PRINCIPES
DU LA TilliORlE DES
FONCTIONS ELLIPTIQUES.
PARIS. — IMPRIMERIE GAUTHIER-VILLARS ET FILS, 28089 Quai des Grands-Augiistins, 55.
MatAn
PRINCIPES
DK I.A TllliORIE Di:S
F(IN(]TIO>S ELLimUlES
ET
APPLICATIONS.
P. APPELL,
MKMBRE UE l'i.NSTITUT, PtlOl'ESSiaR A l.'l'MVEnSITK DE l'ARIS.
E. LACOUR,
.MAITRE DE CONFÉRENCES A 1. ■ U N I V E R S I T É D 1-: N A N C V.
PARIS,
GAUT[IIEU-V1LLARS ET FILS, 1MPHI.MEUHS-LIBHAHU:S
DE l'ÉCOLK polytechnique, DU BUREAU DES LONGITUDES, Quai des Grands-Auguslins, 55.
1897
(Tous droits réserves.)
^1^
PRÉFACE.
Les Traites sur les funclions cllipliqucs imprimés en France sont des Traités complets destinés spécialement aiiv niathé- maliciens : la plupart d'entre eux prennent comme ])oint de départ les théorèmes généraux de la théorie des fonctions ; dans tous, Tétude des fonctions elliptiques est envisagée au point de vue le plus général et poussée le plus loin possible (multiplication, division, transformation, équations modu- laires, multiplication complexe),
Xous nous sommes proposé de faire un Traité des Fonc- tions elliptiques, d'un caractère élémentaire, en un seul A olume, contenant les principes essentiels de la Théorie et montrant, par des applications simples, combien ces fonc- tions sont utiles pour la résolution de certaines questions de Géométrie, de Mécanique et de Physique mathématique.
La Théorie des fonctions elliptiques est comme une Trigo- nométrie d'un ordre plus élevé; nous nous sommes limités dans notre exposé aux principes fondamentaux; ces principes étant bien conq^ris, les parties plus profondes de la Théorie deviennent facilement accessibles.
Pour r(''(luire au iiiiniinuiii les (Mupniiits à la Théorie des fonctions, nous picnons comme point de départ la notion du développement d'une fonction uniforme par la formule de Taylor; nous ne nous servons pas de la théorie de Cauchy sur les intégrales prises entre des limites imaginaires. Nous donnons, dans une courte introduction, la définition des
(judijucs Icniies lires de l;i Théorie dos fonctions, qui sont cMnplovés clans rOuvragc.
La Théorie des fondions ralionnelles et des fonctions tri- i^'ononiétriques est d'abord exposée par les méthodes mêmes (jui sont employées ensuite pour les fonctions elliptiques. Le lecteur voit ainsi, sur des fonctions simples avec lesquelles il est familiarisé, renchaîncment des raisonnements et des théorèmes qu'il rencontrera ensuite pour les fonctions ellip- tiques.
Les formules principales de la Théorie des fonctions ration- nelles d'une variable x se réduisent à deux formules types : une première formule mettant en évidence les valeurs de x, qui rendent la fonction rationnelle /(x-) nulle ou infinie
_ (jr — a,)(^- — a^). . .(.r — ff„) _
puis une deuxième formule, dite de décowposUion en élé- ments simples, mettant en évidence les points où la fonction devient infinie, et la façon dont elle y devient infinie
/{a:) = Co+ C, J7 4- Go^^-f-. . .-1- G,„.r'" A B L
u; — a X — b J.' — /'
l'élément simple -— — - est la dérivée de Log(a7 — a).
Les formules principales de la Théorie des fonctions trigo- nométriques peuvent, de même, se ramener à deux types analogues : une première formule mettant en évidence les points où la fonction devient nulle ou infinie
/•( ^ ) = A e"'-' sin(x-«,)sin(a;-a,)...sin(a;-a„) ^ ■^ ' sln(j7 — by)'s\n{x — b=,). . .%\\i{x — bp)
et une deuxième formule, appelée formule de décomposilioii en cléments simples, mettant en évidence la façon dont la
PRE l'A CE. VII
foiu-lion (levicnl iiifiiiii'
f{jr)=: Co-f- C,e-^' -^ G.e'-^'H- . . . ~ C^.e-'"^' H- C; e---" H- . . . + C; e--"-^'
H- A col(a' — rt)-f- B col(a; — Z>) -h. . . -T- L cot(x — /).
On j)cut remarquer encore que l'élément simple
cot(.r — a) est la dérivée de
I.ogsin ( jr- — a).
De même, dans la Théorie des fonctions elliptiques, il existe deux formules fondamentales : i" une formule de décomposition en facteurs
f(.r\~ \ pcx H(a--a,)...H(.r-a„) y(x)._Ae H(a--^,,)...H(.r-6j
mettant en évidence les points a,, a.,. . . ., a,^, où la fonction s'annule, et les points b^, h.,, . . ., b,^ où elle devient infinie; •i*^ une formule de décomposition en éléments simples, due à M. Hermite
/(^) = Co— AZ(x — a) -t- . . . ^ LZ(jc — 0
où Télément simple Z(x — a) est égal à
f/Lo^U{jr — a)
La plu})art des calculs sur les fonctions elliptiques sont fondés sur l'emploi de Tune ou de l'autre de ces deux for- mules : ces calculs se ramènent donc à des règles simples dont il est fait de nombreuses applications.
La Théorie des fonctions elliptiques se complique de la question des notations qui varient d'un Traité à l'autre. Tout d'abord, nous nous sommes interdit rigoureusement d'em- ployer aucune notation nouvelle. Nous avons exposé sinml-
VIII PHKK.VCi:.
tancmenl deux syslèmes de notations qui doivent subsister définitivement : celui de .lacobi, constamment suivi par M. llermite, dans toutes ses recherches, et celui de M.AVeier- strass. Le passade de l'un de ces systèmes à l'autre est aisé : néanmoins, il importe de les conserver tous les deux ; car, suivant les cas, les applications sont plus faciles dans Tun des systèmes que dans rautre. En outre, après avoir lu un Traité élémentaire, le lecteur doit connaître les deux systèmes, afin de pouvoir lire ensuite les Livres ou les Mémoires écrits dans chacun d'eux.
Pour préparer les applications, nous avons étudié avec soin les cas particuliers où les valeurs des fonctions elHptiques sont réelles, les seuls qui puissent se présenter en Mécanique et en Physique.
Chaque Théorie est suivie immédiatement de quelques applications; ainsi l'étude de la fonction p de M. Weierstrass, quand Uune des périodes est réelle et l'autre purement ima- ginaire, est suivie dapplications à la cubique plane, à la lemniscate, au pendule spliérique, au mouvement d'un corps pesant de révolution suspendu par un point de son axe ; l'étude des fonctions de Jacobi, pour le cas où le module est réel et plus petit que un, est suivie d'applications à la biqua- dra tique gauche, à la surface des ondes, au pendule simple, à l'élastique plane, à la corde à sauter, aux mouvements à la Poinsot ; l'étude de la fonction p, dans le cas de deux périodes imaginaires conjuguées, est suivie de l'application au mou- vement d'un projectile dans un milieu dont la résistance est proportionnelle au cube de la vitesse. Viennent ensuite cjuelques applications au problème de Lamé et au problème de l'élastique plane sous pression normale constante, dont les intégrales, découvertes par M. Maurice Lévy, ont été conver- ties en formules elliptiques par Halphen.
L'Ouvrage se termine par la Théorie des fonctions que
PRKFACE.
M . nonnite a appelées fonctions douhlcmcnl périodiques de dcuxiî'inc ou de troisième espèce, avec applications à Téqua- lion (le Lamé cl aux équations de M. Picard, et j)ar queUpies notions élémentaires sur les fonctions modulaires qui four- nissent rexemplf \r plus siMq)l(' des fonctions fuciisiennes et kleinéennes de M. Poiiicaré. (^oninic jjoiir les fonctions elliptiques, nous donnons pour les fonctions doublement périodi(pies de deuxième espèce deux formes essentielles : décomposition en facteurs et déconqjosition en éléments sinq)les, d'après M. Ilermite; puis nous indiquons, pour les fonctions de troisième espèce, deux formes analogues, en employant lélément simple introduit pai- M. Appdl.
Les principales formules sont résumées dans un Tableau placé à la lin du Volume. Sauf dans Texposé de la transfor- mation de Landen, nous n'avons pas donné de Tables numé- riques, car, dans la plupart des cas, les séries définissant les fonctions à calculer sont si rapidement convergentes, que les premiers termes suflisent dans les applications. On trouvera des exemples de calculs numériques à la fin du Calcul inté- gral de M. J. Bertrand et dans les Tables de Iloiiel.
Nous espérons qu'après avoir étudié cet Ouvrage, le lecteur pourra se servir des fonctions elliptiques comme des fonctions trigonométriques. Nous avons choisi des applications aussi variées que possible : on en trouvera d'autres, d'une grande élégance, dans le Traité de M. Greenliill. Quant aux dévelop- pements théoriques, nous pensons avoir mis le lecteur à même de lire les grands Traités de Briot et Bouquet, d'Hal- phen, de MM. Tannery et Molk, et de se servir utilement des feuilles de M. Schwarz.
^a^i^, 1- septernbie 1896.
PRINCIPES
DE LA TIIEOniE DES
FONCTIONS ELLIPTIQUES.
CHAPITRE I.
NOTIONS PRÉLLMINAIRES.
I. — Généralités sur les fonctions uniformes.
I . Fonction régulière en un point. Zéros. — Une fonction d'une variable imaginaire u ^ x -\- y i es\. à\le uniforme pour toutes les valeurs de u quand elle n'a qu'une valeur pour chaque valeur de u :
j)ar exemple -1 cosw, tang« sont des fonctions uniformes. On
dit aussi, en représentant la variable u ^ x -\-yi par le point d'un plan de coordonnées x el y, que la fonction est uniforme dans tout le plan. Nous ne nous occuperons que de fonctions de cette nature. Une fonction uniforme/(;/) est régulière en un point a quand on peut, dans un cercle avant ce point comme centre, la développer par la formule de Taylor en une série procédant sui- vant les puissances positives croissantes de u — a
ï \ /• j- X (u — a) iu — a )« ., , ■
(0 /^")=/^«)^ 1 — /'(rt)^-...-^-- — _/(«)(«) + ....
Zéros. — Une ibnclion/(«) régulière au point u =: a admet ce point comme zéro quand fia) est nul : si f'{a) n'est pas nul le zéro est simple. Si un certain nombre de dérivées /'(«), /"(a), ... sont nulles, /^"'(«) étant la première dérivée non nulle, le zéro u^=a est d'ordre n : on peut alors écrire le développement ci-
A. ET F..
a CHAPITRE I.
dessus
(2) /(ii) = {if-n)"ff(u),
où le lacleur i^{u) est une série enlière en (a — a) ne s'annulant pas pour u =: a.
12. Points singuliers. Pôles. Résidus. Points singuliers essen- tiels. — Lorsqu'une fonction uniforme /(u) n'est pas régulière en un point déterminé rt, on dit que ce point est un i^oml singulier. C'est un point singulier isolé quand on peut décrire de a comme centre un cercle assez petit pour que la fonction n'ait pas d'autre point singulier dans ce cercle.
Pôles. — Un point singulier a est un pôle quand il est isolé et (juand la fonction devient infinie en ce point à la façon d'une fraction rationnelle. Pour préciser, le point a est un pôle, quand la fonction /(if) devient infinie en ce point et qu'il existe une fraction rationnelle
o(«)= — —
■'- 1 |
( « — a )^ |
(« — a)2 |
|
'■{it)-'^{u) |
telle cjue la différence
soit régulière au point «; les lettres A, A,, . . . , A^-i désignant des constantes. La fraction rationnelle o[ii) s'appelle la partie principale àe la fonction /(i<) relative au pôle a; le coefficient A
de est le résidu relatif à ce pôle : l'entier a est l'ordre ou
u — a '
degré du pôle. On a alors, dans un certain cercle de centre «,
g{u) étant une fonction régulière au point a : on en conclut, en réduisant le second membre au même dénominateur [u — «)=',
/< « ) =
{u — ay
(j{u) étant une fonction régulière au point a, différente de zéro pour u = a.
NOTIONS pn 1:1,1 M I \ \ 1 n i:s. 3
Nous dirons aussi (juc le point a csl un infini d'ordre a de la fonction.
Points singuliers essentiels. — Quand un point sinj:julior n'est pas isolé ou qu'étant isolé il n'est pas un pôle, on dit f(u'il est un |)oint singulier essentiel. IS'ous ne nous occupons dans la suite ([lie de fonctions dont les seuls points singuliers à distance finie sont des pôles.
3. Remarque sur les zéros et les pôles. — Si le point a est un zéro d ordre n de la loiicliony^i u), il est un pôle simple de ré- sidu n dans la dérivée locaritlimique "-?- — -; en efTet, on a alors, dans le voisinage de u^= n.
f{n) = (u — a)'^g(u),
puis en prenant les logarithmes et les dérivées
f\ u) n A''(«)
•- = -4- •
/{u) a — a g{u)'
comme g\u) n est pas nul pour ;/, =: «, le rapport ' est une
fonction régulière au point a\ donc ce point est un pôle simple de résidu n (\q ^. — '—• De même, si le point «==:« est un pôle d'ordre a
de/(«), il est un pôle simple de résidu — a de ~ — -• On a en elFet, dans cette hypothèse, au voisinage de «,
/(«) =
{u — ayj- d'où
fin) _ -g G'(m)^ f{u) Il — a G(«) '
comme G(«) ne s'annule pas pour u = a. -rr-, — - est une fonction régulière en a et le théorème est démontré.
4. Point à l'infini. — Pour étudier une fonction /(u) de u quand u devient très grand, on fait u = —, cl l'on suppose u' très petit. La fonction /(u) est dite régulière au point u = y:>
4 CHAPITRE I.
quand/(— , ) est régulière au poinl //'=o : on a alors, pour des valeurs très petites de u',
et par suite, pour des valeurs très grandes de u,
Lorsque la fonction est ainsi régulière au point co, le point oo est un zéro d'ordre n quand ao, a,, ..., a,i_t sont nuls, a,i étant dififérent de zéro. La fonction s'annule alors à l'infini comme
Le point infini est un pôle ou un point singulier essentiel pour /{u) quand le point u' = o est un pôle ou un point essentiel pour
/(—,)' Supposons que ce soit un pôle : alors, par définition, on a
pour de petites valeurs de u'
./■ I \ A A, Ax_,
'' \U / u U'^ Il -^
c'est-à-dire, pour de grandes valeurs de u,
f(u)= A«-i- Al «- — . . .^- A^-i u'^+ ao-i- «1 '- aî( —
La partie
(f (u ) = \ u -^ A i u- -^ . . . -r- Ajt-i u'^,
qui devient infinie au pôle u = x, est la partie principale relative à ce pôle, a est l'ordre du pôle.
5. Remarque sur la convergence des séries. — Nous pouvons maintenant préciser un point important dans ce qui précède. Nous avons dit que la fonclion^(«) uniforme dans tout le plan est ré- gulière en a quand elle est développable par la formule de Tajlor dans un cercle de centre a : cette série sera coîivergente dans le cercle ayant pour centre a et pour rayon la distance du point a au point singulier def{u) le plus rapproché de a.
NOTIONS PIU;M M 1 N A I R ES. 3
C'est là une proposition que nous admettrons pour ne pas allonger ce Chapitre.
G. Une fonction uniforme régulière en tous les points à distance finie et infinie est une constante. — En elFet, la fonction supposée f{n) étant régulière au point u =^ o est développable en une série
f(u)= rto -4- './ 1 II -T- «2 u'--h. . .,
convergente dans le cercle ayant l'origine comme centre et passant par le point singulier le plus rapproché de l'origine; comme, par hypothèse, il n'y a pas de points singuliers, cette série est con- vergente dans tout le plan. Pour étudier la fonction dans le voisi- nage du j)ointx, posons u = — ,; alors
Par hypothèse cette fonction est régulière au point u'= o : elle ne doit donc pas contenir dans son développement de puissances négatiçes de u' : donc tous les coefficients rt,, «o, . . ., <7«, . . . sont nuls, sauf le premier «„, et l'on a
n-)=f{^) = -^-
La fonction est une constante.
On peut énoncer ce résultat sous une autre forme, en disant qu'w/ze fonction uniforme partout finie (le point ce compris) est une constante. En ellet, une fonction uniforme devient infinie en chacun de ses pôles; on peut en outre démontrer rigoureuse- ment que, si la variable u tend vers un point singulier essentiel de la fonction suivant une loi convenablement choisie, le module de la fonction croît au delà de toute limite. Si donc une fonction uniforme est partout finie, elle ne peut pas avoir de points singu- liers, elle est régulière partout et se réduit à une constante.
7. Les zéros et les pôles d'une fonction uniforme, n'ayant d'autres singularités que des pôles à distance finie, sont nécessairement isolés les uns des autres. — jNous voulons dire par là qu'il ne peut pas exister de point a du plan dans le voisinage immédiat duquel il
6 CIIMMTIU; 1.
so trouve une infinité de pôles ou une infinité de zéros; ou encore, quel que soit le point rt, on peut toujours décrire de a comme centre un cercle avec un rayon assez petit pour que dans ce cercle il V ait : ou bien ni zéro ni pôle, ou bien un seul zéro sans pôle, ou bien un seul pôle sans zéro.
Ce fait résulte immédiatement des développements précédents. En elTet, un point a étant marqué dans le plan, trois cas peuvent se présenter suivant que /(m) est régulière en a sans s'annuler en ce point, ou que /(m) admet le point a pour zéro, ou enfin que fUi) admet le point a pour pôle. Dans le premier cas, on peut dé- crire de a comme centre un cercle suffisamment petit pour qu'il n'y ait dans ce cercle ni zéro ni pôle; dans le second, on peut dé- crire un cercle suffisamment petit pour qu'il ne contienne pas de pôle et contienne le seul zéro « = «; dans le troisième, on peut décrire un cercle ne contenant pas de zéro et contenant le seul pôle a.
D'après cela, si pour une fonction unifoi-me il existe un point a tel que, dans une aire aussi petite que l'on veut, entourant ce point, il existe soit une infinité de pôles soit nne infinité de zéros, ce point est point singulier essentiel. En effet, la fonction n'est pas régulière en a\ ce point est donc un point singulier. Il n'est pas un pôle, d'après ce que nous venons de voir; il est donc un point essentiel.
Nous allons, dans les deux paragraphes suivants, traiter, comme exemples, les fonctions rationnelles et les fonctions trigonomé- triques.
II. — Fractions rationnelles.
8. Objet du paragraphe — Le lecteur connaît assurément les propriétés des fractions rationnelles : décomposition en fractions simples, utilité de cette décomposition pour l'intégration, décom- position en un quotient de deux produits de facteurs linéaires.
Nous reprenons brièvement cette théorie, en suivant une marche analogue à celle que nous emploierons plus loin pour obtenir l'ex- pression générale des fonctions elliptiques, d'abord sous une forme toute semblable à celle d'une fraction rationnelle décomposée en fractions simples, puis sous une forme semblable à celle d'une
NOTIONS PU i:i. I M IN \ I II i:s. 7
fraction rationnelle décomposée en un quotient de deux produits de facteurs linéaires.
0. Fraction rationnelle particulière. — La fonclion
u
(3) /(«) =
{u — \){U — -j.)
est régulière à distance finie en tous les points autres que w = i, Il = 2. Ces deux points sont des pôles de premier ordre. La partie principale relative au pôle u = i est
o,(m) = — -;
en effet on vérifie immédiatement que la différence /"u/) — '^{{^i) est régulière au point u^i. Le résidu relatif au pôle u = i est — I. De même la partie principale relative au pôle u=:2 est
u
avec le résidu 2. Au point ce la fonction est régulière, car
A^;=ô
u' ){l — J. u' )
est régulière au point u'^o. On voit que u' =zo, c'est-à-dire u=:cc est un zéro simple. La fonction /(u) a donc deux pôles simples ;/==!, a =z 9. ci deux zéros simples « = o, ^f ^ oo : on dit qu'elle est d ordre 2. On peut remarquer que l'équation
/{u)=C
a deux racines quelle que soit la constante C.
Comme les fonctions 'J|(«) et '~>i{ii) sont régulières partout à distance finie et infinie, excepté aux pôles respectifs i et 2, la dif- férence
f{u)-'^l(u)—'^.2(u)
est régulière partout à dislance finie et infinie, y compris les pôles I et 2, d'après la définition des parties principales '^, et Oo. Cette différence est donc une constante et, comme elle s'annule à l'infini, puisque chacune des fonctions /, o,, Oo s'j annule, elle
8 CHAPITRE 1.
est égale à zcro. Oa a donc
formule que donnerait imniédialement la décomposition de la fraction rationnelle en fractions simples.
10. Cas général. Pôles et zéros. Ordre. — Une fraction ration- nelle
. a.ii"'-^n,n>"-\ — . . .-!- a,„ _ Put )
OÙ P et Q sont deux polynômes de degrés m et n, est une fonction qui, à distance finie et infinie, n'a d'autres points singuliers que des pôles. A distance finie elle a comme pôles les racines de Q(i^)=o : le nombre des pôles à distance finie, en comptant chacun deux avec son degré de multiplicité, est donc n.
i" Si m >> /?, le point ce est un pôle d'ordre m — «.Le nombre total des pôles à distance finie et infinie est donc
n -{-{m — ii)= m.
11 y a aussi m zéros qui sont les racines de P(w)= o. La fraction a donc m pôles et m zéros : on dit qu'elle est d'ordre m. L'équation J'Çu)=^ C a ?)i racines quel que soit C.
2" Si n > m le point oo est un zéro d'ordre n — m. La fraction a alors n pôles et un nombre égal de zéros, car il y en a m à distance finie [les racines de P(m)] et /i — m réunis à l'infini. La fraction est d'ordre n; l'équation /(«)= C a toujours n racines.
3° Si m = n, le point x n'est ni un pôle ni un zéro : il y a en- core autant de zéros que d'infinis : la fraction est d'ordre m = n.
En résumé une fonction rationnelle /{u) a toujours dans tout le plan, l'infini compris, autant de pôles que de zéros; le nombre des pôles ou des zéros est Tordre de la fraction : réquationy(f/)^ C, a, quel que soit C, un nombre de racines égal à V ordre.
1 1 . Formes analytiques principales des fractions rationnelles. — On peut mettre une fraction rationnelle sous deux formes dif-
N 0 T I o N S r 11 i: 1. 1 M I N A I n K s. 9
iV-rcnlcs suivanl (juc l'on vciil incUrc en évidence les pùles cl les parlics principales, ou les pôles et les zéros.
i" Première forme mettant en c^ndence les pôles et les par- ties principales correspondantes. Décomposition en fractions simples. — Appelons r/, />, . . . , / les pôles à distance finie res- pectivement d'ordre a, ^, . . . , A et
'Mu)
— a {a — a)'^ ' {u — a)'^
H H, Bp-i
1 1- . •+- •
— b (u — byi i^a — t))'^'
les parties principales correspondantes. Supposons, pour plus de généralité, que le point x soit un pôle, ce qui arrive si m >> «; et soit
la partie principale relative à ce pôle
Chacune de ces parties principales est régulière partout excepté au pôle correspondant. La difTérence
(5) f{u) — ^i{u) — Oi{u) —. . .— m{ u)
est donc régulière partout à distance finie et infinie. En effet, au pôle a la différence /(;/) — '^, («) est régulière et les fonctions '^o, . . ., Ttj le sont. Il en est de même aux pôles b, . . . , /.
A l'infini, la difterence f{u) — cî(m) est régulière et les fonc- tions '^,, cp2, ... le sont aussi. Donc la différence (5), régulière partout, est une constante Mo, et l'on a
/(;<)= Mo +ra(«) -|-Ol( m) + <P2 («)-!-• .-,
(6) /(,0=M.+ M.u-^...-.M,..^+2[-:^-^.-.+ (7i^]'
la somme S étant étendue à tous les pôles à distance finie.
On retrouve ainsi la formule élémentaire de décomposition des fractions rationnelles en fractions simples : elle met en évidence les pôles et les parties principales correspondantes, elle donne immédiatement l'intégrale d'une fraction rationnelle.
lo 0 11 MM T nie I.
On pcuL écrire
f(u) = Mo -H > h ... -4- ; ^~\„ »
l;i somme S élanl élcndue à tous les pôles à dislancc finie et infinie, si l'on convicnl que pour un p«Me a rejeté à l'infini -— — doive être remplacé par k, ou en abrégé que
// — a = — quaiul a = x.
u
On remarquera que l'on peut prendre arbitrairement les parties principales relatives à tous les pôles; à cet égard il y a une légère différence pour les fonctions elliptiques.
2° Deuxième forme mettant en évidence les zéros et les infinis. — La deuxième forme qu'on peut donner à une fraction rationnelle met en évidence les zéros et les infinis. Il suffit pour cela de décomposer les polynômes P et Q, qui forment le numé- rateur et le dénominateur de la fraction, en facteurs du premier degré
où certains facteurs peuvent être égaux.
3° La seconde forme déduite de la première. — Soit/(«) la fraction rationnelle considérée ayant pour zéros a,, ao, . . . , a„, et pour pôles ^i , po, . . . , ^«.
La fonction ^ — - est aussi une fraction rationnelle ayant pour
pôles simples les zéros et les infinis de f{u) (n" 3), les zéros simples avec le résidu +1 et les pôles simples avec le résidu — i.
En mettant alors •^,, " sous la première forme (décomposition
en fractions simples) on a
fju) ^ _i i_ _^ I
f{u) u — ai u — y.i ••• • j^ — j^^^^
I I I
u — jji u — 'p-î ' ' ' u — fi„
NOT IONS i>ii i:i,i M I N A I m: S.
Intégrant et passant des loj,'aiit limes aux nombres, on retrouve rex|)ression (y).
l!2. Remarque. — Nous venons de voir qu'une fraction ration- nelle n'a d'autres points singuliers que des pôles à distance Unie et infinie. La réciproque est vraie. Une fonction uniforme n'ayant d'autres singularités à distance finie et infinie que des pôles est une fraction rationnelle. Nous nous bornons à rappeler ce théorème dont nous n'aurons pas à nous servir.
i3. Relation algébrique entre deux fractions rationnelles. Théorème d'addition algébrique. — Entre deux fractions ra- tionnelles
a lieu une relation algébrique définissant une courbe unicursale, c'est-à-dire une courbe ayant le plus de points doubles possible. En outre, une fonction rationnelle /"(« ) admet un théorème d'addition algébrique, c'est-à-dire que, u et v désignant deux variables indépendantes, f(u -f- r) est une fonction algébrique de ./('Oet/(r).
III. — Fonctions trigono.métriques.
li. Objet du paragraphe. — Nous allons présenter les points fondamentaux de la théorie des fonctions trigonométriques, en suivant une voie identique à celle que nous suivrons dans le Chapitre suivant pour les fonctions elliptiques.
lo. Fonction sin«, sa définition par un produit infini. Fonctions
cet u et -. — — , leurs expressions par des séries. Périodicité de ces
-\iï-u •^ '■
fonctions. — La fonction s\nu est régulière en tous les points à distance finie. Elle s'annule aux points
u = O, ±77, ±2-, ....
C'est ce que met en évidence la formule suivante que nous supposons connue et que nous considérons comme servant de
12 Cil A PITRE I.
dt'lînition à sin //
u
1 — ic""^
nir.
(8) sin?/ = ;/JJJ
le produit W étant étendu à toutes les valeurs de l'entier m de
— 30 à 4- X, la valeur /?? = o exceptée. Grâce à la présence du
II facteur c"'~, le produit II' est convergent quel que soit l'ordre des facteurs. Cette fonction sin m est impaire, c'est ce qu'on voit sur le produit (8). En elTet, comme m prend toutes les valeurs de
— 00 à H- 00, on peut le changer de signe et écrire
I , \ Il
sin u — u\\ ( I H ) e '" '^.
n
Changeant ensuite u en — u on voit, en comparant à (8), que sin( — u) est égal à — sin«/.
Le point oc est un point singulier essentiel de sinu : en effet, si
l'on fait M ^ — > on voit que, dans une aire aussi petite qu'on le
veut entourant le point n' ^=o, la fonction sin — admet une infinité ^ u
de zéros n' = — -- D'après ce que nous avons vu (n" 7) le point 11'::= o est donc un point singulier essentiel.
Fonction colu. — La fonction colii se déduit de sinw, par la formule
d , . colu = -7- lo" sin u. au
D'après la formule (8), on a donc pour colu la série
U \U Tl - / \ u 2 ~ i - /
cotu
,U-T-'1~ 2 - ,
ou, sous forme condensée,
(9) COlU= H 7 ( i ]y
^' u ^\u — m- m-J
la somme I' étant étendue à toutes les valeurs de l'entier m
NOTIONS IMIKMM IN.VI RES. l3
de — oc à + oc, la valeur zéro exceptée. La foaction col« est aussi impaire. Le développement (9) montre qu'elle a pour pôles simples tous les points o, zh -, ±'>.t., ..., le résidu relatif à chacun de ces pôles étant 1. Par exemple, le point u=r. est un
j)ôle, et la différence
I coiu
u — r.
est régulière au point u^=-.La formule (9) met donc en évidence les pôles et les parties principales correspondantes de la fonction. Le point a = zc est un point singulier essentiel pour colu comme pour sin u.
Fonction . , • — La fonction un- u
(10)
I d ' V '
. , ■ = ï- cet u = —- -h y
sin-u du u- ^ in — m-y
esl i)aire. Elle a pour pôles doubles tous les points o, ± tt, riz 27:, ...; la partie principale relative au pôle u = mr. est
{U — ni-)-
Périodicité. — Des formules précédentes on peut déduire facilement la périodicité des fonctions circulaires. Tout d'abord
le développement (10) de . , ■ montre immédiatement que cette
fonction ne change pas quand on ajoute t: à u, car cela ne fait que dép'acer les termes du second membre.
On voit de même que la cotangente admet la période 7:5 en effet, formant la différence cot(« -\- t.) — cot«, on trouve
(^--■)^fi — '-)-{- '—)-•■•
u -{■■ >-
somme qui est évidemment nulle, car les termes se détruisent deux à deux.
Enfin de la relation
COl{U -+- T) = col«,
I I ru \prr»i: i.
tjue nous venons d'établir, on peut déduire la périodicité de la fonction sinw. En effet, en intégrant les deux membres de la re- lation ci-dessus, on a
log sin(« -1- t)= log sin a -+- logC, sin(« -f- -)= G sin »,
oîi C est une constante. Pour déterminer cette constante, faisons
II =z — -, nous aurons
2
sin — = C sin ( ):
2 \ 2/
et comme la fonction sin// est impaire on a
C= — I. D'où la formule
sin(K -^ -) = — sin u.
Développements en séries de puissances. — Pour calculer les premiers termes du développement de cot// en série de puissances dans le voisinage de // ^ o, on peut employer la méthode suivante analogue à celle qui nous servira pour les fonctions de M. Weier- strass. On a, pour // inférieur à mr. (en valeur absolue),
m— iii-~-
portant cette série dans le développement de cot/f et ordonnant par rapport aux puissances de //, on a une série de la forme
col // = S< —- — S^ — — Si — : — .
u
T-S
où l'on a posé
Xrf ni' ^ m' ^i m^
les sommes 7 - ■> 7 — ;? 7 — -, ■ • ■ sont évidemment nulles,
Jmi m J^ ni' ^à ni-'
car m prend des valeurs deux à deux égales et de signes con- traires.
On peut obtenir le développement de sin// en série entière en
NOTIONS iMu;i. iMiNVini:s. i5
Inlégranl le développement de col m, ce qui donne
logsin«=logA + log«--^ _^ __ _____...,
.«, Il- X. Il* s. II*
sin u = A ue~ *" îH ~ T tT* ~ T ii» "••^
A désignant une constante d inleo^ration. Lomme tend vers i
tjuand a tend vers o, on a A^ i. Développant alors l'exponen- tielle en série, on obtient une série entière donnant sin«. En identifiant le développement ainsi obtenu avec la série connue
sin u ^= u
\ .jL.j 1.2.3.4.3 on obtient les valeurs des sommes s,, s-2, s■^, .... On trouve ainsi
Ces sommes sont bien connues : on les trouvera par exemple dans le Calcul différentiel àc M. Bertrand, p. 4^' : pour vérifier ainsi les valeurs ci-dessus, il faut se rappeler que
Jmd m-' j^ n-'
n = l
car, dans S', m varie de — a: à + a:' zt'ro exclu.
Exercice. — Nous ne nous arrêterons pas plus longtemps à la théorie des fonctions sin ;/, cotw. Si l'on voulait établir une théorie complète de ces fonctions, en prenant comme seules définitions le produit (8) et la série (9), on pourrait, en suivant une analyse d'Eisenstein (Journal de Crelle, t. 35, p. 191), montrer que la fonction /(«)=cot«, définie par la série (9), vérifie l'équation différentielle
En portant le développement de cot u en série de puissances dans cette équation et écrivant qu'elle est vérifiée quel que soit «, on aurait un autre moyen de calculer de proche en proche les sommes ^y. Nous indiquons ces résultats à titre d'exercice.
|6 CIIMMTRK I.
j(>. Fonctions trigonométriques en général. — On peut appeler d'une manière générale fonction trigonométrique une fonction f{it) rationnelle en cot;/, car le sinus et le cosinus d'un arc s'ex- priment rationnellement en fonction de la cotangente de l'arc moitié que l'on peut toujours désigner par ii. Une fonction trigo- nométrique, ainsi définie, est uniforme; elle n'a d'autres points singuliers à distance finie que des pôles ; elle ne change pas quand on ajoute à u un muUiple quelconque positif ou négatif de t: : c'est ce que l'on exprime en disant que la fonction admet la période primidi-e t, ses autres périodes ±2-, ±3-, ... étant des multiples de la période primitive.
On peut mettre une fonction trigonométrique sous deux formes remarquables. L'une est analogue à la formule de décomposition des fractions rationnelles en fractions simples; l'élément de cette décomposition est la fonction col(u — a) et ses dérivées; c'est ce que l'on pourra voir dans le Traité d'Analyse de M. Her- mite, p. 32 1. L'autre forme est analogue à celle qui donne une fraction rationnelle sous forme du quotient de deux produits de facteurs linéaires; l'élément qui remplace les facteurs linéaires est sin(;f — a). Nous ne nous arrêterons pas à établir ces for- mules qui nous sont inutiles pour la suite.
Relations algébriques. — Entre deux fonctions trigonomé- triques
x=f{u), y^fiiti-},
de même période t:, a lieu une relation algébrique définissant en- core une courbe unicursale, cary et y, sont des fonctions ration- nelles de cot«.
Théorème d'addition algébrique. — Une fonction trigono- métrique f{u) admet un théorème d'addition algébrique : /{u + v) est une fonction algébrique def{u) et /(v).
Remarque sur la période des fonctions trigonométriques. — Les fonctions que nous venons de considérer admettent la pé- riode -
/( H -f-- )=/(«)•
Il est évident que par un changement linéaire de variable on peut
NOTIONS PI\ KLIM 1 N V IRES.
»7
faire en sorte qu'elles adincttcnl une période quelconque 2(0. II suflil de poser
on a alors
" = ^' /.("') = /< «)=/(^);
/l{u'-h-2M) = /i(li).
A ET L.
CHAPITRE II.
GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
17. Définition. — Nous avons dit qu'une fraction rationnelle est caractérisée par la propriété d'être une fonction uniforme n'ajant d'autres singularités que des pôles.
Nous avons remarqué également qu'une fonction trigonomé- Irique (fonction rationnelle de cot^^ou de sinaw etcos2M) est une fonction n'ajant d'autres singularités à distance finie que des pôles et admettant des périodes qui peuvent toutes être composées par addition et soustraction avec une seule période primitive ti. Mais ces propriétés ne caractérisent pas les fonctions trigonomé- triques : elles appartiennent par exemple à e*'"-" qui n'est pas une de ces fonctions. Pour achever de caractériser une fonction trigo- nométrique, il faudrait ajouter cette condition qu'elle possède un théorème d'addition algébrique.
Nous définirons d'une façon analogue les fonctions elliptiques par les propriétés suivantes, qui les caractérisent complètement :
On appelle fonction elliptique une fonction uniforme n'ayant, à distance finie, d' autres singularités que des pôles et admettant des périodes qui peuvent toutes être composées par addition et soustraction avec àen^ périodes primitives aw et 210'.
La fonction admet donc les deux périodes 20) et 2 w'; on dit qu'elle est doublement périodique, tandis que les fonctions tri- gonométriques sont 5//;î/?/e/n(?/if périodiques. Elle vérifie les rela- tions
(11) /(?< + 2w)=/(m), /(» ^2w')==/(«0,
d'où l'on conclu t
(12) /(« H- 2/?2lO -t- 2nw')=:y"(K),
m et n désignant des entiers positifs, négatifs ou nuls.
G KNK RM.ITKS S t H LKS FONCTIONS K I, MPT I Q U K S. Mj
Nous admellrons que le rapport — est imaginaire; s'il était
réel, la fonction se réduirait à une fonction simplement périodique on à une constante. C'est là un fait dont on trouvera la démonstra- tion dans la Note I et que l'on peut admettre pour ne j)as inter- rompre l'exposition.
Les fonctions elliptiques sont ainsi définies i/i abslraclo. Nous allons définir, par des séries, les éléments analytiques à l'aide desquels on peut exprimer toutes les fonctions elliptiques. Nous indiquerons en même temps leurs principales propriétés, parmi lesquelles nous signalerons dès à présent l'existence d'un théorème d'addition algébrique et l'existence d'une relation algébrique entre deux fonctions elliptiques aux mêmes périodes.
Une première propriété, résultant immédiatement de la défini- tion même, est celle-ci : La dérivée d'une fonction elliptique est encore une fonction elliptique. En efl'et, les relations (i i) ajanl lieu quel que soit u donnent par différentiation
f{u-h2M) =f'(u), /'( U -+■ ■H.y>')=f'{u).
La dérivée/'(«) admet donc les périodes 2co et ato'; elle est uni- forme comme y*(«) et ses seuls points singuliers à distance finie sont des pôles, car si f(u) est régulière en un point il en est de même de f'{u), et si f{u) a un pôle en un point il en est de même de /'(«).
18. Parallélogrammes des périodes. — La double périodicité peut se représenter géométriquement comme il suit. Soit u^ une quantité imaginaire constante, choisie au hasard; considérons dans le plan représentatif les points représentant les quantités
«0, "o àz 2 M, Uq ± 2 CO', Uq ± .1 (0 ± 2 lo'
et, en général,
«0 -+- 2 /n 10 -T- 2 II tu',
oîi m et n sont des entiers quelconques positifs, négatifs ou nuls; ces points forment les sommets d'un réseau de parallélogrammes tous égaux au parallélogramme P, qui a pour sommets les
ao cil A PI THE II.
poinls
et recouvrant tout le plan.
Si u est un point quelconque du plan, il se trouve dans un de ces parallélogrammes, le parallélogramme P', par exemple; le point u -T- 2io est dans un parallélogramme voisin dans lequel il
Fig. I.
occupe la même position que u dans P'; en général, les points « + 2 m (04-2/10)' sont tous dans des parallélogrammes différents; ils occupent dans chacun d'eux la même place que u dans P'; nous avons figuré quelques-uns de ces points. On dit, pour abréger, que ces points sont des points homologues ou congruents du réseau des parallélogrammes. L'un quelconque de ces parallélo- grammes s'appelle parallélogramme des périodes ou parallé- logramme élémentaire.
Les relations (i i) expriment que la fonction fK^u) reprend la même valeur en tous les points homologues. Il suffit donc de connaître la fonction f{u) dans un des parallélogrammes, P par exemple, pour la connaître dans tout le plan.
19. Théorème fondamental. Une fonction elliptique devient né- cessairement infinie dans un parallélogramme élémentaire, sinon elle se réduit à une constante. — En effet, si une fonction ellip- tique était finie, dans un parallélogramme élémentaire, elle serait finie, en tous les points à distance finie ou infinie, à cause de la double périodicité; ce serait donc une constante (n° 6).
r. KNKIl ALITKS SIR I. K S FONCTIONS El. 1. 1 PT IQl' T- S. >. I
120. Une fonction elliptique a un nombre limité de pôles dans un parallélogramme élémentaire. — Le lliéorèmc précédent nionlrc qu'une fonction elliptique a au moins un pôle dans un parallélo- gramme; nous voulons montrer qu'elle en a un nombre limké. En elTet, supposons que, dans P, une fonction /(;< ) ait une infinité de pôles; divisons le parallélogramme en quatre en joignant les
Fig. 2.
milieux des côtés; dans un de ces quatre parallélogrammes au moins il y a une infinité de pôles. Divisons-le encore en quatre en joignant les milieux des côtés; dans un des nouveaux parallélo- grammes au moins, il y a une infinité de pôles. En continuant ainsi, on obtient une suite de parallélogrammes tendant vers un point a du plan et contenant tous une infinité de pôles. En ce point a la fonction n'est évidemment pas régulière : le point a est donc un point sing^ilier; mais il ne peut pas être un pôle, car un pôle est nécessairement isolé et nous venons de voir que, dans une aire aussi petite qu'on le veut autour de a, il existe une infinité de pôles. Ce point est donc un point singulier essentiel de la fonc- tion, ce qui est inipossible, puisqu'une fonction elliptique, par définition, n'a cV autres points singuliers que des pôles dans un parallélogramme.
Le théorème que nous venons de démontrer est d'ailleurs une conséquence immédiate de la proposition générale du n° 7.
Ainsi, une fonction elliptique a un nombre limité de pôles dans un parallélogramme élémentaire, tout comme une fraction rationnelle en a un nombre limité dans tout le plan.
Nous allons donner une première expression analytique des fonctions elliptiques mettant en évidence ces pôles et leurs parties principales; cette expression jouera le même rôle que la formule de décomposition des fractions rationnelles en fractions simples.
Il CIIAPITKE II.
Voici comment on forme la fonction qui joue dans la ihéoric des fondions elliptiques le même rôle que la fraction simple
dans la théorie des fractions rationnelles.
« ^ a
21. Fonctions -i, ^. p, Z, H. — Nous avons rappelé précédem- ment le développement en produit de %\x\.u
n
m- ,
mettant en évidence les zéros : o, zb-r, ± 2- de celte fonction.
Par analogie nous allons former avec M. Weierstrass une fonc- tion régulière, comme le sinus, en tous les points à dislance finie et admettant comme zéros le point ?< = o et tous les points
/m = o. d= I, ± 2, . . .\ 2 /?i w 4- 2 n oj ( ' , ,
V /i = o, ±1, ±2, .../
homologues de l'origine dans le réseau des parallélogrammes. Posons, pour abréger,
w = 2 m Ki -\- in fo',
et considérons la fonction définie par la formule
I /n = o, d= I , ± 2, . . . , zt c -j-^Y u\ ^+\^ i « = 0, ±1, ±2, ...,=i=:
(,3) ^a=--uYY[^--)e^^ ^- I ,^ = 2mco-2nco'
( u' =^ o exclus
dans laquelle il faut, pour former le produit infini, attribuer à la quantité w toutes les valeurs contenues dans l'expression innù + inui\ à l'exception de la seule valeur o qui correspond à m= n =z o.
Qu^nd cette exception doit être observée dans un produit infini ou dans une somme infinie, nous le rappelons en faisant suivre d'un accent la caractéristique II ou S du produit ou de la somme. Actuellement, nous admettons la convergence du produit (i3); on en trouvera i^ne démonstration dans la Note II.
La fonction :i u ainsi définie s'annule seulement aux points M = o et u^ iv := 2UIL0 + 2 uto'; cllc uc dcvicut jamais infinie
f. KNÉRALITKS Sun LKS FONCTIONS E LLI PT I QU KS. 23
|)our des valeurs finies de u. On voil que celle fonction a un /.éro simple et un seul dans chaque parallélogramme élémentaire. Tous ces zéros sont des points homologues du réseau de parallé- logrammes.
Cette fonction d est impaire comme un sinus
a'( — u) = — r*»;
en effet, comme m et n prennent toutes les valeurs de — x à +00, on peut, dans l'expression du produit, changer m et n de signes sans changer ce produit; on a donc aussi
c'if = u\ j i\ -4- — je""i^"*"2Ti^.
Mais alors, en changeant u en — u et comparant au produit (i3), on voit que 3'( — u') ■=■ — du .
Enfin, il résulte du produit infini que le rapport '^— tend vers i
quand u tend vers zéro.
De même que l'on déduit la fonction colu de sin?^ en prenant la dérivée logarithmique, nous considérerons la fonction obtenue en prenant la dérivée logarithmique de du
, , „ d\ç)^:iu '^' u 1 V^T i i « 1
(14; r u = -, = = - -^ > '■ ! ; •
uiL 3" a a ^^ yu — (V w (v-J
Nous désignerons pour abréger celte nouvelle fonction par ^(«) ou ^u. La série qui définit X.u est analogue à celle qui dé- finit cot;/.. Elle montre que la fonction ^i^ a pour pôles simples tous les points u = 0, w = imiii -\- in^' , avec le résidu + i. En effet, la différence
K — ■}. ni L'i
où m et n sont des entiers déterminés, est régulière au point u= 2/72CO + 2/ioj'. La fonction ^ a donc un pôle simple de ré- sidu H- I dans chaque parallélogramme élémentaire. Il en est de même de la fonction î^(« — a)^ où a est une constante; cette fonction a comme seuls points singuliers les points u =^a et u ^= a -\- iniui -^ a/ito', qui sont des pôles du premier ordre de
•24 CHAPITRE II.
résidu -|- i; il y a un de ces pôles et un seul dans chaque parallé- logramme. Ainsi u^ «esl un pôle elle différence v(// — a)
est régulière au point ii = a.
La fonction ^u est impaire comme la cotangente; on peut le vérifier directement ou le conclure de ce que (jU étant impaire, sa
dérivée 5''« est paire et le quotient ^ impair.
Pour étudier les propriétés de cette fonction prenons-en la dé- rivée et appelons pu cette dérivée changée de signe
^ ' •' du- a- ^\_(u~\vf w^ y
cette fonction étant la dérivée d'une fonction impaire est paire : elle a pour pôles doubles les points it =: o, u = inuM -\- into' \ la
partie principale relative à l'un de ces pôles est tt:, ■>
le résidu correspondant est mil. Cette fonction pu est donc
analosrue à la fonction . _, donnée par
d- log sin u du-
-,+y^ ' ;
u- Xd i^u — niT.)'-
La fonction p{u — «), où a est constant, a pour pôles doubles les points a et a + 2moj -h a/iw'; la partie principale relative à
un de ces pôles est r-', il y a un de ces pôles
^ {u — a — -xiniù — m M y- -^ '
et un seul dans chaque parallélogramme élémentaire.
Périodicité de pu. — La fonction pu admet les deux pé- riodes 2 0) et 2tL>'.
En effet, si l'on forme la différence p {u -\- i^ù) — pu, on a
p(M-i-2co) — pM= ^ î ; ^ + 7 7 ' ^ — ; '— ,
=2
/[« — liin — i)ui — -iiuji']- [u — -2 m M — iiitji' )-\
où la dernière somme est étendue à toutes les valeurs de m et n sans exception. Cette dernière somme est évidemment nulle, car, en considérant les termes qui correspondent à une même valeur
GÉ.NKRALITÉS S l" R I. K S FONCTIONS H M, I PT IQ f E S. 25
de /?, on voit qu'ils se délruisent deux à deux. On a donc (i6) p(u-}-io)) =: pu;
de même, on lrou\crait
(i6') p(«-f-2w') = p«.
Effet de V addition des périodes à l'argument de tu. — In- tégrons ces deux dernières relations en nous rappelant que l'inté- grale de pu est — ^ ou — ^u., nous aurons
l w ( « -f- 2 tO ) = ![ « -r- 2 r. , ( I - ) •
' ( w(« -I- 2w' ) = !^ ?i — 2r/,
où 7, et // désignent deux constantes introduites par l'intégration. En faisant dans ces relations u ^ — to, puis « = — to', on a
Ç(W) = ^(_0J)-^2T,, ^Co/) = r(— w'j-h 2t/,
d'où il résulte, puisque C est impaire,
(i8) -'.^li^^), V=r(<o');
ces constantes r, et r/ sont ainsi exprimées par des séries con- vergentes.
Notation de Jacohi et de M. Hermite. — Dans la notation de M. Weierstrass c'est cette fonction ^ ou ^ qui joue le même rôle
que - dans la théorie des fractions rationnelles. Dans la notation ^ u
de Jacobi, légèrement modifiée par M. Hermite {Crelle, t. 84), ce rôle est joué par la fonction impaire
(19) Z{u) = lu— '-^^u,
qui ne diffère de "C que par un terme linéaire en u choisi de telle façon que Z(«) admette la période 2to. On a, en effet,
Z ( i< -!- 2 oj ) — Z ( « ) = !; ( i< H- 2 w ) — Lu — 2 T, = 0,
Z(«<-i-2ci>) = Z(«); puis
Z ( « -1- 2 Oj' j Z ( M ) = ^ ( ?< -f- 2 O) ) — ^U ,
Z(« -T- 2w') = Z(if) — — (t^iC-j' — wt/).
U)
26 CIIAPITRK II.
Dans la notation de M. Wcierstrass les deux périodes jouenl donc un rôle symétrique, tandis que dans celle de Jacobi une des périodes joue un rôle spécial.
Nous verrons plus loin que la constante r^io' — (oy/ n'est pas
nulle; elle a pour valeur ± -^ où il faut prendre le même signe
que le signe du coefficient de i dans le rapport — • Pour le moment nous poserons
(20) t^m' — wr/= 0.
Alors Z(«) vérifie les deux relations
I Z{u -h ivà) = Z{u), ^^^^ j Z(«-i-2co') = Z(zO- — •
La fonction 'L[u), ne différant de "Qu que par un terme linéaire en II, a les mêmes points singuliers et les mêmes parties princi- pales.
Ainsi, cette fonction Tj{u) a pour pôles simples de résidus + i tous les points u = 0, « = iniu) -\- ijhù'] il y a un de ces pôles dans chaque parallélogramme; ils sont tous homologues de l'ori- gine « = o dans le réseau des parallélogrammes.
La fonction Z(« — a) a pour pôles simples de résidu + i les points u =z a et u zz= a -'r 2 ww + 2/110', homologues du point a dans le réseau des parallélogrammes. Par exemple, dans le voisi- nage de a = cr, on a : Z(;f — a) égale fonction régulière.
Effet de V addition des périodes à V argument de du et de H(?^). — Si l'on intègre de nouveau les formules (17) où
U f^ = -~~s on a
l0ga'(M-j-2C0) = logC'M-}- 27)^-+- log C, log 3'(m -i- 'Ito') = logCfif -h 2Tj'ii -+- loge',
loge et loge' désignant des constantes d'intégration. En passant des logarithmes aux nombres, il vient
<y { u + 2 oi' ) = c' e-'''i' " -j u .
G ÉNKKVI. ITKS SUR I.KS FONCTIONS ELLIPTIQUES. 27
Dans la jiremièrc de ces forimiles faisons u = — to cl rappelons- nous que, du étant impaire, on a d( — oj) = — a'co. Nous trouverons
ce-2r,w= — 1, c= — e2r,w.
La seconde relation donne de même
c' = — e-'^i^' . J^a fonction d vérifie donc les deux relations
l s' ( fi -t- •>. (0 ) = — e2-/;'«+(o' 3- u^ ( 22 )
On conclut de là, par l'application répétée de ces formules, la valeur de ^{u + iiikj) -\- 'iiim') en fonction de 3'«, m et n dési- gnant des entiers positifs, négatifs ou nuls. Cherchons d'abord l'expression de d[u-^ o.by -\- 'i^'). Changeant, dans la seconde des formules ci-dessus, ii en a -\- o.tù et tenant compte de la première, on a
Mais, comme /•.to' — (oy/^± —, on a
( '23 ) cr" ( « -}- i w -i- 9. w' ) = — e^ ' o+r/) ■«+w+03'; ^^ ,< .
On vérifiera de même que, m et n étant deux entiers quel- conques positifs ou négatifs, on a
(24) 3'(« -+- "Xinti} + 2/uo') = ( — iy««+/«+«e2(wo+«r/)(K+mw+«o)')cM.
Dans la notation de Jacobi on remplace la fonction a", dont la dérivée logarithmique est ^u, par une fonction H(?i) {liétade ^^), également impaire, ayant pour dérivée logarithmique Z(m) {zêta
de II)
U'(u) :f' u -/]
— - — —Z(u)= u.
ll(u) :ru w
On a donc, en intégrant,
log H(j<) = los^u '- U--+- lotrp,
logo désignant une constante d'intégration, et, par suite,
(25) H(w) = pe 2« cfef.
28 CHAPITRE II.
Pour déterminer p, divisons les deux membres de la rela- tion (20) par u et faisons tendre u vers zéro; - — tend vers i,
— ^^ — - vers la valeur H'(o) de la dérivée -r- pour i(z=o. On a
u ^ ^ au ^
ainsi p = H'(o)^ et la formule (20) devient :
H(«) -^:r.
H (o)
La fonction H(z/) admet les mêmes zéros que ^m. Elle vérifie les deux relations
/ H{u -hio») = — }i{u),
(26) 5^ .
l H(i< -+-2co') =— e " H(i/),
OÙ ù désigne comme plus haut la quantité r^to' — tùr/. Ces relations se tirent, soit des relations que vérifie a", soit, par l'intégration, de celles que vérifie Z.
En effet, intégrant les relations (21), on a, puisque Z,(w) =-777 — ^»
log H ( ?i -H •! W ) =: log îl{ll) ■+- log C,
2 0 log H (if H- 2 0)') = log II (u) ^- Il -r- loge',
OÙ c et c' sont des constantes. On en déduit
H ( ii -f- 2 w ) = c H ( « ), 20 H(f< -^ 2w') = c'e f^ H (a).
Faisant dans la première u = — oj, on a, comme H est impaire, c = — i; de même, faisant dans la seconde « = — 10', on a
c' = — e " . On a bien ainsi les formules (26).
22. Remarque. — On a dès à présent des exemples de fonctions elliptiques. Ainsi la fonction pu., qui n'a que des pôles à distance finie et qui admet les deux périodes 2(o et iio', est une fonction elliptique; il en est de même de ses dérivées p'w, p" u, ....
Les fonctions d, H, J^, Z ne sont pas elliptiques, car elles n'ad- mettent pas les deux périodes 2(0 et 200'.
Nous allons montrer comment, avec les seuls éléments analy-
,
I
GKNÉ RAI. ITKS SUR I. KS FONCTIONS K I. L I PT I Qf KS. 29
tiques nouveaux que nous venons de définir et qui se déduisent tous de du, on peut exprimer toutes les fonctions elliptiques.
23. Cas de dégénérescence. — Lorsqu'une des périodes 2co ou 2 w' devient infinie les fonctions i et p se réduisent à des fonc- tions connues. Supposons, par exemple tu', infini et prenons la fonction p. Dans la série qui définit ja//, «' est infini dans tous les termes où figure (x)' , c'est-à-dire où n est différent de zéro. Tous ces termes sont donc nuls et J)(^^) se réduit à la fonction
pC", w'= y.):
A + yT-
U- ^mà fl
( Il — ). ni oj )'- 4 m- oj^ J
la somme S' étant étendue aux valeurs positives et négatives de l'entier m, zéro exclu. Comme la série 2, — i ^st convergente et a pour somme -^) on a
-' • V' '
p ( J< , W = ry: ) = -! _|- > .
■" I'2 0j2 uï ^à y II — iniio)'-
Mais alors, en comparant à la formule
I I v'' I
-^-^r- = — -^ \ 7 -:'
sin-^ z' M^ (•:; — m — )-
on a
(■27) j)(«, to'= x) = — -^
4 tO- . T. Il
sin- — ■210
En intégrant et changeant les signes, on a
(28) ^(?<, (.0'= a:)= — —-u-\ ^cot^^j
sans ajouter de constante, car ^ est impaire.
Enfin, intégrons de nouveau et passons des logarithmes aux nombres; il vient
71-
T.ll
'( «, to'= x) = ce-*'^' sin
2 0-)
OÙ c est une constante d'intégration. Pour la déterminer, divisons par w et faisons tendre a vers zéro, en nous rappelant que ^^— tend
3o CllAPITKK II.
vers I . On a alors c "= i et enfin
î w
?. 10 -^ /'- . T. H
(•2Q) Ï3'( «/, eu = x)= <'5.w- sin
^ *" — -ICO
On voit ainsi qne l'analogie avec les fonctions trigonométriques devient ridenlilé quand une des périodes est infinie.
Supj30Sons que les périodes soient infinies toutes les deux. Alors dans la série p{u) tous les termes sont nuls, sauf le pre- mier, et l'on a
p(«)=^;
intégrant et changeant les signes, on a
|)U1S
On voit, d'après cela, que la théorie que nous allons développer donnera, comme cas particuliers, les formules relatives aux fonc- tions trigonométriques ou aux fonctions rationnelles, suivant que Ton V supposera une période infinie ou les deux périodes infinies.
II. — I'remiiîric expression des fonctions elliptiqles. Décomposition
EN éléments simples. CONSÉQUENCES.
24. Cas des pôles simples. — Soit/"(;/) une fonction elliptique ayant les pôles «, b, c, ..., l dans un parallélogramme élémen- taire P, ces pôles étant d'abord supposés simples et les résidus correspondants étant A, B, . . . , L. Alors, dans le voisinage du point a, on a
f(u) = 1- fonction régulière,
•^ ^ II — a *
dans le voisinage de b
f[a)= ■- -+- fonction régulière,
Formons la fonction
*(«) = /(«)_ A Z(?/ — a)— V,Z{u — b ) — ...— \.Z{u — i).
GKNÉUVLITKS SUR LES FONCTIONS K F. 1. 1 l>T I 0 f KS. 3l
Cette fonction est régulière dans le parallélogramme des pé- riodes P, car dans le voisinage de a = «, par exemple, on a
f(u)= h foncliou régulière,
Z(u — c()= ■ -H fonction régulière,
a — a o 7
donc
f{u) — A Z(« — a)= fonction régulière,
et, de plus, toutes les autres expressions Z(« — ù), . . . , Z(« — /) sont régulières au point a.
D'ailleurs, /(m) admettant les périodes 2 oj et 210', on a, d'après les propriétés de Zi(/^) (éq. 21),
/ fp{u -+- loi) = <^(?/),
(3o) • -2 0
^ I *(«< + '2 0/)= «!>(«) (A + B+...-+-L).
D'après ces équations, la fonction ^{u) est régulière dans tout le plan à distance finie," car elle est régulière dans le parallélo- gramme P, et, dans les autres parallélogrammes, elle prend des valeurs qui ne diffèrent que par une constante de celles qu'elle prend dans P.
Nous allons démontrer que <!>(?/) se réduit nécessairement à une constante. En effet, la dérivée ^'{u) est régulière dans tout le parallélogramme P, car la dérivée d'une fonction régulière est une fonction régulière; de plus elle admet évidemment les deux pé- riodes 2 0) et 2to', comme on le voit en différentiant les for- mules (3o).
Cette dérivée ^'{u) est donc constante, comme étant une fonc- tion régulière avec deux périodes (n" 19)
donc
*(iO=G,»4-Go,
C| et Co désignant deux constantes. Mais, comme ^(u + 2(o) doit être égal à ^{u), G, doit être nul et ^{u) se réduit à une constante Cq. x\insi la différence appelée ^{u) est constante. Ou a donc la formule
(3i) /(«)= Co-i- \Z{\-- a)-h li Z{^ - ù )-i- . . .-i- L74f — l ),
32 CHAPITUH II.
duc à M. Ilerniite et appelée formule de décomposition en élé- ments simples. Celle formule est analogue à la formule de dé- composition d'une fraction rationnelle en fractions simples.
t2o. La somme des résidus d'une fonction elliptique en tous les pôles situés dans iin parallélogramme des périodes est nuUe. — En cfl'et, nous venons d'appeler A, B, ..., L les résidus relatifs aux iiùles situés dans un parallélogramme des périodes; nous avons trouvé que <!'(?/) est une constante : alors on a évidemment <&(// -t- 2to') — <ï>(;/)= o. On a donc d'après la deuxième for- mule (3o), puisque o est différent de zéro,
(32) A-hB-f-...-h L = 0.
Le théorème est donc démontré.
Ainsi, toute fonction elliptique n'ayant que des pôles simples peut se mettre sous la forme (3i), oîi les constantes A, B, . . ., L ont une somme nulle.
Inversement toute fonction définie par une expression de la forme (3i), oùles constantes A, B, ..., L ont une somme nulle, est une fonction elliptique : en effet, cette fonction n'a d'autres sin- gularités à distance finie que des pôles simples et, d'après les pro- priétés de la fonction Z, on a
/(« + 2W)— /(h)=0,
2 0
/{u -h iw') — /i^u) = — ■ — ( A ^- B -1- . . . -T- L ) = o .
26. Formule de décomposition en éléments simples dans le cas où certains pôles sont multiples. — Nous avons, pour plus de sim- plicité, supposé d'abord que la fonction elliptique considérée n'avait dans un parallélogramme élémentaire que des pôles simples. Le cas où la fonction posséderait des pôles multiples peut être regardé comme un cas limite du précédent : il suffit de supposer que plusieurs des pôles simples viennent à coïncider.
Mais nous traiterons ce cas directement, par la même méthode que le précédent. Nous obtiendrons ainsi l'expression la plus gé- nérale des fonctions elliptiques et cela encore avec le seul élément analytique Z,(w) et ses dérivées.
GKNKR ALITKS SIR M: S KONCTtONS IC L L M'T ( y I K S. 33
Soient a, b, .. .^ I les pôles de la foiiclion /( /^) dans tin paral- lélogramme élémentaire et
, . A A, A, A,_,
o.i(u) =
B B, Bs-i
Il b (u — ù)- (^u — b)fl
les parties principales correspondantes. La difrérencc
i\>(u) = f( u)--\ \ Z(u ~ a )— A, Z'(« — a )-r- ' "' Z"( ,/ — a) — . . .
L 1.2
+ (_ i)'x-i . ^^^ Z -^-i'(« -a)]
i . 2 ... a — I ^ J
( R
— BZ(;/ — i»)— Bi Z'(« — ^»)H L Z"{u — b)^...
B3.., 1 . > . . . a — [ ^
est encore une constante; en effet, dans le voisinage de 11 = a par exemple, on a
Z(« — «j= + fonction régulière,
u — a o )
Z'(ii — « ) = : -f- fonction régulière,
(u — a y- ° '
1.2
Z (m — « ) = } r + fonction réjïulière,
{u — ay ^ '
[2 ( 0^ I )
Z '^-i'(« — a) = (— 1)'^-' '- " — 1- fonction réirulicre.
( i< — a)-'-
Donc
Y.
A Z ( « — a } — XiZ'{ u — a) -{- ^— Z" ( u — a )-h . . .
(— i>^-i -1- — — — Z!*-''(« — a)~ (pi(«)4- fonction régulière.
Comme dans le voisinage de u = a, on a aussi, par hypothèse,
f{u) = Oi(u)-\- fonction régulière, on voit que ^(u) est régulière au point a; il en est de même des
A. ET L. 3
34 CHAPITRE II.
aulres pôles. D'ailleurs on a, d'après les propriétés des fonctions Z,
<lM II -r-1(.o)= *(«)— — (-^ -I- R -^- ■ •-*- L))
car les fonctions 7J {u), TJ' {u) sont doublement périodiques. On verra, comme plus haut, que la fonction régulière <I> est constante et que, par suite, la somme des résidus A H-B + . . .+ L est nulle. L'expression générale d'une fonction elliptique est donc
/ f{u)^C.,-^.^Wz{u — a)-kyZ\u-a) (33) } + jkz"f« — a)-i-...
_^(_ ,)-a-i i^' Zis'-i' (« — « M .
1 . 4 ... a — I J
la somme ^ étant étendue à tous les pôles situés dans un parallé- logramme, avec la condition
(32) A — B-v.. .-t- L = o.
Ainsi, de même que toute fonction rationnelle est une combinaison linéaire à coefficients constants de termes de la forme
u — a {u — a )- {U — a)^
avec la convention que // — ce = — , toute fonction elliptique est,
à une constante additive près, une combinaison linéaire, à coef- ficients constants de termes de la forme
Z(u — « I, Z'(ii — a), ..., Z'=<-"(?< — a),
avec la condition que la somme des résidus [coefficients des termes
tels que Z(« — a)] est nulle.
Inversement toute fonction /(?/), définie par une expression de
la forme (33), où
A + B^...^L = o,
est une fonction elliptique, car on vérifie immédiatement les re- lations
/(' 11-7-2 OJ I — /( u)= o,
/( u-h 7.oj' )—/{u) = ^ ( A -4- B -h . . . -H L) = O.
GÉNliR.VLITlis SLU LKS FONCTIONS ELLIPTIQUES. 35
!27. Formule de décomposition en éléments simples avec les notations de M. Weierstrass. — La formule (o.i) que nous venons d'établir peut s'écrire comme il suit. Nous avons posé
Z{u) = la— '±11.
Donc, en différenliant et se reportant à la définition de pu comme la dérivée changée de signe de ^
Z.'{u) = — pu ,
OJ
7.'{u)=: — p' a,
Faisant ce changement de notations, on a la formule
/(") = 1^0 + V A- ^(« — «) 4- A, p( a — a) — ^-^ p' (u — a) —. . . (34)
OLiDf, désigne une nouvelle constante et où la somme S est encore étendue à tous les pôles situés dans un même parallélogramme des périodes. Les termes linéaires en a qui semblent s'introduire
quand on remplace Z(;<) par "Çti ' /t, disparaissent, car leur
coefficient est ^ ( \-t- B -h. . .+ L), c'est-à-dire o.
28. Remarques. — Dans ces formules de décomposition nous avons supposé les pôles a, b, . . . , l situés dans un même parallé- logramme. Cette restriction est inutile en ce sens qu'on peut toujours remplacer chacun des pôles par un point homologue. Ainsi soit
un point homologue de «, on a
Z ( « — a) ~ 7^{ Il — a' -\- ■>. m lo -h i n to'), =^ L{u — a ) — /i — .
36 CIIM'ITRE II.
Remplaçant Z(?/ — a) par celte valeur, on voit que la formule reste la même. La seule valeur de la constante Co est modifiée.
Une autre remarque est celle-ci. Quand on fait choix d'un parallélogramme élémentaire P de sommets
Uo, Uo-i-'>.lO, //o-i-2w', «0-+- 2t0 -+- 2li/,
il peut arriver qu'il y ait des pôles tels que a, par exemple, sur un côté et, par suite, d'autres pôles tels que « -+- ato' sur le côlé opposé. On peut être embarrassé pour savoir quels sont ceux de ces pôles qu'il faut regarder comme étant dans le parallélogramme. Alors on remplacera le parallélogramme P par un autre tracé en
Fig. 3.
pointillé, obtenu en déplaçant infiniment peu le point Uq en v^ de façon à éviter qu'il j ait des pôles sur les côtés. La même re- marque sera utile plus loin pour le cas oîi il y aurait des zéros sur des côtés.
29. Règle pratique pour la décomposition d'une fonction ellip- tique/(«)en éléments simples. — Il faut tout d'abord déterminer les pôles de cette fonction dans un parallélogramme des périodes, arbitrairement choisi d'ailleurs; soient a, b, . . ., / ces points.
Il faut ensuite déterminer la partie principale de /{u) relative à chacun de ces pôles. Supposons, par exemple, que le pôle u = a soit d'ordre a : alors le produit
est régulier et différent de zéro pour ii = a. Si donc on déve- loppe ce produit, par la formule de Tajlor, dans le voisinage de u ^ a,
<l{u) = A^-i-!- Aa-?(" — a) + \rj,-3( u — a )- -i- . . . -r- A (il — a )*>'-' -I- {u — %y-^f,'{ii),
g{u) étant une série entière en [u — rt), ou a, en égalant ce dé-
GÉNKU A LITt: s SIR I.KS KONCTIOXS K 1, 1. 1 PT I Q l ES. Sj
veloppemeiil à (// — oY J\u) ci (ll\isaiil par [ti — r/)'^, le déve- lopjicmnil
qui met en évidence la parlie principale chercliée. On peut alors écrire la formule de décomposition, quand on a fait ce calcul pour chacun des pôles situés dans le parallélogramrne choisi. D'après une remarque que nous avons faite, on peut, dans ces calculs comme dans la formule finale de décomposition, remplacer chacun des pôles tels que a par un point homologue a + iniM + iinxt'. La principale difficulté pour la décomposition en éléments simples est la détermination des pôles «,6, . . ., /, de même que pour la décomposition d'une fraction rationnelle, la principale difficulté est de trouver les racines du dénominateur. Nous re- viendrons sur ce point au n° oO.
30, Il ne peut pas exister de fonctions elliptiques ayant dans un parallélogramme un seul pôle, si ce pôle est du premier ordre. — En effet, si la fonction f{u) n'avait qu'un pôle simple a de ré- sidu A, la formule précédente (3i) donnanty'(M) ne contiendrait qu'un terme \Tj[u — a). Mais la somme des résidus étant nulle, on aurait A ^ o et f{u) = Cq. La fonction serait donc une con- stante et n'aurait pas de pôle.
Mais il existe des fonctions elliptiques ayant dans un parallélo- gramme deux pôles seulement, simples tous deux, u=a et u = b. En effet, dans cette hypothèse, la formule (3i) comprend deux termes et l'on a A -f- B ^ o; la fonction f{u) est alors
/([,) = Co+ A[Z(« - a) — Z{u — b)].
Il existe aussi des fonctions elliptiques ayant dans un parallélo- gramme élémentaire un seul pôle, pourvu qu'il soit d'ordre supé- rieur au premier; le résidu relatif à ce pôle est nul. C'est ce qui a lieu, par exemple, pour pu qui admet l'origine et les points homologues comme pôles doubles de résidus nuls.
D'une manière générale, les dérivées et les puissances positives de pu sont des fonctions elliptiques ayant dans chaque parallèle-
38 CHAPITRE II.
gramme un seul pôle homologue du point // = o; ce pôle est (l'ordre supérieur à i el le résidu correspondant est nul.
31. Exemple. Décomposition de p-u en éléments simples. — La série qui définit pu montre que, dans le voisinage de i{= o, on a
P" = —, -^G(iO,
G(//) étant une fonction régulière au point o délinie par la série
(36) G(«) = yT ' j--:.
Gomme G{u) est paire et s'annule manifestement pour u = o, on a. en développant cette fonction en série de puissances dans le voisinage de u = o,
G(ii) = ^u'--+- ^^<i-^....
■20 -20
OÙ, conformément aux notations de M. Weierstrass, nous appe- lons — et ^ les deux premiers coefficients 20 28 ^
Ces expressions de go et g^ s'obtiennent immédiatement en développant chaque terme de la série (35) suivant les puissances ascendantes de ?/, par la formule
I I iu 3î/- 4"^ 5u*
{u — wf
puis en ordonnant la somme par rapport aux puissances ascen- dantes de II.
On a donc, dans le voisinage de u = o,
et en élevant au carré
37) pu= ~-^^-u'--+-^u'*-i-.
u- 20 28
p^« = A ^ — -^^'«<2.
Considérons un parallélogramme des périodes entourant le
GKNK UA I. IT i;.S 8 l U I. KS I' O N C 11 () X S i: 1. 1. I I' T I o l E S. 3g
|)(»iiU // := o ; dans ce parallélograinine p- 1/ a, comme seul pôle, // = o; ce pôle esl trordre /) eL la [iarlie priiicij)ale correspon-
(lai)lecsl —■. d'après le développcmenl ci-dessus. Dans la formule
de d»'eom|)osilion en éléments simples (34) il faudrait donc prendre un seul pôle a = o, puis (x = /\, A = A, = Ao = o, A3 = I . On a alors
(38) p2„^n„_^^p'„,
1),) désignant une constante.
Il est d'ailleurs aisé de vérifier directement cette formule. D'après le développement de pu on a, en différentiani,
j)' u = - ^ + ^ « + £i if 3 -I- . . . , «^10 7
n "^2 3 fi 3
" u'' 10 7
Donc la différence
*(") = P-" — ^p""
est régulière au point // = o, car, dans le second membre les
termes en - disparaissent. La fonction $(«) est donc régulière
dans tout le parallélogramme élémentaire considéré (contenant rorigine), et, comme elle admet les deux périodes 2(0 et 2co', elle est égale à une constante Dq.
La formule (38) est ainsi vérifiée. Pour déterminer la constante, on donnera à u une valeur particulière. D'après les développe- ments de p- et de j)", on a, dans le voisinage de u = o,
Do = p^u-^p"u = ^+...,
d'où en faisant u = o, D„= — • On a ainsi la formule
11
(39) pUi = -p"u -+- '^^^
On formera de même, à titre d'exercice, les expressions de p^ u, p'' w, ... en fonctions linéaires de p, j)', j)", . . . par la for-
l'O CHAPITRE II.
mule de décomposition en élémenls simples. Ces expressions se lirenl aussi des formules oblenues en diirércntianl la relation (Sg) un nombre quelconque de fois et tenant compte de la relation que nous allons établir entre p et p'.
3:2. Relation algébrique entre pu et sa dérivée p'u. — Multi- plions les deux membres de la relation (Sq) par p' u et intégrons par rapport à u, nous obtiendrons une formule qu'on peut écrire
où C désigne une constante.
Pour déterminer cette constante, on remplacera encore p, p' par leurs développements en série donnés plus haut : on vérifiera
que les termes en - disparaissent, et en faisant ensuite u = o, on
I
u trouvera C = — ""3. On a donc la relation
(4o) p2=4p3— ,^-2p — ^3,
algébrique en p et p' .
Celte formule donne la dérivée de la fonction inverse de pu.
Faisons
p(u) = z,
d'où Ton tire, en imaginant l'équation résolue par rapport à u,
u = argp^,
c'est-à-dire u égale l'argument dont le p est :;. La formule (4o) donne alors
,^)'=4-"-^^-'-^-
du _ I
La dérivée de u par rapport à z est donc algébrique en z, tout comme la dérivée de arc sin^.
Comme z est infini quand u est nul, on a
/•* dz
(40 u=±
J. \/\z^— g^z — gz
formule permettant de calculer u en fonction de z.
G KNKRALITKS SIR I. n S FONCTIONS K L I, I PT I Q l' ES. 4^
33. Développements en séries de puissances de pu, t,u, :fu. — Les constantes go et ^3 s'appellent les deux invariants. Ces constantes étant connues, on a, comme il suit, les développements en séries de p, t, d.
Faisons, dans le voisinage de u := o,
(42) p « = -^ -I- • -I- Cj «2 -H C3 «* -+- . . . -+- C), u
2).-2 .
U-
Les deux premiers coefficients sont
(43) c,= ^, o,= ,jfi,
Les suivants se calculent facilement par voie récurrente en substituant le développement de p dans l'équation
et identifiant les deux membres. On trouve ainsi, pour ). plus grand que 3, la formule récurrente
(44) ^>-uX-^i)(.X-3)Z'-^^-^ (v = .,3, ...,À-.),
qui montre que tous les coefficients sont des polynômes en g^ et^n. Ainsi
( 45 ) Ci = -v~^^ y cs = , ;.' ^ '^ . .
Le développement de 'Cu pour de petites valeurs de u se tire immédiatement du précédent par une intégration, puisque ^ ?^ = — f p u du ; on a donc
(46) ^ M = - -^ 5*- — - Co «•■' — 7 Cj U5 H- . . . ,
sans ajouter de constante, car 'C^u est une fonction impaire. Les coefficients de ce développement sont aussi des polynômes en g-j, et ^3.
Les deux développements de J3 et ^ convergent dans le cercle ayant pour centre l'origine et ne contenant dans son intérieur aucun point homologue de l'origine.
42 CHAPITRE II.
Du développement de "Ç on déduil celui de a" puisque
= Lit.
Il
Intégrant et passant des logarithmes aux nombres, on a
C a = lie '-
sans metti'e de constante en facteur, car — '• tend vers i quand u
tend vers zéro. Il ne reste plus qu'à développer l'exponentielle en série et l'on a le développement de du. On voit que les coeffi- cients de ce développement sont aussi des polynômes entiers en g.2 ct^;). Voici les premiers termes du développement
,, , ^ ,^2"^ ,•?•!"' ..irl"' .^.y?-, M'i
(47) j ;/ = «-+- ■*
2^3.5 -2^3.5.7 29.32.5.7 2"'.3-^.5"'î.7.ii
On trouvera ce développement poussé jusqu'à lû^ dans les feuilles de M. Schwarz (Formules et propositions pour remploi des fonctions elliptiques). Puisque du est une fonction entière comme sinw, régulière dans tout le plan, ce développement de du est convergent pour toutes les valeurs de u. Ce développement est commode pour le calcul des valeurs numériques de du^ d'u, d" u et, par suite, de Z, et p qui s'expriment rationnellement à l'aide des dérivées de d
pu= —
u Cj^U
34. Inversion dans les notations de M. Weierstrass. — D'après ces propriétés, si l'on a une équation de la forme
dz
(48)
=/
v/.r
» 2 *> Cl 3
011 ^o et 0-3 sont des constantes données, on en conclut
3"2 II— S'il -i" U
pu =
a"- Il
z est donc exprimé en fonction uniforme de ?/, et l'on peut, à l'aide des séries précédentes, calculer la valeur de z correspondant à une
GÉNÉU ALITÉS SIR LES FONCTIONS I- L L I I>T I Q l' E S. 4 3
valeur de u ; mais ces séries ont le défaut de ne mellrc aucune pé- riodicilé en évidence. On a ainsi une solution du problème de l'inversion de l'intégrale (48)- Les constantes g^ et g^ peuvent avoir des valeurs quelconques, car l'équation
p'^-U = 41)3?/ — ,^'.,J)«— ^3
est vérifiée identiquement par les développements en série ci- dessus, quels que soient go et g:^.
Nous verrons plus loin comment, gi et ^3 étant donnés, on peut calculer un couple de périodes 2(o et 2co'.
3o. Intégration d'une fonction elliptique. — Pour calculer l'in-
/( " ) du
tégrale
/^
d'une fonction elliptique /{u), on fait comme pour les fonctions rationnelles : on décompose f{u) en éléments simples et l'on in- tègre terme à terme. Ainsi, dans les notations de M. Weierstrass, f{u) peut se mettre sous la forme (34). En intégrant, on a
I f{ u) du = const. -i- Do« -i-\ A. log a'{u — a ) — AiZ,{u — a)
_(_l)a-i ^tlzl p(a-3)(„_a)].
1 .2. . .a — I J
Par exemple, la formule de décomposition établie pour p- u {n" 31) donne
(49) JpUidu = Jp'«-^ Y^«-hcon?l.
36. Homogénéité. — Pour indiquer les valeurs des périodes ou des invariants, M. Weierstrass emploie les notations suivantes
cfu = :r( u\m, w') = ■f{u; ^2, ffs), pu = p(u\(jj, m') = p{u: ^2» ^3).
D'après le produit qui définit 'iu, il est évident que si Ton multiplie w, w' et u par un même facteur ijl, — ne change pas et
44 CHAPITRE II.
l'on a
(50) j ( IJ.» I IJLW. IJLW') = JX j (»| w, lo').
DifTérenliant par rapport à //, on a
(51) '^' { [x u l y.io , [im' ) = ^' { u \ (.0 . lu').
Donc
(Sa) Ç([Jl«|;JLW, [JLO)') = — Ç(«|to, w').
DifTérenliant encore par rapport à u
(53) p( |JL«i| IJIIO, IJLIO') = -^p(«]w, 0)'),
ce qu'on vérifie d'ailleurs immédiatement sur la série donnant p. D'après les expressions de «o et ^3 par des séries doubles (n°31)
quand on remplace w et to' par p.w et [xw', w est remplacé par unv et ^2 et g3 par ^ et ^ • On a donc aussi
[1 \x
(54) ' '
L'expression ^ est une fonction de to et oj' qui ne change pas
quand on multiplie co et w' par un même facteur arbitraire [j.; c'est une fonction du seul rapport des périodes.
37. Cas de dégénérescence. — (^uand une des périodes est in- finie, (ji' par exemple, on a
^2=2^3. 5V -^ : T' ^3=22.5.77^— -— TJ
et comme on a (n° lo)
2d'm>^V^^^ iàln^~' 32.5.7'
clz
GKNKRALITKS SUR I.KS FONCTIONS K L I, I l'T K» T ES. 45
il vicnl
Donc on a, dans ce cas,
gl — '^7gl = o.
Le poljnome 4^' — fi'^^- — ©s ^i alors une racine double, et l'intégrale
peut s'exprimer par des fonctions circulaires, comme il était prévu d'après les formules du n" 23. En calculant cette intégrale élémentaire, on retrouverait ainsi d'une autre manière les for- mules du n" 23 {voyez l'exercice 1, p. 62).
