at e Eu cd 1 Ra V1: VPN TOME l 4 j Tu i PA La RECUEIL DES PIECES QUI ONT REMPORTÉ LESPRIX DE L'ACADEMIE ROYALE DES SCIENCES, Depuis leur fondation jufqu’à préfent. Avec les Pieces qui y ont concouru. TOME SIXIEM_E. Contenant les Pieces de 174$ 1747 © 1748. NPA RS, GABRIEL MARTIN, rue Saint Jacques, à l'Etoile. Chez J. B. COIGNARD, Imprimeur ordinaire du Roi, rue S. Jacques , à la Bible d'Or, ; HIPPOLYTE-LOUIS GUERIN, rueS. Jacques, à Saint Thomas d’Aquir. CHARLES-ANTOINE JOMBERT, Libraire du Roi pour l’Artillerie & le Gé” nie, rue Dauphine, à l’Image Notre-Dame, M DRÉLGORE LIT Avec Approbation &° Privilege du Roi, 2 Los dn ns D MCE CE in ve 74 +1 …, trot ‘ s Dole À Li M te SLR Le À # {: Ru E. REA A DE AM Se DURE RNA TR A NA i 2 ie 1 RE 10 Ve 7e re PAT *+\ £ (KEKEKEKERPXEREXEXPMENEX) TL PUDEG'E.S contenues dans ce fixiéme Volume. *ACADEMIE avoit propofé pour fujet du Prix de 1745 , la meilleuremaniere de trouver l'heure en Mer par .obfervation ; foit dans le jour ; [tit dans le crépuftule ; & fur- tout la nuit, quand on ne voit pas L'horifon ; mais n’ayant pas été farisfaire des Pieces qui lui avoient été adreflées, Elle pro- pofa une feconde fois le même fujet pour l’année 1747. avec un prix double. L'Académie a vû le fuccès de ce dé- lai, & elle a couronné par un prix égal les deux premieres Pieces. Les autres qui y ont concouru ont mérité les élo- ges de l’Académie. I. Recherches Méchaniques & Aftronomiques, fur la queftion propofée par l'Académie Royale des Scien- ces pour l’année 1745. fur la meilleure maniere de trouver l’heure en Mer par obfervation , foit dans le jour , foit dans les crépufcules , & fur-tout la nuit quand on ne voit pas l’'Horifon. Par M, Daniel BERNOULLI. page É: Spplément à la même Piece. page 79. II. Medirationes in quæflionem ab illuffrifima Academia Pa- rifienft Scientiarum , pro anno 1747. propofitam quibu[nam obfervationibus Mari , tam interdiw quâm noëtu, itemque durante crepuftulo verum temporis momentum commodiffimè S certiffime dererminari queat. page LT. III. De la meilleure maniere de trouver l'heure en Mer par obfervation, foit dans le jour ; foit dans les crépufcu- les , & fur-tout dans Îa nuit quand on ne voit pas l’'Hori- fon. page 169. Correétions & Additions à la même Piece, page 202. IV. Effai d'Horolepfe Nautique. page 217: Avertiflement & Additions pour la même Piece. page 443 V. Mémoire fur le Programme pour le Prix de 1747. La meilleure maniere de trouver heure en Mer par obfervation, Soit dans le Jour , Joit dans les crépufcules ; &* [ur-tout la nuit quand on ne voit pas l’Horifon. page 457. Additions à la même Piece. page STE Avis auRelieur pour placer les Figures de ce Recueil. Tome fixième. Les Planches étant toutes cottées, le Relieur aura foin de les placer aux pages indiquées. PIE C E:s QUI ONT REMPORTE LE PRIX DE L'ACADÉMIE ROYALE DES BENGES, EN ML DCE X E FT. Sur La meilleure maniere de trouver l'heure en ÂWer. Selon la fondation faite par feu M. RourLL E DE MESLAY, ancien Confeiller au Parlement, A PARIS, rue S. Jacques. Chez Gagzr. MARTIN, J. B. COIGNARD; & H. L. GuERIN, Libraires. MD CC" :E. rar ei Li4 PONT HE LEA 14 Mie. % + + AV es ANT ait ik 4-2 4 ts: Ka D'AUTRE FR ra Mn M Ps fr de RUE | AVERTISSEMENT. ‘ACADEMIE avoit propolé pour fujet du Prix de 1745ÿ , La meilleure maniere de trouver l'heure en Mer, par obférvation, foit dans le jour , foit dans le crépufcule, & furtout la nuit , quand'on ne voit pas lhorifon. Mais n'étant pas entierement fatisfaite des Pieces qui lui avoient été adreflées, elle n’en couronna aucune , & propofa une feconde fois le même fujet pour cette année, avec un Prix double, c’eft-à-dire , de 4000liv. dans la vûe de donner aux Sçavans le loifir de compofer de nouvelles Pieces, ou de fuppléer ce qui manquoit à celles qu'ils avoient déja envoyées. L'Académie a vû le fuccès de ce délai. Parmi : les Pieces qu’elle a reçûes, il s’en eft trouvé deux qui lui ont paru avoir un droit égal au Prix. La premiere eft la Piece N° 2, de celles qui avoient concouru en 1745 , & à laquelle lAu- teur a joint un fupplément pour cette année. La Devife eft : Et quandoque olitor fuit opportuna locutus. Elle eft de M. Daniel Bernoulli , Profefleur en Medecine en l’Univerfité de Bâle. ai] iv AVERTISSEMENT. La deuxieme eft N° 2, de 1747. Elle a pouf Devife : Arbor non uno flernitur iélu. L’Auteur ne s’eft pas encore fait connoître. Quoique ces deux Pieces foient remplies de recherches très-curieufes , & de vûes, qui, per- feétionnées , pourroient être utiles à la Naviga- tion , cependant l’Académie fe croit obligée de renouveller la déclaration qu’elle a faite en di- verfesautresoccafions, qu’en couronnant les Pie- ces qui méritent le Prix,elle ne pretend pas adop- ter généralement tout ce qui y eft contenu. Dans le nombre des autres Pieces qui ont concouru, il y en a trois dans lefquelles on a trouvé des machines ou des vûes utiles, & qui ont à cet égard, mérité les éloges de l’Académie, La premiere eft N° 4, de 1745 , avec fon ad- dition. La Devife eft : Nihil umquam invenietur , fi contenti fuerimus inventis. La deuxieme eft N° $ , de 1745 , qui a pour Devife : Nautam ne pigeat cœli convexa tueri. Et la troifieme eft N° 1, de 1747, dont la Devife eft : Semper id melius quod optimo propinquius ef. L'Académie propofe pour le fujet du Prix qu'elle donnera à Pâques 1749 : La meilleure maniere de déterminer en mer les Coutans ; leur force &: leur direétion. Le te se 0 me be cr ie Se 4 ME ES de du LR TR ae RE TRES CATALOGUE des Ouvrages contenus dans ce Recueil. # ét # PIECES de 1745 & 1747. I. Recherches Méchaniques & Aftronomiques fur la quef- tion propofée par l’Académie des Sciences pour l’An- née 1745. fur la meilleure maniere de trouver l’heure en mer par obfervation, foit dans le jour, foit dans les crépufcules, & fur-tout la nuit quand on ne voit pas lhorifon : par M. DANIEL BERNOULLI, des Académies des Sciences de Paris, de Londres , de Pe- terfbourg , de Boulogne, &c. & Profefleur de Mede- cine en l’univerfité de Bâle. | page x Supplément à la même Piece, 79 IL. Wédirationes in Quæftionem ab illufrifima Academia Pa- rif. Scientiarum, pro anno 1747. propolitam, quibufnam ob- Jervationibus mari; tam interdiw quâm noëtu , iremque du- rante crepufculo verum temporis momentum commodiffimè & certiffime dererminari quear. 111 III. De la meilleure maniere de trouver l'heure en mer ; par obfervation , foit dans le jour, foit dans les crépuf- cules, & fur-tout dans la nuit quand on ne voit pas lhorifon, 169 Corre&ions & Additions à la même Piece, 202 IV. Effai d'Horolepfe Nautique , 217 Avertiffement & Additions pour la même Piece, 443 VW. Mémoire fur le Programme pour le Prix de 1747. La meilleure maniere de trouver l'heure en mer , par ob- fervation , foit dans le jour, foit dans les crépufcules, & fur-tout la nuit quand on ne voit pas l'Horifon , 457 Additions à la même Piece, sil RECHERCHES MECHANIQUES EUR ASTRONOMIQUES: Sur la Queftion propofée par l'Académie Royale des Sciences pour l'année 1745. La meilleure maniere de trouver l'heure en Mer, par obfervation, foi dans le jour, foit dans les crépufcules , & [ur-tour la nuit, quand on ne voit pas l'horifon. Et quandoque Olitor fuit opportuna locutus. Par M. DaN1EL BERNOULLI, des Acad. des Sciences de Paris, de Londres , de Pererfbourg , de Bologne, &c. & Profefleur de Médecine en l’Univerfité de Bafle. Prix. 1745. A PR MROLON EE TE LTOERS AT 10e : PTIT US ' k #! +, w E SN Ee M eat vbs LOU rue … - « CA < 91e EM à RECHERCHES MÉCHANIQUES Er ASTRONOMIQUES. Sur la Queftion propofée par l’Académie Royale des Sciences, pour l’année 1745. La meilleure maniere de trouver Pheure en Mer ; par obfervation, foit dans le jour, foit dans les crépufcules, & fur-tout la nuit, quand on ne voir pas l'horifon. Er guandoque Olitor fuit opportuna locutus. AVANT-PROPOS. E plus grand nombre des Obfervations Af- tronomiques , demandent une exaéte mefure du tems & des hauteurs verticales des Aftres : c’eft pourquoi on s’eft appliqué avec un foin extreme à mettre dans la derniere perfeétion pofble les Ai 4 RECHERCHES MECHANIQUES inftrumens qui fervent à ces mefures, & on peut dire qu’on y a réufli au-delà des efpérances qu'on auroit ofé concevoir auparavant : mais malheureufement pour la navigation , ces mêmes inftrumens ne font prefque plus d’aucun ufage pour les obfervations fur mer. M. Huguens, le premier Auteur des Ofcillations cycloïdiques des Pen- dules , a cru que moyennant une certaine façon de fuf- pendre les horloges,marquée dans fon Horologium oftillato= rium , elles pourroient fervir fur mer avec prefque autant de jufleffe que fur terre : mais quand il n’auroit point été réfuté par l’expérience , la feule théorie auroit fuffi pour démontrer la grande imperfeétion des Pendules en mer, & même leur inutilité abfolue , lorfque le vaiffeau feroit fort agité ; ce que je ferai voir en paffant dans mon Mé- moire. Quant aux obfervations des hauteurs apparentes des aftres , elles fouffrent des difficultés pour le moins aufli grandes , puifqu'il n’eft pas poffible de connoître exate- ment la direétion verticale ou horifontale. On a tâché de remédier à ce terrible inconvénient, en prenant pour la direétion horifontale la ligne vifuelle , qui rafe la furface de la mer : mais cet expédient, déja fort imparfait par lui-même, n’a plus lieu lorfqu’on ne voit pas l'horifon ; c’eft cependant ce cas qui fait la principale partie de la queftion propofée par l'Académie Royale des Sciences, pour l’année 174$ , & conçue en ces termes : Donner la meilleure maniere de trouver l'heure en mer , par obfervation , fôit dans le jour , foit dans les crépufcules ; & fur-tout la nuit quand on ne voir pas l'horifon. IL me femble donc que la queftion de l’Académie revient principalement, finon uniquement à celle-ci : Quelle feroit la meilleure ma- niere de connoître en mer la direétion horifontale la nuit, quand on ne voit pas l’horifon. De cette queftion dépend abfolument la mefure des hauteurs verticales ; & de celle- ET ASTRONOMIQUES. $ ci, la maniere de trouver l'heure en mer. Je nç prétend pas de pouvoir fatisfaire à cette queftion fondamentale avec une entiere précifion, & la chofe fera fans doute impoffble : la meilleure méthode fera la -moins impar- faite. Ce que je puis affurer par avance, eft que j'ai exa- miné cet article avec toute l’attention néceffaire , felon toutes les loix de méchanique ;, fans lefquelles on auroit grand tort de hafarder aucune conjeéture, quelque fon- dée qu’elle paroiffe ; j’en parle par expérience , étant re- venu de plufieurs idées que je m'étois formées là-deflus autrefois , & que je croyois affez bonnes alors. J'ai exa- miné l’effet de la pefanteur qui tend à donner aux corps une certaine dire@ion:; celui de l’inertie , qui fait que les corps entraînés parun point fe dérournent de leur pofition naturelle; celui du mouvement des:lames fur les vaif feaux; & enfin celui des agitations du vaiffeau fur les corps qui ÿ font fufpendus. De-là il m'a paru qu'il étoit poffble d’aflujettir les variations des direétions à de cer- taines loix, & qu’on pouvoit fe fervir de ces loix pour connoître à peu près la vraie direétion horifontale. J’ai tenu la même route pour examiner le mouvement des horloges ofcillatoires en mer, & quelle autre forte d’hor- loges marines on pourroit leur fubftituer , pour connoître {a mefure du tems le plus exatement qu'il eft poffible, puifque fans cette connoiflance , notre queftion feroit tout-à-fair inutile, & que fouvent il faut connoître un in- tervalle de tems pour pouvoir trouver l’heure. Ce n’eft qu'après ces recherches préliminaires, que je traiterai des moyens que l’Aftronomie nous fournit pour connoitre l'heure. Je diviferai donc mon Mémoire en quatre cha- pitres. Le premier contiendra les recherches Méchani- ques qui conviennent à notre fujet. Le fecond trairera de la perfe@tion des Horloges & des Montres en général , & A ii 6 RECHERCHES MECHANIQUES des Horloges marines en particulier. Dans le troifiéme,, j'examinerai jufqu'où on peut aller dans l’établiflement d’une diredion horifontale , fans le fecours de l’horifon vifible. Et enfin dans le quatrieme ; je donnerai pour les diverfes citconftances où l’on peut fe trouver, plus ou moins favorables | les meilleures manieres pour trouver l'heure , moyennant le fecours des inftrumens dont j'aurai donné la defcription. ET ASTRONOMIQUES. 7 CHAPITRE PREMIER. Contenant les Recherches préliminaires de Méchanique. Si E I le vaifleau alloit fur mer avec une viteffe unifor- me & d’un mouvement parallele , ce mouvement ne pourroit faire aucun effet, & tout refteroit dans le même état que fi le vaiffeau étoit en repos ; un pendule feroit fes ofcillations avec la même régularité que fur terre; un corps attaché & fufpendu par un fil , retiendroit conftam- ment ce fil dans fa fituation verticale, & toutes les obfer- vations pourroient fe faire avec la même facilité & autant de précifion que par terre ; mais lorfque le vaifleau eft apité, tout cela change de face: ce n’eft donc point le fillage qu’il faut confidérer ici, mais fimplement les agi- tations & les balancemens du vaifleau ; c’eft pourquoi nous pourrons confidérer le vaiffleau comme flottant , mais agité par les lames & par les vents. - Cou 8 F Tour corps flottant dans un fluide en repos, aune certaine fituation d'équilibre , excepté les corps fphéri- ques & homogenes : s’il eft détourné de fa fituation natu- relle , il a reprendra auffi-tôt qu'il fera libre de le faire ; mais en le faifant il fera plufieurs allées & venues ; il fera des balancemens de même qu'un pendule fimple ; & il continueroit fes balancemens fans fin , fans plufieurs 8 RECHERCHES MECHANIQUES réfiftances qui les diminuent peu à peu; cependant les grandes & les petites agitations fe feront à peu près dans le même tems. M. Euler a propofé le Problème de trou- ver la longueur du pendule fimple ifochrone, avec les balancemens d’un corps flottant quelconque : & quoique ce problème foit extremement embrouillé , ies folutions qu'on en a données fe font parfaitement rencontrées. Je ne fcaurois entrer ici dans le détail de ces folutions : il me fufira d’en faire remarquer quelques propriétés eflen- tielles à notre fujet. (a) Sile corps flottant eft forcé de faire fes balance- mens dans un plan donné, le pendule ifochrone pour le même corps fera plus ou moins long , fuivant le plan des balancemens : ainfi un vaiffeau tanguant de la prouë à la pouppe, ne fera pas ces balancemens dans le même tems que le même vaiffeau roulant d’un bord à l’autre. On peut remarquer aufli , qu'un corps flottant peut être balancé en même tems dans plufieurs plans, & alors les premiers balancemens font extremement irréguliers, mais ils de- viennent bien-tôt réguliers , & fe font enfuite tous avec harmonie, commençant & finifflant chacun au même moment , & on peut encore déterminer la longueur du pendule fimple ifochrone , avec tous ces balancemens, compofés après qu'ils font devenus réguliers. (ë) Tous ces balancemens peuvent être réduits à deux clafles , defquelles on fçait déterminer les conditions, Dans la premiere claffe, le centre de gravité du corps flottant & balançant refte immobile : dans la feconde , le centre de gravité fouffre des balancemens lui - même, mais fans fortir de la verticale ; il ne fait que monter & defcendre alternativement , & toûjours verticalement : un vaiffeau qui roule d’un bord à l’autre & également des deux côtés, conferve fon centre de gravité au même point à peu ET ASTRONOMIQUES: 9 à peu près : mais s’il étoit couché en même tems fur un de fes côtés, ou s’il tanguoit , fon centre de gravité ne fera plus en repos : cependant il reftera toûjours dans la même ligne verticale. ’ (c) Les mêmes propriétés fubfifteront , fi au lieu des corps flottans on confidéroit des corps müûs uniformé- ment ; le fillage ne peut donc déranger fenfiblement les . balancemens du vaiffeau. (d) Les montées & defcentes verticales du centre de gravité feront toûjours fort petites par rapport aux exCur« fions circulaires d’un point éloigné du centre de gravité, & d’ailleurs elles ne peuvent faire aucun effet fenfible fur le corps fufpendu dans le vaiffeau, J «PE 0 LE À LE mouvement des lames eft la premiere & princi- pale caufe des agirations du vaiffeau ; les vents n’y con- courent que très-peu, excepté les bouffées ; un vent fait & uniforme ne feroit que pencher le vaifleau , & ne l’agi- teroit point, fi la furface de la mer reftoit unie. Les lames font formées par des eaux qui montent & defcendent al- ternativement , & ces balancemens des eaux fe font fui- vant les loix des ofcillations d’un pendule fimple. Les eaux font agitées jufqu’a une certaine profondeur , au- deflous de laquelle elles font entierement calmes. Une théorie que je me fuis formée là-deflus, indique que la durée d’un ondoyement eft ifochrone avec l’ofcillation d’un pendule fimple, dont la longueur eft à peu près égale à la profondeur des eaux agitées. Ainfi fi la durée d’une lame , depuis fa plus grande élévation jufqu’à fon plus grand abbaiflement étroit de dix fecondes , on en pourroit conclure que les eaux font agitées jufqu’à la profondeur Prix, 174$: 10 RECHERCHES MECHANIQUES d'environ 306 pieds. La hauteur des lames & eur dif tance mutuelle, paroït dépendre de la profondeur de la mer & de la force du vent, & leur direétion pareillement de celle du vent ; d’où je conclus qu’en pleine mer, & lorfque les vents font faits fans être trop pefans , les lames feront fort femblables, d’une grande étendue en longuëur:, & paralleles entre elles. Plus les lames, qui font la princi-- pale caufe des agitations du vaifleau, font irrégulieres plus le vaiffeau fera tourmenté & agité irrégulierement. gr: EC Vas TL femble d’abord que les agitations du vaifleau ne peuvent qu'être extremement irrégulieres : un vaiffleauslh peut être balancé en tout fens , mais fur-tout de prouë à pouppe , & d’un bord à l’autre; outre ces balancemens, il en fouffre encore par rapport à fon centre de gravité , qui monte & defcend alternativement ; il en foufire d’autres, qui font relatifs au mouvement des lames. Chaque balan- cement influe l’un fur l’autre , ils fe dérangent mutuelle- ment; chacun peut finir & recommencer brufquement. Nous voyons arriver tout cela dans les premieres of. cillations de plufieurs corps attachés & fufpendus par le même fil: mais auffi toutes ces ofcillations fe compoferont: bien-tôt à un état de permanence & d'harmonie, & alors elles commenceront & finiront toutes au même inftant, & ces ofcillations compofées, ne feront plus que des of- cillations fimples, uniformes & régulieres. Je poufferai cet exemple plus loin. Prenez par les doigts un bout de fil chargé de poids quelconques, à des diftances quelcon-. ques ; faites avec la main des excuflions réciproques, en imitant le plus que vous pourrez le mouvement d’un pen- dule : & vous verrez tous ces corps enfilés, fuivre: ET ASTRONOMIQUES: T1 parfaitement le mouvement de la main, chacun commen- çant & finiffant fes balancemens avec ceux de la main. On obfervera la même chofe dans les balancemens de toutes les parties d’un fyftème compolé, quelqu'irréguliers qu’ils foient d’abord. Qu'on balance un feul baflin d’une gran- de balance, & on verra que l’autre baflin, le fléau & toutes les parties fe mettront en mouvement, & fe com- poferont à un fimple balancement ifochrone. Au refte cet état de permanence arrivera tantôt plûtôt, tantôt plus tard ; fuivant les circonftances , & dans de certains fyftè- mes , il n'arrive que très-difficilement. Se Vs CEs confidérations m'ont conduit à ce grand princi- pe, qui eft, que dans tout fyftème compolé de tant de par- ties qu’on voudra, agiffant toutes les unes fur les autres, fi chaque partie eft agitée par des mouvemens ofcillatoi- res réciproques , quelque différentes que foient d’abord ces ofcillations entre elles , tous ces mouvemens extre- mement embrouillés , tendront bien vite à un mouvement régulier & permanent, auquel étant parvenus, toutes les ofcillations commenceront leurs allées & venues au même inftant ; les unes feront accélérées , & les autres retardées, jufqu’à ce que cela arrive. Mais comme tout mouvement finit bien-tôt par plufieurs obftacles qu'il rencontre, & qu’il pourroit finir avant que cet étar de permanence foit fenfible , il faut alors fuppofer une caufe qui entretienne le mouvement, & la fuppofer conftante , uniforme & permanente, ga VUE JE ne fçaurois exprimer affez l'utilité de ce principe Bij # 12 RECHERCHES MECHANIQUES dans la Phyfique méchanique ; la nature ne s’en écarre jamais, elle produit fouvent des effets fenfibles par des tremouflemens infenfibles..Sur ce principe, j'ai réduit au calcul , des phénomenes für les fons , qui pourroient peut- . être paroïtre inexplicables. Les propriétés principales de la lumiere, doivent fe déduire de ce principe. Le calcul de tous les mouvemens fenfibles ; qu’on peut rapporter à cette claffe, s'accorde toûjours merveilleufement avec l'expérience. Sur ces réflexions, je n’ai plus héfité d’em- ployer ce même principe pour expliquer en gros la nature des agitations d’un vaiffeau en mer, & pour en tirer tout le fruit qu'il feroit poffible , tant pour la perfection & l’ufa- ge des Horloges marines, que pour la maniere de con- noître la direétion horifontale fur mer. HR EE À TL eft certain que fi les lames étoient des fillons d’une grande étendue en longueur , paralleles & parfaitement égaux, fi le vaiffeau confervoit conftamment fa vitefle & fa route, file vent & la manœuvre reftoient parfaitement les mêmes , il eft certain, dis-je , que les agitations du vaiffeau feroient tout-à-fait régulieres , uniformes, & fur- tout ifochrones avec les balancemens des lames ; quand même le vaiffeau feroit agité irrégulierement!, il fe remet- toit bien-tôt dans cet état. J'avoue que ces fuppofitions font un peu libres : mais elles ne le font pas tant qu'on pourroit Le croire, & j'en parle par ma propre expérience ; il fuffit qu'on fe trouve fouvent dans le cas de ces fuppo- fitions, & pendant des intervalles de tems confidérables, & je demande qu'on les faififfe pour faire fes obfervations. On y peut aufli contribuer beaucoup par la manœuvre affez connue. Dans cet état d’uniformité & de régularité, Ï ET ASTRONOMIQUES. 13 le vaïffeau peut fouffrir plufieurs fortes d’agitations, mais qui feront toutes harmonieufes ; & en même tems tout ce qui eft mobile dans le vaifleau fera des allées & venues correfpondantes. Des fluides dans des vafes, d’autres dans des tuyaux communiquans; des pendules fimples ou com- pofés, quelque inégaux qu'ils foient, & dans quelque plan qu’ils puiffent balancer des lames à reffort qui fe courbe- roient,& tel autre forte de mouvement qu’on puifle s’ima- giner:on y remarquera un accord d'autant plus parfait, que nos fuppofitions feront plus vraies. Tous ces mouvemens peuvent être extremement inégaux en grandeur abfolue: mais ils fe feront toüjours avec une proportion conftante. Au même inftant qu’un pendule aura fait le tiers ou le quart de fa digreflion totale , tous les autres pendules fe trouveront dans le même cas, quoique les digreflions an- gulaires de tous ces pendules foient fort inggales. Un pen- dule qui feroit naturellement fes ofcillations dans le même tems que le vaiffeau fait fes agitations , fera remarqué faire des mouvemens exorbitans , pendant qu’un autre n’en fera que de très-médiocres. Si le vaifleau faifoit fes agi- tations chacune pendant deux fecondes , un pendule fim- ple de 1 2 pieds fera extremement jetté de côté & d’autre, par les plus petires agitations du vaiffeau, pendant queles autres pendules fimples n’auront qu'un très-petit mouve- ment, tant ceux qui font plus longs , que ceux qui font plus courts : une horloge qui battroit à chaque double feconde, s'arrêtera tout aufli-tôt, pendant qu’une autre continuera fa marche. Ces confidérations fi effentielles à notre fujet, m’engagent à entrer dans quelque détail fur cette matiere, quoique peut-être ennuyant; je le ferai avec toute la brié- veté qui me fera poffible, Bi 14 RECHERCHES MECHANIQUES SV TEL Soir un point fixe, ( Fig. 1.) M & mdes corps at- tachés au fil vertical Zm, & qu’on fuppofe la maffe da corps M infinie par rapport à l’autre mafle » ; cette fup- pofition convient à notre fujet , & elle abrége les calculs ê& les expreflions. Il s’agit de trouver quel fera le mou- vement du corps #, lorfque le fyftème fera balancé. Il eft clair d’abord que le corps fupérieur M fera fes balancemens exaétement, fuivant les loix d’un pendule fimple, à caufe de fa mañle infinie: mais le corps inférieur m pourra faire d’abord des mouvemens fort irréguliers, plus ou moins, fuivant la premiere impreflion qu’on lui aura donnée ; cependant cette irrégularité ceflera bien: tôt , demêmallgue dans une corde de mufique , les pre: mieres vibrations ne peuvent qu'être extrememenñt era brouillées , quoiqu’à en juger par leur fon, il femble qu’elles fe foient mifes tout aufli- tôt à leur état naturel & permanent. Dans cet état de permanence, voici quelle fera la nature des ofcillations du corps, dans la fuppofi tion qu’on émploie ordinairement pour ces queftions , que les ofcillations puiffent être cenfées infiniment petites. (a) Soit la longueur du fil 4 M= L, celle du fil Mm =}, fappofez ie fyftème dans la fituation 4 BC ou AB'C'; notera AB ou AB jufqu'en D ou D'; je dis qu’on aura l'angle CB D ou CBD'=— ie x BAM ou = on x B' A ML. On peut donc déterminer un angle par l'autre , par le fimple rapport des longueurs des fils. (b) Plus la longueur /eft petite, plus l'angle CB D fera petit auffi. Si les fils M & Mm font égaux , l’angle CB D deviendra infiniment plus grand que l'angle BA M, ET ASTRONOMIQUES. 15 ou piété celui-ci infiniment plus petit que l’autre, puifque nous fuppofons l’un & l’autre fort petit ; & enfin fi la lon- gueur Mm eft plus grande que la longueur AM , l'angle CBD deviendra négatif, & toûjours plus 2% que BA M. La feconde figure , marquée avec des lettres ana- logues , éclaircira la nature de ces ofcillations. $ - E X. CE que nous venons de dire doit être changé & éten- du, pour pouvoir être appliqué à notre fujet, notre def fein étant de repréfenter par le point M un point fixe du vaifleau agité autour du point 4, qui fera fon centre de gravité; & alors Mm fera un pendule fufpendu dans le vaifleau : il convient donc de fuppofer le point A plus haut que le point Z; comme aufli les balancemens du vaifleau ne feront pas précifément de la même durée que feroient les ofcillations naturelles d’un pendule de la lon- gueur 4 M; il faudra étendre l’hypothefe de la pefanteur: naturelle à une pefanteur quelconque,.pour pouvoir éga- ler les balancemens du vaiffeau, & lesofcillations du pen- dule 4 M par rapport à leur durée. Suppofons pour cet effet une verge 4 M (Fig. 3.) fans poids mobile autour du point ‘4, & chargée à fon extrémité d’une mafñfe infinie: M; que cette mafñfe foit animée par une pefanteur néga-- - tive, qui agifle toujours parallelement à la dire&tion 4M. Suppofons encore un pendule Mm fufpendu au point M, dont le poids m foit animé par la pefanteur-naturelle pa- tallelement à la direétion Mm. Si après cela la verge: AM vient à balancer autour du point 4, il eft queftion de déterminer les balancemens du pendule M1, après qu'ils feront devenus réguliers & correfpondans à ceux de la verge 4 M, Voici donc ce qui doit arriver dans ces hy-- pothefes.. 16 RECHERCHES MECHANIQUES (æ) Concevons la verge dans la fituation 2 Bou ZB/, & le pendule en BC ou B'C’, & fuppofons premierement la pefanteur négative, qui anime la maffe infinie M, pré- Cifément égale à la pefanteur naturelle. Soit encore 4 M = L,& Mm=—l, & tirez les verticales BE & B'E', je dis que l’angle CB D fera = x BAM, & Vangle CBE= x BA M ; la même chofe fera des angles du côté oppofé. (B) Si la pefanteur négative qui anime la mafle M eft à la pefanteur naturelle , comme p à 1, je dis qu’on aura l'angle CBD= TE x BAM, & l'angle CRE = 2; x BAM. On peut abréger ces formules & les rendre plus fenfi- bles , en introduifant la longueur d’un pendule fimple à, ifochrone, avec les agitations du vaifleau ou de la mañle M: on aura alors cette analogie;p:1= L:A, & par con- L féquentp == , & fubftituant cette valeur , on aura l'angle CBD= EX BAM, & l'angle CBE à =" = *BAM. (7) Cette derniere expreflion marque, que l’angle que le fil du pendule fera avec la verticale eft d’autant plus petit, que la diftance 4 M eft plus petite, que le pendule eft plus court, & que le point de fufpenfion 4 eft balancé plus lentement. Donc fi un pendule court eft fufpendu dans le vaiffeau près de fon centre de gravité, & que le vaiffeau foit agité fort lentement, ce pendule ne s’écarte- ra jamais fenfiblement de la verticale ; & moins on aura fatisfait à ces conditions, plus le pendule fera jetté de cô- té & d'autre , par les agitations du vaiffeau. Un pendule infiniment long conferveroit fa polition verticale , malgré les ET ASTRONOMIQUES 17 les balancemens finis du point de fufpenfon : mais on ne peut pas faire fur mer, que la longueur / foit beaucoup plus grande que à ; ainfi cette derniere remarque ne feroit pas dans fa place , par rapport au but que je me propofe; mais comme la premiere remarque peut nous être utile, je vais l’éclaircir par deux exemples oppofés. L Suppofons dans un vaiffeau un pendule d’un pied, fufpendu un pied au-deffus du centre de gravité du vaif. feau , & que ce vaifleau emploie quatre fecondes à cha- que balancement , que nous fappoferons de 20 degrés ; ou dix degrés de chaque côté , nous aurons L—/=1 ; À = 49 ; le plus grand angle B 4 Mde dix degrés , & cela donne le plus grand angle CBE = > degré, ou d’une minute & 1 $ fecondes. IT. Suppofons à préfent que tout le refle étant égal, le pendule foit long de 30 pieds, & fufpendu 20 pieds plus Mäur que le centre de gravité du vaifeau , & nous trouve- . rons que la plus grande digreflion du pendule fera d’envi- ton dix degrés & demi, & plus de cinquante fois plus grande que dans Îe premier cas. Cependant l’un & l’autre pendule feroit fes ofcillations dans le même rems, & toû- jours avec les balancemens du vaifleau. S x LE précédent article fert à déterminer les balance- mens d’un pendule fimple , fufpendu verticalement au- deffus du centre de gravité du vaifleau, pourvû que le vaiffeau foit droit dans la pofition moyenne de fes balan- cemens. Mais fi dans cette pofition moyenne le vaiffeau étoit couché fur un de fes côtés, il faudra un peu changer les théoremes que nous venons d'indiquer. Soit 4 M( Fig 4. ) la fituation d’équilibre d’une verge Prix, 1745. 00 C 18 RECHERCHES MECHANIQUES mobile autour du point 4, & du point M foit fufpendu un pendule fimple Mm ; qu'on tire la. verticale 4F, & l'horifontale MF; qu’on fuppofe enfuite le point 4 faire des ofcillations réciproques B M B' ; que BC & B'C'mar- quent les pofitions du pendule, le point A7 fe trouvant en B & B'; tirez les verticales BE & B'E'; je dis qu'en re- tenant toutes nos dénominations precédentes , on aura l'angle CBE— _. multiplier l’angle trouvé pour le premier cas , par le rap- port du cofinus de l’angle de Pinclinaifon du vaiffeau , au finus total, pour avoir ce même angle qui convienne au cas préfent. Même la formule précédente fera générale, pourvû qu’on entende par L , non la diftance 4 M, mais la hauteur ZF, c’eft-à-dire la hauteur verticale du point de fufpenfion du pendule, par-deflus le centre de gravité du vaiffeau. II s’enfüuit de-là , que plus le vaiffeau fera cag- ché fur un de fes côtés, mieux le pendule gardera fa fitua- tion verticale. Aurefte, ces théoremes fuppofent à la vérité, que les balancemens angulaires du point A foient fort petits ; cependant ils pourront être confidérablement grands, fans que nos théoremes s’éloignent fenfiblement de la vérité. Il eft facile aufli de les confirmer par des ex- périences ; puifque par le moyen d’un contre-poids, on pourra donner à la verge 4 M telle pofition d'équilibre qu'on voudra ; on pourra enfuite fufpendre du point M un pendule , & puis faire balancer le fyflème , & on re- marquera toûjours entre les angles: CBE & BAM, la relation que nous leur avons aflignée , pourvû que les of. cillations foient devenues harmonieufes , & elles ne tar- deront gueres à. le devenir. . sx NES: JE ferois trop prolixe , fi je voulois donner une x 7 x BAM. Il n'y a donc qu'à ET ASTRONOMIQUES: 19 démonfration rigide de ces propofirions : cependant pour -en donner quelque idée, je m’atracherai , par exemple, à la Note (6) du $. 1 x. auquel repond la troifieme Figure. -Confidérons donc que la mafle M fe trouvant en B , fa . BM . . force accélératrice fera = == x p, puifque le poids » infiniment plus petit, ne fçauroit la déranger. Quant à la force accélératrice du petit poids pofé en C, le tranfport du point de fufpenfion B ne fcauroit la faire varier, parce que l’angle CB M eft cenfé droit; ainfi fa force accé- ; CE lératrice fera fimplement = + , & comme le corps en B doit arriver en AZ, dans le même tems que le petit corps en Carrive en ", il faut faire que les forces accélératri- BM sé . BA parcourir, B M & Cm. De cette proportionalité, on tirera CES |; Grise x BM, & CEE cix x BM n CE BAXxp BM , . 5 ; - ou CB BA—CExp X5 4» c'eft-a-dire l'angle CBE BAXx L — Bac * BAM» BAM; tout comme nous avons trouvé ddffs l'endroit cité. On trouvera les autres démonftrations , pour peu qu’on y fupplée. CE ts: ° \ ces , & 7% foient proportionnelles aux efpaces à AE ii 9h À LE s propriétés que nous venons d'indiquer , ne fervi- ront pas feulement pour déterminer les balancemens d’un pendule fimple fufpendu dans un vaiffeau agité, mais en- core pour en tirer plufieurs éclaircifflemens fur le mouve- ment des pendules appliqués aux horloges, pour les em- ployer fur mer avec plus de füreté & plus de fuccès, s’il eft encore poffible de s’en fervir ; & s’il ne l’eft pas, pour leur fubftituer d’autres horloges marines , dont la marche foit-bien affurée, C’eft dans cette vüe que je ferai encore Ci 20 RECHERCHES MECHANIQUES remarquer la propofition fuivante , quoique connue de tout le monde. SARXIuLE, Four corps fufpendu & entraîné d’une façon quel- conque par fon centre de gravité, conferve conftamment une pofition parallele, par rapport à toutes fes parties. Ainfi file centre de graÿité d’un corps quelconque eft au point B', ( Fig s.) attaché à l'extrémité du fil 4B , & que CD foit une ligne quelconque, paffant par deux points donnés du corps; fi l’on conçoit l’extrémité du fil Z tranf- portée d’un mouvement quelconque en 4, & que par ce mouvement , la ligne C B D parvienne en c bd, ces deux lignes CD & c d feront toüjours paralleles entte elles... Avant que de finir ce Chapitre, je prierai encore le Lecteur de remarquer que dans les quatre premieres Fi- gures, le point #: peut être pris pour le centre d’ofcillation d’un corps d’une étendue finie quelconque; la ligne Mm marquera toûjours la diftance entre le point de fufpenfion & le centre d’ofcillation. Cette vérité n’eft pourtant pas claire par elle-même , quoique l’on fuppofe tous les théo- remes ordinaires du centre d’ofcillation; mais on peut Lx démontrer par de nouveaux principes, & elle ne fubfifte, que lorfque le corps fait avec la ligne Mm un fyftème roïde , fans pouvoir tourner autour du point #, de forte: que: tout le fyftème faffe un même mouvement angulaire autour du point de fufpenfion 4. ses Le ÊT ÂASTRONOMIQUES: 21 CHAPITRE II Contenant quelques réflexions [ur la meilleure maniere de mefurer fur mer le Tems ab{olu. S:-Hoe TV E qui m'engage à ces recherches, c’eft que fouvent on ne peut trouver l'heure fur mer , fans connoitre de certains intervalles de tems. À quoi ferviroit d’ailleurs le plus fouvent, de connoître pour ün moment l’heure par obfervation , fi l’on ne pouvoit conferver cette connoif- fance par le moyen des horloges marines , pendant un certain tems ? La queftion propofée par l’Académie feroit d’affez peu d'utilité, fi l’on ne pouvoit rapporter l'heure trouvée à l'heure marquée par l'horloge, & c’eft ce rap- port qui la rend extremement intéreffante. La mefure du tems abfolu fur mer étant donc toûjours fi utile, & fou- vent fi néceflaire pour la folution de notre queftion , j'ai cru de mon devoir d'apporter toute attention poflible à cet article. Il y a une œconomie dans la marche des hor- loges, qu’on na pas encore développée, que je fca- che , & qui eft cependant, à mon avis, de grande con- féquence pour la perfeétion des horloges en général : & ces remarques jointes à celles que nous fournira le précé- dent Chapitre, pourront , à ce que j'efpere, nous mener plus loin qu’on n’a encore été fur ce fujet. Je partirai en- core des premiers principes. ; Get PIN Les pendules mefurent le tems fur terre avec tant de Ci 22 RECHERCHES MECHANIQUES jufteffe ; qu’on peut fe pafler aifément d’une plus grande perfection. Ce qui peut encore un peu déranger le mou- vement égal des pendules, eft linégalité du pendule, caufée par les changemens du froid & du chaud , & puis linégalité des arcs décrits par le pendule. On pourrait éviter le premier inconvénient { qui eft en même tems le feul dont on fe mette encore en peine) de plufeurs fa- çons, pourvû qu’on fit le pendule de deux métaux diffé- rens , qui s’allongent & fe racourciffent inégalement., par des changemens égaux du froid & du chaud , & qu’on fçût bien la proportion dé ces allongemens & racourcif. femens d'un métal à l’autre. La meilleure maniere de trouver cette proportion, confifte dans les pendules mé- mes. Parexemple, M. Graham a trouvé qu’un change- ment de froid répondant à 11 degrés fur fon thermome- tre, faifoit accélérer ou retarder fa pendule de 6/ pendant 24 heures, ce qui fait o, o 6 lignes , fur 441 lignes; & s’il avoit fait les mêmes expériences fur des pendules faits d’autres métaux, il auroit pû trouver de cette façon, la proportion des allongemens de différens méraux, caufés ‘par la même augmentation de chaleur ; & fcachant cette proportion, je dis qu’on pourroit donner différentes conf- truétions pour les pendules , telles que leurs ofcillations ne fereffentent plus des changemens du froid & du chaud. Je me contenterai pour le préfent, d’avoir indiqué ce re-. mede, fort fimple dans l'exécution, d’autant qu’une ample déduétion pourroit me mener trop loin. Si les circonftan- ces rendoient ces petites variations intéreflantes, on pourra fuppléer à ce défaut par un thermometre , après en avoir fait l'expérience de M. Graham , que je viens de citer : on pourra remarquer l’état du thermometre de deux heures en deux heures, & on en déduira facilement la petite correction qu'il convient de faire fur l’heure marquée ET ASTRONOMIQUES. 23 par l'horloge. C’eft M. de Maupertuis quinous arapporté l'expérience de M. Graham , dans fon excellent Ouvrage fur la Figure de la Terre; p.1 65, Edit. de Paris; cependant on ne fcauroit encore en faire tout l’ufage , fans une def. cription plus exaéte du thermometre dont s’eft fervi M. Graham. M. de Maupertuis dit fimplement après M. Grahanr, que le thermometre étoit de mercure ; que le degré de chaleur qui répond à l’eau bouillante , étoit mar-: qué par o ; que lorfque ce thermometre étoit fur 1 38 , la pendule accéléroit fur le tems moyen de 4’ 4! par jour , & lorfqu’il étoit à 127 (degré de chaleur que Meffieurs les Académiciens ont imité à Pello) la pendule n’accé- léroit plus que de 3’ 5 8/ par jour, & qu’ainfi une diffé- rence de 1 degrés fur le thermometre , produifoit une différence de 6/’ par jour dans la marche de la pendule. - Mais quels font les degrés fur ce thermometre? c’eft ce qui n’eft point marqué. On peut cependant le déduire de ce que M. de Maupertuis marque aux pages 1 69 & 172,° où il dit que le thermometre de M. Prins étoit fur 6 1 ;lorf- que celui de M. Graham étoit fur 127. Or, le thermo- metre de M. Prins parcourt environ 180 degrés, depuis le terme de la congélation de l’eau de pluie , marqué 32, - jufqu’au terme de l’eau bouillante, marqué par 21 2 dans l'état moyen du barometre ( car on fçait que les différen- tés haureurs du'barometre font varier le degré de chaleur de l’eau bouillante). Donc 180 degrés du-thermometre de M. Prins, valent 1 $ 2 degrés environ, fur le thermo- metre dont s'eft fervi M. Graham, puifque 212—61,- c'eft-à-dire , 1 5 1 du prémier thermometre, répondoient à 127 du fecond : il fuir de-là; que le terme de la congé- lation de l’eau de pluie étoit marqué par 152 far le ther- mometreé dont’ fe font fervis M. Graham , & enfuite Meflieurs les Académiciens ; d’où je conclus que ce 24 RECHERCHES MECHANIQUES thermometre étoit conftruit & divilé fuivant les regles de M. de l'Ile de Peterfbourg , qui commence par o depuis la Chaleur de l’eau bouillante , & qui divife le volume du mercure qu’il occupe dans l’eau bouillante en 10000 parties , &c qui a remarqué que le mercure fe reflerre de 1 52 parties, lorfqu’il eft réduit au terme de la congélation de l’eau. Cet éclairciffement peut être de conféquence, pour tirer tout le fruit qu’on peut des importantes & très- exactes Obfervations faites par Meflieurs les Académi- ciens au Ceïcle Polaire ; c’eft pourquoi je n’ai pas héfité de faire cette remarque en paffant , d'autant qu’elle nous met en état de calculer jufqu’où peuvent aller les inégali- tés dans la marche des pendules, par les variations du thermometre, On a remarqué que le plus grand froid ob- fervé en Irlande, & le plus grand chaud obferyé au Pérou, fait une différence d’environ 83 degrés fur le thermome- tre de M. Prins, qui valent 70 degrés de celui de M. de PIfle : cette différence de chaleur en peut produire une de 38// par jour fur le mouvement des pendules, & dans un même climat un peu Septentrional, où les variations du froid.& du chaud font plus grandes, les variations des endules peuvent aller pour lemoins jufqu’à 30” par jour, de l'été à l’hyver , & fouvent jufqu'à 8” ou 10” dans un même jour. Ces grandes différences marquent combien on doit être attentif aux degrés du thermometre dans les obfervations exaétes qu’on entreprend, comme M. de Maupertuis le remarque aufli, p. 167. On doit donc conftruire & divifer Les thermometres avec une attention proportionnée , en remarquant que le degré de chaleur de l'eau bouillante n’eft pastout-à-fait fixe, mais qu’il dépend de la hauteur du barometre ; que l’eau boût d'autant plus facilement, que la preffion de l'atmofphere eft moindre , & qu’un pouce de différence dans Ja hauteur du barometre, fait ‘ET ASTRONOMIQUES: 2$ ffait-varier d'environ 3 degrés la chaleur de l’eau bouil- Jante fur le thermometre de Fahrenheït , qui font environ - deux degrés & demi fur le thermometre de M. de l'Tfle, Ces précautions ne feront jamais entierement inutiles fur .mer, & fouvent elles feront très-utiles. ESS KOVE Disons aufli quelques mots fur l'inégalité. dans la «marche des pendules , caufée par l'inégalité des arcs dé- orits par le pendule. Il y a ici deux forces à confidérer ; celle qui anime la pendule , & celle qui lui eft oppofée. La premiere confifte ou dans lation d’un poids ,ou dans celle d’un reflort : l’aétion d’un poids moteur ne fcauroit qu'être conftamment la même furterre , & eft par confe- quent beaucoup préférable à celle d’un reflort, qu’on n'emploie que dans les petites pendules; lors donc que Phorloge eft animée par un poids moteur , il n’y a que l'inégalité des réfiftances qui puifle faire varier les arcs décrits par.le pendule. On a douté autrefois , fi les horlo- ges accéléroient ou retardoient, en faifant décrire au pendule de plus grands arcs ; & on peut voir fur cette queftion un Mémoire de M. Saurin, inferé dans les Mé- moires de l'Académie Royale des Sciences, de l’année 1720:mais de la façon qu'on conftruit aujourd’hui les pendules,on ne peut plus douter là-deflus; & toutes les ex- périences font voir que les bonnes horloges en font retar- dées. La Géometrie démontre, que plus les arcs circu- ‘laïres font grands , plus ils demandent de tems pour être décrits par un pendule libre ; & les ofcillations d’un pen- dule appliqué aux horloges bien conftruites , ne peuvent -S'écarter aflez de cette régle, pour faire un effet contraire. M. Huguens a introduit les ofçillations cycloïdiques; Prix, 1745, 26 RECHERCHES MECHANIQUES elles font fort utiles dans les petites pendules, qui décrivent de grands arcs & fort inégaux, mais aflez inutiles dans les horloges à fecondes , dont les pendules ne décrivent que des arcs de 3 à 4 degrés : peut-être même que l’ufage des lames cycloïdiques pourroit faire plus de mal que de bien, étant impofñfible de leur donner la jufte figure , à caufe qu’elle dépend de la jufte gran- deur des rayons ofcillateurs , qui different extremement d’un point à l’autre, étant nul au fommet, & fort grand dans les points fuivans. D'ailleurs ce bout de fil qu’on eft obligé d'employer pour la fufpenfion du pendule, eft un grand inconvénient, à caufe des allongemens & racour- cifflemens confidérables qu'il fouffre, outre que cette. fufpenfion eft fort mauvaife par elle-même. La façon de - M. Graham de fufpendre les pendules, décrite par M. de Maupertuis , p. 164, eft infiniment préférable. De-là je conclus, qu’il faut retenir les ofcillations circulaires, mais fort petites , & prendre toutes les mefures poffibles pour leur égalité & uniformité, Le Théoreme fuivant nous fournira enfuite les correétions qu’il faudra employer, pour les obfervations qu’on prétend faire avec la derniere exatitude. Théoreme. Pour trouver les différences de tems entre des ofcillations circulaires inégales , foit la durée d’une ofcillation tout-à-fait infiniment petite = T: le finus total :, —1000000; le petit finus verfe de la moitié de l’arc, dé- crit par le pendule=#, je dis que la durée de l’ofcillation fera =T+ 1 ie 8000000 Pour être donc tout-à-fait für de la mefure exaéte du tems, on n’a qu'a obferver exaétement les arcs décrits par le pendule : il eft vrai que ce Théoreme fuppofe que le tems d’une ofcillation foit le même dans un pendule ET ASTRONOMIQUES. 27 détaché ouappliqué à une horloge, mais auñfi cette fuppo- fiion peut être admife fans peine aux bonnes horloges, ce . que je vais confirmer par l'exemple qui fuit. -Exemple X. Soit T1"; que le pendule décrive pre. -mierement des arcs de 3° 0’, & enfuite des arcs de 4° 20’; c’eft l'exemple que M. de Maupertuis rapporte p. 166, difant que les dernieres ofcillations retardoient fur les premieres de 3’’+ ou 4” par jour. Notre Théoreme donne pour les premieres = 343 , & le tems d’une of -cillation 1” & ?#3-——— parties de feconde , & toutes ces parties donnent pendant 24 heures 3/,7 : pour les der- snieres ofcillations , on a b= 715$, & alors la pendule fera retardée de 7/,7 par jour ; la différence de ces retar- demens fait précifément 4” par jour ; tout comme on a trouvé par l'expérience, dont on doit admirer la grande jufteffe. Cette conformité m'engage à ajoûter encore un autre exemple , qui nous fournira une petite correétion à faire fur le calcul d’une autre expérience , faite par Mef fieurs les Académiciens, pour déterminer l'accélération du pendule de Paris à Pello. Exemple IT. Meflieurs les Académiciens ont établi par des obfervations faites avec la derniere précifion , que de Paris à Pello, pendant une révolution des fixes, la pen- dule accéléroit de $ 9/1. Dans ces obfervations, on avoit eu foin d’entretenir jour & nuit une même température de l'air, tant à Pello qu’à Paris ; on s’étoit fervi de la même pendule; enfin toutes les circonftances étoient parfaite- ment les mêmes de part & d’autre, excepté celle - ci: À Paris les ofcillations du pendule étoient 2° 10” de cha- que côté, & à Pello 2° 5’. ( Voyez le livre de M. de Maupertuis , p.170, 171.& 172.) Cette inégalité des arcs produit une retardation par jour de Pello à Paris de 0”,58, en-vertu de notre Théoreme, & cette quantité Di » 28 RECHERCHES MECHANIQUES doit être retranchée de 59”,1-, & on trouvera la vraie ac- célération de Paris à Pello, pendant une révolution des fixes, de 58”, 52: Je fais fi grand cas de là merveilleufe - précifion de toutes ces obfervations, que je n’ai pas voulu fupprimer certe remarque, qui auroit été ridicule fans cela : rien n’eft trop petit, pourvû qu’il foit bien für. Sr NO VE. APRES avoir fait voir de quelle façon on pourra fub: venir aux petits défauts qui peuvent encore apporter quel- que incertitude à la mefure du tems, je tâcherai de rédui- re toute l’œconomie des horloges à fes vrais principes, que je ne fçache pas avoir encore été développés : j’efpe- re que les conféquences que j'en tirerai pour notre fujet, excuferont cette digreflion, fur une matiere fi importante par elle-même. Si le pendule n’étoit pas appliqué à l'horloge, fes of: - cillations diminueroient peu à peu, par deux raifons : pre- mierement, à caufe du petit frottement du pendule con- tre le point de fufpenfion ; & en fecond lieu , à caufe de la réfiftance de l'air. La maniere avec laquelle M. Graham foûtient les pendules, & que M. de Maupertuis décrit p- 164, rend le frottement tout-à-fait infenfible, com: me on peut le démontrer; il n’y a donc alors que la fim- ple réfiftance de l'air à confidérer. Suppofons l'arc entier décrit par le pendule 2.4, & le petit arc, infenfible de diminution 4, de forte que l'arc de defcente ayant été À , l'arc de montée foit 4—#; foit encore la longueur du pendule — 7, la defcente verticale du poids du pen- dule peut être cenfée, les ofcillations étant petites , . ga AA Au 08 = 7 » & la montée verticale fuivante =, & ; A« la diférence = 4° nommons encore p. Le poids du LA , ET ASTRONOMIQUES. 29 ; A s ; pendule, & nous aurons —— #p, pour mefure de la quan- tité de la perte à chaque ofcillation , qui , dans toutes les occafions , doit être mefurée par le produit de la hauteur verticale par la mafle. Lors donc que le même pendule eft appliqué à l'horloge , cetre perte eft continuellement réparée par l’aétion du poids moteur : nommons ce poids P, & fuppofons qu'il defcende à chaque vibration du pendule d’une quantité infenfible € ; il eft certain que file poids moteur entretient la pendule dans une marche uni- : A ; forme, nous aurions, fans le frottement, 6 P— = p : mais ‘ce frottement ne doit pas être négligé ; il eft même la caufe principale de l'inégalité des balancemens du pen- dule , parce qu'ileft inégal lui-même , principalement à caufe de l’inégale ténacité de l'huile. Pour confidérer donc l'effet du frottement entier de toutes les roues, nous : fuppoferons qu’il foit en équilibre avec un poids F, appli- qué au même point avec le poids moteur. Il eft clair que la vérirable force motrice fera P—F, & qu’une telle force : motrice , fans le frottement , feroit le même effet que le poids moteur P avec le frottement : la vraie équation eft donc celle-ci. C(P—F)—T ep, Avant que de tirer de cette équation les nouvelles lu: mieres qu’elle répand fur cette matiere, il fera bon de dire un mot fur le petit arc de diminution, exprimé par z. Dans les pendules bien fufpendues, il eft certain que cette di< minution provient , finon pour le tout, du moins pour la plus grande partie , de la réfiftance de l'air ; il dépend donc d’une infinité de circonftances , comme de la gran- deur de la lentille de fa pefanteur fpécifique, de fa f- gure , -&c; comme on le démontre dans la théorie des’ D iij 30 RECHERCHES MECHANIQUES réfiftances des fluides fur différens corps: mais fi le pen- dule & l'air qui l’environne reftent les mêmes, fi la réfiftan- ce de l’air eft en raifon quarrée des vitefles, comme elle l'eft certainement à fort peu près, &que le corps décrive de petits arcs , on démontre alors que les diminutions in- fenfibles « font en raifon quarrée des arcs 4 : nous pofe- AA CUBE rons donc #= 7 7, €n prenant pour C'un arc arbitrai- re, & pour 7, la diminution qui répond à à cet arc , & là- de nous aurons : 43 CCP—-F)= or 7e: Si l'air qui environne le pendule étoit variable , on dé- montre que la quantité ? eft proportioñnelle à la denfité de l'air, & le rapport des denfités de l'air peut fe déter- .miner par l’infpeétion du thermometre & du barometre, gradués pour cet effet. Voici à préfent les Corollaires principaux qui découlent de nos équations. (a) Toûtes les valeurs de notre derniere équation peu- .vent être déterminées : les poids IF &p font connus; le frottement Ffe trouvera , fi, après avoir ôté le pendule & le poids moteur , on met à É place de ce poids , un autre beaucoup plus petit d’abord , & qu'on l’augmente peu à peu, jufqu’a ce qu’il faffe tourner toutes les roues , & ce poids fera exprimé alors par F; la quantité 6, qui marque la defcente verticale du poids moteur à chaque ofcillation du pendule , fe détermine aifément, en mefurant fa def- cente au bout de 24 heures, & en divifant cetre defcente par 24x60x60 ou 86400; / marqueladiftance du centre de gravité du pendule, depuis fon point de fufpenfion ; elle fera un peu plus petite dans les horloges à fecondes que 441 lignes : A eft la moitié de l’arc décrit par le cen- tre de gravité du pendule ; C un arc pareil , arbitraire ; & -enfin 7 marque la diminution infenfble, que le pendule ET ASTRONOMIQUES, 31 détaché de l'horloge fouffre , lorfqu’il décrit dans fa def. cente ledit arc C; & on pourra déterminer pareïllement ce petitarc7, en mefurant la diminution a@tuelle après mille balancemens, & en prenant la millieme partie de cette diminution. Prenons pour exemple la pendule de M. Graham , que l’on conferve encore à l’Académie : le poids moteur ordinaire y eft de 11 liv. 14 = onces; la pendule ne fe remonte qu’au bout d’un mois, & doit def- cendré , à ce que l’on m'a marqué, de 3 = pieds pendant z ce tems ; nous avons donc & —;— lignes, Pa iv 1 . . . e A 14: onces: je démontrerai ci-deflous , que F doit y être à peu près == = P ; par les dimenfions de la lentille, qu’on me marque être de cuivre jaune , le poids du pendule p doit être à peu près = À P: le pendule faifoit de chaque durs : côté un arc de 2° 10/, ce qui fait = —0,0378 : met- L: tons l'arc arbitraire C— 4, & nous trouverons y = :—— lignes ; d’où je conclus que le centre de gravité du pendu- le détaché de l’horloge , defcendant fur un arc de 2° 10’, perdroit dans fa montée À lign. ou la quarante-neuvie- me partie d’une minute , en fuppofant la diftance du cen- tre de gravité au point de fufpenfion , de 3 pieds. Ces va- leurs étant connues dans un cas, on peut en déduire ce qui doit arriver dans d’autres cas, & fur-tout , toutes les variations que le pendule fouffrira en changeant Îe poids moteur , en fuppofant le frottement plus ou moins grand, & l'air qui environne le pendule devenu plus ou moins denfe , par rapport à la denfité de l’air du tems de l’obfer- vation fondamentale. : (8) Sile frottement des roues exprimé par F étoit nul, les arcs décrits par le pendule feroient, en raifon foûtri- plée, des poids moteurs, tout le refte étant égal. (c) En confidérant le frottement, ces mêmes arcs font # 3-2 RECHERCHES MECHANIQUES En raifon des racines cubiques , des excès du poids mo- teur par-deflus les frottemens. Ce Corollaire m'a fait con- noître quel étoit le frottement dans la pendule de M. Gra- ham ; car M. de Maupertuis dit ,p.1 65 &-1-66 , qu'avec le poids ordinaire le pendule décrivoit des ares de 4° 20! & avec la moitié de ce poids, desarcs de 3° 6';-ces arcs font en raifon de1 3 à 9 : donc P—F: = P—F—"Cub. 13: Eub.9—2197:729,ce qui donne = Z2- P;ou à peu près F= = P, tout comme j'ai-mis dans-la note (4). Si on fuppofe le plus petit frottement égal au quart du poids moteur , & le plus grand frottement égal à fa moitié, les plus grandes ofcillations feront aux plus petites, comme L’3àp/2, ou CARE 1144 à 1000 :-le plus grand arc étant donc de 4° 20”, le plus petit fera de 3° 47, & cette différence des arcs ne fera qu’une feconde & demie par jour dans la marche de la pendule ($. xvi.) ; d’où l’on voit combien ces changemens font peu à craindre dans Les bonnes horloges. -(d) Une autre fource de variations des arcs déctits par le pendule , eft la différente denfité de l'air, & tour le refte étant égal, les arcs font réciproquement proportionnels aux racines cubiques des denfités de Pair: or la plus gran- .de denfité de Pair eft à la plus petite dans nos climats, Environ comme 6 à $ ; donc le plus grand arc fera au plus petit à cet égard, comme 4/6 à 5 sou comme 1062à 1000 : le plus grand arc étant donc de 4° 20’, le plus pe- tit fera à cet égard de 4° s/, & cette différence vaut en- :viron trois quarts de feconde par jour dans la marche de la pendule. (e). Comme le froid augmente en même tems la téna- cité de l’huile & la denfité de l’air , outre qu il raccourcit le pendule , il concourt par toutes ces trois raifons , à ac- célérer la pendule ; mais les deux premieres font prefque 3 | anfenfibles, ‘ÆT ASTRONOMIQUES: 73 ‘infenfibles , par rapport à la troifieme dans Îes bonnes pendules, puifqu’ D du $.xv, celle-ci toute feule peut aller jufqu’a 3 par Jour , du “he grand chaud au plus grand froid dans un même climat, pendant que les deux autres jointes enfemble , ne vont que jufqu’à 2/ d’u- ne extrémité à l’autre. Ce raccourciflement & allonge- ment de la verge du pendule eft donc le feul inconvénient qui refte aux bonnes pendules ; & comme on peut y re- médier ,par l’infpeétion fréquente du thermometre, ou bien en faifant la verge de deux pieces de différens mé- taux, & en la chargeant d’un double poids , le tout avec de certaines proportions, fondées fur les différentes exten- fions de ces métaux, caufées par la même augmentation de chaleur ( cet éclaircifflement fufhra , tant que je n'aurai d’autres Leéteurs que mes Juges ); je crois qu'il ne refte plus rien à defirerfur la perfeétion des pendules pour les obfervations fur terre. -(f) La conftruétion de l’échappement & de fa roue de rencontre, eft telle que les ofcillations dupendulene peu- vent être diminuées au-delà dun certain degré, fans ar- rêter la marche de l'horloge : cela fait que le poids mo- teur ne fçauroit non plus être diminué au-delà d’un certain degré ; & voici comme on pourra le déterminer. Soit a la moitié du plus petit arc poffible, & 7 le plus petit poids 4 P—F aiP—aF+ASF moteur, On aura Four D CÉEN Ds Suppofons dans la pendule de M. Graham, F=—°P, [voyez la note (c)] &e = A=— 1° $’, nous trouve- sons 7— + P= 4 liv. 1 = once, puifque P étoit de 11! liv. 14: ces (g) De remarque que je fouhaite fur-tout qu’on faffe ; eft que da réfiftance de l’air eft une chofe très-néceffaire à a marche de la pendule, & que quand même on pourroit Prix. 1745, 34 RECHERCHES MECHANIQUES l'éviter entierement, il faudroit fe donner bien de garde de le faire; & cela pour être paradoxe, ngn eft pas moins vrai: fi la réfiftance que l’air apporte au mouvement du pendu- le étoit nulle, nous aurions y— 0, & 4— 00 , c’eft-à- dire que le pendule décriroit néceffairement des arcs infi- niment grands. Cette conclufon ne doit pas nous furpren- dre. car fans la réfiftance de l'air, le poids moteur n’au- roit que le frottement à vaincre, & comme le frottement demeure le même, il faudroit alors que par l’aétion con- tinuée du poids moteur , il fe fit une augmentation conti- nuelle dans les balancemens du pendule. Maïs quant au frottement , il faut l’éviter avec toutes les attentions pof- fibles , car il ne peut que nuire à tous égards. (4) Le poids de la lentille , quel qu'il foit , ne change pas les arcs du pendule, pourvû que la lentille conferve la même furface, qui donne toûjours à l’air une prife égale; autant que le poids p devient plus grand, autant le petit arc y devient plus petit, & la quantité yp dans notre équation, refte toûjours la même, comme on le démon- tre dans la théorie des milieux réfiftans ; donc l’arc Æ n’eft point changé par la variation du poids p. Si dans la pen- dule de M. Graham, la lentille avoit été deux ou trois fois plus pefante fous le même volume & la même furface, le même poids moteur de 11 liv. 14 = onces lui auroit fait décrire les mêmes arcs de 4° 20’: cela fuppofe pourtant que le pendule ne fouffre dans fes balancemens aucun frottement, ce qui ne fçauroit être exaétement vrai. Ainfi comme le point principal eft,que le pendule libre &le pen- dule appliqué à Fhorloge faflent leurs ofcillations fuivant les mêmes loix , j'en conclus qu'il faut faire le poids de la lentille auffi grand que la matiere & les autres circonftan- ces accidentelles le permettront : il faut aulli que la pe- fanteur fpécifique de ce poids foit fort grande , afin que les ET ASTRONOMIQUES. > changemens de la pefanteur fpécifique de l'air ne Puiffent pas être fenfibles fur le tems abfolu d’une ofcillation : dans le cuivre jaune , cette raifon peut retarder ou accélérer la pendulé de deuxtiers de feconde par jour. (2) Plus le poids moteur eft grand, plus il fait décrire au pendule de grands arcs ; il faut donc augmenter le poids , jufqu'a ce qu'il fafle décrire au pendule les arcs qu'on veut qu'il décrive; cela détermine le poids moteur exaétement à cet égard: mais il y a encore une autre con- fidération à faire. On pourroit augmenter davantage le poids moteur , fans que lependule décrive de plus grands arcs , en faifant que la lentille fouffre en même tems une plus grande réfiftance de l'air. Si, par exemple , on eût augmenté dans la pendule de M. Graham le poids moteur en raifon de 4 à 7 , la quantité PF en feroit devenue deux fois plus grande ; & fi on avoit donné à la lentille une figure à fouffrir deux fois plus de réfiftance de l'air, la quantité 7 en feroit devenue aufli deux fois plus grande, & l'arc 4 feroit refté le même : par-là on obtiendroit que l'inégalité des arcs 4, produire par l'inégalité du frotte. ment F’, fübfiflät entre les termes du rapport de ÿ/6 14/5, au lieu du rapport beaucoup plus inégal 4/3 à f/2, mar- qué dans la note (c) , ce qui feroit un avantage. Ii eft vrai qu'on pecheroit par-là contre la regle, que les ofcillations du pendule libre, & celles du même pendule appliqué à l'horloge , doivent être confervées égales le plus qu'il eft poflible ; cependant je crois la premiere raifon plus im- portante que la feconde , qui lui eft contraire. Cette ré- flexion nous apprend du moins qu’on doit être atténtif à déterminer cette proportion la plus avantageufe, parun grand nombre d'expériences , & qu'il eft bien für qu’il ne faut pas vouloir diminuer trop la réfiflance de l'air, (2) J'ai fuppofé dans mes calculs, que l’augmentation Eïj 36 RECHERCHES MECHANIQUES du poids moteur P n’augmente point le frottement dés roues F;je crois ce principe vrai à peu près, mais non pas exaétement : on peut diftinguer ici le frottement mutuel des dents qui s’engrenent , d'avec le frottement du mou- vement des axes : le premiér frottement doit être augmen- té par le poids moteur, parce que les dents font plus pref- fées les unes contre les autres, mais je le crois beaucoup plus petit que l’autre, parce que ce mouvement n’eft pas un mouvement gliffant , mais une application fucceflive des parties mutuelles qui fe répondent, lequel mouvement on peut démontrer ne fouffrir prefque aucun frottement ; aufli faut-il être bien attentif dans la conftruétion des roues, . qu'il ne puifle s’y faire le moindre mouvement gliffant. Le fecond frottement provient d’un mouvement extrême- ment gliffant, c’eft pourquoi il doit être beaucoup plus : grand que le premier, & je fuppofé que ce frottement n’eft pas augmenté par le poids moteur. Il froit à fouhaiter que cette méchanique dés horlo- - ges ; & cette œconomie entre leurs forces & leurs réfif tances , füt à la portée de tous les habiles. ouvriers , pout pouvoir mieux diriger leurs vûes & leurs attentions : mais c'eft fur-tout dans la conftruétion des montres qu'on doit être attentif à nos principes, comme je me propofe de: faire.voir ci-deffous. FX NUTITL- La grande perfé@tion des pendules ne doit pas nous permettre de renoncer à leur ufage fur mer, tant qu'il eft À poffiblé de les employer ; & je fuis für qu'il y a des fai-- fons & des mers où l’on-peur les employer utilement pen- dant long-tems : peut-être même que moyennant les re- : gles que je vais donner , on pourra s’en fervir tant que le- vaifleau n’eft pas fortement agité. - ET ASTRONOMIQUES: 37 I. 11 faut fufpendre la pendule de maniere qu’elle puifle T tourner en tout fens , & il faut fur-tout la fufpendre au centre de gravité du vaifleau, puifque c’eft cet endroit qui eft le moins agité, & on trouvera cet endroit par plufieurs obfervations faites fur le mouvement des pendu- les fufpendus au vaiffeau: II. Tout corps d’une étendue finie , ayant un certain point par lequel -érant fufpendu , il fait fes balancemens dans moins de tems, que s’il étoit fufpendu par tout autre point ( on a déterminé ce point ) : il faudra faire paffer les: axes du mouvement de la pendule par ce point. III. Il faut encore employer un petit pendule, qui bat- té tout au plus les demi-fecondes. Voyez par rapport à ces tiois regles, les notes (€) & (7) du $.1x; mais par rap- port à la derniere, il y a encore une réflexion particuliere à faire que voici, Un pendule fi fimple tend à faire fes balancemens har- monieufement avec les agitations du vaifleau ; maïs ce pendule appliqué à l'horloge , eft entretenu dans fes ba-- lancemens naturels pat le poids moteur. Comme il y a- donc ici deux caufes permanentes differentes entre elles , - le principe du $. v. ne trouve plus lieu. Dans ces cas, une caufe maïtrifera ordinairement l’autre , & prévaudra; - ce que je pourrois éclaircir par plufieurs exemples , tirés’ de la Méchanique & de la Phylique. Si les agitations du vaiffeau éroient ifochrones avec les balancemens naturels du pendule , ces mouvemens deviendroient bien-tôt har- monieux, mais auffi le pendule feroit bien-tôt des excur- fions énoëmes, & la marche de la pendule feroit ou arrê- tée, ou extrèmement dérangée. La même chofe arrive- rôit , fi les deux claffes de balancement étoient à peu près ifochrones ; mais fi elles font fort inégales, les balance- mens les plus foibles & les plus tardifs ne peuvent influer - Ei üj. 38 RECHERCHES MECHANIQUES fenfiblement fur les autres. Or les balancemens du vaif- feau, quand ils font uniformes & réguliers, font fort lents; c’eft pourquoi je demande que les pendules foient courts, pour les rendre moins fenfibles aux agitations du vaiffeau, IV. Cette Réflexion nous fournit encore cette quatrie- me regle , qui eft qu’on fafle faire au pendule de grandes ofcillations ; alors le poids moteur maïtrifera entierement le pendule, & celui-ci ne pourra plus être dérangé dans fes balancemens par les agitations du vaifleau ; & quand même chaque balancement du pendule feroit tant foit peu dérangé, toutes les petites erreurs infenfibles fe détrui- toient mutuellement au bout d’un certain tems. Il eft vrai que par ces deux dernieres regles, on s’écarre des maxi- mes qu’on doit avoir fur terre, mais cette raifon ne mérite prefque aucune attention fur mer. Je fuis für qu'avec ces précautions , on pourra fe fervir utilement des pendules , tant que le vaiffeau n’eft pas tourmenté ; & j'ai fait plu- fieurs expériences fur des pendules fufpendues par des cordes & balancées, qui m'ont fait connoïtre la validité de mes remarques. en SAATEUX. S1 le vaiffleau commence à être agité plus fortement ; il faudra employer d’autres horloges, en fubftituant au "poids moteur un reflort, & au pendule un balancier, c’éft- à dire, des horloges faites en grand fur le modele des montres. Je crois que ces horloges ferviront fur mer avec autant de précifion, ou peu s'en faut, que ff terre ; & toute la queftion fera, dans quel degré de perfeétion on croit pouvoir mettre les horloges à balancier, en les te- nant entierement en repos. Comme cette matiere éft fort importante, non-feulement pour les horloges marines , ET ASTRONOMIQUES. 39 mais encore pour les montres ; je l’ai examinée fcrupu- leufement , & je mettrai ici mes réflexions tout au long. $. X X. REMARQUONS d’abord que pourvû que chaque pie- ce mobile dans une horloge ne puifle tourner qu’autourg ‘de fon centre de gravité, cette horloge ne peut être au- cunement dérangée, de quelque façon qu’on l’agite : c’eft une conféquence qui découle immédiatement du $. xt. Et comment fe pourroit-il fans cela, qu’une montre ne füt pas extrèmement dérangée par les fecoufles & les ca- hos d’un cheval & d’une chaife ? Il fera donc fort impor- tant pour la perfeétion des horloges marines , que les pieces tournent parfairement fur un même point , & que axe du mouvement paffe par leur centre de gravité, avec la derniere précifion poflible. Cette remarque regarde fur-tout le balancier ; il faut y mettre toute fon attention, & quand on y aura bien réufli, la marche de l'horloge ou de la montre fera aufli uniforme fur mer , qu’elle feroit fur terre : ainfi ce que j'ajoûterai fera indépendant des agita- tions du vaifleau , auxquelles je ne ferai plus aucune at- tention. OCR E Les horloges marines doivent avoir au fonds lamêmé conftruétion que les montres de poche, puifqu'il eft né- ceffaire qu’elles foient animées par l’aétion d’un reflort, & réglées par les ofcillations d’un balancier: mais pour pouvoir travailler toutes les pieces avec une grande exac- titude , il faudra faire ces horloges aufli grandes qu’on fait les bonnes EE 4e que les horloges à ba- lancier font fégaucoup Mbins parfaites que les bonnes 40 RECHERCHES MECHANIQUES endules, mais je crois que c’eft faute d’avoir bien exa- miné le méchanifme & toute l’œconomie de ces horlo- ges. Je vais donc examiner les horloges à balancier, fur le même pied & les mêmes principes que jai employés pour les pendules. 3 ANNEE TT. La premiere & principale fource de l’imperfedtion des montres & autres horloges à balancier, vient des grandes excurfions du balancier & de leurs grandes iné- galités. La feconde, eft que le balancier ne maïtrife pas aflez le mouvement des roues & laétion de la force mo- trice : nous tâcherons de nous mettre en état de remédier à ces grands i inconvéniens ; & ce fera encore en partant des premiers principes. SUUOONNEGT IT; Dans Îles horloges à balancier , il ya à confidérer, comme dans les pendules, 1°. La force du reflort mo- teur. 2°. Le frottement des roues. 3°. Les réfiftances que fouffre le balancier dans fes balancemens. Mais ces der- nieres réfiftances different beaucoup de celles que fouffre le pendule dans une horloge aufli parfaite que celle de M. Graham, qui nous a toûjours fervi d'exemple. Le pendule n’y fouffre prefque aucune autre réfiftance que celle de l'air, fans avoir aucun frottement fenfible ; au lieu que les balanciers fouffrent fort peu de la réfiftance de l’air, & beaucoup du frottement. Je ne crois pas qu'on ait remarqué avant moi, que ceft-là prefque l'unique caufe pourquoi on n’a pù jufqu'ici venir à bout de faire dé- ire au balancier de petits balficemens à finéceñaires à la ET ASTRONOMIQUES. ax la marche uniforme de l'horloge. Si la réfiftartce de l'air étoit tout-à-fait nulle , & le reffort de la fpirale parfait, alors le grand reffort n’auroit à vaincre que le frottement: s’il ne le furpañloit que fort peu , l'horloge s’arrèteroit au moindre accident ; & s’il venoit à lefurpaffer debeaucoup, le balancier en décriroit tout aufli-tôt de grands arcs, parce que les grands mouvemens du balancier n’apportent pas plus de réfiftance au reflort moteur que les petits mouve- mens. C’eft-là la nature du frottement ; rien ne pourroit même empêcher le balancier de prendre continuellement plus d’effor, fi la réfiftance de l'air étoit entierement nulle, & l’élafticité de la fpirale parfaite. Voyez la note (£) du $e XVII. Miel 2 Lis Vi Par-là il arrive que le moindre changement, foi dans le grand reflort, foit dans le frottement , caufe de très-grandes variations dans les excurfions du balancier; & plufieurs effais que j'ai faits fur les montres, m'ont fait voir clairement que je ne me trompois point. Il fuffira d’alléguer une feule expérience , que j'ai faite fur une aflez bonne montre , que je n’avois pas fait nettoyer depuis très-long-tems. L'huile s’y étoit tellement épaiflie , qu’un froid.tel que marque le 34 degré du thermometre de Fahrenheit, la faifoit arrêter : je remarquois que dans cet état, le balancier faifoit encore des excurfions de 60 -degrés ; J'ai mis enfuite cette montre contre le fourneau, & le thermometre à côté de la montre ; le thermometre montoit jufqu’a 94 degrés , & le balancier de la montre en a augmenté fes balancemens de près de 30°, faifant dans fes excurfions prefque 90°, & cette augmentation a retardé la montre d'environ 26’ par jour. Je regarde gonc comme un très-grand,& le principal défaut dans les Prix. 174$ F 42 RECHERCHES MECHANIQUES montres, que le reffort moteur nait prefque d’autre obfta- cle à vaincre que le frottement , puifqu’il en arrive nécef- fairement que le balancier fait de très-grandes excurfions, & des excurfions fort inégales, pour peu que le frottement varie, & enfin dont Pinégalité eft d'autant plus grande conféquence , que les balancemens font grands par eux- mêmes. On renverfe par-là entierement le RSS de l’uniformité dans la marche. $. X X V. IL eft clair par ces remarques, 1° Qu'il faut éviter autant qu’il eft poffible tous les obftacles, qui n’agifent pas plus fortement dans les grands balancemens que dans les petits , & ces obftacles font précifément le frottement, qu’on doit tâcher de diminuer avec toutes les attentions imaginables , fur-tout dans le balancier. 2°. Qu'il faut néceffairement apporter d’autres obftacles au mouvement du balancier , fans quoi fes balancemens croîtroient con- tinuellement. 3°. Que ces obftacles doivent être d’une nature à caufer , fans lation du grand reflort , une plus grande diminution aux grandes excurfions du balancier , qu'aux petites : les frottemens produifent des diminutions toûjours égales , parce que ces diminutions font comme les tems des balancemens, qui peuvent être cenfés les mêmes aux grandes & aux petites ofcillations, pendant que la réfiftance de l’air caufe des diminutions , qui font proportionnelles à peu près aux quarrés des arcs entiers. SX XV I. JE prends donc pour une conféquence néceffaire, quelque paradoxe qu'elle paroifle, qu'il faut à deffein ET ASTRONOMIQUES. 47 augmenter da réfiftance de l'air contre le balancier, & l’augmenter confidérablement, jufqu’à ce qu’elle-devien- ne du moins égale au frottement total, puifque nousavons vû dans la note (e) du $. xvir , que dans la pendule de M. Graham, laréfiftance de l’air faifoit feule trois fois autant que le frottement entier, celui-ci n’étant que le quart du poids moteur. Pour cet effet je confeillerois d’ajoûter au balancier trois ou quatre petites aîles , qui donnent direéte- ment contre l'air. Je fuis für que par ce moyen on pourra entretenir furement la marche de l'horloge, par des ba- lancemens beaucoup plus petits qu’on n’a pà faire jufqu’i- ci, & que ces balancemens feront beaucoup moins iné- gaux. Sat MISE APRE’S avoir diminué ainfi très-confidérablement les grandes variations dans les excurfions du balancier, il faut encore tâcher de rendre fes balancemens ifochrones, mal- gré une petite inégalité qui reftera toûjours. Suppofons _que le balancier détaché de l'horloge pût tourner avec une liberté entiere, & que l’aétion de la fpirale rendit alors fes grands & fes petits balancemens parfaitement tautochrones entre eux, il eft certain que ce tautochronif- me ne fubfiftera plus entierement , lorfque ce balancier, quoique modéré par la même fpirale, fera ajoûté à l’hor- loge ou à la montre; car il faudroit que l'accélération caufée par la roue de rencontre, détruisît à chaque inftant la réfiftance de l’air & celle du frottement, & cette con- dition eft du tout impoflible à remplir : on fait feulement que la fomme des accélérations & la fomme de toutes les réfiftances momentanées , fe détruifent à chaque balance- ment; mais celaïne fuffir pas pour conferver parfaitement le tautochronifme. Tout ce qu’il y a donc à faire , eft que Fi 44 RECHERCHES MECHANIQUES Peffet de toutes ces petites forces foit infenfible fur Îe ba- lancier, de même qu'il eft infenfible fur les pendules. Cette confidération demande que l'inertie du balancier foit augmentée autant que les circonftances le permettent, - & la force de la fpirale à proportion. On peut doublement augmenter l’inertie du balancier, premierement en aug- mentant fon poids , & en fecond lieu , en lui donnantun plus grand rayon , fans le charger davantage ; la prémiere maniere caufe en même tems plus de frottement au balan- cier, & ne feroit d’aucune utilité, fi on n’avoit augmenté 1à réfiffance de l’air en même tems ; la feconde maniere fera toûjours utile à rous égards. Les réflexions-que j'ai faites dans la note (4) du $. xvir, à l'égard du poids de la lentille, doivent aufli être appliquées au balancier. Cette feconde remarque ne contribuera pas moins que la premiére à la perfe&tion des horloges nrarines, où rien ne nous pêne fur cet article; on y pourra augmenter & chat- ger le balancier tant qu'on jugere à propos, & renforcer la fpirale à proportion. Il s’en faut de beaucoup qu’on fa- tisfaffe à cette condition dans les montres ordinaires au- tant qu’on pourroit, & j'ai remarqué fouventqu’une mon- tre n’étoit meilleure qu'une autre, quoique mieux travail- ée , que parce qu’elle avoit un balancier plus grand & plus chargé. Je crois-donc que moyennant ces précau- tions , les balancemens ne pourront différer fenfiblement de ceux que le balancier feroit,s’il éroit entierement libre, # XX VIII. TL s’agit d’examiner encore quelles mefures on peut prendre pour régler le balancier’, confidéré comme en- tiérement libre, mais faifant des balancèmens inégaux en grandeur. Or, on fçait.que la fpirale doit pour cer effet ET ASTRONOMIQUES.: 4$ exercet fur le balancier un effort proportionnel à fa dif tance au point d'équilibre : la théorie nous fourniroitaffez de moyens pour fatisfaire à ce principe, fi-feulementil étoit polfible de les exécuter avec une précifion fufffante ; faute de cela, on a recours à un principe connu dans la Phyfque expérimentale , que tout reflort changeant fa figure naturelle , le fait par des caufes proportionnelles aux changemens, tant que ceux-ci-font fort petits ; c’eft doncune néceflité abfolue que la fpirale change fort peu fa figure pendant les agitations du balancier, & moyen- nant cela les balancemens , quoiqu'’un peu inégaux,-fe- ront fenfiblement tautochrones entre eux. Cette condi- tion nous fait voir premierement, qu'on doit prendre tou- tes fes mefures , pour que les balancemens du balancier foient toüjours fort petits, & je fuis perfuadé qu'on y pour- ra réufir , en évitant avec-tous les foins imaginables , le frottement du balancier, & en rendant la réfiftance de l'air plus fenfible ; en fecond lieu , qu'il faut qu'un mou- vement confidérable du balancier produife peu de chan- gement dans la-figure de la fpirale. Cette condition nous fourniroit un grand nombre de réflexions fur la conftruc- tion & la figure naturelle de la fpirale , fi nous pouvions nous y arrêter : itme femble qu’il convient fur-tout , que l'extrémité mobile de la-fpirale foit fort proche de l’axe du mouvement-du balancier, & que la-fpirale. agifle fur le balancier, toûjours fous-une même direétion & fur un même levier. Je dirai aufli en-paffant , qu'il eft de gran- de conféquence que les deux extrémités de la fpirale foient bien fermes , & que l’axe du mouvement du balancierne puiffe branler en aucune façon; en troifieme lieu, qu'il faut qué la fpirale , étant en repos, foir entierement dans fa figure naturelle , fans être bandée ou génée-en aucune façon, c'eft-à-dire, que fa figure foit parfaitement lag | Eüy, 46 RECHERCHES MECHANIQUES même que fi les deux extrémités éroient entierement i- bres ; que cet équilibre foit off & non forcé. Ce font les termes dont fe fert M. Jean Bernoulli, Docteur en Droit, dans fes Recherches Phyfiques fur la Propagation de la lumiere, p. 17 © fuivantes , où , par un raifonnement fort folide par lui-même, mais établi fur un faux principe, il prétend précifément le contraire. Pouréclaircir cette queftion ,imaginons-nous la courbe AE P( Fig. 6.) fur l'axe M P telle , que P G marquant le changement dans la figure de la fpirale , depuis fa figure naturelle , l’appliquée GE exprime la force qui tend à re- mettre la fpirale dans fon état d'équilibre : n’eft-il pas évi- dent que P G devenant négatif en changeant la figure de la fpirale en fens contraire , l'appliquée G E doit devenir négative auffi ? c’eft-à-dire qu’une inflexion en fens con- traire, eft produite par une force en fens contraire; & cela étant, ne faut-il pas que la continuation de la courbe ZE P foit repréfentée par Pea? Ileft donc néceflaire que la courbe À P a ait au point P une inflexion contraire , & cela étant , le rayon ofculateur y fera infini. Or une pe- tite portion E P e approche d'autant plus d’une ligne droi- te, que le rayon ofculateur eft plus grand , & elle en ap- proche le plus qu'il eft poffible , lorfque le rayon ofcula- teur eftinfini; & fi cette portion E P e étoit entierement une ligne droite , la fpirale conferveroit un tautochronif me parfait , parce que les forces feroient proportionnelles aux éloignemens du point de repos. M. Bernoulli, au lieu de continuer la courbe du côté oppofé de l’axe MN, la continuée du même côté, comme le marque la figure feptieme, qui eft la même que la figure feconde de fon difcours , & c’eft fur cette inattention qu’il a bâti fon rai- fonnement, qu’on ne peut s'empêcher de trouver folide & & fort ingénieux par lui-même, fi l'inconvénient étoit re] ET ASTRONOMIQUES. 47 qu'il le fuppofe : mais il eft certain qu’une fpirale con- trainte feroit beaucoup de mal, & je demande qu’on évi- te cette contrainte avec beaucoup d'attention. Je crois bien que deux fpirales égales & appliquées en fens con- traire pourroient faire quelque bien, pourvû qu’elles foient l’une & l’autre dans un équilibre parfaitement oifif, car la courbure des branches 4 E P & ae P fera d'autant plus grande néceffairement , que les deux fpirales exerce- roient plus de force l’une fur l’autre. & XXE. X, VoiLA mes réflexions principales fur les horloges à balancier : après avoir bien pefé toute l’œconomie de ces horloges, je trouve que c’eft prefque le feul frottement du balancier , qui empêche de les mettre dans un aufli haut degré de perfection , que l’on fçait mettre les pendules. Que l’on redouble donc fes attentions à rendre ce frotre- ment infenfible ; je fuis für qu’on y réuflira , pourvü qu'on convienne de l'importance de la chofe : mais peut-être faudra-t-il de toutes nouvelles manieres d'appliquer les balanciers aux horloges : je m'étendrois volontiers fur cet article , fi je ne craignois d'être trop prolixe. Je crois qu’il conviendra aufli,de ne donner au plus qu’une demi-fecon- de aux balancemens, même dans les grandes horloges ; la fpirale en aura plus de force, ce qui eft un avantage, comme nous avons vü au $. xXvI1; & fi les agitations du vaiffeau éroient encore capables de fäire quelque im- preflion fur ces horloges, leur effet en fera moins fenfi- ble, en vertu de la troifieme note du $. xvui. PME te. 0€ JE ne dois pas omettre une circonftance qui peut 48 RECHERCHES MECHANIQUES préjudicier aux horloges à balancier ; c’eft qu’on préténd dans Ja Phyfique expérimentale, avoir remarqué quel- que changement dans les forces élaftiques des refforts, par les changemens de la température de l’air : fi cela étoit , La fpirale ne pourroit .pas régler uniformément le balancier ; mais Je ne fuis pas encore entierement con- vaincu du fait : quoi qu'il en foit, ce que j'ai dit au $. xv, füffira parfaitement pour s’en éclaircir , & pour connoître enfuite les correétions à faire, par le-moyen du thermo- metre. SKEXUX I JE finirai ce Chapitre par une nouvelle maniere de régler davantage les balancemens, foit d’un pendule, foit d'un balancier. Soit 4 B ( Fig. 8.) la direétion moyenne du pendule, ou d’un rayon du balancier, qui, dans fes plus petits balancemens , vienne jufqu’en 4C & 4 D , & qu’on mette à chaque côté un petit reffort fort foible , tels que mn & gp, dont les extrémités » &p foient légere- ment touchées, lorfque le pendule ou le balancier fait fes plus petites excurfions. Si enfuite ces balancemens de- viennent plus grands , & par eux-mêmes plus tardifs, ils feront un peu accélérés par les petits refforts #1 » & qp, & on pourra facilement régler leur a£tion d’une façon que la plus grande ofcillation devienne parfaitement tauto- chrone avec la plus petite, & alors les ofcillations moyen- nes ne pourront manquer d'être pareillement tautochro- nes , avec beaucoup de précifion. Je n’aurois pas hafardé cette nouvelle idée , fi plufieurs expériences préliminai- res ne m'en avoient garanti le fuccès. Je me conten- terai cependant de lavoir indiquée , laiffant à d’autres le #oin de la perfetionner, s’ils trouvent qu’elle le mérite. CHAPITRE ET ASTRONOMIQUES! 49 CERRERTR-E, TITI Contenant quelques réflexions fur la meilleure maniere de connoître à chaque inftant la direction horifontale on «verticale dans les vaifeaux agités. MU ice de UAND on vait l'horifon, on prend la ligne vi- fuelle quilerafe pour la direétion horifontale , & alors pour prendre hauteur , on fe fert de l’Arbalête, ou du Quartier Anglois : ce dernieränftrumentaété fort per- feétionné depuis quelque tems par M. Grand-Jean de Fouchi ({ Voyez les Mémoires de l'Académie R. des Sc. pour l’année 1740 ,p. 468), dont les nouveaux quartiers de réflexion mefureront les angles avec toute la précifion qu'on peut fouhaiter. Ils feront fur-tout très-utiles pour mefurer les diftances de la Lune à deux étoiles fixes, & pour déterminer par-là la longitude du lieu. Quand on fe trouve à même de fe fervir de cet inftrument , il ne faut pas douter qu'il ne foit infiniment préférable à la fleche ; mais je ne fçais fi on pourra s’en fervir pendant que le vai: feau ef fort agité , au lieu qu’on peut toûjours faire fes obfervations avec l’Arbalête, qui eft moins exaët, mais plus facile & plus commode, On fait affez tous les dé- fauts de cette méthode de prendre hauteur fur mer, en prenant pour la vraie dire@tion horifontale , la ligne vi- fuelle qui rafe ou paroît rafer l’horifon vifible. Je ne m'ar- xéterai donc point à les décrire; cependant malgré tous Prix, 1745, so RECHERCHES MECHANIQUES fes inconveniens , je doute fort qu'on en puifle jamais trouver une meilleure, à moins que la mer ne foit prefque calme, auquel cas on pourra peut-être lui préférer la méthode que j'expoferai ci-deflous.. j. E XXXIIT, QuAND on ne voit l’horifon ou la furface de fa met: que de fort près dans les crépufcules , ou qu’on ne la voit pas du tout pendant la nuit, on fe trouve entierement hors d'état de fuivre la méthode ordinaire pour obferver les hauteurs ; c’eft pourtant le cas principal de la queftion propofée par l'Académie. Que faire dans ces ficheufes circonftances ? Il faut fans doute avoir recours à des prin- cipes tout nouveaux, à moins qu’on ne voulüt fe contenter de jetter dans la mer des fignaux enflammés , ou de les faire tranfporter fur l’efquif : ce feroit plutôt couper que défaire ce nœud Gordien. Je ne promets pas de fatisfaire à cetre queftion avec toute la précifion qu'on pourroit fouhaiter : mais peut-être que cg que je propoferai fera d'autant moins imparfait , que je l’ai examiné avec plus d'attention, & qu'il eft fondé fur les vrais principes de la méchanique, que j'ai expofés au premier chapitre. Voici mes réflexions fur cette matiere. fs X X X I V. IL eft évident que lorfqu’on fe trouve réduit à ne pouvoir: mettre à profit ce qui fe pañle hors du vaiffeau , onne peut plus avoir d’autres moyens pour connoître la: diretion verticale ou horifontale , que ceux - là mêmes dont on fe fert {ur terre ,-rels que font les: pendules, les niveaux’, .&c..T ous ces inftrumens reviennent au même , : ET ASTRONOMIQUESA ST étant fondés fur le même principe , qui eft l’aétion de la pefanteur ,toûjours perpendiculaire à la furface dela terre. Mais les agitations du vaifleau dérangeront continuelle- ment l’érat naturel de ces inftrumens : il faudroit que la pefanteur fütinfinie, pour qu’elles ne le fiflent pas, où que l’inertie für infiniment petite ; & n'étant pas en notre pouvoir de changer ces chofes ; il me femble que tous nos efforts ne peuvent aboutir qu’à diminuer autant qu'il eft poflible , l'effet deg agitations du vaiffeau für les pen- dules fimples ; & puis à déterminer la vraie verticale, qu'il eft du tout impofñfible d’obferver immédiatement, par d’autres circonftances qu’on pourra obferver. Il eft fouvent impoffible de connoître une chofe par elle-même, qu’il eft facile de déterminer par d’autres obfervations. $. X X X V. S1 les agitations du vaiffeau étoient tout-à-fait irrégu- lieres en tout fens, il feroit fans doute impofhble de fatis- faire à notre fecond point , & on feroit réduit à fe conten- ter du premier. Mais je dois répéter ici ce que j'ai expofé au long dans le premier chapitre , fcavoir, que les agita- tions du vaiffeau font une efpece de balancemens, qui fe font fuivant les loix du mouvement d’un pendule fimple ; Je ne prétens pourtant pas que cela foit ainfi à la rigueur ni toûjours : quand la mer éft male; quand deux mers fe battent, en un mot, quand les lames & le vent font tout à-fait irréguliers , les agitations du vaifleau ne peuvent qu'être irrégulieres , inégales & fort incommodes: j'avoue que ce n'eft pas alors le tems de mettre en pratique les tegles que je vais donner; mais ces cas artiventrarement, & quand on s’y trouvera, on pourra du moins faifir les intervalles les plus favorables, Gi sx (RECHERCHES MECHANIQUES sé X XX VE QUANT à notre premier point, qui eft de diminuer” les agitations d’un pendule fufpendu dans un vaifleau, nous avons marqué dans le premier Chapitre tout ce qu’il convient de faire. Voyez fur-tout la note (y) du $. 1x ; & les deux exemples que j'y ai donnés, montrent combien: il eft important d’obferver le plus,près qu’on peut les re- gles que jy ai données. Je ne me flatte pourtant pas qu'on puifle diminuer par-là les balancemens d’un pendule au point de pouvoir être négligés , & de pouvoir prendre la direétion du pendule pour la vraie verticale.-Je viens donc à l'examen de notre fecond point ,.& c’eft fur-tout ici que J'ai befoin de notre hypothefe , touchant l’unifor-- mité des balancemens du vaiffeau ;:plus on fe trouvera dans le cas de cette hypothefe, plus on pourra détermi-- ner exaétement la vraie verticale, Center, QU, EL Fi M ME So1rT donc dans la quatrieme Figure, le point au-- tour duquel le vaiffeau eft fuppofé faire fes balancemens : A Fune ligne verticale; que l’anglé M 4 F marque l'in: clinaïfon moyenne du vaiffeau couché fur un de fes bords, quelle que foit cette inclinaifon. Suppofons enfuite que la ligne 4 M fafle des balancemens de côté & d'autre, & que pendant. ces agitations elle fe trouve ‘dans une po- fition quelconque 4 B.. Soit au-point M attaché un pen- dule Mm, & fuppofons que le-point M fe trouvanten B, le pendule Mm ait pris la-fituation BC, & qu’on tire la verticale B E ; ils’agit de-déterminer l'angle CB E par des quantités qu'on pourra obferver. Cet angle CBE ne dois. ET ASTRONOMIQUES. 53 donc pas être déterminé par l'angle B 4 M, ni par MAF, qu’on ne feauroit jamais connoître que fort groflicrement ; je ne veux pas même que l’on fuppofe la diflance 4 M connue, car on ne pourrois déterminer le point 4 affez exaétement , & ce point ne fçauroit être exaétement tel que nous le fuppofons, c’eft-à-dire , entierement en repos pendant les agitations du vaiffeau ; ilfuffit qu’il doit y avoie néceflairement un endroit qui foit agité fort peu, EPA AUS 2 TA 6 A AVANT que de marquer comment on pourra s’ÿ prendre pour réfoudre ce Problème, je prierai le Leéteur de fe rappeller les propriétés que j'ai démbntrées dans le premier Chapitre , fur l’angle en queftion CBE, feavoir qu'il ne fcauroit manquer d’être toûjours à peu près pro- poitionnel à l'angle B 4 M, & que-dans nos hypothefes il eft parfaitement — _. x — x BAM, en faifant 1 M = L, la longueur du pendule Mm—7, & la longueur du pendule fimple ifochrone avec les balancemens du vaiffeau — À. -Voyez le $. x. Si les ofcillations du pen- dule M1 ne fe font pas dans le même plan avec les ba- lancemens de la ligne 4 M, & que le pendule foit obligé de balancer dans un autre plan quelconque ; fi l’on fup- pofe encore que la ligne 1 M fafle plufieurs fortes de ba- lancemens, mais pourtant harmonieux entre eux, angle abfolu CB E en fera à la vérité changé, maïs il reftera toûjours proportionnel à —, X B A M. Il nousfera donc permis de fuppofer. CBE=Hx=— x BAM: enentendant par Hune quantité conftante quelconque, : Giij_ çs4 RECHERCHES MECHANIQUES qui fera la même , de queique façon que le vaiffeau foit agité, pourvû qu'il le foit uniformément pendant un petit efpace de tems. $. X X X I X. S1 nous fuppofons à préfent qu’il y ait troïs pendules tous attachés au poirit #7, dont les longueurs différentes foient /, l'& !”, & que ces pendules ne puiflent balancer qu’autour d’un même axe , ileft clair que la quantité H, comme indépeñdante de la longueur du pendule’, fera pour chacun de ces pendules la même : outre cela, quel que foit le point 4, la diftance 4 M ou L fera pareille- ment la même, comme aufli la longueur à , & enfin l’an- gle B A M, qui ne dépend que des agitations du vaifleau. Soit à préfent l’angle CB E pour le premier & le plus court pendule /= 4 , pour le pendule /=— 4’, & pour le pendule /’— 4" PReHBde quons en vertu del ‘équation du précédent article, 4— Hx° =j* BAM HS T* BAM De cestrois Pen t on ral ces deux analogies.i À: A —A=)1—/l: Hu A: AAA: — dans chacune defquelles le fecond terme Ma être confi- déré comme connu, puifque 4'— 4 eft l'angle compris entre le premier & le fecond fil, & 4/4 eft Pangle compris entre le premier & le troifieme fil, & que ces . angles pourront être obfervés à chaque moment : faifons donc #—4= M, & A"—A=N, & nous aurons ces deux équations : ET ASTRONOMIQUES s5 — _—. — A= = xM, &A=7—xXN; moyennant 1efépelles on aura en usé purement cofi> nues :- M(XL'=IXI)2N(L'x le IX") (Ml) MN AGDE DA Donc la queftion de connoître la verticale, dépend entie> rement de la maniere d’obferver les angles que font à cha- que moment les trois pendules entre eux.- S1 nous avions voulu confidérer la quantité À comme connue , nous n’aurions eu befoin pour connoître la vraie verticale , que des deux premiers pendules / & /’, avec Pangle intercepté M, puifque nous avons trouvé 4 . = 7—7 x M. Cette formule feroit beaucoup plus com= mode he le calcul, elle rendroit l’inftrument pour pren- dre hauteur plus Gps & elle feroir fouvent plus exaéte. Il ne fera donc pas hors de propos de remarquer , que la quantité À pourra fe connoître aflez au jufte ; elle marque la longueur du pendule fimple ifochrone avec les agita- tionsdu vaifleau, quelque compliquées que foient ces agi- tations ; pourvü qu’elles foient devenues harmonieufes, elles feront tautochrones , quoiqu’elles puiffent être plus tardives dans un tems que dans un autre ; cela dépend fur-tout du plus ou moins de lenteur dans le mouvement des lames. Or, on peut compter combien de tems em- ploient 20 ou 30 balancemens du vaiffeau , parle moyen des battemens d’une montre , & par-là on cennoîtra la longueur À pour tél tems qu’on voudra; & on la connoî-- tta affez exaétement.- sé RECHERCHES MECHANIQUES D DO: CEs deux derniers articles montrent la maniere de déterminer la direétion verticale par le calcul, & de la déterminer à chaque moment. Lorfqu’on voudra fe con- tenter de reconnoître la pofition verticale pour un feul moment à chaque balancement du vaiffeau , il fera très- facile de le faire fans aucun calcul, puifqu'on n’aura qu’à remarquer le moment-auquel tous les pendules fe trouvent réunis dans une même ligne, & leur direétion commune fera la direétion verticale. Un feul pendule même y peut fpfire ,. en remarquant l’excurfion entiere du pendule, & en en prenant la moitié; car le pendule fera vertical, lorf- qu'il fera au milieu des points extremes. SMXL IT. VoiïLa les principes qui pourront nous conduire à la «maniere de prendre hauteur fur mer pendant la nuit, quand on ne voit pas l’horifon. Mais examinons aupara- vant quelles font les circonftances les plus favorables à ces méthodes. (æ ) Quant à’ la méthode des troïs pendules , expofée au $. XxxXIX , il faut remarquer que pour rendre les angles M & NN fenfibles, les pendules doivent être fort inégaux en longueur , & que le pendule le plus long ne doit pas différer beaucoup de la longueur À , qu’on peut connoïtre par la méthode du $. x1. Le pendule le plus court, in- diqué par /, doit être fort petit, & enfin le pendule moyen l'pourra être pris un peu plus petit que+ A. Cette remar- que eft d'autant plus importante, qu’une petite erreur dans les angles A & A peut caufer, fans cette précaution, Une ET ASTRONOMIQUES: 57 une grande erreur fur l’angle cherché 4, & on ne doit pas efpérer que lefdits angles M & IV foient entierement juites , tant faure d’obfervation, que faute de précifion dans les hypothefes. J'éclaircirai cette remarque par deux exemples oppofés. ” 1°. Suppofons premierement x=16 pieds;/=—1 pied; l'— 2 pieds, & /”— 4 pieds : le vrai angle M=— 1° ; le vrai angle VN=3° 30, & nous trouverons que le vrai an- gle À doit être de 14° ; & il feroit tel , fi les hypothefes étoient exatement vraies, & qu’on n’eût commis aucune erreur dans les obfervations: mais fi l’on avoit pris Pangle A trop petit de 1 $’ on trouveroit pour les mêmes hypo- thefes , l’angle 4 de 26° , au lieu de le trouver de 14°, qui eft fa jufte valeur. Cette erreur feroit énorme, & devroit faire rejeter toute la méthode, fi lon ignoroit la fource de l'erreur. 2 - Suppofons enfecond Le que les longueurs //',/” & À ayent été prifes en raifon de 1,2, 4& 5, en Far toüjours 16 pieds de longueur à à : foit le vrai angle M — 1°, le vraiangle V— 9°, & on trouvera le vrai an- gle 4=— 3°. Pofons derechef une erreur de 1 5’ dans la mefure de l’angle W, au-deffous de fa jufte valeur , & on trouvera l'angle À de 3 = degrés, de forte que l’erreur ne feroit en ce cas que d’environ 3”. Ce dernier exemple nous eft donc aufli favorable , que Le premier nous a été contraire. (6) Pour la feconde méthode du $.xL, je remarque que le pendule /’ doit être un peu plus petit que A, pen- dant que le premier pendule / doit être fort petit: par-là l'angle 4 deviendra d'autant plus petit, & l'angle M plus grand, & une erreur daus l'angle M fera prefque infenfi- ble fur le vrai angle 4, au lieu que fans cette précaution €lle pourroit être fort grande. C’eft ce que je vais encore Prix. 1745. 55 RECHERCHES MECHANIQUES éclaircir par ces deux exemples, choifis pour notre def- fein. 1°. Soit encore A— 16 p. /— 7 p. //— 38 p. le vrai angle M—1° , & le vrai angle À fera de 9°; mais fi on avoit pris ce vrai angle M de 1 $/trop petit, l'angle 4 en feroit devenu trop petit de 2° 1$5/, ce qui feroit encore une erreur beaucoup trop grande. 2°. Mais fi on avoit pris /—1 p. /'=—1 5 p. & qu'on fup< pofe le vrai angle M de 14°, ( car il fera beaucoup plus grand qu'auparavant ) le vrai angle Z ne feroit plus que d’un degré, & enfuite une erreur de 1 5’ dans l'angle M, ne feroit plus qu'une erreur d'environ une minute pour Yangle 4. (y) Comme l'angle M fera d'autant plus grand que la longueur / eft plus petite, & que la longueur /’ approche davantage de à, on pourra rendre cet angle aufli grand qu’on voudra , & par-là on diftinguera mieux le moment que les deux pendules fe réuniflent, & qu’ils auront pris lun & l’autre la direétion verticale , & cette remarque concerne la troïfieme méthode du $. xLr. Il ne faut pour- tant jamais approcher la longueur d’un pendule de trop près de la longueur à , parce que nos hypothefes n'étant pas entierement juftes , leur défaut deviendroit en ce cas trop fenfible. DRE QE PE QE OÙ © CE que nous avons dit jufqu’ici, nous fervira à l'in- telligence des manieres que je propoferai tantôt, pour prendre hauteur fur mer quand on ne voit pas l'horifon ; & qu’on fe trouve par-là deftitué de tous fecours ordinai- res : mais il conviendra de faire auparavant quelques re- marques fur les pendules dont il faudra fe fervir. Com- me ces pendules ne doivent être fufcepribles d'autre ET ASTRONOMIQUES: s9 mouvement,que parallelement au plan du quart-de-cercle, ou du demi-cercle, on voit bien que les fils chargés de poids, ne rempliroient pas cette condition , & qu’on doit leur fubftituer des pendules folides , qui ne puiffent tour- ner qu’autour d’un axe perpendiculaire audit plan, & alors on doit entendre par.la longueur du pendule, la diftance entre le centre d’ofcillation & le point d’appui. ($. x1t1.) Il y a deux manieres d'augmenter ces diftances; la pre- miere eft d'éloigner beaucoup le centre de gravité du point de fufpenfion , & la feconde de en approcher beau- coup. Il faut adopter cette feconde maniere , pour ne pas allonger inutilement la verge du pendule, ce qui feroit fujet à plufieurs inconvéniens ; on pourra donc rendre les longueurs 7, / & l''aufli grandes qu’on voudra, avec des verges aufli petites qu'on voudra. On peut aufli diminuer tant qu'on veut lefdites longueurs , fans raccourcir les verges, en jettant prefque toute leur matiere autour de leur centre de gravité, & en les fufpendant près du cen- tre de gravité ; ce qui découle du théoreme des balance mens brachiftochrones des corps, qu’on a démontré dans BE E Les verges qui doivent fervir de pendules, pourront être examinées avant que de les appliquer au demi-cercle, en les faifant balancer, & eæcomptantle nombre de leurs ofcillations pendant un certain tems , d’où l’on connoitra fort exaétement la diftance de leur centre d’ofcillation au point d'appui. Comme-on peut fe trouver dans des circonftances dif- férentes , qui demandent les longueurs /, / & 4’, & fur- tout les deux dernieres , tantôt plus petites , tantôt plus grandes, (voyez les notes du $.xL11.) on pourra ajoûter aux verges une piece mobile tout le long de la verge, par le moyen de laquelle on pourra donner telle valeur qu'on _Hÿ 60 RECHERCHES MECHANIQUES voudra à ces longueurs, après avoir marqué les points où il faudra arrêter cette piece mobile pour cet effet, & ces points pourront être déterminés, foit par Le calcul , ou par des expériences préalables. $., X LI V. IL eft encore à remarquer , que lorfqu’une des diftan- ces /, l’ ou /” feroit plus grande que À , l'angle que le pendule feroit avec la verticale , en deviendroit négatif, comme dans la feconde Figure ; & fi elle étoit infinie, le pendule refteroit par lui-même conftamment dans fa fitua- tion verticale ; comme les valeurs des angles 4, 4’ & 4”, données au $. xxxix le marquent. Nous obtien- drions par-là immédiatement tout notre but, s’il étoit pof- fible de fe mettre dans le cas ; mais on ne peut pas fans doute avoir des pendules infiniment longs, & il feroit inutile de fufpendre les pendules par leur centre de gra- vité, puifqu’ainfi fufpendus , ils feroient indifférens à tou- te fituation, pendant qu'ils devroient affeter conftam- ment leur fituation verticale. Cette remarque peut pour- tant être en quelque façon utile pour une autre vüe , que nous dirons ci-deffous. Si l’on faifoit / = 2 à — 4, l'angle 4’ deviendroit né- gatif , & précifément égal à l'angle À, de forte que les deux pendules / & /’feroient conftamment un angle égal avec la verticale , & pour avoir cette verticale, il n’y au- roit qu’à partager en deux également, l'angle compris en- tre ces deux pendules : il n’eft pas difficile d’imaginerune conftruétion qui oblige un rayon de fe trouver toüjours au milieu des deux pendules, & alors ce rayon feroit de lui- même conftamment vertical. Il eft vrai que les angles né: gatifs , qui proviennent en prenant la longueur / plus ET ASTRONOMIQUES. 