Ajoutons que les valeurs de g,, q, seront déterminées par les équa-

tions

2 2T ss _h(p-0 ET = f PR Et nt (4) qg= . qerp-PNTt dp, VA 27 J, ŒRS RE ‘dp',

et par conséquent représentées par des intégrales simples dont il est facile d'obtenir les valeurs.

Considérons maintenant la valeur de Q fournie par la seconde des équations (8) du $ HI. Pour la décomposer en termes dont chacun soit le produit de deux facteurs relatifs à une seule des planètes 72, »°, il suffira de développer les deux binômes qui entrent dans la valeur de l'expression

D HET. 2 4 (— 2p)/— É — nm) (e" cos d’— e cosd)/. En effet, en opérant ce développement, on a

apeT oi(o(n, (E) (E) (cost) (s"e0s9' y,

le signe D s'étendant à toutes les valeurs entières, nulles ou positives

de

RTE MON | HS qui vérifient les conditions (5) iti—i

Donc la seconde des formules (8) du $ IT donner:

Ë + ut (6) Q= dd (D (U)gg", les valeurs g, g’ étant, eu égard aux formules (5), : : c!' » PE (7) q = K ej at—ir? en TV cosiŸ, de ——— . gJ! ali r! 2 en T'V-1 cos/'Ù";

et, si l’on désigne encore par g,, g, les coefficients des exponentielles

el(p-5)V=1, ek'(p'-m/)V1, ŒEuvres de C. — S.I, t. V. 39

306 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

dans les développements de g, g', suivant les puissances entières de etp-G)V-1 ou de etr'-m’)V=1, on tirera de l'équation (6)

; 27 EE 1e

(8) Qu, — MP VAN DRAIUIUT TE

les valeurs de g,, g; pouvant encore être déduites des valeurs de g, g' données par les formules (7), à l’aide des équations (4).

Ainsi, la recherche du développement de la deuxième fonction auxi- liaire se réduit à la recherche des développements des fonctions g, g’, que déterminent les formules (2) ou (7), et que nous appellerons fac- teurs simples, parce que chacun d’eux se rapporte à une seule des deux planètes mr, m'.

D'ailleurs on déduit les formules (2) des formules (7), en posant dans celles-ci 7 = 0, j— 0, et remplaçant en outre Let & par — À, ou /’ et 2’ par 5. De plus, on déduit la seconde des formules (7) de la pre- mière, en accentuant toutes les lettres. Donc, en définitive, la re- cherche du développement de la fonction perturbatrice se réduit à la re- cherche du développement du facteur g, déterminé par la première des équations (7), dans le cas où, j étant un nombre entier, on attribue à leti, ou l’une des valeurs — ?, + ?, ou des valeurs entières, nulles ou positives, la valeur de z étant alors tout au plus égale à celle de Z.

S VI. — Développement des facteurs simples.

Il ne reste plus qu’à développer suivant les puissances de

etp-m)V-1

la valeur de q déterminée par la première des formules (7) du $ V, sa- voir,

(1) qg= gear fer TV-1 cosi.

EXTRAIT N° 95. 307

Or, comme on l’a déjà remarqué, si l'on pose généralement

on aura

I 2H (2) qu= — k ge APN dp.

D'ailleurs, en vertu des formules (5) du $ I‘, ou, ce qui revient au même, en vertu des formules

}

D D | FD es AT Cr «a on à K 7

Donc l'équation (2) peut être réduite à

2T qh= — . Kana pou =t dy, 0

2T Cr

et l’on aura, eu égard à la formule (1), I _. Se — (3) qh _— — al-i-1 El en e-nTV-te-h(p-5)V-1 cos d du 4 27 À n T Si maintenant on tient compte de la formule r—a(i1—ecost),

on tirera de l’équation (3)

A LES ai-ip 3 % ;

(4) qa=a Ep is;

pourvu que l’on désigne, à l’aide de la notation Es à j

une fonction de «, représentée par une intégrale simple et déterminée par la formule

27%

(1— ecosbé(ecosb}/e-2TV-Te-Atp -)V-1 dy.

(5) Fiji nt :

308 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

Or, en vertu de la formule T = Ÿ — esind, on a

ie is ir md} PSN Len (6) enTV-1— p-n V1 e-nesinY V1 =Y (ne sing )f en YV-1 (= Un

RE US à

le signe Ÿ s'étendant à toutes les valeurs entières, nulles ou positives

de Æ. De plus, comme, en désignant par » la tangente de la moitié de l'angle qui a pour sinus €, on trouvera

7 É — RS (7) £ SRE (1 € MER

: _14+nt 29 008% € ee na (8) | eus e cos Ÿ — + n° pra par (a ut neYV1) (1 LA ne-YW=1),

les formules (5) du $ I* donneront

(1— n°) sin

(1+n2)cosd — 2n 1— 29 COSŸ +1?

— 9 1— 21 COSŸ + r?

(9) cos(p— x) — sin(p—w)= et l’on en conclura Rue Lines (10) ep-5)V-1 NA 1 — neŸv—1

Cela posé, on aura

/

(1—ecosd}'e hrs — het: — ne) ne tv )ié,

2) par conséquent (1— ecosb)fe-k(p-m)V-1

(ri) 4 IN < ; du | = (+) Ÿ (—1)f+8(i+h)p(i — hgnf+sef-8 AY,

et l’on tirera des formules (5), (6), (11)

; tir LR Ne ? (12) E, c,j = Se ei D(—1)f+8 r pt + bplé— he r-g-h-n, 5.8

pourvu que l’on désigne généralement à l’aide de la relation

Gi, j,r

EXTRAIT N° 95. 309

le nombre déterminé par la formule , 2T # Fe (13) Mi, j,k = — [ eëyV=1 cos’ U (sin LV —1)* dL. 2T ; 0

Or cette dernière formule se réduit : 1° Pour des valeurs paires du nombre #, à

k 27 ri 1 Q e . ; ge f cosi4 cos/d sin“ dl; 0

x Le ex

.

2° Pour des valeurs impaires du nombre #, à

CA À

27 (15) Je, je (— 1} * ps 1: sin£4 cos/d sin“ 4 db. 0 Done la recherche du développement de R se réduit, en dernière ana- lyse, à la détermination des nombres représentés par les intégrales

2T 2T < cosi 4 cos/ 4 sind du, + sin 4 cos/ 4 sin“4 dv, 9 9

dans lesquelles les exposants 7, # sont entiers et positifs, la quantité x pouvant être positive ou négative. Au reste, cette détermination peut s'effectuer très simplement, comme on va le voir.

La valeur générale de %;,,x, déterminée par la formule (9), se ré- duit évidemment au terme constant, c’est-à-dire indépendant de l'ex-

ponentielle elv=1,

dans le développement du produit

ei#=1 cosi (sind ÿ— 1)", ou (4) +k ep Vr Cepvr + er} (et —e Ÿ v=1}",

suivant les puissances entières de cette exponentielle ; par conséquent, elle se réduit au terme constant, c’est-à-dire indépendant de +, dans le

310 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE. développement du produit (Hat (æ 2 at (eat

suivant les puissances entières de x. On a done par suite 16) eee (HA (1) (lai 2

Ajoutons qu’en vertu de la formule

End in ra L cos(i+i)g

la valeur du coefficient x; ;:, donnée par la formule (15) et correspon- dante à une valeur paire de #, est la demi-somme de deux valeurs du même coefficient correspondantes à deux valeurs paires de #. Done, si, pour faciliter les calculs astronomiques, on formait une Table des va- leurs de %;,;, il suffirait de donner celles qu'on obtient en prenant pour # un nombre pair.

Au reste, les coefficients de la forme X,;,;,;, jouissent de plusieurs propriétés remarquables qu’il est facile d'établir. Aïnsi, par exemple, les équations

dif +a rt} = (rit + pit) (x + ze tt,

(x + xt (x — CAN E ee (æ2 — x?) entrainent immédiatement les suivantes : 2 Mi, j,k = Voj4s, ji, k + Dit ,j 4 ,k5

Mir Miiok—=(—1) * (Khax-is

dont la dernière subsiste pour des valeurs paires de z. Dans d’autres Mémoires nous donnerons de nombreuses applications des formules que renferme celui-ci.

EXTRAIT N° 96. 311

96.

Mécanique cÉLESTE. — Note sur le developpement de la foncuon perturbatrice.

C. R., tt. XI, p. 5or (21 septembre 1840).

En suivant la méthode que j'ai indiquée dans mon dernier Mémoire, on développe la fonction perturbatrice R relative à l’une quelconque des planètes en une série de sinus et cosinus d’arcs qui varient propor- tionnellement au temps. Cette méthode exige, comme on l’a vu, la dé- termination de certaines intégrales définies simples, dont chacune dé- pend uniquement du rapport entre les grands axes des orbites de deux planètes, de l’inclinaison mutuelle des plans de ces orbites, et de l'angle compris sur le plan fixe entre les lignes des nœuds. Mais ce qu'il importe de remarquer, et ce que l’on verra dans cette Note, c’est que pour obtenir dans le développement de R le coefficient du terme correspondant à un argument donné, c’est-à-dire à la somme et à la différence de deux multiples donnés des anomalies moyennes de deux planètes, il suffit de calculer un petit nombre de ces intégrales définies.

J'indique aussi, dans la présente Note, un nouveau moyen d’ob- tenir, dans le développement de la fonction perturbatrice, ce que j'ai nommé les facteurs simples. Ce nouveau moyen est particulièrement utile lorsqu'on se propose d'obtenir les termes indépendants du temps, et permet de présenter ces termes sous une forme très simple. La dé- termination de ces termes, dont je donne les valeurs exactes, est d’ail- leurs, comme on sait, d’une grande importance, puisque c’est d’eux que dépendent les inégalités séculaires du premier ordre dans le mou- vement des planètes.

ANALYSE.

$ 1. — Tableau général des formules pour le développement de la fonction perturbatrice.

Comme on l’a vu dans le dernier numéro, si l’on nomme mn, m', ...

312 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

les masses des planètes ; r, r',...leurs distances au Soleil; « la distance des planètes m, m', et à leur distance apparente, vue du centre du Soleil, la fonction perturbatrice relative à la planète », c’est-à-dire la valeur de R déterminée par l'équation

mrE à m (1) R— —— cosd+...— — —..., Le tv pourra être présentée sous la forme | + : - 2 (2) RER (m, nt re, net ECRTHRTIN A,

T, T' désignant les anomalies moyennes relatives aux planètes »2, mn’, (m, m'),, étant le coefficient de l’exponentielle

etnT+n T)V—1

dans le développement de R, et le signe Ÿ s'étendant, d’une part, à toutes les planètes perturbatrices »', m", ..., d'autre part, à toutes les valeurs entières positives, nulles ou négatives de n, n’.

Cela posé, si l’on nomme A,,, la partie du coefficient (#2, m'),, qui dépend du terme M cosÿ, c'est-à-dire de l’action exercée par la pla- nète » sur le Soleil, et par — B,,, la partie qui dépend du terme — _ c’est-à-dire de l’action de la planète »7° sur la planète 72, on aura

(2) / Eu \ 3) (m, m }n,nt = Ann ES B,n.

De plus, en vertu des principes que nous avons établis, les valeurs des coefficients À,,,, B,,, se trouveront déterminées comme il suit.

Soient

a, a’ les demi-grands axes des orbites des planètes », m';

:,« les excentricités de ces orbites;

5, les longitudes des périhélies ;

», 9’ les angles formés par les lignes des nœuds avec un axe fixe; .,v les inclinaisons des deux orbites ; |

I leur inclinaison mutuelle.

Qr

1

EXTRAIT N° 96. 313

Nommons d’ailleurs n, n’ les tangentes des moitiés des angles aigus qui ont pour sinus €, €; posons

(4) = (5 +S), p = cos? so.

et supposons les angles auxiliaires If, ® déterminés par les formules

(1+ cos: cose') cos(o"—9)+ sin: sine

. COS: + COS . ; cos II — , Sin = ———— sin(s — 0), 24 2 (2. 1— cos: cosr') cos{o — ©) —sinesint. L COSL' — COSL , cod | e ; QD sin (op gl. y y

Si, pour abréger, on désigne par (4), le coefficient numérique de x’ dans le développement du binôme (1 + x), en sorte qu’on ait

Ce fes airep (6) À Em A PU CP EE 1)

AS PS

la valeur de A,,,:se trouvera déterminée par le système des formules

(7) A , P,: Q_, ets +0/)V=1 + pr50;: e-(w+a')V—1 } ne Fe à APE RQ e(m'-5) Vi + | d'en Q,,1et5-0 "V1

Fr: IE, Qi did, / 4 Met EE LL MES RP Qi, —g-1 1, (8) É Pis = huellv1, Q_: midi Fer = fue-vVTr SE Le PE

qi

=« | 4

ed.

= a

2 ir Sato É DE (re (Klepegenen Ait,

2 A—f+g-n+1 re SE Be (klrgenr pre,

( s SE EE k'+ g'—n'—1

€ 27 € 2n n'e'\# 2 £' —4 2 1\ À 2 ) je, 2 0 (2er (es gene ne’, +

- RE tie

k— fn +1 eee

€ es 2 ’ F1 NS à (—1) = 2) (A far rare rpg 2 AJ".

| se ee |

OEuvres de C.—S,. I, t. V. 40

q q_

314 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

Il est bon d'observer qu’en vertu des équations (7) et (8) on aura

/ m' F. 7 te ee vf qq". ets+o'+b)V-1 ne qi q e-(s+u'+b)V-1] ; > (11)

! + ufqig. em -m+IDVT LE q ique-tet-5+IDv |; LL

en sorte que, pour déterminer la valeur de À,,,, il suffira de joindre la formule (11) aux équations (9) et (10). Quant à la valeur de B,,,, elle se trouve déterminée par le système

des formules l pu (12) B», n° — e D; PQ x, -rretis+ho Vi ï

(— lv) (13) Pr re PAPE Jeisaæ e? ZAR) DT Fe AD

PEL

dr h'—h S

I ". 2 (14) As} Car oT - 5 dp, 4 (A—ucosp}* — 1-4 ) : LS ? (15) Qu 5 2 (0) (D: (0)q7 qu

re) PRES VE 1 À . (ne) t qu=at-si-i( =) (EE EE (ME eh

27 (17) Ra 22 ut fT eëW=t cosi (sind V—1)* dy. PEN À

De plus, en vertu de la formule (17), %;,;,: représente le terme con- stant, c’est-à-dire indépendant de x, dans le développement du pro-

duit (Rat(e + a (e at)

en sorte qu'on à encore (18) Dia (SAS (ré (H)a (his je

Enfin, si l’on nomme Fi Jr TT Dr À

ce que deviennent Fa : RE fs S k

EXTRAIT N° 96. - 319 lorsqu'on passe de g,; à g,, on aura (19) iti=l jJ+j=l.

On ne doit pas oublier que le signe sommatoire Ÿ s'étend, dans la

formule (12), aux diverses valeurs entières, nulles ou positives, de /: dans la formule (13), aux diverses valeurs entières, nulles ou positives, de {; dans la formule (15), aux valeurs entières, nulles ou positives, de #, 7; enfin dans les formules (9), (16), aux valeurs entières, nulles ou positives, de #, f, g, et dans les formules (10), aux valeurs entières, nulles ou positives, de #', f", g’. Ajoutons que l'expression (#), sup- ‘pose le nombre / entier, mais non supérieur à #, et doit être remplacée par zéro quand ces conditions ne sont pas remplies. Il en résulte que la valeur de P,,; donnée par les formules (13) sera nulle si la somme h + k' est impaire; que, dans la formule (15), #, j ne doivent pas sur- passer /; que, dans les formules (9), l’un des nombres /, g admet seulement les valeurs o, r,et l’autre les valeurs o, r, 2, 3; que. dans les formules (9) et (ro), # ou 4’ doit surpasser la moitié de la somme

k—f+g+n+i où k— f+g+n—:, ou

k'+g+n' +1 où k—f'+n —1,

enfin que, dans ;,;:, l'indice £ doit rester compris entre les limites —(j+bkjet j +4.

SIL. — Sur l’ordre des termes que renferme le développement de la fonction perturbatrice.

Dans notre système planétaire, Les excentricités des orbites et leurs inclinaisons sont généralement fort petites. En considérant, pour deux planètes données m, m', les excentricités e, e’, et Les inelinaisons :, :’, comme des quantités très petites du premier ordre, on peut demander quel sera l’ordre de chacun des termes fournis par notre analyse dans le développement de l’expression

(m, m' Ja, ns

316 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

par exemple d’un terme correspondant à des valeurs données de HYMNE LÉO EN -,

dans le développement de A,,,. Or la valeur de x, déterminée par la

formule

2n € One

°

1+ Vi—e?

est du premier ordre ainsi que «, et la valeur de v, donnée par la for- mule

RES | y = sin? -—; 2

“ane : I à est du second ordre, ainsi que le carré de =: Donc, en vertu des for-

mules (9), (10),(11) du $ If, un terme correspondant à des valeurs

données de J 5° k, + gs ke

étant proportionnel au produit des facteurs eh, nf+8, e'k et n'& ou »'/!, sera de l’ordre N, déterminé par l’une des équations (1) N=f+g+k+g+h où N=f+g+k+f'+k, si ce terme ne renferme pas le facteur v, et par l’une des équations (2) N=f+g+kh+g+k +2 où N=f+g+k+f'+k+3,

dans le cas contraire. Donc, si, dans le calcul de la valeur de A,,,, on veut négliger les quantités d’un ordre supérieur à N, on devra seule- ment tenir compte des termes correspondants à des valeurs de

f, S° kr, Ta L' kr

v

qui vérifient l’une des formules (1), (2), ou à des valeurs plus petites. Passons au développement de B,,,,. Le terme qui, dans ce dévelop- pement, aura pour facteur les quantités

ee As ne, No nr,

EXTRAIT N° 96. 317

sera évidemment de l’ordre N, déterminé par la formule (3) N=oi+j+j+f+g+kh+f+g +,

laquelle, en vertu de la condition

ft = [voir la seconde des formules (10) du paragraphe I*°], se réduit simple- ment à (4) N=siLitf+etébfp te LE.

Donc, si dans le calcul de la valeur de B,,, on veut négliger les quan- tités de l’ordre N, on devra seulement tenir compte des termes corres-

pondants aux valeurs de HU es hi Ba N

qui vérifieront la formule (4), ou à des valeurs plus petites. D'ailleurs,

chacune des lettres M ADS VS SOS PT SUR à

représentant un nombre entier égal ou supérieur à zéro, la formule (4)

donnera 21.+1—= où EN,

et à plus forte raison (5) i+l—= où <N.

Ce n’est pas tout : comme M f_g_h-n,j,k

s’évanouit, quand f — g — k — n n’est pas compris entre les limites —(i+hs ++,

il résulte de la formule (16) du $ E* que, dans chaque terme du déve- loppement de B,,,,, la valeur numérique de

f—-g—h—n sera inférieure à 7 + #. La valeur numérique de

f—g—-h—n

318 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

devant être pareillement inférieure à 7'+ #', on peut affirmer que la différence

À tom eu ane à M en dons dE Se SE SG ce offrira une valeur numérique inférieure à la quantité

J+k+i+k=l+k+k. Donc h'—h+n—n offrira une valeur numérique inférieure à la somme de celles des deux quantités LE) VU ERutt 1 Mat À out DE et, à plus forte raison, à la somme

lHk+k ++ g +f+g=N—-oi.

Donc, la valeur numérique de L'— h sera inférieure à la somme faite du nombre N et de la valeur numérique de la différence 7 — 7. Cela posé, comme, dans le développement de B,,,, un terme correspondant à des valeurs données de

renfermera le facteur DD; Ay_3 — DS A h° il est clair qu’en désignant par N l’ordre de ce terme, on aura (6) l+i= ou <N L—h N+mod.{(n/—n)

(7) Mod. —— = ou )

2

pourvu que par le signe mod., placé devant une quantité réelle, on dé- signe le module, c’est-à-dire, en d’autres termes, la valeur numérique de cette même quantité. |

En vertu des formules (6) et (7), lorsque dans le développement de B,, on voudra obtenir la partie correspondante à des valeurs don-

EXTRAIT N° 96. 319 nées de x, n', en poussant l'approximation jusqu'aux quantités de l’ordre N, on aura seulement à calculer un petit nombre d’expressions de la forme

AT do COS j (8) DA= ee | ch o (À—umcosp) ?

savoir, celles qui correspondent à des valeurs de / qui ne surpassent pas la limite N, et à des valeurs de 7 qui ne surpassent pas la limite

N+mod.{(n'—n) 2

Si, pour fixer les idées, on adopte les valeurs de », n° qui corres- pondent à la grande inégalité de Saturne et de Jupiter, c’est-à-dire si

l’on prend pe se ne

Es a, on trouvera N+mod.{(n'—n) N+)

2 2 Donc alors, si l’on prend N = 5 ou N — 6, la valeur de 7 ne devra pas

surpasser le nombre G.

S III. — Sur le développement des facteurs simples.

Le développement du facteur simple q, déterminé par l'équation

D D dr. (1) q= peer Lena ! cos/v,

dans laquelle on a

K—a?c{i—e?)},

El

ou, en d’autres termes, l'évaluation du coefficient

re te) ten

Le 27 du ge | ge” MP=e"t dp

peut s’effectuer de plusieurs manières, et à la formule (6) du para- graphe précédent on peut substituer celles que nous allons indiquer.

320 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

On a non seulement T—4%—esind et par suite

Ps k ste Re

( 3) e7A TV-1 > _(nelr e-nyv-—1 ( sin d V— Le RE TEN mais encore, pour des valeurs positives de »,

SET RFA US n & . Er NL, (4) erW1 = (cos$ —Y—1 sing) = — 12—{{(n); cost 4(sin® ÿ—1)""", et, pour des valeurs négatives de 7,

ar %. ——

(5) er (cos® + ÿ—r sing)" =) (— n}: cost b (sind ÿ— 1)"

Or, à l’aide de ces formules, jointes aux trois équations

r 1 — €? pes: in ; , | a. 1+ecos(p—"w) (6)

à /

KL

cos(p—w)+e 1+EeCcos(p —&)

(1—e?)* sin(p —z) 1 +eCcos(p —&)

| cos Y — Ù sin V4 — on ramènera Immédiatement la détermination de g, à l’évaluation d'une intégrale de la forme

" [cos(p—m)+el

27 J, (i+ecos(p —-&)|”

cos/(p — &)[sin(p —æ) V—1ffe-Atr-mv-r 4,

/, 8, l', létant des nombres entiers. En développant, dans cette inté- grale, les expressions

[cos(p —æ)+el”, [i+ecos(p —w)]-?”

en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes de €, puis rem- plaçant p — 5 par p, on réduit la détermination de g, à l'évaluation des quantités de la forme %;,;,4.

La formule que l’on obtient de cette manière, et que nous nous dis- pensons d'écrire pour abréger, devient fort simple dans le cas où l’on veut obtenir la partie de R qui ne dépend pas du temps #, ou, en d’au- tres termes, les valeurs de A,,5, B,,,. Alors, les valeurs de g' et g',

EXTRAIT N° 97. 321

étant nulles dans le développement de A,,,, on en conclut que A,,, s’éva- nouit. Quant à la valeur de B,,,, elle se déduit sans peine des formules du paragraphe précédent. Mais on peut y déterminer g,, soit par la for- _mule (16) de ce paragraphe, réduite alors à la suivante

1 F Las £ À ., " « > { EE 4) BON Gi hi Mie gente

2

soit à l’aide de la formule (2), de laquelle on tire, en la joignant aux équations (6),

9 a À el Ne Fr se . œ SR LEE, an Ge Jr y — Self + Slrrsrnefte. 91. MÉCANIQUE CÉLESTE. — Sur le mouvement de notre système planétaire.

C.R., t. XI, p. 512 (21 septembre 1840).

Je donnerai dans ce Mémoire les intégrales générales des équations différentielles qui représentent le mouvement de notre système plané- taire. Une transformation qu’il importe de signaler m’a permis de pré- senter ces intégrales sous des formes très simples. Elle consiste à prendre pour éléments du mouvement elliptique, non plus les six élé- ments que l’on considère habituellement, mais seulement trois d’entre eux, savoir : l'époque du passage d'une planète au périhélie, la longt- tude du périhélie et l'angle formé avec un axe fixe par la ligne des nœuds, en remplaçant d’ailleurs l’excentricité par le paramètre, ou plutôt par le moment linéaire de la vitesse, l’inclinaison de l'orbite sur le plan fixe par la projection de ce moment linéaire sur le même plan, et le demi-grand axe par la moitié de la force vive correspondante à l'instant où la planète passe par l'extrémité du petit axe, c'est-à-dire, en d’autres termes, à l’instant où la distance de la planète au Soleil est la distance moyenne.

CEuvre dd C.SEUY. | 41

322 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

La seule inspection des intégrales obtenues comme je viens de le dire fournit immédiatement les beaux théorèmes de Lagrange, de Poisson, de Laplace sur la stabilité de notre système planétaire, et con- duit à une multitude de conséquences que je développerai prochaine- ment dans un nouveau Mémoire.

$ Er. — Équations différentielles du mouvement des planètes.

Considérons d’abord une seule planète, qui se meuve autour d’un centre fixe vers lequel elle est attirée; et soient, au bout du temps z :

x, y, 3 les coordonnées rectangulaires de la planète, le centre fixe étant pris pour origine; u, v, les projections algébriques de la vitesse w sur les axes des x,

r le rayon vecteur mené du centre fixe à la planète; p l'angle polaire formé par le rayon vecteur avec la trace du plan de l'orbite sur le plan des x, y, ou, en d’autres termes, avec la ligne

des nœuds.

Soient, de plus,

® l'angle formé par la ligne des nœuds avec l’axe des x;

= l’un des instants où la vitesse devient perpendiculaire au rayon vec- teur;

«, & les valeurs de r et p à cet instant ;

K le moment linéaire de la vitesse w ;

U, V,W les projections algébriques de ce moment linéaire sur les axes des æ, y; 3; ;

enfin H la constante arbitraire introduite par le principe des forces vives, en sorte qu’on ait généralement

Lo? Jr) + H,

f{r) étant une fonction déterminée de r. Les valeurs des six constantes

arbitraires Mie RW te © À

EXTRAIT N° 97. 323

tirées des équations du mouvement, s’exprimeront en fonction des six

variables V2 0,8:

et si, en désignant par F0

L 4

des fonctions quelconques de ces six variables, on pose généralement

[P,Q]=D;P D,Q — D,P D;Q + D,P D,Q — D,PD,Q + D.PD,,Q—D,P D:Q,

on trouvera, comme nous l’avons démontré dans un précédent Mé-

moire, FHitviSe, [aæ, K] = 1.

De plus, les formules CV, Mit IN 01,

obtenues dans ce Mémoire, donneront

Ë WE GIU WI IV WE

eu wi ©

v puis, en ayant égard à l'équation Ÿ = — tango, on en conclura to Wi=e,

Donc, si, après avoir exprimé les six quantités

M Me se 0 9

en fonction de T, Ps Z; U, o, æ,

à l’aide des équations du mouvement, on combine ces six quantités deux à deux de toutes Les manières possibles, non seulement les trente fonctions alternées qui correspondront à ces diverses combinaisons seront deux à deux égales au signe près, mais de plus on peut affir-

32% COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

mer que six d’entre elles auront pour valeur numérique l'unité, et que l’on aura

(1) CH z]=r, [so K]=1, [e, W]=xr,

par conséquent

(2) [r, H]=—:1, [K,&]=—:1, [W, o]——1.

Ajoutons qu’en vertu des formules établies dans le Mémoire ci-dessus rappelé, les vingt-quatre autres fonctions alternées, formées avec les six quantités BR EN se réduiront à zéro. Lorsque, le centre fixe étant celui du Soleil, la force attractive est réciproquement proportionnelle au carré de la distance, alors, en re-

; DIS | présentant cette force par =? On trouve

où o du = — pes dr, puis on en conclut Dire (3) +02 = H + —. ° Fr Si d’ailleurs on pose VU — Dr,

» représentera, au signe près, la projection de la vitesse w sur le rayon vecteur 7; et de l'équation (3), combinée avec la formule

(2

= VU + —) r?

on tirera

K? JT

v?—2H— — +2 p”

Donc la valeur « de r, correspondante à une valeur nulle de », sera dé-

terminée par l'équation

1 |

Ï ©

EXTRAIT No 97. 325

D'autre part, il est aisé de s'assurer que, dans le cas dont il s’agit, l’or- bite décrite est une ellipse dont le centre du Soleil occupe un foyer. Cela posé, si l’on nomme a le demi-grand axe de cette ellipse, ete son excentricité, les deux racines de l’équation (4) seront les distances périhélie et aphélie

a(i1—e), afi+e)

dont la somme est 24, et le produit a?’(1 — &?). On aura donc

are 1 K? D — 724 UE Men Rue ie Et}, par conséquent or (5) H=— K?—JMa(i— ce);

et en posant, pour abréger,

on trouvera définitivement

(6) H —— {a?c?, K—a?c(i—e?).

Si, en particulier, on prend pour « la distance périhélie a{r — 2), - sera l’époque du passage de la planète au périhélie, et 5 la longitude du périhélie. Si d’ailleurs on nomme @ la valeur de 5w? correspon- dante à l'instant où la planète passe par l'extrémité du petit axe de l’ellipse décrite, c’est-à-dire à l'instant où l’on a r — a, la formule (3) donnera

AN

Q = H + H — 2H = —- H,

et Les formules (1), (2) pourront être réduites aux suivantes :

(LT, Dis, Le, Ki; ta Wi=a, DU Un Din ie aEqr AL y

Si l’on choisit convenablement l’unité de masse, la constante 9, dans les formules précédentes, pourra être censée représenter la masse

326 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

du Soleil, dont le centre est supposé fixe; et les équations du mouve- ment seront de la forme 0] Fi nl A 9 NE 4 2 —— 3

Si l’on cesse de supposer fixe le centre du Soleil, mais en continuant d'y placer l’origine, on devra, dans les formules (8), prendre pour ait la somme faite de la masse M du Soleil et de la masse 7» de la planète que l’on considère. Enfin, si la planète m2 est troublée dans son mouvement par d’autres planètes #»',r#", .., on devra, aux formules (8), substituer

celles-ci : à D? x — — A 16 mes HR, rè / Sas 4 9) Diy=—s—D,R, ; 3 | D}s == DR,

R étant la fonction perturbatrice. Alors aussi, pour obtenir les lois du mouvement troublé, il suffira d'opérer de la même manière.

On exprimera, dans le mouvement elliptique, les coordonnées de chaque planète » en fonction du temps £ et des six constantes arbi- traires

CORTE COEUR, PO puis on substituera les valeurs de ces coordonnées dans les fonctions perturbatrices Re... relatives aux diverses planètes. Cela posé, pour obtenir les mouvements des planètes, 1l suffira de considérer, dans les équations finies des mouvements elliptiques, les quantités

Q, K, W, Tr D 9» comme représentant, non plus des constantes arbitraires, mais de vé-

ritables fonctions de . D'ailleurs, en vertu des théorèmes connus sur la variation des constantes arbitraires, joints aux formules (7), ces

EXTRAIT: N° 97. 327

fonctions de £# se trouveront déterminées par des équations de la

forme | D,r == Do, Do = DER, Dep —=Dwk, (10) | DO——D.R,, DK—=—DSR, D: W——D,R,

SIL. — /ntégration par série d’un système d'équations différentielles.

Soit donné, entre la variable indépendante 4, qui pourra représenter

le temps, et diverses variables principales

Ni Pi de es un système d'équations différentielles de la forme (1) Ds? “Dyr—0Q, ..…,

P, Q, ..… désignant des fonctions données de toutes les variables

Soit en outre (2) PSS UE ET PE

une fonction donnée quelconque des seules variables principales x, y,

3,.... Enfin, nommons Sn vis

un second système de valeurs correspondantes des diverses variables M Pr is b

et ®

’ 9, ce que deviennent les fonctions

P; Q,

quand on y remplace respectivement æ, y, 5, ..., 6 par x, y, z, ..., 0. On aura encore

(3) xt, DMy=9,

328 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE. De plus, comme les variables principales æ, y, z, ... se trouveront

complètement déterminées par la double condition de vérifier, quel que soit £, les équations (1), et, pour 4 — 6, les conditions +

CAN ue * 7 ps (4) Me, HER À EEE RE

il est clair que x, y, z, ..., et même s, pourront être considérées comme des fonctions déterminées, non seulement de la variable indé- pendante 4, mais encore de

Wii idee

Concevons maintenant, pour fixer les idées, que la valeur des, expri- mée en fonction de x, y, Z, ..., 0, £, soit

(5) FRE et

et nommons : la valeur particulière de s correspondante à 4 — 6, en sorte qu'on ait

(6) con FX, ÿ, 4x8 0501

Puisque les deux systèmes de quantités

M Ne SC Eu EE (9

peuvent varier indépendamment l’un de l’autre, on pourra concevoir que, dans la formule (5), les quantités

+ SRE PO MOSS DE

varient seules, s et : demeurant invariables ; et alors on tirera de cette formule, eu égard aux équations (3),

(7) (Do + 2D, + 9D,+...)F(x,y,2,...,0, 4) — 0.

Or l'équation (7) ne renferme plus que les variables 4, 6 dont les va- leurs sont arbitraires, et les quantités

NES PE

EXTRAIT Ne 97. 329

qui pourront elles-mêmes être considérées comme autant de constantes arbitraires. Donc cette équation doit être identique et subsister quelles que soient les valeurs attribuées à

M VD is 0,

En d’autres termes, la valeur de s, regardée comme fonction des quan- tités Ys 2, 2 09 6,

devra, si l’on considère ces quantités comme autant de variables indé- pendantes, vérifier l'équation aux différences partielles

(8) (De + D, + 2 D, +...)s — 0.

Done, si l’on veut déterminer s, il suffira d'intégrer cette équation, de manière que, pour { = 6, l’on ait

(9) RD NCLI SR Posons maintenant, pour abréger, ER +SD, +..:= 0.

L'équation (8), que nous nommerons l’équation caractéristique, de- viendra

(10) (Do + D }s — 0.

Or, pour intégrer cette dernière, de manière que la condition (9) se

trouve remplie, il suffira de prendre (11) SF, HS He..s

c,, y» -.. étant des fonctions de x, y, Z, ..., 0, £ qui soient propres à vérifier les formules

(12) Doc, = — OÙ, Des, = — D,

et qui, de plus, s’évanouissent pour 4 — 0. Or les valeurs de ,, €,, ... CEuvres de C.—S.I,1t. V. 42

330 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

ainsi déterminées, seront évidemment

0 | 0 (13) = f [ ç d6, =f O <, d0, Re t t

et, si l’on nomme

ce que devient [ quand on y remplace successivement 0 par diverses variables

les formules (13) donneront

t RE L (14) Re. O,c dé, =) [ 00,4, 0 0 6,

Donc l'intégrale générale de l'équation (ro) sera

È t t (15) s=s+ f D,<d0,+ [ jé 0,0, d0 d0,+.... 0 9 0,

La formule (15) est spécialement utile lorsque les fonctions de x, Y, Z, ..., 0 représentées par ®, 9, ... se réduisent à des quantités très petites.

Dans le cas particulier où P, Q, ... ne renferment pas la variable z, les fonctions ®, 9, ... ne renferment pas 0, et l’on a, par suite,

RES à PAUSE à PA TS

4

Donc alors la formule (15) se réduit à

(16) s=[i+ a+ tons... een Les équations (15) et (16) s'accordent avec les formules que j'ai don- nées, en 1836, dans un Mémoire sur l'intégration d’un système d’équa- tions différentielles.

Si l’on supposait les équations (1) réduites à celle-ci

DS AZ,

EXTRAIT N° 98. 331 a désignant un coefficient constant, alors on trouverait FM = ap,,

puis, en posant s — +, et par suite s = x, on verrait l’équation (16) se réduire à la formule connue

ge eatt—6) k. GA

Pour ne pas trop allonger cet article, je renverrai à un prochain nu- méro les paragraphes suivants, dans lesquels les formules (14) et (15) se trouveront appliquées à l'intégration des équations différentielles obtenues dans le premier, par conséquent à la détermination du mou- vement de notre système planétaire.

PRELSE LISRIS | LUNIVERSITY 98 RCALIFORNIA. 5 MÉCanIQuE CÉLESTE. — Sur le mouvement de notre système planétaire. £ C. R.,t. XI, p. 533 (28 septembre 1840). — Suite. S II. — /ntégration des équations qui représentent les mouvements

des planètes.

Comme nous l’avons déjà dit, pour obtenir les équations du mouve- ment des diverses planètes 72, m', m",..., il suffit d'admettre que, dans les équations finies de leur mouvement elliptique, les constantes arbitraires deviennent fonctions du temps. Les calculs deviennent plus simples lorsque ces constantes arbitraires sont, pour chaque planète, l’époque du passage au périhélie, la longitude du périhélie, l'angle formé par la ligne des nœuds avec l’axe des æ, la moitié de la force vive correspondante à l'extrémité du petit axe, le moment linéaire de la vitesse, et la projection de ce moment linéaire sur le plan fixe des +, y. Si ces constantes arbitraires, que nous appellerons élements ellip- uques, sont représentées, pour la planète »2, par

Ts Ds 9 Q, K, W,

332 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE. pour la planète »', par

rl Vois MU NU, Ne Ve

et si d’ailleurs on nomme H 5H,

les fonctions perturbatrices relatives aux planètes », m', ..., alors, en considérant R, R’,... comme fonctions du temps et de tous les élé- ments elliptiques, on obtiendra pour chaque planète six équations dif- férentielles de la forme

he =- Don, Do = DER, Do —DyR, DD — D-R, D,K = — DER, BW—— D,R.