Quand les deux périodes w et w' sont infinies, on a g.j,^g.-^^ o et le polvnome sous le radical a une racine triple. L'intégrale devient alors
_ r" ^^
qui donne immédiatement
I
-S = -^•
III. — Deuxième forme des fonctions elliptiques. Décomposition EN facteurs. Conséquences.
38. Décomposition en facteurs. — Nous allons indiquer main- tenant une deuxième forme sous laquelle on peut mettre toute fonction elliptique /"(//) et qui est analogue à la forme d'une frac- tion rationnelle dont le numérateur et le dénominateur seraient décomposés en facteurs du premier degré.
Cette nouvelle forme résulte immédiatement des théorèmes pré- cédents appliques à la fonction ^
Remarquons d'abord qu'une fonction elliptique a nécessaire- ment un nombre limité de zéros dans un parallélogramme des pé- riodes. Car, si elle en avait une infinité, il existerait à l'intérieur du parallélogramme au moins un point a dans le voisinage duquel
46 CHAPITRE II.
il y aurait une infinité de zéros; c'est ce qu'on verrait comme on Ta fait au n° 20 pour les pôles. Mais cela est impossible, car, la fonction y(«) n'ayant à distance finie d'autres singularités que des pôles, ses zéros sont nécessairement isolés (n° 7).
Cela posé, soit une fonction elliptique f{u) ayant, dans un pa- rallélogramme des périodes, les pôles ou infinis simples «i, <7o, . . . , Or au nombre de /• et les zéros simples ^i, ^o, . . . , ^^ au
nombre de s. La fonction •^. — - est une fonction elliptique régu-
Hère partout o\if{i() n'est ni nul ni infini. Un zéro simple àe f{ii)
est pour ^. > un pôle simple de résidu i, et un pôle simple
de f{u) est pour '--. un pôle simple de résidu — i (n" 3).
On a donc, d'après la formule de décomposition en éléments simples,
= C -^ — (w — il) H (m — 6,) +- . .-H '^(u — bg)
(53)
— ~ {il — cil) — ~ {il — cio) — . . . ^ ^ (u— a,.),
OÙ — est la fonction v. En outre, la somme des résidus de '-^. — - re-
-r- - ' J(u)
lalifs à tous les pôles devant être nulle, on a
4 Donc : Dans un parallélogramme élémentaire le nombre des zéros d'une fonction elliptique est égal au nombre des in- finis. Ce nombre se nomme ordre de la fonction elliptique; nous reviendrons plus loin sur cette définition de l'ordre.
D'après ce théorème, faisons s^r dans la formule (55) et in- tégrons terme à terme, puis passons des logarithmes aux nombres; nous aurons la formule cherchée
(56) f{u) = aec'^'''''-^''^^^"'-^'-'^---^^"'-^'-\
cï{u — ai) ^{u — a^). . .(j{u — a,.)
où a est une nouvelle constante. Cette formule met en évidence les zéros et les infinis def(^u).
Si la fonction /(?/) a des zéros ou des pôles multiples, la même
(iÉ.NÉRALlTKS S V U LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 4?
fi)rnuile s'applique; il suffi t de supposer que plusieurs des points />,, h-,, . .• sont confondus en un seul, ou plusieurs des points «,,
</2i • • • •
Dans la démonstration nous avons supposé que les points «j, rto, . . ., a,-] b,, b-2, . . ., br sont situes dans un même parallélo- gramme. En modifiant convenablement les valeurs des con- stantes c et rt on peut remplacer un ou plusieurs points «v ou b^ par des points homologues. Par exemple, considérons le point
homologue de «|. En remplaçant dans la formule (22) «i par a\ — 2 tu, on a
:^(u — ai) = :f(u — «\ -1- ^w) = — gîvKa-a'.+w) 3'(« _ a\),
et, par suite
/•/ ^ ' ,.,,^(ii - bi) ^( u - b,). . .^( Il — hr)
7 ( II) 1=: et c ~ >
•^ j(i/ — a\)(ï(u — a2)...j(i< — a,-)
avec
c' = c — 2Tj, «'= — ae2r,(a',-fo).
39. Théorème de Liouville. — Si l'on considère les zéros et les infinis cV une fonction elliptique situés dans un parallélo- gramme des périodes, la somme des zéros ne diffère de la somme des infinis cjue par des multiples des périodes.
t On démontre immédiatement ce théorème en écrivant que la fonction f{u) sous la forme (56) admet les deux périodes 2(0 et 2tji'. Comme on a
a'{u— %-h ■}. co ) = — e2'l'"-''<+'^' 3" ( « — a ), on voit que le rapport - — j. est égal a
■2C(j)-t-2ï)'«,+a3+...+ar— /',— /'a— ...— 6r.\
Ce rapport devant être l'unité, on a
(57) 'îCùi -\- ■ir,{ai-+- a-î-h. . .-{- a,- — bi — bi — ...— b,) — in-i,
tS . , , fi II -4- 2 (o' ) OU n est un entier. Ecrivant de même que ■ -. = i , on a
(57') 2CC0'-f- 2//((7i -1- «2-1-- • --^ «/■— bi— b-i — . . .— br) = — -2 iutù.
4S ciiM'irui: II.
Kliminani c cnlrc ces deux équalions on a, en verlii de la rela- iIq,! y(,)'— lor^' = — (]iie nous établirons plus loin,
•i
,5g) rt,-4-rt,-i-. . .-+- «r— ^1 — ^2 — • • •— ^/■= '/«w -+- -i/uo';
ce qui démontre le théorème.
La valeur de la constante c esL alors donnée par Tune ou Taulre (les formules (5;) ou (57').
Mais on peut simplifier un peu la formule en mettant à profil une remarque faite plus haut. Remplaçons le point «, par le point
liomoiogue
rt'j = rt 1 — îniM — m 10'.
I^a formule donnant /(;/) prendra la forme
J^ a'{u — a\):ï(u — a2)...^{U — ar)
où l'on a
(39) rt'i H- rto-i-. . .-+- «, = ^1-+- ^o-^- • •^- ^z-
Mais alors, en exprimant que f{ii) admet les périodes 2 to et aco', on a, par un calcul analogue à celui que nous venons de faire,
2CC0 = 2N~/, 2Gw' = — 'iMTTf,
M et N désignant des entiers. On en conclut
C(Ma)-f-Nw')=o.
Le facteur Mto-t-No/ ne peut pas être nul, car le rapport^
est imaginaire et ne peut pas être égal a — ^- Donc
G = o.
Un peut donc toujours mettre une fonction elliptique sous la forme
^ cf{u — bi)cf(u — b.i)...^{u — br)
(60) f(u)=A ; -7 TJ
avec la condition (09). On pourrait de même remplacer d'autres zéros et infinis par des points homologues : la formule resterait la même pourvu que la somme des zéros choisis égale celle des in- finis.
GÉNÉRALITÉS SUR 1, 10 S FONCTIONS K LL I P T I Q U ES {g
iO. Notations de Jacobi. — I.;i formule de décomposition en ('acteurs s'écril comme il suit dans les notations de Jacobi. La fonction H de Jacobi est liée à la (onction 3* par la relation
— A 1,'- H(u)= ll'(o)(? ï"î"' ^-w,
d'où
I A„. 11 (o; ^
Remplaçant alors in par cette expression dans la formule (6o) et tenant compte de
il vient
,^ ^ -, , .^Uu — b^)\\(u — bi)...n(u — hr) <0') /'«)='^TT r— n Tî '
\\(u — a^jW^a — ai) . . Ai( u — a,.;
A' désignant une constante. On a donc, en définitive, la même formule fondamentale dans les deux systèmes de notations.
i I . Deux fonctions elliptiques ayant les mêmes zéros et les mêmes infinis ne différent que par un facteur constant. — Cela résulte des formules précédentes où le facteur A seul est arbi- traire, une fois les zéros et les infinis donnés.
iii. Ordre d'une fonction elliptique. — On appelle ordre d'une fonction elliptique le nombre de pôles qu'elle possède dans un parallélogramme élémentaire, chacun d'eux étant compté avec son degré de multiplicité. Co nombre est aussi égal au nombre des zéros situés dans un parallélogramme (n" 38) :
Ainsi pu est du second ordre, p' u du troisième.
La fonction elliptique /(^^) étant d'ordre r, la fonction f{u) — (>, où C est une constante quelconfjue, est aussi d'ordre r, car les pôles de/(u) cl f(u) — G sont évidemment les mêmes. La fonc- tion /"(«) — Ca donc, dans un |)iralléloi;ramme, /'zéros quel que soit C. Ainsi l'équation
a toujours /• racines dans un parallélogramme. La valeur mi- A. KT F.. 4
5o c 11 A p I T u i: 1 1 .
nimum que puisse prendre ;' est 2, car d'après le théorème du n" 30 il n'exisle pas de fonction elliptique du premier ordre.
Exemple. — La fonction pu est du second ordre. Dans un pa- rallélogramme des périodes il existe deux valeurs de u telles que puz=Q. L'une d'elles étant a, l'autre est homologue du point — a, car pu est paire. Ces deux racines sont distinctes tant que les deux points a et — a ne sont pas homologues, c'est-à-dire tant que l'on n'a pas
a = m 10 -f- n w' ,
et C = p ( /?? co -I- /? w' ) .
Si les entiers m et n sont pairs tous deux, celte valeur de C est infinie : effectivement, l'équation pu = a: a dans chaque parallé- logramme une racine double.
Si un des entiers m ou n est impair, ou si tous deux le sont, C est fini : on trouve ainsi, à cause de la périodicité de p, trois valeurs différentes de C pour lesquelles l'équation jd?^ — G = o a, dans chaque parallélogramme, une racine double. Ces valeurs sont les suivantes :
m impair, n pair, C = po). m pair, n impair, C = pco'. m et n impairs, C = pU') -\- to').
La racine double de J3 ^^ — G = o est, dans le premier cas, con- grue à oj, dans le second à 10', dans le troisième à to + to'. Ges trois valeurs annulent la dérivée p' u : les valeurs correspondantes de G sont les trois racines du polynôme
comme nous le montrons plus loin (n° 46).
IV. — Exemples de décomposition ex facteurs et ex éléments simples. Formule d'additiox algébrique pour pu. Conséquences.
■43. Décomposer en facteurs la fonction doublement périodique f{u) = pii - pv, où c est une constante. — Dans un parallélogramme des périodes
gkm:h \i. iTKs sr« i. i:s fonctions ki.i, i i'tiq r es. 5i
pu admel o comme infini double. Donc la fonction admet deu\ zéros dans un parallcloj^ramme dos périodes; on voit que ce sont les homologues des points a ^ v et // = — v puisque p est paire.
On a donc
. a'( « -f- v) -jIh — V)
pu — j.i' = A ^— ,
\j- Il
A désignant une constante.
Celte constante se détermine en multipliant les deux membres par ;/• et en faisant ensuite tendre // vers zéro. Il vient
i = — A 3-2 c. La décomposition est donc donnée par la formule
,c\ 3" ( M -H (' ) J ( // — t^ )
(62) n « — IX- = — .
ii. Formule d'addition pour lu. — Si l'on prend les dérivées logarithmiques des deux membres de l'égalité précédente, par rap- port à «, il vient
(63) — ^^-^^ = r(«-i-^•)-+--(«-^')— 2!:"; pu — pv / . V
puis, en échangeant u et p,
(64) ~^ "' = Uji-^i')~Uu — v)^-iU^;
enfin, en ajoutant membre à membre les deux égalités précé- dentes,
(65) -^^-^^—^^^ = 1iu^v)—lu — lv, ■xpu — pv-
formule que l'on obtiendrait également en décomposant en élé- ments simples les fonctions elliptiques de u qui figurent dans les premiers membres. La formule (65) peut être considérée comme une formule d'addition pour la fonction 'C.u : seulement ce n'est pas une formule d'addition algébrique, car ÎT^/z-i-c) n'est pas une fonction algébrique de Zu et ^c.
45. Formvile d'addition de la fonction pu. — Si l'on difTérenlie par rapport à u les deux membres de l'égalité précédente, on
Sa <'ii \ iMTii i; 1 1.
trouve
c'est une formule d'addition algébrique pour jdw. En j remplaçant, après la dérivation, ^' u par sa valeur 6p- m — ^ (eq. 89), on ob- tient j3(f/ H- (') en fonction rationnelle de p//, pc, jVw et p'p. Si, ensuite, on j remplace j/// et p'(> par leurs valeurs respectives en fonction de jj // et pv
p'u ^s/^p'^U — gipU — gi, p\' = s/\p^V — ff-îp^-— !^i,
on obtient p[a + r) en fonction algébrique de j3/< et pp.
Autre forme de la formule d'addition. — On a, en effectuant
la différentiation {^Q)^
I p" u I (pu — p' v)p' u p u — p{u-^v)= " -^ î- — '-^ •
1 pu — pV 2 {pu — pv)'-
perniutant u el v on di àe même
I p" V I (p'm — p' v)v' V
ipu — pv ■?. ipu — pv)^
Ajoutons membre à membre et remarquons que
p"'i — J'"'' = ^(p'-i' — p-i'), d'après l'équation (Sq), il vient
(67) p(«+.)=i('|^;;3j;;)'-p»-p.,
qui donne p{u-+- v) par une formule où la symétrie, par rapport aux deux lettres u et (.', est en évidence.
En différentiant par rapport à u et remplaçant p" u par
6p- u — - g-2, on a de même une formule d'addition pour j)'(;/ -f-t'),
exprimant cette fonction en fonction rationnelle de pu, p'u, pç, p'ç. Une nouvelle différentiation donnera une formule d'addition pour p" ; etc.
iG. Décomposition de p'u en facteurs. — La fonction p' u a,
1
(i KM-; Il \ I. I TKS Sin I.KS FONCTIONS IC 1. 1, I l'T I 0 l E S. 53
dans un parallélogramme élémentaire, un pôle triple qui est le point II = o, ou un point honioloi;ue. Cette fonction est donc de troisième ordre. Elle a, dans un jiarallélo^ramme, trois zéros que nous allons déterminer. Pour cela, parlons des relations
p'{ a + 2 co -t- v.co' ) = p' u.
["'aisanl dans la première de ces formules u = — to, on a
p'((o)=jV(— co);
comme d'autre part p' est impaire,
P'(w) = -p'(— co),
Donc p'((xi)= o. De même p'(ii)')=: o.
Enfin, en faisant dans la troisième formule u = — oj — to', on voit (|iie j)'(co 4- (>)')= o. Prenons un parallélogramme élémentaire
Fii
Z0u-*-2ùi>
très voisin de celui dont les sommets sont o, ato, sw', 2104-210' et contenant o dans son intérieur. Alors, dans ce parallélogramme tracé en traits pleins, la fonction a le pôle triple o et trois zéros nécessairement simples w, to', to + 10'. La somme des zéros 2 w + 2 to' ne didère de la somme des infinis cpii est o que par des multiples de périodes.
Remplaçons le zéro (o 4- to' par son homologue — to — to'; alors la somme des trois zéros to, (o', — co — co' est égale à la somme des trois infinis qui est nulle et l'on a
p' « = A
^( it — m) -yi n — (o' ) 3" ( M -I- M -+■ oi' )
Pour déterminer A, on peut multiplier les deux membres par // '
5j cil A PI tri: 1 1.
puis faire Icndrc // vers o. Comme dans le voisinage de o on a
p' » = — — -H fonction icfrulièic,
le premier membre devient —2; comme ^7- tend vers 1, le se- cond membre devient
A ^oi jw' ^(u) -I- Lu') el l'on a
jf II — lo) :s'(u — w') cf ( Il -h oi -\- oi')
P " — — ^
jCO jIo' 3'( CO -1- O)') j^«
Voici quelques conséquences des résultats précédents. Nous avons établi la relation
Appelons e,, e-2, en les racines du polj-nome ^z^ — g-iZ — gs, alors
(68) ,p'-«= 4(P« — «i)(P« — e.2){p 11 — 63).
Comme p' n s'annule pour ?/ = co, a = i<) -f- to' , u = o)\ les quantités ei , e^, <?:, sont égales à jjto, j3((o 4- oj'), poo',
(69) e, = pto, <?,= ,P^ w + W), e3=pw'.
Il est évident, d'après la formule (68) qui donne p'-M, que le second membre de cette formule est le carré d'une fonction uni- forme : nous vérifions plus loin (n° 18) que chacune des diffé- rences pM — C), pu — 0-2, pu — C3 est le carré d'une fonction uniforme.
47. Effet de l'addition d'une demi-période à l'argument de pu. — Dans la formule d'addition (67) faisons c = (o, en remarquant que pw = C) , p'oj = o et en tenant compte de l'expression (68) de p'-. Nous obtenons
p(u-hoi)—ei= '- '-'
pu — ei
De même, en faisant dans la formule d'addition v = lo + to' ou
GÉNKnAMTK? SIR MIS FONCTIONS K L 1. 1 PT I Q L ES. 55
r = (o', on Irouve
pi u -i- oj — m') — e-î =
p{U-¥- w')— ^3 =
JJ U — Ci
p u — 63
iS. Expressions de pu — ci. Fonctions :fi, ='>, ^^'s- — Dans la lor- niiile (<>'^) établie plus haut
='(?/-+- v) '^(u — r^ p u — 111= — — — — ^ j
faisons i' = (o, nous aurons
3' f ». -H (O ) j ( « — W )
mais, d'aprt s les propriétés de la fonction j, on a
j ( « H- to ) = — e"-'"." a{U — w ),
c omme on le voit en changeant dans la première des formules (22) a en a — w. On a donc
( 70 ) p » - p co = e2 0" -— .
On trouve de même
(70) p « — p oj = e-^f. « — ^., , •
Enfin, dans la relation (62) faisons c = to -f- oj'; il vient
p<<— p(wH-UJ )= ^., ^.,, ; -,
'i-U 7^-(cj -i- a» ;
OU d'après la formule (23), dans laquelle on change u en a — to — oj',
F.es trois différences considérées sont donc bien les carrés de fonctions uniformes. M. Weierstrass emploie une notation
56 CIIVPITUK II.
spéciale pour designer ces trois fonctions. 11 fait
ef>" 3'(co — II) 3-, « = -
(7a)
e'<'i'" jTw'— //)
Avec ces nolalions, on a
73) pu-e,= (^^Y, pu-e,= {t^)\ ,P"-^.= (^)'' P - " = -I i^T J
(74) ^"=-"-^^^7^ '
le signe à prendre en extrayant la racine est — , comme on le voit en multipliant les deux membres par il^ et faisant tendre ii vers zéro. On retrouve ainsi, aux notations près, la formule établie directement dans le numéro précédent pour la décomposition de p'« en facteurs.
iO. Toute fonction elliptique /( fO aux périodes ^w et sw' est une fonction rationnelle de p« et -p' u. — Nous établirons ce théorème comme une conséquence du théorème d'addition et de la formule de décomposition en éléments simples
/(«) = Do-T-^h^^^" — «)-^-^>P(" — a) — y-^p'(«< — a)— ...
' 1 . 2 . . . ( a — t ) '' ^ ^ J
la somme étant étendue à tous les pôles. Tout d'abord la formule d'addition pour ^u (n" 43) montre que j3(w — c/) est une fonc- tion rationnelle de pu et jd'«. En différentiant cette formule on voit que p\u — (i) est une fonction rationnelle de jdw, p' u et p"//; mais, comme
c , Si
G K NKn M. ITKS Sin LES FONCTIONS i: I. r. 1 l'T I Q t ES. 5~
p'{it — a) est une fonclion rationnelle de pu et p' u. On voit de même, en diflL-renlianl de proche en proclie, que p"{u — (i), . . ., p(a-2)^,^ — a) sont des fonctions rationnelles de pu et p' u. Restent les termes tels que ^(// — a). La formule d'addition pour la fonc- lion V (n" ii) dans laquelle on remplace c par — a donne
■>. pu — pa
on a de même 'Ç{u — 0), . . . , "ÇÇu — l ). Si l'on porte ces valeurs dans la formule de décomposition en éléments simples, on voit que, dans la somme
(75) XU u — «) -H B ^( // — A ) H-. . .+ L ^( // — / ).
étendue à tous les pôles, le terme en ti/ disparaît à cause de la relation A + B + . . . + L = o et la somme (7^) est une fonction rationnelle de pu et p' u.
Le théorème est donc démontré.
Remarque. — (^omme on a
p'- " = 4 P^ " — ff-2 P " — .4':i>
on peut, dans une expression rationnelle en p et p', éliminer toutes les puissances de p' supérieures à la première en remplaçant toutes les puissances paires de p' par des polynômes en p. On met ainsi toute fonction rationnelle de p et p' sous la forme
P(p) + p'Q(,p)
r'i(,p)H-p'Qi'j'''
où p, Q, P,, Qi sont des polynômes entiers en p.
Multipliant et divisant cette expression par Pi (,p) — p'Qtip) et remplaçant p'- par sa valeur en fonction de p, on voit que toute fonction rationnelle de p et p', c'esl-à-dire toute fonction elliptique peut se mettre sous la forme
f{u) = \\{p)-i-p'R,(p).
Il et K, étant des fonctions rationnelles. Il en résulte
/(-«) = R(p)-j)'R,(j)), car p' est impair.
58 c M .\ p 1 T n li H .
En parliciilicr, si f{ii) est une fonclion paire, /( — u) doit être égal à/{u) et R| (p) identiquement nul. Alors
f{u)=R(p).
Si /(u) est impaire, /( — u) doit être égal à — /('O ^' ^(p) identiquement nul. Alors
/(«) = p'R,(p).
Ainsi une fonction elliptique paire est une fonction rationnelle de pu; et une fonction elliptique impaire est égale à une fonction rationnelle de pu multipliée par p' u.
Par exemple, p{2u), p(Su), ..., j3(/i«) (n entier) s'expriment rationnellement en fonction de pu. On a ainsi des formules ana- logues à celles de la multiplication des arcs en Trigonométrie, que le lecteur établira sans peine par l'application répétée de la for- mule d'addition.
De même p' (nu) est égal à p' u multiplié par une fonction ra- tionnelle de pu.
30. Remarque sur l'intégration d'une fonction elliptique sup- posée mise sous la forme d'une fonction rationnelle de p et p'. — Soit la fonction
/(«) = R(pM)-hp'«Rirp«),
où, comme précédemment, R et R, désignent des fonctions ra- tionnelles de pu. On aura
I f(u) du = / R{pu)du -^ I p'u Ri(pa)c?«.
La deuxième intégrale du second membre se ramène immédia- tement à l'intégrale d'une fonction rationnelle, car si l'on fait pu = z elle devient
^Ri( z)dz:
/'
on sait calculer cette intégrale. Pour obtenir la première intégrale du second membre, on commencera par décomposer la fonclion rationnelle R de pu en fractions simples, en considérant pu
GK.NKIIA I.ITKS S t U I. IC S FONCTIONS IC I. L I l>T I Q l KS. 'if)
comme la variable
[{(pu) = Co-h c\pu -r- r-.p'' it -{-. . .-+- c^^p'^u
A A, Aï B
pu — et (pu — 7.)i ' (j)« — a)a ■ "■ pu — <^
r^, r,, . . ., Tv, A, A,, \o, . . . , B. . . . , a, ^j, . . . ('lai)t des con- slanles. L'intégrale de la partie enlière en pu s'obtient aisémenl, car on sait (n° 31) exprimer jV- //, p'U/, . . ., p^^ u en fonctions li- néaires à coefficients constants de pu et de ses dérivées p'u, p" u, . . . , de sorte que cette partie entière s'écrit
Cu -f- C, j) u -+- Cip' a -+- C.ip" u -H. . . ;
son intégrale est immédiatement
C„n — Ci^u -h Cipu-\- C^ip' u -i-. . ,.
Les intégrales des termes suivants s'obtiennent aussi en décom- posant ces termes en éléments simples. Pour cela on détermine d'abord des constantes r/, b, . . . telles que
pa = a, pfj = '^, Nous avons donné (n° 44, formule 64) la décomposition en élé- ments simi)les de — ; nous écrirons cette formule
^ ,p u — ,p i>
(76) ! = -^[Ziu — v) — iiu-hv)-h2i:^v].
p"' — p^ ,l) f ■
On en conclut, en eliangeant r en a,
r du I r, ^{u — a) „ "1
. / pu — pa Ji « L ^(u -\- a) J
DifTérentiant ensuite la formule (76) par rapport à v et divisant par p'p, on en tire la formule de décomposition en éléments
simples pour -; dilTérentiant cette nouvelle formule par
rapport à v on en lire de même la décomposition en éléments
simples de -, r> • • • et ainsi de suite. Dans ces formules on
fera i' := « et l'on en déduira immédiatement les intégrales
/du r du
(pu — pa)^'J {pu — pu/'
6o IMIAIMTKK n.
ol. Entre deux fonctions elliptiques fin) et fi{ii) aux mêmes périodes existe une relation algébrique. — En eflel, si l'on l'ail
\=f(u), \ =Mu),
X el Y sont, d'après le théorème du n" 49, des fondions ration- nelles
(77) X = R(,p.p'), Y=R,(p,p'), des quanlilés pu cl p' u liées par la relation
(78) r''«= \p^H — g.pu—g:,.
L'élimination de p el p' entre les relations {']']) et (78) donne évidemment une relation algébrique entre X et Y
F(X, Y) = o.
La courbe (C) définie par cette équation est, en général, du pre- mier genre. C'est ainsi que si l'on fait
on a entre x el y la relation
définissant une cubique (c) sans point double, sauf dans le cas de dégénérescence. Les coordonnées X et Y d'un point de la courbe (C) sont des fonctions rationnelles des coordonnées x el j>' d'un point de la cubique (c).
On peut, en général, indiquer le degré de la relation entre X el Y. Si f{u) est d'ordre /• el f\{u) d'ordre /',, la relation F(X, Y) = o est de degré /•, en X et de degré /' en Y.
En effet, X étant donné, la formule
X=/(w)
donne, pour u, r valeurs dans un [)arallélogramme ; à chacune de ces /■ valeurs, la formule
UKNIÎR M.ITKS StR LICS FONCTIONS K LL I I»T I Q f KS. ()l
fait correspontlie une seule valeur de Y. J)onc à une valeur de X correspondcnl /• valeurs de Y cl l'cqualion F(X, \ ) := o est de dt>gré /■ en Y. On voit de même qu'elle est de degré /', en X.
Par exemple pu est du second ordre, p' a du troisième ; aussi la relation algébrique entre ces deux fonctions est du second degré en p' et du troisième en p.
o!2. Toute fonction elliptique /(//) admet un théorème d'addition algébrique. — J'^u eflcl /{u) est une lonclion rationnelle àepu et p' a
fia) = l\(pu, p'ii).
De même
Av)=R(pi; pi>).
Formant ensuite ./('/H-c) qui est une fonction rationnelle de p{ii-\- v) et p'{if -f^ t')' ^^ exprimant p(" + ^0 ^^ P'(" + ^) ^" fonction de pu, pv, p' u, p' v par les formules d'addition, on voit que/(;^H-(') est une fonction rationnelle de pu, pv, p' u, p'r
D'aillcur
f(u -h v) = \\i(pu. })i\ })' II. ,p'r). p'-u = ip'Ut — ^ç.pu — A' 3,
p'w = 4pn' — ,^2,pi^ — i'3.
L'élimination de pu, pc, p' u, p' v entre les cinq équations pré- cédentes fournira une relation aLgébrique entre f(u + t'), f{u) elf{v).
La récipro(|uc de ce théorème est vraie en ce sens que : Toute fonction analytique uniforme transcendante qui a un théorème d'addition algébrique est nécessairement une fonction simplement ou doublement périodique. Nous nous bornons à énoncer cette proposition, dont la démonstration nous entraînerait en dehors du cadre de cet Ouvrage.
62 EXERCICES SUR LE C 11 A I> 1 T R K II.
EXERCICES SUR LE CHAPITRE II.
1. Démontrer les formules suivantes que nous empruntons au\ Formules et propositions pour l'emploi des fonctions elliptiques, d'après les Le- çons de Weierstrass, rédigées par M. Sclnvarz, traduites par M. Padé.
Dégénérescence. — Quand w'= ce, w étant fini et différent de zéro, on a (3)
> i^2 |
e,= ''^\ ..= e. = - ft 2 |
3. s-, > |
^^ |
_ |
UT. i f - y- |
—2 |
|
110 |
COt h ^ — ". •2C0 0 \210/ ^U = gi^ 2(o7 s,,l — a w |
2T,tO ^ |
G"' |
On le démontrera en rapprochant les formules des n°' 23 et 37. Formules d'addition pour pu et conséquences.
(Gp-^ u — ^ g:2)(pv —pu)-h /^p'^u — ff,pu — f^jZf: p'up'v ■ _ ( 6 p^' — I .;;'-., ) ( ]) u — p 1- ) -h 4 ,p^ i' — g-i p c — ^3 zTz p' u p f
(.') — P "^ 2(p« P<')-'
2(P" PV — i -2)(p ?i + pt') - ^3+ p'" P'V
(4) p(»±r)= .2(p„-p.)'- '
(5) =- ^=-^— — P« — P'-
^ ' I L J'" — P' J
, 2(,)) UpV — \gi)ipU^pV)— g^ dz p' U p'v
(6;
,p(» ± V) l{pupV-^r-\giy--\-'i.gi{pU+pv)
(7) p(» + .)-p(»-0= (pa-p.)-^ '
(8) =->P" — ;j^'"g(P" — P'^)= 2pi'- — lo-(p» — pp).
E xi: KOI CES SUR I. E CIlVPITIli: II.
63
(9)
(10) ( M ) (1-2)
(i3) (i4) (i5)
p{u-^v)p(u — v) =
p It p V
,n
{pu — pv)- OuOv
{piipv -^ Ifi^i)-^ frApit -^,P'')
log(j)« — pf j,
{pu — pvy^
l p ( « ±: r ) = ^-^ ; '- p a
) ■• ^ ' L(j)('-p«r' -i {v^-ptiy^y
p' u — p'i- _ — p'(// -1- «' )— p'Ct')
pu—pv p(" + »')— P(t')
I pu pu
I ■ J)C J)'C
I p{u + v) —p'{u + v)
( p- « -+- K^2 )^ -^ ■>■ .^3 P « 1 f/2
p(2J<)= ; — = pu -p-
^^ ' Jip:iu-ff,pu-ff, ^ d du
Par rinlégralion on déduit de la dernière formule
_ . J(2?0
1 a'i -au) -i u 2 n' u
(i6)
T'ogJ''"-
= — P '«,
^/ N w. ''/*l0g3'». _^ .^, ^„ „ _^„ _^, _^„ ^. .„
:f('2u)= ij* u ^j-^ = 2 j «(3^ «)* — 3 3^'// j /< j n -\- -i^ u -j u.
du'^
2. Le déterminant
I p u p u
1 J)l' p'v I p»' j)'(r
où ii, t', (ï' sont trois variables indépendantes, a pour valeur
a{v — ip ) 3" ( (v- — u) j(u — i') :j( u -^ V -h ix>)
Pour le démontrer remarquons que ce déterminant, considéré comme une fonction de u, est une fonction elliptique d'ordre 3 ayant le pôle triple M = o et les points homologues. Cette fonction a manifestement les zéros c et w, car si l'on fait u = c ou u = «' deux lignes sont identiques. Le troisième /.éro de la fonction est donc homologue du point — {v -h w), car la somme des zéros ne diffère de la somme des infinis, qui est nulle, que
(>4 EXERCICES SLR LE CHAPITRE II.
par de? multiples des périodes. On a donc
^ r'(« — v) :ï(u — iv):^(u -^v -\- w) A = L — >
C désignant une constante indépendante de a. Pour la déterminer on mul- tipliera par »3et l'on fera ii = o. Le produit u^ 1 tend alors vers ■i.ipv — pw), el le second membre tend vers
G J't' s'il' 3'(i' -1- (r).
Donc
pv — pw
C = i
3*1^ O'W tf^W" -i- «l')
Décomposant alors pt- — pw en facteurs (n° 43) on a la valeur de C et Ton obtient la formule indiquée (').
3. Fonctions r,, r^, -,. — Les équations
définissent les trois racines carrées en fonctions uniformes de u. Si Ton donne successivement à la variable u les valeurs
lOi = tO, W.> = W -f- lo' = Oj", tOj = co ,
on obtient les équations
\/ei — ei= —^ — = — — - — JT' s/ e
f 'i '"' |
j |
Cj' |
|
3' |
w |
■> |
10 |
e' |
r,w |
3 |
'oj' |
:;' |
tu |
3- |
w |
e |
-r,a)' |
jio" |
, j") 10 e~"'i'^ jlO / JotO
^ |
co |
3- |
w' |
el |
'to' |
^ |
w |
j'to' |
S'il» |
||
C'O |
'w |
^ |
w |
par lesquelles sont déterminées sans ambiguïté les valeurs des six racines carrées. Dans Ihypothèse que le coefficient de i dans — est positif, on a, entre ces radicaux, les relations
sje^ — €., = — i v/e, — é-a, (3) < v/es— <?! = — iV^i — «3,
s/e^ — É"i = — i /ei — e^.
C) Voyez, pour des formules de ce genre, Hermite, Journal de Crelle, t. 84.
EXERCICES SI II I,E CIIM'ITUE II. 65
Relations entre les carrés des fonctions r", a'i, j'î, 03 — Les relations
donnent, par l'éliminalion de ^u, les formules
<i\u — 3'5ff-(-(e2 — e3)3'2a = o,
<^\ u— j I f/ -i-(<'i — c.i):r^u = o,
(^2— «3) 3'ï t< -4- (Cj— Ci) 3"^ «-+-(<?,— ^2) 3'j « = O.
Dijférentiations des quotients de fonctions 3'. — L'équation
, ^\ a J'y. a j-v u
( ' ) J3 « = — 2 ^ — ^^^—^ —
^ u :i u<jU
donne pour les fonctions
Cm Cp.» -j, ( 2 ) — — > , ,
les équations différentielles suivantes
/ d <^u _^\t.i(- a'yju
du (j\ u C). u ■j\ u '
/ Cfj. M _ a'x «Cm rtf Cx « 3'j;, ?/. 3-,^ u
fi»
du -i^i u ^ Cv « j V " « " C ;<
^ u 7 u
Exemples de décompositions en éléments simples.
I p' u ^-,. u -iu d , a'i u
— = -7-lor
1 pu — <?X v). « j « (/i/ ° 3" u
(e,j_— e^,)p' u a''^),u -i^u d , Cm// ^ — — -r- loi'
2 ( JJ « — ejxXP « — ^v ) C(j. tt ^'v /< t/i< ® Cv //
(o.— e|j.)(ex— ev) rf C>, '/ r/2 ,
p^^ — e\ du j)« rt/<-
i. Soit ç(m) une fonction elliptique du second ordre aux périodes 2o> et 2to'. Si cette fonction admet, dans un parallélogramme des périodes, un
seul pôle double u = a avec la partie principale ; , sa dérivée
(// — ay-
■/(u) admet dans un parallélogramme les trois zéros a = a -i- oj, p = a-f- w', Y = a -f- w -f- M et l'on a
T(â')'' = [''^"^~''°^^Jf?(")~ •^^^J•'^"'^-?^'^J■ A. ET L. 5
n-^ b > ■2 |
a^b if 2 = |
a-^b |
«4= • 2 |
66 K XEKCl CES SLR I,E CHAPITRE II.
Ces théorèmes se démontrent soit en exprimant 'v(m) à l'aide de pi/
cp(j/)= Ap(;/ — (7)+ B,
soit en remarquant que
9(2« — zO='f(")> d'où, en différcntiant,
<q'{ia-~ u) = — o'{u);
relation qui montre que ^'(u) s'annule pour u = a, u = ^, u = '(, car elle donne, par exemple, o'(a) = — '-fCa:).
Si cp(«) a, dans un parallélogramme, deux pôles simples a et 6 de résidus A et — A, ç'(«<) admet dans un parallélogramme quatre zéros
«1
«3 = h OJ , U'^ = • -!- CO + O) ,
.». 2
et l'on a
^^M'â)'= [?(")- ?(«l)][?(«)-?("2)]
X [?(«)-?( "3 )]['f(") — ?(«<v)l.
On le démontrera en établissant la relation
■z{a -r b — u)= o(u) et, par différentiation,
o'(a + 6 — u) = — 'Zf' {u).
5. Démontrer que l'on a, quels que soient les arguments a, b, c, d, la relation
^(a -i- b) ^{a — 6) 3'(c -f- d) j (c — d)
— :i{a-\- c)(i{a — c) j'( b -h d) !:f(b — d) -^ 'i {a -^ d) -i {a — d) :f{b -^ c) :i{b — c),
désignée quelquefois sous le nom d'équation à trois ternies. — Elle ré- sulte de l'identité
(A — B)(G-D)-(A — C)(B — D) + (A-D)(B — C)=o,
où 1 on fait
A = pa, B = pb, C=pc, D = pd
et de la formule
a'( u -h i') :f( u — i>) pu — p c = .
0. Démontrer qu'il existe une relation linéaire et homogène entre les
I
EXCnCICKS SUR I.E CHAPITRE II. 67
l'onclions
:i{u -~- a) -^(u — a), a'{u -i- b) ::'(u ~ b), ■:f{u-\-c)j(u — c). La fonction
V -Un — h) -iixi — h\ -^ O j-iM-f- c\ -fin — c) <j(u-i-a)^{u — a)
est une fonction doublement périodique ayant deux pôles dans un parallé- logramme des périodes; on peut déterminer le rapport des constantes I' et Q de façon que le numérateur s'annule pour « = a ; P et Q étant ainsi déterminés, la fonction se réduit à une constante. On retrouve ainsi la relation précédente.
CHAPITRE in.
ÉTUDE DES VALEURS RÉELLES DE pu LORSQUE to EST RÉEL ET co' PUREMENT LMAGLNAIRE. APPLICATIONS.
51. Dans la théorie générale que nous venons d'exposer, les périodes aw et 2to' sont des constantes imaginaires quelconques, assujetties à la seule condition que leur rapport soit imaginaire. Un cas particulier des plus importants, qui se présente fréquem- ment dans les applications, est le cas où l'une des périodes 2co est réelle et l'autre 2w' purement imaginaire, c'est-à-dire égale au produit de i par un nombre réel. Comme on peut toujours changer le signe des périodes, on peut prendre 2 w positif, alors 2 oj'
20)' . .^
étant suppose purement imagmaire, — .— sera positii aussi, car
nous avons fait la convention que, dans le rapport —, le coefficient de i est positif.
C'est ce cas que nous allons examiner en détail, pour faire ensuite quelques applications géométriques et mécaniques. Pour que ce cas se présente, il faut et il suffit que les racines et, eo, C;) soient réelles.
w'
I. — \.VLEURS REELLES DE p U QUAND 10 ET -.- SONT REELS ET POSITIFS.
32. Les invariants ffo et gs sont alors réels. — Si l'on suppose to et A- réels et positifs, les invariants
sont réels. En eff'et, à toute valeur imaginaire de w correspond pour iv une valeur imaginaire conjuguée, puisqu'on changeant le
ÉTUDE DKS VALEURS nÉELLES DE pu. (ig
signe do n on change le signe du coefficient de i. Dans chacune des séries précédentes, les termes qui correspondent à deux valeurs imaginaires conjuguées de w ont une somme réelle : on en conclut que g2 6t^3 sont réels.
33. Valeurs réelles de l'argument. — En raisonnant de même pour chacune des séries
pu = > ; — —, » n' « = — ■). y »
U- ^ 1{U — IV)' W-j ^ Jmd{u—W)i
où l'on suppose u réel, on reconnaît que pu et pu sont réelles
quand l'argument u est réel.
Les valeurs de u qui rendent la dérivée nulle ou infinie sont de
la forme
mj lu -H rtiio',
//?i et /î| étant des nombres entiers.
1° Lorsque u croît de o à w par valeurs réelles, p' u varie d'une manière continue et ne change pas de signe; pour u positif et très petit p' u est très grande, en valeur absolue, et négative puisque sa valeur principale est
pour u = (o, p' u s'annule.
Donc, quand u croît de o à w, la dérivée est constamment né- gative, et elle passe par toute valeur négative; la fonction pu décroît constamment depuis +00 jusqu'à jDto = e|. Cette valeur e, est réelle.
L'équation
p'^ u =-- /'ipi u — ffiP a — gi
montre alors que u croissant de o à w, c'est-à-dire pu décroissant de 00 à ej , le polj'uome 4 P^ 11 — S'iP^'- — ë^ ^^ s'annule que pour a = (0 c'est-à-dire pour pu ::= e\. Le polynôme ^x'^ — g-^x — g^ n'a donc pas de racine réelle supérieure à e, : la plus grande racine de ce poljnome est la valeur que prend pu^ quand u égale la demi-période réelle.
L'argument u variant toujours de o à w, p' u est négatif, et l'on a.
70 CHAPITRE III.
en extrayant la racine,
OU, en posant x = pu,
dx
du =
\/ \x^ — fi'i X — _:,':
Comme x décroît de oc à e, quand u croît de o à to, on a, en intégrant par rapport à «f de o à to et par rapport à ^ de oc à Ci,
par valeurs réelles,
/dx _ \/\X^— g^X — g:i
1^ Supposons maintenant que u est réel mais n'est plus compris entre o et w. Les égalités
P(— «) = ,P«. p'(— «)== — P'«
montrent d'abord que, quand u varie entre — lo et o, jd «/ est réel et plus grande que e, , ^ u est positive et prend toutes les valeurs positives.
On peut toujours ramener un argument réel à être compris entre — co et to, en retranchant de cet argument un multiple de la période 2oj; les résultats précédents s'énoncent ainsi :
Quand l'argument u est réel la fonction pu et sa dérivée p u sont réelles. La valeur de pu est plus grande que e^ et le signe de p' u est celui de ( — i)'"+', si l'on a
ma)<«<(/n-4-iJa), /n étant un nombre entier.
54. Argument purement imaginaire. — Quand l'argument u est purement imaginaire, la fonction pu est réelle et p' u purement imaginaire. C'est ce qu'on voit immédiatement en se reportant aux séries. En effet, si l'on fait u = iV, en supposant v réel, la série pu donne
n ( tV I oj, w') = ; -r- > T-- r; t:
!•: T L D E D F. S V A L F. U 11 S R É E L 1. E S D E p H . 7 1
Dans celte dernière série iw ^ 2mitii+ 2 m' ioi' ] elle définit donc, au signe près, la fonction p{i') construite avec les périodes /w' et iio, ou avec les périodes — lo)' et ùo, car on peut changer le signe d'une des périodes. On a donc
(2) p('VI(a, w') = — p
La fonction ji(iV|a), co'), où l'argument est purement imagi- naire, est ainsi ramenée à une autre fonction p à argument réel c,
construite avec les périodes — et iio dont la première est encore
réelle et la seconàe purement imaginaire avec un coefficient de i positif. Donc, quand u est purement imaginaire, p{u) est réelle. Cette formule (2) est un- cas particulier des formules d'homogé- néité établies au n" 36 : on l'obtiendrait en prenant pi =^ i.
Les nouveaux invariants relatifs aux nouvelles périodes -r- et iw
se déduisent des expressions (i) en y remplaçant w par iw\ ils sont donc égaux à ^o et à — 0^3. On peut donc écrire aussi
Si Ion prend les dérivées par rapport à r dans les relations (2)
et (3) on a
. , / I a> ' . \ p {iv\ià, tii)= ip ( 'M J' î^h
P'{iv\ gi, gz)= i?'(.v\ gi, —gs)-
Donc, quand u est purement imaginaire, p'{ii) est purement imaginaire.
La fonction y = plçi-r-j to j =p(r; ^27 — © 3^ vérifie l'équation
le pol\nome en j' qui est dans le second membre admet pour ra- cines — (?(, — ^2, — 63. D'après ce que nous avons vu dans le numéro précédent, quand r varie par valeurs réelles de o à la
demi-période réelle —, la nouvelle fonction j3(p) décroît constam- ment par valeurs réelles deooà p( -; — -,iti)j qui est la plus grande
72 CHAPITRK III.
racine — e^ du polynôme 4j^ — g^y + ps- L'on a de plus
Lu' C^
Donc, quand u = iv varie par valeurs purement imaginaires
de o à oj', la fonction ^:=p(?/jto, co'), qui est égale à — piv — . ?co j,
c/*o^/ constamment par valeurs réelles de — go à j3(w'|(o, to'), c'esl-à-dire de — oo à la plus petite racine e-i du poljnome
D\me façon générale, en appliquant à la fonction pfr -, w| et
à sa dérivée ce que nous avons vu dans le numéro précédent, pour un argument réel, on a le résultat suivant :
Quand l'argument u est purement imaginaire, la fonc- tion pu est réelle et p' u est purement imaginaire, la valeur de
la fonction pu est négative et toujours inférieure à e^ ; -.p'{u) a le signe de ( — i)"'+' si Von a
lo' u to'
m— < — < ( /« -f- 1 ) — j
Il i
m, étant un nombre entier.
5o. Racines ej, ^2, e^. — Parmi les racines du polynôme 4.r^ — g-iX — ^3 la plus grande et la plus petite sont donc
6] = p((0|l0, W'), ^3 = p(w'|w, W'j.
Ces deux racines étant réelles et les invariants ^2 et g^ étant réels, la troisième racine e-^ est réelle aussi : elle est comprise entre les deux précédentes et a pour valeurs
Ainsi, en désignant, comme nous l'avons fait, par e,, e^^ e^ les racines qui correspondent aux demi-périodes w, w -+- w', lo', on a
56. Autres valeiirs de u rendant pu réelle. — Nous trouverons d'autres valeurs de l'argument faisant prendre à la fonction des
É T i n K n i: s valeurs r k e l l k s de p u . yi
valeurs réelles en considérant les développements de p(u -+- uy') et de p{i' + t'O-
i" Argument it -^- o)\ u étant réel. — D'après la définition même de pu, on a
P(«
/) — pio' = 7 7— T-;
U = o, rb 2, ±4) • • •> V = -J- I -t- 3 -+-5
Lorsque u est réel, si l'on change v en — v dans un terme ima- ginaire de la série, on obtient un autre terme imaginaire conjugué du précédent et la somme de ces deux termes est réelle. Donc p{u-\-hi') est réel quand u est réel. On voit, de même, que la dérivée
p' ( « -+- W' ) = 1 > 7 7—
est réelle.
Quand u croît par valeurs réelles de o à w, i^ -+- w' varie de lo' à 10 H- to' et p'{u + co') ne devient ni nul, ni infini, sauf pour les valeurs extrêmes qui annulent toutes deux p'{u -{- lù'). Ainsi p'(«H-o/) garde un signe constant : jD(w-t-co') varie toujours dans le même sens. Or, la valeur de cette fonction pour « = o est ^3 ; pour u^=w, elle est e.y^e^. Donc p{u-\-(x)) croît constam- ment de ^3 à eo.
D'après cela, le signe constant de la dérivée est le signe +• Comme cette dérivée part de zéro pour revenir à zéro et reste finie elle a un maximum.
Ainsi, quand u croît de o à w, p(«-|-(o') est réel et croît de €3 à Co', la dérivée p'(u-'roi') est réelle, positive et inférieure à un certain maximum.
On en conclut une seconde expression de la période réelle aw. En effet, en faisant
piu -f- O)') = X,
on a
dx
du =
et quand u varie de o à o>, x varie de e-i à e-i par valeurs réelles ;
74 CIIAPITUE III.
on a donc, en intégrant par rapport à w de o à to, et par rapport à X de e-i k Co,
f
,,3 V^^^—gîX — g3
2° Argument it — co, t étant réel. — Considérons enfin un argument de la forme — lo + it, t étant réel. Dans la formule
p(à'lco, w') = — p/i'! j, iwj,
laisons IV = — w 4- H,
p ( — (x> -^ i(\iù, <x>') = — p(t -h ioi ^} i oj J .
la fonction qui est dans le second membre rentre, à un change- ment de notation près, dans le cas précédent.
Quand t varie de o à — cette fonction varie constamment dans ^ i
le même sens : il en est de même de la fonction p( — (o + i7|co, to');
or, cette fonction part de e, pour arriver à e^', elle décroît donc
constamment. Sa dérivée prise par rapport à <, i p'{ — w + iV| co, w')
est négative et, comme elle part de zéro pour arriver à zéro, elle
reste supérieure à un certain minimum.
Ainsi, quand t varie de o à — ■> p{ — 10 + //) décroît de e^ à Co;
ip'{ — iii -h it) est négative et reste supérieure à un certain minimum.
Comme
p ( u) -}- i7 I oj, co' ) = p ( — oj -1- iV I o), oj'),
le même résultat s'applique aux fonctions
p(a)+i7) et ip'{(x) -r- it).
Remarque. — Nous venons de trouver des valeurs de u pour lesquelles la valeur de la fonction pu est réelle et nous avons déjà
reconnu que, dans le cas actuel où les quantités oj et — sont
réelles, la fonction pu peut prendre une valeur réelle quelconque. Les autres valeurs de l'argument, pour lesquelles la fonction
ÉTLDE DKS V V MU R S HKKLLES DE pu. 75
prend des valeurs réelles, peuvenl se déduire des jirécédentes, en reniarquanl que réqualioii
pu — pv = o entraîne (n" 43)
à des multiples près des périodes.
o7. Résumé. — Considérons le rectangle de sommets o, oj, oj + 0)', lo'. Quand l'argument ii décrit le contour de ce rectangle dans le sens o, w, to+w', w', o, la fonction pu est réelle et diminue conslammenl de -h co à — x :
i" Quand ii va de o au sommet (o, pu est réelle et décroît de oc à e, ; p' u est négative.
2" Quand u va de w à o/, pu décroît de c, à Co, p' u est pure- ment imaginaire positive.
3" La variable u allant de to + w' à w', pu décroît de e-y à e», p' u est réelle et positive.
4" Enfin u revenant de to' à o, pu décroît de <?3 à — x; p' u est purement imaginaire négative.
En tout point pris dans le rectangle pu est imaginaire. II. — Étude de la cubique définie par les équations a' = pu.y =p'u.
LEMNISCATE.
58. Cas général. — Considérons la cubique ayant pour équation
(') J-= ^^^—é'-2^ — ff3,
OÙ ff-i et ^3 désignent des constantes données quelconques. On démontre, en Géométrie analytique, que l'on peut, par une pro- jection centrale ou perspective, lamener l'équation de toute courbe du troisième ordre à cette forme.
Construisons la fonction p(ii'i g'-i^ g'3)', nous pourrons exprimer les coordonnées d'un point de la courbe (1) en fonction d'un paramètre m, en posant
(2) ^ = pii, y = p'u.
A. chaque valeur de u répond alors un point de la courbe, car
76 CHAPITRE III.
les fonctions p et p' sont uniformes : ce point reste le même quand on ajoute à u des multiples des périodes 210 et 2w'. Réci- proquement, à chaque point (x,y) de la courbe répond, dans un parallélogramme des périodes, une seule valeur de u. En effet, x étant donné seul, l'équation
donne, pour u, deux valeurs Uf et — u^ et toutes les valeurs homologues : comme la fonction p' u est impaire, à ces deux systèmes de valeurs de u, correspondent deux valeurs dey égales et de signes contraires ; ce sont les deux valeurs que l'on tirerait de l'équation (1). Si l'on fait choix d'une de ces valeurs dey, il lui correspond donc une seule valeur de u, U\ par exemple, et les va- leurs homologues. La proposition est établie.
On a ainsi une représentation paramétrique parfaite de la courbe.
59. Condition pour que trois points soient en ligne droite. — Soient M,, Mo, M3 les trois points où une droite quelconque
y — ax — b = o
coupe la courbe. Les valeurs ^^,, Uy^ U3, situées dans un parallélo- gramme élémentaire et correspondant à ces trois points, sont ra- cines de l'équation
p' u — apu — b = 0.
Le premier membre de cette équation est une fonction ellip- tique d'ordre 3 : elle a, dans un parallélogramme élémentaire, trois zéros w,, Uo, Uz et un infini triple homologue du point ;/ ^ o; d'après le théorème de Liouville, on a donc
n et n' étant des entiers.
Cette condition qui est nécessaire pour que les trois points correspondant à f^,, «2, u^ soient en ligne droite, est suffisante. En effet, soient M,, Mo, jMs les trois points correspondant aux trois valeurs m,, u.^-, U3. Joignons les deux premiers par une droite et appelons M3 le point où cette droite coupe la cubique
ÉTLDE DES V.VLEIKS IIKEI.I.ES DE pU. 77
et W3 le paramèlre correspondant. Les trois points M,, Mo, M', étant en ligne droite, on a
»i -t- u-,-h »'( = 'xint-o -h 'i/n' lo'.
m et m' entiers. En comparant à la relation (3) supposée vérifiée, on voit que u'.^ ne diffère de «3 que par des multiples des périodes ; donc M', coïncide avec M3 et les trois points considérés sont en ligne droite.
60. Formule d'addition. — La relation (3) permet de retrouver la formule d'addition de pu. Si l'on appelle u et t" les paramètres de deux points de la courbe, le point en ligne droite avec les deux premiers correspond ^à la valeur — (u-^v) du paramètre.
D'après cela, les abscisses des trois points d'intersection de la cubique avec une droite peuvent être représentées par
et les ordonnées par
pV, p'ii, —p'(u-hv).
J^'équation aux x des points d'intersection est
F{x) ss ^x^ — giX — ^.^.3 — {ax -\- b)-= o.
On voit d'abord que la somme des racines est — » ce qui donne la relation
p II -h pv -^ p{ U -^ v) = -—,
4
à laquelle il faut joindre l'une des suivantes
p' u — p' V _ — J)'("- -*"'') — ,P''^ _ — .P'*^ " -Ht') — ,p' u ~ V^ — V^ ~ P("-+-^) — J^'' "~ .pl»-»-^') — P«
obtenues en déterminant le coefficient angulaire de la droite au moyen des coordonnées de deux de ses points. En éliminant a on trouve le théorème d'addition
, ^ I Ip'u — p'vX"- pu -\- pv -\- p(u -\- v) = -- I
On peut déduire de la même équation E(.r) = o une autre
78 CHAPITRE III.
formule d'addition donnant une expression du produit
(pu — pv)[p{u -h i>) — pv],
qui est très souvent utile. Posons
ri = pc, Xi:=pu, X3=p(u-hvy, nous aurons l'identité
^x^— ff-2^ — §'3 — (ax-^ b)-= ^(x — Xi)(x — Xi)(x — ^jV
Prenons les dérivées des deux membres puis faisons x=^Xi, nous trouverons
1-2^7 — ^2 — 2a{axi-h b) = '\( Xi — Xi'jÇx^ — Xi), OU, en introduisant les valeurs de la fonction j3 et se rappelant que
2{pu — pv)[p(u — p) — pp] = p"i> — ap'i',
^, ^ ,P'" — P't' . p u — pv
En particulier, si a =: o, on a légalité
p"v = (x,— Xi)(X3—Xi),
qui donne une interprétation géométrique delà seconde dérivée p" v et permet de trouver son signe quand elle est réelle.
Addition d'une demi-période. — Ces considérations donnent une signification géométrique simple aux formules d'addition d'une demi-période établies dans le n° 47. On les obtient en cou- pant la courbe par une sécante passant par un des points où elle rencontre l'axe Ox. Ces points A,, A2, A3 ont pour coordonnées jK = o avec
x = ei, X = e^, X = Cz.
Ils correspondent aux valeurs w, co + to', co' de l'argument 11. Si donc on coupe par une sécante joignant le point
Ai(j>'=o , x = Cl)
correspondant à la valeur to du paramètre à un point M' de la
KTUDE OES VALKLRS IIKKLLES DE pU. 79
courbe correspondant à la valeur u du [)aramclre,"ette sécîinte coupe la courbe en un troisirnio point M" correspondant à une valeur u" telle que
(.û -\- u -}- II" — i. n «) -1- >. n' to',
et, en négligeant des multiples de périodes, on peut prendre u"= — (u -+- w). Ainsi les abscisses des points M' et M" sont
cr' = pu, x" = p ( «< -h to ).
D'autre part, en coupant la courbe
j2=4(^_e,)(^_e,)(x— e-i)
par une sécante issue du point A,
y = m{x — ei), on a, pour déterminer les abscisses x' etx", l'équation
ni-(T — ci) = ^{x — e2)(x — 63).
Si dans cette équation on considère x — e, comme l'inconnue, le produit des racines (x' — Ci)(x" — c, ) a pour valeur
(x— e, )(x-"— t'i j = (ei— <?2)(ei— Cs).
On a donc, d'après les valeurs de x' et x",
[pu — ei][p{u + oi) — ei] = (ei—e.î)(ei~e3),
ce ((ui est une des formules établies dans le n°47. On obtiendrait de même les deux autres en coupant par une sécante passant par l'un des points Ao ou A3.
01. Tangentes menées d'un point de la courbe. — ■ Menons la tangente à la courbe au point dont le paramètre est «, cette tan- gsnte rencontre encore la courbe en un point; soit v le paramètre de ce point. On a, d'après la condition qui exprime que trois points sont en ligne droite,
v H- ■->. Il =1/1 (I) -t- ■'. n ' vu'. On en déduit
_ ^ . ■* " f'^ -î- 2 n' oj' 2 -jt
8o CII.VIMTUE m.
Dans celte formule, on peut donner k n el n' toutes les valeurs entières; mais deux valeurs de u qui diffèrent par des multiples de 2(0 et 2 0)' donnent le même point de la courbe; il suffit donc de donner à /? et n' les valeurs o et i associées de toutes les ma- nières possibles. On a ainsi les quatre valeurs de u
V V V , V ,
> — l-CO, t-tO, I-W-+-CO.
•2 2 -2 2
Donc, par un point pris sur la courbe, on peut lui mener, en général, quatre tangentes distinctes de la tangente au point con- sidéré.
Points d^ inflexion. — Comme autre application, cherchons les points d'inflexion. Si u est le paramètre d'un point d'inflexion, la tangente d'inflexion coupe la courbe en trois points con- fondus avec celui-là; il faudra donc faire dans (i), à des mul- tiples près des périodes,
U^ = M, = i<3 = U ;
d'où
2rt W -i- 2/l'oj' U = : • •
Dans cette formule, on peut donner à n et n toutes les valeurs entières; mais deux valeurs de u qui diffèrent par des multiples de 2C0 et aco' donnent le même point d'inflexion. Il suffit donc de donner k n el n' les valeurs o, i et 2 associées de toutes les ma- nières possibles. On trouve ainsi /lei//" points d'inflexion dont les paramètres sont donnés par le Tableau suivant, oii Un,n' désigne la valeur de u correspondant à un choix déterminé des entiers n et n' :
«0,0= o, «1,0=^^ 4co «M=-3-' |
«0,1 = «1,1 = «2,1 = |
2.0-)' ■ > ' 2(0-4- 2(o' 3 ' 4 W -i- 2 Co' 3 ' |
«0,2 «1.2 «2.2 |
= |
4w' 2 KJ -^ 4 (jj' |
3 4 w -t- 4 (^ 3 |
Ces points sont trois à trois en ligne droite ; îa droite, qui joint deux quelconques d'entre eux, passe par un troisième; on a, par
i: ri 1)1-: ni: s valeurs h i; i: i. l k s ni: pu. }<i
«■xomplo,
"0,0-^ "1,1 -^ l'i,2 = S''-» -r- 2<o'.
Le premier point //n.n csl rejelé à l'infini dans la direclion
de O)'.
{)^2. Condition pour que ']/> points de la cubique soient sur une courbe d'ordre //. — • ( ilicrcliuiis daburd la condition pour (pic six points de la cubi(jue soient sur une conique.
Si l'on coupe la cubique par une conique
A ,2 -X- -2 15 jy -^ C j'2 -4- 2 D .7- -t- v» Ey -f- F --= o,
Tt^pialion (pii détermine les paramètres des points d'intersection s'obtiendra en reniplaçanl j: cl j' par pu et par j///. Le premier membre de cette équation est une fonction doublement périodique (jui, dans un parallélogramme élémentaire comprenant l'origine, admet zéro comme pôle d'ordre G et n'admet j)as d'autre pôle; l'équation admet donc six racines (n"*38et39) et la somme de ces racines est nulle, à des multiples |)rès des périodes.
Ainsi la condition nécessaire pour que six points de la cuijique soient sur une conique est que les paramètres de ces six points vé- rilient l'égalité
l/[— It-i^r- /':j-t- U;-^- Ur,^r- U f, = '. // CO -+- l/l'io'.
La condition est suffisante car si elle est remplie, la conique, passant par les cinq premiers points, coupe la cubique en un sixième point dont le paramètre //J. doit être congruent à //,j.
On obtiendrait, de même, la condition pour rpie 3// points de la cubique soient sur une courbe d'ordre n. Celle condition est
Par exemple, une autre cubique coupe la cubi(pH' donnée en neuf points cpii doivent être assujettis à une condition, |)uisqu(', par neni' pf»ints donnés, il ne passe, en gén(''ral, qu'une seule (•iibi(pic. Le théorème précédent exprime celte condition de la façon la plus simple.
(]e théorème a de très nombreuses applications géomélrinues, nous en donnerons seulement quelques exemples.
A. i:t t.. (i
Si CHAPITRE m.
Applications. — i" Lorsque six des neufs points d'intersection do deux cubiques appartiennent à une même conique les trois autres points sont en ligne droite.
En effet, soient ;/,, Uo. • • ., «9 les paramètres des neuf points suivant lesquels la cubique donnée est coupée par une autre cubique, on a la condition
// 1 -+- «2 + • • • + "6 -4- • • • -î- «9 = 0,
dû, comme dans tout ce qui suit, le signe ^ indique que l'égalité a lieu à des multiples de périodes près. Supposons que les six premiers points appartiennent à une même conique, on aura celte aulre condition
»1 -H »2 +. . .-r- iffiSS O,
cl Ton déduit de ces deux conditions l'égalité
u- ■+- Us ■+- Uo^ o,
(pii exprime bien que les trois derniers points sont en ligne droite. Le théorème est donc démontré.
2° Si l'on considère une conique variable passant par quatre points fixes pris sur une cubique, la droite qui joint les deux points d'intersection mobiles passe par un point fixe de la cubique.
Soient ;/|, u-,, U3, 11,, Ui, Uq les paramètres des six points d'in- tersection, les quatre premiers se rapportant aux points fixes.
Posons
uy -^ ?/o -H u.i -h Ui = r ;
V est une constante. La relation qui exprime que les six points considérés de la cubique sont sur une conique devient
elle exprime que les points dont les paramètres sont ii^, it^ et r sont en ligne droite. Gomme p est le paramètre d'un point fixe, la proposition se trouve démontrée.
Courbes de contact. — Les applications suivantes sont relatives à des courbes de contact, c'est-à-dire à des courbes qui ont avec la cubique plusieurs points d'intersection confondus.
3° Considérons d'abord des coniques trois fois tangentes à la
I
KTLDi; i)i;s vAi.i:i ««^ ii i-: i; 1. 1. 1; s m; ]<ii. S{
( iil)i(|iic; si Ton désigne les paiarnèlrcs des points de eonlacl p. h //, , //o, //;, on doit avoir
2«1-|- ■>.l(.,— -I.lli= JL/IO} -:- xn'o}'.
ou bien
«1 ^- u,-T- n.i = iioj -.- /l'w':
il siillil de donner à chacun des nombres enliers n et //les valeurs
de <) el I .
Si l'on prend
// = II. Il' -- <).
l'égalilé exprime que le^ trois |)oiiiis sont en ligne droite. (^esL le cas où la conique se réduit à une droite double ; écartons ce cas ; il reste trois familles de ccjniques correspondant aux relations
"l - |
T- lli^ "3^ tO, |
|
«1- |
— 11,-^ tl^-r?= (O'. |
|
II, - |
- Il-i -*- Il . r <<) - |
- CJ |
On peut donc choisir arbitrairement deux des j)oints de eonlacl pour cliacpie conique d'une lamdie. Prenons une conic|ue, de la première famille par exemple; si Ton fait passer une conique par les trois points de contact //,, //o, <r,, elle rencontrera encore la cubique en trois points ii\. a.,, f/\ el Ton aura
» > -- Il , — Il , — Il .,— Il , = i II i>)
De cette relation el de la condition déjà vérifiée par //,. i/... i/,.. on déduit
ll\ — u'., -¥- ll'f ' 10,
et l'on voit que les trois nouveaux points sont aussi les points ilr contact d'une conique trois fois tangente à la cubi({ue apparlenanl à la même famille.
'l" Cherchons encore les points de la cubicjue où la conique oscu- latrice a un contact du cinquième ordre, ou, ce qui revient au même, les coniques qui reneoulrenl la eul»itpie en six points cou- fondus.
(Jn doit avoir pour le paramètre du point de contact
G II — "2// (•) — JL/ilo' ,
84 cil V PI tri: 1 1 1.
ou \)\CU
n II'
Il = ) 10 -;- — ■>. (o
() b
Cliaciin tics nombres enliers /i cl /i' peul prendre loules les va- leurs de o à 5, ce (jui donne 6-= 36 points.
On trouve parmi ces points les neuf points d'inflexion qu'on obtient en considérant les langontesd'inflexion comme des droites
doubles, puis
(V- — ]-= "?.-
iioinls de contact de véritables coni(|ues suiosculalrices. Ces points sont six par six sur des coniques.
iVA. Cas particulier où w et — sont réels. Forme de la courbe.
Nature de l'argument donnant des points réels. — JNoiis allons
maintenant examiner le cas parlicalier où o) et — sont réels, de
façon à avoir une représentation géométri(|iie des résultats du paragraphe précédent. Dans ce cas, la courbe a pour équation
y- = 4 x'^ — i.'-t-r — A'':! = i '■-'" — ''i )( -f — ''> )i'.r —«■;(),
où (?i, e-y, e-i sont réels et rangés par ordre de grandeur dé- croissante. Pour que y soit réel il faut que x soit compris entre t'.i et e-i, ou plus grand que t'|. On voit immédiatement que la courbe est formée d'une ovale A3 Ao et d'une branche infinie A, de nature parabolique, sur laquelle la tangente tend à devenir parallèle à Oy
Cherchons quelles valeurs il faut donner à u pour obtenir les point réels de la courbe. D'abord, ])Our obtenir les points de la branche infinie, il faut donner à 11 des valeurs faisant varier x de Ci à -h 30, c'est-à-dire des valeurs réelles. Puis, pour obtenir les points de l'ovale, il faut donner à u des valeurs faisant varier ./• de e-i à Co, c'est-à-dire des valeurs de la forme // 4- w', u étant réel.
On peut facilement suivre sur la courbe la marche du poiiil (x,^') quand l'argument prend ces deux systèmes de valeurs.
Supposons d'abord u réel; il suffil, à cause de la périodicité, de le faire varier de — (o à -h to, en remarquanl que des valeurs de //
I
KTiDi-; in; s v\i, i:rns ii i: 1:1.1.1: s i»e pu. «»
égales et de signes contraires donncnl des [)oinls de la coiirhe sj-
métriques par rapport à Ox. Quand u croît de o à oi, x décroît
de -|- 3c à ^t,y croît de — 00 à o : on a donc la branche infinie de
courbe située au-dessous de Ox et venant aboutir au point A,
dont les coordonnées sont Ci et o. Au point \| la tangente est [)a-
1 1 < I > /^ • f'^J" t ' I f^y
rallele a Uy puisque — =z p u ^ annule pour // = o) et que -y- ne
s'annule pas pour celle valeur, (^uand u varie de o à — (o, on ob- tient la branche de courbe symétrique de la précédenlc par rapport à Ox. Nous avons ainsi conslruil la partie de la courbr donnée par des valeurs réelles de Targunient.
Supposons maintenant l'argunienl de la forme u -+- <-<>' et faisons varier m, par valeurs réelles, de o à w; x croît de Ct à e.,', y csi positif, varie d'une manière continue et part de zéro pour revenir à zéro. On a donc la branche de courbe située au-dessus de Ox et allant du point A3(e3,o) au point A2(^o,o); les tangentes en A3 et Ao sont parallèles à Oy. L'argument étant toujours de la forme u-{-w', en faisant varier u par valeurs réelles de o à — (o, on obtient le deuxième arc de l'ovale symétrique du premier par rapport à Ox. Nous avons ainsi construit la partie de la courbe (ovale) correspondant aux valeurs de la forme (/-h (-<^', n réel.
86 ciiAiMini: m.
Tangciilcs parallèles à Ox. Signe de p" i/. — Comme on a y::=p'u, les valeurs de // coiTcspondant aux points où la langente
est parallèle à Oj" sont racines de l'équalion ~- =o ou p" a^=o. La
fonction jd"?/, qui est poire et d'ordre /\, a, dans un parallélogramme, (jualrc zéros deux à deux égaux et de signes contraires. H y a donc sur la courbe quatre points où la tangente est parallèle à Ox. Deux points, les points H( cl Bo, sont seuls réels : en efïct les
abscisses de ces points sont racines de l'équation -^ r= o ou, d'a- près l'équation de la courbe, i2.r- — ^2= o- Cette équation, dont le premier membre est la dérivée du polynôme /iX^ — go^ — o^-> a une racine a entre e^ et e.2 et une autre [i entre e^ et e^] cette dernière seule donne des points réels B, et Bo.
L'identité 2p" u = }2p'- u — g2^ i2X- — ^o donne le signe de p" f/. Sur la branche infinie, .r ^ a, p" 1/ est positif. Pour l'ovale, sur l'arc B, AoBo, p" u est négatif, car x est alors compris entre les deux racines a et |3 de i2.r- — ^o ! s^n' l'arc B, A3B0, p" u est po- sitif, car X est inférieur à p.
Tangentes menées par un point de paramètre v. — Nous avons vu que les quatre points de contact correspondent aux va- leurs du paramètre
On peut donc, par un point P pris sur la courbe, mener quatre tangentes, en général distinctes de la tangente au point considéré. Lorsque v est réel, pour deux des points de contact, l'argument est réel; pour les deux autres il est de la forme co'-f- ?/, , ;/, étant réel. Donc, lorsque le point P est pris sur la branche infinie, les quatre tangentes sont réelles : deux des points de contact sont sur l'ovale et les deux autres sur la branche infinie. Lorsque c est de b forme (o'-f- ((, r, étant réel, on a
Les arguments des points de contact ne sont ni réels, ni de la forme to' + W) , W| étant réel (à des périodes près). Par un point P
É T t D E DES V A l- E II n S R K C I, I. K S I) !•: pu. 87
pris sur l'ovale on ne peut j)as mener à la coiuhe une langcnto réelle.
Points d^injlexion. — Nous avons trouvé plus haut neuf va- leurs du paramètre donnant les neuf points d'inflexion. Dans le cas jiarliculicr que nous examinons ici, trois de ces valeurs
o a
sont réelles; elles donnent trois points d'inflexion réels situés sur la branche infinie, le premier à l'infini, les deux autres aux points li et \-2 symétri([ues par rapport à O^. Ces trois points sont en ligne droite.
Ci-. Dégénérescence. Cas d'un point double. — Supposons le discriminant gl — ^" S'I nul. La cubique a alors un j)oint double. Une des périodes 2(o' est infinie (n'^'âî^ et 37) et pu se réduit à
.r = p » = : -t- ~—
sni- —
T. II.
cos
_ , _ T:* 2C0
7 - J^ " - - T— ; , •
•2 0i
La condition nécessaire et suffisante pour que les trois points correspondant aux valeurs m,, ^/o, u-:^ du paramètre soient en
ligne droite est alors
«<i -t- Ui-\- Us = in M,
où n est un entier. C'est ce qu'il est aisé de vérifier. En effet les valeurs de u correspondant aux trois points d'intersection de la cubique avec la droite A^ 4-Bj' + C = o sont alors racines de l'é- quation
j^pu -+- Bp'» -I- G = o,
ou, en désignant par a, 6, c d'autres constantes,
- u cos —
-f- o -i- c = o,
. , - « . .T.U
sui^ — sin^ —
2 CO 2 W
SS cil \ IMTIIK III.
équalion du Iroisicme degré en
t = col 1
ai 1 -+- t-)-\-bt{i-\- t-)^ c = o.
I^a somme des produits des racines deux à deux, élanl i on ;t, d'après la formule donnant la eotangente d'une somme,
rot -^( lly ■+- lln-\- lti)= ^, 2 0)
"- ( ttx -f- »>-+- ?<.i)= "~;
ce qui est bien la relation indiquée. Actuellement il n'y a plus que trois points d'inflexion; car en faisant Us = ?/2= ";!= ''? on a
3 n =2» tu. d'où trois valeurs donnant des points distincts
2 W „, 4 OJ
/( = (), Il = — ^ , Zi = -7^ •
î v)
Ces points sont en ligne droite car
II' -^ «"-}- u"'= 2C0.
C«5 cV un point de rebroussenient. — Si ^'■2 = ^'3=0 la cu- bique devient
elle a un rebroussement. Alors les deux périodes w et (>/ sont in- finies; on a (n° 23) :
I , •>.
Les trois valeurs de u correspondant à trois points en ligne droite vérifient alors la relation
en elTet, elles sont racines d'une équation de la forme
— -f- -^ -+- 6 = o, ({ui, rendue entière, ne contient pas de terme en //-.
KTLDi: i»i:s v.vi, i;i ns ni;i:t. r. rs ni: pu. Il iVy a |)Iii-. (|irim [ininl (rinlk-xion. car en fai?anl
» I = II, — ll-i= n.
on a
i II = (». Ce point crinlle\ion esl d'ailleurs rejel<' à 1 inliiii.
05. Rectification de la lemniscate. — Soil une leniniscale ajani pour (■(jualioii en coordonnées polaires
Fig. (>.
L'arc OM = .ç {Jis^- 6), compté à partir du point double où / est nul, esl donné par les formules
/ ~; 7777 ' '''■
cts =\' cfr'-^ /■- an- = — — r ' 2 dr
Faisons le changement de variable
vient
^w-
on a donc une intégrale de la forme
.CTf^
v/1
avec g'.,= ^ - A'3 = o- ^^n en conclut
z = p(s; i,o) =
«)o ciiAi'iTUi: m.
Ou a ainsi une représentation gôoniétrique de la fonction _p(.v; I, o) pour les valeurs réelles de l'argument.
Actuellement les racines c^, r^, C3 sont -» o et Les ex- pressions
c'esl-à-dire |
V |
■2 |
1 r I |
\A^i- |
ou encore |
v/'2siiiO f |
\f>. ■+- /•- _ ) v/^ cosO |
sont des fonctions uniformes de s exprimées par les quotients
^l(^) g'2(-0 lilf).
:i{s)' cf(s)' j'(.9)'
On a ainsi une représentation géométrique de ces trois fonctions |:)Our le cas go:= \ , ^3^ o.
La demi-période réelle est donnée par
v/^
Elle est égale au quart de la longueur totale de la lemniscate, car en revenant à la variable ;', on a
ry~^ idr
ce qui est la longueur de l'arc OA.
III. — Pendule sphérique. Corps pesant de révolution. Élastique gauche.
66. Pendule sphérique. — Le pendule sphérique est constitué par un point pesant mobile sans frottement sur une sphère fixe. Prenons pour origine le centre de la sphère et pour axe des ;: une verticale dirigée vers le haut. En coordonnées semipolaires l'équa- tion de la sphère est
KTL'Di-: i)i;s v\i. Kiiis ni;i:r. i.RS dk |w/. iji
rn ik'signaiil |);u' / la lonmiciir du pendule. Le niohilc csl soumis à l'aclion de deux forces, son poids et la réaction normale de la s|)hère; le théorème des forces vives donne donc
t'- — — if^z -- h.
De plus, les deux forces étant dans un même plan avec Taxe des z, on peut appliquer le principe des aires à la projection du mouvement sur le plan JcOy :
,"- d''j = C dt.
•l désignant l'angle polaire. Ces trois équations déterminent z, r et 6 en fonction de t.
Cherchons d'abord à déterminer ; : il faudra jiour cela éli- miner /• et 'l. L'équation des forces vives peut s'écrire
dr^- _;- ,.2 f/,|,2 ^ ry,-2
-— — — "ii;: z -k- h.
dt''
De l'équation de la sphère, on tire /• = y//- — :;-; d'autre part, réf| nation des aires donne
_ C dt _ C.dt
Portant ces expressions dans l'équation des forces vives, on a une équation de la forme
\dt
r-c--^) =^{zh
où '^{z) désigne le polynôme du troisième degré
o(z) = {fl — 'ÎJ^z)(l- — z'^) — C-.
On en déduit le temps t et l'angle 'l en fonction de z par des intégrales elliptiques.
Pour que ^ soit réel, il faut que 'f(:;) soit positif. Ce polynôme
a ses racines réelles : en effet, appelons :;o la valeur initiale de ; et substituons dans 'ç{z) la suite des nombres +co, /, ^o? — ^', »o"^ trouverons, pour les résultats des substitutions, les signes +, — , -h, — , car Zn rend évidemment '■p(-o) positif, la valeur initiale
*lt t 11 M' nui; m.
lie ,- élanl rrcllo. Il v a donc une racine z, de '^(^) cnlr<' -f- x
et /, une antre z^ entre / et ;,,? "'if troisième ^3 entre ;„ et — /. Ainsi les nombres de la suite
.,. /. Z,. C,„ -:,. -/
sont iani;(''s |)ar ordre de grandeur décroissante. La variable c |)ai- tanl de cJq ne peut varier que dans l'intervalle Co z-^i.
Calcul de z. — l^a coordonnée c est donnée en fonction de /
par ré(|uation (i) d'après laquelle ^"(77) est égal à un polynoir.c
'i(;)du troisième degré en ;. Pour en tirer ; par une fonclmii elliptique de /, nous commencerons par faire un changement li- néaire de variable de la forme
(1) - = M5-i-N,
où .ç désigne la nouvelle inconnue et M et N deux constantes telle > que l'équation (1) prenne la forme
4';
3 _ VA ., _
[*ar la substitution (2) i'éqùalion (i) devient
Pour identifier avec la forme (3), iUfaut égalera 4 'e coeffi- cient de 5' et à o celui de 5- dans le deuxième membre. On a ainsi
Ci) M
L'équation prend alors la forme (3) à condition d'attribuer aux constantes ^2 et g^ des valeurs convenablement choisies.
Comme le polynôme '-p(^) a trois racines réelles ^1 > :?o>> z-^, le |)olynome transformé
/2 |
h |
J |
N = — |
•> |
Ci,' |
!•: r i 1 1 1: o i; s \ v 1. 1-: i" r s n i; i: i, i, i: s o n p u . A liois racines réelles <'|, e-,^ ('w
'J3
<<■•)
-,— N
e\
vr' '-- =
z,-\ M
cl l'on a t'i > ''j^ f;t, car M csl posllif.
Construisons alors la fonction pu avec les invariants g^ cl g:\'. celle fonction V(''ri(i(; récuialion
j. - // -^ , p^ /, — -.p ,/ — -, = -= £jje_
Si donc on poie
s — ]Mi, :; = M |)//. -T- N,
// étant regardé comme fonctitî'n du temps /, l'équation ( 'î) devient
/ f/ll \ - ^///
\dî) ""' 7/7 ""
On peut toujours prendre le signe H-, car pu étant paire, on pi'iii changer le signe de u. On a alors
// = / -f- consl .
Cherchons maintenant de cpielle forme est la constante. Comme la valeur trouvée pour ^[ est positive, la relation
z = yipu-\
montre que s^pn varie dans le même sens que ;. Donc quand z d(''cr()îl de z-2 à ;;,, pu décroit de e-, à e.t, u — lo' est donc réel et ion a
u =. t -^ Oj'.
si l'on compte le temps à partir de l'instant où z = ;,.
I>a demi-p('iiode réelle lo est le temjis que met ; à varier ilc r^
Calcul (le 'II. — L angle 'L est défini pir l'éipinijon dillérenliclh
(Pj =
l'-—z^
■il
1)4 cil AI' nui; III.
(|iic iu»iis ccrirous. en rcinarquanl (jne (// = du,
Dans celle équation, il faut remplacer z par sa valeur
le coefficient de du esl alors une fonction elliptique de // que nous allons décomposer en cléments simples, de façon à pouvoir intégrer.
(À)nsidérons deux arguments (t et ù définis par les relations
(7) / = Mpa-^^. - / ^ M,|./> -i-N,
ces arguments sont définis aux signes près; nous verrons plus loin comment il convient de choisir leurs signes. Alors l'expression de d-l devient
d'il
•iWl \ p// — j)c/ Y' IL - ]>A
où il reste à donner une forme simple au coefficient —rrr-,-
' '.i IM /
l*our cela remarquons que le polynôme
se réduit à — tttt; pour z-.=. / et c = — /, e'esl-à-dire poui- ii=^u et if= ù; comme on a identiquement
ou trouve, en faisant successivement a = a et u = 0,
Nous prendrons, en extrayant les racines,
., 'C
ce (ju on peut toujours faire, car jusqu'à j)résent les signes de a
K T i I) i; I) i; s V A I, i; i u s it i'; i: l m: s i» i; pu. 9 >
( l fj iiV'laicnl pas déterminés; nous les tlélerminons par le choix (le si;^iu's que nous venons de faire pour p'c/ et p'A. On j)cul donc écrire
9. 1-- = - - - ■
du pu — pO pu — pu
La décomposition du second membre en éléments simples se fait en appliquant deux fois la foiinule (tii) du n" ii
•2i-r- — Z( u -i- a) — Z(ii — fi ) — 'ifi, du
— Z( u ^ b) -+-li u — 0 ) -r- 'i^Ù.