6x grande que À , ont beaucoup d’inconvéniens , & fur-tout celui de fe compofer difficilement dans cet état d’harmo- nie que nous fuppofons; mais il eft bon de ne pas ignorer les reffources que la théorie pure fournit,pour fçavoir bien diriger fes vües dans ces recherches. FOIX E Ve Voici à préfent comme on poutroit fatisfaire à nos principes. 4 HB eft un demi-cercle gradué (Kg. 9.), mobile, par le moyen d’une genouilliere , en tout fens fur fon centre C, qui doit être en même tems fon centre de gravité. À D & BE font les deux pinnules percées en F & G, pour laiffer pañler les rayons de l’aftre qu'on veut obferver. Il faut ajoûter au demi-cercle un petit axe per- pendiculaire , qui pañle par le centre C, & qui doit foûte- nir trois regles librement mobiles autour de cet axe; ces trois regles font deftinées à faire l’ufage des trois pendu- les du $. xxxIx, indiquées par /, / & /”, & dont par con- féquent les centres d’ofcillation doivent avoir les proprié.. tés marquées au $.xL11. J'ai repréfenté ces trois regles pa MN, MN'& M'N/; enfin, je demande qu'il y ait un reflort, auquel , fi l'obfervateur touche, les trois regles s'arrêtent tout aufli-tôt dans la anti qu’elles auront eue au moment de l'obfervation : après cela on examine- ra à loifir l'angle N'CN, que nous avons appellé A7, & Pangle N'CN , que nous avons nommé W, fur quoi la derniere formule du $. xxx1x, donnera l’ auele À compris entre la regle N M& la ua CH, c’eft-à-dire, l’an- gle NCH, & fi on Ôte cet angle de l'angle BC N, qu'on pourra mefurer , on aura la vraie hauteur de l’aftre O. Si les regles MN’ & MN fe trouvoient du côté oppofé, par rapport à la regle MN, tous ces angles deviendroient H ii 62 RECHERCHES MECHANIQUES négatifs, & il faudroit ajoûter l'angle NCH à l'angle NCB, pour avoir la hauteur de l’aftre. Au refte, l'Ob- fervatéur après avoir dirigé le demi-cercle vers l’aftre, aura la précaution de ne toucher au reffort qu'au bout d’un certain tems, pour donner aux regles le tems de fe mertre dans leurs balancemens réguliers. S'ENME IV T S 1 l'on croit connoître la longueut À avec affez de précifion , pour pouvoir mettre en ufage la méthode du $. xL, on pourra fe pañler de la troifieme regle MN”, & fimplement obferver l'angle N'C N, & alors Pangle NCH fera —}— x N'CN, & la hauteur de laftre ob- — hum /' fervé fera BCN +55 x NCN. 5, RE NU TUE OX pourroit encore profiter du $ XL1,en employant deux Obfervateurs , dont l’un obferveroit le moment que les deux pendules fe croifent , & le marqueroit à chaque fois à haute voix , & il ne fera pas difficile à l’autre Ob- fervateur, d’obferver l’aftre précifément dans un de ces inftans , pouvant s’y préparer par la fucceflion uniforme de ces momens , & les balancemens du vaifleau fe faifant affez lentement. Mais le premier Obfervateur ne doit pas feulement remarquer le moment que les deux pendules fe croifent , il doit encore obferver fur le demi-cercle , le point H où ils fe croifent, & le fecond Obfervateur pourfuivra l’aftre, non avec le demi-cercle , mais avec une alidade mobile, en prenant garde de ne pas toucher au demi-cercle ; on pourroit mettre à l’alidade mobile, ET ASTRONOMIQUES. 63 une lunette garnie d’un micrometre, dont les fils feroient de différentes couleurs, & après s'être bien préparé , on obfervera , fans toucher davantage à l’alidade, le fil qui ré- pondra à chaque fois à l'aftre , & quand on auroit obfervé l'aftre deux ou trois fois de fuite, à peu près au même fil, & que l’autre Obfervateur auroit pareillement obfervé le point H à peu près au même endroit, on pourroit comp- ter beaucoup fur cette obfervation. Cette méthode de- mande fans doute que les deux Obfervateurs concertent enfemble la maniere de faire leurs obfervations, & de s’avertir mutuellement, pendant l’obfervation, de plufieurs points ; & elle a cet avantage par-deflus les deux premie- res, qu'elle n’a pas befoin de ce reffort qui arrête les pendules. SOCLV L'ET. EnrFin les $$. x111 & xL1v nous fourniflent une quatrieme maniere de prendre hauteur : elle eft fondée fur ce que les corps fufpendus par leur centre de gravité, confervent d’eux - mêmes une fituation parallele à elle- même. Il eft certain qu’une grande mafle, librement mo- bile fur fon centre de gravité, ne fe détournera pas fenfi- blement de fa pofition pendant un tems confidérable, de quelque façon qu’elle foit tranfportée par fon centre de gra- vité : cette confidération m'a fait naître une telle idée. On pourroit unir le demi-cercle 4H B, garni d’une alidade mobile, à une piece fort lourde & pefante ; en faifant que le centre de gravité du fyftème foit précifément en C, Suppofons que B fe trouvât pour un moment dans fa fituation horifontale , il eft für qu’ellenes’en éloignerapas : fenfiblement pendant aflez long-tems, & que l'Obferva- teur pourroit cependant prendre hauteur à fon aife. Je demande donc encore l’aide d’un autre Obfervateur , qui 64 RECHERCHES MECHANIQUES dirige continuellement le demi-cercle , de façon que le pendule s'éloigne toûjours également, dans fes balance- mens de chaque côté , du point de 90°. J'ofe affürer que cela lui fera fort facile , & qu’il n'aura pas beaucoup à fai- re pour cela : ilpourra aufi, s’il l'aime mieux, employer le fecours de deux pendules, & faire qu'ils fe croifent au point de 90°. De l’une '& de l’autre façon, il pourra être für que 4 B aura été conftamment dans fa fituation ho- rifontale, & rien ne gênera cependant l’autre Obfervateur, de prendre hauteur tout comme fur terre. Cette métho- de fera peut-être la plus facile pour la pratique. Remarquons enfin que dans toutes ces méthodes, il faut être attentif à retenir le demi-cercle à peu près dans le plan vertical , fur-tout quand la hauteur de l’aftre eft un peu grande. sul Xe JE finirai ce Chapitre par une réflexion générale fur ce qu'il renferme. On aura remarqué fans doute , que je n'ai rien avancé avec précipitation, ou fur de légeres ap- parences. J'avoue que nos méthodes font encore fujettes à quelques imperfeétions ; mais je doute fi l’on pourra ja- mais aller beaucoup plus loin, fi ce n’eft peut-être qu’on pourra perfeétionner davantage ce que jai dit, & queje mai prefque fait qu'indiquer. J'ai tâché de mettre à profit toutes les circonftances favorables, & cela en fuivant toûjours les principes inconteftables de méchanique, qui m'ont fait reconnoître en même tems , combien étoient trompeufes les premieres apparences de quelques autres manieres , que je m'étois imaginées autrefois. Mais f d’un côté un amour fincere de la vérité m'empêche de par- ler avec trop de prédileëtion de nos manieres de prendre hauteur fur mer, quand on ne voit pas l'horifon, je me flatte ET ASTRONOMIQUES 6$ flate dun autre côté, qu’on ne leur voudra rien ôter de ce qu’elles ont de réel & bien fondé. Elles foûtiendront l'examen le plus rigoureux de la théorie, & tout leur fuc- cès dans l'exécution , dépendra particulierement de cette queftion : Si on ne fe trouve pas fouvent dans le cas que le vaifleau balance prefque régulierement & uniformé- ment, pendant quelque petit intervalle de tems. Les rai- fons que j'ai alléguées au premier Chapitre, jointes à l’ex- périence que J'en ai faite moi-même, doivent nous enga- ger à regarder cette hypothefe avec quelque complaifan- ce ; & plus on fe trouvera dans le cas, plus j'aurai de confiance à recommander nos méthodes, fur-tout fi les. agitations du vaifleau font en même-tems peu fenfibles. Je fais für même que fouvent les circonftances feront fi favorables , que ces manieres de prendre hauteur pourront être préférées dans le jour , aux manieres ordinaires , puif- qu'enfin le fecours de lhorifon vifible fouffre plufieurs inconvéniens. Dans un calme parfait, nos méthodes fe- roient abfolument les mêmes que par terre, pendant qu'on ne s’avifera jamais fur terre , de prendre pour la vraie ho- tifontale la ligne qui rafe la furface de la mer, fans parler de plufieurs autres défauts de l’Arbalête, & même du Quartier Anglois employés à cet ufage, Prix, 1745; Î 66 RECHÉERCHES MECHANIQUES EE PIN CEE PTS SI PEINE SN 7 EP € PTE NREEPPREE æ +} C EH AMP ET. KR E. IN. Contenant les Confidérations Aftronomiques néceffaires à notre [ujer. Se. :L. E ne m'arrêterai pas ici aux premiers préliminaires 3: J on fçait que toute la queftion dépend de la maniere de déterminer le paffage d’un affre connu quelconque, au mé- ridien du lieu où l’on fe trouve; il faut donc que l’on con- noiffe la pofition de l’aftre qu’on veut obferver ; & c’eft en quoi notre fujet differe de celui que l'Académie a pro- pofé pour l’année 1729 : car on peut trouver la hauteur du pole, que l'on demandoit alors ; moyennant un aftre dont on ignore entierement la pofition, en obfervant trois fois @ hauteur verticale avec les deux intervalles detems, d’où on peut déduire la hauteur du pole ; la déclinaifon de l’aftre , & le moment de fon paflage au méridien, com- me j'ai démontré dans le IV vol. des Mémoires de Peter- fbourg, pag. 89. quoiqu'un fçavant Géometre crût ce Problème indéterminé ; ainf cette condition ne reftreint pas notre préfent Problème plus qu'il ne faut: il faudra toûjours fuppofer ;: que Paftre qu'on veut obferver, le So- leil &gle pole, fafflent un triangle entierement connu ;. après quoi nous aurons deux cas à confidérer : le premier eft de fuppofer la hauteur du pole connue, & le fecond, de traiter cette hauteur comme entierement inconnue. CP EE EL eft facile devoir, qu’en fuppofant l'élévation du: ET ASTRONOMIQUES, 67 pole donnée, on n’a qu'à obferver une feule fois [a hau- teur d’un aftre connu, pour en déterminer l'heure ; car l'arc du méridien, depuis le Zénith jufqu’au Pole, fera donné , puifque c’eft le complément de Pélévation du Pole ; l'arc vertical , depuis le Zénith jufqu’à l’aftre , fera pareillement connu par l’obfervation ; & enfin l'arc com- pris entre le pole & l’aftre, eft donné par la déclinaifon de l'aftre connue ; les trois arcs forment donc un triangle connu , & on y trouvera par la Trigonométrie fphérique, l'angle au pole , qui mefure le tems qu'il faut à l’aftre pour arriver jufqu’au méridien. On ne fçauroit douter que ce ne foit ici la meilleure méthode Aftronomique , & la plus fimple; car on n’a pas toûjours le tems de prendre de bonnes hauteurs cor- refpondantes, & d’ailleurs celles-ci n’ont aucun autre avantage ici , que celui d’abréger le calcul , qu’on doit compter pour rien, quand il s’agit de perfeétionner les Arts & les Sciences : au refte, elle eft trop facile pour qu'elle ait pi échapper aux Aftronomes : mais je ne fça- che pas qu’on ait examiné de même ce qu'il faut faire ; pour mettre cette méthode dans fa plus grande perfe&ion; il ne nv'eft donc pas permis de me difpenfer de cette re- cherche. Gr CTANT: LE grand but doit ete: , Qu'une même erreur coms mife dans l’obfervation , influe le moins fur l'heure cher- chée. Orileft évident que pour cet effet, il faut choifir de tous les aftres qu’on peut obferver , celui qui demande le moins de tems pour s'élever ou fe baifler d’un petit arc vertical donné, à moins qu’il n’y ait d’autresinçonvéniens de plus grande conféquence. Suppofons premierement un aftre dont on veuille prendre la hauteur, & examinons 1j 63 RECHERCHES MECHANIQUES dans quel point de fon parallele il doit fe trouver, pout être dans fa fituation la plus avantageufe. Pour cet effer, foit le finus total —1 , le finus de l'élévation du pole=5, & le finus de la déclinaifon de l’aftre —7, & qu'il s’agifle de déterminer la hauteur verticale de l’aftre, telle que le moment de l’obfervation foit le plus favorable; je dis qu’il faut ici diftinguer deux cas. Le premier cas eft quand s eft plus petit que r , & dans ce cas , il faut que Paftre fe trouve au point où le vertical touche le parallele , c’eft-à-dire, dans le point où l'angle compris entre le vertical , qui pafle par l’aftre & l’arc tiré du pole à l’aftre , foit un angle droit, & un tel point exifte toûjours dans le cas préfent , & le calcul na fait voir, que Paftre fe trouve audit point , lorfque le finus de a hauteur de Paftre eft= <. Le Théorème enfeigne le moment qu'il faut attendre pour obferver un aftre donné, ou quel eft de tous les aftres d’une même déclinaifon, celui qu'il faut obferver dans un tems donné. Il nous fait voir auffi, que les aftres qui fe trouvent du même côté avec le pole, doivent être préférés aux aftres qui font dans l’hémifphere oppofé, ceux-ci ne nous permettant pas de profiter de cet avantage ; & la regle nous dit alors fimplement , qu’il faut obferver l’aftre le plus près de l'horifon que l’on peut. Soit, par exemple, l’élévarion du pole de 30°, la déclinaifon de l’aftré de45°, dura = Vi, qui mar- que qu’il faudroit obferver la hauteur de cet aftre, lorf- qu’elle eft à peu près de 45°; ou s’il y avoit plufieurs aftres de la même déclinaifon, & qu’on voulût faire l’obferva- tion fur Le champ, il faudroit choifir celui qui approche davantage de cetre hauteur. Le fécond cas eft celui qui fait s plus grand que ? ; il ny a alors aucun vertical qui touche la parallele de l’aftre ; êt ET ASTRONOMIQUES. 69 11 faut recourir à la méthode des plus grands & des plus petits, en exprimant analytiquement l’angle compris en- tre le vertical tiré à l’afire, & l’arc tiré du pole à l’aftre, & en faifant que cet angle foit le plus grand qu’il eft pof- fible. En fatisfaifant à cette condition, j'ai trouvé qu’il faut que le finus de la hauteur de l’aftre foit — L Sidonc l'élévation du pole étoit, par exemple, de 45°, & la dé- clinaifon de laftre de 30° du côté du pole, on trouveroit t . . encore — —V= , & il faudroit derechef attendre que la hauteur de laftre fût d'environ 45° pour l’obferver, ou choifir de tous les aftres de la même déclinaifon, celui qui approcheroit davantage de cette hauteur, fi on ne vouloit pas différer l’obfervation. Les Théorèmes que je viens de donner font fouvent de grande conféquence , & les obfervations de jour, à faire fur le Soleil , demandent la même attention. On peut bien avoir quelques raifons pour ne les pas fuivre ponétuellement : mais il ne faudra jamais s’en éloigner beaucoup. Si on vouloit prendre la hauteur d’un aftre qui feroit près du méridien, dans la vûe de trouver l'heure, {a moindre erreur dans l’obfervation, jetteroit une erreur énorme fur l’heure. Les Théorèmes font même utiles fur terre , pour prendre à propos les hauteurs correfpondan- tes du Soleil, ou d’un autre aftre , autant que les réfrac- tions permettent d’y être attentif. En examinant Jes ob- fervations qui font rapportées par M. le Monnier, dans fon Hiftoire célefte, Ouvrage que le Public ne fçaura jamais reconnoître autant qu'il le mérite, ÿ’ai remarqué qu'on n’a pas toûjours aflez bien choïfi le tems de pren- dre ces hauteurs correfpondantes, pour régler la pendule, ni celles des étoiles , dont on vouloit déterminer l’afcen- fion droite. J'avoue que ces remarques font de fort petire Ti 70 RECHERCHES MECHANIQUES conféquence à à l'égard des obfervations fur terre, à caufe de la grande précifion des obfervations : mais il me fem- ble auffi que la grande perfection de l'Aftronomie, de laquelle nous fommes redevables aux aufpices de l’Aca- démie, ne doit plus nous Is permettre de négliger le moin- dre avantage. Sn EM T I. Nous venons de déterminer le point du parallele don< né le plus avantageux : il refte à déterminer quel ef le pa- rallele le plus utile pour Pexa@itude de l’obfervation prin- cipale. Je dis donc à cet égard, & la chofe eft facile à voir, que tout le refte étant égal, il faut choifir de tous les aftres , celui qui a la moindre déclinaifon , & un tel äftre doit toujours être obfervé le plus près de Phorifon qu’il eft poffible : l'incertitude des réfraétions eft à la vérité un obftacle à cette regle ; mais il faudroit fur mer, fe trou- ver dans des circonftances extrèmement favorables , pour porter quelque attention à cet inconvénient. Suppofé ce- pendant qu'on ne veuille, ou qu’on ne puiffe obferver au- cun aftre au-deflous d’une certaine hauteur , dont le finus foit = g,je dis que la déclinaifon la plus utile aura Pour fon finus s 4; fi donc l'élévation du pole étoit de 30°, & qu'on prenne pour 4 le finus de 10°, la déclinaifon la plus utile feroit de 4° 59’ du côté du Sole On peut remarquer encore, qu’il faudra éviter les af tres, qui, dans leur culmination, paffent près du "Zénith, ou dont a déclinaifon eft à peu près égale à la hauteur du pole, parce que ces aftres devroient être obfervés, felon nos regles , près € du Zénith, & que ces rer font incommodes, & plus incertaines fur mer. ÉT ASTRONOMIQUES. TT $… LI V. ÉxaAMIiNONSs à préfent quelle fera la meilleure ma- niere de trouver l'heure, en fuppofant la hauteur du pole inconnue. Le fecours des hauteurs correfpondanres eft excellent fur terre , mais il ne left pas toûjours fur mer, où l’on doit profiter quelquefois d’un moment de beau tems; d’autres fois on fe trouvera trop près de l’aube du jour , pouf pouvoir exécuter cette méthode avec tant foit peu de fuccès pendant la nuït : j'en parlerai cependant en fon lieu. Voici donc deux autres méthodes plus généras- les, dont la premiere renfermera celle des hauteurs cor- refpondantes , comme un cas particulier. La premiere mé- thode eft de prendre deux fois la hauteur d’un même aître, en remarquant auffi l'intervalle de tems d’une obfervation à lautre. La féconde méthode confifte à prendre la hauteur de deux aftres différens , foit en même tems, foit fuccef- fivement l’une après l’autre , en obfervant encore l'inter-’ valle de tems.- SE" V. . Vorci1le calcul pourla premiere méthode. Soit HZH le Méridien ( Fig. 10.) ; Z le Zénith; P le Pole; HH Phorifon ; a la polition de l’aftre à la premiere obfervation; b fa pofition à [a feconde obfervation : qu’on tiré au pole les arcs 4 P & b P, comme aufli les arcs verticaux Z a d & Z'bc;il y aura de connu l'arc 4 P oub P, qui fait le complément de la déclinaifon de l’aftre ; enfuite l'angle a Pb, qui fait l’angle horaite d’une obfervation à l’autre; &t enfin les arcs Z'a & Z'h , qui font les complémens des hauteurs de l’aftre obférvées : qu’on joigne les points 4 & à par l'arc de grand cercle 4 #, qui fe trouvera comme faifant 72 RECHERCHES MECHANIQUES la bafe du triangle a Pb, duquel on connoiîtra les deux côtés égaux avec l’angle intercepté; de-là on connoîtra auffi tout le triangle 4 Z’b : dans ces deux triangles con- nus, on cherchera l'angle P La, & l'angle Z ha, dont la différence donnera l’angle Z # P. On connoîtra donc dans le triangle Zb P,les deux côtés Z' 4 & Pb, avec l'angle intercepté Z à P, & ainfi on pourra calculer l’an- gle Z Pb, qui fait l'angle horaire cherché entre la fecon- de obfervation , & le moment du paflage de l’aftre par le méridien. Si l’on cherche auflile côté ZP , on en con- noîtra en même tems le complément de RAT du. pole. Gauls, VI J'a1OUTER A1 ici les remarques les plus effentielles qu’on peut faire , fur cette maniere de trouver l'heure. (a) Il faut toûjours faire les deux obfervations fort éloignées l’une de l'autre, & fi les circonftances ne per- mettoient pas d'accorder pour le moins une heure d’in- tervalle entre les deux obfervations , il vaudroit mieux fur mer, fuivre la méthode du $. L1, fur une fimple eftime de la hauteur du pole, qu’on connoït toûjours à peu près. (&) Comme fa premiere obfervation fert proprement à déterminer l'heure , & la feconde à déterminer la hauteur du pole, on pourra faire l’une des obfervations , lorfque l'aftre fe trouve à peu près dans cette fituation, que nous avons déterminée au $, L11, & la feconde , lorfque l'aftre eft près du méridien: cette de obfervation détermi- nera immédiatement la hauteur du pole, à caufe de la déclinaifon donnée de l’aftre , après quoi la premiere ob- fervation donnera l’heure encore, par la méthode du $-.L1; on abrégera par-là le calcul. Si depuis Ja premiere obfervation ET ASTRONOMIQUES 73 obfervation jufqu’à la feconde , le vaifleau avoit fait beau- coup de chemin en latitude, il faut en faire Peftime , & réduire la hauteur du pole de la feconde obfervation , à celle qui répondroit à la premiere. (c) Quand on a tout le loifir d’obferver l’aftre des deux côtés du méridien , fous un grand intervalle de tems, on pourra encore éviter toute la peine du calcul, en fuivant la méthode des hauteurs correfpondantes , qui eft com- prife dans cette méthode générale, On pourra encore avoir befoin ici d’une petite correétion , par rapport au chemin du vaifleau , depuis la premiére jufqu’à la derniere obfervation , tant en longitude qu’en latitude. Cette cor- reétion fe fera , en fuppofant que Le moment de la culmi- nation de l’aftre réponde à l’endroir où le vaiffeau fe fera trouvé au milieu entre les deux obfervations ; c’eft-à-dire, que le méridien trouvé par la regle , ne fera pas pour Pun des deux endroits où l’on aura fait l’obfervation, mais pour le milieu de ces deux endroits. $& LVITL LA méthode précédente fervira particulierement pour les obfervations de jour, où on ne voit que le Soleil, & où on ignore en même tems la hauteur du pole : mais pour les obfervations de nuit, on fera prefque toüjours dans des circonftances à pouvoir fuivre la feconde méthode du $.L1v ; & par-là on évitera l’inconvénient de ce grand intervalle de tems entre les deux obfervations, néceffaire à la méthode précédente. Suppofons qu’on ait pris la hauteur de deux différens aftres en même tems, le calcul pour en trouver Fheure, fera entierement le même que celui du $. Lv. Car, fup- pofé l’un des aftres en 4, l’autre en 2 dans la même Figure, Prix, 1745. k T4 RECHERCHES MECHANIQUES expliquée audit $. Lv, alors 4 à marquera la diftance des deux aftres connus, qu'on peut calculer par leur pofi- tion en longitude & en latitude , marquées l’une & l’autre dans les Tables; Pa & Pb feront les complémens de leurs déclinaifons données, quoiqu’inégales ; Z'a & Zb font les complémens de leurs hauteurs obfervées. On connoît donc encore entierement les triangles 4aPb& 4aZb, &. on trouvera l'angle Z 3 P , en prenant la différence des: angles P ba & Z' ba , après quoi on connoït tout le trian<- gle Z Pb, & par conféquent l'angle Z Pb, qui dérermi<- ne le moment du paffage de Paftre ? par Le méridien. SE NA IT. Comme il eft cependant impoflible de prendre deux: hauteurs en même tems, on pourra les prendre immédia- tement lune après l’autre , & un petit intervalle de tems ne peut être de conféquence dansles obfervations fur mer, fi fujettes à un grand nombre d’imperfe@tions : fi cepen- dant on veut, ou fi on croit’ y devoir'faire attention, il faudra obferver l'intervalle de tems de la premiere obfer- ation à la feconde , & puis faire le calcul comme il fuit. Suppofons qu’à la premiere:obfervation on ait obfervé laftre en 4, & qu’au même moment l’autre aftre fe foit trouvé en à : confidérons enfuite , que du moment de la premiere obfervation jufqu’à la feconde , l’aftre foit venu : debene, &tirons les arcs6P, CZ &Ca,l’angleCP b: fera donné par l'intervalle de tems obfervé ; qu’on ajoûte cet angle à l'angle à P a; qui eft toüjours connu par la pofition mutuelle de*deux aftres, & la fomme marquera langleG Pa; de-là on pourra calculer le côté a, & en- fuite l'angle cherché 6 PZ , tout comme dans le précé-- dent article. . ET ASTRONOMIQUES: 75 s... L I X. Pour bien choifir les deux aftres, on pourra faire le imême raifonnement que nous avons fait dans la note {b) dus. Lvr. On choifira lafire #, qui contribue le plus À déterminer l'heure, conformément auxregles des $$. LI & ur, &l'autre aftre , qui doit fervir particulierement à trouver la hauteur du pole près du méridien, fans fe met- tre beaucoup en peine de fa déclinaifon. Ce font là les pofitions les plus avantageufes. Si l’aftre à a été obfervé aflez près du méridien, pour que fa hauteur obfervée ne puifle pas différer fenfible- ment de fa vraie hauteur méridienne , elle déterminera par fa déclinaifon donnée immédiatement , Ja hauteur du - pole, & nous mettra en état de calculer le pañage de l'aftre a au méridien, par le calcul fort fimple du $.L1: mais hors de ce cas, il faudra faire Le calcul comme nous avons dit au $.Lv11, fi les deux obfervations ont été -prifes fort près l’une de l’autre; ou conformément au $. Lv111, fi les deux obfervations ont été éloignées. Cette méthode a ce grand avantage fur la précédente, qu’un moment de beau tems fuflit pour la pratiquer : on ane craint ici ni les nuages , ni un trop promt retour du jour ; elle ne demande non plus cette correétion toûjours douteufe , que demande le chemin que le vaifleau à fait d’une obfervation à l’autre. sb. X; VotLa nos méthodes générales de déterminer le moment du paffage d’un aftre au méridien , qui, par le moyen des Tables des afcenfions droites , fera connoître Kÿ 76 RecHERCHES MECHANIQUES le paffage du Soleil au méridien , & par conféquent l’heu: re cherchée. On n’a qu’à faire toutes les combinaifons des conditions, qui font de notre fajet un Problème détermi- né, & qu’à connoître très-fuperficiellement la nature des obfervations Aftronomiques qu’on peut faire fur mer avec quelque fuccès, pour être perfuadé d’abord que nos mé- thodes de trouver l'heure fur mer, font les meilleures qu'on puiffe donner dans l’Aftronomie, & cela tant rela- tivement aux autres, que par rapport à elles-mêmes. Il feroit facile d’en imaginer un grand nombre d’autres, mais ce feroit s’alembiquer inutilement l’efprit. J'en dirai ce- pendant encore une, qui me paroît pouvoir mériter quel- que attention particuliere. $ LXI. Vorcr cette derniere méthode, pout le cas où [a hauteur du pole eft connue. Elle confifte fimplement à attendre & obferver le moment, que deux aftres connus quelconques fe trouvent dans un même vertical ; après quoi on fera le calcul comme il füit. Soit P le pole; (Fig. 11.) Z le zénith ; HH l'horifon; Z cle vertical qui pañle par les deux aftres a & #, & qu’on tire les arcs 4 P & P ;on cherchera d’abord dans le trian# gle connu 4Pb, l'angle ab P, dont le complément à deux droits donnera enfuite Pangle Z & P , qui détermi- nera le triangle Z 2 P , de forte qu’on yÿ pourra trouver l'angle cherché » PZ. Si la hauteur du pole n’étoit pas connue, on pourroit faire une pareille obfervation fur deux autres aftres, en remarquant auffi l'intervalle de tems entre les deux obfer- vations : car on en peut encore déduire le paffage de l’un des aftres par le méridien, & cela par la fimple réfolution ET ASTRONOMIQUES. 77 de plufeurs triangles , ce que je me contenterai d’avoir fimplement indiqué, pour n'être pas trop prolixe ; je ne dirai rien non plus, par la même raifon , fur le choix des aftres, qu'il faudroit faire , quoique très-eflentiel à cette méthode. Mon but principal , n’eft ici que de faire voir, que fans connoître immédiatement aucune hauteur, on peut trouver l'heure & même lélevation du pole ,unique- ment par le paffage de deux aftres à un même vertical ; je dis fans connoître immédiatement aucune hauteur , parce que les hauteurs des aftres obfervés, peuvent fe dérermi- ner par le calcul. Voilà donc en même tems une maniere de prendre hauteur fans aucun inftrument gradué , fans connoître aucun angle , & par le feul fecours de la direc- tion verticale, quoique cette direétion ne foit connue que par des momens interrompus. Ces fortes de méthodes particulieres méritent donc d’autant plus d'attention, que par nos méthodes expofées au troifieme Chapitre, on peut à chaque balancement du vaiffeau , reconnoître la fitua- tion verticale des regles AN & M'N/!. Le $. xLviir nous fournit mêmé une maniere facile & aflez exaéte de conferver la dire&tion 4 B( Fig. 9.) conftamment dans fa dire&tion horifontale , de forte que fi on y ajoûre une regle immobile perpendiculaire, celle-ci confervera con- ftamment fa direétion verticale. Je fuis für même que dans les rourmentes violentes , on pourroit trouver l'heure à peu près, fur la fimple eftime du paffage de deux aftres à un même vertical ; l’homme fe formant une habitude na- turelle à reconnoître la pofition verticale avec une grande exa@itude, qui fera même furprenante & incroyable, dans ceux qui s’y feront habitués & perfeétionnés ; & fi l’on vouloit faire eftimer par un grand nombre de perfonnes ainfi habituées, le moment d’un tel paffage, & puis prendre l'efime moyenne , en rejettant les eftimes manifeftement K iij 78 RECHERCHES MECHANIQUES faufles , elle ne pourroit manquer d’être fort jufte ; n'y ayant abfolument point de raifon pourquoi on devroit fe tromper , plutôt d’un côté que d’un autre. 6 LEX IT. JE ne fçais fi les méthodes que je viens de donner font toutes nouvelles : fi d’autres les ont remarquées & décri- tes avant moi, comme cela fe peut très-facilement , je n’aurois pas manqué de les citer ;-fi je l’avois fcu. Mon intention n’a pas tant été de donner de nouvelles métho- des, que d’expofer les meilleures. LC Je ne dirai rien d’un grand nombre de rédutions & de correétions qu'il faut faire, tant par terre que fur mer: elles font connues de tous les Aftronomes , & devroient l'être de tous lés bons Pilotes. Toutes les queftions Aftro- nomiques dépendent abfolument les unes des autres, & on ne fçauroit bien traiter l’une, fans un examen exaét de toutes les autres. On m’excufera donc, fi je n’entre pas dans un plus grand détail , puifque pour le faire, il fau- droit tout un cours.tant d'Aftronomie, que de Navigation. S'il n'étoit cependant arrivé d’omettre quelques éclair- ciffemens effentiels, je tâcherai d'y fuppléer , fi on vou- loit bien me faire l'honneur de me les demander. C’eft dans cette vûe que j'ajoûterai mon nom dans un billet cacheté , qu'on pourra ouvrir à tout évenement, fi on le trouve à propos. | ET ASTRONOMIQUES: 79 Passet FÉSE a pee FOR ce ME LA NT RTS DRE ADR ( rene Te. SEP RE USE D SUITE DES RECHERCHES MECHANIQUES ER ASTRONOMIQUES, &c. MARQUEES PAR LA DEVISE Et quandoque Olitor fuit opportuna locutus. Qui tend principalement à fournir aux Navigateurs les: moyens Méchaniques les plus fürs pour faire en mer, malgré l'agitation du vaifleau , les obfervations dont on peut conclurre l’heure. » Ef aliquà prodire tenüs ; fi non datur ultra. $. A Men recherche des moyens les plus fürs pour faire en mer, malgré l’agitation du vaifleau, les ob- fervations Aftronomiques , m’a toüjours paru des plus in- téreffantes pour la Navigation. J'en ai fait l’objet de mes médirations déja depuis l’année 1728:, que l'Académie avoit propofé pour fujet : Quelle ef} la meilleure méthode dobferver les hauteurs fur mer , par le Soleil, &° par les Etoi- les , foit par des Infirumens déja connus ; Joit par des Inffru- mens de nouvelle invention ; fur lequel.j'ai eu l’honneur d'envoyer à l’Académie un Difcours', qui portoit la mê- me devife que j'ai prife il y a deux ans. Je croyois alors que les fluides dans des tuyaux communicans , conferve- roient mieux le niveau, qu’un fil chargé d’un poids ne- 80 RECHERCHES MECHANIQUES conferve fa fituation verticale : mais je n’avois pas aflez examiné cette idée ; & y ayant renoncé bien-tôt après, j'ai fouvent penfé depuis , pour ma propre fatisfaétion , à d’autres moyens plus fürs & plus exaëts, de pouvoir faire en mer les obfervations Aftronomiques , mais toûjours fans aucun fuccès , jufqu’à ce qu’animé par le fujet pro- pofé par l’Académie pour Pannée 1 745 , je me füis appli- qué de nouveau à cette matiere, ne défefpérant pas d’i- maginer enfin quelque expédient, d'autant que je n’étois exercé avec toute l’application poffible , à connoître les loix méchaniques qui m’y pouvoient conduire. Ces ef forts réitérés m'ont enfin mené aux expédiens que j'ai ex- pofés au long, dans les recherches que j'ai eu l'honneur d'envoyer à l’Académie il y a deux ans. Les trois quarts de ces recherches ne tendent qu’à cette fin, que je pré- voyois bien devoir être principalement celle de l’Acadé- mie , puifque les théories Aftronomiques font aflez con- nues. Depuis ce tems,. j'ai toüjours été, je l'avoue, fort fatisfait des principes, fur lefquels font fondés les moyens que je propofe. J’ofe dire plus, & je l'ofe dire avec con- fiance , que ces principes font les feuls qu’on puifle met- tre à profit pour notre fujet: mais j'avoue aufli que j'ai été moins content de l’ufage que j'en ai fait. Si quelque autre a fuivi la même route, il peut avoir propofé de meil- leurs moyens pour faire ces obfervations la nuit, quand on ne voit pas l’horifon ; finon il n’aura rien fait du tout, & fe fera laiflé tromper par de fauffes apparences, comme cela m’eft arrivé autrefois. J'ai fait ces mêmes réflexions au $. xLIx de mes recherches. N’étant donc pas perfuadé qu’il fût impoffible de faire une application plus heureufe de nos principes , je n’ai ceflé d'y penfer, même après avoir déja envoyé à Paris ma piece , quoique je ne crufle pas alors qu'un plus grand faccès püt m'être de ere utilité ET ASTRONOMIQUES: 8r utilité auprès de l'Académie, n'ayant plus pour but que Vavancement des Sciences & des Arts, fi j’étois affez heureux d’y pouvoir contribuer. Il m’a paru que ces der- niers efforts n'avoient pas été tout-à-fait fans fuccès , & J'en ai eu d’autantplus de plaifir, d'apprendre le jugement de l’Académie fur le prix de 174$, qui me met à même dé foumettre encore mes nouvelles idées à fes lumieres. Je me propofe donc de mettre mes principes & leur né- ceflité dans un plus grand jour ; de faire quelques remar- ques fur l’application que j'en ai faite, & d’expofer fur- tout, les nouvelles idées que je me Re formées. Tout cela fera une efpece de Commentaire de ma p-emiere Differtation , que je prie par conféquent le Leéteur d’ho- norer de fon attention, ayant que de commencer la lec- ture de ces additions. $. 2. Il eft évident que pour faire les obfervations la nuit, quand on ne voit pas lhorifon , il faut néceffaire- ment avoir recours aux mêmes inftrumens qu’on emploie fur terre. ,Car ni l'Arbalête, ni le Quartier Anglois, ne peuvent être en ce cas d’aucun ufage. Tous ces inftru- mens font deftinés à la mefure de certains angles que les aftres font, foit rélativement au ciel, foit rélativement à Phorifon de la terre ; & ces derniers, qui font toûjours re- quis pour pouvoir trouver l'heure , demandent tous qu’ on connoiffe la direétion “HER de Le feul principe pour connoître cette direétion, eft l’aétion de la pefanteur, toûjours perpendiculaire à lhorifon : mais l’ation de la pefanteur eft contiiuellement troublée & dérangée par l'agitation du vaifleau ; & c'eft à cer inconvénient qu’il faut tâcher de remédier. Voilà un Problème bien vague ; on ne fcait par où commencer, On fe formera mille idées, &t aprèsles avoir examinées chacune à part, on les rejette- ra toutes l’une après l’autre. J'ai donc d’abord tâché de Prix, 1745—47: L Go RECHERCHES MECHANIQUES couper le chemin à toutes les tentatives inutiles, & voici comme je m'y fuis pris. $: 3. Tout ce qui eft affermi au vaifleau fait les mêmes: mouvemens angulaires, & ne fcauroit fervir a donnerune certaine direétion : la pefanteur alors n’agit en rien ,-& le corps eft fimplement emporté par lagitation du vaifleau; : il faut donc laïffer au corps une certaine liberté de rece- voir & de fuivre l’impreflion de la pefanteur. Pour rece-- voir entierement limpreflion de la pefanteur , il n’y a qu’un moyen, fçavoir dé le détacher du vaifleau , & de le laïfler tomber : mais la vitefle initiale & incertaine, que l'agitation du vaiffeau auroit donnée au corps au pre- mier moment qu'on l’eût détaché, lui feroit décrire une parabole indéterminée , de laquelle on ne pourroit rien conclurre pour la Her verticale. Il eft vrai que fi Pa- gitation du vaiffeau pouvoit être cenfée uniforme pour un petit intervalle de tems, la route parabolique du corps tombant, ne laïfferoit pas de faire une ligne droite verti- cale, par rapport aux objets unis au vaiffeau ; & la confi- dération de ce principe m'a fait penfer qu’on pourroit ajoûter au quart-de-cercle, une clepfidre à mercure, dont le filet feiviroit à mettre le quart-de-cercle à chaque mo- ment dans fa jufte fituation ; ou à en connnoitre l’incli- naifon. J’ai même examiné quelles précautions on pour- roit prendre pour tirer le plus grand avantage de ce moyen, & je fuis für qu'on pourroit perfe@tionner affez . cette méthode, pour rendre les erreufs fort peu fenfibles : mais J ai meilleure opinion des methodes que j'ai déja don- nées dans le troifieme Chapitre de mes Recherches , & beaucoup meïlleure encore de celle que je donnnerai ci- deflous. Cela m'a engagé à abandonner ce principe, de connoître la direétion horifontale en mer pendant la auit. Il faut donc dès-lors, que le corps qui doit concourir ‘ET ASTRONOMIQUES: 8ÿ ‘à déterminer une certaine diretion tienne au vaiffeau, & y tienne avec une certaine liberté de recevoir & de fuivre l’impreflion de la pefanteur en partie : mais tout «corps qui tient au vaifleau, de quelque façon que ce foit, doit être emporté parle vaifleau ; & comme il lui refte une certaine liberté de fe mouvoir, les parties du fyftème au- ront une inertie relativement à ce mouvement; cette iner- tie fe joint à l’aétion de la pefanteur, & la force réfultan- te eft tout-à-fait variable & incertaine , s’écartant de la direétion verticale.tantôr plus ; tantôt moins. $. 4. On voitaifément par ce que je viens de dire, que fi on veut confidérer les agitations du vaifléau comme tout-à-fait irrégulieres, & irrégulieres en tout fens, qui ne foient abfolument aflujetries à aucune loi, il faut re- noncer à toute-efpérance de pouvoir faire er mer les ob- fervations avec une certaine exaétitude, fans le fecours de Phorifon vifible. Comment prétendroit-on faire les ob- fervations fur terre, fi la pefanteur changeoïit continuelle- ment de force & de direétion, fans obferver aucune loi dans fes variations ? C’eft cependant là le cas où l’on fe trouveroit fur mer. Ces réflexions ferviront de pierre de touche, pour juger de toutes les méthodes qu’une imagi- nation trop fertile pourroit fuggérer , & qui, examinées felon les vraies loix de la méchanique , pourront toüjours être démontrées faufles, avec la même facilité qu’on pourra toùjours démontrer la fauffeté d’un mouvement perpétuel purement méchanique , qui fouvent ne laifle pas d’avoir quelque apparence de réalité. Je dis donc qu'en ce cas, il faudroit.recourir à l’Arbalête, ou au Quartier Anglois, & fi la nuit éroit obfcure , tâcher de rendre l'horifon vifible, ce qu’on pourroit faire par plu- fieurs moyens. $. 5-Je crois donc avoir démontré la néceflité abfolue LS 84 RechERCHESs MECHANIQUES de chercher quelque circonftance dans les agitations d’un vaifleau , qui permette de déterminer la dire&ion de la DE & d’en féparer l'effet d'avec celui de l’inertie des corps; & par un bonheur admirable , une telle cir- conftance fe trouve dans les agitations du vaiffeau , puif- que j'ai démontré que deux ou trois balancemens de fuite, qui puiflent être cenfés égaux , fufhfent pour déterminer la dire&ion verticale. Une condition fi fimple , & en mé- me tems fi conforme à fa nature:, auroit furpañlé infini- ment toute mon attente, fi le hafard ne m’avoit conduit auparavant à rechercher la nature des balancemens har- monieux des parties différentes d’un fyflème, qui fait un des plus importans fujets que je connoiïfle dans la Mécha- nique , & fur-tout dans la Phyfique. $. 6. Puifque c’eft-là le feul principe utile que fathéorie admette, & que rien n’eft faifable dans la pratique , qui foit démenti par une bonne théorie, nous fommes réduits à tourner toute notre attention du côté de ce principe, pour voir de quelle utilité il peut être dans la pratique. Cet examen fe réduit à deux points , qui font la réalité du principe dans les agitations du vaiffeau, & la conftruétion d’une machine fondée fur ce principe, s’il eft trouvé jufte. $. 7. Si la mer étoit unie, & qu’on eût imprimé au vaiffeau quelque balancement, on conviendra avec moi, que le vaiffeau ne manqueroït pas de continuer de lui- même fes balancemens pendant un tems confidérable, & que ces balancemens ne diminueroient que peu à peu, & même infenfiblement, à caufe de la mafle énorme du vaif feau. Si au contraire le vaiffeau eft fuppofé entierement en repos dans une met agitée , il ne fera balancé que peu à peu, & il lui faudra un tems confidérable pour être agité dans toute fa force, Une feule lame peut bien élever le ET ÂASTRONOMIQUES. 8$ vaïffeau , mais non pas le faire rouler ou tanguer dans toute fa force , ni lui faire changer brufquement fes roulis ou tangages , qui lui feront déja imprimés, & il n’eft queftion ici que de ces deux mouvemens. L’aétion fucceflive des lames de la mer, ne fait qu’entretenir les agitations du vaifleau , & en prévenir les diminutions , tout comme dans une horloge chaque coup de dent dans la roue de rencontre, ne produit pas tout le balancement du pendu- le, mais ne fait que prévenir une diminution infenfible, qu'il fouffiroit fans cela. Certe raifon me paroït fufhfante, pour dire que les balancemens d’un vaiffeau font naturel- lement tels que nous les fuppofons, & qu’il faut un grand concours de caufes accidentelles , pour que les balance- mens qui fe fuivent immédiatement , foient fort différens entre eux. J'ai vü des lames fe brifer contre le vaifleau, fans que fes roulis en fuffent changés confidérablement ; j'ai vû auffi tous les branles & autres chofes fufpendues fous le pont , faire leurs allées & venues avec beaucoup d'harmonie, au lieu qu’elles auroient été jettées, l’une d’un côté, l’autre d'un autre, fi Les agitations du vaiffeau éroient toûjours tout-à-fait irrégulieres. Ceux-là même qui n'auront vû que de deflus les côtes les vaiffeaux balan- cer, conyiendront de notre principe, autant confirmé par toutes fortes d'expériences , qu’il eft fondé fur la raifon, Cependant je demande fimplement qu’on fuppofe arriver quelquefois , & fi l’on veut par hafard, ce qui doit arriver prefque toûjours , & par un méchanifme naturel : car deux ou trois balancemens de fuite , pleins & égaux, qu'on reconnoit facilement , & que PObfervateur peut toûjours mettre à profit , fufhfent pour notre deflein, & feront le même effet que s’il y en avoit eu mille; & ces deux ou trois balancemens pourroient être encore aflez inégaux , fans que cette inégalité causât une erreur L ii 86 RECHERCHES MECHANIQUES confidérable dans l’obfervation à faire. Je conclus donc qu’on peut admettre , fans le moindre fcrupule , le princi- pe en queftion , pour l’ufage que je me propofe d’en faire. $. 8. Après avoir fi bien établi, tant dans ces Addi- tions , que principalement dans ma premiere Diflertation, la réalité du principe qui doit faire la bafe de toutes les machines , dont on peut encore efpérer quelque fuccès.; je ne dois pas douter que l’Académie n’accorde fon ap- probation aux recherches que jai faites dans la premiere partie de ma Differtation , qui contient des Théorèmes purement méchaniques , tirés d’une théorie beaucoup plus générale , que j'avois trouvée depuis quelques années. -Ces Théorèmes nous mettent en état de tirer un plus grand ufage des horloges en mer, & fur-tout, de connoître à chaque inftant la direétion verticale , de laquelle dépend uniquement notre queftion principale. Ces Théorèmes font d’ailleurs d’une nature à pouvoir être facilement con- firmés par des expériences. Je ne m'arrêterai donc pas à une plus ample Éxpofition , n'étant plus queftion que de voir finos Théorèmes peuvent être appliqués avec quel- .que fuccès, au but que nous nous propofons. Je dirai donc d’abord quelques mots, fur l’application que j'en ai déja faite dans mes recherches antérieures, & puis je pro- -poferai une nouvelle maniere de mettre ces Théorèmes à profit, dans la pratique, que je crois plus füre & plus facile à remplir pour les Obfervateurs. $.9. Les moyens que j'ai donnés pour connoître la vraie direétion verticale en mer, malgré l'agitation duvaiffeau, & fans le fecours de l’horifon, font fondés fur la mefure des angles, que font entre eux plufieurs pendules mobiles autour d’un même axe ; & j'ai décrit la machine qu’on pourroit conftruire pour connoître lefdits angles. ($. xLv..) :C'eft- là le fondement de ma méthode générale, fur ET ASTRONOMIQUES. 87 laquelle; je ferai quelques réflexions, en priant le Leéteur de voir dans mes Recherches les méthodes particulieres, & les réflexions que j'ai déja faites fur toutes mes mé- thodes. J'ai confidéré d’abord qu’un pendule conferveroit par- fairement fa fituation verticale dans un vaiffeau non agité, & faifant voile uniformément; il faudroit donc en ce cas préférer l’ufage des pendules appliqués au demi-cercle, à celui de lArbalête & du Quartier Anglois. Mais comme Pagitation du vaifleau jette néceffairement les pendules de côté & d'autre, j'ai marqué tout ce qu’on pouvoit & ce qu'il falloit faire , pour diminuer ces éloignemens, lef- quels , avec ces précautions , ne feront pas fort confidé- rables. Enfin , les formules que j'ai données au $. xxxIx, fervent à connoître ces éloignemens: fi donc ces formules laiflent quelque incertitude dans la pratique, (carelles : font tout-à-fait füres felon la théorie ) cette incertitude ne regarde pas l'angle principal, qui eft la hauteur de l’aftre, - mais fimplement l’angle de correétion , & il me femble” que ce feroit pouffer la rigidité trop loin , que de deman- der dans ces angles de correétion une certitude entiere, fur-tout lorfque tous les moyens connus jufqu’ici nous manquent. J'ai donné au ç. xxx1x. deux formules ; la premiere” ef: A1— 5e x M, & la feconde eft celle-ci : 422 U'=P)MN (CDN Da. Je nai donné la derniere formule, que pour réfoudre fa queftion fuivant toute la rigueur de lathéorie , & fi fimple- ment pour éviter déelgusi incertitude qui pourroit refter Ca 88 RECHERCHES MECHANIQUES dans {a quantité a. Effe@ivement la feconde formule eff préférable à la premiere, fi l'on fuppofe nos principes fur les balancemens du vaifleau exaétement vrais : mais s'ils ne le font pas , il en rejaiilira quelque incertitude fur les angles A1 & IN, qui pourroit être de plus grande confé- quence , que ne feroit l'incertitude qui pourroit refter fur la quantité À. On pourroit donc en ce cas préférer-la pre- miere formule , pour laquelle j'ai marqué au $. xL les précautions qu’on peut prendre : la machine en deviendra en même tems plus fimple , & le calcul plus facile ; on pourroit même garder les trois pendules , en fuivant toû- jours le calcul de la premiere formule , pour fe mettre en état de s’affürer de la juftefle de l’obfervation ; car fi le calcul donne le même angle 4; par les trois combinai- fons qu'on peut faire fur deux pendules entre les trois, ce feraune marque infaillible ; tant de la bonté de la mé- thode , que de la juftefle de l’obfervation. Quant à la machine que je propofe au $.xLv, je ne crois pas que ni la conftruétion, ni la maniere de s’en fer- wir foient fort difficiles. Il fera fans doute facile d’imagi- ner un reffort, lequel venant à fe débander, par l’ättouche- ment du doigt à quelque languette , arrête tout d’un coup les pendules appliqués au demi-cercle. Il ne faudra pas non plus beaucoup d’adreffe à l'Obfervateur, pour peu qu'il s’y foit habitué , pour toucher la languette à propos & à point nommé; on tire des coups de fulil, qui deman- dent incomparablement plus d’adrefle. Je ne vois donc pas pourquoi on devroit renoncer à toute efpérance de tirer quelque fuccès de ces idées , quoiqu'affez paradoxes à la premiere apparence. L’extrème difficulté , ou fi je ne me trompe ;, l'impoffibilité entiere de donner des machi- nes fondées fur d’autres principes , mérite que lon ait quelque indulgence pour toutes celles que nos principes fourniffent. $. 10. ET ASTRONOMIQUES. 89 5. 10. Je viens aux nouvelles ‘idées que j'ai concues, depuis que j'ai eu l'honneur d’ envoyer mes premieres Recherches à l’Académie, mais toûüjours fondées fur les mêmes principes. Elles auront ce grand avantage , de retenir conftamment le demi-cercle dans fa jufte pofition, malgré l'agitation du vaifleau , par où on évitera tous les inconvéniens de nos méthodes précédentes, qui en ren- dent la pratique difficile. Mais pour mettre le Leéteur au fair, il eft néceflaire de remonter à la fource. On remar- quera aufli que ce que je dirai d’abord ne peut être appli- qué qu'aux balancemens d’un vaifleau, qui, dans fa pofi- tion moyenne , fe tient tout droit : mais je démontrerai enfuite, que le même raïfonnement fubfiftera toûjours, quoique le vaiffeau foit couché fur un de fes côtés. $. 11. Soit dans la premiere Figure (qui eft prefque la même que la troifieme Figure de mes Recherches ), 4 un point fixe; 4 M une verge verticale, dont l'extrémité M faffe des balancemens BMB', dans le plan BB, fuivant les loix des pendules fimples ; fappofons au point M un petit axe perpendiculaire audit plan BA B', autour duquel balance librement une autre verge m Mn, dans le même plan BAB, pendant que fon axe en A Dale au- tour du point 4, je dis qu’on pourra faire enforte , que pendant ces balancemens, l'extrémité » de la verge m Mn refte toüjours dans la même verticale» 4, de maniere que la verge 4 M ayant pris la fituation 4 B ou AB’, la verge m M n fe trouve dans la fituation CBp, ou C’B'p, & que le pointp ne décrive que de petites portions infenfibles np3 dans la verticale » 4. Voici comment je détermine la longueur A» , requife pour cette condition. Soit 4 M — L ; la longueur d’un pendule fimple ifo- chrone , avec les bb arts du point M— à; la diftan- ce du centre d'ofciflation de la verge # # , depuis fon axe Prix, 174$—47. M 90 RECHERCHES MECHANIQUES en M—1, c’eft-à-dire ; que / marque la longueur d’un- pendule fimple ifochrone, avec les balancemens que fe- roit la verge mn fi fon axe en M étoit fixe ; qu'on tire en- fuite les verticales BE & BE’, j'ai démontré dans ma premiere Differtation , au $. 1x, à la note (6), que Pan-: gle CBE ou C'B/E fera =" —*« BA M; on aura-donc auffi B p M — x BAM, d’où lon tire cette analo* gie Bp M:BAM—L:2—7; & fi on fubfitue au lieu : de la raifon de l’angle Bp M à BAM, qui font cenfés- fort petits , celle de leur finus , ou bien celle des lignes AB &pB,.on aura ÂAB(L):Bp—L:a—71, & par: conféquent Bp— à —1/.. - Donnant donc à la partie Bp ou Mn de la verge CBp ou m Mn cette longueur A —7, l’extrémité p ou n ne fera que des balancemens infenfibles verticaux, exprimés par: np, pendant que l’axe en M, par lequel la verge eft fuf- pendue , eft fuppofé faire les balancemens exprimés par l'arc B MB", qui font comme infiniment plus grands que les premiers , pendantlefquels même l'extrémité # oup ne fort jamais de la verticale prolongée 4 M. J'ai confir- mé cette propofition par plufieurs expériences, dans lef- quelles il eft indifférent que le point À foit au-deffous ou au-deflus du point A]; la diftance 4 M indiquée par L, . n’y entre point en compte non plus: il n’y a qu'à exami- ner dans ces expériences, les longueurs à & /. $. 12. Si au lieu d’une feule verge telle que » Mn, on en met plufieurs qui tournent routes librement autour du : même axe en M, & qui aient toutes la propriété marquée dans le précédent article , l'extrémité de chacune reftera toûjours , pendant les balancemens de leur axe commun, . dans la même verticale prolongée 4 M; on pourra ce- pendant varier d’une façon quelconque, les longueurs : ‘ET ASTRONOMIQUES, gi telle que Mn, en variant pour chaque verge [a diftance de fon centre d’ofcillation au point de fufpenfion en M. La feconde Figure, où j'ai mis les lettres analogues pour un des côtés, explique affez ma penfée. La verge qui a 2 diftance / la plus petite, eft repréfentée dans fon plus grand éloignément par CBp , & celle qui a cette pareille diftance la plus grande , eft repréfentée par CB p'/; mais je veux que la premiere CB p foit conftruite autrement que toutes les autres , qui auront.une mème flrudure en- tre elles. $. 13. Je demande donc que la verge CB p ait au point p encore un axe perpendiculaire au plan de la Figure, qui foûtienne une barre prifmatique reétangulaire, librement mobile autour de cet axe , comme cela eft marqué dans la troifieme Figure, dans laquelle P © repréfente cette barre. Il eft clair que cette barre P O , quand il n’y auroit que la feule verge CBp,demeurera verticale d'elle-même, pendant les balancemens de axe en A ou B autour du point /, & ceux de la verge CBp autour de laxe en B: car cette barre P © n’eft emportée par l’axe en p , que par des balancemens très-petits , qui fe font dans une direc- tion verticale, lefquels ne fçauroient faire changer à la barre P 0 fa direétion naturelle , que je fuppofe verticale. Il faut remarquer ici une circonftance très-efentielle ; c’eft que dans la détermination du centre d’ofcillation de la verge CBp, le poids de la barre P O & du demi-cercle qu’elle doit porter, eft cenfé ici appartenir à la verge CBp, & tout concentré au point p , chaque partie de la barre ayant le même mouvement que le point p , auquel elle eft foûtenue. La barre P Q demeurant déja, par ce feul méchänifme, dans fa fituation verticale, ce que je-vais ajoûter ne fervira que POUr 1 y afermic davantage , & pour prévenir par-là CPR CREUSE EE te) F ij 92 RECHERCHES MECHANIQUES le danger , que le moindre attouchement ne la détourne de fa jufte pofition. C’eft dans cette vüe que je confeille encore de faire dans la barre P O une coulifle, ou rainure ro, d'une largeur égale, & dont les côtés en dedans Oient parfaitement polis, qui recevra les extrémités des autres verges C’Bp’, C"Bp'', &c. de la feconde Figure. $. 14. Pour rendre Le mouvement des extrémités de ces autres verges dans la couliffe parfaitement libre , on pourra garnir chacune de ces extrémités p',p', &c. d’une poulie travaillée avec grand foin, dont le diametre foit tant foit peu plus petit que la largeur de la rainure. $. 15. Si l’on donne à toutes ces autres verges C/Bp'; C’Bp”, &c. la propriété marquée au $. 1 1, en faifant pour chacune la partie Bp/—à— /', il eft clair qu’elles con- courront toutes à retenir la barre P Ÿ dans fa fituation ver- ticale , puifque leurs balancemens harmonieux ne laiffe- ront pas de conferver une liberté entiere, s’ils font fuppo- fés fe faire dans chacune à part , avec toutes les loix que la théorie exige ; & fi au contraire on fuppofoit aux ver- ges une difpofition à s'éloigner de ces loix , elles s’en em- pêcheront les unes les autres, l'harmonie des balance- mens fe confervant dans toutes les verges, par la conftruc- tion de la machine. Ce n’eft pas là un des moindres avan- tages de la machine que je propofe ici. $. 16. Puifque la barre P Q ne fçauroit manquer d’être retenue par les verges, qui concourent toutes à cet effet, dans fa fituation verticale , on n’aura qu’à affermir un de- mi-cercle à cette barre, tel que SRT, dont le diametre ST foit perpendiculaire à la barre , avec une alidade mo- bile XZ , avec laquelle on pourra prendre la hauteur d’un aftre tout-à-fait à fon aife, & à peu près avec la même exaétitude qu’on le feroit fur terre. Voici encore quelques précautions qu'il faudra prendre. o ET ÂASTRONOMIQUES: 93 6. 17. L’axe en B, qui foûtient tout le fyfème, étant perpendiculaire au plan de la Figure, & naturellement horifontal, doit être mobile horifontalement , ce qui eft facile à faire, & l’'Obfervateur doit être mis en état de gouverner avec une main cet axe , pour pouvoir retenir à peu près le plan de la machine dans le plan vertical de Vaftre qu'il veut obferver ; mais il prendra garde de ne toucher eñ aucune autre façon ni la barre , ni les verges , afin de leur laifler une liberté entiere de fe mettre dans leur jufte pofition à chaque inftant. Il eft vrai que la ma- chine gardera quelques balancemens dans le plan per- pendiculaire à celui de la machine : mais ces balance- mens ne font d'aucune conféquence fenfible, & je ne crois pas qu'on doive rendre la machine plus compofée pour y remédier, comme on le pourroit faire fi on y vou- loit avoir égard. L’Obfervateur prendra aufli bien garde , en dirigeant de l’autre main l’alidade XZ , de n’y toucher que de l'extrémité du doigt , & fimplement par de petits coups, fans y appuyer, & cela toûjours pour ne pas dé- ranger le fyftème dans fes mouvemens naturels. Peut-être fera-t-il plus convenable d'employer deux perfonnes, dont l’un foit attentif à retenir l'axe en B dans fa jufte pofi- tion, & l’autre à diriger fimplement l'alidade. $- 18. Si j'ai fuppofé jufqu'ici la ligne M verticale, ce n’a été que pour rendre mon fy.tème plus clair & plus intelligible. Je dis donc à préfent , que tout mon raifon- nement fubfiftera encore, quelque inclinée qu’on fuppofe la ligne 4 M. On n’a qu’à comparer enfemble la feconde & la quatrieme Figure, pour voir toute la différence qu’il y aura d’un cas à l’autre. Voici donc comment je démon- tre qu'on aura encore pour ce fecond cas Bp— à — /, en . confidérant les angles CBE & B 4 M comme fort petits, de même que nous l’avons fait pour le cas précédent. Mi 94 RECHERCHES MECHANIQUES Qu'on tire dans la quatrieme Figure, les horifontales BG & MF avec la verticale 4 F, & le triangle BG M pourra être cenfé femblable au triangle AEM. Or, jai démontré au $. x. cs mes premieres RS ; que l'angle CB E=° — Hi X= BG BG. BM AF, BM, AF BM = AF = "5p EM Ep AM Ep Re * Donc * Bp AM EM BM x 5x BAM, QU = x BAM= 5% BM jo & pet dut = a B? a —l :C. Q. F. D. Voilà encore une propriété extrèmement favorable à no- tre fyftème, & fans laquelle ilauroit été entierement détruit, puifque l’inclinaifon moyenne du-vaiffeau eft toùjours in- certaine & inconftante. La nature nous donne ici du fe- cours,où tout moyen nous eûtmanqué.N ous voyons donc -que la barre P 0 (Fig.3.) confervera fa dire&tion verticale, lors même que l’axe en M ou B , par lequel le fyfème eft foûtenu ; balance autour d’un point pris hors de la vertica» le PO M; & ainfi la machine que je propofe , fervira éga- lement pour toutes les pofirions du vaifleau. $. 19. Ce que je viens de dire fuflit pour comprendre notre fyflème , & toutes les raifons qui m’y ont conduit. Je ne m'arrêterai pas aux defcriptions purement mécha- niques ; les machiniftes y fuppléeront d’eux-mêmes, aufli- tôt qu’ils fe feront mis au fair. Mais il nous refte des re- marques effentielles à faire, tirées de la théorie, touchant la conftruétion des verges, qui foûtiennent & dirigent la barre , à laquelle le demi-cercle eft affermi , & touchant la façon de les préparer pour l'obfervation Aftronomique, toutes les fois qu’on fe propofe de la faire. $. 20. Je ne prétends pas que la quantité À, qui souBp—A—/}/, 7 1 WE ET ASTRONOMIQUES. ve marque la longueur du pendule fimple ifochrone , avec les balancemens du vaifleau, foit toûjours tout-à-fait la même pour toutes les circonftances,: mais je crois bien qu’elle peut être cenfée telle pour TËs mêmes circonftan- ces, & pour un petit intervalle de tems. Il faudra donc ac- commoder la machine aux circonftances où l’on fe trou- vera, & cela confiftera à mettre les centres d’ofcillation des verges CBp, C'Bp', &c. dans leur jufte pofition , de forte que pour chacune la quantité Bp, Bp!, &c. devien- ne = À — /. Cette condition demande que chaque verge foit garnie d’un poids , qu’on puille monter & defcendre tour le long de la verge , tout comme dans les pendules appliqués aux horloges; moyennant ces poids, on pour- ra donner telle pofition qu’il conviendra aux centres d’of- cillation des verges, fans changer les diftances Bp, Bp', Bp", &c. que je défignerai par 4,4/, a”, &c. pendant que je diftinguerai les diftances du centre d’ofcillation, depuis le point de fufpenfion M ou B pour chaque verge, par 1,1, /', &c. Ces dénominations nous donnent a—=A—/; al; a"—x—/J!, &c. ou bien; /=A1— 4; d=21— a; l—x— a”, &c. & ces dernieres équations marquent les diftances /, /', /”, &c. qu’on pourra obtenir pour chaque verge, moyennant le poids mobile dont elle ‘ eft garnie. | $. 21. Il faut donc, pour fe préparer à l’obfervation, commencer d'abord par connoitre la quantité à , pour les circonftances où l’on fe trouve : pour cet effet, on comp- téra le nombre des balancemens du vaiffeau pendant deux ou trois minutes ; on pourra fe fervir pour cet effet d’une montre de poche, dont on aura connu le nombre de bat- témens qu’elle fait dans une minute. Suppofons que dans une minute de tems, le vaifleau ait fait autant de balance- mens qu’il y a d'unités en # ; & donnons 440 lignes à la 26 RECHERCHES MECHANIQUES longueur d’un pendule fimple à fecondes, & on aura la 3600 1584000 longueur moyenne A= 440 x == —— lignes; & fi de cette quantité on retranche pour chaque verge la lon- gueur 4, a’ ou a”, qui demeure toüjours la même, & dont il faut avoir pris exaétement la mefure , on connoitra au jufte les longueurs /, !,/7, &c.en lignes. : $. 22. Quant aux verges, il faut les régler une fois pour toutes , par des divifions exates, & faites avec grand foin; ces divifions feront marquées par le nombre de li- gnes qui leur conviennent , & elles indiqueront de cette façon, les points où il faudra toûjours mettre les poids à chaque obfervation , après avoir trouvé la quantité À : on fçait que cela fe peut faire avec toute la précifion qu’on fe propofe. Si je veux, par exemple, trouver Le point où il faut placer le.poids mobile , afin que la diftance / ou /ou //, &c. foit de 1532 lignes, je n’ai qu’à chercher où il faut placer le poids pour faire balancer la verge autour de fon axe dans une heure de tems, autant de fois qu’il y a d’uni- tés en 3600 V #4, c’eft-a-dire, 1929 fois; les autres divifions fe peuvent faire par le calcul. Il y a encore une remarque particuliere à faire fur cette confiruétion, par rapport à la verge CBp, qui foûtient feule la barre P O0; c’eft que tout le poids de cette barre , y compris celui du demi-cercle, doit être cenfé faire partie de Ja vergeCBp, & être concentré au pointp, comme j'ai démontré au $. 13 de ces Additions. C’eft pourquoi pour faire les divifions fur la verge CBp , on Ôtera la barre , & on met- tra à fa place , à l'extrémité p , un poids parfairement égal à celui de la barre & du demi-cercle, & fi ce poids fub- flitué , avoit un volume confidérable, ce qui feroit un peu changer les balancemens que notre théorie fuppofe, il vaudroit mieux pour l’entiere jufteffe des divifions, les chercher Léultis. 25. ET ASTRONOMIQUES. 97 chercher par le calcul , tel que la regle de trouver le centre d’ofcillation enfeigne , après avoir pris le centre d’ofcillation de la verge CBp à part, & reconnu toutes les proportions qu’il y a entre les poids de la verge du corps mobile & de la barre, aufli-bien qu'entre les diftances depuis l’axe en B , jufqu’au point où la barre & le corps mobile font appliqués à la verge. Il ne faut rien négliger pour l’exaëtitude que le méchanifte peut donner à la ma- chine, & quine demande que beaucoup d'attention & d'application. $. 23. Après avoir décrit toutes les précautions qu’il faut prendre pour la conftruétion de la machine , ilne fera pas hors de propos de remarquer encore une circonftan- ce , qui facilitera à l’Obfervateur le moyen de fe préparer à l’obfervation : elle confifte à marquer par les mêmes nombres, les divifions correfpondantes fur chacune des verges ; & afin que l’'Obfervateur fçache aufli-tôtles points où il faudra placer les poids , ces nombres feront ceux des balancemens que le vaiffeau aura faits dans deux minutes de tems ; car c’eft fimplement ce nombre qui regle cha- que divifion, & ce que j'ai dit dans le précédefi article, ne fert qu’à la conftruétion des verges : mais l’ufage qu’il én faut faire fera fort facilité , fi ces divifions font marquées par le nombre des balancemens que le vaiffeau eft fuppo- fé faire dans deux minutes de tems. $. 24. Après qu’on aura placé les poids régulateurs fur le nombre des balancemens du vaiffeau, qu’on aura comp- tés pendant deux minutes, on pourra fe former une mar- que, pour connoître fi ces poids font dûment placés : pour cet effet on pourra faire les bouts d’enhaut des verges C'Bp',0'Bp”, &c. qui ne foûtiennent aucun autre poids que celui de leur propre matiere , d’acier qui plie quand il fouffre un effort confidérable de çôté, Si l’on remarque Prix, 1745—47: N o8 RECHERCHES MECHANIQUES donc que ces bouts d'acier ne fe courbent pas pendant” que le vaiffeau eft agité, ou qu'ils ne fe courbent pas beau-- coup, l’obfervation ne pourra manquer d’être fort jufte : mais fi ces bouts fe courboient beaucoup , on effayeroit fi en baiffant ou hauffant un peu leurs régulateurs , ils fe courberoient moins, & en ce cas il faudroit le faire. Je prévois bien cependant, qu'il pourra arriver dans les gran- des tourmentes , que les vergés refteront toûjours dans quelque légere contrainte , qui pourra provenir de l'effort que font les verges, pour retenir la barre dans fa fituation verticale, malgré une certaineirrégularité-des balance- mens du vaifleau ; aufli eft-ce là une des raifons qui m'ont engagé à confeiller d'employer plufeurs verges, qui con’ courent toutes au même effet ; fans ces vûües accefloires; la feule verge CBp fuffroit. $. 25. Je finirai cette partie principale de mes Addi- tions , par quelques remarques qui regardent le fuccès qu’on doit attendre de la machine propofée. Il eft à re= marquer que la barre P O ne demeure pas feulement dans une fituation verticale pendant les agitations du vaifleau, mais qu'elle’refte encore dans la même verticale ; & ainfi quand même les balancemens du vaiffeau feroient affez it- réguliers pour faire fortir la barre de fa ligne , elle pourra encore garder une pofition verticale, par un mouvement parallele , qui lui fera plus naturel que tout autre. Voici un autre avantage ; c’eft que toute la machine étant fon- dée fur l'harmonie des balancemens de fes parties, fi cette harmonie étoit dérangée par quelque accident, elle feroit rétablie auffi-tôt, en vertu même de la conftruétion, puif= : qu’il doit néceffairement arriver au milieu de chaque ba- lancement, que toutes les verges & la barre fe réuniflent dans un même inftant. Je crois aufli que le momentle plus : für pour faire l’obfervation , fera celui de cette réunion; , -ET ASTRONOMIQUES 99 ‘la barre PQ ne pourra alors s’écarter fenfiblement de la verticale, fur tout fi on place en même tems l’axe B, qui -foûtient la machine, le plus près que les circonftances le permettent du point À, qui eft toüjours le centre de gra- vité du vaifleau, puifqu'alors cet axe même ne fouffre que des balancemens affez légers ; c’eft aufli à quoi je confeille d’être attentif, puifqu’enfin il ne faut rien négliger de tout ce qui peut rendre l’obfervation plus exaéte. Enfin quand même la barre PO ne garderoit pas avec une perfeétion tiere fa pofition verticale, elle feroit elle-même des ba- | il réguliers & harmonieux avec ceux du vaiffeau, de forte qu’après avoir dirigé l’alidade, fans y toucher davantage , on n’auroit qu'à remarquer fur la pinnule X, les deux points extrèmes, qui répondent au rayon vifuel, & en prendre le milieu , ce qui donneroit le petit angle de correétion pour l'angle XP S, qui marque la hauteur de l’aftre. $. 26. Avec toutes ces précautions , je me flate qu'on “pourra prendre la hauteur fur mer en tout tems, & toû- jours avec beaucoup de précifion. S'il y a encore quel- ques inconvéniens dans l’ufage de la machine que j'ai dé- crite , ils ne pourront être que-très-légers , & fort excu- fables par la nature du fujet. Pourroit-on efpérer ici la mé- me -précifion, la même facilité & la même fimplicité qu'on a fur terre? Je prévois bien cependant, qu’on ne pourra donner à ces idées leur derniere perfeétion , qu’a- près une longue fuite d'expériences , & d’attentions con- tinuelles à remédier, conformément à nos principes, à tous les petits défauts qu’on remarquera dans les premiers effais. Cette derniere perfeétion dépendra fur tout de la jufte proportion qu’il faudra donner à tous égards aux par- ties qui compofent la machine, & qu’on ne fçauroit dé- terminer aflez par la fimple théorie. Cependant ce que Ni - too ReécHErRCHES MECHANIQUES {a théorie diéte abfolumeñt , fuffit pour nous affürer par avance d’un fuccès plus que médiocre , même dans les premiers effais ; car enfin, nos Théorèmes & nos Princi- pes de Méchanique pure, ne fouffrent pas la moindre exception , & nos hypothefes fur les balancemens d’un vaifleau , font fondées fur la bonne théorie hydrodyna- mique ; elles font conformes à toutes les expériences & obfervations nautiques , & d’ailleurs deux ou trois balan- cemens fucceflifs , achevés & uniformes fuflifent, & font le même effet que fi tous les balancemens précédens lag voient été de même. Ces balancemens achevés & “ formes font faciles à reconnoiître ; ils ne peuvent manquer d'arriver quelquefois , même dans les plus grandes tem- pêtes , & on poutra toùjours en profiter, foit de nuit; {oit de jour. Je crois aufli fermement, que pour les obfer- vations de nuit, il n'eft pas poffible d'employer d’autres principes ; & quant aux obfervations de jour, l’expérien- ce décidera fi la machine que je viens de propofer, n’eft as le plus fouvent , peut-être même toûjours, préférable à.l’Arbalète & au Quartier Anglois. ° $. 27. On pourroit cependant, s’il étoit néceffaire ; contre mon opinion, pouffer les correétions & l’exa@titude plus loin, & même auñli loin qu’on voudroit. Voici là- deflus mes réflexions. Jai fait voir que le pointp, auquel la barre PO eft foûtenue , ne fçauroit avoir aucun mou- vement horifontal , & qu'il n’eft plus fujet qu’à des ba- lancemens verticaux , qui ne font aucun effort pour faire fortir ladite barre PQ hors de fa fituation verticale. Mais fuppofons qu’une énorme irrégularité dans les balance- mens du vaiffeau , puiffe produire au point p des mouve- mens confidérables dans la direétion horifontale , on pour ra mettre autour de l’axe en B,une feule verge CBp, mais extrèmement pefante , & puis appliquer toute la machine ET ASTRONOMIQUES: 10 tepréfentée dans la troifieme Figure, à l’axe en p, au lieu de la fufpendre immédiatement par l'axe en B, & en ce cas, cette verge accefloire doit avoir la même propriété touchant la diftance Bp , & le poids de toute la machine doit être confidéré comme concentré au point p. Il eft clair que par cette feconde correétion, on achevera de remédier à tous les défauts: on voit aufli qu’on peut pouf- fer ces correétions aufli loin qu’on voudra. La cinquieme Figure explique le principe de cette feconde correttion; càr fi dans la premiere verge C BB, l'extrémité B'eft en- core fujette à quitter la verticale prolongée 4 M , l’extré- mité p’ de la feconde verge C'B'p', mobile autour du point B' ne pourra jamais s’écarter fenfiblement de cette verti- cale. 5. 28. Je ne me fuis propofé que de décrire ce que la théorie & la méchanique exigent ; fans rien prefcrire aux Artiftes, qui n'auront aucune peine à la conftruétion de cette machine, felon toute l'étendue de nos vûes, aufli- tôt qu'ils en feront bien informés. Je ne laïfferai pas de dire encore quelques mots fur la conftruétion des verges CBp,C'Bp', &c. de la troifieme Figure ,, non dans le deffein d’inftruire les ouvriers, mais dans celui de mettre dans un plus grand jour la machine que je propofe. Comme ces verges doivent tourner librement au- tour d’un axe commun en B , & fe croifer à chaque balan- cement, il faut des conftruire d’une façon à le pouvoir faire en toute liberté; c’eft pourquoi au lieu de fimples verges, on pourra fe fervir de plaques reétangulaires , prefque entierement percées, de forte qu’elles entrent les unes dans les autres. La fixieme Figure repréfente deux de ces plaques ; C Cp p p marque le bord de la premiere, & C’Cppp' le bord de la feconde ; BB marque l’axe com- mun, autour duquel toutes ces plaques peuvent tourner Ni 102 RECHERCHES MECHANIQUES librement, & fe croifer , fans s'empêcher les unes les au- tres ; P Q marque la barre , qui doitfoûtenir le demi-cercle; ro marque la longueur de la coulifle , qui recoit le bord p'p' garni d'une Pod dans fon milieu , pendant que la barre eft foûtenue par le bord pp, autour UE elle tour- ne librement. La troilieme Figure marquera enfuite en profil, avec des lettres analogues, ce querepréfentecette. fixieme Figure. Le centre de gravité de chaque plaque doit être beaucoup au-deffous de l'axe BB. $. 29. Jenedirai plus qu un mot fur la maniere de fuf- pendre la machine: je crois que la meilleure maniere fera de fe fervir d’une genouillere : mais le globe doit être creufé en dedans, & laiffer deux ouvertures en haut & en bas, pour donner la liberté aux verges ou plaques, de fai- re leurs balancemens autour de l’axe BB. Jerepréfente un tel globe par la feptieme Figure, dans laquelle BB mar- que l'axe, qui foürient la machine , & les ouvertures en- tre les bords MM & NN, laifferont à ces verges ou pla- ques , toute la liberté de faire leurs balancemens. $. 30. Je n’ajoûterai plus qu’une feule réflexion fur cette matiere, mais eflentielle, utile, & qui fera voir combien j'ai été fcrupuleux dans cet examen & ces re- cherches. Reffouvenons-nous donc pour la troifieme Fi- gure, que Bp—Aa — /; Bp—=2—/, &c. que à exprime la longueur d’un pendule fimple ifochrone avec les ba- lancemens du vaifleau , pendant que les lettres /, /’, &c. marquent les diftances des centres d’ofcillations des ver- ges ou plaques CBp , C'Bp', &c. depuis l'axe en B. Ces quantités /, ’, &c. font arbitraires , & on peut les rendre auffi grandes qu’on veut, fans faire les bouts BC, BC’, &c, plus longs, en approchant davantage leur centre de gra- vité du point B : mais il y a un inconvénient de part & d'autre, à les faire trop grandes & trop petites. Si elles ET ASTRONOMIQUES. 103 font grandes , les verges ou plaques prendront trop d’eflor dans leurs balancemens, & fi elles font petites , les parties Bp ; Bp', &c. deviendront trop grandes, & incommodes pour la conftruétion & pour l'ufage de la machine : car la longueur à peut aller peut-être au-delà de 40 ou même de $o piés. J'ai donc examiné foigneufement, fi on ne pourroit pas remédier à ce fecond inconvénient, & j'ai trouvé qu'on peut le faire de la maniere qui fuit. Il eft clair qu’en diminuant les parties Bp , Bp!, &c. dans une même proportion, la ligne qui fera tirée par les extrémités ; fera parallele à PQ, & par conféquent en’ core verticale: mais alors le point p ne fera plus immobile par rapport à l’horifon ; il fera des balancemens, & l'axe en p, qui foûtient la barre PQ, emportera cette‘barre par des balancemens horifontaux ; ces balancemens pourront faire fortir la barre hors de fa pofition verticale : on peut cependant encore prévenir ce dérangement, qui gâteroit tout , de deux façons. La premiere eft de charger beaucoup” les verges ou plaques C’Bp, CBp', &c. & fort peu la barre PQ , qui en ce cas, ne fera aucun effort fenfible fur les verges ou plaques, & par conféquent gardera conftam- ment fa direttion verticale. La féconde confifte à placer l'axe p au centre de gravité de la barre PO ,y compris le poids du demi-cercle. Par ce fecond moyen, labarre PO ne fait plus aucun effort pour quitter la fituation verticale 1 pendant qu’elle eft emportée par le pointp, par des ba- lancemens horifontaux, & elle eft cependant retenue dans fa fituation verticale , par les bouts des autres verges ou plaques. M. Bouguer avoit déja remarqué le grand avan- tage qu’il y auroit , à fatisfaire en même tems à ces deux points , dans fa Piece qui a remporté le Prix de 1729 , & qui l’a fi bien mérité : mais ce grand Géometre , qui pof. fede également toutes les connoiflances de Phyfque, de ‘104 RECHERCHES MECHANIQUES Méchanique & de Navigation , fi néceflaires pour ces fortes de queftions, ne s’eft fait aucune peine de marquer lui-même l’imperfeétion de la méthode qu'il décrit, pour obtenir en quelque façon cet avantage. Je cite avec plai- ir cette belle Piece, & j'y renvoie mon Leéteur , pour un plus grand nombre d’articles qui nous refteroient à confidérer , & qu'on y trouvera tous traités avec toute l'exactitude & la perfpicacité poffible. Ses principes font d’ailleurs conformes aux miens, ou du moins compati- bles : il m’eft cependant revenu depuis peu, qu'on a atta- qué une propofition qui nous eft commune , fçavoir: Qu'un vaifeau fait fes balancemens , tant en roulant qu'en tanguant , autour de [on centre de gravité, & qu’on a fubfti- tué à ce centre, un autre que j'ai été le premier à confidé- rer & à déterminer , pour en déduire les loix des-percuf- fions excentriques ; & que j'ai appellé le centre de rota- tion fpontanée : j'ai démontré que ce centre eft toûjours le centre d’ofcillation , en confidérant le point d’impul- fion comme le point 4 fufpenfon. Il faut diftinguer dans cette controverfe, les balancemens qui fe forment, d’avea ceux qui font tout formés, & qui ne font que fe conti- nuer, Dans les premiers , il faut prendre le centre de ro- tation fpontanée, en prenant pour point d’impulfion, le centre de gravité de toutes les impulfions : mais dans les balancemens formés, il faut abfolument prendre le cen- tre de gravité pour le point de rotation, comme j'ai dér montré dans une Differtation que j'ai die fur les balance- mens des corps qui nagent fur les eaux , & comme M. Euler, Auteur de ce Problème , a démontré auf. Il y a dans cette Differtation, plufieurs nouveaux Théorèmes, qui éclairciflent la nature des balancemens d’un vaiffeau, & qui m'ont fervi de bafe pour les préfentes Recherches : mais comme çlle n'a pas encore été imprimée, quoique je ET ASTRONOMIQUES. os je faie faite depuis très-long-tems , je ne fçaurois m'y rapporter pour donner plus de poids à tout ce que jai dit, foit dans ces Additions , foit dans mes Recherches anté- rieures ; & je deviendrois trop prolixe, fi je voulois répé.- ter ici tout ce que jai dit ailleurs fur ces matieres : je me contenterai donc d’avoir dit le plus effentiel. Aurefte , les vents ne peuvent déranger fenfiblement la machine que je propofe pendant l’obfervation, pour plufieurs raifons que je ne m’arrêterai pas à expofer ici : d’ailleurs on n’a qu’à vouloir remédier à ces inconvéniens pour en venir à bout. Quant aux fecoufles des lames qui fe brifent contre le vaifleau, j'avoue qu’elles peuvent altérer l’obfervation, mais je ne crois pas qu’elles le puiffent faire fenfiblement; & comme ces brifans ne viennent que par intervalle, il n’y a qu’à bien choifir le moment de l’obfervation , pour s’en mettre à l'abri. $. 31. Voilà donc ce que j'avois à dire fur Le point prin- cipal de note fujet, que l’Académie a témoigné dans la feconde annonce avoir le plus à cœur , & auquel j'ai fait moi-même le plus d'attention dans ma premiere Piece : mes premieres Recherches m'ont conduit aux vrais prin- cipes , que j'ai toüjours vû clairement être les feuls à fui- vre. Si j'ai eu le bonheur, dans ces Additions, de faire une application plus heureufe de mes principes , j'en fuis uni- quement redevable à la pénétration de mes Juges, qui prévoyoient fans doute , qu'on en pouvoit tirer un plus parfait ufage.. $. 32. Je n'ai que très-peu d’additions à faire fur les autres points que J'ai traités dans ma premiere Piece. J'ai été fort long, peut-être même prolixe, fur tout ce qui peut concerner la mefure du tems abfolu fur mer. Il eftfür qu’u- ne plus grande perfe&ion de cette matiere, dépend beau- éoup plus d'une bonne théorie , que d’une connoiffance Prix, 1745—47: O 106 RECHERCHES MECHANIQUES arfaite de tout ce qui regarde la pratique. Je crois a- voir indiqué les vrais principes qui peuvent conduire à une plus exaéte mefure du tems, tant fur mer que fur ter= re. Ils font nouveaux pour la plüpart : j'avoue qu’il y en a d’affez paradoxes ; mais ceux-ci même ne laifferont pas, à ce que j'efpere , de fouterir l'examen des plus grands connoifleurs. Je ne demande à ceux-ci, que la-grace d'examiner mes principes fans prévention: fi après cela ils ne font pas de mon fentiment , je me foûmettrai très-vo- lontiers à leur décifion & à leur autorité, & les prierai de regarder comme non dit, ce qu’ils trouveront être dit contre les regles bien avérées de l’art, dont j'ignore en- tierement la pratique ; & je mérite d’autant plus cette in- dulgence , que j'aurois pû. me difpenfer d'examiner cette matiere aufli fcrupuleufement que je l’ai fait , fans me faire tort par rapport à notre fujet principal. Il y a cependant dans ces matieres , bien des chofes très-fondées , qui pa- xoiffent démenties par expérience ; tel eft kpar exemple, mon Théorème du $. xvi. J'ai moi-même une pendule affez bien travaillée , qui-ne fe remonte que de quinze en quinze jours, mais qui n’a point de fufée pour régler le reflort moteur , de forte que le pendule décrit des ares beaucoup plus grands au commencement que vers lafin; cependant cette pendule avance un peu au commence- ment , & retarde fur la fin , ce qui montre en même tems l'inutilité des petites lames cycloïdiques , qui devroient régler le mouvement du pendule, & qui n’ont fait qu’aug- menter l'inégalité de la marche dans ma pendule : mais ces fortes de pendules ne doivent pas être mifes au nom- bte des bonnes pendules , qui doivent être telles, que les balancemens de leur pendule ne different pas fenfiblement entre eux, foit qu'on le détache de l’horloge, foit qu’on l'y applique. Aufli notre Théorème quadre-t-il parfaitement ET ÂASTRONOMIQUES: 107 avec les expériences faites fur l'excellente pendule de M. Graham. J'ai cependant examiné d’où pouvoit provenir l'effet contraire dans d’autres pendules, moins bonnes que celles d’un M. Graham ou d’un M. le Roi; c’eft fans dou- té, parce que le pendule n’y étant pas fi bien fufpendu, & ne faifant pas fes balancemens avec autant de liberté, demande une plus grande ation , pour être animé & en- tetenu dans fes balancemens; & fi cette a@ion n’exerce fa force fur l'échappement, qu'au moment que le pen- dule fe trouve versle milieu , fans y agir en aucune façon, pendant tout le tems que le pendule fe trouve vers les ex- trémités des arcs qu’il décrit, comme cela arrive dans les grands balancemens du pendule, on peut démontrer alors, que les balancemens en font d’autant plus accélérés ; qu’ils font plus grands. Cette raifon ne fubfifte pas dans” les bonnes pendules , parce que la force qui entretient leur marche eft fi petite, qu’elle ne fçauroit déranger fen- fiblement le mouvement du pendule , de quelque façon qu’elle agiffe fur l’échappement. C’eft-là la raifon pour-" quoi il eft fi néceffaire de bien fufpendre le pendule , ce que perfonne n’a mieux exécuté, à mon avis, que Mef- fieurs le Roi & Graham. Concluons aufli de-là , qu’il ne faut pas rejetter facilement ce que la méchanique diéte. : $. 33. J'ai donné au $. x v111 de mes premieres Re- cherches , les précautions les plus effentielles qu’on peut prendre fur mer, pour fe fervir utilement des pendules. M. Maffy en a donné quelques autres , qui paroïffent bien fondées, dans fa Piece qui a remporté le prix de 1720. Si les balancemens d’un vaifleau font trouvés être toû- Jours à peu près ifochronés entre eux , on pourra encore tirer quelque utilité du principe dont nous nous fommes fervi pour faire les obfervarions Aftronomiques fur mer, pour bien fufpendre les pendules. Car comme le point p Oi 08 RECHERCHES MECHANIQUES { Fig. 1.)ne fair que des balancemens verticaux, on pour ra ménager un genou à l'extrémité de la verge m Mn, ou CBp , pour en fufpendre la pendule, laquelle ne fera de cette façon ; que de légers balancemens verticaux , pen- dant lefquels le mouvement du pendule fera alternative ment un peu accéléré & retardé, mais d’une maniere in- fenfible , & telle que ces inégalités fe détruiront parfai- tement, $. 34. À ces remarques je n’en ajoûterai qu'une feule ; qui concerne la maniere de conftruire les pendules , telle que le changement du froid & du chaud, n’en puiffe point altérer le mouvement , n’ayant fait qu'indiquer dans ma premiere differtation, cette conftruétion au $. xvir, à la note (e). Il y a dans les Mémoires de l’Académie, diffé- rentes defcriptions fondées fur le même principe que j'ai indiqué : fi j'ajoûte la mienne , ce n’eft que parce qu’elle pourra peut-être paroître plus fimple. Puifqu'’il y a des mé- taux de différente extenfibilité > comme, par exemple, le cuivre & le fer, on n’aura qu’à fe fervir d’une fimple verge ÀC( Fig. 8.), mais chargée d’une lentille à chaque extrémité 7 &C. Si cette verge eft fuppofée balancer au- tour du point B, la partie B C d’enbas fera faite de la ma- tiere qui fouffre plus d’extenfion, & la partie d'en haut B 4 , de celle qui en fouffre moins ; & voilà toute la con- fuétion, qui a en même tems cet avantage , qu’un tel pendule 4 C fera beaucoup plus court, qu'un pendule fimple ifochrone. Voyons à préfent quelle proportion il faudra donner , foit au poids des lentilles, foit aux lon- gueurs BC & B A. Je négligerai le poids de la verge, par rapport à celui des lentilles, fimplement pour éviter la prolixité du calcul, Soit donc lextenfibilité de la matiere en BC à celle en B À , pour des longueurs égales, comme m à n; BC=4; ÆT ASTRONOMIQUES | 109: BA—b; le poids en C—= 4; le poids en A—B ;le cen- tre d’ofcillation en D : fuppofons enfuite que la partie BC s’étende en Bc, & la partie B 4 en B 4: la nature du Pro- blème demande qu'après ce changement, le centre d’of- cillation fe trouve encore en D. Soit Cr —= #;, on aura 4446 Aa=ExExe, & par conféquent BD = RE b (ae) 44 (b+ _ x —xu) B . + Pour abréger le calcul de G+a)4— (+? x Gä Xa)B L L] cette équation, on n’a qu'à traiter les petites variations infenfibles d’infiniment petites ; différentier la formule MALE S 53, en confidérant les quantités 4 & b comme ble ; A& B comme conftante ;, pofer la différen- ; : b tielle = 0 , & enfin, faire db = _ x—xda. De cette maniere , on trouvera l'équation qui fuit : ma A A—2maabAB—mabbAB—=rhBBE —2nabb AB—naab AB, à laquelle on pourra fatis- faire d’une infinité de manieres. Si l’on fuppofoit m—=2n;BC=BA,; on trouveroît É— TT , qui marque que leæoids de la lentille d'en bas, devroit être préfque le double de celui de la lei d’en haut. Dans les Mémoires de l'Académie, pour l’année 1741 ,pag. 366, il eft dir que la proportion demaäna été obfervée pour le cuivre & le fer, comme 17 à 10,& faifant pour cette RECPETROR encore 4 — b,on trouvera A — JS45 B 5) ouenviron =>: , & toute la longueur du pen- dule ÆCfera de 203 ee » pour battre les fecondes. $. 35. Je n’ai rien à ajoûter aux méthodes Aftronomi- ques , que j'ai données dans mes Recherches , ayant oi sr0o7 RecHERCHES MEcHANIQUES confidéré toutes les citconftances où l’on peut fe trouverz & donné pour chacune, la méthode qui peut convenir le: mieux, & ayant marqué outre cela , pour chaque métho-: de, le choix qu'il faut faire des aftres, de leur poftion , & du moment de l’obfervation ; pour'en déterminer l’heure- avec le plus d’exa@itude. Je profiterai feulement de cette : occafion ; pour rendre à M. de Maupertuis, la juftice que je lui dois à ce fujet. Je n’avois pas encore vû fa nouvelle Aftronomie Nautique, quand j'envoyai ma Piece à l’Aca- démie , quoique publiée l’année précédente, où j'ai trou« véenfuite’ que cet illuftre Sçavant avoit déja expofé avant: moi la méthode que j'ai donnée au $. Lx1, pour derniere’ reflource , lorfque latourmente feroit fi violente , qu’il fût abfolument impofible de tirer le moindre fecours d'aucun inftrument, pour faire des obfervations. Il eft jufte que je m'acquite ici envers M. de Maupertuis , de ce que j'au- rois fait la premiere fois, fi j’avois déja eu alors connoif- fänce de fon bel Ouvrage. Pnæ de 174$. Planche I Page n0 Palsres Manor Pb ns Prix de 1745. Planche I. Page 10 | Priv de 174$. Planche I Pape no : MEDITATIONES IN QUÆSTIONEM AB ILLUSTRISSIMA ACADEMIA REGIA PARIS. SCIENTIARUM; Pro anno 1747. cum Premio duplicato ——— PROPOSITAM. Quibufnam obfervationibus mari, tam interdiu quam noîtu ,1temque durante crepufculo verum temporis momentum commodiffimé © certiffimè determinari queat ? Arbor non uno flernitur ittu. MEDITATIONES 113 RER | TS 9 LE SW DD RÉPÉTÉ oint De np selNen Sun tee Co MS NE UNIS ERNST a EU) EE MEME ae Yes UN 2033 2 5 5 5 à Ode nn de Bern don Bo BV on Sn IS Vo o MoBn 8 Dr nn on De Be Bon bo nee ll MEDITATIONES IN QUÆSTIONEM AB ILLUSTRISSIMA ACADEMIA REGIA PARIS. SCIENTIARUM; Pro anno 1747. cum Præmio duplicato PROPOSITAM, Quibufnam obférvationibus mari , tam interdiu quäm noëu, itemque durante crepufculo verum temporis momentum commodiffimè &° certiffimè determinari queat ? Arbor non uno ffernitur ittu. É EXPLICATIO INSTITUTI. SL x TE UAM VIS aceurata hujus quæftionis nd #%1] folutio non parüm ad inyentionem lon- 2 gitudinis conferre videatur, quoniam RE rer] ex difcrimine temporum in diverfis lo- RCE Lit + 2 . . . . * cis fimul obfervatorum differentia inter eorum Jongitudines aptiflimè concluditur; tamen hæc quæftio , etiam remoto hoc fummo perfe@tionis gradu , in Prix, 1 747: 114 MEDITATIONES MECHANICEÆ omni navigatione non folùm eft utiliflima, fed etiam ma- ximè neceffaria, nihil enim in navi fufcipitur, quod qui- dem ad ejus curfum pertineat , quin plurimüm interfit ve- rum temporis momentum noffe , quo id fatum fit. Verùm faperfluum foret hic dignitarem & utilitatemiftius quæftio- nis collaudare velle , cm ipfa Academia Repia , repeti- tà ejus propofitione , fimul fummum ejus ufum declaret. $. 2. Cùm tempus à meridie cujufque diei, vel à media noéte menfurari ac numerari foleat , pater in navi quando temporis momentum quæritur , numerum horarum ac mi- nutorum defiderari , quæ vel à meridie vel à media note ejus loci , ubi navis tunc verfatur , fint elapfa. Cm enim Academia tempus non per horologia definire jubeat , fed per folas obfervationes , perfpicuum eftnon requiri menfu- ram durationis à quopiam temporis momento cognito ; fed verum tempus Aflronomicum quod obfervationes pro: eo loco & tempore exhibeant ; vel quod horologium fo- lare, fiquidem in ufum adhiberi poffer, effet indicaturum. $.3. Si quidem navis vel quiefcerer, vel fub eodem me- ridiano progrederetur, non aliud intercederet difcrimen inter menfuram temporis reverà præterlapfi & temporis Aftronomici, nifi quod ex æquatione temporis nafceretur. Sin autem navis Continud fecundüm Îongitudinem pro- moveatur , manifeftum eft , hos duos temporis menfuran- di modos , inter fe plurimüm difcrepare poffe. Sin enim fieri pofiet , ut navis 24 horarum totum terræ ambitum conficeret, folemque conftanterin meridiano conftitutum afpiceret; Aftronomicè tempus menfurando. perpetuus deprehenderetur meridies , quotcumque etiam horæ præ- terlabantur. $. 4. Triplicem igitur in navigatione temporis menfu- ram conftitui oportet, quarum prima in æquabili temporis defluxu confiftit, fecundüm quam, verbi gratià, horz ET ASTRONOMICÆ. 115$ quæ à momento , quo navis portu eft egrefla ad quodvis momentum datum reverà fint elapfæ , numerantur. Se- cundus tempus menfurandi modus ad meridiem ejus diei ; quo hora petitur , fpeétat ; eoque quæritur quot horæ ab eo momento, quo meridies proximè præcedens fuit ob- {ervatus, euxerint: etiamfiinterea navis firum fecundüm longirudinem mutaverit. Tertius autem tempus metiendi modus, dinumerat horas , quæ ab eo momento, in quod meridies fub eo meridiano , ubi navis jam verfatur, incidit, font præterlapfz. $. $. Trium horum tempus defcribendi modorum, pri- mus quamquam folus, veram temporis notionem præbet, hic tamen non attenditur, quoniam exquifitiffima horolo- gia requirit, neque per folas Obfervationes cœleftes infti- tui poteft , fi quidem obfervationes eclipfium excipiamus. Interim tamen vera temporis duratio ex tempore per fe- cundum vel tertium modum definito concludi poteft. Si intervallum conftet, quo navis fecundüm longitudinem interea proceflerit. Tempus enim quod differentiæ longi- tudinum refpondet , tempori obfervaro vel additum vel demtum , dabit verum temporis intervallum. 5. 6. Hicigitur mihi tantüm ad fecundum ac terrium temporis aflignandi modum erit refpiciendum : qui qui- dem duo modi plerumque parüm à fe invicem difcrepa- bunt , nifi forte navis propè alterutrum polum verfetur , ubi brevi temporis fpatio fatis magna lohgitudinis mutatio fieri poteft. Præter hunc cafum bini ifti modi, etfi funt di- verf , tamen non difficulrer alter ad alterum reduci, fic- que inftar unius confiderari poterunt. Æftimatio enim iti- neris à ngve confeéti , jam ed ufque perfeéta videtur, ut quantum navis aliquot faltem horarum fpatio vel longitu- dinem vel latitudinem immutaverit fine perceptibili erro- re aflignari queat. D P i 116 MEDITATIONES MECHANICÆ $. 7. Obfervationes autem per fe tempus tertio tantümi modo oftendunt , in quovis enim loco, ubicumque navis conftiterit : afpeëtus cœli perpetud eam horam defignat, quæ à meridie ejufdem loci numeratur. Quando ergo na- vis ab eo tempore quo verus meridies fuit obfervatus , ad aliam longitudinem pervenerit, tum tempus differentiæ longitudinum debitum tempori tertio modo affignata ad- di vel demi debet , ut obtineatur menfura temporis fecun- do modo defcripti.-Facilè autem perfpicitur , etiamfi in æftimatione differentiæ longitudinum haud levis error fue- rit commiflus, tamen hinc temporis determinationem non fenfbiliter perturbari. $. 8. Quæftione ergo ad detérminationem temporis teri tio modo fumti perdu&tà, definiendum eft, cujufmodi ob= fervationibus , ad hoc præftandum , uti conveniat. Atque hic quidem ftatim pleraque obfervationum genera , quæ in continent inftitui folent , hinc excludi debent. In mari enim neque tranfitus aftri per meridianum , neque per da- tumi vetticalem obfervari poteft, neque eas obfervationes inftituere licet quæ exattiflimum horologium requirunts " Relinquuntur ergo potiffimüm folæ obfervationes altitu« dinum , quibus proinde in hôc negotio tantüm utar. $. 9. Hic igitur aflumo ejufmodi jam inventa effe inftru- menta#, quibus tam folis altitudo interdiu , quam ftella- rum altitudines noëétu fatis accuratè obfervari queant. Cüm enim hæc ipfa quæftio jam fit abilluftr. Academia propofita, atque hac occafone plura eximia inftrumenta altitudinibus obfervandis apta fint excogitata , temerarium videri poflit hoc negotium denud fufcipere. Interim ta- men ne ullam officii partem deferuifle videar, quædam inftrumenta hîc defcribam , quæ forte ad præfens inftitu- tum optato fucceflu haud carebunt. $. 10. Quoniam denique non eo folùm momento, quo ET ASTRONOMICEÆ. 117 obfervatio inftituitur , temporis aflignatio defideratur, fed præcipuè ut rempora tam antecedentia quàm confequen- tia , modo intervallum non fit nimis magnum , hoc modo emendentur ; necefle eft, ut hujufmodi brevia temporis fpatia fatis exaétè menfurari queant ; quod vel clepfydra- rum vel horologiorum portatilium vel aliorum nuper de- müm inventorum inftrumentorum beneficio , fatis exaétè fieri poffe hic affumo , neque in hoc argumento ampliùs evolvendo elaborabo. $. 11. Navemigitur jam ejufmodi inftrumentis inftruc- tam elfe pono , quibus faltem non nimis magna temporis intervalla accuratè fecundüm horas & minuta demetiri liceat : tum verd pariter pono, ex curfu navis pariter pro exiguis temporis intervallis, variationem tam longitudinis quam latitudinis fatis exaëtè afignari pole ; etiamfi hoc pro majoribus temporis intervallis fine enormi errore fieri non poffe concedam, fimiliter fcilicet modo , quoin terra variatio longitudinis ac latitudinis in parvis diftantiis mul- to accuratiùs ex itineris æflimatione concludi porteft, quam ex obfervationibus aftronomicis, cùm tamen fine his in majoribus diftantiis nihil certi cognofci queat. #. 12. His igitur circumftantiis perpenfis , primüm monftrabo , quemadmodüm quovis tempore cujufque fi- deris altitudo idoneorum inftrumentorum ope obfervari debeat : quod argumentum cèm jam fit uberrimè ab aliis pertraétatum , brevitati maximè fludebo, atque imprimis tantüm defcriptioni quorundam novorum inftrumento- tum, quæ forte in mari utilitate non carebunt , operam dabo. Deinde plures modos defcribam ex obfervatione altitudinum veram diei noëtifve horam colligendi ; quod negotium cùm pariter ab alïs ferè exhauftum videatur, quæftioni illuftriffimæ Academiæ me pleniàs fatisfau- um çonfido, fi feleétum ejufmodi obfervationum, quibus Pi 118 MEDITATIONES MECHANICÆ quàm minimo errore fcopus obtineatur , indicavero , fi- mulque quando aliquot obfervationibus fucceflivè infti- tuendis utar, oftendero , quomodà variationis , quam na- vis interea tam in longitudine quam in latitudine fubiit , ratio in calculo fit habenda. Cüm enim hæc mutabilitas propria fir obfervatorum in mari futuantium illuftr. Aca- demiam ad hanc potiflimüm circumftantiam refpexifle , mihi quidem videtur. LT De Obfervatione Alrirudinum. SAS: UM illuftriflima Academia expreflis verbis trium temporum diei, crepufculi, ac noétis mentionem faciat , ab obfervationibus interdiu inftituen- dis initium faciam : quæ ab obfervationibus noëurnis hoc præcipuè difcrepant , quo in illis horizon fit confpicuus, in his vero non item, ex quo fonte quoque difcrimen inter obfervationes , durante crepufculo & noëtu faétas me re@tè petere arbitror, cùm in crepufculo confpeëtus horizontis, etiam nunc in obfervationibus adhiberi queat: præterquam quod pauciflima aftra in crepufculis appa- reant. $. 14. Die autem præter folem nullum aliud fidus fe oculis noftris offert , ex cujus obfervatione horam diei de- finire queamus , & hanc ob rem omnes obfervationes diur- nas ad folum folem reftringam , qui nobis etiam certifli- mam ac facillimam viam temporis dignofcendi fuggerit. Etiamfi enim , quando Luna interdiufuper horizonte cer- nitur , tamen ob curfum ejus nondum fatis exaëtè cogni- tum , tum ver ob ejus parallaxin maximè incertam, ejus ET ASTRONOMICE. 119 obfervationes ad tempus cognofcendum adhibere nolim, $. 15. Solis autem altitudines commodiflimè Qua- drante Anglico obfervari videntur , tum qudd nautæ huic inftrumento jam fatis fint affueti, tum quia non opus eft, ut collimatio versüs ipfum folem fiat, fed ad ejus imagi- nem per foraminulum projeétam refpicitur , cum qua ob- fervatione dire&tio inftrumenti horizontem versüs non dif- ficulter conjungitur. Neque tamen refragabor, fi aliud inftrumentum, vel eorum, quæ jam funt propofita, vel etiam eorum que ipfe defcribam , ad folis altitudines ob- fervandas magis aptum videatur, quin id in locum Qua- drantis Anglici fubftituatur. $. 16. Si tali inftrumento altitudo centri folis intra unum minutum primum certa haberi poffet eam non fo- 1m per refraétiones, fed etiam per parallaxin corrigi ne- ceffe foret ; fed quia in mari hujufmodi accuratio vix fpe- rari poteft, præeclarumque nobifcum agitur , fi in‘altitudi- ne folis non ultra $ minuta erremus, parallaxin tuto ne- gligere & refraétiones quoque, nifi fol propè horizontem verfetur, præetermittere licebit : fcilicet, quamdiu refraétio infra unum duove minuta prima fübliftit, fuficiet nimi- rüm in tabulis refraétionum minuta fecunda penitüs omit- ti, ne calculus deinceps inftituendus præter neceflitatem moleftior reddatur,quodin obfervationibus ftellarum æquè notatum velim. $. 17. Solifque ortus & occafus quoties licuerit, dili- genter obfervetur; fic enim adhibità refra@ionum tabulä, multo accuratits altitudo centri folis vel fupra vel infra horizontem affignari poterit, Quin etiam hinc non diffi- culter momentum colligetur, quo altitudo centri folis re- verà fuerit nulla. Hæ vero obfervationes non folum fine ullis ferè inftramentis expediri poffunt, fed etiam adhiberi folent ad declinationem magnetis obferyvandam , aliofque 120 MEDITATIONES MECHANICÆ ufus nauticos ; quamobrem eas eo minùs negligi conve: niet. $.18. Durante crepufculo Planetæ, potiflimüm Venus & Jupiter,cum maximè lucidis ftellis fixis vifui fe offerunt. Quamquam autem hoc tempore horizontem adhuc con- fpicere licet ,tamen vereor ne ufus Quadrantis Anglici nimis evadat moleflus & incertus. Cüm enim hoc cafu dioptris uti, eaque versüs ftellam dirigere oporteat eodem momento, quo versùs horizontem collimatur ; neque unus obfervator , nifi fit exercitatiflimus , ftellaque propè horizontem hæreat, huic duplici collimationi par vides tur , neque duo fe mutuo adjuvare poterunt. $. 19. Quoniamigitur ad obfervationes noëturnas alia inftrumenta requiruntur, quæ fine refpeëtu ad horizontem habito , altitudines fiderum indicent ; iifdem his inftrus mentis quoque in crepufculo uti præftabit, horizontifque intuitum , folis obfervationibus folaribus refervari, nifi forte alia inftrumenta ad folem magis videantur accom- modata. Remotâ itaque horizontis contemplatione, ve- niam peto, ut obfervationes crepufculares & noéturnas in eandem claffem mihi referre liceat. $. 20. Pervenio itaque ad obfervationes noëturnas, quæ non folùm ob horizontis defe&tum alium obfervandi mo dum poftulant, fed etiamfi horizontem difcernere liceret, tamen fumma difiicultas duplicem collimationem fimul inftituendi hunc modum inutilem redderet, chm autem pendulorum ufus in mari penitès ceflet, æquilibrium flui- dorum , fi quidem fatis fit promtum, certiflimè verum ho- sizontis fitum indicare videtur , ad quem deinceps fide- rum loca referuntur. At verd infuper necefle eft ut hæc relatio fecundüm plana verticalia fiat, quamobrem quo- cumque inftrumento utamur , id proximè in plano verti- cali fuftineri necefle ef. \ $, 21, ET ASTRONOMICEÆ. 121 $. 21. Quocumque autem inftrumento ad obfervan- dam ftellæ cujufdam altitudinem utamur, primd dire@io, in qua ftella exiftit , indagari debet, quæ vel dioptris vel Tubo Aftronomico explorari folet. Etfi autem lentes cryftallinæ objeéta diftindiüs reprefentant , tamen earum fus fuper mari ferè nullus eff, quia ob motum continuum, ftellam quam forte per tubum confpeximus, confeftim amitrimus , neque eam facilè recuperare valemus. Quin etiam in obfervationibus marinis ftellas infigniores adhi- beri convenit, quarum loca in cœlo jam exadtiflimè fint determinata , eas autem nudis oculis fatis diftinétè cerne- re licet, ut ob hanc caufam tubis facilè carere queamus. $. 22. Ad collimandum ergo inftrumenta binis dioptris nudis inftruéta, reliquis quæ tubis funt munita, longè an- tecedunt, ac altera quidem dioptra exiguo foraminulo pertufa fit, per quod ftella afpiciatur. Altera vero dioptra fatis amplam habeat aperturam , quo ftella non facilè ex illa difpareat , ftatimque in eam reduci queat. Duo autem fila tenuiffima in hac apertura firmata fua interfeétione ejus centrum defignent , in qua fi ftella appareat, collimatio ritè fit inftituta. $. 23. Eo ergo momento , quo ftella in decuffatione filorum iftorum confpicitur , inclinatio iftius lineæ , que ab oculo ad ftellam dirigirur ad reétam vertiçalem invefti- gari debet ; quod ope quadrantis, cujus limbus accuratè in gradus & minuta fit divifus, commodiflimé præftatur. Si enim planum hujus quadrantis fitum verticalem teneat, in coque linea verticalis vel pendulo vel alio quovifmodo indicetur angulus, quem linea direétionis cum hae linea verticali efficit, diftantiam ftellæ à zenith metietur, fi quidem reéta dioptras jungens radio quadrantis, qui per divifionis initium ducitur , fuerit parallela. $. 24. Cum enim ad hanc ôbfervationem duæ res Prix. 1747: Q Fig. I, woz MEDITATIONES MECHANICÆ requirantur, pofitio , fajlicet, quadrantis in fitu vertical, & in co direétio gravitatis naturalis, feu pofitio rez ad horizontem perpendicularis, quemadmodüm utraque ob- tineri queat , feorfim perpendam. Primd igitur affumam totum negotium in fitu quadrantis verticali effe pofitum, lineamque verticalem nihil habere dificultatis. Quadrans autem, fi liberè fufpendatur, centrumque gravitatis in ipfo fuo plano fitum habeat, fponte fe ad fitum verticale componet:, & ofcillationes:, quæ ipfi à motu navis in=- ducuntur, moderatione ejus à quo tenetur, non difficulter,: fi non penitès coercentur , tamen ad fummam exiguitatem redigentur.…. $. 