\ pi 4 , } Pl bn h Fr " RACUCE.ZI E Des P.LE:C ES QUI ONT REMPORTÉ LES PRIX DE L'ACADÉMIE ROYALE DES SCIENCES. L'OM EME Cl EM E: Ab er , pi de er vss; L ; hi RUE DRAM EE Me VS # f : ANSE PSE) PT TERRE : Dal HN FMI “= RC TL pt à Mb CUS TTL DES BP.LE C is QUI ONT REMPORTÉ LES PRIX DE L’ACADÉMIE ROYALE DES SCIENCES, Depuis leur fondation en M. DCC. XX. ROME ES CNT EUTE VAT EME, Qui contient les Pieces de 1764, 176$, 1766,1770 Mar 7. Chez PANCKOUCKE, rue des Poitevins, à l'Hôtel de Thou. | — — ——— d MERDE, CSHELXE, TOVRLUTE Ayec Approbation G Privilege du Roz. | 2x 90G Le ho noir ml cu ni 4 M æI PAS. ‘MT Ft ni] LE ‘ x L ‘eu PLUS er te EMPIRE [TRE * nero do xt MCE db HA HA ns \ RAT 2 pe nol (POI AVERTISSEMENT, Au fujet des Pieces qui compofent ce neuvieme Volume. P AR l’Avertiflement qui fe trouve dans le huitieme Volume de cette Colleétion , publié au mois de Mars 1771 , on voit que la Piece couron- née en 1764, devoit commencer le neuvieme Volume, & c’eft celui que nous publions aujourd’hui; il s'étend jufqu’à 1772, & terminera la Col- leétion des Pieces des Prix : l’Académie a décidé qu’à l’avenir ces Ouvrages feront imprimés chaque année dans le Volume des Mémoires préfentés par des Savans Etrangers , & l’on a déjà commencé, en inférant les deux Pieces de 1774, dans le feptieme Volume de ces Mémoires qui eft pour l’année 1773 , & qui a été publié par l’Académie au mois de Mai 1776. En terminant ce Recueil des Prix , très-digne de l’attention des Savans par l’importance des Pieces qui le compofent, nous croyons devoir donner ici une notice des neuf Volumes , afin que chacun puifle juger de ce qu’il doit avoir pour que la Colleétion foit complète, cela fera d’autant plus utile, que les premiers Volumes font devenus très-rares, & qu'il y a plufeurs Pieces détachées & imprimées féparément, DANS LE PRÈMIER VOLUME » On trouve d’abord la Piece qui remporta le Prix de 1720 , fur le Mouvement, par M. CRoUZAS ; enfuite une Difler- tation fur cette queftion: Quelle féroit La meilleure maniere de conféerver fur mer l'égalité du mouvement d'une pendule ? pat M. Massy. Après une interruption qui dura jufqu’en 1724, on propofa en 1724 & 1726, la Queftion du choc des corps & de la communication du mou- vement. Les Pieces de Mac-LAURIN , de JEAN BERNOULLI & du P. MAZIERE : Oratorien , furent imprimées , avec un Traité des petits Tourbillons de la matiere fubtile , pour fervir d’éclairciffement à la Piece du P. MAZIERE, Pour 1725, Difcours fur la maniere la plus parfaite de conferver fur mer légalité du mouvement des Clepfidres ou Sabliers, par M. DANIEL BErNOULLI , célebre Géometre , qui a remporté pluñeurs autres Prix depuis 1725. 1727. De la Mâture des Väifleaux , par M. BOUGUER. Dans Le TOME II, fuite de 1727, De implantatione malorum ; Piece qui avoit eu lAccefft , de même que le Mémoire de la Mâture des Vaifleaux ; par M. Camus. 1728. De caufz graviatis Phyffca generali difquifitio Phyfica experimentalis. GEORG. BERNN. BULEFINGER. k 1729. De la Méthode d’obferver exaétement fur mer la hauteur des Aftres , par BOUGUER, AVERTISSEMENT. 1730. Nouyelles Penfées fur le Syftêème de Defcartes & fur la manière d’en déduire les Orbites.& les Aphelies des Planetes, par J\BERNOULLI. 1731 De la méthode d’obferver en mer la déclinañon de la Bouflole, par BOUGUER. 1732 & 1734. Sur la caufe de l’inclinaifon des Orbites des Planetes, par BOUGUER ; il y en a une feconde Edition de 1748. : 1733. De la meilleure maniere de mefurer fur mer le chemin du Vaifleau, par le Marquis POLENI. | DaANs LE TOME III, on trouve deux Mémoires fur les inclinaïfons des Orbites des Planetes, par JEAN BERNOULLI & DANIEL BERNOULLI ; un fur la propagation de la Lumiere , de JEAN BERNOULLI ; & quatre Pieces fur la forme & la fabrication des Ancres, pour le Prix de 1735 & 1737, par JEAN BERNOULELT, DANIEL BERNOULLIY, POLENI & TRESAGUET. LA Danse TOME IV, cinq Pieces fur la nature du Feu, par M. EULER, lé P. LozerAN pu Fiesc, M. le Comte de CREQUY , Madame la Marquife DU CHATELET & M. DE VOLTAIRE. Prix de 1740, fur la caufe du Flux & du Reflux de Ja mer, quatre Pieces de MAC-LAURIN, EULER , DANIEL BERNOULLI &c du P. CAYALLERI ; les trois premieres ont été réimprimées dans le Commentaire des PP.JACQUIER & LE SEUR, fur NEwWTON, & font encore ce qu'il Y a de mieux'‘fur cette matiere, Daxs LE TOME V , fur le Cabeftan, Prix de 1736-41, il y a fept Pieces, dont quatre partagerent le Prix, & trois eurent l’Acceffr, elles forment 296 pages 27-49, fr 1743. Sur l’inclinaifon de l’Aiman , par DAN1EL BERNOULLI &t L. EULER. 1744-46. Sur l’Aiman, trois Pieces de M. EULER , de M. Du Four & de MM. DANIEL & JEAN BERNOULLI, conjointement entre les deux freres. Tome VI. Ce Volume publié en 1750, contient en 526 pages 77-49, les Pieces qui concoururent en 1745 & 1747 ; fur la meilleure maniere de trouver l'heure en mer, au nombre de cinq, dont la premiere eft de M, DANIEL BERNOULLI , les autres fans nom d’Auteurs. Tome VIT, publié én 1769. Piece du Prix de 1748 , fur les inégalités de Saturne , par M. EULER ; imprimée féparément en 1749 , chez M, Delatour. 1751. Sur la nature des courans , par M. BERNOULLI. 1752. Sur les inégalités de Jupiter , par M. EULER. 1753. Sur la manière de fuppléer à la@tion du Vent, par M. BERNOULLI. 1755- Sur le Roulis & le T'angage, par M. CHAUCHOT, imprimée fépa= rément chez Delatour. 1759. Sur le Roulis & le Tangage, par M. GROIGNARD, 1760. Sur la perfeétion des Verreries, par M. D’ANTIC, EUREMRTISSE M'ERT. 1761. Sut l’Arrimage , deux Pieces, de M. J. A. EuLER & de M. l'Abbé Bossur. ! Ainfi ce Volume contient fept Pieces , fans compter les deux qui avoient été imprimées féparément , & qu’on peut y réunir. ToME VIII, publié au mois d’Avril 1771. «1753. Sur la-maniere de fuppléer à l’aétion dù Vent, deux Acceffir, par M. EuLer & M. MATHON DELA Cour. 1756. Sur les inégalités de la Terre, par M. L. EULER. 1757. Sur le Roulis & le Tangage, par M. BERNOULLI. 1759 Sur le Roulis & le Tangage , par M. L. EULER. 1760. Sur les altérations du moyen mouvement des Planètes, par M. CHARLES EULER , fecond fils ducélebre L. EULER. > 1762. Sur la réfiftance de l’Ether ,une Piece de M. l'Abbé BossuT, qui remporta le Prix , imprimée féparément à Charleville en 1766 , & une de J. A. EULER , qui eut l’Aceeffir. Ainfi ce huitieme Volume contient fept Pieces, indépendamment de celle de M. l'Abbé BossuT , qu’on peut y réunir. ToME IX, publié au mois de Décembre 1776. Prix de 1764, fur la! Libration de la Lune, par M. DE LA GRANGE ; quatre Pieces de 1766 , fur lArrimage du Navire , par M. l'Abbé Bossur, M. BOURDÉ DE VILLEHUET , M. GROIGNARD & un Auteur anonyme. 1766. Sur les inégalités des Satellites de Jupiter, par M. DE La GRANGE. 1768 & 1770. Sur la Théorie de la Lune, & fpécialement l’Equation Séculaire, par MM. LÉONARD EULER & J. A. fon fils , conjointement. 1772. Sur la Théorie de la Lune , un Mémoire de M. L. EULER , & un de M. DE LA GRANGE. Ainfi ce neuvieme Volume contient neuf Pieces & finit à 1772. Le Prix de 1773 avoit pour objet la perfe&tion des Horloges Marines , & M. Le RoY fe propofe de publier fon Mémoire féparément , ainf il n’en- trera point dans cette Colleétion qui fe trouve finie , puifque l’on a vu ci- devant que les Pieces de 1774 font déjà imprimées, comme les autres le feront à l’avenir, dans les Mémoires préfentés à l'Académie par les Savans Etrangers. Mais la Colle&ion des neuf Volumes des Prix, formera défor- mais une partie intéreflante des Ouvrages de l’Académie, qui compolent jufqu’à préfent 115 Volumes 7-4. Nous ne comptons pas dans ce nombre quelques Ouvrages particuliers qui fe diftribuent comme fuite des. Mé- moires de l’Académie ; favoir, la Figure de la Terre de M. Cassini, fes Elémens d’Aftronomie en deux Volumes & fa Méridienne vérifiée ; les In- finiment petits de M. DE FONTENELLE ; l’'Optique de M.BouGurr , & les Mémoires de Calcul intégral de M. FONTAINE. Ce qui formeroit en tout 122 Volumes ,:y compris les deux Volumes de Mémoires pour 1772. A Paris le 25 Novembre 1776. DE LA LANDE, On trouvera fur La page fuivante une Figure qui manque dans le Tome VII de ce Recueil, & que l Auteur nous a adreffée pour la placer dans ce Volume, Pix de 1766 : Recherches sur LArrimage des Vaifleaux Tome VIT. dx Reenell des pieces qui ont #em Les £ de Académie Royale Au féences de Ps FR Figure cinquieme de là Pose de M. Jeën Abert Enlæz a ele ef cite an ÿ.7x. pag. 41. et : ar f-88.pêgr 49 Dans cette Figure ,au lieu de la lettre XJifeg as RECHERCHES SUR LA LIBRATION DE LA LÜUNE, Dans lefquelles on râche de réfoudre la Queflion propofée par l’Académie Royale des Sciences , pour le Prix de l'année 1764. L. ET écrit a pour objet d'examiner les différens mouvemens apparens , ou réels que la Lune peut avoir aucour de fon centre. Je fuppofe Æ] d’abord que cette Planerte à une figure quel- _conque; & je cherche Le mouvement qu'elle doit rece- voir de l'action de la terre & du foleil. Quoi qu'un très- grand Geomètre ait déja donné des méthodes & des formules générales , qui peuvent aifément s'appliquer à la recherche donc il s'agit ici, néanmoins il m'a paru plus commode de reprendre la queftion en entier , & de Prix de L' Acad. Tome IX. A 1 RECHERCHES la réfouare par une méthode que je crois nouvelle à plu- fieurs égards, & qui eft d'un ufage fimple & général pour tous les Problèmes de Dynamique. Cette méthode me conduit naturellement à trois équations générales , qui reviennent au même , pour le fond, que celles qu'on trouve dans les Mémoires de l'Academie de 1754, pag. 424, 4255 & pour en facilicer la comparaifon-à ceux qui voudront prendre la peine de la faire, j'expole en peu de mots les principales différences qu'il y a entr'elles par rapport à la diverfité des dénominations. D'après ces équa- tions, j'examine quels changemens l’aétion de la terre & du foleil doit produire dans la rotation de la Lune, & dans la pofition de fon axe. Après avoir prouvé, que l’action du foleil eft prefque infenfible par rapport à celle de la terre , je trouve qu’en fuppofant , avec M. New- ton ,-que la Lune eft un fphéroïde allongé vers la terre, cette Planette doit faire autour de fon axe une efpece de balaricement ou de vibration , par lequel fa vitefle de rotation eft tantôt accélerée , tantôt retardée ; & j'ex- plique alors avec facilité pourquoi la Lune doit nous montrer toujours a-peu-près la même face , quoique elle n'ait point reçu d’abord, comme il eft très-naturel de l'imaginer , une rotation exactement égale à fon mou- vement moyen autour de la terre. Je fais voir enfuite que l'axe de cette Planette doit être fujet à un mouvement femblable à celui de la terre , comme M. d'Alembert l’a déja démontré dans la fuppoñtion que la Lune foit un fphéroïde homogéne & elliprique dans-tous les fens ; mais je differe eflentiellement de lui fur la quantité de la pré- ceflion & de la mutation qui doit avoir lieu dans cette hypothefe ; je donne la raifon de la différence qui fe trouve entre nos réfultats en faifant voir que les formules qui font vraies pour la terre ne s'appliquent pas indiftinc=, tement à la Lune , comme le fuppofe cet Auteur. Je fais voir de plus que la figure de la Lune pourroit auf être sur LA LIBRATION DE LA LUNE. 3 telle que la préceffion de fes points équinoxiaux fût exae- tement , où à très-peu près égale au mouvement des nœuds de la Lune ; comme l’a trouvé M. Cafini; & dans ce cas je démontre qu'il ne doit plus y avoir de nu- tation fenfible dans l’axe de cette Planette. Au refte, c'eft aux Aftronomes feuls à nous inftruire pleinement Ja-deflus ; mais pour les mettre plus à portée de connot- tre ces différens mouvemens , je propofe des méthodes que je crois affez fimples pour déterminer , par le moyen des obfervations des tâches de la Lune, la pofition de fon axe de rotation, & la quantité de fa libration tant apparente que réelle, Tels font , en abrégé, les points principaux de la Dif- fertation fuivante. L'Académie Royale des Sciences ayant propofé pour le fujer du Prix de l’année prochaine: » Si » on peut expliquer par quelque raifon phyfique pour- » quoi la Lune nous préfente toujours à-peu-près la mê- » me face; & comment on peut déterminer par les ob- » fervations & par la théorie fi l'axe de cette Planerte eft » fujet à quelque mouvement propre, femblable à celui » qu'on connoît dans l'axe de la terre, & qui produit la » préceflion des équinoxes, & la nutation « ; j'ofe lui pré- fenter le fruit de mon travail fur cette importante ma- tiere. S'il ne répond pas entierement aux vues de cette fçavante Compagnie, au moins fervira-t-il à jetter de nouvelles lumieres fur un des principaux phenomènes céleftes. \ fa Comme il n’eft queftion ici que du mouvement que Ja Lune doit avoir autour de fon centre de gravité, en vertu de l’action du foleil & de la terre, il eft évident qu'on peut regarder le centre de la une comme im- mobile par rapport à la terre & au foleil, en cranfpor- tant à ces deux Planettes en fens contraire le mouve- : A i) 4 RECHERCHES ment que la Lune a réellement autour d'elles, c'eft-a-dire en imaginant que la Terre & le Soleil fe meuvent au- tour du centre de la Lune fuppofé fixe, comme les ver- roic un Obfervateur Placé dans ce centre. Cela pofé , j'imagine par le centre de la Lune un plan parallele à l'écliprique , auquel je rapporte la poftion des centres de la Terre & du Soleil, comme aufli celle de tous Les points de la mafle de la Lune ; pour cela ayant mené du centre de cette Planette dans le plan dont je parle, une ligne fixe & dirigée vers le premiers point d’Aries, laquelle fert d’axe commun à toutes les abfciffes, Soient x labfcifle & y l'ordonnée rectangle qui répon- dent à la projection du centre de la Terre fur ce plan, & {oit z l’autre coordonnée rectangle qui exprime la dif- tance du centre de la Terre au point qui en eft la pro- jection. S Soient auf x'y'z' les coordonnées femblables pour la pofition du centre du Soleil. Enfin foient X labcifle & Y, Z les deux ordonnées correfpondantes à un point quelconque « de la mafle de la Lune. Il eft vifible 1°. que la diftance de ce point au centre de la Terre fera exprimé par V(x x" +; +127), quantité que j'appelle R pour abréger. 2°. Que ladiftance du même pointau centre du Soleil fera exprimée de même par la quantité V( 4x + 7 + ;—z") que jappelle K'. Donc fi on nomme T la mafle de la Terre, & S celle du Soleil, chaque point a de la Lune fera tiré par deux forces, l'une dans la direction dela ligne R &=—— ; l'autre fuivant la ligne R'& — À De plus, fi on prend l'élément du tems 7 pour conf- dX, d'F,d’Z tant , on aura — ? gr gr gr Pour les forces accélératri- SUR LA LIBRATION DELA LUNE. $ ces dont le point «.eft follicité fuivant la dire&tion des efpacesd X,dY ,4Z , qu'il parcourt dans l'initant dr, & ilfaudra , par le principe général de la Dynamique que ces forces prifes en fens contraire, & combinées avec les forces USE : ? 7 tiennent le fyftême de cours Les points à , c'eft-à- dire la mafle entiere de la Lune enéquilibre autour de fon centre de gravité fuppofé fixe. | PAL C'eft un principe généralement vrai en Statique que, fi un fyftême quelconque de rant de corps ou de points que l’on veut , tirés chacun par des puiflances queicon- ques eft en équilibre ; & qu'on donne à ce fyftême un petit mouvement quelconque, en vertu duquel chaque point parcourre un efpace infiniménr petit ; la fomme des puiflances , multipliées chacune par l’efpace que le point, où elle eft apoliquée, parcourt fuivant la direction de cetté même puiflance , fera toujours = o. Dans la queition préfente, fi on imagine que les lignes X,Y,Z,R, R', deviennent, en variant infiniment peu Ta pofition de la Lune autour de fon centre, X+4x, Y+IY, Z+SNZ, R+IR, R'+IR, il eft facile de voir que les différences A X, 9Y, AZ ,4R,4R', exprime- ront les efpaces parcourus en même tems par le point a dans des directions oppofées à celles des puiflances dX d°F ,d'Z T S É k E Pre ru rl LA qui font fenfées agir fur ce point; on aura donc, pour les conditions de l’é- quilibre , l'équation générale. 2? 5 4 2 (=: XI X+a x —IY+a IX IZ dr 2. +T- S & à RX—NR+a TE X—IR)= 0. Savoir, en changeant les fignes, & RECHERCHES 2 J'a(dXSX +4 YIY+4Z927) ad R ad R' HT Æ+sf —=0........(4) Les quantités A X, J'Y, A7, AR, SR, ne fontautre chofe que les différentielles des lignes X, Y Z : prifes à l'ordinaire & affectées de la caraéteriftique 4 au lieu de la commune d, pour les diftinguer des autres différentiel- les des mêmes lignes qui ont rapport au mouvement réel du corps. Quant au figne d'intégration il eft mis pour marquer la fomme de toutes les formules femblables qui répondent à tous les élémens « de la mafle de la Lune. UV ScHoLr. Le principe de Statique que je viens d’expo- fer n'eft, dans le fond qu’une généralifation de celui qu'on nomme communément Le principe des vitefes vir- ruelles, & qui eft reconnu depuis longrems par les Géo- mètres pour le principe fondamental de l'équilibre. M. Jean Bernouilli eft le premier , que je fache, qui ait en- vifagé ce principe fous un point de vue général & appli- cable à toutes les queftions de Srarique , comme on le peut voir dans la Section IX. de la nouvelle Mecanique de M. Varignon , où cet habile Géomètre, après avoir rapporté , d’après M. Bernouilli , le principe doncil s'agit, fait voir par différentes applications, qu’il conduit aux mêmes conclufions que celui de la compofition des forces. C'eft aufli ce même principe qui fert de bafe à celui ue M. de Maupertuis a donné dans les Mémoires de l’Académie de 1740, fous le nom de Loi du Repos; & que M. Euler a développé enfaite & rendu très-général daus les Mémoires de l’Académie de Berlin pour l'année 1754 SUR LA LIBRATION DE LA LUNE. 7 Enfin c’eit de ce principe que dépend celui de la con- fervation des forces vives, comme M. d'Alembert l'a re- marqué le premier à la fin de fa Dynamique ; ce qui peut d’ailleurs fe démontrer généralement aïnfi. Soit un fyftè- me quelconque de tant de corps qu’on voudra mm, &c. qui pefent , ou qui foient attirés vers des centres par des forces quelconques ; foient P,Q,R , &c. les forces qui agiflenc fur le corps #,& p,q,r, &c. les diftances refpec- tives de ce corps, aux centres de fes forces ; foienct auffi P',Q', R', &c. P', Q",R",&c. &c. les forces des corps m',m',&c.&p',g',r',&c, p',g",r &c.&c. leurs diffan- ces aux centres des forces; fi l’on imagine que tous ces corps fe meuvent , durant un inftant quelconque dr, par les efpaces ds, ds! ds", &c. avec les virefles u, v', v", &c. il faudra , par le principe général de la Dynamique, que le fyftème des corps #, #', m",&c, animés chacun des md vu m'dv! m'dv" : k forces — Sr Mate 2 &c. dans la direétion même des efpaces ds , ds', ds” foit en équilibre avec les forces mP, mQ, mR, &c. m P',m'Q';,mR', &c. m'P",m"Q",m"R",&c. &c. Or fi l’on confidérele fyf- tème pendant que les corps changent infiniment peu de pofition , en parcourant les efpaces ds, ds’, ds, &c. il eft clair que dp, da, dr,&c. dp', dag',dr',&c. dp",dg',dr", &c.&c. exprimeront lés efpaces parcourus par chacun des corps, dans des directions contraires à celles des forces P,Q, À, &c. P', Q'; R', &c. &c.on aura donc, par le principe de l’é- quilibre dont nous parlons. — "© x ds+mPx—dp+mQx—dp+mRX—dr+ &c. — + xd'+mPx—dpæ+mQx— dg+m'RX—dr+&e\ "2 xds' tmp &c. L X—dpl 4 Q"x—da" 4m" RXd—dr'# &c. 8 RECHERCHÉS à “ ds ds, ds" Mettant , au lieu de #7, fes valeurs — , — > —, &c, v v &. intégrant , on aura mt+mu +mut+s&c= ml +mV" + m'y"i+8&c. —1/(Pdp+Qda+Rdr+&c.) — 2m" f[(P'dp +Q'dg + R'dr + &c. — 21m" f[(P"dp"+ Q'dg + R'dr + Kc.)— Ke V,V',V"&c. étant les valeurs primitives de vu, v',v", &c. & cette équation renferme, comme on le voit , la confer- vation des forces vives prifé dans toute fon étendue. Au refte, le Principe de Statique que je viens d’expo- fer, étant combiné avec le Principe Dynamique donné ar M. d’Alembert , conftitue une efpece de formule vé- nérale qui renferme la folution de tous les problèmes qui regardent le mouvement des corps. Car on aura toujours une équation femblable à l'équation ( 4) , art. préc. , & toute la difficulté ne confiftera plus qu’à trouver l'expref- fion analytique des forces qu’on fuppole agir fur les corps, & des lignes fuivant lefquelles ces forces agiflent, en n’employant dans ces expreflions que le plus petit nom- bre poflible de variables indéterminées , de maniere que leurs différentielles défignées par le 4 foient entierement indépendantes les unes des autres ; après quoi faifant fé- parément égaux à zéro , Les termes qui fe trouveront mul- tipliés par chacune des différentielles dont je parle, on aura tout d’un coup autant d'équations particulieres qu'il en faudra pour la folution du problème ; comme _on le verra dans Les articles qui fuivent. V. Soient préfentement l'inclinaifon du plan de l’équas teur lunaire par rapport à celui de Pécliptique. .. æ. La longitude du nœud defcendant de l'équateur lu naire, c’eft-à-dire l'angle que l’interfeétion de cer équa- teur , SUR LA LIBRATION DE LA LUNE. 5 teur, avec l'écliprique, ou avec le plan parallèle à l'é- cliprique, & pañlant par le centre de la Lune faic avec Pesdesabicies (arc. PE) ns ne ne » 406 La diftance d’un méridieu lunaire pris à volonté fur la furface de la Lune, & qu’on appellera dorénavant le premier méridien , au nœud defcendant de l'équateur , certe diftance étant comptée à l’ordinaire fur l'équateur & felon la fuite des fignes. . . . . . .. . . .... a. ILeft aifé de voir que ces trois variables fuffiront pour determiner à chaque inftant, la fituation de la Lune ar rapport à fon centre qui eft cenfé immobile ; aufi ce sai les feules qu'il faudra faire varier dans les difé- rentielles des lignes X,Y,Z,R, À’. Soit de plus le rayon ou la diftance d’un point quel- conque « au centre de gravité de la Lune. . . . , : ..r. L'angle que ce rayon fair avec le plan de l'équateur, ou la diftance du point « à l'équateur comptée fur le mé- ridien qui pañle par ce point . . ........... P. L'angle que le méridien paffant par Le point « fait avec le premier méridien, c’eft-à-dire la diftance entre ces deux méridiens comptée fur l'équateur en allant d'Occident ÉMOdEmR Te u 2 de dore es NO. Il eft vifible que ces trois nouvelles indéterminées ne dépendent nullement de la poftion de la Lune fur fon centre , mais feulement de la fituation particuliere de chacun de ces points « par rapport à tous les autres. Ainfi ces quantités 7, P, Q,ne feront variables dans nos formu- les que relativement aux intégrations indiquées par le figne f dans l'équation ( 4). Au refte il eft bon de remarquer d’avance que , com- me on fuppofe que le centre de rotation de la Lune foit dans fon centre même de gravité, on aura par la propiété connue de ce centre les trois condirions fuivantes : f & r fin. P—0;far cof. P fin. Q=0; fa r cof. P cof. Q ES PO DR eee ne de ( D) = Prix de l'Acad. Tome IX. 10 RECHERCHES VI. Maintenant pour avoir les valeurs des coordonnées X, Y, Z exprimées en, P,Q;,0,e, 7, je confidere que l'angle P peur être regardé comme exprimant la decli- naifon du point « vu du centre de la Lune, & rapporté a l'équateur lunaire ; & que dans cette fuppoñrion , l'angle Q +0, que je nommerat Q' pour abréger fera l’afcenfion droïre du même point comptée à l'ordinaire depuis le nœud defcendant de l'équateur. Donc en rapportant le point & au plan de l’écliptique lunaire (j'appelle ainfi le plañ que nous avons imaginé parallèle à l’écliptique, & pañlanc par le centre de la Lune ) lequel eft incliné à l'équateur de langle +, on trouvera facilement , par les formules de la trigonometrie, fa latitude que j'appellerai p , & fa longi- tude que je nommerai g'; car on aura , comme il aifé de le démontrer. fie.p= fin. P cof: mn —cof. P fin. Q'fin. æ 1 fin. P fin. x + cof. P fin. Q'cof. = fine gl = °° — — —— cof. p. vs Te ; cof. P cof. Q' UT Ven eatll Mais il eft clair d'autre part que l’angle p n’eft autre chofe que d'angle fait par le rayon r avec le plan des X&Y; &queg'+e, que je nomme 4, eft l'angle que {a projection de 7 fur ce plan fait avec l'axe dés X ; on aura donc , comme il eft facile de: le concevoir même fans figure : Z = r fin. p. Y = r cof. p fin. g = r cof. p cof. q'fin.e + r cof.p fin. g'eofe) (D). X= r cof, p cof. q = r cof. p cof. q' cof. e — r cof. p fin. g'fin.e & fubftituant pour fr, p, & pour fix. g', & cof. g' leurs valeurs , ci-devant , Sur LA LIBRATION DE LA Luxe. 11 X=r cof. P cof.Q'cof. er cof.P fin. Q'fin.e cof æ — 1 fin. P fin. «fin. m Y=r cof. P cof.Q' fin. e+r cof. P fin. Q'cofe cof æ> ...(E). + r fin. P. cof. efin. x Z=r fin. P cof. x — r cof. P fin. Q'fin. w où l'on.fe reflouviendra que Q'= Q + «. V)LE On différentiera d'abord ces valeurs de X,Y, Z, en faifanc varier feulement ©, e, 7 ( Art. V.), & en mettant Ja caraétériftique 4\ au lieu de la d, pour avoir celles de AX,9Y,4Z ; ondifférentiera enfuite Les mêmes valeurs X,Y,Z deux fois à l'ordinaire, pour avoir les differen- tio-différentielles d'X, d'Y , d:Z ; après quoi on fera les produits d'XNX, d'YAY, d'Z SZ ; & l'on aura, après avoir effacé ce L fe détruit, & mis pour f7.Q' cof. Q', fin. Q" cof. Q", leurs valeurs + f#. 2 Q',i— cf 2Q', z ++ cof. 2 Q'. EXISX+d'YAY+ dZAZ = r:c0f. P:[ d'o + d ( cof. mde)+ > fin. 2 Q'(fie. dé — dr) + c0f. 2 Q'fin.æ drde}]No+r fin, P cof: PT fer. Q'(Jin. m° de + 2 cof. æda de) + cof. Q'(d'x — fin. x cofr dé )] Jo+r cof. P:[ d. (cof. x do + dé—? fin. de) — fin. 2 Q'( fr. a dode++d(fin.rdx))+cf2Q'(14.(fin. de) — fin.rdode)] de+r Jin. P coj PI fin. Q'( ir. a d°4 + d,(fin.2 de) )+ cf. Q'(fr.xdu+ fin. 27 dede + d.(cfrdx))]Ae + 2° fin. P2 { d, (Jin. x° de) ] Je r° cof. P:[ fir.x dode+ fin. corde +: d'a + fin. 2 Q'(dodr— = fin. x de) — cof. 2 Q'( fin. x du de + À fin. æ cof. md + da) 1x fin. P cof PI — fin. Q'x (2 c0f. sd ude + dé cof.1m+ do Marre Q'xd. 1J 12 RECHERCHES (do +cofrde)]dr+r fie, Pe{ dr fin. mofode] d 7 On multipliera cette quantité par &, & on en prendra l'intégrale en faifant varier feulementr, P,Q, ( Art. V5 l'onauraainfi la valeur de fa (d' XNX+d'YIY +d'Z SZ): qu'il faudra fubftituer dans l'équation (4), Arc, II. VE LE Remarque. y à plufeurs moyens d’abréger le calcul de la valeur de d'XNX+d'YSY +4dZ SZ ; en voici un qui quoique indirect eft néanmoins préférable par fa fimplicité & fa généralité. On commencera par chercher la valeur de d X?+ 4Y* + d7:; & pour ce j'obferve- rai dans la fuppoñition préfente , que la valeur de X de- vient celle de Y, en mettant fimplement — cof. : à la place de fr. e , & fin. e à la place de cofe, c'eft-à-dire en augmentant l'angle é de 90° ; ce qui aura par conféquent lieu auffi dans les valeurs de d X', & de 4 Y: ; d'où il s'en- fuit que dès que l’on aura la valeur de ZX, on en pourra cirer tout de fuite celle de-4 X + dY* en négligeant fim- plement dans le quarré de 4 X tous les rermes qui ren- fermeroient fin. e cof. «à & effaçant dans les autres les quarrés fin. &, & cof. e ; après cela il n’y aura plus qu'à faire le quarré de dZ, & l'on aura après quelques ré- duétions : dXædY-+4d7Z: = cof. P:[ du +21cof rdudeh dé fin. de +2 dm + ef 2 Q'( fin. n° ddr) + fin 1 Q'fin.mdrde] + 2 r° fid. P eof. P[ fin. Q' x (fin. adode+ fin. x cofem de)\+ cof. Q'(dudr+ c0f. æ d£ dz)]+r fin. P{finm dé+dr] Je différencie à préfent cette équation par 4\, c’eft-à< dire en affectant les différentielles de S'au lieu de d ; j'au- ‘ rai après avoir divifé par 2 , d'Xdd X+4dY AdY+4dZ S4Z SUR LA LIBRATION DE LA LuNE. 13 #2 tof. P:[ doud\ do + 0of.r de do + 60f. & do d &— fir.mdode Ar &ec. Je ne mets pas cette différentielle en entier parce que je ne veux que donner une idée de la méthode que je propofe. Maintenant je eonfidere que A4X eft la même chofe que dA\X, comme il eft aifé des’en convaincre en confidérant .la nature du calcul différen- tiel ; il en eft de même des autres différentes afleétées de <\d; on peut dont mettre par tout d4\ au lieu de dd; & l'on aura dXd9X + dY d \Y+4dZd9Z =7rcof. P? [ do df\o + cof. sde d So + cof. æ dodS\e — fin. do deNæ &c. On prendra l'intégrale de cette équation, & re- gardant les différences affectées de J\ comme de fimples variables on fera difparoître leurs différentielles par l’ope- ration aflez connue des intégrations par parties ; ce qui donnera d XA X + dYIF + dZNZ— [\d XNX+ ŒYIY+dZINZ)=7r cof. P[ do No + cofrdido + cof.x dod\e &c. — | cof. P*Jd'&d\w + d. (cof x de) Jo+d.(cofrdo)de+ fin. rdodeNr &c.). Or, il eft aifé de comprendre que cette équation doit être identi- que ; & que par conféquent il faut que la partie aloébri- que du premier membre foit égale à la partie algébrique du fecond , & la partie intégrale à la partie intégrale ; donc , n'ayant égard qu’à la partie intégrale de l’un & de l'autre membre, & ôrant le figne fon aura fur le champ A XIX+d YIY+dZNZ— y» cof. P:[ d'xd\o + d. (cof: x de) S'o+d.(cof. x du) N\e+ fin. x dudeN rx &c. On peut remarquer encore que cette valeur ne différe de celle de dXNdX + dYSdY +4ZSdZ, qu'en ce ue la lettre 4 qui étoic après la A\ dans les différentielles affcétées de S\ 4 fe trouve maintenant devant les quanti- tés mêmes qui multiplient ces différentielles ; & que les autres termes qui ne renferment point de femblables dif- férentielles ; ont des fignes contraires. Ainfi ayant la va- leur de 4X:+ dY2+ d Z: on aura facilement celle de t4 RECHERCHES d'XSX+d'Y NY + d'Z SZ dont on à befoin dans [4 folution de tous les problèmes de Dinamique qu'on vous dra traiter fuivant notre méthode. IX. Jufqu’ici la pofition de l'axe de rotation , autour dus quel nous fuppofons que la Lune tourne en décrivant d’occident en orient l'angle «, eft abfolument arbitraire, & nous pourrons prendre telle ligne qu'il nous plaira pourvu qu’elle pañle par Le centre de gravité ; mais le calcul fera beaucoup fimplifié fi on fuppofe , qu’abftrac- tion faite des forces étrangeres, la rotation de la Lune doive être uniforme , & fon axe une ligne fixe & invarias ble. Voyons donc les conditions qui réfultent de ces fuppo- fitions; pour cela il n’y a qu'a faire T— 0, & S— 0 dans l'équation ( 4) ; ce qui la réduit à — di dXSNX+d'YIY d'ZAZ ja —0 & 1] faudra que cette équation foit vraie en faifant d'o— 0, dé 0& dæ—0; or, dansce cason aura( Art. VIL)ÆXNSX + dYNY+d'Z\Z=r fin. P cof. P cof. Q' fin. x d'a Ne — r° fin. P cof. P fin. Q' du d\æ; : ns En, x du’ de 3 donc l'équation à vérifier fera fran fl «1° fin. P cof P de? do? d'a of QE fa r* fin: P cof. P fin. Q'=— 0, laquelle donne féparément les deux fuivantes ( IV. à la fin VE as fie. P cof\P cof.Q'—=0 5& far fin. P cof. P fin. Q!=—=0.(F) Telles font les conditions néceffaires pour que la Lune puifle d'elle-même tourner uniformément autour d’un axe fixe 5 par conféquent fi on fuppofe, comme les ob- fervations de la Libration paroïffent le démontrer, que ces conditions ayent lieu dans la rotation de la Lune, il faudra négliger dans la valeur de d' XNX+ AYIY + dZIZ (Arr, VIL) rousles cermes où fe rrouvent fr, P cof. P cof. Q', sur LA LIBRATIONDE LA LUNE 15 & fin. P cof. P fin. Q'; & pour avoir l'intégrale fa (XNA X + dYIY + dZNZ), il n'y aura plus qu'à mertre au lieu de Q! fa valeur Q + « ; ce qui donne cof. 2 Q'= cof: 1 Q cof.20—fin. 2 Qfir.10, fin. 2 Q—= cof 2Q fin. 2 6 + fiv. 2 Q vof. 2 w ; en fuppofant pour abréger, J'arcfPr=H;far fin. P=X ; \(G) f&r* cof. P*cof. 2 Q=M; far cofP”fin.2Q NÉE Cn trouvera pour la valeur de fa (d XANX + d'YAY + d'Z SZ ) une expreflion de cette forme Q4J\6 + Ed'e+Td\7; dans laquelle d do (y Ta de Gn.a de? — da? A= ( —. ) xH+ - me (in10 +Ncof.20) .3d74d + ES x (M cof. 2@— fin. 20). Run), He CR UN) pren) — ru) (Mfin.20+ Nef1e) 2d(fin,a? dé) —fin. x da du D x(Mocof. 2w—Nfn.10) rl = xH+ * CAR) + PE, HR) dudm—+? ff Dridr's ainfi dans ce dernier cas, la valeur Te TE $ 2C 9 & Se Si la f£ OIL de F fera contenue entre les limites denfité étoit par-tout la même, on auroit alors F = Vi Scuozie III. On peut au tefte déterminer la figure de la Lune, par la théorie , en fupofant qu’elle air été origi- nairement fluide , & qu’elle ait conferve , en fe durciflant, la forme qu’elle auroit dû prendre, en vertu de la gravita- tion mutuelle de fes parties, combinée avec la force centrifuge, & avéc l'attraction de la Terre. Pour cela, nous fupoferons que le premier méridien de la Lune, d’où l’on commence à comprer les angles Q, foit celui qui affe par la Terre, lorfque le lieu moyen de cette planète eft égal à fon lieu vrai, & nous regarderons l’actrattion de la Terre comme agiffant dans le fens du diamètre de l’'Équateur qui fe trouve dans le premier méridien; ce qui eft vrai à-très-peu-près, à caufe que La Lune nous préfente toujours fenfiblement la même face. Or foir 9 le rapport de la force centrifuge à la pefanteur fous l’équateur de la Lune & p la diftance moyenne du centre de la Lune à la Terre , on trouvera généralement pour la figure de chaque coucheË= Acof P-+ Brof.P'cof.Q° ; & les deux quantités 4 & B feront déterminées far les deux équations fuivantes à LE DE TE fDA( Ar 9-8 Dh Ay=0 75 12 x era A fDd(Br)+r(4—f DdB)—0o ep 2c 2c B & n étant égales à ce que deviennent /D44 &/DdB, lorfque r'=f; la démonitration de ces formules eit facile à rrouver par les principes établis par MM. Clairaut & d'Alembert ; je ne la donne point ici, pour ne pas Suit 22 - RECHERCHES m'écarter trop de mon objec principal. On aura donc dans cette hypothèfe X=—= “LIBRE cof. P°+ a cof. P’cof. Q:5 & par conféquent on trouvera [D Xdr'cofPidPdQ= ef DAAr)+3 6e f Dd(B), SD Xdr'fir.PrcofPdPdQ= *,e f Dd(r Aÿ+ef Dd(iB)à SD Xdr'cof.P'dPcof.2 QdQ—<#:cf Dd(5B) ; & JDXdr'cof. PAP fin.2QdQ=0. Par-la on aura M= TJ Ddt8) ; N—0, / ACC e 2ec . 2. il (L} 1 ue 1 22 FPE 1 $ J Dar A} fDdtiB). Et Si on fuppofe D—1 , on aura alors ME Re AUTEe ecfs KI (#18) » en prenant 4’ & B' pour les valeurs de A& 2, lorfque #=f. Mais fi l’on veut avoir égard aux conditions de l'équilibre, on aura, pat les équations (K), quelque foit d’ailleurs la denfité D, sfrA" sLof SLf°B" 3T sf SA & JD By = — en mettant 7 =f, Si l'on fuppofoit de plus la denfité con- flante & —1, on auroit A = (à caufe de Mens a ASP PRE PARA Ed el = : dans cetre Sr res & Be TE =— (par-la même raifon) D, Du refte on remarquera que e(4'+E') fera dans ce cas l'ellipticité du premier méridien . & eA' celle du méridien qui eft à 9c° de là; d'où il fuir que les deux demi-axes de l'Équateur feront fu +eA'+eB"), & f(1+e4'); & que fon ellipricité feras à-très-peu-près , ==eB". SUR LA ÉIBRATION DE LA Luxr. 23 XIII. Il refte encore à trouver la valeur des deux termes 2 R PT à J= 2 TE de l'équation ( A ). Pour cela foient Lerayon de l'orbite la Terre autour de la Lune, projetté fur le plan de l'écliptique lunaire; ou ce qui revient au même, le rayon de l'orbite de la Lune autour de la Terre, DO HE I ÉEAPEIQUE SZ 2 ne den aie vel NN à: La longitude de la terre, vue du centre de la Lune; ce qui eft la même chofe que la longitude de la Lune vue du gentre de la Terre & augmentée de 180° . . . . uv La-tangente de la latitude de la Terre, vue de Ja Lune, & fuppofée au-deflus de Pécliprique lunaire, laquelle eft égale mais de figne contraire à celle de la Lune vue de la Morel situ Anne. ; : UE On aura, comme , il eft très-facile de le concevoir, %—pcof.v, y=pcof.v, z=pA; & fi Ë exprime la longitude du nœud: afcendant de la Lune, & à linelinaifon de l'orbite, la valeur de À fera, fuivant les dénominations -qu'on vient de pofer , =—4fÎn.(u—1 80—€)—; fin (u—@) Soient aufli le rayon de l'orbite apparente du Soleil autour de laTerrer. . . À ire . + p' 2 PT NPA COR p es OPRCNENER EP SET PERLE CESR. ILeft vifible qu'onaura x'—x=pc0f 05 y—y=pl fin; &z'=2; favoir x'=p'cofv'+pcofus y=p'fin.v'+pfin., PIE * On fera donc toutes ces fubftitutions dans l’expreffion de R & de R',arr. II, & l'on aura; après quelques ré- duétions fort fimples, Re p(14+ 0) —2p(X cofeu + Vfin.u+ ZA) + XV + Zi (en fubftituant pour X, Y,Z , leurs valeurs art, VI, (E), “+, D 24 RECHERCHES p(1+X)—2pr fin. P (fin (u—0) fin. x + x co. æ) —2p7 cf. P fin. Q\ fn. (u—c) cofs x —A fin. 7) —pr cof.P cof. Q'eoflu—c) +g°. On aura de même R°=p" + 2p0 of (v'—u)+p (1+x°) —2p(Xcofv'+Y finv)—2p(Xcofu+Y fin.u+Z À) +X2 HP + Zip + 2p' pcof (v'—v) +pt (14 A7) —2p'r fin. P Jin (u'—efin.x— 2p'r cof. P fin Q' fin (v'—+) cofix—2pr cof.P cof.Q'cof. (u'—+)— 2pr fin. P( fin (u—+) fin. +A com )— 2pr cof.P fin. Q'( fin. (u—e) cof, æ—à fin. Tr) —2pr cof. P cof.Q* cof.(u—<) +r?. Subftituant au lieu de Q', fa valeur Q+w, & faifant, pour abréger , après avoir développé les frus & les cofinug de Q+o. L—=fin. (u—<) fin,n+A cof. æ. Afin. 0 fin. (u—c) cof.x+cof « cof. (ù—<)—à fr. ofin.r. A—cof. 0 fin. (u—+) cof— fin. « cof{u—e)—à cof o finn\ (Ms g'—fir.(v—+) fin. mr. i } a=f7. @ fin .(v'—<) cof.x+cof. « cof. (v'—+). A'=c0f. 0 fin.(u'—+) cof.x—fin. o cof.(u'—+), On aur4 2=p (14) —2pr fin. PxT—2pr cof.P cof. QxA—2pr cof. P fin. QxA+r*. RP + 2pp cof(u'—v) +p(i+x) —2r fin. 12 (pT'+ pr) —27 cof.P cofQ (p'A'+fA,—2rcof.P fin.Q(p'A'+pA)+72, ATV: Je différencie maintenant la valeur de R* qu'on vient de trouver, en faifant varier feulement © ,s,7,& en écrivant À au lieu de d, j'aurai, en recenant les lertres T, A, A, & divifant par 2 RIR=—=—pr{ fin, PxdT +cof, P cof.Qx A+ cof.Pfig.QxA\ A); . on { SUR LA LIBRATION BE LA LUNE 2, On a de plus, en négligeant les quarrés & les autres ‘ . . 1 I 2pr uiflances de r vis-à-vis de p =, P PR GENE Te UNE (fe.PxT+cof.P cof, Qx A+cof. P fin. QxA). On multipliera donc enfemble ces valeurs de RSR, & de FE en ayant attention de rejetter tous les termes qui renfermeroient 7 fin. P , rcof. P fin.Q , rcof. Pcof.Q ;, n° fin. P cof. P cof.Q , & r° fin. P cof. P fin. Q 5 par la raïfon que l'intégrale de ces termes, après avoir été mulripliés par aseft=o( art. V,(B);sart. IX, (F) )5 on multipliera enfuite chaque terme du produit para, & on en prendra l'intégrale, en fe fouvenant que l’on a Ja r* cof. PH) Jar Pr.P=K, farcof.P*cof2 OM, farcof.P'fin. 2Q—N (art. IX, (G));ce qui donne fa r* cof.P*cof Q—=KH+M); farce Prin QUE M, & [are Pin Qof EN. Par ce moyen on aura LA KTST+1H(ANA+AIA)+IM { AJA—ASA)+INASA+ASA) ) Or on trouve, par la différentiation des valeurs de F, A,A, art. précédent , NT =——cof.(u—<)fin.n de+ ( fin (u—<) cofa—ù fin r IT. J'A—( cof.c fin {u—c)cofir—fin acofu—<)—Acof.o fin. je — fr. & cof (u—+) cof. 7 —cof. « fin.(u—<) JNe—(Jin.e fin. {—<) fir.n—ù fin. w cor) dr. Savoir, comme il eft facile de le voir, par la feule infpection des formules (M) ; art. précédent ; JA—ASo +(Acofr+T cfa fin. r)Je—T fir.o dr. On a de même DA——A a (A eofr+T fin. ofin.m)Je—Tcof.odr donc Prix de l Académie, Tom. IX. D 26 RECHERCHES AJA+ANA=T(Acof: &—A fin. «) fin.r de ZI\ Afir.o + A | cof. &) dx. AJ A—AJA==3 AAo+2 A Acofrde+T (A.cofo+Afin.a) finmdeT(A fin.o—Tcofe)dr. AJA+ADA— (A— A) o+(Aï—A:) cofix et T (A cof.e —Afin.o) fin.md\e—T(A fir.«+Acofo)dr. Donc fi l'on fait, pour abréger ; ad R 3p° 1 ’ ! Se du+E'Jke+T1 dr), on aura Q'—MAA+EIN(A—A:). E—(—K+1H)Tcof(u—c) fin. m+iM{(2AA cofr+T( AN cofo+A fin. w) fin.x]+2N{(A—A) cof: r+T(A cofo —A fir.0) fin.r ] D'=(X—1H)T (fin. (u—+) cofir x finr] —2 MTIA fin.a —Acofo]— ue fin (2) fin (2u— 216) fin. cof. (u—+). Mais nous nous contenterons ici de prendre fimplement u—< pour la valeur de #+8, ce qui nous donnera &—y—;—$; do—duy—di—d8 ; & do+cofx de—d y —( 1—c0f.7)de—dà my 21 fin. de—di=( en négligeant, comme on vient de le faire, les termes de l'orde de F7?) du—d9. Fäifanc donc cette fubfticution dans la valeur de @ ci-deflus, on d?u—4:6 . aura Q—= 7x H. Soit maintenant f le mouvement moyen de la Lune autour de la Terre , on aura , €n regardant l’orbite de cette 2 A gr Vita m. 3 planète comme circulaire, dB pp » (il faudroit mettre à la vérité T+Z au lieu de T3 mais la différence qui en réfulte eft trop petite pour qu’il foic néceflaire d'en ; E _3T 347? 14-a7 tenir compte ici). Donc PEAR Tir == (en Là ® L4 . LA 1 . 3 négligeant le quarré de la quantité trés-petite À). 32 RECHERCHES On trouvera de même en nommant [' le mouvement 2900 L moyen de la Terre autour du Soleil =; mais on y ge P di LA remarquera que V''= à-rrès- peu- près 2) & par conféquent 347" 3dV? = environ Ex 77 3 d'où il s'enfuit qu'on peut are : 347"? népliger entièrement le terme “-xQ" venant de l'action c HAUT 34W? du Soleil, vis-à-vis du terme == xQ/ qui vient de faction de la Terre, deforte que l'équation (1) deviendra fimple- met, après avoir fair les fubititutions précédentes, & divifé par & , —d'b+du— 500. .........(4) Or par Part. XIV, on a Q'—=M AA+EN(A— A) ; & par l'art, XVI, A=cofBcof Vin, Afin Beof Vi: donc puifque fin.8 cof6==+fin.28 & fin.B—cf.8=—0ce).20, où aura Q'=+ cf Vi (Mfin.20—N cof.18 ; mais on a, par le même art. XVI, fr Vipa=t= (art. XI, (M) ) fin. (v—e) fin.x+acofir ; d'où l'on tire cf. L Vi SE m2 fin.mcofn fin (u—:)—fin.afin(u—<) ) 1, en négligeant, comme nous l'avons fait jufqu'i ici, les termes où fe trouvent les quantités très petites À & fin.æ formant des produits de de deux ou de plufeurs dimenfions. De plus fi on fuppofe, ce qui eft permis, que le premier méridien de la Lune foit celui qui pafle par la Terre, lorfque le lieu vrai de cette planète eft égal à fon lieu moyen, il eit clair que l'angle 8 qui repréfene la diftance du méridien , qui pañle par Te centre apparent de la Lune, à fon premier méridien (XVI) fera toujours très-petit ; car, fuivant les obfervations de la libration, cet angle ne va guères au-delà de 8°; par conféquent on aura d-rrès- peu-près SUR LA LIBRATION DE LA LUNE. 33 peu-près, & avec une exactitude fuffifanre pour notre objet, Jin.20—218 3 OÙ CO. 20— 1. Donc enfin Q—=—IN+ M. Il ne relte plus qu’à trouver la valeur de d'u; pour cela, on remarquera que u—180°— à la longitude vraie de la Lune ; (art. XIII); par conféquent, fi on appelle # le rapport du mouvement de l’'anomalie moyenne de la Lune, à fon mouvement moyen, & qu'on m’ait égard qu’a fa pre- mière inégalité, on aura u— 1 80°=—/ong. moy.—a fin m V3 a étant, fuivant M. Clairaut, 6° 19°, & #7 un nombre très-peu différent de l'unité ; d’où l’on tire d'u=m'a fin. mV d?, Faifant donc ces fubftitutions dans l'équation (4) ci- deflus, on la changera en celle-ci: — #5 — 784 V4 ar + ma fins mV dV *=0., d'où l’on aura , par les méthodes connues. =" fi JO V7 #51+c 1114 ee fin mV. (s! C eft l’une des deux conftantes indéterminées intro- duites par la double intégration ; l’autre ayant été fuppofée tellé que l'angle 8 foit nul lorfque 7 —o , c’eft-à-dire lorfque le lieu vrai de la Lune eft le même que fon lieu moyen- De-là il eft facile de voir que fi on veut tenir compte des autres inégalités du mouvement vrai de la Lune, & qu'on fuppofe pour cela u— 1 80°—/ong. moy.—a fin. MVL fin. nV—c fin. pl Ko on trouvera pareillement re LA CA 2 er A) | ma n°b fine fin. &c, 3M H ee m 2 — Prix de Med. Tome IX, E 34 RECHERCHES X X,. Conféquences qui rélultent de la formule précé- dente, par rapport à la libration de la Lune, & à [a rotation. Comme l’ Équateur Lunaire n’eft que très-peu incliné à lécliprique , il eft clair que l'angle 8 repréfentera ; fans erreur fenfible , la libration de la Lune en longitude ; d’où lon voit que cete libration différera un peu de celle qui a été fuppofée jufqu'à préfent par les Af Mo Pour en faire la comparaifon avec plus de facilité , on mettra lexpreffion de 8 fous la forme fuivante : P—=— a fin. mV—b Jin. »V— &c. b fin. nl — &c. De + +C fin. Ar ones 4 D)! & l’on remarquera qu “elle comprend, pour ainf dire, trois fortes de librations, La première eft repréfentée par les tesmes —4 fr." —b fin. nV &c. qui expriment la diférence entre le mou- vement vrai & le mouvement moyen de la Lune; ainf cette libration eft purement optique; & c’eft la feule qu'on ait obfervée jufqu’ici. ‘ La feconde eft contenue Ris les termes 3M a 3M — Xe fin —"7 I *E = œfR a — &c : & vient en partie de Fa nl di mouvement de la Lune, & en partie de la non- fphéricite de cette Planète ; mais elle fera prefqu'infenfible, en fuppofant , comme on Ja faic . Sur LA LIBRATION DE LA Lunr ‘3 Au commencement de l’article précédent, 47 incompara- blemenc plus petite que 7; & cela doir en effet être ainfi ; autrement il féroic impolfible ‘que les Aftronomes ne‘’en fuffenc pas encore apperçus. ” | S La troifième enfin eft celle qui eft répréfentée par Les termes Ç fn. (CA EE x [ 1—cof(T PS )] , & qui ne dépend aucunement du mouvement de la Lune autour de [a Terre ; mais fimplement de fa figure non fphé- rique. Elle fera la plus grande , lorfque sang. (C4 ET) - 2CM =— NEVNE + 40 M 2M + a lieu lorfque la librätion fe fait dans le fens de la rotation de la Lune, c’eft-à-dire d’occident en orient par rapport au centre de la Lune, & d'orient en occident par rapport à la Terre ; & le figne — eft pour la libration du côté oppolé ; d'où l’on voit que ces deux librations :ne feront jamais égales » EXcepté que N—0, auquel cas elles feront entièrement analogues aux ofcillations d’un pendule ; & alors fa valeut fera ; le figne A ; re fimple de la longueur > Qui décriroic des arcs 2. Au refte, foit que N—o, ou non, la durée d'une Hbration entière, compofée d’une allée & d’un retour, fera toujours égale à la durée d’une ofcillation totale du même pendule, ou bien, elle fera au tems périodique de 3M la Lune comme r 17 . À l'égard de la roration de la Lune, comme on atrouvé dans l'art. XIX , +=, à-uès-peu-près, v—e, on aura, en fubftituant les valeurs de,v & de 8, w=/0ng. moy. fin. &e. HA} CPV 5 Eij +180 44 fn mV RSA 4 € da H Fm 1 HiXy? 3.6 : RECHERCHES D'où l’on voit 1.4 Que la rotation moyenne de la Lune eft égale 4 fon mouvement moven autour de la Terre, moins le mouvement moyen de fes points équinoxiaux; condition néceffaire pour que certe planète nous préfente toujours à peu près la même face. 2.9 Que la vireffe de la rotation vraie de [a Lune eft va- riable j certe viteffe étant à celle du mouvement moyen au- tour de la Terre dans le sn de RURe *eft-a- dire, de ES ORAIIE nef. mx = Leef.nV 8e. 3M VER LS AE 1 EE fe OV, à 1: Ain faifant Ÿ—=0, on a de rt ma 3M nb ) PAL F1 PAT AN ET Eur TRE a & —C + pour [a valeur de la vitefle primitive de rotation, qui aura dû être imprimée a la Lune au commencement de fon mou- vement. Donc, à caufe de l'indéterminée C, il elt clair que certe Eur aura pu être q'ielconque, pourvû qu’elle différat crès-peu de 1, c’eit-à-dire de la virefle da mouve- ment moyen ; & que d'ailleurs la valeur de A1 ne foic pas nulle, ni négative. ù X XI Remarque. Jufqu'ici les Aftronomes avoient toujours fuppofé ‘que la Lune tournoïc autour de fon centre d’ ua mouvemement parfaitement uaiforme ; & ils avoient éré obligés, en conféquence ; pour fauver le phœænomène de la no»- rotation apparent de cetre Planèce, d'imaginer welle eût reçu d’abord une virelle de rotation Cxarlerr nent égale à celle de fon mouvement moyenaucour de la Terre, sur LA LIBRAŸION DE LA Lune. 37 bu plurôt de celui de fes points équinoxiaux ; ce qui étoit néanmoios très difficile à comprendre. Il me femble que la théorie précédente fournir un dénouement tout fimple de ce paradoxe, ou, pour mieux dire, ce paradoxe n'a point lieu dans la théorie que je viens de donner de la rorarion de la Lune, Ainf je puis à cet égard, me flarter d'avoir pleinement fatisfair, à Ja première partie de la queftion propofée par l’Académie. X XII SCHOLIE. Sion fuppofe la Lune homogène, & que fa figure foic celle d'un fphéroïde dont l'équareur & les méridiens feroient des ellipfes, comme dans l'art. XII, on trouvera (art. XI & XII), H—$%cF=— (en faifant D—1) A fs cfSeB' J M # —T , &.-N=0 ; d'où l'on aura ——e8 = à $ FF ER pe l'ellipticité de l'équateur, c'eft-à-dire à la quantité dont le demi axe de l'équateur, qui elt à peu près dans la même ligue que le centre de la Terre furpaffe l’autre demi axe ; cette quantité étant fuppofée divifée par le rayon de la Lune; donc fuivanc l’art. XX, la Luae fera réellement autour de fon axe, en vertu de l’action de la Terre, des ofcillationsexprimées par la formule C fr. (/V3eB. Si on veut que l'allongement de la Lune vers la Terre ait été produit par l'aétion même de la Terre fur cette Pla- : ST nète fuppofée uide ; alors on aura (art, XII) BP? : - 4 Pour évaluer cette expreffion , nous ferons, avec M 4 T f - Clairaut, =—67; & avec M, de Lalande ren (f'eft le rayon de la Terre); enfuice nous prendrons p—6of", , f ; ce qui donnera — 55: de-là je trouve eB = S— ; 38 RECHERCHES & V3eB'==-3474 Donc le tems d’une ofcillation totale 1000000! fera de *%29%%°2 mois périodiques = environ 3848 jours. On peut regarder au refte tout ce que nous venons de dire fur la librarion de la Lune comme un commentaire de la Prop. XXX VII, liv. 3, Princ. Marh, DRE TA 'E Réfolution de l'Équation 3T ! 38 nr { BUHANE TAXE Or tet(r On aura d’abord , en négligeant dans la valeur de E (arc. IX) les rermes qui renferment les quantités très-perites M,N,& KL, ET té) a —* 5 expreflion qu’on cof.n d(cof. du-cof. £ eut mettre fous cette forme à. > di En. adæ do En. a = d'e-fin,r cofea dr de P Le 9e DAME Rs D SRE ou fimplement à caufe de ff. æ très-petit, & de dr, & de très-petits aufli par rapport à do, comme on le verra dans la fuite , cof.s d(de=cof.r de Gin,» da de ê RACE Eee), HE xHic'eft-à-dire, (arr. XIX) dt? ARE fin, a da du Le =Q cfr—— 5x H En fecond lieu, on aura (art. XIV) E'=—(K—:77) T'eof(u—:c) fin. + M AA fin.n+5MT(Acofo+AÀ fin.o)fin.n HEN(A A) cofr+ENT(Acof &— A fin.u)finr ; c'eft-à. dire, en fubftituant pour À & pour A,les expreflions cof. 8 cof. Vi, (art, XIV), & mettant Q'à la place de MAAHEIN(A— A), art, XIV, E=Q'cof.7m+T fin.æ GA—Kxeof(u—<)+2Moeof it c0f.(o—8)—2N cof. 4 VIN fin, (o—0)), SUR LA LIBRATION DE LA LUNE. 39 On mettra ici, comme dans l'arr. XIX, 1 au lieu de cof Vi & v—e—$ au lieu de w , c’eft-a-dire u——28 au lieu de &—%, oubien fimplement u—+;, à caufe que l'angle 8 eft toujours très-perit, & l'on aura: E=Q'0f7+Tfin.r (HRK EM cof(u—e)—ENfin(u—+)). On fubftituera donc ces valeurs dans l'équation pro- pofée (2), & Oran ce qui fe détruir en vertu de l'équation . ‘ 347 : 2T (1), on aura, après avoir mis —— au lieu de rase La Pi eZ r : . 3S : effacé les termes qui contiennent —— comme dans l’art, F XIX , l'équation dE Er cf (0) + TT fn — do. 6). OrT =fin(u—cfin.r+xcofr(art. XII) & x; /£7.(0—f), article cité ; donc Teof: (u—c)—=#fin.(2u— 2e) fn. mi cof(2u—e—C)cofir+3icof (Ë—e)cofr. De pluss==v—:—0, & do—=dy—de—di— à-très-peu-près, dV(1+u), & étant Je rapport de la préceflion moyenne des points équinoxiaux lunaires au mouvement moyen Y’; en faifant ces fubilitu- tions, on remarquera que les termes qui renferment les angles (—e deviendront, par l'intégration, beaucoup plus grands que les autres. parce qu’ils auront alors pour divi- feur la quantité très-perite u—p , p exprimant le rapport du mouvement rétrograde moyen des nœuds de la Lune, à fon mouvemenrmoyenF; donc n'ayant égard qu'aux termes dont nous parlons, on changera l'équation (6) en celle-ci DR Ce Se pr) LE 4(1+u)H 4(1+4) DEEP. dei, ( IE PA ADP PS ES TO (7) D'où l’on tire, en prenant æ pour la valeur moyenne de +; 40 RECHERCHES 3(H—2KHMiicofe 3Nicof.æ T= D'+ RS ne remettre rpm sen a a(i+e)(e-p) A RAGE Toute) LACET Jin \E—e) + ren Le (8). Et en fuppofant que 7’, €’, &! foient les valeurs de æ, < € lorfque /—o, on aura ALT 3 (H—2K+4-M)icofe Pain ro SE) Jin. C4 ) 3Nicof.= A4) (up) H XXI V. Réfolution de l'Équation Lioohes pi t+A)É ! 1.La valeur de T1 eft, par l’article IX, (en négligeant les termes mulripliés fe be conftantes très-perites M, N, EH JR x HT x(LH4K). 2.° La valeur de I'eft}, par l’article XIV , (en mettant au lieu de Afin.o—Acof.o, fin. (u—c), & au lieu de A fin.w+A cofo , cof(u—+), comme dans l’article précés dent , & négligeant de plus la quantité infiniment petite du fecond ordre Affr.7, comme on l'a fait toujours) ((K—<2H)c0f. mi MT fin.(u—eo—2NTeof(v—:). 3.° On mettra, comme dans l’article précédent au lieu Tfin.(u—c), Ffin.m+ ATX td, cof (Ë—c) > gite A'H-el') 2el4! 0) nu — 2{u—p) fin.æ TL fin (Ê—5); CANNES Où l'on remarquera que e A'+eB! repréfente l'ellipticité du premier méridien, c’eft à dire l'allongement de la Lune ( dans le fens de la ligne qui joint le centre de la Lune & de la Terre à-très-peu-près), par rapport au demi. axe de la Lune; & que par conféquent le mouvement de l'axe de cette Planète dépend en ce cas uniquement de [a quantité de cet allongement. Pâr lahéprie dela tigure de la Lune, on a, art. XII, ppt Tas as (art. XXII), & e4'—Ÿ ; or q ex- 4P L 10000000 prime le rapport de la force centrifuge à la pefanteur fous léquareur de la Lune ; donc fi on nomme 9’ ce même rapport fous l'équateur de la Terre, f’ Le rayon de la Terre, 2,t'les cems de la rotation de la Lune & de la Terre, on voic facilement qu'on aura ÉCOLE £ f5 ta ® Q = — a X — ceq == L ! : : & ) Q _—_— 7 — — e 3 NZ 77 F-° idonne Fe VS X® 5 . $ £ T. mettant au lieu de 9 545 j au lieu de 25 = au lieu de  67 ; & au lieu de ‘ =, AE trouve P— 55555555 5 d'où RE 1 , AL me par ESA TqueRt eA'+eB = 5 donc u=;#7—>, & multipliant ce nombre par 360°, on aura en fecondes 61” pour la préceflion moyenne des points équinoxiaux lunairés dans un mois périodique. :; . . . e . LA Pour avoir la nutation, il faut malciplier w par . re ou bien par À fimplement, àcaufe de 4 extrémemenc perit, Sur LA LIBRATION DE LA LUNE. 4$ Or en prenant pour la rangente z de l’inclinaïfon de l'orbite lunaire, rang. $°, 9°, & pour le rapport p du mouvement moyen des nœuds au mouvement périodique 5 1 “ de la Lune , je trouve la nutation de l'axe — 3}, 39"; & divifant ce nombre par fr. æ, (en prenant pour &', 2°, valeur moyenne entre celles de M. Caffini & de M. Mayer ) jai 19,44", 1 5" pour la plus grande équation de la préceflion. - Selon M. d’'Alembert (Voyez le dernier Mémoire de fes Opufcules ) la préceflion moyenne des équinoxes dans 3 eA'+-2:51 rA l'hyporhèfe préfente eft feulement de == ; & la putarion eft aufli diminuée à proportion : c’eft ce qui fait que nos réfulrats ne s'accordent point; mais j'ai donné ci-deflus, art. XVII, la raifon de cette différence entre les formules de ce grand Géomètre & Les miennes. >. (D. Ep. € ScHOLIE IT. Voyons maintenant quelle devroit être la valeur de e 4'+eB', pour que la préceflion moyenne des équinoxes lumaires fût égale au mouvement des nœuds de la Lune, dans ce cas on aura, (art. XXV ), Hp 3 H—2K+M 3hi 1 , 3 ñ ? nt pen (Cd —g)=ie d'reB'yx réel SE 2P Cher cof. (Ë'—e')) ; donc HE TE of Et). - Donc fi l’on veut, avec M. de Cafini, que le nœud defcendant de l'équateur lunaire foit toujours au même poinc que le nœud afcendant de l'orbite de la Lune, on » 2P. 7 fera é—(", & l'on aura A+eB = TS —Toc006 ÿ & fe æ dans ce cas , il n'y aura plus de nutation fenfble dans Taxe 46 RECHERCHES X X X. ScHoLiE III. Au refte, quelle que foit la valeur de eA'+eB': pourvû qu'elle furpafle 747, je dis que le mouvement des équinoxes lunaires deviendra toujours , de lui-même égal au mouvement des nœuds de la Lune ÿ car ileft clair que l’on pourra toujours trouver un angle 2p 3(1 + = cor) lorfque les nœuds de l'équateur & de l'orbite, à force: de s’éloigner , feront parvenus à la diftance =(—6 entr'eux , Le nœud de l'équateur recevra un mouvement égal à celui de l'orbite. IL eft vrai que l’inclinaifon de l'axe fera fujetre à une! augmentation où diminution conftante, felon que“ ><’, ou <<’, en vertu de laquelle la valeur f7.# changera unt 2p CEE) ceffera d'être vraie ; mais elle fe rétablira enfuite par la variation de la diftance É'—<. Peut - être pourroit- on démontrer,, par ce raifonnement , que les nœuds de l'équateur lunaire es enfin: coincider pour toujours avec ceux. de orbite. o {—4 tel que l'on ait e4'+eB'— ; donc’ peu, & l'équation e4'+eB'— + À 2. ScHoL1E IV. Un moyen de déterminer fi lé mouvement des nœuds de l'équateur lunaire eft exacte- ment égal à” celui des nœuds de {lorbite, ce feroit:d'ob= ferver pendant une longue fuite de révolutions: de: lg Lune, luquantité de fa plus grande libration-endatitude, Car il eft clair que cette libration peut être répréfentée” fans erreur feulihlé:pard'angle, que-nous avons nommé}, (article XVI), à caufe que l'inclinaifon de l'équateur.àt SUR LA LIBRATION DE LA LUNE. 47 à ei: |. à . LE l'écliptique eft extrêmement petite; or f7. =" Via) ? Gnlu—+) [ne 4) fa art. cité, re art, XII, = (en mettane fins (u—<) fin. ni fin.(u—+ ) cof. » Vie fin. Uk j? | fn(—+) Donc fi ce, on aura fr. Geo) rm +i cofir), & commeu—long.€ +180(art. XII) .& (long. a, dorfque la Lune fera dans fes plus grandes latitudes boréales, on aura v—180—{—90 , favoir v—{—; 70, & fin (u—Ë)=— 1 ; on trouvera de même fr f—Ë) =: pour Îes plus grandes latitudes méridicnales; donc la pour À fa valeur ifin{u—<)) à : ë Jiner i cof à fibration totale en latitude fera 2 gr, ce qui va Vi: à + environ du rayon de la Lune. Soit maintenant * ou <<, il eft évident qu'après quelques révolutions de la Lnne, on devra avoir «—Ë+180°;& alors fn. fera Sin. (v—t) J : f . : HT) (—finex+icofr); & la libration totale —finer+-i cof.z 1 | RE 7TE 5 nn feulement du rayon de la Lune, XX XII. SCHOLIE V, Je finirai ces recherches par expofer une méthode par laquelle, ayant trois obfervations d'une même tache de la Lune, on pourra connoître la pofition de l'équateur de cette Planète par rapport à l'écliptique, Soit (comme dans l’article XII );v—180° la longitude du centre de la Lune, & à fa latitude fuppofée auitrale; T—180° la longitude de la tache, & x—+ la tangente de fa latitude , dans une obfervation quelconque ; il eft 48 RECHERCHES facile de voir , en confervanc les fuppoñitions & fes noms de l'article IL, que l’on aura Éé 5 { cop ns Eh; Vx+y) p 1 VE +7 RIT Jr Va +) e & de même y—r 2 VE HT) D di ii VD EL à a—X+y—V'=—= à-très-peu- près xp 2x X—2yŸ =p—2xX—2}Y; donc en négligeant les quarrés, & les puiflances plus hautes de X, Y, auffi bien que leurs pro= duits, Oh aura pe he à der usb y rs ro Se VX Eee Tr (en mettant fin.u & cofu au lieu de a D , fin v+cofu Xfinv—F cof.v ÉHRUIr ôn aura l'équation ÿ par conféquent fi on fait fr U=fir.u—S, Crete nr EE TcofoX fin. an de On trouvera de la même manière TES 2: re F+y—T DE FARRRIT 24 TA - a re (Xcofu+Y fin v)=; Lo D A—l ; ce qui donnera (2). Ze Nrofu+ Vin. Il fauc tirer de ces nur équations les valeurs de.X, Y; Z ; & pour cela on remarquera que , 7 étant le rayon de la Lune , on aura X'+Y'+7:=—7; & que Fcofu—X/finv +X cofu eS777 f=X'+Y'=r—7"; on aura donc D L=h sur LA LIBRATION DE LA LUNE 49 Cas p°S? “or. RME TTL abréger VERRE — EE #1), Z= Ayant la valeur de Z , on trouvera auffitôt Le de X, & de Y, par les équations (1), (2) car 2 71— , d'où l'on tire, en faifant pour — X= 0 fps tangv; = finu+ps. On fera le même calcul pour chacune des deux autres obfervations , & l’on appellera X',Y',Z'; X",7",7", les valeurs correfpondantes de X, Y, Z. Maintenant on a ( article VI, (D) ) Z=r fr.p, Y=r col. p fin. 4, X=r cof. pcof.g 3 de plus en combinant les deux premières formules (C), fin. P=fin. pcof. x+cof. p fin. g'fin.æ,—= (en mettant au lieu de g', g—+) fin.p cof. æ + cof.p fin. q cof.efin.n—cof.pcof.q fin.efin.æ ; donc fubiticuant pour fi.p, cof. p fin.g, cofep cof:a ; leurs valeurs ER on aura FOR li PPS rfir.P=—Zcofr+Ycofefin.x—Xfin.efin.m Et de même pour les deux autres cbfervations. (4)... rfin P=Z'ofm+Y 'eof ce fin.x—X'finefin.x. 570 PRE r fin .P=Z'oofn+Y eof.c fin.n—X'fin.efin.æ en | fuppofant que la pofition de l'équateur demeure la même. . Retranchant l'équation (4) de l'équation (3), & l'équation ( s ) de l'équation ( 4 ) on aura deux nouvelles équations 6)(Z—Z')cofr+(Y—Y 'jcofefi.x —(X—X'\fin efin.r—=0 Prix de l'Académie, Tom. IX. G so RECHERCHES SUR LA LIBRATION DE LA Luxe. (24Z'—-Z")cofn+(Y —Y")cofefinn(X' —X Mfnsfin.r=0 d'où l'on tire Ar Tcofs cafe Z—2" Sins LE Es, à 5 jet miens 5 & par conféquent (IF Fr" X=xX Lx x ” sang. = FER DST Z'=Z" 1e Z'—ZT 27 Connoiflant «, on trouvera æ par La foïmule Z=Z (X—X'ins—(}—7')cof.s° FIN. Yang.m—= DE L’'ARRIMAGE DES VAISSEAUX. MÉMOIRE pour concourir au prix propolé par PIE Prix propole. pa J'ACADÉMIE ROYALE DES SCIENCES de Paris pour l'année 176$. Par M. GROIGNARD, Conftruéleur en chef des vaiffeaux du Roi & de La Compagnie des Indes, au Port de l'Orient. Prix de l’Académie , Tome IX, A "4 de: y NO NNRE *.® LS 4 ju “ln 44 Dre APR LT Mate pe . + a PA DA tif + { Her av MES t NC 4 | En D | É: AA A DOI 18 Re 4 3 st afin Ut | AU LE F | : . ab #f vi] AE dk art augure] NE MÉMOIRE SUR L’'ARRIMAGE DES VAISSEAUX. Qui dubüs aufus committere flatibus alnum, Quas natura negat præbuit arte vias. oUR me conformer aux vues de l’Académie, & difcurer avec ordre le fujet qu'elle propofe, je diviferai ce Mémoire en trois Chapitres. Le premier traitera des méthodes ufitées dans les Ports, pour lefter ou arrimer les vaifleaux de toutes fortes de grandeur, & de différentes efpèces. Le fecond , des poids & de la diftribution des matières qu'on employe, & de l’effec qu’elles or EE fur le 1] MÉMOIRE SUR L'ARRIMAGE fillage , fur les lignes d’eau, fur les propriétés de bien gouverner, de bien porter la voile, d’être doux à la mer; & fur les autres qualités d’un vaiffeau. Le troifième , des inconvéniens de ces méthodes & des remedes qu'on pourroir y apporter. L'objet de ce Mémroire étant des plus intéreffans, & de- vant être à la portée de tous Les Marins, j'eflayerai de le traiter de la façon la plus fimple , & la plus praticable, & de le rendre auffi utile à la Marine du Roï, qu’à celle de la Compagnie des Indes & des Marchands. DES "V A!ISIS EAUX. $ CH. API PIRE Des méthodes ufirées dans Les Ports pour arrimer & lefler les varffeaux de toutes fortes de grandeurs , & de différentes efpèces. LAN un vaïfléau, c’eft le charger , ou placer dans fa calle, dans fes foutes, entre-ponts & gaillards les différentes matières ou effets qu'exigent fon efpèce & fa deftination. Comme ces effets peuvent être plus ou moins pefans relativement à la capacité ou au déplacement d’eau du vaif- feau , & plus ou moins avantageufement placés relative- ment à {a ftabilité, on fe fert de left, ou de matières plus ou moins pefantes, comme la pierre, le fer ou le plomb, pour augmenter le déplacement ou la ftablilité, & c’eft ce qu'on appelle lefter un vaifleau. L’arrimage & leftage des vaiffeaux doit donc varier fuivant leurs efpèces & leurs deftinations. On ne finiroit pas fi on vouloit entreprendre de détailler toutes les efpèces de vaifleaux & les différens arrimages qu’exigeroient leurs différens armemens. Je me bornerai à parler des efpèces de vaifleaux Les plus connues, les plus en ufage, & les plus néceflaires au fervice du Roi, de la Compagnie des Indes & des Mar- chands, & je donnerai pour ces efpèces de vaiffleaux des principes applicables à toutes les autres. De l'arrimage des vaiffeaux de Ror. Je prends pour exemple un vaiffeau de foixante-quatorze canons, 6 MÉMOIRE SUR L’'ARRIMAGE La Calle. L'arrimage des vaifleaux de Roi eft le plus connu, & celui qui peut le moins varier, parce que chaque chofe y eft toujours la même, & à fa même place diftinéte. Dans la partie la plus bafle du vaifleau que l’on appelle la calle, fonc à-peu-près fur le même plan , & fuccefi- vement à commencer par l'arrière ou l’étambor jufques en avant ou l’étrave. 1. Les coffres & la foute aux potidres ; cette foute occupe à-peu-près une efpace de $ à 6 pieds de hauteur & de 41 pieds de longueur à prendre du dehors de l’é- rambot : elle doit contenir en barils & en gargouffes la quan- tité de poudres néceffaires pour fournir au moins foixante coups pour chaque canon; cette foute eft terminée par deux cloifons à un pied de diftance l'une de l’autre; & cet intervalle entre les deux cloifons eft ordinairement rempli de fable ou de terre pour préferver Les poudres du feu ou de l'humidité voifine. 2. Sur l'avant & joignant Îa foute aux poudres, eft la cave du Capitaine de 8 à 9 pieds de hauteur & $ à 6 pieds de longueur : cette cave doit contenir la quan- tité de vin néceffaire à la table du Capitaine pour 6 à 7 mois de campagne; elle eft terminée par une fimple cloifon qui prend tout le travers ou la largeur du Vaiffeau, ‘ 3° La calle au vin & provifions de l'équipage de 8 à 9 pieds de hauteur, & 24 à 26 pieds de longueur. Cette calle ou cave doit contenir le vin & partie des provifions de l'équipage pour 6 à 7 mois de campagne, elle eft terminée par une cloifon joignant l’archipompe, & fur l'avant, & à-peu-près de la grandeur de l’archipompe eft le parquet ou coffre aux boulets. Ce coffre monte jufques à la hauteur du faux-pont eft divifé par cafes, & doit DES: VA 'INSISFE AUU X. 4 contenir tous les boulets de différens calibres, À l’exce- ption de ceux que l'on met dans de petits parquets entre les batteries , pour les avoir fous la main. On embarque la quantité de boulets pour au moins foixante coups par canon. pa 4° La calle à eau de 8 à 9 pieds de hauteur & de 48 à jo pieds de longueur; elle doit contenir en piéces de quatre, de trois, de deux, & d’une barrique, la quantité d’eau pour deux mois & demi ou trois mois au plus, à raifon d’une barrique par jour pour cent hommes. Il ne feroit pas poflible d'en prendre davantage fans trop charger le vaifleau , & l’on renouvelle cette eau dans les relaches. Cette calle à eau eft terminée pour une fimple cloifon en travers du vaifieau 5° La foffe aux cables de 8 à 9 pieds de hauteur & de 22 à 24 pieds de longueur ; elle doïc contenir tous les cables , grelins ; auflières &c. néceffaires à l'armement & au rechange du vaiffeau. 6.° En avant de la cloifon de [a foffe aux cables, & vis-à-vis du mât de mizaine , font deux petits coffres à poudre qui fe terminent fur l'extrémité, ou fur l'avanc du vaifleau , l'on y mer dans un combat des garcoufles pour accélérer le fervice des canons de l'avant. Le left fe place dans la calle au-deflous des piéces à eau , à vin & des cables. Le Faux-pont. Au deflus & à la longueur des foutes à poudre , eft un plancher où platte-forme fur laquelle font établis le re- change du maître Canonnier de $ à 6 pieds de longueur, & cinq foutes à pain, dont une en travers du vaiffeau fur l'arrière, & deux de chaque côté féparées par un courroir fuivant la longueur du vaifleau , pour communiquer de lune à l’autre, & pouvoir defcendre dans la foute aux $ MÉMOIRE SUR L'ARRIMAGE poudres au moyen de deux écoutilles pratiquées fur ce plancher, lune en avant, & l’autre en arrière de larchi. pompe d’artimon. Ces foutes à pain contiennent la quan- tité de bifcuit néceflaire à l'équipage. Au deflus & à la longueur de la cave du Capitaine & de la cave au vin de l'équipage, eft un plancher fur le- quel fonc établies plufeurs foutes à grain & à légumes , féparées par un grand courroir au milieu , pour pouvoir au moyen de deux écoutilles defcendre dans la cave du Capitaine & dans la cave au vin. C'eft fur ce plancher que l'on appelle la platte-forme du maître-valet que fe fait la diftribution journalière des vivres , & c’eft dans ces foutes divifées en plufeurs com- partimens que font placées les provifions, légumes & grains du Capitaine & du Commis. Au-deflus & à la longueur de la calle à eau , eftun plan- cher volant , ou couvert de planches levatis, fur lequel on établit les foutes du Chirurgien , du Pilote, du Char- pentier , le théatre des malades ou bleffés dans un éombat, & la foute à voile de $ à 6 pieds de longueur tout en travers du vaifleaul& joignant lacloifon de la foffe aux cables, Au deffus & à la longueur de la fofle aux cables & coffres à poudres de l'avant, font la plate-forme du cable daffourche , la foffe à Léon , & quelques foutes pour les rechanges des maîtres d'équipage , calfats &c. & pour des grains, Tous ces différens planchers joints enfemble , & pro- longés depuis l'avant jufqu’à l'arrière du vaifleau , à l’ex- ception du plancher des foutes à pain qui eft deux à trois ieds plus bas que tous les autres, forment ce qu'on appelle le faux-ponr. Tout autour de ce faux-pont à trois pieds de diftance du bord, régne un efpace vide ou galleries pour voir dans un combat les boulers qui pourroient percer le vaifleau à fleur d’eau , & boucher les trous des boulets avec des tapons de calibre, . € DES VAISSEAUX. 