En intégrant et en remonlant des logarithme? aux nombres on trouve
::' { Il — a ) :f{u^T-b)
La constante d'intégration — E- se détermine par les condi- lions initiales.
L'angle 'l est ainsi exprimé en fonction du temps.
tCxpressions de x et y. — On a
., x-r-iv ,,^j( Il -{- n \ :f{ Il — b) ^ y, y
X — ly jI u — a) -iiu -^ o )
D'autre part, d'après l'équation de la sphère,
{ T -^ iy){T — iy) = { l — z )(l -\- z) — — 'SV-ipu. ~pa ){pu — ph ). . . , . , ^,^ :f{u ~h a) a'(if — a ) a'ut -^ b) :f{ Il — b )
^ -^ '^ -^ ' li-u-i^a -i-uj-b
En multipliant membre à membre les égalités qui donnent
'- — —r- et {^x -i- iy){x — iy) on obtient [x + /'j')-.
:ï{u -+-a):f(u— b) ^„,r,_^„,
on en conclut
I 'i{ u - a) :ï(u-yb) ^ „ , •^ h ^a jbj- Il
J''.n(in, remplaçons M par sa valeur en fonction des éléments elliptiques, valeur qui peut s'obtenir en retranchant mendjre à
(jC cil \ iMTiu: III.
Mi<'ml)ir les é/^alilés
— / ^ Mpa — 'S, —/ = Mpù-i-'S; ,/-,-/(- — / 1-. -. -. ■ e" --''-^."\
~ i'" - i'f^ |
'^^■^(a-hO)^(a^ù) |
>. r'a r"/-» |
1i II ^' fl )j{ (1 — h) |
j ( (i — ù ) j { a — |
h ) ^- u |
■'.jUj h |
■i{ Il — a) -ii u -^ h) |
K ^{a -h b) j(a — b) j-u
On a ainsi x, y, z exprimés en fonctions uniformes de t. (hiand / augmente de 210, z reprend la même valeur, l'angle j)0- lairc'!/ augmente d'une certaine constante.
(»7. Corps pesant de révolution suspendu par un point de son axe. — l*renons pour origine le point de suspension O, pour axes lirs au corps l'axe de révolution O; et deux axes perpendicu- laires, pour axes fixes la verticale ascendante 0.^1 et deux axes perpendiculaires. On démontre en Mécanique (') que les angles d'Euler 0, '^, 'i^, qui définissent la position des axes liés au corps par rapport aux axes fixes, sont donnés en fonction du temps par les formules suivantes. D'abord, en posant cosO = z, on a
< , j ( ~ 1 =( 2 --//<; I M — z- } — { '^, — n z I- = l'i z I.
on m, n. 7., j désignent des constantes, dont la première m est
positive, de sorte que f{z) est un polynôme du troisième degré.
On a ensuite
d'I 'i — nz (2)
Ci)
/'o désignant une autre constante.
11 s'agit de tirer de ces équations 0, o, 'l en fonction du temps. Les calculs, comme on va le voir, présentent une grande analogie avec ceux que nous venons de faire pour le pendule sphérique.
'// - ^-z■^ ' |
||
/:. dl h - '•o--■^-'•u- |
- ;^ |
1 — n z |
\ — z- |
{') Voir ^ri'ELi-, Traité de \fecaniqiie, l. II, n" 40!?.
I
Krir»K UKs VAi, i;(ns ni:i:i. t. Ks tu; pu. f)y
(^elle analogie pciil iillor jusqu'il l'idculilf'. (;ir, djins le cas |);jilj- ciilier où le corj)S posanl de révolulion se r<'-(luil à un srul |)i)iiil nialériel, il consliluo un pendule .s|)liérif[ue.
Le poljnome/(c) est né;,'alif pour le> valeurs — x, — i cl -f- i df :;, tandis (pi'il est positif pour la \al<'ui- iniliale z„ de z qui
rend nécessairement ~ n'el cl pour -'- x. Il a donc ses trois ra- ut '
cines c,, Cj, -3 réelles et comprises resj)ectivemefit dans les inter- valles (+v:, -h i), (h-i, :;„) et (cc, — 1).
(filleul rie r. — Commençons par laiie un clianj^ement linrairtr de \arialjle
où M et \ sont des constantes choisies de telle façon que l'équa- tion en ç prenne la forme
Par ce chan;^emenl i'équalion (ij devient
^'^ (,.//,) = Mi
On dé'lerminera les coefficients M et N de façon à rendre <'j;;d à 'i le coefficient de 5'' et à o celui de s-; après celle délermina-
lion, qui donne t)Our M la valeur positive M = — » on pourra Il 1 /« '
écrire
(0 ) --^ ^j^ = 4 v ' - A'2 v - /;'„
à condition de donner aux invariants ^'.j et ;;'■.•, I(,'S vaK-urs qui rendent le premier memijre identique au deuxième.
Les racines du polvnomeyf:;) étant, par ordre de grandeurs dé- croissantes :;,, z-,f -^3, celles du poljnome transformé en s seront
Pour que f{z) soit [)Osilif il faut <pi(; :; partant de ::„ varie entre z, et -35 donc .v devra varier entre r., et c^-
Si l'on construit la fonction pu aux invariants i'j et 4^3, cette
A. KT L. T
98 eu A PI TU i: 1 1 I.
fonction séiifiora IV'ciiialioii
( 7 ) .P - " = ^. = 1 ,P' " — .-2 ,P " — ,^3-
Nous poserons alors .ç= p// en regardanl u eomnie une fonction (Je t. cl ré(]ualion (j) dc\iendra
.P ' " ( 777 j = 'î /' " — ^-2 ,p " — .^3,
c'est- à-dire
du\- du
777
où nous prenons +1, car, ^u étant paire, on peut toujours changer a de signe. On a alors
u =^ t -r- const.,
et, comme s = pu doit rester compris entre ^2 et c.j. // — (-/ doit cire réel. Nous ferons
(8) ,/ = /-(-(,/;
alors pour / = o, u = oj', pu = e^, z = z.i.
Le temps est donc compté à partir d'un instant où ;: = z-^.
En résumé, nous avons exprimé c en fonction uniforme du temps par la formule
:; = M jl II -i- \. K — i -^- oj'.
La demi-période w est le temps que met z à varier de ^3 à ^^ et inversement.
Calcul de 'l. — On a
d'I _ '^ — HZ _ 1 / ? H- " 3 — /?
liemplaçanl, dans cette expression, :; par sa valeur
et dl par du, on est ramené, pour avoir 'h, à intégrer une fonction elliptique. Pour faire cette intégration il faut décomposer la fonc- tion elliptique du second membre en éléments simples. Pour
I
KTLDE DES VALEURS nÉELLES DE pil. r)l)
cela, tU'lcrminons deux argumenis conslanls a cl b par les condi- tions que [)Our // =: (f, z- devienne égal à i et pour u= 0^ z de- vienne égal à — I
\ Mjjrt -T- N = r, '^^ i Mp6-f-N=— I.
Ces argumenis sont déterminés aux signes près par ces deux équations, si Ton regarde comme équivalentes deux valeurs de a ou deux valeurs de b ne dififéranl que par des multiples des pé- riodes. On aura alors
d'il I / 3 H- /î p — n
du '1 xM \pu — p h ])u — pa
, 3 -f- /i 3 — n , . , , . , • I >
Les rapports ^-^ — , ~- — s exjiriment d une manière simple a
l'aide de a et b. Remarquons pour cela que le polynôme f{z) se réduit à — (,3 — n)- pour ;: = i et à — (? + /')" pour z = — i . Donc la fonction y*(]Mpw + N) se réduit à — (^3 — /?)- pour u := a et à — (1^ + n)- pour a = b. Mais comme on a identiquement
,P^« = ^^ '
on a, en faisant successivement i/ z= a el // = b,
En extrayant les racines, nous prendrons
. jj
p' a = i - — ^^ — > p' ff — i -
M ' ' M '
en choisissant convenablement les signes de a et b qui jusqu'ici étaient restés indéterminés. Nous aurons alors
.d^ p'h p'rt
2< ,"- =
du p H — p b p II — pu
[..'inh'gralion s'effectue comme dans le cas du pendule splié- rique.
Si Ton appelle a", ,3", y" les cosinus des angles que fait Taxe Oc
1 00 c II A p I T m: III.
du corps avec les axes fixes O.r,. Ovi, O:,^ on a
-1'"= ;, a"2-t- ^''^-f- c2= i:
(le plus a" et [j" sont les coordonnées x^ et >', du point situé sur l'axe du corps à une dislance i du point O; en appliquant une méthode identique à celle que nous avons suivie pour calculera: et y dans le ])endule sphérique, avec ce seul changement que, actuellement, / se trouve remplacé par 1, on trouve
a" — / 3" = — E ; ; ' e" ^^''-W ,
' :f(a-ho):fi<i — o) a"-u
I 9.j'a:fh 3'(k — a) a'(u -h b) ,,, y ,
' li a'(a -i- b ) j{a — b ) 3'^ «
avec
U = t -T- Oj',
Calcul de 's. — On a
dcf _ d'b _ p — nz
clt dt j — ^-
Décomposanl le second membre en fractions simples, il vient TÙ '• — " ^ - ' '- -
Remplaçons c j)ar Mjd;/ + N et introduisant comme tout à l'heure les arguments a et ^, on a
d'Zi I / p'a p'Z»
— /'o— « ' '
du ' iiypu — pa pu — pb / '
d'où, en décomposant en éléments simples,
2t ,' = 2<(/'o — n)-h t(u — a) — ^(u -^ a)+ 2ta (tu . / . - / .
^T^{u — b) — ^(u-hb)^'ilb,
et en intégrant
»• »■ 1 /-,3'(« — a) a' (il — b) „ ,y y,, çii'^—^i r^— 11)11 —- Q _^ '_ ^ i g-i-2ll^li,a+l,o}• :ï(u -{- a) a'{u -T- b) '
la constante C se détermine en écrivant, par exemple, que es est nul pour i = o, c'est-à-dire u = w'.
I
KTiDi; Di;s VAi, Kiiis iu;i:i. I. i:s ni-: pu. roi
CxS. La courbe élastique gauche ('). — Il s'agit de Irouver la ligure d'équilibre cliinc lige flexible dont la section est circulaire <•( qui est soumise à l'action de forces appliquées seulement à ses extrémités.
Si Ton choisit convenablement les axes de coordonnées, on Irouve pour définir la courbe cliercliée les équations difTérentielles
(I) < z'x" — t' z" = ciy' — ^x,
{ x'r" — y' x" ^ OLz' -^ -"
dans lesquelles jc\ y', z', x" , y, z" désignent les dérivées par rapport à l'arc s des coordonnées x, y, z- et t., [i, v des constantes dont les deux premières sont essentiellement positives.
Ajoutons membre à membre les équations précédentes après avoir multiplié les deux membres de chacune d'elles respective- ment par x', y', :■' ; en tenant compte de la relation
x'--i-y'^ h z'-= i.
nous trouvons
Ci) 'x-^'ii{yx'—xyj^-.'z'=o
et en différentiant le premier membre par rapport à i-
(3) [i(yx"-xy')^'(z"=o.
Multiplions maintenant par x les deux membres de la première équation dillerentielle, \)ar y\cs deux membres de la deuxième et ajoutons, il vient
z"(xy—yx')—z'{xy'—yx")= 7.(xx'^yy'),
et si Ton remplace xy — yx' et xf' — yx" par leurs valeurs en fonction de z' et de :;" tirées des équations (2) et (3).
z"(a-r-'iz')—z'-iz"= a '^(xx'-hyy), ou encore
^{xx'-hyy) = z".
( ' ) Voir Hermite, Sur quelques applications des fonctions elliptiques, p. gS ; et une Note de -M. J. Bertrand dans la Mécanique analytique de Lagrange ((■'dilion publiée par iM. Darboux, t. i, p. /)6o).
102 CUV PITRE III. — ÉTUDE DES VALEURS RÉELLES DE p II .
En inlégrant cl en désignant par ô une nouvelle constante
Ainsi, des équations dififérentielles données (i), nous pouvons déduire le système suivant
fi ( x.r' ■+- yy' ) — z"
Servons-nous maintenant de l'identité
{xx'-^-yyy--h(yx'—xyy- = (x'^-\-y^-){x'^--\-y"-),
nous obtiendrons, pour déterminer z' . l'équation différentielle
Dans le cas particulier où v=o, cette équation différentielle a, au signe de z' près, la même forme que celle qui s'est présentée à propos du pendule sphérique et s'intègre de la même manière.
Si y^o, l'équation différentielle ne diffère de celle qui donne :: = cos^,]dans le mouvement d'un corps grave de révolution, que par le signe de z' \ la méthode suivie dans ce dernier cas s'applique donc sans difficulté au cas de l'élastique gauche et l'on pourrait d'ailleurs mettre les problèmes en équation de manière à aboutir à des équationsMifférentielles identiques.
D'après {un théorème dû à Kirchhoff, l'axe d'un pendule sphé- rique ou d'une'toupie dont la pointe est fixe reste toujours parallèle à la tangente à une courbe élastique gauche, le point de contact de la tangente décrivant la courbe avec une vitesse constante (').
( ' ) Voir Greenuill, Fonctions elliptiques, p. 820 et 824, Poincaré, Leçons sur la Théorie de l'Élasticité, p. 201.
EXE II Cl ci; s sLu i.i: chai'ITiie m. io3
EXERCICES SUR LE CHAPITRE III.
1. Déterniiiier les paramètres des points de contact des tangentes menées à la cubique ar = pz<, y = p' u |)ar le sommet A, de la branche infinie (w et co' réels).
\Zn conclure que, Ox étant supposé horizontal, 'si l'on considère le point
le plus haut de l'ovale on peut prendre pour paramètre de ce point une
quantité de la forme « -4- w', a étant une quantité réelle comprise entre o
w et - •
•2
Il suffit pour le voir de prendre un arLjiiiiient ii -r- lo', de faire varier u
w , (.0 , , . , ,
de o à — et de remarquer que 1- oj corresi>on(l a une langenle menée du
•2 2
sommet Ai-
'■2. Le rapport anharmoniquc des quatre tangentes menées à la cubique par un point P pris sur la courbe reste constant quand le point P se dé- place sur la cubique.
On peut obtenir ce rapport anharmonique en fonction des coordonnées du point P et des coordonnées des quatre points de contact. On exprime ensuite ces coordonnées à l'aide des paramètres elliptiques correspondants et l'on applique la formule de l'exemple 2. page G3.
[i. Si l'on appelle points correspondant* d'une cubique deux points tel? que les tangentes en ces points vont se couper sur la courbe, il y a trois points correspondants d'un point donné et, en désignant par u le paramètre du point donné, on peut prendre comme paramètres des points correspon- dants
i( ~ M, u -7- co', u -+- O) -i- to';
chacune des demi-périodes définit un des trois systèmes de correspondance. Si l'on considère deux couples de points correspondants du même sys- tème : A, A' d'une part, B, B' d'autre part, les droites qui joignent les points non correspondants AB, A'B' ou AB', BA' se coupent sur la courbe et les deux nouveaux points sont des points correspondants dans le même sys- tème.
i. Sur la cubique définie par les équations
X — pu, y — p' II,
on prend deux points dont les paramètres diffèrent d'une constante v; la droite qui joint ces deux points enveloppe une courbe de sixième classe. Dans le cas particulier où c a l'une des valeurs
I04 EXERCICES Sin I. E CHAPITRE III.
l'enveloppe est une courbe de tioisièine classe (qui se présente ici comme comptée deux fois).
Dans l'équation de la droite joignant les deux ]ioints on remplace les coordonnées courantes par les coordonnées Tq ,^o fl un point Pq, l'équation en II ainsi obtenue a six racines dans un parallélogramme élémentaire. Dans le cas particulier ou (^ = w par exemple, l'équation en ii ne change pas quand on change « en ii -r- lo.
Remarque. — La cubique donnée peut être regardée comme la hessienne d'une autre cubique C et cela de trois manières différentes; les courbes de troisième classe qui viennent d'être définies sont les cayleyennes des trois cubiques G ( ').
ii. Si deux systèmes de trois droites ont huit de leurs neuf points d'in- tersection sur une cubique, le neuvième point d'intersection est aussi sur la cubique.
Cette proposition peut se vérifier directement à l'aide de la condition pour que trois points soient en ligne droite ; elle peut aussi se déduire d'un théorème démontré n° 62.
Si l'on appelle tangentiel d'un point m d'une cubique le point où la tan- gente en m rencontre encore la cubique, les tangentiels de trois points en ligne droite sont en ligne droite.
La droite qui joint deux points d'inflexion va passer par un troisième point d'inflexion ; on remarque qu'un point d'inflexion se confond avec son tangentiel.
6. Déterminer les points d'inflexion de la cubique
•^ = P "î r = p' II.
en étudiant la variation du coefficient angulaire de la tangente. On trouve ])Our les déterminer l'équation
p uji"'u — {p"iiy-=^ o,
ou en ])0sant x =^-pu, l'équation
f{x) = x'^--^g.,x^- — giX--^\^-g.j =0,
dont la dérivée est
J'(x) = ^x^— g-2.r — g3= o.
Si gi et gz sont réels, cette équation a deux racines réelles et deux racines imaginaires conjuguées. Ces racines sont
(') ] oir Clebsch (Lindemanx), Leçons sur la Géométrie, t. II, p. 38i.
KXERCirES SIR LE CHAPITRE III. Io5
si on les désigne par a, Ij, c, cl elles vérifient l:i relation
aS =(a — b y- c — d )--\-( a — c){ a — d)( b — c)(b — cl )= o.
«lui s'obtient en a|)|)li(|uant les furniules (7) et (9) page G2 (S est un in\a- liant tie l'équation ).
7. Ktant donnés trois j)oinls P, Q, R sur une cubique, déterminer un triangle ABC dont les sommets soient sur la courbe et dont les côté< passent respectivement par les points donnés P, Q, R.
Il y a quatre solutions. Si les trois points P, Q, R sont en ligne droite. les sommets de l'un des triangles sont en ligne droite : il reste seulement trois triangles proprement dits.
8. Si l'on considère une conique ayant deux fois un contact du deuxième ordre (trois points confondus) avec une cubique, la droite qui joint Ie« points de contact va passer par un point d'inflexion.
9. Si l'on considère lune des trois tangentes menées d'un point «l'iii- tlexion le point de contact est tel qu'il existe une conique ayant en r<> point avec la cubique un contact du cinquième ordre (six points confondus;. Retrouver que le nombre de ces coniques est uj.
10. On mène la tangente à une cubique en un |)oint Pq; soit Pj le point où cette tangente rencontre de nouveau la courbe. On mène la tangente en P|, soit P-i le point où cette tangente rencontre de nouveau la courbe. On détermine ainsi une suite de points
Po, Pi, . . • , P/-5
dont chacun est le tangentiel du précédent. Trouver la condition pour que le contour ayant ces points pour sommets successifs se ferme et forme un polygone de r côtés.
On écrit la relation qui existe entre les paramètres de deux sommets consécutifs et l'on exprime que P^ coïncide avec Pq; on trouve que le para- mètre de Pq doit satisfaire à la condition
■>. m M ■+- •?, n m'
( — !)'■-• •>.'•-(- I
mais il faut encore examiner si le polygone correspondant à une solution a bien r côtés.
Par exemple, pour /• = 3 on trouve parmi les solutions les tangentes d'inflexion comptées trois fois.
CHAPITRE IV.
ÉTUDE SPÉCIALE DES NOTATIONS DE JACOBÎ.
I. — Fonctions di-: J.vcobi.
09. Objet du Chapitre. — Les séries el produils à double entrée employés pour définir les éléments d, u, p, Z, H à l'aide desquels on peut exprimer toutes les fonctions elliptiques, peuvent être remplacés, aussi bien dans la notation de M. Weierstrass que dans celle de Jacobi, par des séries à simple entrée beaucoup plus ra- jiidement convergentes.
Nous allons exposer ici les notations de Jacobi : nous avons d'ailleurs montré comment on passe d'un système de notations à l'autre, en donnant la relation entre les fonctions H et i (n" 40).
70. Périodes. — ?sous avons déjà dit que le rapport — des deux
périodes doit être imaginaire, sans quoi le réseau des parallélo- grammes n'existerait pas. On |)eut toujours changer le signe de to ou de w', car une fonction admettant pour périodes 2<x) et 2oj' admet aussi pour périodes — ato et 2 to' par exemple. Nous pou- vons donc choisir les signes des périodes de façon que dans le
rapport— le coefficient de i soit positif; c'est là ce que nous
supposerons toujours. Jacobi désigne les périodes par 2K et 2/K';
K' dans le cas particulier où R et R' sont réels, le rapport -n- doit
être positif. Nous pourrons employer tantôt l'une tantôt l'autre manière de désigner les périodes : on se rappellera que
0) = K, to' = /K'. Si, dans le cas général, on pose
TZiii'i — K'
KTIDE SPKCI.VI.K I»ES NOTATIONS DR JACOni. lOJ
le nombre q a un module /:>/w5 /jc/// que l'unité, car la partie réelle de 1 exposant est négative.
71 . Développement en série simple de la fonction Z u. Valeur de '.. — La fonction
Z« =
\\{u)
construite, comme nous l'avons expliqué, avec les périodes aw
et 210', a pour pôles simples de résidu -\- \ tous les points
où m et n prennent toutes les valeurs entières positives, négatives et nulles.
Nous allons construire celle fonction dune autre manière, en formant, à l'aide d'une série de cotangentes, une fonction ayant les mêmes pôles et les mêmes résidus que Z. Le point de départ de la méthode réside dans ce fait que la fonction
— ^ COt — ^ (// — 2/? tu')-t- COIlSt.,
•i to a W
OÙ 11 est un entier déterminé, a pour pôles simples de résidu -\-\
tous les points
// — in (.<)' = "2 ni oj, OU
u = •> Wtu -4- .i/ito', (/« = G, ± I , ± 2, . . ., ± Xj.
Considérons la fonction
U„ = -^ col -^ ( // — 2 /t m' ) — / ,
2 0) L 'W I
où n désigne un entier positif; elle admet comme pôles simples, avec le résidu + 1, tous les points
u = in w' -I- 2 /« (0 ( /?i = o, ± I , ± 2, . . . ) •
Cette fonction peut s'écrire
cos — (u — •>. n v) ) — j si n — (u — ■> n 10 ) ,. - 20J ■>. (O U«= »
20J ■ "^ / 'X
sm — iit — m M )
2U)
io8 en A PI tri: IV.
OU en inlrodiiisanl la quanlilc (j = e "^ ,
_ i- e 2*^ q"^ _ i
mil _ U'//
fl) ,^ — « /J 2 (l) y-/ /J
Celle forme de U« montre que la série
I^'
est convergente, à la façon d'une progression géométrique dont la raison serait q'-.
Considérons de même, en supposant maintenant n entier et nc-- galif, la fonction
\ n — -^ cni -^ ( » — i. n w' ) -^ n
'- tu L '-4 ^'i J
elle admet comme pôles, avec le résidu + i , tous les points u = 2ntM' -^ i/naj. /« = o , ih i , d: 2 , . . . :
on peut l'écrire
_ /- ^ "^ 7--"
et Ion voit que la série
11) ri — -2n.
n=-l
est convergente.
Nous allons vérifier cpie la fonction
X
<!>(?<)= -^ cot -" — > -^ cot-^(ii — mco')— M aw 2 tu .i^ 2tJ L '^^^ J
n = l
-f- 7 -^ rol-^(?f — 2naj')-f-M
^^ '2 10 L 2W J
«=- 1 est identique à Z.(u).
D'abord cette fonction ^{u) est impaire comme Z(u)', on le vé- rifie immédiatement en écrivant la série qui donne <!>( — n) : cette série est égale à — <ï>(?f). La fonction ^{u) a les mêmes pôles et
KTl DK 81'i:t;lALE DKS NOTATIONS I) IC JACOIII. loy
les niènics l'ésidiis que 7j[u). Elle satisfait aux relations
«!>(// -f- ■>. (o) — 'V( II),
<I» ( u -1- 2 m' ) = '!>(«) --
La première de ces relations est évidente, car chaque cotangenle admet la période a to ; la deuxième se trouve en formant la diffé- rence
'!>( H -^ aw')— <I»(» )
el remarquant que, dans la dilférence des deux séries, les termes se dél misent deux à deux sauf deux termes '" • (îonsidérons alors la fonction
M'(f/) = *(;/)— '/.(u).
dette fonction est régulière en tous les points à distance finie, car, dans le voisinage d'un point
<!> ( n) =
Zyu):
Il = î m (o -+- ■> Il M ,
I
- -i- fonction régulière,
fonction régulière,
Il — v>. m Lu — '2. n w
u — 2 ni co — a n lo
el, en retranchant, on voit que ^'(//) est régulière au point con- sidéré. En outre, d'après les relations que vérifient <!>(//) el 7^[u),
on a
^'{ a -h -hd) = W(ii ),
W(u -+- -MU )= W(u) ^ _u — .
ICii répétant un raisonnement qui a déjà été fait (n" l2i) on voit (pie la fonction H'(;/) est une constante et de plus que l'on a
Ainî
i —
2
'!>('«)= Z{ii)-i- consl.
Cctle constante est nulle puisque *I^(^/) et 7j(f/) sont impaires toutes les deux.
no CHAPITRi: IV.
lui cK'lînilivc, on a obtcmi pour Z,(//) le développement
7.(ii)= -^ col h > -'" col-^iji — ?,«io') — i\
2(0 JHO AêÀ ?, to L '^w J
•4- 7 — ^ rol-^( ff — •>. «to' ) -^- t . ^^ -2(0 L 2to J
n =— I
De plus, en se rappelant que l'on a pose o = Yid)' — w/^', on voit que l'on a démontré la relation suivante
'I Mi — (or = — ■
2
7^. Fonction H. — Nous avons déjà défini la fonction H eomme une fonction dont la dérivée logarithmique est Z. L'expression simple que nous venons de trouver pour Z va nous donner, par intégration, un produit très convergent servant à définir H. Le problème se pose comme il suit :
Trouver la fonction dont la dérivée logarithmique est
/(//)= -^ col — -1- J — — ri ) t -^ ( IL -t- 1 II o/ ) + M
•i. M •>. (O ^^ 2 W L '• (0 J
;; = 1
-r- 7 — ('(Jt -^ ( Il — ■). Il w' ) — i\. ^ 2 tO L •'•■ fJ J
« =1
Pour écrire le second membre, nous avons, dans vine des sommes qui figurent dans Zw, changé n en — n. Si l'on intègre entre o et u le terme
-^ 00 1 -^ ( u -h 2 n to' ) + i ,
2 W L 2 tO J
on trouve
SI 11 - ( » -I- 2 a M )
, 2 (0 J — ff
Log— ^ ■ 1 ,
. n ~M 2 (0
sin ■ •
co
puis en remontant des logarithmes aux nombres
t: , ,
SI II ( /< -I- 2/« (0 ) ,7t„
2 O)
SI 11
KTi 1)1-: si>i;(:ivi.i: des notations ut: jacobi.
(jii bien
iTtl / t: , \ iTZtl
— Iii + irnii'\ III -h in M I I
^î o) ^ 2 (i) le-*''
ou enfin, on effecluanl au nunicralenr puis en mulliplianl les deux
Ici mes par <?
1 — r/-" e
■nu
( )m a donc
\ -IL fut -^ ( « -;- ■>. «w' ) -^ / = -p- I.otr II- ^■>'-o[ i.!'} ' du "11
Il \
< )ri \()il de même f|ue
-7^
X- ^ :>(»
(■«il " ( U — ■>, /iOi') — ' =
1 '' I TT 1 — 7'"''
Nous avons ainsi les expressions des deux sommes qui eiilrenl dans Z(«). D'ailleurs
col — « ES -r- L'ii; sin
AW a» 2 0)
Donc on peut écrire
Y.ill) = -y- H( «),
du
en posant
\\{u) = (\^\n— ITd — 7^"'r '■' j(i_y2'c'
où G d('sii;ne un facteur constant. On Irouve enfin, en elTccluant le produit des deux facteurs du terme général,
HCf/) = C siii -^-^ I I [\ — ■x<i'-" cos '"
r")-
T>\. Développement de ll(/o en série trigonométrique. — Le produit II (]ui ligure dans l'expression ci-dessus de H(//) |)eut
r i> CHAriTKC IT.
irtrr ordonné «oivjLOl l<s paîsâaoces posilÎTes de cos — : ccMBMe ■ne pûssance posilÎTe de coc$ — e>l ê^^ à une somme de cosinas des maliîpies de — s oa Toit qoe le prodoil 0 pe«l être dêwrloppê en une série de la forme
O = Cii-r^ Ct e»<5 «fj <W«5 ri-
IVwr avmr H(ii'^ il fani mnlliplier par Asin ^^; on pent^ dans
le pnoMJnîB «>l»tenia. inem|dacer diaqae terme de la tbrme
_ ir» «x« înm icioê-
S(Ui du
par nne difloence de sînns. On est ainsi condnil ponr Il((») à nn développement de la forme sniTanle. où. d'après les notations de Jadobi. Dons faîs<î>n> «ji = R. «/^ /R' :
-- - ... • T , -rw
m^»»' := -ïOj, 5D1I1 — £■ «a :Hiai — ,. , OfBt <JIIIlH-a« -^t<\ — _^ —
on bien, en remplaçant les sinns par des exponentielles
— Aa,.r~^S" — A» *"~"^*~ — .. - - -
IVMir délenniner A«. An. ««se sert de la f<i»rmn1e 'îi^'^ du
r ±1 <»è Ton remplace i par sa vaBeimr —
iHia
C X 7. K T t «S VIT
— A„-^~^^ — A,— <f~~^»^ —A. — -r ïi"— ....
D'antre part
riDE SPÉCtVLE DE3 XOTVTIOXS DE J VCD III.
lileauiiant ces Jeux séries, on a les relations coiu[)alibles - V, = — 7 -Vu. T ^^« = - '/' ^' - ^" = - '/'-'-' -^"-i •
Lv„--l.v.. ^A. = -A.v.. iv,._. = - ^^V.
ijui ^e réduisent ù
V,^ — 7Î.V0, A. = — 7'V, V,i = — 7i"V„-
tfoù. en multipliant membre ù membre,
I - . ' TT '< ( rt '/ T
K
.-. / ■ ~ « , . î TT ?f ^ , . , . . ■:zu
= B sia — — — 7- SI II — ; -...-f-i — i)'i 11 '^'"■'^^' iiai m — i ) — — -u
\ j h. 1 K ' -2 K
Le coetticient B peut être choisi arbitrairement, car jii-;- «ju'ici H(^a) n'a été délini qu'à un facteur constant près. On
prend B = i'/' et l'on a pour H(/^) le développement
i . -ft ''r . 'i~u ?,^ . 5 7:11 Il 7 — ' 7 ' -m -,r — 47 * sin — ;— — '7 * siii ^. . .
TTff
-4-(— i)"a7 ♦ 5io( 2/1 — i) —-,
'i K
ou encore
H^ut = ly 7 >in -— — •JV7^sin— ^ -Hiv^7 *"^ — îT — ••• i IV 'An. i IV
l 7 . TCM
-H ( — I i"'i V 7 ■-" ^''* sin( an -f- 1 ) — î- •
Cette série ct)nverj;e très rapidement, plus rapidement (lu'une
[)roj^ession g^éomélrique. car les exposants de y' croi>>.'nt cnnime les carrés des nombres entiers.
Ouand il sera nécessaire d'indiquer les périodes avec les(iuelles est coDslruite la fonction H[u) nous écrirons cette fonction H(M,K, «K.'), notation analoijue à celle que nous avons employée pour ^n en écrivant tf(M|to, oj').
\. ET L.
Il4 CUV PITRE IV.
T'i. Fonctions II, IIi. 0, 61 de Jacobi. — Nous avons vu que du cl II('/) sont analogues à — ^sln-^ tandis que pu est analogue à
-^ En Trisronométrie on introduit, en même temps que
4 u>'- . „ - « ° * *
sin^ —
ces fonctions, celles qu'on en déduit en ajoutant à l'argument // une constante a> égale à la moitié de la période aco, et l'on pose
7:11 ■ T^ , s
cos — = sin — (u -+- w).
De même, à côté de la fonction H(//) construite avec les pé- riodes O.K. et 2?'R', on considère les fonctions obtenues en ajou- tant successivement à l'ai'gument u les demi-périodes K, R' cl K-h i'K', ou du moins des fonctions qui ne diffèrent de celles-là que par des facteurs exponenliels simples.
En désignant par A l'exponentielle
. — — -i2/(-+-/k')
X = e * '^ linéaire en «, on définit les fonctions H,, 0, B, par les égalités
lii{u)= U(u-hK),
(0 ;®^") =â^nu-^ii^),
0,(ii) = - H(«-i- K-i-iK');
les deux dernières montrent immédiatement que (2) 0i(k) = 0(?t-hK),
car, si l'on ajoute K à u, A se reproduit multiplié par — i.
Voici quelques détails sur les expressions de ces fonctions par des séries.
Tout d'abord la formule
Ui(u) = H(«-+-K) donne, pour définir H,(w), la série
1/- T.lt ;/-— SrK 4/ — - — — (2/z-f-i)rj<
Hi(«) =21/7 cos—.. -{-'2.\/q^ cos — p — ■-... + 7. Y g' -''-^^^- cos f-...,
^ ■' ■' 2K ^ 2K ■' 2K
«
KTlDli SI'KCIALI:: I) K S NOTATIONS DE JACOIII. Il'
OU en remplaçant les cosinus par des exponenlielles et en re- rnanpiant que — (?,/? -t- i") = ■>. ( — // — i) H- i
(2n-i-li' /7t»/ 3— K' (2n-l-l)> /7t/
".(")= 2 '/^^'•""*""= 2 e
n = — 00
On peut encore donner une autre forme à cette série en consi- dérant l'exposant de e qui est du second degré en (a/i-t-i), comme formé par les deux derniers termes du développement de
On a ainsi
H,( «j = e ^'^''' 7 ("•^'^
Passons maintenant à la fonction 0,. On a par définition
/ A
6i(u) = \ n(u -+- K -i- tK') = I Hj(a -f- iK').
Or
t-h' /■;: ... "'"° ~ ,
lI,(K-<- «K ) = e ^i»^*^ ^'^ > e*'^'^
n=: — 00
Dans la nouvelle série le nombre pair (in -+- 2) prend toutes les valeurs de — xà+x; on peut le remplacer par 211, on trouve alors
— -. — ;-; V^ — -..-(«-1-2/1/ 1\' 1'
série analogue à celle qui définit \\i{u), mais où figure, dans le terme général, un nombre pair 2/i à la place de (2/i-{- i).
(^uand on augmente a de i¥J les sommes qui figurent dans les expressions de Hi («) et 0i(m) s'échangent l'une dans l'autre. Il en est donc de même pour II, ( u) et 0, (//), à un facteur près prove-
liant de raccroissemenl de l'exposant de e *^^ . On vérifie ainsi les égalités suivantes qui résultent aussi des équations (i)
\lx{u -\- iK' ) — e'iK'^'"^' ' 0,(a) = X 6,(^0-
e,(« -1- tK') = e~4's''"^' 'il, («)■•= >> n,(«)-
ii6 ciiAPiTiiii: IV.
La série qui délinil la fonction 0|(//) peut s'écrire en efTecluant
la mulliplication de chaque lerme du second membre pare '"'*'*
ni u II
OU, en associant les termes qui correspondent à deux valeurs de n égales et de signes contraires
^ , TUi ,17111 , nr.u
01 (h) = I -f- 27 COS — h 2(7* COS —^. \-. . .-\- -iq"- COS — jT 1-. . . .
Iv Iv K
Enfin, la quatrième fonction B(w) peut se définir au mo_)en de
Q{u) = 0i(«-+-K);
l'égalité
on a donc
,,, , T. Il , 1-u , n-KU
e(ii) = i — ir/ cos-p — 1-27* COS — h. . .-h (— 1 )"7""cos —r-r h. . . .
Il résulte de ces développements que, la fonction H(?^) seule est impaire, les trois autres sont paires
H(— «) = -H(«), \\^{-u) = n,(»), 0(— w)= 0(«), 0,(— «) = 0i('O-
7o. Zéros des fonctions H, II,, 0, 0i. — Les zéros de H(«) sont connus. Ceux des trois autres fonctions s'en déduisent immédia- tement d'après les égalités (i) qui définissent ces fonctions à l'aide de H(«).
Les résultats sont donnés par le Tableau suivant dans lequel on a inscrit, en face de chaque fonction, l'expression générale de ses zéros et où m et n désignent des nombres entiers
H(«), 2rtlK -r- 2/i<K',
H,(ti), (2m -+- i)K + 2/1/ K',
0(i<), 2/hK -I- (2/i -1- l)iK',
ei(«), (2»l -1- l)K + (2/2 -M)tK'.
76. Formules relatives à l'addition d'une période ou d'une demi- période. — Considérons, en premier lieu, la période aR et sup-
K T l' n E s p K c r v L !•: I) i: s \ o t \ t i o .\ s de j \ r n ii i . r r 7
posons qu'on ajoute celle période à rargiimenl, on a d'abord
H(// + '.).K) r=— n(«),
comme cela rt'siilie des développemenls de \lii en série simple ou en produit simplement infini, développements qui ne dépendent
que des sinus et cosinus des multiples de — . • ' ' jt K
Les égalités qui définissent, à l'aide de H, les trois autres fonc- tions donnent le résultat correspondant |)Our ces fonctions; on trouve ainsi
U{i/ -h -iK) - — II(«), II 1 ( « H- 9. K ) — — l\i{u),
0(«^-2K) = e(»), ei(u -+--2K) = 0i(fO-
Si l'on ajoute seulement la demi-période R on a d'abord par définition
II(m-(-K) =Ui(u), e{u-hK) = 81(11),
et, en tenant compte des résultais précédents, on trouve
iii(f/ + K) =—U{u), ei(u-h K) = e(u).
Réunissons ces formules
11(11 -\- K) = Ui(u), IIi(«-l- K)=—H(u),
e(« + K) = ei(«),
01 (?<-+- K) = 0(«).
Considérons maintenant la période 2/K'. Les résultats s'ob- tiennent aisément poui- 01 et 1I| en se servant des développements
TZn^ -^"^ r.
^ , r-r. V^ -,.-- (/( + 2«/k'i''
e,(aj = e ^'^'^ > e '''^ ,
Hi(h) = e ^'''* > e*^^
n — — X
Si l'on augmente de 2 i'R' l'argument, chacune des fonctions 0,, H, se reproduit multipliée par le même facteur que l'expo-
Il8 CHAPITRE IV.
nontiolle
Désignons par ij. ce mulliplicaleiir, c'est-à-dire posons
[i = e '^ ,
nous aurons
61(11 -+- oiK')= [X ^i(u)' Hi(?/ -1- 2iK') = [x Ui{u).
Pour passer de là aux fonctions 0 et H, il suffit de diminuer l'ar- gument de K dans les formules précédentes : 81 (ii) et H)(;<) de- viennent respectivement 0(«) et +H(m), [jl se reproduit mul- tiplié par e'~, c'est-à-dire — i , et il vient
e(u-{-'?.iK')=—ix6(u), H(«-T-2tK') = — |jlHi(k).
Réunissons ces formules
01 (» -f- ■iiK') = [JL 0i(«),
Uiiu~iil\') = ixHi{u), _i^,„ + ,K')
Qiu -h 2iK' ) = — IX 6 (u),
H(u-r-2iK') = — ix}i(u),
Si l'on ajoute la demi-période /K', nous avons vu (n° 74) que les fonctions 0, , H, s'échangent à un facteur près )> défini par
À est le multiplicateur de l'exponentielle e ''"'^ correspondant à l'accroissement i'K' de l'argument ?^.
Si, dans les formules ainsi obtenues, on retranche K de l'argu- ment, et si l'on remarque que A se reproduit multiplié par i, on trouve les formules correspondantes pour 0 et H. On a ainsi
ei(a-t-tK')= ÀHi(m),
}il(u-h iK) = À ei(«), , _ _'_^(2K-f-/K)
e{u-h iK') = ilU(u), '~^
U(u -f-iK') = il e{u),
Enfin, si l'on veut ajouter la demi-période R -f- iK', il suffit dans les formules précédentes d'ajouter K à l'argument, ce qui
KTUDE SPECIALE DES NOTATIONS DE JACOltl. r H.)
donne
e,(»-4- K-f- /K') = ilU(u),
Ut(u-JrK-^iK') =— i\ e(u). . _'_E(2H-t-/Ki
e({f-+-K-4- tlv') = lUi(u), H(«-i-K-+- «K')= let(u),
11. Addition d'un nombre entier de périodes. — Supposons (l'abord que l'on ajoute 2 // R à Targunienl; cela revient à ajouter n fois successivement 2K et, comme le signe de la fonction peut seul changer, le résultat se déduit immédiatement des formules relatives à l'addition de 2K.
Supposons maintenant qu'on ajoute am/K', on pourrait encore ajouter successivement m fois 2 i¥J] mais on peut obtenir de suite le résultat en remarquant que chacune des fonctions 0, et H, est égale (n° 74) à une fonction admettant la période 2iK' multipliée par l'exponentielle
D'après cela
IIi(K-f-2mfK') = e -jT "'^"" Hi(?0>
, -tri T l" + ""h ) ^ , ,
(::>l(« -t- 2/njK ) = e ^ 0i(");
en remplaçant dans ces formules u par u — K, on trouve
H(«H-2mtK') = (— i)'"e"Tf~"'^""' ' H(«), e(îf -+- ?./??fK') = (— i)'"e~ K ""^"" 0(„).
Enfin, on démontrerait de même
(-»i[« w-(2/n -+-i)(K ] = e ^'^ Hi(f<),
e[i< -i-(2/?i-t-i)iK'] = (— i)'"fe '>»■ n(")-
78. Développements de IIi, 6, Wi en produits infinis simples. — Ces développements se déduisent du développement de H(;/)
CIIAPITRK IV
ohlcnu plus haut par rinlégralion de la série de colangeutcs qui donne Z(//V Nous avons trouvé (n" 7!2)
Il(,/)=Csin^j^U-'7-"'-~*^J\' — '7"'<^ ~" A Cherchons d'abord le développement de la fonction
/'Tï'f
ITZII
Quand on ajoute iK.' à l'argument ;/, l'exponentielle e '' se reproduit multipliée par q; le facteur
. Tzu e
Sin — r7 = —
alv
devient
li\J q
et l'on obtient
/ MT" \ "" / ^^\/' --'^-
•^ ^ « = 1
Si l'on fait entrer dans le produit le premier facteur, on voit
'mit in II
que les facteurs contenant e '' sont de la forme t — ^-"+'e ^
i TZ II
où // varie de o à oc, et les facteurs contenant e '*^ de la forme
i TZII
I — /y-"+'e ^ , où n varie également de o à oc. On a donc, en posant pour abréger —r^ = A.
°° / ' '^ " \ / /TC" \
0(m) = aITVi — ^2«+ie iv j(,_g2,;+ie kJ
n =0 = A ( 1 — 2 ^ COS ^ + ^2 j I I _ 2 ^3 cos _|_ ^f
Les développements en produit de H, et de 0, s'obtiennent immédiatement en changeant u en i^ + K dans les développements ci-dessus de H et de 0.
KTiDi: SPi':r 1 A I. !•: mes notations t)i: j\rom. iii
r^c fadeur A n'csl pas arhitiaiic j)iiis(]iie, dans les dcvfloppc- mcnts en séries trigonomélriques des fondions H, M,, 0, B|, les coefficienls sont coniplèlcmcnl déterminés. Ainsi, en idenlifianl les développements de f), tii produit et en série, on doit avoir, quel que soit r,
A( i -4- •>.(] cos2.r -1- <7-)(i -i- ir/^ ros9..r -t- «y'^). . . = i -h ig cos?,a^ -1- 2<7* cosja? -^ -ig^ cosùx -r- ... ■
On aurait une première expression de A en faisant ^ = o dans celle identité. Jacobi a montré que l'expressfon ainsi obtenue peut être remplacée par la suivante :
A = il — (j-^){i —ij' ){\ — q''')
Nous admettrons ici ce résultat. On verra, dans une Note placée à la fin du Volume, comment on peut transformer le produit infini pour obtenir la série trigonomélrique et comment se présente, dans ce calcul, l'expression de A donnée par Jacobi.
Nous réunissons ici les développements en produits simplement infinis des quatre loiiclions. i'^n posant
A = (I — 7-\)(i — ryij(l — 76)..., 11 ( ^—^ ) = A2 v^g siiw<(i — -2 g- cos-iu -+- (/^)(i — 2q'*cosxu -h q^). . .,
II, / j = A2v/<7 cosu(] -h 27- cos'^. « -t- 7»)(i -^ 'iq'* cos->.u ^ q^ )
ki(- ) = A(i — iq cos'iu -\- q- ){i — -iq'^ C0S2i< -^ q^). . ..
e, I j = A ( I -!- a <7 cos 2 H -^ 7 - j ( i -f- •>. 7* cos 2 «t -4- ^"^ ; . • . .
79. Relation — H'(o)= II,(o) 0(o)0i(o). — Cette relation, sur
laquelle nous aurons à nous appuyer, se vérifie très simplement à l'aide des développements en produits infinis qui précèdent, en suivant une méthode donnée par M. Hermite (voir Note sur les fonctions elliplicjues, à la fin de l'Analyse de Serret, p. 791 et 798).
On a immédiatement
H,(o) = 2v/yAP2, e(o) = AQ2, e,(o) = AR^
122 CllAriTHE IV.
en posant pour abréger
Q=(l-7) (._^U)(,_5,5)..., R = (H-<7) ((-|-<jr3)(i_|_(y5)
D'après la relation suivante duc à Euler
U — VJU - 7' je — y^) on voit que Ion a
PR = ^,
ou bien
PQR = i. D'après cela
11,(0)0(0)61(0) = o^^A3.
Calculons maintenant H'(o) en regardant H( — ^] comme un produit de deux, facteurs dont l'un serait sin?^, nous trouverons
2K . - , -
^-H'(o) =Xi^q{i — g^-y-{ï — cj'*)'^(i — q^y-...= i^g A».
On a donc bien l'égalité qu'il s'agissait de démontrer ^H'(o) = H,(o)0(o)0,(o).
Berna/ que. — Les expressions précédentes de H,(o), 0i(o),
0(o) montrent que Ç'/c et {/A', définies plus loin (n° 83), sont des
K' (onctions uniformes de la variable t = ^j et la relation PQR == 1
permet de montrer que ce sont des fonctions de q régulières pour toutes les valeurs de q dont le module est moindre que i.
80. Formules relatives à l'échange de K et K'. — Dans la nota- tion de Weierstrass nous avons vu que les fonctions <3'(f«|oj, to'), p{iu I Cl), 10') peuvent s'exprimer à l'aide des fonctions
Cl)'
— , J 10 , p[u
ÉTUDE SPÉCIAL K DES NOTATIONS DE JACOBI. li'i
Comme actuellement nous posons
co = K, eu' = /K', on a
to' .
— = K , KO = / K ; f
on |)asse donc des premières fonctions aux deuxièmes en permu- tant K et R'. Nous allons établir des formules du même genre pour les fonctions de Jacobi.
Convenons de désigner par H(w[ K, iK.') la fonction IJ construite comme plus haut avec les deux périodes 2K et 2fK'. Cette fonc- tion s'exprime d'une manière simple à l'aide de la fonction H construite avec les périodes 2K' et a^'K, H(z/|R', /K). Comme
on a supposé la partie réelle de ,.- positive, il en est de même de
rr
la partie réelle de r^,; la quantité
go= e
a donc un module plus petit que l'unité, et la fonction
H(«|K', /K)est
II II-, -i- 4/ — . ~U '*/ — â • 3~M
\\(u\K , iK) = ■?. \j qa sin —r^, — 'i-\ q% sin —^ -h. . ..
Cette dernière fonction vérifie les deux relations II ( « -H aK'jK', tK) =— H(«|K', t'K), \\{u-\-ii\^\\\, /K)=— e""^ "^'""lIC^IK', jK),
obtenues eu échangeant K et K' dans les formules relatives à l'addition d'une période, vérifiées par la fonction H(;/) ou II(^/!K,/K').
Ceci posé, dans le produit
analogue à ceux que nous avons considérés déjà à propos de H, et de 6, remplaçons u parf'«; soit/(w) la fonction ainsi obtenue
/(m) = e «^'II(/«1K, <K').
il.\ CIIAPITUK IV.
On vérifie aisément les deux égaillés siiivanlcs, conséquences dos relations fondamentales de la fonction H,
(4)
■ /{il -f- '^.K') =—/(»), /( f/ -!-•>./ K )= — c '^ /( If).
Ces relations sont identiques à celles que vérifie H(w|K', «K). Kn outre, les deux fonctions f{if) et H(?/]K', l'K) ont les mêmes zéros, savoir les valeurs de it données par la formule
iii = 9. ni K -f- 2 m'K',
itii bien
Il = — a »? t K -f- 2 « K',
nf et /? désignant des nombres entiers. D'après cela, le rapport
H(m|K', ïK)
est une fonction doublement périodique aux périodes aK et 2fK' et, d'autre part, cette fonction est partout finie : elle se réduit donc à une constante. Désignons cette constante par Ai. Nous avons l'identité
7t H-
g-ÏKKii( j-„ I K, iK' ) = \iH(u\ K', f K ) ; on en déduit les suivantes :
e~4KK- e(à/|K, «K') = AH,(?<1K', iK), e~4KK'e,(/M|K, tK'; = A &i{u\K', iK), e~Ï^Ui(iu K,iK') = A e(u\K', iK).
Il suffit pour cela de remplacer dans la première de ces identités ;/ par u + K', dans la deuxième u par u + iK, dans la troisième u par u -+- R', en se reportant aux formules du n° 76 et à celles (pron en déduit par l'échange de K et K'.
81. Diverses notations usitées pour les fonctions de Jacobi. — M. Weierstrass emploie les notations suivantes reproduites dans
iiTLDi-: s l' K c I A L I-: i)i:s notations di: j a coin, lo Traité des fondions ellipliques de Halphen
37i(i') = ly/c] %\n-v — i. (/y'J siii3-('-f- ■x\fcj^'> «in jr. c — . Sî^2(t') = "i-S q COSTTt' H- lyj q^ cos3Tr^'-t- 2 v/*/^* cos JTf -h ,
2^3 (P) = I -I- 2(7 COS2 7rP'-f-2(7'» COS/iTTf H- 2^» COsOtTI-t-. 2fu(«' j = I — i-q C0S2-t^ 4- •> /jr'' C0S4~l' — •i.q'^ C0s6-l' — .
On a seulement conservé ici la lettre q au lieu de la lettre h qu'emploie M. Weierstrass pour désigner e"^'^.
La correspondance entre les deux notations est donnée par
"("> = -(.rR)-
"■(") = "'(,'k)'
''<"> = '«(;rk)-
Jacobi, dans ses Leçons [Jacobi's gesammelte Werke, t. I, p. 497)7 met ^^{a^q) où l'on mettrait, avec la notation de
M. Weierstrass, ^a(~) et supprime l'indice o. Briot et Bouquet
désignent les périodes 2K et liK' par tu et oj'; ils emploient d'autres notations reliées à celles de Jacobi et à celles de Weierstrass [)ar les formules
02(«) = ^2(~) =n.("), 03(«) = 2-3 (-'[-) =e,(«),
126 CHAPITRE IV.
8^2. Relations entre les ^ et les ^. — Ces rclalions sont
ou bien
3'i(«) =
■j{m
« 0
3'(W)
crCw
")
' ( 10 -1- O) )
3'(to'-4- /<)
e-(r,+ri')« =
3'(w')
ll'(o)
iii(j"),î<:j"
H,(o)
e,(o)'' e(o)
— /i-
■2 W -^K
e
•^i(^') ^,(»)'
f 2 0) ^ 2 0)
1 '",
2 O) '
La première de ces relations a été démontrée (n" 21). Les autres s'en déduisent en tenant compte des formules relatives à l'addition d'une demi-période, et en remarquant que a*,, 3*2, ■i^i deviennent égales à i pour u = o.
II. — Fonctions snî<, en h, (\x\it.
83. Définitions. — Si l'on compare les multiplicateurs des fonctions H(«) q,iQ{u) qui correspondent à la période aK, puis à la période 2/ K', on voit que les premiers sont égaux et de signe contraire, les derniers égaux et de même signe; il en résulte que
le quotient — — ■ admet pour les mômes périodes les multipli-
cateurs — i et + i .
Jacobi a été conduit à considérer les quotients des fonctions H, H|, 0, par la fonction 0. Posons
sn u = A en « = B
dn » = C
Hi(«)
KTUDE SPÉCIALE DES NOTATIONS DE JACOni. rz7
(On lit les premiers membres s, //, ii puis c, n, a puis enfin f/, /i, ff en énonçant successivement les trois lettres.) Détermi- nons les facteurs constants A, B, C, de manière que les trois fonctions prennent la valeur i la première pour a = K, les deux autres pour ;/ 1= o; nous aurons les éjjalités suivantes de définition
I Wiin sn « = —= -— — .
/T-, 0i(") /T^ «-HO)
La fonction sx\u est seule impaire, les deux autres sont paires sn( — «) = — sn«, cn( — u) = cnu, tln( — ti) = (Jn«.
Cela résulte de ce que H(«^) seule est im[)aire, n" 7i.
8i. Addition d'une période ou d'une demi-période. — Les for- mules relatives aux fondions H, 1I|, (-), (")| donnent immédiatement
sn(M -t- '.îK) = — sn i<, ?n (;<-+- 9. iK') = sn//, cn{u -T- iK) = — en », cii(/< -*- 2f K') = — clw^
pui
dnf«-+-2K)= dn;/, (\n { u -¥■ 1 i ¥J ) = — dlw^
criK , ., , I
' dn II Icanu
— /t'srw/ , .,., dnu
cil ( « + K ) = j , en ( a -t- i K ) = —
^ dn« iksnu
k' .,-, cn«
dn ( ?< -4- K j = -j 7 dn ( » 4- i K ) = ^-; ,
(In a
.,,, (\nu
sn(« -i- K -+- /K )
cn(« -T- K -i- f K') = dn(« -f- K -T- i\\' } =
k cnu
k'
ik en u
ik' «n u
en u
<So. Construction, à l'aide des fonctions sn, en, dn des fonctions elliptiques aux périodes ^oj et 20/ ou 2K et 2iK'. — Les fonctions sn^/, ciu/, du;/ n'admettent pas les deux périodes 2R et at'K'; par
ii8 ciiM'iTui: IV.
exemple snu change de signe quanti // augmente de 2K. iNIais il est aisé de construire avec ces fonctions des fonctions elliptiques admettant ces deux périodes : telles sont, par exemple, les deux
fonctions
sn- II, su II en ti (lu 11,
et, en général, toute fonction rationnelle de ces deux fonctions.
Inversement, nous verrons plus loin que toute fonction ellip- tique aux périodes 2K et 2/K' peut s'exprimer rationnellement à l'aide de ces deux fonctions.
Avec les fonctions de Jacobi on peut donc, tout comme avec les fonctions p et p', construire toutes les fonctions elliptiques aux périodes 2K et :iiK'.
<S6. Périodicité; zéros; pôles des fonctions sn, en, tin. — Les pé- riodes des trois fonctions se déduisent immédiatement des rela- tions (i)
snu admet les deux période» 4 K et 2? K',
en K » » ( K et i K -f- :i iK',
dnu » » 2 K et 4 i^'-
Les zéros de ces fonctions sont respectivement ceux de H (m), Hi («), ^i(if) à savoir
Zéros de sn ?/ imK -r-'i niK',
» c\\ n ( 1 /n -h i ) K -i- -i /li K' ,
» i\i\ Il ( -2 />i -f- 1 ; k -r- (^ 2 /i -T- 1 ) / K' :
ce sont tous des zéros simples.
Les pôles des trois fonctions sont les mêmes : ce sont les zéros du dénominateur commun 0(«).
Pôles de sn «, ci\u et dnii... imK -\- [in -\- i)iK'.
Ces pôles sont simples.
Si l'on construit le réseau tles parallélogrammes avant ])our sommets les points
«o-i- 2/« K -t- i/iiK',
chacune des trois fonctions a un ptiic et un zéro dans chaciue [)a- rallélogramme.
ÉTVDK SP^CIAI.i; DES NOTATIONS D K JACOUI. 129
87. Formule d'addition préliminaire. — Nous obtiendrons iinmédialcmcnL les ionnules cjue nous a\ons en vue, en appli- (juant les théorèmes géqéraux, sur les fonctions elliptiques, précé- demment établis.
Considérons les deux fonctions
(5) snusn{u — a), onKcn(« — a) — en a,
OÙ a désigne une constante. Ces deux fonctions sont doublement périodiques aux périodes 2K et 2i¥J. Elles sont chacune du second ordre, car elles admettent dans un parallélogramme des périodes deux pôles simples, à savoir les zéros du produit
0(«)0(« — a),
dont chaque facteur a un seul zéro dans un parallélogramme. Les fonctions (5) ont donc dans un parallélogramme des périodes deux zéros : ces deux zéros s'aperçoivent immédiatement; ce sont les points homologues de a = o, et a =:ol. En effet, chacune des deux fonctions s'annule pour ces valeurs de u.
Les deux fonctions doublement périodiques (5) ayant mêmes zéros et mêmes infinis ne différent que par un lacteur constant; on a donc
en u cr\(u — a) — cna = A snu sn(« — a),
A désignant un facteur constant. Ce facteur se détermine en fai- sant // = K ; il vient alors
» cna — cna = A-i — ) A= — dria.
an a
En remplaçant A par cette valeur dans l'identité précédente, on obtient la formule suivante d'où nous déduirons toutes les autres formules d'addition
(G) cna = cn« cn(« — ol) -\- snu sn{u — a) dna.
88. Relations entre les fonctions sn//, en//, du//. — En faisant, dans la formule ci-dessus (6), a = o, on trouve
sn^ u -+- en- u = i.
Dans cette formule remplaçons 1/ par a -i- iK'. En tenant compte A ET L. 9
IJO CHAPITRE IV.
des égalités
sn(u-\- lis. ) = -j , en ( « -f- i k ) = -. ,
A" su u ik sn u
il vient
I dnî// _
k-sn^ii k- in'-u ' OU enfin
(ln'-« -4- k'^ sin^j/ = i.
Ainsi deux des trois fonctions sn-w, cn-</, dn-// peuvent s'ex- primer linéairement en fonction de la troisième. On a, par
exemple,
ci\'U = I — sn-H,
dn2« = 1 — A-2 sn2«.
89. Module. Module complémentaire. — Dans la relation
dn-« 4- k- sn- « = i, faisons ?/ = R ; on a d'abord snR = i , puis la relation
cl n ( H -1- K ) = T-— un u
donne dnK = /.' et l'on est conduit à cette conséquence
le nombre A" s'appelle le module, le nombre /.' module complé- mentaire.
90. Formules d'addition pour sn u et en u. — Dans la formule (6) posons a = — v ])uis, dans le résultat ainsi obtenu, échangeons c et u ; nous trouvons
i en u en ( m -h c ) + sn u dn i' sn (?/-}- t" ) = en p, I cni^ cn(a 4- i')-{- snt> dnji sn(«-+- t') = en«/.
Ces deux égalités vont nous donner sn ( m + (^) et en (« + f) ex- primés à l'aide de fonctions dont l'argument est u ou r. En les résolvant par rapport à sn[u -\- v), il vient
cn-ii — en^t» (8) sn(ii-t-r) =
sn f en M dn u — sn a en (^ dn t"
i; T U D E SPECIALE DES NOTATIONS DE J A C 0 B I . l'i r
On a ainsi une formule d'addition algébrique pour la fonction sn u. On l'écrit ordinairement sous une autre forme. Dans le second membre le numérateur s'obtient de suite en fonction de sn« et de snr en remplaçant en- it et cn-r par i — sn'-;/ cl i — sn^r; le dénominateur est une fonction irrationnelle de ces mêmes quantités. Si nous multiplions les deux termes par la quantité conjuguée du dénominateur, nous trouvons
(sn^r — sn-«) jsnrcn » fin « -1- sn « cnrdnr!
sn ( Il -r- r ) = ■ •
sn- V cn^ u (\n^ u — sn^K cn^c dn^r
Le dénominateur est une fonction entière de sn-w et sn-r qui s'annule pour // = c; 11 doit donc contenir en facteur sn- // — sn- c. On a en efl'et
sn-t^' cn^u dn-« — sn^ wcn-r àn^v — (sn-r — sn2f/)(i — /i^sn^ u sn^c);
alors le facteur sn- c — sn- u disparaît et il reste
sn u en (' tin (' -f- sn r en u dn u
(9) sn(«-+-r):
I — A:2 sn-jf sn'^r
On obtient de même cn(« + r), en éliminant sn(w + v) entre les deux équations ( j). Effectuons le calcul : nous trouvons suc- cessivement
sn p en p dn M — sn u en m dn f
cn{a -~v) =
%nv en u dntt — sn u en r dn v '
j snt-cnt^dn » — sn jfcnwdnp j j snf cnw dn«-i-snM cn(^ dni^j %n-v cn-ii dn^M — sn^ii en-c dn^f
Dans le second membre le numérateur développé est
! sn'i' dn-« — sn- M dn-t»! en « enc — sn «f snt' dn m dn i'(en- « — cn^p),
OU
(sn^p — sn^i/) en M en p — sn{< sni^ dn ?/ dnr j ;
le dénominateur, on l'a vu, peut s'écrire
(sn^p — sn2 u){\ — k- sn- u sn^c).
On a donc enfin
en M en p — snu snt» dn m dnt^ (10) cn(M-f-v)= —
l3-2 CHAPITRE IV.
Formules d'addition pour ànu. — La formule (6) cna = en u en {il — a)-i-snHsn(« — a)(lna tlevienl, en posant a = // H- r,
cn(» -f- f) = en ;/ cnv — ?,nii snr cln(« -i- ^')•
Cette relation donne tln(« 4- r) en fonction de cn(« + t) : en y remplaçant cn(// + v) par l'expression (lo) que nous venons de trouver, elle donne, après des réductions évidentes,
, , , , , d n î< d n i' — k"^ sn u ?,nv cnucnv
(il) ûn(u-\-v)= r- —
I — A"- sn-u %n-v
On a ainsi les formules d'addition pour les trois fonctions sn, en, dn.
Autres formules. — Changeant dans ces formules v en — c. on en déduit les expressions de sn(« — v), en (m — f ), dn(;/ — i). On a, par exemple,
«n u en V dn v — sn p en // ànu sniu — v)= 7- :
d'oij, en retranchant de sn(w -|- ç'),
i?,nv cnudinu
(12) sn(a-i-t') — sn(« — p)= j- ; -,
I — /l- sn^w ?,n-v
formule qui va nous servir à trouver la dérivée de snu.
91. Dérivées des fonctions snz/, en^^, ànu. Multiplicateur. — Pour avoir la dérivée de sn?/, il faut chercher la limite de
sn(?/-i-A) — sn?f , ^ i » r i
— j- pour h^o. Four cela transiormons le numéra- teur comme on le fait dans la recherche de la dérivée du sinus, en nous servant de la formule (12). Dans cette formule rempla-
h h 1 1
çons u par ^^ -h - et c^ par -, cela donne
h / /i\ , / h
, , sn - en a H ) an ( m
sn («-;-/? ) — ^nii 1 ^
— 1 — k- sn- — sn- [ u -\
•2 1 \ 1
KTUDE SPÉCIALE DES NOTATIONS DE JACOBI. l33
Appelons g la liniilc du rappiMl — - quand ii Iciid vers zéro :
// sn -
alors --— tend vers g^ cl on trouve, pour h = o,
■>,
d snu ,
— j — = i,' en II (lu II. au
Le nombre g se nomme niulliplicaleur.
92. Expression du multiplicateur en fonction des périodes. Choix de périodes ).K et >.i\\.' telles que le multiplicateur soit égal à
l'unité. — Nous avons à chercher la limite de quand u tend
vers zéro. D'après la définition de sn;/, on a
H(«) sn u _ 61(0) u u " H,(oj H(a; '
et nous sommes ramenés à chercher la limite de ; celte limite
u
peut se déterminer à l'aide du produit simplement infini qui re- présente H(«); elle est égale à H'(o) et nous avons démontré (n" 79) la relation
^II'(o)= 11,(0)0(0)61(0).
L'expression de g^ savoir
0,(0) II'(o)
g =
H, (G) 0(o)
se simplifie, si l'on remplace H'(o) par sa valeur tirée de la rela- tion que nous venons de rappeler : g est alors donné par l'égalité
^ = euo).
Jusqu'ici les périodes 2K et a/K' ont été prises arbitrairement et avec le même degré de généralité que 20) et ato'. Dans ce qui suit, à moins de spécifier le contraire, nous supposerons K et R' choisis de façon que g soit égal à i, c'est-à-dire nous sup-
l34 CHAPITRE IV.
poserons remplie la condilion
ZaK 4/—- =z Bi{o)= l -T- Q.q -T- iq'^-r-iq^-t-
En tenant eompte de cette condilion, g = i, l'équation qui donne la dérivée de sn ;^ devient
d ,
-7- snu = en II an 11. au
Ainsi, à l'avenir, K et ¥J ne seront plus des quantités indépen- dantes : elles seront assujetties à vérifier la condilion ci-dessus.
93. Dérivées successives. — En dilTérentiant les expressions de en-;/, dn-;/, savoir
cn^u = I — sn- u, dn- u = \ — k- sn-u,
on trouvera les dérivées de en m, dn?/.
Les dérivées des trois fonctions sont données par les formules
-;— (sn m)= en u dn u, du
-j-(cn u ) = — snu dn u, du
-r- (dn «) = — A-^ snu en u. du
On peut aisément, en partant de ces formules, calculer les dé- rivées successives de l'une des trois fonctions. On trouvera par exemple, pour les dérivées de snu, des expressions de la forme
(snu) = (a(, -i- tti sn-u -^ cii sn'* u -h . . . -h a p sn^Pu) cnu dnu,
du^P^^ d^P du'^P
les coefficients étant des fonctions entières de k
d^p
— (sn?i) = (Ao-;- Al sn-u -i- A, sn'u -h. . .-l- \pSn-P u)snu,
91. Développements en séries entières. — En appliquant la for- mule de Maclaurin aux trois fonctions sn m, en u, dn u et en faisant
ÉTUDE SPÉCIALE DES NOTATIONS DE JACOBI. 1 35
a =3 - (A" + T )' on trouve
w
5n// = //-o,/.a -+-4/^-(ï'-+-3) — — - — 8X-3(a3H-33a)
1.2.3 1.2. 3.4.3 I.A...J
cnu = I — — -l-(i-4- \k-) '^-—-; — (H- 44/^--+- 'GA"^) — - — r — ...,
I . -i \ .:>. . j . .\ I . '2 . . . ( >
• In// = I ;-A2(4-+-A2) T-7 — A2(ib-+-4iA2-+-A'») 77-+-...,
I . i 1.2.3.) 1 . 2 . . . O
et l'on démontre que ces développements sont valables quand le module de // est moindre que la distance de l'origine à celui des zéros de ^{if) qui en est le plus rapproché. On voit qu'en né- gligeant u\ cnu peut être remplacé par cosu et dnw par cosAm; de plus, en négligeant u'', on peut remplacer snu par
sinw/i -h k-
v/i-hA2
Do. Dérivées des fonctions inverses. Première idée de l'inver- sion à l'aide des fonctions de Jacobi. — De môme qu'en Trigono- métrie les dérivées de sin ?^ et cosm conduisent à celles des fonc- tions inverses arcsinj: et arccosj?, les résultats précédents nous lournissent les dérivées des fonctions inverses de snu, cnu, dnu.
Soit par exemple
(iS) a; = sn // ;
celte équation résolue par rapport à u donne, pour u, deux va- leurs dans un parallélogramme construit avec les périodes 4^ et -tiR', car snu est une fonction elliptique admettant ces deux périodes et admettant deux pôles simples dans ce parallélogramme. L'une de ces valeurs étant appelée u, l'autre est 2K — w, car
sn(2K — «) = sn //,.
Les racines de l'équation (i3) forment donc une double suite de valeurs
u -+• 4 ni K -T- 2 rtt K', ■). K — u -{- ^niK -h 2 niK',
m et n désignant des entiers.
Nous appellerons plus spécialement u celle de ces valeurs qui,
i3G niAPiTRi: iv,
suivie par continuilé. s'annule avec x el nous l'appellerons
(i4) ?/ = arg sn.r
(l'égalilé précédente s'énonce : u égale argument sn^). Nous voulons calculer -y-- Or (i3) donne
Donc
(i5)
— ^ = en u (lu n = i/( 1 — ^- ) ( 1 — k- x''- ). du
du_ dx
/(I — 372) (1 — ^2 a^2)
Telle est la dérivée de argsno:; elle est algébrique comme celle de arcsin^r. Comme u et x s'annulent en même temps, l'équa- lion (i5) donne par l'intégration
(lO;
dx
0 v/(i — ^-)(i — /^"-^■-)
Inversement, si l'on est en présence d'une équation de cette forme, on en conclura
?/ = argsna", x^=^x\u.
C'est ce qu'on appelle faire l'inversion de l'intégrale (i6). On trouve de même
d arg rn.r i
d ar<ï Anx i
dx
=tv/(i — ^-K^-— '^■'^)
L'intégrale (i 6) est appelée une intégrale elliptique de pre- mière espèce, sous la forme normale de Legendre.
96. Dégénérescence. — Les fonctions sn, en, dn se réduisent à des fonctions circulaires ou exponentielles lorsque A- est égal à o ou à I .
1° Â-^ o. L'équation (iG) devient alors
dx
■'= f-^
KTIDK SPÉCIALE DES NOTATIONS DE JACOBI. l37
la fonclion jr = snit devient donc .r = sin//. Les fonctions
ciw/ = y/i — in- II, (Iii II = ^i — /i-sii'^ Il
devienncnl
cii« = cos«, cln« = i.
On penl vt-rificr fjiralors les formules d'addition (9) et (10) se réduisent aux formules donnant sin(/^ + c), cos(// 4- <')• 2" /-- = I . Alors on a d'après (16)
d'où
... |
dx I , 1 |
[ -)- X |
■l |
x — x"- 2""° 1 |
I X |
X = |
qU e — " sn u = |
i>ll -i- /> — U
u = d n » = V'
I — in-ii =
97. Relation entre pu et snu. — La fonction snii que nous vou- lons comparer à pu est celle dont le multiplicateur est égal à l' unité, de sorte que, si l'on pose
; satisfait à l'équation difTérenlielle
dz
Alors les périodes ->. K et ii¥J de la fonction sn^w ne sont pas ar- bitraires. Elles doivent satisfaire à la condition
/
2K . g
Au contraire les périodes 2oi et v. to' de jdm sont prises arbitraire- ment. (On suppose seulement que dans le rapport-:— la partie réelle est positive. ]
Considérons la fonction sn^ - où ). est une constante; cette fonclion admet comme périodes 2KA et ai'K'À. On peut déter-
l38 CHAPITRE IV,
U
miner \, K, K' de façon que les périodes de sn^ ^r- aient des valeurs données à l'avance 2co et 2(o'. Si ron prend
K iui
la quantité 7 est connue et la relation entre K et K' déterminera K. Au mojcn de l'indéterminée ). on pourra satisfaire à la condition
o. K X = 2 CO
et, en se reportant à la valeur de jr-, on trouvera
2jK'X = 2W',
Prenons alors la fonction pu construite avec les deux périodes 2(0 et 2 co', et comparons-la à ? qui admet les mêmes périodes.
Dans un parallélogramme de périodes contenant le point o, ces deux fonctions ont un seul pôle, le point u:^o^ qui est un pôle double. On a, de plus, quand u tend vers zéro,
hmu^pu = i, uni ■ — = i.
X2sn2-
Les deux fonctions ont donc même partie principale dans le voi- sinage de a ^= o et la différence
pu
k- sn- —
A
est une fonction doublement périodique aux périodes 2to, 210' qui reste finie dans un parallélogramme des périodes. Elle se réduit donc à une constante C et l'on a
pu
Pour déterminer la constante C, développons en série le premier
ÉTUDE SPÉCIALE DES NOTATIONS DE JACOBI. 189
membre dans le voisinage de u = o. On a (n° 9i)
I -f- k'^ ,
sn u ^= u : — «•• -H . . . ,
o
Il I I I -f- A2
= — = 1 1- au- -+-.-.
sn^M «2 / H-A2 , \2 «2 3 — ti--\-.
et, d'autre part, Donc
pu = —, -^ -4^ «2 _,_ .
I I 4- A- ,
Faisant « = o, on a G = — ' .^ > d'où la relation cherchée
i-t- A-2 I I
^"=--3x2- ^x^ -7^'
On sait quey = J3?/ satisfait à l'équation différentielle
avec les conditions
ei = pco, e, = p(aj -t- co'), 63= pw'.
Calculons c^, e-2, <?3 en fonction de /.- et de).; pour ii = co, r- = K, snK = I,
ei = —
I -h A-2 I
3X2 X2'
u
pour « =: oj', y =.- i'K', sn(fK') = oo
_ l-f-A'2
^'- 3X^' pour « = OJ H- to', Y =: Iv -r- « K', sn ( Y j = ,
I-+-A2 /-2
l4o ClIAPITRK IV.
Après des réductions évidentes, on trouve les égalités
AV, = , l-C.2= ;. -,
Cl on en déduit
c-i—e^
t'i— ^3 ey—e3 €1—63
Dans le cas particulier où l'on considère la fonction pu con- struite avec les périodes 2K et r>/K.' elles-mêmes, on a À = i et la relation entre p et sn devient
' • / 7 0 ^
pu = — , --(A-2+i).
98. Théorème. — Toute fonction elliptique aux périodes 2K et 2;K' est une fonction rationnelle de six- u et de sa dé- rivée 1 sn u cnu ânu.
En effet nous avons démontré (n" 49) que toute fonction ellip- tique est une fonction rationnelle de pu elp'u. Comme la rela- tion ci-dessus donne
, 2 sn u cnu dnu
p 11= — ,
on voit que la fonction considérée, exprimée rationnellement en pu el p'u, se transforme immédiatement en une fonction ration- nelle de sn- u et de sa dérivée.
Si Ton considère en général une fonction elliptique avec des périodes quelconques 20) et 2(0', elle est une fonction rationnelle
de pu el p'u, c'est-à-dire de sn-y et de sa dérivée.
99. Développements dev, et der/en série. — Pour avoir un dé- veloppement de 7, en série, nous partirons de la relation entre lu et Zu démontrée Chapitre II, n° 21 [équation (19)] et que nous récrivons ici
- u = tu — Zu. œ
En prenant les dérivées des deux membres et en faisant ensuite
ETUDE SPECIALE DES NOTATIONS DE JACOBI. ijl
a = to', nous trouvons
— = — pu — Lu, puis
— = — e-, — Z'o»'.
(0
Z'(o' peut s'oblcnir en faisant 1/ = o clans
Z'( M -t- oj ) = -.- - -; --^ = __i — .
' f/K LH(ff-t- w') J ^« [ec«)J
Or, du développement en produit infini de B(«) obtenu au n° 78, savoir
%{u) — k(\ — iq COS-^ H- (72 j( I — 'içS cos -^^ h (/M. . .,
on déduit successivement
e'(i<) 2- . -i< / q
— sin '
' I — 27 ces h 72 j — 27^005 ^q^
d e'(«) _ . -«
-r- ^ . ' = P sin
f/a 6(«) to
)2 Tt^ 7: «
— - cos — , to- to
P désignant une fonction de u qui reste finie pour u = o. Donc et, par suite,
to |
to' ^ |
^ qn |
-l([-ry'02 |
||
/i = |
I, 3, 5, .. |
Pour avoir le développement de r/, dans l'égalité précédente,
remplaçons co et to' par to' et — to ; ^ = e devient (^q^ <? '^ ; de j)lus e-i = p(w') devient e^ = ,p(to), et nous obtenons
n = I, 3, 5, ....
N2
CHAPITRE IV.
100. Exemples de décomposition en éléments simples et d'inté- gration. — i" l'rcnons dabord la lonclion
/(«) =
sn*« — sn^a
où a est une constanle qui n'est pas de la forme ft/«R + '2ni¥J . Cette fonction est du second ordre; elle admet, dans un parallélo- gramme des périodes aK et a/K', deux pôles simples homologues respectivement des points + a et — «.Le résidu A relatif au pôle
// = a est
u — a
A = lim— -— ,
sn^M — sn^a
pour 11^^ a. La limite de ce rapport s'obtient immédiatement en prenant la limite du rapport des dérivées
2 snrt cna du a
Le résidu relatif à l'autre pôle // = — a est — A. On a donc, en appelant B une constante,
/(aj= AZ(?/ — a)— AZ(?<-ha)-f-B,
ou, en remplaçant A par sa valeur, 2 sna cn« dno
sn2» — sn^rt
= Z ( «/ — a ) — Z ( ?/ -i- a ) -t- C,
C désignant une autre constante. Nous déterminons C en faisant // = o, ce qui donne
2 en a dn o
C =
^-■2Z(a).
Cette valeur de C se simplifie si l'on se reporte à la définition
de SD «,
I H(a) sn« = -- ■„ , . > s/k »(«)
qui donne, en prenant les dérivées logarithmiques des deux
membres,
cnadni/ „, , ©'(«)
-Tir7r- = ^(")-ë(]ô'
ÉTUDE SPÉCIALE DES NOTATIONS DE JACOBI. l43
B'(a)
on a donc en changeant // en (/
G =
e(a) d'où la formule définilive
9. «n or en rt tin a Q'(a)
(i8) — =7Ju — o)—Z(ii ^a)-h 9.--—r-
Celle même formule s'obliendrail en regardanl le premier membre comme une fonction de a et le décomposanl en élémenls simples.
En inlrgranl les deux membres par rapport à //, on a
/2 snrt cna dn« , , II(;/ — a) B (a) ; — du = J.os rr: 'r- iii ^-j — - sn^u — su- a °H(«-f <■/; ©(«)
-^ const.
De même en intégrant les deux membres de la formule (i8) |)ar rapport à a et remarquant que i^snc/cnadnrt est la dérivée de sn-a, on a
Log(sn2rt — ^11^- u) = Lo^U{a — a ) -h LosU{a ^ u) — i Loge(a)-^ LogC,
désignant une i On en conclut
C désignant une constante relativement à a
\\(a — u)\\(a — u) in- a — sn2« = C ;
e-(a) cl, en faisant « = o,
D'où la formule définitive
02(0) Wia — «) II(a — u)
sn*a — sn^H =
/. e2(a)e2(iO
mettant en évidence les zéros et les pôles du premier membre.
2° Proposons-nous maintenant de décomposer en éléments simples la fonction
sn^w
qui admet, dans un parallélogramme des périodes, un pôle double homologue du point i/ = o. Comme, dans le domaine du point
i44 ciiAPiTni: iv. — ÉrroE spéciale des notations de jacobi. //=zo, on a
fonction régulière,
sn-« u- |
|
on aura |
|
(•y) |
1 sn2« |
1) désignant une constanle que nous allons déterminer. Aupara- vant, nous changerons dans la formule (19) u en // + iK', en nous rappelant les relations suivantes
sn(a-\-i K' ) = -, >
k sn u
H(u-h iK')= ie~4i:'-"'^' *0(„), dont la seconde donne, en prenant les dérivées logarithmiques,
z(„ + .-K')=--iîî + :^,
^ ^ 2 K B(u}
Z ( M + J K ) = -7- -^TT— T •
du &{ii)
D'après cela, la relation (ig) devient, par changement de ii en // + /K',
/i2 sn^w = , — h D.
«M &{u)
Faisant, dans cette dernière formule, ;/ = o et remarquant que B'(o)= o, car Q(ii) est paire, on a
0(0) D'où les deux formules
I y,, 0"(O)
(iO)
sn^u ' ' 0(0)
,„ „ f^ ©'(«) 0"(o)
du Q{u) e(o) On en déduit par l'intégration
r du „, e"(o)
/ — r— = — Z{u) -^ u — - — - -f- const. J sn-w t)(o)
A^ 1 sn2«rfa = \- u— h consl.
0(«) 0(o)
KXERCICES SUR LE CHAPITRE IV. l ^'i
Remarque. — La preniiùre des formules (^^o) peut se déduire aussi comme cas limilc de la formule (i8). Il suffit pour cela de diviser les doux membres de celte formule par 2a et de faire tendre a vers zéro.
101. Notations d'Abel. — Dans son premier Mémoire, Abcl a désigné par cp, /, F les fonctions sn, en, dn. Plus lard, il a em- ployé la lettre X pour la fonction sn. Cette notation a été adoptée par Briol et Bouquet, qui désignent les trois fonctions sn, en, dn par A, 'jL, V.
sn« = X(«), cn« = [j.(M), dnu = 'j(u).