Cela posé, concevons que,

FR étant deux fonctions quelconques des éléments elliptiques ti Di NS EN, Fri DEN Ro. Ne on pose, pour abréger,

[P, Q] = DoP D-Q — D.P DoQ + DxP D5Q — DSP DxQ + DwP D,Q — D,P DyQ, [P, Q7 = DoP D:Q — DsP DoQ + Di P DoQ — DP DK Q + DwP DyQ — DyP DwQ,

nd 6 0e 0 hs ee bin eo A NE et das es set ain Re Fe N CEE SIN ON ONE S Lies L'És LS vd SL LR SN ES CRIS NT DST S DU us

Soient

ce que deviennent les fonctions perturbatrices R, R’,

quand on attribue au temps z une valeur particulière désignée par 6; et posons

(2) DQ=[R,QI+[R,Q7T+..., les éléments elliptiques

de Kio n: tés 0 Me Ni

EXTRAIT N° 98. 333

étant considérés comme devant acquérir, après les différentiations, les valeurs correspondantes à la valeur 6 de la variable #. Enfin nommons : et s les deux valeurs qu'acquiert une fonction

fire, om, OK, W,7,0', ...)

de ces mêmes éléments, au bout du temps 9 et au bout du temps £. Si l’on représente par

diverses variables, et par

ce que devient [] quand on remplace successivement 8 par ces mêmes variables, on aura, en vertu des principes établis dans le précédent paragraphe,

t t A t (3) s—:+f Dsa,+f | (C,649,d0 +... 0 0 0,

En appliquant cette dernière formule, on ne doit pas oublier que, dans O, 0, ..., tout comme dans OC, les valeurs des éléments ellip- tiques doivent être réduites à celles qu'ils acquièrent au bout du temps 0.

Pour mieux distinguer dorénavant les valeurs que les éléments ellip- tiques acquièrent au bout du temps 0 d'avec celles qu'ils acquièrent au bout du temps {, nous représenterons ces dernières par

L 4 Tts ts Des Q,, Ke We, Te Do ..

tandis que les premières continueront d’être représentées par les nota-

tions Ts 0 9 Q, K, W, , w',

Cela posé, on aura généralement, dans la formule (5),

Sent tr D, 9; Q, K, KW, TD ...)

et Le F(tes Dt Pts Q,, K:, W,, Fo G,) .. sh

33 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

Si, pour fixer les idées, on suppose

sb, on aura . Re et la formule (3) donnera al t t (4) o,—0+ | 0,0 46,+ f . O,0,0 d6,d8,+..…. 0 o Vo,

En remplaçant successivement dans cette dernière formule la lettre @

par les cinq lettres KW, Tv 02,

on obtiendra en tout six équations qui sufliront pour déterminer, au bout d’un temps quelconque £, les éléments elliptiques

Tts Dts Pts Q, K;, W:

relatifs à l’orbite que décrit la planète mn.

Observons maintenant que les masses 77, m',... des planètes sont très petites relativement à la masse M du Soleil. Si l’on considère ces masses comme des quantités très petites du premier ordre, les fonc- tions perturbatrices R, R’, ..., déterminées par des équations de la forme

& a) l

seront des quantités du premier ordre. Done, par suite, les quantités Gé: Le

seront respectivement du premier ordre, du second ordre, ete., et l’on pourra en dire autant des intégrales

t st É [ M + de. J £ 0,0, < d6, de, 0 0 6,

comprises dans le second membre de la formule (3). Done, si l’on pose,

EXTRAIT N° 98. 335

pour abréger, L t É (6) s,— | O,sd0, = f [ n,0,6cd0,, e /6 V6,

la valeur de s, réduite à (7) S—=s+s +, +...

surpassera ç d’une quantité très petite, représentée par la somme

dont le premier terme sera du premier ordre, le second terme du se- cond ordre, ete. |

Si dans l'équation (7) on remplace successivement s par chacun des éléments elliptiques

Q;, K,, W4, LT LOTS ©t;

on obtiendra d’autres équations de la forme

0

a +Q +0, +..., A (8) CK =K +K, +K, +..., D—=D+D, +w,—+...,

SR D €

Donc, pour obtenir les valeurs de ces éléments au bout du temps £, 1 suffira d'ajouter à leurs valeurs données au bout du temps 0 : 1° Leurs variations du premier ordre

ER. SC OMS à DÉS 2 DE à Ds

4

déterminées par les équations

t ne Q a, dors = Dr db, V0 0 L

nt à (0) ÜK, = | OD,K d8, o— | O,x db, 0

V5 : { t wi O,W d9,, e= |. [,œ dû ; \ ( 0

336 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

2° Leurs variations du second ordre

Q

Tu

K, , ”: y Ty D, Q

déterminées par les équations

L t l LEE 0, — JÉ f M0 20 dd, + — . 1 O,0,+r d0,de,, po 6, ÿ 0,

At t l t ÉLIRE € _ .. GO O,K db, dô,,: w, a L + O,E,xw d6,d6,, ) 0, û 0, t A t t PEER À Î O,G,W d6 dû, o, — A [, O0, d0, de; \ - 0 6, 0 6,

et ainsi de suite.

Il ne reste plus qu'à développer les formules (9), (10), ete. Tel est l’objet que nous traiterons dans le paragraphe suivant, et dans de nou- veaux Mémoires.

SIV. — Variations du premier ordre dans les éléments elliptiques.

Conservons les mêmes notations que dans le troisième paragraphe,

et soient, de plus,

ce que deviennent

quand on y remplace successivement 6 par les diverses variables 0, 5,,..., ou, en d’autres termes, ce que deviennent les fonctions pertur-

batrices PES | LA

quand on y remplace successivement # par ces mêmes variables. On aura généralement

(1) D,s=[R, sJ+[LR,sT+..., et, si la fonction « renferme seulement les éléments elliptiques

Q, K, W, tr Dr 9

EXTRAIT N° 98. | 337 . relatifs à la planète 72, la formule (1) donnera

O,s=[A, sl= Do D: ç — D: RA Dos + Dr R Dos — DER Dx te DyR, Ds Cr D, R Dws.

Si, en particulier, on réduit successivement < aux éléments elliptiques dont il s’agit, on trouvera | O,Q = — D, R dE - RU, (2) OR = DR. De Da. O,W —=—D AR, OÜ, = DyR.

Cela posé, on tirera immédiatement des formules (2), jointes aux équa- tions (9) du troisième paragraphe, |

&" € gpl f Aid ein . ñ dé, (] 6

t t (3) { K, = Do f R, dO,, mx f &, dO,, 0 ()

t 1 W=-D, | &, dû, ®, =D f R, d8,. 6 6 En vertu de ces dernières formules, pour calculer les variations du premier ordre des six éléments elliptiques Q, K:, W,, Tt) TD}; IE

il suffit de calculer la valeur de l'intégrale

l (4) [ A, db. 0

Or soient. 2.7.

les anomalies moyennes relatives aux planètes : MN OS

de sorte qu'on ait, pour la planète 72,

(5) Ph otsse), (7) »

OEuvres de C.— S.1,1. Y. 43

338 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

ù — M +7» étant la somme qu'on obtient quand à la masse 7» on

ajoute la masse M du Soleil. La fonction perturbatrice R, relative à la

planète »7, pourra être présentée sous la forme

(6) r — (m, m'}n ne rTreTiV—1,

le signe Ÿ s'étendant d’une part à toutes les planètes 77°, m",

dis-

unctes de 72, d'autre part à toutes les valeurs entières positives, nulles

ou négatives, de x, n', et(m, m'),,# désignant un coefficient relatif au

système des deux planètes », m’. Cela posé, si l’on nomme Hope VS," 0

ce que deviennent les anomalies moyennes

| CR PES

quand on y remplace successivement la variable £ par 9, 6,0, ..., on

R =Y (m, m' }n,nret® +r@)VTT

ñ, . (m, M }n nremr9 +8),

et par suite

t t J R, d9 — (m, m' june er2,+n0,)) "1 dO. () 0

_æ

De plus, les valeurs de 6, 0’, ... étant (7} O—c({t—7+), 0'— c'(8 — +), is on en conclura

n0 +n'9"+...—{(nc+n'c)0 — (ner +n'c'r'),

n9,+n'8+...—={nc+nce)0 —(ncr+n'c'r),

EXTRAIT N° 98. 339

et par suite on trouvera

t enl+n TV Le en 2+n0"))-1 (8) F > (ee, '}n,n : 0

(nc+n'c')yÿ—1

En substituant la valeur précédente de l'intégrale

A i. &, dô, (o

dans les équations (3), puis effectuant les différentiations indiquées par les caractéristiques D, D,, ..., on obtiendra immédiatement les

valeurs cherchées de

ER PRE. POUE ARE R T

4) n T

c’est-à-dire les variations du premier ordre des éléments elliptiques de la planète m. Il est bon d'observer qu’en vertu des formules

T=c(t—7), O—c(0—7+), He

on aura généralement

eT+n'T)—1 2 en9+n0"))-1 etrc+n'e)t/1 us etnc+n'e)0 y—1 Poe F Less er trct+n C'T')y —1 ;

(nc+n'e)ÿ—1 (nc+n'e)ÿ—1

et que, pour des valeurs nulles de la somme

nc+n'c,

le rapport

elrc+n'e tt etre+n'e)y— 1

(nc +n'e)}ÿ—1

se réduit à & — 6. Donc, à des valeurs de x, #° qui vérifieront la condi-

tion (9) nc+n'c'=0,

on verra correspondre, dans le second membre de la formule (8), un

340 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

terme de la forme (10) (m, ee RCE 4 — ô).

Ce terme croitra donc proportionnellement à £ — 0, c’est-à-dire propor- tionnellement au temps compté à partir d’une certaine origine, et l’on pourra en dire autant des dérivées de ce terme prises par rapport aux quantités 5 9 VE: W, Au contraire, dans les autres termes et dans leurs dérivées, Le temps 4 sera toujours l’un des facteurs de l’exposant d’une exponentielle népé- rienne, que l’on peut transformer en sinus et cosinus. Donc, en défini- tive, la variation du premier ordre de chaque élément elliptique se composera de deux espèces de termes, les uns proportionnels à 4 — 6, les autres renfermant le temps £, au premier degré seulement, sous le signe sinus ou cosinus. Ces derniers termes, dont chacun reprend périodiquement la même valeur, quand on fait croitre son argument, c'est-à-dire l’angle renfermé sous le signe sinus ou cosinus, d’une ou plusieurs circonférences, sont désignés, pour cette raison, sous le nom d’inégalités périodiques. Les autres, qui peuvent être considérés comme provenant du développement de sinus ou cosinus, correspondants à des périodes qui embrasseraient un grand nombre de siècles, se nomment inégalues sécularres. Si l’on suppose le rapport

C A

irrationnel, la condition (19) ne se vérifiera que lorsqu'on aura

Or, en réduisant 2 et n' à zéro, on réduit l'expression (10) au pro- duit (m, M'}n,nrtt— 0}, indépendant de +, et dont en conséquence la dérivée relative à + s’éva- nouit. Donc, dans la supposition que nous venons d'indiquer, la varia-

EXTRAIT N° 99. 341 tion du premier ordre de l'élément elliptique @ n'offrira point de 4 termes séculaires. Ajoutons que l’on pourra en dire autant du grand axe 24 lié à l'élément @ par la formule ARE à 2. 4 RS ri , On se trouvera ainsi ramené au théorème remarquable que Laplace a donné en 1753, mais en tenant compte seulement des première et seconde puissances des inclinaisons et des excentricités. Quelques années plus tard, en 1776, ce même théorème a été démontré par La- grange dans toute sa généralité.

99.

MÉCANIQUE cÉLESTE. — Memoire sur la variation des elements elliptiques

dans le mouvement des planètes.

. C.R., t. XI, p. 579 (12 octobre 1840).

$ I. — Considérations générales.

Adoptons les mêmes notations que dans les Mémoires précédents, et soient en conséquence

M la masse du Soleil; m,m", .…… celles des planètes.

Soient de plus, au bout du temps #,

r, r', r”,.… les distances des planètes au Soleil;

«, … les distances de la planète » aux planètes 7°, ...;

5, .. les distances apparentés de la planète 72 aux planètes 27, ..., vues du centre du Soleil.

La fonction perturbatrice R, relative à la planète 2, sera

m'r m' N- COS Hi. .— — —,.., rt

pen: F2

342 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

la valeur de « étant

15

= (r?— 2rr cos + r'2)?,

Nommons d’ailleurs à ce que devient R au bout du temps 6; et soient

à cet instant COURS ‘OURS à PORT DER V

Î

les éléments elliptiques de la planète 72, @ désignant la moitié du carré de la vitesse correspondante à l’une des extrémités du petit axe de l'ellipse décrite, K le moment linéaire de la vitesse, W la projection de ce moment linéaire sur un axe perpendiculaire au plan fixe, - l’é- poque du passage de la planète par le périhélie, & la longitude du périhélie, et + l'angle formé par la ligne des nœuds avec un axe fixe. Ces éléments se trouveront liés au grand axe 2a et à l'excentricité « par les formules

= —) K?=— Mal(r—e?),

dans lesquelles on a NN — M + m;

et si l’on pose, pour abréger,

Aer tt 6—c(0—7);

si d’ailleurs, en passant de la planète #2 à la planète #2, ..., on se con- tente d’accentuer toutes les lettres à l'exception de £ et 9, on trouvera

— RE

R& =Y (m, miles ev2+r0) v=i,

. a , x s , 2 t le signe Ÿ s'étendant d'une part à toutes les planètes 1’, m",..., dis-

tinctes de 72, d'autre part à toutes les valeurs entières positives, nulles ou négatives, de», n',et(m,m'),, désignant un coefficient qui renfer- mera seulement les dix éléments elliptiques

G; h LR, Wir D, 040, KW

EXTRAIT Ne 9). 343 Ajoutons que les éléments elliptiques Ts Ts 9, Q, K, ";, ous

considérés comme fonctions de 6, vérifieront, pour chaque planète, six équations différentielles de la forme

{ Dor = Do, Do — DER, ‘ Dop —D,A,

2 @] DORA DoK — — DEAR, DyW=—D.A.

Soit maintenant AR DÉS 0 PER SE | PONS

une fonction donnée des éléments hpoqie relatifs aux diverses pla- nètes, et nommons

ee On Du Mise. .s s —1{r, we: 94, Ds, K:, W,, . ce que deviennent, au bout du temps #, les quantités Me M Pc Enfin concevons que, ®, à étant deux fonctions quelconques de Re CU PE CO à DO AU MT EE on pose, pour abréger,

[®, Si= — Po ®D x ti à Do DE où x D, & ? RE ji EX 9 + n, TD, Sa D, LD, 2 Ÿ [8,27 = Da ËD, 2 — D PDo + De P De 2 — De Di? + D LDy 2 — Dy LD, 9,

RER TR RE TR RS ER D NM ee Re SE € ee ele nd Hide Sid hi D pue 0147 be > à Hi Ponte. 06 04 à à 6: 3

D?—[IR, 21+[8, 97 +.. Si l’on considère Pi M M NT Du. et par suite la variable s, comme des fonctions de an rot, nf, 0... 0 ah

cette variable devra vérifier l'équation aux dérivées partielles

(3) (Do + O)s —

344 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

et, si l’on pose dans cette équation

(4) SE Gi Rss il suffira d’assujettir <, «,, ... à la double condition de vérifier les for- mules

Dos, ——0Ds, Dos, ——0s,

et de s’évanouir avec 0 — ; par conséquent, il suffira de prendre

û (] (5) G,—=— F Os dB, = f Os, d8, AE t

D'autre part, si l’on considère comme très petites du premier ordre les masses », m,.…. des planètes, comparées à la masse M du Soleil, il est

clair que les quantités C GS, Vs os

LÉ à

déterminées par les formules (5), seront généralement, la première, du premier ordre, la seconde, du second ordre, .... On pourra donc dire que la quantité < propre à représenter, ou l’un quelconque des éléments elliptiques, ou une fonction quelconque de ces éléments, a pour varia- tion du premier ordre la quantité s,, pour variation du second ordre la

quantité +, 5.

SIL. — Sur les variations du premier ordre des éléments elliptiques et d'une fonction quelconque de ces éléments.

La variation du premier ordre de l’un quelconque des éléments ellip- tiques, ou d’une fonction « de ces éléments, se trouve généralement déterminée par la première des équations (5) du $ I. Si l’on suppose en particulier que « se réduise à l’un des éléments elliptiques de la pla- nète »#, où à une fonction de ces seuls éléments, on aura

[Is =IR Ce LR nRr

et l'équation dont il s’agit deviendra

() (a) el [s, R] d6. 1

EXTRAIT N° 99. 345

Si, dans cette dernière formule, on remplace successivement la lettre < par chacune des suivantes

RS NS + nm, 0

on retrouvera les six équations

0

n 0 vf Na K- D | Ad, W= D, | ad, 14

RAA

Ali) 20 . = — va [ & dB, D, —— mx | Rod, ®, —=— Du | R dô, t té

qui déterminent les variations du premier ordre

DA NN eo

i 19 ! des six éléments elliptiques relatifs à la planète 7». Il est facile d'obtenir la valeur de l'intégrale que renferment les équations (2). On tire, en effet, de la formule (1) du S [*,

()

(3) f aaæ=Y es,

t

les valeurs de £ et de @ étant

‘à | 4) Deer (mn, m In, n' e teT+n' et!) . ® — ginc+n'e y TL Qirc+n' et

{nc+n'e)ÿ=—7r

Si d’ailleurs on substitue la valeur précédente de l'intégrale

ô f aa t

dans les formules (2), on verra chacune des quantités

GR Ne © 0

4 . Ÿ AP,

+ étant ainsi que € indépendant de 6 et de #£; mais la quantité -, sera

de la forme à: DES +ÿ ae,

OEuvres de C.—S.I,t. V. Â

se réduire à la forme

346 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE. la valeur de &’ étant

(5) P®' — etrc+n'c)Ù DE Lettres

A

On arriveraitencore à des conclusions analogues de la manière suivante. On tire des formules (r) et (3)

(6) c [fa =Ÿ 16, er].

D'autre part, comme, en indiquant à l’aide de la lettre caractéristique D une dérivée relative à un élément quelconque, on a

D(2®)—eD%+%De,

on en conclut | fs, Pc, SIL + [c, PIS.

D'ailleurs, dans les formules (4), ®, considéré comme une fonction des éléments elliptiques relatifs à la planète », dépend uniquement de Q qui entre dans c. On aura donc

[ss L]=—D:6DaRL — — nŸ'D.sDacy—1. Donc, en posant (7) | HR =Icel M #SDDocyer

on trouvera | LG, 27 — LP + Le:

et la formule (6) donnera généralement

ue 8 L 6 — LP — KR me =Sas+ÿ

Si la fonction ; ne renferme pas l'élément +, 4’ s’évanouira en vertu des formules (5), et la formule (8) sera réduite à

(a) > Le.

Ainsi par exemple, si l’on prend ç — @, on trouvera

9, ) LP,

EXTRAIT N° 99. 347

la valeur de & étant ALES er Éez e] ee D.€,

ou, ce qui revient au même,

ne

10 M = — ———— fe nc+n'c

(m, M'}n nt.

Mais, lorsque < renfermera +, 4’ cessera de s’évanouir; et si, pour fixer les idées, on prend ; = +, les formules (7) donneront

(11) MT 2|--—-D0S, L'—— neDacV—1.

Observons maintenant que, dans le développement de à, le terme général représenté par l’expression (12) (m, m' je, nrer@+r01v1, ou, ce qui revient au même, par le produit

(m, m'}n n[cos(n@ + n°0") + ÿ—1 sin(n0 + n'0')}], sera une fonction périodique de 6, si l’argument nO+n'9 —{nc+nc)}0—neT—n'cT

ne devient pas indépendant de 0, c’est-à-dire si la condition (13) nc + n'c—0o

n’est pas remplie. Si d’ailleurs les coefficients

sont ce qu’on appelle ëncommensurables entre eux, c'est-à-dire, s'ils ne

peuvent vérifier aucune équation de la forme nc+nc+n"c"+...—=0,

dans laquelle », n', »”, ... représentent des quantités entières qui ne

se réduisent pas toutes à zéro, on ne pourra satisfaire à la condi-

tion (13) qu’en posant

(14) == 0; nn —0.

348 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

Donc alors le produit (m, m' }r,nretr9+n'0") Ve

sera une fonction périodique de 6, quand il ne se réduira pas à (15) (m, m')o,0.

I y à plus : on pourra en dire autant de la fonction & et du produit 2%, qui seront des fonctions périodiques de 8 et même de #, à moins que l'on n'ait r—0o, n'—0o. Mais, si n, n' s’'évanouissent, alors, le pro- duit (12) étant réduit à la forme (15), le produit 2@ deviendra

9 (16) + (m,m')0,0d0—(0—t){[m,m')0,0;,

t

et représentera dans le développement de l'intégrale

) f aa t

un terme séculaire, c'est-à-dire proportionnel à & — 4. Soit maintenant 8 la somme des termes indépendants de 9 dans le développement de 8. On aura évidemment

(19) S= Em, m'o0—={(n,m')o0+{(m,m")00 +...,

et la partie séculaire de l'intégrale 9 f ad 0

(18) f s4=5(6-0).

sera

Cela posé, concevons que, dans la variable s, on désigne par s la partie séculaire, c'est-à-dire la somme des termes proportionnels à { — 0, ou à des puissances de 4 — 0. Soient de même

G,s Sy …..

les parties séculaires de 6, 4, ... ou ce qu’on peut appeler les varia-

EXTRAIT N° 99. 349

tions séculaires de divers ordres de la fonction s, et

ne EE tG on re LR D KE, W PAPE TD, D ….. Q,, K,, W, T, D,» E ’ … …. .. ., … .

les parties séculaires des quantités

EST MT Q VE K, ’ " V7 T 1? w

… .…., .….. …, .…., .…. nv)

ou ce qu’on peut appeler les variations séculaires des divers ordres des élé- ments elliptiques. Si « ne renferme pas +, on aura, en vertu de la for-

9 al Cs, S] d6, t par conséquent

(19) a —=[e81(0— à).

mule (1),

Mais, si ç renferme r, alors, en vertu de l'équation (8), jointe à la for- mule (5), on devra, pour obtenir la partie séculaire de £, ajouter au second membre de la formule (r9) la partie séculaire de la somme

savoir Ÿ À" (9 rie thetretment yet, pe] On aura donc alors (2e) 6,=(0— 410,5] +(0— 6) Ÿ avenant

Si, dans la formule (19), on remplace successivement : par chacune des lettres @, K, W, &, », on obtiendra les équations

(21)

dont la première reproduit le théorème cité dans le précédent numéro.

390 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

Si, au contraire, on prend ç — 7, la formule ( 20) donnera (22) U (t— 8)DasS +(t—0)Doc ViŸ ne entrent

Il est important d'observer : 1° que dans la formule (20) ou (22) le coefficient 4’ ou 2€ de l’exponentielle

enc+n'ety—i

s'évanouit avec n; 2° que, pour des valeurs de x différentes de zéro, cette même exponentielle est une fonction périodique de #4. Donc chaque terme qui correspond à une semblable exponentielle, c’est- à-dire, chaque terme de la forme

L'ererretv-1(0 — #1) ou de la forme noenñ+rety-117 6)

est un terme tout à la fois séculaire et périodique, qui change périodi- quement de signe, pour des accroissements du produit (nc + n'c')t res- pectivement égaux aux divers multiples de 7, tandis que sa valeur numérique maximum croit proportionnellement à £ — 06.

Ainsi, dans la valeur de «,, et par suite dans les variations des divers ordres des éléments elliptiques ou d’une fonction de ces éléments, il existe généralement des termes à la fois séculaires et périodiques, et d’autres termes purement séculaires. Si, pour désigner la somme de ces derniers termes, on double le trait placé au-dessus des lettres, et par lequel nous indiquons les variations séculaires, on tirera de la for-

mule (20)

|;

(23)

‘5 (9 — t)Es, S].

En vertu de cette dernière équation, les valeurs de

K, W,, D,» 9,

ne différeront pas de celles de

O, By Ti 6h ®»

4

et l’on aura de plus

(24) r,=(t—06)Dos.

EXTRAIT N° 99. 391

S II. — Sur les variations du second ordre des éléments elliptiques et d'une fonction quelconque de ces éléments.

La variation du second ordre de l’un quelconque des éléments ellip- tiques ou d’une fonction quelconque & de ces éléments se trouve géné- ralement déterminée par la seconde des équations (5) du $ [*. Comme d’ailleurs, en vertu de la définition de la fonction [<,, on aura

Ds =[R, es + CN, F4.

l'équation dont il s’agit donnera 9 - ] (1) . sh Ls,, R] dû + f Ca AT 40 +... € LA

Dans cette dernière formule, la première intégrale

fr, A] d0

représente la partie de 6, qui provient de la variation des éléments de la planète m; au contraire, la seconde intégrale

6 l En & |’ dO t

représente la partie qui provient de la variation des éléments dela pla- nète n', etc. Calculons successivement ces diverses parties, en suppo- sant, comme dans le $ IT, que « représente, ou l’un des éléments ellip- tiques de la planète », ou une fonction de ces seuls éléments.

Si d’abord on considère le cas où < est indépendant de =, la valeur de &, sera, comme on l'a vu, fournie par l’équation

(2) = AR,

dans laquelle on aura

(3) = [c<, C1 P — etnc+n'e y 1 2 Qirc+n'et y <

352 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE. la valeur de £ étant

(4) nu (m, m dan elreT+n'e'T) v=i.

| (nc+n'c)y—1

De plus, on tirera de la formule (r) du $ 1° (5) R —Y 2,

les valeurs de 5, 2 étant

(6) à — (m, m'}Le e—UeT+ ler’) WE, 2 eltc+le)0yei e ou bien encore

(7) do = (mn, me), e er le" “es P 9 — Quel") y :

Nous avons ici, à dessein, remplacé les quantités », n' ou m', n, n', déjà contenues dans la formule (4), par d’autres quantités /, l'ou rm”, {, l",... qui peuvent différer des premières, attendu que ces quantités varient quand on passe d’un terme à un autre terme dans la valeur

de «, ou de &, et que les divers termes du développement de <, doivent

FA être successivement combinés avec les divers termes du développe- ment de &.

En vertu des formules (2) et (5), on aura évidemment

.0 ( ‘8) 1 alæ=T f LA, 152 ] d8. t “+

D'autre part ®, 9, considérés comme fonctions des éléments elliptiques relatifs à la planète »m, dépendent seulement de @ renfermé dans c; on

a donc [L, 9] pe cu O,

et, par suite, LLP, 19 1 = Lu, LD + A2 [as, LI + WELL, 2] = [4, W]L2 +42 D DaE -— WLED.LDOo). Ce n’est pas tout : 4 et w, considérés comme fonctions de 7, sont res- pectivement proportionnels aux deux exponentielles

eTncT v—1 ? et ÿ—1 ;

EXTRAIT N° 99. 393

et, puisqu'on obtient les dérivées de ces exponentielles par rapport

à 7 en les multipliant par PERTE RE 4 £ ur ne { RE : E£ r RENE OÙ CU, Ç NIVERSITYy C41 Tate 1 1 #4 on en conclura S£LIFORNIA DA —-—ncAY—:1, Dev = — lc ÿ— 1.

Enfin, en différentiant @ et 2 par rapport à @, on trouvera

Do? — 192 Docy—1 et Dog = n{[ getre+reb y Lerrc+n'e UV | Doc ==.

On aura donc LIDD DQL — WED-LDOI = cb (RL DAY — /2Da%) V n£Do9 — (2DaL = /n(t — 0)Derncrret Doc WE et, par suite, CLP, V9 ]=[&, 1] L9 + InAVcDoc(9 —1t) © tien A ne

Donc la formule (8) donnera

Ft ô

- LE .. ad = pa, 6] f 9 d9

{ . t t

(9) \ (ne ct V1 0 > | + Dane Ÿ mabe"""" f (6-02 \ | l ;

En vertu de cette dernière formule, la partie de <, qui dépend de la variation des éléments de la planète » pourra être aisément calculée. Car, eu égard aux valeurs données de @ et 2 [vor les formules (3), (6), (7), ..], les deux intégrales |

()

fs 9 dô, f'u- near

sont du nombre de celles dont on obtient très facilement les valeurs. Considérons maintenant la partie de :, qui dépend de la variation

OEuvres de C.—S. AH, t. V. 4

354 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

des éléments de la planète »'. Elle sera représentée par l'intégrale

| L Le, R'J' d8. £

On aura d’ailleurs évidemment

(10) R'— Zv’9,

les valeurs de w, 9" étant 11 ) Feu (m', m jee ue y=1 £ 2 — ele +0 ie ou bien encore

( 12 ) pis ( nv, m” Je, mertres+re vi, 2 — ele'+l'e") "+

Enfin on tirera des formules (2) et (10)

h3) 1 Le, AJ d0 = > LAB, 15" 2"T dé;

puis, en raisonnant toujours comme ci-dessus, on obtiendra, au lieu de la formule (9), la suivante

PE 0 | 1. ny dix, w7 f Pa" d9 l £

à | + c'Do eÿr n'Llb'elrcrre vi [ (0 — 1) 9' db, ° nd à l'aide de laquelle on calculera fort aisément la partie dec, qui dépend de la variation des éléments de la planète #7. Ainsi, en définitive, lorsque < sera indépendant de +, c’est-à-dire fonction des seuls élé-

ments SN Sr

la valeur complète de <, pourra être aisément déterminée à l’aide de

l'équation (1), jointe aux formules (9) et(14), la planète 7’ dans ces

formules pouvant être l’une quelconque des planètes distinctes de 72. Si la fonction s renfermait l'élément +, la valeur de 4, serait, comme

_ EXTRAIT N° 99. 399

on l’a vu dans le second paragraphe, déterminée, non plus par l'équa- tion (2), mais par la suivante

A5) —=IAL+ELE, les valeurs de 4’, ®’ étant (16% L'—— n©D,Doc\—1, R — peintre Vi peinc+nent vi,

Done alors, à la place des formules (8) et (13), on obtiendrait les sui- vantes

() = 6 ( (17) Pa ef LA", 1b2 ] 49 +Ÿ f LA! L’, 12 ] d8, t t

AE

( 0 ( (18) \. GR T d=Y Î PLANTES) Lu’, ab! 2/] d6: £ t t

et, pour retrouver les valeurs exactes des diverses parties de «,, c’est- à-dire des intégrales

(] 6 f [s,, À ] d6, | le ACTA V1 '

il faudrait aux seconds membres des équations (9) et (14) ajouter res- pectivement les sommes

ÿ 20 Ÿ 1. [ 0" @®, 2 | d0, Ÿ J fL œ®, tn 2] d8, = t

D'ailleurs les valeurs de ces mêmes sommes se détermineraient facile- ment à l’aide des formules

0 0 i: ji [A ®", 159 ] d9 = Law] Te go do t

ÿ + cDo ein Jp etre rr'e vif 16 (0 — 1) 6, | t

: ÿ 0 Yf [A'®", 12]! d0 =Y 14, w7 | @ 2 dû 20) : 0

4 AUTOYE À'V' elrc+n'c'it ÿ=i | (8—#)9 dÜ t

à

qui s’établissent de la même manière que l’équation (9).

396 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE. À

Pour compléter la détermination de 4,, il nous reste à donner les valeurs exactes des intégrales que renferment les seconds membres des équations (13), (14), (19)et (20). Or, en vertu de la seconde des for- mules (3), jointe aux formules (6) et (7) ou (11) et (12), on aura, dans l'équation (9),

2 NAT , se ANS let) A — eMv—1, Lo — ei binc+n'e'jt y—1 eMv—1

les valeurs de Æ, 2 étant

(21) k—=lce+ le, h={(l+n)c+il+n)c!, ou (22) k=le+ lc, h={(l+n)ec+lc"+n'e, pires

et, dans l'équation (14),

; HE D amer NP MP CET mer Yi Er) Den i, PI! — hd 1 Qlnc+n'etÿ—1 KO 1,

les valeurs de #’, À’ étant

(23) k'=l'c'+ le, h—=(l+n)c+{(l+n)c, ou (24) k=l'c'+le", W=(l+n)"+ lc" + ne,

En adoptant les valeurs précédentes de 2 et #, ou de X' et #', on aura, dans la formule (9),

0 MNT HE ST He de:

(25) PO 46 = eee,

l 2 V— I [A V— L

ô k9 = MIS L Mae e e e 26 f 0—1)9 dd= ——(0— 1) + : ;

( ) sp ( ) À k VE : ( / 42 et, dans la formule (14),

0 @Y=i Vi 0 Yi = me 1 @2 D AE ek0v—1 sa 1 SP Ter

é h'Y—1 R'V—i

9 er vi PLAT ET Ter

(28) J D er — (8—t)+- .

ÿ—:

EXTRAIT N° 99. 39

Eu

-

De plus, comme on trouvera, en vertu des équations (3), (6),(7), ... (11), (12), et(r6)

RQ (9—' tennis + IR, et par suite é e RD — {9 —1)eh vi + 1RD,

RQ (0 — 1) 6H + 102,

on aura, dans la formule (19),

oi

ô (1 Aer EST VAT o. (29) . $'Q do — : CEURE . +if LD dé, t LV

LE À

et, dans la formule (20),

ô eh'0 NET: en, NS Me et HES) 0 (30) f Po dé (Ont) à Fr +ef LES 4 dô. + . h' V— I l : t

Il est bon d'observer : 1° Que dans les formules (25), (27), un des rapports

ek0v—1 Ekty—1 ex V1 Pk'tV—1 env phty—i envi pti

A "eee FF hi se réduit à , 0 — t, lorsqu'on à (31) ko ou k' Su ou ko ou h'= 0;

2° Que le second membre de la formule (26) ou (28), où bien encore la somme des deux premiers termes contenus dans le second membre de la formule (29) ou (30), se réduit, sous l’une de ces mêmes condi- tions, à (or? 3° Qu’en vertu des équations (21) et (23), ou (22) et (24) chacune des conditions (31) se réduira, soit à l’une des deux formules

(32) l+lce—=o, (l+n)c+(l+n')c—o,

398 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE. soit à l’une des quatre formules le + lc" — 0, l'c+ lc" —0,

{ AE | (33 Le | (+n)je+le"+n'e—o, (l+n')c+lc"+ ne —0o.

Ajoutons que, si l’on suppose (34) nc+n'c—=0, les fonctions &, &’ se réduiront à zéro, et les coefficients £, &, 4’ à À, mais de manière que l’on ait [SLI = (me, m'}n me teen en tp 6),

et, par suite, AE + LE — D{9 ia t},

la valeur de @ étant

(35) D—=[s<,(m, m'}n ne-tetneryi], \ } ’ , n,n

Donc alors les sommes

(]

( [ tre, we] do + f [AL'£", 19 ] de, t

“0 0 û CAL, 5° 27 d0 + [ [4 ®", ns/ 2] d6 = V1

se réduiront aux intégrales

6 9 ET Ne [ [®, 152](6 — 1) d0, À [w, w5/ 27 (0 — 4) de, t £ dont on obtiendra facilement les valeurs, eu égard aux deux for- mules (39) | [D, 9] —[®,1w%]2 — n01WD.@Docy—1, 7 LD, 21 —=[®, 1512 — n'08D-@Dao:c /—1.

Si l’on suppose que les nombres €, c', «”, ... soient incommensu- rables entre eux, alors, pour satisfaire à l’une des conditions (32), (33), (34), 1l faudra y égaler séparément à zéro les coefficients de e,

EXTRAIT N°99. : 359 ec’, ec”, .… . Donc alors la condition (34) donnera No: | n=0,

et par suite, eu égard aux formules (37), les intégrales (36) devien-

dront

9 : ) (38) Low] f (9—4)9 db, Low f (8 —1)2' dé.

Alors aussi, dans le dernier membre de chacune des formules (9), (14), (19), (20), la seconde somme se composera de termes dont chacun restera périodique dans le cas même où il deviendra séculaire; car un quelconque de ces termes ne pourrait devenir purement séculaire qu'autant que l’on aurait nc + n'c'— 0, par conséquent

7 — 0, n —0O;

et, dans ce cas, le terme en question disparaitrait avec le facteur ou n'.

A l’aide des formules que nous venons d'établir 11 devient facile de calculer les divers termes ou périodiques, ou séculaires, ou tout à la fois séculaires et périodiques, dont se compose la variation du second ordre de l’un des six éléments elliptiques

Q, K, W, Tr Ds: ‘9;

ou d'une fonction quelconque de ces mêmes éléments. En appliquant ces mêmes formules à la détermination de Q@,, c’est-à-dire de la varia-

7 tion du second ordre du premier élément elliptique, on voit immédia- tement disparaitre les termes purement séculaires dus à la variation des éléments de 7. On se trouve ainsi ramené à ce théorème de M. Poisson, que dans la variation du second ordre du premier élément elliptique il n'existe point d’inégalités purement séculaires, dues à la variation des éléments de la planète troublée. C'est au reste ce que nous expliquerons plus en détail dans un autre article.

360 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE,

100.

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Mémoire sur la convergence

et la transformation des séries.

C. R.,t. XI, p. 639 (26 octobre 1840).

J'ai donné depuis longtemps, dans l'Analyse algébrique, un théorème général, qui a paru digne de l'attention des géomètres, sur la conver- gence des séries ordonnées suivant les puissances ascendantes et en- tières d’une variable x, soit réelle, soit imaginaire; et j'ai fait voir qu'une semblable série était convergente ou divergente suivant que le mo- dule de la variable était inférieur ou supérieur à l'unité divisce par une certaine limite, cette limite étant la plus grande de celles vers lesquelles converge la racine n°" du coefficient de x". On sait d’ailleurs que javais établi ce théorème en réduisant la condition de convergence d'une série quelconque

ps 2H is. Un, er ns

à la condition de convergence d’une progression géométrique TS US ES 10 60 + A LA

Or c’est aussi une réduction du même genre, opérée à l’aide de for- mules propres à convertir les fonctions en intégrales définies, qui m'a conduit au nouveau théorème énoncé et développé, non seulement dans les Mémoires lus ou publiés à Turin en 183r et 1832, mais aussi dans une Lettre adressée à M. Coriolis, sous la date du 29 janvier 1835, théorème dont j'ai donné une démonstration élémentaire dans mes Exercices d'Analyse et dans les Comptes rendus de la présente année. Suivant ce théorème, tel qu'on le trouve inséré dans le Compte rendu de la séance du 22 juin dernier ('), une fonction d'une ou de plusieurs variables est développable en serie convergente ordonnée suivant les puis-

_sances ascendantes de ces variables, tant que les modules de ces variables

(1) OEuvres de Cauchy, S. At. V,p. 234.

EXTRAIT N° 100. 361

conservent des valeurs inférieures à celles pour lesquelles la fonction ou ses dérivées du. premier ordre pourraient devenir infinies ou discontinues.