9 Le premier Pont. À cinq pieds & demi de hauteur, au-deflus du faux- pont, fous poutre ou fous beaux , eft un autre plancher, prolongé depuis l'arrière jufqu’à l'avant du vaifleau, que l'on appelle le premier-pont. Sur ce premier pont, à commencer par l'arrière, eff la fainte-barbe de 24 à 25 pieds de longueur , terminée par une cloifon que l’on peur démonter dans un combat. Dans la fainte-barbe font établies de chaque côté les chambres, de l'Ecrivain & du maître Canonnier, & les lits du Chirurgien , de l’'Aumonier, &c. Depuis la cloifon de la fainte-barbe, jufqu’en avant du vaifleau, fonc établis le cabeftan, Le four, le parc à moutons , les bittes, la gatte ou compartiment pour rece- voir les eaux qui entrent par les écubiers, & tous les lits ou hamacs des matelots fufpendus au-deflous des beaux où poutres du fecond-pont. Ce premier pont eft percé de plufieurs trous , écoutilles ou panneaux, de grandeur convenable pour pouvoir defcendre fur les diférens planchers, ou compartimens du faux-pont, & y embarquer les piéces de quatre ou autres effets qui doivent être placés dans ces compartimens ou dans la calle. C’eit ce premier pont qui porte Le poids immenfe de la première batterie de 28 canons de 36, montés fur leurs affuts avec palants & uftenfilles néceffaircs. Le fecond Pont. Sur le fecond pont, à commencer par l'arrière, eft la grande- chambre ou falle à manger de 10 à 22 pieds de longueur , terminée par une cloifon qui peut fe démonter dans un combat ; dans la grande chambre joignant cette Prix de l’Académie, Tome IX. B 10 MÉMOIRE SUR L’ARRIMAGE cloifon & de chaque côté du vaifleau , font pratiquées quatre ou fix chambres en toile , qui peuvent aufh fe démonter. En avant de cette grande chambre, eft le pofte des Gard s de la Marine , l'office, la boucherie , & fur le même pont, fous le gaillard d'avant, font les cuifines , les poragers, & un pecit four pour la table du Capitaine. C'eit le fecond Pont qui porte le poids de fa Éeshde batterie de 30 canons de 18 Liv. de la Chaloupe , Ca- nots, & mâts d'hune de rechange, que lon place or- dinairement entre les deux gaillards, La hauteur du premier au fecond pont, ou de l’en- trepont pour un vaifleau de 74 canons, eft de < pieds 8 à ro pouces fous beau ou fous poutre au milieu. Les Gaillards. À cinq pieds 6 à 8 pouces au-deffus du fecond pont fous poutre , ett fur l'arrière du vaifleau un plancher de 80. à 85 pieds de longueur qu’on appelle le gai//ard d’arrière qui eit prolongé jufques fur l'avant du grand mât, & fur l'avant du vaifleau eft un autre plancher à-peu-près de même hauteur de 40 à 41 pieds de longueur qu’on nomme le gaillard d’avant. Sur le gaillard d’arrière font établies la chambre de Confeil ou de parade de 18 pieds de longueur, & en avant de cette chambre de Confeil , & de chaque côté du vaifleau , fix chambres pour le Capitaine , & les cinq premiers Officiers: entre ces chambres & fur l'arrière du mât d’artimon, eft la roue du gouvernail, & l'habitacle où font les bouffclles où compas de route. En avanc du mât d’artimon, fur le Gaillard d’arrière , font au milieu les cages à poules & à dindes, & fur les côtés 10 canons de 8 |. Sur le gaillard d'avant font le petit cabeftan, les boffoirs qui fupportent les ancres & fix canons de 8 liv. DES :V A ISSE A U x. TI La Dunette. À cinq pieds huit pouces ou fix pieds au - deflus du aillard d’arrière fous poutre ou fous barrot, eft un plan- cher de 3$ pieds de longueur prolongé jufques en avant du mât d’artimont, fur lequel font établies fur l'arrière & de chaque côté, quatre cabanes de 4 pieds de hauteur & 6 pieds de longueur , chacune , pour le logement des Maïtres & Pilotes; en avant de ces cabanes , font des cages à poules. . C’eft fur cette Dunette, qui eft l'endroit le plus élevé du vaifleau qu'on établit la moufqueterie dans un combat. Le détail que je viens de faire des emménagemens ou diftributions des différentes parties de la calle, du faux- pont, entre-pont, &c. d'un vaifleau de guerre de 374 çanons, peut convenir également aux vaifleaux du Roi de tous les rangs , en imaginant ces diftributions relatives à la différente grandeur des vaiffleaux , & même des frégates qui n'ont qu'un pont, une batterie , & une Dunere de moins que les vaiffleaux, & qui d’ailleurs font également emménagées, à peu de chofe près. On trouvera dans les différens Traités de conftruction, Dictionnaires de Marine , & fur-tout dans le Traité de M. Duhamel , des plans & coupes de différents vaiffeaux de uerre, frégares & flutes qui repréfenrent les emménage- mens & diftriburions de ces bâtimens, que j'ai cru inutile de retracer ici. D'après ce que je viens de dire des emménagemens & des diftributions des différentes parties d’un vaifleau de guerre &c. l'arrimage des vaifleaux & frégates du Roi doit paroître d’autant plus aifé, que chaque chofe à fa place diftinéte, & que chaque place eft plus grande à proportion, que ce quelle doit contenir. Cela feroit exaétement vrai s'il n'éroit queftion pour p2 12 MÉMOIRE SUR L’ARRIMAGE faire un bon arrimage , que de placer ce que le vaiffeau doit porter ; cette condition n’eft pas la plus difficile à remplir : il faut qu'un vaifleau de guerre tout chargé ou arrimé , ait de la batterie, porte bien la voile , marche bien , gouverne bien , ait les mouvemens doux, & touc cela dépend beaucoup de la quantité, de l'efpèce & de la pofition de fon left, qui eft la feule chofe qui paroifle indéterminée & la plus néceflaire à l'arrimage d'un vaiffleau de guerre ; elle demande les plus férieufes combinaifons , puifque c’eft de la que RS routes fes bonnes qualités. C’eit ce qui fera le fujer du fecond Chapitre : je mebornerai à dire dans celui-ci que la bonne façon d’arrimer un vaiffeau de guerre, eft de lui donner la quantité & l’efpèce de left proportionnée à fa capacité ou déplacement, & à fa ftabilité , & de diftribuer ce left de façon que chaque chofe à embarquer mife à Ia place que jai ci-deflus défignée , le vaifleau ou la frégate foit au tirant d’eau, ait la hauteur de la batterie propofée & toutes les autres qualités que l’on peut en attendre. Comme il eft très-difficile de rencontrer au jufte ce tirant d’eau , ou l’affiette du vaifleau , fur-trour à ceux qui n'ont pas encore navigué , on conferve une certaine quantité de left portatif que lon place après l’arrimage fur l'avant ou fur l'arrière du vaifleau dans des endroits que l'on ménage exprès dans la calle, afin de pouvoir, au moyen de ce nouveau left, corriger la différence du tirant d'eau. On peut auffi faire déplacer quelques furailles dans la calle à eau qui n’eft jamais pleine , fi ce left portaufne fuffic pas pour mettre le vaifleau en affiette. . De l'arrimage des vaiffeaux de la Compagnie des Indes. La Compagnie des Indes à trois efpèces de vaiffleaux relatifs à fes objets de commerce. JDES VAISSEAUX, 13 Les vaifleaux pour l’Ifle de France, Pondichery, &é. peuvent être du port de 1100 tonneaux, fans com- prendre le poids de leur cocque , & de la force des vaificaux du Roi de 64 Canons. Les vaiffeaux pour la Chine font de 960 tonneaux, & à-peu-près de la grandeur & de Ja force des vaifleaux de so canons. Ceux pour Bengale ou pour la côte , font de'600 tonneaux, & à-peu-près de la grandeur, & de la force d'une frégate de 26 canons; l’objet des vaifieaux de la Compagnie étant de porter & rappôrter des provifions & autres munitions & marchandifes relatives à fon commerce, le chargement de ces vaifleaux varie fuivant les befoins & Les denrées des colonies; foit en partant de l'Orient, foit en revenant des différens lieux d'ou ils rapportent des marchandifes différentes. Ces troisefpèces de vaifieaux font différemment emmé- nagés que ceux du Roi, feulement dans leur calle & dans leur entrepont. I ny à dans leur calle fur Parrière, qu'une’ petire foute à poudre & au-deffus des foutes à pains & fur l'avant qu'une calle à eau. Ces foutes & cette calle à eau , qui n’occupent , poar ainfi dire , que la partie irré- gulière des façons de l'arrière & de l’avanc du vaifleau, n'ont que la longueur ftritement néceflaire pour con- tenir la poudre , le bifcuir, & l’eau pour trois mois à un équipage bien moins nombreux qu'aux vaifleaux du Roi : ces vaiffeaux portent ordinairement des vivres pour 18 mois que dure leur campagne. On à jugé à propos de placer la calle à eau fur l'avant de ces vaifleaux , parce que cette partie érant plus expofée aux égouts, aux voyes d’eau , & à l'humidité , & d’une figure très-irréculière , eft moins propre à l’arrimage & à la confervation des marchandifes légères & précieufes , & - que la calle à eau placée comme dans les vaiffleaux de 14 MÉMOIRE SUR L’ARRIMAGE guerre, au milieu de la longueur de la calle & de ces mêmes marchaudifes , leur communiqueroit de l’humi- dité, &c. Ces raifons ont prévalu fur les inconvéniens qui ré- fultenc de la poñition de la calle à eau fur l’étrave ou fur l'avant du vaifleau. Le poids immenfe de cette eau tend À faire plonger & à délier cette partie , & rend les mou- veméns de tangage fort durs : on eft en même-temps obligé de mertre beaucoup de left de fer, ou les effets les plus lourds, fur la partie de l'arrière du vaifleau , pour balancer le poids de la calle à eau fur l'avant, qui joint à celui des cambufes, des ancres, mât de mizaine, du beaupré, &c. ne peut que contribuer à faire promptement arquer, & délier ces vaifleaux. L'efpace immenfe de la calle, compris entre la cloi- fon des foutes à pain , & celle de la calle à eau , eft ordinairement occupé par cent où cent cinquante tonneaux de left de fer & de pierres, ou fer de cargai- fon. Sur ce left de fer & de pierre, font établis deux ou trois plans de futailles ou piéces de deux remplies de différens vins & eau-de-vie, & trous ces plans font prolongés ordinairement depuis la cloifon de la calle à eau , jufqu'à la diftance de 8 à 12 pieds de la cloifon des foutes à pain & à poudre ; l'on mer dans ce vide de 8 à 12 pieds, du charbon de terre, & au-deffus du charbon de terre, jufqu'à la hauteur du pont, de la poudre en barrils pour les colonies ; que l’on mafque avec des piéces de toile à voile. , Au-deflus de ces plans de vin & eau-de-vie , on mer d’abord joignant la cloifon de la calle à eau , en venant fur l'arrière, des barrils de brays, goudron , cordages , caifles d'armes , d’habillemens de troupes , toiles & autres effets relatifs aux befoins & commerce des colonies, & l'on finit de remplir & de bonder la calle avec des farines ou autres effers Les plus légers, DES VAISSE AU X. 14 IL n’y à point de faux-pont dans les vaifleaux de la Compagnie , mais feulement quelques barrots ou poutres dans la calle environ à cinq pieds au-deflous du premier pont, fur lefquels on place quelquefois des mâts bruts pour fervir au vaiffeaux dans les colonies , & pour pouvoir faire entrer & fortir ces mâts, on pratique, a-peu-près à la hauteur de ces barrots, dans l’arcaffe ou fur l'arrière du vaifleau, un fabord de charge & un courroir entre Îes foutes à pain , du côté où eit placé ce fabord. Sur Le premier pont des vaifleaux de la Compagnie , eft, comme aux vaifleaux du Roi, la faince- barbe avec les chambres de l’Écrivain , du maître Canonnier , les lits du Chirurgien , de l'Aumonier, &c. Mais comme la calle de ces vaifleaux n'eft prefque occupée que des cffets de car- gaifon , on eft obligé de fe fervir de ce premier pont pour mettre les vivres qui ne peuvent être placés dans la calle; ainfi en avant de la fainte-barbe, font pratiquées au milieu du vaifleau, des foutes à grain & à légumes. Il ya auf . un parc à moutons , à double étage pour de plus longues campagnes , & tour en avant du vaifleau , & au deffus de la calle à eau , font des cambufes ou foutes pour Les pro- vifions du Capitaine, du Commis. pour la diftribution journalière des vivres, les foutes des Maîtres Charpen- tiers , Calfats, Maîtres - d'équipage , le pofte du Chirur- gien , des malades, &c. font auf fur ce premier pont. Le refte de ce premier pont eft ordinairement rempli de barrils de farine , des coffres & hardes des équipages , des voiles, des cables, cordages, &c. parce qu’iln’y a point de canons ou de première batterie, quand ces vaifleaux ne font point armés en guerre. Le fecond pont, gaillards & dunertes de ces vaiffleaux font à-peu près emménagés comme les vaifleaux du Roi, à cela près, que tour eft, à proportion, plus reflerré , plus multiplié, & relacif aux plus longues campagnes, & que le cabeftan & les écubiers font établis fur le fecond pont. 16 MÉMOIRE SUR L'ARRIMAGE On voit par ce que je viens de dire de l’arrimage des vaifleaux de la Compagnie, que ces trois efpèces de bâti- mens ; en partant de l'Orient , doivent toujours être très- chargés & fubmergés » parce que les effets qui compofent leur arrimage font très-lourds, & rempliffent toujours tout l'efpace de leur calle & de leur entrepont, efpace que lon rend d'autant plus confidérable, qu'il ne doit contenir, au retour des mêmes vaiffleaux , que des marchandifes légeres, & d'un grand volume, comme le ché, le caffé, le poivre, le coton, &c. La conftruétion des vaiffeaux de la Compagnie, de- mande donc plus de combinaifon, que celle des vaiffeaux de guerre, puifqu'ils doivent être faits de façon, à pouvoir être chargés de marchandifes lourdes pour l’approvifonne- ment des colonies, & à rapporter beaucoup de marchandifes légères pour augmenter les profits & dédommager la Com- pagnie de leur armement ; l'arrimage de ces vaifleaux demande auffi plus de combiraifon dans ces différens cas. Pour bien arrimer un vaiffeau de la Compagnie partant de l'Orient , chargé de marchandifes ou effets très lourds, il faut combiner les différentes parties qui doivent com- pofer fon chargement, éloigner des extrémités du vaifleau les effers les plus lourds qui n’ont point de place decidée, les placer le plus bas qu'il eft poffible, pour baïffer Le cen- tre de gravité , & diminuer d'autant la quantité de left qu'on ett obligé de donner à ce vaifleau pour lui faire porter la voile , & le mettre en afliette ou en différence: parce que ce left eft us poids inutile qui ne fert qu’à aug- menter le déplacement d’eau du vaifleau , la réfiftance du fluide, & à tenir la place d’autres effets beaucoup plus ngéceflaires que l'on pourroit porter. On peut aufli diminuer la quantité & le volume du left, en augmentant fa pefanteur fpécifique, & pour de pareils vaifleaux , le left de fer & de plomb doit être préféré au left de pierre. Pour DES VAISSEAUX. 17 Pour bien arrimer ce même vaifleau venant de la Chine, où les marchandifes occupent à proportion besucoup plus de place qu'elles ne pèfent , on ne fçauroit avoir trop d'attention à ne point perdre de terrein; pour cet effet les Chinois font des caifles de thé de différentes grandeurs & figures relatives à la courbure des côtés du vaifleau ; & après avoir mis dans Le fond la quantité de left de fer, de pierre, & de caifles de porcelaine néceflaires pour fuppléer au défaut de la péfänteur du thé, & pour faire un greniêr-ou une plate forme aflez élevée pour empêcher que l’eau ou l'humidité ne fe communique au thé, on remplit exaétement de plufieurs rangs de caiffes de thé, de hauteur &-figures convenables toute la ealle du vaif- feau , depuis la cloifon des foutes à pain & à poudre, jufqu’à la cloifon de la calle à eau ,que lon diminue le plus qu'il eft poffible. On à attention, avant d’arrimer le thé, de faire calfater la cloifon de la calle à eau , de la tapifier de nates , ainfi que les côtés du vaifleau, & l’on prend toutes les pré- cautions nécefaires pour empêcher Les égoûts & l’hu- midité. On remplir auf de caiffes de thé la partie de l’'entre- pont comprife entre la faince-barbe , & les environs de l'archipompe. L On arrime à peu-près de la même façon les vaifleaux de la Compagnie chargés de café, & autres marchandifes légères; c'eft-à-dire , que pour bien arrimer ces vaifleaux äl faut proportionner la quantité & Lefpèce du left à la pefanteur fpécifique des matières qui compofent leur chargement, & à la ftabilité qui leur eft nécefaire, & diftribuer ce left relativement à l’afiette de ces vaifleaux. Prix de l’Académie, Tome IX. C 48 MÉMOIRE SUR L'ARRIMAGE De l'Arrimage des Vaiffeaux marchands. Les vaiffeaux marchands font à peu-près emménagés comm: les vaifleaux de la Compagnie, L'arrimagé ou le chargement des vaiffeaux marchands eft relatif à l’objer de leur deftination, & de leur com- merce. On porte chez l'étranger les denrées du pays, & l’on rapporte celles de l'étranger : Il eit de l’intérèc des Arma- teurs de porter & de rapporter le plus qu'il eft poffble, pour diminuer les frais de tranfport ; l'on ne peur rien ajouter à l'expérience & à l'attention qu'ont les Arrimeurs des différens ports marchands pour tirer parti de l’efpace de la calle & de lentrepont des vaifleaux faits, pour ainfi dire, pour l’objet du commerce de chaque pays : Ceux -deftinés pour porter des effets de grandeur connue, ont une longueur & hauteur de calle & entrepont propor- tionnées , pour loger , comme dans un coffre , une certaine quantité de rangs les uns fur les autres ; par exemple , de barriques de fucre, de jarres d'huile , de balles de café, &c. En général, tous ces arrimages n’ont rien de recherché, puifqu’il n’eft queftion que d’entaffer piéces fur piéces, avec le plus de précifion & d'attention ; fur tout lorfque ces pieces ne font pas fufcepribles de preflion, comme le font les balles de laine, de coton, &c. L’arrimage de ces marchandifes, fufceptibles de pref- fion , qu'on appelle eftiver à prillou où à traou , demande las d'attention, de précifion, eft moins ordinaire, & mérite d'être cité. ‘ Pour arrimer ou eftiver à grillou , on garnit les balles en deflus & en deflous de languettes où coins de bois fort larges; on fait prendre à ces balles, fous un prefloir avec ces mêmes languettes que l’on arrête, la forme d’un coin: Le DES VAISSEAUX. 19 on introduit enfuire ces balles, ainfi formées en coin , avec ces languettes, entre les rangs de celles qui ont d’abord été rangées fucceflivement dans la calle & éntaflées jufqu’à la hauteur du pont; de façon que fur un rang de fix balles de hauteur, on introduit cinq autres balles preffées en coin , au moyen du traou ou bellier que l’on poufle avec différentes manœuvres frappées au cabeftan ; & quand ces balles , ainfi prefées, ont été introduites a force entre les autres , on retire les languettes au moyen d’une ma- nœuvre frappée à chaque bout de ces languettes, & virée au cabeftan, On fait entrer , par ce moyen 1000 à 1100 balles dans la calle & entrepont d'un vaifleau , quinen auroient contenu que 600. Cette façon d’arrimer eft très- ingénieufe , & demande beaucoup plus de temps & d’at- tention; mais tous ces arrimages des vaiffleaux Marchands exigent moins de théorie, que ceux des vaiffleaux du Roi & de la Compagnie des Indes , parce qu’on n’a en vue que de faire porter aux vaifleaux Marchands le plus qu'il eft offible, fans faire attention aux inconvéniens qui peuvent en réfulter par rapport aux qualités de ces vaifleaux, qui, faits au hazard, & par des Charpentiers ou Conftruéteurs ignorans » ne peuvent qu'être très - mauvais voiliers : & être arrimés au hazard. Ce n’eft que la pratique qui a fait connoitre à peu-près la figure & la façon d’arrimer ces vaifleaux pour leur faire paflablement porter la voile avec les chargemens connus, & toujours les mêmes pour lef- quels ils fonc conftruits. Mis fi l’on avoit à arrimer des vaifleaux Marchands faits par d'habiles Conitruéteurs , dont on connoftroit les capacités, la ftabilité & le tirant d'eau ou l’affiette , rout ce que j'ai dit au fujet des diffé- rentes façons d’arrimer les vaifleaux de [a Compagnie des Indes , fuffiroit pour le bon arrimage de ces bons vaiffleaux Marchands, qui feroient auf utiles au Commerce qu'à l'Écar. Ga 20 MÉMOIRE SUR L'ARRIMAGE CL APE BREL Du poids & de La diftriburion des Matières qu'on emploie dans l'Arrimage des Vaifleaux, & de l'effec qu'elles produifent fur le fillage , Jur les lignes d'eau , fur les propriétés de bien gouverner, de bien porter la voile , d'être doux à la mer, @ fur les autres qualités du V'aiffeau. LE poids des matières qu'on emploie dans larrimage des vaifleaux du Roi , de la Compagnie des Indes & des Mar- chands, &c, doit roujours être égal à la capacité ou au déplacement d'eau du vaifleau ; ainf, pour connoître d'avance le poids de ces matieres , il faut connoître le déplacement d’eau auquel il doit être comparé. La figure de la carène ou de la partie du vaifleau qui entre dans l’eau écant très-irrégulière, on la divifeen plu- fieurs tranches. On réduit enfuite, en pieds cubes, la foli- dité de chaque tranche fuppofée homogène, & l’on ajoute enfemble la fomme des pieds cubes de routes ces tran- ches , pour avoir la folidité entière de la carène ou de la partie fubmergée du vaifleau, fuppofée homogène. Cette folidiré entière de la carène eft précifément égale au volume d’eau , dont elle occupe la place, & au poids de ce volume d'eau , parce qu'il eft démontré que zout corps flottant déplace un volume d'eau précifément égal à fon poids ; ainf , connoiffant la folidité de la carène ou la quantité de pieds cubes d’eau qu'elle a déplacée, on DES VAÏSSE AU x. 21 connoïîcra leur poids, en les multipliane par celui du pied cube d’eau de mer, qui eft à-peu-près de 72 livres ; & pour téduire ce même poids en tonneaux, on le divifera par 2000 livres, poids ordinaire du tonneau d’eau de mer, e On aura donc toujours , par ce moyen, le poids ou le déplacement d'eau du vaifleau qui doit être égal & com- paré au poids des différentes parties qui doivent compofer fa cocque, fon gréément & fa charge ; ou fon arrimage , pour être afuré que ce vaifleau n’enfoncera dans l’eau que de la quantité projetée. EXEMPLE, Du déplacement d’eau d’un vaifleau de 74 canons, comparé au poids de fa cocque, de fes apparaux & de fes munitions. Déplacèment d'eau jufqu'à cing pieds de batterie au fabord du milieu. Pres CUBES. Première tranche comprife . depuis le deffous de la quille , jufqu’à 46 pouces de hauteur au milieu audeflus de la quille . . . 4s14liv. Deuxième tranche de 24 pouces de hauteur 7641 Troifième tranche de 24 pouces id. . . , 85$s9 Quatrième tranche de 24 pouces id. . . . 9668 Cinquième tranche de 24 pouces id. . . . 10873 Sixième tranche de 24 pouces id, , . . 12072 Septième tranche de 24 pouces id. 13310 Huitième tranche de 24 pouces id. . . . 14413 Torar du déplacement en pieds cubes. . 81050 22 MÉMOIRE SUR L'ARRIMAGE Lefquels 8:0$0 pieds cubes d'eau pèfent à raifon de 72 livres le pied cube, & de 2000 livres le tonneau , . 2917101: 1600 iv. Poids de la cocque du vaiffeau. Tonneaux, Bois de chène travaillé 35250 pieds cubes, à $9 livres Le pied cube, l’un dans l'autre, pèle . ,. . . 1539 175oliv Bois de fapin 7500 pieds cubes, à 50 livres ie pied cube . , + 187 1000 Sculpture à * 6 Fer en courbes du premier pont , faux- pont, & une partie de celles du fe- cond pont 4 É . 26 Fer en chevilles de toutes let ferru- res de gouvernail, chaînes d’haubans Récloux 52 ne . so Plomb des écubiers, DA & cou- tures 3 Rouets de pres aux Ci x driffe & bofloirs a AR TES) mins aie I Serrurerie . : : Are 3 I Etoupe . EN EL ; SRE 6 Golaton me 2 ee ke I Peinture 1 Rte x - : 2 Cuifines, fours & potages . . . 14 Torar du poids de lacocque , . 1640 750 liv. DES VAISSEAUX, Poids des apparaux. Tonneaux, Mâture complette & celle de rechange 66 Poulies & pompes ste LA Rouets de fonte & de fer dés POULE Voiles & leurs étuits £ II Cables , grélins, orins & cordages pour lesancres . À 4 ÿ 41 Cordages de la garniture ; + 34 Rechange du Maître : . DOME Ancres avec les fûts . se à CTI Chaloupe & canots : - SIA Toraz du poids des apparaux , . 209 tonneaux. Lef En fer L ) - L 21 80e PMipicrres … . : : HR T20 TorTaL Hs + 200 Munitions de guerre. Canons de fer . : + 163 Affuts garnis , . . ST es Boulets ronds & ramés : RUE Poudre avec lesbarils . ; 22 Valets ; : 6 Pinces, anfpeéts , nicheillée & re- change du Me, Canonnier . : 10 Fufls, moufquetons , haches d'ar- Ge : fre : 2 Toraz des Munitions deguerre . 294 24 MÉMOIRE SUR L’ARRIMAGE Poids des munitions de bouche. Tonmeaux, Vivres pour fix mois à 700 hommes 378 Eau pour deux mois Pantin Futailles . - 62! 14 66 Table du Capitaine à À : 30 ToraL des munitions de bouche. . 604 tonneaux. —— Poids des menus effets de l’armement & rechanges, Effets du Chirurgien à « he Du Pilote z * < À 2 De l’Aumonier . 3 = : 1000 liv. Rechange du Sd ie : SEM TOUR Du Calfar : i 2 ToraL des FA Ja HC. «213 tonneau ————— Poids de l'État-Major € équipage. 19 Officiers-Majors . REA 700 Hommes d'équipage 8 AE de Torar de l'Etat-Major & équipage. 75 tonneaux. ———— Récapitulation des différens poids. Cocque du vaiffeau : » . 1640ton,. 7$oil. Apparaux = ; CET TE PORN SERRE Te ane Munitions de guerre LrebI IN SIDE Munitions de bouche , . 604. Menu: effets del armement & rechanges 13 État-Major & équipage . A ANS ToraL des différens poids, , . 303$ ton. 75ol. ‘Le BES VAISSEAUX. 2$ Le déplacement d'eau de ce vaiffeau ayant été trouvé de 2910 tonneaux, & le poids de fa cocque & de fa charge ou de fon armement devant être de 2908 ron- neaux 1250 livres, il refte un tonneau 750 livres de bénéfice que l’on mettra en outre des 260 tonneaux de left. Ce n'eft que par une pareille opération où combinaifon du déplacement d'eau du vaifleau , avec le poids de fa coc- que & des matières qui doivent compofer fon armement ou fon arrimage , qu'un habile Conftruéteur s'aflure d'avance , que fon vaifleau tout armé ou chargé aura pré- cifément le tirant d'eau , & la hauteur de la batterie qu’il projette de lui donner. L'exemple que je viens de donner pour un vaiffeau de 74 canons, peut convenir aux vaiffeaux & frégates du Roi de tous les rangs , aux vaifleaux de la Compagnie , & aux vaiffeaux Marchands; il fuffit de connoître Ê déplacement d’eau du vaifleau, & d’en déduire le poids de la cocque, pour connoître fon port , ou le poids des matières qui doi- vent compofer fon chargement ou fon arrimage. Mais ce n'eft pas affez pour le bon arrimage que le oïds des matières foit précifément égal au déplacement d'eau , il faut auf que ce poids, & fur tout la diftribution de ces matières, foient relatifs à la fhabilirté & à l’'afiette du vaiffeau. On a vu, en comparant les différens poids qui entrent dans l’arrimage d’un vaifleau de 74 canons avec fon dépla- cement , que la quantité de left a été portée à 200 ton- neaux; mais certe quantité de left fera-t-elle fuffifante pour que le vaifleau porte bien la voile? & fera t-elle diftribuée de façon que, lorfque le vaiffeau fera chargé, il air l’af- fiette ou la différence du tirant d’eau projettée? C’eit-là l'ouvrage du plus habile Conftruéteur qui joint la théorie à la pratique, & la condition la plus eflemielle du bon arrimage, qui étant une fuite des combinaifons & des cal Prix de l’Académie, Tome 1X,. D 26 MÉMOIRE SUR L’ARRIMAGE culs de ce Conftruéteur , doit concourir à procurer à fon vaifleau les qualités qu’il a projetté de lui donner. Cet habile Conftruéteur, en combinant le plan de fon vaifleau, a calculé fes capacités ou fon déplacement, & lés à comparées aux poids qu'il doit porter. Il a fixé la quantité de left, relativement à fes capacités. Il a examiné fi, avec cette quantité, & telle efpèce de left répandu le plus uniformément dans la calle, & le plus éloigné des extr'mités, le centre de graviré commun de toutes les matières , feroic effectivement audeflous du mera-centre, & fi fon vaifleau auroit la ftabilité néceffaire ; d’après ces calculs, il a déterminé le tirant d’eau de l'avant & de lar- rière, ou l’afliette de fon vaifleau, Il a arrêté & travaillé fon plan en conféquence , trouvé les lignes d’eau les plus douces & les plus propres à divifer le fluide; placé le cen- tre de gravité par rapport à la longueur du vaiïfleau , ou le centre de rotation le plus avantageufement , pour bien gouverner, & avoir Les mouvemens doux, déterminé le point vélique. Enfin, il a fait fur ce plan tous les calculs néceffaires pour s’aflurer au plus haut degré de routes les bonnes qualités que peut réunir Le meilleur vaifleau de ce rang & de cette efpèce. Quelqu’attention qu'ait pris cet habile Conftruéteur our procurer à ce vaifleau ces qualités fupérieures, il ne Et qu'un mauvais arrimage pour en faire un mauvais vaifleau : cent tonneaux de left de plus ou de moins, & différemment placés, vont rout gâter, & voici les incon- véniens qu’ils peuvent produire. : © Je fuppofe qu’au lieu de 200 tonneaux de left, qui ; joints aux poids des différentes parties du chargement, font un poids égal au déplacement d'eau du vaifleau, & ont été jugés néceffaires à fa ftabilité, on en mette 300 tonneaux, il eft clair que le vaiffeau , au lieu de conferver le tirant d’eau qu'il devoit avoir, enfoncera jufqu'à ce qu'il ait déplacé un volume d’eau égal à ce plus grand DES VAISSEAUX. - 27 poids de 100 tonneaux , ce qui fait à peu-près pour un pareil vaifleau une tranche ou excès de tirant d’eau d’en- viron fix pouces ; ainfi ce vaiffeau qui devoit avoir cinq pieds de batterie , n'aura plus que quatre pieds fix pouces , & ne fera plus en étac de fe fervir de fa première batterie, pour peu que la mer foit grofle , ce qui le mettroit dans le cas d'être pris par un vaifleau beaucoup plus petit. Ce n'eft pas la le feul inconvénient; ce plusgrand tirant d'eau de fix pouces ayant augmenté d'autant la colonne” d’eau que fa proûe doit refouler , fa marche doit être d’au- - tant plus retardée, que fon poids à augmenté de 100 ton- neaux. Il doit, par la même raïfon , trouver plus de difi- culté à fe mouvoir de côté, à virer de bord, & à obéir à fon gouvernail dont la partie haute ne fait pas grand effet. La ftabilité de ce vaifleau ne devant exiger que 200 tonneaux de left, l’augmentation inutile de 100 tonneaux doit rendre fes mouvemens trop durs & trop vifs, pour pe pas fatiguer le corps du vaiffeau , & rompre fa ma- ture. Enfin, fi, en mettant ces 100 tonneaux de left de plus, on les place au hazard, & de façon que le vaifleau n’en- fonce pas parallèlement au premier tirant d’eau projecté, il doit en réfulrer un changement total dans la figure des lignes d’eau, dans la poftion du centre de gravité, de rotation , du meta-centre, du point vélique , ce n’eft plus le même vaifleau, & routes les combinaifons du Conftruc- teur deviennent inutiles. 3 Si , au lieu de mettre 00 tonneaux de left de plus, on mettoir 100 tonneaux de left de moins que celui trouvé néceflaire , le vaiffleau en feroit d'autant plus léger & plus flottant, & il s’en faudroic d'environ fix pouces qu'il n'eût le tirant d’eau projetté 5 c’eft-à dire , qu'au lieu d’avoir £inq pieds de batrerie, il auroit cinq pieds & demi: mais alors cette plus grande hauteur de batterie & de tous les ; D 2 28 MÉMOIRE SUR L’ARRIMAGE autres poids , élevant le centre de gravité , & augmentant la bricolle , & la quantité de left n'étant pas fuffifante à la ftabilité du vaifleau , il ne porteroït pas la voile, & ne fçauroit naviguer avec fürcté. La réfiftance du fluide fur la proûe feroit mofns forte, à la vérité; mais celle du côté n’étant pas proportionnée à [a hauteur des œuvres mortes, le vaiffeau dériveroit beau- coup , & fenciroit moins fon gouvernail qui enfonceroit moins dans l’eau ; & fi ce vaifleau , devenant plus flottant avec cette moindre quantité de left, n'avoir pas confervé le parallelifme projetté, il pourroit, outre Les inconvé- niens de ne pas porter la voile & de dériver beaucoup, très-mal marcher , très-mal gouverner , & avoir des mou- vemens de tangage fort durs. Il pourroit fe faire que le même vaifleau.fair & combiné pour porter fix mois de vivres, ne fût armé que pour trois mois ; ce qui feroit (la quantité d’eau reftant la même) une différence ou un déficit de 200 tonneaux, dont le vaif- feau deviendroirt plus flottant , & pourroit produire les effets que je viens de citer, de ne pas porter la voile, de dériver beaucoup, &c. Pour remédier à ce défaut de poids, & donner à ce vaifleau , qui n'auroit que trois mois de vivres, le même tirant d'eau, ques’il avoit fix mois , il faudroit aügmenter fon left d'une quantité égale aux poids des vivres fuppri- més ; mais comme ce left feroit d’une pefanteur fpécitique plus grande, & beaucoup plus avantageufement placé que les vivres, fon centre de gravité feroit beaucoup plus bas, augmenteroit [a ftabilité du vaifleau, & cauferoir des mouvemens fort durs qui pourroient faire rompre la mâ- ture. : Pour obvier à ces inconvéniens, il faudroit avoir atten- tion de choifir ce nouveau left le plus léger qu’il feroir poffible, de fupprimer même le left de É qu'on avoit jugé néceflaire à la ftabilité du vaiffeau , pour le rempla= DES, VAISSEAUX. 19 cer en pierre, d'élever tour Le left autant qu'on pouttoic fur les ailes, ou fur le bout des varangues , & de faire enforte que cette plus grande quantité de left ne fit pas trop baifer le centre de gravité commun du vaifleau par rapport au meta centre, ou n’augmentât pas trop la fabi- lité : c’eft là le moyen de faire un bon arrimage, & de tirer le meilleur parti d'un vaifleau, dont le plan a été bien fait & bien combiné. È Ceci doit s'appliquer aux-vaifleaux de Ja Compagnie des Mmdes, comme aux vaifleaux Marchands; un bon Conf- tructeur, connoiffant l’objet du Commerce , & la defti- nation de chaque vaifleau , combine l’efpèce & le poids des matières qu'il doit porter, & lui donne des capacités, un tirant d'eau '& une figure relatives ; mais fi on changeoit lefpèce & la pefanteur fpécifique des marchandifes ou effets que ce vaifleau devoit porter, il faudroir augmenter, diminuer , cu fupprimer la quantité de left, relativement à la différence du poids de ces marchandifes. Si on chargeoït , par exemple, un vaifleau de canons, de mortiers, de fer ou de plomb, dont la pefanteur fpéci- fique feroit confidérablement plus grande que celle des matières qu’il devoit porter, il ne faudroit pas remplir fa calle de ces canons, fer, &c; parce que, leur pefanteur érant beaucoup plus forte que leur déplacement, le vaif- feau couleroit bas fous ce chargement ; mais il faudroit en mettre feulement une quantité d’un poids égal au port du vaifleau, en tonneaux de poids , qu'il fauc bien diftinguer du tonneau d’arrimage. Le tonneau de poids eft comme nous l'avons dit ci-deffus de 2000 livres, & fert pour ex- primer le poids du déplacement d’eau du vaifleau , ou le poids de fa charge. Le tonneau d’arrimage eft de 42 pieds cubes , & fert pour mefurer l’efpace , ou ce que peur con- tenir la calle , l’entrepont , &c. du vaiffeau. Comme certe efpèce de chargement en canons, &c. feroic beaucoup plus lourd , tiendroit moins d'efpace dans la 30 MÉMOIRE SUR L’ARRIMAGE calle , & auroit fon centre de gravité beaucoup plus bas que le chargement ordinaire , la ftabilité du vaifleau en ferait confidérablement augmentée , & fa cocque, ainfi que fa mârure feroient en grand danger par la vivacité des mouvemens du rangage & du roulis ; c'eft ce que l’expé- rience ne prouve que trop fouvent pour de pareils arrima- ges faits au hazard. On a jufqu’aujourd’hui regardé comme impolfble ou très-difficile de faire un bon arrimage de cette efpèce. Le für moyen d'y réuflr eft de répandre & d'élever tout ce chargement qui occupera peu d'efpace dans la calle, de façon que fon centre de gravité fe trouve à-peu-près fem- blablement placé par rapport à la longueur du vaifleau, & à la même diftance au-defflous du meta-centre, que devoit être le centre de gravité du chargement ordi- paire. d On peut fe fervir de plufieurs moyens pour élever ce chargement ou ces canons audeflus de la carlingue ou du fond de la calle; je préférerois un grillage de boisde fapin le plus léger, où je pratiquerois le plus de vide, aux autres matières , comme fagors, billettes, &c, qui fe compriment & fe broyent dans les mouvemens du vaifleau , & ne pro= duifent plus leur effer, DES VAISSEAUX. 31 \ GARE PRE AL E Des inconvéniens qui doivent réfulter des méthodes ufitées dans les Ports pour lefler & arrimer les Vaiffeaux, & des remèdes qu'on © pourroit y apporter. On a penfé, & beaucoup de perfonnes penfent encore - aujourd’hui dans les ports qu’il n’y a aucune régle certaine pour bien arrimer les vaiffleaux. Chacun veut arrimer à fa fanrailie ; en général, on veut une trop grande quantité de left pour naviguer avec plus de fûreté, & mieux porter la voile, L'un veut plus de left de fer & le placer deffus , ou le plus près de la carlingue ; l'autre veut plus de left de pierre, & penfe que le left de fer doit être plus élevé & placé fur l'extrémité des varangues ; qu'il doit être répandu dans la calle de telle ou telle façon; que le vaiffeau doit être mis fur ce left à la différence qu’il avoit lorfqu’il à été mis à l'eau; que cette même différence du tirant d’eau ouaffette doit lui être confervé, quand il eft chargé. . Toutes ces différentes opinions prouvent la difette des principes, & que c’eft le hazard qui fait faire prefque tous les arrimages des différens ports; doit-on s'étonner des inconvéniens qui en réfultent? On voit le même vaifleau dans une campagne avoir. d'excellentes qualités, les mouvemens doux, une belle batterie , bien gouverner , bien marcher , bien porter la voile, & dans une autre campagne avoir toutes fortes de défauts. 32 MÉMOIRESUR L'ARRIMAGE On voit deux vaifleaux faits fur le même plan, fur le même gabarit ou fur le même moule, partir enfemble, & avoir des qualités routes différentes : doit - on s’en éconner , s'ils font différemment arrimés & leftés, & s'ils n’ont pas le même tirant d’eau & la même affiette ? On voit enfin des vaiffleaux rompus, arqués ou déliés avant le rems, parce que pour leur donner une affierte ou une différence de tirant d’eau qu’ils ne devoient pas avoir, an a chargé l’une ou l'autre de leurs extrémités de left ou autres poids, ce qui à rendu les mouvemens de rangage trop durs , & faic rompre les parties furchargées. Voila les inconvéniens trop fréquens d’un arrimage fait au hazard , & fuivant le caprice de quelqu'un qui ne con- noît pas le vaiffeau qu’il arrime, & qui fe croic affez favant, & a trop d'amour-propre pour confulrer ou écouter les avis d’un habile Conftruéteur , qui gémit de voir fon vaifleau mal arrimé , & toutes ces combinaifons infructueufes. Je ne dois pas diffimuler que c’eft autant la faute des Conftruéteurs que des Marins ; fi ces préjugés fe fonc intro- duits dans les ports, on faifoit autrefois, & l'on fait encore aujourd’hui, même dans les Ports du Roi, la plupart des vaïfleaux au hazard , 1l n’eft pas étonnant qu’on les arrime encore au hazard. Le feul & plus fûr remède, qu'on puifle apporter à ces inconvéniens, eft de ne confier la conftruction des vaif- feaux qu’à des Conftruéteurs inftruits , qui foient en état de combiner & calculer leurs plans, comme je lai expli- qué dans le Chapitre précédent , & de charger ces mêmes Conftruéteurs de veiller dans les ports à l’arrimage de leurs vaiffeaux , afin qu’ils foienc fairs relativement à leur projet, ou à la différence deftinarion de ces mêmes vaif- feaux. Il conviendroit auffi d'engager les Marins de fe confor- mer aux inftruétions qui leur feroient données par les Conftructeurs (DES VAISSEAUX. 33 Conftruéteurs des vaifleaux qu’ils commanderoient, peur leur conferver, dans le cours de la navigation, autant que la confommation des vivres, de l’eau, & des autres muni- tions peuvent le permettre, le tirant d’eau le plus paral- lèle à celui qu'iis avoient en partant , & le plus avanta- geux à leurs bonnes qualités, & à a douceur de leurs mouvemens. On doit juger, par tout ce que je viens de dire, de quelle conféquenceil eft, pour le bien du fervice, d’avoir des Conftruéteurs inftruits ; ce n’cft que par leur moyen que le Roi & la Compagnie des Indes peuvent réufir à avoir d’excellens vaifleaux , & à les garantir des acci- dens qui peuvent provenir d'un mauvais arrimage , qui contribue autant à leurs mauvaifes qualités, qu’à leur peu de durée. Il feroit même à defirer, pour le bien de l'État & du Commerce, que la conftruétion des vaiffleaux Marchands fâc confiée à leurs foins, & non à des Charpentiers ipno- rans , qui font au hazard les vaiffeaux qui demandent le plus de combinaifon , & dont l’arrimage ne peut qu'être auf fait au hazard. Ces vaifleaux Marchands n'ont ni marche, ni qualités, tirent beaucoup d’eau , ont befoin de beaucoup de monde pour manœuvrer , & font fürement pris en tems de ouerre , dès qu'ils font ap- perçus. On pourroit faire des vaifieaux de même port , qui ne couteroient pas plus cher, navigueroïent avec moins de monde, tireroient beaucoup moins d’eau, auroient d’ex- cellentes qualités, & marcheroient comme des frégares. Ces vaifleaux, en tems de paix, procureroient , par de plus courtes traverfées, plus de profit aux Armateurs, & la fanté aux équipages : en tems de guerre , ils approvi- fionneroient plus fürement les Colonies, feroient le Com- merce avec moins de rifque, & conferveroient à PÉtac, Prix del’ Acad. Tom. 1X. E 34 MÉMOIRE SUR L’ARRIMAGE par leur marche fupérieure , des Matelots, dont lefpèce eft auffi précieufe que rare , parce qu’ils font prefque tous pris dans les mauvais vaifleaux Marchands & Corfaires mal conftruits, & périflent dans les prifons. Ce que je dis ici, fur la meilleure conftruétion des vaiffeaux Marchands, n'eft point une idée, ni un problème à réfoudre. il eft des Conftruéteurs quien ont démontré la poffibilité & la vérité, tant pour les vaifleaux de la Com- pagnie, que pour les Auttes & bâtimens de tranfport, qu'ils ont conftruits pour des particuliers auxquels ils ont fçu procurer une marche fupérieure avec les qualités de porter beaucoup, de tirer peu d’eau , & de naviguer avec eu de monde. L'on doit fencir le prix de pareils Conftructeurs auf utiles que favans, pour porter à ce haut degré de perfection un art auf difficile que n'ceffaire, & l’on ne devroit rien épargner pour les encourager, & en augmenter le petic nombre, en diftinguant leur état, & rétabliflanc les Écoles qui ont formé d’auili excellens fujets. IL peut arriver néanmoins qu'on ait à arrimer un vaif- feau fait au hazard, & dont on ne connoît ni le plan, ni la ftabilité, ni l’afliecte ; il faut alors que l'intelligence des Conftruéteurs & Oficiers qui doivent arrimer ce vaiffeau, fupplée à l'ignorance de celui qui l’a fait. On peut avoir à-peu-près la fioure de la carène, en la mefurant à diffé rentes hauteurs & largeurs, déterminer en conféquence la quantité de left , le chargement, & le tirant d'eau que lon eftime le plus avantageux; mais ce n’eft que par les obfervations & les expériences que l’on doit faire dans le cours de la navigation, que l’on peut porter cer arrimage à fon point de perfection. Sion s’apperçoit à la premiere campagne que ce vaiffeau ne porte pas bien la voile, il faudra augmenter la quan- tité de leit , ou bien lui donner un left d'une pefanteur DES VAISSEAUX. 35 fpécifique plus forte ; s'il a des mouvemens trop durs , il faudra au contraire diminuer fon left, ou fupprimer celui de fer pour le remplacer en pierre; s’il ne gouverne pas bien, il faudra changer fon aflierte ,; en diftribuantc autre- ment fon left, ou fon chargement. Enfin, il faudra fe fer- vir, pour corriger l’arrimage de ce vaifleau, des principes établis dans ce Mémoire , & des défauts qu’on aura recon- nus pendant le cours de fa navigation, qui peuvent pro- venir, & de la mauvaife conftruétion du vaifleau , & de ce qu'on n’avoit pas d’abord trouvé Pafhette qui lui con- venoit. C'OANNC L W.S TI ON. Les différentes Méchodes que j'ai données, pourarrimer dans.différens cas, & avec des chargemens diffirens, les vaifleaux du Roi, de la Compagnie des Indes, & les vaif- feaux Marchands, fonc applicables, & peuvent convenir aux vaifleaux de routes fortes de grandeurs, & de diffs- rentes efpèces Elles m'ont paru fuffifantes pour faire connoître le poids & la diftribution des matières qu'on y emploie , l'effet qu’elles produifent fur le fillage, fur les lignes d'eau, fur les propriétés de bien gouverner, de bien porter la voile, d’être doux à la mer, & fur les autres qualités d’un vaif- feau , les inconvéniens dont les méthodes ufitées dans les ports font fufcepribles, & les remèdes qu’on peut y ap- orter. L'on peut en conclure que la feule & bonne façon de bien arrimer, & lefter un vaifleau , eft de connoître fon plan, fes capacités, fa ftabilité & fon afliette, de Les com- parer aux poids qu’il doit porter , & déterminer en confé- quence la diftribution de fa charge , & la quantité , lefpèce & la pofition du left qu’on doit lui donner, afin que cha. que chofe étant à fa place, le vaifleau ait le tirant d’eau, 36 MÉMOIRE SUR L'ARRIMAGE, &cC. Ja hauteur de la batterie , & toutes les autres qualités pros jettéess c’eft - là l'ouvrage du plus habile Conftruéteur : Perfonne ne peut mieux que lui connoître fon vaifieau ,& ME de : ri ui [ui convient, l’arrimage qui lui convient à Hoc opus hic labor eft. Je pourrois donner ici les méthodes de calculer les capa- cités, la ftabiliré & l’afieire du vaiffleau ; mais je ne ferois que répéter ce qu’onr écrit à ce fujec M Bouguer dans fon Traité du Navire, & M. Duhamel dans fon Traité de Conftruction. L'on trouvera dans ces deux excellens Ouvrages, non- feulement ces méthodes; mais encore tous les calculs les plus difficiles que doit favoir le meilleur Conftruéteur, & qui ont fervi de bafe à ce Mémoire ; je ferai crès flatté s’il peur être utile aux Marins , & remplir les vues de l’Aca démie. HERUY: ATTURAgE des larsseaux PL, 1° | Arrimage des Taxsreaux PL. 2. Arrümage Der Tainreaux Pl.a Renvoy A. Grand Hat B Mat de Miraine Plan en Lost Ou lairseat Utltier de 64 Canon: Armée en1762 2or0 Coupes la longueur du Taisseau lAtier D. Ar de Beapre | Ær op: vmpe De gr > aux Crble: > UT LzOrS au mt Ou Taursreæu? e Misrane #1. e. Grand Bec =. Ecoutille | p. Joubraw Voilier S Joue avé alfa h. Sox ax Pibt 1% Plan des Bariques de Vsseau L'Alker. RÉ mn DIE 1. Jules au Charpentier »-Haga”aur moufle poulies & k Jozk aux Gardes Marines 1. Jout au Charbon | m.Joute au Carurgien | n.Jou& ax Capuune o. Joute-aur Lequmes p- Care du Capiune q Joute au Pan r Chambre aux Téiles s. J'oute aux Poudres t. Caissons à Poudre | _Arrimage des Täisreaux PL3. ü ZE = z COL P TT PP TO LL LIL LUZ Arrimage Ver Taisreaux PL.3 1" an en Lest On lisseau Le Rintasrue De 62 Canons = 7 17 Plan des Barigues Arme er 1760 7 Barquear de lere canons pla chpompe-2 ‘you aux Cables aux ? d, Cables, une barguée en Boulir dans Br vues re Depuur épompe? dans Ur Calle? }, au Vin Arrunage des Vaisseaux PL. 5. Arrimage des Varrseaux PL. 6. Le Arrimage des Vaisseaux PL. 6, Tlisseaux , Prex de 1768. Time IE. P1. Fosse. aux Cabls arrimee Calle à L'eau A] 22 gran de 7 À Calle arrinee.. Fig: 24 Calle Zu LC: “ou sont Zs vwres pour l2. la vérité de ces conféquences m'a toujours été confirmée par l'expérience , dans le cas où des vaiffeaux paflablement conftruits, ont été trop callés fur l'avant. Lorfque le vaifleau fe trouve trop chargé fur l'arrière, il en réfulce des effets tour contraires; le point vélique baiffe parce que la proue, en fortant de l’eau , fe préfente plus obliquement au fluïde , & la direction de limpulfion abfolue fur la proue coupant la verticale au centre de gravité de la furface de flottaifon ( qui a changé ainf que celui du vaifleau, un peu plus ou un peu moins,en s’approchant de l'arrière de C en A ) montre le point vélique bien audeflous du centre d'effort des voiles. Le vaifleau fe trouvant alors trop de voilure, incline faci- lement fur le côté, & diminue par conféquent fa difpofi- tion la plus avantageufe pour divifer le fluide , en même temps que les voiles d'avant acquierent plus de puiflance, à caufe de leur pofition plus éloignée du centre de gra- viré ; ainfi le navire devient lâche, & on eft obligé de fe fervir continuellement du gouvernail & des voiles de l'arrière pour Le rappeller au vent ; c’eft encore ce qui m'a été confirmé par l’expérience, Ces obfervations ne fonc fenfibles dans les grands vaifleaux que lorfque la différence de leur tirant d’eau le plus favorable eft audeflus de fix pouces, car la plupart du temps fi elle eft audeffous, il ne fe fait pas un grand chan- ement dans les qualités du navire. Il réfulte de tout ce que nous venons d'expliquer, qu'il, n'y a qu’une feule ligne d’eau favorable pour la plus grande vitefle du vaifleau , de quelque figure qu'il foit, & cette ligne d’eau doit être connue & déterminée par Le calcul DU NAVIRE. 17 du plan pour la plus avantageufe de toutes celles qu’on peut lui donner fous charge ; c’eft aux Conftruéteurs à 1a détérminer même avant de mertre le vaiffeau fur chantier; car c’eft celle qui doit aufñli leur fervir pour fixer Le plus ou le moins d’élévation de mâture , en déterminant le centre d'effort des voiles à la hauteur du point vélique donné par la ligne d’eau la plus avantageufe de la carène fous charge , pour bien gouverner, marcher, & porter la voile dans les routes obliques. Jobferve que quand je dis vaiffeaux fous charge, je fuppofe le vaifleau de guerre armé & prêt à faire voile pour combattre ; & le vaifleau marchand dans le même cas fous cargaifon complète. Les vaifleaux jufqu’à préfent n’ont jamais été mâtés auffi parfaitement qu'ils auroient pu l'être, puifque les Conftruéteurs fe font pour ainfi dire fait une loi.de s’écar- ter de plus en plus des vrais principes, en élevant dans ces derniers temps la mâture plus qu’elle ne l’avoit éncoré été, quoiqu’elle für déja trop haute; ainfi Le centre d’effort des voiles a conftamment été audeflus du point vélique, ee qui fait qu'on a vu quelquefois des vaiffeaux avoir plus d'avantage , lorfqu’ils ont été plus chargés fur Le nez que ne le demandoit leur meilleure ligne d’eau de viteffe en charge ; mais nous fommes en état! par lé rranfport d'une partie du left mouvant de l'avant à l'arrière de fairé baiffler ou monter le point vélique de quelque chofe; ainfi on peut trouver une pofition plus avanrageufe pour la marche, dans l’état aétuel de la mâture que celle que devroit naturellement avoir le vaifleau s'il étoit bien mâté ; car il por fe faire qu’elle foir plus analogue à fa mâture actuelle, que fa vraie poftion , dans le cas où il feroit mâté parfaitement , ne le feroit avéc lés mâts trop élevés qu'on lui donne toujours; d'où il réfulte que le vaifleau n’eft pas à beaucoup près dans fon état de per- fection, quelque bien chargé qu'il foir. D 2 28 DE L’ARRIMAGE Il ne refte plus qu’à voir les Conttructeurs fe donner fa peine dans la fuice de chercher, ce qui n’eft pas difficile, la ligne d’eau de flouaifon la plus avanrageufe pour allier & déterminer routes les qualités des vaifleaux qu’ils con- ftruiront; enfuite qu'ils ayent le courage de mertre tout préjugé de routine à part , en mâtant felon le point vélique de cette ligne d'eau, difpofant en même temps l'effort latéral des voiles en équilibre exaét autour du point où limpulfon de l’eau fur la proue coupe l'axe du vaifleau dans la route oblique ; & nous aurons certainement des vaiffeaux qui par ces difpofitions favorables de la mâture arfaite, & celles que l’on pourra donner à leurs arrimages , feront dans l’affiere de leur plus grande viteffe, que l'on trouvera , à ce que je préfume, bien au dela de ce que nous pouvons avoir vu jufqu'à préfent , à coupe de carène égale & femblable, J'ajoûce que, comme les qualités du navire ne dépen- dent pas feulement de la perfection de fa mârure & de fon chargement , il faut encore lui procurer la durée (9), en, lui donnant une forme qui , en divifant bien le fluide, le rende doux à la mer, en même-temps qu’on le rendra folide par la force de fa charpente ; c'eft-à-dire , qu'il tanguera peu , & fa mâture ne fatiguera pas , non plus que fes liaifons bien placées ; fi fon mouvement eit doux, fon fillage ne fera point interrompu & fa vîtefle fera uni- forme alors, ce qui eft le but du bon arrimage & de ce que je me fuis propofé dans cet Ouvrage. (9) La durée des vaiffeaux doit être un objet principal du Conftruéteur; les vaifleaux que l’on coñftruit aujourd’hui ne paffent pas huit ans fans être refondus , & il en coûre autant que pour en faire de neufs. On s’eft fauflement imaginé que la légereté prouvoit la plus grande vitefle ; fans faire attention que c’eft la coupe la plus favante & la plus propre à divifer le fluide & à rendre ke vaifleau doux dans fes mouvemens, quelque folide qu'il fois, pu NAVIRE. 29 Objeélion à la méthode que je prefcris pou rl a meilleure façon d'arrimer les vaiffeaux. Les extrêmités du vaiffleau étant plus légères que leur déplacement d’eau , tendront continuellement à s'élever; ainfi la lame pourra les mettre en mouvement avec plus de facilité, & les élever davantage par fon impulfon, ce qui fera augmenter confidérablement la vivacire & La fecouffe du rangage , parce qu’elles tumberont de plus haut. Certe objettion, qui m'a été faite par un Marin con- fommé , tombe cependant d'elle-même , ou je me trompe fort ; car les deux extrêmités du vaifieau doivenc être également légeres , & déplacer un plus grand volume d’eau que leur poids felon notre principe ; ainfi elles cen- dront l’une & l'autre à s'élever par la poufiée verticale qui agit continuellement; deforte que quand le choc de la lame viendra ajoûter fon effort à cette difpofñtion con- tinuelle à s'élever ; l’autre partie, qui ne fera pas cho- quée , réfiftera de plus en plus à plonger, & s’oppofera par eonféquent à l'élévation de la partie fur laquelle la lame agit ; ainfi l’avant ne cédera pas avec plus de faci- lité que s’il étoit plus pefant ; mais fuppofons qu'il s'éleve effeétivement plus haut, il doit retomber dans ce cas avec plus de vicefle, mais la mafle eft moindre ; d’où il eft aifé de conclure que le moment de cette partie plus élevée eft moindre que celui qu’elle produiroit fi elle retomboit de moins haut avec plus de mafle. Toutes chofes font a-peu-près égales jufqu’à préfent, mais je trouve enfuite plus d’avantage à rendre les extrêmités lésères dans le cas où un coup de mer de l’avanc pañle par-deflus le vaifieau ; car alors la tendance des extrè- mités à s'élever fervira, dans cet inftant critique, à 30 DE L'ARRIMAGE débaraffer le vaiffleau de deffous la colonne d’eau qui le | furcharge ; ce qu'il ne pourra jamais faire avec autant | de prompticude fi fes extrêmités font plus pefantes que | leur déplacement d'eau. Un Auteur a avancé néanmoins | que cela devoit être ; mais c'eft d’après d’autres principes que je ne trouve pas convaincans. | FIN. | RECHERCHES Z SUR LES INÉGALITÉS DES SATELLITES DE JUPITER, CAUSÉES PAR LEUR ATTRACTION MUTUELLE. PIÈCE qui a remporté le prix propofé par J'ACADÈÉMIE ROYALE DES SCIENCES de Paris pour l'année 1766. Par M.DE LA GRANGE, de l’Académie de Berlin, de la Société Royale des Sciences de Turin, & Affocié étranger de l'Académie Royale des Sciences de Paris, Prix de l'Académie, Tome IX, À De: 1H IHLXS (At LEIMOteT LAURE TABLE Des Tisres contenus dans cette Diflertation: C HAPITRE I. Formules générales pour °le mouvement des Satellites de Jupiter. . . . . Art. I. CHAPITRE II. Détermination des forces perturba- Rens dé Saralirens 1 PARLAIT Ce IX. CHAPITRE III. Calcul des perturbations des Sa- THEN AREA ITU ES RENE SES XXIV. ST. Lrprières formules du mouvement des Satellites en MER FLN DIRE RORRETS XXLV. S. IL. l’uleurs numériques des coéfficiens des formules LL RTS: AMI RON TS RE XLIII. S. 3. Formules des rayons veteurs & des longitudes vraies des Satellites de Jupiter, par rapport au plan de Porbite de cette Planète... :.,,.... XLIX. S- 4. Où l'on donne Les inégalités des Satellites qui dépendent de leurs configurations , & qui ont lieu au LIGNE ET CES PRReE EEE EL A RUES LIT, S. s. Comparaïifon des formules précédentes avec les obfervations , & conféquences qui en ré[ultent par rap- port aux maffes des Satellites. . , ..,... EVII. CHAPITRE. IV. Suite du calcul des perturbations LT TT ERA SRE A ah 0 ES AUTRES LXXV, S. 1. Premières valeurs du mouvement des apfides & des _ nœuds des Satellites... ......... LXXVIIT, A2 Ë Tasce des Trrres &e. $. 2. Où l’on montre la néceffité d’avoir égard dans les calculs de l'équation du centre & de la latitude, à quelques termes de Pordre n , des équations (G) & PRE AIRES ri tte ... LEXXVIE. £. 3. Où l’on donne une nouvelle méthode pour intégrer les équations précédentes. . ....... etats DC IL) £. 4. Sur les inégalités des Satellites qui dépendent de la période de 12 ans. . ...... MNT CXVE S. s. Des durées des éclipfes des Satellites. ,. CXIX: S. 6. Des inclinaifons G des nœuds des Satellites. CXXV Fin de la Table, us PER ANNE A Ha % ŒTITEZ EN: à Fe x LE == RRÉFTEFETE. Fr ** # Hs par + FRÉÉEE DÉÉÉTRE eh me rs (7 L TE + EN TE + en Ag AN hp = x x Re RE Euh es SRess ii s 7 3 HE er | ne NN has ADN FAN È fee feofe tee be ge 4e ee PE Std D Rs rit ME ir ester RES nr E x: LS ester A-X| TT T TE" ee ns ra F4 sa EN ee RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS D'E:S SATELEUITES DE JUPITER; CAUSÉES PAR LEUR ATTRACTION MUTUELLE. Multüm adhuc reftat operis Ser.|Epifl. 64» QG CH AP. TR EE Formules générales pour le mouvement des Satellires de Jupiter, ARTICLE PREMIER Sivr nommés : Le rayon veéteur de l'orbite d’un fatellite quelconque projettée {ur le plan de l'orbite de Jupe. em La tangente de la latitude du fatellite par rapport à ce æmÊme planes erieess p2 6 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS La force que Jupiter exerce fur le fatellire à la diftance r….F On aura la diftance du fatellite au plan de l'orbite de Japitehs: 201.2, Les der 0 AE. 2e OP Donc la diftance du fatellite au centre de Jupiter ER Rte en a loge dc ae + NAN TE Par conféquent la force, par laquelle le fatellire eft F Cette force peut être regardée comme compofée de deux autres. pouffé vers Jupicer fera &.,,.,..,,:.,0, 400 F L'autre perpendiculaire au plan de l'orbite de Jupitee , x Fp &'égalea +... rites rite teste n Or on peut en général réduire les forces perturbatrices du fatellite À trois forces uniques, dont La premiere que. j'appelle... ne foit parallèle au rayon r. Larfeconde que appelle... 24 240 CNED foit perpendiculaire au rayon veéteur, & parallèle au plan de l'orbite de Jupicer, La troifière: que japtélle 4, ALLO TEE foit perpendiculaire à ce même plan. Donc le fatellite fera folliciré dans les directions dont L'une parallèle au rayon veéteur & égaleà … 15 parlons, par les forces ———— PAR 5 nous p »P es tr ; Dr Ets dont les deux premières déterminent le mouvement que le fatellite doit avoir dans le plan de l'orbite de Jupiter, ou pour mieux dire, parallélement à ce plan. IL Cela pofé, foir le tems écoulé depuis le commencement DES SATELLITES DE JUPITER. 7 Mouvement. AURA LL. IS Er angle décrit par le rayon durant ce tems . ... ’elément du tems ds conftant, c’eft-à-dire , dd —0. On aura pour la vitefle circulatoire du relire , parallé- ‘ À : rdp r lement au plan de l'orbite de Jupiter — » d'où réfulre la 4 r-dp® rdp? force centrifuge ==" , aquelle étant retranchée de 2 rdr° dt” F 2,1 é la force Far tA , on aura la véritable force qui tend P'}> à diminuer Le rayon r. Donc, par le principe des forces accélératrices, on aura RE ES R Ut CAN dt= TA PE)S dt Maintenant on faic que, fi la force perpendiculaire Q étoit nulle, le rayon r décriroit des aires propurtionnelles aux tems, de force que l'on auroit ; à eaufe de dr conftant, d.(r°d@) 2 ment à 7 l’efpace Qd# pendant le tems ds; donc le feéteur —0 ; mais la force Q fait parcourir perpendiculaire- 2 rdv : r Qrdr ‘ — croîtra pendant ce temps de la quantité ee: par 2 2 conféquent on aura l'équation d.(rd@)—Qrdr, dont l'in tégrale, en ajoutant cdr, eft r*d@ = cdt + dif Qrdr; d'où l'on cire de __ c+fQrdt : El nr LE RP MMM ET ne dt Les Enfin on aura, en vertu de la force perpendiculaire au & (pr) Fp dt? 1 (ip) plan de l'orbite de Jupiter, — d'p 2 dpdr pd?r Fp qu bien de oi on rde® r(1+-p°)À À F do? RTE en mettant pour © “ya valeur = — — ner \ 2 à RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS de l'équation (A), & eflaçant ce qui fe détruit, on autæ équation fuivante : d'r dp2 zdpdr P—Rp — +p — + LS dr?} de rdt? F = 9 Ne. ie 2 III Les équations (A), (B}), (C) donneront r, op en z,ce qui fufhra pour faire connoître le lieu du fa- tellite à chaque inftant. Que fi on vouloit connoître la figure même de l'orbite qu'il décrit, il faudroit éliminer des équations ( A }, (C) l'élément dr. Or, de l'équation (B}); on tire, après quelques réductions fort fimples, 1? d® . dt ; donc fi on fubftitue cette valeur dans Ve+2fQr;de (A), (C) ; & qu'on fafle pour plus de fimplicité , +=#» on aura, en prenant d@ conftant , 1 F 1+- 2 24R LAB E dur D ape ( P°) r QZ Orge o MAT a EUR ep c?+-2/Qr'd@ ‘ dp n(P—pR+QE) ph TT =D uses ser (6 c c°+-2/0r de Suppofons pour un moment que les forces perturbatrices » »/ » 4 d’p x P,Q,R foient nulles, onaura par l'équation (c), a PES) dont l'intégrale eft, comme on fait, p=G fin.@+Hcof.g » ou bien p=æAfin:(oe) ; À & € étant deux conftantes ar= bitraires. Cette dernière expreffion de p fait voir que l'orbite eft toute dans un plan fixe ; dont la pofition dépend des quantités A ,:, qui expriment, la première , la tangente de l'inclinaifon; & la feconde, la longitude du nœud: Retenons maintenant cette même expreflon de p, & fuppofons, à caufe des forces perturbatrices ,A&ewvariables, on aura dp=—dA fin (ge) a cof(e-—c)(dg—de) or. afin . 1 f que le corps puille être regardé comme fe mouvant réelles ment DES SATELLITES DE JUPITER 9 ment dans le plan déterminé par À & €, il faut que la valeur de dp foit la même que fi ces quantités demeuroient conftantes, c'eft-à-dire, que dp==Acef{g—«)d@ ; donc AA fin (g—c)}=à cof(g—<)de; par conféquent,à caufe de Ade d°p 7 d? do conftant, ——— Lt AM RE po A ? ftant, ni À fin. (@ À au vr » À 7: Ade Jin(e—<)dp équations du premier degré, qui donneront à & £ en @5 d’où l’on connoîtra la variation de l’inclinaifon de l'orbite, & le mouvement de la ligne des nœuds. C’eft ainfi que la plupart des Géomètres en ont ufé jufqu’ici dans la re- cherche des orbites des planètes ; mais il nous paroît plus court de chercher directement la latitude p par une feule équation; d'autant plus que les quantités À & « s'en dé- duiront plus aifément ; car puifque p= À fin.(q—c); & . On réduira ainf l'équation (6) ci-deflus à deux q 2 dp F #7! dp? Je A C0f.(®—<) > ON aura 7 EE à & On pourroit faire une pareille transformation fur Péqua- tion (a); ce qui réduiroit l'orbite à une ellipfe dont l'excentricité , & la pofition de la lignée des apfides feroient variables , ainfi que M. Newton l’a pratiqué par rapport à la Lune. En efler, fion fuppofe d’abord Q, R,&p=—0o, < : d'u Æ. Lex tr l'équation (2) devient PE RÉ dont l'intécrale, F à étant mife fous cette forme #— — = c0/(g—«) , donne - à : c? . : une ellipfe dans faquelle — eft le demi-parametre, _ l’ex- centricité, & « la longitudeide l’apfide inférieure. Qu'on regarde maintenant p & « comme variables, & qu’on fup- pole, par une raifon analogue à. celle que nous avons Prix de l’Académie, Tome IX, 10 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS expliquée ci-deflus, du=——p fin. (g—«)d®, on trouvera d'u F pda — —4\da—= = es dpcof(@ a)+pfin.(® a)da 9, & + u PP Ainfi l’équation (2) fe réduira à deux équations du premier degré d’où l’on tirera aifément p & «. | Live Fr "Les obfervations nous apprennent que les inégalicés des mouvemens des fatellites de Jupiter fonc crès-perites, auf bien que les inclinaifons de leurs orbites , par rapport à l'orbite de cetre Planète ; d’où il fuit que fi on nomme Laivaleur moyenne de nel sers 01 le d® . 3 La valeur moyenne de er c’eft-à-dire la virefle angu- BE MOYENNE. EN a es de SRE & qu'on dénote parzun coeficienr très peric , & par x, 7, 2, des quantités variables , on aura les expreffions fuivantes 7—=a(1+2x) Q—= I +72) P—=#2Z d : où l’on remarquera que les valeurs de x & de _ ne doivent cohtenir aucun terme conftant ; autrement 4 & y ne : d feroient plus les valeurs moyennes de r & de = ce qui ft contre l’hypothèfe. V. Subftituons maintenant ces expreflions de r, ®,p dans les équations de l’art. II, & négligeons les rermes qui fe trouveroient mulripliés par des puiïffances de # plus hautes de #*, parce qu’une plus grande exactitude feroit fuper- ue dans le fujec que nous traitons, nous changerons s DES SATELLITES DE JUPITER. 1È d’abord l'équation (A) en celle-ci: dx F à i ha = —(1—inx + 3x) (1 int) +R d dÿ* ; — Aa(1+ 7x) x (ut 27u _. +2? %) ; ou bien dx F 2e F dy eg ee ess | > C = nie Es Rat; ap? r(E+au aan (3xt 22) 2HAUT dy dy* ? —— — è — — = 2H AUX na = % À —=0 à : = Æ Si # étoit —0, on auroit ——api+R=o 3 donc, # LA \ » . 4 F De] d étant très-petite, la quantité —=—4u+R devra l'être az F F uffi ; deforte qu’on pour D R+——ap=nr—X. auf ; d q pourra fuppofe R+=—au À. Cette fubftiturion faire , on divifera route l'équation par va, & l'on aura, en métrant pour plus dé fimplicité, | F fau lieu de —: d’x dy Fa —(21f+ur)x ip nu L’équation (B) deviendra ; parles mêmes fubftitutions ; d' xnrx)dt ur 7— + JQa+r)4 ] dt . \a a Si #—0 ,onauroit JS Qdi = au—<;fuppofons donc (imanx +-3mxt), F LRG+rsdr= au — in Ka on aura, après les réduétions: | £0 Rate HR _. = — aux +fY+ gui — 2nfxY. T2 RECHERGHES SUR LES INÉGALITÈS V°IE Enfin l'équation (C) fe changera en celle-ci : ,ddx P—nkR; > Re qe 7 l'on dt? FRET a(i+nx) j prouver1 ici, comne on fait ci-deffus, qu'il faut que la quantité P foittrès-perice de Pordre ; c ’elt pourquoi nous PL pts (ut ram) an É P—nrRz F IRDPOIELONS See SAP en d'où nous aurons l’équation d'£ dés ÿ ST TROT FILS AL z+fZ+amusT +1%———0 # - VITE © Voila les formules par lefquelles on pourra déterminer les inégalités des fatellites de Jupiter, dès qu ’on aura trouvé les tee des quantités X,Y,Z qui réfultent de leur action mutuelle, Pour rendre ces formules encore plus commodes pour le calcul , nous fubftituerons dans celles des art. V & VII, la valeur de ? D tirée de l'art, VI. De cette manière, on aura, en négligeant toujours les termés affectés de #3, »4, &c. LE + fire 2f)x+fX—aufY { se," é =0.(D) Ou — 3f)x"— nf GoufsY — nf°Y: . HLuUXx —fY—3 nue} At $0 Soc (E) e+fZ qu ax ane pienfey 0. (E) DES SATELLITES DE JUPITER. 13 x : dy . Nous avons dic que les valeurs de x & Jr ne doivent renfermer aucun terme conftant ; on remplira ces deux conditions par le moyen des conftantes f & c. COM PEACE ER Détermination des forces perturbatrices des S'acellires de J'upiter. EX. ir Minañé ide unir, 42m, ee La mafñfe du premier fatellite. ......... Run T0 C' du fecond farellire . .... be ares 2 QU durotfiéme fatelhee 22.4 Dee de ne do C" du quatrième faellite ........ RMLONT A Suppofons de plus que toutes les quantités que nous avonsnomimées7,p,9F; R;,Q,P,&c, dans le Cha- pitre précédent, foient defignées ici, relativement au premier farellite , par r', p', Go» R; Qu PE, CE ;rela= tivement au fecond fatellite, par 7",p",@", F1, R1, Q", &c; relativement au troifième, par", pt, QU, F1, &c; & relativement au quatrième, parr'Ÿ ,p",@", &c. En général, nous conferverons toujours dans la fuite les noms donnés dans Les articles précédens , avec cette feule différence que nous marquerons les lettres d’un trait pour le premier fatellite, de deux traits poùr le fecond fatel- lire, &c. Enfin nous dénoterons, pour plus de fimplicité, la 14 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS diftance entré deux fatellites quelconques , c’eft-ä-dire, la ligne droite qui joint leurs centres, par Afr,rlir,r, étant les rayons vecteurs des deux fatellites:ainf a diftance entre le premier & le fecond fatellite fera défignée par A(r',77), la diftance entre le premier & le troifième par A (7,717), & ainfi des autres, X. Cela pofé, il eft vifible, r.° que le farellite &' eft attiré gs: TL » A 1 ÿ 1n ne T vers Jupiter avec une force FE n& qu'en même temps Jupiter eft attiré lui-même vers le farellire avec C' LR Lee LPS LA LEE r Fa d’où il fuir, que la force totale : 3 î ! J +t+-C qui tend à rapprocher le fatellire de Jupiter eft AGE Cette exprellion doit être comparée avec l’expreflion de une force — la force centrale (art. 1), c’eft-a-dire, en la rap F r2(1—+p?) k : F! À portant au premier fatellice, avec ve Di ce qui donne D'ABD Id, Dee EE MR PE ee RTE NES 2° Que le fatellite C' eft attiré vers le farellite Ç" avec yhe force ne , laquelle peut fe décompofer en deux autres: l’une dans la direction du rayon mené du fatellite C'rVI Er" : l’autre parallèle au a(r,r)3 G' à Jupiter, qui fera — C'ViHp Ar 2 DE rayon mené du fatellite à Jupiter, & qui fera De plus le même fatellite €’ doit être regardé comme attiré par une force égale, & en fens contraire à celle avec . . . , Al J laquelle Jupiter eff actiré par le fatellite €", c'eft-à-dire, PE OP DES SATELLITES DE JUPITER. 1$ par une force » & dirigée parallélement au (&r rayon mené de ce dernier farellice à Jupiter. Donc lation du fatellire €"! produit dans le facellite €! deux forces: Lu lu À se Fud , __C'TVitps pi r . : » Er GEST: l'une Pr dirigée vers Jupiter, l'autre = €" RU. jerevatp r'(1p") Atr',r"); celle qui va du farellire €” à Jupiter. ) dans une direction parallèle à Méta /Sit 2 RE à 3 Or la force C''Y'EP fe décompole en deux A(r ,r }3 autres : l’une perpendiculaire au plan de lorbite de Jupiter ARE € Cr fade parallèle au même plan dans la di- Art, r")1 (Gs r' I rection du rayon r', qui fera =="; Pareillement La / Ar, 1 LIVE TI Il CANÉSTEP, 1 force ©” (x, TES Er p ) fe change en deux autres forces: l’une perpendiculaire au plan de l'orbite de P Lui 11 nm 11 BP ETte ; Jupiter, —C (ro es) , & l’autre paral- Jèle à ce plan dans la direction du rayon "= €" PUR: ar PU (14p 2e —) Enfin cette dernière force fe décompofe LR J = encore en deux autres : l’une dans la direction du rayon »! 1 EE: 1 ; ; avec lequel le rayon 7” fait l'angle @"—" ; l’autre per- pendiculaire à cette direction ; la première fera exprimée LL T 1 u par €” Cr x) cof. (p"—@"), la feconde 1 Ti ALAN AL" F8 RE NE Le (e us Ur (@ ? ) & tendera à diminuer langle q', au lieu que nous avons fuppofé 16 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS (art. 11) que la force perpendiculaire Q tendoit à aug- mener l'angle 9; c’eft pourquoi il faudra la prendre néga- tivement. 4.° comparant donc toutes ces forces avec les forces R,Q,P(art.1),oubienR', Q', P'(art.IX) on aura en conféquence de l'aétion du fatellite ©" les expreflions fuivantes ; R=c" PEN cof.(g"—09') Le cof. (p"—!) ) A(r',r"}3 rip), Lu en es Peer) Q € ( Ar ,r") ' r'e(ipe} pUPZIT PP Pi MES pi El) On trouvera de la même manière les expreffons des forces R', Q', P!, en tant qu'elles réfultenr de l'action des fatellites €" & €; & il eft clair qu’on aura les mêmes formules que ci-deflus, en marquant feulement de trois traits ou de quatre traits, les lettres qui font mar- quées de deux traits, X I. Si on veut avoir égard aufli à l’aétion du foleil fur le farellite €! on nommera ; La maté du Sole er LRU MO) La diffance du farellire &' au Soleil...,,....,.,4 Le rayon veéteur de l'orbite du Soleil autour de Jupiter... pt La longitude du Soleil vu du centrede # .......4, & il n’y aura qu'à mettre dans les expreffions de R°, Q', P° de l'article X, © au lieu de €", M au lieu de A(r',711), p'au lieu de 7", Lau lieu de @", & fuppofer p}—0. De certe manière on aura, en vertu de l’action du Soleil R'= DES SATELLITES DE JUrtITER: ri? RO r'—p" cof(4—v" IE cof.(L— 9) MM |: +) Q'= © her fin. nt) P= 4 = 0 = FL X IL Donc en joignant enfemble les forces qui proviennent de l'aétion des trois farellites C1, &"1, €", & du Soleil fur le fatellite C', on aura les valeurs complettes de À’, Q', P' exprimées de la manière fuivante: R'=ç1 r'—r" cof. (Lies 2 cof. (p"—ç") a(r',r")s r°4(1+#p2)5 11 Dons /UEE cof(g""—9") cof. (p"—9) +C ( re eue pv (r'—r* cof(o"—®") … cof. (p"—9!) +C ( A(r!,r"*)s , TY2(1 pie) © (4) | P> 11 r" fin. Liver JR fin. (g"—9") D— € DT ref prr)s _. ne Ans. VO fin. (Ca) € ( A (rt, 7 )3 r'2(1pt)s + (= (a —9" ) __ fr. (g'"—9") ) TAG AT (ip) F fin. ( nl _fn. (}—9") +o (7 _ fer RS P" ) = Cr mon Prix de l’Académie, Tome IX. C 18 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS +cr r Ep pu p" ————— + -- A(r' j TE r'r pi EE IV 1Y 1Y (@M GTI P ES mess Fi _ né U rY2r 4 p'" je +0 = . A LT: : : elles ce les expre ions des forces perturbatrices du farellite C!; d'où il'eit facile de déduire celles des crois autres facellires &'!, CU, CV. En effer un peu de ré- flexion fu‘fic p pour faire voir que les quancirés R°, 9", PE, devieadront R, Q", Pl, en marquant Ledlemtens de deux craits les léréres qui font marquées d'un trait, & ré= ciproquement: ainfi l’on aura pour les forces percurbatrices du fecond fatellice les expreilions fuivantes : R=c (= —r" cof. (v RE cof. (p'—9") p—p") FRE TP Gp a TT: ar” “ cof.(o" =") cof. (oi +C (- Ar ,r ri )s PTE LEA PEER r— cofe (pi —p" cof. (9 "—9" ) +CY #8 Re, ] 1V5rs LEIVi)3 EC À rep} Fr — —01 AC II Lo” EE ? Mesa — } un >1 frfn(g 9") fin. (g—2") \ Q =C (2 (CERF ATE nr EN | Fabbl in. Car. VA Ole fin. (p—p" ) +C"(—E fi A IL ME (pe) +" (' D fin. (p°"—p") ts fin. (@"—2") Au, No 1 r'Yà G+P"), ? fin (x n(4—p" +R) [ER > DES /S'ATIELLITES DEJUPITERS/ «ag I Il 1 1 1 IT RL Dim) d PSS ? = te Be Fret) FA UT UT |: Poe Dee" et) uelseen 7 AT. ri) r 21 p92) PAPE LORR LE 1 (as +C" (LEE — y) Ar” ,r") TEE PY} 7 pi LOT On aura pareillement les exprefions de R°%°, Q®,F%, & de R°, Q", PY, en marquant fucceflivement de trois traits & de quatre traits les lettres qui ne font marquées que d’un feul trait dans les expreffions de R', Q', P', & réciproquement. > dd fe Il refte à chercher les valeurs des quantités A(r!,77), A(r',r7), &c, qui expriment les diftances entre le premier fatellite & le fecond, entre le premier & le troi- fième , &c. (art. IX). Or il eft facile de trouver qu’on aura Ar, rl} (pli PER rp}+ (r fin. (oi )) Cr o0f (op) 72 ( ? +ph)—2rl r{cof(o"—9") +pp")+r%(1+#p), donc tirant la racine quarrée A (r', 71) =VR (pe) ir" (cof.(®"— 9) pp )+r (ip) On trouvera pareillement &ainfi des autres. On voit par-là que A{r°, r')=A(r';r" )) car l'expreflion de cette dernière quantité demeure la même ,en changeant 7 ,p,@ enr ,p,@" > & récipro= quement ; ce qui eft d’ailleurs évident. 20 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS D, Ne Pour avoir maintenant la valeur de M, il n’y aura qu’à changer dans celle de A(r,71),7% en pl,@" en 4, & effacer la qu'antité p"! (art. XI) 5 on aura donc'ainf d =V rx 1+p* )—2r p'cof(l—9" )+p* 5 on trouvera pareillement M rt(r + pe jar ol cof(J—p")+p2,& ainfi des autres. X VI. Nons avons fuppofé (article X) que l'attraction de Jupiter fur Les fatellires éroit exactement en raifon inverfe du quarré des diftances ; c'eft ce qui n’eft rigoureufement vrai, qu'en regardant Jupiter comme un globe de denfité uniforme. Or on fait par les obfervations & par la théorie , que cette Planète eft confidérablement applatie ; de plus il peut fe faire qu'elle ne foit pas par-tout de la même den- ficé; deux circonftances qui peuvent auffi influer fur le mouvement des farellites, & auxquelles il eft bon par conféquent d’avoir égard ici. Pour cela nous fuppoferons 1.0 que la figure de Jupiter foit celle d’un fphéroïde elli- ptique peu différent d’une fphère ; 2.° que ce fphéroïde foit formé d’une infinité de couches toutes fphéruïdiques , & de denfités différentes. 3.° Que Péquateur de Jupiter foit dans le plan de l'orbite de cette Planère. Cerre dernière fuppoñtion n'eft pas tout-2-fait exacte ; car on fait que l'équateur de Jupiter eft incliné d’environ trois degrés fur le plan de fon orbite ; mais l'erreur qui en réfulte eft fi petice qu’il feroit fuperflu d'en tenir compte. Cela pofé, foit À Le demi-axe d’une couche quelconque, E fon éllipticité, & D fa denfité ; on trouvera par les DES SATELLITES DE JUPITER. 21 théorèmes de la figure dela Terre de M.Clairaut($. XXVI & XLVI feconde Partie) que l’attraétion de Jupiter fur un fatellie quelconque produit deux forces : l’une dirigée au centre de Jupiter Some (JD444+:fDa. (ÆE)) 27 (1—21p°) HT ; : \ ar) Da. (ASE); l’autre perpendiculaire à cette ap sri(1+p?); JDAKAE); (7 dénote ici la périphérie d'un cercle dont 27 Le A D Ad A+? f[Dd(A5E)) de la première de ces deux forces , étant réciproquement proportionnelle au quarré de la diftance, doit être com- direction dans le plan d'un méridien — le rayon —1). La partie parée avec la force (art. X) ; d’où l’on aura Ga r(1+ p°) Z=—27( [D Ad A+ f Da ASE)). L'autre partie de la 27 (1—2p°) : a or Y D (ÆE), aufli bien que la ; à 47p ñ force perpendiculaire Mr Dd.( ASE), devront être regardées comme des forces perturbatrices, & par confé- quent décompofées fuivant les direétions de R, Q,P; cette decompofition étant faite, on aura les deux forces fui- yantes : te. re I D8e (ÆE), dans la direction de la 27 3p—2p} . ë force R, & per 4e Gp JDd(A'E) so la direction de Dd. (45E) | la force P ; donc fi on fuppofe UD AA JDA AE) j les forces perturbatrices R & P qui réfultent de l’appla- tiflement de Jupiter, & de l’hétérogénéité de fes couches ride - + p_ A (1—4p) feront en général............:...R=— Gr) même force: 22 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS VA F(3p—2pi) srt(rep2)z , d'où lon tire, par rapport au premier farellite FER Aus & DIS NA EGP REPOS SGH} ? SAP v par rapport au fecond fatellite, vAZE (1 —4p"2 vA2TE (3p°—2p"5 : R1— ee sé PISE EE > & ainfi des. autres. | Il n’y aura donc qu'à ajouter ces valeurs à celles des articles XIT & XIIT, Au refte comme l’applatiflement de Jupiter n’eft que d'environ -= , fuivant les dernières obfer- vations , la quantité Æ fera fort petite, aufli bien que la quantité »; de plus le rapport de 4* à r° fera toujours ex- primé par une fraction fort petite ; de forte que les forces perturbatrices, dont nous venons de parler, feront nécef- fairement très-petices, i . E Si on fuppofe D conftante, on aura = 3, En oéné= 1+-2E£ D ral, quelle que foit D, on aura, par les conditions de l'équilibre , fDd {ASE }=5 A (E—50 ) D A*d A ; (Gétanc le rapport de la force centrifuge à la pefanteur , fous l'équateur) ; donc = $ £—{C à-très-peu-près. XML Il faut maintenant développer les expreffions des forces perturbatrices P,Q,R, en employant les fuppofitions de larticle V. Pour cela nous remarquerons d’abord que nous pouvons nécliger dans ce calcul tous les rermes de l'ordre #*; parce que les quantités P, Q,R {ont déja elles- mêmes de l’ordre 7, comme nous le verrons plus bas, Donc mettant premièrement dans la valeur de A(',77), art. XIV , au lieu des, al(1+#x7), au lieu de p° , 22! ; & DES de bide DE JUPITER. és Ka [mênie , au lieu de 7°, a!(1-+#x11) & au lieu de f” Eine ce que Loue avons dit à l'art. IX, on aura: II 21 Æ LA J=V ion) aa ax -tnx")co/ (pp) Hat 21 anal) TOR UP M UE D CI AU SC EU CE M TE. Ve a c0f. (pp) Ha ana a 2x0) — 2 na a (x x) co. (7 —q") d'où l’on tire, par les féries, I A np Ca —2a'a a" cof.( (ou —9? )+al) : 24 37 (ax! + al 1,0 (x! + x!) cof.(g"* — g\) ) x (a—1aa of (Q TEMEN p)+a y? Et On trouvera de même: E =} ape a a" cof.(@ A EXEEES an) z Ÿ ) —32(a! 2x lie QU LI a) ) cof\ gpl) )x( alt —2a a cof(Q Um _4 —ç')+an) 2H &c.° Et pareïllement] ee: ER Mer Grue all PY— g')+ ali) —37(42° ea LV (x x) cof (gt —p! }) 10 5 —2a a of (op —g')+al ir) + &c] Et ainf des autres. «HSE. Ca 8 0 Mais il fe préfente ici une difficulté, par rapport aux quantités (a'—22'a Een (Q—gl}+al) TE, (ar a! cof(g"—@") +4: Y> ? &c ji c’eft de pouvoir les ia à une forme rationelle ; condition abfolument néceflaire pour l'intécration des € équations des fatellites, Pour réfoudre cetre dificulté, on écrira d’abord les radicaux a ainfi: D Ca den Dan 7, LOT DONS — cf (g—9!) + &) F &c 5 & la queftion fe 24 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS réduira à changer en une fonttion rationelle, une quantité de cette forme (1—2g cof.6+g2) *, dans laquelle 4 elt un nombre moindre que lunité, Pour y parvenir, je remarque que la quantité 1—2g cof. 0+g° et égale au produit de ces deux quantités: 1—7 (cof. 0+fin BV x), & 1—9 (cof.O—fin. BV — 5); je les élève donc l’une & l’autre à {a puiflance —A, en écrivant au lieu du quarré de cof. 0 fin.6V—r, cofe 20 fin. 201, & ainfi de fuite; j'ai Ê (co fin. BV) ) =1+ A9 (cofA F Jin, BV—5)+ - EN (cofe 20 + fin. 20V—1) + I g(e0fe 50 fin. 305) + Be. 2 Soit pour abréger, 1+Ag c0f. a greof 2 EEE preof EC. = M, ue A1) Ag fin. 8+ g'fir. PRESS pin. 39 &c. =N on aura: (i—g (cf 8+ fin OV) = MENV_ x, & (aq (cof8 — fin V1) ) = MAN Vs 5 donc (ag caf 029 M NV) MN VE) = ME Ne, Or fi on fait Les quarrés des deux féries 41 & N, qu’on ajoute enfemble les termes qui ont le même cocffcient - & qu'on remarque que ed n0+ fin. mx fin. n8 ft =cof(m—»)8, m & n'étant des nombres quelconques, on trouvera (1—2g cf. 349) = A+ 8 cof.0+C cof. 20 +Dof. 38+ &c. Et les coefficiens 4, B, C , &c. feront exprimés de la manière fuivante. AZ1+ AN g TA ner Cm AO I 2 22,13 Be DES SATELLITES DE JUPITER. 