EXERCICES SUR LE CHAPITRE IV
1. Démontrer les formules suivantes, qui sont des conséquences des for- mules d'additions :
, , , 2 sna en 6 dnô
sn{a -+- 0 ) 4- sn(a — 0)
(i) l cn(a H- 6) -f- cn(cr — 6) :
àn{a -h b) ^ dn{a — ù)
1 — A^ sn^a sn'^é
1 cna cnb V—k^ sn2asn2è'
2 dna dnô
1 — A-2 sn-a sn2^'
sn2a — sn2^;
sn(a-4-6) sn(a — 6)= y, — -y,
i — A:^ sn^a sn^ô
, , , , , I dn^adn^^ — A'2
("2) { cn(a-h6 cn(a — 6) = y-, ^^ — —
' ' A- I — A^sn^asn-o
A^cn^a cn-b -+- A'^
dn(a -+- 6)dn(a — b)
(3) sn(a-l-6)cn(« — 6)-+-sn(rt — 6)cn(a-i-6) =
I — A2 sn^a sn2 6
2 sna cna dn6
(4)
I — A2sn2asn2/>
dn(a — b) — cnia — b) _ dnacn^ — cnadn6 sn(a — b) sna-f-sn6
i-+-dn(a — b) _ snacn^-f-sn^cna
ksn{a — b) dab — dua
A. ET L.
l46 EXERCICES SUR LE CHAPITRE IV.
2. Duplication de l'argument. — Faisant v = a dans les formules d'addition cl ocrivani s, c, d à la place de snu, cnu, dnu, il vient
■y.scd
'mu =
dn2f/
I — a k- s-^- k- s '• k'- — i k'- d- -+- d*
1 — k- s* — k'- -+- id- — d*
En posant S = sna?/, C = cnsf/, D = àniu, ces formules s'écrivent
I — G_52rf2 I — D _ A^^2c2 D — G _ k"is^ _
r+G~~c2^' Tm ~ ~W D-f-G "" c2<^-i'
d-^ =
i + D ' |
^•^ |
|||
I |
-G |
I |
1 — |
D |
I |
-T-D |
A^ |
I -r- |
G |
D |
-+-G |
A'2 |
I — |
D |
I |
-D ~ |
A-2 |
D- |
-G |
D |
— G |
/!'2 |
I — |
G |
I-+-G D —G '■•
Faisons ?/ = - K, alors S = i, G = o, D = A'; donc
K ^ /~i~ K ^ /""Â^ , K rp
sn— =1/ r<> en — =t/ ^,, dn — = y/A •
2 y I -i- A 2 v n- A 2
3. Démontrer la formule de décomposition en éléments simples
A^snacnadnasn^;/ 0'(<7) i VQ'(u — a) Q'{u-\-a)'^
Le(« — rt) ~ ë(«-i-a)J
i — A"-sn2asn2^i ©(«)
Cette formule peut se déduire de celle du n" 100 en y remplaçant u par Il -r- iK' .
A. Vérifier que l'on a
— A / sn u du = Lo g ( dn « -4- A en a ).
Montrer qu'on peut de même déterminer les constantes a, b, a', b' de façon que
a I en u du = Log(sna -i- a' dna),
b j dnu du = Log(cn u -+- b' sn w).
Il suffit de différentier et d'identifier.
EXERCICES SUR LE CHAPITRE IV. i^y
:;. Un cas particulier des surfaces minima. — Un exercice intéressant pour appliquer la tlillV-rentialion dos fonctions elliptiques consiste à vérifier que la surface découverte par Schwarz (Gesaminellc inalhetnatische Abliandlungen, vol. I, p. 77)
en J7 -H cn^' -1- en;; -t- cna? cn^ cn^ = o,
avec le module k— -, est une surface minimum dont la courbure totale 2
en chaque point est nulle, satisfaisant, par conséquent, à la condition ( [ -f- q-)r — o.pr/s -i- (l -h p-) t = o, ■
p, (j, /•, s^ t ayant leurs significations ordinaires de dérivées partielles de z par rapport à x, y. Schwarz montre que cette condition équivaut à la suivante
1 I (} + n^-)r—'2pqs^(i-^p^)t , /t)X c)Y\
- ^ - = — V^ ï ^-^= v/n-/,2+^2 ( ^. =0;
pi p-2 1 -r-/>^-f- <7^ ' ^ \0x dy }
P) et p-2 sont les rayons de courbure principaux de la surface, et l'on pose
y/i -t-/>--H (/- \l \ -^ p''- -^ q'^
Le lecteur trouvera le détail du calcul de vérification dans l'Ouvrage de Greenhill sur les Fonctions elliptiques, p. 35; Carré, 1895.
G. Démontrer les relations
02(0) B.{u-^a) H(« — a)= %-^{a)W-{u)— ÏV-{a) e'-{u),
e2(o) e(K-t-a) e(ii — aj = 02(a) e2(iO— H2(a) H2(iO,
= ei(a) 6\(u}-Hl(a)n](u), 02(0) e(u-ha) ©(« — «) = 02(a) 02(M)-f-H2(a)H2(M), H2(o)H,(M + a)Hj(« — «) = 0f(a)02(K)— 02(a) 02(m),
Hi(o)0,(a)0i(iOHi(« — a) — 0i(o) n,(a) Hi(îO 0i(m — « ) = 0(o)H(a)H(a)0(« — aj,
Ui(a) ê(a) Uii u) e{u) ^ li( a) ei(a) U(u) 61(11) = 0(o)Hi(o)Hi(K — rt)0(a-i-«).
Il suffit de vérifier que, dans chacune de ces formules, le quotient d'un des membres par l'autre est une fonction de u admettant les périodes 2K et 2tK' et restant finie quel que soit u. Ce quotient est alors une con- stante que l'on détermine en donnant à u une valeur particulière.
CHAPITRE V.
ÉTUDE DES VALEURS RÉELLES DE snii, cnu, dn ». QUAND K ET K' SONT RÉELS. APPLICATIONS.
Nous nous proposons, en vue des applications, de faire, pour les fonctions de Jacobi, une étude analogue à celle que nous avons faite pour pu dans le Chapitre ITI. Nous supposerons, comme
dans ce Chapitre, que (o et — sont réels, ce qui revient à sup- poser K et K' réels.
I. — K ET K' RÉELS.
102. Le module est réel et moindre que i. — La série qui dé- finit A" et k' montre que, K et K' étant réels, k et A' le sont aussi. Comme on a
le module A et le module complémentaire A' sont réels et plus petits que i .
103. Argument réel. — Considérons d'abord la fonction
I U(u) -s = sn « = —= — - — - • v/A 0(«)
Quand u varie en restant réel de o à K, ^ est réel puisque, dans les développements en série trigonométrique de H(w)et0(^^), tout est réel; dans cet intervalle :^ varie d'une manière continue, puisque ^{u) 'd pour racines 2mK -(- (2/1 + i)fK'. De plus, la
dérivée
dz ,
—f- = en M an u du
garde un signe constant, puisque les fonctions H,(w), 0,(«),
KTUDK DES VAI.KURS RÉELLES DE Snil, cn U, (In «. l49
(-)(//) ne s'annulcnl j)Our aucune valeur comprise entre o cl K ; celle dérivée est égale à i pour /< = (>; donc elle esl conslamment positive entre o et K. La fonction suit esl croissante : elle esl Midlc pour // = o et égale à i pour « = K.
De la variation de sn u, on déduit celle de cn a cl dn «, quand u varie de o à K. En elTet
en H = /' — sn'-'a \arie de i à o, et
dn « = y/i — /{-sn'-u varie de i à /.'.
On conclut de là les variations des trois fonctions dans tout in- tervalle réel en se rappelant que snu est impaire, que cnu et dn« sont paires, et que l'on a
sn(/< -4- aK) = — sn u, cn(u -h iK) = — cn u, di\{u -^ -iK) = (In u.
104. Argument de la forme v -f- iK', i> réel. — L'égalité
sn(t'-i-iK') = -;
/{ sn f
donne immédiatement la variation de snu quand
u = V -^ iK'
et que r varie de o à K. Gomme sin> croît de o à i, sn(p H- iK') décroît de + X à 7* Les fonctions
m « = y I — sn- u, dn h = y/i — k- sn- u sont purement imaginaires pour ces valeurs de u.
105. Argument purement imaginaire. — Les séries Irigono- métrlques définissant II, 0, H,, (-), montrent immédiatement que, u étant réel, \l{iu) est purement imaginaire; B(m), H,(im) et fti(/M) sont réels. Donc, sn iu esl purement imaginaire; cnm el (\f\iu sont réels.
i5o ciiAPiTUi: V.
Pour cludier les variations de ces fonctions et niellre ces pro- priétés en évidence, nous nous servirons des formules du n" 80, relatives à rechange de K et R'.
Ces formules permettent de ramener les fonctions sniu^ en///, dn iu, construites avec les périodes 2K et 2fK', à d'autres fonc- tions su//, en//, dnu, construites avec les périodes 2K' et 2/K.
On a par définition
e,(o) U(ii) 0(0) H,(«)
Hi(o) 0t«) ili(o) 6[u)
Transformons sniu en nous servant des formules suivantes dé- montrées n° 80
e~^^U(iu\K, iK')^ Mn{u\K', iK), e 4^K^0(«/|K, /K') = A ni{u\K',iK);
nous avons d'abord
HjùilK, JK') _ . H(;<|K', JK) e{iu\K,iK') ~ '' Hi{n\K', /K)'
puis, d'une manière analogue,
0i(o!K, ;K') _ 01 fol K', iK) Hi(olK, iK') ~ 0(o|K', tK.; '
et nous déduisons de là
.sn(î/IK', iK) "^("^'^'^^^^ = ^n(.|K',.-K)'
en désignant par sn(//IK, iK') la fonction snii construite avec les périodes 2R et 2/R' et par sn(«jK', iK) celle qui s'en déduit en échangeant K et R'.
En raisonnant de même et en employant des notations analogues on démontrerait les deux, autres formules
Cn(m|K, iK') = -^y-, rr— ,
^ ' ' ^ cn(«|K', iK)
, dn(u\K', iK)
cn(M|K , iK)
Ainsi, quand u est réel, la fonction sn iu prend des valeurs
KTUDi: DES VAl.ErnS RÉELLES DE sn M, cn M. (In//. I)|
pui*enicnt imaginaires, tandis f|iiccn//< el dn/// sonl réels. Il S(U'ail facile de suivre les variations de ces dernières fonctions : il suffi- rait pour cela d'étudier leurs variations f|uand // varie de o à K'. Ainsi la fonction cn(//jK', /K) varie de i à o, d'après ce qu'on a vu pour les arguments réels; donccn(/M|R, /K') croît de i à +ac.
106. Argument de la forme K -i- in. u réel. — Prenons mainte- nant un argument de la forme R -4- /;/ en supposant que // est réel el croit de o à K. On a d'abord
. cn(n/)
sn ( K -I- «« ) = . , ■ ; <in{iu)
puis, en se servant des formules précédentes et mettant les périodes en évidence, on trouve
sn(K -i- iu\ K, t'K') =
dn(a|K', iK)
La fonction est donc réelle et varie d'une manière continue quand u varie de o à R', c'est-à-dire de o à la demi-période réelle de la fonction dn qui figure au dénominateur. Appelons pour un instant A-, le module des fonctions elliptiques sn(i^|R', «R), cn(«|R', /R), dn(«jR', ÎK.) : nous avons vu que, quand u varie de o à la demi-période réelle R', sn(M|R', tR) croît de o à i, dn(M|R', /R) décroît constamment de i à y/i — /c]. Donc, quand // croît de o à R', la fonction
sn(K -i- iu\K, iK')
croit constamment de i a .
On peut trouver directement les valeurs extrêmes de la fonc- tion : pour u = o, elle est égale à i puisque snR^i; quand
// = R', elle devient égale à -.: comme le montre la formule
sn(t' -)- iK' )
dans laquelle on fait i' = R. On doit donc avoir
/i — *î *
:5-2
CHAPITRE V.
Le module tles fonctions nouvelles sn(M]R', <K), ... esl donc //.
107. Résumé. — Les résultats précédents peuvent se résumer ainsi. Soient Ox, Oj' deux axes rectangulaires : prenons sur Ox 0A=: K., sur Oy, OB = K' et soit C le quatrième sommet du rec- tangle construit sur OA et sur OB.
Lorsque le point dont l'aflîxe est // décrit successivement les
côtés OA, AG, CB, la valeur de snu varie de o à i, de i à -r > puis de 7 a -+- X
u . . sn u
O
On formerait de même pour cnw et dn« les Tableaux suivants, en supposant toujours que le point mobile parcourt les côtés du reclans:le OACB :
u |
.. A |
0 |
B |
en «... . |
o |
I |
00 |
u |
.. G |
A |
0 |
dnu |
o |
^' |
I |
y
Fiî
A J
108. Expression des périodes par des intégrales définies.
fonction
i; = sn «
La
satisfait à l'équation différentielle
dz
qui peut s'écrire
du
en u dn u,
du =
/(l_-2j(i_X:2,-2)
ÉTUDE DES VALEURS RÉELLES DE sn M, CD {/, dn«. 1 53
Quand it varie de o à K, c est réel et croît constamment de o à I (ii° 103); on a donc
K= /
7 Jil-z^l-k^Z^
D'autre part, si Ton pose
Il =^ Vï. -~ it
et si l'on fait varier ^ de o à k', snM croît constamment de o à 7; on en déduit
'■"■=/ /ii
I
Or, en faisant le changement de variable
./, l'i -2
V ' /i -• 1
l'intégrale devient
K' est donc déterminé par l'égalité
Jo s/H-z^-){i-/c'-^z^)
On voit que K' est défini à l'aide du module complémenlaire k' comme K est défini à l'aide du module A"; par suite, quand on remplace /r par /,', on échange par là même K et K'. C'est, sous une autre forme, le résultat que nous avons déjà trouvé, quand nous avons vu que le module des fonctions sn(w|K', «K), . .. est égal à //.
109. Relations entre K, K et /.. — Les deux quantités K et K', exprimées sous forme d'intégrales définies
, , .. r' dz -., r' dz
ou
l54 CHAPITRE V.
apparaissent comme des fonctions de la seule quantité A\ Elles sont donc liées par une relation et ne sont pas indépendantes. Cette relation est celle que Ton a établie, entre K et K', pour rondro le nuiltiplicateur
pour
II = o,
égal à I. Cette relation peut s'écrire (n" 92)
(2)
e,(o).
Ainsi les fonctions Iv et R' de k-, définies par les relations (i), vérifient cette relation.
Les fonctions sn, en, dn, construites avec K et /K', sont donc déterminées dès qu'on connaît k. Aussi, au lieu de les écrire sn(^f|K, /K'), les écrit-on plus simplement sn(w, A), cn{u, k), dn(?/, A"). Par le changement de A' en A', R et R' s'échangent.
Les fonctions sn(z/|R', i'R), . . . s'écriront donc sn(M, k'), cn(«, A"'), dn(?/, A'). Avec ces notations, les formules établies plus haut pour l'argument purement imaginaire s'écrivent
.sn(ii, k')
sn(fw, A) : en (t'a, /i ) d n ( iu , /." )
cn{u, k')
I cn(«, k' ) dnjii, k') en (m, A'j
Par exemple, si l'on se place dans un cas de dégénérescence (n" 96), A- ^ o, on a A'= I , et la deuxième formule donne
Le module A' peut prendre une valeur réelle quelconque com- prise entre o et i. En effet, dans la théorie que nous venons de développer, nous avons vu que, les deux quantités réelles et positives R et R' étant choisies de façon à vérifier l'équation (2), le multiplicateur est égal à i, et le module A" donné par
y/k
Ui(o) _ o-Mq ^ "i-y/q'
0l(O)
l-f- 25r*+ 2^9-1-,
q = e
1
ÉTUDE DES VALEURS HÉELLES DE Sn», CWll, <\n U. iS*)
nous avons démontré ensuite que le module complémentaire /.' s'obtient en permutant K et K', ce qui donne
rp _ 9.v/^-^2v/y»+...
V h ^ ; ;; ' Ça
K
— 7Î —
e '^.
Quand le rapport rr, est nul, 7 = 0, /c = o; quand ce rapport est infini, rjo^ o, k'= o, /.= i . Donc, le rapport j^, variant de o
à X, A varie de o à i ; il passe par toutes les valeurs inférieures à i . D'après la théorie que nous avons développée, les déterminations de K et K' qui font acquérir à A une de ces valeurs sont données par les intégrales définies (i).
110. Inversion. — Supposons que, /: étant un nombre moindre que I, on ait trouvé entre 11 et z- une relation de la forme
(3)
On calculera les demi-périodes K et iK' par les intégrales dé- finies (i). On construira ensuite les fonctions H, 0, Hi, 0|, sn(M, A-), cn(«, /:), da{u, A) correspondantes, et l'on aura
u — arg sn :;, -2 = sn u,
/i — ^2 = en u. y/i — k'-z- = i\nii.
On aura ainsi réalisé ce qu'on appelle Vùweision de 1" inté- grale (3).
111. Expression de K par une série hypergéométrique. — Dans la formule qui définit K par une intégrale définie, faisons c = sin'^ : on aura
K = / (1 — A-sin^cp) -do. Développons, par la formule du binôme, la quantité sous le
l56 CIIAPITRK V.
signe crintégralion
/I = 00
,„ . , .-i v* ' -3.5.. .2/1 — r
(i — A^sin^ç) - = \-h >, —^
^^ 2 . 4 • o . . . 2 /i
n = i
/v2« sin2"'i.
D'après une formule duc à Wallis cl facile à vérifier, on a
r
, r 1 . 3 . '5 . . . 9. n — I sin-"o rtcs =
2 . 4 ■ 6 . . . i /i Donc enfin
La série ainsi obtenue est un cas particulier de la série hjper- géométrique de Gauss
F(a 3 -' :r) = ^+^-^-^'Sl±}lM^tll:'l^
K=-F( ',1, ,.^^
On a, en effet,
J 12, Valeurs réelles de pu, dans le cas où w et — sont réels, ratta- chées à celles de sn^u. — Supposons que la fonction pi/ soit con- struite avec deux périodes 2 to et 2 to' telles que to et — soient réels.
Nous avons étudié ce cas en détail. Nous pouvons, à titre d'exer- cice, rattacher les résultats que nous avons obtenus à ceux du présent paragraphe, en nous servant de la relation entre les fonc- tions p et sn. Nous avons trouvé en général
n- A-2 I
^ ).2sn2"
A
avec
2KÀ=:2W, 2tK')v = 20)',
V7 I ,, e.2—e3 ei — e.y A- = j /i- = > a: - = •
Dans le cas actuel, le polynôme
4-^— ^2- — 5-3
KTL'Dli DES VALEURS R K E L L K S DE Sn ;/, cn », (In». I 'J7
a ses racines réelles^ le discrlmiiiunl
est positif. De plus, e, >eo>>C3. Alors )>->»o; la valeur de />- est réelle cl comprise entre o et i; les périodes 2K et 2/K'de la l'onclioM sn- /( sunl, la première réelle, la seconde purement ima- i^inaire. D'après cela quand u est réel, pu est évidemment réel. Aous avons vu (n° 54) que, l'argument u étant purement ima- ginaire, pu est encore réel; cela résulte de la formule
P( '■" ; » 2, .£^3 )=~p{u:ff2,— A's)-
INous allons vérilier celte formule en nous servant de l'égalité qui ramène pu à la fonction sn-u. Cherchons l'expression de
p{u;ff,, — .^s)- Quand on change ^'3 en — ^3, dans l'équation
on change les signes des trois racines ^,, e-,, e^ ou, en précisant, si ^,, ('.y-, '^^ sont les racines de l'équation précédente rangées par ordre de grandeur décroissante, les racines de l'équation
4 J^— ^27 + ^3 = 0,
rangées aussi par ordre de grandeur décroissante, seront
e\——e3, e'.,=—e<,, e'.^= — ei\
le carré dn module de p{u^ g> — g-^) est égal à
ei — ea
On voit ([ue c'est le carré du complément du module de la fonc- tion p(« ; ^25 ^3); le multiplicateur de pi^u ; g-^^ — ^'•3) est
Cy — e-, 61 — 63
il est le même que pour la fonction p{u; gi, g^).
En résumé, changer g^ en — gi revient à changer A' en A', et
l58 CII.VPITRK V.
l'on a
et la formule à vérifier
Piiit; ff2, ê^3)= — p{u] ffi, — ffs) équivaut à celle-ci
\ ■+■ A- I I 1-1- A'- I I
3 À- ' À 2 , l'u ,\ 3),- >.-
ou, eu lenant compte de la relation /.- -f- /r'- = i et en posant - = r
sn2(jV, /i) ' sn-{v,/c') '
or cette égalité résulte immédiatement de la Tormule suivante, dé- montrée au n" lOo
i snCp, A')
sn(iV, k)
cn(i', A:')
Variation des valeurs réelles de pu. — Partons de la for- mule
61 — 63
p u = e^-h
-(i)
Quand- croît de o à K, sn- croît de o à i ; en même temps u croît de o k o) el pu décroît de -\- yz k e^.
Si Ton pose - =zK ^- it et si l'on fait varier ^ de o à K', sn- t-
varie de 1 a .— = : en même temps, on a
A^ €2—63' i '
u = oj -+- ifi ;
t, croissant par valeurs réelles de o à oj', _p;^ va constamment en décroissant depuis <?, jusqu'à en- Si l'on pose — = t'K'-T- t et si l'on fait croître ^ de o à K, sn^ y
décroît de x a -7-7; en même temps, on a
ÉTUDE DES VALEURS HÉELLES DE Sn//, Cn II , (lll H. 1 Sq
tf croissant par valeurs rt-cllcs de o à co, pu croît constamment de e:^ à Co-
Enfin posons it = //, faisons croître l de o à -^ et servons-nous (le la formule
,i>(''^; 02, s'3) = — p{t; ^2,-^3). Les périodes de la fonction écrite au second membre sont -^ et 2/10, puisqu'en changeant le signe de ^3 on change k en A', par suite K cn K', par suite 10 et co' en -r et / to. D'apr^-s cela, quand <
varie de o à -^j nous sommes dans un cas déjà étudié ', p(u; g-,, — ^3) décroît de l'infini à la plus gronde des racines de l'équation
c'est-à-dire — e^. Ainsi, t variant de o à —, p{l', ff2i — gs) décroît
de +CO à — ^3 et par suite p{u ; ^05 » 3) croît de — ao à e^. En résumé :
1° Quand n croît par valeurs réelles de o à oi, pu décroît de H- 00 à C) ;
2^ Quand on a u =^ oi -{- à et que l croît par valeurs réelles
de o à 4-5 pu décroît de C) à Co ;
3° Quand on a «=:to'-i-f et que t croît par valeurs réelles de o à w, jDw croît de Cs à Co ;
4° Quand on a u ^= it et que t croît par valeurs réelles de u
a -^» pu croit de — o; a ^3.
Cette discussion a été résumée au n" 57. Nous pouvons d'abord en tirer cette conclusion que pu passe par toute valeur réelle. D'ailleurs l'équation
pK — pi; = 0,
n'a que deux racines dans un parallélogramme des périodes, puisque le premier membre est une fonction doublement pério- dique admettant zéro comme pôle double et n'admettant pas d'autres pôles dans un parallélogramme des périodes qui contient
l6o CHAPITRE V.
zéro. Les deux racines sont évidemmenl, à des multiples près des périodes, égales à + t^ et — v.
Nous avons ainsi défini toutes les valeurs de it pour lesquelles la fonction pu est réelle.
Étude de la déràée pour les valeurs qui rendent la fonction réelle. — D'après l'équation
p'-« = 4(p« — ei)(p« — e2)(pM — es),
la dérivée p' M est réelle quand jdw est supérieure à Cj ou comprise entre e^ et ^3 ; elle est purement imaginaire dans les autres cas. Voyons, avec plus de détails, comment se comporte la dérivée dans les cas examinés dans le paragraphe précédent :
1° Quand u croît de o àcjj,p« décroît constamment; la dérivée est réelle et négative;
2° Quand on a u = co + it et que t croît de o à —, pu décroît constamment, pu est purement imaginaire, la dérivée de pu par rapport a ^ est négative; cette dérivée est ip u, ainsi ^—r- est
positive;
3" Quand on a u =. (^)' -{- 1 et que t croît de o à to, j3« croît constamment, p' u est réelle et positive.
Dans chacun des cas précédents on a examiné seulement un in- tervalle correspondant à une demi-période. En se servant de ce que la fonction pu est paire et admet les périodes 2(o, 2to', on vérifiera sans peine le résultat suivant, se rapportant aux cas où p u est réelle :
La dérivée change de signe quand la partie réelle de u passe par un multiple de co ou quand le coefficient de i passe par un
multiple de — •
II. — BiQUADRATIQUE GAUCHE. SuRFACE DES ONDES.
113. Équations de la biquadratique. — La courbe définie par
les équations
!a7 = snM, y = cnu, z = dnji,
ÉTUDE DES VALEURS RÉELLES DE Snil, cn W, dn«. l6l
dans lesquelles u désigne un paramètre variable, est l'intersection de deux surfaces du second degré, puisque l'on a entre ^, JK> ^ les deux relations
/= xi -^y'- — i = o,
o = k^x- -^ z- — I = o
et, d'autre part, on peut toujours, par une transformation homo- graphique, ramener à cette forme les équations d'une biquadra- tique gauche. Nous allons indiquer les propriétés les plus simples de cette courbe, en nous servant de la représentation paramétrique précédente.
Pour tous les raisonnements qui suivent, il importe de faire choix d'un système de périodes qui appartiennent à la fois aux trois fonctions snw, cnii, dnu. Or ces trois fonctions admettent toutes les trois les deux périodes 4K et ^iK'. Envisagées à ce point de vue, ce sont des fonctions elliptiques que l'on pourrait exprimer rationnellement à l'aide de la fonction j3(?^|2K, 2iK'), construite avec ces mêmes périodes, et de la dérivée de cette fonction.
Soit P un parallélogramme des périodes 4K et iiK' construit sur les deux périodes communes à snit, cnu, ânii. Nous allons montrer d'abord qu'à chaque point M de la biquadra tique, les re- lations (i) font correspondre une seule valeur de u dans le parallé- logramme P. En effet, coupons la biquadratique par un plan
nous obtiendrons quatre points M,, Mo, M3, Mj, en associant à X = j:, , les quatre systèmes de valeurs
D'autre part, l'équation x := a;, donne
sn u — Xi = o,
la fonction elliptique sn;^ — x, ayant dans le parallélogramme P des périodes 4K. et 4^^.' quatre pôles simples, à savoir les pôles de snii^ y possède quatre zéros «,, u-y, «,i, (/■,. Si l'on prend suc- cessivement ces quatre valeurs de «, à chacune d'elles correspond un point de la courbe dans le plan x = Xi. On obtient ainsi d'une autre manière les quatre points M,, Mo, M3, M,j. Si alors on fait
A. ET L. Il
l6î CHAPITRE V.
choix d'im de ces points, le point M|, par exemple, il lui corres- pond dans le parallélogramme P une seule valeur de //, la valeur //=//,. Donc à un point ]M, de la biquadraliquc correspond, dans P, une seule valeur //, de u : dans le plan tout entier sur lequel on figure la variable u, il correspond au point M, une infinité de valeurs de u données par la formule
« = «, -I- 4 m K -h 4 niK' ,
m et n entiers. On a donc une représentation paramétrique par- faite de la courbe.
Remarque. — Si l'on se donne la valeur de ^, ;r = .r,, et si Ton appelle Ui l'une des racines de l'équation sn ?/ — ^, ^ o dans P, les autres Wa» "37 U\ sont données par
sn u — sn i/i = o; elles sont homologues des points
114. Forme de la courbe. — On aperçoit immédiatement la forme de la courbe, en remarquant qu'elle est symétrique par rap- port aux plans de coordonnées, et qu'elle se projette sur xOy suivant un cercle, sur xOz suivant une ellipse, snv yOz suivant une hyperbole.
Mais voyons comment il faut faire varier l'argument pour ob- tenir tous les points réels de la courbe; a:; et y étant supposés réels, la relation
montre que chacune des quantités sn-;/, en- «est plus petite que i et l'on en conclut que u est réel, à des multiples près des quantités 2K et 2f K'.
Les formules relatives à la périodicité des fonctions sn, en, dn font voir que les points u et u -\- 2 K sont symétriques par rapport à l'axe Oz\ les points u et ;/ + 2 i¥J sont symétriques par rapport à l'axe Ox.
Il suffit donc déjà de faire varier « de o à 2K. De plus les for-
ÉTl'DE DES V.VLEIRS RKELLES DE SnM. cn «, dn«. lG3
mules
sn(2K — ;/ ) = sn u,
cn('2K — {/)— — cn //, dii(aK — Il )= dn u
nionlrcnl que les points i/ el i^K — if sont symétriques par rap- port au j>lan des zx. Nous ferons donc varier u seulement depuis o jusqu'à K. Nous obtenons ainsi un arc BA de la courbe situé au- dessus du plan des xy, allant d'un sommet situé dans le plan des y:; à un sommet situé dans le plan des zx. U reste ensuite à compléter la courbe en se servant des symétries indiquées.
115. Condition pour que quatre points de la courbe soient dans un même plan. — L'équation que détermine les paramètres des j)oints d intersection de la courbe avec le plan
est
(2) A sn ?/ — B en » -r- G dn » -^- D = o.
Le premier membre est une fonction doublement périodique aux périodes 4K. et ^iK' admettant dans un parallélogramme des pé- riodes quatre infinis qui sont les zéros de ©(«), par exemple les
points
iK', {K'-r-aK, — iK', — iK'-^-j.K.
La fonction (à) a donc dans un parallélogramme quatre zéros //,, 11-2, 1131 '^i correspondant aux quatre points d'intersection du plan avec la courbe. La somme des zéros ne diffère de la somme des infinis que par des multiples des périodes 4 l^- et /\i¥J : on a donc
(3) u i -f;- Il 2-+- 1(3 -^ U'^ = 4 niK -\- î niK',
m et n entiers. Cette condition nécessaire pour que quatre points soient dans un plan est suffisante. On le voit comme pour trois points en ligne droite sur une cubique plane (n°59).
Plans bitangents mènes par une tangente donnée. — Soit ;/, le paramètre du point de contact M, de la tangente donnée et u le
i64 onAPiTUi: v.
paramètre du deuxième point de contact INI, on a
2 II -T- 2 «1 = 4 "î K -I- 4 «/'K', u = — »i H- ■>- /» K -•- 2 «< K'.
Comme deux valeurs de // qui ne diffèrent que par des multiples de 41^ et 4?!^' donnent le même point, il suffit de donner à chacun des nombres entiers m et n les valeurs o et i et, par suite de considérer quatre valeurs de ?/, savoir
— »i, — »i-i-2K, — Ui-\-iiK\ — «1 -i- 2K -I- 2iK'.
11 y a donc quatre plans bitangents qui passent par la tangente en Ml ; les points de contact sont les symétriques du point M, par rapport aux trois plans de coordonnées et par rapport à l'origine. On voit de plus que les quatre plans bitangents menés par la tangente en M) sont les plans tangents aux quatre cônes du second ordre passant par la biquadratique (trois de ces cônes se réduisent ici à des cylindres).
11 est facile de déduire de là que le rapport anharmoniqiie des quatre plans bitangents menés par la tangente en M, reste fixe quand le point M, se déplace sur la courbe. En effet, les équations des quatre cônes sont
/= ^- -^r-- |
l = 0 |
cp = k-x--i- Z- — |
t = 0 |
0 — A-2/ = 0. |
|
?— / =o- |
Les équations des plans tangents au point M, sont de la forme
P = o, Q — A-2P = o, Q = o, Q— P=o;
le rapport anharmonique de ces quatre plans est égal à A-. Il est constant et l'on voit que sa valeur donne le carré du module des fonctions elliptiques qui ont servi à la représentation paramé- trique.
Si l'on prend la perspective de la biquadratique, le point de vue étant au point M, de la courbe, on obtient une cubique qui passe par la trace w, de la tangente en M,; les plans que l'on peut
KTUDE DES VALEURS RÉELLES DE Sn II , cnif, (In ». l65
mener par celle langcnle cl les langcnles à la courbe de l'espace ont pour iraccs les langcnles à la cubique menées par le point m,. D'où ce théorème :
D'un point pris sur une cubique on peut encore mener quatre tangentes à lu cuhi(iue et le rapport anluirnionique de ces quatre tangentes est constant.
Points de rencontre de deux tangentes à la biquadra-
lique. — D'après ce que nous venons de voir, si deux tangentes
sont dans un même plan et ne sont pas parallèles, leur point de
rencontre est situé dans l'un des plans de coordonnées. Pour avoir
le lieu de ceux de ces points qui sont situés dans le plan x= o,
par exemple, il suffit de cherclier la courbe décrite dans ce plan
j)ar la trace de la tangenle en un point variable de la biquadratique.
On trouve sans peine que ce lieu peut être représenté par les
équations
I I
V = ? -3 = -, >
(IV u un«
et qu'il est du quatrième degré.
Celte ligne et les lignes analogues situées dans les autres plans de coordonnées et le plan de l'infini sont les lignes doubles de la surface du huitième ordre engendrée par les tangentes à la biqua- dratique.
\ 16. Plans osculateurs menés à la courbe par un point de la courbe. — Supposons que Irois des quatre points d'intersection de la courbe avec un plan soient confondus. La relation entre les paramètres de ces quatre points devient
<<i -f- 3 « = 1 m K -f- 4 rtiK' ou bien
« = — ^ -i- — 4 K + T i ^^ •
Il suffit de donner à chacun des nombres entiers m et n les valeurs o, I, 2. Il y a donc neuf plans osculalcurs menés à la courbe, par le |>oinl ]\[,. Quand on projette la courbe, le point de vue étant en M,, les Iraccs de ces plans deviennent les tangentes d'inflexion de la cubique.
l66 ' CHAPITRE V.
Plans suroscuiatcurs. — SI les quatre points crintersection de la courbe avec un plan viennent se confondre, la relation entre les paramètres de ces quatre points devient
4 « = 4 m K -I- 4 ni K' ou bien
u = m K -i- n i K' .
Chacun des entiers ni et n pouvant prendre quatre valeurs o, i, 2, 3, on trouve i6 points. Ces points sont les sommets de la courbe : un des plans correspondants est la limite d'un plan bi- tangent dont les deux points de contact sont venus se confondre.
117. Détermination des surfaces du second ordre passant par la biquadratique. — Considérons une corde joignant deux points quelconques M| , Mo de la biquadratique; il existe une surface du second ordre S passant par la courbe gauche et admettant IMiMo comme génératrice rectiligne. Si l'on mène un plan par la corde ]M(M2 et si M',, M', sont les deux nouveaux points d'intersection de la courbe par ce plan, la droite M', M!, est une génératrice de la surface S et une génératrice du second système, çn appelant premier système celui auquel appartient la droite M, Mo. En tenant compte de la relation qui exprime que les quatre points M), Mo, M',, M!, sont dans un même plan
Î<1 -i- U2 -+- ll\ -i- îa'o = 4 '" K -i- 4/1 i K',
on voit qu\/ne génératrice d'un système déterminé de S ren- contre la biquadratique en deux points dont les arguments ont une somme constante.
La valeur de la constante change seulement de signe quand on passe d'un système de génératrices à l'autre pour une même surface du second ordre; elle est égale à une demi-période o, 2K, 2ïK', ou 2K+2fK' quand la surface est l'un des quatre cônes du second ordre qui passent par la biquadratique.
Comme ap[)lication, nous allons considérer des polygones dont les côtés sont des génératrices d'une surface S passant par la bi- qtiadratique et dont les sommets sont sur la courbe, et nous cher- cherons la condition pour qu'un polygone ainsi défini se ferme.
Les arguments de deux sommets consécutifs sont liés par les
lÏTUDE DES VALEURS RÉELLES DE Sn«, cn M, (inu. 1C7
relations suivanles, dont les deux formes correspondent aux deux systèmes de génératrices,
;/i -h 112 ^^ C,
— (;/2-^ «3)= G,
":!-!- "i ^ C,
le signe decongruence ni: signifiant que l'égalité à lieu à des mul- tiples près des périodes 41^ et 4 ' l^'- Si l'on veut, par cxenij)lc, avoir un quadrilatère, on exprimera ([ue u^ ne diffère de //| que par des multiples des périodes 41^ et 4^^.'- En ajoutant membre à membre les équations précédentes on trouve
4 G = 4 'n K -I- 4 nii\',
C doit être un quart de période. Les quadrilatères ne se ferment que si la surface considérée correspond à une telle détermination de C et ils se ferment toujours pour une surface ainsi définie.
Il résulte de ce qui précède qu'une surface du second ordre passant par la biquadratique est caractérisée par un argument elliptique défini au signe près.
118. Équation de la surface des ondes. — Cette surface peut être définie de la façon suivante. Etant donné un ellipsoïde qui, rapporté à trois axes rectangulaires, a pour équation
.r2 y2 ^2
on le coupe par un plan variable passant par le centre
Ax -h By -r Cz = o
et, sur la normale au plan menée par le centre, on porte à partir de ce point des longueurs égales aux axes de la section.
L'équation qui donne les longueurs des axes de la section est
a2A2 32 B2 7'^C2
l68 CHAPITRE V.
Pour lun des points jc, i', ; correspondant au plan A, B, C on a
.r y z o » ,
de sorte que Téquation de la surface est
oi^x- ?^y' Y*^" _
En chassant les dénominateurs et en supprimant le facteur x--{-y--+- z- on obtient
La trace de la surface sur chacun des plans de coordonnées se décompose en deux coniques. Il est facile de le voir en se reportant à la définition géométrique des points du lieu. Si l'on coupe l'ellip- soïde par lin plan tournant autour de l'un des axes, Oy par exemple, l'un des axes de la section est constamment égal à l'axe moyen [B, l'autre est un diamètre de l'ellipse principale située dans le plan zOx. Les points correspondants du lieu sont dans le plan zOx et ils sont situés sur un cercle de centre O et de rayon [i et sur l'ellipse que l'on obtient en faisant tourner d'un angle droit l'ellipse principale. La trace de la surface est donc re- présentée par l'ensemble des deux équations
y =0. (ar2-i-^2_ p2-,(' j2^2_l. .^2 -2_ a2Y2) = o;
on trouverait de même pour les autres traces
z = 0, ra72-^jK-— Y-;(a2x2-i- 'i^-y^—'x^-'^^) = o,
^=0, (jK2+^2_a2)(p2^2+v2-2_02.^2) = o.
Ceci conduit à mettre l'équation de la surface sous la forme (s)
(:r2-+-JK2--^2_Oo)(3,2a;2^02^2 + ^2^2_^2.^2)
--(^2_a2)(«2_.^2)^2^0.
C'est cette forme dont nous aurons surtout à nous servir. Il est évident que l'on aurait une forme analogue correspondant à chacun des autres plans de coordonnées.
KTlDn Des VALEins R K K M. K S DE SU», Cnu, (\nt/. 1G9
I 11). Expression des coordonnées d'un point de la surface en fonction de deux paramètres elliptiques. — On peut exprimer les coordonnées d'un poinl variable de la surface en fonclion de deux paramètres cllipliqucs au moyen des formules
a" = [3 sn(//, /.) (In (v, /), y = X cn(«, /»•) cn(r, /), c = a dn(H, /.) sn(r, /),
le module A des fondions de rargumenl u et le module / des fonc- tions de l'argument r étant définis par les égalités
où l'on suppose
a < ? < Y-
Nous écrirons les formules précédentes sous la forme abrégée
S = a ds[,
en attribuant l'indice i aux fonctions de l'argument c.
Vérifions d'abord que les valeurs de .r, y, z- données par ces égalités satisfont à l'équation de la surface quels que soient u et r.
En élevant au carré les deux, membres de chaque égalité et en exprimant les fonctions elliptiques de chaque argument à l'aide du sinus amplitude correspondant, on trouve successivement
a- s- — a- 5 ï' -t- a"- «2 s 2 ^
a2.,2= a2(Y2— p2)(*r — ').
x'- = |
^2c2 |
||||
r-- |
— a- |
||||
On |
en |
déduit |
|||
a-2 |
-^y- |
-1- «2 |
|||
a2j-2-f- ^2j' |
2-HY- |
'■z"-- |
|||
et |
comme on a posé |
72= 3(2(1 — S2)(,_5|^,
170 CHAPITRE V.
on voit que Ton a bien, quels que soient 5 et a"i,
120. Intervalles dans lesquels il suffit de faire varier la partie réelle et le coefficient de i de chacun des arguments pour avoir toute la surface. — Les trois fonctions snw, en?/, dn // admettent comme périodes 4K. et4^K.'; de même, les trois fonctions snt», ont', ànv admettent les périodes 4L et 4^L' (en supposant que L et L' correspondent à / comme K et R' à A). Mais les formules
sn ( «i -(- 2 K ) = — ?n », |
(ln((' -i- 2iL') = |
— dnp. |
en ( «f -+- 5 K ) = — en», |
cn(t^ H- 2iL') = |
— CXÏV, |
dn(a -i- 2K) = (In «, |
sn(t^ -i- lih') = |
snp, |
montrent que les arguments
« -f- 2 K, p -f- 2 1 L' donnent le même point que les arguments
U, V.
On verrait de même que
u -1- 2iK', t> -4- 2L
donnent le même point que
et l'on peut conclure de là qu'il suffît de faire varier la partie ima- ginaire de u entre deux valeurs différant de aïK' et la partie ima- ginaire de V entre deux valeurs différant de ii\J .
121. Les lignes paramétriques sont orthogonales. — Les lignes obtenues en faisant varier un seul des paramètres u et v sont des biquadratiques [voii- n° 113). Nous allons démontrer que les deux familles de lignes ainsi définies sont orthogonales.
Les cosinus directeurs de la tangente sont proportionnels à x\^, y'io -'u pour un point de la ligne obtenue en faisant varier le para- mètre u ; les quantités correspondantes sont proportionnelles à x'^,, yl, z^ pour l'autre ligne; nous avons donc à vérifier que l'on a,
ÉTUDE DES VALEinS RÉELLES DE Sn U, cn U , <]nu.
pour un système quelconque de valeurs de u et de v, ^'uK -+- j'uyl + -'« -i- = o. Calculons ces dérivées :
;, = ^cdcli,
y
T'^, = '^l^SSiCi,
:, = — a.ff/c,, y^, = — 0LCSidi,
Dans chacun des produits ^]^x^, y'^yl, z[^z'^,,^on trouve en
facteur
scdsiCi d\,
et l'égalité à vérifier se réduit à l'identité
Q=> Il , „-i „•> /.o ^
|j-< r- Ot a-A-= O,
évidente, si l'on se rappelle que /-=: 0^ A'- (n" H9).
122. Points singuliers. — Nous avons vu que la trace de la surface sur Tun des plans de coordonnées se décompose en deux coniques; les quatre points communs à ces deux coniques sont des points coniques de la surface. Considérons, en particulier, la trace sur le plan zOx. On doit avoir
y =z o, cil ucnv — 0. Pour cn « =^ o, on a 5- ^ i , et l'équation (n° 119),
montre que les points correspondants du lieu sont les points du
cercle
.r2 + ^2— !32 = o.
Pour cnt' = o, on a s'\z= 1, et l'équation
montre que les points correspondants du lieu sont les points de l'ellipse
L'un des points d'intersection du cercle et de l'ellipse est donné
17* CHAPITRE V.
par les valeurs des paramètres u el r telles que l'on a à la fois en II = o, en (' = o.
Mais chacune des trois dérivées ^'„, Jk'„, ^„ contient en facteur c ou Ci et il en est de même pour ;r[,, y^,^ z'^,. Donc, les développe- ments dex^y, z, suivant les puissances des accroissements ^ii, Ae donnés aux paramètres à partir du point considéré, commencent par des termes du second degré; le point est point conique de la surface. On vérifie sans peine que ses coordonnées annulent les trois dérivées f^, f^., /.' du premier membre de l'équation de la surface.
Nous avons ainsi quatre points doubles réels dans le p\anzOx.
On les obtient comme points du lieu lorsqu'on coupe l'ellipsoïde E
par un plan passant par l'axe moyen et donnant comme section
un cercle.
Fig. 8.
On trouverait de même quatre points coniques de la surface dans chacun des autres plans de coordonnées et il résulte de la définition géométrique des points du lieu qu'il n'y a pas d'autres points coniques à distance finie. La forme de l'équation de la sur- face conduit à considérer comme points coniques les points à l'in- fini sur les quatre génératrices communes aux deux cônes
7'
■.-—o, a.-x--i- 'jj-y--i- '(-Z-:
On a donc en tout seize points singuliers; quatre de ces points seulement sont réels : ce sont les quatre points coniques situés dans le plan zOy.
1
i
ÉTinr: des valeurs réelles de sn^/, cnu, dn ». 1-3
123. Plans tangents singuliers. — Un plan perpendiculaire à un plan principal, et dont la trace sur ce plan est une tangente commune aux deux coniques en lesquelles se décompose la sec- tion principale correspondante, est un plan langent singulier : il touche la surface en une infinité de points situés sur un cercle. Considérons, en j)articulier, la trace de la surface sur le plan
des xz
x- z-
x--^z- — 32= o, — r -+- 1 = 0,
7- 7.-
et cherchons d'abord les tangentes communes à ces deux coniques. Si une droite
UX -\- iVZ -h i = o
est tangente à chacune de ces coniques, on a
p- u^ -+- 3- w-= I , Y' "■ -i~ '■"■' IV- = I . En résolvant ces deux équations, on obtient
.,2 32
RUv-^=-^ ^, 3(v=ztA-'.
' Y — a^ '
L'une de ces tangentes a donc pour équation
kx 4- k'z — 3 = o.
Coupons la surface par le plan perpendiculaire à :;0.r et ayant pour trace cette tangente commune. En remplaçant dans l'équa- tion du plan X el z par leurs valeurs en fonction des paramètres elliptiques, nous avons, entre les paramètres d'un point de la sec- tion, la relation
k 3 sdi -f- k' a dsi — 3 = o,
et, comme on a /c' 7, = L cette relation |)eiit s'écrire
ksdi -+- Idsi — 1 = 0.
Pour vérifier que la ligne définie par cette relation est une conique comptée deux fois, nous allons la couper par une surface
V = const.
174 CHAPITRE V.
et montrer que les points d'inlersecllon sont deux à deux con- fondus. Les valeurs de s et de d correspondant aux points d'inter- section sont données par les deux équations
/isdi -+■ Idsi — 1, A-2 52-^ d^ =\.
Or, l'équalion du second degré qui donne les valeurs de 5 a ses deux racines égales ; tandis que si l'on avait coupé la surface par un plan quelconque parallrle à Oj', le même calcul aurait conduit à deux valeurs distinctes de s. Donc le plan
kx-^k'z. = ?
coupe la surface suivant une conique comptée deux fois et, comme il n'y a pas de ligne double sur la surface, il est tangent tout le long de cette conique.
On peut vérifier le résultat précédent au moyen d'un calcul plus symétrique, en formant une combinaison homogène des deux équations précédentes en 5 et d^ savoir
(/,-552^_ f/2)(/252^ ^2) — (ksd i -{- dIs if- = O.
Cette écfuation donne les valeurs de -. • Or, en transformant le 1 a
premier membre d'après l'identité
(A2^ B2)(A'2+ B'2) — (AB'^ BA')5 = (AA'— BB')2,
on voit qu'il se réduit à
{/>/ssi — ddj )-,
et l'on retrouve que les points d'intersection sont deux à deux confondus. Mais on peut, en outre, déduire de ce calcul une forme de l'équation de la surface mettant en évidence les plans tangents singuliers perpendiculaires au plan zOx. Nous avons remarque qu'on a l'identité
I — ( ksd, — dhi y- = {klssi — ddi )%
en supposant s et d d'une part, 5, et ^, d'autre part, liés par les
relations
k- s- -^ d- = I , l'-si-\- d'i = i.
ÉTUDE DES VALEURS UÉ ELLES DE Sn It , CD//, tllU/. 175
Cette identité peut s'écrire
— ( /. 5^1 + d/s 1 — 1 ) ( /kS(/i -4- d/s , -*- 1 ) =H ( /i7s5 , — ddi )- , et, en y changeant ,s-, en — .v,, on en déduit
— ( Asdi — dlsi — n ( Asdi — dhi -+- 1) — { A/^s, 4- fW, )2.
Multiplions membre à mcinl)rc ces deux identités cl désignons les pareulhèses situées dans les premiers membres par q,, q.,, q3, q^, nous obtenons la nouvelle identité
Vi 7i q-i q-* = U^'- i-s'^s\ — d- d\y\
qui peut encore s'écrire
qiq-2qzq\^(f^'-s--h /-'sf — 1)2,
et qui donne la forme cherchée de l'équation delà surface; il suffit d'y remplacer s, d, 5|, df en fonction des coordonnées x, y, z du point correspondant de la surface;
q 1 ^ /îsdi -\- isid — I devient
ryo, <73, q-, se transforment d'une façon analogue. D'autre pari
l'-Sl-\- /i-S- — I
devient (n" 119), en désignant par ). et [x des constantes,
et l'on obtient pour la surface l'équation
Celte équation montre d'abord que la section de la surface des ondes par le plan Q, = o est la conique section de la surface cp par le même plan, comptée deux fois. Celte conique est un cercle, car en cherchant les plans réels qui donnent des sections cir- culaires dans la surface es, on trouve que ces plans sont parallèles aux deux plans
(a2_p2)^2+(.^2_p2)-2 = o,
176
ou bien
CHAPITRE V.
Â-.r- — A'-z- = o, (X-r -f-A'-)(A\r — /.'-) = o.
Nous avons trouve quatre plans tangents singuliers correspon- dant au plan zOx; on en trouverait de même quatre autres corres- pondant aux deux autres plans de coordonnées, et quatre autres cju'on peut définir comme les plans tangents communs aux deux
cônes
x--\- y-~ z- = o, oc-x--i~ '^-y--^ '(- -=- = <J.
On a ainsi seize plans tangents singuliers dont chacun touche la surface tout le long d'une conique.
124. Forme de la surface. Distribution des valeurs des para- mètres. — La Jig- 8 (') indique les sections de la surface par les trois plans de coordonnées. La surface se compose de deux nappes réunies par quatre points coniques et dont l'une est tout entière située à l'intérieur de l'autre.
Elle est représentée, en perspective, dans la Jîg. 9 : on a
Fis- 9-
ménagé une ouverture qui permet de voir la nappe intérieure.
(') Ces figures sont empruntées au Traité de Géométrie de MM. Rouché et (Je Comberousse; Gauthier-Villars.
ÉTUDE DES VALEURS RÉELLES DE SU U, Cnil, dnu. 177
On a représenté {/iir- >o) le corps solide ou noyau qui serait re-
Fig. m.
couvert par la nappe intérieure seule, el{fig. ii) la section de la surface par un plan passant par les quatre points coniques.
Fig. II,
Cherchons entre quelles limites varient s et 5,. D'après la relation
si nous coupons la surface par une sphère concentrique, tout Je long de l'intersection s reste constant, jr, y^ z sont à des facteurs constants près égaux à </, , C(, 5i; Finterseclion est une biquadra- lique. Le carré du rayon de la sphère peut élre représenté par
9-
a-)5-.
Pour que la sphère rencontre la surface, il faut que 0- soit positif et compris entre a- et y^ ; $- doit donc être positif cl com- pris entre o et t:;-
A. ET L. Il
1^8 CII.VPITKE V.
Quand 5- varie de o à i , la biqiiadraliquc formée de deux ovales séparées par le plan yOz décrit la nappe inléricurc de la surface.
Quand 5^ varie de i à -^ la biquadratique formée de deux ovales
séparées par le plan ^ Oy décrit la nappe extérieure. De même, d'après la relation
on voit que s'-^ varie entre o et ■^' A une valeur donnée de s,
correspondent des points situés sur une biquadratique; quand s^^ varie de o à i la biquadratique formée de deux ovales séparées
par xOy décrit la nappe intérieure; quand 5^ varie de i à -^ la
biquadratique formée de deux ovales séparées par yOz décrit la nappe extérieure.
On déduit aisément de ce qui précède le moyen de déterminer la nature des arguments qui correspondent à un point pris sur l'une des nappes de la surface et la position du chemin décrit par le point M d'arguments u et ç, quand on fait varier un seul de ces arguments.
Prenons, par exemple, un point Mo sur la nappe intérieure et dans le trièdre des coordonnées positives; l'un des systèmes d'ar- guments correspondants sera formé de deux valeurs réelles Uq, i'o telles que l'on ait
o<«o<K, o<t^o<L-
Nous avons déjà remarqué que le même point est donné par les
valeurs
(■iK — uo, 2L — Co)
des arguments, et il est évident qu'on peut partir de Mo avec le système Uq, Vq et revenir au même point avec le système (2R — Uo^ 2L — t^o) en faisant varier successivement un seul des arguments.
Voyons, en détail, comment se déplace le point M d'argu- ment u, v, quand, a restant égal à Uq, ç varie de ^o à 2L — Vq puis, quand, i> restant égal à 2L — Co, a varie de m© à 2K — Uq. Pour u = itoi on a une biquadratique formée de deux ovales que sépare le plan des yz. Comme nous ne considérons que des va-
i
ÉTUDE DES VALEURS RÉELLES DE sn H, cnu, <]nil. 1 79
leurs positives de v, le point M restera sur l'ovale de droite; soit Ct/ cette ovale. De même, pour v = i'o, on a une hiquadratique formée de deux ovales séparées par le plan des xy. Le point M restera sur l'ovale située au-dessus de ce plan; soit C^ cette ovale. Cela posé, quand v varie de t'o à L, puis de L à 2L — Poj le point M se déplace sur C^ depuis Mq jusqu'au point le plus haut de l'ovale, traverse le plan des zjc et vient en M„, symétrique de Mo par rapport à ce plan. Quand ensuite u varie de Uq à K, puis de K à 2 Iv — Uq, le point M se déplace sur C„ depuis M,, jus- qu'au point de la courbe C„ située dans le plan ;;0:c et dont Vx est positive, traverse le plan zOx et revient en Mo {Jiff- 12).
Remarquons encore que les points de C„ où la tangente est pa- rallèle à Oy sont sur le cercle
o,
ou plus exactement sur l'un des deux arcs de ce cercle qui appar- tiennent à la trace de la nappe intérieure; les points de C,, oîi la tangente est parallèle à Oy sont sur l'ellipse
a-j;--i- ';'Z- — a--
o,
ou mieux sur l'un des deux arcs de cette ellipse, qui appartiennent à la trace de la nappe intérieure.
Pour un point de la nappe extérieure l'un des systèmes de va- leurs de a, V est de la forme
a = K -^ ia , v = L -r- Ib' ,
l8ô CHAPITRE V.
a' et b' étant réels ; l'aulrc syslèmc est alors forme des valeurs eon- juguccs
alv — Il = K — ia' ,
•2L
if.
On verra, comme dans le cas précédent, comment on peut passer d'une manière continue du premier système au second.
Remarque. — Le fait qu'à un point donné correspondent deux systèmes distincts de valeurs de u et r, donne lieu à une complication analogue, d'une certaine façon, à celle qu'on ren- contre dans l'étude des fonctions algébriques, La discussion pré- cédente montre comment on pourrait faire disparaître, en partie, cette complication, en considérant la surface des ondes comme formée de deux feuillets réunis suivant des lignes joignant deux des points coniques.
III. — Pendule simple. Élastique plane. Corde a sauter. Mouvement a la Poinsot.
123. Pendule simple. — Quoique la théorie du pendule simple se déduise comme cas particulier de celle du pendule sphérique que nous avons traitée à l'aide des fonctions jd et g*, nous la reprenons ici à titre d'application des fonctions sn, en, dn.
Fig. i3.
Prenons un axe O^ vertical et dirigé vers le haut, lorigine étant au point de suspension du pendule, et supposons le mobile lancé du point le plus bas Mo(:; = — l) avec une vitesse initiale V(,\
ÉTIDE DES VALEURS RÉELLES DE sn II, cn M, dn«. l8l
le théorème des forces vives donne
t.'2=2^(a — z) avec «= — l -\ •
i" Supposons d'abord que la droite ll{z = a) coupe le cercle en A, A', c'est-à-dire que l'on ait « < /, ou ('o< "^sjlg- Le mou- vement consistera alors en oscillations isochrones entre A et A'. Prenons pour variable l'angle MoOM = 0. Nous avons
z= — /cosO, rt = — /cosa,
en appelant y. l'angle d'écart maximum MoOA. L'expression de la
vitesse est
_ds _ l_jm ^ ~ 'dt ^ ~dt
et l'équation des forces vives devient ([u'on peut écrire
/■- ( -r- ) = 2^/(cosO — cosa),
•2 t / '^ dt = - — -
t / sin2 sin-
d'où
^0
Nous prendrons le signe + en supposant que le mobile monte. En comptant le temps à partir du moment où le mobile part de Mo et en posant
.0 .a
sin - = u sin ->
2 2
on a
V l J, ^/(,-«-3)^,_/,-2„2^ V 2/
On est ainsi ramené à une intégrale elliptique et l'équation ci- dessus résolue par rapport à u peut s'écrire
i8a |
CHAPITRE V |
|||
c'csl-; |
i-dlro |
|||
0 cos- = •2 |
. 0 sin - 2 |
= sin^sn(^/^^ |
||
v'- |
A^sn^.l/f |
on obtient ainsi les coordonnées /sinO et /cosO du mobile en fonction uniforme du temps.
Pour avoir le temps T que met le mobile à aller de Mo en A, il faut faire varier d de o à a, c'est-à-dire « de o à i ; donc, en posant
K ' ^^"
on aura pour T la valeur Kt /— et la durée de Toscillation simple
sera 2R1 /-• Si l'on ajoute cette quantité à t, le mobile doit
prendre la position M' symétrique de M et sin 8 doit changer de signe, ce qui fournit une vérification de la formule
sn(a: -;- 2K) = — ?,nx.
2" Il nous faut maintenant considérer le cas où la droite H ne rencontre pas le cercle, c'est-à-dire où l'on a a >■ /. L'équation des forces vives (^-= ^g{ci — ::) peut s'écrire
/■-(-T-j = 1 g {a -^ l cosO) = igia -h l — -il sin^ - j OU
•xl en posant /.-^ ■ y, le- est plus petit que i puisque a est plus
grand que l. En résolvant par rapport à dt^ posant
A
1 /i^(rt-t-0.
/
et prenant u = sin - comme nouvelle variable, il vient
du
éti:de des valeurs réelles de snu, cnu, dnii. i83
d'où, en l'ésolvanL par rapport à a, c'est-à-dire en faisant Tin- versioii
u = sn(A /), siii - = sn(A /).
On en déduit
cos - = y/i — sn-(lt ) = cn(XO-
Le temps T que met le mobile à arriver au point le plus haut s'obtient en faisant varier 0 de o à t:, c'est-à-dire «deçà i ; il est
donc Y"
3° 11 reste enfin à traiter le cas intermédiaire où la droite II serait tangente à la circonférence donnée : a=: /. On peut alors efTeclucr les intégrations à l'aide de fonctions exponentielles (cas de dégénérescence), car le module k des fonctions elliptiques précédentes devient égal à i. Revenons, en effet, à l'équation des forces vives u'-= '2g{a — z), nous l'écrirons
i'-{-l~) = 2^(^ -r- ^ COSO) = 4»^^ C0S2 -,
et, en intégrant,
l t = log tanr
La constante d'intégration est nulle puisque t doit s'annuler avec 0. Lorsque t croît indéfiniment, 0 tend en croissant vers la limiter:; le mobile s'approche indéfiniment du point le plus haut sans jamais l'atteindre. On a alors
. 0 e>'t—e-''t 0 ?. s'n - = -^, v; ' cos - = -Y, 77 >
)> étant éiral
»\/f
Remarque sur l' interprétation de la période imaginaire -îiYJ . — Plaçons-nous, pour simplifier, dans le premier cas (i°), où le pendule oscille entre les points A et A'. Supposons que la pesanteur change de sens et que le pendule oscille sur l'arc supé- rieur Kz\! , entre les mêmes points A et A'. Pour avoir les for-
l84 CHAPITRE V.
mules relatives à ce nouveau mouvement, il suffit de changer, dans les formules du premier cas (i°), a en t: — a et, par suite, de
remplacer le module k = sin - par son complémentaire A'= cos- •
Les fonctions elliptiques qui donnent le nouveau mouvement sont donc construites avec le module complémentaire de A" et, en
particulier, la durée de la nouvelle oscillation simple est 2K'l / — (Comptes rendus, t. LXXXVII, p. 1074)-
126. Élastique plane sans pression. — Nous avons déjà vu (n^ôS) que le problème de l'élastique gauche cotiduit aux mêmes équations que l'étude du mouvement d'un corps pesant de révo- lution, suspendu par un point de son axe.
En particulier, le problème de l'élastique plane sans pression conduit aux mêmes équations que l'étude du mouvement d'un pendule simple. C'est ce que nous allons montrer rapidement.
Imaginons une tige élastique dont la fibre moyenne affecte à létal naturel, la forme dune courbe plane connue Co et soit Oq
Fig. 14.
la valeur du rayon de courbure en un point M de cette courbe. Supposons ensuite qu'on déforme la lige en faisant agir sur elle des forces quelconques, mais de telle façon que la fibre moyenne reste plane et prenne une nouvelle forme C. Le rayon de courbure en M devient alors p. Dans celte position d'équilibre contraint, les forces élastiques sont déterminées d'après les lois suivantes : Si l'on coupait la tige en M, pour maintenir l'équilibre il faudrait appliquer à la section en M une force T dans le plan de la courbe C et un couple dont l'axe est perpendiculaire à ce plan
I
ÉTUDE DES VALEURS RÉELLES DE sn M, cnil, (]nu. l85
et dont le moment N est proportionnel à la variation de la cour-
bure :
? Po
\? po/
B désignant un eocfficicnl constant qui dépend de la nature de la tige.
Nous traiterons ici le cas simple où la tige est primitivement
rectiligne, — =r o, et où l'on fait affir seulement sur ses exlré-
* Po ^
mités M, et Mo deux forces T, et To situées dans le plan de la courbe d'équilibre et deux couples N, et No ayant leurs axes nor- maux à ce plan. Les deux forces T, et To sont égales et opposées, car les seules forces extérieures appliquées à la tige en équilibre étant les forces T, et T2 et les couples N, et No, la somme des projections de ces forces sur un axe quelconque doit être nulle. Les forces T( et To forment alors un couple qui fait équilibre aux couples N) et No.
Prenons pour axe Ox une droite parallèle à T, et To. Soit M un point quelconque de la fibre moyenne : si la tige était coupée en M la partie M, M serait en équilibre sous l'action des forces extérieures suivantes : 1° la force T, et le couple N, agissant sur l'extrémité M,; 2° une force T et un couple N agissant sur M; le couple N a pour moment
p
I puisque nous supposons — = o.
po
Ces forces extérieures appliquées à l'arc M, M se font équilibre. Donc, T est égal et opposé à T(. En outre, la somme des mo- ments de toutes les forces extérieures, par rapport à un point du plan doit être nulle. En prenant la somme des moments par rapport à O, nous avons
T,7i--TjK-N,H-N = o,
d'où, en remplaçant T par T, et N par - j une équation de la forme
P
-; = ,^(r-*).
l86 CHAPITRE V.
c^ désignant une conslanle positive et h une autre constante. On peut toujours déplacer l'axe des x parallèlement à lui-même de façon à faire disparaître cette dernière constante et à ramener ainsi l'équation de la courbe à la forme
y
c-
Nous allons montrer que, lorsqu'un point décrit la courbe élas- tique avec une vitesse constante, la normale en ce point oscille comme un pendule autour de la perpendiculaire abaissée de ce point sur la ligne d'action des forces T, c'est-à-dire sur Ox (').
Soit, en effet, 0 l'angle de la normale en M avec cette perpendi- culaire ; si le point mobile se déplace de ds la normale tourne de
y
l'angle d^ et l'on a |
f/0 _ I ds p |
d'où, par différentiation, |
|
(•) ds^ |
c"- ds |
I ■ r
— sinO. c-
Si l'on pose - z=i/'^t, on retrouve l'équation du mouvement pendulaire
—TT — 7 sinlj.
dV- l
Pour intégrer l'équation (i), multiplions les deux membres
dd . , ., .
par -7- et intégrons : il vient
[JL désignant une constante arbitraire. On a alors
C2 , dd
Trois cas sont à distinguer, correspondant aux trois cas ren- contrés dans le pendule simple, suivant que [jl est compris entre — I et -I- I , supérieur à i , ou égal à i .
C) Comparer à Greexhill, Fonctions elliptiques.
ÉTUDE DES VALEURS RÉELLES DE Snil, Cnu, dnu. l8;
Premier cas. — Dans le premier cas on pciil poser
u = — cosa.
L'angle 0 varie de — a à -|-a; la courbure et l'ordonnée y s'annulent pour ô = a.
On a ainsi la forme de la courbe {fig. 14, !)• Les points cor- respondant à 9=±a sont les points B et B'. Cette forme de courbe correspond au mouvement oscillatoire du pendule.
On a trouvé dans ce cas, pour le pendule,
2
A-sn^f:
avec A'^sin-- On a donc actuellement par le même calcul, en faisant - ^ ^\/ 1 '
sin - = A- sn - 7 cos - = an - ?
■i. c 1 c
I _ 1
p ~ c
. / • ,a .6 9.A- s
\ / sin^ sin2 - = — en -
y 1 ICC
c- s
y =^ — ^ ikc en -•
Calculons enfin x en fonction de 5, on a
--- =3 eosO = 1 — 2sin2 - = i — ik- sn
ds 1 c
D'oui, en intégrant de o à 5 et se rappelant la formule du n° 100
0'(«) 6"(o)
/
7x2 sn^ii du = —
e(u) 6(0)
r Q"(o)^ , ®'[c)
Deuxième cas. — Si l'on a [Ji > i, 0 peut varier de o à 2- : j et - ne s'annulent jamais; la courbe a la forme II de \difig. i4-
l88 CHAPITRE V.
Ce cas correspond au mouvement révolulif du pendule. On achèverait le calcul comme dans le cas précédent, en employant les mêmes transformations (juc pour le mouvement révolutif du pendule simple.
Troisième cas. — Si [ji = i, on se trouve dans un cas de dégé- nérescence. On a alors
c
(rioy- /, ,0 |
|
2 Sx / |
^0 |
cos - 2 |
\-\ |
,a„g(?^2)=A |
|
0 4^ |
|
2 1 _ |
— > |
fte = cos ^ as = ( 2 cos2 i «5 = 2 c cos as,
\ 2 / 2 2
. 0 e*^^
cr = 2c sm - — 5 = 2C —
La courbe est alors asymptote à l'axe Ox, comme on le voit en faisant tendre 0 vers ± t, et 5 vers ± oc.
127. Corde à sauter. — Imaginons une corde homogène dont on tient les deux extrémités et qu'on fait tourner très vite autour de la droite joignant ces deux extrémités. On peut alors négliger l'action de la pesanteur sur les divers éléments de la corde et chercher la figure permanente cjue prend la corde dans son mou- vement. Par rapport à un système d'axes tournant avec la corde, cette figure permanente est une position d'équilibre relatif. D'après la théorie de l'équilibre relatif, on doit exprimer qu'il y a équilibre entre les forces agissant réellement sur chaque élé- ment de la corde et les forces centrifuges.
La force centrifuge agissant sur un élément de masse m est perpendiculaire à l'axe de rotation et répulsive; elle a pour inten-
KTUDE DES V.VLEIUS HÉELLES DE sn//, Cil», dnil. 189
sllc ni (.<)'-/-, 10 désignant la vitesse angulaire constante de la rota- tion et /■ la distance de l'élément m à l'axe.
En prenant l'axe de rotation pour axe 0:r, on est donc ramené à un problrnic sur l'équilibre dos lils que l'on peut énoncer ainsi :
Ln fi/ est atlaché en deux points de l'axe Ox et chaque élément du fil est repoussé pat- V axe proportionnellement à sa longueur et à sa distance à l'axe.
Toutes les forces qui agissent sur le fil rencontrant l'axe O^, le moment de la tension par rapport à cet axe est constant tout le long du ni ; mais, comme le lil est attaché en deux points de l'axe, le moment de la tension aux extrémités est nul; ce moment est donc constamment nul et Ton a
ds ds
d'où
dv dz
— o, y = /nz,
^' -
m étant une constante. La figure d'équilibre est donc dans un plan passant par l'axe Ox. Prenons ce plan pour plan des xy, la force agissant sur l'élément ds est perpendiculaire à O^, répulsive et proportionnelle à l'ordonnée y
Y ds = i±y ds. Les équations d'équilibre sont donc
la première donne T -77 = A, où l'on peut toujours supposer A
positif en comptant les arcs s dans un sens tel que x croisse avec s; en portant celte valeur de T dans la deuxième équation et posant
dx -^ A. a- r ^
on a I équation
y dy' ^ oydy ^ ^
/i-^y
11)0
et ea intégrant
CHAPITRE V.
/TT/î-
a- a-
b- désignant une constante nécessairement positive puisque le premier membre est positif. Isolant le radical, élevant au carré et
remettant pour y sa valeur y- > on a
clx=àz
a- dy
v/(^- — 7"^)-— «*
Comme le fil est attache à l'axe Ox, l'équation doit donner une valeur réelle pour y' quand j' = o, donc b-'^a-. En désignant par 9(jk), 1r poljnome bicarré placé sous le radical, on a
0(7) = (b^'-i-a^- — y^){b"-—a^' — y^);
j- partant de zéro ne peut varier qu'entre — \/b^ — a- et 4-y/6- — a*. Construisons la courbe. Supposons que le fil soit attaché en O {^/ig. i5) et qu'il soit situe dans l'angle yOx : alors x croît
(Lv
d'abord avec y, y- est positif, et l'on a
r^ a"- dy (G) x=\ -—L.-
y croissant, x croît, jusqu'à ce que y ^=- \Jb- ~ a- ; x atteint alors la valeur
«- dy .
v/?(7)'
on a ainsi la branche 0A| ; la tangente en A| est horizontale. A partir de cette valeur, y décroît et, pour que x continue à croître, il faut prendre le signe — devant \/'f (jk) • on a ainsi une nouvelle branche A,M,0, symétrique de la première OMA, par rapport a
ÉTUDE UES VALEUnS RÉELLES DE ?n », cnu, (\nu. 19I
l'ordonnëc A, B,, car à des variations égales de y correspondent des variations égales de a'. Pour 7 = 0 on obtient le poinl O, d'abscisse 2^; puis, y devenant négatif peut décroître jusqu'à la valeur — ^\/b' — a-, l'abscisse croît toujours jusqu'à la valeur 3^, ce qui donne le point Ao, où la tangente est horizontale. Ensuite jj^ augmente de nouveau de — ^/b- — a- à -\-\/b- — «'- ; il faut prendre, à partir de Ao, le signe + devant le radical, et l'on obtient l'arc A2O2A3 coupant l'axe au point Oo d'abscisse 4?j etc. Les branches de courbe ainsi obtenues successivement sont toutes égales à la première. La courbe est donc analogue à une si- nusoïde.
Intégrons les équations par les fonctions elliptiques. Faisons dans l'équation (C) de la courbe
elle prend la forme suivante :
x\J-i _ f dt
a
d'où
/■2 _ r dt
X Ji ,~r-, ; X V 2
ak ^ ak
Ainsi la courbe donne la représentation graphique de la varia- tion de la fonction sn.
La difTérentieile ds de l'arc de courbe est
V \dy] -^ Jo(r)
en faisant dans cette formule la substitution (i) ci-dessus, on trouve pour l'abscisse \ du point A, et la longueur \ de Tare 0A| les deux expressions
(?-)
[ * _ ^^' C ' '^ _ ak'
1 a /" ' (i-f-/t-— 'i.kn-^)dt
car le point A, s'obtient en faisant ^ = i .
11)2 CHAPITRE V.
Quand A et ^ sont donnés {\ étant supérieur à ^, car l'arc OA, est supérieur à sa projection OB,), les constantes a et k- ont un seul système de valeurs, sous la condition A-<;i. En effet, en calculant A — ^ et ). + i, on trouve
(3)
- A-2 1^
dt
dt
Pour /,-;= G, le rapport du second membre est nul; A- augmen- tant, le numérateur augmente évidemment et le dénominateur diminue, donc le rapport augmente et pour A:-:=i le rapport est I . Ce rapport passe donc une fois et une seule fois par la va-
leur donnée r
\^\
La constante k- a donc une valeur et une
seule; l'expression (2) de ç donne alors pour a une seule va-
Détermination des constantes. — Le fil ayant une longueur donnée /et étant attaché au point O et au point O' de l'axe Ox d'abscisse a, il y a une infinité de cas possibles.
i" Le fil n'a qu'une seule onde entre O et O' {Jig- 16). Alors \
Fie. 16.
est la moitié de a, A la moitié de /. Les quantités \ et À étant connues, la constante k- a une seule valeur donnée par l'équa-
tion (j); puis a= -^,-
2° Le fil a deux ondes entre O et O'. Alors ^ 1= -, )> ^ - ; /.-^ a
4 4
la même valeur que dans le cas précédent, car y } est le même
; ensuite a
i:ri iti: i)i;s v.vi.kiks iiki:m.i:s di: slw^ iim, dnii. 19'J
I r X - /
En lîrnéral, si le (il a // ondes eiilre O el ()', ç :=: ? a =
/ , • I < 1 • ^\^'^
A- a loiiioiiis la iiieine Nalciii-, mais d = r-,-,-
Il V a donc une infinité de [josilions d'équilibre qui sont toutes liomolliéliques de la prcinirie par rapport à O, les rapports
d lioinollu'lie étant ».,>•••>
•'. j II
l!28. Mouvements à la Poinsot. — l^^tudions le mouvement d'un soliile autour dun |)oiiit fixe O, dans le cas où les forces ont une résultante unique passant par le point O.
En prenant pour axes liés au corps les trois axes principaux d'inertie relatifs au point O, Oxyz., on a, pour déterminer les composantes />, q, r de la rotation instantanée suivant ces axes, les trois écpiations suivantes, dans lesquelles A, B, C sont les moments dincrlie j)rincipaux (A^B^C), D et [x des con- stantes arbitraires ('),
^0
Nous tirerons p et /• des deux premières équations et, en les portant dans la troisième, nous aurons une équation différentielle du premier ordre en q. L'élimination de /• entre les deux pre- mières équations donne
A/^H A — G)-^ Bry2(B — C) = D( D — C);jl^
D'après les grandeurs relatives de A, B, C, on \oit que la dillV-- rence D — G est essentiellement positive : elle ne pourrait être nulle que si les valeurs initiales p^ et q^^ de p et q étaient nulles. JJe l'équation ci-dessus l'on tire
B(B-C) en posant
•^ ' B(B-C)'
(') Voir AiTKLL, Traite de Mccanirjue, t. II, p. 199.
A. KT I.. ,3
A/)î |
^ |
B72 - |
4- Gr2 |
= Dii\ |
A2j02 |
— |
Biq^ |
-- C2 /-^ |
= D^ul2, |
b4^- dt |
-+- |
(A- |
C)pr |
= 0. |
I«(4 cil MM THE V.
on aurait par un calcul semblable
, H(A-B). , ,. , ,D(A-D)
le binôme A — D élant essentiellement positif et ne ])ouvant être nul que si qo et /o sont nuls.
Pour que p et /• restent réels, il faut que q- reste inférieur à la plus petite des deux quantités /- et f;-; pour reconnaître cette (juanlilé, formons la diflérence g- — f- :
.•._/••'_ ,D(A-G)(B-D) ■' '"■ H(B — C)f A — 13) *
Le signe de g- — /'- est donc celui de B — D, signe connu par les conditions initiales.
Pour fixer les idées, nous supposerons
B-D>o, g'->p.
La variable q doit alors varier entre — /^ et -i-f : donc /• ne s'annule jamais et conserve toujours le même signe, signe connu par la valeur initiale /'o : nous supposerons r > o. Au contraire.
p s'annule toutes les fois que q = =/; quand q augmente, -jj est
positif, la troisième des équations (i) montre que p est alors négatif; quand q diminue,/? est positif. Ces considérations fixent à chaque instant les signes à prendre devant les radicaux qui donnent p et /• en fonction de q.
En portant ces valeurs de p et /• dans la troisième des équa- tions (i), on trouve
dq
où le radical est pris positivement tant que q augmente, jusqu'au moment où q atteint la valeur -î-f', puis, q décroissant de +/ à — y, le radical doit être pris négativement, et ainsi de suite.
On voit que t est donné en fonction de q par une intégrale que nous ramènerons à la forme considérée dans le Chapitre pré- cédent, en posant
„_r. /.._/V_ (A-B)(D-C)
^"''''' .C- -fB-OCA-D)'
KTIDE I)i:S VAI.Kl US ft K i: L L K S DE SU M, cnil, (\n II . |i)j
Nous aurons ainsi, en rt'-solvanl par rapporta clt et intégrant,
où // ticsignc la constante j)Osilive
^ /D(A — D)(B-C) --•^\/ ABC
et f^, une )iouvellc constante arljitraire, représentant l'époque où <j s'annule en croissant. Le module /. - est moindre (pic i puisque ^-^f'-\ il est égal au rapport anliarmoniquc de A, 13,
I), c.
Ces formules donnent/?, q, r en fonctions uniformes du temps. V.n effet, en posant, |)0ur abréger,
l'inversion de l'intégrale elliptique donne
<J =f^
^ /D(D-G)
,. /B(B — G) / — , , /D(D — C)
/B(A-B)/ jrr--r „ , /D(A-D) ,
où 'j. est positif et où z\ t" sont égaux à zt i .
D'après les propriétés des fonctions sn, en, dn, ces formules montrent que/? et q s'annulent périodiquement, tandis que /■ ne s'annule jamais.
Si nous supposons /'o^o. /• reste constamment positif el il faut ])rendre £"^^-f-i. Alors, d'ajn-ès la troisième équation (i), on
\<)it immédiatement que -;- et/y doivent être de signes contraires,
ce qui, d'après la formule
— , — = criT driT, az
nionli'e que e'= — i .
Les valeurs de p, q. r sont des fonctions périodiques de l et
atlmelleiil la période
CIIAPITUE V.
n n _/ v/(i-5-M(i-A-5
52)
Quaiul le Icnijis aiignicnle de celle (|iiiiiililé, p, q, r reprennent les mêmes valeurs; Taxe inslanlané de rolalion reprend alors sa posilion primitive dans le corps, mais non dans l'espace, comme nous le verrons plus loin.
Il faut maintenant calculer les trois angles d'Euler en fonction du temps. Pour simplifier le calcul, nous supposerons (pi'on ail
pris pour axe des x?, la direction invariable de l'axe Ot du mo- ment résultant des quantités de mouvement. Ecrivons que les jirojeclions du segment Oa-= / sur les axes mobiles sont respec- tivement Ap, B(y, Cr, nous aurons
(4)
/ sinO sino =: A/?,
/ sin 6 coso = B^r,
l cosO = Gr;
(;ar les cosinus v, y', y" des angles de Ox, Oy, Oz avec O^, sont sinOsincp, sinflcoscp et cosB. Ces équations donnent, sans inté- i^ration, 0 et cp en fonction de />, ^, r et, par suite, en fonction de t.