25. Tametfi autem in hoc ertor quidam levis com mittitur , planumque quadrantis verticale putatur, cm tamen aliquantifper declinet , error tamen qui inde in ob- fervationem altirudinis redundat , omninà erit impercep- tibilis, neque refpe@u aliorum errorum , qui evitari ne- queunt, in computum duci meretur. Interim tamen & hic error ex iis, quæ mox fum traditurus facilè tolletur, cùm, pluribus obfervationibus inflituendis, ea fit veriflima , quæ maximam ftellæ diftantiam à zenith oftendat. Demonftra- bo enim, quo magis planum quadrantis à fitu verticali declinet, ed minorem diftantiam ftellæ à zenith depre= hendi debere. : $. 26. Utigitur definiam, quantüm obfervatio altitu« dinis à declinatione plani quadrantis turbetur cujus per: turbationis cognitio ad ejus emendationem maximi eft momenti; confiderabo primüm quadrantem CB, in fitu verticali ; fitque 4 C reéta ab oculo ad ftellam dire&ta, in quadrante autem fit CP; verticalis, erit angulus /CP, menfura vera diftantiæ ftellæ à zenith ; ponamus hunc an<: gulum ÆCP— 9, ut eum cum fimili angulo , quem fitus quadrantis inclinatus “indiçare reperietur, comparare queamus. - ET ASTRONOMICEÆ,. : 123 $. 27. Concipiamus nunc quadrantem circa reftam #0, que eft fixa, aliquantulùm inclinari, atque in 4C4 pervenire, in quo.cumverticahi angulum faciat BCE —8, Quia jam in hocplano 4C% linea verticalis non datur, pendulum à gravitate in eo fitum Cp eligere cogetur, qui à directione verticalis vera , minimè difcreper. 1fte autem fitus cognofcetur, fi ex punto P , in planum C4 nor- malis ducatur Po, tum enim perfpicuum eft reétam Cp per punétum hoc o tranfire debere ; atque in. hoc ftatu angulus 4Cp; difantiam ftellæ à zenith indicare puta- nor . 28. Ad huncigitur angulum A Cp inveftigandum ex P ad AC quæ eft communis utriufque plani interfeétio , ducarur normalis PO , ex eodemque punéto Q ad ean- dem 4 C'in plano CL educatur normalis Q o, in quam ex P , perpendiculariter du&ta P 0, fimul in planum 4C& erit normalis. Invento autem hoc punéto'o, ex triangulo CQo, ad O reétangulo, angulus quefitus 4 Cp, inno- tefcet. | $. 29. Sit radius quadrantis AC = BC: , qui fimul pro finu toto habeatur , erit ob angulum 4CP=9, reéta PO = fin. @,& C Q —=cof. @. Deinde angulus PO, quia metitur inclinationem planorumi CB & ACb,erit=Q, unde in triangulo © o P ad o reétangulo , fiet Po= PO fin. 0 = fin. 8 fin. o,& 9 o— PQ cof. 4=cof hfin. ç. Cm jam © 3 g exprimat tangentem anguli 4 Cp, erit rang. À Cp = cn = cof. 0 1ang. ®, confequenter tangens.4 CP fe habebitad rang. 4 Cp, ut finus totus ad cofinum anguli inclinationis utriufque plani. $- 30. Hinc patet duobus cafibus errorem feu difcri- men inter angulos 4CP & Æ.Cp fore nullum , quantum- vis etiam fuerit inclinatio plani quadrantis magna. Sienim Qi 124 MEDITATIONES MecHANIcÆ fitangulus 4 C P=@=—o , quod fit fi ftella in zenith ob- fervetur, angulus Cp pariter erit —o : atque fi fit an- gulus 4CP= 90°, feu rang. ? — Go , invenitur quoque tang. À Cp = © ,ideoque 4Cp= 90°, quare fi ftella in horizonte verfetur , inclinatio quadrantis pariter nullura errorem producit. Ex quibus jam liquet errorem fore ma: jorem quo magis ftella tam à zenith quam ab horizonte fimul fuerit remota. $.31. Cùm igitur angulus 4 Cp minor fit angulo ACP, ponatur hic angulus ACp=—=@ — 2 ,ita ut z fit error ex inclinatione quadrantis oriundus , eritque tang.(®—2 ) Mar. x Es ___ ang. ®—tang.z —= cof. À rang. ©: at eft rang. (®— 2) = Eure : ___ (1 cof. à) rang. . = Unde reperietur rang. z = Per Ma eu” Si jam angu- lus inclinationis 0 fit valdè parvus ,affumere licetcof.ÿ=—x LE ie 3 AE 0 0 rang. ® ane :00. Eritque rang. z — Te NCRES feu ob 88 minimum, erit ang. z —+ 06 fin.@ cof.g=—= = 06 fin. 2 @. Sicque error erit maximus dinde 2®=—=90°. Seu quando elevatio fideris fupra horizontem eft 45°. $. 32. Generaliter autem, quantacunque fit inclina- tio 8, valor ipfius @ reperietur , cui maximus error refpon- (1— cof. 6 ) tang. @ Es 2 feu , ob 8 conftans, hujus rang. ® _ (i—cof.t rang @°) d tang.@ ee differentiale, quod eft — PR nihilo æquale ftatuatur , unde fit rang. ® — EE ; error- que 2 maximus huic angulo 4CP = 9 refpondens, defi- (1—cof. 8) : V cof. 8 der,fi fraétionis = nietur ex hac æquatione, rang. 2 = ÉÆ 1 cof. 8 — fn. LE = 2 1 2 Vocol. (] Vo ob = fin. = 87. $. 33- Hinc ergo pro ae quadrantis inclinatione maxima aberratio , quæ in obferyationem irrepere potef , ÉT ASTRONOMICE. 145 détient poterir. Ponamus ergo planum quadrantis à plano verticali angulo 2° declinari , ita ut fitÿ— 2° &* = —1°, reperietur / rang. ® = 10.0001323, & angulus ?—45° 0! 31”,8& lrang.z— 6.4438429. Sicque error 2=— $7/, nequidem ad unum minutum primüm exfurget. Quando aurem quadransinter ofcillandum longiùs à pla- no verticali digreditur , angulufque 4 Cp, dum ftella in interfeétione filorum confpicitur continud mutatur , ita ut ariatio percipi queat, tum maximus angulus, qui quidem deprehenditur ,veram diftantiam ftellæ à zenith indicabit. : Interim tamen apparet, nifi inclinatio ultra duos gradus afcendat, ne hâc quidem præcautione opus effe, fed alti- - tudinem ftellæ fatis exaétè indicari. $. 34. His de fitu quadrantis in fitu verticali notatis, in id eft incumbendum, ut in plano quadrantis ipfa linea verticalis exibeatur , quod in terra continenti quidem commodiflime ope penduli præftatur. Verum in mari ufum pendulorum prorsùs repudiare cogimur ; eorumque loco ejufmodi inftrumenta adhiberi folent, quæ æquilibrio flui- dorum innixa , verum horizontis planum exhibeant. Ex quo genere jam plura præclara extant inftrumenta , alibi defcripta , quæ ad meum ufum adhibere non dubitabo , fi forte ea, quæ hic fum propoliturus , minus apta videan- fur s Fig. IL. 126 MEDITATIONES MECcHANICÆ TAL Defcriptio Quadrantis Nauricr. : $.3 Sd ONFICIATUR primo quadrans 4CB more folito ex metallo vel ligno duriflimo, quod à varia tempeftate non incurvetur ; ubique autem materiam homogeneam adhiberi conveniet, ut à dilatatio- ne & contraétione quæ à mutato.caloris gradu, accidit fi- gura non diftorqueatur. Limbus vero 4B, fit diligentiffimè in gtadus & quina vel dena minuta prima divifus, quæ por- ro per lineas diagonales in fingula minuta fubdividantur. Cujufmodi divifo pro magnitudine quadrantis vel magis vel minus diftinétè exprimi- poterit. $. 36. Magnitudinem hujus quadrantis majorem non efle convenit, quàm ut ab uno homine commodè in ma- nibus teneri ac traétari pofit. Cùm igiturfuftentaculo non fit opus, quo aliàs pondus valdè augetur , radius hujus quadrantis duos ferè pedes longum vel faltem fefquipeda- lem fieri licebit : quæ magnitudo jam divifionis fatis mi- nutæ eft capax, ita ut fingula ferè minuta prima difcerni -queant ; fiquidem lineis tranfverfim du&tis uti libeat. Infrà autem patebit, ne hâc quidem divifione opus efle, fed fuficere fi integri tantm gradus exprimantur. S. 37. Dioptræ 4 a & Ce modd antè defcriptæ fuper radio 4 C, conftituantur, earumque diftantia bipedalis feu fefquipedalis ad collimandum fatis erit idonea , ut quævis ftella per eas non diffculter detegi, fed etiam moderatio- ne quadrantis in interfeétionem filorum reduci pofit, fi forte pondus quadrantis obfervatori nimis grave videatur, quadrans ex çentro C, fufpendi poterit, ita tamen ut ET ASTRONOMICEÆ. 127 manibus retineatur ac dirigatur ; hoc enim modo Obfer- vator multùm fublevabitur.- $. 38. Venio nunc ad præcipuam quadrantis partem, pendulum , fcilicet, CG H, quod circa centrum C liberri- mè mobile, in fiflura G I habeat filum tenuiflimum ten- fam , quod in limbo quadrantis gradus & minuta diftin@tè indicet.- Hoc igitur pendulum fi perpetud in fitu verticali perfifterer , ftatim veram ftellæ diftantiam à zenith patefa- ceret : fed in mari ob mutationem navis continuam , pene dulum vix unquam in fitu verticali acquiefcet. $. 39. Marginem hujus penduli in m & » , non incon= gruum erit replicare , ut limbum quadrantis excipiat , ita tâmen ut liberrimè juxta eum moveri poffit, fiquidem qua- drans teneat {irum verticalem. Hinc enim Obfervator fta- tim fentiet utrim quadrans in plano verticali verfetur , an notabiliter declinet, quo cafu non difficulter in fitum ver- - ticalem proximè faltem dirigetur; quantim quidem ad certitudinem obfervationum requiritur. $- 40. Parti inferiori*hujus penduli , feu regulæ mobi- lis CG , in G conneëtarur tubus vitreus E F, crenæ arcus Jignei immiflus , quæ modo mox indicando fit divifa. Tu- busifte vitreus autem aliquantulùm fit incurvatus , & par- tibus utrinque æqualibus G E & GFcum regula ad angu- los reétos firmiflimè conjunétus, fubfcudibus, fcilicet, EH _& FH, ut motum regulæ perfe@iffimè fequatur, & cum ea unum continuum pendulum conftituat. $.41.Tubus ifte vitreus aquâ feu alio liquore magis ido- neo repleatur , reliétà exiguâ bullulä aëreä, & utrinque in E & F obftruatur , ut-aëri nullus aditus pateat. Hæc ergo bullula K, in omni tubi fitu jugiter fupremum occupabit locum, & tametfi ipfa per theoriam , motum quemdam ofcillatorium recipere debet , tamen effci‘poteft , ut eum ferè fingulis momentis amittat,ymotuque tubi non obftante, 128 MEDITATIONES MECHANICÆ nifi vehementer concuriatur, perpetuo in punéto tubi fums mo hæreat; qui effeétus, quemadmodüm promptiflimè produci queat, deinceps exponam. $. 42. Curvatura tubi hujus EF fit, quantüm fieri po- teft, circularis, referatque arcum circuli , cujus centrum fitum fit alicubi in reéta CGH, produéta, puta in O ; quod punétum quo longiùs diftet, eo majores evadent gradus in arcu E F, Quare fi radius GO decies major accipiatur quäm radius quadrantis C, fingula minuta prima curva- turæ tubi fatis diftinétè exprimi poterunt. Nihil autem ob- flat , quo minus tubo huic E F longitudo arcui quadrantis APB ferè æqualis tribuatur , unde curvatura tubi 9 gradus compleétetur ; ita ut uterque femiflis GE & GF4 : gradus capiat , quæ amplitudo pro motu penduli ofcillatorio fu£- ficiens videtur. $. 43. Cùm autem nimis fit dificiletubumwitreumE£ EF, tam exatè juxta arcum circuli, cujus centrum fit in dato punéto O, incurvare, ad præfens inftitutum fuiciet, dum modo proximè ejufmodi habuerit figuram. Hinc oporte- bit divifionem hujus tubi non geometricè, fed praëticè per obfervationes abfolvere in loco , fcilicet, quieto , ante- quam in navim confcendatur. Neque ergo formatio iftius tubi , neque ejus divifio ullà amplius premetur dificul- tate, $. 44. Qudd fi autem quadrans 4CB, cum pendulo CIGE HF modo expofito fuerit conftruêtus , evidens eft quemadmodüm ejus ope altitudo ftellæ cujufvis cognofci queat. Dioptris enim Z a & Cc versüs ftellam direëtis, co momento quo ftella in interfeétione filorum apparet , no- tetur tam amplitudo arcûs 2 G, in limbo quadrantis, quem filum GI abfcindit, quam fitus bullulæ aereæ K, & menfu- ra arcüs G K in gradibus & minutis inventa , fubtrahatur ab arcu 4G, fiquidem bullula in parte GE hæreat, fin autem ÆT ASTRONOMICÉ, : 129 æutem fuerit in arcu G F, ad arcum /G addatur , ficque prodibit diftantia ftellæ à zenith. $.45.Concipiatur enim duéta vera linea verticalis CP ,ita utangulus CP metiatur diftantiam ftellæ à zenith‘jam quia bulla K in tubo locum fupremumoccupat , erit reéta O K quoque verticalis , ideoque angulus GO K , quem arcus GK indicat , æqualis erit angulo G CP. Quamobrem an- gulus 4 CP, feu vera diftantia à zenith obtinebitur , fi ab angulo 4 CG quem pendulum in limbo quadrantis abfcin- dit, fubtrahatur angulus G O K quem fitus bullæ indicat. $. 46. Qud autem hæc faciliüs expediri queant, pen- dulum CG cochleâ munitum effe conveniet , quà pendu- lum ad limbum quadrantis firmari , ejufque motus ofcilla- torius penitùs coerceri queat. Adigatur autem hæc co- chlea tum, quando pendulum non multüm à fitu verticali CP , @um ftella in interfeétione dioptræ confpicitur , dif. tare æftimabitur : ut deinceps ad folum fitum bullæ in tu: bo E Frefpicere fufficiat. $. 47. Vel cùm altitudo fideris jam ad aliquot tantüm gradus fuerit explorata , pendulum ope cochlez firmetur in divifione quadam infigniori limbi, quâ integer gradus indicetur. Quo faéto minifter adftans feduld bullam in tu- bo E Finfpiciat , ut fimul atque Obfervator fignum dede- rit, ftellam in interfeétione filorum contueri , locum bullæ exaétè aflignare poflit. Tum enim numerus minu- torum arcûs G K abarcu À G jam antè cognito , vel fub- tradus , vel ad eum additus, præbebit diftantiam ftelle à zenith. Hinc intelligitur fuficere , fi limbus quadrantis * tantèm in integros gradus dividatur , atque ulteriori divi- fione facilè jam carere poterimus. $. 48. Ad has autem obfervationes accuratè inftituen- das exercitio frequenti opus erit ; quo Obfervator fibi fa- cilè habitum comparabit quadraptem hunc, fi modg Prix. 1747» R 130. MEptrTaATiIoNEs MEcHANICÆ idoneo fuerit fufpenfus , commode traétandi, & quantum fieri poteft , ejus motus violentiores compefcendi. Neque mihi quidem videtur ad hoc negotium tantm folertiæ réquiri 'quantèm vulgo traétatio Quadrantis Anglici pof- tulare folet. ‘ $. 49. Quando enim Obfervator pendulum jam in fitu CG, à verticali CP, non multüm remoto firmaverit, tum pendulum alio motu , nifi qui fit ipfi quadranti commu- nis concitari non poterit; hunc autem Obfervator obfe- quendo , ita temperare poterit , ut fiat lentifflimus , præci- puè quando ftellam in interfe@ione filorum confpicit. Hocque modo ipfa bulla aërea non fenfibiliter movebitur, ? atque famulus feu focius Obfervatoris non difficulter, mo- ” mento imperato , locum bullæ dignofcer. $. so. Non folàm autem hæc motüs penduli imminu- tio ideo eft neceffaria, quo locus bullæ certiüs notariqueat, fed etiam bulla ed accuratiüs fe in locum tubi fupremum recipit , multoque minus ultro citroque vagabitur, quo tardior fuerit motus. Hifque circumftantiis probè perpen- fis , non dubito quin ope hujus quadrantis, dummodo Ob- fervator fibi modicam folertiam acquifiverit, cujufque ftellæ vera altitudo tam accuratè obfervari pollit , ut error - vix ultra minutum exfurgat, & majorem quidem certitu- dinis gradum fuper mari expettare non licer. $.5 1. Quamquam autem hoc modoincertitudo, quæ à motu bullæ ofcillatorio ejufve fegnitie proficifcitur, quoad maximam partem tollitur, tamen ftruétura quoque tubi talis eMici poteft ; ut bulla quàm promtiflimè, fitum fupre- mum affeétet ,'ibique perfeveret. Hoc, fcilicer;, præftabi- - tur, fi tubusnon nimis fiat anguftus, bullæque modica quan- : titas relinquatur, quæ res ut fint ad fcopum maximè accom- modatæ,cüm judicio, tum experientià à folerti artifice non dificulrer definientur; quare defcriptioni hujusinftrumenti ET ASTRONOMICEÆ. 13% quod mihi quidem plurimis aliis ad hunc finem propofiris, palmam præripere videtur, diutiùs non immoror. I V. Deferiprio alius Quadrantis Nautici. $. s2. N ISI alix circumftantiæ impediant, quominus longitudo penduli tres pedes fuperare poffit ; tum ipf pendulo adjungi poflet barometrum G1HKL Bernoullianum, fcilicet, quod minimas mutationes mer- curii in tubo angufto KL, fatis diftin@è indicet. Cüm enim mercurius in omni fitu eandem altitudinem vertica- lem teneat, dum pendulum tantillèm inclinatur, mercu- rius intubo LK , recedet notabiliter, unde viciflim ex loco mercurii $ inclinatio penduli cognofci poffet. $. 53. Quia vero difficile foret quovis tempore veram _altitudinem Barometri cognofcere , atque receflus mercu- ti S, in tubo horizontali LK non folùm abinclinatione penduli , fed eriam à declinatione plani quadrantis prove- niat , ac præterea iffæ mutationes ob fritionem ne in terra fatis fint certæ, Barometrorum ufum ad pendula mari per- ficienda penitès rejiciendum effe arbitror. Quocirca aliam ideam ab æquilibrio tuborum communicantium defump- tam proponam ; quæ tamen illâ, quam fupra defcripfi, non parum præftantior mihi quidem videtur. $. 54. Confetto, fcilicet ,-quadrante 4 CB, modo fu- -prà defcripto, cum pendulo C1G , infra conneétatur ad angulos reétos , tabula feu regula E F ad quam firmatus fit tubus recurvus D E FH , cujus ramus D E , multo fit am- plior quàmramus FH, quem gracillum effe .convenit, ut minimæ mutationi liquoris in tubo DE , fatis magna Ri Fig, 111: "Fig. We 432 MEDITATIONES MECHANICEÆ mutatio in tubo F H refpondeat: tubus ifte liquore quodam feu argento vivo impleatur , præftoque fit obturaculum , quo tubus D E obftrui poflit, fi reponatur ne liquor ef- fluat. $. ss. Ponamus liquorenr, quando pendulum in fitw verticali pendet , in #7 & o fubfiftere , ita ut reéta mo tunx fit horizontalis. Quando autem pendulum extra fitum ver- ticalem verfatur , uti figurà reprefentatur, in tubo amplio- ri DE liquor aliquantulùm afcendet , in anguftiori verà fubfidet in », ut jam reêta mn fit horizontalis. Mutatio in: tubo ampliori hinc faëta minima , & vix perceptibilis erit , cùm mutatio in anguftiori, feu intervallum 0 fatis fit notabile, $. $ 6. Quoniam igitur reéta mn, ad veram lineam vet< ticalem CP eft normalis, angulus omn, erit æqualis an- gulo G CP, feu declinationi penduli à fitu verticali. Cùm itaque punétum o conftet ex mutatione in tubo FH, feu intervallo 6, cognofci poterit angulus om», qui ab an- gulo 4CG fubftraëtus, relinquet angulum CP veram diftantiæ ftellæ à zenith menfuram. Tantüm igitur opus eft , ut ad tubum FH divifio in gradibus & minutis adfcri- batur , quæ fingulis punétis x refpondeat , hocque aptiffi- mè à perito artifice præftabitur. $. 57. Si amplitudo tubi anguftioris FH præ ampliori DE evanefcat, ramufque FH ad bafn E F fuerit perpen< dicularis, tum intervallum # 0 erit tangens anguli omn, fi finus totus per # 0 exprimatur. Quare quo longior fuerit tubus E F, ed majora intervalla » o iifdem angutïis decli- nationum refpondebunt ; fin autem crus FH ad bafin E F inclinetur, ed magis intervalla #0 augebuntur, ficque minimæ mutationes penduli à fitu verticali fatis fenlibili ter exprimi poterunt. $. 58. Ut autem liquor promtiflimè fe femper ad ET ASTRONOMICEÆ. 133 æquilibrium componat , neque motu ofcillatorio obferva- tionem incertam reddat, rubi partem EF pariter multo ampliorem fieri conveniettubo FH. Quo amplior enim fuerit hic tubus EF, eo celeriores erunt ofcillationes at- que primo quafi mor ento extinguentur. $. 59. Pendulo ergo hac ratione inftru&o , ufus hujus quadrantis non difcrepabit à precedente. Firmato , fcili- cet, pendulo cochlei , in fitu à verticali CP parüm re- moto , fi fummitas liquoris # in tubo FH accuratè notetur eo ipfo momento, quo obfervator ftellam in interfe&ione fpeëtat , cognofcetur inde diftantia lineæ verticalis veræ CP à loco penduli GT: unde angulus quæfitus CP in- notefcet. V. Determinario Meridier. $. 60. RIMUM igitur fol certiffimus eft index tem- poris veri, quo cognito, non dificulter inde tempus medium colligitur. Tempus autem à meridie nu- merari folet , feu ab eo momento quo folis centrum per meridianum loci, in quo verfamur, tranfit : unde fi in mari meridianum dignofcere liceret, obfervatio tranfirûs folis per meridianum facillimè momentum meridiei often- derer, neque ad hoc ullà obfervatione altitudinis opus effet. $. 61. Cüm autem linea meridiana minimè conftet, verum meridiei momentum aliter definire nequit. Hinc circa meridiem cujus tempus falrem propè conftare aflu- mo ; fæpiilimè altitudo folis obfervetur , inftrumento vel confueto , vel alio quod magis idoneum videbitur, quæ R ïij 124 MEDITATIONES MECHANIC#Æ quamdiu crefcit, tempus adhuc antemeridianum indicat , fimul ac vero decrefcere incipit, pomeridianum declarat. $. 62. Eo ergo momento, quo folis altitudo crefcere definit, atque decrefcere incipit, meridies evenifle cen fendus eft. Verüm quia altitudo folis in ipfo meridie per notabile temporis intervallum infenfibiliter mutatur, atque adhibitis etiam optimis inftrumentis in obfervatione alti- tudinis error unius minuti committi poteft , hoc modo ni- , mis incertè momentum meridiei affignaretur. Interim ta- ._men hæc obfervatio maximæ folis altitudinis non ef in- _termittenda , cm ex ea, ob declinationem folis cogni- tam, elevatio poli determinetur , cujus cognitio non fo- Iüm in univerfa navigatione maximi eft momenti, fed etiam ad ipfam horam cognofcendam magnum adjumen- tum affert. $. 63. Ad tempus ergo meridiei exaëtis definiendum præftabit duabus folis altitudinibus æqualibus uti, quarum altera ante, altera poft meridiem fit fa@la , tum autem mo- mentum medium inter has duas Ron meridiem indicabit fub his conditionibus ; fi primo folis declinatio non fuerit interea immutata ; fecund fi ipfa navis interea quieverit, ac tertid fi obfervationes nullis erroribus fint in- quiniate 04 URL ten $. 64. Ante omnia igitur necefle eft, ut hoc ipfum in- tervallum temporis, inter binas obfervationes elapfi exac- : tè metiri Valeamus, quod nifi id plures horas fuperet, fieri poffe inter poftulata eft relatum. Nifi enim tempus per ali- quod faltem intervallum ope clepfydræ feu automati exac- .tè menfurari poflet , tum ipfa temporis determinatio per obfervationes omnino effet inutilis , quia non tam deter- minatio unici cujufdam momenti, fed emendatio notabi- lis cujufpiam temporis intervalli defideratur. $. 65. Quod jam ad tres antè memoratas circumftantias ET ASTRONOMICEÆ. "ET attinet, ad quas attendi oportet, fi meridiem ex duabus al- titudinibus folis æqualibus determinare velimus ; earum prima , quæ variatione folis declinationis continetur , jam fatis eft explorata, cm habeantur tabulæ æquationis meridiei ad fingulos gradus élevationis poli fupputatæ, quibus differentia veri meridiei & momenti inter obferva- tiones médii indicatur. Quando autem intervallum ob- fervationum non quatuor horas fuperat, quod aliæ quo- que rationes prohibent , ne hac quidem correëtione opus erit, cùm multo minor fit , quam errores qui in obferva- tionibus evitari nequaquam poffunt. $. 66. Altera difficultas , quæ à motu navis oritur, quæf- tioni propofitæ penitüs eft propria ; ad quam igitur remo- vendam ed majorem operam adhibebo, qudd reliqua hujufmodi obfervationum momenta in omnibus ferè ele- mentis tradi folent, hæc verd obfervationum perturbatio à motu navis oriunda nufquam fatis diligenter explicata re- periatur. Quamquam autem accuratamitineris ànavecon- fedi cognitionem inter poftulata referre non licet, tamen quantm navis intervallo aliquot horarum procefferit,fatis exactè æftimari poffe ; quantüm quidem ad horz determi- nationem opus eft, jure aflumo. $. 67. Ex æftimatione igitur itineris, quod navis inter- vallo duarum illarum obfervationum , quibus eadem folis altitudo apparuit, fatis accuratè colligi poteft, quantüm tam longitudo , quam latitudo navis interea fuerit mutata. Sienim noverimus quot milliaria anglica vel boream vel auftrum versàs abfolverit, poli elevatio totidem minutis primis vel major vel minor evafit, in hoc enim negotio mêéntem tuto, à fphæroidica terræ figura abftrahimus, quo- niäm minutiarum omiflio, horæ determinationem non turbat. : $.68. Deinde æquè facilè ex itinere æftimatio judicatur, F 2£ Vs 136 MepiTaTionrs MEcHANICÆ quantüm navis vel ortum vel occafum verfum fecundünx circulum æquatori parallelum interea fit progreffa. Ut au- tem hinc variatio longitudinis in minutis definiri poflit , elevationem poli noffe oportet, cujus autem cognitio fatis craffa ad hoc inftitutum fuMcit. Si enim vel aliquot gradi- bus in elevatione poli erraverimus , tamen error qui inde in æftimationem variationis longitudinis redundat, omni- no erit imperceptibilis. $. 69. Quamquam autem navis plerumque in hoc in- tervallo tam longitudinem quàm latirudinem fimul immu tat, tamen utramque mutationem hic feorfim perpendam. Si enim oftendero, quomodo conclufo ex obfervationi- bus refpondentibus deducenda tam ratione longitudinis quàm latitudinis mutatæ corrigi debeat fingulatim; his ambabus correétionibus fimul uti oportebit quando navis interea tam longitudinem quam latitudinem mutaverit, Interea autem declinationem folis invariatam confidero, quia error inde oriundus jam eft definitus, $. 70. Ponamus ergo intervallo duarum illarum obfer- vationum folis , folam navis longitudinem effe mutatam, dato-minutorum numero , latitudinem vero eandem man- fiffe. Sitin fphæra cœlefti P polus ,& S locus folis im mobilis, itautterra, quæ in centro hujus fphæræ pofita concipiatur , ejus refpeétu circa äxem fpatio 24 horarum folarium giretur. Sit 4 zenith loci navis tempore primæ obfervationis , B vero zenith navis momento alrerius ob- fervationis. Quia ergo in utroque fitu tam eadem à polo diftantia fervatur , quàm utrinque eadem folis à zenith dif tantia obfervatur , erit ÂAP—BP , & AS=BS. $. 71. Hinc meridianus PS, angulum horarium 4 P B bifecabit , unde fequitur tempore inter obfervationes me- dio, meridiem fuifle fub meridiano P CS; eo autem rem- pore navim fub ipfo meridiano in Cextitifle , fiquidem interea ET ASTRONOMICE. 137 : interea motu uniformi fuerit fecundum longitudinem pro- mota, perfpicuum.eft. Unde momento inter duas obfer- wationes medio meridies verusincidit fub ipfo meridiano, ubi tum navis eft verfata: Cùm enim navis zenith interea viam B defcripferit cum motu proprio, tum motu toti terræ communi ,» & uterque-motus fit uniformis, necefle ft navimtempore medio in ipfo punéto C hæfifle. $. 72. Quo diftinéids , quæ hinc confequuntur , e Ciare-poflimus , ponamus inter momenta obfervati in 4 &B, clapfs effe quatuor horas, navemque intére _æb occidente in origntem fecundüm longitadinem abfol- ville unum gradum. Quando igitur navis in B verfatur, di- «cendum eft ante bihorium meridiem incidiffe, non fub me- xidiano PB , fub quo navis nunce ft, fed fub meridiano :P C, perquem navis ante duas horas tranfierit. _$. 73. Quia ergo navis intra hoc bihorium dimidium * «gradum fecundùm longitudinem confeciffe ponitur, quod ämtempére duo minuta prima, fub meridiano B P ,in quo navis nunc reperitur, ut pote.orientaliori , necefle eft ut #meridies duobus minutis primis citiùs hoc eft, ante 2h 2’ eveniret , ita ut hoc momento in loco navis B, vera diei hora ftatuenda fit 2" 2’. Simili modo, dum navis tempore primæ obfervationis, in 4 hæferat , horologia folaria in- -dicare debuerunt 9" $8/antemeridiem. $. 74. Ex his ergo perfpicuum eft quomodo ex dato in- tervallo duarum obfervationum .& variatione longitudi- -nis-interea abfolutà , tempus verum , quod, fcilicet , ho- -rologia folaria PE , pro quovis loco navis. ur” definiri debear. Atque fi æquabilis temporis lapfus tam ante quäm poft obfervationes ; fuerit in folis &.minutis fo- Jaribus animadverfus , etiam ea tempora ad, horologia fo= Jaria emendari poterunt ; fiquidem mutationis Jongitudi- cnis , quam navis continud fubit, ratio habeatur. Prix, 1747 SES 1 138 MEDITATIONES MECHANICEÆ $.75.Cùm igitur hæc fatis fint plana, atque bife&tiotem< poris inter duas obfervationes elapfi, à variatione longitu- dinis non turbetur, videamus quantüm hoc negotium à mutatione latitudinis patiatur. Hic quidem ftatim liquet , correétionem multo fore difficiliorem, quoniam difficilis eft ei, quæ ex mutatione declinationis folis oritur, eaque multo major fieri poteft, cùm navis latitudo intervallo ali« quot horarum , quæ inter obfervationes effluxerunt ; ultra m mufari queat. Quocirca hanc correctionem mul« - 10 Minus negligi conveniet. $. 76. Quod quo facilius fieri poflit, quéramus primüm in loco fixo ex data alritudine folis tempus à meridie. Sit; #i8.VL fcilicet, Z loci hujus zenith, P polus mundi, & S Iocus folis tempore obfervationis. Vocetur alritudo poli —p;, cujus complementum eft PZ, declinatio folis =5 , cujus complementum— PS, fiquidem declinatio folis fuerit ejufdem denominationis ac latitudo loci, fin minüs pros, in calculo ponatur—-5. Denique fit altitudo folis obfervata — 4, cujus complementum erit arcus ZS ; atque angulus ZPS, qui tempus à meridie indicat, fit X, erit ex fin. a — fin. p fin. s cof.pcof.s ji $. 77. Sit jam tempus inter binas obfervationes æquas lium flis alticudinum interjetum , & ad arcum æquatoris reduétum = 2 6, altitudo folis in utraque obfervatione — 4, & declinatio folis 5, quam pariter immutabilem affumo , quia error ex ejus variatione oriundus jam in ta« bulis æquationis meridiei indicatur. Sit elevatio poli tem pore primæ obfervationis = p, ante meridiem, & eleva- tio poli tempore fecundæ obfervationis poft meridiem =p+r, ita ut navisinterea per intervallum 7 D ad polum accefferir. $. 78. Jam quia navis fub codem meridiano moveri fphæricis , pofito finu toto =1 ; cof. Xi ET ASTRONOMICZ. 139 ponitur & meridies non in medium momentum intervalli 2 c incidit, ponamus arcum cz determinare tempus à prima obférvatione ad meridiem elapfum , erit c— > tem- pus à meridie ad alteram obfervationem elapfum. Hinc duas obtinebimus æquationes : __ fn.a—fin.pfin.s 1 M cof. (cH 2) FOidsetr a fin.a— fin. (p+x)fin.s IL cof.(c—z)= cf. (p+s)cof.s 3 dquæ eliminata altitudine communi 4 dabunt : Sin. ptang.s + cof. poof. (cz) = fin. (pH )tans,s Ho. (c+ 7) cof(c—2), -$. 79. Cüm jam particule 7 & z præ p & c fint valdè patvæ , erit fin, (pH r)=fin.p+ 7 cofp; cf (p+ x) = cof.p— 7 fin. p; atque cof.(e 2 )= cof. c-—2 fin. « & cofe. (c—2)= cof. c + zfin ce. Quibus valoribus fabfitutis ; erit 2 fin. c cof. px cof, c fin, p—T cof: p tang.s. Hincque 2 HN F( tang.p __. tang.s 2 tang. © inc tatione 7, angulus & facilè determinatur, qui in tem- pus converfus , indicabit quanrèm ad medium interval- lum obfervationum addi debeat , ut verum meridiei mo- mentum obtineatur, Ad hoc autem elevationem polips. proxime faltem noffe oportet ; quia exiguus error in ea commiffus valorem ipfus z non fenfbiliter afficit. _$. 80. Sit elevatio poli borealis p = 48°, declinatio folis borealis 1 7° 30’, ideoque s= + 17° 30”, interval- lum obfervationum fit s* 20/, quod in angulum conver- fum dat 80° , ita ut fit c— 40°; navis autem interea inte- gro gradu propiès ad polum acceflerit, ut fit 7 —=1°, & in tempore= 7 = 2. Jam calculus ira conftitue- tur. Si ) unde ex data latitudinis mu: . 40. MEDITATIONES MECHANICEÉ L:targ. p 10,045 5626 - Ltang.s 94987223 rang. pe Liang.c— 99238135 fin. c—9,808067$ 7 | | 01217491 - 96906548 tang.s = 11,666 —1'40" - Hoc ergo cafu ad tempus medium inter obfervationes ? : pres? nt 4: : elapfum addi debet 1° 40”ut ptodeat verum méridiei mo« mentum.- Th V ei “@ù $. 81. Major prodit hæé corre&tio fi declinatio folis fa«° tis fit auftralis, quia tum #ang.s, fignum contrarium ob-" ang? ang, s ) a 2 ( ras ed fm e ) CUjUS Ut exem plum afferamus, fit altitudo poli p== 60°; declinatio folis- auftralis ==.2 3° 28/— 5; intervallum obfervationum : = 3 bo’, feu in angulo =$$=—20e;ideoquec = 27°. 30';interea verd navis adftum versùs FE 564 eitr—— 36, &'intemporé:r—— 112" : unde- calculus ita fe habebit : lotang. p—10,2385606 l.rang.s — 96001181 'rang.p Gore ie tinebit ,fiiquez= :7 le tang. c = 9257164767 L. fin, c—9,6643056 De = 3327 < 0,5220839. 99357125] tanges | = = 0,862 fin € Î 4,189 es —=:3—= —17 z=—"5!,027— — 51% Hoc érgo cafu à momento inter obfervationes medio fub- trahi debet $’ 1”, ut verum meridiei tempus habeatur. $.$ 2. Poffent hinc ad fingulos gradus tum declinationis’ folis, tum elevationis poli pro precipuis temporis inter= fe es eh berent, tam enim numeri hujus abule per femiflem va: tiationis latitudinis-? #7 multiplicati & in tempus conver- fi ; -dabunt correétionem meridiei ex hoc capite necef- Fest Sufficiat autem-hioregulam ad computum- faris fe delem tradidifle, & cùm aliæ determinationes difüciliores: vallis tabulæ computari, quæ valores # ET ASTRONOMICE. 141 caléulos requirant, hujufmodi tabulis facilè carere pote- rimus. 5 83.-Antéquam autem hôc argumeñtum deferam ; notafle conveniét ex illis duabus altitudinibus folis æqua- libus facilè elevationem poli veram pro tempore meridiei aflignari poffe. Si enim p denotet hanc poli eleyationem, eliiminata fupra littera Z > perveniet ad hancæquationem, cof. c— —# Peer fee — feu fin. a—=fin. s fin. p+ cof: c cofe s cof. p. Ex qua fequenti modo, ut extraétione radicis non fit opus, valor p elicietur. Quæratur primd angulus v, ut fitrang. =, eritque fin. a —=cof. c'cofe s tang. 0 fin. p + cof. c cof. s cof: p== see ( fin. v fin. p cof.v cofp); ac poro Meet = «of (p—v). ). Hinc ergo commodè innotefcit angulus p —v, ex coque porre altitudo peli-quæfira p: $. 84. Quamquam cognirio elevationis poli maximi eft momenti , tamen ne nimis longè à quæftione propofità di- grediar , neque hanc formulam uberiùsexplico, neque in fequentibus peculiarem operam:; ad elevationem poli in- veftigandam adhibebo ; fed vel aliunde jam poli eleva- tionem cognitam éffe affumam ;vel quomodo conjunétim cum hora diei ex obfervationibus concludi pofit, docebo; Nunc igitur reftat, ut inquiram quantm determinatio meridiei ab ipfis obfervationumr ertotibus afficiatur, ne- que plures modos meridiem determinandi afferam, cùm omnes fequentes modi horam diei determinandifimul ad méridiem refpiciant , eumque definianr. $. 85. Dam autemin turbationem ab ipfis obfervatio- ” num erroribus oriundam i inquiro » réliquas anomalias ones fegrego, cüm quia eas jam fam contemblatus, tum véto ; quoniam, quid omnes conjunétim effciant , ex S ïij - 142 MEDITATIONES MEechaniczæ fingulis feorfim concludi poteft. Tam folis ergo declina- tionem, quàm fitum navis immutabilem nunc confidero, atque cùm in binas illas obfervationes duplex error irre- pere pofñfit, alter in altitudinibus folis, alter in æftimatio- ne intervalli temporis interea elapfi , utrumque pariter feorfim evolvam. $. 86. Cùm igitur in utraque obfervatione, folis-altitu- do —4 putetur , ponamus difcrimen inter folis alritudines effe= », ita ut, fi altitudo primæ obfervationis fuerit —> 4, altitudo folis in altera obfervatione reverà fit = 4 + & , denotabitque « errorem quem in obfervatione alti- tudinis committere poflumus ; hicque duplicatus effe po- terit, fi quidem altera in defe@u , alrera in exceflu pec- caverit. Unde fi in una obfervatione duobus minutis errari queat , fieri poterit ut « fiat = 4’, quod tamen rariflimè evenñire cenfendum eft. $. 87. Ob hunc ergo errorem momentum meridiei à medio intervallo inter obfervationes elapfo pariter non nihil difcrepabit, Sit ergo totum intervalium obfervatio- num in angulum converfum = 2 c, & intervallum inter primam obfervationem & meridiem = «+2, erit inter« vallum à meridie ad fecundam obfervationem = c — x, Unde fi declinatio folis fit = s, elevatio poli=p , habe- buntur dux fequentes æquationes: L'ef(c+r)= EEE, Li Jin. (a +u)— fin. p/fin.s IT. cof: (c—2) = ME > RE $. 388, Cùm jam ob z & à valdè parva, fit cof. (cz) == cof. c—2 fin, c, & cof.(c—2xz) = cof. c+ 2 fin. c,atque fin. (ata)=fn.at a cof, a. Si prorfus æquatio à pofte- Pres TE « cof. a . riori fubgrahatur , relinquetur 2 zfn. c TTL ideo- ET ASTRONOMICEÆ. 142 ez—= Res : unde fi angulus= « i QUE ZE En co. pos: gulus: # in tempus eo debate, ftatim prodibit error meridiei z in tempore expreflus. Sic fi + æflimerur s’, hoc in tempore dabit 20”, fierque = & = 10// temporis. Sir jam 2c=—= 2 horas, feu angulus c = 1 5°, elevatio polip — 60°, declinatio fo- lis s— 23° + altitudo 4 — 6°: repsrietur z = + 83°. Quamquam ergo in hoc exemplo omnia obfervationem meridiei maxime perturbare affumta funt , tamen momen- tum meridiei tantüm ad 1” 23°”, incertum relinquitur. $. 89. Quamvis igitur hunc errorem neque tollere ne- que emendare valeamus , tamen neceffe fuit noffe , quan- tüm ab eo determinatio meridiei impediatur ; & quoniam reliquæ circumftantiæ majorem accurationem non admit- tunt ,utintra minutum primum de vero meridiei momen- to certi effe queamus ; hunc errorem ed faciliüs negligere poterimus , quod eo incettitudo veri momenti meridiei notabiliter non affciatur. $. 90. Quod denique ad errorem , qui forte in æftima- tione temporis inter binas obfervationes elapfi , commit- titur, manifeftum eft, eo verum meridiei momentum à medio intervallo non removeri : neque ergo propterea correétione opus effet, etiamfi iftum errorem definire pof femus. Quamobrem PCA bic expofita , verum meri- dici momentum tam accuratè definiri pofle affumo, ut vix uno minutoprimo à veritate aberrer; valdèque dubito, an major certitudinis gradus obtineri queat. Muito tamen exa€tiùs definiri poterit, fi plures obfervationes fimul infti- tuantur , atque inter omnes conclufiones medium quod- dam eligatur. Er s 144 MEDITATIONES MECHANICEÆ EC VI Determinatio horæ die per obfervationes Sols.” 5. 91. F N præcedenti articulo ad folum momentum.mez ridiei refpeximus, à quo reliquæ horæ tam diur- næ qum noëturnæ funt numerandæ; nunc igitur docen- dum et, quomodo ex altitudinibus folis accuratè obfer« vatis, tam ante quàm poft meridiem , vera diei hora colli- gi debeat, quæ, fcilicet, ei meridiano , fub quo navis tempore obfervationis verfatur, conveniat; perpetud enim tenendum eft eam horam requiri > quam exquifitiflimum horologium folare , fi ‘tali uti liceret, in codem loco eo- demie tempore effet indicaturum. $. 92. Hic ftatim fe offerunt duo cafus , prout élevatio poli vel çoghita : fuerit vel incognita. Declinationem enim folis > que in determinationem temporis ingreditur , pérpetuo cognitam effe affumo. Namque ephemerides folis imprimis ad manus effe oportet , ex quibus ad quod- vis momentum ejus loci ad quod funt computatæ , decli- natio folis facilè colligitur, Etfi autem, ut idem fub alio meridiano inde præftari pofit, differentiam meridianorum noffe oportet , tamen vix unquam navis in ejufmodi flatu verfafur, quin ejus longitudo ad aliquot gradus cognofca- tur. Error autem vel quindecim graduum | hic commiflus in declinatione folis nunquam erforem unius minuti parit; unde in hoc negotio declinationem folis omnind inter co» gnita referre licet. $. 93. Ponamus ergo primd elevationem poli effe -cognitam, five ea nunc demum fit ex obfervationibus colletta ET) ASTRONOMICÉ, 145 -colleéta , five jam ante non nimis magnum tempus def- nita ta ut variatio, quæ interea ob motum navis fit faCa, ex æflimationeitineris fatis exaétè affignari queat. Cognità autem elevatione poli cum declinatione folis, ex obfer- vatione altitudinis folis facilè hora diéi, five antemeridia- na five pomeridiana determinatur. Si enim ponatur ele- vatio poli =p, declinatio folis borealis — 5{ pro auftrali arcum s ejufque proïnde finum negativè accipi oportet, manente.éjus cofinu ), altitudo folis obfervata= 4, & rem- pus à meridie in arcum æquatoris converfum = x, erit cfix = - = TE _ $. 94. Ex hac ergo formula definitur angulus x, qui in tempus converfus, quindecim gradus uni horæ tribuendo, babebitur vel hora antemeridiana vel pomeridiana tem- pore obfervationis, quorum utrum Îocum habeat, du- bium effe nequit. Qud autem hic calculus facilis L ope logarithmorum abfolvi poflit, quia eft fin. : x —// 2? cof. s + fin. p fin: 5 —fin. a — JL) — fine 2 cof. p cof. s 2 cof.p cof.s 2 . . A .B A+B B— À cum jam fit Aus = fin. x Jin. —— ; & fin. a ke A Et = c0f, (90° —4) ,erit paf o à) @ 2 er? — fin. Rem —. 2 (Se ES à . Jin. IE , ideoque habebitur fn. 1 x = o, S CESPRE LS. cent IT 90 = p+s cof.p cof. s ' Aum totum, quem haétenus pofui —1. . $, 95. Quo ufus hujus formulæ exemploilluftretur , fit clevatio polip—s52° 27/, declinatio folis auftralis— s — 9° 15", feus—— 9 1 57, & obfervata fit ante meri- diem altitudo folis 4 — 19° 2 5”, calculus ita fe habebit. Prix. 1747, E rr, denotante r fi- 246 MEDITATIONES MEcHANICE P— 5217! a== 19025" DO— ap —5 s=— 9°15 90— a—70° 35" L.fin. pe = 9:961:067 es = 6142! 90—4 O4 s P 4 = 35° 1730" ln TE 8,8889883 = = [30° si = 30° si 0" addil.rr.:......38,8s01o5o—4 z L cof. p... — 9,7849406 noms tps 66° "8 30" Leofis = 29943156 2 19,7792562=—=B 9O—A—p+-s A—B —19,9709388 M 1-5 L fin, 2x = 9535469 Lx— 29045" — 4° 26! 30! Erit ergo x — 40° 8/ 10”, qui arcus in tempus conver< füs dat 2° 40/ 33/,ita ut. obfervatio faëta fit 9" 19° 274 témpore vero. $. 95. Cùm autém in altitudine folis 4 error aliquot” minutorum poflit effe commiflus, hinc hora inventa in- certa reddetur; quanta ergo fit hæc incertitudo', operæ’ pretium erit indagare. Sit ergo altitudo folis vera= 4+a, ubi & errorem in obfervatione commiffum denotet atque témpus à meridie in angulum converfum fit reveraàx+£, fn.a—fin-p fins & of 4) EN PRe coj.pcof.s 2 Ex cofpcofs Jam quia ob à & # valdè parva , eft cf (x HE) — of»: — À fin. x,& fini( a+ à) — fin: a+ à cof, a ; erit £ fin. » = —4c0/.a co]. 4 Fa de Er ps Jus $. 97. Error igitur in tempus redundans ed erit major; quo 1. Minus obfervatio diftet à meridie. 2. Qud Major ‘ füerit declinatio-folis. 3. Qud major fuerit elevario poli. Et 4. Què:minor fi altitudo folis. In exemiplo ergo antè allato , quo-erat p— ç22 27/, 5 9915 a— 190 25°, & x — 40° $/, error eriré— — 25433 2. Unde fi. & feu error in altitudine commiflus fit $’, feu inrem= Pore== 20"; erit error in horæ determinationem inde or+ tus = 48" qui, cbm integrum: minutum nôn-exhauriat, : eritcf.x— “ÆT ASTRONOMICÆ: A47 facilè negligi poteft , præfertim fi error altitudinisinfra $” -fubfiftat. À 3 cof. a Ru. $. 98. Formulainventa = — Sfédoles 11 ipfo meridie ubi x —0, errorem infinitum indicare videtur : fed notandum eft hoc cafu quia # præ x non ampliùs tan- quam evanefcens confiderari poteft , eam formulam non valere. Si enim fitx=— , erit fin. a =cof. p cof.s+-fin. p fin. s & ” (p—s), & cof: a— fin. p cof. s—cof.p fin. s. Cùm ergo fitcofc & = PC RR Ie rep ru PApIRes Ob cf 1— Et, cf «1 au, & fin. 4 — « erit : cof.pcof.s+« fin. a fin.(p—s) L \ —2 e fin.(p=—5) EP ON idedque = es = — 2 a (tang.p —tang.s), Sit tang.p—tang. s —n pofito radio —1, eritque #— 2 n«; (mutato figno er- roris«) ponature«— $'= 2°; & obradium 1 = 57° = 3438", feti—v34380n minus— 186/Vn, & in tempore erit-error 12/ 24” V». Qui error cùm nimis fit magnus, ante peculiaremmethodum meridieminveniendi tradidi. $. 99. Si in elevatione poli p error committatur, qui fit dp, in angulo quoque horario x error nafcetur qui fit dx, : : 0 =} - jd : Jin.a—fn.p fin. s hicque ex differentiatione æquationis cofex == aie ponendis x & p variabilibus cognofcetur, erit namque _ —pfin.s p fin. p (Jin. a— fin. p fin. s) : — dx fin. Do + Eee, & dx — re sep ” Qui erroriterüm , nifi .circa ipfum meridiem , facilé tolerari poteft , dummodo elevatio po- li non nimis aberret. $. 100. In ortu vel ocafu-folis , quem fine inftrumentis obfervare licet, dummodo refraétionis. ratio habeatur s. quemadmodum illuftrifl. Dominus de Maupertuis , in Ti 148 MEDiTaATioNEs MECHXNICEÆ Aftronomia Nautica docet , hora dieï, fiquidem elevatio poli & declinatio folis fit nota , facillimè definietur. Cüm . . —— In. InsS erim tum fit & — 0», erit cof: x — ARE = — 14ng. tang. s : unde fi. declinatio folis fit borealis, fiet x > 90°, contra verù minor &c utroque cafu angulus x in tempus converfus , monftrabit verum momentum vel ortûs folis vel occafüs tempore. $. 101. Quia haétenus altitudinem poli fatis exaétè co: gnitam affumfi, nunc ad alteram hujus fe&tionis partem progrediar , inveftigaturus quomodo horam diei per ob- fervationes folis definiri conveniat, fi elevatio poli peni- tùs fit incognita. Ac primo quidem liquer hoc per unicam folis obfervationem præftari non pofle, fed ad minimum duas altitudines folis adhiberi debere. Hincque ergo non folùm ad rempus interea præterlapfum, fed etiam ad va: tiationem declinationis folis, & potiflimüm ad mutatio- nem loci, quam navis interea fubierit, erit refpiciendum, quibus rebus hæc determinatio non parum difcilis red- ditur. $. 102. Ur'has difficultates paulatim fuperemus., .po- samus primd navem fitum non: mutare, atque ex duabus: altitudinibus folis , dato temporis intervallo , obfervaris , facilè invenietur verum tempus pro utravis obfervatione ; five folis declinatio interea mutetur, five minus. Sit enim: &g. vll, HOZ meridianus loci , in quo navis exiftit, P polus, Z zenith, 4 & 4 loca folis binis obfervationum momentis, dabunturque arcus 4P , a P quippe declinationum folis complement , fimulque ex tempore præterlapfo cognof. citur angulus 4 P a, præterea verd dantur arcus vertica-. lfum circulorum Z4,Za, ut-pote altitudinum obferva- tarum complementa. $+ 103. Jam per-punéta 4 & 4 concipiatür duétus arcus: ET ASTRONOMICE: T49 circuli maximi , quo quidem non via à fole percurfa, > præ- fentabitur , & in triangulo fphærico À Pa ex datis lateri- bus P & aP , cum angulo intercepto 4 Pa invenietur latus a & anguli PAa, & Pa A. Tum in triangulo AZa, cognitis omnibus lateribus , reperientur anguli ZAa , ZaA; ex-quibus cum angulis PA a & Pa À colla= tis , elicientur anguli Z 4 P & Z a P ,hincque denique in triangulo Z AP, ob data latera Z 4, PA & angulum ZAP , invenietur latus PZ complementum elevationis poli , & angulus Z PA , quo tempus alterius obfervationis à meridie indicabitur, $. 104. Cùmigitur hic cafus nihil habeat difficultatis., ponamus navem-interea curfu fuo tantùm longitudinem mutafle , ita ejus latitudo manferit eadem , perfpicuum eft angulum ad polum 4 Pajam non ampliès tempore inter obfervationes elapfo menfurari , fed angulo ex hoc tem- pois intervallo deduéto mutationem longitudinis vel effe addendam vel demendam , prout navis vel ab occidente in orientem vel ab oriente in occidentem feratur. Hoc au- tem angulo 4 Pa definito, reliqua definientur trigonome- tricè ut antè , reperieturque tam elevatio poli, quàm ve- ra diei hora tempore utriufque obfervationis.. $. 105, Sin autem navis interea quoque latitudinem mutaverit, calculus aliquanto fiet difficilior atque ad for-’ mulam generalem fuprà adhibitam primèm recurramus, Sit tempore primæ obfervarionis elevatio poli =p; decli- natio folis —5, altitudo folis-obfervata — 4, atque angulus horarius , feu qui verum tempus à meridie ejus loci, ubi terra nunc verfatur, indicat,=—x. Tempore fecundæ ob+ fervationis fit elevatio poli = p + dp É declinatio folis =5 + ds; altitudo folis obfervata — 4’, & angulus ho- rarius verum tempus à meridie hujus loci , ubi navis nunc: hæret, indicans = x”. T ii. iso “MEDITATIONES MECHANICÆ $. 106. Sit intervallum temporis harum duarum obfer- _vationum jam more folito ad angulum horarium reduétum == v ; hocque tempore navis fecundüm longitudinem ab occidente- in orientem confecerit angulum = x ; fecun- dùm latitudinem vero boream versüs accefferir per angu- Jum », ubi me non monente intelligitur, fi navis vel in occidentem , vel auftrum versùs, fit progreffa , tum vel — m pro a, vel» pro, fcribioportere. Erit ergo x’ —x —7v+u4,ideoquex = x um; À dp—1 : atque ex formula fuprà data colligitur , «of. x = Eee & fin. a'— fin. (p+dp)fin.(s+d3), cof. (p+dp) cof.(5+d:) $. 107. Ex his quantitatibus cognitæ funt s, sd s de- clinatio, fcilicet , .folis in utraque obfervatione borealis ; nam pro auftrali hi anguli negativè funt accipiendi, porro altitudines 4 & 4’ cum intervallo v , atque mutatiqnes longitudinis & latitudinis #.& »; manentque dux incogni- tæ x & p definiendæ, quibus etiam binæ æquationes in- ventæ fufficiunt. Pofterior autem æquatio, evolutis diffe- te 9 fin. a fin.p fins, dp(Jin. afinp—fin.s rentialibus., dat cofe 2 apres 4 ds Jin alfin.s chreRt = cof.(x vu), Quod fijamhinc cof. picof. s? ec 1: Da fina—fin.p fin.s p eliminare velimus,ope æquationis cfx= er cof. x! == reperietur quidem æquatio valorem anguli x definiens fed opus foret immenfum calculum inde adftruere. $. 108. Calculum autem multd faciliùs expedire: po- terimus , fi. mod azimuthum folis in alwerutra obfervatio- ne in computum ducamus, quod fuficit circiter falrema: noffe , etiaml error inde oriundus, fi opus videatur, fa: . cilè corrigi queat. Benefcio autem acûs magneticæ azi-- mutha non aded funt incognita ; ut non ad aliquod falrem: gradus æftimari queant, quodad meum propolitum fuficir.. ET ASTRONOGMICEÆ. tt Sumto ergo polo P, formetur angulus 4 Pau pu, Fig 1m quem vocemus brevitatis gratià = #, Capianturque P 4 = 90—5,& Pa—90°—5— ds. Hincque in triangu- lo fphærico 4 Pa definietur tertium latus 44, cum an- gulis PAa, PaA. $: 109. Sit porro angulus ZPA=%x, erit PZH me- tidianus pro loco folis vifo prioris, unde fi fiat PZ = 90° — p, arcus Z'4 præbebit complementum altitudinis folis in prima obfervatione. Deinde cùm fit ZPa:= x + vu crit ZPa= x’, ideoque circulus HZ PO referet quoque meridianum refpeëtu loci folis 2 in pofteriori obfervatio- ne. Quare fi capiatur Pz — 90°—p— dp, repræfenta- bit arcus 24 complementum altitudinis folis in pofteriori obfervatione : ficque habebitur ZA = 904, &za = 90°— a, atque Zr—dp—v $. 110. Sit jam azimuthum in pofteriori obfervatione, feu angulus Hz4—0, quem proximè faltem cognitum effe pono; &ex Z'ad 4x ducatur perpendiculum Z#, erit z# = v cof. 8. Concipiatur duétus arcus circuli maxi- miZ'aerirZa— au —=90— #— = cf: À, atque ob cognita in triangulo 4 Za tria latera , invenientur anguli ZAa& La, & ob Zw=v fn. 8, erit angulus Z 4 z TPE Ÿ = ee 3 ideoque & angulus 24 erit datus, - $.111. Nunc in triangulo Pa z dantur latera Pa — 90° —s—ds,za=90o— 4, & angulus z4aP— P 4 À —2a À , hincque réperientur primo latus Pz comple- mentum latitudinis navis in pofteriori obfervatione , dein- de angulus aPz—x+u+4, & proinde angulus 4PZ — x, feu tempus verum in utraque obfervarione. Prx- térea vero elicietür angulus P z 4 , qui fi notabiliter dif crepare deprehendarur ab affumto azimutho 8, is loco 8 jam fubfituatur, idemque calculus repetatur. -Hocque use MEDITATIONES MECHANICEÆ paéto per merum calculum geometricum, cujus præcep- ta ubique exftant, hoc problema aliàs dificillimum façi- Iè refolvetur. S$. 1 12. Problema ergo hoc in navigatione utiliffimum ; quo ex obfervatis duabus altitudinibus folis, & tempore interea elapfo , hora diei cum elevatione poli quæritur , ita hic folutum dedi, ut calculus ob ipfius navis motum vix moleftior reddatur. Etfi ergo fæpiflimè variatio lati- tudinis Z z tam parva eft, ut tuto omitti poffet , tamen ejus quoque ratione habitä calculus nonturbatur ; quam- obrem cùm hæc operatio magis contrahi nequeat ut vul- garibus regulis Trigonometriæ abfolvetur, ne exemplo quidem ad ejusilluftrationem opus effe judico : atque ad pbfervationes noëturnas, in quibus crepufculares fimul fum complexus , progrediar. VIT; (ÆT ASTRONOMICEÆ. 153 VII. Determinatio hore noëturne ; fi elevatio Pol fit data. $. 113. OCTU igitur verumtempus ex altitudini- bus ftellarum, five fixarum five inerrantium concludi debet , quarum tam declinationes quäm afcen- fiones reétas ad quodvis tempus cognitas effe affumo ; ne- que ergo hic ejufmodi methodis quæ ad obfervationes ftellarum incognitarum funt accommodatæ, immorabor. Stellæ autem fixe hoc præ fole gaudent commodo, quod perpetud (faltem quamdiu iter navis durat) eandem de- clinationem confervent : fin autem planetæ adhibeantur, variationis quoque quam in declinatione patiuntur , quo- ties opus fuerit , ratio erit habenda. $. 114. Ad manus ergo efle pono catalogum præci- puarum ftellarum fixarum , in quo fingularum declinatio- nes & afcenfiones reétæ ad id tempus, quo navigatio fuf- cipitur , fint éxpreflæ. Præterea verd quoque in promtu effe debènt ephemerides planetarum ad præfentem an- num computatæ ; ex quibus non folùm eorum declinatio- nes & afcenfiones retæ, fed etiam harum rerum varia- tiones diurnæ cognofci queant. Imprimis autem , ut jam notavi , obfervatorem inftruétum efle oportet, epheme- ridibus folaribus , quoniam omnia tempora ad folem re- ferri folent. Ê $. 115. Cüm quælibet ftella fixa ad eundem meridia= num revertatur poft 23 $ 6’ 4/, dum fol fecundüm mo- tum medium eandem periodum abfolvit tempore 24 Prix. 1747. VO. ss MEDITATIONES MECHANICZÆ horarum, fiillad temporisintervallum 23" $ 6’4//in 24 partes æquales dividatur, hæ partes horæ fidereæ appel- lari folent ad diftiné&tionem horarum communium , quæ ex motu folis definiuntur ;eritque hora fiderea ad horam folarem ut 86:64 ad 86400, feu proximè ut 365 ad 366, unde converfio horarum fiderearum in folares nihil habe- bit difficultaris & contrà.. $. 116. Afcenfiones reftæ à principio arietis fecun- düm fignorum ordinem numerari folent, unde cujufque ftellæ afcenfio re@a indicat, quanto ea temporis inter- vallo poft initium arietis ad eundem meridianum appellat.… Hoc, fcilicet, tempus in horis fidereis exprimitur, fi quin- deni gradus Reno reétæ À in unam horam computen- tur : vel fi.3 60° pro 23" 56’ 4/ fumatur, prodibit tempus in horis folaribus exprefflum. Quia porro in ephemeridi- bus appulfus principii arietis ad meridianum aflignari fo- let, hinc verum tempus quo quævis ftella fixa ad meridia- num venit, innotefcet.- $: 117. Hoc quoque tempus hujufmodi tabulis defi- cientibus hoc modo colligitur , fubtrahatur afcenfio re&a-: folis , quam ipfo meridie proximè elapfo tenuit , ab afcen- fione reûta ftellæ, & refiduum in horas fidereas converfum dabit tempus, quo hæc ftella per meridianum tranfiit,, in. horis fidereis expreflum, quas deinde in horas folares mu- tare convenit. Vel cùm tabulæ habeantur, quæ differen- tias afcenfionumreétarum in horis folaribus exhibeant, & viciflim cujufmodi in ANoritid. temporum:, quæ Parifis quot annis edi folet , pag. 93 ©" 94, eft inferta, ejus ope cujufque ftellz appulfus ad meridianum in horis folaribus flatim reperitur ; ficque horis fidereis carere poterimus. $« 118. In-ephemeridibus porro afcenfio re&a folis ad meridiem ejus loci , ad quem funt computatæ; exhibetur : unde fi ejus. variatio: diurna fpeétatur, pro quovis alio- \ ‘ET ASTRONOMICEÆ: 155$ metidiano ; cujus differentia ab illo conftat, ipfo meridiei momento afcenfio -reéta folis.concludetur. Neque verd -ad hoc accuratà longitudinis cognitione.opus eft, cüm error 1 $° in longitudine.commiflus, in afcenfione reëta tantum 2” circiter producat. In navigatione autem vixun- quam longitudo loci aded incerta efle folet , ut ex hoc capite error fit metuendus. $. 119. Cùm igitur tempus fit cognitum, quo quævis -ftella fixa ad meridianum ejus loci ubi navis verfatur ap- -pellet , G ipfam tranfitum cujufpiam ftellæ fixæ per meri- ‘dianum obfervare Hiceret, tum eo momento vera diei ho- ra haberetur, fed jam fuprà animadverti obfervationes tran- fituum per meridianum nimis efle incertas quàm -ut ex ad temporis determinationem adhiberi poflent. Interim ta- men plurimüm proderit culminationes ftellarum feu ma- ximas earum altitudines obfervare, quia inde ob earum de- clinationem cognitam elevatio poli certiffimè colligi po- teft. Quod ad modos in hac fe&tione tradendos eo magis erit neceflarium , quia hîc elevationem poli cognitam af- fumo. $-120. Adverum ergo tempus definiendum ftellas eligi oportet,quæ jam àmeridiano funt remotiores ; ubi primèm attendendüm eft, utrèm ad meridianum accedant , an ve- rù jam versùs occafum inclinent ; feu an obfervatio ante ejus appulfum ad meridianum, an poft inftituatur. In qua quidem dijudicatione nullus eft metuendus error. Dein- ceps autem fufiùs inveftigabo , quænam ftellæ fixæ , fi qui- dem deleétus concedatur, ad hoc inftitutum fint aptif- fimæ. $. 121. Obfervetur ergo infrumento, quod maximè idoneum videbitur, ftelle cujufpiam fixæ , cujus afcenfio reéta ac declinatio fit cognita , diftantia à zenith Z S quz fit—a, Tum fit elevatio æquatoris, feu diftantia poli à Vi PL. VX æ: 56 MEDITATIONES MrcHANICÆ zenith PZ=p, & difiantiaftellæ à polo PS=5 quæ ex ejus declinatione habetur : atque in triangulo fphærico P Z S omnia latera erunt cognita, unde ff angulus hora- : rius ZPS vocetur = *, erit cof. = ST $. 122. Inventoergo hinc angulo x; inftituatur hæc proportio ut 360° ad 23" 56/4”, ira angulus x, ad tem- pus in horis folaribus expreflum , quod tempori , quo:ea- dem ftella fixa per meridianum tranfire fuerit reperta , vel additum vel demtum , prout obfervatio vel poft vel ante ftellæ culminationem fuerit inftituta, dabit verum tem: pus folare, tempore obfervationis. $. 123. Quo autemin hoc calculo commodiüs loga: rithmis uti liceat , quæratur femiflis anguli », nam ob __ pfi=cofix 1 __ g/inpfin.s+cof.p cof.s=cofia fin. Étape EE, erit fin. à x — VPrr zfin.pfin.s AGDE À oo (p—5)— cgf 8 = à fin £ TT fin. >, unde erit fin. = =] ir fin RE Jin. p fin. s Hincque commodè per calculum elicietur angulus $. 124. Ponamus anno 1743 Maii die 1 1 vefperi , na- vem in loco verfari , cujus longitudo Parifiis occidentem versüs æftimatur circiter 55°, & elevatio poli inventa fit 32° 24/,atque ftellæ urfæ majoris + fignatæ altitudinem obfervari s1° 8’ poft ejus culminationem, quæriturque pro momento obfervationis verum tempus. $. 125. Ex ephemeridibus igitur primd reperitur pro meridie diei 11 Maïi anno r743, fub meridiano Pari- fienfi, afcenfo reda folis 47° 49° 37/, quæ intervallo unius diei crefcit 58” 37”. Quia jam locus navis æftima tur s ;° occidentalior , dum fol per ejus meridianum tran- fit , erat ejus afcenfio re@ta major, fcilicet=— 47° 49°37/ ET ASTRONOMICEÆ, , 157 {4 Æ LE 58/37"—47° 58/34", ftellæ autem + urfæ majo- ris invenitur declinatio borealis — 63° 8/22, & afcen- fio reta — 161° 54 55”, à qua fubtrahatur, afcenfio reta folis —47° 58” 34” remanet 113° 56/21” quod in tempus ope tab. pag. 93, ÎVot. temp. converfum dat 734! 29”, ita ut hæc ftella die propofito vefperi horâ feptim 34! 29// per meridianum loci, ubi navis eft tranfierit. $. 126. His præparatis in triangulo fphærico PZS, erit elevatio æquatoris PZ=p= 57° 36’, diftantia ftel- Iæ à polo PS=5— 26°; 1/28/, & diftantia ftellæ à ze- nith obfervata Z S= 38° $2/— 4 : unde calculus ita adornabitur. D—= 57936 ©" 4190268 0! s — 26° 51 40" —— 15° 22' 10" D—s— 30° 44 20" I — 3e 48’ 10! ai à 221 A _—_ = RUE log. fin. LEP — 9,7564485 Hinc ergo invenitur, 1. fin. = 8,850455$0 3Xx—=19° o'10" L—= 38° o' 20" cum quadr. radii — 38,606 l 4 2° ASS quod in tempus per tab. 93 alleg, 1. fin.p— 9:9265112||" converfum dat : Lfin.s — 9,6545744 FAST GA sens set It W (4 1595814856 nr ss... ... è ne divid, pér 2....19,0254179) 2e. ÉT 1" ——— a — L fin. = x 95127089 Tempus 2h 31’ 34" $. 127. Cùm ergo fella & urfæ majoris ad meridianum appulerit tempore 7h 34/ 29/, atque obfervatio nunc tar- diùs fa@ta fuifle inventa fit 2h 3 1’ 34/;fihunc numerum ad illum addamus , habebimus verum tempus pro ipfo obfer- vationis momento, fcilicet, 10! 6’ 3” poft meridiem Vi 158 “MEDITATIONES MECHANICEÆ diei 11 Maïi. Perfpicuum autem eft hunc calculum mul- tùm fore fuccinétiorem , fi explicationes hic adjeétæ omit- tantur. Neque etiam opus elfe arbitror applicationëm for- mulæ datæ oftendere , fi vel arcus Ps 90° fuperet , vel navis in hemifpherio telluris auftrali verfetur, quia has circumftantias eum, qui calculum fufcipit probè noffe oportet. $. 128. Si in altitudine ftellæ error quidam fuerit com- miflus, tempus quoque inde conclufum, feu angulus x erit erroneus , cuus error facilè reperietur, fi æquatio of. — LISE Hifferentietur pofitis x & a variabilibus : Jin. Ofnpfins 5 dafin.a n. unde fiet dxfin:x= x, 7 fin. mn s° + Hincque dx= de Quare fi in altitudine error committatur = da, inde in n. 4 angulum horarium xinfluet error dx—=da fe ET ms feu poñito =n,fifitda=s"',eritd;=n5": hincque in tempore orietur error 20 #”. $. 129. Qud ergo hic error minimè fit perceptibilis, requiritur primd ut angulus horarius # fatis fit notabilis ; atque ut ftella à polo 90 gradibus diftet, feu prope æqua- torem fit fita : tum verd ut ftella tam parum à zenith dif- tet, quàm prima conditio permittit. Utrique enim fimul fatisfieri nequit, quia qud major capitur angulus x, ed major quoque diftantia ftellæ à zenith evadet. $. 130. Videamus ergo in quonam circulo horario da- ta ftella obfervari mn ut coefficiensz — FRS ë feu tantèm fradtio © Be fiat minima. Hoc autem evenit d fida cof a fin. = dfin. acof x. Ateftdr = ergo fit cfa — _ ee > feu cof. a fin. p fin. s— cof. a fin. p fin. scof. 2% = fin. a? cof.*, ubi fi valor loco cofxfubfti- ET ASTRONOMICÆ. 159 cof.a. cof[.peof.s , “hi « tuatur , invenietur = pro hincque duplex valor prodit, vel cof: a— _. > velcofa— de > quo- rum prior eligendus eft fip > s, pofterior fi p hincque G I . Le fitn — Gr» qui valor fit minimus fi s— 90° , fed tum fieri nequit p > 5. Quare propoftà flellà quâcunque, eam tum obfervari conveniet, quando füerit vel cof. a = 22 :velcof.a— de. Cüm autem ftellæ in æquato- re fitæ fint aptiflimæ , fi-qua earum eligatur, fiets — 90°, tn — Part fin. x fit maximus ; quod evenit , fi hæc ftella prope circu- lum horarium fexte-horæ obfervetur ; hæcque eft tutiffi- ma regula ad tempus quäm exattiffimè inveniendum. $. 132. Sin autem in altitudine poli fuerimus decepti, videamus cujufmodi obfervationes inftituere oporteat , ut determinatio temporis inde quàmminimè tutbetur. In hunc finem differentiemus æquationem cof. = = LÉ pere en . qui valor minor fieri nequit quèm fi ponendis x & p. variabilibus ,-reperieturque — d* fin. ni Res . dpcofp(cofa— ofhpefs) C9 FPE LR Des in. po fin. s > feu d x fin. dp(cof. 4p(cof. acof.p—cof, s) | TT imp fins. =fin:s “2 $. 133. Manifeftum ergo eft errorem in tempus hinc redundantem es 4 evanefcere , fi fit cos = cof. a cof.p » feu cof. an. Quod fi ergo ftella in æquatore eligatur, hic error nue , fi ftella in ipfo horizonte ob- ferveur , quod cùm congruat cum horario fexta horæ pro 160 MEDITATIONES MECHANICÆ bac ftéllà, quæ conditio antè eft requilita, perfpicuum eft utrique incertitudini optimè occurri , fi ftella non longè ab æquatore remota prope horizonrem obfervetur. $. 134. Cüm autem prope horizontem refraétiones ni- mis fint magnæ , atque rar ftellas in hac regione diftinétè cernere liceat , facilè intelligitur regulam inventam pro circumftantiis quam proximè tantüm efle obfervandam , & quia fieri nequit a — 90° : eligatur ftella declinationis cujufdam borealis, verbi gratià 15°, & æquatio cof. a = EE , dabit alritudinem hujus ftellæ obfervan- dam , quâ non folùm error ex erronea elevatione poli oriundus penitès tollitur , fed etiam , qui ex minus accu- rar obfervatione nafcitur , minimus redditur ; fuprà enim STE : cof.s $.129 elicuimus quoque hanc æquationem cf. ar. $. 135. Sub quavis ergo elevatione poli hoc judicium quænam ftella optimo cum fucceflu ad obfervationem eli- gatur, facilè inftituitur. Primüm enim difpiciatur , quà exigua alritudine ftella diftinétè obfervari poflit, cujus alti- tudinis complementum vocetur — a ; tum quæratur s, ut fit cofe s = cof. a cof.p , & inter ftellas quæ à zenith inter- vallo — 4 , remotæ æftimantur, eligatur una, cujus diftan- tia à polo fit proximè — s. Hancque ftellam diligenter ob- fervando, dico conclufionem temporis inde deduétam quàm minimè à ve effe aberraturam. Hoc autem modo quaftioni propofitæ ex affe fatisfaétum effe arbitror, REXEXEX RERER RER s x VIIT. ‘ET ÂASTRONOMICÆ. tôt NAIT L Dererminatio hore noëturnæ , ft elevatio por Jet InCOgNIta. $. 136. WUANDO elevatio poli eft incognita, fic- que præter tempus verum quoque ipfam poli elevationem inveftigare debemus, manifeftum eft, ad hoc duabus obfervationibus opus efle , vel ejufdem ftellæ vel duarum diverfarum ; unde in bac fe&tione mihi duæ quæf- tiones erunt pertraétandæ. Altera , quomode ex obferva- tis ejufdem ftellæ duabus altitudinibus cum tempore in- terea elapfo vera hora inveniri debeat ; altera verd quo- modo ex obfervatis duarum ftellarum altitudinibus vel fimul vel fucceflivè, ita ut intervallum temporis fit cogni- tum, verum tempus fit definiendum. $. 137. Quamwvis hæc problemata infignem habeant utilitatem , tamen iis carere poflemus, cùm ipfa poli ele« vatio non difhculter tam craflo modo uti in fetione præ- cedente affumfimus , æftimarjgueat, atque ad id vix opus fit inftrumentis. Deinde etiam putaverim nunquamintet- mittendas effe obfervationes , ex quibus elevatio poli con- cludi pofñlit, ficque vix evenire poterit ut quoties ftellæ fint confpicuæ , elevatio poli fit ignota; nifi fortè poft-1on- gam turbidam tempeftatem nubes diffipare incipiarit, ftellafque aliquot tranfmittant , quo cafa neque elevatio poli cognita, neque fi fatis accuratè æftimari poflet, de- le@us ftellarum ad obfervandum permitteretur. $. 138. Quod igitur ad prius problema attinet, quo gadem ftella bis interje@to quodam temporis intervalle Prix. 174% | X Fig. VIII 162 MEDITATIONES MECHANICÆ cognito obfervatur , folutio omnino fimilis erit ei, quam fuprà pro determinatione temporis ex duabus altitudinibus folis fucceffivè obfervatis tradidi. Quamquam hoc pro- blema cafu antè allato , quo cœlum plerumque nubibus eft velatum , nullum ufum habere poteft, propterea quod ignoramus, quamnam ftellam poft aliquot tempus iterùm fimus vifuri. Tum verd hic modus nimis prolixum calcu- Jum requirit,ut equidem mallem alio modo uti, dummodo hiceret. Interim tamen folutionem hujus problematis , ne ullam quæftionis partem prætermilifle videar, breviter ex- ponam. $. 139. Primüm igitur ftella obfervata vel erit fixa , vel planeta ; priori cafu ejus afcenfio re£ta, & declinatio ma- nebit invariata ; pofteriori vero inquirendum eft , quantûm utraque intervallo temporis inter obfervationes elapfi fit mutata , quod ex ephemeridibus facilè colligitur. Deinde etiam ex æftimatione itineris difpiciendum eft, quantüm navis tam longitudo quam latitudo interea immutetur. In- veftigetur porro verum temporis momentum, quo ftelfa per meridianum alterius loci , quo navis tempore alteru- trius obfervationis eft verfata , tranfear , unde fimul ex va- riatione longitudinis navis & afcenfionis reétæ ftellæ, fi fuerit planeta, verum culnaipationis tempus fub altero mes tidiano patebit. $. 140. His præparatis, fit 4 P diftantia ftellæ à polo in prima obfervatione , 4 P in altera : ac definiatur angu- lus 2 Parite , tam ex intervallo temporis, quäm ex mu- tationibus afcenfonis reétæ, fi ftella fuerit planeta, & lon- gitudinis navis, fcilicer, rempus inter obfervationes elap- fum convertatur in angulum per pag. 94 Notitiæ tempo- rum Parifine. Ab eo vel fubtrahatur , vel addatur variatio afcenfionis reétæ , prout ea interea vel crefcat vel decref- cat, Mutatio autem longitudinis navis addatur, fi curfus in ET ASTRONOMICEÆ. 163 orientem fit direëétus, contra verd fubtrahatur , hocque modo habebitur verus angulus ad polum 4 Pa. $. 141. Per punéta Z & a duëtus concipiatur arcus cir- culi maximi 4 4, & in triangulo fphærico A Pa, ex datis lateribus 4P, &P, cum angulo intercepto APa, quæ- rantur anguli PAa, PaA cum latere a. Deinde fit APZ angulus verus horariu$ pro tempore primæ obfer- vationis , eritque 4 PZ angulus horarius pro tempore fe- cundæ obfervationis quæ ad eundem meridianum HZ PO fit perduéta, dum variatio fongitudinis jam in angulo 4 Pa eft inclufa , fupereft ergo ut pofitio hujus meridiani HZ PO refpeétu arcuum 4 P & a P definiatur. $. 142. Capiatur PZ æqualis complemento elevato- , ais poli in prima‘obfervatione , & Pz complemento ele- vationis poli in obfervatione altera , erli utraque eft inco- gnita ; quo faéto erit arcus Z 4 diftantia ftellæ à zenith in prima obfervatione, & za in altera ; ideoque utraque per obfervationes dantur. Erit ergo Z'z variatio latitudinis , quam navis interea fubiit, ideoque cognita, quæ plerum- que valdè erit parva & pro nihilo haberi poterit. Primd autem hoc intervallum reverä rejiciam, quo calculus fa- ciliüs inftitui queat , & deinceps in errorem inde oriun- dum inquiram. $. 143. Incidatergo zinZ , utfit Zaza, & quia in triangulo 4 Z a dantur fingula latera, /Z, aZ & Aa, hinc colligentur anguli ZA 4 , Z'a À, & quia jam antè in- - venti funt anguli PA4a, Pa A, hinc innotefcent anguli ZAP ,ZaP, unde in utroque triangulo Z AP, ZaP tres res erunt cognitæ ; fufficiet autem alterum ZaP evol- viffe , in quo ob data iatera 4Z, a P cum angulo Z a P reperientur, 1. Latus PZ, complementum elevationis poli. 2. Angulus 4aP 7, ex eoque angulus 4 PZ. Et 3. an- gulus azimuthalis PZ 4, | Xi 164 MEDITATIONESs MECHANICEÆ -$. 144. Quod fi jam variatio latitudinis Z + alicujus momenti effe videatur , quia invenimus angulum PZ' a, ei proximè æqualis erit angulus P z a; fufhicit autem hunc angulum propemodum tantüm noffe. Ex Z ad za demit- tatur perpendiculum Z #, pofitoque angulo Zz#—6, œitzu=— Z x co]. 8 : quo ablato ab 4 Z remanebit as, cui aZ eft æqualis. Jam pofito hoc valore 4Z loco ejus, quo antè fum ufus , calculus in 6. præced. præfcriptus repeta- tur, ut tam vera elevatio poli ex P Z & tempus quæfitum ex angulo 4 PZ vel a P Z concludi queat. $. 145. Angulus, fcilicet, 4 P Z hoc modo inventus in tempus convertatur per tab.p.9 3,Nor. temp. hocque tem- pus ad tempus culminationis ftellæ fub meridiano primæ obfervationis addatur , vel ab eo fubtrahatur , prout obfer- vatio vel poft, vel ante ejus culminationem fuerit inftitu- ta, ficque habebitur tempus verum folare pro momento primæ obfervationis ; unde facilè angulum Z P a fimiliter in tempus convertendo,deducetur verum tempus pro mo- mento pofterioris obfervationis. . $: 146. Pater ergo hoc problema, quod fi calculo ana- lytico aggredi velimus , in intricatiflimos calculos nos fe- ducerer, fine ulla difñicultate, per fola præcepta Trigo- nometriæ folvi poffe , neque folutionem variationibus tam afcenfionis reétæ & declinationis ftellæ, quam longitudi- nisac latitudinis navis ; quæ res alioquin calculum fum- moperè impedire videantur , quicquam perturbari , ita ut in hoc negotio major calculi fublevatio exfpeétari quidem poflit. $. 147. Alrerum problema ; quo tempus ex duabus obfervationibus duarum ftellarum vel fimul vel fucceflivè faëtarum determinare jubemur, maximam fæpe utiliratem babere videtur, quando inter nubes tantim hinc inde ftellæ tranfparent, tum enim, vel fimul vel fucceflivè ET ÀÂASTRONOMICÆ. 165 duarum ftellarum altitudines obfervari potérunt, dum fortè eadem ftella non ampliùs denuo fe fpeétandam of ferat , neque propterea priori problemati locus conceda- tur. Commodo autem ufu venir, ut folutio hujus proble- matis non difficilior evadat quàm præcedentis. $. 148. Excerptis ergo duarum ftellarum, quas obfer-- vamus tam afcenfionibus reétis , quàm declinationibus, definiantur earum tempora culminationis , pro meridiano fub quo navis tum verfatur, atque fi intervallum obferva- tionum fatis fit notabile, fimul variationis longitudinis, quæ in mari evenerit , ratio habeatur , quemadmodum fu- prà eft preceptum, fimul vero in utraque obfervatione no- tetur, utrüm ante an poft culminationem inftituatur. $. 149. Si ambæ obfervationes eodem momento infti- tuantur , tum differentia afcenfionum reétarum dabit an- gulum ad polum PB , fin autem ab obfervatione fteliz À ; ad obfervarionem ftellæ B , tempus quoddam fit præ- térlapfum , tum id in angulum convertatur , ifque ad an- Fig. IX, gulum antè inventum 4PB fuperaddatur, fimulque varia- tionis longitudinis navis interea faétæ ratio haberi poterir, quæ ad illum angulum addatur , fi navis orientem versùs fératur, contra vero ab eo fubtrahatur. $. 150. Cùm hoc paéto vera quantitas anguli ad polum APB fuerit definita , fumatur arcus 7 P æqualis diftan- tiæ prioris ftellæ à polo, & P B æqualis diftantiæ pofte- rioris ftellæ à polo , ducaturque arcus cireuli maximi 4B; atque in triangulo fphærico 4PB ; ex datis lateribus 4P & BP cum angulo intercepto 4 P B,, fupputentur anguli .PAB , PBA, cum latere AB. $. 151. Deinde duûus concipiatur meridianus HZ PO utrique obfervationi communis five ambæ fimul fint fa@æ, five interje&to quodam tempore, quod fieri pole fupra jam eft oftenfum: fitque.ZP complementum elevationis X ii 166 MEDITATIONES MECHANICÆ poli pro priori obfervatione , z P verd pro pofteriori; ; fiqui- dem latitudo navis inter obfervationes variationem quan- dam fuerit paffa. Primâ tamen calculi operatione hoc dif crimen Z + negligatur ; ita ut arcus 74 & Z'B reprefen- tent complementa altitudinum ftellarum obfervatarum. $. 152. In tiangulo ergo fphærico 4ZB cùm data fint tria latera 4B , AZ & BZ , computentur anguli Z 4B, ZBA; hincque colligantur anguli Z AP & ZBP, quo faéto velin triangulo ZBP, latera ZB, PB, cum angulo ZBP : unde porrd complementum elevationis poli PZ cum angulis horariis ZP A & ZPB invenientur, ex qui- bus vera tempora obfervationum re@è concludentur ; fi- quidem variatio latitudinis navis, quæ per Z2, expri- mitur nullius fuerit momenti, ut plerumque fit, fierique præftat cum una obfervatione abfoluta nihil obftat , quo minus ftatim alteram fufcipiamus. $. 153. Sin tamen nihilominus tempus quoddam nota- bile inter tempora obfervationum præterfluxerit , atque variatio latitudinis Zz interea faëta fine errore negligi ne- queat, tum faltem fuperior calculus azimuthum PZB fatis prope indicabit , & cùm jam arcus ZB veram diftantiam ftellæ B à zenith exhibeat , demiflo perpendiculo zx, de- finiri poterirparticula Zu, quæ fecundèm figuram ad ZB addita , dabit veram longitudinem arcùs ZB, qu in fupe- riori calculo jam repetendo pro ZB uti oportebit. $. 154. Si igitur ex tribus lateribus trianguli 4ZB de- nud angulus Z AB determinetur , ab eoque angulus P AB fubtrahatur, fiquidem figura ad cafum propofitum fit ac- commodata, remanebit angulus ZAP, ex quo & arcubus . ZA, PA, reperietur cm vera quantitas PZ arcus, tùm He horarius Z P À , qui debito modo in tempus cor- verfus indicabit quanto tempore obfervatio ftellæ À vel ante, vel poft ejus culminationem fit fa@ta. Prix dez745. Planche I. Page 167. [ Prix de1745. Planche IL Page 167 . Praz de 1745. Planche IL Page 167 | ÉT ASTRONOMICÆ. 167 $. 155. Supereffet ut quoque de fele@ione ftellaram ad certitudinem obfervationum maximè idonearum plura ad- jicerem ; fed quoniam fi cœlum eft ferenum , & deleëtus conceditur, methodis in fuperiori feétione traditis potiùs uti conveniet; pauca tantüm annotabo , quæex præceptis fuprà traditis facilè confequuntur. Primüm ergo ad hoc ftellas non procul fupra horizontem elevatas eligi debere perfpicuum eft, quæ declinationem habeant borealem , fed exiguam; fiquidem navis in hemifphærio boreali ver- fetur. Deinde conclufio erit eo certior qud magis ftellæ in afcenfione reéta difcrepent. Quamobrem tutiffimum confilium erit, ut altera ftella prope horizontem orientem, altera prope occidentem eligatur. aie 2 ces bts S16 Boire Dos be £ Je ME nimes: 0Y JS net srdshiels » “14308 8 26 ER sue ès m4 BAT AR cr Mous Fra Le $ 20 sat 0 ‘u fete > on Pa 4 DE LA MEILLEURE MANIERE e DE TROUVER L'HEURE EN MER, PAR OBSERVATION; Soit dans Le jour; foit dans les crépufcules , & fur-tout dans la nuit, quand on ne voit pas l’horifon, k Dihil unquäm invenietur, fi contenti fuerimus inventis. Sen, Ep. LXIV; ES Prix, 174$. Y MAT AA ML SAN :: 34 Re M 7 (07 AIM MA SAUSHI AIVUOAT EG # À pret , + Fa 1 anetit B4 _n ssl eneb io ol olaeh so à Fe VUE Maur dc … Ha puit BKenab ee. î > Li Res 5: NEA hred be AE Leds LE Dee eme De ECM DIE NERO DEEE DES ÉDIE DER DEPEIETE DE PAIE DE EDITED > ao non Rn or Tone Vo Ton no D Sven Dr Te Ie Ven Ve Tor Se Dr Te Den Foro Por | DE LA MEILLEURE MANIERE DE TROUVER L'HEURE EN MER, PAR OBSERVATION, Soit dans le jour, foit dans les crépufcules, & furtout dans la nuit, quand on ne voit pas l’horifon. Nibil unquam invenietur , ff contenti fuerimus inventis.Sen.Ep. LXIV. N peut trouver l’heure en mer par l’obfer- vation de la hauteur , ou de Pazimuth, ou de différentes hauteurs, ou de différens azi- muths d'un aftre ou de plufieurs aftres, ou enfin par l’obfervation de la même hauteur ou du même azimuth de plufieurs aftres, ou du même aftre. Les Cadrans mobiles, les Anneaux Aflronomiques & autres inftrumens , fe rapportent à ces fortes d’obfer- vations, Ainfi nous diviferons cette Differtation en trois Par- ties. Dans la premiere , nous examinerons lesinftrumens les plus propres à ces obfervations. Dans la feconde, nous choifirons parmi les différens ufages de ces inftrumens, ceux qui nous paroïront plus fürs & plus faciles pour trouver l'heure en mer , furtout pendant la nuit. Et dans Yi Fig. L 72 MANIERE DE TROUVER L'HEURE EN Mr: la troifieme, nous verrons en quelle rencontre l’erreurdes infttumens influe moins fur la détermination de l'heure. PREMIERE PARTIE. Examen des Inftrumens les plus propres à obferver en Mer La hauteur ou l'azaimuth des Aftres. $. 1. SR OUT le monde fçait que parmi les inftru- mens à prendre hauteur, on ne peut fe fervir la nuit à la mer , quand on ne voit pas l’horifon , que de ceux qui portent leur horifon avec eux, & que même ceux qui font à pinnules, comme l’Aftrolabe marin, ne font pas propres à obferver la hauteur des étoiles , parce qu'il eft prefque impoflible de vifer exaétement à une étoile par une pinnule percée d’un très-petit trou , pendant que lin- ftrument & le navire font dans l'agitation. Mais je crois qu’on peut corriger, ou du moins diminuer beaucoup ce défaut , en fubftituant à la pinnule inférieure de l’Aftrola- be marin, un miroir de métail, perpendiculaire au plan. de l’inftrument , & qui forme avec la ligne de foi de l’a- lidade , un angle de 45 degrés, en forte que l’alidade qui porte la pinnule & le miroir, ait toutes fes parties en équi- libre autour du centre de l’inftrument, qui doit être fon centre de gravité. On peut, au lieu de la pinnule fupé- rieure , placer une lunette. En effet, foit l’Aftrolabe marin TH V0 ; fa ligne ho- rifontale HO , & fa ligne verticale TAN. Imaginons la pin- nule ou la lunette au point T, & le miroir au point W, placé parallelement à la ligne A1 , laquelle fait un angle MANIERE DE TROUVER L'HEURE EN MER. 173 TCI ou ICO , de 45° avec la ligne de foy TC, ou avec l’horifontale H 0 ; il faut tracer au point M, fur le miroir, une droite perpendiculaire au plan de Pinftrument. Il eft clair que fi un aftre eft dans une ligne # N parallele à HO, l'œil en T le verra par réflexion , dans le point ÆV du mi- roir , ou plutôt dans la direétion TN; parce que l’angle d'incidence # N 4 ou HC M eft égal à l’angle de réflexion TNJ,ou TCT, tous ces angles étant chacun de 45°. Donc fi l’alidade TC defcend vers + d’un nombre quel- conque (#) de degrés , le point Z de la ligne MI, ou le point J du miroir # NJ, defcendant de même vers ;, & M montant vers m d'autant de degrés ; un aftre $ placé au même nombre » de degrés de hauteur, paroîtra dans le centre V du miroir, & la ligne de foiCr, marquera » de- grés au points. Car l’angle d'incidence SCm—SCH + SECONDE /"FARTIE. Der ufage des inffrumens à prendre hauteur, © a-obferver l'Azymuth, pour crouver l'heure. E. Où trouve facilement l'heure par la hauteur du Soleil ou d’une étoile, & la plüpart des livres de navigation nous donnent la maniere de réfoudre cette queftion par le calcul & par le Quartier Sphérique. Il pa= roit cependant que le Quartier Sphérique a deux grands défauts. Le premier eft que dans les grandes hauteurs, on eft obligé de fuppléer au quart-de-cercle , qui manque à cet inftrument ; ce qui expofe à quelque erreur , par la petitefle des divifions de la ligne droite, qui fupplée à ce quart-de-cercle. Le fecond défaut eft que les divifions des heures fur les paralleles à l’équareur , font trop fer- rées auprès du méridien, & que les paralleles font auffi trop ferrés auprès d x » ce qui empêche de détermi- ner l'heure aflez exatement. Il vaudroit donc beaucoup mieux fubfiituer au Quar- . tier Sphérique , un demi cercle, divifé felon la projec- tion ftéréographique , qui fuppofe l'œil au pole ou au zé- nith. On verra par la conftruétion de cet inftrument, qu’il n'a pas les défauts du Quartier Sphérique ; car les méri- diens ou les azimuths , y font tous à diftances égales, & "les paralleles à l’équateur ne font ferrés que vers le pole, à proportion des tangentes de leurs demi-diftances au ole. : Ce demi-cercle fphérique contient les projeétions de’ Æig. VIL ax54 MANIERE DE TROUVE L'HEURE EN MER, tous les quarts de méridiens , qui font des lignes droites BP,CP,DP, &c. & les projeétions des paralleles à l'équateur, qui font différens.cercles concentriques, dont les demi-diametres P 10, P 20, &c. font les tangentes des demi-diftances de chaque parallele au pole P , par.où Ton voit de quelle maniere on peut conftruire & divifer cet inftrument. Mais pour en faciliter l’ufage, on élevera au milieu F du rayon PC, & au milieu R de FC, les droi- tes FG,RI, perpendiculaires à P C. En voici l’ufage dans da queftion préfente. La déclinaïfon du Soleil étant donnée, (par exemple, de 23° N.) la latitude d’un pays (57° 10’ NN.) ; la dif- tance au zénith (75°), on trouvera l'heure, en prenant fur P Ble point de la diftance du Soleil au pole Nord (67°). Sila déclinaifonétoit Sud , on trouveroit ce point far le quart-de-cercle BC. Enfüuite on comptera de part & d’autre du point trouvé (67°) vers P & B, la diftance du Soleil au zénith (75°) ; on aura à main droite du point P dans cet exemple , le point marqué 8 ; & à main gau- che, en defcendant du point B vers C, fur le quart-de- cercle, le point marqué 142. Enfuite ayant attaché un fil au point le plus bas C, on le tea fucceflivement fux les deux derniers points trouvés (8 & 142). Ce fil ren- contrera la ligne G F, prolongée en deux autres points, dont la diftance fera le demi-diametre d’un cercle , qui doit paffer par le premier point (8) , trouvé fur la ligne PB, & dont le centre doit être fur la même ligne, en- deça de P à main gauche. Décrivez donc ce cercle , qui viendra couper le parallele de la latitude donnée au point de la projeétion du zénith , par où pañle le méridien éloi- gné du cercle horaire P B (de 98°), ce qui réduit en £ems , donne l’heure requife ( 6 heures 3 2” après-midi), La raifon de cette méthode, eft que le zénith doit fe | trouver MANIERE DE TROUVER L'HEURE EN MER. 185$ trouver dans le parallele de latitude , & dans le petit cer- cle qui a pour pole le centre du Soleil, & dont la circon- férence’eft autant éloignée du Soleil que le zénith. Or le cercle décrit par la méthode précédente eft dans ce cas, felon les regles de la projettion ftéréographique : donc ce cercle doit déterminer le méridien de l’obfervation. Lorfque le fil tendu du point €, ne peut rencontrer la li- gne G Fqu’à une diftance infinie , ou prefque infinie , le diametre du cercle requis étant prefque infini, fa circon- férence doit être regardée fans erreur fenfible, comme une ligne droîte perpendiculaire à P B. Si le fil ne pouvoit pas couperG F, mais feulement IR, on doubleroit la diftance trouvée fur ZR , pour avoir le rayon du petit cercle requis. IT. Lorfque la latitude n’eft pas donnée, on peut trou- ver l’heure , non-feulement par Le calcul , qui eft trop dif- ficile pour les marins, mais encore par le demi-cercle fphérique , en prenant deux hauteurs inégales du Soleil le même jour , & obfervant la différence des téms; ce qui ne peut fe réfoudre qu’en tâtonnant & par hafard, lorf- qu’on fe fert du Quartier Sphérique. Par exemple, le So- leil ayant 19° 39’ de déclinaifon N. ou fa diftance au pole N. étant de 70° 21°. Si lon trouve fa diftance au zénith le matin de 51° 41”, & une heure & demi après, de 39° 35’, on trouvera très-aifément l’heure &x la latitu- de en cette maniere. Prenez de part & d'autre, du point de la diftance du Soleil au pole (70° 21/), comme dans le premier Article ; fa diftance au zénith ( $ 1° 41’), vous trouverez à main droite entre P & B, un point marqué 18° 40°, & à gauche fur le quart-de-cercle BC, le point marqué 122° 2°. Tendez le fil fur ces deux points ,il cou- pera GFen deux autres points, dont Îa diflance fera le rayon d’un cercle, qui doit pañfer par le premier ( 18° 40°, Prix, 174$: A a # Fig. IX. 186 MANIERE DE TROUVER L'HEURE EN MER. Prenez de même du point (70° 21°) de part & d'autre, la deuxieme diftance au zénith ( 39° 35); vous trouverez deux autres points ( 30° 46/à droite, & 109° 56/à gau- che), lefquels détermineront fur FG le rayon d’un autre cercle, qui doit paffer par le premier point( 30° 46”). Mais ce premier point ne doit pas être pris dans le méridien PB, qui appartient à la premiere obfervation ; on doit le prendre dans un autre méridien , qui fait avec P B un an- gle de 22° 30/, où de 1 heure <; & ce fecond cercle doit avoir fon centre fur ce fecond méridien. L'’interfec- tion de ces deux cercles déterminera le zénith , & par conféquent, le parallele de la latitude , que l’on trouvera marquée fur PC (de $1° 32’), & le méridien qui pañfe par ce zénith , faifant avec P B unangle de 52° 26’, on aura l'heure de la premiere obfervation , en divifant ce nombre par 15, ce qui donne ici 3 heures & demi de diftance à midi ou 8 heures 30’ du matin. On voit combien ce Problème eft urile à la mer, où fon manque fouvent l’occafon d’obferver la latitude à midi. Lorfque la diftance du Soleil au zénith eft fort petite; le rayon du cercle qu’on doit décrire étant petit, fe décrit fort aifément; mais lorfqu’elle eft fort grande, le rayon de ce cercle eft fi grand, qu'il eft difficile de le bien dé- crire , à moins qu'il ne foit prefque infini. III. Ce que l’on vient de dire, fuppofe que le navire ait été fans mouvement dans l'intervalle des deux obfer- vations ; mais fi le navire a fait route, on mefurera l'angle B AC compris par la route ÀB du navire, & l’azimuth 4.CS du Soleil ; & achevant le triangle rectangle 4CB, on trouvera par le calcul, ou par le quartier de réduétion, ayant réduit en degrés la roure 4B , quel eft le mouve- ment 4C du zénith vers le Soleil S :enfuite on rerranchera MANIERE DE TROUVER L'HEURE EN MER. 18 1C de la premiere diftance 4$, fi on a fait route du côté du Soleil , ou bien on l’ajoütera à cette même diftance, f on a fait route du côté oppofé au Soleil. Par ce moyen, on aura la diftance du Soleil au fecond zénith B dans la premiere obfervation, & faifant l'opération avec cette diftance & avec celle de la derniere obfervation, on aura deux cercles qui fe couperont au zénirh de la feconde ob- fervation , ce qui donnera l'heure. Si la diftance entre les deux obfervations furpañle 1 2 heures; fi elleeft, par exemple, de 14 h£ures dans le même jour, ôtez 1 4 de 24, le refte 10 fera la différence des rems. On aura feulement égard à la variation de la dé- clinaifon dans 14 heures. Si la diftance entre les deux obfervations furpafle 24 heures, par exemple, fi elle eft de 26, on doit opérer comme fi elle n’étoit que de deux heures, mais en difié- rentes déclinaifons, M. Graham, de la Société Royale de Londres, propofe dans les Tranfaétions Philofophi- ques, au lieu de ce demi-cercle fphérique, une partie d’un grand globe, dont le demi équateur eft divifé en heu- res & minutes. Un compas circulaire , fixé à la diflance du Soleil au zénith, fert à décrire deux arcs-de-cercle, qui, par leur interfeétion , déterminent le zénith. Il eft certain que cet inftrument eft fort fimple , mais il doit être trop grand & trop difpendieux , pour être utile à la navigation. La dépenfe & l'embarras des grands inftru- mens, empêchent toûjours les Pilotes de s’en fervir. C’eft ce qui m'a dérerminé à propofer le demi-cercle fphéri- que. IV. On peut , au lieu de la diftance horaire des deux obfervations , prendre la différence des azimuths; alors le centre P du demi-cercle fphérique, repréfentera le zé- nith, & ayant pris fur l’azimuth P B, la difiance du Soleil » Aa i] Fig. VILL 183 MANIERE DE TROUVER L'HEURE EN MER au zénith, on comptera de part & d'autre fa diftance au pole, pour avoir le demi-diametre du premier cercle. On fera la même opération fur le fecond azimuth, pour avoir un fecond cercle, qui, par fon interfeétion avec le pre- mier, déterminera le pole & le méridien. Mais pour trou- ver l'heure , ayant trouvé par ce moyen la latitude ; on fe fervira du premier Article de cette feconde Partie, ou des regles ordinaires de la projeétion ftéréographique , qu'il eft inutile de répéter ici. V. Quoique les deux cercles tracés dans les deux Ar- ticles précédens, fe coupent toûjours en deux points, ik ne fera pas difficile de diftinguer celui des deux points qui. repréfente le pole ou le zénith , comme dans le demi- globe de M. Graham. Si l’on joint ces deux diftances en- femble , celle des tems , & celle des azimuths, on fera plus affüré de l'heure & de la latitude. : VI. On peut trouver l’heure & la latitude par différen: tes hauteurs de deux étoiles , en Les regardant comme une feule étoile , dont la hauteur & la déclinaifon auroïent va- rié, & prenant la différence de leur afcenfion droite, pour la différence des tems , on auroit cet avantage fur les mé- thodes précédentes, que celle-ci feroit indépendante du mouvement du navire; parce qu'on pourroit obferver les deux étoiles prefque en même tems. VII. La méthode la plus facile,& peut-être la plusfüre, pour trouver l’heure à la mer pendant la nuit, eft d’obfer- ver le moment auquel deux étoiles font dans le même azimuth, ou paroiffent à plomb l’une fous l’autre. Car fi l’on connoît la latitude, on trouvera l'heure, ou par le calcul, ou par le demi-cercle fphérique. En effet , foit P le pole du monde, Nord ou Sud , le plus près des deux étoiles obfervées, ou le centre du demi-cercle fphérique Soient PE, PA, les deux méridiens où fe trouvent les MANIERE DE TROUVER L'HEURE EN MER 189 étoiles obfervées E & A. L’angle 4 P E doit être égal à la différence de leurs afcenfions droites, & les lignes PE, PA, doivent être les tangentes de la demi-diftance de chaque étoile au pole. Faites paffer par les points E & 4, un grand cercle ZE Z , felon la méthode de cëtte pro- je&tion; ce cercle repréfentera l’azimuth des deux étoiles, & coupera le parallele de latitude en un point Z, qui marquera le zénith; la ligne droite Z P M ferale méridien du lieu de l’obfervation. Donc on aura l’heure 4 P M de l'étoile 2, ou E P M de l'étoile E. Or la différence de lafcenfon droite de chaque étoile & du Soleil, donne l'heure requife. On voit aflez qu'on peut trouver la même chofe plus exaétement par le calcul. Car dans le triangle fphérique E P À, connoiflant E P, AP, & l'angle P , on aura l’an- gle 4, & dans letriangle Z 4P , avec l'angle 4 & ZP, & AP, on aura l'angle horaire Z P À. VIII. Si la latitude n’eft pas donnée, ou fi l’on n’en eft pas aflüré , il faut-avoir deux obfervations femblables de 4 étoiles, pour trouver en même tems l'heure & la lati- tude. Car foient deux autres étoiles 4 & e, qui fe trouvent dans un même azimuth, outre les deux premieres 4&E, & fuppofons que le zénith ou le navire n'aient point chan- gé de place. Prenez les angles 4Pa,aPe, égaux aux différences d’afcenfions droites des étoiles 4, a &e, fi les deux obfervations ont été faires en même tems : mais fi la deuxieme obfervation a été faite plus tard que la pre- miere, ajoûtez à l'angle 4 P a, la différence des tems ré- #duite en degrés, & ayant placé les étoiles 4 & e dans leur cercle de déclinaifon , vous ferez pafler un grand cercle par les points 4 & e, qui coupera le premier azimuth A EZ au point Z, & ce point donnera le zénith & la la- titude. L’angle 4 P M fera l'angle horaire de l'étoile 4. Aa ii 90 MANIERE DE TROUVER L'HEURE EN MER. Par le calcul; connoifflant P E, Pe, & l'angleEPe, on aura l'arc de grand cercle Ee, & les deux autres angles du triangle EPe; & parle moyen des triangles EP 4, ePa, ayant les angles 4EP,aeP, J'aurai les angles ZEe, ZeE,, & par conféquent, le côté E Z au trian- gleEZe, & l'angle E PZ requis, ce qui eft trop long & trop difficile pour le commun des Pilotes. IX. Si le navire a été en mouvement dans l'intervalle des deux obfervations , le point Z n’eft pas le zénith ; maisle | zénith doit s'être trouvé dans l’azimuth E Z, au tems de la premiere obfervation, comme en F7, & dans l’azimuth e 2 , au tems de la deuxieme comme en #. Donc connoif- fant la longueur de l'arc /4 , décrit par lenavire, & l’an- gle Z Vu ou Zu dela route, avec l'azimuth EZ ou e Z , par le moyen de la bouflole, on aura la correétion Zu, en difant : Comme le finus de l'angle Zu, que font enfemble Les deux azimuths, eft au finus de l’arc 74 de la route que l’on prend pour l'arc d’un grand cercle ; ainfi le finus de l'angle 7” de la route avec lazimuth de la premiere obfervation , eft au finus de l’arc Z#, ou de la correétion, ce qui donne la diftance P # du pole au zé- nith, & l'heure #Pe de l'étoile e. X. Si la différence en afcenfion droite des étoiles E & À eft nulle , le triangle PZE s’évanoüit, & il n’eft pas néceffaire de connoître P Z pour avoir l'heure. Le cas eft le même , lorfque la différence en afcenfion droite eft de 180°. Mais dans ces deux cas, les deux étoiles ne font dans le même vertical, que l’orfqu’elles font dans le mé- ridien. Ainfi l'heure fe trouvera par la différence entre $ leur afcenfon droire & celle du Soleil, XI. Plus l'une des étoiles E eft proche du pole, moins l’obfervation dépend de la latitude ; en forte que fi l'étoile polaire éroit dans le pole même, il ne feroit pas néceflaire MANIERE DE TROUVER L'HEURE EN MER 191 de connoître la latitude en fe fervant de cette étoile; c’eft pour cela qu’elle eft plus utile qu'aucune autre à cette ob- fervation , fur tout dans les petites latitudes. Car fi le zé- nith étoit dans l’équateur , l'azimuth de cette étoile le plus éloigné du Nord , n’en feroit éloigné que de deux degrés. On doit donc fe déterminer à l'étoile polaire, & chercher , autant qu'il eft poflible , une autre étoile, qui differe très-peu de celle-ci en afcenfon droite, pour trou- ver l’heure plus exaétement. XII. La latitude étant donnée avec la fituation de deux étoiles , que lon fuppofe à la même hauteur dans le mê- me tems , on peut trouver l’heure par le calcul , ou par le demi-cercle fphérique. Car en fuppofant ici la dénomi- nation des principaux élémens de la fphere, tirée de l’Af tronomie Nautique de M. de Maupertuis, le calcul, dans le Problème 29 , donne r5x—rsx=cyw—cyu. Mais par les principes de la Trigonométrie re@iligne, nom- mant 4 le finus de la différence d’afcenfion droite des deux : 2m D étoiles , & à fon cofinus, on a #r—ut—7ra& = ED cyta—cybu r +rrsx +cyta=cybutkcyru. On trouve la même chofe par le demi-cercle fphérique , en y appliquant les regles connues de la projeétion. XIII. Comme il eft difficile de trouver deux étoiles qui arrivent en même tems à la même hauteur, on peut atrendre que la deuxieme étoile arrive à la hauteur de la premiere ; & obfervant la différence des tems, la queftion fe réfoudra comme fi la deuxieme étoile avoit une plus grande ou plus petite différence d’afcenfion droite avec la premiere. XIV. On peut appliquer la même réflexion à la métho- de de l’Art. VII. Car fi par un compas de variation, on ce qui donnersx—rsx= —CYH,OU—TrS x Voyez ci= après, P. 1945 la Figure & les Formules, 592 MANIERE DE TROUVER L'HEURE EN MER: connoît l’azimuth EA de l'étoile £ , & qu’une autre étoile arrive au même azimuth £ 4 après un tems déterminé , on trouvera l'heure de a même maniere. XV. Si on obferve quatre étoiles qui aient de deuxen deux la même hauteur , les deux dernieres donneront un nouvel azimuth différent du premier, & l'interfeétion des deux azimuths déterminera le zénith, la latitude & Pheure. XVI. Si le navire a été en mouvement dans l'intervalle des deux obfervations , on trouvera le zénith par la mé- thode de l'Article IX. XVII. On a différentes méthodes pour trouver l'heure _par l’azimuth d’un aftre , & la latitude donnée. Car ayant 1a diffance P Z du pole au zénith, langle de lazimuth EZ avec le méridien P Z, & la déclinaifon de l’aftre, ou fa diftance au pole E P, on aura l'heure Z P E. Mais pour {a trouver fur le demi-cercle fphérique , il faudra décrire un azimuth EZ , qui fafle avec le méridien PZ l'angle donné, felon la méthode de cette projeétion. Cet azi- muth coupera le parallele de la déclinaifon de l'aftre en quelque point £, & le méridien P E donnera l'angle ho- raire ZPE , que l’on réduira à l'heure folaire. XVIII. On peut encore trouver l’heure par la feule différence des azimuths de deux étoiles, ce qui ne dépend pas de la variation de la bouflole , comme les méthodes précédentes. Mais le calcul en et très-dificile, & la quef- tion fe réduit à un Problème du quatrieme degré. Car en me fervant des formules, dénominations & figures de M. de Maupertuis , foir 4 le finus de la différence des af- cenfions droites ; # le cofinus ; f le finus de la différence des azimuths, & g fon cofinus. La troifieme Formule de M. de Maupertuis , donne rn SU—CXx “a LA 7 = (en prenant x = =, pour la tangente de la délinaifon MANIERE DE TROUVER L'HEURE EN MER 109% »2 su'—cx" r UT h ru! déclinaifon d’un aftre) & = — pour un autre af- gm—fn Dee TE vn' _- frm+grm mn) TE - = LEE" LS tre; mais M — onc Sn \ LL vne \ frrigrsu—grox __ su—cx : (à caufedem— 7) DER mais bt— au en nous avons # — s& 4 — . Donc en fubfi- me dr e.4 ast+bsu—crx" grifutfes Dan, © Ce qui donne l'équation fuivante : tuant ces valeurs, on aura : DE — grx sx agris Je bc bccf — au sx — rss b c 7 cc — ax = — agrx = rxx bc bcf b grrse LI bcf , que l’on peut exprimer ainfi: 1t+ À + Cu t+Buæ+Dr—o, Et réduifant enfuite la valeur de#=W/;; __;;, on aura: At Bt C8 —Dit — C5 — Br o—=D B — © — — ——— — — REPX +Cre. 2r 2r 8 r5 8r3 16 rÿ &c. it & par le retour des fuites, on aura, felon la Formule du P. Renaud, p.437, premiere édition, de l’analyfe dé- montrée , 550 DE Er 2rr+Br = ) 2r—B B (r)+ Acrr-hecr —D)\; Ra Cr ETUTA A+Cr Er 2(4+cr)s : 5) + &c. c’eft-à-dire, pour les deux premiers termes , agns—bfrrss—cefresbcfrrie#befris=acgrrx —begrx—acfsx+cgrrx—accefr : —agrrs+bfrss<+ccfxx"\z (—:écfrr—frrs—bfrixtagrrs) x nr an) 2(—bgrxmafsxtgrre macfr) Prix. 1745. Bb = Fig. X. 194 MANIERE DE TROUVER L'HEURE EN Mer: Lorfque f== 0, la premiere équation donne celle du Pro- blème 26. de M. de Maupertuis ,rras—=rcxt—bext + acxu, & le premier terme de la fuite, donne rras =rext— bext+acrx. Lorfque b—o , l'équation —cfsx'utcogreu—gris+ccfxx coju+cfsx—cgrx ou que le pole eft au zénith , on trouve dans l’équation &c dans la fuite , t infini ; ce que l’on fçait d’ailleurs. Si l'on fuppofe x & x/— 0 ; on trouvera par l'équation: + Lorfque c—0; donne + — LE aa + abgrs —bbss Tea abgrs hs) fbss ag? 1 DB ENT ESS) Put ( + abgrs œe. 2 #) As 2 . . tt+A Pour conftruire cette équation, ah #+ Ba Dr=—=0; par le moyen de l’hyperbole entre fes afymptotes , dont È : F4 les coordonnées foient x & y ; faifons 4==—Cu—+ B . X—t—A B : Hx&i=y—"T,cequidones=——+xs, & l'équation devient x y — ee + ce +Dr=o.On voit aflez la conftruétion qui réfulte de cette rédu&ion ; & combien ce Problème eft important, puifqu’il eft in- dépendant de la réfraétion & de la variation de la bouflo- le. On pourroit le rendre plus facile , par le moyen d’u- ne Table, ou d’un Inftrument Géométrique. FIGURE ET DE'NOMINATIONS DE L'ASTRONOMIE NAUTIQUE. LP rayon CP —=r. | Le finus de la déclinaifon de l’aftre CB =x, fon cofinus DB— y. Le finus de la hauteur polaire P 0 =5s, fon cofinus COQ = Co MANIERE DE TROUVER L'HEURE EN MER! "og Le finus de la hauteur de l’aftre CG=b, fon cofinusG L ouGE—=R. Le finus de l'angle horaire +, fon cofinus —#: Le finus de l'angle azymuthal —# , fon cofinus =». FORMULES. TO ærsh=rsx—cyu. IL. rrx+nck=rsh. IL. Mais : l'équa* . rrkdH tion du cercle donne aufli, #:r::du:dE= ——, Bbij —( en fubftituant la valeur de dh) To6 MANIERE DE TROUVER L'HEURE EN Mer: Cette expreflion fait voir combien une erreur commi= fe dans l’obfervation de la hauteur d’un aftre ; influe dans le calcul de l'heure ; puifqu’en fe trompant de la quantité rrkdh d'H dans la hauteur , on fe trompe de la quantité —— 3 dans la détermination de l'heure. Ainfil’erreur de la hau- teur eft à celle de l'heure comme ty eft à rrk, ou en fuppofant c & conftantes, comme z eft à k : c’eft-à-dire , que lerreur de l'heure fera d’autant plus petite, que la hau- teur fera plus grande, & l'heure plus près de 6 heures ; puifqu’alors lé cofinus k de la hauteur , fera plus petit, & le finus # de l’heure plus grand. Par conféquent, on doit préférer les aftres qui font auprès du cercle de 6 heures, & ceux qui font plus élevés ; d'autant plus que ceux-ci font moins expofés à l'erreur de la réfraétion. rrkdH tcy 3 II. Pour trouver le minimum de cette valeur jen prens la différence , en fuppofant d'H, c & y con- ftantes ; & l’égalant à l'infini, je trouver =#,out—0o; ceft-à-dire, que la plus grande erreur dans l'heure , eft lorfque l’aftre eft au méridien; ce que lon fçait d’ailleurs. Mais fi on égale FA différence à zéro, ontrouve dk —kdt, ou . =. Subftituons à cette raifon , fa va- leur tirée de la ip ve formule de M. de Maupertuis, . vus: d + rrdh= cydu, où +rrukdk= —cythdtr, ou ee =+ re ; ce qui donne cyth—"“Hrrukk, ou krVu =? Vhey, lorfque 'aftre eft au-deffus du point B , ou en- tre 6 heures & midi , conformément à la note du problè- me I. de l’Aftronomie Nautique. Mais lorfqu’il eft au- deffous, la valeur de k eft imaginaire. Ce qui fait voir qu'il faut chercher la moindre erreur dans les hauteurs qui font entre midi & 6 heures, & non pas au-deflous. Er en MANIERE DE TROUVER L'HEURE EN MER! 97 : rrkdH effet, fi k étoit = o, l'erreur ce quet feroit = o. Subftituons dans cette formule la va- ne feroit pas— 0; par- M À leur dk —>##2, nous aurons le moindre dE =rdHY Te Ce qui fait voir"qu’entre midi & 6 heu- res, on die va 28 la moindre hauteur & la moindre diflance à midi. Re Co t p/hcy L'équation k = <# — , donnew rr (rr—hh) =tthcy , + 2 t1CY Fr 1#ccyy d , & = — +7 ——. Sit=r,ouz==0, l'aftre LUI — Auur+ étant au cercle de 6 heures, la quantité sr difparoîtra , & lon aura h — ©. Donc dE (= rdHW 2) feroit alors —r d HV? ou Ur, Quelle eft la valeur de cette fraétion ? ? M. le Marquis de l'Hôpital prefcrit (Ar- ticle 163, des infiniment petits) d’en différentier le nu- mérateur & le dénominateur ; ce qui donne encore ici ©: & M. Jean Bernoulli veut qu’on prenne une 2° 3° 4°, &c. différence des deux termes, jufqu'à ce que la fraétion s difparoifle. Mais cela ne fuffit pas dans le cas préfent, puifque quand même on prendroit une infinité de diffé- rences , On trouvera toûjours ? , ce qui vient des incom- rblés. Il faut donc en “délivrer cette fration , & rrhdH? faire dE?