25 AÇA—H 1) (à) —21À +1 x MEN El x US = z p2 z23 ue + 2) x Feu à g7 + &C. 14 ann RE Gun 2 Z2. 3 gÿ gt + &c. & ainfi de fuire. Au refte il ne fera néceflaire que de connoître les deux premiers coefficiens 4, B , pour avoir tous les autres C, D, &c; car on trouvera par les formules de l’article XXVI de la Piéce fur le mouvement de Saeurne (Prix 1748) CE (149 )B—2a94 (2—A)g 2 (1-g5) C— (ra) B a — (3—A)4 RECETTE Eve & ainfi ai de fuite, (4—A)3 re € Tout confifte donc à déterminer les valeurs de A, & B ; Or, dans la théorie des faellites de Jupiter, la plus rande valeur de geft d'environ + , comme on le verra plus 5x donc g* fera toujours moindre que +; donc fi on tait A+, les fuites 4 & B feront aflez convergentes pour qu'on puifle fe contenter d’un petit nombre de termes, Ces fuites feront repréfentées en général par celles-ci PER 2,25 9,25 ,49 AI + HE x Le gi x EE x 58 96 + RC, - D”; 9,5 92,25,7 RÉ XP +SX Tee g5 + &c. dont les coefficiens numériques font très aifés à calculer, Voici les logarithmes de‘ces coefficiens pour les différentes puiffances de g qui entrent dans les deux féries Prix de l’Académie , come IX, D 26 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS dont il s’agit ; Les Logarithmes qui répondent aux puiflances paires de 4 font ceux des coefficiens des termes de la férie Æ5 & les loyarichmes qui répondent aux puiflances impaires de g font ceux des cocfliciens des termes de la férie . | g* 1. 116247 9]. 354154 | | | g* | o. 546002 |g° | | | gÿ | 0. 612949 |g°|1. 136436 | a | I. 366053 di |o. 6798969" | 1. 155741 4%] 1. 377052 47 | 0. 731049 g 1. 175046 | 97 | 1. 380233 pr | o. 823595 | g+ | I. 210504 | 9° | I. 411238 g° 10, 864988 | q* 1, 22689$ | ge I. 421962 g” | o. 899750 a 1. 243186 | gt | 1, 432181 g* |0. 93#512|g7|1. 258526 | g# | I. 441400 99 10 964475 19%] 1. 273766 |g5| 1. 452160 g* | 0. 994438 14°] 1. 288007 a+ | 1. 461920 5 | I. 020767 | 45° I. 30224$ |&c. &c. Il ne s'agira donc plus que d'ajouter à chacun de ces logarithmes celui de la puiffance correfpondante de 9, & DES SATELLITES DE JUPITER. 27 de chercherenfuire le nombre qui répond à chaque fomme; on aura ainf les valeurs d'autant de termes des deux féries B 4 : A&—,quon voudra ; d’où l’on pourra tirer pour 4 & B des valeurs auf approchées qu'on le croira néceffaire. Pour juger de la quantité de lapproximation, on remar- quera que les differences des logarithmes de la table pré= cédente forment une progreflion décroiflante ; d’où il fuit que fi après avoir pris la fomme d’un nombre quel- DE B conque de termes de la férie 4 ou > On regarde le refte de la férie comme une progreflion géométrique, l'erreur fera roujours moindre que la fomme de cette progreflion. Au refte dans le cas même où 3 fera la plus grande ( ce il . a cas eft celui où 9; =°?°; ; comme on le verra dans la fuite ); il fufra de prendre les dix premiers termes des féries À & 2 pour avoir les valeurs de ces coefficiens en millièmes, c’eft-à-dire aux dix-millièmes près, & en prenant encore trois ou quatre termes, on pouflera l’exa- étitude jufqu’aux dix-millièmes & au-dela. X X. Ayant ainfi les valeurs des coefficiens 4, B , C, &c. de la fuite qui repréfente (1— 29 6of.0 + gÿ on trouvera aifément ceux de la fuite quiexprime(1—29 cof8+ g°)"* 5 car dénotant ces derniers par (4), (8), (C);, &c. il faudra que la férie (A4)+(2)cof.8+(C) cof. 28+ &e, étant mulri- pliée par 1—24c0f.8 +g*, devienne égale à la férie A+ Bcof.0+C cof. 28+ &c La multiplication faire, on trouvera, en comparant les deux premiers termes : A=(1+9)(4)—39(B8), à B=—(1+9)(B)—29(4)—4q(c). = 2 28 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS Or (C) eft donné en (4) & (B) de la même manièré que C eft donné en 4 & B ; il fuffira pour cela de mettre dans l’expreflion de € (art. XVIII, (4) au lieu de 4» (B) au lieu de B, (C)au lieu deC ,& a+ 1 au lieu de GHP)(E) 2 CH) 44) | qonc fi (1—A) 9 à on fubftitue cette valeur de (C), on aura deux équations (+) ARS IB à—7 {=} d (By= EEE, Connoiffant (4) & (B), on connoîtra tous les fuivans (art. XVIII). À; ce qui donnera (C)=—= en 4, B,(4),(3), d'où lontirera (4) = X X I De ce qu'on vient de démontrer , il fuit qu'on ‘peut fuppofer : GE Taae nee —@) al) = (al, a! )+T1(al, cof.(p"—@)+# T2 (al, al) cof 2(9"—9)+ T3 (ae) cof. 3(9"—9") + &c. & (a°—21a'2" ea (pp) RAA (a', all) FEAR cof.(®” ra Re CMD EUR 1(p"—@)+A3 (ae) cof. 3(ç9°"—9)+ &c. J'entends par T'(a',#4"),T1(24")) T2(a',a!), &c; Aa, a"), Ar(a',a"), A2(a',a"), &c, des fonctions données de 41, a!!; dont on trouvera la valeur par les méthodes des articles précédens, Donc fi on fait ces fubftitutions dans la quantité = a (art. XVII), & qu'on développe les produits des fa & des cofinus , on trouyera DES SATELLITES DE JUPITER. 29 A (r' ; 7" } —= T{al,a!) HT 1 (41, a)cof. (gg) +T2(a', a") cof2(g"—9") +T13(a, al)cof.3(p— ©") &c. 11 At(a',a") { Li II I IH \ | En 32 x" (a A1(e,a") nus a! all 2A(a ,4 Leccres ) cof(g"— @') Por SE D: — 32x (a Aa, a) — aa" rs) cof.i(g"—®") &c. — 3»x (ar A(al,a")— d'a 2 At(a', a" ES 30x( 2% À (a!, a) — aa is ) L 2 : Le ra A2 + 11) — 37%" (aA (at, a"! Te DE A(a';a7)H A2(a,a ) cof.(g4— ç') 2z ’ 1 11 3( À II — 3x" (al Aa ;al) — 1 RARES 2 cafe (g"—p') 8e. 2 GR EE à Soit fait, pour plus de fimplicité : FI (a! æ!) + d'a At(a,a") EN 24 2A( a ,a") x ee 2 ni (a 2 dE a'a"A1(a',a")— 210% A1(a,a") + 22 "A (a, a") 2 RE ie IV TE NT EE TL V PRE RSR He e 2 rl 2(a 2! ) a d'a"A3(a",a")— 202A1(2", @")+ a'a"At(a ,a") > = —_—_— — —— " — 4 a'a"A4(a", a" )— 21a"2A3(a, a") aa" An(a , a") es) EE & ainfi de fuite, Soic aufli % (a! a) eh a'aAt(a, a) = 2a"2A(07, a) Fo] = —————————————————— z ; (a, on) A r8)— ser Au( dt, a) He 20 A( dr 2") >] oo 2 Ya(a a) et a'a"A3(a a") — 2a"2A2(x a") + 22! AT( a',a") » = ——_——— ——<<————— 2 Y3(a! a) 4 aa" A4( 4,4") Le 2a"2A3(4,a") 12 a" a"A2( a’ a") &C, > en 2Z 30 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS 3: 1 ÉRUer "1 On aura la quantité ——;- exprimée de la manière A(r ,1 jp fuivante : I =I(asa")+Ti(a,a )cf (9 —®) + Ti1(2!,a!)cof(q"— @) + &c. + amas Qu (a! ee ee fl 0 + Ia(a', at) cof1(q"— @') + &c.) + 32x 0 (Y( al, a) + yi(al, a!)cof(o"—@") + Ya(a!, a) cof.2(@"— q') + &c.) On trouvera de même , en changeant fimplement ;!! enr, alena",@'en e, & xl! en xUl, A(,r); I a __— A(r',r)s = J{al,a)+ pi(a,a0) ef" — @') + Dial, all) cof2 (Qi — gl) + &c, ee 30x! ( n(a!, al) + T1 (at, a )cof(@"— ç') + 112(a',a")cof2(g""— @) + &c.) + 3x0 (Y (a Si) +YI (a', au! )cof\ (QU — o! ) + Ya(al, a )cofr2( QU — g') + &c.) Et pareillement, is — J(a!,aV)æ+ri(al, aV)cof (gl — +) + Ta(a', a Ÿ)cof2(Q" — g") + &c. + 3ex (11 (el, al) + Ii (a', 4 )cof (ot) + Iai(a!, a!Ÿ) cof.2(9 —@') + &c.) re 3x V(% (al, aïv) + pi(at, a! Vcof(g"—ç!) + Fi(al, al) cofr(g"—@")+ &c.) Cela pofé, on aura: DES SATELLITES DE JUPITER. 31 r a(tænx) 5 DER 0 L'ORCTE meer (Ee a )+Ti(a ,a cof(g"— g") +T2(a!,a1) REP nant Re.) +zxla( 371 (a! 4" )+T(a',a7)+(3 1 (al, al)+ T1 (a 547) )x cof(p"—o))+(3112(a Lal)+T2(a (a'ja") )xcof.2 (@"—ç"! )) + &c. L ÉTÉ at) + Yi(al, a) cof (eq) + Y2(4", a) cofa(qg— lt) + &c.) On trouvera de la même manière : 7" Arr p = a" (T(a!, a") + Ti(az! a a) cof(@® — @') + T2(a!, a”) cof.2(g"— @!) Le &c.) Fe 0h a',a) + REUTE a) cof(g"— @!) + M2(a°, 4") cof1(p—@") + &c.) +nxlal( 3 p( (a Fi) +I (a! Ent »æ) +Ti1(al,a7)) x cof(@"— ç) )+(3F2(al a}, a!) +T2(æ ssl cof.2(9"— @) + &c.) 1 On aura enfuite — I] 7 Fe Sem E RE (1—2nx0 + &c.) 72 x More 7 RARE sr, T°) 3 Er RIT PT NE ET CE a"? T(a 2 ) — 2" T1(4!, a! 1) cf (gi — oi )—a"T2(a/, a") cofc2 (9 —ç!) — &c. ms One æ A (Es D) + I2(2!, a! Yeof2lo —?)) + &c.) "an ( > + an) + la PT )+(G a Yi(al al) + a°T1(2,2")) x cof. ( (9) + (sea (æ',a) + alTi(a!, ne: — 9") + &c. ) Cette quantité étant mulripliée par cof.(o"—9?), on aura 32 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS 7 cf g! LAPS) cof.(g"— 9") NE OR RL CE Ar, re )3 DR(itp)i 2 a C2 a ja + Fun RE 1 —— | x ne +) cofe (@"—®") ar 3(a 34") + a"Tr(a , a 2) LES me (PO 1) — &c. 1 Tr(2',a") “ sa" T2(a',e Han a 5 cof( 2 me nx (34 ® D— eg} ga gars (ne) me) pa )+&c.) z 2 — 5 a EE »47)Ha"T (a, a") PE) +(3a 2" Fz(a', 44) + 2#(a', a") 2 T2(0,a%)H2r(e, L EE) à gt 99 (een s) os) Enu) cof.2(®"—"®") + &c.) Enfin multipliant la même quantité par — fin (@"—® on aura: ec te EN ONE CET DE : 1j fin (eg — p')— a" eee) fin. 2(g7— @") — Kc. 2 x ( 3a" T2(a',at)—a2n(a",a ) fin (@®— ç') 2 11 U3(a',a")—Ti(er, a = ) fn.2(g—0") + &c.) (ER ner Sn +34 fee" PURE En net A(ee")=ri(e, RES fin.2 (og q') + &c.) XXIV. DES SATELLITES DE JUPITER | 33 X XI VJ L Soit maintenant a"ta"rt(at, a") Li 1 243T{a! , a") p(a',a!) = 2 v ( reel aa" 2 (a a") 20831 1(at, a") 20 72" T (d'a) a? Ti(a,a en MD MSIE ET 25? a a"f3(at, a") —2a"5Ta(a!, a") + 220001 (a",a") 2 ] aa" T 4(a!, a") —2a"T3(a', at) a" 2"Ti(a", 2") ; ——— —— —— ,8&c. z T2(4! ’ a”) =— p3(a'a")= L Lui Le LL Le T 11 C7 AA a'*a"iti(af, a") — 2e Ha, a") Lnf IL LR ot poires à CET 0e 2z a"°a"Il2 (CA a*)— 24 3H (a’, a") +-1a! :a0II(27, a") IH fa’, a) | GREAT ER ATEN Tu —aSTI (a' ; a) ; a" *a" 113 (a À a") e— 2a"3II2(4", a") +44" 111(2, a") et, 2) = 3 — T1! a"), aa" 114(a,a")— 24 3113(a", a") 8124012 (a',a") ee) a à ame n 1-="4 134,6 JA Vy I IT aa" #i(a",a")— 216 3#(a,a") aa" Tr(a",a" ere Ce y (a ,a )=3 2 \ 2 i sc aY2(a!, a") — 24" F1(2, a) alta pat, a") MM LEE UE ete ge 2 PO ALES } 2z 1%. I 11 pi(e ,e )=3 a a"f2(a', a") = 2! 24"[ (47,0) 24? ————— ————— ee, 2 a Fe Ls a':a"#3(a, a") —2a13%2(a, a") pot apr (at, a!) REY es Mere dia UE RRQ 2 aa" (a, a") aa Ti(a, a") CT De M)fe a € ae" Y4(a, a") 20 3#3(at, a") He a72ap2(at, alt) EPA TE. PRET SERRE ENS en 2 ÿ3(a',a")=3 D # RES tr AT, ; &c, ufr" cof(g"—9) … cof(g"—+") On aura € ( A (r! ar " AO TE Prix de l’Académie , Tome IX, E 34 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS =— CG d'a") +pi(a ,a)cof(@"— @!) + (2 » dede SL (a "x (ne, & ML 7) cf (Qi og) _+p2(a,a) )cof2(o He à CC (at, a) M. +pz2(a,a) cofi(p"—") &c.) C’eft la partie de la force R' qui refulte de l’action du : fatellite. C", (art X). X X V. Soit de ph aa 11 12 II 1: u A LT F2(ar, a a") — 24 a" (a, a") at 12 IL 7 1 13,11 “HaËT Sal ER DEUST à da T3(a,a") — 222" Ti(a, a") Re en RU ee 2 > d'a"r4 p. PL — a" a"T2 a &' LAC et) ES rnb nl F7 ages T2, ,11 a")—2a a"TI(a", GED s< £ = d'à II2(4/, a ni(a ; V4 À ) = 2 . ga I3(a,a")— aa" i(a, a") RSR EME LV L E 1 ZTT (a! a) — aa" (2 a”) : A,[3 un FRE ; Ba) 2 3 TS aa" y1(a",a")—20 "4" (28) h, 3: IT e a 6 3 A TS 15,1 1 1 ADNTENIT aa" #3(a, a") — a'ta"#r(a",a") nr PER ee Re g2(a 4 ) 3 2 sie & 4 d'a" #4(a', a) — a°2a" Y1(a', a") 2 : 1° fin(g—9") es fin. (p—7") On aura Ç ( arr rep +p3(a, a"), &c, DES SATÉLLITES DE JUPITER. 35 = — (pres 2 fi.(p 9) + Pa(a, a) fin. (920) + &c.) 7 C2 (Gite, 4%) fn. (e" — @) + pa, a") fin.2 (9 — @) + &c.) — }} _ x" (gi (44 a") fin. (@® — g') + p2(a!, a") fin.1(9" — @") + &c.) C'eft la valeur de la force Q', en tant qu’elle vient de laétion du farellite €". XX NV L L 7 It IE Lis 1 ML ir ÉREMPE UT Enfin on trouvera € (Æ AITÈNS ES (Cu = 2'(aT(a', 4°) + 450 1(e, a") cof(o"—@") 2 dirai, af fea( 9 61) Re) (€ 12 ET _ z"(aa"T (a L a) pe +alalTi (a!, a" cof(g"—9") + aa "T2 (al,a")cof.2( 9" — q1) + &c.) C'eft la partie de force .P', qui vient de l'action du même facellite Ç'! On changera maintenant dans les expreffions précé= dentes les quantités ©", a, @", xl, 2" en ©", a, Doris ii ClOis 2000", x, 7 1IUccéINve ment , & l’on aura les valeurs de R', Q', P', dues à laction des fatellires C', €. Il ne reftera donc plus qu’à chercher les valeurs de ces mêmes forces, en tant qu’elles viennent de l'action du Soleil, | ; | _ Pour cela nous remarquerons d’abord que le rayon y” de l'orbite de Jupiter eft confidérablement plus grand Ex" 36 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS que le rayon r de l'orbite d’un fatellite quelccnque ; d’où il fuir que la valeur de A, qui eft exprimée générale- ment par Vi ap re (is) + (ip) (art. XV) fe ré- duira en une fuite très-convergente, dont il fuffira de prendre les premiers termes ; on aura donc : 1 LL arf(e) à nie + FE + &c. 'cof(}— (Lo?) donc LAPS + DA ?) = — e ( 1+ cofe2(L—@) ); P pJin.(}—9) fin (4—9) Lan r ET LT Gap QE TT Eee VIE) 5 P di P XNA, Soit à préfent : Lasvaleurmoyenne,de p'.,... 4222020 DM P EI se E . La valeur moyenne de —, c’eft-à-dire, la viteffe angu- laire moyenne de Jupiter autour du Soleil ........ m On fuppofera, à limitation de ce que nous avons faic (ares IV), RCA ROUE dianaenesntee ep (IAE) se LPS D ere PRE LR A EST TE OX à Dans ces formules, 7£ repréfente l'équation de la di- J= — 26 fn.U. On aura donc ne (r+nË) (1— 3rË) = = x(1+wx— 3rÈ); donc enfin: rpeof (à —v cof.(4—o" ©) OÉ—+ mr Qu 1 0 ns 2) 1 À (58) (+3 cfa(t—f)): 243 DES SATELLITES DE JUPITER. 37 (9 4 #8 = 2 fraty— 9) +n ie 0 E) fin. — @); "Em Ce font les valeurs des forces R', Q', P', qui viennent de l’action du Soleil (art. XI). CVS EE En joignant enfemble toutes ces différentes valeurs , on aura les valeurs complertes des forces R', Q", P'expri mées de la manière fuivante. R'— —$xE sn (Ka, a! )+pi( (a! ,a")cof(@" —!) )+ &c.) — Xx EC Mr (ee of (pp) +&c.) Lee À Gate) + (ah a ef — pi) &c.) _e EE (Œ+icofa(t 9) — x = 1e ne, a") + pi (al, a! )cof (og —@") + &c.) 0 DRE (ae Praha) O0) + Be) Fe Xe 2 (ne, 2%) + pres ev) caf (p— q°) + &c.) CAE AIS LE X œ. Pi pre cof.2( d— @1)) Un, exe HE (aa) + (at, a) caf (gl 9) + Ke.) EC" are 2 a) pie, a )cof (og — @") + &c.) —0CXE FA (Ha 2) 1 (as a )eofe (EŸ— 9) + Ec.) 38 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS +2 ee X FE. ECi+iefath—9")). Q=— Ex CPutat, at) fire (gt— g') + &ec.) Le = (Pier, a) fin. (Q®— 9) + &c.) SE (Pia, a) fin. (og — 1) + &c.) FA OX x Lfna(t— 9!) —n LXE x Gitat, 211) fin. (@— 9!) + &c.) n € Re x (rite, a) fin. ( pU— q)+ &c.) LR (tar, 27 fn (e" 8) +) "0 4 x 2 fin.2(4—@) a Reis CxE x (gia, a) fin.(g®— 9") + &c.) Se x Ext (PI a, a) ) fin. (g— 9!) + &c.) EP Lx x CMCAICETS Me ) + &c.) "+ X À Ex 3 fir.a(4 p= n € x Æ a(arr(at at) ab (a 2 pi g)+ &c.) + % re x = ga T (ae 4) +aT (a), a”) cofig— )+ &c.) © "A re a V) + a5T1( (aï,a") cof(g" Y— gp) + &c.) a O — 2 in a' 1 17 Pr nr LXE 2H (a ar (a, ” MES +aña Di(al, ai!) cof(o"—?") )+ &c.) DES SATELLITES DE JUrITER. 39 a? (Ga Lin TI] I TTL 1 III Try Xe r (aa F(a',a Ne 22 +ata"Ti(al, a) cof.(p"—@") + &c.) (Se ï: a"? y X 52 "(a LAN L' Car 4") En e +a"a Ti(a, a )cof.(@—@") &c.) Il ne refte plus qu'à fubftituer pour g', @",@"1, @iY, & 4 leurs valeurs, p+mp, gent, pe ppt nttnp) ,&mt+nl; ce qui eft très-facile, car il n'y Ar qu'à changer €’, gi, gui, g", Len ur us, ut A Fr mt, & ajouter enfuite aux expreffions de R' & Q' Les quan- ticés fuivantes. # _ X = 7) (el, 47) fin (a pl)s42 ta (at, a). &c.) +2 _ X EC (aa) fin (ue y)s+272(al a). &c.) +72 CE X= gp) (a',a fin (a —p)t# 22 (al al N).&c.) LA + ne x (J—y) x 3fn.2(m—u)r, & —» _ X = 7) ia’, a)cof (ul —y)r+2Pa(al, ir} OU) —?» _ X = GR (ee of ut spa Da (aa7”)...&c.) ter — X = GNT (a7, 2 )cof (ul pt) 2 Pa(aï, aM)..&c.) DD es que, Pour trouver les valeurs de A", 0", P", il ne faudra qu'ajouter un trait aux lettres qui n’en ont qu'un, & en ter un à celles qui en ont deux; & ainfi des autres quan= rités RU, QUI, PUT, RIV ,@, PV, (art. XIII ). A l'égard des forces perturbatrices qui viennent de Ja 40 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS non-fphéricité de Jupirer, on trouvera , en négligeant dans les formules de l'art. XVI , ce qu’on y doit négliger ; qu'il faut ajouter aux valeurs de A’ & P' les quanticés fuivantes: rA° T 4: — x (1 gr), & n Es PE & de même aux 113 PL VAE valeurs de R", P' {es quantités Fe *< > (1—4nx"), & ae? 3Y A? TL : ; me TE 211, & ainf de fuite. CHAPITRE IITL Calcul des perturbations des Satellites de Jupiter. XEX I X. Nous nous contenterons ici de chercher les formules qui déterminent le. mouvement du premier Satellite , parce que les autres s’en déduiront aifément par les re- marques des articles IX & XIIT. Pour appliquer au mouvement du premier fatellire, les équations générales de Particle VIIL, il eft vifible qu’il ne faut que marquer Les letres d’un trait, & fubftituer enfuite pour X';, Y', z'leurs valeurs tirées de celles de R’, ar, (art, préc.). Mais avant que de faire cette fubftitution, ME Fa a nous remarquerons que les équations R+=— au —# = X» * “ a F > & fQ 1 + nx) dt = au —° +e—Y (arr. V & VI) ne a peuvent fubfifter dans l'hypothèfe de # très-petit , à moins que les quantités conftantes — — au? > Au — =: , & les quantités variables R & Q ne foient chacunes erès-petites de l’ordre », Or DES SATELLITES DE JUPITER 41 Or en examinant les valeurs de R & Q (art. préc.) il eft facile de voir qu’elles ne fauroient être fuppoféés très- petites qu'en regardant comme telles les quantités con- FO) A? € flantes +, F3 He ? a : si}, Ce Soit donc en général... E 2% Soit de plus...... ES Nous aurons {à caufe de f=È , arte Vi) =g+T x, & v= H + € xt: c'eft-à- dire , à caufe de F = # + € (art. X). Va R in? a SQ +m)d LE + EX pr THE X Gr A l'égard de la quantité Z , elle fera déterminée par P—nR; er 1° Z (art. VII) laquelle fe réduit à +R a” P— »nR7 Be vin X a(t+nx)(1 + 7x) déja toute mulripliée par # (art. XXVIIT). l'équation ; où l’on remarquera que P eft > De Appliquons maintenant ces formules au premier Sa- tellite. Nous aurons d’abord en fubitituant la valeur de R' (art. XX VIII ). Prix de l’Académie, Tome IX. F 42 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS . X = x te = (te, 47) tan a) of Qu — pe) +pz(a, a) cofa(u—ul)#+ &c.) x au IT, I ——— (rte +pi(a et) cof(u mu )e£ vro , a) cofa(u — pl) + &c.) A ni (rte LjaN)+pi(a, a NV) cof (Yu) At , a) cofrr (ul )s + &c.) — = CG + À 3 cof.(m—u') 2) a) 2x" VU ; UV (Cat, att) + (at, a) ef ut) +nale l,a")cofr(u—n)r+ &c.) oi RUE Dita, a) fu — 2) à +pz(a, Djcofr (ut — pu) s + &c.) ne" v RE +pz(e, a") cofr(u Ve y r+ &c.) nK° 1 — En (a+ cf (me — pr) )#) ax" If V(,1 V JARNIT I I "Rare (ya, a) +pi(e, a) cof. (u®— ur) # +ÿi(al, 4) cofi(u— y): &c.) nx irc CA ya )+ pi(e y 21) cof(uT— Ye +pe(a, a) cofr(ut = ur) + &c.) — CPU, 287) 2e at, al) fe +p2(al, a )cof2 (un) &c.) EE CE Begfa(re ue) DES SATELLITES DE JUPITER. 43 Rire 1+ ax +2p2(a a") fin. 2(ul pl) &c.) En OM) (HA a Jet —p\)s Rurale 4) fin pl); &c, (3) (1 (a, a) fin (a = pt) 2 + Or) Ga, a!) fin (up) s Ponte a V) fin — pl): &c.) 4 + id 3)x 3fin2(m—u)s 1 x LE 2 + (+ —+nx:). 1H x! XX XL Multipliant la valeur dé QT par 1+ xt, & faifant pour abréger : ni(a a" )= pi(a sa") +fi(al,a), n2{# a" )= jr(a at )+ + Fa(a',a”), pa sa")=p3(e,at)æ+ f3(a! >4 ”), &c. On aura, après l'intégration & la fubftirution, Y'= A! | ,; x” r Le 2 TP FA Ce eat LS egfa(u y} + &c.) ar (Ji to a £ de x + (CE = cof(u —p})1+ SES cfa" ur &c.) ET 18 dr a") 1 T S + ET “efle ee Per _ D efal y De+&c.) , 3 Ep cofz( nn — 2 Cet, et) fin. (a y) s + (al, a7) fr a(ull ul) 7 Rec.) de | Het F2 44 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS ES 2 fe (hier a) fin (ut ut) à nee a) fin. (ui ut) 5 + &c.) di nr fx! (n:(a a) fin (uY— )e ere a) fin. re» ne fx x 3 fin.i(m—m) tdr. paru a',a") fin.(u"— u'ÿt +gr(a— a) fini(u pt): + &c.) de rx" mr ST fait am) ) fin. um nl} s + pi(al— at) fin (ut — pt) + + &c.) ds me IV/ N IV IV 1! re ns Cd (g1(a', a") )fin.(uw —mw )e LS pur ) final — ut): + &c.) dt 2 a ss : J'Ex 2 fin.a( —u) 1 dt al Le rs foin FREE E ) cofi (ue pl) 2 + 2f2(al, a) cofi(u—p)s+ &c.) de — : L— Jo — y) itars a) cof (up) à +afr(al, alt) cofi(ut ut) + &c.) dt + au SO —-PIP(s a) cof (eur) à Hi d'a )cofa(uY— ut) + &c.) de + Ur )x 3 cofz(m—u)t dt. X XXII. Enfin fi l’on fait: | Ta; a)= a5T(a , ad)+inae ,a) : Ti(a', a )=#iri(e a") +pi(atset), DES SATELLITES DE JUPITER 4 12(4 ,@")=45T2(e,at)+}r(al alt), pal, al) aa l(al, a! — >; pi(a sat) el"alTi(al, al), Pa, )—= aa la at), & ainfi de fuite, on trouvera Z'= 290 gs de nn al a) + rat, a) of (ue pl) e +p2(e", a" )cofr(u— ul) sr &c.) + 2 (Rat, alt) + iCal, at) cofe (pe ut) 4 +pi(a at) cofa(u— ul) &c.) rx" + F À Hp 2 (Tes a ) + pra, aV) of (a ut) à æ +r(a 52" )cofi(u— ut) # &c.) nK' ane (ice (m— pu) ?) 2x frs pl rx"! o ns 2 (Pa, a) + pi(a! à a") cof (ut ut) £ + p2(al, al) cofri(u"—u) 1: &c.) RC — BCP (al, a) + RL (at, alt) of (a) +p2(a, 40) cof2(ut ut) s &c.) == — CMEICR a) + pi(a!, a) cof. (CMS +p2(a, a )cofr(uV— ul) # &c.) XXXIII. Et le mouvement du facellite €! {era déterminé par les équations fuivantes (arc. VIII). 46 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS Ho + (que aff) xt FAT 2UfyT — n (Gun 53 x nf le + 6np'f AY fEY Lo 2° _ +apxl [Ye 3nx + 1nf xY 1 —=0 d°7 dzdx* © À LI T1 BUTS t se +uz +f Z'—4mm'rx Han + 22m f ST" —=0. : =: dy : On fe fouviendra que les quantités x! & — ne doivent a renfermer aucun terme conftant, fuivant la remarque de Varticle IV. PIX TIENUT QUE Il ne s’agit donc plus que d'intégrer les équations que nous venons de donner ; pour cela, on commencera par rejetrer tous les termes aflcétés de 7, & on cherchera pas l'intégration les valeurs. de x', y ,2°; on fubitituera en- fuite ces valeurs dans les termes qu’on avoit négligés, & on en tirera de nouvelles valeurs de x”, 3°, 2! plus appro- chées que les premières. On opéreroitainfi de fuite, fi nous avions eu égard aux termes affedtés de #?, #5, &c. Par ce moyen ; l'intégration de la première & de la troifième équation de l’article précédent fe réduira à celle d’une équation de cette forme : ee + Mu + T—=0. R T étant une fon&ion compofée de finus & de cofinus d’angles multiples de z ; or l'intégrale de cette équation eft, comme l’on fait, a=Gfin.Mi+ Hoof. Mt + de forte qu’en fuppofant : T= A+ Bcof.pi +b fin.pt + C cofgt + cfin.qt + EE. on aura cof.MifTfin.Mtdt— fin.MtfTcof.Mtdt | A ee ER Jo ECS M DES SATELLITES DE JUPITER: 47 A E CH one 1e ER or = — &c. )cef. Me pb g ; ! B HE — Mes à C. fie. Mi+ PTE cofipt [4 b : C D lee PE — co f gt + ———— fin. gt + &c. P°— M F—M F—M A & G font les valeurs de # & de lorfque #—0. Mdt On voit de là que pour avoir la valeur de », il n’y à qu'a divifer chacun des finus & des cofinus qui entrent dans T, par p— M°, p étant le coefficient de sr, & y ajouter encore deux autres termes, qui renferment f#. Mr, & cof. Mr avec des coefficiens arbitraires. Il ne peut y'avoir de difficulté que dans le cas où feroit égale à A1; car alors le divifeur P*— ME fera nul, B : B - & les termes — UE cof. Me LR 7 cof. pt, aufli bien pb a b | £ que les termes — Mme de Me Fe hir-pt devien- droient — © + O;ce qui ne fait rien connoître. Pour réfoudre cette difficulté, on fuppofera que » ne o A 3 LA \ e , > q P foit pas tout-à-fait égale à A1, mais qu’elle en diffère d’une quantité infiniment petite ; & on trouvera que les deux : è Bt premiers termes fe réduifent à — 5 Jr.Mr, & les deux be À ÿ ; autres à Fe cof.Mi 5 d’où l’on voit que la valeur de # con- tiendra des termes mutipliés par Pangle . Au refte fi dans la quantité T il fe trouve des termes de cette forme cof.ps, où fin.pt, pétan = Mæ+nb, il eft vifble que ces termes augmenteront beaucoup par l’inté- gration , puifqu'ils fe trouveront divifés par la quantité très-petite p°— M 7b(1M+ nb). Donc fi ces forces de termes ont des coeficiens finis * dans l'équation différentielle , ils deviendront comme 43 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS infinis dans l'intégrale ; & s'ils n'ont que des coefficiens très- petits de l’ordre » dans la différentielle , il deviendront finis dans l'intégrale , & appartiendront à la première va- leur de #, A e Premières formules du mouvement des Satellires de Jupiter autour de cette Plancre, LE AN Si on fubftitue dans les trois équations de l’art. XXXIIT les valeurs X', Y!& Z', qu'on rejette d’abord tous les termes affedtés de », & que l’on fafle pour abréger: III AE TT 1 L'=g — au H'—%"T(a a) — 5%" p(a a IVV/ I IV 1, pl Hi, er I are r(< » 4 )—+#K ++ À ice M?=qut— 2} = ; 4 3 k N'= pu, on trouvera les trois équations fuivantes : III ) dx de — If (Tia a )+ nn Prat," )) cf(u — n°) s + Mést+ f'L Tee —x"f" (rise) + RER Pa(a',a"))cofr(u"—n)+t&c. PACE (at, an) de a Pa 80) of (um) pe (a a") + = pa(al,al) cof2 (up) 1 Ce — A (a', a )+ . [1 (a!, ol )}of(u"—p") 0 PC a) 2 Petra) er HE, — Ki 4 \cofiim—p)t=0: ‘2(m— 4) 1, . DES SATELLITES DE JUPITER 49 o # 1,1 1J1 20 aux ff" h4 ED) 2 - ILZI LE 1(a',a") 2 ue 11 l —— x f ee cof (ue pt ES _— cofe2(ut ut) à &c.) A nr / Tata") (dat Ex TT (RE (cof (ue —p'}e + cofa(uip')s&c.) L'2(a,a") D pr a x Yf(E Ta MR PR nn) cofra(u Yu’) s&c.) u = PA Pr EL a? 1 3f° Bas ge(mn he d x ; n° — + N'z—o. XXXVL La première équation étant intégrée par la méthode de Particle XXXIV , on trouvera que la valeur de x! renferme 54 FT E premièrement le terme conftant — ;+=, lequel devant être nul (art. XXXIIT) on aura l'équation Z'— 0. Enfuite la valeur de x'renfermera deux termes, tels que fr. Mt & cof. M'?, avec des coefficiens arbitraires, lefquels pourront fe réduire à un feul terme repréfenté par ecof(M'r+o');e,a étant pareillement des conftantes arbitraires. De cette manière, fi on fait UV 24 a Æi(a', a”) =(pi(2/, a) + PRET Ti(e',a)) —— .. FEAT Ney AC OT 24. A, 131 1 F° Û Æ2(a 4 )=(r2 (a »4 )+ 2 (ex) T2 (a 4 )) (Me I) __/Ÿ, 1 II PPDA pau ASIE à LCR 4 Hi at (a s4 )+ 3(u=pt) T3 (a NV )) ME &c. € même Z 1(a! | a) = (Ka', A) LR 5 fi (a! ; an) FFOQSEE Te TON /V LE TI 24 A j 1 I 5e Æ2(a 4 >=(F2(e ne ARTE eg Le 4 uns Prix de l’Académie, Tome IX, G so RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS & ainfi des autres, & qu’on fuppofe de plus: 1 1 ti Le k J [a =}i(r —— À VERRE TP VT * » on aura x= € cof.( Mi + 0) —%(2 12 a) 60 (ap )s +8 2 (a, a)cofe 2 (un fe) te &c.) . (El, a)cof (ui ut+E 22,4! )cof au pl) + &c.) (ita a )cof (ua —y")r+ "8 2 (a! a )cof2u ut) + &c.) — K°R" cofi(m— pr. X XX VI L Ayant trouvé la valeur x!, on aura l'expreflion du rayon vecteur r! de l'orbite du premier fatellite rapportée au plan de l'orbite de Jupiter, par la formule r'=#"(1 +2x") art. IV. Or, en examinant cette expreflion de r!, on reconnoî- tra aifément que le terme va'e of (M'i+) repréfente l'équation ellipcique qui vient de l’excentricité de l'orbite, deforte. que #e! exprimera la valeur de lexcentricité, & M's+0 fera l’anomalie moyenne; d'où l’on voit que le mouvement de cette anomalie fera au mouvement moyen du fatellite comme Ma x’; par conféquentle mouvement moyen de la ligne des apfides fera au mouvement moyen du fatellite comme w'—M':u". Nous verrons plus bas (art. XLV), qu’en népligeant les quantités de l’ordre»; on a M'=y" , de forte que la ligne des apfdes fera fixe, au moins par cette première approximation. A l'égard de «', on le déterminera par le moyen d’une époque quelconque’ donnée de lanomalie moyenne ; ainfi les quantités & & «' dépendent entièrement des obfervarions. Les autres termes de la valeur de 7’ expriment les iné- galités qui viennent de l’aétion des trois fatellites ©” » C1, CŸ & du Soleil, fur le fatellite €! DES SATELLITES DE JUPITER. st XXXVIII. On fubftituera maintenant la valeur de x! dans la fe- conde équation de l’article XXXV , & on tirera par l'in- tégration la valeur de > mais on aura attention de faire évanouir auparavant (art.X X XIII le terme conftanc f"H"; ce qui donnera H'=o, Soit pour abréger L: 24 Bat a) 4 À Rial ai) (2) d1(4!, a!) — —e D2(4,2")— CES Zi(a',aï) + er fifa, a") B'CIN = 2 _ I 11 He A LI 3(2 4 ) 3(u x) 23(2 4 Dr er r3(a 4 ) &c. & pareillement 2 : 1 LI ee L S'EIX fi CC 4 ) qe 7, Z1(a » 4 ) + (as ME pi(a ) a a Le ÉCTIN. TÉ y 1 ,UI D2(2 34 = 2 (ut ur) Æz(a 34 ) & ainfi de fuice. Soit de plus f + PP 2 (a',a1) &c. É = Bt — IE » On trouvera A AE 4 —#) m— pu f=— fin. (M'E + 0!) HP (or, 27) fra )}s + D2(at, 211) fn.2 = ue + &c.) +0 k (ai, a) fin (+ à z(a!, a) fra (ui) tes &c.) (or (de) fin (a ul) 6 1(2,27 ) fin pe + &c.) + K'y fin.i(m—u }. ‘ 2 RULES Puifque g=u"#+7y (art: IV) on aura, en connoiffant 3» l'expreffion du mouvement vrai du premier fatellire par fon mouvement moyen. 1. 21G 2 s2 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS znue F É: Le terme —— fin.(M's+ 0") repréfentera l'équation du centre qui vient de la figure elliptique de l'orbite , & les termes fuivans exprimeront les inévalirés caufées par l'action des trois autres farellires & du Soleil. X L. ps Enfin l'équation + + N'zl—o donnera z'=— x! fin (N'r+ nl), xl & n étant des quantités arbitraires; car il eft vifble que cette exprefion Gfis.N'#+ H cof. N'+, laquelle repréfente généralement la valeur de 2 (art, XXXIV) peut fe reduire à celle-ci: x! fin. (N's + n°). XILAE On aura donc, à caufe de p==#2" (art. IV),p'=#x fin.(N'r+n) = rangente de la latitude du farellite par rapport au plan de orbite de Jupiter ; d'où l'on voit que l'orbite réelle du fatellice fera toute dans un plan pañlant par le centre de Jupiter, & dont on reconnoîtrala pofition, en remarquant, 1.° que zA' étant la plus grande valeur’de p',exprimera la tangente de l'inclinaifon; 1.°que N'#+ mn fera la diftance du fatellite au nœud afcendant , comptée fur l'orbite de Jupiter, laquelle étant retranchée de la longitude moyenne x'#, on aura (uw —N')s—n pour la longitude moyenne du nœud. Au refte, puifque l’on a iciN'=y" (art. XXXV ), le mouvement du nœud fera nul, & fa longitude moyenne fera —», ou plutôt 360°—»", quantité qui dépend des obfervarions ; mais il faut fe fouvenir que ce réfultat n’efk exact qu'aux quantités de l’ordre # près. D eh PA 4 On trouvera de même pour le fecond fatellite, les formules fuivantes. + DES SATELLITES DE JUPITER 53 M co (Mt + °°) —%"(#= 1(a!,a") cof(u—u')t+'2(a, a" )cofi(u"— uw) t &c.) dr a) cofu— Fa Le mA 2(a FM )cofr2( Qu) + EC.) —%""(z1(a a. )cof\ ue (at, ru Yycof. 2(u Vu) + RC.) — RME cf (m—u")r. = — fin (Me + 07) +x(® (a, a) fin (u—u)rt + 2(2!! a! jfina(u— p)r#+ &c.) +7 (e I (a a) Ga (au) 2(a et) fire ue") + &c.) + "(e I (a, a fin (ue — pu) +9 (aa) fin. 2 Vu") &c.) +K" y" fini(m Cp) f. a A fin (ur + 1). Et l’on aura enfuite = a" (14 x"), QU = pi+ ny) p'—="z". Quant aux quantités ri par Z & ®, on aura ana, at) ( (at, ae EP (alta) PARC RER fi(a,a)) Bin 4 = ÀCs (4) r 4(u—u" jf — M2 &r(a" a)= 24” Æ1(a D + fins it OT 2 TOPEPE 4 ) Gp F a ,4 ) 11 11 SAMEL SE we AS TSTENUT f CENTS CS ' « D1(2 ,4)— er) &1(a ,a)+ PPT p2(a ,e)à&c. Outre cela on aura 1" = g— au HU VE (a 6 n'es XL (aï a") 2 288 Na, a )— I KT 4 EXT. mr — qu — 2 Le 8®— 3 ( 1— Pr) Pre je m—u" ) 4(m—w) ME TELE , 3f" me” 8(m— uw") Enfin on trouvera les deux çonditions Z—=0 & 3 $4 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS H"= 0, qui ferviront à déterminer les deux conftantes fra&u", (art. XIX.) On aura des formules analogues pour le troifième & le quatrième fatellice, que nous nous difpenferons de rap- porter ici, parce qu’elles fe déduifent à Pœil de celles que nous venons de donner, $. 2. Valeurs numériques des coefficiens des formules précédentes. A LUTTE Soit en général, fuivant Particle XVIIT, (1—2900/8+q")i=A+B cofB+C cof.184D cof. 304 &c. g étant une fraction moindre que l'unité; on aura, en faifant 9 = _ , Ro qU— 4, (a — aa cof. (gg) +4") 43 (4+8B cof(p"—p')+C cof2(p—@") + &c.); donc (art. XXI), Ta al= +, D'r(ahiaf = À, r2(al a) € &c, ‘ On trouvera de même en faifant fucceflivement 1 x Les Le lux a [14 a a a Q = I 29 9 = 5 9 7 » ON trouvera, dis-je, A B I Eur I I 2e. (a, a) = 5 » Ti(a 47) 5» &c, A B as 2 FOR A Tate = > Fifa ,a = » &C. A B. ji ra a) 5, Ti(aa)= me » &c. & ainfi de fuite, a - À l'égard des quantités T(a/, al), T(aïl,a'), &c. Es DES SATELLITES DE JUPITER: 55 il eft évident qu’elles doivent être égales à leurs réci. proques T(#',4"), T(a',2"), &c. car les fonétions pa CARE PA OÙ, cof(@"— g') +all, a! PL PAT ns ç!) + al, &c. demeurent les HÉIERS en AU a' en a, & a en a/, ou bien a! en a", &alllena!, &c. X L'TV: De-là on trouvera (art. XXIV), 4 étant — = Fat, at) = NS, : Fifa, a") = HE ET — 4 Va(at, al) Le Hu Dé) re prie a Ec par l’article XXV on aura _gC— 21q A Qi(al at) TE +, gD—B fifa ,a")= 5 2 g'E—gcC Pa ,a = ——— , &c. & ces mêmes formules ferviront aufli pour les quantités 7 LA À IV V E III: MN 1 III #N,. I IV Fa, a hope ,4 ), pe 47); RC pe 54 ), [la ,4 )) d fla’,a"), &c. en faifant fuccefivement 3 ==; Ve a q—= 59) Ke Mais pour les quantités réciproques I&} 4 7), Le, a); &c. on aura les formules fuivantes: qB—14A da) = — Te 56 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS g9C—21B +294 I V 11 Fiat; at)= PES à, MELLE -T gD —:C+ 48 2(4 AU ———————— T2( »4) 5 ) UV qE -— 2 D + 9C (at a!) = RE, Rec, n" II I 3 — 2q A Le Tile ,4)= = Fm? 1 gD— 9B fz(al, a!) 9 à Die ,a)— se , &c. lefquelies auront lieu pareille= ment pour les quantités É(a"T,a!),f(2" 4), &c. en a faifant comme ci-devant 9 — mm» &C, XL, On formera enfuice les quantités marquées par # & par ®, (art. XX XIV & XXXVIII), ce qui n'aura au- cune difficulté. On remarquera feulement que, à caufe de 1 — ‘. — ag (art. XXIX) , on aura, en négligeant la quantité #g qui eft de l'ordre», f= n°, & de-là f—y"?, ft L fu : lAEPAE ÿ par conféquent M'= pl (article XXXV), & pareillement ME" M HIT = Le k MN = x, 1t Donc fuppofant 5 = =, on aura 4 AT NAS AT IT 20 VE CET CIT L: Biena) =(ne)e rie ee) VU 2 VU L EU) Gr EE En a CNT ATP IT = 365) 3292") 9(sæ1) 1 16e DE 23(a,e = (T3(ae") + DES SATELLITES DE JUPITER. s7 rÀ kr 1(a', 4!) =— Æi(a!, rer pi(a',a), I z(a!, all) — er) Zi(a',al)+ ir pz(a at), 2 Li D3(a', a") — VERS &3(a!,al) + Fr 13(4; a") > CG: Lit: De même en faifant s — “—, on aura & 2 I Bi(ar, a) = (Fa (at, al) + à 254) 5 — de &c. dr(a', at) = — Beat) Rat ai) &c. ET Va * Pareillement on trouvera, s étant — ns IL I U Ce me LURA TEST laps x . Ællz ,a)=(Ti(a sa )+—— te 2) = &c. ER EN. 27 Li CEE: = A XIV D1(4 ee &i(a hp LUS >4 ) &c. Et ainfi des autres. DEL -VSE Cela pofé, on remarquera : 1° Que les quantités pl, pl, pt, UV expriment les vitefles angulaires moyennes des fatellites €', ©, ; ©'* auiour de Jupiter (art. IV & IX); d'où il fuit que ces quantités font réciproquement. proportionnelles aux aux temps périodiques des mêmes fatellites. Or on, par lesobfervations, en néeligeant les fecondes, Révolutions périodiques, ä 1 tt 17 1e 18h27, 3j 13h13", gi 3h42", 16 16h 32", - Donc réduifant ces quantitésen minutes, on aura Li Il xt SLT si RAT NE 1x eo Lo Sri M 55501 LU T— 24032° 2.° Que l’on a généralement {= (art. XLV ); c’eft-à- Ë dire (à caufe de f— . (art. V) & de F=#+€, (art. X) Prix de l’Académie, Tome IX. H | | | | | 53 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS — 1 F : 5 12 La = F(1+nx)=#)= =; & par conféquent w°= =, pli — E rm Et TT a = La ; d'ou l’on voit que l'an BE [ra les quantités a', al, ali, 4lV font entrelles comme les LUF L Li 1 I . » quantités —, —, —, — ; ainf on trouvéra les valeurs fi . TOR TT NT 20 DARUONE AR Lt D de ces quantités, ou plutôt de leurs rapports , qui font les feules dont nous ayons befoin ici. Au rellte comme ces valeurs ne fonc exaétes qu'aux quantités de l’ordre # près, nous emploierons, pour les diltances moyennes des Satellites, les dérerminations que M. Caïini a cirées des obfervations, lefquelles ne s'écarcent d’ailleurs que crès-peu de la loi de Kepler; on aura donc , en prenant le demi-diamètre de Jupiter pour l'unité , a= 5,675 a!=—9,005 a"—14,385; a =26;, 30 Par le moyen de ces valeurs numériques, & des formules des articles XVIII & XIX, j'ai trouvé les déterminations fuivantes. l -760|0.780 0. 204 .8690. 3410.04 |, n° 1. 439 1. 368l0. 1070. 009|1. 640,0. 197|0. 92 &c. &c. | &c. DES SATELLITES DE JUPITER. 2 Et de-là (art. XLIV), (at, allt)(at, a) (a, a7) o. 037 0. 007| 0.213 0.003 (a° a) (a, a’) (aY, a) POP AA L°4 F; V Tr! 375732820375 —4.305)—8. 684) 4.651 —0.1 16|—1.262|—0.328|—0.960 — 1.47 * LE 136 —1.039/—1.467|—1.097|—1.349 r2 —1.298|—0.393 00 RÉ 5 64 DOI ERS CP PIE ERERRRE ES LEE [3 —0.938|—0. 1 66| —0.0171—0.853|—0.341—0.592 14 —0.736—0.03 1 —0. 004|—0.465 | —0.09 6|—0. 351 Sem Be | &e |r&c | &e. ÉCRIN PI D3 P4 &c. 60 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS fi! 1.796| 6.012] 19. 681| 1.802| 7.542 2.438 Bt F2 —o. 654 —0. 25 3| —0.0$3 | 0.73 1 |—o. 157—0.$7$ [3 —0.438l—0.133| —0.022|—0. 595|—0.082|— 0.422 [+ —0.175)—0.058] —0.004|—0. 365|—0.074l—0. 301 &c. &e | CC} &c. | &c. | &c. | &c. D'où enfin (art. XLV ) —0.20$, RTE} CR —0.003 (al, a) Kat, a) (a, a") | —0.739—0.133—0.02$ 179-000! ©. 187 0.682] 0.023 RAT | a — 0.180 0.004 mo ODE &c. 2.70$| 0.337| O.0$4—112.714 : ! P2|—356.982—0.292|— 0.023 —0.793 ; —1.02$ —0.029|—0.001| —0.148 | | &c. | &c. | DES SATELLITES DE JUrITER, ét | 2 IV Ill a, at) (art, alt) fat, eV) (av, at)l{atv, at ){(a pu) 1 |—0. 409) —31. s00|—0. S1 8 —o. 224|—0. 363—1.243 ar : | Æ2 |—0.01; 2333 —0.000|—0. 007 0.064 —0. 062; 3 —0.002| —0.1$0| 0. 27$|—0.000|—0.003|—0.053 | + —0.000| ——0:041 [0.066 —0. 000|—0. 000|-—0.017 &c. | &c. | &c. | &c. | &c. | &c. 0. 380]—60. 322| 1.659 0. 224 0.354 —0.492 rl lo: 000|—0. 0040. 129 2 —o.o11| —0. 80; 93 —0.002| —0.163|—0. 400] 0.000|—0. o01|—0. 052 P4 | 0.000| —0.041|—0. 08| pOo8E D boo!. D or &c. &c. | &c. | &c. | &c. | &c. | &c. | TETE En confulrant cette dernière Table , on voit qu’il y à Ù EDR 4 des quantités dont Les valeurs numériques font fort grandes ; telles font les quantités 2 2(42',4"), 2 1(all, 4!),5 2 (27,411), Zi(a,a"), & leurs correfpondances ®2(2 ,all), Pi(a", al), br(al, all), Dia ar) La raifon pour laquelle ces quantités ont des valeurs fi confidérables, c'elt que Le divifeur 4(5—1)2—1 fe trouve : (n jo 3 fort petic dans Le cas où = KA &s—"-; & que pareil- Le lement le divifeur (5—1)—x eft* fort petit lorfaue S P q ue uw 4 4 ; Sr, & s—-;, comme ilelt facile de s’en affurer, & au moyen des valeurs de x! , 41, 41 données-ci-deflus. 61 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS Cette remarque eft d'autant plus effentielle qu’elle fere à expliquer pourquoi Les équations émpiriques des farellites de Jupiter fonc en effet les feules qui puiffent étre bien fenfbles: voyez plus bas art. LVIII & fuiv. KE EVE EE Il ne refte plus maintenant qu’à chercher les valeurs des quantités 2 & y. (art. XXXVI& XXXVII). Pour cela, on remarquera que la quantité # qui repré- fente la vitefle angulaire moyenne du Soleil autour de Jupiter (art. XX VIT), eft extrèmemeat petite par rapport aux quantités w, vitefles moyennes des farellites ; d'où il fuic qu’elle pourra être négligée vis-à-vis de ces dernières quantités ; or ona HA GAEnIRe (arc, cités), ke ss (eye 3f e=i( En pen Pt es RE c'eft-a-dire, à caufe de f—u?, & My (art. XLV) k m°? k zu? 8 =: = Fu, A(m—p)—u2 ? NS Im — pu B— 8(m— Kw)? donc en négligeant les quantités #, on aura: Bt, Ry=—i1—$—— 7. A l'égard des quantités g & qui doivent être détermi= nées par les équations Z—0, & H—o, (art. XXIX, XXXV & fuiv.)ileft inutile d'en chercher la valeur, puifqu’elles ne fe trouvent point dans lexprefion des coefficiens de nos formules. Formules des rayons veéleurs , & des longitudes vraies des Sarellires de Jupiter par rapport au plan de l'orbite de cetre Planète, D, Qi LE ser: da Dans Les formules fuivantes, j'ai remis au lieu de »y}, DES SATELLITES DE JUPITER, 63 ne 3m #70 , les quantités CUT, CR (art. HR? & 7 XXIX); & j'ai fubititué pour#K!,#K",#K1 #KW, . a3 À leurs valeurs en nombres; car puifque #K — LE (article [4 cité), & que É —=u#* (art. XLVI), & par conféquent auff m? ’ 2K1— = m2 1: 112 & m? = —=#*, on aura #X— — ; donc X'— à & &c. Or #7 érant la viteffe moyenne angulaire du Soleil autour de Jupiter, & y les vicefles moyennes angulaires des Sa- : m 1Ë Mugh2g Um k 13h 13° HS anagrd net n) #, 07 23" = =, a 4332: 12h. 20 & 4332: 121: 20 m 7 uk r3! m 16 16h, 32! 4, e EE ——— Û— , & = "3"; d'où l’ontire à-très- A 4332) 12h20 we 4332) 121: 10 m? peu près zK1'— 7 0.000000, n K1—o, 0000007, #K°®=c.0000017, #K\Ÿ—0,0000148. Outre cela, au lieu de le, pe ny, Vs, & me, qui repréfentent les valeurs moyennes des angles @,@";@"1, g" &+4, c'eft-à-dire des longitudes moyennes des quatre farellites , & du Soleil vus de Jupiter , & rapportés au plan de fon orbite , j'ai mis les lectres #1, #11, ll nl & p, De même au lieu de M'r+ 0, M + 0, My + ol, M"t+0!" anomalies moyennes des Satellites, j'ai fub- ftitué pour plus de fimplicité 1,7 ",y M iv, Enfin j'ai exprimé les rayons vecteurs en demi-diametres de Jupiter, & les longitudes en minutes. De cette manière jai trouvé : ” 144 Rayon veéleur du premier Satellite. = 5, 67(1+néc0f. V1) 64 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS + C (4 19c0f (4° — y) — 1014, 03 cof.2(n"—#) FE » 87cof.3(n"—#")—1, 02c0f. 4(n—n") &c.) os 75 cf (nu — nu) — 1,06 cof.2(4 7 — y) —0,1300/.3(4"—y")— 0, 02 cof4(a"—#')&c ) D (0, 14c0f (4 V—#")—0o, MAL Cd “2 00 cof. 3(u! tn 00 cof. 4(uY— 7) RC) — 0. 0000009 cof, 2(v—#!) RU veélèur du fecond Satellite. = 9,00(1+%e"cofV") + TE (518; 78 cf (#—#")+ 5,73 cof2(# —#") + 1,36c0f.3(#—#")+0, 49 cf 4(n— 0") &c.) + (7 16 cof (nu —#")—824,07cof2(ut— ut) — 6,29 00/3 (04 —4")—1,66 cof4(u"—u")&c.) +To, s260 (nu — y) — 4,85 cofi(n—#") —0,1160f.3(4%— 4) 0,04 cof4 (ni —#") &c.) — 0, 0000060 60f. 2(v—#"). Rayon veëleur du troifième Satellite. . D 14, RO ten) + E (5:88 cof (a —n)+0o,19 cof. 2(u—u re 03 cof3(n—#")+0300 c0f.4(u— 1") &c.) + “(452,98 cof. (n° —#")+ 9313 pu bone. MA. +2,16 c0f.3(4—4%)4+0, 59 cof.4(u"—#") &c.) ++ 7: 46c0f (8 — nt) — 33, 62 cof 28 V— nu") —3,95cof.3(2%—4)+o, 95 cf A(uV— nl) &c.) _æ—0; 0090392 cof2(v—#l) III Rayon DES SATELLITES DE JUPITER: 6s Rayon veëleur du quatrième Satellite, | rY=25, 30(1+% cf V1) +€ C5 66cof (#—#Y)+o,ot cof.2(u—"u"") +0, 00c0f.3 (n—#")+ 0,00 cof 4(n— nY) &c.) + % (9:18 co. (a —n")+0, 17 cof 2 (#1— y +o,07cof3(4l—yY)+o, 00 c0f. 4 (ny ) &c.) +SG, SC (Hu) +1,62 of 23 (#0 yV) III +1,35 00/3(4"—#")+0, 43 cf An") &c.) 0 0003754cof2(v—"#"). | LIL Longitude vraie du premier Satellite. Qu 140, 35! nd fin. V' + Ç ( 9300" fin. (°=—#")— 1227214 fina(ut— y) — 3526" Jin.3(n"—#"})— 705" fin. 4(n"—n') &c.) AN (1158 fin.(#®—#)— 1007 fin.2 (a y) —101 fin3(n— 0) — 18" fin 411) &c.) Le < C188' fin. (nn) 81 fin2 (np) 3 fin. 3 (na — nu) — 0 fin. 4(uY —n") &c.) —0",047 fin.2(v—"w) Longitude vraie du fecond Satellite, qU— DE 149, 3 s' nel fin. pu Prix de l’Académie, Tome 1X. I 66 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS +C n Cr3874821f fin (—n)—2727 fin.(u— 0) pos Prat ui pt) —1 2" fin.{w—u") &c.) + Ÿ (10067 fi. (a y) — 626146 fin.2(n"—"") en (y) 825" fin.4(u"—wt) &c.) (506 fin (a V— ut )—3 123! fin.2(u y )— 52 frs (an) — 17 fin. 4( uw) &c.) —0", 190 fin.a(v—#"). Longitude vraie du troifième Satellite. QU = 41 I 140; 3 s’ ne fin. pu + C( 1306 fn (ut nt) — 38 fin. 2 (4° — #7) me 8" fin 3 nt) x fi. a( nu") &ec.) ++ (—207375 fin (nu) —2760" fin.2(u" #7 — ie fin (nn) 142! fin.q(u 77) &c.) += (5703! Jin (ON) — 14911 fin —n —1376 fin.3(n ut) — 306! fin (nu) &c.) —0",977 fin.(u—a"). Longitude vraie du quar,ième Satellite. QU nn 114, 35 ne fiu.VY + É (768 fn. (w— nl) 0" fin. 2 (nu) = 0° fe 3(4— 0%) — 0! fin au — un") &c.) 2e E Cr 219 fr (ain) 1 fin — ny") 3 fin.3 (ui) — 0 fn.4(n— ni") &c.) DES SATELLITÈES DE JUPrITER: 67 + (Sn (—1 Go1' fin (un — y\)— 444! fin (a yY) — 180" fin.3 (nu) 50 fin. 4(n"— 1") &c.) — 4", 108 fin.2(v—n"), $. 4. Où l’on donne Les cnégalités des Satellites, qui dépendent de leurs configurations, & qui ont leu au temps des éclipfes. Li IL ef vifible que les éclipfes des Satellites, c'eft-à-dire Jeurs conjonctions avec Jupiter, arrivent lorfque leurs longitudes @ diffèrent de 1 80° de la longitude + du Soleil vu de Jupiter ; de forte qu'on aura généralement l'équation ®—Ÿ— 180°; ou bien, en mettant pour ç & +; leurs va- leurs # +25 & v+n]i u—v—180+%7]— ny; où 7] exprime l’équation de Jupiter, y l’équation , ou plurôt la fomme des équations du Satellite, & #—v la diffance, ou bien l'élongation moyenne du farellite ; donc pour avoir la conjonétion vraie, il n'y aura qu’à ajouter au temps de la conjonétion moyenne la quantité #J —#»y convertie en temps, à raifon du mouvement moyen du fatellite au Soleil, converfion qu’on fera aifément en multipliant la quantité propofée par o, 1179 pour le premier fatellite, par o, 2369 pour le fecond , par 0,4771 pour le troifième & par 1, 1 169pour le quatrième ; & changeant enfuite les degrés enheures , les minutes en minutes de degrés, &c, ces nombres fe trouvent, en divifant les durées des révolutions fynodiques des faellices, lefquelles font de 1j: 18h: 28° 36", 313%: 54", 7i 3h 59° 36", 165 18h 5" 7" par 360°, après avoir réduit le out en fecondes. s 2 68 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS LP Nous allans donc donner ici les équations des con: jontions des fatellices ; mais nous ferons abftraction de de celles qui viennent de l’excentricité de Jupiter, & des excentricitis particulières des fatellices , parce que les unes font affez connues des Aftronomes, & que les autres ne font pas affez exactes pour qu’on puifle s’y fier. CHINE Équation du premier Satellite. a (— 1097 fin. (un) + 144800! fin. 2 (ww) + 416" fin (n° — 1) + 83 fin.4(n"—n") &c.) + à — 137 fin (a) + rr9 fin nl) + 12! fin (enr) +2 fin aa) &c.) + _ (— 22 fin (a) + 9! fin. — y) + 0! Jin. 3(u V0) +0 fin au) &c.) LV: Equation du fecond Satellite. EC 91810" fin. (n° —u") + 646 fin.2(u— 1") 4121" Jin. 3(n— 0) + 3! fin.4(u—n) &c.) + . (—238 5 fn. (0 ut) + 148383" fir2(t y) +881" fin. 3(e— 0") +195" fin.4(u nt) Rec.) + <- C— 119" fin (0) +740! fin.2 (a — 9) + 12! Jin Wu) + 4 fire 4 (UT mn HT) EC.) DES SATELLITES DE JUPITER. 69 LB V.E Équation du troifième Satellite. C(— 624 jir. D — y) )+18" fin.2(n un") + 4 cie 38 — 4") + o' fin.a(n— nu") &c.) + D (99075 fr. ( (4) + 1319 fin. 2 (a y) desc Gn,3(0—n")+ 68! fin 4 (u— y") &c.) + 7 fn.3 ) (2725 fin (8 — 4) + 7124 fin. 2 (a Férins Jin.3(u Yu) +146 fin.4( BY y) &c.) LOVE É quation du quatrième Sarellite. Re Du") +0 fin.i(u— 1) ) &c.) + FE (—1362 fin. (an) +38 fin.2 (uv) 4ÿ Jin. (ns) — 0! fin 4 (ut — 12") &c.) + D (1888 fin, (au) + 496 fin. 2 (nu IV +201" fin.3(n"— nu") +66 fin.4(2 y) &c.) J'ai négligé dans ces formules les termes dus à lation du Soleil, & qui font de la forme de fn. 1 (v—»), parce que ces termes deviennent nuls au temps des conjonctions ou l’on à #—v—180°, 70 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS $- 5. Comparailon des formules précédentes avec les P . P . obfervations., & conféquences qui'en réfultent par rapport aux maffes des Satellites: PUNPALCTAE. Nous nous contenterons ici de comparer nos formules avec les tables de M. Wargentin, qui font, comme l’on fait , le réfulcat d’un grand nombres d'obfervations ; mais avant d'entreprendre ce parallèle , il eft bon d’avertir que les tables de ce grand Aftronome font dreffées de manière qu'il n’y a aucune équation fouftraétive , quoique les équations qu’il a employées, foient de nature à être tantôt additives & tantôt fouftraétives ; cela vienr de ce que l’Aureur a retranché , par avance des époques, chacune des plus grandes équations fouftractives ; deforte que les équations des tables fe trouvent nulles dans le cas où elles auroient été les plus grandes à fouftraire , & que leur plus grande valeur eft double de ce qu'elle auroit dû être, L'EX En examinant les différens termes de la formule de l'article LIV , on voit qu'il y en a un dont le coefficient numerique eft très-grand , & vis-à-vis duquel tous les autres termes ne font prefque d'aucune confidération ; Lil C c'elt le terme - 144800" fin. 2 (u®—"'), d'où réfulte une équation qui a pour argument 2 (4"—""), favoir le double de la diflance moyenne du fecond fatellite au premier, au temps des conjonctions de celui-ci, & dant DES SATELLITES DE JUPITER\) 71 la plus grande valeur eft de Ç 144800, _ exprimant le rapport de la maffe du fecond fatellice à celle de Jupiter. Pour mieux connaître la nature de cette inégaliré qui doit avoir lieu dans les conjonétions du premier fatellite, il faut chercher fa période, laquelle dépend du rapport des révolutions fynodiques des deux premiers farellites. Or fuivant M. Wargentin, on a pour la durée de la révo- lution fynodique du premier, 1" 18% 283$" 56"58"%, & pour celle du fecond, 3 13° 17 $3"45 7° 5 d'où l'on trouve , en additionnant fucceflivement ces nombres, que 247 révolutions du premier font 437" 343 59"31"", & que 1 23 révolutions du fecond font 437" 3" 41"11"29"5 ainf pendant que le premier fait une révolution parrapport au Soleil, le fecond ne fair que 2 d’une pareïlle révolu- tions d'où il fuit que la diftance #"! — #! du fecond fareilire au premier augmente dans l'intervalle d'une conjonétion à 123 l'autre, de ( 5 — 1 }360°; pour avoir une exactitude plus grande, on additionnera de nouveau les périodes du premier & du fecond fatellite que nous venons de trouver, jufqu'a ce qu'ils faflent des fommes à-peu-près La . égales , &lon trouvera que 449$ 38 révolutions du pre. mier font 795619) 13" 28'8"26"",|& que 223860 révo- lutions du fecond font 79$619ÿ 13" 32° 19" 40"; c’eft pourquoi on aura, au lieu de la fraétion 255, celle-ci 2123860 beaucoup plus Exacte 24550 s Soit maintenant 8 la diftance du fecond fatellite au premier au temps d’une conjonétion de celui-ci, cette - 1 à : 3 223860 diftance cr après # révolutions 6+ (if) 360°— #" — y ; donc on aura 2(#7—#)—20 447710 oi - 1318 LE Hu (iissis —1)360—10— (555 +1) 3607; 712 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS & fin.2(n— 4") = fin. (29 mr LE 380°) i. donc pourque cette quantité redevienne fi. 286, il fauc que 1818n _— j — ÉLIRE s C’ ao 1, ce qui donne = Si 247, 2703 C'elt le nombre des révolutions du premier fatellite qui exprime la période de l’équation #n.2(47—n"), Or 247 révolutions font ä-très-peu-près 437 3"440"5 & 7 de révolutions font 11" 28/7", donc la période cherchée fera de 437 15" 12° 7", L X. Voyons à-préfent quelle doit être la marche de cette équation; pour cela, nous fuppoferons 4= 0, c’eft-à-dire, que les deux farellites fe trouvent à-la-fois en conjonétion, & nous aurons, après un nombre quelconque # de ré- volutions du premier fatellite , f.2(#—n) = 1818 — fin.n 255 3609, ou bien en faifant , pour abréger , = #58 — au nombre des révolutions qui forment la période de l'équation , fiz. 2(#"— #1) =— fin. ; 3602. De-là on voit que l’équation fr. 2 (#!!—#!) fera nulle au commencement de la période , qu’enfuire elle devien- dra fouftrattive, & qu’elle fera la plus grande à fouftraire , lorfque 2—=£, c’eft-à-dire, au quart de la période; après quoi elle redeviendra nulle à la moitié de la période, enfuite fe changera en addicive croiffance jufqu’aux trois quarts de la période, où elle fera la plus grande, & enfin décroîtra pendant le dernier quart, pour fe retrouver nulle au commencement de la période fuivante, L.X:E Je dis maintenant que l’équation que nous venons d'examiner eft la même que celle qui fe trouve dans les | tables DES SATELLITES DE JUPITER. 73 tables du premier fare lie , defignée par la lectre C, & qui eft la feule que les obfervarions aienc fait connoître juf= qu'ici. En effec 1.° la période de cette équation et, felon M. Wargentin de 437 19° 41' environ, ce qui s'ac- corde admirablement bien avec ce que nous avons trouvé dans l'article LIX; car la différence de 4" 28° qui s’y trouve , n'eft d'aucune confidération par rapport à un intervalle de 437" 2.° Si on examine l'équation Ç.on verra qu’en Otant toujours 3’ 30” (moitié de la plus grande _ valeur de cette équation, felon la remarque de l’article LVIII), & établiffant le commencement de la pérlode ( qui eft ici divifée en mille parties) au nombre 7$0, on verra, dis-je, que la marche de cette équation eft la même que celle de l’équation fr. 2 (#"— #7) (art. préc.). De plus on trouvera, par les tables du premier & du fecond fatellite, que dans les conjonctions du premier fatellite , qui répondent exaétement au nombre +50, l'élongarion du fecond farellite eft nulle. Donc, &c. LXIL De-là il fuir que les nombres C des tables du premier faellite ne font autre chofe que les diftances , c’eit a-dire, les élongations du fecond fatellite au premier ,au temps des conjonétions de celui c1, le cercle étant fuppolé divifé en 1000 parties, deforte que le nombre 750 ré- ponde aux conjonétions des deux farellires & 2 ç0 à leurs oppofitions; cette remarque fournit un moyen de rectifier les époques de ces nombres, fi elles en avoient befoin, & de les prolonger autant qu'on voudra, fans craindre de s'égarer. LRAEISE La plus grande valeur de l'équation € du premier fatellite eft de 7°, donc il ñe faut prendre que la moitié Prix de l'Académie, Tome IX, K 74 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS (art. LVIIT); donc, comparant cette valeur avec le coef- It cient de l'équation 7. 2 (#° —#°) lequel eft € 144800’ 1 LI on aura 144800 = 7, d'où l'on tire ne Hs — 0,00001417 =,51 à-peu-près;s c'eft le rapport de la mafñle du fecond faellie à celle de Jupiter. Si on prend là mafle de la Terre pour l'unité, on a #—363,9, : Il 11 \ \ ce qui-donne €"—0,008794 = à-peu-près. Suppofons que la denfité de ce farellice foit la même que celle de Jupiter, ou au moins qu’elle n’en diffère que très-peu, ce qui eft très-naturel, on trouvera, en prenant le demi- diamètre de Jupiter pour l'unité, que celui du farellite eft 0,0289 , c'eft-à-dire, environ =, ce qui donneroit pour le temps que le fatellire doit employer à entrer dans l'ombre de Jupiter s’ 14", ce qui eft à-peu près le milieu entre les réfulrats des obfervations de M. Maraldi & de M, Whifton, (Mém. Acad. 1734). | ED. 1 2 Il feroit tout a-fait inutile d’examiner les autres termes de la formule de l'article LIV ; car il eft clair qu’il n'en pourroit réfulter que des équations extrêmement petites, & par conféquent infenfiblés, à moins qu'on ne voulût fuppofer les mafles du troifième & du quatrième fatellite, énormément grandes par rapport à celle du fecond, ce qui ne paroît guères naturel; d’ailleurs l'équation que nous avons examinée eft la feule qu'on ait jufqu’ici déduite des obfervations. LEXNE Paffons donc à la formule de Particle LV, qui renferme les équations des conjonétions du fecond farellite. Parmi tous les termes dont cetce formule eft compolée , j'en - DES SATBLLITES DE JurtTer 75 diftingue d’abord deux qui fonr beaucoup plus confide- rables que les autres par les cocfficiens numériques dont is fonc affeétés ; favoir : (ds Me Dont l’un vient de l’aétion du'premier fatellite, & l'autre de l’ation du troifième. Ces deux termes produifent , comme l’on voit, deux équations dont les argumens fonc 2'—1", diftance moyenne du premier fatellite au fecond, & 2(4—4") double de la diftance moyenne du troifième fatellite au fecond au temps des conjonétions de celui-ci. Je remarque maintenant que la durée de Ja révolution fynodique du troifième facellite eft de 7° 3" ç9'35" 55" 23 ",felon M. Wargentin; ce qui donne, pour 61 révolutions, 437" 3° 35 31"18",& pour 111021 ré- volutions 795619 13" 291" 55" 5 or nous avons déja trouvé que 4495 38 révolutions du premier font 79561 9 13" 288" 26", & que 223860 révolutions du fecond font 79561913" 32° 19" 40" (art. LIX); donc les mou- vemens des trois premiers fatellices au Soleil font entreux comme les nombres 449538, 223860, 111021,& les différences entre les mouvemens des deux premiers & les mouvemens du fecond & du troifième font au mouvement du fecond comme les nombres 225678, 112839 au nombre 2 2 3860 ; donc pendant que le fecond acheve une révolution au Soleil, les angles #1— 47, & #71 4" croiflent de 25578 360°,&— 5557 360°; donc l'angle 2(47— 4") diminue à chaque révolution du fecond de la même quantité dont l'angle #7 — 411 augmente, favoir de 55575 3 60°; donc la quantité #— #42 (4"— 4") eft toujours la même dans les conjonctions du fecond fatellite. Examinons donc une conjonétion quelconque de ce K 2 D 91810 fin. (at nt) + 148383 fin2(ut— 4"), 76 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS facellice , &v »yoas quelles font les élongations du premier & ditrouiène, ce:t-a-dire, les valeurs de #1 — 41, & de #1 4; je prends pour exe nple [a prenière con- jonction de l’année 1760, laquelle eft marquée dans les tables à 2° 13° 42° 50", à quoi ajoutant la moitié des plus grandes équations , fâvoir, 1% 35! 6”, (art. LVIIT) on a 2 1$"17 $6" pour le rems moyen de la conjonc- tion moyenne du fecond facellite; je trouve dela même manière, que les premières conjonétions moyennes du pre- mier & du troifième farellice ont dû arriver à 1} 10" 48! 48", & à 3° 5" 54 56” detems moyen; d’où je conclus qu'au tems de la conjonction du fecond farellice, le pre- mier étoic plus avancé de 1Ï 4" 29/, ce qui fair 241° 24, & que Le troifième étoit en arrière de 14" 37, ce qui vaut 30° 27 5 donc #—#l—241° 24, & 4" 30° 27; par conféquent & — 4° + 2 (au — 4) = 180° 30'— 180° à très-peu-près. On aura donc en général 2 (4 — 41) — 1809 (ul ut) & fin 2 (#4) — fin (#!—#"); ainf les LT /4 2 deux termes € 91810 fin.(a— #7) + _ 148383" fin. 2 (M — 4) peuvent fe réduire à un terme unique, (@ ? CE ; tel que ( E 91810 + HT 148383") Jin. (a — «"), lequel ne donne qu'une équation dépendante de l’élon- gation du premier fatellite au fecond. LXVI Soit, dans une conjonétion‘du fecond fatellite, #!— #71 = #, on aura, par ce que nous avons démontré dans l’ar- ticle précédent, après 7 révolutions de ce même fatellice, D — y" 0 +" 58 3600; & par conféquent fr, (a 4) = fin, (0 + n 1 360) = Jin. (0 47 DES SATÉLLITES DE JUPITER. 77 73360 360° ); d’où l’on voit que cette quantité ne peut d : û \ h P 3: LBUIBT redevenir fr. 4, à moins que lon n'ait # HE = 1, ce qui donne » = 123, 136 ; c'eft le nombre des révolutions du fecond fatellite qui forment la période Dee”. de l'équation fin. (#!—""), & l’on trouvera que cette » : : période eft la même que celle de l'équation du premier facellice, favoir de 437 15" 12° 7” (art. LIX). Mettons p au lieu du nombre :##42, nous aurons : re 1 (EST n O\: 4 1220 4 )}= fin. (8+ 2% 360°); donc fuppofant au com mencement de la période 4— 0, c’eft-à-dire, les deux premiers fatellites en conjonétion à la fois, & faifant RER YEN AN AP Hi fucceflivement » — 0, n=?t,n=£t,n=?, &n—p on trouvera que l'équation dont il s’agit eft nulle au commencement de la période , qu’enfuite elle augmente jufqu’au quart de la période, où elle eft la plus grande; que de-là elle diminue & redevient nulle à la moitié de la (HD A . ST . ee période, après quoi elle fe change en négative, &c. LUX VIE Si on compare maintenant la marche de cette équation avec celle de l'équation C des tables du fecond fatellite, on verra qu'elles s'accordent parfaitement, pourvu qüe lon ait attention d ôter conftimment de cette dernière équation 16 30” moitié de fa plus grande valeur, & qu’on fixe le commencement de la période au nombre 150. Ainfi les nombres € des tables du fecond fatellite indi- quent les élongations du premier au tems des conjonétions du fecond. deforte que le nombre 250 répond aux con- jonctions des deux fatellites, & le nombre 750 à leurs oppofitions. Voyez là-deflus la diflertation de M. War- entin qui eft à la cêce des Obfervations du fecond fatel- re , dans les Mémoires de la Société d’Upfal pour l’année 1743° 78 RECHERGHES SUR LES INÉGALITÉS EL: X NICE ‘À Il ne refte donc plus qu’à égaler Le coefficient de l’équa- tion fi. (#!— 4°) à la plus grande valeur de l'équation C L aix des tables , ce qui donne : 91810 + TE 148383 == ii; deforte qu'en fuppofant ©=# C', on aura C' 3 3 & (Su Eu 33m TP —_ 183610+196766m" TT 183610+196/66m Soit par exemple # = 1, c’eft-à-dire, les mafles du premier & du troifiéme facellite égales entr'elles, on aura (es (en = 5 = = ;péigz — 0, 00006869 = 5 envi- TE TE TT 480336 ron; d'où, en fuppofant les denfirés des farellites égales à celles de Jupiter, on tire leurs demi diametres = 0,0409 environ de celui de Jupiter; ce qui donne pour le tems que le premier devroit employer à entrer dans l'ombre 5° 51”, & pour le rems que devroic employer le troifième 9° 21”, : Au refte, quelque foit Le nombre #, comme il ne fau- roit être ni infini ni nul, il eft clair que les quantités CAC : ! : : +, — font toujours néceffairement moindres que la K fraction LH —0,coot111,ceft-à-dire, en prenant = < la mafle de la Terre pour Punité Fa ? IV 1 nuer de FEES 360°; donc , nommant 8 l’angle #7 —#"4 dans Le tems d’une conjonction quelconque de ce fatellite, on aura après # révolutions, #/Ÿ — gl = 07 HELE 65666 3600, & 2 (HN) = 2 0— ESS 360°, d'où Jen. 2 (NV) = fin, (20—n 255% 360°); par conféquent la période de cette équation ne fera que de o7 L4 2 \ . 1 . — = révolutions, c’eft-à-dire, de 6, 920 révolutions, ce qui fait 49" 14", 12° à-peu-près, Ne feroir-ce point là la fource de ces inégalités qu’on obferve dans les conjonc- tions du troifième fatellite, & qui font des fauts confidé- rables d’une conjonction à l’autre ? c’eft une vue que nous propofons aux Aftronomes qui s'occupent de la théorie des farellites. LB, pi 2 - Il ne refteroit plus qu'à examiner les équations des conjonétions du quatrième fatellite, contenues dans la formule de Particle LVIII : mais ayant déja trouvé Li C'= 0, 00002417 F, & qg — . &c. EP NDRNE Ayant donc fait le calcul de ces différentes quantités , j'ai trouvé les valeurs fuivantes : a re: aY j es 1, 366| 13,85 6] 2.198 8,288 27.331| 4095] 1399] 26,083] 3,179] 15,144 23,754] 2, 544] 0,550 22, 646| 1,80) 12,400 19,523] 1,151 0,515] 175 47] 1,185 9,402 &c. | &E: | &c. | &c. | &c. | &c. 2,856] 0,395] ©0990] 2,754 0, 287) 1,627 53767) 0.912] 0. 298 5539) 0, 709) 5,268] 0,639] 0,186] 4,783] 0,541] &c. | &c, | &c, | &c. | &c. | Q1 -10,717|-—2, S47—1,03 11 10,335]—2,068|—6,909 @2| —9,0$9|—1,510|—0,336) —8,993|—1,075|—$,423 &c, | &c, | | &c. | &c. | DES SATELLITES DE JUPITER. 95 | | | ‘ | (a, a) (Ce, at)(at, a )f(att, a")(a", a'v)|(a, Y ni | °: 534 | 9,050 | 9, 008 [0,514 | °,036 | 0,389 [tes at) (at, a1)(av, at) att, at) (av af) es 2) M|45e4 | 2,579 | 2,128 | 4,401 | 2,454 | 3,837 LXXXIL A l'égard des valeurs de Y(4',4") &c. nous les avons données ci-deflus (art. XLVII); auffi bien que celles 7 #', 24" &c. (arc. XLIX; & pour ce qui eft des quantités #x A2 il y (art. XXIX ) on aura, en faifant 4 , demi-diametre de Jupiter, — 7, & mettant pour a, a" &c. leur valeurs (art XLVI), on aura dis-je : #X\=0,03110.7, 7x = 0,0 L2 344), 2X = 0,0048 4.7 nX Y—0,00156...9. la quantité » dépendant de la figure, & de la conftitution intérieure de Jupiter , comme on l'a vu (art. XVI). LUX"X 2: IEP. Toutes ces fubftitutions faites, on aura, après avoir . Li ((@ I remis au [leu de 7y", #y" &c, les quantités = , = &c. Ne Pr en À #°T ut IY nC—0,982 _ +0,124 7 +0,022 = +0:;0124407 +0; 0000003, PO ,5 62 € +0, 949 = Dr L se Et +©,0000010, 96 RECHERGHES SUR LES INÉGALITÉS €" GC a z +673 TE +0001936% nEM—0,307 Le + 1,467 + O0, 0000040. LL: ut #6V—0,050 C + 0,260 +H1,139 © +0,0006 141 Æ # +O,O0000222,. L,X X1IX:1 M: Pafons maintenant aux formules qui donnent le mou- vement des nœuds, & nous trouvons d’abord pour le pre= mier fatellite (art. LXXV ). Nip + nf (x T4; Lg + XT(a!,a") de 4 Dia, a) ++ Kl4 is) + 2vut ft H"5 c'eft-à-dire, en mettant u' au lieu de f", & négligeant le terme 2#uf" H" quiet du fecond ordre, à caufe que H' eit déja de l’ordre de z (art, LXX VIN). Nr—y (1 + (al, al) + ME (at, af + ny Ta, a) + rK'+2nxt); ‘donc fi on fait pour abréger, Ta, a) + al, al) al eV) ER 3x de même m1 = XT (ar : a}) 4e ue Fe”; æ 7) “e XYT(e", a +iAN+IxT d 7m = LT(a” $ a) se Tr (ar À a) a XPT(ar, a") js EE. Qu APR + xt 1% IV 1 1% A4 11 ill IV 111 m'y T(a sa )+y% pis 5e") T(e",4 ) + LAN + SX. On aura pour tous les quatre fatellites Ni=pl(i+nr), N'=p(1+inr) N® PE | î +7) L N'=p"\( 1 +127) &c. Pour ) DES SATELLITES DE JUPITER. 97 Pour tirer de-là le mouvement des nœuds, on remar- quera que (w—N) # — nexprime en général la longitude moyenne du nœud afcendant (art. XLI);5 d'où il fuic que le mouvement de la ligne des nœuds fera au mou- - vement moyen, comme w— N à, c’eft-a-dire, comme AT 1 f \ ——à1;par conféquent les nœuds reculeront à chaque révolution de 2 #7 x 3 60°, . L'AOCENT, Or, on trouve par l’art. XXXII, en failant fuccefliye- mentg= +, = % &c. p(aal)=gA+rT(a, a") pia,a")=g A+py(a a") &c. enfuite, pa ',al)—= A+ÿ(a", a°) Se) A+y(a”, a’) &c. ce qui donne (arr. XLVII) | | | | (ai, aït) |(at, at) (at, et te”, a")(a, a")|(a”, a F [0,981 | 9,126 | 9,018 | 9,942 | 9,087 | 0,576. ANT SATE LT) I I nl, (a! ,a ) a ,a Ca, a )fte ,a far, art)|(arv, a Tl1:558 | 9,320 | 0,083 | 1,506 0,245. | 1,013 EXX,X ML CÆe Donc faifant ces fubftitutions, & remettant AL à &c, au lieu de #y°, 7%", &c, on aura Prix de l’Académie , Tome IX, N 98 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS = 0,981 € +0, 126 SE +0,08 +0,0186607 + 0,0000003 #7 Up 94 +0, 087 +0,007404 + O0, 0000010 n7 = 0,310€ + 1,506 € +0, 576€ +o,;, PORTA 0000040 nr = 0, ,085 +0, 245 C+i, 13€ + 0,:000936+0; Hbée Sa Où l’on montre la néceffiié d’avoir égard, dans les calculs de l'équation du centre, @ de la latitude, à quelques termes de l'ordre n, des équations (G),&(K). EL 2 XV E Nous avons trauvé (art. LXXVIT) x=e cf (M'r+ 0°), & y = à fin. (M's+w!); on trouvera de même xl IL cof. ue RE a!) ,7" RATER = et fin. ( (M + w"!) & ainfi des autres. Cela pofé, fi on reprend l'équation (G) de Particle LXXVI, & qu'on fubftitue dans le terme 2 fx ia al )cof (u"—u)t,au lieu de x1f2 valeur x*"+ 6%, on verra que la quantité x cof(u"— p')e renfermera un terme de cette forme cof. ((M—n%, DES SATELLITES DE JUPITER 99 çu : +u)t+ 07) = cf (ul — +) t+ 0"), lequel étanc cfa) + ut) EEE; ? ainfi le terme intégré deviendra 1/1 V 3 NE 2 pie, a") x cof. (ue — ul) # de l'équation diffé- rentielle donnera dans la valeur de x! Je terme fuivant : mf + 1(at, 2) cof((4"— set) 7: x" f" F* (a, a") —— 2(E— C1) 1 z CS ET CSC cof.( (u'— =) t+ o") , lequel appartient , comme l’on voit à la première valeur de x:!. Pareillement le terme nf" x (a, a) cof. (ut y) donnera dans la 2 V au fL Le ut sr 2. € f +. 1(4°,4") 1 valeur de x‘ leterme te) cof((u— & il en fera de même de quelques autres termes de l'équation (G) dont nous parlerons plus bas, On trouvera de la. même manière dans [a valeur x'f" YF 1(a" u\) €: de ad les termes af) cof.((ut— _ ) + 01) » ant Lu [ut eu Le cof (Ça — =) + 0111) ; lefquels étant de nouveau fubftitués dans le terme 7" ftp 1 (at, alt) xt of. (m"—y"')# de l'équation (G), en donneront deux LA 1 Lu Li D A ATP M Ptit NY (2,4) autres de cette forme :%f1 ral, alt) x TE) xp Se (a, sé) «(Cu — À Je+et), VAS CT (a',a't)x Are a ; nes ‘ sof. (( pi — =) t+ ae") ; le premier de ces deux termes ue n£ — +0"); produira (à caufe de y! — = — M) dans la valeur de x" un terme qui fera multiplié par l'angle, (art. XXXIV); ge qui donnera des arcs de cercle dans le rayon veéteur N 2 oo RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS de l'orbite; Le fecond y produira le terme RUE (a 240) 2(67— €) XEf Life" a) ne > Li gr. YIL h ee (Cu — 3 +0 ) qui eft de la même forme que celui que nous avons déja trouvé. Ces termes en reproduiront d'autres dans la valeur de x”, de la même forme que ceux que nous venons d’exa- miner , d'où il renaïîtra encor dans la valeur de x d’autres A s.N LA LA 2) termes de la même efpèce que les précédens, & ainfi de fuite à l'infini. Ie XX! NC FIFE De-là je tire ces deux conféquences fort importantes ; 1° que les termes dont il s’agit, quoique de l’ordre # dans l'équation différentielle, appartiennent cependant à la première approximation , & ne doivent point être négligés dans les premières valeurs de x, y5 2.° Que la méthode ordinaire d’approximation , fuivant laquelle on emploie à chaque nouvelle correction les valeurs trouvées dans la correction précédente eft abfolument infuffifante pour calculer ces fortes de termes. On appliquera le même raifonnement à l’équation (K) & on en tirera des conclufions analogues par rapport à la valeur de z. LXXXIX. Ii eft donc néceffaire d’avoir une méthode particulière pour intégrer les équations (G), (K); on verra dans le paragraphe fuivant comment je m'y fuis pris pour arriver à ce but ; mais il faut commencer ici par voir quels font les termes de ces équations, auxquels on doit avoir égard. Pour peu qu’on examine l'équation (G), on reconnoîtra aifément que les termes donc il s’agic viennent uniquement des cèrmes qui renferment co) 3 of ue 2 eo) DES SATÉLLITES DE JUPITER to >" fin. GNT fr (re ut)r,9 fin. Ca — pl), Je fée. {ur — p}) )tdt, PE. 17. Qu ul) 1 dr, JE fin (a — n) s dr, Jet — 4) ds, [9 c0f. (a 5 de, 9 cf. ( (a Y— y) )tdr, en tant qu'on y Fate, # 3€ M5 PT 5 Xl a la place de x! xt V5 y 1 ji, 33 de forte qu’on pour réduire cette Lit à celle-ci d?x SR + x" £. —2f 5%" I (a!, a) x" cof (ul — nt)s de nf" LUI (a! à a) Co) Ë (ut pl) s —2f XY 1 (és a )x "cf (ul —u)s + nf Én a) ÿ fin. (pu)? Ée nf” X T1 ZI _. J fin, (ur — ul) t + nf VV & ENT Gr, (LV — pt) à ; is 22flul x Pt (ais a a) ) [a fin. ( ul nt)» dé hi ri x F1 (at, a ) [x fn: gt #4. +2rfu TP Y Pi(a, PE (CAMES 1) # de és 20f' ul XPI (ai, a) ) fr°à cof. (un? Le 28 ef XI PI a, a) )[r 111 PET PE 1) de +2rflu LT (a a) EN caf (je ER (L) A l'égard de l'équatiom(K) on trouvera qu'elle fe réduic.de même à celle-ci : + Ni 2! — nf XP (a' a) z cof. (ut — nl) # — nf ju Êr(a OP) zu cof. (Ceres )4 nf" XY 41 (a', aY) 2Y cof. (ue Ne u)i=0.. ….(N) 102 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS KG! Comme notre deflein n’eff pas d'avoir égard dans les valeurs de x, y & z aux termes de L'ordre #, mais feulemenc à ceux qui ont des coefficiens finis; nous pourrons négli- ger » dans les équations (L) & (N) tous les termes qui fe trouveront affectés de 7°, parce que ces termes feront encore de l’ordre » après l'intégration. Or les équations (G) & (H j donnent, en rejetant les d? x! d Æ termesaffectés des, se + Bxl—o,& _ +au'x"=0oi : F £ dy zut d?x" om d'où l'on tire Xe 0 » & intégrant 4, PESAÉE — 0; il ne faut point ici de conftante, ce ? M'° X HAN TRS F : qui eft évident par la nature de nos formules ; on trouvera il it LLLS LUS  nt 2u dx" Gh: I 24 dx: 4 de même er X Tr O9 ap Na 0» 44 1Y NAN LE SERRE : & y mm X = = 05 donc fubitituant ces valeurs de 3%," ÿ°* dans l'équation (L) de l'article précédent, on changera les termes nf Tia 47) 7 fin. Qu — ur) s a nf x" pat ; al) y fin. Qu pt) + + nf pi(a, al) y fin.(uN—u')s en ceux-ci IL F dx" arf pi(a!, a” fran)? pal dx » + 22f° x" Pet (z!, a") — fin. Qui pt) ! FM dx" + 29f 0 ni (al a) fin, (pp) à & les termes: af 20 a (aa) [y eaf (ui ps de DES SATELLITES DE JUPITER. 103 æ 20f\u x" fi (ar, at) [an cof (up) » de ee 2nf' y} x! YA (a, av) [y cof (up) + dt en ceux-ci : me" d AL arf une ge Di (a, af cof (up)? de 111 d LIL + 4rf' ul x" Re fi CRATE de cof.( ptits) dt LLA MAR LIVES ÇA I à + anf'u y es 11065 27) EE cf (a — un) )tdr; que lon peut encore changer en ceux-ci :] anf'u x! . fr (as a) xl cof. (ut — ul) ñ + 4nf'p x ne fifa! al) Pa cof. Qu tjr + nf ue HE Qu(al, a 40) x cof (um) # App EE pu (a! a) fx fin. ( ul HUE )#dt HIBf Ut, ! +4nf ut tt m — it (at, a) fe fn — pt) s de +arf ut CN CS BE EF (a!, af fn) + dt Par ce moyen , l'équation (L) ne contiendra plus que des termes de la forme de x” cof. (u"—n')1, de fin. (up?) t, & de J'x® fin. (pl — nl) s dt. à 3 : d?x* Je reprends maintenant l'équation = + MEx=0, laquelle étant ire au fecond fatellite , devient dx* AL de fin(u—u) 1 dr; je l'integre, j'ai: fE DE ” fin.{ Qu ul); dr yes fin Qu) # dt = 0 ; je change lex + M" x%—o; je multiplie cette dernière par 104 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS dx"! prefion f=— Jin.(u®—n')1dt en fon équivalente — fin. Gap) (up) ef (a — n°) # — (up [x fin (a — pe) + de, d & il me vient l'équation: dx"! TZ fin. (ul — pu} )#— (07 4) )x lt cof a Tu) + çM — (a p)) fx" fin (ul pt) Er ME dx è m4 ue, RE { nr Ut) Ve D fin (u LR 199 PE ar, 25e me RES Je trouve de la même manière, Let d fau — ul) £ DS ER re 11 ll ï a pt) 88 of (ut — pt) X: 2. — t dt eZ — [= fir: (ue 122 ) ME (a A DAME — {1}? dæ"3v 17 £ TE) cof, (ap) fine ET — p°)e lÉMNCAC TY AS Ve dt = ) ba BE ) M N2:277 — (4 T— 4 On fera toutes ces fubftitutions dans l'équation (L), moyennant quoi elle n'aura pit que des termes de la forme de xl! cof.(u—u')r, & = fin. ( pi pr) & MORE Donc fi on fait, pour abréger: Piel, et) = pa (27,471) —4 pifalar) — (21 (a! a!) na —4ia 11 (ut pr) LA +4 — Fons pi(at, al) re pie, a) = Pi(2!,2! D Pi(a’, a) —(2p1 1 L C2 EP NES LE Cite DT (a',a") +4 TIMES À, pi(e » à ) ME (pi 4e )à 7 Ft IV Le! Pi(al, eN)= (al, aN)— 4 M'Y prfe',a )—(agt (a', DES SATELLITES BE JUPITER 106 : CEE) À IV CA Cet 2 (a a )44 ge De AV) a & de plus ni(a!, at) = TE ri(a!, ne a) LEA er (a! ,a")) done d*! 4“ Ÿ mis, EE. ri(2! M pur 47} Pa ( Lacs EU E) ia’, a")) =—+ FUE 4 M" Qi qu )2 ni(e', 2) = T! (a! a) + (2pg1(2,e1) 1V/,3% L # ; EVE — ue) + 4 — pi(a!, a" )) M2 CPE On aura, pour Le premier facellite , l'équation: CE dr? — nf x" pi(e H a) x! cof. (ut pr) t dx" — nf x pr (at, a) = fin. (a — pl) s — nf og" Qi (at, at) xl cof (ul pt) — nf' op jgr (at, at) fin (ut — pt) à mx: (a, ar} fu —#)e — nf % Yn! (a!, a! —— © fin. ( PMESPT en Le bas OR VE Er de même pour les trois autres farellires : dx" I: Al e ra + M x — nf X 1 (a, a)a cf (ut — pu) + — nf" y'a" ,al) _ fin. (w—H#") ! Prix de l’Académie, Tome IX, O ro6 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS III IT II — nf" II Pilat, A x I cof. (x a 1 dx" Sr nf” x ri! (a Il 142) es fin. (pas a) £ É"l4 if" XV PI (als a") PL cof. (pv y) t dx°* _ nf" rite, a") fin (a ut) s Y — . AE PES MAR OE 0 19 6e 6 A) JU + ME xl TRS M? nf" x Pi(al,a 1) xl eue — pi) s — nf" Arte = fin. ie Tu) Rs nf" x Op(a" Il caf (ut — pit) ax°"* eus 2f" TL Le — fin. (ul — QT) Lies nf VOr(a AY , ul MN | (A Ho nf XL ni (all a el Tr) ñ —— le) L L] L] L2 LJ L L] L] L] LI L] L L L2 . L] . L] LI] L2 L2 L2 L2 (M3) dx" V2 vel DA + M x 2 — nf x pie, a) x" cof. (u He nn EM ar ta 2) fin. (pl pY) à —#fN x pi (a a) xt Mn He — nf" fr ta 4° 1j fin. (a — 7) — RUN PAT, @) te caf ut — piN) 4 — FN ni(e", at) . Jen, ( Fi ei ES ONE ie A RTE VAE D FT (M4) Pareillemenr on aura, par Fe aux wub Z; ces quatre PHRARBNS (art. LXXXIX). DES SATELLITES DE JUPITER. 107 — nf} y" Tia", al En nr — nf" pPi(ar, ‘an TT cof. ( pi pl) +. fier 2 a ee (UV — pl) =0.., (Ni) dé" 2e 2 R Cr (et, a) 2! cof. (u— y") # — nf" 7% LE pi (a! ire) ZI cof (un ul) # — 1 fi 0! Et 2 of Qu — pl) = 0. (N2) +N! 2 di + NUE A 7 — nf" pi(a", at)z'cof(u’ SUR D: fr. x Di(a III NAS )z" cof. ( (ul TE cn EE. A ve ARE ja et 4} 0 (NS CE UE nf" % 1 Or (a, a!)z! cof (ut — pu) # IL nf” KT Or (ge a“) z" cof.