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HARVARD UNIVERSITY.

LIBRARY

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MUSEUM OF COMPARATIVE ZOOLOGY

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REVISTA

DE LA

REAL ACADEMIA DE CIENCIAS

EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES DE MADRID

REVISTA

DE LA

REAL ACADEMIA DE CIENCIAS

EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES

MADRID

TOMO ENS

MADRID
IMPRENTA DE LA “GACETA DE MADRID,,
ALLE DE PONTEJOS, NÚM, 8,
1906

NAAA Id ITA INIA NISL LISIS

ART. 107 DE LOS ESTATUTOS DE LA ACADEMIA

«La Academia no adopta ni rehusa
las opiniones de sus individuos; cada
autor es responsable de lo que con-
tengan sus escritos.» e

INIA
REVISTA

DE LA

REAL ACADEMIA DE CIENCIAS

EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES

DE

MADRID

TOMO IV. NUM. 1.
(Enero de 1906.)

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CALLE DE PONWTEJOS, NÚM, 8,
1906

ADVERTENCIA

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REAL ACADEMIA DE CIENCIAS

EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES DE MADRID

ACADÉMICOS DE NÚMERO

Excmo, Sr. D. José Echegaray, Presidente.
Zurbano, 44.
Excmo. Sr. D. José Morer.
Génova, 3. +
Excmo. Sr. D. Eduardo Saavedra, Vicepresidente.
Fuencarral, 74.
Sr. D. Joaquín González Hidalgo.
Alcalá, 36.
Ilmo. Sr. D. Joaquín M. Barraquer y Rovira.
* Campomanes, 12.
Ilmo. Sr. D. Gabriel de la Puerta y Ródenas.
Valverde , 30 y 32»
Excmo. Sr. D. Daniel de Cortázar.
Velázquez, 16.
Ilmo. Sr. D. José Rodríguez Carracido, Bibliotecario.
Orellana, ro.
Excmo. Sr. D, Francisco de P. Arrillaga, Secretario.
Valverde, 26.
Excmo. Sr. D. Julián Calleja y Sánchez, Tesorero.
Argensola, 6.
Sr, D, Eduardo Torroja y Caballé, Contador.
Requena, 9.
Excmo. Sr. D. Amós Salvador y Rodrigáñez.
Carrera de San Jerónimo, 53.
Sr. D; Francisco de Paula Rojas.
Lealtad, 13.
Excmo. Sr. D. Juan Navarro-Reverter.
Barquillo, 15.
Excmo. Sr. D. Lucas Mallada.

Santa Teresa, 7.

Excmo. Sr. D. Santiago Ramón y Cajal.

Atocha, 125.

Excmo. Sr, D. Diego Ollero y Carmona.

Ferraz, 54.

AA A AS O
3 X 4 .

Sr. D. Pedro Palacios.

Don Nicolás María Rivero, 8.
Sr. D, Blas Lázaro é Ibiza.

Palafox, 19.

Ilmo. Sr. D. José Muñoz del Castillo.

Quintana, 38.
Sr. D, Leonardo de Torres y Quevedo.
Válgame Dios, 3.
Sr. D, José María de Madariaga, Vicesecretario.

Zurbano, 18.

Ilmo. Sr. D. José Rodríguez Mourelo.

Piamonte, 14.

Sr. D. Victorino García de la Cruz.

-

Gobernador, 25.

Sr. D, José Marvá y Mayer.

Campomanes, $.

Sr. D. Rafael Sánchez Lozano.
Génova, 17.

Sr. D. José Gómez Ocaña.

Atocha, 127.

Sr. D. Vicente Ventosa y Martínez de Velasco.

Amnistía, 10.

ACADÉMICOS ELECTOS

Ilmo. Sr. D. Miguel Martínez de Campos.
Goya, 23. ;
Sr. D. Eduardo Mier y Miura.
Infantas, 32.
Ilmo. Sr. D. Ignacio Bolívar,
Jorge Juan, 17.
Ilmo. Sr. D. Bernardo Mateo Sagasta.
San Mateo, 22. .
Sr. D. Pedro de Avila y Zumarán,
Travesía de la Ballesta, $.
Sr. D. Ignacio González Martí.
Hernán Cortés, 7.
Excmo. Sr. D. Manuel Benítez y Parodi.

Plaza de la Lealtad, 4.

Sr. D. Miguel Vegas y Puebla-Collado.

Pez, 1 y 3.

O

La Academia está constituída en tres Secciones:

1.2 CIENCIAS EXACTAS.—Sres. Saavedra, Presidente;
Torres, Secretario; Morer, Barraquer, Arrillaga, Torroja,
Navarro-Reverter, Ollero y Ventosa.

2.2 CIENCIAS FÍSICAS.—Sres. Puerta, Presidente; Mou-
relo, Secretario; Echegaray, Carracido, Salvador, Rojas,
Muñoz del Castillo, Madariaga, García de la Cruz y
Marvá.

3." CIENCIAS NATURALES. —Sres. Hidalgo, Presidente;
Gómez Ocaña, Secretario; Cortázar, Calleja,” Mallada,
Cajal, Palacios, Lázaro y Sánchez Lozano.

ACADÉMICOS CORRESPONSALES NACIONALES

Sr. D. Andrés Poey. París,

Excmo. Sr. D. Eduardo Benot. Madrid.

Excmo. Sr. D. Silvino Thos y Codina. Barcelona.

Sr. D. Eduardo Boscá y Casanoves. Valencia.

Sr. D, Luis Mariano Vidal. Gerona.

Excmo. Sr. D. Leopoldo Martínez Reguera. Madrid,
Excmo. Sr. D. Rogelio de Inchaurrandieta. Madrid.
Sr. D. Ramón de Manjarrés y de Bofarull. Sevilla.

Sr. D. Modesto Domínguez Hervella. Madrid.

Sr. D. Salvador Calderón y Arana. Madrid.

llmo. Sr. D. Ricardo Vázquez-Illá y Martínez. Valladolid.
Sr. D. Zoel García de Galdeano. Zaragoza.

Sr, D. Eduardo J. Navarro. Málaga.

R. P. Fr. Celestino Fernández del Villar. Mantla (?).
Sr. D. José María Escribano y Pérez. Murcia.

Sr. D. José Florencio Quadras. Manila.

Sr. D. Lauro Clariana y Ricart. Barcelona.

Sr. D. Rafael Breñosa y Tejada. Segovia.

Sr. D. José María de Castellarnau y Lleopart. Madrid.
Sr. D. Juan Bautista Viniegra y Mendoza. San Fernando.
Sr. D, Rafael Pardo de Figueroa. Puerto Real.

Sr. D. Juan Vilaró Díaz. Habana.

Excmo. Sr. D. Pablo Alzola y Minondo. Bilbao.

AZAR Pis e
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8 —

Sr, D. Joaquín de Vargas y Aguirre. Salamanca.
Sr, D. José J. Landerer. Valencia.
Sr. D. José Eugenio Ribera. Madrid.

ACADÉMICOS CORRESPONSALES EXTRANJEROS

Barboza de Bocage (J. V.). Lisboa.

Anguiano (A.). Méjico.

Gaudry (A.). París.

Lemoine (V.). Reims (?).

Collignon (E.). París.

Barrois (Ch.). Lille.

Hoonholtz, Barón de Teffé (A. L. de). Río Janeiro (?).

Gomes Teixeira (F.). Porto.

Lapparent (A.). París,

Príncipe de Mónaco (S. A. el). Mónaco.

Choffat (P.). Lisboa.

Vendrell (A.). Guatemala.

Arata (P. N.). Buenos Átres.

Carvallo (M.). Paris.

Laisant (C. A.). París.

Enestróm (G.). Estocolmo.

Ferreira da Silva (A. J.). Porto.

Nery Delgado (P. F.). Lisboa.

Pina Vidal (A. A. de). Lisboa.

Brocard (H.). Bar-le-Duc.

Laussedat (A.). París.

Ocagne (M. d”). París.

Romiti (G.). Pisa.

Wettstein Ritter von Werstersheim (R.). Viena.

Engler (A.). Berlín,

Guedes de Queiróz, Conde de Foz (G.). Lisboa.

Academia Mejicana de Ciencias Exactas, Físicas y Natu-
rales. Méjico.

o

I.—Introducción á la Fisica matemática.

POR JosÉ ECHEGARAY.
Conferencia primera.

SEÑORES :

Por causas independientes de mi voluntad, llego bastante
tarde á cumplir los deberes que mi cargo de Profesor de Fí-

-sica matemática me impone, y como no quiero perturbar

la marcha del curso, ya bástante adelantado, de esta asigna-

- tura, me limitaré á dar unas cuantas conferencias de carácter

general, sobre dicha materia: conferencias que constituirán,
por decirlo así, una introducción al estudio de esta ciencia,
tan extensa como importante, y hoy más extensa y más di-
fícil que nunca por los recientes trabajos de la crítica cienti-
fica y por los anchos horizontes, que ante los sabios se han
abierto de algunos años acá, quebrantando antiguas convic-
ciones, pero alentando nuevas esperanzas: horizontes tur-
bios y luminosos al mismo tiempo.

La materia de estas conferencias, ó de esta introducción,
la dividiré en varias partes, tratando:

1.2 Del carácter de la Física experimental, y del de la Fí-
sica matemática, y estableciendo sus diferencias fundamen-
tales y sus relaciones necesarias.

2.” Haré un resumen de los principales problemas que
comprendía la Fisica matemática, hasta el último tercio del
siglo anterior, estableciendo rápidamente sus ecuaciones fun-
damentales.

3.” Estudiaré las críticas que en estos últimos tiempos se
han hecho y siguen haciéndose de las teorías desarrolladas en
el siglo anterior por los grandes matemáticos, que en sus in-

AO

vestigaciones nos han legado el más soberano monumento
que ha creado el genio de la humanidad.

Y 4. Si hubiera tiempo, que lo dudo, y si no lo hubie-
ra, quedaría esta nueva empresa para el curso próximo, em-
pezaré á ocuparme en el estudio de la teoria matemática de
la elasticidad.

Carácter de la Física experimental y de la Física mate-
mática. — Diferencias y relaciones entre ambas. —No se di-
ferencia una de otra, como vulgarmente se cree, en la mayor
Ó menor cantidad de cálculo matemático, que en ellas pueda
emplearse, sino en condiciones muy diversas, que en ambas
concurren y que procuraré explicar con cuanta claridad me
sea posible.

No pretenderé tampoco definir la Física experimental, pri-
mero, porque los que me honran siguiendo esta serie de con-
ferencias, han estudiado y conocen dicha ciencia, y por co-
nocida he de darla en estos estudios; y en segundo lugar,
porque es verdad, hasta evidente, que una ciencia no puede
definirse al principio: podrá definirse, y gracias, al terminar
de estudiarla.

Es lo mismo, y permitaseme este ejemplo, que si se le pi-
diera la definición de la Península Ibérica, al que por prime-
ra vez la visitara. Podría decir que está comprendida entre
tantos y tantos grados de longitud, Ó entre éstos y aquéllos
de latitud, encerrada entre el Mediterráneo y el Océano, y
unida á Francia por los Pirineos; pero á estos términos ári-
dos y poco expresivos estaría reducida la definición.

Llegaría en todo caso á dar definición más acomodada á la
realidad, después de haber visitado y estudiado nuestra Pe-
nínsula unos cuantos años, después de conocer sus ríos y
cordilleras, su agricultura y su minería, el carácter de sus ha-
bitantes, su historia, sus pasiones y sus esperanzas.

RR

No intento, pues, definir ni la Física experimental, ni la
Fisica matemática; pero sí diré, aclarándolo por medio de
ejemplos, lo que para mí son una y otra ciencia.

La Física experimental estudia fenómenos del mundo in-
orgánico, no todos, pero sí una gran masa de ellos: los que
en las antiguas Fisicas, y aun en Físicas más modernas, com-
prendían la Mecánica, las propiedades generales de la mate-
ria, la Acústica, la Capilaridad y los flúidos imponderables.

Cito, sin precisar la enumeración y en términos de gran
generalidad, y casi la cita es inútil, porque mis oyentes sa-
ben los fenómenos del Cosmos, que han estudiado al estu-
diar tal asignatura.

Voy, pues, directamente á establecer los términos funda-
mentales que constituyen el proceso de dicha ciencia.

Los fenómenos á que voy refiriéndome, penetran por nues-
tros sentidos. Y el ser humano los observa y los analiza, y en
forma más ó menos perfecta, más ó menos instintiva, los cla-
sifica por analogías y diferencias, haciendo de ellos grupos
diversos, que más adelante formarán ramas diversas de la
misma disciplina científica.

Hasta aquí la observación.
Después, á ser posible, el físico reproduce artificialmente
tales fenómenos, variando, por modos diversos, sus condi-

ciones.

Esta es la experimentación.

Y estos son preliminares de la ciencia, constituyen la ma-
teria científica, pero no forman la ciencia todavía, porque
la ciencia no es la variedad dispersa, sin conexión ni unidad.

La observación continúa respecto á los fenómenos repro-
ducidos, como antes respecto á los fenómenos naturales, y
uno de los primeros trabajos, de los más necesarios, mejor
dijera, absolutamente necesario para crear el organismo cien-
tífico, es señalar en cada fenómeno de los que se estudian,
ciertas magnitudes físicas de cuya trama parece que el fe-
nómeno está formado ó que con él están en íntima relación.

O

Permítaseme un ejemplo que aclare las ideas precedentes,
quizá un poco vagas.

Consideremos la acción del calor sobre un gas comprendi-
do en cualquier espacio cerrado.

Un estudio elemental nos indica que hay tres magnitudes
físicas que influyen en todos los accidentes del fenómeno, y
que son determinantes de dichos accidentes.

A saber: el volumen del gas, la presión y la temperatura.

Claro es, que este fenómeno de la acción del calor sobre un
gas, no será tan sencillo como suponemos; estará sujeto, por
el contrario, á multitud de influencias, por ejemplo: lumino-
sas, eléctricas, magnéticas y por de contado químicas. Todo
el cosmos está en relación con dicha masa gaseosa; mas el
hombre, por sabio que sea, no puede abarcar la naturaleza
de una vez; todo lo más, estudiará, y por manera imperfecta,
algunos pedazos del cosmos que tenga á su alcance, y para
el estudio, tendrá que atenerse á las influencias principales,
prescindiendo de las secundarias, como estudia en el cielo
los movimientos generales de los astros, antes de someter á
cálculo las perturbaciones.

Por eso decimos en nuestro ejemplo, que tratándose de la
influencia del calor sobre una masa gaseosa, tres son los ele-
mentos que debemos estudiar: volumen, presión y tempera-
tura.

Lo que hemos dicho en este ejemplo, pudiéramos decir en
otro cualquiera.

Pues bien, para entendernos y abreviar la explicación, á
dichos elementos les daremos el nombre genérico de magni-
tudes físicas 6 parámetros, sin que la palabra parámetro sig-
nifique invariabilidad.

Y es evidente que si el fenómeno cambia de un momento
á otro y queremos tener en cuenta estos cambios, entre di-
chas magnitudes ó unido á ellas, deberemos contar el tiempo.

Para evitar dudas y errores, advirtamos de paso, que no
hay que confundir estas magnitudes ó parámetros con otras

A

magnitudes á que daremos el nombre de constantes de la
Física.

De estas últimas hablaremos más tarde.

Determinadas en cada fenómeno las magnitudes físicas que
á él se refieren, por ejemplo, en el ya citado, el volumen, la
presión y la temperatura, es indispensable hacer un trabajo,
sin el cual la ciencia positiva queda en el aire, á saber: es-
tablecer unidades de medida para todas estas magnitudes;
en nuestro caso, para la presión, para el volumen y para la
temperatura. J

De este modo, dichas magnitudes físicas podrán expre-
sarse por medio de números, y hasta por medio de signos
algebraicos, constituyendo las fórmulas de la Física experi-
mental; y digo de la Física experimental porque todavía no
estamos en la Física matemática.

Ya llegaremos á ella.

El someter las magnitudes físicas á medida, para poder
expresarlas en cada caso y en cada momento por números,
es condición fundamental de la ciencia positiva.

En todos los fenómenos de la Física, de la Química y has-
ta en los del orden moral, nos encontramos constantemente
con magnitudes, con cantidades, con algo que puede ser
más Ó que puede ser menos, que es susceptible de aumento
y disminución: son volúmenes, presiones y temperaturas Ó
son sentimientos, deseos, esperanzas y pasiones; pero no
hay manera de expresar estas últimas cantidades por medio
de números, porque hasta ahora no hay manera de medir-
las; las primeras sí pueden medirse.

Quizá en esto consiste el atraso de las ciencias sociales,
morales y políticas, por eso son tan ocasionadas á contro-
versias y disputas.

Algo que acaso es minimo y que tiene mínima influencia

a

r

puede agigantarse por la Retórica, suplantándose á otras
causas Ó elementos evidentemente mayores y casi deci-
sivos.

Quizá la Estadística, no es más que un esfuerzo para in-
troducir la medida y el número, y, por lo tanto, el cálculo, en
esta clase de problemas.

Mas problemas son éstos en los que no tenemos que ocu-
parnos.

Volvamos á los de Física.

Las magnitudes de la Física, pueden medirse y se han
medido, y por eso la Física es una ciencia positiva, en que
se calcula, en que se mide, en que se determinan leyes, en
que á veces se prevén fenómenos antes no conocidos.

Y hagamos aquí una observacion: vulgarmente se cree
que el acto de medir una magnitud contenida en un fenóme-
no físico, es lo supremo del triunfo; es casi penetrar en la
esencia de las cosas.

Medir las cosas, es conocerlas y dominarlas: esto se
supone.

Y no es así, la medida no llega nunca á la esencia de los
fenómenos. La medida es lo más superficial, aunque lo más
útil y lo más necesario para la verdadera ciencia, y, agre-
guemos lo más fecundo.

La medida sólo supone este hecho: el de hacer constar
cuándo dos cosas son iguales, cuándo dos fenómenos pu-
dieran en cierto modo superponerse, cuándo uno de ellos es
la repetición del otro, para lo cual no es necesario cono-
cerlos.

Por ejemplo: por medio de un experimento se puede ha-
cer constar cuándo dos cantidades de electricidad son igua-
les, cuándo son iguales dos cantidades de calórico, 6 dos
cantidades de luz, como se sabe cuándo son iguales dos
pesos 6 cuándo son iguales dos longitudes.

Y, sin embargo, no sabemos, si por saber se entiende pe-
netrar en la esencia de las cosas, ni lo que es la electridad,

e

nilo que es el calor, ni lo que es la luz, ni lo que es la gra-
vedad, ni siquiera lo que es una línea.

Hemos forjado símbolos para todo esto, tenemos repre-
sentaciones internas, nada más. j

Si el metafísico ó el filósofo, 6 algún ser afortunado, sa-
ben lo que son todos estos fenómenos, tanto mejor para él.
El físico, para medir magnitudes físicas, no necesita saber-
lo; le basta con hacer constar la identidad de dos hechos.

Un experimento físico le ha determinado cierta cantidad
de electricidad; pues repitiendo ese mismo experimento en
las. mismas condiciones, una, dos, tres, cien veces, tendrá
dos, tres, cien veces eso 4 que dió el nombre de electrici-
dad, de suerte que en la medida de las magnitudes ó de los
parámetros físicos, se mide lo desconocido por lo descono-
cido, lo ignorado por lo ignorado, el patrón del misterio es
otro misterio del mismo orden.

Y, sin embargo, todo lo dicho es de una importancia extra-
ordinaria, porque la experiencia nos prueba, que este con-
cepto de cantidad tiene una transcendencia inmensa en las
formas, en las combinaciones, en los efectos sensibles de los
fenómenos y en sus efectos materiales.

No es como suponen algunos, que conocen las ciencias
físicas sólo de oídas, que el físico pretenda substituir la can-
tidad á la calidad, es que no puede penetrar en ésta y puede
medir aquélla, y tiene que sujetarse á la posibilidad, aban-
donando á otras ciencias Ó á otras filosofías, lo que es inac-
cesible á sus experimentos y aun á sus teorías.

D+ todas maneras, de la medida depende el número, y de
los números, ó de los símbolos algsbraicos que los represen-
tan, dependen las grandes leyes de la ciencia, las únicas á
que la inteligencia humana puede llegar.

Y de todas maneras, algo muy íntimo y muy poderoso
tendrá el número, cuando de tal manera encarna en la reali-
dad misma, y si no altera su fondo, modifica su forma y sus
efectos sensibles.

A, | PEE

Mas estas son metafísicas en que nos está vedado pene-
trar.

Dijimos que el físico observa los fenómenos, los ordena
por semejanzas y diferencias, los reproduce si es preciso,
para estudiarlos mejor, distingue en ellos, y esta es función
importantísima, las diferentes magnitudes físicas Ó paráme-
tros que contienen, y que por fin, busca para cada magnitud
física una unidad de medida á fin de poderla reducir á nú-
meros.

Estas unidades, al principio son arbitrarias; siempre se,
refieren á un fenómeno concreto y perfectamente definido:
pero que se eligió por instinto ó por facilidades prácticas
sirvan de ejemplos, el grado del termómetro, ó la cantidad
de determinado cuerpo que precipita una corriente, ó la can-
tidad de calor capaz de fundir una masa fija de hielo.

Unidades arbitrarias, caprichosas en cierto modo, algunas
de ellas falsas; pero que luego se van corrigiendo, se van
poniendo en relación unas con otras, se van reduciendo, en
suma, al menor número posible, y que hoy se unifican en
las unidades mecánicas, á pesar de todo lo que se dice con-
tra la reducción de los problemas de Física á problemas de
Mecánica.

Pero conseguido esto, viene una función más alta en la
Física experimental, la de distinguir en cada fenómeno fí-
sico las magnitudes que pueden considerarse como variables
independientes, y las que pueden considerarse como funcio-
nes de las primeras.

Porque el alto triunfo de la Física consiste en determinar
funciones, que enlacen todas las variables 6 parámetros de
un fenómeno: precisamente esas funciones son las que de-
terminan la ley; ellas dan carácter científico á la Física, que
sin ellas se reduciría á un conjunto de hechos aislados; una

HI

rica, curiosa, pero desordenada almoneda del Cosmos, en
que podrían vislumbrarse ciertas líneas generales, pero en
que no se habría llegado á la verdadera ley. Ley empírica, es
cierto; y no empleamos la palabra empírica en sentido des-
preciativo, sino en su verdadero sentido científico: digamos,
si se quiere dignificar la expresión, ley experimental.

Y aquí, para que se comprenda nuestro pensamiento, y
- para irnos desprendiendo de vaguedades, acudamos al ejem-
plo que antes presentamos:

Acción del calor sobre una masa gaseosa, encerrada en un
recinto.

Desde luego, en el fenómeno que vamos á estudiar, en-
contramos tres magnitudes, como antes decíamos: el volu-
men, que representaremos por v; la presión, que represen-
taremos por p; la temperatura, que la designaremos por la
letra f.

Tres son los parámetros físicos en este caso: V, p y Í,

- Y ya los representamos por letras, y estas letras ya repre-
sentan números, porque sabemos medir volúmenes por el
metro, presiones por el kilogramo, temperaturas por el gra-
do del termómetro, ó bien por otras unidades análogas.

Tres son los parámetros físicos en este caso, y el método
experimental demuestra que dos de ellos son independien-
tes, y que fijando el valor numérico de éstos, el valor del
tercero queda perfectamente determinado, prescindiendo,
como hemos advertido muchas veces, de toda otra influen-
cia Óó de una mayor complicación en el fenómeno.

El problema que debemos resolver es, por lo tanto, el si-
guiente: buscar una relación analítica entre v, p, f.

Es decir, una función que podremos poner bajo forma im-
plícita

E (», P, t) = 0,

y que enlace dichos tres parámetros.
Lo que hay que averiguar es la forma de esta función F.,

Rey. Acap. Crexcias.—IV.—Enero, 1906, 2

— 18

Y como estamos hablando de la Física experimental, la for-
ma analítica de F hay que determinarla experimentalmente.

Pues aquí empezará á dibujarse la diferencia fundamental
entre la Fisica de la experiencia y la Física matemática.

Veamos cómo se determina la forma de F en la primera.

Así como en Geometría analitica, para tener idea de una
superficie, se corta por planos paralelos á los planos coorde-
nados, y se estudian después cada una de estas secciones Ó
curvas parciales, lo cual equivale á suponer constante el va-
lor de una de las variables y á examinar la ley que enlaza á
las otras dos, asi el físico, en el caso qne nos ocupa, supo-
ne, primero, que la temperatura es constante, y experimen-
talmente obtiene la relación que enlaza la presión con el vo-
lumen.

Y después, supone la presión constante y también experi-
mentalmente determina la relación entre la temperatura y el
volumen.

Es como si en la ecuación de la superficie

FAY. ID

hubiera cortado primero por planos paralelos al de v, p; y
después, por otra serie de planos, paralelos al plano coor-
denado v, f.

No quiero decir, que éste haya sido el proceso lógico en la
historia de la Física; ha sido más bien el proceso instintivo.
de unos y otros experimentadores; pero es que en estos:
casos, el instinto tiene también su lógica, Ó es, si se quiere,
que la acción de la lógica matemática, antes es espontánea
que reflexiva.

Determinando experimentalmente cómo variaba el volu-:
men á medida que la presión variaba, permaneciendo siem-
pre constante la temperatura, se obtuvo la ley de Mariotte,
la cual dice que en estos casos, los volúmenes varían en ra-*
zón inversa de las presiones.

— 19 —

Si tomando por ejes coordenados v, p, se, determinan por
puntos los resultados de las experiencias, es decir, se fijan
puntos que tengan por coordenadas el volumen y la presión
en cada experiencia parcial; estos puntos se observará que
se encuentran al parecer en una hipérbola referida á sus asín-
totas. O más sencillo: se verá que los volúmenes varían en
razón inversa de las presiones, como acabamos de indicar.

Lo cual se expresa analiticamente por la fórmula

pv=E; (1)

en la que C representa una constante, que depende de la
temperatura: supongamos que la temperatura es cero.

Pasando ahora á la relación entre v y f, se observó tam-
bién experimentalmente, que en todos los gases, los volú-
menes crecen una fracción constante de sí mismos, que lla-
maremos «a, por cada grado de temperatura, desde el cero
del termómetro; es decir,

dv ve dE

ó bien integrando entre O y f, correspondientes ambos valo-
res á v yv,

IS TELS ME (2)

en que « representa el coeficiente constante de dilatación para
todos los gases.

Advirtamos que v es el volumen correspondiente á la tem-
peratura cero, de suerte que es una verdadera constante en
esta ecuación parcial, que enlaza un volumen cualquiera v'
con la temperatura f.

Es, por decirlo así, la sección que damos en la superfi-
cie F paralelamente al plano de los volúmenes y las tempe-
raturas.

e e

Substituyendo en la ecuación (1) el valor de v, tendremos

,

p 252z 3
l+uf

Ó bien
pv =:C (1 ef)

Suprimiendo el acento de v”, que no es más que cambiar
de notaciones, sacando el número « fuera del paréntesis, y
puesto que C y a son constantes, representando su produc-
to por R resultará,

Se
DU la —+- 1)
a

“

El número ES es próximamente 273, que corresponde á lo
que se llama el cero absoluto de temperaturas, de suerte que,

representando a += 273 +f por T, ó sea la tempera-

tura absoluta, tendremos finalmente

DY MR

para la ecuación que enlaza en cualquier gas, la presión, el
volumen y la temperatura absoluta. Tal es la forma de la

ecuación
FAVAE

que pretendíamos determinar experimentalmente.

Y experimentalmente la hemos determinado: sometiendo
un gas á presiones diversas primero, y después á diversas
temperaturas.

Sin acudir á ninguna hipótesis, salvo las que entraña
nuestro organismo intelectual.

Sin acudir tampoco á ninguna teoría; observando hechos
y midiendo magnitudes físicas: no más.

A

Hemos empleado fórmulas matemáticas como simbolismo
de. la lógica más perfecta, pero esto sólo; ni 'hemos acudido
á la Mecánica, salvo en la parte necesaria á los aparatos de
la experimentación.

Hemos obtenido así una ley empírica, firme y sólida, por-
que se funda en los hechos; y si prescindimos de los errores
pequeños de las experiencias, hemos obtenido una ley exac-
ta, según afirma el físico.

En rigor es una fórmula que condensa una serie de he-
chos; es como una estadística de los accidentes de un fenó-
meno natural.

Fórmula que será valedera para todos los valores numé-

ricos de v, p y T que en sí condensa.

Será valedera, aun con grandes probalidades y suficiente
aproximación, para los valores intermedios, que no hemos
observado, pero que están suplidos por la interpolación.

Será incierta, y no podremos aplicarla sin gran descon-
fianza fuera de los límites de las experiencias; es decir, para
temperaturas, presiones y volúmenes, sobre todo para las
dos primeras, superiores ó inferiores á los que hayamos ex-
perimentado.

Ahora bien, en cuanto á la forma matemática de la fun-
ción, no podremos asegurar tampoco que sea en absoluto la
que corresponda al fenómeno; lo único que nos atreveremos
á decir, es que entre los límites de la observación, puede
substituirse á la verdadera y desconocida fórmula, á la fórmu-
la de una ley absoluta, que no podemos conocer.

Hasta aquí la Física experimental aplicada á este problema
concreto.

Apliquemos á este mismo problema los procedimientos
especiales de la Física matemática, y vamos á ver que son
totalmente distintos de aquellos otros que acabamos de ex-
plicar. |

ram

Empezamos por una hipótesis, la de Bernoulli, relativa á
la constitución de los gases. 5%

Bernoulli suponía, y todavía subsiste su hipótesis más ó
menos quebrantada, que un gas encerrado en un recinto se
compone de un número enorme de moléculas sueltas, que ca-
minan con gran velocidad en todas direcciones, chocando
unas con otras y chocando con las paredes, siendo brevísima
la duración de cada choque, y caminando antes y después
cada molécula en línea recta y con gran velocidad.

Es una serie de granizadas de partículas, si vale la pala-
bra, en infinitas direcciones; es, si se me permite la imagen,
como un billar de tres dimensiones, en que las bandas son
las paredes del recinto y las moléculas las bolas de billar.

Pues esta hipótesis y los principios de la Dinámica bastan
para obtener, sin experiencia de ningún género, la fórmula
anterior

pre = AE

Este bellísimo resultado, este alarde del ingenio humano,
lo han realizado; primero Krónig (de Berlín) y lo ha perfec-
cionado, prescindiendo de una nueva hipótesis, que no afec-
ta al sistema y que sólo tiene por objeto simplificar los cálcu-
los, el eminente Clausius.

Krónig supone, para simplificar, que las moléculas se di-
viden en tres grupos paralelos á tres direcciones rectangula-
res, precisamente las de los tres sistemas de aristas del cubo
en que está encerrado el gas.

Clausius, más tarde, prescindió de esta hipótesis secun-
daria y abordó el problema en toda su generalidad.

Como nuestro objeto no es discutir el problema en sí, sino
presentar un caso típico, que, á nuestro entender, da idea
exacta del carácter de la Física matemática, en contraposi-
ción con el de la Física experimental; y con el fin, además,
de evitar cálculos largos, que pudieran distraernos de nues-

= 23 —=

tro objeto, expondremos el método de Krónig, introduciendo
en él una pequeña modificación, que realmente sólo es de
forma.

Supongamos que ABCOD (tig. 1.*) representa un cubo
cuyo lado valga AB=a.

Este cubo es la envolvente de una masa gaseosa, cuyas
moléculas, cada una teniendo la masa m, se mueven en to-

dos sentidos y en todas direcciones, chocando entre sí y con
las paredes de la envolvente. j

De estos últimos choques, nacerá, naturalmente la pre-
sión p sobre las paredes, y tratamos de calcular esta presión

A

Figura 1.*

en valores de las cantidades que determinan el movimiento
de las moléculas, es decir, de la velocidad u de cada una de
ellas y de sus masas, todas iguales á m.
- Además de la hipótesis fundamental, Krónig hace otras dos.
Primera. Que la velocidad de las moléculas m, entre cho-
que y choque, es siempre la misma, que representaremos
por u. Si así no fuese, u representará la velocidad media.
Segunda. Que las moléculas se ordenan en tres direccio-

nes paralelas á las tres aristas de uno de los tres ángulos
triedros.

= 24 co

Una tercera parte camina, pues, paralelamente á AB y
choca alternativamente con las caras AD, BC.

Otra tercera parte traza rectas paralelas á AD y choca
también alternativamente las caras AB, CD.

Por último, la otra tercera parte de moléculas camina pa-
ralelamente á la arista proyectada en A y choca las dos caras
del cubo paralelas al plano de la figura.

Estudiemos el choque de una de las moléculas a contra
las caras BC y AD alternativamente.

Mientras la molécula a que describe la línea cb, no se
aproxima mucho á la cara BC, caminará con movimiento
uniforme, porque no actuará sobre a ninguna fuerza; pues
suponemos que entre BC y a sólo se desarrollan fuerzas
moleculares cuando la distancia ab es de un orden de peque- |
ñez suficiente; por ejemplo, desde la posición a en la figura. |

Durante el trayecto ab, podemos considerar el movimiento
de la masa m como sujeto á estas dos condiciones:

1.2 Una velocidad inicial u al llegar el móvil á la posi-
ción a.

2. Una fuerza repulsiva de la pared que representare-
mos por f, variable con la distancia de m á dicha pared, se-
gún una ley que desconocemos.

Recordando que la ecuación del movimiento de un móvil
sobre una recta x es

óÓ bien

en que m representa la masa;
x el camino recorrido desde a;
y X la fuerza que actúa sobre el móvil, la cual hemos repre-

e.

sentado por f; tendremos para la ecuación del movimiento,

sustituyendo

dx ES NN >

dt
la ecuación fundamental
du
m — == f:
dt Í

Quitando el denominador é integrando,

Ml == A) f dt + constante.

Esta es la integral indefinida y sobre ella debemos hacer
dos observaciones.

Los límites de la integración se contarán desde el momento
en que la molécula llega al punto a y empieza á sentir la ac-
ción de la pared, hasta que rechazada por ésta, vuelve al
punto a con una velocidad — u, igual y contraria á la que
traía. Desde aquí seguirá su movimiento hacia la pared
opuesta con dicha velocidad constante —u. En cuanto al se-
gundo miembro, los límites de la integración serán los mis-
mos; pero ya que no podamos efectuar dicha integración por
no conocer f, podemos suponer una fuerza media F,, de va-
lor constante, que actuando todo el tiempo % que dura el
choque, es decir, desde que m llega á a hasta que vuelve, dé
precisamente el valor de la integral, de suerte que tendremos

F,0 =ffdt,

con lo cual la primera integral de la ecuación del movimien-
to será de la forma

m (u — (—u)) =0F,,

A
Ó bien, por último,

2 M.4 == ES

Realmente F, no es otra cosa que la presión contra la pa-
red durante el tiempo 0.
Y despejando F, resultará

Fc ARBES
0

Observemos ahora, que desde que la molécula m llega á a,
y después de haber chocado con la pared opuesta AD en c,
vuelve otra vez á la posición a, ninguna presión se ejerce so-
bre la pared BC.

De manera que si queremos calcular la presión media con-
tinua, es necesario que F, la distribuyamos en este espacio
de tiempo.

Vamos á calcular, pues, el tiempo que tarda la molécula a
en recorrer el espacio a c, y después el mismo espacio c a,
en sentido contrario, es decir, dos veces dicha distancia, que
es casi igual, teniendo en cuenta que la distancia ab es pe-
queñísima, al doble de la arista del cubo ó sea 2 a. Como
este camino lo recorre con la velocidad constante u, porque
tiempos y espacios correspondientes á los choques en las dos
paredes opuestas, los despreciamos por el orden mínimo de
su pequeñez en comparación con 2a, tendremos que dicho
tiempo será

24

u

En suma, durante el tiempo 6 recibe la pared BC una pre-

y : 24 :
sión media F, y durante el tiempo —— no recibe ninguna,
E a

py

luego representando por F, una presión constante y media
sin discontinuidad, se determinará F, por la ecuación

FSELZ a
u
de donde
( 6
A A
24 20

Ó bien

Esta es la presión media sobre la pared, producida por una
de las moléculas; y como el número de moléculas que han de

chocar contra dicha pared, es La llamando Fá dicha presión

tendremos

Pero el área de la cara es a?; luego la presión por unidad
de superficie, que la hemos designado siempre por p, tendrá
por valor

em 1 MA

a? AN a?

De aquí se deduce

n
pas == US

pe E

y observando que a* es el volumen del gas, que lo designa-
mos al principio por v,
n

pv=-—.mu?,
h

Esta ecuación coincide con la ecuación obtenida por méto-
dos puramente experimentales

pv=RI,

mediante una nueva hipótesis natural y sencilla.

Si en la ecuación, que hemos obtenido últimamente, intro-
ducimos una constante 2 C en el numerador y en el denomi-
nador del segundo miembro, podrá ponerse dicha ecuación
bajo esta forma

2
py= 2n AARunis
E 2
2n p
30 es una constante para el gas que estamos consideran-

do, y determinado convenientemente C, podrá ser finita dicha
expresión, á pesar del gran valor numérico de n, y podrá
coincidir con la constante R.

Por otra parte, si suponemos que la temperatura, esa mag-
nitud vaga, que hasta ahora ningún sentido tenía para nos-
otros, más que el de una magnitud física, que se medía por
dilataciones del mercurio en el termómetro, representa una
cantidad proporcional á la semifuerza viva de cada molécu-
la; es decir, si suponemos que toda temperatura absolu-

2
ta en los gases tiene la forma C E (y poco importa el
valor de C'si es constante), con estas nuevas hipótesis,

2n mu?
RE Fiel ,
30.” 2

AN

la ecuación

2n mu?
Y. == e
E 3C 2
se convertirá en
r=R T,

que es precisamente la misma que habíamos obtenido por el
método experimental.

Y ahora podemos, al menos para este ejemplo, marcar el
carácter de los métodos prácticos de la Física experimental
y el de los métodos racionales de la Física matemática, se-
ñalando las diferencias entre una y otra disciplina científica,
y las ventajas y los inconvenientes de una y otra, ventajas
é inconvenientes que se complementan, por decirlo así, y
que prueban la necesidad de una y otra ciencia para la mar-
cha ordenada y perfecta, en lo posible, de la ciencia total.

Para obtener la ecuación

pv=RT,

que expresa la ley según la cual están enlazadas las tres va-
riables p, v, t de una masa gaseosa, por los métodos de la
Física experimental, no hemos necesitado acudir ni á una
sola hipótesis, salvo las hipótesis que supone nuestro orga-
nismo intelectual, siempre que aplica las reglas de la lógica,
según dijimos anteriormente. Todo lo demás han sido proce-
dimientos experimentales: ver prácticamento cómo varían
p, v siendo T constante, y buscar una curva empírica que
pase en el plano de las p v por todos los puntos representa-
tivos de cada una de las experiencias. Claro es que el caso
era tan sencillo, que ni necesidad había de construir la cur-

e A

va, bastaba ver que el volumen era n veces menor cuando
multiplicábamos la presión por n.

De aquí resultaba la llamada ley de Mariotte.

Emprendíamos otra vez una nueva serie de experiencias:
dejando p constante, veíamos cómo se dilataba el volumen
á medida que aumentaba la temperatura, y obteníamos la
ley de Gay Lussac.

Combinando ambas ecuaciones, llegábamos á la ecuación
final tantas veces repetida.

En todo este proceso experimental no corríamos el peli-
gro de que nadie nos preguntase en cualquier instante la ra-
zón de nuestras afirmaciones, porque nada afirmábamos por
nosotros mismos; la experiencia, la Naturaleza, hablaba por
nosotros. Consignábamos hechos, medíamos magnitudes,
procurábamos reunir dichos hechos en una fórmula, y nada
más.

La firmeza y la solidez del método, dado que los experi-
mentos se realicen con exactitud y habilidad práctica, son
indiscutibles y superiores á toda crítica.

Pero en cambio nuestras fórmulas no alcazan más allá de
los límites entre los cuales hemos hecho variar á las tres
magnitudes p, v, 7. Si queremos ampliar la aplicación de di-
cha fórmula, esta ampliación no será legítima, y aun en los
intervalos de la experimentación, no es imposible que haya
escapado á nuestras observaciones algún punto singular.

Además, la forma de la función, tampoco sabemos si es
la verdadera, sólo podemos asegurar que entre ciertos lími-
tes, á la verdadera puede substituirse para las aplicaciones
numéricas.

Pero entre dos límites determinados, y para las aplicacio-
nes numéricas, á cualquier función puede sustituirse otra de
familia y naturaleza completamente distinta, con tal que ten-
gan suficiente número de puntos comunes.

Por último, el método experimental que hemos empleado,
sólo nos determina hechos, ni próxima ni remotamente nos

E y E

da la explicación de estos hechos; entendiendo la palabra
explicación en el sentido que más adelante determinaremos.
" Pasemos ya á la demostración de la misma fórmula por
los procedimientos de la Física matemática.

Y casi lo que vamos á decir es inútil: basta invertir lo
dicho.

No hemos realizado ni un solo experimento. Hemos estado
lejos de la realidad, entregados por completo á una elabora-
ción puramente intelectual.

En cambio, si antes no hicimos ni una sola hipótesis, aho-
ra hacemos muchas, y, sobre todo, dos fundamentales.

Por la primera, suponemos que los gases se componen de
moléculas en movimiento, y nadie ha visto estas moléculas
y nadie ha observado este movimiento.

Por la segunda, hemos supuesto que la temperatura, mag-
nitud física puramente experimental, es equivalente, ó me-
jor dicho, es proporcional á la semifuerza viva de las molé-
culas del gas.

Y formulábamos esta última hipótesis para acoplar, por
decirlo así, nuestra fórmula teórica á la fórmula dada por la
experiencia

Y como no tratamos de discutir á fondo el problema, sino
únicamente de presentar un ejemplo que nos marque el ca-
rácter de la Física experimental, prescindimos de otras mu-
chas hipótesis que implícitamente hemos admitido.

Citemos algunas, aun sin fijarnos en ellas.

Hemos supuesto que las moléculas son esféricas, y hemos
admitido, por lo tanto, que todos los choques son choques
de cuerpos esféricos: choques centrales. ,

Esto nos ha permitido prescindir de los movimientos de ro-
tación de las moléculas y de las transformaciones recíprocas
de ambos movimientos, los de rotación y los de traslación.

Hemos supuesto aún, que estos corpúsculos ó moléculas,
eran cuerpecillos perfectamente elásticos, prescindiendo de
toda pérdida de fuerza viva por el choque.

e. 082

Hemos dado por bueno todavía, que los tiempos y los es-
pacios del choque eran cantidades mínimas.

Y, por último, como hipótesis secundaria, hemos dividido
todas las moléculas en tres grupos, aunque sólo para sim-
plificar los cálculos.

Si bien esta última hipótesis queda á salvo en la demos-
tración de Clausius.

En suma; en el procedimiento físico-matemático, se parte
siempre de una ó de varias hipótesis, que dependen del ins-
tinto ó del genio del que las formula, y que sólo se justifi-
can a posteriori, por la concordancia entre los resultados
del método matemático y los fallos definitivos de la expe-
riencia.

En la Física experimental, la experiencia está al principio,
ó si se quiere á lo largo del camino.

En la Fisica matemática, la experiencia está al fin, para
comprobar las fórmulas, para determinar las constantes y
para comprobar también por distintos caminos, estas mismas
constantes, como explicaremos en más de una ocasión.

A cambio de todo esto, el método es racional, sólo se apli-
can en él la Lógica y las reglas de la Mecánica, porque el
problema, según hemos visto, se reduce á un problema de
Mecánica.

Es, además, una explicación del fenómeno, verdadera ó
falsa, pero que satisface á la inteligencia y da á los sentidos
imágenes á que están acostumbrados.

En suma, reduce fenómenos extraños y de apariencias
nuevas, á saber: un gas que cambia de volumen por la ac-
ción de algo desconocido que se llama calor, y que ejerce
presiones mayores ó menores, según los casos; reduce, re-
petimos, todos estos fenómenos, como si no fuesen más que
engañosas apariencias, á un fenómeno conocido y vulgar: el
movimiento de las masas.

Por último, y esto es quizá lo más importante, hace en-
granar los hechos materiales con las leyes de la Lógica, ex-

poo, QUA

presadas matemáticamente, y funde la variedad sin límite en
la unidad de la ley matemática.

Quiero decir, que se esfuerza para llegar ó para ir pre-
parando la unidad de la Ciencia.

Todo esto lo repetiremos y lo desarrollaremos en nuevos
ejemplos que formarán la materia de las restantes confe-
rencias. '

11.—Formación natural de la hemoglobina.

POR JosÉ R. CARRACIDO.

La materia albuminoidea que tiñe de color rojo los eritro-
citos de la sangre, se supone constituida por la asociación de
una proteina denominada globina, y un grupo prostético, por
el cual ejerce el cromoproteido la función respiratoria, deno-
minado hematina.

'Fúndase esta suposición en los resultados que se obtienen,
tratando convenientemente por los ácidos ó por los álcalis, la
hemoglobina y la oxihemoglobina.

Hemoglobina = = Globina + C%2 H%2 N*Fe O*

Hemocromógeno

Oxihemoglobina = Globina AACMAMN EF e O?

Hematina.

¿Bastan los resultados de la descomposición efectuada por
los ácidos ó por los álcalis para afirmar que los cuerpos re-
sultantes son los que integran la molécula del cromoproteido?

Las moléculas complejas deben ser imaginadas como orga-
nismos constituidos por miembros que se enlazan mediante
articulaciones, y al emplear reactivos para inquirir su estruc-
tura, es muy posible que actúen, no como el escalpelo del
-disector, que va cortando las coyunturas, sino como el hacha

Rrv. Aca. CieEncias.—III.—Enero, 1906.

2
3

<] ES

del carnicero, que brutalmente reduce á trozos el cuerpo del
animal, sin tomar en cuenta las articulaciones. Según muchos
químicos, principalmente los alemanes, la barita empleada
por Schiitzenberger en la pesquisa de la estructura de las
moléculas albuminoideas actúa como el hacha que destruye,
y no como el escalpelo que diseca.

Los ácidos y los álcalis que descomponen la hemoglobina
y su combinación oxidada en la forma arriba expuesta ¿ac-
túan sobre las moléculas que escinden como escalpelo ó como
hacha?

Los datos hasta hoy adquiridos inducen á sostener que el
hemocromógeno y la hematina son los grupos prostéticos de
la forma reducida y de la oxidada del proteido respiratorio.
Sus mutuas relaciones como diferentes grados de oxidación
de un núcleo persistente, y sobre todo, la síntesis del cromo-
proteido realizada por Bertin-Sans y Moitessier asociando la
hematina y la globina son testimonios muy valiosos de que
los mencionados reactivos no destrozan, sino que disecan la
molécula.

Pero atenuando el valor de los testimonios aducidos, exis-
ten otros no tomados en cuenta, que no están en conformi-
dad con lo que hoy se admite, respecto á la constitución del
pigmento del eritrocito, y cuando se presentan hechos que
no tienen cabida dentro del plano de los conceptós corrien-
tes, es forzoso hacer nuevo trazado, porque la ciencia no
puede admitir casos ilegales. Las protestas que tienen funda-
mento real inmediatamente derrocan la legalidad estatuída,
por respetable que sea su historia.

*k
* *

Siendo la función de la hemoglobina tomar oxígeno del
medio ambiénte, para llevarlo á la intimidad de los tejidos,
se supuso que el hierro contenido en el cromoproteido era el
agente de cambio de aquel elemento, por la fácil transforma-

ción de los compuestos ferrosos en férricos, y viceversa, ga-
nando ó perdiendo oxígeno; y saliendo en la descomposición
del albuminoide respiratorio todo el hierro en el grupo prosté-
tico, se afirmó, como consecuencia bien deducida, que el he-
mocromógeno y la hematina son, respectivamente, por el
átomo metálico que contienen, el receptor y.el conductor del
oxígeno en las fases sucesivas del proceso respiratorio.

El cálculo pone de manifiesto que la cantidad de oxfgeno
absorbida por la hemoglobina es cuatro veces mayor que la
que puede absorber el hierro en ella contenido pasando al
grado máximo de oxidación, y ante esta diferencia ya no se
pudo sostener que aquel elemento metálico era el único que
realizaba la fijación del oxígeno. Sabiendo, además, que el
hemocromógeno, al convertirse en hematina, toma una can-
tidad de oxígeno inferior á la que absorbe la hemoglobina
cuando se transforma en oxihemoglobina, tampoco es posi-
ble afirmar que el grupo prostético, atribuido al proteido res-
piratorio, sea el que con exclusión del resto de la molécula
fije todo el oxígeno absorbido.

Según investigaciones de Jaquet, publicadas ya en el año
1889, la proporción de azufre de la hemoglobina varía con
la procedencia, siendo tanto mayor respecto á la del hierro,
cuanto más grande sea la cantidad de oxígeno consumida
por el animal.

Para dos átomos de hierro tiene cuatro de azufre la hemo-
globina del caballo, seis la del perro y nueve la del pollo, de
lo cual se infiere que, para la absorción del oxígeno, debe
ser más importante el papel del azufre que el del hierro, con-
tenidos en el albuminoide respiratorio.

Si según lo comúnmente aceptado, los proteidos desempe-
ñan en los organismos sus especiales funciones mediante los
grupos prostéticos, en vista de los datos antecedentes hay
que admitir, ó que el de la oxihemoglobina no es la hematina
porque no tiene azufre, ó que el proteido en la totalidad de
su molécula es el que efectúa la absorción del oxígeno.

A A

“El segundo punto de vista parece insostenible, porque la
globina disgregada de la hematina es semejante á las demás
globulinas, y éstas no muestran la propiedad de formar com-
binaciones con el oxígeno fácilmente disociables, como ten.
dría que suceder en el caso de que la proteina fuese colabo-
radora del grupo prostético en el acto respiratorio.

Pero también debe mencionarse que en la descomposición
fisiológica de la hemoglobina, el hierro no parece estar aso-
ciado á la hematina, porque aquel elemento no forma parte
de los pigmentos biliares, separándose en los albuminoides
ferruginosos la hepatina y la ferratina, que quedan retenidos
en el hígado. Administrando ciertos medicamentos hinópticos;
como el sulfonal y el trional, aparece en la excreción urina-
ria la hematoporfirina, es decir, una hematfina no ferruginosa
análoga á los pigmentos biliares.

La descomposición normal y la anormal de la Memo
inducen á suponer, en contra de lo observado en la descom-
posición in vitro, que el hierro debe estar unido á la molé-
cula protéinica, y no á la hematina. Por varios caminos se
recogen testimonios reveladores de no ser la descomposi-
ción de la hemoglobina unánimemente aceptada como resul-
tante de su estructura, el único modo de desarticulación de
la molécula del cromoproteido.

os

La reacción Michailow figura entre las coloridas que se
citan como características de las materias albuminoideas, la
cual, como es sabido, la producen éstas desarrollando color
rojo de sangre arterial mediante la disolución de sulfato fe-
rroso, ácido sulfúrico y unas gotas de ácido nítrico (1). Las
reacciones coloridas de los albuminoides no corresponden á
la totalidad de la molécula, sino á alguno de los grupos que

(1) Véase mi nota sobre este punto en los Anales de la Sociedad
Española de”Física y Química.—Tomo lll, pág. 20. ;

da E y EA

la integran, y la Michailow fué atribuida á un grupo sulfo-
ciánico (CNS) productor del color rojo de sangre originado
de la misma manera que el producido por el sulfocianato po-
tásico al actuar sobre las sales férricas.

Comúnmente se acepta que el sulfocianato potásico y las
sales férricas producen por doble descomposición sulfocia-
nato férrico, pero en contra de esta creencia manifesté (1)
que el compuesto rojo de sangre arterial, no debía ser el su-
puesto sulfocianato, sino un producto de oxidación á que
daba origen el cloruro férrico, no por el radical metálico que
lo forma, sino por su carácter oxidante. En ausencia de todo
compuesto de hierro, el ácido nítrico, el bióxido de hidró-
geno, el agua de cloro y otros oxidantes producen con el
sulfocianato la misma coloración que el cloruro férrico, y
cuando éste es el que la origina, reductores como el ácido
oxálico la hacen desaparecer sin que la sal férrica haya pa-
sado á ferrosa, puesto que del líquido precipita inmediata-
mente azul de Prusia el ferrocianuro potásico.

Según trabajos posteriores de TARUGI (2) el compuesto
rojo, formado sin la intervención del hierro, corresponde á
la fórmula A*,C*N*S*0* que es la de un óxido del trimero
dél ácido sulfociánico (H,C NS), pero en presencia de aquel
metal, parte de su hidrógeno, es sustituido, formándose en-
tonces un compuesto mucho más estable correspondiente á
la fórmula FeH, C*N*S*?0”, el cual es combinación ferrosa,
y no férrica, de un ácido peroxigenado. Este es capaz de
ceder un átomo de oxígeno, sólo por desecación en el vacío
en presencia del ácido sulfúrico, transformándose de la ma-
nera siguiente:

FeHiGsNES OS =FeH.C+N+S302 0.
(1) Anales de la Sociedad Española de Fisica y Química. — Tomo ll,

pág. 193.
(2) Gazzetta Chimica Italiana. Noviembre 4, 1904, págs. 326-348.

BR

En la reacción MICHAILOW, como en la de los sulfociana-
tos con las sales férricas, el color rojo de sangre arterial es
debido al producto de la polimerización y oxidación del áci-'
do sulfociánico. Y conviene recordar que los compuestos ciá-
nicos al polimerizarse en tercer grado constituyen agrupa-
ciones cíclicas, como la del ácido cianúrico resultante de la
tricondensación del ciánico, adquiriendo entonces la estabi-
lidad y resistencia que muestran en el curso de las transfor-
maciones intraorgánicas todas las substancias cuyos átomos

forman cadenas cerradas.

*
* *

Admitida una serie filogénica de la molécula albuminoidea,
de la cual es consecuencia la evolución morfológica y fisio-
lógica de los elementos organizados, hay que suponer un
proceso químico, en el que, por efecto de las acciones del
medio ambiente, fué agrandándose la molécula primordial
mediante la adquisición de nuevos elementos químicos y de
nuevos grupos moleculares. A los términos iniciales de las
protaminas estudiados por KossEL debieron añadirse poste-
riormente, no sólo los grupos cíclicos de los albuminoides
más complejos, sino también el azufre de las proteinas y el
fósforo de las nucleinas.

Por la correlación que en todos los casos se observa en-
tre los datos biológicos y los químicos debe suponerse que
la hemoglobina es uno de los albuminoides más modernos,
porque prescindiendo de algunos gusanos que lo contienen
difundido en sus hemolinfas, dicho albuminoide respiratorio
sólo está contenido en los glóbulos rojos de los vertebrados,
es decir, en los términos superiores de la escala animal; de
lo que también se infiere que en la cronología de los ele-
mentos biogenésicos el hierro debe figurar en el último pues-
to; en el del más moderno. Muéstrase conforme esta conclu-
sión con la particularidad de ser el hierro entre los elemen-
tos biogenésicos el de peso atómico más elevado, revelando

O

que el alcance de la ley periódica llega hasta la evolución de
la materia viva, y concuerda también aquélla con la particu-
laridad de ser el elemento más difícilmente asimilable, dificul-
tad revelada por la Naturaleza, y por ella prevista en el he-
cho de poner exceso de hierro en el organismo del recién na-
cido, y en cambio, casi excluirlo de la leche, única insuficien-
cia, por la cual no le corresponde en absoluto el título de

alimento completo.

*
kx

Poniendo en cotejo todos los datos que aportan las prece-
dentes observaciones, ya no resulta violento abandonar la
idea de la constitución de la hemoglobina por la asociación
de la hematina, y en cambio, recordando la proporcionalidad
del azufre con la importancia de los cambios respiratorios,
parece lógico suponer que en el curso de la filogenia quími-
ca, mediante reacciones análogas á la MICHAILOW (y en tér-
minos más sencillos, por reacción análoga á la de los sulto-
cianatos con el cloruro férrico), albúminas y globulinas con-
venientemente oxidadas produjeron el cromoproteido, con-
curriendo el hierro á dar estabilidad al grupo oxisulfociánico.

Las oxidasas, cuyo papel es fundamental en todo género
de acciones fisiológicas, debieron ser allá en el origen y de-
ben ser en la actualidad las transformadoras de las proteinas
en hemoglobina, porque el ozono administrado en la dosis
de 11 á 12 centésimas de miligramo por litro de aire, según
observaciones de Labbé y Oudin (1) en el breve tiempo de
diez á quince minutos aumenta en 1 por 100 la proporción
de la hemoglobina de la sangre, y este rápido incremento
está más en armonía con las condiciones en que se produce
el compuesto rojo de la reacción MICHAILOW, que con las en
que habría de formarse un cuerpo tan complejo como la he-
matina, cuya estructura, aunque se cree ya esclarecida, refi-

(1) Compt. Rend. Ac. Sc., tomo CXIII, pág. 141.

riéndola á la del butilpirrol como núcleo de la molécula,
todavía está ignorada en un punto tan importante cual es el
modo de engaste del átomo de hierro.

*
*

Ya en el año 1879, discurriendo Pfliiger acerca del origen
de la materia viva, redujo este problema al del origen de la
albúmina, y en sus disquisiciones llegó á la conclusión de
que el ácido ciánico (H. CNO) debió ser, allá en el curso
de los procesos geológicos, el núcleo primordial de la mate-
ria albuminoidea, creciendo la molécula de ésta hasta alcan-
zar la magnitud con que aparece en la obra arquitectónica de
la organización por la capacidad del núcleo para polimerizar-
se, capacidad que se patentiza en los laboratorios al produ-
cirse las ciamélidas (H. CNO)”. :

La célula es la unidad de la organización, y el ascenso de
todos los grados de la escala de la vida, hasta llegar á los
términos superiores, se efectúa, no mediante elementos abso-
lutamente nuevos, sino formando asociaciones de la misma
unidad que al asociarse se diferencia; de igual manera las
moléculas albuminoideas adquieren su tamaño gigantesco por
la polimerización de su núcleo primordial, y al producirse
los grados supremos de la diferenciación química que cons-
tituyen los grupos prostéticos de los proteidos, no varía el
procedimiento, como se ve en las bases púricas y pirimídicas
formadoras de los ácidos nucléinicos, las cuales en último
análisis resultan derivadas de grupos ciánicos.

Creo muy razonable suponer que la hemoglobina se forma
en el curso del proceso fisiológico por degeneración de los
albuminoides celulares. Asi se explica que en los eritrocitos
no nucleados sea mayor la cantidad del cromoproteido que
en los nucleados, y que en unos y en otros se hayan deposi-
tado en su periferia, lecitina, colesterina, etc., formando una
especie de materia mielínica. Los grupos ciánicos proceden-

e A E

tes de esta digregación, se conjugarán con las globulinas,
por igual mecanismo que los grupos prostéticos formadores
de los demás proteidos, y así resultará la hemoglobina.

Considerando el grupo prostético de la oxihemoglobina
como resultado de la polimerización del ácido oxisulfociáni-
co, entra este caso particular en el general de complicarse*
las formaciones elaboradas en el proceso biológico por repe-
tición con diferenciación ulterior de los factores primordiales.

Desde los varios puntos de vista que se ha examinado la
hemoglobina, creo que, no obstante la síntesis efectuada por
BERTIN-SANS y MOITESSIER, es más razonable, que lo hoy
generalmente aceptado, admitir que en la reacción MICHAF
LOW se produce artificialmente una metamorfosis química
análoga á la que en el desarrollo de la serie filogénica formó
naturalmente la hemoglobina sobre la base de las albúminas
y las globulinas no coloridas que constituyen en los organis-
mos inferiores las acroglobinas de función respiratoria.

Según PFLUGER, con la formación del ácido ciánico se ini-
ció la de las materias albuminoideas, y éstas, mediante la po-
limerización de aquél y el engarce de cadenas aminoácidas,
fueron agrandando su molécula hasta constituir las proteinas
formadoras de los citoplasmas. Nuevas moléculas ciánicas
asociadas al ácido fosfórico forman el grupo prostético de
las nucleinas, que en la diferenciación de la materia viva
constituyen la parte principal del núcleo celular. Finalmente,
moléculas oxisulfociánicas asociadas al hierro forman el gru-
po prostético del cromoproteido respiratorio.

Aceptadas las ideas precedentes respecto á la constitución
de la hemoglobina, muéstrase en todos los casos el proceso
químico de la materia formadora de la organización como
resultado de la diferenciación del mismo núcleo fundamental.

MM

11.—Las disoluciones sólidas.

POR JosÉ RODRÍGUEZ MOURELO

l

Estudio preliminar,

Antes de relatar las investigaciones y experimentos prac-
ticados durante largo tiempo, con intento de esclarecer al-
gunos de los problemas referentes á las disoluciones de los
sólidos en los sólidos, especialmente tratándose de cuerpos
amorfos, juzgo necesario fijar ciertos puntos de partida y es-
tablecer los criterios que fueron la guía de mis trabajos per-
sonales, explicando, desde luego, la parte general del asun-
to, sin entrar en pormenores que en las descripciones pecu-
liares de la labor llevada á término tienen su lugar adecuado.
No es mi ánimo, sin embargo, formar un cuerpo de doctrina
respecto de las disoluciones sólidas, que á tanto no alcanzan
mis aspiraciones, ni para ello son bastante las investigacio-
nes llevadas á término con semejantes intentos. Quizá, apar-
tándome un poco de lo corriente, en lo que atañe á la inter-
pretación de determinados fenómeno, me inclino á conside-
rar, á lo menos en casos particulares que muy por menudo
tengo estudiados, que las disoluciones sólidas se asemejan
bastante, en cuanto á su constitución, á las de sólidos en
líquidos, sobre todo si las consideramos formadas á tempe-
ratura muy elevada, y la materia que ha de disolverse en
estado de vapor y difundiéndose en una gran cantidad del
disolvente fijo, no habiendo entre los dos cuerpos acción
química, siquiera visible y determinada.

Llega á establecerse entonces una suerte de equilibrio sin-
gular, dotado de particulares actividades, pero que casi nun-

m7

ta se manifiestan de manera espontánea y han menester ser
excitadas por agentes externos al sistema; mas que sobre él
actúan directamente durante tiempo variable.

Bien sabido es que, de ordinario, se consideran dos es-
pecies de disoluciones sólidas. Pertenecen al primer tipo las
mezclas isomorfas, constituidas por substancias de análoga
constitución química y que cristalizan juntas en la misma
forma ó formas compatibles, siendo cosa fácil el conseguirlas
en la mayoría de las ocasiones, cristalizando, por disolución
ó por fusión, las substancias isomorfas, y en ambos casos
parece condición indispensable hacerlas pasar por el estado
líquido. Inclúyense en el segundo tipo las disoluciones amor-
fas, producto de la fusión de los metales para formar com-
binaciones definidas que se disuelven en exceso de algu-
no de ellos, conforme acontece en casi todas las aleaciones;
procedentes de difundir cierta proporción, nunca considera-
ble, de materias metálicas, que se descomponen con extra-
ordinaria dificultad en la masa fundida de algún compuesto
muy fijo, que al enfriarse afecta determinadas formas geomé-
tricas regulares ó simplemente la característica del vidrio,
verdadera disolución de silicatos; 6 constituidas calentando
tan sólo, á temperatura muy elevada, mezclas de cuerpos só-
lidos, que no se funden y se penetran mutuamente, á veces
con el auxilio. de otros bastante volátiles, formando agrega-
dos singulares, dotados de actividades, que no tienen cada
uno de por sí, ni aislados, los cuerpos originarios.

Mas he de notar cómo entre estos dos aspectos de las di-
soluciones sólidas hay grados intermedios notables y poco
estudiados, siendo de ellos la difusión, también observada
en buena copia de productos naturales de variadísima com-
posición, de ciertos óxidos metálicos coloridos en la masa de
otros que los disuelven en distintas proporciones, sin cam-
biar de forma cristalina, tiñéndose sólo de diversos y perma-
nentes matices. Tal se observa en el cuarzo, y las numerosas
variedades del corindo son disoluciones sólidas de com-

E

puestos metálicos en el sesquióxido de aluminio, formadas
en medios especiales y á la continua en presencia del fluoru-
ro de calcio, cuyo cuerpo arrastra y difunde la materia colo-
rante en la masa del disolvente.

Constituyen, á mi ver, las disoluciones sólidas de toda
especie verdaderos productos aditivos, representantes de
equilibrios moleculares formados en condiciones que varían
no poco, no siendo preciso ni absolutamente necesario que
los cuerpos hayan de pasar por el estado líquido, porque su
difusión puede ser perfecta cuando alguno de ellos está vo-
latilizado Ó es arrastrado por otro que lo sea y no entre para
nada en la disolución; á veces basta calentar, á temperaturas
muy elevadas, mezclas de substancias fijas, sulfato de calcio,
por ejemplo, con minimas proporciones de óxido de manga-
neso, para que la disolución se realice sin que se haya ini-
ciado siquiera el estado líquido y las disoluciones, bastante
complejas, de determinados metales, plomo, estaño y bismu-
to, se obtienen sometiendo su mezcla á grandes presiones.
Juzgo, no obstante, condición necesaria, en la mayoría de los
casos, la temperatura, siquiera no alcance en todos la co-
rrespondiente al cambio de estado de las mezclas sólidas ó
de alguno de sus elementos. Es esencial el contacto íntimo,
que implica división extremada, seguida de fusión, como en
el vidrio y en casi todas las aleaciones metálicas, Ó arrastre
y reparto en la masa del disolvente de la materia soluble,
conforme acontece calentando mezclas de alúmina anhidra y
diversos óxidos metálicos en atmósferas que contengan cuer-
pos fluorados, y en ello se funda un método de sintesis mi-
neral; á esta misma categoría de fenómenos corresponde la
influencia del vapor de cloruro de sodio en la difusión de las
substancias activas de las disoluciones luminescentes.

Nunca son tan fácilmente determinables como en los casos
ordinarios de disoluciones de gases, sólidos y líquidos en
líquidos, las relaciones existentes entre el disolvente y la ma-
teria disuelta, tratándose de las disoluciones sólidas, ni tam-

e

O

poco es cosa sencilla apreciar los límites de la solubilidad
para cada cuerpo y sus dependencias de la temperatura.
Aquí parece existir toda una serie de equilibrios particulares
condicionados por la forma de la disolución, la masa de sus
elementos y aun quizá la manera de llevarla á cabo.

Desde luego adviértese cómo es menester precisar las
funciones respectivas del disolvente y de la materia que
se disuelve, para formar un solo cuerpo cuya característica
principal es la homogeneidad, lo mismo en las agrupaciones
cristalizadas de cuerpos isomorfos que en los agregados
amorfos. Consideremos un punto el problema reducido á sus
términos más sencillos: sea una disolución sólida X, consti-
tuida por dos cuerpos cualesquiera a y b, y supongamos que
a entra en proporciones fijas é invariables y las de b van au-
mentando progresivamente con incrementos iguales desde el
valor b, hasta b,, pero de modo que en este límite sea siem-
pre a>b,:la masa fija a representa el disolvente. Según
van difundiéndose en ella proporciones de b, origínase una
serie de estados de disolución, que implican otras tantas mo-
dificaciones del sistema hasta llegar al límite X, correspon-
diente á la disolución de 5b,, en cuyo punto ya no se disuelve
más y sólo se producen mezclas de la disolución y de la subs-
tancia que se añade; tal punto límite es la saturación.

Obedecen á este sistema general todas las disoluciones con
independencia del estado: de los cuerpos que en ellas inter-
vienen, de sus propiedades y del mecanismo empleado para
obtenerlas; pero en el fenómeno es menester considerar va-
rias influencias de otro género, que se juzgan externas al
sistema, más indispensables y casi siempre determinantes
del equilibrio definitivo que representa el límite X. Es de ellas
la más importante la temperatura en el caso de las disolu-
ciones sólidas, sea cualquiera el grado de su complejidad;
pues siempre, aun en las producidas por el arrastre, em-
pleando cuerpos volátiles, es condición precisa emplear el
calor, y muchas veces se necesita pasar por el estado líqui-

ld

do; sólo se exceptúan las disoluciones que la presión efec-
túa en condiciones especiales, en las que no hay elevación
de temperatura. Considerada en su generalidad la disolución
sólida es, en definitiva, un cambio de estado definido, deter-
minado por las mutuas influencias de los disolventes y de los
cuerpos disueltos.
* Es factor constante en el mecanismo de las disoluciones
sólidas, al igual de las de otras especies, la temperatura.
Partiendo de un estado inicial f, que va tomando incremen-
tos sucesivos ft; £ fa... f, hasta el límite 7, á sus crecimientos
corresponden los del cuerpo disuelto b, permaneciendo fija
la cantidad del disolvente; entre éste y la materia que se di-
suelve se establecen todos los estados de equilibrio, condi-
cionados por la temperatura, d, d, d, dz... d,, cuyo límite
será X. Tales equilibrios son disoluciones completas y re-
presentan estados de saturación perfecta; así, d, es aquella
disolución en la que, á la temperatura í,, el cuerpo a, disol-
vente, está saturado del cuerpo b, y del propio modo los de-
más hasta alcanzar el límite de la saturación. Fuera de esto,
en las disoluciones sólidas, particularmente en las que re-
quieren la fusión, como el vidrio, la difusión por medio de
una substancia volátil en la masa fundida del disolvente,
conforme acontece en el caso de teñir la alúmina por medio
de compuestos de cobalto, cromo ó hierro, Ó la simple adi-
ción de dos cuerpos individualmente inertes, infusibles y
que, calentados juntos, constituyen luego materias activas
respecto de la fosforescencia, el calor tiene, además de su
influencia en calidad de agente de las disoluciones sólidas,
otra interesante función, y es la de poner á los cuerpos en
estado y condiciones de unión, penetrándose y difundién-
dose unos en otros para constituir la disolución sólida homo-
génea.

Puede decirse de la temperatura que primero dota á los
cuerpos sólidos de la aptitud para disolverse unos en otros,
que generalmente trae aparejado el cambio de estado, sobre

O e

todo en las mezclas isomorfas y en las aleaciones metálicas,
y luego produce la verdadera disolución, correspondiendo á
sus crecimientos los diversos estados de saturación hasta el
límite indicado. Y al igual de las combinaciones químicas or-
dinarias, la temperatura, cuando es pasado el término del
equilibrio definitivo, puede ser causa de disociaciones, se-
parando por de contado los cuerpos más volátiles Ó los más
fusibles, según los casos.

Fácil es comprender cómo el calor no constituye una de
las condiciones externas ó del medio en las disoluciones só-
lidas, sino algo substancial é intrínseco de ellas, aunque su
influjo hállase subordinado, en gran parte, á la naturaleza de
las substancias que intervienen en el fenómeno, y también en
menor escala á las proporciones relativas de las mismas. En
el caso más sencillo, siendo dos y considerando fija y muy
superior la cantidad de una de ellas, asignándola por esto la
cantidad de disolvente, puede ocurrir: que siendo los mis-
mos los incrementos consecutivos de la temperatura, el cuer-
po que ha de ser disuelto no sea el mismo, y entonces las
condiciones de los equilibrios hasta llegar al definitivo ya no
son idénticas, Ó que, sin variar la cantidad, varíe la natura-
leza del disolvente, y entonces, siendo iguales las demás con-
diciones, de su capacidad de saturación dependerá el fenóme-
no en todas sus fases. Resulta, por consiguiente, que en el
sistema de equilibrio que representa una disolución sólida,
-hay tantas variables como términos hemos considerado; pero
unas dependen de otras, y es posible establecer, siquiera en
casos particulares, relaciones de cierta fijeza entre límites
determinados. :

Quizá es de estas relaciones la más interesante la que
enlaza las proporciones relativas de cada cuerpo, que se di-
funden en una cantidad fija de cada disolvente, según la tem-
peratura, y bueno sería poder aplicar al cálculo de los coefi-
cientes de solubilidad, respecto de disoluciones sólidas, las
mismas fórmulas que para otras dan excelentes resultados;

pao

pero falta el dato del calor de disolución en la que está casi
saturada. Mas puede asegurarse, aún sin haberlo determina-
do, que tratándose de disoluciones sólidas amorfas, la solu-
bilidad aumenta con la temperatura mientras no llega el pun-
to crítico de eliminarse uno de sus componentes por cam-
bio de estado, Ó no se realizan fenómenos de otro linaje de
orden químico ó simplemente del orden de la desvitrifica=
ción, es decir, en tanto no se altere ó desaparezca la homo-
geneidad, que es el principal carácter de todo género de
disoluciones, sea cualquiera su forma.

Generalmente no se ha considerado en las disoluciones
sólidas la temperatura sino»muy en particular, limitando el
estudio á las que para ser formadas requieren, como indis-
pensable condición previa, el cambio de estado. Valga exa-
minar este punto, con cierto detenimiento, en dos casos muy
principales. Es el primero el de la formación de cristales,
constituidos por mezclas de cuerpos isomorfos en medios
líquidos, de ordinario disoluciones acuosas. A no tratarse de
ciertas sales, que son excepciones poco numerosas de la
regla, la solubilidad. aumenta con la temperatura, y pode-
mos partir de un estado de equilibrio R correspondiente á la
temperatura f,, en el cual, para una cantidad fija del disol-
vente S, hay otra cantidad A del cuerpo a. Sin alterar el
sistema es posible disolver cantidades variables de otra subs-
tancia b y llegar al estado de saturación á la temperatura f,,
supuesta invariable, y entonces en el sistema habremos in-
roducido un nuevo elemento isomorfo con la primera de las
sales disueltas.

Reduciendo la temperatura á *f,,, como no corresponderá
al primitivo estado de saturación, se depositará, cristalizada,
una masa salina A constituida por los cuerpos isomorfos
a y b, quedando el líquido nuevamente saturado, y otros des-
censos de temperatura producirán asimismo más cristales en
los que hallaremos mezcladas las dos sales isomorfas. De-
penderá su composición, y por tanto las disoluciones sóli-

Mt -—

das formadas, de las proporciones relativas de sus compo-
nentes. Suponiendo a constante y en el límite marcado por la
saturación á f,, puede ocurrir que a = b, en cuyo caso la
disolución sólida isomorfa estará saturada y será equimole-
cular, ó que sea a > b, y entonces las proporciones distintas
del elemento variable engendrarán toda una serie de disolu-
ciones isomorfas, con la sola condición de conservar la ho-
mogeneidad que es su característica. En el ejemplo se ha
prescindido de las diferencias de solubilidad de las sales,
admitiendo, para simplificar, que tienen igual coeficiente Ó

que sus diferencias son en extremo pequeñas.

Hay que considerar otras formas del fenómeno: suponien-
do invariable la cantidad del disolvente S, podemos partir de
la temperatura inicial £, á la cual estará saturado de a y de b;
á cada uno de los incrementos desde £ hasta el límite f, co-
rresponderán otras tantas capacidades de saturación, y con
ellas aumentarán las cantidades de las dos sales isomorfas
disueltas, hasta alcanzar el equilibrio definitivo del sistema.
Descendiendo entonces la temperatura, aparecerán las diso-
luciones sólidas isomorfas y se comprende cómo pueden va-
riar de modo indefinido, cambiando las proporciones relati-
vas de sus componentes. Ejemplo de ello son ciertas dolomi-
tas cuádruples, particulares disoluciones sólidas de carbona-
tos isomorfos, á cuyo estudio he encaminado mis investiga-
ciones, y lo es, de la propia suerte, la disolución sólida de
ciertos sulfatos naturales, que constituyen asociaciones mine-
ralógicas producidas mediante transformaciones muy singu-
lares.

Siendo, en general, menos fijo el disolvente líquido, pue-
de ser eliminado en parte ó en totalidad por el calor, á partir
de un estado de saturación determinado, y ocurrirá el depo-
sitarse la disolución sólida isomorfa de maneras distintas,
conforme á los modos de proceder. Influyen varias causas,
como las proporciones relativas de las substancias isomorfas
disueltas, el calor de disolución y la solubilidad individual y

Rrv. Acap. Ciencias. —IV.—Enero, 1906, 4

A É

especifica de cada una, y de ellas depende la composición de
los cristales, al cabo generados en medios que cambian de
continuo, conforme se va eliminando el disolvente líquido y
se forman distintos estados de saturación. Compréndese que,
sin llegar al correspondiente á la igualdad de las cantidades
de las substancias disueltas, para el valor constante de a, con-
siderado disolvente sólido, ha de haber una serie de valores
de b que darán por resultado cristales de idéntica aparien-
cia, pero de composición distinta; pues mientras permanezca
la homogeneidad del sistema, es aquí posible, como en las
demás disoluciones, hacer que las proporciones de sus com-
ponentes cambien en cantidades tan pequeñas como se
quiera.

Importa notar un hecho, cuya generalidad hemos de ver
prontamente demostrada para todas las formas de las diso-
luciones sólidas. Su individualidad es más compleja de lo
que á primera vista parece, y aun en las típicas entre las iso-
morfas no se constituye, en realidad, una sola que pudiera
creerse única, en la que para la cantidad fija de la substan-
cia considerada disolvente, hay las proporciones de sal di-
suelta correspondientes á la saturación. Así sería desde el
punto de vista teórico; mas se ha observado que no todos
los cristales, formados por disoluciones sólidas de cuerpos
isomorfos, son idénticos, y que las variantes se relacionan
con su composición, de suerte que en realidad, y conforme
á las condiciones del medio, se generan y coexisten diver-
sas disoluciones sólidas de cuerpos isomorfos que pueden
irse depositando sucesivamente, según cambian las concen-
traciones del líquido que contiene disueltas las sales; por
eso admitimos que en realidad se constituyen varias disolu-
ciones sólidas relacionadas entre si lo mismo que se relacio-
nan las diferentes capas líquidas que tienen diferentes densi-
dades: se equilibran, pero no se mezclan.

Tocante á las disoluciones isomorfas, y concretándome á
las de dos sales por ser las más sencillas, notaré que, en

pad E

principio, la forma cristalina depende de las relaciones mo-
leculares de los metales en ellas contenidos. Citase el caso
de ciertas mezclas de seleniatos rómbicos y sulfatos tetrago-

nales —los de glucinio —que no producen, como otras sa-

1

les, disoluciones isomorfas, disolviéndolos en cualesquiera
proporciones, si no se ha menester ciertos límites de pro-
porcionalidad, y fuera de ellos, ó el fenómeno no se presen-
ta Ó en otros casos se logran dos mezclas isomorfas cristali-
zadas de modo distinto. Si en los dos cuerpos del ejemplo la
relación del azufre al selenio es, como marca Van'T. Hoff:
S:Se=5:1, resultan dos mezclas isomorfas, correspon-
dientes á dos relaciones moleculares distintas, una tetrago-
nal, en la que S: Se =7.33: 1, y la otra rómbica, en la que
S:Se=4: 1, y el hecho no es único, sino frecuente respecto
de sales isomorfas de un mismo metal, cuyas disoluciones
diferentes tienen el carácter de los líquidos dotados de va-
riados pesos especificos. En las disoluciones complejas es
más evidente todavía la semejanza.

Júntanse á las observaciones anteriores otras que atañen al
disolvente líquido, en el caso muy frecuente de que llegue á
constituir parte integrante de la disolución sólida isomorfa,
influyendo no poco en las formas de los cristales: tratándose
del agua, que es el disolvente de mayor uso, me refiero
precisamente á la formación de hidratos más ó menos esta-
bles, según la temperatura, con el agua llamada de cristaliza-
ción, Ó sea la retenida en estado sólido entre las moléculas
cristalinas. En realidad, se trata de verdaderos hidratos, tan
indeterminados como se quiera, pero que son indispensables
para que la disolución sólida isomorfa se constituya: al unir-
se sus elementos en el medio acuoso, arrastran algo del di-
solvente, se lo apropian, lo difunden en su masa, hácenle
cambiar de estado, y mediante sus acciones es como se cons-
tituyen las formas de los cristales, y por eso, al eliminar el
agua, se modifican grandemente y aun llegan á destruirse
como en el caso del alumbre ordinario.

E

Un nuevo elemento entra así en el fenómeno; sin él no
puede formarse el cristal, que representa al cabo un estado
de equilibrio entre cuerpos sólidos, y eliminando de cualquier
modo el agua, el equilibrio se perturba y rompe. Además,
como la producción de los hidratos depende de la tempera-
tura y de las relativas cantidades de los componentes, claro
está que pueden formarse y coexistir á la vez varias disolu
ciones sólidas isomorfas, cristalizadas de distinto modo,
como se producen en la misma disolución de sulfato de ní-
quel diferentes hidratos y aparecen cristalizados á un tiempo
en formas que no-son iguales y hasta se distinguen por las
variantes de coloración: también aquí aparece la semejanza
con un sistema de mezclas líquidas desigualmente densas,
entre las que se reconocen relaciones de composición deter-
minada. Respecto del estado del agua en las disoluciones só-
lidas isomorfas, sólo puede ser el sólido al igual de los otros
componentes de ellas; pues de lo contrario se destruiría la
homogeneidad que es su principal carácter, general á todas,
sea el que quiera el estado inicial del sistema Ó sistemas de
cuerpos que han de constituirlas y el procedimiento Ó mé-
todo para llegar á formarlas en todas las circunstancias.

Lejos de oponerse cuanto dejo expuesto á otro linaje de”
disoluciones sólidas, es aplicable perfectamente á cuantas se
efectúan, haciendo antes cambiar de estado por presión á sus
elementos, sin que intervengan disolventes líquidos, que es
el segundo de los casos á que más arriba me refería. Procé-
dese de varias maneras para lograr semejantes disoluciones;
basta fundir las mezclas isomorfas y dejarlas enfriar con len-
titud, para que cristalicen, penetrándose sus masas respecti-
vas hasta dar en ser uno y homogéneo los cuerpos que la
constituyen; otras veces es menester la intervención de subs-
tancias extrañas al sistema, más fusibles ó más volátiles que
sus componentes, y en ocasiones proviene la disolución só-
lida de fenómenos de orden químico, de ordinario llevados á
cabo por dobles descomposiciones. Hay, pues, el modo de

A e

la fusión simple sin fundente, la fusión con su auxilio y la fu-
sión con reacción química: en suma, tres variantes del cam-
bio de estado necesario para que el fenómeno se realice, ge-
nerándose á la postre la disolución sólida isomorfa, pudien-
do presentarse muchos estados de equilibrio correspondien-
tes á los varios estados de saturación, aun cuando no pue-
dan ser reconocidos y determinados, como si el necesario
cambio se efectuase interviniendo disolventes líquidos que
sean absolutamente neutros.

Vese aquí comprobado cuanto queda dicho respecto de la
influencia de las cantidades respectivas de los elementos de
la disolución, porque, en definitiva, cuando el cuerpo con-
siderado disolvente, cuyas proporciones suponemos fijas y
mayores que las de los otros, está fundido, es para el caso
como un líquido, variando sólo por la temperatura correspon-
diente á su estado. Así disolverá distintas substancias isomor-
fas en proporciones distintas y resultarán variadas disolucio-
nes sólidas, cuya composición y forma dependerán de las re-
laciones moleculares de las materias que las constituyen, pu-
diendo el disolvente entrar á formar parte de los cristales ó
servir tan sólo de medio y vehículo para su generación, sin
ser de sus componentes. Tal acontece á los fundentes y bien
conocida es la función de disolvente, por vía seca, que ejerce
el cloruro de sodio en muchas operaciones de sintesis mi-
neral.

Mucho mayor es la importancia de otras disoluciones só-
lidas cuya formación requiere á la continua el tránsito por el
estado líquido; se trata de las aleaciones metálicas según sue-
len presentarse de ordinario. Se consideran como combina-
ciones definidas, formadas á temperaturas determinadas para
cada una de ellas, dotadas de estabilidad y que luego de
constituídas se disuelven en exceso de alguno de sus com-
ponentes; en general, las aleaciones requieren la fusión de
los metales que las constituyen, si bien en ciertos casos se
han obtenido valiéndose de presiones enérgicas. Todos se

SM

refieren á la simple disolución de un líquido —el compuesto
metálico definido luego de formado —en otro liquido, el ex-
ceso del metal componente fundido y al solidificarse el sis-
tema cuando se enfría, la disolución persiste con su peculiar
estructura homogénea, y al igual de las demás, puede ofre-
cer numerosos estados de equilibrio correspondientes á las
diversas relaciones de las masas de sus elementos, hasta al-
canzar el límite de la saturación. No suelen cristalizar, y
cuando lo hacen, en circunstancias variadísimas de enfria-
miento, es separándose el compuesto definido del disolvente
y en no pocas ocasiones modificándose aquél por enrique-
cerse de alguno de sus elementos; hecho que ha recibido no-
tables aplicaciones y es fundamento de procedimientos me-
talúrgicos muy usados en la separación y beneficio de la pla-
ta y de otros metales que se desprenden así de las disolucio-
nes sólidas que los contienen.

Ya se entiende cómo el fenómeno es del mismo orden de
la formación de cristales observada al enfriar disoluciones
salinas saturadas á temperaturas superiores de la ordinaria,
y por lo tanto son aquí, de la propia manera, aplicables
los mismos principios. En ambos casos, la materia sólida
cambia de estado por difundirse en un cuerpo líquido ó por
disolverse en un metal fundido, y al recobrar el primitivo,
afecta la forma cristalina correspondiente y se comprende
que si en las disoluciones isomorfas pueden lograrse crista-
les diferentes conforme á las proporciones relativas de las ma-
terias que los constituyen, también será posible el obtener
disoluciones sólidas de metales puros, amorfas ó cristaliza-
das, que los contengan en variadas y muy distintas propor-
ciones.

No cabe mejor ejemplo acerca de ello que citar los bron
ces de aluminio. Cuando se emplean para obtener este metal
las acciones reductoras del cobre metálico sobre la alúmina
anhidra, operando á la temperatura del horno eléctrico de
arco, consíguense en realidad una serie Ó colección de pro-

AN, A

ductos metálicos bastante singular. En lo más interior de la

masa, como si dijéramos en el núcleo, donde mayor ha sido
la temperatura, aparece el aluminio casi puro, con poquísimo
cobre disuelto; las proporciones de éste van en aumento por
capas sucesivas y aparecen bronces muy aluminíferos co-
rrespondientes á disoluciones de la combinación típica de
aluminio y cobre en un exceso de aluminio, hasta llegar á un
punto en el que se igualan las proporciones de los dos me-
tales, desde cuyo término predomina el cobre transformado

en disolvente; las cantidades del aluminio disminuyen, la di-

solución se diluye cada vez más y al final está el cobre sólo
con leves trazas, si acaso, de aluminio. Tenemos así una
masa metálica M, cuya parte más interior es de aluminio
A l; siguen las diversas zonas, en las que A1> Cu; pero las
proporciones de cobre aumentan hasta alcanzar el valor
Al = Cu y comienza otra zona en la que siguen aumentan-
do las cantidades de cobre, y en ellas siempre A/< Cu, dis-
minuyendo el aluminio hasta que en la región más externa
sólo encontramos el cobre. Son, en realidad, dos especies
de disoluciones sólidas en las que cambian el disolvente y
sus proporciones, sirviendo á modo de línea de separación
el punto en que sus cantidades se igualan, y entonces son
verdadero disolvente mixto, en cuya masa se difunde la com-
binación mejor definida de aluminio y cobre.

Al igual del ejemplo apuntado, pudieran citarse numero-
sos sin dejar el campo de las aleaciones metálicas ó aprove-
chando los frecuentes casos de la disolución del carbón en
los metales fundidos, que lo retienen en su masa luego de
tríos, y los agregados moleculares resultantes son á la con-
tinua homogéneos. Entonces el grafito,*que suele aparecer
entre ellos, representa el exceso de solubilidad de la materia
metálica á temperatura elevada, respecto de su capacidad de
saturación al descender ésta, siendo lento el enfriamiento.

Ocurre en seguida comparar, conforme antes se hizo, las
disoluciones sólidas representadas por las aleaciones metá-

e

licas á sistemas líquidos formados por capas de distintas den-
sidades y poco miscibles unas con otras. Supongamos un vo-
lumen de agua, y sobre él otro volumen de un líquido me-
nos denso, como el éter; aun sin agitar, permaneciendo todo
en reposo en vasija cerrada para evitar la evaporación, el
éter irá poco á poco penetrando en el agua, fórmase una pri-
mera capa de separación que contendrá los dos cuerpos, y
á partir de ella, descendiendo, las diversas zonas contendrán
cada vez más agua, y á la inversa, las superiores serán más
ricas de éter. De esta forma imagino la estructura de las di-
soluciones sólidas, á lo menos en los casos examinados, y
aquí apunto la idea cuyos desarrollos tienen su lugar ade-
cuado en la parte experimental del presente trabajo.

Bien será considerar ahora otro factor que interviene con
frecuencia en las disoluciones sólidas y es, á veces, suficien-
te para constituirlas muy perfectas y estables; me refiero á
la presión y trataré de ella de modo general únicamente, por
no haberla empleado en la serie de mis investigaciones per-
sonales; sin embargo de esto, pareceríame la labor propues-
ta harto incompleta, no consagrando la debida atención á
punto de tanta importancia y de aplicaciones prácticas. Por
de contado, es menester considerar las influencias de la pre-
sión en dos casos distintos: es el primero, cuando el disol-
vente se presenta sólido, la materia que ha de ser disuelta
gaseosa y la disolución resulta sólida; y el segundo, cuando
todos los términos son sólidos, no debiendo cambiar de es-
tado para difundirse mutuamente unos en otros; las formas
de disolución sólida constituida por gases son frecuentes y
aun podría decir generales, y á veces producen cierto linaje
de combinaciones del orden de los hidruros; de las otras co-
nócense pocas, y para formar semejantes disoluciones se re-
quiere emplear presiones extremadas casi siempre, evitando

O

el desarrollo de calor, que pudiera tornar líquidos los cuerpos
que han de penetrarse y disolverse sin dejar de ser sólidos.

Para entender el mecanismo de la disolución de los gases
en los sólidos, es preciso fijar como punto de partida el he-
cho general de que muchos cuerpos sólidos, algunos de na-
turaleza metálica, absorben los gases que están en contacto
con ellos, reteniéndolos en su masa; basta recordar los fenó-
menos, tan sencillos y conocidos, de la absorción del amo-
níaco por el carbón, del oxígeno por el magnesio y aun la
famosa oclusión del hidrógeno por el paladio, que no son ca-
sos aislados, ni condiciones especiales indispensables para
la formación de hidruros. Trátase, empero, de difusiones y
penetraciones de sólidos y gases, análogas á las disolucio-
nes líquidas. A

Considerándolas respecto de la manera de formarse, es
menester tener en cuenta primeramente el estado particular
del disolvente sólido y su naturaleza; así, los cuerpos poro-
sos y los pulverizados condensan mejor los gases que los
dotados de lisas y pulidas superficies, y de ello es buen ejem-
plo el negro de humo; muchos metales son mejores disol-
ventes en caliente, y al enfriarse desprenden parte de los ga-
ses que habían retenido; permaneciendo constantes la presión
y la temperatura, el poder absorbente tiene como límite la
saturación, y entonces, sin cambiar las condiciones, no pue-
de ser absorbido otro gas. Es tan general el hecho de que se
trata, que no hay temor de errar diciendo que todo cuerpo
sólido, que esté en contacto de un gas, presenta en su super-
ficie una disolución sólida de este gas, tan diluida é inesta-
ble como se quiera; la penetración y la difusión existen como
para los líquidos, aunque las circunstancias del fenómeno
cambien un poco, y es singular que á veces levísimas modi-
ficaciones que á ciertos cuerpos, en especial á los metales,
hacen experimentar otros cuerpos, sean parte á aumentar
considerablemente su poder de absorción respecto de los ga-
ses. Adviértese también cierta propiedad, que llamaré electi-

TS

va, en cuya virtud no todos los gases se disuelven de igual
modo en los mismos cuerpos sólidos, en lo cual parece in-
fluir la densidad; ni la capacidad disolvente de éstos perma-
nece constante, antes cambia en relación con los cuerpos que
han de ser disueltos, circunstancia que relaciona las propie-
dades de los disolventes sólidos y líquidos.

Quizá es la presión la causa más influyente en los fenóme-
nos de que trato y también aquella cuyas acciones son mejor
conocidas, á lo menos en el caso del paladio y del hidróge-
no. Sus funciones consisten en aumentar notablemente las
proporciones de gas absorbido, como si el disolvente fuese
líquido, creando así una serie de estados de equilibrio inesta-
ble, correspondientes á disoluciones saturadas en ellos, pero
que se perturban en cuanto la presión disminuye ó deja de
actuar. |

Diversas circunstancias influyen en tales fenómenos. Un
sistema M, formado por un sólido disolvente y en propor-
ciones constantes a, y un gas b, está sometido á la presión po
y absorbe una cantidad n, del cuerpo b; si la presión au-
menta hasta p,, la absorción aumentará de la propia manera
y llegará á n,, y se comprende que para los sucesivos incre-
mentos, hasta p ,, el gas disuelto crecerá de la propia suerte,
siempre que no varíen las condiciones de la temperatura.
Habrá, pues, toda una serie de disoluciones saturadas corres-
pondientes á las presiones que se consideren; el gas pene-
trará cada vez más en la masa del sólido, se difundirá en ella
y el poder del disolvente, su capacidad de saturación, será
cada vez mayor, conforme lo demuestran los experimentos;
pero existe un límite marcado por la naturaleza del sólido, la
del gas y el valor de las presiones ejercidas sobre el sistema,
correspondiente á su disolución en las condiciones ordina-
rias. Comprimir un gas en el interior de un sólido, reducien-
do su volumen, obligando á sus moléculas, tan movibles, á
disminuir su velocidad de traslación, ocupando mucho me-
nor espacio, apretándose y rozándose unas con otras, signi-

— 59 —

fica gasto de energía manifestada en desarrollo de calor, y
así llega un punto en el que la presión eleva la temperatura
del sistema, produciéndose combinaciones del gas y el sóli-
do, á veces con fenómenos de incandescencia ó perturbacio-
nes de orden químico, que afectan á la estabilidad de las di-
soluciones, llegando á transformarlas en más íntimos agrega-
dos, que pueden ser combinaciones definidas. Antes de. tal
límite, los equilibrios de las disoluciones son estables, en
tanto permanezca constante la presión.

Resultan comparables estos sistemas á los que provienen
de las disoluciones de ciertos vapores en los liquidos, pro-
duciéndolas de diferentes densidades, conforme á las capas
sucesivas Ó regiones distintas de su masa. Bien mirada la
disolución sólida de un gas en un sólido, resulta compues-
ta de zonas distintas que marcan los diferentes grados de
difusión del cuerpo gaseoso y se relacionan con la presión;
la superficie externa del sólido, toda en contacto del gas, re-
presenta las mayores saturaciones; mas, á partir de tal lími-
te, el gas irá penetrando en el disolvente y con el primer es-
tado coexistirán otros á cada punto más pobres de materia
disuelta y habrá una verdadera serie de disoluciones, en las
que la cantidad de materia disuelta disminuye á medida que
la zona considerada está más alejada de la superficie y su
estado depende de las presiones ejercidas. Trátase, en defi-
nitiva, de equilibrios entre sólidos y gases, sometidos á con-
diciones mecánicas determinadas, que los hacen penetrarse
mutuamente, difundiéndose uno en otro para constituir, al
cabo, una especie particular de disoluciones sólidas.

En su constitución son acaso semejantes á las líquidas di-
luídas, en cuanto al estado del sistema gas sólido, definido
con relación al exceso de disolvente; sus moléculas apare-
cen unidas en varias proporciones, conforme pueden estar-
lo las del agua y el vapor de éter á determinada presión, que
habrá, en realidad, una zona de agua etérea y otra en con-
tacto de ella, formada de vapor de éter húmedo, establecién-

+ Mos

dose entre ambas un estado de equilibrio especial en el que
las presiones permanecen estacionarias, no cambiando la
la temperatura, marcándose entonces acaso los estados de
saturación límite del líquido respecto del vapor y del vapor
respecto del líquido. Conviene esta doctrina, comprobada
con repetidos experimentos y delicadas medidas, á las diso-
luciones sólidas de los gases, limitándolas á fenómenos de
absorción y difusión de su materia en la masa de los disol-
ventes, sin que haya otro género de uniones como las carac-
terísticas de ciertos hidruros metálicos definidos, cuya fijeza
y estabilidad son funciones de la temperatura y de la presión
á las cuales son generados y constituidos.
Son de notar los fenómenos de otra especie relativos á las
disoluciones de ciertos metales sólidos en varios asimismo
sólidos, interviniendo solamente las presiones y sin el trán-
sito por el estado líquido, indispensable para lograr buen
número de disoluciones sólidas de todo género. Claro está
que tales presiones son de continuo muy considerables, su
acción es directa y depende del estado de los cuerpos some-
tidos á sus influencias. En los casos estudiados, hasta el pre-
sente poco numerosos, obsérvase la penetración real y po-
sitiva de un cuerpo en otro, siquiera sea en campo limita-
do y circunscrito; pero el hecho es indudable, desde el pun-
to que es posible formar una aleación determinada y de com-
posición normal y definida con sólo someter á presiones
grandísimas los metales que deben componerla, sin que la
temperatura del sistema experimente alteraciones, ni se al-
cance con mucho la correspondiente á la fusión de los meta-
les. Tienen parte en el fenómeno, fuera de la causa origi-
naria, la naturaleza de los cuerpos destinados á ser unidos,
su estado molecular y la masa de los mismos, es decir, lo
propio que acontece tocante á las disoluciones líquidas y só-
lidas ordinarias, siquiera en el caso presente trátese de algo
parcial y limitado; pues aun reiterando las presiones, pocas
veces se consigue la difusión total de un cuerpo en otro.

RA

o as

<=»

Fúndase el sistema de las disoluciones sólidas por presión
en ciertos métodos muy singulares de obtener latones diver-
sos: supongamos un disco de cobre y otro de cinc, perfec-
tamente iguales, muy bien pulimentados y que se adapten
sus caras, coincidiendo con la mayor exactitud posible. Co-
locados de suerte que no puedan deformarse y sometidos á
presiones extremadas, que se miden por miles de atmósferas,
y separándolos luego, para lo cual se ha menester gran es-
fuerzo, adviértese que en la superficie de contacto los meta-
les se han penetrado y ligándose formaron latón, de cuya
materia es ahora una parte de cada disco, y, así, mientras
en el de cobre se ha difundido el cinc, en el de este metal se
difundió el cobre, resultando las consiguientes disoluciones
sólidas, cuyo límite está en la superficie de separación de
los dos metales, sin que la totalidad de su masa haya parti-
cipado en el cambio molecular de tan especial manera lleva-
do á cabo.

Todavía pudo realizar pruebas análogas en otra forma el
Profesor Spring, á quien son debidos los experimentos que
relato. Reducidos á finísimas limaduras el cobre y el cinc, há-
ceseles sufrir la presión como antes, mézclanse luego de es-
tas primeras acciones y de nuevo son comprimidos; tórnanse
á pulverizar y mezclar, y repitiendo las operaciones cuantas
veces fuese necesario, según la masa de los cuerpos, se con-
sigue un límite de equilibrio, bastante lejano, en el que casi
toda hállase convertida en latón, y alcanzado, ya no es posi-
ble aumentar sus proporciones, aunque se reitere la com-
presión enérgica de la mezcla ó se prolongue durante mucho
tiempo, indicando como se trata de una reacción limitada.
Acaso este mecanismo puede enlazarse con el de la prepara-
ción del llamado par cinc cobre, de frecuente empleo en mu-
chas operaciones, cuyo fin es transformar las substancias or-
gánicas; pues semejante liga de los dichos metales practica-
da en determinadas circunstancias, constituye un agente bas-
tante activo de metamorfosis químicas, y en rigor pudiera

1

considerársele disolución sólida especial. De todas suertes,
en los dos casos citados se demuestra cómo es posible difun-
dir los metales unos en otros, llegando á combinarlos y for-
mar aleaciones definidas y estables, por la sola y directa in-
fluencia de las acciones mecánicas de enérgicas presiones, y
el hecho explica muchos cambios químicos á los que deben
su origen no pocos compuestos naturales.
Gracias al cambio efectuado en las masas metálicas de co-
bre y de cinc, es posible variar el mecanismo del fenómeno
que consideramos. Operando con cilindros de ambos cuer-
pos, que se adaptan uno á otro, haciendo coincidir sus ba-
ses pulimentadas y ejerciendo sobre ellos la misma presión
de los casos anteriores, consíguense análogos resultados: en
los dos cilindros se forma una zona constituida por latón,
pero no está perfectamente limitada; después de ella apare-
cen los metales penetrados el uno por el otro, y en cierto
espacio el cobre contiene cinc y el cinc cobre, lo mismo que
si el compuesto de ambos se hubiese disuelto en el exce-
so de cada componente, como en las aleaciones ordinarias.
Una particularidad debe ser notada en este linaje de expe-
rimentos, y es la influencia que en sus resultados tiene el es-
tado de agregación de los metales: el hecho acaece de la pro-
pia suerte cuando se trata de superficies poco extensas, como
en los discos y cilindros, ó del contacto más intenso que sig-
nifica la mezcla íntima de los metales finamente pulverizados;
pero sólo con esta última forma y reiterando las presiones es
posible la transformación casi total de la masa. Se comprende
que asi acontezca, porque en las otras formas, luego de reali-
zada la primera penetración y generada la zona del compues-
to metálico, los sucesivos contactos no son de los cuerpos di-
ferentes cinc y cobre, sino de latón con latón y se trata de un
fenómeno limitado en el que se alcanza pronto el estado de
equilibrio definitivo. Siendo los metales pulverizados y bien
mezclados, hay mayores contactos, que se renuevan antes de
repetir las acciones de la presión y es como si las superficies

ll

+ E

fueran siempre distintas y muitiplicadas, hallándose de con-
tinuo en presencia cinc y cobre en un medio variable por los
aumentos de las proporciones de latón formado y éste á su
vez hállase disuelto en el exceso de sus componentes y di-
fundido en la masa, conforme puede estarlo cualquiera Óxi-
do metálico en la de alúmina cristalizada, haciendo oficios
de materia colorante y el hecho, en su esencia, tampoco se
diferencia de la disolución sólida de ciertas aleaciones del
hierro en este mismo cuerpo, pues constituyen semejantes
fenómenos variantes bien determinadas de otro general, cu-
yas condiciones pueden cambiar á cada punto.

Haciendo la diferencia marcada por el estado físico de los
metales cinc y cobre, ensayados en los notables experimen-
tos de Spring, se entiende el mecanismo de las disoluciones
sólidas debidas á la presión, á partir de un estado inicial en
el que los dos metales son inertes uno respecto del otro. No
se alcanza de una vez el límite de las transformaciones ó'es-
tado final y hay otros equilibrios intermedios ó parciales co-
rrespondientes á disoluciones diluídas, que dependen de la
masa de los cuerpos y del valor de la fuerza que las deter-
mina.

Variando en la manera expresada las condiciones mecáni-
cas del sistema primitivo, se comprende que en cada mo-
mento hayan de encontrarse disoluciones especiales incom-
pletas y dependientes de la relación entre las proporciones
de la aleación formada y las de sus elementos, siempre en
exceso. Al igual de lo antes advertido, coexisten, en realidad,
varias disoluciones sólidas que la presión modifica aumentan-
do las cantidades de la materia disuelta, y, por lo tanto, la
concentración, en el caso de reaccionar los metales muy di-
vididos; pues de otra suerte el límite se alcanza pronto y los
cambios pasan poco de las superficies puestas en contacto y
su región es pequeña, llegando pronto al equilibrio definitivo,

- en el que predominan las cantidades de los metales, que per-

manecen inalterables ó conteniendo, á lo sumo, y en las in-

o EN

mediaciones de la aleación generada, leves proporciones de
ella difundidas en su masa.

Iníciase el fenómeno, cuando se opera con los metales muy
divididos, en toda ella, porque el contacto no está limitado á
un punto ni á una superficie; fórmase á la vez en muchos la
combinación cinc cobre; pero no su completa cantidad entra
á la vez y así van constituyéndose equilibrios parciales co-
rrespondientes á las cantidades de latón difundido en la
mezcla de los metales. Cada nueva mezcla y cada nueva pre-
sión cambia el estado del sistema, creando nuevos equilibrios,
hasta alcanzar el límite marcado por la metamorfosis íntegra
de los dos metales, y pudiera trazarse la marcha progresiva
del fenómeno, desde que se inicia, con sólo apreciar las pro-
porciones de aleación formada y disuelta, y la intensidad de
las presiones ejercidas, y los números así obtenidos sirven
para determinar el valor del tenómeno, que no es reversible y
cuyo límite está bastante alejado. Es, pues, esencial el esta-
do físico de los metales cinc y cobre para lograr unirlos y li-
garlos empleando sólo las presiones en la manera indicada, y
el caso se puede relacionar con la facilidad de obtener diso-
luciones líquidas empleando muy divididas las materias solu-
bles, ó sea multiplicando todo lo posible las superficies de
contacto, con lo cual hasta parece favorecida la solubilidad
especifica de los cuerpos, y es evidente que se alcanza más
pronto el estado de saturación para cada temperatura deter-
minada.

Ya se colige, habida cuenta de todo lo dicho, que las di-
soluciones por presión son comparables, al igual de todas
las otras, á sistemas líquidos formados de capas ó zonas de
diferentes densidades, dispuestos con arreglo al orden de las
mismas y manteniéndose por ello en equilibrio. Realmente
no se forma sólo el latón, cuya presencia advertimos en las
superficies de contacto, ni á tan limitada zona se concreta la
mutua penetración de los metales y su difusión respectiva;
se genera un compuesto metálico definido; pero en seguida

pao pp

es disuelto en sus componentes y coexisten de la propia suer-
te que están unidas las disoluciones sólidas cuyo conjunto
forma los espeis metálicos.

Juzgando con tal criterio los hechos, resulta establecida la
analogía, en cuanto á la estructura, de las disoluciones líqui-
das y sólidas, sin tener en cuenta de momento otras condi-
ciones particulares de cada una, é impórtame señalar bien
semejante circunstancia, porque sirve de fundamento y pun-
to de partida en muchos de los experimentos que he practi-
cado y cuyo relato circunstanciado va más adelante. Interesa
asimismo consignar la característica de la homogeneidad de
la masa, poniéndola como la constante de las disoluciones
sólidas, indicando también cómo los límites de las propor-
ciones relativas de sus componentes son finitos y no tardan
en alcanzarse, pero en un mismo sistema de cuerpos puede
haber varias disoluciones: las isomorfas requieren ciertas
proporciones moleculares, y conforme á sus relaciones se de-
terminan las formas de los cristales, de ordinario subordina-
das al elemento predominante; en las amorfas, objeto par-
ticular de mi estudio, sobre todo las generadas sin cambio de
estado y por la influencia de cuerpos volátiles, han de tener-
se presentes las modificaciones, permanentes ó sólo ocasiona-
les, de las propiedades de los cuerpos empleados y las nue-
vas que se manifiestan en la disolución luego de constituida,
y son características de ella y hasta cierto punto dependien-
tes de la manera de producirla. Problema de transcendencia
es, de la propia suerte, el determinar el estado que han toma-
do en la disolución sus elementos constitutivos, en particu-
lar cuando adquieren ciertas actividades ó por los mismos
preséntalas toda la masa, capaz, por ejemplo, de almacenar
energía con manitestaciones singulares de acciones químicas
reversibles.

Atribuir distintos caracteres á las disoluciones sólidas
amorfas que para ser constituídas no precisan sus elementos
cambiar de estado, sería notoria inconsecuencia, cuando todo

Rrv. Acap, CiencIas. —1V, —Enero, 190692 5

su mecanismo es igual y resultan, á la continua, agregados
cuya característica es la homogeneidad peculiar de cuantas
disoluciones se han estudiado, sea cualquiera su estado y el
primitivo de los componentes.

Los que tienen de singular algunas de ellas es el cambio de
propiedades de los agregados resultantes, respecto de las ma-
terias constituyentes. En las disoluciones isomorfas hay algo
de común entre sus términos, y aun siendo uno el predomi-
nante, la forma de los cristales, más ó menos modificada, en-
laza sus caracteres con los peculiares de los cuerpos que la
forman. También en muchas disoluciones amorfas, de las
que exigen la fusión de sus elementos, como las aleaciones
metálicas, ciertas propiedades, aun apareciendo alteradas, á
ejemplo de la fusibilidad, la dureza, la maleabilidad y la es-
tructura, consérvanse de alguna manera las peculiares de
cada metal, y casi fuera del color, no adquieren nuevas pro-
piedades, á no ser en determinados casos, entre los cuales se
cuenta la vitrificación. Por el contrario, en otras disoluciones
amorfas los cambios son más profundos y transcendentales:
se puede partir de dos cuerpos inertes respecto de ciertos
agentes; uno de ellos está en gran cantidad y se considera
disolvente; las proporciones del otro son muy exiguas; bien
mezclados solos, Ó interviniendo en ocasiones un fundente
volátil, se calientan durante tiempo variable, sin que lleguen
ni con mucho á fundirse, dejando enfriar. Con esto sólo se
forma un sistema activísimo, la inercia de los cuerpos ha
desaparecido y su disolución puede ser impresionada por la
luz ó tornarse fosforescente en el vacío, sirviendo los efluvios
eléctricos de energía excitadora, demostrándose con tales fe-
nómenos que, al difundir los cuerpos sólidos inertes en la
masa de otros que también lo sean, aparecen nuevas aptitu-
des y modificaciones de mayor cuantía de las que experi-
menta un metal fundido disolviendo otro para constituir alea-
ciones especiales, cuyos caracteres pueden ser de antemano
previstos y determinados.

2%, A

Bien se entiende como son muy variadas las formas de las
disoluciones sólidas dentro de los dos grupos de ellas que se
consideran, es á saber: isomorfas y amorfas, y lo que impor-
ta, en primer término, es el estudio de su régimen particu-
lar y de las variantes que ofrece en los casos generales, para
llegar á clasificarlas. Viene en seguida el estudiar las propie-
dades de las disoluciones sólidas, determinando sus carac-
terísticas en relación con las de los componentes, en cuyo
punto es menester tener en cuenta la manera como se ad-
quieren las nuevas propiedades; su condición de permanen-
tes Ó inestables y las causas que las hacen desaparecer; si
pueden volver á presentarse y cómo, ó si su desaparición es
absoluta, relacionándolo todo con la naturaleza y proporcio-
nes del disolvente considerando inerte y del cuerpo disuelto
tomado por materia activa, y en semejante linaje de meta-
morfosis interviene á la continua el calor, cuyas influencias
será menester dejar establecidas, relacionándolas con los es-
tados particulares de los equilibrios formados, cuyas condi-
ciones será preciso también establecer, generalizándolas
cuanto lo permitan los datos determinados.

Mas para la debida sanción de la doctrina de las disolu-
ciones sólidas, es indispensable verla aplicada en estudios
concretos, y á ello se encaminan las investigaciones y expe-
rimentos, á cuyo relato circunstanciado consagro la mayor
parte del presente trabajo.

IV.— Aplicaciones de la composición de intensidades
al cálculo gráfico de vigas rectas.

Por NICOLÁS DE UGARTE.

l

Preliminares.

Supongamos una pieza recta O X representada por su eje,
colocada sobre dos ó más apoyos, cargada con pesos apli
cados á dicho eje y por lo tanto en el mismo plano con él.
Aunque particularizado así el problema, este es el caso prác-
tico más general.

o — 2

|

)

A
2-3
Le :

|

Figura ?.?

Se nos da la línea 6 ley de carga de todos sus tramos; en-
tendiéndose por tal una línea mbdn (fig. 1.*), en que la car-
ga entre dos puntos, a y c, está representada por el área ó
cuadratura de la parte abdc comprendida entre las ordena-
das de a y c, la curva y el eje. En un punto cualquiera x de
ordenada y” se dirá que hay una carga y"dx; la carga por
unidad en este punto será esa misma dividida por dx (lon-

22

gitud diferencial que ocupa), ó sea y”, de modo que las orde-
nadas de la curva de carga, son las cargas por unidad en
cada punto. Esa ley ó línea de carga, tendrá por expresión
analítica respecto á dos ejes coordenados X é Y, una fun-
ción de x, que para mayor sencillez la supondremos de forma
explicita: y” =f” (x) (*).

Las cargas que con más frecuencia se presentan en la prác-
tica, son repartidas. Si la repartición es uniforme y constan-
te, la línea de carga estará representada gráficamente por una
recta m1” paralela al eje X y analíticamente por y” = p, sien-
do p la distancia de m'n' al eje, Ó carga por unidad. Si la re-
partición es variable de un modo uniforme, la línea de carga
será gráficamente una recta inclinada m”s; analíticamente
y” =ax->+.b. Cuando b no es cero, la carga es el conjunto
ó suma de la uniforme m“n” con la uniformemente varia-
da ms, si m” fuera el origen.

Si las cargas son concentradas en uno ó varios puntos ya
no hay línea de carga, porque ésta se reduce á puntos aisla-
dos y analíticamente pudiéramos representarlas por coorde-
nadas x é y”, siendo x la abscisa del punto de aplicación é
y” la intensidad ó magnitud del peso concentrado.

Dada la línea de carga, el cálculo gráfico de aquella pieza
(y también el analítico) se reducen principalmente á saber
determinar para cada punto: el momento de flexión, el esfuer-
zo cortante y las deformaciones.

Con estos elementos, si tratamos de proyectar, calculare-
mos las secciones y repartición más conveniente del material
que empleemos para que resista, con la holgura que nos
plazca, las cargas que ha de soportar. Si la viga está proyec-
tada Ó ejecutada y conocidas las cargas, hallaremos el modo
de trabajar el material (coeficiente de trabajo), y, por último,

(*) Esta curva ó línea de carga es, como veremos, la derivada
segunda de la de los momentos de flexión; por eso empezamos con
esa acentuación.

a

si se nos da la pieza que hemos de emplear, perfectamente
determinada, encontraremos la máxima carga que debe so-
portar.

La solución de todos estos problemas, no hay que buscar-
la fuera de la Mecánica general; ella nos dará todo, teniendo
en cuenta las fuerzas elásticas, que entran en las que podrían
llamarse condiciones ó ecuaciones de enlace del material em-
pleado.

Parece difícil, á primera vista, la introducción de dichas
fuerzas y condiciones en el cálculo gráfico, pero se hace con
relativa facilidad sabiendo construir la figura que ha de afec-
tar el eje O — X de la pieza cargada, cuando quede en equi-
librio. Esa figura es la de la curva llamada elástica, que da,
desde luego, las deformaciones principales. Precisa, pues,
ante todo, saber construir ésta.

En la mayor parte de los casos bastará con un polígono
que la envuelva y no de un gran número de lados, general-
mente serán suficientes cuatro, dos de ellos tangentes á la
curva en los apoyos. Hay veces en que se substituye la elás-
tica por otra funicular y bastan tres Ó dos lados que la en-
vuelvan, según los problemas que tratemos de resolver.

Conviene, para el objeto, sentar unos cuantos preliminares,
que aunque sencillos y conocidos, son el fundamento de esta
teoría.

A todo sistema de fuerzas, y, por lo tanto, á la carga con-
siderada que puede suponerse en equilibrio con las reaccio-
nes de los apoyos, corresponde, como sabemos, un polígo-
no de intensidades (que en el caso presente tendrá todos sus
vértices en línea recta por suponerse aquéllas paralelas), y
muchos polígonos (6 curvas) funiculares, según la situación
que demos al polo. Esos poligonos y curvas son fáciles de
trazar en la generalidad de los casos prácticos, y aun de ex-
presar analíticamente cuanto está perfectamente conocida la
linea de carga,

Ya vimos en el cálculo de intensidades que las curvas

e

funiculares pueden tomar formas muy variadas, según la ley
que rija á las intensidades. Toman la de catenarias, si las
cargas son proporcionales á las longitudes de las partes que
ocupan; la de parábolas, si lo son á la proyección de dichas

partes sobre el eje X. Afectarán, de igual modo, una forma

especial, si especial es la linea de carga y” =f” (x).
Según la teoría de líneas, la función derivada ó el llamado
dy

coeficiente diferencial (2) con relación á x, de una

dx
curva plana cualquiera, es la expresión general de la tangen-
te trigonométrica del ángulo que forma con el eje de las X
una tangente geométrica á dicha curva. Esa tangente, según
vimos en el cálculo de intensidades, es (fig. 2.*), para curvas

ares represen-
tada por AZ

==

pen?

t 0
. : m
Funicular ó curva de

Figura 2.*

funiculares de intensidades paralelas, la del ángulo que forma
con aL ó con pH (A) uno de los radios del haz p que se con-
sidera preciso para trazar la curva funicular por el procedi-

e 12

miento conocido. Esos radios, como sabemos, son paralelos
á las tangentes correspondientes de la curva (B), cuyos ele-
mentos son los lados del funicular. En Z, por ejemplo, en
que concurren, ó suponemos que concurren, dos intensida-
des paralelas, estará el vértice, que formamambas en el po-
ligono de las intensidades 20». El lado del polígono funicular,
comprendido entre las dos, será paralelo á pZ(4). Este lado
es parte de una tangente, ó sea el elemento f de contacto de
ésta con la curva funicular (B), comprendido entre dos in-
tensidades infinitamente próximas, sí éstas son en número
infinito. La expresión general de tang 6 es, como se ve por
la figura (4),

ZH A E A aH a Z
tang 6 = —= == = Le

pH pH > pH pH

Tomando p H por unidad para mayor sencillez; observando
que «AH es una constante que podemos llamar K, puesto que
es toda la carga ó suma de intensidades, desde el origen hasta
el punto de la tangente horizontal á la curva, que será para-
lela al radio pH; teniendo en cuenta que 4.Z es la suma de
intensidades, desde el origen a á un punto Z del polígono
de éstas, que corresponderá á la suma de áreas elementales
(Obx) (B), desde el origen O á un punto x sobre la viga; y,
por consiguiente, que tal suma es, como dijimos, una ver-
dadera integral / 7 y” dxó cuadratura de la línea de carga,
y” =f” (x), entre el origen O y el punto x, tendremos que

O E 7 pa a NE (dx (1)
Xx o

llamando x é y las coordenadas generales de la curva funicu-
lar referida á dos ejes OX, OY.

K= Ha es en realidad la reacción del apoyo O y w H la
del X, suponiendo la carga equilibrada por ellas y la línea de

RE

cierre la de apoyos. Por consiguiente, la expresión (1) es la
de los esfuerzos cortantes.
Diferenciando de nuevo

d? y sh e
NA

Ó bien

d?x A

d x? h h

si pH =h no es la unidad.

Prescindiendo del signo, que sólo hará variar la situación
de la curva por encima ó por debajo del eje, pero no los va-
lores absolutos, diremos que: la derivada segunda de la
curva funicular es la ordenada de la línea de carga; y la
primera la de la curva que representa los esfuerzos cor-
tantes.

Inversamente, si se nos da una ley ó línea de carga
M7 (0) Su primera mega. (dC
puede representar la ley de esfuerzos cortantes, y su segun-
da y =f y' dx C' la de los momentos de flexión.

Las integrales sucesivas de una curva dada, que tanto pa-
rentesco tienen con las de esfuerzos cortantes y funiculares Ó
curvas de momentos, etc., se obtienen fácilmente con los
aparatos llamados intégrafos (*) 6 trazadores de la primera
integral de cualquier línea dada. Si no se tiene á mano nin-
guno, se puede, por medios puramente geométricos, obtener
un polígono que la envuelva, aproximándose á ella cuanto
sea preciso. Aquellos aparatos y estas construcciones que
conducen á la integración gráfica, de que también se dió al-
guna noción en la composición de intensidades, toman hoy

(*) Abreviación de integrógrafo. Quizás pudiera encontrarse un
nombre más apropiado, pero seguiremos diciendo intégrafo, ya que
los franceses le llaman intégraphe.

A A

una importancia creciente para la resolución de variadísimos
problemas algebraicos, geométricos, mecánicos, eléctricos,
etcétera. Vamos á decir rápidamente algo respecto á la inte-
gral y al iniégrafo, por considerarlo útil á nuestro objeto.

Se nos da una curva Ocde (fig. 3.*); de ella se deduce
otra Ac” d' B tal, que una cualquiera de sus ordenadas a” c'
(multiplicada por la unidad que sirva de base á tal construc-
ción) es el área Oca O de la primera; la d” b'=área Ocdb O.
CB será, pues, el área total.

La diferencia de dos ordenadas, c”* d”, por ejemplo, será
igual al área acdb comprendida entre ellas. Si éstas estuvie-
ran infinitamente próximas, tendríamos c d' = y” dx, que
integrada entre O y x dará

PS A El yo dx.

Es, pues, la primera integral, una curva cuyas ordenadas
crecen, como crecen las áreas en la otra; es, en fin, la ley de
variación de las áreas de ésta.

Si la curva Ocde puede expresarse analíticamente por
y" =f"(x), la AB tendrá por expresión

y =/S/f"(x)dxE C,

por eso se llama su integral. Si diferenciamos ésta, tendremos
EA
ho
tangente á la AB, en un punto de abscisa x cualquiera, forma
con el eje X, lo cual quiere decir que las ordenadas de la de
abajo son las tangentes trigonométricas de los ángulos 6 co-
rrespondientes de la de arriba. Esta sencilla propiedad es el
fundamento de la construcción gráfica de la integral y de los
intégrafos.
Tomando PH igual á la unidad, y á partir de A sobre la

=f'""(x) =y'* =tang. 6, siendo 6 el ángulo que la

a Lied Vel
PA

43

m0

o

cd E

HK perpendicular á PH, trozos H1',, H2",, H3',, etcétera,
iguales á las ordenadas 11”, 22”, 33”, etc., de la curva, co-

Figura 3.*

rrespondientes á puntos del eje, dividido á partir del origen
en partes iguales, tendremos los radios P1',, P2",, P3',...

ES, ¿aa

á que deben ser paralelas las tangentes de la curva AB en
los puntos de las mismas abscisas 1, 2, 3...: esas tangentes
se detendrán en las ordenadas medias, tales como 2, 2”, de
los trapecios mixtilíneos 22” 33”, y tendremos una especie de
polígono funicular envolvente de la curva AB que buscamos.

El trabajo de trasladar á HK los valores de las ordenadas,
se evita (fig. 4.) tomando la unidad 5, 1, á la izquierda del
primer punto de la curva y dividiéndola en partes iguales,
cuatro, por ejemplo; se continúa la división por la derecha
con la misma abertura de compás, levantando las ordenadas
correspondientes á los puntos de división y las ordenadas
medias indicadas de trazos: se numeran aquéllas en sus in-
tersecciones con la curva, desde la que pasa por el origen,

Figura 4.*

Uniendo luego el punto que sobre el eje tiene el número n
con el de la curva que esté marcado n”, tendremos, por lo
dicho anteriormente, las direcciones de las tangentes de la
curva superior AB en los puntos de las abscisas 5, 6, 7...,
que con esto ya será fácil de trazar, ó por lo menos un poli-
gono que la envuelva. Se abrevia bastante haciendo las ope-
raciones en papel cuadriculado.

Digamos en cuatro palabras el fundamento del intégrafo.

El intervalo 4, 8 es lo que hemos tomado por unidad.

E

Pues bien, si tuviéramos un aparato que, reducido á líneas,
fuese el 4, 4”, 4”, que mantuviese la línea 4”, 4” siempre
normal al eje X y su proyección sobre el mismo á distancia
constante, igual á la unidad, del punto 4, que se mueve so-
bre el eje X; si tuviéramos también un estilete en 4” que re-
corriera la curva de abajo mientras otro 4” se moviese para-
lelamente á 44” trazando la de arriba, tendriamos un inté-

La curva A B, será la integral de 1" 2" 3”,

Volvamos á la figura 3. Aunque el trazado de la curva AB
es algo parecido á la construcción del polígono funicular de
un sistema, cuyas intensidades fueran las áreas de la de aba-
jo, repárese bien que no lo es, porque á partir de H no se
han puesto intensidades representantes de áreas unas después
de otras para construir la suma gráfica. Mas si repetimos la
operación con la AB ó curva integral de la Oce, entonces
obtendremos la A"B”, primera integral de AB ó segunda in-
tegral de la Oe. Esta sí que será funicular de un sistema, cuya
línea de carga sea la Oe, porque para construirla por el méto-
do anterior tendríamos que tomar á partir de un punto A”,
sobre H'K”, valores iguales á las ordenadas de AB, y como
cada una de éstas representa el área comprendida entre el
origen O y la ordenada correspondiente de la Oce, la opera-
ción será la misma que si á partir de A” tomáramos unas á
continuación de otras todas las áreas elementales (y dx) de
la Oe y estas áreas elementales formarán el sistema de inten-
sidades, cuyo polígono es H'K” Ó aw; por consiguiente, la
A'B' integral de la AB será la verdadera curva funicular del
sistema representado por la Ocde. La 4'B', por tanto, goza-
rá de todas las propiedades de que gozan tales curvas. Así,
pues, trazando por el polo P' la P'n, paralela á la recta A'B”
de cierre, nos dará el punto n, que divide la suma gráfica H'K”
en dos partes, que son las reacciones de los apoyos. Si se su-
pone equilibrada por éstas una carga representada por la
curva Ocde, nH' será la del apoyo o, tomándola en Ar, y

A

trazando por r la horizontal rr”, tendremos en el conjunto
Arr'B la ley de los esfuerzos cortantes; r'B será el valor
K'n de la otra reacción, puesto que CB es igual á la suma
gráfica H'K”; C'B' será (multiplicada, por supuesto, por la
distancia polar) el momento estático de la superficie Oe X
respecto al eje X B”, por ser la parte comprendida en él por
las tangentes extremas de la funicular A*B”; del mismo modo
el momento respecto al O 4”, será S A' comprendida en él por
las tangentes extremas A'C” y B'S. Respecto á un eje cual-
quiera, bm será la diferencia entre el momento del área que
está por la izquierda, que es nm y la que está por la derecha»
que es zm, será, pues, la magnitud nz. La vertical que pasa
por el punto £ de confluencia de las tangentes A” C”, B*S, con-
tendrá la resultante, ó lo que es igual, pasará por el centro de
gravedad de la superficie Oce. De este modo podríamos apli-
car á la curva A“B”, como funicular del sistema cuya línea de
carga es Oce, otra porción de propiedades conocidas, y sólo
recordamos, para terminar, que, supuestas las intensidades en
equilibrio, ya con una reacción sola, que pasará necesaria-
mente por el centro de gravedad, ó ya con dos, que pasen
por los apoyos, los momentos de flexión en cada punto esta-
rán representados, como sabemos, por la parte de las orde-
nadas comprendidas por los conjuntos funiculares respecti-
vos, que son los formados por la curva, y las dos tangentes
extremas A'g, B'g en el primer caso y por la curva y la lí-
nea de cierre 4" B” en el segundo.

Siá la curva AB” le aplicamos el procedimiento dicho
para obtener su primera integral, dariamos con otra, cuyas
ordenadas estarían relacionadas con los momentos de inercia
de la primera Oce y así sucesivamente. Se ve, pues, que la
integración gráfica y el intégrafo pueden ser auxiliares po-
derosos en multitud de ciencias puras y aplicadas.

Sentemos ahora una consecuencia importante para nues-
tro objeto.

Se vió en Mecánica aplicada á las construcciones, que

Ls O cu

d?y M E E
a EJ” es, con bastante aproximación, el segundo
coeficiente diferencial de la elástica. M es una función de x,
que expresa de un modo general el momento de flexión, ó
bien la suma de los momentos estáticos, respecto á un punto
cualquiera x de la viga, de todas las fuerzas que actúan so-
bre ella, comprendidas entre ese punto y uno de los apo-
yos, contando con las reacciones de éstos que equilibran
aquéllas. )

E es el coeficiente de elasticidad; / el momento de inercia
de cada sección. Identificando ese coeficiente diferencial de
segundo orden con el (9) obtenido anteriormente, tendre-

mos: ARES = ES M será f(x), habrá, pues, que to-

mar por línea de carga la de momentos de flexión y por dis-
tancia polar /h el producto El.

Con estas hipótesis la elástica resultará ser una segunda
integral de la función y” =M =f” (x) ó curva de momen-
tos, y por consiguiente será el segundo polígono ó curva fu-
nicular del sistema de intensidades que pase por los apoyos

- y cuya línea de carga sea el primer funicular de las cargas

dadas. Se comprende por lo expuesto, con cuanta facilidad
podremos trazar la elástica ó por lo menos un poligono en-
volvente, el cual, aun siendo de pocos lados, nos bastará en
la mayor parte de los casos.

II

Pieza apoyada en sus extremos y cargada entre ellos.

Veamos cómo puede sacarse partido de lo anteriormente
expuesto para el cálculo gráfico de vigas, y antes de abor-
dar el problema general de piezas sobre apoyos múltiples,
recorramos, siquiera sea rápidamente, algunos casos senci-
llos de vigas apoyadas ó empotradas, lo cual ha de servirnos

—80

para comprender mejor y marchar con soltura en el más ge-
neral mencionado.

Consideremos (fig. 5) una pieza OX de longitud cual-
quiera, l, apoyada en sus extremos, teniendo toda la carga
entre ellos. Para nuestro objeto lo mismo da que suponga-
mos cargas concentradas, que repartidas, según una ley

A
Y

Figura 5.*

cualquiera; toda la variante consistirá en que el conjunto fu-
nicular de las mismas, de donde ha de partirse para cons-
truir la elástica, sea triangular, poligonal, curvo ó mixtilí-
neo; pero tratándose de valuación de superficies, esto no
puede constituir una diferencia esencial.

El modo de llegar á esos, que llamamos, conjuntos funi-

PARE -—

A

culares, porque muchas veces no puede dárseles el nombre
de polígonos ni de curvas, nos es ya familiar en estos casos
ordinarios y por tanto ninguna dificultad se encontrará en la
determinación gráfica de reacciones, esfuerzos cortantes y
momentos de reflexión.

Quedarán sólo por determinar las deformaciones principa-
les, queriendo decir con esto que nos referimos á las varia-
ciones de ordenada en cada punto del eje, respecto á la línea
de apoyos, lo cual se obtiene por la construcción Ó trazado
de la elástica.

Concretemos más las ideas y supongamos que la carga es
uniformemente repartida, de intensidad p en cada punto y
representada por la recta pp” paralela al eje X.

La primera integral de esta línea tal como la hemos definido
anteriormente, será otra Om, en la cual la diferencia de dos
ordenadas cualesquiera, distantes entre sí la unidad Ob, es
siempre la misma é igual al área de un rectángulo Obb'p,
que representa la carga por unidad. La reacción del apoyo
O (sue en este caso es a puede tomarse en Or, y tra-
zando la paralela al eje rr”, tendremos el conjunto poligonal
Orr'moO, que será, según sabemos, la ley de esfuerzos cor-
tantes. La recta Om (6 una paralela á ella) la hubiera mar-
cado el trazador del intégrato al recorrer con el estilete la
pp”. Podría también trazarse por el procedimiento explicado
en el artículo anterior tomando por unidad Ob. Para que se
cuenten las ordenadas que representan los esfuerzos cor-
tantes á partir del eje OX, debe correrse la Om, paralela-
mente á sí misma, á la posición r, r”, que resulta en realidad
de restar de las ordenadas de aquéllas, el valor absoluto de
la reacción del apoyo O. No habría inconveniente en tomar
como ley de esfuerzos cortantes la rr”,, que se deduciría por
un razonamiento análogo, tomando como origen X.

Trazando con el intégrafo, ó por los procedimientos ex-
plicados, la primera integral de r, r”, obtendremos una pará-

Rev. Acap. Crencias.—IV.—Enero, 1906. 6

A

bola Os X, cuyo eje vertical pasará por el punto c. La corres-
pondiente á la rr”,, sería en realidad la simétrica de la Os X
por encima del eje (*). Esta curva nos dará los momentos
de flexión y conviene recordar que habrá que multiplicar,
en cada caso, sus ordenadas, por la distancia polar que sir-
vió para trazarla.

Analíticamente, la línea de carga estará representada por
y“ =p. La expresión de un elemento diferencial de la super-
ficie Opp*X=pl será dy"=p >< dx; por consiguiente, la
primera integral de la ley de carga será y'=px + C; mas
como para x=0, y'=0, también C=0; esta recta será,
pues, la Om. Trasladada, paralelamente á sí misma, á r,,r",Ó0

lo que es igual, dando á C el valor == resultará

En el caso de partir de rr”,, será

, PE
= —=px+T—.
y ¡ES S

Tomando aquélla como la derivada de una curva, cuyas
ordenadas represetamos por y,

TAM pl
dx Z

é integrada nuevamente, tendríamos

y = A o

(*) Por ser el coeficiente angular p positivo ó negativo, según la
teoría de líneas, la segunda integral volverá su concavidad hacia
las y positivas ó negativas. Para r, r', como se ve, p es positiva,
según los convenios usuales.

— A

eS ER

más para x =0 y para x = l, y =0, luego C*= 0; por tan-
to esa parábola es

x? pis qe
2 26

Da

Volvamos al cálculo gráfico y tomemos la curva Os X como
línea de carga. ;

Hallando su primera integral, tendremos, de un modo aná-
logo á lo dicho anteriormente, la ley de esfuerzos cortantes
correspondiente á dicha carga. Esa ley no necesitamos tra-
zarla en realidad, porque lo que buscamos es la segunda in-

r

tegral, esto es, la elástica Ó curva funicular de tal sistema.

Para construirla, si no queremos ó no podemos hacerlo
con un intégrafo, bastará trazar por el procedimiento de los
polígonos funiculares un polígono envolvente, tangente á la
elástica en los apoyos y en los puntos en que nos convenga
determinar la dirección de la curva Ó su ordenada con pre-
cisión.

Supongamos que quisiéramos tener la inclinación que to-
mará en los apoyos, y sus ordenadas de dos en dos unida-
des de longitud.

Para ello procuraremos substituir el área total por otras
parciales que, principiando en los apoyos, dividan al eje de
dos en dos unidades. Tendremos así el área de la parábola
descompuesta en trozos mixtilineos, que pueden tomarse
como triángulos ó trapecios para su valuación, y son los
comprendidos entre O y £, I y 11, HU y HL, HI y IV, IV y X.
Las áreas de éstos se consideran como intensidades, cuyas
líneas de acción son las /, 2, 3,4 y 5 que pasen por sus
centros de gravedad y cuyos valores sean los de esas mis-
mas áreas, divididas por una longitud a escogida á capricho.

Ya no habrá más que construir el polígono de intensida-

des 4w, con un polo P á la distancia e si puede ser, y

si no á la que convenga h (pero haciendo en las ordenadas

2 A)

la modificación que corresponda cuando tratemos de hallar
su valor efectivo), podemos trazar el polígono funicular
0, 2,3, X”, que será envolvente de la elástica y tangente
en donde principian y acaban las áreas parciales que hemos
tomado, esto es, donde corten al polígono las ordenadas
marcadas con números romanos y en los extremos, es decir,
en los puntos 0', £, £', 1”, 7 y X..

Esta curva pasará por O y X. La hemos corrido á la posi-
ción 0” X” para que se vea con claridad.

Si hubiéramos querido tener la flecha ú ordenada máxima,
bastaría dividir en dos partes el área comprendida entre //
y III por la línea media (á que corresponderá en este caso
esa ordenada), y entonces el lado medio 2” 3” del polígono
envolvente será la tangente horizontal de la curva, paralela á
la perpendicular bajada desde P sobre uu que dividirá ésta
en partes (iguales en este caso), que serán las reacciones
en los apoyos que correspondan á la línea de carga conside-
rada. En el polígono de intensidades habrá que substituir la
intensidad 3 por las componentes 2” y 3”.

Con lo dicho se comprendrá cómo pueden resolverse pro-
blemas análogos, y antes de pasar á otros casos particula-
res, hagamos un par de observaciones, que no dejarán de
ser útiles por varios conceptos:

1.* Las áreas elementales de la parábola OsX, tienen la
forma Mdx, porque las ordenadas son, como sabemos, mo-
mentos de flexión Ó momentos estáticos, que representamos
por M, éstos son productos de intensidades por distancias,
y por tanto, si para medir las primeras tomamos P por uni-
dad y para las segundas L, M será de la forma n PL; sien-
do n un número abstracto, Mdx será, pues, de la forma
a PAZ,

El es de la misma forma, es decir, que su unidad com-
puesta es también PL?, porque en efecto: E = coeficiente
de elasticidad es el cociente de fuerza por unidad de super-
ficie, por deformación por unidad de longitud, Ó sea

qe

E se A
ab TS
Ñ

el numerador, medido en sus unidades, será de la forma mPL

y el denominador m'” L*: el cociente será, pues, m” E

pero /, momento de inercia, es de la forma Q /?, superficie
multiplicada por cuadrado del radio de giro, ó bien y £?,

siendo y. un número abstracto: luego El =p PL?.
Mdx

Vemos, pues, que el numerador y denominador de

»

son homogéneos y no habrá inconveniente en medirlos con
la misma unidad, cuando llegue el caso.