= Du ? & différentiant 1es deux termes , on dH°rrdh aura —"— ; & par la fubftitution deT — ©, on aura dE = dH, He h & u —0o: ce qui Ê ET comme la méthode de M. le Marquis de l’ Hôpital, en faifant AB =trr, AP=rt, PN=h, PO—=cyu, & PM— se Cela peut aufli fervir à perfeétionner la méthode de M. Bernoulli. Bb ii 198 MANIERE DE TROUVER L'HEURE EN MER. III. Dans ce moindre rdH il y a encore un moindre , qui eft le minimum minimorum. On le trouve en égalant à us la différence de cette 00e ce qui dh dh : donne = — Le & erfubftituant la valeur 2 A CE 4 C x Je . on aura =. Donc le minimum eft—dH; ce qui fait voir que la moindre erreur pofible , eft égale à celle ucC de la hauteur , & cette erreur eft dans le cas de À — 2 k : : : rrkdA Si l’on fubftitue dans la premiere formule —— , a valeur de yr— m k, tirée de la $° de M. de Maupertuis, rrdH on aura ——, &l’on verra clairement que l'erreur de l'heure ne fo pas être moindre que celle de la hauteur, puifque le quarré rr ne peut pas être plus petit que le reétangle cm: mais comme ce quarré peut devenir infini- ment plus grand que cm , l’erreur de heure peut devenir infinie , par rapport à celle de la hauteur , & c’eft lorfque coum— 0o ; mais cela ne doit s'entendre que dans le cas des deux erreurs infiniment petites : car fi l’on fuppofoit celle de la hauteur finie, on ne pourroit pas conclurre que l'erreur de l'heure ft infinie. Comme dans le cercle dont les appliquées font #, & les coupées depuis le cen- tre, font h, l'équation étant rr—hh—kk, on trouve bien que dH:dh::r:k, & que dans le cas dek—0o, d'H eft infini par rapport à dh; parce qu'alors k devient 17, & dh— 0 ; mais on ne peut pas dire que dh devenant une quantité finie , d H foit réellement infinie lorfque k = ©. On voit ici qu’on doit préférer les aftres les plus près du premier vertical , dans lequel” = ; l'erreur dE étant # . , . alors — dH. Si c éroit encore =, ou le pole dans MANIERE DE TROUVER L'HEURE EN MER. 199 l’horifon, l'erreur dE feroit— d H. En genéral l’erreur de en taïfon compofée inverfe du cofinus de la hauteur polaire , & du finus de l'angle azymuthal. Si dans la valeur trouvée de k= — 2 on faite r, & y=r; c'eft-à-dire, fi l'aftre eft dans l’équateur, & le po- le dans l’horifon, on aura dE — dH; & fi l’on avoit fubfti- tué ces deux valeurs y —r, & c—r, dans la premiere é à kdH à ,onauroittrouvédE=——; ce qui re- krrdH formule — cyt vient au même , parce que dans cecas,k—1,ouu—k#. IV. Si l’on fe trompe feulement dans la hauteur du pole, foit dS cette erreur, nous auronsr:c::4dS: 45 cds : . = —. La premiere formule de M. de Maupertuis nous donnera + rxds— cydu+ uydc, où rexdsuysds UYSETCX ds cjr TV & du — > & la proportion r:: du: dE donne dE — À On voit d’abord que dE= 0, lorfquesys= +ycx, Si laftre eft dans l'équateur, on ax—0,y—=r. Doncalors dE = Æ4d$, qui feroit = o: fi” ou S éteient =, c’eft- à-dire, file pole étoit à l’horifon, ou l’aftre au Cercle de 6 heures. Er en effet, dans la fphere droite, l'heure ne peut pas varier fans que la hauteur de l’aftre varie, & dans la fphére oblique , l’aftre eft toûjours dans le cercle de 6 heures , s’il eft dans l'équateur. Siu —=0, out=7r,dEfera= dS ; & fi de plus : — y, dE fera — dS. Il vaut donc mieux obferver les aftres qui font près du cercle de 6 heures, & dont la dé- clinaifon ef très-petite. Il eft inutile de chercher le minimum de cette formule ; 200 MANIERE DE TROUVER L'HEURE EN MER. puifque dE peut devenir 0, & c’eft lorfque #ys— urs AE MOADIOU RES —- an; is Van" V. Pour trouver de même dans quelle rencontre l’er- reur de l’azymuth (4 M) sn moins fur l’heure , nous nd} avons r:#:: d M: dm — . La premiere formule de + cydu M. de Maupertuis donne Fe 2; & Ja deuxieme , dk — ckkmdm = md Donc kk po ( Un nkyrsnncyh) ZE kkmrr De ns Re 5e du, ou du— Sa a du— (en fubflituant yr=mk) D rrkt LS rke — à M. Mais t:r7::du:dE Œnkrs+nnch C5 krsnch See 2e krsEchn On voit d’abord que l’erreur eft moindre, lorfque les aftres font au-deflus du point B , puifque dans ce cas le dé- nominateur eft krschn. Sis—r, ona dE —d M, lorfque le pole cf au zénith, En prenant ke différentielle de cette formule, & fi on l’ égale à zéro dans le cas de l’aftre au-deflus du point B, en faifant feulement k, &n variables , on trouvera (hhnæ+ kkn) dk—hhkdn, où dk— ui = dn= par la deuxieme formule —chhn—crrn de M. de Maupertuis) ER Donck = = Donc en fubftituant cette valeur de k dans la formule dE —rrk . H Yr+hh = a d M, on aura le moindre requis, = d M, Ce qui fait voir que l’erreur eft moindre , lorfque la hau- teur de laftre eft fort petite au-deflus du point B, & lorf que le pole ef fort élevé au-deflus de l’horifon. Le moin: dre au-deffous de B eft ne d M. Si lon fubftitue à la —_ *, tirée de la premiere formule de place de,fa valeur 207 © Prur de 174. Phnche I . Page Par de 85. Phnche I Pave so MANIERE DE TROUVER L'HEURE EN MER %ow de M. de Maupertuis, on verra que l’erreur eft moindre du côté du cercle de 6 heures , où # — 0 , dans les aftres - qui font au-deflus de B, ou plutôt dans ceux qui répons dent au point B. CONCLUSION. La meilleure maniere de trouver l'heure en mer par ‘obfervation , pendant Îa nuit , eft d’obferver le pañfage de deux étoiles par le même azymuth, parce que cette ob- fervation eft très-aifée , & qu'elle n’eft pas expofée aux erreurs de la réfraétion, de la variation de la bouflole , & de la fufpenfion des inftrumens à plomb. Un fil à plomb fuñir , Torfque deux étoiles font dans le même vertical. La meilleure maniere pendant le jour, eft de prendre deux hauteurs du Soleil, & d’obferver la différence des - tems & des azymuths ; parce que cette obfervation eff in- dépendante de la latitude , & que la différence des tems Gorrige la différence des azymuths , & au contraire. On peut auffi fe fervir de l'heure du lever ou du cou- cher du Soleil , ayant égard à la réfra@tion ; & il eft inu< tile de répéter ici ce que l’on trouve ailleurs. On peut encore employer le Problème XXX de M. de Mauper- tuis , qui eft indépendant de la hauteur du pole & de la téfradtion. Prix. 1745: Ce 207 a ARTE AS Tire se ADDITIONS TEFOCOŒRMPE CE TLIO NS Faites à la Piece cottée N° IV, & qui a pour Sentence & Devife : Nihil unquêm invenietur ÿ fl contenti fuerimus inventis. Sen. Ep. 64ÿ | para fecond de fa premiere Partie, doit être changé en cette maniere. IT. Ce que l'on vient de dire, prouve qu’on peutau* jourd’hui obfervet la hauteur des étoiles fur un navire, beaucoup plus exaétement qu’on ne le pouvoit avant l'in vention des Oëtans à miroir. Mais la plus grande dificul- té , qui eft la fufpenfion des inftrumens à plomb, fubfifte encore , & il-eft queftion de la vaincre , ou au moins de la diminuer autant qu’il fera poffible. C’eft même le prin- cipal objet que nous devons nous propofer, pour fuivre les vûes de l’Académie Royale des Sciences. M. Bouguer a fait fur cette matiere une remarque im= portante , qui mérite toute notre attention: on la trouve dans le Chap. III de fa Méthode d’obferver fur mer la hauteur des aftres. « Repréfentons- nous, dit-il, un pen- > dule ;.un poids fufpendu à l'extrémité f un äl, ce pen- » dule demeurera exaétement vertical, tant que 4 navire » cinglera avec un mouvement parfaitement uniforme : ST A “MANIERE DE TROUVER L'HEURE EN MER. 03 & mais il commencera à faire des vibrations, aufli-tôt que » la vitefle du fillage fouffrira quelque changement ; par- » ce que le mouvement du poids ne s’accordera pas avec # le mouvement du point de fufpenfion. Si une vague, w par exemple, en choquant la proue, fait diminuer tout > à coup la vitefle du navire d’une certaine quantité , le » poids ira enfuite plus vite que le point de fufpenfion de » cette même quantité; & ainfi il avancera vers l'avant, + en décrivant un arc-de-cercle par rapport au navire, » jufqu’à ce qu'il ait perdu en montant toute fa vitefle re- » Jative : mais lorfqu'il l’aura perdue , il retournera en ar- » riere par fa pefanteur ; il fera donc plufieurs vibrations » de part & d'autre; & comme l'agitation de la mer eft » continuelle, ces vibrations ne cefferont prefque jamais. » Or la même chofe doit arriver aufli aux inftrumens pro- » pres à prendre hauteur ; car ce ne font que des efpeces de pendules , malgré tous les refforts & rous les genoux # auxquels ils font attachés. » D'un autre côté, M. Hughens ayant propofé dans fon excellent traité, De Horolog. Ofcillat. de fufpendre fon horloge de la même maniere que l’on fufpend les bouflo- les, en y ajoûtant un poids de solivres, conclut en cette maniere : Quibus ita fé habentibus , quâcumque navis incli- matione perpendicularem pofitum fervat horologium. …… Porro axium craffitudo que pollicem æquat , gravitafque plumbi in- ferits appenfr, nimiam movendi libertatem horologio adimunt, faciuntque ut , fi fortè fuccuffu navis graviore commotum fue- tit, continu0 ad quietem perpendiculumque faum revertatur. Ces deux fentimens , qui paroiflent oppofés, doivent nous tenir en fufpend, jufqu’à ce que nous ayons bien examiné la nature du mouvement d’un Aftrolabe ; tel que E MOMD , dont le centre de gravité & de grandeur eft Fig. IV. ai9 24 au point pe & que je fuppofe fufpendu comme une Cc ji 204 MANIERE DE TROUVER L'HEURE EN MER: bouflole, ou comme l'horloge de M. Hughens. Cet-aftrolabe étant en repos , où, ce qui revient au même, demeurant exatlement vertical , tant que le navire fe meut d'un mouvement parfaitement uniforme ; je fappofe d’a- bord que la vitefle du fillage venant à augmenter, le point € de fufpenfon reçoive une nouvelle impreflion, felon une direétion quelconque, parallele au plan de l'inftru- ment ( nous parlerons dans la fuite , de la direétion obli: que, ou perpendiculaire au même plan). On pourra toû= jours décompofer cette dire@tion parallele en deux autres; lune CA, verticale , & l’autre CE , horifontale. La direc- tion verticale ne produira aucun balancement, & il ne reftera-que la direétion horifontale , qui fera effort pour mouvoir toutes les parties A7 de l’Afrolabe , autour d’urr centre fixe B , que l’on appelle, centre de rotation ; tandis que la pefanteur réunie au centre de gravité 4, fera effort pour mouvoir l'Aftrolabe autour du point ou de l’axe de fufpenfion C. Pour déterminer exaftement le centre de rotation B 3. il faut fuppofer l’Aftrolabe fans pefanteur, ou qu’il fe meu- ve fur un plan horifontal infiniment poli, & fans frotte- ment , parce que ce mouvement de rotation n’eft produit que par la feule inertie des particules M , & qu'il eft indé- pendant de leur pefanteur. Si de chaque point A7 del’Af# trolabe, on mene au centre B une ligne MB, on voit que: le point B étant immobile , toutes les forces d'inertie M. doivent être en équilibre avec la puiffance appliquée en. C. Suppofons done que le point € foit porté en c autour: de B , les particules AZ feront portées en "7 fur les direc- tions Mm , perpendiculaires à BAM, & les petites lignes M fetont proportionnelles aux rayons BM, BM, &c. Les forces de ces particules font en raifon compofée de- leurs mafles , &c de leurs viteffes initiales , ou de M. BW3- MANIERE DE TROUVER L'HEURE EN MER 20$ & il réfulte de ces forces quiréfiftent au mouvement de rotation , une impreffion ( B), qui pouffe le centre B per: pendiculairement à C B. Gette impreffion B eft dirigée du même côté où tend la force C', felon la direétion B P ; perpendiculaire à CB. Prolongeons chaque Mm en H , & abbaiffons CH per- pendiculaire à 4 H. Nous avons donc un levier Coudé HCB , dont le point d’appuieft €, & le moment de la force d'inertie M. B M, appliqué en H, fera — M.B M. CH; ce qui donne pour l'équilibre, B.CB= M. BM. CH. Mais abbaiffant MF perpendiculaite à CB , nous avons (à caufe des triangles femblables CHG, FBM, GBM),CH:CG::BF:BM::BM:GB. Donc CG. BF —CH, BM; & BM°=BF. GB. Donc en fubflituant ces valeurs, on aura : B.CB=M.CG,BF— (à caufe-de CG=CB—GB)M.BF. CB—M. BF.GB=—M. BF. CB — M.BM ; & B=M.BF— "+ Doncf: B—f. M. BF— Enr Mais/f. B—0o, parce que toutes les im: preffions faites fur le point B, doivent être les unes pofi- tives , & les autres négatives , pour conferver enfemble un équilibre qui rende le point B immobile au commen: CB * Soit 4 la fomme de toutes les particules qui compo: fent PAftrolabe , on aura par la nature du centre de gra- vité , ou plutôt du centre de male , f: M. BF— A4.B 4: ru. LME =) 5 & CB. Donc la diftance CB eff égale à celle d’un pendule compofé , fufpendu au point B , & dont le centre d’ofcillation feroit en C. Car telle eft la propriété du centre d’ofcillation, comme l’a démontré: Ccii, cement du mouvement. Donc f. M. FB— 506 MANIERE DE TROUVER L'HEURE EN MER: M. Hughens, pag. 100, de fon livre De Horolog. Ofcillat, Et l’on fait par les démonftrations du même Auteur, que l’on peut prendre le centre de fufpenfion pour centre d’ofcillation ; auquel cas C’ deviendra centre de fufpen- fion. La viteffe du centre de gravité 4, eft à celle du point C comme B A eftà BC. Le point c fe trouvant toûüjours dans la ligne CE, par l’hypothefe , le centre de rotation B, décrira la cycloïde ordinaire , comme l’a démontré M. Clairaut, dans les Mémoires de 1736. Le.cercle gé- nérateur aura pour rayon CB, & fon centre roulant fur CE , le point B fera le point décrivant du côté de P. La ligne CB fera la tangente initiale de cette cycloïde, Si l’on prend l'Aftrolabe pour un cercle homogène, on aura , felon la regle d'Hughens ,pag. 128, De Horol, Oféillat. CA : AO :: A0 : 2AB. Donc AB=— %%. Done la diftance 4B , croît en raifon compofée de la raifon di- reéte doublée du rayon 40, & de la raifon fimple inver- fe de la diftance CA. Donc plus le point C de fufpenfion de l’inftrument fera proche de fon centre de gravité 4, moins il fera expofé à tourner autour de B, ce point étant ‘éloigné à proportion ; en forte que fiC4—= 0, on auroit AB= 00. De même, plus le quarré du rayon 4 O fera grand , ou plus l'aire du cercle fera grande, moins l'Af trolabe fera expofé à tourner autour de B. On ne peut pas anéantir la diftance C4 ; parce que fi l'Aftrolabe étoit fufpendu par fon centre de gravité 4, on ne feroit jimais aflüré que le point O, par où commence da divifion , füt dans la verticale 4/B, & qu’ainfi l’aftro- labe feroit inutile à l’obfervation de la hauteur des afres. . Si le point C'étoit feulement une ou deux lignes au- deffus du centre de gravité 4, on feroit prefque dans la MANIERE DE TROUVER L'HEURE EN MER. 207 même incertitude. Il faut donc s'attacher principalement à augmenter le rayon #0 autant qu'il fera poffible; ce qui Éutie trois avantages : Car fi le rayon 40 eft 10 fois plus grand ; les degrés de l'inftrument feront ro fois plus fenfibles ; le point B fera 100 fois plus éloigné , & la pe-- fanteur de l’Aftrolabe 1 00 fois plus grande. On doit mé- me tacher d'augmenter confidérablement la pefanteur ab- folue de Pinftrument , parce qu’elle réfifle beaucoup à ce mouvement de rotation autour du point B, & qu’elle peut même l’anéantir. En effet, dans le calcul précédent ; on n’a pas confi- déré la pefanteur des particules 4 de l’Aftrolabe, mais feulement leur inertie. Cette pefanteur fera caufe que le centre B reftera moins en arriere , & qu’il fera repouflé vers P , fur la ligne horifontale BP. Soit 4 le poids de l'inftrument , réuni au centre de gravité . Soit C la force qui pouffe le point C, & lui fait parcourir Ce. Ayant dé- crit du centre B les petits arcs Cd, e, on verra que la: puiffance C fait effort pour élever le poids 4 de la hauteur cd, & que le poids À fait effort pour defcendre de la hau- teur ze. Or,cd:ae::CB:AB ; donc le moment de la force C—C. cd étant égal à celui du poids 4, dans l’é- tat d'équilibre de ces deux forces, nous aurons €. cd AraesQuC A: AB=:CPB: ou C= < la regle d'Hughens , pag. 1 24, De Hordl. Dredié Si ma- gnitudo eadem nunc brevius, nunc longius fufpenfa agitetur ; erunt ficut diflantiæ axium ofcillationis à centro gravitatis ; îta contratid ratione diflantiæ centrorum ofcillationis ab eo- dem gravitatis centro. C’eft-à-dire , que dans le pendule CB, la quantité C 4. 4B eftconftante, ou AB= << ; A.a a A.aa CA.CE. aa+Cd LL prenant 4 pour une. confiante, & C— 508. MANIERE DF TROUVER L'HEURE EN MER: Cette force C‘ne peut pas être infinie , car il faudroit pour cela quesa+CA=0,ou CA=a V3: De plus, C ne peut pas être plus grand que 7 dans l’état d'équilibre. Car foit C—nA, prenant # pourun nombre entier, on aura # ( aa+CÂ) — 440; & aa(n—1) =— (CA }. Soitn= 2 ; doncaa=—2CA, racine imaginaire. Il faut donc chercher un point € de fufpenfon , tel que le moment €.-CB foitle plus petit de tous, en fuppofant C & À conftantes. Pour cela, j'égale à zéro la différentielle dCA+dAB,ce qui donne dCA—=— dAB, & prenant la différentielle de l'équation CA. AB— aa , j'ai CA. d A B— — AB. dCA ; & en fubftituant, il vient CA=AB. Le plus petit moment C. CB, eft donc 2C4, ce qui donne 4B ou 4C— ee Et faïfant 40=—1, jai AC où AB— V5. La longueur du pendule CB, eft =V2, Si Ponfaifoit 4B plus petit , par exemple, = C4, -on auroit = 1; & le pendule CBferoit=};> V?.Si l'on faifoit ZB plus grand , par exemple ,—2C4, on au- roitCA—= =, & le pendule CB—31. Ainfi la longueur V2, eft celle du pendule brachyftochrone, c’eft-à- dire , de celui dont les vibrations font les plus promtes. Donc le moment trouvé CV: = AVT, eft un moindre. Ce point de fufpenfion C étant ainfi déterminé, il fuit que dans l'équilibre C:4::VT: Va::.311%2, 6cquetile poids 4 de PAftrolabe eft= 2 C, il n’y aura point de ro- tation autour de B , en fuppofant cette fufpenfion ; au lieu qu’en la faifant varier ; on ne trouve l'équilibre que lorf. que CA— 0. Sile poids 4 étoit > 20, la force C ne pourroït pas Y'entraîner, & il n’y auroit point de mouvement de rotation, MANIERE DE TROUVER L'HEURE EN MER. 209 totation. Il faut donc que le poids de l’Aftrolabe foit aufä grand qu'il eft poffible , pour approcher du double de la force C, fans craindre de la furpañfer. Si le poids. eft 20, le centre-de rotation B fubff tera, & il décrira la courbe déterminée par M. Clairaut , dans les Mrs de 1736 (Probl. $, p. 17.) dont Féquation ef = TV ogy+2p mm , en faifant le 1) finus total = 1 = CB ; le finus de l’angle variable, formé par BC, avec E C—y; les conftantes Ce— dx; la viteffe conftante du point Cm, la pefanteur =g , & p une au- tre conftante. Le premier membre ef l’expreflion de l’an- gle formé par BC avec be, ou des deux pofitions confécuti- ves de cette ligne. Si l’on fait g — 0, on trouve que ces angles font proportionnels aux parties Ce , & que par con- féquent cette FR fe une cycloïde. Si dans quelques cas il arrivoit que o ,c’eft-à-dire, que deuxpofi- = Fr tions confécurives de CB, cb fuffent exaétement paralle- les, par FER lorfque y=—4, on auroit la conftanre 3 az dy = — & l'équation deviendroit ==— — ? mm ? q n V Ir | me FPE d PRE d'2g(y— a), ou ré CE 2g. Le finus Vis + 7.y—a m a ne peut pas être —1 , ou finus total, ce qui rendroit le : d LE : premier membre =? NV imaginaire. Ainf le point B ne peut pas décrire une ligne droite parallele à GE: L'angle 2— eft proportionnel à y — a. Donc y Vi ne peut pas être — o , & cet angle ne difparoit que lorfque 3 =; c’eft le minimum de l’ordonnée y de cette courbe. C'eft dans ce point feul que la viteffe-horifontale de B ef égale à celle de C; & comme dans ce cas la ligne cb eff Prix. 1745, Dd Fig. VI, n° 2. 210 MANIERE DÉ TROUVER L'HEURE EN MER: oblique à l’horifontale EC, la viteffe de B s’accélere pat la pefanteur , & le finus y devient plus grand. Il faudroit donc arrêter promptement cette accélération, ou la di- minuer , enforte qu’elle devint infenfible. C’eft ce que fait M. Bubhcns , par la grandeur du poids, & par le frotte- ment de leflieu. On fixera donc l’Aftrolabe MO par fon centre , fur un effieu dont on ne voit qu’une partie ZE, dans la Fig. VI n°. 2 , & qui eft vû tout entier dans la Fig. VIn° 3. Le point de fufpenfion eft cependant en C, à la diffance re- quife du centre de gravité , à caufe des coudes £ & R de l'effieu. Le plan de cet Aftrolabe eft perpendiculaire à leffieu, ou parallele au côté DAP du chaflis qui le foù- tient. Ce chaffis eft encore fufpendu par deux pivots F& G, en forte qu’il tourne librement fur le pied de fer ou de Be FHKG, lequel doit être fixé fur le plancher du navi- re , afin qu xl n'ait d'autre mouvement que celui du na- vire. L'un des plus grands avantages de cette fufpenfion ; eft que l’Aftrolabe ne peut avoir par ce moyen que deux mouvemens circulaires, l’un autour de l’axe ZB , & l’au- tre autour de l’axe FG. Mais l'axe 4 B étant mobile au- tour de l’axe fixe FG , le mouvement circulaire, ou la main de l’Obfervateur, fait néceffairement une impreffion fur cetaxe B , & le force à tourner en très-peu de tems autour de l’axe FG. De-là vient que dans les bouffoles, où Les pinnules font toûjours placées dans la direétion del’axe AB, on voit toûjours l’aftre à fort peu près dans le même azymuth , & c’eft même là le plus grand avantage de la fufpenfion des boufloles. En effet, le mouvement autout de l’axe FG, quelque grand qu'il foit, n'empêche pas que les pinnules placées dans l’axe 4B, ne foient toûjours dans le même azymuth, & que par conféquent l'obfervation MANIERE DE TROUVER L'HEURE EN MER. 911 de lazymuth , ou du rumb de vent ne foit exaéte. Il eft vrai que le Soleil étant à l’horifon , lorfqu’on obferve la variation de l'aiguille aimantée ; le mouvement de la bouf. {ole autour de l'axe 4B , ne peut pas faire un écart fenfi- ble; au lieu que dans les grandes hauteurs des aftres, il faut être bien attentif à détruire tout le mouvement de la bouflole autour de 4B, pour ne pas fe tromper dans le vrai azymuth. On voit par expérience, que l’aftrolabe roulant autour de l'axe FG , ne roule plus autour de l’axe 4B, quoique ces deux mouvemens ne foient pas contraires, leurs di- reétions étant perpendiculaires l’une à Pautre. Mais on doit attribuer cet effet principalement au poids de l’inftru- ment, & aux frottements de l’eflieu AB, qui détruifent affez promptement les vibrations de cette efpece de pen- dule. Il eft donc à propos d'augmenter autant qu’il ef poli. ble le frottement de l’eflieu 4B, pour faire ceffer promp- tement fes vibrations. Le meilleur moyen pour cela, eft, ce me femble , de le fufpendre par une ou plufeurs cor- des , qui faffent fur cet eflieu , un ou plufieurs tours, & qui foient fixées aux deux côtés oppofés FD , GP du chaflis. La prefion de ces cordes détruira à chaque inftant une grande partie de la vibration de lAftrolabe. Et M. Vari- gnon ayant démontré dans les Mémoires de 1717, que les preffions des cordes font en raifon compofée des rai- fons directes des forces comprimantes , & des lgpgueurs des arcs comprimés, & de la raifon inverfe des diametres de ces arcs; il fuit que plus le poids fera grand, plus la preflion fera forte ; & que le poids reftant le même, le frottement fera proportionnel au nombre des tours de la corde fur le même eflieu. On peut donc par ce moyen augmenter le frottement de l’eflieu tant qu’on voudra, Ddi Si MANIERE DE TROUVER L'HEURE EN MER: & diminuer le nombre des vibrations du pendule. M. Hughens, dans la defcription de fon Niveau à plomb, a employé l'huile pour arrêter les vibrations du pendule, I1 me paroît que la preflion d’une corde aura plus: de force que cette réfiftance. Si la corde vient à fe fecher elle ne fera pas affez tendue pour arrêter le mouvement du: pendule : le remede eft facile; on n’a qu’à la mouiller: pour la roidir. Si l’on vouloit éviter les inconvéniens qui peuvent ré- fulter de la multiplicité des tours d’une corde autour de: l'effieu, on pourroit fixer à cet eflieu une roue affez épaif- fe , pour recevoir dans toute fa circonférence, une en- taille large & profonde, garnie de pointes de fer courtes & fortes, toutes perpendiculaires à la circonférence. La corde embrafleroit cette entaille hériflée de pointes, & feroit fixée , comme auparavant, aux côtés FD, G P dw chaffis. On voit bien que la preffion du poids fera enfoncer les: pointes de fer dans les parties inférieures de la corde, & que chaque pointe enfoncée diminuera le mouvement de vibration, en fe dégageant difficilement. On pourroit même fortifier l’engrainement des pointes de fer dans la corde , de maniere que le poids ne pourroit pas vaincre te frottement : mais il n’eft pas difficile d'éviter cet incon- vénient. Cette idée eft femblable à celle de M. Bernoalli, dans fon Mémoire fur le Cabeftan, & à celle de M. Hu- ghens fans fon Horolog. Ofcilla. p. 4, Fig. T, où l'on voit cette roulette repréfentée par les lettres D D. Les Ouvriers, comme le remarque M. Bernoulli, voulant ménager les cordes, qui foufitent beaucoup par cet engrainement, ont abandonné cette roulette, & y ont fubftitué une entaille qui va en fe rétréciffant vers le cen- tre, afin que quand la corde y.eft une fois admife , elle y La r LR s p —— MAaNIERE DE TROUVER L'HEURE EN MEK. 313! foit comprimée, en forte qu’elle ne gliffe pas aifément fur la circonférence inférieure. On peut même, pour aug- menter le frottement , rendre les deux côtés de l’ençaille- rabotreux , à peu près comme les furfaces des limes. Pour trouver dans ce cas les rapports du frottement , foit B H le diametre du trou dans lequel leffieu BG peut Fs VI n°4 rouler, pour faire tourner la Higne inflexible P BC, à la- quelle on fuppofe un poids P attaché. Cette ligne étant fixée à l’eflieu , peut repréfenter l’Aftrolabe. Soit B Îe point d’attouchement de l’efieu contre le cercle BH; tranfportons le poids P en ke is cette analogie , «B : P :: PC: BC, ou la force B=—° — , & menons Îa tangente FBA, le mouvement de cette tangente peut repréfenter celui de l’anneau BH autour de l’'eflieu. Suppofons donc que le plan incliné F BA fe meuve autour du point B; me- nons l’horifontale AD , & la verticale FD , le poids P réuni en B , ne s’écartera pas du point B, tant que le fror- tement fera fupérieur à la preffion en B', & à la force qui- agit felon BA. Soit le finus total F4— 1, le finus FD de: langle FAD=5,PC=a,BC=r,rayon de l'effieu. Pre- nons la verticale EB pour repréfenter le poids B, & ab- baiflons EK perpendiculaire à à BC; nous aurons PE : HKN°=: comme lé poids B ef à fa preflion, comme FA, 1 eft à DAV ss 155. Donc la preflionen B=— BV is. Soit Le rapport de la prefion au frottement , comme 1: eftàf, qui eft , felon les expériences de M. Amontons ;: comme 3. eft à 1.. Nous aurons le frottement en B=—= FEB 1—55. L’effort du poids B, pour defcendre le long, du plan incliné F 44 eft au poids B comme cie s efta. FA ,.1.; ceteffort ef donc = — B5,ou—}, <, puifque B- Ddiij, 214 MANIERE DE TROUVER L'HEURE EN MER: — es Soit À la force qui agit felon la direétion BA, en vertu de l'accélération acquife au point B ; cette force 0 Ps : jointe à l'effort —> doit être égale au frottement fBV/3—55 dans l’étatd’équilibre. Donc 4=f BW 1 55 aBsii al Tr hs — = PE (fVass ss s). Si l’on fait s— VE cette force os ,; & le poids B ou _. fe foûtient par {on feul frottement. Si le,rapport de la preffion au frottement étoit con- fant, comme l’a cru M. AE à oucommezaàl,f I feroit une quantité conflante — : , & l'on auroits= =, 10 cequine peut convenir qu'à certains cas , où le poids P eft fort petit. La quantité f n’eft donc pas conftante , &c il eft très-vraifemblable que le frottement eft en raifon com- pofée de la prefion & de la furface preflée , la quantité f renferme donc l’étendue de la furface preflée. Soit x cetre furface, & f— nx; le finus de l'angle d'équilibre fera nx doncs= 7— —— préfent,n'eft prefque qu’un point ou une ligne,en la prenant : phyfiquement, il arrivera que le pendule ne fera qu’un angle très-petit avec la verticale dans le cas d'équilibre. Si l’on veut connoître la force F, capable d'élever le poids B dans la direétion BF, on trouvera qu’elle doit furmonter l'effort du poids B & fon frottement. Donc F —<( fs +s ) , lorfqu’elle eft fur le point d'enlever le poids B. Le maximum de cette a ras don- Vi” ou — FES & F—=— E Vi+nnxx. Lorfque x=— 0, PR PU PDOU RC. c’eft en 3 & comme la furface B dans le cas ne s— MANIERE DE TROUVER L'HEURE EN MER 316 effet le cas où la tangente F4 eft verticale , & où il faut un très-grand effort pour foûtenir le pendule. Lorfque s — 0, la force Fpour enlever le poids eft STE plus peti- te que dans l’autgg cas, fétant une fonétion. Elle feroit nulle file frottement étoit nul, ou fizx — o. De-l il fuit que fi la quantité f ou » x proportionnelle au frottement, étoit fort grande, il faudroit un très-grand effort Fpour enlever le poids P, & qu’ainfi on doit aug- menter le frottement autant qu'il eft poflible, pour em- pêcher les vibrations de l'Aftrolabe. Les tours de corde, l'entaille , les pointes dont nous avons parlé, augmentent beaucoup nx. Ilmble quefir — 0, la force Fferoit infinie ; mais alors on auroit aufif— 0, & ce cas eft contraire à la fup- pofition de la ligne FBA, tangente au cercle BG. Il eft vrai que plus r eft petit, plus F feroit grand, fi f étoit conftant ; mais on doit remarquer que r diminuant , f di- minue ; au lieu que f ou » x peut diminuer fans rien chan- gerar. Ainfi la difficulté Faugmente en raifon compo- fée du poids P , de la longueur PC, & den x Pr ss Hs; ouenfuppofants— 0, cette difficulté augmente, en raifon compofée du poids du levier PC, & du frotte- ment # x. Enfin, fi l’on vient à bout de fufpendre l’Aftrolabe ;, en forte qu'il ne puifle rouler que très-difficilement autour de l'axe BA, il ne roulera plus qu’autour de FG , par des vibrations qui le feront incliner vers la ligne FK ; & dans ce cas, l’erreur dans l’obfervation de la hauteur des af- tres fera très-petite. On pourra même l’éviter, en choi- fiffant la plus petite hauteur de toutes celles que l’inftru- ment pourra donner dans fes différentes inclinaïifons, comme je lai démontré à la fin de l’article fecond de la premiere Partie, 556 MANIERE DE TROUVER L'HEURE EN MER: Les mêmes principes appliqués à l'Article LIT, fer- vent à rectifier le Compas devariation, pour le rendre propre à obferver l’azymuth des aftres. Je ne dois pas oublier une précaution que l’on doit prendre , pour fixer en tout tems les béufloles & autres inftrumens à plomb: c’eft d’avoir des poids de rechange beaucoup plus grands que les poids ordinaires , pour les accrocher à l’inftrument dans un gros tems, Un bon Ma- rin m'a aflüré , que par ce moyen, il avoit toûjours fixé 1a bouffole dans les tems les plus orageux, tandis que les autres boufloles du navire étoient dans des agirations con- tinuelles. Si la diredion du fillage eft perpendiculaire au plan de 'inftrument , elle ne lui donne aucun mouvement Autour de l'axe BA, maïs feulement autour de FG ; & ce cas a été prévû ci-devant. Si elle eft oblique, on peut la dé- compofer en deux , l’une parallele, & l’autre perpendi- culaire au plan de l’inftrument. Ce qui renferme tous les CASe ESSAI LL NN Im Le | TN ESS AT D'HOROLEPSE NAUTIQUE. Nautam ne pigeat cœli convexa tueri. Terricola heu prorfus fum inglorius ; 6 ubi pontus Et naves? © qui molis me in vertice fiflat, Acriz cœlique vias & fidera monftret ? Prix, 174$ Ee call TEL ir 'ETUAN ENS FAR 5: ' , lEbred hotel par pi] 218), 518.5 12128 ESSAI DHOROLEPSE NAUTIQUE rs À é é 1x EX 4 "+ ") d * x mX k 4 À A à "à À m4 5 Nautam ne pigeat cœli convexa tueri. Terricola heu prorfus fum inglorius ; © ubi pontus Et naves ! O qui molis me in vertice fiftat Aëériz , cœlique vias & fidera monftret ! DODPDODOPODDOPIPEDDBDLODD EDP ME UE NE ME . A A A 22 LI 1 j’ofe effayer d'écrire quelques pages fur as le Problème propofé par l’Académie Roya- EI le des Sciences, pour fujet du Prix de Pan- MCE née 1745 , ce n’eft pas que je me flate de pouvoir montrer /a meilleure maniere de frou- ver l'heure en mer par obfervation, &tc. en quoi confifte ce Problème , ni même d’être capable d’en approcher affez pour se quelque diftinétion à cette Piece. C’eft aux perfonnes verfées dans la Marine &c dans l’Aftronomie, qu’il appartient feulement de traiter ce fujet avec certai- ne confiance. Pour moi, qui loin d’avoir aucun ufage de Eeiï 220 Essar D'HOROLEPSE ù la navigation & des obfervations. céleftes , n’ai jamais vi ni Mer, ni Marins, ni Obfervatoire, ni Inftrumens ,-ni Aftronomes, je fens parfaitement qu'il ne°me- convient joint de donner des leçons , mais plutôt d’en recevoir fur un tel fujet. Aufli n’a-ce été que par occafion & pour m'exercer d’après l’ouvrage d’un fameux Maitre ,.que j'ai penfé au Problème dont il s’agit; & je nly ai penfé que: fort tard , en forte que je fuis refferré dans un efpace de tems très-court, pour mettre au net ma tentative. C’eft une déclaration dont je me croïs obligé de‘prévenir PA: cadémie , en prenant la liberté de lui préfenter ces feuil- les, afin que Meflieurs les Commiffaires qui verront celles. aid puiflent s’épargner la peine d’aller plus avant , s'ils le jugent à propos. Que s'ils veulent bien fe la donner (ce qui eft le principal fouhait que j'ofe former, & ce que je demande comme une grace ), j’efpere que la déclaration que je viens de faire, pourra engager ces Meffeurs à voit mon Effai avec l’indulgence dont je fens qu'il a befoin. Une autre déclaration que j'ai à faire, c’eft.qu'érant très- -peu fourni de livres d’Aftronomie & d'Hydrogra- phie y Jignore fi certaines chofes ont été dites, où pat qui elles l'ont été. Ainfi.je pourrai tomber ; mais malgré moi, dans le double inconvénient de m’arrêter , fans ci- ter perfonne ,. fur des points qui auront peut-être été ‘ex: pliqués ailleurs , & mieux-expliqués qu'ils ne feront ici. Si Ty tombe, j'efpere que cet aveu de mon défiut d’érudi-- tion me fervira d'excufe. Au refte, je ne manquerai point de citer.dans l’occafion , les Ouvrages: que j'ai entre les mains ,.& dont j'emprunterai quelque chofe. Je divife cet Effai en trois Parties.. Dans la premiere 3. Yexpoferai divers moyens Aftronomico-Algébriques , de trouver l'heure en prenant ce Problème en général, & abftration faite des circonftances. Dans la deuxieme ;, NAUTIQUE dot j'indiquerai quelques opérations graphiques fubfidiaires, à l’ufage des Formules de la premiere Partie, & plus fa-- cilés: je marquerai aufli des moyens. de fimplifier-dans certains cas les calculs algébriques , &c. Enfin je me pro- pofe de.parler dans la troifieme Partie , du choix qu'il eff. à propos de faire entre les diverfes fortes d’obfervations, & d’en parler tant en général, que relativement aux cir- conftances particulieres énoncées dans le Programme de l'Académie. Je tâcherai aufli de dire quelque chofe fur: les moyens de faire les obfervations requifes.- Ec ii 222 Essai D'HOROLEPSE PURE NIE RE PA RME" Moyens Afronomico - Algèbriques de trouver l'heure, ou ufoge de l'Algebre pour trouver l'heure , certaines obférvations étant fuppofées. E mouvement journalier de la terre autour de fon axe, fait paroître le ciel & tous les aftres , comme emportés circulairement en fens contraire, parallelement à l'équateur , autour des points du ciel que l’axe dela terre prolongé rencontre ; & cette rotation de la terre, qui par par fon uniformité eft la mefure du tems , fait aufli que les aftres changent continuellement , tant d’Azymuth , que d’almicantarath. Or elle les en fait changer différemment, felon quel’un des poles eft plus ou moins élevé fur l'ho- rifon du feu, & felon leur diverfe diftance à ce point. IL y a donc de certaines relations entre l’élevation du pole, le moment d’une obfervation , la déclinaifon d’un aftre, fa hauteur & fon angle azymuthal. En effet, trois de ces chofes étant données, chacune des deux autres eft déter- minée, & peut être trouvée. C’eft à quoi l’on emploie communément la Trigono- métrie fphérique , mais l’algebre peut auffi y être em- ployé, & avec avantage. M. Bouguer nous a donné un exemple de l'application de cette fcience générale aux queftions Aftronomiques , dans l'excellente Piece qui a remporté le prix de l'Académie de 1 73 1,Piece qui a pour fujet: La Méthode d'obfèrver en mer la déclinaifon de la bouffole : & les formules de cette Piece font très-commo- des : mais deftinées à portera lumiere fur certains détails, N'AUËTIQUE. 223 elles ne correfpondent pas à toutes les queftions que j'ai indiquées. M. de Maupertuis s'étant propofé un objet plus général, les a embraffées algébriquement toutes ces queftions, dans le livre élégant qu’il a publié depuis peu, fous le titre d’Aftronomie Nautique. Rien ne fait mieux fentir les relations des cinq chofes dont il s’agit, que les cinq premiers problèmes de ce livre. Je vais les tranfcri- re ici à titre de Lemme, en y joignant quelques Scholies, parce que les formules qui en réfultent , font le principal fondement de ce que j'ai à dire dans cette Partie. Les expreflions des divers finus , employées par M. de Mau- pertuis, étant très-bien choifies , je me fais un devoir de les conferver. Je m’étendrai un peu plus & dansce Lem- me & dans la fuite, que n’a fait cetilluftre Académicien: mais fi je m'écarte'en cela de exemple qu'il nous a don- né, ce n’eft pas que je ne fente combien grand eft le mé- rite de la briéveté, & que je ne défirafle de me rendre concis , fi je le pouvois être fans inconvénient ; maisles circonftances ne paroiflent pas me le permettre. Qu’un Sçavant du premier rang foit extremement concis, qu'il fupprime ou omette certains points dans un Ouvrage, il fçait à quelles perfonnes & à quel ufage il le deftine réel-” lement ; d’ailleurs on ne peut le foupçonner de n’avoir pas fait attention à ce qu'il omet ;, encore moins de Pigno- rer ; fon Ouvrage, par de tels retranchemens , ne paroïît que plus élégant & plus fort de chofes , que plus agréa- ble par conféquent à ceux qui font capables de l’enten- dre fans peine. Mais fi un foible Ecrivain ne difoit pas tout ce que fon fujet comporte, fans compter qu’il pour- roit pafler pour dépourvû de la connoiffance de ce qu'il omettroit ; ne s’expoferoit-il point au danger de négliger imprudemment quelque chofe d’utile &:mêmed’impér- tant ? C'eft pour mon propre befoin que je fuis entré dans 224 Essar p'HeROLEPSE certains détails, en étudiant mon fujet. Je crois donc pouvoiriles inférer ici, d'autant plus que fi cet écrit deve- noit public , il s’adrefferoit à des perfonnes , ‘qui, jufqu’à préfent , n’ont pas été obligées de s’appliquer beaucoup à l’algebre, & qui font chargées.de plufieurs autres occu- parions preffantes. C’eft aux feuls Navigateurs queje dois être cenfé parler. Peut-on trop faciliter les matieres aux perfonnes de cetordre? Ce font des pratiques qu'il s’agit de propofer. Peut-on trop s'appliquer à prévenir les mé- prifes qui pourroient s’y glifler ? Enfin, & cette derniere æaifon eft forte, je ne ferois prefque que Copifte dans cette partie , fi je me refferrois autant que l’Auteur origi- nal que je vais fuivre. LEMME PREMIER. ‘Touchant les relations entre la hauteur du Pole, la déclinaifir d'un Âfre, fon Angle horaire, [a hauteur &' fon Angle azymuthal, ces chofés étant prifes quatre à quatre. PREPARATION ET DENOMINATION des principaux élémens de la Sphere. SorENT( Fig. 1. 2.3. & 4.) Pp l'axe de la fphe- xe célefle ; PZ AHpzahP le méridien, & HMX# lhori- fon du lieu ; 4e Xa l'équateur ; DEd le cercle que décrit l'aftre; PEep le méridien , ou cercle horaire qui paffe au point E , où l’aftre fe trouve; ZEMe fon azymuth, & LE] fon almicantarath. Soit le rayon CP nommé r. Le finus. CB de la déclinaifon de l’aftre nommé. ..x; fon cofinus DB, y. Le finus PO de la hauteur du pole.:,.:..:,.:.5, fon cofinus CO, c. Le NEA UT TO UE. 22€ Le finus CG de la hauteur de Paftré::::::,7..43 fon cofinus GE , k. Le CHA Fanette. 5. LT. 2 fon cofinus fc, Le finus MAN dé Pangle azymuthal:::::::::..m; fon cofinus NC , ». On aura ( ute de la fimilitude des triangles POC & CBO)CO—=—,& B0O—T. De plus ( à caufe des arcs Dchonds des nu. DEd & ee LE & HMXh) , on aura BF—°<,GF—= ” ee, & EF= 7 = m* > d'où réfulte yr — a Cinquieme formule de lAftron. Nautique, où n’entre point la hauteur du pole. $. I. Relation entre la hauteur du Pole , la déclinaifon d'un Affre , fa hauteur © fon Angle horaire. hs rx GO (Fig.1.)—GC—C0— blables POC& FG 0° L HAN dE ER "hr ,ona(àcaufede BO+OF=BF) = carre cs ; & les triangles fem- =", ou (à caufe decc—rr——5s) sis pe Lt premiere Formule. ScHoLie. dans la Kg. 2. GO—CO— GC, BF — BO — OF, & l’on trouve les mêmes fignes pour cette formule : mais ils font différens dans les deux au- tres cas, Dans celui de la Fig. 3, où l’aftre eft fitué au- deflous du cercle de fix heures , on a GO— C0 — GC BE, donc OF—"""# ; BF— 0 F—BO, donc Yu FYX — vhs ccx A LE ; & parce que rr—cc==5s, on a enfin 5x —rrh== cyu, [ C’eftle cas indiqué dans la note qui eft Prix, 1745. 226 Essar D'HOROLEPSE au bas de la page 4 de de l’Affronomie Nautique. ] Dans le cas de la Fig. 4 , où l’aftre eft fitué au-deffous de l'équateur, on aG0=GC+CO=— dati donc OF hs+ Ju =, on à encore BF=0F—BO, donc —— rhs4 rrx—ccx ; ou (à caufe de rr—ce—5s) rrh4rsx Æ=cyu. $. IL. Relation entre La hauteur du Pole ; la déclinaifèn d'un Affre , fa hauteur &* fon Angle azimuthal. Dur triangles femblables P OC, FGO, donnent s: c: ; GO. Donc (à caufe de C0+0G=CGFig.1.) ste — ——#h,ou rx + nck—rsh, deuxieme formule. ScHoL1E. Les fignes de cette formule font diffé- rens dans les cas des trois autres Figures. Dans ceux des Fig. 2. & 3.fçavoir lorfque l’aftre eft fitué de la même part du premier vertical que le pole eft élevé , foir au-def- fus, foit au-deffous du cercle de fix heures, on a C0—0G — CG ; donc rrx —nck=r5h. [ Le fecond de ces cas eft le feul qui foit indiqué dans la note qui vient d’être ci- tée. ]: Dansle cas de la Fig 4, qui eft celui où l’aftre eft fitué au-deflous de léquateur , on a 0G— C0 CG; donc nck—rrx = rsh. $- IT. Relation entre la hauteur du Pole, la déclinaifôn d'un Affre, fon Angle horaire , &r fon Angle azimuthal. Les triangles femblables MNC, EFG, donnent, mini: FG= ; les ds POC, FGO, don:- NAUTIQUE. $27 _ : FO — 7; donc (à caufe de FO + 0B m hents:r:: = EB, Fig. 1.) PE , OÙ PAYER rMmEX = msyu ; troifieme formule. PR ScHoLie. Les fignes de cette formule font enco- re différens pour les cas des trois autres Figures. Dans la Fg. 2,ona0B— FO—FB, doncrmex —inÿt = Msy4e Dans les cas des Fig. 3. & 4, fcavoir lorfque l’aftre eft au-deffous foit du cercle de fix heures, foit de l'équa- teur ,on a FO—OB=—FB, donc rnyt —rmex = msyu. $- IV. Relation entre la hauteur du Pole, la hauteur d'un Affre, fon Angle horaire, & fon Angle azimuthal. Les triangles femblables POC, FGO, donnent s:r:: er FO=" ; s: ci: GO—= ,& C0(—CG—0G 15h nkc Fig.1.)=—— LestrianglesP 0C,CBO,donnentr:c:: rsh=nkc O0 Bis rsch — nkcc : 3 or (à caufe des arcs corref- pondans des cercles DEd, AIXa), ona FB(—=FO +—OB, même Fig.); EF Ou EEE Re. ‘donc (à caufe de rr—ce —5s) rcht + nkst = rmku ; qua- trieme formule. ScHOoL1E. Les fignes de cette formule font les mê- més dans le cas de la Fig. 4 , où l’on aC0—G 0 — GC &FB—FO—OB. Dans le cas de la Fig. 2, on a CO—CG+GQ = FRÈRE & OB— EE. de plus, onaFB—BO 1 + rrs —nkrr+rschEnkecc —OF= TERRE | donc — nhse rech =r mku. n Enfin dans Le cas de la Fig.3, on a parcillement + Fi 228 Essar D'HOROLEPSE CO=CG+G0;, &0B— the mais on a d’ail= leurs FB—FO—O0B= EE ; donc #kst —rcht—=rmku. . REMARQUE. On peut aïfément reconnoitre que tous les cas les moins fimples de la fituation d’un aftre , font exprimés dans les quatre Figures mentionnées ci-deflus, [ dont la premiere eft la feule qu’on voie dans l'Aftronomie Nautique.] Car où Paftre eft du côté du pre- mier vertical, oppofé à celui où eft le pole élevé, & alors ou il eft au-deflus de l’équateur Fig 1. ou au-deffous Fig. 4. Et s'ileft du côté du premier vertical , où ef le pole élevé , il eft ou au-deflus du cercle de fix heures, Fig 2, ou au-deffous, Fig. 3. On peut encore recon- noître cela autrement, & remarquer en même rems quel- ques différences des quatre Figures; car les triangles femblablés BOC,FOG , fent ou oppofés par la pointe, & c’eft le cas de la Fig. 1, ou couchés l’un fur l’autre; & alors ou bien le côté BO du premier eft plus grand que l'hypothenufe F O du fecond ( & à plus forte raifon CO, hypoth. du premier, eft plus grande aufli que le côté GO du fecond ), c’eft le cas de la Fig. 2 ; ou bien au contraire, Thypoth. CO du premier eft plus petite que le côté GO du fecond ( & à plus forte raifon le côté BO du premier eft aufñfi plus petit que l'hypothenufe du fecond ), & c’eft le cas de la Fig. 4, ou enfin chacune des hypothenu- fes furpañfe le côté de l’autre triangle couché fur elle, & c’eft le cas de la Fig. 3. On peut aufli obferver que chacune des quatre formu- les reçoit feulement trois combinaifons de fignés , & que dans un de fes états , elle répond à deux Figures : & il eft aifé de voir, furtout à l'égard de trois formules, que œæla doit étre ainff, Car dans la premiere, où on laifle à part : N'AUTIQUE. 229 l'angle azymuthal , il eft indifférent que le cofinus de cer angle puifle être pris pofitivement ou négativement. Cette formule doit avoir les mêmes fignes, fi les autres finus ou cofinus qui y entrent font placés du même côté; c’eft-à-dire, qu’il nimporte que l’aftre foit de part ou d’au- tre du premier vertical , lorfqu'il eft entre l'équateur & le cercle de fix heures, Fig 4. & 2 ; parce que dans l’une & l’autre Figure, le cofinus de l’angle horaire eft de mé- me part du cercle de fix heures ; & le finus de la déclinai- fon aufli de même part de l'équateur. Dans la deuxieme formule , où on laiffe à part l’angle horaire, il eft indiffé- rent quelle pofition ait le cofinus de cet angle ; la même combinaifon des fignes doit fe trouver dans cette formu- le , files finustou cofinus qu’elle renferme ont les mêmes pofitions. Ainfi il n'importe que laftre foit de part ou d'autre du cercle de fix heures, lorfqu’il eft du côté du premier vertical où fe trouve le pole élevé, Fig. 2. & 3, parce que dans l’une & l’autre fituation de Paftre , le co- finus de l’angle azÿmuthal eft placé du même côté du premier vertical, & le finus de la déclinaifon, aufli du même côté de léquateur. Dans la quatrieme formule, où on laifle à part la déclinaifon de l’aftre, il n'importe qu’elle foit Septentrionale ou auftrale; les termes de cette formule doivent être affeétés des mêmes fignes , lorfque Paftre eft au-deflus ou au-deflous de l'équateur , Fig 1: & 4, parce que le cofinus de l’angle horaire tom- be du même côté du cercle de fix heures, & le cofinus de l’angle azymuthal du même côté du premier vertical , dans l’un & l’autre cas. Enfin dans la troifieme formule ( où on laiffe à part la hauteur de l’aftre) , il eft indiffé- rent que l’aftre foit du-deflous du cercle de fix hewges, Fig 3, ou au-deflous de l'équateur, Fig. 4 : il fe fait pour ces cas une compenfation , parce que les trois finus Ffii 230 Essar D'HOROLEPSE. LEE * xy43 #3 Qui entrent dans la formule , ont dans l'un de 3 : , # ces cas une pofition toute contraire à celle qu'ils ont dans l’autre cas. “ :“LEMME SECOND, Touchant la relation du finus de la fomme , ou de la différence de ‘deux Angles ou de deux Arcs aux finus © cofinus de ces Angles ou Arcs. - 1°, LE produit du finus de la différence de deux an- gles aigus par le rayon , eft égal à la différence du pro- duit du finus du plus grand de ces angles, par le cofinus du moindre , & du produit du finus de celui-ci, par le cofinus de celui-là. 2°. Le produit du finus de la fomme de deux angles aigus par lerayon, eft égal à la fomme des produits du finus de chacuns d'eux, par le cofinus de l'autre. Soient , par exemple, eCX, «Ce, deux angles aigus, dont eCX foit ou la différence, Fig. $. & 6 , ou la fom- me, Fig. 7. & 8. * Du point C, pris pour centre, foit décrit le cercle quelconque ÆeeXa, ou Ace Xa, &c. Des points e,e, foient menées fur XC, prolongée s’il le faut, les perpendiculaires eg*, «y, & encore du pointe, < K , perpendiculaire fur Ce ; on aura eg, Cg pour finus & cofinus de l’angle eCX;°K, c K pour finus & cofinus de l’anglee Ce, & 67 pour finus de l'angle :CX. Je dis donc que:97xCe=+egxCKReKxCg, Fig.'s.& 6, ou—egxCK+eKxCg, Fig. 7. & 8. DEMonNsTRATION. Soit prolongée s K jufqu’à la * Dans Île casde cette Fig. 8, où la fomme.«CX des angles e CX, «Ce eft un angle obtus, on peut confidérer au lieu de cet angle , eCx qui eneft le fapplément à deux droits, N Anÿ © 1 QUE: ‘| 23 rencontre de C X en I ,ce qui donne «1=“IK EEK, Figures $ & 6, ou+—1IK+6K, Figures 7 & 8 , on aura de plus , trois triangles re@tangles femblables, «y1, CKT, Cge, puifque le premier a un angle aigu commun avec le fecond en Z, & que le fecond a fon au- tre angle aigu en C, commun avec le troifieme. On a donc(encomparant ceux-ci) Cg:eg :: CK:1K REX T; & ( en comparantle premier triangle avec le troifieme)... : res De HeryxCe tyRCe LL, es x CE Cg:Ce::ey:I— œ . Donc 2 er + z ou bien enfin:7 xCe=E EMOREEK x Cg. Ce qu ‘il falloit démontrer. 3°. & 4°. Soient eCX , # Ce, deux angles obtus , dont :Cx foit ou la différence , Fig. 9 & 10, ou la fomme ; ou, fi l'on veut, le fupplément à quatre droits, Fig, 11 & 12. La formule des cas précédens à encore lieu , parce que les angles obtus ont les mêmes finus que les angles aigus , dont ils font les fupplémens à deux droits. Lester- mes de la formule font affeétés des mêmes fignes, Fig. 9. & 10 ,que Fig. s & 6, & Fig. 11 & 12 que Fg. 7 &8; il eft vifible en effer, à l’infpedtion des Fig. 9 & 10, qu'on yacl=+IKÆ:K,&c. Ces derniers cas pourroient être exprimés autrement, en confidérant l’angle :CX, qui eft ou la fomme , Fig. 9 & 10 ,oula différence, Fig. 11 & 12 de deux angles eCX,:Ce, l'un aigueë& l’autre obtus. CoROLLAIRE, ou autre exemple. Soit Ca ( mêmes Figures )- perpendiculaire au diametre XCx ; Cg fera le finus de l’angleeC4 , ou eCa ; eg en fera le cofinus , & C’y fera le finus de l’angle : CA ou:Ca, qui eft la fomme ou la différence de ce premier angle & de:Ce. Pour abré- ger, foit le rayon Ce nommé r, comme ci-devant; Cg oubienef, nommé pareillement #, & eg ou Cf,u. Soit 232 Essar D'HOROLEPSE aufiCynommé?';:,,w;K,p; CK, q; (d’où réfulte ru—#+quipt, pour expreflion de l'exemple ‘précé- dent) on aurar#—+#gr+#pu, Fig. $, 6,9 & 10, parce que dans les deux premieres : C4 eft la fomme de deux angles aigus CA, : Ces; & dans les deux autres «Ca eft la fomme ou le fupplément à quatre droits de deux an- gles ôbtus Ca, «Ce. Onauraencorert ——qt+pu, Fig. 7 & 11, ou —=+gr—pu, Fig, 8 & 12, parce que«CA, Fig. 7 & 8 , eft la différence de deux angles aigus , & dans les deux autres , : Ca eft la différence de deux angles obtus , eCa , Ce. Par les mêmes raifons on aura : ru (— ru (Fig. s & 9. e BD Er Po Leone QU LTs CB T5 TO EC LA e — 1... +2. Cig. 8 & 12, &c. C L’Auteur de l’Aftronomie Nautique fait un grand ufage de divers cas de ce Lemme, mais fans l’avoir énoncé, & fans avertir de l’efpece du cas dont il fe fert. Je me fouviens d’avoir vü le même Lemme employé dans le Traité de la Manœuvre des Vaifleaux de M. Ber- noulli. 1 | ScHOL1E. Il fufiroit de donner aux termes de cha- cune des formules précédentes une des trois combinai- fons de fignes que l’on vient de voir qu'elles peuvent recevoir, fi on l’entendoit bien dans cet état, & que l’on eût attention à l’appliquer à propos. Soit propofée la for- mule du premier exemple ci-deflus, dans l’état +1» x Ce —=+egxCK—:KxCg,oubien+re —=+qu— pt, qui eft l'expreffion fimple & naturelle du cas de la Fg.s. Si l'on pañle au cas des Fig 7 & 8 , où le finus EK (p) eft fitué relativement à Ce, dans un fens contraire de ce qu'il eft Fig. $ , & où par conféquent ce finus eft négatif ; fi on la _NaurTiaques. 533 le regarde comme pofitifdans la Fig. s , le figne — dont le terme pt du fecond membre de la formule propof£e eft affecté , fe réduit à marquer l'addition de ce terme, parce que le retranchement d’un produit négatif équivaut à addition de ce même produit, pris pofitivement. Silon {e trouve dans le cas de la Fig. 6 ; où le finus ‘ K eft fitué de la même part de Ce que dans la Fig. $, mais où le finuse (a') eft fitué d’autre part de C X que dans cette Figure, & où ce finus eft négatif, par confequent, s’il eft fuppofé po- fiif, dans la Fig. $ , les fignes du fecond membre de la formule confervent leur fignification fimple ; mais le figne +- dont eft affe@té le premier membre r#/ de cette formule , indique réellement la négation de ce membre, parce que la pofition d’une quantité négative eft la même chofe que la négation de cette quantité, prife pofitive- ment; on a donc effectivement & fimplement, F2. 6, —rw#—qu—pt, expreflion qui équivaut à celle (ru =— quHpt) qui a été employée ci-deflus pour le cas de cette Fig. €. Quant aux cas des Fig. 9 ,10, 14 & 12, il faut re- marquer en général que le cofinus CK (4) de l'angle : Ce y eft fitué en fens contraire de ce qu’il eft dans les quatre Figures précédentes; différence de fituation, qui pro- vient, comme il eft vifible, de ce que l'angle : Ce eft ai- gu dans les cas de ces Figures-ci, & obtus dans les autres. Par conféquent le cofinus g eft négatif dans les cas des Fig.9,10,11 & 12, fion le fuppofe pofitif dans les cas précédens, & il rend négatif le produit où il entre en degré impair. * Or, la pofition d’une quantité négative équivaut à la négation de cette même quantité entendue pofitivement : donc le figne <- qui affecte le terme.9 # du * Cette remarque aura encore quelque ufage dans'lafüite. Prix ares + Gogo © 234 Essar D'HOROLEPSE fecond membre de la formule, fe réduit à marquer le retranchement de ce terme. Si-donc on fe trouve dans le cas des Fig. 11 & 12; où le finus s K (p) eft fitué du même côté de Ce que dans la Fig. $ ; mais oùle finus «y (#/) eft d'autre part de CX que dans cette Fig. $ , & négatif par conféquent, le figne (—) du terme pr du fecond membre de la formule confer- ve fa fignification fimple, mais le figne du premier mem- bre marque en effet une négation , de même que celui du terme g# du fecond membre. Ainfi on a efleétivement: & fimplement pour ce cas , — = —qu—pt; x preflion qui équivaut à celle (rx = qu“kpt) qui a été employée ci-deflus pour ce cas. Dansle cas de la Fig. 10; où au contraire c’eft le finus, K (p) qui eft autrement fitué que dans la Fig. sal rue deCe, & où «7 eft fitué. de même part de CX que dans cette Figure. C'eft le figne du premier membre de la formule, qui retient fa fignification naturelle, & le figne (—) du terme pr du fe- cond membre de cette formule , étant expofé à un pro- duit négatif, indique réellement l'addition de ce produit pris pofitivement. Donc en un mot, chaque figne du fe- cond membre de la formule propofée, marque le con- traire de fa fignification naturelle. Enfin dans le cas de la Fig. 9 , chacun des finus #” & p étant fitué en fens con- traire de ce qu'il eft Fr. $ , les fignes des termes rw’ & pt de la formule doivent être changés en leurs contraires , aufli-bien que celui du terme 94, ce qui donne — r#=—= — qu pt, ou bien aucun des trois fignes ne doit être changé ; car l’une de ces manieres eft équivalente à l'au- tre, . J'expliquerai plus bas, ce que j’entens par l'application : jufle d’une formule. . NAUTIQUE. 235$ AVERTISSEMENT. QUELQUES-UNES des Formules du premier Lemme; donnent le moyen de découvrir, non-feulement l'heure par l’obfervation d’une étoile , mais auffi la déclinaifon de cette étoile avec la hauteur du pole. Cependant comme il ne s’agit ici que des befoins nautiques, je fuppoferai dans cette Partie , que la déclinaifon des étoiles eft con- nue , & que celle des planetes , quoique variable, left auffi. Car on a par les catalogues d'étoiles , leur déclinaifon avec plus de précifion qw'il n’eft nécefaire pour les befoins du Navigateur; ainfi dès qu'on connoît fur mer l'étoile qu’on ob- férve , il eft inutile de chercher fa déclinaifon ; © fi l’on vouloi fe férvir d'une étoile q'onne connût pas , on féroit ex- pofe à des méprifes bien dangereufes, fuivant la remarque de M. de Maupertuis. D'ailleurs les méthodes de trouver Pheure concurremment avec la déclinaifon d’une étoile, & la hauteur du pole, font en petit nombre, compliquées, & fuppofent que l’'Obfervateur eft dans un lieu fixe, ou demandent que l’on fafle certaines correétions aux obfer- vations. À l'égard de la déclinaifon des planetes, je crois -qu'on peut l'avoir , ainfi que leur afcenfion droite, avec une précifion fufhfante , par les Ephémérides ou les Ta- bles, & il faut bien fur mer fe contenter de les connoître par cette voie. * Quant aux moyens de connoitre l’heure; en fuppofant ‘connue la déclinaifon de l’aître ou des aftres obfervés, ils font en grand nombre , & on peut bien l’appercevoir par la relation qui fe trouve entre la hauteur du pole & lan- gle horaire d’unaftre. Il y a en effet autant de moyens géométriquement bons de trouver l'heure, que de trou- ver la hauteur du pole. Car 1°. il yen a pour trouver ces deux chofes conjointement, ou pour trouver celle qu’on Ggi 336 Essar D'HOkROLEPSE veut des deuxfans avoir l’autre ; & 2°. s’il y a des moyens fpéciaux pour trouver la hauteur du pole , il y en a autant de même qualité pour découvrir l'heure. Ces moyens particuliers de trouver la latitude, font ceux où l’on fup- pofe que l'heure eft connue. En renverfant donc les fup- poñitions & l’opération , c’eft-a-dire, en fuppofant la lati- tude connue, on doit avoir des moyens particuliers de connoître l’heure. Mon deffein eft d’expofer ces moyens divers ; il y en a de l’une &t de l’autre efpece, qui peuvent avoir leur utilité fur mer, fuivant les rencontres , ainft que je l’expliquerai dansla fuite. On voit par-là , que je ferai obligé de parler de la recherche de la hauteur du pole, quoique ce ne foit pas mon objet dire& : j'en par- Îerai même aflez amplement, cet objet étant fi fert lié avec celui queje dois avoir, qu’on ne peut éviter de les. joindre jufqu’à un certain point , fans préjudicier au fujet- dont il s’agit. Aufli M. de Maupertuis , dont le principak but a été d’enfeigner à trouver la latitude, a beaucoup parlé incidemment de l'invention de l'heure, & je ne peux que le fuivre , & tâcher de glaner derriere lni. Pour obferver quelque ordre, je partage cette Partie en trois Chapitres. Dans le premier , je rapporterai les moyens de trouver l'heure fans avoir la hauteur du pole, ou conjointement avec cette hauteur , lefquels font fon- dés fur les plus fimples combinaifons d’obfervations.: ( J'entens par ces plus fimples combinaifons , celles où il n'entre que deux élémens , outre la déclinaifon de laf- tre ou des deux aftres obfervés , & non celles qui peuvent: conduire aux calculs les plus fimples.) Dans le fecond- Chapitre, j'indiquerai tous les moyens ( que je fçai) de: trouver l’heure , la hauteur du pole étant fuppofée cons. nue. Enfin dans le troifieme , j'expoferai le refte des moyens de trouver l'heure concurremment avec là hau-. teur du pole. NAUTIQUE. 3357 À PREMIERE PARTIE. CHAPITRE PREMIER. Des moyens de trouver Pheure fans avoir la hauteur’ du'pole ; ou avec cette hauteur. PROBLEME PREMIER»: À hauteur & l' Angle azimuthal d'un Affre étant donné, trouver L'heure. La cinquieme Formule de PAftronomie Nautique, # rapportée au commencement du premier Lemme , don: mk° ; - ; ne t— —— , & la différence de l’afcenfion droite de cet aftre &. du Soleil, donne l'heure. L'opération que l’algé- bre vient de fournir, eft la-même que prefcrit la Trigo- nométrie Sphérique. SchoLiEr. À ceProbleme répond-celui detrouver la hauteur du pole , les mêmes élémens étant donnés ; & la deuxieme formule du premier Lemme, fournit pour cela une équation du fecond degré. Remarqgues. Tellesfont lesrelations entre la hau- teur du pole, la déclinaifon d’un aftre, fa hauteur, fon an- gle.azymuthal. & fon'angle-horaire, comme je lai déja obfervé ;. que trois de.ces.élémens divers étant donnés, on peut trouver les deux autres, & on vient d’en donner un exemple: Mais l’on w'iroit pas loin fi on mavoit.que oela.. Telles font les relations entre les élémens dont il G gi. 233 Essar D'HOROLEPSE s’agit, & telle eft l'utilité du fecond Lemme , qu’une efpe- ce de ces élémens étant donnée double avec une autre d’entre eux, on peut trouver les trois reftans. Il y a plus ; la fiuation refpe@tive des aftres érant connue , il n’eft pas né- ceffaire que les élémens donnés outre la déclinaifon , ap- partiennent au même aftre, pour trouver ce qu'on deman- de : on y parvient en chaffant de quelques-unes des for- mules du premier Lemme, où il entre deux élémens in- connus , un de ces deux élémens. Quant aux obfervations fur lefquelles on fe fonde, ou-elles font faires en même moment , ou en des tems différens. Dans ce dernier cas, il faut connoître lefpace de tems écoulé entre les deux obfervations ; mais cela nerend pas le calcul plus difficile -que quand les obfervations font contemporaines, & n'y apporte même aucun changement ; car il faut alots # concevoir un aftre idéal, qui ait la même déclinaifon que l’aftre réel obfervé dans un des momens, mais qui foit éloigné de lui en afcenfion droite fur la fphere célefte, de la quantité de degrés que vaut le rems écoulé entre les obfervations, & raifonner comme fi on eût obfervé cet aftre idéal, & qu’on l’eût obfervé dans le moment de l’autre obfervation réelle. Nous avons trois combinaifons générales d’obferva- tions à employer, car lon a ou deux hauteurs, ou deux angles azymuthaux, ou une hauteur ,-& un angle azy- muthal. | PrRo8LemME' II. Les hauteurs de deux aflres E , E! étant données , aveckur déclinaifèn & le tems écoulé entre les cheroaion, trouver l'heure de lune & de l'autre. “'REemarQUe. Il eft préalable pour la folution de ce problème de trouver la ‘hauteur du pole, parce quil eft NPA HO AT QUE re 239 beaucoup plus facile de chaffer # que s de la formule dont: on a befoin. Soient les finus de la déclinaifon des deux aftres, x , x”, leurs cofinus, y, y’, les finus des deux hauteurs , , # » les cofinus des angles horaires qui leur nd AE RCE Soient nommés p & g le finus & le cofinus de la diféren- ce, ou de la fomme de l'angle du tems écoulé entre les ds ations, & de celui qui eft la différence des deux aftres en‘afcenfion droite. C’eft la différence de ces an- gles qu’il faut prendre, fi c’eft le précédent des deux af tres qui a été obfervé en premier lieu ; c’eft la fomme de ces deux angles qu'il faut prendre, fi c’eft au contraire le fuivant des deux aftres qui a été obfervé en premier lieu. ( Cette fignification des lettres p, 4, fubfiftera dans la fuite.) On a ( par la remarque qui précéde ce probleme, & par le fecond Lemme}r#—qu—pt, ou rw —qu— —p W(rr —uu) , en fuppofant que les deux points de l’é- quateur , auxquels répondent l’aftre réel & l’aftre idéal au moment de l’une des obfervations, font dans le cas de la Fig. $ , où ces points font défignés par les lettres & +. Met- tant dans la formule rw/ — qu — pV(rr—uu) les va- leurs de # & de #’, prifes dans la premiere formule du premier Lemme, pour le cas où Paftre eft obfervé tant au-deflus de léquateur , A du cercle de fixt heures ; gs dc rrh—rs , &uw—=—", quarrant chaque membre, y! —= afin de rico uablos mettant pour cc, fa valeur rr— 55, & fubftituant, pour abréger , rr au lieu de xx yy, dans un des termes du coëfhicient de 55, & rr au lieu de pp + gg , dans un des termes tous connus, il vient l’équation du fecond degré, : 240 Essai D'HOROLEPSE Cry) ie + ppyyYY + rrppy'y" art PU +2r5qhh yy - den — rt hh yy —+2r2ghx!yy" L— 14hh y'y. Et prenant 4 = (rx!y —qxy")2+ rr ppy'y", B= hx'yy —rqhxyy +rh x3/y —rqhxlyy", & C—pp y y’ +2rqhh yy — 12 bh yy—1thh y'y!, on a pour le finus de Ja hauteur du pole, s—"? + = vV(BB+ AC.) Ayant la hauteur du pole, il eft évident qu’on aura les : did À __ rrh=rsx angles horaires par les équations 4= ——— ; ou w vrh— rss! F : , = on , & l'heure des obfervations, par l’afcenfion droite des aftres. S c'Hl0 L 1 E<& I. Le calcul précédent n’äété fait que fur l’hypothefe d’une certaine fituation refpeétive des deux aftres , & il en eft bien d’autres poflibles ; car non-feulement les deux aftres peuvent encore être fuppofés tous deux au-deflous de l'équateur, ou au-deflous du cercle de fix heures, mais encore l’un peut être au-deflus de ces deux cercles, Îe fecond étant au-deflous de l’un des deux ; un des afîres peut être deflous l'équateur, & l’autre deflous le cercle de fix heures; l’un peut être d’une part, & le fecond d’autre part du Méridien: enfin l'angle Ce, dont p eft le finus , peut être obtus aufli-bien qu'aigu. Or il feroit long de calculer le probleme pour toutes les combinai- fons poflibles d’hypothefes , l’une après l’autre, mais on peut N'AUTIQUE ZA, peut éviter ce travail, pourvû que l’on entende bien la formule qui vient d’être trouvée, & qu'on y change, quand il s'agira de la mettre en pratique, les fignes qui n'auront pas leur fignification fimple , en leurs contraires. Pour ne rien laifler au hafard, j'ai calculé le Probleme relativement à diverfes hypothefes, d’entre celles que je viens d'indiquer , en obfervant de bien marier le fecond Lemme avec le premier , & je fuis toûjours parvenu à une formule compofée des mêmes termes , & affetée - dans quelques cas des mêmes fignes, & qui en d’autres cas différoit feulement par quelques fignes, de celle que je _ viens de donner, J'ai trouvé de plus, que la mutation des fignes étoit réglée par des loix que je vais marquer ; c’eft pourquoije me fuis difpenfé de continuer le calcul du probleme , pour le refte des hypothefes poffibles. Ce que j'appelle bien marier (pour le dire en pafant) les formules des deux Lemmes, c’eft les prendre dans leurs états correfpondans , ainli que j'ai fait ci-deflus ; & que je vaisle montrer plus en détail par un autre exemple, = Suppofons que l’un des aftres E, ait été obfervé au- deffus tant de l'équateur , que du cercle de fix heures, & que l’autre E”, l'ait été au-deflous de ce deuxieme cer- tr rsx —srh+ 152" DE eu = TES fi de cle, il faut faire — plus , les deux aftres ont été obfervés du même côté du méridien , & que l'angle: Ce, dont p eft le finus, foit aigu, ce qui eft le cas de la Fig. 6. ( où .4 repréfente le point de l'équateur, que rencontre la portion fupérieure du méridien, & ale point oppofé). Il faut faire r#— — 4u + pt, ou ru + qu_=pt: mais fi l'angle :Ce eft ob. tus, ce qui eft le cas de la Fig. 11 , il faut prendrerw= qu +pt. Ainfi, appliquer à propos la formule du fecond Lemme, prife dans un état quelconque , entre les trois M Prix, 1745 Hh 24> Essat D'HoROLEPSE . dont elle eft fufceptible, ©’eft l'appliquer à quelqu'un des cas de la fituation refpeltive de deux ou plufieurs points du ciel auxquels elle peut convenir ; car on fera , par ce moyen , un bon calcul , & dont le réfultar bien entendu, ne fe bornera pas à la feule hypothefe fur laquelle on aura travaillé ; au lieu que fi on marioit au hafard la for- mule du fecond Lemme , avec une de celles du premier: rife dans un état quelconque , on s’expoferoit peut-être à faire un calcul vicieux , ou du moins on en feroit un qui feroit inutile, faute de pouvoir difcerner ce à quoi il conviendroit, Voici les loix des fignes de notre Formule. Elle con- vientnaturellement dans l’état où elle eft , à tous les cas: où les deux aftres déclinent du côté du pole élevé, & où l’angle «Ce eft aigu : que fi cet angle eft obtus, il faut prendre négativement fon cofinus 4; & fi l'un des aftres obfervés, ou tous les deux, déclinent du côté du pole: abbaïffé , il faut prendre négativement le finus x ou x’ de cette déclinaifon. Cela pofé, s'il n'y a dans un terme de la formule qu’une quantité qui doive être prife négativement, & qui foit linéaire, il-faut changer le figne de ce terme en fon contraire ; il en eft de même s’il fe trouvoit trois quantités négatives dans Le même terme, ou fi le quarré d’une quantité négative y étoit multiplié par une autre quantité négative linéaire : mais fi deux quan- tités négatives font multipliées l’une par l’autre dans un terme , ou fiune quantité négative y eft au fecond degré, il faut laiffer le figne de ce terme. On comprend apparemment affez fans que j'en aver= tifle , qu'après avoir mis la formule précédente de la hau- teur du pole dans l’état convenable, & après s’en ètre rvi pour trouver cette hauteur, il faut encore avoir foin; en revenant à la premiere formule du premier Lemme,. NauTiQut: 54? our trouver l’un ou l’autre des angles horaires ; de choifi l'état de cette formule qui convient à l’obfervation de l'aftre dont on veut avoir l’angle horaire; il faut, dis-je, avoir le foin au moins de difcerner le cas où cyw eft égal à la fomme des termes rr 2 & rs x ( c’eft celui où l'aftre eft fous l'équateur ); d’avec ceux où c yu eft égal à la difé- rence de ces termes. IT. Nous avons une équation du fecond degré, pour trouver la hauteur du pole , & deux racines par confé- quent , qui font la valeur vraie ou apparente du finus de cette hauteur. IL eft donc à propos de voir ce que font en effet ces racines; & cela convient d'autant plus , que l’Auteur de lAftronomie Nautique , qui a donné un Pro- bleme fubordonné à celui-ci, s’eft abftenu d’entrer dans aucune difcuflion fur ce point, qui eft peut-être capable d’embarraffer , je ne dis pas un Aftronome de profeffon, mais quelqu'un de l’ordre des Navigateurs. [ C’eft appa- remment pour laifler une matiere d'exercice , que M. de Maupertuis a gliffé fur le point dont il s’agit, car il a bien voulu s'arrêter d’ailleurs (Scholie du Probl, XV.) à te- chercher la nature des deux racines de l'équation, que Fon a pour trouver le jour du plus court crépufcule , afin de prévenir le gui pro quo auquel on étoit expofé en cer- tain cas, & il a même traité cette affaire d’importante.] Nous avons deux racines; mais pourquoi ( peut - on de- mander d’abord) en avons-nous deux? Le voici. C’eft qu’il y a un point du ciel autre que le pole , qui a même relation que le pole aux deux points donnés du cel, qui font à certaines diftances de l’horifon ; il ne s’agifque de fcavoir laquelle des deux racines de notre équation eff la vraie valeur de s. J’obferve par préalable, que fi les deux aftres obfervés déclinent du côté du pole abbaïflé, la fomme B eft nécef- Hi ji 344 EssAr D'HOROLEPSE fairement négative : il y a donc une racine de l'équation qui eft vifiblement négative , maïs l’autre racine doit être de la qualité contraire. Si les deux aftres déclinent de dif- férens côtés , il doit y avoir aufli une racine négative, & une racine politive : fi enfin les deux aftres déclinent du côté du pole élevé , une des racines peut encore être né- gative , & l’autre pofitive ; mais il fe peut aufli que les deux racines foient pofitives , & c’eft ce qui arrive lorfque B > V(BB+ AC), c'eft-a-dire, lorfque la fomme C'eft né- gative. ( SiC'eft zéro,une des racines eft aufli zéro, & il faut joindre ce cas à celui où les deux racines font pofitives). Dans Les cas où les deux racines font de qualités con traires, on peut préfumer que c’eft la racine pofitive qui eft la vraie valeur du finus de la hauteur du pole , & cela eft en effet. Auffi eft-il conftant, que lorfqu’on cherche une thofe direëlement par l’algebre , ce n’eft aucune des racines négatives qui peuvent être mêlées dans la folu- tion , qui eft la vraie valeur de ce qu’on cherche, c’eft autre chofe que donnent ces racines ( & fi l’on a la curio- fité de faire une nouvelle opération , pour chercher dire- lement la chofe qu’a donnée une des racines négatives , provenues de la premiere opération, on ne manquera pas de retrouver la valeur de cette chofe , affe@tée du figne poñitif. j Mais dans Le cas où les deux racines font pofiti- ves, laquelle des deux eft la valeur du finus cherché C'eft ce cas qui peut embarraffer. | Pour lever la difficulté, je dis qu’il faut revenir fur les obfervagions qui ont été faites, ou bien les deux aftres ont été obférvés de différens côtés du méridien, ou du même côté. Dans le premier de ces cas fubalternes , il faut re- marquer le vertical où étoit un des aftres , lorfqu'on a ob- fervé fa hauteur , & voir de quel côté de ce vertical a été obfervé l’autre afre. Si ça été du côté de ce vertical où __ NauTiqQueE: 54$ ft fe pole élevé, c’eft la moindre des deux racines pofi- tives qui eft le finus de la hauteur du pole ; fi c’eft du côté de ce vertical où n’eft pas le pole élevé qu'ait été obfervé le fecond aftre, c’eft la plus grande des deux racines qui donne la hauteur du pole. Que fi les deux aftres ont été obfervés de même part du méridien , il faut remarquer le vertical où étoit l’aftre obfervé à la moindre hauteur, & voir pareillement de quel côté de ce vertical a été ob- fervé l’autre aftre : fi c’eft du côté où fe trouve le pole élevé, c’eft encore la moindre des deux racines pofitives qui donne la hauteur du pole ; & c’eft la plus grande de ces deux racines qui donne cette hauteur , fi l’aftre obfer- vé à la plus grande hauteur , l’a été du côté du vertical fufdit , où n’eft pas le pole élevé. Ainfi l’une ou l’autre des racines pofitives de notre formule, peut être utile fui-- vant les circonftances, & comme ces circonftances qui carattérifent la racine utile , n’entrent point dans le cal- cul du probleme, il falloit bien que lalgebre , pour four- nir ce qu’on lui demandoit, nous donnât plus que nous ne demandions, c’eft-a-dire, une équation du fecond degré , où il y a une apparence de fuperfluité. Dans les cas-mêmes où les deux racines font de qualité contraire; la racine négative n’eft point abfolument fuperflue, elle indique , étant prife pofitivement , la hauteur du point du ciel qui feroit le pole, fi les aftres obfervés déclinoient de l’équateur, du côté oppofé à celui où ils font, ou (pour exprimer la chofe autrement ) qui feroit le pole à l'égard d’un Obfervateur fitué de lautre côté de l'équateur que celui qui a fait réellement les obfervations , & qui auroit vû les mêmes aftres aux mèmes hauteurs. Les deux racines contenues dans la formule , peuvent non-feulement être toutes deux pofitives , mais encore égales, & c’eft ce qui arrive lorfque BB + AC=0, Hh ii] » 246 Essar D'HOROLEPSE c'eft-à-dire, lorfque la fomme € eft négative, & que B eft moyenne proportionnelle .entre la fomme 4 & cette fomme € prife-pofitivement; & c'eft ce qui doit fe ren- contrer lorfque les deux aftres ont été obfervés dans le même azymuth. Ce n’eft aufli que dans ce cas que l’éga- lité des racines doit avoir lieu , fi on fuppofe que le$ hau- teurs aient été prifes dans l’exaétitude géométrique ; mais fi l’on y a commis quelque erreur , les deux racines peu- vent encore être égales, lorfque les aftres ont été obfer- vés dans des azymuths réellement différens, mais peu éloignés. Pour ne rien omettre, difons que les deux racines con- tenues dans notre formule peuvent fe trouver imaginai- res. C’eft ce qui n’arriveroit jamais, à la vérité, fi les “hauteurs données étoient géométriquement exaétes , mais qui eft poflible , à caufe des erreurs auxquelles les ob- fervations font fujettes. On fera expofé à cette efpece d'inconvénient, lorfque l’on obfervera les deux aftres dans le même vertical, ou dans des verticaux voifins [ c’eft-à-dire, qui font un petit angle ]. Je dis que de ren- contrer des racines imaginaires , eft feulement une efpe- ce d'inconvénient, parce qu’en ajoûtant aux hauteurs ob- fervées , ou en retranchant quelques minutes, .on retrou- vera les racines réelles que l’on avoit manquées. C’eft à la plus fufpeéte des deux obfervations , s'il y en aune de telle, qu'il faut fans doute faire toute la corre@tion , ou la principale correttion ; mais en cas d'égalité, la correc- tion doit être partagée entre les deux obfervations ; &c voici, par exemple , ce qui doit être fait dans ce cas. Si les deux aftres ont été obfervés de part & d’autre du mé- ridien , il faut augmenter chacune des hauteurs obfer- vées. Si au contraire, les deux aftres ont été obfervés de même part du méridien, il faut augmenter la plus grande NAUTIQUE. 247 des hauteurs obfervées , & diminuer la moindre. On con- noît aflez que la correétion des hauteurs ne doit aller que jufqu'à faire BB+ AC= 0. (On verra dans la feconde Partie, le fondement de ce que j'ai dit dans cette Scholie).. III. Notre Probleme a quelque étendue , & il com- prend fous lui plufieurs cas particuliers , deux defquels font traicés féparément dans l'Aftronomie. Nautique , & doivent par conféquent pañler pour intéreffans. On peut, en confidérant ces cas d’une certaine façon, arri- ver à leurs folutions , par des opérations plus fimples que celles de notre probleme. Mais fi on veut avoir ces cas réfolus avec une entiere exaétitude, il faut faire certai- nes corrections à quelques-uns des élémens employés dans les formules trouvées par ces opérations particulieres, ou bien il faut fe fervir de celle qui eft ci-deflus. Cette formule a donc la propriété d’être plus exaéte par elle: même , & plus générale qu'aucune autre: & fi c'eft un avantage * d'avoir plufieurs Problemes réfolus par une même méthode &* un même calcul, la voie que j'ai prife n’eft point à méprifer , quoique d’autres puiffent lui être préférables, foit à raifon du plus de fimplicité des opérations, foit à raifon du génie que fuppofe l'invention des correétions qui font néceffaires, quand.on prend ces voies. Aurefte, celle que j'ai fuivie peut fournir les mêmes formules aux- quelles on parvient par ces autres voies, ainfi qu'on va voir dans les Corollaires fuivans. CoRoOLLAIRE I. On peut employer deux hauteurs du même aftre, au lieu des hauteurs de deux aftres. Dans ce cas (qui eft celui du Probl. XXII. de PAftron. Naut.), fi l’aftre obfervé eft une étoile, les quantités exprimées par x’ & y’ dans la formule du probleme precédent , font: précifément les mêmes que x, y. Er fi c'eft le Soleil , ou: * Voyez la Préface de l’Aftron. Nautique , ?, XXXIX,. 2438 Essar D'HOROLEPSE une planete qui ait été obfervée, fuppofons pour un mo- ment, que x’ & y font aufli Les mêmes que x, y, en fai- fant abftra@tion du changement de l’aftre en déclinaifon. Tous les termes de la formulé donnée ci-deflus , fe trou- vent donc multipliés par y y; ainfi on doit fupprimer ce ” fa@teur commun. D'ailleurs on a lieu d’abréger la for- mule , en fabftituant o à l’expreflion r— 9, ou r+q du finus verfe de l'angle ‘Ce : ainfi dans la formule s — ee + =/(BB+ AC), A ft=00oxx + rrpp, B—=<+ox(rh+rhl), & C=ppyy+2rohh —(rh+rh) (ou=ppyy + 2rqhh—rrhh—rr#h). Ces valeurs de s & de Z,B,C, reviennent à celles que donne l’Auteur de l’Aftronomie Nautique, dans la folution du Probleme cité, folution dont j'ai emprunté ci-deflus jufqu’au dif- cours. ScHoz1er. Lorfque c’eft le Soleil ou une planete; dont on a obfervé les hauteurs, fi on veut avoir égard au changement de déclinaifon que l’aftre a pù foufirir dans l'intervalle des obfervations, il n’y a que deux ou trois partis à prendre. L'un eft de revenir à la formule géné. tale donnée ci-deflus ; un autre eft de fubftituer à l’un des élémens employés dans les formules particulieres qu'on vient de voir pour 4, B,C, celui qui auroit eu lieu à peu près , fi l’aftre n’eût point changé en déclinaifon , tout le refte érant le même. C’eft ce fecond parti qu’a pris M. de Maupertuis. I] faut, dit-il, mettre pour h' le.finus de hauteur à laquelle on auroit obférvé l'aftre, fi la déclinaifon éroit de- meurée la méme, &'c. Et pour trouver le finus de cette hauteur idéale , il cherche fa différence d’avec }’, c’eft-à- dire, la variation dh/ qui répond à la variation dx du finus de la déclinaifon , ou à celle dy de fon cofinus. La va- leur de dk etant ajoûtée à 4’, ou en étant retranchée, on a la NAUTIQUE. 249 a fa quantité qui doit être fubftituée à #/ dans les fommes particulieres B, C. Or, pour avoir la valeur de dk’, M. de rrh—rsx Maupertuis remonte à l'équation # — , Où il fait cy varier #',x & y, pendant que c,s & w/ demeurent conftantes. Ona donc du —=0o , de même que le numérateur de 13 Gaéion rrydhrrh'dy—rsydx+ rsxdy ï DRE ET 5 , quieft= à du/, d’où on tire : dh= rh'dy—sxdy+sydx ry parce que x croiffant, y diminue, on a dh'= , d , ou en fubftituant— "= à dx; vh'x—sxx—5yy dv: DDR 3 ryx bx—rs . xdx ‘ ou — = y , ou encore en fubftituant FROBT à dy; ! #5—h gh="— — dx, parce que xx<+yy =rr, Le finus de la hauteur du pole fe trouvant enveloppé dans l’expreffion de la quantité qui doit être ajoûtée à #, ou en être retranchée , pour avoir le finus de Îa hauteur où eût été l’aftre dans le moment d’une des obfervations; s’il n’eût point changé de déclinaifon ; il eft vifible qu’en prenant le parti qui vient d’être expofé , on feroit dans la nécelflité de faire deux calculs fur la formule du Coroll, précédent, pour avoir la hauteur du pole avec lexadti- tude défirée ; car il faudroit faire un premier calcul fur cette formule, pour avoir un finus approchant de celui de la hauteur du pole; ce finus ferviroit à trouver la valeur de dk’, puis ayant pris la différence , ou la fomme de # & de dh’, & ayant fubflitué cette différence ou cette fomme au lieu de 4’, dans la formule du Corollaire , il faudroit réitérer le calcul fur cette formule, pour avoir un finus plus approchant de celui de la hauteur du pole que le premier: ce feroit un circuit, & un circuit peu court. Si l’on wadopte pas le premier parti, il vaudroit mieux, pofe le dire, prendre untroifieme parti, que celui qu'on Prix, 1745, Ji - 25Ÿ Essai D'HOROLEPSE vient de voir. Il confifte , ce troifieme parti, à corriger le finus trouvé par le premier calcul, fait fur la formule du Corollaire , lequel finus n’eft pas exaétement celui de lahauteur du pole : je veux dire qu'il faudroit chercher l'erreur , que la négligence du changement de déclinai- fon fait commettre fur le finus de la hauteur du pole : l'ex- preflion algébrique de cette erreur, n’eft ni difficile à avoir, ni fort compliquée. Pour l'avoir, je fais varier ds la formule #/ rh rsx ROUTE les quantités s,c, x, y, pendant que h!& w! demeurent conftantes , & jai / —+rhedy = rrhyde + rscxdy + rsxyde— rscydx — rexyds à du — OO —= OMS ACER TE » : sds ; £ ubflituant— — à de dans le numérateur de cette fraétion égale à zéro, parce que c croiflant, s diminue ; fubfti- d : ; tuant encore — TT à dx, puis rr tant àss=hce qu'à 0e s xx+yy, & multipliant tous les termes par &, j'ai #r Bx—rs (ray —hsxy) ds = (rscc— hxcc)dy; & ds= x; dy. Telle ef la valeur de l'erreur que la négligence d’un petit changement de déclinaifon, indiqué par dy (qui eft la différence des cofinus des deux déclinaifons données) apporte au finus de la hauteur du pole. Retranchant donc cette valeur de la quantité erronée s trouvée en nombres, par la formule du Coroll. précédent , ou l'y ajoûtant, on aura le finus corrigé de la hauteur du pole. On voit fans doute que d y eft pofitive , fi la déclinaifon de l’aftre eft moindre lorfqu’il eft obfervé à la hauteur dont // eft finus, . que lorfqu’il l’eft à la hauteur marquée par #, & que dy cft négative dans le cas oppofé. On doit encore com- prendre , que lorfque l’aftre déclinera du côté du pole NAGTIQUE »2$+ abbaiflé ; ce qui donne cy#=rrh+rsx, il faut avoir égard à la différence des fignes de ce cas , d'avec ceux de l’hypothelfe faite ci-deflus. On a dans celui-ci, ds hxbrs — cc ns X — 7 bre * 35 dy. Aurefte, fi la valeur de ds fe trouve politive, cela marque que le finus peu exaët s, peche par excès ; ainfi il faut en retrancher ds, pour avoir le finus corrigé de la hauteur du pole. Si au contraire, la valeur de ds eft négative, le finus erroné s peche par défaut, & pour le corriger , il faut lui ajoûter ds prife pofitivement. Au lieu de corriger le finus non exaét de la hauteur du pole, on peut corriger la hauteur même, à laquelle ap- partient ce finus. Soit dD le petit arc qui eft la différence des deux déclinaifons , & dL le petit arc du méridien, qui ef l'erreur commife fur la hauteur du pole , en négli- xa4D r geant le changement de déclinaifon, on a dy — & ds — _ : fubftituant ces valeurs de dy & ds, dansa vi! 15 ; __hsærs 0 : formule précédente, onaen général d L— Bars * 3 dD; cette formule-ci eft un peu plus fimple que celle-là, & plus avantageufe par conféquent, au moins pour ceux qui chercheront feulement la hauteur du pole, & non heure. Quand on ne mettroit pas en pratique l’une ou l’autre correction que je viens de propofer , leurs formules ne laifleront pas d’avoir quelque utilité. Elles nous feront connoître de quelle conféquence peut être la négligence d’un petit changement de déclinaifon (la formule don- née par M. de Maupertuis pour d#’, peut fervir au même ufage ). Je remarque d’abord que quand l’aftre décline du côté du pole abaïflé , l'erreur fur la déclinaifon en caufe toûjours une réelle fur la hauteur du pole , parce que le numérateur hxc + rsc de la fraétion qui entre dans la va- leur de dL, ne peut être que réel : mais lorfque Paftre ii Fg. 39e 252 Essar D'HOROLEPSE décline du côté du pole élevé, Perreur fur la hauteur du pole peut être nulle, parce que l’on a alors #'xc—rse pour numérateur de ladite fraétion, & que /x peut quel- quefois être =rs. C'’eft ce qui arrivera , fi le finus #/ de la hauteur à laquelle l’aftre a été obfervé dans le moment pour lequel on lui attribue une fauffe déclinaifon , eft à celui de la hauteur du pole , comme le rayon ef au finus de la déclinaifon , ou bien fik/:r::5:x. Or, comme // ne fçauroit furpafler r, & qu’au contraire elle eft fuppofée moindre que r par la qualité du Probleme ( puifque fi on avoit #’==7r , cette feule obfervation donneroits—=x, & #=7r):on voit déja que la hauteur du pole doit être moindre que la déclinaifon de l’aftre, pour avoir 4 — 0; c’eft-à-dire que l’aftre doit être un de ceux qui paflent ‘en- tre le zénith & le pole, dans la partie fupérieure de leur cours , aftres dont on fçait que l'angle azymuthal ne peut croître que jufqu’à un certain point, après quoi il décroit. L’algebre feroit bien capable de nous faire voir dans quel point de fon cours un de ces aftres arrive à la hauteur qui rs * a pour finus#— — ; mais une legere connoiffance de la doûtrine de la fphere , ou l’infpeëtion feule d’une fphere, fufifent pour difcerner ce dont il s’agit. Soit ici MER une partie de l’horifon, P le pole, P le méridien, EM le vertical de l’aftre, EPR une portion de fon cercle horaire, nous avons (à caufe de l’angle R commun aux deux triangles fphériques, P4R , EMR, & de leurs angles droits, », M) cette analogie. Sin. EM(h'): fin. Ph(s):: fin. ER: fin. PR, qui devient h:s::r:#x, fi ER eft un arc de 90 degrés, car PR fera égal à l’arc de la déclinaifon , dont PE eft le complément. Or dans ce cas, l'angle PEM eft droit , ainfi le cours de l’afire ( cours perpendiculaire au cercle horaire) ef dirigé fuivant EM , NAUTIQUE 293 lorfque #/x— rs. C’eft donc lorfque le vertical d’un aftre eft perpendiculaire à fon cercle horaire , ou bien lorfque le cours d’un aftre eft perpendiculaire à lhorifon (terms où on fçait que fon angle azymuthal ef le plus grand), que la petite erreur commife fur fa déclinaifon, n'en caufe point fur la hauteur du pole. Et cela eft affez vifible par la Figure citée , ou fur la fphere, indépendamment du calcul différentiel , qui fournit pour ce cas hx rs. Car ER étant fuppofé perpendiculaire à EM, ce qui le fait valoir 90 degrés, fi E « eft un très-petit arc, le finus de Varc ‘ R fera très-peu différent du finus de ER, ou du finus total , & doit même lui être réputé égal, fi on traite E. comme un infiniment petit. Or, les finus des hauteurs EM, «ue, font en même rapport que les finus de ER & de :R. On a donc pour :# , le même finus que pour EM; ainfi on peut négliger fans conféquence , la petite diffé- rence de déclinaifon E:, c’eft-à-dire, fuppofer Paftre en :, au lieu qu'il eft en E , lorfqu'il eft queftion d'employer Le finus de la hauteur de cet aftre, puifque celui de la vraie hauteur EM ne differe point de celui de la hauteur du point, où on le fuppofe. L’analogie #':5::r:x, fait voir que la hauteur où il faut qu'un aftre ait été obfervé pour négliger quelque chofe fur fa déclinaifon , fans tirer à conféquence pour la hauteur du pole, doit être plus grande que cette hau- teur & d'autant plus grande , que la déclinaifon eft plus petite. Ainfi les grandes hauteurs n'étant pas aifées à ob- ferver avec exa@itude , la plus grande déclinaifon du So- leil & des planetes , ne paffant pas 29 degrés, & la hau- teur du pole devant d’ailleurs être moindte que la décli- naïfon de l’aftre, ce ne peut être que dans les pays où le pole eft fort bas, que l’on ait l'avantage d’avoir #x —rs, à l'égard du Soleil , ou d’une planete, Hi 2$4 Essar :DHOROLEPSE Puifqu’une petite erreur dans la déclinaifon, n’en caufe point fur la hauteur du pole, dans le.cas où l’aftre eft ob- fervé lorfqu'il monte ou defcend perpendiculairement à l’'horifon ; ou bien lorfque le vertical de l’aftre eft perpen- diculaire à fon cercle horaire, il en faut conclurre que l'erreur fur la hauteur du pole eft au contraire a plus grande , dans le cas où l’afîre eft obfervé lorfque fa direc- tion eft parallele à lhorifon ,. ou bien lorfque fon vertical fe confond avec fon cercle horaire , c’eft-à-dire, lorf- qu'ileft au méridien. Or dans ce cas, l’erreur fur la hau- teur du pole eft précifément de même quantité que celle fur Ja déclinaifon ; car le numérateur #/xc prse de la frac- tion qui multiplie 4D dans la valeur de dL , eft alors égal au dénominateur #'syrxy de cette fraétion : c’eft ce qu'il eft aifé de reconnoitre , en confidérant que lorfqu'un aftre eft au méridien , fa hauteur eft alors la fomme , ou la différence de fa déclinäifon, & de la hauteur de l’équa- teur ( qui eft complément de celle du pole); on a donc par le Lemme fecond r#—cy—x5, pour le cas où l’aftre décline du côté du pole abbaiflé, &c. I] naît de ce qu’on vient de remarquer touchant l’er- reur commife fur la hauteur du pole, une conféquence “pour la pratique ; fçavoir que fi l’on ne veut pas porter l'exattitude jufqu’à corriger la hauteur du pole, trouvée par la formule du Corollaire précédent , les finus & co- finus x, y, qu'il faut employer dans le calcul, font ceux de la déclinaifon qui convient au moment de ’obferva- tion où laftre eft le plus près du méridien ; parce que le cours de l’aftre étant moins oblique à l’horifon dans l’au- tre moment , l'erreur qu’on commettra en lui attribuant une fauffe déclinaifon pour ce moment, fera de moindre conféquence fur la hauteur du pole. C’eft le parti qu’on pourra prendre , fi les deux hauteurs font fort différentes , N AU T1 Q U €: 255 & furtout fi elles ont été prifes de même part du méri- dien ; mais fi les hauteurs ont été prifes de part & d’au- tre du méridien, & furtout fi elles font peu différentes , on doit faire autrement. Il faut attribuer à l’aftre , une dé. clinaifon moyenne entre celles qui lui appartiennent, aux momens des deux obfervations ; car fi les deux hauteurs étoient égales, les erreurs que les attributions d’une faufle déclinaifon à l’aftre pour chacune des obfervations, cau- feroient féparément fur la hauteur du pole, feroient égales, : & d’ailleurs en fens contraires. Il s’opere donc une com- penfation de ces erreurs, en faifant conjointement les deux attributions d’une déclinaifon moyenne à l’aftre. CoRoOLLAIRE Il. Si l’aftre dont on a obfervé les hauteurs, eft dans l'équateur ( c’eft le cas du Probl. 24 de l’Aftron. Nautique), onax—o,&y—7; & la for- mule du probleme fe réduit à ppss = r'pp + 2rqhh—rhh =1r2h hl, d’où ontires = V{rrppt2rqhh rh 2}! h), Il fera encore plus commode de fubftituer #r—ccass,caronen déduirappec—="+ 2rqhh rh +rWb,&c==vV(arghhærrhh+rr ll). A rrh légard de l'heure ; on a pour cecas-ci, #— rh? V(zrqhh + rr (hh+-h'h D) CoroLLaAIRE III. Si l’on a 15 tems écoulé entre Pobfervation de la hauteur d’un aftre, & le moment de fon coucher , ou de fon lever ( ce Qui eft le cas du Probl. 23. de P'Aftron. Nautique), on peut encore trouver la hauteur du pole , & l'heure des obfervations , par la for- mule du Probleme précédent, ou par celle du Corollai- re I, pourvû que l’on fçache combien la réfraétion moins la parallaxe, éleve les aftres qui paroiffent à l'horifon; caril n’y aura qu'à prendre le finus de cette élévation € 2$6 Essar D'HOROLEPSE pour #/; mais il faut auffi prendre garde aux fignes qu’on donnera à la valeur de #’, tirée de la premiere formule du premier Lemme. Lorfqu’un aftre paroit à l'horifon , il eft réellement abbaiïllé fous ce cercle à l’égard de l’'Ob- fervateur , & élevé au-deflus de ce cercle à égard de l'antipode de l'Obfervateur. Or cet antipode verroit fous le cercle de fix heures l’aftre qui décline du côté du pole abbaiffé pour l'Obfervateur; & au contraire fous l’équa- teur, l’aftre qui décline du côté du pole élevé pour l'Ob- fervateur : il faut donc faire cy#=rrh+rsx, fi Paftre qui paroit à l'horifon décline du côté du pole élevé, ou ——1rr##rsx,sil décline du côté du pole abbaiflé, ScHoL1e. M. de Maupertuis propofe pour ce cas, de faire = o le finus de la hauteur de l’aftre , au moment de fon coucher ou de fon lever ; & négligeant encore le changement de déclinaifon que l’aftre peut avoir fouffert, 1#hh3 la réfraétion horifontale faifant paroître l’aftre fur l’hori- fon plus long tems qu'il n’y eft réellement , cette formule ne donneroit la hauteur du pole que peu exaétement, à moins qu’on ne changeât quelqu'un des élémens qui y entrent. Au refte , il renvoie à fon Probleme 34, pour trouver le moyen de faire cette efpece de correétion , qui confifte à retrancher du tems écoulé entre les deux obfer- vations, ce que la réfration apporte de retardement au coucher de l’aftre, où d'avancement à fon lever. Pour cela, M. de Maupertuis cherche la variation d#/, qui 20 à db, le refte étant conftant ; puis il met pour dh l'arc dH du retréals dont dh eft finus , & Fe à du’ il trouve na Vu 2ohxs = dr puis il avertit que fa valeur en arc dE de l'équateur (on a du — SE =). Mais les finus & cofinus de langle horaire , fe trouvent enveloppés N'AUTIQUE. 7 enveloppés dans la formule qui provient de ces opéra- tions ( & quand on voudroit les en chafler, ce ne feroit qu’en y faifant rentrer les finus & cofinus de la hauteur du pole). Or fi ces quantités LR AS peuvent être fuppofées connues dans le cas propre de ce problème 34 *gigu dans les cas approchans , indépendamment de la hauteur du pole : il n’en eft pas de même dans le cas où nous fommes , nous ne pouvons avoir '& uw qu'après avoir trouvé la hauteur du pole, au moins groflierement. Ainfi à fuivre la propofition de M. de Maupertuis, il faudroit, pour avoir la hauteur du pole avec l’exattitude défirable, faire un circuit comme celui dont j'ai parlé Coroll. I. On évitera ce circuit , fi l’on cherche ce qu’une er- reur commife fur la hauteur d’un aftre, en caufe fur la hauteur du pole ; c’eft-à-dire , fi l'on cherche la valeur de la variation ds, qui répond à la variation d/', le refte ÆrrhErsx étant conftant. Prenant donc Îa formule #/ RS e qui fert au cas où l’aftre décline du côté du pole élevé (il n’eft pas néceffaire ici de pratiquer l'obfervation faite rrh'dc—+rcdh'+rcxds—vsxde au Coroll. précédent) ; on a du 24 : —sds x 1 > = o. Subftituant —— à de, &rrass+ ce, il vient ds cc y; dh”. Dans le cas où l’aftre décline du côté du pole abbaiflé, cyw/ étant =—rrh/#rsx, on ads = > dW. Or, la réfra&tion élevant l’aftre à l'égard de l'Obfervateur, dh eft une quantité pofitive, fi on la prend pour Ja diffé- rence de finus de la hauteur vraie & de la hauteur appa- rerte ; ainfi l’erreur commife fur le finus de la hauteur du pole , en négligeant l'effet de la réfraétion , eft négative, fi l'aftre décline du côté du pole abbaïffé ; elle peut être * On y fuppofe que la durée du jour folftitial eft donnée. Prix. 1745: KKk z$8: Essar D'HOROLEPSE poñitive , fi laftre décline du côté du pole élevé, & elle: eft en effet pofitive , lorfque # eft petite. Pour appliquer la formule générale qu’on vient de voir , au cas particu: lier de ce Corollaire, j'obferve que fi x ef fort grand & s° pt, on pourroit fuppofer #=0 , & fupprimer le ter me sx dans cette formule, ce qui la feroit devenir ds \ cc dh! : mais comme l’effet de la réfraétion horifon-- = rx tale eft affez confidérable , il fera plus für de laiffer ce ter< me , & on mettra pour #/ ainfi que pour d#/, le finus de la quantité, dont la réfration, moins la parallaxe , éle+ ve un aftre qui paroit à l’horifon.. Au lieu de chercher l'erreur du finus de la hauteur du pole, groflierement déterminé , on peut chercher l'erreur: de cette hauteur même, & la formule en fera plus fimple. Mettant 4H pour dk, & see pour ds , on a dL dE. LE rx—sh 11 eft vifible que par le moyen de l’une ou de l’autre dé: ces formules,& de l’une de celles de la fcholie du Coroll.. premier, on pourra corriger conjointement les deux er- seurs commifes fur la hauteur du pole, par la fuppofition: que #'— o lorfque l’aftre paroît à l’horifon , & par la né- gligence du changement de déclinaifon qu'il a pà foufrir pendant le tems écoulé entre les deux obfervations. C’eft: peut-être là un mérite pour ces formules. Au refte , il eft bon d’avertir que ces formules propos fées pour corriger la hauteur du pole, ne conviennent: point au cas où l’aftre eft dans l'équateur, ou pañle par: l'équateur dans l'intervalle des obfervations, & qu’elles: font même peu juftes lorfque la variation dk , qui eft l’e£- fet de la réfraétion, ou qui répond à la variation du finus de la déclinaifon , n’eft pas dans un petit rapport à ce NAUTIQUE. 259 finus , furtout fi z eft peu confidérable & s auffi : mais ce défaut des formules ne vient point du calcul , il naît en remief lieu, de ce que l’une des fuppoñitions fur lef- quelles eft fondé le calcul , ne peut pas être vraie lorfque Taftre eft dans l'équateur ; car dans ce cas, la premiere formule du premier Lemme, devient c#=r#': ainfi en regardant c comme donné , on a cdw#=—=rdh/; la variation du’ eft donc réelle , fi dh’ eft réelle ; on ne peut donc pas fuppofer du= o pour le cas où l’aftre eft à l’équateur, fi#’ eft fujette à une variation réelle, telle qu’eft celle que -caufe la réfraétion , ou une erreur fur la déclinaifon. Quant au cas où l’aftre eft fort voifin de l'équateur, on peut à la vérité y fuppofer du = 0, quoique 4#' foit réelle : mais alors la variation ds ou dL , qui répondà dh' eft fort grande par rapport à elle, & d'autant plus grande que #’ eft plus petit, & que « eft plus grand (les formules mêmes le font voir ) : ainfi ds ou dL eft dans un grand rapport à x ; on n’a donc pas droit de traiter ces variations comme étant d’un ordre de grandeur très-infé- rieur à x, ainfi que les principes du calcul différentiel requerroient qu'elles fuffent. Lors donc que la déclinaifon de l’aftre fera nulle-ou petite, ilne fera pas à propos, je l'avoue, d’entrepren- dre de corriger la hauteur du pole groflierement détermi- née, ou fon finus , de corriger, dis-je , ces quantités par les mbyens que j'ai propofés ; il faudra, fi Pon veut em- ployer les formules du Coroll. I. ou du Coroll. précédent, revenir au genre de moyen indiqué par M. de Maupertuis (Prob. XXILIL.),parce que ce moyen tend non à découvrir l'erreur ds, ou la variation dh/, mais à empêcher que s ne foit erroné, quoiqu’on prenne un faux #’ du un faux w’ pour le moment de lune des obfervations ; je veux dire qu'il faut changer le tems écoulé entre les deux obferva- KK i 260 Essai D'HOROLEPSE tions, en celui qui auroit lieu fi Paftre ne changeoït point de déclinaifon dans leur intervalle, ou fi la réfraction n’augmentoit pas la durée de fon apparition ( la deuxieme Partie fournira une maniere d’éviter finon le circuit, du moins.la longueur du circuit, à quoi ce genre de moyen engage ). 1 1°. Pour le cas où l’on veut attribuer à l’aftre une dé- clinaifon un peu différente de celle qu’il a en certain mo- ment, prenant la variation des quantités #’, x’, y’ dans la premiere formule du premier Lemme, cy D TE —rsx, où = &c. en faifant 4,5 ,c conftans, l’on a cydu = — 15dx!— cu'dy'; & fubftituant à dy’ fa valeur en . t'dE 4D arc dE de l'équateur, (du = “E) » à dx fa valeur =, x! dpi un CUX T5 — 5 l'ona enfin dE = =) dD, à — dy’ fa valeur ou, &c. L’arc dE étant réduit en tems, ce tems ef ce qu'il faut ajoûter à celui qui s’eft écoulé entre les deux obfervations , ou qu'il faut en retrancher, pour avoir le tems qui fe feroit écoulé entre ces obfervations, fi l’aftre n’eût point changé de déclinaifon. C’eft du Probleme 37 de l’Aftronomie Nautique que je tire cette formule pour dE ; j'y laifle les finus s & 7 , ainfi que leurs cofinus, parce que ces quantités peuvent être déterminées concurrem- ment par l’opération grofliere qui doit précéder la re- cherche du vrai finus 5. “ 2°, Pour le cas où l’on veut attribuer à l’aftre une hau- teur un peu différente de celle qu’il a en certain moment, prenant la variation des quantités #°, #’ dans la même for- mule du premier Lemme, cy#—rsx—rrh", où , &c. en * faifant s & x conftans, lon a ( obfervant que dans le cas fuppofé, qui eft celui où l’aftre eft vû au deflous du cer- cle de fix heures, #’ diminue, lorfque#’ croît) cydw"=rrd#}. LA N'AUTIQUE 261 PRE VE : kdH Subftituant à dy’ fa valeur ——, & pour d}" mettant ==, on a enfin dE = _ dH. Cette formule eft tirée du Pro bleme 34 de l’Aftron. Nautique : la précédente fe com- binera aifément avec celle-ci, pour le cas où l’on voudra attribuer tout-à-la-fois à l’aftre, une déclinaifon & une hauteur un peu différentes des fiennes. CoRrOLLAIRE IV. Si l’on connoît le tems écoulé entre le lever ou le coucher de deux aftres ( ce qui ef le cas du Probl. 9 de l’Aftroh. Nautique), on aura encore la hauteur du pole & l'heure des obfervations, par la for- mule du Probleme précédent , en mettant pour 4 ainfi que pour /’ les finus des quantités dont la différence de la réfraëtion & de la parallaxe horifontale , élevent l’un & l’autre de ces aftres, & obfervant la précaution mar- quée au Coroll. INT. Si l’on veut faire # & k— 0 , on le peut, en fabftituant au tems écoulé entre les deux obfervations , celui qui au-. roit eu lieu , ceffant la réfraétion & la parallaxe , ou en fe réfervant de corriger l'erreur que ces fuppofitions de # & h'— o caufent fur la hauteur du pole , lorfqu’on fait fervir dans le calcul le vrai tems écoulé entre les deux obferva- tions. Il ne s’agit plus que de voir à quoi fe réduit la for- mule du Probleme. Lorfqu'on fait # & k= 0 , elle de- vient : rrpp33 YY cr 22 Re oem ao Et nommant X & X les rangentes des déclinaifons des deux aftres , nous pouvons rendre cette formule plus fimple, en mettant SS=— d X X'y' . pour x & x’ leurs valeurs > 3 car tous les termes de la fraction fe trouveront multipliés par y/y’, on aura donc 5 = Le ER ee Qu non mettant d è rpp+rr X'X'yy—279 XX" }) + 99 XX yy ; ans Kk ii] LL 262 Æssat D'HOROLEPSE le terme rpp, xx+yy pour rr, ce qui fera pprrax + rrppyY, puis fubflituant à xx, fa valeur XX yy» tous les termes de la valeur de ss fe trouveront multipliés par yy; mettant enfin rr XX pour pXX#+4qqXX, on aura 55 — — PP — ——. Et fi l'on veut pp +rrAX + Tr XX —2rqXX fabituer rr —ccàss, on aura: __ tr OrXX+rrX'X—17qXX") ser VEPP HT AX rr X'X "= 27 XX" Nous pouvons déduire de ces valeurs de 55 & rrss cc, qui ont un même dénominatgur ; ———> r4 . rs ee ok les > ou bien rrZXX+rrX'X'— 1 q XX' Tr rs V (rrXX + rr X'X'— 2r q XX") c de la hauteur du pole. ( La valeur que nous venons d’en trouver eft la même que celle qu’en donne M. de Mau- pertuis, dans le Probl. cité). Quant à l'heure, nous avons ( puifque 4 eft fuppolé oO) SX = CYU) ou——— FRS - ( parce que y: rpX xi2r: À) donca= ET RCE leur de # fera exa@e , fi on retranche du tems écoulé en- tre les obfervations, la différence des retardemens que la réfraétion apporte au coucher de chaque aftre, ou des avancemens qu’elle apporte à leur lever ; ou bien fi l'on retranche de ce tems, ou fi on lui ajoûte la fomme de l'avancement & du retardement , lorfqu’on aura obfervé le lever d’un des aftres & le coucher de l’autre, finon il faudra chercher pour # la correétion dont il aura befoin, . Cette va- . vr La formule de cette correétion eft du = — dl NAUTIQU E: 263 Cette formule étant fort fimple , on poutta s’en fer- vir dans le cas du Coroll. précédent, après avoir déter- miné groflierement lheure fur le finus peu exa&t de la: hauteur du pole ;.fuppofé qu'on ne fe foucie pas d’avoir: ce finus même corrigé. ScHoz1e. I. Au lieu d’obferver les aftres au moment de leur lever ou de leur coucher , c’eft-à-dire, dans un tems où ils font au-deflous de l’horifon rationel , il feroit plus à propos , par deux raïfons, de les obferver, s’il eft poffible ; lorfqu'ils font dans cet horifon. La premiere eft vifible, on éviteroit par-là le befoin de corre&ion. Je tire la deuxieme de la Piece déja citée de M. Bou- guer. Cet habile homme y a fair un paragraphe exprès- ( c’eft le troifieme de la deuxieme Partie) , pour montrer qu'il vaut mieux tâcher d'obferver les affres lorfqw'ils font exaétement dans l'horifon rationel, que de les obferver à Phorifon fenfible ; & il fonde ce confeil, fur ce que la réfraétion horifontale eft fujette à des irrégularités deux fois plus grandes environ , que celles de fa réfraétion qu'éprouve l’aftre , lorfqu’il eft dans l’horifon rationel. Dans ce même paragraphe ,. M. Bouguer propofe un ex- pédient à l’égard du Soleil , pour lobferver à peu près dans lhorifon, c’eft de l'obferuer lorfque le bord inférieur de fon difque paroït élevé au-deffus de l'horifon , à la vée fim- ple , d'environ la moitié de fon diametre apparent , parce que le diametre ef à peu près égal à la quantité dont la ré- fration léleve alors. L’Auteur de lAftron. Nautique propofe , pag. 88 , une pratique qui revient à l’expédient de M. Bouguer. IT. Il y a un cas approchant de celui du Corollaire précédent ,.mais où il ne doit pas être queftion de cher- cher l'heure, parce qu’on la fuppofe connue exaétement, ou à peu près, fans calcul, &-avant d’avoir la hauteur 564 Essar D'HOROLEPSE du pole. C’eft à l'invention de cette hauteur feulement ; que fe dirige la confidération de ces cas. On fuppofe que la durée de l'apparition d’un aftre au-deflus de l’horifon , ou de fon occultation fous ce cercle , eft connue, ou pour parler autrement , que le rems écoulé entre le lever & le coucher d’un aftre, ou entre fon coucher & fon lever eft connu (fi l’aftre décline du côté du pole abbaïflé, c’eft la durée de fon apparition, & s’il décline du côté du pole élevé, c’eft la durée de fon occultation, que l’on a dû tâcher d’obferver , afin que l’obfervation fe ref- fente moins de l’imperfeétion de l’inftrument employé pour mefurer le tems), En parlant ici d’unaftre, j'entends ” le Soleil, ou une des planetes les plus lumineufes , parce _que les étoiles ne font pas vifibles à l’horifon ; ainfi l’aftre a pû fouffrir, dans le cas dont il s’agit, un changement de déclinaifon auquei il faut avoir égard. Or, un moyen für pour cela, c’eft de fe fervir de la formule du Coroll, récédent 2 — "2 — (je metsici P c V(rrXX + rr X'X'+ 2rq XX") le figne + devant le terme où entre 4, parce que la du- tée de l’apparition ou de l’occulration d’un aftre fitué dans le zodiaque, eft ordinairement plus grande que fix heu- res, & moindre que dix-huit), on obtiendra, dis-je, la hauteur du pole avec une grande précifion, par cette formule : mais notre cas ne requiert pas abfolument qu’on prenne la peine de s’en fervir. Lorfque la déclinaifon de l'aftre ne fera pas fort petite , il fufira de lui en attribuer une moyenne entre celles de fon lever & de fon coucher, & l'on pourra employer un autre calcul, dont j'emprunte 1a formule du Probl. 