Comme je l’ai observé dans ma lettre à M. Coriolis (vor les Comptes rendus des séances de l’année 1837, 1°* semestre, p. 216) ("), et dans la séance du 22 juin 1840 (?), le théorème dont il s’agit ne s'applique pas seulement aux séries qui représentent les développements des fonctions explicites ou les racines des équations algébriques ou transcendantes : il est applicable aux séries mêmes qui représentent les intégrales géné- rales d’un système d'équations différentielles, par exemple, les inté- grales générales des équations de la Mécanique céleste. Il y a plus, il serait applicable à des séries qui représenteraient les intégrales géné- rales ou particulières d’une équation ou d’un système d'équations aux dérivées partielles, ou aux différences finies, ou aux différences mêlées. En général, pour l'application de ce théorème, il n’est nullement né- cessaire que l’on connaisse, sous forme explicite, la somme d'une série; 1l suffit que l’on puisse reconnaitre dans quels cas la somme de la série et la somme de sa dérivée deviennent infinies ou discontinues.

On voit donc que le théorème dont il s’agit ne se borne pas à établir une relation singulière entre les conditions de convergence de quelques séries et la résolution numérique de certaines équations transcen- dantes, ni même à fournir des règles commodes pour la convergence des séries qui proviennent de l’application de la formule de Lagrange et des autres formules analogues employées par les géomètres pour développer les racines des équations. Si, appliqué à la théorie du mouvement ellip- tique d’une planète, ce théorème reproduit une formule de M. Laplace, s’il peut être considéré comme une extension de la proposition con- tenue dans cette formule, c’est uniquement dans le sens où l’on peut dire que les formules de Taylor et de Maclaurin sont une extension de la formule algébrique connue sous le nom de binôme de Newton.

Au reste, le théorème en question vient d’être soumis à une épreuve nouvelle et décisive, qui a montré combien il est propre à fournir les

(1) Œuvres de Cauchy, S. 1, t. IV, p. 38. (2) H., SL t V,p. 234 OEuvres de C. — SA, t. V. 46

262 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

véritables règles de la convergence des suites. Un de nos savants con- frères à lu, dans la dernière séance, une Note intéressante et relative aux conditions de convergence d’une classe générale de séries. Je n’as- sistais pas à cette lecture; mais, au moment où j'arrivai, il eut la bonté de m'en indiquer l'objet. Je lui dis alors qu'il me paraîtrait utile d'examiner si la règle de convergence à laquelle il était parvenu ne serait pas un corollaire de mon théorème. Notre confrère a bien voulu avoir égard à ma demande, et j'apprends, par le Compte rendu de la séance, qu'il y a coïncidence parfaite entre la règle qu'il avait obtenue et celle que mon théorème pourrait donner.

Les intégrales d’un système d'équations différentielles, comme nous l'avons expliqué ailleurs, se trouvent toutes comprises dans l'intégrale générale de l’équation caractéristique, et l’on peut de cette dernière équation déduire la valeur de chaque inconnue, ou d’une fonction quelconque des inconnues, développée en série. D'ailleurs la série qui représentera cette fonction cessera généralement d’être convergente pour certaines valeurs de la variable indépendante, comme aussi pour certaines valeurs de l’un quelconque des paramètres compris dans les équations différentielles, ou bien encore de l’une quelconque des con- stantes arbitraires introduites par l'intégration. Or, d’après le théo- rème ci-dessus rappelé, les règles de convergence d’une semblable “série seront faciles à établir, et la série sera convergente tant que la fonction ou sa dérivée ne deviendra pas infinie ou discontinue. Nous avons d’ailleurs donné dans le Cours d'Analyse de seconde année de l’École Polytechnique, et nous avons déjà rappelé, dans la séance du 22 juin 18/40 (*), les conditions qui doivent être généralement rem- plies pour que chaque inconnue reste fonction continue de la variable indépendante et des constantes arbitraires introduites par l’intégration.

Lorsque les intégrales d’un système d'équations différentielles s’ob- tiennent-en termes finis, on peut appliquer, ou la formule de Lagrange, ou d’autres formules analogues, au développement de ces intégrales en séries. Les nouvelles séries, obtenues par ce moyen, doivent coin-

(1) Œuvres de Cauchy, SA, LV, p. 231.

EXTRAIT N° 100. 363 cider au fond avec celles que l’on déduirait de la considération de l'équation caractéristique, et offrent des transformations souvent re- marquables de ces dernières. Ajoutons que les termes généraux des unes ou des autres peuvent encore, dans un grand nombre de cas, être représentés par des intégrales définies semblables à celles que j'ai considérées dans mon Mémoire de 1832 sur la Mécanique céleste.

Observons enfin que la racine ni®e du nie terme de chaque série doit, pour de grandes valeurs de x et en vertu des principes établis dans mon Analyse algébrique, se réduire sensiblement à l'unité au mo- ment où chaque série cesse d’être convergente. Done, si la série est or- donnée suivant les puissances ascendantes et entières d’un para- mètre «, la racine nie du coefficient de æ* devra, pour de grandes valeurs de », se réduire sensiblement à l’unité divisée par le module de x, pour lequel la série cessera d’être convergente; ou, ce qui revient au même, par le plus petit des modules de + qui rendront infinie ou discontinue la fonction qui représente la somme de la série, ou la dé- rivée de cette fonction prise par rapport au paramètre x.

ANALYSE.

$ I. — Considérations générales sur la convergence des séries qui représentent les intégrales d’un système d'équations différentielles.

Soit donné, entre la variable indépendante £ et diverses inconnues ou variables principales +, y, :, ..., un système d'équations différen- tielles de la forme

(1) D:z=P, B:r= 0, Les

P, Q, ... désignant des fonctions données de toutes les variables x, y,

3, ..…, t. Soit en outre ÉD Pi)

une fonction quelconque des seules variables principales æ, y, z, .... Enfin nommons

2 DR FR AE AU SET Sy œ, Ÿ ;

36% COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

un second système de valeurs correspondantes des variables et fonc-

tions

d, Lr V8 oi s, P, Q, On aura encore (2) it r yo,

Cela posé, comme les inconnues x, y, 3, ... se trouveront complète- ment déterminées par la double condition de vérifier, quel que soit #, les équations (1), et, pour £ — 0, les formules

(3) LEE X, Fr Fr. Ra

x, Y, 7, ... et même s pourront être considérés comme des fonctions déterminées, non seulement de la variable indépendante #, mais en-

core de Re Ti cher

et alors s lui-même se trouvera complètement déterminé par la double condition de vérifier, quel que soit £, l'équation caractéristique

(4) (Do + Os =,

la valeur de la caractéristique O étant

(5) Q=TD;+2D, +...

et, pour £ — 0, la formule

(6) Re cl D 2 OV ES

Si maintenant on nomme Clés El

ce que devient [ quand on y remplace successivement 0 par diverses variables

la valeur de s, développée en série, sera, comme nous l'avons dit ail- leurs,

t t t (7) s—s+ f D640,+/f À 0,0, s d0, dû, +... V5 A

EXTRAIT N° 100. 369 Dans le cas particulier où P, Q, ... ne renferment pas la variable ?, L done alors la formule (7) se réduit à

, ?,... ne renferment pas 0, en sorte qu'on à 0 =0, =, —...;

(8) = fie fo + ET 084. ou, ce qui revient au même, à (9) : serre

Si aux équations (1) on substituait les suivantes : (10) ivBæe al; D,y = 20, NS

2 désignant un paramètre donné, alors, en supposant toujours la va-

leur de [] déterminée par l'équation (5), on obtiendrait, au lieu de

/?

l'équation (4), la suivante (ro) (Dy + cz O)s—o,

et les formules (7), (8), (9) se changeraient en celles-ci :

“ t t t (12) s=ç+af 5 d0 + a f [ D,0,:d5,d6,+..., ( 4,9 ÉSARLY (4 02 (13) s=[i+ 004 EE m4. (14) s—e tn,

Donc alors, en vertu de la formule (12) ou (13), la valeur de s se trou- verait représentée par une série ordonnée suivant les puissances ascen- dantes du paramètre ».

Observons maintenant que chacune des séries comprises dans les seconds membres des formules (7) et (8), ou (12)et (13), cessera géné- ralement d’être convergente pour une certaine valeur de la variable indépendante #, ou plutôt pour une certaine valeur du module de la différence £ — 0, comme aussi pour certains modules des constantes

366 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

arbitraires x, y, Z, ... introduites par l'intégration, ou des paramètres renfermés dans les équations différentielles données, par exemple, pour un certain module du paramètre x, renfermé dans les équations (ro) ou dans les seconds membres des formules (12) et (13). Or les valeurs ou modules dont il s’agit pourront être facilement déterminés à l’aide du théorème général rappelé dans la séance du 22 juin, et qui s’énonce comme il suit :

Tuéorème 1. — Une fonction d’une ou de plusieurs variables est dévelop- pable en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières de ces variables, tant que les modules de ces variables conservent des valeurs inférieures à celles pour lesquelles la fonction ou ses dérivées du

premier ordre pourraient devenir infinies ou discontinues.

Comme je l'ai fait voir dans mes Leçons de seconde année à l'École Polytechnique, les valeurs des inconnues x, y, z, ..., fournies par l’in- tégration des équations différentielles (1) ou (10), restent fonctions continues de la variable indépendante et des constantes arbitraires x, y, Z,... introduites par l'intégration, tant que les modules des diffé-

‘rences # t—0, X—Xx, Y—Y, 2—7,

restent inférieurs à ceux pour lesquels, ou les seconds membres de ces équations différentielles, c’est-à-dire, en d’autres termes, les fonctions P, Q,..., ou les dérivées de ces fonctions, prises par rapport aux di- verses variables, deviendraient infinies ou discontinues. On peut done énoncer encore la proposition suivante :

TuéorÈME I. — Si l'on prend pour s une quelconque des inconnues PRE PRG ie de

on pourra, dans la série (7) ou (12), et sans que cette série cesse d’être con- vergente, faire croître, ou le module de t — 0, ou, ce qui revient au même, le module du paramètre x, jusqu'au moment où cet accroissement produi-

rail, soit une valeur infinie de l’inconnue que l’on considere, soit des va-

EXTRAIT N° 100. 367

leurs infinies ou discontinues d’une ou de plusieurs des fonctions P, Q, .… ou de leurs dérivées du premier ordre, prises par rapport aux diverses va-

riables.

Corollaire I. — Le théorème que nous venons d’énoncer serait en- core évidemment applicable à une valeur de s qui représenterait, non plus l’une quelconque des variables +, y, 5, .. 5 mais une fonction tou- jours continue de ces mêmes variables, par exemple une fonction de

la forme

L x axt+ bym +... e J ;

l, m étant des nombres entiers quelconques.

Corollaire IT. — Si RE AU TN DE SOUE

n’était pas une fonction toujours continue de æ, y, 5, ..., alors la série (7) ou (8) pourrait cesser d’être convergente, non seulement dans les cas prévus par le théorème If, mais aussi lorsque la fonction f(æ, y, 3,...) deviendrait discontinue, par exemple dans le cas où . des valeurs finies de æ, y, 3, ... produiraient une valeur infinie de

cette même fonction.

Corollaire III. — Si, au lieu de faire varier la valeur ou le module de la différence : — 9 ou du paramètre «, on faisait varier, ou un autre paramètre renfermé dans les équations différentielles données, ou l’une quelconque des constantes arbitraires introduites par l’intégra- tion, on devrait encore évidemment s'arrêter au moment où la série (7) ou (12) cesserait d’être convergente pour l’une des raisons indiquées dans le théorème IT, ou dans le corollaire précédent.

Les principes établis dans ce paragraphe sont immédiatement appli- cables à un système d'équations différentielles d’un ordre quelconque; car, comme nous l'avons plusieurs fois remarqué, il suffit d’augmenter le nombre des inconnues pour qu’un semblable système se transforme à l’instant même en un système d'équations différentielles du premier

ordre.

368 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

SIL — Des intégrales sous forme finie d'un système d'équations différentielles. Développement de ces intégrales.

Lorsque les intégrales d’un système d’équations différentielles, par exemple des équations (1) ou (ro) du $ I‘, peuvent s’obtenir sous forme finie, la formule de Lagrange et d’autres formules analogues fournissent le moyen de développer ces intégrales en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes et entières des constantes arbi- traires introduites par l'intégration, ou des paramètres renfermés dans les seconds membres des équations différentielles. Ainsi, en particu- lier, on pourra, de cette manière, obtenir la valeur de l’une quel- conque des inconnues x, y, z, ..., ou d’une fonction s de ces incon- nues, développée en une série qui soit ordonnée suivant les puissances ascendantes du paramètre « contenu comme facteur dans le second membre de chacune des équations (ro). D'ailleurs cette dernière série devra évidemment coïncider avec celle que renferme le second membre de la formule (12) ou (13) du $ I‘; de sorte que la nouvelle série pourra se transformer en l’autre, et réciproquement. |

Supposons donc que les équations à intégrer soient les équations (ro) du $ I‘, savoir, |

(1) Pixel, D,y = aQ, de

2. étant un paramètre donné, et P, Q, ... des fonctions données des diverses variables FDA DE ENS 2 à

Supposons, de plus, que l’on soit parvenu à obtenir les intégrales des équations (1) sous forme finie. Ces intégrales établiront une relation déterminée entre la variable indépendante 4, les constantes arbitraires qui pourront coincider avec les valeurs x, y, z, ... des inconnues x, Y, 3, ... Correspondantes à une certaine valeur 0 de la variable #, et la variable s qui pourra représenter, ou l’une quelconque des incon- nues æ, Y, 7, ... Où une fonction donnée :

FR dir)

EXTRAIT N° 100. 369

de ces mêmes inconnues. Or concevons que la relation dont il s’agit se trouve exprimée par la formule \

(2) S— 0,

S désignant une certaine fonction de s, de #, de x et des constantes ar- bitratres. Puisque la valeur de s, déterminée par l'équation (2), devra coincider avec celle que fournit l'équation (r2) du $S I‘, il'est clair qu’en faisant, pour abréger,

on trouvera ( 3) SE Co

non seulement pour £ =, mais aussi pour x = 0. Concevons d'ail-

leurs qu’en mettant x et s en évidence, dans la fonetionS, on ait cs EU

en sorte que l'équation (2) se présente sous la forme

(4) Ft xt) —0.

On aura encore

(5) | F{c, 0) = 0;

et, si la lettre u désigne une variable auxiliaire, les deux équations

Feu, F(u,o)—o

admettront, la première, la racine u —s, et la seconde, la raciné He.

Supposons d’ailleurs que cette dernière racine soit une racine simple, on pourra en dire autant de l’autre, en sorte qu'on aura

(6) Flu,a)—{(u—s)I{u,x), Fiu,o)—{u—s)ll{z,o),

la fonction Hu, x) et sa valeur particulière IH{w,0) étant deux fonc- tions de w, dont la seconde ne deviendra point nulle ni infinie pour

U —=<.

ES s]

OEuvres de C. — S.I,t. V.

370 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE,. Supposons maintenant que dans les formules (6) on pose = Cri Ces formules, réduites aux suivantes Fio+iua)—=(s—s+1:)H(s +4, «), F(s+i,0)—=1I{s+4,0)

donneront

Fis+i,a) c—s+ulis+r,a)

F(s+z,0) L I(s+:,0)"

= | se

puis on conclura de celle-ci, en prenant les dérivées logarithmiques des deux membres par rapport à :, et en indiquant à l’aide de la lettre 1 les logarithmes népériens,

F{s+u,x 1 1 Hs+t,x D, 1 — ) et pds Del (e , ) F(s+1,0) G—SsS+t L IH!:+1,0) ou, ce qui revient au même, Le +0, « Fié+c, a il 1 (8) pires a À (e À + Men ILfs+t,0) F(s+t,0) çs—s+: L

Or, puisque, par hypothèse, l'expression H(w, o) ne devient ni nulle ni infinie pour uw — £, il est clair que la fonction

I(s+1,a)

ne deviendra ni infiniment petite ni infiniment grande pour des valeurs infiniment petites de : et «. Donc, pour de semblables valeurs, cette fonction et la dérivée logarithmique

IH(s+1,a) Is +4,0)

D, 1

seront généralement développables en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes et entières de «et «; et l’on pourra en dire au- tant du second membre de la formule (8). Mais, pour développer ce second membre suivant les puissances ascendantes de x, en suppo- sant, comme on peut le faire, que, des deux variables infiniment

EXTRAIT N° 100. 311

petites s — : et, la première conserve toujours un module inférieur à celui de la seconde, il faudra commencer par transformer le rap-

port T

G—SsS+t

en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes de la diffé- rence

ST es qui elle-même est développable suivant les puissances ascendantes de «. D'ailleurs, en opérant ainsi, on trouvera

1 1 S—ç (s—c) { a Re os (9) G—s—+i! ass t- + L R Supposons en outre F(s+t,a)

D ] SAS Mat tant RUE L 2 D] PRET (10) RL LUo) ali+ al +.., les coefficients [,, 1, ... étant indépendants de «. La formule (8) don- nera :

Hs +1,04) sS—çs ({s—$) D, 1 2 21, + œl rpm, + 57e

(11) ” Marc 2, + &?1 + = 5

Or, si, dans le second membre de cette dernière formule, on développe, d’une part, comme on doit pouvoir le faire, les coefficients

en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes de :, d'autre part, les divers termes de la progression géométrique

en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes de #, on ob- tiendra une série double que l’on pourra ordonner suivant les puis- sances ascendantes de x et de :, et dans laquelle, après les réductions, les termes proportionnels aux puissances négatives

372 : COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

devront disparaître. En s'appuyant sur cette considération, et remar- quant en outre que, pour un très petit module de «, la différence s — & se trouvera représentée par une série dont le premier terme sera pro- portionnel à x, on conclut immédiatement de la formule {r1) que le

. , . CE premier terme du développement de T, est proportionnel à =; le pre- < , | . mier terme du développement de I, à etc. On en conclut aussi que

les coefficients des puissances négatives

dans les rapports

doivent être respectivement égaux aux coefficients des mêmes puis-

sances dans le développement de la somme

al, + I +... en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes de :. Donc, en particulier, le coefficient de JF dans ce développement doit ex- primer la valeur de la différence

S — ç. Remarquons à présent que, dans les développements de a «last evo, us

développements dont les premiers termes seront respectivement pro-

portionnels à

. I L e. LA L : le coefficient de = deviendra successivement égal à chacune des ex-

pressions I

I FR «21, deb), = Dé(el), ..s

EXTRAIT N° 100. 373 pourvu que l’on convienne de réduire toujours, après les différen- tiations effectuées, la variable : à zéro. On aura donc, sous cette con- dition,

a? a Los (12) sg alt Dh) + Di(l) +... On trouvera de la même manière É \9 9 D A a\ 8 2 à A bu he

| (s— 5} = als + TD(51:) na

La formule (12) s'accorde avec des formules données par MM. La- place et Paoli, et fournit, aussi bien que la formule (r2) du $ I, le développement de s ou de s —:, suivant les puissances ascendantes de +. Elle pourra être représentée sous l’une ou l’autre des formes

(14) S—ç—AIa+Aoa+..., (15) S=GHS HG, He.

si l’on pose, pour abréger,

I

(16) Area

D#=t («+1 T,), 1.2...(n —1) ;

: devant être réduit à zéro après les différentiations, et (179) G(n) = Ana”. Il est bon d'observer qu’en vertu de la formule (ro), et du théorème

de Maclaurin, on aura

F(é+t,a) F(s+u0)

(18) T4 — —— DE Del

2 devant être réduit à zéro après les différentiations. Donc le coefficient A, de x’, dans le développement de s, pourra être présenté sous la forme

: “e : ee n—1| ,n+1 n Fs+uz) (19) Dre 3 D: Le D,D£1 F{s+1,0) ,

374 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

les valeurs de x et de : devant être réduites à zéro, après les différen- tiations. D'ailleurs, si l’on pose, pour abréger, I F(s+1,a)

: \ er AL n , (20) Ja PET ee PET

+ devant être annulé après les différentiations, c'est-à-dire si l’on dé- signe par J, le coefficient de +’ dans le développement de l’expres-

sion F(s+:,ac) Fis+t,o)

suivant les puissances ascendantes de «, la formule (18) donnera

l» — D,J,.

® Là . « I . Or le premier terme de T, étant proportionnel à ——; le premier terme

Lt A . EE ; N . . de J, devra être proportionnel à + et, eu égard à cette circonstance, il

est facile de s'assurer que l’on aura, pour: = 0, D’! (erri l») en D#-1 (en Jh). Donc la formule (16) pourra être réduite à

(21) An =— Det (ur Ju),

1.2...(n—1)

et la formule (19) à

— — : .. n—1 Pal ,r Fisehæ) A ambre ur le À

z et: devant toujours être annulés après Les différentiations.

La série comprise dans le second membre de la formule (r2) reste convergente, tant que le module de « reste inférieur au plus petit de ceux pour lesquels la fonction s, ou sa dérivée, prise par rapport à «, devient infinie ou discontinue. D'ailleurs, en vertu de l'équation (4), on a généralement

DaF(s,a) + D, F{s, &) Des = 0,

EXTRAIT N° 100. 979

et par suite D,F({s, a)

MT DE, à)

Donc la dérivée de s, prise par rapport à «, devient généralement in- finie, lorsqu'on à

D,Ft{s, a) +0, Donc le module de x, pour lequel la série comprise dans le second membre de l'équation (12) cessera d’être convergente, sera générale-

ment le plus petit de ceux qui vérifieront les équations simultanées . (23) F(s,a)—=o, D,F(s,æ)—0.

Nommons à ce module; la valeur de À,, fournie par l’une quelconque des équations (16), (19), (21), (22), offrira un module dont la racine

nième convergera, pour des valeurs croissantes, vers une ou plusieurs

A I . limites, dont la plus grande sera ++ Donc, en attribuant au nombre en-

tier » une valeur très considérable, on pourra choisir cette valeur de manière que l’on ait sensiblement

1

(24) (mod. A4 }" — .

Il serait facile de transformer en intégrale définie simple ou double

le coefficient de x” dans le développement de s, c’est-à-dire la valeur

de A, déterminée par l’une des formules (16), (19), (21), (22). En effet, si l’on désigne par fe z = rePV-!

une variable imaginaire dont le module soit r, et l'argument p, si d'ailleurs

f(z) représente une fonction qui reste finie et continue, quel que soit l'ar-

gument p, pour une certaine valeur R attribuée au module 7, et pour des valeurs plus petites, on trouvera, en posant r —R,

VAL LR Sd ?

ftëo) — ee . Fe

370 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

en d’autres termes, on aura, pour des valeurs infiniment petites de :,

Êre De flo Len "fU) y (25) DD | de

Cette dernière formule offre le moyen de transformer immédiatement en intégrale définie la dérivée de l’ordre z d’une fonction donnée de la variable :, ou plutôt la valeur de cette dérivée correspondante à une valeur nulle de la variable &. Par suite, la formule (25) offre le moyen de transformer le second membre de l'équation (16) ou (21) en inté- srale définie simple, et le second membre de l'équation (22) en inté- grale définie double. |

Les diverses formules que nous venons d'établir se trouvent com- prises, comme cas particuliers, dans d’autres formules plus générales que nous avons données dans le Mémoire sur la Mécanique céleste de 1832, et qui servent à développer, suivant les puissances ascendantes d’un paramètre renfermé dans une équation algébrique où transcen- dante, la somme de certaines racines de cette équation, ou la somme des fonctions semblables de ces racines. Au reste, toutes ces formules peuvent être établies par la méthode même dont nous venons de faire usage.

Pour s'assurer de l'exactitude des résultats auxquels nous sommes parvenus, 1} suffirait de prendre

F(s,a)—s—awf{s). Alors on trouverait Fis+1,a) D x

PE entente RE: QE es à ) Fis+t,0o)

I o!t ue 7. Jh = — ñn EE | , et par suite la formule (21) donnerait

MAN 1 11 \%e AR [æ(c)}".

425%

Donc, si l'on développe suivant les puissances ascendantes de + la plus

EXTRAIT N° 100 317 petite racine s de l'équation — (26) s—2w(s)—0, on trouvera

œ? À D ne (27) s—am(o) + —Dio(i)P+— Difo(t)P+...,

la valeur de : devant être réduite à zéro, après les différentiations, et la série comprise dans la formule (27) restera généralement conver- gente, tant que le module de + restera inférieur au plus petit de ceux qui permettent de vérifier les équations simultanées

(28) sS—aw(s) —=0, 1—am(s) —0.

/

On se trouve ainsi ramené à des conclusions que nous avons déjà énoncées dans un précédent Mémoire. D'ailleurs, les équations (28) peuvent s’écrire comme il suit :

(29) Éhery

Si l’on supposait w(s) —sines,

l'équation (26) serait analogue à celle qui, dans le mouvement ellip- tique d’une planète, détermine l’anomalie excentrique. Si l’on suppo- sait au contraire

les formules (29) donneraient

ST a =

D}

Donc la plus petite racine de l'équation (30) sS—ae—=0

se développe, par la formule

2

31 $s — : 32 43 ue (32) PP F3: ATATEE 0 HcuS "

OEuvres de C. — S.1, t. V. 48

318 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

Fe . , Ll - en une série qui demeure convergente tant que « ne dépasse pas + On e

, I aura donc, dans le cas présent, à — =; et, comme on trouvera de plus

il suit de la formule ( 24) que, pour de grandes valeurs de 7, on aura sensiblement

ASE MP Jen e

ce qui est exact, d’après une formule connue de M. Laplace. On pourrait encore remarquer le cas où la fonction &{s) serait de

l’une des formes

ou même plus généralement de la forme

"

€”,

: désignant une fonction entière de s. Dans ce cas, la première des for- mules (29) serait toujours facile à résoudre, puisqu'elle se réduirait à

l'équation algébrique

CRIER ° S HE. — Comparaison des formules établies dans les deux premiers paragraphes.

La formule (12) du paragraphe précédent devant s’accorder avec celle qui porte le même numéro dans le $ I‘, les deux séries qui, en vertu de ces deux formules, représentent la valeur de s, doivent être identiques, et par suite les coefficients des mêmes puissances de *, dans ces deux séries, doivent être égaux. On aura donc, en adoptant

les notations des $$ Let IT,

t L t (1) : Creme | . CU, 5 0, d8, =+D.(5l), ne 0 () 0, :

la valeur de : devant être réduite à zéro après les différentiations.

EXTRAIT N° 100. 319

Si l'on suppose que les seconds membres des équations (1) du $ II

deviennent indépendants de #, on devra, dans le $ [*', remplacer la

formule (12) par la formule (13); et, en conséquence, le coefficient de #*, dans la valeur de s, pourra être représenté par le produit

(t— 0"

NS EX (2

Or” S:

Ce dernier roduit devra donc être égal à la valeur de À déterminée Le) ñ par l'équation (16) du S IE, en sorte qu'on aura

(t— 0)"

Ore—=De-'(irriT,). LL

Donc en posant, pour abréger,

(é re 0)-"], Rs on aura ,

(2) OMce = MIT ur) Sn);

. devant être réduit à zéro après les différentiations. Il est bon d’ob- server que, dans la formule (2), la valeur de 5, sera indépendante de 4 — 0. En effet, dans l'hypothèse que nous venons d'admettre, le pre-

mier terme $ de l'équation (2) du $ I sera une fonction de s et du pro- duit «(4 — 6). Done, si l’on pose

de manière à mettre en évidence, dans l’expression deS, non seulement setx, mais encore la variable 4; alors, au lieu de la formule (ro) du S IT, on obtiendra la suivante :

(3) DAT) Los + ads +...

Or, en vertu de cette dernière formule, on aura généralement

L: ë F(s+u, æ on dt Gien, AR CRE 4 à # )

— + a)

/

(s+t,0

380 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

et par suite

1.2...(n—1)

Qt

Û"s = —

Æ

F(s+1,0)

à D!- D! [ers=se),

+ et: devant être réduits à zéro, après les différentiations. L’équa- tion (5), dont le second membre pourrait être remplacé par une intégrale définie double, offre une transformation remarquable de l'expression symbolique D"<. Dans d’autres Mémoires je donnerai de nombreuses applications des théorèmes et des formules ci-dessus établis.

101.

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Applications diverses des théorèmes relatifs

à la convergence et à la transformation des séries.

C. R.,t. XI, p. 667 (2 novembre 1840).

SIT. — Sur la convergence des séries qui représentent les développements

des fonctions de fonctions.

Soient y une fonction de x, développable en série convergente, or- donnée suivant les puissances ascendantes et entières de +, pour tout module de æ inférieur à X, et z une fonction de y, développable en série convergente, ordonnée suivant les puissances ascendantes et en- tières de y, pour tout module de y inférieur à Y. Il semble au premier abord que la fonction z devrait elle-même être développable en série convergente, ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières de +, lorsqu'on aurait à la fois

(1) mod.x<{[X et mod.y<Y.

Néanmoins le contraire peut arriver, comme nous l’avons déjà remarqué

EXTRAIT N° 101. 381 dans la seconde livraison des Résumés analytiques. Ainsi, en particulier, si l’on pose

1—e ? I X

rex

= Î | + ùn Il Il

nd Fev SNTR à 1—e *

y sera, pour toutes les valeurs de x, développable avec e* en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières de +; de plus 3 sera, pour tout module de y inférieur à l’unité, déve- loppable en série convergente ordonnée suivant les puissances ascen- dantes et entières de y; enfin le module de y restera inférieur à l'unité pour toute valeur réelle et positive de x; et toutefois Le développement de = suivant les puissances ascendantes de x cessera d’être conver- gent pour certaines valeurs réelles et positives de +. En effet, le développement dont il s’agit, en vertu de la seconde des équations (2), sera |

US f ” le -

I 4 = - + © — e a ie ad di 1.2.2;4.9:0 :

les coefficients numériques

n'étant autre chose que les nombres de Bernoulli. Or, si l’on désigne par

ces mêmes nombres, on aura généralement, d’après une formule connue,

CRE D VE | AS I Ù RE an NS a tan rs ]5

FAITES 2 2/2 1x! 9/2

et par suite le coefficient de x”, dans le second membre de la for- mule (3), sera, pour des valeurs paires de

EL 2 1 1 (— 1}? or" Pat de .

Done, pour de grandes valeurs de n, la racine nie de ce coefficient se

382 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE. réduira sensiblement à 27? et, en vertu du théorème sur la convergence des séries, énoncé dans mon Analyse algébrique, le développement de z sera convergent ou divergent suivant que le module de x sera inférieur ou supérieur 197.

On se trouve au reste ramené précisément aux mêmes conclusions par le théorème que j'ai rappelé dans le précédent Mémoire. En effet, suivant ce théorème, la fonction

x A Le Ge

ne pourra cesser d’être développable en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières de æ qu’à partir de l’in- stant où elle deviendra infinie ou discontinue, par conséquent, pour des modules de + supérieurs au plus petit des modules que présentent les racines de l'équation

ou (4) DORE ps Or les racines de l'équation (4) coincident avec celles des racines de l'équation

fe qui different de zéro, c’est-à-dire avec les valeurs de

2 kr V—1

correspondantes à des valeurs entières positives ou négatives de 4. Donc les modules de ces racines se réduisent aux divers termes de la progression arithmétique

2%, AN OÙ 4.

et le plus petit de ces modules, à 27.

EXTRAIT N° 101. 383

Nous avons vu que les conditions (1) peuvent être remplies sans que

la valeur de z soit développable en série convergente ordonnée suivant

les puissances ascendantes de +. Nous ajouterons que le développe-

ment pourrait avoir lieu dans des cas où l’une de ces conditions ne

serait pas vérifiée. Ainsi, par exemple, si l’on suppose z déterminée en fonction de y, et y en fonction de x, par les équations

(5) = p+ar-aslhi+y)=e, dont la seconde donne (6) r=r—i+ Vire,

y sera développable en série convergente ordonnée suivant les puis- sances ascendantes de +, et 3: en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de y, dans les cas seulement où l’on aura

(7) mod.x<T1, mod.y<1.

Mais on aurait tort d’en conclure que = cesse toujours d’être déve- loppable en série convergente ordonnée suivant les puissances ascen- dantes de +, lorsque la seconde des conditions (7) cesse d’être remplie. En effet, si, dans la formule (6), on adopte le signe supérieur, elle

donnera

Y=x—1+Vi+ x,

Ca

(8)

puis on tirera de celle-ci, jointe à la première des équations (5),

(9 en ur T+Vyi+x?

Donc la valeur de 3, comme celle de y, sera développable en série con- vergente, tant que le module de x restera inférieur à l'unité, par exemple lorsqu'on prendra

384 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

4 Mais, pour x — la formule (8) donnera Ar UAT.. 46 ag = RE e) J ou, Ce qui revient au même, — à Ar 2

et par conséquent z pourra être développable en série convergente, sans que la seconde des conditions (7) se vérifie.

SIL — Sur la convergence et la transformation des séries qui représentent les intégrales d'équations différentielles du premier ordre.

Considérons, pour fixer les idées, une seule équation différentielle du premier ordre entre l’inconnue x et la variable indépendante 4. Cette équation pourra être présentée sous la forme

(1) D:xæ = P,

P étant une fonction donnée de x et de z. Soient d’ailleurs JOËE, DORE À

des valeurs particulières et correspondantes de

Le 2

L'inconnue æ sera complètement déterminée par la double condition de vérifier, quel que soit #, l’équation (r), et, pour { — 9, la formule

(4) tk Cela posé, faisons (3) =;

etnommons Û,, O,,

ce que devient [, quand on y remplace successivement 0 par diverses variables

EXTRAIT N° 101. . 385

La valeur de +, développée en série, sera

ÿ) RNA à (4) a=s+f D,xd5,+f | Gn,xd5, 45, +... é po V6,

Dans le cas particulier où la fonction P cesse de renfermer la va-

riable #, l'équation (4) donne simplement . de (5) | Le : a eo

Enfin, si l’on remplace l’équation (1) par la suivante

(6) | Dex — aP, + étant un paramètre donné, et si l’on suppose toujours la valeur de © déterminée par l'équation (3), les formules (4) et(5) se changeront en

celles-ci

t t t . (7) a=x+af D,x d5, + a | fon,xa5, 46, +... o V6

L alt— 06) a2{t— 0)? (8) a [54 0+ + Îx

I 1.2

Observons à présent qu’en vertu du théorème établi dans le Compte rendu de la dernière séance (p. 645) (‘), on pourra, dans Îles for- mules (4), (5), ou (7), (8), et sans que les séries comprises dans les seconds membres de ces formules cessent d’être convergentes, faire croître, ou le module de & — 6, ou, ce qui revient au même, le module du paramètre x, jusqu’au moment où cet accroissement produira, soit une valeur infinie de l’inconnue +, soit une valeur infinie ou discon- tinue de l’une des fonctions

Pi D:P. Done, si ces dernières fonctions ne peuvent devenir discontinues qu'en devenant infinies, les séries obtenues ne cesseront pas d'être conver- gentes jusqu’au moment où la valeur attribuée au module de ? — 4 ou

de « permettra de remplir l’une des conditions

. ne on (9) M —"; P—-, D,P = -

(1) Œuvres de Cauchy, S. 1, t. V, p. 366. OEuvres de C. — S.I,t. V. 49

386 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

Considérons spécialement le cas où P est indépendant de #. Alors l'équation (6) pourra s’écrire comme il suit :

(10) GT =edt,

et son intég ‘ale en termes finis sera (ui) | a (t-- 0).

Alors aussi chacune des conditions (9) fournira une ou plusieurs va- leurs de x indépendantes de #; et si l’on nomme à l’une quelconque de ces valeurs, x restera développable en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières de +, jusqu'au moment où le module de + acquerra la plus petite des valeurs qui permettent de vérifier une équation de la forme

(12) — — «(it — 06).

X D'autre part, pour réduire l'équation (12) à la forme

f[x, ali—8)|—=0,

il suffira de prendre

flre(—07= ff Æat6);

et comme alors, en désignant par : une quantité infiniment petite, on

trouvera É[x +1, a] en EN rE nn q N nt e à = , $[x + 1,0] x L

on en conclura, en supposant & nul après les différentiations,

CI

1 n13(X+1,a) he 2 { Doi = © = — — . 1.2...(n —1) f(x +1;:0) x P

x

EXTRAIT N° 101. 387 Donc la formule (5) de la page 658 [vorr la séance du 26 octobre (*)| donnera

: I TU 3 ny — n—1 n PR té x Se M eq L Cf P |:

: devant être annulé après les différentiations. Appliquons maintenant les formules que nous venons d'obtenir à quelques exemples. | D'abord, si l’on pose Pise, c'est-à-dire si l’on réduit l’équation (6) à

(14) Han,

m désignant une quantité entière positive ou négative, les formules (9)

deviendront

l< a . res ee fruss: re (15) din æm—= À, am Fan

et par suite, si 2 est positif, la seule valeur « de x, propre à vérifier

ces formules, sera LR ‘Er os

Donc alors la formule (12) donnera

: ; ‘dæ (16) a(t—0)= f Pt

ou, ce qui revient au même,

(17) ati —

im nue 1) x/— 1 :

Donc, si mest positif, l'inconnue + de l'équation (14) sera dévelop- l

pable en série convergente ordonnée suivant les puissances ascen-

dantes de #, jusqu’au moment où le module du produit 4(4— 4) attein-

dra le module du rapport - L

(m—i1)x#—t

Si, au contraire, » est négatif, la dernière des formules (15) donnera

(1) OEuvres de Cauchy, S. 1, 1. V, p.380.

388 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

æ— 0; et c’est alors, en posant « — o, qu’on verra la formule (12) se réduire à l’équation (17), tandis que la formule (16) donnerait

a(t—0)—=#.

Donc, dans ce cas encore, le plus petit des modules de + que pourra fournir l’équation (12) sera celui que détermine la formule (17). Ainsi, en définitive, quel que soit l’exposant m», le développement de x en série ordonnée suivant les puissances ascendantes de x restera conver- sent, jusqu’au moment où le module de x permettra de vérifier la for- mule (17). Il est aisé de s'assurer que cette conclusion s'étend aux cas mêmes où l’exposant 72 deviendrait fractionnaire ou irrationnel, attendu que la fonction +” et sa dérivée ne deviennent jamais discon- tinues que pour des valeurs nulles ou infinies de x. Au reste, la con- clusion dont il s’agit peut être facilement vérifiée sur l'intégrale en termes finis de l'équation (14), cette intégrale pouvant être présentée sous la forme

1 (18) æ—=x[i—(m—r1)xmta(t—0)] m1.

Pour que le développement de x en série ne cessât jamais d’être con- vergent, il faudrait que la valeur de x, déterminée par l’équation (17), devint infinie. Cette condition se trouve remplie pour une seule valeur de m, savoir pour mn == 1. Alors l'équation (14) devient

D,x = ATX,

et la formule (18), réduite à

nisemte ex(t—0),

fournit une valeur de x qui est effectivement toujours développable en une série convergente ordonnée suivant les puissances de «. Alors aussi l’on à

== (x — Es DFA

par conséquent D"x=x;

EXTRAIT N° 101. 389

et la formule (13), réduite à

Ê AUTRE

peut être facilement vérifiée pour les valeurs 1, 2, 3, ..., du nombre entier 7.