2% E, como es sabido, resultará muy grande en general,
tomando el metro por unidad de longitud y el kilogramo por
la de fuerza Ó carga, y aunque / es bastante pequeño apre-
ciado con aquella unidad, de longitud, el producto aún re-
sultará considerable, casi siempre, para un dibujo hecho en
escala manejable. Así debe ser, en efecto, si nos fijamos en
que la elástica es una curva que debe separarse muy poco
del eje de la pieza Ó del eje X de coordenadas, lo cual, en
cualquier curva funicular resulta, tomando muy grande la
distancia polar. Esta, para la elástica, debe ser, como diji-
mos, El. Por tanto, dibujando esa curva (en una escala con-
veniente) tal cual es, sería dificil, por no decir imposible,
apreciar sus ordenadas con la regla y el compás. Hay, pues,
precisión de obtener una anamoórfosiís, digámoslo así, es de-
cir, una figura deformada en el sentido de las ordenadas,
siempre que conozcamos bien esa deformación.

Para ello no hay más que reducir la distancia polar, lo cual
hace el oficio de un microscopio respecto de aquellas magni-
tudes. En efecto; las verdaderas se obtienen muitiplicando las
del dibujo por la distancia polar, y si en vez de El, que es

0

a NT PIDIERA A E A a a be
o 7 tds, ' E. ee

>

muy grande, ponemos h, bastante pequeña, es claro que si
las verdaderas son V, producidas por la distancia polar El,
y las deformadas z, con la distancia h, tendremos

Wi EN=REAMN = —
¡ V

lo que demuestra, que cuanto más pequeña sea h respecto
El, más grande será z respecto á V.

La fórmula que indicará la operación que debe hacerse
para deducir las verdaderas, de las ordenadas de la figura,

Será, pues, V=2 > EE
A veces bastará, si la escala del dibujo es o hacer la
m

distancia polar h = q Entonces, las ordenadas de la
m

elástica medidas en el dibujo, son las que, efectivamente,
tomará la pieza en la realidad (*), lo cual es una comodidad
para el Ingeniero.

Si esa reducción no es suficiente, en vez de m se pondrá
2m,3 m, 10 m, etc., y entonces las ordenadas del dibujo
serán 2, 3, 10, etc., veces mayores que las efectivas.

(*) En efecto: en este caso

z.,
A
m

por consiguiente, si para pasar del dibujo á la realidad hay que mul-
tiplicar por m, las ordenadas verdaderas serán

A A II AI A EIA 3 AAA 14
oe NT AR ] Ye Pr . p E

EMBA

1

Piezas cuyos extremos rebasan los apoyos; carga entre éstos
y fuera de ellos.

Supongamos una pieza más larga que la distancia de los
apoyos, cargada entre éstos y en las partes que rebasan de
los mismos.

Para variar, supongamos las cargas concentradas en los
puntos que indica la figura 6, debiendo ser equilibradas,
como en el caso anterior, por las reacciones verticales de los
apoyos. El polígono de intensidades aw y un polo P, escogi-
do como plazca, nos darán un haz que servirá para el traza-
do del funicular n n' n” n””, y puesto que el sistema ha de
ser equilibrado por las reacciones de los apoyos, los lados
extremos serán nr y n”” r” perpendiculares (*) á Pa y Pu;
la línea de cierre será rr”. La perpendicular Pm, á ésta dará
en m, las dos reacciones: wm,, correspondiente al apoyo B,
y m,a, al A. Las partes de ordenadas comprendidas en el po-
lígono funicular completo ran" n” n” r' r serán (multiplica-
das por la distancia polar) los momentos de flexión para cada
punto. Contando como positivas las tomadas desde la línea de
cierre rr hacia el polígono, habrán de tomarse como negati-
vas las que van hacia el otro lado de aquella línea de cierre.
Si para el punto x de la viga, por ejemplo, el momento es
+ cd y consideramos positivos todos los que corresponden á
los puntos comprendidos entre a” y b”, serán negativos los
de los comprendidos entre a” y n,, b' y $.

(*) Para recoger convenientemente la figura, hemos puesto las
rectas homólogas del polígono funicular y del haz, normales, en vez
de paralelas, lo que tiene ventajas en algunas ocasiones. Ya dijimos
en la Composición de Intensidades, al tratar de las figuras recípro-
cas, que basta que las homólogas formen el mismo ángulo; pero»
como es natural, lo más empleado es el paralelismo, y luego el án-
gulo de 90".

ici

es RARA INTA y
e ca Ns bd e a
she el 74” pe ?

4

E

En a”, d' serán cero. A las ordenadas de éstos, correspon-
derán necesariamente los de inflexión de la elástica, porque

Y
Y
4
O A

Y
.

di

Figura 6.*

y ; d? y
iciente diferencial de segundo orden --=—,
su coeficiente diferenci gu Ese eS

O

pasa en ellos de positivo á negativo, debiendo por lo tanto
cambiar la concavidad de la curva en dichos puntos.

- Los esfuerzos cortantes se deducen fácilmente (no hay ne-
cesidad de tener trazada su ley gráfica) del polígono de in-
tensidades, sin más que ver lo que en éste comprenden los
dos radios del haz, que son normales á los dos del polígono
funicular que limitan el momento de flexión; lo cual es evi-
dente (téngase en cuenta la noción elemental que dimos de
esos valores en la Composición de Intensidades), puesto que
aquellos radios van á parar á los extremos de la intensidad
de la resultante que produce ese momento.

En « y b”, en que son cero los momentos de flexión, los
esfuerzos cortantes serán, por la regla dicha, m, (1 . 2), m,
(3 . 4), trozos comprendidos sobre uv, entre el radio Pm,,
perpendicular al lado de cierre rr”, y los P (1.2), P (3.4),
normales á los nn' y n” n” que pasan por a y b.

Los máximos corresponden á los apoyos A. B, en que
son mínimos los momentos, porque en ellos tienen los ma-
yores valores absolutos negativos. Los esfuerzos cortantes
que corresponden á estos puntos, generalizando la regla
dada, serán la parte comprendida sobre aw, entre el radio co-
rrespondiente al lado de cierre y los radios extremos Pax y
Pou; es decir, m,a para A y wm, para B, que son las reaccio-
nes mismas de los apoyos.

Repárese bien que estas reacciones se componen cada
cual de dos distintas: una, debida á la carga entre apoyos, y
otra, á la que rebasa de éstos. No por eso se falta á la re-
gla. En el A, por ejemplo, la ordenada corta tres lados del
funicular: el del cierre rr”, y los nr” y nr. Entre los radios de
las Pm,, P (1, 2), normales á los dos primeros, se halla la
reacción m, (1, 2) correspondiente á las cargas entre apoyos,
y entre los P (1, 2) y Pa, normales á los dos últimos, la
(1, 2) a, reacción provocada por las que rebasan de aqué-
llos. Para la aplicación de la regla basta considerar los lados
del funicular cortados por la ordenada, que comprenden las

-: 001

cargas cuya reacción queremos determinar; aquí serán: el
primero, nr, y el último ó de cierre, rr”. Sus radios homólo-
gos Pa y pm, dan sobre el polígono de intensidades la reac-
ción total m,a.

Para determinar las deformaciones, habrá que construir
la elástica 6 un polígono envolvente, del cual se deduzcan
con facilidad las particularidades que deseamos conocer.
Para ello no hay más que tomar como línea de carga el con-
junto funicular hallado, llegando al segundo funicular con el
intégrafo 6 por los procedimientos de composición expli-
cados.

La curva resultará puesta en su lugar, si se usa el aparato
dicho ó la integración gráfica, partiendo de un primer funi-
cular, cuya línea de cierre pase por los apoyos. La composi-
ción de intensidades nos da medios sencillos de hacerlo, sin
variar la distancia polar, á fin de que no cambien las magni-
tudes que representan los momentos de flexión. Bastará mo-
ver el polo P paralelamente á aw, hasta que P' m,, que ha de
ser normal al lado de cierre, lo sea á la linea de apoyos, y
principiar luego por uno de éstos, A por ejemplo, el polígono
funicular. No hay precisión, en este caso, de emplear las es-
cuadras para trazar normales al nuevo haz, porque, según
un teorema conocido (*), los lados del nuevo polígono funi-
cular se cortarán con los análogos del antiguo en una normal
á PP”, que será DD”, puesto que ha de pasar por el punto s
en que se cortan rr” y AB. Así obtendremos el nuevo con-
junto funicular Amm'*m'**m'* BA.

Ya no habrá que hacer más que dividir esta superficie en
trozos fáciles de cuadrar, escogidos convenientemente. El
segundo funicular 6 envolvente de la elástica á que llegare-
mos por intermedio de las mismas, consideradas como in-
tensidades negativas las rayadas y positivas las que no lo es-

(*) Cálculo de Intensidades, pág. 159.

tl Ds a AS a o A

>

tán, nos dará las ordenadas, ángulos, etc., que convengan
determinar.

Supongamos, por ejemplo, que se quieren conocer: las
tangentes en los extremos libres; en los apoyos; en los pun-
tos de inflexión; la ordenada, que corresponde al momento
máximo de flexión ó del punto £; y la del punto f. Pues
bien; dividiremos el conjunto funicular en los trozos siguien-
tes, llevándolos en el mismo orden al polígono de intensida-
des: dos superficies ó intensidades negativas, m A A”, A "Ad;
tres positivas a" fm”, fm" m” g, g m'* b”, y otras dos nega-
tivas, b"B,B"y BB'm””.

Tomaremos para ello, como resultantes parciales, rectas
verticales que, pasando por los centros de gravedad de estas
superficies, tengan una longitud proporcional á la que repre-
sentan.

El polígono funicular de este sistema, obligado á pasar
por A y B con sus lados segundo y anteúltimo (sin contar
con el de cierre), daría cuanto pedimos, porque, como de-
mostramos en el cálculo de intensidades, sus lados serán
tangentes á la elástica Ó curva funicular en donde principian
y ataban las superficies parciales, ó sean en los puntos de
la curva proyectados en n,,4,a',f,2,b",B,S, con lo cual
tendremos cuanto se nos pide.

No ejecutamos las operaciones por no embrollar la figura;
podrán ser más ó menos pesadas, pero se comprende que
no tienen dificultad; por lo demás, no nos faltará ocasión de
llevar á cabo operaciones análogas con motivo de otros
ejemplos.

Hagamos aquí una observación que no deja de tener im-
portancia.

Si la viga terminara en los puntos A y B, como apoyada
en éstos y cargada sólo con los pesos 2 y 3 existentes entre
ellos, el origen del polígono de intensidades sería (1, 2) y el
fin (3, 4); y si lo suponemos equilibrados con las reacciones
de los apoyos, la línea de cierre del polígono será A” B”.

o a

Las reacciones serían las partes en que quedaría dividida
la suma (1,2) (3,4) por una perpendicular tirada por
P" 4 A” B”. Los momentos de flexión en cada punto, todos
del mismo signo, estarían dados por las ordenadas compren-
didas en el polígono funicular cerrado A" mm" B' A”.

Al restablecer las cosas y suponer existentes en los apoyos,
momentos de signo contrario, cuyos valores son A A”, BB”,
el polígono de los momentos de flexión entre los apoyos, es
el A4'm'm'” B"BA, el cual da los mismos resultados que
si hubiéramos restado del anterior las ordenadas del trapecio
AA'B'"B, 6 lo que es igual, la suma de las ordenadas co-
rrespondientes á los triángulos que forman ese trapecio
AA TB", yBB'A.

En vez de las ordenadas del triángulo A A” B”, pueden
substituirse las del A 4” B, de igual base y altura. Resulta,
pues, de lo dicho, que si hay momentos en los apoyos, como
el A4'en A y el BB' en B, su influencia alcanza á todo el
tramo, disminuyendo uniformemente hasta reducirse á cero
en el otro; ó bien, que cuando una viga (pase ó no de los
apoyos) tenga por cualquier concepto, momentos positivos ó
negativos en éstos, puede considerarse como cortada en los
mismos, y una vez determinado con esta hipótesis los de
flexión, los verdaderos se obtendrán, en general, sumando
Ó restando en cada punto las ordenadas del trapecio (ó del
triángulo si es cero uno de ellos) que resulta uniendo los ex-
tremos de los dos momentos tomados en las verticales de los
apoyos.

También en las partes que rebasan de éstos, en el caso
explicado, partes que pueden considerarse como empotra-
das en ellos, se observa que la influencia en los apoyos dis-
minuye uniformemente hasta ser cero en los extremos n, y S,
porque, como se ve en la figura 6.*, las leyes de tales momen-
tos están cifradas en los triángulos A A" m y BB'm” ó en
sus equivalentes A An, y BB" S, que comprueba lo an-
terior.

MEN 0 PA

IV

Un teorema importante.

Con lo dicho en la observación precedente, podríamos
considerar demostrado el teorema que sigue:

Cuando en uno ó en los dos apoyos son diferentes de cero
los momentos, el de flexión efectivo en cualquier punto
del tramo es la suma algebraica de las ordenadas represen-
tativas de los momentos, que corresponderían si estuviera
simplemente apoyado, y las de la recta, que une los extremos
de las que representan los de flexión, en los apoyos.

El conjunto funicular para este caso es el comprendido
entre esa recta (línea de cierre) y la curva (6 polígono) de
momentos, que pasa por los apoyos, correspondiente al tra-
mo cortado, puestas aquélla y ésta del mismo lado del eje
de la viga.

Este teorema tiene mucha utilidad y aplicación en el cálculo
gráfico; por lo mismo vamos á demostrarlo analíticamente
de un modo general, sin acudir á otros conocimientos que á
los preliminares sentados en los artículos anteriores.

Hagamos antes algunas consideraciones.

De un modo parecido, no enteramente igual, á lo que se
verifica en una romana en equilibrio respecto á su punto de
suspensión, las acciones y cargas de un lado y otro del apo-
yo, dan sobre éste un contingente distinto, cuya suma será
la carga total, que se equilibra con la reacción total de
aquél, siendo el valor de ésta el esfuerzo cortante de la viga
en ese punto. En el mismo habrá igualdad de momentos de
las acciones de uno y otro lado; ese momento será el de
flexión en el apoyo.

Para el equilibrio de cada tramo, habrá que contar: con
las cargas (fuerzas exteriores) que sobre él actúan; con las
reacciones parciales, que provocan sobre los apoyos; y por

perO, UA

último, con los pares á que equivalen los momentos existen-
tes en los mismos por causa del enlace de los tramos.

No se olvide que estos pares, en Mecánica, pueden trasla-
darse paralelamente á sí mismos donde convenga, ó lo que
aquí nos interesa, que sus dos fuerzas dan siempre la misma
suma de momentos respecto á cualquier punto de su plano.

Tomando el apoyo A (fig. 7) como origen, el momento de
flexión, para cualquier punto n distante x de A, será, como
sabemos, la suma de los momentos estáticos de todas las
fuerzas existentes entre el apoyo dicho y el punto n ó entre
éste y el otro apoyo B.

»)

Do

n'

Figura 7.*

Ciñámonos á lo primero; llamemos y el momento general
de flexión en cualquier punto n. Ese momento, según lo ex-
puesto, constará en general de tres sumandos: 1.”, la suma
de momentos de las cargas y fuerzas exteriores que actúen
entre Á y n, será una función de x que podremos represen-
tar por f(x); 2.”, el momento de una fuerza constante C, re-
acción parcial del apoyo A, que será Cx, y por último, 3.”,
la acción constante C” del par que produce el momento de
flexión en el apoyo; tendremos, pues, y =f(x) + Cx +C”.

Los signos de estos momentos dependen de los convenios.
Cada autor tiene los suyos, pero en nuestro concepto, lo
más conveniente sería seguir el que se estableció en Mecáni-
ca general, esto es: suponiendo como centro de giro el pun-

pa Y GOO

to respecto al cual se trata de hallar el momento de flexión,
tomar como positivos los de las fuerzas que tiendan á pro-
ducir en sus puntos de aplicación un giro análogo al de las
agujas de un reloj, y negativos los opuestos. Aquí, por con-
siguiente, si las fuerzas son pesos, éstos producirían respec-
to al punto n momentos negativos, y la reacción del punto A
un momento positivo. Lo contrario sucederá con las cargas y
reacción de la parte de la derecha respecto al punto n. Esto
no quita para que se inviertan los signos cuando convenga,
pero con esa regla se podrán hacer antitéticos en la misma
fórmula los de las fuerzas que tienden á producir giros
opuestos, á menos que no se consideren implícitos, como lo
hemos hecho en la ecuación anterior.

A la misma fórmula general del momento de flexión, s>
llega fácilmente por la marcha ordinaria de integración, sen-
tada en los preliminares. Lo vamos á repetir aquí para que
se vea bien claro que esas constantes C y C”, no son otras
que las que provienen de dos integraciones sucesivas, patr-
tiendo de la ley de carga.

Sea AB un tramo de viga, cargada según una ley cual-
quiera y” = f” (x) (que no figuramos). La ley de esfuerzos
cortantes será y" = f" (x) + C, proviniendo esta expresión
de hallar la primitiva de la función anterior, considerada como
derivada, ó de integrarla, suponiendo que f(x) es igual
al coeficiente diferencial => Gráficamente, se llega con fa-
cilidad, partiendo de la ley de carga, á lo que hemos llama-
do su integral (véase el art. 1.”), que después de hallada,
habrá de correrse paralelamente á sí misma hasta que la or-
denada en su origen tenga el valor C, y así se obtiene, como
dijimos, la ley de esfuerzos cortantes. Siendo, por consi-
guiente, C el esfuerzo cortante parcial en el origen ó el va-
lor de y” para x =o0. Volviendo á hacer operaciones análo-
gas con ésta, llegaremos, por nueva integración, á la expre-
sión y =f(x)+Cx+C', siendo f(x) + Cx la integral

OB

de E -= y”, cuando la constante es cero, ó la ley de los
momentos de flexión, que habrá de correrse también hasta
que en su origen resulte para x = 0, y = C”, que es el mo-
mento en el origen ó constante que particulariza esa integral.

Ya fácil sería darse cuenta de lo que son los tres términos
del segundo miembro del valor de y, aunque no hubiéramos
hecho las aclaraciones primeras, recordando solamente lo
expuesto en los preliminares del art. 1.” Se verá, en efecto,
que y =f (x), así sola, sin constantes Ó con éstas igual á
cero, será gráficamente la ley de los momentos estáticos, res-
pecto á un punto cualquiera del eje de las x, de las áreas
comprendidas en la ley de carga y” = f”(x), entre el origen
y el punto considerado. Ese momento no es otra cosa que

la suma de los de las cargas comprendidas entre los mismos.

puntos en el tramo. Cx es, como antes, el momento, respec-
to al punto de que se trata, del esfuerzo cortante ó reacción
que por este tramo correspofide en el origen, y C” el mo-
mento de flexión en el mismo origen.

Llamando y.,, el momento general de flexión en un punto
cualquiera 1, 4, y Y serán los que correspondan á los apo-
yos A, B. Sea M,, P el momento, respecto al punto n, de una
carga P; *”, M,, P la suma de momentos, respecto á ese mis-

mo punto, de todas las cargas comprendidas entre A y n. La
ecuación general de momentos arriba puesta, transformada
con estas representaciones simbólicas, será:

tn = Y MP. HCx+HPa (1).

En cada término, como dijimos, están implícitos los signos
que le corresponden. Partiendo de esta expresión, vamos
ahora á demostrar el teorema.

Siendo la fórmula (1) general, tendremos que para x =0
dará p., = y, momento en el apoyo que sirve de origen;

a

Bole, > y A

haciendo x = Í, y, se convertirá en el que corresponda al
B

apoyo B. Tendremos, pues, y, =*Y, M, P + C!l+ y,, de

aquí

ARE | 25 Mz P
l l

El último término de esta expresión, ó bien, esa suma de
momentos de las cargas respecto al apoyo B dividido por la
luz del tramo, es, como sabemos, el valor absoluto de la
reacción que, por tales cargas, correspondería al apoyo A
si el tramo estuviera cortado Ó apoyado simplemente. Si le
llamamos R y substituímos el valor de C en (1), tendremos

LM ye Po val
pa = EMP 2 Ra O

El primero y tercer términos del segundo miembro de esta
ecuación forman evidentemente el momento de flexión que
tendría la viga en el punto n si el tramo estuviera cortado,
cuya ley Ó curva de momentos hemos representado en la
figura por la An'B; llamémosla M, y entonces la (2), que
representa el momento general, puede escribirse así:

a |
a (E ru, =M-Y

haciendo

E OE Y

lo que demuestra el teorema, porque se ve, que para obte-
ner el momento general de flexión respecto á un punto cual-
quiera, hay que, como dice el enunciado, restar de la orde-

Rev. Acap. Crencias.—IV.—Enero, 1906 7

08 —

nada que representa el momento de flexión M cuando el tra-
mo está cortado, la ordenada correspondiente de una recta

Ó sea de la A, B, que pasa por los puntos

GER EN
vie mn ra

que son las coordenadas de los puntos A, B,, extremos de
los momentos de flexión en los apoyos, puestos del lado de
la curva que representa M, porque si las ordenadas de esta
curva son los de las cargas y los tomamos hacia abajo, los
de las reacciones serán de signo contrario y deben represen-
tarse por AA' y BB' hacia arriba, y para ponerlos del lado
de la curva hay que cambiarlos de signo.

El conjunto funicular, que nos dará por sus ordenadas el
momento de cualquier punto, será el 44, B, Bn'A. Para un
punto n cualquiera, estará representado por n“n”. Contando
las ordenadas, á partir de la línea de cierre A, B,, los mo-
mentos de la parte clara de la figura tendrán un signo, los de
la parte rayada el opuesto. Para los puntos a b, el momento
de flexión es nulo.

Si uno de los momentos de los apoyos se reduce á cero, el
trapecio A A, B, B se convertirá en triángulo, que será el
AA,B, si es el del apoyo B el que se anula, ó el BB, A,
si es nulo el de A. De consiguiente, se ve que la influencia
del momento de un apoyo alcanza hasta el otro, decreciendo
de un modo uniforme, hasta anularse. Cuando los dos son
cero, queda la recta AB como linea de cierre, y es el caso
de tramo apoyado en A y B.

En un tramo descargado podría ocurrir el caso especial de

AA A 2 a

00

existir en el apoyo Á el momento A, A, y en Botro, B B”, de
signo opuesto. Entonces la ley de momentos sería la recta
A, B' (que no está marcada), contándose aquéllos, á partir
de A, B”. El punto de intersección de la viga con ésta será de
momento nulo y de inflexión para la misma. Se comprende,
pues, que también se verifica el teorema para este caso par-
ticular.

V. — Las terminaciones nerviosas sensitivas en las
ventosas del pulpo común.

POR J. MADRID MORENO

En un reciente trabajo, publicado en esta REVISTA (*), tra-
té de las terminaciones nerviosas motrices en las ventosas
del pulpo común, indicando al propio tiempo el procedi-
miento técnico de que me había servido para 'su estudio, el
cual ha permitido después adquirir nuevos detalles acerca
del sistema nervioso periférico en algunos tipos de Cefa-
lópodos, obteniendo también excelentes resultados. El pro-
cedimiento técnico no ha sido otro que el empleo de las so-
luciones acuosas á 1 por 100 de lactato de plata, en las que
se coloca un tubo de bromuro de radio de 3.000 actividades,
durante un tiempo variable de dos ó tres días y revelación
subsiguiente con el ácido pirogálico y formol, haciendo la
inclusión en celoidina y aclarando los cortes con creosota,
cuyos detalles operatorios ya mencioné detenidamente en la
citada publicación. Si con las sales de plata se obtienen pre-
paraciones muy interesantes de neurofibrillas, no es menos
cierto, en lo que al presente caso se refiere, que el lactato

(*) Las terminaciones nerviosas en las ventosas de algunos Cefa-
lópodos, t. 1, núm. 3, 1905.

— 100 —

lleva, hasta ahora, una gran ventaja al nitrato en la confec-
ción de preparaciones de tejidos procedentes de animales
marinos. Las diferentes preparaciones hechas con nitrato en
las ventosas de aquellos animales, no han dado resultado
satisfactorio, no habiendo podido observar la riqueza de ple-
xos nerviosos como con el empleo de lactato.

Así, pues, para la confección de este trabajo me he servi-
do de ejemplares fragmentados, fijados en alcohol ordina-
rio y procedentes de la Estación de biología marina de San-
tander, los cuales, una vez en mi poder, separaba la parte
objeto de mis investigaciones, colocándola en alcohol abso-
luto y cambiando el líquido diferentes veces hasta obtener
una deshidratación lo más completa que fuera posible. Más
tarde es cuando han sido sometidas aquéllas á la acción de
la sal argéntica, no perjudicando para nada la permanencia
prolongada en el alcohol absoluto. Aun cuando las impreg-
naciones que da la plata sirven para estudiar la estructura
histológica, además de otros elementos, que no sean los del
tejido nervioso, sin embargo conviene hacer preparaciones
por otros métodos, empleando las dobles coloraciones de
hematoxilina y eosina, el azul polícromo y el carmalumbre,
lo que permite, no sólo orientarse mejor en su topografía,
sino también adquirir detalles que, si por un procedimiento
no se observan ó pasan desapercibidos, en cambio otro los
pone con más claridad en evidencia, completando de este
modo el conocimiento que haya de tenerse del asunto.

Deteniéndonos en la estructura histológica de la ventosa,
observaremos que la copa de la cavidad superior ó infundí-
bulum (tig. 1.*) está constituída por una fila de células epite-
liales, que tapizan interiormente, no sólo aquella cavidad,
sino la inferior 6 acetabular. Con objetivos de fuerte aumento
notaremos que estas células, por grupos, están recubiertas
por una cúpula ó dentículo, resultando que cada uno de éstos
contiene tres, cuatro ó seis células. Dicha cubierta protectora
no se colorea con los reactivos ya citados, si acaso muy li-

sundud?)

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b

— 101 —

geramente con la eosina, lo que permite suponer que pertene-
ce su naturaleza histológica á la de las cutículas. Resulta,
pues, que con dichos dentículos, abriendo ó extendiendo el
animal la copa superior, puede adherirse fuertemente á los
objetos. Dichos dentículos suelen estar más desarrollados 6
pronunciados en el borde ó anillo superior de la ventosa, en
el del orificio del esfínter, y en el fondo de la cavidad aceta-
bular. El estrato de células epiteliales está separado de los
músculos por una escasa cantidad de tejido conjuntivo. En
un corte sagital que practiquemos en la ventosa, observare-
mos más claramente estos detalles, reproducidos en dicha
figura, notando que el infundíbulum está formado, además,
por masas musculares cuyas fibras lisas, provistas de núcleo
alargado, corren en grupos Ó bandas longitudinalmente. De
trecho en trecho se observan también otras masas muscula-
res ovaladas, pero cortadas á través, las cuales, como otros
tantos anillos superpuestos, circundan la ventosa en su re--
gión superior. Todavía se notan fibras musculares meridia-
nas, que van desde el borde superior ó libre hasta la unión
con la región acetabular, pero situadas en la parte exterior
de la copa, al unirse ésta con el tejido conjuntivo. Clara y
distintamente se observa en las preparaciones, que el infun-
díbulo está separado de su parte inferior por un robusto haz
muscular situado en el borde del esfínter y que en la figura
aparece cortado transversalmente. La región acetabular está
constituida también por fibras lisas, que irradian á partir de
la cavidad, no observándose los paquetes musculares anula-
res descritos en la parte superior. Sin embargo, se nota que
corren también periféricamente fibras musculares meridianas.
Del borde de la ventosa parte la piel que envuelve todo el
tentáculo, existiendo todavía entre aquélla y ésta otras masas
Ó paquetes musculares longitudinales y transversales y tejido
conjuntivo. Como se ve, todo este complicado mecanismo
muscular, es necesario para el juego que tiene que ejecutar
la ventosa.

— 102 —

La mitad derecha de la figura 1.* representa un haz de fi-
brillas nerviosas, que arrancando de una de las raíces latera-
les de la cadena ganglionar, pasa por entre los tejidos con-
juntivo y muscular hasta llegar al sitio donde se juntan la ca-
vidad superior con la inferior de la ventosa. Este haz fibrilar
envía á su vez dos ramas, cada una de las cuales va á dis-
tribuirse respectivamente á las cavidades ya dichas. Exami-
nando las preparaciones obtenidas con el lactato, puede ob-
servarse el curso y distribución que llevan las neurofibrillas,
corriendo paralelamente por entre los músculos meridianos,
separándose y formando ángulos rectos para ascender por
entre los músculos transversales, recorrido y distribución que
cada vez se verifica con más finura y delicadeza hasta llegar á
la capa de células epiteliales que cobijan los dentículos. Estas
fibras nerviosas vienen á terminar libremente, recordando su
distribución y terminación á las de la córnea en los vertebra-
dos. Este hecho vienen á corroborarlo preparaciones, las cua-
les han sido confeccionadas con cortes obtenidos tangencial-
mente del infundíbulo de la ventosa, como se representa en
la figura 2.* Tanto en unos cortes como en otros, pueden ob-
servarse diferentes plexos neurofibrilares que como mallas ó
retículos están superpuestos en las dos cavidades que consti-
tuyen la ventosa, hasta que sus finísimas fibras vienen á termi-
nar en el epitelio. Existen, por tanto, en las ventosas del pul-
po común dos clases de terminaciones, motrices y sensitivas,
cuyo origen reside en la cadena ganglionar que corre á lo
largo del tentáculo y cuya estructura histológica será objeto
de otro trabajo, del que estoy ocupándome en la actualidad.

Corte langencial del infundibulo de la ventosa
Inpregnacion con el laclalo de plata - Dibujo a la camara clara

Rev. dead

Vlencuas

PS 7"

VI. — Las nuevas doctrinas científicas.
(Con motivo de una reciente publicación).

Por RAMÓN LLORD Y GAMBOA

Inspira el presente estudio el trabajo que, acerca de /a
materia, su nacimiento, su vida, su fin, ha publicado el
Profesor de Física experimental de la Universidad de Lieja,
P. de Heen.

Rindiendo justo testimonio de admiración á sus investiga-
ciones, pretendo dar á conocer sus ideas trascendentales
sobre la materia, los átomos, el éter, el concepto del ión
como signo universal originario de todas las formas conoci-
das de la energía, creyendo reportar algún beneficio á cuan-
tos se consagran á semejantes estudios.

Sólo me he permitido hacer ciertos comentarios, interca-
lando observaciones propias, para dar al conjunto determina-
da cohesión, tratando de preferencia lo relativo al gran con-
cepto de la unidad de la materia, de nuevo establecido ahora,
apoyado seriamente en trabajos é investigaciones dispersos
en varias partes de la Memoria citada.

Unidad de la materia.

Desde la aparición de la hipótesis de Prout, expresiva
de la idea filosófica, ya muy antigua, de la existencia de la
materia única, cuyas condensaciones sucesivas originaran
todos los aspectos y apariencias de la realidad universal,
es lo cierto que nada positivo se ha podido añadir hasta hoy
respecto de esta doctrina, y que la multiplicidad de substan-
cias, representadas por los cuerpos simples, todavía pre-

ic Y

senta infranqueable obstáculo á la realización de los más
hermosos ideales de los hombres pensadores.

En esta difícil cuestión de la unidad de la materia, los fí-
sicos han sido, quizá, más unicistas que los químicos, desde
que la doctrina del éter es sola y exclusiva en cuanto atañe
á la representación simbólica de los fenómenos sometidos á
su estudio.

En todos los órdenes de conocimientos humanos, es un
hecho histórico repetido ver cumplido, más ó menos pronto,
un pensamiento iniciado á veces en las primeras civilizacio-
nes. Así, la teoría atómica, presentida por Leucipo, Demó-
crito y Epicuro, verdaderos iniciadores de la teoría corpus-
cular del mundo; así también la idea del calor central del
globo, formulada por Platón al crear su Pyriphlegethon (*),
idea cuya evolución progresiva convirtióla en una de las más
sólidas bases de nuestros conocimientos referentes á la
constitución de la tierra, y, en general, de todos los cuerpos
celestes. :

Al aparecer la teoría atómica, imaginada por Dalton, de
modo más científico y concordante con los hechos observa-
dos, generalizando felizmente sus estudios sobre las relacio-
nes atómicas de ciertos gases, como el de los pantanos com-
parado con el oleífico y del óxido de carbono con el anhídrido
carbónico, es evidente el progreso realizado en la Química

(*) Pyriphlegethon. — Río de fuego subterráneo descrito en el
Phoedon de Platón. «Este río, decía el filósofo, se vierte en un
espacio inmenso lleno de fuego ardiente y activo, formando allí un
lago mayor que nuestro mar, en cuyo lago el agua y el fango es- |
tán constantemente en ebullición, y sale en seguida de aquel espa-
cio, describiendo con sus turbias y fangosas aguas un círculo alre-
dedor de la Tierra. De este río se escapan algunas porciones hacia
arriba, y forman torrentes de fuego, que aparecen en algunos lugares
de la Tierra... »

No puede expresarse mejor en aquella remota época toda la teo-
ría moderna del volcanismo. (Cosmos de A. de Humboldt, t. 1, nota
de la pág. 415.)

a

— 105 --

que, sin esta teoría de simbolismos, difícilmente hubiera po-
dido desenvolver su inmenso campo orgánico y biológico,

“reducido probablemente á rudimentaria y estéril labor, hecha

fecundisima por el ambiente, vital para ella, de la teoría de
los átomos.

Si fué fecunda en los anales de la Química semejante teo-
ría, es asimismo evidente la tendencia del espíritu humano
á la unidad, y la tentativa de Prout pone bien de relieve la
necesidad sentida de subordinar todas las apariencias de la
realidad, á la realidad misma de una sola y universal subs-
tancia, generadora de cuantos fenómenos puedan cumplirse
en el tiempo y en el espacio indefinidos.

A nadie puede ocultarse la dificultad de crear un sistema,
teoría ó doctrina que, en el estado presente de las ciencias,
pueda formular verosímilmente el enlace sucesivo y recípro-
co de los fenómenos naturales, físicos y químicos, en cadena
de lógicos y sencillos eslabones. Difícil empresa y destinada
á los espíritus elevados, día llegará, acaso, en el cual se
alcancen los superiores ideales científicos; y desde este mo-
mento no habrá cuerpos simples, distintos unos de otros; no
habrá materias, cuya personalidad resista á todos los medios
analíticos; la transformación de la materia y de la energía,
será una sola ley comprensiva del Universo, y la obra de la
Ciencia habrá coronado su grandioso edificio.

Nuevo concepto del átomo.

Definido el átomo químico como la masa ó cantidad de
materia, invariable en las reacciones químicas; imaginado,
desde Dalton, como pequeñísima esfera de elasticidad per-
fecta, centro á donde convergen y de donde emanan todas
las energías determinantes de la combinación; haciendo Si-
nónimas las palabras volumen y átomo, después de ver la
relación sencilla, proporcional y combinatoria de los volúme-
nes en los gases, las propiedades de éstos, bien definidas en

06 E

su mecánica ó teoría cinética; los numerosos trabajos refe-
rentes á los pesos atómicos, dando por resultado la aproxi-
mación á múltiplos enteros del hidrógeno tomado por unidad;
todo esto ha obligado á conservar en la Química tantos cuer-
pos simples como átomos diferentes entre sí conocemos, do-
tados cada uno de un peso particular, constante.

La masa atómica, indivisible é invariable dentro del círcu-
lo del fenómeno químico, deja de ser tan absoluta cuando
salimos fuera de aquel círculo para investigar lo que sucede
en otros Órdenes de fenómenos muy relacionados con los
atómicos.

La sola razón dice, que si la substancia etérea llena los es-
pacios del Universo, y esta substancia está formada por al-
guna cosa de indole material, fuente constante de toda clase
de energías, es lógico buscar la relación entre el átomo ma-
tería y el éter fuerza, no como relación de dos ideas límites,
irreductibles y aisladas entre sí, sino como apariencias de
una sola cosa, matriz universal de todos los actos físicos y
químicos.

Admitida la existencia del éter como flúido supramaterial
y por tanto imponderable, la lógica obliga á subordinar á
esta substancia todos los demás estados materiales, que no
deben ser más que apariencias transitorias de tal fluído. Con
sólo admitir esto, el átomo deja de ser irreductible en la Me-
cánica racional físicoquímica, aun cuando siga siéndolo en
nuestros laboratorios. El átomo consta de partes integrantes
de su masa, partes constituyentes de importancia extraordi-
naria en el cumplimiento de fenómenos nuevos estudiados
en estos últimos tiempos.

Sin necesidad de acudir á los ejemplos del profesor P. de
Heen, para demostrar la existencia del éter (*) y de la ma-

(*) Un ciego de nacimiento que recibiera algunos bastonazos,
será inducido á asegurar que el bastón existe. Un individuo con el
sentido de la vista perfecto, obligado á mirar al sol, sufrirá á los

mA
ho
s,

»

— 107 —

teria (*), es lo cierto «que no podemos darnos cuenta de la
existencia de esta última ó de una substancia cualquiera,
sino por un estado del movimiento, ya del objeto, ya del ob-
servador, según dice Ostwald en uno de sus dicursos » (**),

Considerando el estado actual de los conocimientos físico-
químicos, es á todas luces evidente la necesidad de una teo-
ría muy general y comprensiva que tienda á unir hechos dis-
persos observados, tanto en el campo físico como en el quí-
mico, teoría que, no oponiéndose á lo conocido, explique lo
desconocido y trate de encerrar todos los fenómenos en una
sola rúbrica, satisfaciendo las justas aspiraciones hacia la
unidad.

Esto es precisamente lo que significa el laudable esfuerzo
del Profesor de Física experimental de la Universidad de Lie-
ja, P. de Heen, en su notable Memoria acerca de la Materia,
que, muy en extracto, daré á conocer.

Resultado de razonamientos, confirmados en parte por la
experiencia, el nuevo concepto del átomo, tal como lo ex-
pone el Profesor citado, es una consecuencia de la idea
del ¿on.

pocos momentos un dolor (hiperestesia retiniana) que le hará decir
que ha recibido un golpe de éter (ó palabra análoga), é inducirá que
esa cosa existe. El golpe de éter se llama /uz.

(*) Un cilindro de tela abierto por sus extremos es colocado
verticalmente á cierta distancia de una mesa sobre la que hay, de-
bajo del cilindro, un polvo fino y ligero. Si suponemos que el polvo
gira como un torbellino, el observador admitirá la existencia de un
fiúido interpuesto entre el cilindro y el polvo, cuyo flúido determina
el arrastre, y además deducirá que si el flúido penetra por la parte
superior del cilindro debe existir en el interior de éste un objeto ocul-
to por la tela, animado de un movimiento giratorio ó presentando
una forma especial. Si se reemplaza el cilindro por un imán y el pol-
vo por un rayo catódico, se deducirá la existencia de un flúido lla-
mado éter y la del objeto oculto, demasiado pequeño para ser visto,
que se llama molécula (experimento de Broca).

(**) P. de Heen: La matiére: sa naissance, sa vie, sa fin. Bruxe-
lles, 1905.

dee as

Doctrina universal del ion.

El ¿on puede representarse como un sistema girostático, as-
pirante é impelente, actuando sobre el flúido éter. El autor hace
abstracción de toda hipótesis acerca de su naturaleza íntima.

Aun cuando es posible concebir tal sistema de varias ma-
neras, la más simple consiste en atribuirle la forma de un
hilo elástico contorneado en hélice, que, animada de movi-
miento giratorio alrededor de su eje, determina la aspiración
y la repulsión: la primera, ó depresión, corresponde á la po-
laridad negativa; la segunda, Ó sea la presión, corresponde
á la polaridad positiva.

Suponiendo cónico el trazado de la hélice en el espacio,
manifestará la tendencia á una aspiración por la base y una
repulsión hacia el vértice. Este mecanismo del fenómeno eléc-
trico, en su más sencilla expresión, lo completa valiéndose
de figuras explicativas de las acciones de influencia electros-
tática y de la inducción también electrostática, según que los
iones estén dispuestos en una superficie (influencia), Ó se
trasladen por el espacio etéreo como en las puntas y en las
substancias iodinámicas, originando la corriente de éter (in-
ducción). A la acción que tiende á mover el flúido en un sen-
tido determinado por efecto del torbellino helicoidal, acom-
paña la reacción que tiende á dirigir el ¿on, en sentido con-
trario.

Lo anterior ha sido demostrado experimentalmente por el
Prof. de Heen, valiéndose del aparato descrito en su trabajo.

Propuesto el signo representativo del ¿on, del modo si-
guiente:

— 109 —

para mayor simplicidad, resulta dotado de las siguientes pro-
piedades:

1.* Si la tensión eléctrica aumenta, el ángulo « disminu-
ye, acentuándose la velocidad del movimiento giratorio y de
propulsión. :

2. Si dos ¡ones se encuentran situados en una misma di-
rección, en estado de reposo relativo, con relación al con-
junto de la masa flúida éter, el movimiento giratorio se trans-
mite de uno á otro, de donde resulta deformación y orienta-
ción de los elementos. La fuerza de orientación corresponde-
ría al fenómeno de la influencia, que implica la acción atrac-
tiva de los polos de nombres contrarios, y la repulsiva de los
polos del mismo nombre. ?

3. Cuando un ¿on está en movimiento relativo respecto
del éter ambiente, se efectúa el fenómeno inverso; al aproxi-
marse á otro fon, determina una polaridad de igual nombre:
es el fenómeno de la inducción electrostática.

El ¡on se genera de la substancia universal supraetérea,
que parece admitir el Profesor de Heen como originaria de
cuanto existe: eterna é infinita y cuya energía total es cons-
tante. De esta substancia supramaterial, relacionada con el
estado caótico, originanse con el ¿on, las especies químicas
simples, al generarse el átomo que las da existencia material,
de donde resulta que estos ¿tomos químicos nacen, viven y
mueren, como también nacen, viven y mueren las especies
químicas engendradas por ellos.

No parecen ser pura fantasía cientifica estas elevadas ideas
sobre la constitución y subordinación de los estados subs-
tanciales del Universo, pues el estudio de los espectros de
las nebulosas, comparados con los de las estrellas, indican
una esencial diferencia entre unos y otros de aquellos esta-
dos, no pudiéndose observar en las nebulosas las múltiples
rayas características de los cuerpos conocidos, sino en muy
escaso número y no coincidiendo exactamente con ellas, lo
que parece probar que los átomos químicos están allí en vías

— 110 —

de formación, y no es posible, por tanto, el fenómeno del
espectro peculiar de cada uno, por no constituir aún especies
químicas independientes. En cambio, el espectro de las estre-
llas es muy rico en rayas correspondientes á los cuerpos te-
rrestres estudiados. Pero la estrella es un estado avanzado
de la nebulosa; los átomos químicos han nacido ya en el cur-
so de la evolución substancial y cada uno envía á través del
espacio la nota vibrante de su personalidad. Además, el he-
cho de la multiplicidad de rayas espectrales dadas por mu-
chos cuerpos, induce á considerar compuestos de muchas
partes integrantes á los átomos que así se comportan; estas
partes son los ¿ones; cada uno de ellos da su nota luminosa.
Como dice de Heen, el límite de división natural de la mate-
ria ha retrocedido: antes terminaba con el átomo químico;
ahora corresponde al ¡on. Cuando los ¡ones están libres, ori-
ginan las rayas espectrales que conocemos, de donde se de-
duce que una nebulosa es un medio de formación de espe-
cies químicas simples y de los átomos mismos que las cons-
tituyen (formación de iones) (*).

Estrechas aparecen en la nueva teoría las relaciones entre
la formación de los iones, su orientación formando las cade-
nas iónicas y con éstas la corriente eléctrica, y el encuentro
de dos ¡ones al constituirse aquellas cadenas, de donde se
desprende fuerza viva que hace vibrar extraordinariamente
y con gran rapidez á los dos iones componentes, comuni-
cando este movimiento al éter ambiente en sentido perpen-
dicular á la cadena ó corriente eléctrica, originando el fenó-

(*) En el discurso de recepción de D. Vicente Ventosa, de la Real
Academia de Ciencias, he tenido el gusto de ver expuesta esta im-
portante idea por el ilustre astrónomo, cuando dice en la página 123
que «quizá esta materia (nebulum) se halla todavía en un estado pri-
mitivo, anterior á la formación de los elementos que llamamos sim-
ples». La sola diferencia entre el profesor belga y el sabio español
en este punto estriba en que el primero asigna á la nebulosa un es-
tado supramaterial; es una substancia que llegará á constituir la
materia que conocemos.

— 111 —

meno de la fosforescencia de la materia en formación, no
pudiendo ser sensibles estas vibraciones, que corresponden
á una pérdida infinitesimal de energía, sino por medio de los
iones libres que se encuentran en la substancia fluorescente
de nuestra retina.

Estudios experimentales parecen demostrar que la fosfo-
rescencia se produce cuando hay materialización de los
iones libres, producción de cadenas iónicas con absorción
de energía y enfriamiento; lo contrario sucede en la desma-
terialización con producción de iones libres, desprendimien-
to de calor, de la energía acumulada en la materia.

Si las dos extremidades de la cadena iónica se unen for-
mando círculo ó elipse, queda realizado el estado de la ma-

teria llamada supragaseoso. Este es el primer núcleo de con-

densación de una nebulosa espiral en vías de formación.

El Profesor de Heen ha demostrado que un conductor re-
corrido por una corriente eléctrica, es mecánicamente com-
parable á una bomba aspirante é impelente; cuando este
conductor es movible, cambia de lugar en sentido inverso
del sentido de la corriente (*).

Con respecto á la nebulosa, se deduce de la experimenta-
ción, que al condensarse una segunda, una tercera, etc., etc.,

cadenas iónicas, tenderán á orientarse paralelamente á la

primera, como acontece en dos circuitos circulares recorridos

por corrientes. Y así sucederá con la nebulosa entera, que
en su conjunto, puede considerarse como una red colosal de
corrientes concéntricas y paralelas de forma lenticular y do-
tada de un movimiento de rotación total, en un sentido úni-
co. En las partes centrales, los rozamientos pueden retardar
la velocidad giratoria, originando la torsión que da á la ne-
bulosa su forma espiral.

El estado caótico representa, como deducción de lo ante-
rior, la existencia en un medio, de ¿ones libres é indepen-

(*) P. de Heen: Prodome de la theorie mecanique de l'electricité

— 112 —

dientes, y el estado supragaseoso es el primer término de

condensación. Estos dos estados coexisten verosímilmente
en la mayoría de los casos; ambos manifiestan, por su insta-

bilidad, vibraciones iónicas luminescentes. Hallamos estos
estados en las nebulosas y en los cometas y probablemente
constituyen la emanación en el aire líquido, del radio con-
densado á muy baja temperatura.

Formación y destrucción del átomo.

Notables son las consideraciones hechas por el Profesor
de Heen acerca de la génesis y destrucción de los átomos
químicos, relacionando muy lógicamente fenómenos hasta
hoy heterogéneos al parecer y de importancia suma en la
Física y en la Química, con la aparición y desaparición en
la escena universal, de los átomos, á la manera de los seres
vivos. Condensaré en el menor espacio las ideas desarrolla-
das por el autor.

Al almacenarse la energía, podrá originar ¿ones poseyen-
do dimensiones y cantidades de energía variables. La aso-
ciación de estos ¡iones para constituir la cadena iónica, se
hará, agrupándose los ¡ones análogos de forma y de ener-
gía; así nacerán cadenas iónicas de diversas especies, que
serán los embriones de los átomos químicos y por consi-
guiente de los cuerpos conocidos. Estas cadenas no poseen
por sí mismas polaridad alguna, y como las especies quími-
cas simples las poseen en mayor Ó menor grado, hay que
admitir que el átomo químico está formado por el enrolla-
miento de las cadenas iónicas constitutivas del estado supra-
gaseoso, el cual corresponde al estado radiante de Crookes
y al de los gases:en un grado extraordinario de rarefacción.

El torbellino atómico, de longitud indefinida, cuando está
limitado por paredes inflexibles, produce la presión de los
gases; presión ordinaria cuando dos torbellinos se encuen-
tran, rebotando con tanta mayor rapidez cuanto mayor es su

— 113 —

velocidad; y presión interna, cuando dos hélices consecuti-
vas recorridas por corrientes paralelas, se atraen recíproca-
mente, engendrando una fuerza que tiende á reunir las pare-

des inflexibles del recipiente; esta fuerza se traduce por una

atracción electromagnética. Además, la experiencia de Bjer-
ckness demuestra que si dos cuerpos deformables vibran
en un flúido, de un modo concordante, los dos cuerpos se
repelen, de donde resulta que las vibraciones iónicas tienden
á alejar los iones unos de otros, habiendo por tanto tenden-
cia á la dilatación del sistema.

Como la cantidad de calor contenida en un cuerpo, corres-
ponde á la cantidad de energía girostática alrededor del eje
central del torbellino y del eje de la fibra iónica, resulta que
puede ser muy grande aquella cantidad, sin que el receptor
sensible pueda apercibirse ó el termómetro manitestarlo; así
sucederá cuando las vibraciones iónicas sean débiles, y si
fuera posible suprimir por completo el movimiento vibrato-
rio, es decir la existencia de toda radiación perteneciente al
orden de las radiaciones luminosas, la energía calorífica ó
girostática no podría ya transmitirse y la cantidad de calor
encerrada en el cuerpo sería constante. Habríamos alcanzado
la temperatura designada con el nombre de cero absoluto,
temperatura irrealizable por razones de orden termodinámi-
co (*), é irrealizable físicamente, porque la ausencia de vi-
braciones conduciría al contacto real de los elementos y el
frote inevitable, pondría en libertad nueva energía atómica,
con destrucción de lo que se llama materia. El éter vibrante
hace el papel de fluido transmisor lubrificante, impidiendo el
desgaste de los elementos materiales. |

Deducción muy importante de lo anterior es, que en el
cero absoluto, la materia encerraría enormes cantidades de

(*) . El autor se extiende después en otra parte de su Memoria en
una bella discusión que conduce á la negación del cero absoluto como
realidad física.

Ruy, Aca. Ciencias.—IV.—Enero, 1906 8

= lid | Bo

energía que no podría transmitir, si posible fuera la realidad

de tal temperatura.

El hecho observado desde hace muchos años, de verificar-
se simultáneamente la reacción química y el fenómeno eléc-

trico, se explica de la manera siguiente: 4

Cuando un gas está en cierto estado de equilibrio inesta-
ble, puede suceder que por efecto de la fuerza centrífuga del
torbellino atómico, algunos ¡ones monten, por decirlo así, so-
bre los que giran en el torbellino, continuando, sin embargo,
sus vertiginosos giros alrededor del átomo. De esta manera
quedan constituidas cadenas abiertas que son otros tantos
ganchos reaccionales y que serán electro-positivos ó electro-
negativos, según su orientación, participando todo el minús-
culo sistema del signo eléctrico de sus ganchos. Semejante
estado del átomo se provoca muy bien cuando se le pone en
presencia de otro átomo dotado ya de tal propiedad; esta es
la acción catalítica de los químicos y la radioactividad in-
ducida de los físicos. En grado superior hállase realizado este
estado de cosas, cuando se estudian las partículas constitu-
tivas de los medios turbios y de las soluciones coloidales.

Si dos gases monovalentes están mezclados en la propor-
ción indicada por sus pesos atómicos, cada uno de ellos po-
see la misma suma de energía giratoria, Ó lo que es igual, la
misma suma de energía de traslación, puesto que estas can-
tidades son proporcionales. Ejercen además por átomo ó por
espira de enrollamiento, la misma presión.

El átomo debe definirse, por consiguiente, como «la can-
tidad de energía, siempre la misma, que posee un volumen
dado de un cuerpo simple en estado gaseoso, en las mis-
mas circunstancias». Si representamos esta energía por la
unidad, los pesos atómicos serán los pesos relativos de ma-
teria que encierran siempre la misma energía. Esta definición
está conforme con la ley de Dulong y Petit, que es su com-
probación experimental.

Comentario de suma importancia cientifica á tan razonado

— 115 —

estudio ocurre en seguida acerca de la unidad de la materia.
Podemos ir viendo claro en tan obscuro asunto, y si los áto-
mos contienen la misma energía, pero desigual materia en
igualdad de circunstancias, y esta materia, ó mejor dicho, /as
apariencias de esta materia se realizan por el conjunto de
mayor ó menor número de unidades iónicas dotadas de aque-
lla suma constante de energía, es verosímil, lógico y cientí-
fico el deducir la admirable subordinación de todos estos ac-
tos, desde la formación del ¿on en el seno de la substancia
supramaterial y caótica, hasta la de los cuerpos materiales
simples con su constante química más esencial: el peso ató-
mico.

La cuestión toma otro aspecto más positivo en la Ciencia
razonada, donde actualmente no puede llegar de lleno la
Ciencia experimental; pero la primera trata de ser reflejo fiel
de la segunda, sin que aparezcan divergencias, contradiccio-
nes ni lagunas lamentables entre ambas, sino doctrina com-
plementaria, hija de su estrecha fusión.

Como corolarios deducidos de la definición anterior del
átomo, resulta que la materia realiza sus combinaciones quí-
micas, por cantidades iguales de energías girostáticas.

Resulta además, que si dos gases se combinan, los torbe-
llinos atómicos se soldarán dos á dos y el volumen se redu-
cirá á la mitad (*). Debe tenerse en cuenta que dos sistemas
girostáticos soldados, trasftorman la misma cantidad de ener-
gía giratoria en energía de traslación, que un solo girostato
libre, comunicándose la impulsión de la misma manera en
los dos casos por una sola generatriz.

Resulta, por último, de la consideración anterior, que se
puede aplicar á los gases biatómicos, triatómicos ó poliató-

(*) En dos gases monovalentes, cuya molécula conste de dos
átomos, el volumen resultante será siempre la suma de los volúme-
nes componentes. Arriba indica el autor la mitad del volumen en el
caso de constar la molécula de un solo átomo,

micos lo dicho para los monoatómicos. En circunstz
iguales, Ja presión será proporcional al número de mo
las, no al número de átomos. 08

No menos ingenioso es el mecanismo de la reacción, ex
plicado del modo siguiente: ;

Dos girostatos, A y B, en estado neutro, se transforman | 5
en ¿jodinámicos, es decir, con cadenas sueltas ó ganchos LOS 10
accionales, merced á una influencia exterior (*), y entonces,
los iones libres de los dos torbellinos se cruzan mutuamente
para formar una cadena intermedia. Por la acción de esta
tensión, los dos girostatos llegan á ser tangentes y la com-
binación se ha realizado. :

Se comprende que la aptitud reaccional ha de depender
de la mayor ó menor facilidad de producción del estado iodi-
námico en el sistema, lo que está conforme con lo que dia-
riamente observamos en nuestros laboratorios al tratar de
realizar las combinaciones químicas. El sentido del movi-
miento giratorio puede ejercer influencia sobre el sentido y
la orientación de las proyecciones iónicas, pues los mismos
cuerpos simples pueden poseer aptitudes reaccionales dife-
rentes.

Por último, la valencia máxima dependerá del número de
iones-ganchos de cada átomo, es decir, de cada cantidad de
substancia que encierra la misma cantidad de energía. Pue-
den conservarse las fórmulas de estructura con igual signifi-
cación que hasta aquí, sin más diferencia que en la nueva
teoría, representan la sección recta de las fibras girostáticas
de longitud indefinida que constituyen los gases. La sección
recta de las fibras girostáticas correspondientes á una molé-
cula de anhídrido carbónico, estará representada del modo
siguiente:

(*) Esa influencia puede ser en muchos casos la aplicación del
calor, de la luz, de la electricidad, del choque, etc., etc., que sabe-
mos son necesarias en innumerables reacciones,

— 117 —

y la de una molécula de carburo tetrahídrico

etcétera, etc.

Los gases, al constituirse en igualdad de circunstancias,
por el mismo número de espiras simples ó compuestas, cons-
tan de igual número de moléculas, como se ha venido di-
ciendo en la teoría atómica. Una fórmula sencilla lo demues-
tra también, la misma que se usa en la teoría cinética de los
gases. Siendo la energía giratoria proporcional á la de tras-
lación, podemos escribir para dos gases diferentes:

P=NMV:=N'M' V?.

Y si la temperatura es la misma, es evidente que N = N”.
Luego los dos gases tienen el mismo número de espiras gi-
rostáticas,

as o

/2q Ñ
40) originándose cn como el acido tártrico, que m

De lo que antecede, se deduce con claridad el origen de
las rayas espectrales que observamos. Demostrado por el ve
Dr. Gustavo le Bon, que los iones no son iguales entre si, Eds
sino que cada uno puede dar, á la manera de un timbre, una
nota luminosa perfectamente definida, con la condición esen-
cial de que dichos ¡ones sean libres y de que se realice un
choque, lo cual sucede cuando el ¡on penetra en el átomo;
si se cumplen esas condiciones, hay fosforescencia con ab-
sorción de calor y reconstitución ó génesis del átomo.

Deben existir, por consiguiente, tantos iones de dimesio-
nes diferentes como rayas espectrales existen y como conse-
cuencia de esto, el último elemento material que deben admi-
tir los físicos y los químicos es el ¿on, sin que por esto, el
éter 6 el ¡on-éter, represente los límites de enrollamiento de la
substancia. El éter, para de Heen, parece ser muy próximo
á la matería y correspondería á un orden de enrollamiento
también muy avanzado.

A pesar de la estabilidad aparente del átomo en las fun-
ciones químicas, no es tan imposible concebir más de una
sola disposición en un mismo elemento. Así parece resultar
de las experiencias, por las que la disposición helio, es po-
sible que se transforme en disposición radio.

Por la importancia que tienen y sus aplicaciones en el te-
rreno químico, diré, brevemente, las últimas ideas expues-
tas acerca de la fosforescencia y de la radioactividad, inti-
mamente unidas, como vamos á ver, con la génesis y des-
trucción del átomo.

Aludiendo á un notable trabajo del Dr. Gustavo le Bon, en
el que se afirma, por nuevos experimentos, que el fenómeno
de la fosforescencia, tenido en los comienzos de su estudio

Ba

AAA A A a A UA AN
A HU

de de ALO

— 119 —

Como excepcional , va siendo cada vaz más frecuente, hasta
el punto de poderlo casi considerar como una propiedad ge-
neral de la materia, dice el Profesor de Heen, que á la mis-
ma ó muy análoga conclusión conduce lo observado en la
-radioactividad, habiendo llegado por caminos diferentes los

dos sabios y casi simultáneamente á deducir lo mismo.

Resulta, en efecto, que considerando el átomo, según se
manifestó ya, como un torbellino integrado por ¿ones ó di-
namidas bipolares, al ocurrir la destrucción de tales torbelli-
nos-átomos, la emisión de los ¡iones integrales bipolares
debe verificarse con desprendimiento de calor.

Estas emisiones son los rayos u ó $, según la orientación
de los iones proyectados. Admitida esta hipótesis, no es di-
fícil darse cuenta de cómo se destruye la materia para llegar
al estado radiante ó infraeléctrico, cuyas manifestaciones
vemos en los cuerpos incandescentes, el penacho eléctrico,
etcétera. Estos descargan los cuerpos electrizados y no difie-
ren de los radioactivos más que en la velocidad de proyec-
ción Ó en la fuerza de penetración de los ¡ones libertados.

El Profesor de Heen tiene la convicción de que si los fe-
nómenos radioactivos y sus congéneres presiden á la des-
trucción del átomo, el fenómeno de la fosforescencia preside
á su génesis, y como la condición fundamental para que
puedan apreciarse fenómenos radioactivos ó de fosforescen-
cia, es que existan ¿ones libres en el medio observado, re-
sulta que los dos órdenes de fenómenos deben observarse
en condiciones análogas. El radio es fosforescente y radio-
activo y es muy interesante lo que escribe el Profesor de
Lieja respecto de este cuerpo: «Un fenómeno, dice, nos
llamó vivamente la atención cuando fué observado por pri-
mera vez y cuya causa no supimos explicar entonces. Si se
aproxima á un electroscopio cargado un medio generador de
iones libres, como una llama de Bunsen ó una chispa sal-
tando entre un electrodo de platino y agua, se ve que la des-
carga es muy rápida. Mas, si provocamos en estos medios

el fenómeno de la iru. introduciendo,
plo, una sal alcalina « en la llama ó en el agua, en
pericie o la 0% el Asnómeaio, radioactivo 11

-
y

»Cuando el ion se escapa del átomo torbellino desprena Bo 2 |
calor. Cuando penetra en el torbellino atómico, para regene- + 34 y
rarle, emite luz fría y no calor, porque el acto es acompa-.
ñado de una absorción de energía. No crece el movimiento |
giratorio del elemento que recibe la vibración, y esta luz,
concentrada en el foco de una fuerte lente, no produce ele-
vación alguna de temperatura, según demostró el Dr. Gus-
tavo le Bon.

»Resumiendo: «las acciones centrífugas del torbellino
atómico, tienden á desarrollar la radioactividad; las accio-
nes centripetas, la fosforescencia ».

«La temperatura constituye un factor independiente de la
luminescencia. »

» El fenómeno de la fluorescencia es idéntico en su meca-
nismo al de la fosforescencia; pero en la primera, el número
de ¡ones emitidos por el átomo es igual al número de los que
entran para reconstituirle; en tales condiciones, el acto de la
fluorescencia cesa en el momento en que la luz deja de ac-
tuar; parece como que la acción disociante de las pequeñas
longitudes de onda, compensa la tendencia á la reconstitu-
ción.

» De las dos categorías de ¡ones componentes del átomo,
según se ha dicho ya, los señalados con la letra a, es decir,
los que giran libres alrededor del torbellino entrando y sa-
liendo en éste según las circunstancias, son los que presi-
den el acto de la fosforescencia cuando entran, de la radio-
actividad cuando salen y son los productores de las rayas
brillantes de los espectros de los gases, cuando circulan al-
rededor del torbellino sin salir ni entrar en él; ellos son los

= 121 —

que determinan la absorción selectiva correspondiente. A su
vez, los iones f£, componentes del toberllino atómico ó átomo
propiamente dicho, cuando vibran extraordinariamente por
una elevación de temperatura, producen el fenómeno de la
incandescencia que corresponde al átomo mismo ó á las
cadenas ¡iónicas. «Los gases no se hacen incandescentes
ó lo son muy débilmente; cuando emiten luz, es siempre por
fosforescencia. »

No seguiremos más al autor; basta lo apuntado para en-
tender la importancia de su trabajo. Nuevos horizontes ábren-
se en el campo de la Ciencia, y las últimas esfinges de lo
indivisible y de lo permanente, empiezan á moverse en sus
cimientos hasta hoy tan firmes. Bien lo deja entrever el mis-
mo profesor en el originalísimo apéndice filosófico que ter-
mina su Obra. «El dominio de la Física, dice, acaba donde
comienza la Filosofía »; sin embargo, no parece dispuesto á
ceder á la última mucho terreno, cuando, después de recor-
dar las tres fases evolutivas y substanciales admitidas para
el estudio de los fenómenos físicos, que son: 1.*, la fase ma-
tería que corresponde á los fenómenos electromagnéticos;
2.”, la fase supramaterial. correspondiente á las acciones
electrostáticas, y 3.*, la fase éter, admite como posible una
4.*, que puede llamarse supraetérea, correspondiente al fe-
nómeno de la vida; substancia dotada de dos polaridades
determinantes de la sexualidad, etc., etc.; siendo notable la
idea de que una fase substancial determinada, sólo puede
tener acción sobre la fase inmediatamente superior ó inferior;
de modo que si una fase intermedia está ausente, queda su-
primida toda comunicación entre las fases inmediatas á ella,
y esto por una razón análoga á la que impide producirse la
inducción electromagnética entre dos conductores colocados
normalmente uno con otro.

Por inducción lógica, parece llegar el autor á la idea de la
divinidad, como substancia que asimilándose la energía de
diferentes grados, determina la sucesión de las fases subs-

Rñv. Acap. Ciencias. —1V.—Enero, 1906, : 9

- tanciales, perceptibles ó no perceptibles, que const :

1 +
A

Universo. Este es el sentido que debería darse á la
Creación, la que podría traducirse por evolución de la
gía constante é indestructible en la substancia inmutable y
eterna. Y aquí confiesa el distinguido Profesor de Física ex-
perimental de la Universidad de Lieja, la imposibilidad de
conocer la naturaleza de esta substancia, acabando así el sa- ptas:
ber humano. Esa será la eterna esfinge, jamás vencida por Er
ningún Edipo. Pero «la gran ley del transformismo no es so-
lamente el atributo de los seres vivos, sino que rige todas
las cosas: la naturaleza animada y la que se creyó inanima-
da; las especies químicas como las especies animales. Es la
perpetua evolución de las cosas en el ciclo eterno de la Na-
turaleza. »

El trabajo de Mr. de Heen es un hermoso esfuerzo del
pensamiento humano y revela, además de un saber profun-
do, una lógica trabazón de los hechos cientificos en cuerpo
de doctrina, que tiende á simplificar la teoría, á evitar dua-
lismos como el átomo y el éter, fundiendo en un solo mold=
ambos conceptos con la feliz creación del ion, rindiendo así
justo y brillante tributo á la unidad de la Ciencia, que no por
carecer de demostraciones experimentales suficientes, deja
de aspirar á una idea comprensiva de los actos físicos y quí-
micos y aun de los biológicos, en admirable concierto.

Todo juicio anticipado es prematuro y por tanto expuesto
á error. Dejemos marchar los sucesos, tales como ellos han
de ser fatalmente, y el tiempo nos dirá si la obra del Profesor
Heen es definitiva.

Nota. Véase á continuación la serie de cuestiones que el autor .
somete á la nueva interpretación científica, fundada en la doctrina
del ¡on.

Fenómenos magnéticos; interpretación del radiómetro; textura fibro-
sa de los líquidos. — Aquí se escriben páginas bellísimas, explicati-
vas según las nuevas ideas, del vapor saturado; estado crítico, ten-
sión superficial, variaciones de volumen de la fibramolécula por la
variación de temperatura; soluciones salinas, presión osmótica, elec-

£ próducidos y por las proyecciones. tán y dicas, elec-
3s atacables, corrientes atérmica, térmica y electrolítica; fenó-
menos análogos en los gases rarefactos; estado particular; acción del
Z estado particular sobre. la vegetación; plantas bipolares, rocío, ori-
É gen de la electricidad atmosférica, tormentas y auroras polares.

¿Eel capítulo dedicado á los cuerpos sólidos, se estudian: la rela-

ción entre la conductibilidad eléctrica y la calorífica é influencia de

la presión sobre la última; relación entre las conductibilidades calo-
rífica ó eléctrica y el coeficiente de dilatación; dureza y fragilidad;
magnetismo; analogía y diferencia entre un cuerpo magnético some-
tido á la acción del imán y un conductor sometido á la influencia; co-
rrientes termoeléctricas; fenómeno de Hall; fosforescencia; génesis y
destrucción del átomo.

En el capítulo que se ocupa de la destrucción y fin de la materia,
se estudian: el explosivo materia; diversos procedimientos de des-
materialización y el cero absoluto.

Sigue un corto capítulo acerca del concepto de la masa y de la
atracción newtoniana y termina con un apéndice filosófico muy origi-
nal, en el que se exponen ideas sobre fenómenos análogos que se en-
cuentran en fases substanciales diferentes de las del mundo llamado
físico.

Tal es el programa de la nueva doctrina, que aspira, como se ve,
á la interpretación de todos los fenómenos físicos y biológicos, par-
tiendo del concepto del ¿on universal, y que, según afirma su autor,
ha permitido hasta ahora clasificar y prever los hechos, condiciones
suficientes para que una teoría científica sea admisible.

VII. — Congreso Geológico Internacional.

Décima reunión 1906.

Las sesiones del Congreso se abrirán, en la ciudad de México, el
jueves 6 de Septiembre, y la clausura se celebrará el 14 del mis-
mo mes.

Están anunciadas dos series de excursiones: la primera, antes del
Congreso, comprende los viajes siguientes:

I. b Excursión al Sur durante nueve días, limitando á 30 el número

DA ASA de 0 A ho AN
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5% y
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y E L] E a 1 . 7% p y e y y
ye de las personas que pueden concurrir á ella. Comenzará
A Agosto, y tiene por objeto el conocimiento de varios t
Ad cos y cretáceos, ascensiones á montañas y visita de ri
$e : La Excursión al Este: durará tres días, y es pr
A Comenzará el 2 de Septiembre, y es su objeto la visita ¿
JA 4 nes neovolcánicas de Jalapa, al terreno paleoplioceno fo: de
Se Santa María de Tatetla, al cretáceo medio del Cerro de Escomela A

al tectónico de la Sierra Madre.
a l. c Excursión al Jorullo durante trece días y para 30 perso ¡a
e Comenzará el 20 de Agosto, partiendo de México para Toluca, cuyo
volcán se visitará, así como también Morelia, Pátzcuaro, Ario y Mata
de Plátano, punto de partida de la excursión al cono y cráter de
Jorullo.

L d Excursión al San Andrés y Colina durante doce días y para
30 personas. Comenzará el 21 de Agosto, y comprende la región de
Agua Fría, con sus basaltos y aguas termales; los geysers extingui-
dos de San Andrés, los pequeños geysers de Yurécuaro, Zapotlán y
el volcán de Colina. :

Las excursiones de la segunda serie, anunciadas para después del
Congreso, son las siguientes:

IL. a Excursión al Norte durante veinte días y para 250 personas.
Comenzará el sábado 15 de Septiembre, y se visitarán los cráteres de
explosión del valle de Santiago, las minas de plata y terreno de Gua-
najuato, la de plomo argentífero de Mapirimi, las de azufre de Cone-
jos, el cerro de Muleros, la comarca de Parral, con sus rocas volcá”
nicas; la mina de plata de Quebradilla, el terreno cretáceo superior
de Parras, la mina de cobre de Aranzazu, Saltillo, Concepción del
Oro, Mazapil, la sierra de Santa Rosa, las Esperanzas, Monterrey»
San Luis del Potosí y la Sierra Madre oriental.

III. b Excursión al istmo de Tehuantepec durante ocho días y para
60 personas. Comenzará el sábado 6 de Octubre, y comprende el es-
tudio del tectónico de la Sierra Madre oriental, el plioceno fosilífero
de Parra Real y El Hule y el de Santa Rosa; los terrenos de la sierra
El Itsmo, el arcaico y las rocas graníticas y porfídicas.

Para las adhesiones es preciso dirigirse al Sr. D. Ecequiel Ordó-
ñez, Secretario general del Comité de Organización del X Congreso
Geológico Internacional, 5.* del Ciprés, núm. 2.728, México DF.

A ....
PAE ación natural de la deogloti OR

SPPUAÑO ds > ii AA O OO
Y —Las disoluciones sólidas, por José Rodríguez Mourelo.
IV.— Aplicaciones de la composición de intensidades al cál- 0
culo gráfico de vigas rectas, por Nicolás de Ugarte... ,
- V.—Las terminaciones nerviosas sensitivas en las vento-
sas del pulpo común, por J. Madrid Moreno.......
VI.—Las nuevas doctrinas científicas (con motivo de una
reciente publicación), por Ramón Llora Gamboa... . 10
VII.—Congreso Geológico Internacional... ...ooooooommmm..:

s 5

Ly

La subscripción á esta RevIsTa se hace por tomos complete
de 500 á 600 páginas, al precio de 6 pesetas en España y 6 fran
en el extranjero, en la Secretaría de la Academia callo. de .
verde, núm, 26, Madrid. 2 A y

Precio de este cuaderno, 2 pesetas. EN. 6 pa

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DE CIENCIAS

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EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES

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MADRID

cc TOMO IV.-—-NUÚM.2.
(Febrero de 1906,)

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IMPRENTA DE LA “GACETA DE MADRID,,
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la Corporación, antes del día 20 de cada
pues de otro modo quedará su public

el

— 125 —

VIN.— Introducción á la Fisica matemática.
POR JosÉ ECHEGARAY.
Conferencia segunda.

SEÑORES:

Señalando en la conferencia anterior el programa, por de-

cirlo de este modo, de las pocas conferencias, que en lo que '

queda de curso podemos dar, empezábamos á ocuparnos en

el primero de los temas que dicho programa comprendía.

A saber; carácter de la Física experimental, carácter de
la Física matemática y diferencias entre estas dos ramas de

una misma Ciencia, que al fin llegará á constituirse por
“aproximación y armonía de una y otra.

Y á fin de abreviar la explicación y de hacerla más clara,
empezábamos, entre muchos ejemplos que hemos de pre-
sentar, por uno que considerábamos como típico, y era éste:

Acción del calor sobre una masa gaseosa.

Señalábamos ante todo, tres parámetros ó magnitudes fí-
sicas del fenómeno, á saber: la presión, el volumen y la tem-
peratura. Decíamos que dos de estos parámetros podían con-

-siderarse como independientes; que la experiencia demos-

traba que el tercero era una función de los dos primeros, y
que por lo tanto, al expresar por fórmulas matemáticas la

ley que enlazaba estas tres magnitudes, debíamos ro
una función que las enlazase, es decir,

FAP: Ti="0.

Determinar la forma de esta función F era el problema
que debíamos resolver, y lo resolvíamos de dos maneras:

Rrv. Acab. Crencias.—IV.—Febrero, 1906, 10

MI

Primero; aplicando los procedimientos puramente experi-
mentales de la Física ordinaria. Segundo; aplicando los mé-
todos de la Física Matemática. Y en ambos casos llegába-
mos al mismo resultado:

En el primer procedimiento, sólo acudíamos á la expe-
riencia, determinando curvas y fórmulas puramente empiíri-
cas; pero sin hacer ninguna hipótesis. En el segundo caso,
haciamos dos hipótesis fundamentales: una relativa á la cons-
titución de los gases; otra, que era una interpretación mecá-
nica de la temperatura, así como interpretación mecánica era
también la primera, pues suponíamos que el calor consistía
en el movimiento invisible de las partículas materiales.

El carácter, las consecuencias, las ventajas y los inconve-
nientes de ambos sistemas, los señalábamos en la conferen-
cia anterior, y muchas veces todavía tendremos que repe-
tir estas mismas ideas.

Los procedimientos experimentales para resolver dicho
problema, son los que se aplican para resolver todos los
problemas de la Física ordinaria.

Insistamos todavía sobre este punto para dejarlo definiti-
vamente discutido y no volver á ocuparnos en él.

Consideremos otro problema cualquiera de la Física expe-
rimental, en el que hayamos observado, que hay cierto nú-
mero de parámetros físicos de los cuales dependen todas las
circunstancias del fenómeno; número que para fijar las ideas
supondremos que es igual á cuatro: sean a, b, c, d.

Lo que digamos para este número, diríamos para otro
cualquiera.

En el ejemplo típico de la conferencia anterior eran tres,
aquí suponemos que sean cuatro, como pudieran ser n.

Y en el ejemplo en que ahora nos fijamos y que fácil-
mente puede generalizarse, si los parámetros son cuatro, y

— 127 —

consideramos que no hay necesidad de apreciar mayor nú-
mero, porque de las demás causas que influyen en el fenó-
meno, por ser mínimas, Ó hacerlas nosotros mínimas, puede
prescindirse; en este ejemplo, repetimos, los parámetros in-
dependientes serán tres, y el cuarto estará enlazado con
ellos por una relación desconocida

IFA AO,

que es, precisamente, la que deseamos determinar por me-
dio de una serie de experiencias.

Pero el experimentador no puede hacer variar todos los
parámetros al mismo tiempo; tales empresas se las reserva
la Naturaleza.

El experimentador no puede hacer otra cosa que buscar
la relación de dos de los parámetros, permaneciendo los de-
más constantes.

Por ejemplo, buscar la relación entre a y b, permanecien-
do constantes c y d.

La experimentación determina curvas; después el análisis
matemático podrá condensar todas estas curvas en funcio-
nes de más variables.

Por una serie de experiencias, haciendo que b reciba los
valores b,, b,, bz..., verá experimentalmente, que a recibe la
serie de valores 4,, %a, Az...

Y de este modo, si escoge el procedimiento gráfico, ten-
drá dos ejes coordenados ob, oa (fig. 2.*) y una serie de
puntos m,, M,, Mz... Como resultados gráficos de las expe-
riencias, puntos que tienen por coordenadas b,, a,; b.,, as;
Da; Uy...

Después procurará unir por una curva continua MN todos
los puntos obtenidos, y dicha curva expresará gráficamente
la ley que enlaza estas dos magnitudes físicas, al menos

mientras permanezcan fijos los valores que se hayan elegido
para c, d.

A PA

Supongamos que por los procedimientos de interpolación
se determina la ecuación de la curva, que la representare-
mos por

(a, DES;

Generalmente se supone, y en rigor esta es una hipótesis,
aunque sólo del orden lógico y dentro de cierto postulado

a

rs
ME
a

s

+ =$ /
. 1 E 7
NA
bs
; ! :
' ¡ ¡
! h NAO APO
0 b, b, b;
Figura 2.*

sobre continuidad en los fenómenos naturales, que para
otros valores de c y d distintos de los que hemos elegido,
podría conservarse la misma forma < para la ley de enlace
de los parámetros a y b.
Dicha relación contendrá, pues, las dos variables a y b, y
una serie de constantes de la ecuación de la curva, que se-
- rán constantes para este caso, pero que serían distintas para
otros valores de c y d.
En suma, la función + podremos escribirla de una manera
más precisa, de este modo:

Sad, A, BC) 04

suponiendo para fijar las ideas que contiene tres constan-
tes, A, B, C, las cuales, como hemos explicado, en rigor
serán funciones de los dos parámetros que quedan, (€ y d.

— 129 —

Podemos aún especificar más las condiciones del proble-
ma, escribiendo así la ecuación precedente:

p[a, b, A(c, d), B(c, d), C(c d)] =0,

para indicar que A, B, C dependen de los parámetros ex-
presados Cc, d.
Si, por ejemplo, la curva v fuese una circunferencia, a y b

- serían sus coordenadas variables, A, B y C serían las coor-

denadas del centro y el radio.

a y b variarian siempre sobre una circunferencia, pero la
posición y la magnitud de esta circunferencia dependerian de
los parámetros c, d.

Así como hemos determinado la relación, que enlaza los
parámetros a y b del fenómeno que estudiamos, pasaremos
después á determinar la relación analítica entre el paráme-
tro b y el parámetro c, y repitiendo todo lo expuesto hasta
aquí, llegaremos á otra relación, que representaremos por

, [b,c, A(a, d), B (a, d)]| = 0.

Podremos todavía, y deberemos, determinar experimen-
talmente la ley de variación entre c y d; y repitiendo todas
las consideraciones anteriores, y suponiendo, para fijar las
ideas, que tampoco entran más que dos constantes en esta
nueva relación, se tendrá análogamente á los casos prece-

dentes,
és [C, d, Az (a, b) B, (a, b)] = 0.

Y aun deberíamos hacer nuevas combinaciones, dos á dos,
entre a, b,c, d, por cuyo medio se llegaría á un conjunto de
ecuaciones entre dichos parámetros, en cada una de las que
entrarían dos de los parámetros como variables de una curva
empírica y varias constantes, que dependerían para cada caso
de los otros dos parámetros.

Sal

— 130 —

Sean, pues, abreviadamente las ecuaciones,

o = O, Dy EG O, Pa = 0...

Claro es, que la forma de cada una de estas ecuaciones,
mejor dicho, la forma aparente, será distinta, como son dis-
tintas las ecuaciones de las curvas por las que se corta una
superficie, según sea el plano de la sección paralelo á dis-
tinto plano coordenado.

Así, por ejemplo, en el que presentamos como tipo res-
pecto á un gas, la primera curva era una hipérbola referida á
sus asíntotas y la constante era una función de la tempera-
tura.

Y en cambio, la segunda ecuación era la de una recta, cu-
yas coordenadas representaban el volumen y la temperatura,
y las constantes debían ser funciones de la presión. -

Pero aunque las formas de ¿, 9,, $, ... sean diferentes
en la apariencia, en realidad, todas deben ser iguales á una
función única que antes la designábamos por

ILEANA:

Lo que hay es, que agrupando de cierto modo dos de
los parámetros respecto á los otros dos, f toma las formas
O, Ep Par

Y aquí se presenta este problema de análisis: dadas las
formas parciales o, 9,, 2... determinar A, B, C, A,, B,... de
modo que todas ellas se reduzcan á una forma única f =0.

Para no perturbar la marcha de las ideas generales, que
voy exponiendo, no me ocuparé en la solución del problema
que acabo de plantear; diré tan sólo, que el procedimiento
para resolverlo puede ser éste.

Eliminar entre dos de las 4 uno de los parámetros, a por
ejemplo, Ó suponer que se elimina; y como la ecuación que
resultase sería una ecuación en b, c, d, y esta última ecuación

A

Bl

debe ser una identidad, su derivada con relación á b, c, ó d,
ha de ser nula, lo cual nos conduciría á variar ecuaciones en
diferenciales parciales de las A, B....

Para fijar las ideas y no entretenernos mucho en este pro-
blema accidental, apliquemos la regla precedente al problema
de los gases tratado en la anterior conferencia.

Las dos ecuaciones tenían la forma siguiente, según aca-
bamos de explicar:

pv=A(?),
v= B(p) + C(p) t. (1)

Eliminando v tendremos:
p[B(p) + C(p)t] = A (1).

Diferenciando esta ecuación respecto á £, como dicha ecua-
ción es una identidad, porque no puede existir relación nin-
guna entre las dos variables independientes p y f; Ó si se
quiere, porque debe ser una identidad el resultado de elimi-
nar un parámetro cualquiera entre dos ecuaciones idénticas,
se obtendrá

pC(p) = A(0.

Esta ecuación sería absurda por las mismas razones que
hemos dado antes, á saber: porque no puede existir una re-
lación entre p y f, á menos que no se reduzca á una igual-
dad en que desaparezcan ambas letras.

Así, A' (f) debe ser una constante m, y á la misma cons-
tante debe reducirse p C (p).

De

ACP =:m
resulta integrando
A(t) =mtz+Hm.

Y por otra parte
m
C (p) MN
Pp
puesto que entonces
pC(p) =m.
En resumen, tenemos
A(t) =mitzw+m;

¡AE S
Pp

y las dos funciones (1) se convierten en

pv=mt+m,

v=B0+ 5

Es evidente que para que estas dos ecuaciones coincidan
basta que tengamos

BP) =>3>

pero en rigor con substituir en p[B (p) + C (p) t] = A(t)
los valores de C (p) y A (ft) se obtiene el valor anterior. En
efecto; de

PIB) + 1= mida
se deduce

B(p) =2.
Pp

AAN

— 133 —

En suma, las dos ecuaciones están dentro de la forma ge-
neral
pv=n->+mt,
ó bien

pv= mM Se + )
m
que es idéntica, salvo la notación á
pv =R'(278: +.) ='RT,

con tal que tengamos

PO e A y e
m

Todo lo que en estas conferencias, al menos por ahora
tenemos que decir de la Física experimental, queda dicho.

Hemos expuesto el programa general de esta ciencia, al
menos en su forma externa:

1. Observar un fenómeno.

2.” Reproducirlo experimentalmente si es posible; y si no
lo fuera, la ciencia sería de observación, no sería experi-
mental.

3.” Por semejanzas y diferencias, agrupar los elementos
del fenómeno.

4. Señalar y distinguir las magnitudes físicas Ó paráme-
tros que lo determinan en todas sus partes.

5.2 Señalar los que pueden considerarse como variables
independientes y los que son funciones de los primeros y
fijar sus unidades de medida.

6. Determinar experimentalmente las relaciones numé-
ricas entre cada dos de ellos, con lo cual se obtendrán va-
rias relaciones analíticas.

7.2 Determinar una relación analítica y algunas veces va-

e A

rias entre todos los parámetros; relaciones que han de com-
prender las leyes parciales, como en el ejemplo tantas veces:
citado, pv = RT comprende á las leyes de Mariotte y Gay-
Lusac; y

8.2 Del estudio de dichas ecuaciones, deducir todas
las consecuencias analíticas posibles, que se traducirán en
la naturaleza en modos y accidentes del fenómeno estu-
diado.

Claro es, que todo lo dicho se refiere á un determinado
fenómeno. Pero la. Fisica experimental tiene que estudiar
otros muchos, y para cada uno de ellos, obtendrá sus fór-
mulas; que la Física experimental elevada á la categoría de
ciencia, no puede hoy, en manera alguna, prescindir del
auxilio de las Matemáticas. Ahora bien; así como en la Na-
turaleza los fenómenos se combinan, dando lugar á fenóme-
nos cada vez más complejos, el físico tendrá también que
combinar todas sus fórmulas para ver si de esta combinación
resultan fórmulas nuevas que expliquen el nuevo fenómeno
complejo.

Y aquí la Física experimental empieza en cierto modo á
rozarse con la Fisica matemática.

Pero en este esfuerzo, para llegar á la unidad, tropieza
con grandes dificultades porque sus fórmulas son fórmulas
empíricas, y aunque se adapten á las aplicaciones numéri-
cas, difícilmente se funden unas con otras.

Por ejemplo, puede haber obtenido, como fórmula empí-
rica, una elipse, para lo que en rigor era una cicloide, y mal
se avienen para las combinaciones analíticas de un fenóme-
no complejo, formas tan diversas.

Ya esto, procuraremos explicarlo con más claridad en
otra ocasión.

Continuando nuestra tarea de presentar una serie de ejem-
plos, en que se marquen las diferencias, ya señaladas, que

= 135 —

existen entre la Física experimental y la Física matemática,
presentemos otro más, el de la reflexión de un rayo de luz
sobre un espejo plano.

Este es un hecho observado por todo el mundo, y cual-
quier primitivo amante de la ciencia también lo observó hace

muchos siglos. Se observa, decimos, y aquí empieza la ex-

periencia, que si se aisla en un manojo de luz, por medio de
un tubo, un filete luminoso, ó sea lo que se llama un rayo de
luz, y se le hace caer bajo cualquier ángulo sobre un espejo,
no se extingue, por regla general, sino que continúa en cierta
dirección distinta de la que traía.

Y el experimentador, después de haber observado el fe-
nómeno y de haberlo repetido varias veces, marca los pará-
metros, los cuales, á primera vista, y sin descender á ma-
yores profundidades del fenómeno, son cuatro: ángulo del
rayo incidente con el plano del espejo, que llamaremos /;
plano perpendicular al espejo, de dicho rayo, ó sea P;; án-
gulo del rayo reflejado siempre con el plano del espejo, que
se llama ángulo de reflexión, y representaremos por R; y
plano normal al espejo de dicho rayo, que designaremos
por P..

Resultan cuatro parámetros /, P;, R, P,.

O sean las cantidades trigonométricas que los determinan.

La Física experimental, podemos decir, si razonamos en
términos abstractos, no formula ninguna hipótesis, ni sabe
lo que es la luz, ni lo que representa el espejo, ni lo que
es, en el fondo, el fenómeno de la reflexión: no ve más que
hechos concretos, determinados, y en ellos magnitudes que
sabe medir, porque sabe medir ángulos; y además su mi-
sión está reducida á buscar relaciones analíticas entre los
cuatro parámetros indicados.

Claro es que la Física nunca se ha resignado á este papel
puramente pasivo; que desde el primer momento de su His-
toria ha mezclado la hipótesis á la experiencia, el esfuerzo
por penetrar en el seno de las cosas, al menos por raspar en

— 136 —

su superficie, con la experiencia propiamente dicha, escueta,
severa, imparcial, sin prejuicios, sin teorías a priori.

Esta Física experimental de que veníamos hablando es una
ciencia positiva pura, en que se anula la hipótesis, ó se re-
duce á un mínimum; una ciencia que observa, mide y escri-
be en fórmulas empiricas las leyes de los fenómenos.

Llevadas á este extremo las cosas, la Física experimental
histórica no es la Física experimental que vamos describien-
do; fué, por el contrario, desde su origen una Física experi-
mental que preludiaba en cierto modo la Física matemática
del siglo xIx. Pero ha llegado el momento de deslindar los
campos y marcar las fronteras, para que cuando convenga
fundir en una gran síntesis ambas ramas de la ciencia total,
se sepa lo que cada una de ellas pone en el gran concierto
y en la final concordia.

Pero sigamos con nuestro ejemplo.

El problema, desde el punto de vista de la Física experi-
mental, ya hemos dicho en qué consiste: buscar relaciones
entre los cuatro parámetros /, P;, R, P, ó entre las líneas
trigonométricas que los determinen.

Las que pudiéramos llamar variables independientes, son
dos /, P;; las dos funciones que deben determinarse en va-
lores de las primeras, es decir, las dos variables dependien-
tes, son las dos restantes R, P,.

Y el procedimiento es bien sencillo: tomar un espejo, ha-
cer caer sobre él un rayo de luz, el cual, por su posición,
determinara / y P;, y medir para cada caso los otros dos pa-
rámetros ó las líneas trigonométricas correspondientes.

La experiencia da en primer lugar, que los dos pla-
nos P; y P, coinciden, y tenemos, pues, esta primera ley:
el rayo incidente y el rayo reflejado, están siempre en el

— 137 —

mismo plano normal al espejo. Simbólicamente podemos es-
cribir
P; =P.

Sólo nos queda por buscar la relación entre los ángulos
Y de:
Un circulo graduado, perpendicular al plano del espejo y
dos alidadas que determinen las direcciones del rayo inciden-
*te y del rayo reflejado, es decir, el aparato bien conocido de
Física, ú otro análogo, por ejemplo, el que se sirve de un
astro y de su imagen reflejada; nos determina la segunda ley
de reflexión, que es ésta: el ángulo de incidencia es igual al
ángulo de la reflexión, ya se midan con relación al plano, ya
respecto á la normal; ó analíticamente

NR

Así el problema de la reflexión, queda experimentalmente
resuelto.

Claro es que este problema es mucho más complicado y
contiene más elementos, pero para nuestro propósito, con lo
dicho basta.

El físico ha determinado una ley constante, invariable, in-
discutible; es dicha ley, como hemos repetido tantas veces,
“y como tendremos que repetir otras muchas, la condensa-
ción en una fórmula de multitud de hechos.

La Física matemática aspira á mucho más; pretende saber
lo que es la luz, lo que es la reflexión y por qué en este fe-
-nómeno se verifica siempre, salvo casos excepcionales, la
relación

DES

y además necesita explicar la coincidencia de los planos

.
PEF

AN

or 18

Claro es que no podemos penetrar en el fondo del proble-
ma, porque tendríamos que desarrollar la teoría matemática
de la luz, y aún no hemos llegado á ella; pero al menos ha-
remos algunas indicaciones generales, que den á conocer á
mis oyentes, por qué metodos tan distintos de los emplea-
dos por la Física experimental, resuelve el problema la Físi-
ca matemática.

Aquí, como en el problema de los gases, se parte de
una hipótesis.

Allá suponíamos una constitución determinada para los
gases; aquí, suponemos otra constitución determinada para
la luz.

Allá hablábamos de las moléculas y de sus movimientos;
aquí hablaremos del éter y de sus vibraciones, que movi-
mientos son también.

Pero ésta á que acabamos de referirnos, es la última ó la

penúltima hipótesis respecto á la luz. Antes hubo otra hipó-
tesis, la de la emisión, que es análoga, en cierto modo, á la
teoría cinética de los gases.
- Suponíase en la teoría de la emisión, que la luz estaba for-
mada por el movimiento de una serie infinita de corpúsculos,
como hemos supuesto, que los gases estaban formados de
una multitud de moléculas.

Y como ellas, en la hipótesis de la emisión, dichos cor-
púsculos infinitesimales eran eminentemente elásticos.

Y sólo con esto, quedaba explicado el fenómeno de la re-
flexión por la teoría mecánica del choque.

Una esferilla elástica, al chocar contra una superficie elás-
tica también, se refleja formando el ángulo de incidencia
igual al de reflexión, y los dos planos normales, el de inci-
dencia y el de reflexión, coinciden en uno solo.

Lo cual se demuestra en Mecánica por manera bien sencilla:

— 139 —

la velocidad de la esferilla al llegar al plano se descompone
en dos: una paralela á dicho plano, otra según la normal.

La paralela se conserva inalterable, la perpendicular al
plano, después del choque, conserva su valor, pero en sen-
tido contrario, exactamente lo que dijimos en el ejemplo de
los gases, cuando la velocidad u se convertía en — u.

Y determinando la resultante entre la componente parale-
la al plano y la velocidad — u, habremos hallado la direc-
ción del rayo reflejo, que por la igualdad de ambos rectán-
gulos, los de la descomposición y composición de las velo-
cidades, formará con sus lados respectivos los mismos án-
gulos que el rayo incidente. ;

Es imposible explicar de una manera más sencilla ni más
concordante con la experiencia, el problema de la reflexión.

Y sin embargo, esta teoría es falsa, ó al menos, por fal-
sa se dió (y probablemente lo será) al substituir la teoría de
las ondulaciones á la teoría de la emisión.

La hemos citado precisamente con este objeto; para de-
mostrar los peligros y las desventajas de los métodos que
emplea la Física matemática, ya que sean tantas sus venta-
jas, su grandeza y su fecundidad: hemos de ser imparciales.

La Física experimental nunca da la unidad definitiva de la
Ciencia, por más que la procure. La Fisica matemática da
grandes unidades, y unidades grandemente fecundas; pero
sus teorías, como están fundadas en hipótesis, á merced de
las hipótesis se encuentran á cada instante, y siempre pen-
dientes de los fallos rudos, pero inapelables de la expe-
riencia.

Esta teoría de la emisión, explica admirablemente la re-
flexión de la luz, al menos en el caso sencillísimo á que nos -
hemos referido; pero la experiencia demostró, que era impo-
tente, de todo punto impotente, para explicar otros muchos
fenómenos de la Optica, y fué preciso desecharla.

Explicaba la reflexión; ¡qué importa!

El eminente matemático Mr. Poincaré, ha demostrado, y en

» 2 AA

estas conferencias reproduciremos su demostración, que si
un fenómeno de la Física se explica por una teoría mecánica,
otras muchas teorías mecánicas pueden explicarlo también.

Precisamente el ejemplo que vamos estudiando nos lo de-
muestra. q

Hemos demostrado, ó hemos explicado, la reflexión de la
-luz en una hipótesis, la de los corpúsculos luminosos, óÓ si
se quiere, corpúsculos de éter; vamos á explicarla también
por la teoría de las ondulaciones, aunque de una manera rá-
pida y superficial, como antes decíamos.

e

En la nueva hipótesis, se supone que todo el espacio, el
espacio inmenso que nos rodea, y los espacios intermolecu-
lares de los cuerpos, están llenos por un flúido eminente-
mente sutil y eminentemente elástico, á que se da el nombre
de éter.

A decir verdad, esta hipótesis es un poco vaga, porque
no se ha precisado de una manera concreta y matemática la
naturaleza intima del éter.

Para nuestro objeto, provisionalmente, y sin perjuicio de
discutir estas teorías en otra ocasión, supondremos que el
éter se compone de átomos de masa mínima y que entre
unos y otros se ejercen fuerzas repulsivas centrales, funcio-
nes de la distancia.

Estas no son más que aclaraciones ó definiciones de la hi-
pótesis fundamental.

Dada esta hipótesis del éter, se supone que la luz consiste
en la vibración de dicha substancia etérea, lo cual es, en ri-
gor, otra segunda hipótesis.

Pero con estas dos hipótesis tenemos bastante para crear la
teoría matemática de la luz: el éter, con la constitución inter-
na que hemos explicado, y después las leyes de la Mecánica.

En Física matemática, tal es la teoría de la luz: movi-

e de

o

da

ta

-

= 141 —

mientos vibratorios, que se extienden por toda la masa eté-
rea, como las olas se extienden sobre la superficie del mar,
como las ondas acústicas se extienden por el aire y se comu-
nican á todos los cuerpos, Óó como las vibraciones de los
cuerpos mismos.

Ni una sola experiencia para constituir la teoría: la hipó-
tesis y las leyes de la Mecánica.

Decimos ni una sola experiencia, y esto necesita expli-
cación.

Ninguna experiencia, al principio, para resolver el pro-
blema; toda la Física experimental al fin, para comprobar
las fórmulas y determinar los coeficientes numéricos. No se
olvide, que así como explicábamos una Física experimental
sin ninguna hipótesis, lo cual era en cierto modo una abs-
tracción, que necesitábamos para nuestras explicaciones, así
también estamos explicando una Física matemática, que es
puramente idealista; pero en la realidad, los términos más
opuestos necesitan ponerse en relación y el físico acude á
ciertas hipótesis, y el matemático busca de cuando en cuan-
do terreno firme en la experiencia.

Sobre esta idea tendremos que insistir todavía algunas
veces.

Sea A4” un espejo cuya normal en el centro será ON
(figura 3.*).

Representemos por CBAD un rayo de luz.

Admitimos, sin demostración, que este rayo de luz se
compone de planos de vibración PP”, QQ”, BA, y que en
estos planos todas las moléculas del éter vibran según lí-
neas paralelas.

Admitimos también sin demostración esta proposición de
Fresnel: que todo punto del éter al cual llega una onda vi-
brante, que en este caso particular será un plano, se con-
vierte á su vez en centro de vibraciones, transmitiéndose por

Rxv. Acap. Ciencias. —IV. —Febrero, 1906, 11

— 142 —

ondas esféricas, que se dilatan con una velocidad determina-
da V.

Seguimos dando por demostrado que, así como sobre la
superficie del mar, cuando á un punto de dicha superficie,
llegan dos ondas concordantes, es decir, que tienden á co-
municar al punto velocidades en el mismo sentido, se suman
éstas, resultando en dicho punto, mayor la ondulación, lo
mismo sucede con las ondas etéreas; y que sucede lo con-

,
o]

B
Figura 3.*

rario cuando son en sentido opuesto los movimientos que,
ambas ondas tienden á comunicar al átomo etéreo.

De aquí resulta, que cuando una ó varias ondas llegan á-
un punto del éter, hay que saber si los movimientos son
concordantes ú opuestos.

Por último, admitiremos sin pretender demostrarlo (en la
teoría matemática de la luz se demuestra y lo demostraremos)
que cuando la onda plana avanza, no hay que tener en cuenta
para cada punto, sino el efecto de los puntos que se encuen-
tran en la normal ó inmediatos á ella.

Todas estas proposiciones no son hipotéticas, son conse-,
cuencias mecánicas de la teoría ondulatoria de la luz; pero
como aquí no pretendemos desarrollarla, sino dar una idea
más Ó menos vaga de una de las demostraciones de la re-
flexión de la luz, demostraciones que pueden verse en cual-
quier tratado de Física, nos contentaremos con lo dicho.

143 —

Sea ahora C* A A' D' el rayo de luz reflejado.

Si en el rayo incidente consideramos un filete ó una suce-
sión de átomos de éter en la línea /7, vamos á demostrar que
el filete reflejado TR, forma con la normal ON el mismo án-
gulo que la línea 17.

En primer lugar, ¿cuál será la onda reflejada ?

Cada filete 1/7, al llegar al punto T del espejo, convierte
dicho punto en un centro de vibración, de suerte que al cabo
de algún tiempo, tendremos una onda esférica vibrante b c
cuyo centro será el punto 7.

Y si para cada punto del espejo decimos otro tanto, ten-
dremos otras tantas ondas esféricas, que al llegar á los dife-
rentes puntos del éter, serán concordantes ó discordantes, y
darán puntos vibrantes de luz ó puntos de sombra.

Si trazamos ahora, para simplificar la demostración, una
recta A B”” simétrica con la A B respecto al espejo A A”, pro-
longando A* D” hasta B”, podremos demostrar que A” B”
paralela á AB” es precisamente la onda plana reflejada.

En efecto, el punto vibrante a de la onda plana AB, al
transmitir su vibración al punto a”, ha recorrido el cami-
no aT + el camino Ta”, que por la simetría, respecto al es-
pejo, de las líneas Ta y Ta”, será igual á la línea aa”, 6
sea A" B”.

Es lo mismo que si la onda plana vibrante fuera A B”, y
hubiera engendrado directamente la onda A” B”.

Como lo que hemos dicho del filete /7 pudiéramos decir
de otro cualquiera, resulta que, en efecto, todas las ondas
esféricas análogas á la bc, llegan concordantes á su envol-
vente A” B”, porque todas recorren el mismo camino des-
de AB.

Y si esta es la onda plana reflejada, es claro que el rayo
reflejado será el C'A B”D” que forma con la normal ON
el mismo ángulo que el rayo incidente.

Las vibraciones llegan á todo el espacio, desde los cen-
tros del plano A 4”, pero se demuestra que en cualquier otro

— 144 —

punto se destruyen y que sólo al plano A"B* y á sus parale-
los llegan concordantes; esta concordancia entre las vibra-
ciones, es precisamente la que constituye el rayo de luz.

Hemos dado una idea vaga del problema, porque sólo nos
proponíamos presentar un ejemplo y en él vemos lo que tan-
tas veces hemos dicho: la Física matemática, empieza por
plantear ciertas hipótesis, que por lo regular, aunque no
siempre, reducen el fenómeno físico, á un problema de Me-
cánica. :

Planteado el problema no queda más que aplicar las leyes
de la Mecánica y los métodos de cálculo para llegar al resul-
tado final; que en este último problema, consiste en la coin-
cidencia de dos planos y en la igualdad de dos ángulos.

Presentemos otro ejemplo todavía, para ir recorriendo to-
das las ramas de la Física: el de una esfera metálica cargada
de electricidad.

La experiencia da, que en este caso la electricidad se acu-
mula en la superficie, que en el interior no hay trazas de di-
cho fénómeno, y que la acción de la capa esférica, es nula
sobre cualquier punto del interior.

Este es un hecho tan sencillo, que al parecer, ni siquiera
está comprendido en la fórmula que dábamos para los pro-
blemas de la Física experimental; en todo caso, servirá de
elemento, como en efecto sirve, para otros problemas más
complicados.

Pero claro es, que en nuestra fórmula general está com-
prendido.

Los parámetros son tres; carga eléctrica en la superficie,
carga eléctrica en un punto del interior, acción atractiva ó
repulsiva sobre dicho punto. De suerte, que si la carga ex-
terior la representamos por C, la carga interior en cualquier
punto por c, y la fuerza por f, el problema se plantearía de

— 145 —

este modo: buscar relaciones analíticas entre C, c y f; sólo
que estas relaciones son bien sencillas en nuestro caso,

== PSA

independientemente de la carga C, que por razón de sime-
tría suponemos repartida uniformemente sobre toda la esfera.

Es el caso en que una función se reduce á cero.

La Física experimental acude á la experiencia, y nada más
que á la experiencia para demostrar estas leyes, Ó si la pa-
labra ley parece sobrado jactanciosa en este caso, para de-
mostrar estos hechos.

Todo el mundo conoce los procedimientos que en Física
se emplean para la demostración. Se fabrican esferas de me-
tal huecas, se deja en ellas una pequeña abertura y por esta
abertura se introducen, Ó planos de prueba, Óó pequeños
aparatos que demuestren la no existencia de electricidad en
el interior y la no existencia de acciones eléctricas; y resulta
en efecto, que ambos parámetros son nulos,

0 AO,

Y no necesita el físico averiguar en qué consiste la electri-
cidad, ni las leyes de su distribución en los cuerpos conduc-
tores, ni ninguna teoría ú priori.

No hay electricidad en la cara interior de la esfera, no hay
influencia eléctrica en ningún punto de su hueco: esto no lo
demuestra, lo ve materialmente en sus aparatos; aparatos
que ha construido con arreglo á otra serie de hechos obser-
vados, ó de hechos que provocó artificialmente; sobre la di-
ferencia que existe entre lo uno y lo otro, algo diremos más
adelante.

En cambio la Física matemática, recoge los hechos obser-
vados; porque casi siempre, no siempre, la Física matemáti-
ca parte de hechos experimentales, y les busca explicación.

— 146 —

Explicación que alguna vez se funda sólo en las leyes mate-
máticas; explicación que otras veces, casi todas, está funda-
da en las leyes de la Mecánica; explicación por fin que se
apoya en otros hechos y en otros fenómenos, buscando de
esta manera la unidad de la ciencia.

Y sobre esto último, presentaremos más adelante un ejem-
plo muy notable, cual es la reducción de los fenómenos mag-
néticos á fenómenos eléctricos de la electrodinámica.

Pero volvamos al fenómeno á que hace poco nos hemos
referido: ausencia completa de electricidad y de acciones eléc-
tricas en el interior de un cuerpo conductor al cual se le ha
comunicado determinada carga de electricidad; y vamos á
probar, sin necesidad de acudir á la experiencia, que, en efec-
to, la carga debe distribuirse en la superficie, que en el in-
terior no puede existir electricidad libre, y que la resultante
de la fuerza eléctrica para todos los puntos interiores es nula.

Claro es, que el matemático que pretende resolver este
problema, no pretende imponer las leyes de su pensamiento
á la Naturaleza, cuando más procura buscar alguna armonía,
toda la armonía posible, entre la realidad física y la razón
humana.

Se parte, pues, en este fenómeno, como en todos los ante-
riores, de una ó de varias hipótesis, para ver, para ensayar
pudiéramos decir, si con tales hipótesis, las leyes de la Me-
cánica concuerdan con la realidad del hecho observado.

Y no á capricho hemos empleado la palabra ensayar, más
adelante veremos, y ahora sólo apuntamos la idea, que todas
estas teorías de la Física matemática, constituyen una verda-
dera experimentación del orden racional; es, en cierto modo,
la experimentación más perfecta, la que resulta de poner en
contacto el fenómeno real y la teoría que forjó el pensa-
miento.

Para nuestro caso, se supone como ya hemos dicho otras
veces, que la electricidad es un fiúido, quizá el mismo éter
que sirve para explicar los fenómenos luminosos; flúido en-

fo Yare +

AT

00

— 147 =—

“tre cuyos átomos existen fuerzas repulsivas centrales, es de-
“cir, que van de átomo á átomo, y cuya intensidad depende,
á la manera de la hipótesis newtoniana, del producto de las
masas de ambos átomos y de una función de la distancia.

Claro es, que sobre la naturaleza íntima de la electricidad,
se han hecho varias hipótesis, que todavía están en juego
simultáneamente, algunas de las cuales se procura armonizar
y no es difícil conseguirlo; por ejemplo, la de los dos flúidos
-y la del fiúido único, sin contar otras hipótesis más modernas.

Nosotros supondremos en este ejemplo, que sólo como
ejemplo presentamos, para ir marcando todos los caracteres
de la ciencia á que consagramos estos trabajos, que dos ató-
mos eléctricos se repelen en razón inversa del cuadrado de la
distancia.

Es una hipótesis provisional.

Pero con estas dos hipótesis nos basta para nuestro objeto.

Figura 4.

Y supondremos, para simplificar los cálculos, que se trata de
una esfera de metal O (fig. 4.*).

Supongamos cargada dicha esfera, con cierta cantidad de
electricidad, que por razón de simetría, admitiremos distri-
buída en capas esféricas de igual densidad alrededor del cen-
tro O de la esfera principal.

dr MB

En general, la carga eléctrica en un punto M, sería una fun-
ción de las coordenadas de este punto, y otro tanto podre-
mos decir de la fuerza eléctrica que sobre él actúe, de suerte
que tendríamos

y Ce (x, y, 2); y e 05 (x, y, 2).

Y vamos á demostrar que ambas funciones <¿ y f. son nu-
las, excepto en la superficie.

Empecemos por calcular la fuerza ys: es un cálculo elemen-
tal, que casi no valía la pena el recordarlo; pero en fin, no
queremos dejar nada incompleto en estas conferencias, que
como preparación para estudios más elevados, son por hoy
de carácter elemental.

Para estudiar la influencia de toda la masa eléctrica, que
suponemos repartida en la esfera metálica, consideremos dos
casos:

1.2 Acción de una capa esférica cualquiera ab BA de
radio R que envuelva al punto M.

2.” Acción de la esfera de radio r que pase por dicho
punto M ó á pequeñísima distancia de él.

Para estudiar la acción de la capa esférica, haremos pasar
por M infinitos conos, sumamente estrechos y que terminen
en dicha capa esférica, prolongándose al efecto por ambos
lados del vértice.

Sea MA B a b uno de estos conos, el cual determinará en
la expresada capa esférica dos masas muy pequeñas de elec-
tricidad ab y AB.

Y lo que digamos de este cono, diríamos de todos los
demás.

Pero es evidente, que las acciones de a b y A B sobre el
punto M son iguales y contrarias y se equilibran.

En efecto, llamando y á la masa de M; y L, l á las distan-
cias MA, Ma, tendremos:

— 149 —

po<masaAB |

Repulsión de A B sobre u ..... PRA,
Repulsión de ab sobre p..... LS,

y es claro que las distancias MA, MB son próximamente
iguales y podemos poner una cualquiera de ellas en el de-
nominador.

Podemos repetir otro tanto respecto á las distancias Ma
y Mb.

Además: masa AB = densidad eléctrica < área AB

y masa ab = densidad eléctrica < área ab.

Ambas densidades son iguales, porque pertenecen á la
misma capa esférica, y representándolas por 5, y poniendo

por área AB su valor AD y por área ab el suyo

COS Y

ad Pb , toda vez que los ángulos BA D y bad son igua-

les por una propiedad bien conocida de la esfera, resultará
por fin, prescindiendo de la constante:

Repulsión de AB sobre y = 1-29
L? cos u

y repulsión de ab ad
[? cos a

Pero estas expresiones son evidentemente iguales, puesto
que se sabe que

área .AD — área.ad
A PS A

luego el punto M está en equilibrio bajo la acción de estas
dos fuerzas, y por lo tanto bajo la acción de la capa esférica
que consideramos.

Si en M existiese una masa eléctrica y, niguna acción ejer-

a

cerían sobre ella todas las capas esféricas que la envolviesen
hasta llegar á la superficie, ni la electricidad de la superficie
tampoco.

Estudiemos ahora la acción de la esfera OM de radio r.

Se sabe que esta acción es la de toda la masa de la esfera
reunida en su centro, y, por otra parte, la demostración es
bien sencilla y está en todos los tratados de Mecánica.

De suerte que dicha esfera de radio OM = r dará una re-
sultante en dirección de dicho radio que arrojará forzosa-
mente á la partícula M á la superficie hasta llegar á N; por-
que en cualquiera otra posición podríamos repetir el mismo
razonamiento.

Luego hemos demostrado ambas cosas: que no puede
existir electricidad en el interior de la esfera, y que, por lo
tanto, no existiendo más que la capa esférica de la superfi-
cie, su acción debe ser nula en cualquier punto del interior
en el cual colocásemos una masa eléctrica.

Realmente la razón queda más satisfecha ante la necesidad
matemática del fenómeno, que ante el resultado de cualquier
experiencia; pero en este caso, como en todos los que he-
mos citado y en todos los que citaremos, los métodos de la
Física Matemática tienen un pecado original: las hipótesis
de que parten.

¡Acaso en su pecado está su fecundidad y su grandeza!

Pecado y peligro, repetimos, porque ¿quién nos dice que
la electricidad sea un flúido de fuerzas internas repulsivas?

¿Quién nos dice, sobre todo, que estas fuerzas sean cen-
trales, y que varíen en razón inversa del cuadrado de las
distancias?

¿No podría ser otra la potencia del denominador, no po-
dría ser otra la forma de la función ?

Afortunadamente, en este caso, la experiencia comprueba
y da valor relativo á la teoría.

En cambio, la teoría explica el resultado de la experien-
cia, reduciendo el fenómeno físico á un fenómeno de Mecá-

— 151 —

nica, y da tranquilidad en cierto modo á la razón humana,
que goza con especialísimo goce estético, siempre que en-
cuentra perfecta concordancia entre las leyes del mundo ma-
terial y las leyes del pensamiento.

IX. — Estudios de sintesis mineral.

POR José RODRÍGUEZ MOURELO

l

Introducción.—Métodos sintéticos en general.—Moléculas complejas inorgá-
nicas.—Procedimientos aditivos.

A pesar del gran número de minerales reproducidos en
los laboratorios, de los dilatados trabajos realizados para in-
vestigar los mecanismos de su formación y de ser tan copio-
sa y meritísima la literatura científica referente al particular,
es lo cierto que, demasiado circunscritos é individualizados
los sistemas, no hay todavía procedimientos generales y la
síntesis metódica de las substancias inorgánicas no es rea-
lizable fuera de ciertos límites bastante restringidos. Verdad
que la síntesis de los compuestos minerales, facilitada gran-
demente por el número y variedad de los cuerpos simples
y lo limitado de sus proporciones relativas en las substan-
cias que constituyen, fué modelo y punto de partida de la
síntesis orgánica, ahora tan adelantada; pero la flexibili-
dad de las combinaciones del carbono, la especial aptitud de
la molécula orgánica para transformarse, la semejanza espe-
cífica de sus metamorfosis y el conocimiento y determina-
ción de sus funciones características, fueron partes á estable-

= 152 —

cer procedimientos metódicos de síntesis orgánica, fundando
en ello todo el sistema de la Química de las indefinidas com-
binaciones del carbono.

Menester sería comparar métodos, medir el alcance de los
resultados conseguidos y el valor de las investigaciones lle-
vadas á término, si pretendiera apreciar los progresos de los
procedimientos sintéticos en lo orgánico y en lo mineral, y
sólo indicaré cómo han permitido llegar á las más complica-
das moléculas orgánicas, partiendo de sencillísimos elemen-
tos inorgánicos.

Bueno será indicar, no entrando de momento en pormeno-
res, ciertas características peculiares de la síntesis mineral,
que señalan el criterio de los presentes estudios y de los ex-
perimentos en ellos relatados. Primeramente advertiré que
no hay, fuera de contados grupos de cuerpos, procedimientos
de síntesis metódica que consientan formar agregados mole-
culares complejos, partiendo de elementos sencillos ó de las
más simples combinacicnes. Tenemos, por ejemplo, medios
indirectos de unir el fosfato, el cloruro y el fluoruro de calcio,
formando el cuerpo (Ca, Ph, O,), Ca Cl! Fl, que es una
apatita tipica; se puede substituir el calcio por el plomo, cons-
tituyendo de esta guisa un fluoclorofosfato bien definido; es
posible reemplazar el ácido fosfórico con los ácidos arsénico
y vanádico; cabe formar fluofosfatos simples, dobles y aun
triples y constituir series de cuerpos que se relacionen por la
semejanza de la composición y de las reacciones generado-
ras, y todavía se llega á representar su estructura de la mis-
ma manera; pero faltan métodos que consientan la reproduc-
ción metódica de las especies y el tránsito de unas á otras
empleando mecanismos adecuados y semejantes á los pues-
tos en práctica cuando en la síntesis orgánica se pretende
pasar de una función á otra más compleja, estableciéndose
por tales caminos relaciones de suma importancia entre cuer-
pos y series de cuerpos que á primera vista no las presentan
Óó las ofrecen remotísimas. Así es como se han determinado

— 153 —

los enlaces fundamentales de los hidrocarburos con las más
complicadas moléculas orgánicas.

No son escasos los artificios experimentales adoptados;
pero fuera de algunos géneros de sales semejantes á las ci-
tadas, su aplicación tiene mucho de empírica y se limita á
uno ó muy contados casos, y faltando la nota de generalidad
á los procedimientos, aunque lo acopiado sea abundante y
de mucha valía, fáltale la relación interna que es necesario
inquirir. Se procede en la Química mineral casi siempre por
síntesis, sobre todo en la formación de las sales, y sin em-
bargo, la síntesis mineral, limitada á reproducir especies na-
turales, no tiene ni la doctrina, ni la generalidad, ni los al-
cances de la síntesis orgánica á la que sirvió de modelo.

Conviene notar que en la síntesis no se ha de atender sólo
al método que consiente formar determinado compuesto con
su forma peculiar y sus caracteres propios; con ser ello im-
portante, lo es en mucho mayor grado el conocimiento de
los mecanismos generadores, los términos de esta evolución
química que, partiendo de los cuerpos simples, llega á las
moléculas complejas, transformando las más sencillas, por
vía aditiva hasta cierto punto, cambiando casi siempre sus
funciones en virtud de metamorfosis químicas variadísimas y
á veces muy singulares. Adviértese que en la síntesis mine-
ral, considerada en su conjunto, falta esto último; se ha dado
acaso excesiva importancia al método en sí, al procedimien-
to operatorio, en perjuicio de la doctrina, y se tuvo en mu-
mucho más reproducir la especie mineralógica pura, que in-
vestigar el mecanismo de su formación, siguiendo las fases
de ella y viéndola derivar de otras más sencillas para rela-
cionarlas entre si, de la propia forma que se relacionan los
hidrocarburos, los alcoholes y los ácidos, citando sólo fun-
ciones cuyas dependencias son bien notorias: no puede sa-
tisfacer un resultado, así sea tan considerable como la sínte-
sis de un meteorito, si no lleva aparejado el conocimiento
preciso de su mecanismo, en el sentido de formar el cuerpo

= 154:.—

empleando un sistema de reacciones generadoras, cuyos re-
sultados son precisos y necesarios, y de la mayor generali-
dad posible, lo cual pocas veces se ha conseguido hasta el
presente.

Otra característica de la síntesis mineral es la restricción
de los procedimientos, en cuanto los más generales —entre
ellos los adecuados para formar apatitas y vagneritas de
diversas clases — pronto encuentran el límite de sus aplica-
ciones y se concretan á asociar fosfatos, fluoruros y cloru-
ros, substituyendo metódicamente los metales que contienen,
constituyendo así series de cuerpos isomorfos, en cuya cons-
titución entran los grupos monovalentes (M” ClY y (M” FIY
que tienen analogías de estructura con otro residuo monova-
lente (O HY característico de no pocas funciones químicas.
Por eso Ditte ha comparado, con excelente acuerdo, los pro-
ductos resultantes de las acciones de los cloruros metálicos
sobre el fosfato de calcio fundido, á los hidratos salinos, en
cuanto su formación obedece á las mismas leyes y puede ser
explicada y entendida de una manera análoga sin la menor
violencia.

En semejante punto se detiene la interpretación de los he-
chos y no van más allá los alcances de la doctrina, y lo propio
sucede en los casos de modificaciones isoméricas, como las
características de los anhidridos silícico y titánico. Se obtiene
fácilmente el sulfuro de cinc cúbico calentando en tubo ce-
rrado y á 200” el sulfuro amorfo con agua sobresaturada de
gas sulfhídrico, y el experimento redúcese á un caso de apli-
cación de los fecundos métodos de Senarmont; mejor se lo-
gra todavía el sulfuro exagonal, calentando el amorfo por
algunas horas á temperatura muy elevada en una corriente
lenta de gas sulfhídrico, puro y seco, conforme á las conoci-
das prescripciones de Sidot, y entonces resulta el cuerpo bien
cristalizado y fosforescente, no siéndolo el cristalizado por
otros medios. Aparte de las variantes del color de la lumines-
cencia, dependientes de las impurezas del cinc originario del

— 155 —

sulfuro, he notado un fenómeno curioso: calentando al rojo
muy vivo, sostenido por cuatro horas y en corriente de gas
sulfhidrico puro y muy seco, el sulfuro de cinc amorfo y fos-
forescente obtenido por el método de Henry, conseguí me-
nudos cristales exagonales, en absoluto inertes para la luz y
desprovistos de las cualidades luminescentes que poseía el
sulfuro amorfo.

Pudiera multiplicar los ejemplos citando casos de cuerpos
isomorfos y síntesis de los dimorformos y polimorfos; á ve-
ces sus orígenes están en las mismas ó muy análogas reac-
ciones y en cuerpos de igual manera formados, variando
sólo los accidentes de los métodos operatorios, de esta suer-
te generalizados en lo que cabe. Mediante ellos, y aplicán-
dolos conforme cada caso lo requiere, se alcanza á reprodu-
cir buen número de substancias minerales; pero de los esta-
dos intermedios hasta llegar al equilibrio definitivo represen-
tado por su molécula, bien poco es lo que sabemos y no ha-
llamos, en la mayoría de los casos, explicación satisfactoria
para modificaciones moleculares de la indole de las mencio-
nadas, entre otras muchas, y en cuantos hechos se citaran,
veríase que por atender á la perfección técnina de los proce-
dimientos, en lo que se pusieron exquisitos cuidados, se ha
abandonado el explicar el mecanismo de los fenómenos.

Dimana, en mi sentir, tan notoria deficiencia, de ciertas
doctrinas tradicionales de la Química mineral, que no con-
sienten interpretar á derechas los hechos acaecidos cuando
reaccionan las substancias llamadas inórganicas: ahora, como
en los comienzos de la organización de la ciencia, no apare-
ce todavía claramente determinada la individualidad de la
molécula. Si es compleja, se considera generada por una
suerte de yuxtaposición de otras más sencillas, pero que en
ella encuéntranse diferenciadas sin haber perdido su carácter.
propio. No comprendemos la estructura de una molécula
salina sin separar lo correspondiente al ácido originario, lo
peculiar del metal y lo particular del agua, tratándose de un

—= 186: =

hidrato, cual si estos tres componentes se conservasen con-
forme son aislados al integrarse en un cuerpo más compli-
cado, pero que tiene su individualidad característica: en este
sentido persiste el principio de la dualidad de aquel primiti-
vo sistema binario, que se compadece mal con las actuales
ideas relativas á la generación y constitución de las molécu-
las químicas minerales.

Queriendo formarlas y metamorfosearlas mediante sus mu-
tuas acciones, Ó construyéndolas á partir de los elementos
sistemáticamente, es menester ver cómo del conjunto y meca-
nismo de las reacciones generadoras, de la evolución de la
materia y de los términos que comprende hasta alcanzar el
estado final del equilibrio difinitivo, de la suma de reaccio-
nes del sistema completo, se deriva una constante caracterís-
tica, que unida á las proporciones de los elementos y á sus
mutuas relaciones, es lo que en realidad determina la molécu-
la. Me refiero á su función propia, concepto que tan fecundo
ha sido para el conocimiento y la síntesis de los compues-
tos orgánicos; en los minerales, cuya estructura es quizá más
sencilla, comienza á tener aplicación y va sirviendo para es-
clarecer problemas de tanta monta como los relativos á las
tierras raras y á ciertas anomalías que presentan los óxidos
de hierro y el conjunto de los componentes salinos del cro-
mo. En tales casos, sin cambiar los elementos constitutivos
de la molécula, varían sus funciones, y el análisis demuestra
que se producen condensaciones moleculares de la misma
especie de las que son frecuentes en muchos de los com-
puestos de carbono, sencillos y complicados.

Fundándome en estas ideas, que Verneuil y Wyrouboff
han desarrollado en una Memoria reciente, he ordenado mis
investigaciones de síntesis mineral, que se refieren determi-
nadamente á la formación sistemática de moléculas inorgá-
nicas complejas, valiéndome casi siempre de procedimientos
aditivos y á veces de otros de cierta generalidad, cuyas re-
laciones con los fenómenos de la eterificación procuraré ha-

— 157 —

cer resaltar, mediante el concepto de función. Antes de ex-
poner resultados experimentales, conviene á mi propósito,
considerar un punto los métodos de la síntesis mineral y la
doctrina que de los mismos deriva, tocante á los modos de
transformar las moléculas, haciendo entrar en ellas nuevos
elementos, que cambian á la continua su estructura.

*
* *

Redúcense á contados artificios los mecanismos generado-
res empleados en las operaciones de síntesis mineral y de-
penden del objeto que ésta se proponga. Si en ella incluímos
los puros cambios de forma, llevados á cabo con substan-
cias ya constituidas, sus dominios se extienden sobremane-
ra, por cuanto comprenden, entonces, todos los medios de
cristalizar los cuerpos; pero, en cambio, se limitan bastante
considerando sólo la reproducción de las substancias median
te reacciones químicas. De tal manera se puede establecer
una primera diferencia, poniendo de un lado las modificacio
nes de forma, concretadas á generar estados cristalinos, á
partir de moléculas amorfas ó ya cristalizadas de modo dis-
tinto, y de otro lado la verdadera síntesis, que procede inte-
grando moléculas sencillas y añadiéndolas unas á otras sin
eliminar cosa alguna, Óó acudiendo á determinados cambios,
que al producir el cuerpo buscado, lo hacen á expensas de
otros que á su vez se metamorfosean. En los dos casos es
bien sabido que intervienen, en la mayoría de las ocasiones,
los agentes ordinarios de las modificaciones químicas y ade-
más otros, llamados mineralizadores, á los cuales son debi-
dos singulares hechos, y vale citar los fenómenos de trans-
porte y cristalización que causan algunos gases, como el
sulfhídrico y el vapor de cloruro de sodio, que es asimismo
excelente disolvente, y las influencias del fluoruro de calcio
en buen número de operaciones de síntesis.

Grandes son las transformaciones moleculares que impli-

Rrv. Aca. Ciencias.—IV,—PFebrero, 1906, 12

UR

can los cambios de forma y la constitución del estado crista-
lino, que no parecen afectar á la estructura química de los
cuerpos. Pártese de ellos ya hechos y de un equilibrio de sus
partículas para venir á dar en otro, en el cual son distintas
las disposiciones de las moléculas, orientadas conforme á
leyes de simetría, como resultado de un trabajo especial, en
el que intervienen de continuo enérgicas acciones térmicas.

Suelen aplicarse, para realizar los cambios de forma, dos
procedimientos, que se diferencian porque en uno la meta-
morfosis prodúcese sin intervención de materias extrañas, con
sólo actuar el calor —fusión y sublimación, —y en el otro se
han menester disolventes Ó gases y vapores que á tempera-
tura elevada convierten las moléculas amorfas en moléculas
cristalinas. En general podemos afirmar que cuando un cuer-
po cambia de estado, directamente Ó interviniendo otros
cuerpos, al recobrar el primitivo, cristaliza si esta reversibi-
lidad es bastante lenta: los recientes experimentos concer-
nientes á la cristalización de los metales por enfriamiento de
sus vapores, son buen apoyo de la doctrina; pues aun los
más refractarios de la familia del platino adquieren formas
cristalinas regulares, propias y características, empleando
artificios análogos á los usados para sublimar la naftalina ó
el ácido oxálico y residiendo las diferencias en la cantidad
de calor necesaria para cada caso. De la misma índole son
los trabajos ejecutados, y es el calor el agente que los lleva
á término, y sólo por la intensidad varían. No es privativo
el cambio, en la forma apuntada, de las moléculas simples
minerales, y basta recordar, para demostrarlo, la cristaliza-
ción de los cloruros y cómo es posible obtener cristales de
anhídrido silícico enfriando su vapor producido en el horno
eléctrico, y cuerpos bastante más complejos del orden de los
silicatos naturales, son asimismo productos de sublimación
ó formados mediante reacciones químicas, entre vapores, á
temperatura muy elevada y con extremada lentitud; mas
cuando no tienen carácter aditivo, aparecen bastante compli-

— 159 —

cadas y originan productos accesorios y secundarios que son
parte á limitarlas, constituyéndose equilibrios particulares.
He de intentar una interpretación de estos cambios de es-
tado, fundada en hechos concretos, bastante generales en los
compuestos de carbono; me refiero á los fenómenos llama-
dos de polimerización. Me importa traer á cuento al presente
sólo dos maneras ó formas suyas; aquella en la que varias
moléculas de un cuerpo se condensan para constituir otras
más complejas, siendo de este género el génesis de los car-
buros llamados pirogenados y la síntesis del benceno, par-
tiendo del acetileno, para no citar sino ejemplos muy ele-
mentales, y la referente á cambios de funciones y propiedades
por la sola intervención del calor, sin variar las proporcio-
nes de los elementos constitutivos de los cuerpos. De tal li-
naje es el primitivo método de obtener la urea sintética, po-
limerizando, por el calor, el cianato amónico, y es bien cono-
cida y fácil de realizar la reproducción de la sulfúrea, calen-
tando durante cierto tiempo, á temperatura constante y no
muy elevada, el sulfocianuro amónico; de la propia suerte,
los ácidos ciánico y cianúrico son productos de igual com-
posición (NC), (OH), producidos en la destilación seca de
la urea. |
Teniendo en cuenta la índole especial de la polimerización
cuando se refiere á variaciones de caracteres, sin que por ello
se cambie ni altere la composición elemental de los cuerpos,
se consideran como un trabajo de la energía térmica, inverti-
do en modificar las estructuras moleculares y las propieda-
des de ellas dependientes; son, á la postre, cambios de es-
tado del mismo carácter que la fusión y la vaporización y
todo depende de las posiciones relativas de los elementos
constitutivos de la molécula. Pueden, en tales casos, admitir-
se las nuevas propiedades en el sentido de funciones de la
temperatura, conforme dependen del calor empleado en ge-
nerarlo, las del fósforo rojo, comparadas con las de su gene-
rador el fósforo ordinario: en el propio sentido han de consi-

— 108 —

derarse las modificaciones moleculares del anhidrido arsenio-
so; y á los tipos de aquellas donde se advierte condensación,
_pertenecen las del sesquióxido de hierro estudiadas por Ni-
colardot y las de los sulfatos de cromo que Recoura ha in-
vestigado, con otras varias que son también conocidas y
cuyo mecanismo está puesto en claro.

Insistiré en aplicar las interpretaciones precedentes á
aquellos resultados de los métodos sintéticos cuyo objeto re-
dúcese á cambiar la forma de los cuerpos, sin variar su com-
posición elemental, generando el estado cristalino. Es siem-
pre punto de partida la substancia amorfa ya constituida, y
el calor agente obligado de las transformaciones. Pueden ser
éstas lentas y espontáneas como en el azufre Ó más rápidas
como la cristalización por fusión, á ejemplo de la peculiar
del bismuto; otras hay en las que se requiere disolver los
cuerpos en otros fundidos, y así se cristalizan muchos Óxi-
dos metálicos, siendo disolvente el cloruro de sodio; el ses-
quióxido de cromo préstase muy bien al experimento. A ve-
ces es menester reducir las substancias minerales á vapor, y
al condensarlo cristalizan, y varias, sin tornarse gaseosas,
sólo afectan las formas regulares mediante ciertas influen-
cias de vapores y gases: de esta clase son las cristalizacio-
nes de la alúmina en presencia del fluoruro de calcio, de la
blenda exagonal en corriente de gas sulthídrico y los singu-
lares fenómenos de transporte efectuados por el cloruro de
sodio en vapor, sin que haya reacción química de ninguna
clase. Y quedan todavía los casos de formación de cristales
empleando disolventes líquidos, que pueden contribuir á la
generación de variados hidratos.

Viniendo ahora en particular al mecanismo del fenómeno
del cambio molecular, importa advertir que no se hace de
una vez, siendo menester pasar por estados intermedios has-
ta dar en el equilibrio definitivo representado en el cristali-
no, y esto se observa con mucha facilidad cuando se trata de
cristalizar un cuerpo mediante simple fusión y lento enfria-

— 161 —

miento, sin el auxilio de fundentes fijos ó volátiles. Son los
silicatos la mejor materia para tal linaje de experimentos;
fundidos y enfriados con cierta rapidez, conviértense en unos
agregados especiales, ni amorfos ni cristalizados, tránsitos
Ó intermediarios entre los dos estados; dícese que se vitrifi-
can. De su parte los vidrios, calentados á temperatura cer-
cana de su punto de fusión, producen cristales, demostran-
do así la condición de estado intermedio y de tránsito, y que
para generar el estado cristalino perfecto se necesita un tra-
bajo largo, una evolución revelada en los vidrios, en los
mismos cristales imperfectos, en los microlitos que repre-
sentan formas no llegadas á la plenitud del desarrollo y en
las agrupaciones y anomalías peculiares de una labor no ter-
minada.

Juntando, de una parte, las observaciones referentes á la
formación de polímeros interviniendo sólo el calor en calidad
de agente de transformaciones moleculares, y, de otra parte,
los medios de generar cristales por vía térmica, modificando
sólo la estructura de la molécula inorgánica, vense al punto
las relaciones de los cambios de estado, mejor diré, sus ana-
logías en este caso sencillo, porque también las hay en otros
que implican más hondas metamorfosis. Cierto que no po-
drán invocarse aquí diferencias tan singulares como las de
las polimerías orgánicas; pero será cuestión de intensidad en
las modificaciones, quizá por ser mucho más flexible y apro-
piada á ellas la molécula orgánica; pero el mecanismo del fe-
nómeno es el mismo y se reduce á un trabajo térmico, ma-
nifestado en las diferencias de propiedades y aun en el cam-
bio de funciones, tratándose de las materias orgánicas, y en
la forma cristalina respecto de las inorgánicas; en las prime-
ras está íntimamente ligada á las magnitudes moleculares, y
aunque en las segundas no hay pruebas evidentes de ello, es
verosímil que existan relaciones del mismo orden; y así no
será muy aventurado el admitir que las moléculas minerales
cristalinas son los productos de la polimerización, debida al

— 162 —

calor, de las mismas moléculas amorfas, con sus tránsitos
ó equilibrios intermedios entre uno y otro estado.

Uniría la hipótesis enunciada fenómenos en apariencia muy
distantes; pero que en realidad débense á iguales causas y
son cambios de estado traducidos en modificaciones molecu-
lares, y la semejanza resalta mejor comparando los casos en
los que no se advierten condensaciones. Considerando, en
un sentido muy general, aquellos métodos de síntesis inor-
gánica, cuyo fin es generar el estado cristalino sin producir
otras modificaciones en la composición química de los cuer-
pos, es como se llega á incluir semejante hecho en la cate-
goría de ciertas y determinadas polimerizaciones que afectan
á la estructura de la molécula, alterando la disposición y la
orientación de sus elementos constitutivos, pero en grados y
de maneras diferentes, traducidos en variaciones de propie-
dades en ciertas ocasiones y en la producción de cristales en
otros casos; es decir, en la formación de equilibrios molecu-
lares distintos, empleando los mismos materiales é intervi-
niendo á la continua la acciones del calor.

Llevan á mayores transtormaciones los métodos químicos
propiamente dichos, en los que, partiendo de los elemen-
tos de los cuerpos ó de determinadas combinaciones que los
contengan, llegan á constituirse nuevas y distintas moléculas,
cuya composición y estructura pueden ser en extremo com-
plicadas, conforme acontece con la reproducción de los sili-
catos múltiples. En realidad, los procedimientos de la sínte-
sis mineral no son distintos de los empleados para efectuar
cualquiera linaje de metamorfosis de los compuestos inorgá-
nicos; la diferencia estriba en las circunstancias especiales
en que se llevan á cabo las operaciones; trátase en ellas de
perturbar ó destruir un equilibrio, de ordinario muy estable,
para crear otro distinto, de reformar moléculas, substituyen-
do algunos de sus elementos, de complicarlas uniéndolas con
otras de su misma especie, Ó de especies diferentes. Pero
como los lazos que unen los elementos de la molécula mine-

— 163 —

ral son fuertes y rígidos y su disgregación y transformación
exigen vencer inercias y resistencias de combinaciones muy
exotérmicas, se ha menester emplear agentes de energía con-
siderable en la mayoría de los casos, y de aquí que la sínte-
sis mineral sólo sea posible y completa á temperaturas muy
elevadas, Ó interviniendo presiones extremadas; y aun en
muchos casos, los lazos así establecidos, pueden romperse ó
debilitarse, modificando bien poca cosa sus condiciones de
formación.

Ya se comprende que en los resultados de las operaciones
de síntesis mineral influye grandemente el estado físico de
los cuerpos que intervienen en las reacciones originarias, y
en ello se funda la clasificación de los métodos y estriba el
modo de aplicarlos, en particular eligiendo el más conve-
niente, con arreglo á la forma inicial de las substancias des-
tinadas á las transtormaciones, aun tratándose de su unión
directa ó de síntesis aditiva. También se ha de notar que no
es su fin único generar cuerpos mediante la unión de sus
componentes, sino además darles aquella forma cristalina, ca-
racterística de cada uno; y así se unen y completan el traba-
jo de constituir el cuerpo y el de modificar su molécula, para
que adquiera el estado cristalino definitivo.

Muy variados son los sistemas operatorios, aunque su
complicación no se relaciona casi nunca con la de los cuer-
pos generados; pero son reductibles á unas cuantas reaccio-
nes generales, condicionadas por el estado de las substancias
que en ellas intervienen y por la temperatura á la cual se rea-
lizan, Ó el valor de la presión, en los casos menos frecuen-
tes de su empleo: esta influencia de la temperatura manifiés-
tase en la misma forma ó estado del producto. Sirva de ejem-
plo el hecho, observado hace tiempo por Hautefeuille: cuan-
do se funde el volfromato ó tungstato de sodio, WO, Na,,
con sílice pura y amorfa, puede cristalizar el anhídrido si-
lícico, y según intervenga el calor, se produce, á 900”, el
cuarzo y á temperaturas más elevadas la tridimita. Utilizase

E

el fenómeno, que es bastante general y resulta con otros fun-
dentes de muy diversa naturaleza, para obtener, á voluntad,
una ú otra forma de los cuerpos susceptibles de cristalizar
en varias compatibles. Corresponde á diferente linaje de ac-
ciones otro fenómeno muy conocido, estudiado por H. Sainte-
Claire Deville, y se refiere á la intervención de los gases: á
veces, cantidades pequeñas y limitadas de algunos de ellos,
el fluoruro de silicio principalmente, bastan para hacer cris-
talizar masas minerales de relativa consideración; y se ha
observado que la perfección de las formas en las substancias
susceptibles de cristalizar, á temperatura muy elevada, en
una corriente gaseosa, por lo general inerte, depende de la
lentitud y regularidad de la misma; y he podido comprobar-
lo, obteniendo la blenda exagonal por el método de Sidot.