32 de l’Aftron. Nautique. Soit ’X la tangente de la déclinaifon moyenne entre celles X, X', du lever & du coucher de l’aftre, & ’Ÿ fa cotan- , : rs gente ; } étant fuppofée — 0; nous avons — —— — NIROUT : QUE, 365$. 2 (— _ )=—; parce que *y:/x::/Yir. { C’eft la derniere valeur de __ , dont il faut faire ufage dans la pratique , LRAiES qu’elle indique un calcul plus facile que celle -Z ee , qui la précede. On. va voir pour- quoi j'ai préfenté celle-ci). ® M. de Maupertuis attribue à l’aftre, pour le cas où nous fommes, une des deux déclinaifons qu’il a aux mo- mens de fon coucher & de fon lever, & propofe de re- trancher ou d’ajoûrer au tems écoulé entre ces momens, ce que le changement de déclinaifon apporte de retarde- ment ou d'avancement à l’un de ces momens : mais je m'imagine que le calcul de la hauteur du pole, fait felon l’idée que j'ai propofée , équivaut bien dans tous les cas, à la double opération prefcrite par M. de Maupertuis ; c’eft-à-dire, qu’il donne un réfultat aufi exaét [ & je m'é- tonne même que cet habile homme n’y ait pas penfé 1. On peut fe rappeller ce que j'ai dit ci-deffus ( à la Schol. du Coroll. I.) , pour établir la bonté de l’expédient dont il s’agit, & je pourrois m'en tenir à cela ; cependant je vais encore montrer la chofe par une autre voie, afin de lever tout fcrupule. Deux quantités , dont {a différence eft petite en com- paraifon de ces quantités,étant élevées chacune au quarré, il eft aifé d’appercevoir que la fomme de ces deux quar- rés ne furpafle que de bien peu le double du produit de ces deux quantités. Soient 4, & 4 + d ces quantités , le double de leur produit eft 244 + 2ad, & la fomme de leurs quarrés eft 244+ 2ad+ dd, qui ne furpafle la premiere fomme que du quarré dd, qui eft bien peu de chofe , & que l’on peut négliger. Nous pouvons donc mettre 2 XX’ au lieu de XX + XX’, dans la formule Prix. 174$. LI] 266 Essar D'HOROLEPSE . rs! rrp So Eer- NOMIETP RM mere : 8 c V(rr XX + rrX'X'+ 2rq XX") 2 & faifant û rs rr ; , X=W XX, nous aurons —— PA 5e Or, rs eft précifément la même je dis que cette valeur de — que lle La , que j'ai propofée ci-deflus : car on a par le Lemme fecond , & par l'hypothefe du cas où nous s ___ AuUtt __ 4uutt LAON fommes, pur, &pp = = ss & gg —=rr Gun) — quutt (t—uu)y, tt+ ut VAE Fr Th 1 ? donc Jim r 2 & rq —=1t—uu. Subftituant donc dans la derniere éga- lité, 2ut à rp, tt— uuàrg, tt à rr—uu, nous aurons 2rut = 'XV'att = &c. J'ai pris ici X moyenne géométrique , entre les deux déclinaifons X & X’ du lever & du coucher de Paftre: mais il ne fera pas néceffaire dans la pratique de cher- cher un X qui foit tel précifément, il faudra prendre la déclinaifon qui convient à peu près au tems du paflage de l'aftre par le méridien ; ce qui ne coutera pas plus pour ce tems, que pour un autre quelconque. Si on fuppofoit que les obfervations du lever & du coucher de l’aftre fe fiflent en des lieux différens en lati- 5 - rs Yu tude, mais de peu différens, la formule ——— —— rs enfin F donneroit affez exaétement la latitude moyenne entre celles de ces lieux ; & fi leur différence en latitude eft connue à peu près, on aura aifément la latitude de l’un: ou de l’autre, après avoir trouvé la moyenne (la jufteffe de cette pratique eft fenfible , par ce que l’on vient de voir à l'égard de la déclinaifon ). Mais M. de Maupertuis. propofe un autre procédé pour ce cas; c’eft de retran- cher ou d’ajoûter à la durée de l'apparition ( ou de NAUTIQUE. 267 Poccultation) de l’aftre, ce que le changement de l’'Ob- fervateur en latitude a apporté pour lui d'augmentation ou de diminution à cette durée, après quoi l’on cher- chera la hauteur du pole, pour lun ou l'autre des lieux où le lever & le coucher de laftre ont été obfervés. Or, ce n’eft qu'à l’aide du calcul différentiel , que M. de Maupertuis trouve la formule dE — = dL, pour l'altération caufée à la durée dont il s’agit, par le chan- gement dL de l’Obfervateur en latitude. Le réfultat du procédé expofé par ce Scavant, ne peut donc être plus jufte que celui de l'opération que je viens d'indiquer , & celui-là le feroit même un peu moins que celui-ci , parce que M. de Maupertuis fait entrer dans la valeur de dE, le cofinus de la hauteur du pole groflierement déter- minée. ( Si les deux lieux où le lever & le coucher de l'aftre ont été obfervés différoient notablement en latitude, on n’auroit qu'imparfaitement leur latitude moyenne , par la Yu sr . formule — — ——, & par conféquent on n’auroit auffi qu'imparfaitement leurs latitudes propres. Mais fi on étoit fort curieux d’avoir l’une ou l’autre de ces latitudes avec une grande précifion , j'avertis en pañfant, qu'on y parviendroit par une équation du quatriéme dégré , pour la tangente de la hauteur du pole de l’un des lieux. Voici les fondemens de cette équation. Soient s & s’ les hau- teurs du pole pour les deux lieux , c, c’ leurs cofinus; À le finus de la différence donnée de ces lieux en latitude», B fon cofinus; +, # les finus des angles horaires au le- ver de l’aftre pour l’un des lieux, & à fon coucher pour s'X sX l'autre; #, u' leurs cofinus:onaw = = ,n—= ——; r = —— rec ss XX ) ; il faut fubftituer ces va- Lili 268 Essar D'HOROLEPSE leurs de w/, #,t dans l’équation ru——qu#kpt; puis obfervant que rs cd +56, & querc—=sd pc, dans le cas où les deux lieux font de même part de Péquateur, il faut chaffer s’ & c’, par le moyen de ces équations, &c. } : Moins la différence de latitude des deux lieux où le lever & le coucher de l’aftre auront été obfervés fera petite, & moins parfaite fera l'invention de la latitude moyenne entre les leurs. Or, c’eft fur mer que l’hypo- thefe du changement de lieu en latitude peut devenir réelle; & plus lintervalle entre les momens du lever & du coucher de l’aftre fera long, plus la différence des lieux où l’on obfervera ces momens pourra être grande: d’ailleurs cette différence fera connue avec d'autant moins d’exaétitude, puifqu’elle ne peut l'être que par efti- me. Voilà deux nouvelles raifons pourquoi le Naviga- teur doit obferver la durée de l’occultation de l’aftre, par préférence à celle de fon apparition , lorfque laftre dé< cline du côté du pole élevé. Et comme le Navigateur peut aufli changer de lieu en longitude ( ce qui allonge ou diminue la durée, foit de l’apparition , foit de l’occul- tation de l’aftre , & oblige de la corriger par la fouftraétion ou l'addition du tems qui répond à la différence des lon- gitudes) , il naît encore de-là une raifon pour obferver la moindre de ces durées, plutôt que la plus grande. Ces mêmes confidérations font voir qu’il eft à fouhaiter que la déclinaifon de l’aftre foit confidérable , fur-tout fi la hauteur du pole eft petite. Il eft vrai que moins la décli- naifon de laftre & la hauteur du pole feront grandes , & moins les irrégularités de la réfration horifontale en ap- porteront fur la durée de Papparition ou de l’occultarion de l’aftre, & moins par conféquent elles cauferont d’er- reur par elles-mêmes dans la recherche de la hauteur du NauTiquer. 269 pole ; mais d’un autre côté, un même dégré d'erreur dans l’obfervation de cette durée ,en produit une d’autant plus grande dans le calcul de la hauteur du pole, que la déclinaifon de l’aftre & que cette hauteur font petites. Ne commiît-on donc d’erreur fur la durée de l'apparition ou de l'occultation d’un aftre, qu’en conféquence de l'irré- gularité de la réfraétion horifontale, il ny a pas d’avan- tage (ou il y en a peu) à ce que la déclinaifon de l'aftre foit petite. Au refte, voici le rapport d’une erreur dans la du- rée dont il s’agit, erreur mefurée par le petit arc dE de l'équateur , à celle dL qui en dérive fur la hauteur du pole. Nous avons, par l'hypothefe, rsx — cyu. Faifant varier #,s,c, pendant que x eft conftant, nous aurons rxds cdL = cydu + uyde ; mettant pour ds & de leurs valeurs r dE r = _ ; & pour da fa valeur s puis fubftituant à Tsx yu fa valeur ——, à cyt fa valeur, rv(ccyy—ssxx) ou rrv(cc— xx), multipliant tout parc, & mettant rr pour cc ss, nous aurons enfin rxdL=cy(cc— xx) dE. Pre- nons maintenant un exemple ou deux, afin de voir fenfi- blement le rapport des deux erreurs dL,dE, Soient r,c,x, dans la raifon des nombres 8, $, 3, ce qui fuppofe que la hauteur du pole eft de $1° 19° & la déclinaifon de Faftre de 22° 2’, & d’où il fuit que fon angle horaire au moment de fon lever ou de fon coucher, eft de 30° 21’, en forte que la durée de fon apparition fur l’horifon eft de plus de 16 heures, & celle de fon occultation de moips de 8 heures. Pofé qu’il décline du côté du pole élevé, nous aurons 8 x 3 dL— $ V(16)dE , ou bien dL= dE; mais fi nous mettons r,c,x, dans la raifon des nombres 4,41, & 9 , ce qui fuppofe que la hauteur du poleeft L 1 ii 270 Essai D'HOROLEPSE de 25° sr”, la déclinaifon de laftre, de 11° 24’, & d’où il fait que fon angle horaire, au moment où il eft à horifon rationel , eft feulement de $° 36’, en forte que la durée de fon féjour d’un côté de l’horifon, eft de 12 heures trois quarts, ou de 1 1 heures un quart, nous au- tons 410 dL—41%*x404dE , ou dl —44@£, Er fi nous fuppofons maintenant que l’erreur commife fur le tems écoulé entre les deux paffages de l’aftre à l’horifon ratio- nel, eft d’une minute d'heure, qui en vaut 1 5 de l'équa- teur, l'erreur fur la hauteur du pole fera en ce cas d’un dégré. On peut voir, par ces exemples, jufqu’où on peut compter fur la propofition de trouver la hauteur du pole, at l’obfervation de la durée du jour, c’eft-à-dire, du féjour du Soleil au-deffus de l’horifon, faite dans l’Aftron. Nautique [ Problème dont on aflüre qu'il »’y a que deux jours dans l'année, ffavoir ceux de l'équinoxe, où l'on ne puiffe pas le pratiquer. Préf. pag. xxvij]. Aurefte, je dois dire que ma remarque peut bien faire fentir que cette propo- fition doit être limitée, mais que je ne m'ingere point pour cela de prétendre qu’on doive abfolument la rejet- ter; j'y applaudis au contraire, & c’eft pour en faciliter la pratique , que je me fuis engagé dans certe longue di- sreflion. En effet, fi l'on tâche d’obferver le Soleil au moment du paffage de fon centre par l'horifon rationel, il ne reftera aucune difhiculté qui puifle dégoûter de faire ufage de ce Problème, auquel M. de Maupertuis s’ef? tant appliqué [ pour me fervir de fes termes , pag. 73 ], & au fuüget duquel il a donné plufeurs belles chofes , mais qui, pris d’une certaine façon, eft moins difacile par fes cir- conftances , qu’il n’a paru d’une premiere vüe à cet ha- bile Aftronome, NauTique. 275 PR on eee EEE La hauteur d'un affre, & l'angle azymuthal d'un autre étant donnés ; avec leurs déclinaifons & le tems écoulé entre les obferuations, trouver l'heure de l'obfervation du premier affre. Il eft encore préalable de trouver la hauteur du pole. On a, par la premiere formule du premier Lemme, __rrh=rsx r°Crrkh—2rsh #—=—;— ; par conféquent 4 — me a rr(ccyy—rrhh+ipshx—ssxx) ccyJ rer —vrrbhæ+zrihx —rrss) La ETF ( 7 co Ne Ge 2 — rrhh + 2rshx — rrss ). Par le fecond Lemme on a, dans le cas dela Fig. $ , rw= qu— pt,rt = qt+pu ; fub- ftituant dans ces deux équations Les valeurs qu’on vient de grh—qix—pv (rryy—rrhh+irshx=rrss) 2 CI —=rr—uu4 —= F LE CO RE voir pour # &t,ona# — à 2 __ prh psg (rryy—rrhh+ 2rshx rss) & t' ET PORN Ele AE bi D'un autre côté, on a par la troifieme formule du premier Lemme , rmyt + rmcx'— msy'u'; Où, eh nom- rn : u mant V=——— la cotangente de l'angle azymuthal , & = Sa la tangente de la déclinaifon, M'+cX'= su". Subftituant dans cette égalité les valeurs de #’ & #’, mul- tipliant tous les termes par ; ,; & fubftituant rr—ssacc, on a: HE L'yÙ 55 NP sr X y = ps V(rryy = rrhh+2rhxs—rrss) — qx +rgh —1Nph Ngq & les deux membres de cette égalité étant élevés au quarré, on aura pour s une équation du quatriéme dégré, 272 Essai D'HOROLEPSE fur laquelle je ne m'arreterai pas, parce qu’un Problème dont le calcul eft fi compliqué, ne peut être d'ufage. 1/ ef? de théorie plutét que de pratique, & c'eft pour ne rien laifler fans difcuflion de ce qui peut appartenir à mon fu- jet, que je le préfente ainfi que le fuivant, P a ofet'elmor, IUV: Les angles azymuthaux de deux affres étant donnés , aveë leur déclinaifon , © l'intervalle des obfervations , trouver l'heure ; ou la hauteur du pole. Ona, par latroifieme formule du premier Lemme ? M+cX—=su, & Nr'+eX/—=su. Subftituant dans la deuxieme de ces égalités les valeurs de #” & #', fournies par le fecond Lemme, & mettant V(rr—ss) pourc; & V(rr—uu) pourt, il ne reftera que deuxinconnues, s &, dont on pourra chaffer celle qu’on voudra, puif- qu’on a pour elles deux équations ; mais l'équation qui en réfulteroit pour le Problème, feroit d’un dégré très-élevé, & il eft inutile que je m'y arrête. CHAPITRE © N A U T'14Q U:E 2Yà CEÉAPETUR E IT Moyens de trouver l'heure , la hauteur du Pole étant connue. PROBLEME V. Æ hauteur du pole , la déclinaifin &* la hauteur d'un aflre étant donnés , trouver Pheure de l'obferva- Tz0n. La premiere formule du premier Lemme, donnes £ rrh—rsx 4 : am QUE le cas où laftre décline du côté du pole abbaïllé , # — —. pour le cas où il décli- ne du côté du pole élevé, & eft au-deffus du cercle de fix heures , &c. PRcobB:r: EuM 2-4 L La hauteur du pole, la déclinaifôn à l'angle azymuthat d'un affre étant donnés , trouver l'heure de l'obférvation. La troifieme formule du premier Lemme , donne rnyr = + msyu Hrmex pour les cas où l’aftre eft au-deflus de l’équateur & du cercle de fix heures ; ou bien M= + 5% —+cX. Elevant les deux membres de cette égalité au quarré ,.& fubftituant #r —uu à tt, ona 55 +rrNN scX _ — &u—= ———— Fr DU = 25CXU _ccXX 9 = + HHENN ë é + ENG Pr rrirmxx), Prix, 17452 Mm Le] 27% Essar D'HOROLEPSE Ces deux valeurs de # font pofitives , & Îa moindre eft pour le cas où l’afire ef fitué du côté du premier verti- cal, qui regarde le pole élevé ; la plus grande eft pour le cas-où l’aftre eft de l’autre côté de ce vertical. Lorfque l'aftre eft au-deflous ‘de l’équateur , ou dur - “HX pe defixheures,onaM=su+cX,&u=— x RE = — PrNN + rrss—ec XX). Pro severe NCIXEE La hauteur du pole étant connue, &* deux affres E,E’ ; dont les déclinaifons & les afcenfions droites font données, étant vês dans un même vertical, trouver l'heure de Pob= férvation. Soient X, X’ les tangentes des déclinaifons des deux aftres , #,#” les finus de leurs angles horaires , # , #/ leurs cofinus ; & foit #.le finus de leur différence d’afcenfion droite , & à fon cofinus. La troifieme formule du premier Lemme donne; pour le cas où les deux aftres font au-deflus de l'équateur , & du côté du premier vertical , où n’eft pas le pole élevé, su—cX rn su'—cX" ps Le 1 = = 7), ou (en fuppofant que E’eft le fupérieur des deux aftres) stw/—stu—=cX3— cXr. Or par le Lemme fecond , Fig. 8. ( où £ e eft l'arc dont le finus vient d’être nommé 4), —#u+in=ra, & v! bt— au bt—a == = { 1r— a) , ona donc rrras—rc X'r + bcXt= ac: Fe ANS & après avoir quarré chaque membre, PR ee +rrec XX! + 2r°bacsX Æ ph gass NAUTIQUE: 327$ Et prenant 4 =#rrccXX — 2rbccXX'+rrccX'X7, B= + rracsX = rbacsX, & C=aacXX— rraass, on aÿ pour le finus de l’angle horaire de l’aftre inférieur E, t=2 BH W(BB+AC), ScHozte I. Ce Problème, pour le cas qu'on vient de voir, eft le XXVI° de l’Aftron. Nautique: mais il y a cinq autres cas * que M. de Maupertuis n'a pas tou- chés, & dont il n’eft peut-être pas hors de propos d'en direun mot. Les deux aftres peuvent ‘être du côté du premier vertical, où eft le pole élevé, foit tous deux au-deflus du cercle de fix heures , foit tous deux au-def- fous, foit l’un au-deflus & l’autre au-deflous dé ce cer- cle ; & dans chacun de ces trois cas on trouve les termes de l’équation pour r, affeétés des mêmes fignes que ci- deffus ( par exemple, E” étant au-deflus du cercle de fix su cX su" + cX" heures, & E au-deflous, ona——=-—;—, & seu + stu —=cXr—cXt ; or dans ce-cas, tnt —=r4s & ?—bt+ aV(rr —tr), pofé que la différence d’af- cenfion droite des deux aftres”foit au-deffous de 90 deg. ce qui eft le cas de la Fig. 6, on a donc rras —rceX"# HbcXr= — ac XV (rr—itt), ce qui revient au même que ci-deflus). En effet , les fignes doivent être les mê- mes dans Dpusser pour?, tant que ceux des quantités X X" font les mêmes. Si donc l’une de ces quantités, ou toutes deux, font pofées en fens contraire à celui de ces pftmiers cas, on doit avoir d’autres fignes dans l'é- quation dont il s’agit. Soit , par exemple, E” au-deflus de , su cX su"— cX" l'équateur, & E au-deffous, ona = — t 4 » + * Je necompteici que les cas où les deux aftres ont été vûs de même part du zénith , cas dans lefquels la différence de ces aftres en afcenfon droite, ef moindre que 90 dégrés , pour l'ordinaire. Mmi 376 Essar D'HOROLEPSE | &stu"— sdu—=cX"r + cXr. Or tu —rv'u= ra, & + —bt— av(rr—tt), donc rras—rcX"r— bXt= — acXv(rr—tt), & + rrecXX Ve 2 x à __ rraaccXX 7 sa FAR — 2br° acsX — —rtaass ° rrcc Si les deux aftres font au-deffous de l'équateur , les ter: mes du coefficient de ## ont les mêmes fignes que dans les premiers cas ; mais l’on à + 2r3ac5 X— 2hracsX, pour coefficient de z. IT. Nous avons deux valeurs pour le finus de fan- gle horaire. de l’aftre inférieur ; il s’agit de voir s’il n’y auroit point lieu de fe méprendre dans le choix qu'il faut faire entre ces valeurs, & fe prémunir contre ce danger. Je remarque donc que les aftres qui peuvent fe trouver dans un même vertical, pour les endroits qui ont une certaine latitude , ne fe rencontrent pas ainfi une feule fois: dans [eur révolution journaliere , mais deux fois: Pour dire la chofe autrement , fi le grand cercle de la fphere fur lequel font deux aftres, peut pafler par le zé- nith de quelque endroit, il y paffe deux fois en 24 heu- res. Il eft vrai que deuxaftres qui étoient dans certaine pofition à l'égard du zénith & de l'horifon, lorfqu'ils fe font rencontrés une fois à un même vertical, peuvent n'être pas dans la même pofition, lrfque legrand cercle fur lequel ils font, paflera une deuxieme {0 par le zé- nith. Si c’eft par le fens de la vüe , &.à laide. d’un filà plomb, que l’on fcait.que deux aftres ont été dans le même vertical en certain moment, il faut qu'ils aient été alors au-deflus de l’horifon , & de même part du zénith; ëx il peut fé faire que dans leur féconde rencontre, & un-même vertical, ils foient de part & d’autre du zénith, ou bien que celui qui étoit fupérieur à l’autre dans lx NAUTIQUE. TT premiere rencontre , lui foit inférieur dans {a feconde ;. &c. mais il eft poflible aufli que dans lune & l’autre le même aftre foit fupérieur , &c. Si l’aftre dont on cherche l’angle horaire , eft pas de même part du méridien dans fes deux rencontres à ur même vertical avec l’autre aftre, les racines de notre équation pourr doivent être de qualités contraires, & c’eft la pofñtive qui convient au cas obfervé : la négative eft: pour le cas de l’autre rencontre, & on l’eût trouvée po- fitive, fi on eût fait Le calcul direétement pour ce cas. Mais fi l’aftre dont on cherche l’angle horaire, eft du même côté du: méridien dans l’une & l’autre rencontre, les deux racines de notre équatian doivent être pofitives, & il faut fcavoir choifir entre elles. Je remarque fur cela que dans:ce cas ;.c’eft de différens côtés du premier ver- ticak, qu’eft fitué l’aftre dont on demande l'angle horaire, en fes deux rencontres avec l’autre aftre à un même. ver- tical. Il faut donc confidérer-de quel côté du premier vertical a été obfervé laftre dont on cherche l'angle ho- raire. Si ç'a été du côté où eft le pole élevé, c’eft la plus grande des deux-racines qui eft la vraie valeur des: fi c’eft de l’autre côté du premier vertical, & au - deflus de l'équateur , qu'a été obfervé l’aftre, c’eft la moindre des deux racines qui ef la vraie valeur de #. Enfin, fi c’eft au-deffous dé l’équateur que l’aftre a été obfervé, c’eft à plus grande racine qui fe retrouve vraie valeur du finus demandé. Je remarque au refte , que les deux racines po- fitives , peuvent être utiles à l'égard de certains aftres, entre ceux qui déclinent du côté du-pole élevé, parce que cesaftres peuvent fe trouver au-deflus de l’horifon, dans leur double rencontre dontils'agit; mais que:d’au- tres érant plongés fous. l’horifon dans lune de ces ren- contres , une .feule des racines pofitives-fera utile à leur Mi, 278 Essart DHoRoLEPSE égard. Il n’y a pareillement qu’une feule des racines poñ: tives qui puifle être d’ufage , à l'égard des aftres qui dé- clinent du côté du pole abbaïflé. Or, ce n’eft pas un défaut au calcul, de fournir dans le cas en queftion deux valeurs pofitives pour le finus de l’angle horaire de ces aftres. Le calcul roule fur la fuppofition que deux aftres font dans un même vertical, on laiffe à l’écart la confidé- sation de leur hauteur. Il n'importe donc pour la juftefle du réfulrat du calcul , que la hauteur de l’aftre dont on cherche langle horaire, foit pofitive ou négative , c’eft- a-dire, qu'il foit au-deflus ou au-deflous de lhorifon : il fufht , pour avoir deux valeurs pofitives de l'angle horaire d’un aftre, qu’ilfoit de même part du méridien au moment de fes deux rencontres avec un autre aftre à un même vertical. C’eft feulement par la nature des ob- fervations que le fervice de la formule qui contient cette double valeur pofitive eft limité. Au lieu de former une équation pour le finus de l’an- gle horaire de l’un desaftres, on pourroit en faire une pour le cofinus de cet angle, & l’on feroit pareillement obligé d'entrer dans de certaines difcuflions, pour faire un bon choix entre les deux valeurs qu’on trouveroit pour ce cofinus. III. L’équation pourz ne fe borne pas aux cas où les deux aftres font de même part du zénith ( cas qui font les feuls qui puiffent être obfervés à l’aide d’un fimple fil à plomb), elle embrafle ceux-mêmes où les deux aftres font de différens côtés de ce point. C’eft pourquoi je pro- poferai dans la fuite un moyen d’obferver des aftres ainf difpofés à leur rencontre à un même vertical. Sice moyen ( ou quelqu’autre de même fin ) eft mis en ufage, il faudra prendre garde que la différence des deux aftres en afcen- fion droite, pourra alors être plus grande que 90 degrés, NAUTIQUE. 279 & que le cofinus à de cette différence , deviendra dans: ce cas une quantité négative , ce qui obligera à changer les fignes des termes où elle fe trouvera linéaire. IV. Le Probleme dont il s’agit , étant un des plus utiles par la qualité de l’obfervation qu’il fuppofe ; mais conduifant, par la folution algébrique & direéte qu’on vient d’en voir, à un calcul fort compliqué pour la prati- que , je donnerai dans la fuite un moyen indireét de le ré-- foudre , qui fera affez fimple, certaines Tables, qui auront plus d’un ufage , étant une fois faites. V. Il n’eft pas néceffaire pour le Probleme propofé, que les deux aftres aient été vûs dans un même vertical au même moment; c’eft la même folution, fi ces aftres ont paflé par certain vertical en momens différens , pour- _ vû qu'on connoiffe le tems écoulé entre ces pañages. Alors 4 dans la formule , ne marquera pas fimplement le finus de la différence d’afcenfion droite des deux aftres, mais il marquera le finus de la fomme ou de la différence de l'angle du tems écoulé entre les deux obfervations , & de celui qui répond à la différence d’afcenfion droite des deux aftres. (J'ai fpécifié au Probleme fecond ;, en quel cas il faut prendre la fomme de ces angles, & en quel cas il faut prendre leur différence. C’eft une regle générale pour toutes les obfervations qui ne font pas contempo- raines. ) - CoRroLLAIRE I. On peut obferver le témis écoulé entre les deux paffages d’un même aftre par le même ver- tical ; & nommant o=r +4, le finus verfe de langle dé cetems, on aura: 20rccX Xe — 10rracs Xt —=rraaccXX — r#aass , &r— ras Tra 55 + 2CCKHX — rrss ) 2CX or CoroOLLaAIRE II. Si(E), l’un des deux aftres E,E, 280 ” Essatï D'Horozepse wûs dans un même vertical, eft dans l'équateur, on aura = S— — 1 d 1 7 OU ( en prenant, — —7 pour Ja tangente de lahauteur. du pole) ,r— 2 CorozLairEe Ill. Si la différence d’afcenfon droite des deux aftres vûs dans un même vertical, eft nulle, ou de 180 dégrés, ce qui rend =—0, on a aulili 1-0; c'’eft-à-dire , que les deux afires font au méridien. Ce cas eft celui du Probleme XX VII de l'Aftronomie Nautique. PROBLEME VliIl. La hauteur du pole étant connue , @* le tems écoulé entre Les paffages de deux affres au même almicantarath étant auffi connu ; ainfi que les déclinaifons & des afcenfions droites de ces affres, trouver l'heure des obfervations. ( Ce Probleme eft l’inverfe du XXIX° de l’Aftrono: mie Nautique , qui confifte à trouver la hauteur du pole, connoiffant l’heure à laquelle on voit dans un même al. micantarath, deux aftres, &c. ) Soient , comme ci-deflus, 4 & b le finus-& le cofinus de la fomme, ou de la différence de l'angle du tems écou- lé entre les obfervations , & de celui auquel répond la différence d’afcenfion droite des deux aftres. La premiere formule du premier Lemme, donne pour le cas où les aftres font au-deflus de (pr ,; & du cercle de fix beures , r5x+cyu =rrh=rsx" + cy'ul; on a donc rx _— 1x + cyu= cy'u”, en fuppofant que x’ eft moindre que x. Soit donc que les er aftres foient de même part du méridien , ce qui eft le cas de la Fig. $ , foit qu'ils foient de différens côtés de ce cercle, & dans le cas dela Fig. 73 on a par le fecond Lemme ,#/ —= bu av (rr— un) ,donc Frs NAUTIQUE, 285 sax) royu — bcyu = acy V(rr = uu) : quar- rant chaque membre , & fubftituant rr à 44 + bb ona, mn + rrccyy + 273 sy (x—x) + rraa ccy'y" — 2brecyy' F 4 hrs (x —#) BON —rhs5(x—x' ce et rrccy} Prenant = rcc (ryy — 2byy! + ryy/) » B=rse(—ry by )(x— x); & C—=aaccyy—rrss(x— x) ,0on aura, u ="? + (B8+ AC). A A ScHoz1e. On comprend fans doute, que fi quel- qu’une ou plufieurs des quantités 4, x, x’ font de qualité contraire à celle qui a été fuppofée dans le calcul précé- dent , il faut changer les fignes des termes où elles fe rencontrent, ainfi qu'il a été expliqué fous le Probleme fecond. Nous avons deux valeurs pour #, & cela fait voir que fi deux aftres paffent à un même almicantarath en même moment , ou avec certain tems d'intervalle, il y a quel- qu'autre almicantarath où ces aftres fe rencontreront en même moment, ou pañleront avec le même rems d’inter- valle. Or, les deux valeurs de # peuvent non-feulement être l’une pofitive , & l’autre négative , mais aufli toutes deux pofitives ; & dans ce cas, il y a un choix à faire, lequel exige certaines attentions. Je fuppofe , pour être plus court, que les deux aftres ont pañlé au même alimi- cantarath au même inftant. Soient ici PE , PE’ les com- plémens des déclinaifons des deux aftres E, E'; foit EQE’ Parc de grand cercle de la fphere qui joint ces deux afîres, & PQ un autre arc de grand cercle, qui pafle par le pole, & par le milieu de EQE". Si PO eft plus grand que le complément de la hauteur du pole, le point © , mitoyen entre les deux aftres, fe trouvera de même part du méridien Prix. 1745. Nan Fig'40c 28 2 EssAr LD'HOROLEFPSE aux deux rencontres. des deux aftres à un même almi- cantarath , mais il fera de différens côtés du premier ver- tical. Si ce point a été, au moment de lobfervation , du côté du premier vertical où eft le pole élevé, & que les deux racines de l'équation foient pofitives , c’eft la moin- dre de ces racines qui eft [a vraie valeur de #. Si aü con- traire le point Ÿ a été de l’autre côté du premier vertical au tems de l’obfervation ;-c’eft la plus grande des deux racines qui convient à ce tems. Si PQ eft moindre que le complément de la hauteur: du pole, Je point # , mitoyen entre les deux aftres, fera du côté dur premier vertical où eft le pole élevé, & de différens côtés du méridien , aux deux rencontres des aftres à un même almicantarath, Dans ce cas, il faut con- fidérer lequel des deux aftres eft le plus près du méridien: au tems de lobfervation. Si c’eft le plus voifin du pole qui foit auffi le plus proche du méridien, & que lon ait deux racines pofitives , c’eft la plus grande de ces racines qui eft la vraie valeur de # pour ce rems ( quel que foit celui des deux aftres auquel appartienne #) : que fi c’eft laftre le plus éloigné du pole qui eft le moins éloigné du méridien au moment de lPobfervation, c’eft la moindre des racines qui eft valeur de # à ce moment... On trouvera dans la fuite, un moyen de faire un cal- cul plus fimple pour ce Probleme, dans le cas où les: deux aftres pañlent en même moment au même almican- tarath , & de difcerner plus facilement la quantité qui fait connoître l'heure de lobfervation. Remarque. Ontrouve l’heure dans Îles deux Probl. précédens, par la fuppofition que la différence de hauteur’ de deux aftres eft zéro , foit en même tems, foit en des momens dont l'intervalle. eft connu , ou par la fuppo- fition que l'angle des azymuths de deux aftres eft pareille- NaAUTI om É, 38% fment zéro, foit en même tems, fait en des momens dont l'intervalle eft connu. On peut donc juger que la diffé- rence de hauteur de deux aftres, ou bien l’angle de leurs azymuths , font des élémens propres (au moins fpécula- tivement) à faire découvrir l'heure par leur combinaifon avec quelqu’autre élément. C’eft ce qui eft vrai en effet, & j'en vais donner un exemple dans les deux Problemes füivans , qui font plutôt de théorie que de pratique. PROBLEME IX. La haufeur du pole étant connue , © l'angle des azymuths “oë font deux affres , en des momens dont l'inrervalle eft connu, étant donné , ainfi que les déclinaifons © es afcenfions droi- tes de ces affres ; trouver l'heure de l'une des obférvations. Soit g le finus de l'angle des azymuths des, deux aftres, y fon cofinus, a le finus de la fomme, ou de la différence de l'angle du tems écoulé entre les obferva- tions, & de celui qui répond à la différence des deux aftres en afcenfion droite ; # le cofinus de cette fomme ou de cette différence ; X, X’ les tangentes des déclinai- fons des deux aftres ;# , m' les finus de leurs angles azy- muthaux , &c. La troifieme formule du premier Lemme donne, ram z > &m=r-mm= (su—cX) î Cr mm rs ( r(su— cX) T: rrtt su—cX doncr — VCrruæ(Su—cX) ) 2 ! ee rt A . , BR Er =D" Par la même raïfon, m Pa 2 AVE V(rr tt (su — «x ) em = ymkgn; fubftituant dans cette égalité, les va- leurs qu'on vient de voir, dew/,",n", on en aura une Nni Or par le fecond Lemme , ona 284 LE Cordes» où il nereftera d’inconnues que r,w’, t,u. On pourrä chaffer Les deux premieres, en prenant leurs valeurs dans les épalités r2= bt — au, rw —=bu+ at, &c. PROBLEME X. La hauteur du pole étant connue , © la différence des hauteurs où font deux affres en des momens dont l'intervalle ef? / / ; É connu , étant donnée, &c.trouver Pheure de l'une des ob- férvations. Soit f Le finus de [a différence des deux hauteurs 4,4; 2 fon cofinus, &c. On a, par la premiere formule , 4’ cy'u'+rsx _ Du rss va TEL 1 = = R=V(r bb) = — V(r6— (cyu+ rsx)?). Subftituant ces valeurs de #/,k,k, . ‘dans l'égalité rh = 1h—fk, que fournit le fecond Lem- me > on aura rcya + rrsx — Joy —rlsx = fV (16 — (cye +rsx)), où il faut fubftituer la valeur de rw/, que four: nit encore le fecond Lemme, &c. NTAUONT 1 0 UE" 285$ ChiA PS MERE. IEL Suite des moyens de trouver heure , concuremment avec la hauteur du Pole. ‘UNE des efpeces d’élémens employées dans les Problemes VII & VIII, peut être prife deux fois, ou être combinée, foit avec l’autre, foit avec un des élémens employés dans les Problemes IX & X, &c. & cela donne autant de moyens de trouver l’heure, con- curremment avec la hauteur du pole. Il nous refte donc quantité de Problemes pour ce Chapitre : mais il fuffira de réfoudre les plus avantageux, & d'indiquer les au- tres. PROS LE ME. VC TL Connoiffant les déclinaifons &* les afcenfions droites de quatre affres E,E',e,<, © l'intervalle de téms entre les momens où E fe trowve dans un même vertical avec E! , & où éfe trouve dans un même vertical avec €! ; trouver Fheure de Pune des obfervations ( & la hauteur du pole.) ( Ce Probleme eft une extenfion du XX X° de l’Aftro- nomie Nautique, où l’on ne fuppofe que trois aftres, mais il ne demande pas un autre calcul. ) Soient les tangentes des déclinaifons des quatre aftres X, X',8,#; les finus & cofinus des angles horaires du premier & du fecond ,r,#”, # ,u'; les finus & cofinus des angles horaires du troifieme & du quatrieme 8, 8/, v,v'; p & q, les finus & les cofinus de la fomme, ou de la dif- rence de l’angle du tems écoulé entre les obfervations Na ii 236 Essai D'HOROLEPSE des aftres E,% , & de l’angle qui répond à leur diffé- rence d’afcenfion droite ; a & à le finus & le cofinus de Ja différence d’afcenfon droite, desaftres E , E’; a ,b", le finus & le cofinus de la différence d’afcenfion droite des deux autres aftres. ( Si Æ & E’ ne fe trouvent pas au même inftant au même vertical, & & b doivent être les finus & cofinus de la fomme ou de la différence de l’an- gle du tems écoulé entre leurs paffages, & de celui qui répond à leur différence d’afcenfon droite. Il faut enten- dre le même pour 4’ & b’, fi, &c.) Je fuppofe que les quatre aftres déclinent tous du côté du pole élevé, que les angles dont p, 4, a’ font les finus, font tous aigus, &c. On aura, par la troifieme formule du premier Lemme #=X — 2 — MX, datssen a £ m t 8 8 me S- = > & par conféqueht sw— sur =cX' — cr sv 4 sg =et 0 — ct, où = À = Le > Ou (parce que ra=vt—ut,& re —v. — v# par le fecond Lemme) = = er ou a'Xr— a Xt = ar 8— 480 ,ou { à caufe de r”—b? —au, &derb =#g— av), a'hXr— a'aXn— ra! X4 — ab'E6— aa'iv— rat 0. Mais l’angle horaire, dont 4 eftle finus , étant fuppofé moindre que celui auquel ap- partients; & v étant par conféquent > #;on a , par le fecond Lemme , & par la fuppofition que p appartient à un angle aigu, cas de la Fig. 8 , r0— gt— pu, ru — qu + pt ; & mettant les valeurs de.8 & de v dans l'équation précédente , on trouve pour la cotangente de l'angle ho- xaire du premier aftre, tie ee Fra X" = ab'qe + a'apé + 2) 5 10 QX = 409 0 PE rapE N'AUTIQUE: 187 Mais fi l’on fuppofe que ÿ > +, & que v <<, par con- féquent ;. ce qui eft le cas de la Fig. $ , on aura rÿ= 9» pu, ru — qu pt, & on trouvera pour cotangenté de l'angle défiré: PARLE ( Fa'bX = rra'X" = ab'qt RUE e SIT : ra'aX — a'aqé + ab'pf — rapé Et fi l’on fuppofe qu’on foit dans le cas de la Fig. 7, on aura rÜ——qt—+#+ pu, ro —=qu“Hpt,& on trouvera,- ARE ( ra'bX— vra'X" + ab'Ë + a'apé — ragé ) n Fa Cu 7 APE TRES SP AS 0 (Ayant trouvé l'angle horaire du premier aftre, ona auffi l'angle horaire du fecond , par l'équation r=b& — au, fuppofée ci-deflus, & la hauteur du pole, en fobftituant les valeurs des & de 7, dans l'équation — x Ein L ar € Scuoz1e I. Ce Probleme, au témoignage de M. de Maupertuis, peut être d'une grande utilité für terre © fur mer , parce qu'iln'y a point d'obférvation plus facile ni plus fêre, que celle du paflage des affres par un vertical, &* qu'on évite ici entierement l'effet de la réfraëtion , qui apporte ant de troubles aux autres obfervations : maïs on doit re- connoître aufli , qu'il exige une grande attention aux cir- conftances des obfervations , quand on y procede algé- briquement , pour donner les fignes convenables à cha- cun des neuf termes dont eft compofée la fraétion qui eft la valeur de la corangente de l'angle horaire défiré. J'ai fuppofé que tous les aftres étoient, non-feulement au- deffus de l’équateur , mais aufli au-deffus du cercle de fix: heures ; que r outre cela étoir plus grand que?” , & Gplus- grand que g/; enfin, que p appartenoit à un angle aigu : & après tout cela, il refte encore lieu à trois différences 288 Essar DHOROLEPSE de circonftances [ dont la premiere ef la feule à laquelle on ait eu égard dans l’Aftronomie Nautique]. J'ai eu quelque envie de parcourir tous les cas pollibles, & de les réduire fous autant de chefs , qu'il peut y avoir d'états différens pour la formule précédente ; en fuppofant que tous les aftres déclinent du côté du pole élevé, en forte qu’il n’y eût à changer dans ces formules particulieres, que les fignes de l’une ou de plufieurs des tangentes X, X,t,4, au cas qu'un ou plufieurs des aftres obfer- vés, déclinaffent du côté du pole abbaiflé; mais j'ai craint que ce détail ne füt trop long ( je le donnerai pour- tant, fi on le fouhaite), & j'ai penfé qu'un Navigateur, avec une médiocre teinture d’algebre, pourroit bien conftruire , fur le modele des formules précédentes , cel- les dont il aura befoin dans l’occafion. Son opération n’en fera que plus füre , & je ne fçai fi on devroit comp- ter fur celle que feroit un autre Navigateur d’après une formule choifie entre plufeurs qu’il trouveroit toutes con- flruites dans un livre. Il n’eft pas particulier à la Trigono- métrie , avouons-le avec franchife ( & j'ai quelque droit de le dire, après les remarques faites fur les Problemes IT, VIT & VIII ci-deflus), il neft pas particulier, dis- je ; à la Trigonométrie , de donner des regles dont l'origine peut n'être gueres préfénte à l'effrit d'une partie de ceux qui s’ingerent de les pratiquer , ©’ dont l'application ef} fouvent ambigue pour certains génies. I] y a des écueils en plus d’une plage, & un homme pourroit Incidere in Scyllam cupiens vitare Charibdim. Heureux le genre humain, s’il y avoit des arts dont les préceptes puflent étre contenus dans quelques lignes, . . À . . & ne laiflaffent lieu à aucune méprife dans leur applica- tion, II. CONGAQDNIT EI QUU: te 289 TI. Outre l'embarras du choix des fignes qui doivent être employés dans Îa formule ci-deffus , ou dans les éga- lités fur lefquelles on en conftruiroit d’autres , il eft à re- marquer qu’elle conduit à un calcul affez compliqué , .& peu commode, par conféquent , en :pratique. C'eft pour- quoi j'indiquerai dans la fuite une autre folution pour ce Probleme, folution qui fera plus fimple , & moins fyjette à embarras. III. On pourroit ( comme a fait M. de Maupertuis ) ne fuppofer que trois aftres, en prenant E£ & # pour le même, ce qui rendroit # la même chofe que X ; mais il faut dans ce cas, qu'il y ait certain intervalle de tems en- tre les pañlages de cet aftre aux deux verticaux, où il doit fe rencontrer avec chacun des deux autres aftres. Or, cela eft à la vérité indifférent fur terre , mais il n’en eft pas de même fur mer ; ileft à fouhaiter que toutes les obferva- tions que requiert une recherche Nautique, foient-con- temporaines, ou faites en des momens peu éloignés. Or, en prenant quatre aftres , les deux pañlages de ces deux paires d’aftres à deux verticaux, peuvent fe rencontrer au même inftant, ou en desinftans fi voilins , que le dé- placement du vaiffleau-dans Jeur intervalle foit de très-pe- tite Conféquence. On peutencore fur terre ne prendre que deux aftres pour le Probleme dont il s’agit. IV. (Ceci regarde la recherche de la hauteur du pole. Sia—o, c’eft-à-dire, fi le vertical où deux afîres ont été obfervés, eftle méridien,onat=0,& 8=p,&v—34. Mettant ces valeurs de 6 & v dans légalité que fournit le fecond Lemme pour #, puis fubftituant les valeurs des 4 ; Es j &#’ dans l’équation — — Éarnhti on aura ainfi Îa a tangente de la hauteur du pole , que l’autre équation pour à | — ne peut donner, parce que tous les termes y font zéro. Prix. 1745: Oo 290 Essai D'HOROLEPSE PR OoUBÎL E M Eat XIE Connoiffant les déclinaifons & les afcenfions droites de quatre aflres E, E',e, «, © le tems écoulé entre les mo- mens où E fe trouve dans un même almicantarath avec E”,* où € fe trouve dans un même almicantarath avec €! , trouver l'heure de l'une des obférvations , ( © la hauteur du pole. ). Soient #*, ,’, à, #’ les finus & cofinus des déclinai- fons des aftres &, : , & le refte comme ci-deflus , on a en certains cas, par la premiere formule du premier Lemme, rx Hoye=irrh= rx + oyul, &rstteoiv,=rrW yu rs d'u — iv — j LP en Le = — =rs% + cru", par conféquent = = = ou (mettant pour abréger z pour x — x, & pour u—#) Lyu— éyu—=ziv —ziv; or en certains cas, on a (UE ANA] / ru —=bu— at, & rv/e=blu— a, Mettant les valeurs de #/ & de v’', tirées de ces deux égalités, dans la pré- cédente on a Ly'bu — eyat — rèyu =b'z iv — 25 —rriv. Oren certain cas, onart—qgt—pu, & ru—qu=#+pt ; mettant donc les valeurs de + & v dans l’équation précé- dente , on trouve pour la tangente de l’angle horaire du premier aître , PE — rt ( î ( rrQy—rbey" — rqzi — apzi + b'axi ) u ° — ray + rpzi + a'qzi — b'pai' (Ayant trouvé l'angle horaire du premier aftre, on à auffi l'angle horaire du fecond, par l'équation ru = qu — pt, outelle autre qui conviendra, & la hauteur du pole en fubftituant les valeurs de # & de #/, dans l’équa- : rs __ y'u—yu tion FAT Te A: ANR NUNEUIT QUE; :, eagi ScHoLiE. La plüpart des remarques faites fur le Probleme précédent, conviennent à celui-ci. PROBLEME DC A RE Connoiffant les déclinaifons © les afcenfions droites de qua- tre affresE, E’,<,e/, © le tems écoulé entre les momens où E fe trouve dans un même vertical avec E’ , € où e fe trouve dans un même almicantarath avec «', trouver l'heure de Dune des obfervations, ( & la hauteur du pole. ) On a en certains cas, par la premiere formule du pre- mier Lemme, rs 2V'— iv rsxbciv= rh =rsx"+civ!, donc —— = —5— Et par la troifieme formule du même Lemme, su—cX __ rn ___ su—cX" D 8) = LL XX = ——, rs donc =" 2 PU: SUR? donc ai v'— aiv—tX#—©tXy, Or,onaen certains cas, par le fecond Lemme, ru bu — 4e, & rt— dt — d'u. Mettant les valeurs de v’ & der’, tirées de ces égalités dans la précédente, on a ut ut ab'iu— 40 — yaiv = re X't — bEXr + az Xu ; & fubftituant dans cette équation les valeurs des &v; que fournit le fecond Lemme en certain .cas (rt = gt — pu, ru —qu=+pt), ontrouve pour la cotangente de l'angle horaire du premier aftre, = — + ru ( FDEX— rr EX — rapi — aa' qi + ab'pi' ) t L raSX+ raqgi — aa'pi —ab'qi ( Ayant trouvé l'angle horaire du premier aftre; on a auf celui du fecond , & l’on en déduit la hauteur du pole , comme dans le Probl. XI.) ScHoz1e. Ce Probleme peut être d’une utilité Ooi 292 Essai DHOROLEPSE prefque: aufli grande que le X1°, au moins fur terre ;par- ce qu’on évite, entierement l'effet de la réfraétion dans lune des obfervations, & que dans l’autre on n’eft ex- pofé qu'à la petite irrégularité qui peut provenir, dans la réfraétion, de la diverfité de conftitution de l’atmofphere en différens verticaux. D'un autre côté, ce Probleme a quelque avantage fur l’onzieme, même pour les befoins nautiques , parce que. trois aftres peuvent abfolument y fuflire , celui que l’on obferve dans un même vertical avec un fecond , pouvant fe rencontrer dans un même almicantarath avec un troifieme au même inftant, ou dans un tems peu éloigné. Pareil avantage fe trouve dans le Probleme précédent : trois aftres vüs enfemble au même almicantarath ;ou vüûs , le premier avec le fecond , & le premier avec le troifieme dans des almicantaraths fort voifins, y fuffifent parfaitement, fi ces aftres font à cer- taines diftances, & deux paires d’aftres y conviendroient moins, fi elles étoient l’une au-deflus de l’autre, ou à. peu près. On verra dans la Partie fuivante, le fondement de ces remarques: le refte de celles qui ont été faites fur. le Probl. XT , convient encore à celui-ci. PER'OL8NE EME; 7 "IN UIDIN ES Connoiffant les déclinaifons © les afcenfions droites de trois aftres, E,E',®, & le tems écoulé entre le moment o% Les deux premiers fe trouvent dans un même vertical , © celui où l'on a obfervé La hauteur du troifieme , trouver l'heure de l'une des: obfervations ( &° la hauteur du pole ). Je cherche en premier lieu la hauteur ‘du pole. Outre jes dénominations employées ci-deffus , foientp” & g' le finus & le cofinus de là fomme ou de la différence de l’an- gle du tems écoulé entre lesobfervations des aftres £', «. &. NAUTIQUE de la différence de ces aftres en afcenfion droite. On a en certains cas, par la troifieme formule dù premier Lemme sw/t— sut —=c X'i—cXr,ouras =cX' — cXr, ou 1°(àcaufe de rt —bt— au), rras =rcX"# — bcXt +-acXu: 2°. On a d’ailleurs par le fecond Lem- merv=qu—pr;où — + y es bq'u— . vi Sub- ftituant cette deuxieme valeur de?” dans l'égalité ras — cX/t— cXr! ,ona rrp'as — rp'eX't+ aq ORPI — bg'cXu. Or, on a encore par le fecond Lemme, ru rU pt s donc Dé = bqu— agir, & = = qu— pt, ou — #. Subftituant cette valeur de: a dans les deux égalités où entre ce cofinus, on a rrgas — racXv—=ct (rqX — bg X+ ap X), 8 rrp'qas — rrqcXv + rg'hbcXu—= ct \rp'qX" + aqq'X —"bpq'X) , ow rpqas—rqcXv + q'heXv ct | rrqai—racXv F 2 rp'aX" aqq X — bpq'X- LUN TR ANAES rraX = rbqX + rapX ou en mettant, afin d’abréger, au lieu du dénominai teur de la premiere fraétion , & B au lieu de celui dela deuxiéme , Brp'qas— BracXv + Bg'bcXv = Arrqas — Arac Xv, ou (AraX + Bg'bX = BrqX) cu—=( Arag— Bp'ag}rs ; ou, en mettant C pour la quantité qui multiplie cv, & D pour rh ER chart PRE Drs £ à celle qui multiplie rs, = eu = - par la formule premiere du premier L'emme, aise an hxCs: rhkC SiCs EE nearni, Ayant trouvé la hauteur du-pole ; on aura l'angle ho-- à 5: ShrS : rrh—rsz.. râire de l'aftre 5, par Péquation v = << Oo TE 209% Essar D'HOROLEPSE ScHoz1es.I.On doit voir que la formule de ce Pro- bleme eft fufceptible de divers fignes , de même que cel- les des Problemes précédens. IL. La méthode de ce Probleme eft aifée à appliquer à celui où l’on auroit l’obfervation de deux aftres à un même almicantarath , combinée avec l'obfervation de la hauteur d’un troifieme aftre. III. La folution que je viens de donner, conduiroit à un calcul compliqué & pénible pour la pratique : c’eft pourquoi j'en propoferai une autre dans la Partie fuivante, PERVO BE LEUM! EUX VS Connoiffant les déclinaifèns à les afcenfions droites de trois afires , E,E', €, © l'angle compris entre le vertical, où Les deux premiers fe trouvent en.certain moment , © le vertical du troifieme affre , trouver l'heure , ( &° la hauteur du pole. ) REMARQUE. Au défaut de l’une des obfervations néceffaires , au XI ou au XIII° Probl. celui-ci peut, fi je ne me trompe, être utile fur mer, parce que l’on évite l'effet de la réfraction dans les obfervations qu’il fuppole, & que ces obfervations n’exigent pas que l'horifon foit découvert, ou ne l’exigent pas plus qu'aucune autre ef- pece d’obfervation. Celle de l'angle compris entre deux * azymuths, eft fans doute la plus difficile, ou bien la moins fûre des deux dont il s’agit : mais elle eft peut-être fufcep- tible d’une exatitude fufhifante, furtout fi l’aftre folitaire dans fon azymuth , eft fort bas, & l’un des deux autres auffi ; d’ailleurs je ne la propofe que pour fervir au défaut de toute autre qu’on jugera plus füre. De plus, cette ef pece d’obfervation n’eft pas une chofe nouvelle & inufi- tée fur mer; on y cherche la déclinaifon de la bouflole, & il faut, pour la trouver, obferver l'angle de lazymuth N'AUTIQUE. 29$ de quelque aftre , & de l’un des azymuths de la bouflole, &c. Au refte, la folution de ce Probleme ; par la métho- de genérale fuivie jufqu'ici , feroit trop compliquée pour être mife en pratique : ainfi je la laifle, & me réferve d’en donner une plus commode dans la fuite. Je laifle pareil. lement ici fans folution , le Probleme fuivant. PROBLEME XaVUT: Connoiffant les déclinaifons &* les aféenfions droites de deux, afres,E , E”, © l'angle compris entre leurs azymuths au moment 04 ils font dans un même almicantarath, trouver l'heu- re,( © la hauteur du pole ). Remarque. Il refte quelques autres combinaifons d’hypothefes , dans lefquelles l’heure & la hauteur du pole fe trouvent déterminées , combinaifons que j'ai déja indiquées en général, & qu’il n’eft pas difficile d’imagi- ner , après celles qu’on a vües : mais je m'’abftiens d'en faire le détail , foit parce qu’elles font moins avantageu- fes que les précédentes, foit parce qu'il ne fera pas diffi- cile à ceux qui pourroient le fouhaiter , de réfoudre quel- ques-uns de ces cas, par les voies qui feront employées dans la Partie fuivante. Je finis celle-ci par la folution d’un Probleme qui peut avoir fon utilité, au défaut des précédens, en ce que l'on y évite une partie des mauvais effets de la réfraétion en certains cas. SE ES 296 Essai D'HOROLEPSE PROBLEME X VII. La hauteur d'un affre E, & l'angle de Jon azymuth avec celui d'un autre aftre E’ étant donnés, ainfi que le tems écoulé * centre les deux obfervations , &'c, trouver l'heure ; ( &la hau- teur-du pole ). Remarque. Si on vouloit réfoudre ce Probleme direétement , on tomberoit dans une équation du qua- trieme degré pour le moins : mais lon peut y procéder indireétement , & l'opération en fera plus fimple , quoi- qu’elle renferme un circuit. Ce procedé confifte à cher- cher d’abord la hauteur du fecond aftre : cette hauteur étant découverte, on eft dans le cas du Probleme II. J'ai dit que celui-ci peut être utile en certain cas, & cela eft aifé à montrer maintenant. Car fi (E’) l’un des deux aftres qui fe préfentent à un Obfervateur , eft fort bas , il fera peu für d’obferver fa hauteur, à caufe de l’irrégularité de la réfration que foufirent les rayons très-inclinés à lhorifon : ainfi il vaudra mieux prendre feulement la hau- teur de laftre (E) le plus élevé des deux, & conclure la hauteur de l’autre, de l’obfervation de l'angle de fon azymuth , & de l’azymuth de l’afre plus élevé ( je fup- pofe que cette efpece d’obfervation foit par -elle-même auffi jufte que céile de la hauteur) : car la hauteur con- clue ne fe reffentira du côté de la réfraétion , que du mé- me degré d’erreur que cette caufe peut Jjetter fur la hau- «eur obfervée. Voici la maniere de trouver la hauteur du fecond aftre. Je fuppofe que la diftance des deux aftres eft connue , & je nomme 4\ le cofinus de cette diftance : cela pofé , j'ob- ferve que l’on eft dans le même cas pour découvrir la hau- seur de l’aftre E”, que celui où lon eft pour découvrir la hauteur N'AUTIQUE. 297 hauteur du pole P4, Fig. 40 , lorfque la déclinaifon d’un aftre a ( dont le complète eft Pa), fa hauteur 4m, & mZh fon angle azymuthal font donnés : car nous avons de même, Hg.41, EE! diftance des deux aftres; EM hauteur de l’un d’eux ; MZ M! angle des deux verticaux; ZEM, ZE'M' où ils fent fitués , & nous cherchons EM { dont je nomme le finus 4’ , & le cofinus k’). Je prends donc la deuxieme formule du premier Lem- me dans l’état rrx + nck=rsh ( ou dans tel autre qui conviendra à la queftion }, & j'y fubftitue d, cofinus de EE’ , au lieu de x, cofinus de 4P ; h! & k!, finus & co- finus de EM , au lieu de s & c, finus & cofinus de Ph; 7, cofinus de l'angle MZM' au lieu de», cofinus de langle mZh;& jy laifle h, k, qui font finus & cofinus de am , pour finus & cofinus de EM. J'ai donc rrd = yk'k = rh'h ; ou bien rrd— rh'h—"y k'k ; & après avoir élevé chaque membre au quarré , & fubftitué rr— #"}" à k'k', je trouve l'équation rrhh yykk Prenant Z—=rrhh + yykk, B=rrdh, C=y9kk—rrdd, ona, ? HR = 2Y30hh —+ryykk 1608, B=T + LV(BB+ AC.) Et c’eft la moindre de ces racines qui eft valeur du finus de EM, dans la fuppofition que E'M' eft plus petite que EM. J'ai fuppofé que la diftance des deux aftres étoit con- nue. Voici une maniere de la déduire de leurs déclinai< fons , & leur différence d’afcenfion droite : nous fommes en mème fituation pour découvrir cette diftance, que celle où l’on eft pour découvrir la déclinaifon d’un aftre 4 (de laquelle Pa eft complément), Fig. 43 , lorfque la Prix. 1745, Pp 298 Essar D'HoROLEPSE hauteur du pole Ph, la hauteur 4m de cet aftre, & fon angle azymuthal mZ4 font donnés : car P étant le pole dans la Fig. 44 , toute femblable à la 43, & ee’ l'équa- teur , nous y avons pareillement Æ E' &Ee diftances des aftres à l'équateur, & ePe!, angle des méridiens où ils font fitués, & nous cherchons E E”, qui répond à a P dans la Fig. 43. Je prends donc encore la deuxieme formule du pre- mier Lemme rrx = r5h—nck, & jy fubftitue encore à, cofinus de EE’, au lieu de x cofinus de 4P; x & y, finus & cofinus de E e , au lieu de 2 & k, finus & cofinus deam; x’ & y", finus & cofinus de E/e’, au lieu de s & c , finus & cofinus de Ph; enfin, g cofinus de ePe’, au lieu der, cofinus de mZh, & j'airrd =rxx!—qyy", ou bien, PET Lima 22 11. a NAUTIQUE. 299 REMARQUES POUR LE PROBLEME XW, de l'Effai d'Horolepfe Nautique ; I. Partie. L y a un changement à faire à cet article : la folution que j'y ai donnée eft défeétueufe. Son défaut confifte en ce que deux quantités fradionnaires, qui femblent com- pofées d’élémens différens , mais qui fe réduifent en effet à une même expreflion, y font employées pour faire éva- noüir une des inconnues , en forte que tout fe détruit par cette opération , & il ne refte que zéro divifé par zéro, pour valeur de l’inconnue qui paroït confervée. Voici quel a été le mauvais emploi. Après afoir formé l’éga- lité rrgas—raXevu—(rqX'—bqX + apX)ct, d'où j'ai déd , __rgas — aXcu Es UN CPC I . a uit FIX IS + pX — F9 jai vouIu avoir UNE au $ ct "> » . tre valeur de — , & j'ai cru l'obtenir, en formant une égalité où les élémens p’g/ fe tfouvafent. J’ai donc fait rrp'qas +rXcv (bg —rq)—=\(rp qX"— bpq X — aqqX) ct; mais cette deuxieme égalité n’eft autre chofe que la premiere multipliée par p’ dans tous fes termes : car ona, par le fecond Lemme, rg— bq'+ ap’, ou bien, bg —rq—— pl; donc le terme +rXceu( bg —rq) du premier membre de la deuxieme égalité, fe réduit à — rp'aXcv, & l’on voit déja que tout ce membre ne differe du premier de la premiere égalité, qu’en ce qu'il ft multiplié par p’. Il en eft de même du fecond, car on a encore , par le fecond Lemme, rp — bp'— aq, & (multipliant tout par g )rgp — bp'q — aqq', puis ( en fub-. fituant à rg fa valeur bg" + ap'), bpq' + app —bp/q Pp} God Essai D'HoROLEPSE — aqq! ou enfin , — bpq'X — aqq X = bpqX—= appX. Donc la partie (— pq X — aqgq'X ) ct du fecond mem- bre de la deuxieme égalité, fe réduit à (—#p'qX+ap'pX) et , qui eft la même chofe que lestermes(— 29X+ ap X} ct de la premiere égalité multipliés parp’, &c. Ce vice foncier de ma folution , n’eft pas le feul qui l'infette , il en a entraîné un autre dans la forme, & celui- ci confifte en ce que l’inconnue s n’eft que linéaire dans le réfultat du calcul , au lieu qu’elle doit monter au fe- cond degré, comme on le verra dans la fuite. Dès le tems que je rédigeai ce mauvais calcul, j'en foupçonnai le défaut radical : mais je n’avois pas alors ( à la fin d’Aoùût} affez de tems pour le vérifier , & d’ail- leurs je n’avois plus d’efpérance d’en trouver un meilleur, lequel für conftruit d’après les formules de l’Affronomie nautique. Ainfi je paffai par-deffus mon fcrupule , tant par l'efpece de contrainte où J'étois, que parce que je me réfervois, comme il eft marqué dans la troifieme Scholie, de propofer une autre folution pour la pratique , & que je n’en voulois donner qui füt fondée fur ces Formules de M. de Maupertuis , que par forme de fuite de la mé- thode employée jufques-là, & pour répondre au titre de ma premiere Partie. Je n’efpérois plus, dis-je, de parvenir à un meilleur cal- cul, fondé fur les formules de M. de Maup. cependant j'en ai conftruit un de cette qualité peu après, & je vais le rap- porter. Voici la caufe de ma méprife. Après une premiere tentative,qui n’étoit pas bonne;j'avois pris, vers le tems du commencement de mon travail, une autre voie dont je fus content , & qui eft la même x laquelle je fuis revenu; mais ne faifant mes préparatifs que fur des feuilles vos Jantes, je me bornai à pofer les fondemens du bon cal- cul. Quand il fut queftion, quelques femaines après , NAUTIQUE: 3o1 d'achever cet article , je ne n'en rappellai pas affez diftinétement les idées : je m'imaginai, je ne fçai com- ment, que ces opérations dont j'avois été fatisfait, con- duifoient à une équation du quatrieme dégré : je voyois d’ailleurs très-clairement , que l’inconnue de cette équa- tion ne pouvoit avoir que deux valeurs ; je regardai donc ce procedé comme trop compliqué , & ne méritant gue- res plus que ma premiere tentative, d’être fuivi. Je m’en défiai tant que je l'abandonnaï, fans le mettre à une épreu- ve complette , comme je l’aurois dû ; mais en évitant cette voie , & me fariguant beaucoup pour en ouvrir une autre , je ne püûs que m'égarer, & affoiblir mon difcerne- ment. Subflitution à faire au Probleme X1F. de l'Eflai, &c. CE Je conferve les mêmes dénominations employées dans cet article ]. On a, comme au Probleme VII, sw — sut —cX'r—0cXr,ou ( à caufe de ra— ut — nt), ras = cX/t—cXY. Or,enfuppofant que l'aftres eft ob- fervé au-deflus du cercle de fix heures, & à une plus gran- de diffance du méridien que chacun des deux autres, on art—qi—pr,1t—qi—pu. Subfituant donc les valeurs de : & r” dans légalité précédente, elle fe chan- ge enrras= qX'c0 — pX'cu— q'Xct + p!Xev, ou bien rras + eu (pX/—p'X)= ct (qX — q'X) : quarrant cha- que membre , on a r#aass + 2rrascu(pX'—p'X)+ cevu (PA —p'XY = cc (qX—4q'X). Or, parle $. I. du premier Lemme, cv — ME » donc cevu —= —— (rh sx), & (9° étant —rr— vu, ou bien, ccso ETC == COUV = PTS —CCUV) cc ( rrii Ppii 3o2 Essai D'HOROLEPSE —iiss—[rh—5sx7). Subflituant donc les valeurs de cv, cevv, & ccit dans la derniere égalité , multipliant tout par # , & divifant par #r ,ona d'abord: rr aait + 2rrah"i(pX—p'X) 2raix(pX"—P'X) PpXX PpXX J7 ppXX" a zrh'x Le. 2pp'XX de rrb'h" Enr: p'XX A XXA —2PPXX" FA PRE nr PPAX + ?'P XX $ == OC? É gqX'X" gaXX gqX'X' + — 2rh"x $ — 29g'XX" + rrh'h" A 299 XX" RL + diAXX + gYXX # 55 (g4' —q'X) — rrû (QX —4X) Et comme pp— gq=rr, ainfi quepp'+ g'q", & que d’ailleurs , par le fecond Lemme , pp" -+ gg =rb, cette équation fe réduit à rr aaiz = 1raix (PX—P'X) s + 2rrahi (pX'—P'X + rex CTXX—20XX Tr XX") DA 2 2rrh'x (rXX — Ven rXX') + #(9Xa2) + PUB CrXX — 2BXX + HA ais — rit (gX'=g'X ) Tate SCHOLIE pour le Probleme XVII. de la premiere Païtie de l'Effai d'Horolepfe Nautique. Les deux opérations où je viens d'employer Palge- bre , font de vraies réfolutions de triangles fphériques obliquangles [ nous avons en dernier lieu, les déclinai- fons & la différence d’afcenfton droite de deux aftres, c'eft-à-dire, deux côtés d’un triangle fphérique avec l'angle ÉPE', compris entre cès côtés, & nous cher- chons la diftance de ces aftres, qui eft le troifieme côté LD NAUTIQUE. 303 du triangle. Dans le cas précédent , nous avons la hau- teur d’un aftre E, fa diftance d’un autre aftre E”, & l'angle des azymuths de ces aftres , c’eft-à-dire, deux côtés d’un triangle fphérique avec l'angle EZE', oppofé à l’un de ces côtés, & nous cherchons la hauteur de laftre E”, qui eft le complément du troifiéme côté du triangle ]; mais ces deux folutions ne font point femblables pour la * commodité. La derniere eft une équation linéaire, qui conduit à un calcul numérique affez facile ; la précédente eft une équation du fecond dégré, qui, exigeant une ex- traction de racine , indique un calcul num rique pénible. Je ne peux diffimuler que ce calcul eft bien plus long & plus difficile que celui que prefcrit la regle de Trigono- métrie Sphérique , qui convient au cas dont il s’agit; c’eft pourquoi il feroit préférable dans la pratique, de faire ufage de cette regle commune. La folution algébrique eft, dis-je, moins avantageufe que la regle commune pour le cas dont il s’agit, & ilen eft de même pour quelques autres cas, où l’on tombe- roit aufli en des équations du fecond dégré. Le défavan- tage de l’algebre pour ces cas, confifte en ce que faifif- fant d’abord fon objet d’un feul coup, elle parvient à une formule compliquée, qui indique plufieurs opérations arithmétiques , dont quelques-unes ne peuvent être exé- cutées direétement par logarithmes , au lieu que la Tri- gonométrie, dans les mêmes cas, divife l’objet propofé en deux Parties, qu’elle fait chercher l’une après l’autre, enforte qu’elle n’a befoin pour chacune , que d’une regle de trois fimple & pratiquable par logarithmes. j [ Si c'eft feulement par art , que les Auteurs de cette fcience , qu’on répute fecondaire , ont ainfi divifé leurs folutions , javoüe bien volontiers que leur art eft admira- ble, & je l’admire en ce qu'il a fait appercevoir des voies 304 Essai D'HOROLEPSE particulieres , indireiles, fi l'on veut, mais plus abrégées pourtant que celles que fournit lalgebre, par fon procedé général & immédiar. Quoi qu'il en foit de l'art de ces Géometres , qui nous ont donné la Trigonométrie Sphe- rique, il me paroit heureux qu’ils aient tourné leur vûüe ainfi _ qu'ils ont fait pour certains cas. Au refte , je ne fuis point fort furpris que l’algebre conduife en ces rencontres à des pratiques arithmétiques peu commodes ; car cela doit ar- river quelquefois, parce que cette fcience étant aflujet- tie fous des loix rigoureufes en ce qu’elle a de propre, elle ne donne, par fa méchanique , que ce qui réfulre né- ceffairement, de la maniere dont on a entamé la recher- che. C’eft le calcul algébrique que j'entends ici par al- gebre propre : elle eft, à la vérité, un moyen merveil- leux pour faire des découvertes, & peut, jufqu’a un cer- tain point , fuppléer l'office du génie : mais je ne la re- garde pourtant que comme un inftrument, & je la diftin- gue de l’analyfe qui y eft fouvent jointe. C’eft l’analyfe prife en général, qui eft le premier & le principal des Arts, & qui conftitue l'efprit Géometrique ; Art de génie, qui a peu de regles, & qui eft, pour ainfi dire, au-deflus des regles, parce qu’il en eft l'inventeur, & qu’il fçait diverfifier fa marche, où même s’en faire une nouvelle dans le befoin ; Art enfin, dont les effets immédiats peu- vent exifter ailleurs que dans lalgebre. ] Si l’on veut confidérer de près , & conférer les réfo- lutions que fourniffent l’algebre & la Trigonométrie Sphérique pour ces cas, dont on a un exemple ci-deflus, dans la recherche de la hauteur de l’aftre £’ : en voici le caractere. Elles fe refflemblent d’un côté, en ce que dans l'une & dans l’autre on a deux quantités, dont il faut pren- dre tantôt la fomme, tantôt la différence : c’eft pourquoi, foit qu’on fuive l’une ou l’autre route , on eft également n obligé N'AUTIRQUE. 305$ obligé de pénétrer dans la nature de la queftion, ou du moins d’en connoître l’état : je veux dire qu'il faut égale- ment voir quelle eft la forme du triangle qu’on veut ré- foudre. Ainf l'application de l’une de ces méthodes n’eft gueres moins fujette à ambiguité que l'application de l’au- tre ; & fi c’eft un avantage pour une opération , que d'o- bliger celui qui la fait d'ouvrir les yeux fur les circonftan- ces de la queftion , les deux procedés dont il s’agit, font doués affez également de cette efpece d'avantage. Ces procedés different d’ailleurs. Dans celui qu'enfei- gne la Trigonométrie ; les deux quantités dont il faut prendre la fomme ou la différence, font des angles ou des arcs ; & l’une de ces quantités ayant été trouvée par cer- taine droite correfpondante, c’eft-à-dire, par fon finus ou fa tangente, &c. fert enfuite à l'invention de la deuxie- me quantité, mais c’eft une autre correfpondante de Îa premiere quantité qu’on emploie dans l’analogie qui don- ne la feconde. Si, par exemple ; on a trouvé la premiere quantité par fa tangente , on fe fert de fon colinus dans la deuxieme analogie , &c. C’eft en cela que confifte le fin de cette réfolution , & fa fimplicité vient en partie de ce que l’on profite des divers calculs faits d’avance dans les Tables. Quant à la folution algébrique , elle donne di- reétement le finus de Parc , ou de l'angle défiré; cet ce finus qui eft la fomme ou la différence des deux termes compris dans la formule, & ces termes font compliqués, parce que le cofinus étant enveloppé dans la préparation, il faut chaffer une de ces inconnues, en y füubftituant fa valeur algébrique , en forte qu’on eft privé du bénéfice que la Trigonométrie commune trouve dans les Tables , àc. Aurefte, il y a plufieurs cas où les réfolutions algébri- ques des triangles fphériques obliquangles n'étant que Prix. 174$. Qq 306 Essai D'HOROLEPSE des équations linéaires, indiquent des opérations arithmé- tiques à peu près égales en commodité, à celles que pref- crit la Trigonométrie: & les regles de la premiere efpece ent par-deflus celles de la deuxieme, le mérite d’être con- çües en moins de termes, d’être moins nombreufes ( par- ce que la même formule comprend deux cas), & d’être plus faciles à découvrir, ou bien à rappeller à l'efprit- de leur origine. Il eft peut-être à propos de fpécifier ici tous les cas poflbles, afin d’ afligner ceux où l’ algebre prévaut, & ceux où elle me paroit moins utile. Ce que je vais dire auroit pû être mis à la tête de cet Eflai, je l'y placerois sil avoit à paroïtre au jour , & Je refondrois en même tems le premier Lemme. Il y a douze cas à réfoudre dans Îles triangles fphéri- ques obliquangles. Or, ces cas peuvent être rangés en. quatre claffes, & être réglés par trois ou quatre formules... La premiere claffe comprend trois cas, qui font ceux. où les quatre élémens du triangle qui font la matiere de: l'opération, font les trois côtés & un des angles : car cet angle étant oppofé à un des côtés, 1° ou cetangle, 2° ou ce côté feront cherchés ; 3° ou bien ce fera un des cotés qui comprennent cet angle. La deuxieme clafe eft réciproque de la précédente : elle réünit les cas où les quatre élémens employés dans l'opération font les trois angles , & un des côtés du trian- gle. Car ce côté étant oppofé à un des angles , 4° ou on cherchera ce côté, 5° ou bien cet angle, 6° ou l’un des angles adjacents à ce côté. La troifieme & la quatrieme. claffle comprennent les cas où les quatre élémens fphériques qui font la matiere de l'opération font deux côtés, & deux des angles du triangle. Je place dans la troifieme claffe, les cas où cha- sun des angles employés eft oppolé à l’un des deux côtés ; N'AUTIQUE. 307 aulli employés. Or, y ayant même relation des côtés aux angles dans cette hypothefe, il ne s’y trouve que deux cas, 7° ou c'eft un des angles, 8° ou bien un des côtés -qui eft défiré. La quatrieme & derniere claffe embrafle quatre cas, dans lefquels il y a feulement un angle & un côté oppofé employés , l’autre angle & l’autre côté employés n'étant pas oppofés, mais adjacents. Car 9° ou c’eft l'angle de la premiere condition , 10° ou le côté oppofé que l’on cherche , 1 1° ou bien c’eft l'angle de 1a deuxieme con- dition, 12° ou bien enfin , c’eft le côté qui y eft adja- cent. Les deux cas de la troifieme clafle font les plus fimples de tous ; une feule analogie fufir pour les réfoudre : auffi la regle algébrique de leur folution n’eft-elle pas différen- te de celle que fournit la Trigonométrie. On a un exem- ple de cette regle, dans la formule cottée s° au premier Lemme. Les 1,2,4,5,9 & 10° cas, approchent en fimpli- cité ; de ceux dont on vient de parler : dans les formules que fournit l’algebre pour leur réfolution , l’inconnue eft feulement linéaire, mais {a valeur eft néceflairement com- pofée de deux termes. Tous ces cas conviennent, en ce que l’un des élémens donnés eft oppofé à l'élément cher- ché, & que les deux autres élémens employés dans l’o- pération, ne font pas de la même condition refpettivei C'eft par certe deuxieme circonftance , que les fix cas mentionnés different des deux de la troifieme clafle, & font moins fimples. Enfin , les 3, 6, sa & 12° cas, font compliqués ; & l'algebre ne peut les réfoudre direétement, que parune équation du fecond dégré. Tous ces cas ontcela de com- _mun entre eux , &t de différent d'avec les huit autres, que Qaïi 308 Essai D'HOROLEPSE l'élément oppofé à celui qui eft cherché, n’eft point com- pris entre les trois qui font donnés. Ainfi ces quatre cas font faciles à difcerner. Voyons maintenant les formules algébriques qui ré- pondent à nos clafles. Nous avons deux exemples de . Phypothefe qui conftirue la premiere de ces clafés, dans les deux premiers $ $ du premier Lemme ci-deflus [il eft vifible par les titres de ces $ $, que les trois côtés, ou les complémens de ces côtés, & un des angles du trian- gle PEZ , font les quatre élémens dont la relation y eft demandée ]. Ainf nous avons deux exemples de la regle algébrique, qui convient aux cas de la premiere claffe ; dans la premiere &c la deuxieme formule de ce Lemme. Ces deux formules rrh + cya=rsx ; rrx enk=rsh ; n'étant donc que des applications de la même regle, il eût fufñ d'en démontrer une , d’autant plus que je n’avois pas grand ufage à faire de la deuxieme dans cet Effai. J'ai infinué qu’une feule regle algébrique s’étendoit aux trois cas de la premiere claffe, nonobftant leur diffé- rence : mais auffi c’eft d’une maniere différente qu’elle y fert. En effet, pour trouver 4, ou #, qui font les cofinus du côté EZ , & de l'angle oppofé EPZ , la formule rr# Hcyu =rsx eft parfaite : mais elle n’eft que préparatoire our obtenir l’un ou l’autre côté, EP, ou PZ, du même triangle EPZ , parce qu’il y refte dans ce cas , une incon- nue à chaffer, &c. Quant à l'invention, ou démonftration de la regle dont il s’agit , j'obferve qu’on y peut parvenir en plufieurs ma- nieres, dont deux également fimples & aifées à retenir, le font plus que toute autre , à raifon de l’ordre qu’on y garde. M. de Maupertuis, que j'ai copié ci-deflus au Lemme premier, a pris lun de ces procedés fimples dans l'exemple du $. II : mais il n’a employé ni l’un ni l'aôtre NAUTIRQUE. 309 dans l’exemple du $. I, où l’on a la formule rrh + cyx =rsx, ou bien, rrh—rsx= "+ cyu à établir. Le proce- dé qu'il y a fuivi , a été de chercher les valeurs des deux quantités BO , OF, dont la fomme ou bien la différence eft BF, c’eft-à-dire, — — » &c. On réufliroit encore également, en cherchant les deux quantités dont la fomme ou la diffe- cu . ST . rence eft —, & en faifant voir,à l'aide d’une figure conve- . s A que x valeurs de ces quantités font = , & _ L( hZ —). Mais voici le genre de proceder que < préfere : c > de prendre les valeurs des deux quantités, dont la fomme oubien la différence eft égale au cofinus de l’un ou de l’autre des côtés PE, PZ, qui compren- nent l'angle employé dans l'opération. En difpofant, par exemple , l'égalité qu’il s’agit d'établir par rapport au co- rrh—cyu finus x du côté PE gnous avons à montrer que — rrh =x, Fig. 1 & 2°, ou que = x, Fig. 3°; — cu c’eft-à-dire, que — us —x+; & celaeft aifé, car (en fuppléant la pe R ca lefdites figures , pour mar- quer le point d’interfeétion des droites CBP , LEG jileft vifible que CB oux—CRÆRB.Or(à chan de la fn litude des . nes POC; CGR) ona, PQ (s) CPi(r)::CG(h): CR=—— ; & les triangles fembla- bles POC, FBR, LÉ orE £: : BF(Z 2 ):R RB—°— rs Donc, &c. Que fon veut difpofer l'égalité en queftion parrapport au cofinus s de l’autre côté PZ du même œiangle, on aura la même facilité à l’établir , c’eft-à-dire, à prouver que Q q ii 3410 Essai D'HoROLEPSE LEE —=$s, ou bien que 7 +=, enfe fer. -vant d’une figure convenable, telle qu'eft la 45°, où OAIxoCs , répréfente le grand cercle ; qui a P pour pole, &4Zi", un parallele à ce cercle: ainfi 44 eft Le finus (c) de PZ, & Csfon cofinus (5); 4x ( qui a Z€ pour parallele ) eft le finus de l'angle EPZ , & Co fon colinus (#); on a donc, CO(r):Co(u)::Ba(c):Bo— A V’IK7C eft le grand cercle qui a E pour pole, &CZEre eft un parallele à ce cercle, ainf Cy ou Z 7 eft le finus de ZE , & Cyen eft le cofinus () ; enfin C,eft le finus | (y) de PE, & Px eft fon cofinus (x). Cela pofé, il eft vifible que C* ous — Cr: Or, (à caufe de la fimilitude destriangles reétangles PxC,C7 +) onaPy(x):CP(r):: Cv (4h): Cr“; Œun autre côté » Îes triangles femblables P*C , @:r, donnent: Px (D: Cr()::80( Ye = 2e. Donc C,(s) rh cyu . ee à 2 ; ce qu'il falloit prouver. = Cr — ape rte A l’égard des cas de la deuxieme claffe, quoique nous” n’en ayons rencontré aucun dans cet Eflai, nous pouvons dire en pañflant, & prouver, qu’ils font foumis à une re- gle algébrique, pareille à celle qui vient d'être établie; parce que rout triangle fphérique correfpond à quelque autre de telle façon, que les côtés de celui-ci ont refpec- tivement les mêmes finus que les angles de celui-là, & queles côtés de celui-là ont aufli les mêmes finus refpec- tivement que les angles de celui-ci. Les trois côtés, & un des angles de l’un, ont donc entre eux lamêmeefpece de relation que les trois angles , &t un des côtés de l’autre: Dansla Fo, 46 , qui eft conforme à la Fig. 1 , quañtaux RONMAS ET I Q UE. 3TI lignes marquées des mêmes lettres, 40 X]ay étant le grand cercle dont P eft le pole, &c. foit KIJ” un autre grand cercle , dont E foit le pole ( d’où il fuit que Keft pole du cercle ZEMVz,& I pole du cercle PEOp}), nous aurons les triangles KIX, & P£E , pour correfpondans, de la maniere qui a été dite. Car 1°, les angles PJa & EIK, étant droits par l'hypothefe , & renfermant chacun l’an- gle PIK, l'angle EIP eft égal à K la, complément à deux droits de l’angle KIX; ETP eft donc aufli complément à: deux droits de KIX, & ces deux angles ont mêmes finus & cofinus ; donc KIX a même finus y & cofinus x, que’ l'arc PE, qui eft la mefure de l'angle EIP. 2°, L’arc EM , étant par l'hypothefe un quart de circonférence ,- de même que ZE M, l’angle ZX X mefuré par MP, a même finusk, & cofinusk,que l'arc ZE, 3°. L’angle IXK com- plément de K XP , & égal par conféquent à l’angle PXZ, a même finusc, & colinuss, que l’arc PZ mefure de angle PXZ, 4°. Enfin, IXO- étant un quart de circon+ férence, de même que AO X, l'arc IX eft égal à 40 , qui eft la mefure de l'angle EPZ , & a par conféquent même finus ? , & cofinus # que cet angle. Donc les trois angles, & le côté IX du triangle KIX, ont la même relation en- tre eux que les trois côtés, & l'angle P du triangle EPZ ; & cette relation ef exprimée par la formule rrh— cyw = 1x, La formule rrx + cnk — rsh, qui eft de la même efpe- ce , marque pareillement la relation des trois angles, & du côté K X du triangle KIX, parce que l'arc K XM étant un quart de circonférence , ainfi que XWA , l'arc KX eft égal à MH, qui eft la mefure de l'angle MZH, complé- ment à. deux droits de l'angle. PZE ,. & par conféquent KX a même finus », & cofinuss”, que l'angle PZE, &c.. On feroit voir encore , s’il étoit néceflaire, que le côté: 312 Essai D'HOROLEPSE KI du triangle KIX a mêmes finus & cofinus que l'angle PEZ. On peut remarquer ici que élément fphérique cher- ché dans les quatre cas les plus fimples de la premiere & de la deuxieme claffe , eft exprimé par fon cofinus : mais dans les deux cas de la troifieme claffe , l'élément défiré eft exprimé par fon finus, & c’eft enfin par fa co- tangente qu’il left, dans les deux cas fimples de la clafle dont il nous refte à parler. J’ajoûte que dans les quatre premiers cas , la Trigonométrie emploie pour l'élément cherché, la même expreflion que lalgebre ; c'eft pour- quoi l’on peut , dans ces cas, pañler de la regle trigono- métrique à la regle algébrique , à l’aide du fecond Lemme. Nous avons deux exemples de l'hypothefe qui confti- tue la quatrieme claffe, dans le III & IV° $. du premier Lemme. Leurs titres font affez voir , que les quatre élé- mens fphériques , dont la relation y eft demandée , font deux côtés , & deux angles du triangle PEZ , tels qu’an feul de ces côtés eft oppofé à l’un de ces angles. Ainfi nous avons deux exemples de la regle algébrique, propre aux cas de la quatrieme clafle, dans la troifieme & la quatrieme formule de ce Lemme, qui font rnyt Hrmex = msya, & rcht + nkst —=rmku, ou bien (en les réduifant, comme il convient, à une forme plus fimple) M + cX su, & Hc+mTl—ns. Quant à l'invention de la regle dont il s’agit, où. au rappel de fon fondement à la mémoire , on peut y parve- air en plufieurs manieres , les unes plus fimples que les autres. M. de Maupertuis a procédé affez fimplement dans Pexemple du 4. IIT, où je l'ai copié, ainfi que dans les autres ; mais cet habile homme a procédé différemment & avec circuit, dans l’exemple du $. IV, IL eût pû s’y conduire j NaAUTIQU.E 317 “conduire dé la même maniere que dans exemple précé- dent ,.en raifonnant comme il fuit. Les triangles fembla- bles, efC, EFB , donnent tiu:: EF ( - ) RE — ee Les autres triangles femblables POC, FBR, (je fuppofe encore ici que le point d’interfeétion des droites PBC, LEG , eft marqué R) donnent ; s:r::FB ( =) : FR == tu, D'ailleurs les triangles femblables POC, CGR, donnent ; s:c::CG (4): RG= +. Où FR—RG —FG( EN Fig. 1 & 4; ou bien FR+RG=1IG,; Cr g Le mku — ch nk 1 Pee&c. Donc st ou enfin ; rmku LE rcht =nkst. Il y a encore une autre maniere tou- te pareille à celle qu’on vient de voir, pour établir.la . mu b r même formule, fcavoir, en montrant que —— + x — s Ps x ct st . . — ——. Il y a auffi une deuxieme maniere de prouver la troifieme formule, laquelle eft femblable à celle qu'a employée M. de Maupertuis. Elle confifte à x LA mc ms — X — X == . y u r r Quoique la double maniere de raifonner que je viens de toucher , foit fort bonne, il eft cependanr une autre méthode, que je préférerois volontiers à celle-là, comme étant plus dire@e pourétablir la regle en queftion. Cette regle eft dans l'exemple du ‘6. LT, ray rmex — msye, où bien M +cX=— su; & pour arriver à cette deuxieme forme de la regle, il faut, lorfqu’on a procedé "- . vn comme ci-deflus , montrer encore, que —— == {V, & nt montrer que —— + que E- — X. Maïs on peut éviter cette efpece de dé- tour, & prouver direétement que. M + cX = 54 , ainfi Prix, 1745: Ur 314 Essai D'HOROLEPSE qu'on va voir. Il y a deux manicres également propres N+cX pour cela, car il s’agit de montrer ,. ou que 4, bi NÉS CAS | jen que ==—— = +. . Dans la Fig. 1, qui eft conforme à la Hg. 47. un aux lignes marquées des mêmes lettres, X y défi- gnant le pole du grand cercle PZ AHpzah ,& Z celui de HMX, &c. Soit 42 le finus (c) de l'arc AH égal à PZ, & C&fon cofinus s; 0 fle finus (r) de l'arc 40 ou de l'an gle EPZ , & Og = Cffon cofinus (4) ; Oe la tangente X° du complément OE de l’arc PE ; X y la tangente de l'arc XM , qui eft l’excès de l'arc ÀX M, par lequeleft mefuré l'angle PZE , fur un quart de circonférence ; c’eft-à-dire, foit Xu la cotangente NV de l'angle PZE ; foit gg une pa- rallele à X y, & à CH, terminée par la fecante CM; il fuit de ces hypothefes , que le rayon Cg X, & la droite f0 ; font perpendiculaires au plan Ogg; ainfi la tangente Oe étant perpendiculaire aux lignes g0O, Of, fe trouve dans le plan Ogg, & la droite eg rencontre la droite gO en quelqu'un de fes points, que je marque par d': d’ailleurs cette droite edg étant & dans le plan MCEe de deuxrayons du cercle ZEME, qui eft perpendiculaire à CXMH, & dans le plan Ogg qui eft aufi perpendiculaire à ce plan CXMEH, eft pareillement perpendiculaire à ce plan, & par conféquent à la droite gg qui y appartient. Donc enfin les trois triangles 4€C, dgg , dOe, font retangles & fem- blables. Cela pofé, les triangles femblables C X L » a 5 donnent CX(r): Xu(N)::Cg=fo0():gq—= ——; les triangles 4€C, dgg , donnent C4(s) : CA (r): CE ), ga — © ; enfin les triangles 4€C, d0e, donnent C2 (5) AŸ(c)::60(X):d0 =, Or, gd+ d0 —gO(") , NAUTIQUE. 3r$ C Ne cX 7 5 donc —— + —— —= 4. Ce qu'il falloit prouver, N x 2°, Que fi on veut montrer que — + —— s,on e pourroit , au moyen de la Fig. 47, en y ajoûtant quel- - ques lignes, fcavoir, en joignant les points 0,4, & di- vifant C& par une parallele à Og, tirée du point 4, &c. Mais il vaut mieux employer la Fg. 48. Les mêmes let- tres y défignent les mêmes arcs que ci-devant. Soït d’ail- leurs, 459 le finus (r) de l'angle fphérique EPZ = 0OCA —=aCo, & Co fon cofinus #; foit C7 —/hœ Île finus(c) de l'arc PZ = ha, & h* fon cofinus s ; foit #k la tangen- te de l'angle 4ZK, qui eft la différence de l'angle PZE d'avec un droit ; c’eft-à-dire , foit #k la cotangente (W) de l'angle PZE ; foit PT le complément de l'arc EP, P* la tangente X de PT; ? x une parallele à Ps & à OCo ; k x une droite fituée dans le plan du cercle TXT, qui eft perpen- diculaire au cercle COEPT,; à Vinterfe@ion des droites kx,hv. Les troistriangles a6C, dx7, 3 hk, font re&an- gles & femblables. Cela pofé , on voit que les triangles femblables CPe, C2, donnent CP (r) : Pe(X):: CY(ch:7x= “2. Les triangles acC', 927, donnent Co(w):Ca(r)::vx ( _… yd— <= : Enfin les triangles 40€, ?kk , donnent C©(«): ao (t):: hk (N) : dh =. Or ,79#+ 5h (5), donc Nt cX u (22 A l'égard des fignes qui conviennent aux divers termes de nos regles algébriques de réfolution des triangles fphériques -obliquangles , voici un échantillon des ob- fervations qu’on pourroit faire pour y mettre ordre. Soit prife pour exemple, la regle des cas de la premiere | Rri = 316 Essai D'HOROLEP$E clafe , laquelle eft fufceptible de ces trois états : rh — cu = 15% , — rh + cpu = TX ) + rh + cpu = sx. I1 faut remarquer d’abord , que chacun de ces états ne: répond pas feulement au triangle EPZ, mais encore à trois autres triangles pEZ, pEz , PEz , adjacents à celui- là, chacun defquels a un angle & un côté communs. avec PEZ, & dont les autres angles & côtés, font com- plémens à deux droits des autres élémens de PEZ. IL ya donc plufieurs cas particuliers à confidérer, cas que. je diftribue de cette forte. Les deux côtés qui comprennent l'angle male dans laregle, angle qui y.eft employé par fon cofinus#, font ou de même affeëtion { c’eft-à-dire , tous deux moin- dres , ou tous deux plus grands qu’un quart de circonféren- ce) ouils font d’affeétion différente. Ces côtés étant de même affetion , ou l'angle com- pris entre eux eft aufli de même affeétion que le côté qui y eft oppofé , ou il n’en eft pas. Dans le premier cas, fi l'angle eft aigu , on a rrh— cyu —r5x, premier état de la formule. Voyez lestriangles EPZ , EpZ, Fig. 1° & 2°. Mais fi l'angle eft obtus, on a— rrh<+ cyu = rsx, deuxie- me état de la formule , voyez les triangles EPZ , Epz; Fig. 4°. Et fi l'angle employé.eft d'autre affe@tion que le côté oppofé (auquel casil doit être obtus\, on arrh—+cy — rsx, troifieme état de la formule. Vos les triangles EPZ,, be Fig. ce Tes côtés qui comprennent l’angle employé, étant dé: diverfe affe@ion , cet angle ou eft aufli d’une autre affec- tion que le côté oppofé, ou de la même. Dans le premier: cas , l’angle doit être aigu , & le. dernier érat de la for: NS OP Tr QUE: _ SAT mule a lieu. Voyez les triangles EP+, Epz, Fig. 3°. Dans laure cas, fi l'angle eft obtus, c’eft le premier état de Ia formule qui a lieu. Voyezles triangles EPz, Epz, Fig. 1° & 2°; mais fi l'angle eft aigu , on a le fecond état de la formule. Voyez les triangles EPZ , EpZ, Fig. 4°. Il eft aifé de diftribuer les cas régis parles autres for- mules, dans un ordre femblable. - J’obferve pour conclufion, que fi les triangles fphéri-” ques font reétangles , ou ont un quart de circonférence pour un dé leurs côtés, il s’'évanoüit un des termés dans lés formules qui en onttroïs, & l’on trouve les mêmes regles que celles que prefcrit la Trigonométrie pour ces fortes de triangles ; ainfi l’algebre a encore en ce point un avantage fur cette autre fcience, les regles des triangles reétangles n'étant dans le procedé algébrique , qu’une ef pece de Corollaire des regles des obliquangies , au lieu que dans la Trigonométrie , il faut établir la réfolution des triangles obliquangles, fur les regles particulieres.. des triangles reétangles. Rriy 320 ‘E ssa 1. sp Ho 0 LEPSE beaucoup augmentée par l'erreur particuliere qui peut fe gliffer dans les opérations dont il s’agit. On verra dans la fuite, que l’une & l’autre erreur eft à peu près de la même efpece , & a une influence à peu près femblable pour cha- que Probleme : ainfi quand elles feroient du même dé- gré, & confpirantes, le défaut de juftefle du réfulrat de ces opérations, ne feroit que double de celui du réfultat du calcul : mais j’eftime que l'erreur particuliere de ces opérations fera moindre en dégré que l'erreur de l’obfer- vation ; celle-là n’ira peut-être pas au tiers, ni même au quart de celle-ci. Cela fuppofé, le défaut provenant de l'obfervation, ne fera augmenté que.d’un tiers, ou d'un quart en fus, par le concours de celui qui peut fe gliffer dans les opérations que j'ai en vüe. 2°, La facilité de ces opérations invitera probable- ment le Navigateur à multiplier les obfervations propres à déterminer l’heure. Or, en prenant un milieu entre plufeurs déterminations, il n’approchera gueres moins du vrai, & peut-être, en approchera-til plus que s'il fe bornoit à. une feule détermination, exécutée par la voie du calcul. 3°. Onstrouvera dans la troifieme Partie, des regles générales pour difcerner les cas d’obfervation qui font avantageux, ou défavantageux, pour la détermination de Vheure, c’eft-a-dire , les cas dont l'erreur n’en produit qu'une petite , ou au contraire en produit une fort gran- de dans la dérermination de l'heure. Mais s'il arrivoit qu'un Navigateur , faute d’avoir compris ces regles , ou de les bien pofléder, ou par inadvertance, voulût em- ployer une obfervation peu avantageufe , il en reconnoi- toit aifément Ja. qualité, par ces opérations que je veux propofer : elles répondent fi bien aux obfervations, que quand elles font peu précifes dans leur réfultat , c’eft une | marque NAUTIQUE: 319 marque füre que l’obfervation particuliere fur laquelle on travaille , n’eft pas avantageufe pour la détermination défirée, quand même on la tenteroit par la voie du cal- cul. 4°. Il fe trouvera toûjours fans doute, fur les grands vaifleaux , quelque perfonne {capable d'exécuter les cal- culs propres pour la détermination de l'heure , &t qui en ait le loifir; mais peut-on compter qu’il s’en trouve fur tous les petits vaifleaux ? S’il n’y en a pas, les opérations fubfidiaires aux calculs femblent requifes. Et à l’égard des grands vaiffeaux, rien n'empêche que deux perfonnes n’y emploient des pratiques différentes, pour chercher l’heure fur la même obfervation. Ne doit-on pas être curieux de voir promptement l’à-peu-près de ce que l’on cherche? - s°. Quelque verfé qu’on foit dans l’arithmétique, on peut commettre une faute de calcul. D'ailleurs , quand on opere d’après une formule algébrique, on peut encore prendre un figne pour un autre ; additionner , par exem- ple, en conféquence , au lieu de fouftraire. Il y a donc lieu de fufpeéter le réfultat d’un calcul qui ne feroit fait qu’une feule fois. Or, l'opération fubfidiaire eft très-pro- pre pour le confirmer , s’il eff bon, ou pour en décéles le vice,s'ilenaun. 6°. Dans les Problemes où l’algebre fournit pour la dé- termination défirée , une équation du fécond dégré, dont l'une & l’autre racine eft pofitive;il faut beaucoup d’atten- tion pour faire un jufte choix entre elles , & l’on a fujet de craindre l’équivoque. Les opérations que je vais propo- fer, foulageront beaucoup l'imagination dans ces cas , & faciliteront le choix nécefaire. 7°. Enfin, c’eft l’obfervation des aftres dont la décli- naifon eft variable , qui eft la plus commode, & de l’ufa- ge le plus étendu, pour trouver l'heure, Or, pour la faire Prix, 1745 sf 320 Essar D'HOROLEPSE fervir à cette découverte , il faut avoir par préalable, la déclinaifon pour le moment de lobfervation , au moins à peu près; & pour la connoïtre , cette déclinaifon, par 1e moyen des Tables, il faut ou avoir obfervé tout le tems écoulé depuis qu’on a quitté certain point du globe dont on connoit la longitude , ou, fi l’on y a manqué, il faut fçavoir à peu près l’heure du lieu où lon a fait l’obferva- tion , ainfi que fa longitude; en forte qu’on peut fe ren- contrer à cet égard, dans le cas d’une efpece de cercle (ce qui n’eft pas fans exemple dans les Problemes Nauti- ques), je veux dire qu’il peut être néceffaire de connoître déja l'heure à peu près, pour la déterminer plus exaéte- ment, par l’obfervation des aftres qui varient en déclinai- fon. Or, pour parvenir dans ce cas à une certaine exac- titude, il faut corriger la détermination par le moyen du calcul différentiel; ou, fi on l’ignore, il faut réitérer cette opération, je veux dire qu'il faut opérer une pre- miere fois fur une déclinaifon fuppofée , pour obtenir une déclinaifon plus correéte , puis une deuxieme fois fur cette déclinaifon corrigée, pour obtenir la: détermination re- quife. (Si l’on vouloit faire ufage de la Lune, il faudroir peut-être réitérer l'opération jufqu’à trois fois ). Il en eft de même pour la longitude des planetes ; on peut être dans le befoin de la corriger après lavoir fuppofée, &c. Mais un Navigateur auroit-il le courage de faire deux fois de fuite de longs calculs numériques ; (ou bien de recourir au calcul différentiel, pour en tirer une double formule de correétion relative à la double erreur fur le lieu de la planete, &c.) ? D'ailleurs , quelle néceflité y a-t-il qu’u- ne premiere détermination faite feulement pour obtenir le lieu d’un aftre plus corretemént qu’on ne Pavoit par eftime, ait autant d’exaétitude qu'il en peut réfulter du calcul ? Il eft plus avantageux, ce femble, que cette . NAUTIQUE. 32T opération préalable puifle s’exécuter avec facilité & promptitude , car on la doublera fi Von veut. Les prati- ques expéditives que je vais expofer , font donc convena- bles, au moins pour le cas dont il s’ agit. Je ne vois au refte qu’un inconvénient dans la propo- fition de ces pratiques, c’eft que quelque Navigateur pourra s’en contenter, & négliger la voie du calcul, quoi- qu’il foit en état de l'employer ; mais d’un autre coté, fi l'on cachoït ces pratiques, n’y auroit-t-il point quelque Navigateur , qui , dégouté par la peine du calcul , négli- get de chercher l'heure aufli fréquemment qu'il le fera ? &c. Cette voie fubfidiaire au calcul, dont il m’a paru à pro- pos d'annoncer d’avance les petits avantages, de peur qu’on n’en fit trop peu de cas, eft de tracer les cercles de la fphere qui répondgnt aux obfervations , & qui déter- minent les arcs ou les angles cherchés. On peut exécuter cette defcription de plus d’une ma- niere. On peut la faire, par exemple, fur la fphere même. C'eft la maniere qui fe préfente d’abord à l'efprit , & qui eft la plus fimple ; & il ne faudroit pas beaucoup d’art à un Navigateur , pour découvrir de lui-même le procédé par- ticulier qui feroit requis dans chaque conjonéture. Cepen- dant cette maniere n’eft pas la meilleure ; opération fe- roit peu précife fur un petit globe ; un grand globe feroit trop difficile à manier, à caufe de fa pefanteur, ou, s’il étoit de matiere très legere , il feroit fujet à irrégularité. D'ailleurs pour connoître la valeur de certains nvedes fur un globe nud, il faudroit y tracer trop de lignes, &c. Il y auroit d’autres inconvéniens pour la folurion de nos Pro- blemes, fi on prétendoit fe fervir d’un globe mobile fur fon aiffieu planté , comme il eft ordinaire dans yn méri- dien , fupporté par un horifon, Sri 322 Essai D'HOROLEPSE C'eft fur un plan où la fphere célefte foit projettée, que je confeille de travailler, On peut faire une partie de ce planifphere de métal, & y donner un grand diametre, fans qu’il en réfulte d’incommodité. L’efpece de projec- tion que je choifis, eft celle que quelques Auteurs nom- ment Sréreographique,& qui eft en ufage dansles Aftrolabes: Dans cette projeétion , les droites qui paflent par les di- vers points du globe , & les projettent fur le planifphere, partent de l’extrémité de l'axe du globe, lequel eft per- pendiculaire à ce plan. On fçait, & il eft affez vifible, que dans cette hypothefe tous les cercles grands ou pe- tits, qui pallent par ce point commun à toutes les lignes de projettion , font repréfentés fur le plan par des lignes droi- tes indéfinies. Ainfi le cercle horairepoTBPEOC, Fig. 17, eft repréfenté en partie fur le plan de l’équateur,par la droi- teoThPEOB. Onfçaitencore queles autres cercles, grands ou petits, c'eft-à-dire, tous ceux hors du plan defquels eft le point commun des lignes de projeétion , font repré- fentés dans cette hypothefe par divers cercles fur le pla- nifphere ; & celui qui ne le fçauroit pas, le reconnoïîtra facilement , en imaginant le cone formé par toutes-les lignes de projetion qui paffent par un de ces cercles de la fphere , le cone , par exemple , que forment les lignes qui paffent par le cercle dont la corde 87C, repréfentée par #gB fur le planifphere , eft le diametre , cone qui eft ici figuré par fa feétion angulaire la plus aigue, @pB; car ces deux lignes, 86, bB, font-les mêmes angles avec les deux côtés de cette feétion * ; par conféquent les deux ba- fes du cone qui ont CB, bB pour diametre, font de même nature. On fcait de plus, que les angles que font les cer- * L’angle p£6 ayant pour mefure la moitié de l’arc p6, eft égal à angle pB&; qui a pour mefure la moitié du quart-de-cercle po, moins la moitié du complé- ment 6 0 de l'arc pe : & l'angle p6 8 mefuré par la moitié desarcspo, #6 3 &ft égal à pbB, mefuré par la moitié des arcspO, 08, | NERO TC UNE: 324 cles de la fphere, répondent à des angles qui {eur font égaux fur le planifphere Quant à la contioelt du planifphere ptopofé, & au moyen foit de tracer fur celui qui n’eft chargé que de fes lignes principales, les autres cercles dont on peut avoir befoin, foit de divifer ces cercles en dégrés , il eft évi- dent d’abord, que tour cercle, grand ou petit , qui eft pa- rallele au plan de projeétion ; y eft repréfenté par un cer- cle qui a pour centre le point repréfentatif de Paxe, du fommet duquel partent les lignes de projeétion ; & que les parties de chacun de ces cercles de la fphere, font proportionnelles aux parties correfpondantes de celui qui en eff la projeétion ; c’eft pourquoi les degrés de ceux-là font repréfentés par des arcs égaux fur le planifphere. Pour les autres cercles de la fphére , ceux qui les repréfentent, ont un centre propre, différent tant du point qui repré- fente le pole du cercle de la fphere , que du point qui en repréfente le centre ( ainfi dans la ligne 2EB, Fig. 17 , le point G eft le centre propre du cercle par lequel celui qui a pour diametre 676, eft repréfenté fur le plan de l’équa- teur ; le point E eft la proje@ion du pole E de ce cercle de la fphere, & le point g eft la projeétion de fon centre De” Et les dégrés de chacun de ces cercles de la fphere non- paralleles au plan de projeétion, répondent à des arcs iné- gaux de celui qui les repréfentent. Je fuppofe qu’on ait un cercle divifé en fes dégrés & minutes , & qu’on le prenne pour un grand cercle de Ia here, fur le plan duquel on doive en faire la projec- tion. Soit , par exemple, Kg, 18, 40 XIaoxi l'équateur; foient tirées par le centre CP de ce cercle, deux lignes perpendiculaires lune à l’autre, telles que IP5, oTPEOB, qui repréfentent deux cercles horaires. Si de l’interfeétion Tde l’une de ces lignes avec la circonférence 40 XIaoxi, Sf il 324 Essar D'HOROLEPSE on tire à toutes les divifions de cette circonférence, des droires qui coupent le cercle 0TPEOB ÉMiculaire: à IPi, ce cercle fe trouvera divifé"en fes dégrés, &c. IP: fera pareillement divifé en fes dégrés , &c. par des drol- tes tirées du point Ü , à toutes les divifions de la circonfé- rence AXIaxi. Tout autre cercle horaire, tel queahPZ A, peut être divifé de même, par des droites tirées de fon ole X: mais il n’eft pas séceliire que beaucoup de cer- cles horaires foienttracés & divifés jufqu’à leurs moindres aliquotes poffibles , fur le planifphere ; une alidade mobile autour du centre C, & divifée comme o7PEOB , autant qu’on le pourra, tiendra lieu des autres cercles horaires, Il eft à propos que cette alidade excéde beaucoup en lon: gueur le diametre du planifphere. Cela donné , foit, LEMME PREMIER. Décrire fur le planifphere un cercle quelconque ; oblique à ceplan , © le divifér en dégrés. $. I. Décrire le cercle dont on ale pole E , Fig. 18 ,&c ,dont on connoît l'amplitude. [ Ce que je nomme ici am- "plitude , a peut-être un autre nom; J'entends par ceterme, la difance E6, où EG, Fig. 17, du pole d’un cercle à fa circonférence. Portez l’alidade fur le point E , prenez de part & d’au- tre de ce point fur la droite oPEO des parties £b, EB du même nombre de dégrés, & égales : à l'amplitude du cer- cle défiré : trouvez le milieu G de la ligne #B, & du cen- tre G, décrivez un cercle par les points b, B: ce cercle eft celui qu’on défire. Pour trouver le point G avec juf tefle & promptitude, il fera bon d’avoir un inftrument fait en zic-zac , compofé de trois regles minces, 9f,fF, FO, mobiles fur deux clous f, F, dont les deux extremes 4/, NPAULET Q UE 32$ FD , foient juftement égales entre elles , & à la moitié de la regle moyenne fF. Celle-ci étant divifée à fon milieu N, G on fait répondre les deux bouts 4, © de cet inftru- ment, aux deux-points ?, B dela ligne PEO, & qu'on faffe tomber le point W fur cette ligne, il eft vifible que N donnera le milieu G de l'intervalle quelconque #B. Le point M du ziç-zac fera encore propre à recevoir la pointe du compas , & cela préfervera le planifphere @s macules que cette pointe y feroit. ScHoL1e. Si c’étoit un grand cercle qu'il fallüt tra= cer, on n’auroit pas befoin d’en prendre le diametre en- tier fur l’alidade , il fufiroit de compter autant de degrés au-delà du pole E donné, qu’il y en a entre ce point E & le centre CP du planifphere , on trouvera juftement le cen- tre propre du cercle demandé. A légard d’un petit cer- cle, fi on a le point g de projeétion de fon centre (le moyen de trouver ce point eft aifé à découvrir) , & qu’on prenne EG du même nombre de degrés que Eg, on aura le centre propre G du cercle de projeétion. Cette prati- que fera une reflource pour les cas où le point B du cercle défiré tomberoit trop loin du centre du planifphere, & par-delà le bout de l’alidade. ( Cette pratique eft fondée fur ce que la ligne par laquelle le centre d’un cercle eft projetté fur le planifphere, fait avec la ligne qui en re- préfente le diametre, le même angle que la ligne qui part du point commun aux lignes de projeétion, & pañle par le centre propre du cercle repréfentatif, fait avec le dia- metre du cercle repréfenté. Ainfi la ligne pg, Fig. 17 5 fait avec B l’anglepgB , égal à PangleprB de la ligne pG avec le diametre € 8; & il fuit de - là, que les lignes pGY, pGr, font des angles égaux avec la ligne pEE.) $. IL. Tracer un grand cercle dont on a deux poinrs. Soient E ,Z, ces deux points, Fig. 18, il faut décrire 326 Essai D'HOROLEPSE les arcs TKI , hK X des deux grands cercles qui ont les points donnés pour poles , l’interfeétion K de ces deux cercles , eft le pole de celui qui paffe par les points don- nes, 7. CorozLaire. Ce $. fournit le moyen de décrire par un point donné, un grand cercle perpendiculaire à un grand cercle donné : car ayant trouvé le pole de celui- ci, le graff cercle qu’on décrira par ce pole, & par le point donné, fera le requis. $. IIT. Connoître la valeur d'un arc quelconque de grand cercle , décrit fur le planifphere ; ou bien prendre fur un grand cercle un arc d’une certaine quantité; dont un des termes foit, donné. 4 Soit Tu, l'arc donné du grand cercle #TK1, Fig: 18. Du pole E de ce cercle, tirez par les extremités de arc donné deux droites ETo, Eu y, qui aillent jufqu’à la circonférence du grand cercle ÂX 105, fur lequel eft for- mé le planifphete ; l'arc o y de ce cercle compris entre les deux droites , donnera la valeur défirée de l'arc T4 pro- pofé. La folution de l’autre cas eft aifée à appercevoir. Je ne m'arrêterai point à donner la raifon de cette pratique , ni à montrer comment on peut connoître la valeur d’un arc de petit cercle. : LEMME SEC O N D. Réfiudre tous les cas concernant les triangles fphériques obliquangles , à l'aide du planifphere propofé ; c'eff-a-dire, former fur une bafe donnée dans le planifphere , tout triangle Jphérique, comme PEZ , Fig. 18, 1,9 , dont on connoiffe trois élémens | & découvrir les trois autres. Nous n'avons ici que fix cas , & quelques-uns même font étrangers à notre objet ; cependant comme ils exi- gent + NAUTIQUE: 327 gent peu de difcours , je ne les omettraipas. Je ne prends dans les folutions fuivantes, que les exemples les plus commodes. S.I. Tous les côtés d’un triangle fphérique étant connus, trouver tous les angles. - Que PEO, l’une des droites qui pañlent par le centre du planifphere, Fig. 18 ,foit la ligne qui doit fervir de bafe , en partant du point P. Prenez-y donc PE , équi- valente à un des côtés donnés ; décrivez autour du point E , comme pole, le cercle 2ZB, dont l’amplitude E4, ou EB foit égale à un des autres côtés ; puis ayant pris la valeur PZ du troifieme côté fur l’alidade, conduifez-la jufqu’à ce que le terme Z de ce côté tombe fur la circon- férence du cercle #ZB. Vous avez déja l’un des angles défirés , fçavoir EPZ , & il eft évident que fa valeur eft donnée par l'arc 04 du grand cercle gradué du plani- fphere , lequel.eft comprisentre la ligne PEO &r l’alidade. Quant aux autres angles, fi vous décrivez les deux grands cercles #T KIV”, mKXM , qui ont les points £, Z,, pour poles, puis celui muZEMY, qui paffe par ces points (ce qui rend le triangle PEZ propofé, complet ), les arcs Tx & hm, ou kK XM des deux premiers, feront la mefure de l’angle PEZ , & de EZP , ou de fon complément, & la valeur de cesarcs fera trouvée par le $. III. du Lemme précédent. Auiresexemple. Soit la circonférence du grand cercle PZAHpzah, fur lequel eft forméun planifphere, Hg. 19, aflignée pour fervir de bafe à partir du-point P, Prenez-y donc l'arc PZ , égal à un des.côtés du triangle propofé ; décrivez autour des points P,Z, comme poles, deux arcs DEd, LEI, des cercles qui ont pour amplitudes les deux autres côtés de ce triangle, l’interfeétion £ de ces arcs fera le fommet de l'angle fphérique oppolé à PZ, Prix. 174$: LÉ % 328 Essai D'HOROLEPSE & l’on achevera le triangle requis PZE, en décrivant les deux grands cercles PEGip, £ EMV?, qui paffent par le point £ & par les points P,7, cercles qui ont les points I, K pour poles. Cela fait , l'alidade portée fur le point 7, © montrera la valeur 0 A de l’arc qui mefure Fangle EPZ; portée pareillement fur le point K, elle donnera la mefure hM de l'angle PZ E. Enfir, fi Fon décrit le grand cercle TKW+ , qui a le point E pour pole, on aura l'arc + poux mefure de l’angle PE Z. $. IL. Tous Les angles d'un triangle fphérique étant connus; zrouver fes côrés. ( Ce cas eft un de ceux dont nous n’avons pas d'application à faire. ) Pour la folation de ce cas, il faut fe rappeller ce:qui a été dit dans la premiere Partie, fçavoir : que touttriangle fphérique correfpond à quelque autre, delle façon que les angles de l’un ont mêmes finus que les côtés de l’autre, ces angles étant mefurés foit par ces côtés mêmes, foit par leurs complémens. Ainfi le eas propofé revient au précédent ; car fion conftruit, Fig. 18 ou r9 , le trian- gle KIX, dontle côté KX foit équivalent à MH ou mh; mefure du complément d’un des angles connus PZE,dont le côté IX foit équivalentou.