Supposons maintenant que l’on prenne P = et”,

m étant un nombre entier quelconque; en sorte que l’équation (6) devienne

0412

(20) raser.

Alors chacune des formules (6) donnera + — 0; et, par suite, la for- mule (12) sera réduite à ii) att—0)= f 2" dx. La:

Donc la valeur de + propre à vérifier l'équation (20) sera développable en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de z, tant que le module de (1 — 6) sera inférieur au second membre de la formule (21).

Si l’on suppose en particulier »# — +1, les formules (20) et (21) de- viendront

(22) His ae, (23) | a(t— 0}j—e"x. Effectivement, l'équation (22) pouvant être présentée sous la forme

et dx = a di, on en tire x—=x—I[1—ea(t—0)], et cette dernière valeur de æ est développable en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de *, tant que le module du produit e*x(1 — 6) reste inférieur à l'unité.

390 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

Si l’on supposait th et X:== 0:

le second membre de la formule (21) se réduirait à

æ 1 he dr —àr. 0

Donc si, en assujettissant l’inconnue x à vérifier, quel que soit #, l'équa- tion différentielle

D,x = œe*, on nomme 6 la valeur de : correspondante à une valeur nulle de x, alors l’inconnue x sera développable en une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de +, tant que le module du produit 2(1— 6) n'atteindra pas la valeur déterminée par l'équation

Dans chacune des applications que nous venons de faire de la for- mule (12), la limite a de l'intégrale que cette formule renferme était réelle. Mais cette limite, qui représente simplement une valeur de x propre à vérifier l’une des conditions (9), pourrait être imaginaire. II arrivera même souvent que, pour tirer de la formule (12) le module cherché de +, on sera obligé de considérer comme imaginaire la va- leur infinie de + donnée par la première des formules (9). C’est ce qui

arrivera en particulier, si l’on prend ue ON PHor.

Dans des cas semblables, la valeur à laquelle pourra s'élever le mo- dule de x, sans que le développement de l’inconnue x cesse d’être convergent, dépendra de l'évaluation d’une intégrale définie, pareille à celles que j'ai considérées dans un Mémoire publié en 1825, et qui sont prises entre des limites imaginaires.

Dans le cas où P restera fonction de 4, alors, pour Héidré les deux dernières des formules (9) facilement applicables à la recherche des modules que peuvent acquérir & où { —6, sans que le développement

EXTRAIT N° 102. 391

de + cesse d’être convergent, 1l sera utile de remplacer l'équation dif- férentielle donnée entre + et ?, par une équation différentielle entre la variable indépendante £ et l’inconnue P ou D,P. Après cette opéra- tion, pour tirer parti de la seconde des conditions (9), il s'agira seule- ment d'obtenir une intégrale particulière de l'équation différentielle

entre 4 et P, savoir, la valeur de £ correspondante à P —*, en suppo-

A 0 sant connue la valeur @ de P correspondante à 4 — 0.

On reconnaitra généralement de la même manière que les condi- tions de convergence des séries qui représentent les intégrales d’un système d'équations différentielles sont toujours fournies par certaines intégrales particulières de ces mêmes équations.

Au reste, les divers principes que nous venons d'établir seront dé-

veloppés avec plus d’étendue dans de nouveaux articles.

102.

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la convergence des séries qui représentent

les intégrales générales d'un système d'équations différentielles.

C.R.,t. XI, p. 530 (9 novembre 1840).

Suivant le principe général énoncé dans mes Mémoires de 1831 et 1832, la loi de convergence des séries qui représentent les dévelop- pements des fonctions explicites ou implicites d’une ou de plusieurs variables se réduit à la loi de continuité. En partant de ce principe, on reconnaît aisément, comme je l'ai remarqué dans la dernière séance, que la recherche des règles de convergence, pour les séries qui repré- sentent les intégrales générales d'un système d'équations différen- telles, se réduit à la recherche de certaines intégrales particulières de ces mêmes équations. Concevons, pour fixer les idées, que, les équa- tions différentielles données étant relatives à un problème de Méca-

nique, où le temps £ est pris pour variable indépendante, elles aient

392 : COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

été réduites au premier ordre, et résolues par rapport aux dérivées des inconnues, de manière à offrir les valeurs de ces dérivées en fonction du temps et des inconnues elles-mêmes. On pourra représenter les va- leurs générales des inconnues par des séries ordonnées suivant les puis- sances ascendantes et entières d’un paramètre #, qui serait considéré comme facteur commun des seconds membres de toutes les équations différentielles, et que l’on réduira simplement à l'unité lorsqu'on aura construit les divers développements. D'ailleurs les séries dont il s’agit pourront n'être pas toujours convergentes, quel que soit le temps £. Au contraire, elles cesseront ordinairement d’être convergentes quand la valeur numérique du temps & deviendra supérieure à une certaine limite. Or cette limite sera la plus petite des valeurs de £ correspon- dantes aux intégrales particulières que l’on obtient lorsqu’en suppo- sant le module de x réduit à l'unité, on joint aux équations différen- tielles données les conditions qui expriment que les inconnues, ou les fonctions propres à représenter les dérivées des inconnues, ou les dé- rivées de ces fonctions prises par rapport aux inconnues elles-mêmes, deviennent infinies ou discontinues. |

Lorsque les intégrales particulières qui doivent fournir Les valeurs de # ci-dessus mentionnées ne peuvent pas s'obtenir en termes finis, on peut du moins calculer ces valeurs avec telle approximation que l’on voudra, soit à l’aide de la méthode d'intégration que j'ai développée dans mes Leçons de seconde année à l'École Polytechnique, soit à l’aide de nouveaux développements en séries. On pourrait aussi re- courir à divers théorèmes que j'ai donnés dans un Mémoire lithogra- phié vers la fin de 1835, et à quelques autres théorèmes du même genre. Si ces derniers théorèmes ne déterminent pas toujours l'instant précis où les séries qui représentent les intégrales générales des équa- tions différentielles données restent convergentes, 1ls ont du moins l'avantage de fournir, sans intégration, une limite au-dessous de la- quelle on peut faire varier le temps arbitrairement, sans détruire la convergence.

Les principes que je viens d’énoncer, étant appliqués à la Mécanique

EXTRAIT N° 102. 393

céleste, donneront immédiatement la solution d’un problème de la plus haute importance, et qui pourtant ne se trouve abordé en aucune manière dans les Ouvrages de nos plus illustres géomètres. Laplace, il est vrai, a étudié, sous le rapport de la convergence, la série qui repré- sente le rayon vecteur d’une planète développé suivant les puissances ascendantes de l’excentricité ; mais ce développement est relatif au mouvement elliptique, c’est-à-dire, au cas où les équations différen- tielles d’une planète peuvent s’obtenir exactement sans le secours des séries. Dans le cas général, où l’on recherche les lois du mouve- ment troublé, les séries qui représentent les intégrales de ce mouve- ment se trouvent ordonnées suivant les puissances ascendantes des masses perturbatrices. Mais, quoique ces masses soient fort petites, on ne sait absolument rien sur la convergence des séries qui les ren- ferment ; et il n’est démontré nulle part que ces séries restent conver- gentes, même pendant un temps très court, même pendant quelques années, même pendant quelques jours. On pourra maintenant réparer cette omission, déterminer une époque en decà de laquelle les séries obtenues resteront toujours convergentes, et même fixer des limites aux erreurs que l’on commettra en arrêtant ces séries, lorsqu'elles se- ront convergentes, après un certain nombre de termes.

ANALYSE.

-$ er. — Considérations générales sur la convergence des séries qui représentent les intégrales d’un système d'équations différentielles.

Le temps £ étant pris pour variable indépendante, soient PE à TS

des inconnues assujetties à vérifier : r° quel que soit #, les équations différentielles

(1) a D

dans lesquelles P, Q représentent des fonctions données de æ, y, …, 4;

Œuvres de C.— S.1, t. V. _ 50

394 | COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

2° pour { — 6, les conditions

(2) ee ne L

On pourra considérer les équations (1) comme produites par la réduc- tion du paramètre « à l’unité dans les équations plus générales

(3) Dix—2P, Dir—aQ, ...;

et, en vertu de ces dernières, jointes aux conditions (2), on pourra, pour un très petit module du paramètre x, développer en série ordon- née suivant les puissances ascendantes de ce paramètre, ou l’une quel- conque des inconnues T, Ÿ LES,

ou même une fonction quelconque s de ces inconnues. Si, en désignant par |

Dr les valeurs de

$, Pr; Q, correspondantes à { — 4, on pose

si d’ailleurs on nomme Lis CO,

ce que devient [] quand on y remplace successivement 0 par diverses valeurs auxiliaires

la valeur générale de s, développée en série, sera

t t t (5) s=c+af D,sdi,+e | | D,0,<d9,d0,+...; 0 0 6,

et, si l’on veut en particulier déduire de la formule (5) la valeur de l’inconnue æ, on trouvera

t t t (6) c=x+af O,x dû, + e | [ O,7,x d0,d8,+... 0 o V0,

EXTRAIT N° 102. 395 Lorsque les équations (3) se réduiront aux équations (1), alors Le pa- ramètre « étant l'unité, les formules (5) et (6) donneront

t t t (7) s=5+ f O,<d8,+ [ [ O,0,< 46, d0, +... (9 6 “0, et t t L (8) z=x+ | nxds+ [| [ O, 7, x d6,d6,+.... 0 (OSCA

Or, d’après ce qui a été dit dans l’article précédent, les développe-

ments des inconnues

ZT, Fi ces

v

fournis par l’équation (6), et autres semblables, resteront convergents jusqu’au moment où l'accroissement attribué, soit au module du para- mètre «, soit à la valeur réelle de #, produira une valeur infinie de l’une des inconnues

AR at PE ou bien encore une valeur infinie ou discontinue de l’une des fonc- tions

(9) Dh 0 De DO

Supposons, pour fixer les idées, que chacune des fonctions (9) ne devienne jamais discontinue sans devenir infinie. Alors les séries qui, dans les formules (6), ..., représentent les valeurs générales des in- connues ne pourront cesser d’être convergentes qu'au moment où l'accroissement attribué à la valeur réelle de £ permettra de vérifier l’une des conditions

| Fe. ans o ÿ= , par x ER » Le) (e) [e] O (ro) ] I I J HP 6. Le Eire .. Lada. D,Q = =»

Dans tous les cas la valeur de £, pour laquelle les développements de æ, y, ... cesseront d'être convergents, sera la plus petite de celles

396 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

pour lesquelles se vérifieront certaines conditions de la forme (ri) ed

s pouvant désigner successivement les diverses inconnues x, y, ..., puis certaines fonctions de x, y, ...,t, et a désignant une constante réelle ou imaginaire, finie ou infinie. Il nous reste à montrer comment une semblable condition peut servir à déterminer la valeur de £. Or soit Le

(12) Ù PESTE AUS PR à

la formule par laquelle s se trouve exprimée en fonction des variables æ, Y,...,t3; et supposons d’abord que l’on puisse intégrer en termes finis les équations (3). En substituant dans la formule (12) les valeurs de æ, y, ... que fournissent les intégrales générales de ces équations,

on trouvera

(13) (ae,

f(x, t) désignant une fonction finie de «, t; et, pour vérifier la condi- tion (1), il suffira de chercher les valeurs réelles de £ qui serviront de

acines à l'équation

(14) a Jar.

Si les séries que l’on veut étudier, sous le rapport de la convergence, sont les séries (8), ..., c’est-à-dire celles qui représentent les intégrales des équations (1), on devra, dans la formule (r4), supposer le module de « réduit à l’unité, et chercher la plus petite des valeurs réelles de 4 correspondantes à ce module de «x. Ajoutons que, si la fonction f(æ, y, ...,t) est indépendante de #, la fonction f(x, t) sera précisé- ment celle qui, développée en série suivant les puissances ascendantes de #, offrira pour développement le second membre de la formule (5).

Passons au cas où les intégrales des équations (3) ne peuvent s’oh- tenir en termes finis. Alors en posant, pour abréger,

(15) S= {D:+ PD;+ QD,+...)f{x, 7, ..., t},

EXTRAIT N° 102. 397

on reconnaitra que

Ts, ÉPOT OREe considérées comme fonctions de £, vérifient, non seulement les équa- tions (3), mais encore la suivante :

(16) Des — 8.

Si maintenant on prend pour variable indépendante s au lieu de 4, les équations (3) et (16) donneront 1 P Q (17) Die rs D; y — S? .. Soit d’ailleurs s ce que devient S quand on y remplace

Ti Ty'issis À par

à PNR D et supposons la valeur de © déterminée, non plus par la formule (4), mais par la suivante :

® 5 DH TD, +...

I

Pour obtenir la valeur cherchée de 4, il suffira d'intégrer l'équation caractéristique

(19) (D+0)é—o,

de manière que pour $ — £ on ait 4 —6, puis de poser dans l'intégrale trouvée $ — O.

Alors la valeur de #, fournie par cette intégrale, ne dépendra plus que du paramètre #, et, en réduisant le module de ce paramètre à l'unité, on devra en déterminer l'argument de manière que la valeur de £# soit réelle et la plus petite possible.

La valeur de # ainsi obtenue se.trouvera exprimée en nombres. Elle sera Ce qu'on pourrait appeler une értégrale définie du système des équations (17), ou de l'équation (19).

398 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

Pour calculer la valeur exacte ou du moins approchée de l'intégrale définie dont nous venons de parler, on peut appliquer à l'intégration des équations (17), ou de la formule (19), la méthode que j'ai autrefois exposée dans mes Leçons de seconde année à l'École Polytechnique, et que j'ai rappelée dans un Mémoire lithographié vers la fin de l’année 1835, ou bien encore la méthode d'intégration par séries. La première méthode, dans laquelle les intégrales particulières d’un système d’é- quations différentielles sont considérées comme représentant les limites vers lesquelles convergent les intégrales d’un système d'équations aux différences finies, fournit, comme on sait, les valeurs numériques des premières intégrales avec une approximation qui se trouve mesurée par la méthode elle-même, et qui peut être rendue aussi considérable que l’on voudra. Quant à la méthode d'intégration par séries, elle pourra s'appliquer de diverses manières à l’équation (19); et cette application sera très avantageuse, si l’on parvient à décomposer O en deux parties dont la première diffère peu de © et permette, lorsqu'on la substitue à D, d'obtenir une intégrale de l’équation (19) en termes finis.

Au reste, on pourra, dans un grand nombre de cas, employer, pour calculer la valeur cherchée de £, la formule même en laquelle se change l'équation (7) lorsque l’on substitue la variable # à la variable s, en supposant la valeur de G déterminée, non plus par l'équation (4), mais par l'équation (18). D'ailleurs comme, dans cette supposition, les va-

leurs de 0, ere ET

seront égales, attendu que : n’entre pas dans le second membre de la formule (18), il est clair qu’au lieu de la formule (7) on obtiendra la suivante :

presse LR

$ — (20) {= 0 + — O9 + Si, dans cette dernière, on pose s — a, elle donnera la valeur cherchée de , savoir — GC \-

| a — (a (21) t— 0 + 00 + 06 +....

EXTRAIT N° 102. NBA

Si, au lieu de substituer à la formule (r2) une nouvelle équation dif.

férentielle, savoir l’équation (16), on se servait simplement de la for- mule (12) pour éliminer des équations (3) l’une des inconnues x, y, .., en substituant par exemple s à x, alors P, Q,... et la valeur de S donnée par la formule (15) devraient être considérées comme fonc- tions de : BV res À;

eten nommant 2, ..., S ce que deviendraient Q, ...,S, après la substi- tution de 6, y, ...,0, à s,y,...,4, il faudrait, pour déterminer la va- leur cherchée de #, joindre à l'équation (19), non plus la formule (18), mais la suivante :

9 I (22) Dr peur SM.

D'ailleurs, « se trouvant alors renfermé dans les fonctions >, ...,8,il faudrait encore à l'équation (20) substituer celle-ci

(23) e=0+ f g5ds+ [ (l Cr 1,0 48 dé: +... 4

©, O,, .. étant ce que deviendrait [ quand on y remplacerait suc- cessivement ç par diverses variables auxiliaires <, €,, .... |

{à

S IL. — Applications des principes établis dans le premier paragraphe à une équation différentielle du premier ordre.

Concevons que les équations (3) du $ I‘ se réduisent à une seule, et supposons en conséquence l’inconnue x assujettie à vérifier : 1° quel que soit #, la formule

(1) MAT ab;

dans laquelle P désigne une fonction de x ett; 2° pour 4 — 0, la condi- tion

(2) FE À

Si, en nommant @ la valeur de P correspondante aux valeurs x, 0 des

400 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE. variables æ, {, on prend (3) MEL SL

on aura, pour de très petites valeurs du module de &,

t t t e=x+af D,x d8,+ a [| A O,0,x 48, d6,+..., V6 o V6,

CO, ,, .. étant ce que devient [ quand on y remplace successive- ment 0 par diverses variables auxiliaires 0, 6,, .... Si d’ailleurs les

RE En

fonctions

P, D.P ne peuvent devenir discontinues qu’en devenant infinies, la formule (6) continuera généralement de subsister, et de fournir le développement de x en série convergente ordonnée suivantles puissances ascendantes de «, jusqu’au moment où l'accroissement attribué, soit à la valeur réelle de £, soit au module de x, permettra de vérifier l’une des condi-

tions

{H) CRT ue, | PRES | (9) TX — ÿ;, PS, D,P — {.

Dans le cas particuïer où l’on prend « — 1, l'équation (1) se ré-

duit à (6) Dex =P,

et la valeur de x, développée en série, à t t t LA z=x+ f o,xd,+ | Î 0,0, x dô, dû, +... “5 0 6,

Cherchons maintenant à déduire de l’équation (r), jointe aux condi- tions (5), la valeur de £ pour laquelle le développement de x cesse d'être convergent; et, pour plus de commodité, supposons d’abord que chacune des formules (5), résolue par rapport à +, fournisse seule- ment des valeurs de x indépendantes de z. Si l’on nomme a une de ces valeurs, 1l faudra, pour trouver les conditions de convergence du dé-

EXTRAIT N° 102. hO1

veloppement de x, tirer de l’équation (1) la valeur de z correspon- dante à

(8) #=a,

en supposant déjà connue la valeur 6 de 4 correspondante à x — x. Par suite, dans l’intégration particulière qu'il s'agira d'effectuer, £ devien- dra l’inconnue, æ remplissant au contraire le rôle de variable indépen- dante. 11 y a plus, on n'aura point à rechercher la valeur générale de linconnue £ correspondante à une valeur quelconque de la variable indépendante x, mais seulement la valeur particulière de z qui corres- pond à x = a. Or, pour résoudre ce dernier problème, il suffira souvent de développer, non plus la variable x suivant les puissances ascendantes

. . . . Li de æ, mais la variable £ suivant les puissances ascendantes de = en

appliquant l'intégration par séries à l'équation (1), mise sous la forme 8

(9) Hiécsari DT,

\e

Effectivement, en vertu de cette équation, la variable 4 sera dévelop-

pable, pour de très grands modules de x, en série convergente ordon-

née suivant les puissances ascendantes de &°'; et si l’on suppose la us

valeur de [ déterminée, non plus par la formule (3), mais par la sui- vante

(ro) RER mer

si d’ailleurs on nomme 0 >» Lie

ce que devient [ quand on y remplace successivement x par diverses

variables auxiliaires

on tirera de l'équation différentielle (9)

(11) t=otat [,0 dx, + + L: O,0,9 dx, dx,+....

X,

OEuvres de C.—S.I, t. V. 51

#02 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

Donc la valeur particulière de #, correspondante à x — a, sera

(12) ia | Dodx+as f | O, 0,6 dx,dx, +...

Les intégrales définies, comprises dans cette dernière formule, se ré- duisent à des nombres, puisque l’on connaît, par hypothèse, les valeurs des quantités x, 8 et a. Donc, à l’aide de la formule (12), lorsque le second membre de cette formule sera convergent, et pour chaque va- leur donnée de &, on pourra calculer la valeur de # correspondante à une valeur constante a de +, tirée des formules (5).

La formule (12), particulièrement relative au cas où chacune des conditions (5) fournit des valeurs constantes de æ, est semblable à l'équation (23) du $ I‘, de laquelle on la déduit en remplaçant

par

ll el APRES par -0 | Concevons maintenant que l’une quelconque des conditions fournies par les équations (5) soit présentée sous la forme

(13) $—«,

s désignant une fonction réelle ou imaginaire f(x, 4) des variables PE À et a étant une constante réelle ou imaginaire, finie ou infinie. On pourra, dans un grand nombre de cas, déterminer la valeur cherchée de £, à l’aide de la formule (21) du $ I“. Alors, en posant

(14) S—(PDe+De) f(x) et nommant K, 80 ce que deviennent - Ps

quand on y remplace x, 4 par x, 0, on aura

(a—ç}?,

(15) t—=0+ 00 + I 1.2

EXTRAIT N° 102. la valeur de E étant

16) g I (10) z O= Ç;D:+ De.

103

Lorsqu’à l’aide de la formule (12) ou (15), ou autres semblables, on

aura calculé, pour un module donné de a, les diverses valeurs réelles

de & correspondantes aux diverses solutions des conditions (5), la plus

petite de ces valeurs sera généralement la limite que # ne pourra dé-

passer sans que le développement de x cesse d’être convergent. Ï 8

Si l’on supposait donnée en nombres la valeur extrême de #, les

mêmes formules pourraient servir à déterminer le module de , pour

lequel la série qui représente le développement de x cesse d’être con-

vergente.

Pour montrer une application des principes que nous venons d’ex-

poser, prenons P= x,

Alors, l'équation (1) étant réduite à

(17) MEN + he À

le développement de +, fourni par l’équation (r2), sera

(18) z=x+}axt(i?— 02) + —axs(i

et, comme les expressions

PF #ft, D:P-==32t1t

ne cesseront d’être des fonctions finies et continues de x que pour

1

æ = +, la seule valeur que a pourra recevoir sera

RE: a — ÿ:

Cela posé, la formule (12) donnera

FLe 2.4 4.5.6

n0% COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

Si, pour fixer les idées, on prend

en supposant le module de x réduit à l’unité, la plus petite des valeurs réelles de z fournies par l’équation (r9) sera

I 12

à Ed et par suite le développement de +, réduit à 5 A : Re LE A x —=1+E(2— 1) + li D EU nt PA

restera convergent tant que la valeur de £ restera inférieure au

nombre AR LE PO

Il est facile de vérifier cette conclusion, attendu que l’équation (17) est une de celles dont l'intégrale générale peut s’obtenir en termes finis.

Cette intégrale, étant ' ï

: — a(t? — 6?),

I x?

donne pour æ la valeur suivante

— 1 » 2

LEE 0 RATER 02)

qui se développe en série convergente, ordonnée suivant les puis- sances ascendantes de x, quand £ conserve une valeur numérique in- férieure à celle que détermine la formule

ax? (4 — 0?) rm, D'ailleurs on tire de cette formule, en supposant 9 et # positifs, 4 (20) t— 6(1 + a-10-2x-2)?,

et1l est aisé de s'assurer que le second membre de l'équation (20) re- présente précisément la série que renferme l’équation (19). Dans le cas

EXTRAIT N° 102. 405 particulier où l’on réduit chacune des quantités | CASE : Le à à l'unité, la formule (20) donne simplement t—Va—:,h14e....

Considérons maintenant à part la première des formules (5), et nom- mons T la valeur de # correspondante à la valeur infinie de x que

donne cette même formule. Enfin soient

Nan: 1

deux valeurs correspondantes de æ et £ qui se rapprochent beaucoup, la première de la limite +, la seconde de la limite T; et posons, pour

plus de commodité, P — fie, 1,

On tirera de la formule (9)

Po d T—r=at | —

ou, ce qui revient au même, 1 : nd (21) T—s=at | ner 4 Six, l)

la quantité £ que renferme sous le signe f la fonction f(x, 4) étant va- riable avec x, mais toujours peu différente de T. Done, si T n'est pas

infini, la formule (21) donnera sensiblement

1 ru Time [ 5 à 2 f(x, T}

et comme alors la valeur numérique de T — = sera très petite, il faudra que l'intégrale définie singulière

+0 dx ee | ta, T)

La

diffère peu de zéro. Si cette dernière condition n’est pas remplie, on

406 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

devra en conclure qu’à la valeur infinie de +, fournie par la première des conditions (5), correspond une valeur infinie de #. Donc alors on pourra ne pas tenir compte de la première des conditions (5), et, si ces trois conditions se réduisent à la première, æ ne cessera jamais d'être développable en série convergente, ordonnée suivant les puis- sances ascendantes de «. |

Supposons, pour fixer les idées,

fiat) =zf(t) +F(t),

f(4), F(4) désignant deux fonctions de #, dont chacune reste finie et continue pour toutes les valeurs finies de 4. Alors les trois condi- tions (5) se réduiront effectivement à la première, et l'intégrale singu- lière (22), loin d’être infiniment petite, sera généralement infinie. Donc la valeur T de £ correspondante à x — ? sera infinie, et l'équation différentielle

(23) Dex = ax f(é) + F(r)],

qui est tout à la fois du premier ordre et du premier degré par rapport à l’inconnue +, offrira une intégrale générale, en vertu de laquelle x sera toujours développable en série ordonnée suivant les puissances ascendantes de «. On peut aisément vérifier l'exactitude de cette con- elusion, l'intégrale générale de l'équation (23) étant

rat

t t a f. f(£) dt a f. f(£) dt , X+ a F{t}e 0 % (f ;

D + 8 | ®

Il n’en serait plus de même si à l'équation (23) on substituait la sui- vante

(25) Dex = x[xf(t) + F(4)], m étant un nombre entier quelconque, ou si plus généralement la

fonction de x et de #, représentée par P dans l'équation (1), était, rela- tivement à æ, une fonction entière d’un degré supérieur au premier.

EXTRAIT N° 102. #07 Alors, en vertu des formules (5), la seule valeur que a pourrait rece-

voir serait encore a= #;

mais l'intégrale (22) deviendrait généralement infiniment petite, et la valeur de # correspondante à

A nee LT —A—;5

resterait généralement finie. On pourrait d’ailleurs employer à la recherche de cette valeur la formule (12) ou (15). Si, pour fixer les idées, on supposait l'équation (1) réduite à

(26) Der a la formule (12) donnerait 0 (= 6 + a 01 (i+ < X +a0hi(i+ ) -—5+5l (+ fie. l x X+0 2 .

et fournirait la valeur que £ ne peut dépasser sans que le développe-

(27) |

ment de æ cesse d’être convergent. On peut encore vérifier directement cette dernière conclusion; car, l'équation (26) étant homogène, son intégrale générale peut s’obtenir en termes finis. Or cette intégrale générale, étant

(28) ax +(a—i)t Fe x x donnera _ (aies

pourvu que l’on pose

et la valeur de x fournie par l'équation (29) ne cessera d’être dévelop- pable suivant les puissances ascendantes de «, qu’au moment où elle

108 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

deviendra discontinue en devenant infinie, pour la valeur de £ fournie par l'équation

ou

œ— 1 (30) (=o(i+i-) .

Or cette dernière valeur de £ a pour développement le second membre de Ia formule (25). Si l’on supposait l'équation (1) réduite à

(3r) Dix x -m[xf(it) + F(t)],

m désignant toujours un nombre entier, les formules (5) fourniraient deux valeurs constantes de +, savoir æ — À, et æ — 0; et l’on pourrait faire abstraction de la première, puisque l'intégrale (22) deviendrait infinie. Donc alors, pour déduire de l'équation (12) ou (15) la valeur de #, il faudrait, dans cette équation, réduire à zéro la constante a.

En terminant cet article, nous ferons une remarque importante. Sui- vant le principe général rappelé au commencement du Mémoire, une fonction de x est généralement développable en série convergente or- donnée suivant les puissances ascendantes de « jusqu’au moment où le module de « devait être assez grand pour que la fonction ou sa dé- rivée devienne infinie ou discontinue. Done, si les inconnues æ, y, sont des fonctions de «, représentées par les intégrales d’équations différentielles de la forme

Dix = xp, Hyr=20, ir

les développements de ces inconnues pourront cesser d’être conver- gents, soit lorsque les valeurs de

LAS PRE deviendront infinies ou discontinues, soit lorsque les dérivées

D,x, Dur,

EXTRAIT N° 103. k09

deviendront elles-mêmes infinies ou discontinues. Si donc, les valeurs de æ, y, ... restant finies et continues, les dérivées D,æx, D, y, ... pouvaient cesser de l'être, il faudrait, aux conditions auxquelles nous avons eu égard, Joindre des conditions nouvelles fournies par la consi- dération de ces dérivées. Mais il parait qu'en général ces nouvelles conditions ne diffèrent pas des premières. C’est du moins la conclusion à laquelle on se trouve conduit lorsque les équations différentielles

données se réduisent à une seule équation de la forme 1 DE cauet r À 4 En effet de cette équation, différentiée par rapport à +, on tire D,D,x —P+aD,xD,P, puis, en considérant x comme fonction de £,

: t l 4 1 D.P dt — à f D-P dt /5 /4 (92 Dire Pe dt ;

e/0

et, pour que cette dernière valeur de D,x devienne infinie ou discon- tinue, 1] faut évidemment que l’une des quantités

JE A LE 1

devienne elle-même infinie ou discontinue.

105 ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fonctions interpolares. C.R.,t. XI, p. 775 (16 novembre 1840). Certaines fonctions, issues les unes des autres, et que M. Ampère à désignées sous le nom de fonctions interpolaires (voir les Annales de

M. Gergonne, année 1826), jouissent de propriétés remarquables, et

OEuvres de C. — S.I, 1. V. 52

R10 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

dont quelques-unes, connues peut-être de notre illustre Confrère, ne se trouvent pourtant pas énoncées dans son Mémoire. L'une de ces propriétés fournit immédiatement des limites des restes qui com- plètent, non seulement la série de Taylor, arrêtée après un certain nombre de termes, mais encore des séries analogues, par exemple celle qui, dans le caleul des différences finies, offre le développement d'une fonction de x ordonné suivant des produits de facteurs équidif- férents dont chacun est linéaire par rapport à x. L'objet du présent Mémoire est de rappeler ou d'établir les propriétés des fonctions inter- polaires, et leur emploi dans la théorie des suites. Je montrerai plus tard le parti que l’on peut tirer de ces mêmes propriétés pour la réso- lution des équations algébriques ou transcendantes.

ANALYSE. $ 1°". — Propriétés générales des fonctions interpolaires. Soient f(x)

une fonction donnée de Ia variable x,

une série des valeurs attribuées à cette variable; et posons

a) (a, 8) 19H), fie bc) LEE

a — (b— c

Les expressions f(a, 6), (mie, ch

seront, suivant les définitions admises par M. Ampère, les fonctions in- terpolaires de divers ordres, issues les unes des autres, et formées avec les valeurs particulières

téat 1t6), flo),

de la fonction principale f(x).

EXTRAIT N° 103. 411

Or, comme on aura, en vertu des formules (tr),

f(a)—f f( PE (2) f{a, ) = 160), (a, b, x) = (a, rs ds

on en conclura

PAM el Ce, SES + b, x),

DR sv test dd es dise Sins ei De Se 01 0-s ete rene 0 se ps ns ele ete se 0 + there"

et par suite

LIST SSSR ES IDE Set ete ne RÉ RITES Se een ts. de 0 ee ee

En vertu des équations (1) et (4), étant donnés les termes de l'une des

suites f(a), f(b), f(c), ri RE),

tiahs Ha oh Fa oh :.-.,..1(0, Bb c;...,18

les termes de l’autre suite s’en déduiront immédiatement. De plus, en partant des formules (1), (2), (3), (4), on établit aisément les propo- sitions suivantes : |

Tuéorème [. — Lorsque f(x) désigne une, onction de x, entiere et du

degré n, les termes de la suite tlæi, flat), Ha b,;zx} f(e, mer) représentent des fonctions entières de æ dont les degrés sont respective- ment An, R—1, R—12, n—53, Tuéorème II. — f(x) désignant une fonction quelconque, et

A Or ni Ne À

n + 1 valeurs particulières attribuées à la variable x, st l'on nomme F(\x)

h12 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

une fonction de x, entière et du degré n, déterminée par la formule

(F(x)=f{a)+{x—a)f(a,b)-+{(x—a)(x —b)f(a,b,c) +...

(5) |

+(xz--a)(x—b){r—c)...(x—hjf(a, b,c,...h,k), on aura

Or Pure), FR Roanne Ein DT

(7) x) =F(x) + (x —a)(x — b) (x — €)... {x — h)(x — k)f(a, b, ce, ...h,k, x).

Î

Démonstration. — Les formules (6) résultent immédiatement de la formule (5) jointe aux équations (4). De plus, pour obtenir la for- mule (7), il suffit de joindre la formule (5) à l'une des équations (3).

TH£ORÈME II. — Les Expressions (a, 0} Fla; be,

sont des fonctions symétriques, la première de a et b, la seconde de a.

RE TRS

Une démonstration très simple de ce théorème, différente de celle qu'a donnée M. Ampère, se déduit aisément de la formule (5). En effet, si dans la formule (5) on échange entre elles les lettres &, b, c,..., k, k d'une manière quelconque, les diverses valeurs de F(x) que l’on obtiendra seront identiques, puisque chacune d'elles devra vérifier Les conditions (6), et qu’une seule fonction de x, entière et du degré 7, peut vérifier ces conditions dont le nombre est n +1. Donc le coefficient de x”, dans le second membre de la formule (5), ou l'ex- pression

ÉD Dis DORE

sera une fonction symétrique de a, b,c,...,A,k.

Tuéorëme [V. — Une foncuon interpolaire de l'ordre nr, dans laquelle

les valeurs particulières de la variable deviennent égales, se confond avec

EXTRAIT N° 103. h13

la dérivée de l’ordre n de la fonction principale, divisee par le produit

en sorte que l'on a

tan Het ! (æ)

8} time tial Ma, +}=

TuéorÈmEe V. — Se la fonction f(x) est de la forme f(x)=ap(x)+8y(x)+yV(x) +..., æ, 6, y, .. désignant des coefficients constants, on en conclura

f(x,r)=cp{r,r) “+6x(x,r) +7 Ÿ(x, r) He... f(æ,7, 2)=ao(x, y, 2) + 6x(x, y, 2) + y V(æ, y, 3) +...,

MOINE NI RES RC IE SR NS NE Va ec cs à nds es a GS à » Eh ne V0 à 9 à à 0e © à € eo ee 6 »

Tuéorème VI. — Soient f(x) une fonction réelle, et To; X

deux valeurs réelles attribuees à la variable x. Si entre ces valeurs on en

unterpose d’autres Ti, Zo, CR SCT Tn—1s

tellement choisies que les quantités To: Ti, T2; ae T1; X

forment une suile croissante ou décroissante depuis le premier terme jus- qu'au dernier, la fonction interpolaire qui correspond à ces deux termes. ou l'expression

[(xo;, X}, sera une quantité moyenne entre les suivantes

ll th late. HA

c'est-à-dire comprise entre la plus petue et la plus grande de ces dernieres

fonctions. Donc, si l’on se sert de la notation

Mu, v, a, ...)

#14 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

pour designer une moyenne entre diverses quantités u, +, w, ..., on aura

”

lo) fre LE Mit aille) uns Démonstration. — En effet, les expressions f(x, Œus f(ær, X2}, ss) f(æn_s, X)

sont respectivement équivalentes aux fractions

(a) — les) CE) tte) Xi Cia). Ti — Lo M Lo — X} ne X — ni et, celles-ci ayant pour dénominateurs des quantités de même signe, si l’on divise la somme des numérateurs par la somme des dénomina- teurs, on obtiendra une nouvelle fraction moyenne entre les précé- dentes. Or cette nouvelle fraction sera

f(X) — (ro)

X — To

= f(x0, X).

Corollaire. — Soient | f(g, 4), (4,0)

la plus petite et la plus grande des quantités

ttes ibid Rth LR RE L'équation (9) donnera (10) fixe, X)=M[f(g,h), f(k, 0].

Supposons maintenant que la fonction f(x) reste finie et continue entre les limites æ — x,, æ —X. On pourra en dire autant de la fonc- tion f(x, y), tant que les valeurs de x et de y resteront comprises entre les limites x,, X; et par suite l'expression

1) f[g+0(k— 9), h+0(1—h)], qui acquiert les valeurs particulières

oh) FE

EXTRAIT N° 103. _ 418 quand on y pose successivement ax 0; ra,

variera elle-même par degrés insensibles, en passant de la première valeur à la seconde, tandis que le nombre 0 variera entre les li- mites o, 1. Donc la quantité

For Xe,

qui, en vertu de la formule (ro), est intermédiaire entre fe, A) et f(k, 4,

représentera, dans l'hypothèse admise, une valeur de l’expression (11) correspondante à une valeur de 0 plus petite que l'unité. Concevons que, pour cette valeur de 6, on ait

g+0(k—g)=u, h+0(1—h)=v; les quantités w, # seront, ainsi que g, , let #, comprises entre Îles li- mites æ,, X, et la formule (10) donnera (12) té AT T(E v} D'ailleurs la quantité v—u—=h—g+0[{—k—-{(h—$g)] restera comprise entre les limites h—g, l—k,

et par conséquent sa valeur numérique ne pourra surpasser la plus grande différence entre deux termes consécutifs de la suite

Topos Lys >; Vis TRES X,

Or, en faisant croître indéfiniment le nombre x, on peut rendre cette différence, et par suite la valeur numérique de 6 — «, aussi petite que l’on voudra. On peut donc énoncer encore la proposition suivante, que l'on déduit immédiatement de la formule (12), en y remplaçant les li-

416 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

mites æ,, X par deux autres quantités a, b, comprises elles-mêmes entre ces limites.

Taiorème VIE — Soient f(x) une fonction de la variable x, qui reste

continue entre les limutes x = x,, x = X, et 2:00

deux valeurs réelles de x comprises entre ces limites. On pourra interposer entre a et b deux nouvelles valeurs u, v de la variable x, qui vérifient la

condition (13) fia,b})=f{u,s)

et diffèrent l’une de l’autre d'une quantité inférieure à tout nombre

donne :.