Acciones singulares son también las del agua sobre aque-
llas substancias consideradas insolubles. Empleándola calien-
te y sin presión, y mezclando cuerpos amorfos que no se
disuelvan, enfriando luego y repitiendo la operación muchí-
simas veces, se alcanza á cristalizar cuerpos como el sulfato
de bario, sin acudir á otros artificios, y lógranse agrupamien-
tos cristalinos notables de cuerpos que el agua no disuelve
de ningún modo. Con excelente resultado, á pesar de su ex-
traordinaria lentitud, me he servido de semejante procedi-
miento para cristalizar el óxido de antimonio, que es uno de
los ejemplos que suelen aducirse.

No entra en mis propósitos, el citar, uno por uno, los méto-
dos de la síntesis mineral, y sólo pondré aquí los fundamen-
tales, indicando, con algún ejemplo bien notorio, el mecanis-
mo de las reacciones generadoras, no teniendo presentes de
momento las secundarias y las accidentales, á pesar de su
reconocida importancia. Unicamente indicaré, al presente,
los modos químicos de formar ciertas combinaciones mine-
rales, tengan ó no su representante natural, sin tratar siquie-
ra de los medios adecuados para separarlas de la masa que
las contiene.

4

— 165 —

a) Es caso frecuente el de la reacción entre dos cuerpos
fundidos á temperatura elevada y pueden ocurrir dos modi-
ficaciones principales: uno de los cuerpos deja libres elemen-
tos del otro y se combina con los restantes, ó se producen
dobles descomposiciones. Al primer tipo pertenece la obten-
ción de la alúmina cristalizada, desalojándola del aluminato
de plomo por medio de la sílice, en esta forma:

AL_O,Pb + SiO, = SiO,¿Pb + Al, O,,

que constituye una reacción singularisima, teniendo en cuen-
ta las afinidades del ácido silícico, respecto del aluminio, y la
existencia de los silicatos simples y múltiples, anhidros é hi-
dratados, de este metal. Corresponden como ejemplo del se-
gundo tipo, buen número de procedimientos de preparar sa-
les, y citaré sólo el de Manross para la síntesis de la baritina,
fundiendo cloruro de bario y sulfato de potasio, que á eleva-
vada temperatura se descomponen enteramente con cambio
de metales:

Cl,Ba + S0,K, =SO,Ba + 2 CIK,

cuyo fenómeno tiene su límite, de modo que continuando las
acciones del calor, pueden efectuarse reacciones inversas,
conforme acontece en las dobles descomposiciones ordina-
rias, y de aquí que se circunscriba á síntesis bien determina-
das como la citada, que es positiva y completa; pero, según
experimentos que he practicado, no siempre el producto se-
cundario hace tan sólo de fundente apropiado á la cristaliza-
ción del principal, que ocasiones hay en que se une á éste
para constituir por vía aditiva moléculas más complejas. Se
generan de tal suerte varios fluofosfatos especiales, que me
permito llamar incompletos.

b) Otro método reconoce por principio las reacciones
efectuadas entre cuerpos volátiles á elevada temperatura y

TB —

que sólo accionan en estado gaseoso. De tal género es la
formación, bastante general, de los óxidos metálicos, des-
componiendo por medio del vapor de agua los correspon-
dientes cloruros volatilizados; así el óxido de níquel NiO
ha sido producido de esta manera:

Cl, Ni+ H,0=NiO0 +2CIH:

pero la reacción puede ser limitada á causa de la actividad
del ácido clorhídrico formado, cuerpo enérgico, capaz de
actuar sobre los óxidos metálicos, regenerando los cloruros
que habían servido de primera materia. Variantes del proce-
dimiento conócense numerosas, que no son tan sólo los clo-
ruros en vapor los cuerpos descomponibles á elevada tem-
peratura en contacto del vapor de agua, aunque ningún otro
se ofrece con tanta facilidad para producir los óxidos metá-
licos cristalizados.

c) Bien sabido es que tienen mayor generalidad y se
prestan á mayores modificaciones las reacciones llevadas á
término entre sólidos y gases Ó vapores, y puede ocurrir que
éstos actúen por una suerte de acción de presencia, sin in-
tervenir en las combinaciones, Óó que obren químicamente.
Hállase buen ejemplo de lo primero en las influencias del
ácido bórico Ó de compuestos fluorados volátiles en la pro-
ducción de la alúmina cristalizada, y de lo segundo hay va-
rios tipos de síntesis: el sulfuro de cobre octaédrico Cu,S
prodúcese calentando al rojo el cobre metálico en una co-
rriente de nitrógeno, que sirve de vehículo al vapor de azu-
fre; cualquiera compuesto manganoso sirve para generar el
sulfuro cúbico Mn S, correspondiente á la alabandina natu-
ral, con sólo calentarlo al rojo sombrío en una corriente de
gas sulfhídrico seco:

SO, Mn + SH, = MnS + SO, H,,

no siendo la transformación total, porque si no se procura

— 167 —

eliminarlo, el ácido sulfúrico actúa sobre el sulfuro formado
y regenera el sulfato, por lo cual la reacción, aunque apro-
piada para la generación de sulfuros metálicos, está limitada
por las cantidades de ácido que resultan libres y en condi-
ciones de temperatura apropiadas á sus reacciones con los
cuerpos generados. |

Pueden citarse también las reacciones productoras de la
espinela típica Ó aluminato de magnesio, Al, O, Mg, pre-
parada actuando el vapor de cloruro de aluminio sobre el
óxido de magnesio calentado al rojo, siguiendo el clásico
procedimiento de Daubrée:

Al, Cl, + 4 Mg O= Al, O, Mg + 3 Cl, Mg,

siendo entonces completa la metamorfosis. Actuando sobre
su mezcla calentada el gas ácido clorhídrico, pueden re-
accionar el sesquióxdo de hierro y el óxido de magnesio,
formando el cuerpo Fe, O, Mg, cuyas analogías de constitu-
ción química con la espinela son notorias. Cuando reaccio-
nan el vapor de agua diluído en anhídrido carbónico, el clo-
ruro manganoso (diez partes) y el anhídrido silícico (una
parte), operando al rojo cereza, se obtiene primero el silica-
to Sí O, Mn (rodonita) y luego el silicato Sí O, Mn, (tefroi-
ta) conforme á las investigaciones de Gorgeu, siendo aquí el
cuerpo gaseoso nada más que agente del cambio químico.
De tres modos se puede obtener cristalizado el silicato de
circonio que constituye el mineral llamado circón, es á sa-
ber: por medio del fluoruro de circonio y la sílice, reaccio-
nando el fluoruro de silicio con la circona y calentando al
rojo, en una corriente de fluoruro de silicio, la silice y la cir-
cona mezcladas ó en capas alternadas, dentro de un tubo de
porcelana. ,

Como los ejemplos citados hay muchos, que permiten ex-
tender el procedimiento á buen número de síntesis de subs-
tancias minerales, y aparte de estos resultados, de suyo im-

— E —

portantes, las reacciones entre sólidos y gases ó vapores, lle-
vadas á término á temperaturas elevadas, explican la gene-
ración de varios compuestos inorgánicos naturales, en parti-
cular de origen volcánico. En general, las metamorfosis quí-
micas producidas de la manera que es dicha, comprenden una
evolución determinada: á partir de un sistema inicial hasta el
equilibrio definitivo se marcan sus períodos con la apari-
ción de cuerpos intermedios, conforme acontece en el caso
citado de los silicatos de manganeso; los trabajos químicos
son lentos y tienen sus fases determinadas y represéntanlas
cuerpos ó series de cuerpos que se consideran productos in-
completos, y pueden relacionarse con el estado inicial y el
estado final del sistema de los que reaccionan.

Queriendo interpretar las reacciones generadoras de com-
binaciones minerales, acudiendo sólo á los resultados expe-
rimentales, es menester tener en cuenta, principalmente, dos
géneros de influencias, que son: el estado de los cuerpos
que reaccionan y los fenómenos de disociación. Cuanto á lo
primero, hay que diferenciar el de los que se modifican y el
de los que constituyen los medios apropiados á las modifi-
caciones (fundentes, gases y vapores inertes) esenciales, in-
dispensables en las operaciones generadoras, sin que al cabo
de ellas den nada de su substancia á los cuerpos resultan-
tes: esto mismo indica que en la mayoría de los casos la sín-
tesis mineral requiere, con las materias originarias de los
cuerpos, un medio externo adecuado para el cumplimiento
de sus evoluciones quimicas. Manifiéstase el estado de aqué-
llas como un trabajo térmico, fusión ó volatilización, en cuya
virtud, desligándose unas de otras, las moléculas adquieren
la necesaria movilidad y la precisa energía. Tratándose casi
siempre de cuerpos no libres, sino aprisionados en combi-
naciones muy estables y de elementos singulares por su iner-
cia química, como productos en extremo avanzados de la
evolución de la materia, constituidos con la mayor lentitud,
á presiones y temperaturas elevadísimas, se comprende que

ER SY

— 169 —

para la formación de un nuevo estado se haya menester del
trabajo preliminar de destruir su cohesión para que luego
reaccionen gases con gases, líquidos con líquidos, gases con
líquidos ó sólidos, ó solidos con líquidos.

Después de semejantes transformaciones, y acaso produ-
ciéndose al mismo tiempo, lleva á cabo el calor otros traba-
jos de orden químico. Aumentado el espacio libre que cada
molécula puede recorrer, aumentadas su movilidad y energia
y aumentados los choques y rozamientos con otras dotadas

- de iguales actividades, y creciendo al propio tiempo la tem-

peratura, es llegado el punto en que el equilibrio del sistema
se altera y comienza la disociación, resultando moléculas li-
bres más sencillas, activísimas, nacientes, en presencia de
otras dotadas de semejantes energías; y como pueden for-
mar nuevos equilibrios, que responden á cuerpos dotados
de mayor estabilidad, se unen y los constituyen con aquella
lentitud necesaria para que resulten cristalizados en sus for-
mas particulares. l

dl) Reaccionan muchas veces los cuerpos disueltos y á la

* temperatura ordinaria ó con el auxilio del calor pueden ser

generados otros por vía sintética, insolubles é hidratados,
siendo el agua el disolvente de más general empleo. Es un
excelente procedimiento para obtener las substancias minera-
les en estado coloide y requiere extremada lentitud en su for-
mación; así, las mezclas de los líquidos, ó por mejor decir,
su difusión, suele hacerse por medio membranas ó tabiques
porosos; no empleando líquidos muy alcalinos da excelentes
resultados la porcelana de amianto; si una de las disoluciones

está bastante concentrada y es densa, sobre ella puede verter-

se la otra más diluída, evitando su mezcla, y entonces, en la
superficie de separación de los líquidos, es donde se efectúan

- las reacciones. Repitiendo un experimento de Monier, he co-

locado en un vaso la disolución muy concentrada de silicato
de sodio y sobre ella otra diluida de ácido oxálico, dejándo-
lo en reposo, y al cabo de seis meses, la superficie de sepa-

— 170 —

ración era una costra de hidrato silícico duro, compacto y de
color blanco. Acaso el ejemplo más notable de este género
de reacciones se refiere á los medios de precipitar la sílice ge-
latinosa formando el ópalo, que es la especie mineral que la
representa: desde que en 1853 se ensayó el empleo de las di-
fusiones lentas á través de tabiques porosos, hiciéronse nu-
merosos ensayos sin un resultado concluyente, obtuviérose
precipitados gelatinosos, que sin perder su aspecto, se con-
cretan en laminillas duras Ó en gránulos cristalinos y esfe-
rillas de color lechoso, á veces transparentes; pero tales pro-
ductos no se asemejan á los ópalos naturales ni son tampoco
calcedonias.

En el orden de semejantes tentativas cabe practicar un ex-
perimento, variante de los antiguos ensayos de Gergens,
que datan de 1858. Basta colocar, en disoluciones muy con-
centradas de cualquiera de los silicatos de potasio 6 de sodio,
algunos cristales de sulfatos metálicos coloridos, como los de
hierro, cobre, manganeso ó violeta de cromo, para advertir,
al cabo de poco tiempo, la precipitación del hidrato silícico»
formando arborizaciones constituídas por finísimos tubos ca-
pilares, con colores diversos y cuya disposición recuerda la
particular de la superficie de algunas ágatas, de las cuales
parece el curioso fenómeno reproducción incompleta.

e) Suelen emplearse, en varias operaciones sintéticas, al-
gunos de los cuerpos en ellas necesarios, al estado sólido y
los otros líquidos ó disueltos; el caso se reduce á modifica-
ciones químicas, llevadas á cabo en un medio líquido, en el
cual los cambios hállanse facilitados, tanto por su movilidad
relativa, como por el estado particular de disociación electro-
lítica en que pudieran hallarse los cuerpos disueltos, en algu-
nos casos. Conviene advertir que se trata de reacciones quí-
micas de extremada lentitud, en las que deben intervenir fe-
nómenos capilares, pudiendo aplicarse á muchas la ley de
las fases, siendo de esta categoría las productoras de buen
número de compuestos salinos naturales, cuya formación ha

— 171 —

estudiado el profesor Van'T Hoff y de la que hay en Espa-
ña notables ejemplos, cuya investigación es actualmente ob-
jeto de mis estudios y experimentos. No se trata sino de las
formas de las reacciones, sin contar, por el momento, con
sus mecanismos y resultados, y de aquí el incluir en el gru-
po las substituciones de unos metales con otros en las sales
disueltas, conforme acontece en la precipitación de la plata
con el cobre y de éste empleando el hierro. Aplicase el méto-
do para obtener sulfato de plomo insoluble en el agua, si-
guiendo el método de Manross, con algunas modificaciones;
la reacción generadora es esta doble descomposición :

CUPOS O4Bb 13 266

y se practica colocando en un vaso cristales de sulfato de.
potasio, añadiendo agua destilada y en el seno del líquido
se suspende, unido á un alambre de platino, el cloruro de
plomo fundido; el sulfato formado aparece cristalizado en ta-
blas blancas y brillantes, con todos los caracteres de la an-
elesita natural.

f) Fueron siempre de la mayor importancia los resulta-
dos conseguidos en la síntesis mineral empleando la presión
en calidad de agente de modificaciones químicas: se opera
de continuo en tubos cerrados y con substancias líquidas ó
disueltas, que ejercen acciones entre sí ó sobre cuerpos sóli-
dos pulverizados mezclados con ellas; es un medio de des-
pertar afinidades el hacer que, calentando los dichos tubos
de modo adecuado, se desarrollen en su interior considera-
bles presiones.

Tienen muchas analogías, en su técnica, las Operaciones
de síntesis mineral que se practican en tubos cerrados con
las de sintesis orgánica empleando parecidos medios; sólo
que en las reacciones inorgánicas se requiere muchas veces
mayor presión y los tubos de vidrio más resistentes no bas-
tan para llevarlas á cabo. Este método es bastante general,

— 172 —

y se funda en un hecho tan sencillo como la descomposición
del vidrio por la sola acción del agua calentada en un tubo
cerrado de aquella materia. Senarmont usa el sistema con ex-
celente resultado, aplicándolo á la cristalización del anhídri-
do titánico, por ejemplo, consiguiendo reproducir el rutilo
calentando el cuerpo amorfo á 200”, y en tubo cerrado, con
agua saturada de ácido carbónico. De la propia manera, va-
liéndose de esta misma disolución, de otras de ácido clorhí-
drico y de las de bicarbonato de sodio, consiguió el propio
investigador notables cambios de estado y transformaciones
de cuerpos coloides en cristales definidos, sirviendo de tipo
el fluoruro de calcio gelatinoso, capaz de cristalizar en cu-
boctaedros, calentándolo bajo presión á 180” con agua satu-
rada de bicarbonato de sodio.

Generalmente, el método de la presión producida elevan-
do la temperatura de los cuerpos contenidos en un medio lí-
quido y en tubos cerrados, sirve para producir y hacer ne-
cesarias reacciones, que de otro modo no pueden realizarse;
así, el carbonato de calcio sólido y el cloruro de magnesio
disuelto, sólo cuando reaccionan en tubo cerrado y á 200”
producen el carbonato (C O,). Ca Mg; en las mismas con-
diciones, el bicarbonato de calcio y el sulfato de magnesio
dan dolomita y yeso, conforme lo demuestran los experimen-
tos de Sterry Hunt. Cuéntanse entre las mayores aplicacio-
nes del sistema la formación de algunos silicatos complejos
de la serie de los feldespatos naturales, que realizaron Frie-
del y Sarasín calentando, á temperatura de 500” á 800" y
por largo tiempo, en tubos cerrados de acero, interiormente
revestidos de platino, disoluciones de los silicatos de potasio
ó sodio, según los casos, con alúmina precipitada, generan-
do así los correspondientes silicatos dobles, que constituyen
la ortosa y la albita naturales.

£) Un método destinado sin duda á ser el más fecun-
do y general, pero todavía muy restringido y limitado, se
funda en el empleo de la energía eléctrica. Bien que en mu-

— 173 —

chos de los intentos hechos, los resultados hayan sido dudo-
sos Ó negativos, ó que la técnica del procedimiento sea de-
fectuosa y complicada, es lo cierto que no se ha extendido
todo lo que prometían algunas de las operaciones realizadas
mediante su concurso, cuya eficacia parecía con largueza de-
mostrada. Sin embargo, hay una causa perturbadora, de la
que, en cierta medida, participan todos los otros procedi-
mientos: es el punto de partida ó inicial un sistema condicio-
nado por el estado físico de los cuerpos que lo constituyen
y que contienen en distinta forma los elementos necesarios
para constituir el estado final, pasando por todos los térmi-
nos de la evolución química, en la que influye necesariamen-
te el mecanismo de los procedimientos empleados para lle-
varla á debido término y cumplimiento.

Haciendo reaccionar los cuerpos, no se alcanza, de una
vez, la transformación apetecida, que por su misma natura-
leza requiere lentitud; pero se provocan disociaciones par-
ciales del sistema inicial y se concibe que llegará momento
en que una parte del mismo permanezca inalterada, coexis-
tiendo con algunos de sus elementos libres y muy activos y
con proporciones variables del nuevo sistema ya formado y
- constituído, y podrá suceder que las cantidades de aquéllos,
activados por el calor ó la electricidad, sean tales, que, llega-
das á cierto límite, actúen sobre los mismos productos de la
sintesis y por reacciones inversas regeneren el estado primi-
tivo del sistema. Quizá debido á la frecuencia del hecho en
no pocos casos de electrólisis, se limita bastante este medio
de sintetizar los compuestos inorgánicos, reproduciendo es-
pecies mineralógicas. Becquerel lo empleó, sin embargo,
hace ya tiempo, logrando buenos resultados, aplicando la
electricidad á formar, por ejemplo, hidratos del ácido silícico
y del aluminio, y son clásicos sus trabajos acerca de los fe-
nómenos electrocapilares, que consienten generar, por vía
sintética, cuerpos como el aluminato de calcio cristalizado.

Vemos cómo los mecanismos de los procedimientos prác-

Rey. Aca. Crencias.—IV.—Febrero, 1906. 13

E

ticos de la síntesis mineral no son, en realidad, distintos de
los de cualesquiera otros órdenes de reacciones químicas, y
lo que constituye el carácter privativo suyo es la manera y
el medio de realizar los cambios en esta ocasión particular.
Fuera de algunos casos, llévanse á término á elevada tem-
peratura, único modo de romper los lazos que la afinidad ha
constituido muy apretados, formando otros todavía más
fuertes é íntimos entre cuerpos y sistemas de cuerpos que,
de otra suerte, no contraerían ningún género de alianzas mo-
leculares, permaneciendo indiferentes, aunque su contacto
fuera muy íntimo y prolongado. Así se comprende que ma-
terias que lo son tanto como la sílice y la alúmina lleguen á
combinarse generando un cuerpo definido, cristalizable y de
gran estabilidad.

Indicaba Raoul Pictet, como consecuencia de sus experi-
mentos acerca de las acciones de las más bajas temperatu-
ras sobre las cualidades de los cuerpos á ellas sometidos,
que, perdiendo como pierden sus caracteres químicos fun-
cionales, hasta el punto de que el ácido sulfúrico, por ejem-
plo, tan enérgico, no ataca á los carbonatos, sería posible
reducirlos al estado de pura inercia, adormetiendo, por de-
cirlo así, sus mutuas afinidades. Partiendo entonces de las
substancias sin energía propia, podrían regularse sus pro-
piedades, en términos de hacerles contraer las combinacio
nes previstas de antemano, estableciendo, de tal manera, un
verdadero método general de síntesis química progresiva,
entre límites que comprenderían desde la temperatura corres-
pondiente á la ebullición del aire líquido, hasta la más ele-
vada, desarrollada en el horno eléctrico, en cuyo caso for-
maríanse los cuerpos, aun los de mayor complejidad, por
vía aditiva, uniendo directamente sus elementos ó formando
moléculas sencillas, que irían integrándose y uniéndose unas
á otras en reacciones directas y completas, sin ningún géne-
ro de productos secundarios. Realizada, por entero, tal aspi-
ración, aplicada ya con excelente resultado en algunos casos

IEA ADA AAA IA

5 e Pe A o
ARRE ; y

— 175 —

de síntesis orgánica, se habría llegado al punto de crear
siempre, y en condiciones elegidas, el objeto y materia de
toda investigación química, reproduciendo, por iguales pro-
cedimientos, cuantos cuerpos hállanse formados en la Natu-
raleza, productos variadísimos del incesante trabajo de sus
energías.

Antes de ahora he indicado el carácter aditivo de muchas
síntesis minerales, que es el medio propio de formar mo-
léculas complejas por su estructura y número de elementos
que en ellas reconocemos, y acaece también que semejantes
cuerpos así generados, pueden presentarse en estados cris-
talinos distintos, ofrecer propiedades diferentes y represen-
tar acaso, unos respecto de los otros, verdaderas condensa-
ciones moleculares, cuyo estudio es por todo extremo inte-
resante. Lo constituyen principalmente las investigaciones de
H. Sainte-Claire Deville y Caron, los trabajos de Debray,
los experimentos de Lechartier, los de Hautefeuille y los de
Ditte, referentes á los fluofosfatos, á los cuales he añadido
algunas observaciones.

Júntanse el oxígeno y el fósforo, produciendo el anhídrido
tostórico Ph, Os, y el fluoruro de calcio F/, Ca es un abun-
dante producto natural: estos dos cuerpos disueltos en el
cloruro de potasio fundido, que en este caso no interviene
en el fenómeno, pueden reaccionar uniéndose en la forma si-
guiente:

6 Ph, 0¿+10 Fl, Ca=(Ca, Ph, Os), Ca Fl,+- 6 Ph O. Fl,

y se genera el cuerpo (Ca; Ph, Oy); . Ca Fl, que es el fluo-
fosfato de calcio típico, representado en la apatita natural
fluorada. Saturando hasta la alcalinidad el ácido fosfórico por
la cal, es como se constituye el fosfato tricálcico, entre cuyo
cuerpo y el cloruro de calcio en exceso puede haber unión
molecular operando al rojo, y entonces aparece generado el
elorofosfato Ca, Ph, O, . Ca Cl,, que constituye el tipo de

— 176 —

las vagneritas. Pero si al obtener el fluofosfato anterior se
emplea cloruro y no fluoruro de calcio, se consigue un nuevo
clorofosfato (Ca, Ph, Os), . Ca Cl, y del propio modo ten-
dremos los bromofosfatos. Así, variando los sistemas gene-
radores, lograránse con los mismos elementos dos series de
cuerpos distintos: Ca; Ph, O¿. Ca N”, y (Ca, Ph, O,). Ca
N”,, siendo en ellos N, = Fl,. Cl, Br,, cuyos términos se
corresponden perfectamente y son productos de reacciones
aditivas completas y determinadas. Es posible substituir en
ambas series Ca por Ba—Sr— Mg-—Mn—-Fe y se consi-
guen fluofosfatos de bario, estroncio, magnesio, manganeso
ó hierro, pertenecientes á cada una de las dos series, em-
pleando iguales procedimientos, sin el menor cambio en la
estructura molecular de los compuestos, ya compleja dentro
de la correspondiente á las substancias minerales.

Bien fácil cosa es substituir el fósforo por otros elementos
que tengan sus funciones, como el arsénico óÓ el vanadio,
poniendo sus anhídridos ó las sales de calcio (arseniatos y
vanadatos) en lugar del anhídrido fosfórico ó el fosfato tri-
cálcico, y entonces resultan fluoarseniatos, fluovanadatos,
cloroarseniatos, clorovanadatos, bromoarseniatos, bromo-
vanadatos, iodoarseniatos y iodovanadatos de calcio, bario,
estroncio, magnesio, manganeso ó hierro, cuya estructura
molecular es como la de las diversas apatitas y vagneritas
citadas.

Llevan los hechos apuntados á admitir dos formas de pro-
ductos, representantes de otras dos series de cuerpos, gene-
rados por reacciones análogas entre substancias igualmente
constituidas; estas formas son:

(My Ri “Oy ¿MENS Y MS ROS MON, en las
cuales podemos tener: M”" =Ca—Ba—Sr—Mg—
— Mn — Fe..... Ro Dal - As— Va..... y Ny =Fl, —
— Cl, — Br,— I,. Dentro de tales moldes y empleando pro-
cedimientos generales (fusión de un anhídrido R,”” O, con
un cuerpo M” N7”, sirviendo de fundente el cloruro de pota-

O

— 177 —

sio y unión directa de una sal M”, R,”” O, con otra subs-
tancia M” N,”) se forman muchos cuerpos de idéntica es-
tructura molecular, que se distinguen bien por las p opieda-
des particulares y la manera de cristalizar, correspondiente
á sistemas distintos. Quizá no haya mejor ejemplo de sínte-
sis mineral aditiva, produciendo moléculas complejas cuya
composición se relacione perfectamente; pues la diferencia
de los dos tipos es sólo cuantitativa. Demuestra también lo
citado cómo es posible soldar ó unir de modo integral mo-
léculas distintas haciendo que se penetren para constituir
otras complicadas, y en las que reconocemos sumados todos
los elementos presentes cuando se considera el estado ini-
cial del sistema y cuyas relaciones químicas sólo se mani-
fiestan cuando, después de elevar lo suficiente la temperatu-
ra, se mantiene fundida la masa largo tiempo, siguiéndose
lento enfriamiento, que únicamente el calor puede despertar
energías y vencer inercias de substancias, que en las circuns-
tancias ordinarias son en absoluto indiferentes unas respecto
de otras; es decir, que una de las condiciones indispensables
de estas síntesis completas es el cambio del estado físico de
las materias que en ellas intervienen.

Conviene ahora notar cómo la complejidad de las molécu-
las minerales, fuera de las correspondientes á ciertos silica-
tos múltiples, es muy relativa y mejor se refiere al número y
variedad de los elementos constitutivos que atañe á sus po-
siciones respectivas, y en general, la composición responde
á estructuras bastante sencillas, aun en aquellas que contie-
nen muchos átomos de cuerpos diferentes. De ello proviene,
á lo menos en mucha parte, la posibilidad de realizar, en la
práctica experimental, bastantes síntesis aditivas directas,
complicando poco á poco los cuerpos, añadiéndoles nuevos
elementos por medio de sus combinaciones sencillas, con-
torme lo demuestra el ejemplo anterior; en general, las re-
acciones dependen de la temperatura y del tiempo y el ser
completas es cuesfión de realizarlas con la mayor lentitud

— 178 —

posible, sobre todo cuando actúan líquidos y sólidos ó no se
emplean fundentes, y de ello se verán pruebas más adelan-
te. Interviniendo presiones, es menester distinguir casos es-
peciales: casi siempre es mayor la velocidad del fenómeno,
sin duda porque la difusión de los cuerpos se hace mejor en
los tubos cerrados al calentarlos según es uso; esta difu-
sión favorece grandemente el movimiento y establece pronto
cierta homogeneidad en la mezcla, y habiendo más íntimo
contacto entre sus elementos, las reacciones se aceleran y se
alcanza con rapidez el estado final y definitivo del sistema;
lo demuestra, por ejemplo, la cristalización de la sílice por
el método de Senarmont, que es uno de los experimentos .
más sencillos practicados en tubos cerrados.

Me interesa consignar también algún pormenor experimen-
tal, que puede ser causa perturbadora en las reacciones en-
tre líquidos de diferentes densidades, efectuadas á la tempe-
ratura ordinaria á través de cuerpos porosos, interviniendo
las presiones osmóticas y llevadas á cabo con lentitud extre-
mada. Confirmando notabilísimas observaciones, que me ha-
bía comunicado el profesor Nathan de Zurich, he notado que
si hay desprendimiento de gases, en especial de anhídrido
carbónico, se adhieren á las paredes de los tabiques, aun
siendo muy lisas, y allí permanecen, privándolos de su poro-
sidad é impidiendo que los líquidos se mezclen, y al ser
tal punto llegado, cesan las acciones químicas y sólo se
reanudan cuando, mediante su agitación, los gases son se-
parados.

Desde los cuerpos simples, considerados límites de toda
acción química, es posible en algunos casos formar combi-
naciones binarias fundamentales, al modo que lo son los hi-
drocarburos respecto de las substancias orgánicas; en ellas,
introduciendo nuevos elementos, 6 lo que es más frecuente,
soldando otras moléculas nada complejas, es dable provocar
modificaciones particulares, generadoras de nuevos sistemas
de equilibrio, dotados de gran estabilidad y fijeza, constitui—

IS TE

— 179 —

dos directamente ó en medios adecuados, como los funden-
tes y las atmósferas gaseosas inertes, reduciéndose á esto el
mecanismo de los procedimientos aditivos, en los que son
formadas las moléculas complejas inorgánicas, por ejemplo,
del orden de los silicatos múltiples. Su estructura es referible
á la de aquellos hidratos silícicos, de los cuales son al cab3
derivados, y no es raro tener que deducirla de varias molé-
culas del generador, que entonces aparecen con enlaces do-
bles y aun triples, comparables á los característicos de va-
rias combinaciones orgánicas y que explican muchas de sus
propiedades y metamorfosis. Por ventura, en los modos de
semejantes enlaces, uniendo su conocimiento al del conjunto
de las reacciones y al del mecanismo de los cambios y de la
manera de formarse, se ha de apoyar el concepto de la fun-
ción química aplicado á las substancias minerales.

No trato de llegar á tanto; pero intento, en los presentes
estudios de síntesis, contribuir á establecerlo, fundándolo en
resultados positivos de experimentos. He repetido bastantes
de los considerados típicos, variando algo sus condiciones,
y he intentado otros personales, relativos á la formación
progresiva de moléculas complicadas mediante adiciones di-
rectas y completas, generalmente sin el auxilio de fundentes.
En varias ocasiones las tentativas de síntesis no pasaron de
tales, y no he llegado á realizar mis previsiones; el averiguar
las causas de ello fueron las más instructivas investigaciones.
Otras veces tuve mejor fortuna, logrando sintetizar cuerpos
de nada sencilla composición química, produciendo ciertos
estados intermedios y otros resultantes de acciones secunda-
rias, derivadas é incompletas, cuyo estudio juzgo en extre-
mo interesante para el conocimiento de la evolución repre-
sentante de las operaciones sintéticas.

PS ASA

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e

AS

X.—Nota sobre la tendencia al equilibrio molecular
en el mundo mineral.

POR SALVADOR CALDERÓN

Los químicos saben bien que cuando en un líquido se di-
suelven sales diversas, entran en combinación hasta llegar á
un estado de equilibrio, siendo el resultado de las acciones
mutuas de los cuerpos en presencia, la formación de los
compuestos más estables que puedan originarse. La Geolo-
gía explica de este modo el origen de ciertos minerales por
la mezcla de aguas que han circulado por los terrenos super-
ficiales Ó profundos y disuelto en ellos diferentes cuerpos;
así el encuentro de soluciones de carbonatos sódico Ó potá-
sico con otras soluciones cálcicas, producen precipitados de
carbonato cálcico y las que acarrean silicatos alcalinos, si se
ponen en contacto con aguas carbónicas Ó bicarbonatadas,
posan ácido silícico, dejando además carbonatos en diso-
lución.

Este proceso, bien conocido, resulta de la propiedad ge-
neral de las disoluciones de originar los compuestos menos
estables y explica el papel minerogénico de los equilibrios
químicos que determinan la producción de las especies más
fijas en las condiciones de la vida del globo.

No sólo en lo que respecta á la composición, sino en lo
referente á la constitución y á la manera de agruparse las
moléculas y los cristales, se cumple á nuestro juicio en el
mundo mineral la misma tendencia al equilibrio. Desde este
punto de vista vamos á examinar brevemente la transforma-
ción de la materia amorfa en cristalina, los cambios de siste-

,

— 181 —

ma durante y después de la cristalización, el agrupamiento
de los individuos minerales de igual ó de diversa especie, y
el paso de unos minerales á otros de la misma composición,
pero de constitución diferente, para inferir si en realidad
todos estos procesos son independientes ó sólo modos par-
ticulares Ó manifestaciones de una ley general.

II

De antiguo se admite por todos los naturalistas que la es-
tructura cristalina es la propia y característica del mundo mi-
neral. Hoy se considera el cristal como un conjunto regular
de moléculas dispuestas en redes; un edificio simétrico en el
que las distancias que separan cada molécula de su inme-
diata, son constantes en una misma dirección y distintas en
direcciones diferentes.

Tal es la trama de los cuerpos llamados inorgánicos; pero,
aunque escasas, se conocen algúnas substancias minerales
verdaderamente coloides, en las que las moléculas, en vez
de formar redes regulares, se hallan á distancias variables
unas de otras.

Entre estos dos modos de estructura, regular y simétrico
el uno, irregular y caótico el otro, se ha descubierto uno in-
termedio, poco conocido todavía, pero cuyo estudio promete
suministrar grandes luces para la solución de trascendentales
problemas: este modo de estructura es el globular.

Hemos de recordar brevemente que los descubrimientos
de Vogelsang (*) han demostrado, en el campo del micrós-
copio, que las partículas cristalinas son una aglomeración de
globulitos; idea que se comprueba por las experiencias de
los cuerpos solubles mediante la evaporación del disolvente
(cloruro de sodio, disuelto en agua, azufre en el sulfuro de

(*) Sur les cristallites (Archiv. Neérland., V, 1870).

— 182 —

carbono mezclado con bálsamo del Canadá, acetato de ura-
nilo con un trozo de sal común, etc.). La fuerza cristalogéni-
ca se inicia por la aparición de muchos puntos obscuros ó
partículas de forma esférica, que aumentan de volumen in-
mediatamente. De pronto aparecen dotadas de polaridad,
cambian de posición y ruedan como bolas de billar en todos
sentidos, pero siguiendo líneas rectas. Después de esto, los
glóbulos empiezan á ordenarse en filas (margaritas) y éstas
se eslabonan, engendrando bastoncillos sólidos, de espesor
uniforme, aunque de variada longitud. En una fracción de
segundo sigue á la formación de los bastoncillos una con-
moción general de la masa, y cada barra, como dotada de
magnetismo, atrae á las otras en ángulo recto Ó aparejadas,
constituyéndose una muralla simétrica; esta muralla se depo-
sita sobre otra, y así sucesivamente, maniobrando con la
precisión de un regimiento, el campo se cubre de un modo
repentino de pequeños y bellos cristales, cúbicos si se trata
de la sal, rómbicos si del azufre, y así sucesivamente.

En las cristalizaciones por fusión seguida de enfriamiento,
el proceso es substancialmente el mismo; por eso en las es-
corias y vidrios artificiales aparecen también los globulitos y
margaritas de que acabamos de hablar, y no son otra cosa
que agrupaciones de ellos las bellas herborizaciones tan ha-
bituales en la masa de muchos vidrios.

Conocidos son los clásicos trabajos de Zirkel, resumidos
en su tratado de Petrografía (*), sobre los variados cor-
púsculos que el microscopio revela en las rocas vítreas vol-
cánicas, los cuales inician el estado cristalino de la masa
amorfa (desvitrificación), transformación operada durante y
después de su enfriamiento y consolidación. Continuando
este cambio, dicha masa acaba por resolverse en un agrega-
do cristalino. Otro tanto ocurre en la sílice gelatinosa, el
caolín, el ácido arsenioso fundido, que pasa á una substan-

(*) Lehrbuch der Petrographie, Bonn., 1866.

— 183 —

cia porcelánica y esta á una masa cristalina, y fuera del cam-
po de las materias minerales, en el azúcar derretido, el cual
espontáneamente se convierte en cristalizado.

Todo esto prueba que el estado amorfo es transitorio en
la materia mineral, pero que ha precedido al de individuali-
-zación, aun en los cuerpos más cristalinos y en los cristali-
zados.

La transformación de la lava líquida en rocas volcánicas,
como basaltos, andesitas, traquitas y fonolitas, entra de lle-
no en esta categoría de fenómenos. En la superficie de la co-
rriente lávica, ya solidificada, domina la materia vítrea, la
cual cementa cristales, gruesos unos y pequeñísimos otros,
de feldespato, leucita, augita, etc. A mayor profundidad, allí
donde la consolidación se ha efectuado con lentitud, el vidrio
es escaso y los cristales menudos, pero mayores que los de
la costra superficial, abundan más. Estos son posteriores á
la solidificación de la lava y obra de su lento enfriamiento,
como lo han probado experimentalmente Fouqué y Michel
Lévy (*), sirviéndose de una masa amorfa, fundida, de com-
posición química adecuada; manteniéndola, durante bastante
tiempo, á una temperatura próxima al punto de fusión, se
transforma en una especie de lava, que, después de fria,
ofrece multitud de pequeños cristales, principalmente de fel-
despato, leucita y augita, con la estructura propia de las ro-
cas volcánicas.

Cuando decimos rocas volcánicas no nos contraemos á las
de las erupciones modernas y terciarias, sino que compren-
demos sus equivalentes antiguos (pórfidos, diabasas, melá-
fidos, etc.), cuya masa fundamental tiene aspecto de porce-
lana, y por tanto cristalino, que resulta de la desvitrifica-
ción imperfecta de una masa originariamente amorfa.

Se infiere de las precedentes consideraciones, que la ma-

(+) Production artificielle d'une leucotéphrite, etc. (C. R., 1880, XC,
núm. 12.) :

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= AS

teria mineral, si bien puede aparecer en un estado amorfo ó
coloide, tiende en todos los casos á convertirse en cristalina,
pasando por una fase intermedia globular. Una vez realizado
el cambio, ya no retrograda espontáneamente á sus estados
anteriores, amorfo y globular, lo cual prueba que la consti-
tución cristalina es la de mayor equilibrio molecular y la pro-
pia del mundo mineral.

In

No siempre llega la materia mineral al estado de equilibrio
por el solo hecho de la cristalización, pues es evidente en
muchos casos, y probable en otros, que antes de adoptar la
forma definitiva, atraviesa fases correspondientes á dos ó
más sistemas cristalinos, 6 más propiamente, que rehace sus
edificios moleculares, puesto que, como lo probó hace tiem-
po Laurent (*), puede haber isomorfismo sin identidad de
sistema.

El polimorfismo significa, por tanto, para nosotros, una
serie de estadios de la transformación que experimenta la
substancia de los minerales hasta llegar á la posición de equi-
librio. Citaremos algunos ejemplos en comprobación de
esta idea.

Como es sabido, la primera noción precisa acerca del he-
teromorfismo fué la expuesta por Mitscherlich, que descu-
brió la propiedad que posee el azufre, de afectar por fusión
formas monoclínicas, al paso que es rómbico en los cristales
naturales y en los obtenidos evaporando sus disoluciones en
el sulfuro de carbono ó por sublimación. Esta segunda cris-
talización corresponde por su mayor simetría al estado natu-
ral del azufre, así es que sus cristales monoclínicos se con-
vierten en rómbicos, como lo ha demostrado Barilari, obte-
niéndolos de aquella forma, mediante la evaporación de una

(*) Compt. rend., XXVII, 1848.

a o ii AOS a li e MT as

— 185 —

mezcla de alcohol y sulfuro amónico, cristales que perdían
prontamente su transparencia, al par que sufrían una modi-
ficación en sentido rómbico.

Ejemplos significativos tenemos en los sulfuros. El de zinc,
regular en la blenda, toma formas exagonales en la wurtzita,
y artificialmente se ha obtenido un cuerpo enteramente aná-
logo á la blenda, incluso la densidad, pero con forma exa-
gonal. Parece, por consiguiente, que el sulfuro de zinc reco-
rre una fase exagonal, unas veces de un modo lento y otras
con rapidez, para llegar al modo de agrupación de mayor si-
metría á que responden sus cristales definitivos. En cambio,
cuando, como sucede en la calcosina, Cu? S, que en estado
natural sólo se la conoce rómbica, y artificialmente se la ha
obtenido regular, cabe hallarla cristalizada en este último sis-
tema. Con la composición del sulfuro argéntico'se sabe exis-
ten en el estado natural una especie rómbica, la acantita, y
otra regular, la argirosa; mas esta segunda es tan frecuente,
como escasa la anterior.

Uno de los casos de dimorfismo, más antiguamente cono-
cidos, es el del carbonato de cal; y, sin embargo, distan
mucho de saberse todas las condiciones que determinan
que este cuerpo tome formas, ora rómbicas, ora exagonales.
Es de presumir que á las segundas corresponda la fase defi-
nitiva, por la abundancia inmensamente mayor de calcita, que
de aragonito. De todos modos, el carbonato de cal, por este
dimorfismo, pone en relación la serie de los carbonatos rom-
boédricos, con los rómbicos de la fórmula R C O?.

Hay razones para suponer que aquellos carbonatos que
hasta ahora sólo se conocen bajo forma rómbica, puedan
también cristalizar en el sistema exagonal, al paso que otros
conocidos como romboédricos, sean capaces de ofrecer un
estadio igual al aragonito. Naumann cita la existencia de un
mineral, la plumbocalcita, mezcla de la CO? y PVC 03
que cristaliza como el espato calizo, lo que autoriza á inferir
que el carbonato plúmbico puede adoptar dichas formas rom-

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O A PA AA PI
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boédricas, y es un hecho bien sabido que hay espatos cali-
zos que contienen Cr CO? y BaC O?.

El cuarzo, que hasta hace poco tiempo, relativamente, sólo
se conocía exagonal, se ha hallado, bien que en condiciones
excepcionales, en estado de tridimita (rómbica), reproducido
además artificialmente por G. Rose, calcinando fuertemente
el cuarzo normal.

En las sales ácidas, la movilidad cristalográfica ofrece
ejemplos muy significativos. El sulfato potásico, que es róm-
bico, según lo ha probado Mallard, á 650” se vuelve exago-
nal. Es interesante, también, el dimorfismo de la sal
Mg S0*+ 7 A? O, rómbica en su estado natural de epso-
mita y monoclínica cuando se obtiene artificialmente en el
seno de su disolución saturada; pero estos cristales se alte-
ran rápidamente tomando la forma de los naturales, que es
la estable. Este hecho es muy significativo, por cuanto los
sulfatos de hierro y de cobalto, de constitución análoga al de

magnesio y también con 7 moléculas de agua, son isomor-
fos de los cristales monoclíninos artificiales de este último,
de donde resulta, que dicho cuerpo constituye el lazo de
unión entre las series salinas análogas rómbica y monoclí- ?
nica. Asimismo la substancia Fe SO* +- 7 A? O, aparece or- ,
dinariamente monoclínica, constituyendo la melanterita, pero
también se la conoce con las formas de la epsomita, en la
tauriscita de Volger, que ofrece bellos cristales en Wind-
gálle.

La distena, triclínica, se transforma en andalucita, rómbi-
ca, siendo los dos silicatos alumínicos de igual composición, e
y análogamente, el silicato de bismuto, monoclínico, se cam-
bia en eulitina, regular. .

No pretendemos multiplicar los ejemplos, ya numerosos,
que se conocen de dimorfismo y polimorfismo en los mine-
rales y mucho más en las substancias artificiales, puesto que
nuestro objeto no es tratar del polimorfismo, sino desde el
punto de vista de la evolución de las formas hacia la estabi-

A a A

en bt

— 187 —

lidad; pero sí recordaremos, que el hallazgo de tantos casos
comprobados por experiencias ópticas, hace presumir, que lo
que se tenía por excepción , debe, por el contrario, ser la re-
gla general. La razón de que muchas especies sólo se hayan
hallado hasta ahora bajo una forma cristalina, es, sin duda,
que ésta corresponde á la posición de equilibrio más estable
de las moléculas, al paso que otras anteriores, fases transi-
torias de dicho estado molecular, han desaparecido pronta-
mente.

El hecho de la cristalización y los de cambio de sistema,
son manifestaciones de una misma tendencia: el equilibrio
reticular. Todavía los individuos cristalinos pueden asociar-
se en busca de otra simetría más compleja, que es el equili-
brio de agrupación ó de macla, por virtud del cual alcanzan
caracteres que corresponden á los sistemas superiores. (*)
Tales son los cristales tan notables de la leucita, la microcli-
na y varias ceolitas, entre otras especies que han sido obje-
io de interesantes trabajos en este respecto (**). El arago-
nito, como es sabido, se presenta muy rara vez en cristales
aislados, al paso que habitualmente lo hace en agrupacio-
nes que dan un conjunto exagonal (torrecitas en Aragón),
en las cuales han desaparecido hasta los apuntamientos de
los individuos componentes, para que el todo ofrezca bases
planas.

Todavía más notables son los casos de simbiosis mineral,
en los que dos especies distintas se asocian íntimamente
para producir un complejo de simetría superior ó al menos
estable. Así, por ejemplo, la pseudoleucita de Williams (***),

(*) Lapparent: Cours de Minéralogie, 3.2 edic. París, 1899, p. 319.

(**) El ejemplo más notable es el de la harmotoma. Sus crista-
les, monoclínicos según Groth, se dgrupan en conjuntos de facies
rómbica, y éstos á su vez se unen formando grupos tetrageminados»
pseudocuadráticos, componiendo un sistema trirrectangular perfec-
tamente simétrico en las tres direcciones del espacio.

(***) Geol. Surv. Arkansas, 1890, II, 268.

ACI II A
ad >

LN

es una mezcla de ortosa y nefelina, que compone un todo
homogéneo.

Los fenómenos de nutrición de los cristales, no son tam-
poco otra cosa que manifestaciones de la tendencia hacia la
estabilidad. De antiguo es conocido el hecho de la reinte-
gración de los cristales salinos mutilados, cuando se ponen
en una disolución de la misma composición que ellos; por el
mismo proceso, ciertos agregados clásticos se transforman
en cristalinos, como la arenisca cuarzosa, que se cambia en
cuarcita, los minerales compactos ó sus mezclas, como la sal
gema y el yeso, que se vuelven gruesamente cristalinos,
como aparecen en los depósitos antiguos,

Todos estos hechos de cambio de sistema, de agrupacio-
nes miméticas de simetría más alta que los individuos agru-
pados, de simbiosis y de nutrición de los cristales, son prue-
bas, como ha dicho Lapparent, tratando de las maclas, de la
tendencia de la materia «hacia la conquista del más elevado
grado posible de simetría ». Este autor, aunque sólo ha visto
un aspecto parcial del problema, llega á la consecuencia de
que la causa de la expresada tendencia es la protección con-
tra los agentes destructores externos, porque si en el edifi-
cio cristalino hay direcciones sensiblemente diferentes de las
demás, desde el punto de vista de la distribución de las par-
tículas, existirán partes más vulnerables; al contrario, en la
red cúbica se realiza la identidad de constitución en las tres
dimensiones. Es notable, en este respecto, el diamante, en
el que además, la curvatura de las caras presta mayor efica-
cia á la forma regular, aproximándose todo lo posible á la
esfera.

IV
Réstanos mostrar que las especies minerales son capaces

de evolucionar transformándose en otras más estables, y en
general de constitución menos compleja, y de las cuales di-

— 189 —

fieren no sólo por su sistema cristalino, sino por otros atri-
butos. Semejantes cambios son de indole más complicada
que los hasta aquí examinados, pues trascienden á la vez á
la agrupación molecular y á la constitución química.

Dificulta el esclarecimiento de estas cuestiones el deslinde
de la parte que toman los procesos de alteración, con lo que
se refiere á la evolución inherente á la substancia propia del
mineral, por lo cual los ejemplos de que podemos servir-
nos son todavía poco numerosos, aunque es de esperar se
multipliquen con los progresos de la Mineralogía geoló-
gica (*).

Los bisilicatos predominantes en la constitución de las ro-
cas proporcionan la mejor y más importante prueba de seme-
jantes transformaciones, particularmente tratándose de las
de origen volcánico. El silicato ferromagnesiano inicial en di-
chas rocas es la hornablenda, y de ella derivan, por evolu-
ción, la biotita y la augita, quedando como residuo la mag-
netita.

La teoría más en boga para explicar el cambio de que se
trata en las rocas volcánicas, es la de la «acción cáustica del
magma» obrando sobre los cristales de hornablenda y bioti-

(*) Haidinger ha estudiado en una bella monografía las metamor-
fosis que experimentan los minerales, distinguiéndolas en anógenas
y catógenas. Las primeras se operan en el interior de la tierra, y
consisten las más veces en oxidaciones, al paso que las segundas
son atmosféricas y con frecuencia reducciones operadas por las
aguas circulantes con los cuerpos que disuelven, favoreciendo la
producción de combinaciones de composición más elevada.

Para el caso de que vamos á tratar en este capítulo no hay un tér-
mino consagrado. Washington emplea el de alteración en el sentido
de «alteración magmática» y «reabsorción», cuando el cambio se
opera en el seno de un magma rocoso; pero nos parece que esta pa-
labra no expresa la idea del cambio molecular físicoquímico de los
minerales independiente de la intervención de materia exterior sin
aumento ni disminución de substancia á que aquí nos referimos. La
llamaremos simplemente evolución para no crear nuevas voces, ya
que tan sobradas de ellas están las ciencias naturales.

Rev. Acap. Ciencias.—IV.—PFebrero, 1906, 14

a TR

— 19 —

ta, que es la del Profesor Zirkel (*). Se supone en ella la
fusión ígnea de dichos cristales y su reabsorción y disolución
por el magma que le envuelve, cristalizando después la au-
gita en individuos independientes. Con respecto á la magne-
tita, unos petrógrafos pretenden que es disuelta y que se se-
para ulteriormente, y otros que cristaliza cuando la parte au-
gítica se ha individualizado. "

El origen hornabléndico de la augita de las rocas volcáni-
cas se puede seguir en Ocasiones, paso á paso, en las prepa-
raciones, viéndose que marcha el cambio del exterior hacia
el interior. Ocurre de un modo normal y constante en los ti-
pos petrográfico básicos, siendo mucho más raro en los
ácidos. y

A pesar de estas razones, el Dr. Washington (**) ha com-
batido la teoría de Zirkel substituyéndola por otra, fundada en
las condiciones en que se ha hallado el magma volcánico al
enfriarse lentamente y disminuir la presión, que es cuando
la transformación hubo de realizarse, según su manera de
ver. Nota que la hornablenda y la biotita son mucho más
complejas en su estructura molecular que el piroxeno, impli-
cando la formación de aquéllas la influencia de una presión
elevada actuando sobre el magma igneo, con la ayuda proba-
ble de ciertos agentes mineralizadores, según otros petrógra-
fos han probado (***). Estas son las condiciones dominan-
tes durante el primer periodo ó intratelúrico; pero al ser trans-
portado el magma cerca de la superficie, disminuye la pre-
sión, en tanto que la temperatura permanece elevada y acaba
por descender también ésta, llegando un momento en que la
substancia ya no es por más tiempo estable. Entonces co-
mienza un cambio molecular por el cual la masa física y quí-

(*) Mikroskop. Petrogr. U. S. G. Expl., 40 th. parallel, 95, 1876.

(**) The magmatic alterac. of hornblende and biotite. (The Journ.
of. Geol., IV, núm. 3. Chicago, 1896).

(***) Michel Lévy: Structure des roches éruptives. París, 1889-90.

— 191 —

micamente homogénea de la hornablenda se trasforma en
otra granuda y heterogénea de augita y magnetita.

En último término, ambas teorías se basan en la inestabi-
lidad de la hornablenda y la biotita; inestabilidad demostra-
da, por otra parte, experimentalmente hace mucho tiempo,
fundiendo los anfiboles, los cuales recristalizan dando augi-
ta, y ésta ya no se cambia de ningún modo en anfibol.

- Todavía el proceso puede ser más complejo en el seno de
los magmas fundidos haciéndose concesiones mutuas los mi-
nerales puestos en presencia para lograr su trasformación en
especies más estables. Así, en el caso de la biotita desprovis-
ta de cal ó muy pobre de ella, toma este cuerpo del magma
ó de algún mineral calcífero próximo para trocarse en augita
Ó diópsida, mientras que cede potasa para que aquéllos se
transformen en feldespato (*).

En las rocas graníticas y gneísicas, el piroxeno es mucho
más raro que en las volcánicas. Se conocen, sin embargo,
gneis piroxénicos con verdadera augita, sienitas eleolíticas
con achmita y egirina, dioritas augíticas, y sobre todo ofitas
con este cuerpo, que tanto desarrollo alcanzan en Andalucía,
sin hablar de los pórfidos augíticos, las diabasas, gabbros y
meláfidos, que son ya verdaderas rocas volcánicas antiguas.
El origen anfibólico de los piroxenos de todas estas diferen-
tes rocas parece muy probable, por más que no esté todavía
demostrado; y favorece este supuesto, la existencia en las
mismas rocas volcánicas de augita individualizada evidente-
mente después de la consolidación de la lava, constituyendo,
por ejemplo, granillos con otros de hierro opaco en la peri-
feria de las hornablendas basálticas, como ocurre en la de
Puertollano.

(*) En los procesos del pseudomorfismo y del metamorfismo son
numerosos los casos de cambio recíproco de átomos de los minera-
les puestos en contacto; pero no nos referimos aquí á alteraciones
en que intervienen substancias ó agentes exteriores, por hi ya
der á otra categoría de fenómenos.

— 192 —

La transformación de la hornablenda en mica es habitual
en las anfibolitas. Se cita el gneis de Tanern, cuyo anfibol,
conservando su forma propia, está completamente cambiado
en biotita, mientras que el feldespato y el cuarzo permanecen
intactos, lo cual indica que se trata de un fenómeno de evo-
lución y no de alteración. A transformaciones semejantes de-
berán su origen los cristales de cuarzo, adularia, mica, al-
bita, epidota, clorita, apatito y otros varios minerales que
rellenan las cavidades de las antiguas rocas cristalinas y que
se consideran como obra de secreción lateral. Se admite que
la causa de estas formaciones persiste todavía en las condi-
ciones actuales de la roca al parecer inactiva, debiendo, por
tanto, residir la energía que las da origen en la propia subs-
tancia de los minerales.

V

Es manifiesta la trascendencia de las cuestiones ligera-
mente bosquejadas para plantear al menos el gran problema
de la evolución de los minerales.

Sterry Hunt (*) ha dicho, que á medida que avanzan en su
desenvolvimiento las especies inorgánicas, se transforman
en otras más estables. Fijándose de preferencia en los mine-
rales petrográficos más importantes, y en sus relaciones con
el medio ambiente y con los cambios subterráneos que se
- Operan' merced á las aguas termales y otros agentes, ha fun-
dado en la geología química su hipótesis crenítica, según la
cual, hay paralelismo entre la evolución mineral y las que
presiden los desarrollos astronómico y biológico. Las espe-
cies del mundo inorgánico sufren una verdadera selección,
por virtud de la cual van quedando las más permanentes,
cuya difícil alterabilidad está, en general, relacionada con la

(*) Miner. Physiol. and Physiogr., 2.? edic., New-York, 1891, pá-
gina 688.

sb

— 1983 —

dureza ó resistencia mecánica de la substancia. Y siendo la
condensación inversa al llamado volumen atómico, una fór-
mula sencilla expresa la relación entre dicha condensación y
el grado de inalterabilidad, particularmente tratándose de los
silicatos y los óxidos.

El profesor Tschermak (*) se fija especialmente en los
pseudomorfismos como comprobación de la inestabilidad del
mundo mineral y en el nacimiento de unas especies y la
muerte de otras, que producen una renovación no interrum-
pida en el transcurso de los tiempos, originando las corrien-
tes variedades. «El incesante aumento de esta pluralidad de
formas, puede representar la evolución del reino mineral. »

En estos puntos de vista, y de una manera más terminan-
te en el de Sterry Hunt, se pone la causa de los cambios que
experimentan las substancias minerales en su correlación con
las edades sucesivas del planeta, siendo los agentes internos
y externos los que operan dichas transformaciones.

Por su parte Lapparent (**), interpretando la significación
del fenómeno de las maclas, halla que responden á una ra-
zón de equilibrio, al modo como el equilibrio reticular; el
conjunto adquiere, por el sólo hecho de su agrupación, una
simetría aparente de orden más elevado que la de la red fun-
damental, y, por consiguiente, que la de la molécula. Son,
pues, las maclas el resultado del constante «esfuerzo de la
materia cristalizada hacia la conquista del grado más alto po-
sible de simetría ». Semejante tendencia constituye un medio
de preservación, y ésta es su razón de ser, «asegurando á
los edificios cristalinos el grado más alto de estabilidad. Es,
pues, una sencilla consecuencia del grande y fecundo prin-
cipio de la menor acción, que parece regir á toda la filosofía
natural ».

Como se ve, las evoluciones de los minerales pueden re-

(+) Trat. di Mineralog., parte general, pág. 276 (trad. italiana)
0). Loc: cit.

— 19 —

sultar, tanto de la actividad general del planeta, como de la
energía propia de la substancia en su tendencia hacia el
equilibrio molecular. No hay, ciertamente, contradicción en-
tre estos procesos, sino, al contrario, expresiones de una
misma ley universal, confirmando la conclusión á que lle-
gaba hace ya muchos años (*) de que los individuos mine-
rales (los cristales) son capaces de sustraerse temporalmente
á las influencias geológicas del medio envolvente por virtud
de la tendencia de sus moléculas hacia el equilibrio, forman-
do edificios resistentes; evolución ésta, individual, dentro
de la colectiva del planeta.

XI. — Aplicaciones de la composición de intensidades
al cálculo gráfico de vigas rectas.

POR NICOLÁS DE UGARTE.

V

Pieza empotrada en un extremo.

Veamos ahora algunos casos sencillos de empotramiento.

En la fig. 8.?, suponemos que A B es el eje de una pieza,
cargada en su extremo B con un peso P y empotrada en el
otro. De un modo completamente análogo se haría si estu-
viera cargada con varios pesos Ó fuera otra cualquiera la
carga.

(*) Calderón: La evolución terrestre. (Anal. Soc. Esp. de Hist.
Nat., t. X, 1881).

— 19 —

El empotramiento se hace ordinariamente prolongando y
ajustando convenientemente la viga dentro del muro, para
que con las reacciones de éste, aquélla, aunque se flexe, siga
horizontal en la parte empotrada. Si la resultante' de las 're-

a r

ad

Figura 8.*

acciones de la parte superior del hueco en que se empotreíla
viga, es r, ésta, trasladada á A mediante el par r — r”, da en
A la carga r y el momento del par equilibra en él, al que de
un modo análogo y también por traslación al punto A, pro-
duce la carga P; aquel par es el de empotramiento.

— 106

El punto A resultará cargado con r +- P. Siendo corta la

cola empotrada, puede, por esta causa, comprometerse la
mampostería Ó lo que forme la construcción en A, y por re-
acción, sufrirá el mismo esfuerzo la pieza en ese punto. He-
cha esta aclaración, claro es que por causa de la carga exte-
rior P, no hay en A otro esfuerzo que P, el cual será allí el
cortante, pero contando con lo expuesto, es siempre mayor
que P.
Todo lo dicho es elemental; pues se comprende que si la
pieza estuviera libre y solicitada por una fuerza P, tendería
á trasladarse paralelamente á sí misma, si bien girando á la
vez alrededor de su centro de gravedad, por no estar aplica-
da en él; pero sujeta en 4, la traslación se anula por una re-
acción, nacida en ese punto igual á P. No siendo esas fuer-
zas directamente opuestas, engendran un par, que tiende á
hacer girar la pieza alrededor del punto A. Ese par sólo pue-
de ser equilibrado por otro igual y opuesto, que es el de em-
potramiento, y ambos obran por intermedio de las reacciones
elásticas, que nacen en la sección A de la pieza, las cuales
forman nuevo par, análogo á los anteriores; pero la materia
únicamente permite llegar á un valor determinado, del cual,
no sólo no puede pasar, sino que hay que permanecer á la
prudente distancia del mismo, que indican los coeficientes de
seguridad.

La sección inmediata por la derecha á la de empotramien-
to, después de ejecutar un ligero giro, queda en equilibrio
y como empotrada á su vez; la viga toda, que habrá seguido
el movimiento, volverá á presentar un caso análogo de pieza
empotrada, aunque separada algo de la posición horizontal.
En la nueva sección de empotramiento se tendrá el mismo
esfuerzo cortante P; mas por ser la longitud un poco menor,
también será menor el momento de flexión. Así sucesivamen-
te, pasarán fenómenos análogos en las secciones siguientes,
siendo para todas el mismo esfuerzo cortante, mermando,
sin embargo, de un modo sensible el par ó el momento de

— 19% —

flexión, con las distancias á la sección (cada vez más aleja-

das del origen) que se considera fija Ó empotrada, hasta re-
ducirse á cero en B. Con el pequeño giro de cada sección,
varían de posición todas las demás de la derecha. Aunque
tales giros disminuyen á la par que los momentos de flexión
y se reducen á cero con él en B, este punto será, no obstan-
te, el que al fin resultará más separado del eje primitivo. Su
ordenada respecto á AB, será la flecha Ó deformación máxi-
ma. Todas las deformaciones, aun ésta, resultan muy peque-
ñas si, como se procura siempre, las cargas son tales, que
no salga el material del período llamado elástico; sin error
sensible, se pueden seguir suponiendo las cargas normales á
la pieza y sus distancias á las distintas secciones las mismas
que antes de la deformación.

La transmisión de los efectos producidos por la carga P,

los hemos explicado como produciéndose de A á B; nos pa-
rece, sin embargo, que se verifica en la realidad de B á A,
con una velocidad considerable, pero, quizá, no imposible
de medir.
” Hemos visto que el esfuerzo cortante en todos los puntos,
es el mismo é igual á P. La ley de los esfuerzos cortantes,
será, pues, una recta mp, paralela al eje, t'hzada á la distan-
cia que en la escala de pesos valga P. Suponiendo que éste
sea de 80 kilogramos y que un milímetro representa 10 kilo-
gramos, PB =8 mms. Según sean los convenios, así serán
las figuras, pero teniéndolos cuidadosamente en cuenta, los
resultados, como es natural, si no varían los datos, serán
siempre los mismos. Esto es muy trivial, pero como el resul-
tado de nuestras más sublimes concepciones, termina, en la
práctica, por una simple operación aritmética, nos tomamos la
libertad de insistir en tales asuntos, aunque sean triviales,
como lo haremos más adelante para la construcción de la
elástica.

Analíticamente, la ley de carga, en el caso de que trata-
mos, no existe como línea, por estar reducida á las coorde-

— 198 —

nadas del punto B: x -= 1, y” = P; por consiguiente, la deri-
vada ó coeficiente diferencial de la ley de esfuerzos cortantes

,

es nulo: E = 0; luego y” = constante debe ser esa ley;

es decir, una paralela al eje de las X, á una distancia de este
igual á esa constante (por encima ó por debajo, según los
convenios), y tal constante no puede ser otra que P, puesto
que lo es para el punto dado de abscisa /, el cual es eviden-
te que debe estar comprendido en la integral.

y = Pes, pues, la ley de esfuerzos cortantes.

De ésta, por nueva integración (*), llegaremos á una recta
inclinada que, si pasara por el origen, sería y = Px, Ó sea
la Am' de coeficiente angular igual á la carga P, pero que
debe correrse, paralelamente á sí misma, hasta que, para
x =0, se tenga para y el valor An = P.!, que será el de la
constante que particulariza la integral; de modo, que la ley
de momentos de flexión será y = Px — Pl, suponiendo ne-
gativas las ordenadas por debajo de AB. La recta nB será la
ley gráfica de momentos de flexión.

Si hubiera varias cargas, y aun con una sola, se puede
constituir un polígono de intensidades, 4w, con un polo p, que
escogeremos aquí, de modo que el primer radio pa sea ho-
rizontal, pero que podría ser cualquiera, el cual nos permitirá
la construcción del funicular. Empezando éste con AB, y si-
guiendo con Bn, tendremos en An el momento del sistema
respecto á A, y en cualquier otro punto intermedio, el mo-
mento de flexión correspondiente será representado por la
ordenada comprendida entre AB y Bn.

En la figura hemos tomado por distancia polar

(*) Ya hemos dicho lo que entendemos por esa palabra que sub-
rayamos, porque, como es natural, no puede haber integración sino
de una expresión diferencial.

AO LL

>< > sera. pues. Y 2 MED A n= 2P.

Sea una sola, ó sean varias las cargas que formen la suma
gráfica a w, para seguir un procedimiento análogo al que se
sigue en otros casos, debe cerrarse el polígono de intensi-
dades con la igual y opuesta « «a, reacción del apoyo A, que
no puede hacer equilibrio á P por sí sola, porque no son dí-
rectamente opuestas, sino que forman un par, que sólo con
otro par puede equilibrarse.

El primer lado del funicular, en este caso, es el A B, que
va de la reacción á la primera intensidad, paralelo á su ho-
mólogo del haz «a p; desde B, iría, si hubiera más intensida-
des, recorriéndolas todas, con paralelas á sus homólogas del
haz, y, por fin, desde la última con una paralela á p w, debe
irse á la reacción An (que en el poligono de intensidades
forma vértice en w con la « w); por n, en realidad, para tra-
tar de cerrar el polígono, debe trazarse el último lado para-
lelo á p « (puesto que, en a está el vértice de cierre del polí-
gono de intensidades) y será el n K” paralelo al de partida,
con el cual no se puede encontrar. Esto dice, como sabemos
por el cálculo de intensidades, que el sistema se reduce á un
par de brazo A n y de intensidades A K, n K”, cuyos valores
y sentido son «ap y pa. También dice que el momento de
flexión por la derecha, viene á estar en cada punto formado
por esas mismas intensidades, pero con un brazo que dismi-
nuye, puesto que es la ordenada del triángulo A n B, hasta
ser cero en B; por la izquierda tiene un valor constante, re-
presentado por la ordenada A n, en el límite de la viga, Ó
sea el del par ó momento máximo mencionado, que es igual
al de empotramiento.

Si queremos conocer las deformaciones en cada punto,
tendremos que construir la elástica, ó un polígono que la en-
vuelva, por el método explicado. Para ello tomaremos la lí-
nea n B, que es la de momentos de flexión, como si fuera una
línea de carga. Esta, que aquí es una recta, sería un polígono

a

Ó una curva, si la pieza hubiera estado cargada con varios
pesos Ó con una carga continua, etc.

La obtención de la elástica por el método analítico, toman-
do la línea de carga como un coeficiente diferencial, que debe
integrarse dos veces seguidas, no tiene dificultad en general,
y ni aun para fijar las constantes. Aquí prescindiremos del
método analítico, por ser nuestro objeto principal el gráfico.

Cualquiera que sea el que sigamos, la primera integral de
la recta n B será una parábola, cuyo eje vertical pasará por
B, en que se reduce á cero su derivada, puesto que aquel
eje irá á pasar por el vértice ó punto de tangente horizontal.
Como además ha de pasar por A, y la ordenada suya en el
punto B ha de ser el área total A n B, será fácil construirla.

Podemos, sin embargo, pasarnos sin ella. Basta dividir el
triángulo en trozos, como los indicados, y tomar sus áreas
como intensidades, 1, 2, 3, 4, que obran en los centros de gra-
vedad de las mismas. El polígono a w” de tales intensidades
y el polo p”, nos conducirán á un segundo funicular A C, que
será envolvente de la elástica deformada, según sea la dis-
tancia polar, pero pudiendo fácilmente deducir de sus orde-
nadas, las deformaciones verdaderas que buscamos. Ese po-
lígono será tangente á la curva funicular, en donde principian
y acaban las áreas representadas por 1, 2, 3,4 y, por con-
siguiente, en Á y C.

B C será, pues, la flecha que tendrá la pieza en una esca-
la fácil de hallar.

Para representar por intensidades rectilíneas las áreas del
segundo funicular, hay precisión de tomar una escala espe-
cial, 6 lo que es igual, dividir las áreas todas por una cons-
tante, a por ejemplo, los cocientes serán magnitudes rectas
que, multiplicadas por a, darán rectángulos equivalentes á
las áreas mencionadas. Aquellas magnitudes rectas son las
que se llevan como intensidades al polígono de las mismas,
que nos haya de servir de base para el segundo funicular.

Por comprobación, en estos y otros ejemplos, pueden de-

|
|

— 201 —

ducirse de las construcciones gráficas las fórmulas analíticas.
Hagámoslo esta vez para determinar la fórmula de la flecha,
que en una pieza horizontal AB, empotrada en un extremo,
produce una carga P en el otro.

Por ser AC un funicular, las tangentes extremas prolon-
gadas nos darán por su intersección con cualquier ordenada,
la magnitud que, multiplicada por la distancia polar, será el
momento del sistema respecto al punto en que la ordenada
corta á eje.

Por ejemplo, An”, magnitud comprendida por las tangen-
tes extremas sobre la ordenada de A, será (multiplicada por
la distancia polar que llamaremos h) el momento de la suma
gráfica au” respecto al punto A. De igual modo BC =<h,
será el momento de a* w' respecto á B. Pero u' w' es la inten-
sidad que representa. el área del triángulo AnB, ó sea en la

MS

ñ 2
escala convenida ————— ; y puesto que An es el mo-
a

mento de flexión en A, ó sea Pl, y que el momento del
triángulo AnbB, respecto á B, es su área multiplicada por

= [, podremos escribir esta igualdad

py a pis
BELS<R == NC, Ñ
a 3 34
de donde
3
BO 1 Pl
3 h=<a

BC es la flecha que da el dibujo, y para hallar la verdadera,
es preciso, como vimos en el art. II, multiplicarla por la re-
lación entre la distancia polar h, empleada en el dibujo, y la
que debiéramos haber empleado, ó sea El, medida con la
escala de las superficies de momentos, por ser de la misma

¿8 "y

mo + pa dd
especie que éstos, como dijimos en dicho art. 11; hay, pues,

que multiplicar B C por de , tendremos, pues,

101
pe A
El El
q

pp

fórmula deducida en la Mecánica aplicada á las construc-
ciones.

VI

Pieza empotrada en sus dos extremidades.

Antes de exponer el problema de « pieza horizontal empo-
trada en sus extremos», llamaremos la atención del lector
respecto á un punto que no tocan explícitamente los autores
que hemos hojeado.

En todo lo anterior, siempre que hemos hablado del se-
gundo funicular, nos hemos referido á uno envolvente de la
elástica, el cual era equivalente á ésta para ciertas deforma-
ciones, que deseábamos conocer y nos daba cuanto puede
dar un funicular.

Conviene á veces, sin embargo, substituir el sistema de
intensidades, que á dicha curva conduce, por otro equiva-
lente; pero entonces el segundo funicular resulta, de ordi-
nario, distinto del anterior, y la curva (ó conjunto de curvas)
envueltas por el mismo, no será ya ¡ia elástica verdadera,

— 203 —

pero, como funicular del sistema, nos prestará su auxilio para
varias determinaciones, como vamos á ver en el caso si-

guiente:

Figura 9.

El cálculo gráfico que vamos á seguir es análogo al que se
emplearía, aun cuando los empotramientos no fueran hori-

zontales y tuvieran cualquier inclinación.
Sea (fig. 9.) AB una pieza horizontal empotrada en sus

E”, E

extremos y cargada para mayor generalidad de cualquier
modo.

Dada la ley ó línea de carga (que omitimos puesto que no
hace falta para nuestro objeto) por una integración gráfica ó
por medio del intégrafo, pasaríamos de ella á la de esfuerzos
cortantes, de la cual, de un modo análogo, llegaríamos á la
de momentos de flexión.

Cuando no se usa el intégrafo, se prescinde de la curva
intermedia que está implícita de un modo virtual, digámoslo
así, en el polígono de intensidades, que aquí suponemos
ser aw. Este, con un polo cualquiera 0' á distancia H de ella,
nos conducirá á un polígono ó curva funicular,'que no es de -
ordinario el más á propósito, pero de él podrá deducirse (co-
rriendo el polo convenientemente sin variar la distancia po-
lar) otro que pase por los apoyos.

Supongamos hechas esas operaciones y que esta curva
funicular sea la AmB(*). Sus ordenadas, multiplicadas
por H, darán, como sabemos, para cada punto, el momento
de flexión, cuando la pieza es simplemente apoyada, y en-
tonces son cero los momentos en los extremos. No lo son si
se empotran éstos y variarán los de los demás puntos porque
están modificados por los de signo contrario á que equivalen
los de empotramiento existentes en aquéllos (art. IV), como
necesarios para mantener la viga en la posición deseada.

(*) Cuando se nos da la ley ó curva de momentos de flexión, por
derivación puede retrocederse á la de esfuerzos cortantes y descen-
der de ésta á la línea de carga. Esta operación inversa, analítica-
mente se hace con precisión. No sucede lo mismo gráficamente por
no existir aún aparatos derivadores, á causa, quizás, de no haber una
regla general que pueda aplicarse á todas las curvas, sin excepción,
para trazarles en un punto una tangente. Pero con alguna aproxima-
ción, y por medio de las tangentes trigonométricas de los ángulos
que las tangentes geométricas á la curva forman con el eje, se puede
descender de una curva á su derivada, como en Mecánica se pasaba
de la ley de espacios á la de velocidades, y de ésta á la de aceleracio-
nes, etc.

— 205 —

Además, las reacciones de los apoyos serán también diferen-
tes, y lo mismo los momentos de éstas respecto á cada punto.
Pero ni los momentos en los empotramientos, ni esas reac-
ciones los conocemos, y vamos á ver cómo el segundo funi-
cular nos presta un auxilio poderoso para su determinación.

Supongamos que en la misma escala en que las ordenadas
de AmB representan los momentos de la pieza libre, sean
A A' y BB' los momentos en los apoyos cuando está empo-
trada, es decir, que esas magnitudes habrán de ser multipli-
cadas por H para obtener dichos momentos. Por lo demos-
trado anteriormente, el conjunto funicular de que ha de
partirse para trazar la elástica será el A A* B"BmA, cuyas
áreas elementales (de un signo las rayadas y del opuesto las
demás) habrán de considerarse como intensidades especiales
para llegar, por los procedimientos conocidos, á su curva
funicular.

Nos conviene, sin embargo, por razones que se despren-
den de lo que sigue, substituir ese sistema por otro equiva-
lente, que resulta de añadir y quitar á el anterior la superfí-
cie Abrb' B. Las intensidades que debemos tomar ahora
como positivas, serán las áreas elementales del primer funí-
cular AmB, y como negativas las del trapecio A A*B"B, 6
bien las de los triángulos A 4* B y B B' A”. En vez de este
último puede ponerse, si conviene, el B B' A que le es equi-
valente y tiene las mismas ordenadas que él en cada punto.

La curva funicular que deduzcamos no será precisamente
la elástica, como veremos luego, por el cambio que hacemos
en las intensidades, pero ella ó un polígono envolvente suyo,
servirá á nuestro objeto, bastando cuatro lados del mismo,
dos tangentes á la curva funicular en los extremos A y B y
dos centrales, de que no es necesario precisar el punto de
tangencia.

Para trazar este polígono, dividamos aquel conjunto en
tres partes, que consideraremos como resultantes parciales de
línea de acción conocida, á saber: 1.* El triángulo negativo

Rev. Acap. Ciencias. —IV.—Febrero, 1906 15

, h

ri

AA'B, cuya línea de acción será la CD, que pasa por su
centro de gravedad, esto es, al de / á contar desde

AA”.—2.” La positiva AmBA, que tiene por línea de acción
la sm, pasando por su centro de gravedad. —3.” La negati-
va del triángulo BB”A, cuya línea de acción C'D” dista-
rá 5 de BB”.

3

Las rectas CD, C'D”, que siempre podremos trazar aun-
que no conozcamos los triángulos, llevan el nombre de fri-
sectrices, por dividir en tres partes la luz /, y son de empleo
frecuente, porque constituyen parte del artificio ingenioso de
este método.

Con esto, teniendo presente que, por hipótesis, los empo-
tramientos son horizontales, y, por lo tanto, que ese segun-
do funicular, principiando en A y terminando en B, ha de ser
tangente en esos puntos á la pieza, hay datos bastantes,
como vamos á ver, para hallar las magnitudes A A y B B'
que buscamos, y por consiguiente será determinable aquel
conjunto funicular primero: AA'B"BmA, que hemos supues-
to conocido y del que podremos luego deducir los esfuerzos
cortantes y la elástica 6 un polígono que la envuelva, si la
necesitamos, para llegar á las deformaciones.

Midamos directamente, Ó con un planímetro, la superficie
A m B positiva, que llamaremos $, del primer funicular; re-
duzcámosla á una longitud, dividiéndola por otra convencio-

1
nal a (suele convenir en este caso tomar a =1l6 EN l,
porque así los triángulos negativos estarán representados

por la mitad de sus alturas ó por éstas enteras) E será esa

longitud que colocamos abajo, como suma gráfica, en aw”,

Si tomamos un polo P' á la distancia Ee (*) 6 á otra

(*) Ya dijimos en otro ejemplo anterior por qué hay que dividir
ET también por a.

— 207 —

que nos convenga, Pa”, P'w serán los radios extremos de
un haz con que podrá trazarse el polígono de cuatro lados
arriba mencionado, envolvente del conjunto funicular que
substituye á la elástica y cuyas ordenadas estarán en la mis-
ma escala que las de esta curva, si la construímos con esa
distancia polar.

Una paralela á la línea de cierre tirada por P” daría el
punto h que divide la aw” en dos partes w'h y ha” que re-
presentan las reacciones, que produciría en los apoyos ese
sistema especial de cargas, cuya ley fuera el primer funicu-
lar. La perpendicular á la a'w” tirada por h dará por su inter-
sección con la P“P, paralela á la a'w”, el polo P que busca-
mos para que la línea de cierre resulte horizontal.

No necesitamos, sin embargo, en este caso, hacer esas
operaciones.

Los lados extremos que han de apoyar en las reacciones
que pasan por A y B serán horizontales por ser tangentes
allí, como la viga, al segundo funicular. Esos lados horizon-
tales terminarán en los puntos t y £' de las trisectrices, líneas
de acción de las intensidades respectivas representadas por
las áreas de los triángulos. Por esos mismos puntos f y £'
habrán de pasar también los lados centrales que deben"apo-
yarse en la sm, línea de acción de la intensidad positiva S.

Si conociéramos los segmentos £z, t'z” interceptados por
dichos lados centrales sobre las frisectrices, podríamos tra-
zarlos. Para esto sirve un polo cualquiera P”. Los radios

“a”, P'w, ú otros análogos con la misma distancia polar,
abarcarán siempre sobre una misma paralela á la aw” igual
segmento. Por tanto, si por un punto m' de la sm, que pasa
por el centro de gravedad de la superficie del primer funi-
cular, trazamos dos m'D, m'D”, paralelas á otras dos, que

partiendo de un polo P” (tomado á la distancia E. ó á la

que por circunstancias particulares nos convenga), terminan
en los extremos «*, w" de la magnitud que representa aque-

e DS

lla superficie, darán en DE, D'E” los segmentos «buscados,
que llevados á tz, t'z" permitirán el trazado de los lados
centrales tz”, zt del segundo funicular. Estos, como es na-
tural, se cortarán en s sobre la línea sm.

Las rectas DE" y ED' que, como las trisectrices, consti-
tuyen un artificio en el cálculo gráfico de vigas, tienen tam-
bién su nombre especial: el de líneas cruzadas, cuya defini-
ción está marcada arriba en la parte subrayada, es decir: que
son dos rectas DE”, ED' trazadas por un punto m' de la sm,
que pasa por el centro de gravedad de la superficie del pri-
mer funicular, paralelas á otras dos P'a”, P'w”, que partiendo

de un polo P” (tomado á la distancia Eb 6 á la que conven-
a

ga) termina en los extremos 2”, w” de una recta cuya magni-
tud representa aquella superficie. |

Por la construcción hecha queda determinado el polígono
de cuatro lados A ts f' B envolvente de la segunda funicular.
Sus lados extremos serán tangentes á ésta en A y B en que
principian ó acaban las intensidades negativas y se unen al
comienzo y fin de las positivas. Los lados centrales también
serán tangentes á la segunda funicular (*).

Si ésta fuera la elástica, habría de quedar entera por de-
bajo de A B, por ser tangente á ella en A y B. Los lados
centrales fs, sf”, que también le serán tangentes, sólo po-
drían serlo en los puntos de inflexión, los cuales estarían
proyectados necesariamente entre £ y f'; por consiguiente,
resultaría el absurdo de que, cualquiera que fuese la ley de
carga, los puntos de inflexión de la elástica se proyectarían
en el tercio medio de la viga.

Queda, pues, probado de paso, que el segundo funicular

(*) El punto de tangencia de los lados centrales debe estar en las
verticales de los apoyos en que se enlazan las intensidades positivas
con las negativas. La curva funicular es un conjunto de tres curvas
producidas por las triángulos negativos y el área positiva.

=> MD =

que hemos trazado con el auxilio de las frisectrices no es la
elástica, aunque tiene común con ésta las tangentes en los
apoyos. Eso no impide que como funicular nos preste su
auxilio para la indagación de momentos de las intensidades
entre que está trazado, y, por tanto, para resolver el proble-
ma que nos hemos propuesto.

Los puntos de inflexión en el caso de la figura 9.*, se pro-
yectarán en d y d”, que corresponden á los b y b' en que el
momento es cero.

A los lados centrales del polígono Afs 'B envolvente de
la segunda funicular, corresponden como homólogos los ra-
dios Pa”, Pw” que podrán trazarse ya para determinar P,
Este podrá, pues, fijarse sin necesidad de construir el fu-
nicular, que corresponde á P”, que está con P en una rec-
ta PP' paralela á a w'.

En Ph estarán confundidos en uno los dos radios del haz
paralelos á los lados extremos At y Bf, y á la vez Ph será
paralela al lado de cierre A B del funicular. Esta coinciden-
cia no existiría si los empotramientos no fueran horizontales.

Los segmentos w'h y ha” representarán las dos áreas ne-
gativas de los triángulos; cuya suma, en este caso de empo-
tramientos horizontales (en los demás no sucederá en gene-
ral), se reduce á cero con la positiva representada por a' w'.
Como además, la suma de momentos de esas áreas, respecto
á cualquier punto, debe ser cero por cerrar el funicular, re-
sulta que el área del primer funicular AmbB es igual á la
suma de las de los triángulos, ó sea á la del trapecio A BB" A*
y además el centro de gravedad de éste caerá necesariamen-
te sobre la sm que contiene el de AmB.

- Datos son éstos bastantes para que, estableciendo esa
igualdad de áreas y de momentos de las mismas, podamos
deducir, por sencillo cálculo, las magnitudes A A” y BB” que
buscamos. Pero sin acudir á ello, podemos determinarlas con
el auxilio del segundo funicular. En efecto, prolongando los
lados medios st y sf”, darán sobre las verticales de los apo-

— 210 —

yos segmentos AF, BF", que representarán (multiplicados
por h distancia polar) los momentos respecto á los puntos
A y B de las intensidades negativas, cuyas líneas de acción
son las trisectrices. Esas intensidades son las que represen-
tan las áreas de los triángulos AA'B y BB'A', Ó sea

ARE p io ES EN
- 2
qa ; a '
y, por tanto, podremos escribir
AM Al Lie
AF=<h==>— so
a 3
,
7 1
BB" <x— l
DES MA + >< Ls
a 3
de donde
, ha ha y
AA; = <XAF, BB'=-———xBP
1 ¡ESA
a 22 HE 2
6 6

Con esto queda resuelto el problema que nos proponía-
mos, es decir, quedan determinadas las magnitudes AA”
y BB', y, por consiguiente, el conjunto funicular AA'B'BMA,
que nos dará el momento de flexión en cada punto.

Combinado con el de intensidades primitivo «4 y su
polo O, tendremos los esfuerzos cortantes, sin más que tirar
por O paralelas á los dos lados del funicular, que sean cor-
tados por la ordenada del punto dado, como ya hemos ex-
plicado en otro caso anterior. Uno de los lados será el de
cierre A“B”; por consiguiente, trazando la OK paralela

— 211 —

áA'B', obtendremos el punto K, desde donde se contarán
los esfuerzos cortantes. Por ejemplo, en el punto A, el es-
fuerzo cortante será Ka, comprendido entre OK y Ox, que
es paralela á la tangente, á la curva de momentos en A. Este
valor Kx, es la reacción en el apoyo A.

Si quisiéramos conocer las deformaciones, construiríamos
la elástica ó un polígono que la envuelva y toque en los pun-
tos en que nos convenga conocer su dirección ó su ordena-
da. Contentándonos con cuatro lados, como en el segundo
funicular auxiliar antes empleado, podremos tomar como in-
tensidades: 1.*, la negativa A4“b, representada por una in-
tensidad que obra en su centro de gravedad y proporcional
á su área; 2.*, la positiva bmb'*b, y 3.*, la negativa b'B"B,
tomadas y representadas en la misma escala y en igual for-
ma que la primera.

En la parte superior de la figura, y mediante el polígono de
intensidades aw” y el polo P,, se ha construído un funicu-
lar A, gnS,n'g'B,, que es envolvente de la elástica (defor-
mada por supuesto) indicada de puntos. Ahora ya se ve que
los lados centrales son tangentes á dicha curva en los puntos
de inflexión nn”, correspondientes á los d y d' de la pieza en
que pasan de positivos á negativos los momentos de flexión.
La escala de las deformaciones, sacadas de esa curva, en re-
lación con las verdaderas, depende directamente, como diji-
mos del valor ET y del que en vez de éste hayamos tomado
para distancia polar, é indirectamente de las escalas elegidas
para pesos, longitudes y áreas. Muy pronto volveremos so-
bre este asunto capital, para la construcción práctica de la
elástica.

Observación. — Hemos determinado, en el ejemplo ante-
rior, las magnitudes AA“ BB”, multiplicando AF y BF" por
ha: E [?, Mas si escogemos convenientemente esas h y a
que podemos llamar constantes Ó factores en esta clase de
construcciones gráficas, podremos hacer que aquellas mag-

MES

nitudes AF" y BF" sean sin transformación, las que represen-
ten los momentos negativos que buscamos. Así llegaremos
más pronto á nuestro objeto y la solución del problema re-
sultará más sencilla y elegante. En este caso bastará, como

se ve, que ah = [?, Eso se consigue, como se com-

Eon
6
prende, de muchas maneras. Cuando por a se toma =/Ó6

1 q
a l, valores, que, dijimos antes, eran convenientes para

que las intensidades que representan los triángulos AA'*B
y BB'A, resulten ser la altura Ó su mitad, habrá que hacer

GIA y ardido
6

ds
3

Al detenernos algo en estos últimos ejemplos, no es por-
que demos exagerada importancia á los casos de empotra-
miento. Sabido es, que éste casi siempre resulta imperfecto,
y en muchas ocasiones los constructores, para mayor segu-
ridad, consideran las piezas empotradas como apoyadas sim-
plemente; pero hemos querido explicar y reunir en ellos las
principales particularidades que conviene penetrar bien y te-
ner presentes en el cálculo gráfico de vigas.

VII

Escalas para el trazado de la elástica,

Terminaremos esta primera parte con un asunto muy ele-
mental, por cierto, pero tan interesante que sin él no puede
darse un paso en la práctica de este cálculo gráfico de vigas.
Así cumpliremos también lo prometido, insistiendo en algo
que calificamos de capital en el artículo anterior.

El lector adivinará, quizá, que nos referimos á los siguien-
tes extremos:

1.2 Modo de interpretar las áreas que representan mo-

— 213 —

mentos y las magnitudes de las ordenadas de los polígonos
y curvas funiculares, deduciendo de unas y otras los valores
efectivos de los momentos de flexión, indicando en cada figu-
ra cuál es la escala de momentos, en relación con las que
sirven para pesos y longitudes.

2.” Interpretación de las áreas encerradas por los polígo-
nos y curvas funiculares y representación de las mismas por
magnitudes rectilíneas.

3.” En fin, cómo debe valuarse el producto El y la esca-
la en que resultan en un segundo funicular las deformaciones,
según el valor de este producto, la escala de áreas de mo-
mentos de flexión y la distancia polar elegida.

Momentos de flexión. —Sabido es que éstos, como los mo-
mentos estáticos, son generalmente productos de fuerzas,
por las distancias á éstas del punto respecto al cual se toman
los momentos. Aparte de que las fuerzas se pueden. pesar, di-
gámóslo así, son ordinariamente pesos las que consideramos,
y éstos se representan por longitudes. La unidad fundamental
del peso (P) es el kilogramo y la de longitud (L), el metro,
como de costumbre. Mas aquél es pequeño para ser indica-
do cómodamente por una longitud, y por eso cada milímetro
representa casi siempre, cien kilogramos por lo menos. Se
podrá, si es preciso, poner en el dibujo una escala conve-
nientemente dividida y acotarla de 10 en 10 ó de 100 en 100
kilogramos.

De ordinario, bastará con una indicación como ésta:

Escala de cargas = N kilogramos por mm.,

Ó bien, puesto que el metro es la unidad fundamental:

1 m.

ESE ==
N = 1.000 kg.

Si decimos, por ejemplo, que un milímetro representa cien
kilogramos, pondremos:

— 214 —

Escala de 100 kg. por 1 mm.,

Ó sea
1 m.

Escala de pesos = —_—___———-.
100.000 kg.

De la escala de longitudes nada nuevo tenemos que indi-
car, porque, como de costumbre, se dice:

Escala de longitudes = dos centímetros, uno Ó medio, etc.,

por metro,
ó bien:
, 1 1 1
Escala de longitudes = —, ——, —- etc
50” 100” 200

En resumen, en estas escalas el numerador es el metro, el
denominador es el número de kilogramos 6 de metros que
el numerador representa en el dibujo. De ella se deduce con
facilidad, lo que significa cualquier submúltiplo suyo, sin
más que dividir el denominador por las veces que á ese sub-
múltiplo contiene el numerador ó sea el metro.

Los momentos son superficies formadas por las dos longi-
tudes que representan pesos (d fuerzas) y brazos, 6 distan-
cias de éstas á un punto Ó á un eje. La unidad PL será real-
mente un rectángulo de altura igual á la que representa un
kilogramo = P, con base igual á la que representa un me-
tro L. Pero por lo dicho anteriormente respecto á P, esa su-
perficie unidad sería Ó pequeña ó incómoda, y suele tomar-
se algún múltiplo suyo. Por ejemplo; si las escalas son de
100 kilogramos por milímetro, y de medio centímetro, Ó
sea, 0,005 por metro, es evidente que la escala de momen-
tos = 100 kilográ-metros por cada rectángulo de un milíme-
tro de altura y 5 de base, ó bien, por cada 5 milímetros cua-
drados, esto es, de 20 kilográ-metros por 1 mm?. Mas como
la referencia al metro es de mayor comodidad, porque de ella
derivan fácilmente las demás, podremos decir sencillamente:

v

— 215 —

Escala de momentos = el din >< _1m E
100.000 kg. 200 m.

" 1 m?.
20.000.000 kg-m. ”

resultando de multiplicar las dos escalas de pesos y longitu-
des; fracción que quiere decir que un metro cuadrado re-
presenta 20 millones de kilográ-metros (*), 6 bien, 2 < 10"
kilográ-metros.

Cuando se ha obtenido una curva ó polígono funicular ce-
rrado, correspondiente al sistema de cargas que sustenta una
viga y sus reacciones, el momento de flexión M, respecto á
un punto x cualquiera, está dado, como sabemos, por la
parte y de la ordenada comprendida en él, multiplicada por
la distancia polar H; luego M, = y H. Este producto es una
superficie que, valuada en metros cuadrados y multiplicada
por el denominador de la escala de momentos, dará el valor
en kilográ-metros, que corresponde á cada ordenada y.

Supongamos que la escala es de

1 m?.
20.000.000 kg-=m. ”
M = y < H = 20.000.000 kg-m.

Esta expresión dice que las ordenadas y, tomadas en me-
tros, darán por sí solas ese mismo momento, sin más que
multiplicarlas por la cantidad constante HA < 20.000.000, que
es lo que corresponde en kilográ-metros á una ordenada de

(*) Creemos conveniente separar las dos palabras en la forma
indicada, ya que la de kilográmetros está consagrada á la unidad de
trabajo ó de energía. Del mismo modo, para representar el kilográ-
metro ponemos kg-m., que está mejor dispuesto para expresar luego
la unidad cúbica kilográ-metro cuadrado, que debe cifrarse en este
abreviación: kg-m?,

— 216 —

un metro. Si conviene medir las ordenadas en milímetros ó
en cualquier otro submúltiplo del metro, habrá que dividir
esto por mil ó por el divisor que corresponda.

1
Viga: Escala = L

Figura 9.*

Pongamos un ejemplo para la debida claridad. Volvamos
á la figura 9.*, que reproducimos aquí para mayor comodi-
dad del lector.

A la viga AB de 12 metros de longitud, empotrada en los

— 217 —

apoyos y dibujada en la escala 1/200, la suponemos so-
portando una carga repartida, según una ley determinada,
cuyo total de 5.000 kilogramos esté representado en aw por
una longitud de 0,05, esto es, un centímetro por 1.000 kilo-
gramos, ó sea en escala de

1 m. h
100.000 kg. '

la “escala de momentos será, pues,

din:
200 >= 100.000 kg-m. *

OH distancia polar es 0,03; por consiguiente, el factor

-por que hay que multiplicar las ordenadas, medidas en me-

tros, para saber el momento que representan en kilográ-me-
tros, será 0,03 < 200 < 100.000 = 600.000. Por ser la figu-
ra pequeña, nos conviene medir esas ordenadas en milíme-
tros. El factor constante será, pues, 600.

Si suponemos la viga apoyada, la curva de momentos es,
como dijimos en el número anterior, la AmbB; el momento
de flexión en el punto S está representado por la ordena-
da Sm, valdrá, pues, Sm milímetros < 600 kilográ-metros.

Si la suponemos empotrada, el momento de flexión en S
queda reducido á rm milímetros; será, pues, con tal hipó-
tesis de rm =< 600 kilográ-metros. En cambio, en el apoyo A,
en que sería nulo con la primera hipótesis, se hace nega-
tivo con la segunda y de valor igual á A A” milímetros, mul-
tiplicado por el factor constante 600 kilográmetros.

- Supongamos ahora, que deseamos continuar las operacio-
nes para trazar las líneas cruzadas tz” y zf', Ó para hallar los
lados centrales (parte superior de la figura) 2S, y S,2”, que,
con las horizontales A,g y B,2”, nos dan un polígono envol-
vente de la elástica correspondiente á este caso de empotra”

— 218 —

miento, y averiguar cuál es la escala de las deformaciones.
Para concretar bien las ideas, fijgmonos solamente en el tra-
zado de la elástica.

Dijimos que el conjunto funicular para este caso era el
AA' B'BU'mbA. Si queremos un polígono de muchos la-
dos que la envuelva, habrán de subdividirse las áreas AA'b,
bmb' y b'B'B.en los trozos que nos hagan falta; mas si nos
contentamos con los cuatro lados arriba dichos, bastará va-
luar directamente, ó con un planímetro, esas tres áreas y lle-
varlas en su orden sobre un polígono de intensidades «* w”
en la escala conveniente, situando luego el P, á la distancia
ET, tomado este producto en la misma escala, ó en otra si
así lo exige el dibujo, deduciendo de la relación entre am-
bas, la de las deformaciones.

Puesto que en este caso, por lo que dijimos en el número
anterior, el área positiva ha de ser igual á la suma de las ne-
gativas, pondremos el polo P, de modo que la distancia po-
lar P,h' divida á la a” w”, que representa el área positiva, en
dos partes w”/1" y Ha”, que figuren las negativas b'BB'
y AA'b.

Veamos, ante todo, el modo de valuar éstas.

Tomemos, para simplificar, el área A A” b como si fuera
un triángulo de base A A” = 13 milímetros y altura A* b de
otros 13. No habrá inconveniente en razonar así. Ese trián-
gulo vale 84,5 mm.?”: figuremos cada 10 milímetros cuadra-
dos por uno de longitud, ó bien tomemos a = 10 mm. como
base de reducción. El triángulo A A“ b podrá representarse
por una longitud de 8,45 mm.

Puede también decirse: A A* sabemos representa un mo-
mento de flexión cuyo valor 13 <»600 = 7.800 kg-m.; la

altura en la escala de 0,005 por metro, ó de

represen-

ta 27,60; el área del triángulo representará 7.800 < 1,30 =
= 10.140 kilogramos-metros cuadrados = 10.140 kg-m.?.
Figuremos cada 1.000, ó en general cada a' kg-m.* por la

— 219 —

longitud de 1 mm.; dividiendo ese número por 1.000, ó en
general por a”, sabremos el número de milímetros que debe
representarla.

Del mismo modo valuaremos la otra área negativa b' B B'
en milímetros cuadrados, y reducida con la base a, por el
primer método, sabremos los milímetros de longitud que de-
ben representarla, ó bien diremos: ese triángulo tiene una
base B B” de 7 mm., que representa 7 < 600 = 4.200 kg-m.
y una altura b” B” próximamente igual á 14 mm., ó 2,80 me-
tros en la realidad, por consiguiente, esta superficie vale
5.880 kg-m?., que dividiremos por a”, y aquí por 1.000, para
tener su representación lineal.

La positiva será la suma de ambas por lo expuesto arriba,
y si no fuera así, por no ser horizontales los empotramientos,
la determinaríamos directamente, ó con un planíimetro de con-
fianza, repitiendo algunas veces la operación. Expresada en
milímetros y dividida por a, nos daría la longitud en milíme-
tros que debe representarla, ó bien reducida á kg-m.?, y di-
vidida por a”, tendremos su representación lineal por el se-
gundo método. l

Estos dos procedimientos dan, en general, longitudes dis-
tintas, porque se emplean en ellos distinta base de reduc-
ción.

En el caso actual, por ejemplo, fuera preciso, para que
resultara la misma base de reducción en ambos métodos,
que 10 mm.? equivalieran á 1.000 kg-m.?, ó en general,
amm? equivalentes á a” kg-m.?.

Lo más lógico, y en armonía con lo dicho anteriormente,
es que en todos los casos determinemos de un modo gene-
ral la escala que para medir las superficies en kg-m.? debe
emplearse: razonando de este modo: si

lem
N kg.

a

es la escala de fuerzas Ó pesos,

11m.
N'm.

la de longitudes y A la distancia polar,

1 mé
N>=N'" kg-m.

es, como vimos, la de superficies que dan momentos de
flexión;
1 m.
N <N' =<H kg-m.

es la de medir las ordenadas. Esta última relación quiere de-
cir: que cada ordenada, y, hay que multiplicarla por

NN <xH,

como también hemos visto, para hallar el momento deflexión,
que y representa en kg-m.

Si suponemos un cuadrado de lado vertical ú ordenada,
igual á un metro y base de otro metro, este cuadrado repre-
sentará

N=<N'<H kg-m <N' = NN =<xN'? <H kg-m.?;

por consiguiente, la escala para medir superíicies de polígo-
nos y curvas funiculares será de

1-m%
N=<N2>x=<H.kg-m?. *

= 221 —

En el ejemplo anterior será, pues,

1 m?.
100.000 >< (200)? >< 0,03 * d

lo cual quiere decir: que un metro cuadrado de superficie del
polígono funicular ó curva de tal especie, representa en el
dibujo 12 =< 107 kg-m.?, y, por tanto, un milímetro cuadrado
valdrá 120 kg-m.?, resultado de dividir lo anterior por un
millón de mm.? que vale el metro cuadrado (*).

Con esta escala ya no habrá más que valuar las áreas en
milimetros cuadrados, por ejemplo, directamente ó por me-
dios planimétricos, y podremos fácilmente decir lo que re-
presentan en kg-m.?.

La BB' b' dijimos que tenía 7 mm. de base, 14 de altura;
la superficie será, pues, de 49 mm.?, que divididos por la
base 10, darán 4,9 milímetros para representarla. Multiplica-
dos aquellos 49 mm.? por 120, dan un producto de 5.880
kilográmetros cuadrados, que divididos por 1.000, darían
5,88 por el segundo procedimiento. Del mismo modo, la

AA' b, que en milímetros es 5 1352 13.= 84,5 mm.?,. po-

drán representarse por 8,45 por el primer medio, ó valdrán
84,5 < 120 = 10.140 kg-m.?, que divididos por 1.000, darán
10,14 por el segundo.

Vamos ahora al coeficiente, que podría llamarse de rigi-
ee. El.

Cualquiera que sea el procedimiento seguido, habrá que
interpretar El en armonía con él.

Si empleamos el primero tomando por unidad superficial
una determinada, habrá que dividir E7 por el número de ki-

(*) 10 mm? valdrán, pues, 1.200 kg-m?. mayor que la base 1.000.
El primer procedimiento dará en este caso longitudes menores para
representar las superficies.

Ruy. Aca. Ciencias.—IV.— Febrero, 190€,

A

— 222 —

lográmetros cuadrados que esa unidad represente, y entonces
el coeficiente de rigidez estará, digámoslo así, expresado en
unidades superficiales de la misma especie; dividiendo de
nuevo por la base a, tendremos la magnitud lineal que repre-
sente á ese producto.

Supóngase que la viga AB es de un material cuyo coefi-
ciente de elasticidad es E=20>10*, y su sección tal, que
I=0,0002. El producto será El=4><10*%kg—m?, puesto
que ya demostramos á su tiempo (art. 11) que debe ser con-
siderado como de la misma especie que las superficies de mo-
mentos. Dividiendo por 120 kg-m.? que en este caso vale
el mm.?, tendremos un número, que vuelto á dividir por a
(aquí por 10) dará la longitud lineal que debe representar á
ET. En el caso actual E/=3333 mm. Ú sea 3,33 metros.

Si seguimos el otro procedimiento, supondremos que cada
1.000 kg-m.? los representamos por la longitud de 1 milíme-
tro, la escala será de 1.000 kg-m.? por milímetro; tomando
el metro por unidad, diremos que en este caso la escala de
las superficies de momentos es:

1-1:
1.000.000 kg-m?. ”

lo cual, como sabemos, quiere decir que un metro de longi-
tud representa un millón de kilográmetros cuadrados. Para
saber cuántos mm. ó cuántos metros hemos de tomar para
representar cada superficie 6 el producto El, no habrá más
que dividir por mil 6 por un millón el de kg-m.? que valgan.

Hagamos esto en nuestro ejemplo: En la figura 9.* la su-
perficie AA“b, vale 10.140 kg-m.?*; habrá de representarse
por 10,14 mm.; la BB"b que vale 5880, por 5,88, y El, que
vale 4<10* kg-m., por 4<10* mm. ó sea por 4 metros. Las |
dos primeras las hemos llevado á a” Rf" y Mw”, pero la últi-
ma será imposible tomarla en el dibujo.

Según lo que indicamos en el art. II, dividamos de nue-

— 223 —

vo por el denominador de la escala de longitudes, y ten-
dremos:
4m.

SAO
200

Deberíamos, pues, poner el polo á la distancia de 2 centí-
metros, para que las deformaciones dadas por el dibujo fue-
ran las de la viga real; le hemos puesto en P, á tres centíme-

A 1!

tros de distancia de 4w ; las ordenadas de la figura serán,

pues, 5 de las efectivas.

La elástica está figurada en la línea de puntos que hemos
trazado, y da 4,5 milímetros de flecha; la pieza tendría, se-
gún esto, de flecha efectiva:

A OO MA,

si la figura fuese la verdadera.
En efecto; llamemos N” al denominador escogido para la
escala de superficies de momentos, podemos poner

E PE e ERAS

Con este valor de distancia polar las deformaciones dadas
por el dibujo serían las de la viga en la realidad. Por consi-

guiente, — siendo A la distancia polar adoptada, será la

relación Z- (véase el art. II), entre las de la figura y las

efectivas; habrá, pues, que multiplicar las Z de la figura por

5” para tener las verdaderas V. Este valor Ec es, pues,

<-

el denominador de la escala de deformaciones; luego su in-
versa

EL
HE
D

es la escala de las deformaciones.

En nuestro caso D=2; H=3.

Se comprende por lo dicho que no hay inconveniente en
tomar A de la magnitud que nos convenga, para fines espe-
ciales, como el que indicamos en otra parte cuando quería-
mos obtener en verdadera magnitud los momentos en los
apoyos, porque formado el valor D, que representa á El,
se podrá comparar con el A que nos haya convenido tomar,
apreciados uno y otro en la misma unidad métrica, y dedu-
cir de la figura las deformaciones efectivas.

Pongamos otro ejemplo sencillo, deteniéndonos de paso un
poco en la interpretación de las superficies de carga, y á la
vez el lector podrá también notar en él la pequeña variante
que existe en los dibujos, cuando cambia la sección de la
viga, y, por ende, el producto E/. Este puede variar por
cualquiera de los factores, ó por los dos á la vez, pero lo más
general es que el material, y, por lo tanto, E, sea el mismo en
toda la viga, cambiando sólo la sección para que el momento

resistente y (*) siga próximamente la variación del mo-

mento de flexión, resultando el trabajo del metal, por milíme-
tro bruto de sección, el mismo dentro de ciertos límites.

(*) Sabido es que se da el nombre de momento resistente (abu-
sando de esa palabra momento, tan mal aplicada en general) al co-
ciente del momento de inercia de una sección por la distancia á la
capa de fibras neutras del punto más alejado de la sección, y que si
se llama R al coeficiente de trabajo y M al momento de flexión en un

I
unto, M=R —-.
pun R V

NS

Sea A B (figura 10), una viga empotrada en A, de tres me-
tros de longitud, que dibujamos en la escala de dos centíme-

tros por metro, ó sea de = La carga á que está someti-

da, suponemos que crece uniformemente desde cero en A á
12.000 kilogramos por unidad en el extremo B. Tomando
para escala de pesos 1 mm. por cada 500 kg., ó sea

1 m.
500.000 kg. *

la ordenada Bm en el punto B será de 24 mm.; la línea de
carga será la Am. La escala de las superficies de carga será
el producto de las dos anteriores

im: 1'm. 1 m?.

—— < == — = ——,
50 500.000kg. 25.000.000 kg.

lo que quiere decir que un metro cuadrado de superficie de
carga representa 25.000.000 kilogramos. Un milímetro cua-
drado será, pues, equivalente á 25 kilogramos. La carga to-
tal de la viga representada por el triángulo Am B, puede ha-
llarse, ya sea multiplicando la base mbB, que por hipótesis
representa 12.000 kg. por la mitad de la altura efecti-
va (1”,50), cuyo producto será 18.000 kg., ó bien, tomando
la base en milímetros, que serán 24, y multiplicando por la
mitad de la altura, esto es, por 30 mm. resultando 720 mm.?
en el dibujo, que á razón de 25 kg. por mm.?, arroja un total
de 18.000 kg. como antes.

Del mismo modo descompuesto ese triángulo por ordena-
das de 5 en 5 mm., ó sea, supuesta la viga dividida en 12

trozos de 25 centímetros efectivos y concentrada la carga

que corresponde á cado trozo en su centro de gravedad, ha-
bremos substituido la carga total, supuesta continua, en las
12 resultantes parciales correspondientes á las que represen-

HDN

— 227 —

tan el triángulo A ab y á los trapecios sucesivos hasta el Bn rm,
fáciles de valuar, puesto que el triángulo A ab debe tener por
altura la dozaba parte de Bm, ó sea 2 milímetros; por consi-
guiente, su área es de 5 mm. cuadrados y valdrá como car-
ga 125 kilogramos. Los trapecios sucesivos valdrán, según
es sabido, 3, 5..., 23 veces más, Ósea, tantos triángulos
iguales al primero (*) como indica el número correspondien-
te de la serie de los números impares. El trapecio aba'b'
valdrá, según esto, 3 >< 125 = 375 y el nBm, 23 < 125 =
= 2.875 kilogramos.

Supondremos todas estas cargas actuando en las vertica-
cales 1, 2, 3..., 12 de los centros de gravedad de las superfi-
cies respectivas.

Construyendo el polígono de intensidades «aw, en el cual
hemos tomado las a 1”, 1” 2”.... proporcionales á las cargas
mencionadas á razón de 4 mm. por 1.000 kg., ó sea toman-
do ahora para la escala de pesos

E
250.000 kg. *

hemos construido con auxilio del polo P el polígono funicu-
lar BA”.

AA' sérá el momento de la carga total respecto al punto A,
ó del triángulo A Bm convenientemente valuado, esto es,
18.000 kg. < 2 metros = 36.000 kg-m. Este momento esta-
rá representado por el producto de la ordenada A 4” por la
distancia polar Pa, producto que será una superficie que
puede valuarse sabiendo que la escala de momentos es

1 1 EA,
——— >< — /
250.000 50 125 < 10% kg-m.

(*) Esta descomposición es la misma que la empleada por Ga-
lileo con bien diferente objeto: el de valuar los espacios corridos en
cada segundo de tiempo por un cuerpo que cae en el vacío.

-

Pero si como es más cómodo, queremos averiguar el mo-
mento por la ordenada A A”, tendremos que (por haber toma-
do la distancia polar P = 0,06 metros) la escala de las or-
denadas será

1 ye 1 m.
125 <0,06 <105 75 ><10%kg-m. '

De aquí resulta que 1 milímetro representará 750 kg-m.;
luego la ordenada A 4” de 48 mm. valdrá, ó mejor indicará,
un momento = 48 < 750 = 36.000 kg-m., como ya sabía-
mos. La tangente en A” á la curva funicular, será la AD,
Es AB, por-
que las tangentes extremas BA y A“D deben cortarse en la
vertical del centro de gravedad del triángulo A Bm. Estas
coincidencias gráficas y aritméticas sirven para rectificar el
polígono funicular y dejarlo construído con suficiente aproxi-
mación, antes de pasar al trazado de la elástica.

Para trazar la elástica supondremos que la viga tiene una
sección desde B á D, tal que su momento de inercia es

* = 0,00003; que de Dá C'se han cosido convenientemente
á la viga palastros sobre sus tablas de modo que el momento
de inercia se convierta en /' = 0,00006; y que de Cá A se
han añadido nuevos palastros, de modo que el momento de
inercia resulte / = 0,0001.

Dividamos la superficie BA A* comprendida entre el polí-
gono funicular y el eje de AB, en partes cuyas áreas (sin
valuarlas en kg-m? si no se considera preciso) vamos á to-
mar por intensidades, procurando que haya divisiones en los
puntos C y D en que cambia la sección de la viga. El segun-
do funicular, ó sea el funicular correspondiente á estas áreas
tomadas por intensidades, escogiendo el polo y primer radio
de modo que pueda comenzarse en A tangente á AB, será
envolvente de la elástica.

Lo más breve (si no queremos más que las deformaciones

pasando necesariamente por D, siendo BD =

A

en C, D y B) es dividir el polígono de momentos de flexión
en las tres partes indicadas AA* CC, CC“D”D y DD” B.

Valuemos las áreas como nos plazca (tomando las dos
primeras como trapecios). Midamos, por ejemplo, la super-
ficie de cada trozo en mm.?, tal cual es el dibujo y multipli-
cando por el denominador que á la superficie de momentos
corresponda.

El trapecio AA” C”C tiene su base A A” de 48 mm., la
base menor ó sea la ordenada que pasa C, tiene 25 mm., la
semisuma es 36,5 y valuada en milímetros cuadrados dará
una superficie de 730 mm.?.

La escala de las superficies de momentos es

1
N=<N2<H'

En nuestro ejemplo N = 250.000, N' = 50, H = 0,06, lue-
go N<N'2? =<H = 375 < 10% por metro cuadrado. El área
AA'c”c valdrá, pues, 27.375 kg-m.?. Las otras dos valen
aproximadamente 11.023 y 5.300 kg-m? (*).

Tomadas todas en una escala arbitraria, por ejemplo, de
1 mm. por cada 500 kg-m.?, ó sea en escala de

l m.
500.000 kg-=mm?. ”

tendremos un sistema de tres intensidades, cuyas líneas de
acción serán las 1,, 2,, 3,, que pasan por su centros de gra-
vedad y cuyas magnitudes en esa escala serán próximamen-
te 55—24 y 7 mm.

Con ellas se construirá el polígono de las mismas aw”. El

(*) Las pequeñas diferencias que pueden resultar desaparecen al
representar en el polígono de intensidades un milímetro, centenares
de kg-m.?

— 230 —

polo habremos de colocarlo á la distancia El, reducida con-
venientemente, que ahora será distinta para los tres trozos
en que varía la sección. Supongamos que E = 18 =< 10”.
Para el trozo AC, por hipótesis / = 0,0001; luego El =
= 18 < 10%? kg-m.? de la misma especie que las superficies
de momentos.
En la escala de
l m.
500.000 kg-m.? ”

el valor de El tendrá que representarse por

5
PoR NI 3,60 metros.

500.000

No es posible tomar esta distancia en el dibujo: dividamos
por el denominador de la escala de longitudes y tendremos

360. = 7,2 centímetros.

50

Esta será la distancia polar que habremos de tomar para
el trozo AC, á fin de que las deformaciones sean las mismas
que en la realidad. Tomada en P“x”, poniendo el primer ra-
dio horizontal para que la elástica 6 su polígono envolvente
sea tangente á la viga en A, tendremos en A a”, aa” los dos
lados para el trozo AC, paralelos á los radios Pa”, P1,'.
Esto nos proporciona en CC” la verdadera magnitud de la
flecha en C.

Para el trozo CD habrá que construir una nueva elástica 6
nuevo polígono envolvente. Su primer lado será también
tangente en C” á la elástica de este trozo y, por tanto, el
primer radio del haz puede ser el mismo P“1,”, último del
anterior; pero la distancia polar debe ser ahora ET”, siendo

— 231 —

I' =0,00006 momento de inercia de la sección de la viga
desde C| á D: será pues, El' =18 =< 10? < 0,00006 =
= 108 < 10%, que dividido por el producto de denomi-
nadores de la escala de momentos y de la de longitudes
500.000 < 50 = 25 =< 10%, nos dará

108 =< 10*

= 0,0432 metros,
25 < 10%

ó sea 4,32 centímetros por distancia polar. Tomado P” so-
bre el radio P'1”,, á la referida distancia de «'w”, continuare-
mos la construcción del segundo funicular envolvente de la
elástica en el segundo trozo CD. Sus lados serán: C'a” y
a” a” paralela á P”2,'. En DD” tendremos la verdadera
deformación en el punto D.

Análogamente, el radio P”2,*, será el primero del último

,

y , El” será
2

trozo, para el cual, siendo /” = 0,00003 ó sea

también mitad de ET”, luego, á fin de que las deformaciones,
del último trozo sean las verdaderas, tomaremos El” = 2,16
centímetros, y así lo hemos hecho en P””"; P"w” servirá
para terminar el trazado del polígono. Los lados del último
trozo son: aa” y a“B” paralela á P""w”. El polígono total
parte de A y se apoya en las tres intensidades 1,, 2,, 3,.
La distancia B B' será la flecha efectiva, puesto que la elás-
tica debe ser tangente en B” al polígono que acabamos de
trazar. Como puede verse, resulta próximamente de 57 milí-
metros, que será la deformación de la viga ó descenso de su

extremo en la realidad.

VIII
Vigas continuas sobre un número cualquiera de apoyos.
Entremos ya en la parte principal de este trabajo, ó sea

en el cálculo gráfico de una pieza soportada por múltiples
apoyos.

==

Hagamos primero un bosquejo del cálculo analítico; así
podrá compararse uno con otro y procurarse con ambos au-
xilio y comprobación mutua.

He aquí el caso general: Sea OX (fig. 11) el eje de una
viga continua, que comprende n apoyos numerados de 1 án.
No hay inconveniente en que sean empotrados los dos ex-
tremos, uno ó ninguno, dándose las direcciones de tales em-

potramientos.

Figura í1.

Veamos uno de los varios medios que pueden emplearse
para plantear el problema y si hay posibilidad de escribir el
número de ecuaciones suficientes para hacerle determinado.

Según lo dicho en el art. IV, la expresión general del mo-
mento de flexión para un punto cualquiera de un tramo,
del 1—2 por ejemplo, tiene esta forma:

y =f(x)+ C,x+.C,/. (1)

Con el subíndice, indicamos el comienzo 1 del tramo; y,
es el momento general de flexión en ese tramo 1—2; la le-

Mos: Y e “e A ds o PT O a a Cs

e ds tc

— 233 —

tra C sin acento, es la reacción parcial en el apoyo izquier-
do 1, tomado como origen de coordenadas; la acentuada C'
el momento de flexión en ese mismo apoyo 1.

Cada tramo proporciona una ecuación análoga, en que
f(x) es perfectamente conocida, dadas las cargas del mismo.
Para que no entren otras incógnitas que C y C”, puede po-
.nerse por x la luz del tramo. Entonces y se convertirá en el
momento de flexión C”, correspondiente al apoyo derecho,
izquierdo del segundo tramo, y tendremos para el primer
tramo la siguiente ecuación:

CY =HMD + C,1+C4,
que no es otra cosa que la ecuación de momentos respecto
al apoyo 2.

En nuestra mano está escribir tantas ecuaciones análogas
á ésta, cuantos sean los tramos, sin más incógnitas en cada
una que las C, C”. Resulta, pues, que habiendo (n—1) tra-
mos, tendremos (n—1) ecuaciones con 2 (n — 1) incógnitas.

No disponiendo de más ecuaciones, el problema sería in-
determinado. Tomamos, como se ve, por incógnitas C, C”.
Conocidas C, reacciones parciales en los apoyos izquierdos,
debidas á las cargas especiales de cada tramo, estarán cono-
cidas las del derecho sin más que restarlas del total sopor-
tado por cada tramo. Además, sumadas las reacciones par-
ciales que en cada apoyo existen, debidas á los dos tramos
que en él concurren, se tendrá la reacción total del apoyo.
Las cargas se suponen verticales, y lo serán también las re-
acciones.

Con lo dicho no hemos hecho otra cosa que auxiliarnos
de las ecuaciones de equilibrio de cada tramo aislado. El
problema tenía necesariamente que resultar indeterminado,
como sucede siempre que se trata de averiguar, sin otro au-
xilio que aquellas ecuaciones, la manera de repartirse una
carga, como la total de la viga, en más de dos apoyos, ó lo

— 234 —

que es igual, descomponer una fuerza en más de dos para-
lelas contenidas en el mismo plano que ella.

Cuando los tramos son cortados, de sus cargas se deduce
inmediatamente la carga que soporta cada apoyo, y los mo-
mentos de flexión en éstos son nulos. En cuanto los tramos
se hacen solidarios, en cuanto se establece la continuidad de
la viga, se influyen unos sobre otros, por intermedio de la
materia que la forma, y para saber cómo se influyen, es pre-
ciso escribir las ecuaciones especiales de enlace, lo cual se
consigue introduciendo la elasticidad de la materia, lo que
se hace de un modo indirecto, con la expresión gráfica Ó
analítica de la curva llamada elástica y de su derivada, Ó
primer coeficiente diferencial. .

Esta curva para toda la viga, está formada por el conjun-
to de las que corresponden á cada tramo, que de dos en dos
son tangentes en el apoyo común. Cada trozo de éstos pro-
vendrá de tomar las ecuaciones generales de momentos de
flexión, análogas á las (1) para cada tramo, que divididas
por el coeficiente de rigidez, ó valor E/ correspondiente, se
consideran como la segunda derivada ó coeficiente diferen-
cial de segundo orden del trozo de curva que al tramo per-
tenece. Por una doble integración llegaremos á su elástica,
lo cual traerá consigo la introducción de dos constantes por
tramo, Ó sea otras 2(n — 1) incógnitas más. El total de éstas
será, pues, de 4(n — 1), y sólo tenemos hasta ahora (n — 1)
ecuaciones; faltan, pues, 3(n — 1) ecuaciones, si el proble-
ma ha de ser determinado.

Pero la elástica, Ó trozo de elástica, correspondiente á
cada tramo, tienen que pasar necesariamente por los apoyos,
estén Ó no á nivel, de modo que sustituyendo en su ecuación
por las coordenadas generales las que corresponden á cada
apoyo, aquélla quedará satisfecha. Con esto cada tramo nos
dará dos ecuaciones más, ó sea 2(n — 1) en total, para su-
mar con las (n — 1).

Además, las primeras derivadas ó primeros coeficientes

— 235 —

diferenciales de las mismas elásticas parciales son, como sa-
bemos, la expresión general de las tangentes trigonométri-
cas de los ángulos que forman con el eje OX, las tangentes
geométricas á la elástica. Tendrán, pues, que dar, las de dos
tramos contiguos, el mismo valor para la abscisa correspon-
diente al apoyo intermedio, y, por tanto, obtendremos por
tales igualaciones (n — 2) ecuaciones más, que con las
2(n — 1) anteriores y las (n — 1) que ya teníamos, resultan
(4(n — 1) — 1) en total.

Si la viga fuera empotrada en el primer apoyo de la iz-
quierda (*) habrá de dársenos, como sabemos, la dirección
de este empotramiento y podremos escribir la ecuación que
nos falta igualando el valor de la derivada de la elástica
para ese punto con la tangente del ángulo que se nos da.

Si es apoyada, C” será cero, tendremos esa incógnita me-
nos, y, por tanto, bastante con las 4(n — 1) — 1 ecuaciones.

Resumiendo: el problema es en general determinado para
una viga ó trozo de la misma, gracias al empleo de la elás-
ca. Podrán, pues, determinarse todos los valores C y todos
los C”, además de las constantes introducidas por las dobles
integraciones.

Substituidos los valores C, C” en las ecuaciones de cada
tramo análogas á la (1), tendremos la expresión general del
momento de flexión en cada uno.

Los coeficientes diferenciales de primer orden de esas
ecuaciones darán la ley de los esfuerzos cortantes.

Por el contrario, integradas dos veces (**) después de di-
vididas por el coeficiente de rigidez El que corresponda, ten-
dremos con la primera integración, las tangentes trigonomé-
tricas de los ángulos de las tangentes geométricas á la elás-

(*) Yase ve que, numerados los apoyos, suponemos que los nú-
meros crecen de izquierda á derecha.

(**) Ya se comprende lo que se dice abreviadamente con esto: su-
ponemos se ponga primero bajo la forma diferencial.

A e

tica con el eje X en cada punto, y con la segunda integra-
ción la curva elástica misma, que nos dará las deformacio-
nes verticales en todos los puntos.

Si el número de apoyos es crecido, ya se comprende que,
si no difícil, será pesado el manejo de esas 4(n — 1) ecua-
ciones.

Podríamos disminuir el número de incógnitas eliminando
preliminarmente los valores C, haciendo depender los mo-
mentos generales de flexión de los C* correspondientes á los
apoyos, como se hizo en el citado art. IV. Pero esto no deja-
rá de ser una eliminación sucesiva, mediante el empleo de
ecuaciones convenientes.

De todos modos este procedimiento general es largo y pe-
noso, como no sea para casos particulares de pocos apoyos
Ó de cargas y luces especiales.

IX

Teorema de los tres momentos.

Para facilitar la solución analítica, se han propuesto pro-
cedimientos más ó menos ingeniosos en casos particulares.
Hay, sin embargo, uno de carácter general y de sencilla apli-
cación, sobre todo cuando no varía la sección de la viga y
los apoyos están de nivel. Este procedimiento tiene por base
el empleo del notable teorema llamado de los tres momentos,
que da un medio fácil de enlazar las cargas y luces de dos
tramos consecutivos, con los momentos de flexión en los tres
apoyos que los comprenden. Así se obtiene una ecuación por
cada apoyo intermedio.

Cuando en el primero y último está la viga libre, serán en
ellos nulos sus momentos de flexión. Quedan sólo (n—2)
momentos en los apoyos para determinar con las (n—2)
ecuaciones, que pueden establecerse, desde luego, por me-
"dio del teorema en cuestión.

2]

E

Conocidos los valores C”, ya se vió en el art. IV cómo
poniendo los C en función de ellos, era fácil hallar la expre-
sión de los momentos generales de flexión para cada tramo.
Sabemos también que de tales expresiones se pasa por deri-
vación á la ley de esfuerzos cortantes y por integración do-
ble á la elástica, que da las deformaciones llamadas princi-
pales.

Ese teorema de los fres momentos para el caso de estar
los apoyos á nivel y no cambiar la sección de la viga, tiene
una escritura algebraica sencilla, fácil de retener y no difícil
de demostrar.

Le demostraremos, y de paso apuntaremos la expresión
más sintética, que de tal teorema se ha dado hasta ahora,
que sepamos.

Dejemos, á partir de aquí, de significar por C” los mo-
mentos en los apoyos y hagámoslo por su letra inicial M,
con el subíndice del apoyo á que corresponda, por ser ésta la
representación más usual.

El teorema de los tres momentos puede cifrarse, para el

caso de apoyos á nivel y sección de la viga constante, en la
siguiente ecuación:

M, l, HF 2M, (A E l,) e M, l, 0 (R; 7 R, TR S,) (6)

En esta fórmula (véase la fig. 11) M, M, M, son los
tres momentos de tlexión correspondientes á los apoyos
A1, B2, D3, llevando implicito el signo; /, /, las luces de
los dos tramos.

S,, S, son las áreas encerradas entre el eje X y las cur-
vas (1C2, 2C"3) de momentos, supuestos los tramos aisla-
dos; R,, R, son los valores absolutos de las reacciones en

los apoyos 1 y 2 (el izquierdo en cada tramo), que corres-

ponderían á los mismos, tomando como cargas dichas áreas

y supuestos cortados los tramos. Las áreas que entran en el

teorema pueden ser también positivas ó negativas.

Ruv. Acap. Ciencias. —IV.—Febrero, 1906

— 238 —

Cuando los centros de gravedad de S,, S, están sobre las
verticales de la mitad del tramo, es evidente que
R, e”

S¡;R, = S».

a a
2 2
Es fácil demostrar el teorema cifrado en la ecuación (6)
de un modo puramente analítico; pero nos hemos propuesto
aplicar los principios sentados al comienzo de estos artícu-
los, para hacer ver el enlace de los procedimientos, y vamos
á seguir en lo que podamos uno gráfico, auxiliado ó traduci-
do, cuando convenga, con el analítico.

Volvamos á la figura 11, que representa dos tramos
cualesquiera consecutivos, aunque los apoyos los llame-
mos 1—2—3.

Supongamos conocidos los momentos en ellos: A 1, B2,
D3, llamados M, M, M, en la fórmula (6).

Puesto que lo que digamos de un modo general para un
tramo quedará dicho para el otro, limitémonos al 1—2.

Según lo demostrado en el art. IV, el momento de flexión
que corresponde á un punto cualquiera está determinado por
la ordenada ó parte de la ordenada comprendida en el con-
junto funicular 1 4B2C' 1, contada á partir de la cuerda ó
línea de cierre AB, considerando de signos contrarios las
que se cuenten de un lado ó del otro de la misma, como lo
son las de los trozos rayados respecto á las de los que no lo
están.

La curva 1aCb2es la funicular de las cargas del tramo
supuesto cortado. Para mayor generalidad, supondremos que
sea una curva cualquiera, pero de ordinario es un triángulo
ó un polígono provinientes de una Ó varias cargas aisladas,
ó una parábola, si la carga es uniformemente repartida.
Cuando unas y otras sean simultáneas, lo más sencillo, en
general, será hacer uso de la superposición de efectos, Su-
mando los que produzcan aquéllas por separado.

3
1
4
y

— 239 —

Dijimos que partiendo de un polígono ó conjunto funicu-
lar, como el 1 4B2C1, se llega, tomándole como línea de
carga, á los segundos funiculares. Uno de éstos, el que pasa
por los apoyos y tiene por distancia polar el coeficiente de
rigidez E,/,, que corresponde al tramo, es la elástica del
mismo. Ya sabemos que puede tomarse cualquier otra dis-
tancia polar, sabiendo traducir los resultados. En esto nos
hemos detenido lo suficiente en artículos anteriores.

Supongamos, pues, que en la figura, PH representa el va-
lor E, /, que corresponde á nuestro tramo; que las magnitu-
tudes llevadas al polígono de intensidades 2w, son las áreas
elementales del primer funicular divididas por la base de re-
ducción que nos convenga, ó lo que es igual, multiplicadas
por K, siendo K, la recíproca de esa base.

Así pues: af representará el área negativa Aal <K;;
I—HI la positiva aCb <K,; Ilw la negativa bB2 <K..
Por consiguiente, aw, suma gráfica de todas, será igual, ó
representará la suma de las anteriores multiplicada por el
mismo coeficiente, esto es: K, <sS,, si s, indica la suma al-
gebraica de las áreas del primer funicular A 1 aCb2 BA.

Mediante un polo cualquiera, tal como P”, podrá construir-
se una segunda funicular, que representamos por la cur-
va 1"C,B” (transportamos á O'X” las operaciones para ma-
yor claridad).

Su línea de cierre es 1"B”. Una paralela á ésta, trazada
por P”, nos dará el punto A, que-descompone la suma gráfi-
ca aw en dos trozos Ha, wH que serían las reacciones de
los apoyos 1 — 2, si hubieran de equilibrar una carga repre-
sentada por el área s,. Cambiando el polo de P' á P, sin sa-
lir de una paralela á a w, de modo que PH resulte, á su vez,
paralela á la línea de apoyos, el nuevo polo servirá para tra-
zar el funicular 142” que pasa por éstos, es decir, la elásti-
ca del tramo 1 — 2 cuando los apoyos estén á nivel.

Recordando lo dicho en el caso de viga empotrada en sus
dos extremos, se verá que los puntos de inflexión de los se-

— 240 —

gundos funiculares estarán sobre las ordenadas de los pun-
tos a, b, en que son nulos los momentos de flexión; las tan-
gentes en esos puntos sigulares serán paralelas á los ra-
dios PI — PIT; las de los extremos* del tramo no serán ho-
rizontales, sino paralelas á Pz y Pou.

En una viga continua, los dos extremos de un tramo pue-
den considerarse empotrados, siendo los ángulos de empo-
tramiento y los momentos de flexión los que corresponden á
la viga en esos apoyos. Ahora no sucede como en el caso de
empotramientos horizontales, explicados en el art. IV, en que
la suma de las áreas del primer funicular era cero, sino que
tiene un valor 2.0, porque no se confunden los radios extre-
mos Pa y Pw como entonces.

La primera integral de la línea de carga, línea que es aquí
el primer funicular (14 B2C1) será, como dijimos en el ar-
tículo l, su ley de áreas. Sea ésta la 1"a" CDB” (*). El pun-
to C” de ordenada nula corresponde á otro C, para el cual:
área negativa (Aa1) = área positiva (a Ce).

Si queremos que represente la de esfuerzos cortantes de
esas cargas especiales, habremos de contar las ordenadas á
partir de la horizontal mm”, distante de la O'X”, 14m = Ha,
reacción, para este caso, del apoyo 1. Esa ley de esfuerzos
cortantes será, pues, 1" mm'B'b' C” a'1'm. Ese conjunto, á su
vez, será la primera derivada del segundo funicular.

Sus ordenadas (á partir de mm”) serán, por tanto, toman-
do por radio PH, las tangentes trigonométricas de los án-
gulos que, con la horizontal, forman los elementos de la
elástica en sus diferentes puntos. El valor de aquella tangen-
te en el origen 1 será negativa y de valor igual á m1”, que
llamaremos f,, suponiendo implícito el signo. En el apoyo 2

(*) Se formará trazando por separado las correspondientes á
1C2 y á 14 B2, restando después las ordenadas de ésta de las de
aquélla, correspondientes á la misma abscisa, para obtener las de la
curva 1/a'C”b'B”.

j

— 241 —

será m'B” que llamaremos f, y tendrá signo contrario á la
anterior.

Puesto que la curva 1'aC” b'B” es la ley de áreas del
conjunto funicular 14 B2 C 1, la 2"B”, ordenada final, re-
presentará el área total, Ó sea aw = K,s,. La diferencia de
dos ordenadas cualesquiera, representará la de dos áreas co-
rrespondientes.

Es evidente que para hallar tal diferencia no precisa tomar
como eje de comparación el O" X”, podemos tomar cualquie
ra paralelo, el mm”, por ejemplo. Respecto á éste, las orde-
nadas extremas son las que hemos llamado f, y f,.

Podrá, pues, escribirse, considerando implicitos los sig-

nos:
A o A o e (Y

Esta ecuación enlaza ya los momentos M, M, con otras
cantidades. En efecto, s, es la suma algebraica de las áreas
(— (A 1a) + (aCb) — (0B2)) que forman el primer funi-
cular. Esa suma puede substituirse, como ya lo hemos hecho
otras veces, por la equivalente ((1C2) — (14 B2) ) que re-
sulta de añadir y quitar (1ab2) á la anterior.

El área (1C2) que hemos llamado S,, es la encerrada por
la curva de momentos de flexión de las cargas efectivas del
tramo supuesto cortado. El trapecio (14 B2) tiene precisa-
mente por bases las 41 y B2 que representan los momentos
de flexión en los apoyos M,, M,, en función de los que po-
drá, por tanto, ponerse el área s;.

Si hallamos otra ecuación que contenga (tf, —f,) y M,
obtendremos, eliminando ese paréntesis entre ella y la ante-
rior, la relación que buscamos.

Vamos á determinar esa relación de un modo más gene-
ral, á reserva de hacer luego las simplificaciones conve-
nientes.

Supongamos que los apoyos no estén á nivel.

La luz del tramo será siempre la distancia horizontal en-

— 242 —

tre los apoyos. Las curvas de momentos de flexión y de es-
fuerzos cortantes, debidos á cargas verticales, serán también
las mismas, que si los apoyos estuvieran á nivel, y la ecua-
ción (1) podrá establecerse en la misma forma, aunque no lo
estén, tomando por eje X una horizontal.

De igual manera llegaremos al segundo funicular, ya to-
mando como intensidades verticales las áreas elementales
del primero 1 4 B 2 C 1, ó ya determinando la segunda in-
tegral de tal conjunto, pasando antes por la ley de esfuerzos
cortantes m 1" ab" B* m' m.

Cuando el segundo funicular Ó segunda integral sea la
elástica, tendrá que pasar necesariamente por los apoyos, Ó
analíticamente hablando, aquélla será una curva tal, que para

X=0, y =h, = ordenada del apoyo 1;
y para

A =l=luz del tramo, y =h, = ordenada del apoyo 2.

Supóngase que 1” sea un apoyo, y B”, donde termina la
segunda integral, el otro. Tomemos por eje de las X la ho-
rizontal que pasa por 1”. Principiando en 1” la segunda in-
tegral ó elástica, la última ordenada 2'B” será la diferencia
(h,-h,) de las ordenadas de los apoyos, ó bien su diferen-
cia de nivel. Esta, por consiguiente, representará el área
total de la primera integral m 1 a" b' B" m' m, ó sea, la suma
algebraica de las áreas que la forman, á saber: el rectángu-
lom1"2*m" =ft, <1,, que podrá considerarse negativo,
si se toma como tal la altura t, =m/' y la 11a* Cb B'2'
1”, que tiene una parte negativa, la que está por debajo del
eje O” X”, y la otra positiva por encima.

Pero el valor total de esta segunda área Ó suma de áreas,
es, por lo dicho también en el art. I, el momento estático,
respecto al punto 2, de la suma algebraica de áreas del pri-
mer funicular, tomando como positivas las de la curva 1C2

an
pr

— 243 —

(que en realidad debiera estar trazada por encima del eje
OX, si sus ordenadas representan momentos de flexión po-
sitivos), y como negativas las del trapecio 14 B2. Esa suma
algebraica de áreas es la que hemos representado por aw =
PAR

Llamamos u,s, el momento del área s, respecto 2, y te-
niendo en cuenta que por ser K, una constante p,K, <S;
=K, <pS,, podremos ya escribir la siguiente ecuación:

Rs HA, =K,>< 4981 +6 ><l;.

En todos los términos de esta ecuación van, por supues-
to, implícitos los signos que les correspondan, según los
convenios.

Dividiendo los dos miembros por /, y llamando T, á la

tangente al del ángulo que forma con el horizonte
1

la línea de apoyos, tendremos:

_ K¡><ps

EE j + (2)

Consideraciones parecidas darán para el tramo 2—3 esta
ecuación análoga:

la (8)

Restando de la (3) la (2), obtendremos otro valor de
(t, — t,) que, igualado con el ya obtenido, nos dará la ex-
presión que buscamos, puesto que en s, entrarán los mo-
mentos M, Mz en forma parecida á como s, contenía los M, M,.

Hagámoslo así, y para mayor sencillez podemos también

A AS

suponer K, = K,, porque la viga no cambie de coeficiente
de rigidez El, del cual depende K. Tendremos, pues:

¿LL E UA 4
a 7 L (4)

De ordinario, los apoyos están á nivel, y entonces

La —T, 0;

pero si no lo están ó si se desnivelan, por cualquier causa,
podemos con esa ecuación tenerlo en cuenta para hallar los
momentos en los apoyos.