(u— p) £ III )# pp DC LA (a a) gli cof. a ul V }e2 0... (N4) $- 3. Où l'on donne une nouvelle méthode pour intégrer Les équations précédentes. . L X,C'E Je fais x" cof. ( ul Ur) \=?, x fin (ur p fu ph Qs x fin (ur, O 2 108 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS x cou —u')r=R, x fin (NW —oul)t=r à d'où je tire dp rm. pt — (pl ut) P dx" dq É. EE fin. Gus = — (un) Q dr 7 p, G—u)rt=S —(aN— y) R Je fubftitue ces valeurs dans lé équation (M1) ,ce qui la ae en celle- ci: d?x di? AB af Fe (a, a) — (ut — pl) 191 (a!, aï)) P 1.1 0 1 n\®# —#f X" pi(s,a a nf" XT (gi (2, a) — (un pr) gr (a, a")Q@ d — fr" pr ( PL en) : % nf" x" (gi(a, av) — up) ni(a',al")) À nf %" = CIM D. C'eft l'équation qu'il s'agit maintenant d'intégrer ; en regardant les quantités P,Q, R, P:4,r, chacune comme une variable particulière. Pour y parvenir, voici comment je m'y prens. XCIITIL .& reprens les formules : ; Qu fun LE br STI — fin. ( (un pt) £ = (a pl) Q A AN —#)R DES SATELLITES DE JUPITER. 109 & je trouve de ne: d It dP : — cf. (ue — = + (al lu) p _ dQ LÉ RE — cof. ( (au) = + (ot) 4 7 dR pr SE (A ) 7 De là je tire, par la différentiation , les formules : poid . OP dP - Æ 2 fin. (ul ul) \4— = in 2(& |} INF u') F — (ui — y Yp dx æP d f fl pr (ue I TE —(ut— ul) P # 1 Le n fn (Pr = —i(u nu, — (4 Le q 'h qu d°Q Dix #4. LITE Er Er. = +2(u PC —p'}#Q d'x"* d?r dR fu) se (ue) a — nr Ex vs R pe au 0) à ur —w#)R Cela pofé, je multiplie d’abord l'équation (442 ) par fin.(u®— us, jai: d “je 4 ne xl fr. (ut — pl) 1 sf x oil ) 4” fin. 2(u—w) 2 are ritte DE Ga tra )s) Æ zf” x” ÿi(a a 47) Il (fin. un pl )4 — fin (ur = au +) ) Le! Fe Ur (at, D (ea (a pt + cof.( Qu agll ge u1) 8) 110 RÉCHERQHES SUR LES INÉGALITÉS 5/0" pi(at, a) x (fin, (un) t — fin. pe a+ pl)t) dx" LE xY rit (at a) (cf (ue pt) 4 + of. (ui — au + pl) # ) = 0. Je ne conferve dans cette équation que les termes analogues à ceux de l'équation (1), c'ett-a dire, les termes , qui en faifant pour x, x, &c. les fubfticurions de l'article LXXXVII, en donneroient d’autres, où le coefficient de # feroit prefque égal à w!, & qui fonc les feuls auxquels nous devions avoir égard dans l'intégration de l'équation de l’article XCIT. En... J'aurai donc fimplement: dx" LE fi lp) + M 30 fin (pa = pt) +5f” x ni! far: a) D ue. 2f k” PI (2%, a) x fin, (7 £ dx +EfT ri! (21,270) _ cof. (ui ul) # se EE ds pau PI (22 a") xl LACET) £ > dx'"Y PE DO ME Tr yrdx Je fubftitue au lieur-de — fine pe, x co (pe pt)s &c. leurs valeursenP?”, p,-&c. jai Li nee) EM (am) )p. du | + fee A) de 22 DES SATELLITES DE Jun TER ME? — 5 fn (Pat et) — (ut ul) jf (ait, at) g +4 fo nr (an, at) È 1 XIe, a) Qu — ut) Hi! Gars a )yr + fo i(al, av) TS =. # Je AU en fecond lieu la même équation (M2) parce ( u'—w)t jai: a hof(2 RE D cofe (ut — ul) à — 2 fe 1 (a, Fe nb EE Rd +5f" x mia LR nur)», D fo (A) ef a T—u)s + of. (u7 — au +u)1) —21f" 7% III (at, a) (fr. (up) à + fin (a — au + u)t) —f1 xY ta? a): (fin. (ui — ur) à + cof.( ue Y— ut + n°) )2) fo 9 (art a) (fou — 1) 2 + fin (UN a+ ur) rt) = 0. équation que je réduis, par la raifon que j'ai dire tantôt, à celle-ci: dx j x ef pe ES) je + ME x of (uw) s tp pi(at,a)x" x, III ÿL (arr, ah II et (a nt) # see pi(a",a si. fin, (ur pl) — fn pi (zh 2%) SV of (ul Y—u)+ POV pr (at a) LE fin, (Yo pl)1 = 0. 112 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS laquelle me donne, après les fubftitutions : : (27) 26 dP I __[,,U L\2 an — 4) La CH (ut pt ÿ) P —7f" Eu Ce dt) x : 2f Kb a (Fi(a, al) — ( ps pu )ni(e 7 a"1))Q —"f" rt i( art, at) À —:f"y% MEAIC Il 4) (ui pt) fret, a) R —2f"9%Y rn'i(e 4, PME À En troifième lieu, je multiplie l'équation (3) pat fie. (ut pl) #5 jaurai, après les réduétions & Les fub- ftirutions, ed (3°) aq LR (er ANT à (M e ): )9 a +s fo rfi (at, a) TE 7: fu x" CP: (ant, ot 10 ) pi(et, a"))p EN di x! pi(attr, a) — « pri Le" CEA, a") pet Cu — pt) ni(e!, aV)}r +2 fl IV ni(ait, a") . c: En uatrième lieu , je raulipié la même équation par cof. (pu) #, & je trouve, (4°) da dq M (a pt) Le ÇA (up) ) Q 7% fe pi(ats al) xt DES SATELLITES De JuriTERr: 113 — 2 deu x (Pue, a) = (ui — y!) ni(a, a))P — 2 FU Or (at 1) ? —: fu LV (1 (at, a) — (a 1) 1 (a, a)R — 7 fu Av pi (all av) L= " En cinquième lieu, je multiplie l'équation (444) par LAURE t, Jai Cs°) &?r dR ‘ Ze (Ep) CE (OV pt) ) r + EP pr (aiŸ, al) - mr PV (Pr (a, a) — (un) gr (aY,a"))p (ere) = 5 La, a) — (ut hyyer (a/Y; alt) g TA ICT (a a) = 0. tion par cof. (pe yl)7, & je trouve (6°) d?R dr Tr Leg) CAE (UV LT) R rl vi (a ,a!) x"! ft (Pr (a a") — (au) fr (a ,a1))P d) #} LIV IL 0 IV 1 P —©f X TI! (a » 4 A PT Era ent) ue à 1) re (a, a1))Q n d. 1? for (PAR a)T= 0, Prix de l’Académie, Tome IX. P En fixième & dernier lieu , je multiplie la même équa- 114 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS Voila, comme l’on voit, fix équations différentielles de la même nature que l'équation de l’article XCII, & qui étant combinées avec cette dernière € ur 0 pour dérerminer les fept variables x”, P,p,Q,q,R;r. X C I V. Pour cet effet, je mulciplie l'équation de l’article XCII y" par € de, l'équation (1.2) de l’article précédent par p' pv" œ'e br l'équation (2.2) par 4e sa , l'équation (3.2) par 17? Fe d, l'équation (4.°) par Be ‘à, Péquation Fi par ye Féaut l'équation (6.2) par Ce MAT 8, y, À BY) CCE n° font des conftantes indéterminées) & De en avoir fait une fomme, j'en ps l'intégrale, j'ai dx 1 d'p 1%P 14 14Q Er CR de Fe de HAT + z . + B dt er dt d?r V' + C— — di NEC rfi (as at) + BJ y ft (a, a?) +7 Là di (ae) ES +(—2f x mia, at)+ 2 A'(u—u) 2 BEN (all at) —E CAN 1 (av, at ))E H(—ae(ult—u) HSE fo ni (ae, a") PTE + (ef ni (a, 1 om ie See. a) SE (HR) NE Cf ot gr (a, al)) À DES SATELLITESDE JUPTER 11$ +( a fx HI CE (a, al) — 28! (al ut) REA PE 1 CMD E +(— nf r(at a Y)—% Af" Era (a a) — 2 BF ON 1 (alt, al) + 2C1( (pl NV n DY +(raf" oh nt tata) ++ BF Que", a) I dR Læ +2y (Wu — u)) Te ”. | ECM LA PA (a at) BI PT D 1 (a, 41) —: SEM L I (al% a))xt Le GG Mr (ut pl )) — ef" XECS gear. a") Lure — ul) jf1 fat, se Vi LD IL Pi(a, a) — (a — pr) pr (a*, a!)) )p | . (— fe (Br (ar alt) — (ut Lt) : (a, a") ART PM TT PE D Ie a) mt (ui on) JRr(at, APE DCR OR a: a) = (ut pt) 91 (al, alt))) P af Era a) — (= pe )rgre m aï)) + RME QUE LE) A fAV CA TCM 1 ani) — (a U) Qi (av ,all))\g Cr Lie (2, ay ul) y9r (a, at) AE CE 1(a%, a a (et ee sn) + B'( MU — PL —# 1ÿ. ; 2" Tr DL (A, mt) (pt pl 9 (aY, an)))Q + (— af (Pre a Ne (APTE ifr(a”, a)) ef" CBI A, rage (a — 9 1 (a a, a) + PME (up ))) r L 2 116 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS +(— nf (Li (&; AN) Qu pt) 91 (at, a1Ÿ)} — LAN CR (a a) pl) {rte a )) —2B5} III VC, at) EEE) prie, a + C(MNI— (aY—p}))R è x = conffante. X CA Cela fait, je transforme les expreflions intégrales xx Var d'p VF AIME — — &c. en leurs équival e dt, [> e dt, | quivalentes dx" DONNE u Pa ft dp 1 NP (Er De +Vifaxté ‘dr, (T—V'p}e +VT î 4 “ &c. De même je change les expreffions dx" J CE is “a, pe Que V' [pe ‘ar, &c. Par ce moyen, l'équation fe trouve compofée de deux parties ; l’une finie, & l'autre Rap ee renferme les quantités. intégyiles Fée e fie. de, [Pe de, P'r fac dns LU. ‘dt Kfre as , [Re ‘di. : Je fais les cOeB tag de ces quantités chacun égal à zéro , ce qui me donne fepc équations , entre les {cp inconnues a NBA Y > ABS ECS favoir Heat Var (af? X'Hi(a", al) +R fo ni(a", à!) a (a ne M SA I Li(a" a!) TX LI pile, a) CN PT (aY,a)= 0. 1 d Fer Las. : Ve Re le (dr, &c. en celles-ci: x'e e * DES SATELLITES DE JUPITER. 117 (2°) AL pr + (»f' a ni{ a, A Æ<9 2 A1 re u) + 8 f TI + Hi (ai a) + AC Nr 0} (alY, a )} so +e (M— (ut nl »)2 s + BF" x" Pi(att, at) — (un — y ) fifa a a) PEN CL (a all (a — pu) ta 54 "))=0. Le] (3%) A1 PE (— LALNer DE a die X (r$ 1(a", al 1) +27 fe" n'a Vi 2) nf et (gi(a, a! 1) — (ut — y!) )r1(a! is ))+A(M"*% PR) #} —22'f" XX ia, a) (ui — re a")) CPR CPI(e a) — (ant) gr (a, 21) = ©. (4°) BP + (nf er ( “ ad) AfTy Ir pi (a Il alt) np Ge y » cf 19 Ne (aY, am))7* pou (Er (a, al Le A )) +g! QUE ut Panel 5 D EE LT EM Ne? a") mn (jet lu) Di(av, al) = 0, C5) pu ss æ f" y III rit Carr a) — 2£1 (um m) + y III Cv. DAT XI 2! mn | — (au) pi(at, Pa) A fr TIT pi(ar, a He )rit(a", all) T7 (ue — y }) rc fe X'(F1(aY an )— (uit — p/) nie” 547) = ©. 318 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS (6°). PP (nf o0v nr (at, aŸ) +8 APE 1 (a" 2) RE Le ne a, a) — 20! Qui — pl) 7! n SAT ls MCE IV) — Eur —p 1)pfr(at,a ) agp (pi(a a a) (PA fn dite ",a a")) + CM (up u'})= 0. (7) CL (2 an, va fl I (a, a IV) +20f II XYr1 rl I (a, a} may (up) Di@rrs ot Br (at, a) — (nu Yu) n1(a, a Y)— ru af. Cie a") — (ui — w')r?1(a", aN))— 5 B'f" 'MC2C an, av) — (ge vn) Rr(ai, a CM (up) ) = 0. Enfuite j'ai UE ES ; dx dP d dr dR (F+e2 ea Tee RnB + a + CR rer rt PT nil at,al) À np FN et (as ENS pe (— I ee Il rite! à 21) das Cp 7) —2B'p ri CE Ja al) — Ta 2% 11 rir(al, a )}p Re LE ti(at, a") #“ PIRE pi(av, 2) P PPT a) nur ile", a) 2B'(u mp )—i cf x 1II ri: (a, a1)) q +(—BV'+: ar fo 1 Sy(a", a) — 22 (ul) +7 Le du (eit, a) Q DES. SATELLITES DE JUPITER. 119 +(— y — nf rase) 547" 90% mia, a") — 280% ri am a) +2C'(ult — uw) )7 + (—CV'+ta ft" ni(e", a") y" HIBIFU ON Qu(al, a) + ay (up) )R )e t = conflante..... SPA on en ibte dt aus ec CP) AEIN TE Qu'on multiplie l'équation (2.2) par HV _r, & qu'on y ajoute l'équation (3°), on aura A TOUR EE +7: V—i}) ( (A + à LYS) — nf (1 (at, ai) — (up PV) rh (at, 200) — {fr Fe an) — ul EP Vi) ! (alt a”)) (BR V5) rfi I (at, aï) de Qu PE V5) ut sa DCE y V—n) MO 6-0 aelanete Pb ue 8 CE PQ) De même, en mufiphanc l'équation (4 ) par EV— +, & y ajoutant l'équation ( $.°); on aura (M: — — (QT — 7 L = y! Yi) FACE E V—) — nf" (g1(a un Lee PV x ))r1( a (al, a) fx" (y: (a am) — (up HE VI) i(at, at) ) (AH al Vi) 2" x (gi(e ve au EVIV—S) n'(< a. M (CE VER) = O L L LL LL . L L] ee ' et.) 07 e ù L] . . . « L L (R) Enfin ie Léstin ( 6.2) par E Var, & y ajoutant l'équation (7°), on aura CA (a DE PI VT)) (CH YVES) 120 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS — nf" (1 (2!, a) — (UN REE 71 V=i) u ï (a',a1v)) "7 j® (1 (a, a) nd” (ur + v" V5) ri (a, 4iv)) (A! + a VE) nue sp al ($r (ant a") 73 D'MEREr* + IV) Hd: (ZE s 4")) (B! ss G' VE) NOM. ee mhete retenir ie ele ss... (S) Chacune de ces trois équations en vaut deux , comme l'on voit , à caufe de l’ambiguité du figne de V5. ; Maintenant il eft vifible par l'équation (1°), quefi” étoit =o:on auroit: V?+ M®—o,c'eft-à-dire ( à caufe de M'=p"(1 #67), art. LXXIX)V+yr=o, & pY = 2 Suppofons donc en générale ep — 20), & l’équation doniënous parlons fe changera en celle-ci : pv — C1) — If (1 (a al) A+ fi (a, a! )a V7) sf X (wi(an,e) Bi pi (ar at) Br?) —:f" x (gi(a, a!) C+ ptite, a) 6°") Os... + Rae ele des > Le TT KIC-VAIX L'équatioo V'= — pli (1 — #0) donne V'= pi 50) i donc VV = pi Lol), donc fubftituant certe valeur dans l'équation (Q) , auf bien que celle de 7° qui eft w°2(1 — #@°) (art. XXIX), on aura: (ui 767) — — (ui in0)}) (AE ar) nf Caen ui not) ) rfi (er, a) sl DÉS SATELLITES DE JUPITER xzé! bi 1 nf” LACET (a, a) — (ur — LE ui ( 1— +0") rie IT nn )) ( (BE BV) men x Qi (a, 4 a) — (y Ep 1ut(r —!nv)) BE", 2 NOTE Ve), Donc 1° fi on prend le figne GE & qu'on népglige les cermes affectés de #, on aura Ge u—au)) (4° + a V5) = 0 ; ce qui donne 4'°+ a Vi —0, & «Vi = — A’ ° Si on prend le figne inférieur, & qu'après avoir Ôté ce qui fe détruit , on divife toute l'équation par”, on aura, en négligeant toujours les termes affectés de x, IL La en PIE LR 4 Less Ne LISE Oo Lf! I II u (£e €) (A Vi) — fY% (yia',a ) —# on: (æ',a")) non ee purs mt qu ))B— BV 5) ET yAv (CL: CE A aï)}(C'— IV) EHOM se +0 ect te ts RE At any) On tirera de même de l’équarion (R) Fe Ge if (B'— £! V—i)=—f" y III (g1(a', a) —# mie 4.) > if (gite, an) — pi(e”, a))(4'— a! V=1) 1 fe" (pre, a) pt i(a " a) NC —yV=:) ce se ele INT RES «ee «+ (UE Et de l'équation (S) Ÿ V—i = — CS & Prix de l’Académie, Tome IX, Q 122 RECHERCHÉES SUR LES INÉGALITÉS pelve Cul tes PV) — fe (14, a) — "nie ,;«")) rfi CHOSE TTC PIN )) (A V1) LIVE 1 a VV Or (al, aN))(B'—p}V-1) m0... ee RG-VEL TE; L Soit fait pour plus de fimiplicité , (rs2)= (ia, alt) — a pÿr (at, a) US à tue ME) (2,1)=pi(et, a) — pt fr(a", al), & ain des autres" Séredérphus 2 TL TN ER Pre LES D’ On aura, en faifant ces fubftitutions dans les équations (M CU }» (W7);, & mettant à la place de & V—x, BV ,V Vi, leurs valeurs — 47, — Bt, — C’, les équations fuivantes : au: ce. A se Lei Hr32 )—f" nn (SS 2)B'— —fN II (4; 2)C= o au OA —f'y Hé (x 53) — fx (2,3) A PV (4, 5)C'= 0 (X) or: De Cf "(1,4) —f"x F4 (2 »4)A'— fx (3: 4)B' D'où l’on tirera facilement Les valeurs de 4*, B1, CZ Or, en népgligeant les termes affe@tés de », on a ——— 4 12 V'æ= uv x (art. préc.) ; donc puifque = — —1 on aura a V'—=— y" 41; & de mêmeR!V'=—4Ip, YV= — pl CO, Donc l'équation (T) de l’article XCVI deviendra ; après toutes Les fubiticutions, DES SATELLITES DE JUPITER 123 24}: (EE) 4 — ps, 18 NY (45 1) —=02,.,: ee CAES c'eft l'équation qui donnera la valeur de », XNCA'X, e : ART. Soit, pour abréger, K'=— 24 . KkK" = 26 — 2 mn I Le & ainfi des autres; les équations (X) donneront, après avoir mis au lieu de f',f", Rc. leurs valeurs approchées Hein, EC {art. XEV ). A'—= ((r,2) AR (1,2) (334) (45 3)+ (13), 2) XX +(1:3)(3:4)(4:2)+(1,4)(3:2)(4,3) + (154) (42) AT) B'=((1,3) LAN + (1,4)(4,3) A+ (1,2) (2,3) KY H(1:4)(2:3)(4,2)+(1,2)(2:4) (43) —(1:3)(2,4) (b2))% Ci—((1,4) KT A+ (1, 3) (334) K°— (1,4) (2,3) (3,2) +(1:2)(2:3)(3,4)+(1;3)(2:4)(3,2) +(1,2){2,4)K%) “5 Chacune de ces quantités étant divifée par K° KT KN—(3,4)(4,3)K°—(2,3)(3,2) KV —(1,3)(3:4)(4,2)—(2,4)(3:;2)(4,3) — (2,4) (4,2) A Ces valeurs étant enfuite fubftituées dans l'équation (Y) , on aura, après les réduétions : K! KY KI K1V—(3,4) (4, 3) X! KU—(2,4)(4,2) K'KU! — (23)(3,2) AA Q 2 , 124 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS BU Lai 7 Eu : Le sr K"®Y. — ((2 23 )(3 )(4:2)+(12,4)(3,2)( (4; 3 ))Æ' — ((3:1) (1 KP ; 3) + ER 4))£7 — ((2,1)(4 sh 2) + HOT, 2)4(2S 4)) X® — ((2,1)(7 ec a ae 3))AM + (2,1)(1,2 * (3,4) (43) — (2,1) (4, M à ‘(2:1)(1,4)(3,2)(4, 3) — Gt) (1,4) ) (2, 3) (4 2) a 1)(1, He 4)(4,3)+(3:1)(1,3)(2,4)(4, 2) + (41) (1,4) (2,3) (9 5 A ARE SPP ANA eur )(1:53)(2:4)(3,2)=0.... (Z) Équation qui, en remettant au lieu de K”, gr, HS valeurs, & ordonnant les termes par rapport ap) montera au quatrième degré , & donnera par conféquent quatre valeurs de ?, que nous dénoterons per » PL > P3 > Ph C Les calculs que nous venons de faire dans ce paragraphe n'appartiennent proprement qu au premier fatellite; mais il eft aifé de les appliquer à chacun des trois autres, fuivanc les remarques faites ailleurs. En effet pour les appliquer, par exemple au fecond fatellite, il n'y aura qu'à marquer de deux traits toutes les lettres s qui ne font marquées que d’un feul, & réciproquement ôter un trait à celles qui en ont denet & ainfi de fuite : aïinfi dans l'équation (Z) ,ilne CTAPR qu’échanger entr’elles les lertres K', K, & les nombres 1 , 2. Or on verra aifé= ment que ceete permutation ne produira aucun change. ment dans l'équation ; d'où il s'enfuir que les valeurs de p feront les mêmes pour le fecond farellite que pour le premier, On en dira autat par rapport au troifième & au quatrième, deforte que léquation(Z) fervira pour tous DES SATELLITES DE JUPITERS 126 les quatre farellites, & c’eft ce qui fait que cette équation monte au quatrième degré. CI. Reprenons maintenant l'équation (P) de Particle XCV, & fubftitaons- y, au lieu de &°, 81, y , leurs valeurs AV, B'V— 5, CV, (art. XCVII), & au lieu de V\fa valeur p'(1 —2nv')V—r, (art. XCVII), c'eft- à-dire, à caufe de pvp (art. XCVII), (up) vV—r, on aura, en ncgligeant pour tout les termes affectés de», V'e : excepté dans e De Lan HA Qu) (p— PV) + But — ur) (q— QU) RCE) (r—Rv=1)) 2 RER conffante. (#—%np) : : tF— C’efti-dire, en mettant au lieu de e ‘ fa valeur cof{u— 20p)1 + fin (un Enp)eV—T, dx dP 1Q RATE Guutp)Bt (2 + ut ug) : dR # CEE Cu — nr) cf (2 p)t + (ax 4 MR n__)P)—p HE II, 1 dt # H de H ÿ )0) d — CT — au ut) R)) fre (a —1p) + Jet dPp d! 4 +A(T + (al pl)p) + Bi ( + (ou u)7) RE Cou) fn (Ep) VS 1:26 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS , ap d (ax AE M7 Guy) P}=8 (2 HSE (au ut,0) Me Cu 4) R) ) caf (ul 2 9) VE == conflante. NES (hide RTE OIL équation qui , à caufe du radical V=—T, lequel peut avoir indifféremment les fignes + ou —, fe decompofe en ces deux- ci. dx /aP d an + 4! a + (au u')p}+B! ( + (Qu )g) ['dR : + Me + (au —u)g)) cof.(u— Fp) 1 + d d CS (2 — (28 p)P)-8(À — (au 10) dr — C' (£ — (up )R)) fie (u—ip)t= D'... (a) & dx dP dQ SA (EE (out p) + (ER 2 (ut) miss ar ARE (ut ut) r)) fn. (ul tp) 4 d d (ut 41 ( (au u)P) —5# (4 —(u—nw)Q) dr : — (Tu — ut) R)) cof(u— tp} ET... (8) D'& E' étant deux conftantes arbitraires que nous déter- minerons dans un moment, On aura donc par là = Cr | — (au W)R)= D'fin.(u'—3p)4 I — Ecof(u —7%p)#.. . ete e de 105 607) Equation qui fuffira pour trouver la valeur de x:!, comme on le verra ci-après." DES SATELLITES DEJUPITER. 127 CRT Soit, lorfque :—0, xl= X1, x XU x YU, XV XIV, & Æ » dx 4 dx? y CS y dx" y! ; de ? de PANATE PALETTE # On'aura (arc. XCII), P=XE Q= XX, Re NN, P—=O; g—=o; f=0O. dR dP 4Q Enfi ie Il EE III —_— IV dre dt Y 2 dt Y 4 at 1e L dq d, = (ul pl) XU, © z = (ap) À, à . ee (uY— pl) XIV. Donc fubftituant ces valeurs dans les équations (4) & (8); & faifants— 0, on aura: D'=Y'+ AY BPM CV, & E= — (nu Xi+ Au Xe Blu XIE CI BUXN) CHE. Soit maintenant, pour abréger, 4, d) + (a) P=(P), Eu )Q=(Q) & T— (2% — y) RER), L'équation (y) deviendra: u'xl— A'(P\—B'(Q)—C'(R) = D'fin.(ul—15)t — E cof.(u° —?p)t Subftituons fuccefliivement , dans cette équation, au lieu de p, fes quatre valeurs pr, p2,p3, p4 (art. XCIX), on aura: 128 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS pat AN(P)— B'1(Q)—C'i(R) = D'i fin (ul—2pr)s Et cof (uw —zpt)s px 411(P)— Bl1(Q) —C'(R) = D'a fin (a —%p2) — E'2 cof(u—%pr)s + a A3 (P)—B'3(Q)— C3 (R)= D'3 fin (uw —5p3) — Æ"3 cof.(w—2:p3)4 pl AP) — B'4(Q) — CAR) = D'4 fin (u—p4)t — Ep cf (ul — 24) 4 CARRE ET CRD "x Et A PPS ON TAREEC &c. étant ce que deviennent les quantités 4°, B°, C'» D', E”, lorfque p devient p1,p2 ,&c.) Donc éliminant de ces quatre équations les trois in- connues (P),(Q);, (R) on aura la valeurs de x', (@ ] V. Pour cet effet, je multiplie la feconde équation par a, la troifième par 8", la quatrième par y (@'; B',7y étant de nouvelles indéterminées); après quoi je les ajoute toutes quatre enfemble, & je fais évanouir féparément chacun des coefficiens de (2), (Q), (A) jai Ai+a 4248 43+ y A4= 0 B'i+a B'2+8 B3+y B4= CR esse ss (d) C'i+a Cr +R C3 +yC4—= 0 & . = D Leengess 1 # ca Br = 0 05) fie. (mu —3ip)e Er Has cecul (Jeep r # D I #1 EF ee (RE pa) DES SATELLITES DE JUPYTER, 119 taElr I n MAN TT PRET | pra) cof. (x = P2)4 É E D’; Le ma 2e L +!) fin. ( 1P3)4 ETS PA D cree dl —tpals SANTE en fr (u'— 2p4)# ir, C V. On peut fimplifier cette exprefion de x‘*, en fuppofant « en général D'=—Nfn.@, E! rose ÿ ce qui D' donne M=VD+E + Er, & Lang, 0 = favoir : É, RE . El =V(}: HAE PME PTE Cr PRE (Nr Age DEEE 7 EST ASS AI E FRAME EE BAPE CE Fr XI À! BE XU LR plu IX LR c! FIND Ed Par ce moyen, on aura: D'fin (u'—?5) EE ef ut —ÿpe = N'enf((u— 57e at), & de là: D'i1 fr. De rcof(u—%ptr)s = 1 cof (we £p1)4 Hoi!) D'2 fin. (pu — Fp1)é—EÆE"i cof. (ul — £p2)s 7 = d200f.((ul—2p2)s +02), & ainfi de fuite, Donc fi on fair, pour plus de fimplicité, & tang. w = — d'r : dd TON ATEETT IT 2 — — . MG+a+err) R'(1+a 4e +) 2 » APLr ; Ja a Ne ne UN ana A GEST Prix de l'Académie, Tome IX. R. Fi « 130 RECHERCHES SUR.LES INÉGALITÉS On aura xt dr cf (int — Epr)t+ ot 1) + 2c0f ((u—tp2)s + al2)1+ d3 cof ((u—2p3)1#+ 03) + 4 cof.((n!— 5 p4)2 + 0" 4) r. | C VI. SCHOLIE. À l'égard des valeurs de a!, 21,1, on les trouvera aifément par réfolution des équations (4\); maison pourroit encore fe fervir d’une autre méthode affez fim- ple, que j'expoferai ici en peu de mots. Qu'on multiplie la feconde de ces équations par 4, & la troifième par « (4 & c étant deux indérerminées) & qu’on les ajoute toutes enfemble, on aura AN +bB'i+cCti+ (A2 +bBl2+eCl2)a + (A3 +bb3+cC 3) + (4 4+bPB'a+oC4) y = o. Or, pour avoir la valeur de «!, on fera, A'3+bB3+cl'3=0 &A'4a+bBa+rC4=o, & l’on aura ï Sr BE HcC'r ST NS CR EE 0e Les quantités 2 & 6 doivent donc être telles que l’on ait A+ bB'+c(l= 0, en metrant fucceflivement au lieu de »,p3 & p45 Or l'équation 4°+ 4B'+ 6 C—0. fi lon y fubftitue les valeurs de 4°, B', C' (art. XCIX) & qu'on l’ordonne par rapport à p, fera de cette forme pg— Mp+N—=0o, dont les racines devront être p3 & +45 c’eft pourquoi l’on aura M p3 +p4, & N—p3p4, d'où l'on tirera b& c5 on ffouvera de la même manière les valeurs de 87 & de y”. DES SATELLITESDE JUPITER #3 C VII Ayant trouvé la valeur de x! on trouvera celle de y par l'équation (H) de Particle LXXVI ; On aura donc, en néoligeant les termes affeétés de x. J=— 2€ 1 fin ((u—#pit+ ol 1) —26 2 fin (| u'—?p2) é = 2) — 243 fin. ((u— 23) Ba w'3) — 264% Jim Clé 4) tres) CV Es e | On aura des exprefMions femblables pour les valeurs de x ,y", &c. Voyez la remarque de l’article €, CI X. Pour peu qu’on examine ces valeurs de x' & de J'en verra aifément qu’elles renferment, pour ainfi dire , qua- tre équations du centre prifes dans des ellipfes mobiles , dont les excentricités feroient ze1 , 7e2 , ne3 , m4, & les anomalies moyennes (gp —<%p1)1+ul, (u—?p2)#+02, (u—<{p3)1+03,(u—°p4)t +04; d'où l'on voir que les mouvemens de ces anomalies feront au mouvement np moyen du fatellite commerr—*. ol ps 16 v 4 1 ke Mans s par conféquent les apfdes avanceront H de 1.7 360, 1. 3600, 1,2 360, 1. 360 À Li chaque révolution du fatellite. 17 On pourroït , par là méthode de l'article III, réduire ces quatre équarions àtane feule, dans laquelle l’excen- tricité feroit variable, & le mouvement des apfdes non R 2 132 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS uniforme ; mais je crois qu'il eft plus commode de les laiffer fous leur forme naturelle. - C X. On fuivra une méthode analogue pour trouver la va- leur de z! ,au moyen des équations (N1}),(N2), &c. de l'article XCI. Mais fans entrer dans de nouveaux calculs à cet égard, il fuffira de remarquer que les équations dont nous parlons peuvent fe déduire des équations (M1), (M2)&c en changeant x' en z, Men N,YenT,& fuppofant nulles routes les quantités marquées par la let- tre 7 5 d'où il s'enfuit. 1.0 Que fi l’on fait (art, XCVIIE) tr (ie 27) (e] 1 ILE C7 Pare) (2,1)=pi(er, a) &c. Enfuite n E rm e DIT A K'— — 2! ; ——— x x" On aura pour 4”, B°, C' les mêmes expreffions que dans Y'article XCIX ,& la valeur de « devra fe déterminer au moyen de Péquation (Z). 22° Que fi on fuppofe, lorfque :=0, z'=Z", z —Z", ZE rt Pape 21V = AM dé a. NN dur ur À 1Y er ND Où D L l & qu'on fafle 41—= vT PERTE SE PPTET PER ZE AZ ENT AA TT Z7ÿ , } POS 2 PEER 2 ATEN NE 2h cofangs n = FL HA LU B'UMiZUE dE CET 274 Enfuite Des SATELLITES DE JUPITER 133 x 1 el y NE RREURES NE ee nest © elite Het)? (x 4 a Et 31) Ex F2 x13 #1 3 X4=— X 4 7 (ia) ? (ia HER) Les quantités, a}, 8°, étant déterminées par Les équa- tions { J\) de l’article CIV , on aura: ZA Lin ((u+ior)e+ on 1) 2 fin (lu +02) + n°2) +3 fin ((ul+%03)1+ 73 )+ N'a fin ((u'+204)1+ 14) & ainfi des autres quantités z'l, 2%, zIV, &c, CR e Cette expreflion de z! eft compofée, comme l'on voir, de quatre termes, chacun analogue à l’expreflion de z!, trouvée dans l’article XL, laquelle donne un plan mo- bile dont linclinaifon eft conftante ; donc pour trouver la pofition de l'orbite d’un Satellite quelconque, il n’v aura qu’à imaginer quatre plans paflant par le centre de Jupi- ter, dont le premier fe meuve fur celui de lerbite de cette Planète, en gardant toujours avec lui la même inclinaifon ; Le fecond fe meuve de la même manière fur le premier ; le troifième fur le fecond , & enfin le quatrième qui fera celui de l'orbite du Sarellie , fe meuve pareille- ment fur le troifième. Ainfi les quantités #A1 ,712, »à3, * #74, feront les rangentes des inclinaifons du premier plan fur celui de Jupiter, du fecond fur le premier , du troi- fième fur le fecond, & du quatrième fur le troifième, & les angles (u+2o1)#+ut , (u+So2)+n2, (u+203)1+n3 (u+ 264) + 14; feront les diftances du fatellite aux nœuds du premier plan avec celui de #, du fecond avec le premier, du troifième avec le fecond, & du quatrième avec le troifième ; d’où l’on voit que les nœuds de ces quatre plans rétrograderont pendant*une révolütion du 134 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS fatellite de LT 360°, 1.7 3609, 2.7 360, 1e 7 360 Si on vouloic connoître direétement la pofition du plan de l'orbite du Satellite, par rapport à celui de l'orbite de Jupiter, on y parviendroit par la méthode de Particle II; car nommant »r la tangente de l’inclinaifon , & + la diftance du Satellite au nœud afcendant , on auroit 2 dy? nzd® : nT = LV #2 + RAC tang. À = LE , favoir , à ag ? d dz mydt = == 2 ———— EE —— caufe de Q=ut+#7,T LS Es nrpre & fang.À # d'ou l’on tire, par les logarithmes, d SA d SRREREE L RE Ré Ed tar =) = (T+ev a na EST) expreffion dans laquelle les imaginaires fe détruiront mu- ruellement, mais qu’il fera difficile peut-être impoffible de réduire à une forme finie, Ainfi je crois qu'il vaudra mieux s'en tenir à La formule de l’article CIX. EXCEL Telles font les premières valeurs des variables x ,y°, 3 dans lefquelles on a négligé les quantités de l'ordre de x. Si on veut y avoir égard , il n’y a qu’à fubftituer ces mê- mes valeurs dans les équations de l’article LXXVI, & les intégrer enfuite par la méthode ordinaire (art. XX XIV). Nous n’entrerons point dans ce détail qui n’a d'autre dificulté que la longueur du calcul, & qui d’ailleurs ne paroïc guères néceflaire dans la théorie des Sarellires, Il y a cependant encore quelques termes des équations (G), &{K), (art. LXXVI) auxquels il ne feroit peut être as inutile d'avoir égard Ÿ ce font ce qui viennent de l'action du Soleil, & qui renferment les quantités x‘1,y4, z', mulripliés par cofir (#—n')r,ou par fix.2(m—u})t; DES SATELLITES DE JUPITER. 135 car en fubftituanc au lieu de ces quantités, leurs va- leurs trouvées ci- deflus , on aura , a caufe de » très- petit (article XLVIIÏ) , des termes qui augmenteront beaucoup par l'intégration, & qui appartiendront auflien quelque manière à la première approximation ; je dis ez quelque manière , parce que ces termes, quoique fort augmentés par l'intégration , fe trouveront encore aflez petits par rapport à ceux que nous avons trouvés juf- qu'ici. Up, Da « En effet les termes dont il s'agit étant tous multipliés par # K— - (Art. XLIX) & devanc ètre divilés par des quaritités de l’ordre de # & de », feront encore après l'intégration de l’ordre de # & per conféquent très-petits. C'eft-là la raifon pour laquelle nous n'avons point eu d'égard à ces fortes de termes dans les calculs précédens ; d'autant plus que notre objet principal eft de déterminer les inégalités des Sacellites caufées par leur ation mu- tuelle, conformément au Programme de l’Académie, Je pourrai peut-être dans une autre occafon reprendre plus au long ces recherches. # CXET.E REMARQUE I. Nous avons vu que les quantités & « dépendent de deux équations du quatrième degré (arc. XCIX), Or, il peut arriver deux cas, qu'il eft bon d'examiner. Le premier eft celui où ces équarions auroient des racines égales ; le fecond , celui où elles auroient des racines imaginaires, Voyons donc ce qu'il faudra faire dans ces deux cas. 10. Suppofons que deux quelconques des valeurs de p foient égales entr’elles, par exemple p4—p3 On fera p4 —=p3 +, érant une quantité évanouifflante , & l’on aura {article XCIX), 136 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS A'4= A'3+ Fi, Ba = B'3+Gi,C'a=C'; He G,G, H étant les coëficiens de de3 dans les différentielles 22, BC < Donc les équations (d\) de l’article CIV deviendront, en fifa L+y=b,&yic, Ai+a/'1+bA'3+cE —=0 B'i+a'B'2+8B'3+6G — 0 Ci+a C2 + bC'3+cH—0 d'où l'on tirera &',b, & 6. On aura de même (article CIV) N4=d'3 + Ai,& va = 03 + Où A; & Q étant parcillement les coëficiens de dpz dans la différenciation de J''3, & w'3, Donc caf. bre ed 47 NE RARAN Ê+o 3)+i( t—Q 1 fr: (Qu Lane JHCR 1} Donc les termes €3 cof, ((u! — 2% p3) 1 + 03 ) + 64 cf. ((u l— 5 pa) # + 014) de l valeur de x* (art. CIV)fe changeront en (3 + &4) cof. (Cu — p3)t+03) + M; (55 — Q) fin. ((u'— 2p3)6 Cm &3), nee 1 (Er) dE An nan Ors3 +4 — mi (x HE a 8H 0!) Say pi (1 a +5) BE Lopesene AA RTE ETRES EN A net HR DA ee El Donc la valeur de x‘! deviendra ” xl ei cf (Qu — 5 pr)t + ot) + e2 cof. (Cu à bd3 + ca 7 I pe RES cof({u—;p3)1+0 3) cd : P I + TR AE Q) fie (ul = p3)t + 03 ). Par DES SATELLITES DE JUPITER. 137 Par conféquent celle de 3" fera (art. XC ) en négli- geant les cermes de l'ordre de n° = — 211 fin. ((uf —zpijt + or) — 262 fin. (lu 2p2)e + @'1) PET TE fin. (ut —:p3)1+ 013) or (ir A) cofe (ul —?p 5)+ 013) tu ++) De-là on voit que les valeurs de x', & de y: contien- dront dans ce cas un terme multiplié par l'angle, lequel donnera par conféquent une équation , dont la valeur ira Rae en augmentant. n réfoudra de la même manière le cas de trois racines égales, & l’on trouvera pour lors dans les valeurs de x, & de y' des termes qui contiendront l'angle + avec fon quarré #, Er ainfi de fuite, s'il y avoit quatre racines égales. 2°. Soient maintenant p 3, & p 4 imaginaires , on les mectra d’abord (ce qui elt roujours poffible comme l'on faic) fous cette forme p 3 = p+gV—, Kp4 = p — V5 ,p,8& q étant des quantités réelles; moyene nant quoi les quantités A3, B'3,C'3, A4, B'4, Cafe rameneront à la forme fuivante, AB —P4#QV—:, A4—P—QV—=T Bal R + SV rs, BARS VE Cr = T+NVYEN C4 TEEN VE Faifant ces fubftitutions dans les équations ( A) & fup- pofanc &° + V—=21b, R—ac VS, les imaginaires difparoïtront , de forte qu’on aura pour & , b, « des va- leurs réelles ; donc les quantités 8!, y feront encore de gerre forme LR = b+ceV— be VTT, Prix de l’Académie , tome LX, ES 133 RECHERGHES SUR LES INÉGALITÉS De plus, on verra par l'art. CIN, que les quantités D'3; E'3, D'4, E'4 feront auffi de la forme : Du FH GVE) DLL TE Gy—, DRE à +GVT;, E4 =#+—GvV=;, Donc on aura auf 6 D’; Cr ss > D'a Arr rain EN En EE ee) Es es - EE’ Gr —, 4H EVER pr MIE y E'4 Eu FO ER UNE Or fin Qu — 2 (pq ))r = fin. (ut — 2: pe ycofz (4 V— 5) cof.(u! ap)t x fr. . M & de même cof. (u — 5 (p + aV—i)}t = cof. (Qu — 3 pt) X of (ge) fin. (2 p) 2 x fin. 3 (ge V5). Donc les termes 8 D'3 & F3 PTE pre ( HART) Ÿ D'4 cof. (uw — 3 p rc sera o — :p4)s Y'E'"4 MR EE er AC 74) la valeur de x‘! (art. CIII) fe changeront en (CH fin. (nu —5p)t— h cof(u—; p}e) cof3 (gt V= 2(L cof. (n° — 3pht+lfin(ui —2 pr) fin: (gt V=) y V5) c'eft-à- dire , en mottant au lieu de eofe = (ge V=5) SI Enr P— : à peu près. Cela pofé : fuppofons, pour plus d’exaétitude , que la feétion de l'ombre foit une élipfe femblable à celle des méridiens de Jupiter, ileft vifible qu’on aura : demi-grand ae de Félplets tante Aa enz | demipetitaxe . .., , ,,....va(t —Æ£) ( Æ étant l'élipricité comme dans l'art. XVI); abfciffe prife depuis le centre . , . 1Y appliquée correfpondante . . . .. y p— Y) Donc, par la nature de J'éliple, d'—"ÿy’; (Cu _ YY = 1:(1 —EŸ, équation d’où lon tirera -L. On aura donc at(1 — E)— Jt(1—E): = pt pap sl dp? pd re V2 ; d'où l’on tire après les réductions DES SATELLITES DE JUPITER 151 pdp pe De, WTTES RE ae lt E) a (er + E)—p* (1—E) + En — — = Le figne + donne la valeur 4 pour l'immerfion,comme nous l'avons fuppofé, & le figne — donne au contraire la valeur del pour l’émerfion. CX X. Subftituons maintenant us + »y au lieu deg, #zau lieu de p, & de même #9 au lieu de « (car il eft évident que la quantité « doit être du même ordre que la quan- tité p)5 on aura en ne négligeant que les termes affe@tés de »:: n J=+ 1 AGEN, ROTH (i—E)}" pdr VAE + CXXI. Pour convertir cette expreffion en téms, on la divi- k A = ; dy dy fera par la viceffe angulaire qui ft = =u+ Li ce qui donnera en négligeant toujours les #3 x n? 2 ñ —_——_——————————— ps _ 2 CARS a*(1—E) ? Frise el xd — E RH Eee ee RL tr FE (3 ) udt VC —E) ve)e Donc l'intervalle entre limmerfion & la conjonction fera: TEE) Vai(i=E) 7 + “Gi —2#} tdi CA ELA SE RS (É—cu-r À VE) 4 152 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS & l'intervalle entre la conjonétion & l’emmerfon fera: ñn Firm pr ne n? £ ———— 2 2 2 be —————— HSE) Ai(1—E£) —x% “QG —E} xd dy. ENPRRET en ri0d-r ME) pe Va (1— E) +) Par conféquent la demi-durée fera 71 nn Se n° z dy Us. OR ET" GENS Tete de) a le En CXXII. Il paroît que les Aftronomes ont toujours fuppofé juf- qu'à préient , que les durées des éclipfes des fatellites étoient les mêmes avant, & après la conjonétion ; ce qui n'eft pas vrai à la rigueur , la différence étant de n? xd? que ces durées ne peuvent être égales que dans deux cas; 1° lorfquo p = o , c’eft-à-dire que la latitude du facel- lite eft nulle, & que par conféquent l'éclipfe eft centrale; 2° lorfque dp — o, favoir lorfque la latitude eft la plus grande , ou bien que le farellite eft dans les limites, , A ]j: pdp À d’ \ l’ ! -à- ———— ; d'où l’on voit . c'eft-à-dire de Ga) où un CXXIII, Suppofons maintenant que l’on ait obfervé la demi- durée d’une éclipfe de fatellire, laquelle foit de A fecon« des ; on aura en remettant pour #1, & #2, « & Pa dy In — kdt , VENT = 2 z 8 ATENE) (EPP où DES SATELLITES,DE, JUPITER 153 où il faudra prendre pour w, 360° divifés par le temps ériodique réduit en fecondes ; ou bien on convertira immédiarement la durée A en degrés, & l'on aura fimplement # AR rpg Val E)—p d’où l’on tire ” = (1 E) ARTE 9 edt c’eft la rangente de la latitude du fatellite au moment de la conjonction, CN XIV Ayant ainf la latitude, & connoiffant d'ailleurs fe lieu du nœud par les obfervations des plus grandes durées on trouvera aifément l'inclinaifon de l'orbite ; il n’y aura pour cela qu’à divifer la rangente de:la latitude trouvée par le finus de J’élongation de Jupiter, vu du Soleil , au nœud du fatellite ; le quotient fera la tangente de l’incli- naifon de Porbite, C’eft ainfi que tous les Aftronomes en ont ufé juf- qu'ici pour déterminer la pofition des plans des orbites des fatellires, … Mais fi on pouvoir, connoître avec aflez de précifion par la théorie le moment dé là conjonétion , op pourroit trouver immédiarement linclinaifon de la soute du farel- lire dans l'ombre par les obfervations des immerfions & des émerfions ; car nous avons vu que la différence entre les durées de l’éclipfe avant & après la conjonétion doit : pdp USA Y tre —.— #7 ; 2 n être FU Fa) donc, divifant cette différence par 1 Prix de l'Académie, Tome IX, V 4 154. RECHER RCHE SSURLES FNÈGArITÉS 1 j vED 0 SN IUO@ Ji Ho Hirhyes of aura di de 7, tangenté & Pieiafon dé eu E})7"1 adt la route du fatellice. n2 squit Mais outre que cette méthode exigeroit dans les tables des farellires un degré de précifion: sont elles font encore bien éloignées # LeHé feroir encore le plus fouvent i impra- ticible ÿ2 cauféiqu’ on he peut pas toujours obferver 2 à le fois Te immer fons & les APROUE Je figirai çes. recherches pal d dife-un mor-des variations qu'on à reset julqu ici De les politions des orbites des fatellires. DE 911 Ls3$t ub al ]61 Si © epis 2 (£3 Ï fs" 5 sue Fr … Des inclinatfons £ & des rad des S'arellites. j.À fifi Six r10 251 200 ser CXXV 20 Mes egka N° : ; 5 | murs ra Re 91010 JGar9h) dé (4 Premier Satellite eft fé feul a l’orbite paroiffe à BEu près ‘fixe ; fon inclinaïfon eft félon. les tables de 305r8 & lelién du'nœud 4107, '14°,.305 du: moins les. icdane durées obfervées quadrene afez bien avec, ces Élénrénse® ©? RAS Léhéæud du fetond paroît auf fixe” mais fon incl naifon eft fujerte à un changement confidéaUle , dont Ja période elt de 31 ans ; la" plus grande in intlinaifon RE de 39,475 27 & la plus petite de 39,59 2" de forte que la variation eft de 19, 18',2 $ oubien de” 39! x 2" FaDtÔE en'plus, tantôt en moins, ce qui fait environ + r de l'incli- faifon moyenne. CXXVL É 53 —— #90 Un penar) fi conf de ne A else que par Les formules de l'art. CIX. En effet, fuppolons Li hdd de. DES SATELLET ED EIUMMTER I] $$ queilx valéur del zihne renferme que deuxirkrmes: ou at moins que les-deux autres foient aflez pesirs Lpout: pous qe être négligés , deforre que l'on ait Rat : BAT 1 fn Qu PCT )e FÉPy + À 2 fin. (CRE 5 2)/ ME On aura , en nomiant #72 là tangente de l'incli- - naïfon de l'orbite, ÊS la fitanEe du favellite au nœud afcendant C : “es E 8 né SE Swmon 5b 3% > sb arofiioiqs ETES Qi C7 NUE nel it T' = Œ ACER ange = + (anse 2 + 4 = } ñ WU £ De ns = for, en négligeant Les cermés de n Fi CR Ti — VAE + AT 22 LE LATE, cofe (Er —yed)é Ph 1 —»" 2) & pes M fm (ee ((u% per LÉ JE Ne a Les) 1H 2) tang- 7: ALES AUS UTÉE my) = A co ar Donc 4 plus! rage valeur Th fera EE: + À & ‘Ja plûs RER À" MST donc 7 EF IL er 1) mit) 47 225 des (ae or Nr bre 2 af 27 ARE ira 0). pat ce SES == PT = i, 527 x! « En = + TD ) = v miviels teste L £ PL 2 05547 ? i— 7 J! € y d'où lon tire He = Pret b ; 208: — environ ! LA Maïnienanc il eft clair que Ja valeur. dé T' tredeviendra la mème lorfque l'angle ? fe Tr — 0 52 ÿ2 Ca trouvera 2ug- menté ou diminué de 7360? pr pris: une. où. “pla teurs fois ; done puifqué Hlüméitude Moy du Redhé farellice eft < exprimée PE 13e période. de | la variation de 7” fera deibos oser) rétolitions APRES TE Or cerce période eft , felon.les Obfervations--dé :31ans; < 2 LA 156 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS ce qui répond à peu près à 3 1 89 rev. du fecond fatellites donc il faudra que + r (1 — a) 55e 0003136. CXXVII Ayant trouvé x! 2 —=+A"1,0on pourra fimplifier Les expreflions de +”, & de rangente JT & l’on aura à crès- pe près : TA 1 tL ++ cof. (2 (oI—c2) + nn 2)) & tang photos Qu + To 1} + m1) HE x fin (etre) 2) 3 cof({ut +ostl Hi) n cof (Hs saltnt oz) x fn (ts oi Hot r) cof. ((4” FLE "a 1j 1)? Soit fait LU = (ul +01) + 1 Hg, g Étant une quantité fort petire , on aura, famg. 1/2 q cn 0 QG ones 1 + 1) + cof. Qu + » ot )é nt 1 u)2 ce). 5 à peu près; done EN Qu Hicil+n2)x cofe (lé + Eo1)e + 97) (ES +202} + niz} fie + 201 + n°1 me ne (GI — o2)t+n 1—#12); donc AU = (ul + Eoik Hi — + fin (i(or—c1} + ). D'où l'on voit 1° que le mouvement du nœud fera de 2oI L ’ fl . e . A « par révolution; 2° que ce mouvement fera fujet à 2 une équation a à cellé de l’inclinaifon , laquelle 157: \ monter à Te 1° à 27.01% DES SATELLITES DE JUPITER 167 Ces derniers réfultats ne s'accordent pas à la vérité avec les obfervations des demi-durées, par lefquelles il aroîc que les nœuds fonc à crès-peu près fixes; mais j'ob- Es 1°, que la quantité «1 peut être nulle , auquel cas le nœud n'aura plus qu'un mouvement d'ofcillation. 2° Qu'il eft impoffible que l'attraction produife un changement dans l'inclinaifon fans produire en même- tems un changement analogue dans le lieu du nœud. Voyez plus bas, arr. CXXX, CEXEX VIRE TE Voyons maintenant comment on pourroit farisfaire à . . . n ces deux condicions, favoir RS Gi 4) = 06, TE 0003136, 01 = D. Pour cela, nous conferverons ici les hypothèfes de Parc. C X VIII, moyennant quoi l'équarion (Ë) de l'art. C X V fe réduira à célle-ci : K! AU KIMXIv — 5, 675 Ê" KW —o, laquelle donne A! = 0, ou bien A"—=o, ou bien AXE KIV —_ 6,695 — 0; cette dernière équation fe réduit à celle-ci: 2 IL ® III 55675. rt 111 À (5 — 7) HT ph XL o; IT I III Il III II Jo+pp, m'a, ou bien o°— (pu 71 + pill — 1,419 pe pet x" x" ren Or, fuivant les mêmes hypothèfes, on a 7 — 0,942 Y, &m! = +, 506 X" à peu près (ar. LXXXVI) donc 4° 7 — 0, 942 x 1, 506% X° = 1, 419 #° X ; donc faifant pour plus de fimplicité y= # X", & mettant © , 496 ml! aû lieu de "1, on aura l'équation : —(0, 941m+ 0, 747)uù X° 6 = 05 s 158 RECHERGHES SUR LES INÉGALUTÉS d'où l’on tire i D ÿ IL IL s—=0,Ro=(0, 942 m+ 0, 747) ny" | Donc on fatisfera à nos conditions en prenant pour, a { la première de ces deux racines, & pour. a 2 la Lssppdes Au HRPATANE T(0 51942 mo, 747) y 0;l0003136 ; ce c: qui IL TE 00000 241 7{art.LXHI) donne à caufe de z PE M — 217 à très peu près, IL eft vrai que cette détermination ne s'accorde point avec ce que nous avons trouvé.dans Part. E XVII: mais cela n’eft point furprenant vu le grand nombre des quan- qités que nous avons négligés dans ce calcul; aufli ne l’ai-je donné ici que comme un eff, me fetanede les TÉPrEnS de dans ser autre. occafon. ni CXXIX La ppfition de l'orbite du troifième farellice eft auf fu; jette à des variations fort remarquables; fon_inclinaifon paroïît avoir été la plus petite en 1697, où elle n'étoit qued’environ 3°, & depuis lors elle a toujours été en augmentant ; in forte qu'en 1763 on l'a trouvée de SPL , Ce qui fait 27’ en 66 ansÿ & par tre envi- ron 26° paran. = Quoiqu” on: nl pas encore le terme es cette augmentation, il-y a cependant tout lieu de croire qu’elle ef périodique comme celle du fecond fatellite ; çar fui- vant la comparaifon, que M. Maraldi a faite d’un très- grand nombre d’obfervations des demi - durées depuis 1671 ; jufqu' en 1763: linclinaïfon fé trouve à ’rrès= peu près la même à incervalles égaux avant &i après 1697. OS f } RO >) 25 x pes SATELLITES DE JUPITER. 159 ° A l'égard dénœud , les tables de M. Wargentin le fuppofent fie à 10° 16° 3", mais M. Maraldi trouve qu'il doic avoir.un mouvement direét d'environ 3' par an; {lon ce favant Aftronome il étoit à 10 1° 52°en1697, Ma ro 17%9'en 1763. # Cés variations peuvent s'expliquer de la même manière que celles du fecond fatellite, pourvu qu’on feppofe que la période de d'inclinaifon foit beaucoup plus longue ; filonstla de r'révolutions du tfoifièmé farellite s'il faudra it . 4 = NE LEE FA) 4 * | L " a - querl'on ait —(é1-rd2)==,5,prenons pour «1 la # même raciné que ci-deffus, & pour «2 une dés: deux Autres racines, par'éxeriple celle qui réfulte de Péquation K'= 0, favoirez =p 7 = pi(o,98 140, 12 61), (arc. LXXXVI); mettonsau lieu deu", 4, 0444", au lieu de x,» 9", & au lieu dez x" — F fa valeur À nez 02 00002417, on aura En © 0» 0000479 6 - TL % À Ho,00000615$ = — 5 fi — 10, on auroitenvi- ron r = 10000, ce qui donneroit à peu près 195 ans pour la durée de la période. pl ARE L'olMainténant, fi on note par #7"! la rangente de- linclinaifon , & par 7 la diftance au nœud, & qu'on fuppofe NŸ2=—) NV , étant une fraétion affez petire, on aura comme dans Part. CXXVI, M 1 (1 ncof (oi —e2)ée ren 2 à 1,0 & 4 = (uit ot )e pr — y fércoit TO(E (SI —02)1+ni1—m22), 16Q RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS ou bien (à caufe de 1 = 0 ,& deu"; — à la longitude moyenne du fatellite que nous dénoterons par 4%} Mt; ie My HT 2) & LEA ne Ju ly — fin, © D a y y) où #11 — Left la so du nœud. Suppofons ; ce qui eft permis , que la longitude moyenne #'"! foit comptée depuis le point, où fe trou- voir le fatellite au moment de la plus-petite inclinaifon de fon Btbite » Où aura cofe (—# tr +n2)=—1, donc — #1 +2 = 1800; par conféquent les farmu- les précédentes deviendront : TU AMI (T7 Gof. #4) —n— pie + v fn. me ge , ® Donc la vie du nœud fera à la vitefle moyenñe , na2 ne? du farellite comme » —; cof. —; ut à 1 5 d'où lon zu! 24 voit ion le mouvement du nœud fera dire tant que of — 7 4 uT fera pofitif, c'eft-à- dire tant que l’inclinaifon fera au deflous de la moyenne, . Au refte, fi je donne ici ces formules, ce n'eft pas que je les regarde comme fort exactes & conformes au mouvement du troifième fatellite ; mon objet eft fim- plement de donner une idée de la manière, dont on pourroit DES SATELLITES DE JUPIiTER. 161 pourroit rendre raifon de l'augmentation d'inclinaifon , & du mouvement direét des nœuds de ce fatellice ; phé- nomènes qui paroiflenc affez difficiles à expliquer. CARS Le quatrième fatellice eft aufi dans le même cas que le troifième à l'égard du mouvement des nœuds. M. Maraldi l'a trouvé d’environ s' 3 3" par an fuivant l’ordre des fignes; mais M. Wargentin ne le fait que d'environ 4 , 24" dans fes nouvelles tables, Quant à l'inclinaifon , ils {a fuppofent conftante & de 2° 36’; maisil ya tout lieu de croire que cette détermination n'eft pas tout à fait exacte; car il paroît difficile que les nœuds aïent un mouvement dirc& , tandis que l’inclinaifon demeure [a même. D'ailleurs , M. Wargentin remarque que les nœuds ont du être ftarionaires vers la fin du fiècle dernier , ce qui prouve, ce me femble, qu’ils étoient auparavant retrogrades, & que leur mouvement n’eft qu’une efpèce d’ofcillation , comme nous l'avons déja fuppofé , à l'égard du troi- fième fatellite ; or, je dis qu’un tel mouvement ne fçauroit avoir lieu dans le nœud, fans qu'il ait, dans linclinaifon , une variation analogue ; c’eft de quoi ileft facile de fe convaincre en jettant les yeux fur la formule d À fin. (g— +) = À cof. (9 — €) de de Part. IT, laquelle exprime la relation qu'il doit avoir en général entre le mouvement du nœud, & la variation de l’incli- naifon, Je fais cette remarque , moins pour faire naître des doutes fur les réfulrats de ces deux favans Aftro- nomes , que pour les engager à fe rendre de plus en plus attentifs à la détermination d’élémens fi délicats & fi difficiles. Prix de l’Académie , 1ome [X, X 162 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS,&C, Au refte , quand on fera bien afluré de l'exaéti- tude de ces élémens, on pourra alors fe fervir de nos formules pour donner à la théorie du quatrième fatellice de nouveaux degrés de perfection. FIN. DE L’'ARRIMAGE DES VAISSEAUX. MÉMOIRE pour concourir au prix propofé par l'ACADÉMIE ROYALE DES SCIENCES de Paris pour l’année 1765. = LE Rp OR TES MÉMOIRE SUR L’'ARRIMAGE DES VAISSEAUX. Amoris patriæ pignus. L n'eft, pour l’arrimage , aucune règle | connue. On arrime encore aujourd'hui, comme on faifoit au milieu du fiècle der- ‘tité de left afignée aux vaifleaux du même == rang. On le place également dans tous de Ja même façon; & fi, lorfque l’arrimage eft fini, le tirant d'eau n'eft pas tel qu'on lavoit projetté, on corrige cette différence avec du left qui eft en réferve , & que l’on tranfporte à une des extrémités, pour Appeler le vaifleau 2 “nier. On donne aux vaiffeaux neufs la quan- At À } 4 MÉMOIRE SUR L’ARRIMAGE 4 au tirant d’eau que l’on defire. On tâtonne un peu moins à la feconde campagne ; & après plufieurs voyages, on fe fair une efpèce de règle pour la quantité de left à mettre, & pour le tirant du vaifleau , en mettant ce left. Les Conftruéteurs un peu inftruits, ne fe trompent pas fur la quantité du left à mettre dans les vaifleaux neufs, du moins pour ce qui regarde la hauteur de la batterie, qu'ils fe font propofés de donner. Il leur fufft pour cela de dreffer un état exaët de tous les poids qui entrent dans la conftruétion & l’armement des vaifleaux; & cet état ne demande pas de grandes difcuffions : mais le plus grand nombre d’entreux ne m’a pas paru pouffer plus loin fes recherches. Il eft rare qu'ils déterminent , avec précifion ;, la différence du tirant d’eau, ( le vaifleau étant , comme on dit, fur fon left, } & je les ai vu fe tromper. Cependant, quoique cette connoiffance influe fur le placement des autres matières , autres que le left, elle eft moins impor- tante que l'examen de l’arrimage, par rapport à la ftabi- lité, Cet examen n’eft pas plus minutieux que celui des Fran & on ne peut procéder à celui-ci, fans raflem- ler les matériaux néceflaires pour l’autre. Il eft vrai que ce n'eft pas tant la ftabilité que l’on doit chercher que la quantité de cette ftabilité, & fon. influence fur l'allure , le tangage, & le roulis; mais c’eft toujours beaucoup que d’avoir reconnu que le vaiffeau portera la voile. Il eut été a defirer qu’on s’en fût occupé dans la conftruétion de tous les vaifleaux , aulieu de comparer fimplement à l'œil les vaifleaux à faire aux vaifteaux eonftruits & connus. Voilà, en gros, quelle eft la méthode uftée pour l’ar- rimage des vaifleaux de guerre. Celle pour les vaif- feaux marchands eft, à plus forte raifon , livrée au tâton- nement. La deftination des Bâtimens de commerce varie à tou- tes les campagnes , & quelquefois même dans le courant d’un voyage. Ces navires ; dont l'objer eft de tranfporter \ DES VAISSE AU X. $ beaucoup , font en général conftruits pour naviguer avec une petite quantité de left , & c’eft felon la légereré ou la pefanreur des marchandifes qu’ils embarquent , qu'ils mer- tent, ou ne mettent pas du left. Dans le premier cas, ils font un petit retranchemenc, une efpèce de fofe , à l’'en- tour du grand mât; & là, ils entafleat le left qu’ils jagent néceffaire : dans l’autre , ils matelaflent la calle avec des matières légeres, telles que les fagots pour élever le cen- tre de gravité de la charge, & rendre les mouvemens du roulis moins rudes. Dans les navires de commerce, comme dans les vaif- feaux de guerre, on n’examine qu’à la mer , & pendant le cours de la navigation, l'influence de l’arrimage fur l'af- fiete du Bâtiment, fur fon allure, fa fenfibilité au gou- vernail , & à tous les mouvemens de converfion, Un vaiffleau porte-t-1l mal la voile? on met dans la calle les canons les plus élevés. Sa marche eft-elle rallentie > on lâche les coins des mâts, les haubans, les étais. On fait pancher les mâts en avant ou en arrière, On tranfporte fucceflivement, dans ces deux parties, des poids pour les faire plonger davan- tage ; ainfi, tel vaifeau étoit trop fur l'avant qui marche mieux, cette partie étant moins fubmergé & vice verfa de l'arrière. Le gouvernail ne fe fait-il pas affez fentir, comme s'expriment les Marins? on fait encore caller l'arrière. Mais ce n’eft pas là ce que demande l’Académie, La defcription de ces méthodes n’apprend pas grand chofe, & un plus long détail feroit inutile. C’eft La façon la meil- leure d’arrimer tous les vaifleaux poflibles, & l'examen particulier de l’arrimage en entier fur toutes les qualités que l’on exige des vaifleaux, qui fait fans doute l’objet de la queftion. Par le mot d’arrimage , on entend non-feulement 14 . . . D CE . diftribution du left & des autres matières pefantes, qui 6 MÉMOIRE SUR L’ARRIMAGÉ entrent dans la calle des vaiffeaux ; mais encore le place- ment des mâts & les proportions des voiles. Ces deux con- fidérations menent naturellement à l'examen de la figure des vaifleaux, parce que ce n'eft que relativement à cette figure que la mature eft déterminée & l’arrimage diftri- bué. Il faudroit donc ; afin de donner plus de- jour à la folution du problème propofé, entrer dans un examen particulier de la figure des vaiffeaux ; de-là , & par une fuite naturelle , il faudroit parler de la mâture, & enfuire de l’arrimage. Ce feroit, je penfe , la marche la plus natu- relle, pour rendre ce Mémoire utile ; mais, que pourroit- on dire fur la figure des vaifleaux & fur la mâture, qui p’aic déja été écrit par M. Duhamel, M. Camus, M. Bou- guer , M. Euler, M.Bernoully, M. Hugens, M. Pitot, &c. Tous ces Auteurs ne nous ont rien laifié à defirer , & ileft difficile de ne pasles répéter, CO: NS M RAEAY Gi TAUT JOHN L'Architetture navale a fait des progrès ; mais il s’en faut bien qu’elle foit parvenue à ce point de perfeétion, dont elle eft fufceptible. Quelques Conftructeurs plus inftruics que leurs dévanciers , ont un peu éclairé, par leurs études , cette partie de la Marine , long-temps livrée à la pure routine; mais trop timides dans leurs eflais, & ne confulrant pas aflez la théorie, qui les rebutoit peut- être par fa féchereffe , ou les effrayoit par les changemens qu'elle indiquoit à faire à ce que fa pratique avoit confa- cré , leur travail n’a pas toujours porté le fceau de la cer- titude. Ceux qui ont eu le plus de réputation fe font long- temps contentés de calculer Le déplacement, & de le comparer, comme on a dic plus haur, à l’état de pefanteur. Quelques-uns ont dreffé ces états avec beaucoup de préci- fion , & entrautres chofes y ont diftingué les poids de la partie fubmersée, d'avec ceux qui font hors de l’eau. Voici DES VAISSEAUX. > quelle étoit la raifon de certe diftinction. Ils croyoient par certe comparaïfon juger de la ftabilité, & cette voie d'aproximation a eu quelque - temps du crédit. Les bons livres que nous avons fur cette partie, fait tomber cet efpèce de fyftème , dont on ne parle ici, que pour mon- trer combien on étoit loin il y a vingt ans de fçavoir cal- culer la ftabilité. La marche en eft aujourd’hui connue de quelques-uns. Ils calculent le centre de gravité de la partie fubmergée, qu'ils regardent comme homogene ; ils déterminent la pofition du métacentre, & comparent ces deux termes à ceux des autres vaiffleaux. Enfin, pour der- nier calcul, ils examinent la pouffée de l’eau fur la proue dans la route directe. Voilà l’état actuel de l’Architeéture. Quelques Conf- tructeurs étendent davantage ces calculs 5 mais Le plus rand nombre fe tient au fimple déplacement, pour ne pas £ tromper au moins fur la hauteur de la batterie. Tout le refte , ils l’arrangent par la voie de la comparaifon tou- jours tâtonneufe & peu fûre; aufli courent-ils rifque de fe tromper, quand ils ont à conftruire des vaifleaux peu con- nus, comme le font ceux à trois ponts. D'ailleurs , comment examiner & calculer larrimage dans tous Les fens, fi on ne pouñfe pas plus loin les calculs fur la figure de la coque & fur la voilure. Ainfi, après avoir trouvé la hauteur de la batterie , il eft de la plus grande conféquence de chercher la ftabilité, & par conféquent le centre de gravité du vaifleau armé ; & alors même, il faut de toute néceflité fuppofer un arri- mage quelconque. Cela fair, on pafle au calcul de la pouf- fée de l’eau fur la proue dans les routes direétes & obli- ues ; & par ce calcul, on détermine la pofition & les dncafons de la mâture , que l’on n’avoit fait encore que fuppofer. Ce même calcul , & celui de l’arrimage recti< fient les opérations que l’on a commencées fur cette voi- lure par rapport à la ftabilité ; & fon voit (file point véli- 8 MÉMOIRE SUR L'ARRIMAGE que doit être placé plus haut ou plus bas) ce que l'on gagnoit ou perdoit de ftabilité, On examine après le choc de l’eau fur le gouvernail, & l’on juge fi le vaifleau y fera fenfble, & s'il aura befoin d’aider ou d’être aidé par les voiles. Ces opérations finies, il me femble que l’on peut pañfer à l'examen du roulis par rapport à la diftribution de l’arrimage, parce que les mâts & les voiles font détermie nés d’une façon invariable , & qu’on n’a plus à s'occuper que d’un object très - fimple, ne s’agiffant plus que d'un nouvel arrangement de left. De ANT: Tail, “ES Je viens de dire fur la mâture tout ce qu'il fauc, puif- que j'ai demandé que fa polition, fes dimenfions, & par conféquent Le point vélique fuffent déterminés. Je n’exa- ‘minerai pas ici la défeétuofité des règles que l’on a fuivi & que l’on fuit encore dans quelques Ports. Il paroîtra tou- jours inconféquent de règler la voilure & les agrèts fur la fimple largeur, comme fi deux vaifleaux, également lar- ges, devoient porter également la voile , & comme fi la largeur influoit feule fur la ftabilité. De-là , tant de chan- gemens dans ces mâtures, après la premiere ou deuxieme campagne des vaifleaux. Il eft plufieurs de nos frégates de 26 canons de 12, dont les changemens fur la mâture, ont été pouffés fi loin, qu’elles n’ont plus différé ( pour cette partie) des frégates de $o canons. Les calculs l'avoient dit avant de les mettre en mer pour la premiere fois ;. mais on ne pouvoit concevoir qu'une frégate qui étoit moins large que autre, pûc porter une auf grande mâture ; on ne faifoit pas attention que cette frégate de 26 n’avoit qu'une feule batterie, & que la deuxieme bat- terie de celle de 50 faifoit perdre, par l’exhauffement du centre de gravité total, ce que l'autre gagnoit par le rabaiflement DES VAISSEAUX. 9 rabaiffement de ce centre. Une pratique un peu plus ré- fléchie auroit du l’apprendre, avant que la théorie décidât fans replique. L’eflai que j'ai fait fur un vaiffeau a faic un peu revenir les Efprits praticiens; mais le préjugé général contre la figure, la voilure & l’arrimage de ce Bâtiment fut pouffé à l’excès, l'expérience calma les efprits. lo jÉR®+ RE MA 4 AG TS Tout paroît dic fur l'arrimage , puifqu'on ne peut déter- miner la figure du vaifleau, fa mâture & fa voilure, fans entrer dans le détail de ce qui conftitue l’arrimage. On ” peut cependant poufier.plus loin la difcuffien | mais il eft bien difficile de ne pas fe répéter, Néanmoins pour dire des chofes utiles , il n’y a qu'à chercher des exemples & analyfer les cas qui fe rencontrent Le plas fouvent dans les Ports, Soit un vaiffeau pris fur les ennemis, dont on n’a pas eu le temps de reconnoïtre les qualités , ou dans lequel en en à reconnu de très-mauvaifes. Ou bien foit un de nos vaifletux qui manque des qualités les plus néceflaires, comme de La hauteur de [a batterie, de la. ftabilité, & de la fenfbilité au gouvernail , & d’être fujet à manquer dans fes mouvemens de converfion, SRB cr RS NE É; Le plus grand défaut que puifle avoir un vaifleau , c’eft, fans contredit , celui de ne pas porter la voile. Les conféquences en font terribles. Un pareil Bâtiment ne marche pas. S’il eft affalé fur une côte , il ne peut s'en élever , parce que c’eft le cas de faire de la voile, & il ne peut la porter. S'il fe bac, c'eft coujours avec défavantage, même contre un ennemi inférieur , parce que celui-ci le Prix de l’Académie , Tome IX, B 10 MÉMOIRE SUR L'ARRIMAGE à force de fe battre au vent, & l'empêche de fe fervir de fa premiere batterie. $ Les moyens les plus généraux pour corriger ce défaut, fonr de rafer l'œuvre morte , de fubitituer des canons de moindre calibre , de diminuer en tout fens la voïlure, & même de Les fouffler; mais ces moyens, en effaçant une parue des défauts, en font paître d’autres. | 1°, Si on rafe l'œuvre morte , un vaifleau ennemi de ce rang le domine avec fa moufquererie, 2°. Si on lui fubf- titue des canons de moindre calibre, il oppofe des forces inévales à un vaifleau de fon rang qui le combat. 3°. Sion diminue la voilure, on ne gagne du côté de la ftabilité , qu’en perdant du côté de la vîceffe, parce que ce Bâti- ment peu: fort bien avoir une proue de grande réfiftance, à laquelle la mature qu'il avoit ci-devant ne fuffifoit peut- être pas. Je crois avoir trouvé un moyen plus fimple , moins couteux, & quine diminueroit en aucune façon la force du vaiffeau ni fa vicefle. Ce moyen le voici. C’eft de lui mettre une contréquille de fer, tenue par des étriers. Certe contrequille feroit plus ou moins pefante, felon qu'on auroit, où vu, où calcuté sale befoin qu'en a le vaiffeau chargé par le vent pour être rappellé à fa premiere afletre, Le calcul fair fur un vaifleau de foixante canons que je ne nommerai pas, parce que l'Académie ne veut pas qu'il foit rien dit qui puiffe défigner le nom de l’Auteur, & celui fait fur un vaifleau à trois ponts qui ne peur pas porter toute {on artillerie, m'ont clairement démontré, que dans le premier vaiffeau une contrequille de cinq pouces un quart d'épaifleur , eût fuffi, & dans l’autre une de neuf & demi: Ces calculs ne font pas même minu- tieux, parce que je ne couchai ni à la coque du vaiffeau ; ni à {a voilure ni à fon arullerie. Je ne fis autre chofe pour ces deux vaifléaux , après avoir cherché le centre de gras DES /VAISSE AU x. “AT vité du fyflême, non compris celui d’une partie des ca- nons de la feconde batterie & des gaillards , que de cher cher à balancer par la quille de fer que je ne fuppofai d’abord que de deux pouces pour le premier vaifleau, & de quatre pour le fecond , [a quantité de canons que l'on avoit reconnu excédente & que je pouvois remplacer à - mefure que je gagnois de la ftabilité. Ce moyen applica- ble dans tous les cas, m'a paru devoir être le premier em- plové, parce qu'il eft plus prompt, moins couteux, & qu'il conferve toute fon artillerie. Je l'ai tu, jufqu’à pré- fent, mais j'ai dit que j'avois une propofition à faire au premier armement du vaiffeau à crois ponts, dont j'ai parlé ci-deffus, & que certe proportion tendoit à conferver à ce vaifleau toute fon artillerie & route fa voilure, je n’y ai pas ajouté les agrêts, parce que j'ai vu fenfiblement qu'ils pouvoient être réduits, & cette réduction eft entrée pour quelque chofe dans l'épaifieur de la contrequille projettée, qui fans cela devroit être plus forte. Je n'ajouterai pas que cette contrequille doit être aiguë en avant à caufe de la réfiftance du fluide, & quarrée ou obtufe à l'arrière, felon que Les vaifleaux ont befoin d’un gouv ernail plus ou moins plongeant. Tous ces petits détails vont de fuwe & font fous entendus. . Ce même moyen, je l'appliquerois fur les vaifleaux marchands ne mettroient plus de left quand ils tranf- portent des marchandifes légeres , & cetre contrequille ne leur nuiroit pas quand ils feroient chargés de muni- tions pefantes, parce que jamais ces marchandifes n'em- combrent la cale ,& il n’y auroit alors qu'à mertre un far- dage un peu plus exhaufié. Dans les deux cas ils iroient mieux au plus près, qualité qui leur manque à tous. Ce moyen je l'appliquerois également fur les vaifleaux de guerre, qui font de longues miflions & qui embar- * quent pour fept à huit mois de vivres, Cette contrequille B 2 12 MÉMOIRE SUR L’ARRIMAGE » leur tiendroit lieu d’une grande partie de left , & par-là ils porteroient une plus grande quantité de barriques de farine, de falaifon , &c, Tout cela exige fans doute des calculs particuliers, qui varient felon la force & la figure des vaiffeaux ; mais ces calculs ne font pas difficiles, ils ne font que longs , &avec le fecours des formules on peut les réduire à-de fimples opérations d’Arithmétique. - Voilà pour la ftabilité , voyons pour la marche, M: A R CHE. C'eft des vaifleaux conftruits que nous devons parler, & non des vaifleaux à conftruire , parce que nous avons dit de ces derniers, que c’eft dans la compofition d'un plan que l’on concilie toutes les qualités, & que celle de l'allure va de pair avec lesautres. Nous dirons en paffant que fi dans les frégates , c’eft la qualité premiere, cette même qualité ne doit aller dans les vaifleaux qu’enfuite de la ftabiliré & de la hauteur de la bauterie. Lorfqu’un vaifleau quelconque à une marche pefante & que l’on cherche les moyens de lui faire acquérir de la virefle , il ne faur pas s'arrêter à toutes ces pratiques que le temps & lignorance ont confacrées. Il faut l’attaquer avec Les calculs & reconnoître d’abord fa ftabilité, Si elle eft fupérieure à l'effort du vent fur les voiles, il ne fauc pas pour cela augmenter fa voilure ; ce moyen eft bon à quelques égards, mais il eft difpendieux , & néceffire d’avoir un équipage plus nombreux en raifon de l'aug- mentation de la voilure. Il eft mieux de laifer les voiles telles qu’elles font, mais de faire moïns’caller le vaiffeau, afin dé diminuer & fon inertie & la pouffée de l’eau fur la proue & fur la carène en général. D’afligner de quelle quansité il faut le faire fortir de l'eau , c'eft ce que les cal- DES VAISSEAU x. 13 * culs pourront peut-être déterminer par approximation ; mais ce qui eft très-néceffaire, c’eit de mertre en même- tems une contrequille en bois de même épaifleur , que la quantité dont on fera fortir la carêne"de l’eau , pour ne rien perdre de l'avantage du plus près. Si le vaiffeau ne marche pas, & que d’ailleurs il ne porte pas bien la voile, il faudra avoir d'abord recours à la contrequille de fer , parce qu’indépendamment qu’elle tient lieu far fa pofition d'une plus grande quantité de left, & que le vaifileau doit par conféquent caller moins, elle tient également lieu de la contrequille en bois, que l'on feroit obligé de mettre pour fe fourenir au plus près. Si malgré certe reflource il ne marchoit pas & ne portoit pas la voile, comme on le defire , il faudroit alors en ve- nir à la mature. La figure du vaifleau peut préparer les opérations à faire. En général un vaifleau aigu de l'avant, n’a pas befoin d’une mâture fi élevée. Les frégares en font un exemple bien fenfible. Les voiles les plus élevées ten- dent plucôt à faire plonger l’avanc, qu’à le faire filler 3 & avec du vent frais, on les voit mieux marcher avec les quatre corps de voiles , qu’avec leurs huniers & les quatre corps de voiles. Les calculs diront mieux &. avec préci- fion de quelle quantité on doit peut-être rabaifler le point vélique, & fi l'on peut, en le rabaïflant ; conferver toujours la même furface de voiles,en donnant en enver- gure , ce qu’on Ôte en chüte. Si enfin le vaifleau ne mar- choit pas , malgré ces changemens, & qu’on! s’apperçut ue fon peu de vicefle procédât de la trop forte im- pulfion de l'eau fur la proue , on pourroit bien faire . caller un peu plus l'arrière, pour élever l'avant de tout autant 5 mais un moyen nouveau , feroit de diminuer confidérablement la pouflée de l’eau fur la proue , par le moyen d’une fourrure de fimple bordage, dont un bout s’appuyeroit contre les bordages du vaifleau , & 14 MÉMOIRE SUR L’ARRIMACGE l'autre contre Le raillemer, comme la figure qui fuit l'ins dique. Senfibilité au Gouvernail, . On fçait, & plufieurs livres Pont dic avant nous, quelle eft la figure qu'il faut donner à la carêne, pour qu'un vaifleau foit fenfble à fon gouvernail , indépen- damment des voiles, & la figure particulière de ce même vaifleau, pour le rendre vif dans fes mouvemens, par le fecours immédiat des voiles ; mais je le répete encore, .c'eft d’un vaiffeau à conftruire , dont on a parlé, & il n°v a plus rien à dire à ce fujer. On ne s’occupe dans çe Mé- moire que des moyens à donner pour les vaiffeaux à qui on trouve des défauts ; ceux qui cherchent les remèdes à ces défauts, les éviteront, fans doute, quand ils travail- leront à la compofition. d’un plan. Un vaiffeau , qui n’eft pas fenfible à fon gouvernail, manque d'abord de vîtefle ; enfuite on doit foupçonner que fon endroit le plus large eft trop rapproché de l’ar- rière ,& que cet arrière eft trop nourri. .Ona dic plus haut, comment on pouvoit donner de la vitefle aux vaiffleaux ; mais on ne peut retrécir un vaif feau trop large , ni aiguifer les lignes d’eau trop renflées DES VAISSEAUX. ET de larrière , il faut en venir néceffairement à faire plonger le vaifleau de l'avant & à augmenter cependant Pimpul- fionbdes filets d'eau fur le gouvernail, On le pourra en augmentant un peu fa largeur , fans cependant porter cetre augmentation trop loin , de peur de fatiguer les ferrures ; mais on pourra enfoncer ce gôuvernail dans l’eau , & le prolonger de l’épaiffeur d’une contrequille en bois, qui auroit la forme d’un coin, dont latéte feroit du côté du gouvernail, & l'angle fe termineroir au milieu du vaifleau. Par ce moyen l'eau qui courroic le long de cette efpèce de contrequillé piramidale ; agiroit avec. d'autanc plus d'efficacité fur le gouvernail , qu’elle ne féroit pas détournée dans fa courfe, comme le font les lignes d'eau plus élevées, qui ne peuvent fe rendre au gouvernail, qu'apres avoir paflé par le milieu, qui les écarte toujours trop de l'axe. | Ro os voire hs: On fe plaint moins de la vivacité des roulis , qne de leurs fréquences & de leurs longueurs. J'ai vu des vaifleaux , qui courant vent arrière & même vent largue , fe fubmergeoient périodiquement des deux bords juf- qu’à la feconde batterie ÿ mais ces vaifleaux que j’avois auparavant calculés, avoient leur métacentre bien peu - au deflus du centre de gravité, & leur flotaifon trop peu foutenue ne donno & pas aflez de prife à la poufée vertitale. Du left de fer placé fur la carlingue, ou près de la car- lingue , auroit fans doute diminue le roulis , une contre- quille de fer , moins pefante encore que ce left auroie produit le même effer. Fr. bis Toutau contraire, quand on fe plaint de la vivacité des roulis , malgré la légèreté de Parrimage , je n’y vois: “16 MÉMOIRE SUR L'AÂRRIMAGE pas d'autre moyen que de placer des poids à la cête des mâts majeurs. lls feroient l’effér contraire de cette con- trequille, parce que dans les deux cas, fans touchergau méta centre, on élève ou on abaiffe le centre de gravité. Je m'en remers toujours aux calculs, pour la quantité du poids à mettre, Li N5 Gi: GSE: 1 Un vaifleau tangue, dont Pavant eft trop aigu, ou trop plein, ou trop chargé de l'avant. Dans ces trois hypa- thèfes, il faut foulager cette partie, parce que fi c'eft pour être trop aigu qu'il rangue , 1l s’enfoncera d'autant moins qu'il fera plus léger ; fi c'eit pour être trop plein, ilnes’en- fonce pas cant dans fon tangage; mais le mouvement en eft d'autant plus rude , & il met en danger la mature : fi c’eft pour être trop chargé , il faut retirer autant qu’il eft poñlible Les poids vers le milieu. Siun Waiffeau ef? trop arcent, Quand un vaifleau s'élance trop dans la ligne du vent , & que le gouvernail ne le ramene qu'avec peine dans la route indiquée, ou c'eft un vice dans la forme du vaif- feau , ou c'en eft un dans la pofition des mars, S’il eft dans la formedu vaifleau , qu’il ait, par exemple, l’avanc extrê- mement taillé, une étrave droite & peu de différence de tirant d’eau ; il n'y a pas à balancer, il faut faire plonger l'arrière , & par- là écarter du gouvernail le point de rora- tion, c’elt-à-dire , pralonger Îe bras du levier auquel le gouvernail eft appliqué. Si ce défaurwient de la voilure, l'expérience y peut “quelque chofe , mais il vaut encore mieux s’en aflurer fur un plan. On verraralors que le grand mac, ou le point .: vélique DES VAISSEAUX, 37 vélique de ce mât, n'eft pas placé en raifon de celui du mât de mizaine , & que celui-ci eft trop en arrière, & l'autre auf. On peut corriger ce défaut par le déplace- ment d'un feul mât , dès qu’on connoft la diftance du point de converfion à un de ces mâts quelconques. Tout le monde fçaic qu'il n’y a plus qu’à divifer la fomme de la furface des voiles, mulripliée par la diftance à ce point de converfion, par la fomme de la furface des voiles de l'autre mât ; le quotient déterminera la place de ce der- nier mât, À S1 le Vaiffeau arrive trop promptement. Ce défaut eft rare, mais il peut fe trouver. Alors quant à la forme du vaifleau, on fupprime par l'appli- cation d'un taille-mer la plus grande partie de l’élan- cement, On fait plonger un peu plus l’avanc par la tranfe potion du left & des autres parties pefantes de l’arri- mage ; & fi on s’apperçoit que ce défaut provient plutôt de la pofition des mâts, on fait les changemens con- traires à ceux que nous venons d'indiquer pour un vaif- {eau trop ardent. Toutes ces obfervations font communes à celles qu'on peut faire fur l'allure du plus près, fur le vent largue &le vent arrière. J'aurois pu entrer dans un plus grand détail, & je l’aurois même defiré , fi le temps me l'eûc per- mis; jaurois voulu furtout avoir celui de finir entiè- rement quelques projets de vaifleaux marchands , & démontrer la poflbilité de partager avec les Hollan- dois le commerce d'exportation , en donnant à nos vaifleaux marchands la forme néceflaire pour porter beaucoup , & naviguer avec un équipage peu nom- breux. Tout conffte à les allonger plus qu'ils ne font, Prix de l’Acadèmie, Tome IX, C 18 MÉMOIRE SUR L'ARRIMAGE €c. & à les retenir confidérablemenc pour diminuer mâtus re, voilure , agrêts, arcres , & par conféquent l'équi- page. PERTE RÉPONSE À LA Queftion propofée par VACADÉMIE ROYALE DES SCIENCES de Paris, pour l'année 1772. De perfe&ionner les methodes [ur lefquelles ef? fondée la théorie de la Lune, de fixer par ce moyen celles des équations de ce Satellite , qui font encore incertaines , @ d'examiner en particulier fi l'on peut rendre ratfon, par cette théorie de l'équation féculaire du mouvement moyen de la Lune. P:4 Ra: M, CE LAL'E TR Prix del’ Acad, Tom. IX, A ‘1 “2 cles AA di TIMTTAN | #4 "4 : He ES cena 9b.e LE ED | fi Ai ENV i où ’S'uE Aus PT F » se Hans a, na, acte 2 asian ui SX de RUR nt DR LA HER - io, “ani MD APE 53, Ke LULU r | s fé soi Haiti A ti est ( | nn ns ER UR STATE à pin A 4 x] aride MS APE D YEN JC NON EEE RECHERCÇCHES SUR LE VRAI MOUVEMENT DE LA LUNE. Où l'on détermine toutes les inégalités auxquelles ‘left affuyerre. Hic labor extremus, longarum hæc meta viarum, hine jam digieffi , veftris appellimus oris. A théorie de Ja Lune étant un objet qui demande les plus longs & pénibles calculs, qui pourroient remplir un Volume tout SA] entier , il me fera permis de n'en rapporter ici que les points effenciels avec les réful- rats que j'en ai déduits: je fupprimerai donc tous les détails que je regarde toujours comme fuperlus, Jorfqu'on à à comparoire devant des Juges aulli éclairés A 2 4 NouUvezLLEs RECHERCHES que font ceux qui compofenr l’Académie Royale des Sciences de Paris. Je prendrai pour bafe Le Mémoire qui a été couronné en 1770 fur cette même queftion, & je commencerai par y faire quelques réflexions, E I. D'abord il eft indubitable que la manière dont cette recherche a été développée dans le fufiit Mémoire, par le moyen des trois coordonnées, mérite à bien des égards la préférence fur routes les autres méthodes ,que les Géo- mètres ont employées jafqu'ici pour déterminer les inéga- lités dins Le mouvement de la Lune. Cependant je ne me fervirai 1ci que l’idée générale, qui y coultitue le fonds de de la folution , ayant trouvé à propos d'y faire plufieurs changemens, tant à l'égard de la fituation des trois coor- données , que dans la réfolution même des équations qui en déterminent les valeurs. EUue D'ailleurs il s'en faut beaucoup que le développement du calcul , qui eft rapporté dans ledit Mémoire, foit exécuté avec toute la juftefle réquife, & il paroi que l’Aureur n a pas eu aflez de tems, ou peur-être de parierce pour achever un travail auf fatiguant que left furrour le calcul numérique, calcul auquel, on ne fauroit même fe fier, à moins qu'on ne l'ait réfair à diverfes repriles, & avec tout le foin imaginable. LV Que le plan de la figure repréfente le plan de l’éclipti- que, où je fuppofe Le centre du Soleil immobile en © ;, SUR LE VRAI MOUVEMENT DE LA LUNE. $ & pour un tems propofé quelconque le centre de la Terre en à, la droite © Ÿ marquant le lieu de l’équinoxe du printems. Soir enfuite hors de ce plan, € le centre de la Lune, d'où j'abaifle fur ce plan de l'éclipuique la perperdi- culaire € J, de forte que la droite à marque la lon- gitude vraie de la Lune, & l'angle € & 7 fa latitude, que je fuppofe boréale. Je tire enfuite dans le plan de Pécliprique la droite & A qui doit indiquer la longi- tude moyenne de la Lune, fur laquelle j'abaife enfin de la perpendiculaire F Z, pour avoir les trois coordonnées orthogonales 8 Z, L,&VC, dontil s'agit de déter- miner les valeurs. On voit d’abord que cette difpofition eft un peu différente de celle qui a été employée dans Le Mémoire fufmentionné ; mais aufli verra t-on bientôt que j'enrerire l'avantage, que mes formules deviennent par-là plus fimples & leurs applications au calcul moins embar- raffantes. Cependant la conduite du calcul refte à peu près la même, de forte qu’il feroit fuperflu de les déduire de nouveau des premiers principes de la méchanique. 