Corollaire I. — ‘Lorsque la fonction principale f(x) reste continue entre les limites x — x,, x — X, alors, en supposant les valeurs parti- culières a, b de x comprises entre ces limites, on peut, sans altérer la valeur de f(a,b), rapprocher ces deux valeurs l’une de l’autre de manière à rendre leur différence inférieure à tout nombre donné &.

Corollaire II. — Soient maintenant

trois valeurs particulières de x toujours comprises entre les limites x,, X, et supposons d’abord la valeur b renfermée entre a et c. La fonc- tion interpolaire du second ordre

f(b,c)— (a, b) 2

cC—a

tm Der

formée avec les trois valeurs f(a), f(b), f(c) de la fonction principale f(x), pourra encore être considérée comme une fonction interpolaire du premier ordre, formée avec Les valeurs f(b, c), f(a, b) de la fonction principale f(b,x). Donc, en vertu du corollaire [, on pourra, dans

l'expression f(a,b,c),

EXTRAIT N° 103. 417

rapprocher l’une de l’autre les quantités c, &, de manière à rendre la seconde des différences

b—a, c—a, c—b

inférieure numériquement aux deux autres, et même aussi petite que l’on voudra. D'ailleurs,

f(a, b,c) étant une fonction symétrique de @, b, ce, des raisonnements du même genre seraient encore applicables, si & était compris entre bete, ou c entre & et b. Done, les trois quantités

77 PR UE

restant comprises entre les limites x,, X, on peut rapprocher l’une de l’autre celles de ces trois quantités qui étaient d’abord les plus éloi- gnées, de manière à rendre leur différence mutuelle inférieure à tout nombre donné e. Or, en répétant plusieurs fois de suite de semblables opérations, on pourra, sans altérer l'expression

f(a,b,c), et en laissant les quantités |

"PASS UE - toujours comprises entre les limites æ,, X, rapprocher indéfiniment ces quantités les unes des autres, de manière à rendre leur plus grande différence mutuelle aussi petite que l’on voudra. Il y à plus : on pourra en dire autant des quantités

Mb di: 6

contenues dansles fonctions interpolaires du troisième, du quatrième, … ordre, c’est-à-dire dans les expressions

rar

OEuvres de C. — S.I,t. V. 53

#18 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE. que l’on peut considérer comme fonctions interpolaires du premier ordre, en prenant pour fonction principale |

FPE QU TR DEC) au lieu de f(x). En conséquence, on peut énoncer généralement la proposition suivante :

Tuéorème VIII. — Sotent f(x) une fonction de la variable x qui demeure continue entre les limites x —x,,

CA, e!

des valeurs réelles de x comprises entre ces mêmes limites. On pourra, dans

l’une quelconque des expressions flash ne THE AR

et sans altérer sa valeur, rapprocher les unes des autres les quantités

de manière que, ces quantités étant toujours comprises entre les limutes x,, X, la plus grande de leurs différences mutuelles devienne inférieure à tout nombre donne :.

Corollaire. — Puisque le nombre « peut décroitre indéfiniment, et qu’en le réduisant à zéro on rend égales entre elles les diverses valeurs de æ que représentaient les lettres @, b, c, d, ..., le théorème VII entraine évidemment celui que nous allons énoncer.

TuéorÈME IX. — Socent

une fonction réelle de la variable x, qui demeure continue entre les lumites

FE AP ch PU à d 05 0,

des valeurs réelles de x comprises entre ces lmutes, on pourra, entre les

quantites

EXTRAIT N° 103. : 419

interposer de nouvelles valeurs u, +, w,... de x tellement choisies, que, la valeur w étant une moyenne entre a et b, la valeur + une moyenne entre

a, b, c, la valeur w une moyenne entre a, b,c,d, ..., on ait (14) f{a,b)=f{u,u), fla,b,c)—=f{v,v,v), f(a,b,ce, d)—f{w,w,w, RUE

ou, ce qui revient au même,

f”( e) ['(œ) Fs\ cn 8 D, Û Vis de : OU ta, ei =llu)l, : fla,b,c) f(a,b,c, d) PRES Corollaire I. — Dans l'hypothèse admise, et en attribuant à x une _ valeur comprise entre les limites x,, X, on aura encore $ ; )/4 V f”(w) H6) faz)=tte, fab), fabcod= th

la lettre « désignant une moyenne entre aet x, la lettre - une moyenne entre @, b, à, la lettre & une moyenne entre à, b, c,x, |

Corollaire II. — Les équations (15) et (16) paraissent mériter d’être remarquées. La première des équations (16) peut s’écrire comme il

suit f(x)—f(a)

= f'(x + 0a), T—

et se réduit par conséquent à la formule déjà connue qui joue un si grand rôle dans le Calcul différentiel. On peut encore, des théorèmes que nous venons d'établir, déduire

facilement les propositions suivantes : Taéorème X. — St les valeurs attribuées aux trois quantités dd, Zo» +.*

sont renfermées entre des limites entre lesquelles la fonction f(x) reste con-

tinue, si d'ailleurs la dérivée du second ordre ME A

conserve constamment le même signe entre ces limites, que l’on peut re-

420 | COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

duire à la plus petite et à la plus grande des trois quantités a, x,, X,

[ "expression PACA

considérée comme fonction de x, crottra ou décrottra sans cesse, tandis que

lon fera. varier x depuis x — x, Jusqu'à & —X. TuéorÈmE XI. —- Supposons que les valeurs attribuées aux quantités FES: A D RES OA. À soient renfermées entre des limites entre lesquelles la fonction f(x) demeure continue. Si le premuer, le deuxième, le troisième, . .. terme de la

suite f(x), Pl), Px),

conserve constamment le méme signe entre ces limites, qui pourront se re- dure à la plus petite et à la plus grande des quantités données, alors le

premuer, le deuxième, le troisième, ... terme de la suite RE CE LÉ 7 AE NO Ne ER O considéré comme fonchon de x, croitra ou décrottra sans cesse pour des valeurs croissantes de x intermédiaires entre x, et X. Donc alors, en pre- nant | (17) x — Mizxy, X), on aura, non seulement, comme. on le savait deja, 18) f(x) =M[f(xo), f(X)], st f(x) ne change pas de signe entre les limites x,, X, mais encore (19) f(a,z)—M[f(a, x), f(a, X)], si f(x) ne change pas de signe entre les limites a, x,, X; (20) f(a, b, x) = MT[f(a, b, x), f(a, b, X)],

sif"(x) ne change pas de signe entre les limites a, b,x,, X, ..., et ainsi

de suite.

EXTRAIT N°103 h21

SIT. — Applications diverses des principes établis dans le premier paragraphe.

Les formules précédemment obtenues fournissent, d'une part les dé- veloppements des fonctions en séries, tels qu'ils se présentent dans le Calcul différentiel ou dans le Calcul aux différences finies, d'autre part des limites du reste qui doit compléter chaque série, lorsqu'elle est arrêtée après un certain nombre de termes. La première de ces deux assertions est suffisamment établie dans le Mémoire de M. Ampère; mais, comme la seconde ne s’y trouve énoncée que pour le cas particulier où Fon développe les fonctions en séries par la formule de Taylor, il nous paraît utile de revenir un instant sur ces objets.

f(x) désignant une fonction donnée de la variable x, et les lettres

M D BL vis, Ch

représentant » valeurs particulières de cette variable, la n°®° des for- mules (3) du $ I donnera

{f(z)=f(a)+(x—a) f(a,b)+(x—a)(x—b)f(a,b,c) +... +{(z—a)(æ—b){(æ—c)...(x—h) SE APR ARE EU LE

Si f(æ) est une fonction entière du degré 7, alors la fonction interpo- laire

fla be, A} étant par rapport à æ du degré zéro, se réduira simplement à une con- stante: et, en nommant # une nouvelle valeur particulière de +, on aura

a dé, 4, A,24)-H@&b,c,..,h,K) par conséquent

(f(æ)=f(a)+(x—a) f(a,b)+(x—a)(x—bh)f(a,b,c) +...

2

(2) | +(x—a)(x—b}(æ—c)...(x—h)f{a,b,ce,...,k). Alors l'équation (2) fournira le développement de f(x) en une série de termes qui seront proportionnels à des produits de fonctions li- néaires, et dont les degrés, par rapport à x, seront respectivement égaux

4922 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

aux divers termes de la progression arithmétique ARR PU ee OP 2

Pour retrouver une semblable série, dans le cas où la fonction f(x) cessera d’être entière, il faudra négliger le dernier des termes renfer- més dans le second membre de l'équation (2). Or, pour savoir si ce terme peut être négligé, il importe de connaître au moins des limites de l'erreur que son omission fera naître. On y parvient, dans un grand nombre de cas, à l’aide du théorème IX du S I. En effet, admettons

=

que les quantités

se trouvent renfermées entre les limites x,, X, entre lesquelles la fonc- tion f(x) reste continue. Le théorème dont il s’agit donnera, pour une valeur de x comprise entre ces mêmes limites,

ft) [u) LR RATE Sie AR PE 'OPET"

et par suite on tirera de l’équation (2)

f(x)=f(a)+(x—a)f(a,b)+{(x—a)(x — b)f(a,b,c) +..

| + {a a)(e—b)(e—e)...(e— 4) ITU),

(3)

u désignant une quantité moyenne entre les valeurs attribuées à HE Ce) OUR

Si, la variable x et la fonction f(x) étant réelles, on nomme À et B la plus petite et la plus grande des valeurs que puisse acquérir la fonetion dérivée | |

fa) (æ), tandis que l’on fait varier + entre les limites +,, X, le dernier terme du second membre de la formule (3) sera renfermé lui-même entre des limites équivalentes aux produits du rapport

{æ—a)(x —bix—c)...(x —h) TT

; # ie par les coefficients À etB. Donc la plus grande des valeurs numériques

EXTRAIT N° 103. : 123

de ces deux produits sera la limite de l'erreur que l'on pourra com- mettre en négligeant le terme dont il s’agit.

Si, les valeurs particulières de la variable x étant choisies de manière à offrir les différents termes d’une progression arithmétique, on repré- sente ces valeurs, non plus par

D D 5 À, À, mais par a, a+h, a+oah, ..., a+{(n—1)h, a+nh, alors, en adoptant les notations du Calcul aux différences finies, et posant Affæ)=f{x+h)—f{x), Affa)=f{(a+ h)—tf{a), on verra l'équation (2) se réduire à la formule connue

Af(a) (x—a(x—a—h) Af{a)

: fe) = (a) + (2 — a) STE + _ LORS (æ—al(r—-a—h)..[x—a—{(n—1)h] Arf(a) ME ; ;

A PAU PU le

tandis que l'équation (3) donnera

| flæl=f(e) + (æ — a) en ete es (5) æ—a{x—-a—h)..[x—a—{(n—:)1 | | . Le - A ce : Ce DAT Gen) 2).

Des deux formules (4), (5), la première seulement suppose que f(x) est une fonction entière de x. Dans la formule (5), où f(x) peut cesser d’être une fonction entière de x, la lettre w représente une moyenne entre les valeurs attribuées aux quantités

ds dÆ nt X:

Lorsque, dans la formule (5), on pose À — o, on retrouve l’équation

connue | f(x) =f(a)+(x—a)l{a) + et f'(a) +

(6) (x — a)! ( \z2 | . a fra) + EL po [a + 6(x — a)], | 1.2...(R —:1) CE PS à

dans laquelle Ô désigne un nombre renfermé entre les limites o, r.

12% COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

Nous ferons voir dans un autre article que la considération des fonc- tions interpolaires, et les principes établis dans le $ I‘, fournissent des méthodes très expéditives pour la résolution des équations algébriques

et transcendantes.

104.

MÉCANIQUE APPLIQUÉE. — Rapport sur le nouveau système de navigation a vapeur de M. le marquis Aclulle de Jouffroy..

C. R., tt. XI, p. 687 (2 novembre 1840).

L'Académie nous a chargés, MM. Poncelet, Gambey, Piobert et moi, de lui rendre compte d’un nouveau système de navigation à la vapeur. Ce système, dont l’Académie s’est déjà occupée, est celui qu'a présenté M. le marquis Achille de Jouffroy, c’est-à-dire le fils même de l’inven- teur des pyroscaphes. On sait en effet aujourd’hui que le marquis Claude de Jouffroy, après avoir, dès 1775, exposé ses idées sur l’appli- cation de la vapeur à la navigation devant une réunion de savants et d'amis, parmi lesquels se trouvaient MM. Perrier, d’Auxiron, le cheva- lier de Follenay, le marquis Ducrest et l'abbé d’Arnal, a eu la gloire de faire naviguer sur le Doubs, en 1776, et sur la Saône, en 1780, les pre- miers bateaux à vapeur qui aient réalisé cette application. Déjà le sa- vant Rapport de MM. Arago, Dupin et Séguier a rappelé l'expérience solennelle faite à Lyon, en 1780, expérience dans laquelle un bateau à vapeur, construit par M. Claude de Jouffroy, chargé de 300 milliers, et offrant les mêmes dimensions auxquelles on est maintenant revenu dans la construction des meilleurs pyroscaphes, a remonté la Saône avec une vitesse de plus de 2 lieues à l’heure. Déjà l’on a signalé l’hom- mage rendu à l’auteur de l'expérience de Lyon par ce même Fulton qui longtemps a passé en France pour avoir découvert la navigation à la va- peur. Déjà enfin les expériences auxquelles ont assisté les premiers

EXTRAIT N° 104. 425

Commissaires sont connues de l’Académie; déjà elle sait que, non seu- lement le nouvel appareil d’impulsion proposé par M. Achille de Jouf- froy est tout à fait rationnel en théorie, mais aussi que cet appareil, appliqué sur la Seine à une goëlette d'environ 120 tonneaux, a fidèle- ment rempli sa mission, et a même fourni le moyen de remettre à flot, sans attendre la crue de la rivière, la goëlette, dont la quille, dans une de ces expériences, s'était engagée sur toute sa longueur dans un gra- vier résistant. Les perfectionnements apportés par M. de Jouffroy dans la construction de son appareil dont la force est devenue plus considé- rable, et les expériences nouvelles, exécutées sous nos yeux, ne lais- sent plus de doutes dans notre esprit sur les avantages que présente le nouveau système de navigation. Pour que l'Académie puisse appré- cier les motifs de notre conviction, nous allons entrer ici dans quelques détails.

Considérons un bâtiment qui, plongé en partie dans un liquide, porte en lui-même un moteur quelconque, par exemple une machine à va- peur. Ce moteur pourra être utilement employé pour faire marcher le bâtiment dans une certaine direction, s’il communique le mouvement à un appareil qui refoule une portion du liquide dans la direction op- posée. Cette portion du liquide sera en quelque sorte un point d'appui pour l'appareil locomoteur; mais ce sera un point d'appui qui cédera en partie à l’action de la force motrice, et qui rendra utile une partie de cette force d'autant plus petite qu’il aura moins de fixité. Ajoutons que la quantité de travail produite par la machine à vapeur, et non consommée par les frottements dans sôn passage au travers de la ma- chine et de l'appareil locomoteur, se divisera en deux parties, dont la première surmontera la résistance opposée à la marche du bâtiment par la masse de liquide qui le précède, tandis que la seconde chassera en arrière une portion plus ou moins considérable de la masse de li- quide qui le suit. Observons encore que le rapport suivant lequel la quantité de travail se partagera entre ces deux masses dépendra sur- tout de l'étendue de la surface présentée au liquide par l'appareil loco-

moteur. En général la vitesse du bâtiment croît avec cette surface, sans OEuvres de C.—S.1, t. V. 54

426 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

pouvoir dépasser la vitesse qui aurait lieu si cette même surface deve- nait infinie.

Appliquons ces principes généraux à la discussion des avantages ou des inconvénients que présentent l'appareil locomoteur maintenant en usage, et celui par lequel M. de Jouffroy se propose de le remplacer.

Les bâtiments à vapeur sont, comme on sait, armés généralement, sur leurs côtés, de roues à aubes qui tournent sur elles-mêmes d’un mouvement continu. Dans les bâtiments que l’on emploie d’ordinaire, dans le Sphynx par exemple, la surface de chaque aube est d'environ 2"1. Deux ou trois aubes seulement se trouvent, à un instant donné, plon- gées dans la masse liquide.

L'appareil que M. de Jouffroy propose de substituer aux roues à aubes se compose de deux palmes ou pattes de cygne articulées, placées à l’ar- rière du bâtiment et douées d’un mouvement alternatif, qui s'ouvrent pour frapper l’eau à reculons et se ferment ensuite pour revenir à la place qu’elles occupaient d’abord. L'heureuse idée de cet appareil a été suggérée à M. de Jouffroy, comme il Le dit lui-même, par le désir bien naturel d’imiter cet admirable mécanisme dont la sagesse du Créateur à pourvu le cygne et les oiseaux navigateurs destinés par elle à sillonner la surface des eaux. Pour une frégate de 44 canons, la su- perficie de chaque palme serait d'environ 20".

Or la surface des palmes, étant très considérable par rapport à la surface immergée des aubes, donne aux palmes cet avantage, qu'avec la même force motrice elles impriment une moindre vitesse au liquide placé en arrière du bâtiment, et par suite une vitesse plus grande au bâtiment lui-même. D'ailleurs, les palmes, agissant toujours en sens opposé de la direction que suit le bâtiment, ne produisent qu’un effet utile à la marche de celui-ci. On ne pourrait en dire autant des aubes qui, en raison de leur mouvement rotatoire, lorsqu'elles ne sont pas articulées, choquent et poussent le fluide dans diverses directions (").

(1) Quant aux roues à aubes articulées, pour produire le même effet que les autres roues, elles paraissent exiger que l’on augmente leur vitesse, en augmentant la force motrice elle- même d'environ un douzième.

EXTRAIT N° 104. 427

On ne sera donc point étonné d'apprendre que les expériences faites en notre présence, et dans lesquelles nous nous sommes surtout pro- posé de comparer les deux systèmes l’un à l’autre, soient entièrement favorables au nouveau système. Il résulte en particulier de ces expé- riences que le nouveau système présente une grande économie de force motrice et par conséquent de combustible.

Aux avantages que nous avons signalés dans le nouveau système on doit joindre la facilité que présentent les palmes de pouvoir être ap- pliquées à toutes sortes de bâtiments, même armés de voiles. Ajoutons que la grande profondeur à laquelle elles travaillent tend à les préser- ver d’un inconvénient offert par les roues à aubes qui peuvent devenir inutiles ou même nuisibles, non seulement au milieu d’une tempête pendant laquelle ces roues se trouveraient exposées, avec les tambours qui les renferment, au choc violent des lames et des vents, mais aussi dans un bâtiment marchant sous voiles par un vent largue, puisque alors une des roues, sortant de l’eau, tournerait à vide, l’autre étant noyée.. Observons encore qu’appliquées à un bâtiment de guerre, les roues, en obstruant au moins douze sabords, le privent d’autant de canons et peuvent d’ailleurs être facilement endommagées par lar- tillerie, tandis que les palmes, travaillant sous l’eau et se dérobant à la vue, courent beaucoup moins de dangers et ne causent nul em- barras.

Parmi les avantages que les palmes ont sur les roues, ceux qui tien- nent à une plus grande étendue de la surface présentée au liquide par l'appareil locomoteur diminuent à mesure que l’on augmente la super- ficie des aubes. Mais cette superficie ne saurait être, sans des incôn- vénients graves, augmentée au point de rendre l'effet produit par les roues comparables à celui que produisent les palmes, surtout pour les bâtiments de grandes dimensions. Quant aux bâtiments de petites di- mensions, plus particulièrement destinés à naviguer sur les canaux, on peut à la vérité leur appliquer des roues dont les aubes offrent une su- perficie comparable à celle des palmes; mais il est'juste d'observer d’une part que les roues, en élargissant les bâtiments, exigent une

128 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

plus grande largeur des canaux mêmes, et d'autre part que ces roues, en traversant sans cesse la surface de l’eau, soit pour entrer dans la masse liquide, soit pour en sortir, produisent à cette surface une agita- tion dont l'expérience démontre l’influence destructive sur les berges des canaux.

Nous aimons à croire que la vue de tous les avantages ci-dessus indiqués déterminera la marine française à faire en grand l'essai du nouveau système; que, si M. de Jouffroy père a pu voir ses belles expériences trop longtemps oubliées dans sa patrie, le fils sera plus heureux ; et que cette fois du moins la France ne se laissera pas ravir une découverte qui peut devenir si utile à ceux qui les premiers auront su en profiter.

Avant de terminer ce Rapport, nous ferons une dernière observation qui n’est pas sans importance. Quelles que soient la perfection et l’uti- lité d’un appareil, il peut arriver que dans certains cas cette utilité devienne douteuse ou même disparaisse entièrement. La grande mobi- lité des roues doit être recherchée dans un chariot, dans une voiture, et pourtant le chemin peut offrir une pente tellement rapide, qu'on soit obligé de les enrayer. Personne ne conteste l'utilité des voiles pour faire marcher un navire sous l’action du vent, et toutefois cette action peut être tellement violente qu'il devienne absolument nécessaire de les carguer ou même de les caler. Enfin les roues à aubes peuvent de- venir non seulement inutiles, mais encore nuisibles, et même le de- viendront généralement dans les vaisseaux marchantsous voiles, comme nous l'avons expliqué. Les palmes,seraient-elles seules exemptes des inconvénients que peuvent offrir, en des circonstances données, les autres appareils? Attachées, comme M. de Jouffroy le suppose, à la poupe d’un bâtiment, seraient-elles assez solides pour n’avoir rien à craindre, dans une mer violemment agitée, du choc des vagues et d’un mouvement de tangage très marqué? Il faudra évidemment recourir à l’expérience en grand pour être en état de résoudre cette question. Si l'expérience prouve que dans la navigation en pleine mer, et dans les temps d'orage, le nouvel appareil ne peut travailler sans être compro-

EXTRAIT N° 10#. 429

mis, ce que l’on devra faire alors ce sera de le mettre au repos, non en le ramenant sur Le pont, comme on l'avait proposé d’abord, mais en le ramenant au contraire sous les flancs du navire, où il pourra demeurer en sûreté. Il deviendra pour un temps inutile, comme le sont les voiles ou les roues dans des cas semblables, et reprendra ses fonctions lorsque la tempête sera calmée.

En résumé, l'avantage incontestable qu'offrent les palmes de pou- voir s'adapter à toutes sortes de bâtiments, de guerre ou de commerce, grands ou petits, quelle que soit d’ailleurs leur construction, sans exi- ger aucune modification de leur voilure, sans priver les bâtiments de guerre d’une partie de leurs canons, sans élargir la voie des bâtiments de commerce destinés à naviguer sur les canaux; les avantages non moins évidents qu’elles tiennent de leur immersion totale, de la direc- tion unique ettoujours utile de leur mouvement propre etde la grande étendue de surface qu’elles présentent au liquide, doivent faire vive- ment souhaiter que la marine française essaye en grand le nouveau sys- tème. Cet essai parait d'autant plus désirable qu'une économie notable de force motrice et de combustible est indiquée par la théorie comme conséquence nécessaire des avantages que nous venons de signaler. Nous dirons même que, suivant l'opinion personnelle de tous Îles membres de la Commission, cette économie est déjà suffisamment con- statée par les diverses expériences exécutées jusqu’à ce jour, soit par celles qui, en présence des premiers Commissaires, ont été tentées sur une goëlette d'environ 120 tonneaux, pourvue d’un appareil malheu- reusement trop faible et encore imparfait, soit par celles que nous avons dû exécuter sur le petit modèle présenté à l'Académie et soumis par elle à notre examen. Nous pensons d’ailleurs que, dès à présent, il est juste de reconnaitre les avantages du nouveau système, tels que nous les avons définis, et que ce système est très digne de l'approbation de l’Académie.

P.S. — Nous joignons à ce Rapport les résultats de quelques expé- riences qui peuvent donner une idée des avantages que le nouveau sys- tème présente sur l’ancien, relativement à l’économie de force motrice.

:30 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

EXPÉRIENCES.

Pour rendre plus faciles des expériences propres à faire connaître les avantages ou les inconvénients du nouveau système, M. de Jouffroy a construit, sur l'échelle de 1® pour 37", une frégate modèle qu'il arme à volonté de pattes de cygne ou de roues à aubes, dont les dimensions ont avec celles du modèle les mêmes rapports qui subsistent ou doivent subsister dans l'exécution en grand. Voici les résultats de quelques ex- périences, dans lesquelles un seul et même moteur a été appliqué à la frégate placée sur un canal et pourvue de l’un ou de l’autre appareil.

Première expérience, dans laquelle la frégate a navigué sur le canal, en remontant contre le vent.

Armée de roues à aubes, la frégate a parcouru 41,60 en sept minutes. Dans cet intervalle de temps, au bout duquel la force motrice a été complètement épuisée, les roues ont fait chacune 130 révolutions.

Armée de pattes, la frégate a parcouru 49", 40 en sept minutes, pen- dant lesquelles le nombre des battements ou oscillations des pattes a été de 130. Mais ce qu’il importe de remarquer, c’est qu'alors, au bout de sept minutes, la force motrice, loin d’être épuisée, a continué de faire marcher pendant onze autres minutes la frégate, qui, dans ce nouvel intervalle de temps, a parcouru plus de 50".

Deuxième expérience, dans laquelle la frégate à naviguë sur le canal, en descendant sous le vent.

Armée de roues, la frégate a parcouru >2",6o en huit minutes. Dans cet intervalle de temps, au bout duquel la force motrice a été complè- tement épuisée, chaque roue a exécuté 182 révolutions.

Armée de pattes, la frégate a parcouru 70", 20 en huit minutes, le nombre des battements dans cet intervalle ayant été de 182. Mais, au bout de ces huit minutes, la force motrice n’était pas épuisée, comme dans le premier cas, et elle a continué de faire marcher, pendant seize

EXTRAIT N° 105. h31

autres minutes, la frégate qui, dans ce nouvel intervalle de temps, a parcouru 59", 80.

Ces expériences démontrent évidemment que les palmes ont sur les roues un grand avantage sous le rapport de l'économie de force motrice. Si cet avantage eût été déduit par la théorie d'éxpériences faites seule- ment sur la frégate armée du nouvel appareil, on pourrait jusqu’à un certain point contester un résultat de calcul. Mais ici, pour se rendre indépendant de toute cause d'erreur, on a comparé directement l’an- cien système au nouveau, et l’on a opéré successivement avec l’un et l’autre appareil, en les plaçant tous les deux dans les mêmes condi- tions. Il n’y a donc aucune possibilité de révoquer en doute l'avantage incontestable que donne l'expérience au nouveau système, avantage qui d’ailleurs était déjà clairement indiqué par la théorie et les prin- cipes des plus certains de la Dynamique.

105.

CALCULS NUMÉRIQUES. — Sur les moyens d'éviter les erreurs dans les calculs numeriques.

C.R., t. XI, p. 789 (16 novembre 1840).

Les nombreux exemples que l’on pourrait citer d'erreurs com- mises, quelquefois par des calculateurs fort habiles, dans la réduction des formules en nombres, doivent faire rechercher avec soin les moyens de vérifier l'exactitude des résultats numériques auxquels on se trouve conduit par une suite d'opérations déterminées. Or, pour que l’on puisse offrir le résultat d’un calcul comme digne d’être adopté avec confiance, ce que l’on doit faire, ce n’est pas de recommencer deux fois le même calcul en suivant la même route, attendu qu'il est assez naturel que l’on retombe dans une erreur déjà commise; c'est au con-

432 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

traire de tout disposer de manière que, par deux systèmes d'opérations fort distinctes, on doive se trouver ramené à des résultats identiques. Cette condition est remplie, par exemple, dans la méthode générale d'interpolation que j'ai donnée en 1835, et qui a été rappelée par M. Le Verrier dans l’avant-dernière séance. Cette méthode, étendue à plu- sieurs systèmes d’inconnues, m'a servi, dans les Nouveaux Exercices de Mathématiques, à déduire, des belles expériences de Fraunhofer, les lois de la dispersion de la lumière, relatives aux substances sur les- quelles cet habile physicien avait opéré. Les résultats qu’elle m'a fournis dérivent de la formation de plusieurs Tableaux, dont chacun porte en lui-même la preuve de l'exactitude de tous les nombres qu'il renferme.

L'honorable mission qui m'était confiée, à l’époque où je publiais ces Tableaux, m'ayant donné l’occasion de rechercher s’il ne serait pas possible de rendre plus faciles et plus sûres tout à la fois les diverses méthodes de caleul, j'ai reconnu que des procédés très simples pour- raient procurer cet avantage aux opérations mêmes de l’Arithmétique. Je me bornerai ici à en indiquer quelques-uns en peu de mots. J’es- père qu’en raison de leur grande utilité, l’Académie me pardonnera de l’entretenir un moment de cet objet. J’y serais d’ailleurs autorisé, s’il était nécessaire, par l’exemple de nos premiers géomètres, qui plus d’une fois ont choisi pour sujet de leurs méditations le perfectionnement des calculs numériques.

Pour vérifier l'exactitude des résultats fournis par diverses opéra- tions de l’arithmétique décimale, et en particulier par l’addition, la soustraction, la multiplication ou l’élévation aux puissances, on peut employer un moyen fort simple. Il consiste à disposer chaque opération de telle sorte qu’elle fournisse immédiatement, par exemple, avec la somme ou le produit de nombres écrits en chiffres dans le système décimal, ce que deviendrait cette somme ou ce produit, si l’on con- sidérait les divers chiffres dont chaque nombre se compose, comme représentant, non plus des unités des divers ordres, mais des unités simples, puis de voir si la valeur trouvée de la nouvelle somme ou du

EXTRAIT N° 105. 433 nouveau produit est effectivement celle que l’on déduirait immé- diatément des nombres donnés.

Le principe que je viens d’énoncer fournit une preuve très simple de l'addition arithmétique, dans le cas où les chiffres que renferme chaque colonne verticale fournissent toujours une somme représentée par un seul chiffre; et même dans le cas contraire, pourvu que, dans ce dernier cas, on ajoute à la somme des chiffres qui composent les divers nombres la somme des chiffres qui expriment les reports, en ayant soin d'écrire ces reports dans une ou deux lignes horizontales placées entre ces mêmes nombres et la somme cherchée.

Pour appliquer le même principe à la multiplication arithmétique, il convient d’effectuer cette opération, non à l’aide de la méthode géné- ralement enseignée et pratiquée en France, mais à l’aide d’une méthode moins connue et qui permet de former d’un seul coup le produit de deux nombres écrits en chiffres. La méthode dont il s’agit consiste à former à la suite les uns des autres, pour les réunir immédiatement, les produits de même ordre, qu’on peut obtenir en multipliant un des chiffres du multiplicande par un chiffre correspondant du multiplica- teur. Cette méthode se simplifie lorsque au-dessus du multiplicande on écrit le multiplicateur renversé sur une bande de papier mobile. Car alors, dans chaque position du multiplicateur, on trouve placés l’un au-dessus de l’autre les chiffres correspondants du multiplicateur et du multiplicande, c’est-à-dire les chiffres qui, pris deux à deux, doivent fournir des produits de même ordre. Alors aussi, pour appli- quer le principe ci-dessus énoncé, il suffit d'écrire au-dessous de chaque chiffre du multiplicande la somme des produits partiels de l'ordre de ce même chiffre. Si cette somme se trouvait exprimée par un nombre de plusieurs chiffres, de deux chiffres par exemple, on écrirait Île deuxième chiffre seulement au-dessous du chiffre correspondant du multiplicande, dans une certaine ligne horizontale, puis on reporterait à gauche et dans une ligne horizontale plus élevée le premier chiffre de la même somme ; et l'opération, achevée comme dans le cas où il s'agit

d’une addition simple, porterait en elle-même la preuve de l'exactitude, ŒEuvres de C.—S. 1, 1. V. 55

43% COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE,

non seulement des sommes partielles formées avec les produits partiels de même ordre, mais encore de la somme totale fournie par la réunion de ces sommes partielles, c’est-à-dire du produit des nombres donnés.

Le principe ci-dessus énoncé peut encore être facilement appliqué aux multiplications approximatives, dans lesquelles on se propose d'obtenir le produit de deux nombres qui renferment des chiffres déci- maux avec un degré d’approximation donné.

Enfin les opérations de l’Arithmétique deviendraient notablement plus simples et plus faciles si l’on combinaitle principe ci-dessus énoncé avec l’emploi de deux espèces de chiffres. Les géomètres se sont plu- sieurs fois occupés de systèmes de numération qui présenteraient une autre base que le nôtre; mais je ne sais si, en conservant la même base, on a essayé d'effectuer les diverses opérations de l’Arithmétique sur des nombres exprimés par des chiffres dont les uns seraient positifs, les autres négatifs. Cependant rien de plus aisé. Concevons en effet que, dans un nombre exprimé en chiffres, on place le signe de la sous- traction au-dessus du chiffre correspondant à des unités d’un certain ordre, pour indiquer que les unités de cet ordre doivent être prises avec le signe —. Alors on aura des chiffres positifs et des chiffres néga- tits, et l’on devra distinguer dans chaque chiffre son signe et sa valeur numérique. Pour obtenir, à l’aide des notations reçues, la valeur d’un nombre écrit avec les deux espèces de chiffres, il suffira de remplacer chaque suite continue de chiffres négatifs, situés immédiatement l’un après l’autre, par le complément arithmétique de cette suite, en dimi- nuant d’une unité le chiffre positif qui la précède. Cela posé, on pourra évidemment écrire un nombre quelconque avec des chiffres dont la valeur numérique soit tout au plus égale à 5, et dès lors les additions, soustractions, multiplications, divisions, les conversions de fractions ordinaires en fractions décimales et les autres opérations de l’Arithmé- tique se trouveront notablement simplifiées. Ainsi, en particulier, la table de multiplication étant réduite au quart de son étendue, on n'aura plus à former que des produits partiels de chiffres non supérieurs à 5. Remarquons encore que, dans la multiplication, la somme des produits

EXTRAIT N° 105. 435 partiels de même ordre sera d'autant plus facile à calculer qu’en général ces produits partiels seront, les uns positifs, les autres néga- tifs, et que par suite leur somme se trouvera presque toujours exprimée par un seul chiffre. Remarquons enfin que pour le même motif il de- viendra très aisé d'appliquer aux nombres écrits avec les deux espèces de chiffres le principe ci-dessus indiqué comme propre à fournir la vérification des résultats obtenus.

Pour rendre plus faciles à saisir les principes ci-dessus énoncés, j’en donnerai ici quelques applications très simples.

$ I. — Opérations exécutées à l’aide des divers chiffres qu'emploie le système décimal.

Une preuve très simple et très sûre de l'addition, de la soustraction, de la multiplication, etc., consiste à former avec la somme, la diffé- rence ou le produit de deux ou de plusieurs nombres, la somme, la différence ou le produit de ceux que l’on obtiendrait si, dans chaque nombre, les divers chiffres étaient considérés comme représentant, non plus des unités de divers ordres, mais des unités de même ordre. Cette sorte de preuve se trouve établie en même temps que l'opération même dans les exemples suivants :

Addition avec la preuve.

FU Svet2 62 +0 | 1 6,2 0 2 ri

4 03 7

| 3:00. 4 0 1! 7

SOLDE ere : 1759,6689 5 o Soustraction avec la preuve.

Nombres donnés ........ 19 A 3.9 ï :

4 2,37 1 Ô

DIHÉTENCE. 4e 0 t 4319 22

Ici, à la suite de chacun des nombres donnés ou calculés, on trouve le nombre correspondant auquel il se réduit quand on regarde tous ses chiffres comme exprimant des unités simples. On peut adopter le

k36 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

résultat de l'opération avec confiance quand le nombre correspondant à la somme ou à la différence des nombres donnés est, comme on le voit dans ces deux exemples, la somme ou la différence de leurs cor- respondants.

Pour étendre cette preuve au cas où 1l y a des reports à effectuer d’une colonne verticale à l’autre, 1l suffit d'écrire ces reports et d’en

tenir compte, comme on le voit dans l'exemple suivant :

Addition avec la preuve.

LOS 3 o

ñ : 2 0 3,4 8 17 Nombres donnés........... none à t 9 2,19 2 O

RODORIE MOI en NES eue RES 6 SELS LT ANNE EE TE UT 912 9 O 1

Ici la somme 31 des chiffres que renferme le nombre 891,58, étant aug- mentée de 6 dizaines, c’est-à-dire d'autant de dizaines qu'il y a d’unités dans les chiffres des reports, doit reproduire et reproduit en effet le nombre gr, c’est-à-dire la somme totale des chiffres que renferment les reports et les nombres donnés.

Pour appliquer les mêmes principes à la vérification d’un produit, il convient d'écrire au-dessus du multiplicande les différentes sommes partielles dont chacune renferme les produits partiels de même ordre qui peuvent résulter de la multiplication des divers chiffres du multi- plicande par des chiffres correspondants du multiplicateur. A la ri- gueur, sans écrire, n1 sommes partielles, ni produits partiels, on pour- rait obtenir d’un seul coup le produit de deux nombres donnés, en ajoutant successivement les uns aux autres les produits partiels d’un chiffre par un chiffre, et commençant par ceux qui sont de l’ordre le moins élevé. On se trouverait ainsi ramené à la méthode de multiplica- tion donnée par M. Hilf dans un Ouvrage intitulé le Calcul sans chiffres. méthode que l’on dit avoir été plus anciennement exposée par le pro- fesseur Gunz dans des leçons orales à Laybach. Mais, si l’on adoptait sans modification cette méthode, dans le cas où le multiplicande et le

EXTRAIT N° 105. #37

multiplicateur donné contiennent beaucoup de chiffres, il ne serait pas facile de reconnaître les erreurs commises. Au contraire, les résultats du calcul peuvent être aisément vérifiés, lorsqu'on écrit les sommes partielles dont nous avons parlé ci-dessus; et nous ajouterons que, pour former aisément chacune de ces mêmes sommes, il suffit d'amener dans une position fixe au-dessus du multiplicande le multiplicateur renversé, mais écrit à part sur une règle ou sur une bande mobile de papier. Alors la vérification des produits s'effectue presque aussi faci- lement que celle des sommes, comme on peut le voir dans l'exemple suivant.

Supposons que l’on veuille multiplier 6,46 par 12,5. On formera d’abord les sommes partielles des produits de même ordre, en faisant glisser au-dessus du multiplicande le multiplicateur renversé; et chaque fois on écrira le dernier chiffre de la somme partielle obtenue au-dessous du chiffre 2, qui représente les unités simples du multipli- cateur, comme on le voit ici :

Multiplicateur renversé. .... : RCA 341 FR Multiplicande..........,... 6,4 6 6,4 6 6,4 6 I : 2 ” s ;

8 4 2

Lorsque toutes les sommes partielles seront formées, on les ajouter pour obtenirle produit cherché, après avoir vérifié leur exactitude, en calculant de deux manières différentes un autre produit dont les deux facteurs seront la somme des chiffres du multiplicande et la somme des chiffres du multiplicateur. L'opération tout entière peut être dis- posée comme il suit :

Multiplication avec la preuve.