Haciendo esa simplificación tendremos el teorema de los
tres momentos cifrado en la siguiente igualdad:

Ha Sy Hg Sa
SS == ==, 5
PEA 7 (5)

Si recordamos que los momentos de s, y s, respecto á los
apoyos 2 y 3 divididos por las longitudes de los tramos res-
pectivos, no son otra cosa que los valores absolutos de las
reacciones, que podemos llamar r,,r,, producidas en los
apoyos 1 y 2, ó sea en el izquierdo de cada tramo, por las
áreas s, S,, tomadas como cargas, esa ecuación se convertirá
en ésta:

31. 5 | (1)

Esta ecuación (y) es una relación notable y quizá la forma
más sintética que puede darse al teorema de los tres momen-
tos implícito en ella.

Pero vamos á nuestro objeto, que es demostrar la expre-
sión (6).

— 245 —

Substituyamos en la (5) por s, y s, las áreas que represen-
tan (fig. 11) y son

s, = área (1 C 2) —trapecio(1 A pa=s 4272 <l,
Ss, = área (2C'3) —trapecio(2BD3)=S, + Ma A e le.

Ponemos, para mayor generalidad, en el segundo miem-
bro el signo + en vez de —, porque los momentos M, M, My
son negativos en general, pero en algunos casos pueden ser
uno óÓ los dos positivos.

Substituyendo estos valores en (5) resultará esta ecuación:

M M 9 S 1
pt +M3 prusiets +7 po(trapecio 1AB2)--
2 Es ly
pS 1 pa (trapecio 2B.D3).
E la
pS, p5S,
L, y L, son los valores absolutos de las reaccio-

nes que producirían en los apoyos izquierdos (1—2) cargas
representadas por las superficiales S, S,. Estas reacciones
las llamaremos R, R,.

S, y S, llevan también implicito el signo correspondiente.

po (trapecio 1 4B2) = M, o ma mo

' M

ys (trapecio 28D3) = M, 3 He, (5)

1
L
ee

l,

(*) Los momentos de una intensidad tienen signos en relación con
los convenios que se establezcan; pero aquí los momentos de áreas
son productos especiales, llamados así por su forma; su signo de-
penderá, pues, del que se atribuya al área.

ld DE —

como puede verse fácilmente, descomponiendo cada trape-
cio en los dos triángulos indicados en la figura, cuyos cen-

tros de gravedad distan = y A de la luz del tramo del apo-

yo 2.
Substituyendo estos valores en la anterior, tendremos:
S, + A ly Ri Ri 4 Mi
l /
M,—= — M,= — M,—=,
nor 3 306

pasando S, al segundo miembro y los demás al primero,
multiplicando todos los términos por 6, queda, en fin, la
ecuación (6) que tratábamos de justificar.

Mil; 5 2(M, An M»)!, El Mal, al 6(R, o R, AE S.). (6)

Si hubiéramos seguido teniendo en cuenta una desnivela-
ción en los apoyos, no hubiera desaparecido en la (4) el
primer término del segundo miembro, que se habría conser-
vado intacto en las transformaciones; sólo al final le habría
alcanzado la multiplicación por 6 que hicimos en todos los
términos, y la ecuación sería ésta:

Ml, +2M.(l, + 1,) + Ms l,=6(R, — RS) +

1
6—— Tis T. .
+6 (MT)

Entonces podría suponerse que M,, M,, M, constan de dos
sumandos por superposición de efectos: uno, debido al pri-
mer término del segundo miembro, y otro, debido al segun-
do. Se igualará, pues, si se quiere hacer por partes, el pri-
mer miembro á cada uno de esos términos del segundo, y se
sumarán los valores que en cada tramo resulten para mo-

— 247 —

mentos del mismo apoyo. De este modo puede también sa-
berse cómo varían los esfuerzos en los tramos sí ocurre una
desnivelación accidental.

Nos resta decir algo sobre los valores R, R, S, S,. Los
primeros son fáciles de obtener cuando se conocen las dis-
tancias de los centros de gravedad de las superficies S, S,
á los apoyos y las áreas de éstas.

" Ya sabemos que esos centros y esas áreas se determinan
con facilidad por medio de aparatos integradores ó por los
procedimientos gráficos ordinarios. Mas si estos procedi-
mientos no nos dieran una valuación satisfactoria, los méto-
dos analíticos nos sacarán de apuros, con sencillez en la ma-
yoría de los casos, conociéndose la expresión de la curva
que encierra las superficies S, S,.

Pongamos un ejemplo: Sea el caso, uno de carga unifor-
me, y veamos cuán sencillamente se forma el segundo miem-
bro de la fórmula (6). Suponemos los apoyos á nivel.

Las curvas de momentos (1 C2) (2C” 3) serán parábolas.
Como ya vimos, sus expresiones analíticas, tomando para
eje X la línea de apoyos y para las Y positivas una perpen-
dicular al X, que pase por el apoyo izquierdo, y se dirija ha-
cia arriba, tendrá la forma siguiente, limitándonos al tra-
mo 1—2, llamando y” la ordenada general:

2

/ NS
A

E pil; = p = carga por unidad.

La máxima ordenada corresponde al punto medio de abs-

pisa. X= > que substituida da y” = — OS momento
de flexión máximo.
El área 1C2 es = de la luz por la ordenada máxima, es

decir, que:

2 3
S=3 Mo (-2E)==m> LA

8 3.4

sl A

El momento respecto al apoyo 2 será S, < 5 l, luego

L, E PRA

a Sy se R 1 11?

De un modo análogo obtendremos

:
a A
a

que corresponde á S,, área de la parábola 2C"3; por consi-
guiente,

1
6 (R, — R;,— S,) = 7 (ps 11* + po» la?).

Aunque no fuera tan fácil como en este caso la valuación
de áreas y determinación del centro de gravedad, la cuestión
no tendrá dificultad si, como sucede ordinariamente, la cur-
va 1C2 tiene sencilla expresión algebraica. En efecto; to-
mándola como derivada ó primer coeficiente diferencial, su
primitiva Ó integral es la ley de áreas, y haciendo en
ella x= /, tendremos S,. Repitiendo la operación con la ley
de áreas, tendremos las de momentos, en que hacien-
do x= l, nos dará el momento $, respecto al apoyo 2, 6
sea y, S,. Dividiendo éste por /, obtendremos R, y, si lo ne-
cesitamos, podemos hallar la distancia al apoyo 2 del centro
de gravedad de S,, porque bastará dividir por ésta aquel mo-
mento. Ni siquiera habrá que preocuparse en general de la
constante, porque esas leyes de áreas y momentos principian
ordinariamente en el origen Ó en un punto de abscisa conoci-
da, para la cual la ordenada es cero ó conocida también.

Procedamos en esa forma para el caso indicado de carga

— 249 —

uniforme, ó lo que es igual, tomemos como línea de carga la
parábola 1 C 2, cuya ecuación analítica es

A A
2 E

y” =P;

considerada como derivada, y siendo cero la constante su
primitiva es
x? x?

PE, Y ao
E so de

y =P;

que vuelta á tomar como derivada, su primitiva, siendo tam-
bién la constante cero, será

x!

2.3.4

E 2.2.3"

Pi by

Substituyendo en ellas por x, /,, tendremos

, 1,7 1,4
y =5=-%435 E le

S, = =- RSE pio Sy Ela Ue

resultan como antes. Asi saldrían también los valores corres-
pondientes al segundo tramo, y se comprende que no habría
dificultad aunque la ecuación de la curva de momentos fuera
más complicada.

Dividiendo preliminarmente por El las fórmulas de parti-

da, las expresiones á que llegaremos son en realidad las de
la elástica.

—

Por lo expuesto para el caso de cargas uniformes la ecua-
ción (6) se convertirá en:

Ml + 2M, (, + lo) + My l, = (p, L? + Pa la?).

que aun tendrá las simplificaciones consiguientes, suponien-
do que la carga por unidad sea en ambos la misma, p, =P», Ó
que las luces sean iguales /, =l,.

Podrá prescindirse por entero del método analítico para la
formación del segundo miembro, porque el método gráfico se
presta perfectamente á determinar con el intégrafo, con los
planímetros, Ó directamente de un modo aproximado, todas
las cantidades que entran en el segundo miembro, teniendo
el cuidado de hacer las interpretaciones de las superficies del
primero y segundo funiculares, en la forma que detenida-
mente hemos explicado en artículos anteriores, y entonces
todo el problema se habrá resuelto de un modo gráfico.

No ponemos, sin embargo, un empeño decidido en que se
emplee exclusivamente este procedimiento, sino que debe-
mos escoger de uno y otro lo que nos convenga para llegar
á la solución del modo más cómodo y preciso,

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Fo
0

e,

INDICE A
A
DE LAS MATERIAS CONTENIDAS EN ESTE NUMERO mes:

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vir. —Introducción á la Física matemática (continuas Sn Os
por José Echegaray). pz 1 ade NN
IX.— Estudios de síntesis mineral, pon José ás

)

el mundo mineral, por Salvador Calderón.......
XI.— Aplicaciones de la composición de intensidades

La subscripción á esta RevisTa se hace por tomos ca mple
de 500 á 600 páginas, al precio de 6 pesetas en España y 64
en el extranjero, en la Secretaría de la Aena calle de
verde, núm. 26, Madrid.

Precio de este cuaderno, 2 pesetas.

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CADEMIA DE CIENCIAS

EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES |

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TOMO IV.-NÚM. 3. :
- (Marzo de 1906.)

FS MADRID .
IMPRENTA DE LA “GACETA DE MADRID,,

2

$8 CALLE DE PONTEJOS, NÚM. 8. . y :
LE y AO

OR originales para la Revista de la A
se han de entregar ed en la Secret:

el mes siguiente.

— 251 —

X!.— Introducción á la Fisica matemática.

Por JoséÉ ECHEGARAY.

Conferencia tercera.
SEÑORES:

Todavía en esta conferencia, y en algunas otras, hemos
de continuar desarrollando el mismo tema, planteado el pri-
mer día en que tuve el honor de dirigirme á los que me hon-
ran con su asistencia, y que ha de constituir en cierto modo
la introducción al estudio de la Física matemática, que me
propongo, sin perjuicio de lo que Dios disponga, desarrollar
en una serie de cursos académicos.

El tema á que me refiero es éste: Carácter de la Física ex-
perimental y de la Física matemática.—Sus diferencias y sus
relaciones.

Y para ello, el método que he escogido como el menos
árido, más práctico y que á mejores resultados conduce para
lo sucesivo, es el de examinar una serie de ejemplos ó de
ploblemas concretos, resolviéndolos por la experimentación
primero, y después por la aplicación de las matemáticas, que
es lo propio de la Física que lleva este nombre.

Hemos estudiado hasta aquí tres ejemplos: el de los ga-
ses, el de la reflexión de la luz y el de la distribución de la
electricidad en un cuerpo conductor, ó mejor dicho el de un
hecho concreto que á este último problema se refiere.

Y siempre hemos encontrado los mismos caracteres para
las dos ciencias, Ó si se quiere para las dos ramas de la
ciencia única, á que dedico estas conferencias.

La Física experimental no acude, si ha de conservar la pu-
reza de su carácter, á ninguna hipótesis; observa hechos, los
estudia, los reproduce, determina en cada uno de ellos los

Rry. Aca. Ciencias. —IV.—Marzo, 1906, 18

— 252 —

parámetros físicos de que dependen, busca unidades de me-
dida para todos ellos, deduce fórmulas empíricas para cada
dos de estos parámetros y, por último, una fórmula general
que comprenda todas estas fórmulas parciales. Pero á esta
especie de síntesis de lo que hasta aquí llevamos explicado,
por lo que á la Física experimental se refiere, debemos agre-
gar hoy tres observaciones.

1.* Que entre los parámetros ó cantidades físicas de las
que depende cada uno de los problemas de la Física, que
son como si dijéramos las variables de la función final, que
representa matemáticamente la ley del fenómeno, deberá
contarse alguna vez el tiempo. Ninguno de los ejemplos has-
ta ahora citados comprende dicha variable; pero hay otros
muchos ejemplos en que ha de contarse con ella, y en rigor,
aunque no de una manera explicita, en todos debiera apare-
cer; porque los problemas de la Física, más bien son de Di-
námica que de Estática. Sobre este punto, algo tendremos
que decir más adelante. Por ahora, no compliquemos las
cuestiones con ideas accesorias.

2.7 Esla segunda, que las relaciones entre los paráme-
tros que expresan la ley de cada fenómeno, pueden presen-
tarse de dos modos, esto sin salirnos de los límites de la Fi-
sica experimental: ya en forma de ecuaciones de términos
finitos, ya en forma de ecuaciones diferenciales.

En los tres ejemplos citados, ocurre el primer caso; así re-
cordarán mis oyentes que en el problema de los gases na,
bamos á esta fórmula final:

pr =RE

En el problema de la reflexión de la luz, á esta sencillísi-
ma fórmula, también en términos finitos: ángulo de inciden-
cia igual á ángulo de reflexión, Ó sea

I[=R.

— 253 —

Y , por último, en el problema de la electridad, todavía las
fórmulas finales tenían este carácter, y el más elemental po-
sible

Es decir, carga en el interior del conductor y fuerza eléc-
trica, ambas nulas; en vez de ser ambas dos funciones de
x y z, como sucedería con otras leyes de repulsión eléctrica
distintas de la que escogimos.

Y, sin embargo, en el ejemplo de los gases, ya pasamos
por una ecuación diferencial, cuando establecimos que, á
igualdad de presiones, la diferencial del volumen era igual á
una constante multiplicada por la diferencial de la tempera-
tura:

| dy =y0udt,

En muchos casos, sin embargo, volvemos á repetirlo, las
leyes de los fenómenos físicos, aun dentro de la Física expe-
rimental, se expresan por ecuaciones diferenciales de los pa-
rámetros, que determinan y definen cada fenómeno.

Esto sucede siempre que es más fácil determinar las rela-.
ciones diferenciales, que las relaciones entre valores finitos
de las variables; ocasión tendremos de comprobar estas ob-
servaciones, y para no citar más que un caso, y quizá el
más elemental, esto sucede en la fórmula del enfriamiento,
según la teoría de Newton, como todos mis oyentes recorda-

rán. Precisamente en este problema se presentan las dos cir-
cunstancias indicadas, las ecuaciones son diferenciales, y
entre las variables entra el tiempo.

Porque no deben olvidar mis oyentes, que la Física expe-
rimental no deja de serlo porque emplee fórmulas matemáti-
cas, ni porque emplee ecuaciones diferenciales; toda ciencia
en su más alto grado de perfección, á las Matemáticas y á
sus fórmulas tiene que acudir; lo que le da el carácter de ex-

—=
MO de

SA, 7

perimental, es, que esas fórmulas, de la experiencia están
inducidas, y no de ninguna teoría abstracta, ni de ninguna
hipótesis primitiva; por más que la Física experimental de
hoy, y la de siempre, faltando á su verdadero carácter, acuda
á hipótesis parciales.

De aquí resulta, como ya hicimos observar otras veces,
que la Física que se enseña es en cierto modo una mezcla de
Física experimental y de Física matemática.

Precisamente lo que queremos en este estudio, es deslin-
dar los campos, sin negar por ello á la ciencia en general el
derecho de acudir á todos los recursos y á todas las combi-
naciones posibles para el descubrimiento de la verdad: la
práctica y la teoría.

3. Una última observación debemos hacer.

Al hablar de la Física experimental, nos hemos fijado
principalmente en la observación de los hechos, Ó sea en el
estudio de la Naturaleza, en la reproducción, dentro del labo-
ratorio, de estos hechos y en la determinación de sus leyes;
y con ello parece como si coartásemos la libertad de acción
y sobre todo de investigación del físico, -

Nada más lejos de nuestro ánimo. El hombre de ciencia,
no se contenta ni debe contentarse con estudiar los hechos
que ante él se presentan; como el hombre no se contentó
nunca en sus industrias con las fuerzas naturales, que ante su
vista se presentaban: la del viento, la de una caída de agua,
la fuerza de sangre, que así se llama, de los animales do-

mésticos, la de sus propios músculos.

Como no se contenta el químico con estudiar los cuerpos
naturales.

El inventor en la industria, es en cierto modo creador; no
crea ni materia ni fuerza, pero las dirije por nuevos cauces
y las hace concurrir á determinados fines.

Así también el químico forma numerosos cuerpos com-
puestos, sobre todo en Química orgánica, que jamás encon-
tró en la Naturaleza; multiplica, por decirlo asi, las combi-

— 255 —

naciones naturales, y en cierto modo crea una nueva Quími-
ca, si no por el fondo, al menos por la forma.

Pues de igual suerte el físico no debe contentarse con ob-
servar los fenómenos cuyas impresiones recoge por los sen-
tidos: ni el astro que gira, ni el cuerpo que cae, ni la luz
que ve, ni el calor que siente, ni la piedra imán que encuen-
tre. Todo esto es mucho, todo esto es inagotable, todo esto
debe estudiarlo; pero tiene derecho á provocar nuevos fenó-
menos, á multiplicar las combinaciones, á buscar algo nue-
vo sin contentarse con lo que le salga al paso.

La mayor parte de la Física moderna, hablamos de la Fí-
sica experimental, se ha creado de este modo: provocando
nuevos hechos; golpeando, por decirlo de esta manera, á la
Naturaleza, para que realice lo que no había realizado espon-
táneamente.

Que la Naturaleza, á pesar de sus inmensas energías, ni
creó la locomotora, ni produjo multitud de cuerpos de la
Química orgánica; y á pesar de disponer de inmensas ener-
gías eléctricas, ya estáticas, ya dinámicas, bien en las nubes
tempestuosas, bien en las sacudidas de los volcanes, bien
en el mismo Sol ó en las corrientes telúricas, es lo cierto,
que en ninguna formación geológica se ha encontrado nin-
guna dinamo fósil.

Así, pues, cuando hablamos de fenómenos naturales, que
la Física experimental estudia, nos referimos, no sólo á los
fenómenos observados, sino á los que provoca el físico con
su talento, con su inventiva, con su genio, con su inspira-
ción, pudiéramos decir.

Y aclarados estos puntos, como tendremos que aclarar
otros varios, sigamos nuestra tarea.

A los tres ejemplos estudiados hasta aquí, hemos de agre-
gar otro, el del equilibrio de temperaturas.

E

Realmente el físico no sabe lo que es el calor.

Para él, no significa más que un hecho, ó una serie de he-
chos, que tienen ciertos caracteres comunes.

Tampoco sabe lo que es la temperatura.

La temperatura es otro hecho, que de una manera imper-
fecta, sirve de medida al calor; la verdadera medida es el

kilográmetro 6 el caballo de fuerza.

El calor produce cierta sensación en nuestra piel, lo senti-
mos, y lo sentimos como cantidad, á cuyos diversos grados
corresponden grados diversos de una misma clase de sensa-
ciones.

El calor tiene otra propiedad, la de dilatar los cuerpos;
pues el termómetro es una columna de mercurio, que cuan-
do aumenta el fenómeno calorífico, aumenta también de vo-
lumen.

El termómetro es un fenómeno cuya esencia es por el
pronto inexplicable, pero que se pone en relación con otros
fenómenos tan inexplicables como él; aunque, por decirlo de
este modo, de la misma familia. ,

Pues bien, el físico observa, que cuando dos cuerpos tie
nen distinta cantidad de calor (y ésta es una expresión
vaga, pero inevitable al principio), la cantidad del fenómeno,
pudiéramos también decir, y permítaseme esta frase, que se
explica por lo que dijimos en la primera conferencia, la can-
tidad de fenómeno, repetimos, cambia en uno y en otro
cuerpo. En uno aumenta, en otro disminuye, la sensación
nos lo dice, hasta que el fenómeno se equilibra en ambos
cuerpos; y llegado este momento, la sensación que experi-
mentamos no varía al pasar de uno á otro cuerpo. Mas como
la sensación es cosa muy incierta para servir de medida, la
Física experimental tuvo que inventar el termómetro, la co-
lumna de mercurio más ó menos dilatada por el calor; y así
medimos, como decíamos en la primera conferencia, un fe-
nómeno por el fenómeno mismo, lo desconocido por lo des-
conocido, una X por otra X; así el matemático, sin saber lo

— 257 —

que valga una incógnita, le da un nombre, X, y escribe en
sus cálculos 2 X, 3 X, 100 X.

Y el caso es, y sirva esto de esperanza á la investigación
humana, que á fuerza de calcular sobre la X y de buscar re-
laciones para ella, al fin despeja la incógnita y llega á cono-
cer su verdadero valor numérico.

Si no podemos hacer tanto para las incógnitas de la Natu-
raleza, algo conseguimos á fuerza de introducirlas en las fór-
mulas de la Física experimental y de la Física matemática.

Y sigamos con nuestro ejemplo y perdóneseme la di-
gresión.

Sean dos cuerpos, con distinta cantidad de calor, y la
frase no es propia, ya lo hemos dicho; pero al empezar, mu-
chas frases, tan impropias como ésta, emplean los sabios,
con más motivo, los que no lo son.

Sean, pues, los cuerpos A y B, figura 5.*, á distinta tem-

7

Figura 5.?

peratura: 7, para el primero; f para el segundo, siendo T ma-
yor que f.

¿Qué quiere decir que el cuerpo A está á la temperatu-
tura T y el cuerpo B á la temperatura £f?

Esto ya es claro, preciso: son dos hechos perfectamente
determinados. Poniendo el termómetro, que es un aparato
también determinado, en contacto con A, la columna termo-
métrica sube hasta la división que marca T grados. Ponién-
dolo en contacto con el cuerpo B, la columna mercurial de

— 258 —

este termómetro ó de otro igual, idéntico al primero, varía y
señala la división f grados.

Por último, acercando los dos cuerpos hasta que ejerzan
influencia recíproca uno sobre otro, la primera columna baja,
la segunda columna sube, y acaban por señalar la misma
temperatura.

Y además, puede trazarse una curva en que las abscisas
sean los tiempos y las ordenadas las variaciones termomé-
tricas.

Todos estos son hechos para los que no se necesita nin-
guna hipótesis.

Y de estos hechos se deduce la ley del equilibrio de tem-
peratura, y modificando las experiencias de cierto modo, la
ley del enfriamiento.

Y, sin embargo, como hemos dicho otras veces, en la ley
de Newton se parte de cierta hipótesis, á saber, que la deri-
vada de la temperatura, es proporcional al exceso de la tem-
peratura del cuerpo sobre el ambiente; hipótesis que ha ser-
vido en cierto modo de base, más tarde, á la teoría del calor
en su propagación por los cuerpos y á los inmortales trabajos
de Fourier.

Y es que, como ya hemos hecho observar, en su desarro
llo histórico, la Fisica empezó, y á decir verdad, sigue siendo,
una combinación de experiencias é hipótesis.

Ahora bien, dado el espíritu de la ciencia moderna, la Fi-
sica experimental va desechando las hipótesis; y en cambio la
Física matemática las aceptó franca y resueltamente, y enca-
bezó con ellas todas sus teorías.

Pero atengámonos nosotros por ahora á los dos criterios
extremos: ninguna hipótesis en la ciencia experimental; to-
das las que convenga en la Física matemática.

Esto para marcar los caracteres de ambas ciencias, que por
lo demás, ya se aproximarán y trabajarán de consuno una y
otra.

— 259 —

Veamos ahora cómo la Física matemática pretende resol-
ver este mismo problema del equilibrio de temperaturas.

Lo hemos visto en los ejemplos hasta aqui citados.

La Física matemática empieza, como tantas veces hemos
dicho, por establecer una hipótesis sobre la organización,
permitaseme esta palabra, de los cuerpos que entran en cada
problema de los que aborda.

En el problema de los gases, empezaba por afirmar hipo-
téticamente, pero al fin y al cabo afirmación era, que los ga-
ses se componen de un número considerable de partículas en
_movimiento. En el problema de la reflexión, creaba el éter.
En el problema del equilibrio eléctrico, creaba otro flúido ó
quizá el mismo, dotado de fuerza repulsiva entre sus átomos.
Después aplicaba las leyes de la Mecánica.

La hipótesis mecánica ha sido la dominante en todo el si-
glo pasado, y á ella se deben inmensos desarrollos de la
ciencia y grandes triunfos; y simplificando y generalizando
las hipótesis, llegaron los predecesores de Cauchy, el inmor-
tal matemático en sus grandes trabajos, y más tarde los dis-
cípulos de éste, á una hipótesis mecánica más ó menos explí-
citamente formulada, pero que nosotros podemos simbolizar
de este modo.

Todos los cuerpos se componen de partículas, que serán
moléculas ó átomos, ó serán agrupaciones materiales peque-
ñísimas: en estas cuestiones no hemos de entrar ahora.

Estas partecillas, puede suponerse que están compuestas
de dos elementos: un núcleo de materia ponderable y una
atmósfera etérea. El núcleo representa las fuerzas atractivas.
La atmósfera, las fuerzas repulsivas, aunque para relacionar
dicho flúido etéreo con la materia y organizar por completo
el sistema, entre la materia ponderable y el éter se suponen
también atracciones.

En suma, cuando dos de estas partecillas están en presen-
cia, se admite:

1. Que ejercen acciones mutuas y atractivas, centrales,

— 260 —

iguales y contrarias, y que son funciones de las distancias.

2. Que ejercen asimismo acciones repulsivas, mutuas,
centrales y funciones de las distancias también.

Además, así en las primeras como en las segundas, en-
tran los productos de las masas, ya ponderables, ya etéreas.

No defiendo ni combato la hipótesis, me limito á expo-
nerla, sin entrar en pormenores, en la parte que necesito para
mi objeto.

Dada esta hipótesis fundamental, que es una de las más
generales que pueden concebirse, y en que para nada se ha-
bla de enlaces entre las diferentes partes del sistema, ni aquí
existen tales enlaces, todo fenómeno de la naturaleza, Ó la
mayor parte de ellos, se reducen á un problema de Mecá-
nica. .

Porque en efecto, para explicar un fenómeno cualquiera,
se admitirá que el sistema material á que se refiere, se com-
pone de infinitos puntos, Ó de un número tan grande como
sea preciso, m, m', m”.... (fig. 6.?), distribuidos en el espacio,

Figura 6.*

según cierta ley, que dependerá de la naturaleza del cuerpo,
según sea homogéneo ó heterogéneo, isotropo ó cristalino.

— 261 —

Todos estos puntos estarán sujetos dos á dos á fuerzas re-
cíprocas de la forma

mn 'f(), —mm'f(r,

en que m y m' serán las masas y f (r) representará la fuerza
por unidad de masa en función de la distancia, fuerza que en
rigor será la diferencia entre la fuerza atractiva y la fuerza
repulsiva de que antes hablábamos.

Y claro es, que si se fijan las condiciones iniciales, ó sean
las coordenadas para el tiempo cero, x, y 2... y las velocida-
des v... de todas las masas en dicho instante inicial, si además
se dan las fuerzas exteriores F, suponiendo que existan, el
problema quedará perfectamente determinado: no habrá más
que escribir las ecuaciones del movimiento para cada punto
que serán de la forma E

d?x AA
df?
O
dt?

de dez pen
dt? /

en que X, Y y Z representarán las componentes de las fuerzas,
tanto interiores como exteriores.

Integrando este conjunto de ecuaciones, la Física matemá-
tica habrá preparado la explicación mecánica del fenómeno.

Porque de las integrales, resultarán ciertas consecuencias
mecánicas, que podrán interpretar, simbolizar, pudiéramos
decir que imitar en el orden analítico, el fenómeno de que se
trata, que á su modo se desarrolla y palpita en la realidad.

Esto ha hecho ó ha procurado hacer la Física matemática,
al menos en gran número de sus teorías: y siguiendo la es-

— 262 —

cuela de Poisson, Duhamel, Lamé y sobre todo de Cauchy,
sin contar otros matemáticos eminentes, ha creado la ciencia
clásica.

El problema así planteado es inmenso, y pudiéramos de-
cir que es inabordable, si no temiéramos, que nos desmintie-
sen los maravillosos trabajos del siglo XIX.

Sólo hemos hecho la anterior observación, como síntesis
de los ejemplos hasta aquí presentados.

Y sigamos con el ejemplo de que se trata, y empecemos
por dar algunas explicaciones sobre la f (r), que bi
la acción entre dos puntos Ó partes materiales m, m'”; expli-
caciones tomadas de una nota de Mr. Saint-Venant, rola
á la dilatación de los cuerpos por el calor,

Sean 0x y o y dos ejes coordenados; el eje de las x re-
presenta los espacios y sobre él se cuentan las distancias
entre dos puntos materiales m, m” y las variaciones de estas
distancias para dichos puntos materiales, los cuales están
sujetos á atracciones y repulsiones recíprocas.

Paralelamente al eje de las y, se cuentan asimismo las
fuerzas tanto atractivas como repulsivas de las expresadas
masas m y m/.

De ellas suponemos fija en el origen la masa m/'; la m
puede variar sobre el eje de las x, y para cada posición, se
contarán sobre su ordenada, la atracción, la repulsión y la di-
ferencia entre ambas, ejercidas dichas acciones por la masa m'
en cada posición de la rn.

Como la atracción neutoniana depende del producto de las
masas y varía en razón inversa del cuadrado de las distan-
cias, las atracciones entre las partículas m y m” tendrán la
forma

mm!

A q
r?

— 263 —

en que C será una constante, que dependerá de las unidades
que se elijan y r representará la distancia entre las dos
masas. ,

Esta curva será una especie hipérbola, referida á sus asín-
totas que son los ejes: sus coordenadas son Y, y r. Y en efec-
to, cuando r es muy pequeña, es decir, cuando m se acerca
mucho á m/', la fuerza atractiva es muy grande, como se ve
en la ecuación, toda vez que r entra en el denominador.

Por el contrario, cuando r es muy grande, el quebrado es
muy pequeño, es muy pequeño el valor de Y,, y la curva
tiene por asíntota al eje de la x.

Hemos representado esta curva por trazos y la designamos
por A. :

Análogamente, la curva de las repulsiones podemos supo-

ner, puesto que sólo se trata de un ejemplo, que tiene la for-
ma analítica

en que C' es una constante, y y u' son las dos masas etéreas
de m y m' (y prescindimos, para simplificar, de las acciones
entre el éter y la materia ponderable ó la suponemos com-
prendida en Y,) y n es un exponente superior á 2.

En la teoría de la electricidad, ó en una de sus hipótesis,
se supone n = 2; Mr. Briot, en la teoría de la luz, supone
n = 6; nosotros, para el objeto que nos proponemos, no ne-
cesitamos fijar el valor de esta constante.

Dicha curva de las repulsiones la hemos representado por
un trazo lleno en la figura y por la letra R.

Lo mismo que la curva de las atracciones tiene ésta por
asintotas los ejes de las Y y de las x: r entra en el denomi-
nador, su exponente es superior á 2, luego para valores muy
pequeños de r, crecerá indefinidamente Y,, y para valores
crecientes de r tenderá hacia cero.

00

PS

La disposición de ambas curvas A y R debe ser la que
indica la figura, es decir, que hacia el eje de las Y, debe
estar R por encima de A, puesto que en esta región la fuer-
za repulsiva es la que domina.

Por el contrario, cuando se alejan mucho del origen, la
curva A debe estar por encima de R, porque á tales distan-

Figura 7.*

cias la repulsión no se hace sentir, y la atracción es precisa-
mente la atracción planetaria.

De aquí resulta que ambas curvas deben cortarse, y repre-
sentaremos por M el punto en que se cortan: sea, pues, la
distancia om = Fo.

Resulta de lo expuesto, suponiendo siempre fija en o la
masa m/', y que m está al pie de la ordenada M, que ambas
masas estarán en una posición de equilibrio, puesto que en
el punto M, las dos ordenadas son iguales, ó sea

Ya = Yr3

— 265 —

Si sobre cada ordenada tomamos, á partir del eje de las x,
distancias iguales á las que hay entre ambas curvas A y R,
contadas tales distancias paralelamente al eje de las Y, es
decir EF=ef, ae =b'c*, ad =bc, cuidando de llevar,
por ejemplo, hacia abajo las fuerzas repulsivas y hacia arri-
ba las atractivas, tendremos otra tercera curva Fe" md' x,
que será la que represente las acciones efectivas entre m y m'
ó sean las diferencias entre las atracciones y las repulsiones.

Esta curva tendrá evidentemente por asíntota en su parte
negativa el eje de las Y, pasará por el punto m, proyección
de M, y después de subir á un máximum tendrá por asínto-
ta el eje de las x en su parte positiva.

La última curva Fmd'x define en cierto modo y determina
gráficamente los movimientos de las masas m y m' bajo la
acción de sus mutuas fuerzas atractivas y repulsivas: en
nuestro caso ya hemos dicho que m' está fija.

Si el punto m se separa, por ejemplo, hasta a, siempre en
pequeñas excursiones, sobre dicha masa actuará una fuerza
igual á ad”.

Y como corresponde á la parte positiva, será una atrac-
ción, de suerte que tenderá a á volver á m, según marca la
flecha.

Si, por el contrario, la masa m viene á a”, actuará sobre
ella una fuerza igual á ae”, que será repulsiva, obligando
también á la masa á volver á la posición de equilibrio, de
suerte que el equilibrio es estable.

Y señalemos aquí de paso un hecho análogo á otro que se
estudia en la Mecánica astronómica.

Los planetas describen órbitas elípticas alrededor del Sol;
pero si ciertas relaciones se verifican entre los parámetros
del movimiento, si la velocidad creciera más allá de cierto
límite, el planeta no describiría una elipse, sino una parábo-
la, y hasta una hipérbola, escapando de esta manera á la
atracción solar.

Pues aquí pudiera suceder algo parecido.

— 266 —

Supongamos que m se mueve hacia la derecha, con cierta
velocidad inicial v,; la velocidad será nula cuando el trabajo
desarrollado por la fuerza atractiva, sea igual á la mitad de
la fuerza viva; cuando, por ejemplo, el área m a d” que está
rayada en la figura y que representa, como se sabe, el tra-
bajo de dicha fuerza, puesto que es igual á la integral de dr,
que es el camino recorrido, por el valor de la ordenada co-
rrespondiente que es la fuerza (después de multiplicada, por

; $ : í a a
m m'); cuando dicha área, repetimos, sea igual á E my o?,
es decir

A , 1
mm! < área . mad dE

Pero puede suceder que v, sea tan grande, que no alcan-
ce á igualarla y sea inferior á ella, toda el área, al parecer
infinita, comprendida entre la rama m d” x y el eje de las x.

Esto podrá chocar á mis oyentes, pero en rigor es elemen-
tal, porque dicha área se expresa de este modo, obseryando
que dr = dx:

pue < dr = | - AS
: Es r

Ó integrando entre om =r,yr=00,

( 1 y ; ( 1 1 Je
Cmm'| —— —C pu |— : qa
r Jr. n—1 Pi

1 1
PU

A
Fo
,

que es evidentemente una cantidad finita.

: a ] Tr
Pues decíamos, que si e mv,? es superior á esta can-

de

— 267 —

tidad, nunca la fuerza atractiva podrá anularla, y el móvil
seguirá alejándose hacia el infinito y separándose dem
como el planeta se separaba del Sol en nuestro ejemplo.

Algo de esto sucede cuando un cuerpo líquido se reduce á
vapor; las moléculas, en vez del movimiento vibratorio, to-
man movimiento rectilíneo, como explicábamos en el ejem-
plo de los gases; es, por decirlo de este modo, cada trayec-
toria recta una rama de su hipérbola.

Y vamos ahora, como preparación á lo que hemos de ex-
plicar en seguida, á estudiar el movimiento oscilatorio de m
bajo la acción de m”, que continuamos suponiendo fija.

Si separamos mm de su posición, la fuerza que tiende á vol-
ver á dicha posición al móvil, es en cada punto la ordenada
de la curva md”, por ejemplo, para la posición a es la fuer-
za ad.

Pero las excursiones son muy pequeñas; luego la curva
e'md' puede ser substituida por su tangente en m, en cuya
hipótesis la ordenada ad, es decir la fuerza, es proporcional
á la distancia ma.

Si para este caso representamos por x dicha distancia va-
riable ma, tendremos

fuerza ad” = — ma >= tangente d'ma,

y representando la ecuación de la curva Fe"md'x por

A

,

tangente d'ma será precisamente la derivada de f' (r) para
el punto m en que r = r,, y asi

fuerza ad” = — f' (r,) X.

Rry. Acap. CIENCcIASs.—IV.—Marzo, 19068

— DE

De aquí se deduce, desde luego, la ecuación del movi-
miento del punto m, que será (suponiendo que en f” (r.,)

está mm/')
d?x

dt?

m

= —f (ro) x.

Hemos puesto el signo menos en el segundo miembro,

; 2
. r XxX
porque como la fuerza aceleratriz en a, á saber: m er. es

negativa, según indica la flecha, puesto que tiende á llevar
al móvil de a á m, el signo del segundo miembro debe ser
negativo también, y este signo debe ser explícito en razón á
que f (r,) es positiva, dada la dirección de la tangente á la
curva en m, y además x también lo es.

A la misma consecuencia llegaríamos si el móvil estuviera
en a”: el primer miembro sería positivo, dada la dirección de
la fuerza aceleratriz; pero en el segundo miembro, x sería
negativa, y el signo menos da un resultado positivo como
debe ser.

Esta ecuación, es la ecuación diferencial del movimiento.
A fin de obtener la ecuación en términos finitos, que nos de-
termine x para cada valor del tiempo, es preciso integrarla,
y la integral deberá tener dos constantes arbitrarias, si ha de
satisfacer á las condiciones iniciales del problema, á saber:
la posición y la velocidad de m en el tiempo t = 0.

Se sabe por un problema elemental de cálculo, que la inte-
gral de dicha ecuación es

x = A sen bt,

siendo A y b las dos constantes arbitrarias.

En efecto; substituyendo este valor de x en la ecuación di-
ferencial, con el objeto de ver si la satisface, es decir, si la
convierte en una identidad, tendremos

— mAb?senbt — — f'(r,) A sen bt,

— 269 =

0 bien
mb? = f (ro);

mas esta ecuación queda satistecha si damos á b el valor que
resulta de despejar de la misma dicha incógnita, es decir, si
hacemos

a AE
E m

cantidad real, porque f(r.) y m son cantidades positivas.

El valor de x es, pues, una integral de la ecuación.

Veamos ahora si satisface á las condiciones iniciales, y su-
pongamos que mm parte de la posición de equilibrio, que indi-
ca la figura, con una velocidad v..

Para f=0, x se reduce á cero, luego la primera condición
queda satisfecha.

Veamos si la velocidad inicial puede ser v..

Diferenciando, para obtener la velocidad en general, ten-

dremos

bat = Abcos bt,
dt

y dx : Es
y suponiendo para t=0, A =/., se obtiene la ecuación

de condición

en la cual tenemos una constante arbitraria A, de la cual po-
demos disponer; y resulta

De suerte que la ecuación del movimiento será

y pr senbt,
b

— 2170 —

E V F (ro)
tE te

Fácilmente se comprueba, que esta última expresión de x
cumple con todas las condiciones del problema: convierte á la
ecuación diferencial en una identidad; reduce x á cero, y la
velocidad á v, para t=0. :

Diré sólo como recuerdo para mis oyentes, que ésta es
siempre en los pequeños movimientos oscilatorios y cuando
la fuerza es proporcional á la distancia, la ecuación del mo-
vimiento vibratorio de una partícula, y que puede considerar-
se como la proyección de un movimiento circular uniforme.
Sabido es que se encuentra en multitud de problemas de Fí-
sica matemática y en muchos problemas prácticos de electri-
cidad; claro es que unas veces se emplea el seno y otras el
coseno.

Es un movimiento periódico, puesto que si á fse le au-

siendo

A - : De
menta 5 el arco bf aumentará en una circunferencia, el

valor de x será el mismo que para f, y esto se repetirá pe-
riódicamente para iguales incrementos del tiempo. Por eso
se dice, que

es el periodo del movimiento vibratorio.

Este movimiento se sigue sin dificultad en la fórmula.
Veamoslo: m parte con la velocidad v,; cuando ha transcu-
rrido */, de 0 la velocidad es nula, y el punto empieza á retro-

: : 9.
ceder; vuelve á m con una velocidad — v, en el tiempo 3 Y

ejecuta otra semioscilación análoga en la parte de la izquier-
da. Por eso se dice también, que dicho movimiento es un
movimiento pendular.

NE

— 271 —

-_Recordaremos para concluir estos preliminares, lo que se:
entiende por fuerza viva media. |

Supongamos, figura 8.*, que una magnitud cualquiera,
esencialmente positiva, H varía con el tiempo, de modo que,
entre el tiempo cero y el tiempo 6% toma todos los valores que
representan las ordenadas de la curva CDB, todos, por de
contado, valores finitos; de suerte que, por ejemplo, para el
valor oa = f toma el valor ab = H.

SS

SSSNNNNNN

0 a A
Figura S.?

Durante un intervalo infinitamente pequeño de tiempo di,
podemos suponer que es constante y que se conserva en este
intervalo con el valor A. .

Si formamos el producto A d f, este producto representa-
tará próximamente el área rayada que se marca en la figura.

Pues admitamos que se hace lo mismo para todos los in-
crementos infinitamente pequeños de tiempo comprendidos
en OA =f, y que se suman todos estos pequeños trape-
cios: resultará el área 0OCDBA, es decir,

área o CDBA= f Y at

Busquemos ahora un valor de HA, que llamaremos H.,,, que
permaneciendo constante desde cero á 0, determinase un
área igual á la anterior. Esto equivale á buscar una línea o E,
tal, que el rectángulo voEFA tenga la misma área que la que

= 212 —

acabamos de determinar. Expresando la igualdad de dichas
áreas resultará

Hn0=f Y ar,
de donde

0

Esta cantidad H,, es la que se llama valor medio de H; y
el nombre está justificado, porque no puede ser ni superior
al mayor valor de H ni inferior al mínimo.

Si fuera superior resultaría el rectángulo OG que com-
prende al área en cuestión. Si fuera inferior al menor valor,
como sería el rectángulo OL, él estaría comprendido en el
área ODA. Debe estar, pues, H,, entre el mayor y el menor,
y esto justifica, como deciamos, la denominación de valor
medio.

Y dispensen mis oyentes estos recuerdos de nociones ver-
daderamente elementales.

Aplicando lo dicho á la fuerza viva del movimiento vibra-
torio antes estudiado, vamos á determinar la fuerza viva me-
dia de la masa m en un período, es decir, en el tiempo 0.

Según la fórmula anterior, esta fuerza viva media se de-

terminará de este modo:
qe dx?
mE) dt
A dt

9

fuerza viva media =

y substituyendo el valor de la velocidad _ = Y, Cos bi,

mv,?cos?bt.dt
dais

cir cos?bt.dt.
A

- , 0
fuerza viva media =
0

— 213 —

a t
Recordando que cos?bf = SA,
2 2 í be
A opt q VA, 4 1 3cos20f y,
AS A A 2

El A ar |
28 10) (9)

pero la última integral, que es

EDEN =- de sen2bf y ele sen2b0,
10) 2b 1) 2b

ó bien, puesto que b4 = 2x, 57 sen 4 = = o desaparece

y queda :

? . mv,? (e mv.,?
fuerza viva media = 2 db==os
2.)

ES

En general, si la ecuación de un movimiento vibratorio es.

x = Asenbt ó poniendo por b su valor =

27
.x=AÁsen ——Í,
0
la fuerza viva media será, siendo m la masa del punto,

2mxm? Ae ;

Recuerdo todas estas ideas, que ya son conocidas de mis.

[q AR

oyentes, para más claridad en la explicación, y para refres-
car también sus recuerdos.

En la conferencia próxima, cerrado este pequeño parénte-
sis, volveremos al problema principal; explicación del prin-
cipio del equilibrio de temperatura, en la teoría de los mo-
vimientos vibratorios.

XIII. — Datos para la monografía del ácido querci-
tánico. :
POR JosÉ RODRÍGUEZ MOURELO.

Í

El grupo de los taninos.

Agrupados por la sola relación del origen, suelen verse en
los viejos Tratados, y aun en algunos de no muy lejana data,
los ácidos procedentes directamente de los vegetales, produ-
cidos en las funciones de su vída y que en ellos hállanse ya
aislados, 6 formando combinaciones sencillas, extendidas á
veces por todo el organismo de la planta y reunidas y depo- |
sitadas otras en ciertas partes de la misma, pocas constituí-
dos mediante transformaciones de determinados productos
vegetales 6 derivados de vegetales. Conforme á semejante
criterio, aparecían mezclados el ácido acético, el oxálico, el
málico, el cítrico, el tartárico, el tánico, para no citar sino
los principales, estableciendo entre todos una división, se-
gún fuesen ó no volátiles. Y siquiera en los nombrados el ca-
rácter de la acidez es apreciable con relativa facilidad y se
manifiestan como tales por ser aislados de sus compuestos
salinos naturales Ó por formar sales en contacto de los cuer-
pos básicos; que otros hay, y son numerosos, en los cuales

— 275 —

aquella cualidad apenas puede definirse y mejor se les adju-
dica atendiendo á no muy claras analogías, siendo entonces
cosa corriente el decir, sin otras averiguaciones. que funcio-
nan como ácidos débiles, en cuyo rango y categoría solían
ponerse los cuerpos clasificados bajo la denominación de ta-
ninos. |

Lejos de restringirse con el tiempo y las perfecciones de
los métodos el número de las materias orgánicas de todo li-
naje, en particular las neutras y las ácidas extraídas de las
plantas, fué en gran aumento, enriqueciendo con notables
hechos el caudal de la ciencia y proporcionando de camino
abundante y variado material para llevar á cabo provechosas
investigaciones.

Bien se comprende cómo los procedimientos de obtención
habían de ser sencillos y de cierta generalidad, reduciéndose,

por lo común, á nada complicadas operaciones de análisis

inmediato. Agotar, empleando disolventes neutros — agua,
alcohol, éter, fueron siempre los más usados, —toda la par-
te soluble y preparar así extractos de los cuales, por me-
dio de la cal, la barita y aun el óxido de plomo, en el caso
de los ácidos, se formaban sales insolubles, capaces de ser
descompuestas por los ácidos minerales, dejando libres los
que en las plantas estaban contenidos, es sistema de em-
pleo corriente y de muy eficaces resultados y basta recor-
dar, para demostrarlo, la obtención de los ácidos oxálico y
citrico ó el beneficio de los tártaros. Son también clásicos y
obedecen á principios muy semejantes los métodos primiti-
vos de aislar alcaloides y glucósidos, haciéndoles entrar en
combinaciones especiales, que luego eran descompuestas,
de suerte que se separasen los cuerpos, restando sólo el
purificarlos lo mejor posible y de modo que quedaran dota-
dos de los caracteres fijos y permanentes, peculiares de la
especie quimica. Venía luego el determinar la composición,
deducir de ella la fórmula empírica y por todos los datos
reunidos asignar á cada substancia su función química pro-

— 216 —

pia, con lo cual estaba terminada la labor de los investiga-
dores y se entiende como aplicados á ella, y teniendo exten-
so campo donde ejercitarla, descubrieran tantos y tantos
cuerpos en el período constituyente de la Química orgánica,
y también que gran parte de su meritísimo trabajo haya me-
nester ser revisado, aplicando otros métodos y teniendo en
cuenta otras observaciones en las que, de primera intención,
no pararon mientes.

Muchas de las substancias aisladas y tenidas por distin-
tas han resultado idénticas; de varias, juzgadas límites, se
obtuvieron productos de desdoblamientos y pudieron escin-
dirse en dos ó más distintas; y la mayoría de las funciones
resultó mal establecida, llegando á asignarse el carácter de
alcaloide á no pocos glucósidos y es frecuente el caso de
cuerpos que sólo una vez han sido preparados, siendo no
más conocidos de quien los ha descubierto. Gran parte de
estos resultados ha de atribuirse á no haberse cuidado de in-
dagar á derechas el mecanismo de los métodos empleados.

Contribuyeron sus imperfecciones, no del todo corregidas
á la hora presente, á que aumentase en corto tiempo el nú-
mero de cuerpos aislados y á que fuesen consideradas espe-
cies definidas muchas mezclas cristalizadas, y otras de apa-
riencia homogénea, algunos de cuyos caracteres aparecían
constantes. Sobre todo, las series de ácidos vegetales y los
grupos de substancias llamadas neutras, de las clasificadas
en la actualidad entre los glucósidos y los hidratos de car-
bono, crecieron á diario, no dejando de agregárseles materias
ternarias, dotadas de cierta estabilidad, sin indagar, por lo
común, sus orígenes inmediatos y averiguando bien poca
cosa respecto de sus transformaciones: la analogía solía fun-
darse en alguna reacción común, de ordinario colorida, y has-
ta en propiedades tan contingentes como el sabor. Fué nece-
sario el alcanzar extremadas perfecciones en la práctica de
los métodos; estudiar acciones tan importantes como las del
agua y del aire sobre los mismos cuerpos que se trataba de

Sm -

aislar por medio de aquélla en su calidad de disolvente; ver
cómo muchas veces no eran iguales los productos extraídos
de una misma planta, al punto de juzgarlos función de los
procedimientos practicados, para emprender este trabajo de
revisión y rectificación de aquella magna labor, proseguida
con no desmayados afanes y encaminada á descubrir y ais-
lar cuerpos contenidos en los vegetales y elaborados por las
funciones de su vida; trabajo no terminado ni mucho menos,
que se perfecciona sin cesar y ofrece á los investigadores
campo adecuado para ejercitar su ingenio.

Observa Dragendorff, al respecto de la extracción de los
taninos, la extraordinaria dificultad de aislar puros varios de
ellos —y el ácido quercitánico es de este número, — porque
muchos reactivos, en especial los ácidos débiles ó diluidos
y la misma agua, en no pocos casos, los alteran y descom-
ponen, dando productos de desdoblamiento peculiares, y en
ello se funda el separarlos en dos grupos, según la natura-
leza de los mismos. Antes de lograr la completa evaporación
de las disoluciones acuosas del tanino de la corteza del ro-
ble, he advertido manifiestas señales de alteraciones, tanto
más profundas cuanto mayor es su contacto con el aire, for-
mándose entonces cuerpos reductores cuya caracterización es
por todo extremo incierta.

En otros ensayos, siguiendo las indicaciones, tan prácti-
cas y acertadas del citado químico, que me sirvieron de pro-
vechosa guía, pude obtener diversos quercitanatos metálicos,
operando de continuo en el vacío, donde los secaba á baja
temperatura y con la mayor celeridad posible. Toda precau-
ción era poca: estando bien secos y en tubos cerrados, aún
se conservan los de plomo ó cobre, insolubles en el agua;
pero húmedos ó en contacto del aire, se alteran con suma ra-
pidez. De igual manera, los extractos líquidos, alcohólicos ó
acuosos, que contienen el ácido objeto de mis investigacio-
nes, han de ser destilados hasta sequedad en el vacío y luego
de haberlos obtenido, eran tratados por agua en gran exce-

— 278 —

so, que la experiencia ha demostrado ser menos alterables
las disoluciones diluídas, y si de ellas se ha de aislar el áci-
do, convirtiéndolo en sal de plomo, conviene emplear el ace-
tato, apelando á las precipitaciones fraccionadas, recogiendo
en preferencia el producto de la segunda, y no agotando la
materia tánica contenida en el liquido; y de la propia suerte,
al descomponer lo más pronto posible por el gas sulfhídrico,
la sal de plomo, debe quedar cierta proporción de ella no al-
terada. Sirva este ejemplo para demostrar la necesidad de las
revisiones y rectificaciones de los primeros resultados que se
alcanzaron, aplicando á los vegetales los procedimientos del
análisis inmediato.

No hubo mayores razones para formar el grupo de los ta-
ninos, calificados de ácidos débiles y denominados también
principios astringentes de los vegetales, que la analogía de
las primeras materias y un corto número de reacciones quí-
micas bastante bien determinadas, es á saber: oxidación, más
ó menos profunda, manifestada en las variadas coloraciones
adquiridas mediante la influencia de los álcalis; precipitados
obscuros, por lo general negros, negro azulados, negro ver-
dosos ó grises, cuando sus disoluciones son mezcladas con
otras que contengan sales férricas, en lo cual se funda la in-
dustria de la tinta y coagulación de la gelatina, en cuya vir-
tud forman con las pieles animales cuerpos duros é imputres-
cibles, recibiendo el nombre de materias curtientes, debido á
semejante cualidad, cuyo aprovechamiento y utilización vie-
nen de muy antiguo y se practican en todas partes.

Fué siempre el tipo de la serie de los taninos el extraído
de la nuez de agallas, ó sea el ácido galotánico y las dife-
rencias de sus congéneres, procedentes de las cortezas del
roble, del quino, del cafeto, del sauce, del olmo, de la rata-
nia, del palo amarillo y de varias otras, se establecieron por
las variaciones de las propiedades dichas, sin atender á

— 1279 —

otros lazos y relaciones químicas. Bajo tal aspecto, la pala-
bra tanino podía considerarse nombre específico de un gru-
po de cuerpos de parecida composición elemental, dotados
de caracteres muy semejantes, pero relacionados con el ori-
gen y procedencia de cada uno: todos eran ácidos débiles;
todos se alteraban en contacto del aire; todos producían ma-
terias negras de matices distintos en contacto de las sales de
hierro, interviniendo en ello el oxigeno atmosférico y todos
eran substancias curtientes, de variable potencia, cuyo apre-
cio y determinación ha sido objeto de dilatados estudios é
investigaciones, acerca de cuyo asunto compuso hace años
una Memoria, de singular mérito, mi buen amigo D. Carlos
Castel, habiendo logrado su notable trabajo el ser laureado
por la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Natura-
les, que lo publicó en la Colección de sus Memorias, luego
de haberlo premiado.

Para distinguir los taninos individualmente se atendía, de
modo singular, á la procedencia, y en esto se fundó su no-
menclatura, que todavía persiste, y luego se tuvo en cuenta
el poder curtiente, relacionándolo con aquélla. Se llegó á ad-
mitir que sólo había un tanino, el de las agallas, en el que
residían, en los mayores grados, las cualidades de endurecer
las pieles y formar compuestos negros con las sales férricas;
los de otras procedencias eran, en substancia, el mismo cuer-
po; pero el haberse formado en la corteza del roble ó en el
palo amarillo, era causa de que las dos propiedades esencia-
les apareciesen menos intensas. Había, en apoyo de la con-
jetura, un hecho frecuente y bien observado, y se refiere á
las variaciones del poder curtiente de cada tanino, conforme
al estado de las primeras materias que lo contienen, y de-
pende de la edad de las cortezas de los vegetales, del grado
de humedad, de las substancias colorantes que son compa-
ñeras del tanino, pudiendo ser varias, como veremos, pro-
ductos bien definidos de su desdoblamiento.

Grandísima es la importancia industrial de los taninos, y

>

el determinar su valor en el concepto de materias curtientes,
constituyó durante muchos años la mejor parte del estudio
de semejantes cuerpos, fundando en ello el conocimiento de
los mismos. Así abundan de modo extraordinario los proce-
dimientos analíticos, habiéndolos tan ingeniosos como los
fundados en el empleo del polvo de piel y otros en los cua-
les es reactivo principal el acetato de cinc amoniacal: la mis-
ma abundancia y variedad de los métodos demuestran las
deficiencias que todavía existen en el conocer los taninos, y
tengo advertida una causa de error, bastante general, debida
á su peculiar carácter químico. Basta emplear sistemas dis-
tintos para determinar el tanino contenido en una misma ma-
teria, y al punto de traducir en números los resultados de las
investigaciones nótanse diferencias de monta, que han de
atribuirse, no á deficiencias de las operaciones, sino á insu-
ficiencia de los procedimientos y á las influencias que sobre
los reactivos tienen los propios taninos en su calidad de re-
ductores.

Quiero presentar un solo caso de mi experiencia, relativo
á la determinación del tanino de una corteza de roble (ácido
quercitánico) bastante fresca, y traté de ensayar varios pro-
cedimientos juzgados excelentes desde el punto de vista quí-
mico. Con polvo de piel, procedente de la casa Merck, y em-
pleando pesos distintos en cinco operaciones, notando sus
aumentos, después de haber permanecido en contacto del ex-
tracto acuoso resultante de tratar 50 gr. del polvo de las cor-
tezas con un litro de agua, y tomando del líquido 100 cc., he
obtenido la media de 12,164 por 100, correspondiente á ár-
boles en la plenitud de su desarrollo y no envejecidos toda-
vía. Redúcese el método á una suerte de curtido, y no exige
otras precauciones sino el lavado rápido de la piel y secarla
á temperatura baja; es largo por el tiempo necesario para
que ésta tome el tanino, y se ha de evitar en lo posible el
acceso del aire que ataca al ácido quercitánico, y pudiera, de
esta suerte, introducirse una causa de error. Deseando evitar-

— 281 —

la, mezclé, en seco, el polvo de piel con la corteza muy pul-
verizada, humedeciendo de cuando en cuando; en varias
ocasiones, los resultados fueron satisfactorios; en otras, los
he logrado inciertos y enteramente discordantes. |
Hube de probar el clásico método de Pribran usando
como reactivo precipitante el acetato de plomo, empleándolo
de suerte que no haya exceso: es importante, á causa de la
inestabilidad del quercitanato insoluble formado, lavar en
seguida el precipitado, secarlo y pesarlo. Conseguí buenos
resultados con tratamientos metódicos, con ácido nitrico á la

temperatura del baño de maría; luego se calcina en crisol de

platino, y la diferencia entre el peso del precipitado y el del
óxido de plomo, residuo de esta última operación, repre-
senta la cantidad de tanino con error por exceso, en cuanto
el acetato de plomo precipita también, combinándose con
ellos, los principios amargos y otros ácidos vegetales conte-
nidos en la corteza: la constancia de semejante error, 2,015

“por 100, respecto de las determinaciones anteriores, demues-

tra que así sucede.

Recomiendan muchos autores el empleo del permanganato
potásico en disoluciones valoradas ó como simple indicador,
y en esto se fundan los conocidos métodos debidos á Monier,
Cech, Lóventhal, Neugebauer y otros que la industria ha
adoptado, pero que no satisfacen para las investigaciones
químicas. A la categoría indicada corresponden el procedi-
miento fundado en las propiedades absorbentes del carbón
animal para el tanino, que he practicado repetidas veces,
poniendo los mayores cuidados en las operaciones, sin ha-
ber logrado resultados concordantes, y el que prescribe em-
plear con exceso disoluciones amoniacales de acetato de cinc
operando con líquidos hirviendo, dejando enfriar, concentran-
do y disolviendo el precipitado en ácido sulfúrico, después
de haberlo recogido y lavado en un filtro; en el liquido se
aprecia el ácido tánico por medio de la disolución valorada
de camaleón mineral. Todo iría bien si el tanino formase con

=P

el cinc una sola combinación definida; pero como se consti-
tuyen varias, cuyas proporciones desconocemos, y sus po-
deres reductores son distintos y también los ignoramos, su-
cede lo acontecido en mis ensayos: las diferencias de los nú-
meros son en extremo irregulares y no es posible el aprciar-
las, ni distribuir el error, á causa de su misma variabilidad,
entre las numerosas determinaciones llevadas á cabo, así el
método no pasa de aproximado y eso entre límites bastante
distantes.

Interesa advertir cómo es otra causa inevitable de error en
la determinación de los taninos su parcial desdoblamiento,
bien manifiesto cuando se emplean disoluciones acuosas, que
puede dar, sobre todo en los clasificados de glucósidos, ma-
terias reductoras, cuya acción se suma á la del propio tani-
no no alterado. Valga lo apuntado, tocante á la práctica de
las determinaciones analíticas, ejecutadas conforme prescribe
Dragendorff, para demostrar las dificultades de caracterizar
un tanino, atendiendo tan sólo á ciertas propiedades deri-
vadas de las que en un principio fueron las generales del

grupo.

Sucedió con los taninos, que por ser materias de muy an- |
tiguo empleadas en importantes industrias, como las tintas
negras formadas por el tanato de hierro y los curtidos de to-
das clases, los afanes de los investigadores mejor se enca-
minaron á dilatar y perfeccionar aquellas aplicaciones que se
dirigieron al estudio puramente químico de los varios ácidos
tánicos, y eso que en el mismo terreno de sus usos industria-
les ofrécense problemas generales interesantísimos. Demos-
trada con toda evidencia la alterabilidad en contacto del aire
de los tanatos metálicos, claro está que la tinta no habrá de
exceptuarse de la regla; primero se obscurece á causa de las
oxidaciones debidas al oxígeno atmosférico; mas al cabo de
tiempo y á merced de los lentos desdoblamientos del ácido

— 283 —

tánico comienza á aclararse, la sal férrica se escinde y la
tinta adquiere el aspecto con que se presenta en las antiguas
escrituras en papel ó en pergamino, y en las que los reactivos
declaran la persistencia del hierro, mas no la del tanino, y
fuera bueno indagar el mecanismo de semejantes transforma-
ciones, inquiriendo en particular el límite y el carácter de cada
una dentro del fenómeno general de las modificaciones de la
tinta, porque acaso habría entonces medios eficaces de im-
pedirlas, dando estabilidad conveniente á las combinaciones
férricas de los taninos. Es ya de tiempos atrás semejante as-
piración, á la que son debidos los mejores progresos de la
industria de las tintas y de ciertos negros tánicos de bastan-
te fijeza y permanencia, de muy frecuente empleo en las ar-
tes de la tintorería y aplicables á diversos tejidos.

Justamente se tienen ahora pruebas notables respecto de-
la antigiedad de las aplicaciones del tanino típico para fa-
bricar las tintas ordinarias de escribir y otras, que en la vie-
ja Alquimia eran destinadas á los sublimes empleos de la
escritura de las fórmulas mágicas, sólo conocidas de los
adeptos y cuyo sentido únicamente les era dado penetrar á
los mayores escrutadores de las maravillas sin cuento del
Arte transmutatorio.

Tratando Berthelot de los famosos papiros de Leyden, que
se cuentan como documentos los más antiguos de la Alqui-
mia, da á conocer dos recetas, que son acaso las primitivas
de la tinta, y alguna de ellas poca cosa difiere de las que se
ven todavía preconizadas en los Manuales de conocimientos
útiles. He aquí el texto: «la tinta de que se trata, está com-
puesta con 4 dracmas de misy, 2 dracmas de caparrosa (ver-
de), 2 dracmas de nuez de agallas, 3 dracmas de goma y 4
dracmas de una substancia desconocida, designada por dos
Z mayúsculas, enlazándose á cada una otra letra pequeña
complementaria». Y advierte el sabio comentarista que un
signo análogo vese empleado por médicos y alquimistas
posteriores, pudiendo acaso atribuírsele la representación

Rev. Acab. Ciexcras.—IV.—Marzo, 1906, 20

a AA

del gengibre, que para ellos hallábase dotado de raras virtu-

des y admirables excelencias. No obstante, piensa que aquí -
el signo en cuestión mejor se refiere á la otra tinta, llamada -

mística, fabricada con los siete perfumes y las siete flores,
fundándose en que en el documento hállase aislada la dicha
letra Z, como expresión del nunca bastante ponderado nú-
mero 7. Llamaban misy al producto de las oxidaciones in-
completas al aire Ó por tostación lenta de ciertas piritas na-
turales: contenía sulfato de cobre y sulfato básico de hierro,
en proporciones variables y guardaba ciertas analogías con
aquel magistral que los españoles usaron en el beneficio de
los minerales de plata por amalgamación en frío, Eran los
siete perfumes: el styrax (estoraque) consagrado á Saturno;
el laurel índico, á Júpiter; el costo, á Marte; el incienso al
Sol; el nardo índico á Venus, la casia á Hermes y la mirra á
la Luna, y las siete flores: la mejorana común, el lirio, el
loto, el narciso, la violeta blanca, la rosa y otra cuyo nom-
bre, eryphyllium, acaso designa el ranúnculo; se necesitaba
triturar su mezcla en un mortero blanco veintiún días antes
de la ceremonia de las escrituras mágicas y ponerla á secar á
la sombra, para que la receta tuviera eficacia.

Lejos de efectuarse aislados y con entera independencia los
progresos de la industria del curtido, principal empleo de los
compuestos tánicos, cuyos orígenes son muy remotos, bien
puede asegurarse que guardan conexiones con los adelanta-
mientos realizados en la química de los taninos, siquiera no
sean tan considerables, ni hayan logrado hasta el presente al-
canzar las alturas de una doctrina general establecida con arre-
glo á los hechos observados é investigados. Mucho va inda-
gado y algo de ello con carácter definitivo respecto de la teo-
ría y fenómenos del curtido, enderezado á dilucidar el punto
de las sucesivas modificaciones químicas que experimentan,
hasta su endurecimiento, los elementos de la piel por el in-
flujo del ácido tánico y en el camino de investigarlo se reali-
zaron adelantos industriales de tanta cuantía como los que

— 285 —

resultaron del empleo de extractos curtientes, tan ventajoso .
por el ahorro de tiempo y librarse de usar toda la materia
inerte de las cortezas, residuo muy perturbador en las fábri-
cas. Y al propío tiempo que á esto se llegaba, se iban cono-
ciendo las modificiones químicas de los taninos y los produc-
tos de ellas originados; se precisaban los términos de su des-
composición hidrolítica, que marcan la función individual de
cada uno de los cuerpos comprendidos en el grupo, en lo
cual estriban sus diferencias químicas; se les sometía á las
acciones de los agentes de metamorfosis, obteniéndose el de-
rivado acetilado del ácido galotánico, y se fijaba el carácter
fenólico de tales compuestos, merced á los trabajos sintéti-
cos que me servirán de apoyo y fundamento en el estudio es-
pecial de sus relaciones químicas esenciales.

Una cuestión importante que sería oportuno investigar, y
á la que no se ha prestado acaso el interés suficiente, es la
relativa al origen y mecanismos de la formación de los tani-
nos en los vegetales que los contienen, porque de los datos
positivos recogidos acerca del particular, podrían derivar los
métodos de su reproducción sintética, conforme aconteció en
otros varios casos. Pongo aquí, con los correspondientes co-
mentarios, algunas noticias referentes al asunto y ciertos por-
menores de valía, que no huelgan en las presentes generali-
dades del grupo de los taninos.

Muchas y prolijas observaciones, dirigidas al conocimiento
de las funciones vegetales llamadas de lignificación, han dado
por resultado el clasificar los taninos en la categoría de aque-
llas materias denominadas incrustantes, cuyos fines en el
organismo de las plantas son los aumentos y crecimientos de
la celulosa y el cambio de sus propiedades físicas y quími-
cas, en cuyo sentido bien puede decirse que toman parte en
la evolución y transformaciones de aquel hidrato de carbono,

¿O

que organizado, constituye el fundamento y base de los vege-
teles. Puede reconocerse el tanino en el contenido celular y
en las paredes de las células, algunas veces empleando el
cloruro férrico y el bicromato de potasio. En la afamada obra
de Hartig, que ha traducido y anotado con su acostumbrado
acierto el Sr. Castellarnau, ilustrándola con admirables tra-
bajos originales, hallo la observación de que los citados
cuerpos sólo reaccionan con la madera de pino y de abeto
cuando la estructura de las paredes leñosas ha sido alterada
por el fermento de Merulius lacrymans, que se completa con
otra referente á las relaciones del tanino y materias curtien-
tes en las paredes lignificadas y su duración; porque se ve
que las maderas de roble, pino y abeto son ricas de princi-
pios tánicos y la de haya contiénelos en proporciones bas-
tante escasas y limitadas. Sin embargo, el propio autor cita-
do, advierte que el asunto requiere nuevas y mayores inves-
tigaciones.

Valiéndose de muchas otras referentes á los modos de ha-
llarse el tanino en aquellas plantas leñosas que lo contienen,
sea cualquiera su especie, y á las funciones especiales que
cumple, se ha llegado á establecer una doctrina bastante sa-
tisfactoria. Tiene ahora su apoyo en las mismas propiedades
químicas de aquel cuerpo, á saber: la facilidad para alterarse
en contacto del aire, que es un fenómeno de oxidación, Ori-
gen de ciertas materias colorantes rojas ó pardas que se en-
cuentran en la corteza del roble, y sus desdoblamientos, en
particular los de los taninos calificados de glucósidos, que en
contacto del agua y de ácidos de cierta energía, el oxálico uno
de ellos, muy abundantes en los vegetales, se escinden acaso
en sus propios generadores, siendo uno de ellos la glucosa,
cuyas relaciones con las celulosas son bien conocidas.

No se encuentran los taninos tan sólo en determinados
órganos, acumulados de preferencia en algunos; su solubili-
dad en el agua facilita el paso de semejantes cuerpos por
toda la planta y consiente su mezcla con otros elementos de

— 287 —

naturaleza distinta; así se explica que, aunque en grados dis-

tintos, hállense dotados de poder curtiente las ramillas nue-
vas y retoños ó brotes del año y las viejas cortezas del ro-
ble. Disueltos en el jugo celular, todo lo penetran y llegan á
los más finos elementos del organismo de las plantas; vése-
les, lo mismo impregnado los gránulos amiláceos, que en las
células exentas de almidón, ejerciendo sus funciones de ele-
mentos de reserva. Como tales, y debido á las oxidaciones
- que experimentan, contribuyen en mucho á la formación del
duramen y el hecho puede explicar los cambios del poder
curtiente de ciertas cortezas con la edad de los árboles de
que proceden, y es que buena parte de los taninos se gasta
é invierte de la manera dicha, transformándose de material
de reserva en substancia ya segregada, luego de haber cum-
plido los trabajos orgánicos que le son peculiares, depen-
dientes de sus cualidades químicas, tan íntimamente ligadas
á la estructura de su molécula.

Ya es cosa averiguada que no toda la materia tánica es
invertida para constituir el duramen; cierta porción de ella
se acumula, sobre todo en la corteza y en los tejidos del li-
ber, formando los característicos utrículos del tanino. Por de
pronto, puede permanecer, en calidad de reserva y protegi-
do sin duda gracias á otros elementos asociados, sin experi-
mentar alteraciones y éstas ser muy lentas luego de comen-
zadas, produciendo en sus desdoblamientos, como materia
constante, la propia glucosa á la que, por ventura, es debi-
do su origen. Teniendo como ejemplo constante el del ácido
quercitánico; cuando su molécula se escinde en virtud de un
fenómeno de hidrólisis, resulta una hexosa reductora, acom-
pañada de otro cuerpo de color rojo, más ó menos obscuro
y análogo á la materia colorante del mismo tono que al di-
cho ácido quercitánico acompaña en la corteza del roble y
de la cual no es fácil separarlo: el hecho es importante para
entender la formación y las transformaciones naturales de los
taninos en lo que tienen de común á todos.

— 288 —

Ocurre pensar, en vista de los hechos aducidos, si el ta-
- nino puede ser un producto de síntesis directa, partiendo de
la glucosa, efectuada en el organismo vegetal y durante las
funciones de su vida. Es presumible que las diversas maneras
como produce las combinaciones ternarias sean estados quí-
micos, necesarios para la asimilación de los elementos ó sim-
ples que el análisis determina, y para las transformaciones de
la primitiva materia celular, tan variada en sus apariencias.
Y se concibe que haya en los organismos continuos cam-
bios de orden químico, formándose unos cuerpos á expen-
sas de otros, merced á transformaciones cuyo objeto defi-
nitivo es fijar los elementos del agua y el carbono, organi-
zándolos de aquellos modos tan diversos advertidos en los
órganos de las plantas; de suerte que los taninos, al igual
de muchos otros principios, dotados de funciones químicas
particulares, prodúcense como verdaderos materiales de nu-
trición, que se alteran y desdoblan sin cesar, gracias á los
mecanismos químicos de la hidrólisis.

Acaso en ella intervengan ciertas materias minerales, se-
mejantes á las que dan actividad á las oxidasas, y de todas
suertes, no será aventurado admitir que, formada la celulo-
sa primordial, se modifique, resultando de sus cambios ma-
terias susceptibles de unirse á otras, á su igual ternarias,
pero que no funcionan como hidratos de carbono. En ellas
residen, siendo moléculas de estructura compleja, los elemen-
tos de la nutrición de la planta, y son, de algún modo, las
reservas de que dispone su organismo, estables sólo hasta
cierto punto, en cuanto el agua pura Ó en presencia de los
ácidos, es capaz de desdoblarlas de diversas maneras, ori-
ginándose de ello las variedades de los taninos. Mas es evi-
dente que si tal desdoblamiento aprovecha para el creci-
miento y formación del organismo vegetal á expensas, por
ejemplo, del azúcar, convirtiendo sus reservas nutritivas en
productos, bajo cierto aspecto sobrantes, los residuos de
nuevo se acumulan, constituyendo, en el caso presente, el

Or

duramen, ó en virtud de sus aptitudes químicas, sirven de
base para formar nuevas moléculas, también ternarias, que
se relacionan con las primitivas originarias, realizando así
la planta verdadero trabajo sintético, integrando y des-
integrando materia, á la cual da las variadísimas formas y
apariencias que las operaciones del análisis inmediato han
logrado investigar hasta el presente.

Pasando desde los elementos simples por combinaciones
progresivas, la molécula orgánica se complica conforme lo
hace su estructura, y al modificarse ó desdoblarse, desde un
punto considerado á modo de equilibrio relativo, produce
nuevos cuerpos dotados de tales cualidades que pueden unir-
se á otros, á su vez residuos de transformaciones y consti-
tuir de nuevo aquellas moléculas primeras. No es distinto,
en rigor, el origen de los taninos, en nada diferente del asig-
nado á otras materias ternarias incrustantes, que como ellos
ejercen de elementos de reserva en la nutrición de los vege-
tales, convirtiéndose luego en productos segregados que se
acumulan en diferentes Órganos.

Bueno fué, en el comienzo del estudio de taninos, contar
con ciertas reacciones de relativa generalidad y fijeza que
sirviesen, á la vez, para diferenciarlos y como fundamento
de los métodos, más bien industriales que químicos, de apre-
ciar las cantidades respectivas contenidas en los órganos ve-
getales usados en la industria de los curtidos. No se indaga-
ban de tal suerte la naturaleza é individualidad del tanino, y
á lo sumo, se limitaba la investigación á apreciar analogías 6
diferencias, de orden puramente característico, con el ácido
galotánico, que era de ellos el de más generales empleos;
por eso, conforme ya queda dicho, el origen era el solo fun-
damento de la clasificación de las antiguas materias astrin-
gentes. Fué necesario conocer los desdoblamientos de los ta-

» NG $
de a

A
,

O Ó

ninos y los cuerpos en los mismos generados, y conforme
antes todos se referían al de las agallas, comparar también
ahora con la del ácido tánico típico la descomposición metó-
dica de los otros individuos del grupo, para llegar, más tar-
de, á conocer y determinar, en vista de los modos de des-
componerse, las estructuras moleculares y las funciones quí-
micas, lo cual, averiguado, vale tanto como tener las bases
de su conocimiento, acerca de cuyo punto pondré aquí al-
gunas observaciones é indicaré varios experimentos, que
servirán de origen á las relaciones químicas de los taninos,
establecidas conforme á mi criterio, en vista de muchos tra-
bajos que he repetido y de algunas indagaciones propias, re-
ferentes al mecanismo de los desdoblamientos de ciertos ta-
ninos, de los que resultan, á la continua, cuerpos idénticos
á los que en las plantas son sus obligados compañeros, si no
sus peculiares y naturales generadores.

Quise apelar á procedimientos de extremada sencillez, y
me he fijado de preferencia en las solas acciones del calor,
apelando unas veces á sus simples acciones y á la destila-
ción seca, realizando otras veces los desdoblamientos en
atmósferas húmedas, por influencia del agua á 100” ó auxi-
liándola con los ácidos, valiéndome de artificios experimen-
tales corrientes para separar los productos de las descompo-
siciones.

Convenía fijarse, por de contado, en el ácido galotánico
en su calidad de tipo ó modelo de los taninos. Son función
de la temperatura las influencias que el calor ejerce sobre
este cuerpo: bien desecado en el vacío, es poco alterable des-
pués en contacto del aire, al punto de no experimentar cam-
bios, habiéndolo mantenido, á 120”, por dos horas, en un tubo
estriado á la lámpara; elevando la temperatura, se funde de
210 á 215 grados y ya comienza á descomponerse; la masa
se obscurece, hay desprendimiento gaseoso y, al cabo, en la
parte fría del tubo, se recoge un sublimado cristalino. De tal
suerte, el ácido tánico se escinde en pirogalol volátil, anhí-

— 291 —

drido carbónico, que se desprende, y ácido metagálico ne-
gruzco que resta en el fondo del tubo.

2| (0H), =C.Hi.— —CO—0OC,H, q
gia

cuya reacción es fundamental, en cuanto por ella se estable-
cen relaciones de parentesco inmediato entre el tanino de las
agallas y los trifenoles bencénicos. Siguiendo las acciones de
la temperatura, y sometiéndolo, desde luego, á la destilación
seca, he podido comprobar que uno de los productos de ella
es el difenol nombrado pirocatequina, por donde se advier-
te ya cómo se determina la función fenólica del ácido galotá-
nico, que aparece todavía mejor cuando en sus desdobla-
mientos interviene el agua. Ya son muy manifiestos, á la tem-
peratura ordinaria, con sólo dejar el tanino, por ocho ó diez
horas, en una atmóstera húmeda confinada; por ejemplo, en
una cápsula de porcelana, de fondo plano, puesta sobre un
plato con agua y tapado todo ello con una campana ES Vi-
drio. Disuelto se altera mucho más pronto.

Reconócese, precisamente, el ácido tánico ordinario, y se
caracteriza como un ácido digálico por esta manera de des-
doblarse, que tiene su reacción inversa, conforme luego ve-
remos. Se cambia en su verdadero generador el ácido gálico,
absorbiendo oxigeno y desprendiendo anhidrido carbónico;
pero la transformación es parcial á la temperatura ordinaria
y no tarda en alcanzar su límite; una traza de álcali aumenta
la velocidad de la reacción, y la conseguí completa, calentan-
do el tanino, con agua ligeramente acidulada con ácido clorhí-
drico, en un tubo cerrado, á 100”, durante dos horas; hay aquí
un fenómeno de hidratación, que permite clasificar el ácido

— 292 —

galotánico considerándolo anhídrido correspondiente al ácido
gálico, de este modo:

/CO.H
(OH),=C,H,—CO— OC¿H»: +H,0=
N ( z
: C0.H
2 | CH, 4 |
S(0H,)

que es muy característico y general, habiendo servido de
fundamento á notables experimentos de síntesis, cuyos resul-
tados permiten establecer, en mi sentir de modo definitivo,
las relaciones químicas esenciales dentro del grupo de los
taninos.

Entre las reacciones peculiares del ácido galotánico, no
menciono la producción de la glucosa mediante los ácidos
diluídos. Cierto que, por consecuencia de ciertos antiguos
trabajos de Strecker, se consideraba como verdadero glucó-
sido, en cuanto este investigador lograra desdoblar el tani-
no de las agallas, obteniendo hasta 22 por 100 de glucosa,
rebajada al 9 semejante cantidad en las posteriores investi-
gaciones de Rochleder y Kawalier; pero los trabajos ya clá-
sicos de Schiff, que dispuso, para realizarlos, de tanino muy
puro, demostraron que en los anteriores, á causa de las im-
purezas de la primera materia, habíanse cometido errores de
monta; Wehmer y Tollens pretendieron, en vano, obtener el
ácido levúlico con un ácido tánico bien purificado, y al repe-
tir sus experimentos, tampoco logré resultados satisfactorios.
Acaso se explique el primer error, que ha persistido durante
largo tiempo, por ser reductor el ácido tánico y reductores
también los cuerpos resultantes de la escisión de su molécu-
la, aun no contándose la glucosa en su número.

Se conocen otros taninos, definidos como tales, que tam-
poco la producen cuando son descompuestos por los ácidos
diluídos, y entre ellos vale citar los ácidos cachutánico, rata-

Eo”,

niatánico y morintánico, en calidad de principales. Considé-
rase el primero [C,; H,, Os, aceptando la fórmula de Lówe]
como derivado del ácido catéquico por eliminación de agua,
representando una suerte de anhídrido, semejante al que sig-
nifica el tanino ordinario respecto del ácido gálico. En los
otros dos, que se desdoblan muy bien por los ácidos diluídos
y mejor con la potasa fundida, adviértese que dan ácido pro-
tocatéquico, demostrando así su función fenólica y floroglu-
cina, que ocupa acaso el lugar que tiene la glucosa en la hi-
drólisis de otros taninos. He aquí la del ácido morintánico:

o a
E 07 -/COH (1) /OH(1)
0 +H,0|=C,H,£LOH (3)+C,H,—OH (3)
C¿H,—OH NOR. 14) 0H (5)
A -

Fuera de estos compuestos tánicos y otros análogos, que
se descomponen de modo semejante, hay otro grupo de
substancias caracterizadas porque actuando sobre ellas el
agua en la manera que queda dicha, acidulándola con áci-
do clorhídrico, se resuelven en glucosa y otras materias, á
la continua de función fenólica; la serie es numerosa y los
cuerpos acompañantes de la glucosa no tienen siempre el
mismo carácter químico, y los hay, á semejanza de los pro-
vinientes de la escisión molecular del ácido quercitánico,
que se encuentran en las plantas unidos á los taninos, pu-
diendo ser el residuo de los mismos cuando actúan de ele-
mentos de reserva y acumularse en determinados órganos
en las adecuadas condiciones para unirse á los principios
<azucarados ó á otros de diversa índole y regenerar los mis-
mos cuerpos de donde proceden y de los que se aislan fácil-
mente. En general, y aunque los resultados no sean idénti-
cos, hállase un nexo y punto de enlace para los taninos en el
mecanismo de su hidrolización y esto permite agruparlos,

—:904- —

atendiendo á relaciones conocidas de sus funciones Neon
ya que no de su estructura molecular.

Tomando como ejemplo el tanino procedente de la cor-
teza de la raíz del granado, que es el ácido granatotánico,
extraido asimismo de otras plantas, y tratándolo con cual-
quiera de los ácidos clorhídrico Ó sulfúrico, muy diluidos y
en caliente, sin alcanzar la temperatura de la ebullición, se
desdobla en glucosa y ácido elágico, cuerpo sólido, de color
-amarillo, apenas soluble en el agua hirviendo, y considera-
do por muchos químicos derivado de la fluorenona; su mo-
lécula es bastante compleja:

/CH(OH),
CooHicO13 + OH, =C0 E +
Có (OH),
7 O
CO/
OH A OH OH
PUES
CHO —C— E CC -CH,OH
|
H OH H H

cuya reacción es la típica de los glucósidos, y se ha de tener
presente que el ácido elágico representa cinco funciones fe-
nólicas, de modo que en los taninos de este género persiste
el carácter de fenol que se ha determinado en el ácido tánico
y que veremos manifestándose mejor todavía examinando
otros linajes de relaciones químicas, fundadas en aquellas
transformaciones inversas, en cuya virtud alguna vez se ha
llegado á producir el ácido galotánico deshidratando otro áci-
do fenol.

Guarda relación esta metamorfosis con las transformacio-
nes que al ácido quercitánico atribuye Etti, y que yo he es-
tudiado, conforme diré á su tiempo. Siguiendo su criterio,
podría ir perdiendo agua progresivamente, transformándose
en una serie de anhidridos bastante curiosa é interesante;

— 205 —

para comprenderlo, es menester expresar la composición de
este tanino en la fórmula C,,HA,¿0, y entonces resulta:

a)2[C Hs O,]= OH;,+ Cs Hso Os
b)2[C,; Hs 0O,|=20H,+ Cy Has Oy
MECA. Os] => 0H, 1 Cee Os
d)2[C,H;5 0,]=40H,+ Ci Hsa Os,

y. lo curioso del caso es que aun pareciendo hipotéticos los
cambios, los cuatro cuerpos resultantes existen en realidad,
y varios se extraen de las plantas.

Uno de ellos, el primero, es el flobafeno, que se produce
ya á los 140”, perdiendo el ácido la primera molécula de agua;
el tercero y el cuarto son dos materias colorantes rojas que
se encuentran en la corteza del roble, procedentes acaso de
transformaciones naturales del ácido quercitánico. También
Lówe, luego de haber dudado que sea producto constante
de su desdoblamiento la glucosa, considera el cuerpo rojo
que la acompaña á modo de un anhídrido particular, gene-
rado por eliminación de tres Ó cuatro moléculas de agua,
y Boettínger sostiene que el cuerpo al cual se refiere esta ob-
servación, no es el verdadero tanino de la corteza, sino una
materia soluble en el agua que lo acompaña, afirmando la
calidad de glucósido del ácido quercitánico al que asigna la
fórmula C,, H,¿ O,,, susceptible de desdoblarse por acción
de los ácidos diluídos y de los álcalis en el mismo estado y
á la temperatura de la ebullición en glucosa y flobafeno, cuyo
carácter de anhídrido é identidad con la materia roja natural
de la corteza del roble parecen bien esclarecidos. A su vez
el flobafeno ó rojo de roble, puede ser descompuesto por los
álcalis fundidos, dando, según se opere, pirocatequina, ácido
protocatéquico y cortas proporciones de floroglucina Ó sólo
las dos últimas substancias, denotando su origen fenólico; no
cristaliza al igual de otros productos resultantes del desdo-

— 2 —

blamiento de ciertos taninos y hemos de ver que puede ser
definido como un particular anhídrido aromático.

Hay, á primera vista, escasas analogías entre los prodúc-
tos que acompañan á la glucosa en la escisión hidrolítica de
la molécula de los taninos calificados de glucósidos; son con-
tados los que dan más de un cuerpo y aun estos originan
substancias tan enlazadas que bien pudieran derivarse unas
de otras. Sus apariencias, sus mismas propiedades externas
serán muy diferentes; pero están ligadas, porque al descom-
ponerse hácenlo de continuo produciendo los mismos cuerpos,
ácido pirocatéquico, floroglucina y en varias ocasiones piro-
catequina, es decir, fenoles ó derivados de fenoles, que tam-
bien lo es el ácido gálico en el caso del tanino ordinario. En
tal forma de desdoblamiento, aparte de otras reacciones que
luego se dirán, se funda el considerar á una de las series del
grupo tánico como glucósidos de función fenólica, siendo el
ácido tánico, conforme á la hipótesis de Etti, un ácido digá-
lico trimetilado.

Vese, por lo dicho, que realmente hay todavía bastantes
incertidumbres en lo que atañe al conocimiento de la consti-
tución y estructura química de los taninos, y en especial para
definir los que son glucósidos. Se excluye de ellos, á mi ver
con buenas razones, al ácido galotánico, y, sin embargo,
conforme lo advierte Dragendorff, hay un momento de sus
acciones con el agua, en el cual es evidente la presencia de
la glucosa y un ácido poligálico; dicen, que en el desdobla-
miento tantas veces nombrado, sólo se originan dos cuerpos,
y no obstante, en las transformaciones del tanino de las nin-
feáceas, resultan con la glucosa dos ácidos, siquiera sean tan
semejantes como el gálico y el egálico: así lo han observado
en 1881 Fridolin y Griining. Ni está tampoco por entero es-
clarecido el mismo origen del azúcar; hexosas hay formadas
en las plantas, que se mezclan con los taninos de tal modo,
que su separación completa es muy difícil; en la hidrólisis
de los ácidos tánicos se generan productos que coagulan la

—. 297 —.

gelatina, y los hay que, sin ser glucósidos, los alteran, á lo
menos parcialmente, los ácidos diluídos, aparte de que en sus
metamorfosis suelen originarse substancias reductoras que
presentan reacciones análogas á las de las glucosas, y añadi-
ré que tengo bien observado cómo al pretender purificar di-
versos taninos, sobre todo el ácido quercitánico, empleando
agua para las disoluciones, experimentan alteraciones par-
ciales Ó incipientes, de las que resultan substancias diversas,
y de aquí se infiere que no basta el desdoblamiento hidrolíti-
co para asignarles el carácter definitivo de glucósidos.

Interesa advertir que, fundándose en las reacciones apun-
tadas y en los modos de descomponerse aquellos cuerpos
originados en la escisión de la molécula de los taninos, es
como se les asigna la función fenólica general para todos, y
luego, dentro del grupo, se establecen dos divisiones, perte-
neciendo á la primera los que no son glucósidos, y á la se-
gunda los que por tales son definidos, considerando el con-
junto de sus. metamorfosis. Dentro de la última clase apár-
tanse los que, además de la glucosa, producen un cuerpo
cristalizado, á ejemplo del ácido granatotánico que da el áci-
do elágico y los que originan materias amorfas, por lo ge-
neral colorantes: tipo de ellos es el ácido quercitánico, de
cuyo desdoblamiento procede siempre el flobafeno.

Atendiendo á los principales resultados de las dilatadas
investigaciones que acerca del grupo de los taninos van he-
chas, con intento de poner en claro sus relaciones químicas,
es menester partir de los experimentos de Schiff ejecutados
con el fin de sintetizar el ácido galotánico. Es bien sabido
que éste puede ser referido al ácido gálico, porque una mo-
lécula del primero, hidratándose, produce dos del segundo;
y así dícese que es un ácido digálico, ó mejor, un anhídrido
gálico; he aquí cómo se expresa el hecho:

A.

—
HO / CO. H
HO—C,H,—CO—0O—C,H,—OH +H,0=
HO/ 0H
DS /C0% “A
"<(OM),

y se trataba de producir la reacción inversa partiendo del
ácido gálico y deshidratándolo, conforme lo ha hecho el Pro-
fesor citado. Sus métodos son de extremada sencillez y se
reducen á la aplicación, á este caso, de un procedimiento
general, usando, como deshidratantes, el oxicloruro de fós-
foro ó el ácido arsénico: se opera, en el primer caso, con los
dos cuerpos directamente y dos moléculas de ácido gálico se
condensan en una de su anhídrido, eliminándose una molé-
cula de agua; en el segundo caso basta hervir la disolución
acuosa del propio ácido con el ácido arsénico, para lograr el
mismo resultado. Tocante á la naturaleza del cuerpo forma-
do se han emitido distintas opiniones, unos creen que se tra-
ta de una substancia muy parecida al ácido tánico, pero que
no es el mismo; otros admiten la identidad, dando por bue-
na y completa la sintesis de Schiff, y no falta quien niega
toda realidad al hecho, á pesar de referirse al sistema clási-
co de la obtención de anhídridos, deshidratando directamen-
te y condensando, al mismo tiempo, dos moléculas de ácido.

Jamás podrá dudarse de la escisión de la molécula de áci-
do tanino .en dos moléculas de ácido gálico absorbiendo una
de agua, y nada se opone á la realidad de la reacción inver-
sa, tanto más posible cuando se trata de obtener un anhidri-
do por deshidratación directa, caso el más general y corrien-
te. Quien haya repetido el experimento indicado, no puede
dudar de la síntesis del tanino de las agallas, en condiciones
de poder estudiar los mecanismos de su formación y estable-
cer las relaciones químicas con su generador y aun sus des-

doblamientos en otros cuerpos de carácter ácido y función
fenólica.

— 299 —

Bueno será advertir cómo para establecer la general de los
taninos se atiende, en primer término, á las modificaciones
particulares del ácido gálico. Por su constitución molecular,
se define como trifenol monácido; y en calidad de tal, si con-
sideramos dos moléculas, podrán reaccionar funciones áci-
das con funciones ácidas, funciones ácidas con funciones fe-
nólicas Ó funciones fenólicas entre sí, constituyendo, por
estos medios, cuerpos distintos de variable estabilidad, los
cuales, puestos en condiciones adecuadas, convertiránse en
generadores de nuevos derivados y de diferentes isómeros.
Confirman los hechos las previsiones de la teoría, y, así,
dentro de las tres formas correspondientes á anhídridos de
ácidos, éteres-sales fenólicos y éteres fenólicos, caben nu-
merosos cuerpos ya aislados: la segunda forma, que antes he
escrito,

HO YCOA
HO—C;¿H,-—CO—0O-—C;,H,-—OH
HO/ xOH

corresponde precisamente al ácido tánico típico, que confor-
me á ella se define como éter sal fenólico. Es pentafenol
monácido, en el cual la eterificación puede hacerse sobre tres
funciones fenólicas que ocupan posiciones distintas, gene-
rando igual número de isómeros, como se explica en todos
los tratados modernos y se puede confirmar comparando
los resultados experimentales de las transformaciones de los
cuerpos con la estructura molecular atribuida á cada uno de
ellos.

Lejos de complicar esta manera de ver las cosas el pro-
blema de los taninos, á mi ver, lo esclarece y facilita; pues
acaso en la misma movilidad de la molécula, tan especial,
que los constituye, y en su flexibilidad para los cambios, se
halla la explicación de las formas, hasta si se quiere anóma-
las, de sus desdoblamientos; que al cabo representan funcio-
nes complejas y repetidas y son susceptibles de reacciones

Rev. Aca. Cizncias.—IV.— Marzo, 1906, 21

AS

internas, si de la misma índole, efectuadas entre elementos
que ocupan distintas posiciones. Por eso son acaso, las dis-
tintas clases de taninos, límites variables y no siempre defi-
nidos de verdaderas series de transformaciones moleculares
internas.

Con ser tan manifiestas las relaciones del ácido tánico tí-
pico con el ácido gálico, al punto de fundarse en ellas su
síntesis y la determinación de su carácter fenólico, no lo
son menos las que guarda con los otros varios taninos, y
podemos considerar, los que se desdoblan, en dos ácidos ó
cuerpos que funcionen como ácidos aromáticos y los que
son glucósidos, y diferenciar estos últimos, según que las
materias que en el desdoblamiento acompañen á la glucosa
sean amorfas ó se presenten cristalizadas. Hállase entre las
últimas el ácido elágico, que se puede formar por medio del
ácido gálico, de cuya oxidación es al cabo producto, y es da-
ble efectuarla de varios modos, sobre todo empleando el áci-
do arsénico:

CO.H ¿CH (0H),
y e Ae Y
OH LS
CO/

y para mayor semejanza, si el ácido gálico, perdiendo agua
se cambia en ácido galotánico; de la propia suerte la deshi-
dratación del ácido elagotánico engendra el ácido elágico

Ci Hi O 10 = C¡,H,0,+2H,0,

cuya reacción, 'que se inicia á los 100” es ya completa á
los 110”. Todavía podría indicar otra relación de origen y es
que, así como las fermentaciones llamadas tánicas convierten
los taninos en ácido gálico, éste, mediante acciones semejan-
tes, debidas á microrganismos muy conocidos, se cambia en

ZE

ácido elágico, ganando oxígeno. De la misma manera se en-
contrarían las semejanzas de los productos cristalizados de
desdoblamiento de los demás taninos dotados de bien deter-
minada funcion glucósida, por donde venimos á parar en
asignar al ácido gálico el carácter de eje y origen del grupo
de los ácidos tánicos.

No están igualmente claras sus relaciones con algunos de
ellos, en particular aquellos de cuya hidrólisis provienen con
la glucosa ciertos cuerpos complejos, de función todavía mal
determinada, no cristalizables y que se consideran anhidri-
dos ó productos de progresivas deshidrataciones de los áci-
dos tánicos originarios. Bajo tal aspecto representarían la in-
versa del ácido tánico de las agallas, que es anhídrido, trans-
formable por la acción del agua, en dos moléculas de ácido.

De estos taninos es el ácido quercitánico, que se desdo-
bla, conforme es sabido, en glucosa y flobafeno incristaliza-
ble, derivando de éste, Cy, Hz, O,;, que representa el an-
hídrido del tanino, otros cuerpos por sucesivas deshidrata-
ciones, y, entre ellos, aquellas materias colorantes, rojas, que
llevan los nombres de Oser y Lówe, y se hallan formadas en
las propias cortezas de roble, primera materia del ácido quer-
citánico. Por su parte, ya hemos visto que el flobafeno es de
las substancias que, mediante las acciones del calor, produ-
cen otras, bien caracterizadas como fenoles—pirogalol, floro-
glucina, ácido protocatéquico, principalmente interviniendo
la potasa fundida — que son polifenoles, como el propio áci-
do gálico, y aun hay medios de producirlo de modo directo,
partiendo de las mezclas naturales de acido quercitánico, con
el rojo quercitico ó flobafeno natural, su asociado constante,
del que es dificilísimo separarlo; recuérdese cómo el asper-
gilius niger, el penicilium glaucum, y el sterimatocystys ni-
gra, no sólo accionan en las infusiones de nuez de agallas,
sino que en todos los extractos acuosos de los taninos cono-
cidos, sea cualquiera su procedencia, determinan la forma-
ción del ácido gálico, probablemente como límite de una se-

e

rie variable de desdoblamientos por hidratación; transforma-
ciones hidrolíticas cuyos estados intermedios sólo en conta-
das ocasiones nos son conocidos. Lo dicho es, sin embargo,
bastante, á lo que entiendo, para considerar el grupo de los
taninos, á modo de conjunto de cuerpos de carácter ácido,
monobásicos, dotados de función fenólica, unidos por la for-
ma especial de sus cambios y metamorfosis, de la que es
nexo el ácido gálico, que en algunos existe como anhídrido
ó como glucósido. |

Teniendo esto presente, aun afirmado por los resultados
experimentales y por el conocimiento de la estructura mole-
cular de los diversos ácidos taninos, hay grandes dificultades
para orientarse estudiando el grupo de los taninos, y resi-
den, sobre todo, en aislar y caracterizar bien cada uno de
ellos; nunca están solos, acompáñanles productos de sus
cambios, y con otros taninos hállanse de continuo mezcla-
dos. Diríanse términos ó puntos de una evolución orgánica,
cuyos fines consistiesen en producir glucosas, transformando
sin cesar, por solas acciones hidrolíticas, substancias terna-
rias, cuyos residuos son materias colorantes, como los ro-
jos quércicos.

— 303 —

XIV. —Aplicaciones de la composición de intensidades
al cálculo gráfico de vigas rectas (*).

POR NICOLÁS DE UGARTE.

X

Trazado del segundo funicular en una viga continua.

Es la base del cálculo gráfico de una pieza de tal especie.

Dijimos (art. VI) lo que son las ftrisectrices y las líneas
cruzadas: las primeras recuerdan por su nombre que son
dos normales á la luz del tramo en los puntos que le dividen
en tres partes iguales; las segundas, son otras dos que, par-
tiendo de un punto cualquiera contenido en la vertical que
pasa por el centro de gravedad de la superficie abrazada por
el primer funicular, son paralelas á los radios que, saliendo
de un polo, abarcan entre sus extremos una magnitud que,
como suma de intensidades, representa el área de aquella
superficie. Esas dos líneas interceptarán sobre cualquiera pa-
ralela á la que pasa por el centro de gravedad (línea de ac-
ción de dicha área considerada como intensidad ), magnitu-
des proporcionales á los momentos estáticos de esa área res-
pecto á un punto de la paralela mencionada (**).

Tenemos aún que definir otras dos clases de rectas que
juegan papel importante en este cálculo: por abreviación las
vamos á llamar las inversas y las conjugadas, pero necesi-
tamos hacer antes ciertas consideraciones.

Sea OX la viga (fig. 12); 1-2, 2-3, dos tramos consecuti-
vos, cuyas luces /,, l, son datos del problema, como lo son

(*) Véanse las páginas 68 y 194 de esta Revista.
(**) Composición de Intensidades, párrato 12. -

Mi

también las cargas de cada uno, y las curvas de momentos
ce flexión correspondientes á cada tramo supuesto cortado.
Los momentos efectivos en los apoyos de cada tramo, que
suponemos sean M, = A1,M, = B 2, M, = D3, etc., son
las incógnitas del problema, y vamos á determinarlas me
diante el empleo de las cuatro clases de rectas indicadas.

E E ==

4
y
U
'
4
1
'
'
t
4
Ú
N
U
'

Figura 14.

Tracemos las T,, T,', T,, T, trisectrices de los dos tra-
mos. Estas contendrán los centros de gravedad de los trián-
gulos 412, B2A, B23, D3B, que intervienen como inten-
sidades para el trazado de los polígonos de cuatro lados en-
volventes de los segundos funiculares de cada tramo, y de-
terminación de los momentos incógnitos (véase el art. VI).
Supongamos conocidos esos polígonos de cuatro lados para
los cuatro tramos de la figura, y sean 1mSm/' 2 y 2nS'N 3.
Los lados m'2 y 2n serán prolongación uno de otro, por ser
ambos tangentes á la misma curva general, conjunto de las
parciales de cada tramo.

— 305 —

Los lados extremos de cada funicular 1m, m' 2 irán, como
sabemos, de los apoyos á las trisectrices. Los centrales mS,
Sm', de las trisectrices á la vertical del centro de gravedad
del área de la curva de momentos de flexión producida por
las cargas, considerando los tramos cortados. Estas vertica-
les se indican de trazos pasando por $ y S'.

Según su definición, y teniendo en cuenta el modo de for-
mar los segundos funiculares parciales, las líneas Sm, Sm'
son dos líneas cruzadas del primer tramo, que interceptarán,
sobre las verticales de los apoyos, segmentos que, contados
á partir de éstos y multiplicados por la distancia polar, ex-
presarán los momentos estáticos (respecto á los apoyos 1 y
2) de las intensidades cuyas líneas de acción son las frisec-
trices. Es decir, que si llamamos h la distancia polar que pre-
sidiera á la formación del segundo funicular del primer tra-
mo, el segmento:(2— C) multiplicado por h, sería el mo-
mento respecto al apoyo 2 del área del triángulo B2A, que
es el valor de la intensidad cuya línea de acción es la trisec-
triz T,'. Esa área es igual á

orde po es
2 2

Luego si conociéramos el segundo funicular, podríamos de-
terminar M,; y de un modo análogo, M,, M, y los demás que
buscamos.

Vamos ahora á definir las líneas que nos faltan.

El conjunto de los segundos funiculares parciales de cada
tramo, trazados, por supuesto, en la misma escala, formará
el segundo funicular total y gozará de las propiedades inhe-
rentes á los funiculares de un sistema.

Por consiguiente, si se prolongan dos lados suyos, los
centrales inmediatos Sm”, S'n de dos tramos contiguos, su
intersección í será un punto de la línea de acción /a, de la
resultante de las dos intensidades paralelas que obran en las

- ME: —
: : p 1 1
trisectrices 7,' y 7,, cuyos valores son > M,Í, y 07 M, l;,.
Luego el punto a, dividirá el intervalo ab entre ellas, en
partes inversamente proporcionales á esos valores, 6 á

los !, y l,, Ó á sus tercios + l, y A l,. Pero el intervalo

ab está precisamente formado de la suma de esos tercios de
los tramos inmediatos al apoyo 2. Luego, sin mas que tomarlos

invertidos, esto es, haciendo que a a, = Ss l,, Ó lo que es
igual, ba, = E [,, daremos con el punto a,, que puede

llamarse punto de los tercios inversos, y á la Ta, que por él
pasa, inversa inmediata al apoyo 2, ó por abreviar, la inver-
sa correspondiente al apoyo 2.

De estas líneas hay, como se comprende, una inmediata á
cada apoyo y cae dentro del tramo mayor. Si fueran iguales
los tramos, la inversa sería la vertical del apoyo.

Esas inversas que sólo dependen de la magnitud de los
tramos contiguos pueden trazarse a priori, como las frisec-
trices.

Con ellas, conocido que sea un lado central del segundo
funicular de un tramo, se deducirá inmediatamente el central
del tramo inmediato, próximo al apoyo común.

Sea, por ejemplo, SK, un trozo de la recta que contiene
el lado central del segundo funicular del primer tramo, más
próximo al apoyo 2; pues inmediatamente se puede hallar
el nS”. En efecto, prolonguemos el primero, y marquemos
los puntos m' é í en que corta á la trisectriz y á la inversa.
Uniendo m' con 2, tendremos el lado m'2, extremo del pri-
mer tramo. Prolongando éste hasta n, en la trisectriz T,, nos
dará el 2n, primero del segundo tramo; y uniendo í con A,
tendremos el 1 S”, central del mismo tramo, que detendremos
en S”, en que corta á la vertical del centro de gravedad del
área de la curva de momentos del tramo (2-3) aislado.

Vamos ahora á las conjugadas.

|
|
¡

— 307 —

Todo punto de un tramo tiene, por el procedimiento que
vamos á decir, otro que le corresponde en el tramo siguien-
te. Si el primero lo consideramos fijo, lo será también el se-
gundo, y podrá llamarse su conjugado. Las verticales, ó me-
jor, las normales á la pieza que pasan por esos puntos po-
drán llamarse conjugadas (*).

Sea F, una recta cualquiera (que indicamos de trazo y dos
puntos) comprendida entre el centro y el apoyo izquierdo
del primer tramo. Con ella se relacionan un sistema de rec-
tas, una en cada tramo, que son sus conjugadas; caerán to-
das entre el centro y los apoyos izquierdos respectivos, po-
dremos llamarlas conjugadas izquierdas.

Partiendo de una que estuviera fija, por circunstancias
dadas, entre el centro y el apoyo derecho, se obtendrían
sus conjugadas derechas en los demás tramos.

Indiquemos el procedimiento para fijarlas:

Un triángulo tal como m' in, cuya base m' n pase por el
apoyo 2, sus vértices m' n estén sobre las trisectrices inme-
diatas de los tramos contiguos, y el í sobre la inversa que
corresponde al apoyo, puede ser considerado como funicu-
lar de tres intensidades en equilibrio, cuyas líneas de acción
fueran esas rectas.

Cualquier otro triángulo que satisfaga las mismas condi-
ciones será tal, que los lados análogos se cortarán con los
del otro sobre una misma recta (**).

Puesto que los análogos al m'” n tienen que pasar por 2,
si por alguna otra consideración sabemos que los análogos
al m'í se cortan en un punto tal como K,, los análogos
al in tendrán que cortarse sobre la K, 2 que contiene las
otras intersecciones; lo harán necesariamente en K,, en que
esta línea corta al lado ¿n.

(*) A esos puntos y líneas llaman algunos focos y focales, y otros,
puntos y líneas de inflexión, que sólo les cuadra en casos particula-
res; por eso nos tomamos la libertad de darles ese nombre.

(**) Composición de Intensidades, pág. 183.

Si el punto K, se tomase más arriba 6 más abajo, sin sa-
lir de la F, K,, tampoco el K, saldría de su paralela F, K.,.
En efecto; el triángulo K, ¿K, puede también considerarse
como funicular de tres intensidades paralelas en equilibrio,
cuyas líneas de acción sean las tres normales á la pieza
A.

Si suponemos que dos de los vértices (K,, 7) no salen de
dos paralelas F,,I (ó de dos concurrentes), el tercero K,
no podrá salir de otra paralela F, á las primeras (Ó concu-
rre con ellas) que pase por K..

Se ve, pues, que un punto K, de la F,, tomado como
de concurso de lados análogos al m/'i, pertenecientes á
triángulos análogos también al m' in, tiene su correspon-
diente K, sobre la F,, intersección de ésta con la K, 2. El
que corresponde á f, de la F, situado sobre la línea de apo-
yos, será, necesariamente, el f, de la F, sobre la misma.
Los puntos f, y f. pueden tomarse por conjugados y rela-
cionarse con otros de los demás tramos por igual procedi-
miento.

Las normales á la pieza F,, F,... que por ellos pasan, son
las conjugadas.

Por tanto, marcadas á capricho dos normales á la viga,
tomadas como líneas de partida, una en la mitad izquierda
del primer tramo y otra en la mitad derecha del último, po-
drán hallarse sus conjugadas izquierdas y derechas en todos
los tramos, y la posición de éstas se podrá fijar a priori,
independientemente de las cargas de los tramos, porque |
sólo dependen de las longitudes de los mismos, ya que bas-
ta conocer las trisectrices y las inversas, que tampoco de-
penden de otra cosa.

De ordinario, la viga es apoyada en sus dos extremos;
los momentos de flexión en ellos serán en ese caso nulos.
Entonces desaparecerá, en el primer tramo, el triángulo aná-
logo á A 12. El segmento 11”, que en cierta escala representa
el momento de ese triángulo, respecto al primer apoyo, será

— 309 —

cero también, y el lado central mS del segundo funicular del
primer tramo, pasará necesariamente por el primer apoyo,
desapareciendo, ó confundiéndose con él, el primer lado 1.

Para que suceda todo esto y no hacer nueva figura, su-
pongamos que el primero y segundo lados, confundidos, es-
tén sobre la recta 1S que marcamos de trazos. En este caso,
el segundo funicular sólo tiene tres lados, y será el 15m” 2.

Una cosa parecida sucederá en el último tramo, en que
también será nulo el momento en su apoyo derecho por
donde pasará el lado central del segundo funicular, que
tampoco tendrá más que tres lados.

En ese caso de viga apoyada en sus extremos, nos con-
viene tomar como líneas de partida, por lo que veremos, las
dos verticales que pasan por el primero y último apoyo.

Partiendo de la 11” del apoyo izquierdo, podremos, por el
procedimiento dicho, hallar todas sus conjugadas izquierdas.

Para no confundir la figura, indicamos abajo, suponiendo
la viga O” X”, el procedimiento sencillo que puede emplearse
para determinarlas con rapidez.

Tírese por 1” una recta cualquiera 1” ¿”; esta recta, como
cualquiera que de él parta, podrá suponerse en las mismas
circunstancias que un lado central de un segundo funicular
del primer tramo. Hallados los puntos m”, ¿”, en que corta á
la trisectriz y á la inversa, uniendo m” con el apoyo 2”, ten-
dremos la m” 2”, que será el último lado del segundo funi-
cular de ese tramo, y, prolongado, formará el primero. del
siguiente, que corta á la trisectriz del segundo tramo en n/,
el cual, unido con ¿”, nos dará sobre la línea de apoyos el f'
conjugado del apoyo 1”, por donde pasará la conjugada de
la 11.

Partiendo de f”, se halla por igual procedimiento el conju-
gado del tercer tramo, etc., y de este modo obtendremos
todos los conjugados izquierdos, y por tanto todas las con-
jugadas que necesitamos.

Haciendo operaciones análogas en sentido inverso, par-

" — 310 —

tiendo del apoyo derecho extremo, conoceremos todos los
conjugados derechos y las conjugadas correspondientes.

Veamos ahora para qué pueden servirnos todas esas
rectas.

Trazada la primera, que pasa por el primer apoyo, mar-
caremos en ella su intersección con los lados centrales del
segundo funicular. Uno, como hemos dicho, pasa por el apo-
yo, el otro pasará por K”,, tal que la distancia 1K”, sea la
representación gráfica del momento estático, respecto al apo-
yo 1 de la superficie de momentos de flexión, cuyo centro
de gravedad está sobre la línea de trazos que pasa por S.

La magnitud 1K”,, la podemos determinar aparte con el
auxilio de dos líneas cruzadas, cuya construcción ya cono-
cemos, y como se da el 1, quedará determinado el K”,.

Conocido K”,, de él deduciremos', sobre la conjugada de
la 11” en el segundo tramo (suponemos siga siendo la F,
para no confundir la figura con líneas demasiado próximas),
el punto K,, que sería la intersección de la recta que une K”,
y 2 con la conjugada F..

Por ese punto K, tiene que pasar el lado nS” central del
segundo tramo. Dos cruzadas relativas á la superficie S' nos
darían el momento de ésta, respecto á la F,, y tomándole
de K;, hacia abajo, obtendremos el punto K,, que unido
con S”, nos daría el S'1”, y, por tanto, el mín y el n'3. Unien-
do K. con el apoyo 3, repetiríamos en el tercer tramo lo he-
cho en el segundo , y así sucesivamente.

Será fácil, en un dibujo de dimensiones convenientes, tra-
zar las cuatro clases de líneas trisectrices, cruzadas, inver-
sas y conjugadas, en cada tramo. Por los procedimientos ex-
plicados se podrán conseguir los segundos funiculares de
cada uno, cuyo conjunto formará el total.

Con él habrá lo bastante para deducir los momentos de
flexión en cada apoyo de los intermedios. Llevados éstos á
la figura en que tengamos trazados los polígonos 6 curvas
de los momentos de flexión de las cargas en cada tramo su-

— 311 —

puesto aislado, tendremos la línea quebrada de cierre, que
se forma uniendo los extremos de los momentos en los apo-
yos, á partir de la que se cuentan los momentos efectivos de
flexión en cada punto.

Con éstos se hallan, por los procedimientos conocidos,
los esfuerzos cortantes en cada sitio.

Partiendo de ese conjunto funicular completo, ó limitán-
donos al tramo que nos convenga, es fácil llegar á la elástica
ó á otra curva Ó polígono que nos proporcione las deforma-
ciones en los puntos en que nos convenga conocerlas.

Se ve, pues, que el problema de vigas continuas es abor-
dable por los procedimientos gráficos. Mas para aclarar lo
dicho, es preciso aplicarlo á un caso concreto. Así podremos
observar cómo puede obtenerse un dibujo de conjunto, en
que se abarquen todas las circunstancias que deben tenerse
en cuenta en un estudio de esta especie.

XI

Aplicación, de la doctrina explicada, á una viga continua de cuatro
tramos diferentes,

Las escalas que van á servirnos para el dibujo (lámina
adjunta) son las siguientes:

Escala de pesos = 1 mm. por 500 kg. = BON o
500.000 kg.

Escala de longitudes = 1 mm. por metro = E ON
000 m

Estas, multiplicadas, dan:

1 m?.

La de MOMEaTos = =p.
5 < 10% kg-m.

Datos: La figura 1.* representa una viga OX de cuatro

= 312 —

tramos á nivel desiguales: OA de 30 metros, AB de 48,
BC de 36 y CX de 40.

Se supone el primero cargado con 15 toneladas en su cen-
tro y el tercero con 18 en el punto que se marca. Los otros
dos tramos se consideran cargados uniformemente á razón
de 500 kilogramos por metro; el segundo, por consiguiente,
tendrá una carga total de 24 toneladas, y el cuarto otra
de 20.

Los polígonos funiculares de cada tramo supuesto aisla-
do, se han construído en la figura 6.* Para ello se ha toma-
do en la figura 3.* una distancia polar PH =0,015 metros,
y á partir de H, las distancias A1, H2, H3, H4 iguales, res-
pectivamente, á la mitad de la carga total de los tramos del
mismo número á contar desde el de la izquierda. Con esto
tenemos bastante.

La escala que servirá para medir, por medio de las orde-
nadas, los momentos de flexión, será:

Escala de momentos de flexión =

ME E o A q
5 < 10% =< 0,015 kg-m. 75>< 105 *

Es decir, que cada metro representa 75 < 10" kilográ-me-
tros, ó bien que cada milímetro de ordenada representará
7.500 kilográ-metros.

Si queremos medir las superficies encerradas por los po-
lígonos Ó curvas funiculares, lo haremos en la escala que
resulta de multiplicar la anterior por la de longitudes, y ten-
dremos:

Escala de superficie de momentos =

HA E AA AA:
75 < 10% >= 1.000 kg-m?.

La que dice que un metro cuadrado representa 75 >< 10* =<

¿3

he

— 313 —

< 1.000 kilográ-metros cuadrados, ó bien, que 1 milímetro
cuadrado, en el dibujo indica 7.500 kilográ-metros cuadrados.

Cuando estas superficies las valoremos como intensidades
para la construcción de la elástica, necesitaremos otra esca-
la ó base para reducirlas á trozos de recta que las represen-
ten. Con igual base se reducirá, como dijimos, el valor El,
coeficiente de rigidez. Por ahora no la necesitamos, la toma-
remos en el momento oportuno.

Podría dársenos la viga puesta sobre sus apoyos y que-
rer averiguar en qué condiciones trabaja; pero ese es el pro-
blema inverso al que nos proponemos, el cual resuelto, nada
tiene aquél de particular; sería una obra ejecutada que tra-
tamos de analizar.

En nuestro ejemplo se figura que hacemos el proyecto,
esto es: que se nos dan amplitudes de tramos y sus cargas
y se pregunta: ¿qué sección debe darse á la viga en cada
tramo, deducida de los momentos de flexión y esfuerzos
cortantes en cada punto?

Determinadas esas secciones, ó bien la organización de la
viga toda, se desea también saber de antemano las defor-
maciones, esto es: la variación de las ordenadas de su eje
respecto á la línea de apoyos en cada punto.

Para mayor sencillez suponemos que la viga sea toda de
hierro y de sección uniforme.

El procedimiento general será determinar el valor M máxi-
mo de los momentos de flexión y el de los esfuerzos cortan-
tes. Dividiendo M por R, valor extremo á que deseamos lle-
gue en su trabajo el material, nos dará el momento resistente

_ en que / es el de inercia y V la distancia á la fibra neu-

tra de la más lejana de la sección, suponiendo ésta de forma
conocida ó elegida, según convenga, ya sirviéndose de ta-
blas al efecto ó ya de combinaciones hechas expresamente
con hierros dados para llegar á soluciones económicas.

En vigas de alguna importancia convendrá variar la sec-

— 314 —

ción según aconsejen los diagramas de momentos y esfuer-
zos cortantes que indicarán lo que sufre el material en cada
punto.

Para hallar el de los momentos de flexión, precisa, como
dijimos, deducir los que corresponden á los apoyos, y para
esto vamos á trazar, ante todo, el segundo funicular. Si con-
viniera comprobar ó hallar los momentos en los apoyos de
un modo analítico, haremos uso del teorema de los tres mo-
mentos demostrado, ó seguiríamos un procedimiento mixto.
Nos proponemos ahora seguir el método gráfico por ser
nuestro propósito principal; haremos, sin embargo, su com-
probación analítica al final.

Para conseguir nuestro objeto, dibujemos los tramos en
la escala escogida y marquemos en el dibujo todas las /í-
neas auxiliares.

En la figura 1.* se indican, de trazo y punto, las trisectri-
ces con las letras T, 7”, llevando el subindice del tramo.

Las inversas llevan la letra / con otra por subíndice, que
es la del apoyo inmediato, y van marcadas con trazo y dos
puntos. Estas, como se dijo, se obtienen invirtiendo los ter-
cios de los tramos contignos á un apoyo. Tomando, por
ejemplo, á la derecha de 7”, el tercio del segundo tramo ó
á la izquierda de 7, el tercio del primero, se obtiene el pun-
to [4 por donde pasa la inversa, la cual caerá, naturalmen-
te, dentro del tramo mayor.

Conjugadas. —Suponiendo simplemente apoyados los ex-
tremos de la viga, tomaremos esos apoyos como puntos de
partida ó conjugados izquierdo del primer tramo y derecho
del último (*). Partiendo de ellos, serán conocidos lo demás
y las conjugadas que por ellos pasan. La construcción para

(*) Si la viga fuera empotrada en uno de los apoyos, se nos dará
la dirección del empotramiento, y, por tanto, el primer lado del se-
gundo funicular. La intersección de éste con la trisectriz es un punto
por donde pasará el lado central. (Véase lo dicho en el art. IV.)

— 315 —

fijarlas se ha hecho en la figura 1.*: por O, extremo izquier-
do del primer tramo, se ha tirado una recta cualquiera, Oa,
que corta á la trisectriz T”, en b y á la inversa en a, unien-
do b con el apoyo A,bA corta en Cá la trisectriz T, del
tramo contiguo. La recta aC da en F,, sobre la línea de apo-
yos, el conjugado izquierdo del segundo tramo. La vertical
que por él pasa es la conjugada. Partiendo de F,, por una
construcción análoga, llegamos á F, y de éste á F,. Todas
las conjugadas están marcadas con trazo y tres puntos.

Principiando luego por X, extremo derecho del último
tramo, podemos marchar en sentido inverso y fijar los con-
jugados derechos de los demás tramos. En esta segunda
operación se economizan algunas líneas sirviéndose de lo
hecho anteriormente. En vez de tirar por X una recta cual-
quiera, puede dirigirse precisamente 4 b” y resultará trazada
la que une ese punto con el apoyo. No habría, pues, más
que unir a” con c” para obtener el F”,, conjugado derecho del
tercer tramo. Partiendo nuevamente de F”,, se llega al F”,
y de éste al F',.

Vamos ahora á determinar las líneas cruzadas de cada
tramo. Se deducirán, como sabemos, de las superficies de
momentos Ó primeros funiculares.

Tracemos ante todo éstos, en cada tramo, suponiéndoles
aislados. Esas operaciones se ven ejecutadas en la figura 6.?,
y para ellas han sido precisos los polígonos de intensidades
recogidos en la figura 3.* Como ya indicamos al principio,
se han tomado HA1, H2, H3, HA, en la escala convenida,
iguales á la mitad de las cargas, que si son simétricas res-
pecto á los apoyos, como en los tramos 1.”, 2.” y 4.”, tam-
bién lo serán sus polígonos funiculares.

En el tercero, la carga está concentrada en un punto que
divide el tramo en dos partes de 22 m. y 14 m., respectiva-
mente, y á fin de que la línea de cierre en él sea la de apo-
yos, se ha subido en la figura 3.* el polo á P”, de modo que,
sin variar su distancia al polígono de intensidades, la P” H”

Rrv. Acap. Ciencias.—IV.—Marzo, 1906,

22

— 316 —

corte á éste de manera que H“3 represente en nuestra ésca-
la de pesos siete toneladas, es decir la carga que correspon-
de al apoyo izquierdo.

Los polígonos funiculares de los tramos 1.” y 3.* son tri-
ángulos cuyos lados O'a, y B'c, serán paralelos á los radios
P1 y P"3 de la figura 3.* Los vértices tienen que estar en las
verticales de las cargas y, por tanto, los triángulos quedan
determinados.

Los funiculares del segundo y cuarto tramos son parábo-
las; sus tangentes en los apoyos izquierdos A“b, y Cd, pa-
ralelas á los radios P2 y P4 de la figura 3.* Detenidas aqué-
llas en las verticales de los centros de gravedad de las car-
gas ó líneas medias, tendremos lo bastante para terminar
los triángulos envolventes y para construirlas por alguno de
los métodos conocidos. Sus vértices estarán en S, S', á la mi-
tad de la altura de los triángulos, en que serán tangentes á
las mn, mM.

La línea mixta seguida, O'a, A'SB'c,C'S'X”, es la ley de
las ordenadas de los momentos de flexión supuestos, los
tramos sueltos ó independientes; sus ordenadas respecto á
la línea de apoyos representarán kilográ-metros en la escala
de PRETO: de al 7

75 < 10* kg-m.

En estos casos, que son los más frecuentes, pueden ha-
llarse y comprobarse analíticamente los momentos de flexión
máximos, que corresponderán á los puntos a,, S, €, y S”,
para los cuales serán, respectivamente, ” PLD y Pa Let;

0d a Ps [,?, en que /, l, l, 1, son las longitudes
de los tramos; P, P, las cargas concentradas de los tra-
mos 1.” y 3.*; p, p,, las cargas por metro de los 2.” y 4.”, y
m, n, las fracciones de la luz del tercer tramo en que le di-
vide la carga.

Si queremos, por ejemplo, comprobar la posición del pun-

— 317 —

to S y, por tanto, la de b, (fig. 6*, segundo tramo), dire-

mos: S, ordenada máxima, debe representar = A

< 48? kilográ-metros = 144.000 kg-m., los cuales, á razón
de 7.500 por milímetro, dan para esta ordenada 19,2, que
es lo que dará la figura si está bien hecha.

Tratemos ahora de hallar los valores de los momentos ne-
gativos M,, Mz, M¿, en los apoyos intermedios (los de los
momentos extremos son cero). Hallados, podremos trazar la
línea quebrada O” M, Mz M, AX”, que en combinación con
la anterior, dará los momentos efectivos de flexión en cada
punto, por medio de ordenadas, contadas á partir de esa línea
quebrada ó de cierre, y terminadas en la de momentos de los
tramos aislados, contando como de signos opuestos las or-
denadas de distinto lado, á partir de la línea de cierre dicha .

Por medio de las superficies de momentos de los tramos
aislados, llegaremos á las líneas cruzadas, que, como sabe-
mos, son dos cualesquiera que, cortándose en las verticales
de los centros de gravedad del área de aquellas superficies
en cada tramo, son paralelas á los radios que, partiendo de
un polo, abarcan en el polígono de intensidades, magnitudes
que representan aquellas áreas.

Los autores de estática gráfica, enseñan medios más ó me-
nos rápidos para ese trazado en los casos más usuales.

Vamos á hacer una digresión con tal objeto, á fin de indi-
car los que pueden emplearse cuando dichas áreas son de
triángulos ó de parábolas que corresponden á cargas concen-
tradas ó uniformemente repartidas, por ser las más frecuen-
tes en la práctica; de ellas se deducen fácilmente los proce-
dimientos, para cuando haya varias cargas concentradas, ó
cargas uniformes en parte de un tramo y cargas mixtas.

Es evidente que nos economizaremos la construcción del

— 318 —

polígono de intensidades, si podemos determinar sin él las
magnitudes que representan los momentos de esas áreas
sobre dos verticales, las de los apoyos, por ejemplo, porque
las líneas que unan en cruz los extremos de esas magnitu-
des, se cortarían necesariamente sobre la vertical del centro
de gravedad del área que los produce y resultarán parale-
las á dos radios que abarquen en el polígono de intensida-
des, á la que representa el área dicha; serán, en una pala-
bra, las cruzadas que buscamos.

Esto bien entendido, vamos á la figura 13 y supongamos
que el triángulo ABC es el funicular de una carga P que,
como en el tramo tercero de nuestro ejemplo, está concen-
trada á las distancias m <l, n><l de los apoyos, siendo
m, n fracciones tales que m + n = l.

Figura 13.

Sea g el centro de gravedad del triángulo que dista d, d'
de las verticales de los apoyos A y B. Llamemos « á la altu-
ra Ce del triángulo.

> 5.
Su área será m3 a 1, que debemos representar por un tro-

zo de línea recta mediante una escala 6 base convencional .

En Y ra

— 319 —

a; tendremos pues, que la magnitud rectilínea que represen-

á ? a SA
ta esa área tomada como intensidad será E ——.. Puesta
a

á la distancia A de un polo, y trazando los radios que fueran
de éste á las extremidades de aquélla, bastaría tirar parale-
las á esos radios por un punto cualquiera de la vertical que
pasa por y, para tener las líneas cruzadas, las cuales abar-
carían sobre las verticales de los apoyos segmentos tales
como AK = K, BK' =K', que multiplicados por h, se-
rían los momentos del área del triángulo respecto á dichos
apoyos.

Esos valores K y K” se pueden hallar sin fijar polo ni los
valores de a y h.

Por lo dicho podemos escribir

Load Y: 4

K=<xh=-— dí Kh=-=>— de;
PR Y: : 2

(01

pongamos ahora d y d' en función de /, lo cual es fácil,
puesto que

1 1 1
d=Ar=Ab=br=-— l — (ml — — [| =
+ , a S )

y lo mismo
d=Br= br 1 El il de
2 2 TN Z
1

E aL

que substituidas en las anteriores, dan

dl, Le
¿E 1 UE 1 4
os a(l + m) a a(l + nm)

— 320 —

Si se supone que hemos escogido la base a y la distancia
h, de modo que ah = = ?, haciendo, por ejemplo, a = lÍ;

ME pl [, Ó bien a = ES MiS y l, etc. Cualquiera que
6 2 3

sea la combinación que hagamos, siempre resultará:
K= a(1><miy K =0(1 ak

Inversamente, tomando para segmentos representativos
de los momentos del área los dos valores dichos K y K”, y
uniendo sus extremos, tendremos las líneas cruzadas para
una combinación de a y h que cumpla la condición

ah pao: [?.
6

La determinación gráfica de esos segmentos es sencilla.
Basta (fig. 13) trazar las dos diagonales del rectángulo
AA, B,B de igual base y altura que el triángulo, y por C
tirar las cK, cK” paralelas á las mismas. Los trozos A, K y
B, K' son, respecto á la altura «, lo mismo que los ml, n l
respecto á /, como se ve comparando los triángulos seme-
jantes ABA, y A,CK y BAB,, B,CK”. Los dos primeros,
por ejemplo, dan

AA, =u0 l

A, K ml

luego A,K = mau. De igual modo, B,K” = na, luego AK =
=a(1+m), y BK'=4a(1 +nm). Las rectas AK' y BK
son, pues, las cruzadas en este caso particular.

Si la superficie de momentos fuera una parábola, como su-
cede en nuestro ejemplo para los tramos segundo y cuarto,
el trazado de las líneas cruzadas es aún más sencillo; prime-
ro, porque su simetría hace que los momentos en los apoyos

ds
2
o
A

— 321 —

sean iguales, y en segundo lugar, porque esos momentos
pueden ser representados por el doble de su flecha, Ó sea por
la altura del triángulo envolvente formado por las tangentes
extremas.

Es decir, que si en el tramo segundo (fig. 6.*, lámina ad-
junta) queremos determinar los momentos en los apoyos, del
área de la parábola A*SB', para el caso en que escojamos una
base de reducción a y una distancia polar h, tales, que a <h=

a = [?, siendo / la luz del tramo, bastará tomar la altura

m, b, del triángulo A” b, B”, que es doble de m, S, flecha de
la parábola.
En efecto; si llamamos f la flecha, el área comprendida

por la curva y línea de apoyos será 5 fl,; por consi-

guiente, su momento, respecto á cualquiera de los apoyos,
valdrá:

2 1
AS Li o pl
O

Representada esta área por un trozo de línea recta me-
diante la base a, y llevada á un polígono de intensidades que
diste A del polo, podremos escribir, llamando XK” el segmen-
to que las /íneas cruzadas intercepten en las verticales de
los apoyos:

Ko = <= fol, A

: a 2
de donde
A :
Dis

y puesto que

l

a. hi==—l*% K"=2
6 Í

— 322 —

Cuando se construya el segundo funicular habrán de redu-
cirse las áreas todas del primero con la misma base a, y su-
poner para ellas la misma distancia polar h, si quieren obte-
nerse todos los segundos funiculares parciales que forman el
segundo funicular total, en la misma escala.

Sucederá, pues, que si para un tramo hacemos que ah =

— - [2, no lo podrá ser. para los demás. Entonces los

segmentos que por los medios sencillos dichos obtengamos
para momentos en los apoyos, deberán sufrir una pequeña
modificación fácil de adivinar.

En nuestro ejemplo, hemos escogido como tramo de com-
paración el tercero, en que suponemos se verifica la igual-
dad ah = pe dee.

6

Siguiendo el procedimiento indicado, hallaremos para re-
presentar los momentos en los apoyos los segmentos B' p'
y C 9, los cuales, como veremos luego, nos servirán para
construir las cruzadas de ese tramo.

Ahora queremos las cruzadas de otro tramo, las del se-
gundo, por ejemplo. Según lo dicho anteriormente, podrán
representarse los momentos en los apoyos por los seg-
mentos:

=2f>
y como
1 E ly Y
ah=— 1,2 K" =2f>x =2f|
ES AR lea

Hay, como se ve, que multiplicar los segmentos hallados
por el cuadrado de la relación entre la luz del tramo que se
considera y el tramo de comparación.

Esa operación puede también hacerse de un modo gráfico,

— 323 —

si así conviene. Sea, en efecto (figura 14), A B el tramo de
longitud /,, A Fel segmento K”, que ha de multiplicarse

Figura 14.

2
por la relación » “No habría más que unir el punto F

.
2

o

con C, extremo de la AC =1,, que es el tramo de compa-
ración, y tirar por B, extremo de AB=1,, una paralela

á FC que nos da la magnitud Az=XK" >= - >
3
Vuélvase á unir z con C y á tirar por B la BZ”, paralela
ázC. Tendremos Az =A2 “> a e el
3 s

Si hubiera de ser /, el denominador ó tramo de compara-
ción, principiaremos por unir F con B y tiraríamos por C una
paralela á la FB. El punto z caería por debajo de F, como

l ;

es natural, por ser en este caso —Ñ >> 1. Concluyéndose
2

la operación de un modo análogo sin ninguna dificultad.

*
* *

Volvamos á nuestro ejemplo, y tomando, como ya hemos
principiado á hacerlo, el tramo tercero (figura 6.* de la lá-
mina adjunta) como de comparación, llevemos á cabo para
todos los tramos el trazado de sus líneas cruzadas respec-

— 324 —

tivas, á fin de llegar después al segundo funicular, prelimi-
nar necesario para la obtención de todos los momentos de
flexión en los apoyos.

Según vimos arriba, B" p” y C' q' pueden tomarse para el
tramo tercero como magnitudes representantes de los mo-
mentos estáticos en los apoyos, producidos por el área de
su primer funicular.

Llevemos esos segmentos, en la figura 4.?, á B"B”, C*C”
sobre las verticales de los apoyos, á partir de dos puntos
cualesquiera B”, C”; deben escogerse de modo que las rec-
tas B” C” y BC”, líneas cruzadas del tramo, no se cor-
ten muy oblicuamente.

Para hallar las cruzadas de los demás tramos, seguiremos
los procedimientos y modificaciones explicados.

Primer tramo. —Su funicular es también un triángulo; ti-
raremos, pues, por el vértice a, (fig. 6.*), paralelas á las
diagonales del rectángulo O” rr,' A”. Los segmentos para

trazar las cruzadas serán iguales á A* q” Ea Hecha esta
3
multiplicación por el procedimiento que nos plazca (*), lle-
varemos los resultados, en la figura 4.*, á zu, zu”, y ten-
dremos las cruzadas del primer tramo.
Segundo y cuarto tramos.—De un modo análogo obtene-
mos para éstos los segmentos que deben tomarse sobre las
2 2
verticales de los apoyos, y son 2f 7] y 2f (53 :
3 3
2f y 2f' son iguales, respectivamente, á m, b, y m', d,. Lle-
vados aquéllos á las verticales de los apoyos, y unidos con-
venientemente, determinan las cruzadas que nos faltaban y
se ven de línea llena en la figura 4.*
Prolongando las conjugadas de la figura 1.*, dejarán entre
las cruzadas de la figura 4.* segmentos tales como zu, 2, 4',,

(*) Las reglas logarítmicas pueden dar también resultados satis-
factorios.

— 325 —

V, V',, etc., que llevados á su sitio (fig. 2.?) del modo que
vamos á decir, en O” r,, z,4,, VV”, etc., y todas las demás
de trazo y tres puntos, terminadas por dos trazos que se
cortan, tendremos cuanto necesitamos para construir el se-
gundo funicular en la forma que sigue.

XII

Operaciones para el trazado del segundo funicular.

Lámina adjunta. —La primera conjugada izquierda es la
vertical del apoyo O. Llevaremos, pues, el segmento zu de
la figura 4* á O” r, de la 2.*; así obtenemos el punto r, por
donde necesariamente ha de pasar el lado central del tramo
primero. Unido r, con el apoyo A,, se halla, sobre la conju-
gada izquierda del tramo inmediato, el punto V desde el
- cual tomamos hacia abajo la magnitud VV”, igual á V, V”,
(figura 4.*). El punto V', unido con el apoyo derecho B,,
dará sobre la conjugada izquierda del tramo tercero el pun-
to £, á partir del cual, tomamos la magnitud gy”, igual á la
comprendida entre las cruzadas en la figura inferior; y así
seguiremos, hasta fijar todos los demás puntos, que serán dos
sobre cada conjugada izquierda.

Partiendo luego en sentido inverso del extremo dere-
cho X”, tomaremos análogamente X” V”,, igual á 2 u”,
comprendida entre las cruzadas correspondientes (fig. 4.*).
Unido el V”, con el apoyo izquierdo C,, se determina el V”
sobre la conjugada derecha del tramo tercero. A contar des-
de él, se toma la magnitud V” V”, igual á V”, V”,, etc.,
y así seguiremos, hasta agotar todas las conjugadas dere-
chas, sobre las que habremos marcado análogamente otra
serie de puntos en número igual, es decir, dos sobre cada
conjugada derecha. Todos están marcados con cruces en la
figura 2.*

Unidos diagonalmente los cuatro de cada tramo, darán los

— 326 —

lados centrales del segundo funicular parcial. Todos esos
lados centrales (menos los que pasan por los apoyos extre-
mos) se detendrán sobre las trisectrices, y quedará consti-
tuído el segundo funicular total, sin más que unir entre si
los puntos correspondientes á cada par de trisectrices conti-
guas al mismo apoyo, como se ve en tf” (fig. 2.*) entre las
dos que comprenden el apoyo B,. El polígono funicular total
es la línea quebrada que principia en O” y termina en X”,
marcada de línea llena, distinta de la de apoyos, en la figu-
ra ias"

Esta construcción lleva consigo algunas comprobaciones
por las variadas condiciones que deben quedar satisfechas
por sí mismas, á saber: 1.*, dos lados centrales, como
gV”” y g' V”, se cortarán sobre las verticales de los centros
de gravedad de las superficies de momentos de los tramos
correspondientes; 2.*, dos lados centrales contiguos, uno de
cada tramo, que comprendan un apoyo como gV”” y tK,,
se cortarán precisamente sobre la inversa inmediata al mis-
mo; 3.*%, los puntos en que esos mismos lados centrales cor-
tan á las trisectrices inmediatas de dos tramos, que com-
prenden un apoyo, unidos entre sí forman el lado final del
funicular parcial de un tramo y el primero del siguiente,
constituyendo por tanto, como tf”, una sola recta ó lado del
funicular total, que tocará necesariamente en el apoyo.