Calcul de l'angle de précessioii •}. — On a, d'après les équa- tions du mouvement.
dt
A/>2-^ B^2
liemplaçons, dans cette expression, p et q par leurs valeurs (3)
KTiDi: ni:s vai-kirs r k i: i, l k s de siw/, m//, dn//. nj-
•etcn-Tpar i — sh-t; rniiis ;i\ i>ns
,^ _ '^ (B-O — (B- A)snîT i/- ~ Il A( B — C ) — C( B — A ) sn-^T '
■ce quon peiil oiuorc écrire, cii cHecliiaiiL la di\ision,
d^ _ [xD ^ (G — A)rB — G)
{h ~ «G "^ «G A(B — G) — C(B— Âjsnî-t'
l'ôur mcLlrc en évitlonce les pcMcs de la fonction doublement ])ériodi(jue du second mcnihre, déterminons un argument con- stant ic vérifiant la relation
A^B— G)
O)
G{B — A)'
comme A >> B, la \aleur de snic est purement imaginaire : on peut donc prendre, pour l'argument ic, une valeur purement ima- ijinaire, et, par suite, pour c, une valeur réelle. Nous pourrons alors écrire
dà _ixD [xD(G — AVB — G) i
dz « G /t G G ( B — A j su- ic — • sn- -:
D'après les relations élémentaires qui lient les fonctions sn, en. dn d'un même argument, on tire de (5)
B(A — G) ,. D(A-G)
cn^ ic =—-——-- , an- ic=- — — •
G(A — B) G(A — D;
Evtrayant les racines carrées et tenant compte de la valeur de n,
■on trouve
. . ... |jlD (G — A)(B— G)
i sn ic cnic dnic = ■ — :r ^ , ,^ — r -•
nG G(B — A)
Il faudrait mettre un double signe devant le deuxième membre, mais, comme on peut changer le signe de ic sans que les relations antérieures soient changées, on peut toujours prendre le signe +
d'b devant le second membre. L'équation fini donne -~~- s'écrit alors
' ' d~
d'h a D i sn ic en ic d n ic d~ n (^ sn-ic — sn-T
Cette expression est maintenant aisée à intégrer : il suffit pour cela de décomposer le second membre en éléments simples. Or,
H)8 Cll.VPlTRi: V.
nous avons élahli. dans le n" 100, la formule 2 siirt en a tliirt
su' u — ?n-«
= Z(« — a) — Z(u -^ a) -\- -2 -
e'(a)
e{a)
On a (Jonc, en faisanl a = ic, « = t, et désignant j)ar A la
, ,, [jlD .e(ic)
conslanlc réelle ^-— r — i — — ;— - »
nL B ( te )
f^ -) _^ i ï^'(''p — ")
■2 H ( if — -Z )
Intégrant et supposant les axes choisis de telle façon (|ue -^ s'annule avec t, on a enfin
(7)
).T
H ( ic — - )
Les trois angles 0, o, 6 sont ainsi exprimés en fonction du Icmps, et l'on peut déterminer la position du corps à nn Inslanl quelconque. Les sinus et cosinus de ces trois angles s'expriment par des fonctions du temps qui sont ou uniformes ou racines carrées de fonctions uniformes. Mais il est très remarquable, comme l'a montré Jacobi, que les neuf cosinus a, [i, y, a', [3', y', a", ^", v" sont des fonctions uniformes du temps. Ce résultat peut s'établir comme il suit. Les formules (4) donnent déjà y, y', y" en fonction uniforme de t. On en conclut
D-Ji ou, en remplaçant/^- et q- par leurs valeurs,
/C(A-B)(D-G) / , A(B-G) ^'"^^^VD(A-C)(B-C)t/^"''~C(B-A/
D'après l'expression du module A- et les formules définissant sn-f'c, en- ic, dn-/c, on peut écrire
inO =
cl n ic
y/sa^': — sa- te
^lais on a obtenu la formule (n" 100)
62 (o) H(a — u)nia^u) sn^a — sn- u = — , — ; — -— :
KTUniC DKS VAMURS «KKM.KS DK SU», Cnil, (llW/. I'.)<)
en V rcinplaçaiît rt par t cl // par /V, et reinarqnatil cpic, par dcli-
, . e(o) 0,(/V) , ,7 11,(0)
lion, (Iii/r-=: ----- --—. — el V k = -—7—7' t»" lioiivc
e,(o) B{ic) ^ «1(0)
H,ro)
D'autre part, rexpressioii (-) doniKî
(loue
?'VsinO— — --: — — --— - — e"-^, «,(tc) 0(t)
., . „ tH,(o) Hi-z-hic) .,
e,(tc) e(T)
A l'aide de ces expressions 011 forme facilement les valeurs des cosinus a, a', a", |3, ^', |j", en fonctions du temps. Il suffit de partir des formules donnant ces cosinus en fonction des angles dEnler et dv remplacer ensuite les angles d'Iùilor |)ar leurs va- leurs en fonction de t.
Nous trouverons plus loin ces mêmes cosinus par une autre voie.
Cas de dégénérescence. — La valeur du module est donnée par
(A-B)(D-C)
k^ =
(B-G)(A-D)
(^e module est nt/l quand A = 13, c'est-à-dire (piand l'ellipsoïde d'inertie est de révolution. Les fonctions cIliptKpies deviennent alors des fonctions circulaires.
Le module est égal à ï unité quand D = B : dans ce cas les angles 0, cp, à et les neuf cosinus s'expriment comme il suit : la
gX g -T . . .
lonclion .v:sn-: devient ou —i tane^T, et les (onctions cn-r
et duT se réduisent à i/i — s- ou à -^- Eu introduisant un ar-
* costx
gument |)uremcnt imaginaire ic défini |)ar la relation (5), c'est- à-dire
, _ A(B -G) I _ B(A — C)
^^""'^ "" C(A — B)' cos2c~C(A-B/
'iOO CIIAlMTRi; V.
un rotiiplaccra la fonmilo (6) par
cl')j uIJ lanjrc I
fl- "~ «G cos-c lang*c — tang^t-;:
iiiii donne, on inlouraiil rt desi^naiil par A la conslanle —-7 -i-langc,
, , / , sin(f — /-)
6 = A- Lo? -. ~- •
■2 ' sin ( f — 1-)
On déduit de là les expressions des neuf cosinus.
129. Herpolhodie. — Dans la représenlalion du niouvemenl, d'après Poinsot, la polhodie est une courbe algébrique ; chcrcbons les équations de Vherpolliodie ou lieu du pôle ni sur le plan fixe (').
En appelant x, y, z les coordonnées du pôle m j)ar rapport aux
axes principaux d inertie KJxyz. on a, |Miisque le rapport ^=7 — - est constant et égal à \' h ou y. ^ U,
Comme ^, q. r sont des fonctions elliptiques de /, il en est de même de x, y, z. Les équations d'Eulcr. dans lesquelles on rem- place/>. q^ r par x<x^'\), y<j.\]\y, ^ay/D, donnent
(,o) A^ -+-|jiv/D(C — Bjv; = o, B^ — ;jLv/D(A — G)-.r = 0, ....
Appelons P la projection du point O sur le plan fixe II, qui contient Therpolbodie, et désignons par p et y les coordonnées polaires d'un ])oint m de la courbe rapportée au point P. Comme
on a les équations suivantes
^"^ j A .r^^B r^-C ^^-1,
' A2j-2-^B2^2— G2-2= D,
(') Voir Ai'i'Ki.L. Mécanique, l. II, p. m ! cl suivanles.
KTLDK DKS V A M; l II S II K i: L L K S UE Snu, cnu, diu/.
dont la première ox|)riinc (inc O /n ^^V/n -f- OP , cl donl les dernières sont les é<|uali(nis i^ir la polliodie. Résolvant ces équa- lions par rajiporl à jr'-,y-, z-'-, on a, en posant
et
A = (A - Bj(n — C)(G — A)
(G-D)(A — D)
(B-D)(C-D) BCD '
ù =
CAD
(ii)
__ (A — D)(B — D) ^ "^ ABD
, AB(B — A, ,
Nous avons supposé A^>B>-C et D conij)ris entre Bel il; alors A est négatif, et Ton a r/ ^ o, ^^o, c<io. Donc :;- est essentielle- ment positif et ne s'annule jamais, ce qui est d'accord avec le fail que /■ ne s'annule jamais. Pour que x- et >- soient positifs, il faul que 0-— a soit positif et o- — h négatif : p- oscille donc entre a et 0. Vinsi le ravon vecteur de l'herpolliodie oscille entre un mi- nimum \Ja et un maximum \7y. Kn difrérenlianl la première des é-rpiations f i i), on a
dp di
dx 11
■y
dj dt
dz
dt'
ou, en tenant compte des équations (lo).
|JiA y/l) xyz
abc"""'
}Of. CHAPITRE V.
celle équalion donne cnlin, en leinplaçanl .r, r, c j)ar leurs va- leurs (i 2),
(/?
^i3) ?^ = .JLv/ï)v/-(p"'-«)lP'--6)(P'-c),
équalion qui perniellrail de retrouver p- en fonction de t par une fonction elliptique; cette expression de p- en fonction de t nous est déjà connue, puisque x, y, z sont des fonctions elliptiques de t.
En appelant y ran<;le polaire que fait le rayon V m de Therpol- liodie avec une direction fixe, on obtient ensuite l'équation
(i4) p-^- = l-^(p^+E),
.. ,, . , (A — D)(B — D)(C — D) , , > r où E désigne la constante ' ABGD c est-a-dirc
Les deux relations (i3) et (i4) donnent p et ■/ en fonction du temps. L'élimination de r/f fournit l'équation différentielle do riierpolhodic
( 1 5 ) f/y. =
./!-> /— (?^— «)(p-— '^)(P- — c)
(|ui donne y par une quadrature. Ceci posé, nous allons vérifier que
p e' /• = p cos y -i- ip SI n y ,
s'exprime en ionclion uniforme du temps. Ou a d'abord immé- diateiuent p- en remplaçant, dans réc[uation (12),
, CA(A-C), , ,^
y- par sa valeur en fonction du temps
fj2 D — G
7^ = -ïn =
[ji2D ]i(B — Cj
sn-T.
(Jn trouve ainsi
(D — C)(A — D) (A— B)(D — G) ,
--^ — ^ - sn-T.
GAD ABC
I
KTIOK l)i:S VAl.KLRS rtKlCLI.IiS I) K -^IW/, rnif, illlll. loi
nu itlt'll
(V_l{,(h — C), .
f. = ^^ (sn-.-.n^r),
t'M nosanl
(A-D)B
sn-y = - — — —■ — • (A-B)D
Lt's rt'lnlidns
■ , /, , ,2 (A--BUD-C)
donnent cm- et dnr. l\ap[)roclions les trois résultats suivants
n(A-D) , A(B — D) , ., C(B-rj)
-n-t'
en- V — — 1 . — 7 pr- 1 dn- v =
1),A-B) •-■■ - - D(A-B/ D(B — Cl
iNnir obtenir/ nous partirons de régalilé (i4.) qi'i donne ^•/ _ iJ. I-:
et, en remplaçant z- par sa valeur en t'onelion de t et dl par -<:/t
^■/ _ ^. _ ^. ^ (A — D)(B — D) I
dz ~~ n n D(A — B; sii-t — sn-ic
iJécomposons le second jnembre en éléments simples en nous servant de la formule
7. snccnr dni- _ «'('') , H'tc — t) H'(> -t)
snït' — sn^T ~~~ e(t') ~ H(>' — T) ■ H(t'-T-':)
Nous déduirons d'abord des valeurs de snc, cnr, dnc et n la relation
et nous pourrons ensuite écrire
tl/ tji I sn t'enta «In e d-. n f sii-T — sn-p
|)UIS
•^^7. _ -^^ ®^^^^ _ U'(- — '') _ H'(t — f.
•>o4 CHAPITRE V
On (Jcdiiit do là
r (.)■(„) /U.-1
V désiffnanl une coiislanlo arbitraire.
•&
D'autre pari, on a
(A-B)(D-C), , , ,
P- = ABC (sn^^-sn-.),
<in, d'après une formule déjà rappelée,
^ , _ _ (A — B)(D — G) 02(0) H(-r — v)Y\ (t + p) '"^ ' ~ ABC A- 02 (i^ ) ©H ^ )
On voit alors que o-e-'/. est le carré d'une fonction uniforme et
l'on obtient
r'> ©■...|-|
<3n posant
e(T)
,_ (A — B)(D — C) 02(o) _ A2«2 02(o)
ABC Â-02((^) D[jl2 ke^ç)'
la quantité \Vi- B(o) est égale à H'(o), comme il résulte de ce que
la limite de • est i pour ?/ =r o : on a donc
Il '
^ i"- H'(o)
de sorte que, en définitive, l'iierpolliodie est définie par l'équa- tion
l'^ii se reportant aux Aaleurs de sn-(^, cn-c, dn-t^ en fonction
des données, on voit que l'on a
I I < sn2p < — .
D'après cela v — R est purement imaginaire. Cette remarque
nous conduit à poser
V -■ K = a,
KTIDK DKS V.VLKt lis HKKLLKS DE SIU/, (II//, illl//. lo'j
et à rem|)lacL'r ».' |)arc('llc valeur dans ré((tiali()ii de riu'i[)olliodic. (^elle cMjiialioii dcviciiL
« 6i(«)
rt est purement imaginaire et À est réel, v est une constante arbi- traire réelle.
130. Vitesses de rotation autour des axes fixes. — Un |)oiiit nt de riierj)olln)ïde et 1 extréinitc- (•) de la rotation instantanée sont en ligne droite avec le point (i\e O et l'on a vu qu'on a
lù = 0//ty//t, où 1^^ h ^= [J-^'D,
Si donc, on apj)ellc />, et q, les projections de la \itesse angu- laire sur les axes fixes Ox,, Oj^i, on aura
ou bien
C'est à un changement de notation près la formule donnée par M. Hermite {Sur quelques applications des fonctions ellip- tiques, p. .3.5). L'argument to (|ui figure dans la formule de ^1. Hermite et l'argument a employé ici sont liés par la relation
« = w -;- i'K'.
131. Les neuf cosinus déduits de l'équation de l'herpolhodie. — Comme on l'a déjà remarqué (n" ll28), A/?, B/^, C/- sont les projections du segment Oa-= /= Djji. sur Jes axes mobiles. On a donc
Y 7 ï
d'où
P P i /A(D-G)
G)'
ï'= QsriT,
•206 CIIAIMTIU; V.
Nous allons d'abord exprimer P. Q el R en fonction de Targu- nient i' qui lli^urc dans l'équation de riicrpolhodie. On a
_ B(A- m (A-B)(D- C^ _ , , „
puis ridenlité
P- cn-T -+- Q- sn'-: -f- R- <Iri--: = I,
où l'on lait successivement cn-T= o et dn--:=^o, fait connaître H et P; on trouve ainsi
„ fl n ('
e(t')e(T)'
(' — K = a. de sorte que (n° 129) a est purement imaginaire
"' ~ ' ei(«)0(T) ' "'' ~ 0,(a)0(-:) ' "'' ~ ei(a)e(T)'
Pour calculer les autres cosinus nous prendrons comme in- connues
a -î- t3, a'-î- i|j', a"-i- j!3".
Entre ces inconnues, on a les équations linéaires
(a ^ ï3)y -^ (a'^ i3')Y'^ (a"-f- «3")-;"= o,
' 7'( a" ^ f ,3" ) — y" C a' -F J ^' ) = — ; ( a -^ t ^ ),
(a -T- i 3)/> -r- (a'— i3')^ — (a"— /3")/- = ^, -j- ;^,:
des deux premières, on déduit
ik |
|
■' = — -Tj dit' CIIT, |
Y = /i sut' SOT, |
OU bien |
|
, H(OH(t) ' e(P)e(T) |
|
et, en posant |
■'5.nTT_ZI_IV_,
■-^"-/..^/o.TL-i-lX
et, en portant ces valeurs dans la dernière équation.
KTiDi-: DES vAi.Kius hk i; L M: S DE sna, ciw/, (lii«. 207
Si 10)1 liciiL conij)le des éj^alilés
Ap — /y, \ir/ = /-;■, (]/• = /'f.
on pont <'ciii"C cette équation
(a- tp)|^ -^— . J =p^-tq^.
Il reste à exprimer en fonction de a les quantités
on peut le faire en se servant des relations suivantes
V (d a)[c: h) 1
y D~Â
./in
V C B
QR .sn «' dnf
P c 11 ('
on a ainsi
'(o-^;
'H,((^)e(p) ~~'H(a)e,(a)' . Hi(a)Q(a)
H(a)0i(a) . H(a)e,(a) "^ H,(a)e(a)'
v'(b-i)-^vY'a-^)
__ H,('r/)e(-a)HirT)e(T)-f-H(a)ei(a)HrT')e,('T)
Si Ton divise les deux termes de cette fraction j^ar Q-(a)S-(-z) et si l'on y introduit les fonctions sn, en, dn, elle devient, à un facteur constant près, égale à en (7 — n) : sa valeur exacte est
e(o)H,(o)Hi(T-ro
.>.o8 EXERCICES SUR LK CHAPITRE V.
et Icgalllc qui clétînil a -t- /ji peut s'écrire
.„ e(o)H,(o)H,(T — «) . U'(o) Hi(z — a) ,, ,
En suppriuianl les facteurs eoniniuus, el remarquant que
H'(o) , H,(o) , , ,•.' ' 1 ' '7 r
— -^ el ^ , sont deux (luantites eirales a v A\ on a eniin e (o) B|(o) ' o \ '
* • '^-^ e,(a)e(T)
et l'on en déduit a'— f'[i', a"+ i[i".
Réunissons les valeurs des neuf cosinus
.U(a)Ei(-
Hi(«)H(t) e,(a)e(-r) =
e(ff)9i(T) e,(«je(T)'
^ e,(a)0(-)
.,,^ e(o)e,rT-«)^,,,^^,^,
^ 0,(a)e(T)
EXERCICES SLR LE CHAPITRE V
I. Lij^nes géodésiques de la catcnoïde (surface engendrée par la révolu- tion dune chaînette autour de sa base).
L'axe de révolution étant pris pour axe 0.3 et /• désignant le rayon d'un |)arallèle on a, pour Téquation de la surface,
r^^ij-^e-^.
On trouve que la projection des lignes géodésiques sur le plan des xy a pour équation en coordonnées polaires
J,. ^{r-^—a-^){r
^-6M
b désignant une constante arbitraire et l'angle G étant compté à partir de la direction asynnptolique.
EXERCICES Sl'ft LE CHAPITRE V. 10[)
1° Soit b l^ a. En posant
b 7="' |
|
du |
k-- |
/(i— «î)(i — /:2u2) |
b |
a — snO, /• = — jr. snO |
Donc
Telle est l'équation de la courbe. 2" Soit 6 < a. En posant
a
_ ch' . b
Donc
0 a
sn-r k
3° Si 6 — a, on est dans un cas de dégénérescence, k = i :
2. Les neuf cosinus qui servent à définir la position relative de deux trièdres trirectangles peuvent s'exprimer en fonction de trois paramétres a, II, X au moyen des formules suivantes
■ H(a)H(«) , .ei(o)ei(».-a) .^
'^" 'e,(a)0,(a)' ^^'t5^ * e,(a)0,(«) ^ ''
Hi(a)Hi(tO e(o)9(« — g) .^
"' '" ei(a)0i(«)' ^ + *P - 0i(a)0i(a) ^ '
_ Q{a)Q{u) V', /S",, Hi(o)Hi(^-a)
1^ 0i(a;0,(M)' ^ '^ 0i(a)0i(«)
dans lesquelles on suppose 11 et X réels et a purement imaginaire. Il suffit de vérifier
Y' + ï'' + ï"-=i, (a-4-tP)2-t- (a'+iP')2-4- (a■'-^^p")2=o,
Y(a + tp) +Y'(a'+ip') -■- Y"(a"+ tp") =^0,
(a -H tp)(a - tp) + (a'-H ti3')(a'- /;3') + (a"-i- ^•13")(a"- i^") = a.
(') Greeniull, Fonctions elliptiques, p. i38.
A. ET L. i4
aïo EXERCICES SLR LE CHAPITRE V.
Gela résulte dos idenlités suivantes
eî(a)eî(«) — Hï(a)H2(«) -= B^a) S^u) - UHa)}î^{u),
H,(o)H,(f< — rt)e,(a)e,(«) — e,(o)e,(« — a)Hi(a)Hi(«)
= e(o)e(« — a)H(a)H(if), ef(o) e,(» — a) e,(K-^a) = e^a) e2(M)-^H2(a) ll\{u), eî(o) 6(u — a) e{u-^a) = e\{a)e\{u)~ima)n\(u),
H\{o)Hi(u — a)Hiiu -^ a) = ei{a)e\iu) — 6^{a) SHii),
et d'une autre identité qui se déduit de la première de celles-ci en y rem- plaçant a par o et u par u — a.
IJ. Vérifier que les valeurs précédentes des neuf cosinus satisfont aux relations
(a"- tp")(a - iS) = - 7"y -- «t', (a — i-p) (a' — ip') =— 7y' ^ *'ï".
équivalentes au système suivant
a" oc + p" p -^ y"*.' = o, y' = ='" P - P" «>
aa'-H p3' -t- yy' = o, y" = ^P' — ?^'-
(D'après cela les deux trièdres dont la position relative est définie à l'aide de ces cosinus ont même disposition.)
CHAPITRE VI.
FONCTION p A PÉRIODES IMAGINAIRES CONJUGUÉES. DISCRIMINANT NÉGATIF.
I. — Lr discriminant est négatif. Valeurs réelles de pu et de p' u.
132. Objet de ce paragraphe. — Supposons qu'on ait pris pour périodes primitives d'une lonclion pu les quantités imaginaires conjuguées
oio désignant une quantité réelle et to'., une quantité purement imaginaire; nous allons montrer que les invariants sont réels, que la valeur de la fonction est réelle quand l'argument est réel ou purement imaginaire et nous en déduirons que le discriminant bl— 2753 est négatif.
133. Les invariants sont réels. — Les invariants sont donnés par les égalités
60"" j^ (amwi-T- antoj)^ ' 140 .^ (2 m wj 4- 2/10)3)6
Comme les quantités
2/?lWi -+- 2/10)3, •>. /?lO)3 -r- 2/lWi
sont imaginaires conjuguées, on peut, dans chacune des séries précédentes, associer deux à deux les termes de façon que leur somme soit réelle. Donc les invariants g2 et g^ sont réels.
13i. Arguments réels, purement imaginaires, imaginaires con- jugués. — Arguments réels. — De même dans la série
^" «2 2d L(" — ^v)-^ iv^]
(V = 2 /« o)i -t- 2 n 0J3, ^j=o, rr:i,±2, ±3, w = o exclus.
CHAPITRE YI.
si Ton suppose u réel, on peut associer deux à deux les termes de façon que leur somme soit réelle. Donc, pour un argument réel, la valeur de la fonction pu est réelle. On voit de même que la dérivée
^^'"=-^-^^2777^
wf
est réelle quand u est réel; elle garde un signe constant quand // varie de o à Wo, puisqu'elle ne devient ni nulle ni infinie dans cet intervalle, et comme elle est négative pour u positif et très petit, elle est constamment négative quand u varie de o à CO2 ; pu va constamment en décroissant depuis + 00 jusqu'à pwo.
Argument purement imaginaire. — Pour voir si la fonction p{iu) est réelle quand u est réel, remarquons que l'on change seulement le signe de la fonction pu quand on multiplie par i l'argument et les deux périodes. On a donc
p(«< I toi, C03) = — J3(h| iWi, itOs), OÙ
' 2 2 i ' 2 2 i '
puis, comme on peut toujours changer le signe d'une période,
f)(m| wi, tM^) = — ^{u I i'wi, — twa).
Pour la fonction du second membre les deux périodes sont ima- ginaires conjuguées. Si donc u est réel on est ramené au cas déjà étudié.
En prenant les dérivées des deux membres de la relation que nous venons d'obtenir, on trouve
iji'iiu I wi, (1)3) = — J3'(« 1 i^u — twa).
Les deux égalités précédentes montrent que si u est réel j3(fa]tO|, 0)3) est réel et p' (m I W), 103) purement imaginaire.
Ces égalités peuvent s'écrire, en mettant en évidence les inva- riants g2 et g-i au lieu des périodes ^^i^ et (03,
P(i"; g2, g3) = — piu; g2, —gz), ip'{iu; ffo, ^3) = — p'(«; g-2, —^3);
FONCTION p A PKRIonES IMAGINAIRES CONJUGUÉES. 2(3
CCS formules résullcnl de ce que, si l'on remplace
— iOJs,
dans les séries qui donnenl ^2 et g^, g^ ne change pas cl ^3 se reproduit multiplie par — i .
Arguments imaginaires conjugués. — A deux valeurs u et Uq imaginaires conjuguées de l'argument correspondent, pour la fonc- tion, deux valeurs imaginaires conjuguées. En effet, on a
Il s'agit de montrer que, si Ion change i en — i dans l'expression de jDMoi cette expression se change en pu.
Si l'on change i en — i dans la deuxième série on trouve, en dé- signant par (\o la quantité imaginaire conjuguée de (V,
~u- "^ 2à [(« — wo)- ~ ^ J ' il reste donc à vérifier que l'on a
^ [(" — "')■' ~ »^J ~ ^ L< K' — Wq)-^ 'wll cela résulte de ce que la quantité imaginaire conjuguée de
est la quantité
et que, dans chacune des sommes précédentes, m et ?i prennent toutes les valeurs entières {w = o exclus). On peut donc passer de la valeur de p u à la valeur de j) Uq en changeant i en — i; ces deux valeurs sont imaginaires conjuguées. C'est ce que nous voulions vérifier.
135. Parmi les racines ci, e-y, e^, l'une c-, est réelle et les deux autres imaginaires conjuguées. Le discriminant est négatif. — Nous
2»4 CHAPITRE VI.
pouvons maintenant vérifier que les racines du polynôme en pu
sont Tune réelle et les deux autres imaginaires conjuguées. Ce po- lynôme étant égal à (p' u)-, ses racines sont
ou bien
(0)2 lo', \ / Lût w'o \
On voit déjà que la dernière est réelle, puisque Wo est réel; la première l'acine peut s'obtenir en prenant la formule d'addition
p(u-\- v) = — pu — pv -h ^„ *^ ,
et en y faisant
« = — ^ 5 V = -;
•i 1
pu et p' li sont réelles ; pv est réelle et p' v purement imaginaire. Donc e, = j3C0) est imaginaire. La même formule montre que e3=j3(03 est la quantité imaginaire conjuguée de e< (ce qui devait être puisque co, et 003 sont des quantités imaginaires conjuguées.) Puisque, sur les trois racines C), Co, <?3, il y en a une réelle et deux imaginaires conjuguées, le discriminant ^2 — 27^3 est né- gatif.
Distinction des racines imaginaires par le signe du coeffi- cient de i. — Nous pouvons distinguer les deux racines imagi- naires en considérant, dans chacune d'elles, le signe du coefficient de i.
La racine e< s'obtient en faisant u = — ? t» = dans la va-
•2 1
leur précédente de p[u + v) ; le coefficient de i dans le résultat a
le signe de .■ p' up'v^ et, comme p' u est négatif pour u = — ?
le signe à considérer est celui de
FONCTION p A PÉRIODES IMAGINAIRES CONJUGUÉES. 2l5
comme l'argument— est purement imaginaire, servons-nous de la formule
nous trouverons
Or le signe du second membre est le signe +, puisque, quand // varie en restant réel de o à " ' » p'(//;^'o, —^3) est constamment
négatif.
Donc, pour la racine c, , le coefficient de i a le signe -r ; pour la racine ^3, le coefficient de i a le signe — .
Remarque. — On a, quel que soit «, En effet, la période ato, étant égale à coo— co!,, on peut écrire
p ( J< -f- w', ) = p ( ?< -f- w'j -h 2 Wl ) = p ( ?< 4- 102 ).
136. Valeurs de a pour lesquelles pu et p' u sont réelles toutes les deux. — Nous avons vu que, quand u croît de zéro à Wo, pu et pu sont réelles toutes les deux : p' u varie d'une manière con- tinue de — 30 à zéro, pu décroît constamment de -t- 00 jusqu'à ^2 = pwo. Nous voulons maintenant définir toutes les valeurs de // qui rendent réelles pu et p' u. ('considérons la relation
P'2(m) = Mpu — ex){pu-e._){pu — ei)\
si pu est réel, le premier et le troisième facteur sont imaginaires
conjugués, leur produit est positif : pour que p' u soit réel il faut
que l'on ait
puy- e.,.
Soit a une valeur réelle plus grande que Co ; il y a un argument réel t', compris entre o et 0)3, pour lequel on a
p M = « ;
toutes les autres solutions de celte équation sont données par la
)l6 CHAPITRE VI.
formule
// = ±: r -f- 2/?iwi -f- 2/10)3,
1)1 Cl /? étant des nombres entiers.
On conclut de là que, si un argument u rend réelles la fonc- tion pu et sa dérivée p'w. on peut toujours, en ajoutant des pé- riodes, le ramener à être réel et compris entre — w^ et -f- Wo.
II. — Expression des périodes par des intégrales définies de la forme
NORMALE DE LeGENDRE, DANS LE CAS DU DISCRIMIN.ANT NÉGATIF.
137. Expression des périodes en fonction des invariants. — Les périodes étant, comme plus haut, définies parles égalités
2 W 1 ^= W2 (u'-i ' 2 0)3 = tOo -f- CO 2 ,
on a vu que, si u croît de o à coo, pu décroît constamment de 4- oc à go. L'équation dilférentielle à laquelle satisfait la fonction x = pu étant mise sous la forme
au = ,
SlÂx' — gtX — gi
on obtient, en faisant croître ?/ de o à Wo, l'égalité
dx
i. v/T:
gtX — gz
qui donne l'expression de coo en fonction de g-y et de ^3.
Pour avoir l'expression correspondante de -A remarquons que si l'on remplace les périodes 2to, et 2103 par les suivantes
w', . . O)» .
2Ja)i =■ —_ •- Hx).2, — 2ICO3 = -T^ tu).),
l l
il faut remplacer
^2, gi, gz, <?2
par
-f-> gti — gZi —Ci.
L'égalité précédente devient, par ce changement,
dx
-g-lX-^ g3
-^ = r —
FONCTION p A PICIUOIIES IMAGINAIRES CONJUGUEES. IfJ
138. Les intégrales donnant les valeurs de m-, et ~ ramenées à
la forme canonique de Legendre. — L'inlégralc f[ul donne la va- leur de (Oj peuL s'écrire
i.ùi =
f^
\/{x — ei){x — ei){x — es)
Faisons le changement de variable
l'intégrale devient
0)2
/
dz
0 v/(--^- e-i— Cl )(---!- e2—<?3)
Les quantités Co — e, et e^ — c-i sont imaginaires conjuguées, l'o- sons
e-i — 6.3 = p(cos^J/ -^ { sin'i) P > o,
e% — ei = p(cost|y — ^'sin']/) o < <^ < x.
Ayant pris p positif, nous pouvons choisir <b entre o et -, puisque et désigne la racine imaginaire pour laquelle le coefficient de ;' est positif. Le polynôme bicarré qui se trouve sous le radical peut alors s'écrire
z'*-\- IZ-p COS({/ -f- p2 — (^2_,_ p)2_ 4^2psin2-^,
de sorte qu'en posant
^ = f/p, sin2^ = k\,
on a
dt
, y/p = I ■ — — ;
le coefficient difTérentiel de la nouvelle intégrale ne fait que changer de signe quand on pose
_ I
et que l'on néglige ensuite l'accent. On en déduit
r^ dt^ r*
dt
)2— 4^2f2
2l8 CHAPITRE VI.
puis
V? = 2 / .
0
idt
et il n'y a plus qu'à poser
it
sino ou / = lane -> pour obtenir l'égalité
U)2V? = f ' >
Jo /i — ■^■? sin2cp
dans laquelle l'intégrale est de la forme normale de Legendre (^voir n° 111).
Transformons de même l'intégrale
dx
i\J{x -\- e y){x -^ et){x ^ es)
En faisant le changement de variable
X = — ^2-+- ^-, il vient
dz
^{^--r-ei—eo){z-i~ es— Cj)
puis, en introduisant, comme dans ce qui précède, le module et l'argument des quantités imaginaires conjuguées e^ — e^i e-^ — 6-2,
dz
^/(-;^+p)^-4^Vcos2^
Posons
nous trouverons
s = /l/p. C0S2 J- =: A'2,
«^0
v/(f^-i-i)2-4>ti2r^
FONCTION p A PÉRIODES IMAGINAIRES C0N31GUÉES. 219
et, en tenant compte de l'égalité
r' dt r-i
k\^ sin^cp
nous obtenons pour —^ une expression de la forme cherchée. Réunissons les deux formules qui viennent d'être démontrées
J v/i — A"ï ^in-'f
^^-X'tt
' A7:=C0S2-I,
2
Aj- sin"-ç5
p et ^ étant définis par les égaillés
e=i — ^3 = p(cos4' -^ isin<{/), p > o,
eo — «"i = p(cos<^ — i sirnl>), o < 6 < t.
Ces dernières intégrales, dans lesquelles on fait
prennent la forme des Intégrales qui donnent K et K' dans le n« 108.
139. Variation du rapport — ^- — Des égalités précédentes on déduit
iW2
/•2 do
/ v/i-Af sin^c
/•2 ^o
Jo /i — /m^ siii^cp
et Ton volt que le rapport -7^ augmente constamment quand k\
croît de où i, car le numérateur augmente et le dénominateur diminue. Ce rapport est égal à zéro pour k\ = o, il est égal à +gc pour k'-^=z i; il passe donc une fois et une fois seulement par une valeur positive donnée quand k] croît de o à i.
On peut alors vérifier, en se servant des seules intégrales ci-
CHAPITRE VI.
(0.,
dessus, que, si les valeurs de toj et de -^ sont données, chacune des racines C|, fo, r-i a une valeur unique. En effet — ^ ayant une
valeur positive donnée, A^ a une valeur unique comprise entre o et I ; A'-f étant ainsi déterminé, l'égalité qui définit lOo, par exemple, montre que y/p a une valeur unique, le radical étant pris avec le signe 4-. Pour passer de là aux valeurs de <?i, e^, e-i remarquons que cosdi et siii'i/, définis par
cosij/ = A',2 — /if . sirnl/ = 2 A'i A'i, o < <{/ < •::,
sont déterminés sans ambiguïté. Alors les égalités
^i-i- «2-7- es = o, (?2 — €3= p(cosi}; -t- t sirn}^),
€-2 Cl = p(cos'^ — i siïi'^)
déterminent une valeur unique pour chacune des racines C), 62, e^.
III. — Retour a la fonction p a discriminant positif. Expressions
DES PÉRIODES SOUS LA FORME CANONIQUE DE LeGENDRE.
140. Les intégrales qui définissent les périodes ramenées à la forme canonique de Legendre. — Nous allons ramener à la forme
canonique de Legendre les intégrales qui définissent to et — > dans le cas où C), Co, e-^ sont réelles. ([ o//' n"^ o3 et o4). On a d'abord
d.r r^ " dx
J,, yj^x^ — g-ix — S^ Je,
\sj {X ~ e^){x — e<i,){x — e^)
Dans cette intégrale, faisons le changement de variable
g"- , ig'^dz ar = e.i -i- ^ » dx — — >
g étant une constante indélei-minée; l'élément de l'intégrale
devient
— dz
V(-^-')('-^=')
Dans le produit qui figure sous le radical le premier facteur se
FONCTION J) A PK RIO DES IMAGINAIRES CONJUGUEES. 221
réduira à i — z-, si nous posons
et le second fadeur deviendra alors (i — /i-z'-) en posant
C-l — Cl
h-
<'i — Ci
k- est un nombre positif et plus petit que un : le eoefficient dif- férentiel a donc la forme cherchée. En mettant maintenant les nouvelles limites de l'intégrale, nous trouvons
r^ dx
Jo v/(I-^^)(I-A■-^^
ce qui est la forme cherchée.
Transformons de même l'intégfrale
m' _ r dx _ r
"^°° dx
2 v/(^ -4- e, X-^ -t- ^2 )(a; ^- es) '
en faisant le changement de variable
^' j -, dz
X =^ — ei^ ~, dx — — ig-^-,
l'élément de rintcgrale devient
— dz
sous le radical, le second facteur devient égal à i — z- si nous posons
et le premier facteur devient alors i — k'- z- en posant
ei — e-i k - est positif et plus petit (jue i . Nous avons donc
dz
g
z-^){i — k'^z'-)
CHAPITRE VI.
Réunissons les deux résultats précédents, en faisant dans les intégrales le changement de variable z = sin-j, nous avons
r-^ do
Jo V' — ^-sin-tp
o' r^ do
^^ = ^'e,-e„ r-=::^^^% //2=l^^i, /,2^_/,'2=,.
<-'! — <^3 «1 — e.
On nomme g le multiplicateur; /.• est le module, // le module complémentaire.
lil. Variation du rapport -r— • — Considérons, maintenant, le rapport
do
i ^
k'- sin-o
L
do
y \/ 1 — A:2sin"-cp
En raisonnant comme au n" 139 on reconnaît que, si A- croît de o
a I , le rapport t- décroît constamment de -h 30 a o.
D'après cela, on peut encore vérifier qu'il n'y a qu'un seul système de valeurs de A- et de g pour lequel les intégrales oj
et — prennent des valeurs données, si l'on suppose g positil et A- pris entre o et i . En effet, le rapport -^ ayant une valeur donnée,
il n'y a pour /, - qu'une seule valeur comprise entre o et i ; A-^ étant déterminé, l'égalité qui donne la valeur de ^w, par exemple, donnera pour g une valeur unique.
Les quantités k'^ et g étant déterminées, on a immédiatement
ei — ^3, 62 — e^.
La somme de ces quantités donne — 3^3, puis des différences connues Ci — Ca, Co — e^ on déduit e\ et e^-
f
FONCTION J) A PKniODES IMAGINAIRES CONJUGUEES.
223
IV. — Cas du discriminant nkgvtif. Application géométriql'e.
1 42. Étude de la courbe .r ~ pu, y = p' u, j" = 4 x^ — f^ix —■ g^. — Nous insisterons seulcmenl sur les difTérences que le cas de A^o présente avec le cas déjà étudié de A > o.
Si a: et jK sont tous deux réels, on peut toujours, en ajoutant des périodes, ramener l'argument à être réel et compris entre — a>2 et -i- iù> (n" 136). Quand on change a en — u, x ne change pas, y change de signe; la courbe est donc symétrique par rap- port à Ox et il suffit de faire varier n de o à w^-
Quand u croît de o à co^, y est négatif, x décroît constamment de -t- X à e-2- I^a tangente au point situé sur Ox est parallèle à Oy\ la direction asymptolique est celle de Oy. On a donc la forme de courbe indiquée par lajîg. 19.
fig- 19-
La courbe n'a pas de points en dehors de la branche infinie, <;ommc cela se présentait dans le cas du discriminant positif.
Tangentes parallèles à Ox. — Les points où la tangente est |)arallèle àOx sont donnés par l'équation
p"(u) = Gx^ ^2 = 0,
X = pu,
•224 CHAPITRE VI.
Quand g2 est négatif, il n'y a pas de points où la tangente soit parallèle à Ojc.
Quand ^2 est positif, les deux valeurs de x qui annulent p' i/ sont réelles; mais pour qu'à une valeur réelle de x corresponde tino valeur réelle de j', il faut que Ton ait
Nous avons donc à chercher, en supposant o^o^o, combien Téquation
p" Il = 6^72 0-2=0
a de racines plus grandes que e-, et nous sommes ainsi conduits à substituer Co à la place de x dans le polynôme entier en x qui donne la valeur de j/«.
Ce polynôme se présente sous une forme plus commode, si l'on dérive par rapport à u les deux membres de l'identité
ji'-^u = ^{x — ei)i^x — ei){x — e^), x — pu. On trouve, après avoir supprimé le facteur commun pu,
- p"n = (x — e.2){x — 63) ~ (.r — ei)(x—e3)-{-{x — ei)(x — e^),
et la valeur du polynôme pour x ^ 62 est
{ei—ei)(e,— e3};
comme les deux facteurs Co — ^i, e-2^es sont imaginaires con- jugués, le résultat de la substitution est positif. Donc e^ est supé- rieur à la plus grande racine ou inférieur à la plus petite, et comme ces deux racines sont de signes contraires, c'est le premier cas qui se présente quand <?2 est positif et le second quand 62 est né- galif.^Le signe de 62 est le même que celui de g'^ puisque l'on a
ff3= 6163^2-
En définitive, pour qu'il existe sur la courbe des points où la tangente est parallèle à Ox, il faut et il suffit que l'on ait
gi> O, g3<0.
FONCTION p A PÉRIODES IMAGINAIRES CONJUGUÉES. 22')
Dans le cas contraire la courbe présente la forme de \di fig. 19.
Tangentes menées cV un point P. — Si le point P a pour pa- ramètre r, les points de contact ont pour paramètres
V V V V
Uo = > l'i = — 1- Wlj "> = r- 0), ■+- tU3, «3 = — - -f- 0)1.
■'. 2 •> 2
Comme v est réel et que to, et (03 sont imaginaires conjugués, Uq et «2 sont réels, W| et u-i imaginaires conjugués.
Ainsi, par un point de la courbe, on ne peut mener que deux tangentes réelles à la courbe.
V. — Discriminant négatif: application au mouvement d'un projectile
DANS UN MILIEU DONT LA RÉSISTANCE EST PROPORTIONNELLE AU CUBE DE LA VITESSE ( ' ).
143. Équations différentielles et intégrales premières. — Pre- nons pour origine O la position initiale du projectile, pour direc- tion de l'axe des x, la direction de la vitesse initiale, pour axe des y la verticale descendante. Soit a l'angle de Ox avec l'hori- zontale, a étant regardé comme positif quand Ox est au-dessus
de l'horizon : l'angle des axes est alors - 4- a. La résistance de ° 2
l'air est une force dirigée en sens inverse de la vitesse, et égale à
cv'^, V désignant la vitesse, et c une constante.
En désignant par jc el y les coordonnées du mobile, et par s
l'arc décrit sur la trajectoire à partir d'une origine fixe, la force
due à la résistance du milieu a pour projections sur les axes
Ox, Oj
~^ [d/J 'dl' ^ \dl) Ih'
ou bien
~'^\dt) It' ~'' \di) ITt' et les équations du mouvement sont
d- X / ds\- dx
(•) dï^=-'\di) Tt'
d^y _ ( dsy- dy
^''■^ dt^ ~ ""Vd'tl dt
(') Voir Greemiill, Fonctions elliptiques, traduction de Griess, p. 37J. A. ET L. i5
■iîB CHAPITRE VI.
Éliminons entre les équations (i) et (2) les termes qui pro- viennent de la résistance 5 il vient
d.T d^y dy d'^x _ dx
7/i 'dr^ ciï It^ ~ ^di '
ou bien, en posant u.^ ~- ,
du. dx
(3) ■£dj=^"-
D'autre part, en remplaçant, dans l'équation (1), ds par sa va- leur tirée de
ds- = dy- — 2 dy dx sin a + dx-,
nous trouvons
d-^x /dxy, ,
puis, en tenant compte de l'équation (3),
e / dx\-'' d^x , „ . ^ du.
Les deux membres de l'équation (4) sont les dérivées de fonc- tions qui s'obtiennent immédiatement. Intégrons de o à ;, il vient
en remarquant que, d'après le choix des axes, [jl = o pour ; := o. Nous supposerons la vitesse initiale très grande, et nous néglige-
rons le terme 0 - ( -j-) de sorte que, en posant - = w^ et
P = [J.^ — 3 p.2 sin a 4- 3 [x, on a
L'équation (3) donne alors
S-
_i df = F^ da,
FONCTION J) A PÉIUODLS 1 M A G I N A I H E S CONJUGUÉES. i
el, en intégrant,
(6) &^fp-U^^f' it ^.
•^0 "» (|jt5— 3[JLïsina^ 3[jl)-»
D'autre part, en remarquant que l'équation (3) peut s'écrire
d.r \dt) "' * '
dx et en j remplaçant -j- par sa valeur tirée de (5), on trouve
puis
■^dy = [x P" 3 ^.ji,
et enfin, en intégrant,
(7) ^,T= f'' p-hiJ. = r ^
(8) ^r= / [^P 'dix= /
( \x^ — 3 tjL- si n a 4- 3 \i. )^
( [i.^ — J [JL- sin X 4- 3 jj. )*
Les équations (7) et (8) définissent la trajectoire au moyen de la variable auxiliaire y- d l'équation (6) donne la valeur de t pour chaque position du mobile. On voit de suite que le poljnome
\i{ii.- — 3 [A si n a — 3 )
n'a d'autres racines réelles que zéro, et l'on en conclut aisément que, quand a croît de o à + x, t ei y deviennent infinis, et x tend vers une limite : nous désignerons cette limite par^. Il est, en outre, facile de voir que la vitesse tend vers une valeur limite et que w est la valeur de cette limite. En effet, l'équation (5) montre que, pour [jl = co, on a
,. dx
w = lim a -.—
' dt
et l'égalité
[ds\^ fdx\^, „
Uj =\dïl (.-^-^I-sma + O
.>.>8 C HA PI TU K VI.
(l.r 1 ■ • (Is 1 • •
montre cnsuilc que, .u. -7- avanl une liinilc, -7- a une limite qui est ' ^ (/( " en '■
la même.
Ainsi, la trajectoire admet une asymptote verticale, la droite X = a, et lorsque le mobile descend indéfiniment sur la branche de courbe asymptote à cette droite, la vitesse tend vers une valeur limite (v.
lii. Intégration par les fonctions elliptiques. — On peut ra- mener l'intégrale qui donne la valeur de ^ (équation 7) à une
intégrale elliptique ayant la forme canonique de M. Weierstrass. Pour cela, faisons la substitution
1. _ m-P^ _ fji- — 3[j.sina + 3
ni étant un facteur constant arbitraire. Nous pourrons déterminer gs de façon que, dans l'expression
( /i m^ — s^3)'x- — I2m^ u sina -+- lam^ 4^-- ^3 = '- ^_ ,
le trinôme du second degré en [jl soit carré parfait; il suffit de
poser
4 ni^ — ^3 = 3 m^ sin- at, d'où
ê'3 = mH4 — 3 sin2a). Il vient alors
/ , /T ^ — usina
v4 5-* — ^3 = /«Vj '
r et, en différentiant,
6z'-dz im^ v/ 3 f/ix
Celte équation peut s'écrire
dz m^ v/ 3 d\i. d[x i dx
en prenant m'- = \^ on a donc, en définitive, gx _ r'^ dz ^
FONCTION p \ PÉ RIO DES IMAGINAIRES CONJUGUÉES. 2>Ç)
On en conclut
(ffX
puis, d'après l'expression de c/c,
^i{^^\ [Jtsina — 2
^y-^-} ^ — TTj. — '
Quand ^ est égal à l'abscisse a de l'asvmptote verticale, ijl = x, on a
, ( ga\ siiia ( "(^\ 1
et, par suite.
^^-^.)-^\^-^J -3ix
D'après cette dernière équation, on a
et en intégrant
y
^■H^)
dx.
C'est l'équation de la trajectoire.
Ecrivons u et v au lieu de ^ et de ^> l'équation prend la forme
S'y _ r" 6p^«'f^"
(M)
0
gy ^ r Gp^-i'(fu
et nous allons pouvoir l'intégrer en appliquant la règle du n° 50. Pour rendre le dénominateur rationnel, multiplions par p'v+p'u les deux termes de la fraction sous le signe somme et tenons compte de ce que, g2 étant nul, on a p'-^v — p'^u = Hp^v — P^ii),
£ et £* étant les racines cubiques imaginaires de l'unité
23o CHAPITRE VI.
En opérant la décomposition en fractions simples, on a
p'v — p'u Mp^v-p^u) (I?-)
I p' l>~p U t ,P V - p U , I 2 p V + p U
■XpV—pU ' •ï''tpV — pU '2 £2p<-- — pu
\ p'v—p'u 1 ^p\tV) + P'» , ' ,o,P' ("-'')-<-?'".
2 pp — pjf "^ 2 ' pCev») — P?' "^ 2 " P(^'''''j — ,P« ' car si dans la formule d'homogénéité
?[■;; i^*^2, v-^gi) -=\^-p{u\ gi, gi),
on fait ^2= o et ;jl = £ puis [ji = s-, et si l'on remarque que - =£^,
on trouve
piuz^; o, ^3) = £-p(«; o, ^3), p(«£; 0, ^3) = ^p(«; o, ^3),
puis, en prenant les dérivées
p'(«£2; o, ffs) -=p'(u; O, g-i),
p'{uz:. o, ^3) = p'(f<; o, ^3)- Des équations (i i) et (12), on conclut
«^2 J„ \i pv — pa "2 ps^- — p« "^" 1 pt'^v — pu )
Mais, si dans la formule d'addition pour tu \n° 41, éq. (65)], on change v en — r, il vient
I p'« -+-p'p „. , „ „
- — — l(u — v) — tii-^tv.
1 pii — pv
Dans celte égalité changeons v en zv puis en s-t' et remarquons que, d'après la formule d'homogénéité (n° 36), ^{zv)^^ z-'Cv et 'C,[z'^v) = t^v, nous obtenons
I p'il ^ P'ZV ^ y or
' — l{u — zv) —lu -h z-^v,
2 pU — pZV
I p u-^p
'=2,
^a — £2p)- ^«-f-E^P.
2 p« — ps-'t'
D'après cela l'équation (i3) peut s'écrire, en tenant compte de
H
FONCTION J> A PÉRIODES IMAGINAIRES CONJUGUÉES. .>.3 1
ce que i -j- s + £- csl nul,
g= r [-■iyv-^{u-i>)-tl(n-tv)-z^t:{u-t^^)]dn,
el l'on obtient enfin
tZ^-Zur.-Lo^-^^ sLog \_^^ ^-.^Log ^^^^ .
L'expression chi temps ^ se trouve au moyen de l'équation (G) qui donne, par un calcul analogue,
• — ' '' ' . du
p i> — p u
d'où
fft - 3'(P — ?0 ,. c'est- — k) , CfsV — //.)
— = — Log — î^- s2 Log — ^- — — t Log — ^,
145. Développement de jk et de ^ en séries entières ordonnées suivant les puissances de f/ = ^ -^« — Lorsqu'on se propose de dé- velopper y el t suivant les puissances entières de i/, il est commode d'emplojer la fonction
qui est égale à i pour // =: o. Il vient alors
^ =— LoQ'\/{u, t') — £2Log(j,(i<, £p)— £Log<];(?f, sU').
Prenons les dérivées logarithmiques et développons suivant les puissances de u par la formule de Tajlor :
232 CUV PITRE VII.
en intégrant de nouveau, on obtient
(i8)
Log^(M. (•)=— -jpp-j- —p'v—-fp"v-^..
3!- • 4 Donc, en remarquant que ff.,^ o et pev = tpv
(>9)
Log <]/(?/, £P)
ol 4 !
(■20) Log4/(«, £2p) =— —^--P^' + 3TP'^— TT'P"^- •
On en conclut
«v2 [4! ^ 7! '' 10! ^ y
Dans ces formules, on doit poser
^3= — (4 — 3sin2a),
pr =
p f = -sin;
P t' = ô' P ^' = ô^'"*»
Le discriminant étant négatif, les périodes de p s'expriment à l'aide des formules des n°' 137 et suivants.
Les dérivées j3"r, p'^r, ... se calculent par voie récurrente, en dérivant un nombre quelconque de fois la relation
(P'«0^= IP^" — ^3
et faisant ensuite u = r.
CHAPITRE VIL
INTÉGRALES ELLIPTIQUES. RÉDUCTION A LA FORME NORMALE DE LEGENDRE ET DE JACOBl. INVERSION.
I. — Intégrales elliptiques.
146. Exemple élémentaire de la méthode employée pour cal- culer les intégrales elliptiques. — On démonlre, dans les éléments du Calcul inlégral, que l'intégrale d'une fonction rationnelle de x cl de la racine carrée dun trinôme du second degré y ax'--\-ibx-\-c peut être ramenée, par un changement de variable, à l'intégrale d'une fonction rationnelle ou à l'intégrale d'une fonction trigono- métrique.
Plaçons-nous à ce dernier point de vue, pour rattacher à des notions élémentaires le problème que nous traitons dans ce Chapitre. Soit
(0 J'Ria;y)dx
une intégrale où R(x, jk) désigne une fonction rationnelle de x et )', y étant lié à x par l'équation
(2) y = \/ax'^'i- -20.
Si l'on fait un changement de variable, en prenant comme nou- velle variable k l'intégrale
dx
''' "=£
l'intégrale proposée (1) devient l'intégrale d'une fonction Irigo- nométrique. Pour le vérifier, écrivons
-=^'i/^Fir
ù- ■ — ac
'34 et posons |
h X A — = a |
CHAPITRE Vil |
sj b- — ac - ^ j a |
y/— a = 1,
il vient, en choisissant pour Xq la valeur qui annule z,
■ u = I " — j z. = sinlu,
Jo V — --
/ / i ^ v/^-— ac . , X /,- .
(4) x= -. sinÀ». y = - J 0- — accosku,
a a a
dx —y du.
Avec cette nouvelle variable u, l'intégrale (i) devient l'intégrale d'une fonction rationnelle de sinAw et cosA?/, intégrale que l'on sait calculer.
En employant un langage géométrique, on peut dire que l'équa- tion (2) représente une conique, et que les formules (4) ex- jiriment les coordonnées d'un point de cette conique en fonctions uniformes de 11.
147. Intégrales elliptiques. — Considérons une intégrale de la forme
(5) J^i^,y)
dx.
où R(x, y) est une fonction rationnelle des deux variables x ely liées par la relation
(6) y = \/aoX'*-^ ^a^x-^ -^ ôa^x'-i- ^UzX -^ a^,
dans laquelle le polynôme sous le radical est du quatrième ou du troisième degré. Une intégrale de ce genre s'appelle une intégrale elliptique. Les intégrales elliptiques ont fait l'objet des recherches de Legendre, avant la découverte des fonctions elliptiques par Abel. Pour les calculer, on peut faire un changement de variable en prenant comme nouvelle variable u l'intégrale
(7) „=r^.
Les quantités x el y deviennent alors, comme nous le mon- trerons, des fonctions elliptiques de u et le calcul de l'intégrale (5)
INTÉGRALES ELMPTIQLKS. 235
est ramené an calcul tic l'inlcyrale d'une fonction elli[)tique, calcul que l'on sait faire à l'aide de la décomposition en éléments simples. En employant un langage géométrique, on peut dire que les coordonnées x et y d'un point de la courbe (G) s'expriment par des fonctions elliptiques de la variable u, ce qui [)ermet de trans- former l'intégrale (5) en l'intégrale d'une fonction elliptique.
lis. Premières réductions de l'intégrale elliptique. — Dans la fonction rationnelle R(.r, j') on peut toujours remplacer les puis- sances paires dey par les puissances du polynôme
/2— a^x''-- 4 aix^-T- (jciiX^-i- ^azx -h- a;,
et ramener cette fonction à la forme
P, Q, P,, Q, désignant des polynômes en x. Si l'on multiplie et divise par P, — QiJ^ ^^ remplaçant encore y- par sa valeur, on obtient une expression de la forme
R(^)4-^R,(^),
où R{x) et R((j:") sont des fonctions rationnelles de x. L'inté- grale I se partage alors en deux parties
I = fRi^) dx -^ Çy Ri ix) dx,
dont la première s'obtient immédiatement, comme l'intégrale d'une fonction rationnelle. Quant à la seconde nous l'écrirons, en multipliant et divisant l'élément différentiel par y^
-Six)
/'
dx,
y
S(x) étant une fonction rationnelle de x
II. — l'ORME NORMALi: DE LeGENDRE. INTÉGRALES DE JaCOBI.
149. Forme normale de Legendre. — On dit qu'une intégrale elliptique est ramenée ù la forme normale de Legendre quand la
236 CHAPITRE vn.
racine carrée j^ est de la forme
y ^- \/{i — x-){i — k-^x'^-),
où /. désigne une conslanle appelée le module. Dans les re- cherches théoriques, cette constante k a une valeur quelconque réelle ou imaginaire; dans les applications à la Géométrie, à la Physique, à la Mécanique, on peut, comme nous le verrons, la supposer réelle et moindre que l'unité.
La racine carrée j^ avant cette forme, voyons comment on peut calculer une intégrale de la forme
=/
y
à laquelle on peut réduire toute intégrale elliptique, d'après le paragraphe précédent. Actuellement on peut encore, par des pro- cédés algébriques, simplifier cette intégrale, en profitant de ce que y est la racine carrée d'un polynôme bicarré. La fonction rationnelle S(^) peut toujours s'écrire
où ê\. et iR( sont des fonctions rationnelles de x'-. L'intégrale
s'écrit alors
'S\.{x^)dx fx âli(x') dx
rSl{x^-)dx Ci
y
La deuxième intégrale se ramène immédiatement à une intégrale élémentaire par la substitution
x'-=z, qui donne l'expression
S^xi z)dz
J 2/(1-
z)(\ — k^z)
où le polynôme sous le radical n'est plus que du second degré en Finalement, on est donc ramené à l'intégrale
/
S^(x-) dx r, ^-, T--, — 7-
INTKGIl.VLES ELLIPTIQUES. i.'iy
Si l'on y fait le changement de variable
r'dT r'' dr , ,.
elle devicnl
/ cR(sn2{<) du,
intégrale d'une fonction elliptif|uc aux périodes 2K et ii¥J. Pour la calculer, il faut décomposer la fonction elliptique en éléments simples, en procédant comme nous avons fait au n° 50 dans une question qui, au fond, est identique à la question actuelle. On décomposera d'abord la fonction rationnelle de x-, <R(x-), en fractions simples
^ ^ ' X^- X* ^F^m
-i:[:
A
1 ^p-\
a {x- — a)- (a;- — a)/' |
où nous mettons à part les termes en x et en - quand ils existent;
la somme 2 est alors relative aux racines a qui sont différentes de zéro.
Faisant ensuite .3; = sn/^, on sera ramené à calculer les inté- grales des types suivants
(8) / sn'-udu, I sn'mdu, .... / — -—, •••» / ^n-"udu. J J J sn2« J
où /i est un entier positif ou négatif,
r du r du r du
J sn-u — OL^ J ( sn- Jt — a )- ' ' J (sn^jf — a)/''
OÙ a est différent de zéro. Ces intégrales sont faciles à obtenir par la décomposition en éléments simples.
On peut, par voie récurrente, ramener toutes les intégrales du type (8) à la première de ce type. Quant aux intégrales du type (9), elles se déduisent de la première en la différentiant |)ar rapport à a. De là l'importance particulière des premières inté- grales de chaque type. Nous allons les calculer.
•238 CHAPITRE Vil.
150. Intégrales de première, deuxième et troisième espèce, d'a- près Legendre et Jacobi. — i° On appelle intégrale de première rspcce linlt-grale
2° On appelle intégrale de deuxième espèce, Tinlégrale
' x"^ dx
«^0
y
qui devient, quand on y fait x = sn «,
r" k- I sn- Il du.
' 0
Cette intégrale, que Jacobi désigne parZ(«), a pour valeur (n° 100)
e7o) _ e'(u) " fc)(o) ~ e(M) *
Quand // augmente de aK ou de a/K' l'expression que nous venons de trouver pour l'intégrale de deuxième espèce éprouve des accroissements constants
.., .,.,re"(o) - 1
Le(o) sKK'J
que Ion appelle modules de périodicité de V intégrale de deuxième espèce. On en déduit la relation
KJ'_JK'= -.
o^ On appelle intégrale de troisième espèce l'intégrale
r^ dx
Jo (^' — a)r'
qui devient, quand on y fait .r = sn u,
Jg sn2 if — a où a est différent de zéro. Pour la calculer, déterminons un argu-
IXTÉCIHALES ICLLIPTIQL'ES. i-il)
ment (f par la condition
sn'^rt — a,
nous aurons à calculer l'inléffrale
r" du
I ô 5 — '
qui est donnée par la l'orniulc suivante établie au n" 100
, . snacnadna _ j U'(u~ a) i H'(«-^a) ©'(a)
sn-w — sii^rt -jt il (a — a) 2 li{u-ha) 6(«')'
d'où
'" sn^ cn(7 cln(7 (^/« \ ^ li(a — u) Q'(c)
1
/sna cna dna f/u i, ll(a — u) 6 (a'
sn-« — sn^rt -2 ^U{a-r-u) 0(«)
Si, dans la formule de décoïiiposition (10) on change a en a-r-iK', elle devient, d'après la relation
sn(i( -f- jK') =
A" sn i(
et la formule donnant H(// -^ /K') en fonction de Q{i/),
/<■- sn a en a dn a ?n- u _ 1 &'(i/—rt) i &'{u-^a) &'(a) i — k- ?n^ a sn- Il 1 6{n — a) 2 0(K-r-«) ©(«)
Pour désigner l'intégrale du premier membre prise de o à u, Jacobi emploie la notation !!( u, a) :
. ,. , r" sn^- udi U( u, a)^= K' snacna dna 1 7- — - —
sn- Il du
sn2«
I , e(a- u) e'(a)
= - Lofr — r -f- u -— •
■}. '^ &{a -T- u) 0 ( « )
4° Formule récurrente pou?' le calcul de 1 sn'-"urlu. — En calculant l'expression
fl r ^ „ 11
-7- rsn2"-3;f en u an u , du ^
et désignant, pour abréger, par s la fonction sn w, on trouve
( 2 « — 3 ) s2''-4 ( I — S2 ) ( I — A-2 j2 ) _ 5-2«-2 , , _ /,-2 52 ) _ ^-2 52«-2 ( , _ ^2 )
24o CHAPITRE VII.
OU en ordonnant
(in — 3)SΫ-i — (2/2 — 2)(l-f- A-2)s2«-2-+-(2/i — 1 ) A'- S"-".
En inlégranl on a sn^t-^ it en u dnu = (in — 3) / s-"-'* du
— ( •.>. /i — 2 ) ( l -h A-2 ) / s2«-2 du -h ( 2 /J — I ) A-2 ï s2« du,
formule qui permet de calculer toutes les intégrales / s-'^ du (que
/i soit positif ou négatif) en fonction des deux premières corres- pondant à /? = o, et « = I .
III. — RÉDICTION A LA FORME NORMALE DE LeGEXDRE.
loi. Cas d'un polynôme bicarré. — Soit l'intégrale elliptique
OÙ S(x)est une fonction rationnelle de x, el y la racine carrée d'un poljnome bicarré
y ^ \/ \.x* -r- 2Ba;2-i- G. On peut encore écrire, comme dans le paragraphe précédent,
onêi. et^fli sont des fonctions rationnelles de.r-. L'intégrale prend alors la forme
S>^{x'-) j r.rc!R,(3"2)
J^d.^f-^^-f
dx.
La deuxième intégrale devient une intégrale élémentaire par la substitution
X- = z.
Il reste donc à calculer l'intéffrale
a"-
-I
3i(x^-)dx
y
INTKGRAMCS ELLIPTIQUES. •;• .j r
SI l'on nes'aslrcinl pas à n'iiilroduirc que des éléments réels, celle inlé;j^ralc se ramène imniédialomenl à la forme normale de Lé- cendre. On a, en ellet. eu décoMjposanl le polynôme hicarré en f'acIcuiN
y = y/.V \/( a- — T^ )( ^^ — T- ),
y. el ,3 pouvant élre imaginairc^s. Si l'on fail ensuite
y = x'^/\^{i — zi){i — A^z-i). /' = !'
el l'intégrale devient
3v/Â./ v/(.
c^(a^-z'-)d2
elle est réduite à la forme normale de Legendre et on la calcule, comme dans le paragraphe précédent, en faisant
Alors on a
= sn (a, A
■r = a z = u. sn it . \/y.- — x' = y. en ii,
^/pi-j-i= ^v/i- /.■^-^= 3 (In M, y = a[il \/X cil II (In //,
-1= r.fl
I = — / A('x- i^n-ii) rlif.
lo'2. Réduction à la forme normale en quantités réelles, dans le cas d'un polynôme bicarré de la forme A{x--h 'x){:v--h 'i): A, a et 3 étant réels. — Supposons que l'on ait
y = /a a:* ^ i \i.r- -+- C,
A. M. C étant réels et 15- — \C positif: on peut alors écrire
y. el ,3 étant réels. Plusieurs cas sont à distinguer suivant les signes des quantités \. a cl ,3. Comme on peut toujours, devant le ra- dical, mettre \ =t A en facteur, on a pour j- les types suivants où a
\. ET L. i6
l^î CHAPITUK VII.
et b désigncnl des quanlilés réelles
(.1) J' = /(«" — T- ){b- — X- ),
(in y = \/{a'- — x^- )ix-i— b^ ),
tlll) r =/(«- — -r2)(a-2-t- 62)^
lIV) ^ = v/( .r-^— rt-* K-Ï-- -H 62),
( V ) J- =: v/(^2-i-rt2)(a72-l-62).
Voici, pour cliacun de ces types, une substitution réelle propre à ramener l'intégrale
=/
Si(xi)
y
dx
à la forme canonique de Legendre. Type I . — Soit
y =z y/( a- — X- )(b- — X-), a-^ b-.
La quantité y devant être réelle, JC- est extérieur à rintervalle rt-, b^. Deux cas sont à distinguer suivant que x- est inférieur à 6- ou supérieur à a-.
Premier cas : x- < b'-. — On fait x =i bz\ et l'on a
b^-
y
«6/(1 — z-){\ — k-z-), /i^ = — ; < 1
Le radical est donc ramené à la forme demandée avec un module réel moindre que Tunité. Faisant ensuite
^ = sn u.
on a
T = 6sn«, \/b- — x'^=bct\i(, \/a- — x-=adnu, y ^ ab en u dnu,
I = — I Siib'^ sn- u ) du. Deuxième cas : a;-> a-. — Posons
nous avons a
«2 a ,
y = ^- \/{l — ^2^(1 — /.-■s'^), d'X = — — dz,
/c'- =
INTÉGRALES E L L I PT I Q L E S. •.>.43
Le radical est encore ramené à la forme demandée, el en posant
z =z Sri //, on a
rt /—■ cnu /—- ;- lin»
j" = > v'-^ — a- = a — — j \/.c- — l)-—a ,
sn H sn« sn «
„ en M dnu
K = «- ; >
sn-M
Jyfn' II . — Soit
j = v/(a- — x-){x'- — b-), a-^ b-.
Pour que j' soit réel, il faut (|uc .r- soit compris entre a- et h-. Il suffit de faire
a- — x- = x'-, x'-<Ca- — b-,
pour ramener l'intégrale
à\.(x-) dx
J v/T^
x- < a-
x- ){x- — b- ) à l'intégrale
J vA«- — x'')(a- — b-—x'-) ipii rentre dans le tjpe I.
Type III. — L'intégrale
J ^(a^-—x^)(x-^—b-^)
se ramène de même au type I par la substitution
a- — :r2 = x-, cjui donne 1 intégrale
J y/ia'- — x'^ H«- -i- ^* — ^'^ ) Type IW — Lintégrale
/ dx^ x^'^a-,
J s/{xi—a^){x*-^b'-)
244
pou van l >'ôcrlre
I aÙ
ClIAPITRK VII.
A{x^-)
\a- x^ / \.r- b- 1
dx
— r ] X-
cst du tvpc III si l'on y considère - comme la variable. On la la- mèncra donc au type I par la siibstilulion
^'-
Type V. — Enfin l'intégrale
/,
-dx, a2> 6-
\/{x--r- a-){x''i- b- ) se ramène également au type T par la subslilulion
qui la transforme en
X- -+-«-= X
f
S{.(x'-^— o^-) dx'
v/(^2— a-)(a:'^— a^-i- 6-')
x"- > «2
lo3. Réduction à la forme canonique de Legendre en quantités réelles quand y est la racine carrée d'un polynôme du quatrième degré. — Nous allons montrer que l'on peut toujours, par une substitution réelle, transformer un poljnome du quatrième degré à coefficients réels en un polynôme bicarré de la forme
A(^2 + a)(.f2-i- ^),
A, a et j étant réels. On sera alors ramené au cas précédent.
On saitf[u'an polynôme du quatrième degré, à coefficients réels, peut être décomposé, au moins d'une manière, en un produit de facteurs réels du second degré. On peut donc supposer
y — \/C{x--h iinx -r- n)(x- -+- i[xj- -r- v),
(], m. n, a, v étant réels. Faisons x = -, l étant la nouvelle
variable, p ei q deux constantes. En substituant dans y et rédui- sant au même dénominateur, nous aurons sous le radical le pro-
I NTKO u M,i:s KLMPT lor i:s. 245
(liiil de deii\ Irinomes en /. Déterminons p el q de faron que ces irlnonies ne conlienncnl pas de termes du premier degré en / : nous aurons les deux équations
(11) |
i /'7 ~T- ni(p -\~ q) -{- n ~ 0, |
|
^ PI ^ 'MP-^1)-^'' ^ ". |
||
(|NI ( |
IddikmiI |
/i — -/ m ■/ — Il |
\x — m ' ^ \x — ni |
Les quantités p et fj sont donc racines d'une é(|uation du second degré; pour cju^elles soient réelles, il faut et il sufllt (|ue la f[uantilé
A = ( /i — •/ )'- — 4 ( a — m ) { m •/ — n a )
soit posilàe. Nous allons vérifier que, si le poljnome du qua- trième degré en x n'est décomposable que d'une façon en fac- teurs réels du second degré A, ai positif ; et que si celle décom- position est possible de plusieurs façons, ou peut toujours la faire de telle manière que A soit positif. En effet, appelons a, b, c, d les (piatre racines de ce polvnome, a et b étant les racines de X- -\- 2 m X -\- n , c el d celles de X--+- i\x.x 4- v. On a
im ■— — {a -^ h j, Il — ab, i\x = — ( c -t- d), v — cd.
Substituant dans A, on trouve
A = Crt — c)ya — d){b — c){ù — d ).
Si a, bj c, d sont imaginaires, a et b sont conjugués, c et d aussi ; A est positif.
Si a el b sont réels, c el d imaginaires conjugués, A est posilif.
Si les quatre racines sont réelles, on peut décomposer le poly- nôme du quatrième degré en x de trois façons différentes en deux facteurs réels du second degré : supposons qu'on ail fait la décom- position de façon que « >- />^ c > d; alors A est posilil.
Ainsi, dans tous les cas, après liulroduclion delà nouvelle va- riable /, )■ prend la forme
= -~ î^ (A, a, i étant recis);
^ (1 + 0
7.46 CllAIMïRK VII. — INTÉGR.VLKS ELLIPTIQUES.
et rinléiirale
''^<^a.r
devient
/
y
sf
p-hqt
{q-I» I ^ '"*"^ '=dt.
' v/A(/2-+-a)(r^ + p)
On la ranuncra à la formo canonique de Legendre par une des Iransforma lions indiquées dans le numéro précédent.
Remarque . — Si l'on considère x comme l'abscisse d'un point sur une droite, la détermination des valeurs de p et q revient à la recherche des abscisses des points qui divisent harmoniquement les deux couples de points ayant pour abscisses les racines des deux innomes
x- -{-'inix -^ n, x--{- •> \xx -\-v.
15i. Cas où le polynôme sous le radical est du troisième degré. — Si l'on a une intégrale elliptique
f
S(x)dx
y
avec
y = \/ax'^-\- 3bx'^ -h 3cx -h d.
on peut encore, par une substitution réelle, ramener cette inté- grale à la forme canonique de Legendre. Le poljnome sous le ra- dical avant toujours une racine réelle a, il suffit de faire
X — a = /-,
pour être ramené à une intégrale dans laquelle figure la racine carrée d'un polynôme bicarré en l.
^fais, dans ce cas, il est plus simple d'employer la forme nor- male de ^L Weierstrass, comme on le verra dans le Chapitre sui- vant.
CHAPITRE VIII.
lU'DUCTION A LA FORME NORMALE DE ^L WEIERSTRÂSS. LNVERSION.
\. — Le POLVNOMii: sous le radical est du troisilme degré.
155. Réduction à la forme normale. — Soit à calculer riiUégrale
rï\{x)d.r > , - , , , . . , ,
/ — — > OU A est un nolvnome du troisième cleffre
.1 S'^\ ■
Si nous effectuons dans X la substitution
nous pourrons disposer des constantes m et n de façon que le poljnome Z transformé de X soit de la forme
"■2 el ,^:i désignant des coefficients constants. On reconnaît immé- diatement qu'il suffit de poser
b
et
a/n^ = (.
On voit alors que l'on est ramené à considérer une intégrale
?>(z)dz
_ r ?>(z)dz
I
^3
S(c) désignant une fonction rationnelle de z. On dit qu'une in- tégrale de cette forme est de la forme canonique de M. VVeier- strass.
>i8 ciiviMT nE VI II.
Si 1 on pose ensiiilo
r " dz it = / ,- '
on on lire, en l'aisanl l'inversion,
- = p(«; c-?-2,^3),
ol linlégrale elli|)li([iio I devient
I = / S(p») du,
S(j3M)élanl une fonclion rationnelle de pu. On ealculera cette intégrale par la méthode de décomposition en éléments simples, comme on l'a expliqué au n"* 30.
Les périodes de la fonclion pu se calculent d'après les lorniules du Cha|)ilre VI.
loO. Remarques sur l'inversion. — iNous avons vu, dès le début de cet Ouvrage, que, si l'on construit la fonction pu avec deux périodes arbitraires ato et 2iu' de rapport imaginaire, cette fonc- tion z = pu vérifie une équation de la forme
^■> et gi étant des constantes définies en fonctio n des périodes par certaines séries. Inversement, étant donnée une équation de cette forme où g<^ et ^3 ont des valeurs déterminées choisies arbitrairement, on peut toujours construire une fonction _p(w; g2' gs vérifiant cette équation. Cela résulte, comme nous l'avons dé à remarqué au n" 34, de ce que la fonction du est re- présentée par une série entière en ?<, g2, gi convergente qiielles que soient ces quantités et que la fonction
j"'- If — -^ f/ n" Il
vérifie 'é qualion (1) quels que soient g^ et g-^.
Nous allons rappeler comment, g.;> et ^3 ayant des valeurs réelles quelconques, on p eut calculer une paire de périodes pri-
Il l':i) ICT ION A I. V F (111 mi: NOHMAI, L i)E .M. WIÎI ICRSTn ASS. >.\\}
iiiilivcs de pu cl vérllier (|tie la (onclion pu, conslriiilc a\cc ces périodes, salisfail bien à réqualion (i ).
Fkemieu cas : Dtscriiniiuinl positif. — Snj^posons que dans réqualion
du) ^ i^'-^^^-^:..
(I)
i;> el ^:t soient réels et que le discriniinanl du second membre A = ^ il — '*-~j 8~i ^^^^ positif. Les racines e,, ^^^ ^a sont réelles. Déterminons les valeurs to et (o' par les égalités
( \ )
,lz
y/i-'— à'â- — ^3
(o ' _ r ^ ' dz
V I - — Si-' -^ Si
de sorte que w el-r-sonl des quantités réelles et positives, <'l
construisons la fonction pu qui admet pour périodes primitives ■'. O), 2co'.
Cette fonction pu satisfait à une équation différentielle
latis lacjiielle Go el G3 ont des valeurs réelles rendant le discri- iiiiii;int Cil — ^-7^s |>o>itif. Il s'agit de démontrer que Ton a
G» = Si^ G3 = fr-i.
Pour cela, rappelons fjue les demi-périodes oj el ui' de la fonction pu peuvent se déduire des coefficients de l'équation différentielle vi'riliée par celle fonclion au moyen des égalités
r
dz
o/ _ r^' dz
' ~J-v., /4--' — GiS-^ô;'
en désignant par E| la plus grande et |)ar E;j la plus petite des racines du polynôme 4-' — Cj.,z — G;,. En com|)arant ces ex-
25o
CHAPITRE VIII.
pressions de to el de -r aux intégrales (2) et (3) qui ont servi de définition à ces quantités, on est conduit aux égalités
" » 2-
dz
'_,.3 v/4-^-,
gi -'-E
a_G,^_G3
-E, V 4 -^ G2*-+-G;
Mais, d'après le raisonnement fait au n" lil, les égalités pré- cédentes exigent que l'on ait
el, par suite,
Ei=ri. E., = 62. £3=63.
G2 = gi, G3 = ^3.
Donc ["équation dinéientielie donnée est vérifiée par la fonc- tion pu qui admet pour périodes primitives 2(0 et 2(0', co et -^ se
déduisant des coefficients de l'équation donnée à laide des inté- grales (2) et (3).
Deuxiîcmecas : Dlscruniaaiit négatif. — Étant donnée l'équa- tion difTérentielle
(-)= = ,._,.._,.
dans laquelle g^ 6t ^";t sont réels, et tels que Ion ait
nous allons construire une fonction pu vérifiant cette équation différentielle.
Soient e<i, la racine réelle, gj, 63 les deux racines imaginaires conjuguées de 4-^' — g-^^z — g■^^=■ o; posons
0J2= / .
8z
dz
puis
0)1 =
COo-T- (o!,
013= -^ =•
REDUCTION A LA FORMIC NORMALE DE M. WEIERSTRASS. 25 1
et construisons la fonction pu qui admet pour périodes primitives
2 0J, , 2 CO.),
Cette fonction pu satisfait à une c quation dilTérentielle
[du)
les périodes aW) , 2(03 étant imaginaires conjuguées, on sait que Gî et G;( sont réels cl que le polynôme 4-'' — ^^^ — G^ admri une seule racine réelle : soient Eo la racine réelle, E,, E^ les ra- cines imaginaires conjuguées de ce polynôme; de plus, on a
C
riz
Il s'agit de démontrer que Go et G;! sont égaux respectivement :"' ^i et g-i.
D'après ce qui précède, on doit avoir
dz r^" dz
■'.■, \/{z — ei){z — e^)( z — 1-3) '-'f..
v/(--Ë,)(2 — EOCs-Ks) cl
dz
</yz-^ei){z-^e.y){z-^es} J-v., v/( = + E,}(2 ^ E. )(s + E3)
Mais nous avons vu (n" 139) que ces égalités ne peuvent avoir lieu que si Eo, E,, E3 sont égaux respectivement à e-2, e,, e,^ et par suite si l'on a
Donc la fonction j)w que nous avons cons iruile avec les pé- riodes 2to,, 20)3 satisfait à l'équation dilFéren tlelle donnée.
II- — Lk POLYNOME sous LE RADICAL EST DU QUATRIÈME DEGRÉ. Pni-MIKR MODE DE RÉDUCTION OU l'oN NE SE PRÉOCCUPE PAS DE LA RÉALITÉ.
On a déjà donné n" 132 une méthode pour faire l'inversion de
/dz ...
- — -^^' — en se servant des fonctions de Jacobi. Mais, s/F(z)
CHAPITRE VIII.
pour appliquer celle niélhode clans le cas général, il faul ilocom- poscr F(r) en un produit de deux fadeurs du second degré, ce qui conduit à résoudre une équation du troisième degré. 11 y a intérêt à éviter cette question auxiliaire, surtout lorsque le |^<>l,v- nonie du quatrième degré F^^c) n'a pas ses coeflicients numé- riques et contient des constantes arbitraires, comme cela se pré- sente souvent dans les problèmes de Mécanique. Cette diniculté se trouve écartée quand on fait l'inversion en se servant des fonc- tions de M. Weierslrass.
157. Cas particulier. — Parmi les formes diverses que peut
prendre la formule daddition de la fonction j3m, nous avons ob-
liMiu la suivante (u" io)
I 0 / p' n — p'<'\
pu — p{it -T-V)= - — — •
■' ■• ^ X du \pu — pv J
Si donc on pose
(I)
/ =
1 p u — p V
2 P II — J-» t'
en lesrai'dant v comme une constante et t comme une fonction do u.
celte fonction vérifie l'équation différentielle / dt "^
Nous allons exprimer le second membre en fonction de l et v('- rilier qu'il est un polynôme du quatrième degré en /.
Dans tout ce qui suit nous rendrons les résultats plus faciles à retenir en emplovant une représentation géométrique.
(Considérons la cubique
y'-= '^.r■i — g.x — g^, décrite par le point de coordonnées
X = p u , y — )>' II,
cubique étudiée aux n"^ o8 et suivants. Coupons cette courbe \idv une sécante passant par un point fixe P de paramètre v et un point variable de paramètre «; le coefficient angulaire de la sé- cante est
p'" — ,P'''
,p u - p V
■11,
it i;i)LrTU):< \ i. \ ioumi: noumvi.i: d i: m. \v ici khstu ass. >.')3
cl le Iroisièmc point d iiih rscclioii a j)Oih' paramètre — (//-j-r) (n°60). Nous avons ohlcim dans le n" GO des formules (pi'ori peiil éerirc. en v reinplacanl /f par •>./,
I |w/ — j)r II ])(»-+- r)_j)(i'jj = ^(p\' — -j,(p\')-
CCS identités montrent que j) // — pv cl p(ii -\- i-) — pc sont r.i- eiiios d'une équation du second degré ayant pour coefncienls des polvnoines on t. \in élevant lu première au carré et en en relran- iliant le (piadruple de la seconde, on a
\pti — p( u -^ ly )]- = ( t- — 3pfj- — '-iCji"'" — >'( p' ^ ). cl I équation dinércnticlle rpie vérifie t peut s'écrire
en pillant
J\f) = (/2_ ■3j),.^2_,(j/',. _.>;jyp).
Les racines de ce poljnomey'f/) sont les moitiés des coefficients an^^ulaires des tangentes menées du j)()int Pà la cubique; en cflet. si t devient égal à une de ces racines, on a pu = p(^u -\- v)^ et la sécante de coefficient angulaire 2t coupe la cubique en deux points confondus.
En résumé, si t est défini en fonction de n par l'équation
au =
/ peut s'exprimer en fonction uniforme doublement périodique de it par la formule (i) et il en est de même de \'/{f), qui est é-iale îi , • On exprime ce résultat en disant (lu'on a résolu le pro-
bième de linversion pour le polynôme /{l)- Ce polynôme du <|ualrième degré en t ne renferme pas de terme en l^ et contient trois constantes arbitraires, qui sont l'argument v et les deux inva- riants ^2 <'l 0^3 de la fonction p.
Nous allons voir que, si le polvnomc sous le radical est un po- ix nome du quatrième degré qnelconf[ue, on peut toujours, après en avoir (ait disparaître le terme en t\ l'idenlilicr avec /(!)• Le
•254 cii.vi'iTiui: VIII.
cas particulier que nous venons de traiter nous donnera donc la solullon du problème de l'inversion pour un polynôme du qua- trième degré quelconque.
158. Le cas général ramené au cas particiilier précédent. — Soit un polynôme donné du quatrième degré
débarrassé du terme en t^. En Tidentifiant avec le polynôme /(/) du numéro précédent, on trouve, en vertu de 2 p"t^ =: i2j3-c — i,'^,
pt'=— ao. pV = as, g^_—3p-v = (X:,.