6 NouvEezLres RECHERCHES Wii Suivant Le Mémoire couronné ; les trois coordonnées ont écé nommées : 8 L = a(1 + x), LV = ay &VC— 22, où la lettre a marque une certaine diftance moyenne de la Lune à la Terre, l'unité exprimant la dif tance moyenne de la Terre au Soleil, Mais pour rendre le calcul plus aifé , je nommerai ici la NO LE L'is2 LS TC rn & maintenant la diftance moyenne de [a Terre au Soleil . I . G fera exprimée par -, où il eft bon de remarquer que [a z derniere détermination de la parallaxe du Soleil donne 4 connoître , que la valeur de certe lettre 4 eft fort à peu ès — & fé t - Pré 554 par con eéquen us 390, VI. Ik-s'agit donc de trouver les équations différentio_diffé- rengielles, qui déterminent les valeurs de ces crois coor- données 1 + x, &, où je fuppofe au’on emploie la même méchode qui eft détaillée dans le Mémoire déja cité, où il convient de remarquer, que les remis y fonc exprimés par le mouvement de l'anomalie moyenne du Soleil , qui y eft nommés, de forte que fa différentielle dé foit conftante. Enfuite il entrera dans ces équations l’an- gle p, qui marque l’élongarion moyenne de la Lune au Soleil, & qu’on tire aifément des Tables des moyens mou- vemens , en fouftrayanc la longitude moyenne du Soleil de celle de la Lune. Or, pour Le rapport entre ces deux angles p & 7, je pofe ;, comme dans ledir Mémoire SUR LE VRAI MOUVEMENT DE LA LUNE. 3 w PA de fiécle préfent , en cas que la réfiftance de l’éther foit capable d'y caufer , avec le rems, quelque changement, Ourre cela, il fe trouvera dabs ces équations encore un aûtre nombre conftant À, dont la valeur doit être fuppo- fée conformément aux raifons alléguées dans ledit Mé- moire À =(#+ 1) ++, ou bien x == 179,228928, Enfin , l'excentricité de l'orbite du Soleil, que je nom- merai ici x, s'introduit aufli dans nos équations, dont la valeur eft x = 0,01678. — ", de forte que # — 12,368903, au moins pour » 3 P VIL Après ces explications, ayantiréduit le calcul à ces trois nouvelles coordonnées, & développé les formules irra= tionelles, de la même manière , qu’on l’avoit déja fait dans fe Mémoire fufdit, on trouvera enfin les trois équations différentio-différentielles , telles que je les ai repréfentées fur les feuilles détachées ci-jointes, Table première , feconde & troifième, où la différentielle du cems ds eft fup- pofé conftante, NS On verra par là que j'ai pouffé ici beaucoup plus loin l'évolution des formules irrationnelles, & même jufqu’à la fixième dimenfon des trois inconnues x, y & z , puifque Jai trouvé dans la fuite que quelques inégalités de la Lune demandent abfolument la cinquième dimenfon., fans quoi leur détermination deviendroit tout à fair Aufe. Auff les petits termes affeêtés par les lettres 4 & x fonc ici plus foigneufement développés, & dans les derniers on femarquera d’abord une grande différence par rapport à $ °NOUVELLES RECHEKCHES ceux du Mémoire ailégué , dont la raifon eft; que fes coordonnées ‘ont rapportées ici à un autre axe que là. Mais a l'égard des autres membres on découvrira une belle harmonie. I X. En confidèrant la grande prolixité de ces équations ; on conviendra aifément quil faut entiérement renoncer à coute efpérance de les intégrer, & tous nos foins ne doivent aboutir qu'à chercher par des convenables ap- proximatious les juftes valeurs de nos trois inconnues *,7 & 2, & qui renfermenr même les conftantes arbitraires que Les intégrations actuelles y introduiroient. X, Parmi ces conftantes, il fe préfente d’abord l’excentri< cité de l’orbite lunaire , que je défignerai ici par la lettre £, à laquelle fe rapporte un nouvel angle 4, qui eft l'anomalie moyenne de la Lune, & dont le rapport à l’angle z eft fu PAC PPMOTA ENNTERRE 604, & je ne répere pas ici PP Ts $ J PERS tout ce qui eft rapporté à certe occañon fur le mouvement de l'apogée de la Lune. Enfuite une autre conftante ren fermera l'inclinaifon de l'orbite lunaire à lécliprique , que je marquerai dans la fuice par la lettre z. à laquelle fe rapporte aufh un certain angle 7, nommé l’argument de latitude, qu'on trouve en Grant la longitude moyenne du nœud afcendant de celle de la Lune ; rout comme l’angle précédent g fe tronve en Grant la longitude moyenne de Papogéc lunaire de celle de la Lune, de forte que ces deux angles font aufli proportionels au tems : or pour ce UE dr dernier je pofe — == 1, dont la valeur fe tire des tables qui SUR LE VRAI MOUVEMENT DE LA LUNE. 9 qui donnent / = 13, 42263. Outre ces deux conftantes &&:, les angles 3 & 7 même renferment encore deux conftantes: car puifque nous n'avons pofé que leurs diffé- rentielles dg =» dt, & dr — ldr, leurs intégrales , où les anglesY & r même renfermeront fans doute chacun une conftante. Il en eft de même de l'angle p, parce que l'in. técration de la formule dp = mdt reçoit auffi une conf- tante. Enfin la fixième conftante fe trouve déja dans 14 lettre z, entant qu'elle fe rapporte à la quantité de l’or- bite lunaire. Voila donc toutes les fix conftantes , que les doubles intégrations de nos trois équations introduitoienc dans le calcul, & dont les valeurs doivent être tirées de l'état atuel où fe trouve le mouvementde la Lune. ME En réfléchiffant bien fur la forme des valeurs qui-ont été trouvées pour nos trois inconnues x, Y & z, on verra F ER ) ; d'abord que les deux premières x & y contiennent quel- ques termes indépendans des conftantes #, 5, a & x, qu'on comprend communément fous le nom de VARIATION. Enfuite on y trouve des termes affeétés fimplement par la lertre £ , & il eft bon d’en diitinguer ceux qui {ont > 8 1 4 L » A S i affectés par le quarré £°, ou même le cube 4°. Or, ces derniers deviennent déja fi extrêmement petits, qu'on peut hardiment négliger ceux qui feroient affectés par des lus hautes puifflances de £. I y aura aufli des termes affectés fimplement. par la lertre 3-8 enfuite auffi par :2 # & 4 x ; enfin des termes multipliés par x & x 4, en népgli- geant tous les autres termesiak£k, &c, qui à caufe de leur petirefle ne feroient également d'aucune conféquence. Pour.ce qui regarde la troifième inconnue x, elle -ren- Ce) qui Ees efrr2 fermera principalement des termes affectés par la. conf- tante ; fimplement , & enfuire aufli par it, ja Riz, Prix de l’Académie, Tome IX, 10 NOUYELLES. RECHERCHES enfin des termes mulripliés par 44? & :3 en népgligeane d’autres combinaifons qui meneroient à des inégalités trop petites, pour mériter quelque attention. XII. . Mais puifque les deux premières équations renferment auff le quarré de la troifième inconnue, zz » il s'enfuit que les quancités x & y doivent auffi renfermer des parties affeétées premièrement par 44, & enfuice aufli par 424 & iix, en négligeant des combinaifons plus compliquées. Or, ayant bien réfléchi fur tous les différens ordres des termes , dont nos trois inconnues x, y & z feront compo- fées ; ji trouvé que les termes de chaque ordre fe peu- vent déterminer à part, ce qui m'a fourni un très-grand fecours pour déterminer exaétement les valeurs cher- chées, & pour m'aflurer de leur jufteffle, Pour cet effet je diltribue les valeurs de x, y & z conformément à ces clafles que je viens d'établir : en fuppofant x—0'+k.P+Æ.Q'+AÆ.R'+a.S'+akT +x VU'+xkV'+ ax W'æ+i.X'+itkK.Y! +irx. Z!. y=0+k.P+Æk.Q+kK.R+a.S+ak.T x U+xkV+ax. Wæ+i.X+ikY +ir x. Z. z=œi.p+ik.qg+iki.ræix.u+s.t+iair. XII. Concevons à préfent qu'on fubftitue réellement ces valeurs au lieu de x, y & z, dans nos trois équations générales, & qu’on diftingue pour chacune les membres LE SUR LE VRAI MOUVEMENT DE LA LUNE. 11 de chacun des ordres que je viens d’établir , en rejettant ceux qui monteroient à des ordres plus compliqués , comme ne méritant aucune attention , & on pourra fépa- rément égaler à zero les membres de chaque ordre, ce qui nous fournira une mulcitude d'équations particulières , dont je ne rapporterai ici que celles des cinq premiers ordres (*), vu que les autres ont toutes des formes fembla- bles, & que leur réfolution demande la même méthode qui eft (Er dans le Mémoire cité , en y employant certains artifices qui ont rendu la folution plus aifée & en même tems plus certaine ; de forte qu'il ne refte plus aucun doute fur les coëfficiens de tous les termes qui en ont été trouvés. ‘ c XIV. Je paffe maintenant aux réfulrats même de ces recher- ches pénibles , que je me contenterai d'avoir mis 1ci fous les yeux de l'Académie , tels que je lesai trouvé avec lafif- tance de trois habiles Calculateurs , dont chacun s'eft donné la peine de les calculer felon les différentes mérho- des que je leur ai fournies , & répéter ces calculs plufieurs fois de fuite ; de forte que je puis répondre parfaitement de l'exactitude & de la juflefle des valeurs trouvées pour les coëfficiens 0, P, Q, &c.p, q, r, &c. & qui font repréfentés dans les Tables Vme, VIme VIlne, Les re- cherches même & les artifices analytiques, qu'il m'a fallu employer pour y parvenir , rempliflent un aflez grand volume, que je ne manquerai cependant pas de mettreen fon tems fous les yeux du Public, 2 (*) J'y ai ajouté encore les équations parriculières du feptième & onzième ordre , comine les moins compliqués, ne renfermant que les inégalités qui dépen+ dent de l’excentricité de la Terre x & du quarré de l'inclinaifon i°. B2 Tagze IV. a,b,c,d. £2 NouvEezLEes RECHERCHES X V. En fubftituant toutes ces valeurs , pour avoir celles de nos trois incounuesx, y & x, je comparai d’abord ces formules avec celles que Meflieurs Mayer & Clairaut ont employées pour conftruire leurs Tables lunaires: je m'af- furai par ce moyen des juftes valeurs qu'il faut donner aux deux conftantes # & , & je les trouvai k—0,05449 5 4—0,08944. Mais ayant enfuire comparé mes formules trouvées avec plufieurs obfervations actuelles , fur lefquelles j'avois fait le calcul, j'ai remarqué que l'erreur, dans quelques-unes, montoit à prefque une minute; de forte que pour abte- nir, un plus jufte accord entre les formules trouvées & les obfervations , il m'a fallu apporter encore quelques Zégères corrections aux valeurs de £ & ;, que jaï enfin trouvé E—0,0$4505 : = 0,08964, XVI. Subftitaons donc en effet ces valeurs pour. # & ?, & fuppofons à — as & x—0,01678, pour obtenir les valeurs entiérement développées en nombres de nos trois coordonnées L1=1+x,LV=y&RVC—=2z, que je mettrai ici devant les eux dans les VITIme, TXme, & Xe, Table , où au lieu des fraftions décimales , j'ai ex- primé tous les coëfficiens en dix millionièmes parties de l'unité. Ces parties font fi petites que 100 ne fauroient produier que 2 fecondes dans le lieu de la Lune. fUR LE VRAI MOUVEMENT DE LA LUNE, LE) XVIL Pour fe fervir de ces formules, d'où l’on pourroit aifé- ment conftruire des Tables ordinaires, on n’a qu’à tirer des bonnes Tables des moyens mouvemens, pour untems propofé quelconque, les cinq élémens fuivans 4°. Longitude moyenne de la Lune = L, 29. Longitude de fon apogée . . . ,—P. 3°. Longitude du nœud afcendant . = N. 4°. Longitude moyenne du Soleil . : = A. 5°. Longitude de fon apogée . . . .— - Et de former de là les quatre argumens fuivans : | J°..p—= L—A; _I.4—2z—P; I°.r—=ZL—N; IPS ERA HT D'où l’on trouvera aifément les:juftes valeurs de no$ trois coordonnées 6 L=i+x; LV = y VC=z. XVIII Ayant trouvé ces trois valeurs , qu’on cherehe les deux angles fuivans ji Lé V= & V& C—="+. {4 NoUVvELLESs RECHERCHES Par le moyen de ces fimples formules: t- cof. ® 1+x Lang. Q = mel tang, À = Ec alors l'angle gç où ajouté, ou retranché de la longi- tude moyenne de la Lune = Z , felon que y provient pofitif où négatif, donnera d’abord la vraie longitude de la Lune, pendant que l’autre angle +, montre fur le champ fa vraie latitude ou boréale, où méridionale, felon que z eft pofuif où négauif. Ce calcul paroît d'autant plus aifé , qu'il ne s’agic ici que des angles , connus par les feules Tables des moyens mouvemens, fans sembarrafer ni d'aucune correction dans-le lieu des nœuds , ou dans l'inclinaifon de l'orbite lunaire, ni même de la rédu&tion à l'écliprique. Car tous ces articles , d'ailleurs aflez em- barraflans, fe trouvent déja renfermés dans nos formules, X I X. Enfin, ileft fort aifé de tirer de-là la vraie diftance de {a Lune à la Terre, en calculant cette formule (1 + x) fec @ fec 4. Ou bien pour connoître la vraie parallaxe équatorienne de la Lune, elle fera exprimée par cette formule 10,000,000 MAT 56.35"x cof. @ x cof. + où je remarque que j'ai conclu cette parallaxe moyenrie de 56'35", qui répond.à la diftance moyenne +, ou plu- : SUR LE VRAI MOUVEMENT DE LA LUNE. LE: tôt 10,000,000 de l'écliple du Soleil de l'année 1769; de forte qu'on en peut être ‘afluré à quelques fecondes près. On reconnoïtra aifément que cette détermination de la parallaxe doit être infiniment plus exaéte que celle qu'on tire des Tables ordinaires, vu qu'elle dépend ici ouvertement de routes les inégalités de la Lune, pendanc que les Tables, dont on fe fert, n'y employent que quel- ques inégalités qui y influent principalement. X X. Par à, j'efpère avoir pleinement fatisfait aux vues de l'illuftre AcADÉMIiE ROYALE DES SCIENCES, ayant entiérement développé & fixé toutes les inégali- tés , auxquelles le mouvement de ce fatellite eft aflu- jetti, fans en excepter aucune, qui pourroit influer fur le lieu de la Lune pour plus de dix fecondes, & ayanc enfin fait voir que, comme aucune de ces inégalités ne fauroit produire une équation féculaire , dans le moyen mouvement de la Lune, on n’en pourra non plus rendre raifon par la feule attraétion du Soleil & de tour autre Corps célefte ; de forte qu'il ne refte plus aucun doute que cette équation féculaire , qu’on ob- ferve , ne foit Leffec de la réfiftance du milieu , dans lequel Les planètes fe meuvent. Au refte, je ne doute pas, qu’en corrigeant tant foit peu les lieux moyens de lapogée & du nœud dans les Tables ordinaires, on ne puifle, par ce moyen» par- 16 Nouwvezzes RECHERCHES, &c! venir à déterminer le lieu de la Lune à 30 fecondes près. Or, pour un plus haut degré de précifion , on ne fauroit jamais l'efpérer: à caufe de l’aétion des autres pla= nères à laquelle la Lune eft aflujettie, FI N, 1? PAR EIMESTTELT | E: $ 7- Première Équation générale. 7 À &£ ddx 2(m + 1 )dy AA Ye. dt — À cof. 2p — À x cof. 2p +2) Jin. 2p 2H 3Ax— 5 AY +2!) —41%+6Ax(y +2) LE SAN 15 AY at (y 22h — 6nx+ 30 XI (y + 27) — LE ax (I + 2) — 3% AS LR Aa et) A A (ge + at 2 Le nt —jaG ef p+s co 3p) ee — ax cof.p+s cof. 3p) + % a y(fin.p+s.fie. 3p) mor (3 cof. p+ 5 cof.3p) + À sexe, LS fin.3p) ; —gaÿ {col p— 5 cof. 3p) + az cofp + ix(2cfr+7cof. (2p— 9 — cof.(2p +1) Prix de l’Académie, Tome IX, C 18 P'ADEE. + KE ax(z coft+ 7 cof. (2 p— 1) — cof 2p #5} — 497 fin (2p— 1) — fin. (2p + 2) H Sak(9 cof(p—t) #3 cof. 0 + 1) ) #25 ea 3p —+t) — 5 cf (3p +1) Hi akx(o cf. (p— 2) +3 cof.(p +?) + 25 cof.(3p—+?) — 5 cf. (3p + 1) —%a k y fin. (p—2) + fin. (p+1) + 25 fin. (3p— +) — 5 fin. (32 +?)) + gakx(o cof.(p — à) + 3 cof (p+t)+ 25 cof.(3p—1) — 5 cof.(3p+9) —iakxy(3 fin. (p—2)+fir (p+s) +25 fn. (3p—1) —5 fin. (32 +5) + gs aky (3 cof (p — 1) + cof.(p + 1) — 25 cof.(3p—1) + $ cof (3p+1))—? ak (3 cof(p—1) + cof.(p+t)) ©, Seconde Equation générale. + À fin. 2p +ixfin.2p+iy cof. 2p —3ÀAx y H6A x y TE A y 4 2) TABLE 19. mI0OAXY+EAXY(S +2!) +isaxty—É ax +) + a y(y + 2) 214% DA x (y + 2) + A x (y + 2) HE afin. p+s Jin. 3p) + a x(fn.p+s fin. 3p) — £a y(cof.p—s col. 3p) + ax (fin. p + 5 fin. 3p) — 2% a x {cop — 5 cof. 3p) + ia y fin.p— 5 fin. 3p) — à a xt fin.p — 1 K(7 fin(2p — 1) — fin(2p + 1)) — 3 kx(7 fin (2p — 1) —fin(2p +9) + 2k)( cof. € — 7 cof(2p—r)+ cof (2p+t)) À ak(3fin.(p — 5) + fin.(p +?) + 25 fin (3p — à) — $ fr. (Gp+1)) | — ja xx(z fin (p—1) + fin.(p + 5) + 25 fin(3p —1) —$ fr. (3p+9)+ 44 KG cf (p—1) +cof(p+e) —25 cof(3p—1+ 5 cof(3p +1) hakxx(3fin(p—5)+fin.(p+t) +25 fin (3p— 1) — 5 fn.(3p+09))+ 4 akxy(3 cof(p—5) +cof(p + r) —2$ cof(3p—t) + 5 cof\3p +1)) — Lakyy(9 fin (p—15) +3 fin.(p+t) —25 fin(3p—1) + 5 fn(3p+1)) +4 ak 22 (3 fin.(p—1)+ fin (p+t)) =0. $ 7: Troifième Equation générale. dd + (A 1)% — 3 XX +62 x 2 —<{x2(y + 2) — 1014 2+ 5 À x 2(y + 2!) His axtz—# na cp + AY xt) wi) — 21 ASH DA XI (pet) — TS x 2j 22) H 34a2cof.p + 3axzcof.p—3ayzfin.p — 3kz cof tr — 3 ak 2(3 cof(p—1) + cof(p +)) — 3akxz(3 cof(p— tn + cof(p+n)+3akyz (3 fn.(p— 5) + fin (p+n)=o, THATB.LTE. 21 IE me ANT A UE TENNIS. $ 13. Equations particulières du premier ordre , pour déterminer les valeurs de O'& O … 4d0' ?(m+x)dO M pa 7 AD ma col ape 0e 2p +40 fin.2p+3107—110=o. ddO 2(m+-1)40' D He + À fin. 2p+ À O'fin.2p+10 cof2p — 31 0'0—=0. Equations particulières du fecond ordre, Pour déterminer les valeurs de P'& P. daP' 2(m=k 1)4P Men mg AP EP (À cafe 2prt 6 NO — 1210®+6)0:)+ P. (2 fm.2p—320 + 1210 0)=#o. ddP 2(m+-1)dP" Er MES TE Ne HP (H À fin. 2p—310+1210'0) + P.(Hicofip—3h0 +610"—2h10)=0 22 T A!BILTE Equations particulières du troifième ordre ;” pour déter= miner les valeurs de Q'& Q-. ddOQ' 2(m+:1i)d 1, 2e — EU sx + Q'.(—{cof.2p+ GAO'—1 210-670!) + Q.(+ 2/0. 2p—370+ 122.0'0) + P,(3a—1220 +307 021 5 À 0:) +P'.P.(12X0—60h0'0) HP: (—Ia+ 620! — 1510" 7+ Hh0!)=0. dd 2(m+1)dQ! 22 + = + Q'.(i fin. 2—3n0+1220"'0) + Q. (Écof.2p—310'+6h0!—2h0!:) +P'?,.(610—30n0'0) + P'.P.(—31+1210 —3010"+#0:) +P:(—210HÉh 0 0)=0. 2. Le TABLE, 23 Se ANB LEP I PTS. tiens particulières du quatrième ordre, pour déter- . daR' 2(m+1)dR en dt de miner les valeurs de R'& R. = ANR! + R(—3c0f.2p+ 60 —1 210+6 0) + R(Efin.2p—310+1220"0) +2P'Q(3a—1220 + 3010 1— 1 ;10:) + (2°"Q + P Q')(12h0 — 6010" 0) +2P Q(—ÉAH CAO — 1 510" 2+ #5 x Où) #3 P5(— 412070 —6010"+3010!) +3 PP(—1010+6010'0) +3 P'P{31— 1010 + 30h10! #51 O0!) +P:(E 10 — 45 A0'0)=0o. ddR & 2(m+1)4R dr? dt + R'(E fin. 2p—3rO0+12x0 0) + R (cof.2p—30'+6h0'—2h0:) +22P'Q'(6anO— 30h10 0) +(2'Q+PQ) (—3a+120 —3010#4h O1) +2PQ(—210+#h100) + 25(— 1010 + 60 à O'0) +37 P(21—1010'+ 3010—#\0:) +3 P'P{5 20 — 45x00) +P5(—ia+ 50 — 4H 014 10) —0. T 'AÏB L'EUTV. HV US Equations particulières du cinquième ordre, pour déter- miner les valeurs de S'& S. dds' 2(mee1)dS 7 ler Ki RTS CN 2 A $ + Si ca/2p+ 600 — 1 22074 6h0!) +S(i fr.2p—310+1220!0) — (3 res s cof.3p) ( (1 + 204 0") +i (re. p + s fin. 3p) (0 +00) —s (fps cf: 3 pO = 0, co das 2(m+1)ds -. CNE dt + S'(4 En. 2p— 30 + 12 X0'0) Ds cof.2p—310'+ 6h0'—7) 0!) Hi (fin. p+5 fin. 3p) (1 + 20'4+- 0°) Rp be 3p)(0 + 0°0) Ne Pine Eh Equations particulières du feptième ordre, pour déterminer les valeurs de U' & U. da U! 2(m+i)dU ’ \ Ha (0 0 où on + U'(—ic0f21p+60'— 120 "+620:) + U(ifin.2p—310+1220' 0) | Hi (2coft4+7cof(2p—1)—cof (2p+1) \1 +0) — 1(7 fin. (2p — 1) — fin. (2p + D)0 = 0. 2, TABLE 25 è, 2 él pere + U(3 fin. 2p— 3 04H 12X 00) HU (icfip—3rn0'+6x0%—220"!) — À (7 fin. (2p — 2 — fie. (2p+1)) (+0 + i(2 coft—7 cof(2p — +) + cof.(2p + n)O 0 ° © Equations particulières du onzième ordre , pour déterminer les valeurs de X' & X. + X'(— icof 2p+6N0'—1 210670!) + X. (À fn. 2p—310+1220'0) Hzz (a+ 6A0'— 1510" D h0!)=0, ddX 2(m 1)4X' = + PRE + X'(i fin. 2p— 30 +H1220'0) + X(cof.2p—3X0 +620! —2 0!) +22 (—;1a0+%Éa0 0)=0. 2. Prix de l’Académie, Tome IX. 1772. D 26 H AIBL'E. TABLE 1v d. $ 13. Pour. la troifieme Coordonnée x. Eguation particulière du premier ordre, pour déterminer { la valeur de p. Ag (A+1)p+p(—310'4+610—110")=0; Equation particulière du fecond ordre , pour déterminer la valeur de q'. dd : 1 PS + (AH 1)g+g— 3210 H610— 1h0!) + P', p(— 3\+12X0'—30710"+Eh0:) + P.p(—310+1520'0 =0. Equation particulière du troifième ordre , pour déterminer la valeur de r' PE + (A+ I +7 (— AO 6 A0 — 3 20! + (P'g'+Q'p}(—3a+1210 —3010 +120) +(Pa+ Q'p)(— 3AO + 14A 0'0) + PE pis — 30 0'+ 90 0—# à O1) + P' P.p\is AO —9010'0) + Pa p(— a+ ÉA0'— A0! 44 À O7) =Oe. TABLE , Equation particulière du quatrième ordre ; pour déterminer la valeur de s'. dd s' 1 : : EPA 1 Hs. (—310'+6x0%—+ix0!) +UP(—3A+H1240 — 3010+5 Ah O0!) +Up(—310+ 1FA0'Q —3p.cft=0o. D z 28 TABLE SE € om D ANTBE EME $ 14. | Pour la première Coordonnée. x—=O'+k, PER QE R'+a, S'+ak T' Lx. U +xk V'+ax Wen, X'+nk Yl'æsix, 7. On trouve 0'— + 0,0000240 —0,0071801. cof2p "+ 0, 0000060 . cof. 4p. P'= +cof q + 0, 187695 . cof. (1p — 4) — 0,000$ 14.60/.(4p—g)—0,002703.c0f (2p+g) —0,000021 cof.(4p+q) Q—=—0,53896—0,21903.cf2p H0,00195$.cof.4p Ho, $0967.cof.q — 0, 20179.c0/.(2p—2q)+0,02278. cof(4p—2q) + 0, 0048 2.c0f (2p—+ 214) +0,00004 cof(4p+ 24) R'= 0.cf.q—0,1908.cof.(2p— 3) — 0, 0482 . cof. (4p — q) —0,3807. cof. 3q —0,2300.c0f.(2p+g)—0,005$8.cof(4p + 4) +0, 2623 .cof.(2p—39)—0,0239 . cof. (4p— 39) —0,0068 .cof.(2p+3q)+0,0000. cof. (4p+ 34) S'=+0,11419. of. p— 0,00289 .cof. 3p T'=—0,0813.cof (p—9) +0,1205 . cof. (p+-g) — 0,0088 . cof.(3p— 4) 0,001$ . cof. (3p+q} T ABLE, 29 U'— = 0,006829. coft—+0,029397.cof. (2p—t) + 0,090046. cof.(4p—1)—0,00345 2. cof.(2p—+8 — 0,000004 . cof, (4pFi) V'=—0,17091.c0f.(q—#)+0,02943.c0f(2p—9+1) —0,43632.c0f.(2p—9—1#)+0,10743.cof.(g—+t) +0,01 372.60/(2p+q—1#)—0,00037.c0f.(2p—+qg+1) W= +o0,1164.c0of.(p—1) +o,613s. cof.(p+t) + 0,0162, cof(3p—1)—0,0048 . cof(3p+1) X'=— 0,2$019+0,01928.cof.2p+0,24728 . cofzr —0,01255.cof(2p—2r)+0,00025$.cof(4p—2r) +0,00002 . Cof. 4p+0, 00038. cof.(2p+ 27) +0,00000 . co. (4p+2r) Y'=+0.c0f9—-0,0709.c0f(2p—4g)—0,075 $:c0f(q—2r) —0:0268.cof(2p—g+2r)—0,0847 cof(2p+-q—2r) —0,0046.c0f.(2p+qg)—0,1261. cof.(g+2r) 0,02 52.c0f.(2p—g—27)—0,001 0.c0f.(2p+g+2r) Z'=+0,0098.coft—0,0584.cof(1p—1+) + 0,0189.cof.(— 2r) +0, 0220. cof.(2p +1) — 0,0108. cof.(#+2r)—0,0017. cof(2p—1+27r) —0,0096.c0f.2p+1—27)+0,0288,.cof(2p—1—2r) 0,0001. cof(2p+t2r) 30 T-RAGBPLTIE. SC SSL SN nd UP nn SE ) T'£A BULLE $ 14. Pour la feconde Coordonnée, J=O+kP+RkR Q+K.R+a.S+ak.T+x.U + ak V+ax W+ Br. X4+Bk.Y+rx.Z, On trouve O=+0,01021117.fin. 1p+0,00000$ 7. fin. 4p. P——2,01263 9./fin.q—0,411247.fin.(2p—9) : —0,0007 24. fin.(4p—q)—0,003 212. fin.(2p+q) —0,000019. fin.(4p+-9) Q—+0,09800. fin. 1p + 0,00175. fin. 4p H 0,25109./in. 29+0,31159./fin.(2p—2q) +0,01183./fin (4p—1q)+0,00428 . fin.(2p+2q) + 0,0000$ , fin. (4p+2g) R—+1:3662.fin.7 + 0,425. fin. (2p —q) — 0,0377. fin. (4p — q) — 0:2955 . Jin. 3q — 0,0353. fin.(2p+q)+oO,0010, fin. (4p+g) — 0,221. ff. (2p—3q)—0,0071. fin (4p—3q) —0,0061.fin.(2p+3g)—0,0001. /in.(4p+3q) S——0,24035. fin. p + 0,00285$./in.3p —=+1,8056. fin.(p—q)+0,0603.fin.(p+ q) #0:0720,. fin.(3p—g)—0,c008 . fin (3p+4) T'ATBALE 31 U=—=+0,190$87. fin. t—0,043312. fin. (2p—1) —0,000 143. fin.(4p—1#)+0,005525.fin.(2p+1) —0,00000$ . fin.(4p+t) V=+0,66190. fin(g—t)—0,12631. fin.(2p—q+t) H1,08068./fin.(2p—qg—1)—0,41712./fin.(g+t) H0,01372. fin.(2pHg—1)—0,00441. fin (2p+9+1) W——0,1093 .fin(p — 1) — 1,1630. fin. (p +1) —0,0167./fin.(3p —1) + 0,0015. fin. (3p +1) X=—0,0214$./in.1p—0,2464$./fin.2r7—+8,03407. fr.(2p—2r) — 0,000 14. fin. (4p— 2r) — 0,00003. Jin. 4p — 0,00037.fin.(1p + 2r) + 0,00000. fer. (4p + 2r) Y=+#0,0014. fin. g+0,1917. fin.(2p—9)—0,4966. Jin. (g—2r)+0,0289. fin(2p—q+2r)+0o,1802. Jin. (2p+qg—21r) + 0,009$ . fin. (1p+g—+o,1249. Jin.(g+2r)—0,0$90.fin.(1p—q—2r)+0,0009, fin. (2p + q + 2r) ——0,2496 .fin.t+0,0697. fin. (2p —1) + 0,0104./fin. (4 — 21) —0,0247.fin.(1p+1) #0,0099 . fin. (117) Ho,0017. fin. (2p—1+27r) + o,1016.fin. (2p+t—2r)—o,o7ss. fin. (2p — t— 1r) — 0,0004 . fin. (2p + + 27). 32 TABILE. 220 PDP T A B EME $ 14 Pour la troifième Coordonnée. Z=i.p+ik.g +ik rh ix Hi. + ia On trouve p—=fin.r+0,036982. fin. (12p—r) + 0,001513. Jin. (2p+r)+0,000047. fin.(4p—r)+0,000006. Jin. (4p+r) g==—1,48323 . fin. (g—r)—0,1 1149. fin.(2p—q+r) | —0,01634. fin.(2p+q—r)—0,50496. fin.(g+r) — 0,24129./fin.(2p—q—r)— 0; 00196. fin. (2p+q+r)— 0,00063.fin.(4p—qg+r) — 0,00364./fin.(4p— q—r) —0, 00008. Jir.(4p+g—r)— 0,00002. fn. (4p +4 +r) r'=0.fn,r+0,0303./în.(2p —r)+0,3425. fin, (19 — 7) + 0,1701 .Jir.(2p—29—r)+0,0126, fer. (2p+2q9 —r)+0,1589./ir(2p + r)+0:3799. Jin, (24 +r)+ 0,0498./ir.(2p — 19 +7) + 0,0046, Jin, (2p+ 29+ 7) f——0,01384. fin(r—1)+0,03864. fr. (2p—r+t) — 0, 00681.fn, (2p+r—1)+0,02012. fin.(r+t)—o,1098$./n.(2p—r—1) +0,00089 .fr.(1p+rrt) t=0. TAAPBIL'ÉE. 33 f—=0.fr.r+0,0035 .fr.(2p—r)+0,0001. Jin. (4p —r) — 0,0006 .ffn.(1p+r)+0,0000. Jfin.(4p + r)+0,0004. fin. 3r+o0,0172. fin.(2p — 37) +0,0009. fin. (4p— 37) + 0,0001. Jin. (1p + 3r) + 0, 0000 . fr. (4p + 37) g'= — 0,1583./îr.(p —r) — 0,0616 .fn.(p+r) — 0,0036./in, (3p — r) — ©,0000.f67.(3p + r]. Prix de l'Académie, Tome IX. 1772. D 34 TABLE. TA BEL EP NVEL $ 16. Valeur de la première Coordonnée 8 Z=1+%x. +9964129. + 424.cof 2p—34q + _2928.cofp — 38.cof 4p—3q — 63746.co/.1p — 1133.coft — 74. cof 3p PE 264.cofp+t + 120. co/.4p + SO. cofp—t + 545000. cof.q — 549. cof 2p+t > 15139. cof. 24 + 4854.cof.2p—1 — 616.cof.3q _ 2.cof.3p+t + 168. cofp+q + 7. cof3p—1t + 143.c0f.2p+2q — 1.cof 4p+e Pre 114. cof.p—q + 7. cof.4p—1t — 5994.cof.2p—29 + 771. cof.q+t — _1875.cof2p+q — 1663.cofq—+ + 101675.cof.2p—q —s 8:cof.2p+q+t + 677. cof.4p—2q — 3727.Co/.2p—q—{ — 20.c0f 4p+4q Lu 126.cof.2p+q—# — 358.cof 4p—q 282.cof.2p—q+# —— 11.60/.2p+34 + 19870.cof2r FE + TT # [ I TABLE, 30.cof2p+2r 1008, cof.2p—2r 4. c0f.4p—2r 553-cofa+ 2r 267.cof.g—2r 4.cof2p+p+2r 113 60/.2p—qg—2r 457.cof.2p+a—2? ie, ! 118.c0/.2p—q+2r 14.coft+2r 2$.Cof.1—2r 1.cof2p+t+2r 38. cof2p—1—2r 13.Cof.2p+1—2r 2. Cof.2p—1+2r 36 TABLE RE DL Œ Ac BE? ENT $ 16. Valeur de la feconde Coordonnée LV = y. — 6162.finp — AT fin. 4p— 4 + 103304.fn.2p — 9.fin.2p+34 + 73 fir.3p — 358 .fin.1p—3q + 107 .fin.4p —_— 1.f1n.4p+34 —1094678.fin.q d 11./2n.4p—34 + 7488.fin29 + 31643.fîn.t _ 478.fin.3q — 543 .fin.p+t ml .84./in p+q — 47 fin p—t + 127. fin 2p+2q + 894.fin.2p+t RE ON am — 7174. fir.2p—t + 9255.fin.2p—29 —<- 1.fin.3p+t — 1766.fin.2p+q — 7 fin.3p—t + 1.fin.4p+2q me 1./in.4p+t — 222601.f/in.2p—q _— 23.fin.4p—t H 351-Jin4p—2q — 4455.fir.g+t _ 1.fin.3p+q + 60$3.fin.qg—t: + 101./7.3p—4 — 40. fin.2p+g+t 8.fin.4p+q H 9883./in.2p—qg—#6 Œ r' CET Ta Li TAMBL'E 37 125$ .fi#.2p+q—1 11$2./0.2p—q+t — 261.fin.2p—q—2r + 790. fin.2p+ q—2r 19803.fin.2r + 126 .fin.2p—q+2r ee = 30.fin.2p+ar 13./in.t+or 2738.fin.2p—2r 28./fin.t—2r 11./20.4p—2r _ 1.fin.2p+t+2r 548.fin.g+2r — 102./ine2p—1—2r 2174. fîn.q—2r —<- 137. fi0.2p+t—2r 3.fir2p+g+ir 2.fin.2p—t+2r 38 TABLE. ; | T'ÉA TR L'AETRS $ 16. Valeur de la troifieme Coordonnée Y € — z. + 896400.finr — 145.fi.2p+q+r + 3-fén.3r — 11787.fin 2p—q—r — 139-/in.p+r LE 798./in.2p+g—r — 363 fen.p—r — 5447fr2p—g+r + 1774 fin.2p+r + 12/ên.2p+2q+r + 33265$.fin.2p—r + 453-fin.1p—2qg—r — 1./£2.3p—r + 33-fin.2p+2q—r + s/in.4p+r + 132.fin.2p—2q+r + 42.fin.4p—r + 252 fin.r+t + 1 27 fin.2p—3r — 302.finr—# — 24669./fin.q+r + 13.fin.2p+r+6 — _72460.fin.q—r — 1649./in.2p—17—+ + 1012./2n.29+r — 103.fin.2p+7—t 912./in.2q—7r + 601.fin.2p—r+t ET AN. RÉPONSE À LA Queftion propofée par VACADÉMIE ROYALE DES SCIENCES de Paris, pour. l'année 1770. Perfeclionner les mechodes [ur le[quelles eff fondée La théorie de la Lune, de fixer par ce moyen celles des équations de ce Satellite , qui font encore encertaines , & d'examiner, en particulier ft l'on peut rendre raifon, par ceite théorie de l'équation féculaire du mouvement de la Lune, pr. )] ai Prix de l'Académie, Tome IX, A AZ = 0 6 THÉORIE DE LA LUNE. Errantemque canit Lunam. Virg. EE DPREMLERE.SE C T.1 OSN Des formules différentielles qui déterminent le mouvement de la Lune. ARTICLE PREMIER. Des formules tirées immédiatement de l'a&ion du Soleil & de la Terre. . I. UE le plan de l’écliptique foit repréfenté par celui de la planche: foit S le centre du Soleil confidéré en repos, & $ 4 une ligne fixe tirée vers l’'équinoxe du printems. Qu’à "sd un cemps propofé , la Terre fe trouve en T & la Lune hors du plan de l'écliprique en € ; d’où l’on baïfle fur ce plan la perpendiculaire CZ. Enfin ayant mené A2 E— THÉORIE les droites LS , ST,TL, SC & TE, qu'on tire fut S4 les perpendiculaires TQ & LP. LE Cela pofé, qu'on nomme ST=— »: l'angle AST— 9 ; la diftance SZ v ;& TL— 0 ; enfuite les trois coor- données pour le lieu de la Lune: SP=—X, PEL —Y, LC =Z;& on aura SQ— »c0f.9; QT—= w fin. p; & les diftances SC =V (vv+ZZ)5 TC —= V(ww+ZZ). D'où exprimant les mafles du Soleil & de la Terre par S &T, les forces dont la Lune eft follicitée, feront s vs + ZZ T uv + ZZ qu’on décompofera aifément fuivant les directions de nos trois coordonnées. Selon CS — & felon CT — IIL Que : marque un angle proportionnel au temps pour lequel nous prendrons dans la fuite l’anomalie moyenne du Soleil, & prenant le différentiel d£ pour confitant, les principes de Méchanique nous fourniffent ces trois équations. ddX — SX __ T(X—ucof®), LT (EE (+22) : ddF S.F Tu fin. 9) 2 pe di? (vv+Zzz} (ou+ ZZ} ddZ S.Z T\Z | PT. « WvHice) (ue+ ZZ} I V- Nous poferons dans le fuite la diftance moyenne de la Terre au Soleil = 1, & puifque ; marque l’anomalie DIBMILAS LUN E. $ moyenne du Soleil, on fait, par la théorie du mouvement des Planères que la lertre S fera auffi exprimée par l'unité, ou $ — 1. De-là on fait aufli que pofant lexcentriciré de l'orbite de la Terre —v, dontla valeur eft:v=—0,51676. dy Onaura#—1+vcoft & — —1— 2vcof.r. Ces valeurs dt feront fuffifantes pour notre deflein, & on pourra hardi- ment négliger les termes où la Lettre v auroit deux & plu fieurs dimenfons. V. ; Puifque la diftance » eft extrêment grande, par rapport à l’ordonnée Z, & à plus forte raifon vv à l'égard de ZZ, il fera permis de négliger dans la formule vv+7ZZ Le terme ZZ. Cela remarqué, os trois équations prendront les formes fuivantes. » ddxX X __T.(X—ucofo), dE vi (o+ZZ} - ddV. YF. T.(F—ufino), ue vez) Aie 2 NTLE DE Wine 7 (o+Zz} ART MCE ENT. Réduiëtion de ces formules à d’autres coordonnées qui [e rapportent au lieu de la Terre, VI Ayant prolongé la ligne ST en B, de forte que B marque Poppofition du Soleil vu de la Terre, qu’on y tire la per- pendiculaire Lx, & qu’on pole les trois coordonnées Txk = x; xL—y & LE—=Z—2z, & nous aurons vo = (+ x) + 95 00 = xx + y. De-là puifque x & y 6 N'a om ME font très-petites par rapport à #, à caufe de vu —uu+aux +xX + y, nous aurons, en négligeant les termes où x L' x 6x%X & y auroient plus de deux dimenfions == — — + vi ui u+ u5 3Y — 7, Ou l'on pourra même rejerter les termes xx & 973 zu à moins qu ‘il ne s'agifle de déterminer les inégalités de la Lune qui dépendent de la parallaxe du Soleil, VIT Maintenant pour réduire les coordonnées précédentes à celle-ci , ileft évident qu’on aura X=(#+x)cof.o—y fin.@, &KY—yeof.g+(u+x) fin.@ 5 d'où l’on pourroit calculer les valeurs de dX, dY, ddX & ddY ; mais comme cela nous méneroit à des calculs trop embarraffés, nous com- mencerons à fubftituer à la place des deux premières équations, les deux fuivantes: Zxcof.@ +1IIx fin.@ & II c0f.@ —Zx fin. ç qui feront ddX:cof.@— ddr. fire Xcofp—F.fing — T-(Xcof.9+ F.fin.ç— x) dt? vi (vo + ZZ) dd. cof. ® + ddX, fin. ® F,cof.® + X. fin. ® gi T.(Y. cof.p — X. fin.®) vi (+27) Auxquelles on doit toujours joindre la troifième, He VE TZ. nalre He (cu +ZZ)" VITE Pour faire le plus fuccinétement les fabftitutions né- ceffaires, tirons d’abord des valeurs de X & Y les rapports fuivans: Xcof.o+Y.finq—=n+x, F.c0f.® —X fin. P=J: différentions ces formules, & nous obtiendrons AX,cof. + dY.fin. + d@(Y.cof. @ — X. fin. @) = du + dx DE LA: LUXE. 7 par conféquent dX, cof.@ + dY. fin.@ = du + dx — yd@ & de la même manière dY. cof.® — dX. fin. ç— dy +(u+ x)d@ Ces formules étant encore une fois différentiées, fourniront dAX. cof. @ + ddY. fin. @ — ddu + ddx — y dd. ® — 247 de — (a+ x) de & , ddY. «of. o — ddX. fin. @ = ddy + (u + x) dd + 2du dd + 1dx d@ — yd@°. L'X. On voit que par cette réduétion, les Jin.@ & cof.q s'en vont par tout du calcul, & maintenant nos trois équa- tions fondamentales feront: ddx 2dyd ydd? xdp? ddu ud?? u— + dt? nE dr? de EUR de di? F3 ddy 2dx d xddp ydv? udd? 2 dudo y dr? m7 dr® dr? dr? dr? di* vi = Ty. (oo + ZZ)—à AREA à ne ms = TZ (va +22) 3 Ce font donc nos équations rapportées aux trois coor- données x, & Z. X. Avant que de pañfer plus loin, fubfliruons ici au lieu de . la valeur donnée ci-deflus ($. VI), & rejettons toujours les termes où x & y auroient plus de deux di- menfions: alors nos trois équations prendront les formes qui fuivent. 8 THÉORIE : ddx 2dyd4@ ydd? xdp? ddu ud o? Le 2% dr? dr di? di? D dr? Tux Po 2xxX + = Tr. (00 + ZZ}é; u* zut È ddy 2dx dp ydo? xddg uddo 2 dud® Y : de DÉTTN A de d* dm ui + 2 = Ty (o0+ ZZ)5 ZE TZ (av + ZZ)# di? ui u AR PCR ErDEL Réduëtion ultérieure de ces formules à des coordonnées , qui Je rapportent à la diflance moyenne de la Lune au S'olerl, X 1, " Cour l'angle BTZ marque la véritable élongation de la Lune à l’oppofñition du Soleil B fur lécliprique, foit p l'élongation moyenne de la Lune au même terme PB, & tirons la droite TC, enforte que l’angle BTC foit = p. Qu'on abaiffe fur cette TC de Z la perpendiculaire ZX, ë&t qu'on nomme les trois coordonnées TX=X; XL—Y3 LC— z—=7Z, auxquelles il sagit de réduire nos trois équations différentio-différenrielles. Pour cer effet, remar- quons que le rapport de dp à dt eft donné par les Tables Aftronomiques, d'où prenant un intervalle de 30 jours, cp 12 NE AT ANT dp 1316601.1 on IOUVE = ps 7 1 » OÙ — dt of29° 34 4.5 dt- 106444.$ — 112,3688974. Je poferai, pour abréger, dp = #dt, deforte que m=—=12,3688974. XIL DE LA LunxNr. ». > MC Ces nouvelles coordonnées tiennent aux précédentes les rappports fuivans : x= X c0f.p—Y fin. ps y—=Ycof.p+ X fin. p & réciproquement, xcof.p+yfin.p—=X5 ycof.p—xfin.p =Y. Il fera bon d'avertir ici, qu'il ne faut pas confondre ces lettres majufcules X& Y avec celles dont je me fuis fervi au premier article, & que je regarde comme entièrement oubliées. LE Pour éviter les calculs trop prolixes, je transformerai encore les deux premières équations du $. X en d’autres, par ces combinaïfons , L.cof. p + IL. fin.p & I, cof.p — LI. fin.p; dont la première donnera : . ddx cofp—ddy finp Ps 2 de(dy cofp — dx fin.p) pe dd o( y eof.p— x fin.p) di? di? de? dg2(x cofp + yfin.p) ddu cof.p L dd fin. P ud@? cof.p + — de? di? dt> dr? zdud@ fin.p cof.p 2x cef.p fin. p 3yy cofp — ————— ee —— + — — + ————— dt? uu He uÿ zu SL 3xy fin.p _ 3xxcof.p __ T{xcofp+yfn.p) u+ ut (00 + ZZ} & la feconde donnera = ddycofp+-ddxfinp 2do(dxkcofp-Ldyfin.p) ddo(xcofp+y/fn.p) dr de? dr? do*(ycof. p — x fin.p) udd @ cof.p ”: ddn fin.p 2dud cof.p Sa x de de de? + ud@®fin.p. fin.p y cofp 2x/fin.p 3Yyfinp . 3xycofp dr uu u? u3 zut u* 3xx fin. p __ T(ycof.p— x /fin.p) = —— ——< Prix de l’Académie , 1ome IX, B 10 THÉORIE X I V. A préfent il ne fera plus difficile de faire les nas tions ; car comme x cof.p + y fin.p=— APRES P= nous en tirerons , en différentiant, dx cof.p + dy finip = dX — Ydp ; dy cof. p — dx fin. p — dY + Xdp: enfuite ddx cof. p+ddy fin. p — ddX + 2dYdp — Xdp° 5 ddy cof.p —ddx fin. p — ddY + 24X dp — Ydp:. > né A l’aide de ces réduétions, & à caufe de dp= mdr, notre première équation deviendra ; après avoir arrangé tous les termes felon! les X & Y': ddxX 2dY + xX(mm+ 2m d? = do? er dt? Fi & PE dt diz 2c0 — ddg 7. P. CO) XX cof. pi SP) ei 3/in. p. Lt) +3 22e CE fin.p— cof. p°) + 4 EP ( (4cof. p° — jp) + TE «fe _ dducofp udo®cof.p uddo/finp (of. p—2fin.p)— <= EE d — RER ET, X (ou + ZZ)+. De la même manière, nous trouverons la feconde équation. ddr 2dX m+ +Y (nm + + Ÿ PONT. dr “: dr LS ds EE dd® 3fin.p. cof.p 3FF fin.p =) — Tu a u3 3 ut (Pr.p pp) LE (cof pe 4fin. py+ EE Er DE LA LUNE. 1 finp udd@cofp z2dudocofp ddufin.p (2cof.p— UT f.) VTT D OC SUN PU RRRSrE LT. Y (ou ZZ)—+ Et la troifième équation fera | ddZ Z 3XZcofp 3YZfinp , CNRS A ae =T.Z(o0+ZZ)-. de us uf ART:IC LE I KV. Troifième réduétion deces formules > en les appliquant à la z queftion propofée. X V I. N os équations différentio- différentielles deviendront beaucoup plus fimples, fi l’on a égard à la théorie du uddp +- 2du de Soleil, par Moi on fait que Z PE = 0 ; ddu— ud? IL ———— —, & de là wndg — dr ou Sd: di dt uu dd? PES . k & 7 = — . Car en fubftituant ces relations dans-les (4 I formules trouvées, tous les termes où il n° yani XniyY fe détruiront. X VIL Nous obtiendrons de là les équations fuivantes : ns mare on B 2 ‘12 THÉORIE Grp copy TEE (4cof pe — fin. p°) + EL (2 ef. p— 2fr.p°) rx (oo +ZZ}- PE P PRET ES (+ Fu + Y( um + — — + = dt u LS Sept Dpt) — x (25 = set) QT PR TT ARE (2c0f. p—+fin.p") )=T.Z(ow+ZZ} 3, nn T Re my (ha ANT ». 4'/ fe do KA En fubftituant les finus & cofinus des angles mulriples à la place des produits des finus & cofinus de l’angle fimple p,ces trois équations différentio-différentielles prendront ces formes. ns zdY 21m Le Fe (w m+ — L) + X(mm+ — di? uu 1 1 3cof.r En. 2 PARENT csehr | di u* 2u3 dt zu} = ©» __ XX(scof.p + 15cof.3p) Ba XP(3fn.p + 15fin.3p) Bu auf — GP SP) p XXXEYY+ZZ) + 8u* adY 2dX 2m se (d4 Ver (ons 2 uu 1—3 cof. 2 FT qus fn.2 + se 3 7 2) x te üe ; zu = 0 kr. De na ju 3P) A rie 3P) 8u* - qu*+ " KX(3finsp 15 fin.3p) Su* STYAX EVE ZDN DE LA LuNE. 13 dadZ Z 3ZX cofip 3Z Ffn.p Re 7 ATEN ui se u* he = 9 —T.Z(XX+YY +ZZ)— A caufe de ww = XX +YY. ARE CRETE NE Dernière rédu&ion de ces formules différentio-différentielles. XIX. C OMME les deux coordonnées Y & Z font toujours très-perites à l'égard de la troifièmeX, dont la moyenne valeur eft x, il fera bon d'introduire au lieu de ces coor- données trois autres inconnues qui confervent entr'elles une plus grande égalité : je poferai pour cet effer, X—=a(i+x); Ÿ—ay& Z —az, en avertiflant encore qu’il ne faudra pas confondre ces x, y & z avec les coordonnées employées au fecond article. Cette fubfti- tution nous procurera auff l'avantage de pouvoir dévelop- per en général les formules irrationelles qui entrent dans nos équations différentio-différentielles , & qui fans cela embarrafleroient beaucoup lorfque nous voudrions en faire l’application aux inégalités des mouvemens de la Lune, X X. . Ayant XX+ YY+ZZ—aali+ix+ XX )9 +22) ; nous aurons d'abord (XX+YY+ZZ)-i— . (1 — 3x + 6xx — Eyy— oz — 105 + LE xyy + xzz), en negligeant les quatrièmes & les plus hautes puiffances de prit Tr, * 7, & z. Soit maintenant = = À, dont la valeur ; quelle 14 THÉORIE qu’elle foit , fera toujours conftante, & nous obtiendrons, pour les derniers membres de nos trois équations, ces valeurs : h: T.X(XX+YY +ZZ)—= Aa(l—2X 4 3XX — +9} — À 22 — 435 + 6yyx + 6x22) TY(XX+VY + ZZ)—= ha (y — 3x + Gxx — ip — lys) T.Z(XX+YY+ZZ)-i=ha(z— 32x + 62xx — Àzyy — is). X XI. D'où nos trois équations deviendront, après les avoir diviféés par 4: : ddx 2dy As 1 2m 1 5 Tr + 7% M re + mm + me + En I 3cof:2p 2m 1 AA +4x(wm+— += ï 1 dr 3% cof.2p 33 fin. 2p == 2 Fes le Ne He À )+7 L M un pe © — 3AXX + À AJ + 122 + 4N XI — 6A x) ax — CAXZZ — _ Cécf p + cf. 3p) — a u* (cf p+ cf 3p)+ À (fie. p + fin. 3p) dd 2dx 1 d. — 1. à Rd AE le AU MUR © nv SM peche LEE! dr? de uu de zu} d LI + (mm + © pr TanN) Les m 6 4 uu Gif u* 24} + 3AXY— CA YXX + Lap/T 9e 3y cof.2p 3x fin.2p — 2 zu3 ui + Layzs + À (fr.p + SE fin. 3p) — © Gefp— EE cof 30) + (Lin + fr.5p) DELA LUNE. 15 ddz x — —— < —A2+3AZX — 6Azxx dt? ui =" OE 34% cof. p Fra + LAS} + AD — En omettant les termes affeétés par axx, 47, axy, axz & ayz , puifque les inégalités qui en dépendent ne pour- ront pas monter à une feconde. X XITL Enfin.comme la théorie de la Terre fournit, pour la diftance #, cette valeur # — 1 + v cof:t ,nous aurons, en LA . . 1{ négligeant les puiflances de v:! mæ=l—i2v cof. t ; ® I u u af. 2 = fi = V Co/.Ë 5 — À, ! 4t coll; donc pe. 20 /1n.t 3 3 of. 2 4 2 2 x UE 2 1 fin. 2p—2v fin.(ap—1)—2vfn.(2p+t): RL = efap— ro ef (ap 5) ef ap + rie. D AE Lil: D'où en fubftituant ces valeurs dans nos trois équations différentio différentielles, & en arrangeant leurs termes felon leur importance , nous parviendrons enfin aux équa- tions, & qui feront celles donc je me fervirai dans les recherches préfentes Équations qui renferment toutes les inégalités du . mouvement de la Lune. Le — he ———— + x (mm time it :n)) + mm +2m+i—Ax+ tic 2p+ À xcof.2p — À y fin. 2p — 3h xx + app + Exzz + 415 — 6Àx y} — 6AX2Z — a(% cof.p + LÉ cof.3p)| 16 THÉORIE — ax(Leofp+ cof3p)+ ay fr.p + fir3p) (= 0. — v( (4m + L')cofr+2c0f(2p—1)+8c0f(2p+1)) | —qeof1.? —vx( (4m +) coft+ £ cof(2p —+; + 2cof.(2p+ ?)) +vy(zfin.t+ 2 fin.(2p =") +2 fin.(2p ++)) du — ai = + jm + 2m + 5 — À) — À fin.2p — À ycof.2p — Exfin.2p + 3AXY+ EAP — 6nxxy + Lace + a (À fin. p + SE fin. 3p) — a) (icof.p—% cof.3p) + ax (2 fin,p + 5 fin.3p) n° Fe — v(afin.t—2 fin.(2p—t) —3 fin. (2p +t)) + qveoft Æ ——oy((4m + L) coft—%cof (2p—t) — Scof(2p+1)) — vx (2 fie. r —2 fin. (2p — à) — À fie. (2p +1)) dd PF eZ — — (IHA)S+ 3x2 +ixs — ne + À Ayz — 3az cofp + 3vz cofit Tous les autres termes que j'ai négligés ici , font trop petits pour qu'il en -puifle réfulter une erreur de deux a crois fecondes dans le lieu dé la Lune, X XI V. Au refte il fera bon de répéter ici quew=—12,3688974 & par conféquent 2(#m + 1) — 16,7377948 ; mm +iMm+I=179,217417754m+ 54,975 5896.. Enfuite l'unité exprimant ici la diftance moyenne de la Terre au Soleil, nous aurons à-peu- près v = 0,01676 & a = 0,0025 : je dis à-peu-près , car les vraies valeurs de ces rapports fe doivent déterminer, lorfqu’on CRE es Dr A LuuEr. 17 les inégalités trouvées par nos équations à celles que les obfervations fourniflent. 2; A Le Or ayant trouvé les valeur de x, 7; z nous obtiendrons pour les coordonnées TX = X—4a{1+ x); LX=Y= 47; LC—Z—az:& delà TL=V(XX+YY) ; TE —=V(XX +YY + ZZ); la tangente de l'angle LTX — 25 & la tangente de l'angle CTZ = eee ARTICLE VI Réflexions fur les formules qu’on vient de trouver, XX VI. P UISQUE la droite TC eft tirée , enforte que l'angle BTC eft égal à l’élongation moyenne de la Lune à loppofition du Soleil, & qu'on trouve en additionnanc fix lignes à la différence des longitudes moyennes du Soleil & de la Lune, on voit qu'en ajoutant à cet angle le petit angle CTZ, dont la tangette eft <> On aura la véritable élon- gation de la Lune à l’oppofition du Soleil ; donc, quand on y ajoute encore l'angle BS 4, qui exprime l'excès de . Ja longitude vraie du Soleil fur fix fignes , on aura la vraie longitude de la Lune dans l’éeliptique. Or, la vraie lon- gitude du Soleil étant égale à la moyenne plus fon équa= tion du centre , il s'enfuit que pour trouver la vraie lon- gitude de la Lune, on n'a qu'à ajouter à fa longitude moyenne premièrement l'angle CTZ & ôutre cela encore l'équation du centre du Soleil : c'eft-à-dire Prix de l’Académie, Tome IX, C 18 PAPA RATENTE Long, vraie de là Œ& — long. moyenne de la € + angle 1 . dont la rangente eft —+ l'équation du centre du ©. XXVIL . - Comme je tâcherai dans la fuite de déterminer l'angle TC L aufli exatement.qron puifle le. fouhaiter , on com- prend que cet angle n’eft pas égal. à la fomme de toutes les équations que les Fables ordinaires contiennent pour la Lune ; mais qu'il nedonne que l'excès de certe fomme entière fur l'équation du Soleil ; ou bien, fi nous ajoutons l'équation du Soleil à notre angle (TZ, cette fomme doit être égale au réfulrar de routes Les équations dont on fe fert ordinairement pour trouver le lieu de la Lune. Je ne arle ici que de la longitude réduite à Pécliprique : la latitude fe détérminera aifément par notre troifième coor- donnée Z € —Z, atteudu que donnne d'1- Z V(XX+ FT) bord la tangente de la latitude de la Lune. Enfin, comme la diftance T € —V(XX+YY +ZZ),0n en connoîtra aifément la parallaxe. horizontale de la Lune avec fon diametre apparent. XXVIII. Voila donc en quoi confifte principalement la diffé- rence entre cette nouvelle mérhode & celle dont on s’eft fervi jufqu ici, où l’on s’'eft donné toutes.les peines ima- ginables pour trouver Îles inégalités dans le mouvement de la Lune, chacune féparément des autres. Mon but étant ici de chercher les trois coordonnées TX = X, XL=Y & LE = 7, il eft bien vrai qu’elles dépendront de toutes les inégalités; mais ce n’eft qu’après'les avoir déterminées routes, & en avoir conclu les! vraies valeurs de ces lignes, qu’on pourra afligner l'angle C TZ : outre cela je ne trouve pas cet angle immédiatement , mais fa DELA LUNr. 19 tangente, dont il faut encore chercher l'angle dans les Tables. Or j'ofe biensaflurer que l'expreflion de cette __ tangente devient beaucoup moins compliquée que fi lon en vouloit déduire toutes les équations partielles indé- pendamment l’une de l’autre. Tout ceci deviendra plus clair, quand j'aurai réuffi à trouver les juftes valeurs des trois coordonnées X, Y & Z. XXIX. Mais le plus grand avantage de certe nouvelle méthode confifte en ce qne j'y ai d'abord introduit l’élongation moyenne de la Lune au Soleil, ce qui me mettra en état de déterminer toutes les inégalités, par des anëles propor- tionnels aux tems, & qu’on pourra aifément trouver dans les Tables des moyens mouvemens. Aulieu que, felon la méthode ordinaire, la vraie élongatiom.de la Lune au Soleil entre par-tout dans les calculs, & qu’il ce impofhble de les en délivrer, Cet inconvénient demande non-feulement les plus pénibles calculs, mais il nous Haifle encore incertains fur la véritable quantité de plu- fieurs équations, outre que le nombre de ce: équations devient prefque effroyable, ARTICLE VII, Plan des opérations à faire pour la détermination du lieu de la Lune, 5 X XX. Q UELQUE grand que foic le nombre des inégalités qui fe trouvent dans le mouvement de la Lune , on peut les rapporter toures à de certaines clafles, que je me propofe de déveloper l'une après l'autre, On n’a qu’à bien confidérer “ À 20 THÉORIE les diverfes fources d'où naiffent toutes ces inégalités, pour établir les caraétères qui diftinguent ces clafles entr'elles, Ces fources font: | 1.9 La différente action du Soleil par rapport à fes diffé- rentes phafes ou afpeéts. 2.° L’excentricité de l'orbite de la Eune. 3° L’inclinaifon de cet orbite à l’écliprique. 4.° La parallaxe du Soleil, ou le vrai rapport entre les diftances de Ja Lune & du Soleil à la Terre, s.° Enfin les inégalités du mouvement du Soleil ou de la Terre, LE TA à XXXI. : La première fource confidérée en elle-même produic l'inégalité connue fous le nom de la variarion, ou de réflexion , comme Képler la nommée, Elle dépend uni- quemeñt de l'angle p, c’eft-à-dire de l'angle BTC qui marque l’élongation moyenne de la Lune à loppoftion du Soleil. Ce fera donc le fujet de mes premières recherches, où je ferai abffraction de toutes les autres fources, par lefquélles le mouvement de la Lune eft troublé, LAN. En fecond lieu , j'aurai égard à l’excentricité de l'orbite de la Lune, par laquelle un nouvel angle fera introduit dans le calcul. Cet angle fera l'anomalie moyenne de la Lune, & je le marquerai par la lettre 9: l’angle g fera donc auf proportionnel au rems, & fon rapport à l'ano. malie du Soleil que j'ai nommée , nous conduira à l’im- portante recherche du mouvement de l'apogée de la Lune. Je ferai obligé de partager la recherche des inégalités de cette clafle en trois parties. La première contiendra celles qui dépendent fimplement de l'excentricité , & qui renferment le fimple angle g. DE LA LUNE. 21 La feconde partie roulera fur les inégalités qui dépendent . de l’excentricité ou qui renferment le double angle 24, & dans La sroifième partie, feront déterminées les inégalités qui réfulreur du cube de l’excentricité: celles-ci :dépen- dront du triple angle 39, & feront déja fi perices, qu'on ourra bien fe pañler des fuivantes saufi nos formules ne s’érendent pas au delà dés troifièmes dimenfons. . 1" XXXIII. ä dé En troifième lieu, je chercherai les inégalités qui ré- fultenc de l'incliraifon de l'orbite de la Lune: Cette cir- conftance introduira vn troifieme angle 7 dans Le calcul, qui eft celui qu’on nomme l'argument de latitude , & qui eft auf proportionnel au temps. La recherche de fon rapport à l'angle z renfermera Le mouvement de la ligne des nœuds, Il fuffira ici de déterminer les inégalités qui ._ dépendront du fimple &-du double de cet angle, fans s'embarrafler de celles qui dépendroient du triple ou bien du cube de l'inclinaifon , qui feroic trop petit pour qu'on fûc obligé d’en tenir compte. XXXIV. En quatrième lieu , ayant regardé jufqu’ici la diftance " du Soleil comme étant infiniment plus grande que celle de la Lune, & ayant négligé pour cet effe les termes qui font affeétés du rapport 2 5 je ferai à-préfent auffi entrer ces termes dans les équations générales , pour rechercher les inégalités qui en réfulrent, & qu'on peut nommer inégalités parallaëtiques, puifqu’elles dépendent de la parallaxe du Soleil. 228: THÉORIE. ar XXX V. Enfin la cinquième clafle contiendra les inégalités qui réfultent de l’excentricité de l'orbite de la Terre ; ces inégalités font contenues dans les termes affeétés par v, & c'eft par celles-ci. qne l’'anomalie moyenne du Soleil, marquée par # eft aufli introduite dans le calcul. Dans cette -récherche, il fuffira de confidérer cette fimple ex. centricité: auffi aije négligé cous les termes qui renfer- meroient le quarré & les plus hautes dimenfions de cette excentricité: Ce fera donc le plan que je me propofe de développer dans les recherches fuivantes, DE LA LUNE. 13 (DEUXIÈME SECTION. Recherches des inégalités du mouvement de la Lune de la première Claffe., comprifes s vcommunément fous le nom dela Vartation. sd »] AR TICDLE"PRE MTE'R. Applicationdes formules généaales à cette recherche. “ po014 € Jp o ee Pusquir ne s’agit ici que de dérerminer les inégalités qui dépendent, uniquement de l'angle p ;}où l’on.ne re- garde, que le mouvement, de la Lune fur l'écliptique, nous ferons abftraétion de l’inclinaifon, de fon orbite; en pofant Z=az—=o ,-& par-là toure la troifième équation s’en va du calcul En fecondlieu , je ferai abftraétion de l'excentricité de l'orbite de la Terre. , ou,bien je mertrai 7=—0 ; & en troifième lieu:;.puifquil n'eft pas encore queftion des inégalités parallaétiques, je négligerai dans le) les formules trouvées tous lesirermes affectés par a. LI Lex 36 «r De-cêtte. manière! nes: équâtions différentio-différen. « . F LE 7 tielles deviendront Ut plus fimples, & par confé- quent plus propres à" en déduire les'inégalités,, qui fonc 24 THÉORIE l'objet de cette première recherche. Voilà donc les for- mules qu ‘il faut prendre en confidération. ddx 2(R Hu) dr JE ETES nn amené + 211) ) dr? AE +mm+imti— xt of 2p + À x cof2p\ —+yfin.2p— 31 xx+ EI yy+ 42 x3 =—"6 À &Jÿ. ddÿ 2m )de dx GA LIN EE à — À fin. 2p— AE PE € PréraraArion. En écrivant x + x & y + ÿ'à à la lace de x & y, il nous reftera ençore ces deux équations , à réfoudre. (. 15.) Fr EEE (ga + Aa + Bat cof ap + Cy' fin, 2p+x(— 2 Du —2eu cof.2p—Fvfin.2p) + y(Do + cv cof.2p —Fu fin.2p) + 4 — Enuvv. —ddy" 2{m +) 1 2, — res + y + By cof.2p + Cx' fin.2p + y(Du + sucof 2p +i Fvfin. 2p)x + x(Do + sv cof. 2p— Fufin.2p) + + Avi—Chuur, Subitituons ici pour #, v, x & y leurs valeurs trouvées aux S$, 12 & 17, & nous obtiendrons, XIX. DE LA Lune 49 XIX. Equarions qui renferment les inégalités qui dépendent du cube de l’excentricité de la Lune. EL. — _ + EH Der, (3A+ A) xl 4-B' x cof. 1p + Cp fin. ap — 484398.cIcof. q — 56, 493.cix cof(2p—9) + 680,467. ccof.(2p+g)+1130,384.cx cof. 3q — 248,289 . c3 cof. (2p— 39) — 5,190.c5x cof. (2p + 39) =0. ddy" 2(m41)dx" HR dt sa — 239,210. 0 fn. q — 13,466 . cifin.(2p—q) + 529,371.03 Jin. (2p + 9) + 881,177. 0 fin. 3q + 135:471.0fin.(2p—39)— 5,043. 0 Jin.(2p+34). ==0. X X. P+B' y cof. 2p+Cx' fin. 2p Détermination de ces inégalités. Soit x = 0°" cof. q + d" cof.(2p—q) + €" cof. (2p +4) + CT cof. 2q + dt cof. (2p—39) + € cof. (2p+3q). Y'=Y" fin. g. + MN fin. (2p —qg\+ "fin. (2p + 9) + y fin. 3g + NP fin (2p— 39) +" fin. (2p + 3q) Et la fubftitution nous fournira Les douzes équations fui- vantes. 1(mn+ a+ Al + am Hi). — + 484398. — 1 Bd 4 et) — I CN + UT), Prix de l'Académie, Tome IX, G 50 THÉORIE IL. ami). +(nn+ A). yl= 239,210. 7 C(d1— 67) + E B(AT—e"). III. ((2m—n) +344) 2 (rs Get) (am— ns 604036 — Ben — 1Cy. IV. 2m +1) (a — nd + (am) + ANA = H 13,466.63— IC +HEEyE V. (@m +) + PATES A 2(m +1) (2m) — 680,467. —7+ Bo HECy". VI. 2m + 1) (om — nm) + (2 — 2) + A — 629,371.0:—i:C—:By". VIL (928 + 3a + A) + Om His. = 1130,384u0 > E BA eg el) 2 2 CAM VIIL Em Hier. + (onn + A1). y" — œ 881,177: — À C(dt— en) + a DIN QT), IX. ((2m—3n) +34 A2 (mr) (23) + 248,289. —+2BoT—ICyT. X. 2{m +1) (23— 3)" + ((2m — 37} + ANA —135,471.0— CO HI BJ, XI (( PR: br Lane (m—+1)(2m—+ an) = + 5,190. —+Be+IiCy". XIL 2(w—+ 12m + 37) + (2730) + Al + 5,043 NC CC — 13! PS D'où l'on trouvera par élimination les valeurs qui fuivent = + 0,8899.c 5; dl——0,;166.c; Er —= — 0,244 . C'58 D LA ALEU x x $r = — 0,4107. 0 5 A+ 1,3000.c!; dl——0,1960.c; CU — 0,3832.c' 5 MH 01782. c'; el — + o,0011.c ; VU —=— 0,2996.c'; Al 0,2860.c'; El = + 0,0007.c'. Par conféquent —0,8899. c’.cof. 4 — 0,5166 .c'. cof. (2p = 9) de — 0,2455 .c'. cof.(2p+ q) Re cof. 3 9H 0,1782. ci, cof. (2p—3g) —Ho,oo1r.c'.cof. (2p+ 3q). —0,4207 . C'.fin. 4 HF 1,3000 . ci, fin, (2p—q) —0,1960.c. fin. (2p + g) Ste —0,2996 . c'.fin. 3q—0,2850.c°. fin.(2p — 3q) H0,0007. c’, Jin. (21439). 42 THÉORIE QUATRIÈME SECTION. Recherches des inégalités du mouvement de Le Lune de la troifième Claffe, qui dépendent de linclinaifon de l'orbite de la Lune à l'écliprique. ARTICLE PREMIER. Recherches préliminaires [ur la nature de ces inégalités. I. Far fuppofé jufqu'ici que la Lune fe meut fur le plan de lécliptique, dont les inégalités ont été tirées des deux premières de nos trois équations générales ; à préfent je mai qu'à y ajouter Ja troifième. Or, comme l'inclinaifon de la Lune eft fort petite, il me fera permis de faire abftrac- tion de l’excentricité de l'orbite de la Terre, & encore à lus forte raifon des inégalités qui dépendent de la paral- laxe du Soleil. Jomettrai donc encore les termes affectés par v & a, & les trois équations que nous aurons à confi- dérer ici feront (Set, 1. $ 23 ). L + _— LE 4 ga +3 cof2p+ 3xcofap — +) fin. 2p — 3 A xx ++ àyy + 4 xi(=e — 6x yy + EA(I — 4x)zs. I1,—— BE LA LUNE. 53 ddy 2(m+ 5) dx D, NP: EP a) 60f. 1p — À x fin 2p+3Axy+ÈIAYÿ — 6Xxxy )=0o + ia7y.zz. 3, — _ — (a+ 1)z Hi ag HiA(2x—4xx + yy)2=0. 1 I. Les deux équations font donc les mêmes que celles que nous avons développées jufqu’ici, aux derniers ter- mes près qui renferment zz , auxquels il nous faudra encore fatisfaire, & d’où réfulteront quelques nouvelles inégalicés dans x & y; mais qui pourront être négligées dans la recherche de la valeur de z, laquelle écant fort petite, il fuffira d'y prendre feulement les principales par- ties qui conftituent les valeurs de x & y. Enfuite en déter- minant z, je négligerai le terme À x 2°, puifqu’il donne roit des inégalités qui dépendent du cube de l'inclinaifon, & qu’on pourra hardiment rejetter. PIE Pour commencer les recherches préfentes , ne confi- derons d’abord que la troifième équation, & fuppofons dd premiérement x = o & y=—0o, de force que — dt — (1 + )z= 0; d'où il eft clair que z exprimera le firus où cofinus d'un certain angle proportionnel au tems multiplié par un coëfficient arbitraire. Soit donc 7 cet angle & pofons dr = /d?, de forte que mettant z — « ; d dd nr, noûs ayons À = /o cof r & =? —=— 11 0 fin. r dt dr? ? $4 THÉORI:1E ces valeurs étant fubftituées donneront / ! o fin. r —(1 +a)ofrar= 0; donc /=V(1+ x). Or ayant trouvé ci-deflus À = #7 + 2m à —179,2274177. (Set. 2 $. 3), nous aurons / = 13,42488. IV Examinons maintenant plus foigneufement [a nature de cet angle, que nous venons de trouver , & puifque la tangente de la latitude de la Lune et Z : V(XX + YY) = a(1—X + 2xx— 7% yy),mous voyons que quand r — 0 ou r— 180°, la Lune fe trouvera dans l'éclipti- que & que fa latitude fera la plus grande lorfque r—90° ou r— 270° ; d'où il eft évident que cet angle exprime ce qu’on nomme en Aftronomie : Aroument de Latitude ; & par conféquent cet angle 7 doit réfulrer quand on fouf- trait la longitude du nœud de la longitude moyenne de la Lune. V. Voyons donc fi ce mouvement eft conforme aux obfer- vations, Les Tables Aftronomiques donnent pour le tems de 30 jours le mouvement du nœud de la Lune rétro- grade 12 35° 19" = 5719" 5 le mouvement moyen de la Lune 135 5° 17 31"— 142301" : donc le mouvement moyen de la Lune moins le mouvement de fon nœud 1428770". Mais le mouvement moyen de lanomalie du Soleil pour ce même tems de 30 jours eft 29° 344", 5, — 106444", 5 5 d’où les obfervations donneront DER de AT 0 sis 13:4226756 ; & dontil faudra d 1064445 fe fervir dans la fuite, la petite différence provenant tant de ce que nous avons négligé au $ 3. les inégalités de la pes: Las Eu N €. Lune, que principalement de l'aétion des autres planètes fur la Lune. VE Enfuite pour le coëfficient« , ileft clair qu’il expri- mera la valeur de z lorfque la latitude moyenne de la Lune devient la plus grande ; car prenantr — 90°, il devient z = « ; or z elt alors la tangente de la latitude, , e. A , 2 2 La valeur d' doit donc être déterminée par Les obferva- tions de la même manière que l’excentricité c, & cette valeur fera à peu près « — 5 ; celle de l'excentricité étanr, peu s'en faut, c = 55. AR PVC L'E UNE Détermination des inégalités auxquelles ef affujettie la latitude de la Lune. VIL ÂAxanrT trouvé la partie principale de la valeur de =; qui eftz= o fin. r, il faut chercher les inégalités, auf quelles ce z elt afflujetti à caufe des inégalités mêmes de la Lune, dont il fuffira de prendre les principales, & qui font contenues dans les valeurs déja trouvées pour x & 7. Soit donc x = al + b cof. 2p + c cof. q + d cof. (2p— 9) + fcof. 29 + g cof. ( 2p — 29) & * = fin. 2p+ y fin. q + d\'fin.(2p — q) + Ë fin. 29 +8 fin. (2p — 29); .$6 THÉORIE & nous obtiendrons 2X — 4xx + yy = 24 —4a" a — 2bh + 1 CC— 2ctct Ho yy — 2dd + EN +(2b—8ab— 4 d— 78) cof.2p+(2e — 8atc — 4bd + CA) cof. q +(2d—8Sad—4b@+6Gy) cof. (2p—4g) + (2f—8a'f— 4bg + G— 2 —}yy) cof. 2q, + (2g — 8 g— af + CE — 40 + yd) cof. (2p — 24). D'où en fubftituant pour x, a!,4, CG, c', y &c. leurs valeurs trouvées , nous trouverons cette équation, VE TT Equation qui renferme toutes les inégaliiés du mouvement de la Lune en laritude, dd, = + 2(4 + B cof. 2p + Ccof.q + D cof.(2p—4) © E cof. 29 + F cof.(1p— 2q)) = 0, où j'ai pofé pour abréger — 180,23$4— 280,0737.ccæ=—= À; — 3, 8603 — 311, 8370.cc—B; + $41,:9150.c—0C; 102 5370200621; —— 810, 4568 .cc——#€ & — 87; 1$02.cc—F, IX. DE LA Luxé. 57 TX Détermination de ces inécaliies. Donnons donc à z [a forme fuivante : Z=—=0 fin.r + A'o fin. (2p—r)+ x'ofin. (2p+7r) + B'o fin. (g—r) l'a fin. (g—+r)+C'ofin. (2p—g—-r) + Co fin.(2p — ETS D'o fin. (24 — r) + do fin(2g+r) + F'ofin.(2p — 2q9—7r) + ao fin. (2p— 12947). Et fubftituons cetre forme dans l'équation différentio- différentielle au lieu de z,& nous aurons en négligeant les termes qui dépendroient dû cube & du biquarré de l'excentricité c ces détermipations: Pour le coëfficient de fin. r 511 + A —2?B(4—a) Ce Al) EE D (mA ER Pour le coëfficient de fin. (2p —r);({ 2» —1) +A)4 —;B+!:CC'+;DB—o. Pour le coëfficient de fr. (2p+ r) 5 ((2w+1)+ 4)x +iB+IiCc'+r Dr —0o. Pour le coëfficient de fin. (9 —r) ; ((# —/): + 4)8 —};C—!{B'+iDA =o. Pour le coëfficient de fr. (g + r) 5 ((# +1) + 4) +iC—: BC+:Da =o. Pour le coëfficient de fin. (2p—g—r) ;((am—n#—l} + A)C'—iD—EIB'+iCA'— 0. Pour le coëfficient de fin.(2p—g+r); ((2m—#+l)+ 4) +iD—;BB+;Ca = 0. | Prix de l’Académie, Tome IX, H 58 THÉORIE Pour le coëfficient de ff. (24—7r) 5 ((2#—1ÿ + A)D' —:;Bf—;:E+:CB+iFA —=0. Pour le coëfficient de fn. (24 + r)}; ((22 +1) + Ad’ —1Bf +L1E+IC'+IFa=o. Pour le coëfficient de fin. (2p—2q—r)3((2#—2#—l) +Aÿf— Bd —1F+3:CC—1Db'+IE4—=0. Pour le coëfficient de fin. (2p—21q-+r);((2m— 2n+1)" +A})f —:BD'+}F+1Ci—] DE +2Ea =. D'où l’on voit que les coëfficiens 4'& 2’ auront chacun deux parties, dont l’une ne dépend point du tout de l'excentricité & dont l’autre renferme le quarré de l’ex- centricité cc. Enfuice les coëfficiens B', b', C', c'dépendront uniquement de la fimple excentricité «, & les coëfficiens D', d', E', e renfermeront le feul quarré de Pexcencri- cité cc. La première de ces onze équations déterminera plus exactement la valeur de}, déja connue par fes Tables Aftronomiques & les dix autres équations donneront les valeurs des coëfficiens 4’,a',B7, 4’, C',c',D',d', E',e,E",f" où il fera permis de mettre dans Îa valeur de À, pour =; de f A = Et e forte que 4 — — 180,23 5$ 4 280,0737 400 =—180,;935$. X. Après avoir fait les calculs j'ai trouvé pour z cette valeur : DE LA Lune. s9 VALEUR de ou de Z z= 0 fin. r + (0,036484+ 0,3498 . cc)a Jin. (2p —r) (0001877 + 0,2102.cc)wfin.(1p ++) — 1,48582.c0 fin. (g —r) —0,51163.co fin. (g+r) — 0,212643.c@fin. (2p—qg—1r) — 0,11553.c0 fin. (ap —g+r) + 0,1195.cco fin. (243 —r) +0,3850.cca.fin.(2q+r) #-0,1523.cco fin. {2p — 29 —r) — 0,0614.cc& Jin. (2p— 2g +r). ASE DÉTERMINATION PLUS EXACTE DU RAPPORT /. Si nous fubfticuons les valeurs trouvées pour 4”, z', B',b',C'&c dans la première équation, qui eft U+ A+ B(A— a) LC(B'—b)—5 D(C'—5)=0 nous obtiendrons Ü + A—=—0,080286—269,4$31,6 & de-là U= + 180,15 $E + 10,6240.6c; par conféquenc [= 13,42219 +0,39$6.ce & en pofanc = —, il fera l—13,42318. Or , nous avons trouvé par les Tables Aftronomiques 1 = 1342267 ; d'où l’on voit le parfait accord entre la chéorie & les obfervations , cette petite différence de 0, 000$ 1 provenant tant de l’action des autres planètes ELZ 6o TTHÉORŸYE fur la Lune, que de ce que nous n'avons pas encore pu mettre pour l’excentricité « fa jnfte valeur, qui probable- . x ment fera plus petite que —. Pius P SÈTER ARTICLE TITI Détermination des inégalités de la Lune qui réfulten: de l’inclinaifon de [on orbite. XII. Css inégalités font connues fous Le nom de Rédu&lion à l'Eclipuique & elles réfultent des derniers termes de nos deux premières équations différencio-différentielles , qui font —ddx 2(m + 1)dy De EE 3 A WG fe 2h of 2p — À y fin. 2p— 3Axx HT Ayy + 4axt — Cnxyy + À A(1 — 4x)z2 — 0. —ddy 2(m—+ 1 )dx BTE = SU RON EP Jin. 2p + 3axy + FAYI— CAXxY+ TE AY.22 = 0. XIII. Préparation. Soient # & v les valeurs déja trouvées pour x & y & écrivons # + x° & v + y" au lieu dex & y, pour avoir ces deux équations | DE LA LuUNxE=—. 61 —dd2" 2(m + 1 dy" 1 1/7: PR 2 AX + X (2 Cof. 2p — GA + 12144 — fui) + (— Efin.2p+3av— ira) +iA( — 4u)zz = 0. —ddy" 2(m-1)dx 9 2. RE me ee À cof. 2p + 3Aw+2avv — Gun) + x (— À fin. 2p + 3nv— 11auv) HiAvzz—0. qui renfermeront donc les correétions comprifes fous le nom de Réduétion à l'écliprique. X I V. Détermination de ces correéions. ÿ Soit # = 0 ,0000240 — 0, 0071802. cofe 2p & v — #0,0102118.fi". 2p; en omettant toutes les inégalités qui dépendent de l’excentricité de l'orbite de la Lune ou de la quantité ç ; qu'on fafle maintenant les fubftitutions & nos deux équations deviendront: (Voyez Set. 3. Ç 7.) ddx! profes + + Se UE MORE 6558.x1+9,220588,x1, nee .Y". fin. 2p + 168,8154.zz #7,721336.2z. tof. 2p=0. —ddy" 2(m—<+ 1)dx" / 2. —— ere 0,0272.3"—5,360294.y .cof 2p H3:990175.x". fin.2p+2,745353.22. fin.2p—0. Or comme z = o fin. r + 0, 036484 w fin. (2p —r) + 0,001877 «fin. (2p+7r) nous aurons - 62 | Tuéonrr:re 22%2=0, $00667.wu—0;, 034607. ww. cof. 2p — 0,499933.ww.cof. 2r+0,036484.wu. cof.(2p— 2r) H0,001877.œ0 . cof.(2p + 27); de-là nos deux équations. Y. — + RUE + 537,65 58.xl+9,120588.xt cofe 2p +3, 990175. Y'fin.2pH 134, 4534.wa — $,4371.00.C0f. 2p — 134, 2561.00.cof.2# +7, 8774.ua.cf.(2p— 2r)—2,4346.uu. cof. (2p + 2r) —=0. — dd" ai 2(mr)da di? dt — $,360294. 3" cof. 2p+ 3990175. x". fin, 2p H1,3745.00. fin. 2p + 0,0$26.w0./fin.2r —0,6862.wu.fin.(1p—2r)—0,6862. us Jin. (22+2r) = 0 +0,0272462.9 X V. Suppofons x'= a" vo + bouc. 2p+ foucof.ar+geg cof.(2p— 2r)+howcof.(2p+ 2r) êc Y'=C" oo fin. 2p +Caa fin. 2r+ 100 fin. (2p—2r) Boo /fin.(2p+ 27r), d’où nous obtiendrons les déterminations fuivantes : 537 6558 .-a" + 4, 610294.41+ 1, 995087. C1 + 134, 4534— 0. (amm+s 37,65 58 7 + am(m +3) 9,220588.a!! F— $143707 —= O. DE LA LUNE. 63 am(m+3) + (4mm + 0,0172)10 + 3990175. a! + 1,374$1 = 0. QU + 537,6558)f + 4l(m+1 +4610294(z+h) + 15995087 (nH+0)— 134,261 —o. al{m+1)f+(4ll+o,0271)È + sa NPA + 2,680147 (n—8) + 0,05265.— 0. Cab I} + 537, 6568 )g + 4(m— 1) (m0 + 131 4 4610294-f+ 1,995087. Ë + 7,87739 = 0. 41) (m+1)g + (ml) + o,0272}h1+1,995087.f + 2,680147.Ë6— 0,68624—= 0. Catr+l) + 537,6558 )h + 4m + l\(m+1)9+ 4, 610294.f1,995087.Ç—2,43463 = 0. A(m+l\(m+1)h+(4(m+l)} + 0,0272)8+1,995087.f — 2,680147.È—0,68614 = 0. X VI. De-là on aura: a = — 0, 25012: É=+o,01310; f—+0,24723; £—=—0,01530;h = + 0,00041; = — 0,018045 Ê——0,24635; n—="#+ 0,02334; 0 ==—0,00039; par conféquent . # = —0,72$012.00+0,01310 . @ & cof. 2p +0,24723. 00 60f.27—0,01 330 .œc.cof. (2p—2r) + 0,00042. wo cof. (2p + 2r) 64 THÉORIE ê& J'=—0,01804. wo fin. 2p—0,24635$ .uufin. 1r + 0, 02334.wofin.(2p—2r) — 0, 00039.&a fin. (2p+H air). Au refte la réduction à l’écliptique ou cette petite correction qui réfulte de l’inclinaifon de l'orbite de la Lune, dépendroit auffi de fon excentricité; mais comme les inégalités qui en naîtroient pour les coordonnées X& Y feroient toutes mulripliées par c. ww, j'ai cru pouvoir me difpenfer d'en rechercher la valeur. Cependant fi l’on vouloit les déterminer par la méthode dont je me fuis fervi jufqu'’ici, on ne rencontreroit pas, à ce que je penfe, la moindre difficulté, CINQUIEME DE LA Lune. 6$ ot tt étlmmnmiltrésttdhtitnlenltatimntetiétreteriis CINQUIÈME SECTION. Recherches des inégalités du mouvement de la Lune de la quatrième Claffe, qui dépendent de la parallaxe du Soleil. ARTICLE PREMIER. Introduëion à la Recherche de ces inégalités. I. Jar fuppofé jufqu'ici la diftance du Soleil à la Terre infiniment plus grande que celle de la Lune, & javois pour cet effet négligé les termes qui font affectés par le rapport 4. Maintenant je ferai entrer ces rermes dans les équations générales (Se. 1. $ 2 3) pour rechercher les inégalités qui en réfulteronc, Je remarque d'abord que comme les inévalités de cette clafle font très - petites IL fuffira de prendre les termes où x, y & z n'ont tout au lus que deux dimenfons ; je négligerai donc tous ceux où la troifième dimenfion entre. Pie il eft auf clair que le terme ? A zz dans la première équation ne vient point en confidération , & comme il n’eft pas encore queftion des inégalités qui dépendent de lexcentricité de l'orbite de la Terre , j'omettrai dans les recherches pré- fentes tous les termes affectés par v; En mettant donc pour À fa valeur x — mm + 1m + 5, les inégalités que Prix de l'Académie, Tome IX, 66 THÉORIE je me propofe de déterminer ici devront être déduites de ces équations : —ddx 2(m + 1 )dy 3 3 PR ER de 3AX + À cof. 2p +? x cof. 2p — 7 fin.2p— 3 xxx + Ep as cofp+"s cof: 3h) —ax(icfp + cd3p) +ayx Ci fn. p + fin. 3p) = 0. —ddy 2(m- 1)dx ta annee Len 0 Te 4 — À x fin. 2p + 3axy + a(ifinp+ = fin. 3p) — a (4 cf p— cf 3p)+ax (Sfinp+ se fin3p) 3 (GHz H3Axz—3 az cof.p = 0. I I. Séparons d'abord de ces équations tous les termes aux- quels nous ayons déja fatisfait. Soient # , v & w les valeurs de x, y & z qui font évanouir ces traïs expreflions : ddu 2(m + 1)dv … Las OR CARTE 314 RE cof. 2p—+Àu cof. 2p — À 0 fin. 2p— 3Auu + + avr —ddv 2(m + 1)du CURE à — À fin. 1p — À v cof. 2p — in Jin. 2p+ 3 Auv. 2: TE HW + au di? Pofons x =#+ xl; y—v+y &z=# "+ 2",de forte que x!, y', z! contiennent les inégalités qui réfuitent __ DECÉACEUNE (L) du rapport a, & nous obtiendrons les équations fuivan- tes qu’il s’agit de réfoudre ici, TIL Equations qui renferment les inégalités parallatfiques. ddx* 2 (m+1)dy" 1,— pr + FAT AE — (1 fin. 2p— 3av0)ÿ —a(icofp+ co. 3p) — au(Xcof p + cof. 3p) + avi fin.p+ à fin. 3p) = O. + 3AX + (E cof. 2p — 64 )x! ddy 2{mi)dx RIRE Cr f ip 3h8)Y — (à fin. 2p— 30) + a(i fin. pH fin. 3p) — avi cf p— cf. 3p) + au(i fin. p + X fin. 3p) = OC. 3— — (14H a)2 + ur 3x3 an cof po. ARTICLE. LE, Détermination des inégalités paralladiques , qui affectent le mouvement de la Lune dans l’écliprique, 1Y, Coxsiptrons donc d'abord les deux premières équas tions , & commençons par le cas le plus fimple, en pofant nu — 0 & v = 0, de forte que nos deux équations {oienr: T2 68 e TIM,ÉTO R LE dax? 2(m +1) dy 1.— + 3AXT EL xt cof à p— + PE dt fin. 2p— 2 a cof p—+ a cof. 3p—0. ddy* 2(m+ 1) ds 3.1 3.1 2, — DALIUE NT AU SR l cof.2p—+x Jin.2p + Sa fin.p + afin. 3pæo. D'où l’on voit qu'il faut mettre x" =b'acof. p+ ba cof 3 p fe Y'=C' afin. p +C' a fin. 3p. Subftituons ces valeurs dans nos deux équations ,& nous obriendrons ces quatre conditions à remplir. (im + ZA) + 2m(m + 1 HE see ace sels 4 8 — ©. mm + am(m+ 1)l + i G—;it — 160 3qu +i=o. (omm + 3x) + Em(m+1)CHI(H+C) — 5 —0o. omm CT + Gm(m+1 — I (UHC)+E— 0, D'où l’on trouvera bP=—o, 11535; C=—+o, 24511; P=+ 000155 HG —0,00313; par conféquent A = —0,11535.4.c0/p + 0,0015$. 4. cof. 3p & J'=+#0,24$11.4. fin. p—0,00313 a. fin. 3p. p£ LA LuNE: 69 V. Approximation ultérieure, Donnons à # & v leurs valeurs principales qui font #— b cof 2p+ ccof.q + dcof.(29— 9) +e cof.(2p+ 9); D —Cfin.2p+ y fin. g + Afin. (2p—9) + e fin. (2p + 9); ou b——0,0071800 ; C—+0,0102118. (Sect. 2.6 5.) & y—=—1,012719.c5d=—=+0,187947.c; f——0,411801.c5e——0,00170$.c; e——0,003215.0c{(Sect. 3.4. 12.). Calculons d’abord — au(2 cof.p.+ À cof. 3p) + av(X fin. p + fin. 3p) ‘dont la valeur fera + 0,0445166 .a cof.p + 0,0042481 . a cof. 3p —1,246594 ac, cof: (p—q)—1:492918. 46. cof.(p+a) —5,705881.ac.cof.(3p—g)+1,903115.ac.cof.(3p+g). De même nous trouverons — av cof. p—Ÿ cof. 3p) + au(i fin. p+ fin. 3p — — 0,0337465.a fin.p — O0, 0065219 .a fin. 3p —0, 294871.ac.fin(p—qg)+2:256$21.4c,. fin(p+g)+ 5873773 -4c.fr. (3p—-9) — 1,898676.ac. fin. (3p+9). Eufire 38 —=— 3,860$. cof. 1p + 537: 6822. c(cof.q SJ + 1010558. c(cof(2p—g)— 1:45 44. c(cof(2p+4) %o _THÉOKIET 30 = + $,4907./fin. 2p — 1082, 2087. c{fin. q — 221,4187.c(fin.(2p—9)—1,7286 .c(fin.(2p+q) d’où nos équarions deviendront D 537,6822.x (9,221 1: cof. 2 p— 107$, 3644.c.c0f.q — 202, 1116.6. cf. (2p—q)+1,9088.c.cof(2p+gq}x (3, 9907. fie. 2p — 1082, 2087.c. fin. q — 221,4187.6. fin. (1p—g)—1,7286.c. fin. (2p+g)"— 1,0804834.a cof. p— 1,87075 19.4 cof. 3p— 2,246$ 94ac. cof.(p — 4) — 1, 492918.ac. cf. (pHqg)—$:70$881.ac.cof.( 3p— 9) H 1, 90311$ . ac, cof. (3p.+ g) = 0, CP MN Dr. LE + (— 5, 360$. cf ap + 537,6822.6.cof. gr 101,05$8.c. cof.(:p—4) — 1,4544.6.00f. (2p+q)ÿ + (4 3,9907. fin. 2p — 1082,2087. c. fn.q—221,4187.c. fin.(2p — 4) — 1,7286 cfin.2 p+ g)x° + 0,3412535 . a fin.p "F1,8684781.a fin. 3 p— 0,294871 . ac fin.(p—a) 2,156521,a6 fin. (p+4)+5$,873773-ac fie. (3p — 9) — rai Jin, (3p+ 9) Pofons donc #40. a.cofp + Wa. cof3p+ ct. ac cof. (p — a) + cac cof (p+g)+ d'. ac cof. (3p—q)+ d'a caf. (3p + ag). = a fn.p + CO, à fin. 3p + y .ac fin. @— 4) + y}. ac. fin. p+ 9) +. ac fin. (3p — g )+ 46 fr. (3P + 9)» DE LA LURE. 7T & nous obtiendrons d’abord pour les coëfficiens 47, 2°, C'& CG! ces quatre équations 1. (7m + 54252927)b + (2m(m + 1) + 1,995 3)G! H 4,6105.b + 1,9953.61— 1,0804834—0. 2. (2m 1) +1, 9953)b! + (mm + 21,6802 \C! — 1,9953.0"— 2,6802.C" + 0;341253$—0. 3. (omm+537,6822)b" + Gm(m+1)C" 4610501 —1,9953.C —1,8707519—0. 4. Em(m+ 1)" + gmmet + 1,9953.L"— 1,6802.C! + 1,8684781= 0. D'où l’on trouvera b—— 011411 ,#1 = + 0,00300; Cl + 0,24168 ; CU —— 0,00287. Par conféquent 9 #—=—0,11411.4.C0f.p H0,00300. &. cof. 3p & Y =H0,241068 .a.fin.p=—0,00287.a, fin, 3P: VII. Paflons aux inégalités qui dépendent du produit zc; celles-ci feront renfermées dans les huit équations fui- Vantes : a, (Gm—n} + 537, 6822) + 2m + 1) (m—»)y! + 4, 610$(c +d')+1,9953(y"+491) —638,7380.b— 651,8136.C+ 1, 4544.01 —0, 8643. Ch — 2, 246594. 72 II. JT. Eve THÈORIE 2(mbi)(m—n)l+(m— nr)" y + 2, 6802 (y D) + 1, 9953 (— d')+ 218,3132.C! + 430, 3950.b1— 0, 7272.6+H 0, 8643." — 0, 2948 71=0. (rs + 5} + 537,6822) + 2(0 + 1) (m + ny +4,610ç$(d+dl)+1,99c3(7 +4) —536,2278.0 + 540,2400.61 — 101,0558 . DA — 110,7093 .Gl— 1.492918—0. (m1) (m + n)et + (0 + rm): y + 2, 680z (= D) +1,9953 (cl —d'+ 269, 5683.0! — 541,9686.b + $0,5279.C+110,7093. bit + 2,256$21=—0. ((3m— nr) + 537,6822)d + 2(m+ 1) Gm— M 4, 610$.c—17,9953.y —101;0o$s8. 41 + 1107093 .C'— 537,6822. 00 — $41,1043. C4 — $:795881—0. “ VL 2(m+1) (3m —»)d + (3m—n) D — 2,6802.y' H 1, 9953.00 + 50, 5279.6— 110,7093.b! Has, &ærr.C+iis4 sr, ro4e en + 5:873773—0 VI (3m +Hr} +537,6822)d +o(mpi) (35 +) + 4,610$.4—1,99$s3.y1 + 1,4544.0l + o, 8643, @— 537, 6822, 4 + 541,1043. CH 1,90311ç=0. VU, DE LA LuNE. 7$ VIT 2{(m+1)(3m+n)dl+(3m+n) A" —1,6802.y + 1,9953.c1—0,7272.C" — 0,8643.0 "+ 268,8411. 6 — 541,1043 .b% — 1,898676, D'où l'on trouvera ces détermination : = + 0,0467; ct = —0,1213; d'= + 0,0168 ; d' = 0,0001 j Y = 2,63435Y =—0,0554i . N'=—0,0917;d" — + 0,0014, VETR Les inégalités de cette clafle fe réduiront donc aux formules fuivantes, xl=—0,11411 .a.cf.p+0,00300.4.cof.3p + 0, 0467. ac.cof (p—gj—0,1213.ac cof.(p + q) + 0:0168 .ac.oof(3p—g)—0,000 146, cof. (3p +9). =" +0,24168.4.fin.p—0,00287.4. fin, 3p —2,6343.ac.fin.(p— gj—0,0554.ac. fir.(p+g)—0,0917.ac. fin. (3p—g) + 0,0014.46 FeUGPT 2 Prix de l'Académie, Tome IX, K TA TuHÉéoR1t ARTICLE:TIT Détermination des inégalités parallaëiques qui affeitent la latitude de la Lune. 1 X. C Es inégalités font très-perites, étant mulripliées par le produit a w dont la valeur eft à peu près o,0002$. Pour les déterminer, reprenons notre croifième équation , qui et (S. 3.) = dd , + + (14 )2 gaz ax y —3 a w cof.p=0. Pofons# —=beof2psw = ofin.r& x! = LE, a cofi p5 & notre équation deviendra Lé _ — (1H) 3762! of 2p— 3 (Ab 1 )40 fin. (p—n HE — 1)a0 fin. (p + r)}=0. Soit donc = Æ'ao fin (p—r+a #0 fin.(p + r, & nous obtiendrons (1 Ja 1) 4— 5 x. a — 3 (h—1)=0. ((m+ ya Ja — à AL.A'+ À 1 + (Ab —1)—0, X. “ Mettons pour #, l, À, b & L' leurs valeurs numériques, avoir : mn = 11,3688974 ÿl = 13,4226756 ; bu.LA Levin Er 7$ À = 179, 2274:5b=—0,00718 & b—— 0, 11411, & nous trouverons — 179, 1169. 