Multiplicateur renversé....... ME! 6

Multiplicande . .............. 6,4 6 1 6 CE ME 7

66248 2 6

a CT SEPT RC dre 9 6

Ici la somme des chiffres du multiplicande est 16, la somme des

138 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

chiffres du multiplicateur 6; et le produit de ces deux sommes, ou le nombre 96, doit résulter de l'addition des sommes partielles 18, 24, 32, 16 et 6, dans le cas où les derniers chiffres de celles-ci seraient considérés comme représentant des unités simples. Or c’est effective- ment ce qui arrive, puisque, dans le cas dont il s’agit, les sommes partielles 18, 24, 32, 16 et 6 renfermeraient 7 dizaines et 26 unités. Donc, dans l’opération effectuée, ces sommes doivent être considérées comme exactes. Quant à l’addition des sommes partielles, elle peut être, à son tour, immédiatement vérifiée, et, pour obtenir sa preuve, il suffira d'observer que la somme faite du nombre 26 et du nombre 7 considéré comme représentant, non plus des dizaines, mais des unités simples, est précisément la somme totale 33 des divers chiffres du

produit obtenu 79,488.

En suivant la méthode précédente, on n'aura jamais à s'inquiéter de la place que devra occuper la virgule décimale, puisque, en vertu des règles établies, les unités de même ordre du multiplicande et du pro- duit se trouveront toujours placées dans la même colonne verticale.

Il est facile d'étendre les principes que nous venons d'établir au cas où la multiplication devrait s’effectuer de manière à fournir seulement la valeur, non pas exacte, mais approchée, du produit de deux nombres, avec un degré d’approximation donné. Au reste je pourrai, dans une autre occasion, revenir à ce sujet et aux divers moyens que l’on peut employer pour rendre plus sûres et plus faciles d’autres opérations de l’Arithmétique, telles que l'extraction des racines. Je me bornerai, en terminant ce paragraphe, à indiquer une règle fort simple, à l’aide de laquelle on peut souvent donner, presque sans caleul, le produit de deux nombres composés de plusieurs chiffres. Voici l'énoncé de cette règle, qui se démontre par l’Arithmétique aussi bien que par l’Algèbre, avec la plus grande facilité :

Pour muluplier deux nombres l'un par l'autre, décomposez leur somme

en deux parties dont le produit puisse être facilement obtenu, et ajoutez au

EXTRAIT N° 105. #39

produit de ces deux parties le produit des différences entre l’une d'elles et

les deux nombres donnes.

Lorsque les deux nombres donnés sont égaux, la règle est encore applicable; seulement leur somme et leur produit deviennent le double et le carré de chacun d'eux.

Concevons, par exemple, qu'il s'agisse de multiplier 616 par 609;

on aura 609 + 616 — 1225 — 600 + 625,

et comme les différences entre les nombres donnés et 600 sont respec-

tivement a et 16, .

on en conclura 609 X 616 — 600 X 625 + 9 X 16

— 355000 + 144

Concevons encore qu'il s’agisse de former le carré de 9987; on aura 2 X 9987 — 19974 = 10000 + 9974,

et, comme la différence entre 10000 et le nombre donné sera 13, on en

conclura 9987? = 9974 X 10000 + 13?

— 69740000 + 169 — 99740169.

S II. — Opérations exécutées avec deux espèces de chiffres, les uns positifs, les autres négatifs.

Concevons que, dans un nombre écrit en chiffres, on place le signe — au-dessus du chiffre correspondant aux unités d’un certain ordre, pour exprimer que les unités de cet ordre doivent être effectivement prises avec le signe —. On pourra distinguer dans chaque nombre deux es- pèces de chiffres, les uns positifs, les autres négatifs. D'ailleurs, pour exprimer à l’aide des notations reçues la valeur d’un nombre écrit avec

h40 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

ces deux espèces de chiffres, il faudra remplacer chaque suite continue de chiffres négatifs, situés immédiatement l’un après l’autre, par le complément arithmétique de cette suite, et diminuer d’une unité le chiffre positif qui la précède. Ainsi, par exemple, on aura

Fr; FAI Die

1024531242—=976471158.

Cela posé, on pourra évidemment écrire un nombre quelconque avec des chiffres dont la valeur numérique soit tout au plus égale à 5. Pour y parvenir, il suflira de remplacer, dans le nombre écrit suivant la no- tation reçue, chaque suite continue de chiffres positifs et supérieurs à 4 par des chiffres négatifs qui forment, au signe près, le complément arithmétique de cette suite, en ajoutant au chiffre qui la précède une seule unité. Si Le dernier chiffre de la suite était 5, on pourrait à la rigueur ne pas s’en occuper et l’exelure de la suite. Mais alors même, à moins que la suite ne se trouve réduite au seul chiffre 5, 1l sera mieux de rendre ce chiffre négatif, afin de diminuer autant que possible la valeur numérique du chiffre précédent.

Les nombres étant exprimés, comme on vient de le dire, par des chiffres dont la valeur numérique ne surpasse pas 5, les additions, sous- tractions, multiplications, divisions, les conversions de fractions ordi- naires en fractions décimales et les autres opérations de l’Arithmé- tique se trouveront notablement simplifiées. Ainsi, en particulier, la table de multiplication pourra être réduite au quart de son étendue, et l’on n'aura plus à effectuer de multiplications partielles que par les seuls chiffres

RE VE re eo et 5 = —.

Ainsi, pour être en état de multiplier l’un par l’autre deux nombres quelconques, il suffira de savoir doubler ou tripler un nombre, ou en prendre la moitié. Si on le trouvait plus commode, on pourrait se contenter d'écrire le multiplicateur suivant le nouveau système. On devra d’ailleurs se rappeler que le produit de deux chiffres de même

EXTRAIT N° 105. … bhi espèce est positif, tandis que le produit de deux chiffres d'espèces dif- férentes, c’est-à-dire l’un positif, l’autre négatif, sera négatif.

Cela posé, on reconnaîtra sans peine que le produit des nombres

8256—12344, 9978—10022 est

De plus, on passera aisément des formules

2

FRA IAaE, 122— 144, 132160;

aux suivantes

qui peuvent encore s’écrire ainsi : D bis 8264 :1— 40, Pareillement des formules

1013?—1026169, 1006*—1018108216, Pre

qui se déduisent si aisément et presque sans calcul du binôme de Newton, on passera immédiatement aux suivantes

10132—1026160, 10063—1018108216, NEA qui peuvent encore s’écrire ainsi : 987°—=974160, 994?—982107784,

Observons en outre que, dans les additions, multiplications, élévations aux puissances, etc., les reports faits d’une colonne à l’autre seront généralement très faibles, et souvent nuls, attendu que les chiffres po- sitifs et négatifs se détruiront mutuellement en grande partie dans une colonne verticale composée de plusieurs chiffres.

Dans la réduction des fractions ordinaires en fractions décimales, la période sera connue dès que l’on retrouvera le même reste au signe près; et cette période sera composée de deux parties semblables l'une

Œuvres de C.—S.1,1. V. 56:

h42 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

à l'autre, abstraction faite du signe. On trouvera, par exemple,

I

5 = 0143143148143...—0 142867142857... I _— —]_—

ns al ÉITIT/..—0,0900969.:

14 ; ——0,128123123123...—0,076923056923....

Enfin, dans les tables de logarithmes écrites avec des chiffres positifs e . . . . L et négatifs, on passera du logarithme de x au logarithme de = en chan-

geant simplement les signes de tous les chiffres.

C. R., t. XE, p. 826(16 novembre 1840).

P.S. — IT est facile de convertir en addition la multiplication de deux nombres lorsque le multiplicateur est écrit suivant le nouveau système avec les seuls chiffres

6) F FRE DIR TND DORE. PR -

En effet, admettons d’abord que tous ces chiffres soient positifs, et considérons le multiplicateur renversé dans une position fixe au-dessus du multiplicande. Pour obtenir la somme partielle des produits formés avec les chiffres correspondants des deux facteurs, il suffira évidem- ment de chercher la somme des chiffres du multiplicande placés sous les chiffres 4 et 5 du multiplicateur, puis d'ajouter au double de cette première somme les chiffres du multiplicande placés sous les chiffres 2 et 3 du multiplicateur, et enfin, au double de la nouvelle somme ainsi calculée, les chiffres du multiplicande placés sous les chiffres impairs du multiplicateur. Cette règle s'étend au cas même où le multi- plicateur offre des chiffres négatifs, pourvu qu’alors on prenne avec le signe — les chiffres correspondants du multiplicande.

EXTRAIT N° 106. h43

106.

CALCULS NUMÉRIQUES. — Sur les moyens de vérifier ou de simplifier diverses

opérations de l’arithmétique décimale. C. R., t. XI, p. 847 (23 novembre 18/0).

SE. — Multiplication approximative.

Dans le Compte rendu de la dernière séance, j'ai indiqué un principe qui fournit une preuve très sûre, non seulement de l'addition et de la soustraction arithmétiques, mais encore de la multiplication ; et j'ai ajouté que l'application de ce prineipe pouvait être facilement étendue au cas où 1l s’agit de calculer la valeur, non pas exacte, mais appro- chée, du produit de deux nombres, avec un degré d’approximation donné. En effet, pour vérifier l'exactitude de l'opération, il suffit d’ar- rêter au-dessus du multiplicande le multiplicateur renversé, dans la position où l’on doit commencer à en faire usage, puis de calculer la somme des produits partiels que fourniraient les divers chiffres du multiplicande respectivement multipliés par les chiffres correspon- dants, non du multiplicateur, mais d’un facteur auxiliaire qui lui se- rait superposé. Pour obtenir ce facteur auxiliaire, que nous appellerons le vérificateur, 11 faut, en conservant dans le multiplicateur le premier chiffre, c’est-à-dire le chiffre qui représente les unités de l’ordre le plus élevé, remplacer le second, le troisième, le quatrième, … chiffre par la somme faite des deux premiers, des trois premiers, des quatre pre- miers, ... Chiffres.

Pour donner un exemple de la preuve dont il est ici question, con- cevons que l’on se propose d'obtenir la circonférence d’un cercle dont le rayon, exprimé en mètres, aurait pour valeur, à 1 millimètre près, le nombre

1020, 312.

I s'agira de multiplier l’un par l’autre les deux nombres

r620,312.,., 3,1415026. ..;

hhh COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

et, comme une erreur de 1% dans le rayon en produit une de plus de 3wm dans la circonférence, il est clair qu’on ne pourra compter sur le chiffre des millièmes du produit, et qu’en conséquence on n'aura pas . d'intérêt à former les sommes partielles qui resteraient inférieures à un centième. D'ailleurs, dans la multiplication de deux facteurs donnés, le nombre qui exprime une somme partielle de produits de même ordre ne peut jamais surpasser le produit du plus grand chiffre du multipli- cateur par la somme des chiffres du multiplicande, ou même par la plus grande somme que l’on puisse former en ajoutant l’un à l’autre autant de chiffres du multiplicande qu'il y a de chiffres dans le multiplicateur. Donc dans la multiplication des deux facteurs

ro2b, 312... 9, 141000::.,

dont l’un quelconque, le second par exemple, peut être pris pour mul- tiplicande, le nombre qui exprimera une somme partielle de produits de même ordre ne surpassera jamais le produit 90 du plus grand chiffre du multiplicateur par la plus grande somme

9+6+5+4+3+2+1— 30

que l’on puisse former avec sept chiffres du multiplicande. Il y a plus, le nombre qui exprimera une somme partielle de produits d’un ordre donné, augmentée des reports faits sur les sommes partielles de pro- duits d’un ordre moindre, sera évidemment inférieur au produit 93 du

nombre 3 par la somme 9+7+54+4+3+2+:1,

c’est-à-dire à ce que deviendrait le produit 90, précédemment calculé, si l’on augmentait d’une unité Le dernier chiffre de chacun des facteurs

1020,312,::,:3,1415926 5

de maniere à leur substituer les facteurs suivants

1020, 289 709. 103 True

Donc, dans le cas présent, chaque somme partielle des produits d’un

EXTRAIT N° 106. K “ VE per Ty )

RS RNIA SN

ordre donné, augmentée même des reports faits sur les sommes-par-—" tielles des produits d’un ordre moindre, se trouvera toujours exprimée par un nombre inférieur à 100; et, pour obtenir, à un centième près, le

produit des deux facteurs

1620,31%.,:,7 4, 1410036..,

il suffira d'écrire sur une bande de papier mobile le multiplicateur ren- versé, puis d'amener le chiffre de ses unités simples au-dessus du qua- trième chiffre décimal, c’est-à-dire du chiffre des dix-millièmes du multiplicande, et de commencer à cet instant la formation des sommes partielles qui pourront être vérifiées à l’aide de la règle ci-dessus énoncée. L'opération tout entière peut être disposée comme 1] suit :

Multiplication approximative avec la preuve.

Vérificateur renversé.... d90.76;3311 12 0 Multiplicateur renversé... hr QT 01 Multiplicande........... 31-41 5920 SAC DE ER 1 0 Fo PAG TAT ES 2 O 2 0 MODO rire tiers 1 E:2 © I I POUR nt seins F1094043 3 1 2 1

Ici l'addition des sommes partielles

33: 36. 17

4

formées avec les produits de l’ordre des dix-millièmes ou d’un ordre supérieur, donne pour résultat le nombre 120; et, pour vérifier ces sommes, il suffit d'observer que l’on retrouve le même nombre 120 lors- qu’on ajoute entre eux les produits partiels

6.2, M AE 0, 2e ce

des divers chiffres du multiplicande par les chiffres correspondants du vérificateur renversé. D'ailleurs, pour obtenir le vérificateur, c’est-

à-dire le nombre À ( 1133,6799...,

#46 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE,

il faut conserver le premier chiffre 1 du multiplicateur

1020,812:.. en substituant au second, au troisième, au quatrième, .. chiffre les sommes 1+O, 1+0+92, 1+0+2+0, ...

formées avec les deux premiers, les trois premiers, les quatre pre- miers, .… Chiffres. Les sommes partielles que l’on a calculées étant véri- fiées comme on vient de le dire, on les ajoute entre elles pour en tirer la valeur approchée du produit des facteurs donnés; et, pour vérifier cette dernière addition, il suffit de s’assurer que le même nombre 3 L'exprime,

d'une part, la somme totale 20+I10 HI

des chiffres contenus dans les divers nombres qui représentent les sommes partielles et les reports, et, d'autre part, la somme 21 des chiffres du produit 3205,/4043

augmentée d'autant de dizaines que les chiffres des reports offrent d'u- nités.

Après avoir déterminé, comme on vient de le dire, la valeur appro- chée du produit des facteurs donnés, on doit supprimer dans cette va- leur approchée les chiffres incertains, c’est-à-dire ici les deux derniers chiffres. Done, si l’on multiplie l’un par l’autre les deux facteurs

1020ÿ812:. ..- ôt 5,18#19080:.:;

dont le premier n’est exact, par hypothèse, qu’à un millième près, la valeur du produit, exacte à un centième près, sera

3205 ,/0. |

Lorsque le degré d’approximation que l’on recherche exige, comme dans l'exemple précédent, que le nombre des chiffres du vérificateur surpasse le nombre des chiffres du multiplicateur donné, les derniers chiffres du vérificateur doivent être évidemment égaux entre eux et à

EXTRAIT N° 106. h4°7

la somme des chiffres du multiplicateur donné. Il en résulte que, dans le cas où la multiplication doit fournir, non plus la valeur approchée, mais la valeur complète d’un produit de deux facteurs, la preuve ci- dessus exposée se réduit à celle qui a été développée dans le Compte rendu de la dernière séance.

La preuve de la multiplication approximative peut être facilement étendue au cas même où quelques-unes des sommes formées avec les deux, les trois, les quatre, ... premiers chiffres du multiplicateur se trouveraient représentées par des nombres de plusieurs chiffres, par exemple par des nombres de deux chiffres. Alors on considérerait cha- cun de ces nombres comme composé de dizaines et d'unités que l’on écrirait dans une même colonne verticale, mais dans deux lignes ho- rizontales superposées l’une à l’autre, au-dessus du chiffre correspon- dant du multiplicateur. Donc alors, au lieu d’un seul vérificateur on en aurait deux en quelque sorte; et les deux sommes de produits par- tiels, déduites de l’un et de l’autre, devraient être considérées comme représentant, l’une des unités simples, l’autre des dizaines.

Concevons, pour fixer les idées, qu’il s'agisse d'obtenir, à un cent- millième près, le carré du rapport entre la circonférence et le diamètre. L'opération pourra être disposée comme on le voit ici.

Multiplication approximative avec la preuve.

Vérificateurs renversés... Es Le ee 153498 4,3 167 Multiplicateur renversé .... 6295141,3 363; Multiplicande ............. 3,1415926 : I I L EL TS 473 +3 g65493%r:32 3 7 3 7 LS RSR 1: 367 2 2 it Eu. ! 9,8 6960 32 6 3 4 5

Ici le même nombre 367 résulte, d’une part, de l'addition des

148 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE. sommes partielles La2, nt on AD "14 40 0 20

qui concourent à la formation du produit cherché, ou plutôt à la déter- mination de sa valeur approchée; et d’autre part, de l’addition des sommes partielles formées avec les produits des chiffres correspondants du multiplicande et des deux vérificateurs, pourvu que ces deux der-

nières sommes, Savoir

167=3X6+4X2+8X9+9X5+4XI+3X4+5XIH+I1X3 et 20—=1X1+2X4+2XI1+ 3 X 3, soient considérées comme représentant, la première, des unités simples, etla seconde, des dizaines. Les chiffres des deux vérificateurs sont ceux

que renferment les nombres 3,4, 8 CD RM AR 0 auxquels se réduisent le chiffre 3 du multiplicateur 3514109026. :,

et les sommes formées avec ses deux premiers, ses trois premiers, ses quatre premiers... chiffres. D'ailleurs, l'addition des sommes partielles qui concourent à la formation du produit cherché s'effectue et se véri- fie comme dans l'exemple précédent; et ce produit, dans lequel les deux derniers chiffres peuvent avoir été altérés par l’omission des re- ports dus aux sommes partielles que l’on s’est dispensé d'écrire, se ré- duit, lorsqu'on rejette ces deux derniers chiffres, au nombre

9, 86960.

Tel est effectivement, à un cent-millième près, le carré du rapport de la circonférence au diamètre.

Dans l'exemple précédent, ainsi que dans tous les cas où les deux facteurs du produit cherché deviennent égaux, les produits partiels de même ordre sont tous égaux deux à deux, ou tous, à l'exception d’un

EXTRAIT N° 06. ; 449 seul, suivant que le nombre de ces produits est pair ou impair. Il en résulte, comme on sait, que la formation des sommes partielles devient plus facile. Ainsi, dans le dernier exemple, pour obtenir les sommes

partielles 122 €l 71,

on peut opérer comme il suit :

3KX6+i1X2+4X9+1X5—61, dontle double est 122,

3X2+i1Xg9+4xX65—35, . dont le double est 70, et 70+1X1—= 71.

Nous ajouterons que la règle et la preuve de la multiplication ap- proximative s'appliquent plus avantageusement encore à des nombres exprimés avec des chiffres, les uns positifs, les autres négatifs. Alors, en effet, les reports étant presque toujours nuls, on n'aura pas ordi- nairement à s'inquiéter des erreurs que leur omission peut entrainer; et, pour la même raison, dans la multiplication de tels nombres, on n'aura d'ordinaire à considérer qu'un seul vérificateur.

S IE. — Division arithmétique.

On sait que la méthode des approximations successives, due à Newton, finit par doubler à très peu près, à chaque opération nouvelle, le nombre des chiffres décimaux exacts que présente la valeur appro- chée d’une racine réelle d’une équation de degré quelconque. Cette propriété appartient même aux valeurs approchées successives de la racine réelle d’une équation linéaire; ainsi, en particulier, on double à très peu près le nombre des chiffres décimaux que renferme une va- leur très approchée du quotient fourni par une division arithmétique, quand, pour augmenter le degré d’approximation, on ajoute à cette va- leur approchée le premier terme de la progression géométrique qui re- présente le quotient développé suivant les puissances ascendantes du reste. J’ignore si cette remarque très simple, que d’autres sans doute auront déjà faite avant moi, se trouve approfondie dans l’un des nom- breux Traités d’Arithmétique publiés par divers auteurs. Mais elle mé-

me

O1

OEuvres de C.—S.1,t. V.

4

450 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

rite de l'être, d'autant plus que la règle qui s’en déduit peut aisément s'établir sans le secours de l’Algèbre, ainsi que nous allons l'expliquer.

Observons d’abord que diviser un nombre par un autre revient à multiplier le dividende par l'inverse du diviseur. Donc la division peut toujours être ramenée au cas où le diviseur est l’unité. D'ailleurs, dans ce cas, le quotient s'obtient à l’aide de la règle suivante :

Après avoir déterminé par la méthode ordinairement employée une pre- mière valeur approchée du quotient, par exemple, ses deux ou trois pre- miers chiffres, vous pourrez égaler la fraction qui représente le quotient à cette premuère valeur augmentée d'une fraction nouvelle qu aura le reste obtenu pour numérateur. Or, si vous multipliez une ou plusieurs fois de suite les deux membres de l'équation ainsi formée par le reste dont 1l s’agit, vous obtiendrez de nouvelles équations qui, combinées avec la pre-

mière, feront connaître de nouveaux chiffres du quotient.

Lorsqu’en appliquant cette règle, et multipliant par le reste une ou plusieurs fois de suite la fraction qui représente le quotient, on est parvenu à rendre le numérateur supérieur au dénominateur, il convient d'extraire le plus grand nombre entier contenu dans la nouvelle frac- tion ainsi formée. Après cette opération, on peut recommencer à faire usage de la règle et obtenir par ce moyen de nouveaux chiffres.

D'ailleurs, lorsqu’en opérant comme on vient de le dire, on estarrivé à connaître un grand nombre de chiffres du quotient, la formation d'une seule équation nouvelle suffit pour doubler à très peu près le nombre de chiffres exacts. Si le diviseur est entier ou composé d’un nombre fini de chiffres, le quotient, à moins qu'il ne puisse s’obtenir exactement, se réduira toujours à une fraction décimale périodique.

Pour montrer une application de la règle ci-dessus énoncée, cher- chons d’abord le quotient de 1 par 7, ou, en d’autres termes, la frac- tion décimale périodique qui représente la fraction +. Comme les deux premiers chiffres décimaux fournis par la méthode de la division ordi- naire seront 1 et 4, le reste étant égal à 2, on en conclura

Y<6, 143,

EXTRAIT No 106. k51

la fraction ? étant ainsi placée à la suite du chiffre des centièmes pour indiquer les ? d’un centième; puis, en joignant à l'équation qui pré- cède celles qu’on en déduit lorsqu'on multiplie chaque membre deux fois de suite par le reste 2, on trouvera

et, par conséquent,

Si maintenant on extrait de la fraction © l’entier 1 qu’elle renferme, on verra l'équation précédente se réduire à

+ —0,142857+.

En vertu de cette dernière formule, la période de la fraction décimale qui représentera + sera certainement la suite des chiffres

142857, et l’on aura indéfiniment += 0,142857 142857... En général, lorsque, le dividende étant l’unité, le diviseur se com-

pose d’un nombre fini de chiffres décimaux, le quotient cherché doit représenter, ou une fraction de la forme

L 9 n

n étant un nombre entier, ou le produit d’une semblable fraction par une puissance de 10. Donc alors, si le quotient ne peut s’obtenir exac-

tement, toute la question pourra être réduite au développement de .

en fraction décimale périodique. D'ailleurs on démontrera sans peine, 1° que, si » est l’un des nombres premiers impairs

Di hr ES 1 64

le nombre des chiffres de la période sera égal à 7 — 1, ou à un divi- seur de z —1; 2° que, si » est un nombre composé, le nombre des

#52 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

chiffres de la période sera ou le nombre N des entiers inférieurs à » et premiers à », où un diviseur de N; 3° que, si le nombre entier n se forme d’un seul chiffre, il suffira, pour déterminer la période, de pro- longer le calcul jusqu’au moment où l’on verra reparaître le premier chiffre du quotient, attendu que le retour de ce chiffre indiquera le commencement d’une seconde période semblable à la première ; 4° en- fin que, si le nombre entier r se compose de deux, trois, quatre, … chiffres, il suffira de prolonger le calcul jusqu’au moment où l’on verra reparaitre, dans le même ordre, les deux premiers, les trois pre- miers, les quatre premiers, ..… chiffres du quotient. Eu égard à ces observations, on pourra souvent abréger le calcul, et même se dispen- ser d'extraire les entiers contenus dans les nouvelles fractions que l’on obtiendra. Ainsi, dans l'exemple précédent, après avoir établi Féquation |

4 —0,142856$, on pourra remarquer simplement que, ? étant compris entre les li- mites 0,14 et 0,15, la nouvelle fraction Ÿ sera nécessairement com-

prise entre les limites DO, His Fa et RNCO SEE LL, 26,

Donc l'équation dont il s’agit fournira pour + une valeur comprise

entre les limites 0,14285712 et o,14285720.

Donc le premier chiffre 1 du quotient reparaitra nécessairement à la septième place, où il indiquera le retour de la période 142853. Si l’on voulait déduire d’un développement en progression: géomé-

trique la valeur de + exprimée en chiffres décimaux, il suffirait d’ob-

server que l'équation

peut s’écrire comme il suit :

EXTRAIT N° 106. | k53

Donc cette équation donne | PA ONE 7 _1—0,02 . . , I Q , Si maintenant on développe le rapport 553 °1 une progression géo- métrique ordonnée suivant les puissances ascendantes du reste 0,02, on trouvera 1—=0,14 + 0,0028 + 0,000056 + 0,00000112 +...

= 014200. .

Pour montrer, sur un second exemple, l'application des principes [

ci-dessus exposés, concevons qu’il s'agisse de convertir - en fraction

décimale. On trouvera, dans ce cas,

et, par suite,

On aura donc

#4 —=0,014084504 2,

ou, Ce qui revient au même,

ct, par suite, 2 —=0,042253521-7, 7 —0,126760563;, 1 —0,380281689 Ÿ},

puis on en conclura, en remplaçant # par 1 ;;,

4 —=0,01408450704225352112676056338028 1690 #4.

Enfin on tirera de la deuxième équation

LRO: MORE. et, par suite,

+ —0,014084507042253521126760563380281690 1408... Ici la seule réapparition des deux premiers chiffres or, placés dans le

même ordre à la suite l’un de l’autre, indique déjà le retour de la pé- riode.

45! COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

$ III. — Extraction des racines.

Concevons que, z étant un nombre donné, on veuille en extraire la racine carrée ou cubique, ..., ou plus généralement la racine mime, Il s'agira, en d’autres termes, de calculer la racine réelle x de l’équa-

tion ain:

Or soient a une première valeur approchée de V2, et r le reste qu’on obtient en retranchant a” du nombre », en sorte qu’on ait identique- ment

(1) n—=a"+ p, Si l’on pose x = a + z et si d’ailleurs r est très petit, l’équation

n—={(a+z})" donnera sensiblement

(2) pe |

La valeur précédente de z est celle que, dans la méthode newtonienne, on doit ajouter à la quantité a pour obtenir une seconde valeur appro- chée de Ÿn. Cette méthode semble donc, au premier abord, exiger la division du reste par le produit ma”"-', dans lequel le nombre des chiffres croît indéfiniment avec le nombre des chiffres de a; mais on peut éviter cette division à l’aide des considérations suivantes.

St, dans l’équation (2), présentée sous la forme

ar

°_ mar’

on substitue la valeur de a” tirée de la formule (r), on trouvera

ar ar da = = (+2 +..), min—r). mn n

puis, en négligeant les termes de l’ordre du carré de 7,

(3) = «0

EXTRAIT N° 107. h55

En substituant la formule (3) à la formule (2), on aura, comme dans la méthode newtonienne, l’avantage de doubler sensiblement, à chaque opération nouvelle, le nombre des chiffres décimaux de la racine, lorsque le reste r sera très petit; et si, d’ailleurs, on réduit en fraction déci-

I . x . . male le rapport —; qui restera le même dans les diverses approxima- mn

tions que l’on effectuera successivement, il suffira, pour continuer in- définiment le calcul, de recourir à l'opération que nous avons appelée multiplication approximative. Ajoutons qu'il sera facile d'effectuer et de vérifier chaque multiplication approximative par la méthode que nous avons indiquée.

L'application des principes exposés dans ce paragraphe et dans le précédent deviendra plus facile encore si l’on emploie deux espèces de chiffres, les uns positifs, les autres négatifs.

107.

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la résolution numérique des équations alge-

briques et transcendantes.

C. R.,t. XI, p. 829 (23 novembre 1840).

$ Ir — Considérations générales.

J'ai donné, pour la résolution numérique des équations algébriques ou transcendantes, dans les Comptes rendus de 1837, une méthode dont le principe est tellement simple qu'il pourrait être exposé dans les élé- ments d’Algèbre. En effet, ce principe se réduit à la proposition sui- vante :

TuéorèME. — Sotent

P, Q deux fonctions réelles et entières de x, ou, plus généralement, deux fonc-

tions réelles dont chacune reste finie et continue, sinon pour des valeurs

h56G COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE. quelconques de la variable x, du moins entre certaines limites zt=A et Pen ne : À Supposons d'ailleurs qu'entre ces limites on ait constamment PQ

St les fonctions P, Q deviennent toutes deux positives, ou toutes deux néga-

lives pour x = a, alors, entre les lumutes

la plus petite racine réelle de l'équation (x) Ps sera inférieure dans le premier cas, supérieure dans le second, à la plus pe- tte racine réelle de l'équation 2) Q—=se;:

el, au contraire, st les fonctions P, Q deviennent toutes deux positives, ou

toutes deux négatives pour x — b, alors, entre les limites

la plus grande racine réelle de l'équation (1) sera supérieure dans le pre- mier cas, inférieure dans le second, à la plus grande racine réelle de l’équa-

, {9 lion (2).

Démonstration. — Pour fixer les idées, admettons d’abord que les fonctions P, Q deviennent toutes deux positives au moment où l’on prend æ— a; et, en supposant que l'équation (2) offre des racines réelles comprises entre les limites

nommons c la plus petite de ces racines. On aura, pour x — 4, P>S0o, tandis que, pour æ = c, la condition

(3) PEAR

EXTRAIT N° 107. 457

jointe à l'équation Q — 0, donnera PC D.

Done, tandis que la variable x passera de la valeur a à la valeur e, la fonction P passera d’une valeur positive à une valeur négative. Done cette fonction s’évanouira dans l'intervalle, et par suite l'équation

Pro

offrira au moins une racine réelle comprise entre les limites &, c. Done, entre les limites x = @,æ —b, la plus petite racine de l'équation P —o sera inférieure à la plus petite racine c de l'équation Q — 0.

On démontrera de la même manière les trois autres parties du théo- rème f.

Corollaire I. — Supposons que les fonctions

PB: 1:09

+ ?

toujours finies et continues entre les limites

NE à; et > a,

vérifient entre ces limites la condition (3). Si, ces fonctions étant toutes deux positives pour x = a, ou pour æ — b, l'équation (2) admet une ou plusieurs racines réelles comprises entre les limites «&, b, on pourra en dire autant de l'équation (1); mais la réciproque n’est pas vraie, et l'équation (1) pourrait admettre une ou plusieurs racines réelles com- prises entre & et b, sans qu’il en fût de même de l’équation (2). Ajou- tons que, dans le premier cas, et entre les limites

LA, FE 0;

la plus petite racine de l'équation (1) sera inférieure à la plus petite racine de l’équation (2), ou la plus grande racine de l’équation (r) su- périeure à la plus grande racine de l'équation (2), suivant que la valeur de +, pour laquelle les deux fonctions P, Q deviendront positives, sera a où b. |

CEuvres de C. —S. É ‘+ à 58

458 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

Corollaire 11. — Supposons que les fonctions

P, Q, toujours finies et continues entre les limites À nm Fe 1 be 1

vérifient entre ces limites la condition (3). Si, ces fonctions étant toutes deux négatives pour + — a ou pour æ —b, l'équation (1) admet une ou plusieurs racines réelles comprises entre les limites a, b, on pourra en dire autant de l'équation (2); mais la réciproque n’est pas vraie, et l'équation (2) pourrait admettre une ou plusieurs racines réelles com- prises entre a et b, sans qu'il en fût de même de l’équation (1). Ajou- tons que, dans le premier cas, et entre les limites

la plus petite racine de l'équation (2) sera inférieure à la plus petite racine de l'équation (1), ou la plus grande racine de l’équation (2) su- périeure à la plus grande racine de l'équation (1), suivant que la valeur de æ, pour laquelle les deux fonctions P, Q deviendront positives, sera a ou b.

Corollaire III. — Les deux fonctions Fr, 0

deviendront évidemment toutes deux positives, ou toutes deux néga- tives, pour une valeur particulière a ou b de la variable x, si elles remplissent alors la condition

(4) P—Q. Le théorème I entraine ceux que nous allons énoncer.

Taéorème IT. — Soit f(x) une fonction réelle de x qui reste finie et con-

linue entre les limites TEA, LED rt:

Pour obtenir entre ces limites deux quantites, l’une inférieure, l'autre

EXTRAIT N° 107. 459 supérieure à la plus petite des racines réelles de l'équation (5) f(æ)= 0, on commencera par substituer à l'équation (5) les deux équations auxi- lLaires (6) m(z)=0, (x)=0, les fonctions w(x), ,(x) étant elles-mêmes continues entre les limites x — a, æ — b, mais choisies de manière que l’on ait toujours dans cet intervalle (7) o(x)<f(x) << Y(x), et en particulier, pour x = à, (8) w(a)= fa) = p(a).

St chacune des équations (6) offre des racines réelles comprises entre a et b, l'équation (5) en offrira pareillement, la plus petite racine de l'équa- on (5) étant comprise entre les plus petites racines des équations (6). D'ailleurs, toutes les fois que l'équation (5) admettra des racines com- prises entre a et b, on pourra en dire autant de la premiére ou de la se- conde des équations (6), suivant que f(a) sera positif ou négatif, et la plus petite des racines dont il s’agit diminuera dans le passage de l'équation (5)

à la première ou à la seconde des équations (6).

TuéorÈme IT. — Soit f(x) une fonction réelle de x, qu reste Jinie et continue entre les limites

=, bre,

Pour obtenir entre ces limites deux quantités, l’une inférieure, l’autre supe-

rieure à la plus grande des racines réelles de l'équation

(5) f(t}= 0;

on commencera par substituer à l'équation (5) les deux équations auxt- liaires

(6) m(æ)—0, Y(x)—0o,

les fonctions w(x), Y(x) étant elles-mêmes continues entre les limites x = a,

1.50 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE. à

æ —b, mas choisies de manière que l’on ait toujours dans cet intervalle (2) oix) f(x) € Y(x),

et en particulier, pour x = b,

(9) œ(b)}=f(b)= Y(b).

St chacune des équations (6) offre deux racines réelles comprises entre a et b, l'équation (5) en offrira pareillement, la plus grande racine de l’équa- tion (5) étant comprise entre les plus grandes racines des équations (6). D'ailleurs, toutes les fois que l’équation (5) admettra des racines comprises entre a et b, on pourra en dire autant de la première ou de la seconde des équations (6), suivant que {(b) sera positif ou négauÿf, et la plus grande des racines dont Ü s’agit croîtra dans le passage de l'équation (5) à la pre-

micre ou à la seconde des équations (6).

TuéorÈmEe IV. — Soit toujours f(x) une fonchon réelle de x qu reste finie et continue entre les limites F gernnt À À Er be ND Sotent encore deux fonctions réelles de x qui, étant finies et continues entre ces limites, et choisies de manière à remplir constamment, dans cet intervalle, la condt- tion (7), vérifient d'ailleurs chacune des formules (8) et (9). Si les quantités

sont affectées de signes contraires, chacune des équations (6), et par suite l équation (5), admettront des racines réelles comprises entre a et b; et, dans cet intervalle, les plus petites des racines des équations (6) fourniront deux limites, l’une inférieure, l’autre supérieure à la plus petite des racines de l'équation (5), tandis que les plus grandes racines des équations (6) fourniront deux limites, l’une inférieure, l’autre supérieure à la plus grande

des racines de l'équation (5). Au contraire, si les quantités

sont afectées du même signe, chacune des équations (6) pourra offrir ou

EXTRAIT N° 107. 461

_non des racines réelles comprises entre a et b, ces racines devant étre en nombre pair; mais il suffira que ces deux équations offrent de telles racines pour que l’on parvienne encore aux conclusions que nous venons d’énoncer. De plus, si, dans cette dernière hypothèse, l’équation (5) admet des racines comprises entre a et b, on pourra en dire autant ou de la première ou de la seconde des équations (6), suivant que les quantités f(a), f(b) seront toutes deux positiwes ou toutes deux négatiwes. Donc alors la premuëre ou la se- conde des équations (6) offrira, comme l’équation (5), au moins deux ra- cines réelles comprises entre a et b; la plus petite de ces racines devant diminuer et la plus grande devant croître, tandis que l’on passera de l’équa-

tion (5) à la première ou à la seconde des équations (6).

S Il. — Usage des fonctions interpolaires dans la résolution numérique des équations.

La considération des fonctions interpolaires permet d’appliquer très facilement les principes ci-dessus établis à la résolution numérique des équations algébriques ou transcendantes. En effet, f(x) étant une fonc- tion donnée de x, et

far}, fla,bx) des fonctions interpolaires du premier et du second ordre, déterminées par les formules

PE | PR TR na Da a ù rm / ) | f(a,x)—f{a, b) | CAPES on aura (2) ffx)=f(a)+(x—-a)f(a,zx) et (3) f(x) =f(a)+(x—a)f(a,b)+{x—a)(x —b)f(a,b,x). On trouvera de même (4)- ffx)=f(b)+ (x — b)f(b,x),

(5) f(x)=f(b)+(x—b)f(a,b)+(x—a)(x —b)f(a,b,x).

k62 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

D'ailleurs la formule (3) ne diffère pas de la formule (5). Car, si l’on nomme F(x) une fonction linéaire de æ assujettie à vérifier les deux conditions

(6) F(a)—f{a), F(b)—f(6), on aura identiquement

(5) F(x)=f{(a) +(x—a)f(a,b) É —f(b)+(xz—b)f(a,b),

et par conséquent chacune des formules (3), (5) pourra être réduite à (8) f(x)=F(x) +(r—a)(x — b)f(a, b, x).