Por las propiedades de que gozan los polígonos funicula-
res, prolongando los lados centrales, inmediatos á un apoyo,
de tramos contiguos hasta la vertical de dicho apoyo común,
interceptarán sobre ella segmentos tales, que multiplicados
por la distancia polar, darán el momento estático, respecto á
dicho apoyo, de las intensidades cuya línea de acción son
las trisectrices, que están inmediatas al mismo. Por ejemplo,
los segmentos B, K, y B, K;,, que sobre la vertical del apo-
yo tercero (figura 2.?), dejan los lados centrales inmediatos
que le comprenden, multiplicados por la distancia polar, que
llamaremos h, que presidió á la formación de aquel funicu-

.

mn

— 3217 —

lar, serán los momentos estáticos de las dos áreas cuyas lí-
neas de acción son las trisectrices que pasan por t y f'. Esas
áreas son (figura 6.*%) las de los triángulos B" Me Ma y B'
Mz» Mc. Podemos, escribir, por consiguiente (figuras 2 y 6):

Ban E Ml, DS da
. a

2 3 a
siendo a, como dijimos, la base de reducción. Si seguimos

suponiendo que ah = =- l¿? por haber tomado como tra-

mo de comparación el 3.”, resultará que:

E =M. Lo): BR = Mi

Por tanto, el segmento B, K, representa sin transforma-
ción, el momento negativo del apoyo B, y podemos llevarle
á B' Ms en la figura 6.*

Podíamos haberle sacado de la otra igualdad en función
de B, K,, y entonces

M ¿DB Ke , )

2

lo cual nos da la norma de cómo hemos de modificar los seg-
mentos interceptados por los lados centrales, cuando éstos
no pertenecen al tramo de comparación, para el que ah =

== -- [.2. antes de llevarlos al sitio que les corresponda

en la fi e ve, hay que multiplicar cada seg-
mento p ' relación entre la luz del tramo
de comp: > que se considera. Esa re-

— 328 —

lación es precisamente recíproca de la que sirvió para modi-
ficar los segmentos de las cruzadas, lo cual hace compren-
der que cualquiera que sea el tramo de comparación, se ob-
tendrán siempre los mismos valores para los momentos en los
apoyos Ma M3 Mc, si no modificamos las condiciones que
presidieron á la construcción del primer funicular, como es ló-
gico. Obsérvese también que a y h desaparecen y no tienen
intervención individual aparente en estas determinaciones

cuando su producto es igual á - des

Queda, pues, demostrado que podemos llegar por el pro-
cedimiento gráfico y con relativa facilidad, á trazar, para un
caso cualquiera de viga continua, un conjunto funicular aná-
logo al que para nuestro ejemplo hemos marcado con línea
llena en la figura 6.?% O"M14 Mp M¿X'S,C'c,B"SA'a, O".
El momento de flexión esta representado en cada punto por
las ordenadas, Ó trozos de las mismas interceptadas por él y
contadas á partir de la línea de cierre, que es la O'M4Mz
M¿ X”, debiendo tomar con signos contrarios los que estén
de distinto lado de ésta, como se indica en la figura, con la
parte rayada y la clara del conjunto funicular dicho.

Cuando queramos llegar al valor concreto del momento de
flexión en un punto, habrá que valuarle á razón de 7.500 ki-
lográ-metros por milímetro, como indica la escala de momen-
tos que al principio hemos deducido.

Con esto, podemos explorar, si la obra está ejecutada, los
sitios en que más sufre el material ó los de menor fatiga,
para proceder con mayor conocimiento:de causa, ya quera-
mos conservarla ó destruirla, y para repartir lógicamente los
palastros si la obra está en proyecto.

De la misma figura 6.*, se deducen también los esfuerzos
cortantes en cada punto. Sea, por ejemplo, el punto S, del
tramo segundo. La vertical trazada por él, corta al conjunto
funicular en dos puntos, S, y S;. Trazando por el polo P, fi-
gura 3.*% una paralela Pp á la línea de cierre (que es el lado

139

— 329 —

Ma Mz del funicular que pasa por S,), y otra, Ps, paralela á
la tangente á la parábola en S, (que es el otro lado del fu-
nicular cortado por la ordenada en la figura 6.*), tendremos
en el polígono de intensidades el segmento ¿s que en la es-
cala conocida para los pesos representa el esfuerzo cortante
que buscamos. En ese tramo segundo, la ley de los mo-
mentos de flexión es una parábola.

La de los esfuerzos cortantes para el mismo, será una rec-
ta inclinada ee, (fig. 6), la cual se trazará tomando A“e y
B'e,, esfuerzos cortantes en los apoyos, cuyos valores son:
fig. 3.?, de ¿ á la parte superior 2 y de ¿ á la parte inferior
que no está en la figura, pero que será igual á H2 — ¿H.

Esa recta cortará á la línea de apoyos en un punto, para el
que el momento de flexión es máximo, y en la parábola es
aquel en que existe una tangente rr” paralela á la linea de
cierre M4 Mg. Aunque muy próximo al vértice, ya se ve que,
no siendo paralelas las A"B" y Ma Mp, no debe confundirse
con él. ]

Con la figura 6.* á la vista, se hallan los momentos máxi-
mos, que en este caso se ve que son los negativos A"Ma y
C' Mo. Esas magnitudes, medidas en milímetros y multiplica-
das por 7.500, darán el número de kilográ-metros que repre-
sentan. Dividiendo estos números por R, máximo á que de-

seamos trabaje el material, tendremos el de Pa De este mo-

mento resistente deduciremos la sección de la viga, si hubie-
ra de ser uniforme, y si no, la determinaremos para los
puntos necesarios y la reforzaremos convenientemente en
los sitios en que resulte débil.

— 330 —

XIII

Elástica.

Terminemos el problema indicando las operaciones preci-
sas para hallar la deformación de la viga en cada punto, en-
tendiendo por tal la variación de su coordenada vertical en
el mismo. :

Para ello habrá que trazar la elástica Ó una curva funicu-
lar análoga que nos dé lo que deseamos ó un polígono en-
volvente que la toque en los puntos en que quisiéramos te-
ner esas variaciones de un modo preciso.

Supongamos que E, coeficiente de elasticidad, es para el
material que vamos á emplear = 20 < 10%, y que /, mo-
mento de inercia de la sección, deba tener un valor constan-
te, igual á 0,006; tendremos El = 12 < 10",

Siguiendo el procedimiento que en números anteriores
explicamos, tomaremos por intensidades (positivas Ó nega-
tivas) las áreas del conjunto funicular hallado en la figu-
ra 6.*, dividiéndole en los trozos que nos convenga, pero
procurando que haya una división en los puntos precisos en
que necesitamos conocer la deformación, porque en esos
puntos, como sabemos, será el polígono envolvente tangen-
te á la elástica.

Hecha esa división en trozos, convertiremos el área de
cada uno (que representa kg-m?, según vimos art. VII) en
una magnitud rectilínea, mediante una base de reducción
conveniente, Ó de una escala convencional. Los segmentos
asi determinados los llevaremos á un polígono general de
intensidades Ó á uno por cada tramo, como los indicados en
la figura 5.*, que tienen polos ,, z,, etc., puestos encima
de cada tramo respectivo, siendo iguales todas sus distan-
cias polares.

Para mejor inteligencia descendamos á ciertos detalles en

— 331 —

nuestro ejemplo. Podríamos subdividir las superficies, si así
conviniera, para hallar las flechas en puntos determinados;
mas como sólo queremos indicar la marcha, le dejaremos tal
como está, dividido solamente en las áreas positivas y nega-
tivas indicadas por las partes claras y rayadas que se ven en
la figura.

Primer tramo.—Tiene una positiva, O' a, b,, y otra negati-
va, b, A* M,. Las medimos, por ejemplo, en milímetros cua-
drados, y supongamos que la primera vale 95 mm.? y la se-
gunda 56. Haciendo uso de la escala deducida al principio,
cada milímetro cuadrado de la superficie del primer funicular
vale 7.500 kg-m.?; por consiguiente, esas dos áreas equival-
drán á 95 < 7.500 = 712.500 kg-m.? y 60 =< 7.500 -=
= 420.000 kg-m.?

Tomemos una escala convencional. Escojamos, por ejem-

l om.
10% Kg-m.? *
La primera área podrá, pues, representarse en un polígono
de intensidades por 7,120 mm. y la segunda por 4,20.

El coeficiente de rigidez E/ habrá de representarse por
A mm., inadmisible para nuestro dibujo.

100.000
Recordando lo dicho al hablar de la construcción de la elás-
tica, convendría dividir ese número por el denominador de la
escala del dibujo para tener una distancia polar tal que die-
ra en la elástica las deformaciones en su verdadera magni-
tud; pero dividiendo 1.200 por 1.000, tendríamos 1,2 mm.,
que, por lo pequeña, no puede tampoco admitirse para dis-
tancia polar. Dividamos sólo por 100 y se tendrá 12 mm.,
que es la adoptada para distancia polar en las figuras 5. En
este caso, por lo explicado en artículos anteriores, las defor-
maciones que dé el dibujo habrán de multiplicarse por 10
para obtener las verdaderas.

Cada poligono de intensidades está sobre su tramo; para
el primero, el origen es «, la primera intensidad «al es

plo, la de 1 mm. por 100.000 kg-m.?, ó bien

Rxv. Acap, Ciencias.—IV.—Marzo, 1906. 23

— 332 —

de 7,12 mm., positiva; la segunda, de 4,2, negativa, se ha
llevado desde 1 á vw; el polo z,, á la distancia deducida arri-
ba, de 12 mm.

Con este polígono de intensidades hemos podido trazar
en la figura 6.?, principiando en O,' el funicular correspon-
diente, O,' a, b,' A,' envolvente de la curva funicular, de que
podrían deducirse aproximadamente, las deformaciones en
cada punto del tramo primero, trazando la curva que debe
ser tangente en O,' al lado O' a, y al a, b,”, en el punto de
inflexión que corresponde al b, en que pasan los momentos
de positivos á negativos.

Segundo tramo. — Procedamos de un-.modo análogo.
Tomamos como negativas las áreas rayadas A” M, Dd, y
b,B' M,, como positiva la b, Sb,, que llevaremos en el or-
den en que están en el dibujo á su polígono de intensidades
que hemos puesto encima del tramo (fig. 5.*). Su polo z, á
la distancia constante de 12 mm. y principiamos en un ori-
gen a tal, que el primer radio z, « sea paralelo al último del
anterior 7, w. Se construye el funicular correspondiente
A/C" b, cy B,', que tendrá su primer lado A;,' c,' en prolon-
gación del último del anterior b,* A”.

Tramos tercero y cuarto. —Se ha procedido de un modo
parecido, construyendo los polígonos de intensidades, cuyos
polos son z, y z,, á la distancia de 12 mm. de aquéllos y ha-
ciendo que z,x, ,a sean paralelas á los últimos anteriores
respectivos T,w, T¿0w.

Así se ha llegado al segundo polígono funicular total que
se ha marcado de línea llena entre O, y X;”. Ese poligono ó
línea quebrada será envolvente de la verdadera curva funi-
cular, á la que será tangente en los puntos en que principian
Ó acaban las áreas tomadas para intensidades, siendo pun-
tos de inflexión suyos los correspondientes á los b,, b,, b.,,
etcétera, en que los momentos son cero.

Tendremos, pues, todas las deformaciones verdaderas ver-
ticales, multiplicando por 10 los trozos de ordenada com-

— 333 —

prendidos entre ella y la línea de cierre O,/'A,'B,'C,'X;' que
pasa por las intersecciones con las verticales de los apoyos.

Con el polígono envolvente hallado sólo podremos saber
cuál es la deformación verdadera en los puntos en que es
tangente á la curva, que ya hemos dicho cuales son. Para los
demás podría hacerse una división de áreas en el punto en
que quisiéramos saber la deformación y también se hallará
con aproximación bastante, si la figura está hecha con cui-
dado y de alguna magnitud, trazando una curva tangente al
polígono en donde deba serlo la funicular, á la cual se aproxi-
mará bastante. Supongámosla trazada así, la que se ve de
puntos en el tramo segundo. Una tangente á la misma para-
lela, á su línea de cierre A,” B,' da un punto próximo al
m,, que será el de mayor flecha. Si ésta es en el dibujo
próximamente de 5,5 mm., la verdadera valdrá 55 milí-
metros.

La elástica efectiva deberá pasar por los apoyos O'A'B'
C'X'; rara vez se necesita, porque los problemas que ella
resuelve, en general los resuelve también otro funicular cual-
quiera. Pero si quisiéramos obtenerla para conocer la verda-
dera figura de la viga cargada, obligariamos á pasar los funi-
culares por los apoyos. Haciendo, por comodidad, uso de
polos distintos en cada tramo, pero á la misma distancia en
todos los polígonos de intensidades respectivos, cuidaremos,
como lo hemos hecho, de que el último lado de cada polígo-
no sea paralelo al primero del siguiente, etc..., lo que no ten-
drá dificultades reales sabiendo lo dicho respecto á propie-
dades de polígonos y curvas funiculares en la Composición
de Intensidades.

Si quisiéramos determinar solamente la dirección efectiva
que tendrá la viga en los apoyos, ó bien conocer las tangen-
tes en éstos, podrá hacerse uso del segundo funicular, que
nos sirvió en la figura 2.* para determinar los momentos en
los mismos. Aunque ese polígono no es, como se demostró
en el art. VI, envolvente de la verdadera elástica, tiene co-

e

mún con ella las tangentes en los apoyos, y podrá servirnos
para el objeto.
Al trazar ese polígono, nos servimos del artificio explica-

do de suponer ah = A [,?, para no tener que emplear base

de reducción a ni polígono de intensidades con su distancia
polar h. Esta debiera ser El para obtener las deformaciones,
como cuando se trate de la elástica, pero si es otra, podrán
deducirse aquéllas de un modo análogo á como dijimos arri-
ba y explicamos con extensión al tratar del irazado de la
elástica.

Esto dicho, veamos si del lado tf”, por ejemplo (fig. 2.*),
que pasa por el apoyo B,, y es tangente á la elástica traza-
zada en la misma escala que el poligono, puede obtenerse
la verdadera dirección de la tangente á la viga en este
apoyo.

Para ello creemos que puede emplearse el medio que re-
sulta del siguiente razonamiento: '

Al construir la figura 2.*, deducida de las cruzadas de la
figura 4.*, se ha supuesto que hemos tomado por tramo de

comparación el tercero, haciendo ah = o [.?, siendo a la

base de reducción de las áreas del primer funicular y h la
distancia polar ó distancia á que se habría puesto el polo
del polígono de intensidades en que se hubieran tomado
para éstas los valores de aquéllas representadas por rectas
mediante la base a. Puesto que la igualdad que acabamos
de apuntar, puede cumplirse de infinitos modos y dará lo
mismo cualquiera de ellos, hagamos a = 36 mm., longitud
del tramo /, en el dibujo. Substituyendo, resultará h = 6 mm.

Para saber por qué longitud expresada en mm. debemos
representar á El, tendremos, ante todo, que dividir éste
por 7.500 kg-m* que vale cada milímetro cuadrado, según
lo dicho en el art. VII, y el cociente volverlo á dividir por 36,
ó lo que es igual, dividir desde luego El por el producto

— 335 —

36 < 7.500 = 270.000 kg-m2?.

ET vale, como dijimos, 12 < 107 kg-m?; luego El de-
123 101
270.000
decir, El = 444,4 mm. Esta distancia polar sería la necesa-
ria para que nuestro dibujo diese las deformaciones en la
misma escala en que él está. Si quisiéramos disminuirla de
modo que el dibujo diera las deformaciones naturales ó ver-
daderas, bastaría dividir el número hallado por el denomi-
nador 1.000 de la escala de longitudes; tendríamos, pues,
que hacer h= 0,444 de mm., pero no hemos tomado esto
en nuestra hipótesis, sino 6 mm., luego las verdaderas se-
6
0,444
puesto que están en razón inversa de las distancias polares
correspondientes.

Apliquemos lo dicho á nuestro dibujo y diremos: si la rec-
ta tf”, de la figura 2.* representa la tangente á la elástica en
el apoyo B,, llevando en sus ordenadas la deformación ex-
plicada, el punto f” que dista de la línea de apoyos en el
dibujo 3 mm., distaría en la realidad 3 < 13,7 = 41,1. Ese
punto que está sobre la trisectriz distará en sentido horizon-
tal del apoyo 12 metros = 12.000 milímetros, luego la tan-
gente del ángulo que forma la dirección de la viga con la

berá representarse en el dibujo por mm., es

rán

= 13,7 veces mayores que las que dé el dibujo,

44
horizontal en el apoyo B, será igual á ————, poco más
Pl E 12.000 P

, Ó sea un ángulo de 10” á 11” con la horizontal. Se

de :

300
ve, pues, que podrá sacarse partido de ese segundo funicu-
lar aunque no sea envolvente de la verdadera elástica.

ge

XIV

Procedimiento mixto y comprobación analítica.

En ejemplos ó aplicaciones como los que dejamos expues-
tas es, según acabamos de ver, bastante fácil llegar á los
primeros funiculares Ó diagramas de los momentos de flexión
de cada tramo supuesto aislado. Dibujaremos, pues, en una
escala cómoda y que dé suficiente claridad y aproximación
la figura 6.” de la lámina, y para marchar con seguridad
podemos calcular analíticamente las ordenadas máximas
L pl Pol; 22 p,; LP, 1,2 como ya dijimos, y
4 8 le 8
con esto fijaremos ó comprobaremos la situación de los vér-
tices de los triángulos funiculares en los tramos primero y
tercero ó los de las parábolas del segundo y cuarto.

Hecho esto, podrá convenir alguna vez la determinación
de los momentos en los apoyos por el teorema de los tres
momentos cifrado en la ecuación (6) del art. IX, auxilián-
donos al escribir su segundo miembro con las considera-
ciones gráficas que pueden, á veces, economizarnos ciertas
integrales, puesto que éstas representan cuadraturas fáciles
de obtener, si la figura está hecha con precisión, ó de calcu-
lar, conociendo algunas dimensiones suyas con exactitud.
Para mejor inteligencia apliquémoslo á nuestro ejemplo.

ORDENADAS MÁXIMAS.—Primer tramo.—La ordenada del

punto a (fig. 6.*) valdrá ” Pi - 500 kg. < 30? m. =

= 7.500 < 15 Kg-m., y como la escala deducida es de 7.500
Kg-m por milímetro, resultará para a, = 15 mm.

Segundo tramo.—Ordenada del punto S = = 500 kg. ><

>< 48? m. = 144.000 Kg-m, que dividido por 7.500 da para
S = 19,2 mm.

— 3371 —

Tercer tramo.— Ordenada del punto C, == E >

>< 18.000 = 154.000 Kg-m., que dividido por 7.500 da para
€, =>» 20 mm.
Cuarto tramo. — Ordenada del punto S = = < 500 <

>< 40? = 100.000 Kg-m., que dividido por 7.500 da para
2 == 13,3 mm.

AREAS DE LAS SUPERFICIES DE MOMENTOS.—Estas, como
sabemos, representan Kg-m.?, es decir, kilográ-metros cua-
drados. Podemos, sin embargo, medirlas en milimetros cua-
drados, sabiendo por las escalas deducidas el número de
kilográ-metros cuadrados que cada milímetro cuadrado re-
presenta.

Además, expresando en milímetros las dimensiones linea-
les que entran en la fórmula (6), también resultarán en milí-
metros los valores de las incógnitas, cual nos conviene para
llevarlos á la figura 6.*

Esa fórmula (6) es la siguiente:

ML, + 2M, (4 +) + Ms Ll =6(R, —R, Sl

l, l, l¿ son las magnitudes de tres tramos consecutivos,
que expresaremos para nuestro objeto en milímetros; M, M,
Mz los momentos de flexión en los apoyos expresados en
kilográ-metros, pero representados según escala correspon-
diente en milímetros también.

R, R,, valores absolutos de las reacciones de los apoyos
Izquierdos, considerando los tramos aislados, y como carga
las superficies de momentos; vendrán también expresados
como éstas en kilográ-metros cuadrados y serán expresables
en milímetros cuadrados lo mismo que S, S,. La fórmula con
esto resulta homogénea.

Podrá esa fórmula aplicarse sucesivamente á los tramos

— 338 —

que comprendan el 2.”, el 3.” ó el 4.” apoyos de nuestro ejem-
plo, ó sean los A”, B”, C' del dibujo (fig. 6.*)

Por !,, pondremos, según lo dicho, 30 mm. y por la, l,, L,
respectivamente, 48, 36 y 40.

Las superficies de las primeras funiculares serán, llamán-
dolas S, S, S, S,, que suponemos positivas:

Primer tramo.— Un triángulo de base —30 y altura = 15;

E > 30 < 15 = 425 = 2 <112,50 milímetros cua-

drados.
Segundo tramo. —Parábola de cuerda = 48; flecha = 19,2;

S. == <192 < 48 = 2 =< 307,20 milímetros cua-

drados.
Tercer tramo.— Un triángulo de base=36, altura =20,5,

NS > 36 < 20,5 = 2 < 184,50 milímetros cuadrados.

Cuarto tramo. —Parábola de cuerda = 40; altura 13,3;
S= =, 13,3 < 40=2 =< 177,6 milímetros cuadrados, que
ponemos en esa forma, porque de la mayoría necesitamos co-
nocer su mitad para las reacciones.

Consideradas esas superficies como cargas, darán para re-
acciones izquierdas: la 1.*, 2.* y 4.?, sus mitades, por ser simé-
tricas, esto es, R, = 112,50, 'R, =307,20; R,= UTEONN
la 3.* por estar su centro de gravedad sobre la ordenada que
divide la luz del tramo en dos partes de 19,333 milímetros
y 16,666 milímetros (lo que puede verse observando que la
mediana c, ¿ tendrá por proyección la distancia entre la fle-
cha D y el punto /, que es de 4 mm., y, por tanto, el centro
de gravedad del triángulo se proyectará en /' á la distancie
de 1,33 de í, que está á la mitad del tramo), será

__ 2 >< 184,50 < 16,666

R;
36

= 170,6.

po *

— 339 —

Tomando, para mayor facilidad y sin dar gran error, todos
esos números en su parte entera, forzando la unidad en los
que la parte decimal llega Ó pasa de 0,5 tendremos en re-
sumen:

S, =/225; Sy == 614; S, = 369;-S/ ="395.
== 0T AR TERR IT.

Con estos datos podemos ya «escribir las tres ecuaciones
sacadas, aplicando la (6) á los apoyos A, B, C, y llamando»
para hacerlos bien resaltar, x, y, z, los momentos incógnitos
correspondientes á los mismos.

Apoyo A, que enlaza los tramos 1.” y 2.”, por ser cero el
momento en el origen O”.

2 ><x(30 + 48) + 48 y =6(— 113 — 307).

Se podrían cambiar de signo los dos miembros; pero de-
jando el primero como está, suponemos, implicitamente, que
los valores que deduzcamos para x é y se han de tomar con
signo contrario.

Asi, pues, la ecuación será, hechas las operaciones y des-
pués de dividir por 6 ambos miembros:

e

26x + 8y=420;

de modo análogo se formarán las demás que son, hechas sim-
plificaciones análogas:

8x+28y+62= 478
7 EL A

Resolviendo este sistema por determinantes, ó como plaz-
ca, nos resulta para valores de los tres momentos, en núme-

5
UM

YD —

ros enteros aproximados, x = 13, y =11,z=12 (*), que
por lo arriba dicho deben considerarse como longitudes re-
presentantes de los momentos negativos en los apoyos.

El procedimiento gráfico da, con suficiente aproximación,
las mismas soluciones.

XV.—Estudio químico-geognóstico de algunos ma-
teriales volcánicos del Golfo de Nápoles (**).

Por RAMÓN LLORD Y GAMBOA

l

Cristales hallados en la playa de Torre del Greco.

Entre los numerosos y heterogéneos detritus inorgánicos
y orgánicos de que se componen las arenas pardo-negras de
la playa de Torre del Greco, en la bella bahía de Nápoles,
llamaron mi atención unos cristalitos redondeados, casi in-
coloros y transparentes, de brillo vítreo algo céreo, duros,
de fractura concoidea, de ángulos y aristas apenas visibles
por la continua agitación de las olas que les condujeron len-
tamente al estado de granos cristalinos, haciendo muy difí-
cil Ó imposible la medida de sus valores angulares, y por
tanto, su determinación cristalográfica.

Algunos de ellos conservan todavía puntos negros adheri-
dos á su superficie, testificando el origen volcánico, porque
esos puntitos negros son de lava, de idéntico aspecto que
las rocas de donde proceden, bien cercanas muchas de ellas.

No pudiendo acudir á la medida de estos cristales, ni
siendo fácil el estudio de sus propiedades ópticas, era nece-

(*) La solución algebraica nos dió x = 12,81, y = 10,77, z = 12,26.
(**) Recogidos en Octubre y Noviembre de 1905.

e

*SeJ991 SESIA DP ODNPAS O|N9]Y9 [2 SIPPPISUIJUI 9P UOIDISOAUOO P] AP SILO AY — ULAVO
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E

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0 *eorun vunur”]

e E

sario plantear el problema químico, y para resolverlo debi-
damente se hicieron las operaciones analíticas que á conti-
nuación se expresan:

1. Ensayos pirognósticos. —Polvo del mineral sobre el
carbón. —Llamas de oxidación, de reducción y de fusión. —
Inalterable é infusible (el polvo fué muy blanco, después
de las altas temperaturas). |

Humedecido con la disolución de cobalto y calentado nue-
vamente á la llama de oxidación, apareció un color azul,
característico de la alúmina.

Alambre de platino.—Perla de sal de fósforo.—Esqueleto
siliceo muy visible.

Perla de bórax.—Ningún color metálico.

2. Acido clorhídrico. —Disolución lenta del mineral, sin
color apreciable.— Depósito de materia pulverulenta (sílice).
La disolución clorhídrica, neutralizada por el amoníaco, pre-
cipitó copitos de alúmina. —Examinada al espectroscopio,
aparecieron las rayas del sodio (muy intensas) y la a del po-
tasio (visible pero fugaz).

3. Conocida por estos ensayos previos la composición
fundamental de los cristales, constituidos en esencia por sí
lice, alúmina, potasio y sodio, era preciso descender al aná-
lisis cuantitativo, para saber la constitución individual y es-
pecífica de la materia examinada, por existir, como es sabi-
do, varias especies minerales integradas por aquellos cuatro
componentes.

Pesados 202 miligramos del polvo desecado del mineral,
se hicieron dos análisis paralelos, cuyo resultado medio fué
el siguiente:

AA A 55,40
A A OD do arado aj da 22,85
BOtasa IS oie oda 11,10
a CA O O 9,20

A A US O 1,45

TOTAL a e E 100,00

—1349 ==

Para deducir la fórmula empírica de este primer resultado
centesimal, hay que transformar en ¡ones simples, los com-
puestos binarios anteriores, y tendremos una segunda lista
.de cuerpos elementales, como á continuación podemos ver:

SMiciO 5108 aaa ao de aa 25,84
Aluminio -1006B. 225 2.2 AA a ses 11,98
Potasio 1008, 1 Eco 0.004 Des A A 9,20
ii SA A AN 6.83
Oxígeno total-i0nesS.......¿....»o.... 44,70
Pd il AA ES 1,45
DOTA L A+ id 100,00

Dividiendo los números representantes de los cuerpos
simples hallados por sus pesos atómicos respectivos, Ob-
tendremos los cocientes indicadores de las relaciones atómi-
cas de los mismos en el grupo constitutivo de su molécula.
Veamos lo que resulta:

25,84
licio = == = 0,923.
Silicio 28

11,98
27

20
Potasio = EA = 0230,
39

Aluminio = = 0,444.

6,83
Sodio == 0095;
23
44,70
Oxigeno = O 2,790.

Fácil es apreciar ahora la relación recíproca de estos co-
cientes. En efecto:
AL:K:;Naz.Se: O;
como
444 : 236 : 296 : 923 : 2,790,
6 bien como

— 343 —

tomando como mitad la primera cifra 444, que es la menor,
porque los números 236 y 296 del potasio y sodio, deben
de sumarse para formar un solo cociente igual á 532, pues
así lo exige la interpretación lógica de la fórmula que vamos
á desarrollar. Esos dos sumandos dicen, en efecto, que el
sodio ha substituido parcialmente al potasio, resultando un
cociente mixto algo elevado, que sería más próximo al del
aluminio, si el potasio fuera el único metal alcalino hallado
en el mineral. Con efecto; si hubiéramos determinado en nú-
mero redondo 21 por 100 de potasa, equivalente á 17 de po-

tasio, el cociente de este cuerpo hubiera sido = Edo 0,436,

que se aproxima mucho al del aluminio = 444. La diferen-
cia hallada debe, por consiguiente, interpretarse en el senti-
do apuntado, y teniendo esto en cuenta, la relación atómica
anterior se convierte en 1: 1:2:6, haciendo del potasio-
sodio = K Na un solo cociente.

Pero como el aluminio es un metal cuyo átomo figura siem-
pre doble en cuantas fórmulas simbólicas lo representan, por
exigirlo así la estructura molecular de sus compuestos, cuyo
tipo es la alúmina = A /, O,, es necesario doblar los valores
numéricos de la relación última apuntada que se transforma
en la siguiente: 2:2:4:12, lo que quiere decir que la fór-
mula empírica del mineral examinado puede expresarse de
primera intención: KNa Al, Si, O», fórmula representati-
va del miembro leucítico del grupo nefelínico de Naumann;
tipo de los feldespatoides de Lapparent, cuyo papel geognós-
tico en las rocas eruptivas modernas es análogo al represen-
tado por los feldespatos potásicosódicos en las eruptivas
antiguas. La molécula ideal de esta especie es: K, A l, Sí, Oj»;
pero á semejanza de lo que ocurre en numerosísimos casos
que la Naturaleza nos enseña, el potasio ha sido parcialmen-
te substituído por el sodio, átomo por átomo, originando una
leucita 6 anfígena potásicosódica, que es la especie de que
se trata. Esta leucita sódica es común en los materiales erup-

y

= "MW

tivos del monte Somma y en otros parajes próximos al Vesu-
bio (granate blanco del Vesubio), de donde recogí varias
muestras de /avas leucíticas pertenecientes á erupciones de
distintos años.

Sobre ella había llamado la atención Abich, quien halló un
8 por 100 de sosa en una muestra analizada por él, de la
misma procedencia, y G. Bischof extendió la idea haciendo
constar que muchas leucitas contienen cantidades variables
de sosa, cuyo álcali puede llegar á dominar sobre la potasa,
especialmente en los individuos descompuestos.

Es posible que no exista una leucita absolutamente potá-
sica, realización del tipo ideal, y más que probable la apa-
rición del sodio, compañero inseparable del potasio en todas
partes, siquiera sea en cantidades espectrales, al examinar
las disoluciones alcalinas restantes de las separaciones obli-
gadas en la marcha analítica.

La primera formula empírica puede cambiarse en la siguien-
te, indicadora de importantes relaciones entre el radical áci-
do, silícico, y los radicales básicos: KNa Al, [Si 0,| yla
cual parece demostrar, que la leucita es un metasilicato do-
ble; pudiéndose descomponer en sus dos grupos molecula-

res en esta forma: KNa SiO, +Al, [Si Os),

las, desarrolladas, pueden conducirnos al sistema atómico-
iónico siguiente:

AlO
AM

, cuyas fórmu-

— 345 —

en el que vemos la posibilidad de existencia, en el espacio,
de núcleos y satélites cuya atracción mutua establezca el equi-
librio de todo el sistema, pudiendo permutar un satélite de
potasio por otro de sodio, siempre que las condiciones de
equilibrio del sistema lo consientan.

Aun podemos apreciar mejor este conjunto de fuerzas ató-
micas, en el esquema dibujado á continuación, expresivo de
un sistema planetario-iónico, en el que se han combinado las
atracciones recíprocas de la afinidad química y de la valencia
de los elementos, de acuerdo con las últimas ideas sobre la
constitución de la materia.

Leucita potasico-sódica de la formación volcánica del Vesubio,

En este sistema, se ve que la leucita estudiada consta de
20 átomos-iones, lo mismo que la ideal-tipo, sin más diferen-
cia que en ésta los dos átomos-satélites son de potasio, y
en la de Torre del Greco, uno de los satélites de potasio
ha sido eliminado del sistema por otro de sodio, sin que el
equilibrio se haya roto, continuando la vida del conjunto y,

?,
X
gr
Y
- WA

—

por consiguiente, la existencia de la especie representada por
sus individuos cristalinos.

Pero estas substituciones ó permutaciones tienen un límite,
y así como en las especies de los mundos vejetal y animal á
un cambio de función producido por alteración de tejido, co-
rresponde otro cambio en la integridad anatómicohistológica
del órgano ú órganos impresionados, así también en las es-
pecies minerales, á una variación de uno de sus Órganos infi-
nitamente pequeños, como es la substitución en el caso pre-
sente de los átomos del potasio por los del sodio, correspon-
de una variación en los valores angulares del indíviduo cris-
talino asi transformado, que es, como si dijéramos, de raza
distinta, sin dejar de pertenecer á la especie. Mas los carac-
teres de la primitiva irían borrándose con nuevas substitu-
ciones hasta desaparecer aquéllos, originándose otra especie
con estructura molecular (planetaria) distinta y apariencia
cristalina (especifica), también distinta en la gran mayoria de
los casos por lo menos.

Por todo lo dicho en esta nota, queda demostrada, una vez
más, la importancia de los métodos químicos dando á cono-
cer un cuerpo desconocido como en el presente caso, siem-
pre que se siga rigurosamente la marcha de sus procedimien-
tos analíticos, vías seguras por las que se llega á la resolu-
ción de los problemas sin cuento, proporcionados por la
Naturaleza y por las artes é industrias humanas.

11

Lava del 31 de Octubre de 1905, recogida el día siguiente
en el cráter principal del Vesubio.

El día 1.” de Noviembre de 1905, ascendí al cráter princi-
pal del Vesubio, recogiendo allí, entre otros productos, algu-
nas lavas en el borde mismo del cráter, adonde habían sido
lanzadas la noche antes por una de las explosiones intermi-

e

tentes de la chimenea central, algunas de cuyas explosiones
pude oir desde bastante cerca de su origen, por hallarme si-
tuado en puntos de relativa seguridad, en compañía del guía
obligatorio en aquellos peligrosos parajes.

La lava caída era escoriforme, negra, brillante; se repartía
en trozos de diversos tamaños, á lo largo del cráter, y de uno
de ellos, grande como de medio metro en redondo, separé
con el martillo algunos ejemplares, muy calientes aún, como
el pedazo de donde salieron, lanzado la noche anterior, se-
gún dijo el guía.

El estudio químico de ésta, como de todas las lavas, es
muy interesante, porque contribuye al conocimiento de la
composición actual del magma intraterrestre, parte importan-
tísima de nuestro globo.

Pulverizada y tamizada finamente cierta porción de lo
más homogéneo de la lava, el polvo gris ceniciento (la lava
es negra) fué sometido á las siguientes operaciones:

1. Ensayos pirognósticos.—Sobre el carbón.—Llama de
oxidación. — Fusible, tomando el aspecto, al enfriarse, de
la lava de donde procede, con su tinte negro, brillante, y
formación de esferitas de fusión, también negras, brillantes
y no magnéticas.

Sal de fósforo y alambre de platino.—Llama de O.—Dió
los caracteres del hierro; la perla dejó un esqueleto insolu-
ble de sífice, en láminas microscópicas aparentemente exa-
gonales de fridimita.

Bórax y alambre de platino. —Llamas de O y R.—Reac-
ciones características del hierro.

2. Acido clorhídrico.— Dejado en digestión el polvo, du-
rante cuarenta y ocho horas, á un suave calor, se disolvió
lentamente tomando el ácido pronunciado color amarillo
(hierro) y dejando residuo silíceo. Neutralizado con amonía-
co en exceso, aparecieron copos de hidratos férrico y alu-
mínico.—Se filtró y lo filtrado, evaporado á sequedad y ex-
pulsado el amonio, se trató con muy poca agua y unas go-

Rrkv. Aca. Ciencras.—IV. —Marzo, 1906, 24

<A

tas de clorhídrico y examinó al espectroscopio, en el que
aparecieran los espectros del sodio, calcio, potasio y litio,
por orden de intensidad decreciente.

3. Hervido el polvo con agua y tratado el líquido limpio
y transparente por nitrato argéntico y ácido nítrico, apare-
ció muy manifiesta la reacción del cloro. Esta fué aun más
intensa hirviendo el polvo con ácido nítrico diluido. Ambas
reacciones demuestran la impregnación de la lava por cloru-
ros alcalinos y otros cloruros metálicos.

4. El polvo fué tratado por ácido clorhídrico y un poco
de nítrico; la disolución resultante fué evaporada á seque-
dad; el residuo, tratado por poco ácido nítrico caliente, dió
una disolución limpia, la cual, vertida gota á gota sobre otra
también nítrica de molibdato amónico, produjo en frío y rá-
pidamente el precipitado bien visible característico del ácido
fosfórico.—Este ácido y el cloro pudieran dosificarse ope-
rando sobre cantidades de materia más considerables.

5. Se buscaron, con resultado negativo, los ácidos bó-
rico y sulfúrico.

Reconocidos por estos ensayos previos los cuerpos men-
cionados, más el magnesio, determinado aparte, se proce-
dio al análisis cuantitativo de medio gramo de polvo deseca-
do de la lava, resultando de tres análisis paralelos lo que á
continuación se expone, término medio de los mismos:

SUicei= SA, oido E Ole AS 48,050
Óxido ferroso = Fe O.........ooooo. 10,900
Alia AO ag a to 19,500
Cali= Calico EAN 7,600
Magnesia MO: besioita ene 3,024
O 0 A A 6,360
POLO EA. a o ee AE e ao |
Lia ID APOLIVIOIO. CUORE 2d
Cloro Elia ls etilo 4,566
Anhídrido fosfórico = P,0O,........ |
PEA ias, ca Ma APIS

— 349 —

Esta lista indicadora de la composición centesimal, puede
transformarse en otra, expresión de los ¡ones simples, escrita
á continuación:

SUCIO SOMO or da da bio 22,423
e a do MA AE EA IE 8,480
AUMRIO-TOMBS coo aaa dee 10,388
(Alco IONES cats iaa alo aa 6,080
ESOS a o a a 1.714
DOMO ONO rio rd 4,750
Potasio. — Litio. — Cloro. — Fóstoro-
AA O E A »

Oxigeno total por exceso (con el de la
potasa, litina y anhídrido fosfóri-
SO AE rs dd 46,165

El examen de las listas anteriores nos da á conocer de un
modo general el carácter químico de uno de los materiales
arrojados por el Vesubio, que por su cantidad y volumen
(por su masa), por la función generadora que ejerce sobre
varias especies minerales, y por su dinamismo propio, apar-
te el que le comunican las circunstancias especiales de su sa-
salida al mundo exterior en los momentos eruptivos, merece .
nuestro más profuodo y detenido estudio.

Representa, en efecto, para nosotros, un mundo de iones,
una matriz, de la que han de nacer especies definidas, cuyos
individuos ostentarán su personalidad cristalina más ó menos
perfecta, macroscópica Óó microscópica. Representa, en pe-
queño espacio y corto tiempo, lo que en inmensos tiempo y
espacio determinó la diferencia de las especies originarias de
las rocas eruptivas antiguas, base de todos los terrenos pos-
teriores. Representa, en fin, un estado de la materia intra-
terrestre anterior á la aparición de seres naturales. Su histo-
ria es la historia de nuestro globo, como la de éste es la his-
toria del Universo: todo se reduce, en último término, al más
y al menos, signos representativos de todo cuanto pueda te-
ner apariencias de realidad. Pero concretándonos á nuestro

Me

modesto estudio químico de los principales productos volcáni-
cos de la zona napolitana, resulta de mucha importancia la
comparación del magma lanzado por el Vesubio, tomando la
forma de lava escoriforme, cuyos datos analíticos acabamos
de ver, con las especies más comunes allí, constitutivas de la
lava; pues, con efecto, el magma ¡onizado, en cuya masa in-
candescente se encuentran los átomos dotados de grandes
energías de traslación ó fuerzas vivas, restos de las primitivas,
enormes, oriundas de la formación cósmica originaria del glo-
bo que habitamos; aquel magma, decimos, integrado por ¡o-
nes libres, al perder fuerza viva y ganar potencial, va en-
trando en la esfera de las formaciones estables, y así vemos
aparecer en su seno las especies minerales que, cual las ve-
getales y animales, nacen, viven y mueren, cuando las cir-
cunstancias cósmicas así lo exigen.

Las afinidades químicas que no pueden manifestarse más
que en ciertos grados de movimiento atómico, ejercerán su in-
fluencia poco á poco, y de la masa uniforme, indeterminada,

del magma, surgirán las especies, es decir, los sistemas pla-

netario-iónicos, con individualidad ó estabilidad relativas,
definibles y determinables cristalográfica y químicamente; es
lo que llamamos, en último término, especifico, un embrión
cristalino y una molécula química. Por eso decíamos antes
que la historia de un magma, siquiera sea éste tan limitado
como el de la zona vesubiana, representa á nuestros ojos la
historia del mundo terrestre y la del Universo entero.

Aquí concluyen las consideraciones químico-geognósticas
de la presente nota, hasta la terminación de nuestros análisis
y reconocimientos químicos de los materiales volcánicos del
Golfo de Nápoles. Entonces intentaremos un ligerísimo bos-
quejo á modo de resumen de nuestras tareas, procurando
sintetizar el carácter químico particular de aquella notable
formación eruptiva.

t
4
a
a
'
4

por José Echegaray A
XII1.— Datos para la monografía del ácido AS por. :

A José. Rodriguez Mourelo.... o..oncvinccrscordcaro di
oa XIV.— Aplicaciones de la composición de intensidades al

E :* A cálculo gráfico de vigas rectas (conclusión), por
EN Nicolás de Ugarte... ¿TV ia

sh 2 XV.—Estudio químico-geognóstico de algunos materiales pa
nd 2 : volcánicos del Golfo de Nápoles, por Ramón Llord

Y Cambodia io O io

»4 - .

La subscripción á esta RuvisTA se hace por 0 ER >
de 500 á 600 páginas, al precio de 6 pesetas en España y 6 fr
en el extranjero, en la Secretaría de la Academia, calle de Y.
verde, núm. 26, Madrid. E

Precio de este cuaderno, 1,50 pesetas.

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TOMO IV.-NÚM. 4.
Abril de 1906.)

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IMPRENTA DE LA “GACETA DE MADRID,
CALLE DE SRT NÚM. 8.
1906.

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el mes siguiente. cd

0]

— 351 —

XVI.— Introducción á la Fisica matemática.

Por JosÉ ECHEGARAY.

Conferencia cuarta.

SEÑORES:

El equilibrio de temperaturas en la Física experimental es,
como decíamos en la última conferencia, un hecho, y nada
más que un hecho.

Dos cuerpos están en presencia y tienen temperaturas dis-
tintas, pues esto significa que, colocando en ambos, dos ter-
mómetros iguales, las columnas de mercurio alcanzarán al-
tura distinta, y entonces se observa, que en el cuerpo más
caliente, la temperatura va disminuyendo, ó de otro modo,
va bajando la columna de mercurio; y en el cuerpo más frío,
va subiendo la columna mercurial, hasta que al cabo de al-
gún tiempo se ponen al nivel.

Sucede lo mismo, en la apariencia, que en un tubo de va-
sos comunicantes, cuando el nivel es diferente en ambas
ramas.

Y la antigua Física se contentaba con decir — y aun así
traspasaba sus límites de ciencia positiva, invadía el campo
de la Física matemática y formulaba una hipótesis, al afirmar
que el calor era un fiúido — se contentaba con decir, repeti-
mos, que el cuerpo más caliente contenía más cantidad de
flúido calórico, que el más frío, y que aquel exceso, pasaba,
ya por conductibilidad del aire, ya por radiación, al cuerpo
en que la cantidad de flúido calórico era menor.

Y afirmaba esto, sin explicar bien, ni lo que era la con-
ductibilidad, ni lo que era la radiación, ni, por de contado, lo
que era el supuesto flúido.

Rev. Acab. CiexcIas.—IV, —Abril, 1306. 25.

Dl “sh LA
de 4
Sr”;

— 352 —

Limitándose á su esfera propia, que es la del hecho posi -
tivo, su medida, y su ley numérica, hubiera debido conten-
tarse con afirmar lo que antes indicábamos, que dos cuerpos
á distinta temperatura, buscan su nivel térmico, y en todo
caso, ampliando las experiencias, pudiera establecer esta ley
experimental é importantísima: cuando dos cuerpos están en
equilibrio de temperaturas con un tercero, están en equili-
brio de temperaturas entre sí.

La Física experimental no dice más, ni puede decir más,
ni puede tener la pretensión de conocer lo que el calor sea
y lo que es la temperatura.

La Física matemática, tampoco puede tener la pretensión
de conocerlo; pero puede hacer hipótesis, que en este caso,
como en casi todos, son hipótesis mecánicas; y puede apli-
car á estas hipótesis las leyes de la Dinámica, explicando Ó -
procurando explicar con ellas lo que es el calor, lo que es
la temperatura y en qué consiste el equilibrio de tempera-
turas.

Y empleamos la palabra explicar, como hemos indicado
varias veces, y como expondremos con más detenimiento |
al final de estas conferencias, no en el sentido ambicioso de
penetrar en el seno de los fenómenos y en su esencia ínti-
ma, sino en sentido más modesto, el de reducir unos fenó-
menos á otros, aunque sus apariencias sean distintas.

La Física matemática, y en este ejemplo particular la Ter-
modinámica, establece esta hipótesis: el calor no es un flúi-
do, no es una substancia material, es un movimiento inter-
no de la masa, ó mejor dicho, uno de los parámetros del
movimiento.

El calor consiste en la agitación de las particulas 6 de las
moléculas, Ó de los átomos de los cuerpos, sean sólidos, lí-

E

— 353 —

quidos Ó gaseosos, de suerte que esta nueva hipótesis es
una extensión de la hipótesis de Daniel Bernoulli.

Lo que Bernoulli suponia para los gases, la Termodiná-
mica, al menos en su primera época, porque hoy pudiéra-
mos decir que se va haciendo más positiva y experimental
de lo que era en un principio, lo hace extensivo á los sóli-
dos y á los líquidos.

Reconozcamos, sin embargo, que la idea que es clara en
su sentido general, no lo es tanto al establecer la teoría; por-
que esto de «la agitación de las partes pequeñísimas de un
cuerpo», es un concepto un tanto vago.

Agitación es movimiento; pero ¿qué clase de movimiento
es el que constituye el calor?
¿Es la suma de movimientos vibratorios de los átomos?

¿Es la suma de los movimientos vibratorios de las molé-
culas?

¿Es el conjunto de ambos movimientos?

¿Es, por ventura, la totalidad de los movimientos de parte-
cillas pequeñísimas compuestas de moléculas ?

Y estos movimientos, ¿están ordenados en ondas, como
dijimos que estaban ordenados en la luz, y tienen todos á la
vez el mismo período? ¿O son movimientos revueltos y des-
ordenados, que se difunden y esparcen por todo el cuerpo,
en vez de ordenarse en ondas caloríficas análogas á las de
la luz en el éter, á las del aire en el sonido, á las del agua
en el mar?

Más aún; ¿qué parte toma en tales movimientos vibrato-
rios el éter intermolecular é interatómico ?

Todos éstos son problemas que la Física matemática no ha
resuelto por completo, que todavía se discuten con calor, lo
cual no es maravilla tratándose del calórico, y que dan mo-
tivo á la publicación de trabajos y obras de gran importan-
cia, como por ejemplo la del eminente matemático Mr. Bous-
sinesq, Obra que vió la luz hace pocos años y de que dare-
mos cuenta en su día.

e VEA

Como por ahora no hacemos más que presentar ejemplos
y problemas, para ver de qué modo los resuelve la Física ex-
perimental, y cómo trata de explicarlos por sus hipótesis y
sus fórmulas la Física matemática, habremos de contentar-
nos con decir, que el calórico consiste en /a vibración orde-
nada ó desordenada de las partes pequenñísimas de los
cuerpos.

Así y todo, podemos formarnos una idea provisional de
este concepto vago de temperatura: concepto vago y extra-
ño, repetimos: ¡medir el calor por una escala termométrica,
es decir, por divisiones y subdivisiones de una línea!

Claro es, que todo parámetro físico, que sólo depende de
una variable independiente, por divisiones y subdivisiones
de una línea puede medirse y simbolizarse; pero de todas
maneras causa extrañeza á primera vista, que el calor se
mida sólo por uno de sus efectos: la dilatación de los cuer-
pos; es decir, por la dilatación del mercurio, ó por la dila-
tación del hidrógeno ó del aire en esta otra clase de termó-
metros.

La Física matemática puede aclarar algo este concepto; le
puede dar un sentido dentro de la idea ó de la hipótesis an-
tes establecida; puede extender la interpretación que para la
temperatura admitimos en los gases, diciendo que la tempe-
ratura es proporcional en cada punto á la fuerza viva del
movimiento vibratorio; y si esto pareciese aventurado, se
limitará á decir que la temperatura está ligada con la fuerza
viva de cierto modo, que la teoría debe explicar.

Reconozcamos aún, que de igual suerte que la hipótesis
del calórico como modo del movimiento, según afirmaba el
ilustre Tindal, es muy vaga; tampoco es muy precisa, ni
acaso muy exacta esta definición de la temperatura; pero
por el momento, y hasta que en otro curso estudiemos la
Termodinámica, á lo dicho nos atendremos, sin pretender
penetrar en mayores profundidades del problema.

De todas maneras, y á pesar de la vaguedad de las inter-

RA

— 355 —

pretaciones de la Fisica matemática, en relación con el pro-
blema que nos ocupa, no puede desconocerse, que la nueva
hipótesis da mucha luz sobre fenómenos, que antes eran casi
enigmáticos.

La ley del equilibrio de temperaturas toma, en efecto, un
sentido mucho más preciso, que el que pueda darle la Física
ordinaria, y es éste.

Dos cuerpos están en presencia y experimentan agitacio-
nes internas distintas en intensidad; más claro: la fuerza viva
media en cado elemento de volumen ¿w es la misma para
cada cuerpo, pero es distinta de uno á otro.

Como ambos cuerpos están en comunicación por el aire y
por el éter, es evidente que el estado dinámico de cada uno
influirá sobre el del otro, y el problema del equilibrio de
temperaturas quedará reducido á un problema de equilibrio
dinámico; á saber: ¿qué fuerza viva media deberá tener cada
elemento de uno y otro cuerpo para llegar á un estado per-
manente?

La cuestión, con toda la generalidad con que acabamos de
plantearla, es de una dificultad enorme; procuremos irla sim-
plificando, puesto que sólo presentamos ejemplos.

Supongamos que se trata no de dos cuerpos, sino de dos
partes ó elementos de un mismo cuerpo.

En rigor, este problema es un caso particular del anterior
y se refiere al de la distribución de la temperatura en un
cuerpo dado, que es la rama de la Física matemática que
antes se llamaba teoría del calor: así la llamaba Lamé en
su Obra clásica Teoría analítica del calor.

Pero así y todo, el problema dista mucho de estar plan-
teado en términos precisos; porque aunque digamos que el
calor es el conjunto de movimientos vibratorios de un cuer-
po, definición ya por si muy vaga, aún nos falta definir lo
que se entiende por temperatura.

En los gases ya la definíamos diciendo, que era una can-
tidad proporcional á la fuerza viva de cada molécula.

"AA O

Si m representa la masa de dicha molécula y u su veloci-
dad, la temperatura del gas, según aquella hipótesis, será

Cmu?,
siendo C una constante.

¿Sucederá lo mismo en los cuerpos sólidos y líquidos?
¿Será también la temperatura en cada punto una cantidad
proporcional á la fuerza viva de la molécula que ocupa di-
cho punto, es decir, á su valor medio durante cierto tiempo?

Nadie se atreve á afirmarlo en absoluto; pero hay una ten-
dencia general, y en cierto modo irresistible, á enlazar ínti-
mamente la fuerza viva media de cada molécula de un cuer-
po con la temperatura en el punto que la molécula ocupa; y
si no se quiere hablar de moléculas, por lo menos con la fuer-
za viva del elemento de masa de dicho punto.

Sin embargo, mientras no se definan con exactitud todos
estos conceptos, á saber: si se trata del átomo, de la molécu-
la, Ó de un conjunto de moléculas comprendidas en un vo-
lumen infinitamente pequeño; mientras no se exprese termi-
nantemente de qué fuerza viva se habla, la teoría partirá de
términos muy inciertos, y correrá peligro de ponerse en con-
tradicción consigo misma á cada instante.

Fijemos aún más las ideas por el ejemplo más sencillo: el
de los gases.

Supongamos en un gas uno de los elementos del mismo
y admitamos, que es una esfera en vibración toda ella, ó si
se quiere, que gira alrededor de uno de sus diámetros con
extraordinaria rapidez, pero que al mismo tiempo camina
con la velocidad de traslación, que suponía Bernoulli.

Girando la esfera sobre sí misma, es evidente que al cho-
car contra las paredes del recinto sólo el movimiento de tras-
lación será el que producirá presiones sobre la envolvente;
sólo esta fuerza viva, la fuerza viva de traslación, será sen-
sible al termómetro; sólo ella será la que exprese la tempe-
ratura, y sin embargo, la primera puede ser muy superior á

— 3597 —

la segunda; mas la de rotación está, por decirlo así, ence-
rrada en sí misma, suponemos que la esferilla no se dilata,
que no existe ni rozamiento ni adherencia, y por consiguien-
t2, para el choque, ya de unas esferillas con otras, ya con-
tra las paredes, ya influyendo en la dilatación de la columna
termométrica, en suma, para el mundo exterior en el que el
físico realiza sus experimentos, la esferilla de nuestro caso
será como un cuerpo sólido é inerte: su única acción diná-
mica será debida á su movimiento de traslación.

¿Quién nos dice que no sucede algo de esto con el Rá-
dium y aun con las moléculas de todos los cuerpos simples
y compuestos?

De suerte, que definir la fuerza viva de cada elemento, de
la cual dependa la temperatura, no es cosa tan fácil como á
primera vista pudiera creerse.

Pero supongamos salvada esta dificultad. :

En este caso la temperatura en cada cuerpo y en cada
punto, suponiendo el cuerpo homogéneo, dependerá, según
la hipótesis que vamos bosquejando, de la fuerza viva del
elemento material que se considera, y de ciertos parámetros
que definan la constitución de cada cuerpo.

Si llamamos a, b, c..... á dichos parámetros, podremos de-
cir, que la temperatura es una función de todos ellos y de la
expresada semi-fuerza viva media:

mv?
ON MAN A :
2

y el equilibrio de temperaturas para dos cuerpos distintos ó
para dos partes de un mismo cuerpo heterogéneo, y aun para
dos elementos contiguos de un cuerpo homogéneo, consisti-
rá en la igualdad de dos funciones análogas á la anterior

Temperatura

El E
o no PEN

el

A

Si la forma de las funciones fuere la misma, como hemos
indicado, podríamos decir que esta función es una invarian-
te para todos los cuerpos de la Naturaleza al llegar al equi-
librio de temperaturas.

De todas maneras ha de existir esta relación para tres
cuerpos cualesquiera A, B, C; es decir, que si para A y B,

O de otro modo, si dos cuerpos están en equilibrio de
temperatura con un tercero, estarán en equilibrio de tempe-
ratura entre si.

El caso más sencillo sería aquel en que la temperatura
sólo dependiese de la fuerza viva, ó mejor dicho, fuera igual
á ella, porque entonces para que dos cuerpos estuvieran en
equilibrio de temperaturas bastaría, y sería suficiente, igua-
lar las fuerzas vivas de sus moléculas

mu? = mu”,

que es lo que sucede Ó se supone que sucede en los gases.
Otro caso muy sencillo sería el de la relación lineal, es
decir, que la temperatura fuera función lineal de la fuerza
viva media,
Temperatura = a + bmu?.

7. EA

Lo primero, es decir, la igualdad de fuerzas vivas, parece
deducirse de la ley de Dulong y Petit, pero esta ley no es
más que aproximada y para ciertos cuerpos.

De este punto trataremos en otra ocasión más extensa-
mente, asi como de la relación que puede tener con la curva
de los pesos y volúmenes atómicos de Mendeleeff.

No pudiendo estudiar el problema en general, presentare-
mos un caso particularísimo, que más que otra cosa será un
ejemplo simbólico. En vez de suponer dos cuerpos, ó dos
elementos de un mismo cuerpo, consideremos dos puntos
ó dos masas iguales m (fig. 9), colocados en las posicio-

A a B b
—__—_ A ——_—_—S__—_———_—_—_—_——
m> r, ma
Figura 9.?

nes A, B, que supondremos de equilibrio, como indicába-
mos en la conferencia anterior (fig. 7);.y admitamos que
en el instante inicial se comunica á dichos puntos dos velo-
cidades distintas, v al que está en A, v” al que ocupa la
posición B.

Es como si en el origen del movimiento, los cuerpos tuvie-

y? mv? :
y ——- respectivamente.
2

ran diferente temperatura

Veamos qué sucederá en este caso, y para ello, estudiemos
el movimiento del sistema.

Si al cabo de cierto tiempo £, el punto A ha venido á pa-
raráa, yel Báb, recorriendo espacios muy pequeños Aa
y Bb, pues suponemos que Aa=x y Bb=x', son muy
pequeños en comparación con A B = r,, fácil será establecer
las ecuaciones del movimiento de ambas masas.

— 360 —

Como la distancia A B ha variado, convirtiéndose en ab,
entre ambas masas se desarrollarán dos fuerzas, que estarán
representadas, según explicábamos en la conferencia ante-
rior, por + f(ab) y — f (ab).

Ahora bien, se tiene evidentemente

ab=AB+ xXx —x=TM+xX-—X;

por lo tanto, sobre a actuará la fuerza + f (r, + x" — Xx) y
la ecuación de su movimiento será

d?x

qe = + mf (1, + x= x):

m

Análogamente tendremos para el punto b

Xx ,
= —mMjf(r x — Xx).
de Fr. + c) ¿

Los signos se explican sin dificultad ninguna: si la distan-
cia a b, es mayor que A B, es claro que

flab)=f(r,+x —x)

representará una atracción, y, según indica la figura 7, será
positiva; pero en este caso tiende á separar á a de A y, por
lo tanto, á aumentar su velocidad, de donde se deduce que
q dz
PU
di
no positivo en el segundo miembro.

Si, por el contrario, la distancia Bb fuese menor que Aa,
la fuerza sobre a, seria repulsiva y tendería á disminuir la
velocidad en el sentido del eje de las x.

Este mismo razonamiento invertido, podemos aplicarlo á

es positiva. Por eso hemos puesto el sig-

— 361 —

la segunda ecuación, pero no es necesario, porque las ac-
ciones sobre a, b, son iguales y de signo contrario.

Desarrollando los segundos miembros por la serie de Tay-
lor, y no tomando más que los dos primeros términos,

dix
de m[f (ro) + (1) 6 — 2),
a — milf) EF (0) (A

y como A y B son posiciones de equilibrio, y, por lo tan-
to, F(r,) =0, resultará para las ecuaciones diferenciales del
movimiento de ambos puntos,

ME A)
(1)

1EXR EOR E E

os ÑO mf" (rc — x).

Los signos resultan comprobados, puesto que en la figu-
ra 9 la tangente en B á la curva y = f (r), forma un ángulo
agudo con el eje de las x, según suponíamos en la confe-
rencia anterior (tig. An

Pasamos á la integración.

Se sabe que un sistema de integrales de Sbas ecuacio-
nes, es éste

x = Asenbií + Bt,
x= A'senbt + Bt,

en que A, 4', B y b, son constantes arbitrarias, que utilizare-
mos para satisfacer á las demás condiciones del problema.

— 362 —

Que las expresiones de x, x' son integrales de (1), se ve,
desde luego, efectuando la substitución, puesto que resulta
— Ab?senbt = mf (r,) (A” — A)senbt,

— A'b?senbt = — mf (r,) (A*” — A)senbt;

Ó bien suprimiendo senbt, y representando, para abreviar,
mf (r,) por a,
— Ab? =a(4' — A),

— Ab? = —a(aA' — A):
ecuaciones que podemos convertir en identidades, determi-

nando en ellas las constantes A, A” y b.
Por el pronto, dividiendo ambas ecuaciones, resulta

a A
A
y despejando b,
é
b? = —— (A — A) =2a4,
Al )

de donde
pu Y 20

siendo esta última una cantidad real, puesto que

a=mf(r,)
es positiva.
Veamos ahora si las expresiones de x y x' satisfacen á las
demás condiciones del problema.
Para t= 0, x y x'se reducen á o también, como debe 8 ser,
puesto que los móviles parten de A, B y desde estos puntos
se cuentan la x y la x',

— 363 —

En cuanto á las velocidades, tendremos, diferenciando con
relación al tiempo dichas variables,

dx
— = Abcosbt + B,
dt a
ax

= A'bcosbt + B,
dt o

y como para f= 0, las velocidades suponemos que son y y
v”, resultará

v=AbW+B,
v=A'b+B;
Ó bien

V = AbW+B,

v=->— AbWB,

De aquí se deduce
yA v+wy y LOA. te
2 2b

Así, pues, dando á las constantes los valores obtenidos

EPA a A Y Y

, = =

2b 71 AS 2

p=VY2a =V 2mf(1,),

que todos están en función de los datos, á saber: v, v, m, y
f (ro), los valores de x y x' satisfarán á las ecuaciones dife-
renciales y á las condicionas iniciales.

En suma, estos valores de x, x', substituyendo en las ecua-

— Mi

ciones generales los valores obtenidos para las constantes,
serán

vV— _Z y
X= eh E
d7 PA

, v—yv v A y
Xx == — senbt É.
2b Ex 2

Mas antes de pasar adelante debemos prevenir una obje-
ción. Para obtener una constante más, hemos introducido el
término Bf, y se podría creer que esto no era legítimo, por-
que hemos dicho, que x y x' eran muy pequeños y, sin em-
bargo, el término Bf crece sin límite con el tiempo.

Sin embargo, tal objeción no tiene fuerza, porque los des-
arrollos y las ecuaciones diferenciales no se alteran porque
se aumenten x y x” en cualquier cantidad finita: y en efec-
to, en los desarrollos y en las integrales sólo entra x — x'
que es igual á x + Bt— (x' + Bf).

Si hemos introducido la constante B, ha sido, como diji-
mos antes, para tener una constante arbitraria más, y no sólo
esto, sino que era indispensable para tener en cuenta el mo-
vimiento del centro de gravedad.

Claro es que hubiéramos podido seguir otra marcha, anu-
lando dicho movimiento y apreciando tan sólo el movimiento
relativo de los móviles, que está representado en las fórmu-
las por los términos en que entra sen bf.

Estas fórmulas nos demuestran ya, que al menos para este
ejemplo particularísimo, el equilibrio de temperaturas supo-
ne ¿igualdad en la fuerza viva media de los movimientos vi-
bratorios de ambas masas.

En efecto, para la masa m del punto A, la velocidad del
movimiento vibratorio, es la derivada del primer término de
x con relación á f; 6 sea

2 bcosbt,
10)

— 365 —

y su cuadrado

Su valor medio, según explicábamos en la conferencia an-
terior, será:

/

Pe ] cos?bt=

y a AND
a: E e cos?bf”. dt =
0 2
de 10 e Mo a O
0, 2 2
al e “cos200. del;
0 2 2 o

y siendo b = =, la segunda integral es nula: así,

valor medio de Lg cos?bt dea Eee
P. 2 Z

El mismo resultado se obtiene para la masa m del punto
'B, puesto que la diferencia de signo entre — Y

Valor medio de p

A Y

desaparece al elevar al cuadrado ambas expre-

siones.

En suma, aunque los dos móviles parten con velocidades
distintas, al llegar á lo que pudiéramos llamar el equilibrio
dinámico y:al fin de cada periodo 0, la fuerza media viva de
ambos en dicho período es la misma.

o
Es más, si se tiene en cuenta el movimiento del centro de

: a v>+v Y?
gravedad del sistema cuya fuerza viva es 2 m a y

2

v+vy , 4 :
para cada masa m Nan , aun así resultará la misma

fuerza viva para las dos masas.

Por lo tanto, en este caso particular, que es más bien un
símbolo, que no la realidad misma, resulta comprobado el
equilibrio de temperaturas. Porque si se entiende por tempe-
ratura la fuerza viva medía de cada una de las moléculas,
ó una cantidad proporcional á ellas, al llegar al equilibrio di-
námico las dos fuerzas vivas medias de las dos masas en el
período, vemos que son iguales.

Mas hay algo que observar en comprobación y aclaración
de lo que al principio dijimos, porque ¿qué se entenderá en
este caso por fuerza viva media? ¿La del movimiento del
centro de gravedad?

¿La del movimiento vibratorio?

¿O bien la suma de ambas fuerzas vivas medias?

No es la contestación tan fácil como parece.

Cuando se considera el movimiento de un cuerpo, que
tiene cierta temperatura, no se cuenta en ésta el movimiento
total y visible, sino la fuerza viva media que resulta de la
agitación interna. Una cosa es el movimiento del cuerpo
en el espacio y otra muy distinta la vibración de sus ele-
mentos.

Ambas fuerzas vivas formarán una parte de la energía to-
tal; pero nadie confunde la fuerza viva de un proyectil en su
marcha con la temperatura del proyectil.

De suerte que en este caso, se aplicaría la palabra tempe-
ratura á la vibración de las pequeñas masas de que el pro-
yectil se compone.

Pues aplicando dicho resultado á nuestro ejemplo de dos
masas iguales m, m, ha de observarse que el conjunto de
las dos masas m + m camina con una velocidad de trasla-

alas ¿Es ds

— 367 —

A, VA EV / :
ón Leia y por lo tanto la fuerza viva de este movi-

ci
2
miento para ambas masas está representada por

2m a ld )
a y

En efecto; en el origen del movimiento, la masa m tiene la
velocidad v y la masa m' la velocidad v”, y reuniendo ambas
en el centro de gravedad, tendrá esta masa total 2m la velo-

ais
2

No quedará, pues, para representar el calórico más que la
fuerza viva media del movimiento vibratorio, que, como he-
mos visto, es da a

2

Pero cambiemos las condiciones del ejemplo: suponga-
mos que el conjunto de las dos masas m + m es la molécu-
la de un gas, en el que cada masa m es un átomo.

En este caso, el movimiento de traslación es el que, se-
gún la hipótesis de Bernoulli, determina la temperatura y no
el movimiento vibratorio.

De suerte que en los dos ejemplos, ambos plausibles al
parecer, los resultados son contrarios.

En el primero, la fuerza viva del centro de gravedad no
debe contarse: la temperatura está representada por la fuer-
za viva media del movimiento vibratorio.

En el segundo caso, el movimiento vibratorio no es el que
determina la temperatura, sino el movimiento del centro de
gravedad.

Y no fuera difícil presentar otro fercer caso: si ambas mo-
léculas forman parte de un cuerpo sólido ó líquido, acaso
sería preciso contar con ambas fuerzas vivas para definir la
temperatura.

Hacemos estas observaciones, para explicar ciertas dudas

Rev. Aca. Crexcias.—IV, —Abril, 1506, 26

2
] para cada masa.

Ba

que ocurren en los problemas de Física matemática y que
iremos señalando en las diversas ramas de esta Ciencia;
Ciencia en la que, á pesar de sus inmensos triunfos, pueden
señalarse algunas deficiencias.

Es más; el ejemplo que hemos presentado no demuestra
que el equilibrio de temperaturas, aun no considerando más
que un cuerpo homogéneo, se establezca cuando la fuerza
viva media de cada una de sus moléculas sea la misma;
porque un cuerpo homogéneo se compone de millones y mi-
llones de moléculas, y constituye un sistema complejo, del
cual apenas es un remedo, y ni aun puede pasar como sím-
bolo, el sistema sencillísimo de dos moléculas, que estamos
estudiando.

Demos un paso más: supongamos tres moléculas m en
línea recta y en equilibrio por sus acciones mutuas, sin que
intervenga, para no complicar la cuestión, ninguna fuerza
externa.

Si para este caso todavía demostramos, que cuando el sis-
tema llega al equilibrio dinámico, todas las fuerzas vivas me-
dias de las moléculas son iguales; y esto se repite para un
sistema lineal de cuatro, de cinco, de un número indefinido
de masas, tal resultado ya sería significativo, al menos para
lo que pudiéramos llamar la mecánica lineal de los cuerpos.

Pero vamos á ver que no es así, y que, por lo tanto, la
demostración matemática de la ley física, tropieza con difi-
cultades, no diré insuperables, pero sí dignas de más dete-
nido estudio.

Sean tres masas A, B, C, sobre una misma línea recta
(fig. 10). | |

Las tres son iguales á m, y para simplificar el problema,
puesto que, como hemos dicho muchas veces, no tratamos
de establecer teorías, ni de resolver grandes cuestiones de
Fisica matemática, sino de marcar su carácter, la índole es-

— 369 —

pecial de sus procedimientos, los triunfos que consigue y las
dificultades con que lucha, supondremos que cada una de
estas masas sólo recibe acción eficaz de la inmediata: por
ejemplo, A de B, y B de A; y asimismo B de C y recípro-
camente; pero que A no influye sobre C ni ésta sobre aqué-
lla. De otro modo, la curva de la figura 7.*, contando las
distancias desde A, llega con ordenadas pequeñísimas á C
y puede prescindirse de su influencia.

A E) B hb ¡Sy c
m*: m*e m?s
Figura 10.

Supongamos que al cabo de un tiempo cualquiera f, las
masas A, B, C ocupan respectivamente las posiciones a, b, c;
y establezcamos:

O RÑ o AB=BC= Fs.

Las ecuaciones de equilibrio para las tres masas se obten-
drán de la misma manera que en el ejemplo anterior, y ten-
dremos, desde luego, puesto que sobre A sólo influye B, y
sobre C, B también, y no influyen A y C entre sí:

d?x, É PESA
m = mf (r. + Xx, — x,), E,
E mf (ro + xo — x)
7? x, E : pel
m2 — mf (a + xo — x) E meÍ (ía + xo — 0),
dx: .
il X3);

Ó bien dividiendo por m, desarrollando f, recordando que
f(r,) =0, y no tomando más que los dos pRmIetos térmi-
nos del desarrollo:

— 310 —
dex, ?
==: IM F X2 — Xy),

de bi (ro) ( 2 1)
E mf (0) (1 + xs — 2x0),
df?
d?x, ,

= = mM la X — Xy).
dt? F' (50) (Xo 3) 3

Debemos fijar también las condiciones iniciales, y para
ello admitiremos, que en el instante inicial, Ó sea para f = 0,
las tres masas parten de A,B,C con las velocidades
V,, Va, Va.

Además, para que el centro de gravedad no tenga movi-
miento, supondremos la condición

Vy + Va + Vg =0.

Desde luego podremos obtener una integral sumando las
tres ecuaciones y resultará

d?*(x, + X + Xy)
dt

= 0.

Integrando una vez, y para determinar la constante, recor-
dando que á f = o corresponden las velocidades V,, Vs, Vy,

d (X, + X + X) e

,

dt
d (Xx + +Xs) _ dx, ho d X, dia
dt dt dt dt |
= V, + Va + Y =0.

Integrando segunda vez, hallaremos la constante haciendo

— 311 —

que en el instante ?=0 las tres variables tengan los va-
lores

y resultará:

Xy + Xo | X¿=0.

Esto nos permite reducir las tres ecuaciones diferenciales
á dos: basta para ello despejar x, de la última ecuación y
substituirla en las dos primeras, con lo cual obtendremos dos
ecuaciones, que sólo contendrán x, y Xo:

ax
= (- (X, Xi1),
e (+ —x,)
d? x, = — 3a?*x,
df?

o

hemos representado para abreviar m f” (r,) por a?.

Podremos integrar estas ecuaciones, que son diferenciales
lineales y de coeficientes constantes, por procedimientos par-
ticulares; mas preferimos el método general, que hemos de
emplear muchas veces en estas conferencias.

Dicho método, recordarán mis oyentes, que se funda en
que para esta clase de ecuaciones diferenciales, sí se tienen
diversas soluciones particulares, se multiplica cada una de
ellas por una constante arbitraria, y se suman, el resultado
es otra nueva solución de las ecuaciones propuestas; pero
más general que ellas, porque contiene varias constantes ar-
bitrarias, de las cuales podemos disponer á fin de que que-
den satisfechas las condiciones del instante inicial; al paso
que las integrales particulares, si bien satisfacen á las ecua-
ciones propuestas, no tienen las constantes arbitrarias, que
son precisas para que los móviles partan de las posiciones
que fijamos y tengan las velocidades, que suponemos en el
tiempo ¿=0.

ACES

— 3712 —

A este principio fundamental se agrega el hecho compro-
bado inmediatamente de que los senos, los cosenos y las ex-
ponenciales satisfacen á las ecuaciones diferenciales en que
nos ocupamos.

Partamos, pues, del sistema de integrales particulares

x, = A,senbí,

(1)

X» = A,senbi,

en que A,, 4, y b son constantes arbitrarias.
Substituyendo estos valores en las ecuaciones propuestas,
tendremos
— A, b?senbt = a? (4, — A,) senbi,
— A, b? senbt = — 34? A, senbt;

y dividiendo por senbt,

— A; b? — 02 (A, == A),
--Ayb? =— 302 Ay;
Ó bien
A, (— b? + a?) = A,a?,

—A¿b:=— 30% As.

Estas ecuaciones se convertirán en identidades, y las ecua-
ciones diferenciales quedarán satisfechas, si determinamos
las tres constantes A,, A, y b de modo que satisfagan á las
últimas ecuaciones; y hemos obtenido este resultado gracias
á que ha desaparecido f.

De ambas ecuaciones se deduce

con sólo dividir la segunda por — A.,.

e

La primera á su vez determina la relación de las otras dos
incógnitas, así:

Por lo tanto, dando un valor arbitrario á A,, determinan-
do A, por la última ecuación y b por b? = 3a*, el sistema (1)
satisfará evidentemente á las ecuaciones diferenciales.

Pero no satisfará á las condiciones del momento inicial.

Para ello necesitamos otras soluciones particulares y apli-
car el principio fundamental á que antes nos referíamos.

Mas por el pronto, y para deducir consecuencias prácti-
cas, respecto al problema de que tratamos, estas soluciones
particulares nos bastan.

Hemos hallado:

A, a?

A, SE ya

y substituyendo en vez de b? su valor, resultará

de suerte que

Podemos, pues, disponer libremente de A,, pero A, que-
da determinada en este caso.

Así los valores de x, y x,, como resultado de dichas inte-
grales particulares, tomarán la forma

Xi == ye senbf

Na == E 24, senbt.

—

Si el punto A parte con la velocidad v,, podremos deter-
minar A, con esta condición, porque diferenciando con rela-
ción á f el valor de x,, resultará

dx,

='A, b cosbk;
dt

y haciendo para ft =0, Exa =D,

di

Vi A Ab;
de donde

A, == .s

10)

Pero ya no podremos tomar un valor arbitrario para A,,
porque hemos hallado:

y las integrales particulares serán

MS 21 senbt
b
Xe == 2 Y1 senbt.
b

A estas dos habrá que agregar el valor de x,, deducido de

X1 + Xa + Xg =0;
de suerte que
Xy == + Xi ea > Xa,

óÓ bien

as —senbr +2 senbt - 21 send.
b D 10

— 375 —

En suma, el sistema:
v
X= ep senbt,

X= — 2 senbt,
b

13)

e SR senbt,
b

satisfará á las ecuaciones diferenciales, pero como solución
particular, no como solución general.

Sin embargo, con esto nos basta para ver, que el principio
del equilibrio de temperaturas, interpretado, como preten-
díamos, no es aplicable á tres puntos materiales; pues apli-
cando á los tres valores de x, el principio de las fuerzas vi-
vas medias, resulta que han llegado los tres puntos al equi-
librio dinámico y que, sin embargo, los puntos A, C, tienen
la misma fuerza viva media; pero la del punto B es mayor:
basta para convencerse de ello recordar que las fuerzas vi-
vas medias son proporcionales á A/?, A.?, A,?.

Ahora bien, para demostrar que un teorema no es general,
basta demostrar que no lo es en algunos casos particulares,
y esto es lo que hemos hecho con las integrales particulares
que acabamos de determinar.

Y esto podríamos hacer aún, hallando por el procedimien-
to general indicado, las integrales generales de las tres ecua-
ciones diferenciales propuestas.

No lo haremos, sin embargo, porque esta cuestión la he-
mos de tratar desde otro punto de vista más adelante, y por
lo demás, el método de integración es sencillísimo y se en-
cuentra en todos los tratados de cálculo integral. Quede,
pues, como ejercicio que propongo á mis oyentes.

- 316 —

Lo que nos importa, por el pronto, observar á fuer de im-
parciales, es que los procedimientos de la Física matemática,
la hipótesis mecánica, la hipótesis particular del movimien-
to vibratorio, para explicar la propagación del calor en los
cuerpos, y el principio del equilibrio de temperaturas, no ha
llegado todavía á una solución completa y satisfactoria, que
se armonice con los hechos, que hace resaltar la Física expe-
rimental respecto á este problema.

Cierto es, que los ejemplos que hemos presentado, no
responden fielmente á la realidad.

Un cuerpo en la Naturaleza, claro es, que no se compone
de dos ni de tres moléculas, y que nuestros ejemplos, más
bien deben considerarse como símbolos Ó esquemas, que
como interpretaciones de la realidad misma. Mas asi y todo,
no creemos que sean inútiles: en la Ciencia, aun en la Cien-
cia matemática, pocas veces las teorías generales brotan de
una vez. Casi siempre, la Historia de la Ciencia lo prueba,
se ha empezado por el estudio de casos particulares, que
poco á poco se han ido generalizando hasta llegar á las gran-
des teorías.

Y por eso deciamos én otra ocasión, que el estudio de es-
tos ejemplos particularísimos, Ó sea el de un número limitado
de puntos, para llegar luego al estudio de los cuerpos físicos,
tiene cierta semejanza y guarda alguna analogía con el estu-
dio de las celdillas de los cuerpos vivos, como preparación
para el estudio de los tejidos y de las grandes masas bioló-
gicas.

Así en esta conferencia y en la siguiente, después de es-
tudiar el caso de dos puntos materiales y de tres, estudiare-
mos el sistema formado por una serie rectilínea de molé-
culas.

Sistema, repito, que ya se acerca más á la realidad, por-
que puede representar con mas aproximación simbólica que
hasta aquí, y perdóneseme la palabra, ya un hilo, ya una
barra; tomando en uno ó en otro una fila ideal de moléculas.

— 317 —

- Y en rigor, para este sistema, debía la Física matemática
demostrar la posibilidad del equilibrio de temperaturas, como
demuestra, según veremos, otros teoremas de la Termodi-
námica.

Pero este problema del equilibrio de temperaturas es, se-
gún parece, más complicado de lo que á primera vista pu-
diera imaginarse. |

Sin embargo, no haremos por ahora más que algunas in-
dicaciones, dejando el problema casi integro para la confe-
rencia siguiente. >

Las ecuaciones generales del movimiento de este sistema
lineal, son bien fáciles de establecer, y virtualmente ya las
tenemos establecidas; sobre todo, admitiendo, para simplifi-
car los cálculos, cálculos que no tienen en estas conferencias
otro objeto, que el de dar forma precisa y clara á las hipóte-
sis y á las ideas; admitiendo, repetimos, la hipótesis de que
en cada punto material sólo ejercen su acción los dos pun-
tos entre los cuales está comprendido, porque la esfera de
actividad de los restantes no llega á este punto intermedio.

Aceptando, pues, lo dicho, la serie de ecuaciones dife-
renciales, será la siguiente, que escribiremos desde luego,
para X,,X», X3, ... sin más amplias explicaciones:

d? x; 2
=m?f(r, + x, — x,),
de Py: EX 1)
d? x, 2 9 a
oo A 0) HE MS o Hd A),
1 E a
de = — Mf (14 + Xg — X2) + mM f(x, 3 X3),

La última ecuación será análoga á la primera, pero todas

A

h.

— 378 —

las intermedias serán del tipo de las que acabamos de in-
dicar.

Desarrollando, observando que el primer término de cada
desarrollo es nulo, no tomando más que el siguiente, y su-
poniendo mf" (1,) = a?, tendremos:

az;
=.04(X2 — Xi),
q = 1 —x)
d? Xx,
== =Q(x Xe- 7 A
d? x;
2 =Q(x Xy - - 2X3).

RCA EA RICE AAA A

La integración de este sistema es bien sencilla; puede,
desde luego, establecerse el sistema de integrales particu-
lares,

Xy = A; senbt,
X= Ay Senbé,
Xg = A, Sembt,

...... 01% iaiWr ss”

que satisfarán á las ecuaciones diferenciales, determinando,
convenientemente, las constantes; pero que no satisfarán á
las condiciones del instante inicial, si se toman arbitraria-
mente las velocidades.

Para obtener la integral general, hay que aplicar el méto- ¿3
do que sumariamente explicábamos antes:

1.7 Substituir los valores de x,, X,, X;... en las ecuaciones
diferenciales.

2.” Suprimir en todas ellas sen bt, con lo cual tendremos
un sistema de ecuaciones en que entrarán, la constante co-
nocida a? que caracteriza, por decirlo de este modo, la natu-

— 379 —

raleza elástica del sistema, puesto que depende de la masa m
y de la función f; y además entrarán las constantes descono-
cidas y arbitrarias A,, A), As... y b.

3.” De este sistema de ecuaciones, deduciremos la ecua-
ción final en b, que tendrá varias raíces, y á cada una de
ellas corresponderá un sistema de valores para A.

4.” De esta manera tendremos diferentes soluciones par-
ticulares, de las cuales se deducirá, por los procedimientos
ordinarios, la integral general.

No hacemos más que recordar métodos, que mis oyentes
conocen, y que, además, serían sencillos, pero largos y eno-
josos.

De todo ello se deduciría, que eligiendo arbitrariamente
las velocidades iniciales de los diferentes puntos, se puede
llegar á infinitos sistemas de equilibrio dinámico, sin que en
ninguno de ellos se verifique el equilibrio de temperaturas;
es decir, sin que, forzosamente, la fuerza viva media de las
diferentes moléculas, haya de ser la misma.

Como en la conferencia inmediata hemos de demostrar esto
mismo con más sencillez, no insistiremos sobre dicho pun-
to; pero tenemos todavía que hacer algunas observaciones.

Hemos admitido, que los cuerpos se componen de parteci-
llas en número enorme, y sujetas á fuerzas interiores y recí-
procas.

Pero no todas las moléculas del cuerpo se encuentran en
el mismo caso: todas las interiores, si el cuerpo es isótropo,
en las mismas condiciones se encuentran, es decir, sujetas á
las fuerzas, que sobre dicho punto ejercen las moléculas
comprendidas en una esfera muy pequeña cuyo centro sea

el punto en cuestión, y que tenga por radio el radio de acti-

vidad de las fuerzas moleculares.
Ni más ni menos que en nuestro ejemplo particularísimo,

e O)

cada punto no está sujeto más que á la acción de los dos
puntos entre los cuales está comprendido; por eso todas las

ecuaciones de equilibrio del sistema, exceptuando la primera

y la última, tienen la misma forma.

Pero, las partículas ó moléculas de la superficie del cuer-
po, y de una capa, cuyo espesor sea el radio de actividad,
se encuentran en condiciones distintas; así como en nuestro
ejemplo, volvemos á repetir, son distintas de las demás las
ecuaciones diferenciales de las moléculas extremas. Para
nuestro caso estas moléculas extremas, son los límites del
cuerpo.

Así, pues, debemos estudiar, si prescindiendo de las mo-
léculas extremas, para todas las intermedias se verifica exac-
ta Ó aproximadamente la ley de las temperaturas, mejor di-
cho, la de igualdad de las fuerzas vivas medias.

Y veremos en esta conferencia, sólo como indicación pro=
visional, y con todo rigor en la conferencia próxima, que
no es así, y que dicha ley del equilibrio de temperaturas ha
de ser estudiada de otro modo y con otros puntos de vista
aun dentro de la hipótesis mecánica.

Supongamos, pues, una fila, indefinida en ambos sentidos,
de moléculas, á la distancia de equilibrio r, unas de otras, y
en que sobre cada molécula sólo influyan las dos que la com-
prenden.

Todas las ecuaciones del movimiento de este sistema
ideal, serán como la segunda ecuación del ejemplo que pre-
sentamos anteriormente :

OA ACI O AR TNA

o. 4% 2. .4.. e 4 cas 1. «dejo e je 2 Ur

a

— 381 —

Y vamos á demostrar, que en este sistema puede estable-
cerse un régimen de movimiento sin necesidad de que la
fuerza viva media sea la misma para todas las moléculas.

Es un caso particularísimo, ampliación del caso análogo
que estudiamos para tres moléculas ó puntos materiales.

Es un caso particular, repetimos, porque vamos á admitir
las siguientes condiciones, á saber: que para cualquier ins-
tante han de verificarse las ecuaciones siguientes, entre todos
los desplazamientos de los puntos del sistema:

.. . .. ..... 0... ...0.9.

5
+
qe
ES
|
>

.. o... .2..o. 0... o... o...

Condiciones que demostraremos que son posibles.
De estas ecuaciones se deduce restando cada dos:

.... . ...... .. . o... 2.2.

S
|
7
|

La,
l

a ias as A as

Es decir, que si esto es posible, existirá en el movimien-
to una periodicidad, que comprenderá tres puntos consecu-
tivos como periodo.

Estas últimas condiciones son equivalentes á las primeras,
si además se supone, que una suma de tres x consecutivas
es igual á cero; porque, en efecto, si se tiene, en general,

Xu TH Xu+i TH Xuya =0

N-?
y
Xa = Xu+3 == Xu+o --...
Xuyi Xuya E Mar oo
Xu+2 = Xu — Xu+s ---.»
se deduce sumando
Xu + Xuy1 TX 2 == Xuys E Xu a X= ++. id

y lo mismo en orden descendente de los subíndices.
Claro es que no están aquí comprendidas todas las sumas;
pero cada dos intermedias cumplen con la misma condición,
En efecto,

Xu+i TXu+oe TXuya = Xuy1 E Xu y2 + Xu — 0
puesto que
Xu+ 3 = Xu
mm
Y, además,

Xu+ya F Xuys T Xuya = Xuyo E Xuys + Xu+1=0p

toda vez que

Xuya = Xuy1>

Admitido esto, las ecuaciones diferenciales del movimien-
to pueden simplificarse poniéndolas bajo esta forma:

d?x,
dt,

= (1? (x, + Xy —» 2 Xy) = (* (x; 0 Xy e e Br 3x0),

— 383 —
péro como suponemos x, + Xx, + Xx¿= 0, tendremos:

2
A == -— 3? NS
de
Efectuando para las demás la misma simplificación, todas

las ecuaciones diferenciales del sistema resultan iguales y
podremos escribir:

e MR 302x,,
df?

2
EE 30?x,,
dt,
de Xa AS
dt?

RO e ESA AO TIRO

Xi = A, senbt,
ASEO E

Xy. == As Senbt;

en que A,, A)... y b son constantes arbitrarias.

No hay dificultad en suponer, que los desplazamientos ini-
ciales son todos iguales á cero, puesto que todas las x se
anulan para f = 0. Lo que no podemos tomar arbitrariamen-
te son las velocidades iniciales, si estas ecuaciones han de
satisfacer á las condiciones, que previamente hemos estable-
cido,

Ruy. Aca, Ciexoras.—IV,—A bril, 1506. 27

— A

Por ejemplo: la condición

Xi + X2 + Xg =0
determina
A, senbt + A,senbt + A, senbt= 0,
Ó bien
A, + A, + A; =0.

Es decir, que tendremos para las constantes A relaciones
análogas á las establecidas para los desplazamientos, á
saber:

A, + A; + A,=0,

Por lo demás, todas las ecuaciones darán el mismo valor
para b, por ejemplo:

— A, b? senbt = — 3a”? . A, senbt,
Ó bien
hb? =3a?.

En suma, es posible como caso particular, el que estamos
considerando, puesto que todas las condiciones quedan sa-
tisfechas, con tal que satisfagan las constantes A á las con-
diciones establecidas.

A. PO RA

— 385 —

No podremos tomar arbitrariamente, por ejemplo,
A,, As y As, puesto que han de satisfacer á la ecuación

A, + A, + A; =0;

pero podremos tomar en ésta arbitrariamente dos de ellas;
dicha ecuación dará la restante, y la ley de periodicidad las
reproducirá para los demás puntos..

De todas maneras, el principio del equilibrio de tempera-
turas por la igualdad de las fuerzas vivas medias, no queda-
rá satistecho, toda vez que A,, 4», Aj, son distintas.

Y no obstante, ya que no sean iguales las fuerzas vivas
medias, puesto que no lo son todos los valores de A y de
estas constantes depende dicha expresión media, según vi-
mos en una de las conferencias anteriores, demostrando que
tales fuerzas vivas medias son proporcionales á A,?, A,?, Ay?;
al menos existe la igualdad por grupos de tres puntos.

En efecto,

fuerza viva media de x, ..... C.A,?, siendo C una constante;

uerza viva media de x, ..... C.A,?, siendo C la misma;
fuerza viva media de x, ..... CEA:
Su suma es

C(A/? Al A? le Az?),
y en razón á la periodicidad de las 4,
C(A? + Ag + Aj?) = C(AL2 + Ag HA?) = 0.0

Esta es una observación que, cuando llegue el caso, am-

pliaremos y que en otra forma ha sido presentada por algu-
nos autores.

*
+ o*

Resumamos brevemente todo lo dicho: la tendencia de la
hipótesis mecánica aplicada al calor, es demostrar que para

— 0

que haya equilibrio de temperatura entre todos los puntos de
un cuerpo isótropo, es decir, homogéneo en todos sus pun-
tos y homogéneo alrededor de cada punto, y lo definimos
así provisionalmente; será preciso, que la fuerza viva tenga
un valor constante, es decir, que la temperatura esté re-
presentada por una cantidad proporcional á esta fuerza viva
media; y acabamos de ver, que al menos en los sistemas
ideales que hemos presentado como ejemplos, la expresada
condición no se cumple, puesto que llegamos al equilibrio
dinámico en multitud de casos con fuerzas vivas distintas
para los distintos puntos del sistema.

El anterior trabajo, sin embargo, es un puro trabajo de
exploración: en la conferencia próxima completaremos, en
lo posible, el desarrollo de las anteriores ideas.

XVII. — Estructura de las imágenes fotocrómicas de
G. Lippmann.
Por S. R. CAJAL.

Notorio es que el método de la fotografía interferencial
imaginado por el eximio físico Lippmann constituye en el
orden especulativo una deducción de la teoría de las ondu-
laciones etéreas y en el práctico una elegante y decisiva com-
probación experimental de la realidad de estos movimientos.
Bien puede afirmarse, pues, que por esta vez la razón pura
se anticipó á la experiencia; el laboratorio del físico, en
donde tantas veces surgió la verdad al ciego impulso del
azar, se ha limitado en este caso á mostrar objetivamente
un fenómeno anunciado y previsto por la lógica matemática.

En el fondo, y prescindiendo de sus efectos artísticos, la

— 387 —

placa sensible lippanniana representa un exquisito aparato
registrador de ondas luminosas, como el fonógrafo represen-
ta un aparato inscriptor de las palpitaciones del sonido.

Bajo este aspecto, no deja de tener interés efectuar un aná-
lisis micrográfico directo de dichas inscripciones, á fin de ave-
riguar hasta qué punto la placa registradora reproduce fiel-
mente las pulsaciones luminosas, y determinar de pasada las
condiciones experimentales en cuya virtud la citada inscrip-
ción se normaliza, se falsea Ó se hace completamente ile-
gible. ;

No juzgamos necesario puntualizar aquí el modus operan-
dí del ilustre profesor de la Sorbona ni los procederes de
los autores que, siguiendo sus huellas (Lumiére, Valenta,
Króne, Neuhaus, Cramer, etc., etc.), han perfeccionado el
método primitivo. Esta técnica es harto conocida y además
su exposición detallada nos desviaría de nuestro propósito.
Bástenos, por ahora, recordar que la reproducción interfe-
rencial de los colores obedece á las siguientes condiciones
experimentales: 1.*% empleo de placas sensibles absoluta-
mente transparentes (capas de albúmina ó gelatina que en-
cierran una emulsión de bromuro argéntico casi invisible al
microscopio); 2.*, montura de estas placas, durante su expo-
sición á la luz en un chasis especial, cuyo objeto es formar
detrás de la superficie sensible, y en íntimo contacto con
ella, un espejo reflector de mercurio; 3.*, en fin, reducción,
á favor de los baños reveladores fotográficos, de la sal ar-
géntica dispersa por la placa.

Si las operaciones se conducen bien, en el espesor de la
gelatina se formarán precipitados metálicos laminares alter-
nantes con espacios nodales ó incoloros. El fenómeno es pro-
ducido por las ondas estacionarias creadas durante la expo-
sición de la luz entre los rayos incidentes que atravesaron la
placa y los reflejados en la superficie del mercurio. De estas
ondas, sólo los máximos, donde la fuerza viva llega al sumo,
impresionan al bromuro de plata; los mínimos ó planos

AR
0
.

se EE

nodales, donde la fuerza viva se transformó en energía de
tensión, quedan sin acción sobre la capa sensible, gene-
rando espacios incoloros. Ulteriormente, sometiendo la placa
á un fijador, el bromuro desaparecerá de todos los citados
espacios nodales, y la imagen resultará definitivamente fijada.

Una vez la prueba lavada y seca, los colores aparecen á
la luz blanca incidente por un mecanismo, idéntico en el fon-
do, al tan conocido de las irisaciones de las burbujas de ja-
bón ó de las láminas del nácar. La explicación del fenómeno,
en cuyos detalles no podemos entrar aquí (*), es muy senci-
lla. Aquellas ondas cuya longitud iguala al doble del espa-
cio interlaminar (ó de un múltiplo de su valor) interferirán
al salir de la placa, concordando en sus fases y sumando sus
efectos; aquellas otras cuya longitud corresponda á un nú- |
mero impar de los mencionados intervalos emergerán dis-
cordantes, se restarán entre sí y se extinguirán más ó menos
completamente.

Ocioso es decir que el color resultante será el correspon-
diente á las vibraciones reforzadas y no anuladas, alcan-
zando tanta mayor brillantez, cuanto más compacto sea el
depósito metálico y más numerosos los estratos.

Por lo demás, la obtención de buenas fotocromías por el
método interferencial es empresa muy ardua y ocasionada á
toda suerte de sorpresas y desilusiones. Baste recordar al
efecto, que las láminas metálicas de referencia, cuya Se-
paración, variable en función de la longitud de onda, no pasa

de 3 (0,211 de micra ó6 milésima de milímetro para el viola-

do), deben destacar perfectamente unas de otras, separándo-
se por espacios nodales absolutamente incoloros. Comprén-
dese bien, por consiguiente, que la menor equivocación en

(*) Un excelente análisis geométrico del fenómeno de la produc-
ción interferencial de los colores, ha sido dado por el mismo Lip-
pmann en: Journal de Physique, 3.* serie, tomo II. Mars. 1894.

ARO

el tiempo de exposición, revelado, reforzado, etc., provoca-
rá la reducción total ó parcial de dichos espacios transpa-
rentes, desapareciendo Ó apagándose notablemente los co-
lores. Esta sutilidad y casi inaccesible precisión del proceso
fotoquímico justifican el hecho singular de que, según decla-
ra Neuhaus, sólo cuatro ó cinco cultivadores del método
lippmanniano hayan tenido éxito completo, no pasando el
total de excelentes pruebas obtenidas en Europa de unas
cuantas docenas.

Pero dejando á un lado la técnica del procedimiento, de
que nos ocuparemos en otro lugar, conviene hacer constar
aquí un antecedente histórico. Los triunfos de los afortuna-
dos no deben eclipsar el recuerdo de los precursores. Mu-
cho antes de que Lippmann resolviese tan elegantemente el
problema de la fijación del espectro sobre la placa, un físico
notable, el alemán Zenker (*), anunció ya el fenómeno fun-
damental sobre que se basa el procedimiento. En efecto; este
sabio atribuyó las coloraciones de las imágenes de Bequerel
(láminas metálicas cubiertas de subcloruro de plata), á la
producción, en el espesor de la sal argéntica, de ondas esta-
cionarias, determinantes de máximos y mínimos de reducción
y, por consiguiente, de verdaderos estratos paralelos capaces
de reflejar y descomponer la luz al modo de las láminas del
nácar. En honor del que, si no los demostró objetivamente,
los vió con los ojos de la inteligencia, designaremos tales es-
tratos láminas ó estrías de Zenker. En épocas posteriores,
parecida explicación defendió también Otto Wiener (**),
quien llegó á fotografíar, á favor de procedimientos ingenio-
sos, las ondas estacionarias de Zenker, aunque no en el es-
pesor de las fotocromías.

La teoría nos obliga á admitir en las placas lippannianas
las láminas de Zenker; pero estas láminas ¿existen realmen-

(*) Zenker. Lehrbuch der Photochromie. Berlín. 1868,
(**) Annal. der Physik u. Chemie. N. F. Bd. 40, 1890,

= dE

te? ¿Cabe reconocer objetivamente, es decir, con el mieros-
copio, la realidad de tan delicadas y sutiles estructuras?
Fuerza es convenir en que la empresa es ardua. Tocamos
aquí ya en los límites de la potencia resolutiva del microsco-
pio. La longitud de las ondas luminosas, aun las más grose-
ras, representan fracciones de milésima de milímetro (y. 0,512
para el verde), y este valor queda reducido todavía á la mi-
tad, dado que, según dejamos dicho, el intervalo de dos ho-
jas de Zenker corresponde á una semionda. Y aun cabe, en
lo posible, que cada estrato, puesto que traduce un máximo
de acción fotoquímica, alcance área limitadísima entre di-
chos espacios nodales. Así, para el verde espectral, sería
preciso resolver un intervalo de 0,237, lo que exigiría, en

virtud de la fórmula de Abbé: ú = -- (luz central y blanca),

un objetivo de apertura numérica superior á 1,40, límite
práctico á que alcanzan en la actualidad los sistemas apo-
cromáticos de Zeiss (*).

Ciertamente, recurriendo á la iluminación oblicua, gana-
ríamos algo en poder resolutivo ( = pal: pero, en cam-
bio, según hace notar Neuhaus, semejante modo de ilumi-
nar ocasiona franjas de difracción que enmascaran las rayas
verdaderas, y hasta pueden inducir á cometer la grave equi-
vocación (ocurrida ya á Senior y otros) de tomar las unas
por las otras.

De todos modos, esta hazaña micrográfica ha sido, no
obstante sus dificultades, realizada por Neuhaus (**), quien
valiéndose de luz monocromática azul y del objetivo 1,40
apoch, de Zeiss, ha logrado fotografiar las láminas de Zen-
ker del rojo espectral. Los cortes microtómicos, efectuados

(*) El obj. 1,60, de inmersión en el monobromuro de naftalina, no
es aplicable á este caso particular, por ser imposible bañar directa-
mente las hojas de Zenker en dicho líquido.

(**) Neulttaus: Wiedermanns Annalen.—Bd. 65, 1898.

— 391 —

por Flatau, técnico habilísimo, no pasaron de una ó dos mi-
cras de espesor.

Después de Neuhaus, la empresa no ha sido acometida
felizmente por nadie, que sepamos. A la verdad, las revistas
fotográficas han publicado una comunicación de Senior (*)
acompañada de una microfotografía en que parece confir-
marse la observación del doctor berlinés; mas, conforme
Neuhaus nota acertadamente (**), las bandas fotografiadas
por el autor inglés son muchísimo más espesas que las de
Zenker, correspondiendo, en realidad, no á estratos reales
de la imagen fotocrómica, sino á rayas de difracción (***).

Hasta aquí se ha ensayado únicamente la resoluc'ón de al-
gunos colores espectrales puros, de onda gruesa, constituti-
vos de los casos más sencillos y abordables de la placa lippa-
nniana. Falta, por tanto, el análisis estructural de los colores
mixtos, y, muy singularmente, del blanco y gris, á quienes
se debe el modelado de las imágenes tomadas del natural.

«Muy deseable sería — dice Neuhaus al final de su li-
bro (****) sobre fotocromía interferencial — llevar el análisis
micrográfico á los colores mixtos. De cómo en éstos están
dispuestas las hojas de Zenker, nada sabemos actualmente.
El microtomo y el microscopio tienen la palabra. Tales in-
vestigaciones podrían esclarecer con certeza por qué el mé-

(*) Senior: Photography. — 3 Jannuar, 1902, núm. 650, London.

(**) Neuhaus: Neue Untersuchungen uber Lippmanns Farbenver-
fahren, etc. Photographische Rundschau, Heff. Mn. MI. Febrero y
Marzo de 1900.

(***) En efecto, basta examinar la fotografía dada por Senior del
color rojo espectral para comprender que ha sido inducido á equivo-
cación, verosímilmente por el empleo de la luz oblicua y de diafrag-
mas angostos. En estas fotografías, además, las rayas primera y últi-
tima son sumamente espesas (cosa que no corresponde á la reali-
dad) y falta por completo esa degradación de intensidad de la reduc-
ción argéntica, que tanto Neuhaus como nosotros, hemos observado
á partir de la primera ó más superficial hoja de Zenker.

(*e*) Neuhaus: Die Farbenphotographie nach Lippmanrn's Ver-
fahren, etc.—Halle, 1898.

— 392 —

todo de Lippmann para la fotografía de los objetos natura-
les, da á menudo tan deplorables resultados. »

Util, en efecto, desde el punto de vista práctico, conside-
ramos este estudio, y por eso lo hemos emprendido. Ni deja
de tener interés para la teoría indagar, por el examen direc-
to de las láminas de Zenker, las causas de ciertas singulari-
dades de la imagen interferencial no previstas ó difícilmente
adivinables por el cálculo. Citemos, entre otras, la desapari-
ción de los blancos (y no de los colores) por sobre exposi-
ción; el virado general hacia el rojo ó amarillo sucio y la
aparición del blanco, por el excesivo refuerzo; la entonación
general de los colores hacia la porción más refrangible del
espectro cuando se frota suavemente la imagen; la ausencia.
frecuente de tonos complementarios en la prueba vista por
transparencia; la aparición del negro ó violáceo cuando se
raspa el blanco; el apagamiento de las tintas por barniza-
miento (menos los blancos y grises), etc., etc.

Por lo demás, según dejamos dicho, las veleidades y ca-
prichos de las pruebas lippmannianas no deben sorprender-
nos. Trabajamos en un telar tan angosto que sólo tiene al-
gunas décimas de micra, y cualquiera equivocación en la
distancia archimicroscópica de los hilos altera extraordina-
riamente el dibujo. Proceso complejísimo el de la impresión
y desarrollo de la imagen, tiene como factores fenómenos no
bien estudiados de física molecular y reacciones fotoquímicas
de inusitada delicadeza. Con una química tan sutil que opera
en tubos de ensayo de fracciones de micra, y con partículas
sensibles tan diminutas que escapan, en su mayor parte, á la
potencia amplificadora del microscopio, ¡cómo no deplorar,
á menudo, resultados extraños é imprevistos!.....

Il. MÉTODO DE EXAMEN

Para iniciar nuestros estudios, hemos utilizado los proce-
dimientos ordinarios de la técnica de los cortes finos histoló-

— 393 —

gicos ya usada por Flatau y Neuhaus; es decir: desprendi-
miento de la gelatina, induración en alcohol, inclusión en
parafina ó celoidina y ejecución de secciones de dos á tres y.
como máximo, secciones que se exploran en el bálsamo. Esta
técnica, muy correcta y expedita (sobre todo si la: emulsio-
nes se vacian previamente sobre cristal colodionado), re-
sulta excelente cuando se trata de confirmar la existencia de
las láminas de Zenker correspondientes á los colores rojo y
naranja y de efectuar medidas micrométricas exactas. Mas
desde el momento en que es preciso analizar tonos de onda
más fina, tales como el azul y violeta, y muy especialmente
el blanco y el gris, la potencia resolutiva del microscopio
nos abandona, y es fuerza apelar, si queremos percibir la es-
tructura de la imagen, á medios indirectos.

El recurso, extremadamente sencillo, empleado por nos-
otros, consiste en remojar y examinar los finos cortes micro-
tómicos en agua, en vez de usar, al efecto, el bálsamo ó la
glicerina. Merced á tan cómodo expediente, las secciones de
la gelatina se hinchan y transparentan, las láminas de Zen-
ker se apartan y los precipitados metálicos de que constan
resultan muy perceptibles á causa de la dilatación de los es-
pacios nodales ó intercalares. De esta suerte, las rayas del
azul alcanzan, á menudo, cerca de una micra, y las del rojo
Ó amarillo se acercan á veces á dos ó más: en fin, las finas
estratificaciones del blanco y ultraviolado, que jamás se hu-
bieran percibido en la placa seca, resultan bastante aparen-
tes. La hidratación del vehículo, algo variable según los ca-
sos, equivale á multiplicar el aumento del microscopio por
ocho ó diez veces (*). Claro es, que tales imágenes no son

(*) Por consecuencia de esta dilatación del vehículo, las hojas de
Zenker del rojo, aparecen ya con 150 diámetros de aumento. Muy
cómodamente pueden estudiarse, tanto las rayas como el grano me-
tálico de la prueba, con el obj. 1,30 Zeiss, luz blanca sin diafragma,
y con iluminación central.

A

aprovechables para medidas micrométricas; el coeficiente de
dilatación de la gelatina varía con la temperatura, los efectos
tanificantes de los reactivos empleados y la presión misma de
la laminilla cubreobjetos. Pero si nuestros propósitos se en-
caminan exclusivamente á esclarecer la estructura Ó morfo-
logía interna de la placa revelada, tal deficiencia no tiene
importancia.

He aquí, pues, nuestra técnica:

1. Comiénzase por mojar en agua el área de la placa des-
tinada á ser analizada. Reblandecida la gelatina, se des-
prende ésta á beneficio de una lámina de cristal recién frac-
turada. Si la capa de emulsión es moderadamente gruesa, el
desprendimiento tiene lugar siempre por la superficie del vi-
drio ó muy cerca de ésta, y en todo caso por debajo de la
porción impresionada del bromuro argéntico.

2. Inmersión de la tira gelatinosa en agua alcoholizada,
después en alcohol absoluto y, por último, en celoidina, don-

de aquélla permanecerá solamente algunos minutos.

3. Finalmente, practícanse al microtomo cortes finos bien
perpendiculares, los cuales se llevarán al agua, donde sufri-
rán la susodicha hinchazón reveladora.

El examen efectúase también en agua destilada,” que se
cambiará, progresivamente, por glicerina, si se desea con-
servar la preparación. En algún caso será conveniente teñir
además la gelatina (con una anilina insoluble en agua), á fin
de discernir más claramente la superficie libre de la imagen.
El objetivo preferible es el 1,40 apochr. Zeiss.

Cuando se ha aprendido á ver las estratificaciones de Zen-
ker, y no se desea emprender más que una exploración de
ensayo, cabe usar un procedimiento todavía más sencillo y
expedito. Consiste en picar el lugar de la imagen, una vez
humedecida la placa, con un cubreobjetos fracturado, de
suerte que se logren tiras finas y replegamientos del vehícu-
lo gelatinoso. Protegida la región pulverizada con una lami-
nilla, el examen micrográfico inmediato permitirá encontrar

o

— 395 —

siempre algún trozo delgado de gelatina situado de través, ú
algún doblez de la capa donde se revelen distintamente las
consabidas estratificaciones.

Expongamos ahora los principales resultados obtenidos.
Pero antes de entrar en el análisis de las rayas, permíitase-
nos decir algo de un punto bastante discutido: del grano de
las placas lippannianas.

II. ANÁLISIS DE LAS IMÁGENES LIPPMANNIANAS

l. Grano de las placas aptas á la reproducción de los co-
lores. —Lippmann y demás cultivadores del método interfe-
rencial creyeron, en un principio, que las emulsiones trans-
parentes de bromuro de plata en albúmina ó gelatina care-
cían de grano, Ó lo presentaban de dimensión desprecia-
ble con relación á la longitud de onda. Empero, contra la
creencia general, Neuhaus demostró en dichas placas la
existencia de un verdadero grano, casi invisible en las
placas no expuestas á la luz, pero perfectamente visible
en las reveladas. La dimensión de este grano oscilaría en-
tre y 0,1 y 0,3.

Nuestras observaciones confirman en principio los datos
aportados por Neuhaus; sin embargo, estimamos exageradas
las cifras que nos presenta, las cuales no pueden referirse,
en mi sentir, sino, ó á emulsiones poco transparentes, Ó á pla-
cas excesivamente reforzadas. Es más; si la dimensión y. 0,3
fuera la dominante, estimamos difícil Ó imposible el que la
placa registrara la semionda del violado, cuyo valor es nota-

blemente menor a 0,574 ) Además, del examen á

que nosotros hemos sometido las franjas de Zenker del vio-
lado y azul añil resulta que el grueso de cada una contiene
un gran número de partículas. Asi que no creemos desviar-

+

AN LAT!
PA o

E

nos mucho de la verdad, evaluando la dimensión del grano
entre 0,02 y 0,05 de micra (*).

(*) Por de contado que nos referimos aquí á la dimensión del gra-
no de las emulsiones transparentes, es decir, de aquellas que regis-
tran perfectamente todos los colores, incluso el azul y el violado. Este
grano afecta, naturalmente, mayor espesor en las emulsiones que
sólo reproducen los colores de onda larga (rojo y amarillo).

La fórmula de emulsión, usada por nosotros con resultados casi
constantes, es la siguiente, arreglada de las de Lippmann y Neuhaus:

Gelatina (de Lautenschlager, de Berlín)....... 41/,
Agua ABSIada: 0 da a OO 100
Bruno de potasio... 015% ¿00 vb ratos 0,55

Disuelta la gelatina, se añade el bromuro, y cuando la temperatura
desciende á 30 ó 32”, se echan los sensibilizadores siguientes:

Solución alcohólica saturada de rojo de glicina.. 8 cent. cúb.
Solución al 1 por 500, de cianina............... 5 dd" "RE
Solución al 1 por 500, de eritrosina............. 2 íd. id.

Se espera á que la temperatura del líquido decline todavía hasta 26”
ó 28”, y entonces se adiciona en la obscuridad:

Nitrato de plata puro (marca Merk) cristalizado
y reducido momentos antes á polvo fino ..... 0,75

Sin sacudir el frasco, se mueve suavísimamente y sin interrupción
el liquido, durante la doble descomposición, con una varilla de cris-
tal. Á los cinco minutos la emulsión está hecha y puede ser vaciada en
placas, que se alcoholizarán y lavarán según los consejos de Lumiére.

Una experiencia ya larga en estos asuntos (actualmente trabajamos
con la 56 emulsión ), nos ha persuadido de que todas las condiciones
que los autores dan como indispensables al éxito completo, tienen un
valor muy relativo (proporciones del bromuro y nitrato, temperatu-
ra, lavado insistente de las placas, delgadez de éstas, temperatura de
desecación). Hay, en cambio, una á la que no parece haberse dado im-
portancia y que es absolutamente decisiva para la obtención de emul-
siones transparentes: el agitar, lenta y suaviísimamente el líquido, du-
rante el momento crítico de la doble descomposición, sin producir es-
puma, ni dejar, por tanto, penetrar el aire. A nuestro juicio, la di-
mensión del grano, cosa importantísima en la fotocromía lippmannia-
na, proviene casi exclusivamente de las condiciones físicas del pro-
ceso (agitación y temperatura, sobre todo).

$

— 397 —

Claro es que semejantes medidas no son sino aproxima-
das. La improcedencia de los micrómetros, cuya graduación
es demasiado grosera, y la dificultad de percibir objetos que
se hallan ya en el límite del poder resolutivo del microsco-
pio, hacen completamente imposible toda medición precisa.
Los gránulos más voluminosos, estudiados por nosotros, per-
tenecen á las placas dos veces reforzadas; algunos de ellos
alcanzaban el tercio del intervalo ó plano nodal de la semi-
onda del rojo (placas secas).

La forma del grano es esférica, afectando aspecto homogé-
neo y un colorido que varía mucho con el tanto de exposi-
ción, estado de humedad de la atmósfera y calidad del reve-
lador.

Por punto general, el grano de las partes poco expuestas
es gris violáceo ó azulado; los puntos justos de impresión
luminosa encierran granos obscuros de matiz marrón claro, y,
en fin, los parajes sobreexpuestos exhiben esferas finísimas
de color verdoso amarillento ú ocre rojizo pálido. Un tono
amarillo claro muy transparente, denota siempre solarización
extremada. Semejantes tintas, ocioso es declararlo, no se re-
lacionan con la cualidad cromática de la luz, sino con el
tiempo de acción de ésta. Por lo demás, únicamente en las
placas no reforzadas aparecen: la acción del sublimado, ade-
más de engruesar el grano, uniforma su aspecto, prestándo-
le opacidad y matiz más ó menos grisáceo.

No es dudoso que las referidas mutaciones de color del
grano, en función del tanto de exposición, dependen del fe-
nómeno de la fatiga del bromuro argéntico, fenómeno que, á
causa de la delicadeza de las partículas sensibles, sobrevie-
ne en las placas de Lippmann, mucho antes que en las pla-
cas ordinarias. Sabido es que el grano de substancia impre-
sionable, fatigado ó sobreexpuesto, pierde su capacidad de
reducirse en bloque negro, palideciendo, á partir de un má-
ximo ú óptimo correspondiente al tiempo justo de exposición.
Mas, en tanto que el grano de las placas comunes aguanta,

e OS

sin palidecer demasiado un tercio de exposición superflua, el
finisimo gránulo de las emulsiones transparentes pierde su
virtualidad de ennegrecerse, coloreándose de amarillo, con

sólo que dicho tiempo exceda us ó en =5 de lo justo. De

ahí la gran dificultad de acertar en la exposición y-de obte-
ner, por tanto, perfectas fotocromías lippannianas.

El grano de las placas reducidas varía de color también
con la humedad de la atmósfera. Placas fabricadas en tiempo
húmedo redúcense en rojo y no en negro, aunque no estén so-
breexpuestas. A veces, revelando en días lluviosos y con ex-
ceso de amoníaco (revelador al ácido pirogálico de Lumiére)
obtiénense á menudo imágenes que, miradas por transparen-
cia, presentan una serie de colores correspondientes á otros
tantos grados de exposición. La gama va desde el azul ver-
doso y violáceo al rojo claro y amarillo. Y el examen micro-
gráfico demuestra que dichos colores se deben al matiz indi-
vidual del grano. Así, en los puntos sobreexpuestos, el gra-
no es amarillo: verde en los menos solarizados, etc. Añada-
mos aún, que, frecuentemente, una misma área de la imagen
(un gris Ó negro por ejemplo), encierra granos reducidos en
tres tonalidades diversas: rojo ocre, gris azulado y verdoso.
Semejante particularidad parece indicar, según expusimos en
otros trabajos, que las emulsiones de Lippmann encierran
partículas de bromuro de diferente sensibilidad; naturalmen-
te, las más sensibles se fatigan antes que sus compañeras
menos impresionables, y muestran, á igualdad de exposición,
matices más próximos al amarillo (*).

(*) Los autores de Fotoquimia han desatendido esta propiedad
que posee el grano de bromuro argéntico, de modificar su color por
sobreexposición. Semejante atributo, evidentísimo en las emulsiones
lippmannianas, se da ya, hasta cierto punto, en las ordinarias, según
indicamos nosotros (La Fotografía. Año 1904). En general, los espe-
cialistas en estas materias suponen que el color del grano depende de
su tamaño, el cual varía, según el reductor empleado. Esto es un error

A

LS AE

— 399 —

Hasta aquí hemos aludido al grano de las placas revela-
das. Empero, las placas vírgenes de exposición encierran
también granulaciones, según ha reconocido Neuhaus. Con
todo, son dificilísimas de percibir, y, por consiguiente, difi-
cultosísimas de mensurar, á causa, tanto de su transparen-
cia (los sensibilizadores cromáticos no les prestan colora-
ción apreciable), como del poco contraste entre su índice
de refracción y el del vehículo gelatinoso. Esta inmaculada
blancura y consiguiente transparencia de la emulsión no
impresionada, mantiénense aun después de varios dias de
acción directa de la luz; particularidad que, dicho sea de
pasada, prueba la incapacidad del grano fino Ó transparen-
te para reducirse Óó ennegrecerse sin ayuda de los reducto-
res fotográficos (*).

De todas maneras, y no obstante las casi insuperables
dificultades inherentes á la medición del grano de las placas
vírgenes, nosotros hemos llegado á distinguirlo con relativa
claridad en ciertas condiciones (capas delgadísimas de

ya refutado por nosotros hace tiempo. En realidad, todos los reduc-
tores dan grano del mismo grueso; el color del cliché depende de la
más ó menos perfecta reducción del grano de la sal argéntica haloidea.
Sea de esto lo que quiera, es evidente que en las placas lippmannianas
el color del grano proviene de su grado de solarización. En cuanto á
sus dimensiones, son harto delicadas con relación á la longitud de las
ondas luminosas, para generar coloraciones por el mecanismo de la
luz reflejada en un medio enturbiado. Además, no se olvide que el co-
lor del grano es distintamente apreciable con el microscopio. Quien
se interese porestas cuestiones consulte el reciente trabajo de MM. Lu-
miére y Seyewetz, resumido en el Annuaire général et international
de la Photographie, 1905, p. 97, donde se sostiene todavía la doctrina
de que el color del grano es función de su dimensión.

(*) Semejante particularidad, ya notada por el Dr. Luppo Cra
nier (citado por Neuhaus, 1903), cabe ser utilizada para evitar la in-
útil operación del fijado é impedir, con el descarte de un factor cons-
tructivo de la placa, la disminución del espesor de los espacios no-
dales. Más adelante, haremos notar la importancia de la no fijación
para la buena conservación del color natural al nivel de las sombras
de la imagen.

Ruy. AcAD. CIENCIAS. —IV.—Abril, 19062 28

— 400 —

emulsión fuertemente teñidas de cianina; empleo de la luz
oblicua y del objetivo 1,40 Zeiss; luz monocromática, etc.).
La dimensión de tales gránulos nos ha parecido un poco
mayor que la de los residentes en la imagen revelada. Por
lo demás, imposible establecer cifras precisas.

2. Estructura de la placa al nivel de los colores espec-
trales puros.--El examen, conforme al proceder técnico
más atrás señalado, de los cortes de una porción de la prue-
ba teñida de un color espectral puro Ó casi puro, exhibe,
según reconoció Neuhaus, dos formaciones diferentes: capa
superficial ó estratificada y capa profunda ó sin estratificar.

La formación estratificada abarca un área variable con el
espesor de la placa, la transparencia de la emulsión y el
tiempo de exposición. De ordinario, representa el tercio Ú
algo menos de espesor total de la gelatina (placas modera-
damente espesas). En ella hay que distinguir las siguientes
partes: zona limitante; es decir, el limbo gelatinoso que
media entre la superficie libre y la primera hoja de Zenker;
las láminas de Zenker, en número variable, constituidas
por series paralelas de precipitado metálico, y en fin, los
espacios ó planos nodales, intercalados á las hojas.

a) Zona limitante.—Es dificilísima y casi imposible de
percibir á causa de su delgadez al nivel de los colores azul
y violeta; en cambio, suele aparecer con relativa distinción
en los tonos rojo y naranja, bajo la forma de un limbo finí-
simo exento de granulaciones en su límite superficial, pero
progresivamente cargado de éstas hacia su lado profundo,
continuado con la primera lámina de Zenker.

De todos modos, no es cómoda empresa, ni aun al nivel
del color rojo, el estudio detallado de la zona limitante. En
los cortes hidratados, la gelatina posee un indice de refrac-
ción, tan vecino del agua, que, ni aun iluminando con luz
oblicua, se distingue bien la frontera superficial de la citada
zona. Sin duda, en virtud de esta dificultad, Neuhaus, único
autor que hasta aquí ha visto las hojas de Zenker, pasa en

— 401 —

silencio la existencia de la capa limitante que, por lo demás,
no aparece claramente en la microfotografía aneja al texto
del doctor berlinés. Al objeto de precisar un punto que tiene
importancia para la teoría, nosotros hemos practicado cortes
en placas exteriormente lubrificadas con un color de anilina
soluble en alcohol é insoluble en agua (azul de anilina, por
ejemplo) ó con barnices alcohólicos coloreados dispuestos
en cutícula superficial. En tales condiciones (fig. 1.* a), la
capa limitante suele hacerse bien perceptible, gracias á la
costra de color insoluble yacente inmediatamente por enci-
ma de ella. Su espesor en las placas hidratadas corresponde,
sobre poco más óÓ menos, á la mitad de un espacio nodal,
valor que sufre grandes variaciones, acaso achacables á la
desigual dilatación del vehículo gelatinoso y de seguro tam-
bién al variable espesor de la primera lámina de Zenker.

Estas observaciones comprueban, por lo menos en princi-
pio, un hecho sospechado por los analistas, á saber: que la
superficie de la gelatina representa el primer plano nodal, y,
por tanto, que el espejo reflector de mercurio estuvo en ínti-
mo contacto durante la exposición de la luz con la placa fo-
tográfica (*).

Las consideraciones precedentes se refieren á las placas
justas de exposición y moderadamente reveladas. Consigne-
mos ahora que, en las imágenes enérgicamente desenvuel-

(*) Este hecho pugna con la opinión de Rothé, quien atribuye la
producción de los colores lippmannianos á la reflexión de la luz en la
superficie de una pretendida capa de aire que, según él, subsistiría
siempre entre la placa y el mercurio. Véase: Compt-rend. de P' Acad.
de Sciences, 1904. Pero si las cosas pasaran de tal suerte, es decir,
si la reflexión de la onda incidente que atraviesa la placa, tuviera
lugar en una substancia de menor índice que la gelatina, en vez de un
plano nodal superficial, deberíamos hallar un vientre ó máximo. Y
esto no sucede jamás en las pruebas justas de exposición y no refor-
zadas. (Véase acerca de esta particularidad de las ondas estaciona-
rias el libro de O. D. Chwolson 7 raité de Physique, etc. Tom. I. Pa-
rís, 1906 (traducción del ruso).

— Ni —

tas y reforzadas, la zona limitante desaparece ó se achica tan
notablemente, que prácticamente es como si no existiera.
Ello depende del avance hasta la superficie, por el engrosa-
miento del grano, de la primera hoja de Zenker. Así se ex-
plica que, en la mayoría de los casos, la luz reflejada por
este primer depósito metálico coincida casi perfectamente con
la enviada por la superficie de la gelatina. Sobre este impor-
tante fenómeno insistiremos más adelante (figuras 8, 9 y 11).

b) Hojas de Zenker. —Constan de un precipitado metáli-
co, denso hacia el centro de la banda y sucesivamente menos
apretado hacia las fronteras, afectando, por tanto, una dispo-
sición conforme á la teoría (fig. 1.* b). No hay que olvidar, sin
embargo, que en las placas secas, esta banda de precipitado
se aprieta notablemente, desapareciendo casi por completo
sus transiciones y presentando una densidad y un poder re-
flector notabilísimos. Cuando se trata de placas sin reforzar,
el color del grano es amarillo pardo muy claro, que pasa á
gris marrón ó cafe obscuro en las reforzadas.

En cuanto al número de hojas de Zenker, es muy variable,
oscilando en la mayoría de los casos, según reconoció ya
Neuhaus, entre cuatro y seis. Las variaciones de esta cifra
dependen de la calidad de la emulsión, la intensidad de la
luz empleada, el tiempo de exposición y la transparencia de
la gelatina. En general, nos ha parecido que los colores vi-
vos, puros y bien iluminados, como los del espectro solar ó
los que proyecta un cristal de linterna mágica bañado por el
sol, se imprimen en mayor cantidad de hojas de Zenker que
los tonos compuestos de los modelos naturales. Poseemos
copias del espectro en que las estratificaciones en número
de 13 y más, llegan hasta el cristal, reflejando los colores .
por ambos lados. De todos modos, este hecho es excepcio-
nal, siendo lo corriente el obtener cinco ó seis, lo más ocho,
láminas separadas por otros tantos espacios nodales claros.

El espesor de las hojas, así como el de los espacios noda-
les, es uniforme; pero no su vigor y corrección de límites, los

a!

— 403 —

«cuales van tornándose sucesivamente más vagos conforme
nos alejamos de la superficie de la placa. Este hecho, según
veremos más adelante, tiene gran importancia para esclare-
-cer ciertas propiedades de las imágenes lippmannianas.

Conforme mostramos en las figs. 8.* y 2.*, el primer estrato,

«situado inmediatamente por debajo de la zona limitante ó in-

vadiendo sus dominios (placas reforzadas), suele ser algo
más enérgico que los demás (en esto hay excepciones), limi-
tándose correctamente hacia el espesor de la gelatina; sigue
luego el primer espacio nodal, el más puro é incoloro de to-
dos, es decir, exento de precipitados; viene después la se-
gunda hoja de Zenker, densa y de correctas fronteras, se-
guida del segundo espacio claro, casi tan transparente como
el primero; en fin, tras este plano nodal, el contraste entre
los espacios claro y las hojas disminuye (los espacios se lle-
nan de precipitados sucesivamente más obscuros ), hasta que
se llega á una región en que se diseñan muy vagamente los
estratos y cesa progresivamente el precipitado argéntico (fi-
gura 1.* d).

Como veremos más adelante, la intensidad relativa de las

primeras hojas de Zenker varía mucho con el tiempo de ex-

posición y el vigor del reforzado. En general, en las placas
normales, las dos primeras hojas poseen la misma intensidad
y espesor; mas en las sobreexpuestas, la primera se debilita
y aun llega á desaparecer por completo en virtud del fenóme-
no de la fatiga fotoquímica. En tal caso, la hoja más enér-
gica resulta la segunda y aun la tercera (fig. 12 y 13).

c) Formación profunda. — La porción profunda ó no
estratificada exhibe gran variedad de extensión y aspectos
(figura 1.* e). |

En las placas sumamente delgadas puede faltar ó reducir-
se notablemente, mientras que en las moderadamente espe-
sas constituye, según aparece en las figuras 1.* y 2.?, los dos
tercios ó la mitad de la totalidad de la gelatina. Por lo común,
si la exposición ha sido justa ó corta, la formación profunda

<A
y se ea,

— ¡ADA rio]

muéstrase clara, sin reducción argéntica, á lo más permite
discernir acá y allá algún gránulo correspondiente quizás á
las estérulas de bromuro de plata excesivamente sensibles.
Mas si la exposición fué excesiva Ó se lextremó sobremane-
ra el desarrollo, dicha zona exhibe un precipitado difuso,
fino, amarillento ó marrón claro, salpicado de algunos gra-
nos groseros. La presencia de este precipitado es la causa
principal del velo de las porciones obscuras de la imagen,
accidente gravísimo del procedimiento fotocrómico que nos
ocupa, en el cual, como se sabe, la obtención de los negros
(por barnizamiento del dorso del cristal con betún de Judea)
exige la absoluta transparencia de los parajes correspondien-
tes á las sombras del modelo.

Este primer análisis concierne á los colores rojo y amarillo,
puros ó casi puros, de una buena fotocromía (fig. 1.*). Mas,
según presumirá el lector, el aspecto de los cortes de la ima-
gen de los demás colores será esencialmente el mismo, sal-
vo la distancia entre las hojas de Zenker, variable en función
de la longitud de onda. En la fig. 2.* mostramos un corte del
color azul (y = 0,475 4). Repárese la delgadez extrema de
la zona limitante y la relativa finura de las franjas de Zenker.
Acaso se trate de un fenómeno de coincidencia; pero en la
mayoría de nuestras preparaciones, el número de hojas me-
tálicas nos ha parecido ser, tanto en el azul como en el vio-
leta, algo menor que en los colores poco refrangibles (rojo y
anaranjado); diríase que las ondulaciones finas se propagan
más difícilmente que las anchas á través de la placa de ge-
latino-bromuro (figuras 2.* y 12).

2. Análisis del blanco y del gris. — Consígnase al princi-
pio de este escrito que el blanco no ha sido todavía explo-
rado, ignorándose, por tanto, las condiciones físicas á que
su producción obedece. Y este estudio tiene tanto más inte-
rés, cuanto que la obtención del blanco y gris, y, por tanto,
del modelado de los colores, constituye el problema prácti-
co más arduo de la fotocromía lippanniana. Conseguir emul- |

pe

— 405 —

siones que, además de colores vivos, den blancos y grises
perfectos, he aquí, por confesión del mismo Lippmann, el
desideratum del método interferencial. Nosotros lo habíamos
perseguido en vano mucho tiempo en las placas simplemen-
te reveladas, hasta que, por las publicaciones de los espe-
cialistas y el análisis de la imagen, nos hemos persuadido
de que el blanco es pura función del refuerzo de las imáge-
nes. Sin esta operación, es decir, sin la producción artificial
de grano grueso en las partes más solarizadas, consíguense
alguna vez tonos amarillentos claros, matices más Úú menos
grises; pero jamás el blanco perfecto cuya producción impli-
ca la creación, en el primer plano de la gelatina, de una hoja
metálica de granos apretadísimos, Opacos, capaces de obrar
como un espejo reflector. Y es claro que los finísimos gra-
nos en que se resuelve la emulsión después del revelado (sin
refuerzo), carecen de la opacidad indispensable para des-
empeñar semejante función especular.

Como mostramos en la figura 5.*, la gelatina, al nivel del
blanco, consta de tres regiones bien diversificadas: 20na es-
pecular ó limitante; zona media ó estratificada, y, en fin,
estrato posterior 6 de reducción de difusa.

a) La caracteristica del blanco y gris, así como de todos
los colores que participan del blanco, es la desaparición ab-
soluta de la zona limitante. En su lugar, así como en el do-
minio de la primera lámina de Zenker, aparece una recia,
densa y obscurísima capa, la zona especular dotada de un
gran poder reflector (figuras 5.* y 6.* a). Esta capa, correcta-
mente limitada por ambas caras, contiene granos metálicos
robustos, esféricos, de color pardo obscuro, que yacen en '
íntimo contacto. Regla general: cuanto más brillante es el
blanco, más opaca y compacta se presenta dicha zona que,
según es de presumir, exhibe en las fotocromías simplemen-
te reveladas y sin refuerzo, un aspecto amarillo ó pardo claro
transparente y numerosos intersticios intergranulares bien
perceptibles.

de E ce

Esta primera observación es ya decisiva para comprender
la génesis del blanco, revelándonos que su producción de-
pende de dos condiciones: precipitaciones metálicas en la
zona limitante y opacidad excesiva de la primera hoja de
Zenker que se funde y forma una sola unidad morfológica
con la anterior. A consecuencia de semejante espesamiento
y opacidad excesiva, la luz incidente es casi integramente
reflejada por la superficie metálica, sin que los escasos rayos
que pudieran penetrar hondamente en la placa sean suscep-
tibles de suscitar fenómenos útiles de interferencia.

b) Detrás de la capa especular sigue un finísimo espa-
cio nodal (fig. 5.*) y una serie de rayas muy obscuras, delga-
dísimas y apretadas, en las cuales no es raro discernir des-
igualdades de espesor y de distancia (b). Las rayas del blan-
co, escasas generalmente, no faltan jamás aun siendo muy
puro el color (imagen de pared blanca, de cielo nebuloso,
de papel bien iluminado, etc.). Naturalmente, tales rayas se
mostrarán más numerosas en las tintas mezcladas de blanco
(rosa, crema, azul claro, etc.), que en los blancos ó grises
cualitativamente indiferentes. Reparemos, y este hecho es
muy significativo, que, por lo común, las distancias entre di-
chas hojas de Zenker son brevísimas y comparables á las
peculiares de los colores violado y azul. A veces, aprécianse
diferencias de espesor y de distancia entre las láminas, como
si algunas de ellas correspondiesen á ondas diferentes. Por
de contado, en las placas no hidratadas, la percepción de
tales hojas es absolutamente imposible. Su existencia, pues,
constituye pura revelación del método de hinchazón por el
agua.

¿Cómo interpretaremos los referidos hechos? A nuestro
juicio, y no obstante algunas irregularidades difíciles de
comprender, la presencia de la capa especular, como la de
las bandas finas subsiguientes, son datos armónicos con la
teoría. Verosímilmente, la gruesa zona especular, iniciada ya
en la misma superficie de la gelatina, corresponde á los

NN NS

— 407 —

máximos de acción fusionados de las ondas más finas del

14

espectro; es decir, de la porción invisible ó ultraviolada. La

inscripción de estas menudas ondas se ha realizado en globo
y difusamente, á causa de que el grano de la emulsión no es
suficientemente fino para consentir una estratificación perió-
dica y regular. En cambio, las ondas violadas y azules, hart-
to más amplias que las precedentes, han logrado ser regis-
tradas, si bien en pequeño número. En fin, las relativamente
gruesas rayas que, en ocasiones, destacan entre las finas, co-
rresponden quizás á los máximos de las ondas graves (ver-
de, amarillo y rojo), que bien pudieran ser aquéllas para
quienes la sensibilización cromática de la emulsión resulta
más eficaz (*). Ocioso es decir que, según este parecer, la
superficie de la gelatina en contacto con el mercurio, repre-
senta el primer plano nodal común á todas las ondas más ó
menos distintamente registradas por la placa.

De lo expuesto infiérese fácilmente que la producción del
blanco al nivel de las partes de la placa impresionada por
todas las radiaciones luminosas no resulta de la mezcla y
fusión de los efectos reflectores de múltiples estratos de
Zenker, sino exclusivamente del poder reflector de una den-
sa y opaca estratificación negra superficial, cuya opacidad
guarda relación con el grado de brillantez del color. Nada
tienen, pues, que ver con el fenómeno, las finas hojas de
Zenker del espesor de la placa, ni, por tanto, procesos de
interferencia, en este caso imposibles, á causa de la densidad
de la citada zona especular. Que semejante interpretación es
exacta, persuádenlo las siguientes experiencias:

1. Cuando se frotan los blancos, el brillo de la placa

(+) Esta desigual impresionabilidad al verde, rojo ó naranja es
desgraciadamente muy frecuente, comprobándose hasta en emulsio-
nes que recibieron las mismas cantidades de eritrosina, cianina y
rojo de glicina. Semejante defecto da lugar á que ciertas emulsiones
no reproduzcan el blanco puro, sino el blanco rosáceo ó el blanco
amarillento.

IRA Is

— 408 ==

disminuye, pero sin aparecer los colores. Sólo cuando toda
la zona especular ha sido descartada, se desvanece el blan-
co, cediendo su puesto al negro, Ó á un gris más Ó menos
violáceo ó azulenco.

2. La iluminación oblicua de la placa provoca, según es
sabido, en las partes coloreadas, un virado general del tono
hacia la porción más refrangible del espectro: así, los naran-
jas se tornan amarillos; los amarillos, verdosos; los verdes,
azules, etc., y este cambio de matiz se acentúa conforme se
exagera el ángulo de incidencia. Semejante transformación
cualitativa de la imagen á la luz oblicua, implica la estructu-
ra laminar de la gelatina, explicándose muy bien por el alar-
gamiento del camino recorrido por las ondas de longitud in-
ferior al doble de los intervalos interlaminares (*). Ahora

(*) Algunos autores, y singularmente Berthier (Manuel de Pho-
tochromie interferencielle, París. Gauthier Villards, 1895), suponen
que la luz oblicua produce en las imágenes lippannianas un virado
de los colores hacia la porción menos refrangible del espectro, es
decir, hacia el rojo, en vez de virar hacia el azul y violado. Esta aser-
ción, cierta en principio, no se confirma en el terreno de los hechos.
La experiencia demuestra constantemente todo lo contrario, y ade-
más el cálculo viene en apoyo de la observación, mostrando la po-
sibilidad del fenómeno.

En efecto, supongamos dos láminas de Zenker sucesivas, creadas
por una onda de longitud 2”, y cuyo intervalo equivale, por tanto, á
una semiondulación de este color. Designemos e este espacio inter-
laminar, 5 la diferencia de ruta de los dos rayos reflejados, superficial
y profundo, y Y y 2”, respectivamente, las longitudes de onda de
dos radiaciones próximas cualesquiera. Mirada la imagen á la luz

incidente normal, 9 equivaldrá á 202 por consiguiente, el

rayo 2' interferirá útilmente á su emergencia de la placa, extinguién-
dose los demás. Bajo la influencia de la luz oblicua, dicho rayo sim-
ple no podrá prevalecer, sino otro de menor longitud, dado que el
camino se habrá alargado en relación del coseno del ángulo de inci-
dencia. La diferencia de marcha de ambas pudas; abi y pro-

funda, será ahora, por ejemplo: ¿= 2 ecos.i = 2 + FUN E En tales

condiciones, el rayo generador de las hojas de Zenker 2” será anula-

— 409 —

bien; la inclinación de la placa con relación á la luz inciden-
te no produce ningún cambio de tinta en el blanco; prueba
inequívoca de que este color no es producido por una es-
tructura estratificada. |

3. Ni el barnizamiento, ni una ligera hidratación, modifi-
can sensiblemente el aspecto del blanco, al revés de lo ocu-
rrido con las partes coloreadas.