égal à O4, mefure de lan- gle EPZ , aufli donné, dont'enfin le côté KI foit équiva- lent à Ta ou 74, mefure du troifieme angle donné PE Z; il eft vifible que les points 1, K, font poles des deux grands cercles TPEOr, Z'EMV, qui par leur interfec- tion avec ahPZ À, forment le triangle fphérique PZE.; dont il falloit déterminer les côtés. $. EL. Deux côtés d'un triangle fphérique, &* l'angke qu'ils comprennent , étant donnés , trouver le refle.. Conduifez l'alidade , Fig. 18, jufqu'à ce qu'elle fafle un angle égal au donné; avec TPEO, l’une des droi- tes qui traverfent Le planifphere ; puis prenez fur TP£O,, NMRGUMTT Q UNE. 325 & fur l’alidade , les deux parties PE, P >; équivalentes aux deux côtés donnés., & trouvez le g'and cercle qui pañle par les points £,Z, &c. Ou bien, prenez dans la circonférence du grand cercle, fur lequel eft formé le . planifphere, Fig. 19, l'arc P7 égal à un des côtés don- nés , puis prenez fur le cercle 40 X4, dont P eft pole, la partie 40, qui eft mefure de l’angle donné, & décri- vez le grand cercle PEOp , qui pañfe par les points P, 0; prenez enfuite fur ce Cercle la partie PE, équivalente à l'autre côté donné, & décrivez un grand cercle ZEMV2, par les points Z,E, &c. $. IV. Un côté d'un triangle fphérique, © les deux an gles adjacens étant donnés , trouver le refle. Prenez fur une des lignes du planifphere la partie PZ, qui foit ou égale , Fig. 19 ; ou équivalente, Fig. 18 au côté donné. Décrivez ou fuppléez, par l’alidade, la ligne TPEOr, qui fafle avec PZ angle EPZ , égal à un des angles donnés , ainfi qu’au cas précédent ; puis ayant décrit le grand cercle “4KXM , dont Z ef le pole, le- quel coupe la ligne 4ZPha en k; prenez une partie RKXM de ce cercle , qui foit équivalente à la mefure de l'autre angle danné ; & par les points Z , M, décrivez un grand cercle ZEMW : fon interfe&tion E, avec la ligne TPÉO , déterminera les parties PE, ZE , équiva- lentes aux côtés requis du triangle propoté. $. V. Deux côtés d'un triangle fphérique, & l'angle sdja- cent à un de ces côtés étant donnés ; trouver le refle. Remarque. C'eft le côté auquel eft adjacent l'angle donné , qui peut feul dans ce cas fervir de fondement à Popération. Prenez fur la droite 4Pa, Fig. 18 , fa partie PZ , équi- alente à celui des côtés donnés, auquel eft adjacent l’an- gle donné ; puis ayant décrit le grand cercle »4KXM, Tti 4 335 Essai D'HOROLEPSE dont Z ef le pole , prenez fur ce cercle la partie À XM7; mefure de l’angle donné , ou km, mefure de fon complé- ment , & décrivez un grand cercle mZEM, par le point Z , & par l'un ou l’autre des points, M; conduifez en- faite l’'alidade jufqu’à ce que fon point E , qui eft le terme de la partie PE, équivalente au fecond côté donné, tom» be fur la circonférence mZEM, & le triangle propofé fera achevé. Autrement : Prenez fur la circonférence 4ZPha, Fig. 19 ; Parc PZ', égal à celui des côtés donnés, auquel eft adjacent l'angle donné; puis prenez fur la ligne kXH, dont Z eft le pole , la partie AXM, mefure de Pangle donné, & décrivez un grand cercle ZEMP”, par les points Z, M; décrivez enfuite autour de P, comme pole, un arc DEd , du cercle qui a pour amplitude l’autre côté donné du triangle, Vinterfeétion E de cet arc, avec le grand cercle ZE MP, détermine la partie ZE de ce cer- cle, qui eft équivalente au troifieme côté du triangle; & ce triangle fera achevé, en décrivant le grand cercle PEOt , auquel appartiennent les points P , E. $. VI. Deux angles d'un triangle [phérique y & le côté ops pofé à l'un de ces angles étant donnés , trouver le refle. La folution de ce cas eft donnée par la précécedente ; par la raifon qui a été alléguée ci-deflus (& elle en dépend néceffairement , lorfque le triangle n’eft pas reétangle ) ; car fi on forme le triangle KIX, dont le côté IX foit égal, Fig. 18, ou équivalent, Fig. 19 à 04 , mefure de l’an- gle donné EPZ, dont le côté IK foit équivalent à Ts, mefure de l’autre angle donné PEZ , dont enfin l'angle K XI foit mefuré par ha, égale ou équivalente au côté donné PZ ;il eft aifé de voir que 1, K, font les poles des deux grands cercles TPEO, ZEMP, qui par leur inter- fe&ionavec 4Z Ph, forment le triangle fphériquePEZ, NAUuTIQur - 234 dont j'ai fuppofé qu’il falloit déterminer les côtès PE, ZE, & langle EZP. ScHoL1e. Lorfqu'un des angles donnés eft droit; ce cas peut encore recevoir une folution particuliere & direéte , dont nous aurons un exemple dans le Chapitre faivant, Tti 332 Essai DPHOROZEPSE CHAPITRE PREMIER. Solution de la plipart des Problemes propofts dans le premiere Partie, par le moyen d'un Planifphere. T E Planifphere conftruit fur le plan de l’équ:teur, eff celui dont lufage fera le plus commode ; & il feroit à défirer qu'il s’étendit 29 ou 30 dégrés par-delà la cir- conférence de l'équateur , afin d’embraffer tout le zodia- que dans fon étendue. Je fuppofe que les principales étoi- les fituées dans la partie du ciel à quoi il répond, y font marquées dans leurs places refpeëtives, & que le limbe de cet inftrument , ainfi que lécliptique, font divifés de maniere , que le lieu du Soleil, & celui d’une planete quelconque, puiflent aufli y être aflignés pour tel tems qu'on voudra. PROBLEME PREMIER. La hauteur © l'angle azymuthal d'un aftre étant donnés ; ainfi que fa déclinaifon, Sc. trouver l'heure © la hauteur du pole. Ce Probleme eft dans l’efpece du cinquieme cas du Lemme fecond de cette Partie. Pour le réfoudre , pre- nez fur le planifphere, Fig. 18 , la valeur PE du com- plément de la déclinaifon de Paftre, & fuppofez que le point P eft le lieu de laftre, & £ le pole, il faudra faire PZ équivalente au complément de la hauteur donnée, & Pangle PZE égal à l'angle azymuthal, &c. l'angle PEZ or NA UTC UE 333: fera l'angle horaire dans cette hypothefe , & ZE le com plément de la hauteur du pole, &c. ProrLEeMEe II Les hauteurs contemporaines de deuxaffres étant données ;. trouver l'heure de l'obférvation , la hauteur du pole, l'angle’ azymuthal de lun ow de l'autre.-afire.. SoientE, E!, Fig. 20, 21, 22, 23 , les lieux des deux: aftres. Autour de ces points, comme poles, décrivez deux cercles Z62,ZH'$, qui aient refpeétivement pour ampli- tudes ,.les complémens des hauteurs obfervées : ces cer< cles fe couperont-en deux points Z,.8,.dont l'un Z , mar- quera le point du ciel qui étoit au zénith, au moment de Pobfervation. L’alidade portée fur Z, repréfentera le mé« ridien ; la différence d’afcenfion ‘droite du point Z & du Soleil , donnera l'heure ; PZ fera la valeur du complé- ment de la hauteur du pole, &c.- * Scores. I. Lorfque les deuxinterfe&tions des cer-- cles Zbe, Zb'E, fe trouveront de même part de l’équa- teur , les circonftances de l’obfervation feront connoître lequel de ces deux points indique le vrai zénith. I] faudra voir , par exemple, fi les aftres ont été obfervés de diffé. rens côtés du-méridien, Hg. 20 ,ou de même part, Fig. Pr, êc.- IT. On a dû comprendre que deux planifpheres font néceflaires , l’un ayant le pole arétique pour centre , & l’autre le pole antarétique ; & ik y aura des mêmes étoi- les marquées fur l’un & fur l’autre de ces plans. Cepen: dant il eft poffible , que lopération requife pour ce Pro- bleme, ne foit pas pratiquable direétement ni fur l’un ni fur l’autre planifphere. C’eft ce qui arrivera dans quelques- uns des cas oùles deux aftres obfervés, ou lun des deux, 334 Essat D'HOROLEPSE déclineront beaucoup du côté du pole abbaïffé: car fion prend le planifphere où eft ce pole , le point du vrai zé- nith peut ne pas fe trouver dans fon étendue; & fi lon prend l’autre planifphere , on peut n’y pas trouver, ni fur fon alidade non plus, les deux centres propres G,G, des cercles Zb&, ZV'T, qui doivent être décrits autour des aftres E,E’, comme poles, II faut en ce cas, réfoudre le Probleme par une opération indire@e , telle que celle-ci. On fuppofera que le grand cercle fur lequel eft con- ftruit le planifphere , repréfente le cercle horaire de Pun des aftres (£), Fig. 24, & y ayant pris un arc POE, égal à la diftance de cet aftre à l’un des poles , on décrira par le point P un arc PO'E/ de grand cercle, dont l'angle OPO0' avec POE , ait pour mefure la différence donnée d des aftres E, E’ en afcenfion droite ; ainfi PO'E' repré- fentera une portion du‘cercle horaire de l’autreaftre (£”), & fi PU'E’eft équivalent à la diftance de ce fecond'aftre au pole P, E’ fera le lieu de cet afre, relativement à l'hy- pothefe. Cela fait, on décrira autour des points E,E", comme poles, les cercles Z°, Zb'é, définis ci-deflus, & on fera pañler par Z lune de leurs interfeétions, & par P , un grand cercle PZ4, qui repréfentera le méridien ; Tangle OPA, ou O’P A de l’un des cercles horaires avec PZA, fera donc l'angle horaire de l’un ou l’autre aftre, au moment de l’obfervation, &c. TITI. Si les obfervations des deux hauteurs ont été fai- tes en des tems différens, dont l'intervalle foit connu, foient E , e” les lieux des deux aftres obfervés. Décrivez une portion du parallele de lun de ces aftres, de Paftree’ par exemple , & prenez fur ce parallele un arc e/E”, équi- valent au tems écoulé entre les obfervations ; prenez, dis-je, cet arc, ou en avançant dans la direction du mou- vement Journalier , ou en retrogradant contre cette direc- tion N'AUTIQUE 33$ tion : il faut avancer, fila hauteur de l’aftre ea été prife avant celle de l’autre aftre, rétrograder dans le cas con- traire. Le point E’repréfentera le lieu d’un aftre idéal, qui auroit été obfervé à la hauteur de l’aftre réel &’, au mo- ment de l'obfervation de l’autre aftre E. Ainfi prenez les points E, E’, pour poles des cercles Zht, Zbé, & Z; lune ge interfeétions de ces cercles , marquera le point du ciel qui aura été au zénith, au moment de l’obfervation de l’aftre réel E. On doit voir par-là ce qu'il faut faire; lorfqu’on a les obfervations.de deux hauteurs différentes d’un feul aftre. PROBLEME V. (La haïteur du pole, celle dun afre, & fa déclinaifon Étant données , trouver l'heure, &c. Ce Probleme eft tout béta Fig. 18, par le S.I. du fecond Lemme de cette Partie, E marquant le lieu de Faftre, Zle zénith, &c. PROBLEME VE La hauteur du pole , la déclinaifon d'un afire , & fôn angle azymuthal étant donnés, trouver l'heure &° la hauteur de Faftre. Ce Probleme eft tout réfolu Fig. 18, par le $. V. du fecond Lemme , £ marquant , non le pole comme on a fuppofé au Probléine premier , mais le lieu de l’aftre , & EPZ fon angle horaire, &c. Prix, 1745. | Vry 336 Essar. D'HOROLEPSE 4 PROBLEME V_ IE La hauteur du pole étant donnée, & deux affres dont les dé elinaifons , °c. font counues , étant vês dans un même verti- cal, trouver l'heure de l'obfervarion , l'angle azymuthal , dc. Soient E ; ' les lieux des deux aftres, Fig. 25. Par ces points décrivez un grand cercle ENFE', puis du centg P , :& d’un rayon équivalent au complément de la hau- teur du pole, décrivez un arc de cercle Zéé, qui cou- pera le grand cercle ENFE' en deux points Z, $, dont PunZ , montrera le point du ciel qui étoit au zénith au moment de l’obfervation. Les circonftances de cette ob- fervation feront connoître lequel des points Z,6, indi- que le vrai zénith. Au lieu de décrire l'arc Z' 26, il fuffira de marquer fur l'alidade le terme Z , de fa partie équiva- lente au complément de la hauteur du pole , & de cons duire cette piece jufqu’à ce que fon point Z tombe furlæ circonférence ENFE' en Z ou ent. pe teste VIN La hauteur du pole étant donnée , &* deux affres dont les déclinaifons , &c. font connues , étant vés dans un méme als micantarath , trouver l'heure, &c. Soient E; E'les lieux des deux aftres, Fig. 26 : pat ces points , décrivez un grand cercle E’NEF, puis ayant pris le milieu N de l'arc ENE', décrivez par ce point & par le pole 19 du cercle E’NEF, le grand cercle QsN; il eft aifé de reconnoître que ce dernier eft un dé ceux qui pañloient au zénith au moment de l’obfervation, puifqu'il eft perpendiculaire au cercle E/NEF, & que chacun de N'AUTIRQUE. 337 fes points eft, ainfi que V, à une même diftance des points E, E’, qui font à une même hauteur. Ainf ayant décrit du centre P un cercle Z6, dont l'amplitude foit égale au complément de la hauteur du pole; ce cercle coupera le vertical, 0 © V en deux points Z , 2, dont l’un marquera le point célefte qui étoit au zénith au moment de l’obfervation , & l’on confiderera les circonftances de cette obfervation , pour faire un bon choix entre les points DAME »É P,@ Gn8-BvE ME: nd Xe . Connoiffant les déclinaifons & les afcenfions droites de quas tre.affres ; dont deux font vês dans un même vertical, © deux dans un autre , trouver l'heure, la hauteur dupole ; &"c. Soient E, E’, Fig. 27, les lieux des deux premiers aftres ; €, €”, les lieux des deux autres, fi leur obferva- tion eft contemporaine à celle de la premiere paire ; ou bien, foiente, £” les lieux des aftres idéaux qui auroient paflé au vertical de la deuxieme paire des aftres réels: au moment de l’obfervation de ceux de la premiere paire ( ce qui doit être fous-entendu pour toutaftre, quand je ne l’aurois pas exprimé ). Décrivez un grand cercle E4VE'F par les points de la premiere paire , & un autre grand cer- cle ‘’IV'F'e par ceux de la feconde. Ces cerclès feront des verticaux, & leur inrerfe&ion-en Z, , donnerales points du zénith & du nadir , pour le: moment de l’obférvation de l’aftre réel Z. E 338 Essar D'HOROLEPSE PROBLEME X. Connoiffant les déclinaifons , &°c. de quatre aftres, dont deux font vâs dans un même almicantarath ; © deux dans un autre, trouver l'heure, ©'e. SoientE,E', &e,e', Fig. 28, les lieux des deux païs res d’aftres. Décrivez les deux grands cercles 02Z N; /ZaN', qui font perpendiculaires aux grands cercles E'NEF,EN"'F, fur lefquels font les points donnésE, E, &®,t/, & qui font refpeétivement équidiftans de ces points ; ces cercles Q9SN, Q'Y'N", feront des verticaux; par la raifon rapportée au Probleme VIII, & leur inter- fe&ion en Z,x, donnera le zénith & le nadir, pour le tems d’une des obfervations. ProsLEemMEe XI. Connoiffant les déclinaifons , &*c. de quatre affres ; doni deux font vés dans un méme vertical, à deux dans un mêma almicantarath , trouver l'heure dc. Soient E, E’(Fig. 29) les lieux des aftres de la 1° paire; &:,:/, ceux des aftres de la deuxieme. Décrivez par les points E , E’ ,un grand cercle ENF'E", & un autre grand cercle 0’ Z N', qui foit perpendiculaire au grand cerele NF, fur lequel font les autres points # ,e/, & qui foit équidiftant de ces points; ces cercles ENF E’, Q'SN’ j font des verticaux, ainfi leur interfeétion-donne le zénith pour le tems d’une des obfervations. NAUTIQGUE. 339 PROBLEME XII. D) . Connoiffant les déclinaifôns | &'c. dé trois aftres , dont deux font vês dans un même vertical, © du troifieme defquels on à la hauteur , trouver Pheure , la hauteur du pole, &c. Soient E, E", Fig. 30 , les lieux des aftres vüs à un vertical commun , & é le lieu du troifieme aftre. Ayant tracé le grand cercle ENE'F par les points E , E”, décti- vez autour du point «, comme pole , le cercle Z 82, qui ait pour amplitude le complément de la hauteur donnée de Faftre «; ce cercle coupera le premier en deux points, dont l’un Z repréfentera le zénith, pour le moment de lune des obfervations. PRO RL É MEN IORNRE Connoiffant les déclinaifons ; °c. de trois affres, dont deux font vês dans un même vertical , dont on a l'angle avec le ver- tical du troifieme aftre , trowver l'heure ; la hauteur du pole, ec. Pour fa folution de ce Probleme , il faut trouver par préalable le complément Ee , Fig. 30 , de la hauteur de Fañtre «, qui eft folitaire fur fon azymuth, ou plurôt le complément ZR de la hauteur du point d'interfe&tion R du grand cerclé EN EF avec le grand cercte QeR, qui y eft ptrpendiculaire, & pañle par le point +. Décrivez d’abord ce cercle Q°R , ce qui eft très-facile , puifque Q eft le pole du cercle ENE'F, & vous aurez Ÿ « complé- ment du côté ‘ R du triangle re&tangle‘ RZ , avec l’an- gle:ZR ou MZM, oppofé à ce côté ‘ R. C'eft ce trian- gle:RZ , dont on connoit trois élémens, qu’il s’agit d’a- chever de conftruire : mais cela ne fe peut qu'indireéte- V v üi 340 Essai DHOROLEPSE ment ; il faut faire pour cela une figure particuliere , telle que la Fg. So ou 51. 1 Prenez un quart, ou l'équivalent gng# d’un quart de circonférence de grand cercle, dont z marque le pole: décrivez par ce point des cercles #rz,m'.2, qui faffent un angle égal à celui MZM', qui eft donné par l’obfer- vatioh ; puis tracez un arc f+ du parallele à #2, lequel ait pour amplitude g:, égale au complément Ÿ :, trouvé dans la Fig. 30 ; enfin par l'interfeétion « des cercles f+, m:z,& parg, pole du cercle mrz, décrivez le grand cercle g:r; vous aurez r2 pour valeur de l’arc RZ requis, Fig. 30, & vous y déterminerez ainfi le point Z du zé- nith, &cc. PirReOGPAL EM EM EXT EN: Connoiffant les déclinaifons & les afcenfions droites de deux affres ; avec l'angle de leurs azymuths ; au moment où ils font vés dansun même almicantarath, trouver l'heure, 'c. Soient £, E”, les lieux de ces aftres, Fig. 26; le ver- tical OsZN, dont les points E , E font équidiftans , eft déterminé, &.ce grand.cercle divife par la moitié l'angle donné des azymuths des points £, E'; on connoït donc. au triangle rectangle ENZ deux élémens, outre l’angle droit ; fcavoir le côté £ N, moitié de la diftance des deux aftes, & l'angle £ZIN oppofé à ce côté; & l’oneft, quant à ce triangle ENZ, dans le même cas que cel@i du Probleme précédent; pour le triangle « R Z : ainfilon ob- tiendra la folution défirée, par un procedé pareil à celui qui a donné RZ. ‘ e N'AUTIQUE: 34x ù LR a ove ein X,W La hauteur d'un aflre |; © l'angle de fon azymuth avec celui d'un autre afre étant donnés, ainfi que leurs déclinaifüns, &c. trouver l'heure, © la hauteur du pole, &c. Soit E’, Fig. 20,21, 22, 23, le lieu du premier aftre , & E celui du fecond : on connoît donc trois élé- mens du triangle EZE', fçavoir Æ E’ diftance des deux aftres , £’Z complément de la hauteur de l'aftre £’, & l'angle EZE/ compris entre les azymuths ZEM,ZE'M, lequel eft oppofé au côté EE’( c’eft l’efpece du cinquie- me cas du fecond Lemme de cette Partie); mais ce triangle ne peut pas être réfolu direétement fur la Figure qui donne E'E ,.il faut en faire une particuliere ; telle que la 18 ou la 19 , où vous fuppoferez que P repréfente laftre E, & que PE équivaut par conféquent à L'E, & PZ à E’Z : vous déterminerez par l’opération marquée au $. V. du fecond Lemme, le troifieme côté EZ du triangle en queftion , ou bien l'angle EPZ , qui eft le même que ÊE/Z, & avec l’un ou l’autre de ces élémens, vous ferez en état de trouver le fommet Z du triangle EZE", Fig. 20, 21, 22, 23, puifque vous aurez ou bien la valeur des trois côtés de ce triangle, ou la valeur de deux côtés , & de l'angle qu’ils comprennent, ce qui eft le cas du $. LE, ou du $. III du Lemme cité. Telles font les opérations que j'avois à propofer. On seconnoît fans doute qu’elles font faciles & expéditives : il n’eft pas befoin que j'infifte fur ce point, maisil en eftun: für lequel je dois m’arrêter avant que de finir ce Chapitre; fçavoir fur la qualité que j'ai attribuée à ces opérations ; de n’être pas fujettes à un grand défaut ; d’être peu infé- rieures en juftefle au réfulrat du calcul. Je ne fçais fi Cha- La 342 Essat D'HOROLEPSE cun en conviendra : on eftime peu les opérations mécha- niques en comparaifon du calcul ; on s’en défie, & peut- être quelques perfonnes font-elles prévenues trop généra- lement contre ce genre d'opérations. Pour moi je crois qu’on doit diftinguer méchanique & méchanique ; il faut donc entrer en quelque difcuffion fur ce point. On pourroit, par exemple > fe prévaloir contre ce que j'ai avancé, d’une autorité que j'avoue être d’un très-grand poids , fçavoir celle de M. Bouguer, ce Sçavant fi verfé dans les matieres Aftronomiques. Cet illuftre Auteur de la Piece qui a remporté le Prix de 1731, fur la méthode d'obferver en mer la déclinaifon ou variation de la Bouffole , traite dans la deuxieme Partie de cet excellent Ouvrage, des moyens de déterminer cette variation, pa lobfervation d'un aftre, c’eft-à-dire, des moyens de trouver l’angle azymuthal de quelque aftre ; & après avoir afligné trois efpeces d’obfervations qui done cet angle avec faci- lité, il tourne fes réflexions fur le cas où l’on m’auroit pas eu la commodité de faire aucune de ces obfervations, mais où on en auroit fait quelqu’autre. » Il faudra alors » ( dit le judicieux Aftronome) avoir recours au calcul, » pour'trouver par la Trigonométrie Sphérique ( ou au- » trement), le vrai azymuth. 11 n’y a gueres lieu d’efpe- » rer (ajoûte-t-il) qu’on puifle éviter la longueur de l'opé- » ration, en fe fervant de quelques figures , ou en employant » quelques inftrumens particuliers. On ne peut toüjours « parvenir, par tous ces moyens , qu'à une détermination »1rop groffiere , & trop éloignée d'une certaine exatti- » tude. » Voilà ce qu’on peut m'oppofer. Je remarque pour ré- ponfe , que dans la fuite de l'article cité, M. Bouguer parle feulement de ces inffrumens particuliers , qui donnent tout d’un çoup la fituation du méridien, & je conviens que NAUTIQUE. 343 que l’ufage en eft blâmable avec grande raifon. ( Outre les inconvéniens de ces inftrumens , on doit confidérer que lufage en _eft trop borné, parce qu'il fappofe que la hau- teur du pole eft connue). Maisil ya, ce me femble, une différence non-légere entre ces pratiques rejettées fpé- cialement par M. Bouguer, & celles que j'ai propofées, quoique celles-ci confiftent à fe fervir de quelques figures , & qu’elles foient ainfi enveloppées dans la cenfure géné- rale portée par le fçavant Géometre. 1°. Le plus parfait de ces inftrumens particuliers, qui étant expofé au Soleil , montre la fituation du méridien ; fra tofjours fujet à quelques défauts dans [a confruëtion par- ticuliere. (Ces défauts font les mêmes pour le moins, que ceux que M. Bouguer a juftement relevés dans l’Arbalef- trille, Part. I. Ch. IV $. 32, de la Piece qui a méritéle prix de 1729, touchant la méthode d’obferver exaétement fur mer la hauteur des aftres : car un demi-cercle mobile, qui entre dans la compofition de cet inftrument, le plus propre à montrer la fituation du méridien, & dont l’om- bre doit être obfervée , peut »’ére pas bien perpendiculaire à la fleche, ou regle qui le porte, &c.) . 29, On n’a point d'égard à la réfra&ion dans l'ufage de ces énffrumens. Ce font des remarques de M. Bouguer même. 3°. Ces inftrumens ne peuvent être que petits, ils au- roient trop de poids s'ils étoient grands. M. Bouguer qui a bien voulu prendre la peine de marquer la forme de celui qui feroit le meilleur, ne donne que 9 ou 10 pouces de rayon au demi-cercle , dont l’ombre doit être obfer- vée (encore eft-ce beaucoup, & je penfe qu'un inftrus ment fait fur cette proportion, feroit bien plus pefant qu'un grand Quartier Anglois). Ainf la diftance du bord qui jette l'ombre au point qui doit la recevoir, eft fort pe- tite , & cela entraine le même inconvénient , que celui Prix, 174$« Xx 344 Essar D'HoROLEPSE auquel eft fujet le Quartier Anglois, dont l'arc qui porte la pinnule expofée au Soleil, eft d’un moindre rayon que Farc par lequel vife l'Obfervateur ; inconvénient ou défaut que M. Bouguer a traité de confidérable, & prouvé tel, Part. L. Ch. IV..6. 3 3. de la Piece qui a remporté le Prix de 1729. 4°. Ajoûtons que la partie d’ombre que l’on dit faire tomber fur certain point de l’inftrument particulier dontil s'agit , eft très-difficile à difcerner ; car Gette partie d’oms bre eft celle qui répond au centre du Soleil, & elle appar- tient à une pénombre dont les limites verticales font trop peu fenfibles , ainfi que le même Auteur le démontre; $. 37, de la Piece citée de 1729. Voilà déja quatre chefs, eu égard auxquels M. Bou guer a pà juger très-juftement, que l’on ne parviendroit qu'à une détermination trop groffiere du méridien , à l’aide des inftrumens particuliers dont il s’agit. Mais quand tous ces inconvéniens cefleroient , il en refte néceflairement un cinquieme, qui eft confidérable , lorfque le pole a certaine hauteur , & qui fufhroit feul pour vicier la déter« mination qu'on prétendroit faire avec ces inftrumens par= ticuliers.. Ce chef eft peut-être indiqué , mais confufé-. ment ;, dans une remarque de l’art. cité de la piece de 1731,.pag. 34, fçavoir, que l'on obferve d'une maniere implicite la hauteur du Soleil, © fon azymurth, par ces in- ftrumens ,. © que comme on ef? roñjours expofé à commettre: ces erreurs inévitables qui fe trouvent dans toutes les opera= tions , elles doivent être ici à peu près les mêmes , que lorfqu’on cherche la hauteur d'un afre à fon azymuth , par le moyen. d'un Quartier Anglois. Voici le point. Selon une autre remarque importante de M. Bouguer, Part. III. Ar. VIII. pag. $ 2 de cette: Piece de 1731, 5/ y aen mer grande difficulté de mettreun: NAUTIQUE: 34$ Snfirument dans une fituation exaëlement verticale, en regar- dant l'horifon fenfible....; il eff très -facile de fe tromper , c’eft-à-dire , d’écarter le plan de linftrument de la fitua- tion verticale , de 2$ ow 30 minutes , © même de 40 0w SO, fans qu'on s’en apperçoive. Or cette erreur, lorfqu'on fe fert du Quartier Anglois, pour prendre la hauteur & Pazymuth d’un aftre ,en produit une furla pofition de cet azymuth , qui eft plus ou moins grande, fuivant que l’af tre eft plus ou moins élevé. Si Pon nomme J la tangente de la quantité dont l’inftrument eft éloigné de la fituation verticale, & H = ee la tangente de la hauteur de Paf tre ; le finus de la quantité dont on s'éloigne de fon vrai azymuth, ef précifément égalà 1 = 1, Aurefte on a communément la liberté d’obferver un aftre peu élevé ; & d’exténuer par conféquent le mauvais effet de Pinclinaifon du Quartier Anglois. Que fi l’on employoit l'inftrument particulier décrit par M. Bouguer, Part. IL Art. NII, de la Piece de 1731, l’inclinaifon inévitable de cet inftrument , produiroit aufli une erreur dans la dé- termination du méridien: mais cette erreur ne dépend point dans fa quantité du plus ou du moins de hauteur du luminaire , elle dépend de la hauteur du pole , nommant ä le finus de la quantité dont l’inftument eft éloigné de . . rs la fituation verticale, & S = —— la tangente de la hau- teur du pole ; la tangente de ce dont on s’écarteroit du Je J :08 méridien , feroit égale, tout le refte étant correét, ài — gi D > quantité.confidérable , lorfque le pole a certaine hauteur. ‘ Concluons donc hardiment, qu’? vaut infiniment mieux déterminer la hauteur & l'azymuth d'un afire bien fitué , pat X xi] 546 Essai D'HOROLEPSE le moyen d’un inftrument fimple, tel que le Quartier An: glois, @ déduire le refle par fupputation ; que de vouloir le trouver par la fèule conftruétion d'un inflrument compofé de plufeurs pieces , puifque cet inftrument eft d'autant plus fautif, qu'il eft plus compliqué, & que l'on feroit expofé, dans fon ufage , à une erreur double ou triple, pour le moins, de celle qui naît du défaut qui peut fe glifler dans une obfervation fimple. Mais que faut-il penfer du réfultat d’une obfervation fimple, trouvé par quelques figures fubfidiaires à la fuppu- tation ? Qu’on rejette encore cette pratique, J'y confens; fi les figures font petites, mais fi elles font grandes, je n°y vois pas d’inconvénient fort grave. Par exemple, fi on donnoit 21 pouces de rayon à l'équateur 40 Xax du planifphere (ce qui eft un peu moins que celui qu'on donne au Quartier Anglois ), les dégrés feroïent fur ce cercle d'environ quatre lignes deux cinquiemes , & lon pourroit y marquer leurs vingt-quatriemes parties (les de< grés auroient à la vérité une fois moïns d’étendue auprès du centre de l’inftrument). Cela pofé, fe trouveroit-il tant d'erreur dans la conftruétion de l’inftrument, en commet: troit-on tant d’ailleurs , foit fur le centre propre G d’un cercle Zbt, Fig. 20, 21,22, 23, foit fur fon rayon; que le trait de Ja circonférence de ce cercle s’écartät de plus de 4 ou $ minutes du lieu où il devroit être ? c’eft- à-dire , feroit-on expofé dans le cas du Probleme fecond ; à faire Le complément ZE de la hauteur d’un aftre, de 4 ou $ minutes plus grand ou moindre fur le planifphere, qu'on ne l'a trouvé par l’obfervation ? Ce feroit beaucoup, ce me femble ; fuppofons néanmoins cette erreur de $ minutes, ce qui eft un douzieme de degré. Or felon M. Bouguer, Part. III. 4rr. XII. pag. 62, de la Piece citée de 1731 , on doit fuppofér de x $ minutes ; Perreur que d'ha= ) Nâ&UTIQUE: 347 Bilesmarins peuvent commettre dans Pobférvation de la hau- réur d’un aftre , faite lorfque cet aftre en change fénfiblement (& nous verrons dans la fuite, que c’eft dans cette cir- conftance qu’une obfervation de hauteur détermine l’heu- re le plus fürement. ) L'erreur totale dans la hauteur attri- buée à l’aftre far le planifphere , pourra donc être dé 5o minutes , & l'erreur qui naïîtra de celle-là , dans la déter- mination de l’heure , fera plus grande d’environ un tiers en fus, que celle qui fe trouvera dans la détermina- tion exécutée par le calcul. * Si l'erreur de celle-ci va, par exemple, à une minute &t demie de tems, l’er- reur de celle-là pourra être de deux minutes ; & n'ira gue- res au-delà. Je laiffe à juger fur cela; de la grandeur qu’on devrä donner au rayon de l'équateur du planifphere. J'obferve feulement qu'il faut que ce cercle foit tracé fur du métal, & que l’alidade foit pareillement de métal , afin que leurs divifions foient plus exaétes. ILme femble au refte, que pour ne point maculer l'inftrument , par les divers traits que chaque détermination requerera ; on pourra le cou- vrir d’un papier fin & tranfparent , fur lequel on fera ces traits. * Je mets em même proportion les erreurs fur Ja hauteur , & les erreurs fur Vheure , trouvées par les deux voies différentes , parce que l’erreur particuliere commife fur la hauteur, en employant le planifphere, eft la feule qui doive entrer ici en confidération. Je regarde toute autre méprife comme fort legere ; où bien comme acccidentelle , dans le cas pris pour exemple, & je la fuppofe évitable , lorfque les obfervations font combinées avantageufement : telle eft la mébprife qu’on peut commettre, faute de bien difcerner le vrai point d’interfe&ion des cercles ZhÜ, Zb'&. Ce genre d'erreur n’eft pas à négliger abfolument , je: Vavoue , mais il concerne une autre matiere de confidération. Si l’on y étoit ex= poié à un dégré non-leger , cé feroit ün figne que la combinailon des obferva= tions Rroit délavantageule à quelque égard en fefervant mème du calcul, GS X x ü 348 Essar D'HOROLEPSE COPA PI LR D Moyens de fimplifer les calculs pour l'invention de l'heure ; folution des Problemes XV. & XVI, laffés I. Partie. UOIQUE Fjaie propofé de fe fervir de figures fubfdiaires au calcul , je fuis bien éloigné d’eftimer cette pratique au-dela de fa jufte valeur ; je ne prétends point qu'on doive s’en contenter. Je reconnois fi bien l'importance du calcul, que je reviens à cette voie exaéte, & que je vais m'appliquer à y procurer toute la fimplicité & la facilité poflibles. Je porte d’abord mes réflexions fur le Probleme VII. On doit remarquer dans la Fig. 2$ , qui répond à ce Pro- bleme ,que le grand cercle EVFE', fur lequel font deux aftres , a quelque point F plus voifin du pole que tous les autres qui font de même part de l'équateur, & ce point eft celui où le cercle ENFE' eft coupé par Le cercle ho- raire OPF, qui y eft perpendiculaire. Si on connoifloit donc l’afcenfion droite du point F, & l’arc PF, dont je nomme le finus y”, la tangente Y’,le cofinus x’, &c. (-& ce font chofes faciles à découvrir). Le Probleme dont il s’agit feroit très-aifé à réfoudre par le calcul, car on ob- tiendroit l’angle-horaire FPZ , par une fimple analogie, . Soit ?” le finus de cet angle,#/ fon cofinus. On con- noît , je le fuppofe, autriangle PFZ , outre fon angle en F, deux élémens ; fçavoir lecôté PF, & PZ dont S eft cotangente , & on demande l’angle FPZ , compris entre les côtés donnés ; ainf on eft dans un cas de la quatrieme NaurTi QUE. 349 claffe ( cas pareil à celui qui eft régi par la troifieme for- mule du premier Lemme de la premiere Partie). On a donc , cotang. PEZ xt! + yS= x". Mais l'angle PFZ étant droit comme on l’a remarqué , facorangente eft zéro, &ilreftew#— À 5— 4: plus fimple affürément que celle qui réfalte pour z { finus de l'angle EPZ ) de l'équation du fecond degré, . * Cette valeur de #’ eft r'XX—2rbX X+rr XX) cor Ai Er r'acst +rfaass 5 : +2iX œrr aaccXX f — O5 OÙ IX X 27 0X Xrr XX) tt —2rX" 4 en ( +abX. raSt + rr aa(SS— XX) —=o, trouvée dans la premiere Partie. J'ai dit que l'arc PF, & que l’afcenfion droité du point F, font faciles à découvrir ( & je vais le montrer ). Il y x atLe> dans le cas où les deux aftres vüs enfemble font des fixes, on peut égargner aux Navigateurs la peine de cher cher ces chofes & autres fembiables, en formant des Tables où elles foient marquées. Ces Tables feroient peut-être affez utiles pour mériter qu’on y travaillât, car la même chofe peut fervir non-feulement à plufieurs Na- vigateurs, mais en plufieurs circonftances, comme l’on verra dans la fuite : il ne refteroit donc au Marin à calculer Fafcenfion droite, & la diftance du point F au pole, que lorfque l’un des aftres obfervés feroit une planete, ou bien lorfqu'il y auroit eu de l'intervalle entre les obfervations. * On peut encore trouver cette valeur de #' par un petit circuit , en confidé- rant que lorique le cercle ENE'F eft vertical, fon point F eft à (à plus grande di: grefhon , & s’éleve perpendiculairement à l'horifon XMK , parce que fa route étant perpendiculaire au cercie hoïaire PF, elle concourtavec une petite portion” du vertical ENE'F. Par FRERES felon ce ua on a vü (premiere Feel le finus tuée dans la formule rrh—rsx —cy'u ,;ona rs : Tr —x DES —çxy'u!, ou bien’ Y'S VOUrS sg = cx'u', d'où on déduit#=—= —,— — .! #, 4e r 350 Essai D'HoroLzpse Voici ce qu'il faudra faire alors , & en attendant que les Tables propofées foient conftruites. Les complémens PE, PE", des déclinaifons des deux points E, E’, étant donnés avec leur différence d’afcen- fion droite, différence qui eft mefure de l’angle EPE’, & dont les finus & cofinus ont été nommés ci-devanta, b , if faut chercher 1°. l’un ou lautre des angles PEE", PE'E; je nomme le finus du premier /, fa tangente L, fon cof- nus À , fa cotangente 4. Cela pofé, on eft dans un cas de la quatrieme clafle, & on a 84 yX/= x, d’où on déduit 4 = #27, 2°. L’angle PRE! étant connu, on peut trouver PF . par une fimple analogie ; car outre l'angle droit on a deux élémens du triangle’ reétangle EFP , fçavoir l'hypothe- nufe PE, & l'aigle PEE' ou PEF, ue au côté dé- firé, ce qui eft un cas de la troifieme claffe ; on a donc 1 = = P 3°. la différence d’afcenfon droite des points E, F, eft mefure de l’angle EPF du même triangle reétangle E F P: je nomme fon finusg , fon cofinus 7, fa cotangenter, &c. On trouvera cet angle par quelqu’une de ces équa- tions très- fimples : r— = 7 TE — Obfervons que le Navigateur ayant connu f’angle PEE', pourroit fe difpenfer de chercher PF, & trouver l'angle horaire EPZ du point E, en réfolvant par la regle dé Trigonométrie , le triangle obliquangle PEZ, dont il a trois élémens, fçavoir les côtés PE, PZ', & l'angle PEE' ou PEZ, oppofé à un de ces ce La ee con- fifte à chercher d’abordl’angle EPF, par léquationr = Æ, qui en donne Ja cotangente, puis à chercher Fangle FPZ du “triangle Roms Daél iQ U4E; ER du triangle reétangle PFZ par cette équation.*Cofin.FPZ #Y xs S = 7 — <—, la fomme ou la différence des angles ÆEPF, FPZ, fera l'angle horaire requis du point £. Voici les chofes dont on pourroit former des Tables, - & en même tems la maniere de les trouver. 1°. La dif. tance ÉE/ ou 5#”, Fig. 20, 21, &c. de deux étoiles qui peuvent être obfervées conjointement. Pour trouver cette diftance ( dont j'ai nommé ci-devant le finus ?, & le cofinus 8), pofé qu'on ne l'ait pas déja dans les cata- logues d'étoiles , on eft dans un cas de la premiere claffe, à l'égard du triangle EPE', & ona8 = Le eV beft le cofinus de la différence d’afcenfion droite des deux étoiles. 2°. L’angle PEE’ du cercle horaïre d’une de ces étoi- les, avec le grand cercle ENEF, qui leur eft commun, EE étant connue au triangle EPE', on eft dansun cas de fa troifieme clafe, pour trouver fon angle PEE', & ona __— L à L2 3°. La moïndre diftance FP du cercle ENEF au pole: on vient de voir que le finus y’ de cette diftance — — 4°. L’afcenfon droité du point F, ou bien l'angle ÆEPF:on l'aura , comme j'ai déja dit, par une des équa< 4 Yx tons LT — >1= ——e 5°: On peut ajoûter l'arc EF: cet arc fera trouvé par [ - s? AF' quelqu’une de ces équations , fin. EF= 2E — —— ; #G ar * Le fondement de cette équation eftque PF eît un côté commun aux deux triangles rectangles EFP , ZFP ; ainf on a ces deux analogies : r:Y;:7:#, #iCi::cof. FPZ :Y'; donc yY=7r# —=C col. FPZ, &c. Prix. 17454 Ty 52 Essar D'HOROLEPSE La diftance de deux étoiles eft une chofe invariable. Les autres chofes que j'ai marquées, font fujettes à une : petite variation , À caufe du mouvement lent de l’axe ter: reftre autour des poles de l’écliptique. Pour remédier à cela, il faudra donner dans la Table les changemens que ces quantités varjables reçoivent en certain nombre d’an- nées. ScHozi1es. I. L’équation du fecond degré, rap= portée ci-deflus, pour + finus de l'angle EPZ , s'accorde fi bien avec celle qu’on a vûe pour#, que éeHAbt peut être déduite de celle-là. Pour le montrer, je remarque 4°, que le coëfficient rr XX 2rbX' X+1r XX, que . . rtaa peut avoir ## dans cette équation , eft égal à 5. fur. DR, : .2% X= — , & pat conféquent XX = LE ; çar on a au triangle reétangle EFP ,r:y:: X'= — rai A 3°, X = _. car le triangle E’FP étant re&tans gle, on anse EP uXS DE R— AS : or par le fecond Lemme dela premiere Partie, r.cof*E/PE = by + ag. * Cela eft facile à trouver ;. car on acette RHPRoraE ETS proc: pts et ny. 1 is ne ral = rr— y Oryy 09 donc PE Ne TER Er x ere —1° On a d’ailleurs cette proportion, À À : #r :: y 12 2 0 Teil 5 r4 ml, ou bien sr AA : rr::rr: ll; donc + —=rr# AA, & Fr FH AA = yy #+A4 © bbxx E 26X sy + yy X'X" RE AA = © ———— 33 b Fe : bbxx 2bX'x D'AE 4 de Ne *r aa xx + £ Ste Dr = PTS — ei ER Mulripliant donc tout par rr 44, fubftituant rr à 48h 6b, & X à a > On trouve enfin, r#aa == rAX, RG T3 NauTiQuer. ss Les trois quantités qu’on vient de voir étant fubflituées dans l’équation pour :, & ayant tout mt par YY’, elle devient: Mail 2rraby SV 2rra0gS Ve rraaSST Y == rraarryy. + 1rrabySY'e Deux termes où z eft linéaire, fe dérruifent mutuellement, & tous les autres font divifibles par rraa, ainfi il refte : rrtt gt + SSYT = rryy. Subftituant gg + yy à rr, on a: ggtt E 2LISY + SSYY — yryrr — VUE Y Ye Doncgt + SY' = y", oubien SY' = Yet ru. II. Si l’on veut avoir l’angle azymuthal PZM, Fig. 25, onl'obtiendra par une fimple analogie , & même fi l’on veut , fans avoir l’angle horaire ; on l’obtiendra , dis- je, par quelqu’une de ces formules : ry' AR PAST Line, Ne mn = PRoBLemME VIIL Où deux affres font vês à une même hauteur, Fig. 26. Ce Probleme nous arrétera peu. Je fuppofe qu'on a par des Tables, ou autrement, l'arc NF EF+ — me- fure de l'angle POZ, & qu'on connoît encore un autre élément du angle obiiquangle ZPQ,N çavoir P O.com- plément de PF, outre PZ complément de la hauteur du pole. On peut jh réfoudre ce triangle par la regie de trigonométrie. La regle confifte à faire P® perpendicu- laire fur OZ N , & à chercher d'abord angle LP par - , . X rang. NF cette équation : cotang. 0 Ps = = E. , puis l'angle Yyi 354 EssAar D'HOROLEPSE “ X'cof. Q P® sPZ par cette autre équation : cof. °PZ — Hepere 2 —_ cofin. O Ps. La fomme ou la différence des an- gles OP®, PZ, fera l'angle horaire du point © , dont l'afcenfion droite differe de 180 degrés de celle du point F, que je fuppofe connue. PROBLEME XI. Où deux affres font vâs dans un même vertical ; à deux autres dans un autre vertical, Fig. 27. Je nomme encore #’ le cofinus de l’angle horaire du point F. Soit #” celui de l’angle horaire du point F', Y” fa tangente de PF; p', q', le finus & le cofinus de l’angle FPF!. Nous avons ru = Y’S, & ru” = Y/S : donc = ru" u'Y! = S= 7» &u"—= 75. Or, par le fecond Leme me de la premiere Partie r#”= qu" p'#, ou ru” qu pr, &rruw'+ 2 rqu'u" + g''u'u =ppre EE, PER EP CNE LE 41 ET ASE 0 ; == (à caufe de pp RÉ =#rr)on déduit rre/u" + 2rq'u'u" + rr Wu! = rrpp'. Subftituant dans cette formule les valeurs de #”” & de w/#”, & mul- . . INT HE, rIPPY'T' tipliant tout par VY',onave= per" s E es rpr , ’ . DE TS &W— pre) En reprenant l'équation r# =Y'S, on a: S— rrp VOTE + ")" Si on ne trouve pas ces valeurs de”’,S, aflez commo: des , à caufe du figne radical qui s’y rencontre, voici encore une folution plus fimple. En comparant la formule qu’on vient de voir pour S; N'AUTIQUE; 3$$ & celle-ci a =rr XXE 2rb XX! + rr X!X!, qu'on ‘a vûe au Probl. VIT, en comparant encore le triangle OP 0" au triangle EPE", on doit reconnoitre que fe deux formules font femblables , & relatives à des lignes homologues. Ÿ’eft la tangente dé PF, perpendiculaire à la bafe E E! du triangle EPE", menée par le fommet P de l’angfe oppofé à cette bafe , lequel a pour finus & co- finus 4 , à, & eft compris entre des côtés dont X, X’font les cotangentes : de même S eft la tangente de PA, per- pendiculaire à labafe © 0’ du triangle Q P 0", menée par le fommet P de l’angle oppofé à cette bafe , lequel a pour finus & cofinas p’, g', & eft compris entre des côtés dont Y’ Y/ font les cotangentes. Ainfi, comme on a vü qu’on peut avoir PF autrement que par la valeur algébrique , de fa tangente où le figne radical fe rencontre; c’eft-à-dire, qu’on peut avoir PF par deux opérations fimples & fubor- données, on peut trouuer PA par un procedé fembla- ble. Il faut déterminer d’abord l'angle PO Q”, par fa rela- tion avec les trois élémens donnés, qui font langle QP0Q', & les côtés qui le comprennent, lefquels ont x", x”, pour finus; c’eft un cas de la quatrieme clafle, & on a p’x cotang. PO Q'+ x Y"= q'y!, d'où on déduit cotang, POQ'— DE . L’angle POQ', ou POh étant connu, on a Ph par cetre analogie, r:x’:: fin. POh:S. Enfin la hauteur du pole Phétant connue ;, on Je'ne m’arrêterai point aux Problemes XII & XIIT. On s’apperçoit fans doute , que fi P« perpendiculaire fur QZN , Fig. 29 ( dont Pzeft complément ) eft connue, ainfi que PF perpendiculaire fur EVFE", avec l’afcenfion Yyii 356 Essar D'HOROLEPSE droite des points », F, on eft en état de proceder pour le Probleme XIII, de la même maniere qu’on vient de faire au Probl. XI. Je remonte au Prob. IL. DR OH T HIMCE I I. Où les hauteurs de deux aftres font données , Fig: 204 243 22, 23- Je fuppofe l'arc EE’ connu au triangle EPE/, avec l’un ou l’autre des angles PEE’, P E’E. Cela ne requiert que deux petites opérations, pofé qu’on ne l'ait pas par des Tables. On a donc trois élémens du triangle obli- quangle EZE', fçavoir fes trois côtés ; ainfi on peut trou- ver l’un ou l’autre de fes anglesen E,£", c’eft un cas fimple de la premiere claffe. ( Soit PEE’ angle connu au triangle EPE, c’eft l'angle ZEE’ qu'il faut chercher.) On a, en confervant les dénominations employées ci-de- vant, rh +rBh=dkx cof. ZEE': d’où réfulte cof: ZEE’ rh" k . = + . X ——+ ( Ce deuxieme terme eft ré- duétible à une expreflion plus fimple , fçavoir au produit de la tangente de la hauteur du point E, & de la cotan- gente de l'arc EE" divifé par le rayon.) Ayant ajoûté les angles connus PEE",ZEE, Fig. 20, 22, ou ayant retranché l’un de l’autre , Fig. 21,23, on aura l'angle PEZ , & on a déja par l’hypothefe deux au- tres élémens du triangle EPZ, fcavoir les côtés qui com- "prennent l'angle PEZ : la relation de ces élémens avec le troïfieme côté PZ du triangle, détermine ce côté ou bien fon complément, qui eft la hauteur du pole; c’eftun cas de la premiere clafle,&onarrsrxh==ykxcof.PEZ, La hauteur du pole étant connue, on eft dans un cas de INARAMIT T QU 357 Îa troifieme clafle pour l'angle horaire EPZ, & of a ; du k fin.PEZ € On peut aufli changer lordre qui vient d'être fuivi; c’eft-à-dire, trouver l’angle horaire de l’aftre Æ avant la hauteur du pole, on eft dans un cas de la quatrieme claffe pour l’angle horaire: ona, en prenant V’pour la cotan- gente de cet angle , & H pour la tangente de la hauteur de l'aftre E , V'xfin. PEZ + yH= xx cof. PEZ, d'où , ___ + Xx cotang. PEZ 3H ; = réfulte = ——— E fre L’angle horai- re étant découvert, on eft dans un cas de la troifieme k x fin. PEZ claffe pour la hauteur du pole ,ona ,c— ZE: * 1 . «12 1 Si l'on fouhaite avoir l'angle azymurhal ; on am= 7 ie 3 X fin. PEZ € avoir l’angle horaire & la hauteur du pole ; on eft pour cela dans un cas de la quatrieme claffe: on a Wx fin. PEZ hX Cotang. PEZ HAX= h x cof, PEZ, d'où réfulte N= —— kX — Jin. PEZ° Un procédé conforme en gros à celui qu'on vient de voir , a été propofé il y a quelques années par M. Pitor, de l’Académie Royale des Sciences , pour le cas parti- culier où l’on auroit obfervé deux fois la hauteur de quelque affre , avec le tems écoulé entre les deux obfervations. Voyez les Mémoires de 1736 , pag. 255. Notre Probleme comprend le cas où log aura le tems écoulé entre les obfervations de deux aftres dans 1 horifon: rationel. J'ai rapporté, premiere Partie, d’après M. de Mavpertuis, que dans ce cas particulier la tangente S de + On peut même obtenir cet angle fans CR - ARE PAPE MPa v'un es A ‘ PHhauteurdupole= rx On doit 358 Essar D'HOROLEPSE voir que dans ce même cas PHfe confond avec PF, Fig. 24 ,ainfi deux opérations fimples & fubordonnées y fuf- fifent, & peuvent être fubftituées à celle qu'indique la formule pour la tangente S, &c. Je place ici une remarque fur la méthode propofée dans ce Chapitre. Je la donne comme plus commode, comme tendante pour chaque Probleme, à des opéra- tions arithmétiques plus fimples que celles de la pre- miere Partie : je crois bien qu’on conviendra unani- mement de ce point, qu'on approuvera par confé- quent cette derniere méthode pour la pratique ; mais il me femble d’ailleurs qu’en elle-même elle a quelque va- leur, qu’elle eft capable de fatisfaire les efprits Géométri- ques:& dois-je me flatter qu’en effet chacun en jugera auffi favorablement ? Voici donc les raifons de mon opinion, 1°. Cette derniere mérhode convient dans le genre avec celle de la premiere Partie, qui a M. de Maupertuis pour Auteur, & qui ef très-belle affürément : on emploie dans celle-ci, comme dans celle-là, le calcul algébri- que ,le même calcul. Auffi les différentes formules qu’elles fourniffent pour la folution du même probleme , ont-elles tant d’affinité , qu'on peut déduire l’une de l’autre , com- me je l’ai montré. En un mot, ces deux méthodes rou- lent fur les relations qui regnent entre les élémens des triangles fphériques. Nous avons, par exemple, dans ce Probleme fecond quatre triangles, fçavoir PEE’, ZEF', PEZ , PE'Z , qui, deux à deux, ont un côté commun, & trois à trois un fommet commun à leurs angles, en forte qu’un angle quelconque eft la fomme ou la diffé- rence de deux autres angles. Or dans la méthode de ia premiere Partie, on confidere les trois angles qui ont leur fommet en P, on confidere donc très-réellement les deux triangles PEZ , PE'Z, quoiqu’on ne les trace pas. Dans N'AUTIQUE 359 Dans la derniere méthode, ce font Îes trois angles qui ont leur fommet en E , ou en £”, que l’on confidere prin- cipalement ; ce font de part & d'autre des objets de même nature. 2°, La derniere méthode n’eft pas moins concife que la premiere : elle eft contenue en aufli peu de lignes. Les quatre principales opérations fubordonnées que requiert, par exemple, ce Probleme fecond, fuivant la méthode de ce Chapitre (je compte pour les deux premieres opé- rations , celles qui donnent l'arc EE’ & l'angle PEE'), font indiquées par des formules qui n’occupent pas plus d’efpace que le calcul qui produit l’équation du fecond dégré; donnée,premiere Partie,pour ce même Probleme. 3°. La derniere méthode eft affez générale : elle s'étend à tous les cas dans lefquels celle de M. de Maupertuis peut être employée avec certain fuccès. 4°. Si quelque méthode a du mérite géométrique ; c’eft en partie à l’analyfe que ce mérite eft dû. Or, fans fe prévaloir ici de l’étymologie , ne peut-on pas avancer qu'il y a autant d’analyfe dans la méthode, qui , comme celle de ce Chapitre , parvient à la folution d’un Proble- me en le décompofant & par degrés, que dans celle qui lembraffe tout entier d’un feul coup, & exclufivement à tout autre objet ? J'avoue bien qu’une folution exécutée par plufieurs équations , eft communément fort inférieure en mérite à celle qui eft contenue dans'une feule équation : mais je ne crois pas qu'on veuille déprifer la derniere méthode; relativement à la premiere, par cette confidération gé- nérale ; ce feroit en abufer, car elle fuppofe que les équas tions font du même degré de part & d’autre. Si l’on fe permettoit de former des reproches vagues , ne pourroit- on pas objeéter d’un autre côté à la belle méthode de Prix. 1745. Zz 360 Essar D'HOROLEPSE M. de Maupertuis , qu'ileft vicieux d’employer des équa- tions du fecond degré; lorfque des équations linéaires fufifent, & que quoique l’algebre foi fort fapérieure à la fimple arithmétique , par l’artifice de la conftruëtion &c de la réfolution de fes équations de plus d’un degré, cet attifice eft cependant déplacé dans les rencontres où il n’eft pas abfolument néceffaire ? Mais enfin, peut-on dire , les folutions de ce Chapi- tre font indirectes , & ne font pas immédiates. On cherche, par exemple, pour le Probleme fecond , un angle PEZ qui n’eft point demandé. Je pañfe l’objeétion ; mais 1°, ne peut-on point la rétorquer d’une certaine façon ? Il eft vrai qu’on va au but affez immédiatement dans la Partie purement algébrique de la folution du fecond Probleme; que donne la premiere méthode ; on part de la double formule rrhrsx =cyu, rrhrsx = cyu", & à Pai- de d’une relation énoncée au fecond Lemme ( relation dont la deuxieme méthode n’a pas befoin), on trouve une valeur du finus de la hauteur du pole ; mais cette Vas leur n’eft qu’algébrique , & pour obtenir la valeur numé« rale qui eft demandée dans la pratique, combien d’opé- rations arithmétiques ne faudroit-il pas faire ? Combien de produits faudroit-il former ? Combien de quotiens fau« droitil chercher? &c. Que de quantités, en un mot, faudroit-il trouver , qui ne font pas plus demandées que l'angle PEZ ? Ce ne feroit donc pas immédiatement, ni par une route bien direëte, que l'on réfoudroit en effet le Probleme fecond fuivant la premiere méthode. 29. Dans plufieurs Problemes deux chofes font incon- nues, fçavoir l'heure , & la hauteur du pole (une troifie- me chofe y eft même encore inconnue, fçavoir l’angle azymuthal). Or fuivant la premiere méthode, tantôt c'eft la hauteur du pole, tantôt c’eft l'heure qu'il faut Nav 110 Dire M 361 chercher pat préalable, en forte que la folution i’eft pas immédiate pour l’une des deux ( ou pour deux des trois) inconnues. Au Probleme fecond, par exemple, la folu- tion n’eft pas immédiate pour lheure dans la premiere méthode, la recherche de la hauteur du pole devant la précéder. Que fi on cherche par la méthode de ce Cha- pitre un angle PEZ qui n’eft pas demandé, ce n'eft pas fans quelque avantage , car cet angle étant une fois con- nu, on peut indifféremment trouver laquelle on veut des trois inconnues , l'heure , la hauteur du pole, l'angle azy- muthal, indépendamment des autres. Au refte, je ne. prétends point par ces raifons aller au: delà du foûtien de la deuxieme méthode, je confens qu’on donne la préférence à la premiere , & qu’on la juge plus élégante que toute autre. s PROBLEME XVII. Où la hauteur d'un aftre &* l'angle de fon azymuth, avec celui d'un autre aftre font donnés , Fig. 20, 21, 22,23. Je joins ce Probleme au précédent, parce qu'il y a beaucoup de rapport , quoiqu'il foit moins fimple. On connoît , je Le fuppofe, l'arc EE’, & l’angle PEE'; on a donc trois élémens du triangle EZE', fcavoir le côté EZ , complément de la hauteur de l’aftre E, le côté EF, & l'angle MZ M qui y eft oppolé , & il s’agit de trouver l'angle ZEE’. ( Car de chercher la hauteur de l’aftre E”, ce feroit un circuit inutile dans cette méthode. Si j'ai cher- ché cette hauteur , Partie premiere , c’eft que l’ufage des feules formules de M. de Maupertuis , auquel je n''éois aftreint , l'exigeoit. Au refte, il n’eft pas plus difficile de trouver l'angle ZEE/, que le côté ZE’ qui lui eft oppo- Zzij 362 Essais D'HOROLEPSE fé, indépendamment l’un de l’autre.) Or pour avoir cet angle ZEE',oneft dans un des cas compliqués de la quatrieme claffe, & le parti le plus commode eft de fui- vre la regle de trigonométrie, qui confifte à fuppofer une perpendiculaire menée du fommet £ de l’angle cherché fur le côté qui lui eft oppofé, & à prendre fucceflive- ment les angles de ZE, & de EE”, avec cette perpendi- culaire. L’algebre fournit les équations pour ces angles, nous avons déja vü un cas pareil au Probl. IT. L’angle ZEE/ étant connu, on aura PEZ par addi- tion ou fouftraétion de PEE', & l’on continuera comme au Probleme précedent, PR cosmicte te: 0 A TV: Où deux aftres font vés dans un même vertical, & la hauteur d'un troifieme affre ef? connue Fig. 30. En confervant les dénominations déja employées cix : devant , nous avons # cofinus de l’angle horaire du point = I > lorfque le cercle ENE'F eft vertical, ainff qu’il a été montré au Probleme XI, & v cofinus de lan- . » == gle horaire de laftre «— E - 2e + Nommant p’, g', le finus & le cofinus de 1a différence des pointse, F,enafcen< fion droite, nous avons rv— qu —p'V(rr—wu!); d’où réfulte ruv — 2q'uu! + ruw= rp'pl. Subftituant dans cette équation les valeurs de v, #/, & de leurs quarrés,mul: tiplianttout parccii , fubflituant rr—ss à cc, &c. on trouve aYY"' 2x8 Vos + 2rh'ig'Y — rripp __ + Frix — 2r5h"x £ $ + sh" == Ss + ip?! / N£AUTIQUE GS Formule plus fimple que celle qui a été donnée,premiere Partie, pour le même Probleme , fçavoir : rr aaii mn 241% (PX—p'X) 2 2rrah"i(p'X—p'X) + xx CR X rr XX) 21h (rr X'X'+rr XX) ps — 2rbXX — 2rbXX + ü(qX— gx) = rrii (gX'— 4" g'X} + rrh'h" ra) = — 2rbX" Obfervoris cependant en paffant , que Pune de ces for- mules eft réduétible à l’autre, en fubftituant dans la plus : fa valeur XX +rrXX—orbX'X, Fa px, &(%) à (4% —dX ; puis aus tout par Ÿ’Ÿ”, & divifant par rraa. Comme cette folurion n’eft point encore aflez com- mode , en voici une très-fimple. Je fuppofe qu’on a par des Tables ou autrement , l’arcE+, & les angles PEE, PE: , que fait le cercle horaire du point E avec les grands cercles ENE'F, E*; la fomme ou la différence de ces angles , eft l’angle ‘EZ du triangle obliquangle EZ", dont ona, par l’hypothefe, le côté Z: : on peut donc réfoudre ce triangle par la regle de Trigonométrie, c’eft- à-dire , trouver par parties le côté EZ, ou l'angle E,Z, (Il eft prefque indifférent lequel de ces élémens on aït pour fatisfaire au Probleme.) Si lon veut fe fervirde EZ, on cherchera 1°. le côté ER du triangle reétangle E R+, ang. E & X cof. «ER SE côté RZ dutriangle reétangle ZR:, par cette équation: rh" X cof. ER ef. RZ= —> af En La fomme ou la différence de longue par cette équation : ang. ER — Z z ii 3:64 Essar D'HOROLEPSE ER, RZ, eft EZ, l'un des côtés du triangle PEZ ; dont on connoiît d’ailleurs deux élémens , fçavoir PE, & l'angle PÉE' ou PEZ ; on peut donc trouver tel autre élément qu’on voudra de ce triangle , en procédant com- me au Probleme fecond. Onaura, par exemple, s cofinus de PZ, par-cette équation : rrs + rxh =yhkx cof.-PEZ ; puis t finus de l'angle horaire EPZ du point E , par celles ci:ct=kx fin. PEZ : ou bien on fera x fin. PEZ + yH= x x fe PEZ, &c, Si on veut fe fervir & l'angle E:Z , on cherchera 1°, l'angle E ou en remettant les valeurs de rr a m'en ScHoztes. I. Outre la propriété de rendre le cal- cul plus fimple jufqu’à certain point , qui fe trouve dans la méthode de ce Chapitre, il eft remarquable qu’elle a celle de donner le réfultat de plufieurs obfervations , ce qui eft un petit avantage, vû l’imperfeétion à laquelle ces opérations font toûjours fajettes fur mer. Car plus on combine d’élémens de cette qualité, plus il eft rare que leurs défauts confpirent à produire une erreur en même fens, plus fouvent au contraire doivent-ils tendre à des erreurs en fens oppofé, & qui s’entre-dérruifent en par- tie. IT. Le calcul que j'ai tiré du Probleme XX XI de l’Af- tronomie Nautique , n’eft qu’une préparation pour la fo- lution de ce Probleme, que les Sçavans de l’Académie de Ruffie ont rendu fameux , Probleme plus curieux ce- pendant qu’atile , felon M. de Maupertuis, & qui con- fifte à trouver la déclinaifon de l’aftre dont on a les trois hauteurs, & l’élevation du pole. Or en difant au com- mencement de ce Chapitre, que la méthode que j'y pré- fente, confifte à ajoûter une obfervation à celles qui fuf- fifent abfolument pour la détermination défirée, j'ai fup- pofé que la déclinaifon étoit donnée, fans quoi je fçai que deux hauteurs d’un aftre ne feroient pas fuffifantes pour la. détermination de l’heure. En un mot, je conviens que dans l’efpece précife de ce Probleme XXXI de l’Afiro- NAUTIQUE 369 fomie Nautique , Les trois obfervations font abfolument néceffaires pour l'invention de chacune des trois incon- nues qu’on y détermine. On peut faire une remarque à ce fujet , fur une double propriété de la combinaifon de plufieurs quantités Aftro- nomiques, de même ou de différente efpece , fuppofées données. Une de ces propriétés eft, qu’à mefure qu'on accumule ces données, on a befoin de connoître moins d’élémens d’une autre efpece, & on eft en état d’en dé- couvrir un plus grand nombre. Si on a, par exemple, une feule obfervation de la hauteur d’un aftre, il faut con- noître d'ailleurs deux quelconques d’entre ces quatre cho- fs , la déclinaifon de laftre, fon angle 2zymuthal, fon angle horaire, & la hauteur du pole , pour trouver quel- qu’une des autres : mais fi l’on a deux obfervations de hauteur de cet aftre, avec letems écoulé entre ces ob- fervations, il faffit de connoître d’ailleurs un des quatre élémens que je viens de marquer , pour être en état de découvrir tout le refte; & fi l’on a les obfervatéons de trois hauteurs de cet aftre, avec leurs intervalles , il n’eft pas néceflaire d’avoir d’ailleurs aucun des quatre élé- mens fufdits, & on eft en état de les découvrir tous par ordre. L'autre propriété eft, qu’en fe fervant des formules de M. de Maupertuis , on trouve par la combinaifon de cer- taines données , une valeur algébrique plus fimple pour quelque inconnue , que par d’autres combinaifons. C'eft de cette propriété que J'ai fait ufage dans ce Chapitre , & il y en a encore d’autres exemples dans la premiere Par- tie. Ainfi lorfqu’on a les paflages de deux couples d’aftres à deux verticaux, ce qui eft le cas du Probl. XI, onaune équation d’un moindre degré pour l'invention de l'heure, que lorfqu'on a feulement le pañlage de deux aftres à un Aaaï 370 Essar D'HOROLEPSE vertical , outre la hauteur du pole , ce qui eft le cas du Probleme VII. L'ufage qu’on peut faire de la connoiffance de a pre: miere propriété, eft de difcerner combien de données font abfolument requifes, pour la folution de quelque Proble- me que ce foit du genre de ceux dont je parle. Voici, par exemple, une application de cette remarque à cerraine folution du Probleme où il s’agit de trouver concurrem- ment la hauteur du pole, & la déclinaifon de quelque étoile. Quoique ce Probleme foit étranger à mon objet, cependant comme il eft célebre en général, & qu'on Peftime même utile pour la perfection de l'affronomie , en ce que l’on y évite un cercle qui fe rencontre dans la plüpart des méthodes par lefquelles on cherche la hauteur du pole, ou la déclinaifon , je crois qu’on tolerera cette petite digreflion. ! La folution ou méthode que j'ai en vüe, eft celle du Probleme XL & dernier de l’Affronomie Nautiques ( Cetteméthode qui eft qualifiée de très-belle par M. de Maupertuis, & avec juftice, parce qu’elle ne fappofe /z mefure aluelle d'aucun angle * , eft dûe, fuivant le même Ecrivain , à A. Mayer, de l'Académie de Ruflie, à ti tre d’Auteur, ou d’indicateur. On y fuppofe feulement que les intervalles de tems entre les paffages de deux étoiles par le méridien, par deux verticaux, & par deux . almicantaraths inconnus, mais conftans , font donnés: Or, je dis qu’une de ces obfervations eft furabondante pour la folution du Probleme dont il s’agit, car ce font quatre quantités principales qui font données pour chaque étoile, & il n'y a aufi que quatre inconnues principales pour chaque étoile, fçavoir fa hauteur & fon angle azy- muthal , au moment d’une des obfervations, outre fa ? Voyez l'Aftron, Naut. pag. 94 , & fa Préface , pag. XXXÏj , XXXÏVe N'AUTIQUE. : 371 déclinaifon & la hauteur du pole, Je dis, par exemple, qu'ayant feulement les tems écoulés entre les paflagesdes deux étoiles au méridien & à deux autres verticaux, & à un feul almicantarath , toutes les inconnues que je viens de marquer font déterminées, & peuvent être découver- tes: on n'aura pas , à la vérité une équation linéaire , pour la déclinaifon , ainfi que dans le Probleme XL del’Af- tronomie Nautique, mais une équation d’un plus haut degré. Voici une preuve particuliere de cette affertion. Soient les finus, les cofinus , & les tangentes des dé- clinaifons des deux étoiles x,y, X, & x, y’, X. Soient 1,1, & u,u’, les finus & cofinus des angles horaires des étoiles, lorfqu’elles paflent au premier vertical; #/, r//, & u!!, u”!, les finus & cofinus de ces angles, lorfqu’elles pañlent au fecond. La troifieme formule donne , fuivant su—cX ce qu'on a vù au Probl. VIT, premiere Partie, sw —cX" su"—cX su" cX" / an nr til Ésr nur = —;5— — N ; ou sut — cXr = sur cX'r, & su — Xe = sy Xl où sut — sut = cXr— cX'r, & sut! — sur —=cX1! Xr —Xt s Xe"— Xe" Ille > = = —— ——— Pa CAES OU 5 Ty > Où ( nom mant [ d’après M. de Maupertuis ] 4 le finus de la diffé. rence des arcs horaires , terminés par les finus # & +’, & a! le finus de la différence des arcs terminés par les finus #” & r”’, ce qui donne raw ut, & ra uw" Xt'— X% Xt"—X" - S 6 eal/rl.), On a ——— RUE ma s où a Xr! —aXt=aX1/"—aXr", où X'(ar—at"")—=X a" (ar — &”), ou faifant la fraétion = =e) X at —eX. Ainfi nous avons déja le rapport des tangentes des déclinaifons défirées. Aa iij 372 «Essai D'HOROLEPSE Soient maintenant les cofinus des angles horaîres des deux étoiles, lorfqu’elles pañlent au même almicanta- sath, w & v'; la premiere formule donne cyu<+r5x =rrh = cy'v' + rsx!, ou bien c(yv'—yv)=s(rx—rx!), ou ( fubftituant Xy à rx, & X/y’ à rx’) Pa = + a Lit Donc ravy —ravy= XXty— XX Ty — XXy+ X'Xry, où ravy + XXTy —X'Xry =ravy + XXTy — XX y. Donc ÿ:y ::7a0h X (XP — Xt):rav — XX +4 X'Xu; & yy':py:: (rav + XX — XX): (rav— XX + X/XT}2. Or, on fçait que yy = — & yy = re ; donc sr + XX: + XX 1: (rau + XX — XX): (rav' — XXr7+H XX), ou (en mettanteX aulieu de X, & « au lieu de ” — et) rr+ XX :rr eeXX :: (rau XX) :(rav —ceXX), d'où il réfultera enfin une équation du troïfieme degré, pour la tangente X de la déclinaifon d’une des étoiles. Cette déclinaifon étant connue, on trouvera facilement la déclinaifon de l’autre étoile, par l'équation X/—eX, puis la hauteur du pole à rs Xt— X'r : : par fa tangente = ——, On aura enfuite , fi l’on veut, le premier angle azymuthal des étoiles , par l’équa- : su—cX tion sd N, &c. + Seroit-ce me tromper, que de regarder cette métho- de comme approchante en mérite de celle de M. Mayer ? IL eft vrai d’un côté , qu'une équation du troifieme degré eft un peu longue, & difficile-à réfoudre, & que le cal- cul pour la déclinaifon feroit moins fimple par cette mé- thode , aue par celle du fçavant Académicien , laquelle aboutit feulement à une équation linéaire dans l’Aftrono- mie Nautique : mais en récompenfe, la méthode qu'on NAUTIQUE. 37% vient de voir exige une obfervation de moins que celle-la, & cette obfervation retranchée, eft une de celles qui font les plus difficiles à exécuter, & où il eft à craindre que la réfraétion ne caufe quelque défaut par fon irrégularité, Or, c’efl, ce femble, (au dire d’un très-habile homme) une méthode avantagenfe que celle ; qui, rejettant fur le cal. cul les... difficultés de l'Affronomie ; en rendra la pratique ( ou bien la partie qui eft de l'office de l’Obfervateur) plus facile, & moins füjette aux vices latents que la réfraétion peut yjetter. Aurefte, je laifle aux Mäïîtres de Part à dé- cider fur ce point. Une des fuppoñitions de M. Mayer, étant furabondante en rigueur , il doit encore y avoir lieu à un autre procédé pour l'invention de la déclinaifon, fans la mefure adtuelle d'aucun angle, fçavoir en retranchant l’obfervation du paflage des étoiles à un des verticaux, & en confervant le refte. Voici ce procédé, mais je le donne moins pour la pratique que pour la théorie, & pour une plus ample confirmation de ma remarque, fur le nombre des données néceffaires à nos Problemes Aftronomiques. Je conviens d’ailleurs , qu’il n’y. a pas grand mérite à avoir penfé à ces procédés. Comme la principale partie du calcul fuivant ainfi que du précédent, eft tirée de l’Aftronomie Nauri- que,c’eft à M. de Maupertuis que l'honneur en appartient. Soient v”, v’” les cofinus des angles horaires des étoi- les , lorfqu’elles paffent au fecond almicantarath, & le furplus comme ci-deflus. On a, pour les paffages aux Pr 21 ; i — MERE reiyu US deux almicantaraths, = = = = ; d’où PORT À Dre 1" réfulte = nur > où (faifant Re ) 374 Essars D'HOROLEPSE DRAP Ne SÉCARNS PRER PRES pus ra —=utæut), DU eo Ge OU ( en Ê ir EE —rss iÿu'— ryv Se. fubftituant —— ay), 5 6x)? OÙ py (éiav” — riav) = rr (xxit — rxxt— ixx/e + rx'x'r), Et (en , 21 fubflituant rr — yy à xx, & rr — —— yy à x'x');yy (iiav! —riavprrit priit) rt (it prt) = > rrxx (it'+rt), ou(enfaifant #+rr=ro, &i(aCiv — rv] r{r+i])}=ne),;oyy—rro—=oxx", & (en quarrant chaque membre) osy#— 2rro00y*=rtoo mo00xx xx == 00 (rt —17)y — y y + = +). TROISIEME NAUTIQUE, 375 TROISIEME PARTIE. Du choix entre les manieres de trouver l'heure | & des moyens de faire les obfervations fuppofées. I toutes les obfervations étoient parfaitement exactes, toutes les voies différentes qui conftituent les divers Problemes propofés ci-devant fur l'invention de l'heure, feroient également bonnes , &, il feroit d’ailleurs indiffé- rent quelle füt la fituation de l’aftre, ou des aftres, dont les obfervations font fuppofées pour chaque Probleme. Maïs il n’eft que trop certain que l’on fe trompe tofjours de quelque chofe en obfervant à la mer; © les mêmes erreurs commifes dans les obférvations dont on a befoin , © qw'on prend pour fondement du calcul, ou d'une opération graphi- que, mettent , par leur différente complication, où par la di- verfité des circonftances, une grande différence entre les réfultats de la même méthode, & peuvent en mettre auffi entre ceux des différentes méthodes ou Problemes. Il y a donc un choix à faire à cet égard entre les différentes circonftances , où une même méthode peut abfolument être employée, & un autre choix entre les différentes méthodes. C’eft même prefque par ce feul égard que l’on doit déterminer quelle eft la meilleure maniere de trou- ver l'heure en mer, felon le défir de l’Académie, car la facilité des opérations * eft peu de chofe, en comparaifon * Ce n’eft pas la facilité refpeétive des opérations de divers genres, telles que le calcul & la formation d’une figure , qui peuvent fervir à un même Pro- bleme, dont j'entends parler, c’eft de celle des opérations homogenes qui con- viennent aux divers Problemes , ou en différentes rencontres. Pris. 1745: Bbb 376 Essar D'HOROLEPSE de l’exadtitude à laquelle il faut toûjours tendre , afin d’en approcher le plus qu'il eft poffible ;. quand on ne fçauroit l'obtenir ; & d'ailleurs, les opérations les plus faciles répondent communément aux cas où les erreurs des obfervations font les moins nuiïlibles. Ainfi, poux diriger le choix qu’il convient de faire, il faut examiner dans quelles rencontres les erreurs des obférvations tirent moins à conféquence , & il eft bon de fçavoir comment on peut évaluer leur effet, une telle évaluation étant utile au Navigateur, pour connoître jufqu’où il peut compter fur le réfultat de fes obfervations , dans le cas où il n’au- ra pas la commodité de faire celles qui font les plus avane- tageufes, ni de choilir les circonftances les plus favoz rables. NAUTIQUE: 377 A CHAPITRE PREMIER. Du choix que l'on doit faire entre différentes applications de la même méthode ,ou détermination des cwconfances dans lefquelles une ob[ervation quelconque doit être faite , afin que [on erreur tire moins à conféquence pour l'invention de l'heure. N/ER. Bouguer, dont j'ai emprunté ci-deflus quel- ques expreflions, a bien fait fentir la néceflité d’une détermination pareille à celle dont il s’agit, il nous a découvert une maniere d’y procéder, & nous en a laiffé un beau modele dans la troifieme Partie de fon excellente Piece déja citée , touchant la méthode d’obferver en mer la déclinaifon de la bouflole. Il y fait ufage pour cela du calcul différentiel : je me fervirai aufli du même moyen, ou pour mieux dire, je ne le négligerai pas, car j'en employerai un autre en premier lieu , afin d’abréger. L'ufage de la feule maniere inventée par M. Bouguer, produiroit ici trop de prolixité, à caufe de la multitude & de la nature des Problemes que j'ai embraflés ci-devant., puifque cet habile Géometre a été obligé de faire plufieurs articles, pour appliquer fa méthode à l’unique, & affez fimple Probleme, où l'angle azymuthal d’un aftre eft con- clu de Pobfervation de fa hauteur, & de la fuppoñition que celle du pole eft connue exaétement, ou à peu près. D'ailleurs ce moyen que je vais employer d'abord, fera intelligible à plus de perfonnes que le calcul différentiel. La recherche de l'heure pouvant être fouventjointe, & allant pour ainfi dire de pair avec celle de la hauteur Bbb ij 378 Essar DHOROLEPSE du pole , je déterminerai conjointement , quelles font les circonftances les plus favorables pour l'invention de l’une & de l’autre chofe , quoique Îa derniere ne foit pas de mon objet. Je ne pourrois même féparer ces chofes fans inconvénient , certaine oppolition qui eft entre elles, fervant à faire mieux entendre ce qui convient en particu- lier à l’une ou à Pautre. L’angle horaire de toute étoile ou de tout point du ciel, eft une chofe qui change continuellement , uniformé- ment, & affez rapidement , par l'effet du mouvement journalier : au contraire la hauteur du pole, c’eft-à-dire; du centre de ce mouvement, eft une chofe fixe pour cha que point de la terre. C’eft fur ces propriétés oppofées, que je vais déterminer en général quelle doit être la pofi- tion d’un aftre , ou quelles doivent être les pofitions de plufieurs aftres , pour donner lune ou l’autre de ces cho: fes, avec le moins d’erreur qu’il eft poffible. On peut déja entrevoir , & j'annonce, que l’obfervation qui eft favora= ble pour l’une , eft défavantageufe ou peu utile pour l’au- tre. Le mouvement journalier, comme je l'ai remarqué dans la premiere Partie , fait que les aftres changent con- tinuellement, tant d’azymuth que d’almicantarath : maïs ces changemens , & ceux qui en dépendent , font diffé- rens à certain égard de ceux de l’angle horaire. Ils font fujets à variété; car tantôt ils font grands & prompts, tan- tôt ils font lents & petits, & prefque infenfibles. Il ya telle fituation de la fphere, où l’angle azymuthal d’un aftre change moins que fa hauteur ; telle autre où c’eft fa hau- teur qui change moins que fon angle azymuthal. Une de ces chofes peut changer autrement pour un aftre voifin du pole , que pour un aftre qui en eft plus éloigné. Il y atelle paitie du cours de chaque aftre, où c’eft fa hauteur qui NAUTIQUE: 379 change peu, & telle autre où c’eft fon angle azymuthal qui reçoit le moindre changement , &c. Je confidere d’abord le cas où l’une de ces chofes ; l'heure, & la hauteur du pole, eft connue, foit exaéte- ment, foit à peu près, ou bien n’eft pas défirée, & où l’on cherche feulement l’autre : & je dis que pour connoître le plus exaétement qu’il fe peut la hauteur du pole, qui eft une chofe fixe, il faut obferver un ou deux élémens quel- conques, du nombre de ceux qui ont été fuppofés dans les divers Problemes ci-deflus, dans la circonftance où ils changent le moins ; & qu’au contraire , pour trouver le plus correétement l'heure , qui eft une chofe changeante, il faut obferver un ou deux de ces élémens quelconques, dans la circonftance où ils changent le plus, pofé qu'ils ne foient pas trop difficiles à obferver alors. Je dis que plus un de ces élémens approchera de l’état fixe au mo- ment où il fera obfervé, plus fürement il donnera la hau- teur du pole, & plus vicieufement il donneroit l'heure; c’eft-à-dire que l’erreur que l’on commettra dans l’obfer- vation de cet élément , ne produira qu’une erreur égale, ou de peu plus grande fur la conclufion de la hauteur du pole dans plufeurs Problemes, & qu’elle en produiroit une beaucoup plus grande fur la conclufion de l'angle ho- raire. Je dis d’un autre côté, que plus un élément appro- chera de la rapidité & de l’uniformité de la variation de angle horaire par la fienne , au moment où il fera obfer- vé; plus fürement il donnera cet angle , & plus défeêtueu- fement il donneroit la hauteur du pole, fauf quelques ex- ceptions ; c’eft-à-dire, que erreur qui découlera dans la détermination dé l’heure, de celle de Pobfervation d’un tel élément , ne fera pas plus grande , ou de peu plus gran- de que celle de fon principe, & que celle qui en réfulte- roit fur la hauteur du pole, l'excéderoit de beaucoup pour l'ordinaire, Bbb ii 330 ŒEssar D'HOROLEPSE Entrons donc un peu en détail, fur les changemens auxquels les élémens que j'ai fuppofés donnés dans les Problemes des Parties précédentes font fujets, felon que Paftre eft , ou que les aftres font dans telle :ou telle partie de leur cours , qu'’ilsont plus ou moins de déclinaifon , & que le pole eft plus ou moins élevé. On verra dans ce détail , un commencement de preuve de mes propofi- tions. La fphere étant parallele, ou prefque parallele, la hau- teur des aftres ne varie point , ou varie très-peu ; ainfi leur déclinaifon étant fuppofée donnée , l’obfervation de la hauteur d’un aftre quelconque, ou des hauteurs de deux aftres, donneroit la hauteur du pole avec autant d’exac- titude qu’elle en auroit: mais il eft vifible que cette obfer- vation ne donneroit point l’heure, quand même il s’en faudroit de 9 ou 10 minutes que le pole ne fût au zé- nith, puifqu’en fe trompant d’autant de minutes fur la hauteur de l'aftre obfervé, on pourroit fe tromper du quart-de-cercle entier fur fon angle horaire, en le met- tant, parexemple , au méridien , lorfqu’il feroit au cer- cle de fix heures, ou à ce cercle, lorfqu’il feroit au mé- ridien. Au contraire , angle azymuthal de tous Les aftres , ou -de prefque tous, change beaucoup dans cette fituation de la fphere ét il change également, ou prefque également à l'angle horaire. Aufli l’obfervation de cet élément don- neroîit l’heure avec autant d’exa@titude qu’elle en auroit; mais elle ne donneroit point , ou donneroit mal , la hau- teur du pole, furtout lorfque l’aftre ne feroit pas fort éle- vé , & fort voifin du premier vertical , qui, dans cecas, eft prefque co-incident avec le cercle de fix heures. La fphere étant droite, ou prefque droite, les circon- ftances qu'on vient de voir font renverfées,& il s’entrouve NT N'AUTIQUE: 381 de nouvelles. Les aftres varient beaucoup en hauteur, & le plus qu'ileft pofible , & avec le plus d’uniformité , quant à chacun, mais ils en varient diverfement entre eux : au contraire, ils changent peu d'angle azymuthal pour la plüpart , & ils en changent diverfement en tems égaux. Tout cela a befoin d’être développé. A l'égard du changement de hauteur, voici d’abord une regle géné- rale , c’eft que pour les aftres qui pañlent entre le pole élevé & le zénith ,.ou bien entre le pole abbaïflé & le na- dir , ce changement total, c’eft-à-dire, celui qui fe fait entre la culmination de l’aftre , & fa plus grande dépref- fion , eft égal au double du complément de la déclinaifon de laftre. Pour tousles autres aftres, c’eft-à-dire , ceux dont la déclinaifon eft moindre que la hauteur du pole, leur changement total en hauteur, eft égal au double du complément de la hauteur polaire. Et quant à l’angle azy- muthal , c’eft aufli une regle générale, que l’azymuth des aftres qui font dans le premier cas, ne parcourt qu'une partie de l’horifon, & une partie d’autant moindre, que leur déclinaifon furpaffe plus la hauteur du pole : d’ail- leurs cet azymuth va tantôt en un fens , tantôt en un au- tre. Au contraire, l’azymuth des aftres qui font dans le fecond cas , avance toüjours en même fens, & parcourt tout l’horifon en 24 heures: ainfila variation totale de leur angle azymuthal, eft égale à celle de l'angle horaire, mais elle eft tantôt plus lente, & tantôt plus prompte. Revenons à notre hypothefe. La fphere étant droite, ou prefque droite , la hauteur d’un aftre fitué à l'équateur, qui, dans ce cas, eft prefque co-incident avec Île pre- mier vertical, change autant, ou prefque autant que l’an- gle horaire , & toûjours uniformément, ou il s’en faut très-peu. Il eft encore vifible que par l’obfervation de cet élément, on auroit l'heure aufli exaétement que cet 382 Essai D'HOROLEPSE élément même. Au contraire , une telle obfervation ne donneroit point, ou donneroit mal la hauteur du pole, fi ce n’eft que l’aftre füt fort élevé. Quant aux aftres qui déclinent de l'équateur; ils varient d’autant moins en hau- teur , qu'ils ont plus de déclinaifon , & ils en varient peu fenfiblement vers le tems de leur culmination; ainfi leur hauteur étant obfervée dans cette circonftance, donne- roit aflez exaétement la hauteur du pole, Dans la même hypothefe de la fphere droite , ou pref. que droite, les aftres fe meuvent perpendiculairement ; ou prefque perpendiculairement à l’horifon , lorfqu’ils fe levent ou fe couchent ; ainfi leur angle azymuthal ne change point dans cette circonftance , & il eft affez pro- pre à donner la hauteur du pole. Cet angle change le plus vers le tems de la culmination de l’aftre, lorfque fon cours eft prefque parallele à l’horifon , & ce changement eft d’autant plus grand & plus prompt, que l’aftre paffe plus près du zénith, ou bien décline moins de l'équateur, mais il eft lent , lorfque l’aftre eft voifin du pole. L’angle azymuthal change médiocrement pour la plüpart des aftres , entre ces extrémités du pañage à l’horifon, & du pafflage au méridien. La fphere étant parfaitement droite, ün aftre fitué à l’équateur ne change point d’azymuth en- tre fes paflages au méridien, & à ces paffages, ilen chan< ge diamétralement tout Fe coup. Tout aftre qui pañle pareillement au zénith, lorfque la fphere n’eft pas droite, change diamétralement d’azymuth à ce pañage. La fphere étant oblique, les changemens de la hauteur & de l'angle azymuthal des aftres, participent aux états. oppofés qu’on vient de voir dans les deux hypothefes pré- cédentes. Ils ne font la plûpart, ni fi grands, ni fi petits; ni fi rapides , ni fi lents; ni fi inégaux, ni fi approchans de l'égalité, ou bien s’ils font fufceptibles de quelques-uns de RE NAUTIQUE 383 de ces états ; c’eft dans une moindre partie de leur cours. Au refte , il eft commun à cette hypothefe & aux précé- dentes , que plus un aftre eft voifin du méridien, moins il change de hauteur à chaque inftant, & que plus il eft éloigné de ce cercle, plus par conféquent il en change. Or ce plus grand éloignement du méridien à lieu, quant aux aftres dont la déclinaifon eft moindre que la hauteur du pole , à leur paflage au premier vertical. Quant aux aftres dont la déclinaifon furpaffe la hauteur du pole, on fçait qu'ils ne paflent point au premier verticäl, ou bien que leur plus grande digreflion du méridien eft moindre que 90 degrés, & inégale. L’angle azymuthal varie au rebours de la hauteur ; il change le plus, lorfque la hau- teur change le moins, & au contraire il change le moins, lorfque la hauteur change le plus. C’eft donc toñjours vers le tems du paflage d’un aftre au méridien, que fon angle azymuthal change le plus, & vers le tems de fon pañfage au premier vertical (pofé qu’il y pañle) que cet an- gle change le moins. Pour les aftres qui ne pañfent point au premier vertical , il eft vilible qu'il y a quelque partie de leur cours où ils fe meuvent perpendiculairement à l’horifon , comme je l’ai déja obfervé, & qu’alors leur an- gle azymuthal ne varie pas. Plus un aftre eft éloigné du méridien , ai-je dit, plus il change de hauteur. Il eft à propos d’ajoûter, & il eff très- aifé de voir , que ce plus grand changement inftantané, eft moindre que celui de angle horaire, lorfque la fphere eft oblique, & d’autant plus petit qu’elle eft plus oblique. (Cela doit être en effet, puifque le changement total d’un aftre en hauteur pendant 1 2 heures , eft tout au plus égal au double du complément de la hauteur du pole). Il fuit donc du principe que j'ai pofé, que pour découvrir Pheus re par l’obfervation de la hauteur de quelque aftre , il faut Prix. 174$. NN SACS 384 Essar DHoroLrrpPse | la prendre lorfqu’il eft le-plus éloigné du méridien; mais que dans cette circonftance, qui eft la plus favorable à l'invention de l'heure, on a moins d’avantage pour la dé- couvrir lorfque la fphere eft oblique , que lorfqu’elle eft droite, & à proportion qu’elle eft plus oblique ; & c’eft ce que je prouverai rigoureufement dans la fuite par le calcul. On doit donc regarder comme certain mon prin- cipe général , fçavoir, qu’à mefure que la variation d'un élément eft moindre que celle de l’angle horaire , il ré- fulte une plus grande erreur dans la détermination de l’heu- re, que celle qu’on peut commettre dans Fobfervation de cet élément, &c. Pour l'angle azymuthal, celui de quelques affres varie autant, ou plus , que l'angle horaire , vers le tems du paf- fage de ces aftres au méridien, dans le même cas de la fphere oblique : mais cet angle ne peut pas être obfervé direétement fur mer, parce qu’une telle obfervation re- quiert une ligne méridienne ; & d’ailleurs, quand bien on auroit cette ligne fur mer, il feroit encore difficile d’y prendre direétement l’azymuth d’un aftre, vers le tems où cet azymuth varie le plus, parce que c’eft alors que Paftre eft le plus élevé, &c. A l'égard de l'invention de la hauteur du pole, on voit fans doute que dans le même cas de la fphere oblique , il ÿ a des circonftances qui y font aufli favorables que dans tout autre cas , puifque le changement de hauteur eft in- fenfible pour la plûpart des aftres à leur paflage au méri- dien , & que le changement d’angle azymuthal eft pareil- lement infenfible pour quelques aftres , en certaine par- tie de leur cours. On doit voir auffi , que la circonftance. la plus défavantageufe dans le même cas, pour trouver la hauteur du pole par l’obfervation de celle d’un aftre, ou de celles de deux aftres, eft lorfque cet aftre , ou ces afires NAUTIQUE: 385 “ont voifins du premier vertical. On peut juger fur cela, des refriétions qu'exigent dans lufage, les Problemes XXX VII & XXXIX de l’Aftronomie Nautique, qui confiftent à trouver fur mer la hauteur du pole , foit par la durée du jour, foit par le tems écoulé entre le lever ou le coucher de deux Planetes. Il me refte à remarquer touchant la hauteur, & l’on peut aifément reconnoître à l'infpeétion d’un globe , que la variation inftantanée de cet élément , eft la même pour tous les aftres qui font dans le même azymuth, ou dans des azymuths également éloignés du premier vertical, quelques foient la-hauteur & la déclinaïfon de ces aftres, parce que ceux qui font plus de chemin, le font plus obli- quement. On peut conclurre de-là, que la plus grande variation de hauteur des afîres qui ne pañlent pas au pre- mier vertical , eft moindre que celle des aftres qui y paf. fent, ( On peut aufli tirer la même conclufion de ce que la variation totale de hauteur de ceux-là eft moindre que la variation totale de hauteur de ceux-ci.) Ainfi pour déter- miner l'heure par la hauteur d’un aftré, c’eft quelqu'un de ceux dont a déclinaifon eft moindre que la hauteur du pole , & du côté du pole élevé, qu'il faut obferver pré= férablement à ceux d’une condition différente, &c. Le détail des propofitions où je viens d’entrer touchant les changemens divers de la hauteur, & de l'angle azymuthal des afîtres, ne regarde pas feulement l’ufage qu’on peut faire de ces élémens, il tend encore à mon- trer en quelles circonftances les variations des autres élé- mens propres à donner l'heure, & la hauteur du pole, font moindres ou plus grandes: mais avant que de paffer à cette expofition, je m’arrête pour confirmer par le calcul, plufieurs des propofitions précédentes. Nous avons par la premiere formule,rrh=rsx = cyu, Ceci] 386 Essar D'HoROLEPSE & en prenant la petite variation, la hauteur du pole ainfi” que la déclinaifon de l’aftre étant fuppofées précifes , rrdh= cydu. Donc en nommant dA la petite variation inftantanée de la hauteur ( d’où réfulte dk — =) SHC dE le petit arc de l’équateur qui mefure la variation de l'angle horaire correfpondante à dH,( d’où réfulte dx = # ) , onarrkdH = cytdE. Donc 1°. dH eft zéro lorfque + eft zéro, c’eft-à-dire ; lorfque l’aftre pafle au méridien. 2°. dH eft un maximum , lorfque fa différence ddH eft égale à zéro. Or, dHétant = “dE, ddH=(kdi rrk LEON) ns dE lorfque dE eft conftante. Faifant donc kdt — 1dk = 0, fubftituant À à de, & LE à dr, ce qui donne kudE — htdH—o, ou bien #rkku—chrry — 0, parce que dH— —- dE ; mettant enfuite rr— #4 pour kk, & rr — uu pour tt, multipliant tout par cy , puis mettant pour cy# fa valeur rrh—rsx , &c. ontrouve en< fin bhsx — rhxx — rhss + rrsx— 0. Or cette équation eft divifible par ces deux-ci : ks—rx=0, hx—rs=0o. Nous avons déja vû la deuxieme, elle indique la partie du cours d’un aftre , dont la déclinaïfon excede la hau+ teur du pole , où cet aftre eft à fa plus grande digreffion du méridien : la premiere marque la hauteur d’un aftre à fon paflage au premier vertical ; car en faïfant = 0, dans la deuxieme formule du premier Lemme , qui eft rex nck = r5h, Von trouve auffi rx — 5. 3°. On peut découvrir en général, indépendamment du calcul de Particle précédent ;, que plus un afîre ef N'AUTIQUE 387 éloigné du méridien par fon azymuth, plus la variation inftantanée de fa hauteur eft confidérable. Il fuit pour cela de fubfituer à y7, dans l'équation rrkdH=— cyrdE, fa valeur mk, prife de la cinquieme formule du premier Lemme ; car on aura dH— — dE : & il eft vifible que plus » ; finus de l’angle azymuthal , fera grand, plus auffi le fera la variation dH. On voit d’ailleurs par la même expreflion, que la plus grande variation 4H eft moindre que dE , lorfque la fphere eft oblique, dans la proportion du cofinus de la hauteur du pole au finus total. Reprenons la premiere formule , & fuppofons main: tenant de l'erreur tant fur la hauteur de l’aftre , que für celle du pole, ce quirend#,s,c,#, variables , pen- dant que x, y, demeurent conftantes ; nous aurons rrd# — rxds = cydn + yude, & ( mettant pour les différences du finus & du cofinus de la hauteur du pole le petit arc du méridien dL =+ = LÉ &e.) cyrdE = cmkdE = rrkdH = rxcdL'Æ syudL ; & ( mettant pour s hs — rxss . . syu fa valeur "©, tirée de la premiere formule, . sh nck . . puis rx fa valeur = — » tirée de la deuxieme formu- 1 a di° ___ vhs(rr=ss)ÆEnckss rhscHnkss e, ce qui rend 1°, sy# — T— TE. ;s remkdE=rkdH#+ nkdL (ÆctHss), oucmdE=—rrdH+# rndL. Donc 1°. fim—r,ce quirendn—o, c’eft-à-dire, fi l'on a pris la hauteur de l’aftre à fon pañlage au premier vertical, l'erreur dE qui fe trouve dans la détermination de l'angle horaire , eft la plus petite qu'il eft poffible de commettre en évitant le hafard ; & l’erreur fur la hauteur du polé eft fans conféquence pour cette détermination, Ccc ii > Do ruc les rhsc : nkcc ) 388 Essart, DHoRoLEPsEe puifque l’on a dE —< dH.* ( Cependant cette moindre erreur qui réfulte fur l’angle horaire de celle qu’on a com- mife fur la hauteur de l’aftre, eft plus grande que celle-ci, lorfque la fphere eft oblique, ainfi que je l'ai déja dit, con- formément au principe général.) Et fi l’aftre eft fort voi- fin du premier vertical lorfqu'on prend fa hauteur, ce qui rend # fort petit, l'erreur fur la hauteur du pole eft de peti- te conféquence dans la détermination de l’angle horaire. Donc 2°. lorfqu’on peut obferver la hauteur d’un aftre à fon paflage au premier vertical , ou lorfqu’il eft fort près de ce cercle; & que l’on connoit d’ailleurs à peu près la hauteur du pole , ne füt-ce que par l’eftime pratiquée à la mer, une feule obfervation fuflit pour la détermination de l'heure, & l’on peut fe fervir du Probleme V. ci-deflus. Et fi l’on étoit dans le cas de ne pas connoître la hauteur dupole, ou de ne la connoître que très-groflierement , & qu’on voulut découvrir l’heure, fans déterminer plus précifément cette hauteur , il ne faut pas craindre de faire les deux obfervations des hauteurs d’un ou de deuxaftres, lefquelles conviennent à ce cas, felon le Probleme fe- cond, de faire, dis-je, ces deux obfervations dans les cir- conftances où elles donneroient le plus mal la hauteur du pole, puifque le défaut de ces obfervations à l'égard de la hauteur du pole , eft alors indifférent à la détermination de l'heure. Bien loin même d'éviter ces circonftances, ce font celles qu’il faut préférer & joindre enfemble ; je veux dire, qu'il eft à propos pour la détermination de * Je dis en évitant le hafard , cat abfolument parlant , dE peut être moindre r S x n 0 que — dH, & peut mémeétrezéro , lorfque les termes rrdH & rndL ont des ë ‘ fignes contraires. Mais c’eft un hafard que l’on auroit tort de tenter, en prenant volontairement un aftre à quelque diflance du premier vertical , puifque l’on s’expoferoit également par-là , au danger d’avoir Les deux termes.de la valeur de dE affeétés de fignes femblables. NAUTIQUE. 389 fheure feule, dans le cas du Probleme fecond, d’obferver deux aftres les plus voifins du premier vertical, foit de même côté, foit de différens côtés du méridien; car l’er- reur dE qui fe trouvera dans la détermination de l’heure en fuivant cette pratique , pourra être zéro, fi les deux erreurs dH, dH/, font en fens contraires, elle fera au plus , . F La égale à la moitié de — dH+— dH', pofé que les deux aftres foient précifément au premier vertical, & [a . CA. communément — dE fera environ la moitié dela plus grande erreur dH, à laquelle on eft fujet en prenant la hau- teur d'un aftre, erreur que M. Bouguer, déja cité fur ce point, eftime de 1$ minutes de degré. Par la raifon des contraires, on doit dire ( on le fçait même affez fans cela, & il eft inutile de le prouver direc- tement par le calcul ) que pour trouver feulement la hau- teur du pole dans le cas du Probleme fecond , il faut ob- ferver les deux hauteurs lorfque les deux aftres font le plus voifins du méridien, circonftances qui font les plus défa- vantageufes pour la détermination de l’heure. Cette re- marque paroit peut-être fuperflue: mais je la fais moins pour elle-même, que pour fortifier l’indu@tion que jetire de la précédente, en faveur de cette maxime générale, fçavoir que foit qu'on cherche [eulement la hauteur du pole, Joit qu’on cherche feulement l'heure, © par quelques élémens qu'on veuille chercher l'une de ces chofes , dans les Problemes du premier © du troifieme Chapitre de la premiere Partie , il faut toëjours choifir les deux circonflances les plus favorables , en particulier à l'invention de la chofe défirée , quoigw'elles Joient les plus défavantageufes à la détermination qu'on pour- roit faire de l'autre chofe, concurremment avec celle-là. Si on veut trouver feulement l'heure, par exemple, par lob- fervation des paflages de deux couples d’aftres à deux ver- 390 Essai D'HOROLEPSE ticaux , ce qui eft le cas du Probleme XI, Probleme qui fournit concurremment la hauteur du pole; on peur, & il eft même à propos, de préférer les deux circonftances qui donneroient le plus mal cette hauteur, © vice verfa, &c. C’eft des qualités de cet élément UE au Probl. XI°, & de celui qui fert au Probleme fuivant, qu'il me refte à arler. Obferver deux aftres à leur paflage à unmême vertical, c’eft les faifir lorfque la différence de leurs angles azymu- thaux eft zéro, ou à peu près, ou bien lorfque l’angle du grand cercle ENE'F, qui paffe par ces aftres avec le ver- tical MZ de l’un des deux eft aufli zéro, ou à peu près, Fig. 25, 27, &c. Obferver deux aftres à leur pañlage à un même almicantarath , c’eft les faifir lorfque leur diffé- rence de hauteur eft nulle ou à peu près , ou bien lorfque l'angle du grand cercle ENE’F, qui pale par ces aftres avec le vertical ZA, qui en eft équidiftant , eft droit ou à peu près , Fig. 26, 28. La différence des angles azymu- thaux de deux aftres, & la différence de leurs hauteurs , ou bien les angles du grand cercle fur lequel font fitués deux aftres avec certains verticaux, font donc les élé- mens de la variation , defquels il s’agit de déterminer l’é: tat vers le tems où ces élémens fervent à nos Problemes. Quant à la différence des hauteurs de deux aftres, il eft manifefte 1°, que fa variation eft nulle lorfque les hau- teurs croiffent ou décroiflent enfemble , & qu’elles reçoi- vent un changement égal ; & que cette variation eft pe- tite, lorfque les hauteurs reçoivent des changemens pref que égaux. Ainfi, comme nous avons vü que les chan- gemens de hauteur de deux aftres également éloignés du premier vertical par leurs azymuths font égaux, & que ces changemens font d’ailleurs en même fens, lorfque les deux aftres font de même part du méridien , il s'enfuit que la N' A UTIQUE: 391 {a variation de l’élément en queftion eft nulle, ou peu confidérable , lorfque le vertical ZW, qui eft équidiftant . des deux aftres E, E’, Fig. 26,28, &c. & perpendicu- laire, ou à peu près perpendiculaire au grand cercle EVE'F, fur lequel font ces aftres , n’eft pas différent du premier vertical , ou en eft peu éloigné. 2°. Il n’y a pour certains aftres qu’un tems très-court; où la variation 4H— dH' de la différence de leur hauteur puiff être nulle fenfiblement. Ce rems eft affez long pour d'autres aftres : un peu avant ou après ces tems , la varia- tion inftantanée dH— dH' de deux des premiers eft plus grande, que la variation pareille de deux desfeconds,quoi- que la variation totale H—H' dont ceux-là font capables, foit moindre que la variation totale de ceux-ci,en forte que le rapport de la variation inftantanée à la variation totale , éft bien plus grand alors pour ceux-là que pour ceux-ci ; & les aftres qui font fort voifins du 1° vertical, font ceux dela premiere condition, & ceux qui font fort voifins du mé- ridien font ceux de la feconde ; car il réfulte de ce qui a été dir ci-deflus , que la variation dH va en croiflant pour - Les afres qui font fitués du côté du premier vertical , e eft le pole élevé, lorfqu' ils s’'approchent de ce cercle , & là variation H' va toûjours en diminuant pour les afties qui font de l’autre côté du premier vertical : aïinfi avant ou après l'inftant où 4H eft précifément égale à dH', 4H —dH eft d'autant moins petite que chacune de ces quan- tités a une plus grande variation ddH, ddH'; & c’eft ce qui arrive lorfque les aftres font voifins du premier verti- cal : au contraire dH — dH/ eft d'autant plus petite, que chacune de ces quantités a une plus petite variation, & c’eft ce qui arrive lorfque les aftres font voifins du méri- dien, &tc. À 3°. 1l eft encore vifible que fi les deux aftres fitués à Prix. 1745 ; D dd 392 Essar D'HOROLEPSE peu près dans le même almicantarath , étoient de même part du premier vertical, la variation dH — dH/ de leur différence de hauteur, quand même elle fe trouveroit petite , * ne feroit pas la plus petite dont cet élément eft fufceptible , & que le tems de la rencontre fuppofée de ces aftres à un même almicantarath , eft affez éloigné du tems où leur variation dH — dH' eft effe&tivement laplus petite. Il réfulte de tout cela , & du principe pofé ci-deflus; que ce font deux aftres fitués de différens côtés du pre- mier vertical , de même part du méridien, & les plus pro- ches qu’il eft poffible de ce dernier cercle, qu'il faut choi- fir pour découvrir le plus fürement la hauteur du pole, par l’obfervation du paflage de ces aftres à un même al- micantarath. On feroit parvenu à la même conclufon, en confidé: rant la variation de l'angle du grand cercle ENE'F, fur lequel deux aftres font placés, & du vertical ZEN, équi= diftant de ces aftres , Fig. 26, 28, &c. car la variation de cet élément eft d'autant plus petite, que les points E , E', varient moins en hauteur, & qu'ils font plus éloignés du point mitoyen V , &c. D'un autre côté, la variation dH— 4H! de la difé- rence de hauteur de deux aftres, ne fçauroit être plus grande que quand l’une des hauteurs croît pendant que Fautre décroit; & quand chacune de ces quantités dH & dH'eft la plus grande qu'il eft poffible. Ainfi pour dé< terminer le plus fürement l’heure, par l’obfervation de deux aftres dans un même almicantarath , il faut en choi- fir deux qui foient de différens côtés du méridien, & le plus voifins qu'il e pourra du premier vertical : mais cela: ne fuffit pas, il faut encore que ces aftres foient de même # (C'eft ce qui auroït lieu ,.f les aftres étoient fort voifins. ) NauUTiIQuUue 30% part du premier vertical, plutôt que de différens côtés de ce cercle, parce que la variation 4H —4dH' à un plus grand rapport à la variation totale H— H' dans le pre- mier cas que dans le fecond. Il eft donc avantageux pour la détermination de lheure, par l'élément dont il s’agit, que le vertical 4Z NW, qui eft équidiftant des deux afîtres, & perpendiculaire ou à peu près, au grand cercle EVE'F où ils font , foit co-incident avec le méridien, ou en foit peu éloigné. Et c’eft aufli ce que demande l’oppofition d’entre la détermination de la hauteur du pole & celle de Pheure, puifque nous avons vû qu’il convenoit à celle-là, que le cercle #Z N füt co-incident avec le premier verti- cal, ou en fût peu éloigné. Cette propofition que je viens d’avancer touchant Îa détermination de l'heure, fçavoir qu'il eft à propos que les deux aftres obfervés dans un même almicantarath, foient de même côté plutôt que de différens côtés du pre- mier vertical, peut être confirmée par la confidération de la variation de l’angle du grand cercle ENE'F, oùfontles aftres avec le vertical uZN , équidiftant de ces aftres: car cette variation eft d'autant plus grande, le refte étant égal , que les points E , E”, font moins éloignés du point mitoyen 4. Or, en fuppofant deux aftres E , E”, fitués de divers côtés du méridien, & de même part du 1° vertical, & un troifieme aftre £/ d'autre part de ce cercle, & à la même diftance qu'en eft £”, ce qui rend égales les varia- tions d', dH" des hauteurs desaftres E”, E" ; il eft évi- dent que les aftres £, E’, font moins éloignés de leur point mitoyen, que les aftres £’, E/ ne le font du leur; donc, &c. Mais fi les aftres font de même côté du pre- mier vertical , & peu élevés , plus ils feront éloignés l’un de l’autre, & voifins par conféquent du premier vertical, plus ils feront propres, comine je l'ai déja dir, à la déter- Dddi 394 Essar D'HoroL£epsr mination de l'heure , parce que la variation de l'angle des cercles NZ , ENE'F augmentera plus par le plus grand changement des points E , F’ en hauteur, qu’elle ne di- minuera par le plus grand éloignement de ces points. II füit de la même confidération , que fi l’on n’eft pas expofé à une plus grande erreur, en croyant obferver deux . aftres dans un même almicantarath lorfque ces aftres font élevés, que lorfqu’ils font bas ; il vaudra mieux choifir des aftres qui foient dans le premier cas, que d’en prendre qui foient dans le fecond , le refte érant égal ; car plus les af tres font élevés , plus ils font voifins. Mais il ne faut pas abufer de cette confidération, & vouloir pouffer Favanta- ge dont il s’agit, jufqu’à prendre des aftres très-élevés, &x par conféquent très-voifins , parce que le premier verti- cal n’étant pas exaétement connu fur mer, fur-tout avant qu’on fçache l'heure, on s’expoferoit par-là à l’inconvé- nient que ces aftres fuffent trop écartés de ce grand cercle par leur azymuth , & que la variation de leur hauteur füt par conféquent alors trop petite, &c. : A l'égard de la variation inftantanée de la différence des angles azymuthaux de deux aftres, différence préfu« mée = 0 , loxfqu'on croit faifir ces aftres à leur paffage par un même vertical, cette variation eft à fon plus haut point de grandeur , ou en eft voifine, 1°. Dans le cas où les angles azymuthaux changent en fens différens, lorf que leurs changemens font les plus grands , ou peu s’en faut. 2°, Dans le cas où ces angles changent en même fens, lorfque l’un de ces angles eft dans fon état de plus grand changement , ou en approche, & que l’autre eft un de ceux qui changent le moins parmi ceux qui peuvent être combinés avec celui-là. Or c’eft ce qui arrive lorfque l'aftre fupérieur eft fort près du zénith & du méridien , & que l’aftre inférieur eft fort près de l’horifon, ainfi que du méridien, N'AUTIQUE. 39$ Le premier cas alieu, lorfque les deux aftres font du côté du premier vertical, où eft le pole élevé; & la cir: conftance dontil s’agit s’y trouve en effet : car l’aftre fu- périeur étant au-deflus du pole , eft mü d'Orient en Occi- dent ; & d’ailleurs plus il eft près du zénith , plus fon an- gle azymuthal change rapidement ; & laftre inférieur étant plus bas que le pole, revient d'Occident en Orient au regard de l’horifon , & d’ailleurs , plus il eft près tant du méridien que de lhorifon , plus le changement de fon: angle azymuthal eft grand. La liaifon de la proximité du méridien avec ce plus grand changement , eft aflez évi- dente par ce qui a été dit ci-deflus. Pour l'autre point, fçavoir que plus un aftre fitué au-deflous du pole & dans le méridien ou auprès, eft voifin de Î horifon, plusle chan- gement de fon angle azymuthal eft grand, je le prouve; pour abréger , par le calcul. Nous avons mk—yr, par la cinquieme formule de M. de Maupertuis. Faifant donc varier m & +, qui font les finus de l’angle azymu- thal & de l'angle horaire, pendant que k & y, qui font les cofinus de la hauteur & de la déclinaifon de l'aftre, de- eurent conftans, nous avons kdm=— ydt , ou dm=— _. dt. Et lorfque l’aftre eft fort près du méridien, ce qui rend Les finus m & r fort petits, leurs variations dm, dr, font à peu près les mêmes que celles des angles auxquels appar- tiennent ces finus : la variation inftantanée de l’angle azy- muthal eft donc proportionnelle à — dans cette circon-. fance. Or, je dis que cette fra@tion eft d’autant plus’ grande , que laftre eft plus bas ; car le cofinus y de fa dé- clinaifon en eft d'autant plus grand, & quoique k foit: auffi plus grand que fi l’aftre étoit moins bas, l’augmen- tation que reçoit y eft plus grande que celle de k; donc, &c. D dd ii 296 Essai D'HOROLEPSE Le fecond cas a lieu, lorfque les deux aftres font du côté du premier vertical où n’eft pas le pole élevé, & la circonftance marquée ci-devant s’y trouve auf , car les deux aftres font mûs en même fens, & l’angie azymuthal de celui qui eft fupérieur & voifin du zénith , change beaucoup : mais celui de l’aftre inférieur change d'autant moins, qu'il eft plus près de l’horifon , & qu’il décline plus par conféquent de l'équateur, ce qui rend le cofinus y de fa déclinaifon d’autant plus petit ; car cet aftre étant voifin du méridien, la variation de fon angle azymuthal eft, comme nous venons de le voir, proportionnelle à -—. Or cette fraétion eft d'autant moindre, que fon nu- mérateur y eft plus petit, & fon dénominateur k plus grand. Il eft vrai que l’aftre inférieur étant fuppofé voifin du méridien, cette partie de fon cours eft celle où fon angle azymuthal reçoit le plus grand changement : mais cela n'empêche pas que la variation inftantanée de la dif- férence des angles azymuthaux des deux aftres fitués de cette maniere, ne foit plus grande que s'ils étoient dans ou auprès d’un azymuth éloigné du méridien, parce que le changement de l’angle azymuthal de l’aftre fupérieur, eft beaucoup plus grand dans la premiere circonftance que dans lautre. 