4H 1,9303.a 432,17736—0. + 484, 9778.a+1,9303. 4—321,17736—0. D'où les coëfficiens 4’ & 4! feront dérerminés de cette façon A=+H0,1$03;5a —=#+0,06$6; par conféquent R'="H+0,1803. au fin. (p—r) +0,06 ; 6.a a fin. (pr), 76 THÈORIE ro nn care ces SIXIÈME SECTION. Recherches des inégalités du mouvement de La Lune de la cinquième Claffe, qui dépendent de l’excentricite de l'orbite de La Terre. ARTICLE PREMIER. Introdu&ion à la Recherche de ces inégalités. Ê L Es inéoalités de cette claffe font renfermées dans les termes affectés parv, & ce v marque l’excentricité de la Terre. Soit pour abréger #»# + © = y; de forte que u= 54,975 5896. Reprenons les trois équations différen- tio-différentielles, comme je les avois données au $ 23 de la première fe&ion , & polons-y mm +2m+1—); effaçons d’abord les termes multipliés par z auxquels nous venons de fatisfaire dans la feétion précédente & négli- geons tous ceux où x, - & z ont enfemble plus de deux dimenfions. Ecrivons enfin # + 2° au lieu de x, v + y'au lieu dy & w + 7" au lieu de z, où #, v & w fignifient les valeurs de x, y & z trouvées dans Les feétions précéden- tes, de forte que nous ayons déja faic évanouir ces trois expreflions | DE LA LUNE. 77 dd 2{(m1)du - 3 Sdsemme A8 CHE CAE à # cof. 2p — À v fin. He ddv 2z2(m+#+1)du fin. 2p + 3) uv, à d — — (1H) W + 3x. Et nous obtiendrons les équations fuivantes, auxquelles il nous refte à fatisfaire. IL Equations qui renferment les inégalités de cette dernière . Clafe. L ddx' 2(m+1)dYÿ 1 D (A X (£ cof. 2p=—- Gnu)x* (fin. ap— 30) — v (ucofr + cef (2p — 5) (2p—1) +5 of — 4v cof1.* — vu ((uçof. t +2 cof.(2p—1)+2c0f(2p—+1)) + vv(2 fin. +2 fin. (2p—t)+2 fin. (2p +»). æ — — eee — (iéf2p— 34) — (À fin. 2p — 3Av)x! — 02 fr. t —2 fin. (2p —"1) — 2 fin. (2p + 1)) av cof 1. Tv v((ucof # — 2 cof.(2p— 1) — £ cof.(2p + 1)) —va(2fin.s — 2 Jin. (2p—t)—£2 fin. (2p+ 0). 78 THÉORIE 1È— {+a)zl+3auz+ 3 ax ut 3 uw cf. t — 0, où il eft à remarquer que m— 12,3088974; 2Am<+1)=26,7377948. À = 179,2274177 Ru —= $4,9755896: Or il eft à peu près v == 0, 0676. 26: ag 99 te 1 24 Détermination des inégalités de cette Claffe qui aff&ens le mouvement de la Lune dans Pécliptique. TITI. - J E ne confdérerai donc d’abord que les deux premières équations, mais je ne m’arrêterai pas à la première approxi- mation en pofant # = o & v — 0 : je commencerai tout d'un coup par mettre pour # & v leurs valeurs principales qui font u=b Là ape cof.g=+d cof(2p—g)+e cof(2p+9) v=Cfin.2p+y fin.g+ D fin.(2p —9)+6 fin (2p+9) à de forte que | | b==—0,00718 ; C==+0,0102118; y——2,01272 2€; d—=+0,1879476; N —=—0,411802.6c; € —0,00270$.C56=—=——0,003215,.C; &oùe marque l'excentricité de l'orbite lunaire, DE LA Luxsx 79 I V. De-là je tire d’abord pour les quatre derniers termes de la première équation. Le coefficient de cof: # (—u—2(5—6)) = — 5493646 .v. Le coefficient de cof.(2p—1) 1(—2— (4—1)@—ïub) — — 2,54826.v. Le coefficient de cof. (2p4r) 0(—2—(47+106— 148) = — 2,56809.Y. Le coefficient de cof. (9 —1)2(—(2n— 1)y— 1 ue — 2 (d+e— N—i))= + 23,18529 . ve. Le coefficient de cof. (9 + # v(—(2n4+1)y—1uc — À (d +e — À —:))—=+ 27,21076 . ve. Le coefficient de cof: (2p—g—1)v(—{(2(m—1)=1)2 —j;ud+$(y—c))=+0,48915 . ve. Le coefficient de cof: (2p—g+t) v(—( 2(2m—7) +1) —j“ud+ (y c))=+1,31275 . ve, Le coefficient de cof. (2p+g—1) D(— (22747) 1 }e — up +y))=+1,45475 ve. Le coefficient de cof. (1p+g—+1) D(—(2(2m-+7)+ 1} —Lue—?i(c+y))=h1,40119.vc. Tan Enfuite les quatre derniers termes de la feconde équa- tion donneront 8o THÉORïE Le coefficient de fin. t 0(— 2) = — 2v. Le coefficient de fn. (1p—+) DC + — (4m 1 (b— ut) = + 2,3173$.Ve Le coefficient de fin.(2p+1) v(+2—{(4m+1)—îïut) er D D dr à 2 £ Le coefficient de fn. (g — +) v(—(27— 1) —;uy —?(—;s—d+e))=+3048777. ve. Le coefficient de fin. (g + #) v(—(2n + 1): — Le 9 EE Soit donc : z'= A'vofin.(r—1) + B'vofin.(r+t) +C'vo fin. (2p—r—1)+D'vo fin. (2p+r—1) +£E'vo fin. (2p—r+t) + F'vofin.(2p+r+t). Etc nous obtiendrons les fix dérerminations fuivantes : L (1) ) AIN (DE }+ E(14+a2)=0 IL. (a )B AC —F)+i(14+24)=0. HIL((am—l—1)— à —1)C— T0, B—+ Abo. IV. ((am+ l—1ÿ— 21 )D'+inb 4'+Ix bo. V. ((am—l+i)— 1 )E Tab A —I No. . VL((a+4 + 1) 1) 4 Tab B + eo, | D'où l’on trouvera : . "=+0,07747 i B—0,06 3 17; C'——0,06967 ; D'=+0,00406; E =40,060$ $ ; F'=—0,00148. Par ; DE LA Luxr 89 Par conféquent F z'= +0,07747 . vo .fin. (r —1) —0,06327.v a. fin.(r+1t)—o,06967.vo.fin.(2p—r—t) + 0,00406 . vo. fin. (2p+r—t+) +0,060$$.v @. fin. (2p—r+t)—0,00148 . vo. fin. (2p+r+t). ÉO NIGHELEE SCT ONE Trouver le lieu de la Lune pour un tems quelconque. Q'ox cherche pour ce tems propofé, par les T'ables des moyens mouyemens du Soleil & de la Lune, 1. L’Anomalie moyenne du Soleil . . .. 2. L’Élongation moyenne de la Lune à lop- pofition Re CU SAR DES PRIOR EU pr 3. L’Anomalie moyenne de la Enne . 4. L'Argument de laticude de ja Lune . pr. Qu'on en forme les angles fuivans : 2P5 395 4P5 2p—15 2p+15 295 345 4— 15 q+t; P—q3 PE PE TA52P#di TAF 4 TI 4p +9 5 2p— 29 5 2p+29 5 2) —q—1t; 2) —q+1i 2p+q—t5 APE GET 2 NT ST LP T5 2p AIDER TS 2) —2rÿP+r5 2) + 2152 —T— 15 2p—r+t; SPP L 5 PETER S ET SET 5 29 5; 29H7r5 2p—q—7 5 2)— GT 20 —2g— 75 2p— 19H75 2— 3; 2p+34i Et nous obtiendrons pour nos trois coordonnées X,Y,Z les valeurs fuivanres : Prix de l’Académie, Tome IX. M #0 alx THÉORIE — 1,0000240 =— 0,93931.66— 0,25012 . @6 — 0, 11411.&.C0f. p — (0,00718024+0,2198 6.cc=m"0)0 13 1 O.œ)cof.2p + 0,00300 . a. cof 3p + 0,000006 1. cof. 4p. + 0,00148 .v.cof.t + 0,01868.v.cof.(2p —1) 0,00699.v.cof.(2p + i) + (1+0,8899.cc)c. cof. q — + 0,50962. cc. cofe 2q = 053832. 6). cof. 34 + 1,6566.vc. cof.(g — 1) — 1,7983.vc.cof.(g+t) + 0,0467. ac. cof.(p—q) — 0,20629. cc. cof. (2p— 14) — 0,1213. 4C.cof. (p +4) + 0,00468 . cc. cof. (2p + 19) H(0,187947 — 0,5166 .cc)c. cof.(2p 4) —(0,00270$ + 0,2455.ce)c. Cof. (2p + 4) + 0,1782.6c3.cof.(2p— 39) + o,0011.c3. cof. (2p + 39) + 0,0168 . ac. cof.(3p— 4) — 0,0001 . ac. cof.(3p + q) — 0,000512.6.60f.(4p— 4) AIN DE LA Luxr. 51 = 0,000012.C.C0f.(4p + q) + 0,2302,.v6c. cof.(2p— 4 —t) —1,0772.4c. Cof.(2p —q+i) — 0,0067.vc.cof.(2p+q—t) + 0,0045, ve .cof. (2p+ q Ft) + 0,24723.0&.cof.2r — 0,01330.ww.cof. (2p— 2r) + 0,00042 .&0 . cof. (2p + 2r) + 0,24168.4,/fin.p +(0,0102118+0,09768.cc—0,01804. uu)fin.2p — 0,00287. a fin. 3p # 0,0000057. fin. 4p H 2,02314.0./fin.t —0,03476.v.fîn. (2p —?) — 0,00264.v.fin.(2p+ 5) —(2,012729H+0,4207,. cc)c. fin. 4 + 0,25237.cc.fin. 2q | —0,2996.6°.fin. 3q — 0,20$6.v6c. fin. (g—1) + 0,$509.vc. fin. (g +1) —2,6343 .ac.fin.(p —q) + 0,26228. ce. fin. (2p — 2q) — 0,05 54.40 fin. (p + q M ij 92 SIN THÉORIE Æ 0,00464.cc.fin. (2p + 29) —(0,411802 — 1,3000. cc. fin. (2p —= 4) —(0,00321$ + 0,1960.cc)c. fin. (2p+q) — 0,2850.c).,fî, (2p — 3q) + 0,0007. 65. fin. (2p + 39) — 0,0917. ac.. fin. (3p— q) æH 0,0014. ac. fin. \3p + q — 0,000718 . c. fin. (4p — q) — 0,000025$ .c./in.(4p + 9) + 0,2604. vc. fin. (2p—q—t) CH 1,5491.vc. fin. (2p —g Hi) + 0,0345.vc. fin. (2p +q —5) + 0,0019.vc. fin. (2p+g Hi) — 0,24635$ . ww: fin. 2r 2H 0,02334. wc. fin. (2p — 2r) — 0,00039 .ww.fin. (2p + 2r) © fin. r o,1803.aw. fin. (p—7r) + 0,0656.aw .fin.(p+r) + (0,036484 + 0,3498 . cclo fin. (2p—r) (0,001 877 + 0,2102.cc)o fin..2p + r) —1,48582.cc. fin. (g—r) —0,51163.Cw.fin,(g+7r) — 0,21643.cw.fin. (2p—q—7r) DE LA LUNE. CE —0,12$$3.co.fin.(2p—q+r) + o,119$.cco . fin. (24 —r) “ 0,3850. ccw.fin. (29 + r) + 0,1$22. cc. fin. (2p—2q—7) — 0,0614.Ccœ. fin. (2p—2q +r) + 0,07747. vo. fin.(r—t) — 0,06327.1v0./fin.(r+t) — 0,06967. va. fin. (2p—r—1) H 0,0605$5$. vo. fin. (2p—r +5) + 0:00406 . va. fin. (2p+r—t) —0,00148. vo. fin. (2p+r+1) où 4 marque la moyenne diftance de la Lune au centre de la Terre dans l'écliptique; L'excentricité de l'orbite de la Lune. v. L'excentricité de l'orbite du Soleil ou de la Terre, à w. La tangente de Ja plus grande latitude moyenne de la Lune. De ces quatre Lettres 4 ,c, « & v, on ne connoît ici que la feule », les autres trois doivent être déterminées par la comparaifon de ces formules avec les obfervations; outre cela, cetre comparaifon fera aufli connoître ce qu’il faudra ajouter aux angles p , 9 & r; de forte qu'il y aura en tout fix conftantes arbitraires à déterminer , ce qui conftitue le caractère d’une intégrale complette des trois équations différentielles du fecond degré. ‘ Or ayant trouvé les valeurs des trois coordonnées , on 04 THÉORIE en connoîtra par ce que j'ai dit au $ 26 & fuivans de la premiere Section , tout ce qu'il faut pour déterminer le lieu de la Lure. Il me femble avoir pleinement fatisfait à la Queftion propofée par L'ACADÉMIE ROYALE DEs Scrences. La nouvelle Théorie de la Lune, que j'ai l'honneur de lui préfenter ici , fixe abfolument routes les équations de ce Satellite; il n'y en a aucune qui foit reftée incertaine , & maintenant il paroît bien conftaté , que l'équation fécu- laire du mouvement de la Lune ne fauroit être produite par les forces de l'attraction. Errantemque canit Lunam. VIRG. Cette Pièce eft de M. EuLer. FIN, hr Guise D'UNE NOUVELLE MÉTHODE : POUR RÉSOUDRE LE PROBLÉME DES TROIS CORPS, Qui a remporté le Prix de l Académie Royale des Sciences en 1772. Par M. DE LA GRANGE, Prix de l’Académie, Tome IX, 1772: A MNT: th ie AAIRME soir patin) Pris |; TOURS prapfd dr écarter RONA Er ln : TRES Fr. ie Muloie de Lire) que Tai, Lhoiih fran ie Le Ab flame «ar es eo Fel L Etes SALES En re # D sas AVERTISSEMENT. Cz S recherches renferment une Méthode pour réfoudre le Probléme des trois Corps, différente de routes celles qui ont été données jufqu'à préfent. Elle confifle à n'employer, dans la détermination de l'orbite de chaque Corps, d'autres élémens que les diflances entre Les trois Corps c’eft-à-dire le triangle formé par ces Corps a chaque inffant. Pour cela, il faut d'abord trouver les équations qui déterminent ces mêmes diffances par le tems ; enfuire , en fuppofant les diflances connues , il faut en déduire le mouvement relatif des Corps , par rapport à un plan fixe quelconque. On verra dans le premuer Chapitre , comment je m'y fuis Pris pour remplir ces deux objets , dont Le fecond für-tout demande une Analyfe délicate & affez compliquée. À la fin de ce Chapitre , je raffemble Les principales formules que J'ai trouvées , & qui renferment la folurin du Probléme des trois Corps pris dans toure [a généralré, 2v AVERTISSEMENT. LE Chapitre fecond a pour objet d'exa- miner comment , @ dans quels cas les LTOLS Corps pourrotent fe: mouvoir; enforte que leurs diflahces faffent roujours conftantes , ou gar- daffent au moins-entre elles des rapports conf* ans : Je trouve que ces conditions ne peuvent avoir lieu que dans deux cas ; l'un , lorfque les trois Corps font rangés dans une même ligne droite, € l'autre, lorfqu'ils forment un triangle équilatéral ; alors ; chacun des trois Corps décrit autour des deux autres , des cercles ou des [étions coniques ; comme $s'l ny avoit que deux Corps. Cette recherche nef à la vérité que de pure curiofité ; mais J'ai Cru qu’elle ne feroit pas déplacée dans un Ouvrage qui roule principalement fur le Problème des trois Corps, envifagé dans route Jon étendue. Dans le rroifième Chapitre ; je fuppafé que la diftance. de l'un des crois Corps aux deux auires foit fort grande , € j'applique la folution générale du Chapitre premier à cette hyporhèfe , qui efl, comme l'on [çait , celle de La Terre, de La Lune & du Soleil. ENFIN, dans le quatrième Chapitre, je AVERTISSEMENT. y traite en particulier de la Théorie de la Lune; jy donne les formules qui renferment cette Théorie, & je fais voir par un léger effai de calcul, comment on doit fé fervir de ces for- mules pour en déduire les inégalités du mouve- ment de la Lune autour de la Terre. LE défaut de tems, € d'autres occupations indifpenfables , ne m'ont pas permis d'entrer la-deffus dans tout le détail néceffaire pour répondre d'une manière convenable aux prin- cipaux Points de la Queflion propofée par l'Académie : auffi ai-je d'abord héfité fr Je lux préfenterois ces Recherches pour le Concours ; G je ne my fuis déterminé que par l'efpérante que cette illuffre Compagnie trouvera peut-être ma Méthode , pour réfoudre le Probléme des crois Corps , digne de quelque attention, tant par fa nouveauté & fa fingularité, que par les difficuliés confidérables de calcul quelle ren- fèrme. Sr l'Académie daigne honorer mon tra- vail de fon fuffrage, ce fera un puiffant motif pour m'engager à le perfectionner, € je ne défef- vj AVERTISSEMENT père pas de pouvoir tirer de ma Méthode une Théorie de la Lune auffi complète qu'on puille le demander , dans l'état d éreeyrésag où efl encore l'Analyfe, SAR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS. . F SUR Juvat zntegros accedere Fontes. Lucr. RE ENS He otene ne 4 EEE CHAPITRE PREMIER. Formules générales pour la folution du Probléme des trois Corps. I. O1ENT 4, B,C les mañes des trois corps qui s’attirent mutuellement en raifon directe des mafles, & en raifon inverf du quarré SN Slles diftances ; foient nommées de plus x, Ja les coordonnées reétangles de l'orbite du corps B s Fans tir autour du corps 4, x', y’, 2! les coordonnées reétangles de lorbice du corps C autour du même corps 4, coor- données qu'on fuppofe roujours paralelles à trois lignes fixes & perpendiculaires entre elles; enfin foient r,r',7: les diftances entre les corps 4A&B,A&C, B&C, enfort que l'on ait r= VX +y + 2! n= V(xl+ y + 2?) Pl = VC (2) On aura, comme l'on fait , en prenant l'élément du tems de conftanc, Les fix équations fuivantes, dx ANNE BNC : : + ( + +, )#=0 7 di r3 13 TD 75 dy A+C B E à d?x" AC B ï E £ Re TN ES Ti x + B TETE r)r=0 73 CRE A+ C B H ï 1 + ( er + + js à l’aide defquelles on pourra déterminer les orbites relas tives des corps B & C'autour du corps A. Si on fait encore T LbaPies 53 1 À : ; xx, p—y=y), 2 2e2", enforté DES TROrs CORPS! 9 enforte que x! 3%, 2" foient les coordonnées réétangles de Mu du corps C autour de Z , on aura ” 1 = Var y & OR refpeétivement les trois premières équations des trois dernières, on aura ces trois ci : ) à d'a" B a C A È 3 PA A si X HA RE à —e) My, BC x —— L (re + <)y LA Cr = at r d'7" B + C A 1 ; FE LS ( ft n = & )a"+A( — 2) 31=0 ar Jura r3 . 133 13 qui exprimeront le mouvement relacif du corps C autour du corps 2. IL.eft bon de remarquer l'analogie. qu'il y a entre ces neuf équations (4), (B) , (C); c'eft que les équations (4) fe changent en les SR (8) en y CPseuE feule- ment BenC;x-enx},yen y"; zenz!,r en rl & réci- proquement ;-& que de même ces équations fe changent en les ns (C) en y changeant 4 en C, x en x" zen”, senz,ren7" & vice verfas & la même ana- logie aura liea dans toutes Les ARE que ñous trouve= rons par la fuite. TL. Qu'on multiplie la première des équations (4) par y & la feconde par x, & ge Eure on LS retranche l'une de l’autre, on aura # mis AE) | + + (yx! Ts )=0: Pix de ! Poutine Tome IX, 1772. B 10 EssSAI SUR: LE PROBLÈME Combinant de même les deux premières des équas tions (B) & les deux premières des équations (C) on aura ces deux ci: | y d'x,— x dy? 1 Li LA a + B (- rer) ) (xy—yx)=0. y" dela" _ dr? Mais PRE EE 1 Y'=y —y; donc x'y'yx x y px"; + A ( Axa x'y"—y'x")=0. F3 ri donc en ajoutant enfemble les trois équations précédentes, \ | € lo rr 3 après avoir divifé la première par C , la feconde par B& la troifième par 4, on aura celle-ci: yd?x x dy paix — xd?) 1 pr le y" Cd © Bd? Fe Ade RES On trouvera de la même manière ces deux autres équa- tions : zd?x—xd?z g dx! = x'd?3! z'd2x"—x"d2 3" Cdr’ Bdr° Ad:? US - xd —vd?z 38 xd y— y'a; dy" —y"4:y" Ts Cdi Bar: Ad TA De forte qu’on aura en intégrant ydx—xdy re ÿ'ax—x' dy "a p'ax— x'dÿ" Cdt Bd: dt zdx—xdz gdx' xd g'ax"—x"d7" Cd Ta Bdt # Adt b (2) I EC ee LL rs Ho ddyy'ae Cdt Bdr Adt ET | a, b, e étant des conftantes arbitraires, DES TRots Corps: [ ff De plus, fi on multiplie la première des équations (4) par Er la première des équations (8) par = Lila da J j première des équations (C )par => , 1& qu enfuite on les ajoute enfemble | on aura , à der de x7=x1—%, dxd?x dx'd'2! de Eat TC + iBdr= n”77: + (4+B+C) xdx x'dx* ES Er en Tige ja PTS On trouvera de même dydy d'a? ÿ dy" MP) il ne + (A+B+C) vd Ya. y'a" SR to Ar Cr3 Br3 dydz d?"d?e" dd?" Cdi Ade Ta (4+8 FC) +dz zx dd; ti 26 (S DE Br': Ti Ar 4 Donc, ajouant enfemble-ces trois équations- & mettant r'dr à la place de xdx + ydy +zdz,r dr à la place de x'dx'+y dy +2 d2l, &r dr à la place de 2" dx" +3" dy+ 2° d4%, on auraune équation Inté- grable dont l'intégrale fera de + dy +8 a PRIE TL RE gat100 Cd FOREST Ad, À HOMO 1e. FRE me CE) f étant une conftante arbitraire. app aoin9338 346} 12 EssAI SUR LE PROBLÈME Ce font-là les feules intégrales exactes qu'on ait pu trouver jufqu’à préfent ; or, comme il y à en tout fix variables x , y, 2, x}, y',2, ilelt clair que fi on pouvoit trouver encore deux autres intégrales , le problème feroit réduit aux premières différences ; mais on ne fauroit guères fe Aarter, d'y parvenir dans l'état d'imperfeétion où eft encore l’analyfe. . F&L Suppofons pour abréger dx + dy? + d;* dr? ut —= AL dx?-+dy dr? en di? a dx"24 dy? + dj"? pa ——© ——— di? enforte que # , # & 4!" expriment les vitèffes relatives des corps B autour de 4, C autour de B; ileft clair qu'on aura : | d'.r? xd2x} ydy+d az a mt 2ai2" : de? d2.r* xx" +yd?y + die Fe Æ ——————— — + ï 147 \ di. 2:73 LP PEINE LE TEL EN n 72,33, r pis + a "2. 2dr? dr? 91L19% Donc mettant dans ces équations au lieu de d?x d’y . d?z di —, — , —,—, &c. dr ? d?? d1? w! ? (He Ne ce. (Dee leurs valeurs tirées des équations (4), (8), (C), & fai- fant actention que die sat No: | \ DES TROIS Corps. ps CE ES Den D me 2 2 Te 9 À rer" xx +yy +zzl== pre & pa gp gl — x'x—yy—2"z ': " pe 4 2 72 2 2z on aura, après avoir fait pañler tous les termes du même LL côté. d?.r? ere + (Se ; D Le 193 ie autn —# — 0 dr? A+C BCMART : dt? (<= r3 RE F)r Re TT a (F) hi +ri— 0 +08 (+ a+ E- 2dt* (rh 1 2=— 0, Donc , fi on peut avoir les valeurs de 22, y"? & y: exprimées enr, r & 7° feulement , on aura trois équa- tions entre ces crois dernières variables & le temsz, à l’aide defquelles on pourra à chaque inftant déterminer la pofition relative des corps. I V. gr: on a,cn différentiant les Po de #2, n'2 & sn! ÿ 14 EssAI SUR LE PROBLÈME dxd?x+-dydy+-dyd;? Mine PRESS ce dx dy dy Eddie PUTA LES — +d'dz jp ESS ee dy"4 Z?y il + did? LL Gr: FE donc, fi on fair ici les mêmes fubftitutions que ci-deffus , & qu'on fuppofe pour un moment d'y = xx + y'dy + z'dz dy =2zdx + ydy" + zdz' dy" = x" dx" + y dy" + 22, on aura , (àicaufe de xdx+ydy+z2dz=rdr, x' dx" + dy 42 d2 =rdr", & a PE + TN = M) Pt An ra) à LA —— (AS à 2 )ras à pe DCE be pe Ent <) Fr A 2 épi) Soit pour RE ; ; IR + ee 7 dy 1R— en I 3 un. 247 Ù | 11 d'R= — +2 PANETS dy" DES TROIS Corps, 15 & l’on aura B H —= EE ÊEE € R 2 — ES —B R' 7. 3 Le 2(8 +0 — ARYU de forte que les équations (F) deviendront d?. r° A+B 241? = en = d?.r? sh A L , 2de? FX, AE (G) j À sa 7 ès jun RENTE MR NN AT Te LT + ARE (ER (C7) +) —0 & il ne reftera plus qu'à trouver les valeurs de dy, dy & dy". Pour cela je fais dp=x'dx+y dy+2 di xdx dy Er es & comme l’on a 2 pr pm 2 E py gel = 2 on aura en différentiant xdx! + ydy\ + zd2! + xx + j'dy + z'dz = rr + Dan — pr, 16 EssAïr SUR LÈ PROBLÈME Fo rdr+"di" ne LUE +dp 2z po dd —dp dy = F & enfuite dyi=r'dr— dy, favoir r'dr +" dr" —rdr— d dy" = £ 2Z Tout fe réduit donc maintenant à avoir la valeur de dpi pour y parvenir, Je différentie , & j'ai ox da+y dpt deix dx d'y 22"; je fubititue à la place de dx, d'y, d' 2, &c. les valeurs tirées des équations (4) & (B) , & faifant les autres fubfti- tutions convenables, je trouve d t/A+B CoCHOUNE SN UC, er beeirarten Pie rienl ee mani Ad 2. L4 Li L: 1 CI 2 \rl Lx 2 c(£ rs Li +B : 3) ; &d?p : É RAS TA 4 in a GA CN Lie A eue % € re mb Li 1 (phr—r re (a fi Tr) (rt) 50e 1 ë _ Le ‘ k DES TROIS Corps. 7 V. Sappofons , pour mettre ns formules fous une forme plus fimple , 7H 7? F : DR ET et 7 AA = — mt —— = a = V 2 ? 3 713 q 2 pp PRET E 1 PE pete il 1 2 > : 3 rs 2 L 2 42 ___,Hz L] LA Then ae» À ; ps ; ns me — 4 Le CE 2 73 ri a nu? ui," 1: v & l'on aura d'abord , pour la détermination de 4} œtre ee a + Cp — Rp — AP = ©. : . (4) On aura enfuite dV = dp" + d$ —- , dV'= :'&e dp k dfl= Pet d'où AR = + g(dp + dp) ARTE g(dp + dp) aR1=— ha —— + g"(dp—dp) Mais Less 73 Fa 1 —q & 2rdr =dp + dp"; Prix de l'Académie, Tome IX, 1772. js 18 ESSAI SUR LE PROBLÈME donc Mn ane ap) LA on trouvera de même 27 dr 2dr 11 DS n SCC ENT — g(dp+dp ) à 2 Ar 24r = —g (ar + d?p)5 de forte qu’en fubftituant ces valeurs, & faifant pour plus de fimplicité dQ= gap — gd)" — gdp dQ'= gdp+g" dpf+g'dp ».. (1) dQ" = gdp + gap + g'dp où aura 4 R=—{—Q,R=— 50", Ri= = 5 — Q", & de-là nm A+ O , p Q 2z pr LEEPHO 4 Br. (N pt CEREO + 4 Qu Maintenant on aura [72 73 =—— (pi + pi) DES TROIS Corrs 19° x L L L: I AT + 18 Eu ex) Ces )= 92"; donc ajoutant ces deux équations, & mettant g" à la place de 3 — g', on aura Li 1 FUN EE en; faire PAR PE ) Z2 de IL 7 7 e x) (r +7 , ) F2 Le 1 : ; 2 mn yll2 + — rx) (+7 11) ; LIL IX TL = 7 +pg +09"; donc faifant toutes ces fubftitutions dans les équations (G) ou (F ) des articles précédents, elles deviendront celles- ci, d?.r? A+B+-C A one MT De DIT NO) 0 dre A+ B+C D EP ne 2 et be 2 16 CH AU d?,r°72 A+-B+-C ee A(— pq pa) + Q')=o Ainf, on pourra, à l’aide de ces trois équations , déter- miner les trois rayons r, & 7! en #, ce qui donnera pour chaque inftant la pofition relative des Corps entre eux, | Cz 20 Es$AI SUR LE PROBLÈME Il eft bon de remarquer que fi on divife la première de” ces équations par C ; la feconde par B , & la troifième par #3 & qu'enfuite on les ajoute enfemble, on aura (à caufe de dQ + 4Q' + 4Q" = 0, & par conféquent Q+Q+Q"= 4 une conflante) celle-ci, —(4+B+0) (F RP AUD: ÉTÉ d?, r7 d2, 7? 2CdE 2Bdt 2 Adr — 4 une conffante. . . (L) laquelle pourra tenir lieu d’une quelconque des trois équations (X). Val, On peut encore mettre les mêmes équations (X) fous une autre forme que voici, Je mulkriplie la première de ces équation par d. ° & je l'intégre enfuite pour avoir en 2 (A+ B +C)r—Cf(pe pd ri — CfÎQd.r+£L—o, £ étant une conftante arbitraire. Or,fQd.r = Qr— fr dQ5 mais dQ =374p — qdp" — gdp; de plus, à caufe de »* = pl + pl, onaura (p9— pla der — (9 dpt — qd pl) = 24 (p'a—p"a) (dp” + dp”) ee (p! +p") (g'dp" — gap") = q (p'dp'—p'dp")5 de forte que, f on fait pour abré- ger dP =3g(p"dp — pdp" — rdp), on aura, en né- gligeant la conftante Z qui peut être fenfée contenue dans P, & divifant coute l'équation par!, Je di A{A+BEC P LL +C(2—0Q)= 0. DES TROIS Corps: 21 Faifant de même : dP = Q\p" dp — pdp" + r'idp) te dP1— g'(pdp" — p'dp + r'*dp) . # on trouvera par des opérations femblables aux précé= dentes 4 df? 1(4+B+0C) Ps ts D” EE + 8 (5 — Q'}=0 Paul B 113 — CP + 4 (A Mo. EL x "| Et fi on retranche ces équations refpectivement des équations (Æ) trouvées ci-deflus, qu'enfuite on divife les équations reftantes par r , 7', r”", on aura ces trois-ci. d?r A+-B+4-C VOTE RARE P — + — C(ILHE) 0 de F2 r r dr A+ B+-C + æ Il £E" ee OUT ie | PEL + —o (M) dt 72 - T P3 dr A+B+-C —pg—p PT En dE VII. Nous avons donc réduit les fix équations primitives (A), (B) qui renferment la folation du Prôblême des trois Corps pris dans toute fa généralité à trois autres équations entre ua trois diftances r., r!, r!1 & le remps #. Il eft vrai que ces réduites renferment chacune deux fignes d'inré- gration (ce qui eft évident en fubftituanc Les valeurs de Q , Q'; Q"', ou de P, P', PA & de dp) & qu’à cet égard elles font moins fimples que les équations primitives 5 22 EssAIr SUR LE PROBLÈME mais d’un autre côté elles ont l’avantage de ne renfermer aucun radical, ce qui me paroît d’une grande importance dans ces fortes de problèmes. | Suppofons donc qu’on ait déterminé par les équations (Æ) ou (Mi les trois variables 7, »!, 71! en 7; on ne con- noîtra encore par-là que la pofition relative des corps, c'eft-à-dire le triangle que les trois Corps forment à cha que inftant; ainf il refte à vair comment on pourra déter- miner enfuite l'orbite même de chaque corps, c’eft-a-dire les fix variables x, 7, 3, x', y’, & 21. VIII. Pour cet effet , nous remarquerons d’abord qu’en connoiflant r, 7! & 7! on connoïtra aufli # , sl, #"\ & d17, dV", dV" par les formeles de l’art s. De forte Tir — 7 qu'on aura (en mettant p"! à la place de 2 + u"2 — pr & v” à laplace de ) les dix équations fui- vantes, xt pret GE Ve ne AR NY ee pe xdx + ydy + de = rdr xx + dy + z'dz = r'dr) x'dx + y'dy + z'dz = dV xdx' + ydy' + zdz" = dV À dx? + dy + dz? = u°dr dx" + dy? + dat = y°dr dxdx! + dydy) + dde = 0748. 12 DES TRoIs Corps. 23 Or, en regardant les quantités x, y, z, x', y", 21, dx, dy, dz, dx’, dy, dz!, comme autant d'inconnues, il eft clair que les équations précédentes ne fuffifent pas pour les déterminer, puifqu’on auroit douze inconnues, & feulement dix équations; mais fi on joint à ces équa- tions les trois équations (D) de l’art. 2. On aura alors une équation de plus qu'il n’y a d'inconnues; & la difficulté ne confiftera qu’à réfoudre ces équations. I Xe J'obferve , à l'égard des équations de l'article précé- dent, qu’elles ne peuvent tenir lieu que de neuf équa- tions, parce qu’en éliminant quelques-unes des inconnues il arrive que les autres s’en vont d’ellesmêmes , de forte qu'on tombe par ce moyen dans une équation où il n’entre pins que les quantités connues 7*, r?, p, &c. Pour le prouver de la manière la plus fimple qu'il eft poffible , je prends d’abord les trois équations xdx + ydy + 2dz = rdr x'dx + y'dy + ds == dV dx'dx + dy dy + dz'de = vdi" ; & j'en tire par les régles ordinaires de l'élimination , les valeurs de dx; dy, dz ; j'aurai en faifant pour abréger a—=y'dz —2"dy À a —2dy —ydz j a'=yrz —Y'z, B=s dx —x'd2", Pxde 2x, R—zxt zx, y=x dy" —ÿ dx : V=ydx"—x dy 1 pexy — 1 ë dx (p'dr 2 dy) y (dec dx) +2 (x dy dx"), 24 ESSAI SUR LÉ PROBLÈME j'aurai, dis-je 2 ardr += dy += «1° diz HAN RUN a Do PSE Far pare DT a yrdr Æ y dy + y "dr A dr = Or, je remarque que l'on a a+ b+y=( x +p se) (dx®+4dy%44d27) —(x dx + +2 de) ru df—(r dr}, a +R+y = (ape) (dxt+ dy der) (xd +ydp +de) = 0" dr dV?, ape (ns?) (xe+y+st) — (ss +9y +2) = rep, au +RR + yyi— (x ax + y dy +zdz) Cxdx! + ydy + 2d2) = (xx + y + 22") (dx + dy: +d2) = 17 dr pur, dat Me LE" es y" Æ (x'ax" + y dy Le z'42") Cext + pp +2) — (xdx! + dy! + 2427) Éxe + y A 22) — por dr Lex rap, PLPLUENE g'e" ans y —— (xdx' + ydy E zdz”) xx yy te 22 —(xldxl ee y'dye zdz £ CE Dr Ge FRANS ) (x'+y+s )=p" dr r dr ; de forte que fi on carre les trois équations précédentes , & qu'on les ajoute enfuite enfemble , on aura , après avoir mulciplié par 44, & faic les fubftitutions conve- pables, à CE DES TROIS Corps 2% MN (dx + dy +dz°)=(rdr) (0 dé — 1° dr) + (rade à V") + (de) (rep) + 2rdrdV (r'dr 40" — p"u"dt:) + 2 rdru0"d£ (pr dr — 747?) + 241 "dr. (pd ÿ — rndr'). De même fi on prend les trois équations XX+yYY+z22z=7r xx + y y+ze—p xdx"+ ydy + zdz'= dy", & qu’on en tire les valeurs de x, y & 7, il eft facile de voir qu’on aura pour x, y & 7 les mêmes expreffions que l'on a trouvées plus haut pour dx, dy & d7, en y chan- geant feulement rdr en », 4} en p/' & v"dr* en dJ/"; donc faifant les mêmes opérations & les mêmes fubititutions que ci-deflus, on aura cette autre équation (x +ÿ EE à) En (ru dr 15% (dry) Hp (re de —d0) + dre pe) + ar pr dr 41} — pludr) + 25 dV (pr dr — r°dV?) 1 pd (pdV— r°r'dr), Oronadx +dyÿ +d}=ndr, & x2+y+3 =r" 5 donc on aura les deux équations fui- fuivantes, Nude = (rdr) (0 dé 7 dr") + dV(r'uX ds — dV?) + (oder — pp) Prix del’Acad. Tom. IX, D 36 Essar SUR LE PROBLÈME + 2rdrdV(r dr dV? — pfudr) + 2rdr dé (pr dr — red") “a 2dP ads (pd — r'rdr) ) Nr = (el de — 1 dr) Hp (ru dr — a t > Ù F HP re = pe) é ar p (dr dV—pfar dr) +2 dV pr dr —1"d1") +2p" dd \p" dl "—r'r'dr). D'où, chaffant d\ as aura une équation entre les feules quantités connues 7°, 7°, &c. x Si on tire de la dernière équation la valeur de S° , on aura, en réduifanc & un ce qui fe détruit Nr" (ru dé — r'dr — dv) +-2p" dr à" — put dr. Et certe valeur de J\ étant fufticuée dans l’autre équation; on aura : ATBÈCE — 1% — dy Yu’ dr +(2p HSE Up 47 drjn dr —(rd) "ul" drt re dr®) +-dV (ru dé — dy") dE) (pe) HzrdrdV (ddl pur dé) +2rdn" dr (pr dr —1%dp 5 + 2dV "ds \p"dV ir ridr) 5 h DES TROIS Corps, 27 ou bien , en ordonnant les termes, (rr: Se ) (a°u*° + ur) dt4 + (rdr. nd — dy dp'ÿ —(r (di —2p" r dr dP +7 dV Tu’ dé —2(P{rdr.r dr +dVdf "y 5 r' dr rdrd) T°x di —0. Ord = Ÿ _ , &dV'— x "A (art. s ), de plus ona, par fs formules 4 même article, ii r=p+p +PprT=p+p =p+ps & de même = 0 + nt = 0 +, gl = y +R ols donc fi on fait ces fubftitutions , & qu’on fuppofe pour plus de fimplicité Er) nor) enr )- A0) Ha rr)atrt(S) a He +) +2(PT— —# F)2 ent (2) l'équation fuivante deviendra, après avoir été mulripliée D ij 28 EssAI SUR LE PROBLÈME a 16 lé dt 3 x6( pp + 7 2 + PP") (vo! Hvvt year vi) (sons dre mul) : dpdp'+dpdp" + dp'dp"+dp2\ 2 ne ue ne —=0, . (NW) Il faut donc que cette équation ait lieu en même-temns que les trois équations { K) de lars. $ ; de forte que, comme elle ne contient d’ailleurs que les mêmes variables que les équations (Æ), & qu’elle eft d’un ordre moins élevé d’une unité que celle-ci , on pourra la regarder comme une intégrale de ces mêmes équations (Æ), mais intègrale particulière à caufe qu’elle ne renferme aucune nouvelle conftante ; ainfi, fi on intègre les équations (&) en y ajoutant les conftantes néceflaires , ces conftantes devront être telles qu'elles facisfaffent à l’équation (N). De forte que, fi on ne veut pas fe fervir de cette dernière équation à la place de lune des équations (Æ), il faudra néanmoins y avoir égard dans la dérermination des conf- tantes ; mais pour cela il fufiira d'y fuppofer partout ?—= 0. Au refte , nous ferons toujours ufage de cette équation pour déterminer la conftane qui doit entrer dans la va- dp : AR : : leur de © réfultante de l'inègration de l'équation (Æ) de Part. 5. pzs TRoïs Corps, 29 > Reprenons maintenant les équations (D) de l'art, 2 , & faifant pour abreger a=ydx— xd, NM = ÿdx— x dy}, FT dx LA SS xd u=zdx xdz = zdxxde, pl = gx — xllgrt = cdy—yd7, "== 2tdp —ydr", = dj —y'dz", on aura, après avoir multiplié par d, À x xt d . EN 2 a | L Y Or je trouve, comme plus haut, NH (Xi pi 2°) (dx dÿ dj) — (xdx+ydy-hzdz) =cr dé =(rdr) & par analogie Au 0 dE mmn( An) IL nach er = 4 de (dr) 30 EssAI SUR LE PROBLÈME je trouve de même App += (xx + es (dx dx? + dydy + dzdz") —(x'dx + ÿ'dy + 2'dz)(xdx! + pdy + 7d7} po dé" — dvd = po" dr — ( cou (#) & par analogie AN ut pl vd m( Te) +( ?) ' TR Er ALI AT k dp \? dp \° NA pu += pudt En) rt NS À Donc fi on fait pour plus de fimplicité rdr H= ru — (= — } D — 7718 mn La r'dr je e cs El (és Y a +(2) RON M ec Te due de (£)+ +2) QU RARE enforte que l’on ait PA 7 a =, À ur =nids Mer te nr AA il dr" AA eu nd, AV up y IyU, DÉS TROIS CoORPs«. 31 on aura, en carrant les rois équations (0) & les ajoutane enfemble , pus E n' DE FN UTIONEE Es AT at mn Te AB SAN LURC = a+ bi+ ec... (P). Equation qui eft auffi comme l’on voit d'un crdre moins élevé d’une unité que les équations (#;; & comme elle renferme la conftante arbirraire 4° + b + & qui ne fe trouve point dans les équations (Æ), on peut la regar. der comme une intégrale complerte de ces mêmes équa- tions. AUTE On pourroit croire que.l'équation (E) que nous avons trouvée dans l’art. 2 pourroit ainf, en y fubilicuant les valeurs de #, #' & #!"*, donner une nouvelle inrègrale ; mais il eft facile de voir qu’il n’en réfulceroit qu'une équa- tion identique , car l'équation donc il s'agir, fe réduit d’abord à u? PE u AT: 1 z 1 & mettant pour #, #° & w'" leurs valeurs tirées des forme les (J), on aura, en rejettant ce qui fe détruit Q+H+Q—=—f ce qui ne renferme aueune nouvelle condition , car les quantités Q, Q', Q" font déja d'elles- mêmes telles que dQ+dQ'+dQ"—0 (art. 5). | Au refte, fi-on combine l'équation Q + Q'+ Q7—=— f avec Les équations (N) &(P) après y avoir fubiticué Les EL) EssAI suR LE PROBLÈME valeurs de #, #° & #1}, on pourra par le moyen de ces trois équations , déterminer les trois quantités Q, Q' & Q", Jefquelles ne renfermerent par conféquent que les varia- bles finies 7 , #1, r! & leurs différentielles première | dpi dé ; dr; dr, dl avec la quantité 5 ainfi fubftituant ces valeurs dans les équations (Æ), on aura trois équations du fecond ardre entre les variables r, r' & 7", dans lefquelles n! na à À 2 il n'y aura plus qu’à subftituer la valeur de =. Donc , fi à 2 : R . ie « d l'aide d’une de ces équations on élimine la quantité a des deux autres, on aura d’abord deux équations purement du fecond ordre entre les variables 7, r & r'1, :; enfuice fi je, : dp : on différentie la valeur de H3 & qu’on mette la valeur de 2 . , de dans l'équation (7), on aura une troifième équation js entre les mêmes variables, qui ne fera que du troifième ordre. De forte que l’on aura ; par ce moyen , pour la détermination des variables 7, r!, & 7° deux équations différentielles du fecond ordre & une troifième 5 & ces équations fuffiront, comme on le verra dans un moment pour la folution complerte du Problème des trois Corps. Nous croyons cependant qu'il eft encore plus fimple & plus commode pour le calcul, de fubftituer dans les équa- tions (Æ) les valeurs de Q, Q? & Q" tirées des équations (J) à çar quoique les équations réfulrantes puiflent monter 4 un sn nt état" DES TROIS Corps. 33 à des ordres plus élevés que le fecond, elles auront tou- jours ce grand avantage que les variables sy trouveront peu mêlées entr'elles, & que l’analogie qui y regne faci- litera beaucoup leur réfolution. X LEE Des dix équations de l’art. 8 il n’en refte donc plus que neuf, & des trois équations (D) ou (0) de l'arc. 11 il n'en refte plus que deux ; de forte qu'on n’aura en tout que onze équations pour la détermination des fix variables Xy V7 + V, 7 & de leurs différentielles dx ,dy, &c. d’où l’on voit qu’il eft impofible de déterminer ces varia- n . A bles direétement & par les feules opérations de l'algèbre ; mais on pourra en venir à bout au moyen d’une intégra- tion , comme on va le voir. Je fuppofe que l'on veuille connoître les valeurs de ZX Y,.7 on aura d’abord l'équation A EYES Tr je 0: (Q). Enfuite, mulcipliant les trois équations (0) de Part. 11 refpectivement par À, u,v,& les ajoutant enfemble, on aura Aou they AA Hu rt AN Lu y ET FRS à RP PF = (an + bu cy)dr; À tr: 4 où bien en faifant les fubftitutions du même article : 11 gr”! YEN ) 1 HR bGdx — xd7) + crdy — yd}) 2 (R). Prix de l’Académie, Tome IX. 1772. E 34 ESSAI SUR LE PROBLÈME Enfin, multipliant les mêmes équations ( O ) refpeéti- vement par 7; —Y;—*, & les ajoutant enfemble, on aura At _— Etes à nee F1 peine — (az — by +cx)dt. Or il eft aifé de voir que l'ona az —uwy rx = 0,& que — x7 + ply— vx eft la même quantité que nous avons défignée plus haut par À (art. 9); donc puifqu'on a déja trouvé (art. 10) D=(rr — pe) dé — Fr dre + 2p°r'dr'dV* "4% s on aura, en faifant les fubfitutions du même art. 10, A guy) = (ppp pp ju — =)dr & par analogie & al+bm+cn—0o par leséquations ci-deffus ; donc A? . onaura— — 1, N\—=Veg— 5 & ilne ref- g 4 Li (+) tera qu'à fatisfaire à ces deux équations fl+em+er)—=x lakmb+nc—=o. * Suppofons pour plus de fimplicité a—= b cof, «à b— h fin. a cof. e c=h fin. afin. e l'on aura A = vVg— _ , de forte que h=v(a°+b#6t) ; & la feconde des deux équations précédentes deviendra Lcof. a+ fin. a(m cof. et+nfin.e)=0 ; foit donc = fin.a fin.n, & l’on aura, en faifant pour plus de fimplicité f=1, Prix de l’Académie, Tome IX, 1772. 1: 42 EssAI SUR LE PROBLÈME ina. fin. n+m+n = cefa. fin.n +m cof. +1 fin. eo. Donc x cof. + n fin. e==— cof. à fin. n 5 donc #°+n° —(# cof. e + n fin. e) —=(m fin. e — n cof. Ÿ= 1 — fin, x’. fins n° — cof. à. fin. n= 1 — fin. = cof. n°5 & tirant la racine carrée, m fin. e — n cof. e = cof.n ; de forte qu’on aura #=fin. e cofin — cofe «. cof. e fin. 4, = — cofe. cofen — cof. a. fine. fin. n; & de-là on trouvera les valeurs de À, w, v par Les formules précédentes. On aura de cette manière L = fn. a fin. n m= fin. e cof.n— cof: « cof. e fin. 1 n —=— cof. € cof.n — cof. a fin. efin. n A = fin. a cof.n pa — fin. e fin. n— cof. « cof.e cof. y == cof. e fin. n — cof, à fin. e cof. n. Si on fubftitue ces valeurs dans les expreflions de x, y & 2 de l'art. 16, il eft facile de voir que les quan- Ë Z tités X, Y & — ne font autre chofe que les coordonnées rectangles de la même courbe qui eft repréfentée par les coordonnées x, y, 2, mais rapportée à un autre plan de projection , dont la pofition dépend des angles & , € & n. En effer, fi on confidère les deux plans des coordonnées x,7, & des coordonnées X, Ÿ, l'angle « fera celui de l'in DES TRoïIs CORPS 43 clinaifon de ces deux plans, l'angle # fera celui que [a ligne d’interjection de ces plans fait avec laxe des a fcif- . fes x, & l'angle « fera celui que l'axe des abfcifles X com- prend avec la même ligne d’interreétion. Or , comme : Z l'expreffion des coordonnées X, Y & a eft plus fimple ue celle des coordonnées x, y, 2, il eft clair que le plane projeétion auquei appartiennent les coordonnées ZX ,Y& & eft plus propre que tout autre plan pour y rapporter les mouvemens des trois Corps, ou plutôt le mouvement relatif de deux de ces Corps autour du troi- fième. On voir donc que la poftion du plan de projetion n'eft point du tout indifférente , & que parmi tous les plans poflibles qu’on peut faire pafer par le corps A, il y en a un qui doit être choifi de préférence, parce que les mouvemens des corps B & C autour de À font par rapport à ce plan les plus fimples qu’il eft poffble. Cette remarque, qui me paroît de quelque importance dans le Problème des trois Corps , n’avoit point encore été faite, parce que perfonne, ve je fache, n’avoit jufqu’à préfent envifagé ce Problème d’une manière auffi générale que nous venons de le faire. XVIIL Nous prendrons donc , à la place des coordonnées é Z | > Y13 » ceHes-ci X, Y, —, pour repréfenter le mou- yement du corps À autour de 4 ; & comme lona,à F2 44 EssAI SUR LE PROBLÈME caufe de h — = , X +! +(F)=r + + =r ; 7 é ZA; & Y—V(r — (2) fr. pX=V(r — (2) ) cof. ® (arc. 15), il eft clair que ® fera l'angle décrit par le corps B autour de 4 dans le plan de projection, c’eft-à-dire la longitude du corps B dans ce même plan; [& que Z fera le finus de la latitude. Ainfi on aura (art. 16) à caufe def — TE — 16 Ve+E+c) Pour le corps B I == k Rayon recteur de l'orbite . : :.7r Longitude Vs Tdt . RAS AIT ae (5) us de la latitude: : 3 € kr Pour le corps C Rayon recteur de l'orbite . . : . 7° Longitude re PEER | TROY Sinusd e la latitude Les valeurs de T & de 7 font données par les formules de l'art. 14, & pour avoir celles de T'& Z°, 1l.n’y aura qu'à changer dans celles là l'accent o en!&!eno, & cnfuite B en C &C en B. DES TROIS Corps. 45 Quant à la quantité h, c’eft une conftante arbitraire qui dépend du mouvement initial des corps ; mais il fau- dra la prendre telle qu’elle s'accorde avec l'équation (2) de l’art. 11 dans laquelle le fecond membre eft rai ch; . de forte qu’il n’y aura qu’à prendre pour h la racine carrée de la valeur du premier membre de cette équation lorf- qu'on y faitr= 0. X. I X, Les formules, que nous venons de trouver , fervent à déterminer les orbites des B & C autour du corps À par rapport à un plan fixe paffant par ce même corps; mais il aut voir encore comment on peut déterminer par leur moyen, la pofition mutuelle de ces orbites. Pour cela, nous commencerons par remarquer que fi on confidère le triangle formé à chaque inftant par les trois corps 4,B,C, & dont les trois côtés font », 7! & 71, & qu'on nomme G» Cs C7, les trois angles oppofés à ces côtés , on aura , comme on le fçait, par la Géométrie élémen- taire , pe pe 27 Tr LOI x Te es: Pet” cof. Ë = — , FT 2rr of 7m 2 pt2 Ca P. = 271: re Oron a(at. 8)p —=xx +yy + zx " Ca es À dau donc cof@t = "TE, M étant l'angle formé au LL entre du corps 4 par les rayons recteurs 7, & 71 des deux aucres corps B & C. 46 ESSAI SUR LE PROBLÈME Qu'on imagine maintenant. deux plans paffants, l’un par le corps 4, & par les deux points infiniment proches, dans lefquels s’eft rrouvé le corps 8 au commencement & à la fin du temps infiniment petit ds, & l’autre par le même corps 4, & par les deux points infiniment proches, où Le corps C étoit au commencement & à la fin du même temps ds; ces deux plans feront ceux des orbites.des corps B & C'autour de 4, & ils fe couperont néceflairémenc dans une ligne droite paflant par le corps 4, laquelle fera donc la ligne des nœuds des deux orbites, Soit w l'inclinaifon de ces deux plans l’un à l'autre, £ la diftance du corps B à l’interfection des deux plans ou à la ligne des nœuds, c’eft-à-dire l’angle compris entre le rayon 7 & la ligne des nœuds , & £* la diftance du corps C à la même ligne des nœuds, c’eft-à-dire l'angle formé par le rayon 7° & la ligne des nœuds ; fi on imagine une fphère décrite autour de 4 comme centre , & que par les points, où les deux rayons r, 7° & la ligne des nœuds, traverfent la furface de cette fphère , dont nous NE rons le rayon égal à 1 , où mène des arcs de grands cer- cles, on aura un triangle fphérique, dont les trois côtés feront £, E & (7, & dont l'angle oppofé au côté EN fera o 5 de forte qu'on aura par les formules connues cf = cof. E coft E + fin. E fin. E cofo, donc eof.E cof. Et + fi. E fin. cof 0 = EEE Suppofons maintenant que pendant le temps ds le corps B décrive autour de 4 langle infiniment petit J8, & que le corps C décrive l'angle 46°, il eft clair ques tandis que les lignes x, y, 7 , 7, croïflent de leurs différenciels dx, dy, dz, dr, l'angle £ croîtra de 46, & l'angle « demeurera le même, parce qu'on fuppofe que la potion des plans des orbites des corps B & C cf la DES TROIS Corps. 47 même au commencement & à la fin de l'inftant d ; de même en faifant croître les lignes x!, 3', z', r' de leurs différentiels dx”, dy", d2”, dr”, il n’y aura que l'angle Z qui variera en croifflanc de 46. Or, comme l'équation précédente doic être identique & indépendante de la loi des mouvemens des corps B & C, il eft clair qu’on pourra y faire varier les quantités x, y, z,r & £ qui appar- tiennent au corps À indépendamment des quantités x, y’, z',r! & Z' qui appartiennent au corps C , & vice- verfa celles-ci indépendamment de celles-là 5 d’où il fuic qu'en faifant varier d’abord x, y, z, r &.Ë, enfuite x!,y!, ü, r! & Ë'; enfin les unes & les autres en mêmes temps, on tirera de l'équasion dont il s’agit , Les trois fuivantes (—fie. Ë cof. E + co. E fin. Ë cof. w \dà= Need nn RER Le 1?r. re » (—cof. E fin. Ê+-fin. E cof. E* cof. «)dd = Grey + gd xdé+yd Hdi + —— 5 —— TT TT, 2 (fin. E fin. Ecof. E cof. Ë cof. w)dbdÿ = (ex +yy air )drdr ui (x dx y dy+-x'd;)dr: 7? n2 rr2 » 24 (xde + ydÿ + zdx')dr n dxdx" + dydy" fx did T3ÿa : Tr - . Donc fi on fait dans toutes ces équations Les fubftitutions de l'art. 8, on aura ces quatre-ci: 48 EssAI SUR LE PROBLÈME cof. E of. E + fin. E fin. E cof 0 = À — fin. E caf E+cof E fin. À cofe 6 = — EE — of. E fin. E + fin. E caf E eof = EE fin. E fin. ÊHcof, E cof. E* cof. w p'drdi"—dVrdr—dV "arr "dr r°r/2d8dbt ° « Or, il eft facile de concevoir que le carré du petit efpace que parcourt le corps B dans le temps ds eft ex- primé par également par dx?+dy+dz: & par rd8+dr, de forte qu'on aura 40 = V(dx® + dy? + de? — dr? } & par conféquent (art. 8& 11) dd & de même dé = 3 TE V{a? de — dr°) dt VIT RS — — T rx #C w?de — Me) dt Ainf , les feconds membres des quatre équations Un . feront rous donnés, dès qu’on connoîtra n & rent (article cité) ; de forte qu'on aura die équations entre les trois inconnues £, £! & « par lefquelles on pourra non. feulement déterminer ces trois inconnues, mais encore ae une équation entre les IE quantités r,7,nl,u,u, &c. & cette équation fera la même que celle qu’on a ar rouvée plus haut (art, 10) par une voie bien différente, XX, VE Le 27 DES TROIS CORPS. 49 X X. Suppofons , pour abréger, que les équations précéden- ces foient repréfentées ainfi: cof. E cof. E + fin. Ë fin. À cof w = fin. Ë cof. E — cof. E fin. À cof. w —=u cof. E fin. E — fin.Ë cof. À cof. —=v PE fu Ph te ha ex en faifant p" P'dr%rdV p'dr + r'dV" FOR Marié r2r 48 Ë , rr'2d8" ; ul, —p"drdr +dVrd + dv" dr—rr "dr rs rr2dèd& - . & il eft facile de réduire ces quatre équations à ces deux-ci : LEFE)x(GEafe)=r+ +, fin (EE) )x(+Hcfo)=Aa + lefquelles , à caufe de lambiguité des fignes, équivalent réellement à quatre équations. Elevant ces deux équa- tions au carré, & enfuite les ajoutant enfemble , on a GFefa}= a) + HN d'où , à caufe de l’ambiguité des fignes, on tire — cof. D—ATHHY 1 + of = À + put + it em Prix de l’Académie, Tome IX, 1772. G 50 EssAISUR LE PROBLÈME de forte qu'éliminant cof:« on aura 1H(AT+ UN) = A4 pe me Si on fubftitue dans cette équation les valeurs de ÀA,k,v,æ, comme auf celles de d8 & de d8!, on aura une équation qui fera la même que l'équation ( N ) de Part 105 ce qui peut fervir à confirmer la bonté de nos calculs. L'équation — cof. à = À æ + puy donnera MOQUE — dV dV" +” cof. @ TE ARTE r°r 248 db v (an) ce qui fera connoître l’inclinaifon « des deux orbites. Connoiffant w, on connoîtra aifément £ & £!; car en multipliant les deux équations GELE LE) (en) Se At TT Pen es l'une par l’autre, on aura celle-ci : L (cf 2 E + c0f. 2 8) fim.ot = Nm; & de même les deux autres équations fin (Et) —cofo)=ut, fin (EE) 1+cofu=u—, étant mulripliées enfemble donneront — À (cof. 2E — cof. 2Ë') ie =p— ÿ d’où l'on tire s À mg 2m fe V2 SE nan chi = Éd rer 2 fin. w ; DES Trors Corps. st ou bien en mettant à la place de æ fa valeur 1 + cof. w* — À — p# — ÿ° virée de l'équation trouvée ci-deffus, on aura, à caufe de cof. &=1— fin. «*, L 2(A V2 — 1) fin. w? co. 2E—=i+ EE — — cof. 2Ë—=1+ d'où l’on tire L4( I— A v?) fin. £ — Fe V— x pi orage “TH c’eft-à-dire , en fubftituant les valeurs de À, w,v, & fai- fant attention que r° d8 = wdt— dr, & 740% — ur — dr", fin E= - _ '(rdr JP'—rap) fin E— Ver pe hr der: (rdr) +2p"(rdr)dV— rad?) Tr? fin. w d 4 5 ou bien art, 13 = Va (pp Ep") à Jin. ë 2rVIL". fin. w bis MUAIBP CP APP) fin. E= 27 VII. fin. e. : = XXE TL Si on veut que les trois Corps fe meuvent dans un G 2 s2 EssAr SUR LE PROBLÈME même plan, on aura alors & = 0, & par conféquent caf. w = 1, & fin. « — 0 ; donc 3 = = 4(pp +pp +pp"')u? ; = (pp pp + pps & par analogie | >= T4 (pp +pp +p" ne. De forte que les quantités Z & Z' (art. 14) feront nulles , & par conféquent les mouvemens des trois Corps s'exécuteront dans le même plan que nous avons pris pour le plan de projection (art. 18). Or, & on fubftitue les valeurs de #°, °°, #°* tirées des équations précédentes dans l'équation (?) de l'art, 11, on aura une équation en dr dr d LRE 14 , . é ryrsr &— Sr Par laquelle on pourra déterminer dp (4 4 fubftituant enfuirce la valeur cette dernière quantité d de _ dans celles de 5, # & x", on aura les valeurs de 1, 11; C fe I II dr di dr" 2%, ne # + exprimées Een”, 7,7 a 4 > & P lg & dts dt sd feulement ; ainfi mettant ces valeurs de #2, #2, #1": dans les équations (F) de Part. 3 , on aura enfin trois équations enr, ,r &#, lefquelles feront fimplement différen- tielles du fecond ordre , au lieu que les équations géné- rales (Æ) de l’art. $ montent au quatrième ordre , lorf- qu'on les délivre des fignes d'intégration. Au refte! je crois que dans le cas même dont il s’agit » ces dernières équations feront toujours préférables , parce qu'elles ont l'avantage fingulier de ne renfermer aucun: Des TROIS CORPS 7: radical, ce qui n’auroit point lieu dans les équations où lon employeroït les valeurs de #, #°,#" déterminées par les équations ci-deflus ; valeurs qui renfermeroient nécef- fairement des radicaux carrés. RÉCAPITULATION. XXII. Pour réfumer ce qui vient d’être démontré dans ce Chapitre Joient nommées. A B} les mafles des trois Corps. C r A & B 7" © les diftances entre les Corps 44 & C #7 | CGB&C & fuppofant pour abréger pr pe 1 ï = : 7 Er 75 = à j=— — “DRE à So Lo à f on aura , en prenant l’élement du tems d; pour conftant = mg + + Cpg—Bp qu Apq=o . | à (H) 54 der? 24 d2,P2 de d.rt2 ad Essar SuùR LE PROBLÈME dQ —g'dp"—3" dp"—qà$ dQ' = qdp+-'dp" + gdp) . . . (D) dQ°—=-adp—7'dp+a" de AB tre ut IE IE —C(pa —p'i +Q)= A+B+C ——— — B(pj +p"g" + Q')= 0 dre (M) Ta ABC a pe A(—pq — pq +Q"—=0 Ces équations ferviront à déterminer les valeurs des diftances r, r, ren; après quoi on pourra trouver > direétement & fans aucune intégration les valeurs de tous les autres élémens , d’où dépend la détermination des orbites des corps B & C autour du corps A. En effet fi l’on nomme B A la vitefle du corps) C autour des 4 n E c on aura d’abord A+ B+C FER ro BON ST) + ( 2(A+B4+C A LE as A Q* Phué “h à : MORE 2. 0 lt. ddr és DES: TROIS Corps. ss Si l’on nomme enfuire | ç l’angle parcouru par le corps B autour de 4 dans un plan fuppofé fixe & paflant par 45 c’eft-ä-dire, la longitude de B. # l'angle de la latitude de B par rapport à ce même plan. g la longitude de C. #1 fa latitude; & qu’on fafle pour abréger PP EPP EPP = rep = rare 2 (er) {ri + nn) (77 15), CAE = 2Ÿ + (ÉY+ PE) —2(p"5 peer PR D n E Ha — pe + (À r) sen Prat JE + (PT AT Je + (£ +" n= 7 ne 56 EssAI SUR LE sait ; PE I2,,1z dr? Lui ru (= "dt d,r"2 11 X12,,112 12 n'=7, (= y DER —(£) C5) Far (ae pl ( LE) + +(£ # Fe en ces Le D PET 1 at 47 D= z à a 22u 2" VV = : z on aura fur le champ LL /8 4 BV(4Put—5') +2 4V(4Pu2— ©") fr. LE — 2hr ’ us y! Fa ( dois Co ne EUR PE he cof #2 3 êz À ï : TCVaPu 5) + A V(4 Pas" D 2hr) 2 Nm. dés + — , do! RAS NE 4 hricof Ft 4 DES TROIS CORPS. | 57 Il faut remarquer que ces formules renferment deux conftantes qui ne font pas arbitraires , mais qui doivent être déterminées par des équations particulières ; ce font, l’une la conftanre 4 , & l’autre la conftante qui peut être ajoutée à La valeur de 2 déduire de l'équation (AZ) par la voie de l'in‘ègration. Voici denc les équations qui ferviront à dérerminer ces conftances (N)... 16Pu—4{év+sr+5s"t) dody + dpi dpi" ed pe \ ? + (2 se 2) bi en fuppofanc LS vo go ont 2 2 1 me 2 gs ; & P IT n' ne Fr | 2 2 _ (Phobe be ct el trs). 6 On pourroit, fi on vouloir , employer ces équations à la place de deux quelconques des équations (Æ); mais comme elles font afiez compliquées , il vaudra mieux, ne s’en fervir que dans la détermination des conftantes dont is'agit ; & pour cela, ileft clair qu'on ÿ pourta fuppofer partout := 0. D 30s3la il en vo Qr, 6, pour plus de fimplicité, on fuppofe que, Péncieo, hat ee, « &. FF n Ca der de les rayons r, r” concident, enforte que l'angle !! compris Prix del’ Acad. Tom. IX, H = 0 , & que de plus s8& EssAr Sur LE-PROBLÈME entre ces rayons (art. 19) foit nul, ce qui eft toujours permis lorfque cet DE eft variable, on aura à caufe de 7 en an cof. € (article cité), 7! era —+ÿ 3 1 24 ! PAU 2 dr 7. Li d 11 de ui == ©; ; donc s a = Le = © j dt p TT > dt! # ds nt de fe que dns (N) deviendra 16 PU — fur 4-7 (2 2) +($ Ÿ— 0; mais à caufe de 7°%—(7"—7)" on aura P = 0 ; donc auf À — 0. Ainfr, il faudra prendre la valeur de © dt dt enforte qu ’elle devienne nulle lorfque : —0o. L'équation (P )fe fimplifiera auffi beaucoup par les mêmes due 2 PRE & elle deviendra "PAUL PAT NU Pa pv RE Ge ï où il po sea pour 7,r5 7544, & #r n valeurs qui répondent à#=—0. Quant aux conftantes qui pourront entrer dans les valeurs de Q, Q' & Q", élles feront entiérement arbitrai- res, &'nè dépendront que des valeurs’ initiables de,” EUR qui font à volonté. Enfin, fi l'on nomme encore dû l'angle élémentaire décric. par Le eorps.B ‘autour ‘di corps À dans l'inftant &, ani 5q de" id correfpoñdant décrit par le ii C antour de 4 | ae a linclinaifon mutuelle des orbites des corps B & c ‘autour dé4, la DES TROIS CORPS. s9 £ Ja diftance du corps B au nœud de ces deux orbites, £ la diftance du corps C au même nœud, On aura a run, V(4aPu2 — =) fr. ë= 2rfin.o VII 3 re Y(4Pu? — =) fa. Ë WT zr'fin@ VI + 60 EssAI SUR. LE PROBLÈME (2 CH: ANP. DERPEVTE Solution du Probléme. des trois Corps dans différens cas. XXIIL. Nous allons examinér dans ce Chapitre quelques cas particuliers, où le Problème des trois Corps fe fimplifie beaucoup & admet une folurion exacte ou prefqu’exaéte ; quoique ces cas n'aient pas lieu dans le fyftême du monde, nous croyons cependant qu’ils méritenr l'attention des Géomètres, parce qu'il en peut réfulter des lumières par la folution générale du Problème des trois Corps. XXI V. Le premier cas qui fe préfente eft celui où les trois dif- tances r, ', r'! feroient conftantes , enforte que le triangle formé par ces corps demeufât toujours le même, & ne fic que changer de pofition. On aura dans ce cas dr =0, dr =0, dr=0 , & par conféquent auffi, dp=o, dp'=0 , dp"=0 ; donc les trois équantions (X) deviendront nn + C(p'g — pq +Q)=0 RS + B(p9 + pp + Q)= 0 A (eo) A+B+C FH + A(-—pq— p'g +Q=0 DES TROIS Corps, 61 d'où l’on voit que Les quantités Q , Q', Q" feront pareille- ment conftantes, enforte qu’on aura dQ = o , dÇ'=o, dQ"—o, moyennant quoi les équations (/) fe rédui- ront à celles-ci: gdp—=0 , g'd—=0, g"dp = 0, lefquelles donneront ou 4=0, 4'=0, g'=—=0, ou dp=0 ; examinons féparément ces deux cas. XX V. Soit d'abord 9=0, 9 =0, g'—0, donc 7=r1=—711; de forte que le triangle formé par les trois Corps fera équila- tère : Les équations (a) donneront donc A+-B+C La CO— BQ' — AQ= & ces valeurs étant fubftituées dans Les formules (7 ) on aura 2 Lz + CPR A+-B4-C NT QT r . Maintenant on aura # ui I 11 D — V=ÆV =V. =, — P=P =? = =) v v x doncP= À ,&U— =; de plus l'équation (H) don- ner = 0, par conféquent L = à dr dt « étant une conftante arbitraire qui doit fatisfaire à lé. quation (N). Or,ontrouves=Z#'= fs" 7ra; de forte que l'équation dont nous parlons, deviendra 621 EssAI SUR LE PROBLÈME 1 MER : , 9 rint—6Gr'n'a+at=o , C'eft-a-dire (3r°#°—4")—=0; d'où &'—3r"u# —3(4+B+Cyr. Ainf , on aura farisfait à toutes les équations du Pro- blème; de forte que la valeur de 7 demeurera indétermi- née ; d'où il s'enfuit que le fyftème des trois Corps peuc fe mouvoir de manière que les trois Corps forment tou jours un triangle quelconque équilatéral, Ayant trouvé ES ER RE et de MN. 4 3 on aura 4Pu— 5 —=0, 4Pu— = nu de 4Pur — — S"—0; donc fin. Y = 0,& fin. pe 0 ; d’où l’on voit que les trois Corps feront toujours nécefläirement dans un même plan. On srouve enfuite H = =" = 7t#, (2 r°u? ru à pe = pl pure TE 43 =r# , 4 4 4 donc à caufe de F— 0, Etes on aura Lo dt = (+ ei Re A A hs mais éguon (P1, donnera z ; = + ETSÉTE z 4 2 2 2 XP ACTE ou bien DES TROIS Corps. 1! 63 pär conféquent b = (= + F7 + —) vu j donc 2% =: Es Aiïnf les corps B & C ne feront que tourner autour du corps À avec une vîteffe angulaire conftante AC X XVI. . j d Examinons maintenant l’autre cas , où . = 0 fans queg,g & g° foient nuls ; & fubftituons d’abord dans les équations (7) les valeurs de CQ, BQ", & 4 Q" tirées des équations (4) ci-deflus, on aura ÉERES S APA 4) = 4e — B(pq + p"g") : si: (0) ES — A — pa — pa) d’où l'on voit que les vitefles relatives des corps feront auf conftantes, mais non pas égales entr'elles comme dans le cas précédent. 64 EssAI SUR LE PROBLÈME « Ta d Or, puifqu'il faut que © = 0, on aura donc auffi k at + = 0, & l'équation ( A) deviendra Cpg— Bp'a — Ap04 =: =QO.,... (C) Enfuite l'équation (N) die (à caufe ddr =o;, d'=o,dri=o,& dos dpi =0Q,4i=0 ;dp==0) 16PU7—=0, fayoir Po, ouU = 0; ainf,en com- binant l’une ou l’autre de ces équations avec l'équation précédente (C}, on pourra, par Icur moyen, déterminer deux quelconques des trois indéterminées r, 7!,7" & le Problème fera réfolu, Suppofons d’abord P = 0, lon aura (+ Han) (rer 4 7 = 0, donc puifque 7, » & 7° font fuppofées pofitives, on aura ces équations +0, où 7—r ro, Où pr pl oÿ d'où l’on tire 1, où rer, où 77 +3 c'eft-à-dire que l'une des trois diftances doit être égale aux deux autres, ce qui montre que les trois corps doi- vent être toujours rangés dans une même ligne droite, Imaginôns que les trois corps 4, B, C foient rangés de Re dans la même direétion , enforte que l’on ait = ny » & faifant pour plus de fimplicité "= #r, il n'y aura qu'à fubftituer dans l'équation (c); mr àla E: place DES TROIS Corps. 65 place de x", & im—1}r à la place de 7"; l'inconnue 7 s'en ira , & l'on aura une équation qui fervira à déterminer #. Oa trouvera donc mi (m—3) 74 Pb —= 2: 2 2 cat tes ) r — (rt — mr? 2 + (m—3)2—m* — nl Late) ue Fr” (0 — n)r! z 2 {m7 = passe or), = 2 | : mime 5 LNSYORE QUE ne) em TE ee “ER (= +) 73 m'(m—1); r3 = (r 6 qd. g Fo (m—1); ri (n— 1) ri 1--m} Le RE LS LL — EE 7 ms = r m3 RE & ces fubftitutions étant faites dans l'équation (c) elle deviendra après avoir été multipliée par #*(#—1}r, C— 3m + 3m— is) + Bm (m° — 37 + 3) —Am—) 1x m) —=0:.,{(H); laquelle étant ordonnée par rapport à #, montera au cinquième degré, & aura par conféquent toujours une racine réelle. Il eft bon de remarquer ici que, quoique nous ayons fuppofé =," —7,la folution n'en resfermera pas moins tous les cas pofibles , à caufe que les d itances 7,7 & r'" étant prifes fur une même ligne droite, peuvent : être pofñitives ou négatives, fuivant la différente poltion À des corps. Prix de l'Académie, Tome LX, 1772. an: 68 ESSAI SUR LE PROBLÈME Maintenant, à caufe de dr —0, dr = 0 ,dr—=0, &dp=0,onauaz—=o, 4'=o, 21—0o; de forte que, comme on a déja P —0 , on aura fin. 4 — © & fin. J—=0 ce qui montre que les trois Corpsdoivent fe mouvoir dans un plan fixe. XXVIE Suppofons maintenant l’autre facteur U égal à zero, on aura U=vv on op n 00 : Or, les équations (4) donnent F2 RS =. = — (4+B+0C) g— (p'g" plat) + À (01 + p"g"), d'où, en multipliant par 7° r*, & mettant à la place de r & 7° leurs valeurs p+p", & p + p”, on aura (à caufe de g—g—9)) our n=(—Cg+Bg —Aq")P +(Cpq—Bp' — Apps mais Cpq—Bpg —Ap"q" =0 par l'équation (c), donc on aura fimplement ur n(—Cq+Bg—A9")P, & l’on trouvera de même par analogie ge —ru%=(Cq+Bg —Aq")P, DE 4 (Cg+Bg + Ag")? ; d'où il eft facile de tirer DES TRoIs Corps. 67 pu — 71"! UT CaP , per 1 = — Bq'P, & par conféquent nu, Pu#HCgP pu BGP pu = ms v ra 72 2 donc preni p'u?u"2#pP(Bqu? + Cou?) + BCag'P* Tr 12" » & de-là , à caufe de P=— 77174" Duras ve = (ut — p(Bqt + Cqux) — BCggq P}=7 ((w° — Cgp")(#"* — Bjy") — BCr'r" gg"). Mais les mêmes équations (4) donnent MEN ob D + Fm Ts “ = By =— (LS +) 3 r3 “> hu Cap” & donc, fubftituant ces valeurs auffi bien que celles de 4 & g » on aura AL To A+-C B T ah Cite se él), 12 ! 63 EssAI SUR LE PROBLÈME ou bien A? B CL AE SA me si | a+ ñ) ACTE +75 (—+ x) ie +). D'où l’on voit que l'équation = 0 ne peut donner que celle.ci P— 0 , l’autre faéteur de U ne pouvant jamais devenir nal, à site que les rayons, r',71! & les mapes A, B; C font des quantités pofirives. XX VITE L'équation P—o étant donc la feule qui puifle fatif- faire au cas que nous examinons , ce cas n'aura lieu, comme nous l'avons vu plus haut, que lorfque les trois Coïps feront rangés dans une même ligne droite, & que leurs diftances feront dans le rapport exprimé par l’équa- tion (d). Or, nous avons déja trouvé que les trois Corps doivent fe mouvoir dans un plan#fixe; de forte que, connoiflant la vicefle # du corps B autour de 4, il n’y aura qu'à la divifer par 7 pour avoir la vitefle angulaire des corps B& C'; mais fi l'on veut faire ufage des for- mules générales de l’art. 22 , on remarquera qu'à caufe de PE az u? : , É P—o;ona (at. 27)==— 75 ; mais les équas L] Ta tions (2) donnent u? 12 ui k., | z : x tr te = +E£+C) at nee | pes Trois Corps. 69 donc fubftituant les valeurs précédentes de #!°, & w'E, & faifant pour abréger, (4+B+€) (: Le + =) 12 72 22 = + C B A — On aura = kr, & de même # = bre, a = 4nr ; donc auffi v—=kp,v=tp,v= hp, Ainf , on aura (art. 22) = #rt, D #74, Te ki ou kp° pl — kp!: | pl — kpl: ; mais à caufe de P=o, ona P° LE pue ; P° = r'r ; Fe =. rt; donc | pk, ik, = kr; donc l'équation (P) deviendra Le rh Te 1=( So = vs enfuite, à caufe dd —0o&—=0, do do AVE er 2 è r2 di ” Ari (+5 + —)=ve 79 Essar SUR LE PROBLÈME XXIX. Nous avons fuppofé ci deflus que les rayons r, 1, »1! étoiént conftans , & nous avons vu que cela ne peut avoir lieu que dans deux cas; favoir , lorfque ces trois rayons font égaux entreux, & lorfque l'un d’eux eft égalà la fomme des deux autres Suppofons maintenant que ces trois rayons. foient feulement dans un rapport conftant entr'eux , & voyons dans quel ças certe condition pourra avoir lieu, Soit donc = #r, & = nr, m&n étant des quantités conftantes , & l’on aura d’abord (art. 22) 1=s1ig til, P—=2"Pp = pr"; = puy" x — LL Pie: PRES RTE ai TE on née: en faifant pour abréger mn? — 1 ; , à == = —— — x Pr z \L mÿ PA » n 1 nm 9 3 (LR TÆ= 1 —- 2 ni 1—+-m2—n2 = TE TE —— JE Tom Te, Donc l'équation ( A7) deviendra L + (Cr = B pl ol A pit) © ou bien, en faifant pour abréger, | AZ Car = But Apats DES TRO!Is Corps. 71 CEA À de = o, & intéerant © x ee Ë ts Mc de 0 intégrant — = a — réel # étant une conftante arbitraire égale à la valeur de dp = lorfque : = 0, Enfuite on aura pers LL A IRITANNR ET TE FE? di dQ = 2 ur — pl E LC af = r d dQ' = aux + ur! rte 2): dQ"— 2(— pr — pr! pes — E +mi(a— af À donc , en intégrant, IT 11 Q=— fa + Aer 2(urtuz") Q=— ——— Dr d!\ dt Q ss! Q=— rer le +; +nfax*) 5 — Je ki &, K & KT étant des conftantes arbitraires. © Faïfant toutes ces fubititutions dans les équations (K) & divifant enfuite la feconde par #*° & la troifième parz:, glles deviendront celles-ci : &,r AHBHC(1— pr pe j dt\ dt a er Ça) —Ck=o, dr? AHBHC(1— (ur 477 }m) Bs' dt mer — Fr TOR ST POLE = À mn Mer à Bk = —__ _—0Q m? d 72 ESSAI SUR LE PROBLÈME der? A+ B+-C(1+# us + pa )n) A" dt ee I er ef — 2 nr lefquelles devront être identiques 5 de forte ie on aura ces conditions à remplir : 1, A+ B+ Ci — pr + pli) 2 A+ BHC(i—(ur— pla l'a" )r) TORRES AH B+4-C(24- (4 8 + mEr')n) ni we Bk AR 1: Cr — = — m nie Ces deux dernières conditions peuvent toujours fe remplir par le moyen des conftantes indérerminées 4, k & KT; ainfi la difficulté ne confifte qu'à facisfaire à celles des n°, 1 & 2, Or, fi on fait pour abréger d—=uu +put +plut=(1 mn) ( 1m tn) (G—#+ 9) (1—m—n), on pourra réduire les deux équations du n°. 1 à celle= ci par des transformations analogues à ëclles de Parti- cle27, ve (6): DES TROIS Corps. 73 (—Ca+Br — A7) +u"a=0 (Cr+ Br ES 47 y} la —=0 Ain, il n’y aura qu'à combiner ces deux équations x B Li A LL avec celles du n°. 2, favoirCr=—— = — Ê m … (e). . ou biëna—=o&A\—o; ce qui fair deux cas que nous allons examiner féparément. | RARES F | BE Lu À LL Soit d'abord Cr = — —— —=—"" m2 ñn2, 9 2 2Cz nCz doric 3° = —" ml = — $ & x FT I 11 maisona7—7 —# —0o(art.29): donc (1 ++ )=0, è ; m? 7 favoir x(& mt VU +) —0. : = ARE m? nt Or, il eft vifible que la quanriré G FSU ne fauroit jamais devenir nulle, à caufe que les mafñles A,B, C» font des quantités pofiives ; ainf, il faudra que l'on ait 7—0, & par conféquent auf 7'—0o, 71—0 ; er dans ce cas ,on-aura ao, & les deux équations (e) ci-deffus auront lieu Malle mêmes ; de forte que toutes les conditions fe trouveront remplies, & le Problème des trois Corps fera réfoluble exaétement dans l’hyporhèfe dé Prix de l’Acad. Tom, IX, K 74 / EssAr sur LE PROBLÈME T=O,7 =0,m!=—=0,Ce qui donneras=—#—1; & par conféquent r = "="; c'eftä-dire, les diftances entre les corps égales entrelles, comme dans le cas de l'art. 14; mais avec cette différence, que dans le cas pré- fent, elles peuvent être variables, Pour connoître le mouvement des Corps dans ce cas, on reprendra les équations différentielles de l'art. 29, lefquelles , en faifant f—Ck= Bk = AU, fe rédui- fent à cette équation unique 272 sh AAC 2 dt? Wen C4 Se: 4° mulcipliant par ie .r*, & intégrant enfuire , on aura (= =) — 2(A+B+C)r—fr—H, H érant une z at? conftante arbitraire ; & de-là rdr AH: A+ B+ Cyr) moyennant quoi on connoîtra £ en 7 ; & vice - verfa ; rent. Maintenant , puifque = 0, 7—=0, 1=0, on aura Q={, Q'=k", Q"—=K" 5 donc (art. 22) Mu AE} 7e = —y dp De plus, ayant A=o , on aura = —& cette conftante a devra être déterminée, enforte qu’elle facisfafle à l’é- quation (N): on peut donner pour cela à # telle valeur qu’on voudra ; mais en ne faifant aucune fuppoñfition par- DES TROIS Corps. 75 iculière, l'équation {N) devra être identique avec celle que nous avons trouvée ci-deflus , pour la détermination de r 5 & leur comparaifon donnera la valeur de à, r? effet, —y\— pp" — — à caufe de ==", onaurap=p=p" = — donc P — rs ; & de même, à caufe dd vu ==", on 2 4 aura v = vl = pl — © donc UV — vai enfuite s == = = = LEE TE E (u nu E (2) 3 rdr \ ? A4 +r'a =;" (5) +7 a 5 & l'équation (N) deviendra gr{ u4—b #Gr(E =) re )#3((T +) + na ou bien rdr\? RE (ru —3() —x) =0; d'ou l’on tire S' rdr\? - SAR, æ) —4 — 0. (AB HE = 7 d donc fubitituant cetce valeur , & réfolvant l'équation, il viendra: Or, on a déja trouvé #° =— rdr NA EH OP) dt = Kij 76 EssAI SUR LE PROBLÈME Comparant donc certe équation avec la précédente, a on aura ZA = — FT & par conféquent à = V(—3H); d’où l’on voit que A doit être néceflairement une quantité négative. On aura enfuite dr \Z nensmerw—(#)=;, 3 ê r? u? rdr 2 2 — gl = qu = — — = « 4 2 dt a? a? a? = — — = — j 4:3 4 3 donc l'équation (2?) deviendra “4 2 Le Le l I 2 3 À Cha e Dur Dons d’où l’on tire (ee) Or, puifqu'on a déja trouvé É= SrÉSu, =3r (Te =) +r'a, à que sr (T me on aura ES SU print. cb s d'ailleurs on à a Part, ip — 4 déc on'aura ï 4Pn — "5% —=0, 4PuY — E—o Na so; & par conféquent fr: + = 0, & fin. = 05 ! c'eft-à-dire, L = o & Y—'0;" ce qui montre que les L: “ DES TROIS Corps. 77 B & C doivent fe mouvoir dans un même plan fixe pal- fant par le corps À. Maintenant , fi on fubftitue dans les expreflions de di dy À L, Le les valeurs de H ;-H, Ÿ , Y1, ll, & deb [4 1 . d® dy’ œ trouvées ci-deflus , on aura — = — = —, 2 dt at r2V: 5 & par conféquent en fubftituant la valeur ci-deflus de ds dr d@ = . A B+C EC, + Er) 2V(— 1 + qui eft l'équation polaire d’une fection conique , rap- 2(4+ B4C) eft 2° gortée au foyer , "& dans laquelle LE grand axe, & le paramètre. D es) Aiof, les corps B & C décriront dans ce cas autour du corps 4 deux fections eoniques femblables & égales, dont l'efpece & la forme dépendront des quantités D. traires f, & a, lefquelles pourront fe dérerminer par les équations &°=3r"#— 2) fn = sn O T €n- donnant. an; &= L-les valeurs qui conviennent au € premier inftant. A ENTER L 78 EssAI SUR LE PROBLÈME XXXI. Refte à examiner Le cas où a=0,& À — 0; or, la fuppoñtion de À — 0 réduit d’abord les équa- tions (e) à celles-ci, (— Cr+ Br An f = 0 (Cr + Br — Az )N = 0; lefquelles donnent ou = 0, ou bien Cr Br —Arl=o, & Cr+ Br — Ar" =0 ; c'eft-à-dire, Cr=0 & Br'—A7"—0. Or, j'obferve d’abord que ces deux dernières équations font inutiles; car on auroit d’abord æ —.0 ; enfuire , à caufe de #"=7=—7", on auroit 7=—7" ; de forte que l'équation Br — A= 0 deviendroit (B + 4}r = 0% ce qui donneroit 7=—0 ; on auroit donc 7=7"=7"—0 ; ce qui rentre dans le cas que nous avons examiné ci= defus. IL faut donc faire = 0, de forte que la {olution 2 Problème fera renfermée FA ces trois équations d—0 0, & G—O. La première donnera (art, 29) rte) (ibn (imiter) (1m) 09 donc 1+wm = 0, &c par conféquent rHr+En=o, c'eft-à-dire , que l’une des trois diftances r, »', 71! doit être égale aux deux autres, & conféquemment que les trois Corps doivent être toujours rangés dans une même ligne droite, DES TROIS Corps. 79 Ce cas eft donc analogue à celui de l'art. 26; mais il eft plus général en cc que les diftances entre les corps peuvent être variables, pourvu que leurs rapports foient conftans. On déterminera ces rapports par l'équation à — 0, & pour cela on pourra fuppofer , comme:dans Particle cité, que les trois corps 4, B, C, foienc difpofés de fuite dans une même ligne droite ,enforte que Dr, ce qui donnera # = » — 1 5 on fubftituera donc cette valeur de # dans l'expreflion de À de l’art. 29, & l'on aura une équation en # qui fera la mème que l'équation (d) de l’art. 26. Mais il faut voir encore fi la condition de « = o peut avoir lieu ; & comme la conftante « doit être déterminée par l'équation (N), rout fe réduit à favoir fi cette équation peut fubfifter én y fafant 4 — 0, ‘c'eft- A je dp \ dp dt a-dire 7* = 04 caufe de FA arf = (art. 29) & de x = 0. d ; Or, en fuppofant = & fubftituant pourr',r 18 p,p',pt leurs valeurs (article cité) on aura "+ Pau plu )ré, aruti Lie Sean +) G y S'= (rt + une +u%u (& D rd (QU SU (uni + pu FT "(S) 80 EssAr SUR LE PROBLÈME dpdr'#dpd nn Hd (Æ); mais par la nature des quantités w, uw, y onan += 1 + ut = mu Fu ="; de plus, on a, en vertu de l'équation A = 0, AT + pu + plu “à mue + ur + plu = 0 ; donc on aura aufñ EE un LT: ‘—0, rip nr 0 ; pet+ plu Hu =0!: de forte que toutes les quantités précédentes P,= , &c. feront nulles, & conféquemment l'équation ( N) fe trou vera vérifiée d'elle-même. ki XXXIL s Maintenant, il eft clair qu’à caufe de 40, & x=0% es trois équations différentielles.de l’art. 29 fe réduiront à celle-ci. en faifant pour abréger F = PAT M, pa), 2 4 | ï It : yr Cette DES TROIS CORPS, 8x . Cette équation étant donc multipliée par d.r?, & enfuite intégrée, donnera rdr Grar-fr, FH étant une conftante arbitraire ; d'ou l’on tire dr D “pe Car WA 2F Fr)» moyennant quoi on dérerminera s enr, & par confé- quent r à 4. | De plus, fi, dans les équations (J) de l’art. 22, on fubftitue ies valeurs de Q, Q', Q" de l'art. 29 , on aura en vertu des équations du numero 1 du même article È 1 2m F 5 11 2n? a = — + nm f, ul — # E + f, 4 cA f De-là on trouvera n=iFr+fi—(E)=—#, n' == Hn4, Prix de l’Académie, Tome IX. 1772: L 82 ESSAI SUR LÉ PROBLÈME rdr \? PL EUR HE Vu Pr+fr (7) )=—Hu= Hn'n:, le — Hu —Hy° ; AE 2 Es 2 Em | na re € UN à caufe de put + put + pu 0, & par conféquent =" # ul nr, um". Donc, fi on fubftitue ces valeurs dans l'équation (P}, elle deviendra be LMP VER d’ A JE e, C A sur Là 5 d'où l’on voit que Æ doit être une quantité négative. Or, à caufe de P=0, & de S=0, = '=0, = !—0o on aura Jin. V = 0 & fin. '—=0o, ce qui montre que les deux corps B & C doivent fe mouvoir dans un même plan fixe paffant par le corps A, & lon trouvera enfuire pour les angles de rotation d9 dy PR Ta H 3 m2 n° V—H cer ulead TAN LAN Ter an Et fi l'on fubftitue la valeur de ds, trouvée ci-deflus , on aura dr d@ = Vi rt r) DES TROIS Corps. 8; équation polaire d'une feétion conique, rapportée au foyer , dans laquelle . fera le grand axe, & — … le paramètre, XXXIII. Nous venons donc de voir que le Problème des trois Corps eft réfoluble exaétement , foit que les diftances entre les trois corps foient conftantes , ou qu’elles gar- dent feulement entr'elles des rapperts conftants , & cela dans deux cas: favoir lorfque les trois diftances fonc égales entrelles | enforte que les trois corps forment toujours un triangle équilatere , & lorfque l’une des diftances eft égale à la fomme ou à la différence des deux autres, enforte que les trois corps fe trouvent toujours rangés en ligne droite, | Or, fi on fuppofe que les diftances r, r, 7" foient variables, mais de manière que leurs valeurs ne s'écar- tent que très-peu de celles qu’elles ddvroient avoir, pour que l’un des cas précédens eûc Lieu , il eft clair que le Problème fera réfoluble à très-peu-près, & par les méthodes connues d’approximation ; mais nous n’entre- rons pas ici dans ce détail, qui nous éçarteroit trop de notre obiet principal. | J'avoue au refte qu’on pourroit réfoudre les Problèmes précédens d’une manière plus fimple par les formules ordi. naires du Problème des trois Corps entre les rayons rec= Exé 84 EssAïr SUR LE PROBLÈME teurs & les angles décrits par ces rayons , fi on vouloit fe borner d’abord à l’hypothèfe que les corps fe meuvent dans un même plan fixe ; mais il ne feroit pas aifé, ce me femble , d’en venir à bout par les mêmes formules, fi on fuppofoit , comme nous l'avons fait, que les corps puflent fe mouvoir dans des plans différens. D Des Trois CdôRP?s. 8 CLA PT TR BATIR Modification des formules du Chapitre premier , pour le cas où l'on fuppofe que Lun des rois Corps fort éloioné des deux autres: . X XXI V. L E cas que nous allons examiner a lieu dans le Syftème du Monde , par rapport à ces trois Planètes , le Soleil, la Terre, & la Lune, dont les deux dernières fonc beaucoup plus éloïgnées de la primière qu’elles ne le font l'une de l'autre ; mais nous ne confidérons ici le cas dont il s'agit, que d’une manière générale, & feulement pour voir alé modifications, cette fuppoñtion doit apporter aux formules générales de larticle 22. Suppofons donc que le corps C foit beaucoup plus éloigné des corps 4 & B ae ceux-ci n€ le font entr'eux, Pere que les quantités 7 & r°7 foienc fort grandes par rapport à la quantité 7; pour céla nous prendrons une quantité ; que nous fuppoferons conftante & très-petite Li = ; enforte que R & R' R & nous ferons 71= —, 7! LA foient des quantités finies & comparables à 7. Or fi on nomme , comme.dans Particle 19, gi l'angie formé au centre du corps À par les rayons recteur & ;! des corps 86 ESSAI SUR :4E PROBLÈME L LLES r? L_ == B& C, on aura cof. Ë— _— DOM Ep — "OT col LE ER, ou bien RE = R?— 2iRr of A +ir Donc , fi on fait 3 = r cof. Ë", k La on aura RE—Q— 2 R3 + ir; AR? lé 2R MENUE Nr ar ? donc ="; penis + rt, De-là on aura C £ s 1 12(2Ry— 172) FT ME hi CE 2R3 B(2Ry—ir°)? si (2Rz—ir2)3 i OR 0 nt PNEU AS 8R; 16R7 6 i MR EEE) i4(sx 347?) = — — —— a A SO E + ST + &C PER L''UNE 3it{2Ry—ir?) ART D SUD TPEREATÉ 15 (2Ry ir) 3526(2Ry— ir)3 SR nes MAMIE USE s gite (rs) 1(3523—15gr) RIT RC TS SE OMR 2 + &e, LIL 2iz E5(15%2— 312) (35 — 1577) DES TROIS Corps 87 t E sig EH (rm 5m ri Rs R+ 2R5 E(35r 1 sur) PETER TU &c. k 12 53 a — r Te R: 5 & de-là sal. 32% H(93?— 37?) (toy?) PIE 7 er a oral PC L 12 1(372—7r2) R p' ES ? n + £ ir T R? R3 24(1573— 0972 25(35z*—3072r?+3rt eat he AE lee 37) D gcc. 2R? 2R5 7 EL EME. dt ir3 R° O, comme p 4 eft une quantité très- petite de l’ordre de #, & que p'gp"g"" font des quantités fort grandes de Pordre de — , ileft clair qu'en fubftituant les valeurs de ces quantités drns l'équation ( A), les termes C Pa; Bp'q" , Ap° q" ne pourront être homogènes , à. moins . que la mafle C ne foit infiniment grande de l’ordre : visa-vis des deux autres. Suppofons donc C =" ; & l'équation (A) de l'art. 22 deviendra après les fubftiturions ee 83 ESSAE SUR LE PROBLÈME d'P L pi 3D B D'ox? <3e} = ——— Les — ms — dt iD(1073 — 123) er — &c.