3. Colores mezclados de blanco.—Los tonos mixtos de
blanco y de un color dominante (marrón, pardo, crema,
rosa, azul claro, etc.) son comunísimos en las buenas foto-
cromías, entrando por mucho en el carácter artístico de la
reproducción, cuyo modelado resulta, principalmente, de una
correcta distribución de las tonalidades apagadas. A priori,
cabe ya imaginar, que los colores mixtos contendrán una
zona especular superficial moderada (signo del blanco) y
estratificaciones cuyos intervalos corresponderán á la nota
fundamental. Y en efecto, así es. Citemos, á guisa de ejem-
plo, un corte de un blanco amarillento (fig. 6.*). La superfi-
cie de la placa, exhibe la susodicha capa especular delgada
dotada de regular transparencia; detrás, se observa una
raya fina, pálida, próxima (c), correspondiente quizás al vio-
lado ó al ultraviolado; en fin, siguen dos ó tres rayas espa-
ciadas, recias, separadas por amplios espacios nodales, que
bien pudieran representar las hojas de Zenker del amarillo.

do, mientras que prevalecerá otro de menor longitud de onda, aquel
EZ NES

en ique y =2.ec08.1= 3

La contradicción estriba, en mi sentir, en que da como cierto que
el intervalo de las dos láminas primeras creadas por las ondas esta-
cionarias del rayo 2”, equivale exactamente á la mitad de la longitud
vibratoria de éste; cuando, en realidad, y por consecuencia del re-
fuerzo y otras operaciones fotográficas, dicha distancia e, suele ser
bastante mayor. Por esto, á la luz normal, el color que suele prevale-
cer, no es el original, sino otro de onda más larga; lo que obliga á
menudo á emplear la incidencia oblicua para restablecer la tinta na-
tural,

— MO

La desigualdad de los intervalos de las hojas de Zenker, es
fenómeno frecuente, pero no constante, de los colores com-
puestos. En algunos casos pudiera ser mera apariencia, mo-
tivada por la desigual hidratación de la gelatina. Así, por ejem-
plo, las zonas superficiales se dilatarían menos que las pro-
fundas. Mas en los casos en que el agua ha obrado largo
tiempo y las rayas finas aparecen en plano superficial, difícil
es no atribuir esta multiplicidad de espesores y distancias
de las hojas de Zenker, á la inscripción simultánea de varias
ondulaciones. De todos modos, jamás, ni en los colores
mixtos ni en los blancos puros, quedan inscriptas todas las
ondas del espectro visible.

Parecida estructura afectan los blancos azulencos, rosá-
ceos, verdosos, etc.; todos ellos poseen, á más de la zona
especular, un sistema de rayas, cuyos efectos Ópticos se su-
man á la función reflectora del precipitado superficial. En todo
caso, el limbo especular se continúa con la primera hoja de
Zenker de la cual no puede distinguirse (figuras 15 y 11).

Análogamente á lo ocurrido con los colores puros (véase
más adelante), estimamos probable que sólo sean aprove-
chados, para la producción interferencial cromática, las dos
primeras hojas de Zenker, Ó acaso las tres primeras, si
como dejamos dicho, por debajo de la más superficial exis-
te todavía cierto estrato secundario fino (fig. 11 c). A esta fun-
ción cromática, habría que añadir el efecto apagador y como
pertubador suscitado por la luz blanca, al reflejarse en la
transparente zona especular, lavando y como diluyendo la
tonalidad creada por las hojas de Zenker. Por lo demás, que
esta capa Ó limbo superficial, aunque pobre en precipitados,
motiva el apagamiento del color, se prueba sometiendo la
placa á la frotación 6 á un rebajado moderado; maniobras
que hacen desaparecer el tono blanquecino, avivando sucesi-
vamente el color dominante, el cual acaba, si se continúa el
raspado, por virar también hacia la porción más refrangible
del espectro.

— 411 —

-4. Análisis de los colores obscuros y de las manchas del
gris.—Las tintas obscuras Ó mezcladas de negro, resultan
simplemente, como la teoría sugiere, de la transparencia y de-
licadeza de las láminas de Zenker. Supongamos un verde
obscuro como el reproducido en la figura 16. Nótese que fal-
ta en absoluto la capa especular, aquí substituída por un plano
nodal perfectamente incoloro. Repárese, además, en el esca-
so número de hojas de Zenker (cuatro ó cinco), y sobre todo
en su delgadez notable, exquisita transparencia y tono lige-
ramente amarillento. Casos hay en que los estratos parecen
formados de una sola fila de gránulos amarillentos. En cuan-
to á los espacios nodales, son puros, relativamente amplios y
carecen en absoluto de precipitados. En condiciones tales,
compréndese fácilmente que la placa refleje pequeñísima
cantidad de la luz incidente y deje, por tanto, percibir el fon-
do negro del dorso del cristal (barniz de betún de Judea) (*).
Ocioso es advertir que, cuanto más pálidas sean las hojas de
Zenker, más obscuro resultará el color. Precisamente en tales
casos es cuando los colores resisten mejor al barnizamiento,

(*) Los autores barnizan con un color negro el dorso del cristal,
á fin de obtener los obscuros. Nosotros preferimos crear este fondo
en la gelatina misma, para lo cual nos servimos de un recurso, á pri-
mera vista muy arriesgado y, sin embargo, inofensivo. Consiste en
volver á exponer la placa revelada y reforzada (pero no fijada, natu-
ralmente), á la luz difusa, revelando después en baño de amidol, es
decir, en el mismo líquido aprovechado para el refuerzo. Esta expo-
sición se efectúa por el dorso del cristal, y tiene lugar en la luz difu-
sa durante varios segundos. Fórmase de esta suerte, detrás de la ima-
gen lippanniana y por reducción del bromuro que quedó sin impresio- .

- nar, una capa ó fondo negro, sobre el que destacan muy bien los co-

lores.

Contra lo presumible, el revelador no altera las tintas, porque las
capas de Zenker profundas preservan de la insolación las regiones
superficiales, que son las que en definitiva generan el fenómeno in-
terferencial. Además, las nuevas partículas de plata depositadas, tie-
nen color negro azulado, en vez del pardo amarillo de la prueba ori-
ginaria.

ds di

circunstancia bien comprensible si recordamos la exquisita
transparencia de las láminas, las cuales pueden, en su tota-
lidad, colaborar en el proceso interferencial.

5. Brillo y pureza de los colores interferenciales.— Todo
el que haya practicado un poco el método fotocrómico de
Lippmanmn, habrá observado las más grandes diferencias re-
lativamente al brillo y limpieza de los colores. Ciertas placas
muy transparentes reproducen toda la gama del espectro,
traduciéndola por tonos brillantes y puros; otras emulsiones
dan igualmente la totalidad de los colores, mas sin esplen-
dor y limpieza, como si estuvieran ocultos bajo un velo
gris Ó blanquecino; algunas, en fin, copian con más ó menos
fidelidad ciertas tintas, de ordinario el rojo, el naranja y el
amarillo, siendo incapaces de reproducir el verde, azul y vio-
lado.

No nos ocuparemos aquí de las condiciones experimenta-
les en cuya virtud las emulsiones son más ó menos aptas
para reproducir los colores y singularmente el blanco. De
ello trataremos en otro trabajo. Nos concretaremos solamen-
te á estudiar las causas físicas inmediatas del brillo del color,
punto importantísimo que las investigaciones de Lippmann,
Valenta y Neuhaus no esclarecen por completo, por no ha-
ber recurrido al análisis anatómico de la imagen lippanniana.
En este punto como en otros muchos relativos á la interpre-
tación de las propiedades de la imagen lippanniana, sé han
contentado los físicos con las previsiones de la óptica geo-
métrica. Pero desgraciadamente, la realidad es infinitamente
más compleja que nuestras fórmulas, y así, muchas singula-
ridades de la imagen lippmanniana esperan todavía plausible
explicación.

En el orden especulativo, la causa principal de estas lagu-
nas é incertidumbres, ha sido extremar demasiado la teoría
de Zenker, que se aplicó á la interpretación de los hechos de
un modo absoluto y sin tener en cuenta las limitaciones

prácticas impuestas á la concepción geométrica por la espe-

A AAA

— 413 —

cial naturaleza de las reacciones fotoquímicas. En realidad,
ni las hojas de Zenker son láminas rigurosamente lisas y bien
deslindadas de los espacios nodales, ni afectan igual espesor
y densidad, ni, por tanto, poseen esa uniforme y exquisita
transparencia exigidas por la teoría, á fin de que todas ellas
concurran útilmente y en adecuada proporción á la reflexión
de la luz blanca incidente.

Limitándonos al punto concreto del brillo é intensidad del
color interferencial, imaginan los autores, siguiendo á Zen-
ker y Lippmann, que, dependiendo la cualidad cromática de
la estructura laminar de la placa, cuanto mayor sea el núme-
ro de estratos reflectores, más puros y vivos serán los tonos
obtenidos. Y en principio así debe ser; mas la experiencia
ne se ajusta enteramente á lo previsto. Consignemos, desde
luego, que los estudios efectuados por nosotros en un gran
número de placas de brillo cromático diverso, revelan que
ciertas imágenes, formadas por diez ó doce estratos regulares
y bien aparentes, dan colores menos brillantes que algunas
otras, donde sólo fueron reconocidas tres ó cuatro hojas de
Zenker, singularmente vigorosas y correctas. No depende,
pues, exclusivamente la brillantez del color del número, sino
de la calidad de las láminas y espacios nodales.

Para formular de una vez nuestro pensamiento, en que se
sintetizan los datos recogidos en cientos de observaciones
cuidadosas, declararemos que, en la inmensa mayoría de los
casos, el color es producido casi exclusivamente por la re-
flexión de la luz (y consiguientes interferencias) en las super-
ficies exteriores de las dos primeras hojas de Zenker. Las
hojas profundas, á partir de la tercera, suelen ser completa-
mente inútiles (salvo algún caso) para la formación de la
imagen coloreada: 1.”, porque ni reciben luz en cantidad su-
ficiente, ni pueden transmitir eficazmente al exterior la poca
recolectada; 2.”, porque careciendo tales estratos de límites
correctos y de espacios nodales incoloros, las ondas no son
en ellos convenientemente analizadas, produciéndose disper-

— 414 —

siones que se traducen en radiaciones difusas, más ó menos
grises, semejantes á las reflejadas por el dorso de la gelatina.

En la mayoría de los casos, por consecuencia del enrecía-
miento de la primera lámina de Zenker y desaparición del
primer plano nodal ó zona limitante (placas reforzadas, etc.)
á los rayos incidentes reflejados en dicha lámina, se agre-
gan los enviados por la superficie de la gelatina. Prácticamen-
te, pues, el primer plano de reflexión hállase en la superfi-
cie de la placa, estando representado principalmente el otro,
según dejamos consignado más atrás, por la segunda hoja
de Zenker.

He aquí las principales experiencias en que se funda este
dictamen, experiencias sencillísimas y fáciles de interpretar.

1.* Cuando se barniza la placa con un líquido cuyo indi-
ce de refracción sea igual ó aproximado al de la gelatina de-
secada, los colores palidecen notablemente y á menudo des-
aparecen por completo. Esta desaparición hémosla compro-
bado, tanto en imágenes de tonos brillantes, como en las de
matices apagados, y lo mismo en las formadas de pocas, que
en las compuestas de muchas hojas de Zenker. Sin embar-
go, en casos excepcionales, los colores palidecen menos; pero
esto no depende del número excepcional de las hojas, sino
de la exquisita limpieza y relativa transparencia de las tres Ó
cuatro primeras estratificaciones, cuyos intervalos nodales se
muestran absolutamente libres de precipitados (*).

2.? Frotando suavemente la placa desecada con un tapón
de algodón, empapado en alcohol absoluto, reconócese con
absoluta constancia y cualquiera que sea el brillo del color,

(*) A esta, relativamente rara categoría de imágenes cuyos es-
tratos, sumamente transparentes y limpios, concurren en gran núme-
ro al fenómeno de las interferencias, pertenecen sin duda las buenas
pruebas barnizadas, exhibidas por Lippmann y Lumiere. Para que
una fotocromía soporte sin grave pérdida cromática el barnizamento,
es preciso que alcance un brillo desusado; brillo que, por desgracia,
no dan la inmensa mayoría de las emulsiones.

- MR

que las tintas” derivan rápidamente hacia el lado de la por-
ción más refrangible del espectro. Así, frotando el color rojo,
tórnase primero naranja, luego amarillo, después verde, y,
por último, azul y violeta, matices que se conservan indefi-
nidamente en la placa desecada, y que no son debidos, por
tanto, ni á excesiva desecación, ni á fenómenos de hidratación
(la hidratación obraría, en todo caso, en sentido contrario),
sino á las erosiones sufridas por la capa limitante y primera
lámina de Zenker. Esta experiencia, ya efectuada por Neu-
haus, fué presentada por este sabio como un argumento sin-
gularmente comprometedor para la teoría de Zenker y Lip-
pmann. «Los colores frotados — afirmaba discretamente el
doctor berlinés — deberían cambiar, no de tono, sino de inten-
sidad, disminuyendo de brillo, en relación al número de es-
tratos reflectores suprimidos. »» Y en virtud de tan racional
argumento, Neuhaus emitió algunas dudas sobre la existen-
cia de las susodichas láminas, congeturando que los colores
de las placas lippmannianas pudieran depender del espesor

- de la gelatina, espesor variable para cada tinta é igual al

de la semilongitud de onda. Pero hoy, después de haber
demostrado dicho sabio la existencia real de las láminas de
Zenker, semejante dictamen resulta insostenible. Es singu-
lar que en su moderno libro de Fotocromía (*), nada nos
diga Neuhaus acerca de este punto, pareciendo abandonar
su antigua opinión; por donde el referido fenómeno queda
enigmático y sin enlace con la teoría.

3.? Examinando con una lente de 20 á 30 diámetros de
aumento la superficie de la gelatina frotada, reconócense tan-
tas gradaciones de tonos espectrales, como escalones Ó gra-
dos de profundidad ofrece el raspado.

4.* Continuando el frote más allá de la aparición del vio-
leta, los colores se desvanecen definitivamente, y, sin embar-

(*) R. Neuhaus: Die Farbenphotographie nach Lippmanr's Ver-
fahren. Neue Untersuchungar und Ergebnisse. Halle, 1898.

Rey. Acap. Crencias.—I1V.—Abril, 1906, 29

A

go, la región denudada de la imagen no ha perdido su vi-
gor mirada por transparencia.

5.* En las pruebas pasadas de exposición, donde suele
faltar la primera lámina de Zenker, el barnizamento (que
obra apartando notablemente el primer plano de reflexión, Ó
sea la gelatina) desvanece total y radicalmente los colores,
sin embargo de no haber alterado sino la distancia de una su-
perficie reflectora.

6.* El brillo de los colores, según dejamos consignado
ya, es independiente del espesor de la placa, y, por tanto,
del número de hojas de Zenker. A veces, las placas más del-
gadas suministran colores notablemente espléndidos.

7.2 En fin, y ésta es la razón decisiva, examinando al mi-
eroscopio cortes finos de pruebas frotadas, manifiéstanse
estos dos hechos; a, al nivel de los parajes en donde, por la
debilidad del roce, sólo hubo cambio de tono cromático,
aparecen conservadas todas los hojas de Zenker, mostrándo-
se solamente desgastada la primera; b, las regiones en don-
de, por excesivo desgaste, perdióse definitivamente el color,
mantienen todavía sus estratos metálicos, exceptuando el
primero y la zona limitante (fig. 10 a).

Por lo demás, admitido que el proceso diferenciador de la
luz blanca, tiene lugar de preferencia entre las dos primeras
láminas de Zenker, nada más fácil de explicar, dentro de la
teoría clásica, que los citados cambios de color producidos
por el frote. El desgaste lento, provocado por el pulido de la
gelatina seca con un copo de algodón empapado en alcohol,
obra parsimoniosamente, adelgazando desde luego la zona
limitante (cuando existe) y primera hoja de Zenker, cuyo in-
tervalo con la segunda, va pasando sucesivamente por todos
los valores de semilongitud de onda intermediarios entre el
rojo (suponiendo roja la parte desnudada) y el violado.
Cuando, descartada la primera hoja, la superficie de la gela-
tina está formada por cualquiera de los niveles del segundo
espacio nodal, el intervalo entre los dos planos reflectores

— 417 —

(superficie de la placa y segunda hoja de Zenker) es ya me-
nor que la semionda del violado, y ningún color puede, por
tanto, prevalecer, sumando sus amplitudes. Por cierto que
las citadas experiencias, parecen probar que el fenómeno in-
terferencial tiene lugar, no en las dos superficies de cada
hoja de Zenker, sino exclusivamente en la externa ó perifé-
rica, ya que el menor avance de ésta hacia el espacio nodal,
modifica profundamente el tono del color (fig. 10 a).

6. Análisis de las pruebas emblanquecidas por sobre-re-
fuerzo. — El estudio que hemos hecho del blanco nos permi-
tirá comprender ahora muy fácilmente la causa de un fenó-
meno que sobreviene en las porciones coloreadas de la ima-
gen cuando se extrema el refuerzo (baño de sublimado y
ennegrecimiento en sulfito con amidol), ya antes, ya después
del fijado.

Dejamos apuntado ya que el refuerzo engruesa los granos
del precipitado metálico, aproximándolos entre sí y aumen-
tando en consecuencia el poder reflector de las hojas de Zen-
ker, singularmente de la inicial, la más abordable á los re-
activos.

- Mientras los granos de la primera estratificación metálica
conserven cierta transparencia (primer refuerzo), el color no
se modifica sensiblemente (salvo que hay que mirarlos. con
oblicuidad), dado que una parte de los rayos incidentes
puede abordar la hoja segunda para reflejarse en sentido re-
trógrado. Mas, si como suele ocurrir, después del segundo
refuerzo, la hoja inicial de Zenker toma extraordinaria opaci-
dad, el equilibrio de las funciones reflectoras de las dos pri-
meras láminas se rompe, dominando notablemente el haz
reflejado en el estrato superficial. En su consecuencia, el co-
lor adquiere aspecto blanquecino sucio, y la opacidad será
tanto mayor cuanto más recios sean los granos metálicos de
la hoja tangencial. En los reforzados vigorosos y singular-
mente al nivel de las porciones enérgicamente iluminadas de
los objetos coloreados, la cualidad cromática se desvanece

MB

por completo, presentándose la imagen como inundada por
un velo lechoso.

En las figuras 7.*, 8.* y 9.* reproducimos el cambio de as-
pecto que exhiben los cortes del color verde casi puro, antes
y después del refuerzo. En la porción no reforzada, las zonas
de Zenker son pálidas y de finísimos granos, faltando por
completo depósitos metálicos en el limbo tangencial (fig. 7.2);
la luz puede por tanto abordar la segunda y tercera láminas
sumándose eficazmente la capacidad analítica y reflectora de
las mismas. Pero las cosas han variado en la fig. 9.?, donde:

reproducimos un corte del mismo color después de haber su-

frido dos refuerzos. Nótese que todas las láminas se han tor-
nado muy opacas, sobre todo la primera, que funciona como
la hoja especular del blanco y contiene gránulos singular-
mente groseros; repárese, además, un pronunciado aumento
de espesor de cada estrato con el consiguiente abultamiento
general de la gelatina. En fin, el limbo tangencial ha desapa-
recido por completo invadido por la zona especular (*). La
figura 8.* revela el aspecto del mismo color después de un
simple refuerzo.

En suma, y como fruto práctico de esta exploración de las
imágenes superreforzadas, despréndese la siguiente regla:
las fotocromías de Lippmann deben intensificarse una vez
para generar los blancos, pero jamás dos veces si no quere-
mos transformar la hoja primera en capa especular imper-
meable y suprimir por ende los efectos de interferencia cro-
mática producidos por estratificaciones profundas (la se-
gunda sobre todo).

7. Análisis de las placas sobreexpuestas. —Ya á la simple
vista, la imagen sobreexpuesta exhibe blancos sin brillantez

(*) El siguiente experimento confirma los resultados del análisis
micrográfico. Si se frota suavemente el paraje, emblanquecido por re-
fuerzo, de una imagen coloreada, el velo lechoso desaparece y la ti1-
ta original vuelve á presentarse aunque con alguna alteración.

— 419 —

(grises ó rosa) y colores más ó menos puros, pero en todo
caso desprovistos de modelado, es decir, reducidos á meras
siluetas cromáticas. El análisis micrográfico da fácil cuenta de
este fenómeno que constituye uno de los percances más fre-
cuentes y molestos del proceder fotocrómico interferencial.

A nivel de los colores, dichas placas ofrecen hojas de Zen-
ker construidas por un precipitado fino, amarillento, extra-
ordinariamente pálido, que deja pasar los rayos luminosos
hasta los estratos subyacentes, de ordinario más numerosos
que en las pruebas justas de exposición. Además, los espa-
cios nodales se hallan más ó menos impresionados, encerran-
do delicada granulación grisácea, con que el constraste en-
tre las láminas é interláminas disminuye notablemente (figu-
ra 13). En fin, la primera hoja de Zenker falta por completo
Ó está reducida á una franja pálida y vagamente diseñada
(figuras 12 y 13); palidez que, bastante menos acusada, pue-
-de advertirse también en la zona segunda. Ocioso es decir
que este fenómeno depende de la fatiga de la región super-
ficial de la capa sensible, la cual, solarizada con exceso, ha
perdido aptitud para reducirse en color obscuro.

La región del blanco de las placas sobreexpuestas exhibe
capa especular notablemente pálida y transparente, pudiendo
hasta faltar por completo si la solarización ha sido conside-
rable. Escasos de poder reflector, sus granos son pálidos,
menudos, amarillentos y casi imperceptibles. Tras la capa
especular siguen varias rayas finas sin contraste y un exten-
so territorio de reducción irregular y relativamente enérgico
que suele prolongarse hasta el cristal.

8. Alteración de los colores por exceso de revelación ó re-
fuerzo.—La menor transgresión en el tiempo de exposición
trae consigo, según hemos apuntado más atrás, el falsea-

- miento de los colores y la pérdida del blanco. Se exceptúan
solamente los colores rojo y naranja, los cuales por su exi-
guo poder fotogénico ganan más que pierden con una sobre-
exposición moderada.

y

DR

Pero la cualidad cromática de la imagen se altera también
por sobrerrevelar ó reforzar demasiado, aunque se trate de
placas justas y aun escasas de exposición. Cuando el daño
no es excesivo (y esto ocurre en la mayoría de las buenas
fotocromías ), todo se reduce á contemplar la imagen con luz
algo oblicua; mas si el defecto alcanza ciertas proporciones,
los colores se falsean tanto, que ni aun la luz moderadamen-
te oblicua restablece la tonalidad natural del modelo.

El análisis micrográfico nos enseña qne tales cambios de
coloración se deben al enreciamiento de la primera hoja de
Zenker, que se extiende hasta la superficie de la gelatina.
Alteradas de esta suerte las rutas de los rayos superficial y
profundo que deben interferir, el camino total se alarga en
una fracción de semionda. No será, pues, la ondulación pro-
ductora de las hojas de Zenker la que prevalecerá cuando
sea iluminada la placa con una incidencia normal ó casi nor-
mal, sino una ondulación de longitud mayor. Para restaurar
la tonalidad natural, será preciso, según dejamos explicado
más atrás, recurir á la iluminación oblicua, para que alargada
la ruta con el valor del coseno del ángulo de incidencia,
pueda la onda originaria ó creadora de las láminas de Zen-
ker sumar sus efectos en el proceso interferencial (+).

Pero se dirá: ¿en virtud de qué condición se ha espesado
la primera lámina de Zenker con exclusión de las demás?

En primer término, esta hoja es la más accesible á los re-

(*) En efecto: suponiendo que »” sea la longitud de onda del rayo
productor de las hojas de Zenker, accidentalmente separadas un
cuarto de espacio; 3 la diferencia de ruta de los rayos que deberá in-

A E : 4 e
terferir, y e el espacio interlaminar, tendremos: ¿ = 2e + 2 we No
podrá, en consecuencia, prevalecer la onda originaria sino mirando

e
la imagen bajo un ángulo tal, que 3 = 2e + cos. i + 2 e resul-

—= 421 —

activos y sufre por ende predilectamente la acción reforzado-
ra, sobre todo cuando la exposición ha sido justa ó débil.
Pero también podría colaborar la zona tangencial propor-
cionando, gracias á la cantidad de blanco inherente á todo
color mixto, una floja y transparante capa especular que se
agregaría á la primera lámina de Zenker. Quizás en virtud
de este último motivo, el exceso de revelación, fatal á los
colores naturales ó mezclados, no suele provocar casi nun-
ca cambios de tono en las radiaciones puras ó espectrales,
ni siquiera en las copias de los modelos comunes (frutas,
flores, árboles, etc.), cuando se tiene la precaución de mo-
derar el excesivo actinismo de los blancos, azules y violetas
á favor de cristales amarillo verdosos puestos delante del
objetivo (ecran) (*).

Ocasiones hay, sin embargo, en que aun con los colores
más puros se dan alteraciones cromáticas sin que al parecer
entre en juego otra condición que el exceso de activismo de
la luz. Nos referimos á uno de los accidentes más deplora-
bles y frecuentes del proceder de Lippmann: á la transfor-
mación en blanco de los azules y violados. Esta metamorfo-
sis no trae su origen del empastamiento de los espacios no-
dales, sino pura y sencillamente del exceso de opacidad de
las hojas de Zenker, particularmente de la primera que obra
á guisa de pantalla impenetrable. Poco importa, pues, que
los espacios nodales y hojas subyacentes se hallen bien di-
señados, ni que la zona tangencial haya sido respetada; las

(*) Para cerciorarnos bien de esta propiedad purificadora del
ecran hemos ejecutado muchas fotografías lippannianas de un mismo
modelo (cesto de frutas y flores); unas con filtro amarillo verdoso,
otras sin él. El resultado constante ha sido eliminar, aun en los casos
de ligero exceso de exposición, con algo de sobrerrevelación, el suso-
dicho defecto del virado hacia la porción menos refrangible del es-
pectro. Por lo demás, el filtro cromático, sólo debe actuar durante
la mitad de la exposición, ó algo menos, so pena de obtener imáge-
nes con blancos débiles y amarillentos. Lo mejor es trabajar sin
ecran, pero acertando exactamente en la exposición y revelación.

— 422 —

ondas no pueden llegar hasta ellas ni desarrollar, por tanto,
el fenómeno interferencial.

El remedio consiste en el empleo de los rebajadores, los
cuales, moderando la susodicha opacidad, permiten la pene-
tración de la luz en las capas profundas. En cuanto á la pro-
filaxis, redúcese al empleo de pantallas ligeramente amari-
llentas á fin de debilitar la acción excesiva de las ondas bre-
ves del espectro.

9. Falseamiento de los colores por humedad de las placas.
Aunque generado por otro mecanismo que la sobrerrevela-
ción, parecidos efectos que ésta acarrea al empleo, durante
tiempos húmedos, de placas demasiado secas. Las hojas de
Zenker, correctamente impresionadas y fijadas, apártanse
considerablemente bajo la acción de la higrometricidad del
aire; de donde resulta el tantas veces aludido defecto, á sa-
ber: que la imagen, mirada á la luz normal, vira hacia los
colores de onda más larga. Así, los verdes se hacen amari-
llos, y éstos, naranjas ó rojos, etc. La profilaxis consiste en
equilibrar higrométricamente la placa con la atmósfera antes
de ponerla en chasis. Un expediente, bastante preligroso, es
la disminución del grano de las hojas zenkerianas á favor
del rebajador (cianuro diluido) (*). En fin, en último térmi-
no, apelaremos á la iluminación muy oblicua.

10. Falseamiento de tono de las porciones de la placa poco
impresionadas. — Ocurre á menudo en las placas débilmente

(*) Los rebajadores, y singularmente el cianuro potásico diluido,
usados con exquisitas precauciones, restauran la normalidad del co-
lor de las placas sobrerreveladas ó hinchadas por la humedad; pero,
además de que los blancos sufren grave menoscabo, después de cierto
tiempo el grano de bromuro palidece excesivamente y la imagen
acaba por deteriorarse. He aquí por qué nosotros hemos renunciado
definitivamente á los rebajadores. Sólo alguna vez nos servimos de
ellos; pero por acción local, al objeto de restaurar el color en los
azules y violados. Este retoque, que se verifica con un pincel fino
empapado en solución débil de cianuro de potasio, tiene lugar en las
placas mojadas.

IAS AN IA OS SAA AA AAA AAA AA ci ¿cc

m2.
*

—.

— 423 —

$
impresionadas ó en los parajes correspondientes á la sombra
de un objeto colorido, que la imagen, en vez de reproducir
fielmente el color natural, traduce una tonalidad diferente y
por lo regular correspondiente á una ondulación más refran-
gible. Es el defecto contrario al de las placas sobrerreveladas
y sobrerreforzadas. |

Así, las sombras de una cabeza de mujer (iluminación so-
lar) preséntanse verdosas ó amarillo verdosas en vez de ro-
sáceas Ó parduscas; una naranja, normal de color en su
porción iluminada, exhibe una tinta verde pura al nivel de
sus sombras, etc. (Fig. 16.)

Estas y otras incongruencias cromáticas de las partes obs-
curas Ó débiles de exposición reconocen por condición prin-
cipal, según resulta de nuestros análisis micrográficos, el
proceso de la fijación (acción del cianuro ó el hiposulfito de
sosa). En efecto, en el ejemplo de la naranja, la placa fué
impresionada, tanto del lado de la luz como del de la som-
bra, por la radiación correspondiente modificada solamente
en intensidad (excluímos los reflejos de objetos próximos,
que en este caso tienen poca importancia); mas al nivel del
área bien iluminada produjerónse hojas de Zenker, espesas
y numerosas, mientras que al nivel de la sombría estas lá-
minas resultaron finísimas y pálidas, como que en ocasio-
nes constan de una sola fila de gránulos amarillentos.

La causa de ello es que durante la operación del fijado el
bromuro de plata intercalar se disolvió en tanta mayor can-
tidad cuanto más débil fué la exposicion; de donde resultó
que las hojas delgadas de las partes sombrías se aproxima-
ron al secarse la gelatina, en tanto que las de las ilumina-
das, más pobres en bromuro soluble, apenas alteraron sus
distancias.

La enseñanza práctica de este fenómeno, cuyo mecanis-
mo extrañamos haya pasado desapercibido de los cultiva-
dores del método de Lippmann, es que no deben ser fija-
das las pruebas interferenciales, porque la desaparición del

== IDA ES

grano de bromuro de plata produce el aplastamiento gene-
ral de los planos nodales, y, por tanto, el falseamiento del
color.

En su consecuencia, nosotros no fijamos las pruebas, y
desde que procedemos de esta suerte hemos descartado de-
finitivamente las aberraciones cromáticas de los obscuros y
de las placas cortas de exposición. Recordemos que el bro-
muro de plata no impresionado, pero bien lavado y exento
de reductores, es incapaz de ennegrecerse por la luz directa.

Se nos argiiirá acaso que Lippmann, Lumiére, etc., han
obtenido y obtienen excelentes fotocromías, no obstante fijar
las placas con cianuro de potasio é hiposulfito. Pero á esto
respondemos que acaso dicha fijación sea más aparente que
real. Por de pronto, no tenemos criterio alguno seguro para
cerciorarnos de que la placa ha sido fijada por completo,
puesto que tan transparente é insensible á la luz se muestra
antes como después de la operación: esta circunstancia, jun-
to con la rapidez insólita con que los autores proceden á la
fijación con cianuro (varios segundos de acción) por temor
á la pérdida de las medias tintas, autorizan á sospechar que
en tan breve lapso de tiempo no ha podido ser totalmente
eliminada de la gelatina la sal argéntica.

En nuestro sentir, la fijación completa, cuando todas las
otras operaciones (exposición, revelación, refuerzo, etc.) se
ha conducido bien, ocasiona como mínimo de aberración la
inclinación del color hacia el lado más refrangible del espec-
tro (incidencia normal ó casi normal); accidente irremedia-
ble, ya que no cabe el recurso de apelar á la iluminación
oblicua que exageraría todavía más la desviación del tono.
Y si el fenómeno en cuestión se da con menos frecuencia
que el contrario (distancia excesiva de los espacios nodales),
ello consiste en el hábito de reforzar vigorosamente, el cual
compensa hasta cierto punto, aunque no en todos los para-
jes de la imagen, la disminución del intervalo de las hojas
zenkerianas (espesamiento preferente de la primera).

A

E

De lo expuesto en este y otros pasajes del presente tra-
bajo se infiere, que el defecto más común de las fotocromías
del proceder de Lippmann, consiste en la alteración casi in-
evitable de las distancias normales de las hojas de Zenker,
alteración provocada por el mecanismo de acción de las ope-
raciones fotográficas. En ciertos casos (fijado completo, cor-
tedad de exposición , flojedad de revelación, etc.), las lámi-
nas se aproximan demasiado y los colores viran hacia el
azul; en otros, mucho más numerosos, por el contrario, las
citadas láminas se espesan y apartan, derivando los colores
hacia el rojo. Este último defecto, que se compensa óptica-
mente á favor de la iluminación oblicua de las pruebas, so-
breviene por condiciones múltiples: humedad de la atmósfe-
ra, sobrerrevelación y sobrerrefuerzo, exposición excesiva,
influencia perturbadora de los rayos ultravioletas y del blanco
en los colores espectrales impuros, etc.

ll. Hojas de Zenker en las placas expuestas sin mercurio.
Las ya antiguas investigaciones de Krone, y las más recien-
tes de Rothé, han demostrado la posibilidad de obtener con
las placas lippmannianas colores interferenciales sin el con-
curso del baño de mercurio. Los así logrados son poco brillan-
tes y exigen una exposición notablemente prolongada. Como
que las ondas estacionarias modificadoras de la capa sensible,
resultan del encuentro de los rayos incidentes, que cruzan la
gelatina, con la exigua cantidad de los reflejados en el límite
posterior de la placa, es decir, en la capa de aire fronteriza.

Nosotros hemos repetido esta interesante experiencia y
conseguido reproducciones relativamente buenas de los co-
lores de onda breve (violado al verde); pero menos que me-
dianas del rojo y del naranja y amarillo. El examen de los
cortes microtómicos revela de todos modos la existencia de
legítimas hojas de Zenker, aunque poco numerosas y sepa-
radas por espacios nodales algo cargados de precipitado. En
la fig. 17, mostramos un corte del color azul. Nótese que las
líneas de Zenker no pasan de tres ó cuatro, constando de

— 426 —

granos sumamente finos; la segunda es, de todas, la más obs-
cura y mejor diseñada. Al nivel de la zona limitante no existe
ningún precipitado, lo cual revela que lo mismo que en las pla-
cas al mercurio la superficie representa el primer plano nodal.

También los blancos del proceder sin mercurio coinciden
con los del método de Lippmann; detrás de una capa espe-
cular densa y delgada, se entrevén algunas finísimas rayas,
que degeneran luego en precipitado gris irregular.

CONCLUSIONES

De este largo y pesado estudio sobre la estructura de las
imágenes lippmannianas se desprenden las siguientes con-
clusiones:

1.? Conforme á las observaciones de Neuhaus, los colo-
res espectrales constan de una serie de estratificaciones me-
tálicas separadas por espacios nodales incoloros. Estas lá-
minas comprenden el tercio Ó la mitad del espesor de la ge-
latina, mostrándose correctas y bien separadas cerca de la
superficie libre y sucesivamente más vagas y difusas con-
forme se alejan de ésta.

2.” Entre la primera lámina de Zenker y la superficie
existe á veces un limbo claro, correspondiente al primer espa-
cio nodal; pero frecuentemente desaparece á causa del re-
fuerzo de la prueba.

3. Los colores de los objetos naturales, dan imágenes
cuya estructura coincide, en principio, con la de las radia-
ciones del espectro.

4.? El blanco depende de la presencia en el primer plano
de la gelatina de una densa lámina metálica, dotada de gran
poder reflector, es decir, formada por un precipitado opaco,
obscuro y apretado. Detrás siguen algunas finas y próximas
estratificaciones correspondientes verosimilmente á las ondas
más breves del espectro visible.

AT EEE BEE TE AAA

— 427 —

5. Los colores mezclados de blanco constan, además de
sus estratos peculiares, de una delgada capa tangencial don-
de residen precipitados metálicos (zona especular).

6.? En ciertos casos, tales colores exhiben dos clases de
láminas de Zenker: gruesas y distanciadas, pertenecientes á
ondas graves (color dominante), y una ó dos finas y pálidas
correspondientes á ondas de exigua longitud.

7.2% El fenómeno interferencial en cuya virtud se dan los
colores en las imágenes lippannianas, resulta preferentemen-
te del encuentro de los rayos reflejados en la primera con
los reflejados en la segunda hoja de Zenker. Las demás lá-
minas actúan muy débilmente, representando disposiciones
de refuerzo.

8. La buena reproducción de los colores está esencial-
mente ligada á la correcta limitación y perfecta transparencia
de dichas láminas iniciales, así como al mantenimiento del
valor normal de los espacios nodales. Todas las causas ca-
paces de turbar el equilibrio de intensidad y espesor de las
dos citadas hojas (exceso de exposición, revelación dema-
siado enérgica, refuerzo inconveniente, etc.), Ó la amplitud
de los espacios nodales (fijado, humedad del aire, etc.), al-
teran los colores naturales provocando matices falsos é in-
congruentes. Por donde se ve que las graves dificultades del
método interferencial consisten: a, en mantener fielmente en
la prueba terminada la misma y estricta distancia interlami-
nar creada por la luz coloreada durante la exposición y no
obstante la acción aplastadora del fijado y la dilatadora del
refuerzo; b, en evitar la opacidad y engrosamiento conside-
rables de la primera hoja de Zenker, á despecho de la nece-
sidad imprescindible de fortalecer los blancos de la imagen.
Manejar sutil y habilísimamente estas dos condiciones con-
tradictorias, neutralizándolas Ó anulándolas en lo posible,
constituye el arduo cometido que deben llenar los cultiva-
dores entusiastas del método interferencial.

Madrid 20 de Junio de 1906.

A

EXPLICACIÓN DE LAS FIGURAS

Figura 1.? — Corte de la gelatina al nivel de un punto rojo puro ó
casi puro. (Hinchazón en el agua y examen con el obj. 1,40, 2 milíme-
tros, apochr. de Zeiss.) Luz central blanca: a, zona limitante: b, pri-
mera hoja de Zenker; c, segundo espacio nodal; d, hojas de Zenker
profundas vagamente limitadas; e, formación no estratificada.

Figura 2.? — Corte del color azulado. (En el grabado, las bandas
profundas aparecen mal diseñadas y exeyeradas.) Iguales condicio-
nes de examen que en la figura anterior.

Figura 3.? — Corte del rojo en la gelatina seca, es decir, no some-
tida á la hidratación. Examen en bálsamo del Canadá. — Luz central
monocromática.

Figura 4.*? — Corte del color amarillo verdoso. Iguales condiciones
de la figura anterior, es decir, gelatina desecada y montada en bál-
samo: 0bj. 1,40. Es imposible detallar la zona limitante ni las granu-
laciones de cada estrato.

Figura 5.?— Corte de un blanco puro y brillante. (Gelatina hidrata-
da.) — a, capa especular opaca; b, rayas finas subyacentes.

Figura 6.? — Corte de un blanco amarillento. a, zona especular;
c, raya fina; d, rayas del amarillo.

Figuras 7.*, 8.* y 9.? — Efectos del refuerzo en el color.

La figura 7.* muestra el color no reforzado (el grabado presenta
las rayas demasiado obscuras); la figura 8.?, el mismo tono pero des-
pués de la intensificación en el sublimado; en fin, la figura 9.?, des-
pués de dos refuerzos sucesivos. Nótese que el grano, apenas visible
en la figura 7.*?, se hace recio y negro en la 9.*

Figura 10. — Color rojo, del que, por frotación, se disminuyó el es-
pesor de la primera hoja de Zenker, mostrando fajas de azul y verde.

Figura 11. — Corte de un verde claro emblanquecido por sobre-
exposición y sobrerrevelación. b, zona especular; c, raya fina del
blanco. Las otras bandas corresponden al verde.

Figura 12. —Corte de un azul pasado de exposición. Adviértase la
palidez de la primera hoja de Zenker (e) y ausencia de zona es-
pecular.

Figura 13.— Corte del color naranja sobreexpuesto. Falta asimismo
en f la primera lámina de Zenker, mostrándose todavía la segunda
bastánte pálida.

Figura 14. — Corte de un azul claro ó mezclado de blanco. a, zona
especular; b, fina raya secundaria.

Figura 15. — Corte de un amarillo claro de matiz de limón. La pri-
mera hoja de Zenker tiende á convertirse en zona especular.

Figura 16. — Corte de un verde, corto de exposición y sobriamente
revelado, que correspondía á la sombra de una naranja. Repárese la
delicadeza y transparencia de las hojas de Zenker (en el grabado
están notablemente exageradas).

Figura 17,—Corte de las hojas de Zenker del azul de una placa ex-
puesta sin baño mercurial.

Fig. 10.
Fig. 11.
Fig. 12.
Fig. 13.
Fig. 14.
Fig. 15.
Fig. 16
Fig. 17

E a
DE O

Elgrazs
Fig. 8."
Fig. 9.*

— 429 —

XVIII. —Sobre un sistema de notaciones y simbolos des-
tinados á facilitar la descripción de las máquinas.

Por LEONARDO DE TORRES Y QUEVEDO.

Compónense las máquinas, en general, de órganos dife-
rentes enlazados entre sí de muy diversas maneras, y cons-
tituye una gran dificultad el describir estos órganos y estas
conexiones de modo que pueda el lector entender la descrip-
ción sin un trabajo excesivo.

La Geometría descriptiva da medios adecuados de reali-
zarla; pero después de trazar un cierto número de plantas,
. alzados y cortes, es muy difícil guiar al lector por aquel la-
berinto de líneas y figuras; resulta muy penoso, aun para
lectores acostumbrados á esta clase de estudios, imaginarse
la máquina tal como ella es; reconstituirla con el pensamien-
to, formando primero cada órgano con las diferentes repre-
sentaciones que de él se den en los dibujos, y estableciendo
luego entre ellos todas la conexiones mecánicas necesarias
para que la máquina quede construída. Ocurre, como conse-
cuencia de todas estas dificultades, que son pocas las des-
cripciones completas de aparatos complicados, que se escti-
ben, y muchas menos aún las que se leen.

Babbage y Reuleaux — y supongo que también otros, aun-
que yo no tengo noticia de ellos — han tratado, sin éxito nin-
guno, de poner remedio á este inconveniente; pero el que
estos autores eminentes hayan fracasado, no ha de ser mo-
tivo suficiente para que se abandone empeño de tanta im-
portancia; las construcciones mecánicas, que se complican
más y más cada día, exigen, con apremio cada vez mayor,
un medio adecuado de describirlas; creo haber ideado uno
que ofrece indudables ventajas, y me permito someterle al
juicio de la Academia.

No se trata de suprimir ni aun de alterar esencialmente los

e NE

procedimientos de representación gráfica que creo insustitui-
bles. Con la solución aquí propuesta aspiro únicamente á
simplificar los dibujos y el texto, y á dar más precisión á las
descripciones, acudiendo á símbolos para representar los Ór-
ganos y conexiones más usuales, y utilizando para las aco-
taciones el sistema de coordenadas cartesianas.

Cada símbolo representará un elemento de los que más
repetidamente es necesario considerar en las máquinas: una
figura, un órgano mecánico, una conexión ó una transmisión
de movimiento de las más usuales; y como casi todos estos
elementos tienen formas características que es fácil reproducir
al dibujar los símbolos correspondientes (véase la lámina 1),
no habrá dificultad ninguna en aprender la significación de

estos últimos. Todos los que se dedican al estudio de las -.

máquinas llegarán á conocerlos sin trabajo, lo mismo que
han aprendido los electricistas, casi sin darse cuenta de ello,
á conocer los símbolos que figuran en sus esquemas.

El empleo de las coordenadas cartesianas será provechoso,
aun para las personas que no tienen noción ninguna de Geo-
metría, en algunos casos muy sencillos; por ejemplo, cuando
se utilicen solamente para facilitar la
descripción de un dibujo complicado;
lo mísmo si representa una máquina
que si representa otro objeto cualquiera.

Añadamos, en efecto, á un dibujo
(fig. a) dos escalas OX, OY, que nos
servirán de ejes cartesianos, y conven-
gamos en designar un punto por sus
dos coordenadas, poniendo siempre primero la x y luego
la y, en esta forma p (20 * 35). Con sólo esto, habremos
facilitado, á veces extraordinariamente, el trabajo del lector,
que pierde con frecuencia el tiempo y la vista, buscando, á
bulto, en varios decímetros cuadrados de papel, aquellos
puntos ó letras á que se hace referencia en el texto. Esta
fatiga innecesaria la evita siempre el que da explicaciones

A E A

ye

po

— 431 —

verbales acerca de una figura, valiéndose de un puntero ó
de un lápiz para ir señalando los puntos que nombra. No se
concibe que le ocurra á ningún conferenciante prescindir del
puntero, ni encontraría, si tal hiciera, público que le escucha-
ra. Pues lo mismo sucede con las descripciones escritas, y
muchos que las abandonan, fatigados, á mitad de lectura, se-
guirían hasta el fin si les facilitaran su trabajo. El medio pro-
puesto para ello no puede ser más sencillo, y su eficacia será
evidente para quien se haya fijado, al manejar un atlas, en
lo fácilmente que se encuentra un pueblo cuyas coordenadas
geográficas son conocidas, á pesar de que allí las escalas no
están tan bien dispuestas como las que acabo de proponer.

Cuando se trate de describir una máquina, se elegirán los
tres ejes de coordenadas paralelos á las tres direcciones
principales que casi siempre pueden considerarse en ella.
Tomaremos, por ejemplo, los planos ZX y XY paralelos
respectivamente á los planos de proyección que se adopten
para la representación gráfica, y con esto, á más de simplifi-
car la representación analítica de los diferentes mecanismos,
estableceremos entre ambas una relación que permitirá al
lector pasar fácilmente de la una á la otra, para que mutua-
mente se completen.

Convendrá á veces elegir un sistema de coordenadas dife-
rente del cartesiano, ó emplear diferentes sistemas para re-
presentar los diferentes grupos de mecanismos que com-
ponen una máquina y que no estarán quizá orientados todos
de la misma manera. Se podrá, en fin, apelar á todos los re-
cursos de la Geometría analítica; no hay medio de poner

- límites en esto, que ha de quedar á la discreción del autor,

pero seguramente no convendrá acudir á fórmulas y artifi-
cios complicados, si no es en casos especiales y dirigiéndo-
se á un público muy restringido.

No cabe dudar, á mi juicio, de las ventajas que ofrecería
el lenguaje simbólico: permitiría, en general, simplificar los
dibujos, dando noticia exacta al lector de algunos órganos

Rev. Acap. Ciexcras.—IV.— Abril, 1906, 30

— 432 —

que no se ven, ó se ven imperfectamente en las figuras prin-
cipales, sin necesidad de acudir á perspectivas, cortes y figu-
ras de detalle; indicaría con gran precisión, por medio de
coordenadas, la posición y dimensiones de los mecanismos;
abreviaría la escritura, representando, por medio de símbo-
los, las formas, los órganos, las conexiones y las transmi-
“siones de movimientos más usuales; y, por último, compar-
tiría, con las fórmulas matemáticas, con las fórmulas quími-
cas, con los símbolos adoptados en electrotecnia y con al-
gunos otros muy conocidos, la ventaja de ser entendido por
todo el mundo, si se adoptan en todos los países los mismos
signos convencionales.

No consiente la indole de esta nota exponer y discutir con
amplitud las maneras de realizar las ideas que anteceden;
me he limitado á dar un bosquejo del lenguaje simbólico,
que contiene — en embrión — todos los elementos necesa-
rios para que se pueda juzgar de su valor práctico: un cua-
dro de símbolos (lám. 1); una colección de reglas para
usarlos (pág. 434); y un ejemplo en que se aplican estas
reglas (pág. 439).

No presento, pues, un estudio acabado; he formulado algu-
nas reglas y he dibujado algunos símbolos de los más usua-
les, pero sería necesario un trabajo mucho más minucioso y
detenido para completar la gramática y el diccionario de
esta nueva lengua.

De todos modos, tal como aquí aparece, me ha servido para
describir un aparato construido por mí hace años; y como le
había descrito anteriormente en la Revue de Mecanique
(Sept.-Oct. 1901), será muy fácil, comparando ambas des-
cripciones, apreciar las ventajas ó inconvenientes de la nueva.

Paréceme esta última más clara, más exacta y más com-
pleta, sin que por eso me haya exigido más trabajo de re-
dacción. Al contrario, también desde este punto de vista re-
sulta ventajosa, porque me ha permitido simplificar los dibu-
jos, prescindiendo de la figura en perspectiva caballera.

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«Algunos símbolos de los mas usuales

a
«Organos mecanicos: Montaje:
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O 19 «Tb a MAN
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OQ | 24 (1) 40 PUES A
O 25 Sy a Ha
on | 2. la Transmisiones
¡Oj 27 OMA | 42 XX A
03 le O. E
O 29 «VW 44 seur
O 30 “WWW 45 (O A
31 O) 46 009 A
aa] de 47 10) => A
ES 6 A
«Orientacion:
y
«Simetria*
DU AS AJA; 2-6

Lámina l.

8d —

SIGNIFICADO DE LOS SÍMBOLOS

Organos mecánicos.

Representa el elemento descrito.

1. Esfera.—2. Paralelepípedo rectangular recto (barra).—3. Para-
lelepipedo rectangular recto (placa).—4. Cilindro de base circular
(eje, columna).—5. Tornillo.—6. Cilindro de base circular (disco).—
7. Rueda dentada recta.—8. Disco excéntrico.—9. Polea de llanta con-
vexa.—10. Polea de gargantas.—11. Rueda que engrana con un tor-
nillo sin fin.—12. Cilindro de base anular (manguito). —13. Placa anu-
lar.—14. Corona dentada.— 15. Rueda dentada cónica.—16 y 17. Ba-
rras de sección constante.—18 y 19. Barras de sección variable.—
20. Manivela.—21. Barra articulada en sus dos extremos.—22. Biela.
23. Placa cuya forma se indica al dibujar el símbolo.—24. Placa cuya
forma se dibuja exactamente en una figura aparte (fig. b).—25 y 26.
Superficies de revolución.— 27. Caja M labrada en A.— 28. Pieza hue-
ca M.— 29 á 32. Resortes.

Montaje.

Expresa el movimiento que puede tener el elemento descrito con
relación al que le sirve de soporte, este último se indica por la letra
A en las fórmulas 33 y 41, que se leen así:

33. Fijo en A.—34. Gira libremente alrededor de A4.—35.— Resbala
sobre A, siguiendo una trayectoria rectilínea (corredera).—36. Res-
bala sobre A, siguendo una trayectoria helizoidal (tornillo y tuerca).
37. Gira alrededor de A sólo en un sentido.—38. Gira alrededor de A,
oscilando entre dos posiciones extremas que limiten la amplitud de su
movimiento.—39. Gira alrededor de A con rozamiento suave (suave
porque el resorte está representado por una línea fina).—40. Resbala
sobre A con rozamiento fuerte (fuerte porque el resorte está pintado
con línea gruesa).—41. Encaja en A.

Transmisiones.

Indica la conexión mecánica que existe entre el elemento descrito y
otro mecanismo representado por A en las fórmulas 42 á 48.—42. En-
granaje cilíndrico.—43. Engranaje cónico.—44. Tren de ruedas den-
tadas.—45. Correa sin fin.—46. Transmisión que establece una rela-
ción de velocidades variable.—47. Rueda de roquetes y trinquete.—
48. Transmisión por medio de husillos cónicos.

Orientación.

Indica que la dimensión singular del elemento descrito, es paralela
al eje dibujado con línea gruesa ó al plano determinado "por los dos
ejes que se dibujan con trazo grueso. ,

Simetría.

Expresa el plano con relación al cual son simétricos los dos ele-
mentos A A,.

no E

Composición de las fórmulas.

La descripción simbólica de una máquina se realiza por
medio de una serie de fórmulas numeradas, análogas á las
de la lámina III.

Cada una de ellas representa un elemento más ó menos
complicado de la máquina. Este elemento será unas veces un
mecanismo completo: rueda dentada, biela, polea, etc.; otras,
una parte del mecanismo, porque en la representación sim-
bólica podremos dividir, idealmente, un órgano de forma
complicada en varias partes, como se hace habitualmente,
por ejemplo, cuando se consideran por separado el núcleo,
los radios y la llanta de una polea fundida. En ocasiones, el
elemento descrito no será propiamente una parte de un ór-
gano; será un espacio hueco, una caja labrada en alguna de
las piezas descritas.

Será necesario referirse con fecuencia á las fórmulas que
se designaran siempre por su número de orden, y para evi-
tar confusiones se pondrá siempre este número precedido de
una F, en esta forma F13, F27.

Al principio de cada fórmula va una letra que sirve para
designar el elemento á que aquélla se refiere; de ordinario
basta para esta designación la letra sola, como se ve en la
lámina II (V, F 1; C”,F2; V”, F3); pero cuando se trata de
una caja, se pone primero un círculo negro, para indicar
esta circunstancia; luego, la letra correspondiente, y des-
pués, otra que indica la pieza en que se ha labrado la caja
(F4, caja a labrada en V”; F7, caja £ labrada en M).

Cada uno de los elementos puede ser fijo 6 móvil y, en
este último caso, tener uno Ó varios grados de libertad de
movimiento con «relación á los ejes de coordenadas; esta
circunstancia, cuyo conocimiento previo permite general-
mente al lector comprender más fácilmente la descripción, se
indica por el subíndice de la letra y colocada inmediatamen-

— 435 —

te después de la letra que designa el elemento descrito
(V,F1 y C', F2, son piezas fijas; M,F6 y B,F8, tienen un grado de
libertad de movimiento; a,F15 y /,F16, tienen tres grados de libertad
de movimiento).

Unicamente se suprime esta indicación en las fórmulas re-
lativas á cajas (F4, F7, F9, etc.), porque éstas tienen ne-
cesariamente los mismos grados de libertad que la pieza en
que se han labrado.

IM. Inmediatamente después de estas indicaciones, van
en casi todas las fórmulas — entre corchetes — dos figuras: la
primera, es el símbolo del elemento, y la segunda, indica,
cuándo es posible, su orientación.

Si nos fijamos en los simbolos relativos á los órganos de
las máquinas, veremos que en casi todos ellos puede elegir-
se una dirección singular perfectamente definida: en las pla-
cas (figuras 3, 23 y 24), la de su espesor; en los cilindros
(pueden considerarse como tales todos los correspondientes
á las figuras 4 á 14), en el cono (fig. 15), y en las superfi-
cies de revolución (figuras 25 y 26), la de su eje; en las ba-
rras (figuras 16 á 22), la de su longitud. -

Esta dirección singular será con mucha frecuencia paralela
á uno de los ejes de coordenadas, y eso lo expresaremos
pintando los tres ejes en perspectiva caballera y dibujando
con una línea gruesa el eje paralelo á ella (F1, placa horizon-
tal; F2, placa paralela al plano Y Z; F5, cilindro vertical; F25, barra
paralela al eje OX). Otras veces será paralela á uno de los pla-
nos principales, y esto se indicará pintando con líneas grue-
sas los dos ejes que se encuentran en él (F 16, barra paralela al
plano ZX).

Las tres indicaciones á que se ha hecho referencia: los
grados de libertad de movimiento, el símbolo y la orienta-

- ción, van siempre en el orden indicado, á continuación de la

letra que designe el elemento.
Después se añaden, cuando hace falta, y en el orden que
convenga á cada caso, otras indicaciones para expresar su

—438*—

situación y dimensiones, su montaje y sus conexiones con
otros elementos de la máquina.

Cuando se trata de formas geométricamente definidas es
posibe definir exactamente su posición y dimensiones acu-
diendo á los procedimientos ordinarios de la Geometría ana-
lítica; pero en algunos casos muy sencillos — y son los que
casi siempre hemos de considerar — es fácil introducir algu-
nas simplificaciones en la escritura.

Examinaré algunos casos particulares de los más sencillos,

Esfera.—Se darán las tres coordenadas del centro y el
radio en'esta forma (x= C,;y=C3; 2=C3; p =P):

Paralelepipedo rectangular recto cuyas caras son
paralelas + los planos principales.—Se darán para cada
ordenada dos valores; de cada ordenada correspondiente á
las dos caras perpendiculares á ella y separadas por medio
de un asterisco (F1, F2, F12).

Formas gue tienen un eje paralelo 4 uno de los ejes
de coordenadas. —Se definirá primero la posición y longi-
tud de este eje, dando los valores de las dos coordenadas
perpendiculares á él y los dos valores de la tercera coorde-
nada, correspondientes á los dos extremos del eje (F5, F24),
y luego se definirá la sección perpendicular al eje (que pue-
de ser constante ó variable á lo largo de éste) acudiendó á
diferentes procedimientos, según los casos.

a) Cilindro de base circular. —Se da el radio (F5).

b) Cilindro de base anular.—Se dan los dos radios: el
interior y el exterior (F6, F21).

c) Cono.—Las indicaciones serán exactamente las mis-
mas que en el caso anterior, á pesar de lo cual, no cabe con-
funsión ninguna, porque el símbolo que va al principio de la
fórmula indicará de cual de los dos casos se trata. Tampoco
habrá dudas acerca de la situación de los radios, porque éstos
se escribirán en el mismo orden que las coordenadas corres-
pondientes.

d) Superficie de revolución.—Se dará la forma aproxi-

-

— 437 —

mada del meridiano al dibujar el símbolo, y si esto no basta
ó.no conviene, se dará la forma con toda la exactitud nece-
saria por separado, representándola gráfica ó analíticamente;
lo mismo que se da en la lámina I la forma de la placa (figu-
ra 24).

e) Prisma.— La forma de la sección se dará por los
mismos procedimientos que la del meridiano en el caso an-
terior. |

f) Arbol cuyo radio cambia bruscamente.—Se darán los
valores de la ordenada paralela al eje correspondientes á to-

«dos los puntos en que cambia el radio, y luego, por el mismo

orden, los valores de éste correspondientes á los diferentes
trozos.
La expresión

(x=A,x* Az* Ajx* Aj y =B,;2=,) (2 =R,* Ro * R;)

representa un árbol cilíndrico, paralelo al eje OX, cuyo radio

y Ra | A, y A, |
es ( R, ) para los valores de X comprendidos entre ¡ A, y A;
Re A; y A,

g) Barra de sección variable. — Pueden darse varias
secciones correspondientes á diferentes valores de la orde-
nada y también será posible en algunas ocasiones definir
exactamente la forma de la barra, expresando analíticamente
la ley de variación de su sección.

placa paralela d uno de los planos principales. —
Se definirá la posición de sus dos caras, dando los dos va-
lores correspondientes de la ordenada perpendicular á. ella, y
se indicará su forma, según antes se ha dicho (lám. l, fig. 24),
Ó dibujándola al trazar el símbolo.

Ocurrirá con frecuencia que alguno de los datos numéri-
cos contenidos en una fórmula no sea absolutamente exacto;
bien porque la forma descrita no se confunda exactamente
con la que se indica en el símbolo, bien porque se trate

— A

de valores que no pueden precisarse fácilmente, por ejem-
plo, los de las coordenadas del eje de una barra de sección
irregular. Cuando convenga advertir especialmente al lector
de esta circunstancia, señalaremos con un acento las letras
correspondientes á los valores que no son absolutamente
exactos (F:13,5F 25):

Por medio de uno de los símbolos de la lámina I (figuras
33 á 41) se indica el movimiento que puede tener el ele-
mento descrito con relación á la pieza en que va montado
(F 2, la placa C” está invariablemente unida á la placa V; F 6, el man-
guito M gira alrededor del árbol A ; F 22, la pieza K gira y resbala lon-
gitudinalmente sobre el manguito M). Algunas veces pueden em-
plearse también estos símbolos para indicar el movimiento de
una pieza con relación á los ejes de coordenadas (F 22, K se
mueve paralelamente al eje OZ).

Las conexiones ó transmisiones de movimiento, se re-
presentan por medio de los símbolos y además se indica,
cuando conviene, la relación de velocidades, constante Ó va-
riable, establecida en cada caso. (F28, la velocidad de O, es do-
ble de la velocidad de T'”).

Cuando un mismo elemento se repite varias veces en una
máquina, bastará con describirle en una sola de sus posi-
ciones, dando luego alternativamente á cada una de las
otras, las indicaciones necesarias para definirlas. (F5, A” y A”
son dos árboles exactamente iguales á A, pero la coordenada x del

eje de pes) ES )
le 135 $)-

El vector de traslación podrá no ser paralelo á ninguno de
los ejes, y entonces habrá que alterar los valores de las tres
coordenadas ó los de dos de entre ellas. A veces considera-
remos que el elemento repetido ha girado alrededor de un
eje y lo expresaremos poniendo las coordenadas del eje de
giro y el ángulo de rotación. También se puede, cuando se
trata de una rotación de 180”, indicar que la nueva posición
es simétrica de la descrita, indicando además el plano de si-

e

— 439 —

metria; es decir, que indicaríamos la posición de 4” en esta
forma: A" | A(x= 60), que se emplea varias veces en la
lámina III (F16, F25).

Otras variaciones más complejas de posición pudieran con-
siderarse, pero no lo creo necesario; valdrá más, á mi enten-
der, no complicar las notaciones y dar directamente en las
fórmulas todas las indicaciones necesarias á cada una de las
posiciones del elemento que se considere.

También ocurre á menudo que las diferencias entre unas
posiciones y otras, están claramente expresadas en el dibujo,
Ó se desprenden de la descripción, y entonces, basta con
indicar en las fórmulas que el elemento descrito ha de repe-
tirse (F8, F9, F11).

La descripción que se haga de una máquina, y la de cada
uno de sus elementos, podrá ser más ó menos detallada. En
el lenguaje simbólico, lo mismo que en el ordinario, la ma-
yor habilidad del autor consistirá en saber lo que debe decir
y lo que debe callar. También tendrá verdadera importancia el
orden en que se escriban las fórmulas; no puede darse, acer-
ca de esto, ninguna regla fija, pero será conveniente atender
siempre que se pueda á dos principios que encontrarán apli-
cación muy á menudo:

a) Dividir la máquina en varios grupos de mecanismos,
que se describen separadamente.

b) Describir primero las piezas fijas, luego las que se
montan en ellas, después las que van montadas en estas úl-
timas y así siempre, en el mismo orden en que se montarían
al armar la máquina.

Ejemplo de descripción simbólica.

La lámina II representa un aparato de demostración, en el
cual se obtiene mecánicamente el producto p, de dos canti-
dades complejas x”, x”.

av E
(p = p (cosa EY y SU sena); x =p"(cosa' +V-— 1 sena;

LS po (COSA +V-— 1sena)).

Cada una de estas variables está representada por el des-
plazamiento de uno de los vástagos P, X”, X” (fig. 14). El
módulo £ se determina por la posición del vástago P con re-
lación á la escala rectilínea, trazada, según el radio del dis-
co D (lám. IT); y el argumento <, igual al ángulo que gira el
vástago P, arrastrando al disco D, se mide por la posición
del índice Y, relativamente á la graduación circular. De un.
modo análogo están representados los factores x”, x”; y los
enlaces de la máquina han de ser tales, que pueda disponer-
se arbitrariamente de la posición de dos de los vástagos P,
X', X”, y que el tercero se coloque automáticamente en la
posición que le corresponda, de tal manera, que siempre, los.
valores simultáneos que leamos en las seis escalas, satisfa-
gan á la ecuación

Ó, dicho en otros términos, que satisfagan á las dos ecua-
ciones

, , ”
NE AAA ES

La descripción de este aparato (lám. III) se hace por me-
dio de fórmulas divididas en cinco grupos.

En el primero se indica la estructura de las partes fijas,
del armazón, que se compone de cuatro placas V, V”, C',
C”, las cuales forman una especie de caja abierta por los dos
costados y de tres árboles verticales A, A”, A”, fijos en la
placa V, que no se ven en el dibujo, porque cada uno de
ellos lleva un manguito que le oculta, pero cuya posición y
dimensiones quedan claramente indicadas (F5).

e A DARAS

Sis: 4

Las fórmulas del segundo grupo indican la manera de

montar en cada uno de los árboles A, A”, A”, uno de los vás-

tagos P, X”, X”, de suerte que tenga los dos movimientos,
necesarios para representar una variable compleja y que sólo
pueda tener esos dos movimientos.

Los mecanismos descritos en el tercer grupo establecen
una cierta relación entre el valor

p H
de ¡pg” ) y el desplazamiento vertical del manguito ( H'
p” H"'

esta relación puede determinarse arbitrariamente al trazar
las ranuras 5, 0,06, y en este caso las hemos trazado de
manera que se tenga desp H = log 9; desp H' = log q”;
desp H” = log g”; pero ha de tenerse en cuenta que la uni-
dad de longitud empleada para medir el desplazamiento de
H, ha de ser la mitad de la que se emplea para medir los
desplazamientos de H' y H””, cosa que también ocurre, como
puede verse en la figura, con las unidades de las tres esca-
las radiales, que dan los valores p, p”, p”.

Por medio de los mecanismos del cuarto grupo, se impo-
ne entre los valores simultáneos de las ordenadas verticales
de los tres manguitos H, H”, H”, la relación

1
Z y 7% 2 (Z y al Zg»),
ó sea, teniendo en cuenta el valor de las unidades adoptadas
para medir los desplazamientos
desp H = desp H” + desp H”;
y, por consiguiente,

,

log 2 = log ¿” + log

a

Todas estas relaciones entre los desplazamientos se han
establecido sin entorpecer para nada el giro de los tres man-
guitos M, M', M”, ni el de los discos D, D”, D”, que van
unidos á ellos. Los mecanismos del quinto grupo tienen por
objeto establecer entre estos tres movimientos de rotación la
condición

XIX.—Las disoluciones sólidas.

POR JosÉ RODRÍGUEZ MOURELO.

1

Del régimen y formas de las disoluciones sólidas.

Conocidos ya los fundamentos de su doctrina, y habién-
dolas definido con arreglo á lo sabido y determinado respec-
to de sus cualidades generales, importa ahora estudiar, con
la mayor suma posible de datos experimentales, el mecanis-
mo y las formas ó equilibrios definitivos representantes de
las disoluciones sólidas, acerca de cuyos extremos poco hay
hecho con carácter definitivo; y á aportar nuevos hechos
para la resolución de los problemas, más bien de carácter
particular, que en el asunto se contienen, he encaminado una
parte de mis investigaciones. Generalmente se apela á con-
sideraciones teóricas, cuya importancia es notoria, al abor-
dar la cuestión de determinar el estado y la composición de
los sistemas, cuando se ha llegado á formar el equilibrio
considerado definitivo, á partir de cantidades conocidas de
dos 6 más substancias tomadas en condiciones determina-

Construcción mecánica de la formula
plcos a+ VI sena) pleosa+visen 04)x

7 = 7 e (cos.o“vT sena)
53
A o SS ns el al lata raieaios 7
E 8
: 9
b Eo
b | ; 11
5R AN E 12
Me o
pg 14
1 ll
| W mM
Í !
Ú q ,
Er = 1

MI

bámina Il.

-De seripción simbólica del aparato
Va, (5) ¿JE llr»saror:y=2=50,2<0=6)
cl dele y=2"58;2=6-92)[0 V] CC" (xC2xC'=155)
vi [a JElixesasr Y=2+58,2 -92+9)[9.C.C”)
exví O Llcois:j=so: 2. resolpera) aca (a20) areas

Ap, [> Lllczas.yaso.226>50Jp: SHO V ASA (x=35) A=A(x-135)

Mp, lalo Aj(p=3%)(2=6=75) MMM"

epm[= a Y=26-34,2-50:70) $=-P=fP

Br [19 ió M)(X=61=109.Y=28.5+315; 1275-92) B=B-B"

oral (=] Jlx=ra»:02: yz 5-315.2:86-88) y=y=Y"

sal = )s.5.5

Dhu, [o Lele 85: ye 50; 2.92:960 BIE a e VIO Aj D=D-D'
o => (170-107, Y=29+31;2=92+96) E= E - €

Ny, (en LK: 60+94:y=50 2-88) — B) N=N=N'

Pa, [== Llo Ni —-0 E) (X=92 .y=30:2=915+102) P-X=X"

aj le> ¿lo a O) eyy-22 38:2=87)a:a=a"

Gal
bj le L lio 1.1 HO— e 5) b-b=b"

> Llo aNO bHA= 19)(y=22=2)(J|U- y. 50) JY= EJ: Y = JE Y

lu, E-mo C)(y=22-26)(1 =25)(1] l-y=30) EE MEE:

A A H=H=H"

ep. (le le HO —-0fB)c=c'= e"

Ao) Lle H](x=85.y=50:2=54»55)(P=4-8) L=L=L

Ky, lr lO — Mj—Z (2 <79090: ye 2496: 2243953) KK=K

Fu, [lo xO LJ (ElF-x<a5) F.FSF RRA

dy le Mie K)(x=85;y=22-24;2=47)(d,[d=y=30) d-d=d” d,=d,=d;
=> tlo d)(x'=30-140,y=22=24 :745 5-48,510 — d,d (E JE=y=30)
Gh A lea r Llo E.E. (2245-75; y=24<36 2 245.5:48.5)(6"G+x=85)

To, [o Elo ma: 32+351p=20) T¿T'(9 M')

0, (9 ÑO Mie =320soNe= 0) (POB T)O-2vT) OA

s 8) 1)

Ru, E Llio M)(x=20+82 :y=30;2=22)(p=1)[O A)

ES B Lo Rj(x=70 14) (4 S,,S,)

[O My (0 0,) (2 =25+29) (S,|S-2=22) (9 O.)

bámina lll.

EN A

das, sobre todo las exteriores, y se concretan los problemas
principales, en todos los casos de disoluciones, á buscar un
límite marcado por el estado dicho de saturación á tempera-
turas y presiones iguales ó semejantes, y con arreglo á ello
se trazaban las correspondientes curvas, traducidas luego en
las conocidas ecuaciones de Van der Waals ó de Le Chate-
lier, cuyo objeto es reducir todo lo posible el número de los
datos experimentales que se requieren para establecerlas.

No se indaga de esta suerte todo el problema; lo que se
hace es concretarlo al punto preciso de la solubilidad, que
no es sino una parte, siquiera muy principal, de la disolu-
ción, cuya importancia es relativa, hasta cierto punto, al res-
pecto de las disoluciones sólidas, en las que el trazado de las
clásicas curvas no resulta operación sencilla, precisamente á
causa de las dificultades de lograr los necesarios datos expe-
rimentales. Así he preferido buscar otros artificios sencillos
para establecer, en algunos casos prácticos, las relaciones
especiales de los disolventes con los cuerpos que en ellos
pueden disolverse.

Diversos estudios, y principalmente los de Bodlaender,
que datan de 1898, los originales de Van't Hoff, las obser-
vaciones tan concretas de Brunni, las de Beckmann y Stock
con las investigaciones de Wurffel, las de Kiister relativas á
las disoluciones sólidas amorfas, los trabajos de Schmidt,
de Witt, de Walker, de Hoitsema, de Shields y de Jupter,
quien se ha ocupado en el asunto con gran fortuna; las in-
dagaciones de Retgers, relativas á fenómenos advertidos en
las disoluciones isomorfas, las de Topsoé, que fueron su
punto de partida, y algunas otras, sancionadas como doc-
trina general en los principios que Gibbs establece en su
tratado del equilibrio de los sistemas químicos al examinar
los efectos ocasionados cuando es sólida alguna parte de
ellos, sirviéronme á maravilla como base y fundamento de
mis estudios experimentales, en particular en los referentes
á lo que me permito llamar régimen de las disoluciones só-

A —

lidas, en cuyo capítulo se comprende lo referente á la solu-
bilidad y á las variaciones de tensión, que son los puntos
mejor estudiados, sobre todo en lo que atañe á las mezclas
y disoluciones isomorfas y á la formación simultánea de va-
rios hidratos.

Ocurre, en primer término, el averiguar las relaciones en-
tre los términos del sistema en el caso más sencillo, deter-
minando los mecanismos, en cuya virtud, partiendo de subs-
tancias distintas, desde el punto de vista químico, lléganse
á constituir masas uniformes, cuya característica es la ho-
mogeneidad de la estructura, que implica la de las molécu-
las, que unas en otras se difunden al penetrarse en el acto
de la disolución. Bien se entiende, no obstante, que aun en
las condiciones simples del ejemplo general, cuando es uno
el disolvente y una, asimismo, la materia disuelta, el carácter
individual de cada término ha de entrar por mucho en el ré-
gimen y mecanismo del fenómeno y contribuirá de diversa
manera, según aquél sea, á constituir el equilibrio definitivo
que lo representa, y sólo invariable dentro de ciertos límites,
variables para cada disolución y dependientes de la natura-
leza de sus componentes y aun de ciertas circunstancias del
mismo agregado que forman, tratándose de cuerpos isomor-
fos é hidratados.

En esta condición, tan general, de la homogeneidad asig-
nada á las disoluciones sólidas, es menester distinguir
algunas particularidades interesantes. Se ha visto antes
cómo es lícito comparar los sistemas de que se trata á lí-
quidos de diferentes densidades, que por el orden de las
mismas se disponen para constituir el estado de equilibrio
mecánico característico; cada capa, considerada aislada, es
homogénea; pero sólo idealmente son separables; en la rea-
lidad, las superficies de separación se establecen mediante
capas, tan delgadas como se quiera, mas que participan de
la naturaleza de los líquidos superior é inferior, y en ello
reside su propia individualidad, como estados interme-

ET IIA
A

MÁ

dios ó de transición entre otros mejor definidos y determina-
dos. Aun podría admitirse, en ciertos casos, que á través de
estas capas líquidas de separación, é interviniendo ellas
mismas en el fenómeno, se realiza la difusión y mezcla de
los dos líquidos supuestos miscibles y de desiguales densi-
dades.

Puede ser aplicado el caso á ciertos hidratos salinos, con-
siderados disoluciones sólidas, capaces de coexistir en una
misma masa, transformándose con lentitud hasta dar en el
considerado más estable y en cierto respecto definitivo. Del
sulfato de níquel normal anhidro SO, = Ni, tomado como
punto de partida, se pueden obtener: un monohidrato
SO,=NIi.H,O, que resulta también de deshidrataciones

parciales de los cuerpos siguientes, el sulfato con seis molé-
culas de agua, en sus dos formas, cuadrática de color azul
y clinorrómbica verde SO, =Ni.6H,0 y el hidrato
SO, =NIi, 7H, 0, correspondiente á la morenosita natural.
En mi entender, estos hidratos, al igual de los del sulfato de
sodio, que es el ejemplo más conocido y de varios otros
menos citados, representan todo un sistema de disoluciones
sólidas, de homogeneidad relativa y susceptibles de trans-
formaciones espontáneas muy interesantes, porque no siem-
pre son reversibles, y diríase que en tales hidratos es mani-
fiesta la tendencia á un determinado equilibrio condicionado
por su calor de formación y dependiente también de las con-
diciones térmicas del medio en el cual han de cambiarse
unos en otros.

Fué punto de partida en mis observaciones el hidrato con
siete moléculas de agua, bien cristalizado y de color verde es-
meralda, y pude notar una serie de fenómenos de deshidrata-
ción ya conocidos, á saber: su transformación en el hidrato
azul SO, = Ni 6 H, O, mediante las solas acciones de la luz
solar; la pérdida de más de la cuarta parte de su agua
á 100”, el cambio en monohidrato á 104” y su conversión en
la sal anhidra de color amarillo á 260”. Lo notable de estos

MiB Es

cambios es el primer término de la deshidratación, que
pudiera decirse espontánea, debida á la luz solar únicamen-
te, en cuanto implica un cambio singular de estructura el
paso de una forma rómbica á otra cuadrática, y aquí la in-
versa es cierta, porque evaporando á temperatura baja, an-
tes de los 20”, el hidrato azul disuelto, se obtienen prismas
rómbicos cuya composición es S O, =N ¡7 H, O y su color
verde.

Quiero hacer notar ciertos particulares respecto del hecho
apuntado: es el primero, que sólo he logrado producirlo con
hidratos artificiales; la morenosita natural no se presta á tal
linaje de cambios y en ningún caso me ha sido dado hacerle
perder, por las acciones de los rayos solares únicamente,
una molécula de agua y transformarla en el hexahidrato azul
cuadrático; es el segundo, que haciendo cristalizar el hepta-
hidrato con leves proporciones de sulfato amónico, inferiores
del 2 por 100, basta para darle cierta estabilidad y evitar su
transformación de la manera que es dicha y tan fácil en las
condiciones ordinarias; el tercero se refiere á las influencias
del sulfato de magnesio, isomorfo con el hidrato en que me
ocupo, y sin llegar á constituir disoluciones equimoleculares,
con que sólo al cristalizar el sulfato S O, = N 7H, O arras-
tre el 1 por 100 de la sal citada, disolviéndose la pequeña
cantidad de sal doble formada en gran exceso de sulfato
de niquel, es causa de la mayor estabilidad, comunicándole
resistencia para las acciones luminosas, que no lo transfor-
man ni lo alteran; y el cuarto atañe á que, en general, toda
substancia que pueda cristalizar conjuntamente con el sulfa-
to de níquel, sea ó no isomorfa, con tal que lo impurifique
en mínimas cantidades, es causa de que el fenómeno no se
realice, 6, á lo menos, de que se produzca con extraordina-
ria lentitud.

Guardan relación los hechos apuntados con otros bastan-
te curiosos observados en la deshidratación parcial y trans-
formaciones del sulfato de níquel heptahidratado, referentes

REA

— 447 —

á la coexistencia de los dos cuerpos SO, =Ni.7H,0 y
SO, = Ni.6H,0O. Una disolución del primero es suscepti-
ble de dar cristales de ambos á la vez, si cuando está para
cristalizar se somete á las acciones directas de los rayos so-
lares; pero haciendo de modo que sólo ejerzan su influencia
sobre una parte del líquido, dejando el resto en la obscuri-
dad, tapando á medias la cápsula de porcelana que lo con-
tiene con un paño negro. De esta manera lógrase muchas ve-
ces tener juntos cristales verdes rómbicos y cristales azules
cuadráticos, representantes de las dos disoluciones sólidas
constituídas por las sales hidratadas que consideramos.
Resulta el fenómeno del cambio de una en otra todavía
más singular y curioso, disponiendo los experimentos de
distinta manera. Para ello es menester operar con buenos
cristales del heptahidrato puro, transparentes, de color verde
esmeralda, aislados, de regular tamaño, secos y recién ob-
tenidos; las formas hemiédricas, que son tan frecuentes en la
sal de que se trata, préstanse también para el caso. Si una
porción de cada cristal se recubre con papel negro mate, ci-
ñéndolo mucho á la superficie del cuerpo, y hasta si fuere
necesario empleándolo doble con el fin de evitar toda pene-
tración de la luz, y la parte desnunda se somete á directa y
prolongada insolación, acontece que repetidas veces se ob-
serva, luego de quitar el papel negro, cómo lo que tapaba
del cristal permanece invariable de color verde, preservado
de todo cambio, mientras que lo insolado perdió una molé-
cula de agua, tornándose de color azul, que es el caso ge-
neral, y así coexisten los dos hidratos, aunque por poco
tiempo, que el estado constituído es transitorio, é iniciado el
cambio, continúa, aunque con velocidad variable, hasta lle-
gar al definitivo, representado aquí por el hexahidrato cua-
drático y de color azul. Debo advertir que estos experimen-
tos, realizados á la temperatura ordinaria, han de efectuarse,
conforme ya lo anunciaba Marignac, en tubos de vidrio ce-
rrados, en cuyas paredes interiores vese condensada, fot-

Rev. Aca. Ciexcias.—IV.—Abril, 1006. 31

mando menudísimas gotas, el agua procedente de las deshi-
drataciones.

Hay que indicar cómo, en realidad, se parte de un siste-
ma homogéneo, pero inestable y que no es definitivo, tan
alterable, que la luz lo modifica y transforma, y haciéndole
perder una molécula de agua, cambia su forma cristalina,
pasando así de una disolución sólida á otra diferente, sin
que varie la naturaleza de los elementos que la constituyen
y sólo se alteran las proporciones de uno de ellos. Este caso
de las metamorfosis de hidratos es bastante general y su me-
canismo presenta fenómenos singulares,.en gran parte de-
pendientes de la naturaleza y estado de los medios en que
se forman y del modo de cristalizar reteniendo agua.

Se conocen dos formas distintas y bien determinadas del
hidrato SO, = Ni.6H,0,; una, de color azul, es cuadrática;
la otra, verde, es clinorrómbica, ambas estables, producidas
en condiciones especiales y muy sabidas. Para obtener la
variedad azul, se emplea un líquido muy acidulado por el
ácido sulfúrico ó el clorhídrico, en proporciones que igualen
á la mitad del peso del líquido, y se requiere evaporar á
temperatura baja, que no exceda de 18”. Ya sabemos que es
también producto inmediato de la deshidratación parcial del
sulfato SO, =Ni.7H,0O. A veces se deposita evaporando
disoluciones neutras verdes, con tal de no pasar la tempe-
ratura de 35”, y repitiendo experimentos de Marignac, he
visto tornarse azules, al cabo de cierto tiempo, variable se-
gún los casos, cristales verdes transparentes del propio
hexahidrato, sin experimentar la más leve variación de
peso; lo cual indica cómo sólo se trata de una modificación
molecular Ó de estructura de una disolución sólida homo-
génea para alcanzar su estado de equilibrio definitivo. De
su parte, la modificación verde clinorrómbica es generada
en medios líquidos que contengan cloruro de níquel 6 ácido
clorhídrico libre, manteniendo su evaporación á temperatura
no inferior de 50”, sin que pase de 70”; los cristales forma-

— 449 —

dos son estables á 40”, pudiendo desecarlos sin que se alte-
ren; pero abandonados en tubos de vidrio abiertos, á la
temperatura ordinaria adviértese pronto su alteración, pier-
den agua en proporciones variables, siempre exiguas, con
cambios de color y bien marcadas tendencias á adquirir to-
nos azules que, á la larga, implican cambio de forma cris-
talina.

Impedir ó perturbar, cuando menos, las transformaciones
indicadas, que de tiempo atrás se conocen, me ha sido su-
mamente fácil. Basta, para conseguirlo, hacer que al cristali-
zar los hidratos retengan leves proporciones de sulfato amó-
nico, y aun mejor, de sulfato de magnesio, que en ningún caso
han de pasar del 2 por 100, y entonces el compuesto for-
mado, disuelto en gran exceso de sal hidratada, dota al sis-
tema de una estabilidad y fijeza que de otro modo no tiene.

También en ciertos sistemas, en los que coexisten los dos
hidratos, siendo típico el caso de los correspondientes al
sulfato de sodio, es posible compararlos á los constituidos
por líquidos de diferentes densidades, como las mezclas
de agua y éter ordinario, y admitir que las superficies Ó ca-
pas de separación no son homogéneas, y conforme á la sec-
ción de las mismas que se considere, así participarán más ó
menos de la naturaleza de uno ú otro hidrato, y su particu-
lar estado, lejos de ser fijo, hallaráse sometido al meca-
nismo de las transformaciones observadas, cuyo límite está
en la disolución sólida representante del equilibrio más per-
manente. Vale advertir cómo en el caso especial de los hi-
dratos del sulfato de níquel inestables que se han considera-
do, no corresponde á lo que de ordinario se entiende por
saturación completa, teniendo por disolvente cualesquiera
de los dos componentes, el monohidrato ó el agua, que
es capaz de absorber y retener en estado sólido. Desde
SO,=Ni.H, O hasta SO, =Ni.7H, O hay toda una
serie de estados intermedios; pero no corresponde la mayor
fijeza al límite superior de la hidratación, sino al término

DET.) IS.

'SO, =Ni6H,O en su variedad azul cuadrática, y esto se
demuestra porque los hidratos superiores, y el propio hexa-
hidrato verde, espontáneamente se transforman en este otro,
sobre todo mediante las acciones de la luz, y si la homoge-
neidad, característica de las disoluciones sólidas, significa la
estabilidad del equilibrio en los sistemas que las constituyen,
aquí sólo podría corresponder con el estado de saturación,
en el caso de admitir como disolvente el agua retenida, y ésta
no parece ser su función, porque entonces la disolución sa-
turada sería el monohidrato.

Junta á lo menos las condiciones de contener la mayor
cantidad de sulfato anhidro con la menor proporción de
agua; pero creo más oportuno, y de acuerdo con los hechos
observados, el admitir que la hidratación del sulfato de ní-
quel es un fenómeno progresivo y no realizado de una vez,
sino mediante la sucesión de una serie de estados particula-
res de un mismo sistema binario, representantes de otras
tantas disoluciones sólidas, siquiera uno de sus términos sea
el agua. En este conjunto hay un estado típico, correspon-
diente á la normalidad y equilibrio estable, y, por decirlo así,
definitivo del sistema, en el cual es advertida la homogenei-
dad consignada como carácter esencial de las disoluciones
sólidas; pero que no contiene las proporciones máximas de
disolvente y materia disuelta, ni para la cantidad fija de una
molécula de sulfato, la mayor proporción de agua, sino
aquella relación 1: 6 determinada por el análisis en el hidra-
to azul. No es nuevo ni singular el caso; pues está adverti-
do en varios cuerpos, y hasta es frecuente, tratándose de,
algunas particulares mezclas isomorfas.

Un régimen, todavía más singular, es el de otras disolu-
ciones sólidas, sencillas al igual de las anteriores, origina-
rias de sales dobles muy conocidas y bien analizadas, que tie-

A Id VALIA A . 3 O
a
e YY
he
+

— 451 —

nen sus representantes en definidas y abundantes especies
minerológicas, generadas en fenómenos interesantes. Perte-
nece al grupo el sulfato de sodio, en su calidad de disolven-
te del sulfato de calcio, cuando ambos se hallan en determi-
nadas condiciones para formar una serie de cuerpos cuyo lí-
mite puede considerarse la glauberita SO, = Na,. SO,=
= Ca, procedente de ia unión de ambos cuerpos, molécu-
la á molécula, formando una combinación que el agua es ca-
paz de destruir, aislando los dos sulfatos, conforme luego se
dirá. Acerca de tales hechos, ya de antes conocidos, he prac-
ticado algunos experimentos, que aquí pongo con los debi-
dos esclarecimientos, referentes, sobre todo, á los modos de
generarse substancias de constitución ya algo compleja.
Ligada está la formación del sulfato de sodio natural, con-
sidérese anhidro en el caso de la fenardita 6 atiéndase á sus
dos principales hidratos S O, = Na, 7 H, O bastante esta-
ble, y S O, = Na, 10 H, O, con las acciones del cloruro de
sodio sobre el sulfato de calcio en presencia de la materia
orgánica, las cuales cúmplense con arreglo á la ley de las
fases, y es de advertir cómo hallándose en presencia y en
medio ácido adecuado un disolvente, sulfato de sodio, y un
cuerpo capaz de ser disuelto, el yeso, de necesidad han de
constituirse cuerpos que representarán disoluciones tan di-
luídas como se quiera de glauberita en el sulfato sódico
hidratado. Es cosa averiguada que la materia orgánica des-
compone muy bien el sulfato de calcio natural, originando
diversos productos, cuyo límite es el azufre; y si mientras se
efectúan semejantes transformaciones intervienen substancias
que contengan compuestos sódicos, se comprende la gene-
ración de series de sulfatos simples y dobles y de disolucio-
nes sólidas homogéneas que contengan variables proporcio-
nes de sulfato de sodio, sulfato de calcio y agua, teniendo
por límite la glauberita, que es anhidra y procede de la
unión molecular de los dos sulfatos. A lo que parece, ciertos
microorganismos participan en este linaje de cambios.

— 452 —

Wyrouboff, que ha estudiado mucho el sulfato de sodio an-
hidro desde el punto de vista cristalográfico, le asigna cua-
tro formas distintas: octaedros ortorrómbicos en la tenardita,
que es el tipo y la más estable; prismas que parecen clino-
rrómbicos, producidos calentando la primera á 180”, y tan
poco estables, que por el solo contacto del aire engendran
espontáneamente la tercera forma, clinorrómbica, asimismo

obtenida al enfriar el sulfato fundido, y una cuarta forma, exa-

gonal, que sólo existe á la temperatura de 500”. Con la pri-
mera se relacionan los hidratos directamente, en cuanto el
representado en la fórmula S O, = Na, 10H, O se preci-
pita formando menudos cristales con sólo añadir alcohol á
las disoluciones recientes de tenardita, sin darle tiempo á
combinarse con el agua y operando á temperaturas á las que
son disociados los hidratos, en el caso de haberse constituí-
do, lo cual no acontece cón la sal anhidra en las otras
formas.

Me interesa consignar dos observaciones acerca de la te-
nardita típica: conozco dos variedades naturales, proceden-
tes de las provincias de Madrid y Toledo; ambas son orto-
rrómbicas y contienen la misma cantidad de SO, = Na, que
se eleva á la proporción de 99,78 por 100, sin la menor tra-
za de yeso; se diferencian, porque mientras una de ellas es
incolora, la otra posee magnífica coloración azul clara y es
muy traslúcida; recuerda el tono peculiar de algunas anhi-
dritas, cuya estructura es á la continua lamelar. Estas suelen
retener cantidades mínimas de azufre en extremado grado
de división, difundido con mucha regularidad en su masa,
en la que hace oficios de materia colorante y procede, acaso,
de una descomposición inicial del mismo sulfato cálcico;
constituye, por lo tanto, una disolución sólida sumamente
diluída del azufre en aquel cuerpo que ha podido originarlo.
Quizá puede atribuirse á análogas causas el pigmento de la
tenardita azul, recordando su procedencia del yeso, cuyas
alteraciones, causadas por la materia orgánica, van hasta po-

cs is

— 453 —

ner en libertad el azufre, si se llevan á término en un medio
ácido, que puede haberse formado en las progresivas altera-
ciones del yeso con el cloruro de sodio y los organismos
elementales reductores en contacto del aire. Representaría
entonces la tenardita azul una disolución sólida del azufre
en gran cantidad de sulfato de sodio.

Ya pueden invocarse otras buenas razones en apoyo de
semejantes conjeturas, y sólo recordaré los experimentos de
Tyndall y Spring, que demuestran cómo un líquido ó un va-
por, en cuya masa haya en suspensión materias sólidas su-
mamente divididas ó corpúsculos líquidos de extremada pe-
queñez, adquieren color azul si son atravesadas por un in-
tenso rayo de luz. Azuladas son de la propia suerte algunas
aguas selenitosas, y si en una disolución muy diluída é hir-
viente de hiposulfito de sodio se echan algunas gotas, dos ó
tres, de ácido clorhídrico, el precipitado de azufre tenuísimo
que se forma, comunica al líquido bien marcada tonalidad
azul; siendo cosa singular que sólo se produzca en los me-
dios ácidos y nunca en los neutros, ni menos en los alcalinos.

Notárase hace tiempo, que si no todas, muchas muestras
de tenardita, que es al cabo un mineral anhidro, se eflores-
cen en contacto del aire á la temperatura ordinaria, y no es
raro ver las masas cristalinas, azuladas ó incoloras, recubier-
tas de polvo blanco finisimo, apenas adherente á la super-
ficie de los minerales, de la que es facilísimo separarlo, tar-
dando bastante en volver á formarse. Este hecho débese á
que, en las condiciones ordinarias, la tenardita manifiesta,
aunque en grado muy pequeño, ciertas avideces para el
agua que en estado de vapor contiene la atmósfera, y por
virtud de ellas, en la superficie, y sin que la alteración logre
penetrar la masa, se genera un hidrato, coexistiendo con
el sulfato anhidro, y este hidrato no puede existir ni conti-
nuar formándose, y en virtud de sus mismas propiedades,
pierde el agua y se efloresce. Para demostrar que así aconte-
ce, he colocado ejemplares de tenardita en atmósferas con-

— 454 —

finadas, relativamente húmedas, y pude comprobar su hidra-
tación superficial, limitada é incipiente, y otros tengo con-
servados, sin manifestar ni indicios de la más leve alteración,
en atmósferas secas, á la temperatura ordinaria, y es menes-
ter pensar que la tenardita natural es el término de una evo-
lución química importante, el límite de las deshidrataciones y
la forma más estable, definitiva, del sulfato de sodio, cuyas
ulteriores modificaciones implican la disociación, cuando
menos parcial, de su molécula.

Ahora importa ya considerar los hidratos en su condición
de disolventes del sulfato de calcio. Fórmanse las correspon-
dientes disoluciones sólidas, hasta llegar á la constitutiva de
la glauberita, pasando por el estado líquido, es decir, em-
pleando disoluciones acuosas de sulfato de sodio, en mis ex-
perimentos al décimo, y se hace preciso indicar las condicio-
nes de los medios y las del cuerpo que ha de ser disuelto;
pues no todas son favorables para la difusión del yeso en el
disolvente hasta constituir el sistema homogéneo peculiar de
las disoluciones sólidas, cuyo límite, en este caso especial,
no marca el de la solubilidad del disolvente, ni significa la
completa saturación del mismo, porque la propia glauberita
disuelve sulfato de calcio.

Ocurrióseme emplear siempre sulfato sódico anhidro puro
y disolverlo en agua destilada á la temperatura ordinaria,
empleando 10 por 100 de sal, añadía luego ácido clorhídri-
co (hasta 5 por 100) y de esta manera formaba el disolvente,
constituido, á la postre, por un medio muy acidulado, que
sólo en tales condiciones es bastante soluble el sulfato de
calcio. En un líquido neutro, como el agua destilada, apenas
se disuelve, necesitándose 388 partes de disolvente para
cada parte de yeso cristalizado, y si el medio fuera alcalino,
la insolubilidad puede considerarse absoluta. No es indis-
pensable acidular con clorhídrico; algunas veces he emplea-
do el ácido sulfúrico y aun el nítrico; pero se logran mejores
resultados con aquél y su eliminación, cuando conviene ha-

— 4553 —

cerla, es facilísima y permite llevar á cabo las evaporacio-
nes á temperatura baja. Importa elegir el sulfato cálcico,
pues no es indiferente la procedencia respecto de la solubi-
lidad. Tengo advertido, en repetidas tentativas, que es me-
nor la del yeso cristalizado natural; se disuelve bastante me-
jor el fibroso, luego de bien pulverizado, en particular eli-
giendo ejemplares muy blancos y en los cuales, á causa de
naturales alteraciones, sea fácil la disgregación; mas, á pe-
sar de semejantes ventajas, he preferido el sulfato de calcio
artificial, obtenido precipitando una disolución de cloruro de
calcio neutra, y en frio, con otra de sulfato potásico, reco-
giendo el precipitado, lavándolo mucho y dejándolo secar
á la temperatura ordinaria.

Bien será indicar cómo las disoluciones del sulfato de cal-
cio en el sulfato de sodio disuelto en agua y en presencia
del ácido clorhídrico, conforme queda dicho, se han efec-
tuado siempre con auxilio del calor, llegando en ciertos ca-
sos hasta la ebullición de los líquidos, sostenida por bastan-
te tiempo; en frío, los fenómenos sólo se realizan parcial-
mente y eso con extremada lentitud. Sin embargo, al cabo de
muchos meses de contacto, se llega en ocasiones, por estos
medios, á la síntesis de la glauberita, aunque sus cristales
resultan pequeñísimos é impurificados por otros no mayores
de sulfato de sodio.

Partía de una cantidad fija de sulfato anhidro seco, 38 gra-
mos, que es igual á la cuarta parte de su peso molecular, y
la disolvía en 380 cc. de agua destilada, añadiendo 15 cc. de
ácido clorhídrico puro y fumante; calentando el líquido en-
tre 40” y 50”, empecé disolviendo 1 gramo de yeso precipi-
tado, y evaporando sin pasar de los 35”, se obtiene una sal
que contiene íntegra la proporción de yeso añadida; aumen-
tando las cantidades, pueden recogerse cristales cada vez
más ricos de sulfato de calcio, anhidros 6 hidratados, según
las circunstancias de las evaporaciones, que son las mismas
requeridas para lograr el sulfato de sodio exento de agua ó

— 456 —

tenerlo decahidratado. Es decir, que se forman disoluciones
sólidas de glauberita, en proporciones relacionadas con las
cantidades de yeso añadidas, en sulfato de sodio anhidro ó
hidratado; observándose, en este último caso, que la canti-
dad de agua disminuye á medida que la disolución se enri-
quece de sulfato de calcio, como si en este caso. hubiera una
suerte de substitución metódica y regular. Alcanzando á 34
gramos, cuarta parte” del peso molecular, la proporción de
sulfato de calcio, cristaliza la glauberita pura en un medio
muy ácido, anhidra, necesitando hervir el líquido durante
algún tiempo; los cristales, bastante pequeños, son mono-
clínicos y pepresentan, en su categoría de sal doble, una di-
solución sólida equimolecular de los sulfatos de calcio y so-
dio, que, á su vez, puede disolver una molécula de cromato
de potasio y constituir la sal triple SO,= Ca.SO0,=
= Na, . CrO, = K,.H,O descrita por Hannay.

Conviene advertir cómo la glauberita es mezcla ó disolu-
ción de dos minerales isomorfos, la anhidrita y la tenardita,
ambos ortorrómbicos; pero su mutua difusión no da pro-
ductos de igual forma, sino engendra cristales monoclíni-
cos, bien definidos como característicos del sulfato doble
cálcico, sódico, anhidro, típico, que.otros hay de composi-
ción química bastante diferente. Quizá pueda relacionarse
este hecho con las especiales modificaciones isoméricas de
que es susceptible el sulfato de sodio anhidro, en las cuales
influyen de manera decisiva la temperatura y los medios lí-
quidos donde se generan los cristales.

Que el sistema formado por las disoluciones sólidas de
que se trata es poco estable y que representan uniones ó
enlaces fácilmente disociables, es cosa sencilla de probar:
cuantas veces he tratado por agua la glauberita con intento
de disolverla, he obtenido por residuo el sulfato de calcio
en ella contenido, y esto lo mismo experimentando con la sal
doble que con sus disoluciones de todo orden en el sulfato.
de sodio; la adición de ácido clorhídrico, sobre todo calen-

NO A os a

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%

— 457 —

tando hasta 80”, determina de nuevo la disolución y el líqui-
do queda transparente; neutralizándolo de nuevo, aparece el
precitado blanco de sulfato de calcio, que se forma mejor to-
davía, quedando disuelta una levísima traza de esta sal en el
agua, alcalinizándola algo; de donde se infiere, que las di-
soluciones sólidas del sulfato de calcio en el sulfato de so-
dio, sean cualesquiera las proporciones relativas de los dos
términos del sistema, requieren, para ser formadas homogé-
neas, medios ácidos, y tal condición es indispensable de su
régimen particular. Influye también la temperatura; á la or-
dinaria, las disoluciones, sirviendo siempre de intermedio el
agua, se hacen con extraordinaria lentitud y las cantidades
de sulfato de calcio que se disuelven tampoco son conside-
rables; por lo común, el poder disolvente del sulfato de so-
dio, respecto del sulfato de calcio, aumenta con la tempera-
tura en igualdad de acidez, hasta los 80”, y tengo observado
que no es mayor á 103”, punto de ebullición de las disolu-
ciones saturadas del hidrato SO, = Na,.10H,0O; pero
este límite no es la glauberita típica, y en la composición de
la sal doble que lo representa en determinadas circunstan-
cias, intervienen otras causas y condiciones diversas y va-
riadas.

De ellas, es la de mayores efectos la duración de las ac-
ciones del calor, traducidas en la constancia y persistencia
de la temperatura. Así, con masas iguales, es posible obte-
ner á voluntad la glauberita ú otra disolución sólida más rica

. de sulfato de calcio, cristalizada, pero no anhidra, y de esta

manera se demuestra como no es aquélla el límite de las
uniones de los dos sulfatos, siempre poco íntimas, en cuanto
luego de aisladas sólidas de los medios ácidos donde se for-
maron, el agua las disocia, dejando por residuo insoluble
sulfato de calcio.

Recordando las investigaciones que en 1899 practicaron
Van't Hoff y Chiaraviglio acerca de las combinaciones lími-
tes de los sulfatos de sodio y de calcio, quise repetir sus

dad ii e it is

ZA

experimentos con algunas variantes, y era mi ánimo inquirir
los efectos de la temperatura límite de 80”, manteniéndola
fija hasta haber comprobado la formación de algún cuerpo
nuevo. Como aquellos autores, fuéme dado apreciar las ven-
tajas del empleo de cantidades muy excesivas de sulfato de
sodio anhidro, respecto del de calcio, siempre artificial y pre-
cipitado conforme queda dicho, y el sistema se componía del
dicho sulfato de sodio, sulfato de calcio y agua, cuyas pro-
porciones respectivas guardaban la relación 50: 1:25, aci-
dulando esta vez con ácido sulfúrico y elevando la tempera-
tura hasta 80” grados, manteniéndola fija en tal grado por
treinta y seis horas consecutivas. En tan prolongada diges-
tión, se genera un cuerpo blanco, cristalizado en agujas muy
finas, disociable por el agua neutra, y mejor todavía alcalini-
zada con potasa ó sosa (nunca con el amoníaco, que podría
precipitar sulfato de sodio), dejando abundante residuo de
sulfato de calcio. Resulta que, en el nuevo cuerpo hay dos
moléculas de este sulfato, una de sulfato de sodio y dos de
agua, y su composición centesimal es la siguiente:

sulfato de sodio...... 31,511
sulfato de calcio...... 60,444
IPUA ala alas 8,000

pérdida del análisis... 0,045

que corresponde á la fórmula

3$0,=Ndy: 2150, =CAi2 RO

Es posible con la misma mezcla generar la glauberita, dis-
minuyendo el tiempo de las acciones de la temperatura ó
llegando á la de la ebullición y sosteniéndola una hora y
aun menos si hay bastante ácido sulfúrico, y no sería, en mi
sentir, descaminado atribuir á sus funciones deshidratantes
la formación del sulfato SO, = Na,. SO, = Ca, que nun-

ABD: —
é
ca contiene agua y es uno de los términos característicos de

la serie de las disoluciones sólidas que consideramos.

Sucede aquí una suerte de inversión de funciones. Otor-
gando las de disolvente, conforme es uso, al cuerpo que
está en mayores proporciones, lo será el sulfato de sodio
mientras supere al de calcio, formándose agregados homo-
géneos más ó menos ricos de sulfato de calcio, según los
términos de la serie que consideremos, los cuales serán al
cabo disoluciones de la glauberita en la masa de uno de sus
generadores. Pero las disoluciones se irán concentrando á
medida que se enriquecen de sulfato de calcio, hasta alcan-
zar el límite marcado por la formación de la sal doble nor-
mal y anhidra que contiene una molécula de cada sulfato;
mas no es el último ó definitivo estado de equilibrio, sino
verdadero punto de partida en la generación de otras diso-
luciones, en las que hace de disolvente el sulfato de calcio,
cuyas cantidades pueden alcanzar hasta el peso de dos mo-
léculas, expresado en gramos, para uno de la sal sódica, con
esta particularidad singular: en la primera fase del fenóme-
no, los aumentos de sulfato de calcio significaban disminu-
ción de agua y tendencia marcada á formar compuestos an-
hidros, de los que es tipo la glauberita; en la segunda fase,
- el enriquecimiento en sulfato de calcio implica hidratacio-
- nes progresivas que complican las disoluciones; persiste en
ellas la homogeneidad, los cristales son definidos, caracte-
rísticos, conteniendo siempre agua, y las agujas, blancas y
lustrosas, recogidas en el experimento que he citado, son en
realidad de un hidrato perfecto. Así, permaneciendo iguales
los componentes de un sistema, cambiando sólo las condi-
ciones del medio externo, en especial las de la temperatura,
es dable producir variados estados de equilibrio.

Fuera de su característica individual, se relacionan fácil-
mente entre sí y con sus generadores. Son, á la postre, va-
lores numéricos que representan condiciones del hecho ge-
neral de la disolución, y de ellos dependen las propiedades

— 460 —

de ésta, lo mismo en el caso presente que en el del vidrio ó
en el de las aleaciones metálicas, consideradas disoluciones
sólidas de las más perfectas.

Tocante á las constituídas por los sulfatos de sodio y de
calcio, la homogeneidad es manifiesta; en todas las partes de
su masa es demostrable la presencia del compuesto cálcico,
difundido con tanta regularidad como puede estarlo cual-
quiera materia colorante disuelta en el agua, ó de la propia
suerte que los óxidos metálicos se distribuyen con regulari-
dad perfecta en la masa de las perlas de bórax ó de sal de fós-
foro. Mirado el conjunto de la serie, es semejante al de mez-
clas líquidas de diferentes densidades; pero cada una tiene
su individualidad, y, conforme aquéllas sepáranse en capas
ó zonas diversas, éstas distínguense, atendiendo, sobre todo,
á las proporciones de agua que contienen, y también por ra-
zón de ser anhidras, en el caso de la unión molecular de los
dos sulfatos, y siempre disociables fácilmente en medios que
no tengan, como los originarios lo necesitan, propiedades
ácidas.

Gracias á notables investigaciones de Lecoq de Boisbau-
dran, que hace ya mucho tiempo estudió ciertas mezclas
como verdaderas disoluciones sólidas, habiendo sido de los
primeros en considerarlas tales, podemos tratar de algunas
bien diferentes de los hidratos y sales dobles, que no han
menester, para ser formadas, el paso por el estado líquido, ni
que un vapor arrastre y distribuya en la masa del disolvente
la materia que ha de ser disuelta é incorporada en ella, bas-
tando calentar, á temperaturas muy elevadas, durante tiempo
variable, los componentes del sistema, para que éste se cons-
tituya homogéneo y dotado de singulares propiedades, que
no tiene, sólo y aislado, ninguno de los cuerpos que lo for-
man, y son dos generalmente. Es el caso de la disolución
sólida que pudiera llamar directa y aditiva, empleando gran-

E

E

A A A A

Tr

— 461 —

des cantidades de disolvente con relación á las proporciones
de la materia disuelta, que por el solo hecho de su difusión á
elevada temperatura, es parte á dotar al sistema, compuesto
de substancias inertes, de actividades especiales y cierta ex- :
citabilidad comparable, bajo ciertos respectos, á la adquirida
por los sulfuros de calcio, bario ó estroncio, cuando en el
acto de ser generados, al rojo vivo, disuelven levísimas can-

- tidades de algunos cuerpos activos, entre ellos el subnitrato

de bismuto principalmente.

Un pequeño número de cuerpos —no pasarán de cuatro —
muy fijos á temperatura elevada y que resisten bien la calci-
nación, los sulfatos de calcio, estroncio, manganeso y cad-
mio, á los cuales pudieran agregarse: los sulfatos de bario,
magnesio y cinc, el de plomo, luego de sometido á la tem-
peratura del rojo sombrío, el del bismuto y los óxidos de los
metales citados, procedentes de la descomposición de sus
carbonatos por el calor; mas algunas substancias raras como
el sulfato y el óxido de itrio, pueden ser disolventes Ó ma-
terias disueltas, según las cantidades en que se empleen. Se
constituyen las disoluciones mezclando, en frío, los elemen-
tos que han de formarlas; gran exceso de disolvente y pro-
porciones de materia soluble de 1 por 100 á lo sumo, y cal-
cinando fuertemente, resulta una masa homogénea, estable,
generada sin cambios de estado y dotada de bien singulares
caracteres propios.

Hay que advertir cómo todas las substancias nombradas
son absolutamente inertes é insensibles respecto de las ac-
ciones de la luz, y sólo en circunstancias especialísimas algu-
guna de ellas manifiesta incipiente y debilísima luminescen-
cia después de prolongada y directa insolación Ó merced á
largas excitaciones eléctricas, operando de continuo en espa-
cios limitados y á las menores presiones posibles. De la pro-
pia manera resultan inertes las mezclas obtenidas por medios
mecánicos y en la forma indicada, aunque la difusión del
cuerpo disuelto sea todo lo perfecta posible y sus partículas

Y

se hallen íntimamente unidas con las del disolvente. Mas, si
después de haber mezclado los dos componentes, se calcina
el sistema formado, se constituye la verdadera disolución do-
tada de este singular carácter; los cuerpos que la represen-
tan, colocados en tubos de vidrio, cerrados luego de haber
hecho en su interior el vacío hasta la presión extrema de me-
dia millonésima de atmósfera, tórnanse luminescentes, con
intensidades y colores variables, dependientes de la natura-
leza y proporciones de las materias disueltas, las cuales,
por lo mismo, denomínanse activas, por influjo de aquellas
mismas acciones eléctricas que vuelven luminosos los gases
muy rarificados, notándose que las aptitudes que la disolu-
ción sólida adquiere son permanentes y su intensidad no
parece experimentar cambios.

Variantes del fenómeno general ha observado bastantes
Lecoq de Boisbaudran y se refieren de preferencia á los colo-
res de la luminescencia, relacionándolos con la composición
de las disoluciones sólidas: es el caso más sencillo cuando
se trata de las binarias y nótase la eficacia del sulfato de
manganeso, en calidad de materia activa, siendo disolventes
muchos sulfatos metálicos y alcalino terrosos y los produc-
tos de la calcinación de los carbonatos; también se han em-
pleado, con el mismo objeto, ciertos óxidos fijos como los de
plomo, cinc, cadmio, magnesio y glucinio. Consíguese la más
brillante y magnífica luminescencia, de hermoso color verde
amarillento, si la disolución sólida sometida al ensayo es de
100 partes de sulfato de cadmio bien calcinado y 1 de sul-
fato de manganeso que haya experimentado los efectos de
una buena calcinación.

Iniciados así los experimentos, pronto se multiplicaron y
extendieron. Por de contado se vió que no es propiedad
exclusiva del manganeso el hacer de materia activa, que
otros cuerpos gozan de la misma excelencia, en particular el
óxido de bismuto, y es singular el que su eficacia no resulte
general y dependa, á lo menos en gran parte, de la natura-

AN

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7? PARAS TTIAN

sad

— 463 —

leza del disolvente. Así, el sulfato de itrio, que puro y sólo es
incapaz de tornarse luminescente, lo es poquísimo cuando
ha disuelto un 2 por 100 de sulfato de manganeso, y en cam-
bio presenta magnífica luminescencia roja si la materia activa
es el óxido de bismuto, empleado en'las mismas proporcio-
nes; en cambio, las disoluciones de este mismo óxido de
bismuto, en los óxidos de cinc, cadmio ó magnesio y en los
sulfatos calcinados de cinc, cadmio Ó plomo y en algunos
otros, no son luminescentes sometidas á los experimentos de
los tubos de Crookes, y en cambio lo es, en grado sumo,
con color anaranjado, la disolución al 2 por 100 del propio
óxido de bismuto en el sulfato de estroncio. Quizá estas can-
tidades marcan el límite de la eficacia de las materias activas
y, por consecuencia, el de la solubilidad de los cuerpos en
cuya masa se difunden; aumentándolas, resultan mezclas in-
activas, cuya homogeneidad es muy relativa, aun después de
haberlas calcinado por mucho tiempo á la temperatura cons-
tante del rojo.

Ya es posible, teniendo diferentes disolventes y dos mate-
rias activas, formar sistemas ternarios que se prestan á va-
riadas combinaciones y en los cuales, sin cambiar en nada las
condiciones de la experimentación, pueden advertirse las in-
fluencias de cada uno de los elementos que los constituyen.
Son idénticos los modos de producir las disoluciones y de
provocar su luminescencia; en los cambios y variantes de los
resultados es donde pueden apreciarse las relaciones de los
disolventes con las materias activas, en el caso particular de
este género de disoluciones sólidas amorfas típicas, directas,
para cuya formación no ha sido preciso el cambio de estado,
indispensable en otros como un medio auxiliar para la difu-
sión de un cuerpo sólido en la masa de otro cuerpo sólido.

Juntando un disolvente sólido con dos materias activas
puede ocurrir que cada una de por sí produzca disoluciones
luminescentes ó que sólo una de ellas las forme: en el pri-
mer caso tenemos que el sulfato de calcio (97 partes), con

Ruy. Aca. Crexcias.—1V. —Abril, 1306. 32

e LO

Nr PA

sulfato de manganeso (1 parte) y sulfato de bismuto (1 par-
te), constituye un sistema luminescente, de color amarillen-
to en el centro de la masa y verdoso cerca de los electrodos,
advirtiendo que la luminescencia de la disolución S O, =
= Ca=<S 0, = Mn.es intensísima, y la de la disolución
SO,=Cax<(S O,), Bi, es anaranjada. Empleando por
disolvente el sulfato de magnesio (38 partes) con las mismas
proporciones de las materias activas de antes, la luminescen-
cia es roja y uniforme, como la de los sistemas binarios ais-
lados. En el segundo caso se examinó un sistema de sulfato
de cadmio disolvente (118 partes), y materias activas sul-
fato de manganeso (1 parte) y sulfato de bismuto (1 parte),
con luminescencia verde amarillenta, menos intensa que la
de la disolución SO, = Cd <SO,= Mn. Cambiando el
disolvente por el sulfato de estroncio (100 partes ), se cambia
el color de la luminescencia, que resulta anaranjada; la del
sistema S O, = Sr < SO, = Mn es de tonos violáceos, dé-
bilmente rosados. Si el disolvente fuese la cal viva (100 par-
tes) y las materias activas el óxido de manganeso OMn
(1 parte) y el de bismuto O, Bi, (1 parte) constituyendo
una disolución de tres óxidos, la luminescencia es del mis-
mo color anaranjado que la conseguida cuando no se ha
empleado el bismuto, que aquí resulta inerte.

Agréguense á las disoluciones mencionadas, cuya caracte-
rística es la luminescencia, excitada por la descarga eléctrica
en el vacio, las constituidas por dos disolventes sólidos y
una sola substancia activa, capaz de formar separadamente
con cada cual un sistema homogéneo luminescente. Perma-
nece constante la cantidad del cuerpo disuelto; las de los di-
solventes comienzan siendo iguales, y luego las proporcio-
nes de los mismos van cambiando en términos que, tanto
aumentan las de uno cuanto disminuyen las del otro, gene-
rándose de tal modo una serie de disoluciones sólidas, dota-
das de caracteres particulares respecto de la luminescencia.

Limitando el caso á la disolución de sulfato de manganeso

— 465 —

(1 parte) en sulfato de calcio (50 partes) y sulfato de cinc
(50 partes), resulta un sistema luminescente con poca inten-
sidad y color verdoso; la disolución SO,= Ca < SO,=Mn
posee intensa luminescencia, y es roja viva la de la disolu-
ción SO, = Zn < SO, = Mn. Si las proporciones de sulfato
de cinc aumentan, aminorando en la misma cantidad las
de sulfato de calcio se observan los hechos siguientes: con
54 por 100 de SO, = Zn, la intensidad de la luminescencia
verde disminuye; con 75 por 100, el tono de la misma es
una mezcla de verde y anaranjado, cuya intensidad crece,
llegada la proporción de 80 por 100; tórnase amarilla ana-
ranjada en frío, que se vuelve azulada en caliente, al 90
por 100; tiene matices rosáceos bien marcados, con 95
por 100 de sulfato de cinc, y es roja la luminescencia si sus
proporciones alcanzan el límite superior de 98 por 100.
Cuanto á la intensidad del fenómeno, es singular que sus
atimentos guarden relación con las disminuciones progresi-
vas del sulfato de calcio disolvente, y el hecho es de notar,
por cuanto la disolución binaria SO, = Ca (100 partes) <
< SO, = Mn (1 parte) no sólo es de las que presentan me-
jor el fenómeno que se estudia, sino la única en la que per-
siste la luminescencia, aun después de haber interrumpido
las descargas eléctricas que en los tubos de Crookes la
provocan y sostienen. Demuéstranse con ello las influencias
de las relaciones cualitativas de los disolventes y las mate-
rías activas en este linaje de disoluciones sólidas, que cons-
tituyen, en resolución, otros tantos cuerpos fosforescentes en
condiciones especialísimas y propias suyas.

Bien será indicar cómo en los experimentos de Lecoq de
Boisbaudran no es factor principal el coeficiente de solubili-
dad y aun el estado de saturación, porque se trata de diso-
luciones diluídas en las que sólo parece indispensable la ho-
mogeneidad alcanzada mediante la calcinación, á la tempe-
ratura del rojo incipiente la mayoría de las veces. Recuérdese
que las aleaciones metálicas son asimismo disoluciones sóli-

— 466 —

das diluídas de un compuesto definido en gran exceso de al-
gunos de sus componentes, cumpliendo el primero funcio-
nes de materia activa.

Me parece que á un orden de fenómenos muy próximo
de los relatados pertenece otro, bastante notable, que tengo
bien observado. Sábese que el óxido de bario es completa-
mente inerte respecto de la luz; el monosulfuro de bario puro
hállase en igual caso y así cada uno de estos cuerpos cons-
tituye, en semejante respecto, una substancia inactiva en ab-
soluto: la barita cáustica procedente de calcinar el acetato de
bario puro durante largo tiempo al rojo vivo es un cuerpo
blanco, amorfo, al cual no impresionan lo más mínimo, ni la
insolación prolongada, ni la luz blanca directa; hállase en
igual caso el monosulfuro de bario procedente de las accio-
nes del azufre sobre esta misma barita, operando al rojo. Otra
cosa acontece formando la disolución sólida que representa
el sistema O = Ba (100 partes) < S = Ba (1 parte), que
se obtiene mezclando los cuerpos lo más íntimamente posi-
ble y calcinando luego por tres horas, sosteniendo la tempe-
ratura al rojo vivo; la disolución sólida resulta homogénea,
de color blanco y es impresionable por la luz, bastando ex-
ponerla cuatro minutos á las influencias directas de la del
día para que presente en la obscuridad fosforescencia de co-
lor amarillo verdoso, bastante intensa y persistente. Llega el
sistema á perder su sensibilidad aumentando ó disminuyen-
do las cantidades de materia activa, por donde infiero que:
tiene la máxima en las condiciones apuntadas. Invirtiendo
los términos para convertir el monosulfuro de bario en disol-
vente y la barita en substancia activa disuelta, no hay ver-
dadera disolución, y el agregado formado es tan inerte como
sus componentes aislados, y en ninguno de los ensayos prac-
ticados he podido conseguir la más leve traza de lumines-
cencia.

Corresponden las disoluciones sólidas mencionadas con las
líquidas diluidas en condiciones determinadas, si suponemos

GIRAR

>
NES

E E

á la materia activa disociada y á sus elementos libres dotados
de energías particulares, demostradas en los fenómenos de la
luminescencia; y apoya tal conjetura el hecho de no presen-
tarse cuando las proporciones de los cuerpos disueltos pa-
san de cierto límite pronto alcanzado y que no suele ser el
de la saturación. Aun efectuándose las reacciones químicas
reversibles características de la fosforescencia de los sulfuros
de bario, calcio y estroncio, los hechos podrían explicarse
de igual manera, porque las descargas eléctricas son, al cabo,
excelentes agentes de metamorfosis químicas y actúan sobre
cantidades mínimas de sales metálicas electrolizables, como
el sulfato de manganeso, que puede hallarse en estado de
disociación incipiente, extremadamente difundido en un me-
dio disolvente inerte como es el sulfato de calcio.

Necesario será ahora, en mi entender, tratar de una espe-
cie de hechos ó propiedades que presentan variadas disolu-
ciones sólidas. Por tales se diputan los hidratos salinos y
los sólidos en cuya masa hay gases retenidos formando cier-
tos hidruros metálicos, de los cuales es tipo el de paladio,
dependiendo las condiciones de la disolución de la magnitud
de las presiones y temperaturas, y esto explica cómo dismi-
nuyendo el valor del primer término ó aumentando el del
segundo, los gases retenidos se desprenden á causa de la
máxima tensión que adquieren en la superficie de los cuer-
pos sólidos que los almacenan y disuelven; sin embargo, por
virtud de su mutua adherencia, envolviendo la masa sólida
queda siempre una capa gaseosa, que no es fácilmente sepa-
rable, bastante para preservar al disolvente de ciertas accio-
nes químicas. Explícase, acaso por esto mismo, lo limitado de
la descomposición de ciertos hidruros, que no llega á ser total
sino al cabo de sostener la temperatura un poco elevada y
en grado suficiente para su disociación completa; de otra

)
j
-
,

— 468 —

)

suerte, el sólido retiene gas disuelto y el sistema representa
la disolución diluida del hidruro no alterado en gran exceso
del metal pesado que forma parte de ella.

Diversos hidratos salinos, que admitimos por disoluciones
sólidas verdaderas y que son precisamente los límites supe-
riores de la hidratación en la mayoría de los casos, gozan de
una propiedad análoga. Colocados en atmósferas secas, ma-
nifiéstanse las avideces del aire para el agua, la tensión de
ésta en la superficie de los cuerpos, sobre todo estando cris-
talizados, aumenta considerablemente, hasta convertirse en
vapor, desprendiéndose de la disolución que la contenía y
preséntase el fenómeno de la eflorescencia, tan general en
muchas sales, cuya superficie no tarda en adquirir la tensión
máxima correspondiente á estas disociaciones especiales, de
ordinario realizadas á la temperatura ordinaria Ó quizá inde-
pendientes de ésta. Se infiere de lo dicho la poca estabilidad
de las disoluciones sólidas correspondientes á los hidratos
salinos superiores y la necesidad de considerar en ellas el
nuevo factor, representado por las tensiones superficiales
muy variables y á veces hasta anómalas; del mecanismo de
sus cambios algo es posible colegir, estudiando los principa-
les de la eflorescencia y las causas que pueden determinar-
los, en el caso de las disoluciones isomorfas.

Observaciones muy interesantes de Von Hauer y Lehmann,
citadas por Van't Hoff en su clásico libro, se refieren á los
hechos de que se trata, y gracias á ellas, es posible determi-
nar las relaciones de los cambios y variaciones de la tenden-
cia á la eflorescencia de algunas sales hidratadas con las mez-
clas isomorfas en su masa introducidas. He aquí, reducidas á
sus términos esenciales, las investigaciones citadas: á la di-
solución A de un hidrato salino que, cuando sólido, posee
considerable tensión máxima y es por lo mismo eflorescen-
te, se añade una mezcla B de dos sales a y a” isomorfas;
el sistema es ternario, puede cristalizar dando el cuerpo C, y
es notable el hecho de que su tensión ha disminuido, y con

A E A A AA AS

EA

ella las tendencias á eflorescerse en contacto del aire, y es
por demás singular que tal hecho acontezca con la mezcla
de substancias que, consideradas aisladamente, poseen en
el grado máximo las mismas tendencias á la deshidratación
con eflorescencia; como si al reunirlas en una disolución só-
lida fuese menester que perdieran algunas de sus caracterís-
ticas individuales, transformándolas en otras ya peculiares
del conjunto.

Ejemplos no faltan, y recordaré los que sirvieron para las
investigaciones citadas, y son: las acciones de los hiposul-
fatos de bario y de estroncio en sus mezclas con el hiposul-
fato de plomo; las del alumbre ordinario con el alumbre de
hierro, y las del formiato de cobre con los formiatos de bario
Ó de estroncio. Queda dicho el caso de una mezcla isomorfa
mezclada con sales disueltas y se ve que las tensiones máxi-
mas experimentan notables disminuciones y la regla puede
ser aplicada á las disoluciones sólidas isomorfas binarias,
que de continuo resultan bastante menos eflorescentes que las
sales de que están constituidas, lo cual significa mayor esta-
bilidad del sístema homogéneo, representante de un equili-
brio definitivo en determinadas condiciones; es decir, que sin
cambiar nada la naturaleza química del disolvente, la subs-
tancia disuelta contribuye á que el agua del hidrato sea rete-
nida con mayor fuerza y á su vez el disolvente contribuye á
mantener integra por más tiempo la molécula de aquélla, que
también contiene agua, produciéndose en semejantes cam-
bios el régimen peculiar de las disoluciones sólidas, forma-
das penetrándose y difundiéndose, unos en otros, hidratos
salinos de análoga estructura molecular.

Puede encontrarse buen apoyo de lo dicho en la serie de
cuerpos que contienen sulfato de sodio y sulfato de calcio,
partiendo del estado libre de ambos, hasta llegar á la glaube-
rita. Manifiestan los hidratos del primero gran tendencia á la
etlorescencia, por más que, espontáneamente, no lleguen á
perder toda su agua; el otro sulfato, al contrario, retiene

— 470 —

muy bien el agua, al punto que sólo puede privársele de ella
mediante las acciones del calor, calcinándolo. En las disolu-
ciones sólidas que los dos sulfatos forman, parece que hay
compensación entre las avideces del yeso anhidro, que con
eran fuerza absorbe el agua, y el sulfato de sodio hidratado,
que con tanta facilidad se desprende de ella; y se observa
que, á medida que aumentan las proporciones del primero,
disminuye el valor de la tensión máxima superficial, y los
cuerpos formados, en los que el agua parece substituída con
el sulfato de calcio, son, á cada punto, menos etlorescentes,
hasta llegar á la disolución anhidra que no lo es en absolu-
to en las condiciones ordinarias.

Fuera de ellas, las cosas pasan en otra forma. Cuando las
disoluciones sólidas de que se trata han experimentado las
influencias de atmósferas húmedas limitadas, al cabo de no
mucho tiempo, si son ricas de sulfato de calcio, se manifies-
tan las avideces de este cuerpo para el agua, y de su hidra-
tación, que llega á ser completa, provienen las disociaciones
observadas, en las cuales resulta aislado y libre el sulfato
sódico hidratado, que fuera de las acciones de la humedad,
se efloresce bien pronto, con tal que el medio en el que ta-
les cambios se realizan sea neutro ó alcalino. A lo que en-
tiendo, no es otro el mecanismo de las modificaciones del
valor de la tensión máxima en el caso estudiado, que no es
precisamente el de disoluciones isomorfas, y las mismas alte-
raciones naturales de la glauberita, cuando vense las caras
de sus cristales recubiertas de ténue y poco adherente pol-
villo blanco, que es sulfato de sodio anhidro, no reconocen
otra causa, no siendo exclusivas suyas estas alteraciones
de la tensión superficial, que también las ofrecen bastantes
sales hidratadas alcalinas, en particular las que correspon-
den á los términos superiores inmediatos ya al límite de la
hidratación: son, al cabo, equilibrios estables, pero no defini-
tivos, que se disccian con cierta regularidad.

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X VII.—Estructura de las imágenes fotocrómi hasi de G.:
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XVIII.—Sobre un sistema de notaciones y es:
nados á facilitar la descripción do las mág;

por Leonardo de Torres y Quevedo...
XIX.—Las disoluciones sólidas pe CER
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La subscripción á esta RBvIsTA se Made por tomos )
de 500 á 600 páginas, al precio de 6 pesetas en España y 6 £
en el extranjero, en la Secretaría de le sta
verde, núm. 26, Madrid. O

Precio de este cuaderno, 1,75 pesetas. Pr

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pues de otro modo quedará su publicaci ón
el mes siguiente. $

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— 471 —

XX.— Introducción á la Física matemática.

Por JoséÉ ECHEGARAY.

Conferencia quinta,

SEÑORES:

Tratábamos en la conferencia anterior del problema, fun-
- damental en Física, del equilibrio de temperaturas, para ver
si por las fórmulas de la Mecánica y por los movimientos
vibratorios podía resolverse este problema y explicarse este
fenómeno. O de otro modo: si el concepto de temperatura
podía definirse con suficiente precisión, refiriéndolo á las
fuerzas vivas medias de las moléculas Ó de las partecillas
de cada cuerpo.

Es decir, que buscábamos una definición de la temperatu-
ra dependiente sólo de dicha fuerza viva media, y de las de-
más constantes propias del cuerpo de que se trate: por ejem-
plo, sus masas moleculares y la f (r) que expresa las fuer-
zas internas.

Presentamos, como preparación para el problema, el caso
de dos moléculas de masas iguales; y en efecto, en este caso,
parecía que el equilibrio de temperaturas dependía de la
igualdad entre las fuerzas vivas medias de las dos moléculas.

Estudiamos después, quizá con más desarrollos analíticos
de los que merecía la cuestión, y de los que permite el tiem-
po de que podemos disponer, el caso de tres moléculas en
línea recta y de masas iguales; y como el problema, en su
expresión más sencilla, es el del equilibrio de temperaturas
en cuerpos homogéneos, este pequeño símbolo lineal de
un cuerpo homogéneo, era preciso que satisficiese á las si-

Rev. Acap. Ciexcias.—IV.—Mayo, 1906. 33

— Bci

guientes condiciones: igualdad de las dos distancias, é igual-
dad de las tres masas. :

Y aquí el resultado no fué tan satisfactorio: en pequeño
era un ejemplo de las dificultades con que tropieza á cada.
paso la Física matemática.

Sin embargo, advertimos, que el mal resultado de nues-
tras investigaciones, no debía desanimarnos por completo,
porque un cuerpo cualquiera de la Naturaleza, se compone
de un número enorme de moléculas ó de partecillas, y las
moléculas que están en la superficie, y que forman el límite
del cuerpo, son algo excepcional en el sistema.

Una molécula del interior, está rodeada de moléculas igua-
les, y si el cuerpo es de los que más adelante llamaremos
isótropos, y ahora, siguiendo el lenguaje vulgar, nos conten-
tamos con decir que es homogéneo, podrá considerarse como
el centro de una esfera cuyo radio sea el radio de actividad
molecular, esfera que será homogénea también.

Pero esto no sucede con las moléculas de la superficie: de
un lado del plano tangente tienen otras moléculas del cuer-
po, pero del lado opuesto, tienen el vacío, ó el éter, ú otra
substancia distinta de aquella que constituye el cuerpo en
cuestión.

Ahora bien, la ley del equilibrio de temperaturas, aplicable
á la masa general del cuerpo, no ha de buscarse en lo excep-
cional, y en nuestro ejemplo de las dos moléculas, y aun en el
de tres, todo es excepcional. En este último, la masa inte-
rior es una molécula, y los límites están formados por dos
moléculas.

Por eso vamos ahora á generalizar el problema, y sin sa-
lirnos de esta especie de Física de la línea recta, permitase-
nos expresarnos de este modo, vamos á suponer una serie
numerosísima de moléculas distribuidas en línea recta, como
acabamos de decir, constituyendo algo como un alambre 6
un hilo ideal; mejor dijéramos un alambre, para tener en
cuenta las fuerzas de compresión y extensión.

— 473 —

Y vamos á ver, si aplicando á cada punto, siempre en el
sentido de la línea recta, una velocidad cualquiera, distin-
tas unas de otras, al llegar al equilibrio dinámico, es decir,
á un estado permanente de vibración, todas las moléculas
tienen la misma fuerza viva media, en cuyo caso, la fórmu-
la del equilibrio de temperaturas, dentro de un cuerpo ho-
mogéneo, será bien sencilla

mv?
= constante.

Este será el caso que hemos de examinar.

Supongamos sobre una recta AB (fig. 11) una serie de
masas O, e, d, f, b, a, c... todas iguales á m, sobre ellas no

Figura 11.

actúa ninguna fuerza exterior, y suponemos que se hallan en

equilibrio.

Para simplificar el problema, y evitarnos integrales, esta-
bleceremos esta hipótesis: el radio de acción de cada masa,
es algo mayor que la distancia entre dos masas. Por ejem-
plo: si desde d trazamos la circunferencia he gh”, ésta com-
prenderá las dos moléculas próximas f y e, pero no com-
prenderá ninguna de las restantes.

Más claro; sobre cada masa sólo actúan las dos inmedia-
tas, las demás suponemos que no ejercen influencia alguna,
lo cual equivale á despreciar en la curva de la figura 7.* todo

—-WE
+ An
E

— 474 —

el arco 'x. Sobre esto algo tendriamos que advertir, pero
no podemos entrar en pormenores, que nos alejarían de
nuestro objeto.

Puesto que todas las moléculas están en las mismas con-
diciones, exceptuando las moléculas extremas, el sistema se
encontrará en equilibrio, suponiendo que las masas están á
igual distancia cada dos: á esta distancia constante ed =
=D de = ba = ac... la llamaremos r..

Desde el momento en que el equilibrio se altera, las mo-
léculas salen de su posición y recorren espacios muy peque-
MOS. DOS OA 00 E O

Con estos datos, y suponiendo conocida la curva de la
figura 7.* que expresa la acción entre cada dos moléculas,
podríamos establecer las ecuaciones de equilibrio de todas
ellas, como hemos hecho para el caso de dos masas y de
tres, y tendríamos un sistema de ecuaciones diferenciales
de segundo orden y simultáneas, de muchas funciones
x, x', x”... y de una sola variable independiente ?, el tiempo.
Las integraríamos como en los casos citados, obteniendo de
este modo las ecuaciones en términos finitos del movimiento
para todos los puntos del sistema.

Pero, á este método, aunque sencillo, impracticable, va-
mos á substituir otro más rápido, sólo que, en vez de ecua-
ciones diferenciales simultáneas, tendremos una ecuación en
diferenciales parciales.

Para ello, elegiremos otra variable independiente 2, que
será la distancia de cada molécula en su posición de equili-
brio á un origen O. Por ejemplo, para la b, z será la distan- |
cia Ob.

De este modo, cada x será función de dos variables; la z
que determina la posición de b en el sistema, y la x que de-
termina el camino recorrido bb' en el tiempo f.

En resumen, de las ecuaciones de equilibrio, queremos
deducir una función e tal, que tengamos para todos los pun-
tos materiales 6 moléculas b, a, €...

e a):

deducida esta « de las ecuaciones diferenciales del movi-
miento; porque si conseguimos esto, .el problema quedará
resuelto con una sola ecuación. ¿Queremos, por ejemplo
saber, en el tiempo f, el valor de x, es decir, la posición que
ocupa la molécula b? Pues no tendremos más que substituir
en 9 por z su valor, que en este caso será Ob, y por f, el
tiempo que hayamos escogido.

El movimiento de todos los puntos, estará escrito, por de-
cirlo así, en la ecuación anterior.

Para ello, consideremos tres moléculas a, b, c, contiguas,
y vamos á determinar la ecuación del movimiento de a. Por
eso tomamos tres moléculas y no más, porque, según nues-
tra hipótesis, sobre a, sólo influyen b y c.

La forma de dicha ecuación, ya sabemos cuál es: es la
forma general,

En este caso, X resultará de las acciones de las dos molé-
culas b y c sobre a; puesto que, como acabamos de indicar,
las demás no influyen, dada la hipótesis que hemos estable-
«cido respecto al radio de acción molecular.

Tendremos evidentemente:

acción de b' sobre a" = —f(b'a”) = —f(ba + aa —bb”)=
= — Ho + — x)o

Ponemos el signo —, porque si b'a* > r.,, la fuerza So-

bre a' será atractiva y, por lo tanto, en sentido de las x ne-

gativas; y diríamos lo contrario, si b'a" < rp.

Acción de c'sobrea“= +f(ac ec —aa)=- Ef (tx —x)»

— 476 —

Claro es que si suponemos, que la función f(r), se refiere
á masas iguales á la unidad, tendremos que introducir las
tres masas mm.

La ecuación del equilibrio dinámico, es decir, del movi-
- miento, será, pues,

=m*[— fr. + x —x) + fro + x" — xl

Desarrollando en serie, recordando que f(r,) es cero por
las condiciones de equilibrio del sistema, y no tomando más
que un término del desarrollo, resultará

d?2x

mA — PF) — FA)
Ó bien
TEE De A
mA — mf) — xx) —( —K)]

Para obtener derivadas en vez de conservar diferencias Ó
diferenciales, introduciremos la distancia r,, que podemos
suponer sumamente pequeña, como sí fuera una diferencial,
en cuyo caso, la ecuación precedente puede escribirse de
este modo:

ME e E
dx e r ER r
m = mf" (ry) ——— > ro?
7 = PS (o) E di
Ó también
E IS
d?x r Ñ
= m? ro? f" (ro) > 9 e

— 4711 —

x*— Xx pp ! J
Pero ES la relación entre el incremento que reci-
0

be x al pasar deb á a, Ó sea cuando se da á 0b=z el in-
cremento sumamente pequeño r,; luego, dada la pequeñez
que suponemos en todas estas cantidades, será dicha rela-
ción la derivada de x con relación á z; es decir, que aproxi-
madamente podemos poner

xx —Úx
Del mismo modo, AC la derivada de x con rela-
0

ción á z; pero no para el punto b, sino para el punto a; de

dx ]
suerte, que es el valor de SR en que se ha dado un incre-
a s

mento r, á z.

Luego el numerador es la diferencial segunda de x con re-
lación á z, y como está dividida por r,, que suponemos que
es dz, la ecuación anterior puede escribirse de este modo,
representando por subíndices los puntos á que se refieren las
diferenciales,

d?x z dea dz
m O EE A A

deta dz

Ó, finalmente,

2 2
ES Ur

Esta es la ecuación diferencial lineal de segundo orden, en
diferenciales parciales, de x respecto á f y á z, á que nos refe-
ríamos al principio.

Sirve para todos los puntos del sistema, menos, en rigor,

— 478 —

para los dos puntos extremos, y suple á todas las ecuacio-
nes diferenciales simultáneas, que hubiéramos podido formar
para todas las masas que el sistema comprende.

Esta ecuación, obtenida como ejercicio para mis oyentes
por un método más claro que riguroso, es un caso particular
de muchas otras ecuaciones de la Física matemática: por
ejemplo, de las ecuaciones de la elasticidad; de las del mo-
vimiento de la luz; de las ecuaciones de la acústica, y de
otras varias que sería largo citar.

Por eso, como preparación, como ejercicio, y casi pudie-
ra decir, como orientación, la he desarrollado con algún de-
tenimiento, por más que el problema sea sencillísimo y ele-
mental.