11 fuir de-là, & du principe expofé ci-devant, que pour déterminer le plus fürement l'heure par lobfervation du paffage de deux aftres par un même vertical, il faut 1°, que ce vertical MZ , où on croit voir les deux aftres, Fig. 2$ , 27, &c. foit le plus près qu’il eft poflible du méridien ( de même que doit être fitué , comme on l'a vû, le vertical #ZAN pour la même détermination, lorf qu'on obferve deux aftres dans un même almicantarath ); & cette pofition du vertical 472 auprès du méridien , fe- NUE UT 1 Q UE: 397 roit au contraire très-défavorable à l'invention de Îa hau- teur du pole. Il faut 2°, pour la détermination de l’heure par le moyen dont il s’agit, que l'un des aftres foit fort élevé , & l’autre fort bas. Je parlerai encore du même fu- jet dans le Chapitre fuivant. D'un autre côté , la variation inftantanée de la diffé- rence des angles azymuthaux de deux aftres , eft dans l’é- tat de la plus grande petitefle , ou voifine de cet état, lorfque ces angles varient en même fens & également, ou prefque également, & le moins qu'il eft poflible ; & c’eft ce qui fe rencontre , lorfque ces aftres font de même part du méridien, & que le vertical où on croit les voir eft co-incident avec le premier vertical, ou en eft peu éloigné. Cette pofition des deux aftres eft donc la plus avantageufe pour linvention de la hauteur du pole, & la plus défavantageufe pour la détermination de l'heure. Au refte , il faut encore, pour obtenir.le plus fürement la hauteur du pole par ce moyen, que l’un des aftres foit fort élevé , & l’autre fort bas: la raifon en eft , que la va riation inftantanée de la différence des angles azymuthaux de deux aftres ainfi difpofés, a un plus petit rapport à la variation totale de cet élément, que fi les deux aftres étoient à des hauteurs moins différentes : car deux aftres fitués en certain moment au premier vertical, l’un fort élevé & l’autre fort bas, feront dans quelque autre partie de leurs cours , en des azymuths bien plus éloignés, que: ne feront deux aftres qui fe feront pareïllement rencontrés au premier vertical , mais qui font plus voifins que ceux+ R , &c. ” Ce que je viens de dire fur l’état de la variation inftan- tanée de l'angle compris entre les azymuths de deux af- tres , Convient aux cas où,cet angle eft réputé nul. A l’é- 398 Essai D'HOROLEPSE ‘gard de ceux où cet angle eft fuppofé réel , & doit même avoir quelque grandeur (tels font les cas énoncés dans les Probl. XV & XVI.), je me borne à quelques exemples {ur l’état de la variation dont il s’agit , parce que le détail de toutes les rencontres feroittrop long, & peut-être en- auyeux : d’ailleurs il ne fera pas difficile de le fuppléer, à celui qui aura bien compris ce qui précede. Au Probleme XVI, on fait ufage de l'angle des azy- muths de deux aftres, fitués fur un même almicantarath. Si donc les deux aftres font aflez près du méridien, & de même part de ce cercle , en forte que le vertical «ZA, équidiftant des deux aftres , foit voifin du premier verti- cal (pofition avantageufe pour l'invention de la hauteur du pole), & fi d’ailleurs les deux aftres font peu élevés, & moins que le pole, l'angle azymutbal de l’un croîtra, & celui de l’autre décroiïtra, & les changemens de ces engles feront prefque égaux : ainfi la variation de l’angle des azymuths de ces aftres fera petite , & défavantageufe par conféquent pour l'invention de l'heure : mais fi les af tres font elevés, & plus élevés que le pole, en forte que celui qui eft du côté du pole, foit au-deflus du point de fa plus grande digreflion du méridien, les angles azymu- thaux des deux aftres changeront en même fens, & pref que également: ainfi la variation inftantanée de l'angle de leurs azymuths fera grande , & pourra même être beau- coup plus grande que celle de l'angle horäire. Cette fitua- tion des aftres feroit donc affez avantageufe pour l’inven- tion de Pheure, fi l’angle de leurs azymuths pouvoit être pris avec peu d'erreur: mais plus les aftres font élevés, & plus l'erreur à laquelle on eft expofé en prenant cet angle doit être grande, & je ne fais fi elle ne pourroit pas mon- ter à un degré trop confidérable, Il n'y a donc peut-être pas NAUTIQUE. 399 pas de pofition des aftres qui foit fort favorable en effet à la détermination de l'heure, dans le cas où le vertical FZN ef voilin du premier vertical. Que fi on fuppofe que les deux afres qui ont même hauteur font fort proches du premier vertical, & de même part de ce cercle, en forte que le vertical &ZN, équidif- tant des deux aftres, foit voifin du méridien ( poñition avantageufe pour l'invention de l'heure), on appercevra que l’obfervation de l'angle des azymuths de ces aftres ne feroit pas bien favorable pour la détermination de la hau- teur polaire , fi les aftres étoient bas ; & s’ils étoient éle- vés , l’obfervation de cet angle feroit peut-être fujette à une trop grande erreur, pour être utile à la même déter- mination, Au Probleme XV, le vertical où font deux aftres; peut fe trouver fitué très-favorablement pour donner l'heure, ou pour donner la hauteur du pole; mais l’ob- fervation de l'angle de ce vertical avec celui du troifieme aftre, ne feroit affez avantageufe ni pour donner la hau- teur du pole dans le premier cas, ni pour donner l’heure dans le fecond, fi le troifieme aftre étoit fort bas, quand bien l'angle dont il s’agit feroit fort grand dans le fecond cas, &c. Que fi le troifieme aftre étoit fort élevé, cet an- gle pourroit être tel , que s’il étoit obfervé fans trop d’er- seur , on auroit de l'avantage pour trouver l'heure dans le fecond cas (& alors il faudroit que cet angle für de 90 de- grés , ou approchant) , ou pour trouver la hauteur polaire dans le premier : mais lobfervation fuppofée feroit peut- être fujette à un défaut trop grand en foi, pour que fa con féquence pût être légere. Les Probl. XV & XVI ne font donc peut-être propres dans la pratique , qu’à donner l’une ou l’autre de ces chofes, la hauteur du pole , ou l'heure, felon la rencontre. Prix. 1745, Eeg 460 Essar D'HOROLEPSE Au Probleme XVIT, on fait ufage de l'angle des azymuths de deux aftres , & de la hauteur de l’un d’entre eux. Or, fi on ne défire qu’une de ces chofes , l'heure & la hauteur du pole, il eft à propos que l'angle dont il s’agit , approche de 90° , plutôt que de s’en éloigner. Si, par exemple, c’eft l'heure feulement que l’on veût déter- miner, il faut déja , comme on l’a vû , que l’aftre dont la hauteur fera obfervée, foit voifin du premier vertical, & il eft encore à propos que l’autre aftre foit auprès du mé- ridien , parce que la variation inftantanée de l'angle de leurs azymuths en fera plus grande, puifque le premier aftre eft vers la partie de fon cours , où le changement de fon angle azymuthal eft le plus petit, & que l’autre fera vers la partie de fon cours, où le changement de fon an- gle azymuthal eft le plus grand. Mais fi l’on fouhaite que l’une des obfervations du Pro: bleme XVIT foit avantageufe pour la détermination de l'une des chofes dont il s’agit, & que l’autre obfervation le foit pour celle de l’autre chofe , l'angle des azymuths des deux aftres doit être au moins fort petit, s’il ne peut être nul; d’ailleurs lun des aftres doit être affez élevé ; & l’autre fort bas. Si l’aftre , par exemple, dont la hau< teur fera obfervée, eft voifin du méridien, ce qui eft avan- tageux pour déterminer la hauteur polaire, il eft clair qu’a- fin que l’obfervation de l’angle des azymuths des aftres * foit favorable pour la détermination de lheure, il faut 1° que l’autre aftre foit pareillement voifin du méridien, & que les hauteurs des aftres foient très-différentes , pare ce que Îa variation inftantanée de l'angle de leurs azy= muths en fera d’autant plus grande , ces azymuths ayan< çant dans ce cas en fens contraires, & chacun avec une rapidité approchante de la plus grande qu'il puiffe avoir. ‘2°. Les aftres étant fuppofés de même part du premier N'AUTIQUE. 4oi gertical , il eft à propos, le refte étant égal , qu'ils foient aufli de même part du méridien, parce que la variation inftantanée de langle de leurs azymuths aura un plus grand rapport à la variation totale de cet élément , que fi les deux aftres étoient de divers côtés du méridien ; il faut donc que l’angle des azymuths des aftres foit fort petit dans l'exemple propoé , & le plus avantageux feroit qu'il füt nul. Pareillement fi l’aftre dont la hauteur fera obfer- vée eft voilin du premier vertical, ce qui eft avantageux pour l'invention de l'heure, il faut que l’autre aftre foit voifin aufli du même cercle, afin que lobfervation de l'angle des azymuths des aftres foit favorable pour lin- vention de la hauteur du pole, parce que la variation in- ftantanée de cet élément fera fort petite, les azymuths des aftres avançant dans ce cas en même fens, & avec le plus de lenteur, où à-peu-près , qu'il puifle, &c. Donc encore dans cet exemple, l'angle des azymuths des afires doit être fort petit, &c. Jufqu’ici j'ai expofé les états de la variation inftanta- née des divers élémens employés dans les Problemes, rouchant l'heure & la hauteur du pole, &c j'ai fait en mê- me tems l'application de mon Principe , au cas où l'on demande feulement l’une ou l’autre de ces chofes, & où on la cherche foit par une, foit par deux obfervations, I1 s’agit maintenant de ftatuer fur le cas où l’on demande conjointement l'heure & la hauteur du pole, ce qui re- quiert néceffairement la combinaifon de deux obferva- tions; & je dis, 1°. Qu'il faut faire l’une des obfervations dans la rencontre la plus favorable à l'invention del'heu- re, & l’autre obfervation dans la rencontre la plus favo- rable à l'invention de la hauteur du pole , nonobftant que la premiere rencontre ne foit pas propre à donner la bau- teur du pole , & que la deuxieme ne foit pas propre nog Ece ÿ 402 Essar D'HOROLEPSE plus à donner l'heure; car ces défauts refpe@ifs des ob2 fervations deviennent indiflérens, dès que chacune de ces obfervations eft avantageufe pour une des chofes de- mandées, puifqu’il n’eft pas néceffaire de bien connoître la hauteur du pole, pour obtenir l'heure auffi exaétement qu'il fe peut, ni de bien connoître l'heure, pour-obtenir pareillement la hauteur du pole avec la jufefle pofli- ble. Par exemple, fi c’eft par Îe paffage de deux couples d’aftres à deux verticaux, que l’on veuille déterminer l'heure &t la hauteur du pole, ce qui eft le fujet du Pro- bleme XIÏ , il faut que l’un des verticaux foit co-incidenr; s’il fe peut, avec le méridien, ou en foir fort voifin , & que Fautre foit de même co-incident avec le premier verti- cal, ou fort près de ce cercle. Si c’eft par les hauteurs de deux aftres que l’on cherche les deux chofes dont il s’agit, ce quieft le fujet du Probleme fecond, il faut que l’un des afîres foit fur le premier vertical, ou auprès ;. & que l’autre foit au méridien, ou en foit proche , &c. 29, Si les deux rencontres ou circonftances qui. fe pré: fentent, pour les deux obfervations dont on a befoin, ne font pas les plus favorables de toutes ; chacune à chaque chofe demandée , il faut, le refte étant égal, que ces circonflances aient entre elles un certain rapport égal, ow approchant de celui qui fe trouve entre les circonftances qui font abfolument les plus favorables de toutes. C’eft ce qui va être expliqué par des exemples. Au Probleme fecond, les deux rencontres les plus favos rables abfolument , tant à l'invention de l'heure, qu’à cel le de la hauteur du pole, font, comme je viens de le dire, que Pun des aftres foit au méridien , & l’autre au premier vertical. Or il fe trouve entre ces circonftances ce rap- port, fçavoir que les azymurhs des deux aftres font un NAUTIQUE. 403 angle droit. Lors donc qu’il n’y aura ni fur le premier ver- tical , ni au méridien , des aftres dont on puiffe obferver les hauteurs , il faudra , le refte étant égal, en choïfir deux dans les parties du ciel adjacentes, dont les azymuths faffent un angle droit, ou approchant d'un droit , par pré- férence à ceux dont les azymuths feroient un angle plus différent d’un droit. Si, par exemple, il yaunafñtre E à côté du méridien , dans la partie orientale & méridionale du ciel , un fecond aftre E’ à côté du premier vertical , dans la partie Orientale & Septentrionale, enfin un troi- fieme aftre E/ à même diftance que l’aftre Æ’ du premier vertical , mais fitué dans la plage Occidentale & Septen- trionale , l’azymuth du premier aftre , fait avec l’azymuth du fecond un angle plus approchant d’un droit , que n’eft celui qu’il fait avec l’azymuth du dernier aftre, C’eft donc la hauteur de l’aftre E’ qu'il faut obferver, & combiner avec celle de Paftre E, préférablement à celle de laf tre E”. Au Probleme XT, où l'on fait ufage du paffage de deux couples d’aftres à deux verticaux, il faut, fi ces verticaux font autres que le méridien & le premier vertical, qu'ils faflent du moins un angle droit ,ou approchant d’un droit. Au Probleme XIIT, où l’on fait ufage des pañfages d’une’ couple d’aftres à un vertical , & d’une autre couple à un même almicantarath , il faut pareillement que le vertical uZN' , équidiftant de ces derniers , fafle avec celui où paflent les deux premiers, l'angle le plus approchant d’un droit. Je fonde cette deuxieme regle en premier lieu, fur fon analogie avec la regle précédente. Je pourrois l’érablir en fecond lieu , enfpécifiant, & en prouvant par le cal-- cul l'avantage de la pratique propofée. Il confifte, cet avantage ; lorfque les deux obferyations font erronées. Ece iij 404 Essar D'HOROLEPSE d’un côté en ce que leurs erreurs quelconques ont des effets contraires à l'égard de l’une ou de l’autre des chofes défirées ; c’eft-à-dire, foit à l'égard de Fheure, foit à l’é- gard de la hauteur du pole, effets qui fe compenfent par conféquent jufqu'à un certain point, & peuvent fe com- penfer parfaitement : d’un autre côté, en cequeles-erreurs des obfervations ne tirent que médiocrement à confé- quence, pour la chofe à l'égard de laquelle elles font confpirantes. Et dans le cas où une feule des obfervations pecheroit, le vice de cette obfervation partageroit fon influence entre les deux chofes défirées, de maniere que fon effet en feroit moindre fur chacune. Maïs fi l’on s’é- cartoit de la regle dont il s’agit, les défauts des obferva- tions , ou le défaut feul de l’une d’elles , entraineroit une erreur non-médiocre fur Pune des chofes défirées, & d’ailleurs lorfque les deux obfervations pecheroient, leurs défauts pourroient ne pas produire des effets contraires à l'égard de l’autre chofe. L'avantage que j'attribue à la feconde regle, peut en- fin être rendu fenfible par la confeétion de quelques figu- res , & par des exemples, & c’eft le parti que je prends. Je donnerai par la même voie ; une nouvelle preuve de la premiere regle du cas dont il s’agit, & je retoucherai un point traité précédemment. Ces démonftrations fervi- ront d’ailleurs , ou conduiront à deux chofes ; fçavoir 1° à enfeigner au Navigateur un moyen facile de difcerner à peu près le degré d’erreur auquel il eft expofé dans la re- cherche de l’heure , ou de la hauteur du pole, ou de Pan- gle azymuthal d’un aftre , en quelque occurrence qu'il fe trouve. 2°. À jufifier ce que j'ai avancé touchant quel- ques utilités du planifphere propofé ci-devant. Je prends le fujet du Probleme fecond-pour exemple. Soit, Fg.31,32,33: 343 Ple pole; le vrai zénith, N'AUTIQUE. 40$ P z une partie du vrai méridien : foient ::£ , & /:E/, ou + E' des portions des verticaux où font en les Dr E , E’, dont les hauteurs font obfervées : foient Z:, Va arcs des cercles qui ont les points E, E’ pour c & pour amplitudes les complémens des Ru obfervées, arcs dont l’interfe@tion Z' eft différente du vrai zénith , He les obfervations des hauteurs des aftres péchent, foit par excès, foit par défaut, & eft prife ce- pendant pour le zénith. Les arcsz+, zs’, font égaux aux petites quantités dH, dH', dont on peut fe tromper dans ces obfervations. Les arcs Z'., Z<’,ayant leurs poles dans les azymuths;>E£ , <> E’, font perpendiculaires à ces cercles : fi l’on peut donc regarder les lignes qui compo- fent le quadrilatere Z:5 :’ reétangle en *, s’, comme droi- tes ou prefque droites , on aura l’angle:Z*’, égal ou à peu près égal au complément de l'angle :5< de font les deux verticaux où font les aftres : ainfiles lignes-Z,#7, ont à peu près la même inclinaifon refpeétive que les ver- ticaux des afîtres ; & fi ces verticaux comprennent un an- gle droit, Fig. 31, 32,33, l'angle :Z 'eft droit, ou à peu près , & le quadrilatere Z°>*" peut être pris pour un parallelogramme. Suppofons maintenant 2° que lan des aftres eft au méridien , & l’autre au premier vertical , conformément à la premiere regle , Fig. 3 1, & que l'erreur -/ s fur la hau- teur du premier-eft de 10 minutes, & l'erreur <= fur la hauteur du fecond , de 1 5 ; le zénith putatif Z fera , il eft vrai, éloigné du véritable de 18 minutes & plus, mais d’un côté ce faux zénith Z fera feulement éloigné du mé- ridien d’une quantité à peu près égale à -::, qui eft l’er- reur commife {ur la hauteur de l’aftre fitué au premier ver- tical. L’angle Z P x eft l'erreur qui en réfuite fur l’angle horaire , & il eft aifé de reconnoître que cet angle eft à 406 Essar D'HOROLEPSE l'arcs®, à peu près comme le finus total eft au finus de Ps, c'eft-à-dire au cofinus de la hauteur du pole. ( C'eft ce que nous avons déja vû plus haut, en trouvant par le calcul dE — — dH.) D'un autre côté, le faux zénith fera feulement éloigné du premier vertical d’une quantité à peu près égale à =, en forte que PZ —Pz, ouP? — PZ, qui eft l'erreur réfultante fur la hauteur du pole » fera égale feulement à l'erreur fur la hauteur de l'aftre fitué au méridien, c’eft-à-dire, de dix minutes ou envi- ron. Enfin, les cercles ZE, ZE, étant pris pour les azy- muths des aftres , les angles ZE=, ZE'>, feront les er- reurs fur les angles azymuthaux. Remarquons en pañlant, que plus les aftres feront bas, moins ces erreurs feront confidérables , & que les hauteurs étant égales , on fera expofé à une moindre erreur fur l’angle azymuthal de l'aftre fitué au premier vertical, que fur l'angle de lau= tre. Suppofons 2° que les deux aftres font dans des azymuths également éloignés du méridien & du premier vertical, rencontre qui s’écarte de ce que re- quiert la premiere regle le plus qu’il fe puiffe , en rem- pliffant la feconde. Suppofons encore que les erreurs fur les obfervations des hauteurs de ces aftres font égales, ê& de 1$ minutes chacune; le quadrilatere Z 2°’ fera un quarré , & la diftance du zénith putatif Z au vrai zé- nith , fera de plus de 21 minutes: mais dans le cas de la Fig 32, le point Z fe trouve fur le méridien, & l'erreur dans la pofition de ce point ; tombe feulement fur la hau- teur du pole : & dans le cas de la Fig. 33 , le point Z fe trouve fur le premier vertical, ainfi on fe trompe de l’an- gle ZPs fur l'heure, & comme PZ ne differe pas fenfi- blement NAUTIQUE. 407 blement de P > en grandeur, il ne réfalte pas d’erreur fur 1a hauteur du pole. Dans le casdes Fig. 3 2 & 33 ,les deux aftres font de même part du méridien ; il en feroit de mé- me fi les deux aftres étoient de différens côtés de ce cer- cle, lerreur dans la pofition de Z , pourroit n'influer que fur la détermination de l'heure, ou que fur celle de la hauteur du pole, ainfi que je l'ai avancé. Quant à ce que J'ai dit que l’erreur réfulrante de celles des obfervations n’eft que médiocre , je l’entends dans ce fens, que la dif- tance des points Z x eft moindre que la fomme des erreurs des deux obfervations. On doit bien appercevoir mainte- nant, & fans que je le montre plus expreffément, que la rencontre des Fig. 32 & 33 eft moins avantageufe que celle de la Fig. 31 , requife par la premiere regle, pour le cas où l’on demande conjointement l’heure & la hau- teur du pole, Si dans cette hypothefe des Fig. 32, 33, l'obferva- tion de la hauteur d’un des aftres étoit exaéte, celle, par exemple, de l’aftre E, la ligne Z : tomberoit en <=, & le point Z en s’, en forte que le zénith putatif feroit éga- lement éloigné du méridien, & du premier vertical , fça- voir des quantités /d, & =, moindres chacune que l'erreur ;/ >, commife par excès, ou par défaut, fur la hauteur de laftre E’ :/> étant de 15 minutes, «, s/>, ont des influen- ces contraires à l'égard de l'heure, & que cet éloigne- ment des points Z, >, caufe une erreur notable fur la dé- termination de la hauteur du pole , erreur qui eft d'autant _plus grande, le refte étant égal , que le point Z'eft plus voilin du méridien, | Pour fupplément à ce que j'ai dit fur le cas où l’on cher- cheroit feulement l'heure parles obfervations des hauteurs de deuxaftres, j'ajoûte que quand les branches d’azymuth où ils fe trouvent, font un angle très-aigu, & que l’un des deux eft à une hauteur médiocre , il faut que l’autre foit à une hauteur différente, La raifon de cette regle eft plus aifée à appercevoir par la confetion d’une figure qu’au- trement. Elle dépénd , cette raifon, de ce que les arcs Z'=, Z+', des cercles qui ont les deux aftres pour poles, & les complémens de leurs hauteurs pour amplitudes , ont leurs concavirés tournées en même fens dans la pre- miere fuppofition , &c. Dans le cas de la même recher- che, & lorfque les branches d’azymuth où font les aftres , font auffi un angle très-aigu, ou bien en font un fort ob- tus , il faut encore que les aftres ne foient pas tous deux très-bas, s’ils font à quelque diftance du premier vertical, &c. En un mot, il faut communément que les deuxaftres par les hauteurs defquels on prétend déterminer l’heure fans la hauteur du pole, & indépendamment de la con- noiffance qu’on peut avoir de cette haureur pareftime, ne foient pas bien voifins (le Leëteur fuppléera aifément les raifons de cette affertion). Et de-là il fuit, que lorfqu'un feul aftre fe préfente à l'Obfervateur, il faut qu’il y ait cet- tain intervalle entre les momens où il prendra deux hau- teurs de cet aftre, afin qu’il puiffe en déduire l’heure avec quelque jufteffe, Na, UATT Q GE. 409 Je crois qu’on apperçoit déja, par les Fig. 31, 32, 34, l'utilité que le Navigateur tireroit d’un planifphere, pour découvrir les limites de l'erreur, que les vices inévitables de fes obfervations peuvent jetter en certaines rencontres dans la recherche qu’il veut faire , foit de l’heure, foit de la hauteur du pole, foit de langle azymuthal d'un aftre. Et pour juger par-là fi fes obfervations méritent ou non dans ces rencontres, qu'il prenne leur réfultat par la voie du calcul ; après avoir déterminé le point du zénith pu- tatif Z, il n’auroit qu’à opérer enfuite fur des fuppolitions qui différaffent de fes obfervations , autant que celles-ci peuvent s’écarter de la réalité : il formeroit ainfi une figu- re , dans laquelle le point du vrai zénith feroit enfermé, & il verroit jufqu’où ce point peut être éloigné pour le plus, foit du méridien , foit du premier vertical putatif, qui pañlent par Z. Le Navigateur n’auroit pas même ab- folument befoin de faire cette figure en entier , ni de la conftruire toüjours avec une fcrupuleufe précifion. Qu'il décrive, par exemple, dans le cas du Proble- me fecond, desarcsos, so, &c. Fig. 35, des cercles qui ont les deux aftres pour poles, & pour amplitudes ref peétives les complémens de leurs hauteurs obfervées , plus & moins les quantités 4H, dH', dont on peut fe tromper dans ces obfervations : ces arcs compoferont au- tour de Z, un quadrilatere s 655, dans lequel fera conte- nu le point du vrai zénith. Or comme le vertical de l’un ou de l’autre des aftres, divile ce quadrilatere en deux portions qui font à peu près égales & femblables, il n’eft pas néceflaire de le former en entier, il fuit d’en faire une moitié , & même la partie de cette moitié où eft la limite du plus grand écart où l’on puifle tomber à l’égard du méridien, ou du premier vertical. Il n’eft pas néceffai- re non plus , de chercher les centres propres des arcs 57, Fffi 410 Essar DHOROLEPSE gs, &c. On peut opérer fur ceux qui onit fervi pour la dé: termination du point Z, en changeant feulement l’ou- verture du compas. On peut en un mot, prendre bien des licences, & faire cette efpece d'opération très-prompte- ment. Voici un autre exemple. Si l’on eft dans le cas du Pro: bleme VIT, où la hauteur du pole étant donnée, & deux aftres étant réputés vûs au même vertical, on cherche l'heure. Soit, Fig. 36, ENE'Z le grand cercle fur lequel ces deux aftres font fitués ; PZ le complément de la hau- teur polaire donnée : le vrai zénith peut fe trouver à quel- que diftance de part ou d’autre du grand cercle ENE'Z. Soient donc décrits des arcs so, so, de cercles paralleles à ENE/Z , & qui en foient autant éloignés , que l’on pré: fume que ce grand cercle peut être écarté du vrai zénith : puis du centre P, foient décrits d’autres arcs ss, «9, de cercles qui aient pour amplitudes le complément de la hauteur polaire fuppofée , plus & moins la quantité dont on a pà fe tromper dans l’obfervation , ou l’eftime de cette hauteur, & l’on aura un quadrilatere 550, où le point du vrai zénith fera enfermé. On doit remarquer maintenant, fi on ne l’a fait déja, que les rencontres que j'ai dit être avantageufes pour la recherche de l'heure & de la hauteur du pole, ont la plû- art ce caractere , fçavoir que les lignes qui doivent être tirées fur le planifphere , pour la folution des Problemes touchant ces chofes, fe coupent dans ces rencontres pet« pendiculairement , ou à peu près. J'ai dit, par exemple, que quand on veut obferver deux aftres dans un même vertical, ce qui eft fuppofé aux Probl. VII, XI, &c. il faut que l’un des aftres foit très-élevé, & l’autre fort bas : c'efta-dire, que l'intervalle de ces aftres approche de 90 degrés : & il eft vifible que cela étant, les deux arcs- N'aAuTiQque ait de-cercle qu'il faut décrire pour trouver fur le planifphere le pole © du grand cercle , fur lequel les deux aftres font fitués , & pour avoir ainfi le moyen de tracer ce grand cercle , feront des angles approchans d’un droit. J'ai dit pour le cas du Probl. VIF, que le vertical où les deux aftres font obfervés , doit être fort voifin du mé- ridien ; & il eft vifible que cela étant, le cercle Z7<, dé- crit autour du pole , Hg. 2$ , avec un rayon équivalent au complément de la hauteur donnée de ce point, coupera le vertical des aftres fous un angle approchant d’un droit. J'ai dit pour le cas du Prebl. XVIT, où l’on fuppofe don- né l’angie des azymuths de deux aftres , avec la hauteur de l’un d’eux ; que lorfqu’on cherche conjointement l'heure & la hauteur du pole, cet angle doit être fort petit : & Fon peut voir que cela étant , on tirera des lignes prefque perpendiculaires dans l’opération graphique, pat laquelle on déterminera la pofition de l'aftre dont la hauteur n’eft pas obfervée , &c. Au contraire , les rencontres défavantageufes, & les plus défavantageufes ,au moins à quelque égard, ont cette qualité que les lignes qui doivent être tracées pour la folu- tion des Problemes dont il s’agit, font ‘inclinées l’une à l'autre , & fort inclinées. Or, quand des lignes fe coupent perpendiculaire- ment, ou à peu près, leur point d’interfeétion eft facile à difcerner , & ce point feroit au contraire difficile à re- connoître, fi les lignes qui fe croifenr, étoient fort incli- nées refpeétivement, | Donc 1°, lorfque les interfe@ions des lignes tracées fur le planifphere pour la détermination de l'heure & de la hauteur du pole, feront difhciles à difcerner | le Na- vigateur peut de cela feal conclurre pour l’ordiriaire, que’ la rencontre où il a fait fon obfervation, ou fes obferva- FFF üï 412 Essar DHOROLEPSE tions , eft défavantageufe au moins à quelque égard, en fe fervant même du calcul. . 2°. Puifque les interfe@tions des lignes tracées fur le planifphere , pour les Problemes dont il s’agit, font faci- les à difcerner dans les rencontres avantageufes, on doit en conclurre que l’ufage du planifphere eft peu- défec- tueux dans ces rencontres, & qu’il ne le feroit notable- ment, que dans celles qui doivent être rejettées. Cette conféquence eft peut-être affez évidente, cependant pour ne rien négliger, je vais l'appliquer à un exemple. Soient deux aftres réputés vûs dans un même vertical; quelque foit leur pofition , on fera , je l’avoue, expofé en opérant fur le planifphere , à mettre un peu à côté de leur vraie place, les arcs dont l’interfeétion doit indiquer le pole du grand cercle qui pañle par les afires, parce qu'on peut faire les rayons de ces arcs un peu trop grands ou trop petits. Or files deux aftres étoient fort voifins, on feroit d’ailleurs expofé à prendre, au lieu du vrai point d'interfeétion de ces arcs, bien ou mal placés, un autre point qui en feroit éloigné : ainfi on rifqueroir de placer fort mal le pole putatif du grand cercle des deux aftres, & d’en décrire un autre qui en feroit fort écarté par quel- ques endroits, entre lefquels pourroit être la région du zénith. L'ufage d’une opération graphique feroit donc, jen conviens , défeétueux dans cette rencontre où les aftres font voifins : mais aufli elle eft défavantageufe, cette rencontre, puifqu’on y feroit expofé à réputer les aftres dans un même vertical , en quelque moment où le grand cercle fur lequel ils font fitués , feroit fort écarté du zé- nith, Mais fi Pan des aftres eft fort élevé, & l’autre fort bas, en forte que leur intervalle approche de 90 degrés; on difcernera très-bien le vrai point d’interfection des arcs tracés pour l'invention du pole du grand cercle où font NaAuTiIQUE: 413 les deux aftres : ainfi on ne rifquera pas de fe tromper no- tablement dans la fixation de ce pole, & le cercle qu’on décrira par les deux aftres , en conféquence de cette fixa- tion ne pourra s'écarter que peu de ce grand cercle, où ils font réellement, principalement vers la région du zénith. L'opération graphique ne fera donc que peu dé- fettueufe en cette rencontre. Au refte, je crois qu’on voit affez pourquoi j'ai ufé de reftriétion dans la remarque précédente. Il y a en effer des rencontres avantageufes à quelque égard , quoique le vrai point d'interfeétion des lignes tracées fur le plani- fphere foit difficile à difcerner en ces rencontres. Ainf celle qui répond à la Hg. 34, eft favorable d’un côté pour la détermination de l’heure, quoique défavantageu- fe d’ailleurs pour l'invention de la hauteur du pole : & l’on peut voir encore que l’opération graphique a deux qualités différentes en cette rencontre, c’eft-à-dire, qu’el- le eft peu défetueufe pour la détermination de l’heure, quoiqu’elle le foit beaucoup pour celle de la hauteur po- laire : car la ligne qui joint les points P, Z, & quieft le méridien putatif, étant fort inclinée aux deux arcs ’ 40/ du matin, ou ÿ heures 6’ 20” dufoir, momens où le Soleil pafle au premier ver- tical , & fe trouve à 19° 10’ de hauteur, lorfque fa décli- naifon eft de 13° $o*, & la hauteur du pole de 46° 45’; comme il a été fuppofé ci-deffus. Car quelque fut la de l’angle azymuthal, dans le cas où l’on a befoin de deux obfervations ; ou du moins quelqu'un pourroit ne pas aflez pénétrer cette conféquence de fa doétrine, & fe méprendre : car il eft re pour la détermination de l'angle azymu- thal , par une feule obfervation de hauteur, que l’aftre fit voifin du premier vertical ; ainf quelqu'un pourroit penfer qu’il eft avantageux aufli pour la dé- termination de cet angle de combiner deux obfervations de hauteurs prifes dans le voifinage du premier vertical, maïs c'eft tout Le contraire : la combinaifon de ces obfervations feroit dangereufe , quoique chacune foit favorable en par- ticulier ; c’eft ce qu’on peut voiren ar le réfultat de la derniere hypothefe de ceChapitre. Une bonne combinaifon pour la recherche dont il s’agit, lorfqu'on a une obfervation de hauteur auprès du premier vertical , eft d'y en joindre une prife auprès du méridier, &c, Ggegi 418 Essai D'HOROLEPSE combinaifon des erreurs des deux obfervations, l'erreur qui en réfulreroit fur l’angle horaire, ne feroit que d'environ 8" 46/ de degré, ou de 3 5” 4/” d'heure, l’obfervation du Soleil auprès du premier vertical, étant fuppofée feule- ment erronée de 6 minutes, comme ci-devant, &c. Peut-être dira-t-on que l'intervalle des obfervations qui excede $ heures dans cette derniere hypothefe , eft trop confidérable , & que non-feulement la déclinaifon du So- leil varieroit fenfiblement dans cet intervalle, mais que le vaiffeau pourroit faire beaucoup de chemin, foit en longitude , foit en latitude ,.ce qui altere une ou plufieurs circonftances du Probleme, &c. ( c’eft apparemment par cette confidération, que dans le mémoire cité on n’a mis qu'une heure d'intervalle entre les deux obfervations). Je réponds fur cela, 1°. Que je ne confeille pas abfolument de combiner des obfervations faites en des momens éloi- gnés , je ne le fais que pourle cas où ikn’y a qu’un feul aftre qui fe préfente à l'Obfervateur , & où il y a plu- fieurs chofes à déterminer. 2°. Je remarque qu'il eft aifé d’avoir égard aux altérations caufées par le mouvement du vaifleau, pourvû qu’on fçache à peu près la direétion & la longueur de fa route , &c. 3°. Si l’on ne veut pas en- trer dans cette difcuflion, on peut fe contenter de cher- cher une feule de ces chofes à 1æ fois, l'heure, ou la hauteur du pole ;.en fe fondant fur une obfervation favo- rable à cette chofe, & fur la connoiffance qu’on a de l’autre par eftime. 4°. Enfin, file Navigateur fe défie trop de fon eftime , & qu’il veuille ne mettre qu’un petit inter- valle entre les deux obfervations de hauteur, néceffaires pour déterminer ou l'heure, ou la hauteur du pole, il faut qu'il choififfe pour ces obfervations, des endroits du ciel moins éloignés du premier vertical , ou du méridien , que’ dans l’hypothefe du Mémoire de 1736. NAuUTIiGUE 41$ Pour trouver l'heure, par exemple, il faut prendre chacune des hauteurs du Soleil, lorfqu’il eft dans un azy= muth le plus voifin qu’il fe peut du premier vertical , en laiffant un intervalle raifonnable entre les deux obferva- tions ; c’eft-à-dire , qu’il faut prendre une des hauteurs avant que le Soleil arrive au premier vertical , & l'autre après qu’il y apaflé. Suppofons en conféquence de cette propofition, que le Navigateur étant , par la même dari- tude (46° 45”), & le Soleil à la même déclinaifon que ci-deflus , ceraftre foit obfervé à fix heures & ‘demie, & à fept heures & demie précifes du‘matin (c’eft le: même intervalle que ci-deflus) , les deux hauteurs en ces deux momens doivent être 15° 7/ 44”, 7 & 25° 23/19 Or, files deux obfewations pechent en même fens;. c'eft le cas où l'erreur qui en réfultera fur l’angle horaire fera la plus grande, mais peu confidérable cependant. Suppofons, par exemple ; les deux obfervations trop foi- bles chacune de fix minutes, c’eft-à-dire , que la premie- re hauteur eft réputée de 15° 1° 44”, 7, dont le compl. cft74° 58/15”, 3; & l’autre de 25° 17/ 19/, dont le compl. eft 64° 42/41”, on trouve pour l'angle putatif PEZ , au moment de la premiere obférvation, 44° 42! 11/,44; & pour l'angle horaire putatif, au même mo- ment , 82° 39/10”, angle quiexcede le véritable de 9! +0”, ou bien de 39°” 40/” de tems. Cette erreur n’eft que de très-peu plus grande que celle qui fe trouve dans la combinaifon d’une obfervation faite au paflage même par le premier vertical, avec une obfervation de hauteur méridienne. Suppofons enfin que les deux obfervations pechent en fens contraires ; que la premiere hauteur eft réputée, par exemple, trop petite, & la deuxieme trop grande, c'eft-à- dire, que celle-là eft réputée de 15° 1° 44/7 Geg.ii. 420 Essai D'HOROLEPSE (compl. 74° 58" 15/,3), & l’autre de 25° 29/ 19”, dont le compl. eft 64° 30’ 41”, on trouve pour l’angle putatif ZEE”, au moment de la premiere obfervation 42° 24° 18/,72,ainf l'angle putatif PEZ de l’azymuth du So- leil, avec fon cercle horaireen cemomenteftde, 45° 47/ 41,28 ; & on trouve pour l’angle horaire putatifEP Z, au même moment, 82° 27’ $$/,3 , angle qui differe du vrai de 2” 4”,7 par défaut, ce qui réduit en tems, ne revient qu'à 9” 19°”, au lieu que dans la même com- binaifon d'erreurs des hauteurs, pour le cas du Mémoire de 1736, il réfulte 2 minutes, ou 120” d’erreur fur Vheure. On peut conclurre de ces derniers calculs, qu’u- ne demi-heure d'intervalle entre les deux obfervations fe- roit encore fufñfante , pourvû qu’on prit les deux hauteurs des deux côtés du premier vertical. Je dis fuffifante pour la dérermination de l’heure feulement, car on n’auroit qu'une détermination très-vicieufe de la hauteur du pole, & de l'angle azymuthal par conféquent , lorfque les deux obfervations pecheroient en fens contraires. Au refte, on doit voir par ces exemples, quelle eft la bonne maniere de trouver l’heure pendant le jour, lorfque le Soleil décline du côté du pole élevé, & qu'il eft le feul aftre vifible, principalement fi l’horifon eft couvert par quelque brouillard, quine permette pas d’obferver le le- ver ou le coucher de cet aftre : car quand l’horifon fera net, on pourra encore prendre l’obfervation du lever ou du coucher du Soleil (ou plutôt celle du moment où fon bord inférieur touche l’horifon fenfible) , au lieu d’une ob- fervation de fa hauteur lorfqu'il eft auprès du premier ver tical , parce que l'erreur propre à la premiere efpece d’ob- fervation eft moins grande , que celle à quoi eft fujette une obfervarion de hauteur , & la conféquence de celle: la ne fera pas plus grande, que la conféquence de celle- NIA Cam QUE. 421 ci, fice n’eft que la déclinaifon du Soleil & a hauteur du pole fuffent grandes. Lorfque le Soleil décline du côté du poleabbaifé, & qu'il n'y a pas d'autre aftre qui paroifle conjointement, c’eft fon lever ou fon coucher qu'il faut , s’il eft poffible, obferver par préférence, pour la détermination de l'heure; tout autre tems eft moins favorable pour cette détermina- tion par une obfervation de hauteur du Soleil ; parce que cette obfervation feroit plus fautive, & que la conféquen- ce de fon erreur feroit plus grande. Et fi l’horifon eft oc- cupé par un brouillard, il faut obferver le Soleil à la moin- dre hauteur qu’on pourra. Dans l'intervalle entre la pre- micre & la derniere apparition du Soleil , il faudra s’en rapporter à une montre réglée fur la meilleure obferva- tion précédente. Cependant, fil’on étoit dans une région où la déclinaifon de la Pouflole eût-certaine conftance, on pourroit , après lavoir vérifiée par la meilleure & la plus récente obfervation, tenter encore vers midi d’obfer- ver l'angle azymuthal du Soleil, à l’aide de cet inftru- ment, dans ce même cas de la déclinaifon du Soleil du côté du pole abbaiïffé. | Quant au tems des crépufcules , il ne fera pasrare, fi le ciel eft ferain , de découvrir alors quelques Planetes , & même plufieurs étoiles de la premiere grandeur, & ces aftres pourront être dans une pofition avantageufe pour l'invention de l'heure. Mais de quelle méthode fe fervi- ra-t-on dans ce cas, ainfi que pendant la nuit? C’eft de quoi je vais traiter dans le Chapitre fuivant, st 422 Essaï D'HOROLEPSE C'EAN"P I IR Ex Il Du choix entre les différentes méthodes, ou. efpeces d'obfervations qui peuvent fervir a trouver l'heure. I tous les avantages poffibles fe trouvoient réunis dans une feule méthode, le choix dont il s’agit ne feroit pas long à faire , & demanderoit peu de difcuflion : cette méthode mériteroit fans doute une préférence entiere & abfolue. Mais les avantages paroiflent difperfés ; telle méthode en a, ou paroït en avoir un, qui manque d’un autre : on ne peut donc, ce femble , établir de préféren- ce générale & fans exception, & il y a lieu à quelque dif- cufion, s’il faut péfer & comparer les diverfes qualités des différentes méthodes, & y afligner des rangs. On peut regarder comme les deux principales efpeces d’obfervations, celle de prendre les hauteurs desaftres, & celle d’en obferver une couple à fon paffage par un mê- me vertical, ce font au moins les deux efpeces les plus familieres, & il eft aifé de voir ce que les autres efpeces ont de commun:avec celles-là. Or la premiere a cetavan- tage , par exemple , que l’on peut abfolument l’employer en tout tems où les aftres font vifibles , & qu’on peut pro- fer d’un inftant rapide, où quelque aftre perce au-travers d’un nuage ; mais aufli cette mérhode requiert un inftru- ment, &elle eft difficile à exécuter pendant la nuit , fur- tout lorfqu’on ne découvre pas l'horifon. D'un autre côté , l’obfervation de deux aftres à leur pañfage par un même vertical, a ce petit inconvénient, qu'on ne peut la faire en tout tems où les aftres paroiffent ; | il faut, N AT 1°Q UE. 423 flifaut, à l'égard de chaque couple d’aftres, attendre-cer- tain moment, & on peut lermanquer par quelque hafard : mais aufli en récompenfe ; cette opération fe peut faire faci- dement fur mer , s’il en faut croïre M. de Maupertuis, pag. 62 de l’Aftronomie Nautique, © n'a befoin d'aucun infiru- ment ;.cur ,ajoûte-t-il ;0n ne peut pas appeller un infirument , un fil chargé d'un plomb , qui ef? tout ce qu'ilifaut pour la fai- re, Et dans fa Préface, pag. xxxij, M: de Maupertuis met cette obfervation de deux aftres dans'un même vertical, après celle du lever :ou du coucher d’anaftre | & avant toute autre, quant à la fimpliciré & la facilité, infinuant au refte qu'on peut la faire avec précifion & exactitude , même fur mer. Sur la mer, ditil, page fuivante, #n fil chargé d'un plomb fufit. A quoi il ajoûte, que fi l'on vou- doit fe contenter d'une moindre exactitude ;on pourroit, a la väe Simple , juger.affezjufle , fi la ligne: qui joint deux étoiles ef verticale, furtout f; l'on choifilfoit deux étoiles affez éloignées d'une de l'autre. L'autorité de M. de Maupertuis eft gran- de affürément , mais elle fe trouve balancée , il faut l’a voüer, & un peu affoiblie peut-être , par celle d’un autre Sçavant ; non, moins verfé dans lAftronomie , lequel a blâmé la méthode dont il s’agit. CeScavanteft M. Bou- guer ; Je rapporterai fon jugement plus bas: Il eft à propos, avant que d'entreprendre un examen régulier &c pleinement décifif, des qualités des différentes efpeces d'obfervations ; de faire auelques remarques, 1°. Quoique ces différentesefpeces puiffent être iné- gales en mérite abfolu ; cette inégalité; quant à plufieurs, ne va pas, felon mon eftime, à un bien haut point, à un point tel que l'égalité de mérite relatif aux circonftances ne puifle fe retrouver entre ces méthodes, & que celle même qui feroit moins bonne abfolument , ne puiffe pré- valoir à raifon des circonftances, fur une meilleure, Prix. 1745. Hhh 424 Essai D'HOROLEPSE 2°. L’occafion de mettre en pratique la préférence que quelque méthode pourroit mériter fur les autres, en parité de circonftances , ne fe préfentera pas toûjours ; elle ne peut gueres fe trouver, cette occafion ,; que pendant la nuit, encore ne fe préfentera-t-elle pas à chaque moment: car les circonftances ne peuvent pas être toüjours favora- bles à l’ufage de chaque méthode, il n'y en aura qu'une pour l'ordinaire à employer en tel ou tel moment, fça- voir celle qui conviendra le mieux aux circonftances pré- fentes, & qui méritera à cet égard la préférence adtuelle fur une autre méthode , qui feroit meilleure en parité de circonftances. - Le Navigateur doit donc être en état de faire ufage de plus d’une méthode ; il faudra qu’il emploie tantôt l’une, tantôt l’autre , fuivant l'occurrence : il fçaura, s’il eft in- telligent & attentif, tirer bon parti de la plüpart des efpe- ces d’obfervations , recherchant toûjours la circonftance la plus avantageufe pour chaque méthode, il faifira la pre- miere qu’il trouvera de cette qualité , & rarement il man- quera d’en trouver quelqu’une , parce que la pofition des aîtres qui eft la plus défavantageufe pour une méthode; eft favorable pour une autre. Par exemple, lorfque la hauteur du pole étant con- nue , on demande l'heure, s’il fe préfente un aftre auprès du premier vertical , il vaudra mieux pour la détermina- tion requife, prendre la hauteur de cet aftre , que d’atten- dre le paffage d’une couple d’aftres à un même vertical, f ce vertical fait un grand angle avec le méridien, ou É ces aftres font peu éloignés l’un de l’autre. Et lorfqu’on demande conjointement la hauteur du pole, & lheure, s'il fe trouve deux aftres dont les azymuths faffent'un an- gle droit ou approchant, il eft à propos de prendre les . hauteurs de ces deux afres, ce quieft la matiere du Pro- NAUTIQUE. 425$ bleme fecond , furtout fi l’un eft voifin du méridien » &c. Si au contraire , deux aftres affez différens en hauteur , trouvent en des azymuths très-obliques l’un à l’autre , il eft à propos d’obferver l'angle de ces azymuths, & la hauteur d’un des aftres, ce qui eft la matiere du Proble- me XVII. furtout fi les aftres font fort voifins du pre- mier vertical, ou du méridien. Et dans le cas où, fans connoître fuffifamment la hauteur du pole, on demande- roit feulement l'heure , fi deux aftres fe trouvoient pareil- lement en des azymuths très-obliques l’un à l’autre, & au premier vertical , il ne faudtoit pas négliger de pren- dre leurs hauteurs, & d'opérer fuivant le Probleme fe- cond , &c. 3°. Si les circonftances font parfaitement favorables au même moment , ou en des momens peu éloignés , à des procédés différens, par exemple, à quelqu'un de ceux où l’on fe fonde fur l’obfervation de la hauteur d’un aftre , & à quelqu'un de ceux où l’on fe fert du paffage de deux aftres à un même vertical ; au lieu de choifir entre ces différens procédés , & d’en laifler un , il paroït à pro- pos de les employer conjointement : car on aura ce qui eft défiré avec plus de füreté , fi leurs réfultats font con- formes, ou avec moins d’erreur préfomptive , en prenant un milieu entre ces réfüultats , s'ils font différens. On pourroit, ce femble, fur ces confidérations, fe difpenfer de pefer exaétement les qualités des divers pro- cédés : cependant comme l'intention de l’Académie pa- roit être que l’on porte la difcuffion jufqu'à afligner une maniere de trouver l'heure pendant la nuit, meilleure que toute autre, au Cas qu’il y en ait une ; comme cette dif. cuffion eft d’ailleurs curieufe ; enfin comme il faut du moins montrer fur quoi eft fondée l’eftime qui me fait di- re ; que l'inégalité de mérite entre divers procédés en Hhh ji; 426 Essai D'HOROLEPSE parité de circonftances ; ne fçauroit être que médiocres . je vais tenter la recherche de l’erreur à laquelle on peut être expofé , en croyant faifir une couple d’aftres à leur pafflage par un même vertical; car c’eft cette erreur qu’il faut comparer avec celle à quoi eft fujette l’obfervation de la hauteur d’unaftre ; pour connoître fi l’une de ces- obfervations prévaut fur l’autre , & je mebornerai à cet effai. J'ai rapporté Île témoignage de M. de Maupertuis , en - faveur de l’obfervation de deux aftres :dans un même ver-: tical, par le moyen d’un fil à plomb: mais le jugement de, M. Bouguer fur cette pratique eft bien différent, on ne peut le diffimuler. M. Meynier l'avoir propofée dans une addition à fon Mémoire fur la maniere d’obferver en mer la déclinaifon de la Bouflole, pag. 62, & il l’avoit- limitée à V'obfervation de l'étoile polaire, avec quelqu’une- de celles qui l’environnent, à peu près comme il eft en-: feigné dans le livre de la Connoiffance des Tems. Ainfi- M. Meynier avoit faifi une des circonftances favorables à cette efpece d’obfervation, puifque le vertical de l’é- toile polaire n’eft jamais fort écarté du méridien, à moins: que le pole ne foit bien haut. * Cependant M. B. a blä- mé rudement ce procédé dans fes remarques fur le Mé-- moire cité. » M. Meynier fupplée (dit-il pag. s ) une ma- niere de trouver l'heure dans l'addition qu’il a mife après + coup à fon Mémoire : mais il veut qu’on fe ferve pour cela d’un fil à plomb , ne fe reffouvenant pas d’en avoir. * Aurefte, M. Meynier prétendoit découvrir l'heure par cette obfervation } fans calcul ; à l’aide de je ne fçai quel planifphere qu’il a imaginé, & indépen- damment de la différence des hauteurs du pole pour les différens lieux; & à cet égard il £ trompoit lourdement. Mais M. B. qui dit n’avoir pas voulu rapporter toutes les méprifes de M. Meyÿnier, mais fulement. celles qui 1érent le plus à. conféquence ; © qui fe préfentenr les premieres , a négligé de relever cette faute, &alne traite la pratique dontsil s'agit d’imparfaire , qu’à railon de l’agitarion consinuelle du vaifeau , Jaquelle doit caufer des ofcillations irrégulieres ;, au fil chargé d’un plomb, SEE suite NAUTIQUE: 429 5 rejetté l’ufage auparavant, à caufe de l'agitation conti- » huelle du vaifleau. Or, un moyen fi émparfait de trou- > ver l’heure (ajoûte M. B.); fera qu’on fe trompera 44 » moins de 15 ou 20 minutes de tems , Ce qui produira en » fuite des erreurs exceflives dans l’azymuth ». Quinze ou 20’ de tems, répondent à 4 ou s degrés , errgeurbien con- fidérable fur l'angle horaire , fi l’on y étoit effeétivement éxpofé. D'ailleurs M. B. approuve, page fuivante , & veut même qu’on détermine l'angle horaire d’un aftre par l’obfervation de fa hauteur. Voilà, je le répete, un jugement bien différent de celui de M. de Maupertuis. Et quel parti doit prendre dans un cas de cette efpece , une perfonne dont les lumie- tes font aufli bornéesquée les miennes , & fi inférieures à celles des Scavans qui fe contrarient ? Non noftrûminter vostantam componere pugnam. Ces Meffieurs font plus capables que qui que ce foit, de difcerner le point qui doit les concilier ; & j’aimerois beaucoup mieux attendre le jugement réfléchi porté par Fun ou par l’autre, que de le prévenir. Si j'ofe parler fur ce fujet, ce n’eft qu'avec répugnance, & à caufe de la néceflité que paroït impofer l'énoncé du Programme de l'Académie, S’il faut donc que je m’en explique, je dirai, avec la permiflion de ces Meflieurs , qu’on peut, ce fem- ble , ufer de tempérament, & prendre un certain milieu entre les deux extrémités. L’obfervation de deux aftres dans un même vertical, n’eft peut - être pas fufceptible d'autant d’exaéfitude ; que l’infinue M. de Maupertuis ; d’un autre côté , je ne la crois pas fujette à autant d’im- perfection que l’a avancé M. Bouguer. Je penfe que cet Auteur, fi judicieux ailleurs en tout, a été un peu trop loin à cet égard : c’eft en paffant , c’eft dans un écrit fait Hhh ii 428 Essar #DHOROLEPSE pour repouffer uni aggrefleur téméraire , dans un écrit compofé peut-être avec quelque précipitation, que M. Bouguer a blâmé la méthode dont il s'agit. On peut donc foupconner qu'il s’y eft un peu laïffé emporter par l’'ardeur polémique. Venons au fair. Nous avons vû que l'erreur dE fur l'heure, eft = — dH, lorfqu'on la détermine par la hauteur d’un aftre fitué fur le premier vertical, ce qui eft la pofition la plus favorable pour cette détermination. Suppofons pareïllement que les deux aftres E, E’, qu'on prétend obferver dans un même vertical, font fitués le plus ayantageufement à l'égard du méridien , pour la mê- me détermination, c’eft-à-dire, que Æ lun des deuxaftres, eft fur le méridien même véritable 3PE, ou P5E, Fig. 37 & 33. 1°. C’eft avec un fil chargé d’un plomb , que l’on pro- pofe de faire l’obfervation dont il s’agit, mais ce fil ne doit pas être extrêmement délié, il doit du moins être vifble , il faut qu’il ait par conféquent certaine épaifleur ( auffi quelques-uns propofent-ils de prendre une ficelle ). Ainfi lorfqu’on regarde ce fil, les deux plans de rayons vifuels qui en rafent les côtés , font un certain angle qui eft différent , felon que le fil eft plus ou moins éloigné de l'œil. Soient l’arc qui eft la mefure de ce petitangle, & fon finus , nommés dM, dans le cas où l’on auroit placé ce fil à la diftance de l’œil la plus convenable OH, fig. s 2 pour y vifer felon une ligne horifontale. Si l'on veut donc vifer à ce fil felon une ligne UB , oblique à lhorifon, pour l’ajufter fur un objet élevé E”, il me femble qu'il faut pla- cer ce fil plus près de l'œil , comme en BC , le placer, dis-je, plus près de œil dans le fens horifontal , enraifon du finus 0 C du complément de la hauteur de objet £”, NAUTIQUE 429 au rayon OH , afin qu’il y ait même diftance de l'œil à la partie du fil B , ajuftée fur l'objet , que dans le cas où on viferoit horifontalement au fil. Ainfi l’angle des deux plans de rayons vifuels qui rafent les deux côtés du fil, a pour mefure, & pour finus ——4M, k' étant le cofinus de la hauteur de l'objet E”. Soit donc cetanglerépréfenté, Fig. 37 & 38, par l’angle fphérique mzm"', compris entre les deux quarts-de-cercle 2m, zm', car il peut arriver qu’au: moment où l’on croira le fil bien ajufté fur les deuxaftres, un d'entre eux réponde à un des côtés du fil, & l’autre aftre à l’autre côté , en forte que la ligne EE’Z qui joint les deux aftres, & renferme le zénith putatifZ , foit obli-- que au fil. Etje ne crois pas même qu’on puifle fauver ou dimi- nuer cet inconvénient, en affeétant d'employer un fil très-délié ; ou d’éloigner beaucoup le fil de l'œil ; car on feroit alors expofé , ce me femble , à une illufion équiva- lente ; qui feroit de juger les deux aftres bien répondans au fil , en quelque moment où le fil feroit réellement en<- tre deux, & à quelque diftance des principaux rayons vi: fuels , dirigés à l’un & à l’autre. Une caufe fuffifante pour cela , outte celles que je toucherai plus bas, c’eft qu’on ne peut pas voir , comme chacun le fçait , en même tems d’une vüe diftinéte , deux petits objets fitués à des diftan- ces très-différentes de l’œil , tels que font le fil & quelque aftre : car fil’on veut voir diftinétement le fl, laftre pa- roïtra double, & ff c’eft laftre , qui, comme lobjet le plus éclatant’, attache le plusla vûe, c’eft le fil qui paroï- tra double ou confus. Le plus für eft peut-êtte, que le fil employé pour l’obfervation!, ait certaine groffeur', fcavoir telle qu'il puiffe couvrir entierement l’aftre le plus élevé. 2°, Il peut encore arriver qu’au moment où l’on croira 430 Essar D'HOROLEPSE le filbien à plomb, & les deux aftres bien répondansaufil, ce fil foit incliné à la ligne verticale, en même fens que la “ligne qui joint les deux aftres ef inclinée à ce fil même, ainfi qu'il eft répréfenté, Fig. 37 & 38, où = ef le vrai zénith , & x» le vertical qui rencontre un des côtés du fil au point où il coupe lhorifon , en forte qué l'angle zm 2 eft celui que fait le fil avec une ligne vraiment per- pendiculaire. Je nomme le finus de cetangle 41. En fop- pofant donc PZ donné, & égal à peu près à Pz , complé- ment de la vraie hauteur du pole, le concours des acci- dens'qu’on vient d’expliquer, peut faire que le zénith pu- tatif Z fe trouve éloigné du vrai zénith > ; des deux petits arcs2z,2Z ; & PZ étant le méridien putatif, l’angle zPZ , qui répond au petit arc dE de l'équateur, eft l'er- xeur fur l'heure, ” Or, quand=E”, complément de Îa hauteur de l’aftre fupérieur, eft confidérable en comparaifon de = x, on peut regarder les deux arcs = E£”,zE”, comme égaux ou à peu ‘près ; à plus forte raifon les deux arcs zE , ZE, font aufli égaux entre eux. Cela pofé, le triangle fphérique mE>, donne cette analogie : Sin. 3E (k): fin. zm (r) : : fin. 2mE (dl): fin. >Em, ou >Ez = — dI. Letriangle fphéri- que zEE’ donne cette autre analogie : Sin. EE’ (d): fin. 2E' (4) Ce EzE' (— dM) «fin. EE =? dM, Or l'angle =EZ étant la fomme des deux, petits angles 32Ez2,2EZ , fon finus eft à peu près égal à la fomme des finus de ces angles partiels ; & le ce fphérique PEZ donne enfin cette analogie : Sin, PZ (c).: fin. ZE (4): fin. nav dI+ << d M): fin. EPZ ou:PZ =dE= — (d1+-dM). Telle NAUTIQUE. 437 Telle eft lerreur qui peut réfulter fur l'heure, des deux caufes que j'ai marquées. Et cette formule , où il refte à déterminer d1 & dM, donne déja la confirmation de ce que J'ai dit ci-deflus, fçavoir que l’aftre fupérieur doit être fort haut, & que l’aftre inférieur doit être fort bas, à moins que celui-là ne füt précifément au zénith, ce qui n'eft pas le cas lesplus ordinaire : car tant que l’aftre fupé- rieur fera ailleurs qu’au zénith, le finus ? de la diftance des deux aftres , fera moindre que le cofinus k de la hau- 3 : - : à k teur de l’aftre inférieur ; ainfi la fra@tion — fera d’au- tant plus petite, que ces quantités feront finus de plus grands arcs. On voit de plus, qu'il eft à peu près indiffé- rent que les deux aftres foient du côté du zénith où eft le pole élevé, ou qu’ils foïent du côté oppofé. Il paroit encore ( & cela fuit aufli du principe général pofé ci-de- vant ) que lorfqu'on veut obferver l’étoile polaire dans un même vertical, avec quelqu’une de celles qui l’environ- nent dans les conftellations de fa grande Ourfe, du Dra- gon, de Caffiopée, &c. il vaudroit mieux, ceffant la dificulté que j'indiquerai bientôt, obferver l'étoile po- laire avec quelqu’une de ces étoiles , lorfque celle-ci eft fupérieure à la polaire , que lorfqu’elle eft au-deflous, car la frattion L eft plus petite dans le premier cas que dans le fecond. Ilrefte, dis-je, à déterminer , ou plutôt à eftimer les quantités d1 & dM: maïs il refte aufli deux caufes d’er- reur à confidérer , & il faut peut-être joindre l’effet d’une de ces caufes à 41. Cette caufe eft celle qui a finguliere- ment frappé M. Bouguer , je veux dire les ofcillations du fil , provenantes de l'agitation continuelle du vaifleau, of- cillations, il faut l’avoüer , incommodes & très - nuili- bles : car non-feulement elles peuvent faire que le fil foit Prix. 1745: | Tii 432 Essar D'HOROLEPSE incliné en quelque inftant où on le croira dans Îa pofitioti verticale, ce qui eft l’erreur dont j'ai déja fait état , erreur qui naît de l’irrégularité à laquelle M. B. prétend que les ofcillations d’un pendule font fujettes fur mer, mais en- core elles rendent difficile l'application du fil aux deux aftres. À l'égard de l’aftre fupérieur , le mieux qu’on puifle faire pour y ajufter le fil, c’eft de vifer à cer aftre par une partie du fil qui foit fort voifine de fon point de fufpenfion, encore pourra t-on manquer de tems en tems cette Jonc- tion, à caufe des fecouffes du vaifleau , pendant qu'on attendra le moment requis du paflage de l’aftre inférieur. Et à l'égard de celui-ci , les ofcillations du fil feront né- ceffairement qu’il paroîtra tantôt à fa droite ;.tantôt à fa gauche , en forte qu'il faudra prendre pour le moment du pañfage de l’aftre par le fil, celui-vers lequel les excur- fions du fil de part & d’autre de l’aftre feront jugées éga- les. Or c’eften quoi il ef facile de fe méprendre , & ce qui fuppofe d’ailleurs que le fil répond toüjours à l'aftre fupérieur.. L'autre caufe d'erreur a lieu dans le cas où la diftance des deux aftres qu’on prétend obferver dansun même ver- tical, excede certain terme qui eft d'environ 15 degrés: & ce cas eft cependant celui que l’on doit rechercher ,, ainfi que je l'ai démontré plus haut , fans quoi l'erreur k . PREST : , — dM pourroit être confidérable , quoique la quantité dM le fût peu. Cette caufe confifte en ce que l’on ne peut voir en même tems d’une vûe diftinéte , deux objets qui: font à l'œil un angle au-deffus d’une certaine quantité ; * mais fi l’on a jetté d'abord un regard jufte fur un de ces. * C’eft un fait aflez connu, fur-tout: par les Marins. Cela les empêche de prendre la hauteur des étoiles avec l'Arbaleftrille ou le Quartier-Anglois , lor{= qu'elles font fort élevées , & ils.en regardent l’obfervation comme incertaine ;: quand l’aftre eft élevé d'environ 20 degrés... NAUTIQUT. 433 objets, äl faut mouvoir l'œil au moins, pour voir enfuite l’autre objet de la même maniere. Or, il peut arriver pen- dant ce mouvement & changement de direétion de l'œil, que le fil par lequel on doit mirer foit un peu déplacé. Bien plus, fi les deux aftres font fort diftans ( ce qui eft d’ailleurs te plus avantageux) , il faudra mouvoir la tête même de haut enbas, & de bas enhaut, pour porter la vûe fucceflivement & alternativement fur chacun des aftres , parce que le jeu de l’œil dans fon orbite ,eft aflez borné : or , fans parler dela gène qu'il y a à renverfer la tête , il peut arriver que pendant fa converfion dans de fens vertical , elle fe jette un peu à droite ou à gauche de fa fituation précédente , & que l'œil fe trouve par confé- quent dans un autre vertical avecle fil, quand même ce fil feroit fixe. Cette derniere caufe d'erreur me paroît aflez confidé- xable , & je penfe qu’il eft à propos de chercher le moyen de s’y fouftraire ; en faifant Labfervation dontil s’agit. Je propoferai une idée fur cela dans le Chapitre fuivant : je fouhaite qu’elle foit pratiquable , & qu'elle ne ramene point d’inconvénient, au lieu de celui que je veux fup- primer. Pour revenir aux autres caufes d'erreur, je ne crois pas qu'on puifle s’en garantir entierement furmer, mais jene fais pas en état de faire une eftime précife de leur effet : je la aile à ceux qui connoiffent la mer par expérience. Je dirai feulement que fi l’on parvient à éviter la derniere erreur que j'ai marquée , l’obfervation du paflage de deux aftres par un même vertical , prévaudra, ce me femble, fur une obfervation de hauteur. Au refte, je ne vois pas que la premiere efpece d’obfervation puifle excéder ex- trèmement la feconde-en mérite; car pourquoi l’obferva- tion de la hauteur de quelque aftre eft-elle fautive fur mer, lii ÿ “ 434 Essar D'HOROCEPSE fürtout {a nuit, & lorfqu’on ne voit pas l’horifon? C’eft, 49, parce qu'il faut vifer à l’aftre par des pinnules qui doi- vent avoir quelque grandeur, & parce que l’inftrument peut être fautif..C'eft, 2°, parce que cet inftrument n’eft pas juftement à plomb , ou bien parce que le pendule qu'on y applique pour montrer la ligne verticale, fouffre des ofcillarions : & ne retrouvons-nous pas de pareilles: fources d'erreur dans l’obfervation de deux aftres à leur pañlage par un même vertical ? Enfin, fi la hauteur. d’un aftre eft difficile à prendre lorfqu’elle change fenfible- ment , pareille difficulté ne fe rencontre-t-elle pas dans l'obfervation dont il s’agit, lorfqu’on veut failir la cir- conftance la plus favorable à là détermination de l'heure, puifque l’angle des azymuths des deux aftres change promptement dans cette circonftance.. H me refte une remarque fur la détermination de l’heu: re, quitrouve ici fa place; c’eft que l'erreur dE qu'on peut commettre fur l’heure ; eft d'autant plus grande que le pole eft plus élevé. En effet, nous avons vû qu’en la déterminantipar la hauteur d’un aftre fitué fur le premier - ; r vertical; l'erreur dE — — dH; * & nous venons de voir dE = — (dI + + aM) »: lorfqu’on. détermine l'heure par l’obfervation de deux aftres, dans un même vertical putatif, voifin du méridien ; il eft aifé d’ailleurs de reconnoître que cette fra&ion—— doit entrer dans toute autre expreffion de l'erreur dontil s’agit. Mais quant à la dérermination de la hauteur du pole, l'erreur qui peut s’y glifler.eft la même, quelle que foit cette hauteur. Auffi * Je fuppofe 4H conftante , ou plutôt, comme il eff vraifemblable que cetre erreur ef plus grande à meiure que le pole eft moins élevé, parce que la hauteur des aftres change plus promptement, & eft plus difficile à obierver ; je fuppofe- que dH ne croit pas en raifon du cofnus de la hauteur du pole. . NaAUTIQGUE 435$ eft-il également important au Navigateur ; de connoître avec la même jufteffe fa latitude telle qu’elle foir,'gtan- de ou petite : mais il n’en eft pas de même pour l’heure ; plus le pole eft élevé, moins: il eft important de la bien connoître fur mer. Car fi on la cherche pour découvrir la différence de la longitude du lieu où l’on eft, & de celle du lieu d’où l’on eff parti , il importe moins de fe tromper dans l’eftime de cette différence , à mefure que le pole eft plus élevé , parce que le moyen parallele entre les deux lieux eft d’autant plus petir. Et fi c’eft pour fervir à trouver la variation de la Bouflole qu’on veut fcavoir l'heure, il importe moins aufli de la bien connoïître à cet égard, à mefure que le pole eft plus haut. En un mor, en fuppofant que l'erreur dans la pofition du zénith putatif a l'égard du vrai méridien eft conftante, c’eft-à-dire, que la diftance du zénith putatif à ce méridien eft conftante, il réfulte de-là , À la vérité, que l'erreur fur l'heure eft inégale, felon que le ole eft plus où moins élevé: mais l'erreur fur l’arc du pa- rallele où eft l'Obfervateur , eft à peu près la même en grandeur abfolue, c’eft-à-dire du même nombre de toi- fes , en fuppofant la terre fphérique , & c’eft à cette er- reur que le Navigateureft, ce me femble, feulement ou: principalement intéreffé, Tii à, 436 Essai D''HOROLEPSE CHELLES EL ET Des moyens de faire les obfervations qui fervent & détérminer l'heure , Tc. $. I. Des moyens de prendre la hauteur des Affres. ORSQUE l’horifon eft découvert, le Quartier Anglois eft le meilleur inftrument entre les anciens pour prendre la hauteur du Soleil : ce même inftrument eft encore propre pour obferver la hauteur des aftres qui ne jettent point d'ombre, s'ils font peu élevés. Le nou- vel inftrument propofé par M. de Fouchy, dans les Mé- moires de 1740, eft très-propre dans le même cas de fa vifibilité de l’horifon , pour montrer la hauteur quelconque de tout aftre. Mais lorfque l'horifon n’eft pas vifible, il faut employer un inftrument qui prenne de lui-même fa fituation , ou qui foit garni d’un pendule, pour marquer la ligne verticale. Les inftrumens de [a premiere efpece font divers. On peut voir la defcription des principaux & plus commodes, dans le Mémoire de M. Bouguer, touchant la méthode d’obferver exaétement fur mer la hauteur des aftres ; Piece qui a remporté le Prix de 1729. REXEXEX HEXKE LEA HE ee NauTiQue: 437 8. IL. Des moyens d’obferver deux affres à leur pafage par A . un méme vertical. LE moyen le plus fimple eft de fe fervir d’un fil à plomb. Ce moyen convient également à la circonftan- ce où l’on ne voit pas l’horifon , & à celle où il feroit vi- fible : mais fi l’on fe trouve quelquefois dans celle-ci, on peutemployer un moyen meilleur , en ce que l’on évite- ra l’incommodité des ofciilations du fil à plomb. Il faut appliquer à une piece ajoutée , & garnie de deux pinnu+ les , un fil, de maniere que l’angle de ce fil, avec la ligne qui pafle par les pinnules, differe d’un droit , d’une quan- tité égale à l’inclinaifon de l’horifon vifuel ; un Obferva- teur y vifera par les pinnules, en tenant le plan de l'inftru- ment dans une pofition à peu près perpendiculaire au vet- tical où les deux aftres doivent fe rencontrer ; ainfi le fil fera dans ce même vertical, ou en fera extrêmement voifin , quand même il feroit un peu incliné à l’hori- fon, conjointement avec le plan de l'inftrument ; un- fecond Obfervateur vifera donc aux deux aftres par ce fil. J'ai déja remarqué qu'on ne peut vifer dire&tement du: même coup d'œil à deux aftres, lorfqu’ils font éloignés. J'eftime qu'il eft à propos dans ce cas , de faire en forte qu’on voie l’aftre le plus élevé par réflexion ; car le rayon réfléchi venant de cet aftre , pourra être rendu fort voifin du rayon direét émané de l’autre. Soit EO,Fig. $ 3 ce rayon direét émané de l’aftre inférieur ; E’b0 le rayon direët qui iroit de l’aftre fupérieur à l’œil de l'Obfervateur ; £’M un autre rayon du même aftre : ce rayon peut être renvoyé à l'œil de l'Obfervateur felon MO , de maniere que l’an- gle EOM foit fort petit: une petite piece 41 de miroir 438 Essaï DHOROLÆ&PSE plan, appliqué au fil, fufit pour cela. On donnera à cette piece une telle inclinaifon à l'égard du fil, qu’elle en aie 30 ou 40 degrés à l'égard de l'horifon ; & en tenant le miroir un peu au-deffus ou un peu au-deffous du rayon vi- fuel de l'aftre inférieur , on y pourra voir un aftre dont la hauteur foit depuis so environ jufqu'à 80 degrés. Mais quoique les deux aftres puiflent être vûs ainfifw une même ligne verticale, cela n’eft pas fufñfant pour en conclurre qu'ils fontréellement au même vertical, il faut encore que l'œil foit avec le fil, dans un plan perpendi- culaire à la piece de miroir , & cela fuppofe deux chofes, fçavoir 1°, qu'il y ait, par exemple , un fecond fil 2", combiné avec celui (BAM) auquel eft appliquée la piece de miroir, & qui foit tendu par le même poids , d’où il réfultera que ces fils feront roûjours dans un même plan, & que ce plan affeétera la fituation verticale , foit que les fils foient paralleles ou non. 2°. Il faut que la piece de miroir foit rendue exaétement perpendiculaire au plan des deux fils. Cela fuppofé , fi l'œil de l'Obfervateur eft placé maniere que l’un des fils paroiffe couvrir l’autre , & que les deux aftres y répondent, ils feront alors dans un même vertical. Ce moyen, comme on Île voit, n’eft rien moins que fimple. C’eft un vrai inftrument que l’aflemblage du mi- roir & des deux fils , & il faudra , je l’avoue , beaucoup d'attention & de dextérité de Ja part du conftruéteur, pour rendre le miroir exaétement perpendiculaire au plan des fils. Je ne m'arrêterai point fur la maniere d’y‘réuflir, Je dirai feulement que le miroir doit être placé à demeu- re , & que le fil qui en fera armé , doit être incapable de fe tordre. Le plus für feroit d'employer une lame au lieu d’un fil. Au refte , pour faire fervir le miroir à l’obferva- tion d’un aftre plus ou moins élevé, il s'agira feulement d’incliner NMauTiQquer. 439 d’incliner plus ou moins à l’horifon le fil , ou plutôt la la- me BM qui le portera. C’eft ce qu’on exécutera aifément -dans le befoin , en changeant l'application de cette lame au poids , ou autre corps qui tiendra le fii ? » tendu, c’eft- à-dire , en éloignant plus ou moinsles extrémités inférieu- res de la lame & dufil, felon une droite tracée fur ce poids, fans changer la fituation des parties fupérieures. Un autre moyen plus avantageux, mais de plus grand appareil , feroit de fe fervir de l’inftrument propofé en 1740, par M. de Fouchy , pour obferver la diftance de deux aftres, & pour quelques autres ufages. Or pour met- tre cet inftrument à l’ufage que j'entends, on y applique- ga un fil garni d’un plomb : un Obfervateur foûtenant l'inftrument ,fuivra les deux aftres, & un autre Obferva- teur remarquera le moment où le fil à plomb étant en re- pos, fera dans le plan de l’inftrument , ou bien fera en of cillant des excurfions à peu près égales de part &c d’autre du plan de l’inftrument : c’eft en ce moment que les deux aftres fe trouveront au même vertical. S. IL.” Sur lobférvation de deux affres dans un même elmicantarath. CETTE obfervation eft fort fimple , fort facile , & fort sufte fur mer , lorfque l’horifon fenfible eft l’almicantarath commun des deux aftres, & qu'il eft découvert : mais cette obfervation ceffe d’être fimple , & devient difficile, lorfque les aftres font au-deflus de l'horifon, il faut alors au Marin un inftrument, Le meilleur de tous pour ce cas, eft encore , ce me femble , celui de M. de Fouchy, en y ajoûtant une piece particuliere , fcavoir une lame platte tournante fur un axe perpendiculaire au plan de l'infrument , ame Prix. 1745, Kkk 440 Essat D'HOROLCEPSE qui foit par conféquenttoûjours perpendiculaire à ce plan: cette lame portera un fil à plomb. Comme angle que font les deux aftres a PObfervateur, eft connu par la dif- ftance des deux aftres , qui eft donnée par les tables , ou par l'infttument même dont il s’agit , on difpofera la lame de maniere qu’elle divife cet angle par-le mi- lieu: un Obfervateur foûtenant l’inftrument , fuivra les deux aftres , en les joignant dans fa lunette; ainfi le plan de l’inftrument fera dans celui du grand cercle, qui pañle par les deux aftres ( ou fi ces deux plans font inclinés l’un à l’autre, à caufe des réfraétions , ce fera dans un fens in- différent à l’obfervation défirée), & lorfque cesaftres fe- ront parvenus au même almicantarath, la lame perpendi- culaire au plan de linftrument , fera dans Ke plan du ver- tical équidiftant des deux aftres ; un fecond Obfervateur remarquera ce moment, qui eft celui où le fil à plomb étant en repos , fe trouvera dans le plan de la lameou bien fera en ofcillant , des excurfions à peu près égales de. part & d’autre de ce plan. . $. IV. Sur l'obférvation de l'angle des azymuths de deux aftres. TL eft à fouhaiter que cette obfervation, qui feroit: utile fur nier, n’y foit pas impoflible ; mais elle paroît difficile, je l’avoue, lorfque la mer eft agitée, & que l’ho- rifon n’eft pas vifible. Je n’ai rien de précis à propofer touchant la maniere de l’exécuter avec certaine juftefle ; & c’eft ici que’je fens le plus mon infuffifance & ma ftéri- lité pour l'invention : mais il ya des génies capables d’y fuppléer, & peut-être quelqu'un voudra-t-il bien fe prêter à cette fecherche , ou décider filon n'en doit rien ef pérer, NAUTIQUE 44 ” Pourroit-on employer un: fe&teur de cercle fufperdu de facon qu'ilaffeétât la pofition horifontale par fon pro-. pre poids? Au-deflus de cette piece feroient deux fils: fitués dansun même plan, & placés, fçavoir l’un au centre du cercle , perpendiculairement à fon plan, & l’autre à fa circonférence, & an commencement de la divifion du limbe. Un Obfervateur dirigeroit le plan des: deux fils à l’aftre fupérieur , en y vifant par ces fils; un autre Obfervateur, tenant un fil à plomb auprès du limbe de l’infttumenrt,, viferoit à l’aftre inférieur par cefil, & par celui du centre du cercle ; enfin ce même obféervateur, ou pour le mieux ,untroifieme, remarqueroit le point moyen du limbe, auquel répondroit le:fil à plomb, &c. Mais cette pratique feroît fujette à uninconvénient-non- lèger, en ce que le principal inftrument fouffriroit des. agitations , & le-fil à plomb tenu parlé-deuxieme Obfer- vateur en fouffriroit d’autres, ce qui ne permettroit peut- être pas de bien juger à quelle divifion du limbe le fil à plomb devroit être réputé répondre. * Si cette obfervation nieft pas pratiquable fur mer, * Si l'on réuflit quelquefois à fairecette obfervation, ilmerefte à avertir que fi l'on veut opérer enfuite graphiquementauProbl,XWIT, ily a une précaution à prendre, lorfque l’angledésazymuths des deux aftres eft fort aigu. L'opération graphique a deux parties: la premiere confifté à formeren particulier le triangle _ÉE'Z par les élémens donnés, qui font la diftance des deux aîtres, & la hauteur de l’un d’eux , outre l'angle EZE'dontil s’agit; &par-lä on détermine la hauteur ‘du fecond aftre , aufi-bien que ’ängle EE'Z; l’autre partie de l'opération confifle à décrire cemême triangle EE'Z fur leplanifphere , &c’eft ce qu’on peut exécu- ter abfolument par deux voies différentes, ainfi qu'il a été enfeigné ci-deflus; mais l’une de ces voies eft défavanrageufe dans le cas marqué. Cette voie eft de former letriangle EE'Z par le moyen de festrois côtés. Or, comme l'angle EZE" eft füuppoff fort aigu, enfe trompant tant foit peu dans cette deuxieme partie de Vopération fur la grandeur de l'un ou de l’autre côtéEZ, E'Z, on placeroit aflez mal le point Z , & cela nuiroit ou à la détermination de l'heure, ou à celle dela hauteur du pole. Il faut donc, pour bien conftruire le triangle en queftion fur le planifphere, employer feulement l’autre procédé, c'eft-à-dire, former cetriangle fur la:bafe EE’, par le moyen du côté EZ, & de l'angle EE'Z adjacent à cette bafe , lequel a été déterminé par la premiere partie de l'opération. Quand on fe tromperoit un peu fur cet angle , il n’en r‘fulreroit qu'une petite erreur dans la poñtion du pont Z, KKkK i 442 Essar D'HOROLEPSE lorfque l’horifon eft couvert, on pourroit tenter d'y en fubftituer une autre, dont je n’ai pas encore parlé, fcavoir celle de l’inclinaifon du grand cercle où font fitués les deux aftres à l'égard de l’horifon : car cet élément étant donné , avec la hauteur de l’un des aftres, on en dédui- roit aifément l'heure & la hauteur du pole. Au triangle fphérique ZE%, fig. s 4. où Zx eft le vertical qui rencontre le grand cercle E E’} des deux aftres à fon interfeétion en ; avec l’horifon , on auroit l'angle ExZ , complément de l'inclinaifon de ce cercle EE’; à l’horifon, le côté EZ oppofé à cet angle, côté qui eft complément de la hau- teur obfervée, & le côté Z' x qui eft un quart-de-cercle : ainfi on auroïit Fangle ZEE, auquel ce côté Z x eft oppofé par cette fimple analogie ; fin. EZ : fin. tot. :: fin. E x2 : fin. ZEE'’; & on pourfuivroit, comme il a été prefcrit ci-deflus ( Partie deuxieme) pour le fecond Probleme. 443 RE ET ETES DR UT an AVERTISSEMENT ET ADDITIONS Pour une Piece intitulée : Effai d'Horolepfe Nauti: que , © marquée par ce vers : Nautam ne pigeat cœli convexa tueri ; Dont la premiere Partie a été préfentée en 1744, @ cottée N° V, &c. EST depuis le mois d’Août 1744, que j'ai compofé la fuite de cette Piece, & il m'en reftoit une petite portion à page à | Pâques 174$ : mais j'ai achevé cet Effai dans la même difpofition où je l’ai conti- nué, c’eft-à-dire, fans aucune vüûe fur le Prix, ne fcachant pas même qu’il avoit été remis. Ç’a été feulement pour vuider ma tête d’un refte d'idées, en les confignant par écrit, que J'ai travaillé ; & j'ai fimplement fuivi mon premier plan, tel que je lavois formé au hafard , faute d’avoir fçù démêler le vrai but de l’Académie. Enfin, javois envoyé à Paris, & fait préfenter la continuation de ma Piece, lorfque j'ai reçu le nouveau Programme pour Kkk ii 144 Æssar :D'HoOROLEPSE 1747, pat lequel j'ai-appris que /es moyens méchaniques . es. plus Jérs pour faire en.mer les obférvations dont on peut conclurre. l'heure, faifoient le principal objet, de la queflion propofée en x 743 3€ qui eft fort différent de la fuppofition fur laquelle j'ai travaillé : car quoique j'aie raifonné fur la maniere de faire les obfervations d'où on. peut déduire Vheure , je n’ai pas confidéré ce point comme mon ca: pital, mais comme unaccefloire qu'ilme fuffifoit d'effleu- rer. Je dois même déclarer qu'un tel fujet demandant, pour être traité pleinement & ayec fuccès , un talent & des connoïffances dont je me fens mal pourvüû,je me ferois entierement abftenu de toucher à la queftion de l'invention de l'heure en mer, fi-j'euffe bien connu d’abord: l'inten- tion de l ASacé es Que fije reviens aujourd’hui fur cette queftion , c’eft plutôt pour avouer ma foiblefle, & pour rendre raifon de l’état où eftla partie de ma Piece, pré- fentée depuis la remife du prix, que pour effayer de fa- tisfaire.au defir du nouveau Programme. J'A1 propofé au dernier Chapitre de ma troifieme Partie, d’émployer un pendule pour connoîtrela fituation, de l'inftrument quelconque, par lequel on tentera de, faire une obfervation pour la détermination de l’heure,, lorfque l'horifon ne fera pas vifible , &J je n'ai rien dit de l'ufage des niveaux à liqueur : mais j'ai vü depuis, dans les Tranfaétions Philofophiques , de la traduétion de M: de Bremorit , que les anglois ont eû recours depuis quel- ques années , à ce moyen propofé autrefois en France, dans des afflemblées qui fe tenoient chez M:......... & dont la propofition a été renouvellée &. fort. recom., mandée par M: de Radouay , dans fes remarques fur la Navigation , imprimées à Paris en 1727. * Ce moyen * Cet Ouvrage eft muni d’approbations ,. & d'un Privilege datés de l’an, 1724. NAUTIQUE. 44$ mérite effe@ivementattention , & je vais en parler fome mairement. | Je remarque par préalable ;-que la forme du corps de l'inftrument par lequel on doit prendre la hauteur d’un aftre lorfque Phorifon eft couvert, ou faire quelqu’autre obfervation utile à l'invention de l'heure, n’eft pas, à mon fens , le principal chef de la recherche propofée par l’Académie. On a atteint, ou peu s’en faut, la per- fe&tion à cet égard : on fçait appliquer une lunette au lieu de pinnules aux inftrumens de mer, on fçait les divifer avec affez d'exa@titude , & autant qu’il eft néceffaire, foit par la méthode de Nonius , foit par d’autres , &c. La dif- ficulté eft, ce me femble , de trouver le meilleur moyen: de déterminer la fituatiôn de l’inftrument dirigé à l’aftre par l'Obfervateur. Or, je crois qu'il ny a qu’un pendule ou un niveau à liqueur, qui puiffe être employé à cette fin : s’il faut donc opter , ce n’eft qu'entre ces deux moyens. Quant au pendule , il eft fujet, comme je l’ai déja dit: dans ma Piece, à des ofcillations incommodes, & d’au- tant plus incommodes qu’elles font plus promptes, & ont plus d’étendue. Mais 1°, on peut les rallentir tant qu’on veut, ces ofcillations, fans donner pour cela une longueur exceflive au pendule; car au lieu de le prendre fimple, on peut le compofer de deux poids P,0 , fig.s 5. appliqués à une verge, foûrenue ou par un pivot qui foit dans la ligne des poids, ou par un double fil; en forte qu’elle tende à Ia fituation verticale, ou à la fituation horifontale, ainfi qu’il eft repréfenté dans la Fig. $$. 2°. On peut encore dimi- nuer l'étendue des ofcillations du pendule lorfqu’elle fera : trop grande, en faïfant frotter à difcrétion quelqu'une de: fes parties fur une houppe ou pinceau, planté dans le . corps de l'inftrument, & que l’obfervateur pouffera de 446 Essai D'HOROLEPSE fon doigt à la rencontre du pendule , maïs qu'un petit reffort en éloignera, dès que le doigt l’aura quitté, afin au'il refte un peu de jeu au pendule. Je crois qu'avec cette double précaution , il ne fera pas extrêmement difficile de reconnoiître les limites de deux de fes excurlions confécu- tives de part & d’autre du vrai point de repos, &c. Au refte , je penfe que c’eft l'expérience qui doit décider fur la durée qu’il convient de procurer aux ofcillations dont il s’agit ; il n’eft pas néceffaire d’obferver qu’il y a un in- convénient particulier à la rendre grande , parce que l’of- cillation eft fujette à devenir par-là d'autant moins régu- liere , en forte que le milieu de l’arc décrit dans cette of cillation , peut être différent du vrai point de repos. Quant aux niveaux à liqueur , ceux de forme commu- ne font fujets à des ofcillations , aufli-bien que les pendu- les, & par lamême caufe. De-là naît le rapport connu des mouvemens alternatifs dont une liqueur contenue dans un tuyau eft fufceptible, à ceux d’un pendule. M. Newton atraité le premier ce fujet, & M. Dan. Ber- noulli a amplifié cette théorie en différentes feétions de fon Hydrodynamique. On fçait que les ofcillations de la liqueur font plus ou moins lentes, felon que le tuyau où elle eft enfermée a plus ou moins de longueur, &c. L'ap- plication d’un niveau à liqueur commun à un inftrument, eft donc fujette à inconvénient , aufli-bien que celle d’un pendule ; cependant le niveau à liqueur à en ce point un petit avantage fur le pendule , n'étant pas expofé à l'im- preffion du vent, & n’ayant pas befoin d’en être garanti comme celui-ci. J'ai déja remarqué que M. de Radouay a confeillé l’ufage de ce moyen. IL rapporte dans fon li- vre , que quelques Pilotes en avoient fait épreuve , & le goûtoient : mais je ne fçais point que cela ait eû de fuite en France, M. Jean Elton, » Anglois, a eu plus de fuccès; . il NAUTIQUE. 447 if paroït avoir introduit l’ufage du niveau à liqueur, pour les obfervations de hauteur , parmi ceux de fa nation. Les Tranfa&ions Philofophiques de 1732, n° 423, contien- nent la defcription de fon inftrument , qui a beaucoup de rapport avec le Quartier Anglois ordinaire. Deux niveaux y font combinés, pour lui procurer une jufte fituation , foit pour l’obfervation en avant, foit pour l’obfervation en arriere ; & c’eft un avantage dans l’ufage de cet inftru- ment. Il faut , après lui avoir donné fa fituation, mouvoir l’alidade pour rencontrer l’aftre, ce qui eft une incommo- dité, parce qu'il eft bien difficile de ne pas ébranler en même tems & déplacer l’inftrument ( on évite cette in« commodité en fe fervant d’un pendule). Les niveaux de M. Elton font de ceux oi l’on ne laifle qu’un petit vuide ou bulle, & leur tuyau eft repréfenté droit, & affez court dans la Figure : mais leurs proportions ne font point mar- quées dans le difcours, non plus que la groffeur de la bulle ; c’eft pourquoi il n’eft pas poflible de juger de la quantité des balancemens auxquels la liqueur de ces ni- veaux#doit être fujette. Quoi qu'il en foit, deux Naviga- teurs , qui font le Capitaine Hoxton & M, Walton, té- moignent avoir fait ufage de l’inftrument de M. Elton, & en avoir été affez fatisfaits, les obfervations qu’il a fournies étant peu différentes les unes d'avec les autres , & de cel- les qu'on avoit par le Quartier ordinaire ou autrement, Les épreuves du Capitaine Hoxton font de l’année 1730, dans un voyage à Maryland. On trouve dans les Tranfac- tions Philof. de 1733 , au n° 429 , un journal d’obferva- tions faites dans un voyage à la Baye d'Hudfon,en 1731, par le Capitaine Middleton , par lequel il paroïît que ce Navigateur a employé l’inftrument de M. Elton avec uti- lité, lorfque lhorifon étoit couvert. Enfin, les Tranfaët. Philof. de 1736 contiennent au n° 442, un journal en- Prix, 1745. LIl 448 Essai D'HoroOLEPsE core plus ample d’obfervations faites par le même Capi: taine Middleton , dans un pareil voyage en 173$, oùil s’eft encore fervi de l’inftrumentde M. Elton, tantôt feul, &c tantôten concurrence avec d’autres inftrumens de nou- velle conftruétion. Un de ces inftrumens eft de l’inven- tion de M. Hadley : maison a omis de marquer fi cet in- ftrument eft celui qui fuppofe l’horifon vifible , & qui fait voir l’aftre par réflexion , ou fi c’eft celui dont je vais par= ler dans un moment. Les deuxautres inftrumens font attribués à M. Caleb Smith, & il paroit par l'explication qui termine le journal, qu’un de ces inftrumens eft propre à prendre hauteur , lorfque l’horifon eft embrumé, & qu'il demande une mer tranquille : mais je n’ai encore trouvé la defcription ni de l’un ni de l’autre de ces inftrumens. Voici une Table des obfervations de latitude, prifes par l’inftrument de M.. Elton, concurremment avec d’autres... F Jours. Inftr. de Inftr. de 1. Inftr, 2. Inftr. M. Elton. | M. Hadley. | de Smith. | de Smith. Sept.10 | 6r M. Jean Hadley, Vice-Préfident de Ia Société Roya: le, a enfin propofé pour l’obfetvation de la latitude, un quart-de-cercle auquel eft appliqué un niveau à liqueur de forme finguliere., dont la defcription fe trouve dans les Tranf. Philof. de 1733, n° 430. Ce qu'il y a de-parti- culier à ce niveau , c’eft 1° que fon tuyau eft courbé en Na UTA QUE 449 arc-de-cercle, en forte que la colomne de liqueur qui oc- -cupe une partie de ce tuyau, ayant la même courbure, le niveau de fes deux extrémités peut répondre à diffé- rens endroits du tuyau: par-là on obtient le même avan- tage quelpar lufage du pendule, je veux dire que l’alidade de l’infrument ayant été placée fur une de fes divifions , y doit demeurer fixe pendant l'opération, & l’Obferva- ‘eur cherche l’aftre, & y dirige l’alidade , en gouvernant tout l’inftrument ; cependant la liqueur joue , & montre “enfin la fituation de ’infrument , c’eft-à-dire , la quantité qu'il faut ajoûter à celle que marque l’alidade, ou en re- trancher. 2°. M. Hadley coupe, pour ainf dire, le cours de la liqueur dans fon tuyau ;#par une clef à laquelle il ne laiffe qu’un petit trou (il fait ce trou d’un diametre dix fois plus petit que le tuyau ; c’eft pourquoi le filer de liqueur qui occupe ce pañlage , eft cent fois plus petit que la colomne de liqueur , & certe colomne ne peut fe mouvoir qu'avec une vitefle cent fois moindre que celle du filet: au refte, on n’eft pas aflujetti à employer précifément ces rapports). De-là fuivent deux chofés , l’une que la force qui peut produire le mouvement du filet de liqueur qui pañle par le trou , étant peu confidérable , le mouvement de toute la mañle de la liqueur eft fort lent. L'autre conféquence eft, que quoique cette mafñle foit hors d'équilibre au commencement de l'opération, une de fes portions étant plus élevée que l’autre , la portion la plus haute defcend & foùleve la plusbaffe , fans accélération fenfble, de maniere que l'inégalité primitive de ces portions, n’en- waine point de balancement réciproque entre elles. * * Pour reconnoître aifément qu’il ne doit pas y avoir d'accélération dansla def cente de la plus haute portion de la liqueur, parce qu’elle pafle parun petittrou, âl faut comparer cette defcente à l'évacuation d'un vailleau qui n’a qu’une petite Lili 450 Essar D'HOROLEPSE C’eft-là une des chofes que M. Hadley a eues en vüe,& if remarque qu’elle doit arriver ; mais il va encore plusloin;, il paroït prétendre que les fecoufles que l'agitation du vaiffeau tranfmettra fur l’inftrument , & dont l'Obfervateur ne pourra le parer,quoiqu'il s'efforce de le tenir continuel- lement appliqué à l’aftre , ne cauferont pas non plus de balancement à la liqueur. Elle traverfe lentemenr, dit notre Auteur , /a clef du robinet , & ne fait aucunes vibrations fen* fibles ; car le robinet qui ne la laife palfer que par une petite ouverture , non-feulement en réprime les mouvemens , © en arrête Les vibrations (c’eft-a-dire, celles que la defcente de la liqueur cauferoit fans cela) , mais il la défend encore de l'agitation gw'elle pourroit recevoir dans le tuyau, lorfque l'in- frument ef} ébranlé. Au furplus , ajoûte-t-il, je n’ai point re- marqué que le robinet empéchät la liqueur de defcendre, & de s'arrêter à la partie du tuyau la plus bafe. Mais fi les ébran- lemens reçus par l’inftrument , ébranlemens que M. Had- ley fuppofe être quelquefois confidérables , puifque l’ali dade peut , felon lui, être tantôt plus haute, & tantôt plus baffe que l’aftre de plufieurs minutes, &c. Si, dis-je, de tels ébranlemens, fi de tels moüvemens ne caufoient au: cune agitation dans Îa liqueur , comment une petite dif- férence de poids entre fes deux portions , qui font de part & d’autre de fon point le plus bas , feroit-elle capable de la mettre en mouvement & d’opérer fa defcente ? Je pen- fe donc que quand l’inftrument de M. Hadley reçoit de certaines fecoulles, la liqueur de fon tuyau doit fouffir par contre-coup une agitation réelle, nonobftant l'inter- poñition de la clef: cependant j'avoue que cette agitation n'aura pas un effet bien notable (& c’eft peut-être ce qu’ ouverture à fon fond , telle qu'enuneclepfÿdre. Or, bien loin que la liqueur qui s'échappe de la clepfydre, s’accélere à mefure que ce vaifleau fe vuide, au con= sraire elle fort de moins en moins vite, &c, NAUTIQUE. 4$s1 voulu dire le fçavant Auteur), parce que les fecouffes tranfmifes à l’inftrument fe fuccédant promptement & en fens contraires, l'agitation qui en réfulte fur la liqueur , fe fait auffi en fens contraires , & fes effets particuliers s’en- tredétruifent perpétuellement. Plus le paffage de la liqueur fera petit, & moins les fuites de l'agitation dont nous par- lons feront fenfibles ; c’eft ce que j'avoue bien volontiers, mais auffi la defcente de la liqueur en deviendra d’au- tant plus lente. Je crois au refte que ce que je viens d’a- vancer n’a pas befoin de preuve, & qu'il n’eft pas queftion de faire ici une differtation géométrique & complete , fur les propriétés ou accidens du mouvement d’une liqueur dans un tuyau : M. Hadley lui-même ne s’eft point arrêté à unetelle difcuffion , mais, fuppofant les principes con- nus , il fe contente d’avancer des faits ; il a même négligé de marquer la grandeur du rayon de courbure qu’il a don- né à fon tuyau, grandeur qui ferviroit à déterminer le tems de la defcente de la liqueur par un efpace donné ; il nous dit feulement qu'il faut une demi-minute & plus à la liqueur pour traverfer le robinet, fuivant que louvertu- re de la clefeft plus ou moins grande , à proportion de la cavité du tuyau. Peut-être faudra-t-il une minute entie- re à la liqueur pour parvenir à la fituation défirée, fi on fait le trou de la clef affez petit pour amortir fuffifamment les vibrations de Ia liqueur. Quant à l’ufage de cet inftrument, il me femble fort propre à remplir la deftination que fon Auteur lui a don- née, c’eft-à-dire , à faire connoître la hauteur méridionale d’un aftre, ou bien la latitude , lorfque l’horifon eft cou- vert ; Car la lenteur avec laquelle la liqueur du niveau par: vient à fon point de repos fenfible, n’eft point un incon- vénient par rapport à des obfervations de ce genre, puif que la hauteur d’un aftre qui eft dans le voifinage du mé- Lilii 454 Essai D'HOROLEPSE des , le niveau à liqueur peut auffi être fujet à de pareil- les ofcillations. Employerons-nous au contrairele moyen imaginé par M. Hadley , moyen par lequel on fupprime, ou pour mieux dire , lon diminue tant qu’on veut les ba- lancemens de la liqueur d’un niveau ? Ce parti a aufli des inconvéniens rélatifs au Probleme dont il s’agit, nous ve- nons de le voir. Enfin, prendrons-nous un parti moyen, c’eft-à-dire , propoferons-nous l’ufage d’un niveau dont la liqueur n’eût pas un mouvement fi lent que dans celui de M. Hadley ? car le degré de ce mouvement eft en no- tre difpofition, en diverfifiant le rapport de l'ouverture par où la liqueur doit paffer à la feétion du tuyau : mais nous n’éviterons pas ainfi tout inconvénient, la liqueur aura des vibrations plus ou moins fenfibles. En un mot, s’il y a desinconvéniens dans les deux cas extrèmes & oppofés , qui font celui de l’exemption des ofcillations , & celui de leurexiftence avec promptitude, il n’eft pas douteux qu'il n’y ait aufli de l'inconvénient dans un cas moyen entre ces extrèmes. J’eftime pour conclufion, qu'on pourroit appliquer tout-à-la-fois à un inftrument , & un pendule , & un niveau du genre de celui de M. Had- ley : car comme deux Obfervateurs font néceflaires dans les obfervarions qui fe font la nuit, & lorfque l'horifon eft invifible, l’un d’eux étant entierement occupé à vifer à l’aftre & à le fuivre, fon fecond feroit, ce femble , en état de faire attention en mêmetems , au pendule & au niveau à liqueur , & le réfultat de l’opération n’en feroit que plus für, en prenant un milieu entre les indications de ces moyens différens. Au refte , je ne peux m'empè- cher de remarquer que la jufteffe des obfervations conve- nables à la détermination de l'heure, dépendra toüjours beaucoup de l’adreffe perfonnelle, & du génie des Ob- fervateurs : car mieux une perfonne fçaura fuivre un afire ; & ‘ NAUTIQUE. 453 & y appliquer conftamment fon inftrument de la même maniere , & moins cet inftrument recevra de fecoufles & caufera par conféquent d’agitation irréguliere au pendule, ou à la liqueur du niveau dont il fera armé. D’un autre côté, un hommeintelligent fera toüjours attention aux différentes caufes des erreurs qui font inévitables dans les obfervations , & il tâchera de ne s’y expofer que le moins qu’il fera poffible, ou bien même il s’en formera une cer- taine eftime , par laquelle il modifiera lobfervation pure & fimple. Mais quelque perfeétion qu’euffent des moyens méchaniques propres aux obfervations qui fourniflent l'heure, je crois que fi ces moyens font maniés par des gens grofliers, les déterminations qui en réfulteront ,man- queront toûjours de jufteffe & de füreté. Comme j'adopte l'invention de M. Hadley, je crois qu’il me fera permis de faire ici une remarque touchant la pratique , & même de propofer quelques modifications ou changemens, dont cette invention eft fufceptible. 1°. Le tuyau employé par M. Hadiey, eft un tuyau capillaire, n'ayant qu’un dixieme de pouce Anglois de diametre. D'ailleurs la liqueur que M. Hadley y met, eft de Pefprit-de-vin, il y a donc lieu de craindre que la li- queur n'ait plus d’adhéfion à une branche du tuyau qu’à l'autre , c’eft-à-dire , à celle dans laquelle elle defcend, qu'à celle où elle monte ( ce qui dérangeroit beaucoup fon mouvement); car on fçait que la liqueur s’artache mieux , & quitte plus difficilement par conféquent le ver- re déja mouillé, qu’elle ne s'attache & ne gliffe fur celui qui eft fec. Il eft donc à propos , avant que de mettre le niveau en expérience, de faire en forte que fes deux bran- ches foient également humides dans les endroits où la liqueur doit pañler , fi on continue d’en employer une qui mouille le verre. Prix. 174$. Mmm 454 Essar D'HOROLEPSE 2°, Je ne fçaiï pas pourquoi M. Hadley a propofé f'ef- prit-de-vin plutôt que le mercure , pour la liqueur de fon niveau : il a eu apparemment fes raïfons. M. Hadley au- roit-il cru qu'il feroit trop difficile de former la clef par le trou de laquelle la liqueur doit paffer d’une branche dans l’autre, avec aflez de juftefle , & de telle matiere que le mercure, ne püt s'échapper hors du tuyau & fe perdre ? Si cet inconvénient peut être fauvé, je confeillerois lu- fage du mercure : cette liqueur a l'avantage d’être moins dilatable que l’efprit-de-vin, & d’ailleurs comme elle ne s'attache pas au verre; fes deux extrémités feroient mieux terminées & mieux difcernables : ainfi on ne feroit pas obligé de prendre un tuyau aufli petit que l’a fait M. Had- ley pour le corps du niveau, & la clef pourroit recevoir une ouverture un peu moins petite : il doit être difficile de percer un trou qui n'ait qu'un + de pouce de diame- t'eltétc. 3°. Il faut, dans lufage du niveau de M. Hadley , con- fidérer les deux termes auxquels répond la liqueur ; c’eft une petite peine & une double occafon d'erreur. Ne pourroit-on pas éviter cela? Voici ce que J'imagine dans cette vûe : la liqueur n’eft pas fi précieufe qu’on ne puiffe en facrifier quelques gouttes, je voudrois donc qu’une des branches du niveau eût moins de longueur que lau- tre , & fût terminée par un petit trou par lequel la liqueur fortiroit, tant qu’elle feroit pouffée par celle que contien- droit l’autre branche, c’eft-à-dire, que la liqueur ne s’éle- veroit point dans la branche courte, & defcendroit feu- lement dans la longue. Il eft vifible que Pinftrument peut être toûjours difpofé pour lobfervation, de maniere que 12 tendance de la liqueur foit vers l’orifice de la branche courte. La mefure de cette branche étant donc fixe & donnée , on auroit feulement à obferver l’extrémité de la liqueur dans la longue branche. NAUTIQUE: 45$ 45. Je fuppofe encore que l’on peut employer le mer- cure. Il eft peut-être à propos que le mouvement de la liqueur, qui cherche toûjours fon niveau pendant qu’on fuit un aftre qui changede hauteur, foit fenfible , afin qu'on puiffe difcerner fi ce mouvement eft uniforme ou varia- ble, &c. & tirer de-là des induétions., Or, c’eft ce qu’on peut procurer fans expofer cette liqueur à des balance- mens ; c’eft, dis-je, ce qu’on peut effe@uer, en combi- nant avec le mercure une autre liqueur beaucoup plus légere, à peu près comme dans les baromietres compofés. Le tuyau qu'occupera le mercure aura certaine largeur, & fera joint à un tuyau uniforme beaucoup plus étroit, où l’autre liqueur s'étendra ; c’eft à côté de ce fecond tuyau , que fera appliquée une échelle qui marquera la fituation de l'infrument. Je ne m’arrête point à marquer ce qu'il faudra pratiquer pour bien divifer cetré échelle : fi , par exemple, on donne $ lignes de diametre au tuyau deftiné à loger le mercure , & une ligne feulement au pe- tit tuyau; la colomne de liqueur légere contenue dans ce tuyau , aura 2$ fois plus de viteffe que celle de mercure : mais nonobftant cette différence de virefle, les deux li- queurs n'auront guere plus de difpofition à balancer, à caufe de Ja différence des mafles; & pour réprimer d’au- tant plus le balancement, on pourra donner feulement un tiers de ligne de diametre à l’ouverture par où le mer- cure paflera d’une dés branches du niveau dans l’autre. Ainfile filet du mercure qui coulera par cetrou , fera plus de deux cens fois plus petit que les colomnes de cette lis queur. Cela pofé, il y aura , felon mon eftime, aufli peu de balancemens que dans le cas de M. Hadley, &c. 5°. Enfin, comme la lenteur avec laquelle la liqueur parvient au niveau, ou s'en approche, eft incommode & nuifible , furtout quand on travaille à découvrir l'heure, , M mm ji; 456 Essar D'HOROLEPSE lorfque le paffage par où file Ja liqueur , eft auffi petit que nous l'avons fait jufqu'i ici , à proportion de la capacité du corps du niveau : je voudrois que l'aire de ce paffage püt être diverfifiée à volonté , & cela paroïît poflible , fi le corps du niveau a un diametre approchant de celui que J'ai marqué au n° précédent ; je veux dire qu’on pourroit faire une clef qu’on gouverneroit à difcrétion, & cepen- dant avec mefure , par un petit roüage ou une vis, & qui laifferoit à la liqueur un paffage plus ou moins étroit. Je n'ai pas befoin de dire qu’on laifferoit plus de liberté de fe mouvoir à la liqueur au commencement de l'opération, & lorfqu’on la réputeroit affez éloignée du niveau, mais qu'on reftraindroit cette liberté à mefure qu’on l’eftimeroit plus voifine de l’état défiré. On pourroit aufli avoir une deuxieme clef, qui feroit faite à l'ordinaire , & ferviroit à arrêter entierement la liqueur lorfqu'on le jugeroit à pro> pos. Prix de 1745 Planche IL. Page 456 Prix de 1745. Planche W° Paoe 456 . Prer de 1745 Planche W° Lane 456 Enr de 1745. Plnche Vi Page 456 Prux de 1745. Planche FA, Page 456 Prur de 1745. Planche PI. Page 456 a — MEMOIRE SUR LE PROGRAMME Pour le Prix de 1747. La meilleure maniere de trouver l'heure en 7er, par obférvation, foit dans le jour, foit dans Les crépufcules , © fur-tout la nurr, quand on ne vost pas l'horifon. 