La dernière de ces égalités peut être remplacée par la suivante
g,= ai+ 3al,
cl Ton voit que les trois constantes pv, p' v et g2 se trouvent dé- terminées. La valeur de g^ peut se déduire de l'équation
elle est égale à
p'2(; = 4p3,,, _^2p(,_^3;
^3= aoXv— ag — 2^
On a donc, pour identifier les deux polynômes, les relations concordantes
pt'= — a,. p'^- = 3:j.
Ces relations définissent les deux invariants g.j et gs et 1 argu- ment constant v.
Si le polynôme donné est un polynôme F(c) renfermant un terme du troisième degré
F(.;) = ao-'*-r- 4«1 -^^-i- 6«2-=--t- 4«3- -H «1.
on fera disparaître le second terme en posant on a alors
nKDLCTION A I. A IH) K M IC N O U M A I, i; I) K M. W IC I K n ST R A SS . 05 (U"l
^2= 5 ' «3= r. >
^v'^'o — \ n '^ a i a 3 -h 6 no ri 0 a f — iai '^* — ï
«0
On trouve enfin, pour ^'j et i.'^, les expressions suivantes
. , S
fi"" = a, H- j aj z= —■ ,
«0
.^3= 0(2 a..— a.-— a;] = —, en posant
S = ao«i — 4^1 «3+3(75,
T = ao'^2«4-*- ■^«l«2«3 «î «0^3 «J «4.
Remarque. — S et T sont les invariants du poljnonie
ao «;'•-+- 4^1-3^-1- t> «2-'" -i- 4 <"'3^ -T- «4'
Si l'on caleule les valeurs particulières de S et de T pour le po- lynôme
fit) = t'*—^st-]^v -h \tp'v -H ^, — spn-,
on trouve g^ et g.:^.
On obtiendrait donc immédiatement les relations donnant g-, et g'x en égalant les valeurs des invariants des deux polynômes que l'on veut identifier.
Les expressions de pv et de p' v en fonction de «o? «i> (f-i-, d^^ a ^ s'obtiennent de même en remplaçant a^, as, à,, par leurs va- leurs; on peut alors énoncer la règle suivante :
159. Règle. — Soit F(:;) un polynôme du quatrième degré quclconcjuc
F( z) = «0-3* -i- liai z^ -h ùaiZ^-h i^asZ -h a,,
et soient S et T les fonctions suivantes des coefficients de ce po- lynôme
S = rto « V — 4 « 1 «3 ■+" 3 « ! ,
T = aja2«4^- iciiaiOi — a}, — aga? — af «4.
•>.56 CUAPITIIK VIII.
Si Ton prond k'S lonclions elliptiques ayant pour invariants
S T
et un aii^iunenl constant c défini par les égalités
a-, — a,, a..
et si l'on pose on a
P " =
^ + 1 .P " — P ^
pin
—=^ (lu
y/F(3J= \Ut,,\]Mt — p{ll -^D],
r/.s II r dz
"PXT) /'
u _ Ç dz
ce qui donne la solution du problème de l'inversion pour le poly- nôme du quatrième degré F(;).
A un point de vue géométrique, ces formules peuvent aussi s'interpréter comme il suit :
Si l'on considère la courbe du quatrième ordre
z = v/r\7i,
les coordonnées Z et r d'un point de celte courbe peuvent s'ex- primer en fonctions uniformes du paramètre u par les formules
- = _ ^ _u i P'"~.P'^ ,
Z = s/«u [pu — p{u-{-i>)].
III. — Inversion en quantités réelles. DiscnniiNANT positif.
1()0. Expression elliptique des racines d'un polynôme du qua- trième degré. — D'après ce qui précède, éteint donné un poljnome du fpialrième degré
si 1 on pose
F( 5) — «0-* + 4 (liZ^~- 6(1-2 --4- 4^3- + «^Ti,
«1 _4_ i. P " ~ P ^
RÉDUCTION A LA FORME NORMALE DE M. W El E RSTR ASS. 257
les invariants des fonctions elliptiques cl l'argument constant v étant convenablement choisis, le polynôme F(:;) prend la forme
F(-) = oolpu — p{u-hv)]K
Cette forme permet de trouver simplement les valeurs de Tar- gument u qui correspondent aux racines de F(^). Pour l'une de ces valeurs, on doit avoir
pu — p{u-\-ç) = o, ou bien
m et n étant des nombres entiers. On ne doit pas prendre le
signe -;-, puisque v n'est pas un multiple des périodes. En prenant
le signe — , on trouve
i> ,
« = h m (^) -T- n (j) ,
2
et il suffit de considérer les quatre valeurs suivantes de u :
«a = ' "i = i- to, «2 = -+- O) -f- w , »î = '- oj'.
2 2 2-2
161. Discussion relative à la réalité des racines. Cas où le dis- criminant est positif. — Nous supposerons dans ce qui suit que les coefficients de F(^) sont réels, de sorte que, lorsqu'on fait l'inversion, go et g^ sont réels. De plus, nous nous limitons pour le moment au cas où le discriminant est positif. La courbe
^ = P«, r = P'"
se compose d'une ovale et d'une branche infinie. Les valeurs de pv et p'c étant réelles, v est le paramètre d'un point réel de la courbe. L'une des périodes w est réelle, l'autre tu' purement ima- ginaire.
Les arguments Ug, ?^,, iio, 113 sont les paramètres des points de contact des tangentes menées à la cubique x = pic^ y = 13'/^ par le point de paramètre v; les valeurs correspondantes de
/ = i i''^^ — P'^ 2 pu — pv
sont les demi-coefficients angulaires des quatre tangentes, et l'on
A. ET L. i-j
•>.J8 CHAPITRE VIII.
voit, en se reportant à l'expression de z en fonction de u, que le nombre des racines réelles de F(;) est égal au nombre des tan- gentes réelles qu'on peut mener à la cubique par le point de para- mètre ^'.
Nous avons vu (n° 63) que les quatre tangentes sont ou toutes réelles, ou toutes imaginaires suivant que le point ç appartient à la branche infinie ou à l'ovale, c'est-à-dire (n" G3) suivant qu'on
a à la fois
pv>o, p"i>>o,
ou que l'une au moins de ces inégalités n'est pas vérifiée.
D'après la valeur de jdp en fonction des coefficients du poly- nôme, on peut énoncer ce résultat ainsi :
Dans le cas du discriminant positifs le polynôme F(c) a ses quatre racines réelles, si l'on a à la fois
ai — «o«2 > o, i2(af — ao«2)'" — Saj > o.
Si r une de ces inégalités n^ est pas vérifiée, le polynôme a ses quatre racines imaginaires .
Les quatre racines rangées par ordre de grandeur. — Dé- signons par
-Sq, -^i, Z2.1 -33,
les valeurs de z et par
^0) tx, t2, ts
les valeurs de t qui correspondent aux arguments
ll(,, lli, 11-2, «3-
Dans le cas où les quatre racines sont réelles, les quatre valeurs de z sont rangées dans le même ordre que les valeurs correspon- dantes de t.
Or on peut voir sur la figure (fig- 20) dans quel ordre sont rangés les coefficients angulaires des quatre tangentes menées du point P de paramètre v, en remarquant que chacune de ces tan- gentes n'a d'autre point sur la courbe que le point P et son point de contact. En supposant
O < p < 0),
on voit (fig- 20) que les valeurs de t sont rangées dans l'ordre
RÉDUCTION A L\ FORME NORMALE DE M. WEIERSTRASS. ■iS()
suivanl
to>h>f2>ti, et, par suite, on a
162. Inversion en quantités réelles. — Supposons que Ton ait
fait l'inversion de l'intégrale
/
dz
^F(z)
par la méthode des n°^ 1o8 et 159. Cherchons quelles valeurs de u l'on doit prendre pour que z- et y F(:;) soient réels tous les deux.
1° Cas où les quatre racines sont imaginaires. — Alors F(:;) est toujours du signe de a^. Si donc «o est négatif, \/F{z) n'est jamais réel en même temps que z. Si «o est positif, il suffît que :; soit réel pour que y/F (s) le soit, c'est-à-dire que
^^ i p'u — p'v 2 pu — pv
soit réel. Or, puisque les quatre racines sont imaginaires, le
26o CHAPITRE VIII.
point P, de paramètre r, appartient à Tovale. Si nous menons par ce point P une sécante de coefficient angulaire af, cette sécante rencontre toujours, quel que soit t, la courbe en un autre point appartenant à l'ovale et en un point appartenant à la branche in- finie. En d'autres termes, à une valeur réelle de t correspondent pour u une valeur réelle et une valeur de la forme rt + to', a étant réel.
Ainsi, quand les quatre racines sont imaginaires, il n^y a de solution que si a^ est positif; on doit prendre alors u réel ou u — lo' réel.
1° Cas oii les quatre racines sont réelles. — Le point de paramètre v est alors sur la branche infinie de la cubique, comme dans \ajiff. 20.
L'argument r peut alors être supposé réel et compris entre — m et 0) (n-^OS).
Nous ferons la discussion en supposant
O < p < OJ,
ce qui est d'accord avec la figure, et nous écrirons
les racines se succédant dans le produit suivant l'ordre de grandeur décroissante.
Soit d'abord rto>o- Comme z est supposé réel, pour que ^/F(:;) le soit, il faut que z- vérifie l'une des inégalités suivantes :
OU bien que t vérifie l'une des suivantes
t>to, ts>tyt2, t<ti.
Or le point P se trouve maintenant sur la branche infinie. Si nous menons par P une sécante de coefficient angulaire t et si l'on a
t y- to ou t <C ti,
les deux points variables d'intersection appartiennent à la branche infinie : les valeurs correspondantes de u sont réelles. Si l'on a
t3> t>ti,
RÉDUCTION A LA FORME NORMALE DE M. W E I E RSTR AS S. iSl
les deux points variables d'intersection appartiennent à l'ovale et, pour chacun d'eux, i/ — lu' est réel. Ainsi, quand a^ est positif, on doit prendre u réel ou bien u — oj' réel. Soit maintenant cIq << o, on doit avoir
^o>/>/3 ou /■.>^>^.
Si l'une ou l'autre de ces inégalités est vérifiée, la sécante menée par P et dont le coefficient angulaire est 2 1 ne rencontre plus la courbe; les abscisses des deux points variables d'intersection
pu, p(u-i-v)
doivent être imaginaires conjuguées. Or, si nous posons u=a-\-bi, (i et h élant réels, la formule d'addition montre que p(a -{- bi) et p[a — bi) sont imaginaires conjugués; il faut donc que l'on ait
p(i' -h a -+• bi) = p(a — bi) OU bien
p -;- « -f- 6; — ~(a — 6/)-i- amco -f- anw',
m et n élant des nombres entiers. On ne peut pas prendre le signe +, car, en égalant les parties réelles, on trouverait
V = 2 m 11),
ce qui n'a pas lieu; on doit donc prendre le signe — et l'on a, par
suite,
V -i- la = 1 m (M -{- 2 nbi' ;
n doit être nul, puisque v cl a sont supposés réels, et l'égalité peut s'écrire
V
a — i- /nw,
où il suffit de considérer pour m les valeurs o et i .
Nous trouvons donc, comme condition nécessaire, que u doit être de l'une des formes suivantes
K = — -h ib, if — h (ii -^ ib,
b étant réel. Nous allons vérifier que cette condition est suffisante. On voit d'abord que, si u a l'une des formes précédentes, l est
•262 CHAPITRE vm.
réel. En effet, on a, d'après l'inlerprélallon géométrique de t, comme demi-coefficient angulaire de la sécante,
t = - " -^ Ui= — (u-hV).
■2 pa-pui Si
<' ■/
M = h 10,
2
u et «, sont imaginaires conjugués; il en est de même de pu et de pii{, puis de p' u et de p' U{ : donc t est réel. Si
M — - -^ M -^ ib,
1
— h o) -4- jy 2
^ -7
î/i-l-2tu=— - -HO) — 10.
2
Donc pu et j3?/, d'une part, p' u et p'wj, d'autre part, sont ima- ginaires conjugués, t est encore réel. Dans les deux cas, la sécante de coefficient angulaire 2^, menée par P, rencontre la cubique en deux points imaginaires. Il faut donc que l'on ait
to>t>t3 ou t-2>f>ti-
Donc enfin, pour une valeur de u de l'une des deux formes consi- dérées, z et s/F(z) sont réels tous les deux.
Ainsi, dans le cas où les quatre racines sont réelles et où a^ est négatif, on doit prendre u -^ — ou bien u -{ di pure- ment imaginaire.
La démonstration a été faite en supposant o << c -< to. Le résultat est encore vrai si ç est compris entre o et — w.
163. Résumé. — Le discriminant étant positif, si l'on veut que z et \fF{z) soient réels tous les deux, la forme de l'argument u est donnée par la règle suivante :
1° Les quatre racines de F{z) sont imaginaires. — Si «0 est
RÉDUCTION A LA FORME NORMALE DE M. WEIERSTRASS. 263
positif, on doit prendre // réel ou bien ii — to' réel; si «o est né- gatif il n'y a pas de solution.
2° Les qualité racines de F(:;) sont réelles. — Si «o est po- sitif, on doit prendre u réel ou bien u — lo' réel. Si <7o est négatif,
on doit prendre u -i- - ou bien ;/ -i to purement imaginaire.
Ces cas i" et 2° sont les seuls qui peuvent se présenter quand le discriminant est positif.
IV. — Inversion en quantités réelles. Discriminant négatif.
16i. Racines de F(c). — Soit, comme précédemment, le poly- nôme du quatrième degré à coefficients réels
F(.3) = ao^*-T- 4«i-^-l- 6«2-''-^ 4«3- -^ «;•
Les quantités ^2 et ^3 étant calculées comme plus haut en fonction des coefficients de ce polynôme, nous supposons maintenant le
discriminant ^2 — "^1 ë\ négatif.
Nous désignerons, comme au n° 132, par w, et (03 un couple de périodes primitives de la fonction p, périodes que l'on peut sup- poser actuellement imaginaires conjuguées
2Wi=aj2 ^2! 2 W3 ^ COo-i- w'., ,
too désignant une quantité réelle et to^ une quantité purement imaginaire.
On voit immédiatement, comme au n" 160, que, si l'on pose
les invariants de la fonction jd et l'argument constant v étant con- venablement choisis, les racines du polynôme F(-ô) correspondent aux arguments
l> V (' V
M„ = , «1 = r-Wl, «2 = ^W) + W3, iij = — - -f- 0)3.
2 2 2 2
Nous supposons que les coefficients de F(^) sont réels; alors les quantités qui ont servi à définir jDi' et p'(> sont réelles, et Ton peut toujours supposer v réel et compris entre — coo et Wo.
■i64 CHAPITRE VIII.
On voit donc que F(:;) a deux racines réelles correspondant
«0= ' llo = -T- w,,
et deux racines imaginaires conjuguées correspondant aux argu- ments
V -+- tOo w'o — t^ -I- Wo -f- lo'o
«1= : -, «3= : =•
'2 2
Si l'on considère la courbe
précédemment étudiée (n° 142), on sait que cette courbe n'a pas de points réels en dehors de la branche infinie représentée sur lajig. 19. Le point P de paramètre v est un point de cette branche. Par ce point on peut mener à la courbe deux, tangentes réelles. Les demi-coefficients angulaires de ces tangentes sont les valeurs que prend le rapport
f^ l p'u — p'v^ 2 pu — pv'
pour u = Ua et u = Woj valeurs que nous désignerons par ^o et to- Dans la discussion qui va suivre nous supposerons
o < p < C02 ; on voit alors sur la ^^. 19 que l'on a
et l'on en conclut
I60. Inversion en quantités réelles. — Cherchons quelles va- leurs de u il faut prendre pour que z et y/F (5) soient réels tous les deux. Comme on a
¥ {z)= ao{z — z^){z — Zi){z — zi){z ~ Z3),
et que Zi et ^3 sont imaginaires conjugués, il suffit, si z est déjà réel, que l'on ait
i" Supposons d'abord que «o est positif : il faut que z vérifie
RÉDUCTION A LA FORME NORMALE DE M. WEIERSTRASS. '.>.65
l'une des inégalités
z::- Zo ou 3 < Zi
et par suite que t vérifie l'une des inégalités
/>/o ou t<f2;
une sécante, menée par P et dont le coefficient angulaire est égal à 2t, rencontre alors la courbe en deux points réels.
Donc si <7o est positif, on doit prendre u réel.
1° Supposons maintenant que «o est négatif; t doit vérifier la double inégalité
ti<t<tç,;
la sécante, menée par P et dont le coefficient angulaire est égal à 2^, ne rencontre plus la courbe. Les abscisses des points va- riables d'intersection
doivent être imaginaires conjuguées. C'est cette condition qui, dans le cas actuel, va nous déterminer la forme de u.
Posons u=ia -^ bi, a el b étant réels p(a + bi) et p{a — bi) sont des quantités imaginaires conjuguées : on le vérifie à l'aide de la formule d'addition. On doit donc avoir
p{v -^ a -f- bi) = p{a — bi) et, par suite,
V -h a -i- bi = ±(a — bi)-{- 2maji + 2/10)3.
Prenons d'abord le signe — ; l'égalité devient
la -\- V = 2 m wj + 2 « 0J3
Comme a et ç sont réels, on doit avoir n = m, et l'égalité résolue
par rapport à a devient
i>
a = + niwo ;
2
il suffit de donner à m les valeurs o et i. Pour m = o, « H — est
' 2
purement imaginaire. Pour m =^ i , u -\- - est égal à une quantité
•266 CHAPITRE VIII.
purement imaginaire augmentée de tOj. Mais ce cas rentre dans le précédent si l'on remarque que (n° 133)
' Réciproquement il est facile de vérifier que, pour un argument u de la forme
Il = \- lO,
où b désigne un nombre réel, t est réel et compris entre /q et ïo- En effet, puisque 2 t est le coefficient angulaire de la sécante allant du point P dont le paramètre est v au point dont le paramètre est u, on a
Si l'on prend
on a
1 P « — P "1 / \
2 pU — pUi
10,
1
Ui= — ( — ~ ib) = ib,
2 / 2
et l'on voit que pu et pUi d'une part, p' u et jj'm, d'autre part, sont des quantités imaginaires conjuguées. Donc t est réel. De plus la sécante menée par P et de coefficient angulaire 2 t, rencon- trant encore la courbe en deux points dont les abscisses sont des quantités imaginaires, t est nécessairement compris entre ^0 et t^- Donc à une valeur de u de la forme considérée correspondent
des valeurs réelles de z et de y'F(^).
Nous avons choisi le signe — dans l'égalité exprimant que pu elp[u-\-v) sont imaginaires conjuguées. En choisissant le signe + dans la même égalité, on serait conduit à des arguments pour les- quels jdm et p{u + v) seraient bien encore des quantités imagi- naires conjuguées, mais ne rendant pas réels ;: et y/F(x;).
Ainsi, quand «0 estnégatij , il faut prendre u -1 — purement
V
1 imaginaire.
nÉDUCTION A LA FORME NORMALE DE M. WEIERSTRASS. 267
166. Résumé. — Pour que c cl ^/F(^) soient réels tous les deux :
Quand «o est positif, il faut prendre u réel ;
Quand r/,, est néyalif, il faut prendre «H — purement imagi- naire.
V. — MÉTHODE DE M. HeRMITE.
167. Méthode générale, — M. Hermite a donné le moyen de ramener à la forme canonique adoptée par M. Weierstrass une in-
/dx -— dans laquelle X désigne un polynôme général du v/x
([uatrième degré. Nous indiquerons, à titre d'exercice, cette mé- thode dont nous n'aurons pas à faire usage. Soit
X = aox'*-\- \aiX^-^ 6aoa"2-i- 403^ -f- «v un polynôme et H le hessien de ce polynôme,
H =(ao«2 — a\)x'*-h i{aQa3 — aia^)x^
Si l'on pose
on aura
'=--r
r dx _ r d\ J v/x" j \/W^^
s et T désignant les invariants du polynôme X S = «0^4 — 4«i«3-*- 3a|,
Pour s'en assurer, il suffit de substituer ^ dans l'intégrale du deuxième membre et d'admettre l'identité suivante, facile à vérifier quand le polynôme X est bicarré,
x.[,(_0'_s(-^)_t].,.,
en désignant par 4J le jacobiendos polynômes X et H "* ' dx dx
•i68 CHAPITRE IX. — RÉDUCTION A LA FORME NORMALE, ETC.
Cas particulier. — Ainsi on vérifiera aisément que l'on a
f- — '-
ma72-4- I
en posant
x'* -\- 6 m x^ -\- i X
Cela résulte des identités
(II-™X)(H^!^X H+'"±ix
9
(gms— 1)2
[cc(x^--hi){x^--\)y',
1 /„ dH rjà\\ 9/n2— I
CHAPITRE IX.
APPLICATIONS DIVERSES TRAITÉES AVEC LA NOTATION DE xM. WEIERSTRASS.
I. — Courbe élastique plane et sans pression.
168. Mise en équations. — Nous avons déjà traité celte question au n" 126 à l'aide des fonctions de Jacobi ; nous allons la reprendre en nous servant des fonctions de M. Weierstrass et nous en pré- parerons l'application au cas du prisme droit chargé debout. On |)Ourra, de celle façon, comparer les deux systèmes de notations en les appliquant à un même exemple.
L'équation qui donne la forme de la courbe élastique dans la position d'équilibre contraint el qui a été obtenue au n° 126 peut s'écrire avec un changement de nolation
i=2G
y
p «==
C désignant un coefficient positif et a la mesure d'une longueur que nous laisserons arbitraire. Ces constantes sont liées à la con- stante c employée au n" 126 par la relation
On trouvera, à la page suivante, un Tableau de formules que Ton passera à une première lecture : ce Tableau donne le résumé des formules établies dans ce paragraphe.
CHAPITRE IX.
Tableau de formules. (Courbe élastique plane et sans pression.)
p a-
— — = — siuO -7- = sinU,
as- as Q
cl d
as a-
y ,
as / \ a-
(0
(2)
(3)
(4) (5) (6)
il)
(8)
(9)
i cl oc V "
(10) et (i i) j— = ^ — 3<?) = p ii + p(f< -}- w.>)— ae-i,
a du a-
(pi< — e2)[p(ii-H 102)— e2] = (ei— e2)(e3— ^2),
(p«< — e2)-H[p(«-i-w2)— 62]= ^ — 3^2, -ZeA — 4(^2— ei)(e2— e3) = [p(?<-+-w2) — pî<]2= ^(^j ,
r2 D\2
«== G / C2 C^ \ ds
a du = Ci f/5.
(12) (i3) (i4) (i5)
(16) (•7)
— = i\X.u -\- ^(a-f-co2)-i-2«<e2]+const.,
C02 , .
a dt ^ Ça ds,
-^^Y.[~ -^u)-t[^-^ -^t)\-.e.J,
y
•2 / 0J.7 . \
y—yo ^ i
a 2
J^ ~
p(i'0— p Y
APPLICATIONS Dr VEnS ES. 27 1
169. Intégration par les fonctions elliptiques. — La relation (i) peut cire considérée comme une équation différentielle du second ordre de la courbe. Nous allons intégrer cette équation. En dé- signant par s l'arc de la courbe compté à partir d'une origine fixe et par 0 l'angle de Ox avec la tangente supposée menée dans le sens qui correspond aux arcs croissants {/ig- i4) P- 184), on a
^^ A ^y ■ n
-- = cosO, -f- = — sinO.
cfs as
De la première égalité l'on déduit, par différentiation,
d-x . . dd
' f- = — sinO -7- j as- ds
puis, en remplaçant sinO et ^ = - par leurs valeurs,
d- X (] dy
ds- a- ds
Intégrons, ce qui donne
dx ^ y- ^ ds a-
D désignant une nouvelle constante, et portons l'expression ainsi
obtenue de ,- dans la relation ds
dyy- _ /dxy
:tsj -'-[tts) '
il vient
170. Inversion. — En remarquant que le polynôme du cjua- trième degré dont on veut faire Tinversion est bicarré, on est con- duit à appliquer de la façon suivante la méthode donnée au n" 157.
Posons, en adoptant les notations du Chap. VI, § 1,
(4) •''- ' "■" •
a •! p u — Co
on sait que l'on a
(5) (p« — e2)[pf«-4- wo)— e.>] = (<?2— C|)(e2 — 63),
(6) {pu — e.i)-\-[p{u -^ iMi)— e.\= ^ — Scj
•272 CHAPITRE VIII.
et, par suite,
(7) (^-3e2y-4(e2-e,)(c2-e3) = [p(«i + t02)-p«]-^=^(gy.
Pour identifier le poljnome du quatrième degré qui forme le premier membre de celte égalité avec le second membre de l'éga- lité (3), nous mettrons cette égalité (3) sous la forme
et il nous suffira ensuite de poser
^ =4(eo— e,)(<?2— ^3), — = — ^62= ei— e-î-h 63— €2.
On voit que e, — eo et e-i — Co sont les racines d'une équation du second degré dont le discriminant est
é(D--.).
Nous nous bornerons dans tout ce qui suit au cas de D2<^ i. On reconnaît aisément que cette inégalité doit être vérifiée si la courbe présente un point d'inflexion, comme cela a lieu pour le prisme droit chargé debout : en effet, pour que p puisse devenir infini, il
faut que y puisse s'annuler sans que -y- devienne imaginaire,
c'est-à-dire, d'après (8), queD- — i soit négatif. Cette hj-pothèse correspond au premier cas du n° 126. Alors, <?o étant réel, d ele^ sont imaginaires conjugués; on peut prendre, comme périodes pri- mitives de la fonction pw, deux quantités imaginaires conjuguées : nous les désignons par to, et (O3 et nous conservons les notations du§I, Chap. VI.
Ayant ainsi identifié les premiers membres des égalités (7) et (8), nous avons
«2 \du I G- \ cls 1
et par suite
(q) ^ a du = Ci ds,
APPLICATIONS DIVERSES. 273
en supposant convcnahloiiienl choisi le sens dans lequel l'arc v est compté.
Dans l'égalité (2) remplaçons ds par ^.dii et -r par sa valeur
— i<'2, il vient
(10) _ = ^ _3e2
a du a-
et, en tenant compte de la relation (6),
. . i dx . .
On a immédiatement Tintégrale du second membre et Ton trou\e (12) — = fT!I« -I- !!(«< -(- a).>)-i- 2 «e-îl -h const.
171. Nature de l'argument. — Voyons comment doit varier a
I :; —;^
pour que j' 6t 1 / 1 — (C=^ ~^ ^ ) ^0'*^'^^ tous les deux réels. La relation déjà établie
a du = Ci ds
montre que u est nécessairement imaginaire. Posons
u = h -+- it,
h et t désignant des quantités réelles. On a trouvé, en faisant l'inversion,
,_(c£ + D)'=-g(|:^'=-cn,u.-p(.^.o,)].,
et il en résulte
^i-(c-^-^Dj'^iC[p{h^U)-p(i^,^h
il)].
D'après cela, p^M.,-}- h -i- it) doit être la quantité imaginaire conjuguée de p[h -h ii)-, on doit donc avoir
p ( ojo -T- h — i( )= p{h — it ) et par suite
C02 -i- A 4- it — lii ( A — it)^ i. m Wj -i- 2 n loj, \. KT L. 18
•;i74 CHAPITRE IX.
m cl II désignant des nombres entiers. Si l'on prenait le signe +, h disparaîtrait et / ne pourrait varier d'une manière continue. En prenant le signe — , l'égalité devient
•?. h -+- w-, = m ( w.> — 10 2 ) -t- /t ( (02 -T- w 2 ) :
le premier membre étant réel, il faut que n =^ m et l'on trouve alors
/i = — 1- m Ml.
'1
Il suffit de donner à /n les valeurs o et i . Pour m = o, ?/ H
■X T-, tOo . ,
est purement imaginaire, rour /?? = i , « -{ = n est plus purement
imaginaire; mais ce cas se ramène au précédent, à cause de la for- mule
p(ii-t- W2) = p(i'. H- W'2).
On aura donc, en résumé, à prendre pour // des valeurs de la forme
(i3)
it,
L étant une variable réelle.
Remarquons de suite que l'égalité
a du = Ci ds devient
(«4)
dt = Cds.
172. Expressions de .r et de j^. — Remplaçons u par sa valeur- en fonction de t dans les relations (12) et (4); il vient
•iCot,
en supposant l'axe des y choisi de façon que j' = o pour ^ = o, puis
(ifi^
y
Mo
P'\- -T-^'f
p( — — -+-ffj-pOJ2
Cette valeur de y peut s'écrire successivement en se servant des
APPLICATIONS DIVERSES. 9-75
relations (65) et (6|) du n" ii
^ = '(/'-¥)-'('-'-t)-^.
P' |
(02 |
|||||
.y |
— .To |
■?. |
||||
a |
Ui-, |
|||||
i |
{in |
-P |
X |
('7)
A, j'o désignant des constantes et y^ étant la valeur que prend y pour / r= o.
173. Intervalle dans lequel il suffit de faire varier /. — En tenant compte de la périodicité des fonctions de l qui figurent dans les expressions de x et de y^ cherchons dans quel intervalle il suffit de faire varier la variable réelle /.
Quand on change < en ^ H } -, y ne change pas, a: augmente
de la quantité constante \h définie par l'égalité
(ï8) - = tCoa-t- <'2"-»'2)= '(^-3— ■';i-H ^2^2),
où l'on a posé
'Il = ^(wi), ■r^■^= ^(103).
Il suffit de faire varier t de t^-A /o+ ^^^- Si Ton change t en — /, y ne change pas, x change de signe. Donc si l'on faisait
variera de ^à h --, la branche de courbe ainsi obtenue serait
symétrique par rapport à Oj^; il suffit de faire varier f de o à -^«
On peut encore restreindre cet intervalle; soient ?, et t-^ deux
Il 1 • ''^'^
valeurs de l avant pour demi-somme — =.
■ii ' ' ' li ' '
soient ^1 , j^( ^Xx-i^y^ les coordonnées des points correspondants, on a
Vi -(- y-) = {). -(xi + x.->)= h.
■i
27G CHAPITRE IX.
// t'ianl la constante définie par l'égalité (18). Donc, si l'on faisait varier t de o à ~ ■> la branche de courbe ainsi obtenue aurait pour centre le point j' = o , x = /i : il suffit de faire varier / de o à — . • Considérons les points de la courbe qui correspondent aux. va- leurs extrêmes de cet intervalle (o, — . j. Pour i = — 4on aj' = o d'après la formule (16) et
d'après la formule (lo). Ce poinljv' = o, x = h est le centre dont nous venons de constater l'existence. Ce point est en même temps un point d'inflexion, comme cela résulte de la formule
Pour i = o, on a :r = o etj)'=j^o- Clierchons la tangente au
point correspondant de la courbe. Si l'on fait 11=^ -f- it dans
les égalités ( j) et (i i), elles deviennent
, , \ dv .r /wo . \ /w> . \"1
(■9) â^t='\^\'t-V-''\^'^'')v
r d.r [ oj., . \ /coi . \
(20) -_=p(--^+,,j + p^_^./j_,,,=^.._3.,.
Ody I d.r , , , / w., \
n voit que, pour t^o^ -—■ est nui et -j- est égal a lip— — P'^i)^
quantité plus grande que zéro. Donc la tangente est parallèle à O.r, c'est-à-dire à la direction de la force élastique ; de plus, comme Oy est un axe de symétrie, le point correspondant à ^= o est un sommet.
17i. Construction de la courbe. — Supposons maintenant que l croît de o à — ^ • A cause de l'é"alité
G ds = a dt,
APPLICATIONS DIVERSES-
v va conslammcnl en croissant. L't'îralilé
277
r—vo
, Mo
p(in—p
b)2
inonlrc ([110 )■ va sans cesse en décroissant; nous avons déjà re- marqué (|ue y pari de jko pour arriver à zéro; il en résulte que yo est positif et que la valeur absolue dej>' décroît constamment. Pour voir comment varie x reportons-nous à l'égalité (20) qui
r/r
donne la valeur de-^-- Puisque la valeur absolue de i' va sans
(h
cesse en décroissant, il en est de même de -^- Pour / = o, la va-
af
leur de -j- est positive; pour t= -^, y étant nul, -r- est éiral at ^ ' Il ^ ' dt "
à — 3^:». Donc si l'on a c-,<Cio^ ~/7 ^^^ constamment positive, si
dx . ^ Ion a ^2^ O: —fj décroît constamment depuis une valeur positive
jusqu'à une valeur négative et change une fois de signe dans l'in-
lervalle (o, — ". j- En faisant varier t au dehors de cet intervalle,
on a des arcs de courbes se déduisant du précédent par symétrie par rapport à Oy et par rapport à des centres situés sur Ox avant pour abscisses dt /i, ±2/1, . . . , rt /)h.
Nous pouvons maintenant reconnaître la forme de la courbe en supposant successivement que Co est négatif, nul ou positif.
Fig. 21. Fig. 22. Fig. 23.
Ces trois cas conduisent aux formes des /(g. 21, 22 et 28. Dans
■>78 CHAPITRE 1\.
\ii Jig. i4 (l), p. 1S4, on a représeulc seulcinenl un arc tel que l'arc a\ ba^ de \ajig. 21. Dans ces nouvelles figures nous suppo- sons l'axe Or liorizontal.
II. — PlUSME DROIT CHARGÉ DEBOUT.
ITo. Énoncé de la question. — Une verge élastique droite, dans son état naturel, est encastrée verticalement à l'une de ses extré- mités Mq. L'autre extrémité M, supporte un poids P. On demande la forme de la verge élastique dans la position d'équilibre.
Ce problème est un cas particulier du précédent. Dans le cas actuel, il n'y a pas de couple appliqué en M, : le moment fléchissant
en ce point, - est donc nul, 0 est infini; le point Mi est un point
d'inflexion. Au même point M) la force élastique est directement opposée au poids P : elle est donc verticale et dirigée de bas en haut. En Mo, d'après la façon dont la tige est supposée encastrée, la tangente est verticale, et par suite parallèle à la force élastique. D'après ce que nous avons vu n° 173, le point Mq est un sommet tel que a {Jig- ^^ i , 22, 28).
On pourra donc prendre les valeurs suivantes du paramètre t :
t = o, pour le point Mo,
/ = (on-T-i) — T> pour le point Mi, ■il
Il désignant lui nombre entier et positif. Soit / la longueur de
Parc MoMj ; puisque ds = p <r/^, on devra avoir
/ m -T- I oj'.,
(')
a ( j 11
Écrivons maintenant que la force élastique est égale et direc- tement opposée au poids P et rappelons-nous que, en mettant le problème en équation, nous avons posé (n" J26)
j^ _ aC _ T
iSous trouvons comme nouvelle condition
T. 2BC
APPLICATIONS DIVERSES. 279
carT, qui csl conslaiil loul le long de la fibre ninjeune du prisme, est ici égale à l\
176. Nombre de solutions. — Enlre les deux égalités (i) et (2) éliininous n et rcinphirous C par sa valeur
- = .iy/ie,— ei)(e.2— es),
nous trouvons la condition
(3) P/^ = (2/i-i-i)'B(' Y)V(e2-ei)(e.2-e3)
qui ne dépend plus que des éléments elliptiques et des données numériques qui définissent l'expérience. La discussion de cette égalité nous conduira au nombre des solutions du problème. Cette égalité peut s'écrire
/' 4P^- /2w;\2 /.
Or, nous avons vu (n" 138) que l'on a
/• ', étant une quantité réelle comprise entre o et i , et p ajant pour valeur
p =\/{ei — ei)[ei—e.i),
comme on le voit en multipliant membre à membre les expressions de f-, — c, et e^ — e-^ du n° 138. Le deuxième membre de l'équa- lion (4 ) est donc le carré de l'expression
IJ
df
0 \/\ — /«."7 sin-ti
qui est supérieure à 1, car elle croît constamment de i à cx) (juand /, ,- croît de o à i . D'après cela, l'équation de condition (4) donne pour /,',- une seule valeur comprise entre o et i si l'on a
ïiiAn -r- I)'--- ^ '
•i8o CHAPITRE IX.
ou bien
Si donc — {/ T^ est compris enlrc (av + i) cl (2v + 3), en faisant successivement
1,9-,
on aura v équations en A'," admettant chacune une racine comprise entre o et i et, par suite, il y aura v positions d'écpiilibre. Si l'on a
^V
B<
il n'existe plus de valeur de A'," comprise entre o et i ; il n'y a plus de forme d'équilibre autre que la ligne droite. Dans ce cas, le prisme droit chargé debout est en équilibre stable.
I II. — COIRBE ÉLASTIQUE PLANE SOIS PRESSrOX NORMALE UNIFORME.
177. Énoncé et mise en équation. — Il s'agit de trouver la figure d'équilibre d'une verge élastique qui dans son état naturel était de forme rectiligneou circulaire et qui est soumise à l'action de forces définies de la façon suivante : A chacune des extrémités de l'élastique agissent une force et un couple; en outre, sur chaque élément de l'arc agit une pression normale à l'élément, contenue dans le plan de la fibre moyenne et proportionnelle à la longueur de l'élémenl. Pour se représenter ces données, on peut considérer une chaudière cylindrique et la verge découpée dans la surface de cette chaudière par deux plans perpendiculaires aux génératrices du cylindre et très voisins l'un de l'autre. Ce pro- blème a été résolu par M. Maurice Lévy.
Soient Fq et Mo la force et le moment du couple qui agissent sur la verge à l'une de ses extrémités Aq. Si l'on coupait l'élastique en l'un de ses points A il faudrait, pour maintenir l'équilibre, intro- duire une force et un couple. Soient F la force et M le moment du couple. Pour définir avec précision la pression sur un élément d'arc, comptons sur la courbe Tare s à j)artir d'une origine fixe dans un sens déterminé et rapportons la courbe à deux axes reclan-
APPLICATIONS niVKRSES. ./Si
giilaircs Ox et O)'. Soient s, Tare (|ni corresjDond à un point A, tie la courbe, ds, un f^lémcnt d'arc compté à partir de ce point, a, l'angle que fait Ox avec la tangente en A,, cette tangente étant menée dans le sens où l'arc va en croissant.
La pression qui s'exerce sur l'élément c/Si a pour intensité/? ds,, p désignant une constante : nous la regarderons comme positive
lorsqu'elle s'exerce dans le sens a, + - de sorte que ses projec- tions sur les deux axes sont
p dSi cos I ïi -i- - |> /» «t/ai sin ( aj — - j,
ou bien
— p dsi s'm%i, /> r/ij cosai, OU bien
— P^lyx-: P Clxi.
Exprimons que les forces agissant sur l'élément Ao-V se font équilibre.
rSous écrirons d'abord que la somme des projections des forces sur chacun des deux axes est nulle. Nous avons, en désignant par X, Y les projections de F, par Xq, Yq celles de Fq,
Y -;- Vo — //? dx, = o.
Ces égalités peuvent s'écrire
(,) ^^-^ p(y-b),
( V =-p{x —a),
en désignant par x, y les coordonnées du point A et par a cl h des constantes. Elles expriment que la perpendiculaire menée en A à la direction de la force va passer par un jKjint O' de coordonnées a et b, qui reste fixe «juand on fait varier la position du j)oint A. Ce point se nomme ceiilre des forces élastiques.
Nous prendrons ce point O' comme nouNclle origine en trans- portant les axes parallèlement à eux-mêmes. Alors les projections de F deviennent
^=py, ^ = ~p^,
■>.8î CU.VlMTRi; I\.
ol son luomcnl par rapport au point O' est
.r Y — j' X = - /) ( .7-2 -^ r i ) z= _ pr"- ;
on a ainsi l'intensité et le sens de la force F.
Nous allons écrire maintenant que la somme des momenls par rapport au j)oint O' est nulle. D'après la théorie de l'élasticité, le moment M du couple qu'il faut joindre à la force F pour avoir l'action exercée en A sur l'arc AqA est donné par la formule
(2)
iM
G
ni désignant un facteur constant et positif, o le rayon de courbure en A dans la position d'équilibre considérée, c'est-à-dire —.-^ po le ravon de courbure au point A dans la position naturelle.
D'autre part, le moment de la pression s'exerçant sur l'élé- ment c^5,, ayant pour coordonnées ^,, y,, est
pi^i dxi 4- J'i dyi ) = p —^ ;
les moments de la force et du couple correspondant au point Ao sont des constantes. On a donc, en écrivant que la somme des moments des forces appliquées à l'arc AqA est nulle,
m[ — ) — pr- 4- — / dr] = const.,
OU, en modifiant la valeur de la constante,
(3)
m [
Po
p,--
pr
=■ const.
L'égalité résolue par rapport à - est de la forme
(4)
- = 4 A/'2-i- 4 B,
P
A el B désignant des constantes. En particulier A= — -^ de sorte
° ' 1 m
(|uc A est positif; B peut avoir un signe quelconque ; les coefficients numériques ont été mis pour simplifier l'écriture dans les calculs suivants.
Cette égalité peut être considérée comme une équation diflé- rentiellc définissant la courbe élastique
APPLICATIONS I) I V K n S F, S.
•a83
178. Taijlkal I)i; formules, i Courbe clastiqite sous pression normale
constante.)
(0 •3)
(fi) (7)
(8) (D)
(10) (M)
= 4 A' ' -1-46,
as !
'('Il/
/■ dr — 2 A /--H 2 B,
A r' -r- •< 15 r'- -t- C , ^/.fî =- dr"- -■- r"- dO ^ ,
I /dr^Y
(A/-i-f-2B/-2+ G)2,
M _ A/''^2B/-2+C ds r-
2 p f/ - p C
\ ,P"<-— Î-P'l" = '^[,P« — P»^][P(« -M')-P''J,
/ z'-— 3j)P =[p« — pt'] + [p(« -4-t') — pt'], (i2) Z - (52— 3pt-)^— 2(jy'r — 2jpV) = [p« — ,p(«-- r)]^ (i3) 2(p"r — 2^j)V) = /'-^
(i4)
ji -^ V =
j) t^..
2Â
:>]-)V =
R5- \C
iGA " • 2A' '"'■ A
on supposera o < t^ < w, pr > ^i, pV < o, p"r ;^ (
(i5) /■2_,A/'--B/-2-C)2--[p«-p(^^--r)l^ = -(^y,
(16) r/«
i_ds_ ■ip'v'
(17) A/-' -f- aB/--^- C = [p i< — pv]~\p{u ■^- V ) — ptî],
. rfO p'(^ pV
(18) (19)
(■il)
du pu — pv p{u^v) — pv
■}.i ~i- — U u -\- V ) — Liu — V) — iiv du '
-*- ^(«-4- 2 1^) — liu) -—■}.'Cv,
It,
( 22 ) • /-' = l^p ^ ^ -i- àj - p ij [r(^- ^() - P '' J >
•.»84
c n v iM T n li: i x .
179. Intégration par les fonctions elliptiques. — Nous allons daboril élahlir une lovnnilc donnanl le rayon de courbure d'une courbe définie en coordonnées polaires
p r dr
On a, en elTel, en désignant ]>ar a l'angle de la tangente avec
Ox :
r- dO = .r dy — )' dx,
d() r- -j- = X sin a — y cosa,
ds
d / dQ\ , . ^d^L
ou enfin
dx dv\ \ dr I
ds ds / p ds p
(5)
cm
■ ' ds) ~d7-
D'après celle formule, l'équation différenlielle de la courbe peut s'écrire
(G)
dri
= 2 A /•- -+- 2 B .
(7)
En intégrant et en désignant par C une nouvelle constante
.dH
ds
= A7-1-+- 2B/-2— C.
En élevant au carré les deux membres de cette égalité (■j) et en nous servant de la formule
ds'-= dr^--{- r'-dO'-, nous pourrons éliminer clH. Nous trouverons ainsi l'équation
(8) i/^y'=,.2_(ArV+2B/-2+C)2,
(jui définit /- comme fonction elliptique de l'arc s. L'angle Q est ensuite déterminé par la formule
^9)
M _ A/-^+ 2B/-^+G ds ~ i-^
.VPIM.ICATIONS DIVERSES. 9.85
On clc(iniL ainsi les coordonnées polaires/' el 0 d'un poinl de la courbe en fonclion de la variable s. Le calcul efifeclif est dû à Halphen.
180. Inversion. — On a vu, en ctudianl l'inversion (n" lo7), (jue si l'on pose
■2 pu — pV
on a
\ p'i' -■î^p'v = :y[pu — pi>][p(u^i')~pi>], I z-^—3pv=(pu — pv)^[p{u-r-v) -pv],
de sorte que
(1-2) Z ={z^- - 3 pvy-— -yi p" i' ~ -2zp' i>} = [pu -p(u-^v)]\
et par suite :; et y/Z s'expriment en fonction uniforme de u. Si l'on pose
(13) ■î(p\' — ■>.zp'v)= r'^,
le polynôme Z se ramène à la forme
(A'/-'^2B'/-M-C')2— /-î,
et pour identifier ce polynôme en /- avec celui qui donne
— - ( -y- j (é{[. 8) il suffit de poser
A'=A, B'=B, C'=C. Le calcul n'offre aucune difficulté et l'on trouve
_ ,1' *'
ou, en résolvant par rapport à j3t', jdV, j:)"r,
(.4) p--=7g7v' ^^^■=-^' ^^^^'==— 1— •
Si, dans les relations (jui exislenl entre j^r, pv etjj'r. on rem- place ces quantités par leurs valeurs tirées de (i4) on aura g.^ et ^':j. Nous supposerons les données choisies de façon que le discrimi- nant soit positif; les valeurs de j^v et de p'i' sont réelles puisque A est [)osilif et l'on j)eut arbitrairement chui^il• le signe de j)'r. iNuus
•iStî en A PI tri: i\.
examinerons sculemcnl le cas où r satisfait à la condition
de sorte (jue 1 on a
o < r < to,
pv>ei, p't'<o, p"r>o.
Les éléments elliptiques étant ainsi fixés, on a, en tenant compte des égalités (12), (i3) et (10),
( 1 5 ) /-ï — ( A /-v — •> nr'--hCy- = -[pu-p(ii -V )J 2 .
11 en résulte
'■'-'■^'■'-^■^"'•'-c)'=-(^f'
Mais le premier membre est égal à - ( —j- ) d'après l'équation dif- férentielle de la courbe (éq. 8) : le second membre, d'après la re- lation ( i3), est éiral à — ( -r- ) —r- — r;— ; on a donc ^ ^ ° \ au / ibp -ç
(16)
dit =
ids
■>.p'v
Cette égalité montre comment est liée à l'arc s la variable u que
nous allons garder comme variable indépendante.
Nous avons déjà/*- en fonction de w au moyen des relations (i3)
et (11); pour avoir 0 il suffit de remplacer/-- par sa valeur en
fonction de u dans le second membre de l'équation (9), c'est-à-dire
dans
A;-t^>.B/-2^C
On a d'abord, en tenant compte des relations (i3) et (i4)i A/-*— 2Br2-^ C =(^2_ 3pt^); j)uis, en se servant de l'une des relations (1 1), {17) A;'i-->.B/-2-^G = i^pu~pv)^[p{u-\-v)-pv].
11 est facile mainlenant d'obtenir en fonction de // Texpression
APPLICATIONS DIVERSES.
, dO
de -^ ; on trouve siicccssivcnicnl au
o-i cif) _ ( pu — pv)-^-\p(u-^ v) — pv] p'v du ~ {pu—pv)\p{u-hv)-pv]
( 1 8 ) il = ■' ■ •'
du pu — pi' p(u-hv) — pv
OU, d'après la formule du n" ii
.r/0 (19) — ^'^-^- = C(«-i-<')— l(.ii — i')— ?-b(' + r(« + 2r)- H^u — i^c.
Nous avons ainsi /- cl 0 en fonction de u. Réunissons ici les deux équations correspondantes, en appelant E une constante :
( r'- = ^(p u - pv )[p(u -^ v)— pv], / ^ ) , I ds
^"^'^^ { ,-,ftni r^ . f :fiicf(u — i') du = — ^ •
[ j{u-i-i'):f{u-\- -n')
181. Nature des arguments. — L'expression (16) de du ou fonction de <:/5 montre que u est certainement imaginaire. D'autre part, pour que /•- soit réel, il faut (jue les deux facteurs dont le produit donne /•'- soient ou tous deux réels ou tous deux ima- ginaires conjugués; voyons s'ils peuvent être réels. Si une valeur imaginaire de u rend pu réel, elle est, à des périodes près, de la forme ix ou co + ix, x étant une valeur réelle; mais les valeurs de cette forme ne rendent pas réel J3(m + v) ; elles sont donc à rejeter. Il reste à exprimer que pu el p{u + v) sont imaginaires conjugués. Soit u = a -\- bi. D'après la formule d'addition donnée (n" io) pour la fonction pu, les deux valeurs p{a -\- bi) et pia — bi) sont imaginaires conjuguées : il faut donc que l'on ait
u -^ V — dr ( « — bi) -r- i m m -+- a n to',
m cl n désignant des nombres entiers, cl en égalant les parties réelles dans les deux membres
a ^ V = ± a -~ 1 niiù .
On ne peut pas prendre le signe -}- puis<jue r n'est pas un nuilliple de .i.(.<y\ il Ïm\{ donc que l'on ait
■la -.- i- — innà,
■J.8S CHAPITRE IX.
ce qui donne
(• (• a = ou rt= t-to.
Nous examinerons seulement le premier cas et nous poserons
V
(■21) u = if,
t étant une variable réelle; de sorte que l'on aura
du = — i dt,
et comme on a trouvé (éq. i6)
, i ds
du = — , j
on a aussi
dt ^ T" ds,
•2J) V
p V étant négatif, dt a le même signe que ds.
182, Intervalle dans lequel il suffit de faire varier t. — La première des formules (20) montre que /■- ne change pas quand
1 / 1 • 2w' T-,,, c?0
on change 11 en u -h 2w ou bien ^ en / H • U autre part -j- est
une fonction rationnelle de /- ; il en est de même pour — - Il en lésulle que, pour une valeur donnée de dt^ la valeur de <:/9 ne change pas quand on change ^ en / H r- et, par suite, que 1 ac- croissement de B est le même quand on fait varier / de o à t^ ou
Lien de ^^-r- à ^ h^i • Si donc on a construit la branche de courjje
i i
obtenue en faisant varier i de o à ^^r- et si on la fait tourner d'un
i
angle égal à l'angle des rajons extrêmes, on aura la branche de la
, 1 , . , . , '2 0)' , 4 U)'
courbe décrite quand t varie de — a — .— • 1 i i
D'après cela, il suffît de faire varier ^ de o à ^^; mais on peut restreindre cet intervalle En faisant « = 1- ;7 dans l'ex-
APPLICATIONS DIVERSES. 289
pression Je /•- on trouve
(2'i ) T "" [^ (S "^ ") ■" ^' 'J [^ A^ ~ '7 ~ ^' J '
et l'on vérifie aiscmcnl que /- prend les mômes valeurs pour
w' , U)' ,
/■ = -^ + /i et pour /.. = -- — h.
D'autre part, pour un même accroissement dh les accroisse- ments dti et t/t^ sont de signes contraires; les accroissements correspondants d^i, et c/Oj sont égaux et de signes contraires
puisque ~j- ne dépend de t que par l'intermédiaire de /-. Donc
les accroissements que prend 0, quand on fait varier t de -^ à — -]- h
puis de — à -7- — /j, sont égaux et de signes contraires. La courbe
est symétrique par rapport au rayon qui correspond a / = — , et il
suffit de faire varier / de o à ^-•
i
183. Variation de /•-. — En tenant compte de la relation (i3) entre r^ et ;, on a
dr'^ , , dz , , d (^ P'" — VÎ V
du du du\>. pu — pif
ou bien
'du =-îP'^[j^(""^'')~J^*'']'
, (' et, comme on a pose u = — ; it,
Cherchons les valeurs de t qui annulent le second membre. Pour l'une de ces valeurs, on doit avoir, à des périodes près.
Le signe — est à rejeter, puisque v n'est pas un multiple des périodes, et par suite
•2 et = 1 m tu -f- '2 /i OJ
A. ET L.
ï9
ago CH.VPITRK IX.
m cl n désignaiîl clos nombres cnlicrs. Comme il esl piircmenl igi
imauinaire
// = /?co';
les seules valeurs de / apparlenanl à l'inlcrvalle (o, -V j qui an- nulent — j- sont donc les valeurs extrêmes.
Clt
Pour reconnaître celle de ces valeurs qui correspond à un maxi- mum, prenons la dérivée seconde
dt
r--4p^'[p'(j + 'v) + p'('-'-^)].
Pour / = o, le second membre se réduit à — Sp'cjj'-; il est négatif
puisque r et - étant compris entre o et w, jd <• et j3 - sont tous les deux négatifs; c'est donc t = o qui correspond au maximum. /■- décroît constamment quand Marie de o à — • Nous désignerons j)ar /'l et r] les valeurs de /- qui correspondent à / = o et à /= -V •
184. Variation de l'angle polaire. — Dans la formule
as
remplaçons ds par — ip'vdl, elle devient
^0
■ip V
dt
= A/-
2B/-
C;
le trinôme A/-'H- 2Br-+ Cases racines réelles, puisque, d'après l'une des relations (14)5 ^^ — B' est du signe de pr et que j3c est positif. Voyons d'abord combien ce trinôme a de racines com- prises entre /'^ et /'^.
L'égalité (17), où Ton remplace a par 1- ;V, devient
\ /-^ -h 2 B r2 -H G = p / - H- i'i j -i- p ( ; it\
•>JM'.
APPLICATIONS DIVERSES. 29 1
,-, P . . .10'
L,n V laisanl succcssivcmonl / = o nuis / = . on Irouvc
1 ,
A r'i -^ ■>. B ri + C ^- >. i^p -—p v j ,
La (lifTércncc _p ^ pr est positive, puisque pu décroît, quand
// croit de o à (o ; la difFcrence pi- — hw'j — jjr est négative,
puisque p( — \~ to' j est compris entre fo et ^u et que pv est plus
grand que t'\. Donc r'I et r'\ comprennent une seule racine du trinôme.
Quand / varie de o à— > /•- décroît constamment de /;; à /■',
-T- change une seule fois de signe. Comme A est positif et p'c né- gatif, on voit que Ton a
1 ' • i^^\ /df)\ , , , dO . ,
en désignant par ( -7- I et ( -^ ) les valeurs de -j- qui correspondent
i
I80. Angle des rayons allant à deux sommets consécutifs. — Il nous sei'a utile, pour étudier la forme de la courbe, de connaître l'angle des rayons correspondant aux valeurs extrêmes de l'inter- valle (o, -7- ) dans lequel nous faisons varier t] cet angle est la moitié de raccroissement que prend 0 quand / varie de o à— r-- Nous allons faire le calcul en supposant que l varie de /^ à ^0+ - •^*
Dans la formule (19) qui donne -y-» faisons u ^^ //
cl du ^^ ^ idl\ nous obtenons, en tenant compte de ce que "^u est une fonction impaire
(23)
dt
29^
CIIAPITnE IX.
raisons maintenant varier t de /q a ^oH — et désignons par 20
l'accroissement de 0, nous aurons
(24)
Le second membre se simplifie beaucoup, si l'on se sert d'une formule à laquelle nous serons conduits en cherchant à évaluer
une intégrale de la forme
dt.
■X étant une quantité réelle telle que 1 on ait
o < a < aw. i î fonction sous le siçrne somme est la dérivée de
l'intégrale définie est
Log:r(a -T-iV);
- Lo'j: :
l 3'(rt -1- <^u j
D'après la relation (a'î) du n" 21 on a ^{a-h ito-h 210')
'(a + itu)
— — ^2r,{rt-t-/7(,+(i)'i
ei, par suite,
3'('a -r- j7o-i- 2C0') ^ [^a -r- llQ )
n étant un nombre entier qui n'est pas déterminé par le calcul précédent. On en conclut
(2.5)
I X,{a + it)dt = ~a+{in^i)- ~ ^(IIq-^ w').
APPLICATIONS DIVERSES. 29^
Dans celte égaillé changeons / en — i en remarquanl cjiie ^
el -.- sonl réels, il vienl i
(•26) / Ç(a-//)rf^= ^«+(2n -4-1)7:- ^(iVo+o/),
puis ajoulons membre à membre les égalilés (ao) el (2G), nous oblenons la formule (ju'ii s'agissail d'élablir
(27) - / ' [tia-h i()+i:{a — i()]dt ='^!-a-i-{in -+-i)tz.
Mais il resle à déterminer le nombre entier n. Celle délermlna- tion esl facile quand a ^ lo. En effet la fonction sous le signe
somme est égale à
P " .y
JH«J — jn«0
pour <7 = C)j, elle se réduit à 2^o>, c'est-à-dire à ir\\ l'égalité précé- dente devient
2
-. ( r, to' COTj ' ) = ( 2 « -t- I ) TI,
el l'on en conclut n = o. Mais quand a varie d'une manière con- tinue entre o et ato, le second membre de l'égalité (27) varie d'une manière continue, n ne peut changer. Donc n = o pour toute valeur de a comprise entre o el ato, et par suite l'on a
(28) \^J [Ua^it)-i-T^(a-U)]dt = ^a-hT.,
[ o < a < iu).
En appliquant la formule précédente à chacune des deux inté- grales qui figurent dans l'expression de 'j/, nous trouverons enfin
t}y ^ t:— -.(oj'l^i' — vri').
Cette égalité va nous permettre de trouver le signe de <h.
Remarquons que, pour t» = oj, -]/ esl nul à cause de la relation
>94 cuvriTHi-: ix.
T,w' — (jir/ ^= — ; puis cherchons comment varie 'l quand v croît (le o à (<). On a
cette dérivée décroît constamment quand v croît de o à to; pour t' ^ Cl) elle est égale à
^((?,(0 ^7) ).
Or nous avons trouvé (n" 99)
et l'on voit que l'on a
— (Tt
/? = I, 3, 5,
. (eiw'+ r/)> o.
Donc -7^ est positive pour v = lo et comme c'est une fonction
décroissante dans l'inlervalle (o, co), elle est constamment positive dans cet intervalle. Il en résulte que <l croît quand v croît de o à O), et comme 'h s'annule pour c = w, on a
'il < o, quand o •< f < to.
Si nous comparons maintenant le signe de 'li et celui de (-77)»
nous voyons que, quand / croît de o à ——, l'angle 0 commence par
croître mais que sa variation totale est négative. Nous avons
trouvé d'autre part que -7- s'annule en changeant de signe pour
une valeur et une seule de l'intervalle ( o, —^ \ : soit t' cette valeur ;
la discussion peut se résumer ainsi :
t croissant de o à t' , Q va constamment en croissant; pour t^=t'
1 < I 1 • 1 / > 2 w
le rayon vecteur est tangent a la courbe; t croissant de t a^?
l'angle B décroît plus qu'il ne s'était accru quant t variait de o à /'. 186. Signe du rayon de coiu'bure. — On a trouvé en commen-
APPLICATIONS DIVKRSES. 9-95
<;anl (éq. \) l'égaliu'-
0
le second membre est égal à deux fois la dérivée prise par rapport à /•- du trinôme A/-' 4- 2B/--i-C, et d'autre part il résulte des calculs faits pour l'inversion [formules (i3),(i7) et(i i)] que l'on a en même temps
et
Dérivons par rapport à /- les deux membres de la dernière égalité
ilr- 4P V
On en déduit, en remplaçant ; par sa valeur (10) en fonction
de //,
1 I p' u — p' V
P ~ -^JJ'*^ Pii — P^
Voyons comment varie le signe de - quand t varie de o à aoj'.
/■- va sans cesse en décroissant, A/ - -f- B ne peut s'annuler qu'une
fois; il nous suffira donc d'avoir les signes des valeurs de - pour
?
/ =: o et pour ^ = -.-; nous désignerons ces valeurs par— et — :
^ i ° ^ ?0 ?1
pour l = o
p — 1- p p
U = ) — = X — >
■i po V ip V
lu'
pour / :— — ' l
2 ' Pi /V ,\ 2p'P
Les valeurs de - et de — peuvent se simplifier si l'on se sert de la relation
,P""l _ p'Ul-+- p'{2Ui)
p'ih pui — p{iui)'
9.96 CHAPITRE IX.
que l'on déduit de la formule d'addilion
y' a — p' iii _ ]•)'» + p'(h -t- Ui)
pu — pui ~ pil — p(lC-hUi)'
en V faisant tendre // vers ?/,. ATaide de celte relation, on obtient
(' étant compris entre o et co, p'v et p' - sont négatifs, p" - positif; donc on a déjà
I
- >o.
Po
D'autre part, p' i - + oj' j étant positif, — est de signe contraire à
Cette quantité peut s'obtenir en substituant pi- — \- m \ dans le polynôme du second degré en pu
I2(p«)- — ^2,
et Ion trouve aisément que Ion aura
P"(^+w'j<o, si V satisfait à l'inégalité
Mais on peut poser
«étant une quantité réelle comprise entre o et — (t'o//'p. io3, n" 1); l'inégalité (3o) peut alors s'écrire
PL; + w'j>j3(a-h co'),
APPLICATIONS DIVERSES. 9.(,7
Cl comme p(t( -t-to') croît constamment quand a croît de o à o), elle peut être remplacée par la condition
- > a.
2
I |
>o, |
1 pi |
<o, |
I P^ |
>o, |
1 pi |
>o. |
Il faut donc, quand on étudie le signe de la courbure, distinguer les deux cas suivants, en remarquant que (« + w') désigne l'abscisse du point le plus baut de l'ovale dans la cubique v = p it ,
V <. 7.a
V. a < p < w
Il se produit une inflexion de la figure d'équilibre quand v passe en décroissant par la valeur 2 a et il est facile de voir que l'in- flexion se produit au point donné par à t = -^- En efl'et, la va- leur correspondante de u est
10 = — a — o),
■>,
et la valeur correspondante de la fonction p, savoir
p(a-f- w'),
est, d'après la définition même de «, racine de p"(a), de sorte que — est égal à zéro, dans le cas particulier ç ■s= :ia.
187. Forme de la courbe. — Nous avons supposé que c satis- fait à la condition o<t'<<io et, dans l'étude de la courbure, nous avons été conduits à distinguer deux cas suivant que l'on a
r < 2a ou (' >■ 7. a. Dans les deux cas, t croissant de o à -^-> l'arc s va constamment
298 CHAPITRE IX.
en croissant, le rayon vcclcur va constamment en décroissant et les rajons extrêmes correspondent le premier à un maximum et le second à un minimum; l'angle 0 commence par croître jusqu'à une saleur /', pour laquelle le rayon vecteur est tangent à la courbe, |)uis décroît jusqu'à une valeur initiale.
Pour ce qui regarde la courbure, si ç >> 2a la courbure ;t- est
constamment positive, l'angle a correspond au sens dans lequel a* croît; c'est précisément le sens dans lequel l'arc de courbe est
décrit (piand t varie de o à ~; le rayon de courbure est compté à partir de la courbe dans le sens a -h - •
Si i'<<2rt il V a une inflexion et si r diffère peu de 2a le point d'inflexion est dans le voisinage du sommet qui correspond
to' a t =z -^. i
On a alors les deux formes de la courbe, représentées par les
fig. 24 et 20, dont la première correspond à t'>>2«et la deuxième
à i'<;2«. On a représenté par un trait plus fort l'arc décrit
quand t varie de o à — » on a marqué par une grande flèche le sens
de la pression normale, et l'on a tracé aux points a et b des flèches dont le sens indique la direction de la réaction exercée par la verge. Ce sens est opposé à celui de la force extérieure qu'il fau- drait appliquer pour maintenir l'équilibre (Halphejv, [). 220).
Fiî
Fi£
.1 ^
Sens de la pression normale. — En mettant le problème en équation nous avons supposé la pression comptée dans le sens
"v .+ -; elle est donc du coté de la convexité dans le voisinage du
APPLICATIONS DIVERSES. 299
rayon maximum et, s'il v a in(lc\ion, du cùlé de la concavilé dans le voisinage du rajon niinimum.
IV. — Surfaces iiomofocales. Coordonnées elliptiques.
188. Surfaces homofocales à un ellipsoïde et passant par un point donné. — Étant donnés trois axes rectangulaires Ox, Oy, O z, on appelle sur/aces homofocales à un ellipsoïde
X- Y- -'^ a- b- c-
Ics surfaces représentées par l'équation
a- — s b- — s c- — s
I = o,
dans laquelle s désigne un paramètre variable.
Si l'on considère celles de ces surfaces qui passent par un point donné P(j:o, j'oj ^o) O" '^j pour déterminer les valeurs correspon- dantes du paramètre .s, i'éfpialion
a- — s b- — s
Les racines de cette équation se séparent aisément en substi- tuant dans le premier membre des nombres voisins de a-, 6-, c- ct des nombres très grands en valeur absolue. Les signes des ré- sultats de la substitution et les places des racines sont indiqués par le Tableau suivant, dans lequel s désigne un nombre positif et
très petit :
a- < b- < c-.
Signes . . . Racines. . ,
62- s b"-
C-—-. C--i-E
Il y a donc trois surfaces homofocales à l'ellipsoïde et passant par le point P. La racine À donne un ellipsoïde réel, la racine 'x un hyperboloïde à une nappe, la racine v un hjperboloïde à deux nappes.
30() C 11 A P I T R K IX.
Les trois surfaces liomofocales à 1 ellipsoïde qui passent par un point donné se coupent ortliogonalcment en ce point.
Soit P(x,v. :■) le point donné, les normales aux deux sur- faces X et |JL qui passent par ce point ont des cosinus directeurs proportionnels à
a- — A
X y
a'^ — [j. 0- — [x c- — |JL La condition pour que ces normales soient perpendiculaires est
^2 yi -2
Or, en retranchant membre à membre les deux égalités
y- z-
a- — (i. b"'
o,
o,
et en supprimant le facteur \ — pi, on trouve la condition qu'il s'agissait de vérifier. Donc les deux surfaces \ et [j. se coupent orthogonalement au point P. On peut répéter le même raisonne- ment pour les surfaces A et v, ou ^ et v. La proposition est donc démontrée.
189. Coordonnées elliptiques. — On peut déterminer un point P de l'espace en se donnant les valeurs )., ui, v des paramètres des trois surfaces qui sont liomofocales à l'ellipsoïde donné et qui passent par ce point; A, [Ji, v se nomment les coordonnées ellip- tiques du point P. Nous avons déjà vu comment s'obtient l'équa- tion qui donne X, [Ji, v quand x, r, z sont donnés. Calculons maintenant x^ y, z en supposant )>, [x, v donnés.
Dans l'identité
x"- y"- z^- (s — l)(s — [x)(s —v)
a- — s ' b- — s c- — A- {a- — s }{b'^ — s){c'' — s)
chassons les dénominateurs et faisons tendre s successivement
APPLICATIONS DINEUSES. 3o I
vers a-, (/-, c- : nous trouverons
^_ ( a'- — l)( gi— iJi)( a'- — ^j) " {a^-—b^)(a^—c^) '
^ ' (^2— a''-}(b'^—c*-) _, ^ (c2-X)(cî-iJL)(c2-v) ^
190. Longueur d'un arc infiniment petit. — Prenons les dérivées logarillimiqucs des deux membres des formules ci-dessus
dx d\ d\x di
X À — a- ;x — rt- V — a-
dy d\ d\i. d'i
y À — b- \x — 6- V — b- dz dh d-x d'/
' z X — c- ;jL — c^ V — c^
el portons les valeurs de clx, dy, dz ainsi obtenues dans la formule
ds- = dx- -i- dy- -i- dz'^,
nous obtiendrons l'expression de ds- en coordonnées elliptirpies
ds'- = L2 dl'- -r- M'^ dix'- — \2 f/v2,
L-, par exemple, étant définie par l'égalité
r- V'- z-
{a'-—Af- {b- — A)^ (c^— A)2
La valeur de 4L- s'oijlient en |)renant les dérivées par rapport à s des deux membres de l'identité
X- y^ z- (s — l)(s — [x)(s — '/)
a- — s ' b- — s c- — s (a- — s){b^ — s){c'- — 5;'
el en faisant ensuite 5 = ). ; on trouve ainsi
(X — u)(X-v)
4L2:
{a'-—l){b-i-l){c^—'/.) On a donc la formide , (X-hl)(X-v)
_^ (|x-X)(.a-v) ^^^^, ^ ^;-X)^/-,u) ^^^,
3o2 CHAPITRE IX.
191 . Les coordonnées )., a, v remplacées par des arguments ellip- tiques. Les coordonnées cartésiennes s'expriment par des fonctions uniformes de ces arguments. — Les valeurs de x, }', :; en lonc- lion de A, a, v conlienncnl desquanlilés irrationnelles par rapport à À, u, v; ce sont les valeurs que prennent les radicaux
\/a2 — s, ^b- — 5, \'c- — s,
quand on y renijilace s par A, a ou v. Mais nous savons que, si Fou considère une l'onction pu et les quantités d,, e^, e-^ correspon- dantes, chacun dos radicaux
V^ji u —Cl, v^ji a — e, , v^J"" « — ^3
peut être remplacé par une fonction uniforme. Nous sommes ainsi conduits à faire le changement de variahle
— s = Aj3u^B,
a"-— s = A(p'j — é-i), ^'2— s = A(p'j — Ci), c'-— s = A(p'j — ea),
rt^-f- |
B |
= |
-Ae., |
b'--^ |
B |
= |
— A<?2, |
C- — |
B |
= |
-\e,: |
ce qui donne
en posant
en ajoutant memjjre à membre ces dernières égalités on trouve 1 égalité suivante qui détermine B
rt2_L_ i2_,_ c-^— 3B = o;
\) étant connu, e,, e^, e^ sont déterminés, à un facteur près de proportionnalité et les valeurs des invariants g.^, et ^3 en résultent. A reste indéterminé; nous supposerons A positif et nous le rem- placerons par p- pour que l'écriture soit simplifiée quand nous extrairons les racines.
En définitive, les invariants de la fonction jd-j résultant des éga- lités
rt-— b- — c-
-b^-,
t^ <-l — |
3 |
|
«- — |
b-^-^ |
- r2 |
p 0-2 |
3 |
|
a2 /» — |
62- |
r- C- |
si l'on pose
A IM'LI CATIONS DIVERSES. '3o'J
on a
C^— s =-- p-(p'J — <':,).
Remarquons de suilc que e,, e>, e-^ étant réels nous sommes dans le cas du discriminant positif.
Soient //, r, iv des arguments tels que j)//, pv, piv soient les valeurs de p'j quand .v égale )., 'x, v; comme les signes de
T'-» — <?i, P-> — <'i, p--> — e3
se déduisent immédiatement des signes de
a- — s, b- — s. c- — 5,
on trouve aisément que les nombres
pu, e,, |ir, e-î, pw, e^
sont rangés par ordre de grandeur décroissante. D'après cela u et (V — tu' sont réels, r — (o est purement imaginaire.
Ce sont ces arguments //, r, w que nous voulons considérer à la place de À, iji, v.
Transformons les formules qui donnent x-, j'-, z- en intro- duisant ces arguments elliptiques ; elles deviennent
p^z^ =
(Cl — e2)(ei — 63) {pu -- ei){pv — ei){pw — e.)
{62— ei){ei—e3) (P " — e3)(pi' — e3)ipiv — €3)
ie3—ei){e3—e.2)
On peut maintenant extraire les racines en se servant des for- mules du n" 48 : on trouve
px |
= |
A2 |
cr,i<3', |
Vj\ w |
■^ u-i |
VjW |
|||
?y |
= |
B2 |
3-., Il 3-2 |
Vj2^ |
CWj |
\>^ w |
|||
Ci |
C'a M S'a |
va'jiv |
j Uj Vj w
A = e -
B = .-^^""":
C = e - 3'(.o
3o4 CHAPITRE IX.
Quand on change le signe de l'un des arguments ii, r, (v les Irois coordonnées x, y^ z changent de signe, le point P est rem- placé par son symétrique par rapport à l'origine.
Les formules {voir n" 48)
j ( a -r- "2 W). ) 3' i< X I
j (if -r- ■AfUjx) J«
OÙ l'on suppose
W3 = w
montrent que, quand on ajoute une période à l'un des arguments, on remplace le point P par son symétrique par rapport à l'un des axes.
V. — Application a la théorie de la chaleur.
192. Les surfaces homofocales à un ellipsoïde sont des surfaces isothermes. Chacun des arguments », r, w est un paramètre ther- mométrique. — Si l'on considère les points d'un espace en équi- libre de température, pour chaque point la température T est une fonction des coordonnées de ce point et l'on démontre que cette fonction vérifie l'équation différentielle
<r-'\ d-'-T c)2T
On dit que les surfaces d'une famille sont des surfaces iso- thermes si la température est la même en tous les points de l'une de ces surfaces et ne dépend, par conséquent, que du paramètre qui détermine cette surface.
Il est facile de trouver la condition pour qu'une famille de surfaces représentées par l'équation
dans laquelle X désigne un paramètre vai-iable, soit composée de surfaces isothermes. En effet, si cela a lieu, la température T ne dépend des coordonnées x^ y, z que par l'intermédiaire de X.
APPLICATIONS DIVERSES. 3o5
Calculons d'aprrs celte remarque les dérivées de T pour les porter dans léqualion AT = o
dx ôX dx
_ - ^11 /^'
dx^ ~ OA-i \dxj "^ dX ^'
d^Tv/ùiY /oiy /di\n dT /an o'^i d-^i\
Comme AT= o, on doit avoir
(U
dn d^ d^ d^T
\ôx) ^ [dyj "^ [dsj 7k
Ainsi la combinaison des dérivées de A qui est dans le premier membre doit être une fonction de 1 que nous appellerons ^(À).
Si celle condition est satisfaite, pour calculer T il suffira d'in- tégrer l'équation
c^) -^ = *('■).
Appliquons ce qui précède aux surfaces (3) :r , ^ , .
a-— À ■ b-—A ' c- — X Nous poserons
a- — 5 o- — s c s
/{s) = (a'--s){b^--s){c-^-~s).
Calculons d'abord (^^^ + (^) V (^^y.
En différenlianl par rapporl à :r la relalion (3) qui définil A en fonction deo*, >-, r, on trouve
^ r X- y^ z^ ~\ dl IX
A. ET L. 20
3o6 CHAPITRE IX.
OU bien
et de môme
On lire de là
ax a- — À
ày
dz c2— X
'5) m^f^^m- i
\dxj ' \dyj ' \dz/ *'(X)
Pour avoir — -^ différenlions par rapport à .r la relation (4) qui
définit ^— : nous trouverons ax
^ (Jx- (a^— h)' dx ^ ^ \dx / «2— A
1 àl ,
OU, en remplaçant — par sa valeur,
et de même
^,,. , d^X 8^2 I /(^x\
X
Si nous ajoutons membre à membre ces trois identités, les termes du milieu disparaissent et il vient
et comme nous avons déjà trouvé
^ ->)[(ir-(iy-(Ê)>-.
on a en définitive
(7)
m-m-m'^"''-'
APPLICATIONS DIVERSES. 307
le second membre est une fonction de \; les surfaces
X — const.
sont des surfaces isolliermes.
On peut alors délermiucr une fonction de X
de telle façon que Am = o. Pour avoir cette fonction u, que Lamé
appelle le paramètre thermométrique, nous avons à intégrer
l'équation
d'-u
du 2 /( X )
dî
En intégrant une première fois et en passant des logarithmes aux nombres, on trouve
(8) ^^^^P,
en désignant le facteur constant du second membre par - pour
simplifier l'écriture dans ce qui suit. Remplaçons /"().) par le pro- duit de facteurs linéaires correspondants et intégrons entre — yz et )., nous avons
u =:
I r_ dx
V_„v/(«-^-X)(62-X)(c2-X)'
A est donc une fonction elliptique de u. Faisons comme au n'' 191 le changement de variable et de notations
«2_ X = p-(p'J — Cl),
62— X = p2(pu — e,), c2— X = p2(jVJ — es),
la relation devient
»=rv "•' =r<^..
Jp 2/(p — e,)(p — e.jCp — es) J^
On voit qu'elle est satisfaite en posant
u — a ;
3o8 CHAPITRE IX.
)> est donc donné en fonction de u par l'égalité
a"- -h b^ -4- c2 A = ^ — ?^P«-
On fera correspondre de la même manière un des arguments i- et w aux coordonnées a et v.
Les surfaces représentées par les équations
dans lesquelles ^/o, <'oi "'o désignent des constantes, se coupent orthogonalement, puisque supposer, par exemple, que u a une va- leur déterminée revient à fixer une valeur de À. On doit donc avoir
du dv du dv du di> dx dx ày ôy dz dz
et deux relations analogues.
Expression duds- en fonction des arguments u. r, w. — Dans la formule trouvée au n" 190
(X — ,a)f). — y)
i^«-= — ^^ . . .'/ . T —d\i
^ ([^ — X)(!-^ — y) ^^^, _^ (v_X)(v_u) ^^^^
introduisons les éléments elliptiques : elle devient
4 ds^- = (p u~pv ){p u — pw) du''-
-^ {pv — p u){pv — pw) dv^ -\- {p w — p u){p w — pv) dw^ .
193. Équation de la chaleur quand les variables sont les argu- ments u, r, w. — Lorsque dans l'équation
rr-T d^T c)2T
A 1 = — — H -H , = o
ax- Oy- (Jz-
on fait le changement de variables
u ='ç(T,y, z), r = i,{x. y, z),
APPLICATIONS DIVERSES. SofJ
si les fonctions 'o, ■}, y sont telles que les surfaces obtenues en donnanl à u, f, (v des valeurs constantes sont orthogonales et si l'on a
A'i = O, A(]; = o, -^X ~ ^'
l'équation transformée est
J_ ^ J_ ^!Z _L ^ - Lî dû»" "^ iVP "5i^ '*' W- dw^ ~ ^'
L, M, N étant définis par cette condition que la formule défi- nissant ds- est
Admettons, pour un instant, ce résultat et appliquons-le au cas où les nouvelles coordonnées sont les arguments elliptiques m, t", iv. ïNous trouverons pour l'équation transformée
{pu—pv){pu — pw) du-i
I d^T T c)2T
_i _l
{pv — pu){pv — pw) dv'^ {pw — pu){pw — pv)(iw-^ ou bien
Vérifions le résultat que nous venons d'admettre : on a
= o
o\ _ ôT du _^dT dv_ OT àiv Ox du dx dv dx ' dw <Jx
puis
d-^T dx'i |
d^ du^ |
\0x) |
d'-T du dv .-f- 2 h- du dv dx Ox |
c)T d^u Ou dx^ |
d^T dy^ |
rJ2T ~ àu^ |
(duy |
d'^T du dv .-h 2 ; ; h. Ou Ov Oy Oy |
dT d'-u du ày^ |
dz-^ |
d^T ~ du-^ |
fàuy |
t)2T du dv . .-f- 2 ; 1-. du Ov Oz Oz |
dT d'-u Ou dz'^ |
En ajoutant membre à membre ces trois égalités, en se rappelant que les surfaces
u — const., V = const., w = const.
3lO CHAPITRE IX.
sont orthogonales et que l'on a
Am = o, Ac = o, Atp = 0, on obtient
•^*rr[(5^j +(?;;) +(sj J
11 reste à vérifier que
[àrj '^WJ ' [dz)
et les deux expressions analogues se déduisent, comme on l'a annoncé, des coeflîcients du ds- exprimés en fonction de «, ç, w. Or
dx I \ày j \àz ) ^,d\ J Wdx j \dy J \dz
ou en remplaçant les deux facteurs du second membre par les expressions (5) et (8) trouvées au n° 192
\'dx/ ~\dy/ \dz/ ~ *' ( X ) ( À — a^ j ( À — 6^ ) ( À (s — X)(s — \x)( s — v)
Mais, comme
^( s) = ^ '^ {s~a^)(s — b^){s — c^-)'
on a
.!,'( X)(X - a2)(À - 62)( X - c2) = (À - ,a)(X - v). Donc
-(I)
\(?2T/ ' \dy/ \dz J ' {pu — pv)(pu — piv)'
le facteur o- se retrouve dans les coefficients de — - et -r-^- On a
donc bien la forme annoncée.
Ainsi, quand on prend pour nouvelles coordonnées d'un point les arguments elliptiques u, v, w, l'équation
AT - — ^ — — -
APPLICATIONS DIVERSES. 3ll
devient
(P^'-P*»')-^ -^(P^^-P^)-j;^ ^-(P"-P0^i^ =o.
194. Solutions dépendant d'une équation de Lamé. — Essayons de satisfaire ù i'équalioii précédenle en posant
T = F(«)F(r)F(<r),
F désignant une fonction pour le moment inconnue ; il vient
/ / X d-F(u) ^, , ^, .
[ +(p«_p.)fL!^F(a)F(.)=o.
Or si nous supposons que F('j) est une intégrale de l'équation dif- Icrentielle
où A et B sont des constantes, nous avons d''F(u)
du^
= {Xpu^B)F(u),
^^=(Ap..-.B)F(.),
et l'équation (9) se réduit à l'identité
o =F(u)F{i>)F{(v)[(pv — pw){\pu^B)
+ (P't'-P")(App-f-B)-+-(pj< — piO(Ap(i^ + B)]; par suite
AT = o.