Soient maintenant G, H

deux quantités, l’une inférieure, l’autre supérieure aux diverses va- leurs qu'acquiert la fonction

fla,x), ou f(0,zx), du f(a,0, #1,

tandis que l’on fait varier x entre les limites

On aura, en vertu de la formule (2),

9) f(a)+G(x—a)<f(x) <a) + H(x— a;

ou, en vertu de la formule (4),

(10) f(b) + H(x—b) <f(x) Lf(b) + G(x—0b);

ou, en vertu de la formule (8 ),

Gi) F(a)+H{æ—a)(z — 0) fx) F(x) +G(x—a)(x —b).

Ajoutons que les trois membres de la formule (9) deviendront évidem- ment égaux pour æ — a, ceux de la formule (ro) pour x = b, enfin ceux de la formule (r1), eu égard aux conditions (6), pour x = a et

EXTRAIT N° 107. 463

pour æ — b. Cela posé, les théorèmes IT, IL, IV duS I entraineront évidemment les propositions suivantes :

TuéorèMe [. — Soit (12) f(d)=0 une équation dont le premier membre f(x) représente une fonction réelle de æ, toujours finie et continue entre les limites

Le: à PAP et.

Soient de plus Gé H

deux quantites, la première inférieure, la seconde supérieure aux diverses valeurs qu'acquiert, entre ces limites, la fonction interpolaire du premier

ordre f(a, x).

St les racines réelles des deux équations (13) f(a)+ G(x — a) —0, f(a)+H(x—a)—=n,

c'est-à-dire les deux quantités

(14) tr CARE :

se trouvent toutes deux comprises entre a et b, l'équation (12), dans cet in- tervalle, offrira une ou plusieurs racines dont la plus petite sera certaine- ment comprise entre les deux quantités (14). D'ailleurs, toutes les fois que l'équation (12) admettra des racines comprises entre a et b, on pourra en dire autant des expressions (14) ou au moins de l’une d’entre elles, savoir, de la première, si f(a) est positif, de la seconde, sif(a) devient négatif; et la première de ces expressions, dans le premier cas, ou la seconde, dans le second cas, offrira une nouvelle limite supérieure à la limite a, mais infe-

rieure à la plus petite des racines dont il s'agit.

TaéorÈèmMe H. — La fonction réelle f( x) étant Loujours supposée finie et

continue entre les limites ta; Ft De ES

kG COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

soient de plus G, H

deux quantités, la premiére inférieure, la seconde supérieure aux diverses valeurs qu'acquiert entre ces limites la fonction interpolaire du premier

ordre f(b, x).

Sc les racines réelles des deux équations (TO

f(b)+G(æ—b)=0o, f(b)+H(x—b)=eo,

c'est-à-dire les deux quantités

(16) db

se trouvent toutes deux comprises entre a et b, l'équation (12), dans cet in- tervalle, offrira une ou plusieurs racines dont la plus grande sera certaine- ment comprise entre les quantités (16). D'aulleurs, toutes les fois que l’équa- uon (12) admettra des racines comprises entre a et b, on pourra en dire autant de l’une au moins des expressions (16), savoir : de la première, si f(b) est positif, de la seconde, si f(b) devient négatif; et la première de ces deux expressions, dans le premier cas, ou la seconde, dans le second cas, offrira une nouvelle limite, inférieure à la limite b, mais supérieure à la plus

petite des racines dont il s'agit.

TuéorÈmE HT. — La fonction réelle f(x) étant toujours supposée réelle et

continue entre les limites BEEN, C'est br: à soient de plus FES à deux quantités, la première in/trieure, la seconde supérieure aux diverses valeurs qu'acquiert entre ces limites la fonction interpolaire du second ordre f(a,b, x);

et nommons F(x) une fonction linéaire de x assujettie à vérifier les deux

conditions (6), ou, ce qui restent au même, déterminons F(x) à l’aide de

EXTRAIT N° 107. 465

l'équation (7). Si les deux quantités

sont affectées de signes contraires, chacune des équations du second degré (17) F(x)+G(x—a)(x—b)=o, F(x\+H{(x—a)(x—b)=0

_ offrira une seule racine réelle comprise entre les limites a, b, et les deux ra- cines de cette espèce, fournies par les deux équations (17), comprendront entre elles une ou plusieurs racines de l'équation (12). Au contraire, st les deux quantités f(a), f(b)

sont affectées du même signe, chacune des équations (17) pourra offrir ou non deux racines réelles comprises entre a et b; mais il suffira que ces deux équations offrent de telles racines pour que l'équation (12) offre elle-même au moins deux racines réelles comprises entre a et b, la plus grande étant renfermeée entre les plus grandes racines des équations (17), et la plus petite

entre leurs plus petites racines. De plus, si, les quantités f(a), f(b)

étant afectées du méme signe, l'équation (12) admet des racines réelles comprises entre & et b, on pourra en dire autant ou de la première, ou de la

seconde des équations (17), suivant que les quantités f(a), f(b)

seront toutes deux positives, ou toutes deux négatives.

Concevons maintenant que, la fonction f(x) étant finie et continue avec ses dérivées du premier et du second ordre entre les limites

ed x — b, chacune des deux fonctions dérivées Fe Pl) conserve constamment le même signe entre ces limites. On pourra en

dire autant des fonctions interpolaires

fta;æ},-fla,z; x}, OEuvres de C. — S.A, t. V. 59

k6G COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

qui représenteront des valeurs de f'{u), 4 fe),

correspondantes à des valeurs de w, + intermédiaires entre a et x; et,

comme on aura d’ailleurs

0 f{a, x) dx

{ AE AE :

on peut affirmer que la fonction interpolaire

f(a, x)

19

non seulement conservera toujours le même signe entre les limites

mais sera de plus, dans cet intervalle, et pour des valeurs croissantes de +, toujours croissante ou toujours décroissante, suivant que la déri- vée du second ordre f(x) sera positive ou négative. Cela posé, les deux quantités, ci-dessus représentées par G, H, pourront être réduites, dans le premier théorème, l’une à f(a, a) = f'(a), l’autre à f(a, b); et dans le second théorème, l’une à f(a,b), l’autre à f(b,b)=f(b). D'autre part, la fonction f(x) conservant toujours le même signe, par hypothèse, entre les limites x = a, x — b, la fonction f(x) sera, dans cet intervalle, toujours croissante avec +, ou toujours décroissante; et par suite l'équation (12) n’offrira point de racines réelles renfermées entre a et b, ou offrira une seule racine de cette espèce suivant que les

deux quantités

seront affectées du même signe, ou de signes contraires. Enfin, si l’on . nomme # la racine unique de l'équation

(18) . Eire

on aura évidemment, en vertu de la formule (7),

(19) k=a—

sé EXTRAIT N° 107. k67

ou, ce qui revient au même,

_af(b)—bt(a), si Fe to al. et, comme

f(a, b)

représentera une valeur de f(x) correspondante à une valeur de x in- termédiaire entre a et b, par conséquent une quantité comprise entre

Pa), P(b)},

il est clair que, si f(a), f(b) sont affectées de signes contraires, les dif-

férences f(b) Ho ere

seront toutes deux inférieures ou toutes deux supérieures à la valeur de # donnée par la formule (19). Or, en ayant égard aux observations que nous venons de faire, on déduira immédiatement des théorèmes 1 et IT la proposition suivante :

TuéorÈèME IV. —— Soit f(x) une foncuon réelle de x qui demeure finie et

continue, avec ses dérivées du premier et du second ordre, entre les limites +0 406 4;

el supposons que, des trois fonctions PRE FA) PE

la première seule change de signe, tandis que l’on passe de la premiere l- mite à la seconde. Une seule racine de l'équation (12) se trouvera renfer-

mee, non seulement entre les limites donnees a ot. hp;

mais aussi entre deux limites plus rapprochées dont l'une sera la quantité k,

LA

l’autre pouvant se réduire à celle des deux differences

(21) Rs eee D 2

qui sera la plus voisine de k, ou bien encore à la premuère de ces différences,

168 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

quand le signe de (a) sera celui de f’(a), et à la seconde dans le cas con-

traire. .

Corollaire. — a et b étant considérés comme représentant deux va- leurs approchées en plus et en moins d’une racine réelle de l'équation (12), le théorème précédent fournira le moyen d'obtenir de nouvelles valeurs approchées de la même racine en augmentant le degré d’ap- proximation. La substitution de l’une des différences (21) à l’une des premières valeurs approchées a ou b constitue la méthode d’approxi- mation de Newton. M. Fourier a proposé de joindre à l’une de ces dif- férences, considérée comme limite de la racine cherchée, la quantité # qui offre une seconde limite opposée à la première. Lorsque l’on re- présente la fonction f(x) par l’ordonnée d’une courbe dont x est l’ab- scisse,

f(a)}, f(b) sont les ordonnées particulières des points A, B qui répondent aux deux abscisses PR: À LD, et les expressions (20), (21) se confondent avec les abscisses des points où l'axe des x est rencontré : 1° par la corde AB, 2° par les droites qui touchent la courbe aux points A et B.

Les raisonnements par lesquels nous avons déduit des théorèmes I

et I Le théorème IV servent aussi à déduire du théorème II la propo-

sition suivante :

THéorèME V. — Sort f(x) une fonction réelle de x qui demeure finie et

continue, avec ses dérivées des trois premiers ordres, entre les limites ho À Lt a: et supposons que chacune de ses deux fonctions dérivées | zh f(x)

conserve constamment le méme signe entre ces limites. Une racine au plus 8

de l'équation dérivée

EXTRAIT N° 107. 169

et deux racines au plus de l'équation

se trouveront renfermeées entre les hmutes dont il s'agit. Si d'ailleurs la fonc- tion f(x) change de signe entre les limites x = a, x = b, ou, en d'autres termes, si les quantités

fia), f(b) sont affectées de signes contraires, l'équation (12) offrira certainement une racine réelle, mais une seule, comprise, non seulement entre les limites données

a et b, mais encore entre d’autres limites plus rapprochées qui seront racines des

équations du second degre (22) F{x)+{x —a)(x— b) f(a, a, b)—0, F{x)+{r—a)(x — b) fa, b, b) =o.

Au contraire, st les quantites

sont affectées du même signe, l'équation (12) n'offrira point de racines réelles comprises entre les limites a, b, ou en offrira deux de cette espece ; et le dernier cas aura certainement lieu si chacune des équations (22)

offre de telles racines. Ajoutons que, st, les quantités f(a), f(b)

étant affectées du même signe, l'équation (12) offre des racines réelles com- prises entre a et b, on pourra en dire autant de la première ou de la se- conde des équations (22), savoir, de la premuëre si les quantités f{a), f(b) sont négatives, et de la seconde si les quantités f{a), f(b) sont positives. Donc alors la première ou la seconde des équations | 22) offrira, comme l'équation (12), deux racines réelles comprises entre a et b, l’une inférieure à la plus petite des deux racines de l'équation (12), l’autre supérieure à la

plus grande de ces deux racines.

Corollaire. — a et b étant considérés comme représentant deux va- leurs approchées en plus et en moins d’une ou de deux racines réelles

#70 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

de l’équation (12), le théorème précédent fournira le moyen d'obtenir de nouvelles valeurs approchées de cette racine ou de ces deux racines, en augmentant le degré d’approximation. :

Lorsque les conditions énoncées dans les théorèmes IV ou V ne sont pas remplies, alors, pour obtenir des valeurs de plus en plus appro- chées des racines de l’équation (12), comprises entre a et b, on pourra recourir aux théorèmes I, IT, IT. Mais, pour faire l'application de ces théorèmes, on devra calculer les valeurs des quantités qui s’y trouvent désignées par G et H. Ce calcul pourra s’effectuer, dans un grand nombre de cas, à l’aide des considérations suivantes.

Concevons que l’on ait (23) fx)= gx) — x(&),

o(æ), 4(æ) désignant deux fonctions réelles de +, dont chacune reste, avec ses dérivées du premier et du second ordre, toujours finie et con- tinue, et toujours croissante, depuis la limite x = a jusqu’à la limite x —b. On pourra en dire autant de chacune des fonctions intérpo- laires

(24) o(a,x), o(b,x}, o(a,b,x), x(ax), x(b,x), x(a, b, x).

Car, dans l'hypothèse admise, chacune des fonctions dérivées

o"(x), "(2 ve, vi)

restera toujours positive entre les limites x = a, x — b; et, par suite, les dérivées des expressions (24), c’est-à-dire les fonctions

? (a, ZT, x), é (b, T, x); o{a, b, T, x), 4\a, T; +); X\b, T x), 7, \a b, A æ) seront elles-mêmes positives dans cet intervalle, chacune d'elles se ré-

duisant alors à la moitié ou au sixième d’une certaine valeur de l’une des fonctions dérivées

gx) 9x} (x), x").

Done, puisqu’une fonction croit toujours quand sa dérivée est positive, on peut affirmer que, pour des valeurs de x comprises entre a et b, les

EXTRAIT N° 107. h71

valeurs des fonctions (24) seront respectivement supérieures aux six quantités

glaa), g(b,a), o(ab,a), ylaa), x(b,a), y(a,b,a), ou, ce qui revient au même, aux six quantités

pla a), glab), glaab), ylaa), x(ab) zlaa,b), mais respectivement inférieures aux six quantités

pad), p(b,6), pa, 6,8), x(a,b), x(6,6), x(a,b,b). Comme on aura d’ailleurs généralement

f(a,x)=o(a;x)—y{ax), f(0,x)—9(b,x)— x(b,x), f(a,b,x)—= voa, b,x) — y(a, b, x\,

il est clair que les valeurs des quantités ci-dessus représentées par G, H pourront être réduites, dans le théorème I, à

(25) G=g(aa)—y(a0), H=e(46)—y(a a); dans le théorème If, à

(26) G—o{a,b)— (8,0), H—9(b,0;—;%{a,b); enfin, dans le théorème III, à

(27) G= (a, a, b) — y(a, b, b), H—o(a,b,b)—y{a,a,b).

Comme, pour des valeurs de x comprises entre a et b, chacune des fonctions

\

pla,x), o(b,zx) ou (ax), x(b,x)

pourra être représentée par

et la fonction

par

to’(u) ou 3%"{v}

u, e désignant encore des quantités comprises elles-mêmes entre a et b: x

h72 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

il en résulte qu'on pourra supposer encore, dans les théorèmes T et II,

(28) .G=9'(a)—%{(6), H—#y(b)—z'(a), et dans le théorème IT, (29) G—{[9"(a)—x"(8)}, H—={if?"(b) —x"{a)l.

Au reste, dans l'application des théorèmes I, Il, IT à la détermina- tion d’une ou de deux racines réelles de l'équation (12), il convient de choisir les quantités G, H de manière à ce qu’elles se trouvent rappro- chées le plus possible l’une de l’autre, et pour cette raison 1l convient de préférer aux valeurs de G, H, fournies par les formules (28), (29), celles que déterminent les formules (25), (26) et (27). Pour la même raison, toutes les fois que les conditions énoncées dans les théorèmes IVet V se trouvent remplies, il convient d'appliquer ces théorèmes plu- tôt que les théorèmes I, If, IT; en d’autres termes, il convient de prendre pour G, H, ou deux des trois quantités

f(a,a), f(a,b), f(b,b),

ou les deux quantités | fia, a,b), f(a, b,b).

Lorsque la fonction f(x) est présentée sous la forme qu'indique l’é- quätion (23), alors, pour que chacune des fonctions

l(x), f(x)

conserve toujours le même signe entre les limites x — a, x = b, con- formément aux conditions énoncées dans le théorème IV, il suffit évi- demment que les valeurs de G, H déterminées par la première et par la seconde des formules (28) ou (29) soient affectées du même signe, c’est-à-dire que l’on ait

[?a) — x(b)1L9 (8) — x(a)1>0, (30) et | [g"le) — x" (6)]1[9" (8) — x" (a)1> 0. Parcillement, pour que chacune des fonctions

V'(x), l(x)

EXTRAIT N° 108. 473 conserve toujours le même signe entre les limites x — à, x — b, con- formément aux conditions énoncées dans le théorème V, il suffira que

l’on ait

| [g”(a) — x"(b)1L?" (8) — x'(a)] > 0 (31) et

| Cg”(a) —x"(6)1[g" (8) — x" (a) > 0.

Lorsque, les limites à, .b étant positives, f(x) représente une fonc- tion entière de æ, on peut, dans l'équation (23), réduire la fonction o(x) à la somme des termes positifs du polynôme /{(x), et — y(x) à la somme des termes négatifs.

Dans un autre article, nous montrerons les grands avantages que présentent, pour la résolution numérique des équations algébriques ou transcendantes, les théorèmes et les formules que nous venons d’éta- blir.

108.

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Mémoire sur divers points d'Analyse.

C. R., t. XI, p. 933 (14 décembre 1840).

S Ier, — Usage des fonctions interpolaires dans la détermination des fonctions symétriques des racines d’une équation algébrique donnée.

Les propriétés des fonctions interpolaires qui, comme nous l’avons expliqué, fournissent une méthode générale et facile pour la résolu- tion numérique des équations algébriques ou transcendantes, peuvent encore être employées fort utilement à la détermination des fonctions symétriques des racines d’une équation algébrique donnée. En effet, pour effectuer. cette détermination, il suffit de recourir aux proposi- tions suivantes :

TuéorRÈME [. — Représentons par

(1) féri=e Œuvres de C. — S.I,t. V. Go

Pre COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

une équation algébrique, dont le premier membre f(x) soi une fonction entière de x, du degré n. Supposons d’ailleurs que cette équation n'offre pas de racines égales, et rnommons F(x) une autre fonction entière de x, qui conserve toujours la méme valeur U, quand on y substitue successive- ment à la variable x les diverses racines de l'équation (1). Le reste de la

division de F(x) par f(x) se rédura simplement à la constante U.

Démonstration. — En effet, soit I(x) le reste dont il s’agit. L’équa-

tion I(x) —U

sera d’un degré inférieur à »; et, puisqu'elle devra subsister pour n va- leurs différentes de +, par conséquent, pour des valeurs de + dont le nombre surpassera ce degré, elle ne pourra être qu’une équation iden- tique. Done la fonction H(x) deviendra indépendante de x, et se ré- duira simplement à la constante U,

Corollaire. — Représentons par 1 AE CORRE USER RQ CUS les x racines de l’équation (x). Si la fonction F(a) conserve toujours la

même valeur U, quand on y remplace la racine a par l’une quelconque

des autres racines Bb 6 dte SE

le quotient de la division de F{a) par f(a) sera indépendant de a, et se réduira simplement à la constante U. |

TuéorÈME I. — Socent f(x)

une fonction entière de x, du degre n, et

FO cr f(a,b,xiz

PET

f(a,x)—f{a,b)

x — 6

. ‘

les fonctions interpolaires de divers ordres qui renferment avec la va- rable x diverses valeurs particulières a, b, c, ... de cette variable. Conce-

vons d’ailleurs que les lettres

EXTRAIT Ne 108.

& ©

représentent les n racines de l'équation

ffr}e 0,

et désignons par Fa, b,c,.., h;,k)

une fonction entière mais symétrique de ces racines. Pour éliminer de cette même fonction les racines

ME US 1 AR GR ul suffira de la diviser successivement par les divers termes de la suite

td dus RE El Aa be is Ass EE flaiho}.tla.h};.-f{a),

considéres, le premier comme fonction de k, le second comme fonction de h, ..., l'avant-dernier comme fonction de b, le dernier comme fonc- ton de a. Le dernier des restes ainsi obtenus sera indépendant de a, b, C, .…, , &, et représentera nécessairement la valeur U de la fonction syme- trique Pitié AE

exprimée à l'aide des coefficients que renferme le premier membre de l'équation (1).

Démonstration. — Supposons d’abord les racines

7: 7 PS AR ER PAS 1

inégales entre elles. Comme les équations CR RO ET een Tia br, 2 Ma bit,::.,h,+1)=6 admettront, la première toutes ces racines, la seconde les racines b, ec, .., À, k, la troisième les racines ce, ..., À, k, etc., l’avant-derniére les racines 2, #, et la dernière la seule racine #, 1lest clair que, pour éliminer toutes les racines

RS RE LS Sepi a de la fonction symétrique

Fa, b,e, vers 05)

k76 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

il suffira (vorr le corollaire du théorème 1) de diviser successivement

cette fonction

par f(a, b,c,...,h,k) considéré comme fonction de #, puis par f(a, b,c,...,h) considéré comme fonction de ,

puis par f(a, b) considéré comme fonction de b, puis enfin par f(a) considéré comme fonction de a.

Les restes successivement obtenus seront indépendants, le premier de k, le second de # et de 2, ..., l’avant-dernier de #, k, ..., ce, b, le dernier de #, h, ...,c, b, a, et représenteront autant de valeurs de F{a,b,c,.….,h,k), dont la dernière U se trouvera exprimée en. fonc- tion des seuls coefficients que renferme le premier membre f(x) de l'équation (1).

Il est bon d'observer que, f(x) étant, par hypothèse, une fonction entière de +, on pourra supposer, dans l'équation (r), le coefficient de la plus haute puissance de x réduit à l’unité. Car, pour opérer cette réduction, 1l suffira dans tous les cas de diviser les différents termes de l'équation par le coefficient donné de x". D'autre part, lorsque dans f(x) le terme du degré le plus élevé se trouvera réduit à +”, alors évi-

demment, dans les fonctions

fs), -flu,x}, a 0,4). 15, AGO EEE

qui forment les premiers membres des équations (2), les premiers termes, c’est-à-dire les termes des degrés les plus élevés, auront tous

l'unité pour coefficient, et seront respectivement A4 AE ES æn—?, Es 139 D:

Donc alors la valeur U de F{a,b,c,...,h,k), déterminée comme nous l'avons dit ci-dessus, sera une fonction rationnelle et même entière, par conséquent une fonction continue des coefficients renfermés dans f(x). D'ailleurs chacun de ces coefficients représentera, au signe près, ou la somme des racines de l'équation (1), ou la somme formée avec les produits qu'on obtient en multipliant ces racines deux à deux, trois

EXTRAIT N° 108. k77

à trois, etc. Donc la valeur trouvée de U pourra être encore considérée comme une fonction continue des racines de l’équation (1); et, dans la

formule (3) Bah. EEE

qui se vérifiera toutes les fois que les racines a, b, c, .., k, k seront iné- gales, les deux membres varieront par degrés insensibles en même temps que ces racines.

Si la puissance x", dans f(x), se trouvait multipliée par un coefti- cient différent de l’unité, ce même coefficient se retrouverait dans les

termes les plusélevés des fonctions interpolaires HN CR TR sir ft0,0,0,.,., M x);

et par suite, la valeur de U, déterminée comme ci-dessus à l’aide de di- visions successives, renfermerait des puissances négatives du coeffi- cient dont il s’agit. Mais, alors même, U ne cesserait pas d’être une fonction entière des autres coefficients, par conséquent une fonction continue des racines; et, si ces racines venaient à varier par degrés in- sensibles, on pourrait toujours en dire autant des deux membres de l'équation (3).

IL est maintenant facile de s'assurer que le théorème II s'étend, avec la formule (3), au cas même où l'équation (r) offre des racines égales. Car des racines égales de l'équation (1) peuvent être consi- dérées comme des limites vers lesquelles convergent des valeurs va- riables de racines supposées d’abord inégales, mais très peu diffé- rentes les unes des autres; et, puisque la formule (3), dont les deux membres varient par degrés insensibles avec les racines, par consé- quent avec leurs différences, continuera de subsister pour des valeurs de ces différences aussi rapprochées de zéro que l’on voudra, elle sub- sistera certainement dans le cas même où ces différences viendront à s'évanouir.

Corollaire. — Puisqu’en supposant, dans l'équation (r), le coefficient de x” réduit à l’unité, on obtient pour valeur de F(a,b,c,...,h,4)

478 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

une fonction entière U des autres coefficients, il est clair que, si ces autres coefficients sont entiers, si d’ailleurs, dans la fonction symé- trique F(a, b, c, ..., k, k), les coefficients des diverses puissances des racines ”: RPUR PO ARR RRE ÈRS

ou des produits de ces puissances, sont eux-mêmes des quantités en- tières, la valeur numérique de U sera encore un nombre entier. On peut donc énoncer la proposition suivante :

THéorÈèME II, — Sort . une équation algébrique dont le premier membre représente une fonction

entière de x, du degré n; soient de plus

les n racines égales ou inégales de cette méme équation, et Fla,b,c,:.. 4470

une fonction entière mais symétrique de ces racines. St tous les coefficients

renfermés dans les deux fonctions Fée FL TR R)

se réduisent au signe pres à des nombres entiers, le coefficient de x" dans f(x) étant l'unité, la valeur numérique de la fonction F(a, b,c, ..., h,k)

sera elle-méme un nombre entier.

Corollaire. — Si, dans le premier membre de l'équation (r), les coef- ficients des diverses puissances de x se réduisent, aux signes près, à des nombres entiers, le coefficient de la puissance la plus élevée étant l'unité, alors la somme et le produit des carrés des différences entre ces racines offriront des valeurs entières, et l’on pourra en dire autant des sommes que l’on obtiendra en ajoutant les uns aux autres les pro- duits de ces mêmes carrés combinés par voie de multiplication deux à deux, ou trois à trois, ou quatre à quatre, .... Donc, si l’on forme une

EXTRAIT N° 108. 479 équation nouvelle qui ait pour racines les carrés des différences entre les racines de la proposée, les coefficients des diverses puissances de l’inconnue, dans cette nouvelle équation, se réduiront encore, aux signes près, à des nombres entiers. D'ailleurs, si les puissances dont il s’agit sont rangées d'après l’ordre de grandeur de leurs exposants, le premier coefficient, qui ne s'évanouira pas, représentera évidemment le produit des carrés des différences entre les solutions diverses, ou, ce qui revient au même, entre les racines distinctes de l'équation (1). On doit seulement excepter le cas où toutes les racines de l'équation (1) deviendraient égales entre elles, chacune d’elles étant équivalente, au signe près, au Coefficient du second terme divisé par #2. On peut donc énoncer encore la proposition suivante :

TnÉORÈME IV. — Soit Fr} 0 une équation algébrique du degré n, dans laquelle les coefficients des di- serses puissances de x offrent des valeurs entières, le coefficient de x" étant l'unité. Si les racines de cette équation ne sont pas toutes égales entre elles, ou, ce qui revient au même, si le premier membre f(x) ne se réduit pas à la

puissance nè"e d'un binôme de la forme zx — l,

l'étant, dans f(x), le coefficient de x"=" pris en signe contraire, et divise par n, le produit des carres des différences entre les racines distinctes de

l'équation (1) se réduira, au signe près, à un nombre entier.

S IL. — Sur la division algébrique.

En vertu des théoremes établis dans le $ I, la détermination des fonctions symétriques des racines des équations se trouve ramenée à la division algébrique. On sait d’ailleurs que cette dernière opération peut être réduite elle-même à un développement en série. Rappelons

en peu de mots les principes sur lesquels se fonde cette réduction. Soient

480 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

deux fonctions entières de æ, la première du degré », la seconde du degré m> n. Si l’on nomme æ{x) le quotient qu’on obtient en divisant F(x) par f(x), et H(x) le reste, alors D(x) ne sera autre chose que la somme des termes qui renfermeront des puissances entières et posi- tives de æ, dans le développement du rapport

F(x)

f(x)

en une série ordonnée suivant les puissances descendantes de x, ou, . . n . . s ! ce qui revient au même, suivant les puissances ascendantes de =:

Supposons, pour fixer les idées, qu’en effectuant ce développement, on PI

{trouve

4 F(x)

LU. Y ) = axl + ERA LR HAT HAE + — +..., ; f(x) T- TL

la valeur de l'étant l=m—n,

on aura

(2) P(x)—=arxl+ 6x 1+...+ux +

D'après ce qu'on vient de dire, pour obtenir le quotient dx), 11 n’est nullement nécessaire de recourir à l'opération connue sous le nom de division algébrique, et Von pourra remplacer cette opération par l’une quelconque de celles qui servent à développer une fonction suivant les puissances ascendantes d’une variable. Il y a plus : comme

on à Fia7S 4 ze) fe) ©) le développement du rapport F(æ) f(x)”

en une série ordonnée suivant les puissances descendantes de x, se dé- duira immédiatement du rapport

EXTRAIT N° 108.

481

en une semblable série. Or ce dernier développement s’effectuera sans

peine à l’aide de formules connues. En effet, en divisant, s’il est néces-

saire, tous les termes des polynômes F{x) et f(x) par le coefficient

de x” dans f(x), on pourra toujours réduire ce coefficient à l’unité.

Supposons cette réduction opérée, et soit alors

Si l’on fait, pour abréger,

(4) X=- (+

on trouvera

et, comme on aura d’ailleurs

RES, €

on en conclura

LU ! A | |

(3) f(x)=2t+ Ati + Ban-2+...+ Hz +K.

=iI+X+X2+...,

aU+X+X +...)

Si, dans le second membre de cette dernière formule, on substitue les

valeurs de X, X?, ..., déduites de l'équation (4), et ordonnées suivant

. I . N , . les puissances ascendantes de -; il ne restera plus qu'à réunir entre

. & . I eux les termes proportionnels aux mêmes puissances de =; pour ob-

tenir le développement cherché de TO)

- En opérant ainsi, on re-

k ; : 1 ; connaitra que, dans ce développement, la puissance de — du degré

n + [, savoir

a pour coefficient la somme

(6) À anne AY (BP...

OEuvres de C. — S.I, t. V.

h82 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

l'expression (/),,,.,, étant déterminée par la formule

a . ue RAC SACS VUE NU Re Pi Sie cet à

et le signe D s'étendant à toutes les valeurs entières et positives de à,

b,..., h, k qui vérifient la condition

a+2b+...+{(n—1i)h+nk— 1.

— SI si

D'ailleurs, dans ces diverses formules, / peut être un nombre entier quelconque, égal ou non à la différence m — n. Ilest bon d'observer que, parmi les puissances entières et positives

de =, celle qui offrira le degré le moins élevé sera la première puis- TL

sance dans X, la deuxième dans X?, la troisième dans X°, ....Il en ré- sulte que, si l’on se propose seulement de calculer le quotient (x), il suffira de conserver dans le développement de

I

1— X

. . I , les termes proportionnels aux puissances de = dont le degré ne sur-

passera pas 72 — n. Donc, pour obtenir (x), il suffira, en posant [— m — n, de chercher les termes proportionnels à des puissances po- sitives de x, et renfermés dans le développement du produit

(8) a REX +X2+...+ X)F(x), qu'on peut encore écrire comme il suit :

Se 1— X1 F{x) \9) A en ÿ

Ajoutons que, dans ce même produit, on pourra remplacer, si lon

u t- X' par (- à) > XI! par (-5- a) | r….

veut,

LA

x

Ce n’est pas tout. Comme le produit (9), multiplié par x*°”, se trans-

EXTRAIT N° 108. RS

roc E / at:

formera en une fonction entière de x du degré KP NI 4) # n. M D } * C *ATS Im, Nam +nlizmÆ+ n(m Re n), NF oRNIA e ) no

si l’on désigne par y(æ) ce même produit, et par 4 une quelconque des racines de l'équation binôme

Cet 54 on aura, d'après les propriétés connues de ces racines,

a\t+i Ge (10) De) = 2 — x (01,

v

— —I

0

le signe Ÿ s'étendant à toutes les valeurs de 6.

Lorsque, pour déterminer les divers termes du quotient d{x), on à recours à la formule (6), alors, pour obtenir les valeurs entières des exposants

d'après la condition (7), il suffit d'observer que, si l’on pose

a + b + +h+k=t, RCE SO PET HUB KES RYUKE 0, cette condition deviendra

(11) ++... + += chacun des nombres entiers compris dans la suite

li, b, és ts ln

ne devant jamais surpasser ceux qui le suivent. Cela posé, on caleulera sans peine les diverses valeurs qu'il sera possible d'attribuer aux divers termes de la suite

li, b, QU. lus la pourvu que l’on commence par fixer les valeurs des derniers termes.

En effet, on pourra prendre pour /, un quelconque des nombres

ÉCRAN ET 3

48% COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE. puis, pour /,_,, un quelconque des nombres L

, 2, 3, res l— y,

puis, pour 4, ,, un quelconque des nombres

4. 6 0 6 ne ve 2 9" 2» et ep ee 00 0:10 4, Nes

D'ailleurs, à un système donné de valeurs de

L, b, sis RES 2

correspondra un système de valeurs de

M HS 10 0 Re

déterminées par les équations

a — ln — ln-1, b= /n_1 — ln-0, ..) h = lb — l,, k= #4,

Comme, en vertu des formules de Taylor et de Maclaurin, les divers termes du développement d’une fonction en série peuvent être repré- sentés par des dérivées de divers ordres, il est clair qu’on pourrait en- core représenter de cette manière les divers coefficients renfermés dans la fonction D(x), et cette fonction elle-même. Si l’on cherche en parti- culier la valeur x de D(x) correspondante à x — o, on aura, en vertu

"( I l € }

(12) À = — Dé

de l'équation (1),

: désignant une quantité infiniment petite que l’on devra réduire à zéro, après avoir effectué les différentiations. Si l’on voulait exprimer x à l’aide des notations employées dans le calcul des résidus, alors, au lieu de l’équation (12), on obtiendrait la suivante

dis

(13) Plo)= E —

(a) (2)

EXTRAIT N° 108.

& Q0 ©

qui se trouve elle-même comprise dans la formule

(14) (x) =

(voir les Exercices de Mathématiques, t. 1, p. 137). Après avoir déterminé le quotient ®(x) qui résulte de la division de F(x) par f(x), on obtiendra aisément le reste H(x), à l’aide de la for-

mule

(15) (zx) =F(x)— f(x) D(x).

Si l’on cherche en particulier le terme indépendant de x dans ce reste, ou la valeur de H(0), on aura

(16) I{o) = F(o)—Af{o), la valeur de à étant celle que fournit l'équation (12).

Comme les divisions, qui serviront à déterminer les fonctions symé- triques des racines d’une équation algébrique, fourniront des restes dont chacun devra être indépendant de la racine éliminée, il est clair qu'on pourra toujours calculer ces mêmes restes à l’aide des for- mules (12) et (16). |

La marche que nous avons suivie pour arriver au développement de

la fraction

_fournirait pareillement celui de [f(æ)7,

. m étant un nombre entier quelconque. Les formules que l’on obtien- drait ainsi ne différeraient pas au fond de formules déjà connues, par exemple, de celles qu’a données M. Libri dans un de ses Mémoires. En terminant ce paragraphe, nous rappellerons que la valeur de (x) déterminée par l'équation (13), c’est-à-dire, en d'autres termes,

!,

186 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

le reste de la division de F(x) par f(x), pourrait encore se déduire de la formule d’interpolation de Lagrange. En effet, si l’on nomme

DUR Re RE

les x racines de l'équation

{

\]

V à

see la formule d’interpolation de Lagrange donnera

Ilz) Fa) F(b) 1 F(#) el Ma s-a het

(18)

ou, Ce qui revient au même,

Si maintenant on pose æ = 0, on trouvera

F(z ou, Ce qui revient au même, F(z)

(19) rien

et de la formule (19), jointe à l'équation (16), on tirera

F(z) (20) LE Pi _e | C((21(2))) La valeur précédente de % peut être aisément transformée en une suite composée d'un nombre fini de termes. En effet posons, pour abréger,

(21) Z—=—{(Az + Bz2-2+,,, +H3+K)

. /

On aura f(3) = 32 — 7,

EXTRAIT N° 108. 487 par conséquent

HUE Z Z! ZE: (22) f(z) Te sn + z2n pa + g(é+1)2 ne z(U+Un{zr Reg de

Si d’ailleurs, 2 étant le degré de F(z), on prend /— m — à, la fraction

Zi+1 F(z) g(l+1)n+1 (237 Res Z)

offrira un dénominateur dont le degré surpassera de deux unités au moins le degré du numérateur. On aura donc

Lo AE R E (( g(l+1)n+1 (2 EX. Z) ))

— O;

et l’on tirera de l'équation (22), après en avoir multiplié les deux

F(3)

membres par le rapport —-,

F(2) ZF(z) ZIF(:) (are) Lars) ra + Len)

ou, Ce qui revient au même,

| “er : He El : 227 hs rer Ir 3 5n D: PARIS. (24) : +OURÇ7LK (>) \ : D His” CZ F(2)],

3 devant être réduit à zéro après les différentiations. L'équation (24), dont le second membre se compose d’un nombre fini de termes, fournit un développement remarquable de la valeur de à, et par suite de la valeur de IH(o). D'ailleurs, en vertu des formules (18) et (19), on a évi- demment

( (5) Efta) | ECFT, f{o)

flo).

Si lon supposait la valeur de Z déterminée, non plus par l’équa- tion (21), mais par la suivante

Z——(R'32+...+Hz+K),

488 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

on aurait f(3)—= 32 + Azn=t — 7,

et, en développant le rapport

ll

(2)

en progression géométrique suivant les puissances ascendantes de Z, on obtiendrait, à la place de l'équation (23), cette autre formule

Sr RE ZF(z) (6) LE Lars a + É ui 22 F3) | + Étant at) 2

dont le second membre serait encore composé d’un nombre fini de

termes. D'ailleurs chacun de ces termes serait de la forme

] ri Y(z)

((3'(3+A}))

t, J désignant deux nombres entiers, et 4(z) une fonction entière de =. Ajoutons qu'il est facile d'obtenir la valeur de l’expression (27) en opérant comme il suit. |

Désignons par W(z:) la partie du développenfent de Ÿ(z) qui offre des puissances de z d’un degré inférieur à #, en sorte qu’on ait

2 2isi “ d'(o)+...+

Y{z)= d(o) + z Y'(o) + gté-1{o).

T.2...(1—1) On aura encore, pour des valeurs de j égales ou supérieures à l'unité,

Y{z)

J

L Tats+4))

et par suite l'expression (27) pourra être réduite à

pr YU3)— Y(3)

Css + A)

EXTRAIT N° 108. 489

ou, ce qui revient au même, à

puisque le développement de Ÿ(z) — W(z) sera divisible par 3°. En conséquence, on aura

(28)

Po dal ot [44 A) 4 VAT C Kat: +4ÿ) se ren én Car)

IL est bon d'observer que, dans le second membre de la formule (28),

la quantité : is W(— A)

Jr }

ar

représente la partie de l’expression

Y(— A)

\ /

1 Fa)

qui renferme des puissances négatives de A. Cela posé, la formule (26) donnera

4 \ 7 K{(z 5 LE TE de (29) ee in Us EE

ho

pourvu que l’on rejette après les différentiations tous les termes qui renfermeront des puissances négatives de z, et que l’on pose ensuite z = — À.