1 — Semper id melius eff quod optimo propinquius eff. Arif. lib IL. de Cœ:los ——————_ M mm ii st et W RL EU | s rnsh lt HA AE Dan A ES A 2 Ni sh ai + Aude 3. amis a Qi a" Mu * = 1000 8 HAL HER A ses 2 lEpeg pre MEMOIRE SUR LE PROGRAMME Pour le Prix de 1747. La meilleure maniere de trouver Pheure en Mer ; par obfervation ; Joit dans le jour , foit dans les crépufcules , &! Jur-tout la nuit, quand on ne voit pas l'horifon. Semper id melius eft quod optimo propinquius eff... Arifl. lib. 2.de Cœlo. feuille, femble délirer uniquement qu’on fournifle aux Navigateuts les moyens mé- chaniques les plus fürs , pour faire en mer, maloré l'agitation du vaifleau, les oblerva- tiens dont on peut conclurre l'heure. C’eft pour remplir cet objet, que je me fuis unique: ment attaché à la recherche des inftrumens , & que j’au- - rai l'honneur d’en propofer deux, dont l’un pourra fervir entout tems, pendant la nuit & le jour, fans aucun re- cours au Soleil ni aux étoiles , & l’autre pendant tous les momens du jour , où le ciel fera pur, & le Soleil vifible, 460 MEMOIRE SUR LA MANIERE PREMIERE PARTIE. VANT que de décrire ce premier inftrument , je fupplie mes Juges de me pardonner quelques ob- fervations que je vais faire ici , touchant les horloges à roïage , uniquement pour leur prouver que c’eft avec con- noiffance de caufe , quand je les abandonne pour cher- cher un moyen qui me paroît plus für. Nos meilleures pendules ne fçauroient être d'aucun ufage fur mer , par la principale raifon que la fréquente agitation du vaifleau feroit arrêter le pendule. Ce premier inconvénient fuffit pour en interdire l’ufage fur les bâti- mens , fans avoir befoin de parler ici de l'allongement & raccourciflement des métaux; de Îa différencé des vibra- tions dans un air plus ou moins pefant , des différens de- grés de force des reflorts , fuivant la différente tempéra« ture de l’air, & de laure continuelle d’une infinité de . pieces très-déliées, qui travaillent toutes avec force , &c dont chacune en particulier ne peut pas fouffrir la moin- dre altération, fans que la jufteffe dela piece s’en reffente. La montre de poche fe reffent moins de l’agitation du vaiffeau , ou pour mieux dire, ne reflent que les mouve- mens de la perfonne qui la porte , & dans une montre ex- cellente., ces mouvemens ordinaires ne Îa dérangent pas beaucoup, furtout quand elle eft dans fa premiere frai- cheur : mais l'avantage qu’elle a fur les pendules, fe trou- ve bien compenfé par la différence du régulateur ; je parle de fon petit balancier, dont les vibrations trop multipliées, ne feront jamais comparables pour la jufteffe, à la lon- gueur d’un pendule à fécondes. L'invention DE TROUVER L'HEURE EN MER. 461 L'invention admirable du reffort fpiral, eft d’un grand fecours pour entretenir pendant quelque tems la jufteffe dans ces petites machines: mais étant lui-même fenfible aux changemens de l'air , nous fommes obligés de tems en tems , de le bander ou lächer , par le moyen durateau, afin de le remettre dans un état de force proportionné à Padtion qu’il doit produire. Ce qu’il y a de fâcheux, c’eft qu'on fe peut appercevoir ce dérangement que par com- paraifon à quelqu’autre piece füre, ou à l’afpeët des aftres, & l’on n’a fouvent fur mer, ni lun ni l’autre de ces deux moyens. Tout ce que je viens de dire ne doit s’entendre que d’une montre excellente à rous égards, & fortant depuis peu de la main de l’ouvrier. Mais en eft-il beaucoup de ce nombre ? Enfin, je fuppofe qu'il y en ait une parfai- tement jufte, il eft impofhble qu’elle le foit long-tems : les trous du cog , de la porence ; & enfuite ceux des plari- ges S'agrandiffent infenfiblement ; les pivots prennent du jeu, & l’engraînage s’affoiblit; le peu d’huile qu’on y met feche , & rend les frottemens plus fenfibles ; les pointes de la roue de rencontre s’émouffent , les palettes du ba- lncier fe creufent, & les vibrations deviennent plus courtes ; le grand reffort tire plus vivement dans certains tems que dans d’autres, & une infinité d’autres dérange- mens que mes Juges connoiffent mieux que moi, rendent la montre de poche fi incertaine , qu’on ne peut pas rai- fonnablement fe flatter qu’une bonne montre puifle aller quatre jours de fuite , fans s’écarter de quelques minutes. Mais fi une montre excellente dépend de tant de cas qui peuvent la rendre mauvaife , que fera-ce de celles qui ne font que médiocres? D'où je conclus que toutes les pie- ces à roäage qu'on a trouvées jufqu’ici , & probablement Priraqar, Nan 462 MEMOIRE SUR LA MANIERE toutes celles qu'on imaginera dans la fuite , feront infufi- fantes pour donner l'heure exaéte en pleine mer. Je crois qu’on pourroit mieux réuflir par le moyen du fable, fil'on s’appliquoit véritablement à chercher les dé- fauts des fabliers ordinaires pour les corriger. La préfé- rence que les Navigateurs ont toûjours accordée aux fa- bliers fur les autres horloges , malgré les défauts de ces premiers, eft un préjugé qui m’a fait naître l’idée dont j'ai à rendre compte à Meffieurs les Commiffaires. Obfervations fur les défauts des Subliers ordinaires: LE défaut le plus commun des fabliers confifte dans leur inégalité. Il eft rare d’en trouver un, qui, comparé à une bonne pendule, ne fafle pas un écart fenfible dans le paffage d’une bouteille à l’autre , & fouvent la même bou- teille ne s'accorde pas avec elle-même. On a coutume d'attribuer cette variation aux changemens d'air, & je veux croire que dans certaines occafions l'air y entre pour quelque chofe, mais dans le concours de plufieurs caufes qui peuvent produire un même effet, il eft aifé de pren= dre le change, en l’attribuant à l’une plutôt qu’à l'autre ; quand on n’ufe pas de précaution. Qu'une bouteille foit régulierement plus: courte que l’autre , c’eft une marque vifible que le tro ou file, n'eft pas exaétement cylindrique dans l’épaifleur de la feuille de métal, ayant un côté plus évafé que l’autre ; mais qu’une même bouteille ne s'accorde pas avec elle-même, je crois à n’en pouvoir douter , que cela vient de l’inégas lité des grains du fable. Je vais tâcher de me faire enten- dre. Quoique tous les grains d’un fable bien criblé, paroif DE TROUVER L'HEURE EN MER: 463 fent égaux à nos yeux, dépouillés des fecours de l’art , il eft cependant certain, & les microfcopes nous en con- vainquent , qu'il y en a de beaucoup plus gros les uns -que les autres. | Imaginons maintenant un de ces gros grains placé {ur le bord du #rou, de telle façon qu'une petite partie de fa mañle foit en-dedans , & l’autre plus grande en-dehors : ce grain ne paffera pas, parce que les deux tiers de fa mafle font appuyés fur la plaque de métal, mais fon autre tiers -bouchera pendant tout l’écoulementune partie phyfique ‘de ce trou, & plufieurs autres grains en faifant autant tout autour du trou , il fe trouvera un peu refferré, & la bouteille fera plus long-tems à couler : mais fi dans une autre-occafion, il fe trouve fur les bords un moindre nom- bre de gros grains , letrou fera plus libre, & la bouteille finira plutôt. Voilà, MM, un défaut qui doit arriver très-fouvent, & qu’on attribue à la fechereffe ou humidité de l’air. Pour me convaincre de la vérité, j'ai percé dans une plaque de 3 lignes d’épaiffeur , deux trous coniques oppofés , dont les pointes fe rencontrent au milieu de l’épaiffeur de Ia plaque, & y ayant mis du fable d'Allemagne bien criblé, j'ai trouvé une grande juftefle dans chaque bouteille en particulier (à caufe que tous les gros grains qui entrent dans la bafe du cone , font forcés de pafler par la pointe, n'ayant plus de fuperficie platre où pouvoir s'arrêter ); mais auffi je n’ai jamais pû parvenir à rendre les deux bou- teilles parfaitement égales entre-elles, parce que proba- blement les deux pointes des deux cones ne font pas par- faitement unies & égales. Il arrive auffi que certains petits poils ou atomes, qui voltigent dans l'air , s’introduifent dans le fablier à la f2- veur du fable, à mefure qu’on le met, & que venant quel- Nan i 464 MEMOIRE SUR LA MANIERE quefois à être couchés diamétralement fur le trou , ils fé: parent le coulage en deux, ce qui fait retarder confidéra- blement le fablier , & quelquefois arrêter : avec un trou conique, ce défaut ne doit arriver que très-rarement, par- ce que ceux de ces poils qui defcendent horifontalement, venant à toucher les parois du cone par un bout , l’autre bout du poil s’abbaifle, & il arrive à la pointe du cone dans une fituation verticale , qui lui permet de paffer aifément. EXPERIENCE. S 1 vous mettez un, ou plufieurs fabliers des meiïlleurss fur une planche horifontale, dont un bout fera appuyé fur une table , & l’autre furune roulette dentelée, que l’on fera tourner avec une manivelle, cette roulette caufera un trémouffement à la planche, qui fera arrêter tous les fa- bliers : en voici la raifon phyfique. A force d’agitation, l'air qui fe trouve renfermé parmi les grains de fable dont la bouteille fupérieure eft pleine , fe dégage & gagne le haut de la bouteille , laiffant les grains de fable fi ferrés entre eux , après la féparation de l’air, qu’il fe fait au-def: fus du bouton une petite voñre, & bien-tôt il ne coule plus tien , parce que l'air inférieur ne trouve plus de pafflage pour traverfer Le fable qui eft dans la bouteille fupérieure, Cette expérience que je découvris par hafard , prouve ce que j'ai dit plus haut , que l’air ; dans certaines occafons, peut caufer du dérangement au fable ; car de même qu’un fablier bien #rémoul]é s'arrête totalement, de même un au: tre moins trémouflé pourra couler plus lentement, fans toutefois s'arrêter, parce qu'il reftera encore affez d’inter< flice parmi le fable fupérieur, pour que l'air trouve un petit pañlage, DE TROUVER L'HEURE EN MER; 46$ site , . 4 \ . Defcription d'un Sablier de 30 heures, propre à fervir fur mer , marquant diflintlement les heures © les minutes uneà une, © qui ne S'arrére pas dans le tems même qu'on le retourne. LE Sablier dont je vais avoir l'honneur de vous entre- tenir, & dont j'ai tout lieu de croire que l'idée eft neuve, m'embarrafle prefque autant à décrire fur le papier, qu'il m'a donné de peine à imaginer & à conftruire. J'efpere cependant me faire entendre , à force de multiplier les figures , en atrendant que le modele effedif acheve de préfenter à vos yeux ce qui pourra manquer du côté de l'explication. Il eft d’un affez grand volume ;-& fort pe- fant: mais fi avec ces deux fecours qui m’étoient nécef- faires , je vous offre une Piece qui peut devenir excellen- te, l'efpere que vous me pardonnerez l’un en faveur ds l’autre, Il eft compofé de fer & de bois. Le corps du fablier eft une caifle AB, Fig. 1 , de bois de noyer , quarré-lon- gue , de 40 pouces de longueur, 12 pouces de largeur, & 7 pouces d’épaifleur extérieure. Elle eft montée fur deux pivots qui font au centre , lefquels pivots font fup- portés à leur tour par une chape de fer CD, de 3 pouces de largeur & de 5 lignes d’épaiffeur. Cette chape eft fufpendue par une boucle E, pliante à tout fens , pour obéir à toutes les agitations du vaifleau, Le cadran & la quadrature qui eft deffous , font renfer- més dans une boite de fer extérieure FG , arrêtée folide- ment fur la chape : une aiguille marque les minutes une à une, & les heures, qui marchent en fautoir, paroiffent fucceflivement à travers l’ouverture X. Le tout eft cou- vert d'une glace ; comme aux pendules. Nananij 466 “MEMOIRE SUR ‘LA "MANIERE Quand on veut tourner le fablier, on leve un arrêt qui eft au haut de la chape, on prend le bas de la caille” avec la main droite, qu’on fait tourner fuivant l'arc ponc- tué 1, 2, 3, 4, & dès que B eft arrivé en 4, l’arrêt qui eft à reflort , accroche la caifle , & cela fuffit pour 24 heures & plus, comme une montre de poche. La Fig. 2 repréfente le profil du fablier, afin de faire remarquer les deux pivots 1, H, fur lefquels tourne la caiffe. J'ai répété les mêmes lettres de la Hg. 1, pour qu’on re- trouve chaque piece plus aifément. Il y a aufli dix lucar+ nes qui fe répondent, $ de chaque côté : elles font gar- nies d’un morceau de glace, & fervent, fans beaucoup de nécefñlité, les unes pour connoître file fablier a befoin d’être monté, & lesautres pour voir fi le fable coule net, &c fans embarras, afin d'y remédier fur le champ, fuppofé que quelque matiere dérangeât le coulage, comme je le dirai plus bas. Voilà, MM, pour ce qui regarde l’exté- rieur de cette piece , l'intérieur n’eft pas fi facile à déve- lopper. Les pieces intérieures du Sablier. La caifle KLM, Fig. 3, qui forme le corps du fa- blier, ef ici repréfentée hors de la chape de fer, j'en ai aufli retranché la planche du devant & celle du derriere , pour laiffer voir la conftruétion des entonnoirs : j'ai groffi cette figure pour y pouvoir détailler les petites pieces, mais c’eft la même marquée 4 B dans la Fig. 1, & dans a même fituation... Cette caïfle eft divifée en trois par- ties, par deux fonds intermédiaires MO, PQ; les deux grandes parties K & L, tiennent la place des deux bou- téilles des fabliers ordinaires , & la partie A peut être re- gardée comme le bouton des mêmes fabliers ordinaires. DE TROUVER L'HEURE EN MER: 467 Je leur donnerai ce nom pour abréger ma defcription. Sur les fonds intermédiaires dont je viens de parler, vous voyez des pieces de bois attachées deflus & deflous, lefquelles forment la coupe ou profil, de 4 entonnoirs (2 droits, 2 renverfés) , dont les autres pieces de com- plément tiennent aux deux autres planches, retranchées . de cette troifieme figure. La piece courbée MR, qui paroït ici ne porter fur rien, eft appuyée & fixe fur un fupport immobile , que je décrirai dans la Fég. 6: il fuffit de fçavoir ici, que cette piece eft une plaque de fer de 4 pouces de large , qui met à couvert la croix que vous voyez au-deffous, & qui ou- tre cela, foûtient un cinquieme entonnoir immobile RS, qui eft le cowloir immédiat par où tout le fable s'écoule. Je lui donnerai aufli ce nom, pour le diftinguer des 4 grands entonnoirs mobiles qui fuivent le mouvement de la caïffe quand elle tourne. Après avoir montré la divifion du fablier en trois parties , il eft tems d’expliquer comment fe fait le pafa- ge du fable , & l'effet qu’il produit. Suppofons donc que’ le fablier vient d’être tourné, & que la bouteille K eft pleine de fable. 1°. Il eft naturel que ce fable forte par la: pointe $ du grand entonnoir KFSY, & comme ce fable, en fortant du grand entonnoir , rencontre le couloir RS, qui n’eft qu’à deux lignes au-deffous , ce fable, dis-je, après avoir rempli le couloir RS, fait un petit tas au-def- fus ( que j'ai marqué par des points), & ce tas engorge le grand entonnoir, & ne lui permet de couler qu’à propor- tion que le couloir délivre le fable par le bas R : cela fe fair fucceflivement ,. fans que le fable puifle fe répandre ail. leurs. 2°. Le fable qui fort du couloir RS, rencontre au-def. fous un des quatre creufets. qui font attachés fur la croix 468 MEMOIRE SUR LA MANIERE tournante. Il y coule pendant une minute précifément , après quoi ce creufet, perdant l'équilibre, fait faire un quart de tour à la croix; par ce moyen , le creufet verfe le fable qu'il contenoit, & un fecond creufet fe trouve pré- cifément fous le couloir, pour continuer à recevoir le fable. J'expliquerai ailleurs ce qui détermine cette croix à faire précifément & invariablement un quart de tour à chaque minute. 3°. Le fable qui fort du creufet lorfqu’il fe renverfe, tombe dans le grand entonnoir XM, & pafñle par un tuyau X qui fe trouve ouvert, parce que le clapet Y eft renverfé par l'effet de fon poids & de fa fituation , comme la figure le fait voir. La trainée de points qui repréfen- tent le fable , aidera à l'explication. C’eft de cette façon que tout le fable de la bouteille X traverfe le bouton M, & vient fe loger dans la bouteille L pendant 28 ou 30 heures , après quoi il faut retourner le fablier, fi l’on ne veut pas qu'il s’arrète. 4°. Quand on retourne le fablier, & que la bouteille L pleine de fable commence à prendre le deflus, le cla- pet Ÿ fe ferme de la mème façon que vous voyez l’autre clapet 7, & celui-ci s'ouvre de la même façon que vous voyez le clapet Ÿ dans cette troifieme figure, REMARQUE. Pendant ce tems-là, le fable qui fe trouve dans le cou- loir RS, continue de s’écouler fans perte detems, & ïl y en auroit pour fournir plus de 4 minutes : la croix tour- nante fait par conféquent fes fonétions , & la mefure du tems eff point interrompue tandis qw'on tourne le fablier. I] faut cependant tourner ce fablier rondement, fur- tout quand la bouteille pleine commence à prendre Le deflus , DE TROUVER L'HEURE EN MER: 469 deflus, parce que le couloir n’étant pas alors fous le grand entonnoir , le fable fort en pure perte , & retombe en-bas fans toucher les creufets , qui font à couvert. Il eft vrai que le trou des grands entonnoirs n'étant que de 1 3 lignes de diametre, il ne fe répand pas beaucoup de fable dans cetinftant , mais il convient de le tourner leftement, Explication détaillée du Couloir. Le couloir , Fig. 4, que je n’ai pas pü détailler dans la Fig. 3 , mérite de l'être ici en plus grand volume. Il eft compofé de 4 pieces, unies, par un reflort , lefquel- les peuvent être féparées dans lé"befoin, & réunies avec la même facilité. La premiere partie AR , dont j'ai dé- ja parlé dans la troifieme figure , eft une large plaque qui met à couvert la croix tournante, & foûtient toutl’affem- blage du couloir , fçavoir la gorge 5, 6 qui eft fixe; le tamis 1, 2 qui coupe le couloir en deux parties, & en- fin le couloir proprement dit 3, 4, où il n’entre point de fable qu'après avoir pañlé par le tamis 1, 2. Le tamis 1,2 de métal, Fig. 5, eft percé de 3ça trous , quatre fois plus petits que le trou du couloir, en forte que tout ce qui pafle par un trou du tamis, ne peut occuper que Je quart du trou du couloir, & par confé- quent le couloir ne peut pas arrêter. Au refte, quand les parties groflieres boucheroient les trois quarts du tamis , il refteroit encore aflez de jour pour fournir furabondam- ment au couloir. Cependant ce tamis qui fe met en cou- life , peut être retiré de fa place quand on veut, par une porte fermée à clef, qui fe trouve vis-à-vis ; on jette les ordures qui peuvent s’y trouver, & on le remet en place fur le champ. Prix, 1747. O00 470 MEMOIRE SUR LA MANIERE Ufage du Tamis on Crible. Outre que le tamis fert continuellement à arrêter tout ce qui pourroit embarraffer le couloir , il fert encore pour découvrir en très-peu de tems tout ce qu'il peut y avoir de parties groflieres ou détachées du bois : car on ôte de place le couloir 3, 4, ne laïffant que le tamis 1 , 2, qui pañle & repañle tout le fable en très-peu de tems , & four- nit l’occafion de retirer tout ce qu’il peut y avoir de grof. fier. Remarga@touchant la Porte. Quelque nouvelle & dangereufe que paroïffe une por te à un fablier , laquelle peut , par fon ouverture , donner entrée à quelque atome funefte , il faut ici raifonner dif- féremment , & ne point envifager ce fablier fur le pied des fabliers ordinaires. Car 1°, on ne doit pas s’embarraffer de la perte de quelque peu de fable, attendu que la mefure n’en eft pas fixe. 2°. Le couloir eft ici fort grand., & d’u- ne figure conique, il eft d’ailleurs précédé d’un tamis qui arrête les ordures, & par conféquent les atomes ne font pas à beaucoup près fi dangereux que dans les fabliers or- dinaires : mais d’un autre côté cette porte eft infiniment commode pour retirer toutes les parties groflieres qu? pourroient fe détacher du bois ou du métal, & même dans un cas extraordinaire, où le couloir feroit engorgé, on peut le retirer , & le remettre fur le champ, fans rien. changer de la jufteffe du fablier. D'ailleurs, outre que cette porte ne s'ouvrira qu’en cas de befoin, & prefque jamais qu'après une certaine épreuve , je fuppofe qu’on aura pour lors attention de le faire dans un.endroit à l'abri du vent & de la poufliere, DE TROUVER L'HEURE EN Mr. 471 ê& qu’elle ne reftera ouverte que deux inflans, lun pour retirer le tamis, & l’autre pour le remettre. Explication du Support intérieur. Ce qu’on a le plus de peine à concevoir dané ce fa- blier, quand on ne voit pas l’intérieur, c’eft une piece immobile placée au milieu d’une caifle mobile, en forte que dans le tems que tout le fablier tourne de hauten bas, il y a une piece intérieure dans fon milieu qui ne tourne jamais , & au milieu de cette piece émmobile, il y en a une autre mobile, qui eft la croix des creufets, le tout fans être fujet au moindre dérangement.… Les trois cer- cles ponétués de la Fig. 3 peuvent fervir à en donner une idée. Le plus petit des trois cercles renferme la croix des creufets , qui eft mobile , puifqu’elle tourne d’une minute à l’autre : tout ce qui eft renfermé entre le petit & le moyen cercle, eft immobile ; enfin tout ce qui eften de- hors du plus grand cercle eft mobile, &c tourne toutes les fois qu’on retourne le fablier : l’efpace entre le plus grand & le moyen cercle, eft le jeu qu'il y a entre les pieces mobiles & celles qui font immobiles. Pour rendre ceci intelligible autant que je le pourrai , 11 faut confidérer dans la Fig. 6 la chape de fer CD , dont j'ai retranché la caiffe ou corps du fablier. Au milieu de cette chape, il y a une autre piece de fer EFGH, forgée d’une feule piece, laquelle a deux forts tenons E, F, & un efpace vuide GH, dans lequel vuide fe trouve placée la croix des creufets de la Fig. 3 & 7 , que je repréfente ici de profil dans la Fig. 6. Les deux tenons £, F du fupport £FGH, font ronds aux endroits E,F, & pre dans l’épaiffeur de la chape CD, ce qui rend ce fupport immobile , c’eft-à-dire , in | O oo ji 472 MEMOIRE SUR LA MANIERE timement lié avec la chape, & ne faifant pour ainfi dire qu’une même piece... Ce fupport EFGH ne paroît du tout point quand la caifle du fablier eft en place , comme à la Fig. 2 , parce qu'il eft toutintérieur, & cette caifle porte entierement fur les deux tenons £ , F, qui font les mêmes de la Fig. 2.1, H, & que j'ai dé être ronds, afin que la caïffe puiffe tourner ne que la chape CD, ni le fupport EFGH tournent le moins du monde. O'BYSTENROV A NTENTUONN, ù Quoique le plan du fupport EFGH paroifle ici paral- lele au plan de la chape CD, il faut cependant fe fouve- nir que je ne l’ai repréfenté de cette façon que pour me faire entendre ; mais le plan du fupport croife direétement celui de la chape: Les parties G, H font de niveau , quoi- qu’elles paroiffent ici l’une au-deflus , l’autre au-deffous ; en un mot le plan de la chape eft vertical, & celui du fupport EFGHeft horifontal. Voyez-en la coupe en G, H, Fig. 4 , où les côtés G , H font repréfentés de niveau l’un derriere l’autre. Communication du dedans au-dehors. Toute la communication du dedans au-dehors fe fait; Fig. 6, par un trou rond d’environ 4 lignes de diametre, percé dans le tenon F fuivant fa longueur, dans lequel trou pañle une baguette de fer KL , de 3 lignes de diame. tre. Cette baguette , que j'appellerai baguette de communi. cation ; fert d'arbre à la croix des creufets, Fig. 7 : elle à un pivot en K & un autre en L, fur ET elle tourne, emportant les creufets avec de, comme ne faifant qu’u- ne même piece. Cette baguette eft appuyée du côté K à DE TROUVER L'HEURE EN MER 473 fur le tenon E, & du côté L furun fapport extérieur MN, que nous décrirons plus bas, en parlant de la roue des minutes. Il faut encore ajoûter , que fur le bout L de la baguette en queftion, il y a une croix d’acier arrêtée folidementfur ladite baguette , en forte que trois pieces n’en font qu’u- ne, fçavoir 1°. La baguette qui tient depuis K jufques à L. 2°. La croix des creufets, Fig. 7, qui fe trouve dans l'intérieur du fablier au vuide GH. 3°. La croix d’acier fixée fur l’autre bout de la baguette L , qui fe trouve dans la quadrature , & par conféquent hors du fablier ; un ne peut pas tourner fans l’autre , & la croix d’acier repré- fente dans la quadrature toutes les fituations des creufets qui font dans l’intérieur du fablier. Explication de la Quadrature. La piece 4, Fig. 8, eft cette même croix d'acier dont je viens de parler, qui fe trouve intimement unie avec la croix des creufets, par le moyen de la baguette qui leur fert d’arbre commun, en forte que l’une ne peut pas tourner fans l’autre. Cela fuppofé, nous pouvons, pour la facilité de Pexplication , prendre la croix d’acier ACK que nous voyons, pour la croix même des creufets que nous ne voyons pas : chaque bras de cette croix repré- fentera un creufer. Imaginons-nous maintenant que le fable coule fur le bras K ( ou ce qui eft le même, dans le creufet qui lui ré- pond), il eft viible que bien-tôt le poids de ce fable char- geant le bras K, ébranlera la croix pour la faire trébucher; mais l’autre bras € qui lui eft oppofé, rencontrant le con- tre-poids BCDE , &c. ( mobile au point B, & foutenu par la confole N), toute la croix fera retenue jufqu’à ce que Ooo ii 474 MEMOIRE SUR LA MANIERE le fable qui.coule fur le bras K puiffe vaincre la réfiftance du contre-poids BCD , &c. alors le bras K trébuchera, & viendra en L ; les trois autres bras auront tous changé de place ; le bras M fera fous le couloir , & le bras L fous le contre-poids BCD, &c. & la croix reftera dans la même fituation, jufqu'à ce que le fable puifle foûülever de nouveau le contre-poids BCD., &c. & ainfi de fuite ; de forte que le fable & le contre-poids fe difputant mu- tuellement l'équilibre , il y aura un repos plus ou moins long, fuivant que le contre-poids fera plus ou moins pe- fant. Explication du Contre-poids. Un des principaux avantages de ce fablier, eft, fans contredit, de pouvoir être avancé & reculé , de tant & fi peu que l’on veuf’, fans toucher au trou du couloir, qui demeure toûjours le même, &.coule toïjours également. Cette facilité vient du contre-poids , qui fe rend plus pe- fant ou plus Æeger, comme on veut, par le moyen d’un petit quarré qu’on peut tourner avec une clef, à droi- te, ouàgauche, de la même façon qu'on le pratique dans les montres de poche. En voici la conftrudion. Il y a une vis DH montée fur deux fupports CD,GE, de telle façon qu’elle peut bien tourner en tout fens fur fes deux pivots, D, E, mais non pas avancer ni reculer, ce qui eft caufe que l’écroue F(affez pefante) avance vers D, ou recule vers E , à mefure que la vis tourne. Cette vis a une tête HI affez large , & divifée en 20 dents, lefquelles engrainent dans une vis fans fin, que je ne fçai pas repréfenter ici, mais dont le quarré perce à travers le cadran, entre les 17 & 18 minutes... Quand ontour- ne à droite, l’écroue F fe retire vers EG , & le con- tre-poids devient plus léger, & plus facile à foûlever : il DE TROUVER L'HEURE EN MER: 47$ faut par conféquent moins de fable dans le creufet pour trébucher , & l'aiguille marche plus vite, quoique le fa- ble coule toûjours également : & quand on tourne à gau- che, l’écroue F s’avance vers CD , le contre-poids de- vient plus pefant , il faut plus de fable dans le creufet pour pouvoir lever, & le fablier retarde , quoique le fa. ble coule toûjours également. Il faut remarquer en paffant , qu’on peut faire avancer & reculer l’écroue d’un efpace prefque infiniment petit : ca comme la tête de la vis HTeft divifée en 20 dents, & que la vis fans fin n’en fait paffer qu’une à chaque tour, ils’en+- fait qu’un demi-tour de clefne fait avancer l'écroue que de la 40° partie d’un filet de la vis, &c. Explication de la Surprifes Je l'avouerai ingénüment : je m’étois flatté que le cont tre-poids de la Fg. 8 feroit fuflifant pour retenir les creu- fets dans la fituation convenable pour bien agir ; mais je fus fort étonné , lorfque mon fablier étant prefque fini , je’ reconnus le contraire. Le fable qui s’'accumule dans le: creufet pendant une minute , le fait rrébucher avec tant de force , quand une fois il a foülevé le contre-poids,, qu'il faifoit un demi-tour au lieu de ne faire qu'un quart; il pafloit deux bras tout de fuite , ou bien il ne reftoit pas: précifément fous le contre- poids , & pour lors le creufet n'étant pas direétement fous le couloir , la machine ne tournoit plus. J'étois trop avancé pour reculer ; il fallut trouver un expédient, & j'en vins à bout : le voici auf: fimple que folide. La piece ABC, Fig. 9 , étant mobile au point B, &: plus péfante dans fa partie / que dans fa partie C, fe re met d'elle-même dans la fituation où elle eft i@uélle: 476 MEMOIRE SUR LA MANIERE ment , fitôt qu'on la laiffe à fa liberté. La piece DEF re- préfentant wne jambe &* un pied, eft mobile au point E : elle porte une cheville F, qui fe trouve engagée dans la fente FG, de maniere qu’elle peut couler tout le long, autant que le jeu le demande. Au feul afpe& de la figure, on connoît que la piece BC ne peut pas remuer qu’elle ne communique un mouvement contraire à la jambe DEF, par la communication de la cheville F. Ainfi quand le bras de la croix d’acier part avec force pour tré- bucher , ilrencontre 1°, la partie C, qu’ilchafle vers H, & dans le même tems le pied D s’avance vers I... 2°, Le bras ayant achevé de glifler le long de la partie C , il rencontre le pied D au-deffous , qui s’oppofe à fon paffa- ge, & l’arrête tout court. Mais 3°, dans le mêmeinftant la partie C'qui n’eft plus gènée , fe remet par fon propre poids dans fa premiere fituation , & par une fuite nécef- faire, le pied D fe retire aufli de-deflous le bras de la croix, & celui-ci trouve le paffage libre , comme fi rien ne s’y étoit oppofé : il ne lui refte que le contre-poids à foûlever ; & toutes les fois qu’il échape , le pied D, que j'appelle /a furprife, ng manque pas de l'arrêter au premier inftant , & de fe retirer tout de fuite pour laiffer le paffa- ge libre. Explication de la Roue des minutes, J'ai dit plus haut que je ferois voir le fupport qui foû- tient le pivot L de la Fig. 6. Ce fupport eft une traverfe de fer LM, Fig. 10 , arrêtée folidement avec deux vis dans la boite ou quadrature NOPO, diftante du fond d'environ 4 lignes, pour laiffer le jeu néceffaire à la croix d'acier KC.... Le pivot L qui eft le bout de la haguette de communication, porte 4 chevilles, lefquelles engrainent dans la roue RST de 60 dents; de forte que le pivot L faifant DE TROUVER L'HEURE EN MEr. 477, faifant fon tour en 4 minutes, après 1 $ tours de ce pivot; Îa roue des minutes aura fait un tour , & par le moyen du contre-poids dont nous avons parlé à la Fig. 8 , il eft facile de la faire aller auffi jufte qu’on voudra. L’arbre R de la roue RST qui pañle au-travers du cadran, porte une aiguille qui marque les minutes, fautant tout-à-coup de lune à l’autre , à mefure que le creufet trébuche. PREMIERE OBSERVATION. Comme on pourroit simaginer que le peu de force qu'il faut pour mener cette roue, pourroit cependant en certaines occafions retenir le creufet plus long-tems qu'il ne faut, & caufer du dérangement, il eft bon de faire remarquer que les chevilles du pivot L n’agiflent fur les dents S de la roue, que lorfque le creufet a déja trébuché en partie, & qu'il eft dans toute la force de fa châte, & par conféquent cette roue ne peut porter aucun obftacle à la liberté que doivent avoir les areufets. II. OBSERVATION, Outre que cette roue efît fort libre, j'ai eu attention de faire une aiguille , laquelle quoique grofliere, ne pefe pas plus d'un côté que de l’autre... Enfin fous la queue de cette aiguille, il y a une cheville, qui, à chaque tour, - fait pafler une dent d’une étoile de 24, laquelle porte les heures, & les laifle voir à travers une ouverture quarrée qui eft au bas. SE Éù Prix. 1747: Ppp 478 MEMOIRE SUR LA. MANIERE Réflexions für la juftefe qéon peut fe promettre d'un pareil Sablier, exécuté par un habile Ouvrier. Le modele que j'ai fait de ce fablier, fuivant toutes fes proportions ,.& qui fera préfenté à l’Académie , ainfi que celui de l’autre inflrument;, auquel je travaille fans relä- che: ce fablier, dis-je, n’eft pas exécuté, à beaucoup près, . avec toute la jufteffe dont il eft fufceptible. 1°. Parce que la premiere exécution d’une nouveauté eft toüjours fort imparfaite, mais évventis addere facile ef. 2°. Parce qu'il ya peu de pieces qui n’ayent été rétouchées deux outrois' fois, fuivant les inconvéniens que je trouvois en chemin; & quand il s’agifloit de pieces principales , j'ai fait fervir les mêmes ; pour ne pas multiplier la dépenfe , qui eft déja affez confidérable , eût égard à l'incertitude du dé-- dommagement. 3°. Parce qu'à l'exception des pieces de forge , & du boifage, j'ai généralement fair tout le refte par la lime, vis en fer; vis en bois, pieces en fer-blanc ,. &c. Cette voie m'a paru la plus praticable , foit par la. difficulté qu’il y a-de fe faire bien entendre des ouvriers ;- foit par la crainte d’expofer trop fon fecrer, foit enfin pour diminuer la dépenfe; & l’on fent bien que je ne dois pas. avoir la dextérité d’un ouvrier qui travaille d’habitude. Par exemple , les deux pivots fur lefquels roule Ja croix dés creufets , ont plus d’une ligne de diametre, tandis qu’un bon ouvrier ,.en les paffant fur le tour ( ce que je n'ai pas fait), ne leur auroit pas donné demi-ligne, & qu'ils feroient par-là beaucoup plus libres, & ainfi de tout le refte. Cependant, malgré routes ces imperfeions, ce fablier égale la jufteffe de nos pendules à reflort. I. Réflexion. Silon met dans ce fablier la quantité de fable néceffaire pour couler au-delà de 24 heures, que ce DE TROUVER L'HEURE EN Mr. 479 fable foit d’ailleurs homogene , & pañlé par le crible des fabliers ordinaires, il eft plus que probable qu’il coulera toûjours par le couloir d’une maniere égale: car 1°, Le trou eft fort grand, puifqu'il délivre 2; onces par heure poids de marc. 2°. Il eft fait en entonnoir, & cela ôte toure idée du féjour de certains gros grains, qui pourroient en boucher une partie. 3°. Le tamis qui eft au-deflus , arrête tout ce qui pourroit mettre obflacle à l’uniformité du coulage. 4°. Le pañlage de l'air ne fait point ici la même réfiftance que dans les fabliers ordinaires ; car dans ceux-ci, l'air & le fable fe difputent mutuellement le pañlage, & lorfque l'air eft plus ou moins épais , il en doit réfulrer une différence : mais dans le fablier que je propofe , l'air n’arien à démêler , pour ainf dire, avec Je fable, parce qu'il a une libre communication, comme on le verra dans le modele, & comme on le conçoit:à la Fig. 3 ; où le couloir eft environné d’air de rout côté, C’eft pour cette raifon que dans mon fablier , le fable forme un filet uni comme un filet d’eau , tandis que dans les fabliers ordinaires , ce filet eft continuellement & vi- fiblement interrompu parle paffage de l'air. $°. Le fable eft toûjours à une même élévation au-deffus du couloir, lequel eft toûjours également fourni. 6°. Quand l’humi- dité colleroitenfemble plufieurs grains de fable, ils refte- oient fur le tamis , & le refte couleroiït toüjours. II. Réflexion. Si le fable coule uniformément , les creufets trébucheront uniformément ; c’eft-à-dire , queles 4 enfemble feront leur tour dans une égale durée: cat ily a dans mon modele 2 ou 3 fecondes de différence d’un creufet à l’autre ( ce qui provient de la mauvaife exécu- tion ); mais! cela fe rettouve dans lerour entier, & cela fuffit pour la juftefle en général. Une habile main évitera facilement ce défaut dans un autre fablier, en obfervant Ppp ÿ 480 MEMOIRE SUR LA MANIERE mieux les proportions, queje n’ai pû le faire moi-même. III. Réflexion. Quoique la longue defcription que je viens de faire, préfente une grande quantité de pieces , qui forment en apparence une machine fort compofée , il faut faire attention que toutes ces pieces font fixes, à l'exception de la principale, qui eft la piece des creufets ; c’eft la feule dont les pivots pourront s’ufer par la fuite, mais il faudra bien du tems, car la réfiftance eft peu de chofe : à l'égard des pieces qui font dans la quadrature, outre qu'il y en a peu, on fçait bien que nos horloges à roüage ne manquent gueres par-là , parce que la lenteur du mouvement & la façon inverfe dont ces pieces agif= fent , contribuent également à leur durée... La piece des creufets , qui doit être regardée tout-à-la-fois, comme le premier & dernier mobile, neft pas à beaucoup près fi fatiguée que le dernier mobile des pieces à roüage. Aïnfi ce fablier une fois bien réglé, doit fe foûtenir beaucoup ‘plus long-tems qu’une piece à roüage. IV. Réflexion. La propriété qu'a ce fablier , de mar: quer même pendant letems qu’on le retourne, eft un avan+ tage pour la jufteffe qui doit faire plaifir, & fa durée pen- dant un jour entier eft encore bien eftimable. V. Réflexion. La maniere dont ce fablier marque les minutes , a quelque chofe de plus précis que celle d’une pendule ordinaire , par le bruit qui fe fait à chaque minu- te, lequel s'entend très-diftinétement, & détermine pré- cifément /a fin de la minute © le commencement de l'autre ; au lieu qu’on eft toûjours incertain , fur les cadrans ordi- naires , du véritable inftant où commence & finit chaque minute. VI. Réflexion. Les agitations du vaiffeau ne fcauroient caufer le moindre dérangement à mon fablier, parce qu'il eft fort pefant & bien fufpendu : tout balance à la DE TROUVER L'HEURE EN MEr. 481 fois, & rien ne fe dérange. C’eft ainfi que certaines per- fonnes adroites, mettent un verre plein d’eau dans un cerceau qu’elles tiennent à la main , elles l’agitent peu à peu, le font enfüuite tourner entierement fens-deffus-def- fous, & l’eau qui eft dans le verre ne fe répand pas , quoi- que le verre fe trouve en paffant dans une fituation tout-à- fait renverfée. J'ai fouvent fait balancer mon fablier par des vibrations de plus de deux pieds, qui duroient plus d’un quart-d’heure , fans que cela ait rien changé à la jufteffe. REMARQUE. II faut obferver en paffant, que fi l’on retournoit le fa- blier dans le tems que le creufet va trébucher, on le feroit trébucher plutôt; c’eft pourquoi on ne doit le tourner qu'après que la minute a frappé, car pour-lors il n’y a rien à craindre ; quelques fecouffes qu’on lui donne. On en doit faire de même pour avancer ou reculer , quand on tournera avec la clefle quarré du contre-poids, obfervant toûjours que ce foit dans le commencement de la minute, & non fur la fin. Derniere Réflexion. Quand j'ai fait mon fablier de plus de 24 heures, ça été dans le deffein que fi je ne méritois pas le Prix, cette Piece püût fervir à quelque particulier, & que mon débourfé püt merevenir, & un particulier ne voudroit pas d'un fablier qu’il faudroit tourner deux fois par jour : mais comme dans un vaiffeau on a des perfon- nes attentives pour veiller à ces fortes de chofes, fi l’on réduifoit ce fablier à 1 3 ou 14 heures, enlaiffant fubfifter la même quantité de fable , il couleroit la moitié plus gros ; l'aiguille feroit deux tours par heure, chaque mi- nute du cadran deviendroit une demi-minute, & ce fablier feroit totalement à l'abri de toute forte d'arrêt & P pp iÿ 432 “MEMOIRE SUR iLA ‘MANIERE d'inégalité de coulage. Le poids du fable détermineroit lus fubitement la chûte de chaque creufet, ‘& je penfe que la jufteffe feroit plus aflürée : il ne faudroit pour cela qu’un fecond.couloir, qu’on mettroit à la place de l’autre. Si j'ai du tems , j'en ferai l'épreuve. Si de tels commencemens peuvent mériter l'attention ‘de mes Juges, il y a tout lieu d’efpérer que cette Piece fera un jour portée à la perfeétion qu'on peut défirer pour le fervice de la marine. DE TROUVER L'HEURE EN MER: 483 SECONDE PARTIE. UIVANT la premiere Partie de ce Mémoire, je D viens d'exécuter en grand ce qui ne fe fait ordinaire- ment qu’en petit volume : & dans cette feconde Partie ;. je vais donner: les moyens de réduire en petit volume (:& fans diminuer les proportions ), une chofe qui paroit” ne pouvoir être exécutée qu’en trés-grand volume. IL: PR O'BLE M E- Trouver le moyen de faire un Cadran Solaire équinoëtial | &univerfel, dans un cercle de 29 pouces de diametre, marguant-1°, les heures. 2°. Les minutes une à une. 39. Les fêcondes de sen $ très-diflinélement, de forte que l'image du Soleil parcoure réellement &* vihiblement 2 = pouces par mi- mute ou 2 lignes par $ fecondes , ce qui, fuivant les pro- portions ordinaires ,-ne paroît pouvoir S'exécuter que fur un cercle de 100 pieds de diametre. Comme cette propofition paroît impofñfible & chimé- rique , je crois devoir avertir en paffant, que je ne fuis pas novice dans la théorie & dans la pratique de toute forte de cadrans folaires ; ainfi l’on peut fufpendre fon ju- gement jufqu’aux preuves, & fi je ne me fais pas aflez’ bien enténdré , il y fera fuppléé par le modele que je fais exécuter, & qui partira avec celui du fablier. : DESCRIPTION. C'eft à la -réfraélion & à-la réflexion des rayons du 484 MEMOIRE SUR LA MANIERE Soleil , qui font connues de tout le monde, que je dois l’idée de ce cadran , lequel, à ce que je crois, n’eft en- core connu de perfonne; car fuppofé qu'une pareille idée fût venue à quelqu'un avant moi (ce que j'ignore), il feroit moralement impoflible que nous nous fuflions en- tierement rencontrés dans l’exécution. La principale piece de ce cadran, eft une boïte quar- ré-longue BCD, &c. Fig. 11, formant une efpece de chambre obfcure , de 22 pouces de long 4C; de 12 pou- ces de large 4B , & de 8 pouces de hauteur 4G. Le de- dans eft tout peint en noir, à l'exception du fond DCH, qui eft blanc , & le dehors eft tout verd, pour la propre- té feulement. Il n’y a d’autre ouverture que celle marquée EF, d'environ deux pouces de largeur, pour pouvoir bfeiyer les minutes & les fecondes ; car pose les heures on les voit ailleurs. Pour abréger l’explication, j’appellerai cette chambre obfcure la chambre tout court. Le fond d’en bas fera CHLD; l'oppofé BAG fera celui d’en-haut. 4BDC s’ap- pellera le deflus ; le deffous GHL, & les côtés feront GIEH,& KFDL. La chambre eft foûtenue fur deux pivots 1,K,placés au milieu des deux côtés ; fur lefquels elle peut tourner à volonté du Sud au Nord, & du Nord au Sud. L'intérieur de la Chambre ob[cure. La Fig. 12 repréfente la Chambre couchée fur une ta: ble , n’ayant ni le deflus , ni les côtés , mais feulement le deffous LMN, avec les deux fonds, dont ÆVP eft le fond d’en-bas , & OM le fond d’en-haut.… OR eft une lunette d'approche ou de longue-vée, d’un pied de long. L’objeëtif © eft tourné vers le Soleil-levant S , que nous fuppofe- rons au véritable équinoxe, car ce jour-là, à 6 heures pré- cifes, DE TROUVER L'HEURE EN MER: 485$ cifes, {a chambre doit être dans la fituation de Îa Fig. 12; l’oculaire par conféquent de la lunette , eft tourné vers le fond d’en-bas MP. 1°. Le rayon RAT, après avoir fouffert plufieurs réfrac- tions dans la lunette, rencontre une petite glace de mi- roir TV, de deux pouces de large, & un peu inclinée, pour que le rayon ne retourne pas dans la lunette. 2°. La glace TN renvoie ce rayon fur une feconde glace 7°Y, attachée au fond d’en-haut , & plus large au double que celle d’en-bas. 3°. Enfin, la glace 7° Y , réfléchit ce même rayon fur le fond d’en-bas à l’endroit Z', où l’image du Soleil marque, par fon mouvement, les minutes & les fe- condes, comme nous l’expliquerons plus bas. Il faudroit abfolument voir l’effet que produit cette lu- nétte avec ces deux miroirs pour pouvoir s’en former une idée. L'image du Soleil, qui n’a gueres que 6 lignes de diametre au point T, en a près de 3oaupoint’Y, & s pouces au point Z. Son mouvement de srépidation imite celui qu’on voit dans les grandes Eglifes, quand lesrayons percent ä-travers untrou de vitre, & elle parcourt ici 2 pouces par minute. La Fig. 13 eft une répétition de [a 12, préfentée dans un autre fens. Dans la Fig. 12, j'ai repréfenté les chofes en profil, & dans la 13 je les préfente de face; & comme le deffous de la chambre étant préfenté de face, les deux fonds d’en-haut & d’en-bas feroient vüs en profil, & que je ne pourrois pas défigner les figures qui y font tracées; j'ai pris le parti d’applarir ces deux fonds, pour les mettre dans un même plan avec le deflous de la chambre. Ainfi MA eft le deflous de la chambre, VP eft le fond d’en- bas applati, & O M eff le fond d’en-haut auffi applati, coms me s’il y avoit des charnieres aux jointures 1 & A. Reprenons maintenant chaque chofe en particulier, Prix, 1747, Qgq 486 MEMOIRE SUR LA MANIERE Dans cette Fig. 13 OR eft la lunette arrêtée folidement au-milieu du deffous de la chambre , à 4 ou $ lignes d’élé- vation parallele... Teft le premier miroir, F°Y ef le fe- cond miroir. .Rr23Y496; &R7383 9,710 11 12, font ae rayons extrèmes, entre lefquels il faut en imaginer une infinité d’autres qui fe fuccedent ; ou bien , fi l’on veut, on peut s’imaginer que le premier & le fecond font les mêmes, qui ne different entre eux que par la poñition locale, & pour-lors il faudra s'imaginer que depuis AB jufqu’à CP, ils ont pañlé fucceflivement par tous les points imaginables. I. Sappofition. Je fuppofe que la longueur ÆP eft de 12 pouces & demi, quoiqu’elle ne foit réellement que de 12 pouces. J’expliquerai plus bas ce que devient ce demi-pouce fuppofé. II. Suppofrion. Je fappofe que l’image du Soleil S par- court 2 - pouces par minute. Cette fuppofition eft d’au: tant plus admiffible , qu'il ne s’agit que d’allonger ou rac- sourcir la chambre , pour avoir cette proportion à fouhait. III. Suppofition. Je fuppofe l'efpace AP partagé en s parties égales de 2 < pouces chacune , qui feront $ mi- nutes , & chaque partie en 12 autres de 2 < lignes , qui marqueront les fecondes de sens. IV. Suppofition. Je fuppofe que la chambre étant bien placée , l’image du Soleil, qui eft d'environ $ pouces de diametre, remplira fucceflivement tout l'efpace renfermé entre les deux bornes 4P , CB ; & que pour peu que cette pofition de la chambre foir changée , l’image du Soleil franchira lune ou Pautre des deux bornes , & cette image paroïtra tronquée. © V. Suppoñirion. Parmi une infinité de rayons qui pei- gnent l'image du Soleil, je n’en prends qu’un de ceux qui peignent le limbe antérieur. DE: TROUVER L'HEURE EN MER: 487 VI. Suppofition. Je fuppofe qu’il eft précifément 11 heures $ $ minutes, & que la chambre étant bien placée, le rayon R1 2 3 F4 $ G arrive au point €. PREMIERE OPERATION. Suivant cette derniere fuppoñition , à 11 heures 55 minutes , l’image du Soleil étant totalement hors de la chambre, le limbe antérieur commencera à fe montrer au point 6 , & s’avançant fucceflivement, ce même lim- be marquera en paffant les fecondes de s en $ , & les minutes 1 à 1. Il eft certain, fuivant la deuxieme fuppo- fition , qu’à midi précis, le limbe antérieur arrivera au point $ 12 $ , (l’image du Soleil étant alors toute en- tiere dans la chambre obfcure. PREMIER COROLLAIRE. Nous venons de voir l'opération de ce cadran pendant $ minutes d'heure, il n’eft plus queftion que de trouver un moyen für de répéter la même opération toutes les fois qu’on voudra , par des obféruations fujvies ow non fuivies , de $ minutes chacune, pendant _ tems que le Soleil fera fur lhorifon. Pour rendre cela praticable , il faut ajoûter à la chem- bre obfeure APMOR ; de la 14° Fig., un cercle BCD, qui repréfentera l'équateur. Ce cercle fera partagé en 24 paities égales , qui répondront aux 24 heures du jour, chacune de 15 degrés. IL faut faire dans les 24 divifons autant de coches égales , & tracées avec précifion.. Il faut encore foûdivifer ces 24 parties en 12 parties cha- cune , pour les minutes de $ en $ , & y faire de fembla- bles coches, avec la même jufteffe. La petireffe de la figu- Qagqi 488 MEMOIRE SUR LA MANIERE re ne me pérmet pas de tracer ici toutes ces coches, qui font au nombre de 288 fur toute la circonférence. L'efpace d’une coche à l’autre tant plein que vuide, vaudra 1 degré 1 $ minutes , qui eft la portion de l’équa- teur que le Soleil parcourt dans $ minutes d'heure. Au- deflus de l’équateur, doit être une piece coudée EF, mo- bile au point F, dont le talon E remplira exaétement le vuide de chaque coche. Sur le plat de l'équateur, j'ai marqué les 24 heures en chifres Romains , dans un ordre renverfé; & de 3 en3 coches , il y a ces nombres marqués, 15,30, 45, qui fignifient les minutes pour le quart , la demie , & les trois quarts de l'heure. Les 60 ne fe marquent pas, parce que le chifre Romain y fupplée : je ne marque pas non plus les chifres intermédiaires, $, 10, 20, 25, &c. parce que la chof& n'eft pas néceflaire. II. OPERATION. Pour l'intelligence de ce que j'ai à dire, il faut re: prendre la chofe où nous l'avons quittée dans la premiere opération. Nous avgns vû qu'à 11 heures $$ minutes, le Soleil étoit au point 4 , hors de la chambre, & à midi précis au point P, dans la chambre. Je dis au point 4 & au point P, parce que j'ai employé dans cette 14° Fig. les mêmes lettres qui fervoient dans la 13° pour plus grande facilité. Si, après avoir vü arriver le Jimbe antérieur du Soleif au point P (qui faifoit midi précis) , nous faifons tourner le cercle BCD de la valeur d’une coche , ou de la 288° partie du cercle, & que nous mettions le talon E dans cette feconde coche D, il arrivera 1°, que la chambre APMOR , qui eft attachée fur l'équateur, aura aufli rour- DE TROUVER L'HEURE EN MER: 489 né de la valeur d’une coche, qui eff 1 degré 15 minu- tes de l'équateur, ou $ minutes d’heure, 2°. Puifque l’ef- pace 4P eft de $ minutes d'heure , fuivant la troifieme fuppoñition , le cercle de l'équateur ayant devancé la mar- che du Soleil de la valeur de $ minutes d’heure , le rayon du Soleil aura reculé d’autant , & au lieu de fe trouver en P , où il étoit arrivé, il fe retrouvera en 4 comme dans la premiere opération, & continuera fa marche de 4 vers P pendant $ minutes d'heure, de forte que quand le rayon fera arrivé précifémenten P , il fera précifértent midi & $ minutes. III OPERATION. Devançons encore la marche du Soleil, en mettant le talon £ dans une troifieme coche G ; le rayon fe retrou- vera encore au point À, d’où il marchera vers le point P pendant $ autres minutes, & lorfqu’il y fera arrivé, il fera midi & 10 minutes... On pourra continuer de de- vancer la marche du Soleil , de $ en $ minutes, en met- tant fucceflivement le talon E dans les coches H, I, & ainfi de fuite , aufli long-tems qu’on aura envie d’obferver le Soleil. PREMIERE OBSERVATION. Je fuppofe toüjours que c’eft le jour des équinoxes; auquel jour la chambre peut être confidérée comme étant dans le plan de l'équateur. Nous parlerons plus bas des moyens de fuivre la déclinaifon du Soleil, Qaaii 49 0 . MEMOIRE SUR LA MANIERE: II. OBSsERVATION. Je ne crois pas qu'il foit befoin de prouver que chaque coche de l'équateur fait revenir le rayon au point 4 pré- cifément ; cat , puifque nous fuppofons d’un côté que le rayon parcourt l’efpace 4P dans $ minutes d'heure; & que de l’autre côté, nous fcavons que le Soleil parcourt 1 degré 15 minutes dans $ #inutes d'heure ; il eft clair que cesfleux efpaces équivalent l'un à l'autre, & par confé- quent , l’on ne peut pas faire avancer l'équateur d’une coche , fans faire rétrograder le Soleil de tout lefpace PA... Si cependant cela paroiffoit douteux, faute d’expli- cation de ma pa ; on peut s’en rapporter aux expérien- riences que j'en ai faites, en attendant que le modele le fafle voir clairement. III OBsERvVATION. Il n’eft pas néceffaire , pour la jufteffe de Pobfervation, de changer la coche précifément au moment que le rayon eft arrivé en P: on peut le faire à fon aife, fans fe prefler, & fans qu’il puiffe en arriver la moindre erreur, parce que le Soleil fait toûjours fon chemin; & au lieu que le rayon fe feroit trouvé précifément en À, fi l’on avoit changé la coche fans aucune perte de tems, le même rayon fe trouvera d'autant plus avancé fur la marche de À vers P, que l’on aura mis plus de tems à changer la coche, mar- quant toûjours avec la même jufteffe fur les divifions des minutes. Il en feroit de même fi l’on changeoït la coche avant que le rayon füt arrivé en P ; il feroit quelque tems fans fe montrer en Z, après quoi il y paroïtroit au moment DÉ TROUVER L'HEURE EN MER: 491 précis qu'il auroit dû y paroître, fi l’on avoit changé la coche dans l’inftant précis. IV. OBSERVATION. C’eft pour cette raifon que le demi-pouce qui manque à la largeur AP , fuivant la premiere fuppofition; ne caufe aucune erreur, parce que ce demi-pouce eft cenfé hors de la chambre ; il faut feulement commencer les divifions des $ minutes au point P , donnant à chacune 2 pouces, & la derniere du côté 4, fe trouvera plus petite d’un demi-pouce, qui fera cenfé hors de la chambre, & pour fa perte du tems qu’on met à changer la coche. V. OBsSERVATION. C’eft à préfent qu'on conçoit comment Pimage du Soleil peut parcourir un efpace de 1 fo pieds en 12 heu- res de tems, ou 12 pieds & demi en une heure de tems, dans un cercle qui n’a que 29 pouces de diametre : c’eft en répétant fouvent fa marche fur le même efpace. Deux moyens concourent à cela: l’un eft laréfracfion & réflexion des rayons qui grofliffent les intervalles de la marche du- Soleil, & lPautre eft cette maniere aifée de devancer la marche du Soleil , pour lui préfenter 1 2 fois par heure le même efpace à parcourir. VI. OssERVATION. Ce Cadran, qui n’eft encore décrit qu’en'partie , eff d’un ufage immanquable fur terre , & chacun peut fe don- ner fur la plus petite terrafle un Olférvatoire raccourci , qui, à cet égard, équivaudra à la méridienne de PObfervatoire même de Paris, ou de S. Sulpice , avec cette différence que la chambre obfcure marquera toutes les heures du jour : car fi l’on donnoit feulement 3 pieds à la chambre 492 MEMOIRE SUR LA MANIERE obfeure, ou fi l’on y employoit une meilleure lunette, on auroit une image beaucoup plus grande, & qui par- courroit de beaucoup plus grands efpaces. VII. OBSERVATION. Dans tout ce que je viens de dire jufqu’ici , je fuppofe un équateur dont les poles foient fixes fur terre, & l’on ne eut me faire d'autre difficulté, que l’inégaliré qui pour- roit fe trouver dans les divifions de cet équateur : mais la chofe n’eft pas impoffble , difons même fi difficile, fur- tout aux habiles ouvriers ; & quand une fois cet équateut fera bien divifé, il ne peut plus arriver de dérangement; s’il eft bon un jour , il fera bon toûjours. Nous verrons de quelle façon je compte pouvoir l’employer fur mer, De la déclinaifin du Soleil. Pour que ce Cadran puiffe fervir toute l’année, il faut que la chambre obfcure puifle imiter les deux mouvemens du Soleil. Elle imite fon mouvement diurne , en fuivant Île mouvement de l'équateur à mefure qu’on change les co- ches , & par-là elle tourne, comme cet équateur, fur les poles du monde. Il faut encore qu’elle imite fon mouve- ment annuel, & pour cela il faut qu’elle ait deux autres poles aux deux points de 6 heures, c’eft-à-dire , au vérita- ble levant & véritable couchant. La Fig. 1 4 nous fervira encore pour expliquer une par- tie de ce fecond mouvement. A côté de la chambre APMOR , vous voyez deux traverfes KL, NO, qui font arrêtées avec des vis fur le cercle de l’équateur.… Au mi- lieu de ces deux traverfes il y a deux autres vis S, T, qui foûtiennent-la chambre 4PMOR , & lui fervent de po- les; DE TROUVER L'HEURE EN MER. 497 les ; en forte que cette chambre roulant fur ces deux vis, peut faire un angle avec le plan de l’ équateur (tant vers le Sud que vers le Nord), de la même quantité de degrés que la plus grande déclinaifon du Soleil. ADBC , Fig. 15, repréfente le profil de Ja chambre obfcure : elle eft mobile du Nord au Sud, & du Sud au Nord au point Z, qui eft fon centre. CD repréfente le plan de l’équateur ; que je fuppofe dans une élévation de 45 degrés... F,E font les deux poles de l'équateur; Feft le pole Méridional , & E le pole Boréal... Sur le haut de la chambre D, eft fixé un arc de Méridien GADH, de 47 degrés, pour la déclinaifon du Soleil vers l’un & l’au- tre pole. Cet arc, dont le diametre eft d’egviron 22 pou- ces, eftdiviféen 23 degrés de chaque côté, avec une coche à chaque divifion. Voilà de quoi fuivre la déclinaifon du Soleil degré à degré; mais comme cette déclinaifon n'augmente pas, nine diminue pas précifément d'un degré par jour, il faut encore pouvoir partager chaque degré en 60 parties, afin de pouvoir imiter parfaitement la déclinaifon du So- leil minute à minute, telle qu’elle eft marquée dans les Tables dreflées par les Aftronomes. Chaque degré de l'arc GADH , n'étant que d'environ 2 = lignes, il feroit impoflible de le divifer en 60 parties fenfibles : cependant , comme la chambre obfcure groffit les objets, & qu’une très-petite partie du méridien produit un changement fenfible dans cette chambre , il faut ufer d’expédient pour rendre cette divifion füre & fenfible tout-à-la-fois. KP Prix. 1747. Rrre 494 MEMOIRE SUR LA MANIERE Minutes de. degrés pour la déclinaifon du Soleil, La Fig. 16 ne differe de la 1 $ que par quelques addi- tions qu'il faut expliquer féparément. La premiere addi- tion eff la piece MPO OR, qui fert pour marquer les mi- nutes de la déclinaifon du Soleil. Cette piece eft mo- bile au point P, oùelle tient par une vis qui lui fert de centre. Depuis le centre P jufques en O, elle a 1 5 lignes; & depuis le même centre P jufques à l'arc OR, elle a 18. pouces 9 lignes , fa longueur totale étant d'environ 20 pouces. Il y a au point O une cheville par-deffous, qui entre dans les coches de l'arc GADH, & en remplit exaétement 1 ent A-travers l'arc ONR, qui ne fait qu'une même piece avec MPO, à-travers, dis-je, l'arc ONR, on voit une ouverture OR, d'environ 30 lignes de long. Dans cette ouverture eft une vis fixe M (fervant: d’index ), laquelle, ainfi que la vis P , eft arrêtée fur la ‘ traverfe LM, dont nous parlerons bien-tôt. Le Iong de l'ouverture OR, font marquées 30 divifions , un peu iné- gales fur les extrémités, dont chacune vaut 2 minutes de degré , avec une fuite de chifres qui commencentenR, & finiflent en O. La deuxieme addition confifte dans les deux traverfes EF, LM, qui forment une croix , à laquelle répond une autre croix pareille qu'il faut imaginer cachée derriere cel- le-Rà. Ces deux croix font à environ 9 pouces de diftance Pune de l’autre, ayant entre deux la chambre obfcure ADCB, à laquelle elles fervent de fupport. La traverfe LM eft la même que vous voyez en VO , Fig. 14... Cette traverfe LM, & celle qui lui répond, foûtiennent l’équa- teur, dont le plan eft ici caché fous la même traverfe ; & la traverfe EF, avec celle qui lui répond, fervent de po- DE TROUVER L'HEURE EN MER. 25€ les au même équateur. Elles font liées par les deux bouts, comme vous voyez à la Fig. 17, ayant au milieu . deux tenons E, F, qui fervent de poles à l'équateur... Dans la même Fi. 17 , le cercle ponétué LMTS, tepré- fente l'équateur , & l’autre pondué EBFC, repréfente le méridien. La troifieme addition eftle cercle LEMF, Fig: 16, qui eft le méridien divifé en 360 parties, avec un petit trou de deux en deux divifions , dont je n’ai marqgié ici que quelques-unes, par rapport à la petiteffe de la figure. Ce méridien (qui n’eft pas encore fair) fera compolé de deux cercles égaux , arrêtés parallelement l’un à côté de l'autre , à une diftance d'environ 8 degrés , affermis d’ailleurs par des traverfes d’efpace en efpace. Cette pré- caution m'a paru néceffaire , parce que s’il n’y avoit qu'un cercle pour le méridien, fon épaifleur intercepteroït les rayons du Soleil tous les jours précifément à midi, en forte que l'heure du jour la plus remarquable , feroit celle qu'on ne trouveroit jamais fur ce cadran : mais au moyen de deux méridiens paralleles, diftans de 8 degrés, la lu- nette fe trouvera entre deux, & marquera un quart-d’heu- re avant, & un quart-d’heure aprés midi , fans interrup- tion. Les deux méridiens intercepteront les rayons, le premier un peu après 1 1 heures &t demie, & le fecond un peu avant midi & demi, & tout le refte du jour fera à découvert , comme on peut voir, Fig. 14, où les deux méridiens font ponétués en vx, y2. Rrri 496 MEMOIRE SUR LA MANIERE Minutes de degrés pour le Méridien. Pour rendre ce cadran univerfel , il faut pouvoir le fufpendre 1°, par chaque degré du méridien. 2°. Non- feulement par chaque degré, mais encore par chaque mi- nute de degré. Le premier cas eft facile, parce que cha- que degré ayant un peu plus de 3 lignes de large, on peut percer un trou à chaque divifion, & par le moyen de ces trous , on le fufpendra par le degré que lon vou- dra. A l'égard du fecond, la chofe n’eft pas fi aifée , eu égard à la petitefle de l’inftrument. Je crois avoir trouvé deux moyens de le faire; je vais les expliquer féparément , & je me déterminerai dans la fuite pour celui qui fera le plus facile à exécuter. Le premier que j'ai imaginé, confifte dans une piece de fer ABCDE , Fig. 18. Les deux trous 4, B, font per- cés à la diftance précife de trois degrés du méridien, & peuvent être changés d’un degré à l’autre, au moyen de deux chevilles qui pafleront par les trous 4,B, & par ceux du méridien. CD eft une vis fans fin, aflujettie dans les deux côtés AD, BC, en forte qu’elle peut tour- ner fans avan-er ni reculer. Chaque filet de cette vis doit avoir l’épaiffeur précife d’un degré du méridien , & l’an- fe £ doit avoir un trou f/eté, & proportionné à la vis CD... La têre C de la vis CD, doit être faite en forme d’index , pour marquer les minutes fur un petit cadran, que je fuppofe tracé fur le côté du fupport BC; de cette façon, la vis CD faifant un tour entier , fera avancer ou reculer l’anfe E, de la valeur d’un degré du méridien, & l'index C'en marquera chaque minute fur le petit cadran dont je viens de parler. L'autre moyen eft une plaque de fer FGHK, Fig. 195 DE TROUVER L'HEURE EN MER: 497 de 8 ou 10 pouces de longueur, plus ou moins, à volon- té , fur laquelle on marquera les minutes 2à2,ou1à1, à proportion de la longueur qu’on donnera à fa plaque. Il y aura en bas deuxtrous F, G, qui comprendront exac- tement deux degrés du méridien. Sur cette plaque, on pro- longera les divifions des degrés, depuis F jufques en H; depuis L jufques en 1, & depuis G jufques en K.…. On tirera en fuite deux lignes tranfverfales , depuis F jufques en 1, & depuis L jufques en K.. Si l'on partage ces deux lignes en 30 parties égales , où l’on percera autant de trous, chacune vaudra deux minutes ; & fi on les partage en 60 , chacune ne vaudra qu'une minute. L’inftrument fufpendu par le trou 1, par exemple , fera dans la même fituation que s’il étoit fufpendu par le trou L, qui eft le degré complet ; & chaque trou entre-deux , produira une fufpenfion proportionnée au nombre de minutes qui {e- ront écrites à côté. Ufage de cet Inffrument fur Terre. 11 faut commencer parles opérations faciles, & nous viendrons en fuite aux plus difficiles. Je m’étendrai beau- coup fur cette premiere application de l'inftrument , par- ce que la pläpart des chofes ferviront pourles explications fuivantes. ARKEKEE APBKPA >< 4 D Ê = Rrri 498 MEMOIRE SUR LA MANIERE PREMIER PROBLEME Connoiffant la hauteur du pole & la déclinaifon du Soleil; connoître l'heure qu'il effpar Minutes & Secondes. Suppofons que nous fommes à l'élévation de 45 de- grés , & au 6 Juin 1746 ( deuxieme année après les Bif fextes) , auquel jour la déclinaifon du Soleil eft marquée de 22 degrés 40 minutes. Choïfiflons la 16° Fig. 1°. Je mets l’anfe K au 45° degré du méridien , car l’inftrument étant fufpendu par cet endroit, le pole E fera élevé de 45 degrés au-deflus de l’horifon. 2°* Je prends fur l'arc GADH, la coche du 22° degré, & j'y mets la cheville ©, de la piece OPONR. 3°. Prenant l'arc ONR avec la main , je le pouffe à gauche, jufqu’a ce que l'extrémité R (qui eft zéro) touche la vis V; & dans cer état, la piece OP O NR marquera 2 2 degrés précifément : & comme la déclinaifon du 6 Juineft de 22 degrés 40 minutes, je retire à droite l’arc OVR , jufqu’à ce que la vis Vfe trou- ve vis-à-vis de 40 minutes ; après quoi Je ferre la vis, pour que l'arc ne remue plus. Voilà l’inftrument réglé pour marquer pendant tout le jour 6 Juin 1746. 4°. Que ce foit fur une terraffe , dans une bafle- cour, ou à la campagne, il faut avoir un point d'appui pour fufpen- dre l’inftrument. 5°. L’inftrument étant fufpendu , il faut l’orienter d’une maniere approchante. Je dirai plus bas ce qu'il faudroit faire , fi l'on ne fçavoit pas de quel côté eft le midi approchant. 6°. Quittons la F3g. 16 pour prendre la 14. Je fuppofe que l'équateur CBD eft à peu près bien pour ce qui regarde les 4 points cardinaux du mon- de, fans fçavoir toutefois fi cette fituation de l’inftrument décline vers le Levant ou le Couchant. 7°. Comme on DE TROUVER L'HEURE EN Mer: 499 he peut pas connoître les petites parties de l'heure, fans connoître l'heure courante, il faut avoir recours au guide. dont j'ai différé l’explication jufqu'ici. Explication du Guide. Le Soleil parcourt de fi grands efpaces dans ce petit cadran , que pour peu que l’inftrument forte de fa vérita- ble pofition, les rayons du Soleil n’entrent plus dans la chambre obfcure. Il faudroit fouvent tâtonner Pefpace de plufieurs minutes , fans pouvoir rencontrer le point de les y introduire. C'eft pour cette raifon que j'y ai pratiqué un guide pour la prompte exécution. Ce guide eft un pe< tit trou @, Fig. 13 , qui répond au circuit ponélué Z ;. même Fig. L'image du Soleil qui pafle à-travers ce trou » eft bien différente de celle qui pafle par la lunette. Com- me elle eft beaucoup plus petite , elle eft auñfi beaucoup: plus tranquille, & un écart de plufieurs degrés, n’eft pas capable de la faire fortir du fond CBP A. Ufage du Guide. L'Equateur CDB, Fig. 14, étant orienté, comme: j'ai dit, d’une maniere approchante, il faut d’une main tenir l'arrêt EF élevé, & de l’autre faire tourner l’équa- teur , jufqu’à ce que l’image & rentre dans le circuit Z,. Fig. 13 ; & dès-lors la grande image du Soleil paroîtra: infailliblement dans la chambre obfcure , & marquera la. minute courante. Refte à fcavoir à quelle heure appartien- dra cette minute , ce que nous connoîtrons par la coche ou fe trouvera le talon Æ de l'arrêt EF... Chaque heure ayant 12 coches, celle qui fépare une heure d’avec l’au- tre , eft tout-à-la fois la fin de lheure précédente, & le: s00 MÉMOIRE SUR LA MANIERE commencement de la fuivante ; la deuxieme coche vaut $ minutes, la troifieme 10 , & la quatrieme 1 $ , qui font marquées , & ainfi de fuite. Une fois que vous fçaurez captiver la grande image du Soleil dans la chambre obfcure, par le moyen du guide &, il ne vous fera pas difficile d'orienter cet inffrument de la maniere la plus jufte : car pour peu que les poles de l'équateur ne foient pas dans la véritable méridienne, cette image fortira des bornes CB, P 4, ce qui vous don- nera occafion de tourner davantage l’inftrument, jufqu’à ce que l’image S , Fig. 13 , marche exaétement entre les deux bornes CB, PA, fans en fortir. PREMIERE REFLEXION. Tout ce que je viens de dire jufqu’ici, deviendroit inutile pour un inftrument domeftique, orienté d’une ma- niere fixe. Il faudroit feulement ajufter la déclinaifon du jour, & changer les coches dans le tems de l’obfervation, ce qui eft tout fimple : mais comme cet inftrument eft aufli deftiné pour changer fouvent de latitude & de fitua- tion en toute façon , il a fallu entrer dans un plus grand, détail. LE | Royer LE XioiN: Ce Cadran ef infiniment avantageux fur terre , poux trouver une méridienne füre & à toute heure du jour; car comme le Soleil parcourt 1 2 : pouces par chaques $ mi- nutes , fi l’on fait feulement trois opérations de fuite ( ce qui ne comprend qu’un quart-d'heure), l’image du Soleil aura parcouru 37 - pouces, & pour peu que l'inftrument foit déplacé, cette image aura franchi plufieurs fois les bornes qui lui font prefcrites , ce qui aura porté l'Obfer- vateur DE TROUVER L'HEURE EN MER. soi vateur à le détourner, pour le ranger dans la place con: venable. II PROBLEME. Connoiffant la déclinaifon du Soleil, trouver la latitude d'un dieu donné, par degrés à’ minutes. Comme la déclinaifon eft la même pour toutes les par- ties du globe terreftre , fi nous voulons (le 6 Juin 1746) fçavoir au jufte la latitude du pays où nous fommes, il . faut ajufter la déclinaifon comme il a été dir Probleme], Articles 2° & 3° ci-deflus ; après quoi f’inftrument étant fufpendu par quelques degrés plus ou moins que la jufle éléva- tion du pole ; il faut le tourner horifontalement , jufqu’a ce que le guide fe montre dans la chambre obfcure : que fi le guide ne s'y montroit pas, on verroit aifémenr fi l’éléva- tion peche par trop, ou par moins, ou bien fi l'équateur n’eft pas aflez tourné pour l'élévation a@ueile du Soleil : dans l’un ou l’autre de ces deux cas, ou il faudroit fufpen- dre l’inftrument par un degré moyen, ou bien changer quel- que chofe de l’équateur en avant ou en arriere... Quand le guide fe montrera dans la chambre obfcure , on chan- gera la fufpenfion , ou les coches de l'équateur, jufqu’à ce que le même guide tombe dans le circuit Z', Fig. 13... Enfin, quand le guide tombera dans le circuit Z°, on,ob- fervera la marche de la grande image du Soleil; & fi quand elle arrivera au milieu de l’efpace AP, Fig. 13, ( également éloignée des deux extrémités 4 & P) elle remplit exaétement les deux bornes CB, PA, c’eft une marque que l'inftrument eft bien fufpendu , & tout eft fait, Si au contraire cette image franchit fes bornes d’un côté ou d'autre, on changera la fufpenfion par le moyen de la Fig. 19, & quand on fera parvenu à rendre l'image FES ATAT: S [£ s0o2 MEMOIRE SUR LA MANIERE complette au milieu de fes deux bornes ; on fera für d'a: voir trouvé la véritable latitude de l’endroit. On prendra le nombre des degrés fur le méridien , & les minutes fur l'angle HIKFLG, Fig. 19. REMARQUEz. Cette maniere de trouver la latitude eft d'autant plus agréable, qu’on peut le faire à toute heure du jour : du moins n’efl-on pas obligé d’attendre midi precis ; où le ciel peut n’être pas pur : d’ailleurs, comme cet inftrument produit Peffet d’un cercle de 100 pieds de diametre : on fent bien que les quarts-de-cercles des Aftronomes, n’ont pas, à beaucoup près , cette étendue , ni par conféquent cette précifion. Dans ces fortes d’inftrumens , en multipliant les divi- fions , on les rend extrèmement petites, & c’eft de l’at- tention infinie de PObfervateur , que dépend la jufteffe de l'opération : mais dans celui-ci, les divifions font gran- des, quoique multipliées, & c’eft le Soleil par fa mar« che précipitée , qui en fait tous les frais. IIL_ REertLEexroN. Cet inftrument demande, à la vérité, beaucoup de jufteffe dans l'exécution, foit pour l'égalité des divifions, foit pour celle du calibre des pieces , afin qu’elles ne pe- fent pas plus d’un côté que de l’autre , & que le centre de gravité foit toûjours au centre de l’inftrument', quelque fiuation qu’on puiffe lui donner : mais auïfi, cela fuppofé, il féra d’une grande commodité pour quantité d’opéra- tions. Je fens bien que cet inftrument doit être exécuté en DE TROUVER L'HEURE EN Mer. so? laiton , mais quant au modele que j'en ai fait, il ne peut être que de fer, faute d’avoir le métal Bern , & un ouvrier capable de l’exécuter : il feroit même à fouhaiter qu’il n’y eût pas d’autres chofes à redire ; mais quelque imparfait qu’il puifle être , il fervira à éclaircir mon Mé- moire , & c’eft tout ce que je demande. TILL: P R oO 8 1 E MUE. Connoiffant la Latitude d’un lieu donné , trouver la déclinaifon du Soleil, qu'on ignore, pour un jour déterminé. .… Cette opération ne differe prefque en rien de la précé- dente ; car ayant fufpendu l’infrument fuivant la latitude ; il faut le faire tournex horifontalement , pour lorienter d’une maniere approchante : il faut enfuite faire tourner l'équateur, pour chercher l'heure approchante, aumoyen du guide, & enfin incliner la chambre obfcure, jufqu’a ce que l’image du Soleil remplifle exaétement fes deux bornes , étant à une égale diftance des deux extrémités A & P. On connoîtra alors la décfinaifon du Soleil, fçavoir les degrés fur l'arc GADH, & les minutes 7 Farc ONR, Hg. 16. IV, REFLEXION. Cette méthode peut fervir fur terre pour corriger Les fautes d’impreflion, qui peuvent quelquefois s'être glif- fées dans les Tables de déclinaifon , ou pour en dreffes une foi-même fi l’on veut, sffi fo£ MEMOIRE SUR LA MANIERE IV. PROBLEME. Connoiffanr la déclinaifôn du Soleil, connoître la Latitude de Pendroit où l'on eff, par les afcenfions . droites du Soleil jufqu'à midi. 11 faut 1° , arrêter la chambre obfcure parallelement à l'équateur, dans la même fituation où elle doit être le jour des équinoxes. 2°, Il faut fufpendre l’inftrument par le point du méridien où il eft coupé par l'équateur, en forte que cet équateur d’éncliné qu'il étoit, devienne ver- tical, 3°. I] faut faire tourner l’inftrumenthoriforitalement, jufqu’à ce que le. plan de Péquateur foit parallele aux rayons du Soleil. 4°. El faut changer les: coches , jufqu’à ce quele guide donne dans le circuit Z, Fig: r3. Alors la grande image y paroïtra aufli, & baïffera bien-tôt , fi c’eft avant midi, ou hauffera fi c’eft après. Mais comme elle travaillera inceffamment à franchir fes bornes ; il fau: dra l’y captiver , en tournant l’inftrument horifontalement du Levant au Couclänt , à mefure que le Soleil tournera aufi , en forte que le plan de l'équateur foit toûjours pa- rallele aux rayons du Soleil. 5°. Quand à force de baïfler; l'image fera parvenue au point PC, Fig. 1 3 , il faudra chan- ger une coche ; & le Soleil remontera au point 4, 6°. Quand l’image ne defcendra plus, il fera midi, & le cércle de l’équateur tiendra alors la véritable place du méridien , tandis que le plan du méridien fera parallele au Levant & au couchant. Je dis ceci pour faire com prendre le changement de cet infirument , étant fufpen- du par l’interfe@ion du méridien & de l'équateur. Lorfque le Soleil ne montera plus, on remarquera exaétement le, lieu de l’image dans la chambre obfcure ; DE TROUVER L'HEURE EN MER: Fos onregardera aufli la coche où fe trouvera l'arrêt E, Fig. 14, & on notera le tout. REDUCTION: En comptant un degré 1 $ minutes pour chaque coche de l’équateur, on aura le véritable nombre des degrés ; chaque minute de la chambre obfcure vaudra 1; minutes de degré, & chaques $ fecondes vaudront une minute 1 $ fecondes de degré... On fera la fomme du tout , laquelle forme par l'addition de la déclinaifon méridionale du So- leil, ou par la /oufraëfion de la déclinaifon Seprentrionale, donnera la: latitude exaéte du lieu de l’obfervation, ; ET Gone re LUA TR É! es L = à: Cette méthode eft excellente pour avoir avec exa&i- tude les hauteurs correfpondantfes du Soleil fur Phorifon ; à chaque moment du jour. FE B2:C'orniohs dr 1 DRE: On peut aufli, par les élévations du Soleil fur l'hori- fon, connoiître l’heure qu’il eft, quand on connoiït la lai: tude. NERIP RNO: BL EUM "ET Sans connoître ni la Latitude , ni la déclinaifôn du Soleil; connoître dans le moment fr c’ef} avant on après midi.- Ce Probleme n’eft que l’application du précédent; car: Finftroment étant rangé & fufpendu comme dans le qua- SfT ii so6 MEMOIRE SUR LA MANIÈRE trieme Probleme, on n'aura pas plutôt préfenté la lunette vers le Soleil , que fon image hauffera ou baiffera notable- ment dans la chambre obfcure , & fera connoître fur le champ , fi c’eft avant ou après midi. Ufage de cet Inffrument fur Mer. Il eft certain que les agitations du vaiffeau, furtout par un grand vent, feront évanoüir une partie de la précifion qu’on peut tirer de cet inftrument fur terre : mais il en ref tera toûjours beaucoup plus qu’on n’en a eu jufqu'ici. Le vent n’eft pas toüjours violent , il eft fouvent médiocre, & quelquefois trop foible. Aiïnfi il y aura bien des occa- fions où cet inftrument pourra faire plaifir, comme dans certaines ifles , où l’on relâchede gré ou de force , &c. Examinons la chofe de plus près. Cet Infrument demande deux conditions sforietles: 4 pour marquer avec exactifude. La premiere ef l’2-p/omb, qu'il prend par fa propre pefanteur , quand rien ne l'en dé- tourne ; & la feconde ef fa direëtion par rapport à Paxe du monde, direétion qu’on lui donne facilement, en capti- vant l’image du Soleil entre les deux bornes fi fouvent ci- tées, ‘ : De l'A-plomb. Pour ce qui regarde la-plomb , l'agitation ordinaire du vaifleau ne l’en écartera pas beaucoup ; mais les agitations plus violentes , & l'impreflion du vent fur linfrument même , le tiendront dans un balancement continuel, qui ne permettra d’obferver que d’une maniere imparfaite. Voilà l’objeétion dans toute fa force ; voyons fi l’on y peut répondre. Premierement , Le vent ne fouffle que par boutade, & Î DE TROUVER L'HEURE EN MER. s07 il y a de tems en tems quelque relâche, pendant lequel l'inftrument étant à-plomb , pourra donner lieu à un mo- ment d’obfervation , d'autant plus utile qu’il fera plus dé- Cifif, En fecond lieu, quand même ces interftices de vent ne fuffroient pas pour que l'infrument reprit fon 4-p/omb, il eft aifé de le lui faire prendre. Une perfonne attentive , qui employera fes deux mains à propos pour arréter Les balan- cemens du cadran , & lui redonner [on à-plomb , y réuffira tou- tes les fois qu'elle voudra. Nouvelles fecoufles du vent, nouveau fecours de l'homme, jufqu’à ce qu’on ait vü ce qu'on vouloir voir. L’a-p/omb ef la fituation la plus natu- relle du corps pefant fufpendu librement ; elle eft auffi la plus invariable & la plus réguliere , puifqu’elle fert de re: le à prefque toutes les autres. D'ailleurs , fi les balancemens fe faifoient du Sud au Nord ( ce qui peut arriver bien fouvent), l’3-p/omb n’eft pas abfolument nécefaire pour Pobfervation ; parce que l’image du Soleil fe fera voir en paffant dans la chambre obfcure à chaque allée & venue ; & comme l'efpace qu’el- le parcourt eft d’un pied de long , en $ minutes, on verra bien à peu près d’un pouce à l’autre , ou de deux en deux pouces , les progrès qu’elle fera. Il n’en eft pas de même des inftrumens ordinaires: Suppofons, par exemple , un anneau aftronomique, ou un aftrolabe de même calibre que ce cadran, de 30 pou- ces de diametre ; le rayon du Soleil ne fera que 3 lignes par degré, c’eft-à-dire, en 4 minutes d'heure, & pour peu que l’inftrument balance , on perdra tour le fruit de l’ob- fervation ; mais dans celui-ci, le rayon du Soleil fera 120 lignes par degré, ou en 4 minutes d'heure, & les ba- lancemens n’empêcheront pas d’entrevoir une différence fenfible d’un efpace à l’autre, 5:08 MEMOIRE SUR LA MANIERE De la Direction. Quoique je ne connoifle la mer que pour l'avoir vûe du rivage, je fuis bien perfuadé que les balancemens du vaifleau ne l’empêchent pas de fuivre une ligne affez droi- te (excepté pendant la tempête), fans quoi on ne pourroit pas naviger. Cela étant , une fois qu’on aura rangé l'in- ftrument dans fa véritable dire@ion, il y reftera fans aucun écart; parce que l’anfe eft faite de façon, que Pinftru- ment , avec toute forte de liberté, n’a pas celle de tour- ner horifontalement de lui-même ; il faut que quelqu'un le tourne , & par conféquent il reftera dans la fituation ref- peétive du vaiffeau, fans qu'il foit befoin de le diriger à chaque obfervation. L’unique attention de l’Obfesvateut fera donc de changer les coches de l’équateur, & de re- donner l’ä-plomb en touchant l’inftrument par le bas, pour rompre fes balancemens. II REMARQUE. Il feroit inutile de-m'étendre davantage fur les incon- “véniens de la mer, & fur les remedes qu’on peut y ap- porter. Je voudrois être à même de pouvoir en faire l’é- preuve , je n’épargnerois rien pour cela ; & peut-être que je trouverois des expédiens fufifans. A près tout, fi cette machine paroït à mes Juges pouvoir mériter quelque at- tention, l'expérience & letems acheveront lerefte. Quant à moi, J'ai fouvent expofé au vent le modele que j'avois fait en bois, & dans le plus fort de l'agitation , je l’arrè- tois tout-à-coup , & je retrouvois la minute fans erreur, ce que je connoiflois par une bonne montre à fecondes, que je mettois d’accordaveg l'inftrument, avant que de J'expofer au vent. III. DE TROUVER L'HEURE EN Mer. so9 IDLS)ÉRPERM A,R1O,ULE Cet Inftrument peut fervir pour connoître la décli- naïfon de l’aiman, dans les différentes régions où un vaif- feau peut fe trouver. Car tant que l’image du Soleil fe tiendra exaftement dans fes deux bornes , & furtout pen- dant plufieurs opérations , on ne peut pas douter que le méridien ne foit parallele à l’axe du monde... Difons mieux; cet inftrument tiendroit lieu de Bouflole pendant le jour, dans un cas de néceflité ; car étant une fois placé relativement au vaifleau, il eft impoffible que le vaifleau change tant foit peu dc direétion , qu’aufli-tôt l’image du Soleil ne forte de fes bornes; & tant qu’il y reftera, c’eft une preuve que le vaifleau fe foûtient dans fa direction. DERNIERE REMARQUE. Comme je ne fçaurois prévoir tous les iñconvéniens qui peuvent diminuer les avantages de ce cadran, je ne fçaurois aufi prévoir tous les différens ufages qu'on en peut tirer, ainfi que les correétions qu'on y peut faire. Cette idée n’a paru finguliere ; les effets en font furpre- nans fur terre : c’eft aux connoïifleurs à décider de fes avantages & de fes défauts. Il eft bien tems de finir un Mémoire qui n’eft déja que trop long, & qui peut-être, n’en fera pas plus intelligible. Permettez que ce foit en faifant remarquer que ces deux pieces femblent fe donner mutuellement la ain , pour perpétuer la connoiffance de l'heure en mer. Si Pune & l'autre pouvoient être un jour exécutées avec toute la jufteffe dont elles font fufceptibles, elles ferviroient peut- être à la connoiffance d’une chofe non moins importante Prix, 1747. T'ff g10 MEM.SUR LA MAN. DE TROUV. LH. EN MER: que l'heure ; je parle des longitudes fur mer, qu’on ne connoîtra jamais qu’au moyen d’une horloge parfaitement quite , & d’un cadran f6laire excellent, pour pouvoir com- parer l'heure du méridien de départ ( marquée fans ceffe par cette horloge), avec l'heure de tout autre méridien ( marquée par le cadran folaire dans le tems de l’obferva- tion )..- Les découvertes les plus utiles font prefque toû- jours fi peu de chofe dans leur naïffance , qu’on me par- donnera l’efpece de conjeture que je viens de hafarder en faveur de ces deux-là. Je reconnois très-fincerement que ce ne peut être qu’à force de correétion : mais je fe- rois toûjours trop flatté, fi j’avois fait un premier pas dans cette carriere, laiffant la gloire à quelque autre de la four- nir jufqu’à la fin. MEMOIRE QUI A POUR SENTENCE: Semper id melius eff, quod optimo propinquins ef. EE 1 A précipitation avec laquelle je fus obligé ste] es | de drefler ce Mémoire, m'ayant fait ou- lLLZ. LE blier certaines chofes qui méritoientd’y EE ÉS avoir place, j'ai cru devoir les mettre dans ce Supplément. Méthode pour régler le Sablier. Le petit bruit que fait à chaque minute la croix d'a- cier , en frappant fur la jambe ED , Fig. 9 , eft d’un fe- cours admirable pour régler ce fablier. Je me fers d’un pendule libre à fecondes; je le lâche au moment que la minute frappe, & je compte jufques à 240 vibrations, faifant 4 minutes, ou un tour complet de la croix des creufets. Car, comme j'ai dit ,il y a une ou deux fecon- des de LÉénee d’un eut à l’autre, mais les tours entiers font égaux entre eux. . Ti ij $12 MEMOIRE SUR LA MANIERE Si la quatrieme minute frappe plutôt que la 240% vibration, je remarque de combien, & mettant la clef dans le trou du cadran, je tourne de gauche à droite deux ou trois tours au hafard , & je recommence mon expé- rience de 240 vibrations. Il eft certain que le tour des creufets s’achevera quelques fecondes plus tard, & con- tinuant de tourner a clef de gauche à droite, j'attrap- pe en moins de demi-heure une jufteffe approchante : la même chofe pour reculer , mais il faut tourner de droite à gauche. Je l’obferve enfuite pendant quelques heu- rés fur ma pendule , & enfin je le mets fur un cadran fo+ faire, pour voir l'effet de 24 en 24 heures. Ce même pendule libre me fert de preuve de tems en tems, pour connoître fi rien n’embarrafle le trou; car pour peu qu’il y eût d’obftacle, les 4 minutes tiendroient beaucoup plus de 240 vibrations. On pourra s’en fervir dans les rades ou autres occafons de repos : on pourroit même avoir un fablier ordinaire de 4 minutes ( coulant bien gros pour être plus für), & s’en fervir en route, pour vérifier la marche du fablier : car comme j'ai dit , le bruit des minutes rend ce fablier beaucoup plus facile à régler que les pendules ordinaires, Il me femble qu’une cloche de verre fermée parle bas, ou une boîte faétice de même matiere, étant fufpendue avec la fufpenfion marine, & placée dans l’endroit du vaifleau le plus tranquille, c’eft-à-dire, au centre du mou: vement ; ilme femble, dis-je, qu’une pareille boîte tranf parente , pourroit contenir un pendule libre qui confer- veroit quelque tems fes vibrations, malgré lemouvement du vaifleau, attendu que cette agitation ne changeroït rien à l’air renfermé dans la boîte. C’eft une idée quejene füuis pas à portée de vérifier , & que je ne donne que par conjecture. US DE TROUVER L'HEURE EN MER. Yxy OBSÉRVATIHION. J'ai bien du regret de n’avoir pas donné à mon fablier autant de profondeur que de largeur ; car n’occupanr pref- que que la même place , il auroit contenu la moitié plus de fable, & j'aurois pu le faire couler beaucoup plus gros , puifque plus il coule gros, & plus j'y trouve de jufteffe. Bien plus, cela m’auroit fourni le moyén d’avoir deux fabliers dans un feul, avec un peu plus de dépenfe, & l'un auroit fervi de preuve à l’autre. Voici mon idée. Le gros de la dépenfe confifte furtout dans les fers & la caiffe de bois, & fi mon fablier avoit autant de pro- fondeur que de largeur , j’aurois pû mettre un fecond ca- dran au côté H de la Fig. 2 , & partageant en deux Pefpaz ce FE de la Fig. 6 (qui auroit été plus grand de moitié), 1 y aurois placé une feconde croix de creufets , qui auroit marqué fur le fecond cadran dont je parle ; & le même entonnoir ayant deux couloirs, auroit fourni à tous les deux à la fois. Il me paroît que cela auroit été très-avantageux fur mer ( où l'on peut charger une perfonne de veiller au fa- blier) car un fablier tel que le mien, étant une fois bient réglé , ne doit jamais avancer , mais il peut reculer , quand quelque poil ou autre chofe embarrafle le trou. Or les deux cadrans du même fablier étant également bien ré- glés , le prernier qui retarderoit fur l’autre, feroit celui: qui feroit faute : on l’ouvriroit pour dégager le trou, & on le remetttoitenfuite à la minute, par le moyen de l’au-- tre, qui n’auroit point interrompu fa marche. s14 MEMOIRE SUR LA MANIERE De la Sufpenfion. La fufpenfion de ce fablier paroît fufifanre telle qu’elle eft, car je le fais balancer par des vibrations de deux pieds ({a fufpenfion jufqu’au plancher étant allongée de trois pieds), fans que le pendule libre me fafle voir au- cune différence entre cet état d’agitation & l’état de re- pos. Cependant, quand MM. les Commiffaires auront vû le modele , ils jugeront s’il conviendroit d’ajoûter à cette fufpenfion , la fufpenfion marine des bouffoles. De l'Humidite. Quoique la caille de mon fablier foit faite de plufeurs pieces de rapport unies les unes aux autres, j’ofe cepen- dant avancer que l'humidité n’y pénétrera pas avec plus de facilité que dans les fabliers ordinaires ; car outre que les planches de la caïffe ont 7 à 8 lignes d’épaiffeur, elles font peintes en huile de plufeurs couches, que l’eau même ne pénetreroit pas aifément ; & d’ailleurs, en cas de befoin, on pourroit le revêtir d’une feconde boîte ou Surtout , qu’on n'ouvriroit que pour tourner le fablier , ce qui le mettroit au-deflus de toute atteinte. De la qualité du Sable. Le fable que j'ai employé dans mon fablier ; n’eft pas tel qu’il devroit être ; il n’eft pas affez grainé, & entrai- ne beaucoup de poufliere avec lui. Jé l'ai trouvé dans une forêt à une lieue de chez moi, & je fuis forcé de m’en fervir faute d’autre. Le fable d'Allemagne eft infiniment plus propre pour cela , mais il coûte ici 20 fols la livre. 4 DE TROUVER L'HEURE EN MER. s15$ J'ignore fi l’on pourroit trouver quelque autre matiere plus dure & aufli fluide que le fable : elle feroit préféra- ble , à caufe qu’elle feroit moins fujette à fe réduire en pouffiere. Cependant le fable d'Allemagne durera long- tems ; fans avoir befoin d’être changé. EXPERIENCE. J'avois mêlé parmi mon fable une certaine quantité de poudre d'œufs, pour le rendre plus agréable à la vûe, & quoique plus legere , je comptois que le mêlange la ren- droit, pour ainfi dire , homogene avec le fable. Cependant je m'appercüs que mon fablier (deux ou trois heures après avoir été tourné) avançoit fenfiblement , & reculoit fur la fin. Je jugeai qu’il en étoit d'un fable plus pefant à l’é- gard d’un plus leger, comme des perfonnes plus robuftes aux perfonnes plus foibles au fortir d’une prefle ; c’eft-à- dire, que le fable plus pefant gagnoit le bas avec plus de force , & obligeoïit le plus leger à refter à côté, pour ne couler que fur la fin. Je retirai ce fable mêlé, j'y en mis d'autre tiré tout d’un même endroit, & le défaut a difpa- tu : d’où J'infere qu’il faut employer du fable homogene. II EXPERIENCE. J'ai éprouvé que non-feulement un trou conique fait couler le fable plus uniment , mais encore qu’ilen coule beaucoup plus. Car ayant fait un couloir dont le trou étoic plat & mince comme du papier, j'enfonçai une broche dans ce trou plat, & dans un trou conique de 3 lignes d’épaifleur : la broche entroit un peu plus dans le trou plat que dans le trou conique , ce qui prouve que le pre- mier étoit plus grand que le fecond, & cependant le trou 516 M£MOIRE SUR LA MANIERE conique qui étoit un peu plus petit, délivroit la moitié plus de fable... J’attribue cette différence aux petites colomnes de fable qui preflent pour la fortie. Le trou plat n’en a qu'une feule, & le trou conique en a plufieurs, qui, enfilant la bafe du cone, preffent de tous côtés pour arriver à la pointe. Sur le Cadran. En relifant l’article de mon Mémoire, qui a pour titre l'intérieur de La Chambre obfcure, j'ai remarqué que dans la Fig. 12 le rayon du Soleil ne paroît pas faire angle de réflexion égal à celui d'incidence. Si je ne me fuis pas étendu davantage là-deflus, c’eft parce qu’on verra dans le modele, que la pofition refpeëtive des miroirs, corri- - ge ce qui paroît n'rre pas En regle: mais comme on pourroit examiner le Mémoire avant l’arrivée du modéle, Jai cru devoir expliquer cet endroit. Méthode pour placer la Lunette. Aumoyen des expériences que j'ai faites, j'aitrouvé qu'avec la lunette dont je me fers, il me faut $8 pouces de diftance, depuis l’oculaire R jufques au point Z, Fig. 13, pour que l'image du Soleil ait cinq pouces, & qu'elle faffe 2 : pouces par minute. C’eft pour cela que je fais fortir Fobjettif © d'environ 4 pouces hors de la chambre, pour qu'il refle 14 pouces depuis R jufques au premier miroir T... Depuis celui-là jufques à 7°Y, il y éna 22, & 22 depuis Ÿ jufques à Z; ce font juftement les $8 pouces dont j'ai befoin. 1°. J'ai fait une ouverture ronde au fond d’en-haut; pour recevoir la lunette, laquelle ouverture eft égale- ment éloignée des deux côtés de la chambre, DE TROUVER L'HEURE EN MER. 17 2°. Pour diriger l’oculaire À de façon que le rayon RT arrive naturellement fur la ligne TZ , laquelle partage le fond d’en-bas en deux parties égales , j'arrête le bout de la lunette R autant au milieu que je le puis, au moyen de deux vis, en mefurant avec le compas, 3°. Ayant garni de papier l’efpace VCB,;j'expofe l’obje&tif au Soleil , & je dirige la chambre de façon que Îe guide &- donne précifément fur Z ; & pour lors je vois fi l’image du Soleil eft partagée bien également, par la ligne TZ ; & fi je trouve de la différence , je poufle infenfiblement l'oculaire R jufqu’à ce que la ligne TZ partage bien par le milieu cette image du Soleil, & je fixe la lunette en fer- rant les deux vis qui la tiennent. Vous trouverez ci-après une autre preuve du bien-être de la lunette, L'horifon de la Lunette. La lunette étant fixée de la façon que je viens de dire, je change un peu la fituation de la chambre, l’inclinant indifféremment de droite à gauche & en tout fens, pour que l’image du Soleil change de place. Cetre image, en changeant de place, rencontre un cercle invifible , lequel ne devient vifible, que par la rencontre de l’image du So- leil.… Ce cercle ( dont on ne voit jamais qu’une portion à la fois ) eft d’une très-belle couleur bleu-célefte. On peut le rendre vifible fucceflivement dans toutés fes parties, en dirigeant l’image du Soleil tout-autour, La principale propriété de ce cercle, eft de terminer précifément l’efpace que le Soleil peut éclairer fans chan- ger la ftuation de la chambre : de forte que l’image du So- leil arrivant fur ce cercle, qu’elle éclaire, elle commen- ce à être tronquée , & cefle entierement de paroître dès qu'elle a franchi ce cercle , comme elle ne commence de Prix. 1747. Vvy 518 . MEMOIRE SUR LA MANIERE paroître qu’à mefure qu'elle entre dans l'intérieur de ce cercle. C’eft ce qui m'a porté à l’appeller l'horifon, puif- qu’il marque, pour ainfi dire, le lever & le coucher du Soleil. Cet horifon eft roûjours proportionnel à l'image du Soleil ; leurs diametres font environ comme 46 à 14. Une autre propriété de cet horifon, eft d'indiquer la jufte pofition de la lunette ; car fi à mefure que le Soleille rend vifble , vous avez attention d’y marquer des points, & que vous le füuiviez tout-autour , vous aurez un cercle ponélué & parfait, lequel doit être également éloigné des deux côtés de la chambre , ou bien la lunette eft mal po- fée. Fofèr le premier miroir. Puifque le Soleil ne uit qu’autant qu’il eft renfermé dans le cercle de l’horifon, ce cercle défigne tout-à-la-fois & la grandeur que doit avoir le miroir, & la place où il doit être arrêté. Ce miroir (quarré-long) eft maftiqué fur une plaque de fer, laquelle eft montée fur 4 pieds , imitant la figure d’une petite table. Les quatre pieds de cette table qui font faits en vis, ont chacun deux écroues , dont une refte en-dedans de la chambre, & l’autre en-dehors ; & la ro/e qui for- me le fond de la chambre, fe trouve entre les deux écroues, ou pour mieux dire , entre les 8 écroues , 4 dedans , 4 de- hors. Ces deux écroues à chaque vis, font pour pouvoir fixer chaque pied dans l'élévation convenable ; elles fer- rent l’une contre l’autre (la tole entre deux ). C’eft par le moyen de ces pieds, qu’on donne au petit miroir la fituation néceflaire pour renvoyer en haut l’ima- ge du Soleil. Pour cela on couvre d’un papier le fond d’en-haut : l’image réfléchie va s'y peindre... Alors il faut de nouveau agiter la chambre, pour que cette nouvelle DE TROUVER L'HEURE EN MER: $19 image découvre encore fon hor1/on en-haut , comme nous avons dit pour le bas. Il faut ponétuer cet #orifon, & fi étant achevé, il fe trouve également éloigné des deux cô- tés de la chambre, c’eft une marque que le premier mi- roir eft dans fa jufle pofition : finon il faut lever ou baïflet les pieds du petit miroir, jufqu’a ce que l’horifon d'en-haut foit à une égale diftance des deux côtés de la chambre. Pofer le fecond Miroir. Le fecond miroir ne differe du premier que par fa gran- deur. Même nombre de pieds, même nombre d’écroues, & même façon de le placer, c’eft-à-dire fur l'Aorifôn qu'on aura ponétué. I faut tracer en-bas les deux bornes CB, PA, qui formeront le chemin où doit pafer l’image du Soleii.… Comme on ne peut pas trouver un troifieme horifon en- bas, parce que cet horifon étant fort grand, fe trouve hors de la chambre obfcure, il faut avoir une planche bien dé- gauchie , qu’on mettra fur une ligne méridienne & angles droits. On inclinera cette planche vers le midi, de façon que fon plan réponde au parallele que décrit le Soleil ce jour-là dans le ciel. Enfin aux approches de midi, on appliquera la cham- bre contre cette planche, & l’inclinant peu à peu vers le levant ou vers le couchant, jufqu’à ce que le guide & donne fur Z , on examinera fi l'image du Soleil occupe précifément l’efpace qui lui eft deftiné entre les deux bor- nes CB, PA ; & fuppofé qu’il occupe , on examinera fi en avançant par le propre mouvement du Soleil , cette ima- ge ne fortira pas de fes bornes..: Si elle fe maintient entre ces deux bornes depuis À jufques en P (la chambre érant toûjours appliquée contre la planche en queftion), c’eft une marque que le fecond miroir eft bien placé, ainfi que Vvvi $20 MEMOIRE SUR LA MANIERE tout le refte. Mais fi au contraire on voit que l’image du Soleil ne marche pas entre ces deux bornes , on touchera aux pieds du grand miroir du côté qu’on jugera convena- ble, jufques à ce que l’image du Soleil fe maintienne dans fes bornes CB , PA, Fig. 13. Alors vous ferez affüré que la lunette , le premier & le fecond miroir font bien difpofés, & que la chambre toute entiere eft dans fa perfeëtion , & en état d'être mife dans fon équateur. De la matiere des Miroirs. Je penfe qu’il y auroit quelque avantage à fe fervir de miroirs de métal , foit parce que l’étain des glaces peut s'ôter avec le tems, foit parce qu’elles font fort fragiles , foit enfin parce qu’au milieu du grand miroir ?”7Y, on pour- roit percer le trou du guide &, ce qui donneroit le moyen de diminuer la profondeur de la chambre d’environ deux pouces : mais je ne puis pas employer des miroirs de me- tal , ni même en faire la différence, n’ayant ni matiere ni ouvrier pour cela. Ces miroirs de metal feroient abfolument néceffaires ; files angles que font les rayons dans la chambre obfcure , étoient plus ouverts qu'ils ne font, parce qu'alors une glace étamée ( fur-tout fi elle eft bien épaifle) pourroit produire deux images à la fois , une fur Pétain, & l’au- tre fur la glace : mais ici les angles font fi aigus , que cet inconvénient n’eft point à craindre. De Ta Sufpenfion. Quoique les deux fufpenfions que j'ai propofées dans mon Mémoire, foient l’une & l’autre bien pratiquables, DE TROUVER L'HEURE EN MEr: $2T J'ai cru devoir en employer une troifieme , qui me paroît plus avantageufe à plufieurs égards. J'ai fait fur les deux circonférences (en-dedans ) de mes deux méridiens ac- colés , des entailles d’un degré à l’autre. J’y metsune anfe pliante en tout fens , laquelle peut couler tout-au-tour du méridien ( les poles exceptés ), & fufpend la machine par tel degré que l’on veut. Voilà pour ce qui regarde les de: grés. Quant aux minutes, elles font marquées au bas de l'in: ftrument , au moyen d’un poids de 12 à 15 livres , qu’on peut augmenter à difcrétion. Ce poids , qui eft renfermé dans une efpece de cage quarrée , que je ne fcaurois bien figurer fur le papier, s'accroche par une anfe au degré correfpondant d’en-bas. Par exemple, fi la fufpenfion eft en-haut au $o° degré , le poids fera mis en-bas ; pareille- ment au $o° degré. L'’anfe du poids eft traverfée par une forte vis horifonta- Le , dont la longueur eft parallele au plan du méridien. En tournant cette vis, on fait avancer ou reculer le poids de tant & fi peu que Fon veut, ce qui chaffe infenfiblement toute la machine vers le Midi ou vers le Nord , d’autant de minutes qu'on fouhaite. Car ce poids ; EN avançant ainfi, fait mouvoir un micrometre , qui marque les minu- tes fur l'extérieur de la cage. SE ES V vv ii 22 MEMOIRE SUR LA MANIERE Raifons de préférer cette derniere Sufpenfion. La premiere fufpenfon , Fig. 18 , préfente deux gran- des difficultés. 1°, Il n’eft pas aifé , il paroît même très- difficile , de pouvoir faire des pas de vis qui foient exa@e- ment de la largeur d’un degré. 2°. Cette vis qui foûtien- droit tout le poids de la machine, ne tourneroit qu'avec eine, & s’uferoit bien vite. c La feconde fufpenfion, Fig. 19, demande une plaque affez longue, pour qu'il y ait un certain efpace d’un trou à l’autre, ce qui allonge la machine ; & d’ailleurs il y au- roit bien de l'embarras , pour changer la cheville d’un trou à l’autre , parce que pendant ce changement, il fau- droit foûtenir toute la machine par quelque autre moyen. La troifieme fufpenfion que je propofe , eft infiniment plus commode. 1°. Parce que l’anfe de fufpenfion peut couler d’un pole à l’autre fans démancher. 2°. Le poids qui eft en-bas contribue à faire garder l’à-plomb à toute la machine. 3°, La vis qui tourne ne foûtient que le poids, & ne foufre pas beaucoup. 4°. Il n’y a point de fujettion pour les pas dela vis , parce que les minutes font mar- quées d’après les pas. 5°, Et c’eft ici le principal avanta- ge, ce poids au bas de la machine eft capable de compen- fer les inégalités qui pourront fe trouver dans l'équilibre de chaque piece en particulier, & plus il fera pefant, & plus ces inégalités deviendront infenfibles. La fufpenfon eft faite a@tuellement , mais le poids ne left pas encore, ni ce qui le concerne. Je rendrai comp- te dans une critique qui accompagnera les modeles, je rendrai compte , dis-je, de la méthode que j'aurai fuivie pour tracer les minutes avec jufteffe. DE TROUVER L'HEURE EN MER: 523 J'oubliois d’avertir que le poids ; quoique mobile , uand il faut le changer de degré, n’a pas pour cela la liberté de balancer en particulier ; il eft fixe à cet égard , & ne fait, pour ainfi dire, qu'une même piece avec le méridien. Cette précaution me paroît néceffaire pour la mer, afin que le tout foit plutôt arrêté , à mefure qu’on touchera le poids avec la main pour rompre les balance- mens de la machine. Méthode pour vérifier l'Equateur. Pour ce qui regarde [a conftruétion & l’emplacement de l’équateur , il fuffit d’obferver , 1°. Sile plan de cet équateur pafle également & en même tems par les deux points de 90 degrés du méridien. 2°, Si toutes les parties de fa circonférence paflent à une égale diftance de ces mêmes points de 90 degrés. Celui que jai fait conftruire peche un peu dans ces deux cas: maïs quand j'en ferois conftruire trente , ils auroient toûjours quelque défaur, parce que mon ferrurier n’en fçait pas davantage ; & quand il veut corriger un défaut , il en met ordinairement trois ou quatre oppofés. Quant à la divifion de ce même équateur , qui doit être en 288 parties, elle n’eft pas fi difficile, quoiqu’elle"le foit toûjours beaucoup pour gens qui n’ont ni Phabitude , ni les inftrumens néceffaires : mais il eft à craindre que les défauts de conftruétion n'influent un peu dans les ay fions , quoiqu’elles foient juftes d’ailleurs. Pour connoîtrefi ces divifions font bien égales, on aura un pendule libre , ou une pendule à fécondes ; & après avoir orienté l’inftrument avec foin, on obfervera le moment précis que le limbe antérieur du Soleil arrivera à la fin de 24 MEMOIRE SUR LA MANIERE la cinquieme minute. I] faut pour cela deux perfonnes , lu- ne pour compter les fecondes rout haut, & l’autre pour obferver. On changera enfuite une coche fans fe prefler, & fi le limbe antérieur du Soleil arrive à la fin de la cinquie- me minute en 300 fecondes précifément, c’eft figne que ‘la divifion ef jufte : on pourra fuivre les autres coches de la même façon. Je fuppofe qu’on eft bien affüré de la juf- tefle du pendule libre, & que rien d’étranger ne la déran- ge. Une bonne pendule feroir plus commode. Si au contraire on voit une différence en avant ou en arriere , il faudra limer la coche d’un côté, & la battre un peu de Pautre pour l’étendre. On pourroit avoir des coches mobiles , qu’on arrêteroit avec des vis : mais cet expédient n’eft bon que pour les mauvais ouvriers ; les ha- biles gens y fuppléeront par une divifion exaéte. Après tout, l’inexaétitude de ces divifions ne peut pas caufer une grande erreur, parce que ce qui peut manquer à une coche, fe trouvera fur l’autre; tout comme la mau- vaife exécution de cette piece ne doit pas diminuer le prix de l’arrangement & de l'invention. Emplacement de la Machine pour obferver l'heure. Cette machine n’a pas befoin d’être toute à découvert pour trouver l’heure. Il fufit que l’objeétif de la lunette reçoive les rayons du Soleil ; tout le refte peut être à cou- vert, & du Soleil & du vent : elle peut même être entie- rement renfermée dans une chambre , pourvû que le So- leil y entre par une fenêtre ou une porte. On pourra donc fur mer , la placer fous le gai/lard, ou fous la dunerte , & par-tout ailleurs où le vent lui fera moins contraire, Solution DE TROUVER L'HEURE EN MER: F23 Solution de deux cas où la Machine elle-même peut empécher la Lunette de recevoir les rayons du Soleil, Comme le Soleil change continuellement de décli- naifon, il arrivera deux fois par an , que l'équateur fe trou- vera précifément entre le Soleil & la lunette, ce qui rendroit à chaque fois la machine inutile pendant deux ou trois jours. Pour parer cet inconvénient ; il faudra changer la fuf- penfion de place, la mettant #n ou deux degrés en avant ou en arriere; & pour corriger ce que ce changement aura produit, on reculera a déclinaifon de la chambre obfeure , d'autant de degrés qu’on aura avancé la fufpen- fion ; & lorfque le Soleil aura fufhfamment changé de déclinaifon, pour que l'équateur ne foit plus un obftacle, on remettra les chofes à leur place. Voilà pour le pre- mier cas. Le fecond eft moins confidérable , maisil peut arriver plus fouvent. Pour rendre mes deux méridiens bien foli- des, j'ai cru devoir mettre une entre-teife de dix en dix degrés, ce qui fait 36 pour tout le tour. Il yenaquatre par conféquent , qui, en certains tems de l’année, pour- ront intercepter les rayons depuis onze heures & demie jufqu’à midi & demi /eulement , tout le refte du jour étant libre: car la déclinaifon étant de 23 degrés & demi de chaque côté , il y a deux entre-toifes de part & d'autre qui feront dans le cas , (la cinquieme qui fe trouve à lin- terfetion de l'équateur , ne devant pas être comptée). Il n’eft plus tems que je fonge à réparer cette faute fur mon mériien, mais on pourra l’éviter dans un autre, en faifant ces quatre entre-toifes différentes des autres ; Prix. 1747: xs #26 MEMOIRE SUR LA MANIERE, &c. c'eft-à-dire, qu'on les fera en vis , & qu’on leur deftinera deux places à chacune, pour pouvoir les changer fuivant que le cas l’exigera, en confervant toüjours au méridien la folidité qu'il doit avoir. Cependant on cortigera, fi l'on veut, cet inconvé- nient , de la même mañiere que le premier, en avançant la fufpenfion , & reculant la déclinaifon de pareil nombre de degrés... Je dis fi l'on veut, parce que pouvant avoir les heures avant & après midi, on peut fe pañler de cel- le-la. FIN, Priz de 1747. Planche I. Page 628. —_——+— Pr de 1747. Planche I. Page 528 EE — TN Dour de 1747. Planche 1 Page 598 GE Prur de 1747. Planche IT. Page 528 , ÿ * est ares @ RÉ UNES SUe Le à A: e = E É , d' TA IP dti Ÿ qe n NME à