Ainsi on peut construire une fonction T vérifiant l'équation AT = o, chaque fois que l'on connaît une intégrale de Téqualion
d'-z
— - =(Ap-j-l-B)^,
où A et B sont deux constantes arbitraires. Lamé a démontré qu'en donnant à A une valeur de la forme n(n + 1), n entier, on peut
3l2
EXERCICES SUR LE CHAPITRE l\.
intégrer réquation au nioven des fonctions elliptiques pour des détcrniinalions convenables de B. Il obtient ainsi, pour chaque valeur de l'entier /?, des solutions particulières de l'équation AT = o, à l'aide desquelles il forme la solution générale de cette équation pour le problème que nous venons de traiter.
L'équation obtenue en faisant A = n{n -h i) s'appelle équation de Lamé. Nous reviendrons sur cette équation dans le Chapitre XI.
EXERCICE.
Quadrilatère articulé. — Soit un quadrilatère pian articulé dont les côlcs oiu |)oi]r longueurs a, 6, c. d\ appelons a, p, y les angles des côtés a. b, c, parcourus dans un même sens de circulation, avec le côté d. En projetant le contour du quadrilatère sur le côté d et sur une perpendicu- laire à ce côté, on a deux relations que l'on peut écrire
(I)
où l'on pose
S"
e^'
by -T- cz -^ d = o,
b c ,
— -H - -+- a = o,
y -
y = e?',
= eï'
En regardant :r, ^', :; comme des coordonnées courante?, on voit que la première des équations (i) représente un plan et la deuxième une surface du troisième ordre; leur ensemble représente donc une cubique plane. Les coordonnées d'un point de cette cubique pourront s'exprimer par des fonc- tions elliptiques d'un paramètre u\
''-"■ = /(")> e?' = ç(M),
6(m).
En faisant varier m, on pourra étudier la déformation du quadrilatère.
Si le plan et la surface (i) sont tangents, la cubique devient unicursaie et les fonctions/, '^, 'b peuvent être remplacées par des fonctions ration- nelles. fDABBOux. Bulletin des Sciences mathématiques.)
CHAPITRE X.
TRANSFORMATION DE LANDEN.
195. Division par deux de la période aw. — Considérons les fonctions de Jacobi
H(K), "i(«), 0('O, 0i(«)-
construites avec les dcnx périodes 2to, aw', et en même temps les tondions
Il(«j^o/), II,(»h,cu'), 0(«
— , w' ), 6i( Il
2
(')
construites avec les deux périodes o) et ato'. On a entre ces fonc- tions les relations suivantes, dans lesquelles A désigne un facteur constant,
I II (w -, w'j = AII(«)H,(a),
élu -, iu'j = Ae(«)ei(a),
H,(„]^„') = An,(„^^)H,(„-A"),
La première de ces relations se démontre en remarquant que les fonctions
II (a ^, w'") et H(M)n,(«)
ont relativement aux périodes lo et 2co' les multiplicateurs définis par les égalités
f{U-hi0) =:-/(m),
2(7T ,
/(m + 2w')= — e w /(iO
3r4
CHAPITRE X.
et admettent les mêmes zéros dans un parallélogramme des pé- riodes : le rapport de ces deux fonctions est donc une constante. Les trois autres relations se déduisent de celle qui donne
H(w|-> co'j en j changeant successivement u en
tu H
2
196. Relation entre les modules et entre les multiplicateurs. — Soient A- et ^ le module et le multiplicateur correspondant aux périodes 2to, ato'; et soient Aj,;, ^(,) le module et le multiplica- teur correspondant aux périodes w, aw'.
On a, d'après la définition du module et en tenant compte des relations (i),
H, o
Ad) =
("
Mais si, dans les formules du n° 75, relatives à l'addition delà demi- période oj, on tait u = — - j on trouve
01 -=0
^'[V
H " ;
on déduit de là successivement
cin — = v/c , cil — = wk su — > sn
2 2 2
D'après cela
Cette relation peut encore s'écrire
/i -^ /f'
A-'
I + A-'
(a')
— A"ni —
I -t- k'
TRANSFORMATION DE LANDEN. 3l5
D'après la défini lion même du multiplicateur (n" 92), on a
I H'(o) S = ~/T-
^'«)= -1-=^
s/~k e(o)
/^"n) e^o
La valeur de g^\) peut s'écrire successivement
I H'(o)H,ro)
ffii)-
le
§i\) = g
v/^'(i)
et, en remplaçant /.f,) par sa valeur tirée de (2), on trouve entre les multiplicateurs g et ^(,) la relation suivante
(3) ^,„ = ^(n-A').
A j)arlir de maintenant nous supposerons les quantités to
"-' /Il <'t — réelles.
197. Relation entre les intégrales K et K,,,
~ do ^r r^ d^
"=/>
k- sin^o
Nous avons déjà remarqué que do l'équation diflerenlielle vé- rifiée par ^ = sn ( i^ ; A", g)
on déduit
ou bien
du
= gs/{i-z^)ii — k-^z-^),
1 V/(,-3Î)(l-^2^2)
ffiù = K.
On obtiendrait de même
rr — K
3l6 CIIAPITHE X.
Cl en divisant membre à membre ces deu\ égalités on trouve
Kj) ^.1) I + A-'
puis, en se reportant à la relation (2') entre les modules,
K = K(„(n-A-(,)).
198. Calcul de K quand A est donné. — Concevons qu'on ap- plique plusieurs fois la transformation précédente, on trouvera successivement
K = K(i)(i + A-,),
K(n-i) = K;„) (l -+- kn ),
puis, en multipliant membre à membre toutes ces égalités,
K = K;„)(i + A-(„)(i ^- A>2)). ..(14- A-(rt)),
comme on a
do
K(„)= Ç , '"^ => f'do=-,
on a aussi, quel que soit n,
^(n- A'(,))(i -i- A-(,)). . .(I -f- A-(„,)< K;
/.„ est toujours positif; le produit qui est dans le premier membre va donc constamment en croissant quand n croît, et comme il est constamment inférieur à R, il tend vers une limite quand n aug- mente indéfiniment. Il en résulte que A\„^ tend vers zéro et par
suite que K(„) a pour limite '-• On a donc
K = - (i -1- A-(i))(i -+- A'(2)). . .(i -h A:(,„). ...
Cette formule est utile lorsque l'on veut calculer la valeur numé- rique de K, en supposant k donné. On la met sous une forme plus commode pour les calculs numériques en posant
k = sinO,
TRANSFORMATION DK LAN D EN.
ce qui donne, en se reportant à la formule (2),
0
A-,1, = tang2 - et 1 ^- /•(„ = ^
3i7
puis
A(i)= tang2 _ — sinOiD, ^(2)= lang^-'i^ =r sin6.2,
on en déduit
, + A-,„= — :
cos2- 0 ■>,
et par suite
1 + A-,2) =
COS''- 0(1)
1 + A-
(3)'
C0S2-G
2
(2)
— -^ = C0S2 - tj COS- - O,], COS- - 0,0) . . 2K 2 2 ^ -2 '"'
( r o//- DuRiicK, Théorie der elliptischen Fiinclionen, p. i -~ .) Prenons comme exemple A"-= 5, 6 =: 45°.
Dans ce Tableau de calcul, on a séparé par plusieurs points le nombre de son logarithme de sorte que l'on a mis
N.
au lieu de LogN =.
De plus les logarithmes à caractéristique négative sont augmentés de 10.
0 = 45" o'o",oo
- 6 = oi'So'o", 00
lunj; - 0 9j6i7 224^
eus 0 9;0C5 Cm'j'\
I
9,234 4iSG
I) -'
0(,) = 9"524>,ii - 0(1) = 4° J6'-22", 70
lang - Ojij 8,930 Ç)'jo\.'j
cos-0;i) 9.998 3840.I
2 ;. . 7,073 0009.0
sinG^.,) )
0 2)= o"'>5'4o", 74 0.0, = o" i2'5o", 3-
tang 0,
° 2 *
'",5~7. •>>-<> I
COS - 0(2) 9,999 997<'"
lang2-0(2) _ ,,-.■.,
i- )• • • ^) '4-4 >J2:). I
siiiO(3) 0(3)=o"o'3", cosO(3) 0,0000000,
3l8 CHAPITRE X.
On a donc
cos2 - 0 9)93i 23o6.o
cos2-e,i) 9,996 7680.2
cos«-e(2) 9,999 9940.0
^ 9,927 992G.2
-^ 0,196 1198-7
Iv 0,268 1272.6
K = I ,854 0747.
199. Calcul de la valeur de l'intégrale
J^ y/i — A-2sin2t3
quand /. et 9 sont donnés. — Soit z = sn[u ; A", ^"), on a
ou en posant
z = sincD,
Il = f '
Jq v/i — A- sin^cp
y/i — A'- sin-'cs
de sorte que, u et cp étant liés par la relation précédente, on a
sn(«; A-, g-) = sino ;
on s'assure aisément que
cn(»; A-, ff)= cos(p. et
dn(u; k, ^)= y/i — A-2 sin-o.
Considérons en même temps ^) = sn(«; /.(ij, ^(i)) en posant
Jo VI — ^Tusin^cpd)
TRANSFOnM.VTlON DE LANDK.N.
3i9
un aura
sn(u; /.•(„, ^(„)=sinçp(,).
SI mainteDant A" et g correspondent aux périodes 2co, 210' et si /»(ij et ^(o correspondent de même aux périodes w, 210', on aura, comme nous l'avons vu.
l-t-Â-
(1)
Alors en prenant le rapport des intégrales dont les limites supé- rieures sont o et 'j(,), on trouve
i-^A-,,, /^^w
/•? do _ [-^ A-^p r
do,i
I — A-,)Sin2o„,
et l'intégrale dont la limite supérieure est cp se trouvera ramenée à rintégrale dont la limite supérieure est '^f,,, quand nous aurons ob- tenu une relation finie entre es et '-3(().
Cette relation, que Ton peut obtenir par des considérations géo- métriques, nous sera utile sous la forme
ou bien
ou encore
tang(cp(,)— 0)= A'tangç
tangO(i)— tango i-+-tang(p tang'j(i)
= /i' langa
fi -4- A-') taniî'i tango,!) = y-, ^—^•
Pour vérifier cette dernière égalité il suffit de remarquer que
sn u I ll(u)
tang'-5 = = • j7— - — -
en a ^// iii{u)
et de se reporter aux formules (i) du n° 195 donnant H( m — > o/j et ri, ( « — > co i ; on trouve ainsi
v/A('i,tang'i,,):
H(a-f-^jll/a-^
Transformons le dénominateur du second membre d'après
320 cil A P I T R K X .
ridenlilc, facile à vérifier,
uno)u[u^'-^)n[u-'(j = u]['^)nHu)-ii^(^)imu),
nous pourrons écrire
/7T-. II(«)H,(m)H?(o) V/A^„langcp,„= —-— -— — ,
ll^r^\in(u)-}l\{-)HHu)
ou en divisant les deux termes du second membre par H- ( — j H^ (/<)
_ tatiiïo
langO(i)=C
C désignant un facteur constant; ce facteur se détermine en divi- sant les deux membres par n et faisant ensuite tendre u vers zéro, ce qui donne
C = ^ = . + A-'.
En tenant compte enfin de la formule
on a bjcn
ou encore
cn- |
i |
= |
A' |
||
sn- |
2 |
||||
tangçp( |
j = |
(I |
-L- |
A-' |
)tangcp |
1 |
— |
A' |
tang^cp |
||
tang(cp |
n- |
- o |
)= |
= A |
-'tango |
comme nous voulions le vérifier.
Cela posé, concevons qu'on applique plusieurs fois de suite la même transformation en posant pour abréger, d'après Legendre,
TRANSFORMATION I) IC LANDKN. 321
nous aurons successivement
F(o„„ A-<.,)= ^-=^'F(ç,,), X-<,>),
F(?(«-i„ A-^„_,)) = ^ F((f(„„ A>)),
el en multipliant membre à membre ces égalités
2'
Supposons maintenant que /? augmente indéfiniment, nous avons vu que Âv< tend vers zéro et l'on en conclut
lim F(o,„), A-(„,) = lim'i(„).
Comme d'autre part on a trouvé
•|^(i -f- X'(i))( I -I- A-(2)). . . = K,
on voit que, en définitive
b ( o, A) = lim -!-^.
■ T. '1"
Pour calculer successivement les angles ci()), '^(2)7 • • • ? '-^(«)5 • • • j nous aurons les formules
tang(0(i)— o) =/('tang'^, A-(,,= — -i,
tang(?(2)— '-Pdi) = ''"('ntang'fd)' ^Vi> =
1 -f- A-
lang(^f„, — 0;„_,)) = A,'„_,, tangG(„_i), A-(„, = , '" "-
Quand n est tiès grand k^„) est très petit, comme nous l'avons vu; alors AJ„_,; est très voisin de l'unité et l'on a sensiblement
ou bien
?(") = '■i'f'/t-ii ;
A. ET L. 21
322
alors
CHAPITRE \.
Donc à partir d'une valeur suffisammenl grande de n, ^ reste
sensiblement constante et Ton aperçoit ainsi que ^^ tend vers une limite quand n augmente indéfiniment. clo<^^ '^(f^ -fXftoNx^
Exemple numérique. — (Nous l'empruntons à la Théorie des fonctions elliptiques de Durège, p. 178.) Soient
A- ^ - > '^ = OO
les valeurs données de A- et de o.
Il résulte d'un calcul précèdent que l'on a
-— 0,072 0073.8,
k' = cosO.. . . 9,849 4830,
/.-; = cosO,.. . 9,993 5ii8,
k',= cosO,... 9,999 9878.9,
X-j = cosO ,. . . 1,000 0000.0,
Voici maintenant le calcul des angles '^,, 'Jo. '^3 :
'^ = 3o°
tang-^ 9,761 439Î
k' 9,849 4850
tang(oi— o).. 9,Gio 9244
Çi — ç; = 22" 12' 27", 59 '^1 = J2° 12' 27", 36
O, = 32" I2'27",56
tang'f, 0,110 4'574-9
k\ 9:993 5ii8
tang(o,— cpi). o,io3 949^-0
Oo — ?i = 5i°47'32",58 Ci, = io4" o' o", i4
?2 = io4°o'o'', 14 tangoo o,6o3 227().
''î 9,999 9878-
tang(G3 — Oo). o,6o3 21 V).
'fs — 'fi = io4''o'i", 40 03 = 208" o' l", jO
On prendra ici comme valeur approchée de Uni ^^ le rapport
^J = g (2o8"o'i"54) = 93600", 19.
Pour exprimer cet angle en parties de rajons on divise le
EXERCICES SLR LE CHAPITRE X.
nombre de secondes par 206264,8
Log 93 600", ly = 4,971 2767.9 Log2o6 264",8 = 5,3i4 425i.3
323
9,656 85i5.7
, 2 K
Log -^1^ = 0,072 007 J.
Log F(o, A-]) = 9,7^8 8589.5 F(o, A) = 0,535 6221 pour 0 = 30"
et
A2
Remarque. — Lorsque le module est devenu 1res petit le calcul des modules suivants peut se simplifier. ( Voir Bertrand, Calcul intégral, p. 661.)
EXERCICES SUR LE CHAPITRE X.
Division de la période aw par un nombre impair n. — En posant avoc Jacobi '^{x) = 6( — ^ 1 vérifier l'identité
?:{x)?j (x -{ \- • '?j \ X -^ ( n — i)— ^ = C?j(nx, q"),
où l'on suppose que, 2r(:r) correspondant aux périodes 2w et 20)', 2?(j", </")
2 to correspond aux périodes — > 2w', et où C désigne un facteur constant.
On peut remarquer que le premier membre d'une part et 'b{xx, q") d'autre part sont deux fonctions qui admettent les mêmes multiplicateurs pour les périodes 2(,t>, 20/ et qui ont les mêmes zéros dans un parallélo- gramme des périodes.
On a une vérification intéressante de l'identité précédente en considérant le produit infini qui donne ?j{nx, q"), savoir
C?j{nx, q") = (1 — iq"- co's'inx -^ </-")
X (i — iq^"^ coiîtix -h q^"){i — 27*" cos2nx -i- <7 '*>"}... ,
et décomposant chaque facteur de ce produit d'après l'identité suivante
3i4 EXERCICES Sun LE CHAPITRE X.
(ihcorènie de Cotes)
I — iq"^ cns2n.v -(-^-" = 1 II — T.q cos2 (a- H ~ ) "*" ^'
r
pour
r = o, I, 2, . . . , « — »,
ou, ce qui revient au même puisque n est impair,
r
- = o, I, ?., .... n — 1 .
D'après cette vérification l'identité résulte de ce que, dans un produit infini absolument convergent, on peut remplacer plusieurs facteurs par leur produit effectué et réciproquement.
Vérifier la formule
où 2/1 (x) désigne la fonction II | ^ _ '■■ ) , G' une constante et n un nombre
impair; de plus '^j{x) correspondant aux périodes aw et 2<x>', ?Ji{nx, q")
correspond aux périodes — . 210 . ' • a
Des formules des deux exercices précédents déduire la suivante
/•inK''ï)j" -, A ^ 2K 2K/ 2-\ jK r 2-1
su ( , A:'"' 1 = C sn —- x^n — ( x^ 1 • • • -n — x-f-(n — i ) — ,
eu Ion suppose que A"' et Iv "' correspondent aux périodes — j 2w comme k et K correspondent à 2aj et 2w' et où C a la valeur constante
CHAPITRE XI.
FONCTIONS A MULTIPLICATEURS CONSTANTS OU FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES DE SECONDE ESPÈCE.
200. Définitions. — Dans plusieurs questions de IMécanique el de Physique nialliémalique, on est conduilà étudier des fonctions uniformes de if, n'admettant à distance finie d'autres singularités que des pôles et se reproduisant multipliées par des constantes a ou u.' quand on ajoute à a l'une ou l'autre des périodes ato et ato'. L Une quelconque de ces fonctions F(u) vérifie donc deux rela- lions de la forme
F ( j« -t- 2 w j = iji F ( a ), F ( « -t- 2 0/ ) = •/ F (u).
M. Hermite, qui a fait l'étude des fonctions de celte nature (Sur quelques applications des fonctions elliptiques, Gaulhier- Villars, i885), leur a donné le nom de fonctions doublement pé- riodiques de deuxième espèce; ces fonctions se réduisent aux fonctions doublement périodiques ordinaires ou fonctions elli|)- liques, quand les deux multiplicateurs constants ijl et jjl' se ré- duisent à l'unité. Quand les multiplicateurs >j. et a' seront donnés, nous appellerons les fonctions telles que F(u), fonctions aux luultiplicateuis constants u. et ;/; les fonctions elliptiques sont alors des fonctions aux multiplicateurs i et i.
Les relations
F(« -+-20J) = \x¥{u),
F ( « 4- 2 w' j = jjl' F ( k )
entraînent évidemment la suivante où m et n sont des entiers po- sitifs, négatifs ou nuls :
F ( « -H 2 m fo + 2 « w' ) = [y."^ a' '' ¥{u). Il en résulte que, si la fonction F(w) admet un pôle u^^a, elle
326 CHAPITRE XI.
admet comme pôles, au même degré de imillipHcité, tous les points homologues
Si le résidu relatif au pùle a est A, le résidu relatif au pôle a„,,„ est li-^^ti.'" A. De même, si la fonction ^{u) admet un zéro u=^ b, elle admet comme zéros, avec le même ordre de multiplicité, tous les points homologues.
Exemple. — Voici quelques exemples de ces nouvelles fonc- tions. Soient A, a et \ des constantes, la fonction
est une fonction aux multiplicateurs
IT.'X
2/Ui'
En effet, les relations fondamentales
}i{u — lOi) = — U(ii ), ïl{u-{-2u} ) = — ]i{u)e w
donnent les suivantes :
/(« -t-aw) =/(M)e2/w^
f{u-\-itx,') =f(^u)e w
La théorie du pendule sphérique nous fournit un autre exemple de ce genre de fonctions. Nous avons trouvé, en effet, pour x-\-iy une expression de la forme suivante (p. 93)
o ( M ) = A — e>-" ,
z- Il
A, a, b, A désignant des constantes. Or, d'après les relations fon- damentales
C(«-r-2aj) = — É'2'"/«+w) 3' K, ^(u -+- 2w'j = — e2'i't«+w')^M,
FONCTIONS A MULTIPLICATEURS CONSTANTS. 827
celle fonclion z> vérifie les relations
(f(u -h iiu') = e2i'(a-6)+2Xw' cp(«); c'est donc une fonclion aux multiplicateurs constants
U = e2Y)'(a— 6)+2Xw'.
Dans la théorie que nous allons développer, nous supposerons les multiplicateurs y. et jjl' donnés et nous formerons les expres- sions analytiques des fonctions qui admettent ces multiplicateurs. M. Hermile a indiqué, pour ces fonctions, deux formes principales correspondant aux deux^ formes fondamentales des fonctions elliptiques.
L'une de ces formes donne la fonclion comme le quotient de deux produits de fonctions H ou a* : elle met en évidence les zéros el les pôles de la fonction. L'autre forme est analogue à la for- mule de décomposition en éléments simples; elle met en évidence les pôles et les parties principales correspondantes.
Les seuls éléments analytiques nécessaires pour cette théorie sont les fonctions H ou a*.
I. — DÉCOMPOSITION EX FACTEURS. CONSÉQUENCES.
201. Expression générale des fonctions à multiplicateurs con- stants. — Soit F(«) une fonction aux multiplicateurs constants donnés [x et [i.'. Par hypothèse cette fonction n'a d'autres points singuliers que des pôles à distance finie el vérifie les deux, équations
F ( a -H ?. to ) == ;j. F ( M ),
(0
F ( « -+- 2 oj' ) = [x ¥{u)
Pour obtenir une première expression de la fonclion F(w), re- marquons que la fonction particulière
/ \ ^/ ^ . H ( M — a ) ,
328 CHAPITRE XI.
considérée dans le numéro précédent, Nérific les relalions
^^^ (/(»--2C.y)=[JL'/(«),
OÙ
^ . I-2AW
( 4 ) fji = e5> w, ;jl' = e w
On peut toujours disposer des constantes X et a de façon à faire prendre à ces multiplicateurs des valeurs données à l'avance. En elTet, 'j. et ;x' étant donnés, on a
^= -i(^ï^og[z' — w'Log-x),
ITZ
Logij. ayant la même détermination dans les deux équations.
Avec ce choix des constantes À et a, on a, par la formule (2), une l'onction particulière y(M) aux multiplicateurs donnés |j. et u'. Mais alors, si l'on revient à la fonction générale ¥(n) aux mêmes multiplicateurs, le quotient
est une fonction elliptique aux périodes 210 et 2co'. En effet, quand u augmente de l'une de ces périodes, F et/^ se reproduisent multipliées par le même facteur et ^{u) ne change pas.
On obtient ainsi une première expression générale des fonctions aux multiplicateurs constants jj. et a', en prenant
les constantes À et a étant déterminées par les relalions (5) et ^(«) désignant une fonction elliptique aux périodes 20J et 210'.
202. Décomposition en facteurs. — La formule de décompo- sition en facteurs se déduit immédiatement de ce résultat. En effet, la fonction elliptique ^(w) peut se mettre sous la forme suivante
FONCTIONS A M V LT I P LI C \T E U RS CONSTANTS. 3.;.()
(n" 40)
^^ , .,11(11 — hi)U(u-h,)...U(u-b,.) ^ ïl{u — ai)U(u — «2 )•■•"(." — «/•)
avec la condition
La fonction aux multiplicateurs constants jji et ja' peut donc s'écrire
m F(„) = B.)..."t"-'>""'-t''-;,''"'-';''-
^ ^ ^ ^ H(«) H(a — «i). . .H(M — «/•)
Telle est la formule de décomposition en facteurs. Elle conduit aux conséquences suivantes :
i" Une fonction à multiplicaleurs constants possède, dans lin parallélogramme des périodes, autant de zéros que d^in- Jinis. Cela résulte de ce que, dans la formule (8) ci-dessus, il entre autant de fonctions II au numérateur qu'au dénominateur.
1° Si Von considère, d^une part, les zéros, d'' autre part les injinis que possède une fonction aux multiplicateurs [x et y.' dans un parallélogramme des périodes, la différence entre la somme de ces zéros et la somme de ces injinis est égale à
à des multiples des périodes près.
En effet, la fonction F(w) définie par la formule (8) a, dans un parallélogramme des périodes, des infinis homologues des points
O, «1, «2, •••, «/•,
et des zéros homologues des points
La différence entre la somme des zéros et celle des infinis est donc
(9) <x^ bi-\- b-i-^ ...+ b,.— {ai-i- a-2-{- ...-{- a,-) + i-miM -\- iiiLo :
33o CHAPITRE XI.
si Ton lient compte de la relation
bi-h b-y-i-. . .^ h,.— Oi-^ o-x-h . . .-h a,-, et de la valeur (5) de a, on voit que la différence considérée (9) est
-r- (10 Log iJl' — CO' Log|JL) -t- •2/)H0 -+- >. H 0)',
ce qui démontre le théorème.
Changer les déterminations choisies pour Logu.' et Log[Ji. re- vient à modifier les entiers m et n. On pourrait, par exemple, choisir les déterminations des deux logariliimes de façon à annuler m et n.
Remarque. — Il est évident que la fonction F(;^) donnée par la formule (8) n'admet pas nécessairement, d'une manière effective, le pôle « = o : car un des zéros bf, b-j, . . . -, b,- peut être égal à o ou homologue de o. De même, celte fonction n'admet pas néces- sairement le zéro a.
Les deux théorèmes que nous venons d'énoncer admeltenl la réciproque suivante :
3° Si l'on considère une expression de la forme
dans laquelle les constantes À, a, a, , . . . , a,-, b^ b\, . . . , b,- vé- rifient les deux relations
(•0)
/ 6 -i- 6l + ...-^ 6,.— (a -+-«1 -+-...4- «,.) = ^ (co Log[JL' — w' Log|JL),
cette expression F(;<) définit une fonction aux multiplica- teurs [JL et \>.' . C'est ce qu'on vérifie immédiatement en partant des relations fondamentales
\l{u -\- 1 10 ) = — H ( M ),
iTZ .. , ( " -H W )
IÏ(a + 2(o')=:_H(a)e " Quand les mulliplicateurs jj. et u' sont égaux à i, la fonction
FONCTIONS A MULTIPLICATEURS CONSTANTS. 33i
]"'(//) (Jcvicnl une fonction elliptique, et la deuxième des rela- tions (lo) exprime alors le théorème de Liouville (n" 39).
203. Nombre minimum de pôles d'une fonction à multiplica- teurs constants. ■ — !\uus a\(nis vu (|u'uiie fonction ciliplicjuc a, au moins, deux pôles simples ou tiii pôle double dans un parallélo- gramme des périodes. Il en est autrement pour les fonctions à multiplicateurs constants.
Quand les inulliplicateurs ij. et uJ sont quelconques et ne vérifient pas la relation
(il) -— (toLog[i.' — w' Logii.) = o,
pour des déterminations com^enables des logarithmes, toute fonction aux multiplicateurs \x et jj.' admet au moins un pôle s'mple dans un parallélogramme des périodes.
En effet, si la fonction F(;/) donnée par la formule générale (8) n'avait pas de pôles, clic n'aurait pas de zéros, et cette fonction se réduirait à la fonction
dont les multiplicateurs
[j. = e-"'w, jjt,' = e-^-w'
vérifient la relation (i i) que nous avons écartée.
Il y a donc au moins un pôle. D'ailleurs, il existe des fonctions avec un seul pôle dans un parallélogramme des périodes. Telle est, par exemple, la fonction déjà considérée
-, .\\{u — a) .
'^^"^ = ^^-II(^^'"'
où A et a sont déterminés par les équations (5). Cette fonction a, comme pôles, le point « = o et les points homologues. Telle est encore la fonction
/(« — <■= A -^, — c>-("-''),
•^ ^ ' il(U — l'j
33a CHAPITRE x i .
où p est une constante quelconque; celte fonction admet, comme pôles, le point u = v et les points homologues.
20i. Fonctions à multiplicateurs spéciaux. — Nous dirons que les niulliplicaleuis a cl -j.' sont spéciaux quand ils vérifient une relation de la forme
o) Log|j.' — w' Log;ji = o,
j)onr une détermination convenable des logarithmes. Dans ce cas, il existe une fonction partout finie dans un parallélogramme des périodes et admettant les deux mulliplicateurs : cette fonction est
Ac>«,
). étant déterminé par les deux relations compatibles
Log;x _ Log;ji'
'2 Co 2 0)'
La fonction la plus générale F(?^) aux multiplicateurs spéciaux 'j. et !x' est alors
<I>(w) désignant ux\e fonction elliptique. Une fonction elliptique, non réduite à une constante, a au moins deux pôles simples ou un ])ôle double dans un parallélogramme; donc, si la fonction F(«) ne se réduit pas à une simple exponentielle Ae'", elle admet dans un parallélogramme au moins deux pôles simples ou un pôle double. Telles sont les fonctions
e>"sn-«. e>"[7A u — a) — Z(u — b)], II — DÉCOMPOSITION EN ÉLÉMENTS SIMPLES.
20o. Élément simple. — Reprenons la fonction les constantes A et a étant déterminées par les équations
•20J °' ' a = -7— (lo Logij.' — oj' LogjJt).
FONCTIONS A .MULTIPLICATEURS CONSTANTS. 333
Kcarlons le cas des nuilliplicaleurs spéciaux éliidic dans le dernier nuim'ro. Alors a n'est pas homologue de zéro et la fonction f{ii) devient elTectiveinenl infinie au point il = o et aux points homo- logues. Déterminons la constante A de telle façon que le résidu de /*(«) relatif au pôle n = o soit égal à i. Pour cela, il suffit (fécrire que le produit ii f[u) est égal à i pour u = o. On a ainsi
' Il'(o) ' ^ ll(a)
et la fonction /(u) devient
Cette fonction /{n) constitue l'élément simple introduit par M. Ilermite pour obtenir la deuxième expression générale des fonctions aux multiplicateurs |jlcI!J.'. Elle vérifie les deux relations
(/(•« + 2 w) = .a /(m), ( f{U~-1M )= [X j{u) ,
elle admet comme pôle simple le point w ^ o et les points homo- logues. Au point /^ = o son résidu est i ; au point 11=2 m m -\- 2/«a)', met n étant des entiers quelconques, son résidu est p.'"u'", comme il résulte de ré(|uation
/( u -+- 2 m M -r- 2 n w' ) = ;i.'" ,a'" /( u ),
conséquence immédiate des relations (i3). SI dans ces relations on change u en u — ç, (^ désignant une quantité quelcontpic indé- |)cndante de u, ou a aussi
I /( « — V + 2 W) = [J. f( u — v),
I.a fonction
<'^^ /(»-<•) = - H(a)H(»-.; ' '
regardée comme fonction de u, a donc les mêmes multiplicateurs a et ul' que/(//) : elle admet comme pôles simples le point u= ç cl les points homologues, le point u = v avec le résidu + i .
334 CHAPITRE XI.
Il est intéressant de voir quelles sont les propriétés de cette même fonction y(« — r) considérée comme fonction de v. Si dans les relations (i4) on change u en u — 210 on obtient deux nou- velles relations que nous écrirons comme il suit
f(u — (' — 2C0')= —,f{l' — ^')-
Ces relations montrent que /(;/ — r) considéré comme fonction
de V est une fonction aux multiplicateurs inverses - et — ;• Cette
fonction de r admet comme pôles simples le point r= u et les points homologues, le point r = u avec le résidu — i . On vérifie, en efi'et, immédiatement, que le produit [v — u) fi^u — r) tend vers — I quand c tend vers u.
206. Formule de décomposition. Cas des pôles simples. — Soit une fonction F( //) aux multiplicateurs non spéciaux a et ;a'. Sup- posons d'abord que celte fonction n'ait que des pôles simples ho- mologues respectivement de certains points
u = a, u = b, . . ., u = l, et soient
A, B, ..., L
les résidus de F (u) aux points a^ b, . . . , /. Considérons la différence
W {u)=F{ii)—\f{a — a)—Bf(a — b) — ...-Lf(u — l).
Nous allons montrer que cette différence est identiquement nulle. En effet, ^'{u) est une fonction aux multiplicateurs jj. et u.' , car elle est une somme de fonctions F(«), — ^/{i^ — • «); • • • ad- mettant séparément ces multiplicateurs. En outre, cette fonction W(u)esl finie pour toutes les valeurs de u, car, dans le voisinage de u = rt, par exemple, on a, par hypothèse,
¥(u)= — '- 1- fonction régulière;
FONCTIONS A MULTIPLICATEURS CONSTANTS. 3j5
de plus, d'après les propriélés de la foncliooy(f/ — r), on a, dans le voisinage de ii = a,
f(u)— \- fonction régulière;
enfin les autres termes f[u — b). . -/{i' — /) sont des fonctions régulières au point u = a. Dans la combinaison qui donne ^''(//)
les termes en disparaissent et ^I''('0 est finie pour // -— a. Il
en est de même des autres points ;/ = 6, . . . , k ^^ l et des points homologues.
Ainsi ^{ii) est une fonction aux multiplicateurs non spéciaux [JL et ui', n'admettant plus aucun pale à distance finie. Mais une telle fonction ne peut pas exister (n" 203) : donc ^I'('^) est iden- tiquement nulle. On a alors la formule
(i6) F(a)=A/(«-«)+B/(«-6)H-...+ L/(«-/).
C'est la formule de décomposition en éléments simples, mettant en évidence les pôles non homologues «, ^, . . . , / et les résidus correspondants. Chaque terme de cette formule est une fonction de u aux multiplicateurs [Ji et [x' admettant dans un parallélo- gramme un seul pôle simple.
Inversement toute expression de la forme (i(3) dans laquelle a, b, ..., / sont des points non homologues deux à deux et A, B, ..., L des constantes quelconques, est une fonction aux multiplicateurs ijL et ^' , ayant comme pôles les points a, b, . . . , / et leurs homo- logues, les résidus relatifs aux points r/, b, . . . , /étant A, B, . . . , L.
D'après cela, on peut choisir arbitrairement les résidus A, B, . . . , L : il n'existe entre eux aucune relation nécessaire. Il j a donc là une différence avec les fonctions elliptiques pour lesquelles la somme des résidus est nulle.
Exemple de décomposition. — Soit
(17) F(,/) =
U(a-ajII(« — 6)'
a el b étant deux constantes non homologues entre elles et non
336 CHAPITRE XI.
homologues de o. Celte fonclion admet les multiplicateurs
(n + A)
comme il résulte des propriétés fondamentales de la fonction H; elle admet comme pôles les points a et ft et les points homologues. Construisons Félémcnt simple correspondant
. , n'(o)U(u- a) .
•^^") = - H(a)H(., ''"'
en choisissant A et a de façon que cette fonction admette les mêmes multiplicateurs [jl et u.'. Il suffit de prendre
) = o, a= — (a-^b)\
l'élément simple est donc
j. H'('o)H(?/ -i-a-i-6)
•^^"^~ Il(a-+-6)H(M)
Les résidus de la fonction à décomposer F(;/), relatifs aux deux pôles non homologues a et b, sont
HHa) ^ W-(b)
H'(o)H(a -b) n'{o)H(ù — a)'
pour les obtenir, il suffit de chercher les limites des deux produits ( u — a) F(i/) et (w — b) ¥{ii) pour u =r a et u = b. La formule de décomposition est donc
F{u)= A/(u — a)-hBf{u — b), ou, en écrivant tous les termes explicitement
H ( « — « ) H ( « — 6 )
b) UHb)U(u^an
_ I riP-(a)H(u
~ H{a-i-b)H(a — b)l II(tt — ,
a) U{u — b) J
207. Cas des pôles multiples. — Le même raisonnement nous donnera la formule dans le cas des pôles multiples. Supposons que la fonction F{n) aux multiplicateurs non spéciaux u. et ^' ad-
FONCTIONS V MLLTIPLICATEUHS CONSTANTS. 3ij
inellc comme pôles les polnls r/, b, ..., /non homologues; et supposons (pic les pailles principales rclalives à ces pôles soient respectivement
, , A A| A, A(v-i
« — a {a — a)- {u — ay (u — a)'-^
^ ._ B B^ _ B2 Bp_)
Si l'on désigne par/',/", ... les dérivées successives (}c/{i/)^ la (lilTérencc
T{u}= F( »)— [a /(»_«)— Ai/'(« — a)+ —/"(» — a)
+ (_ i)x-i ^^LJ f^^-iHu - a )1
I .■>.... a — I -^ J
- [b /( n-ù}- B, y'(« _ 6) + -5l f'iu -b)
est encore identiquement nulle : en effet, clans le voisinage de u z= a par exemple, on a
f{u — a)= -+- fonction régulière,
/'( « — 0) = -î- fonction régulière,
1 . 1 f"(u — a) = , ---fonction réfrulièie,
I .■>....( 2 — 1 )
f(^-\ Ui — rt) = (— i)'^-i — f- fonction ré<rulière.
■^ { u — u)-^ °
Donc
\/{ a — a )— Al f'{u — a )-\ /"( u — a } — . . .
H ^-^^ /<*-''(« — a )= 'i>i(f<)-i- fonction régulière.
I . t . . a — I . ' o
A. KT L. -22
338 ciiAPiTRi: XI.
Comme dans le voisinage de u = a, on a aussi, par liypothèse,
F(m) = (ûi(«) 4- fonction régulière;
on voit que ^{if) est régulière au point a; il en est de même des autres points b, . . ., Ici des points homologues. Cette différence ^''(«) est donc une fonction aux multiplicateurs non spéciaux [a et u' n ayant plus aucun pôle à distance finie. Comme une telle fonction ne peut pas exister (n" 203), ^'*('0 ^^^ identiquement nulle et l'on a la formule de décomposition
(i8)
-I- — — -^ /(«-!'(« — a) .
i.2...a — 1 -^ ^ 'j
la somme étant étendue à tous les pôles non homologues.
Réciproquement, toute expression de cette forme, dans laquelle les coefficients A, A,, . . ., Aa_i, . . • sont choisis arbitrairement, est une fonction aux multiplicateurs [x et [>.'.
On voit l'analogie de cette formule avec celle que M. Hermite a donnée pour les fonctions elliptiques et que nous avons établie au n" 26 par un raisonnement presque identique.
Exemple. — Prenons, par exemple, la fonction (17) de la page 335, en j faisant b = a,
UHu)
H - ( a — a) Cette fonction admet les multiplicateurs
2 /Tin
[ji. = I , |ji' = e '^ ;
file a comme unique pôle double le point u^^a et les points ho- . inologues. Dans le voisinage du point u = rt, on a, par la foi^mule de Tavlor,
U(u)= H(«)-^(i< — a)H'(a) + ...,
Hf» — «) = (tf-a)H'(o)+ ^"~'!^'h"'(o)-^...,
FONCTIONS A MULTIPLICATEURS CONSTANTS. SSq
car ll{u) clanl impaire, II(o), Il"(o) sont nulles. Donc
H (m) _ i H(a)-h(K — a)H'(a)-f-...
H(« — a) ~ {u — a)\l'{o) {« — a)* H"'(o)
'"^ — c — ïî^y^--
[H(a)-h{u — a) !!'( a )-+-•• •]•
(« — a) ll'(o)
En élevant au carré, on a enfin
HUu) I UHa) 1 \\(a)\V{a)
H-(m — a) (u — a)- H'-(o; (u — a) ll'^{o) ■ •■•'
les termes non écrits formant une fonction régulière au point a. On a ainsi mis en évidence la partie principale de F(«) au pôle o. L'élément simple avec les multiplicateurs u. et u.' est actuellement
. _ U'(o)li( u -^ia) -f^^^^- H(2f/)H(>;
La formule de décomposition est enfin
■2lI{ajH'(a) WHa)
^("^^ H'Ho) /^"-")- ïn(^/ ("-«)•
208. Méthode de M. Hermite. — Pour établir la formule de dé- composition, nous avons suivi une marche analogue à celle que nous avons employée pour les fonctions elliptiques (n°* 24 et 26). M. Hermite établit cette formule par la méthode suivante, que nous indiquons à titre d'exercice :
Soit F(w) une fonction aux multiplicateurs non spéciaux u. et u'; désignons par r une variable auxiliaire et considérons la fonction de c
^{v)=¥{i>)f{ii-v).
Cette fonction est doublenienl périodique : car, si Ton augmente r de l'une des périodes, F(t') se reproduit multiplié par a ou 'j.' el
f{u — r) multiplié par- ou — ; donc le produit <ï*(t') ne change
pas. La fonction ^*((^) est donc une fonction elliptique. En écrivant que la somme des résidus de ^(<-) relatifs aux j)oles situés dans un parallélogramme ou, ce qui revient au même, relatifs aux pôles non homologues, est nulle (n' 25), on obtiendra la formule cherchée.
34o CIIAPITUE XI.
Les infinis de ^(^') sont les infinis des deux fadeurs F(r) el f{ii — v") : les infinis de F(r) sont homologues dos points
a, b, ..., /;
ceux de f{ii — v) sont homologues du point u. Supposons, pour simplifier, les pôles de F(t') simples et soient A, B, . . . , L les ré- sidus de F correspondant aux pôles a, b, . • ., /. Les résidus de $(i'), relatifs à ces pôles, sont
A/(«-a), ^f{u-b), ..., hf{u~l).
Le résidu de <I>(v') relatif au pôle f := a est
-F(«).
Écrivant f[ue la somme de ces résidus est nulle, on a bien la formule cherchée.
Nous laissons au lecteur le soin d'appliquer la même méthode au cas des pôles multiples.
209. Multiplicateurs spéciaux. — Dans ce qui précède, nous avons écarté le cas où les multiplicateurs 'x et 'jJ vérifieraient, pour des déterminations convenables de Log|jt. et Logjj.', la relation
o) Log ij.' — o)' Log \x = o.
Supposons maintenant cette relation remplie : il existe alors une exponentielle de la forme
admettant ces deux multiplicateurs, car les deux équations
|j^ — e2Xw^ ^ — g2Xw'
donnent pour ). des valeurs compatibles. Cette fonction
o)m
est une fonction n'ayant aucun pôle à distance finie. L'élément simple appelé /(?^) n'existe plus dans ce cas, car la constante a est homologue du point o. Donc les formules de décomposition gé- nérale ne s'appliquent pas à ce cas.
Mais, actuellement, toute fonction F(f/) aux multiplicateurs
FOI^CTIONS A MULTIPLICATEURS CONSTANTS. 34 1
spéciaux ijl cl u' peut s'écrire
F(m)= e>"*(M),
(I>(«) étant une fonction elliptique. Il suffira de décomposer cette
fonction ^(i/) en éléments simples par les formules des n"^ 24
cl 2G, et il en résultera une formule donnant F( m). Par exemple,
supposons que F(«) ait seulement des pôles simples homologues
des points
a, b, ..., /,
les résidus relatifs aux points «, ^, . . . , / étant
A, R, ..., L. Jja fonction elliptique
^(ii)= e->-«F(M)
admet les mêmes pôles avec les résidus
e->-«A, e-'>''B, .... e->/L.
On a donc, d'après la formule (3i) du n'^ 24,
*( u) = Co4-e-^«AZ(ii- a) ^ e-'^/'B Z{u — b) ^ . . . -i- e-'-i L Z{u — l ) ;
en outre, la somme des résidus de la fonction elliptique <I> étant nulle, on a, entre les pôles et les résidus de F, la relation
( rg ) A e->« -h B e-'-'' -t- . . . -f- he'^' = o.
Revenant à la fonction donnée F par la formule
F(u)= e>-«*(M), on a enfin la formule
F(m)= Coe'-"-!- Ae>-(«-«)Z(i< — «)
On pourrait donc prendre actuellement comme élément simple la fonction
<P(«)=6>-"Z(m)
et écrire
F(«)=Goe>-"+A<p(a — a)-HBcp(M — Z>) + ...-4-Lcp(a — / ).
342 CHAPITRE \1.
Il est important de remarquer que, si les multiplicaleuis sont spéciaux, les résidus ne peuvent plus être choisis arbitrairement : ils sont liés aux pôles correspondants par une relation, qui a la forme (ig) quand tous les pôles sont simples.
IIF. — ÉguvTioN DE Lamé. Équations de M. Picard.
210. Équation de Lamé. — Une application des pltis impor- tantes des fonctions doublement périodiques de seconde espèce, ou fonctions à multiplicateurs constants, est l'intégration d'une classe d'équations différentielles linéaires et homogènes ajant pour coefficients des fonctions elliptiques.
La première équation de ce genre a été considérée par Lamé à propos de l'équilibre des températures dans un ellipsoïde homo- gène. Cette équation, appelée équation de Lamé, a d'abord été prise par Lamé sous la forme
— -^ =[«(« + i)A- sn^a" ■+• /ijj>',
k étant le module, n un entier et h une constante. Lamé s'est borné à intégrer cette équation pour des valeurs particulières de h choisies de telle façon que l'équation admette une solution qui soit un poljnome entier en sn.z;, ou un polynôme entier en sn j; multiplié par l'un des trois facteurs eux, dnj; ou cn^dnx. Par exemple, quand /? = t , l'équation
■^ =(2/.-2sn2:r + /Oj',
admet la solution
y = sna",
pour h z= — (i H- A--), et la solution
y = cna", pour /i := I .
M. Hermite, se plaçant dans le cas général où h est quelconque, a montré que l'équation de Lamé peut toujours être intégrée et que son intégrale générale est de la forme
y = CF{x)-^C P{—x),
FONCTIONS A MULTIPLICATEURS CONSTANTS. 343
F(^) étant une fonction à multiplicateurs constants, G et C deux constantes arbitraires.
211. Forme de l'équation de Lamé dans les notations de M . Weier- strass. ^ Si dans réqualion
i d- y , , , „ ,
r-^ = /i(/H- nA-2 %nP-x -~ h,
y dx'-
on fait le changement de variable
.T = y -t- i K ,
// désignant la nouvelle variable et a une constante, et si Ton se reporte à la formule
Va j u
l équation devient
i d^y n(n-hi) , r4 = — ^^ ■+- h-
Introduisons maintenant la fonction pu par la formule (n° 97)
A
nous obtenons l'équation
y du"' ^ "^
où / est une constante. C'est là la forme de l'équation de Lamé dans la notation de M. Weierstrass, telle que nous l'avons ren- contrée au n" 194.
212. Intégration de l'équation de Lamé pour /i — i. — Nous allons exposer la méthode de M. Hermite pour le cas de /? =: i, qui, d'après les recherches de M. Hermite, se présente dans l'étude des mouvements à la Poinsot. Nous rattacherons ensuite le cas où n est un entier quelconque à un théorème de !M. Picard.
3 14 CHAPITRE XI.
L'équalion de Lame, pour /? = i , pcul s'écrire
(20)
y du' ^
Essayons de la vérifier par la fonclion à imilliplicaleurs conslants
ijiu -\- a) , v. = — : -' e'>«,
C'a
a el X désignant des constantes. Nous avons, en prenant les dé- rivées logarithmiques des deux membres
j-^ = t(u -h a)— tu -hl,
yi du et en dérivant de nouveau
I d^ji / 1 dviY I
J'i ^«- Vji du J '
Mais d'après la formule d'addition pour 'Cu (n" 41) la valeur de
I dvx , ,
7— peut s écrire
Vi du '
— j — ■ — i_ « -7- A
:>'! du
1 pu — pa
puis, d'après la deuxième formule d'addition pour pu (n" 4o), on a
. \ i p u — p a
'(« + «)= 7 1 Trr: — î-— j _p„_p«.
4 \P" — p«
On a donc enfin
-+-( !:a + X +
\ d^ y, I / p' w — p'a
~- = ipu-^pa —
J'i du- ^ l^\pu~pa
\ P'u — P'a 1 pu — pa
Pour que le second membre devienne égal à 2pa~\-l, on voit qu'il suffit de faire
pa = l, X — — ta.
Ainsi l'équation (20) admet la solution
c'(u -h a) y •^ <^u
FONCTIONS A M l' LT I PLI C A TE U R S CONSTANTS. 3^5
à condition que la conslanlc a soil dclcrniincc par l'équalion
(il) prt = /.
Comme l'équalion difTérenlielIe ne change pas quand on change u on — //. elle admet également la deuxième solution
•^^ (fit '
qui s'obtient aussi en changeant le signe de «, ce qui est évident d'après l'équation (21) dont le premier membre est une fonction paire de a.
L'équalion de Lamé pour n = i admet donc l'intégrale générale
^ a'(u-T-a) y „ a'(u—a) y
C( et Co désignant deux constantes arbitraires.
213. Équations de M. Picard. — L'équalion de Lamé rentre dans une classe déquations dillérentielles linéaires et homogènes qui peuvent être intégrées à l'aide des fonctions à multiplicateurs constants, comme l'a montré M. Picard (Comptes fendus^ 1880, i'*'' semestre.
Soit une équation linéaire d'ordre n de la forme
dont les coefficients/, (o:), /2(-2')î ...,/// (.2*) sont des fonctions elliptiques aux mêmes périodes 2to et aw'; supposons en outre que l'on sache que l'intégrale générale est uniforme en œ et n'ad- mette pas d'autres singularités que des pôles à distance finie.
Dans ces conditions, l'équation est inlcgrable à l'aide de fonc- tions à multiplicateurs conslants.
Pour le démontrer, supposons l'équation du troisième ordre
Le raisonnement que nous allons employer s'appliquera à une équation d'un ordre quelconque.
346 CHAPITRE \I.
Le point de dépari est dans ce fait que quatre solutions quel- conques y,, y2, ^^'3,^'; de l'équation du troisième ordre (22) sont liées par une relation linéaire et homogène à coefficients constants de la forme
Cl 71-1- G2 ^'2 +03^^3-1- Ci7i=0.
Soit alors
une intégrale de l'équation : par hypothèse, c'est une fonction uniforme de x. Comme l'équation différentielle ne change pas quand on change j:- en ^ -i- 2 (o, elle admet aussi les intégrales
Entre ces quatre fonctions a lieu, quel que soit x, une relation de la forme
(23) Cl cp(j')+ C2 0(37 -1- 'iw)-*- C3 0(0." -t- 4co)-i- Cv ç(.r -H 6w)= 0. En supposant C^ différent de zéro et divisant par C4, on a
(24) çl'j" -f- Gw) = c-i cp(a")H- C2 o(^ -T- 2 w)-f- C3 0(37 -f- 4w),
Ci, c-2, C3 désignant des constantes déterminées. Considérons alors la fonction
(■25) <ii{x)=li o(x)+ À, «f(:P -H 2 to)-|-X3 9 (J7 + 4a)),
où)v,, Ào, ).3 sont des constantes arbitraires. Cette fonction est une intégrale de l'équation : nous allons montrer que l'on peut déterminer les rapports de ces constantes À de telle façon que
(26) <li{x ^ 2 0J)= \X'\){x).
;j. étant une constante convenablement choisie. En effet cette der- nière relation s'écrit, en vertu des précédentes (24) et (25)
Ài ç(j7 -1- 2 0))-!- X2 o(.r H- 4 w)-t- X3[ci o(:r)-l- C2 cp(j7 + 2w)-f- C3 (p(ar 4- 4^)] = [jl[X, 'z,{x)-h 1, ^{^ -1-20))-+- ).3 '^{x H- 4aj)] ;
d'où, en égalantles coefficients de ^{x), o{x -h ato), 'o[x -+■ 4f»>)>
I !-lÀi — C|X3=0,
(27) < _ ),j-4_ [J.À., _ 05X3 = o, ( — >-2 + (!-'• — C3)X3= O.
l'ONCTIONS A MULTIPLICATEURS CONSTANTS. 347
L'éliniinalion de Aj, Ào» ^-a cnlrc ces équations donne, pour dr- lerminer a, Téqualion du Iroisièmc degré
(28) |JL^ — CjtX- Co [i. — Cl = o.
Après que l'on aura pris pour !jl une racine de celle équalion, on tirera des équations (2^) devenues compatibles les rapports de deux des quantités À,, X^, A3 à la troisième, et l'on aura ainsi une intégrale '}(-r) telle que
En parlant maintenant de celle intégrale, comme nous sommes partis de ç(-p), on montrera que l'on peut déterminer des coeffi- cients constants )/, , À',, a', de telle façon que l'intégrale
F(x)= l\'\,{x)^ l'.^ <li(x-h 10)')-+- Xj '\i{cc -+- jo)')
vérifie une relation de la forme
F(,r -f- 2aj';= [ji.'F(a7)..
D'ailleurs celle fonction F(x) vérifie évidemment la relation
F(x -{- -210 )= [iF(x),
puisqu'elle est une somme de trois fondions à qui la vérifient sé- parément.
On a donc démontré que l'équation possède au moins une intégrale F(.r) admettant deux multiplicateurs constants. Suppo- sons cette intégrale trouvée : alors, conformément à la théorie gé- nérale des équations linéaires, on fera le changement de fonction
= Fix)fzcLr, z=^(
dx \¥(x )
z étant la nouvelle fonction inconnue. Cette fonction z vérifie une équalion du second ordre
('9 '^-^S',(x)'^+ff,(x)z = o,
dontles coe.(^\c\cn\.s sonl doublement périodiques, comme form('s rationnellement avec les fonclions /, (jr), /o(^) qui sont dou-
348 CHAPITRE XI.
blement périodiques el les quotients
F'(.r) F"(x) F{x)' "F(ry'
qui le sont également. En outre, l'intégrale générale j)' de l'équa- tion donnée étant supposée être uniforme et n'avoir que des pôles à dislance finie, la nouvelle fonction
dx LF(a:) J
possède les mêmes propriétés. L'équation différentielle en ;: possède donc les propriétés caractéristiques des équations de M. Picard : elle admet au moins une intégrale qui est une fonc- tion à multiplicateurs constants. On l'abaissera par le même pro- cédé à une équation du premier ordre qui s'intégrera par une fonction à multiplicateurs constants.
Remarque. — Nous avons supposé, dans notre raisonnement, Ci différent de zéro. Si C4 était nul (équation 28), on aurait
Cl 0(5^)-!- Co 0{X -+- 2(.0) -)- G3 Cp(a7 -f- 4 W)= O.
Alors on supposerait C3 différent de zéro et l'on aurait on poserait
et on déterminerait le rapporta par la condition
<li{x -h 20)) = [i. i(ar),
[JL désignant une constante. Les conclusions sont donc les mêmes. Le cadre de cet Ouvrage ne nous permet pas d'entrer dans le détail des divers cas qui peuvent se présenter. Nous renverrons le lecteur aux Mémoires de M. Picard {Journal de Crelle, t. 90) et de M. Y\o(\ViQ\. {^Annales de V École Normale, S*" série, 1. 1, i884).
214. Retour à l'équation de Lamé. — Prenons comme exemple l'équation de Lamé
— —r^— ^= n(n + 1) pu ^ l, y du'^ ^
FONCTIONS A M U I.T 1 1' L I C A T K U R S CONSTANTS. 34()
OÙ II est un enlicr que l'on peut toujours supposer /jos////, car l'équation ne change pas par le changement de n en ( — // — i). Il résulte des théorèmes sur les équations linéaires établis par ]M. Fuclis (') que cette équation a, quel que soit /, une intégrale générale uniforme ne possédant d'autres singularités que des pôles à distance finie. On peut donc alfirmer, d'après le théorème de M. Picard, cjue cette équation est intégrable à l'aide des fonctions à multiplicateurs constants. Voyons quels seront les pôles de ces fonctions et leur ordre de multiplicité.
Soit « = rt un pôle, d'ordre a, d'une intégrale y^ on a, dans le voisinage de ce point,
y = G(« — rt)-«[i 4- Ai(« — a) -^ X.i{u — a)- ^ . . .],
C, A), Ao désignant des constantes. On en conclut
I dy oi Ai-i-2A2(?< — a)-\-...
y du u — a i -f- A ) ( f< — a ) -t- . . .
ou, en développant le second rapport suivant les puissances de li — a,
I dy a 4 .^
,- = h A, -J- Bi ( « — a ) -H . . .
y du u — a
Bi
Différentions par rapport à // ; il vient
I d^y / I dy\' _ x
y du- \y du) [u — a)'^
I i dy ,
et, en remplaçant — f- par sa valeur, ' ^ ' y du '^
y du- {u — a)- u — a D'après l'équation de Lamé, ceci doit être égal à
«(« 4- I) p« -r- /.
(^omnie les seuls pôles de pu sont o et les [)oints homologues, a doit être égal à o ou homologue de o. Gomme la partie prin-
(') Journal de Ci elle, t. 6G, p. 121.
3JO CHAPITRE XI. — FACTEURS A MULTIPLICATEURS CONSTANTS.
clpale de pu dans le voisinage d'un de ses pôles est
I
{u — a)-' on doit avoir
a(a -r- i) = /«(« -i- 1 ), aAi = o.
La première relation exige, puisque a et n sont positifs,
a = /t tt la seconde
Al = o.
Ainsi une intégrale quelconque de l'équation de Lamé admet, comme seuls pôles, les points homologues de o : tous ces pôles sont d'ordre /?. Nous savons d'autre part que l'équalion de Lamé admet au moins une intégrale l'i qui est une fonction à multipli- cateurs constants. D'après la formule (8) du n° 202, qui donne une fonction à multiplicateurs constants comme le quotient de deux produits de fonctions H mettant en évidence les pôles et les zéros, cette intégrale jKi est nécessairement de la forme
. , liix -^ ai)U(x -h a-i). . .li(T -T- a„) Vi = A e'"^ — pî
ou, avec les notations de M. Weierstrass,
y ■ = b e'-^ ^
■^' cf"{x)
Il reste à déterminer les constantes
«j, a-y, ■ ■ ■ , (1,1, ).,
de façon que cette fonction vérifie l'équalion de Lamé; c'est ce que l'on fera par un calcul analogue à celui que nous avons dé- veloppé (n" 212) pour le cas simple de /? = i .
L'équation admettra une deuxième intégrale, jo déduite de y, par le changement de .r en — .r. On retrouve ainsi les résultats de M. tiermite.
CHAPITRE XII.
FONCTIONS A MULTIPLICATEURS EXPONENTIELS OU FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES DE TROISIÈME ESPÈCE.
21o. Définition. — M. Hermltc a appelé fonction doublement périodique de tioisième espèce une fonction uniforme n'ad- mettanl d'autres singularités que des pôles à distance finie et vérifiant deux équations de la forme
(0
ç(^ + 210) = e«-^+*cp(a7),
rt, b, «', b' désignant des constantes. Les facteurs e«-^+* et e^'^^^' par lesquels la fonction est multipliée quand l'argument croîl d'une période, sont les multiplicateurs de la fonction : ces mul- tiplicateurs sont actuellement des exponentielles linéaires en x. L'étude de ces fonctions a été faite par M. Hermite {Comptes rendus, 1861 et 1862; Journal de Crelle, t. 100); par M. Biehler ( Thèse de Doctorat, 1 879) et par M. Appell {Annales de l'École Normale, ?>" série, t. I, II, III et V). Des exemples simples de ce genre de fonctions sont fournis immédiatement par les fonctions a". H, 0, .... D'une manière générale, la fonction
U) V^^;--^^ W{x-a,)}i{x-a^)...U{x-a,y
où le nombre p des fonctions H au numérateur est différent du nombre^ des mêmes fonctions au dénominateur, est une fonction doublement périodique de troisième espèce. Nous verrons plus loin que, réciproquement, toute fonction doublement périodique de troisième espèce peut être mise sous cette forme. Nous donne- rons encore deux expressions principales de ces fonctions : l'une, par un quotient tel que (2) de deux produits de fonction H,
3j2 chapitre XII.
inetlant en évidence les zéros et les pôles; l'autre, par une somme d'éléments simples, mettant en évidence les pôles et les parties principales correspondantes.
210. Simplification des relations que vérifie une fonction à mul- tiplicateurs exponentiels. — Soit une fonction o(x) telle que
cp(:F-t- iLû'} — e«'-^+'!''o(a7). Posons, en désignant par \ et jji. des constantes,
On peut toujours déterminer X et ul de façon que/(jp) admette la période aco, c'est-à-dire ne change pas de valeur quand x croît de 20). En effet on a
/'( a- -f- -2 CD ) , , , ^ , „
et pour rendre cette exponentielle égale à i , il suffit de déter- miner A et UL par les deux équations du premier degré
(3) 4 ^C"J = — «) 4 ^^'^"' -+- i ;j^w = — b.
La fonction f{x) vérifie aloi s deux relations de la forme
A et B désignant deux constantes dont la première a pour valeur
, , , , Ma' — a m' A = 4 A(U -h a =
Comme la fonction/(j:) admet la période ao), les deux membres de la seconde relation (4) ne doivent pas changer cjuand x croit de 2to : on a donc
g2 A (0 — 1 ^ -2 A co = — 2 N •<: J, N désignant un entier positif ou négatif. Les relations (4) s'é-
FONCTIONS A ^I r LT I PLI C A T E U n S EXPONENTIELS. 353
crlvcnl alors
/(.r-f-2w')= e w "*" f{x).
Si rentier i\ élail nul la ronclion f{x) serait une fonction aux mulilpliealeurs constants i et e", fonctions que nous venons d'é- tudier. Nous supposerons donc N différent de zéro. Dans cette hypothèse, on peut encore simplifier un peu les relations ci- dessus, en prenant comme nouvelle variable • ^
Bw
It — X — -rr^-T—
NtTI
et posant
Cette fonction F(«) vérifie alors les deux relations
/ F(a -t- 20)) = ¥{u),
(5) N,7V»
( F(«i-^7,w')= e <^ F(m)-
C est à cette forme simple que nous supposerons toujours que l'on ait ramené les deux relations vérifiées par une fonction double- ment périodique de troisième espèce.
217. Exemple du cas N = i. — La fonction
(6) E(a)= -f^é^ Hi(m) = — -^ e'^ W {u — tji)
yq Vq
est une fonction régulière en tous les points à distance finie ou ce que Ton appelle encore une fonction entière de u^ car elle se comporte comme un polynôme en tous les points à distance finie. D'après les propriétés de la fonction H,, on a
Hi(m-^2(o) = — Hi(«),
IIi(w -^ 2w')= e '" Hi(i<);
ce sont les formules du n" 70, où nous écrivons 2to et 3to' au lieu de yK et '?/iW . Il en résulte que la fonction E(«) vérifie les rela-
A. ET L. 20
354 ciiAPirni-: xii.
lions
(7)
E(k-H2w) = E(u),
i TZ II
E(w-h2w')— e «^ E(«),
relations de la forme (5) où N= i. Cette fonction entière E(m) est partout finie; elle a les mêmes zéros que H) (m), à savoir : le point M = (0 et les points homologues; il y a un et un seul de ces zéros dans chaque parallélogramme des périodes.
Nous avons donné pour H, (u) la série suivante (p. 1 15)
1 )' ( 2 n H- 1 1 1 TT K
U,(m)= 2 ^ ' ^ '" La fonction E(?^) est donc donnée par la série
"""""^ (n-hl)iTZii
E(i/)= V qnUi+i}e w ,
ou encore, en changeant /« en /? — i,
n nz I
E{u)= V ^"("-"e w
I. — DÉCOMPOSITION EX FACTEURS. CONSÉQUENCES.
218. Première expression d'une fonction doublement périodique de troisième espèce. — Soit une fonction F(u) vérifiant les rela- tions
!F(ii-!-2a>) = F(u), N i 71 n F(«-^2w')= e ^^ F{u),
où N est un entier positif ou négatif. Si nous élevons à la puis- sance N la fonction E(?/) du numéro précédent, nous obtiendrons une fonction
vérifiant les deux relations
E^ ( a -^ 2 oj ) = E^(u),
N i Tt //
1- ONCTIONS A MLLTII'I.IC \T1:LUS EXPONENTIELS. 355
D'après cela le (juollenl
oil une fonction olliptiqiic. On a en cfl'et
*(« -f- 2W)= «I>( t/ ), <Ij( /f -^ •?. w') — *(k).
I^ellc fonction elliptique <I> a, dans un parallélogramme des pé- liodes, autant de zéros que de pôles; on peut l'écrire (n" 40)
(Q) *(;/,)= A 7^ !-Ht --^ ~ 'J-,
\\i u -- ai)i\(ii — tti). . .n( u — Ur)
SOUS la conditKjii
< lo ) ay->r- a-i-^. ..^^ a,.— hi-^ b-i^ . . .-^ b,..
De cette première expression de la fonction F(;/) sous la forme
FU)= E^'(fO*(«)i
on conclut immédiatement les résultats suivants. Xous distingue- rons deux cas : i" l'entier N est positif; %'* l'entier N est négatif.
219. Cas de X positif. — Si nous posons N = m, m positif, le facteur £"'(«) est une fonction ne devenant pas infinie et admettant comme zéros d'ordre m le point oi et les points homologues. On a alors, en i'em[)laçant E(«) par son expression (6),
<ii) F(^fj^Be^w — i — L ^ ^ !_j_ .
H ( M — ai j H ( u — n,).. .)A{u — a,. )
il peut sefiire, dans cette expression, que certains des points <-/,, /■/o, . . . coïncident avec (o ou soient homologues de w : il y aurait alors des réductions évidentes. Mais, dans tous les cas, en comptant chaque zéro et charpie pôle avec son degré de multipli- cité, on a le théorème suivant :
.Sf N est égala un entier positif /;?, la fonction F(«) a, dans un parallélogramme des périodes, m zéros de plus nue de pôles. La somme de ces zéros, diminuée de la somme de ces infinis, est congrue à m m. La première partie de ce théorème est évidente d'après la formule (ii); quant à la deuxième, la
356 CHAPITRE XII.
somme des zéros, diminuée de la somme des infinis, est congrue à 7«a) -4- 6i-<- 62-f-. . .-+- b,. — «i — «2 — . . .— «,.,
c'est-à-dire à ihm d'après la relation (10).
Réciproquement, soient a,, a^,, ..., a^; j^i, jjo, ..., ^r+m des constantes vérifiant la relation
Pi-t-p2-^----i- ?,•+,«— ai — a, — ...— a^= mw,
la fonction
^;^„(„-g)H(,. 3.) H(,.-p..„.)
^ -^ \{{u — ai)...H(« — Kr)
est une fonction vérifiant les relations
m Tt ui
F(« + 2w)=F(i<), F(«-i-2w')=e ^F(a), comme il résulte des propriétés de la fonction H.
m "K ni
Fonctions entières admettant les multiplicateurs i et e ^ . — Quand N est égal à un entier positif m, nous venons de voir que la fonction F a m zéros de plus que de pôles : il peut se faire qu'elle n'ait pas de pôles du tout : alors c'est une fonction entière ^{u) ayant dans un parallélogramme m zéros
Hl) P2) • • • > P'« J
ces fonctions particulières ont pour expressions
e{u)=Be 2« H(K-pi)H(M-?2)...H(«- i3,„),
avec la condition
pi+ Pa-f-. . .-h P,„ = mw.
On voit que la fonction entière la plus générale, vérifiant les deux relations
(il) I _ m 71 ni
( €(« -i- 2w'j= e ^ ©(«),
dépend de m constantes arbitraires B, [j,, [îo? • ■-, ^««-i : elle est déterminée, à un facteur constant près B, quand on connaît (m — i) de ces zéros. Nous allons montrer que la fonction entière la plus
FONCTIONS A MULTIPLICATEURS EXPONENTIELS. SSy
générale vérifiant les relations (12) peut s'exprimer en fonction linéaire et homogène de m fonctions spéciales vérifiant les mêmes relations. Pour cela, remarquons que toute fonction entière ad- mettant la période vtt^i peut être représentée par une série de la forme
n = + au _ .
^^ n Ti ut
(i3) €(«)= y A„e~^,
/l = — »
dont chaque terme admet la période 110. En désignant toujours par q la quantité e "^ , on a
n TT ni
(Ê(«-r- 2aj')= y Art'/î^e"^^,
rmziii In — m)'iziii
D'après la seconde des relations (12) ces deux séries doivent être identiques. En égalant dans ces séries les coefficients des mêmes
7: ni
puissances de c '^ , on a
(i4) A„+„j= A„5r2«, {n = o, =1, ±11, ...).
D'après cette relation unique entre les coefficients, on voit que l'on peut prendre arhitrairement Aq, A,, . . ., A„j_, et déterminer ensuite tous les coefficients.
Ainsi en faisant successivement « = o, n = m, n = 2m, • . . , n =(v — i)ni, on a
d'où, en multipliant,
(i5) Av,„= Ao^^^''-"'";
en faisant de même, dans (i4)» ^= — '''? '* = — 2/;?, ..., n = — [xm et multipliant, on vérifiera que la formule (i5) subsiste pour V négatif. Tous les coefficients Av/« sont ainsi exprimés à l'aide de Aq. Par un calcul semblable on exprime tous les coeffi- cients Av^+i en fonction de A,, \^m+2 en fonction de Ao, ,..,
358 CII.VPITRK XII.
Av„,^,„_i en fonction de A„,_,. On trouve
A. , . A . /7V(V— 1)//I + 2V
Av,„+,„-, - A,„_, g,v(v-l)/«+2(,n-l)v.
En portant ces valeurs dans le développement de la fonction en- tière ^(u), on trouve qu'il prend la forme suivante
où Eo, E|, ... désignent les fonctions entières suivantes
î„(«)= 2
rV(V— 1)/«^ O)
E, )=e'
rVV — 1)/M+2V ^ tO
(16)
Ep(M)=e w > ^v'v-i)m+2pve 10 ^
Ainsi, comme nous lavons dit, la fonction entière la plus géné-
raie admettant les multiplicateurs i et <? " est une fonction linéaire et homogène de m fonctions spéciales Eq, E|, ..., E„,_,. L'expression de cette fonction contient m constantes arbitraires Ao, A,, ..., A.jn-\ dont on peut déterminer les rapports de façon que la fonction ^(u) admette /n — ^i zéros ,3), jjo, ..., ^m-t donnés à l'avance. Ces fonctions Ep s'expriment toutes à l'aide de la première : on a évidemment
Ep(a)=e"^^Eo
2pw'\ ni I
D'ailleurs la fonction Eo s'exprime aisément par une fonction de Jacobi. En effet, reprenons la fonction E(f<) construite plus
FONCTIONS A MULTIPLICATEURS EXPONENTIELS. 359
haut (n° 217) avec les périodes 'ito cl ato'
E(«|w, io')= 2 7
V(V— I)/» (1)
où nous niellons en évidence les périodes ajanl servi à construire
■Ktiti
la fonclion H,. Si dans celle formule on change co en — ? r/ = e *"
se change en q'"^ et la série du second membre devient précisé- ment Eq(«). On a donc
(1 V IIITZlli I
1 "i / \/q>"- \
220. Cas de N négatif. — Supposons maintenant N négatif, et
posons
N=— /»,
où m est un entier positif. Les fonctions à étudier sont alors telles
que
F ( if -f- 2 u) ) = F ( « ) ,
in 71 '"'
F(«-f-2co')= e '^ F{ii)-
On conclut immédiatement de ces relations I I
F(m-+-2w) F(k)
m 11 ni
F{U -h 2.(ii' )
F(«)
L'inverse ^^ de la fonction à étudier est donc une fonction
F(«)
aux multiplicateurs i et e " (m positif), c'est-à-dire une des
onctions du numéro i^récédent. L'inverse =r7 — : peut donc s écrire ^ F(a) '
:::3 13 C ^ • i ! y
F{u) U(u — %i)...U(u — y.r)
36o CHAPITRE XII.
avec la condition
?!-*- Pa-ï-- ••-+- ?r+m — ^i— a, — . . .— x,.= m Cl). La fonction F(«) a donc pour expression générale
Y(a)^Cc-'^ H(»-ai)...H(»-«,) ^ ^ ^ "^ H(«-[i,)...H(u-i3,+,„)
Elle a, dans un parallélogramme des périodes, m pôles de plus que de zéros, et la différence entre la somme de ces pôles et de ces zéros est congrue à mw.
Il ne peut donc pas exister de fonctions aux multiplicateurs i
7/1 iz ni
et e "^ , n'ajant pas de pôles. Mais il en existe qui n'ont pas de zéros; ce sont les inverses -;- — des fonctions sans pôles du nu- méro précédent.
II. — DÉCOMPOSITIOX EX ÉLÉMENTS SIMPLES.
221. Étude de l'élément simple. — Désignons par x ei y deux variables indépendantes, par m un entier positif, et considérons la fonction de .r et jk définie par la séiùe
n = -l-c
m n 71 VI
n = — 1
(17) y,„{x,y)= y. ^ '^ q'nnin-ï) f^QX, {x — y — % THù' )
ou bien
(18) yjn{x,y)=^
n — |
i |
X, |
m n TT >•/ e '^ |
9 |
nu |
n- |
-1) |
■Kl e 7t( |
X — Cl) JC — |
y]i |
-+■ |
q,a |
/j= |
«> |
e |
(ù |
— |
qin |
Cette série est convergente pour toutes les valeurs de a; et ^ à l'exception de celles qui vérifient la condition
X — y = inui -+- in'iii' (n et n' entiers),
€t pour lesquelles un des termes de la série devient infini.
Si l'on considère x comme une constante et y comme variable, la fonction y„i(x, y) est une fonction uniforme de y n'ayant à distance finie d'autres points singuliers que des pôles du premier
FONCTIONS A MULTIPLICATEURS K X PON E NT I 1- LS. 36 1
ordre, à savoir les points
y = ce — a/io) — in'oi' ;
le résidu rclalil' au pôle y = ^ est — i, car le seul terme de la série qui devient infini pour y = 3: est
TU TT ,
— cet — (x — y).
Cette fonction vérifie les deux relations suivantes, qui s'établissent aisément :
[ Xm(^> y -^ 2aj) = '/m(^, y),
(19) { "' lï.v/
( Zm(a^, JK-4-2w'):= e w y,„(x,y).
Cette fonction y,„ de la variable j^ admet donc les multiplicateurs
1 et e ^ : elle a dans un parallélogramme (m + 1) zéros et un pôle homologue de x.
Si l'on considère, au contraire, y comme une constante et x comme variable, il se présente des circonstances entièrement difi'érentes. La fonction '/m(^,y) est alors une fonction uniforme de X n'ajant à distance finie d'autres points singuliers que des pôles du premier ordre, à savoir les points
X = y -7- 2 n 0) -h "2 n' ui' ;
le résidu de cette fonction relatif au pôle x=y est égal à + i. Elle vérifie d'abord la relation évidente
(20)
puis l'équation
yy«(a7 -^ 20), y) = x«(^, y),
y,n{x-r-2iù',y)= e " y,n{oo,y)
m -K oci \
•r-e~^)E,{y)
(21)
TU
e
<^ E,(JK)-...
( ;h — p ) U xi
^ Ep(j)-..
--e <- E,„_i(7),
36-2 CHAPITRE XII.
OÙ les m fonctions Eo, E,, . . ., E,„_, sont celles qui ont été dé- finies plus haut (n° 219).
Pour dénionlrer cette relation fondamentale (ai), remarquons (jue la série (i8) nous donne
7r(.r — r)i
to _i_ qiin—l)
n :=-+- 00
n = — 00
ou, en clianjjcant n en // -f- i ,
n=:-H 0
mn TiYi
7t(.f— J)< g W (72(rt— 1)
min + l) TZyi
Si nous formons alors la différence
nous obtenons une série qui peut s'écrire
lia A^
n = — oo
en posant, pour un moment,
(o pmnKn—\] l '_ 1 ,
t — Il
(23) e w = /, cf-'i=ii
En effectuant la division, on a
{t — u)(u"'— t'")
t — u
( t'ii _j_ 2 /"î-l Zi -I- 2 t'"--- U2 4- . . . -i- 2 <a'"-' -i- «'« ),
et en substituant dans la série (22) on voit que cette série se par- tage en (m -+- i) séries.
La première de ces séries est
m{ n-trW TZyi Q to ffmni.n—1) (in
c'est-à-dire, d'après la valeur de t,
_ . n=:+ 00 _ • m-iixi
e w >
2 0) .^
mmzyi Q (o Qinn^n—l)
FONCTIOX?^ A MLLTrPMCATEtrnS EXPONENTIELS. 3G'i
OU enfin
• m T. xi
La deuxième de ces séries est de même
T.i |
,^ min'-IITTvj |
|
\ g uj qmn[n—\)im—\ii |
||
(U |
^ t ' |
|
c'est-à-dire |
||
-i "" |
— 1 1 ~ >7 'ïZyi _ ^ mrfïzyi |
|
e |
(jj g (i> X g to qmn.[n—\) |
|
O) |
^ ^ |
|
ou enfin |
■ ( m — 1 ) 7T W |
|
-~e <- E,(j;. |
Ainsi de suite. La (p -f- i)''^'"^ de ces séries est
{m—p)njci pizyi mn u.vj
TZl
OU
. ( 77J — p ) TT rj
--e - Ep(j). La dernière ou (m -7- i)"^^""^ de ces séries est
ni t: Yt m n nyi
TT t — — ^ — ^^^ -—
! e *^ T 6 '*' Qmnin—D-hinm
■2lù ^ ^ '
c'est-à-dire
• m(n -t-I ITT W
OU enfin
-^Eo(r),
2 0)
comme on le voit en changeant, dans la dernière \ , n en n — 1 . Ce calcul démontre la formule (21).
On a ainsi les propriétés fondamentales de l'élément simple
y,„(jr, y).
222. Décomposition en éléments simples dans le cas où X est né- gatif, X =— m. — Soit F(z^) une fonction aux multiplicateurs i
m T. m
et e "^ , m étant positif. Une telle fonction possède au moins m
364 CHAPITRE XII.
pôles dans un parallélogramme des périodes. Supposons qu'elle ait /• pôles simples (r^m) homologues des points
a, b, .... /
et que les résidus aux points a, b, . . . , / soient
A, B, ..., L.
Ces pôles et les résidus correspondants sont liés par m relations qu'il est aisé de former.
Relations entre les pôles et les résidus. — Considérons une des m fonctions entières Ep(i^) du n° 219 qui admettent les mul-
m TT ni
tiplicateurs i et e P . Le produit
«ï.(M)=F(a)Ep(«)
est une fonction elliptique aux périodes 2to et 210'. En effet, les deux facteurs admettent séparément la période aco et, quand u
m ir //(
croît de 2 (o', le premier facteur est multiplié par e '^ , le deuxième
mTZiti
par e " et le produit ne change pas. Cette fonction elliptique a les mêmes pôles que F(?^), car le facteur Ep(M) n'a pas de pôles. Le résidu de ^(u) au pôle u = a est AEp(a), car on a, au voisi- nage de u = «,
A
F(u)= h fonction reErulière,
u — a °
Ep(M)= Ep(a)-i-(M — a) Ep(a)-f-. . .,
d'où, en multipliant,
AEp(CT)
«ï>(m)= ï^ 1- fonction régulière.
u — a °
Les résidus de ^(n) relatifs aux autres pôles sont de même BEp(6), . . ., LEp(/). La somme des résidus d'une fonction ellip- tique étant nulle, on a la relation
^■24) AEp(a)-t-BEp(6) + ...^LEp(0 = o.
En attribuant à l'indice p les m valeurs o, i, 2, ..., m — i
FONCTIONS A M L' LT II' LI CA T E V RS EXPONENTIELS. 365
(n" 219), on obtient ainsi ni relations nécessaires entre les pôles et les résidus de F(m).
Décomposition en éléments simples. — Considéroas la diffé- rence
(25) W{u)=¥{u)— \ ■/,„ ( «, rt) — B 7 ,„ ( M, ^») — . . . — L -/,„ ( w, /);
nous allons montrer que cette différence ^' est idenliquenienl nulle. Tout dabord la fonction ^V{u) ainsi construite admet les
multiplicateurs i et e *^ : on a évidemment
^V{U -r- 2t0 ) = '^V{u),
car chaque terme du second membre admet la période 210; voyons ce que devient le second membre quand u croît de 210' : on a d'abord
m 7C ni
F(i<-f- 210')— e '^ F(m)=o, puis
m iï ui
'/m ( « -^ 2 w', « ) — e " y,n ( «, « )
. / m7Ziii\ . I m — 1 1 77 ui . 77 ui
2W U) U)
/,,«(«-i- 2w', ^i)— e ^ ■/,„{u,b)
. I 77! — WTZIii . 7Î Mt
2W
:t
i-e ^ )Eo(b)- — e ^ E,(b)-...~-e'^ E^.,(b).
comme il résulte de la relation fondamentale (21) dans laquelle on remplace x par u et y par a, ou b, . . ., ou /. D'après cela la différence
»i 7t ni
W(u) — e «- ^\u) peut s'écrire
(nfrZiiiS. i^e~^)[XEo{a)-^BEo(b)~...^LEo(l)],
• im — DTZtti
-—e w [AEi(a)-^BE,(6) + ...— LE,(/)], — e"^[A E,„_,( a)-^- B E„,_,(6)-r-. . .^ L £,„_,( /;];
366
C II A P I T n E XII.
celle difTérence est donc nulle, puisque chacune des sommes entre crochets est nulle en vertu des relations (24) entre les ]DÔles et les résidus. Ainsi la fonction M'(//) vérifie les deux relations
(26)
in TT '//
W(u ^ o.w') = e " W( u).