Vamos ahora á deducir consecuencias de esta ecuación,
que todavía simplificaremos, poniendo

IA 0.

Advirtiendo, que como todas las cantidades del primer
miembro son positivas, el segundo miembro también lo será;
por eso le damos la forma de un cuadrado, y porque, ade-
más, simplifica las notaciones.

Resulta, pues, diviendo por m la ecuación diferencial

Ea 0

Hay que integrar, pues, la ecuación (1) y la integral debe
satisfacer, además, á las condiciones iniciales, que serán: re-
ducirse x en cada punto al valor correspondiente á £=0,
según la posición de que partan los móviles, y dar la velo-
cidad inicial que cada molécula tiene en dicho instante inicial.

En rigor, aun debería satisfacer la integral á las ecuacio-

— 479 —

nes de los límites en el espacio, es decir, á las dos moléculas
extremas; pero prescindiremos de este punto para no com-
_plicar el problema y para no alejarnos de nuestro objeto;
es decir, que podremos suponer indefinida en ambos senti-
dos la fila de moléculas, y no hemos de ir á buscar las dos
últimas al infinito.

Una integral particular de la ecuación diferencial del mo-
vimiento, se ofrece, desde luego, como en todos los casos
que hemos tratado hasta aquí, expresada por un seno ó por
un coseno; podremos, pues, escribir

x= Asen(hz + gt).

Al término en f hemos agregado otro término en z, y con
esta forma veremos que, en efecto, la expresión anterior es
una integral particular de la ecuación en diferenciales par-
ciales.

A este fin, diferenciando dos veces el valor de x con rela-
ción á z, y otras dos veces con relación á f, tendremos:

= — Ag?sen(hz + gt);

= — Ah?sen(hz + gt);

y substituyendo en (1)
— Ag?sen(hz AE gt) = — Ah?tasen(hz + gt),

-Ó bien

de donde

— 480 —

La ecuación diferencial queda, pues, satisfecha, escogien-
do arbitrariamente 26h y dando á la otra constante, uno de
los dos valores que resulten en la última ecuación.

Escojamos uno de éstos y tendremos la integral particular

x= Asen(hz + hat),

siendo y = ha.

Esta ecuación satisface, en efecto, á la ecuación en dife-
renciales parciales; pero no podría satisfacer á las condicio-
nes del instante inicial, que suponen gran número de cons-
tantes arbitrarias, puesto que no podemos disponer más que
de dos, á saber A y h.

Ni vale tampoco, como demostraríamos fácilmente, sumar
muchas integrales particulares de esta clase, como no acu-
diésemos á otros métodos y á otras fórmulas, por ejemplo,
la de Fourier, en cuyo estudio no podemos detenernos ahora.

El valor de x que hemos determinado, no es el valor ge-
neral, pero corresponde á un caso particular: á aquel en que
las velocidades y los puntos de partida resultan de la fórmula
misma.

Nos explicaremos con más claridad, y demos ante todo,
para fijar las ideas, valores determinados á h y A. :

Esto supuesto, si damos á f el valor cero, y representamos
por x, la separación inicial de cada masa, claro es que XxX,
será distinta para cada punto del sistema, y tendremos

£, =ABenITZ;

de suerte que, cada punto determinado por z, se separa de
su posición de equilibrio en el instante inicial una cantidad
representada por el segundo miembro de la última ecuación.

Basta, pues, para obtener estas separaciones, dar á z los
valores infinitamente próximos

Y

|
|

— 481 —

yy el valor que resulte para x,, será dicha separación inicial.
Si para la claridad de la figura señalamos estos valores
de x,, no sobre la línea de las masas, sino perpendicular-
mente en cada punto, resultará una curva, representando di-
chas separaciones iniciales (fig. 12).
Esta curva, que podemos suponer continua por la proxi-

Figura 12.

midad de las masas m, es una sinusoide, en que hemos exa-
gerado las dimensiones de las ordenadas.
Su ecuación es precisamente

Lo == ASONITZ,

referida á los ejes 0X,, 02.

Para una molécula cualquiera a, su separación inicial será
ab, que deberá contarse en ac sobre el eje de las z. Asimis-
mo, la separación para la molécula a”, sería ab”, que se con-
taría en ac”. En a” la separación inicial sería nula; y en a”
sería ab”.

Claro es, que si éstas fueran las separaciones iniciales, el
valor de x satisfaría, no sólo á la ecuación diferencial, sino
también á las posiciones iniciales de las moléculas. Nos que-
da todavía lo relativo á las velocidades para el instante f = 0.

Para ello diferenciaremos el valor de x, después haremos
ft = 0, y resultará

dx

== ='AÑCOSMZ,
dt

Para cada punto z, Ó si se quiere, para cada masa, esta es

— 482 —

la velocidad que debe tener en el primer instante dicho pun-
to, y claro es, que representa también otra sinusoide, que es
la del coseno y hemos representado en la figura 13.

Lo que hemos dicho para las separaciones iniciales, po-
demos repetir para las velocidades.

Por ejemplo: construída la curva, para la molécula a, la ve-

Figura 13.

locidad inicial será ab, que deberemos aplicar en ac y en
sentido positivo sobre el eje de la z.

En suma, si las separaciones iniciales de las masas estu-
vieran determinadas por la ecuación

Ys = ABBA
ó sea por la curva de la figura 12, y las velocidades para el

mismo instante por la ecuación

e NS
dt

ó sea por la curva de la figura 13, la ecuación
x= Asen(hz + gt)

satisfaría todas las condiciones del problema, así á la ecua-
ción diferencial, como á las condiciones inicial para f = 0.
Sería la solución, pero ¿la única solución para este caso?

— 483 —

En cada uno de los ejemplos anteriores llegábamos á una
solución y era la única solución. A ésta se le podía dar va-
rias formas; mas todas se reducían á una sola.

Aquella clase de problemas en ecuaciones diferenciales si-
multáneas, no podían tener más que una solución, como de-
mostró Cauchy en su célebre teorema, y como se demuestra
desarrollando las funciones en series, que resultan conver-
gentes y únicas en los círculos de convergencia. ¿Pero en
las ecuaciones diferenciales parciales, sucede lo mismo?

Es un punto importante el que acabamos de señalar; mas
hoy no podemos entrar en más pormenores ni en discusio-
nes más amplias, pues no son de este momento y nos sepa-
rarían de nuestro fin.

Baste recordar que la ecuación diferencial parcial es la con-
densación, por decirlo de este modo, de muchas ecuaciones
diferenciales simultáneas, Ó si se quiere, la generalización
de una de ellas; y de todas maneras el teorema de Cauchy
subsiste todavía como puede verse en varias obras de Cál-
culo integral, por ejemplo en la de Mr. Jordán,

Volvamos, pues, á la integral

x= Asen(hz + gt),

admitiendo las condiciones ya expresadas.
Observemos en esta ecuación, que si al tiempo f se le da

: 27 | :
un incremento ar el valor de x no se alterará, porque ten-
dremos:

sen (12 > s( =- a) = sen(Az + gí 4- 27) =

5

= sen(Az + gt).

De suerte que la vibración, ya podemos darle este nom-

. Yi . 4

e

bre, es periódica, como el seno de un arco, y el tiempo de la

a. ; 2 T
oscilación completa es precisamente 4 = =——

Y esto para todas las masas, porque en lo que difiere
una de otra, es en el término Az, que caracteriza cada punto
material, según sea el valor de z; mas el período es siem-
pre el mismo: 6. Lo que cambia de una á otra masa, es lo que
se llama la fase, ó sea el punto de partida, como ya sabe-
mos por la figura 12.

Pero presenta además la fórmula otra particularidad de
extraordinaria importancia, á saber: que si en dicha fórmula

x= Asen(hz +— gt),

E s yA :
se le da á z un incremento Fe tampoco cambia el valor

de x.
En efecto, resultaría

sen [1 (z o) + gt| = sen(hz + 27 + gt) =
1
= sen(hz + gt).
De suerte, que dos puntos que disten entre sí una longi-
tud [== ==, en el mismo instante tienen la misma separa-

ción de su punto de partida, puesto que los valores de x son
iguales.

Figura 14.

Más claro: supongamos (fig. 14) que en un instante cual-
quiera £, la molécula o, se ha separado de su posición inicial
una longitud, x = Oc.

— 485 —

Pues, contando sobre el eje de las x varias veces aquella
longitud / á saber: Oa =aa' =a4”..... = l, todas estas
moléculas habrán hecho la misma excursión, todas se habrán
separado de su origen la misma longitud Oc = ab = 4'0.....,
Y si recorremos todas los moléculas entre O y a, cada una de
ellas, por ejemplo d, en el instante que estamos consideran-
do, habrá ejecutado la misma excursión de, que la molécu-
la d”, cuya excursión será d'e” = de, si dista de d la longi-
tud /.

En suma, todas las excursiones de las moléculas, desde O
hasta a, se reproducen en cada instante en los espacios
00=0=W4a ==... =L

A este conjunto de excursiones, reproducidas constante-
mente á lo largo de x, se le da el nombre de onda, que re-
cuerda la ola de los mares; y á la longitud constante /, se le
da el nombre de longitud de la onda.

Claro es que todo esto puede repetirse eligiendo cualquier
punto como origen, toda longitud /, por decirlo así, se re-
produce.

. Observemos que esta longítud /, es precisamente igual á
la longitud de la onda de las excursiones y de las velocida-
des iniciales.

Por último, advertiremos, que en este problema se presen-
tan tres cantidades, que se reproducen en multitud de pro-
blemas de la Física matemática, como son: la longitud de la
onda, el período de la oscilación en cada punto y la fase
que determina la posición de la molécula al empezar el mo-
vimiento. |

Todavía hay otra cantidad importante sobre la cual debo
llamar la atención de mis oyentes.

Hemos dicho que la longitud de la onda tenía por valor
== e y el periodo de la oscilación, 6 = EE es decir,
que al terminar una masa cualquiera su oscilación completa
en el tiempo 9 y volver á su posición inicial, otro punto que

— 486 —

está á la distancia / de dicha masa, empieza á ejecutar una
oscilación idéntica; es lo mismo que si en este tiempo 4 la
oscilación hubiese marchado llegando á la distancia /: su
velocidad de marcha sería evidentemente E = Se.

A dicha cantidad se le da el nombre de velocidad de la
onda. Porque, aunque realmente las masas no marchan con
esa velocidad, pues sólo se separan cantidades pequeñísimas
alrededor de su punto de equilibrio, la forma, la ondula-
ción, marcha con la expresada velocidad. Así, en el mar,
parece que las olas caminan, y camina el oleaje como forma,
pero no camina la masa de agua que constituye cada ola.

Debe notarse, y lo advertimos de pasada, que el valor de
esta velocidad, que representaremos por V, de modo que

es igual, según la ecuación = + ha, á a, es decir, V=T a.
De suerte, que la velocidad del oleaje, ya en un sentido,
ya en otro, es igual, numéricamente, á la constante a, inde-

pendientemente de la longitud de la onda / y del tiempo de

la oscilación 0,

Lo cual parece indicar, que en este ejemplo, como en el so-
nido, no hay dispersión: todas las vibraciones, más rápidas
Ó menos rápidas caminan con la misma velocidad; si hay
muchas unidas no se separan ni se dispersan, sino que van
á la par.

En la luz, esto está en contradicción con los hechos y la
teoría ha tenido y tiene que hacer esfuerzos para acomodar-
se á la realidad. |

Pero volvamos al punto que veníamos discutiendo; á sa-
ber: si al menos en este ejemplo particular, y suponiendo
que el calor pueda expresarse por un movimiento vibratorio
longitudinal ó transversal (este es otro problema), ya del éter,

— 487 —

ya de la materia ponderable, ya de ambos, la ley de equili-
brio de temperaturas queda satisfecha. O de otro modo: si
representando la femperatura por una cantidad proporcio-
nal á la fuerza viva media de cada molécula, esta fuerza
viva media es constante para todas las moléculas situadas
sobre el eje de las z.
En este caso, sí lo es, como vamos á demostrar inmedia-

tamente.

. Del valor general de x se deduce la velocidad de cada mo-
lécula, diferenciando con relación al tiempo, y tendremos

PENA Agcos(hz + gt),
dt :
y elevando al cuadrado, resultará para cualquier molécula,

que esté caracterizada por el valor de z y en cualquier ins-
tante, E E

el = A? g?cos? (hz + gt).

De donde se deducirá la fuerza viva media para cualquier
punto del sistema por el método, que ya hemos explicado

tantas veces.
Valor medio de Eze] =
dt

=> A Y cos*(hz + gtdt =

0

El o [1 + cos2(hz + gt) at;
E
y.
Atg2 (20.1 Ag? (11 |
— — di 2 — cos2(Az dt,
ES y a e
Rey. Aca, CieENcIas.—IV.—Mayo, 1900, 34

o pe
ó, en tin,

valor medio de E 14 8] A?g?.

Porque la segunda integral, que es un seno, para cero y
para U toma valores iguales.

De aquí se deduce, que para todos los valores de z, es de-
cir, para todos los puntos del sistema, la fuerza viva medía
es constante, toda vez que m, A y £ son independientes de
dicha variable 2.

Vemos, pues, que en este caso la ley del equilibrio de
temperaturas, ó sea la uniformidad para toda la masa de la
fuerza viva media, se verifica exactamente. Pero no se olvi-
de que se trata de un caso particular y de una distribución
inicial de velocidades, particularisima. El equilibrio subsiste
desde el principio, y hemos demostrado, no que se estable-
ce, sino que establecido, se conserva.

Debemos ahora pasar al caso general.

+
* *

La ecuación en diferenciales parciales del problema hemos
dicho que es,

9

d?x d?x
q z
df? dz?

Y se trata de buscar su integral general.
Se sabe que esta integral es de la forma

x=F(hz + gt),

en que F representa una función arbitraria. Ya no son unas
cuantas constantes, muchas ó pocas, de las que disponemos,
es toda una función arbitraria F; y veamos si puede determi-

to

e

narse de modo, que satistaga á la ecuación diferencial, y adé-
más á las condiciones del instante f = 0.

Pero antes vamos á darle otra forma, observando de paso,
que se reproduce el binomio Az + gt del ejemplo anterior;
pero no bajo el signo seno, sino bajo el signo F de una fun-
ción arbitraria.

Sacando h factor común, tendremos,

ME F(n (z + 0)

y con suprimir esta cantidad Ah y suponerla comprendida en
la forma arbitraria de la función, claro es que no quitamos
generalidad á dicha función F, que de todas maneras es ar-
bitraria. :

Además, repesentaremos Sn por la letra V y tendremos

para solución de la ecuación diferencial

¡Flo EVE

Veamos si en efecto satisface á la ecuación diferencial;
porque ya que no demos su demostración directa, bueno es
que la demostremos ó comprobemos haciendo ver, que redu-
ce la ecuación diferencial á una identidad.

Deduciendo por diferenciación, diferenciando dos veces
por relación á f y dos veces por relación á z, los valores de
los dos coeficientes diferenciales, tendremos

dex : dex
= WA EE VE —=—= =F"(2 + VI),
E o MES

y substituyendo en dicha ecuación diferencial

V2F"(2 + Vf) = arF"(z + V0),

ó bien

Para que este resultado sea una identidad, basta que de-
mos á V el valor —- a, ó el valor — a; de modo que, en ri-
gor, tendremos dos soluciones, que, como luego veremos,
representan dos ondas: una que camina hacia la derecha con
la velocidad V, y otra que camina hacia la izquierda con la
misma velocidad, es decir

A =F(e + VIE) iy0 == F(2= MIN

en que V tiene el valor a que sólo depende de m y de f'(r,),
es decir de aquellos elementos que caracterizan al sistema
en cuestión: masas y fuerzas internas.

Ahora tenemos que disponer de la forma de la función F
para satisfacer á las condiciones del instante inicial += 0,á
cuyo fin disponemos de la indeterminación absoluta de la
función F.

Supongamos, para fijar las ideas, que todas las masas
parten de su posición de equilibrio, es decir, que para f = 0
se tiene x = 0, sea cual fuere el valor de z.

Y, además, que la velocidad para cualquier punto está de-
terminada por la función

SA: (2),

escogiendo «y arbitrariamente; y claro es que de este modo
resolveremos el problema con toda la generalidad imagi-
nable.

No olvidemos un principio, que se aplica á todas estas
ecuaciones diferenciales lineales, y es, que si tenemos dos Ó
más soluciones, si se multiplican por constantes y se suman,
el resultado será una nueva solución; lo cual se comprueba

— 491 —

inmediatamente substituyendo dichas soluciones en las ecua-
ciones diferenciales parciales y sumando.

Tenemos dos soluciones x, y x,: multipliquemos la se-
gunda por — 1 y sumemos, con lo cual se obtendrá la so-
lución

x=F(2+ V1)-—F(2-— Vf):

ésta satisface, por lo que acabamos de decir, á la ecuación
diferencial; haciendo f = 0, queda

o Fl) — F(2)=0

para todos los valores de 2; luego todas las masas partirán
del punto de equilibrio.
Para las velocidades tendremos:

E VE + VO + VF (VS)

y haciendo f =0,

e! —2VF' (2),

en que el primer miembro representa la velocidad para cual-
quier masa en el instante inicial. Como la distribución de ve-
locidades para este instante estaba dada por la función y(2),
basta que pongamos

2VF' (2) = 2 (2);
de donde
1

AAA

o (2),

y que determinemos F de modo que satisfaga á esta ecuación.

—. RA

Mas como F es arbitraria, la ecuación anterior puede que-
dar satisfecha: integremos, y resultará, para determinar la
forma de F,

Dicha forma, hasta ahora desconocida, de F, será la que
resulte de la integración; problema determinado, porque $
es una forma conocida.

Si la de la integral fuese D (2), ésta sería precisamente la
forma de F, y la integral general sería

x= (2 + Vf) — P(z— V?).

Dicha integral satisface á todas las condiciones del proble-
ma; y perdonen mis oyentes que insista, pero nunca se peca
en los comienzos, ni por exceso de claridad, ni por explica-
ciones minuciosas, que más tarde pueden parecer triviales.

Esta ecuación, decimos, satisface á la ecuación diferencial y
satisface á las condiciones de origen, es decir, cuando f = o.

Y volvemos aquí á repetir una pregunta que hace poco
hacíamos, y que pudiera repetirse en todos estos problemas:
dada que esta sea una solución, ¿es única?

Debe ser única, porque el problema mecánico lo es. Da-
das las posiciones de los puntos, sus velocidades iniciales y
la ley de las fuerzas internas, y sólo digo fuerzas internas,
porque ninguna fuerza externa suponemos que actúa, el pro-
blema mecánico está perfectamente determinado; no presen-
tándose ninguna solución singular, según discute Mr. Bousi-
nesque en una Memoría curiosísima, y á mi entender de im-
portancia, sobre el determinismo.

Y pues el problema mecánico es determinado y no tiene
más que una solución, natural es que el problema analítico
no tenga más que una, y que si hemos encontrado una, esa

sea la única y la verdadera.

rn

E
E
$

— 08

Ya comprendo, que esto es tener excesiva fe en la armo-
nía que debe existir entre la realidad y el análisis matemáti-
co, y que bueno sería demostrar que el problema propues-
to, como problema de análisis, no puede tener más que una
solución: Cauchy lo ha demostrado en general; pero ya dije
antes que no podia detenerme en estos pormenores. Sin em-
bargo, aunque muy de pasada, algo diré para evitarme en lo
sucesivo nuevas aclaraciones.

Supongamos que existen dos soluciones, x,, x,, que Sa-
tisfacen á la ecuación diferencial y á las condiciones de ori-
gen, es decir, para f = 0, y vamos á indicar cómo puede de-
mostrarse, que ambas soluciones tienen que ser idénticas.

Si satisfacen á la ecuación diferencial, tendremos:

CE qe d? x, d?.X: Leo d?x,
dt? da de dz”
y restando
d? (x, ds Xx») Abs a d? (x, 35 Xo) ;
d t, 2 de :

luego x, — x, satisface á dicha ecuación.

Si x, y Xx, determinan cada una por sí las mismas desvia-
ciones iniciales y las mismas velocidades, x, — x, determi-
nará para el origen del movimiento una desviación nula y
una velocidad nula.

Desarrollando x, — x, por la serie de Taylor, y claro es
que suponemos la posibilidad de un desarrollo convergen-
te, tendremos, llamando f(2,1) á x, — Xz,

Xy — X= f (Zo, lo) O A dz?

dz?
df(2o, to) dt 1 d?f(20, to)
dE A E AAN AA
e dt Fry dz dt
el t.)
ASIA E...
a dt?

MER

y es fácil probar que todos los coeficientes son iguales á cero.
Desde luego lo es f(2,, f,), porque las desviaciones ini-

en t,)

ciales son nulas. También lo es ——= porque son nu-

las las velocidades iniciales.

e Zo Lo)

Asimismo ——= porque todas las desviaciones son

iguales á cero Lol el eje de las z para f = 0.

7 ; A ; dif (z,, í
Por la misma razón es igual á cero A y como el
Z

segundo coeficiente diferencial, con respecto á la z, es igual
al segundo coeficiente diferencial, con respecto á £, salvo un
factor constante, este último coeficiente diferencial también
será nulo para f =0.

También será nulo el coeficiente diferencial ——= df Zo, (20, to)

dzdt
a 0

dt
que no es otra cosa que el valor de age ¡ag para í=0,
Fs

EPT.

como se pone en evidencia considerando el plano tangente
á la superficie f = o en cualquier punto del eje de la z.

Y, por último, diferenciando varias veces la ecuación di-
ferencial, seguiría demostrándose lo mismo para todos los
demás términos. :

Luego x, — X» =0, y, por lo tanto, x, = Xa.

*>*

Claro es que la solución á que llegamos antes es general,
y puede aplicarse al caso en que las excursiones iniciales de
las moléculas y las velocidades sean arbitrarias.

En efecto; tomemos dos funciones F, (2 — V?), F,(2+ Vf)
arbitrarias y representemos por « (2) la función de las des-
viaciones iniciales para cualquier punto 2, y por f (2) la fun-
“ción de las velocidades para el mismo instante; y es evi-

4
:
j
j
E
»-

— 495 —

dente, que podremos satisfacer á las dos ecuaciones de con-

dición, haciendo
x=F,(2+ Vf) +F,(2— Vf)

sE

78 AVES MIES (e — Vb):

substituyendo en ellas £ = 0, con lo cual
Xx, = F, (2) + F»(2)

Mere | = VWF (2) WES (2h

Basta para nuestro objeto establecer las dos ecuaciones de
condición,
a(2) = Fi (2) + F+(2),
p(z) = VF/ (2) — VF* (2);

ó diferenciando la primera,

a (2) =F/ (2) +FY (2)
plz) = VF/ (2) — V Fs (2).

De éstas se pueden deducir F”, y F”,, é integrando, obten-
dremos F, y F, en valores de «' y $, es decir, sus formas
respectivas, con lo cual el valor de x satisfará todas las con-
diciones del problema.

Mas para nuestro objeto, nos contentaremos con una de
las ondas, y, por lo tanto, con la solución

x=F(z == Vf).

Mee 7 ES

Así F continuará siendo una función arbitraria, en que las
excursiones iniciales de las moléculas, 6, si se quiere, sus
fases iniciales, estarán dadas para cada punto por

F(2),
y las velocidades para el mismo instante por
— VF' (2).

Y vamos á demostrar que en este caso, cuando se esta-
blece lo que hemos llamado el equilibrio dinámico, la fuerza
. viva media de cada molécula no es igual en todos los pun-
tos, de modo que no existe el equilibrio de temperaturas, tal
como lo habíamos imaginado, sino una onda de calor que
circula por el cuerpo, ó, si se quiere, una onda de fuerza
viva que lo recorre todo él. Y no se olvide que en este ejem-
plo y en el presente estado de exploración y preparación sólo
suponemos vibraciones longitudinales.

Partamos, pues, de la ecuación
2 =F(z-— Vi)

y supongamos que la forma de F es la que marca la figura 15,

Figura 15.

y se compone de una curva O B C y de dos rectas indefini-
das CD y O D' coincidiendo con el eje de la z.

ES
e. e
ñ Ñ
Do
A

— 497 —

Es decir, que llamando en general y á la ordenada de di-
cha curva y u á la abscisa

y =F(u),

representa la línea recta D' O, la curva O BC y la recta C D.

Sobre la posibilidad de dicha representación, algo diremos
más adelante, por ahora considerémosla como demostrada.

Y ruego que fijen su atención en este punto mis oyentes,
porque es fundamental para muchas cuestiones. Si en la úl-
tima ecuación se da á u un valor negativo, que corresponde-
rá á puntos de O D', se ve que F (u) se anula. Para valores
de u comprendidos entre O y C, por ejemplo, para la O a,
toma el valor ab = F (a). Por último, para valores mayo-
res que O C se anula en toda la extensión que queda del
eje de las z.

Comprendido esto, observemos, que eligiendo” para z y f
valores tales que z — V tf sea constante, por ejemplo, igual
á k, el valor de x será constante también é igual á

, F(k).
| Por lo tanto, siendo
x = F(k),

todos los puntos ó moléculas, que correspondan á valores
de z, en los instantes correspondientes á valores de f, tales
que z y £ cumplan con la condición expresada z — Vi =k,
tendrán, pues, dichos puntos ó moléculas, la misma desvia-
ción.

Ahora bien, la ecuación

2=Vi=k, Ó z=k+V!,

tomando z y f como variables, es la de una línea recta, que
hemos representado en la figura 16: sea A B dicha recta.

— 498 —

La ordenada en el origen OA, será igual á k, y la tangen-
te del ángulo que forma con el eje de los tiempos será V.

Si tomamos en la recta diferentes puntos b, b”, b”, la con-
sideración anterior nos demuestra, que en el tiempo Oa la
molécula que está á la distancia y = ab del origen, se ha se-
parado de su posición de equilibrio, una cantidad igual á K.
Cuando el tiempo es O a”, la molécula que se encuentra á la
distancia a” b” del origen ha realizado la misma excursión que

Figura 16.

a. Y la velocidad de este transporte de forma es igual evi-
DIE
+

Lo mismo podemos decir para otro punto cualquiera.

Por último, si O a es igual á un segundo de tiempo, la mo-
lécula habrá recorrido la distancia ba —k=ba—ca=cb,
que es tangente b Ac = V.

Si consideramos, pues, un conjunto de moléculas conti-
guas, con sus desviaciones y sus velocidades correspondien-
tes, este sistema caminará sobre el eje de las z con la velo-
cidad V.

Así, pues, la curva O BC, fig. 15, con sus dos rectas CD
y O D' se transportará paralelamente con la velocidad V á lo

,

dentemente á A

A a E

a

A > LES

largo del eje de la z, tomando las posiciones A” B' C*,
BC

Claro es que en la figura 16, si en vez de suponer la ex-
cursión O A = k para t= 0, suponemos otra excursión dis-
tinta O 4”, O A”, tendremos una serie de rectas 4' B”, A”
B”... paralelas á A B.

Todas las condiciones del movimiento están, por decirlo
así, representadas en las figuras 15 y 16, que, por lo demás,
advertiremos que no están hechas en la misma escala.

Así como hemos representado la curva O BC de las ex-
cursiones de cada molécula, podríamos representar también
la curva de las velocidades, respecto á la cual se repetiría
cuanto hemos dicho con relación á la primera. Pero esta
curva de las velocidades, en este ejemplo no es arbitraria;
no podría ser OGC, A” G C...... Sería, por ejemplo, coc”,
deducida de la derivación de OBC, es decir, -— VF”' (2).

Y notemos, y esto es muy importante, que así como se
transportan con la velocidad V las curvas OBC, coc”, con
ellas se transportan las líneas rectas que las preceden y las
siguen sobre el eje de las Z.

Es dicha onda una verdadera ola solitaria, que deja detrás
de sí el reposo ó la inmovilidad y que no turba la de las mo-
léculas que están delante, sino cuando á ellas llega con la
velocidad V en ese transporte de forma.

Y esto nos demuestra ya hasta la evidencia, que todos los
puntos del sistema de moléculas, durante el período % de la
oscilación, si la oscilación fuera periódica, que sobre esto
nada hemos dicho, porque depende de la forma de F; todos

los puntos del sistema, repetimos, tienen la velocidad cero

y la fuerza viva cero, hasta que llega la onda, y después de
haber pasado; y mientras ella pasa, tienen la serie de velo-

. Cidades y de fuerzas vivas que corresponden á los diferentes

puntos de las curvas OBC, coc”.

E E

— 500 —

Fuerza es confesar, dada la descripción de este fenómeno
de mecánica, que en nada se parece á la propagación del
calor en los cuerpos.

Por regla general, el calor no se transmite ó no parece
que se transmite como una onda de altas temperaturas, de-
jando detrás temperaturas más bajas y encontrando también
temperaturas más bajas en su marcha.

No es como la ola en el mar, ó como una ola ideal y aisla-
da de luz, sino como la difusión de algo que busca su nivel.

Hasta aquí, respecto á la propagación del calor, hay que
reconocer, que las teorías vibratorias de la Física matemática
no nos dan la imagen de los hechos sensibles.

Así lo reconocen muchos, y así lo reconoce Mr. Boussinesq
en su obra ya citada.

Y sin embargo, con ser el resultado del análisis matemá-
tico tan distinto del efecto sensible, que en nosotros produce
la distribución del calor en un cuerpo más ó menos conduc-
tor, todavía ocurren y podríamos proponer explicaciones
para armonizar la teoría precedente, completada y extendida
á los cuerpos de la Naturaleza, con los resultados prácticos
de la Física experimental.

Según las hipótesis antes referidas, los cuerpos se compo-
nen de moléculas ó partecillas de materia ponderable, á cier-
ta distancia unas de otras y bañadas de éter, que rellena to-
dos los espacios intermoleculares. ;

Si en un punto del sólido se establece una agitación, es
decir, una acumulación de fuerza viva del éter y de las ma-
sas ponderables, nacerán ondas de vibración que se exten-
derán alrededor de dicho centro.

Las ondas de éter, al avanzar, transmitirán parte de su
fuerza viva á las moléculas ponderables que encuentren,
poniéndolas en movimiento; pero con velocidades muy pe-
queñas al principio, porque se supone que la masa de una
molécula ponderable es muchísimo mayor, que la masa de
éter.

— 501 —

Esta onda etérea avanzará, pues, por entre los obstáculos
que forman dichas moléculas ponderables, y cada vez será
más débil.

Al llegar á los límites del cuerpo, en parte se refractará y
en parte se reflejará, y repitiéndose esto de continuo, no será
una onda solitaria de éter en vibración la que atraviese el
cuerpo que consideramos, sino una acumulación de ondas
etéreas.

Y otro tanto podemos decir de la onda engendrada por la
vibración de las moléculas ponderables.

De suerte, que el problema es mucho más complejo de lo
que habíamos imaginado al principio, y en cada punto, la
fuerza viva media habrá que calcularla teniendo en cuenta
todas las ondas que por él pasan en un momento dado.

Con lo cual, sin que insistamos más en este punto, se
comprende, que al fin la fuerza viva media llegue á ser cons-
tante si es constante la temperatura en los límites del cuerpo,
y que además podrá explicarse el hecho de la transmisión
como la teoría analítica del calor la determina.

Cuando estudiemos la Termodinámica volveremos á insis-
tir sobre este problema, del cual ahora no podemos más que
dar una idea por todo extremo vaga y superficial.

a A —

XXI. —Estudios de sintesis mineral.

POR JosÉ RODRÍGUEZ MOURELO.

11

Experimentos relativos al sesquióxido de cromo.—Principíos de la doctrina
de la condensación molecular.—Ensavos con algunos métodos aditivos.

En principio, cuando se trata de los medios prácticos de
la síntesis mineral, no se ha de atender sólo y de manera
exclusiva á sus resultados, limitándolos á la reproducción,
más ó menos perfecta y completa, de cuerpos cuya molécula
es, á veces, muy compleja; sino que, conjuntamente, ha de
mirarse á sus reacciones generadoras y al mecanismo de
los procedimientos, que suele tener variadas fases, corres-
pondiendo á ellas la formación de substancias definidas, casi
siempre aislables, representantes de los términos ó puntos
singulares de la serie de cambios químicos y transformacio-
nes necesarias para alcanzar el estado final, en contados c2-
sos reversible. Consideraciones fundadas en resultados obte-
nidos bien comprobados y experimentos nuevos, de índole
diversa, servirán para demostrar las positivas ventajas de
apreciar el problema conforme queda dicho, abarcándolo en
su generalidad. :

Observaré, por de contado, que es frecuente advertir,
cómo muchas cualidades de los cuerpos reproducidos depen-
den y son función de los métodos empleados para formar-
los, y ello está ligado con una característica de la síntesis
mineral, determinada por la reproducción de las formas, en
cuanto no se limita á constituir las moléculas químicas, con-
teniendo todos sus elementos en las proporciones necesa-
rias, que también atiende á su estado físico particular, y ca-

ETE EEE

08 ES :

balmente uno de sus fines, para el cual cuenta con proce-
dimientos especiales, es la reproducción del estado y formas
cristalinas, á partir de los elementos del cuerpo ó de éste ya
producido y en estado amorfo. Y es de suma importancia
relacionar estos términos: procedimiento sintético, materias
resultantes, forma de las mismas y propiedades característi-
cas, indagando sus mutuas influencias y conexiones, á lo
menos en ciertos casos notorios de isomería, que no son po-
cos los que presentan las substancias minerales.

Fácil es obtener el sesquióxido de cromo, cuyos modos
de formación son de antiguo conocidos, y ver cómo influ-
yen en los estados que afecta y las variantes de sus propie-
dades en cada uno de ellos. A la cuenta no se trata aquí de
una síntesis, ni de cuerpo que tenga su representante en es-
pecie mineralógica natural, ya que sólo por accidente es ge-
nerado al fabricar algunos compuestos crómicos; pero cons-
tituye un ejemplo terminante y de extraordinaria sencillez,
tocante á las relaciones mencionadas y á las influencias posi-
tivas del estado cristalino, y, en general, de las modificacio-
nes moleculares de todo linaje, en las propiedades particu-
lares de los cuerpos á los cuales afectan, sin que cambie su
naturaleza química, y aun es condición para tales metamor-
fosis que permanezca inalterable, á lo menos en lo referente
al número y proporciones de los elementos.

Puede ser obtenido bien cristalizado el sesquióxido de
cromo, empleando diversos procedimientos, y aquí se ponen
solamente los principales.

a) Descomposición del ácido clorocrómico por el calor,
haciendo atravesar sus vapores por un tubo de porcelana,
puesto al rojo vivo; parte del cuerpo destila sin alterarse; la
otra parte se altera, dejando en el tubo cristales romboédri-
cos, negros y durísimos, desprendiéndose juntos oxígeno y
cloro.

2(CI,CrO,) = 0,Cr, + Cl, + O (Wehler).

4
UL

Rev, Aca. Ciexcias.—1IV. —Mayo, 1906,

— UA

b) Acción del cloro sobre el cromato de potasio. No
siendo la temperatura muy elevada, resultan láminas crista-
linas verdosas.

2(CrO,K,) +4 Cl = O,¿Cr, + 4CIK + 5 0 (Frempy).

c) Reaccionando el vapor de agua con el sesquicloruro
de cromo, al rojo, se logran bien formados cristales rombo-
édricos de color verde obscuro, presentando sus caras es-
triadas; son menos duros que los obtenidos aplicando otros
procedimientos, en los que es menester emplear mayor calor
y sostenerlo por más tiempo. De todas suertes, es un caso
de aplicación de métodos generales de sintesis empleados
en la reproducción artificial de cierto número de minerales
oxidados.

CI ¿Cr, + 3H, O = O, Cr, +6 CIH (Ferriéres y Dupont).

dd) Genérase directamente del bicromato de potasio, y
Svanberg recogió menudos cristales exagonales, de color ver-
de, presentando irisaciones, con sólo calentar aquel cuerpo
en un crisol á temperatura muy elevada, sostenida por die-
ciocho horas. Intentando repetir tan curioso experimento, se-
gún las prescripciones del citado químico, y aunque procuré
no apartarme de ellas, sólo me fué dado advertir, al cabo de
veinticuatro horas, la formación incipiente y muy poco de-
terminada, de laminillas obscuras, dotadas de cierto tinte ver-
doso, que se adherían con gran fuerza á las paredes del cri-
sol; su aspecto, como el del sesquióxido de cromo de Svan-
berg, era el de un producto sublimado, desprendido de una
masa en fusión á temperatura elevadísima.

e) Quizá el mejor procedimiento 6 medio de formación
del sesquióxido de cromo cristalizado, y sin duda el más ge-
neral, se refiere á una reacción repetidas veces utilizada para
otros fines, y consiste en que la mayoría de los compuestos

— 505 —=

metálicos son descompuestos, simpre mediante la acción del
calor, por los cloruros, generándose los óxidos correspon-
dientes, aunque la reacción suele ser limitada é incompleta y
á veces reversible, no siendo la temperatura excesiva. Con-
forme á tal principio, siempre que los compuestos crómicos
se hallen en presencia de cloruros, sobre todo alcalinos, é in-
tervenga el calor, es segura la formación, siquiera inicial, del
sesquióxido. Este hecho explica el mecanismo de su génesis
en las acciones del cloro sobre el cromato de potasio, en que
se apoya el método de Fremy, porque se engendra al mismo
tiempo cloruro de potasio, el cual de necesidad ha de reac-
cionar con el cromato en la manera dicha, constituyendo de
otra parte, por estar fundido, excelente disolvente del óxido
de cromo. Fundiendo una mezcla hecha con partes iguales
(10 gramos) de cada uno de los cromatos neutros y secos de
potasio y sodio y un exceso (50 gramos) de cloruro de bario
bien desecado, al cabo de tenerla fundida ocho horas, Si-
guiendo lento enfriamiento, obtuve una masa, en la que ha-
bía cloruros de potasio y sodio, que fueron separados por el
agua hirviendo y quedó un residuo, en el que se distinguían
muy bien las laminitas blandas y de color verde claro de cro-
mato de bario cristalizado y otras láminas duras bastante
más obscuras, ligeramente irisadas algunas de ellas, incrus-
tadas con fuerza en la masa antes del tratamiento por el agua
y que eran de sesquióxido de cromo.

f) Hubo de aplicar Ebelmen sus fecundos métodos á la
cristalización del sesquióxido de cromo, partiendo del cuerpo
amorfo y lo más puro posible. Era disolvente el ácido bórico
fundido, al que añadía un poco de carbonato de calcio, ope-
rando á la temperatura de un horno de porcelana, sostenida
por bastantes días, al cabo de los cuales resultaba, después
de lento enfriamento, una masa formada de borato de calcio
y exceso de ácido bórico, conteniendo cristales romboédricos
del sesquióxido, duros, de obscuro color verde, brillantes y
separables de su ganga por medio del ácido nítrico, que, aun

— 506 —

concentrado é hirviendo, no tiene la menor acción sobre ellos,

£) Recordando experimentos bien conocidos, intenté pro-
ducir el cuerpo en que me ocupo, calentando á temperatura
elevada (800”) mezclas íntimas de bicromato de potasio dese-
cado y cloruro de sodio, que había sido previamente fundido;
la masa obtenida es verdosa, hay en ella sesquióxido de
cromo; pero no me ha sido posible aislar sus cristales. Mejor
resulta emplear el cloruro de sodio fundido como disolvente
del cuerpo amorfo; conservando aquél en gran exceso y sin
que llegue á saturarse del sesquióxido, y manteniendo líquido
el sistema durante tres Ó cuatro horas, seguidas de enfria-
miento lo más lento posible, se recoge una masa verdosa de
aspecto cristalino, la cual, luego de tratada por agua caliente,
deja un residuo formado de menudísimos cristales de ses-
quióxido de cromo, tanto más duros y obscuros, cuanto ha
sido más elevada la temperatura, dependiendo sus perfeccio-
nes de la lentitud del enfriamiento. He notado en diferentes
pruebas que si el disolvente fundido está saturado ó ha-
biendo exceso de sesquióxido, su cristalización no se efectúa
y la masa verde obtenida al término de las operaciones lo
que contiene en su interior es el cloruro de sodio confusa-
mente cristalizado por vía seca, como si se hubiesen inver-
tido las respectivas funciones de cada uno de los componen-
tes del sistema. Toda la transformación molecular depende,
al cabo, de la temperatura y de la masa, ó sea de un trabajo
cuyos efectos son notados, conforme es sabido, en las pro-
piedades de los estados isoméricos de la molécula O, Cr,
cuyo equilibrio definitivo hállase determinado por una gran
inercia química y absoluta resistencia á los agentes de trans-
formaciones.

h) Indicaré ahora cómo por la acción del calor el hidrato
crómico (OH), Cr, pierde, á no muy elevada temperatura,
3 H,0O y deja por residuo el sesquióxido de cromo amorfo y
de color verde característico, siendo completa la deshidrata-
ción. De igual manera, el sesquisulfuro de cromo calcinado

— 507 —

en contacto del aire prodúcelo con desprendimiento de anhí-
drido sulfuroso y en general el cuerpo O, Cr, es el término y
residuo de las descomposiciones pirogenadas de las subs-
tancias que contienen cromo, y sobre todo de sus sales de
toda especie y categoría.

¿) Sábese que, entre otras muchas, son las siguientes
reacciones generadoras muy conocidas del sesquióxido de
cromo en su estado amorfo, cuyo mecanismo importa á mi
objeto tener presente en este momento:

ECHO, 2CI(NH,)] =2 CIK-E4H042N+0,Ch;
IS OR: | 3C=2[C0,K3].1.C.0, + 2103 Cra]
CNO +ES:=SO¡K7 03€
2 ECO] =.0,Cr, JH Os 4 Ag:

dando el último el producto más puro, por ser sus acompa-
ñantes uno gaseoso y el otro volátil á la temperatura de la
descomposición del cromato mercurioso, y acaso por lo mis-
mo el sesquióxido de cromo de ella procedente, como aisla-
do á un calor moderado, bastante menor de los 400”, se pres-
ta mejor á cierto linaje de modificaciones características. En
cambio, el sesquióxido de cromo originado en las otras tres
reacciones, resulta acompañado de sulfato, cloruro ó carbo-
nato de potasio, y es muy difícil, ya que no imposible, pri-
varlo enteramente de cualquiera de los tres cuerpos, de los
cuales suele conservar trazas aun después de bien calcinado
á elevada temperatara, influyendo las mismas impurezas en
el tono de su color verde y en la resistencia á ciertos agen-
tes enérgicos, á la cual contribuyen de manera eficaz aquellos
productos secundarios de las reacciones, cuyos residuos que-
dan como difundidos ó disueltos en el sesquióxido de cromo.
Distan mucho de ser fijas y constantes sus propiedades ca-
racteristicas, por más que se trata de materia de composición

— 508 —

química invariable, en su calidad de constituir el término de
las metamorfosis de los compuestos de cromo.

Justamente los medios de formación y los métodos prácti-
cos de obtenerlo, sirven para diferenciar las variadas apa-
riencias del sesquióxido de cromo, ó sea sus estados par-
ticulares de agregación molecular que implican hondos cam-
bios en sus características; y no se trata de modificaciones
pasajeras, sino de metamorfosis completas, de las cuales es
inherente cierta pérdida de energía, manifestada en fenó-
menos térmicos y luminosos, producidos en el acto de la
transformación molecular del cuerpo estudiado.

Traen aparejados los procedimientos descriptos dos es-
tados del sesquióxido de cromo: el cristalino, con formas
romboédricas, y el amorfo, entre los que existe una dife-
rencia esencial. Harto sabido es que la obtención del ses-
quicloruro de cromo está fundada en las acciones del cloro
puro y seco sobre el sesquióxido calentado al rojo vivo, to-
mando ciertas precauciones que no son del caso ahora; si el
sesquióxido está cristalizado por cualesquiera de los méto-
dos citados, no es atacable por el cloro en las condiciones
ordinarias del experimento; en cambio, lo es el amorfo, pero
sólo en ciertas y determinadas circunstancias. Ensayé el pro-
cedente de descomponer á temperatura relativamente baja
el cromato mercurioso, mezclándolo con carbón vejetal, aglu-
tinando con poco engrudo de almidón, para hacer bolas, no
mayores que guisantes, que secaba á 140”; las ponía luego
en una buena retorta de barro tubulada, hacía pasar cloro
muy seco, durante cierto tiempo, y sin que cesase la corrien-
te de este gas, calentaba al rojo y así producía el sesqui-
cloruro, cuyos vapores se condensaban en una alargadera
de vidrio fría, formando láminas cristalinas y brillantes del
color de la flor del albérchigo: los resultados fueron excelen-
tes. No satisfacen tanto los que se logran con los sesquióxi-
dos de las otras procedencias, sobre todo, si después de ha-
ber lavado muchas veces con agua hirviendo el producto de

|

— 109. —

las respectivas reacciones, para eliminar las porciones solu-
bles, el residuo verde es desecado á temperatura superior
de 300”, sin alcanzar los 360”. Adviértese ya entonces un
comienzo de modificación isomérica, traducida en cierta re-
sistencia á las acciones del cloro, y no es raro que se de-
tengan á poco de comenzadas, aunque el calor sea suficiente
para volatilizar el sesquicloruro producido, y es que la su-
perficie del sesquióxido experimenta cierta vitrificación so-
mera que impide la continuación de las acciones químicas.

Limita la temperatura las transformaciones indicadas, con-
sideradas á modo de estados particulares del sesquióxido
de cromo, que el calor genera en último término por iguales
medios y en la misma forma que engendra los estados alo-
trópicos del fóstoro Ó los polímeros de los hidrocarburos
susceptibles de ellos, é importa indicar el mecanismo gene-
ral de semejantes transformaciones, bastante comunes en los
compuestos minerales.

Uno cualquiera de los productos de las reacciones ante-
riores da el sesquióxido de cromo verde, amorfo y atacable
por el cloro en las condiciones apuntadas, con tal que se
cumpla la de obtenerlo á temperatura relativamente baja. Si
este mismo sesquióxido es calentado á 440”, tórnase un mo-
mento incandescente; luego de enfriado, puede advertirse
que no ha perdido de peso; mas, en cambio, volvióse inerte,
á no ser en casos especialísimos, respecto del cloro, del oxí-
geno y del gas sufhídrico, por virtud de cierta especie de po-
limerización, que no es reversible; y así resulta que en el re-
ferido sesquióxido de cromo deben reconocerse tres formas
distintas, á saber: el estado cristalino definitivo y no trans-
formable, el estado amorfo atacable por el cloro en caliente
para producir sesquicloruro y el estado amorfo inactivo, pro-
cedente del anterior en la manera que es dicha. Depende el
último del segundo, en cuanto basta calentarlo para que se
genere con carácter definitivo, por donde se infiere que las
formas conseguidas antes de los 440” son transitorias y re-

— 510 —

presentan equilibrios moleculares provisionales, términos no
más de una serie cuyo límite está en el sesquióxido cristali-
zado, tan inerte como se quiera, y que permanece incólume
en presencia de agentes de transformaciones químicas de las
energías del oxígeno, el cloro y el ácido sulfhídrico; y así,
la temperatura indicada separa en realidad las formas y pro-
piedades á ellas inherentes, caso frecuente en las transfor-
maciones pirogenadas de las materias orgánicas, á las que es
asimilable el presente. Bien á las claras se advierte cómo, en
suma, los caracteres peculiares de los diversos estados del
sesquióxido de cromo son funciones de los métodos de obten-
ción, y de qué suerte, aplicándolos, antes de conseguir la
forma límite, representante del equilibrio más estable del sis-
tema molecular, aparecen otras intermedias, interesantes, y
que en la síntesis mineral tienen notoria importancia.

Mientras el sesquióxido de cromo pasa al estado que he
llamado inerte, obsérvase que se pone incandescente; y este
fenómeno, que no es privativo de su transformación, reviste
mucha importancia, en cuanto significa un cambio químico
con desprendimiento de pura energía en forma de calor, en
tanto se lleva á cabo cierto trabajo molecular interno, no para
convertir un cuerpo en otro, sino para modificar sólo su es-
tructura, aunque de manera tan honda y siendo de tal géne-
ro la perturbación que en realidad trae aparejada la forma-
ción de nuevos caracteres, siquiera sean negativos. Es como
si al ser engendrado el sesquióxido de cromo en su primera
forma activa, retuviera y aprisionara cierta cantidad de ener-
gía, quizá de la misma empleada en producirlo, conserván-
dola, por decirlo así, latente, hasta el momento en que, ex-
citada por la temperatura, aparece desprendiéndose con ma-
nifestaciones térmicas y luminosas, dejando inerte el cuerpo
á que comunicaba actividad, fuerza y aptitudes para cierto
linaje de cambios, y la substancia material y el peso del mis-
mo permanecen invariables.

— 511 —

Voy á intentar en breves razones una explicación, que
ha de serme luego utilísima, de los fenómenos relatados,
apoyándome en las mismas doctrinas que utilizaron Recoura
en sus investigaciones relativas á los diversos compuestos
salinos del cromo, Nicolardot en los estudios que hizo acer-
ca de los óxidos de hierro y Wyrouboff y Verneuil en los
suyos de las tierras raras. Hállanse los fundamentos de la
hipótesis, aplicable á numerosos hechos observados en la
práctica de los métodos de síntesis mineral, en las llamadas
condensaciones moleculares, cuya noción ha sido muy fecun-
da en la Química. Sin ella no se explican ni la existencia, ni
las propiedades, ni los desdoblamientos de muchos cuerpos,
de los ácidos polisilícicos, por ejemplo, tan importantes en sí
mismos, y cuando se trata de la constitución química y es-
tructura de complicados silicatos múltiples; tampoco se com-
prenderían las anomalías de las sales verdes de cromo, las
singularidades de los compuestos oxigenados del hierro, co-
loides Ó solubles, ó las que presentan los de itrio, cerio y
torio, que los casos son abundantes y otfrécenlos singulares
algunos procedimientos de síntesis, que por lo mismo con-
sienten formar cuerpos nuevos, casi siempre inestables, para
resolverse en otros que parecen productos del desdoblamien-
to de su molécula.

No es, por lo tanto, de ahora mismo la doctrina, que tiene
su principal sanción en muchos fenómenos que presentan las
substancias orgánicas, en particular los de polimerizaciones,
que son comunes, y á semejanza de ellos aplicase, de la
propia suerte, á explicar ciertas estructuras de moléculas mi-
nerales. Sábese como hay cuerpos muy fijos y estables ca-
paces de retener y condensar en su masa (platino esponjoso,
paladio), ó en su superficie (negro de humo), diferentes ga-
ses en proporciones considerables, y al realizar semejante
trabajo adquieren determinadas actividades, y de la misma
manera, moléculas de igual especie pueden penetrarse mu-
tuamente, unirse entre sí, condensarse íntegras ó sólo alguno

— 512 —

de sus elementos y formar así combinaciones singulares: sul-
fatos de cromo, que no producen las reacciones del ácido
sulfúrico; óxidos de hierro, en los cuales el análisis no pue-
de determinar la cantidad exacta de metal; combinaciones
oxidadas de metales raros, de las que en las precipitaciones
fraccionadas siempre queda un resto en el líquido, aun ha-
biendo exceso de reactivo, y otros casos semejantes, utiliza-
dos para establecer las funciones químicas minerales sobre
bases análogas á las que sirven para defimir las funciones
orgánicas.

Ya podrían invocarse en favor de la doctrina de las con-
densaciones moleculares los casos de alotropia, que en casi
todos los cuerpos simples se tienen advertidos, y las distin-
tas apariencias de algunas combinaciones ternarias como
los hidratos de cromo ó los de hierro; pero sobre todo han
de tenerse en cuenta ciertos compuestos intermedios, pro-
ductos de reacciones incompletas ó parciales, residuos de
otras, tránsitos entre dos estados límites unas veces, y otras
resultado de fenómenos secundarios, que han aprovechado
grandemente los procedimientos de la síntesis mineral. Co-
rresponden á alguna de estas categorías los óxidos grafíticos,
representantes de los grados inferiores en la escala de la oxi-
dación del carbono, los cuerpos que se colocan cerca del
anhídrido carbónico, los hidratos silícicos y substancias de-
rivadas de la sílice soluble Ó coloidal, y los curiosísimos
cuerpos ternarios más pobres de oxígeno que los hidratos si-
lícicos, moléculas condensadas, en ocasiones consecuencia
de su desdoblamiento ó también verdaderos residuos mole-
culares, algunos de composición incierta Ó variable.

Observaré cómo precisamente la diferente basicidad de los
ácidos polisílicos, de los cuales derivan no pocos silicatos
naturales múltiples, está fundada en las condensaciones mo-
leculares progresivas del hidrato normal (O H),. Sí que es,
en rigor, un límite, en cuanto existen derivados suyos en los
que las relaciones de Sí O, á OH.,, son 2: 1, y también,

— 513 —

3:1y3:2,3: 3, pudiendo llegar al anhídrido silícico,
conforme es bien sabido. Corresponden á la misma serie los
hidratos irregulares de Graham obtenidos por diálisis, el lí-
quido ó hidrosol y el gelatinoso ó hidrogel, y sus combina-
ciones congéneres, el alcohosol! y el alcohogel, el glicerosol y
el glicerogel y el sulfogel, que todos derivan de los prime-
ros y pueden considerarse productos semejantes á los de la
eterificación; pues con ellos tienen muchos puntos de seme-
janza en el mecanismo y en los límites de su formación. Y
para que nada falte en la serie, hay en ella también repre-
sentantes intermedios de condensaciones incompletas, Ori-
ginados al descomponerse determinados cuerpos organosilí-
cicos, tales como el anhídrico silicitórmico y el hidrato sili-
cioxálico de Friedel y Landenburg, á los que deben agregarse
la silicona, de Weehler, y la leucona, producto inmediato de
sus fáciles alteraciones.

A lo que entiendo, es menester considerar dos especies de
moléculas condensadas, y son: aquellas que, por determina-
dos artificios, generalmente interviniendo el calor, se desdo-
blan, reproduciendo sus generadores, ó bien algunos de los
términos intermedios de la serie de condensación regular, fe-
nómeno que ha recibido importantes aplicaciones en los mé-
todos generales de síntesis, y las que se consideran invaria-
bles é incapaces de desdoblarse y aun de contraer ningún gé-
nero de alianzas con otras moléculas. Son las primeras á
modo de equilibrios provisionales, inestables, y hasta cierto
punto reversibles, fases sucesivas de trabajos no terminados,
á los que corresponden ciertas actividades más Ó menos ex-
citables. En cambio, las otras, constituidas con aquel des-
prendimiento de energía que las reduce al estado inerte, re-
presentan el término y límite de aquellos mismos trabajos
invertidos en producir una forma y una composición detiniti-
vas casi invariables, según es difícil iniciar sus transforma-
ciones en todos los órdenes, para lo cual hay que destruirlas
y simplificarlas hasta dejar libres sus componentes.

— 514 —

Pertenece á la segunda categoría, con otros varios cuer-
pos de distinta naturaleza, el sesquióxido de cromo, cuyas
modificaciones alotrópicas, aunque bien conocidas y deter-
minadas, he tratado de reproducir en su calidad de datos
para los presentes estudios, y pienso que alguna novedad hay
en los experimentos hechos. Se refieren á la deshidratación
progresiva de los cuerpos (OH), Cr, violeta y (OH),
(OH),Cr, verde, á la producción del sesquióxido amorfo á
la temperatura más baja posible, á su transformación en masa
inerte y á su cristalización en el cloruro de sodio fundido 6
en vapor, en lo cual se contiene todo el mecanismo de sus
cambios de estado mediante condensaciones moleculares,
cuyo influjo en los caracteres de los compuestos salinos está
ahora esclarecido. Adviértese, en primer término, que no es
indiferente la procedencia de los hidratos; si el obtenido de
los sulfatos, precipitando con la potasa ó la sosa, retiene ál-
calis en mínimas proporciones, cosa harto frecuente aun des- .
pués de prolongados lavados en caliente, la deshidratación
no resulta completa y se retarda bastante; de las disolucio-
nes de cloruro de cromo y de las de alumbre de cromo re-
sultan hidratos voluminosos, sobre todo operando en frío,
más Ó menos gelatinosos, de aspecto coloidal muchas veces
y que pueden retener cantidades apreciables del álcali preci-
pitante y tampoco las pierden por completo.

Buen número de pruebas he necesitado para conseguir un
hidrato crómico normal libre de álcalis, y llegué á prepararlo
partiendo de sales crómicas, casi siempre sulfatos ácidos Ó -
acidulados ligeramente y en disoluciones no muy concentra-
das, del 8 al 10 por 100 es suficiente, empleando las de los
álcalis á la misma concentración y adicionadas de 25 por 100
de alcohol. Nó ha de ser completa la precipitación, debiendo
quedar exceso considerable de compuesto crómico disuelto,
y ha de hacerse fraccionada en dos veces, aprovechando sólo
lo que en la segunda se produzca, y los líquidos han de estar
á la temperatura de 40”. Formado el precipitado utilizable, se

— 515 —

añade agua y se hierve el líquido, filtrando en caliente y la-
vando con agua alcoholizada, secando más tarde á la tempe-
ratura ordinaria; luego se trata el cuerpo aislado con agua
hirviendo, se recoge en un filtro, donde es lavado primero
en frío y después con alcohol caliente y secado, y al cabo
de repetir cuatro veces el tratamiento resulta el hidrato cró-
mico libre de álcalis y muy puro.

Quizá es de los cuerpos cuya total deshidratación resulta
más difícil; en ella se reconocen y determinan algunos pun-
tos singulares, correspondiendo el de mayor interés á la
formación del monohidrato (OH) O, Cr, á la temperatura
de 220”, y la pérdida de las dos moléculas de agua restantes
trae aparejada la insolubilidad del nuevo cuerpo en el ácido
clorhídrico no muy concentrado. Ha de procurarse que la
deshidratación sea lenta, aumentando poco á poco la tempe-
ratura sin pasar el límite de los 350”, agitando sin cesar la
masa, que adquiere color verde característico; se deja enfriar
y trata luego con ácido sulfúrico diluido en su volumen de
agua, dejando en digestión cinco Ó seis horas á 80”, cuyo
término alcanzado se recoge el cuerpo en un filtro, se lava
muy bien con agua hirviendo y luego con alcohol, se deseca
á 120”, y más tarde se calienta á 300” durante una hora, re-
sultando el sesquióxido de cromo puro, anhidro, amorfo y el
más apropiado para obtener el sesquicloruro también anhi-
dro, gracias á la facilidad con que el cloro ataca á su mezcla
con el carbón, operando al rojo. Sin el tratamiento por el
ácido sulfúrico en la manera que es dicha, es fácil tener una
mezcla de sesquióxido anhidro con alguno de los términos
inferiores de la deshidratación, la cual, para ser completa,
ha menester tiempo y no operar con grandes masas, ni con
cuerpos coloides que siempre retienen álcalis.

Constituido así el primer estado activo del sesquióxido de
cromo anhidro, quise conocer el mecanismo de sus transfor-
maciones, inherentes á las sucesivas condensaciones de sus
moléculas interviniendo el calor. A fin de lograrlo, procedí

— 516 —

calentando en un excelente crisol de porcelana el sesquióxido
atacable por el cloro, el oxigeno y el gas sulfhidrico, elevando
paulatinamente la temperatura; antes de los 400”, el color
verde de la masa se obscurece bastante, adquiriendo cierto
brillo; dejando entonces enfriar se recoge un cuerpo aglome-
rado, aterciopelado, verde, y que resiste mucho más que el
anterior á la acción de los cuerpos citados; pero al cabo es
atacado por ellos. Llegando la temperatura cercana de los 480”
en mis experimentos, la masa del sesquióxido anhidro tór-
nase incandescente y emite luz que á poco se extingue, y
luego del enfriamiento queda un cuerpo que fácilmente se
pulveriza, de color verde obscuro, sin trazas de brillo, inso-
luble en los ácidos é inerte en presencia del cloro, del oxí-
geno ó del gas sulfhídrico, al rojo, como si hubiera perdido
en absoluto todas sus actividades.

Resulta de esta manera producido lo que, no sin algunas
vacilaciones, me atreveré á llamar primera condensación de
la molécula del sesquióxido de cromo anhidro , suerte de po-
límero incompleto, al cabo estado transitorio, para alcanzar
más completas y perfectas transformaciones, sin cambios en
la composición química del cuerpo. Ya se ha visto cómo hay
varios y eficaces medios de formarlo cristalizado de primera
intención, en las mismas reacciones químicas originarias;
mi intento fué reproducir directamente la serie de sus cam-
bios partiendo del hidrato, y por eso emprendí el trabajo de
pasar del estado amorto inactivo al estado cristalino, que
considero representante del equilibrio estable y definitivo de
la molécula O, Cr,. Seguí en las investigaciones dos proce-
dimientos de resultados excelentes en las cristalizaciones por
vía seca, á saber: disolución en un cuerpo fundido, que fué,
en el caso presente, el cloruro de sodio, en las circunstan-
cias y con los resultados indicados en otro lugar, y acción de
transporte del mismo cloruro de sodio reducido á vapor, ya
sólo, ya mezclado con determinados gases, Oxígeno activo
6 nitrógeno inerte, sobre pequeñas cantidades de sesquióxi-

— 517 —

do de cromo, operando de continuo á la temperatura del
rojo vivo, sostenida por cuatro y cinco horas consecutivas,
sistema que había experimentado con buenos resultados
para cristalizar cuerpos muy fijos, indescomponibles por el
calor y cuya falta de volatilidad parece suplida por la del clo-
ruro de sodio.

Dispuse en el interior de un tubo de porcelana, muy re-
sistente al fuego, dos navecillas de la misma materia; la pri-
mera, colocada hacia el medio del tubo, contenía 3 gr. de ses-
quióxido de cromo anhidro; en la segunda, más cercana de
uno de los extremos, había 15 gr. de cloruro de sodio puro
y recién fundido; las dos bocas del tubo estaban cerradas
con tapones atravesados por tubos, para dar paso á la co-
rriente gaseosa de oxígeno ó de nitrógeno, según los casos,
puros y perfectamente desecados que, desde el principio,
circulaba con lentitud (sólo una burbuja por segundo). Un
tercio del tubo dicho, el que no contenía las navecillas, que-
daba sin calentar; la temperatura del resto se elevaba hasta
llegar pronto á la del rojo vivo, empezando siempre por la
porción correspondiente á la navecilla del sesquióxido de
cromo, y sólo cuando alcanzaba aquel grado, se calentaba
la del cloruro de sodio á fin de volatilizarlo, y que la corrien-
te gaseosa lo condujese hasta el compuesto de cromo fuer-
temente enrojecido.

Se produjeron diversos fenómenos: por de pronto advertí,
que si bien la lenta corriente gaseosa era necesaria, la natu-
raleza de los gases no tiene la menor influencia en el resul-
tado de las operaciones. Cristaliza por sublimación, pero de
manera confusa, el cloruro de sodio en la parte fría del tubo,
y algunas veces arrastra un poco de sesquióxido que lo tiñe
de color verdoso; tratado entonces con agua, queda por re-
siduo una suerte de polvillo áspero al tacto, de color obscu-
ro, que visto al microscopio aparece formado de pequeñíisi-
mos cristales, cuya determinación me ha sido imposible, por
ser como un precipitado cristalino nada más. Vense en la su-

— 518 —

perficie del sesquióxido colocado en la navecilla, y también
en ocasiones en sus cercanías, formando anillo en el interior
del tubo, cristales muy pequeños, duros, adherentes, con re-
flejos irisados y verdosos, semejantes á los que mejor for-
mados y en más abundancia se obtienen de la disolución del
sesquióxido amorfo en el cloruro de sodio fundido, cuando la
masa ha sido enfriada con extremada lentitud; lo cual signi-
fica que la cristalización por transporte y en atmósfera clo-
rurante es sólo incipiente en el caso que se examina; mas no
deja de producirse la condensación molecular inherente de la
constitución del estado cristalino, que significa el término del
trabajo invertido en reducir á la inercia y pasividad una subs-
tancia que en otras condiciones es activa y transformable, por
ejemplo, con el aluminio, desarrollando temperaturas extre-
madas que la industria utiliza en sus operaciones.

Entra también el cambio citado en los dominios de la sín-
tesis mineral, en cuanto la reducción del sesquióxido de cro-
mo por el aluminio metálico, limitada á substituir un metal
por otro en el compuesto O, M,, es buen medio de repro-
ducir la alúmina, conforme lo indica la ecuación O, Cr, +
+ Al, = O, Al, -+ Cr,, obteniéndose de camino y con fa-
cilidad el cromo metálico, y según las circunstancias de los
experimentos, el sesquióxido de aluminio puede disolver
cierta cantidad del de cromo ó ácido crómico generado en
reacción secundaria y teñirse de verde ó de rojo, constituyen-
do la esmeralda oriental ó el rubí oriental. Cito el caso, para
notar cómo la pasividad del sesquióxido de cromo no es ab-
soluta y de qué suerte sus reducciones, ahora procedimiento
industrial, son también procedimientos sintéticos.

Tiene ciertas propiedades y un grado de generalidad que
en otros no se encuentra, el mecanismo de algunos métodos
de síntesis aditiva directa que por menudo he estudiado,

Dir

— 519 —

y se refieren á la integración total de moléculas de constitu-
ción sencilla, que las constituye complejas, pasando casi
siempre por estados intermedios definidos, y aun generando,
mediante reacciones secundarias ó por cambios incompletos,
nuevos é interesantes cuerpos. En realidad, es menester con-
siderar dos aspectos en los procedimientos, y se refieren á
la formación de las substancias, uniendo progresivamente
sus elementos sin que haya residuo alguno, y á los desdo-
blamientos de las moléculas complejas constituídas, que no
siempre reproducen en orden inverso las fases del meca-
nismo generador, dependiendo en los dos casos el fenómeno
de los modos de llevarlo á cabo; mas puede asegurarse que
en el último los resultados son función de la temperatura,
conforme acontece en el de los compuestos orgánicos piro-
genados, cuyos productos de reversibilidad del calor depen-
den al cabo. Acaso por el número, ya crecido, de elementos
que los constituyen, ó por su especial estructura química, los
cuerpos en que me ocupo resultan de gran estabilidad; bien
es cierto que se forman á temperatura elevada, que sólo así
son posibles ciertas reacciones aditivas entre materias de suyo
muy fijas y cuyas afinidades, por ser en extremo débiles,
necesitan considerables energías excitadoras invertidas en
buena parte para el cambio de estado físico, puesto que las
uniones moleculares de que se trata sólo son efectivas es-
tando fundidas Ó en vapor las substancias destinadas á
unirse.

Fuera de semejante procedimiento, que es el más general,
se alcanzan en determinados casos excelentes resultados,
sobre todo en la sintesis de hidratos, empleando la presión
desarrollada calentando tubos cerrados de vidrio resistente,
en los cuales se han puesto las substancias que deben unirse
y que suelen ser insolubles, mezcladas con un exceso de
agua: hay ocasiones en que aprovecha el empleo de los
cuerpos en estado coloide y el de ciertos hidratos líquidos
de los que son poco solubles. Como se ve, los fundamentos

Rrv. Acap. Ciencias. —IV, —Mayo, 1906, 36

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— 520 —

de los métodos operatorios son los mismos de algunos bas-
tante generales de la sintesis orgánica, á los que sirvieron de
modelo, y las diferencias residen en pormenores de los me-
canismos de las transformaciones químicas.

Una clase de cuerpos que se presta á tales procedimientos
es la constituida por los fluofosfatos naturales y artificiales y
es á causa de la flexibilidad de la molécula, que permite la
substitución regular de sus elementos sin variaciones de la
estructura. Se ha visto en otra parte anterior una forma ge-
neral de semejantes compuestos, y ahora se considera otra,
acaso más compleja, pero tan variable y mudable como aqué-
lla: me refiero al fluofosfato de aluminio, litio y sodio del
cual es representante la ambligonita, que puede existir en
diversos estados mediante el reemplazo de algunos de sus
componentes; la forma típica es:

2[Ph,0,41,].3[Fl,(NaLi)l,

pudiendo ocupar otros cuerpos los lugares del fluor, del litio
y del sodio, permaneciendo invariables los correspondientes
al fosfato alumínico, que así considerado constituye el núcleo
permanente de esta molécula, y es curioso que en la Natura-
leza aparezcan con cierta frecuencia substituídos, en todo ó
en parte, por oxhídrilos, los componentes fluor y sodio, ge-
nerándose de tan sencilla manera hidratos especiales. En
otros casos, el cambio es más intenso y llegan á desaparecer
el fluor y el sodio, uniéndose á una sola molécula de fosfato
de aluminio, cuatro de fosfato de litio, generando una sal do-
ble, cuya composición es semejante á la del precipitado que
se obtiene tratando el cloruro de litio por el fosfato de alumi-
nio, ambos disueltos y en un medio alcalinizado. A su vez, el
fósforo, como en todos los compuestos análogos al presente,
puede ser substituido, originándose por tal medio los fluosi-
licatos, de los que hay buena copia naturales, ya aislados,

— 521 —

ya, lo que es más frecuente, asociados con otros cuerpos de
análoga ó distinta constitución química.

Generalmente sepárase el fluofosfato de aluminio, litio y so-
dio anhidro ó hidratado de los grupos de las apatitas y vag-
neritas, aunque con ellos tenga manifiestas relaciones de pa-
rentesco químico. Debe considerarse, en realidad, como otra
forma de fluofosfatos sujeta á los mismos cambios molecula-
res y, por lo tanto, verdadero eje ó núcleo de una serie en
la cual las variaciones tienen su origen en los cambios de los
elementos monovalentes aquí muy movibles y cuyos lazos
con el grupo constante del fosfato de aluminio no parecen
muy apretados, según es facil desprenderlos de sus ligadu-
ras, poniendo en su lugar otros, sin alteraciones del equili-
brio de la molécula. |

Vemos en ella el resultado de la integración completa y
perfecta de distintos cuerpos formando un sistema homogé-
neo, en el que desaparecen Sus características individuales,
y origínanse otras particulares, propias del cuerpo resultante
de esta penetración de unos elementos con otros, y en el
cual distinguimos, en rigor, dos sistemas: uno, constante
y hasta cierto punto inmutable, lo forma el fosfato de alu-
minio, el otro, que con mayor facilidad se substituye y cam-
bia, generando en sus metamorfosis distintas substancias de
igual estructura, es variable y constitúyenlo los fluoruros de
sodio y litio. Quizá no responda á la realidad la existencia
de este sistema binario, ni en la molécula del fluofosfato de
aluminio, litio y sodio exista tal separación, ni la ofrezcan
en su constitución las agrupaciones así delimitadas; pero
resulta formada directamente y con toda su complejidad, ca-
lentando, durante bastante tiempo, al rojo vivo, una mezcla
que contenga tres moléculas gramos de los fluoruros de so-
dio y de litio por partes iguales, y dos moléculas de fosfato
de aluminio; ejemplo de síntesis aditiva, cuyos pormenores
á su tiempo se explicarán, que de momento basta enunciar
el resultado. De su parte, el primer sistema es también bina-

— 522 —

rio, y el segundo procede, en rigor, de haber substituído
el hidrógeno del ácido fosfórico con el aluminio; así es que,
en realidad, para llegar al fluofostato triple que considera-
mos, lo que se hace, al cabo, es complicar la ya nada senci-
lla molécula del ácido fosfórico dicho, mediante la adición
de nuevos elementos en combinaciones binarias, lo que per-
mite pasar de una forma á otra distinta, sin que el artificio
de la estructura molecular experimente transformaciones de
monta, y así se demuestra en la posibilidad de substituir sus
componentes.

Hay, pues, medios directos bastante generales y aditivos
para generar formas típicas de fluofosfatos triples, pero que
no son permanentes. Reemplazando los elementos monova-
lentes del sistema Fl, (4”,B"), pueden resultar otros fluofos-
fatos ternarios y binarios, si en el lugar de A'B', se pone C”;
es substituible F/, por Cl, — Br, — Í, y se originan cloro,
bromo ó iodofosfatos, y también en el otro sistema, se cam-
bia Ph, por elementos de sus mismas funciones y valencias,
originándose cuerpos diferentes dotados de igual estructura
molecular.

Ya logradas, por vía directa y aditiva, las formas típicas
de los compuestos minerales complejos que he puesto como
ejemplo, se entiende al punto cómo es posible generar, em-
pleando diversos artificios, otros muchos análogos á ellos ó
productos de reacciones secundarias ó incompletas, acerca
de cuyos particulares son de notar las clásicas investigacio-
nes de Sainte-Claire Deville y los modernos estudios de
Ditte. Observaré que las moléculas de los fluofosfatos, sea
cualquiera el tipo á que pertenezcan, jamás se desdoblan, á
lo menos por vía directa, en sus generadores; el sistema con-
serva su integridad, se modifica y altera mediante diversas
influencias; pero no es reversible, ni hay medio expedito de
reproducir su estado inicial, separando el fosfato del fluoruro
que el calor había unido á temperatura elevada, y así la es-
cisión de la molécula se realizará en otras formas, dependien-

8
e

— 523 —

tes de la manera de llevarla á cabo. En los trabajos de Ditte,
principalmente, se tiene en cuenta un factor de importancia
suma, y es el medio en el cual se producen los fluofosfatos
y sus derivados; de ordinario lo constituyen cloruros fundi-
dos de sodio ó de calcio, cuando no es la mezcla de ambos, y
el último puede ser uno de los términos de la reacción, por
ejemplo, tratándose de apatitas y vagneritas cloradas, 6
cuando el fosfato se substituye con arseniatos Ó vanadatos.
Llega á realizarse, al cabo de tiempo, la unión directa de fos-
fatos y fluoruros, fundiéndolos juntos en las proporciones
convenientes, manteniéndolos líquidos y dejándolos enfriar
con lentitud extremada; pero es más fácil, ya que no tan
completa, la generación de moléculas complejas, si sus siste-
mas constitutivos pueden reaccionar en gran exceso de un
-fundente clorurado que los disuelve, y en cuya masa crista-
liza el nuevo cuerpo, separable mediante repetidos lavados
con agua hirviendo, y es de advertir cómo el fundente suele
intervenir en la metamorfosis realizada, formando determi-
nados productos secundarios.

Intentando repetir algunos experimentos referentes al par-
ticular, he logrado obtener cristalizado en laminillas brillan-
tes un fosfato doble de la forma PRO, CaNa con sólo fun-
dir el fosfato de calcio con un gran exceso de cloruro de
sodio; y asimismo lo he determinado entre los productos se-
cundarios de la formación de los fluofosfatos normales, que
no suelen contener halógenos, y por tal modo he confirmado
las investigaciones anteriores de Ditte, quien ha estudiado el
asunto con mucho detenimiento.

A las influencias del medio corresponden otros hechos
cuya exactitud me ha sido posible demostrar en todas sus fa-
ses. En un medio fundido, que para el caso reune las condi-
ciones de disolvente líquido, constituído por el cloruro de
sodio sólo ó mezclado con cloruro de calcio, no es posible
generar la apatita típica si no hay la cantidad precisa de fos-
fato de calcio; no habiéndola, se constituye el fosfato doble

Me

— 5 —

antes indicado, pero nada de fluofosfato, interviniendo fluo-
ruro, Ó de clorofosfato, empleando el cloruro. Por el contra=
rio, la presencia de suficiente proporción de fosfato de calcio
impide que se forme el doble fosfato sódico cálcico, del cual
sólo en ocasiones aparece un poco á guisa de producto se-
cundario, y esto mismo acontece respecto del cloruro de cal-
cio en la síntesis de las vagneritas, cuyos fenómenos justifi-
can el haber comparado la formación de ambas especies de
fluofosfatos á la de los diferentes hidratos de una sal, que
depende de la temperatura, de las condiciones del agua, de
sus proporciones y de la cantidad de materia anhidra.

Juntamente con los productos definidos de síntesis aditi-
vas que constituyen la numerosa familia de los fluofosfatos,
con todo el cortejo de sus abundantes derivados, ocupó mi
atención otro grupo de cuerpos, bastante más sencillos, ob-
tenidos algunos en estado amorfo y como residuo en las más
elementales operaciones de laboratorio; me refiero á los Óxi-
dos metálicos de la forma O,M,, llamados salinos y que
suelen considerarse resultado de la combinación de dos sis-
temas binarios, OM, monóxido y O, M,, sesquióxido; pue-
den cristalizar en el acto de formarse solos ó mejor en la
masa de un fundente, de ordinario el ácido bórico, á tempe-
ratura muy elevada, y sus cristales son de extremada dureza-
Varios de estos compuestos existen en la Naturaleza, y son
especies minerales bien definidas, otros se preparan siguien-
do los métodos que sirven para reproducir los primeros y el
conjunto de todos ellos constituye el conocido grupo de las
espinelas naturales y artificiales, respecto de las que he prac-
ticado algunos experimentos que procuro enlazar con el an-
terior estudio del sesquióxido de cromo, el cual es sucepti-
ble de unirse con los monóxidos, formando combinaciones,
de las que es tipo el cromito de hierro, Cr, O,Fe.

3

— 525 —

Bueno será recordar que considerando las espinelas gene-
radas mediante la unión de un monóxido y un sesquióxido,
atribúyensele á éste funciones ácidas y se las tiene por verda-
deros y especiales compuestos salinos, representándolas por
cualquiera de estas dos formas: O, M, ó bien O, M,. O M.
Conviene la primera cuando hay un solo metal, la segunda
corresponde con los procedimientos más elementales de su
sintesis, y aun podría haber una tercera, O, M,. M,, acaso
más general, porque M, puede ser igual ó diferente de M y
hay muchas espinelas con dos metales, que en todas lo
constante es el oxígeno y la estructura general de la molé-

.cula, pudiendo variar cuanto se quiera los metales, con tal

que sus relaciones atómicas permanezcan en los términos

-M, — M. Son, pues, moléculas muy flexibles, siquiera la re-

unión de sus elementos sólo pueda realizarse á temperatura
elevada, aun apelando al artificio de emplear algunos de
ellos en estado de vapor no disociable.

Labor copiosa y dilatada requirió la síntesis metódica del
grupo de las espinelas, cuya base y fundamento están en los
famosos trabajos de Ebelmen, realizados ya en 1848 con
intento de reproducir el aluminato de magnesio, calentando,
por mucho tiempo y á la elevada temperatura de los hornos
de porcelana, mezclas de alúmina y magnesia puras, con el
ácido bórico como fundente, y según los casos, una traza de
carbonato de calcio, de sesquióxido de cromo, de óxido de
cobalto ó de óxido de hierro, los tres últimos haciendo oficios
de materias colorantes, logrando de tal manera espinelas in-
coloras, rojas, azules ó negras. Desde los resultados del pri-
mer experimento se han ensayado muchos procedimientos de
sintesis de los cuerpos en que me ocupo, y numerosos alu-
minatos naturales han sido reproducidos en los trabajos bien
conocidos de Daubrée, Sainte-Claire Deville, Caron, Meu-
nier, Durocher, Debray, Degenhardt, Wohlfahart, Schulze,
Stelzner y tantos otros, cuyas investigaciones han consentido
reproducir los compuestos naturales de la forma O, M, y ade-

A

— 526 —

más formar combinaciones análogas, sumamente curiosas,
que son las espinelas artificiales cristalizadas, al igual de
las otras, en formas correspondientes al sistema cúbico, dis-
tinguiéndose por aquel carácter de otros óxidos salinos
semejantes en su composición, pero que cristalizan de dife-
rentes modos y no son, por lo mismo, verdaderas espinelas.

Concretando los experimentos practicados á determinadas
reacciones generadoras, he utilizado las que son fundamento
de los métodos de Daubrée y Meunier, á causa de la relativa
generalidad de su aplicación. Se parte del hecho de que un
cloruro volátil de la forma C/, M,, reaccionando en estado de
vapor sobre un exceso de óxido OM, (pudiendo ser M y M,
el mismo metal ó diferentes metales), á la temperatura del

rojo, se forma el compuesto en O, M, M,, y como producto-

secundario, el cloruro Cl, M,,
ls M, - 4 OM, —= O, M, Mo “ 3 Gi Mo,

pudiendo ser volátil este último cuerpo; y puede acontecer
que, teniendo acceso el aire, en algunos casos el cloruro se
descomponga al rojo en esta forma:

Cls Mo + O= OM. + Cl,

y actuar libre el cloro para descomponer la espinela á medi-
da que se constituye.

Muchos cuerpos así calificados se pueden obtener adop-
tando tal procedimiento, aplicable, muy en particular, á re-
producir el aluminato de magnesio A/, O, Mg, que es el
tipo y fundamento de la serie. En un tubo de porcelana se
calienta al rojo la magnesia pura y anhidra hasta la tempe-
ratura del rojo vivo, y entonces se hace pasar vapor de clo-
ruro de aluminio anhidro, que se obtiene calentándolo en
una retorta de vidrio colocada en el baño de arena, á poco
más de 200”; el producto resultante se trata por agua, que

— 527 —

disuelve el cloruro de magnesio, y queda una mezcla del ex-
ceso de magnesia y la espinela; el ácido clorhídrico disuelve
el primero, sobre todo hirviendo, y resta el aluminato, más
Ó menos puro, que, en los ensayos practicados, era una
especie de polvillo cristalino de color pardo, muy duro, y
precisaba examinarlo al microscopio para advertir sus for-
mas caracteristicas. Cuando en lugar de la magnesia se em-
plea el óxido de cinc, sólo Ó mezclado con ella, resulta for-
mado un aluminato cíncico, que tiene muchas analogías con
la ganhita natural, y es de la forma A/, O, Zn, y se com-
prende que, substituyendo los metales de los óxidos fijos y
los cloruros volátiles, ó empleando dos mezclados, se logren
compuestos de los tipos M, O, ST, siendo S y T metales
monovalentes; y [MN] O, Mo, 6 también [MN] O, . ST,
partiendo de un cloruro doble C/, [MN] y de uno ó dos mo-
nóxidos.

De que sea idéntica la estructura de las moléculas que in-
tervienen en las reacciones generadoras, aunque varíen los
elementos que las constituyen, proviene la generalidad del
método, cuya aplicación sistemática consiente reproducir im-
portantísimas especies minerales y obtener, además, otros
cuerpos muy singulares, lo cual significa que aquí, lo mismo
que tratándose de las substancias orgánicas, verdaderamente
el químico puede crear, valiéndose de ingeniosos artificios
experimentales, lo que ha de formar, al cabo, el objeto
mismo de sus investigaciones. Así se han preparado los alu-
minatos de calcio y de manganeso, por ejemplo, y acudien-
do al procedimiento directo de fundir sesquióxidos con mo-
nóxidos en gran exceso de ácido bórico, resultan los diferen-
tes cromitos Cr, O,M, los ferritos correspondientes Fe,O,M
y no pocos óxidos salinos como los de cobalto y cerio M,¿O,.

No es tan corto el camino; pero se llega á los mismos re-
sultados haciendo reaccionar vapor de agua sobre metales
que lo descompongan al rojo y, simultáneamente, vapor de
un cloruro metálico C/¿M,, sólo que en este caso la reacción

— 528 —

generadora de las espinelas se divide en dos períodos, siendo
el primero el de formación del monóxido:

M+H,0=MO>H»,

reacción limitada, porque es bien conocido y de antiguo el
método de obtener metales reduciendo sus óxidos por el
hidrógeno; por donde resulta posible la reacción inversa en
todos los casos. Accionando luego el cloruro, se producen
los mismos cambios del anterior procedimiento, sólo que en
éste hay varias causas perturbadoras de las metamorfosis
químicas; al ser simultáneas las influencias del vapor de agua
y del cloruro en vapor sobre el metal puro calentado al rojo,
como en la práctica experimental es imposible eliminar to-
talmente el primero antes de que entre el segundo en el tubo
de porcelana donde se efectúan las reacciones, alguna vez
se hallarán mezclados, y entonces el cloruro es descompues-
to, produciéndose sesquióxido y ácido clorhídrico:

Cl¿M, +3 H,0= 0,M, +6 CIH

y el ácido clorhídrico activo y en estado naciente actúa sobre
el metal ó su monóxido ya constituído, dando el correspon-
diente cloruro y agua ó hidrógeno, conforme sea el caso,
cambiando entonces los términos del sistema.

En presencia el cloruro, quizá parcialmente volatilizado y
siempre á temperatura muy elevada, del vapor de agua, se
realiza la transformación inversa, reproduciéndose sus gene-
radores el monóxido y el ácido clorhídrico. Y aparte de las
indicadas, todavía es menester contar las influencias del oxí-
geno atmosférico, si por acaso entra aire en el aparato; mas
al cabo de tantas metamorfosis, tenemos como verdaderos
generadores de las espinelas el monóxido fijo y en exceso,
producto quizá de una serie de cambios que empiezan en la
descomposición del vapor de agua por el metal, y el cloruro

— 529 —

volátil C/¿M, 6 el sesquióxido formado á sus expensas, lo
cual significa que la síntesis de los óxidos salinos simples ó
mixtos tiene bien marcado el carácter aditivo.

Obviar sus inconvenientes suprimiendo las reacciones se-
cundarias ó al menos evitando las perturbaciones inherentes
á ellas, no es cosa dificultosa. Tiene ventaja el empleo de tu-
bos de porcelana anchos (20 milímetros de diámetro interior)
colocando el metal á lo largo en láminas delgadas, cortadas
muy estrechas ó en alambres; conviene desde el principio
que por el tubo circule un gas inerte, el anhídrido carbónico
de preferencia, que el nitrógeno pudiera ser absorbido, y evi-
tar el acceso del aire; se debe calentar poco á poco y antes
de llegar al rojo dar entrada al vapor de agua recalentado á
300”; luego que ha actuado unos cuantos minutos, se pasa
por el interior del tubo anhídrido carbónico puro y seco, en
seguida viene el vapor del cloruro en corriente lenta, segui-
da de la de anhídrido carbónico, que es substituida por la de
vapor de agua, repitiendo cuantas veces sea menester, sin
que el metal desaparezca por completo. Como se ve, es
esencial eliminar, valiéndose de corrientes gaseosas, los
productos secundarios volátiles, haciendo imposible la rever-
sibilidad, siquiera parcial, de los fenómenos. Requiere el em-
pleo del cloruro anhidro de aluminio el purificarlo, dando la
preferencia al método de Weber, y usarlo, con todo, recién
sublimado: juzgo buena práctica el calentarlo, en retorta de
vidrio y baño de arena, bajo una capa de limaduras ó polvo
grueso de aluminio metálico bien desecado, de 2 centímetros
de espesor, para retener el ácido clorhídrico si lo contuvie-
ra; el operar con masas de cierta consideración y el precipi-
tar las operaciones conducen á resultados negativos.

Fueron notadas por varios investigadores ciertas particula-
ridades de la reacción general de los cloruros sobre los mo-
nóxidos, y en ellas se fundaron métodos apropiados á la sín-
tesis de algunas espinelas. Así, el aluminato de cinc no se
obtiene, por lo general, directamente, interviniendo el óxido

— 530 —

de este metal y vapor de cloruro de aluminio, sino que es
menester emplearlo mezclado con vapores de cloruro de cine
que reaccionan juntos sobre la magnesia calentada al rojo;
por donde resulta que con el aluminato de cinc es generado,
á modo de producto secundario, el de magnesio, tipo de las
espinelas naturales, á no ser que se efectúe otro género de
reacciones químicas.

Pertenece á distinta especie de ellas la que es generadora
del ferrito de magnesio Fe,O,Mg en el método de Sainte-
Claire Deville, porque aquí, actuando el ácido clorhídrico ga-
seoso puro y muy seco sobre la mezcla de sesquióxido de
hierro y óxido de magnesio, la reacción se produce en dos
fases, originándose en la primera el cloruro férrico:

O,Fe, + 6 CIH= Cl¿Fe, +3 H,O

que en estado naciente y excitadas sus actividades, ataca al
óxido de magnesio, como en el caso general. Distinta parece
la intervención de la cal viva, puesta al rojo vivo, en la for-
mación del ferrito de cinc, contorme á los experimentos de
Daubrée: basta hacer llegar á ella, mezclados ó separados,
pero al mismo tiempo, vapores de los correspondientes clo-
ruros de cinc y de hierro para lograr la espinela de que se
trata, cristalizada en menudísimos octaedros regulares de co-
lor negro, dotados de brillo. Al igual de estas variantes, se
podrían citar otras muchas, que demuestran la influencia de
los métodos en los productos obtenidos, aun partiendo de las
mismas reacciones generadoras; calentando mezclas de alú-
mina pura y óxido de cadmio al rojo muy vivo, y haciendo
pasar una corriente de gas clorhídrico muy puro y seco, no
se forma el aluminato correspondiente, y, en cambio, prodú-
cese si reaccionan, al rojo, por intermedio de la magnesia,
los vapores de cloruro de aluminio y cloruro de cadmio arras-
trados por lenta corriente de anhídrido carbónico, 6 también
si actúa el cloruro de aluminio en vapor, alternando con el

— 531 —

vapor de agua, sobre la mezcla de magnesia ó cal viva con
limaduras no finas Ó polvo grueso de cadmio metálico.

Gracias á los trabajos de Moissan y á los modernos expe-
rimentos de Dufau, todos los procedimientos de síntesis de
los aluminatos metálicos y compuestos afines se han simpli-
ficado grandemente, haciéndose directos y aditivos en todos
los casos. Redúcense á preparar las mezclas, en las propor-
ciones convenientes, de los óxidos O, M, y OM,, y calen-
tarlas sólo unos minutos en el horno eléctrico de arco, y re-
sultan constituidos los nuevos cuerpos, sin ni ngún género de
productos secundarios ni reacciones intermedias; los crista-
les suelen ser mayores y se puede operar con masas más
considerables de las primeras materias. :

Quizá sería factible complicar las moléculas O, M, M, de
los óxidos salinos comprendidos en los grupos de las espi-
nelas y sus congéneres, introduciendo un elemento que tiene
especiales afinidades para el aluminio, como es el silicio.
Con ánimo de conseguirlo, y empleando el sistema de Dau-
brée, hice pasar por un tubo de porcelana que contenía mag-
nesia calentada al rojo, vapor de cloruro de aluminio, alter-
nando con cloruro de silicio frio y arrastrado por corriente
lenta de anhídrido carbónico seco, y en repetidos ensayos,
variando las condiciones del experimento, nada he alcanzado
satisfactorio, logrando sólo perturbar, y á veces impedir, la
formación del aluminato de magnesio, del que únicamente
obtuve siempre cortas cantidades de polvo cristalino, de or-
dinario mezclado con alúmina confusamente cristalizada, y
que es constante producto secundario de las acciones del va-
por de cloruro de aluminio sobre el óxido de magnesio, en
particular operando á temperatura muy elevada y en presen-
cia de la cal viva, en cuyo caso, también puede ser generado
algo de aluminato de calcio. Debe cuidarse, cuando se aplica
el procedimiento de las acciones simultáneas del vapor de
agua y de los cloruros en vapor sobre los metales puros y en
la forma indicada antes, que la temperatura inicial no alcance

— 532 —

á la de fusión del metal, y que la descomposición del vapor
de agua sea lenta; porque, de esta manera, se deposita en la
superficie del mismo tenue película de óxido muy dividido,
con facilidad atacable por los vapores del cloruro. También
es buena precaución, operando con monóxidos que sean
algo volátiles, cubrirlos de una ligera capa de cal viva Ó
mezclarlos con la mitad de su peso del mismo óxido de cal-
cio, que parece retenerlos con gran energía.

XXII. — Principios fundamentales de la teoría de yec-
tores. — Critica de las acciones á distancias.

POr BLAS CABRERA FELIPE.

I. Fenómenos escalares, vectoriales y laminares. — Un
fenómeno físico consiste siempre en una deformación del
medio que nos envuelve, que afecta á una región finita Ó in-
definida del mismo, llamada campo del fenómeno. Dicha de-
formación puede ser idéntica en todos los puntos del campo,
y entonces bastará conocerla en uno de ellos, ó variable con
él, en cuya hipótesis es menester determinar la función ó
funciones de las coordenadas que definen su ley de varia-
ción. |

En general, estas funciones son continuas. Sin embargo, |
con frecuencia existen superficies de discontinuidad, al atra-
vesar las cuales el fenómeno experimenta variaciones brus-
cas. Estas superficies tienen una importancia incalculable,
pues sin ellas es difícil presumir el concepto que de la natu-
raleza formaríamos : baste observar que los límites de los
cuerpos son superficies de discontinuidad de una deforma-

— 533 —

ción especial del medio, caracterizadas por un conjunto de
fenómenos que nos denuncian nuestros sentidos. Conviene
advertir que existe una profunda diferencia entre estas su-
perficies de discontinuidad física y las que reciben igual
nombre en las ciencias matemáticas; pues, aunque nuestros
medios de observación no nos permitan la mayoría de las
veces distinguir gradación en el cambio de propiedades al
atravesar aquéllas, es casi seguro, y así lo comprueba la
experiencia más de una vez, que dicha gradación existe,
convirtiéndose las superficies que nos ocupan en regiones
de espesor muy pequeño, aunque finito, á través de las
cuales los fenómenos cambian rápidamente. Pero sea de esto
lo que quiera, en un primer análisis, hasta ahora único para
una infinidad de fenómenos, aquella identificación es admi-
sible y nos conduce á una primera aproximación de la ver-
dadera teoría del fenómeno estudiado. Lo que acabamos de
decir para las superficies de discontinuidad podemos exten-
derlo á las variaciones bruscas que en el tiempo experimen-
tan muchos fenómenos.

Lo mismo los fenómenos puramente locales, que consti-
tuyen una verdadera singularidad del medio, que los que se
extienden á una región finita ó indefinida, con ó sin super-
ficies de discontinuidad, podemos clasificarlos en tres gru-
pos esencialmente diferentes, adjetivados escalares, vecto-
ríales y tensoriales.

Corresponden al primero aquellos fenómenos para cuya
completa especificación basta fijar su intensidad ó valor res-
pecto de otro de su misma especie que se elige por tipo: tal
ocurre, por ejemplo, con la temperatura y la densidad. Esta
comparación se ejecuta siempre mediante una escala, más ó
menos arbitraria, que hace corresponder á cada intensidad
un número bien determinado, que define sin ambigiiedad el
fenómeno: estos fenómenos son, pues, de la naturaleza de
las magnitudes aritméticas. Cuando decimos, en efecto, que
la temperatura en un punto de una masa flúida es de 5” cen-

Aga 7 IA
?

tígrados Ó su densidad relativa 3, nada queda por conocer
respecto á la deformación del medio, que se manifiesta á
nuestros sentidos por el conjunto de impresiones sintetiza-
das por aquellos nombres. Basta, por tanto, fijar la escala y

poseer medios que nos permitan efectuar la comparación,

para conocer el fenómeno en toda su integridad : entiéndase
bien; el caso concreto en cuestión. De aquí el nombre de fe-
nómenos escalares.

Consideremos ahora un sistema en movimiento, como una
masa flúida agitada, y digamos que el valor numérico de
la velocidad en un punto es v: el estado del medio, ¿queda
con ello definido? Evidentemente, no; existen infinitos esta-
dos que corresponden á aquel valor numérico v, porque la
velocidad puede tener una infinidad de direcciones diferen-
tes. No basta fijar una escala de intensidades para represen-
tar el fenómeno concreto; es necesario conocer también la
dirección y el sentido en que se produce. En una palabra:
el símbolo adecuado de los fenómenos de este género, no es
ya la magnitud aritmética sino la magnitud geométrica, do-
tada de dirección, sentido y valor numérico, conocida con el
nombre de vector. De aquí el nombre de fenómenos vecto-
riales. Conviene observar que, en este caso, la discontinui-
dad puede referirse ya al valor numérico del vector, ya á su
dirección; de suerte que, si al pasar de un punto á otro infi-
nitamente próximo, el vector forma un ángulo finito con su
posición anterior, será discontinuo en aquel punto, siquiera
su valor numérico difiera infinitamente poco.

Los fenómenos vectoriales se subdividen en dos grupos
bien caracterizados; un movimiento de traslación y una ro-
tación, una fuerza y un par, un campo eléctrico y uno mag-
nético están siempre representados por un vector; pero las
propiedades que definen pertenecen á órdenes irreductibles.
La fuerza y el campo eléctrico pueden esquematizarse por
una traslación; un par y un campo magnético, por una rota-
ción; pero la asimilación de estos dos órdenes de fenómenos

— 535 —

no es nunca posible: los primeros se llaman polares ó lami-
nares; los segundos, áxicos ó solenoidales. Conviene obser-
var que estas dos clases de vectores son los únicos que pue-
den existir; la Mecánica nos enseña que el movimiento más
general de un sólido invariable es el movimiento helizoidal,
ó sea el de un tornillo en su tuerca, superposición de una
traslación y una rotación simultánea, cuyo eje coincide con
la dirección de aquélla, ó sea el de un fenómeno laminar y
otro solenoidal. Esta descomposición de una magnitud vec-
torial en dos partes, demostraremos más adelante que es un
hecho general.

Aun existe otro orden de fenómenos que no es en justicia
asimilable á los escalares ni á los vectoriales, siquiera su di-
ferencia de éstos no aparezca tan evidente como la que exis-
te entre los primeros. Sometiendo un cuerpo á una tensión,
á una presión ó á una torsión, su estructura se deforma,
presentando una dirección privilegiada; pero sin que sea
dable distinguir uno de los sentidos de su opuesto. Tomemos
una esfera elástica perfectamente homogénea y sometámosla
en los extremos de un diámetro á una presión; este diámetro
será una dirección privilegiada de la esfera; pero no existirá
ningún carácter que nos permita distinguir sus dos polos, y
por ende, no nos podremos dar cuenta de una inversión de
los mismos ejecutada fuera de nuestra presencia. Estas de-
formaciones, cuya consideración como magnitudes simples
es debida á W. Voigt (*), se denominan tensoriales, y que-
dan totalmente determinadas por una recta de longitud igual
á la intensidad ó valor numérico del fenómeno, de la misma
dirección que éste, pero sin sentido fijo.

2. Vectores: suma y resta. — Basta lo dicho para com-
prender la importancia que para la Física tiene el estudio de-

(*) W. Voigt: Rapp. présentés au Cong. Inter. de Physique, t. 1,
pág. 280.
— Fisica Cristallografica, trad. italiana de A. Sella.

Rry, Acap. Ciencras.—IV.—Mayo, 1906, 37

— 536 —

-

tallado de las diferentes clases de magnitudes, por las cua-
les se esquematizan los distintos órdenes de fenómenos que
integran su objeto. Dejando á un lado el estudio de las
magnitudes escalares y tensores, emprenderemos el de los
vectores.

Un vector es una magnitud dotada de dirección, sentido y
valor numérico. Gráficamente puede representársele por una
recta cuya longitud es igual al valor numérico 6 módulo del
vector; su dirección en el espacio, la misma que la de aquél,
y sobre la cual se distingue con una flecha el sentido del
mismo. Analíticamente le representaremos por una letra con
una horizontal encima, a«, y á su módulo ó valor numérico,
por la misma letra sin raya, o.

El conjunto de la dirección y sentido de un vector se llama
su argumento, y le designaremos por «,, cuya representación
eráfica es la unidad de longitud sobre el vector z. |

En las representaciones gráficas, el origen del vector se
coloca siempre en el punto del diagrama representativo del
campo donde se produce el fenómeno á que se refiere.

Si en un mismo punto del espacio se determina la produc-
ción simultánea de varios fenómenos vectoriales de idéntica
naturaleza, es evidente que un observador no percibirá sino
un fenómeno único, de la misma naturaleza que los anterio-
res, pero cuyo argumento y módulo difiere de aquéllos. Este
vector está ligado á los primeros por la regla siguiente:

Sean los fenómenos representados por los vectores a, f,
que se producen simultáneamente en el punto O. Por
la extremidad de uno cualquiera de ellos, «, tracemos una
paralela á otro, ¿, de igual longitud, y por la extremidad
de esta última [”, otra á un tercero, y, y así sucesivamente.
El vector 5, de origen 0 y cuya extremidad coincide con la
de la línea poligonal trazada, representa el fenómeno re-
sultante.

Esta regla es general, y el vector 3, independiente del or-

A

den en que se hayan tomado los vectores a, %,.....

— 537 —

La operación indicada se denomina suma de vectores, y
se le representa analíticamente por la igualdad

=a4 + BEY Es

Esta regla, que es una generalización de la composición
de movimientos en cinemática, no conduce á ninguna con-
tradicción, y es, por consiguiente, verdadera por definición.

La suma de vectores nos permite determinar el fenómeno
que resulta de la superposición de otros varios. En algún
caso conviene determinar á qué queda reducido un fenóme-
no resultante cuando se suprime uno de los que han contri-
buído á engendrarle: la operación que resuelve este proble-
ma es la resta. Para lograrlo observemos que si superpone-
mos al vector resultante en cuestión, y, otro de la misma
dirección y módulo, pero de sentido opuesto al que queremos
restarle, «, la suma de ambos es el vector que representa el
nuevo fenómeno. En efecto: substituyendo al vector ¿ el con-
junto z, B, Y ..... de los que le integran, el problema se re-
duce á determinar la suma 2 + E 4 Y +... — 4; y como
esta operación puede ejecutarse en un orden cualquiera, po-
demos comenzar trazando por el extremo de « una paralela
igual á — x, que nos vuelve al punto 0; de suerte que dicha
suma es idéntica á la B + y —+....., según queríamos de-
mostrar.

- Con el fin de determinar la posición de un vector en el
espacio sin necesidad de pintarle, se le suele considerar como
la suma de otros tres tomados en direcciones fijas y rectan-
gulares, que se denominan ejes coordenados. Estos tres ejes
se designan por X, Y, Z, y se les sitúa de tal forma, que un
tirabuzón, cuyo eje coincide con el Z, gira de X á Y al avan-
zar en el sentido Z. Los tres vectores en que se descompone
el dado 'z se denominan sus componentes, y se designan
POr zx, 2y, az. Si A, y, y son los cosenos directores del vec-

tor a, los módulos de los componentes estarán ligados al
módulo de z, por las relaciones

ul so de =V a.? 2 2
A =4k, Uy =p, 0¿=aY, a=Va, + ay? + ag»

3. Producto escalar y producto vector. — Comencemos
observando que, si sumamos varios vectores de idéntico ar-
gumento, el módulo de la suma será la suma aritmética de
los módulos de los sumandos, con el mismo argumento que
éstos; de suerte que, si todos los sumandos son iguales, el
módulo será el producto del número de sumandos por su
módulo común. Luego, para multiplicar un vector por una
cantidad escalar, basta multiplicar por esta cantidad el mó-
dulo del vector, conservando inalterable el argumento: así,
un vector « puede escribirse también « - 2,.

Aplicando este principio á los ejes coordenados, desig-
nando por xo, Yo, zo (*) sus argumentos correspondientes,
evidentemente

Ux =UxXo> Uy =UyYo,
de donde, descomponiendo z,
a = x + %y + ¿== Mz Xy + Uy Yo + Qz Zo,

notación esta última que tiene importancia cuando conside-
remos más de un vector.

Esto dicho, veamos cómo se efectúa el producto de dos
vectores. La única condición que á priori ha de satisfacer
este producto, es identificarse con la operación algebraica
cuando la noción de dirección desaparece; esto es, cuando

(*) De ordinario estos segmentos se representan por i, j, k; pero '
la notación que proponemos nos parece más clara.

— 539 —

los vectores que se multiplican tienen este elemento común,
puesto que, en dicho supuesto, únicamente habría que ope-
rar con los números que representan sus módulos, afectados
de un signo que venga á caracterizarnos su sentido. Además,
el resultado de la operación, para este caso particular, carece
también de dirección caracteristica; ó, dicho de otra forma,
es una magnitud escalar.

En efecto: si fuese un vector, por razón de simetría habría
de confundirse con la dirección común á ambos factores,
Pero imaginemos que tienen sentidos contrarios, y sean

=>

ad api

donde u, + fo. =0, y por tanto, las igualdades anteriores
podemos escribirlas bajo una de las formas

A Po A
ó también

a=— a. Po, OE:

efectuando el producto de ambos grupos

a. B=—aB-m. x2<-Pp=-—af8- Bo”

que para ser compatibles exigen que a. = 2. = l.
Podemos concluir de aquí, que el cuadrado del argumento
de un vector es igual á la unidad escalar, y por ende,
(1) AS > e

Sean ahora dos vectores cualesquiera:

A = UxXo + Ay Yo + Uz Zo,

p= Bus, + By Yo e Bz 20

y ejecutemos su producto:

(2) ap = Urdx + Ay dy + a7,Bz +
e” Yo Ax y + Yo Te Ay Py + Xo Zo Ax Pz + .
q 3 Xo Aza +) Zo yz + 20 Yo 2 Py.
Los términos que figuran en la primera línea, si tenemos

en cuenta la expresión analítica de los componentes de un
vector, darán lugar á la ecuación

arP, + Ay PB + a, = ab cost,

siendo 0 el ángulo entre x y E; luego si 4 = O, dichos térmi-
nos se reducen al producto de los módulos, que es precisa-
mente el valor u y en dicho caso particular, según hemos
visto, Resulta, pues, que los términos de segunda línea de-
ben anularse cuando 6 = 0; y, por tanto, la expresión analí-
tica de los mismos es una función de sen 0. Ahora bien:

a. $ send =VYar8? — (a,8, + 0,8, + 2,82)? ma

Vb. — a7 Py)? + (22Bx — Ax Pz)? + (2:P, — 2 y80)?

representa el módulo de un vector normal á los x y E, cuyas $
componentes, según los ejes, son (2,8,—2¿By), (428x — 4:B2), 3 ,
(2,8, — 2y8x); de suerte que podemos escribir " <

(2) apsend= xo (0,8, — 22By) + Yo(U2Bx — aby) +
+ Zo (2; By 7 Ly Bx).

Er,

Identificando esta igualdad con la segunda y tercera líneas 3
de la (2) resulta

(3) Xo Yo = — Yo o — Zo
Yo 20 = — %o Yo — *o
Zo Xo = — *Xo %o Yo

Si estas ecuaciones de condición entre las “xo, yo, zo SON
compatibles con las (1), el vector que acabamos de definir
deberá reemplazar á los términos que discutimos en (1); pero
en el caso contrario hemos de suponer que

(4) A E E

Para elegir en esta disyuntiva, multipliquemos por “x, el
primero y último miembro de la igualdad primera de (3), por
ejemplo,

que conduce, en virtud de las ecuaciones (1) y (3), á la igual-
dad inadmisible

a E

Luego el producto « queda reducido á la primera línea
de (2), y es una magnitud esencialmente escalar; de aquí que
se le designe con el nombre de producto escalar. Ejemplos
múltiples de este algoritmo se encuentran en las ciencias físi-
cas, y para no citar sino el más sencillo, recordemos que
ésta es la expresión del trabajo ejecutado por una fuerza que
hace un ángulo $ con su trayectoria.

Pero si analizamos lo hecho anteriormente, salta á la vista
que ha sido admitir por definición que x,, y, z, satisfacen á
las condiciones (1) y (4). Nada se opone ahora, ni conduce
á ninguna contradicción, á admitir que en lugar de estas con-
diciones x,, yo, z, Satisfacen á las (3) y

Xo? = Yo? = Zo? = 0;

— 542 —

en cuyo caso, el producto « E será el vector (2). Para dis-
tinguirle del anterior le designaremos en lo sucesivo por [x + fl.

De acuerdo con el sistema (1), este producto cambia de
signo cuando se invierte el orden de los factores. El sentido
del vector producto quedará, por ende, perfectamente defini-
do cuando se nos da el orden de los factores, por una sim-
ple convención: le supondremos dirigido de suerte que, para
pasar el primer factor al segundo, haya que girar sobre el
producto en el sentido contrario de las agujas de un reloj;
Ó también podremos decir, parodiando á Malwell, que un ti-
rabuzón ó un tornillo cuyo eje coincida con la dirección del
mismo, avanzará en el sentido positivo cuando el puño ó
cabeza gire del primer vector al segundo. Para distinguirle
del anterior le llamaremos producto vector : ejemplo de este
producto es el momento de una fuerza.

El producto vector se conduce siempre como un vector en
toda serie de operaciones en que figure, mientras que el pro-
ducto escalar será siempre una magnitud de este último gé-
nero: así, el producto de un vector y por un producto esca-
lar a £, es un vector del mismo argumento que aquél y mó-
dulo «fycos6; 6, dicho de otra manera: equivale al producto
de una escalar por un vector; el producto de un vector por
un producto vector puede ser escalar ó vectorial. En este úl-
timo caso es interesante, al propio tiempo que sencillo, de-
mostrar que

Iy-|a-F1|=26-p—FG-Y,

proposición que tiene muchas aplicaciones; por ejemplo, al
caso de la acción entre dos elementos de corriente.

4. Divergencia de un vector. Teoremas de Gauss y Green.
Flujo de un vector. — Hasta aquí hemos considerado un vec-
tor como una magnitud perfectamente constante y referida á
un cierto punto del espacio. Ahora bien: esta magnitud re-
presenta siempre un fenómeno físico que puede no perma-

— 543 —

necer constante en todos los puntos del espacio: luego, en
general, un vector será una función de las coordenadas del
punto, perfectamente definido si conocemos las relaciones
que ligan sus componentes con estas coordenadas. Sean .

dl ZA) y (y, 2),

estas definiciones, que supondremos continuas, y que admi-
ten primeras derivadas en todos los puntos de una región
conexa limitada por una ó varias superficies.

Tomando un cilindro elemental, cuyo eje es paralelo al de
las x, dicho cilindro cortará á las referidas superficies un nú-
mero par de veces, en puntos cuya coordenada x designare-
MOS: OL Xi or ga ines Lan EMOS PUNTOS Xy, Aeopeiads sas: mb
el cilindro en cuestión penetrará en la región preindicada, y
MIOS XX naa X» n Saldrá de ella. Esto dicho, es evidente

da
FIf Z dxdydz
u e. OX

que la expresión
puede integrarse respecto á x entre los límites x, — X»
O AN Xoón—1 — Xan, de forma que

, |
395 a axdydz Y | «dy dz E [fonas
¿ Xx

si llamamos 4 el coseno de la normal exterior á un elemento
superficial ds con el eje x. De igual manera, si p. y y son los
otros dos cosenos directores de dicha normal,

NOS 94 y dxdydz = ff asias

oy

(NS dxdydz = [feas
. 92

E da

Sumando estas tres expresiones,

/ Ax da da, %
SIN 9x Bn > + Jar ff ata + aos,

La segunda integral se extiende á toda la superficie que
limita el volumen considerado, aunque esta superficie conste
de porciones separadas, en cuyo caso dicha integral es la
suma de tantas como superficies existan: así, suponiendo
que éstas fueran dos, S y «,

Ah Mendo Pas
9X dy 92
= f fa + ay + 224) ds +f (qa Ej y po av) do,

También debemos hacer notar que, si en lugar de la nor-
mal exterior al volumen, tomamos la interior, las integrales
superficiales cambian de signo, puesto que lo hacen todos
los cosenos.

El elemento diferencial de la integral de volumen

[E a

9Xx oy 92

se denomina divergencia del vector z, y se le suele designar
por Div. z. La forma es análoga á la del producto escalar de
dos vectores, haciendo desempeñar las funciones de compo-

: 7 O :
nentes de un vector á los operadores —, , —= asi
IX 9y 92

Div. a = a )a. a (57) ay, + (52) Es
9x ox 9z

— 545 —

Este operador vectorial se le suele designar por y (nabla), de
forma que

Div. % = Yxéx + Vy%y + V2z%z.

El de la integral superficial (2,1 + 2,p + 2,v), proyección
del vector y sobre la normal á la superficie, se representa
por 27, Ó an, Según que se haya elegido la normal exterior
Ó la interior, y su producto por el elemento de superfi-
cie an, ds, se llama flujo elemental saliente ó entrante, res-
pectivamente. Dadas estas notaciones y denominaciones, la
igualdad anterior se puede escribir y enunciar en la forma
siguiente:

38 q $ Div. adv = f di En, ds = Ub Za, ds

la integral de la divergencia de un vector 4 en un volumen
V, es igual al flujo total saliente del mismo vector ó á menos
el flujo total entrante.

Esta igualdad es un caso particular de otra más general,
que se obtiene substituyendo, en lugar de a,, a,, a,, las can-
tidades pa,, 9%,, 0%,, donde y es una función continua de
Xx, Y, 2, que admite derivadas finitas en el volumen V. En
este caso se tiene evidentemente

[f +0 + ayy + a,v)ds —
1 A ES A
ls
SS e

2
IX 9y 90Z

— 546 —

y si suponemos además que 2, a,, a, satisfacen á las rela-
ciones

o Jetta pff
9Ne
SES do eat)
9X oy dy 02 0Z

escribiendo, por abreviar, que

La fórmula (a) fué deducida por Green y lleva su nombre.
Recapitulando lo dicho, las condiciones á que han de satis-
facer las funciones + y +, para que entre ellas pueda esta-
blecerse la relación que expresa dicha fórmula, son:

1.2 Ambas han de ser continuas y admitir derivadas fini-
tas, con relación á x, y, z, en el interior del volumen V. Si
existiese en el interior de este volumen alguna superficie de
discontinuidad, podremos considerarla como el caso límite
de una superficie S” que envuelve un volumen V”, cuando
este volumen V” se anula, sin anularse S”; de suerte que, la
integral de superficie que figura en aquella fórmula, debe ex-
tenderse á las dos caras de la superficie de discontinuidad.

90 al oy 3d

9x" dy” az
z en el interior de V admitiendo segundas derivadas

—= son también funciones continuas de x, y,

tambien finitas.

— 547 —

Si + cumple también con esta condición, por simetría po-
dremos escribir

(a) e

7 E 90 20d 36
= E dv,
ay oy IZ 92

y restando una de otra, ambas expresiones (a) y (a”)

9d
MN
. Ne me

nueva forma del teorema de Green. Tiene mucha importan-

: pp 4 ¡ld
cia en Física el caso particular en que d = —, siendo r la
r

distancia del elemento de volumen considerado á un punto
fijo P. En este caso, puesto que se observa fácilmente que

921 AL 99
Íñ La
NE==— 0
r 2x? dy? 92?

la fórmula (b) se convertirá en

a

Puesto que Az es finita en todos los puntos del espacio,
la integral de volumen es absolutamente convergente, no

obstante contener el elemento diferencial LES infinitamente
r

grande en el punto P.
Esta fórmula nos permite determinar el valor de ¿, en el

BS

punto P. Con este fin tracemos, con centro en P, una esfe-
ra 9 de radio muy pequeño, y consideremos el volumen pri-
mitivo V como el límite hacia el cual tiende ei V”, limitado
por S y s, cuando s tiende hacia cero. La integral anterior
para el volumen V” será

FS — a: a io di—
3 Y Qe yr a

a 1

Ep

a

pero si du es el área limitada sobre la esfera de radio 1, por
el cono de centro en P y que limita á du; ó sea: si du es el
ángulo sólido del cono en cuestión, la Geometría nos enseña
que ds = 1?du; de suerte que

sá E
o Fr Me
1
q 3
r o
En segundo lugar, = -- — ——; y como la normal
ne RR
exterior á V' en s es lo mismo que la normal interior á la es-
1
1
fera s, dr = — dn'. y — = 1; de suerte que —— =—.
Me NR
Luego
¿1

¿ da | [ado = qe An parar =0,
le]

Substituyendo estos valores arriba y pasando al límite

— 549 —

SJ E sn
sd

y si ¿ para todos los puntos del espacio satisface á la rela-
ción Ag = 0, en cuyo caso se dice que es harmónica,

ida is 3. eS o e

Otro caso particular interesante de la fórmula de Green
es aquel en que y = y, de donde

(a) A + E as f Fraga
e

5. Teorema de Stokes: vórtice de un vector. — En el cam-
po de un vector «, continuo y que admite primeras deriva-
das, tracemos una línea cualquiera y supongamos esta línea
recorrida en un cierto sentido que supondremos positivo:
cada uno de sus elementos de longitud, tiene evidentemente
los caracteres de un vector, 4/, cuyas componentes serán las
variaciones dx, dy, dz, experimentadas por las coordenadas,
al pasar de la extremidad inicial de 1 á la final. La integral
del producto escalar de a y 47, á lo largo del segmento /, — lo,

l, l,
al sxdx pay dy tos dx— || a Al,
lo Y lo

a = proyección de « sobre dí

— 550. —

recibe el nombre de integral lineal de « á lo largo del seg-
mento en cuestión.

Imaginemos que /, se confunde con /,, esto es, que la lí-
nea forma un contorno cerrado, y vamos á transformar esta
integral lineal en otra de superficie, Ó sea en el flujo de un
nuevo vector íntimamente ligado al y. Para ello hagamos
pasar por dicho contorno una superficie cualquiera, y consi- '
deremos como positiva la cara de la misma que mira hacia
la región del espacio, desde la cual se ve el contorno reco-
rrido en el sentido contrario de las agujas de un reloj.

Tomando dos puntos /, y 1, en el contorno se tendrá, en
el segmento /, 21,

l
= 1, az dx + ay dy + 9¿dz, (1)
lo
yenel/ Il
l,
rf ix AX $] ay dy + 2¿d2,
lo

de suerte, que la integral total á lo largo del contorno,
será I — I.

Introduzcamos en (1) una variable auxiliar, que puede ser
la longitud de la curva, de suerte que

dy dy dz
Es ; dl.
e: Ao alas y

Puesto que es función de las coordenadas, / cambiará
en general con la curva á lo largo de la cual se ejecuta la
integración entre /, y l,. Para un cambio infinitesimal de
esta linea, la variación de / será

ma
(5)
Y
o
—
E
A AR,
[aP]
a
pad
|
y pu
a
pa
o

— 551 —

Recordando que 0 dx d(1x)

dl Al é integrando por par-

tes los términos de la forma 2, mn

cuyos términos integrados, [%; Sx),, son nulos por serlo

0x,0y,0z, en los puntos /, /,, puesto que los elementos d/
= enestos dos puntos no cambian de lugar durante la defor-
E mación de la curva. Substituyendo estos términos en la in-
| tegral (2), y teniendo en cuenta que

da da
0%, = — 5x + dy + 82,
92X 9y 22

94y

se obtiene en definitiva para 0/ la expresión

lL/ da da ds A
UE —= dx + E 5y + 02) dx +
l 9X oy 9Z

ho)

— y) dy +
oz

lo) 9%
e

IX 9y IZ

L PJ] da, pe
al y e a
9X 9y 92

Rrv. Aca. Ciencias. —IV.—Mayo, 1906, 38

— 552 —

(E Y E los 17 MIS o 02)mz=
3y

9X

ls 2 Po)
= | oye o [IN
e oy 0Z

+ (0zdx-- oxd2) | qa E

9z ox
ro) o

E (xdy Aya) ae E
oX 9y

El paréntesis (8ydz — 5z dy) representa, según es sabido,
el área del paralelogramo trazado en el plano yz, cuyos la-
dos tienen por proyecciones sobre estos ejes 0y, 8z, y dy,
dz, respectivamente, ó sea de la proyección del área barrida
en el espacio por el elemento de curva d4/, durante la defor-
mación de ésta.

Llamando ds este elemento superficial, se tendrá, pues,

eydz —ozdy =dscos(nx)
ozdx —óxdz = ds cos(ny)

oxdy —iydx =dscos(nz),

y, por consecuencia, 6/ tomará la forma

mL Mo o? e cos(nx) +

+ A 3) eos(ny) tos

9Z

ee cos(nz) Js.

ox

Continuemos esta deformación de la curva sobre la super-
ficie, hasta que llegue á confundirse con /, £' !,; la variación
total que experimenta / será,

— 553 —

LU j *PT/ 9 dy
a ul= 127 =| ( L—- »)eos(nx) +
L, 11, 4 oy oz

> y ;

2Z Ox 9X o

0)

El primer miembro de esta igualdad es la integral lineal
sobre el contorno considerado, según decíamos más arriba,
y el segundo, una integral de superficie que representa el
flujo, á través de ella, de un vector cuyos componentes están
definidos por

La 92y 92, DA,
(3) Ay E ) En 10 A, A A
oy IZ 9z IX
97, Az
A, = CEL ,
p 9x oy

con lo cual queda conseguido nuestro objeto.

El vector A se denomina curl, vórtice 6 torbellino de z, y
se le designa por vorf. «.

Derivando la primera de las ecuaciones (3) con relación
á x, la segunda con relación á y y la tercera respecto á z, y
sumando, se obtiene

iva 0,

o condición á que ha de satisfacer un vector A, para que su
fiujo á través de una superficie, pueda reemplazarse por una
integral de línea, según el contorno. Directamente se com-
prende la necesidad de esta condición; en efecto, al substituir
el flujo por la integral de línea, la superficie desaparece; ó,
lo que es lo mismo: para toda superficie que pasa por dicho
contorno, el flujo debe permanecer el mismo. Tomemos, pues,

(*) Esta elegante demostración del teorema de Stokes, es debida
á A. G. Webster.

AOS
ms dai
y K

— 554 —

dos de éstas: la diferencia de los dos flujos correspondientes
debe ser nula; pero esta diferencia es la divergencia del vec-
tor (8 4); luego div. 4 = 0.

El vórtice de x tiene la forma del producto vector del ope-
rador y por z.

6. Vector laminar: potencial escalar. —Si las componen-
tes de A se anulan al mismo tiempo; esto es, si

su flujo será nulo, y por ende, también la integral lineal de z.
Un vector que cumple con estas condiciones se llama lami-
nar; le designaremos siempre por caracteres latinos mi-
núsculos. >

Ahora bien: las condiciones anteriores son las necesarias
y suficientes para que

azdx + aydy + azdz

sea la diferencial exacta de una cierta función escalar — V de
Xx, y, 2, que se denomina potencial escalar del vector a, mien-
tras que este vector se llama gradiente de V. Podemos, pues,
escribir

axdx + aydy + a¿dz =— dv;
de donde,

(1) UF

l,
di Ñ axdx + aydy + a, dz = —
e l

hu 3 Po) Q
Aa * ES v dx +4 ps dy =- LA dz — V, —S 1:
* l, 5 o X oy ,

e

— 555 —

Resulta, pues, de aquí que la integral lineal de un vector
laminar, á lo largo de una línea no cerrada, depende exclu-
sivamente de la posición de sus extremidades y tiene el mis-
mo valor, cualquiera que sea su forma.

Esta proposición es una consecuencia inmediata de la anu-
lación de la integral lineal sobre un contorno cerrado, pues
tomando sobre él dos puntos y llamando / é /” sus valo-
res, pasando desde el uno al otro por los dos brazos del
contorno, /— 1" =0 6 [=T[', según queríamos demostrar.

La función V define sin ambigiedad á su gradiante a,
mientras que el vecter a, en virtud de las ecuaciones (1), no
define á su potencial escalar V sino con una constante de
aproximación. Aparece de aquí con toda evidencia que,
siempre que en un cierto orden de fenómenos, de la natura-
leza de un vector laminar, sea directamente abordable la fun-
ción V, debe constituir el objeto principal de estudio del
mismo. Pero, desgraciadamente, no es este el caso más ge-
neral, sino que la función V suele aparecer como una mera
expresión analítica ligada al vector z.

En este caso, lo único que puede ser objeto de medidas
experimentales son las diferencias del potencial escalar entre
dos puntos, y podemos por ende dar un valor arbitrario á V
para un punto determinado, que se denomina punto de ori-
gen, asignándosele generalmente el valor 0.

En toda región del espacio donde « = 0, evidentemente
V = const. por las ecuaciones (1).

7. Superficies equipotenciales y lineas de flujo: represen-
tación del campo con su auxilio. —En general, V es una fun-
ción continua de las coordenadas; de suerte que, si la igua-
lamos á una constante C, la ecuación

V(xyz)==C,

representa una superficie cuyos puntos tienen todos el mis-
mo potencial escalar.

A E)

— 556 —

Estas superficies se denominan equipotenciales 6 de nivel,
y la integral lineal del vector sobre una curva, cuyos extre-
mos se encuentran en ella, es nula: en particular si la curva
está toda ella sobre la superficie, el elemento diferencial

a,dx + aydy + a¿dz = 0,

constantemente. Pero dicho elemento diferencial es la pro-
yección de « sobre 47, y la proposición anterior es verdade-
ra, sea cual fuere la curva trazada sobre la superficie en
cuestión; luego la proyección de y sobre una superficie equi-
potencial es nula, ó, lo que es lo mismo, el vector « es nor-
mal á la superficie de nivel que pasa por su origen. Si, por
ende, trazamos las trayectorias ortogonales del sistema de
las superficies equipotenciales del campo del vector «, estas
líneas serán envolventes de '«, por lo cual reciben el nombre
de líneas de flujo.

Tomando la línea integral de « sobre una línea de flujo,
este vector se confunde, en virtud de lo que acabamos de
decir, con su proyección sobre ella, y por ende, el elemento
diferencial será

al a lA ;

Eligiendo para d V la diferencia de potencial constante en-
tre las superficies de nivel infinitamente próximas Cy C+-4C,
la igualdad anterior nos dice que, en cada punto del espacio,
el vector « es inversamente proporcional á la distancia que
separa á la superficie equipotencial, que pasa por su origen,
de otra infinitamente próxima.

De aquí deriva la posibilidad de representar gráficamente
el campo de un vector, dibujando las superficies equipoten-
ciales que corresponden á valores de C en progresión aritmé-
tica. En efecto: dicho vector quedará representado en direc-
ción, por la normal á las superficies, y en magnitud, por las

A
ú E di

<=" -——— > SS

— 537 —

distancias que entre ellas existen; de forma que allí donde
éstas estén muy próximas, el campo es muy intenso, mien-
tras que donde se encuentren espaciadas, el campo es débil.
Realmente, la utilidad de esta representación se encuentra
de tal forma restringida por las dificultades del dibujo, que
únicamente es práctica en el caso en que las superficies son
de revolución sobre un mismo eje, ó cilíndricas: en el primer
caso se representará la sección meridiana del campo, y en el
segundo, una sección normal.

8. Representación de un vector laminar por una acción á
distancia (*). — Consideremos una región del espacio donde
existe el campo de un vector laminar x, limitada por una su-
perficie S de discontinuidad, fuera de la cual “ =0, y por
ende, V= const. Esta superficie será equipotencial. Supon-
dremos, además, en el interior de S otras superficies de dis-
continuidad de zx, S”, pero no de nivel. :

Si determinamos el valor de Ven todos los puntos interio-
res á S, z quedará perfectamente definido. Ahora bien: V es
una función continua que admite primeras derivadas también
continuas, y segundas derivadas finitas; luego, en virtud de
una de las consecuencias del teorema de Green, el valor de V
en un punto P estará dado por

9
AV Pava + | A E
r J) Js+4s Me
pd
p

— v ds.
: de "BM

(*) Las importantísimas proposiciones demostradas en este párra-
fo y en el 10, son parte de un teorema más general, que enunciare-
mos más adelante, debido á Vaschy. Pero la demostración que de él
ha dado su autor, aunque absolutamente rigurosa, se nos figura más
complicada y artificiosa que la que proponemos en estos párrafos.

— 558 —

Fijando nuestra atención en la segunda integral de super-
ficie, distinguiremos el caso en que se refiere á las superficies
de discontinuidad S” de aquel en que se refiere á la super-
ficie límite S, En el primer caso, recordemos que la integral
se extiende á ambas caras de S”, de donde, agrupando los
elementos correspondientes de cada cara, es evidente que

o

V
q

ds serán e eialds y de signos contrarios, y

dee

En el segundo caso, observemos que la superficie que li-
mita la región estudiada, puede componerse de varias por-
ciones independientes; una de ellas puede envolver la región
completa exteriormente, y la designaremos por S,, y las res-
tantes, que llamaremos S,, envuelven ciertos espacios inte-
riores á la región. Es evidente que, no sólo las S,, sino tam-
bién la S, pueden faltar. Puesto que V es constante sobre
todas estas superficies, aunque sus valores sean distintos
para cada una, tendremos:

ff
a me

porque siendo S, cerrada y P exterior á ella, el ángulo sóli-

E

do $ e. cos(rn¿)ds, bajo el cual se le ve, es nulo.
Í

Puy

— 559 —

Para la S,, si existe,

¿XL
F 1
9) V, ds Vf | 7 cos(rm) == 47 Va
Si Ne SR

Luego substituyendo arriba

(0) a
o RCA q

ó teniendo en cuenta que

es oV pe pe
— AV=Div. a y li
Neo

rv as

que nos da la diferencia entre el potencial de P y el cons-
tante V,. Tomando las derivadas de esta igualdad con rela-
ción á las coordenadas de P (xo Yo 20), teniendo en cuenta
que Div. a y an, no se refieren á este punto; multiplicando

respectivamente por cos(rx), cos(ry), cos(rz), y sumando

Div. a se An; A
AO ON Y E

Si suponemos una distribución de cierta materia en el es-
pacio, capaz de ejercer á distancia una acción, proporcional
á la masa que llena cada elemento de volumen ó recubre un
elemento superficial, é inversamente proporcional al cua-
drado de la distancia, acción que designaremos con el nom-

— 560 —

bre de newtoniana, y admitimos que su densidad en cada
elemento de volumen está representado por

p=Div.a =—AV

y en cada elemento superficial por
de ov

sd = SAR EA

mE

,

la igualdad anterior se transforma en

dE edv ES 3:ads
a f/ 4mr??
que nos dice que cualquier vector laminar y PUEDE SUPO-
NERSE engendrado por dicha clase de acciones.

Esta proposición tiene una importancia extraordinaria, lo
mismo desde el punto de vista teórico que del experimental,
y de ella volveremos á ocuparnos al final.

9. Vector solenoidal ó áxico: potencial vector. — Hemos
visto que la condición, necesaria y suficiente, para que un
vector 'A pueda considerarse como el vórtice de otro, es que

Div. 4:==0;

un vector que satisface á esta condición se llama solenoidal
Ó áxico, y sus componentes podrán representarse en función
de las de otro a, por las expresiones

0 A= daz q 94. 0%
00) dz” MEAR Y ax”
Mo d%y y de
9x oy

(*) La representaremos siempre por caracteres mayúsculos-la-
tinos,

— 561 —

El vector « es el potencial vector del 'A. Existe aquí una
indeterminación más grande que la que caracteriza al poten-
cial escalar, definido por su gradiente, puesto que las ecua-
ciones (1) sólo dan la diferencia de sus derivadas parciales;
así, mientras que V se conocía con una constante de aproxi-
mación, « lleva su indeterminación hasta el extremo de que
se le pueda agregar un nuevo vector laminar, sin que deje de
ser el potencial vector de 4, puesto que las componentes del
vórtice del nuevo vector son nulas. Es evidente que podemos
aprovechar esta indeterminación, eligiendo ' conveniente-
mente para cada caso: veamos la forma más general que
suele dársele.

Tomando el vórtice de 4, sus componentes serán:

AE PE
= div. a — Ad.,

==. div. a — Aa),

9Z 2X y

DA JA A E
L-——E= div. a —Aa,;

9x dy oz

si, por tanto, suponemos div. a =0, ó, lo que es lo mismo,
si admitimos que el potencial vector es solenoidal, quedará
definido en función del vórtice de 4, de una manera análoga
que el potencial escalar, en función de la divergencia del
vector laminar correspondiente. Así, designando este valor
particular de y por 'A, para conformarnos con la notación
elegida, las ecuaciones anteriores serán:

9A, q) 9A,
dy 20Z 90Z 9Xx

=—AA,,

O AS

— 562 —

Nótese que la hipótesis hecha respecto á la naturaleza
de «, equivale á agregar á este vector otro laminar cuya di-
vergencia sea — Div. z.

10. Representación de un vector solenoidal por una acción
laplaciana. —De la primera de las ecuaciones anteriores se
deduce:

Po) Po)
A a DO
9y 902

Integrando esta expresión para todo el campo de A, en el
cual supondremos la existencia de superficies de disconti-
nuidad, obtendremos, por un procedimiento idéntico al em-
pleado anteriormente para demostrar el teorema de Gauss,

que |
ao do
= | [(4.+ 49 + Jas,

siendo A, p., v los cosenos directores de n..

Ahora bien: el primer miembro de esta igualdad es idén-
ticamente nulo, luego el segundo también lo será, y, por
tanto, en cada elemento superficial

9A,
9Ne

JA, _ 29M,
9e 90m;

A,p — Ayv=—

Análogamente demostraríamos que

Esto probado, observemos que A, es una función escalar

— 563 —

de x,y,z,á la cual podemos aplicar la fórmula (1) del pá-
rrafo anterior, y por ende,

4r(A.(», — Ax) = ld AA,dv —
F
E 2A, ds,
e 9n;
? A
ó substituyendo, en lugar de AA, y z --
L
PEREDA ad
dr (Ax» — Az) = z pS dy NS Jar
1
e (A, 1 A,y) ds;
r

, sus valores

Ó llamando

donde 7, es un vector de módulo unidad normal á $, cuyas
componentes son 4, y, y, evidentemente,

0 A
4r (A...) = A.z(1)) =P ff dv ae ds,

y análogamente

; Í, ly

4 (Ay — Aya) = 5 PE OS
L i

40 (Mica Mas) =p le dv Alle ds.

Recordemos que A. 1), Ay(1), Aa) son constantes en todo
el campo considerado.
Calculando los valores de las componentes de A en el

a 1 A

punto P, para lo cual nos basta derivar, respecto á las coor-
denadas de este punto (X, Yo Zo), tendremos para A,

A a E do
Xx 9Zo

ó multiplicando y dividiendo todos los términos por r, y te-
niendo en cuenta que
or ar :
r— =rC0S (1,2) ="¿, r— =rC08 (r,)) = fyy
9Zy Y

Fx, Fy, 2, siendo las proyecciones sobre los ejes de la dis-

tancia desde dv, ó ds, á P,

| Pas
A, =P [Gr ma
| EE : : d
ci Jj Pa Ct RAN

Es fácil escribir los valores de A, y A, y observando que
los paréntesis que figuran bajo las integrales son precisa-
mente las componentes de | 7-7 | y | 7-7 |, resulta evi-

dentemente que

nia 1 a 1 A y
AS da ¡Tr |dvW Mo |T-r |ds,

A,

y su módulo

a di +// ED r) de

De suerte, que todo vector solenoidal podemos conside-
rarle engendrado por la acción de ciertas MASAS VECTORIA-
LES, actuando á distancia, en razón inversa del cuadrado de
ésta, y proporcionalmente á su intensidad y al seno del án-
gulo que forma con el radio del vector, siendo su dirección
normal al plano de dicho ángulo. Estas acciones las deno-
minaremos laplacianas.

Dichas masas vectoriales están definidas por el mismo
vector (A. En cada elemento de volumen, su densidad / es el
vórt. 4, y en cada punto de una superficie de discontinui-
dad, ¿=|4.1;|l.

Il. Tubos de flujo: representación gráfica del campo por
los tubos de flujo. — Hemos definido las líneas de flujo de
un vector laminar, y esta definición es igualmente aplicable
á un vector solenoidal, siquiera en este caso no sean trayec-
torias normales de las superficies equipotenciales, puesto que
estas superficies no existen. Consideremos en el campo del
vector A un espacio limitado por una superficie tubular,
cuyas generatrices son líneas de flujo de “4: este espacio re-
cibe el nombre de tubo de flujo.

El flujo | Al Ands del vector A á lo largo de un tubo per-

manece constante. Puesto que si le limitamos por dos super-
ficies cualesquiera y aplicamos al espacio interior el teorema
de Gauss:

[fñn.as=/ | faivia=o

Pero la integral superficial es nula sobre toda la superfi-

Hb —

cie lateral del tubo, puesto que A», = 0; además, los ele-

mentos diferenciales en la cara de entrada, S, son todos ne-
gativos, y en la de salida, S”, positivos; luego podemos es-

cribir
ff 40. as Af fin ds 0,
Js" Js

que demuestra el teorema. Además, si el tubo es infinita-
mente delgado y las superficies terminales perpendiculares
al vector

A, ds, = A2ds,,

que nos dice que, en un mismo tubo, la intensidad de “A es
inversamente proporcional á la sección del tubo.

Esta proposición nos permite representar gráficamente el
campo de un vector solenoidal con el auxilio de los tubos de
flujo. En efecto: dividiendo el espacio en tubos del mismo
flujo, en cada punto el argumento de A estará representado
por la dirección del tuvo que le envuelve, y su módulo es
inversamente proporcional á la sección del mismo. Es evi-
dente que, para que esta aplicación sea práctica, es indispen-
sable que las líneas de flujo sean planas, con el fin de que
se las pueda dibujar en verdadera magnitud, y por ende, el
campo en el espacio debe ser de revolución, ó tener todas
sus líneas sobre planos paralelos, 6, á lo menos, ser simé-
trico respecto al plano del dibujo. El procedimiento para di-
bujarlas es el mismo empleado para las superficies equipo-
tenciales.