— 0; » . + d?p , L d'où l’on voit que la quantité Ta ft de l’ordre de —, [4 : £ , dp " de forte que la quantité — fera auffi du même ordre. Donc, fi on fait, pour abréger , (Ra NE Lee =) : |. PDC) — (5 + ET ‘7 x (RTE ) — &c, . L Lt L L , e. LL A (F7 d e « on aura = — & il faudra prendre la valeur de o; telle qu'elle foit nulle lorfque : = 0. XX XV. 627dR (rs 37) dR=>3 td. Rt) PR out APS à RE. d.Rz dr 13d.R4 1(31d.R;—Rd,r) in — — — os PRET TT PE CT g'ap FREE EE DL - Hi Fi: (152 —3"2)di Rz—6Rzd.r°) a nl Lis 2kÿ DES TROIS Corps + #((35%—15zr)d 89 Re (1530) Rd rt (rst—372) ) + &C 2 R5 d.R Pd.R NET IT e î re 7 dp RE ir3 R De forte que les valeurs de 4Q , dQ' & 4Q" devien- dront | 2 dr 3 d,r 3x(d. Ry = 0 dt) dQ = — +2 — FE = TR rm i(— 3xd.r? Mi tre —3r?) (d. R;—odt) R* 2R5 x as 1$22—3r)d, r° DSL) MAMIE) LS Les Oct (3525— 1547) (d. Rx—cdi) 2R5 + &c, LI 4Q" nur no 2 /—bdR+d. R; odi 4 13 sis R3 ) =$ &C. dQu— d,Rz+-cdt LE 2dr : 6zdR+d.R;+odo LE] r4 R; — &c. Donc, faifant toutes ces fubititutions dans les équa- tions (À) , elles deviendront dr? Lai __AH8B — (2 L—r2 += ae 32(d. er) (is ÊFs ee æ) (152237 te Re od1 )) Prix de l’Académie, Tome IX, 1772. M 90 EssAI SUR LE PROBLÈME 2 — 3r2)d.r2 à 3513077209 (rs4 rt ( 2R5 14 SC 2: (350 — CEE) ) — &c. — aune conffante . . . . . . (£) d,.R? D B/[R d. di ; HE er i(A+-B HA) Lu &c. = à une conflante. d. re )) ru 2 PR Pa Due Han SES 3 R3 r 2R+ R — rc. — # une conflante ; dont les deux dernières fe réduifent à celles-ci: “HE &.Rt D Rt d. Lee 2dt? TE 7 + B(E+ Si SALE) ) 4 + &c. — 4 une ar ME Mu CCE ER ss = —c en mi) < = 3x2 3td.r* (15x2—3r2)(d.R3—od1) —D(SE +(— Re + 2R5 — &c. == dune conflante. . . . (1). &,R; D as RP 2 (£ 7BE—0 & D C2 )) DES TROIS Corps, CE Aïnf , on aura à la place des équations { £) de l'art, 22 les trois équations (g) , (h) & (:) dans lefquelles on n'a négligé que les quantités très-petites de Pordre de 55 & des ordres fuivans ; & ces équations ferviront à trouver les valeurs de r, R & 7 en #5 moyennant quoi le Pro- blème fera réfolu dans toute fa généralité, puifqu'il né s'agira plus enfuite que de fubitituer ces valeurs dans Les formules qui donnent les latitudes & les longicudes des corps 8 &C(art. 22). Or, comme la fuppofñtion de i très-petit fimplifie auf beaucoup les fubftitutions dont il s'agit, nous allons donner encore les valeurs de Jin. +, fin. L'& de 2, = , dR°4Ry y= — MRz— FRANS on aura pci fi à S GE hu I # pe ai(e + pas: ) É de kr? cof, ÿ* | . (#2). br: À) "2 mi MEME à L V5 1 Bu dv phi (E+-) — — a ———_—— forage A a [RE | RXXVNIIT DÀ Voyons maintenant comment on doit détermiger la conftantce & & les autres conftantes du Problème. Pour cela, on fuppoferæ, ‘omme dans l'art. 22 que lorfque tuer à à 1=,onait = —=0, — 0») & C0 ; par con ob 240 iars 27 PAIE auiNdte dc) . 3 fÉQuent es Oo Da ut gcc « iuou ahst 0 ÜD X — 120 — - i | DES TROIS Corps. e7 à caufe dez=7r cof 3 & l'équation ( P') de l'article cité , donnera a LE E=MR+ B(T — ÉRCENES ) A+B d'où l’on tirera aifément la valeur de k en ayant foin de rapporter les valeurs de R,7,& de M, N au point ou BNC É De plus , on fe fouviendra que La valeur de & doit être prife, enforte qu'elle foit nulle lorfque : = 0. XXXIX. Au refte, il eft bon de remarquer que dès que l’on aura trouvé les latitudes L & 1, on pourra avoir aifé- ment les valeurs des vitefles en longitude © & - par le moyen des virefles réelles # & nl. En effet, nommant d8 l’angle décrit par le rayon dans le tems son aura, comme nous l'avons vu dans l’art 19 uw dé —=r" d& + dr° 5 or il eft facile de voir que dô—cof. L‘dp*+d4*,doncudr=r Éd tes du ÿ donc see () dre ê + (#) £{ & de même (= dy 2 get +) —(5)) 2 ve coj. € Prix de l’Acad. Tom. IX, N 98 EssAI SUR LE PROBLÈME donc cn fubftituant les valeurs de ? & w!*, on aura 14 fa) intro rdi dt Per Oo cof. # MR id er ni PR, dc Rd Pope ; ri — + Ces formules peuvent quelquefois être plus commodes que les précédentes , fur-tout lorfque les quantités r, À varient très-peu, & que les latitudes, L fonc fort petites. DEs TROIS Corps. °9 CHA P TPRTENT VS De la théorie de la Lune. $ L Application des formules du Chapitre précédent à cette théorie. X L. Po UR faire cette application , il n'y a qu’à imaginer que le corps 4 que nous avons regardé comme immobile & auquel nous avons rapporté les mouvemens des deux autres , foit la Terre , que le corps B foit la Lune, & que le corps C que nous avons fuppofé beaucoup plus éloigné du corps 4 que ne l’eft le corps B foit le foleil, dont la diftance à la Terre eft en effet trés- grande par rapport à la diftance entre la Terre & la Lune. Ainfi r fera | le rayon recteur de l’orbite de la Lune autour de la Terre, r' le rayon recteur de l'orbite apparente du Soleil , & 7" {era la diftance re&tiligne entre le Soleil & 1a Lune. De plus 4 repréfentera la latitude de la Lune par rap- port à un plan fixe que nous prendrons pour l’écliptique, & J' repréfenteràa la latitude du Soleil , @ fera la longitude de la Lune , & ç' celle du Soleil comptées à l'ordinaire dans l’écliptique Nij 100 EssAr SUR LE PROBLÈME Pour favoir quel eft ce plan que nous prenons ici pour lécliprique , & que nous avons vu dans le Chapitre premier être celui par rapport auquel: les mouvemens des corps B & C font les plus fimples quit eft pofiible, nous remarquerons que après les fuppoftions de l’article 38, on trouve , ( lorfque : == o)a—o,u=0,&1=—=0; de forte qu'on aura (auffi article 36 form.) {= 0, & L!— 0 ; donc puifqne on a en même tems = 10 = o & Ë—0o (art. 38 ), il s'enfuir que le plan dont il s'agit eft celui dans lequel le Soleil & la Lune fe trouvent en même-tems , lorfqu’ils font à la fois en conjonction, & dans leurs apfides. ; J ; R Maintenant, puifque nous avons fait (art. 34)7—=> Tr de . On aura > == 1 =; de forte que fi on fuppofe ( ce qui eft permis) que les valeurs moyennes de r, & de R foient . “ Tr égales à l'unité, on aura ; égal à la valeur moyenne de, To parall. O parall. my. € la parallaxe horizontale moyenne de la Lune, & 9” pour c'eft-à-dire ; = ÿ or, en prenant 57 30° pour celle du Soleil, on auroït : = == — à très peu 3450 383 P près ; d’où l'on voit que la quantité ; fera en effec crès- -petite, pEs TRoIs Corps. 1oi . Or, comme les obfervations nous apprennent que les orbites de la Lune & du Soleil font prefque circulaires, il eft clair que lés variations des quantités 7 & À devront être fort petices ; de forte que fion fait r—1 + x, R—1 D X,x & X devront être des quantités aflez petites par rapport à l’unités & de plus, elles ne devront contenir aucun terme conftant , autrement les valeurs moyennes de r & À ne feroient plus = 1 contre l’hypo- thèfe. 3 . zu? Donc le carré de la viceffe angulaire de la Lune — > fera à-peu-près = Z = 4A+B—D(32#—1)&le carré de la vitefle angulaire du Soleil autour de la Terre 22 F À u e 7: 2 fera à-peu-près = M=— D ; (art. 36 ); mais on fait que la vicefle angulaire de la Lune eft à celle du Soleil environ comme 13 à 1 ; de forte que leurs carrés fonc à-peu près entr'eux comme 169 à 1 : d’où l’on voit que la quantité D doit être beaucoup plus petite que la quan- tité 4 + B, & cela dans une raifon peu différente de x à 169, Donc, fi on fuppofe , ce qui et permis, A+ B—=1,& qu'on fafle D = «, on aura « — Æ environ , & 4° fera prefque = 2; ; enforte que l’on pourra regarder les quantités ; & «a comme du même ordre. De plus, ona, comme lon fait S = 36, le nom- bre G étant par la théorie de la préceflion des équinoxes 102 ESSAI SUR LE PROBLÈME de M. d’Alembert — environ 23 & par celles des ma- rées de M. Daniel Bernouilli — 1 donc puifque C=B,&kOo—= CP (art. 34) onauraB=CD—Cas ainfi, les quantités B & D feront à. peu - près du même ordre 5. Au refte, pour ce qui regarde la vraie valeur de «, il faudra la déterminer par le rapport connu entre le mou- vement moyen du Soleil & celui de la Lune, rapport qui eft, fuivant les nouvelles Tables de M. Meyer de ! 1) \ ’ I És 11529° 45 40 , 7 à 16059° 23 5" > Quant au coëfs cient @ qui eft encore aflez incertain ; comme il fe trouve partour multiplié par les coëficients très petits a° & ;, il fuffira de le connoûre à-peu près, puifque l'erreur , qui en pourroit réfulrer , ne feroit que de l’ordre de z, GeCRE On fera donc toutes ces fubfti:utions dans les formules du Chapitre précédent; & mettant pour plus de fimplicité y à la place de Rz , on aura L (p) 7 (HA) — a HA) | (a) A) En +a#A)T5) (ST OH AT EAT) — &C. DES TROIS CORPS. 103 Que HT (SPL) NE XNTS —SAHX) data fy (1 X) #(decdi)) a A (a) X) (1) À —3 fi X) Edx-tt f(1 EX) (dy ode) EH 2) (14 A) (dy cd) — (IRAN is PLANTE HE A) EX) E(1+x)dx Hi X)— E(dy—odi) LS fj(r+x) (14 X) 7 (dy=cdi)) — &c.— à une conflante. d'X 4 — _FREMS sde — a*(1 re X) ia @( (1x) D + +x) TE (dy-+odt)} (2.4 + &c. 4 une conffante. 104 EssAr SUR LE PROBLÈME DD ee 4 TANT SANTÉ (pod) in (CHANT LAN) El HA) SX) dates fy (1 ANS ; Gp—odi)} ie (59 (RAT sy (IX )—É —3/) 1) le 1 Ja X) (dc) | ES (Er x) (1+X )—{(d—0di)) | — EC. — 4 une de ante. Or, comme les quantités x & X font aflez petites, oi aura afflez exactement —— x 3x? 5x 35x* Ze] = _ — = — — mt (14%) RE DE RUN MUR à x sx sx (1+%) 11 — À + 7 + &c. qe ti 3 X? sX3 35 Xt ? Lui ts CS mt — (HAE E z fi 8 16 128 &c4 X 15X* sX3 (I+X) li + en —# + &c. DES TROIS Corps. 0e (IX) mi HSE — &e. (I+X)— 2 + 27 — àc. De forte qu’en fubftituant ces valeurs dans Les équations précédentes, & mettant de plus dans Les trois dérnieres la valeur de s tirée de la premiere par l'intégration , on aura trois équations en x, X, y, & # qui feront intégrables du moins par approximation par les méthodes connues, puif- que les variables y feront toutes fous une forme rationelle & entiere. XL TE Enfuite on aura (art. e ) D— = ET Ex) — "(3 nus (IX), ) M= 2 + a(IHX) T5, ya +a) y ae: À Po & de là a=M(i+%) (14X)—ÿ) {14 2X) (? Ho): dx ,d. d X? AE a +e ci +x) Prix del’ Acad, Tom. IX, O 106 ESSAI SUR LE PROBLÈME I 3 HiCa (na) TER ANE (14) (IX) 2) dy? dxdX u=N(( 1x) ( ) (1+X) ÿ=—=Y )—° 2(s: RP TE — 7 _ dx dy ax Va ER 7 AT +(1+3))— EE (ac), moyennant quoi on aura fn4 = T2 dépenser ita(r + 3) EVA KE 4: (Q) fr = enfin, les formules de l’art. 39 donneront pu. mm 2 2x? dY2 n= cof. = (4 te (+2) qd dé — ja (y I+x) r 1+X NT F2) I+X +) — 1 en, LD X: = mo —(1+X) — ee piCe YI+X)— (Ha TE) & quant à la conftante k on [a déterminera par l'équation (LMI X— LG 14 x) 3 : (14X) 7) Ga (1H) TE GRX) E — NX) en y faifant :—0. SP AS DES Trotïs Corps. 107 On fe fouviendra au refte que les valeurs de x, X & y dx dE Ye: PR te 7 foient nul- doivent être prifes , enforte que = les, lorfque 0, & que y devienne alors —=Rr==(1-+x) ? (1+X)?5 de plus, il faudra auffi que la valeur de & tirée par l'inté- gration de l'équation (p) foit telle qu’elle s’évanouiile lorf- ques = 0. ce. De l'intégration des équations qui donnent les mouvemens de la Lune & du Soleil. XLIIL L: Problème des mouvemens de la Lune & du Soleil fe réduit à la recherche des quantités x, X, &y, lefquelles dépendent de lintégration des équations (4), (r) , (s) , de Part: 41. à quoi il faut joindre l’équation(p) comme fubfi- diaire. Si les variables x, X,y ne fe trouvoient dans les équations que fous la forme linaire, l'intégration feroit facile par les méthodes connues ; or il eft aifé de voir que les termes où ces variables fe trouvent multipliées entr'elles font tous fort petits à caufe que les coëficiers «* & z font très-perits & que les variables x & X font auf fuppofées O 2 108 Essar SUR LE PROBLÈME fort petites ; ainfi on poura d'abord négliger les termes dont nous venons de parler , pour pouvoir trouver les pre- mieres valeurs approchées des variables, & ces valeurs ferviront enfuice à en trouver d’autres plus exactes & ainfi defuite. Pour donner un effai du calcul qu’il faudra faire pour cet objet ‘ nous rejetterons d’abord danses équations du $ précédent tous les termes multipliés par ; & qui dépen- dent de la parallaxe du Soleil ; l'erreur fera d'autant plus petite que ces termes font en même-tems mulripliés par La quantité très- perie a’ De cette manière , les équations (p) , (4), (r); 6, de- viendront = JA) gay ( (8... — (1) ao (NN TE —(1+ x) (1 HE —fa+X) TE dx + 3 D (+X me uneconffante, d X Et ms Eh —2 (1H X) = à ane conflante (A). + I Mn) Tee J(i+X ee 3 +f(1+x) Tdy+odi}= a une conff. où il ny aura plus qu'à réduire en ferie les puiffances de IX &I+X ne tin DES TRoIs Corps. 109 XXE HV Négligeons encore les produits de deux ou de plufeurs dimenfions de x & X, on aura, à la place des équations précédentes , celles ci: de 2 3% ga? X _ — sr Lu + dt (2 SL 2 2 )» d'x 3x à à s X: ga tUtaa)a— À — 2237 (1 — ©) = +3 @—cd)= conf. = + a X = confl. æ x a? x = +y(1+a— = —— 2 )+ Ci —À )dy+odr) = conf. lefquelles en fubftituant la valeur de « fe réduifent À ces trois-ci : &æX = HaX = conf. . . . (6). _ + (14+40)x — = 32 (73e) (dr) +3 fdéfyxde) Ha (D X + SX ydy +90: fjdtfy Xdr) = conf. . . . (6). 110 EssAI SUR LE PROBLÈME d 2 +G+a)y + (1 — 32) /dfyde = u Czy+fcdy+fdifyxdt+(1—3a) fxdtfydt) 3 (Xy— 3fdr[3Xds) p2 == Confln.1e 14. (1). L V. Comme les variables x & X font fuppofées fort petites vis-à-vis de la variable y qui eft finie , on peut d'abord négliger dans l'équation (») les termes qui renfermeng x& X; on aura ainfi cette première équation approchée d 1 2 ++ )y ia) arfdt=confl. Jaquelle étant différentiée deux fois devient dy 2 d'y — À ppammae abbre) so) (a 3") qui eft intégrable par les méthodes connues, Pour en trouver l'intégrable , il n’y a qu’à fuppofer 3=fcof{(pt-+a), ou bien, puifqu’on veut que . =0, lorfque : = 0, on fera fimplement y = fcof. pt, & l'on aura , après les fubfticurions , cette équation en p P—(G+aeÿp +i—3a—=0, d'où l’on tire D'Æ=I + ET H2av(i+ 2) DES TROIS Corps. 111 d’où l’on tire : 2 + 2av( +2) = = I — P=Ii+ = Ha à ou bien en négligeant les puiffances de « plus hautes que la feconde Donc dénotant par p l’une de ces valeurs, & par q l'autre, on aura y=fcof. pt + 4 cofg6 f& g étant des conftantes indéterminées qui doivent être telles que lorfques=oonaity= Rr=— 1 j ce qui donne PRE 1 Cherchons maintenant d’après cette première valeur approchée de y, celle de fin. 4 par les formules (+) de l’ar- ticle 42 ; on aura , en négligeant les quantités x & X, a; ; donc aufli #— 4°, & # —=a( équation (x) }; donc 4? —ÿ? RE = A=a(1—Y") 2 ro) ge | | 112 EssAr SUR LE PROBLÈME dy Or = —pffin. pt — 98 fin.gt, o —=/ydt= re AU Hs 9 Donc 7 +5 = 0 Jin. pt ei 1) fin. gt. = + 24 (f fin. pt — af gt) en négligeant les puiflances fupérieures de « ; donc A=a(1—(f cof. pt + g cof. gt}* —(ffin.pt— sfr a) )=; a'(1—f—g—2fg(cof. pt. cof. qt—fin. pt. fin. gt)) ma i—f—s—2fg cof (pa); maisf—+ge=1; donc1=f!+g + a2fg; donc paf cof(p)) ten (Jin 9 donc enfin fin. L=iaVfg x fin, _ # Or, comme ün doit avoir f+z=1 , on peut fuppofer fac: ) &e=Gm:), & l’on aura fr if se = 5, l'angle DES TROIS Corps. 113 l'angle / étant arbitraire & dépendant de l'inclinaifon primitive de l’orbite de la Lune: en effer , ileft clair que la plus grande valeur de fin. fera = ffn.1 de forte que L exprimera la plus grande latitude, c’eft à dire l'incliraifon de l'orbite; donc puifqu'on fait par les 6bfervations que l'inclinaifon de l'orbite lunaire eft aflez petite, & d’en- viron $° 8", la conftante g fera toujours très- petite & la conftante f prefqu'égale à l’unité ; car on aura à peu près g—= (fin. 2°, 34°) = environ ; de forte que la quantité g eft encore plus petite que la quantité z qui exprime le rapport des parallaxes de fa Lune & du Soleil ; d’où il s'enfuit qu'on pourra négliger fans re les rermes qui fe trouveront multipliés par le carré & les puiflances plus hautes de £ XL OV I; Il eft facile de voir, par l'expreffion de fin. qu'on vient de trouver que langle I n'eft autre ehofe que la diftance de La au nœud, c’eft-à-dire l'argument de latitude; d’où il s'enfuit que f où retranche cet angle de la longitude de ta Lune dañs fon orbiré, on aura la longitude si nœud, Donc, { #2 -deñvre:la longi- . à tude moyenne de la Lune’, on aura ( h _— T4 Four la longitude moyenne. du. nœud. 5 or, les. Jongitudes Prix de l’Académie, Tome 5 6 1772 k 114 EssAr sur LE PROBLÈME LA \ “ Lol . moyennes étant à peu-prés les mêmes dans les orbires des planètes & dant l'écliprique, hz fera la valeur moyenne de +, & h fera par conféquent égale à ce qu'il doit y avoir de conftant dans la valeur de a Or, les formulesde l’ar- ticle 42 donnent, enrejettantx & 4, d Lu = VL=V(i-a(33— :1)), & à caufe de y = fcof. pt, on aura =v( I— C1) d)=1—° 2 à] 4 ë à-peu-près. . + “ : c Mais on a auffi 7 =1 a 3 d'où l’on voit que la 2 potion du nœud eft fixe du moins par cette première approximation ; -e qui ne doit pas paroître furprenant vu que les valeurs dep & q ne peuvent tout au plus être cen- fées exactes qu'aux quantités de l’ordre de a près. Pour favoir maintenant laquelle des deux valeurs 1+a— = doit être prife pour p ÿ on remarquera qu’en fuppofant linclinaifon de l'orbite nulle, on a | y =f cof. pt = cof pts maïs on a y = À (article 41 ) =Rr cof. = c0f. EF (article 34) , donc cof pt = of A & pt=Ct—=e puifque €" n’eft autre chofe que l'angle compris entre les deux rayons & 7! ; donc p —h— h", en nommant hr, DES TROIS Corps. 114 & hr les valeurs moyennes de @, & de g' ; or on a déja a? trouvé b— 1 — T3 &pour avoir h', on prendra la par- tie conftante de = quiet = VM= «a; de forte que «? 1 2 : b=a , & par conféquent p=1—4— a. donc g9—=1+a— 2. 4 Ainf , il faudra toujours avoir foin dans la fuice de prendre pour p une valeur telle que fes deux premiers ter- mes foient 1 —, & pour g une valeur dont les deux premiers termes foient 1 +4; cette remarque eft d’autanc plus importante que les quantités p & 4 feront données dorenavant par des équations particulieres dont chacune montera cependant au quatrième degré , comme on le verra ci-après. XLVIL Ayant trouvé la première valeur approchée de y, onla fubftituera dans l'équation {@) qui donne la valeur de x, en y négligeant d'abord les termes, où + & y font mé- lés ; ce qui la réduit à celle-ci: Mr re +(i+4u')x—a(oÿ—3(fydi)") = conf. or, puifque J = fcofpt+s cof. ge, Pij 116 EssArsUR LE PROBLÈME on aura ; en néoligeant les £?, Y'= ff cof pe + 3 fg cof. pt. cof. gt = 2 f Q+cof2pt)+fg(cof{p+g)t+cof(p—9)) __ Shin: pt g fin. gt Jydt= NS. re q (f'ydr)— Ê Jin. pf+ Æ fin. pt. fin. gt ru fe = RC caf 2pt)—7 (caf (pa) —cofp—g)) 5 donc fubftituant ces valeurs rejettant tous les termes conftants, à caufe qu’il ne doit y en avoir aucun dans la valeur de x par l'hypothèfe, on aura 3 f#(3p# Hi) cof. dx : . g +ü+4a)x g 2p# dr? —((spg21)c0/ (05 pg 1) (p—gy) = O0: Ainf la valeur de x fera de cette forme x=a cof. rat + af A cof. 2pt at fg(B cof. (pHq)t-+B cof(p—qt); & la fubftitution faite, on aura a cof. mt (me 1-40") (3p2+5) +atf'oofap(A(—ap +de) BE DES TROIS Corps. 117 + fs cof.(p+g(B(—{(p+g) +1+4u) — _— +afe cof(p—4) Y(A(— (p—g) +1+42)— ) = Oo, Donc égalant à zero les coefficiens de chaque cofinus , on aura les équations fuivantes : —MHHiH dd —=0 3(3P° +1) M 6e li a B(—(p+9) +1 + 48)— … = B(—(p—9) +1+ 42) — _— ) 0; d'où l’on tire m=V(1 +4 a) 3(3P* +1) 3, de ER À 100 ON LE À en 3(3p3+ 1) pp Fi) 49 3(3P9— 1) B'=— PAUL Ets DO = 6. PA —(p—3) +1 ac) La conftante 2 qui eft demeurée indéterminée dépend de Pexcentricité de l'orbite lunaire, & doit par conféquent être fixée par les obfervations. Ainfi l'angle #1# repréfentera l’anomalie moyenne de {a Lune, c’elt-à-dire fa diftance à l'apogée ; de forte que : 118 ESSAI SUR LE PROBLÈME (h —m}t fera la longitude moyenne de l'apogée , hs étant comme plus haut celle du lieu de la Lune ; mais comme nous avons néyligé dans l'équation (*) des termes où x fe trouve multiplié prr «* on doit s'attendre que la valeur de m ne fera exaéte qu'aux quantités de l'ordre de «& près ; c’eft pourquoi on aura dans cette premiere approximation Mme, & m—h=0, en rejetant les «*; ce qui donneroit les apfides fixes. Venons maintenant à l'équation (+) qui donne la valeur de X;5 & comme cette quantité ne doit contenir aucun terme tout conftant, il eft clair qu’on aura fimplement — + a'X—0o; & que la valeur de X fera de cette forme X= b cof. nt d’où l’on trouvera par la fubftitution —#hha—=o, Rn = «a. Le cocfficient indérerminé & dépend de lexcentriciré de l'orbite du Soleil, & #2 eft par conféquent l’angle de l'anomalie moyenne ; de forte que (# — L')+ fera la lon- gitude de l'apogée du Soleil , qui eft ici nulle à caufe que Da, &nr= XLVIILE Puifqu'on connoït déja la forme des premiers terme des valeurs y, x & X, on pourra aifément trouver les fuivans DES TRo1Is Corps. 119 & reétifier en même-temps les coefficiens de ceux qu’on a déja trouvés; pour cela , il n’y aura qu’à fubftituer dans les rermes négligés des équations propofées , les valeurs qu'on vient de trouver, & l’on aura la forme des termes qu’il faudra introduire dans les nouvelles valeurs de 7, x& X5 on donnera à tous les rermes des coefficiens indécerminés , & la fubftitucion faite, on fera égaux à zero les termes analogues, c’eft-à-dire ceux qui renfer- ment les même cofnus ; on aura par-là autant d'équations qu ilen faudra pour la détermination de tous les coeffi- ciens. Ainfi reprenant l'équation (#) & fubftituant dans les termes qui renferment x & Xles valeurs de x, X& y trou- vées ci-deflus, il viendra des termes de la forme af cf. p Æ m}t,ag cf (q + m}, af} cof(2p Hpt, « ftg cf (2p Ha, a frecf(p+tatp}; cf gco.(p+g+ ah, bfcof(p+n}, & bg cof. (g—+r)t ; on fuppofera donc y=f cof+g cof.gt+af P cof. (pm)s +afP"cof. (p—mit+agQ cof. (g+m) +agQ'cof. (q—m) +, &c. & prenant pour x & X les expreflions de l’art. 47, on aura l'équation fuivante, dans laquelle j'ai négligé les qnanti- tés affectées de 4° de za? & de at, à caufe que l’on a né- 410 EssAI SUR LE PROBLÈME gligé dans l'équation (1) les termes où x fe trouvoit à la feconde dimenfion, af p(fi=r ste TES), 3a2f5 À 1 1-— 3x2 +) (1—1 =: 425) + caf. get —g +2 =) — nn —— P — FE + nl + 4 g° P9 ét: PE? (1 drap MA TES —=)) 4 q g Pa - +cof(p+m)(afP (—{(p+r) +2+a— ms) 3af, P P 1—3a ne — I ———— 4 ( pen (pt E 1—34 + cof(p—m)4( af P(—(p—m)+2+a— D 3af, P ; mt LE ) ——| + = ——— —— : ak pm (pm) REA) + cf. PE A a tx) 384 q Le 4 ( g+m (94m)? FRE nel 1— 32° +cof. mar — 4m) +2+at Le rm) 382 4 tag sas) ( Ton er ee) DES TRoIs Corps. 121 On égalera donc à zero les coefficiens de ces différens cofinus , & l’on aura 1— 3 F équation d'où l’on tirera la même valeur de p que ci-deflus (arc. 45 ), de forte qu’on aura Ip HiHa — : I === — Q— — P FF. & l’on fera maintenant affuré que cette valeur eft exacte jufqu’aux quantités de l'ordre de 4° inclufivement. 2°. — jf +2 a — = Lt 322f(B+-B") (: —:) 4 Cu e2f2 BR 27 2 APE PAB=P) Pare rs 4 pq or, comme nous négligeons les quantités de l’ordre de at on aura (en mettant pour p & q leurs valeurs approchées) = ©; Pr Tr P3 de forte qu’à caufe de B=— — 3, & B'— 6 (art, 48 ) l'é- quation précédente fe réduira à LEE Ta CE —_— 2103 +isf «=0, ou bien MALE — EL + 11 e ai )g* a?f? —=0; HI a — Prix de l'Académie, Tome IX. 1772. Q 122 ESSAI SÜR LE PROBLEME d'où l'on tire d'abord, aux quantités de l'ordre 4° près ; en ayant égard à la remarque de l’art 46, a? 2 2 ir f +aav(resËs) x? & 2 =Il+iat — —iT + PE 4 «2 =1Hiat — + 3 fra; & de-là 2,2 . 4e? 2,2 g=i+at — UT LE en 2 8. Pr 2 _'e On aura donc ici LE 202 er. + + Le z 4 P409 par conféquent le mouvement moyen du nœud qui eft repréfenté par (4 — ne # (art. 46) fera —— afat 4 ce quis accorde avec ( obfervations 2, P(—(p+m) +2+a— RE ) 3 P Le I1— a? == SE is DE A ñ (: pm + ns mu 0, PI (pm) +2+ =) 491: PEER ES ee) Te PRE 1 1 tr I— 3a? Li À (p—m } Pe—m ) T°: s°. &c. d’où lon tire à-peu-près P=—:, Pi, Q=—:, Q—! &C. 4 4 DES TROIS CoRpPs. 113 XLIX. On repañlera préfentement à l'équation (£) pour trou- ver une valeur de x plus exaéte que celle de l’art. 47. Pour cet effet, on commencera par fubftituer dans les termes de cette dernière équation qui fuivent les deux premiers , a [a place de x, X & y leurs valeurs trouvées dans les articles précédens, & négligeant les quantités de l'ordre de g°, auffi bien que celles qui feroient affectées de &° multipliée par 4°, aa°, b°, ba? &a*, à caufe que nous avons rejetté dans la même équation les termes de l'ordre 4° dans lefquels x &X pouvoient former enfemble des produits de deux dimenfions, on aura par ces fubfti- tutions des termes de la forme, a2f> cof: 2pt, «°fg cof. (p+-9}t, «taf: cof (p-m+p}r, aragf cof. (pm), aifi cofapt, a*fig co[{3p#a)r , a>bf? cof. (2p-Hnit; ab cof. nt, & a-bgf cof(p+q—+nr: c’eft pourquoi on fuppofera —a cof. mt +a*f: A cof. 1pt +a:fgB cof(p+g)t+afgB" cof. (p—g)t +aafi Ccof(2p+m)t+ataft C'eof(2p—m)t +aragfD cof(p+q+m+a ag f cof(p+g—m}s + &c. & fubftituant cette valeur de x aufi bien que celles de Q 2 124 EsAr SUR LE PROBLÈME 3 & Xdes articles précédens, on aura, en négligeant ce qu'on doit négliger, gaf? 2(p?—m:) a2f? P P' PIE EN GR QuE ) + &c. ) Poe PER) N) Pr a cof. mi —m +14 —92f"(P+P') +ateap(f Alapage 2(p°—4p? D EC er) z 2p? 9e f? 2(p?=(p+-qli) 322f3g AB" sfe(r— 34) 3a2) ) CRT 2 2e + &C. : DE TT ne +acof(p+q) feB(—{(p+g}+1+qa— . APRES 2e ef? + cof.(p—g)(fB(—{(p— 9) +1+4a 2) «fi AB (1 —242 ——— —9 f8+ 4 &c.) +aza cof. (2 p+m)f 2C(—(2p+m) +144) — ofP:— 37 R3 of? TT pe+n 4p+mzp+m) aa cof. (2p—m)( FC (pm) ++) — 1 3/2 9 f° eV RE RE en) EG 0 À 5 ëcc.) + &c.) + 2 Oe. Ainf , il n’y aura plus qu’à égaler à zero les coefficiens de ces différens cofnus ; pour dé les inconnues m, A,B,B,0, c , &c. DES TROIS Corps. 125 Le coefficient de cof. mt donnera la valeur de # exacte jufqu’aux quantités de l’ordre de a: inclufivement , & l’on aura, à caufe de P——?, & P'—4 (art. préc.) l'équa- tion 2/2 2f2 2f2 — MH 1 + Au — ts ES NE CE AL + FT 2(p—m 4P(P+-m) 4pip—m) ga° f? 2 O5 ou bien 2e gu2f2 — D + Ag — — —— — 0 4 P(p+n) z L d'où, en mettant pour f, p; & m leurs valeurs appro- chées 1, ontire m°—1—24, & m—1—4". De forte 2 que le mouvement de l'apogée (4 — #):, deviendra cale de bre 4 4 Comme notre deflein n’eft point de donner ici une théorie completre de la Lune, nous nous contenterons de ce léger eflai, qui peut fuffire pour donner une idée de la méthode qu’il faudra fuivre dans l'intégration des équa- tions différentielles de l’article 41 auxquelles nous avons réduits le Problème des mouvemens de [a Lune & du Soleil autour de la Terre. Quand on aura trouvé les valeurs de x, X& y ens, c’eft-à-dire de r, r! & r!!, on aura d’abord les latitudes & L' par les formules (:) de l’art. 42 & enfuite on aura les longitudes ç & @° par les formules (4) du même article; ou bien, comme y = R7 cof. Ü" en connoiffant y, r à 2 — SUR PUREUE SRE & R, on connoîtra cf. € = VER Ex; 126 EssAI SUR LE PROBLEME or é1! eft l'angle qui exprime la diftance de la Lune au Soleil , de forte que comme la latitude du Soleil eft très- petite & peut par conféquent être négligée, on aura par la propriété connue des triangles fphériques re‘tangles :: cof. E* = cof. À x cof.(o—®) & par conféquent marre Ainfi on aura par ce moyen ia diftance 9 —@" de la Lune au Soleil comptée fur l’Ecliptique ; mais la longitude @! du Soleil eft aflez connue par la loi de Kepler que cet Aftre fuit affez exactement puifque les dérangemens que la Lune pourroit y produire ne feroit que de l’ordre deB , ou de à ao, comme on le voit par l'équation (r )de l'article 41 ; donc en ajoutant cette longitude à la diftance og —@" des deux aftres’, on aura la longitude @ de la Lune comptée à l'ordinaire dans lécliprique. FI N. TRAITÉE DE L'ARRIMAGE DES VAISSEAUX. Pondere tuta fuo eft navis jaétata per undas. CHAPITRE L Définitions, Norions préliminaires, conditions générales de l'Arrimage. $. I. A'ARRIMAGE elt, comme on fair, larrangement qu'on donne , dans le vaifleau , aux différentes matières qui en compofent la charge. Cette ! diftribution de la charge eft une partie impor- tante de la fcience du Navigateur, En étudianr avec foin les divers mouvemens du vaifleau, & les caufes qui Prix de l’Académie, Tome IX. A 2 TRAITÉ DE L'ARRIMAGE peuvent les produire, on s’eft apperçu que la tranfpofition de quelqnes poids fufffoit fouvent pour augmenter la rapidité du fillage , pour rendre Le navire doux à la mer & fenfble à laétion de fon gouvernail. Mais lucilité la plus évidente & la plus réelle d’un bon arrimage , c’eft qu'il procure au navire la qualité de bien porter la voile, qualité qui doit être regardée comme la première de toutes : car non-feulement elle affure la navigation ; mais en faifant conoître la quantité de mâture dont un vaifeau a befoin, à proportion du volume d’eau qu'il déplace , elle permet encore, en certaines occafions, de forcer de voiles pour doubler un cap, pour s'éloigner d'une côte, pour joindre, ou pour éviter l'ennemi, pour reprendre fon polte en corps d'armée, &c. Ces conlidé- rations montrent fufifamment combien le fujet propofé mérice d'être approfondi. J'entreprens de le traiter dans 1 ‘toute fon écendue, en le reprenant par les fondemens. On juge bien que je ferai obligé de répéter des remarques & des dérails qu’on peut trouver ailleurs. L’enchaïînement des matières & l'envie de me rendre clair, m'en impofent la néceffité. La plupart des Géomètres , jaloux feulemenc de produire des chofes nouvelles , ne fe mettent guères en peine d’en montrer la liaïfon avec celles qu’on connoifloic déja dans le même genre, & de réduire ainfi en corps la fcience dont ils traitent ; mais cette méthode, fouvent nuifible au progrès des fciences, parce qu’un habile homme dédaigne d’achever l’ouvrage d’un autre, & qu’un homme médiocre n’en eft pas capable : cette méthode, dis-je, feroit icientièrement vicieufe, & contrairean but que l'Académie s’'eft propofé de procurer à la Marine un ouvrage utile & facilement applicable à la pratique. LE Lorfqu’un Conftruéteur veut entreprendre un vaifleau, DES VAISSEAU x. 3 il commence par en faire des defleins exaëts & détaillés qui fervent à le diriger dans fon travail, & qui le mettent en état de reconnoire d'avance fi le vaifleau projeté aura une belle batterie, de belles lignes d'eau , les capa- cités de l’avanc & de l’arrière bien balancées, &c. Toutes ces dicufons eflentielles doivent néceffairement précéder lexécution de l'ouvrage, afin de donner infailliblement au vaifleau la forme la plus avantageufe. Elles ne font pas aufli pénibles, ni aufli difficiles que bien des gens pourroient le penfer. Depuis qu'on a appliqué la Géo- mérrie , fur-tout les nouvelles méthodes des calculs diffé- rentiel & intégral , à l’Architeéture navale, cette par- tie de l'Art nautique à fait des progrès immenfes ; & la pratique eft parvenue à éxécuter avec afflez de précifion les règles prefcrices par la théorie. Mon objet n’eft pas de me livrer à de nouvelles recherches en ce genre. Je confidère le vaiffleau tout conftruit, flottant à la mer, & je me propofe de le charger de manière qu'avec une ftabilité fufifante, il prenne & conferve dans l’eau les lignes déterminées par le Conftructeur , ou même de lui donner, au moyen de larrimage, d’autres lignes d’eau, fuppofé que celles qui ont été déterminées par le Con- ftruéteur , fuflenc défectueufes, LU ER C'eft un principe d'Hydroftarique que lorfqu’un corps folide flotte librement fur un fluide, 1.° le poids de ce corps eft égal au poids du fluide qu'il déplace. 1.° Le centre de gravité de tout Le corps & le centre de gravité de la partie fubmergée, confidérée comme homogène, font toujours placés fur une même ligne verticale. Ainfi le poids du vaiffeau tour armé & prêt à faire voile, doit être égal au poids de l’eau déplacée par la carène. De plus le centre de gravité de tour le fiftême qui compofe 2 ° » 4 TRAITÉ DE L'ARRIMAGE la charge du navire doic être placé fur la verticale élevée par le centre de gravité de la carène. Je fais abftraétion en ce moment de tout mouvement progrefhf ou ofcillaroire; car fi le navire n’eft pas dans un parfait repos, fon poids fera égal en général à la réfulrante de toures les ces perdues verticalement dans le fens oppofé. ; Sur ce principe, il eft eflentiel de toifer la carène, & de déterminer la pofition de fon centre de gravité ; car on reconnoîtra par ce moyen le port du vaifleau & la manière générale dont la charge doit être arrangée , afin que le vaifleau arrive à la fituation d'équilibre qu’on demande. Le pied cube d’eau de mer pèle, comme on fait, environ 72 livres: ainfi lorfqu’on aura calculé le nombre de pieds cubes que la carène déplace , on le mul: pliera par 72 livres pour avoir le poids rotal de la charge. On ne doit pas mettre moins de foin dans la diftribution particulière de la charge. En effer, il eft évident que cette diftribution peut fe faire d’une infinité de manières, celles que le vaifleau vienne toujours à la flottaifon pro- jetée. La queftion eft de choifir , parmi tous ces arrange- mens, celui qui procure, ou qui favorife le plus les qua- lités dont le vaifleau a befoin. Ceci fera pleinement éclairci dans la fuite. Ave Tous les Auteurs qui ont écrit fur l’Architeéturenavale ; ont cherché des méthodes pour déterminer la carène & la poñition de fon centre de gravité. On a tenté d’abord de réfoudre le Problème, en rapportanr la figure du vaifleau à celle de quelque corps géométrique connu, par exemple, à celle d’une portion d’ellipfoïde. Mais cette fuppofition & les autres de ce genre étoient trop éloignées de la vérité; & dans ces derniers tems,on a eu recours à des moyens de pratique qui font plus ou moins exaéts, felon qu'on poufle plus ou moins loin l’approximation, DES VAISSEAUX. . F Ces moyens confiftent à partager la carène en plufeurs parties qu'on regarde comme des Prifmes , par des plans horifontaux également diitans les uns des autres & par des plans verticaux aufli également diftans les uns des autres, Cela eft expliqué fort au long dans les Ouvrages de MM. Bouguer & Duhamel qui font entre les mains de tout le monde. Aïnfi je ne my arrêterai pas davantage : je me contenterai d’ajouter que fi on veut réfoudre ce problème d'une manière plus exaéte & même plus com- mode à certains égards, on pourra employer les formules pour les quadratures des courbes, données par M, Cotes dans fon livre intitulé de Harmonia menfurarum. Comme ces formules ne font pas aufli connues, ni aufli en ufage qu’elles devroient l'être, dans les problèmes d'approxima- tion , je crois devoir les rapporter ici en faveur de quelques Lecteurs , mais fans en ajouter les démonftrations qui me méneroient trop loin , & qu’on déduira d’ailleurs facilemenc de l'ouvrage même de M. Cotes, ou de la méthode diffé- rentielle de Newton. V. Pour comprendre la table fuivante , il faut favoir que À repréfente l’abfcifle totale correfpondante à l'aire en- tière qu'on veut quarrer,|& que certe abfeiffe eft partagée en plufeurs parties égales , auxquelles répondent des ordonnées dont le nombre eft defigné par le'chiffre romain correfpondant qui fe trouve dans la première colonne à gauche. 4 eft la fomme de la première & de la dernière ordonnée, B la fomme de la feconde & de la pénultième ordonnée , C la fomme de la troifième & de l’antépé- nultième ordonnée, &c. Le relte s’enrend de foi-même. 6 TRAITÉ DE L'ARRIMAGE ne Superficres. | TL | (=) Fe (= )2 sains 9 D RE VI. | CS) R 288 VII. (ET TETE) R 840 14 B C+4-2989D vin | (EEE) RE 2 DE 5 AE PES RCA MR EE D DEN CE VERRE RE 989A4-5888B—028CH10496D—4$40E IX. CE R 28350 2 20 APTE + EL ASE EE PE X | (ELEC R ; 89600 RE Cette Table, qu'il eft facile de continuer, eft afflez étendue pour notre fujet. V I. Les mêmes formules peuvent fervir à déterminer le centre de gravité d’une courbe quelconque ; car fuppo- - fons que FGKIL foit la courbe propofée , AR fon axe Ci t4 partagé en plufieurs parties égales AP, PQ, QO, OR; DES VAISSEAUX. 7 & que AF,PG, QK, &c, repréfentent les ordonnées qui répondent aux points À, P, Q , &c. Soir conftruite fur le même axe AR la courbe HMVXZ dont les crdonnées AH, PM, QV, &c, foient proportionnelles chacune à chacune des quantités AF> è GE, Q QoE A: 4 Il eft clair que l'aire AHMVXZR repréfentera le moment de l'aire AFGKILR, par rapport à l’axe AR. Ainf divi- fant l'aire AHMVXZR par l'aire AFGKILR , le quotient donnera la diftance du centre de gravité cherché à l'axe AR. Qu'on conftruife encore une troifième courbe ANTDY dont les ordonnées PN, QT, &c, foient pro- portionnelles chacune à chacune des quantités PGxAP, QK:AQ, &c. En divifanc l'aire ANTDYR par l'aire AFGKILR , le quotient donnera la diftance du centre de gravité cherché à l'axe AE. Connoïflant ainfi la diftance du centre de gravité cher- ché aux deux axes AR, AE, il eft clair qu'on connoîtra fa véritable poñirion. Nul T: Rien n’eft plus facile que d'appliquer tout ce qu’on vient de dire à notre fujer. Pour cela, on partagera Ja carène en plufieurs tranches, qu’on regardera comme fes élémens, & dont on déterminera les furfaces & les centres de graviré. Cela fait, on regardera ces tranches éomme les ordonnées d’une courbe à quarrer, & l'aire de cette courbe repréfentera le volume de la carène. Enfin le centre de gravité fe trouvera par le $ précédent. Il eit évident que pour plus de fimplicité les tranches élémen- taires de la carène doivent être parallèles ou perpendicu- laires au plan de flottaifon. Je crois que la feconde hypo- thèfe a quelqu'avantage fur la première, & qu’il convient de procéder dans ce calcul de la manière fuivante. Soient AKBM (fig. 2), le plan de floctaifon du vaifleau ; Fis.2,;,4. 8 TRAITÉ DE L'ARRIMAGE ACDB (fig. 3 ), la coupe verticale faire fuivant la direction de la quille, coupe qui divife le vaifleau en deux parties parfaitement égales & femblables ; MEK (fig. 4), le maître couple dont le profil eft repréfenté par la verticale ER (fig. 3), & la plus grande largeur par l’horifontale KM (fig. 2). Qu'à compter du maître couple EF , on partage chacune des deux parties EA , EB* de l'axe AB,enun certain nombre de parties égales, par exemple, chacune en cinq parties égales; & que par les points de divifion 1,2,34,0on mène des tranches parallèles au maître couple. Les profils de ces tranches font marqués par les verticales 1f, 24, 3h, 44 (fig. 3). Toutes ces tranches, en y comprenant le maître couple, font les élémens de la carène, & lorfqu'on en connoîtra les furfaces particu- lières, on connoïtra auf le folide qu’elles forment par leur aflemblage. Or pour déterminer, par exemple, la furface du Maître couple MFK, on partagera la hauteur EF en en certain nombre de parties égales ; par exemple, en $,aux points #,#,0,x,& on mènera les ordonnées mp2 ,0r,X2, qu'on connoîtra d’après les dimenfons connues du vaifleau ; d'où il réfulte qu'on connoîtra la furface MEFK. Les furfaces des autres tranches fe déter- minent de même. Ainfi on aura tout ce qu'il faut pour connoître féparément la partie d'avant & la partie d'arrière de la carène, à compter du maître couple. Il eft à propos de faire ainfi ces deux toifés à part, pour s’aflurer fi les capacités de l'avant & de l'arrière du vaifleau font bien balancées. La partie d'avant doit être un peu pius grande que celle d’arrière , parce que l'arrière eft fort pincé, afin de favorifer l’impulfion de l’eau fur le gouvernail. « . , dns Il ne fera pas moins facile de dérerminer les centres * On doit remarquer que les deux parties EA', EB de l'axe ne font pas égales entrelles. Le maître couple eft placé en avant du milieu de AB d’une certaine quantité qui n’eft pas la même dans tous les vaiffeaux, de DES: VAISSEAUX de gravité des deux parties de la carène, & celui de leur fiftème ; car mulripliant Paire de chaque couple par [a diftance de fon centre de gravité à l'axe AB, regardant les produitscomme les ordonuées d'une courbe à quarrer, & divifant l’aire de cette courbe par l'aire de la courbe à laquelle le folide réfulrant de l'afflemblage des couples, eft proportionnel, le quotient exprimera la diftance du centre de gravité de ce folide à l'axe AB. Pareillement multipliant la furface de chaque couple par la diftance de fon centre de gravité à un plan perpendiculaire à la lonoueur AB, & paflanc par le point À ou B, regardant les produits comme les élémens d'une courbe à quarrer, divifant l'aire de cette courbe par le folide correfpondant, on aura la diftance du centre de gravité cherché au plan dont on a parlé. Donc enfin on connoïtra la vraie pofition ‘de ce point. Je n'ai pas befoin d'ajouter que la quille, Pétrave & l'étambot doivent être déterminés féparément, Comme ces folides fonc des prifmes, ou peuvent être confidérés comme des prifmes, leur toifé n’a aucune difficulté. Les applications de routes ces méthodes à des exemples parti- culiers font fi aifées, que je croirois abufer de la patience du Lecteur d’en furcharger cet Ouvrage. Prix de l’Académie, Tome IX. B to TRAITÉ DE L'ARRIMAGE 2 CHARME Énumération des matières qui compofent la , « 9 charge d'un vaiffeau, emplacemens qu elles ocupent , Ëc. | G VIIL C OMME un vaifleau en mer, eft, pour ainf dire, uñ monde ifolé, privé de tout fecours étranger, il doit être pourvu de routes les chofes dont il peut avoir befoin relativement à l’objet, la durée, & la fureté de la navi- gation. Tels font les trois points qui déterminent lanature, la quantité & l’arrangement de la charge. On comprend qu’! feroit auffi inutile qu'ennuyeux de nommer & comprer ici en decal les différentes matières qui compofent la charge d'un vaifleau. Mais en voici une notion générale & fufante pour faire connoître les méthodes d’arrimage qu'on pratique dans Les ports. Je commence par les vaif- feaux de guerre. I X. D'abord on voit que la coque même du vaifleau & Ja mâture forment une partie confidérable de la charge. On peur en déterminer le poids, en évaluant la quan- tiré de bois & de ferrure qui y entrent. Mais cetre mé- thode eft longue , pénible & fujette à plufieurserreurs. La manière la plus fimple & la plus exacte de parvenir à la détermination dont il s’agit, eft de calculer le poids de l’eau que le navire déplace en cet état. Il eft évident que par ce même moyen, on peur connoître [es poids de toutes les honte nd D'E'S 4 V A LS (SEA U XX,» | LE matières qu'on embarque; car la différence entre le poids de l’eau que le navire déplace, lorfqu’il a reçu quelques corps étrangers , & le poids de l’eau qu’ii déplaçoit par le propre poids de fa coque & de fa mâture, eft toujours égale au poids de ces corps étrangers. Entrons dans l’énu- mération fuccinéte des parties de la charge, en commen- çanc par le left, qui eft la première chofe que l'on embarque. X. On appelle proprement L/? une certaine quantité de matières pefantes, qu'on met au fond de la calle, & dont le feul objet eft de faire enfoncer le vaifleau jufqu’a une profondeur convenable, & de le maintenir férme dans fon affietce, malgré les efforts contraires du vent ou des lames. Le left le plus ordinaire eft un gravier menu que la mer dépole fur les côtes. Les cailloux de pierres dures font fort bons pour le même objet. Les éclats de pierres dures ont le défaut d’endommager les futailles contiguës. Les fables & les terres , qu’on employe dans quelques en- droits, ne font pas un bon left, parce que l’eau entraîne ces matières dans l'archipompe, & qu’elles peuvent en- gorger les pompes, ce qui eft extrêmement dangereux, Pour éviter l'encombrement confidérable qu’un left tout en pierre occafonneroit dans la calle, & pour ab- baiffer d'ailleurs le centre de gravité de la charge, on compofe la partie inférieure du left avec des vieux canons, des boulets de rebut, des éclats de bombe , des faumons de fer fondus exprès pour cer ufage, &c. Enfuire on met des pierres, entremêlant quelquefois des faumons & des boulets avec ces pierres; car cela: eft fufceprible de plu+ ficurs variérés. Le left en fer doit être bien engravé, afin que l’aflemblage n’ait pas de mouvement pendant le roulis. IL eft vifible que plus un left eft pefanc à volume égal, plus il procure de ftabilité au vaifleau, Ainfi, à cer égard, le B 2 12 TRAITÉ DE L’ARRIMAGE left en fer eft trés avantageux ; mais il y a des occafong où une trop grande quantité de left en fer feroit defcendre trop bas le centre de gravité de la charge, & par-là pro duiroit des fecoufles trop rudes au vaifleau, comme nous le verrons dans la fuite. Comme les canons qu'on veut embarquer pour left; font fort difficiles à arranger dans toute leur longueur, principalement aux extrémités de la calle ; on eft en ufage davs les ports, de fcier tous les canons de fer de rebut par ruelies qui péfent 100 à 1 $0 livres, fuivant le calibre des canons. Ces morceaux s’arrangent fans peine entre les porques Si ln veut augmenter le poids du leften canons, rien n'empêche de remplir l'intérieur de lame de ces canons, avec des pierres , ou avec de la féraille. La quantité totale de left eft ordinairement environ le tiers du port du vaifleau. Mais on fent bien que cette règle n’eit pas invariable. Dans plufeurs cas, les, effets & les pacotilles dont le vaifieau et chargé, fervent de left en partie Plus une campagne doit durer , plus il faut de vivres, de tonneaux de vin & d'eau, &c; d'où il fuir qu'il faut alors moins de left. Mais à mefure qu’on confomme les provifions de bouche, on ne manque pas de faire du leit dans quelque rade ou port, lorfqw'il s’en préfente , afin que le vaifleau demeure roujours également callé. La quantité de left dépend auli de l’âge du vaiffeau. Plus un vaifleau elt vieux, moins il peur porter de lelt. Il eft facile de connoître la quantité de left qu'on embarque. Pour cela, on a, dans le port de Toulon , des bateaux jaugés qui fervent à mefurer la quantité de leit en gravier ou en cailloux. Ces bateaux font partie de 10 tonneaux, partie de 15 tonneaux, c'eit-à-dire, d’une barquée & d'une barquée & demie A l'égard des morceaux de canons , on en connoît le poids par le ca ibre, comme naus l'avons déja dir: le poids des faumons eft gravé fur leur tête. DES VAISSEAUX. 3 Il eft d’ufage de referver 10 à 15 tonneaux de left de fer en boulets ou en faumons, qu'on met à la grande écou- tille, ou dans quelqu'autre endroit où l’on puifie le prendre commodément. C’eft ce qu'on appelle le /e/7 volanr. Il ferc à faire en mer quelques changemens a l'arrimage , comme nous le verrons dans la fuite. Den À Les vaiffeaux portent ordinairement fept ancres, cinq grolles & deux petires. L’une des cinq grofles & la plus groffe de toutes, qu'on appelle /a marrreffe ancre , ancre d’efpérance ou de miféricorde , fe mer dans la calle à la rande écoutille, afin de pouvoir être enlevée le plus aifément qu'il eft poflible, fu; pofé qu’on en eût malheu- reufement befoin. On voit qu'elle ferc de left en partie. Les quatre autres, qui ne diffèrent guères par leur poids, & que lon nomme ancres de pofle , ainfi que les deux a que l'on nomme ancres à a/?, fe mettent dans ’avant du vaiffeau, & en dehors depuis le commencement du gaillard d'avant jufqu’aux bofloirs. XURT. Vers le milieu & dans la plus grande capacité de la calle font placées les futailles , au-deflus du left, les tonneaux d'eau du côté de lPavant, & les ronneaux de vin du côté de l'arriere. Voyez les plans de PA/rier. On comprend aflez que [a quantité d’eau & de vin fe regle fur le nombre d'hommes de l'équipage , & fur le tems que doic durer la campagne. Le Capirame du vaifleau a fa cave à part. L'emplacement de cette cave n’eft pas le même dans tous les vaifleaux: il fe prend dans l'endroit le plus commode, & Le plus compatible avec Les autres parties de l'arrimage. 14 TRAITÉ DE L'ARRIMAGE 2 TRE Les barriques de lard, bœuf falé , morue, fromage, &c. font répandues dans la calle fur le dernier rang des futailles, dans les endroits où l’on trouve à les loger. Seulement on obferve que leur arrangement 4oir {ub- ordonné à la différence du tirant d’eau. Les barrils de farine fe mettent dans des foutes particulières du côte de l'arrière. Il en eft de même du bifcuit, avec cette différence néan-« moins que les foures au bifcuit font calfatées, brayées, & fouvenc nattées & fermées parfairement. Les légumes font aufi dans des foutes, quelquefois en grenier, quel- quefois elles reftent en facs, A QE Dans les entredeux que laifenc les barriques à vin & à eau , on diftribue le bois, qu'on appelle bois d’arrimage. Le bois à brûler fe place fur les ailes*du vaifleau , dans les endroits où on ne peut placer une barrique, ce qui arrive fouvent dans l'emplacement des porques ; & lorfque tous Les plans d'arrimage font faits, foic qu'il y en ait deux ou trois, on couvre le dernier avec le reftant du bois que l'on a foin de mettre bien horifontalement, X, V. A l'extrémité de là calle, vers 1 proue, eft la foffe aux lions. Certe foffe. dans laquelle fe trouve le pied du mâc de Mizaine, fert à loger tout le rechange du Maïtre- d'équipage, en cordages, en poulies foit en roues de fonte ou de gayac, le fuif en barriques, goudron, brai & autres chofes de ce genre. Vient enfuite la foffe aux cables qui contient les cables , grêlins, brins & autres cordages relà= DES VAISSEAU x. 15 tifs au mouillage. Sous le plancher de la foffe aux cables, qui eft ordinairement à environ cinq pieds audeflus de la carlingue , on met du left, foic en faumons ou en pierres. Si pourrant le vaiffeau , par fa configuration , n’a pas beau- coup de différence de tirant d'eau, on y en met peu, & quelquefois point du tout; car alors les effets contenus dans la foffe auxflions, par leur fituation & par leur poids, rappellent fuffifamment le vaifleau fur l'avant. Plufieurs Capitaines ne font pas faire de foffe aux cables. Alors on prolonge le plan d’arrimage jufques à la cloifon de la foffe aux lions ,& l’on met les cables fur un plancher porté par les faux baux, plus ou moins en avant, felon que la différence du tirant d’eau l'exige. XVI. Il ya encore dans la partie d'avant de la calle plufieurs autres foutes , telles que celles du maître Charpentier , du maître Voilier, du Chirurgien, du Pilote, de MM. les Gardes de la Marine , &c. Le Maître Charpentier a des bordages convenables à l'échantillon du vaifleau. IL a aufi un rechange de la mâture, à l'exception, comme on peut bien penfer, des mâts majeurs & des deux baffes vergues, qui fonc la grande & celle de mizaine. La foute du maître Voilier eontient un rechange de chaque voile, qui eft en garniture, des piéces de toile neuve, pour le radoub des voiles, le calfat, goudron, brai gras & fec, étoupe goudronnée, cloux de toutes fortes, & autres matières relatives à fon métier, pour remédier aux accidens qui peuvent arriver pendant la navigation. Il eft auf muni de placards de plomb & de bois garnis d'étoupes pour boucher dans l'inftant les trous faits par le canon dans un combat. Outre cette foute, on conferve fou- vent un emplacement à pouvoir loger dans la calle les 16 TRAITÉ DE L’'ARRIMAGE groffes voiles qui fonc mifes dens des éruis de toile en pré- larts ; & le Maître Voilier ne met dans fa foure que les perites voiles & les piéces de rechange en roile pour radoub, ainfi que la vieille voile qu'il a pour fervir de fourrure aux cables, Dans la foute du Chirurgien, font les draps de lit & la terraille pour le fervice des malades. Les coffres à mé- dicamens fe mettent ordinairement fur le faux pont, avec les malles & autres effers des Officiers. Le Pilote eft pourvu de tous les inftrumens néceffaires pour diriger la route du vaifleau , &c. UMA Le orand mât eft environné d’une cloifon quarrée dans D laquelle font renfermées quatre pompes qui fervent à épuifer l’eau qui entre dans la calle. Cette cloifon s'appelle archepompe , où plus communément !archipompe, Il y a aufli une archipompe autour du mât de mizaine. Tout joignant l’avant de l’archipompe du grand mât, eft un parquet où fe tiennent les boulets, & dans lequel fonc différens compartimens, fuivant le calibre des piéces. On fait encore fur le pont, tout auprès du grand mât, des parquets qui contiennent des boulets du calibre des ca- nons qui y font ; & l’on met à côté de chaque piéce une petice quantité de boulets pour le plus prompt fervice de l'artillerie, X VII. La foute aux barrils de poudre & aux artifices eft tout= à-fair à l’arrière de la EL . Ordinairement on a auffi à l'avant de la calle des caiffons où l’on met des gargoufles pleines , pour le plus prompt fervice des canons de l'avant, lors d’un combat. Les uftenfilesnéceffaires pour le fervice des canons, comme pinces , anfpeëts , refou- lois, cuillers , tirebourres , gargoufles vuides, portes gargoufles ; DES VAISSEA U X. 17 gaarcoufes, bouttefeu , méches, &c, fe mettent à l’arrière à 2e ) , du vaifleau dans une féparation qui eft faite dans l’entrepont NS © CHAPNODEIEE Ë depuis le mât d’artimon jufqu’à l'arrière. Cette féparation, qu'on appelle la /aënre-barbe , fert encore à loger le maitre Canonier, l’Ecrivain de la Mariné, l AumOnier , le premier ” k ? > Chirurgien & quelques-uns de Meffieurs les Gardes de la Marine, lorfqu'ils ne font pas tous logés fous le gaillard. X IX, Les ponts, gaillards, & dunettes, portent l'artillerie, les ancres , à l'exception de l'ancre d’efpérance , l'équipage, la chaloupe, les cuifines, les bœufs, vaches , moutons, chèvres , poules, &c. On fait que les vaifleaux de guerre fe diftribuent en différens rangs, & que c’eft par le nombre des canons que les rangs des vaifleaux font diftingués. Les vaifleaux du premier rang portent depuis cent vingt jufqu’à quatre- vingt-dix canons exclufivement ; les vaifiéaux du fecond rang portent depuis quatre- vingt- dix jufqu'à foixante canons exclufivement; les vaifleaux du troifième rang portent depuis foixante jufqu’à quarante-fix canons exclu- fivement. Viennent enfuite les frévares qui portent depuis uarante-fix jufqu’à vingt canons exclufivement. Les vaif- dx qui ne portent pas plus de vingt canons s'appellent corvettes. Nous avons déja indiqué les places des ancres fur les aillards. Le premier pont, qu'on appelle ordinairement écrépout , Contient , outre les canons de la première batterie & leurs uftenfiles, la plus grande partie de l'équi- page, les différens poftes qui fonc ceux des Chirurgiens, des Malades, des Sergens, Caporaux, Charpentiers, Voi- liers, appréntifs Canuniers, &c. Ces poftes font marqués par les entredeux des canons. Le parc aux moutons eft aufh fur ce même ponc, au milieu de la partie d'avant, Sux Prix de l’Académie , iome IX, E Fig. 5,6, T839,10; K1,12; 13. 18 TRAITÉ DEL ARRIMAGE le fecond pont, où elt la feconde batterie, font les canots & chaloupe , les cuifines du Capitaine & de l'équipage, le four. Sous le gaillard d'arrière qui eft à ce même ponts eft l'office du Capitaine. Lorfque lon a embarqué des vaches & des bœufs, on les tient auf fur ce même pont, Seulement pendant un combat on les fair defcendre dans Ja caille quand il ya de la place; car quand il n'y a pas de place, on les | jete dans la mer, ainfique les autres chofes qui embarraffent. Les cages à poulets fe mettent pareille= ment dans les ,entredeux es canons: elles fuivent le fort bœufs ou riches. dans lecas d’un combat. X X. Je pañle rapidement fur tous ces dévails qui ne cori« tiennent rien de nouveau; mai: pour éclaircir briévement la plupart des chofes qu'on vient de voir, j'ajoute les plans d’arrimage de deux vaifleaux de NÉE quatre canons; avec les explications marginales qui ont été jugées nécef- faires. Je ne me fuis pas affujecci à defliner ces figures fuivant les proportions rigoureufes dés parties , parce qu 1 ne S’agit pas ici de la conftruétion des vaifleaux , & qu’on n'a par corféquent pas befoin de connoître les Sértables dimenfions des figures. On trouvera plufieurs différences dans l'arrimage des deux vaifleaux dont il s'agit, foic par rapport à la qualité , la quantité & l’arrangement du left, foit même par rapport à la diftribution des futailles. Le refte de l’arrimage eft toujours à-peu-près le même dans tous les cas: car les autres emplacemens font déterminés, ou par la néceffité , ou par la commodité, Je renvoye à la fin de cet Ouvrage plufieurs devis des deux mêmes vaifleaux. X X I. On juge bien qu'il eft comme impoffible de connoître + BLEUS) Y'A :I S SEM U T5 en détail les poids de toutes Les chofes qu’on embarque; mais on connoît du moins les poids des principales. Sup- pofons, par exemple, un vaifieau de 64 canons armé & approvifionné pour 6 mois, à $0$ hommes d'équipage. Le poids des vivres, non compris le poids des furailles au vin & à l’eau , mais en y comprenant le poids du bois d’arrimage & généralement tous les emballages qui fervent à renfermer les vivres qui ne fe mettent pas dans des foutes , peut monter à 971234 livres. Le poids du bois d’arrimage monte à 204496 livres. Comme on ne peut pas prendre ce bois pour l’'ufage @ur- palier des cuifines, puifque routes les futailles fonc par- deflus, & qu’il eft mis pour les contenir, on prend encore environ 2000 quintaux de bois pour le fervice de cuifines. Le poids du vin, non compris le poids des futailles qui le contiennent, monte à 171$ quintaux, Il ya dans un tel vaifleau 26 canons de 24!i: de bale , & chacun pèle $ soo!v. 28 canons de 121". & chacun pèle .......3200, 10 canons de 6h" & chacun pèle....... 1700. Ce vaifleau porte 60 coups à tirer de chaque piéce, tant en poudre qu’en boulets , fans compter la micraille, La garniture en cordage pèle 43 6 r4liv. Les cables pèfenr ........ 56047. Lés-greflinss 5 AIT. 51168 96: Le rechange en cordage . .. 10939. Les cinq grofles ancres.... 22500. Les deux petites ..,...... 3000. A ARE 14 . Quant à la totalité de la charge, elle fe détermine par le déplacement d’eau , comme nous l'avons dit $. LX : elle cit ici d'environ 2180 touneaux, C z 10 TRAITÉ DE L'ARRIMAGE X XCRTE Nous finirons par quelques remarques fur l’arrimage des vaifleaux Marchands. On ne peut guères donner une notion exacte, hi même approchée jufqu'à un certain point de la cargaifon de ces fortes de vaifleaux; car ils font chargées des marchandifes convenables aux pays où ils vont. Lorfque le Négociant qui doit faire le chargement, en a donné l’état au Capi- taie , celui ci a l’artention de fe faire livrer d’abord toutes les marchandifes les plus pefantes pour les mettre dans le fond ; & quand il n’y a pas de marchandifes qui , par leur pefanteur, puiflent férvir de left, il fait prendre du left en pierre. Les navires qui vont porter leur cargaifon aux Ifles de l'Amérique, embarquent pour left des briques, parce qu'on trouve à bien vendre ces briques dans les pays dont il s’agit. ) Les marchandifes qui ne font pas fufceptibles d'humidité font mifes dans la calle; celles qui peuvent prendre de l'humidité fe mettent dans l'entrepont. Les Bâtimens mar. chands ne font pas d’arrimage avec des barriques dans [a calle; la place leur eft trop précieufe pour cela. Ils fonc däns l’entrepont de l'avant une féparation dans laquelle Le Capitaine fait enfermer les vivres embarquées pour fon équipage. On met aufliune partie des vivres dans la foute aux poudres. Plufeurs barriques d'eau font encore mifes dans l’entrepont. Lorfqu'’il refte de la place dans la calle,on la réferve à la grande écoutille, pour y loger des futailles d’eau ou devin. Au retour des Ifles , on fait le chargement en denrées du pays, & l’on place, parexemple, les barriques de fucre dans l'endroit le plus bas, parce que leur poids fert de left, &c, y DES VAISSEAU x%, 21 CHA PE DIR ERILT Tnfluence de l'arrimage fur les qualités du varfeau. 4 XXIIL = D, NS le Chapitre précédent, nous avons expofé 1 méthodes d’arrimage qu’on pratique dans les ports. Il no@ refte maintenant à difcurer ces méthodes, & à leur donner toute la perfection dot elles font fufceptibles. Les qualités fur lefquelles 'arrinile a de l'influence font la force que le vaifleau doit avoir pour conferver fa figure & ne pas s’arquer ; la rapidité de la marche ; les mouvemens de roulis & de tangage ; les mouvemens de rotation produits par laétion du gouvernail ou des voiles. Cette matière eft, comme on voit, extrêmement abondante. Pour la confi- dérer plus diftinétement, nous la diviferons en plufieurs fections. SEE, EU ROZNNUTE baie Influence de l’arrimage [ur le changement de forme du vaileau. >. NE S o1T ACDB le profil de la carène d'un vaiffleau flottante à la mer. Imaginons que cetre carène eft partagée en une infinité de tranches verticales repréfentées par les droites’ EF, 1f, 2g, &c. On fait qua la pouffée perpendiculaire de J'eau fur chacun des points F, f, g, &c, eft exprimée par Fig. 3: #2 TRAITÉ DE L’ARRIMAGE chacune des lignes correfpondantes EF, 1f, 24, &ec, Ainfi pour que l'aflemblage des piéces qui forment là charpente du vaifleau, ne fut pas fatigué par la charge, cette charge devroit être diftribuée proportionnellement aux capacités de la carène. Là où la poufiée de l’eau eft > a à \\ . Ja plus grande, devroient ètre les plus grands poids : là où la pouflée de l’eau eft la moindre , devroient être les plus petits poids, &c. Souvent certe règle eft violée au point que la quille vient à sargrer, en formant une courbe convexe par en haut; parce que la charge des TS eft crop confidérable en comparaifon de celle 1 4 Fig. 14, 1 milieu. NUACUVE e. On conçoit que la quille, par la réfiftance dont elle eft capable en elle-même , soppofe aux puiflances étrangères qui rendent à la faire plier, & qu’elle ne plie effetivement, que lorfque fa propre réfiftance en quelqu'un de fes points eft moindre que l'effort qu'elle fouffre en ce même point. Examinons donc la réfiftance de la quille dans un point donné de fa longueur; & nous jugerons , par la comparai- fon de cette réliftance avec l'effort contraire, s’il n'y a pas de danger que la première force ne cède à la feconde, Cette recherche eft intéreffante ,& peut avoir plufieurs autres applications. D: CPD, CR P ÉT Soit le rectangle. 4BDC le profil d’une piéce de bois équarrie en parallépipéde rectangle. Qu’à certe piéce , con- fidérée comme non pefante, & d’ailleurs parfaitement libre, foient appliquées trois puiffan: es parallèles $, Q, A, qui fe feroient mutuellement équilibre fi la piéce de bois étoit une verge abfolument inflexible Suppofons que certe piéce vienne à fe rompre dans la feétion verticale donnée DES VAISSE AU %. 23 NT: on demande quelles doivent être pour cela les quan- tités des trois puifiances S, Q, R ? Imaginons _fuivant l’hypothèfe ordinaire , la piéce com- ofée d’une infinité de fibres ou filets parallèles à 4B & à C D. Dans l'inftant où elle eft prête à fe rompre , les fibres s’allongent d'une certaine quantité dans la fection verticale donnée NT; & ces peuits allongemens forment un efpace triangulaire Æ NJ dont le fommer eft en N, & la bafe, très- petice F1, fur 4B. De plus les élémens HX,PM,FI,&c, du triangle FN] font proyortionnels aux forces avec lef- quelles les fibres font rendues en ces endroits, puifqu’ils expriment les quantités dont les fibres font tirées de leur état naturel pour réfifter à l'effort contraire qui provient de laétion des trois puiflances $ , Q, A. Cela pofé , en confidérant CNF comme un levier angu- laire dont l'appui eft en N, & dont le bras CN eft tiré perpendiculairement par la puiflance S$, & le bras NF par toutes Les renfions HX, PM, FI, &c, du triangle FNI, il y aura éguilibre dans ce levier , fi le moment de la force S par rapport au point N,eft égal à la fomme des mo- mens des forces HK, PM, FI, &c, par rapport au même point. Donc FAROUCD 12... 1 AIN TEEZ [AT ou AFouCN....:........— PAPER ME UT à dre lee era alle fi l’on fuppofes la hauteur ou épaiffeur NT de la piéce —=h | fa largeur. ini St BP D 'uESE [NP ses SAR M {la force de tenfion du filet F1.....=f . —ÛC , dans laquelle , pr Û kxx dx on aura d’abord l'équation Sxb=f" fl = on doit fuppofer x=h; aprés l'intégration; ce qui donne 14 TRAITÉ DE L’ARRIMAGE De plus, puifque les troispuiffances S, Q, R, fe feroiene mutuellement équilibre, fi la piéce étoit une verge in= flexible , on a Sxc—Q(a—c), ” S+Q—=R ; donc __ fKhhc 7 3b(a— ___ Pddæ DT Pddu D dé ? dPd(sdg—ads FxFQ—DxDH— I, FxFO—EXES= f A9, 2 di? ‘ en MY DES VAISSE AU X. 35 Pd {rdr— EXER—D:DK=f Ces théorèmes font fondés fur les premiers principes de Ja Srarique’, qui nous apprennent qu’afñin qu'un corps, par linértie de fes molécules, fafle équilibre aux différentes forces qui le follicirent au mouvement: 1.° La fomme de ces forces étrangères , réduite à trois forces feulement, arallèles chacune à chacun de trois axes qui fe croifent perpendiculairement entr'eux , & qui paflent par le centre de gravité, doit être égale à la fomme des réfiftances des molécules du corps ,réduites aux mêmes fens.. 2.° Les momens des premières forces , par rapport aux trois axes propofés , doivent être égaux aux momens des dernières , par rapport aux mêmes axes. Toutes ces chofes font. démon- trées en détail dans quelques Ouvrages auxquels on me permettra de renvoyer le Lecteur. D NE Cela pofé, voici la manière d'appliquer ces formules aux mouvemens dont il s’agit $. 33, lorfqu'on connoïtra la figure du vaifleau & la loi de toutes les forces qui J'agitent. ) Soient ADBE (fig. 20), le plan de flottaifon du vaiffeau au premier inftant du mouvement, 1B & DE les feétions de ce plan avec deux plans verticaux , perpendiculaires entreux, & paflanc l’un & Pautre par le centre de gravité du vaifleau. Ces deux derniers plans font repréfentés par -ARZB (fig. 19),& par DeE (fig. 21), refpeétivement. Soit le point G (fig.19 & 21), le centre de gravité du vaifleau au même inftant: qu'on mène par ce point l'axe vertical GC , & les deux axes horifontaux GQ, GT, le pre- mier dans le plan ARZB , le fecond dans le plan DeE. Hi eft clair que Les trois axes GC, GQ, GT font ici les mêmes que les crois axes AB, AP; AC de la figure 18. ; : E'2 Fig. 19, 20, 21e 36 TRAITÉ DE L'ARRIMAGE Suppofons, comme dans Le 6. précédent, que chacun de ces trois axes, emporté avec le centrede gravité, demeure toujours parallèle à lui-même , pendant toute la durée du mouvement. Quelques puiflenc être les mouvemens du vaiffeau, il eft évident qu’ils peuvent être regardés comme compolfés de trois mouvemens progreflifs du centre de gravité G , le premier fuivant GQ , le fecond fuivant GT , le troifième fuivanc GC, & de trois mouvemens de rotation de toute _ la mafle autour des trois axes, GQ,GT,GC. C’eit donc fur cette hyporhèfe qu'on va indiquer la méthode de calculer les forces D, E, F,& les momens des mêmes forces par rapport aux trois axes de rotation , ainfi que les réliftances des molécules du vaifleau, & les momens des mêmes réfiltances par rapport aux axes propofés. XX NE Les forces particulières qui compofent ici les forces D, ÆE, F, font, comme nous l'avons déja dit, la pefanteur du vaiffeau , la pouffée vercicale de l’eau, laréfiftance de l’eau, Pimpulfion du vent & l’agitation des lames. De ces diffé- rentes forces , la pefanteur feule du vaifleau, eft conftante; les autres fonc variables & dépendent ou de la figure du vaif- feau & de la partie qui eft plongée à chaque inftant dans l'eau , ou de la figure des voiles. Suppofons que le profil lon- gitudinal 4AKZB , partant de la fituation repréfentée dans la figure 22, où AN eft la ligne d’eau au premier inftant, | parvienneau bout du tems propofé dans la fituation 4rzb, où #7 eff la ligne d’eau ; enforte qu'il s'incline de la poupe à la proue d’une certaine quantité, & qu'en même tems le centre de gravité s'élève verticalement de la quantité 70, La figure du vaiffeau érant donnée, il eft clair qu'on connot- tra par la feule Géométrie, l’efpace hrzf. Il n'eft pas moins évident qu'après que Le vaifleau aura fubi Les deux autres DES VAISSEAUX, 37 mouvemens de rotation, on connoîtra encore l’efpace quil occupe dans l’eau. Par conféquent la pouffée verticale de l’eau & fes momens par rapport aux rois axes dont on a parlé, feront exprimés en fonctions de quantités con- ftantes , du mouvement d’afcenfon verticale, & des mou- vemens de rotation. Les forces qui naïflent de l’impulfñon de l’eau & des lames contre les flancs de la carène , & de lPimpulfñon du vent contre les voiles fe dérerminerone fuivant les méthodes ordinaires , ou fuivant les nouvelles hypothèles qu'on croira les plus vraifemblables. Je n'entre pas là-dellus dans de plus grands détails, parce qu'en verra bientôt l’inutilité d’envifager le problème fous un poinc de vue fi général. Il fufhr, quant à-préfenr, qu'on apperçoive les moyens de traduire, relativement à notre queltion , Les fix premiers membres des équations du. 34. XXXVIL Soient dans la figure 13 les trois axes GQ, GC , GT, qui fe croilent perpendiculairement au centre de gravité G, axes qui font les mêmes refpectivement que ceux qui font. défignés par les mêmes lettres dans les figures 19 &2r. D'un point déterminé 47 du navire au premier inftant du mouvement , foit abbaifflée Æ7F perpendiculaire au plan horizontal 16Q , & du point F foic tirée FE perpendicu- laire à GQ , de manière que GE, EF, FH foient les coor- données du point Æ7 par rapport aux trois axes propofés. Suppofons qu'en vertu de la rotation du corps autour de l'axe vertical GC , la droite F AT, en tournant parallélement à elle-même, prenne la pofition S7'; qu'en vertu de la ro tation autour de l'axe GQ , le point ! parviennne en R; qu'en vertu de la rotation autour de l'axe GT, le point R parvienne en N. IlLeft clair que f de ce point Non abbaiffe NM perpendiculaire au plan horifontal TGQ , & qu'on tire MP perpendiculaire à GQ 5 les trois coordonnées GP, 38 TRAITÉ DE L'ARRIMAGE PM, MN font celles que nous avons nommées g:r,5s, refpeétivement dans le €. 34, & donc il s’agit maintenant de trouver les expreflions en fonétions des trois angles de rotation. : Soient tirées les droites GF, GS, DV. Du point R foic abbaifiée KO perpendiculaire fur le plan horifontal TGQ ; & par le point O foir menée perpendiculairement à GT la droite XO qui pafle néceflairement par le point A. Soient tirées les droites XR, XN. Enfin des points D & X foient élevées perpendiculairement au plan TGC, ou paralléle- ment à l'axe GC , les droites DZ, XY. (C2 AN assoiops 1 m. hair brie ei À Riel EF se se... pa ile etes e A4 Su ofons FH. . Cr enr pek eee PP l'angle de rotation autour de l'axe GC ...—x l'angle de rotation autour de l'axe GQ ... —y l'angle de rotation autour de l'axe GT... 2 Cela pofé, 1.° l'angle DGS étant la fomme de l'angle EGF,& de l'angle FGS (x), on aura fin, DGS =" EEE 2 dcof.x—Afin.x donc DS=Xcof.x+N fin. x, GD=460f. x fin. x, 1.° l'angle R DZ étant la fomme de l'angle V DZ & de Favgle DR (3), on aura fr. RD 7= frs Ref ARE = x cofyu finy 0 Srxcof. y—DSxfiny 4 cof. on cofix fin.y—Vfinx finy ef RDZ= Dr RETURN TA DES VAISSE AU x. 59 donc DO—X cof. x cof.y+Ù fin. x cof.y+ufin.y ; RO= c0f. y —x cof. x fin. y—d'fin.x fin.y. Donc, à caufe de PM—D0, FA cofx cof.y+fin.x cofy+u fry. 3.° L’angle NXY étant la fomme de l'angle RXY & de RAN(z),on aura, (à caufe de XOxcof.7+-ROX/fin.z À Ras RÉVOEERRERREe, FAT ROxcof.;—XOx/fin.7 cof.NX RE PETER & de XO=GD , XM=GP=g, MN=s), g=Ycof.xcof.x—Nfin.x cofzucofsy finx—AÀcof.xfin.y fn finx fin.y fret, Su cofy cof.z—Àcof.xfin.y çofez—\ fin.x fin.y cofx;—Vcof.x fin.z2 fin.x fin.z. Ces valeurs de r, g , s font générales & applicables à toutes fortes de corps. Nous aurons donc ici les valeurs des trois quantités faPa (sdg—qds), J'aP d(rdg—qdr) 5 faPd (sdr—rds ). Dans les deux différentiations qu'il faut faire d’abord pour trouver d(sdg—gds), d (rdg—qdr), d(sdr—rds), les angles x, y, z font variables, & les quantités L, À , fonc conftantes. Mais dans l'intégration qui fuit, 1l n'y a que les quatre quantités dP , 4, À ,u qui doivent être regardées comme variables ; les autres doivent être écrites au devane des fignes d'intégration, parce qu’alors les intégrales ren- ferment les mouvemens en tant qu'ils font appliqués à tous les points de la mañle du corps. XXX VIII Il fuit des deux f. précédens, qu’on pourra traduire en- -tièrement les équations générales du $. XXXI V , de 40 TRAITÉDE L’ARRIMAGE manière qu'elles repréfentent en général tous les mouve= mens d’un vaifléau flottant à la mer. Mais il faut avouer ue l’exécution de cette méthode demanderoit des calculs immenfes & vraifemblablement impraticables. Heureufe- ment plufeurs raifons difpenfent d'entreprendre ce travail dans toute fa complication. : 1.° La figure du vaifleau eft extrêmement irrégulière, & ne peur fe rapporter à celle d'aucun corps géométrique. Elle eft fort différente dans les différens vaifleaux:.par conféquenc les calculs qu’on feroic à cet égard feroient purement hypothétiques, & n'iroient point au but dans Ja pratique, 2.° L'impulfion du vent fur les voiles, & Ja réfiftance que le navire éprouve en divifant l’eau , font deux forces qui fe font fans cefle équilibre, du moins a-très-peu-près. Si cet équilibre vient à être dérangé, il fe rétablit très-prom- pement & peut être confidéré comme permanent. De plus ces deux mêmes forces font ordinairement fort petites en comparaifon de la pefanteur du vaifleau & de la pouffée verticale de Peau. Ainf les inégalités qu’elles produifenc dans les mouvemens du vaifleau peuvent le plus fouvent être néplicés, fans craindre aucune erreur fenfble. 3.° L'action des James eft une force qu'il eft abfolument: impoflible de foumettre à un calcul réel & non hypothé- tique. Dans certains momens, cette force fe faic fencir avec violence : dans d’autres elle eft comme nulle. Je crois qu'il convient de la rapporter plutôt au genre des forces : de percuffion , qui agiflent par coups finis & IRIETTOMpUS ÿ qu'au genre des forces de preffion. Par-là elle doic être exclue du calcul. La fonétion qu'elle aura'alors fera de croubler de rems en tems lérac actuel du vaifleau, ce qui re peut qu'introduire certaines quantités conftantes dans les intégrations. 