De plus cette fonction M* est finie en tous les points à distance finie; elle n'a plus de pôles. Par exemple, dans le voisinage de // = rt, on a
F(«) =
u — a I
fonction régulière, fonction régulière,
elles autres fonctions '/m{i{, l>), • ■ • -, '/ ni{ii 1 l) sont régulières au
point a : dans la combinaison donnant W[u), disparaît,
et ^r(^^) 6st régulière au point a. Elle l'est également aux points />, ..., / et aux points homologues. En résumé, W(m) est une fonc- tion sans pôles vérifiant les relations (26). Mais nous avons vu qu'il n'existe pas de fonctions sans piMes vérifiant ces rela- tions (n° 220) : donc ^'{u) est identiquement nulle et l'on a la formule
(27)
F ( iO = A y,n {u,a)+Vj y,,, (u,b)-
Ly,n(.u, /),
qui est la formule de décomposition cherchée, mettant en évidence les pôles de F( w), a, h, .... /et les résidus A, B, . . . , L.
Réciproquement, si a, b, .... / sont des points arbitraires, non homologues deux à deux, et A, B, . . ., L des constantes vérifiant les relations (24), l'expression (27) définit une fonction aux
multiplicateurs i et e "' admettant comme pôles simples les points a, b, ..., l avec les résidus A, B, .... L, et leurs homologues.
Remarque. — On obtiendrait cette même formule de décom- position en considérant le produit
comme une fonction de v. Ce produit !!((') est une fonction ellip-
l- ONCTION s A M L I.TIIM. ICATKLRS E X l'ON KN T I IC LS. i()7
liqiic aux périodes ato cl :iu)', car les fonctions de v, F(t') cl '/m{fii *') onL des nnilli|)li(Mleiiis inverses; celle fonction \\{v) adniel comme pôles les |)oiMls homologues de
p = a, V = b, ... t' — /, V — u,
avec les résidus rcspcclifs
\y,n(u,a). B /,„(«, ^), ..., L/„,{u,l), —F(u);
l'expression du dernier de ces résidus résulte de ce que '/m{ii^ v)- regardé comme fonction de c, admet le pôle simple r = a avec le résidu — i (n" 221). En écrivant que la somme des résidus de la fonction elli|)lique, relatifs aux pôles non liomoloirues, est nidle, on a immédiatement la formule de décomposition (27).
Cas des pôles inuUiples. — Nous avons écrit la formule de décomposition et les relations entre les pôles et les résidus dans le cas des pôles simples. Si les pôles sont multiples ces formules ce généralisent, comme celles que nous avons données (n'*' 26 et 207) pour les fonctions elliptiques et les fonctions à mulliplica- Icurs constants. Bornons-nous à écrire ces formules. Supposons
que la fonction F(?^) aux multiplicateurs i et e '^ admette les pôles rt, 6, . . ., / avec les parties principales
Il — a (a — a)- B B,
Aa-1 |
|
( |
u — a)'^ |
B^-, |
on aura la formule
d y,„ ( u,a) A .2 d^ y,,, ( u. a) da 1 . 2 da"^
Ag-i d^J--^ y,n{u, a)'
r(«,«)]
' i.'2...(a — I) c^aot-1 J'
la somme étant étendue à tous les pôles. En outre, les relations
368 CHAPITRE XII.
entre les pôles et les coefficients des parties principales sont
2[AEp(«)4-A. -^^^ -4- ^ —^ -I-...
i.2...(a — I) </««-! J "' OÙ Ton fait successivement p = o, i , 2, . . ., {m — i ). 223. Exemple. — Soit
Cette fonction vérifie les relations
o{x -r- aw) = 9(37),
2 Tt / / . M \ ( X-l- W' )
Si donc on fait, pour un moment,
, 10
ojtt — co'-t- ^j = F(tt),
cette fonction F vérifie les deux équations
2 ît ni
F(ii-!-2Ct)) = F(m), F(w-i-2to')= e~^F(«).
Pour cette fonction F le nombre entier désigné par m est donc 2. La fonction 0(^0:) admet dans un parallélogramme des périodes
les deux pôles simples o et to avec les résidus respectifs .,., , .. , — '■ ^ ^ H'(o)Hi(o)
et — ,,,, „ , Comme u est égal à a: -f- to' , la fonction
F{ii) admet les deux pôles
a = oi }
2
avec les mêmes résidus
A=: „ . ., B=.-
H'(o)H,(o)' H'(o)Hi(o)
FONCTIONS A -M l LT II' L I C A T E L' KS EXPONENTIELS. 869
Oïl a donc la fornuilc de décomposilion
F(m)= a y^idi, (i)-r- 13 '/i(u, b),
d'où, en revenant à la variable x et remplaçant A, B, a, h par leurs valeurs
H'(o)H,(o) / , co , (o\ /
— — = Vt a? -4- oj — — > oj — y, ( ,
X -T- Oi 1 CO-i- —
2 V.
Si l'on met pour ces fonctions y 2 les séries servant de définition, on a
H'(o) Hi(o)
n^-+- 00
= -^7 {— \ )" q-^n'' \ col — {x — iiiiù') — cot-^(a7 — OJ — aftw') .
2 0) .Àiri ^ L 2U) 2 0J^ '\
n :iz — 00
La seconde colangente est égale à — tang-^(a; — 2/ito'); on a donc enfin, en réduisant,
H(o)H,(o)
sin — {x — 2/1(1)')
O)
On établira de même, à titre d'exercice, la formule H'(o)H,(o)
e(a7)0
1,(0) T.l V' ^ - r ,
-; — = — > ( — i)''^ - col — \x—(i.n — i)a)l.
l{x) OJ J^ ' ^ to "^ " ' ^
M. Hermite a montré l'importance que présentent les développe- ments de ce genre pour les applications à l'Arithmétique.
224. Formule de décomposition dans le cas de N positif. N =
m.
mTZiii
— Soit F(;^) une fonction aux multiplicateurs i et e " . Sup- posons que cette fonction admette les pôles simples «, h, ..., l non deux à deux homologues, avec les résidus A, B, . . ., L. L'ex- pression
>r(iO= F(iO+ A ym{a, u)-i- B yjn{b, u)-^...— !^ -/,„(/, u)
est une fonction aux mêmes multiplicateurs, mais n\iyaiit plus A. ET L. 24
3^0 CHAPITHE XII.
de pôles. En effet, chacune des fondions F(î/), ym(o. ii), ...,
'/in{l' n^ admet les multiplicateurs i et <? ^ (n° 221 ). En outre, dans le voisinage de u = a jiar exemple, on a
A
Y(u)= -!- fonction réffulière,
u — a
y n,(o, it) = — ■ i- fonction rée^ulière,
'- u — it
et les autres fonctions '/m{i>, if), •••, '/m{i, ff) sont régulières.
Dans la combinaison donnant W, disparaît. Le même fait se
produit en tous les pôles de ¥(u). La fonction ^I'(?/), admettant
m T- III
les multiplicateurs i et e "et étant partout linie, est une des fonctions entières (S (//) étudiées au n** 219. Elle est donc de la forme
XoEo(«0^ ^'1 Ei(«)H-. . .— >v«-i E„,_i(«<),
où Àoj ^Mî •••; ^v«_i sont des constantes déterminées. On a alors la formule
i F(a) = — A ■/,„(«, fO— B 7_,„(^, «) — ...— L-/,„(/, «)
( -+- Xo Eo(m)— -"m Ei(M)-h. . .^ X/„_i E,„_i(«).
On pourra déterminer les coefficients Ao, À), ••., A„,_, en attri- buant m valeurs numériques à la variable u. Pour une étude plus détaillée de ce point, nous renverrons aux Mémoires de M. Appell.
Dans le cas des pôles multiples, cliaque terme de cette formule doit être remplacé par une somme telle que
Ag-i d^-i ym(a, u)
1 .2. . .(a — i) da'->--^
Dans ces formules il n'v a aucune i^elation nécessaire entre les pôles et les parties principales correspondantes. A.insi, quels que soient les points a, b, .... /et les constantes A, B, .... L, Àq, )m5 •••>
l'ONCTIONS A M t I.TIPLIC.VTEUnS K X l'OX K N T I !■ LS. Sjl
A,w-(, la fonction définie par la formule ('>-8) admet les multiplica-
leurs I et o "^ .
22o. Résumé. — On voit que le même élément simple y,„(j:,j') peut être em[)loyé pour la décomposition des fonctions F(//) à
niulli|)licateurs i et c "* , que N soit positif ou négatif. Quand ]N est négatif, N = — m, c'est x qui est la variable a et y qui coïn- cide successivement avec les pôles. Quand N est positif, N = /;/, c'est j' qui est la variable u cl x qui coïncide successivement avec les pôles.
CHAPITRE XIII.
PÉRIODES ÉQUIVALENTES. NOTIONS SUR LES FONCTIONS MODULAIRES.
I. — GÉNÉRALITÉS.
226. Périodes équivalentes. — Soient aco et aco' une paire de périodes primitives d'une fonction elliptique. Posons
( w'i = ato'-t- bto, ( coi = CLo -r- au>,
a, 6, c, d désignant quatre nombres entiers positifs, négatifs on
nuls, tels que
ad — 6c = liri .
En résolvant alors les équations (i) par rapport à co et ca', on trouve pour w et oV des fonctions linéaires et homogènes à coeffi- cients entiers de co, et w', : par exemple, si ad — ^c ^ i, on a
l lo' = </co', — 6coi, (2)
( w = — cto,-T-aa),.
On dit que 2 w et 210' d'une part, 210, et 210', d'autre part sont des systèmes de périodes équivalentes. Une fonction admettant les périodes aw et 2(0' admet également les périodes 2to, et 2to', et réciproquement. En effet, si une fonction F(?/) admet les pé- riodes 2(0 et 2to', on a
F(M-f-2aw'-i-26co)= F(a),
donc
F(?<-i-2co'i)= F(«),
F(tt-+-20Ji) = F(«)
et la fonction admet les périodes 210, et 2to'^. La réciproque se dé- montre de la même façon en partant des relations telles que (2).
PÉRIODES ÉQUIVALENTES. 373
SI une fonction F(m) admet les périodes 210, et 1^^i^ on a
F(« H- 2f/a)', — 2^ wi) = F(«). F ( « — 2 c a>', -+- 2 a ti) 1 ) = F ( « ) ; donc
F(i<-f-20/)= F(h),
F(«-^'.uo) = ¥{u).
227. Rapport des périodes. — Nous avons supposé que, dans le rapport des périodes
le coefficient de f est positif. Nous allons démontrer que, dans le rapport
des périodes équivalentes, le coefficient de i est encore positif si
ad — bc ~ ~- i\
il serait au contraire négatif si l'on prenait
ad — 6c = — I. En effet, soit
oj = a -i- [j /,
w'= a' -4- p'i ;
on a
_ 0/ _ (g'-^ p'0(a— 3t) ' " 73" " a2+p2 ' '
le coefficient de i est donc du signe de
«ij — ÇtJ. ,
Soient maintenant
io, = ai+Pii, w'i = a'j H- P'i «:
les relations (i) donnent
a', = aa' -t- 6a, ai = ca'-H(ia,
jjj:=of'j-t-yp, pi — cp-i-ujj. On voit que
ai^'i — 3,a;=(a3'— 3a')rai/ — 6c),
374 CHAPITRE XIII.
el si Ion prend ad — bc ^=^ \ ^
donc le coefficient de /, dans
M \ a lo' -\- f}hi az -\- b co| cio' -f- dtM cz -f- d
a également le signe +.
Si l'on avait ad — fcc = — i, le coefficient de i dans t, serait négatif.
228. Réseaux de parallélogranmies formés avec les périodes équivalentes. — Prenons les expressions
w = iniM
II.', = 2/;iiOJi-l- 2/?iOJj.
dans lesquelles m et /«, /;«, et /?, prennent toutes les valeurs en- tières positives, négatives ou nulles. Les points w forment les sommets du réseau des parallélogrammes construits avec les pé- riodes 2C0 et 2w'; les points «',, les sommets du réseau analogue construit avec aco, et aw', . Nous allons montrer que ces deux réseaux ont les mêmes sommets, c'est-à-dire que les quantités «', sont, à l'ordre près, identiques aux quantités w.
En effet, chacune des quantités (p, fait partie de la suite des quantités w, comme on le voit, en remplaçant, dans W\, oj, et w', par leurs valeurs (i) en fonction de oj et m' . Inversement, comme ad — bc=^± i chacune des quantités w fait partie de la suite des quantités (v,, comme on le voit, en remplaçant, dans cp, (o et t^' par leurs valeurs (2). Donc, si l'on suppose ad — ^ 6c =± i les quantités tv sont, à l'ordre près, les mêmes que les quantités (v, . Les deux réseaux ont les mêmes sommets.
On peut remarquer, en outre, que les parallélogrammes du premier réseau (2to, aco') sont équivalents en surface à ceux du second (20J,, 20/,). En effet, les tx'ois points
O, .iU), 2to'
sont les sommets d'un triangle qui est la moitié d'un parallélo- gramme des périodes 20J et 110' . Si l'on fait
co = a -t- i
p.
i-p',
PK RI ODES ÉQUIVALENTES. 375
1,1 iiioilic (le lalre (Je ce triangle est Si Ton fait de même
a»i = 2, -r- f ^1, Oj'i ^ a', -r- f ,3', ,
la moilic!" de l'aire du triangle de sommets
O, 2t0,, iUi'i
est
Or nous venons de voir(n" 227) que ces deux quantités 7.3' — [W et a|3', — ^a', ont m(îme valeur absolue. Le théorème est donc dé- montré.
II. — Notation de Weierstrass.
229. Formes en nombre infini de la fonction :r. — Considérons le produit duublemeul infini à laide duquel nous avons défini la fonction du
iv = ). m Oi -7- ->- n (X) , > o, __ I , _:_ 2, . . . ,
et soient 2(o,, 2 0/, des périodes équivalentes à 2 eu, 2co'; les quan- tités
ii'i = 2«Ji loi — >./«! to, . ■ O, zrr I, _i_ 2, . . . ,
sont les mêmes, à l'ordre près, que les quantités iv; le produit
n
I 1 e"'
1 h'
est donc composé des mêmes facteurs que le produit précédent; ou, en précisant, tout facteur de l'un des produits est aussi un facteur de l'autre produit. On sait que l'ordre des facteurs n'inter- vient pas; on a donc
Il 1 li
# / ^ il 1 « - f / \
376 cil A PI tri: \in.
ou, en désignaiU jKir i[ii [ co, to'), la fonction a* dont les zéros sont
imtù -r- 7. nui',
Cj{u](ji,(a')—:j{u\ toi, w'j ),
sous la seule condition que les périodes 2to,, aoi', sont équiva- lentes aux périodes 2w et 9.(0'.
Ainsi la fonction es" ne change pas quand on remplace la paire (le périodes primitives, qui a servi à la construire, par toute autre paire de périodes équivalentes. Il en est de même, évidemment, des fonctions -^ et jd qui se déduisent de s" par des din'érentialions. C'est ce que l'on voit aussi en partant des séries qui définissent !^(î^|io, o)') et jj(?/Uo, (o'). Quand, dans ces séries, on remplace 2to et 2(o' par les périodes équivalentes 2a>, et aw', , elles ne changent pas, car les termes qui les composent ne font que changer de places.
230. Invariants. Invariant absolu J. — Les invariants
IV = iniui -^ in to'
ne changent pas de valeurs quand on remplace les périodes 210 et 2(o' par des périodes équivalentes 2(o, et 2o>', . Ce fait est évident, d'après ce que nous venons de voir, car la suljstilution de co, et w', à cjo et lo', dans les deux séries, ne fait (|ue changer l'ordre des termes.
La quantité g-y est homogène et du degré — 4 par rapport à (xi et to'; 0-3, homogène et du degré — 6 par rapport à oj et o>'. On peut mettre ce fait en évidence, en écrivant
(x>{ini -^ in'z).
Alors
^3=2
2^ . 3 . 5
Le discriminant
i-V' !
lu'* ^d {lin — ini)'* ' w"^ (2,
{•lin -t- 2/ix)6 est homogène et du degré — 12 par rapport à oi et to'.
l'KR IODES KQr I VALEXTES. Syj
Nous allons l'ormer une combinaison tic g-^ cl g^■^ lioinog('-ne et de degré o en co et (.<>' : celte combinaison ne dépendra plus que du rapport des périodes t. Pour cela considérons, avec M. Klein, la quantité
J =: ^^ = ^ 2
Cette quantité!, étant le (piotient de deux fonctions homogènes de degrés — 12 de to et to', est du degré o. Elle ne dépend plus que du rapport t des périodes. Nous mettrons en évidence cette variable unique t dont dépend J, en écrivant cette quantité J sous la forme
J(T).
On peut appeler cette fonction !(■:) V invariant absolu des fonc- tions elliptiques aux périodes 20J et 2to'. Nous avons déjà re-
marqué au n° 36 que ^ est une fonction du seul rapport des » 3
périodes : avec la notation de M. Klein, on a
III. — Fonction modllmre. Groupe modulaire.
231. Propriété fondamentale de la fonction J(-:). — Comme les invariants g.2 et g^ ne changent pas quand on remplace 2(0 et 2 w' par deux périodes équivalentes quelconques
a>', = aw'-:- 60J,
co] = coj' -4- dui^ ad — 6c = rr i ,
il en est de même de J. Or, (juand on fait cette substitution, le
rapport
10'
devient
oij c- ->- d On a donc
J(-i) = J(-), ou encore
'178 ClIAPITnK XIII.
/7, />, c, d désignant quatre entiers quelconques tels que
ad — bc =:rh i.
La fonction J(':) présente donc cette propriété remarquable
a-z-^b
c-z -h rf'
i\c ne pas changer de valeur, quand on remplace t par " ' ~^ ,) «,
6, c, 0? étant des entiers assujettis à la seule condition
«f^ — 6c =rh I.
C'est la plus simple des fonctions modulaires. Elle nous offre le type d'un nouveau genre de fonctions, comprenant les fonctions modulaires, dont le premier exemple a été donné par iM. Hermite, à propos de ses recherches sur la résolution de l'équation du cinquième degré, et dont les propriétés générales ont été princi- palement étudiées par M. Klein (Voyez ] orlesungen iibcr die Théorie der elliptischen Modulfiinctionen, ausgearbeitet von D' Robert Fricke, Leipzig, Teubner; 1890). Ces fonctions sont d'ailleurs un cas très particulier des fonctions fuchsiennes et kleinéennes dont la théorie a été créée par M. Poincaré {Acta Mathematica^ t. I).
232. La fonction J est paire. — Dans la relation fondamen- tale (4), on peut prendre par exemple «^i, d= — i, b =^ o, c = o. On a alors
J(-T)=J(T).
Cela résulte d'ailleurs évidemment de ce que les invariant g2 et g.^ ne changent pas, quand on change l'une des périodes w ou iù'^ de signe.
D'après cette propriété, on peut toujours supposer que les quatre entiers vérifient la relation
car on a
ad — bc = ~ i,
/-a^-b\ \ c-z + d )■
'ax-^6\ j/-a.-6
d
on peut donc toujours changer à volonté le signe des entiers a et 6 et par conséquent celui de ad — bc. Dans tout ce qui suit nous
PK RIO ni: s ÉQl I VALKNTES. 879
nous limiterons en conséquence au cas de
ad — ^c = -^ I.
Nous supposerons la partie imaginaire de -: positU'e : celle de
a- -^ b
est alors également positive (a° 227).
233. Remarques sur les substitutions linéaires. — • Soit
a-~-b
Cl -r- cl
on dit que l'on obtient t, en faisant sur t la substitution linéaire
az -^ b
(5) -,:=St=-^_— -.
Substitution iiuerse. — En résolvant par rapport à t la rela- tion (5), on a une autre substitution
— d-.i^b
(6) -:= ,
CTi — a
que l'on n])\ie\\e substitut ion inverse àe S et que l'on désigne pour celle raison par S"'. On a alors
T = S-'-:,.
Produit de deux ou plusieurs substitutions. — Soit S' une autre substitution formée avec d'autres coefficients «', b' , c', d' .
l'osons
a -zi — b'
^2 — O Tj —
c'-zi -+- d'
Cl cherchons la relation entre t^ et t; nous aurons, en remplaçant T, par sa valeur St,
a'(az -i- b)-i- b'(cz -h d)
T,= S'S-
c'ia-z ^ b)^ d'{c--}- d)
Vt — B Celle nouvelle substitution linéaire To = ^rr^Tn' ^^^^ ^*^^ coeffi-
)8o
cients sont
(7)
CHAPITRE \m.
A = aa'-f- cb'y C = ac' -h cd'.
B = ba'-^-db\ D = 6c' -4- dd',
s'appelle le produit de S par S'; on la désigne par S'S. On a iden- tiquement
\D — BC = {a' d' — b' c'){ad — bc).
La substitution SS' est de même le produit de S' par S : on l'obtient en faisant d'abord la substitution S', puis sur le résultat la substitution S. Cette substitution SS' est, en général, diflerente de la substitution S'S. Dans celte notation symbolique des sub- stitutions, il n'est donc pas permis d'intervertir l'ordre des facteurs. On peut maintenant imaginer trois substitutions consécutives S, S', S" : la substitution linéaire obtenue en faisant d'abord la sub- stitution S, sur le résultat la substitution S', sur le nouveau résultat la substitution S", est désignée par
S"S'S, et ainsi de suite.
Quand deux ou plusieurs substitutions consécutives sont les
mêmes, au lieu d'écrire SS, SSS, . . , on emploie la notation des
exposants et l'on écrit S-, S^, ....
Remarque. — Le produit de la substitution par son inverse est la substitution identique
que l'on désigne symboliquement par i. On a, en effet.
donc, en éliminant Ti,
ce que l'on exprime en écrivant
S-iS = i; SS-i = i.
on a aussi
Si l'on répète deux, trois fois de suite, la substitution inverse
PÉRIODES ÉQUI VALENT lis. 38 1
S~*, au lieu dV'Ciire S^' S"', S~' S~' S~*. . . . , on emploie des ex- posants négatifs et l'on écrit S~-, S~'', ...
23 i. Groupe de substitutions. — Une suite de substitutions données S|, So, ..., Sv, ..., en nombre fini ou infini,
CvX -+- C^v
forme un groupe, si l'inverse d'une quelconque de ces substitu- tions et le produit de deux quelconques de ces substitutions sont encore des substitutions de la suite.
233. Groupe modulaire. — D'après cette définition, toutes les substitutions en nombre infini
ç az -^ b
CI -T- cl
OÙ a, b, c, d sont des entiers assujettis à la seule condition
ad — bc = i,
forment un groupe. En effet la substitution inverse de S,
_ — dz -h b _ aiz -\- bx cz — a c^z -\- dy
est encore formée avec quatre entiers a,, ^,, C|, c/, tels que
«1 di — biCi = ad — bc = i.
Le produit S'S de deux des substitutions considérées est une
substitution
At-4-B G-r-i-D'
dont les coefficients sont entiers d'après les formules (7) et véri- fient la relation AD — BC = i , car on a
AD — BC ={a'd'—b'c'){ad— bc)
et les deux facteurs du second membre sont égaux à i par hypo- thèse.
Le groupe ainsi défini est le groupe modulaire, et l'on peut dire
CHAPITUE XIII.
(]ue la fonclion J(t) csl laissée in\ariable par toutes les substilu- lious de ce groupe.
230. Substitutions fondamentales du groupe modulaire. — Toutes les subslilulions du groupe modulaire peuvent être engendrées |)ar les produits des puissances positives et négatives des deux substitutions
S- = T-î-i, (a = i, i = i,c — o, rf=i),
Tt = --,
(a = o, 6 = 1, c = — I, d = o),
que l'on appelle pour cette raison les substitutions fondamentales du groupe.
L'inverse de St est
S-'T = T — i; l'inverse de Tt est
T-ix=-i,
elle est égale à Tt. Nous ne nous arrêterons pas à démontrer que toute substitution à coefficients entiers
«T -i- b Cl -^ d
telle que ad — 6c = i, peut être obtenue en multipliant ces substitutions fondamentales et leurs inverses dans un ordre quel- conque, chaque facteur pouvant être répété un nombre quelconque de fois. Nous admettrons ce point dont on trouvera la démon- stration dans le Livre de M. Klein sur les fonctions modulaires.
Bornons-nous à remarquer que le fait, que toutes les substitu- tions du groupe modulaire peuvent être obtenues par la multipli- cation de deux substitutions fondamentales et de leurs inverses, a déjà son analogue dans la théorie des fonctions doublement pé- riodiques. Si l'on appelle 210 et 20)' les deux périodes, une fonc- tion doublement périodique F(?^) ne change pas de valeur quand on fait sur u toutes les substitutions contenues dans la formule
« -1- 2 /?^ u) -h 2 n w
m et n étant deux entiers quelconques. Ces substitutions forment
i'i:uioni:s tQi i valent k s. 383
iingroupr f|ui adinel comme siihstitulions fondamentales les deux siil)Slittiti()ns
S « = M -f- 210, T U = U -T- '2 U)',
dont les inverses sont
S-' a ^^ u — 2to,
T-' u = u — 2 0)'.
11 est évident fjue par la multiplication de ces substitutions on obtient toutes les substitutions de la forme u -\- amio + iiihi' .
237. Interprétation géométrique. — Pour représenter géomé- triquement la double périodicité, nous avons divisé le plan en cases qui sont des parallélogrammes tous égaux, et nous avons remarqué que la fonction reprend les mêmes valeurs aux points homologues de toutes ces cases. L'une de ces cases étant choisie comme case fondamentale, quand le point a décrit cette case, les points homologues, u -^ amw-f-anw', décrivent chacun une des autres cases.
On peut opérer de même pour la fonction modulaire J(t). Comme nous supposons la partie imaginaire de t positive, le point représentatif de t est dans le dcmi-|)lan situé au-dessus de Taxe des quantités réelles. On peut alors décomposer ce demi-plan en cases telles que l'une de ces cases étant choisie comme case fon- damentale, quand le point t décrit cette case, les points
az -^ h c~ -r- cl
rt, b, c, d entiers tels c^uead — bc= i, décrivent chacun une des autres cases. La fonction J(t) prend alors la même valeur aux points correspondants de toutes les cases et il suffit de la connaître dans la case Ibndamenlale, pour la connaître dans tout le demi- plan.
Cette division du demi-plan en cases peut se faire d'une infi- nité de façons. La plus simple est celle que l'on réalise avec des arcs de cercle avant leurs centres sur l'axe des quantités réelles. Le point de départ de celte division est dans l'interprétation géo- métrique des substitutions linéaires, à coefficients réels, à l'aide de la cundjinaison de deux transformations successives par rayons
384
c n A p I T a E XIII.
vecteurs réciproques, telle qu'elle résulte des travaux de MM. Klein, Schwarz et Poincaré.
IV. — Notation dk Jacobi.
238. Expression de Je:) en fonction du module A. — Nous avons indiqué (n" 97) la relation qui lie la fonction pu aux périodes 2w et 2co' à la fonction snu aux périodes aK et 2?K'. Nous avons vu que le rapport des périodes est le même
et, en désij^naiit par A une constante auxiliaire, nous avons trouvé pour les racines c'i, eo, e^ les valeurs
3 ), 2 ei = •>. — A-2, 3 ).2 (-2 = 2 A 2 — i ,
3X2^3:
on en déduit les différences des racines deux à deux et l'on en conclut en multipliant ces trois différences
)/'(e,-eo)(e.-e3)(e3-e,)--A2(i-A-2j.
On sait que, dans un poljnome
dont les racines sont e,, Co, 63 le discriminant
\ /t3 /^— or''-
est donné par la formule
\ = i6(ei—eîy-{e.2 — e3y-(e3—ei)-. x6/cHi-A:2)2
On a donc
A =
X12
.^3
D'autre part, le produit des racines étant ^ on a
ffs
4f9. — A-2)(l-2A-2)('l^A-2)
27 )/'
L'expression de J en fonction du module s'obtient alors facile-
im": ni ODES kqu i v ai. kntes. 385
ment. Ou a en cHci
J — — - j J — I =: 7^ _— f
donc
^'^ '-'= .yk^i.-k^)^
D'après celle relation, quand J csl donné, A- a six valeurs. Mais on vérifie iniinédialeinenl que, si
k'- = IX
est une racine de réc|ualion (8j eu A-, les autres racines sonl
I pi — • ]■>■ I
-, i — IJ-, ■ , _--!—, . .
[J. p. [J. — Il — [JL
Il suffil de conslater que le deuxième membre ne change pas quand on remplace /- par l'une de ces six quantiiés.
Le carré du module /.- esl une fonction du rapport des pé- riodes T. Quand on renij)lace t par -^ . , a, b, c, cl étant quatre
entiers tels que ad — bc -^ \ , J ne change pas; on en conclut
que A- ou bien ne change pas, ou bien prend l'une des nouvelles
valeurs
±, i_/,2 '^-JL, Jil^, __i
k- ' ' A-2 k- — I I — /f^
Pour (pie /.- reste invariable il faut assujettir les entiers a, b, c, d k des conditions supplémentaires dans le détail desquelles nous ne pouvons pas entrer. Les substitutions spéciales dn groupe modulaire qui n'altèrent pas A- forment ce que l'on appelle un sous-groupe.
Nous indiquerons, en terminant, cpiel est, pour la fonction H de Jacobi, l'effet du remplacement des deux périodes, qui ont servi à la construire, par deux périodes équivalentes.
239. Formes en nombre infini des fonctions de Jacobi. Fonction H(«). — Considérons la fonction
li(u, q)— 1 y q sin '-' i y/^ sin
2 v/<7-' sin -
•Ihi ^ ■lU)
A. ET L. 25
CHAPITRE XIII.
386
ol on même temps la fonclion H(«, Q) dont le développement se déduit du précédent en y remplaçant aw et 2bi' par les périodes équivalentes mo, et aiu, , Q étant ce que devient g par suite de cette substitution
Nous allons démontrer que les fonctions IT(//, Q) et H(;/, ^) sont identiques, à un facteur exponentiel près de la forme A e^'"', a dé- sii^nant une constante. Cela résulte de l'égalité
a'(u\(.<)i, Lo\)= a'(u\ 10, to' ) ;
car, si l'on v remplace chaque fonction 3* par la fonction H corres- pondante (n° 21), on obtient cette autre égalité
pie'''"'-U(u, Q)= pe'"''-H{u, q),
dans laquelle p, p,, h et A, sont des constantes convenablement choisies. On en déduit immédiatement
H(«, Q)= \e^"'U{u. q),
A et a désignant des constantes. Nous allons déterminer a.
Revenons aux notations habituelles des périodes pour les fonc- tions de Jacobi, en posant
co
L.
to' — iK',
lo'i rr: jL',
q = e
avec
(9)
\ ih' = aiK' — bK, ( L = ciK' -r- rfK,
a, b, c, d étant des entiers tels que (lo) ad — bc = i.
Ces quatre entiers ne peuvent pas être pairs tous les quatre ni impairs tous les quatre. Si b est pair, a et d sont impairs; si a est pair, ^ et c sont impairs.
PICRIODKS KQLI VA LENTES. 'SSj
Pour clrleriiiliicr y. remarquons qiuî l'on a
iU(u-+- iL, Q)^ — II(h, Q), Il [H -h xaW -h icils. , g) r- ic '^ U(u,<j),
£ étant égal à + i ou à — i suixanl la parité des entiers d cl c. On a en elfct
U{u-{- -xclK, '/)-(— ly' U(u, g):
cliangeanl, clans les deux membres, // en u -+- ac/K' et se rappelant
la Cornuile (n" 77)
ciTZ .,
U{u-^-2ciK', q ) = {—iye "ÎT""*""^ H{u, q), on a la seconde des formules (i i) où
La relation
II(«, Q)= Ae=""n(M, q)
donne alors, en changeant u en ?/ + 2 L dans le premier membre et n en la (juantité ccpiivalente a -+- 2 dK -+- o,ci¥J dans le second,
U(u-h ïL, Q)= \e^"' + ''i-^'- H ( a -+- idK — iciK' , q).
Divisant membieà nieml)re ces deux dernières relations en tenant compte des équations (11) nous tiouverons
(12) — i = te '^
(^ette relation ayant lieu quel que soit «, les termes en u doivent disparaître dans l'exponentielle, d'où la valeur de a
ci— 4l\L
Comme vérification, remplaçons a j)ar sa valeur dans la for- mule (12) et réduisons en remplaçant L par dK -+- ciK\ nous ob- tenons
— I = s(— ly'c
ou, d'après la valeur de s,
t I \frf+l)(cH-l) -^ i
relation évidente, car d et c ne peuvent èlrc pairs Ions deux.
388 CHAPITRE XIll. — PÉRIODES ÉQUIVALENTES.
On a donc, en définitive, Tégalilé fondamentale
(.13)
U(u, Q)= Ae '^^ U{h, q),
OÙ A est une constante qu'il reste à déterminer. Nous ne nous occuperons pas ici de ce calcul.
On voit que, au point de vue où nous nous plaçons ici, la fonc- tion H de Jacobi se comporte d'une façon moins simple que la fonction a", puisque a" ne change pas quand on remplace les pé- riodes par des périodes équivalentes, tandis que H se reproduit multipliée par une exponentielle.
Cette relation étant obtenue, on en déduit aisément des relations analogues entre les fonctions 0, 6), H, construites d'une part avec K et iKJ, d'autre part avec L et iL'. II suffit dans la formule (i3) de remplacer, dans le premier membre, u par u -+- L, ou u -j- iU, ou u -\-L-\- ih', et dans le second membre, u par les valeurs égales //-^-dK-JrCÏK', ou u-hbK + aiK' ou «H-(Z> + <:/)K+(« + c)iK'. Tenant alors compte des relations du n° 77, on aura les relations demandées. Ces relations prennent des formes difî'érentes suivant les parités des nombres «, b, c, d. Elles permettent d'exprimer le module des nouvelles fonctions elliptiques en fonction de k.
Nous ne les écrirons pas, et nous renverrons le lecteur au Cours de M. Hermite à la Faculté des Sciences, où les calculs sont poussés jusqu'au bout dans une hypotlièse particulière sur les quatre entiers.
NOTES
NOTE I.
LMPOSSIBILITr-: DE L'EXISTENCE D'UNE FONCTION CONTINUE AVEC DEUX PÉRIODES DONT LE RAPPORT EST RÉEL.
Soit F(m) une fonction d'une variable imaginaire avec deux périodes iti' et u) dont le rapport est réel
lù' h
a et b étant réels. Si l'on fait
a
quand z augmente de a, u augmente de to, et quand z augmente de b, u augmente de co'. La fonction
/(.)=f(^)
admet les àc\i\ périodes réelles a et b. Nous allons démontrer la propo- sition suivante :
Ou bien les périodes a et 6 se réduisent à une; on bien la fonction y(^) est constante.
En effet, la fonction admcllant les deux, périodes a cl b admet égale- ment toutes les périodes
où M et N désignent deux entiers quelconques positifs négatifs ou nuls.
Considérons un axe Ox et prenons sur cet axe un segment OA égal à a. Si l'on prend, sur cet axe, un point t d'abscisse x, on peut toujours choisir un entier ni positif ou négatif de telle façon que le point
^ =: X -r- nia soit à l'origine ou sur le segment G A : appelons ce point le point hoino-
■jgo NOTE I.
logue de x. Alors considérons les points d'abscisses b, ib, 3b, . . ., nb
cl leurs homologues 3"i = i -H /»i a.
.r-2 = -i b -+- m -2 a,
x,i= nb -4- nina,
tous situés sur OA, Toutes les quantités a"i, x-i, ..., :r,j et toutes leurs différences x^ — x^ sont des périodes de /(;;). car elles sont toutes de la forme y\a -i- N6. M et N étant entiers.
Fis. aG.
2Ô
Si tous les points X), a-*, . • ., x,i sont distincts, il en est au moins deux .rv et a* jj. dont la distance soit au plus égale à
V-^
X^ !> -2^11 •
«^n effet, si l'on divise le segment OA en n — i parties égales, il existe né- cessairement une de ces divisions qui contient au moins deux des points. F.a fonction admet alors la période
* I
et l'on a
/(^^co„)=/(^).
Faisons croître maintenant ii indéfiniment. Deux cas sont à distinguer :
1° Quelque grand que soit n les points x^, x^, ..., x,i sont distincts : alors la fonction admet une période oj,j différente de zéro mais aussi
petite que l'on veut, car elle est au plus égale à constante : en effet, on a
La fonction est une
/'
^"")— /l^-)
o,
quel que soit n. Quand n augmente indéfiniment, Mn tend vers zéro; le rapport figurant dans le premier membre tend vers la dérivée f'{z) et Ion trouve
f'(z)=o, f{z)= consl.;
i" II existe une valeur de n telle que deux des points x^^ X2, ...,Xi, soient confondus
Nort: I. 3iji
On a alors
'il> -4- /?îva = \xb -^ ni^,a.
relalion de la furinc
(i) pa — fjb = o.
p cl q étant deux entiers que l'on peut toujours supposer premiers entre eux, car on peut toujours, dans la relation (i), diviser les deux membres par les facteurs communs à p el q. Dans ce cas, les périodes a et 6 se ré- duisent à une. lïn ed'ot, p et q étant premiers entre eux, il existe deux autres entiers/?' et q' tels que
(■x) I>fl'—^JP' = ^-
Désignons alors par c la quantité
(3) pa-^q'b = c\
c est évidemment une période de/(^); d'autre part, en résolvant les rela- tions (i) et (3) par rapport à a et h, on a, d'après (a),
a = — <7C, h ^^ pc\ les périodes a tl h sont donc des multiples d'une |)ériodc unique c.
ADDITION Y LA NOTE I.
IMPOSSIBILITÉ DUNE FONCTION tMl-OU.MIi liT CONTINUE AVEC TROIS PÉUIODES.
Imai^inons une fonction /(^) d'une variable imaginaire z avec trois pé- riodes a, ^,Y dont les rapports sont imaginaires. Nous allons montrer ou que la fonction est constante, ou que les périodes se réduisent à deux.
Remarquons d'abord que la fonction admet comme périodes toutes les quantités
(i) Ma + NS-f-Py,
AI, \, P étant des entiers positifs, négatifs ou nuls. Construisons ensuite, dans le plan représentatif des imaginaires, le parallélogramme des périodes a et p, GABG, ayant pour sommets les points
o, a, '^, a ^ ;3. Un point quelconque z du plan a, dans ce parallélogramme, un liomo-
3y2 NOTE I.
loiïiie Ç
1 = z-r- ly^-h m'i;
I et m étant des entiers, convenablement choisis.
Fis. i-..
Considérons alors le? «^ points
JY.
où n est un entier et leurs homoloirues
n^Y,
-31= Y -I- /] a -f- miP,
/«^ rt
In^'^.
La fonction admet comme périodes toutes les quantités ^1, 29, .... 5,j2 et les différences de ces quantités deux à deux, car ces quantités et leurs différences sont de la forme (i).
Appelons X la longueur de la plus grande diagonale du parallélogramme OABG. Si tous les points
(2)
Zi, Z2,
sont distincts, il en est au moins deux z.j et z^, dont la distance est moindre
que En effet, divisons les côtés OA et OB en ( n — i) parties égales
^ n — I / 1 o
et menons par les points de division des parallèles aux côtés du parallé- logramme OABG : nous diviserons ce parallélogramme en (n — i)^ cases
égales entre elles ayant pour grande diagonale ; sur les n^ points (2),
il en est forcément deux, au moins, z.j et z^,, dans une de ces cases. Leur
distance est alors moindre que — ^ — • Analvticiucment le module de z., — Zn ^ n - I ■' ' ^
est moindre que — '- — • La fonction admet donc la période ' /i — 1 *
(X>,i = Zy Z^,
N O T li I . iyS
I À
dont le module est moindre que
/( —
|w„|<
' n — I
Deux cas sont à distinguer :
1° Quelque fjr.md que soit n les points (2) sont toujours distincts. L;i fonction admet alors une période non nulle a),j dont le module peut devenir aussi petit que l'on veut. Elle est constante, car
= 0
donne, pour n infini,
f'(z) = o.
•?° Pour une certaine valeur do n, deux des points (2), Sv et z^. coïn- cident. On a alors
v' — /y a -;- nvj 3 = av -^ /m a — /??„ 3,
relation de la forme
( 3 ) p-x -^ q'i — r'( = o,
p, q, r étant trois entiers qu'on peut toujours rendre premiers entre eux en divisant (3) par les facteurs communs à p, q, r. Les périodes se ré- duisent alors à deux.
En effet, appelons s le plus grand commun diviseur de p cl q : on peut déterminer deux entiers />' et q' tels que
(4) Pi' — qp' =^ s-
Posons
[ P ., 'I ^ - n
(5) . s ' '
( />'a-7'3 = 6;
a et b sont des périodes de la fonction, car — et — sont entiers. Les équa-
s s '
tions (5), résolues par rapport à a et 3, donnent
«^ 1''^— f ^'
(6)
( ? = -/^'«-7^'
et la relation (3) devient
(7) sa-4-rY = o,
394 NOTE I .
S et r étant des entiers premiers entre eux. On peut choisir deux entiers r' et s' tels que
rs' — sr' = I et en posant
(8) s'a -h r'y = c,
c est une période. On lire de (7) et (8)
a = rc, Y = — •^^i
d'où enfin, d'après (6),
a = g rc — - 6,
' s
Y = — se.
Les trois périodes se réduisent donc aux deux b et c. Cette démonstra- tion est empruntée à Riemann {Œuvres complètes, p. 276).
NOTE II.
CONVERGENCE DU PRODUIT DOUBLEMENT INFINI QUI SERT A LA DÉFINITION DE -iu.
Pour tltfinir jU nous avons considéré le produit doublement infini
/ w ^ f. m (o -\- X n u)',
-w-ï'/ u\ IL + inL \ m ) ^
ni'-i)^'^ --, ^ J=o,zni.±.,^3,:t...,==c,
' w = o exclus,
et nous avons admis que ce produit est convergent. Pour le démontrer, nous établirons la convergence de la série obtenue en prenant les loga- rithmes des facteurs
i:'H-^)-^-i^]
Si l'on choisit pour détermination du logarithme de /i 1 celle qui
tend vers zéro quand w devient infini, le terme général peut s'écrire, en développant le logarithme en série :
_ lû I \ i u \ n-
et l'on voit que le rapport
I k'
tend vers i quand w devient infini. D'après cela il nous suffit de considérer
la somme
■^' I u* _ u^ ■^' i
ou encore de démontrer la proposition suivante : La série
y' • , ('^ ( = 0,-1-1, ±2, =h...,
jLd {t. inia -^ 1 ma' y \
\ (m = o, « = o exclus)
est une série converf^ente .
NOTE II.
Nous reproduirons une démonstration de ce théorème due à Eisenstein, telle qu'elle est exposée par M. Ilerniitc (Cours de la Faculté des Sciences, 3* édition, p. 21 3).
Soient x et y les coordonnées cartésiennes d'un point, envisageons l'el- lipse donnée par l'équation
mod- ('icoa^ -\- 2to'j>')= I
où le premier nicn)brc est le carré du module de iiox -r- 'iM'y, et désignons par A son grand axe. Pour toutes les valeurs de ir et de j' qui représentent un point de la courbe, on a donc
^--^JK-< -^-
ou bien, comme en ce point mod-(-2.(i)x -\- 'iiii' y)= i, x^-+- y- << A- mod-( liiix -î- ito y).
Cette relation étant homogène par rapport aux variables x el y subsiste si l'on y remplace x cl y par \x et \y. X étant une quantité quelconque; elle a donc lieu quelles que soient les valeurs de x et de y. Nous la mettrons sous la forme
I A
mod(ia)a7
r- < T—
■y-
Une limite supérieure du module de la somme considérée est donc
et il suffit de démontrer la convergence de cette série
qui est d'une forme plus simple.
A cet effet, partageons le plan en carrés par des parallèles aux axes Oy et Ox dont les abscisses et les ordonnées représentent tous les nombres entiers. Les sommets de ces carrés, l'origine étant mise à part, ont ainsi pour coordonnées tous les nombres entiers et correspondent aux divers termes de la série
{m- -T- n-)-
Considérons d'abord la suite formée par la somme des termes corres- pondant aux sommets situés sur la bissectrice O^ de l'angle des coor- données xOy: pour ces points on a /?i = n: la somme envisagée est donc égale, à un facteur numérique près, à la série simple
elle est par suite convergente.
NOTE II. 397
Prenons mainlcnanl la somme dos lermcs [)iis sur Ox el dans l'angle xO z: il suffira évidemment d'élablir sa convergence pour démontrer notre pro- |)osition.
Soil, jtour abréger l'écriture,
{m^-~- n-)'-
(m, n)
et posons
«, = (i, o),
M2=(2, o) -f-(2, l),
U3 = {3, o) H-(3, i) -^(3. 2),
•, >
U/it = (/«) o)t-(/«, i)~ ...-)- (m, m — i),
la série simple à laquelle nous sommes amenés, savoir
Ui -T- Ui -T- U3-^...-~- U,n-^. ..,
est manifestement convergente. En effet, chacun des m termes qui com- posent u,n est plus petit que le premier (m, 0) qui est égal à — r* On a
donc
I
Um < — ; • ni-
Ainsi la série ^ «/« a pour limite supérieure \ — ^ dont la valeur est
finie.
La série proposée est donc convergente et a une somme indépendante (le l'ordre de ses termes; comme nous l'avons dit en commençant, on en déduit la convergence du produit doublement infini qui sert à définir CjU.
NOTE m.
SUR LE DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS 0 EN FACTEURS.
Nous avons à la page i>.i, en identifiant l'expression de 61 sous forme «le produit avec l'expression de 61 sous forme de série, obtenu l'identité
(I)
\ Pl(i -h iq COSIX -+- q-){i -+- i-cj^ C0S2 5: -i- cj^). . . { =^ 1 -^ iq C051X -h ■îcj'* cos^x -^ . . . .
Nous avons réservé à ce moment la détermination de la constante A. Voici la méthode que M. Bieiiler a donnée pour déterminer A, méthode que nous empruntons à une Note de M. Hermite placée à la fin de la dernière édition de l'Analjse de Serret.
Considérons le produit composé d'un nombre fini de facteurs,
A2) = {l---qz){i-^q^z)...{l-^q-^"-i-)
. r-"
le développement suivant les puissances positives et négatives de z sera di la forme
/(.-)= Ao- A, (.--i)-. .^A„(.--l^). Cela étant, l'identité suivante, qui se vérifie immédiatement,
donne entre deux coefficients consécutifs, A/ et A/_i, la relation A,(l — qi'i+ii) = A,-_i (q'-'-^ — 72^+1 ). Nous en tirons successivement
A _ V '7('-^-")
,2/(-4)
A,= A.
qHl
l — qta-
NOTE III. 3gi>
et, par conséquent,
y''(i — q*")(i— g-"-*). ♦ .(i — y'"-"-^«)
A/r^ A«
(, _ ^2«+2^(, _^2;,-^;^. . .(I — qi"+i')
Tous les coefficients du développenienl s'oI)licnncnt donc au moyen du premier Ao, dont voici la détermination.
Supposons i= n et remarquons que dans /{s) le terme en z"' ayant pour coefficient ^^i^s-t-.^-î^-i q^ j^ immédiatement \,i=q"^, d'où, par conséquent,
^ " (l — q'"-^-)(l — 72/i+t^. . .( I — '/'*")'
et enfin la valeur chcrciiée que j'écris ainsi
(i — ^î"'-+-2)(i — q"'"^'*). . Ax — q''")
Ao =
(,_^2)(,_g,V)...^,_^->«^
Gela étant, faisons croître indéfiniment le nombre n, cette expression nous donne
Ao =
(I — ?-;(! — «z^Ki — ^V)-
et la relation entre A/ et Aq devenant simplement A/= .'^^«7'', on est con- duit à l'égalité
~ (l — <jrV)^I — (7^)(l — ^6)-..
Il suffit maintenant de poser z ■= e-'^ pour en conclure
{i -y- iq Ciysix -^ q- )(i -r- 2q^ cosaa? -i- 5'*'). . . _ i-T- -iq cosix -r- iq* co^^x -^. . .
" (I — fy2)(l — Çr*)(l — gr6)...— •
La valeur de la constante A qui figure dans la formule (i) est donc
\^(l-. q-2)(l — cj')(i — q<^)(l — q»)
RÉSUMÉ DES PRIINCIPALES FORMULES.
FONCTIONS DE M. WEIERSTRASS.
Développements en produits et séries infinis.
u ^u \u — m - m - ,
CQlU =
I
[^^ 2d
^wv'-u IL- ^^ {u — mr.y^
(w = imoj -r- m tu'),
.'Il II- ■ u = H TT ( I — — 1 e "- "^ 2 ^' ,
pu = 1-
'' u-^
I 'V'/ ' ' , "
u /L^ \U W W (V2
vT ' ' ]^
(a — wf
Développements en séries entières.
glu^
r" a = u - |
.«-2 «5 r- ;*- i Q - ■1*. i.J |
,^3 ii^ 23.3.5. |
lu = ■ u |
.S'"2 n |
.h" 3 |
2^.5.7 |
||
pM — — - - |
•2-.i) |
2^.7 |
2^.3^.5.7
^i
2^.3.52.7 ^2
2^3.52
RKSL.MK DES l'H I N C 1 l'A L KS FORMULES. i<)I
lielatioiis entre pu et ses dérivées.
p'^u= 4r'" — 5'2P" — ^3= 4(P« — ei)(pu — e,)(pM — e.,), p'u = dp-u — ^,4^2,
p"'u = I7.pup' U.
Homogénéité. 3' ( [ji « ] [jLco, |Jiw' ; — [i. 3* ( « i (u, w' ),
^ ( [JL « I [JLCO, IJLW' ) — — ^ ( K I tO, Oj' ), p{\i-U \ [JL(0, [i-W') — — 5 Jl(i< I 10, w' I.
.•?'2(|^W, |J.W') = — ^2(W, lo'),
ff3 ( [J-W, I^W' ) = — ^3 ( W, to' ).
Dégénérescence.
•2 0)/ 2^2
1" (O = X
■ ? eo — es —
8i 2^2
& 2 -*/ » 3 — "•
- -Il I / -
Lif = — cotan" i- - — ) u,
2w -i^a 0 V aco/
1 (T^n\-
- ( -— - 9, 10 . t: ?/
•2° co = 3C, o) — a; :
P «/ = — : > ^ i< = - > j U = U,
U- Il
ei=e2=e3 = o, ^2=0, ^3=0.
Périodicité et formules cV addition.
p(u-^ 2C0 ) ^ pu, piu-^ioi') =-~ pu,
^(m -f- 20)' j = ^a -h 2t/, r/= Ço)',
A. ET L. 26
402 UÉSUMÉ Di:S PRINCIPALES FORMULES.
a'(« -+- 7.m 10 -h 2/Mo') = ( _i)m«+m+«e(2wr(+2/!ri'){M-4-ww+/JW')5'{f ;
p'u
j{u - - v) :f(u — v)
pu |
— pv |
p'p |
|
pu |
— pp |
p'u |
~p'v |
tf"^ u (y- V Ç(a — f ) -4- Ç(if — p) — 2Ç«,
•'- PU — P^'
= 1{U — v) — 1{U — v) — 2lv, — t(u -T-V) — lu — ^V,
i d / p' M — p' V pu — p{u-\-i') == - ' "
2 dw \ p Jt — pv
pU^pV~-p{u-r-v) = -
p(?f — w) — e, = p ( M -;- w -^ (1)' ) — e2 =
P(M — 0)') — 63 =
I /p « — p ^
4 \ pu — pv P«— «1
(g-2— gi)(g2— 63) p M — g.2
P « — <?3
Racines gj, g2, 63. — Fonctions Ji, a'o, 0*3.
«?i = pf*J, g2 = p(w — OJ'). g3=pa)'.
' ( ii — iù)<j{u — co' ) 3" ( a — o) -:- m' I
p M -= — 2
G'W a'to'(3'(w -h w') 0'^ if
a'(a) — m)
= gO" — ^ ■
Cm
,, O'I' O) -1- 10' — u) r-i u = g^^i-*-''/ « rr-^ ,
3'(t0 -^ W )
'(r,-f(
, tfCco' — u)
p«-g. = (^-^j, pu-e.
p «= —
' p « — 63
2 s') u 3*2 ii 0*3 i/
Les fonctions Ci, j,, 3*3 sont paires.
UliSL'ME DES l'HINCIPALES FOHMULES.
4o3
Valeurs réelles de pu quand m et -i- sont réelles.
Considérons le rectangle de sommets o, oj, w ~- co', w'. Quand l'argu- ment u décrit le contour de ce rectangle dans le sens o, w, to -i- w', w', o, la fonction pu diminue constamment de -i-xi à — -» :
1° Quand u va de o au sommet to, pu est réel et décroît de oo à ^,; p' a est négatif.
•>." Quand u va de co à (o -f- to', pu décroît de Ci à e-,, p' u est purement imaginaire positive.
3" La variable u allant de co -•- oj' ù to', pu décroît de e-i à €3, p' u est réelle et positive.
4" Enfin u revenant de to' ■do,pu décroît de e^ à — -xi; p' u est purement imaginaire négative.
En tout point pris dans le rectangle, pu est imaginaire.
FONCTIONS DE JACOBI.
Séries triffonomé triques.
^^iî
2K
H(i<) = ly/q sint^ — 2 y/^sinSt» -t-2 y/t/r^s sinSt^ — ,
Hi(«) = 2 ^q cosp -- 2 v/y^ co?f'iv -T-i\/q-^ cos5p-+-,
Q{u) = I — 27 C0S2P -T-'iq'' co%^v — 2 y' cos6t^ -+-.
©I (m; — 1 -r-2<jr C0S2t' -t- iq'* COS4t' + 2^9 C0s6f -|- .
— r(2/( + iK')
II,(«)= H(«-^K) I
e(«)
\\{u -^tK'),
Zéros de U (u) II,(«)
0(«)
iniK-h 2«f K', (■>ni-i- i)K+ iniK'.
2niK -i- (2n-f-i)«K'.
e,(a) = r- n(M--K-f-tK'),
Bi{u) I (2m4-i)K-^(2n+ i)tK'.
4o4
RESUME DES PRINCIPALES FORMULES.
Produits infinis.
r=^, A =(i — 72)(i_^v)(i„^G)...^
2 IV
\{ {II) = Xi^ q s\nv{i — ïq- cosît' -^ <l'*){'^ — "^Q* cosaf
Hi(m) = A2V^<7 COSC(lH-2 5'- C0S2l^-1- 5r*)(l-r- 2g'^C0S2P
0 (//) = A(i— 25' cos2P-f- g-^)!^!— 2<^3 cos2(JH- q^). . .,
Hl(fO = A(l — 2<7 C0S2t^ -l-^2)(^i_i_2^3 C0S2P -^ q^) . . . .
Addition d'une demi-période ou d'une période.
K = e *'^ 1
H(M-^K)= Hi(«),
e(K + K)= ei(M),
Hi(« + K) = -H(jO,
H(if -+- K -H îK'j= X0i(i<).
e(a-î-K-i- iK';= XHi(«), Hi(« — K+iK') = — iXe(M), ei(a4-K+iK')= j)vH(iO,
Hi(if -r- l
H( u -^ XI
Q(u -^ ii
H 1 ( M -1- 2 1
K')= ile{u],
K')= iXH(M),
K')= X0i(M),
K')= XHi(m),
K')=- |jLH(a), K'j = -[JL0(«),
K')= [liiau).
0i(i< -h 2 i'K') = [jL0i(a).
Relations entre les j e^ /<?5 2r.
H'(o)
1 Y)
:(«) =
Hi(o)
a',( «) = -!— ^ ^ e-(';+-l')" = ,, , [ e^ '^
'(10 -h w')
0i(o)
3'3(«) =
_^ i g — C^'u ;::= ^^ - g2 W
S'a)' 0(Oj
résume: des principalks formules. 40J
FONCTIONS sn«, eau, diiu.
I U(u)
sn II = — — -— ;
^ /T Hi(u) ,j H(K) 11,(0)
''"" = ^ë(¥)' ^^=671^)'
Addition d'une demi-période ou d'une période.
jr. cnu . .,,,. I
sn(aH-K)= -j j sn{u-~ iK)= ,
^ ' fin a /iTsnw
k' %w.u , .,., . tin u
cn(z<-f-K)=: -, -, cn(M-^tK)= — i-, ;
^ ' dnw k%nu
■i , tr k' J / -T-' -CI"
dnrîA-t-K)= -; . dn(a-r- «K 1 =— i >
dna
sn( « -^ K -^ iK ) = -;- >
/i en u
en ( a -^ K ^- t K' ) = , >
en M
sn(M — 2K) =: — snM, sn(i< -^ ii'K') = snîf, cn(M -H 2K) = — en a, cn( «< ^- 2t K') = — en a, dn(ii-i-2Kj= dn«, dn( w -J- at'K') = — dn «/.
Argument purement imaginaire. — Relation entre -pu et sn if.
' ' ' en(« K,tK)
en ( ta I K , i K ) = — - — -1-77 — t^ -, ,p a
dnCittlK, iK')
cn(«<|K', iK; ■ ' sn2(«/e,— t'3)
(\.w{u |K', îK) cn(a|K', iK)*
4o6
nKSlMK DES PRINCIPALES FORMULES.
l'oleiirsy-cc/lcs de snu, cnu, un u quand K et K' sont réels {fig. 28). OA = K, OB = K',
II |
0 |
A |
C I |
B |
snu |
0 |
I |
k |
00 |
M A O B en ?< o I 00
dn u
G A O B
o k' I co
Fig. 28
y
A ce
Formules d'addition.
en a = en «/ en ( a — a ) 4- sn M sn ( M ^- a ) (In a. sn^M -I- en^ii = i, Â:2sn2«H- dn2M = I, '
sn M en p dn (> H- sn p en u dn u
sn(« -f- c) = cn{u -\- v) = dn(w -!-(;) =
I — A'2 sn2 M sn2 p '
en uçnv — sn u snp dnu dnp 1 — A"2 sn2 u ?,\\-v
d n M d n p — k- %nu sn f en m en p I — k^ sn2 w sn2t;
Dérivées.
dsnu ,
— j — = ^ en M dn u.
[/'-¥ = «.(")•
RÉSUMÉ DES PRINCIPALES FORMULES. 4^7
Si l'on suppose K et K' liées par la condition
on a
rf(sn«) ,
= cnaclni^,
au
d(cnu)
du d(dn u)
= — sn a (In u, = — /.-^ sn u en u.
Développements en séries entières.
^K-i)
sn « = u — 2 A- a -I- 4/i^(a--^ j)
1.2.3 1.2.3.4.5
«7
— 8/c3(a3-T-33a)
1 . 2 . 3 . 4 • J . t) . 7
dnu = i — /c^- ;- A--( 4 -^ ^•- ) 7-7
1.2 '1.2.3.4
FIN.
ERRATA.
Page 3i, formule (3i), remplacer z par u.
Page 36-, formule du bas de la page et page 368, première formule, mettre partout des signes +.
TABLE DES MATIÈRES.
CHAPITRE 1.
Notions préliminaires.
I. — Généralités sur les fonctions uniformes.
Pages.
1. Fonction régulière en un point. Zéro i
2. Points singuliers. Pôles. Résidus. Points singuliers essentiels 2
3. Remarque sur les zéros et les pôles 3
4. Point à l'infini 3
5. Remarque sur la convergence des séries 4
6. Une fonction uniforme régulière en tous les points à distance finie et
infinie est une constante 5
7. Les zéros et les pôles d'une fonction uniforme, n'ayant d'autres singu-
larités que des pôles à distance finie, sont nécessairement isolés les
uns des autres 5
II. — Fractions rationnelles.
8. Objet de ce paragraphe 6
9. Fraction rationnelle particulière 7
10. Cas général. Pôles et zéros. Ordre 8
1 1 . Formes analytiques principales des fractions rationnelles 8
1° Première forme mettant en évidence les pôles et les parties prin- cipales correspondantes. Décomposition en fractions simples 9
3° Deuxième forme mettant en évidence les zéros et les infinis 10
12. Remarque 11
13. Relation algébrique entre deux fractions rationnelles. Théorème d'ad-
dition algébrique 11
m. — Fonctions trigonométriques.
1 1 . OJjjet de ce paragraphe 11
15. Fonction sin^^; sa définition par un produit infini, l'onctions cota et
-. ; leurs expressions par des séries 11
sin^M
4lO TAHLi: Di:S .M ATI li RE s.
Pages.
Périodicité i3
Développements on séries de puissances i4
lixercice i5
16. Fonctions trigonométriques en général ifi
Relation algébrique iG
Théorème d'addition algébrique i6
CHAPITRE IL
Généralités sur les fonctions elliptiques.
I. — Théorèmes généraux.
17. Définition i8
18. Parallélogrammes des périodes 19
19. Théorème fondamental. Une fonction elliptique devient nécessairement
infinie dans un parallélogramme élémentaire ; sinon elle se réduit à
une constante. - 20
20. Une fonction elliptique a un nombre limité de pôles dans un parallélo-
gramme élémentaire 21
21. Fonctions cr, î^, p, Z, H 22
Périodicité de p m 24
Effet de l'addition des périodes à l'argument de Ç u 25
Notation de Jacobi et de M. Hermite 2.3
Effet de l'addition des périodes à l'argument de ru et de H i< 26
22. Remarque 28
23. Cas de dégénérescence 29
II. — Premières expressions des fonctions elliptiques.
DÉCOMPOSITION EN ÉLÉMENTS SIMPLES. CONSÉQUENCES.
24. Cas des pôles simples 3o
25. La somme des résidus d'une fonction elliptique en tous les pôles situés
dans un parallélogramme des périodes est nulle 82
2G. Formule de décomposition en éléments simples dans le cas où certains
pôles sont multiples 82
27. Formule de décomposition en éléments simples avec la notation de
M. AVeierstrass 35
28. Remarques 35
29. Règle pratique pour la décomposition d'une fonction elliptique /( «)
en éléments simples 36
30. Il ne peut pas exister de fonction elliptique ayant, dans un parallélo-
gramme, un seul pôle, si ce pôle est de premier ordre 87
31 . Exemple. Décomposition de p-u en éléments simples 88
32. Relation algébrique entre p« et sa dérivée p' u l\o
33. Développements en séries de puissances de pu, Ça, z'u 4*
34. Inversion dans les notations de M. Weierstrass 4^
TABLE DES MATIÈRES. 4"
l'OKCS.
35. Intégration d'une fonction elliptique 4^
36. Homogénéité 4^
37 . Cas de dégénérescence 4 '»
III. — Deuxième forme des fonctions elliptiques.
DÉCOMPOSITION EN FACTEURS. CONSÉQUENCES.
38. Décomposition en facteurs 45
39. Théorème de Liouville. Si l'on considère les zéros et les infinis d'une
fonction elliptique situés dans un parallélogramme des périodes, la somme des zéros ne diffère de la somme des infinis que par des mul- tiples de périodes 4?
40. Notations de Jacobi 49
41. Deux fonctions elliptiques ayant les mêmes zéros et les mêmes infinis
ne diffèrent que par un facteur constant 49
42. Ordre d'une fonction elliptique 49
Exemple 5o
IV. — Exemples de décomposition en facteurs et en éléments simples. Formule d'addition algébrique pour pu. Conséquences.
43. Décomposer en facteurs la fonction /{u) = pu — pv 5o
44. Formule d'addition pour ^u 5i
45. Formule d'addition pour pu 5i
Autre forme de la formule d'addition 52
46. Décomposition de p' u en facteurs 52
47. Effet de l'addition d'une demi-période à l'argument de pu 54
48. Expressions de p u — e,. Fonctions ?,, r,, ^3 55
49. Toute fonction elliptique aux périodes 210 et au' est une functiou ra-
tionnelle de pu et p' u 56
Remarque 57
50. Remarque sur l'intégration d'une fonction elliptique supposée mise
sous forme d'une fonction rationnelle de p et p' 58
51. Entre deux fonctions elliptiques aux mêmes périodes il existe une
relation algébrique 60
51". Toute fonction elliptique admet un théorème d'addition algébrique. . . 61
Exercices sur le Chapitre II 62
CHAPITRE III.
Étude des valeurs réelles de pu, lorsque w est réel et o>' purement imaginaire. Applications.
I. _ Valeurs réelles de pu quand w et -^ sont réels et positifs.
52. Les invariants g^ et g^ sont alors réels 68
53. V aleurs réelles de l'argument 69
4'2 TABLE DES MVTIEUES.
Pages.
54. Argument purement imaginaire -jo
55. Racines e,. e,, e, -2
56. Autres valeurs de u rendant p u réel 72
1° Argument u -+- w'. m réel -3
2' .\rgument it — ta, t réel 74
57. Résumé 75
II. — Étude de la cubique définie p.a.r les équations x = pu, y = p' u.
Lejiniscate.
58 . Cas général 75
59. Condition pour que trois points soient en ligne droite 76
60. Formule d'addition 77
Addition d'une demi-période 78
61 . Tangentes menées par un point de la courbe 79
Points dinrtexion 80
62. Condition pour que on points de la cubique soient sur une courbe
d'ordre n 81
Applications 82
Courbes de contact 82
63. Cas particulier où to et ^ sont réels. Forme de la courbe. Nature de
l'argument donnant des points réels 84
Tangentes menées par un point P de paramétre v 86
Points d'inflexion 87
64. Dégénérescence 87
65. Rectification de la lemniscate 89
III- — Pendule sphérique. Corps pesant de révolution. Élastique gauche.
66. Pendule sphérique 90
Calcul de ^ 92
Calcul de à 93
67. Corps pesant de révolution mobile autour d'un point de son axe 96
Calcul de -^ 98
Calcul de o 100
68. Courbe élastique gauche loi
Exercices sur le Chapitre III io3
CHAPITRE IV.
Étude spéciale des notations de Jacobi.
I. — Fonctions de Jacori.
69. Objet du Chapitre 106
70. Périodes 106
T A B L E I) K S .M A r I È n E S. 4 I 3
Pages.
71 . Développement en série simple <lc la fonction 7.u 107
72. Fonction H 110
73. Développement de \\{u) en série Irigonométriquc 1 11
7-i. Fonctions H, H,, 0, 0, de Jacobi n'j
75. Zéros des fonctions H, H,, 0, 0, ni;
7G. Formules relatives à l'addition d'une période ou d'une demi-période.. i:G
77. Addition d'un nombre entier de périodes i iq
78. Développements de H,, 0, 0, en produits infinis simples ik)
1 K
79. Rclation-^^H'(o)=: H,(o) 0(o) 0, (o) 121
Remarque 122
80. Formules relatives à l'échange de K et do K' 122
81 . Diverses notations usitées pour les fonctions de Jacobi 124
82. Relations entre les r et les S; 126
II. — Fonctions sn«, cnu, ûnu.
83 . Définition 126
84. Addition d'une période ou d'une demi-période 127
85. Construction, à l'aide des fonctions snu. cnu, dau, des fonctions ellip-
tiques aux périodes aw et 2w' ou 2K et 2iK' 12-
86. Périodicité, zéros, pôles des fonctions sn, en, dn 128
87. Formule d'addition préliminaire 129
88. Relations entre les fonctions snu, cnu. ânu 129
89. -Module. iModule complémentaire i3o
90. I-"<>rmiile d'addition pour sn w et en ;/ i3o
l-Ormulc d'addition pour dnu i32
Autres formules 182
91 . Dérivées des fonctions sn u, en u, dn u 182
Multiplicateur i33
92. Expression du multiplicateur en fonction des périodes. Choix de pé-
riodes telles que le multiplicateur devienne l'unité ï33
93. Dérivées successives i34
94. Développements en séries entières i34
95. Dérivées des fonctions inverses. Première idée de l'inversion à l'aide des
fonctions de Jacobi i35
96. Dégénérescence i36
f t' -0 i36
2° k' = I i37
97. Relation entre p w et sn « i3n
98. Théorème. Toute fonction elliptique aux périodes 2K et Ji'K'est une
fonction rationnelle de sn^a et sa dérivée 140
99. Développements de t, et de r/ en séries i4o
100. Exemples de décomposition en éléments simples et d'intégration 142
Remarque i45
101 . Notations d'Abel 145
Exercices sur le Chapitre IV 145
4l4 TABLE DKS MATIERES.
CHAPITRE V.
Étude des valeurs réelles de siw/, mu, dnu quand K et K' sont réels.
Applications.
I. — K I:T K' RÉELS.
rajtos.
102. Le module est réel et moindre que i i48
103. Argument réel i4^
104. Argument de la forme v -■- Hv', v réel i^g
105. Argument purement imaginaire i/i9
106. Argument de la forme K -f- iu, u réel i5i
107. Résumé i52
108. E.Kpressions des périodes par des intégrales définies i52
109. Relations entre K, R' et A' i53
110. Inversion i55
111 . Expression de K par une série hypergéométrique i.55
112. Valeurs réelles de pu, dans le cas où w et — sont réels, rattachées à
celles de sn= M i.5()
II. — BiQUADRATIQL'E G.\L'CUE ; SURFACE DES OXDES.
11,3. Équation de la biquadra tique i6o
1 14. Forme de la courbe 1G2
11.5. Condition pour que (jualre points de la courbe soient dans un même
plan i63
116. Plans osculateurs menés à la courbe par un point de la courbe iG5
117. Détermination des surfaces du second ordre passant parla biquadratique. 166
118. Équation de la surface des ondes 167
119. Expression des coordonnées d'un point de la surface en fonction de deux
paramètres elliptiques 1G9
120. Intervalles dans lesquels il suflit de faire varier la partie réelle et le
coefficient de i de chaque argument pour obtenir toute la surface. . 170
121 . Les lignes paramétriques sont orthogonales 170
122. Points singuliers 171
123. Plans tangents singuliers 178
124. Forme de la surface. Distribution des valeurs des paramètres 176
III. — Pendule simple. Élastique plane. Corde a sauter. Mouvement a la Poinsot.
125 . Pendule simple 180
12G. Élastique plane 184
127. Corde à sauter 188
128. Mouvement à la Poinsot igS
Cas de dégénérescence 199
TABLI-: l)i:S MATIKRES. 4'^
Pages.
120. llerpolliodie -.«oo
130. Vitesses de rotation autour des axes fixes 2o5
131. Les neuf cosinus déduits de l'équation de l'herpolhodie 2o5
Exercices sur le Chapitre V' 208
CHAPITRE VI.
Fonction p à périodes imaginaires conjuguées. Discriminant négatif.
I. — Le discriminant est négatif. Valeurs réelles de pu et de p'u.
13Î. Objet de ce paragraphe 211
133. Les invariants sont réels 211
134. .\rgumcnts réels, purement imaginaires, imaginaires conjugués 211
135. Les racines e,. e,.e, sont Tune réelle et les deux autres imaginaires con-
juguées 2l3
13G. Valeurs de u pour lesquelles pu et p'u sont réelles toutes les deux.. 2i5
II. — Expression des périodes de p par des intégrales définies de la forme
NORMALE DE LeGENDRE, DANS LE CAS DU DISCRIMINANT NÉGATIF.
137. Expression des périodes en fonction des invariants 216
138. Les intégrales donnant les valeurs de w^ et wi ramenées à la forme ca-
nonique de Legendre 217
139. Variation du rapport ^-^ 210
III. — Retour a la fonction p a discriminant positif. Expression des périodes
sous la forme de Legendre.
140. Les intégrales qui définissent les périodes ramenées à la forme cano-
nique de Legendre 220
141 . Variation du rapport -r— 222
IV. — Cas du discriminant négatif. Application géométrique.
142. Etude de la courbe x = pu, y — p' u " 223
V. — Discriminant négatif; application au mouvement d'un projectile dans UN milieu dont la résistance est proportionnelle au cube de la vitesse.
143. Equations différentielles et intégrales premières 226
144. Intégration par les fonctions elliptiques 228
145. Développements dc^ et de t en séries entières ordonnées suivant les
puissances de m ^ 2 — o3i
w
4iG
TAIiMv l)i:s MATIERES.
CHAPITRE VIT.
Intégrales elliptiques. Réduction à la forme normale de Legendre et de Jacobi. Inversion.
I
l'iC.
1Î7
149, 130.
151. 152,
153. 154.
I. — Intégrales elliptiques.
Pages. Kxoinplc clénicnlaire de la iiuahode employée pour calculer les inlé-
ftrales elliptiques 233
Intégrales elliptiques 284
Première réduction de l'intégrale elliplic|ue 235
II. — Forme normale de Legenuke. Intégrales de Jacobi.
Forme normale de Legendre 235
Intégrales de première, seconde et troisième espèce, d'après Legendre
et Jacobi 238
Formule récurrente pour le calcul de / sn=''i< du 289
III. — RÉDUCTION A LA FORME NORMALE DE LeGENDRE.
Cas d'un polynôme bicarré 240
Réduction à la forme normale, en quantités réelles, dans le cas d'un polynôme bicarré de la forme A(a:-+ a) ( jr-+ ^), A, a et p étant
réels 24 1
Type 1 242
Type II 243
Type III 243
Type IV 243
Type V 244
Réduction à la forme canonique de Legendre en quantités réelles.
quand y est la racine carrée d'un polynôme du quatrième degré.... 244
Cas où le polynôme sous le radical est du troisième degré 246
CHAPITRE Mil.
Rédaction à la forme normale de M. Weierstrass. Inversion.
1. — Le POLYNOME sous LE RADICAL EST DU TROISIÈME DEGRÉ.
155. Réduction à la forme normale 247
156. Remarques sur l'inversion 248
Premier cas. Discriminant positif 2^9
Deuxième cas. Discriminant négatif 260
TAin.K I)i:s MVTIKUKS. ^ly
II. — Lk POLYNOME SOUS LK RADICAL EST DU QUATRIÈME DKGRK. PREMIER MODE DE RÉDUCTION OÙ l'on NE SE PRÉOCCUPE PAS DE LA REALITE.
Pages.
157. Cas pailirulicr aSa
158. Le cas gênerai se ramène au cas particulier précédent 354
159. Règle 255
III. — In VERSION EN QUANTITÉS RÉELLES. DISCRIMINANT POSITIF.
IGO. Expression elli|ili(mc des racines d'un polynôme du quatrième degré.. ^50
IGl. Discussion relative à la réalité des racines. Cas où le discriminant est
positif 257
Les quatre racines rangées par ordre de gi-andcur 258
162. Inversion en quantités réelles 259
1° Cas où les quatre racines sont imaginaires 259
2° Cas où les quatre racines sont réelles 260
163 Résumé 262
IV. — Inversion en quantités réelles. Discriminant négatif.
164. Racines de F(;:) 2G3
165. Inversion en quantités réelles 264
166. Résumé 267
V. — Méthode de M. IIermite.
167. Méthode générale 267
Cas particulier 268
CHAPITRE IX.
Applications diverses traitées avec la notation de M. Weierstrass.
I. — Courbe élastique plane et sans pression.
168. Énoncé 269
Tableau de formules 270
169. Intégration par les fonctions elliptiques 27 1
170. Inversion 271
171 . Nature de l'argument. 273
172. Expression des coordonnées d'un point de la courbe 274
173. Intervalle dans lequel il suffit de faire varier t 275
174. Forme de la courbe 276
II. — Prisme droit chargé debout.
175. Énoncé de la question 278
170. Nombre de solutions 279
A. et L. 27
4l8 T.Vni. K DKS MATIÈRES.
III. — Courbe él.\stique plane sous pression normale uniforme.
Pages.
177. tnoncc et mise en équalion du problème 280
178. Tableau de formules 288
179. Intégration par les fonctions elliptiques 284
180. Inversion 285
181 . Nature des arguments 287
182. Intervalle dans lequel il suffit de faire varier / 288
183. Variation de r' 289
18 ( . Variation de l'angle polaire 290
185. Angle des rayons allant à deux sommets consécutifs 291
186. Signe du rayon de courbure 294
187. Forme de la courbe 297
IV. — Surfaces homofocales. Coordonnées elliptiques.
188. Surfaces homofocales à un ellipsoïde et passant par un point donné... 299
189. Coordonnées elliptiques 3oo
190. Longueur d'un arc infiniment petit 3oi
191 . Les coordonnées A. \i, v remplacées par trois arguments elliptiques u,
V, iv. Les coordonnées cartésiennes exprimées par des fonctions uni- formes de M, V, (V . . . 3o2
V. — Application a la théorie de la chaleur.
192. Les surfaces homofocales à un ellipsoïde donné sont des surfaces iso-
thermes. Chacun des arguments m, v, w est un paramètre thermomé- trique 3o4
193. Équation de la chaleur quand les variables sont les arguments ellip-
tiques u, V, w 3o8
194. Solution dépendant dune équation de Lamé 3ii
CHAPITRE X.
Transformation de Landen.
195 . Division par deux de la période 2 w 3i3
196. Relations entre les modules k, k^--^, entre les multiplicateurs g, gu^..- 3i4
197. Relation entre K et K, 3i5
198. Calcul de K quand k est donné 3i6
Exemple numérique Zi-,
199. Calcul de la valeur numérique d'une intégrale / '^ — 3i8
•J o \/ i. — Ar^sins
Exemple numérique 322
Exercice. — Division par un nombre impair de la période 210. Iden- tité entre les fonctions H déduite du théorème de Cotes 323
rviii. i: iti;s .MATii:m;s. 419
CHAPITRE \I.
Fonctions à multiplicateurs constants, ou fonctions doublement périodiques de seconde espèce.
Pages.
200. Définitions 325
Exemples iid
I. — DÉCOMPOSITION EN FACTEUHS. CONSÉQUENCES.
201. Expression générale des fonctions à multiplicateurs constants 827
202. Décomposition en facteurs 328
203. Nombre minimum de pôles d'une fonction à nuilliplicateurs constants. 33i
204. l'onrtinn.; à multiplicateurs spéciaux 332
II. — DÉCOMPOSITION EN ÉLÉMENTS SIMPLE.S.
20.5. Élément simple 332
206. Formules de décomposition. Cas des pôles simples 334
Exemple 335
207. Cas des pôles multiples 336
Exemple 338
208. Mclhode de .M. llermite 339
209. Multiplicateurs spéciaux 34o
III. — EoU.iTIO.N DK L.VMÉ. EQUATIONS DE M. PiCARD.
210. Équation de Lamé 342
211. Forme de l'équation de Lamé dans les notations de M. \\ eierstrass . . . 343
212. Intégration de l'équation de Lamé pour « = 1 34?
213. Équations de M. Picard 345
Remarque 348
21 i. Retour à l'équation de Lamé 348
CHAPITRE XII.
Fonctions à multiplicateurs exponentiels, ou fonctions doublement périodiques de troisième espèce.
215. Définition 35i
216. Simplification des relations que vérilie une fonction à multiplicateurs
exponentiels 352
217. Exemple du cas de N = 1 353
I. — DÉCOMPOSITION EN FACTEURS. CONSÉQUENCES.
218. Première expression d'une fonction doublement périodique de ti-oi-
sièmc espèce 354
4in T.viu.t: Di:s matii;ri:s.
Pages.
219. Cas de N positif 355
m Tiiii lonclions cnlières adincltanl les multiplicateurs i et e ^ 3;,r,
220. Cas do N négatif 35()
II. — DÉCOMPOSITION EN ÉLÉMENTS SIMPLES.
221 . Étude de 1 élément simple 36o
222. Décomposition en éléments simples dans le cas de N négatif 363
Belations entre les pôles et les résidus 3fi/|
Décomposition en éléments simples 365
Remarque 366
Cas des pôles multiples 367
223. Exemple .368
224. Formule de décomposition dans le cas de N positif 36ç)
225. Résumé 371
CHAPITRE XIII.
Périodes équivalentes. Notions sur les fonctions modulaires.
I. — GÉNÉR.\LITÉS.
226. Périodes équivalentes 372
227. Rapport des périodes 073
228. Réseaux de parallélogrammes formés avec les périodes équivalentes... S;^
II. — Notations de INI. Weierstrass.
229. Formes en nombre infini de la fonction r 375
230. Invariants. Invariant absolu J 376
III. — Fonction modulaire. Groupe modulaire.
231. Propriété fondamentale de la fonction J (t) 377
232. La fonction J est paire 378
233. Remarques sur les substitutions linéaires 379
Substitution inverse 371)
Produit de deux ou plusieurs substitutions 379
Remarque 38o
234. Groupe de substitutions 38i
235. Groupe modulaire 38i
236. Substitutions fondamentales du groupe modulaire 382
237. Interprétation géométrique 383
TVIILi: DliS M A T II":; U ES. 4^1
IV. — Notations de Jacobi.
Paiîcs.
238. expression de J(t) en fonclion tlu module A 384
231). Formes en nombre infini des fondions de Jacobi. Fonclion II 385
NOTES.
Note I. — Impossibilité de l'existence d'une fonction uniforme et continue
avec deux périodes dont le rapport est réel 389
Addition à la Note I. — Impossibilité d'une fonction uniforme et continue
avec trois périodes 391
Note II. — Convergence du produit définissant :: u 3y5
Note III. — Détermination du coeflicient A, qui figure dans les formules de
décomposition des fonctions B en produits infinis 398
RÉSUMÉ des principales formules '\oo
Eruata 408
FIN wv. \.\ t\rm: di:s mvtieres.
23033 l'aris. — Imprimerie GAUTHIER-VILLAnS ET FILS, quai des Grands-Auguslins,
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