Pour montrer une application des formules qui précèdent, suppo- sons l’équation (17) réduite à celle-ci

x?+Ax+B—o, alors on aura

B a—b] a Œuvres de C. — S. I, t. V. 62

— Fo) 1 [5 9 |

!,

490 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

et l’on tirera de la formule (29)

ë 2 nl F3), Bt p2Fla), 2° 122 33

On aura donc

E nee Ress : 2 .- D? +... RS B 72 AO € gai + 2) ke

F{o}: Es): :BL:F(a) Bt F(s)

pourvu que l’on rejette, après les différentiations effectuées, les puis- sances négatives de z, et que l’on pose alors z — — A. Si l’on réduit l'équation proposée à la suivante

x? — 217% COS9 + r?=0,

et si l'on suppose d’ailleurs F(z) = z”, ou, ce qui sera plus commode, F(z) = 3%", la dernière des formules que nous venons d'obtenir don-

nera > Sin mn Q : DEA, m—3)(m—4 Mn

+ = (2C08p)#—1— (2 coso)#—3 + A 4) (cosp)"—5 —..., sin o 1.2

ce que l'on sait être exact; et l’on trouvera en particulier, en prenant

e paena oO, M — 2-1 — Ter om—3 L vu a LL: ee ® DR mn 1 UE S I. — Sur la résolution numérique des équations.

Dans un précédent Mémoire, nous avons fait servir les propriétés des fonctions interpolaires à la résolution numérique des équations; et nous avons donné une méthode à l'aide de laquelle on peut obtenir des valeurs de plus en plus approchées des racines réelles d’une équation algébrique, ou même, très souvent, d’une équation transcendante. Cette méthode se transforme d’elle-même en celle de Newton, lors- qu'on est parvenu à renfermer chaque racine réelle entre des limites suflisamment rapprochées. Mais elle n’indique pas & priori le nombre des opérations auxquelles on sera obligé de recourir pour effectuer la

EXTRAIT N° 108. h91

séparation des racines réelles. On ne doit pas s’en étonner; car le pro- blème de la séparation des racines est de sa nature un problème inso- luble, dans le cas général d’une équation de forme quelconque. En effet, lorsqu'une équation devient transcendante, ou, ce qui revient au même, lorsque le nombre des termes d’une équation algébrique devient infini, cette équation peut admettre entre deux limites même très rap- prochées une infinité de racines réelles. C’est ce qui arrivera, par exemple, si l'équation donnée se réduit à

5 I &Sin— — 0, æ

ou, Ce qui revient au même, à

xt 123 RTE Sal

me md 4 1%

Dans le cas particulier où l'équation donnée est algébrique ou com- posée d’un nombre fini de termes, on peut arriver à la séparation des racines réelles, dès que l’on connait une limite inférieure à la plus petite différence entre ces racines. On peut aussi parvenir au même but, lorsqu'on a résolu d’abord un problème indiqué par Lagrange, et trouvé des règles sûres pour déterminer dans une équation de degré quelconque le nombre des racines réelles, soit positives, soit négatives. Ce dernier problème est précisément celui dont j'ai donné une solution dans des recherches présentées à l’Institut en 1813, et publiées dans le XVII Cahier du Journal de l’École Polytechnique. Y'ai démontré, en par- ticulier, qu'étant donnée une équation du degré n, on peut toujours ob- tenir n fonctions rationnelles ou même entières des coefficients, tellement choisies que les signes des quantités représentées par ces fonctions indi- quent le nombre des racines réelles, ou la différence entre le nombre des racines positives et le nombre des racines négatives. Pour obtenir, ou cette différence, ou le nombre des racines réelles, il suffit de soustraire du nombre des fonctions représentées par des quantités positives le nombre des fonc- Lions représentées par des quantités négatives. Ajoutons que, dans le cas où l’on cherche simplement le nombre des racines réelles, l’une des

192 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

fonctions se réduit toujours à l'unité. D'ailleurs il existe plusieurs sys- tèmes de fonctions qui remplissent les conditions ci-dessus énoncées, et M. Sturm a démontré que la recherche de semblables fonctions peut être réduite à la recherche du plus grand commun diviseur entre une fonc- tion entiere et sa dérivée. W est ainsi parvenu à donner du problème in- diqué par Lagrange une solution qui a l'avantage de reposer unique- ment sur le système d'opérations qu’exige la recherche des racines égales, et qui diffère de la mienne par les valeurs des fonctions que l'on détermine. Mais l’une et l’autre solution pourront devenir insuff- santes, comme la méthode d’approximation ci-dessus mentionnée, quand il s'agira de séparer les racines d’une équation algébrique dont les coefficients seront irrationnels. En effet, dans ce dernier cas, une fonction entière des coefficients offrira généralement elle-même une valeur numérique irrationnelle; et, si la quantité représentée par cette fonction diffère très peu de zéro, le signe de cette quantité ne pourra être fixé avec certitude jusqu’à une époque qu’il sera généralement im- possible de déterminer a priori, savoir, jusqu’à l’époque où les valeurs approchées des coefficients auront été calculées avec une approxima- tion suffisante, et renfermeront un assez grand nombre de chiffres décimaux pour que ces valeurs, substituées dans la fonction, fassent connaître au moins le premier chiffre significatif de sa valeur numé- rique.

Quand les coefficients de l'équation numérique donnée, cessant d’être irrationnels, seront au contraire des nombres entiers, on pourra se dispenser de résoudre d’abord le problème indiqué par Lagrange. Alors, en effet, apres avoir réduit le coefficient de la plus haute puissance des x à l’unité, ul suffira, pour obtenir immédiatement une limite inférieure à la plus petite différence entre les racines réelles, de diviser l’unité par le double de la limite supérieure aux modules de toutes les racines, puis d’éle- ver le quotient trouvé à la puissance dont le degré sera inférieur d'une unité au nombre des combinaisons que l’on peut former avec les racines combi- nées deux à deux (voir l'Analyse algébrique, p. 487). Ce qui doit surtout être remarqué, c'est qu'en vertu du théorème IV du premier para-

EXTRAIT N° 109. 493

graphe, cette règle s'étend au cas même où l’équation donnée offre des racines égales, et détermine alors une limite inférieure à la plus petite différence entre deux racines réelles distinctes l’une de l’autre. On n’aura donc pas besoin de s'occuper particulièrement du cas où les racines sont égales ; et, dans ce cas même, on pourra, si les coefficients de l'équation donnée sont des nombres entiers, effectuer la séparation des racines diverses à l’aide de la règle que je viens d’énoncer. Ajou- tons que la limite inférieure à la plus petite différence entre les ra- eines pourra être considérablement augmentée à mesure que l’on con- naitra des valeurs de plus en plus approchées des racines réelles.

109.

MATHÉMATIQUES. — Rapport sur les procèdés de calcul imaginés et mus

en pratique par un jeune pâtre de la Touraine.

C. R., t. XI, p. 952 (14 décembre 1840).

L'Académie nous a chargés, MM. Arago, Serres, Sturm, Liouville et moi, de lui rendre compte des procédés à l’aide desquels le jeune Henri Mondeux parvient à exécuter de tête, et en très peu d’instants, des calculs très compliqués.

Que sans secours et abandonné à lui-même, un enfant préposé à la garde des troupeaux arrive à exécuter de mémoire et très facilement un grand nombre d'opérations diverses, c’est un fait que seraient tentés de révoquer en doute ceux qui n’en auraient pas été les témoins, et dont le merveilleux rappelle tout ce que l’histoire nous raconte du jeune Pascal, s’élevant à l’âge de douze ans, et à l’aide de figures tracées avec un charbon, jusqu’à la XXXIE° proposition de la Géométrie d’'Euclide. Toutefois ce fait merveilleux s’est déjà présenté dans la personne d’un jeune berger sicilien, mais avec cette différence que les maitres de Man-

49% COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

giamele ont toujours tenu secrètes les méthodes de calcul dont ils se servaient, tandis que M. Jacoby, qui a recueilli chez lui le jeune pâtre des environs de Tours, a offert lui-même de mettre les procédés em- ployés par son élève sous les yeux des Commissaires de l’Académie. Dès sa plus tendre enfance, le jeune Henri Mondeux, s'amusant à compter des cailloux rangés à côté les uns des autres, et à combiner entre eux les nombres qu’il avait représentés de cette manière, ren- dait sensible, à son insu, l’étymologie latine du mot calculer. À cette époque de sa vie, les systèmes de cailloux semblent avoir été plus par- ticulièrement les signes extérieurs auxquels se rattachait pour lui l’idée de nombre; car il ne connaissait pas encore les chiffres. Quoi qu’il en soit, après s'être longtemps exercé au calcul, comme nous venons de le dire, il finit par offrir aux personnes qu’il rencontrait de leur don- | ner la solution de quelques problèmes, par exemple de leur apprendre combien d'heures, ou même de minutes, se trouvaient renfermées dans le nombre d'années qui exprimait leur âge. Frappé de tout ce que l’on racontait du jeune pâtre, M. Jacoby, instituteur à Tours, eut la curio- sité de le voir. Après un mois de recherches, il rencontre un enfant dont l’attitude est celle d’un homme absorbé par une méditation pro- fonde. Cet enfant, appuyé sur un bâton, a les yeux tournés vers le ciel. A ce signe, M. Jacoby ne doute pas qu'il n’ait atteint le but de ses courses. Il propose une question à Henri, qui la résout à l'instant même, etil lui promet de l’instruire. Malheureusement celui qui se rappelle si bien les nombres a beaucoup de peine à retenir un nom ou une adresse. Henri, à son tour, emploie un mois entier en recherches infructueuses avant de retrouver M. Jacoby. Enfin les vœux du jeune pâtre sont exaucés : il a le bonheur de recevoir des leçons d’Arithmé- tique. Mais les moments de liberté dont il peut disposer le soir pour cette étude lui paraissent trop courts. Henri, depuis quelque temps, était à la solde d’un fermier établi près de la ville. Il avait pour appoin- tements trois paires de sabots par année, du pain noir à discrétion, et un peu d’ail quelquefois. Un jour il quitte la ferme en déclarant qu'il a trouvé une bonne place; et M. Jacoby, qui voit l'enfant arriver à Tours

EXTRAIT N° 109. h95

avec quelques hardes sous le bras, accueille avec bonté ce nouveau pensionnaire que la Providence lui envoie, ce pauvre orphelin auquel il devra désormais servir de père. Sous la direction de M. Jacoby, Henri Mondeux, en continuant de se livrer à son étude favorite, est devenu plus habile dans la Science du caleul, et a commencé à s’instruire sous d’autres rapports. Aujourd’hui il exécute facilement de tête, non seu- lement les diverses opérations de l’Arithmétique, mais encore, dans beaucoup de cas, la résolution numérique des équations : 1l imagine des procédés quelquefois remarquables pour résoudre une multitude de questions diverses que l’on traite ordinairement à l’aide de l'Algèbre; et détermine, à sa manière, les valeurs exactes ou approchées des nombres entiers ou fractionnaires qui doivent remplir des conditions indiquées. Arrêtons-nous un moment à donner une idée des méthodes qui sont le plus familières au jeune calculateur.

Quand il s’agit de multiplier l’un par l’autre des nombres entiers, Henri Mondeux partage souvent ces nombres en tranches de deux chiffres. Il est arrivé de lui-même à reconnaître que, dans les cas où les facteurs sont égaux, l'opération devient plus simple, et les règles qu'il emploie alors pour former le produit, ou plutôt la puissance de- mandée, sont précisément celles que donnerait la formule connue sous le nom de binôme de Newton. Guidé par ces règles, 11 peut énoncer, à l'instant même où on les demande, les carrés et les cubes d’une multi- tude de nombres, par exemple, le carré de 1204 ou le cube de 1006. Comme il sait à peu près par cœur les carrés de tous les nombres en- tiers inférieurs à 100, le partage des nombres plus considérables en tranches de deux chiffres lui permet d'obtenir plus facilement leurs carrés. C’est ainsi qu’il est parvenu, en présence de l'Académie, à for- mer presque immédiatement le carré de 756.

Henri est parvenu seul à retrouver le procédé connu qui donne la somme d’une progression arithmétique. Plusieurs des règles qu’il a imaginées, pour résoudre différents problèmes, sont celles qui se dé- duisent de certaines formules algébriques. On peut citer, comme exemples, Les règles qu’il a obtenues pour calculer la somme des cubes,

496 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

des quatrièmes, et même des cinquièmes puissances des nombres na- turels. |

Pour résoudre deux équations simultanées du premier degré, Henri a eu recours à un artifice qui mérite d’être signalé. Il a cherché d’abord la différence des inconnues; et, pour y parvenir, 1l a soustrait les deux équations l’une de l’autre, après avoir multiplié la première par le rap- port qui existe entre les sommes formées successivement, pour l’une _et pour l’autre, avec les coefficients des deux inconnues. On pourrait, en faisant subir à ce procédé une légère modification, se borner à sous- traire l’une de l’autre les deux équations données, après avoir divisé chacune d’elles par la somme des coefficients qui affectent dans le premier membre les deux inconnues. Alors l'équation résultante four- nirait toujours immédiatement la différence entre les deux inconnues, de laquelle on déduit sans peine, comme l’a vu Henri Mondeux, ces in- connues elles-mêmes; et l’on obtiendrait ainsi, pour la résolution de deux équations du premier degré, une méthode qui offrirait cet avan- tage que le calcul resterait symétrique par rapport aux deux inconnuês dont on cherche les valeurs. |

S'agit-il de résoudre, non plus des équations simultanées du premier degré, mais une seule équation d’un degré supérieur au premier, Henri emploie habituellement un procédé que nous allons expliquer par un exemple. Nous avons proposé à Henri le problème dont voici l'énoncé :

Trouver un nombre tel que son cube, augmenté de 84, fournisse une somme égale au produit de ce nombre par 37.

Henri a donné, comme solutions du problème, les nombres 3 et 4. Pour les obtenir, il a commencé par transformer l’équation qu’il s’agis- sait de résoudre, en divisant les deux membres par le nombre cherché. Alors la question proposée s’est réduite à la suivante :

Trouver un nombre tel que son carré, augmenté du quotient que l’on obtient en divisant 84 par ce nombre, donne 37 pour somme.

À l’aide de la transformation que nous venons de rappeler, Henri Mondeux a pu immédiatement reconnaître que le nombre cherché était

EXTRAIT N° 109. 497

inférieur à la racine carrée de 37, par conséquent à 6; et bientôt quelques. faciles essais l’ont amené aux deux nombres que nous avons indiqués.

Les questions même d’analyse indéterminée ne sont pas au-dessus de la portée de Henri Mondeux. L'un de nous lui a demandé deux car- rés dont la différence fût 133. Il a donné immédiatement comme solu- tion le système des nombres 66 et 67. On a insisté pour obtenir une solution plus simple. Après un moment de réflexion, il a indiqué les nombres 6 et 13. Voici de quelle manière Henri avait procédé pour ar- river à l’une et à l’autre solution. La différence entre les carrés des nombres cherchés surpasse le carré de leur différence d’une quantité qui est égale au double de cette différence multiplié par le plus petit. La question proposée peut donc être ramenée à la suivante : Soustraire du nombre 133 un carré tel, que le reste soit divisible par le double de la racine. Si l’on essaye l’un après l’autre les carrés

Éd 0-20 00, A0 dur

on reconnaitra que parmi ces carrés 1 et 49 sont les seuls qui satisfas- sent à la nouvelle question. En les retranchant de 133 et divisant les restes 132 et 84 par les racines doublées, c’est-à-dire par 2 et par 14, on-obtient pour quotients les nombres 66 et 6, dont chacun répond à l’une des solutions données par Henri Mondeux. On conçoit, d’ailleurs, qu’en suivant la marche que nous venons de rappeler, Henri n’a pas rencontré d’abord celle des deux solutions qui nous parait la plus simple, mais celle qui offre les carrés dont les racines sont plus rappro- chées Pune de l’autre.

Nous avons été curieux de savoir quel temps emploierait Henri Mon- deux pour apprendre et retenir un nombre de 24 chiffres partagés en quatre tranches, de manière à pouvoir énoncer à volonté les six chiffres renfermés dans chacune d’elles. Cinq minutes lui ont suffi pour cet objet.

Henri a une aptitude merveilleuse à saisir les propositions relatives aux nombres. L'un de nous lui ayant indiqué divers moyens de simpli- fier les opérations de l’Arithmétique, il les a mis immédiatement en pratique, avec la plus grande facilité.

OEuvres de C.— S.1, t. V. 63

198 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

Au reste, on serait dans l'erreur si l’on croyait que la mémoire de Henri, si prompte à lui représenter les nombres, peut être aisément appliquée à d’autres usages. Comme nous l'avons déjà remarqué, il a de la peine à retenir les noms des lieux et des personnes. I] lui est pa- reillement difficile de retenir les noms des objets qui n’ont pas encore fixé son attention, par exemple les noms des figures que l’on consi- dère en Géométrie; et la construction des carrés et des cubes l’inté- resse moins que la recherche des propriétés des nombres par lesquels on les représente. D'ailleurs, il ne se laisse pas aisément distraire des calculs qu’il a entrepris. Tout en résolvant un problème, il peut se Hi- vrer à d’autres occupations qui ne l’empêchent pas d’atteindre son but; et lorsque l’attention de Henri s’est portée sur quelques nombres qu'il s’agit de combiner entre eux, sa pensée s’y attache assez fortement pour qu'il puisse suivre en esprit les progrès de l'opération, comme s’il était complètement isolé de tout ce qui l'environne.

Henri Mondeux doit beaucoup à M. Jacoby. Lorsque celui-ci consen- tit à servir de père et de maitre au jeune berger, Henri ne savait ni lire ni écrire, il ne connaissait pas les chiffres. S'il montrait une grande aptitude pour le calcul, son instruction, sous tous les autres rapports, et, ce qui est beaucoup plus triste, son éducation même étaient com- plètement à faire. On doit savoir gré à M. Jacoby de ne s’être point laissé effrayer par les obstacles que semblait opposer d’abord au suc- cès de son entreprise le caractère violent et sauvage du jeune Mondeux; et l’on aime aujourd’hui à retrouver un enfant religieux, caressant et docile dans le petit vagabond de Mont-Louis. Il est vrai que, dans sa pénible tâche, M. Jacoby a été soutenu et encouragé par les heureuses inclinations que Henri Mondeux laissait entrevoir sous l’écorce la plus rude. Naturellement vif et emporté, cet enfant avait un cœur recon- naissant et une tendre charité pour les pauvres, auxquels il distribuait volontiers Le peu qu’il possédait. Ces bonnes dispositions ont augmenté l'attachement de M. Jacoby pour son élève, dont le caractère est de- venu plus doux. Mais, pour réussir, M. Jacoby a été d’abord obligé de séparer complètement Henri Mondeux de ses autres pensionnaires, et

EXTRAIT N° 110. 499

de lui donner une éducation toute spéciale. L'éducation, l'instruction de l’enfant sont-elles aujourd’hui assez avancées pour pouvoir être con- tinuées et complétées, en la présence et la compagnie d’autres élèves? M. Jacoby ne le pense pas, et les membres de la Commission ne le pen- sent pas non plus. Nous croyons d’ailleurs que l’Académie doit recon- naître le zèle et Le noble dévouement que M. Jacoby a déployés dans le double intérêt de son élève et de la Science, encourager ses efforts, Le remercier de l’avoir mise à portée d'apprécier la merveilleuse aptitude du jeune Henri Mondeux pour les calculs, enfin émettre le vœu que le Gouvernement fournisse à M. Jacoby les moyens de continuer sa bonne œuvre et de développer de plus en plus les rares facultés qui peuvent faire espérer que cet enfant extraordinaire se distinguera un jour dans

la carrière des sciences.

110.

PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Rapport sur deux Mémoires présentés à lAca- démie des Sciences par M. Duhamel, et relatifs aux vibrations des cordes

que l’on a chargees de curseurs.

C.R., t. XI, p. 957 (14 décembre 1840).

L'Académie nous a chargés, MM. Savart, Savary, Sturm et moi, de lui rendre compte de deux Mémoires de M. Duhamel. Des recherches en- treprises par l’auteur de ces Mémoires, dans le dessein de parvenir à l'explication de certains phénomènes d’acoustique, l'ont conduit à étu- dier les lois suivant lesquelles les vibrations transversales d’une corde sont modifiées lorsqu'on applique à l’un de ses points un curseur dont la masse est connue. Alors les deux parties de la corde qui aboutissent au point dont il s’agit n’ont pas nécessairement en ce point la même tangente; et l'équation de condition, relative à ce point, diffère, par la forme, de celles qui se rapportent aux deux extrémités de la corde. On doit même observer que cette équation n’est pas une équation différen- tielle ordinaire, comme celles que l’on obtient dans un grand nombre

900 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

de questions de Physique mathématique, mais une équation aux déri- vées partielles. Cette circonstance n'empêche pas M. Duhamel d’effec- tuer les intégrations, et de trouver l'équation transcendante à l’aide de laquelle se déterminent le son fondamental ou les sons harmoniques que la corde peut rendre, ainsi que la position des nœuds. Comme, pour un son donné, les diverses subdivisions de la corde offrent néces- sairement des vibrations de même durée, ces subdivisions doivent être égales en longueur, à l'exception toutefois de celle qui porte le cur- seur, quand le point, auquel le curseur est appliqué, ne devient pas un nœud. Si lon fait varier proportionnellement la masse du curseur et la longueur de la corde, le rapport des segments restant le même ainsi que la tension, la durée des vibrations variera dans le même rapport que la longueur de la corde. Cette proposition, analogue à celle que M. Savart a déduite de ses expériences relatives aux vibrations des corps semblables, se démontre aussi, comme l’observe M. Duhamel, par une méthode analogue à celle que l’un de nous a exposée dans le tome IX des Mémourres de l’ Acadèmue. |

Après avoir, dans le premier Mémoire, étudié les vibrations d’une corde chargée d’un curseur, M. Duhamel a composé un second Mémoire dans lequel il a étendu ses recherches au cas où la corde est chargée de deux curseurs à la fois. Dans ce nouveau Mémoire, il a donné encore l'équation transcendante dont les racines servent à déterminer les sons que la corde peut rendre avec la position des nœuds; et, chose remar- quable, il a trouvé des solutions qui ne se rapportent à aucune de ces racines. Supposant ensuite que la corde, au lieu d’être abandonnée à elle-même, vibre sous l’action d’un archet, il a retrouvé des théorèmes analogues à ceux qu'il avait obtenus dans un Mémoire dont nous avons déjà rendu compte à l’Académie et qu’elle a honoré de son approbation.

M. Duhamel ne s’est pas contenté de rechercher par la théorie les lois des vibrations des cordes chargées de curseurs. Pour déterminer le nombre de ces vibrations, afin de pouvoir comparer la théorie à l’ex- périence, il a employé un procédé dont les premières applications ont été faites par Watt et par Eytelwein. Ce procédé consiste à adapter au

EXTRAIT N° 111. 501

point matériel dont on cherche le mouvement une pointe qui laisse une

trace sur un plan mobile, sans produire un frottement sensible. Pour se dispenser de la nécessité de calculer avec précision le mouvement de ce plan, M. Duhamel a comparé le nombre des vibrations exécutées par une corde chargée de curseurs avec le nombre des vibrations exé- cutées en même temps paréune autre corde parallèle, et voisine de la première, qui ne portait point de curseurs et qui, dans toutes les ex- périences, rendait le même son. Alors l'observation a montré comment les changements opérés dans la position et la masse des curseurs fai- saient varier le premier nombre ou plutôt le rapport du premier nombre au second. Pour des valeurs de ce rapport comprises en {et ?, les différences entre les résultats de l’observation et de la théorie ont été constamment très petites, par exemple inférieures à un millième ou à un millième et demi. L'accord du caleul et de l'expérience était done aussi satisfaisant qu’on pouvait le désirer.

En résumé, les deux Mémoires de M. Duhamel offrent une nouvelle preuve des avantages que la Physique peut retirer de l'Analyse mathé- matique. Ces deux Mémoires nous paraissent très dignes d’être ap- prouvés par l’Académie et insérés dans le Recueil des Savants étrangers.

111.

MÉCANIQUE APPLIQUÉE. — Rapport sur une machine destinée à la résolution numérique des équations et présentée à l’Académie par M. Léon La-

lanne, ingénieur des Ponts et Chaussées.

C. R., t. XI, p. 959 (14 décembre 1840).

Nous avons été chargés, MM. Savary, Coriolis, Sturm et moi, d’exa- miner une machine construite par M. Ernst, d’après les dessins et sous la direction de M. Léon Lalanne, et présentée par cet ingénieur à l’Aca- démie dans l’avant-dernière séance. En faisant construire cette ma- chine, M. Léon Lalanne s’est proposé d'appliquer d’une manière nou-

502 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE. velle à la résolution numérique des équations un principe exposé, dès l’année 1810, dans les Opuscules mathématiques de M. Bérard, profes- seur au collège de Briançon, et reproduit par ce dernier, en 1818, dans un ouvrage intitulé : Méthodes nouvelles pour déterminer les racines des équations numériques, ete. Entrons à ce sujet dans quelques détails. On sait que, dans une équation algébrique dont le premier membre est une fonction entière de inconnue, il suffit de changer les signes des termes qui renferment des puissances impaires de cette inconnue, pour que toutes les racines réelles changent de signe. Done la déter- mination des racines réelles d’une semblable équation peut toujours être réduite à la recherche des racines positives. De plus, en substi- tuant à l’inconnue que renferme l’équation donnée le produit de la Hi- mite supérieure des racines positives par une inconnue nouvelle, on obtient une équation transformée dont toutes les racines se trouvent comprises entre zéro et l'unité. Cela posé, considérons un levier hori- zontal dont le milieu, s'appuyant sur un axe de suspension vertical, puisse parcourir sur cet axe une certaine longueur comptée à partir d’un point fixe et prise pour unité. Supposons d’ailleurs les deux bras de ce levier sollicités au mouvement par des poids qui agissent à des dis- tances de l’axe de suspension représentées par les diverses puissances entières de la distance du levier au point fixe, et qui soient proportion- nels aux coefficients des mêmes puissances de l’inconnue dans l’équa- tion transformée, ces poids étant appliqués à un bras du levier ou à l’autre, suivant qu’ils correspondent à des termes positifs ou négatifs. Si le levier dont il s’agit vient à se mouvoir, parallèlement à lui-même, en s’abaissant au-dessous du point fixe, les courbes décrites par Îles points d'application des divers poids seront évidemment des paraboles de divers ordres, qui auront pour commune origine le point fixe, à par- tir duquel elles se sépareront pour se réunir de nouveau par leurs ex- trémités inférieures, les unes à droite, les autres à gauche de l’axe de suspension. Concevons maintenant que, les différents poids étant sus- pendus au levier par des fils métalliques, les diverses paraboles, cor- respondantes aux diverses puissances de l’inconnue, soient représentées

EXTRAIT N° 111. 503 par des fentes pratiquées dans un triangle rectangle et isoscèle de bois ou de métal. Si tout est disposé de manière que les points d'application des différents poids, c’est-à-dire, en d’autres termes, les extrémités supérieures des fils métalliques, glissent dans ces fentes, on obtiendra l'instrument auquel M. Bérard a donné le nom de balance algébrique. Lorsqu'on voudra se servir de cet instrument, pour obtenir des valeurs approchées des racines positives d’une équation, comprises entre les limites o et 1, il suffira de rechercher les diverses positions d'équilibre du levier horizontal ; et il est clair qu’à chacune de ces positions cor- respondra une racine positive représentée par la distance du levier au point fixe qui est l’origine commune des paraboles des divers ordres.

Au reste, il n’est pas toujours facile d'appliquer la balance algé- brique, telle que nous venons de la décrire, à la détermination ap- | proximative des racines positives d’une équation, supposées toutes comprises entre les limites o et r. En effet, comme les fentes qui repré- sentent les paraboles des divers ordres ne sauraient être prolongées supérieurement jusqu’à leur commune origine, ni inférieurement jus- qu'aux points où elles se réunissent à droite ou à gauche de l'axe de suspension, il deviendra difficile et même impossible de fixer approxi- mativement, à l’aide de la balance, les valeurs de racines positives, si ces racines diffèrent peu de zéro ou de l'unité. Il nous reste à dire quels sont les moyens proposés par M. Bérard lui-même, puis par M. Léon Lalanne, pour remédier à l'inconvénient dont il s’agit.

Le moyen proposé par M. Bérard consiste à remplacer linconnue de l'équation algébrique donnée par une autre inconnue qui soit une fonc- tion linéaire de la première, cette fonction étant tellement choisie, que toutes les racines positives de l’équation transformée demeurent com- prises, non plus seulement entre les limites o et 1, mais aussi entre les limites plus rapprochées + et +.

Le moyen proposé par M. Léon Lalanne consiste à écarter arbitrai- rement de l’axe de suspension les paraboles des divers ordres à des dis- tances qui restent toujours les mêmes pour deux paraboles de même ordre tracées symétriquement à droite et à gauche de cet axe. Le mo-

504 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE. — EXTRAIT N° 111.

ment du poids appliqué à l’une de ces deux paraboles se trouve alors augmenté, mais cette augmentation peut être compensée par l’applica- tion d'un poids pareil à l’origine de l’autre parabole. D’ailleurs les di- vers poids ainsi appliqués aux origines de diverses paraboles peuvent être évidemment remplacés par un poids unique dont le point d’appli- cation serait Situé à l’unité de distance de l’axe de suspension.

On ne saurait disconvenir que le moyen proposé par M. Léon La- lanne n’ait sur celui qu’indiquait M. Bérard l'avantage de remédier plus efficacement à l'inconvénient que nous avons signalé. A moins d’être construite sur une grande échelle, la balance algébrique, telle qu’elle a été donnée par son auteur, fournira toujours difficilement les valeurs

des racines positives qui ne seront pas comprises dans des limites fort _resserrées dans le voisinage de la fraction +. Ajoutons que la nouvelle machine est construite de manière à remplir avec une assez grande exactitude les fonctions qui lui sont assignées, et que les détails de construction imaginés par M. Léon Lalanne sont en rapport avec le but que cet ingénieur s'était proposé. Observons encore qu'il suffirait de remplacer les paraboles des divers ordres par d’autres courbes algé- briques ou transcendantes pour rendre la nouvelle machine propre à fournir les racines d’une équation dont le premier membre serait, non plus une fonction entière de l’inconnue, mais la somme de plusieurs termes proportionnels à diverses fonctions données.

En résumé, vos Commissaires pensent que la machine présentée à l’Académie par M. Léon Lalanne offre d’utiles perfectionnements à la balance algébrique, et que pour ce motif de nouveaux encouragements sont dus par l’Académie à l’ingénieux auteur de plusieurs autres appa- reils qu’elle a déjà honorés de son approbation.

FIN DU TOME V DE LA PREMIÈRE SÉRIE.

TABLE DES MATIÈRES

DU TOME CINQUIÈME.

PREMIÈRE SÉRIE.

MÉMOIRES EXTRAITS DES RECUEILS DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES

DE L'INSTITUT DE FRANCE.

NOTES ET ARTICLES EXTRAITS DES COMPTES RENDUS HEBDOMADAIRES DES SÉANCES DE L’ACADÉMIE DES SCIENCES.

. ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Mémoire sur l'évaluation et la réduction de la fonc- tion principale dans les intégrales d’un système d'équations linéaires. ........

. PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Mémoire sur la polarisation des rayons réfléchis ou réfractés par la surface de séparation de deux corps isophanes et transpa- FORESE e,. SE STAR RE TER ER PR RTE A PAS HE OI 1 UP PIE IN PE

à

… PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Note sur les milieux dans lesquels un rayon simple peut être complètement polarisé par réflexion. ............................

. PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Mémoire sur la polarisation incomplète produite, à la surface de séparation de certains milieux, par la réflexion d'un rayon DODR VUE MPAURRONE Ci LUE A RU TA UE A TS en UE 0 TE

. PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Sur la réflexion des rayons lumineux produite par la seconde surface d'un corps isophane et transparent. ....................... 74. THÉORIE DES NOMBRES. — Théorèmes relatifs aux formes quadratiques des nombres premiers et de leurs puissances. .........4.......:,.:...,,.6...4:

. THÉORIE DES NOMBRES. — Observations nouvelles sur les formes quadratiques des

nombres premiers et de-leurs puissantes.;..,1:,0 a... uses tie ce

. ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fonctions alternées et sur diverses formules

ne en Ce ne Le VUS OR

. THÉORIE DES NOMBRES. — Suite des observations sur les formes quadratiques de

certaines puissances des nombres premiers. Théorèmes relatifs aux exposants O0 DORE Eee TV ne see usb ab ee ve oo o à o00 6 0 © à

OEuvres de C.—S.I,t. V. - 64

Pages

20

38

506 TABLE DES MATIÈRES.

. Pages 78. THÉORIE DES NOMBRES. — Discussion des formes quadratiques sous lesquelles se présentent certaines puissances des nombres premiers. Réduction des exposants

de ces puissanges. 545.4, RE ns nr DA SU NS 79. PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Considérations nouvelles sur les conditions relatives aux limites des corps. Méthode élémentaire propre à conduire aux lois géné- rales de la réflexion et de la réfraction des mouvements simples qui rencontrent

la surface de séparation de deux systèmes de molécules........... MS LEE 80. PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Considérations nouvelles relatives à la réflexion et à

la réfraction des mouvements simples ............. oi HOUR 120 81. THÉORIE DES NOMBRES. — Théorèmes divers sur les résidus et les non-résidus

quadratiques.: "1% ie. ceNU, à 80 SA LL .. «35. 82. THÉORIE DES NOMBRES. — Méthode simple et nouvelle pour la détermination

complète des sommes alternées, formées avec les racines primitives des équa-

tions binômes... .:...,:..... pers AS ERREURS PRE FRUITS RUSSE 83. THÉORIE DES NOMBRES. — Sur la sommation de certaines puissances d’une ra-

cine primitive d’une équation binôme, et, en particulier, des puissances qui offrent pour exposants les résidus cubiques inférieurs au module donné...... 166 84. ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Considérations nouvelles sur la théorie des suites et

sur les lois de leur convergence ........ HT Ni een CENT EIRE EU 85. THÉORIE DES NOMBRES. — Sur quelques séries dignes de remarque, qui se pré- sentent dans la théorie des nombres............................ TU

86. PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Rapport sur un Mémoire présenté à l'Académie par M. Duhamel, et relatif à l’action de l’archet sur les cordes.................. 9212 87. PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Mémoire sur les deux espèces d’ondes planes qui peuvent se propager dans un système isotrope de points matériels........... 219

88. ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Règles sur la convergence des séries qui représen- tent les intégrales d’un système d'équations différentielles. Application à la Mécanique :céleBte. LS ENST RS NS Er sas T0 89. ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l'intégration des systèmes d'équations différen- TT Le PEN AP PL RER MR en n n es MM NT re SSSR RS en de 90. ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l'intégration des équations différentielles ou aux différences DREMS UT Ren dee parent ben le elle aie ue OS 91. MÉCANIQUE CÉLESTE. — Méthodes générales pour la détermination des mouve- ments des planètes et de leurs satellites... .,.:.,..,,...,.,....:.,..., RO À 92, 93, 94. MÉCANIQUE CÉLESTE. — Sur les fonctions alternées qui se présentent dans la théorie des mouvements planétaires............ PS RTE Cole OL: 95. MÉCANIQUE CÉLESTE. — Méthode simple et générale pour la détermination nu- mérique des coefficients que renferme le développement de la fonction per- turbatrice: . .,.:.: ART RENÉ Ve US Ne NE Ress à 208 96. MÉCANIQUE cÉLESTE. — Note sur le développement de la fonction perturba- ri6B.. 40 4r eve DS de ve DNS OU TR TT de à os neo ae «dec AT

97, 98. MÉCANIQUE cÉLESTE. — Sur le mouvement de notre système planétaire. 321, 331

99. MECANIQUE cÉLESTE. — Mémoire sur la variation des éléments elliptiques dans le mouvement des planètes ............... Rd ete RE Ur lt

100.

TABLE DES MATIÈRES.

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Mémoire sur la convergence et la transformation Ut STI PET TI Au Vel ue RENTREE RER tiens

. ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Applications diverses des théorèmes relatifs à la convergence et à la transformation des séries. ..,,......,.................

- ANALYSE MATHÉMATIQUE. —_Sur la convergence des séries qui représentent les intégrales générales d’un système d'équations différentielles... ............. . ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fonctions interpolaires..........,........ . MÉCANIQUE APPLIQUÉE. — Rapport sur le nouveau système de navigation à va- peur de M. le marquis Achille de Jouffroy....... OR EEE RÉ MERS

. CALGULS NUMÉRIQUES. — Sur les moyens d'éviter les erreurs dans les calculs numériques...... RSR De PR NE el Re LT da

. CALCULS NUMÉRIQUES. — Sur les moyens de vérifier ou de simplifier diverses ODÉAUONS 00 FATTANIOUUS DAMMNAIE, . > à Lens se mes vase eme oo eve et a eo eve ce

. ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la résolution numérique des équations algé- briques et transcendantes........... Doris Ne ane ehelesss

. ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Mémoire sur divers points d’Analyse.............

. MATHÉMATIQUES. — Rapport sur les procédés de calcul imaginés et mis en pra-

tique par un jeune pâtre de la Touraine...........:.. RER RU

. PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Rapports sur deux Mémoires présentés à l’Acadé-

mie des Sciences par M. Duhamel, et relatifs aux vibrations des cordes que l’on a chargées de curseurs ......... a TN) TU IN vue

411. MÉCANIQUE APPLIQUÉE. — Rapport sur une machine destinée à la résolution nu- mérique des équations, et présentée à l’Académie par M. Zéon Lalanne, ingé- nieur des Ponts et Chaussées.......... RETRAIT EC PNR CA EE CSS ET

Table des matières du Tome cinquième de la première Série ....,........... LEA

FIN DE LA TABLE DES MATIÈRES DU TOME V DE LA PREMIÈRE SÉRIE.

907

Pages

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5030 Paris. — Imprimerie de GAuTntER-ViLLars, quai des Augustins, 55.

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