4° Il eft inutile de déterminer en général les ofcillations d'un vaifleau, parce que ces ofcillations ne doivent Fa pañler DES VAISSEAU X: 41 pañfer certaines bornes, afin qu'il y ait fureté dans la navigation, Ainfi la folution de ce problème aura affez de généralité, fi l’on dérermine feulement les ofcillations très-perites du vaiffeau, & qu’on afligne de plus les condi- tions qui doivent avoir lieu, afin que ces mêmes ofcillations demeurent très-petites. De ces quatre affertions, la première, la troifième & la quatrième font évidentes par elles-mêmes. La feconde eft la feule qui ait befoin d’une explication un peu plus développée. +. p.00. PC Le vent eft la force motrice qui met le navire en mou- vement, & qui Le pouffe vers le buc défiré. Dans les pre- miers inftans, cette force l'emporte beaucoup fur la réfi- ftance que le navire éprouve en divifanc l'eau. Ainfi le fillage s'accélère avec rapidité. Mais certe accélération ne dure guères que trois ou quatre minutes. Au bout de ce tems le vaiffleau a acquis toute fa vicefle, qu'il conferve dans la fuite , en vertu de fon inertie ; & par conféquent limpulfon du vent & la réfiftance de l'eau fe font équi- libre. Cela eft conftant par l'expérience. La même chofe peut encore fe démontrer par le raifon- nement. Quoique cette difcuffion n’appartiennte pas pro- prement à mon fujet, je crois devoir y entrer , parce qu'un Auteur célebre qui a traité au long ce problème, n'a pas fait une remarque dont l’omiflion femble mettre le calcul en contradiction avec l'expérience: Suppofons, avec l'Auteur dont il s’agit, un navire qui fe meut fuivant la route direéte, & qui étant en repos au premier inftanc du mouvement, eftexpofé tout-d'un-coup à l’action du vent. Il eft queftion de déterminer le tems que ce navire employera à acquérir toute fa virefle. On voir aflez que fi on trouve ce tems forc petit, on fera en droit d'affirmer, à plus forte raïfon, que l'ascélération ou la Prix de l’Académie , tome IX, F 4? TRAITÉ DE L'ARRIMAGE rérardation auxquelles un navire en mer peut être fujets s'opèrent en un tems très-court , & de regarder par confé- quent fa virefle comme fenfiblement uniforme. Nommons g la gravité, N la maffe du navire, 1 la den- fité du vent, p celle de l’eau, 4° la furface plane qui ex- ofée au choc perpendiculaire du vent, éprouveroit la même choc qu'éprouvent les voiles parallélement à la quille, Bla furface qui expofée au choc perpendiculaire de l’eau éprouveroit la même impulfion qu'éprouve le navire dans le fens de fa quille, 7 la virefle du vent qu'on peut regarder comme conftante , au moins pendant un certain tems), # la vicefle variable du navire, s le rems: écoulé depuis le commencement du mouvement. Suppo- fons de plus que fous une viteffle donnée #, l'impulfon directe de l'eau contre un plan donné z*, foit égale à un poids dont la mafle eft P. Cela pofé, on aura, fuivant l’hyporthèfe ordinaire , que Fimpulfñon directe d’un fluide contre un plan eft propor- tionnelle au produit de ce plan par la denfité du fluide, & par Le quarré de la vitefle avec laquelle fe faic le choc, Lu) —pBtut)de=Ndu ; PA 2/1 d'où l’on tire aifément pr = N AV— Au+-BuWp a — x], EST AP TRE 2) LI gb 2ABVVp ®K'AV—A:—Bup en complettant l'intégrale, de manière que :—0 donne Y—=O,. Maintenant il eft évident que laccélération devient nulle lorfqu'on à Æ4*(V—#)—pB'#=0o , ou bien AV AE Vp que le navire emploie à acquérir fa plus grande vitefle, il n’y auroit q@’à fubftituer cette valeur de # dans l'expreflion générale de #. Mais fi l'on fait cette fubftitution , on # Il femble donc que pour déterminer le tems DES VAISSEAUX. 43 trouvera que le dénominateur de la quantité logarithmique devient égal à zéro; d’où il s'enfuit que le tems cherché, au lieu d’être très-perir, feroit au contraire infini, Comment concilier le calcul avec l'expérience ? voici Le dénouement de cette petite difficulté. Il eft certain d’abord que fuivant l’hypothèfe de lim- pulfon des fluides , dont nous venons de tirer la valeur du tems, la vitefle ne peut parvenir à une uniformité rigou- reufe qu’au bout d’un tems infini. Dans le commencement du mouvement, l’impulfion du vent contre le navire eft très-grande ; d’où il fuit que # augmente très-promptement: & comme le quarré de # entre dans l’expreflion de la ré- fiftance que l’eau oppofe au navire , on comprend que # peut approcher très-près de » fans qu’on ait pour AV A+BVp cela rigoureufement 4'(/—"1)==pB'u?. Ainf sil n’y avoit pas d'autre œaufe qui influêt fur la viteffe, elle ne parvien- droit pas à l’uniformité abfolue. Mais il faut remarquer que le navire éprouve encore une autre forte de réfiftance qui achève d'opérer l’effec donc il s'agit. Cette feconde réfiftance eft celle qui naît de la ténacité ou de l’adhéfion mutuelle des parties de l’eau. Elle eft comme nulle , en comparaifon de la première, lorfque le navire a acquis une vitefle un peu confidérable. Mais dans les premiers inftans du mouvement, elle doit fe faire fentir & produire quelque rétardation dans la vieffe du vaifleau , de maniere que, par la combinaifon des deux réfiftances, la virefle devient bientôt uniforme , comme on l’obferve en effet. Quant à ce que nous avons ajouté que l’impulfion du vent à la réfiftance de l'eau fonc des forces très-petites en comparaifon de la pefanteur du vaiffeau, & de la poufiée verticale de l'eau; cela eft aifé à voir par les calculs de l'impulfion de l’eau contre la proue de plufeurs vaifleaux, que M. Duhamel à faits dans fon Architecture navale. Fa Fig. 19, 29,21,22e 44 TRAITÉ DE L’ARRIMAGE AXE Je reviens à mon fujer, & je vais en conféquence de toutes les remarques qui précédent, dérerminer les mouve- mens d’ofcillation du vaifleau , en foppofanc ces ofcillations très-perites, & en n'ayant égard qu'a la pefanteur du vaif- feau , & à la pouffée verticale de l'eau. Je compte parmi ces ofcillations le mouvement d'afcenfion verticale du centre de gravité. Les autres mouvemens du centre de gravité font fuppofés ou nuls, ou parfaitement uniformes. La ré- fiftance que Le navire éprouve en frappant l’eau, en vertu des mouvemens d’ofcillation dont on vient de parler, doit être négligée, parce que cette force renferme dans fon expreflion le quarré de la virefle, qui eft un infiniment petit du fecond ordre, Soient reprifes les hypothèfes & les conftructions des $. XXXIV, XXXV,XXXVI, XXXVII, en obfervant néanmoins qu'ici le plan ARZB peut être cenfé pañler par la quille , & partager le vaiffeau en deux parties par- faitement égales & femblables, parce que l'inclinaifon primitive eft très petite. Qu’outre les dénominations déja employées dans ces mêmes paragraphes, on fuppôfe encore LAOPAMITÉ Lai sien ecrire ieie sites Fe Ole DM Le volume du! navire #1 A SA TERRE ER Le sde et NP ON AM ESS Le volume de la carène primitive. ........ —=M Érdenhié/dé Heath SATA CN ER La diftance OH du centre de gravité du plan de flottaifon ADBE (fig. 20) au point O ...—k# La hauteur da centre de gravité du navire au- deffus de celui de la carène au premier inftant —h La diftance initiale très-petite du centre de gra- vité de la carène primitive aux plan vertical ARE + UD SO NIE SNE S MEC NS EERR DEi VAISSEAU %. 45 La diftance initiale auffi très-petire du centre de gravité de la ‘carène primitive au plan vertial AIRE 72) sn RON | L ee EME ADPBE (fs. 210); AMAR, aa Le mouvement d’afcenfion verticale du centre EF OLANIRE à nains pans NM AN sé Dé Ve UE, Nous aurons ici F=—0 , E—0o. La force D , la feule qui nous refte, eft égale à l'excès de la pouflée verticale de l’eau fur la pefanteur du navire. Suppofons que le plan de flotraifon AB ayang pris la pofi- tion ab peu différente de la première, en vertu de la ro- tation du navire autour de l’axe GT, on abbaïfle du centre de gravité G la perpendiculaire Go fur ab: il eft clair que les points O & o étant très proches l'an de l’autre, Les deux plans de flotraifon 4B & ab peuvent être cenfés fe couper fur la verticale GO ; & que de plus les angles formés par la rencontre de 4B & de ab font égaux à l'angle OGo. Les mêmes remarques ont lieu relativement au mouvement du navire autour de l’axe GQ. Cela polé, il eft évident que la nouvelle carène , après le temsz écoulé, eft égale à la première M, moins un prifme qui a pour bafe Le plan de flottaifon ADBE , & pour hauteur la hauteur parcourue verticalement par le centre de gravité, moins un onglet formé par la roration de la partie EBD autour de ED, lus un onglet forme par la rotation de la partie EAD autour de ED, moins un onglet formé par la rotation de la partie 4EB autour de AB, plus un onglet formé par la rotation de la partie 4 DB autour de AB, Donc à caufe 1 de l'égalité de ces deux derniers onglets, la nouvelle carène- fera M—aau—az+ez, à & « étant des coéficiens donnés par la nature de la courbe ADBE, Donc 1.0 D—gP(M—aau—az+ez)—@N. 2. La diftance initiale du centre de gravité de M au plan DeE étant f', cette diftance après le rems # fera Fig. Zi 46 TRAITÉ DEL'ARRIMAGE f'+bz. Soient az &ez les momens des deux onglets az, ez par rapport à l'axe GT, a’ & £' étant encore des coéficiens donnés. Je néglige deux momens de la forme 4/y, à caufe de leur perirefle. Le moment du prifme aas par rapport à l'axe GT eft zaku, Donc , en obfervant que le moment de la pouffée de l'eau par rapport à l'axe GT doit être pris dans un fens contraire au moment de la force D dans la figure 18, nous aurons ici —DxD H=gp Mf'+hz)—aaku—az— — Mh) = PRE Me MA) 27—Mh 2—Mh RV—S5 S __Mf Lercm RGy—Mh x — gp.R(2r—Mh) = X -X FA e RÉ Me an Er LA RV—SS Ces intégrales ne complettes , parce qu'on doit avoir Z=0» J=0, X=—0, lorfque 0. Qu'on prenne une nouvelle variable v telle que l’on ait d phare —Mh) on DES VAISSEAUX, 49 on trouvera Mf! Mf! PE dd Mh + —Mh EE M MF MA y— Ps M 710 7 QR GMA) à 27 —Mh 2 —MA (RF—SS) (a+ —Mh S, Mf. S Mf QR.y—M) OURS MER CV (RSS) — M V3 Dans chacune de ces valeurs de z,y,x, le premier terme eft conffant , le fecond eft variable. Celui ci peut être confidéré comme l'équation du premier, en em- ployant ce mot dans le même fens que fonc les Aftronomes en pareil cas. L’un & l’autre terme eft fort petit, parce qu'on a fuppofé que f& f' étoient des quantités très- petices. Ces formules vont nous fournir (au moins par une ap- proximation fuffifamment exaéte dans la pratique ) les moyens de procurer aux vaifleaux toute la ftabiliré conve- nable , & de modérer les mouvemens de tangage , de roulis & de rotation horifontale. Commençons par la ftabilité. X EÉFT En remontant aux trois équations fondamentales (A), (B), (C), on trouve que fi Ah eft plus grand que (4'+e'), ou que ces deux quantités foient feulement égales, lorfqu'il s'agit des mouvemens de tangage; & que fi Mh eft plus rand que 27, ou que ces deux quantités foient feulemenc ‘égales, lorfqu'il s’agit des mouvemens de roulis & de rota- tion horifontale: on trouvera, dis-je, que Les valeurs de z,3,x contiendront des logarithmes , & feront par con- féquent fujettes à augmenter à mefure que le tems aug- mentera. Or ces quantités ont été Re très-perices. Donc alors le navire n’aura pas de ftabilité. Ainfi lorfqu'il s’agit des mouvemens de tangage, la limite de la plus rande hauteur à laquelle le centre de gravité de la charge Prix de l'Académie, Tome IX, Fig. 20. s° TRAITÉ DEL’ARRIMAGE torale puiffe être placée au-deflus de celui de [a carène* eft donnée par cette équation 4e \ AT , Et lorfqu'il s'agit des mouvements de roulis, & de rotation horifontale, la limite de la plus grande hauteur à laquelle le centre de graviré de la charge puifle être placée au deflus de celui de la carène, eft donnée par certe équation 27 b=—>. Il eft évident que cette dernière hauteur eft moindre que la précédente, & doit être prife dans tous les cas pour la limite de la diftance des deux centres de gravité , parce qe le vaifleau roule en même temps qu'il tangue, ou roule après avoir tangué, On cherchera donc la valeur de . 2 . . . la quantité 22, & on aura foin de diftribuer la charge, de q M o °\ . . 2y . —, l manière qu b foic plus petite que . Le vaifleau aura d'autant plus de ftabilité que b fera moindre en compa- : 27 raifon de —. < 7 II me femble que cette manière de déterminer la fta- bilité du vaifleau, ou la potion du métacentre, elt plus fimple & plus directe que toutes celles que l’on a em- ployées jufques à préfent. On doit fe fouvenir que conformément à nos dénomi- nations, & eft le moment de l'onglet très- petit formé par la rotation de l'aire Æ BD) autour de ED , par rapport à la mêmeligne ED; e eft le moment de l'onglet formé par la rotation de l'aire £AD autour de ED, par rapport à la même ligne ED ; y eft le moment de l'onglet formé par la rotation de l’aire ZE B ou ADB autour de AB , par rap- port à la même ligne 42. Comme on néglige le mouve- ment d’afcenfion du centre de gravité du vaiffeau , & que DES VAISSEAUX, s» par conféquent la verticale élevée par ce même centre de gravité pañle , du moins à-très peu-près, par le centre de gravité du plan de flottaifon, on a é=a', au moing {enfiblement. NEA Il n’eft pas moins facile de déterminer l'amplitude des ofcillations du vaiffleau. , Les valeurs de z , y, x, augmentent depuis o jufqu'à ce que chaque cofinus particulier qu'elles renferment , de- vienne égal à —1 : alors elles atteignent leur maximum ; après quoi elles diminuent par les mêmes degrés, Donc fi l'on nomme Z , Y, X refpeétivement les amplitudes rorales & abfolues des mouvemens de tangage , de roulis , & de rotation horizontale , on aura (en fuppofant «= ) ; 2Mf 2 y 2Mf APTE) SEM: — nt 3 Æ R 2)3—Mh D'où l’on voit que pour diminuer l'amplitude des mou- vemens de tangage & de roulis, la queftion fe réduic à diminuer b dont on eft le maître, c’eft-à-dire, à abbaïfler de plus en plus le centre de gravité de la charge totale, Quant aux mouvemens de rotation horifontale , on les diminuera en abbaiffant le centre de gravité dela charge, en diftribuant la charge, de la même manière (autant qu'il eft poffble) , foit par rapport à la coupe latitudinale paflant par le centre de gravité, foic par rapport à la coupe ho- rizontale paflant par le centre de gravité, & en éloignant les poids de l’axe vertical. Tel eft donc le moyen d'empêcher qu'un vaiffeau, dans G2 621 TRAITÉ DE L'ARRIMAGE Je roulis & le rangage ne décrive de trop grands arcs, c'elE d’abbaifler le plus qu'il eft poffible le centre de gravité de la charge. Par-là le vaifleau acquiert encore de la ftabiliré. Lorfque la carène eft fort pincée par le bas, le vaifleau plie fous le vent jufqu'à ce qu'il ait atteinc fon fort, & l'inclinaifon peut être portée très-loin. On prévient cet inconvénient , en abbaïflant le centre de gravité. Mais il cft quelquefois dangereux que le vent & la poufice verti= cale de l'eau , en fe combattant mutuellement, n'expolent Ja mâture à fe brifer, lorfque l’une des deux forces cède tout d’un coup à l'autre. La profondeur du centre de gravité ne doit donc pas pafer certaines limites , qu’on ne peut affigner en général, mais que les Marins expérimentés trouveront fans peine dans chaque cas particulier. Au contraire un vaifleau dont les fonds font arrondis , tend à tourner dans toutes les fituations ; il cède prefque fans réfiftance aux efforts du vent & des lames. Ainfi pour lui procurer de la ftabilité, & pour diminuer l'amplitude de fes ofcillations , on ne fauroit trop faire defcendre fon centre de gravité. Malheureufement on meft pas toujours le maitre de placer ce point comme il conviendroit, parce qu'on eft gêné par les emplacemens fixes que certaines matières doivent néceflairement occuper. Par exemple, dans les vaiffleaux de ouerre, l'artillerie élève confidérable.- le] ment le centre de gravité. Alors il fera du moins avantac geux , toutes chofes d’ailleurs égales, que les canons de la première batterie foient plus pefans que ceux de la fe- conde, les canons de la feconde plus pefans que ceux de la troifième, &c. C’eft une règle que la pratique à enfei- gnée, & que la théorie confirme. XL V: Enfin nous déterminerons encore par nos formules la vitefe des ofcillations, Le problème fe réduit à trouver Le: DES VAISSEAUX. 3 tems que le navire emploie à faire les ofcillations totales Z,Y, X5 car felon que ce tems fera plus ou moins long , la vitefle fera moins ou plus rapide. * Nous avons trouvé en général (. XLI) ss Q : do Mc or lorfque = devient Z, cof.v=——1 , ou bien v=180° j LE RATE KO L'on )=—1 à . QR TNT) lorfque y devient Y, cof.(v Em : (RP—SS Ta — M) , : = (e) ———— " 1 ou bien v=—180 L” 5 lorfque x devient RV—SS (12 — M X, v—180° RCE. Donc, en confidérant que le finus total eft 1 , & nom- mant # le rapport de la demie circonférence au rayon, 2(T)le tems de l’ofcillation totale de tangage, 4(R) le tems de l’ofcillation totale de roulis, z (H)le tems de lofcillation totale de rotation horizontale , on aura dis Q Ai 17 8p.(2a—Mr) ? 1(R)=n RP—SS gPR(1r= Mi) ? LS (RF—SS) Hi ( H) = ST 9 On voit que les deux derniers tems font égaux entr'eux. L'expreflion de ces deux mêmes tems peut fe fimplifier , parce que la quantité S , dans tous les vaifleaux , étant fort petite par rapport à chacune des quantités Q,R,7, il eft permis de négliger le terme S?, Comme les valeurs ‘des trois tems propofés ne con- tiennent point les lettres f & f', il eft clair que les rems des ofcillations feront toujours les mêmes dans chaque 34 TRAITÉ DE L’'ARRIMAGE efpèce, quelles que puiflenr être les amplitudes de ces: ofcillations, pourvû néanmoins qu’elles demeurent tou- jours fort petites. : Pour employer commodément ces formules, fuppofons qu'on exprime par b & c refpectivement les quantités Q v : AE j © X — qui fc = C : LOT) qui font évidemment des lignes ; de manière que l’on ait (T)y=rV?, :(R) ous (HV. Soient nommés 8 & 0' refpectivement les rems qu’un corps employeroit par fa pefanteur à parcourir les efpaces L& €: on aura, comme on fait, AT H(D=Z 1(R) ou (AH) =. Or fi l’on fuppofe qu'un corps pefant parcoure 14 pieds pendant la première fe. bpieas conde de fa chute , on aura 8—1" AR 1ÿvieds RNA PAR ; donc enfin 15Pi- peter 7 Q » HT) = ee ? t(R)ou (A=r" à 30P! p{27— MA) ? md. expreffions dans lefquelles les quantités radicales font des nombres abfolus. Toutes ces préparations faites, voici les réflexions pratiques fur la vicefle des ofcillations. 1° On voit que pour diminuer la viteffe des mouve- mens de tangage , ou pour augmenter (T), il fiuc aug. Q menter la fraétion Rte Or dans cette fraction, le vo. N L1 lume de la carène elt donné; la quantité « eft auffi donnée, Reftent donc feulement les deux quantités Q &h DES VAISSEAUX. ss qu'on eft le maître de changer par l’arrimage. Or puifque Q repréfente la fomme des produits des particules de la charge par les quarrés de leurs diftances à laxe latitudinal, il eft évident qu’on diminuera la viceffle des mouvemens de tangage, en écartant le plus qu'on pourra de l'axe latitudinal des poids fort pelans, c'eft-à-dire, en tranf- portant ces poids vers la proue & vers la pouppe. Nous avons fuffifammenc indiqué (. XXXII ), les poids dont on peut fe fervir pour faire ces fortes d’arrangemens , foit qu'il sagifle d’arrimer le vaiffeau dans le port , foit qu’il faille changer quelque chofe en mer à l'arrimage. Quant à l'autre moyen , qui confifte à augmenter h, c’eft-à-dire, à élever le centre de gravité de la charge , il n’eft pas tout-à fait fi eficace que le premier ; cependant il peut être urile en plufeurs occafons. Lorfqu'un vaifleau doit porter des effets très pefans , tels que des canons, des ancres, du marbre, &c,& qu’on veut l'empêcher d'of- ciller avec trop de vivacité , on élève Le centre de gravité de la charge, en arrimant les canons, les ancres, &c, fur un fardage qui eft compolé de lits de fagots, & dont l'épailleur eft plus ou moins grande, fuivant le befoin. 2.0 En raïlonnant de même au fujer des mouvemens de roulis & de rotation horizontale , il eft clair qu'on * diminuera la vitefle de ces mouvemens, fi l’on écarte le plus qu'on pourra de l’axe longitudinal du vaifleau, des poids fort pefans, c'eft à-dire, fi l’on tranfporte ces poids bas bord & itribord dans les flancs du vaiffeau. Cetre même vivefle diminue aufli par l'élévation du centre de gravité de fa charge. ” > 40 DAS Nous avons vu (.XLII & XLIIT ) que pour augmenter la ftabilité du vaifleau , & pour diminuer l'amplitude de fes ofcillacions, il faac abbaiffer le centre de gravité de la charge ; & nous venons de voir au contraire qu’un des 56 TRAITÉ DE L'ARRIMAGE moyens de diminuer la vireffe des ofcillations ; eft d'élever le même centre. Ainfi les deux qualités de bien porter la voile, & de faire de petites ofcillations font en oppofition avec celles d'ofciller lentement. Dans les vaifleaux de guerre , l'artillerie élève le centre de gravité de la charge; d’où il réfulte que ces vaifleaux font moins ftables & font de plus grandes ofcillarions que fi l'artillerie évoit. dans la calle ; mais en récompenfe ils ofcilient avec plus de lenteur qu’ils ne feroient dans le cas purement hypothétique dont nous venons de parler. C'eft une obfervation que les Marins ne paroiffent pas avoir fuffifamment développée ; car on n'a pas encore fixé , ce me femble, d’une manière bien claire, ce qu’on entend par rouler ou tanguer plus ou moins. On n'a pas non plus une idée bien nette de l’action des différentes fortes de left qu’on emploie dans l’arrimage. Tous les jours on entend dire qu’une trop grande quantité -de Left en fer procure des. fecoufles rudes au vaifleaur, parce que ce genre de left a moins d'élafticité, & fe prère moins aux mouvemens du vaifleau, que le left en caillou. Mais il eft évident que cetre raifon eft chimérique, & qu’il faut attribuer l’effec dont il s’agit à la pofition moins ou plus élevée du centre de gravité de la charge. Je crois qu'il ne reftera aucune obfcurité fur certe matière , fi l’'onconfidère la diftinétion qu’on doit mettre entre l'amplitude & la vi- tefle desofcillations. Lorfqu’on abbaiffe le centre de gravité de la charge, l'amplitude des ofcillations diminue ; mais leur vitefle augmente. Lorfqu’on élèvele centre de gravité; Ja viceflé des ofcillations diminue; mais leur amplitude augmente, La perfeétion de l’arrimage eft de diftribuer tel- lement la charge que le vaifleau , en ofcillant, ne décrive ni de trop grands ni de trop petits arcs; car de trop grands arcs, quoique décrits lentement, ne manquent pas detour- menter beaucoup la mâture & l'équipage ;& de trop petits arcs, par la vivacité dont ils font décrits, ont les mêmes & peut-être de plus grands inconvéniens. On parviendra à - Fobjec DES VAISSEAUX. s7 l'objet propofé, en étudiant la capacité & la forme du vaif- feau qu’on veut charger. Par exemple, un vaifleau, arrondi par les fonds, doit avoir fon centre de gravité très-bas. Alors il faut employer un left très-pefant. Un vaiffeau qui a Les façons hautes, n’a pas befoin que fon centre de gravité foit fi bas. Cette remarque s'applique, proportions gardées aux cas intermédiaires. Il eft vrai qu’on eft fouvent gêné dans l’arrimage , comme nous l'avons déja obfervé ci deflus , & qu’on ne peut pas toujours atteindre au but que l’on apperçoit. Car , par exemple, lorfqu’une campagne doit durer long-tems, & qu’on prend des vivres en confé- quence, ces provifions occupent une partie confidérable de la calle ; & il peut fe faire qu'il ne refte pas aflez de place pour la quantité néceffaire de left. En ce cas, if con- vient fur-tout d'employer un left très-pefanr , & de dimi- nuer d’ailleurs la viceffe des ofcillarions par l’autre moyen que nous àvons propofé, c’eft-à-dire en écartant le plus qu’il eft poffible les parties Les plus pefantes de la charge, de l'axe latitudinal & de l'axe longitudinal du vaiffeau. ANEUVEE Après avoir expofé la manière la plus avantageufe d’ar- rimer un vaifleau, il ne nous refte plus qu’à examiner les effets des changemens qu’on peut faire en mer à l’arrimage. Cette nouvelle recherche demande quelques principes de méchanique qu'il faut d’abord établir, 12 Soit une verge inflexible AM, à laquelle foient appliqués un nombre quelconque de poids 4,B,C,K, M. Soit hH la direction de la réfulrante de tous ces poids; & fuppofons qu'on prenne, par exemple, le poids C dans un endroit connu, & qu’on le tranfporte à l'endroit connu E. Il eft clair que, par. certe tranfpoftion, la réfuitance de tous les poids ne paffera plus par le point Æ7, mais par quelqu’autre point O fitué du côté de M; & il n’eft pas difficile de voir qu’en nommant F 1a fomme de tous les Prix de l’Académie, Tome IX, H 58 : TRAITÉ DE L'ARRIMAGE poids, pour abréger, on aura F:C::CE:HO, ou bien HO 2N la direction de la réfultante de rous les poids qui font placés du côté de M par rapport au point A, & {oit nom- mée N certe réfulrante. Pareillement feit 4D la direétion de la réfultante de tous Les poids qui font du côté de B ,à l'exception cependant du poids €, & foit nommée D cette réfultante, On aura avant la tranfpofition du poids C, NXNH=DxDH+CxCH, + & après la tranfpofition du poids €, NxNO=DxDO+CxEO , ou bien Nx(NH—H0}=Dx(D H+H0)+Cx(CH+H0—CE) ; donc NxH0+(D+C)xHO=CxCE , Mais pour démontrer cela en rigueur, foit & CxCE CxCE ane in 2° Si l'on nomme P la fomme des produits de tous les corps multipliés chacun par le quarré de fa diftance à un axe paflant par le point Æ7, avant la tranfpoftion du poids € 5 il eft clair qu'après la tranfpofition de ce poids deC'enE, la fomme de tous les poids par les quarrés de leurs diftancesau pointouaxe Æ fera P—CxCH°+CxEH?. 3.° La fomme des produits de plufieurs corps multipliés chacun par le quarré de fa diftance à un axe qui ne pañfe pas par le centre de gravité du fyftème, eft égale à la fomme des produits des mêmes corps multipliés chacun par le quarré de fa diftance à un axe qui paffe par le centre de gravité du fiftème, & parallèle-au premier, plus au produic de la fomme de tous les corps multiplie par le quarré de la diftance des deux axes. Cette propoftioneft DES VAISSEAU X. 59 démontrée dans plufieurs livres de Dynamique * auxquels je renvoye le Leéteur, pour ne pas trop m'écarter de mon objet. Il réfulre de tout ce qu’on vient de dire, que fi après la tranfpofñtion du corps C en E, on nomme R la fomme des produits de tous les corps multipliés chacun par le quarré de fa diftance au point ou axe O , on aura P—CxCH'+CxEH —=R+Fx ES ; R=P—CxCH'+CxEH TRE, A EVE T Maintenant il eft aifé de déterminer les changemens qui arrivent dans la ftabilité, l'amplitude & la durée des ofcillations , lorfqu’on tranfporte des poids d’un endroie du vaifleau dans un autre. Soient les crois axes GC, GQ , GT qui fe croifent per- pendiculairement au centre de gravité G du vaifleau. Sup- pofons qu’on prenne un poids E à un endroit quelconque mais connu, & qu'on le tranfporte à l'endroit connu D. Des points £ & D foient abbaiflées fur le plan horizontal TGQ les perpendiculaires ER, DF ; & des points R, F foient tirées perpendiculairement aux deux axes GQ, GT les droites RH, RM, FK, FV. Soient auf tirées les droites EM,EH, EN qui expriment les diftances ref- pectives du point E auxtrois axes GT, GQ GC ; les droites DV, DK, DO qui expriment les diftances refpeétives du point D aux trois mêmes axes. Puifque la grandeur & la pofition de la droite ED font données, les droites RM, RHA,RE, FV, FK, FD, EM, EH,EN, DV, DK, DO font connues. : HI ea Vie CU DEAR EH Suppofons s EM * Voyez par exem- ple, la Sci- ence Nava- le de M. Eu- ler ,tom.I, Pag. 74. Fig.14.A: 60 TRAITÉ DE L'ARRIMAGE ENyU Er HAL . 4 DK «M JUS, —" DY . . . = DOË —6G! ER £ SAN M Su ofon DF . . . . . . . e —$! PF ; FEV . ERA A RMS Le HAT =nl' ER—DF == FV—R M sue ‘ . . . —=9" Cela polé, il eft clair que par la tranfpofition du poids E ,le plan horifontal TGQ s’abbaiffera parallélement à lui- S MAIQLE ï même , de la quantité cn nommant N le poids total du navire , comme dans les 4. XL, XLI, XLIT, XLIIT, XLIV ; le plan vertical TGC séloignera parallélement à PE TTN A à SUANOLE. lui-même de fa première pofition de la quantité Frs Par conféquent dans les formules de la ftabilité, des amplitudes & des durées des ofcillations, il faudra fubftituer çgE N° à la place de h la quantité k (pH o")E:, ser 2h à la place de7/ la quantité V—Em+Eme CE (g?+9")E: N à la place de Q la quantité Q—Er+En"— à la place de À la quantité R—E4+Eg— - à la place de S la quantité S—E rt Er" Ë On voit donc qu'on peut foumettre à un calcul précis les phénomènes que la tranfpofition de certains poids occafionne dans les mouvemens de roulis & de tangage DES VAISSE AU x. 61 d'un vaifleau. Nous avons déja eu l’occafion de remarquer, dans un cas à-peu-près pareil, qu’on ne fait guères en mer ces fortes de calculs. Auf ce n’eft pas dans cetre vue que nous en propofons la méthode. Notre objet eft d'indiquer les moyens de difcuter exaétement ce qui arrivera , lorf- qu'ayant faic un certain arrimage pour une campagne , on Jugera convenable ou néceffaire d'y faire quelques chan- gemens pour une autre campagne. Ces opérations ne doivent pas être abandonnées au hazard. L’efprit n’eft éclairé qu’autant qu’il peut fe rendre raifon des procédés de la pratique. Application de la théorie précédente àun exemple. P. Prec pp X'L VITL Quoïque l'application de nos formules à chaque vaifleau particulier foit une opération fort fimple , je ferai moi- même cette application à un exemple , mon intention étant de mettre, autant qu’il m’elt pofñible, ces recherches à la portée des jeunes marins. On me permettra les dérails aflez érendus dans lefquels je vais entrer, en faveur de Pucilité dont j'efpère qu'ils feront. Je prends pour exemple le vaiffeau du Roi, appellé la Ville de Paris , de quatre-vingt-dix canons, conftruic à Rochefort par M. Deflauriers , & lancé à la mer le 2$ Janvier de cette année 1764. Ce vaifleau fur commencé en 1758. Il devoit alors porter le nom de l'Impétueux ; mais des circonftances connues ont fait changer ce nom en celui qu'il a aujourd’hui. Suivant des mefurages & des calculs faits fous les yeux de M. Deflauriers par un jeune Conftructeur fort inftruir, Ja longueur prife à la la ligne d’eau en charge eft de 173 pieds; la plus grande largeur, prife toujours à la ligne d'eau & en dehors des membres, eft de 48 pieds sr, La plus Fig25,26. 62 TRAITÉ DE L’ARRIMAGE grande profondeur de la carène eft de 2opi. 1p°:, à com- pter du deflous de la quille. La différence du tirant d'eau de l’avant à l'arrière eft de 1Pi: 8po.. Le centre de gravité de Ja carène eft élevé au-deflus de la furface fupérieure de la quille de r2Pi 1p°o+, & en avant du vrai milieu, de 16 pouces. La quille a r pouce de hauteur. Le poids de l’eau déplacée par la carène, & par conféquenr auf la charge totale du vaifleau eft de 42 5 6 tonneaux environ. Lorfqu'il eft queftion de déterminer la carène & la pofition de fon centre de gravité , il faut néceflairement employer les méthodes expofées dans les 4. IV, V, VI, VII, ou d’autres équivalentes, parce qu’il eft effentiel de connoître Je port du vaiffeau , & la proportion qui doit exifter entre les poids de l'avant & de l’arrière. Mais on n’a pas befoin d'une fi grande précifion, lorfqu'il s’agit de déterminer les loix de la ftabilité & des balancemens du vaifleau. IL {ufr alors d'avoir des termes de comparaifon entre lef- quels les quatités qu’on cherche fe trouvent placées. Ainf, pour éviter des calculs rebutans par leur longueur , j'exa= minerai les loix de la ftabilité & des ofcillations de deux folides, entre lefquels la Ville de Paris eft compris. Le premier folide eft un parallèlepipéde reétanglé FRZIYH & S (fig. 2 5); le fecond eft une efpèce d’ellipfoide ( fig. 26), quia pour plan de flotraifon l’ellipfe ADBE , pour coupe longitudinale la demie ellipfe AB, & qui eft formé d’une fuite de demi-ellipfes ZX] verticales & per- pendiculaires à la demi-ellipfe 478. Nous fuppoferons que dans lun & l’autre folide, la longueur 4B et de 173 pieds, la largeur DE de 48 pieds, la profondeur C7 de 20 pieds, en nombres ronds. Pour mettre de la clarté dans notre recherche, nous la diviferons en plufieurs articles, re DES VAISSEAUX, 6; ARTICLE I. Stabilité du Vaiffeau. La limite de la plus grande hauteur du centre de gravité de la charge au-deflus de celui de la carène , eft dérermi. née en général ($. XLIT), par ces équations 14 2e AE j k—, lorfqu'il s'agit des mouvemens de tangage ; =. , lorfqu'il s’agit des mouvemens de roulis & de rotation horizontale. La queftion eft de trouver les valeurs des quantités M, a", y; dans le cas de nos deux folides, Suppofons en géné- ral la longueur 4B=—2a, la largeur DE=2b, la profon- deur CV =. Dans le parallèlepipède, on à M=4abc. Suppofons qu'en vertu du mouvement de tangage, la partie EDZI du plan de flottaifon prenne la pofition E Dz;; & imagi- nons que l'onglet EDZliz eft compofé d’une infinité de triangles prs perpendiculaires à DE, IL eft clair qu’en nom. mant, comme ci-deflus, z l'angle de rotation de tangage pour le rayon 1, & faifant Cp=y , le moment élémentaire » \ a 2 Z 3 de l'onglet, par rapport à DE, eft —x$adyx— ; donc là s ® a? 243b quantité «'=2 [ D oo rt >en fuppofant y=6 après Fintésration, On trouvera de même que la quantité : 2b5a 4 ——. Par conféquent on aura 3 L Ca . = 1 14 122 pieds pour les mouvemens de tangage. Œ Qué "AR Sr 0 pieds pour les mouvemens de roulis, Fig. 18: Fig. 16. 64 TRAITÉ DE L’ARRIMAGE On voit que le métacentre elt placé à-très-peu-près fur le plan de flottaifon ; car la pofition de ce point doit rou- jours être déterminée relativemenr aux mouvemens de roulis , comme nous l'avons remarqué 4. XLII. Daos le folide ellipfoïdal , toutes les fections ZX! pa- rallèles à la demi-ellipfe latitudinale Ef/D font des demi- ellipfes femblables à cette demi-ellipfe £7D ; & toutes les feétions RYS parallèles à la demi-ellipfe longitudinale AVB font des demi-ellipfes femblables à cette demi-ellipfe AVB. Cela eft trop facile à démontrer pour s’y arrêter. Suppofons le rapport de la circonférence au diamèrre =», CP—x: on aura l'aire EVD=", PL Vaax L ee : bclaa—xx k PK=° Vaa—xx , l'aire er) Donc l'élément . nchx ncbx3 | ; nbe(aa—xx)dx : du folide eft 222% Gont l'intégrale ef ————. u 244 2 64° : 2nrbca Suppofant x=—2, & doublant l'intégrale, on aura LÉ pour la valeur de AZ, De plus nous avons befoin de connoître le centre de gravité du folide M. Ce centre eft évidemment placé en quelque point G fur l'axe vertical C7. Or on fait, par la fimple Géométrie élémentaire, que Le moment de la demi- ellipfe ZK7/ par rapport au point P eft exprimé pas ZPLxPK*. Doncle moment élémentaire du folide ADEC, par rapport à l'axe 4B, eft exprimé par dx (aa—xx}, Pour intégrer cette quantité , on remarquera que dx (aa—xx}—=aadx Vaa—xx— x x dx Vaa—xx ; , que d(x(aa—xx)r) _ dx(aa—xx)} MEL ONE quent dx(aa—xx = d MN) aadie Vas dx —XxdxVaa—xx; que par confé- DES VAISSEAUX. 6s , où bien £ dx (aa—xx y Gt ë. 3 Les 43 (ORRREE AA =———_— Vaa— xx; donc fdx(aa —xx)—" Æ : MTL oufdxVaa-xs intégrale qui eft completre, parce qu’elle doit s'évanouir lorfque x—0. Suppofant x—4, le premier terme s'éva- nouir, & le facteur JaAxVaa xx devient un quart de cercle dont z eft le rayon. Donc, en nommant toujours # Le rapport de la circonférence au diamètre , le moment du Mxtan— xt )E aadx nabcc . folide ADVE , par rapport à 4B , eft exprimé par ur znbca Doublant cette quantité, & divifant par , Valeur du folide entier M, on aura Àc pour la diftance CG du centre de gravité de M au point C. Fofn imaginons que l’onglet formé pour la rotation de l'aire E DB autour de ED , et compofé d’une infinité de triangles prs perpendiculaires à l'axe £ D. En faifant Cp—y , & par conféquent pr=V bb—3y, il eft clair que le moment élémentaire du demi-onglet, par rapport à a(bb—yy). 2aV—x ED, eft EN = dyxZ 3 d'où il fuit que ‘ ,3 a bb—yy)2.dy Riigos EL r : a — [ES , €n fuppofant y=b après l'intégration. On trouvera, par la même méthode dont on vient de fe Ë nab 5 nh5a fervir,æ =——. Pareillement y=——. Donc on aura : [4 . = —— 140 +57 pieds pour les mouvemens de tangage. b : : = —1 0+ pieds pour les mouvemens de roulis. AinG la hauteur du métacentre au deffus du centre de gra- vité de la carène, eft de 10 picds £ ; & comme ce dernier point eft au defflous du plan de flottaifon, de 7 + pieds, il Prix de l’Académie ; 1ome IX, ” I 66 TRAITÉ DE L’'ARRIMAGE s'enfuit que le méracentre eft élevé au-deflus du plan de flottaifon, de 3 pieds. Comme le vaifleau /4 Ville de Paris approche plus du folide ellipfoïdal que du parallèlepipéde, on doit conclure que fou métacentre eit élevé au-deflus du plan de flortai- fon, d'environ 1 ou 2 pieds. AURITAICE EE Amplitude des ofcillations du vaif[eau. Nous venons de voir que [e métacentre de notre vaifleau eft placé aux environs du plan de flottaifon, Ainfi il convient de placer le centre de gravité de la charge au- deffous de ce même plan Suppofons que la charge totale foic diftribuée unitormément, de manière que fon centre de gravité fe confonde avec celui de la carène De l'examen de ce cas fimple naîrront les obfervations qu'on doit fire, lorfqu'il faut avoir égard à la diftribution réelle de la charge. Les mouvemens abfolus de tangage & de roulis font exprimés ($. XLIIL), parces équations 2Mf' Trad EMA ë 2Mf ECM ? & il n’y a point de rotation horifontale, parce qu'il eft évident que la quantité So. Comme on fuppole le centre de gravité de la charge réuni à celui de la carène, on à k=0 , & nos deux équa- tions deviennent y | Z MF Z—=— 2 æ DES YAÏISSE A U'X. 67 eu bien en confidérant que le finus total eft pris pour l'unité , & que ce finus elt égal à un arc de 57° 17 44", Mf LLA Z=—x(57°17 44); Mf ñ Fr Y=" *(57°17 44) Or dans le paralèlepipéde, on a, par l'article précédent, M6 M 6c. RTS donc en fuppofant, par exemple, que par quelque coup de vent ou quelque coup de lame , ou par quelque bouffée de vent, le centre de gravité de la carène fe foit écarté de 4 pouces de la coupe latirudinale & de la coupe longitudinale, c'eftà-dire, f —4 pou., f—4 pou.: on trouvera Z—0© 18! 22”, Y=5° 58 43. . : + M 160 M 16 Dans le folide ellip{oïdal, on a -=—, ——""; donc æ L À “tte 3b? en fuppofant toujours f'=—4 pouces, f—4 pouces: on trouvera Z=—=0° 16 20", V5 22! 12”. On fent affez qu’on n’a fuppofé chacune des lignes f! q DE ne & f de 4 pouces, que pour faireure application des for- mules àqun cas particulier. Les valeurs de ces lignes ne font pas faciles à déterminer direétement en général. Mais 32 : £ fi au lieu de conclure les angles Z & Y des valeurs fup- pofées connues de f” & f, on fuppofoit au contraire les angles Z & Y donnés par des obfervations immédiates ; il.eft évident que par nos formuleson connoïroit f'& f, c'elt-à-dire les-bras de levier de la pouffée verticale de l'eau pour ramener le vaifleau à fa fituation d'équilibre: Cette commoifance efturileen plufeurs occafions ; comme + + CE ‘me hard Ë ' Ï 2 # Fig. 253 Fig. 26. | Fig, 25 & 26» Mis 2$» 68 TRAITÉ DE L’ARRIMAGE par exemple, quand on a befoin de comparer l'effort des lames ou des bouffees de vent avec la pouffée verticale de l'eau. Les mouvemens de tangage font fort petits. Ceux de roulis font plus confidérables. Comme le centre de gravité de la charge totale eft tou ours placé au-deflus de celui de la carène, dans les vaifleaux de guerre , les mouve- mens de tangage & de roulis du vaiffeau /a Ville de Paris pourront être plus fenfibles qu’on ne vient de les trouver. ART IC LD'EUMIPTE Durée des of[cillations du vaiffeau. Nous continuerons de fuppofer que le centre de gravité de la charge totale eft confondu avec celui de la carène, comme dans l'article précédent. Les trois axes GC, GQ , GT font ici les mêmes refpecti- vement que les trois axes defignés par les mêmes lettres dans la figure 23 : feulement on en achangé la perfpective, pour faire mieux voir les autres lignes dont on a befoin; mais cela ne doit produire aucun embarras. Il fuffit d'en être averti. Les rems des mouvemens de tangage & de roulis fon£ repréfentés ($. XEIV ), par ces équations 1:80 Here zoipea—Mh) * RIRE pe VEN #(R) Jon pl MA) Il s’agit de trouver les quantités } & Q, c'eft-à-dire, les fommes des produits des particules de chaque folide par les quarrés de leurs diltances aux deux axes horizontaux GQ, GT. La quantité h=o. Soient ZXx/ une fection quelconque du parallélepipéde ; : - DES V'AISSE AU X 69 Faite perpendiculairement à fa longueur ; PK la rencontre de cette feétion avec la coupe longitudinale 4B5a; Na un élément quelconque du reétancle ZXx/. Qu'on prenne fur N# une partie infiniment petite [a ,& qu'on mène du point TI au point O , où l’axe longitudinal GQ & a ver- ticale PK fe rencontrent, la droite HO. Suppofons CP=+=, PM=z, MNi=3, & par conféquent MO—£—2. Il eft clair que le produit de Ta parle quarré de fa diftance à l'axe longitudinal GQ eft ggdg+dg(<—z) , dont l'intégrale et © +9(£—z). Suppofant Q= ————, 27 AI Fig. 26. 70 TRAÏTÉ DEL'ARRIMAÂAGE Donc en ds 00 qu'ici pæ=1 , on aura 2658 (Tex CRE PTT So77==2 + à-peu-près, 1(R)— Pal 2+ à-peu-près. Les mouvemens de tangage & de roulis fe font avec promptitude, comme on voit, & doivent paroître fenfibless Soit, comme ci-deflus, la demi-ellipfe Z Xi un élément quelconque du. folide ellip{oïdal. Que Nz foit une double ordonnée à l'axe PK. En faifant CP=x, PM=—3, & confi- PTE: se 16 MP TIE à à dérant que MN V PK:—PM ET TE on trouvera, par la même méthode dont on vient de fe fervir pour le parallèlepipéde, que la fomme des produits de tous les points de Ny par ié quarrés de leurs diftances à 343, (aacc=—cixx Vaxe GQ , eft exprimée par # EE pr rt CE aa A ne a Donc cette fomme élémens aa ï 8 taire pour la demi-ellipfe ZK/, eft Uide( . aa + a ——————— ————— NP Reel |. , expreffion dans las aa quelle z feule eft variable en ce moment. Suppofons, pour AACC——CCXX à ———#"2) L EF AaCC—CCXX abréger un peu le calcul, =—=4. On aura el } pu pe — 2, Père effectuer l'intégration 4 du SERIE terme, On remarquera que dx A—2 D) )=—d3 (Ares )* Re res —2 A" Ms get —4 244% à n «DES; WACLS $S (B'A:ULX 71 ES, A? V4—>; qut" par conféquent f eds VAT F 4 D cv ne LOUE meer ee Doc, en reprenan iles fateurs conftans négligés dans les intégrations, réuniflant toutes les parties de l'intégrale, & obfervant qu'elle doit séva- nouir , lorfque z=0o; & recevoir fa valeur complete, lorfque z— 4: on trouvera que la fomme des produits de tous les points de la demi-ellipfe ZK1 par les quarrés de leurs diftances à l'axe longitudinal GQ, eft exprimée par Ja quantité She CE Caa—xx)— (5 +T) . = (aaxx—xt). 2C 32 Aa 2C 2 4a Multipliant cette quantité par dx, intégrant, fuppofanc x=—2, après l'intégration , & doublant l'intégrale, on trouvera n f Gaab5 c + roabct 3 140 pour la fomme des produits des particules du folide entier par les quarrés de leus diftances à l'axe longitudinal. . On trouvera de même que la fomme des produits des pue du folide par les quarrés de leurs diftances à axe latitudinal GT eft exprimée par . ñn 64ba5 c++ 19abc3 2° 240 K Nous aurons donc Q ___ 644ac+ 19c5 Per 12034 2a! PV éabbc-19c + 5 120bb > Par conféquent on trouvera L 70, 3SS1/ TOTATTE n19 . e(T)=1 *L13 2693610 —1 T0 72 TRAITÉ DE L'ARRIMAGE 1(R)=r x eV rer" Te Dans le folide ellipfoïdal, les mouvemens de tangage & de roulis font un peu plus rapides que dans le parallèlepipéde. Il fuit de-là que fi la charge de la Ville de Paris étoit diftribuée uniformément dans la callè, & que fon centre de gravité combât fur celui de la carène confidéréé comme homogène, les mouvemens de tangage & de roulis feroient très-rapides, & rourmenteroient extrêmement la mâture & l'équipage. Pour en diminuer la virefle , on aura foin de mettre le plus qu’il fera poffible les poids les plus pefans de Ja charge aux extrémités & dans les flancs du vaifleau. Il eft vrai que par-là la quille fera un peu fatiouée ($. XXIV ) 5 mais cetre piéce a ordinairement beaucoup plus de force qu'il ne lui en faut pour réfifter aux forces done elle eft prefée (. XXIX). Réfulrat de tout cet examen. Le métacentre du vaïffeau /a Ville de Paris eft placé à x ou 2 pieds au-deflus du plan de flottaifon. Si donc on veut que ce vaiffeau porte bien la voile, il faudra diftribuer la charge , de manière que fon centre de gravité fait placé au moins à 1 ou 2 pieds au-deflous du plan de flottaifon. Il conviendra que la plus grande partie du leff foit en fer, & qu’elle foit diftribuée dans les flancs du vaifleau, ainf que fous la foffe aux cables & vers la foute aux poudres. Ce vaifleau décrira de fort petits arcs dans le rangages mais dans le roulis il en d crira qui, même par un tems calme, pourront monter à 7 ou 8 degrés. Il paroit qu’en arrimant comme on vient de le dire, les mouvemens de tangage feront peu fenfibles ; mais quelques précautions qu'on prenne, ceux de roulis feront peu-être un peurudes, principalement lorfqu’on ira vent arrière. L'événement décidera de la juitefle de ces remarqués; car en ce moment (Février DES VAISSEAUX. 73 {Février 1764) la Ville de Paris eft encore dans le port, dénuée de fa mâturel, & remplie de copeaux. On difcutera de la même manière tous les vaiffleaux dont on connoîtra les dimenfions. SE'C'TA ON TV Influence de l'arrimage fur les mouvemens de rotation produrts par l’alion du gouvernail ou des voiles. XLIX. LE ne m'arrêterai pas ici à expliquer la manœuvre du gouvernail ; c’eft une chofe affez connue. Mais je ne puis me difpenfer de remarquer que tous les Auteurs qui ont entrepris de donner la théorie des mouvemens que certe piéce imprime au vaifleau, ont regardé le ,vaifleau & le gouvernail comme folidement liés entr'eux, & ne faifanc, pour ainfi dire, qu’un feul & même corps; ce qui n'elt pas exaét, puifque le vaiffleau & le gouvernail font réellement deux corps féparés,mob'*s l’un & l’autre fur les gords qui les uniflent. D'où il réfulce que les folucions de ces Auteurs font incomplettes , au moins dans la rigueur géométrique En voici une qui n’a pas le même defaut. Suppofons que AB repréfente le corps du navire, BC le gouvernail qui eft mobile fur le gond ou la charnière B, Soit Ff la direétion du choc de l’eau qui refulte perpen- diculaïrement au gouvernail. Certe force eft fuppofée ici exercer librement fon effet. Qu'au bout d'un inftanr, le fyftème 4BC parvienne dans la fituation abc, de manière que le point B ait parcouru Bb, & qu'ayant mené par le point # les droites ba, b£ parallèles à B 4 & à BC refpetti- vement , Le navire ait décrit autour du point B ou b l'angle aba, & le gouvernail l'angle «b£ autour du même point, Je Prix de l’Académie, Tome IX, K Fig. 27e 74 TRAÏTÉ DE L'ARRIMAGE rolonge indéfiniment 4B au-delà de B, & repréfentant dimptltios de l’eau fur le gouvernail par FD, je décom= pofe certe force en deux autres FE, FH, l’une perpen- diculaire , l’autre parallèle à [a direétion 4B de la quille. Soient R & Q deux points quelconques du vaifleau & du gouvernail. Ileft clair que fi on prend £S$—BR ,b0=BQ; & qu'on mène les lignes RS, QO , ces lignes feront les efpaces parcourus par les points À & Q. Du point b foient décrits, avec les rayons &S , 20, les petits ares ST, ON, & foit abbaiflée h perpendiculaire fur 4B prolongée, & bi fur CB prolongée. Soit décompofée la vitefle RS en deux autres RX, RZ, l'une dirigée fuivant AB, l’autre perpen- diculaire à AB. Pareillement foit décompofée la vitefle Q0O en deux autres Q M, QP ou MO, l'une dirigée fuivant BC, l’autre perpendiculaire à BC. Suppofant que QO pro- longée, s'il eft néceflaire, rencontre en g le prolongement de AB, & ayant pris g#—Q0 , foit décompofée la virefle: gm en deux autres gp, 9», lune dirigée fuivanr Bp, l'autre perpendiculaire à la même ligne. . L'impulfion FD de l'eau contre le gouvernail atertie e SU ' srpriale “61010 a sudisratu à te PATES —# La vitefle Bh du point B dans le fens de ff quille. ss : RRNERR Ce Het e =x La vitefle bb du même point B perpendi- culairement à la quille .......... …—}, 4 La viteffe de rotation du navire autour Suppofons du point B, pour le AyYON T......0 EE ‘4 La virefle de rotation du gouvernail au- tour du point B, pour le rayon 1 ....=—# La mafle du navire, ........ e —.=N Chaque particule élémentaire du navire —4N La mafle du gouvernail . :.....,.... —6G Chaque particule élémentaire du gou- mertalleisiedi de Fe d'A Are ...=4AG DES VAISSEAUX. 74 Labgle CBp * he ases MONELTE m1 re La RS trs Bladi tes Rhrtlate. | Lu Sete LENS = SuPE? me LE RER A PL LE Er Re = BQ snrereosossesersore ss use se —4 ILeft clair qu'on aura a force FE—F vof a, la force FH=F fin. a, TS—pV, ON=g#, SX=y—pr. De plus filon tire La droite RT, il eft évident qu’à caufe de bT—hX, & de LT—4S—BR , les deux triangles rectangles RXT, Bhb font parfaitement égaux; donc RX=x. Pareillement fi l'on tire la droite QN, les deux triangles reétangles QMN, Bib font parfaitement égaux ; donc QM—B;, MN=ib , MO—ib+ON—;ib+qu. Or l'angle bBi étant vifiblement le fupplément de la fomme des deux angles Cp, bBh;,on aura bi=ycofa+x fin. a, Bi=y fin.a—x cof. a. QM=}yfin.a—x cof.a , MO=yc0f.a+x fin. a+qu. Dans letriangle BQz, le finus de l'anglé BeQ ou de fon . égal pgm eft égal au finus de la fomme des deux angles QBe, BQz ; donc fin. pgm=fin. a x So +etf.a x — ÿ OM. Q0 ? Donc cof. pgm=fin. a x Ts —cefa x Donc | L pm=fin.a(yfin. ax cof. a )+cof.a(y cofca+-x fin.aqu), gp=fin.a(y cof a+x fin.a+qu)—cof.a (y fir.a—x cof. a). Cela pofé , on fait, par fa loi re de la com- K & 76 TRAITÉ DE L'ARRIMAGE municaton des mouvemens, que la fomme des mouve= mens gagnés par le navire & par le gouvernail , parallé- lement à la quille, eft égale à la force FH, & que fa fomme des mouvemens gagnés par le navire & par le porc , perpendiculairement à la quille, eft égale à a force FE. Ainfi on aura d’abord ces deux équations F fin.a=Nx+Gx+u fin. a [qdG ; F cof a=NyV—N [ piN+Gy+u cof. a [ 4dG. De plus le moment de la force F par rapport au point B eft égal à la fomme des momens de toutes les parti- cules du navire & du gouvernail, par rapport au même point B. Ainfi on aura Fh=f'ANxBRxSX+fdGxBQXeP , c'eft-à-dire Fh=yfpaN—V fppdN+ycof a fadG+x fin.a[adG + faad6. Enfin on remarquera que la réfultante de toutes les forces RS, QO des particules du navire & du gouvernail, doit néceffrirement pañler par le point B i car cette réful- tante doic être telle que fi on imprimoit au fiftème une force égale & contraire , tour le fiftême demeurât en équilibre. Or fi cette dernière force ne pañloit pas par le point B, ileft évident quelle produiroit un mouvement de rotation autour de ce point, ce qui eft contraire à l’hy- pothèfe. Certe nouvelle confidération fournit l'équation J'ANxBRxSX=/4GxBQxQP, c’eft-à-dire, 2 fPAN—V [ppdN=y cof. a [ adG+x fin. a [adG+u [q4dG. Dans ces quatre équations, les quantités fPAN ; fPb4N 4 JaiG; Jaa4G ; font données par les figures du navire & du gouvermail. Par conféquent on pourra déterminer les DES VAISSEAU X. 77 quatre inconnues x, y, V, #, c’eft-à-dire, le mouvement du navire parallélement à la quille, le mouvement du navire perpendiculairement à la quille, le mouvement de rotation du navire autour du point B, enfin le mouvement de rotation du gouvernail autour. dû même point. La queftion fe réduit à réfoudre quatre équations du premier degré. EL. Telle eft la folution générale du problème propolé. Mais comme la mafle du gouvernail eft fort petire en com- paraifon de celle du navire, dans l'application qu’on fera de ces formules au fujet propofé, il eft très-permis de né. gliger tous les rermes qui contiennent G, [qdG » /49dG. Alors on trouvera x ; ___ Fcof.afppaN IR JppEN— (fran? F cof. a fpdN NfpaN—([paNy" Quant à la valeur de #, on voit bien qu’elle doit être regardée comme infinie par rapport à celle de F. Ces formules peuvent encore fe fimplifier. Car fi l’on nomme b la diftance du centre de gravité de la charge à un axe vertical élevé par le point B, S la fomme des pro- duits des particules du navire par les quarrés de leurs diftances à un axe vertical paflant par le centre de gravité de la charge, on aura, comme on fait, par Les loix de la méchanique, f pdN=Nb, ‘é ppiN=S+Nb*, & nos trois formules deviendront F fin. a E— 78 TRAITÉ DE L’'ARRIMAGE Fcof.a(S+-Nbb) A HUE équations qui renferment toute a théorie des mouvemens communiqués au vaifleau par l’action du gouvernail, E I, Le choc de l’eau contre le gouvernail produit deux effets, comme on voit, Il retarde [4 rapidité du fillage , & il fait rourner le vaifleau. Le premier effer, qui eft contraire au but de la navigation, eft exprimé par les deux premières équations. Notre objer n’eft pas de l’examiner en dérail, Mais nous devons analyfer le mouvement de rotation qui eft repréfenté par la formule Fb cof.a V= — Dans cette formule, 7 eft l'angle 444. Suppofons que le point G repréfente le centre de gravité du vaifleau , & par ce point foit menée la droite ZG/ parallèle à 4B: il eft clair que les deux angles 4b«, bGI font égaux. Ainfi V peut être confidéré comme l'angle décrit par le vaïfleau autour de l'axe vertical paflant par le point G&,en vertu d'une force # cof. a appliquée en P, perpendiculairement à AB. Nommons s l'efpace parcouru circulairement à la diflance 1 de l'axe G, v la vireffe circulaire d’un poirt pris à la même diftance, le tems de la rotation: il efk yifible qu'on aura | n Fb cof. a ds S L] Fb cof. a. dr? s i vdv= dds = Donc R DES VAISSEAUX. FRA pere 2 Fbcof.u.s VS, EN PQ . Fb cof, a Soient g [a gravité , # la viceffe qu’un corps acquerroit par la gravité , en parcourant l’efpace s ; le rems employé à acquerir cette vicefle ; & fuppofons que la force F cof.æ foic égale à un poids dont la maffe eft P, c’eft-à-dire, que cette force foit repréfentée par zP. On aura (en mettant l& lertre À à la place du rayon 1 , pour rétablir Les homogènes), LA “x ris = +? 3 S 1—=5Û x PER? Formules dans lefquelles les quantités radicales font des nombres abfolus. Ces formules font d’un ufage très-com- mode. Mais il faut obferver qu’elles n'ont lieu que pour le commencement du mouvement , parce qu’on a négligé k réfiftance que le navire éprouve en divifant l’eau par fa rotation , & que cette réfiftance augmente fenfiblement à mefure que la vicefie de rotation augmente. É j :$ Ces principes pofés, il eft queftion de difcuter l'in« fluence de l’arrimage fur les mouvemens dont nous venons de parler. Or, 1.° on voit que fi, toutes chofes égales d'ailleurs , on augmente la force F, ou que le gouvernail préfente une plus grande furface au choc de l’eau , la virefle de ro- tation du vaiffeau autour de fon centre de gravité augmen- tera. L'expérience & la théorie ont fixé les dimenfions du gouvernail dans chaque vaifleau. IL n’eft pas permis d'y faire des changemens bien fenfbles ; car en même temps 80 TRAITÉDE L'ARRIMAGE qu’une plus grande furtace expofée au choc de l'eau; produiroit un plus grand mouvement de rotation , elle rallentiroit confidérablement la rapidité du fillage. Mais il y a des occafons en mer, où l'on a befoin dune action efficace & prompte de la part du ‘gouvernail. Alors rien n'eft plus utile que de faire enfoncer davantage le gouver- nail dans l'eau. Cela s'exécute en tranfportant quelques poids aflez pefans de l’avaur à l'arrière. Il eft vrai que par cette opération, il pourra arriver que la quantité $ aug- mente, & que par conféquent la vicefle de rotation du vaifleau diminue d'un côté, tandis qu’elle augmente de de l’autre; mais l'augmentation l'emporte toujours fur la diminution , comme on pourra s’en aflurer par la méthode que nous donnerons dans un moment ; & c’eft une très- bonne manœuvre de furcharger l'arrière du vaifleau , lorfque le vaiffeau porte d'ailleurs bien la voile, & qu'il n'eft pas aflez docile à l’aétion de fon gouvernail. 2 © On peut augmenter la viceffe de rotation du vaiffeau en laiffant La même furface au gouvernail, mais en di- minuant la quantité S, c’eft à-dire en rapprochant le plus qu'il eft PE les diférens poids qui compofent 14 charge, de l’axe vertical élevé par Le centre de gravité du vaifleau. Ce moyen ne peut guères être pratiqué efñ- cacement en mer, parce que le milieu de la calle eft prefqu'entièrement occupé par des poids qu’il n’ett pas facile de mertre ailleurs, & que d'un autre côté il feroit quelquefois dangereux de faire des changemens trop con- fidérables à La diftribution primitive de la charge. Mais lorfqu’on fait le chargement dans le port, & qu’on difcute linAuence de l’arrimage fur les qualités du vaifleau, on re doit pas oublier qu’un des meilleurs moyens de rendre le navire fenfible au gouvernail, eft de rapprocher de l’axe ver. tical les principaux poids dont Les emplacemens ne font pas péceflairement affignés dans telle ou telle partie de la calle, L'arrangement dont il s'agit ade plus l'avantage de foulager la DES VAISSEAUX. êI {a quille, comme nous l'avonsvu ((. XXIX ); mais il peut avoir l'inconvénient d'augmenter les mouvemens de roulis & de tangage, comme il eft aifé de voir par les méthodes expofées dans. la feétion précédente. On ne procure pref- que jamais une bonne qualité à un vaiffleau, qu'on ne lui en fafle perdre une autre. C’eft aux Marins éclairés de bien pefer les raifonis favorables & contraires à l'opération PRIE. Cet examen fera facile , & l’on choifira infailli- lement le parti le plus avantageux, lorfqw’on connoîtra exactement la forme & les capacités du vaifleau. EPP: Nous nous fommes engagés à examiner les changemens 3. 0D. og à dt qui arrivent dans la fraétion —, lorfqu'on faic augmenter D . * . . . en tranfportant quelques poids de l'avant à l'arrière Voici cette difeuffion qui dépend des mêmes principes que celle du $ XLVII. | Soient AB le corps du navire, GC l'axe vertical élevé par fon centre de gravité G. Suppofons qu'on prenne à Fendroit connu K de l'avant un poids connu que je nonime -K pour le tranfporter à l’endroit connu 1 de l'arrière; & qu’en vertu de cette tranfpoftion , l'axe GC prenne la po- fition ge. Par les points G & g foient menés les deux axes horizontaux GT, gt perpendiculaires l'un & l'autre à AB. Le centre de gravité du vaifleau ayant pañlé de Gen g, la pouffée verticale de l'éau , qui s'exerce toujours fuivant GC fera tourner lé vaiffeau autour de l'axe horifontal gr, & lui fera décrire l'angle Bgb dans le plan vertical mené fuivant AB. Il eft clair que fi l'on parvient à connoître cet angle, & la partie Pg, on connoïtra auffi la grandeur abfolue du petit arc Bb qu'on peut regarder comme une ligne verticale. Par conféquent on connoîtra la quantité Prix de l’Académie , tome IX. L la furface que le gouvernail préfente au choc de l’eau, Fig, 28 82 TRAITÉ DE L’ARRIMAGE dont tous les points de la furface du gouvernail fe font abbaïflés verticalement s d’où il fuit qu'on connoîtra la nouvelle furface que le gouvernail préfente au choc de l'eau, & la force avec laquelle cette furface eft frappée. Btere der Tone ne che ARR so —h# (CNRS one er ae aQp EE: LRLS 204 = CET SAS SOS NC enr ul nf à . = HR re ET ele see Het 4 hiuis PIRE — Lamale dénayie ts un PNR — La fomme des produits des particules du navire par les quarrés de leurs di- ftances à l’axe latitudinal GT, avant la tranfpofition du poids K ........ — La fomme des produits des particules du | navire par les quarrés de leurs diftances à l’axe g4 , après la tranfpofition du Suppofons ET O4 VA Paper Ne —=() L'angle BGb, pour Le rayon 1 ....... —Z, O XLVD, Gr, K(HS) Lo naura ($.XLVI) Gz m5 doncgNx > =Qx— 3 mais ($. XLVI), Q=Q—Ke+Rf— CH; Donc À £K. (cf). QE HKf ae 2 ou bien, en fuppofant le finus total 1 =R, pour rétablir les homogènes, Z BK (cf): RN Ainfi l'angle Bgb fera connu. La ligne Be eft auf con- Æic+-f) , Ry À ) Mairenant reprenons la formule Va du $.L; nue , puilque Bg=BG—gG—i— DES VAISSEAUX. 83 dans laquelle F eft le choc que l’eau exerce perpendicu- lairemenc contre le gouvernail dans fon premier état , & l'angle formé par la quille & par le gouvernail, à le bras de levier de la force F cof. a, c'eft-àdire la ligne BG, S la fomme. des produits des particules du vaifleau par les quarrés de leurs diftances à l'axe vertical GC, F l'angle de rotation horizontale produite autour de l’axe GC par le choc de l’eau contre le gouvernail. Suivant la remarque que nous avons faite , la force F eft augmentée d’une quantité connue que je nomme dF. De plus la rotation horizontale fe fait maintenant autour dé l'axe ge; & fi l'on nomme S° la fomme des produits des particules du navire par les quarrés de leurs diftances à l'axe ge, après la tranf- pofition du poids X, /" l’angle de rotation autour de l'axe £c» on aura ne É (hfi\ 0 Be CF+dF) cf ao T) 5 x; 2 2 mais (SXLVI) S=S—Kex Kg), Donc (F4-d4F )cof. a (p—n) v Comparant cette valeur de J'avec celle de 7, on trou- vera dans chaque cas particulier applicable à la pratique, que 7" eft plus grand que Fi d’où il réfufte que l'angle de rotation horizontale du vaifleau augmente à mefure que le gouvernail préfente une plus grande furface au choc de l'eau. LI V. PE Toutes ces formules ne fervent pas feulement à démon- trer en général que telle caufe produira tel effet ; elles ont de plus l'avantage de donner des mefures précifes des caufes & deseffets. Nous voyons ici que fi l’on fait, par exemple, =; où qu'on tranfporte lé poids X précifément au cenue L'2 84 TRAITÉ DE L’'ARRIMAGE de gravité de la charge, ou plutôt de la ligne verticale élevée par ce point, l'angle ! augmentera fenfiblement, puifque Le numérateur de la fraétion qui en eft la valeur, augmentera , & que fon dénominateur diminuera. Cette augmentation de l'angle 7" peut ètre foumife à un calcul rigoureux. Il en eft de même de toute autre tranfpofition de poids. En quelqu'endroit de l'avant qu'on prenne un poids, pour le tranfporter à l'arrière, angle de rotation fe calcule fans peine. Il y a plus: la formule précédente fournit lé moyen de.reconnoître parmi toutes les tranfpo- fitions poflibles de poids de l’avaur à l'arrière celle qui efk la plus avantageufe au mouvement de rotation ; & voici comment on réfoudra ce problème, EF Confidérons le gouvernail comme un rectangle vertical dont la largeur eft très-petite par rapport à la demi-longueur du vaifleau, de manière que toutes les lignes horizontales menées de l'axe vertical ge à ous les points de la furface du gouvernail puiflent être regardées comme égales. Nous ne faifons cette fuppofñtion que pour abréger 5 car le problème fe réfoud par la même méthode, quelles que foient la figure & les dimenfons du gouvernail. Il eft clair que la rapidité du fillage demeurant toujours la même, la force F eft fimplement proportionnelle à la furface du reétangle qui forme le gouvernail. Soient k la hauteur verticale de ce rcétangle , avant la tranfpofition du poids X , # fa lar- geur horizontale. Par la tran{pofition du poids X de l'avant Le] a ; : - à l'arrière, la hauteur h augmente de la quantité Bb, c’eft- gK.(c+-f) R K(c+-f) LA Ke ER * (2) ‘ Cela pofé; on mettra w à la place de F, le produit de # par cette valeur de Bb à la place de 4F, dans la valeur générale de V',& on fera W'= maximum, & par conféquent d/ '—0o. Si dans cette différenciation , on regarde f feule comme à-dire de DES VAISSEAUX. 86 variable , & Le refte comme conftant, on déterminera l’en- droit de l'arrière où il faut mettre un poids qu'on prend dans un endroit connu de l'avant. Si l’on regarde « comme variable & tout le refte comme conftänt, on déterminera Fendroit de l'avant où il faut prendre un poids pour le mettre à un endroit connu de l'arrière. Je n’achève pas le calcul qui eft un peu long, & dont vrai-femblablement la pratique ne tireroit pas grand fecours. Il fuffit d'avoir indiqué la folution du problème. L VI. L'objet principal des voiles eft de procurer au vaiffeau le mouvement de fillage. Mais elles fervent auffi, de même que le gouvernail, à faire tourner le vaifleau aurour de l'axe vertical GC élevé par le centre de gravité de la charge. Lorfqu’il ya un équilibre abfolu entre les voiles de l'avant & celles de l'arrière , par rapport À la ligne verticale dont on vient de parler, les voiles ne peuvent imprimer aucun mouvement de rotation au vaifleau. Mais fitôt qu'on caroue quelques voiles d'un côté fans toucher aux voiles qui font du côté oppofé, l'équilibre eft rompu, & le navire tourne néceflairement autour de fon centre de gravité. Suppofons, ar exemple, qu'on cargue quelques voiles du côté de avant 4, de manière que la réfultante de rous les efforts du vent contre les voiles foit maintenant dirigée fuivanc Ær: il eft clair que l'arrière GB du vaifleau tournera en allant de droite à gauche, & l'avant en allant de gauche à droite. Au contraire fi lon carguoit quelques voiles du côté de l'arrière, l'avant du vaiffeau tourneroit en allant de droite à gauche, & l'arrière de gauche à droite. On voit par là que la plupart des chofes que nous avons dites au fujec des mouvemens de rotation produits par l’action du gouvernail, s'appliquent aux mouvemens de rotation pro duits par l'action des voiles, Lorfqu’on voudra favorifer ces Fig, 28, 86 TRAÏÎTÉ DE L’ARRIMAGE derniers mouvemens par l’arrimage , fans faire changer de -poñition à l'axe vertical GC, il faudra rapprocher le plus qu'on pourra de cet axe quelques poids fort pefans , en prenant ces poids égaux deux a deux, à diftances oppofées & égales de GC; & les plaçant à diftances oppofées égales du même axe GC. Toutes ces conditions, ou du moins d’autres équivalentes doivent être remplies. RaWidid: Nous avons dit, fans faire changer de pofition à l’axe GC ; car fi, par exemple, on cargue quelques voiles du côté de l'avant, & que le centre d’impreflion de celles qui reftent tant à l'avant qu'à l'arrière, foir au point R du côté de l'arrière , qu’enfuite on prenne un poids À du côté de Fayanc pour le porter en M à l'arrière, les réfulrats chan gent ; & la nouvelle place du poids X doit être déterminée de manière que l'angle de rotation foit un maximum. L’impulfion du vent dirigée fuivant lho- rizontale R7 perpendiculaire à 4B,..—F GREAT leie often ie En Et bei ee en APE ne Suppofons < La Malle JU naNITe eau és nova n 0 Tl La fomme des produits des particules du navire par les quarrés de leurs diftances à l'axe GC, avanc la tranfpoftion du DOS RS dd EE L’angle de rotation pour lerayon 1,.,.,=—# On trouvera , en raifonnant comme ci-deffus, K(c+f ) F' Lo And NP TERRE S—Ke KR EX 2 Donc, en confidérant qu'ici F eftune quantité conftante ; _—_— DES VAISSEAU %. 87 & faifant varier f feulement, on trouvera que la valeur de f eft exprimée par une équation du fecond degré. Pa- reillement fi l’on fait varier c, en regardant tout le refte comme conftant, la valeur de « fera exprimée par une équation du fecond degré. Je ne fais pas d'application particulière de [a théorie établie dans cette feétion, comme j'en ai fait de la théorie établie dans la feétion précédente. Ce détail ne peut avoir aucune difficulté. J'avertirai feulemenc les Lecteurs qui voudront appliquer nos formules au vaifleau du $. XLVIIT, que la furface du gouvernail de ce varfleau eft d'environ 400 pieds quarrés. CONCLUSION. I: ne fera peut-être pas inutile de remettre ici fous les yeux du Leéteur les principaux réfultats de ces recherches. Le problème de l’arrimage des vaiffleaux eft un problème indéterminé , qui admet autant de différentes folutions qu'on peut avoir de différens vaifleaux à arrimer. Cette propofition évidente par elle-même eft établie par toutes les réflexions que nous avons faites fur la manière donc l'arrimage favorife ou contredic les qualités du vaifleau. En cffet, nous avons vu dans la feétion I du chapitre II, que pour empêcher la quille de plier fous les forces dont elle eft preffée, il conviendroit de diftribuer la charge pro portionnellement aux capacités de la carène: on a vu dans & fe&tion III du même Chapitre que pour augmenter la ftabiliré du vaifleau & diminuer l'amplitude de És ofcilla- tions, il faut abbaifler le centre de gravité de la charge totale ; que pour diminuer la vitefle des ofcillations il fauc élever le centre de gravité de la charge, ou bien diftribuer le plus qu’il eft poffible la charge dans les extrémirés & dans les flancs du vaifleau: enfin. nous.venons. de voir dans 88 TRAITÉDE L'ARRIMAGE cette fetion, que pour favorifer les mouvemens de rota= tion produits par l’action du gouvernail ou des voiles, il fauc principalement rapprocher la charge de l’axe vertical du vaifleau. Or 1l peut fe faire qu'un vaifleau , relativement à fa forme & à fes capacités, ait plus befoin que l’arrimage favorife telle ou telle qualité que telle autre. Ainfi la queftion propofée confifte à examiner exaétement & en détail les phénomènes qui arriveront dans les mouvemens d'un vaifleau donné, lorfqu’on arrimera ce vaifleau de telle ou telle manière. Il eft évident que cette méthode eft la feule qu'on puiffe employer pour découvrir l’'arrimage qui convient le mieux à chaque vaifieau particulier. Ajoutons que la perfeétion de l’arrimage depend prefqu’entièrement de la quantité & de la diftribucion du left. Les autres matières ont des emplacemens affez fixes, & leurs poids font limités. Si le point fondamental dont il s'agit eft une fois manqué, on cherchera vainement en mer à y remédier: le vaifleau naviguera mal, quoique peut-être excellent en lui-même; & l’on ne pourra que pallier jufqu'à un certain point le vice de larrimage, Pour mettre ces remarques dans le plus grand jour, je vais ajouter ici quelques devis de l’A/rer & du Fantafque dont nous avons déja parlé dans Le chapitre IF, avec les ob= fervations des Capitaines fur la manière dont ces vaiffeaux fe font conduits à [a mer dans différentes campagnes. Commençons par les proportions générales de ces deux vaifleaux. Proportions de l’ALTIER , vaifleau du Roi ,de 64canons, conftruit à Toulon par M. Coulomb en 1757, 6 lancé à l’eau le 23 Mars 1760. Longueur de l’étrave à l'érambot.,.,.,.,. 19 1Picdsopou Largeur au maitre bau de dehors en dehors des Mebres ion 0 lerniats 5 4OUNIQ Creux DES VAISSEAUX. 39. Creuxau-deflus de la quille, fousle maitre bau 1 9pieds opou. Longueur de la quille. ..............135 o MAÉ mbors. ut. deresnt 2: 0 Élancement de létrave . :.: #4. La RASE, KO Tirant d’eau de l'arrière, le vaifleau armé ME eu ce NA SR UP JET ANUS © Tirant d’eau de l’avanc , le vaifleau armé palgiene DANS FU RE Er? 0 Édquipage.en paix... - dodo cie 233,2 0.hommes. quipage en guerre. ,..... ne crd ele ETC danse, du SELS Enon dde 1z:,..2.40% 0.28 Total 64 CR CT PC EE Le Port en tonneaux .....,..........,., I 100 tonneaux Proportions du FANTASQUE , vaif[eau du Roi, de 64 canons , conffruit à Toulon par M. Chapelle fils, en 2756 , & lancé à l'eau le 10 Mai 1758. Longueur de l’étrave à l'étambot ..:.:.... 1 $ 1pieds o pou: Largeur au maître bau de dehors en dehors destmelnbres 2.2.1. MM. UN AE CU : 1 40 Creux de deflus la quille fous le maïtrebau ... 19 Longueur de la quille............,...133 Quére(de’l'étambot!, 0.240 9 Je li h ,3 Élancement de l'étrave................ 14 Tirant d'eau d’arrière, le vaifleau armé en DÉS ds vu eee ele see EN EU Tirant d’eau d'avant, le vaifleau armé en SUETTEM SL. » o à 5 » ant gersétererene eee 0 0 el LA 78 NN wOLbaSn Équipage en pare PR EEE Re 320 Équipage en guerre ................ 450 Prix de l'Académie, Tome IX, M 90 TRAITÉ DE L'ARRIMAGE de z24lv-...5 MS UNe6 Canonsddétra. ou At AE orAl | 64 dE t6 2, Lee TO Port en tonneaux. nil. ae LL SIPRNCAEESS Devis de l’ALTIER, commandé par M. de Rochemores Capitaine de vaif[leaux ; campagne de 1762. Vivres pour 6 mois; eau pour 3 mois; 450 hommes d'équipage & 45 moufles; 21 barquées de left, favoir 171 en pierres, 3 + en fer. Ce vaiffeau étant neuf, on a fuivi, tant pour la quantité du left, que pour la façon de le placet, l'avis du Con- ftruéteur. En conféquence on a placé 2 barquées de left en canons en avant de larchipompe , & une barquée & demie en faumons fous la foffe aux cables, fur le left en pierres. Des 17 barquées & demie en pierres, deux ont été placées de l'arrière de l’archipompe; 12 à la calle à l'eau depuis larchipompe jufqu’a la cloifon de la foffe aux cables; 32 fous la foffe aux cables. Suivant le Conftruéteur , on devoitavoir en left 2 pieds 2 pouces de différence ; & on trouva.que le vaifleau tiroit de l'arrière 15 pieds, & de lavant 12 pieds 6 pouces j que par conféquent la différence étroit 2 pieds 6 pouces, c'eft-à dire de 4 pouces plus grande que le Conftruéteur ne penfoit. Ainfi on fut obligé de mettre la barquée & demie en; faumons fous la foffe aux cables. Après avoir embarqué tous les vivres ,& généralement toute la charge, le vaifleau tiroit d’eau de l'arrière. sise 53e els ss 62020 e0x gpicds g po dé Mirant "en 2 nensodin ne aie STE SON HS Différence .:... 1 2 Ce vaifleau porte très-bien la voile, allant aflez bien DES VAISSEAUX, 9Y vent arrière ou vent largue, mais non auffi bien au plus près. Il va beaucoup mieux par un vent fort que par un vent foible. Son tangage eft fort doux. Il foutient bien Ja cappe , & fur-tout celle de la grande voile. Il ne fatigue “pas fa mâture, Il vire très-bien vent devant, mais il eft un peu lâche pour arriver. Il dérive un peu à la cappe & ne va pas de l'avant. Pendant le premier mois , il étoit ce qu’on appelle vaifleau de compagnie ; mais il n'a jamais été bon voilier. Le Capitaine penfe que ce vaifleau doit naviger au moins avec deux barquées de plus de left ; qu'ainf il faut en mettre 23 au lieu de 21 ; & que la différence du tiranc d’eau doit être de 14 pouces au lieu de 16 que le Con- ftructeur avoit marques. On n'a pas pu pendant la cam- pagne mettre le vaifleau à cette différence, parce qu’on ne mouilla qu'à Tunis & à Alger, où la mer fut fi groffe qu’il fut impoffble de prendre le tirant d’eau dont il s'agit. Le Capitaine penfe auf qu'il ne faut mettre que deux barquées au plus fous la foffe aux cables , & une barquée de plus en arrière. De cetre manière, Le vaifleau marchera bien, car il n’a d’ailleurs aucune mauvaife qualité. Premier devis du FANTASQUE , commandé par M. de Caftillon dm Capitaine de vaif[eaux , campagne de 1759. Vivres pout $ mois; 481 hommes d'équipage, 54 mouflesieau pour 3 mois en trois plans; left 240 ton- -neaux dont 70 en fer, 170 en pierre. Le plus fort du left étoit depuis le grand mâr en avant, & Le reite en arrière jufqu’à la cloifon des foutes à poudre. Tirant d'eau de l'arrière ..........,.. 1 6pieds opou. Miranc_deau de) l'avant: 24.42. uiuz e 7 Différence. ..,.,.. 3, gene. M 2 92 TRAITÉDEL'ARRIMAGE On trouva que cette différence étoit un peu trop grande , & on fut obligé de pañfer du left fous le plancher de la fofie aux cables, pour mettre le vaifleau à la diffé- rence de 2 pieds 4 pouces. Il ne faudroit donner à ce vaifleau , pour une pareille campagne , que 3 pieds 2 pouces de différence en left, comme 1l fuit des obfervations qu'on rapportera bientôt. | Le vaiffeau en rade & prêt à partir, tiroit d’eau De l'arrière ................ aopPiedsopou De Favañt +201 29 RL ARE 2 7 Différence ..... 2 6 au fabord du milieu 4 6 Hauteur de la batterie