12. Multiplicador de Jacobi. — Siendo una línea de flujo la
envolvente de un vector x, existirá entre las componentes de
éste y las proyecciones dx, dy, dz, de un elemento de cur-
va ds, el sistema de ecuaciones diferenciales

— 567 —

Representando por 9 (x, y, 2) = const. una integral del
sistema, « será tangente á la superficie v (x, y, 2) = const.;
de donde

90 9 90
(1) do a A

(2) de e ay > +5 3 a, =0,
y de (1) y (2)
da 99 do 39 do 39
9 92 az. ax Ix 9
ee: 4 =4y 3: == d == LANE
ay ad ay 3d ay ay
9yY 9Z uz 2% ox y

Ó llamando P, Q, R estos determinantes:
Ma, =P, Ma, = Q, Ma, =R.
Por otra parte, se ve fácilmente que

9P 2Q 9R
e, SN id EN
9x a 9y mi 9Z ,

luego

2(Ma,) de 9(Ma,) 9 (Ma,)

> 3y + = Div. (Ma) =0,

9Z

ecuación que, traducida al lenguaje ordinario, nos dice que
un vector cualquiera puede engendrar uno solenoidal multi-
plicándole por una función escalar conveniente M: esta fun-
ción se denomina multiplicador de Jacobi.

Rruv. Acap. CreEncias.—IV.—Mayo, 1906. 39

— 568 —

13. Teorema de Helmholtz: descomposición de un vector
en su parte laminar y solenoidal. — Vamos á demostrar que
cualquier vector puede considerarse como la suma de una
parte laminar y otra solenoidal. En efecto: consideremos que
así es:

a =a +A,

donde q es la parte laminar de <, y A su parte solenoidal:
de suerte que vórt. a =0 y div. 4 =0.
Luego a y A quedarán definidos por

div. a = div. z

vÓrt. A = VÓrt. z,

expresiones que, según hemos visto en los párrafos tercero
y quinto, definen á los vectores a y A.

Resulta de aquí que un vector cualquiera puede suponer-
se engendrado por la superposición de acciones newtonia-
nas y laplacianas(*), originadas por masas cuyas densidades
en cada punto son funciones del mismo vector. Este hecho
parece quitar importancia práctica á dicha descomposición,
puesto que para determinar el valor del vector en un punto,
resulta necesario conocer las condiciones del campo en cada
uno de sus puntos. Sin embargo, con mucha frecuencia la
consideración de dichas acciones simplifican grandemente el
problema; de una parte, porque la presencia de superficies
de discontinuidad en el campo de un vector, así como la de
los puntos donde la divergencia Ó el vórtice del mismo son
diferentes de cero, se denuncian la generalidad de las veces
por fenómenos claros y terminantes, más fáciles de apreciar

(*) Este es el teorema de Vaschy á que nos referíamos más
arriba.

— 569 —

que la existencia del vector mismo, y de otra porque los
valores numéricos de las densidades cúbicas ó superficiales
de las masas ficticias, suelen ser susceptibles de medidas di-
rectas más precisas que la intensidad del vector en un punto.

Además, aunque las razones anteriores no existiesen,
debe notarse también que dichas acciones á distancia con-
sienten penetrar en puntos inaccesibles, determinando el va-
lor del vector allí donde directamente no hubiéramos podido
medirle.

Ejemplo categórico de las ventajas anteriores nos lo sumi-
nistra la atracción universal. La atracción universal es un fe-
nómeno vectorial laminar, puesto que el trabajo que se eje-
cuta al pasar un cuerpo de un punto á otro del espacio es
independiente del camino seguido, en el supuesto de que el
fenómeno haya sido isotérmico y reversible. El campo de
este vector no parece presentar superficies de discontinui-
dad, y, además, la concordancia entre la ley de Newton y
los resultados de la observación y la experiencia, confirman
que la divergencia es nula, fuera de los cuerpos cuya presen-
cía nos denuncian fenómenos físicos de otro orden. Ahora
bien: esta divergencia, ó sea la densidad de cada cuerpo, es
fácilmente medible, mientras que determinar la intensidad
de la atracción universal en diferentes puntos de este cuer-
po, con el fin de apreciar su ley de variación en él y dedu-
cir luego analíticamente la divergencia, es operación abso-
lutamente impracticable.

Otro tanto puede decirse de todos los casos en que, al
estudio directo del vector, se substituye la investigación del
lugar ocupado por las masas ficticias que pueden engendrar-
le y la densidad de las mismas.

14. Determinación de la naturaleza de un fenómeno vecto-
rial. — El criterio más seguro para determinar la naturaleza
de una magnitud vectorial es el análisis de su simetría ó la
de los fenómenos que origine. Basta recordar que los elemen-
tos de simetría de una causa se encuentran en los efectos

— 570 —

que producen, y que si un elemento de simetría falta en un
fenómeno, falta también en la causa que le determina (*).
Conviene notar que se entiende aquí por causa de un fe-
nómeno el conjunto de todos los agentes que actúan en su
producción, incluyendo la constitución del medio. De no ser
así los principios anteriores nos conducirían á graves erro-
res. Es, pues, necesario, al aplicar este método, determinar
la simetría de los fenómenos originados en un medio isótro-
po, y evitar cuidadosamente toda acción perturbadora que
pueda suprimir elementos de simetría de la magnitud estu-
diada.
Para determinar la simetría característica de cada especie
de vector, refirámosle á un sistema de ejes coordenados en
que dicho vector se confunda con el eje Z. Si es laminar,

un cambio de ejes, determinado por una rotación sobre Z,
no altera la expresión de a; de suerte que a posee un eje
principal de simetría de orden infinito que se confunde con
su propia dirección. Si el giro tiene lugar sobre X 6 Y, la
la expresión de a cambia; luego a no admite ejes secunda-
rios, y el principal es no doblado. Cambiando Z en — Z, la
expresión de a varía: de forma que no existe plano de si-
metría principal. Por el contrario, el cambio de X en — X
demuestra que el plano Y Z es de simetría, y por ende, todos
los que pasan por Z.
Si el vector es solenoidal,

(*) P. Curie: Journal de Physique, 3,2 s., t. UI, pág. 401.

ID AA A

A

Aplicando las fórmulas del cambio de variables es fácil
cerciorarse de que un giro sobre Z no altera la expresión
de A, mientras que sí la altera cuando se efectúa sobre X
Ó Y: luego A admite un eje principal de orden infinito no
doblado, puesto que no admite ejes secundarios. Cambian-
do Zen —Z, la expresión de A no varía; pero sí lo hace
por el cambio de X en — X; de suerte que, al contrario de
lo que ocurría con el vector laminar, A admite un plano prin-
cipal de simetría, pero no planos secundarios.

En resumen: todo vector admite un eje de simetría de or-
den infinito no doblado, y además, los vectores laminares,
infinitos planos de simetría que pasan por el eje, y los sole-
noidales, un plano único normal al eje. Superponiendo un
vector laminar y otro solenoidal, desaparecerán los elemen-
tos de simetría no comunes: de suerte que un vector com-
plejo no posee más elemento que el eje. Una traslación, una
rotación y un movimiento helizoidal, dan clara idea de estas
simetrías. e

Es criterio también aceptable, para reconocer la naturale-
za de un fenómeno vectorial, su representación por acciones
newtonianas y laplacianas. Si bastan las primeras, el fenó-
meno es laminar: tal ocurre con la atracción universal y el
campo electrostático; si sólo las segundas pueden represen-
tar los fenómenos producidos, es solenoidal: ejemplo, el
campo magnético.

A propósito de este criterio para determinar la naturaleza
de una magnitud vectorial, conviene hacer notar la inexacti-
tud que se comete considerando las experiencias de Caven-
dish y Maxwell sobre la acción interior de una capa esférica,
como la más exacta demostración de las leyes de Coulomb.
Admitida la naturaleza vectorial del campo electrostático
como inmediata consecuencia de sus acciones más senci-
llas, queda únicamente el distinguir su carácter laminar 6
solenoidal. Ahora bien; vamos á demostrar que, en todo
caso, la acción en el interior de una capa esférica es nula.

— 572 —

En efecto: admitida la demostración clásica para el caso
de las acciones newtonianas que originan la parte laminar
del campo, réstanos probar que las acciones laplacianas que
producen la parte solenoidal determinan también una acción
nula. Parafraseando la demostración de J. Bertrand para el
caso anterior, consideremos la acción en un punto interior á
la superficie esférica de las masas vectoriales, limitadas por
una superficie cónica infinitamente delgada, con centro en
dicho punto. Si el espesor de la capa es dr, dicha acción
será (8 10):

or E IT sen(I',r) as |
Ary? Azr?

donde cada uno de los términos representa la acción corres-
pondiente á cada hoja de la superficie cónica. Pero, por ra-
zón de simetría, / es constante y dirigida según el radio de
la esfera; de forma que sen(/, r) = sen(n, r). Reemplazando
ds y ds” por sus expresiones en función del ángulo sólido de
la superficie cónica, obtendremos en definitiva para valor de
la acción

Tdr

T

du | te (a, r) — tg(n', r)] =0,»

>
puesto que el paréntesis es evidentemente nulo (+).
Volviendo al objeto principal de este párrafo, se ha apli-
cado también con frecuencia la proposición enunciada en
el S 6; pero es necesario proceder con cautela para evitar
lamentables peticiones de principio que invaliden la demos-
tración. Para confirmar nuestro aserto, analicemos un razo-

(*) El físico norteamericano S. J. Barnett (The Physical Review,
Sep. 1902, pág. 175), ha negado igualmente validez á la demostración
que criticamos; pero nos ha sido imposible evacuar la cita anterior
y desconocemos el fundamento de dicha crítica.

a AA A A

Ds SN A o e e ed

DS. A

— 573 —

namiento á veces empleado (*), con el fin de demostrar la
naturaleza laminar del campo electrostático.

Se supone en este razonamiento que una masa eléctrica
infinitamente pequeña, concentrada en un punto, recorre una
curva cerrada en una región del campo eléctrico, donde el
medio posee una temperatura uniforme, sometida á agentes
exteriores que equilibren en cada momento la acción del
campo. Las integrales lineales de estas acciones, que repre-

sentaremos por Dd y qf, respectivamente, serán iguales:

fas = f'aíads.

Pero un teorema bien conocido de Energética nos dice:
El TRABAJO de las acciones exteriores en todo ciclo isotér-
mico reversible es nulo. Luego si suponemos que la integral
del primer miembro mide el trabajo en cuestión,

a fFds=0,

y f es un vector laminar.

Mas, precisamente en la hipótesis hecha va envuelta la
afirmación del carácter laminar de f. Para demostrarlo, ob-
servemos que el trabajo es una magnitud física de naturale-
za bien definida, representada por la fórmula de dimensio-
nes ML?T”?, y que consta de dos partes: una, que mide la
de la acción exterior A, y la otra, la deformación elemental
correspondiente da. Resulta, pues, para dimensiones del
producto:

[A . da] =.ML*.T72,

(*) H. Pellat: Cours de Électricité, t. 1, pág. 45.
A. Vaschy: Théorie de l' Electricité, pág. 30.

— 574 —

Luego si da es una longitud, A es una fuerza; así, puesto
que ds es un elemento de arco, D será una fuerza, ó sea un
vector laminar.

Ahora bien; dos vectores de naturaleza diferente no pue-
den equilibrarse; luego qgf es también laminar; y como q es
una magnitud escalar, f será un vector de aquella clase.

I5. Critica de la teoría de las acciones á distancia. — La
conveniencia de substituir el estudio de estas masas ficticias
al de los vectores correspondientes es tal, que durante mu-
cho tiempo se ha admitido la realidad incuestionable de las
acciones á distancia, olvidando la forma misma en que
Newton y Laplace enunciaron sus leyes respectivas: conse-
cuencia natural de la prodigiosa fecundidad de las mismas.
Los teoremas demostrados en el curso de este trabajo nos
prueban de una manera palmaria que esta fecundidad no es
un argumento en favor de la realidad del hecho. Pero ¿quiere
esto decir que el teorema anterior condene la teoría de las
acciones á distancia? En forma alguna: únicamente nos de-
muestra su equivalencia absoluta, con la que admite la de-
formación del medio como origen real de esas acciones á
distancia. Elegir una ú otra es cuestión de mera definición,
desde el punto de vista puramente analítico.

Muy otras son las razones que abonan á la segunda, en
nuestro entender. Acción á distancia equivale á decir, para
los partidarios de esta doctrina, que el efecto producido por
un cierto cuerpo A sobre un punto distante del mismo P, es
independiente de la naturaleza del medio interpuesto. Pero
es el caso que el hecho así enunciado se encuentra con fre-
cuencia desmentido por la experiencia, y entonces los parti-
darios de la teoría discutida afirman que dicho mentís no es
debido á que la acción del cuerpo se haya modificado por sí
misma, sino á que A determina fenómenos especiales en los
cuerpos que se consideran, haciéndoles capaces de actuar á
su vez en el punto P.

Para los enemigos de la doctrina en cuestión, la acción

o
ci Mi

.

— 575 —

de A en P se ha propagado á través del medio, con una ve-
locidad más Ó menos grande, pero finita; ahora bien, si el
medio cambia de naturaleza, es lógico suponer que cambie
esta acción.

La mayor sencillez de los conceptos fundamentales de
esta teoría salta á la vista y explica la rapidez con que se
ha apoderado del mundo científico. Sin embargo, esta in-
fluencia del medio interpuesto es muy variable con la nátu-
raleza del fenómeno que se considera. Mientras en los fenó-
menos eléctricos y magnéticos es muy sensible, parecía de-
mostrado que la constante de la gravitación es independiente
de la naturaleza del medio, en virtud de los resultados ne-
gativos obtenidos por Machenzie (*) primero, y más tarde
por Poynting y P. L. Gray (**), investigando diferencias
de atracción en el sentido de los ejes de substancias cristali-
zadas, así como los de Austin y Thwing (***) sobre la in-
fluencia de una lámina interpuesta entre las esferas de una
balanza de torción; se comprende por qué entre los astróno-
mos y los mecánicos existen aún partidarios de la teoría que
criticamos. Pero las interesantísimas experiencias de V. Cre-
mieu (****), no concluídas, parecen llamadas á batir este
último baluarte.

La electrización por influencia, la polarización dieléctrica y
la imantación por inducción son fenómenos especiales crea-
dos por esta teoría para defenderse contra los resultados de
la experiencia; si aceptamos la propagación de las acciones
eléctricas y magnéticas á través del medio, son mero coro-
lario de la existencia de superficies de discontinuidad ó cam-
bios de naturaleza en aquél. Coloquemos un cilindro metáli-

(*) Phys. Rev. 2, 1895.

(**) Phyl. Trans. R. S. 192, A. —Nature, Agosto, 1900.— Jour,
Phys, 3, IX, 292.
(4) Phys. Rev. 5, 1897. —Jour. Phys. 3, VII, 442.

AA = Ja? Pliys: 4, V, 25.

— 7 —

co próximo á un foco calorífico é investiguemos el gradiente
térmico sobre toda su superficie; en las regiones próximas á
dicho foco, el cilindro estará más frío que el medio que le
envuelve, en la extremidad más alejada su temperatura será
superior á la de aquél y existirá una línea neutra donde el
gradiente será nulo. Este experimento, idéntico al que se
realiza en los cursos de Electrostática, presentará aquí ma-
yores dificultades por la acción perturbadora de las corrien-
tes de convección, pero es perfectamente realizable.

Las experiencias y teoría de Bjerknes (*), imitando los
fenómenos eléctricos fundamentales y sus leyes elementales
con fenómenos en que la acción del medio es tangible, cons-
tituyen un argumento más en contra de las acciones á dis-
tancia. Tomemos un punto P en el seno de un líquido y su-
pongamos que allí, de una manera cualquiera, incrementa-
mos su masa; de otra forma: tracemos una esfera de radio
muy pequeño con centro en P y hagamos aumentar su ra-
dio. El líquido saldrá empujado en todas direcciones, y su
velocidad en un punto cualquiera, P”, será inversamente pro-
porcional al cuadrado de su distancia á P, puesto que la
masa que en la unidad de tiempo ha de salir por la esfera de
radio PP” es siempre la misma, y como su superficie es
ArPp”, la masa que atraviesa la unidad de superficie será
proporcional á ESQ . Por otra parte, esta velocidad de

4 pp”?
salida en P” es, evidentemente, proporcional al incremento
del radio de la esfera P, Ó sea al aumento de masa de la
misma, que podremos representar por E. El cálculo y la ex-
periencia demuestran que, si en P” colocamos una esfera
análoga, entre ambas se manifiesta una atracción ó una re-
pulsión, según que E y E” son del mismo ú opuesto signo,

(*) Les actions hydrodinamiques á distance , por V. Bjerknes.—
Congrés Int. de Phys. T. I, 251.

o

PR

—= 517 —

regida por la ley d ra , siendo d la densidad del líquido.

TÍ
Si admitimos un observador que, siendo capaz de apreciar
y medir estas acciones, no se aperciba del medio en que P
y P” están colocados, este observador se encontraría en las
circunstancias que nosotros respecto de los fenómenos eléc-
tricos y la gravitación.

XXIII. — Nuevo método gráfico para la resolución de -
la ecuación de segundo grado.

Por Luis CATALÁ.

Teorema 1. —Si dos circunferencias y una recta son co-
planarias, las circunferencias secantes, cuyos centros son
los puntos de intersección de la recta con las tangentes á la
circunferencia mayor, y que pasan por los de intersección del
radio del punto de contacto con la circunferencia menor,
tienen sus puntos de intersección sobre la perpendicular á
la recta trazada por el centro de las circunferencias dadas.

Sea la recta LL” y las circunferencias oE(0), oB(0); BC,
una tangente arbitraria á la circunferencia oE(0), y 6 su
punto de intersección con la recta L£”; (m,n), los puntos en
que corta EC(6) á la perpendicular á LL” trazada por el
punto o, y se verificará om .on =0E . 0D; cuando el pun-
to de contacto de la tangente arbitraria recorre la circunfe-
rencia oB(o0), el punto 6 describe la recta A C y de

— 518 —

resulta que 0D será constante: luegó los puntos (m,n) serán
comunes á todas las circunferencias EC (6), que tendrán por
eje radical la recta Ao.

PS -

o q

Figura 1.?

Para que existan los puntos (m,n), es necesario y sufi-
ciente que

(61 E CEVESICA:
Ó bien
(CA CEN= CA?,
y haciendo

a+b

vE=b, 0D=a, oB >

ao
CE? = CB? + He ) =S Co? — Ao?,
por ser :
CA? = Co? — 0A?;

— 579 —

luego

¿Mu 2 E 2

2
pe A ; pue. == = ab
=( , ) : E

Teorema 2.-—Si dos circunferencias concéntricas y una

y
IN

Figura 2.2

recta son coplanarias, las circunferencias, cuyos centros son
los puntos de intersección de la recta con las tangentes á
una de ellas, y que pasan por los de intersección de la pro-
longación del radio del punto de contacto con la otra cir-
cunferencia, se cortan en dos puntos situados sobre la per-
pendicular á la recta dada, trazada por el centro de las cir-
cunferencias concéntricas.

a a

La demostración es análoga á la del teorema 1.

Ahora bien: siendo (D, B,E) (n, A,m) dos ternos de pun-
tos situados respectivamente sobre dos ejes YY”, XX”, que
se cortan en el punto o, que tomaremos en ambos como ori-

gen, y definidos por las relaciones 0D .oE=0n.om,

oB= > (0D +0E), o0A = 5 (on -+ om), los cuatro

Figura 3.?

puntos (D,E,n,m) son de una circunferencia cuyo centro 6
es el punto de intersección de las perpendiculares á los ejes

trazados por los extremos de los segmentos 0B,oA y on, om
las raíces de la ecuación

x2+X4A0.x+0D.0E=0.

Si el eje Y Y” gira alrededor del punto o, los puntos (B, E)
describirán dos circunferencias concéntricas, y el punto 6 la

— 58l —

recta LL” perpendicular al eje XX” en el extremo del seg-

mento 04.
De todo lo cual resulta que, para resolver gráficamente

una ecuación de segundo grado de la forma

o Po Y 0 0D, 2d >,

haremos centro en un punto o, situado á una distancia

0A = — BES de una recta arbitraria L£”, trazando dos cir-

cunferencias de radios (» a > za (» al según sea

ab =q=0.
La circunferencia cuyo centro sea el punto de intersección

6 de una tangente arbitraria á la circunferencia az (0),

aa
2
punto de intersección del radio de contacto ó su prolonga-
ción, con la otra circunferencia dada, según sea ab =q 0,
cortará al eje XX” en dos puntos, que determinan las raíces
de la ecuación.
En la práctica trazaremos la tangente arbitraria por el
punto del infinito del eje, quedando reducido el problema á

construir un trapecio birrectángulo, cuya altura sea . y sus

(o) con el eje 04, y cuyo radio sea la distancia, al

bases ha ») Ó a .), tomándolas en igual ó

contrario sentido, según sea q = 0.
En el caso que a = — b, las circunferencias auxiliares se

reducen á una ó á una de ellas y un punto, y la construcción
á la determinación de un rectángulo ó un triángulo rectán-

y
gulo cuyas dimensiones son a a) según sea q = 0.

— 582 —

XXIV.—La Fagocitosis.

POR EL Rev. P. ZACARÍAS MARTÍNEZ-NÚÑEZ, O. A.

Se da el nombre de fagocito á todo elemento celular fijo Ó
emigrante que tiene la virtud de incorporar á su masa mi-
croscópica, partículas sólidas de alguna dimensión, bacte-
rias, substancias organizadas vivas ó muertas, células de te-
jidos atrofiados ó inútiles, etc., etc., situados fuera de él.
Como dicen Metchnikoff y su discípulo Cantacuzéne (cuya
doctrina vamos á resumir y juzgar en algunos puntos) (*),
no debe confundirse la propiedad fagocitaría con la de ab-
sorber las substancias disueltas, común á todas las células
vivas: el acto de englobar á los microbios y aun á células
enteras de tejidos diferentes; el limitar ó localizar el foco
patológico como oponiéndole una barrera infranqueable para
que no se extienda por los demás territorios orgánicos, y el
digerir, como aseguran Metchnikoff y su escuela, á todos
aquellos elementos englobados, es función especialísima de
los fagocitos. Para llevarla á cabo, carecen parcial ó total-

(*) Entre la multitud de libros y monografías que hemos tenido
presentes al redactar estas páginas, pueden citarse los dos primeros
tomos de la obra clásica de Duclaux, Traité de Microbiologie (1898-9);
Les defénses naturelles de l'organisme, por A. Charrin (1898) y su
estudio publicado en L”Année biologique (1897); el estudio compara-
tivo de los venenos y las toxinas microbianas, de C. Physalix (L'An-
née biologique, tom. I, pág. 382 y sig.); los de Metchnikoff y su dis-
cipulo Cantacuzéne (L'Année biologique, tom. M, pág. 293 y sig.);
entre otras Fisiologías la de Landois, Duval y Gómez Ocaña; las
obras de Cajal; los Elementos de Microbiología, del Dr. Luis del Río
y Lara (1899); Les moyens de defense chez les animaux, de L. Cué-
not (1898); los Estudios biológicos sobre defensas orgánicas, del
Dr. Mallo-Herrera, publicados en la Revista Ibero-Americana de
Ciencias Médicas (Marzo, Junio y Septiembre, de 1901), etc., etc.

|
E
j

— 583 —

mente de membrana externa, y así pueden emitir falsos pies
ó pseudópodos «prehensores», Ó cambiar de forma y posi-
ción como los llamados «emigrantes» y realizar el fenómeno
conocido con el nombre de díapedesis, por virtud de la cual
se mueven y escurren por las junturas de los endotelios, por
los capilares, por las lagunas del tejido conjuntivo, llevando
quizá á otros órganos, además de su poder fagositario, subs-
tancias nutritivas y fermentos antitóxicos, elaborados en su
interior para matar á las bacterias perjudiciales. Así como los
hematíes son como ejército de millones de obreros que lle-
van con prontitud á todo lugar del organismo, aun al más
recóndito y secreto, el inapreciable recurso del oxígeno de
la vida, así los fagocitos constituyen otro ejército móvil de

defensa «encargado de realizar la asepsia orgánica, impi-

diendo el acceso de microbios» (*) y toda clase de extra-
ños invasores.

La existencia de ese poder fagocitario en algunos elemen-
tos celulares, parece hoy indiscutible: Ruffer logró fijarlos
en sus fases de lucha á lo largo del tubo digestivo, y prin-
cipalmente en las llamadas «esferas linfoides» de muchos
animales de sencilla Ó complicada organización, ya estudian-
do á éstos en estado normal, ó en estado patológico, que es
cuando mejor se manifiestan. Prueba de ello es la multitud
de glóbulos blancos de la sangre que se hallan en los focos
tuberculosos calcificados. Recordemos que en la época em-
brionaria y en las siguientes etapas del desarrollo ontogéni-
co, los osteoclastos reabsorben las sales calizas y pulen y
modelan la forma ósea ó cartilaginosa como hábiles arqui-
tectos: son verdaderos fagocitos y causa principal é inme-
diata de las maravillas que contiene la estupenda fábrica del
esqueleto del hombre y de todo animal vertebrado. Cajal de-

mostró el poder de la fagocitosis en las plaquetas de la san-

(*) Cajal, Histología, última edición.

Rrv. Acap. Ciencias. —IV.—Mayo, 1006, 40

— 584 —

gre de la rana (*); y desde el año 1856, en que Lieberkiihn
pudo ver infusorios englobados por los fagocitos de la
Spongilla de agua dulce, hasta hoy, las observaciones di-
rectas de la realidad son innumerables y confirman la teoría.

Se consideran como fagocitos los mixomicetos, los rizó-
podos y los infusorios, algunas células de los espongiarios,
las células llamadas «nefridiales» en los anélidos, los ami-
bocitos de invertebrados y vertebrados, las células fijas del
tejido conjuntivo y las células neuróglicas: las emigrantes
en los animales de categoría inferior con su núcleo, rico en
tromatina, y en los de categoría superior con uno ó varios
núcleos y más perfectos porque pueden realizar los fenóme-
nos de la diapedesis; las células gigantes y polinucleadas de
la medula del hueso y las células de las neoplasias patológi-
cas; las del endotelio celómico de muchos anélidos, las del
epiploon y de los capilares sanguíneos del hígado y otras en
los alvéolos pulmonares: ciertas masas evidentemente fago-
citarias en los órganos linfoides del bazo de los vertebrados;
y, por último, los leucocitos ó glóbulos blancos de la sangre
que parecen los más activos y los más caracterizados para
llevar á cabo esa función utilísima casi siempre á la vida or-
gánica animal. En los gusanos poliquetos y oligoquetos se
ve un par de glándulas fagocitarias en cada segmento del
cuerpo; las hay en el pabellón de los «nefridios», que hacen
el papel de riñones en los hirudíneos: en los moluscos, los
fagocitos están situados sobre la aorta, en las venas pulmo-
nares Ó cerca del corazón: los ortópteros los tienen en el
abdomen, y en los miriápodos se los ve distribuidos por el
tejido adiposo; se observan también en el raquís branquial
de los crustáceos, en el preabdomen de los" escorpiónidos y
en otra multitud de lugares de todos ó casi todos los orga-
nismos que estudia y describe la Zoología. ,

Sin el poder fagocitario no parecen explicarse las meta-

(*) Revista trimestral micrográfica, Marzo de 1896.

— 585 —

morfosis de los animales, ni la reacción inflamatoria, ni la
inmunidad natural del organismo á la acción de los micro-
bios patógenos. Nolf (1898) hizo ver que al formarse la pla-
centa, los epitelios y las capas dérmicas de las mucosas ute-
rinas, son destruídas por las células superficiales del óvulo
que obran como fagocitos para permitir á las arborizaciones
fetales que lleguen hasta los vasos maternos y establecer co-
municación entre el hijo y la madre. Que las células emigran-
tes y los leucocitos perforan las paredes de los capilares san-
guíneos y linfáticos y realizan la diapedesis para luchar, en
una región determinada, contra los agentes infecciosos ú se-
gregar allí substancias bactericidas Ó llevar otras útiles al
organismo, parece evidente é indiscutible. M. Stassano y Bi-
llon (1901) lo han hecho ver, con multitud de experiencias,
en los glóbulos blancos de la rana, cargados de lecitina, y
la absorción de ésta por el endotelio vascular; mucho an-
tes Conheim lo había notado, por observación directa de los
fenómenos inflamatorios, en el mismo animal.

Mas si parecen bien establecidas la función fagocitaria y
la diapedesis de algunos elementos celulares, es aún objeto
de vivas polémicas el modo según el cual se realiza aquélla,
y siesó no factor único de la inmunidad ó resistencia del
organismo á la invasión de parásitos que pueden causarle la
muerte : hombres que gozan de autoridad en la ciencia, sos-
tienen con calor y entusiasmo teorías opuestas relativas á la
fagocitosis. Así, por ejemplo, Anglas, Bataillon, Giard, Rou-
get, Berlesse y otros, han «demostrado» (1899-1900) que
los fagocitos desempeñan papel muy importante en la meta-
morfosis de los insectos, pero no exclusivo ni tan exagerado
como declaran Metchnikoff y su escuela; que los fagocitos
disuelven partículas sin incorporarlas á su masa protoplas-
mática, y que atacan solamente á los elementos viejos é in-
útiles. Karavaiev « demuestra » que en el desarrollo de la lar-
va del Anobium paniceum, los fagocitos no intervienen de
modo alguno; Anglas dice que no engloban á los músculos de

a A

las larvas en las avispas y abejas; C. de Bruyne (1898) de-
fiende que la fagocitosis tiene lugar en el óvulo de los insec-
tos, porque destruye los tejidos larvarios, y también en el de
los moluscos lamelibranquios, donde se ve el éxodo conti-
nuo de los leucocitos á través del epitelio branquial para de-
purar las substancias contenidas allí; pero los tejidos que la
fagocitosis destruye son siempre tejidos degenerados y no
necesarios y útiles al organismo animal. Por último, otros
muchos investigadores opinan, con razón en nuestro humil-
de sentir, que la teoría fagocitaria no explica satisfactoria-
mente por sí sola la inmunidad natural del organismo á los
agentes infecciosos.

Contra todos estos investigadores célebres, Metchnikoff y
sus discípulos, que propenden á la exageración más que el
maestro, sostienen que los fagocitos engloban y digieren á
los microbios, á las células de tejidos inútiles y útiles; que
sólo con ellos cabe dar cuenta de la inmunidad orgánica, et-
cétera, etc. Véanse la doctrina y las pruebas condensadas en
las siguientes líneas: cada uno de los protozoos está inves-
tido del poder de la fagocitosis; la vacuola de un rizópodo ó
de una amiba, al aprisionar el alimento, que suele consistir
en una partícula sólida, realiza cierta secreción ácida, causa
inmediata de una verdadera digestión; en el protoplasma de
diferentes mixomicetos, esa digestión se opera merced á un
fermento péptico segregado por aquél, de modo que si las
amibas luchan contra los parásitos, y los rizópodos contra
las bacterias y las diatomeas que las circundan, lo hacen por
virtud de una digestión intracelular, demostrada ya por
Metchnikoff, allá por los años de 1865, en el epitelio intes-
tinal de los turbelarios de agua dulce. Este señor pudo con-
templar entonces desaparecer, en una hora, á una Naís pro-
boscídea, teñida con carmín, entre las células intestinales
amiboides del transparente y diáfano Mesostomum Eheren-
bergí. Fenómenos semejantes se han visto en las células de
los metazoarios inferiores, por ejemplo, en las ectodérmicas

€— ——ARRAAA AE YA

— 587 —

de algunas esponjas, así como en la lucha de los parásitos y
las Daphnias del organismo de los vertebrados y los bacilos
patógenos, y en otra multitud de seres de la escala animal.
El llamado grupo «linfático» del tejido adenoide del bazo y
de la medula ósea, etc., etc., «devora» á otra clase de célu-
las y sólo penetra en la sangre en los casos patológicos; las
células endoteliales del epiploon y de los capilares sanguí-
neos del hígado son tan activas y solicitas, que engloban rá-
pidamente y de una manera increíble al bacilo carbonoso y
al de la tuberculosis. En estado normal, los fagocitos, por
sensibilidad tactil Ó quimiotáxica (atracción de substancias
solubles), luchan con los agentes de esa excitación y hacen
desaparecer los tejidos de larvas como la cola de los rena-
cuajos y tunicados por degeneración de los músculos; ellos,
en el embrión, se incorporan y digieren los granos del vitelo
y contribuyen á renovar los tejidos en la metamorfosis ani-
mal. Pero donde se ve, como nunca, la virtud fagocitaria, es
en los casos patológicos, cuando los fagocitos combaten de
un modo terrible con los agentes de la infección, microbios,
parásitos y protozoos de todo género, v. gr., en la erisipela
y en la «fiebre recurrente » y en otras muchas enfermedades
crónicas y agudas; es de ver cómo se multiplican en sus nú-
cleos y en su número los glóbulos blancos en cualquiera en-
fermedad infecciosa; cómo en los llamados «grandes» y en
los « neutrófilos» aumenta la actividad para acudir con pron-
titud á la región atacada, y segregar allí substancias bacteri-
cidas (*) y hacer sufrir á los microbios la degeneración
«granular» y la decoloración consiguiente, con el jugo pro-
toplasmático. La abundancia extraordinaria de los glóbulos

(*) El Sr. Turró, en la Revista trimestral micrográfica (Marzo
de 1900), publicó un estudio en el cual se dice que «la acción de los
plasmas celulares sobre las bacterias no depende de su forma y es-
tructura anatómica, sino de su composición química», y deduce que
«la capsulación y la fusión de los microbios es un fenómeno de diges-
tión realizado por las diastasas que llamó lísinas Duclaux».,

— 588 —

blancos de la sangre en las casos patológicos, es un axioma
para los Médicos clínicos: ya apuntamos antes que se ven
por millares de millares en los focos tuberculosos calcifica-
dos. Hay, pues, lucha real dentro del organismo: si vencen
los fagocitos, el animal se cura y salva: pero, si como acon-
tece en muchas ocasiones, la victoria es de los microbios pa-
tógenos, el animal sucumbe y muere. La inflamación es un
acto de defensa favorable para el cuerpo del animal ó del
hombre.

Más aún; Metchinkoff, en el prólogo á la obra de su discí-
pulo Cantacuzéne, en una Memoria aparte, publicada en
L'Année biologique (*), no sólo declara que los fagocitos lu-
chan unos con otros, quedando triunfantes los más fuertes y
robustos, sino que engloban y devoran á los hematíes, re-
duciéndolos á un simple pigmento hemático, y engloban y
digieren á otros téjidos útiles, como son algunas fibras ner-
viosas, cuya mielina y cuyo cilindro-eje son atrofiados y des-
truídos por las células araneiformes Ó neuróglicas, causa
principal de la vejez y de la muerte. Unas cuantas experien-
cias realizadas en los cobayas sirven de base á esta hipóte-
sis verdaderamente «sugestiva». Cuando llega la vejez, cuan-
de los tejidos se hallan ya gastados por el uso y el funciona-
miento, los fagocitos devoran á las células decrépitas é
irreparables ó que no se pueden rejuvenecer: las células
neuróglicas citadas y el tejido conjuntivo hipertrofiado subs-
tituyen á todos los tejidos y células restantes, y llega la de-
generación senil; así se explica la abundancia de aquéllas y
de éste en el organismo de los viejos, en sus extremidades,
en su cerebro y en su tronco. En suma: sólo con la teoría de
la fagocitosis, interpretada así, cabe comprender la inmuni-
dad natural del organismo y la vejez y la muerte.

Discutamos estas dos conclusiones, resumen y compendio
de la doctrina de Metchnikoff y su escuela. Concedamos que

(*) 1899, tomo II, pág. 249 y siguiente.

E
|

—>

— 589 —

la fagocitosis es verdadera digestión, y no preguntemos á
dónde van á parar las substancias digeridas, ó en qué forma
y de qué modo son utilizadas por el organismo: ninguno de
estos señores sabe contestar á la pregunta. Supongamos que
esa teoría no se apoya en datos suficientes, y que en sus de-
talles y en su conjunto no ha intervenido para nada el poder
fagocitario de la imaginación y del deseo que en las luchas
científicas, como acontece en las orgánicas, quiere aniquilar
á todos los enemigos.

¿Es cierto y evidente que los fagocitos son los factores
únicos de la inmunidad ó resistencia orgánica á la invasión
de los parásitos perjudiciales?

Veámoslo.

La «teoría de los humores » (que es la corriente en Ale-
mania), dice Cantacuzéne, es insostenible, porque si es ver-
dad que el suero sin fibrina y el humor acuoso atacan á cier-
tas bacterias, no las matan directamente, no las aniquilan,
digámoslo así; hacen disminuir su número, como lo han he-
cho ver Fodor y Nuttal, pero las bacterias vuelven á multi-
plicarse; si debe reconocerse que los humores gozan de cier-
to poder bactericida, forzoso es declarar que ese poder sólo
tiene eficacia en los cultivos, nunca dentro del organismo.
Si en el de un vacunado se introduce un cultivo de micro-
bios patógenos, y aislando las células convenientemente, se
logra hacer que los humores penetren en el mismo lugar
donde están aquéllos: el microbio, lejos de morir, se multi-
plica y segrega toxinas mortales, como se demuestra con el
método de vacunación practicado en el Instituto Pasteur.
Idénticos reparos deben hacerse á la teoría llamada «ate-
nuante », por las mismas razones. Con la doctrina antitóxica
no se explica tampoco la inmunidad de los animales contra
la infección, porque los vacunados contra los microbios, ví-
briones, pneumococos, el bacilo pyociánico, el cobacilo pro-
digioso, etc., etc., son también sensibles á las toxinas de és-
tos como los no vacunados, y unos y otros mueren con

— 590 —

muerte igual. De aquí se deduce que, si es indiscutible que
esa teoría explica de alguna manera la inmunidad antitóxica,
no da cuenta ni remotamente de la inmunidad contra la in-
fección: aquí está el mérito de la fagocitosis.

En nuestro humilde sentir, Metchnikoff y sus discípulos,
olvidan lo que no debe olvidarse nunca en este género de
investigaciones sobre el organismo animal: que en él todo
está dispuesto «en peso, medida y número»; que en el fe-
nómeno orgánico más insignificante no interviene jamás una
causa sola, sino muchas concausas, entre las cuales puede
una de ellas ser la principal en el éxito alcanzado; pero esto
no prueba que sean inútiles las otras, que Metchnikoff y sus
discípulos separan con barrera infranqueable y en todos los
casos, la infección y las toxinas segregadas por las bacterias,
como si muchas veces lo uno no fuera inmediata consecuen-
cia de lo otro, ó en la digestión fagocitaria no intervinieran
nunca elementos químicos. Además, esos señores, para re-
futar las doctrinas contrarias, se fijan en hechos aislados; y
en la explicación de cualquier fenómeno vital no debe ais-
larse nada, porque hay en todas las substancias evidentes

relaciones mutuas. Por otra parte, son insuficientes los da-.

tos que alega la escuela de Metchnikoff; hace falta mayor
número de experiencias para que la fagocitosis, interpretada
así, tenga caracteres, no ya de certeza absoluta, sino de pro-
babilidad. Más aún: Metchnikoff y sus díscipulos declaran
que existe cierta inmunidad antitóxica, porque el suero de
los animales vacunados mezclado con las toxinas bacteria-
nas hacen á éstas inofensivas; que hay humores que contri-
buyen á que disminuya el número de microbios, lo cual, se-
gún todas las reglas de la lógica, quiere decir que no es la
fagocitosis la sola y única causa de la inmunidad, sino que
representan algo, y algo valen las antitoxinas oportuna y
sabiamente elaboradas dentro del organismo.

¿Y cómo negarlo, si había que negar entonces casi toda la
Fisiología? Charrin y Physalix, de tanta autoridad científica

— 591 —

como Metchnikoff, y de mucho mayor crédito que Canta-
cuzéne, han demostrado últimamente la existencia de humo-
res antitóxicos y la «digestión» de toxinas por el jugo gás-
trico, que es «incorruptible» ante ellas, ó se opone tenaz-
mente á las fermentaciones microbianas: «el estómago es
una verdadera estufa de desinfección, pues entran en él mi-
llares de bacterias que pueden vegetar, y, sin embargo, mue-
ren allí; son pocas las que pasan al intestino en condiciones
de desarrollarse (*).» La Fisiología señala la multitud de de-
fensas que hay en el organismo contra la acción de los micro-
bios patógenos; la mayor parte de las secreciones tiene, en-
tre otros varios, ese fin. La linfa y la sangre presentan re-
acción alcalina, y merced á ella, y bajo la influencia de fer-
mentos y Oxidasas, pueden dar origen á substancias bacteri-
cidas y antitóxicas, que son excelentes protectores; esa aci-
dez favorece á la evolución de las fiebres eruptivas (**); Pa-
gano llega, en un reciente estudio, á conclusiones idénticas.
Las secreciones sebáceas y sudoríparas, las localizadas pre-
cisamente en el interior del tubo digestivo, que con sus mu-
cosas, retiene y deteriora á las bacterias, ó las expulsa con
sus pestañas vibrátiles, ó las mata con los cuerpos amonia-
cales, el hidrógeno sulfurado, los compuestos aromáticos y
los ácidos grasos, con el indol, el escatol y el fenol; la bilis,
con sus ácidos tauro y glicólico; el bazo, que muchas veces
sirve á los hematozoarios de refugio, que les da la muerte;
los filtros eliminadores contenidos en el riñón y en la vejiga
urinaria, que lanzan al exterior venenos, como la leucina, la
tiroxina y la urea; la secreción mucosa y ácida de las glán-
dulas genitales, que se opone á la entrada de microbios; Ór-
ganos, como el hígado, el timo, el cuerpo tiroides, las cáp-
sulas suprarrenales, el páncreas y la glándula tiróidea, la ca-
rotídea, la hipófisis, la amígdala, las de Brunner y las de

(*) Mallo-Herrera, lugar citado.
(**) Charrin.

— 592 —

Lieberkiihn y hasta la saliva y las lágrimas..., todo sirve, más
ó menos, en mayor ó menor escala, para proteger el organis-
mo contra la acción de los microbios patógenos, ora matán-
dolos directamente, ora anulando sus toxinas; «todas las se-
creciones tienen dependencia mutua y recíproca influencia,
indispensable para el sostén del equilibrio orgánico (*)», y
todas contribuyen á dar al cuerpo la inmunidad natural. Creer
que la causa única de ésta se halla en la fagocitosis, nos pa-
rece tan exagerado y arbitrario, como poco científico. Por-
que, aunque se dan á veces infección sin toxinas é intoxica-
ción sin gérmenes, al hablar en términos generales, de inmu-
nidad natural, biólogos, fisiólogos y médicos, no se refieren
sólo á la resistencia que opone el organismo á la acción de
las bacterias, sino también á la de los venenos solubles; de
lo contrario, habría que decir que las toxinas microbianas no
intervienen de ninguna manera, ni en caso alguno, en la in-
fección. Luego Cantacuzéne y su maestro, han elegido un te-
rreno poco firme para defender, sin resbalar, su teoría de la
fagocitosis.

XXV.—Sobre el análisis rápido de los superfosfatos

POR MAURICIO JACQUET, GUILLERMO QUINTANILLA
Y FRANCISCO ARREDONDO.

Los resultados del análisis de los superfosfatos son con
frecuencia objeto de controversias, y se aprecia, por regla
general, su ley fertilizante, atendiendo al anhídrido fosfórico
soluble en el citrato amónico.

(*) Physalix, lugar citado.

¿ES de
ES
pl es 1

— 593 —

Sería de gran utilidad poseer un método de investigación
que consienta terminar en el mismo día los análisis comen-
zados. Varios sistemas se han propuesto con tal objeto, y
entre ellos, el volumétrico con el citrato Sittmann permite
llegar á resultados aproximados en menos de una hora.
Pero es lo cierto, que ninguno puede compararse, desde el
punto de vista de la exactitud de los resultados, al método
clásico de determinación en estado de pirofosfato de mag-
nesio, aunque presenta el inconveniente de ser excesiva-
mente largo.

Por numerosos ensayos practicados, nos hemos cerciora-
do de que es fácil abreviar bastante las operaciones del aná-
lisis, sin que prácticamente se perjudique la exactitud. La
razón por la que se recomienda el macerar durante doce á
quince horas la substancia sometida á la acción del citrato
amoniacal, es que, operando en frío, el fosfato dicálcico se
disuelve muy lentamente en el citrato. Mas calentando á la
temperatura de 50 á 60 grados, no ocurre lo mismo; y es fá-
cil asegurarse de que en tales condiciones 50 centímetros
cúbicos del líquido citrico amoniacal disuelven próximamen-
te, antes de las tres horas, un gramo de fosfato dicálcico,
ya sólo ó ya mezclado con fosfato tricálcico, más Ó menos
impuro.

Para obtener un resultado semejante, operando en frío,
son necesarias de doce á dieciséis horas, y aun queda alguna
cantidad de fosfato dicálcico en el residuo insoluble, varia-
ble con su estado físico y con el agua de cristalización que
contenga.

Si, por otra parte, cuando se ha añadido la mezcla magne-
siana (cloruros de magnesio y de amonio) se agita el líqui-
do empleando un medio mecánico coveniente, se precipita-
rá todo el ácido fósfórico al cabo de una á dos horas. Quizá
acompañen á este precipitado trazas de fosfato trimagnésico,
como lo da á entender la ligera sobrecarga que se observa
generalmente cuando se opera en estas condiciones; pero al

cabo de tres horas concordarán también los resultados con
los del procedimiento ordinario, pues el exceso, si aun exis-
te, no influirá más que en la segunda cifra decimal: lo cual
reviste muy poca importancia en las transacciones comercia-
les de los supertosfatos.

Hace más de dos años que se están comparando en nues-
tros laboratorios los resultados del método ordinario con los
del simplificado que proponemos, y no se han observado di-
ferencias sensibles que merezcan tenerse en cuenta. Pero
hemos querido obtener mayores seguridades preparando de
antemano mezclas con las substancias que entran en la com-
posición de los superfosfatos, habiendo sido fácil el com-
probar, por diversos procedimientos, la exactitud de los re-
sultados, que ha llegado á ser todo lo precisa que se podría
desear.

Se han dispuesto diferentes mezclas de un ácido fosfórico
de 1,42 de densidad, conteniendo 42,64 de Ph? 0O* con fos-
fatos mono, di y tricálcicos cristalizados, con más Ó menos
agua, y que contenían, respectivamente, en el momento de
practicar las mezclas, 57,71, 50,34 y 42,95 de Ph? O*?, aña-
diéndose, además, proporciones variables de sílice y de sul-
fato de calcio. Los resultados de estos ensayos confirmaron
los de los análisis corrientes de superfosfatos y nos conven-
cieron de que no se comete error sensible al aplicar el mé-
todo rápido de digestión Ó maceración en caliente y agi-
tación en lugar del más lento de digestión en frío y en
reposo.

Detallamos á continuación el método conforme nosotros
lo practicamos: pesamos 2,5 gramos de superfosfato, cuya
muestra se ha tomado con todas las precauciones conocidas,
tamizando como de ordinario. Se tratan en un mortero de
Joulie, cinco veces consecutivas, con unos 15 centímetros
cúbicos de agua destilada, filtrando cada vez; repetimos es-
tos lavados en frío, triturando finamente la materia y aca-
bando por dejar el mortero completamente lavado, de modo

|
|

— 595 —

que se reunan 200 centímetros cúbicos de líquido en un ma-
traz de 250 centímetros cúbicos de cabida, y terminamos el
lavado del filtro con agua caliente á 80 grados. En estas con-
diciones habremos reunido en el matraz todo el ácido fosfó-
rico soluble en el agua. Después de frío, añadimos (si es
necesario) uno ó dos centímetros cúbicos de ácido nítrico ó
clorhídrico para disolver el ligero enturbiamiento, debido á
los fosfatos de sesquióxidos precipitados por un exceso de
líquido.

De otra parte, el filtro lavado se introduce en un matraz
calibrado de 250 centímetros cúbicos, añadiéndole 100 cen-
timetros cúbicos de citrato Joulie (400 gramos de ácido cí-
trico por litro), cantidad más que suficiente para disolver
el fosfato dicálcico aun en los casos más desfavorables.

Se calienta el matraz en un baño de maría á 60 grados, y
cada cuarto de hora se le retira para agitarlo durante uno ó
dos minutos, invirtiendo en esta operación tres horas, al
cabo de cuyo tiempo se añade agua destilada, se deja en-
friar y se vuelve á añadir el agua suficiente para llegar con
exactitud á la marca de 250 centímetros cúbicos. Se toman
50 centimetros cúbicos de la solución acuosa y otros 50 cen-
tímetros cúbicos de la solución del citrato; se añaden 100 cen-
tímetros cúbicos de amoníaco de 22 grados, y después 10 ó
15 centímetros cúbicos, según la riqueza supuesta, de mezcla
magnesiana (55 MgCB-- 105 NH* Cl17-350 Am á 22% + Ag
para un litro).

Se agita inmediatamente, debiendo emplearse un agitador
mecánico que dé 40 ó 50 revoluciones por minuto; á las tres
horas se deja en reposo un momento; se lava la varilla con
un poco de agua amoniacal al tercio, terminando el análisis
lavando según se previene.

De la manera descrita, puede terminarse un análisis en
siete ú ocho horas. En caso de prisa, se puede recoger el
precipitado al cabo de una hora, pero entonces deben aumen-
tarse las revoluciones del agitador á 70 ú 80 por minuto. Se

az Ob

obtendrá quizá un resultado algo excesivo, que en la mayo-
ría de los casos no tendrá importancia en las determinacio-
nes industriales.

A continuación reunimos algunos tipos de análisis de pro-
ductos corrientes. La primera columna expresa los resultados
obtenidos por el método ordinario; la segunda, los del mé-
todo abreviado (digestión con el citrato á 60 grados durante
tres horas y agitación mecánica de los precipitados durante
el mismo período); la tercera da los resultados en las mis-
mas condiciones, pero con una hora solamente de agitación
del precipitado.

Se expresa el ácido fosfórico soluble al citrato por la di-
ferencia del total asimilable y del soluble en el agua. El in-
soluble (no atacado por el citrato), por diferencia entre el
total (después de ataque completo) y el asimilable.

MÉTODO MÉTODO

NUESTRAS | DETERMINACIONES [oa NODO, | ABREVIADO | ABREVIADO

3 horas. 1 hora agitación.

(a) (0)
Asimilable total.| 18,35 |18,35 18,37 18,41
Super Flo-|Sol. en el agua..| 16,97 |16,99 16,99 17,01
Id. en el citrato. 1,38 e O 1,40
|

Insoluble....... 0,19 0,20 0,18 0,21

Asimilable total.| 15,27 |15,24 15,26

Super Cá-|Soluble 4? 0... 1486 |14,87 14,86 14,33
COrEB 5: OL E de 0,41 0,37 0,40 0,44

Insoluble....... 0,52 0,54 0,55

Super Som-

Asimilable total.| 17,56 [17,52 17,54 17,62
Sol. FROG: sátbs 16,21 [16,22 16,19 16,22
Masies Sol cid 4 1,30 1,39. 10135 1,40

pla de 7 TA . 0,39 0,41 0,40 0,43

ETNÉEREEAAA AA

— 597 —

MÉTODO
ORDINARIO

MUESTRAS

Super Ar-jSol. en el agua..

MÉTODO MÉTODO
ABREVIADO ABREVIADO

1 hora agitación.

DETERMINACIONES

———

Asimilable total.

3 horas.

16,41 [16,42 16,44 16,45
15,39 | 15,42 15,38 15.40

gelia..../Id. en el citrato. 1,02 00 1:06 1,05
Insoluble....... 0,12 0,14 0,14 0,16
>" UA EPA
Asimilable total.| 4210 |42,16 42,12 42,15
rple, dos ¡Sol A 0... 38,70 |38,67 38,68 38,72
Tato. vo:: Id. en el citrato. 3,40 3,39. 3,44 3,43
,* IRSDIUDlE 0 a » » » »
| ME
Asimilable total.| 32,57 |32,63 32,68 32,60
Mezcla 4 SOLE OESA 20,16 |20,11 20,20 20,22
(1). Id. en el citrato. 12,41 |1252 12,48 12,38
¡Insoluble....... , » » »
ii Aa
Asimilable total.| 23,54 |23,59 23,62 23,66
Mezelar (b)JSOL.- HO: 300011062 | 15,65 15,07 15,70
(2). Id. en el citrato. 7,96 7,94 7,95 7,96
Insoluble:. 30. 6,22 6,18 6,20 6,17
| SL
Mieecia (b) Asimilable total.| 23,82 |23,78 23,80 23,84
ON SOLO 130 19,941,909 15,59
8). Id. en el citrato. 8,25 8,24 8,25 8,25
Insoluble....... 5,93 5,95 5,94 6,07
A TR
na total.| 26,89 |26,83 26,84 26,92
Sol. en el agua..| 14,38 |14,32 14,35 14,41
Mezcla (C).

Id. en el E 12,51 |1251. 12,49 12,51
Insoluble....... | 5,36 5,40 5,42 5,62

e E

La composición de las mezclas citadas es la siguiente:

20 gr
po
(A) 25 >
20 »
5
(b) a
20
E ,
(b) bis. 5 >
po
110

25 gr.

25 »
(c) 110 »
20 »
20 »

. ácido fosfórico 42,64 Ph? O*. Pr ,
l análisis se hizo
sílice. E o.
inmediatamente
sulfato de cal.

después de la

fosfato monocálcico á 57,71 PRO?,
mezcla.
» dicálcico á 50,34 PX?O?,
ácido fosfórico. PEA.
El primer análisis se

(PhO*)? Ca? H? á 57,71.
(PhO*)? CaH! á 50,34.
(PhO*? Ca? á 42,95.

sulfato de cal.

hizo el mismo día
de la mezcla.
El segundo, quince

de días después,
sílice.

(PhO*? CaH!.

(PhO*y? Ca? H? de la composición ya dada.
(PhO*%Y? Ca?.

sulfato de cal.

de sílice.

Las razones expuestas anteriormente y los ejemplos adu-
cidos bastan, á nuestro entender, para demostrar que el mé-'
todo es perfectamente aplicable con la modificación -pro-

puesta.

, 1 á po > Mods y y o SS
e DE LAS MATERIAS. CONMENDAS EN ESTE

me
XX.- nreódidón á la Física A q don
' ción), por José EchegaraY...o0oooooooocos IR
cm XXI.—Estudios de síntesis mineral (continuación), por
y José Rodríguez MourtlO o ococcnnoo nono
Ae XXII.—Principios fundamentales de la teoría de.
sE tores.—Crítica de las acciones á distancia
“vid Blas Cabrera Felipe....... nor TEN
. XXIII.—Nuevo método gráfico para 19 resolución
: ecuación de segundo grado, por Luis
En "XXIV.—La fagocitosis, por el men. P. Zacarías 2
¿y NOOO Mi ac A AT
X XV. — Sobre el análisis rápido de los supertontab
Mauricio do Guillermo ds

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REVISTA

DE LA

LILA

'

FAL ACADENTA DE CIENCIAS

EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES

MADRID

,
|

TOMO IV.-NUM. €.
(Junio de 1906.)

A

)

MADRID
IMPRENTA DE LA “GACETA DE MADRID,,

CALLE DE PONTEJOS, NÚM, 8,
1906

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la Corporación, antes del día 20 de cd y
; pues de otro modo quedará su publicación
el mes siguiente.

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Y ARAS AAA Cy NS AAA
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í

XXVI.— Introducción á la Fisica matemática.

Por JosÉ ECHEGARAY.
Conferencia sexta.

SEÑORES:

Hasta aquí, en el ejemplo que venimos estudiando respec-
to á la transmisión del calor y á su equilibrio definitivo en
los cuerpos más ó menos diatermanos, nos hemos referido
siempre á un solo cuerpo homogéneo, como lo es una serie
de masas á igual distancia, procurando formarnos idea de
cómo podrá circular el calor por dicho sistema.

Y como tampoco tratábamos de resolver el problema en su
generalidad, lo cual reservamos para más adelante, sino de
presentar uno Ó varios esquemas: dos moléculas, tres mo-
léculas, una fila indefinida y rectilinea de masas infinitamen-
te pequeñas, símbolos que nos orientasen, respecto á la na-
turaleza del problema expresado y á sus procedimientos de
resolución, claro es que no pudimos abarcar la cuestión en
su conjunto, ni aplicar las hipótesis á sistemas de tres dimen-
siones.

Digo todo esto, para que comprendan mis oyentes, que
nuestras conferencias no son más que estudios de explora-
ción, en que procuramos marcar los caracteres de la Física
matemática y sus diferencias respecto á la Fisica experi-
mental.

En rigor, nos queda el aspecto principal del problema, que
es el del paso del calor de unos cuerpos á otros por el
intermedio del éter ó del aire, Ó de otros cuerpos, que es
como si dijéramos: transmisión del calor, y si el calor es fuer-

Rev. Acap. CieNcIas.—IV.—Junio, 1906, 41

/ ' y 28 ? pe ho PE A
za viva, transmisión de la fuerza viva de unos
otros, ó de un punto á otro en un mismo sistema.

De la nueva cuestión, sólo presentaremos un es

E >

empleo esta palabra porque me parece la más propia
que no se interpreten equivocadamente los estudios p |
torios, que vamos haciendo para los cursos sucesivos.

¿0

*
* *

Pasemos, pues, á considerar un sistema de dos moléculas,
de masas desiguales, M y m, que en el instante inicial, |
tengan también velocidades diferentes: v la masa M; y V la
masa /m.

Las velocidades actúan sobre la línea recta, que une las dos
moléculas Ó masas elementales, y supondremos, para evitar
complicaciones y no contar con el movimiento del centro de |
gravedad, que se verifique la condición,

Mv +mV=0.

Sabido es, en efecto, que en un sistema sobre el cual no
actúan fuerzas exteriores, la suma de las cantidades de mo-
vimiento sobre cada eje, es constante.

Como aquí el eje es único y en el instante inicial esta suma
es cero, lo será en todos los momentos; y como debe ser
igual, por otra parte, á la cantidad de movimientos de todas
las masas reconcentradas en el centro de gravedad, claro es
que, la velocidad de éste será nula y permanecerá fijo.

M E m b
—_—— —— _ _ ___-—=—_—_—_—_ >
v Sl Ep Vv
es es
Figura 17.

-Admitamos que en un momento cualquiera la masa M está
en a, y la masa m en b (fig. 17).

A z

| nasa, la esignaremos por f ( (n), suponiendo, ade-
mo hasta aquí, que f' (ro) es positiva. Pd
s ecuaciones del movimiento para las dos masas serán

videntemente: E %
| | dex
3 alon VEIS XxX),
3 d?x' , Y ;
É o Mmf (tr. EX — Xx); . | 1
y desarrollando por la serie de Taylor, recordando que E

f(r,) =0, puesto que las moléculas estaban inicialmente en
la posición de equilibrio, y no tomando más que la primera
Ñ potencia de la cantidad muy pequeña x" — x,

E dx

E M E diari (70) (x — x), )
d?x ER | :
y Por último, designando por a? el factor Mmf'(r,), que es

esencialmente positivo, llegaremos á las ecuaciones Se Lor-
ma sencillísima y análoga á otras anteriores: die

4 2 e q e A E] ES
M 7% == |

Ú

272 É

is = —4 (Xx — Xx). e

dt? y

E

La

y a ABÓN DE,
xXx e apa pel

Y empleamos los senos, porque suponéniós;: que l:
sas M y m, parten de su posición de pios y que, y?
tanto, para +=0 se ha de tener x=0, x=0. Ahora bi en,
empleando el seno, las mismas ecuaciones por su forma
satisfacen á esta condición inicial, y sólo queda que satisfa-
gan á las ecuaciones diferenciales, y que, para i= 0, M
tenga la velocidad v y m la velocidad V.

Obteniendo los segundos coeficientes diferenciales respec-
to á f, y substituyendo en las ecuaciones primitivas, ten-
dremos

— AMP? senbt = a? (A senbt— A senbt),
— A'mb? senbt = — a? (A senbt — A senbt),

Ó bien,
— AMb? =a?(A'” — A)
— A mb? = —a(A' —A),

que se transforman en,

A (a? — Mb?) =RA',
A a? = 4' (a? — mb?).

Dividiendo, resultará una ecuación, que no tendrá más in-
cógnita que b, y de cualquiera de ellas deduciremos la rela-
ción entre A y A”.

Efectuando estos cálculos, resulta:

a? — Mb? a?
a? a —mb?”

— 603 —

de donde,

en que el valor de b es real. Y por otra parte, substituyendo
este valor de b? en la primera ecuación, y simplificando,

Si diferenciamos los valores de x y x” y hacemos f=0,
como las velocidades iniciales son v y V, resultará

dx

—— = Ab cosbt,
dt
O
dt
Marat =0,
v == ADE
de donde
A UE AN ES E
b b

Estos valores de A y A” no son incompatibles con la rela
ción anterior, porque tenemos, haciendo la substitución,

y por lo tanto, Mv + mV=o0, que fué la condición á que
sujetamos las dos velocidades iniciales.
El tiempo del período, se deducirá del valor de b, que ya

saber, de a, M ym: lo desig cl

nac o en funció

Las ecuaciones del movimiento. para mb:
substituyendo por A y A” sus valores, serán, ]

senbt,

senbt.

De aquí se deducen las velocidades, sus cuadrados y las
fuerzas vivas en cada instante, es decir,

Laia = Y cost,
di
sE GUCos mt;
di

2
M el = Mv*cos?bt,
di

''N2
m Es = m V*cos?bt;
di

y los valores medios, por el procedimiento ordinario, que
serán

para M..... MY,

para m 2 mV,

Si la ley de equilibrio de temperatura consistiera en la D k
igualdad de las fuerzas vivas medias para todas las molécu-

- E

— 605 —

las, estas dos expresiones deberían ser iguales; pero no lo
son, porque de la condición establecida al principio

», Mv +mV=0,
Ñ se deduce
M?v? = m? V?,
Ó bien
1 1 A
M-— Mv = m — mV?.
a 2

De suerte que, en vez de ser iguales, resultan en la rela-
ción de m á M.

Si este ejemplo, en vez de ser caso particularísimo, fuera
el caso general, deduciríamos, que para que dos cuerpos de
distinto peso molecular estén en equilibrio dinámico, la ver-
dadera condición no es que las fuerzas vivas medias sean
iguales, sino que la función

Ma Mv?
2

sea constante. Luego parece que la fuerza viva media de
cada molécula no puede ser proporcional á la temperatura,
y por lo tanto no la puede representar.

Lo contrario parece deducirse de la ley de Dulong y Petit,
la cual, si fuera universal, daría para el equilibrio dinámico
la igualdad de fuerzas vivas.

Todo esto confirma lo que hemos dicho ya en otras con-
ferencias, á saber: que la Termodinámica establecida direc-
tamente sobre el movimiento vibratorio de las partículas de
los cuerpos, ofrece en el momento presente grandes dudas

a Bs

, a
hi

y contradicciones. Y es que la hipótesis, por satisfactoria que | K

sea, no está todavía bien definida.
Sobre todos estos problemas volveremos á insistir en cur-

sos sucesivos; en estas conferencias, que son una introduc- -

ción á la Física matemática, y una introducción, nótese bien,
de carácter elemental, no es posible que entremos en más
amplio desarrollo.

Pero de todo queremos decir un poco, y algo debemos
decir todavía sobre la vibración de estos sistemas elementa-
g: les que vamos estudiando y que son

como símbolos ó abreviaturas de los

verdaderos sistemas de tres dimensio-

nes, que hemos de estudiar más ade-
- lante.
, Hasta ahora no hemos examinado
más que sistemas lineales de molécu-
las, y en estos sistemas las vibracio-
¿| nes longitudinales. :
2d Digamos algo, muy poco; tan poco,
Pu, que sólo será una indicación, sobre
las vibraciones transversales.

Sean dos moléculas de masas igua-

A E les m y m', fig. 18, y supongamos que
18 se separan en sentido perpendicular
: — ála recta que las une, de suerte que
bi7* a m en un momento cualquiera está en
asi ay m end.

Como ya estudiamos las vibracio-
nes longitudinales, estudiando ahora,
Ó indicando cómo pueden estudiarse
las vibraciones transversales, quedará indicado también el
método para el caso general de vibraciones oblicuas, toda

Figura 18.

A VE sy

pr O,

vez que éstas pueden descomponerse en una vibración lon-
gitudinal y dos transversales.

La distancia a a” es distinta de m m'; por lo tanto, ya no
subsistirá el equilibrio, sino que se ejercerán acciones igua-
les y opuestas entre ambas moléculas.

Si m m/ es la distancia de equilibrio, las acciones entre a
y a' serán de atracción; sus componentes, paralelas á m ní,
darían lugar á vibraciones longitudinales, de las cuales aho-
ra prescindimos, y sólo vamos á estudiar sus efectos sobre
las rectas transversales m a, m' 4,

La función que determina la fuerza en valor de la distan-
cia, es siempre f (r) en este caso f (ad').

Pero tenemos, haciendo ma =x y mM 4 =xX',

ad Van + 00) Vi? Gó—
1 (1 SL (a E
0 Í ” dá,

Desarrollando y no tomando más que los dos primeros

términos,
, A A 1 h y
A e LE
2 Fo 2Ñe
y, por lo tanto,
- 1 ; a
fad) =$(1+ 37 0 — x)) =
20
; 1 , z
= fro) + $ (ro) a (e — x)”;
Fo

no tomando en el desarrollo de x más que los dos primeros
términos también.

— 608 —

Y por fin, recordando que f (r,) es cero,

faa”) = ¿El (é— xy.

Observemos de paso, que este resultado difiere en cuanto
á la forma de todos los que hasta aquí habíamos obtenido;
porque en vez de resultar la fuerza una función lineal de las
distancias al punto de eS, resulta la segunda potencia
de la diferencia.

Pero es más; como las fuerzas actúan en la línea aa” y
queremos estudiar los movimientos transversales, tendremos
que proyectar dicha fuerza sobre las expresadas líneas ma,
ma, multiplicando á este fin por el coseno del ángulo a'ab;
pero cos a'ab = Ja ae = £-2 próximamente.

ad ño

Resultarán, por último, para las ecuaciones del movimiento

de ambas masas,

2 y A
AE a PISE A

|
|
|
|
|
|

df? 2F0 ro
2 , , , E
PI, TE q Ly ES
df? 2Fo fo
Ó bien representando m E cantidad positiva, por a”,
Fo
d?x ;
SAR
ro ( )
dx
= 0 (£ — 2).
dt? ( )

Sumando las dos ecuaciones, obtendremos un resultado

a 6002
e

que puede integrarse dos veces, y por lo tanto una primera
integral;

id A 0
df? Ñ

Si para f=o0 suponemos las velocidades iguales á v y

contrarias, con lo cual se evita el movimiento del centro de
gravedad (fig. 18 bis), tendremos

pe
, m PE 7
pq í(__MMMM>M¿M¿¿RdqTT]A]A] A
dx + de = (0. Na, m*
dt di : aa]
a
: Figura 18 bis.
Volviendo á integrar, y suponiendo

que los puntos parten de la posición de equilibrio, y que,

por consiguiente, para tf = 0, x y x” son nulas, resultará la
primera integral,

CERO SS XK,

lo cual era evidente desde el principio por razón de simetría.

Las dos ecuaciones diferenciales resultan iguales, en este
caso, á

Ed AL 2 y3
de 8a?2x3.

Esta, como es sabido, se integra directamente multipli-
cando por 2 dx. |

Tendremos, pues,

2
calla = — 00PXx* >< 2d Y:
d f?.

A A A
. is Te e O h PA +]
; E « , Ed a >

de donde

a) = 40 + €.

' Ade
Como para f = 0 la velocidad es v y x es cero, la ole
tante se determinará inmediatamente: "8

r=+C<cC
y
2
di
ó bien
e e A ZU
Vr? — 4a?x'

Esta última ecuación se integra por una cuadratura; pero
como bajo el radical de segundo grado hay un polinomio de
cuarto grado, claro es que la integral será una función elíp-
caia Y

La función inversa, también es periódica, y sin dificultad
pudiéramos discutir este caso; mas para nuestro objeto no
tiene importancia, y por lo tanto nos contentaremos con lo
dicho.

Este movimiento de vibraciones transversales no tiene
aplicación á los que se explican en la Física matemática, ya
en la teoría de la luz, ya en la de la elasticidad.

Para aproximarnos, aunque sólo sea en forma simbólica á
los expresados problemas, que en su día estudiaremos como
ellos son en sí, necesitamos plantear el ejemplo de otro
modo,

Supongamos dos rectas paralelas, AA', BB' (tig. 18), que

= 611 —

distan entre si r,, y en estas dos rectas, formando cuadra-
dos de lado r,, distribuidas unas series de masas iguales
My, May Mano

Suponemos que á todas las masas de la línea BB” se les
comunica la misma velocidad v,, y á todas la masa A A” otra
velocidad distinta v..

Claro es que se romperá el equilibrio que existía en la
distribución primitiva, y que las masas de una y otra línea
tomarán un movimiento vibratorio, pero todas á la par, es
decir, las de cada línea, porque todas se encuentran en el
mismo caso, y sujetas á las mismas fuerzas; es como si las
líneas completas oscilasen una ante otra.

Estos son los movimientos oscilatorios transversales.

Como para cada línea, la distancia entre cada dos masas
es siempre r,, claro es que no habrá ni condensación ni se-
paración de masas, y lo que podemos llamar la densidad de
cada línea, quedará invariable.

Todavía, para simplificar, supondremos que el radio de
actividad para las atracciones ó repulsiones es superior á la
diagonal de cada cuadrado, pero inferior á la del rectángulo
que forman dos cuadrados.

En estas hipótesis es fácil establecer la ecuación del mo-
vimiento para cada molécula de cualquiera de las dos líneas.

Sobre la molécula m, no pueden influir más que las tres
moléculas m,, m,, m, de la línea opuesta A A”.

Las moléculas de su propia línea BB" no influirán, porque
suponemos que se muevan á la par todos los puntos de di-
cha línea.

Con la molécula rm, no hay que contar tampoco, porque su
acción depende, como acabamos de ver, de (x — x”)?, y las
acciones que vamos á calcular son de primer orden, (x — x”).

No hay que tener en cuenta tampoco las acciones longitu-
dinales en el sentido rm, m,, pues sólo tratamos de oscilacio-
nes transversales en el sentido 44”, BB”.

En resumen, debemos determinar las acciones de m, y m.,

— 612 —

sobre m,, y de estas acciones, los componentes según BB”,
Supongamos que en un instante cualquiera,
m, ha recibido el desplazamiento x,, viniendo á c;
m, el x,, ocupando la posición y,
y m, el x,, llegando á f.

Sobre m, cuando llegue á c, actuará una fuerza en la di-
rección Cf: llamémosla q; e
sobre m,, al mismo tiempo, actuará otra fuerza según cg, |

que llamaremos 0,.

Serán las únicas eficaces: las demás de la línea A 4” están
más allá del radio de actividad molecular; m,, como hemos
dicho, produce una fuerza de segundo orden de pequeñez,
y las de la línea BB” están simétricamente colocadas respec-
to á m,.

Calculemos v: tendremos:

e =cf) =/HVed* + af") =
=F (Vr, + (Mo + Xy — x,)) 7
=f (Vr: Ad E LLE 1) (A

Despreciando (x, — x,)? y simplificando:

1 (V2r paro —x0) =1| Var (142333)

0

Como suponemos que x, y Xx, son muy pequeñas respecto
de r,, podremos desarrollar el radical, y no tomaremos más
que los dos primeros términos del desarrollo: resultará

=1[Var(1+%2)]|=
2 Er,

Es (, v2+ 1% (xy — xy) )

— 613 —

y para el desarrollo de la fuerza,
HnNgl7 771 (V2) 0 x,

Para buscar la componente según cB”, hay que multipli-
car x por el coseno del ángulo fcB”, que aproximadamente
es ángulo m, m, m,, porque X,, x, son infinitamente peque-
ños: así, puesto que m, m, es la diagonal del cuadrado,

, , m,m r 1
cos fcB' = cosmam,B” = == = —,

mm Vers V2
luego

ecos] cB == ca $ (7, Y 2) Sa =p (r,V 2) (0. 060k
v2 2

Calculemos ahora la fuerza según cg = vo. La marcha es
idéntica á la anterior: repetiremos los cálculos abreviando.

=F (cg) =FHV ro? + (ro +1 — x0)*):=
=f (yr: Eo? ie 2 x,)) ==
=f(y 21, FL 2).

Pero las distancias entre los puntos sobre la línea A4” se
conservan constantes; luego x, = xy, y por lo tanto

e =$ (V2r,; + La x3)),
que es de la misma forma que x, con sólo cambiar Xx, — Xy

POr X, — Xz.
Podremos escribir desde luego:

o, tosgcB = == vl Ar 2) + e (7, V2) (X= Xg).

— 614 —

vcosfcB" — v»,cosgcB = f' (7, V 2) (X¿ — X,). Ñ

La ecuación del movimiento de m,, será, pues,

m 2 — mf (1/2) (6x0)

ó poniendo

mf (7, V 2) mE a,
a = (? (X¿ — X1).

Del mismo modo la ecuación del movimiento de otro pun-
to de AA” será
1 ka
—— = 40? (X¿ — X,).
7% (xa 21)
Ambas ecuaciones son de la forma ordinaria y no hay más
que dos incógnitas;

X1 Y X= X2,

porque todas las x de cada línea son iguales.

Podríamos repetir, por lo tanto, lo que hemos dicho para
las vibraciones longitudinales.

No insistiremos, pues, sobre cuestiones ya estudiadas.

Pasemos á otro ejemplo más, tomado todavía de la teo-
ría del calor, pero que bien al contrario del ejemplo anterior,
ofrece una gran sencillez, una gran claridad y una armonía

— 615 —

perfecta con los resultados experimentales, al menos en
cuanto á la forma de la ley física,

Es un hecho que, por regla general, los cuerpos se dila-
tan por el calor.

El físico hace constar este fenómeno: cuando la cantidad
de calor de un cuerpo aumenta, en general el volumen de este
cuerpo crece, y, por el contrario, volumen y temperatura de-
crecen á la par.

Y la Física experimental, para mantenerse en la pureza y
en la severidad de sus principios, debería contentarse con
señalar el fenómeno y con marcar los dos parámetros funda-
mentales que en él se presentan, á saber: cantidad de calor
suministrada al cuerpo y aumento de volumen de éste; y
no más.

Y claro es, que suponemos en este enunciado, que la pre-
sión es constante, porque los parámetros fundamentales de
todos los problemas de Termodinámica, son los mismos que
ya hemos señalado para los gases: volumen, presión y tem-
peratura.

Por ahora prescindimos, como queda dicho, de la presión,
por suponerla constante; y aun en el caso que vamos á exa-
minar, supondremos que es nula.

El físico no sabe cuál es la naturaleza del calor, ni al realí-
zar sus experimentos debe tener ninguna idea preconcebida,
ni debe partir de ninguna hipótesis.

No conoce del calor sino sus manifestaciones sensibles y
características, sus determinaciones prácticas, ó sean sus ma-
nifestaciones naturales y, sobre todo, su medida.

El físico sabe cuándo una cantidad de calor es doble de
otra, y cuándo es triple, y cuándo están dos cantidades de
calor en la relación de m: n.

La Calorimetría le enseña á resolver todos estos problemas
prácticos.

Por otra parte, sabe medir volúmenes, de suerte que tiene
unidades para medir el calor, y aun si no quiere plantear el

Rey. Acap. Crexcias.—IV.—Junio, 1906, 42

— 616 —-

problema de esta manera. y prefiere substituir á cantidades

de calor, grados de temperatura, que no es seguramente la
misma cosa, tendrá también unidades de medida para las
temperaturas y los volúmenes; sólo le queda en este proble-
ma una cosa: obtener experimentalmente la función que en-
laza estos dos parámetros, á saber, volumen= función tem-
peratura. 4

Y esta relación, mientras los cuerpos no están próximos á
cambiar de estado, mientras no han perdido, por decirlo de
esta manera, sus condiciones de equilibrio estable, esta re-
lación es bien sencilla.

Si se trata, por ejemplo, de las dilataciones de una barra
por el calor, la función es lineal, los incrementos de volumen
son proporcionales á los incrementos de temperatura y la Fi-
sica estudia prácticamente la cuestión y obtiene los coeficien-
tes numéricos que corresponden á cada cuerpo.

La Fisica matemática clásica no se contenta con el hecho,
busca su explicación, y, precisando aún más, busca su expli-
cación mecánica.

Para ello, parte de la hipótesis, que establecimos en el
ejemplo anterior, y que á tantas dudas, á tantas contradic-
ciones y paradojas puede dar ocasión.

El calor, decíamos de una manera vaga, consiste en la
agitación interna de las partecillas que constituyen un cuerpo.

Es un movimiento complejo, un conjunto más ó menos
complicado de vibraciones.

Y lo cierto es, que el calor como cantidad se mide por ki-
lográmetros, y este es un resultado experimental y univer-
salmente reconocido, aun por los que más rechazan la teo-
ría del calor como modo del movimiento.

Aplicando esta hipótesis al problema que tratamos, Ó sea

— 617 —

al de la dilatación de los cuerpos por el calor, la explicación
parece natural y hasta de sentido común.

Más que natural, vulgarísima: entra en cierto modo por
los sentidos.

Cuando en una masa de gente se determinan grandes agi-
taciones, al procurar cada persona espacio mayor en que mo-
_ verse, empuja á los que le rodean, y éstos á los demás, y
la masa humana tiende á ensancharse; pudiéramos decir que
se dilata en el espacio.

Pues una cosa parecida debe suceder con un cuerpo cuan-
do aumenta la agitación de sus partículas.

A esta idea sencilla y satisfactoria como explicación del fe-
nómeno, le dió forma matemática hace muchos años, si mal
no recordamos el año 1876, en una nota que publicó en el
periódico Les comptes rendues de la Academie de Sciences
de Paris, el ilustre sabio Saint-Venant.

Esa nota es la que vamos á reproducir en substancia.

Véase la figura 7.* de la tercera conferencia, y tomemos de
aquella figura la curva que representa la acción entre dos mo-
léculas; mas para seguir el texto de Mr. Saint-Venant, inver-
tiremos dicha curva, suponiendo que las fuerzas atractivas, se
cuentan en la dirección de las x negativas (fig. 19.).

De aquí se deduce, que así como en los ejemplos anterio-
res f' (r,) era positiva, aquí será negativa, como lo muestra
la tangente en c.

En cambio, f” (r,) será positiva, porque la curva vuelve
su convexidad hacia abajo, al menos esto suponemos.

Admitamos dos masas iguales á m, la una en o que es el
origen de coordenadas; la otra en c á la distancia oc =r,
de equilibrio.

Mr. Saint-Venant toma, pues, un elemento compuesto de
dos moléculas: es, si se me permite la comparación, lo que
pudiéramos llamar la celdilla de un cuerpo; y viendo lo que
pasa en ella, y acumulando efectos análogos entre cada dos
celdillas, podremos formarnos idea de los efectos totales.

— 618 —

En este ejemplo, el cuerpo sólo tiene para nosotros dos
moléculas, y vamos á ver si aumentando la velocidad de vi-
bración, que en nuestro caso es como aumentar el calor del
cuerpo, y aun diremos más, es aumentar la temperatura, por-
que suponemos resueltamente, que la temperatura se confun-

de con la fuerza viva media; vamos á ver, repetimos, si el
sistema se dilata, es decir, si o c aumenta.

vd

Figura 19.

Supondremos además que una de las moléculas está fija en
el origen, lo cual no es un inconveniente, pues sólo tratamos
de estudiar movimientos relativos.

La otra molécula está en c á la distancia de equilibrio r, de
la primera.

Si oscila á un lado y otro de c entre c” y c”, entonces no
habrá dilatación, porque las dimensiones de los cuerpos se
determinan para nuestros sentidos, y aun para los aparatos
de medida más perfectos por dichas distancias de equilibrio.

Aunque nosotros pudiéramos ver las dos moléculas m y
apreciar con la vista la distancia o c y aun medirla con algún
aparato muy sutil, aunque la molécula oscilase entre c” y c”,
como estas distancias son pequeñísimas en comparación

— 619 —

con r, é iguales, aun así, para nosotros, la longitud del cuer-
po sería siempre r,: verdadera distancia media.

Si el cálculo nos da que'la distancia media o c es constan-
te, rigorosamente constante, el cuerpo de que forman parte
ambas moléculas, no cambiaría de dimensión por el calóri-
co, y existiría una contradicción evidente entre la Física ex-
perimental, que con la evidencia de los hechos afirma, como
antes vimos, que los cuerpos se dilatan cuando la tempera-
tura aumenta, y que las dimensiones lineales crecen propor-
cionalmente á los aumentos de temperatura, y la Física ma-
temática que nos dijera: las distancias medias son constan-
tes; los cuerpos no se dilatan por el calor.

Claro es que si así resultara, tanto peor sería para la Fisi-
ca matemática.

Pero, aunque así resulta á primera vista, un estudio más
completo salva la dificultad, y el acuerdo es plenamente sa-
tisfactorio entre el hecho experimental y la teoría matemática.

Establezcamos, ante todo, la ecuación del movimiento de
la molécula m, y advertiremos, para seguir puntualmente las
hipótesis de Mr. Saint-Venant, que en f (r) está compren-
dido el cuadrado de la masa mm.

La ecuación del movimiento será, llamando como siem-
pre x á la excursión variable cc” de la molécula,

m — (EN
E Fr)
ó bien
d?x
=$ to — x),
cre Pr 2)

que desarrollando, tomando tan sólo el primer término en x
y recordando que f (r,) =0, dará

d?x de f' (ro) Xx.
de m

e

Como f' (r,) es negativa, podemos poner

Q
19
e

== 0%:

Mr. Saint-Venant, hace una observación, que para nues-
tro caso no tiene importancia, pero que pudiera tenerla en
otra clase de investigaciones.

A saber; que q = — q? es un número abstracto in-
dependiente de las unidades de medida.

Para ello, observa que la masa m, es la relación del peso p
á la constante de la gravedad g; es decir, el cuociente de
una fuerza por una línea; pero la expresión anterior, puede
ponerse bajo esta forma,

df (r,)
FO) E

m ¿NS
q

De suerte que, así el numerador como el denominador,
son la relación de una fuerza á una longitud.

Apuntamos esta observación sin analizarla y pasamos á
integrar la ecuación diferencial del movimiento; y, como ya
hemos integrado varias veces ecuaciones análogas, reprodu-
ciremos los cálculos sin explicación, advirtiendo sólo, que la
molécula m parte en el instante inicial de la posición de equi-
librio, con la velocidad v,.

La integral es evidentemente,

x= Asenal,

siendo A y a dos constantes.

— 621 —

- Substituyendo en la ecuación diferencial

— Au?senat = — Aa?senat,
de donde

a=0,

no tomando más que el valor positivo.
La integral tendrá la forma:

x = Asenat.
La velocidad es
E = Aacosat;

pata == 0,

Ye =D>
de donde

A =

Q

Y en definitiva

V
x =-—2 senat.
Q

En el instante f la dimensión del cuerpo, es decir, del sis-
tema de las dos moléculas, será oc”; si nuestros sentidos
pudieran apreciar estas distancias infinitesimales, diríamos
que el cuerpo se había dilatado desde oc hasta oc”.

Pero en otro instante, cuando la molécula estuviera en c”,
diríamos que el cuerpo se había contraído desde oc hasta oc”.

Como en la Naturaleza, nuestros sentidos, y aun los apa-
ratos de medida, no pueden apreciar más que distancias me-
dias, lo que tenemos que calcular, es el valor medio de oc

— 622 —=

en un período de tiempo que será evidentemente como sa-

bemos f = ió

Calculemos dicha distancia media.

Valor medio de oc = valor medio de (r, + x) =

25 5, (e + E senat) dí.
A a
Valor medio (r, + x) =

cil Meadl "Yo senatdt.
0) JA

Pero la última integral es evidentemente nula, porque hay
que tomar cosaf entre o y %, es decir [cosav — coso], Ó
sea cos2a — coso =1-— 1 =0.

Sólo nos queda la primera integral, que será

6
dr rat = (1) = Fo.
6 0 0 0

De suerte, que sea cualquiera la velocidad v,, por lo tan-
mv?

Y así

to, sea cual fuere la temperatura

, la distancia media

en las moléculas es la misma que en el equilibrio.

El sistema no se ha dilatado; si aquí tuviéramos que de-
tenernos, la contradicción entre la teoría y la realidad sería
evidente.

Pero no se olvide que la ecuación diferencial de que par-
timos, es sólo aproximada, y es muy posible que calculán-
dola con mayor grado de exactitud, podamos salvar la difi-
cultad, puesto que, al fin y al cabo, se trata de cantidades
muy pequeñas.

— 623 —

Esto sucede, sin ir más lejos, como ya indicamos en otra
conferencia, con la velocidad de la luz, que resulta indepen-
diente de la longitud de onda, de suerte que la dispersión de
los colores es inexplicable si no se acude á una teoría más
perfecta.

Precisamente es lo que vamos á hacer ahora, tomando en
el desarrollo de f (r, + x), no sólo la primera, sino la segun-
da potencia de x.

“Tendremos, pues,

d?x
dt?

= 0H +=) +F (rx + SF (ro) x2;

Ó bien haciendo

fa Ki (10) = b?,
m
d? x Ae f' (ro) x+ fro) Ed
dt? m m 2
también
ER PAI RA ARES
dt? m m 2ro
y por fin
dex S
= —(Qx NA
dt? e 2F0

Mr. Saint-Venant, procurando que los coeficientes sean
números abstractos, introduce, como vemos, r, en el numera-
dor y en el denominador del último término del desarrollo.

Para nuestro objeto, dicha modificación no tiene impor-
tancia.

La ecuación anterior es la que debemos integrar y repre-
senta evidentemente una mayor aproximación que la primi-

— 624 —

tiva: en ella entra ya la segunda derivada de la función
que expresa la fuerza.

El método de integración es también aproximado.

Si nosotros conociéramos el valor exacto de x, lo po-
dríamos substituir en el término que contiene la segunda po-
tencia, como una nueva aproximación; pero ya que no lo co-
nozcamos, conoceremos el valor aproximado que hemos ob-
tenido por la primera aproximación, es decir,

v
x = —senat,
a

y éste es el que substituiremos en la ecuación diferencial

d?x E dde b? Ye.
ai 2F

Resultará, por lo tanto,

2 2 2
d?x e 10 Vo
dt? 2% a?

Tenemos, pues, que integrar esta ecuación, que es una
ecuación diferencial lineal de segundo orden, pero con últi-
mo término, que para abreviar representaremos por F (ft),
es decir,

F (t) == PEI sen? at;
2

y la ecuación se convierte en

d?x
dt?

= — (04x +F(t).

— 625 —

El procedimiento para integrar esta ecuación, es elemen-
tal, y pudiéramos desde luego establecer el resultado como
Mr. Saint-Venant hace en la nota á que nos referimos.

Pero como estas conferencias están dedicadas á la ense-
ñanza, y es mi deber facilitar á mis oyentes el estudio de la
Física matemática, descendiendo si es preciso á los porme-
nores más elementales, y ejercitándoles en materias ya estu-
diadas, como por ejemplo, el Cálculo y la Mecánica, pero
cuyos recuerdos acaso estén algo apagados, expondré el pro-
cedimiento de integración de la ecuación precedente, que
por lo demás, en cualquier tratado de Cálculo pudiera en-
contrarse.

Este procedimiento consiste en agregar á la integral de la

2

4

ecuación incompleta, es decir, de la ecuación

57

Y E >
2_ sen at, dos términos más,

que como sabemos es x =

con un seno y un coseno del mismo período a, y multiplica-
dos por funciones de f, que por el pronto son indetermina-
das y que ya determinaremos como más nos convenga para
efectuar la integración.

Es decir, que el valor que vamos á ensayar para x tiene
esta forma:

Y :
x =-— senat | csenat E c'cosat,
a

en la que c y c” son funciones todavía indeterminadas de t:
la) A ds A

Las c, c” de los segundos miembros son símbolos de fun-
ción: como si pusiéramos

FO, ft).

— 626 —

La forma del valor de x no es tan caprichosa como pudie-
ra creerse; con un poco del instinto del cálculo y algo de
práctica se comprende la conveniencia de introducir senos y
cosenos del mismo arco, que al diferenciarlos se reproducen,
de modo que no introducirán, en el resultado de substituir el
valor de x en la ecuación diferencial, más que el mismo seno
y el mismo coseno, cuyos coeficientes veremos si pueden
igualarse á cero.

Por lo demás, las funciones c y c' son indeterminadas con
el objeto de sujetarlas á las condiciones que nos convengan.

Y veamos ahora si es posible satisfacer de este modo á la
ecuación diferencial.

Tendremos, diferenciando una vez,

dx ;
— = py, cosat + cacos at — c'asenal,

dt

,

dc a
—— sena — —— cosaf.
a dd, + dt

d?x

2

Al diferenciar segunda vez para obtener y substi-

tuirla en la ecuación diferencial, se nos va á complicar el re-
a rs

sultado, porque van á entrar en él ; :
RL

Para evitarlo, podemos igualar á cero toda la segunda lí

nea, lo cual es posible, porque no es más que sujetar c y c'

á una condición, y al fin y al cabo son dos funciones arbitra-

rias de f, y además en toda esta línea no entra más que di-

cha variable independiente f.

Tendremos, pues, la condición

,

cosat= 0, (1)

de
—— senaf
dt 5n

con lo cual el valor de _ quedará reducido á

— 627 —

E = 1, cosat + cacosat — c'asenaf.

Diferenciándolo por segunda vez, para obtener el segundo
coeficiente diferencial que hemos de substituir, tendremos:

= — Va senat — ca?senat — c'a? cosat,

,

asenafl.

+ O Be

Substituyamos este valor y el de x en la ecuación diferen-
cial y tendremos:

— Vasenaf — ca? senaf -—
Y

= ar (seat csenat-
a

—c'a?cos ES acosat—
di )

C | e cosar) + F(t).

d
-— —- qsenaf.

Simplificándola, se reduce á la siguiente:

,

— a cosat E aseñat= F(tY (2)

y si ésta se reduce á una identidad, claro es que el valor
de x que hemos ensayado, será una integral general de la
ecuación diferencial.

Luego veremos respecto á las condiciones iniciales.

Pero esta ecuación (2) en que sólo entra la variable £, con-
tiene dos funciones indeterminadas, c y c”, á las que hasta
ahora no las hemos sometido más que á una sola condición,
la condición (1).

Luego, en resumen, no tenemos más que determinar las

A IIA

078. = ES

formas de c y c” de modo que satisfagan á las eii

nes (1) y (2). ; 3
Reproduzcámoslas, pues, |

de de
—— senal LC cosat=0,
di 37 dt

,

ne acosat — LN asenat = F(t).
di dt

- , resultará:

dc
Despejando ——
pe] dl y

— (asentat + acos?at) = cosatF(t),

“— (asentat + acostat) =— senatF(t);
ó bien
As — F(t)cosat
di
dc'

1
— = -—-—F(ft)senat;
di a (0

é integrando respecto á f para obtener c y C”:
1 É
C ==f F(t)cosat. dt,
aJo

t
Cc =-— ea] F(t)senatdt,
aJo

“Substituyendo estos valores en el de x, tendremos para la
integral general

— 629 —

É
x= RN sen a f ora F(t)cosaf. dt -—
a q 0

cosaf

É
nl F(t)senat. dt,
a 0

que es la que Mr. Saint-Venant obtiene.
É
Ahora es preciso hallar las dos integrales a F(t) cosat. di
v 0

Ét
yf F(t)senat . dt, que son bien sencillas.
vz 0
Substituyendo por F (t) su valor

5 9
b? Vo”

2

sen?at,

en que para abreviar la escritura pondremos

E ri
270 a?
con lo cual
F(t) = Hsen*af,
resultará

É
HS sen?atcosat. dt,

»Í
3
H $" sen at.dt,

para las dos integrales en cuestión, que se integran desde
luego.
Así

É É
dx Eb) cosat di =H || sen?afcosat . dí =
0 9

tb
Duel, (senta!) == ES sen*at;
3a 30

0%) —
t É p

f: F(t) senatdt = Hf sent at.dt=
0 0

Ét t
—= HS. senat(1 — costat)dt = Af senat. dt —

É
A cos?atsenatdt= — E (cosat—1) -
0 a
ONeostazl 4
a a 3 3)

Substituyendo estos valores en x, tendremos:

x= Y senat+ Sd . E sentat —
q a 3a
3 p
Ad cosaf lo O costat
a a 3 3

que haciendo algunas reducciones sencillas, y poniendo

sentat — costat = (sen?at + cos?at) (sentat — cos?at)=
= sen?at — costat = 1 — 2cos*af,
se reduce á

x= senat “- peca (1 — cosat)?,
a E

ó substituyendo H por su valor,

x= senat+ a (1 — cosat),
q 0

6atr

que es la fórmula finai de Saint-Venant.
Esta expresión de x satisface á la ecuación diferencial,
porque precisamente con esa condición hemos determinado

.
'
|

— 631 —

sus constantes y sus funciones arbitrarias. Y además, direc-
tamente puede comprobarse.
Veamos ahora si satisface á las condiciones iniciales.
Para t = 0 el segundo miembro se reduce á cero, porque
en el primer término entra un seno y en el segundo un cose-
no, que se reduce á la unidad y anula el término en cuestión.
Respecto á la velocidad, tendremos, diferenciando el valor
de x respecto al tiempo,

dx b?y,?
—= = p,cosat + —— (1 — cosaf) asenat.
se o E Sar, ( )

Para f = 0 se reduce, como debía ser, á

De suerte que el valor de x satisface á todas las condicio-
nes del problema.
Dicha expresión de x, puede ponerse bajo esta forma:
b?v,?

x= —— + Asenat + Bcosat + Ccos* at,
6atr,

representando por A, B y C, para abreviar, los coeficien-
tes constantes de los tres términos trigonométricos y depen-
dientes de f.

Esto nos prueba que la posición del móvil en cada mo-

ES:
A==28
m d 2

Figura 20.

mento se puede considerar como la resultante de cuatro mo-
vimientos (fig. 20):

Rey. Acap. Criencias.—IV.— Junio, 1906. 43

— 632 —

1.7 Una traslación de la molécula desde m hasta d igual
b?v,?
6atro
ciones periódicas del mismo período y que se superpondrán
sobre la línea 0x. >

Nosotros, para mayor claridad, las hemos separado en
A,ByC.

El movimiento continúa siendo periódico, y hasta puede
suponerse que el periodo es a, que en rigor también lo es
del último término; pero las oscilaciones no se efectúan á un
lado y otro del punto de equilibrio m, sino á mayor distan-
cia, lo que prueba que hay un alargamiento en el sistema,
representado por el primer término.

Calculemos ahora el valor medio de Oc” =r,+- x (figu-
ra 19) que lo designaremos por f, + Xin.

Aplicando el método de siempre para las cantidades me-

á que fijará el punto d como el centro de tres oscila-

dias, y recordando que el período es U = 5 tendremos

sucesivamante:

A ps
E AÚÓ xdt = — — senat
27 Í de | po
a Q
+ Eu (1 —cosaty | dt;
6atr,
4 E
> ma 22 senatdt l-
z a
7

2%

+2f E — 2cosat + cos*at). di

6atr,

OS

De todos estos términos no quedan evidentemente más
que dos, porque los dos restantes dan como integrales cose-
no y seno, que tienen los mismos valores para los dos lími-
tes de la integral, y que se anulan.

Queda, pues,
27

UA
ELO Eat (1 + cos?at) dt =
2 , 6atr,
a
A
=f 2y,2 (1 $ 1 + cos2a ate
27 A 6atr, 2
a
da A cos2a) di=
2x J, Dat N2.:2
Q
27
2 2 E a 2 2
Uat” DAMOS dea VO A
27 4atr, 27 4atr, a
a ; a
y por fin,
2 DN
io

De donde se deduce que la distancia r, se ha converti- '
do en
b?v,?
4atr,

Ma

Hay, pues, un alargamiento proporcional á v,?, y, por

2
Vo

lo tanto, á

, que es lo que hemos llamado la tempera-

tura en este caso. Todos los demás factores son constantes
del sistema.

— 634 —

Luego en este caso particular que hemos presentado, en
esta especie de hilo, compuesto de dos moléculas, matemáti-
camente se demuestra que el hilo ó alambre se alarga, y que
se alarga proporcionalmente á la temperatura, como lo anun-
ció la experiencia.

Si queremos determinar la dilatación líneal, no tendremos
más que tomar la relación del alargamiento á r,, que llamán-
dolo o será

si A DO: Y
Po 1 ALEA AIN

poniendo por b y a sus valores.

Si nos proponemos calcular el coeficiente de dilatación por
cada unidad de la temperatura absoluta, bastará que divida-
mos el valor anterior por mv,? Óó por una cantidad propor-
cional, y tendremos, llamando « al coeficiente de dilatación
lineal por el calor,

g Pro)

144 — A A

mv)? FM

Esta fórmula no solamente explica el aumento de volumen
de los cuerpos por el aumento de calor, sino la disminución
en algunos casos.

Para que a tenga signo negativo, basta que cambie de sig-
no f” (r,); es decir, que la curva de la figura 19 tenga un
punto de inflexión.

*
ES

Vemos, pues, que un problema que parecía inexplicable
matemáticamente, y aun en contradicción con la experiencia,
se explica con facilidad suma sólo con apreciar un término
más del desarrollo de f (1); es decir, con un grado mayor de
aproximación en que entra la derivada f” (7,).

Pm...

A ct di

— 635 —

De igual suerte muchos problemas de esta especie de Ter-
modinámica lineal, como la hemos llamado otras veces, pu-
dieran explicarse de una manera directa.

Por ejemplo, el enfriamiento de un hilo al alargarse y el
aumento de temperatura de un cordón de goma también por
alargamiento, pueden explicarse por el juego de los dos coe-
ficientes f” y f”.

Ciertas fórmulas de la Termodinámica aplicadas á este
caso, encuentran comprobación, y entre ellas el mismo teo-
rema de Carnot, que resulta elemental.

Todo lo cual se comprende, porque hemos expresado en
términos de Mecánica los elementos del problema, y pode-
mos determinar inmediatamente, al aplicar á uno de estos
sistemas una cantidad de fuerza viva ó de trabajo, cómo se
va á distribuir en trabajos internos, en fuerza viva de las mo-
léculas y en trabajos externos.

Claro es, que no podemos entrar en todos estos desarro-
llos, que desvirtuarían el carácter elemental de estas confe-
rencias, las cuales no son como he dicho varias veces, más
que una preparación y un ejercicio para el estudio de las
grandes obras de los maestros.

En la conferencia próxima pasaremos á otra clase de ejem-
plos y presentaremos el último de todos, tomado del electro-
magnetismo.

— 636 —

XXVII.—Datos para la monografía del ácido quer-
citánico.

Por JosÉ RODRÍGUEZ MOURELO.

II

Investigaciones acerca de los métodos de obtención.

Entraña más de un problema, de difícil solución en la
práctica, el aislar puro, enteramente libre de alguno de sus
congéneres y sin que lo acompañen productos de su desdo-
blamiento, cualquiera de estos taninos calificados de glucósi-
dos, en cuya categoría está comprendido el ácido quercitáni-
co; pues la separación completa del rojo quércico pocas ve-
ces se consigue y siempre á expensas de la materia tánica. Por
eso es menester operar con cantidades de ella bastante con-
siderables, aunque sea de las más ricas de ácido; pues con-
viene tratar extractos alcohólicos diluidos, recoger sólo las
segundas fracciones en la precipitación de la sal de plomo,
evitar, en las ulteriores operaciones, que se descomponga por
entero, y poner los mayores cuidados en que los medios y
disolventes no contengan ácidos minerales, que provocan la
escisión de la molécula del glucósido y llega al punto que la
tengo notada, bien á las claras, cuando siendo completa la
descomposición del quercitanato de plomo por el gas sulfhí-
drico, quedaba en el agua un exceso de éste. De semejante
hecho pudiera sacarse un argumento en favor de la inestabi-
lidad del ácido quercitánico y cuerpos análogos, que acaso
explicaría sus particulares funciones en los organismos ve-
getales de donde provienen.

Una circunstancia especialísima ha de ser asimismo con-
siderada al obtener el ácido quercitánico, y es el estado que

— 637 —

puede tener en sus disoluciones; pues en algunas afecta la
forma coloidal, á lo que se infiere dependiente de la natu-
raleza de los disolventes, que en este caso es indispensable
que se hallen dotados de funciones ácidas bien acentuadas.
Quizá el dicho estado coloide, representante de modificacio-
nes relacionadas con algunas actividades de los cuerpos en
general, puede darnos cuenta de la generación y desdobla-
mientos naturales del ácido quercitánico, que tanto cambian
su papel en la economía de las plantas; ya sabemos cuál es
el del tanino en que me ocupo y no ha de asignársele el de
inútil residuo al flobafeno, que de su descomposición pro-
cede al cabo, y se acumula y concentra en determinados ór-
ganos, á los cuales pueden llegar ciertos derivados de las
transformaciones de la celulosa y principios azucarados, por
ventura capaces de unirse con aquel curiosísimo cuerpo y
regenerar el primitivo tanino, que, disuelto ó coloide, sería
transportado al lugar del vegetal donde fuesen más aprove-
chadas sus especiales propiedades.

Fuera siquiera cuestión resuelta la referente á la determi-
nación de la estructura molecular del ácido quercitánico y
estuviéramos de acuerdo tocante á la fórmula que la re-
presenta, y tendríamos ya un buen punto de partida, á lo
menos constante. Pero no es respecto del símbolo de su es-
tructura molecular donde hay variadas y contradictorias
opiniones, sino también cuando se trata, pura y simplemen-
te, de expresar sólo la composición química, y así dejo ya
notado cómo para Etti es C,, H,¿ O., y conforme á las in-
vestigaciones de Boettinger, C,, H¡¿ Oo. Semejante dispa-
ridad induciría á pensar si el cuerpo á que las fórmulas se
refieren es un compuesto definido con individualidad propia
Ó únicamente el producto variable de ciertas transftormacio-
nes químicas, en las cuales genéranse varias substancias,
capaces de coexistir reunidas formando el tanino de la cor-
teza del roble, que entonces resultaría complicadísimo glu-
cósido, del que sabríamos, por junto, que es el generador del

..

Sa

SUD A
A ¿

— 138 —

flobafeno, cuyo carácter de anhídrido no falta quien lo pone
en tela de juicio; pero aun así, constituye el término más
constante y estable de los desdoblamientos del ácido querci-
tánico en su calidad de glucósido dotado de función fenóli-
ca, relacionado, por el conjunto de sus metamorfosis y de
su misma generación, con el pirogalol.

Vienen, á mi entender, estas diferencias, y otras de mayor
cuantía, como la observación singular de Lóúwe, ya citada,
quien afirma no ser producto constante de los dichos des-
doblamientos la glucosa, y tienen su origen en la práctica
de los métodos de obtención, no tan rigurosos y bien esta-
blecidos que no induzcan á fáciles errores, los cuales llevan
á considerar como verdadero ácido quercitánico lo que es,
en rigor, una mezcla de este cuerpo con los resultantes de
su descomposición parcial ó incipiente, á la postre facilitada
con la presencia del agua y la temperatura, por lo general
cercana de los 100”. No he necesitado hervir los extractos
acuosos de mediana concentración de ácido quercitánico, ni
es indispensable que en los líquidos se desarrollen organis-
mos vegetales inferiores, me bastaba someterlos por cuatro
ó cinco horas á 80” y abandonarlos luego por sólo veinti-
cuatro, para advertir en ellos la presencia de la glucosa, lo
cual no acontece con los alcohólicos, á lo menos no estando
muy concentrados. Esto mismo explica el que, en las corte-
zas utilizadas en concepto de primera materia, al ácido quer-
citánico puedan acompañar, además de las materias coloran-
tes rojas, consideradas especialísimos anhídridos, otras dis-
tintas producidas en sus incompletos desdoblamientos y va-
riadas metamorfosis naturales.

Generalmente, en la práctica de los métodos corrientes,
cuando se trata de aislar substancias definidas, verdaderas
especies químicas que existen ya formadas en los organis-
mos de las plantas como obligados productos de las funcio-
nes de su vida, sólo se atiende á conseguirlas en los mayo-
res grados de pureza, sin parar mientes en sus propiedades

— 639 —

y estado inicial, cuando eran órganos ó partes de órganos y
hallábanse unidas á otras para cuya formación ó destrucción
fueran necesarias, ni menos todavía, con ser de importancia
capital, se mira á su génesis probable y contadas veces se
indagan las reacciones químicas posibles ó necesarias que
pudieron causarla. Según hacemos con los cuerpos aislados
en los laboratorios mediante operaciones sintéticas, cuando
seguimos todas las fases de su formación, partiendo de las
reacciones generadoras, completas ó incompletas, llevadas
á cabo entre moléculas de sencilla estructura, sería menes-
ter adoptar un procedimiento semejante respecto de estas
substancias poco estables, confundibles unas con otras, cuya
individualidad es difícil de discernir, y que se encuentran
formando parte de los vegetales y coexistiendo con los mis-
mos productos de sus alteraciones; que sólo de esta manera
podemos orientarnos para atribuirles sus funciones propias,
de ordinario mixtas, conocer sus propiedades caracteristicas
y adoptar medios seguros de aislar las verdaderas especies,
libres de toda mezcla é impureza.

Ya, en el caso presente, hay algunos hechos bien deter-
minados, los cuales pueden ser base y fundamento de cier-
tas inducciones respecto de la formación natural y caracte-
rísticas individuales del ácido quercitánico, y son: sus rela-
ciones químicas con los ácidos gálico y galotánico, pudiendo
acaso considerar al último generador suyo, las mismas pro-
piedades esenciales del cuerpo objeto de mi estudio, compren-
diendo en ellas las deshidrataciones, productoras de materias
singulares, acerca de cuya constitución no hay acuerdo, y
sobre todo, el desdoblamiento del glucósido, origen inmediato
del flobafeno, que á la hora presente está todavía mal cono-
cido, aunque se aplica en su calidad de colorante rojo. Re-
querían tales cuestiones el estudio que les he consagrado, y
aunque los resultados de la labor emprendida fueron escasos
y á veces inciertos, no por eso dejaron de prestarme valioso
auxilio en la interpretación de ciertos fenómenos y para ex-

O

plicar el mecanismo de los procedimientos de obtención y
sus fundamentos racionales. Mi intento era llegar á la sínte-
sis completa del ácido quercitánico, y si no he logrado se-
mejante propósito, creo haber esclarecido un tanto el pro-
blema de su individualidad química y el de la estructura de j
su nada sencilla molécula. |

Hállase repetido en todas partes que muchos cuerpos in-
cluídos en el grupo de los taninos tienen su origen inmedia-
to en el ácido galotánico típico, que formando diversos glu- |
cósidos aparece en las cortezas y otros órganos de diferen-
tes plantas. En el roble y la encina constituye gran parte de
la materia de las agallas, de donde toma su nombre, y aun
puede extraérsele de las propias cubiertas endurecidas del |
tronco, donde hay ácido quercitánico y rojo quércico, pro- |
ducto suyo; así, pues, no son imcompatibles y hasta no creo |
aventurado el suponer que el tanino de la corteza pudiera |
derivar del tanino de las agallas, dada la facilidad de éste |
para formar glucósidos, en general poco estables, según es 3
sencillo escindir la molécula en los generadores. Discurrien-
do conforme á tal hipótesis, y habida cuenta de que no está
definitivamente establecida la fórmula del ácido quercitánico,
no me parece imposible la reacción siguiente:

Ci Hijo O, + C;¿H¡9 O¿= C¡,H¡c60,0 (Boettinger) + CO, +3H50,

que indicaría sus relaciones de dependencia con el ácido ga-
lotánico, resultando un glucósido del mismo, á la par de
otros taninos de su grupo; transformación que, á lo menos
en parte, creo haber obtenido manteniendo á 80”, por una
hora, disoluciones acuosas de ácido quercitánico al 15 por
100 aciduladas con ácido clorhídrico: los líquidos, después
de fríos, presentaban reacciones de la glucosa y algunas
del ácido galotánico, á veces perturbadas por el flobafeno.

Llegaría acaso á pensar que el desdoblamiento del ácido
quercitánico es función de la temperatura, si no hubiese de-

E A

mostrado que á la ordinaria sus disoluciones acuosas, estan-
do bastante concentradas, se alteran pronto y no tardan en
contener glucosa; pero la total transtormación del cuerpo en
esta substancia y rojo quércico, se realiza calentando á 100”,
en tubos cerrados, durante algunas horas, el ácido quercitá-
nico disuelto en agua ligeramente acidulada con clorhídrico.
Sin embargo, conforme á la hipótesis enunciada, podría el
cambio efeetuarse de dos modos distintos, condicionados por
la temperatura; y en apoyo de tal conjetura citaré el hecho de
que muchas veces, al aislar el ácido galotánico, adviértese
que le acompaña la glucosa, y durante algún tiempo creyó-
sela producto de sus descomposiciones, cuando menos inci-
pientes, asignándosele, por ello, el carácter de glucósido; mas
luego se ha demostrado la procedencia del azúcar de otros
taninos que lo son sin duda alguna y que acompañan ó con-
tienen el peculiar de las agallas: su unión Ó mezcla, á la que
son inherentes cuerpos procedentes de las metamorfosis que
experimentan, dificulta grandemente el aislarlos puros y en
condiciones de estudiar sus propiedades individuales.
Inciertos son todavía los mecanismos de la escisión mole-
cular del ácido quercitánico, originaria del flobafeno, pro-
ducto constante de la misma, y conviene á mi propósito tra-
tar ahora de este interesantísimo problema. Nadie pone en
duda las relaciones de origen y dependencia entre el tanino
de la corteza del roble y el rojo quércico extraído de la mis-
ma materia; las divergencias estriban en los modos de inter-
pretar las formas de ellas y los mecanismos químicos que
significan, para deducir las verdaderas funciones de cada uno
de los cuerpos que intervienen en tales cambios; hay, no obs-
tante, un punto de partida común, y es el carácter de ácido,
siquiera sea débil, asignado al cuerpo objeto del presente
estudio. Dos opiniones, contradictorias y opuestas, son las
principales que acerca del asunto se han emitido, como re-
sultado de prolijas investigaciones. Para Etti, cuyos estudios
acerca de los taninos son verdaderamente notables, el ácido

2 O

quercitánico es susceptible de progresivas deshidrataciones,
llevadas á cabo sobre tan sólo dos moléculas del mismo, eli-
minándose una, dos ó tres, y hasta cuatro moléculas de
agua, para generar otros tantos anhídridos, que pueden con-
siderarse derivados del primero, susceptible de perder agua,
conforme en otra parte queda expresado: lo singular es que
de los cuatro anhídridos, tres, cuando menos, existen natu-
rales y son materias colorantes rojas, constantes compañe-
ras del propio ácido quercitánico originario en la corteza
del roble, indicando así su enlace y parentesco, y hay me-
dio de separar, aunque no sea en absoluto, los cuatro cuer-
pos, que tienen cierta influencia bien marcada en el poder
curtiente de los diversos taninos.

Asígnanse al flobafeno el carácter de primer anhídrido ca- |
beza de la serie, y para ello se representa el ácido quercitá-
nico en la conocida fórmula C,, H,; O, y la generación de
su principal derivado estaría expresada, por lo tanto, en la
forma siguiente: |

2 [Ci; His 04] = Cy, Hip Oj; + H2 0,

por donde resulta el flobafeno un singular anhídrido, que
llamaré provisional ó transitorio, en cuanto es sólo el térmi-
no primero de la deshidratación del ácido quercitánico, el
cual, conforme á las opiniones que se examinan, perdería la
calidad de glucósido, al parecer tan bien definida, y su des-
doblamiento no tendría el carácter de transformación hidro-
lítica. Sería menester, queriendo demostrar cumplidamente
las modificaciones apuntadas, generar el ácido quercitánico
hidratando el flobafeno, hecho que podrá acaso efectuarse |
en los órganos vegetales; pero no sé que se haya consegui-
do en los laboratorios, y habiéndolo intentado como proce-
dimiento sintético varias veces, los resultados de mis expe-
rimentos siempre fueron negativos.

Junto á los trabajos referidos, es menester poner las inte-

— 643 —

resantes investigaciones de Boettinger, que constituyen uno
de los principales capítulos de la historia química de los ta-
ninos. Su punto de partida, y la primera diferencia con el
sentir de Etti, están en la representación del ácido quercitá-
nico, al que asigna la fórmula C,,H,,O,, y del flobafeno
(C¡,H,0, 05)» . H30, que así considerado no tiene en ma-
nera alguna ni carácter ni funciones de anhídrido; en reali-
dad, el símbolo adoptado en la hipótesis que se examina es
C¡,H,0 0; .*/, H, O, y con esta manera de ver explícase bien
el desdoblamiento del tanino en que me ocupo, y es del
modo que sigue:

2 [C;, Hs 0.) la O= (Cia Ho Os)» . A; O] 07 Hz O;

y es lo singular del caso que para la interpretación del he-
cho, conforme queda apuntado, es más conveniente emplear
la fórmula que asigna Etti al ácido quercitánico; por donde
se establece un punto común á ambas interpretaciones. Con
arreglo á la de Boettinger, cabe representar así la escisión
de la molécula de flobafeno en ácido protocatéquico y piro-
catequina, mediante las conocidas acciones hidratantes de
la potasa cáustica fundida:

COLS a OH
((C¡¿H,0,)2 . H20]+H.0=2| C¿H¿—OH +2| CRE | +2€0,
| ! de Nom.

cuya reacción acaso sea posible, ya que la presentan algu-
nos taninos, á semejanza del ácido morintánico, que, según
se ha visto, puede dar también floroglucina y no aparece tan
clara en el otro sistema.

Bien será advertir que, aun tratándose de substancias do-
tadas de funciones reductoras, bastante acentuadas, las reac-
ciones que aquí se apuntan son sólo teóricas y sirven para

<A —

comparar y relacionar las dos .hipótesis objeto de mi exa-
men; á su vez, el flobafeno, conforme lo considera y define
Etti, es de la propia manera desdoblable en ácido protoca-
téquico y pirocatequina.

CO,H

y/OH
CH O=3| CH, OH | +2 | can | +C0
=xOH OH.

y el mismo ácido quercitánico Cr Hi; O, es transformable
de modo análogo.

2[C,;H,,0,]+H,0=3| C,H¿—OH +2| C,H má | CO0--2H,0
E OH |

Lazo de unión entre las doctrinas apuntadas pudieran ser
estas reacciones, que en el probable caso de realizarse com-
pletas producirían siempre iguales cuerpos, dotados del ca-
rácter fenólico peculiar del grupo de los taninos y sus deri-
vados. Y aparte de semejante nota común, hay otra quizá
más interesante, que atañe al mecanismo de los cambios, y es
que se realizan á la continua por medio de hidrolizaciones, é
importa sobremanera tenerlo en cuenta, para explicar la for-
mación natural del ácido quercitánico en el organismo de las
plantas é interviniendo sólo los elementos del agua y el car-
bono. También añadiré que, atendiendo al conjunto de las
metamorfosis químicas examinadas y á su condición de po-
lifenol monácido, de la que participan, como el ácido galotá-
nico, sus allegados, la fórmula del ácido quercitánico, admi-
tiendo la establecida en las indagaciones de Boettinger, pa-
réceme desarrollable en la forma que aquí se pone, sujeta á
cuantas rectificaciones y cambios fuese menester.

— 645 —

OH dl

Cro Hi 0 CSERE H, O

CH, OH
= SCOYH

Cuando se consideran, en conjunto, las metamorfosis quí-
micas del ácido quercitánico, se advierte pronto que, aun
siendo variadas y numerosas, ó bien pertenecen á la cate-
goría de los fenómenos hidrolíticos, ó son, por el contrario,
deshidrataciones progresivas: de las primeras hay los des-
doblamientos en glucosa y flobafeno, en cuya virtud se cali-
fica de glucósido y la escisión de su molécula en ácido pro-
tocatéquico y pirocatequina y á veces floroglucina, indican-
do su condición de polifenol ácido y el parentesco con el áci-
do galotánico. A las segundas corresponde, sobre todo, la
generación de los cuatro anhídridos de Etti, cuyos cuerpos, ó
cuando menos tres de ellos, tienen existencia positiva, há-
llanse formados naturalmente y poseen individualidad propia
y constituyen además materias colorantes rojas, notables
como cuerpos astringentes, pero nunca verdaderos taninos,
sino mejor productos de sus alteraciones por deshidratacion.

Me interesa dejar consignado que el ácido quercitánico en
sus cambios es á la continua modificado interviniendo el
agua, y esto puede indicar ciertos caminos que acaso condu-
cirán á la sintesis completa del tanino que es objeto de mis
indagaciones. Recuérdese el clásico experimento del profe-
sor Hugo Schiff, quien partió del hecho de la constitución
del ácido galotánico, como anhídrido del ácido gálico, y
deshidratándolo logró formar el tanino de las agallas, y así
- partió de un derivado suyo, y produciendo las reacciones

330 A

inversas de las que lo originaron, llegó al punto de origen,
realizando su síntesis bien sencillamente. Verdad que hasta
el presente no se ha encontrado el medio de añadir al floba-
feno una molécula de agua, reproduciendo así su generador,
ni artificio para restársela al mismo tiempo que se combinan el
propio flobafeno y la glucosa, y por eso no es realizable la
síntesis del ácido quercitánico; pero no lo es menos que es-
tos citados elementos son los que hállanse en presencia en
los organismos vegetales, y como las condiciones del medio
son distintas, otra la forma de aquellos cuerpos, en particu-
lar cuando afectan el estado coloide, diferente la velocidad
de las reacciones, aquí muy atenuada, en cuanto suelen
efectuarse por difusión y á través de membranas casi siem-
pre semiporosas, bien pudieran unirse eliminando y absor-
biendo agua, conforme lo hacen los taninos del grupo de los
glucósidos cuando se desdoblan ó se descomponen de las
maneras ya dichas. Infiérese de lo expuesto, que pues hay
identidad en los cambios y en los productos de sus trans-
formaciones, debe haberla de la propia suerte en la es-
tructura química de los taninos, á lo menos respecto de
aquellos que se agrupan atendiendo, de preferencia, á los
mecanismos productores y á los resultados de la escisión mo-
lecular, de los cuales, es la glucosa á modo de factor obliga-
do y término constante.

Dedúcense de las reacciones establecidas á propósito del
desdoblamiento del ácido quercitánico y del más importante
de sus derivados, ciertas conjeturas racionales tocante á los
modos como ha podido ser formado en el organismo vege--
tal, y sírvenles también de excelente apoyo las propias fun-
ciones suyas, en concepto de material nutritivo de reserva,
Óó acumulado, á modo de residuo, en el duramen, principal
asiento de los rojos quércicos. Estas consideraciones acerca
de las posibles reacciones generadoras del tanino de la cor-

— 647 =

teza del roble, han de explicar varias particularidades de
los procedimientos empleados para aislarlo puro.

Necesario será admitir que los glucósidos de todo linaje
son medios de que se vale la Naturaleza para almacenar
hexosas, haciéndolas contraer alianzas químicas, no muy
estables, con cuerpos de distinto y variado carácter; es un
procedimiento apropiado para constituir reservas de ma-
terias hidrocarbonadas, solubles, transportables, ya confor-
me son, ya descompuestas, en cuyo caso cada uno de los
elementos resultantes emigra al lugar donde es necesario,
por virtud de ciertas atracciones especiales, en las cuales in-
tervienen, acaso combinadas, las fuerzas osmóticas y las de
la gravedad. Poco importa que las substancias constitutivas
del glucósido se encuentren separadas y hasta muy distan-
tes; todas, ó alguna cuando menos, estarán disueltas en líqui-
dos que circulan bañando los sistemas celulares de la planta,
y favorecido el contacto, acaso por el estado coloide, se de-
termina la combinación de ordinario á través de membranas,
y el glucósido, de tal suerte constituído, emigra arrastrado
por el mismo vehículo y se deposita en utrículos y células
especiales, como el tanino, ó en su calidad de elemento de
reserva es conducido á los órganos que lo han menester, y
aprópianse de la glucosa mediante hidrólisis, dejando libres
los otros cuerpos, que pasan á ser residuos transportables
y que se acumulan cerca de las partes leñosas.

Entonces, aunque en orden inverso, prodúcense los mis-
mos fenómenos; á causa de las constantes modificaciones de
las hexosanas (C¿H,, 05)”, celulosa, almidón y dextrina en
particular, é interviniendo el agua, se generan las hexosas
solubles, que el agua conduce hasta ponerlas en contacto
con los residuos de los glucósidos, y éstos se generan de
nuevo para experimentar otra vez idénticas metamorfosis.
Ha de observarse cómo todo este mecanismo, que es, al cabo,
un procedimiento sintético natural, redúcese á integrar y
desintegrar moléculas, y es de suerte que siendo en realidad

Ruy. Aca. Crencias.—IV.—Junio, 1906, 44

— 648 —

simultáneas las operaciones, y llevándose á cabo con cierta
lentitud, porque corresponden á reacciones químicas por di-
fusión, realizada sin intervenir grandes presiones, comprén-
dese la posibilidad de un sistema en el cual haya glucósido
formado ó formándose, coexistiendo con los productos de
su total desdoblamiento, y esto se tiene notado, como en el
caso del tanino, en otros de variada índole. También es
singular, en semejante punto, la aptitud del ácido galotáni-
co para fijar la glucosa, constituyendo todo un grupo de
taninos, que son de los glucósidos mejor definidos y cuya
escisión molecular es de continuo la misma, sirviendo en
muchas ocasiones el agua como agente de ella.

Obedeciendo á leyes no sabidas, en la serie no interrum-
pida de los cambios dichos se originan cuerpos variadísi-
mos, unos á expensas de otros, siempre de complicada es-
tructura química, apenas vislumbrada por sus reacciones par-
ticulares semejantes, pero que distan mucho de ser regulares
y completas en muchos de ellos. Sin embargo, deben tener
ciertos caracteres internos comunes, siquiera al presente no
hayan sido esclarecidos, y es el de mayor interés la constan-
tancia de la glucosa entre los productos de su desdoblamien-
to mediante hidrólisis, á la que acompañan substancias do-
tadas de muy distintas funciones químicas. Mas tocante al
mecanismo de semejantes escisionas moleculares y á los
agentes de las mismas, es preciso establecer cierto género de
distinciones; pues si bien parece hecho bastante general que
los ácidos diluidos descompongan los glucósidos á la tempe-
ratura de 100”, los hay que resisten sin alterarse ó que lo ha-
cen de un modo incipiente; otros, en cambio, son modifica-
bles, y no de manera inicial, por las solas acciones del agua,
como el ácido quercitánico; la emulsina suele ser gran agen-
te de las modificaciones y cambios de buen número de tales
cuerpos, y el que estudio permanece incólume sin modifi-
carse en su presencia.

Fuera del término constante de la producción de la gluco-

— 6049" —

sa, ninguna otra propiedad liga á las substancias compren-
didas en la dilatada familia de los glucósidos, y dentro del
mismo grupo de los taninos así calificados, con ser ya res-
tringido, ni siquiera pueden fijarse relaciones entre los pro-
ductos de su desdoblamiento, porque no son casi nunca los
mismos, aunque se diputara por los más generales el ácido
galotánico y los rojos quércicos. A mi entender, cada glucó-
sido posee una individualidad química independiente y que,
gracias á la manera de haberse formado, ó sea al mecanismo
generador, es difícil reconocerla y determinarla, porque ya
se advirtió cómo no se constituye un sólo glucósido, sino
varios al mismo tiempo y en medios que contienen los pro-
pios residuos de sus desdoblamientos; son, al cabo, artificio
químico de que se vale la Naturaleza para formar sus reser-
vas de glucosa, haciéndole contraer débiles enlaces, que se
rompen fácilmente, dejando materiales aprovechables para
formar y consolidar órganos en los que suelen acumularse.
Infiérese de aquí el hecho de que sólo por excepción aparez-
ca aislado un glucósido que lo ordinario es verlo acom-
pañado de productos de sus alteraciones —el flobafeno con
el ácido quercitánico —óÓ de otros glucósidos semejantes y
pertenecientes al mismo grupo—caso general de los tani-
nos; — de modo que las dificultades de las operaciones tie-
nen su origen en las mismas reacciones generadoras.
Prodúcense á la vez varios de ellos, mientras otros se des-
doblan y la formación de algunos está sólo iniciada, y de
esto proviene la distinta riqueza tánica de las:materias que
los contienen mezclados en distintas proporciones: son asi-
mismo causas influyentes la edad de los vegetales origina-
rios y las condiciones especiales de su vida. Y á menudo
acontece y se experimenta que las cantidades de tanino total
varían en las cortezas separadas del árbol. Tengo bien ob-
servado el fenómeno y lo atribuyo á acciones del agua, por-
que á medida que la materia se seca y pierde su natural hu-
medad, se va fijando la riqueza de ácido quercitánico, llega

— 650 —

á desaparecer la glucosa y se limita la de flobafeno; pero
si tales cortezas desecadas se humedecen nuevamente con
agua acidulada con clorhídrico y se dejan al aire- algún
tiempo, cuidando de que no lleguen á secarse del todo, no
tardan en producirse, aunque incompletos ó iniciales, los
característicos desdoblamientos del glucósido que conside-
ramos y de los que le acompañan y son, á su igual, com-
puestos tánicos bien determinados y conocidos.

Gracias, pues, á la intervención del agua se lleva á cabo
la generación del ácido quercitánico, al propio tiempo que
la de sus congéneres; en virtud de reacciones de síntesis
natural de carácter aditivo y merced á fenómenos hidrolíti-
cos, es como se separan sus componentes, de los cuales la
glucosa se invierte en las funciones de la nutrición vegetal y
el flobafeno no alterado se acumula en lugar especial, que-
dando dispuesto para unirse de nuevo á la hexosa, sirvién-
dola á modo de sostén, mientras conserva el carácter de re-
serva orgánica, y es particular que la función fenólica del
ácido quercitánico véngale de su residuo no alterado y to-
davía mal conocido, cuya hidrolización, por medio de la po-
tasa fundida, da de continuo compuestos fenólicos, tan ca-
racterizados como el ácido protocatéquico y la pirocatequina,
á los que suele acompañar la floroglucina, también derivado
fenólico. Explicase de la propia suerte, considerando la si-
multaneidad de las reacciones, que al mismo ácido querci-
tánico acompañe el ácido galotánico, tipo de los taninos,
conforme lo tengo advertido en varios experimentos; pues
la glucosa suele también elegirlo para formar estas combi-
naciones de ocasión, en las cuales se acumula y almacena,
uniéndose á cuerpos que no son congéneres suyos, ni hidra-
tos de carbono, para desprenderse de ellos fácilmente cuan-
do sea menester y lo demanden las exigencias de la vida ve-
getal; pero la glucosa asi añadida ó enlazada, no altera ni
modifica la función fenólica de los residuos peculiares de
cada uno de los glucósidos tánicos.

— 6531 —

. Quizá en algunos, de cuyo desdoblamiento resultan cuer-
pos neutros — y el ácido quercitánico es cabalmente de este
número, —sirve para imprimir el carácter de monácidos, si-
quiera sean débiles, que los distingue, y que lo pierden en
cuanto la glucosa es, por cualquier medio, regenerada y se-
parada. Constituye el hecho una diferencia esencial entre los
diversos taninos y su tipo el ácido galotánico, que no es
glucósido, ni se desdobla por el agua, y de semejante con-
dición participan otros individuos del grupo, entre cuyos
productos de descomposición nunca aparece la glucosa; lle-
gan á contener de tres á cinco funciones fenólicas, y á la
continua una sola función ácida, y varios de ellos cabe re-
presentarlos como anhídridos de ácidos particulares, que
tienen relaciones de estructura molecular con la del ácido
gálico, generador del ácido tánico, como resulta de las reac-
ciones sintéticas dadas á conocer en los trabajos especiales
é investigaciones de Hugo Schiff.

Hasta las particulares de Stenhouse no se hacía distin-
ción de ninguna clase entre los productos tánicos extraídos
de la corteza de la encina y del roble y el ácido de las aga-
llas, y fué este químico quien estableció las diferencias, de-
mostrando que en las citadas cortezas, además del ácido ga-
lotánico, existía otro tanino, que aisló, bastante impurificado
por mezcla con materias colorantes rojas, y que es precisa-
mente el ácido quercitánico, cuya individualidad química,
aparte de la composición centesimal, se establece de modo
cierto mediante varios hechos. Aunque permanezca en con-
tacto del aire, no manifiesta, ni siquiera inicial ó incipiente,
la transformación en ácido gálico, caracteristica del tanino
típico procedente de las agallas; sometido á la destilación
seca, no da trazas ó indicios de ácido pirogálico; conviértelo
el ácido sulfúrico concentrado en una masa amorfa de color

— 652 —

rojo bastante obscuro, y el precipitado que en sus disolucio-
nes producen las de las sales férricas es negro, con muy mar-
cados y característicos tonos azulados. Tales fueron las pro-
piedades reeonocidas en el ácido quercitánico luego de ha-
berlo aislado, á las que deben agregarse las inherentes á su
cualidad de glucósido, por más que acerca del azúcar pro-
cedente de sus desdoblamientos haya distintos pareceres:
Boettinger, que primero creyó obtener glucosa cristalizada,
en otras investigaciones parecióle que debía tratarse de la
quercita C,¿H,, O;, y en sentir de Etti, al ácido quercitánico
suele acompañar la levulina C¿A,, O;, que sería el com-
puesto transformable por la acción de los ácidos diluídos y
á 100” en levulosa C¿H,,O,, azúcar que resultaría aislado
en los desdoblamientos de la molécula del glucósido.

Resaltan, pues, iguales dudas tocante á la calificación de
la hexosa de ellos procedente; adviértense las incertidum-
bres constantes en que todavía hállanse los investigadores
respecto del grupo de los taninos: de una parte, tratándo-
se de cuerpo procedente de las cortezas del roble, parece
natural que el azúcar contenido en el ácido quercitánico
sea la quercita, característica de sus frutos; mas no ha de
atribuirse tampoco á simple accidente la presencia de la le-
vulosa, que puede originarse mediante hidrolización de los
elucósidos tánicos ó ser á manera de resto de otros taninos
existentes en la materia que contiene el que se estudia. En
cambio, por virtud de reacciones positivas, todos los separan
del ácido galotánico y no lo definen como ácido digálico,
puesto que no hay forma de hacerlo pasar á ácido gálico, ni
manera de transformarlo, acudiendo á las acciones del calor,
en el correspondiente derivado, que sería al igual del caso
citado el ácido pirogálico.

Insistiré todavía en el hecho de ser el flobafeno — cuya ca--
racterística química está tan indeterminada como la propia
composición —el cuerpo que se halla unido á la hexosa,
sea ésta la que fuere. Cosa bien particular acaece en seme-

— 653 —

jante respecto: cuantos en el ácido quercitánico se han ocu-
pado, trataron de precisar sus relaciones con los rojos quér-
cicos, cuidáronse de demostrar y hacer patente su proceden-
cia de aquel tanino, fundándose en el hecho de aparecer jun-
tos de continuo y constituir su presencia el mayor obstáculo
cuando de obtener puro el ácido quercitánico se trataba.
Queriendo explicarla, los pareceres diferían bastante: unos,
teniendo en cuenta que al cabo el glucósido representa un
equilibrio molecular de estabilidad muy relativa, atribuíanla
á desdoblamientos parciales del ácido, mientras que otros
juzgábanla consecuencia de la formación de su primer an-
hídrido. Y tratando de imposibilitar lo más posible la des-
composición, siquiera incipiente, de la materia, sean cuales-
quiera las reacciones y los mecanismos de sus modificacio-
nes, aprovecharon la menor solubilidad del flobateno en el
agua, particularmente á la temperatura ordinaria, de lo cual
se origina la conveniencia del empleo de disoluciones acuo-
sas diluídas que contienen escaso flobafeno y son, además,
medio poco eficaz para que el glucósido se escinda en sus
dos componentes. Todo ello demuestra cuánto importa tener
en cuenta las reacciones generadoras, sus funciones peculia-
res y las características de los cuerpos para los métodos de
aislarlos en estado de pureza, dándose cuenta de los meca-
nismos de las operaciones que á tal fin conducen; de ellas
dependen, á la postre, muchas de las propiedades, aptitudes
y modificaciones de las substancias obtenidas.

Se comprende cómo hallándose ya formado y constituído
el ácido quercitánico en las cortezas del roble, su obtención
estriba en aislarlo, separándolo lo más completamente posi-
ble de las materias que lo acompañan, muy en particular de
aquellas mejor relacionadas con tal cuerpo, que son, sobre
todo, el propio ácido galotánico y el flobafeno, aparte de
otros cuerpos de menor importancia. Para conseguirlo he
apelado á los clásicos y generales procedimientos de Dra-
gendorff, cuya eficacia no ha menester encarecimiento, mo-

— 654 —

dificándolos cuando el caso lo requeria, por tratarse de cuer-
pos que tienen los mismos disolventes, se alteran con facili-
dad bajo la influencia de iguales agentes y los productos no
siempre bien definidos de sus cambios, aparecen en mezclas
íntimas con las substancias no alteradas y esto constituye la
principal dificultad que es necesario vencer.

Júntase á lo dicho la circunstancia de no ser posible des-
truir las materias colorantes quércicas sin que padezca la in-
tegridad molecular del ácido quercitánico, tan inestable y
con tanta facilidad alterable; ni siquiera es dable retenerlas
aprovechando las propiedades del carbón animal, que tam-
bién absorbe el tanino; y aun acudiendo á formar una sal me-
tálica suya insoluble, de preferencia la del plomo, con ella se
precipita el flobafeno; y luego, al descomponer el compuesto
plúmbico por el gas sulfhídrico, disuélvese de nuevo al disol-
verse el ácido quercitánico y los líquidos resultan teñidos de
rojo más Ó menos intenso. Conviene entonces emplear el mé-
todo de las precipitaciones fraccionadas, cuya utilidad y bue-
nos resultados pude apreciar en mis experimentos, y con in-
tento de ver el alcance de su eficacia, lo ensayé con mezclas
hechas de propósito, en las cuales había disueltos en agua,
en alcohol ó en líquidos formados por partes iguales de am-
bos cuerpos, ácidos gálico, galotánico y quercitánico, acom-
pañados de materias rojas obtenidas de la corteza seca del
roble; los extractos líquidos bastante flúidos eran tratados
con la disolución acuosa de acetato neutro de plomo, em-
pleándola por pequeñas porciones, y observé, que si bien no
hay separación completa de los cuerpos, las primeras por-
ciones del precipitado son las más ricas de galato y galota-
nato de plomo y las que arrastran mayores proporciones de
substancias colorantes; recogidas luego de haber añadido
como la cuarta parte del acetato de plomo necesario, vuelve
á hacerse la precipitación y el producto insoluble que se de-
posita contiene casi todo el ácido quercitánico, no dejando
por eso de acompañarle el flobafeno, cuya total separación

-——— RR

ts A IS e ct A cl ias

— 655 —

raras veces la he conseguido, despues de muy largos y re-
petidos tratamientos, de los cuales es inherente gran pérdida
de la materia tánica contenida en los primitivos extractos al-
cohólicos Ó acuosos.

Tiene el procedimiento un inconveniente grave y de re-
medio difícil, por resultar consecuencia de las propiedades
del mismo cuerpo que se trata de aislar, el cual, no siendo
de suyo muy estable, en los tratamientos indicados suele
descomponerse, á lo menos parcialmente, y así con las por-
ciones no alteradas mezclánse, á veces hasta ya muy modi-
ficados, los restos de aquellos cambios, tanto más profundos
y acentuados, cuanto mayores hayan sido las influencias del
agua á temperatura vecina de los 100” y por más tiempo
haya experimentado las del aire. Por ello ha de procurarse
emplear mejor el alcohol como disolvente y operar en el
vacio ó en atmósferas inertes, que aseguran la estabilidad
del ácido quercitánico en cuantas modificaciones puede ex-
perimentar hasta obtenerlo puro.

Lugar es de decir cómo la primera materia ha de ser de
cortezas no añejas, pero bien secas, de árbol ya hecho, mas
no viejo en demasía; y deben ser tratadas sin que pase mu-
cho tiempo de haber perdido la humedad que las impregna
al arrancarlas del tronco al cual estaban adheridas, y consi-
dero buena práctica el separar cuanto sea posible de la capa
más exterior, raspándola con cuidado hasta que comience á
verse la parte interior roja. Me ha enseñado la experiencia
algunas cosas referentes al particular, y aquí las pongo, juz-
gándolas de cierta importancia. He determinado lo mejor que
supe la proporción de tanino contenido en una corteza de
roble; guardé parte de ella entera, y volviendo á ensayar al
cabo de un año, noté disminuciones considerables, que fue-
ron en aumento los años sucesivos, hasta el sexto, que es el
presente; y sin embargo, el poder curtiente, ensayándolo
con polvo de piel, cambió poquísimo en tanto tiempo; con
la misma corteza pulverizada las alteraciones son más rápi-

<<

das é intensas. Que en su calidad de glucósido el ácido
quercitánico manifiesta tendencias marcadísimas al desdo-
blamiento, téngolo por bien demostrado en el anterior expe-
rimento, aparte de otro género de observaciones; y el alte-
rarse apenas las propiedades curtientes, está explicado re-
cordando que de ellas gozan el flobafeno y los demás rojos
quércicos que suelen acompañarle, y de los cuales apenas
se diferencia; no obstante, cuando se trata exclusivamente
de aislar el ácido puro, es menester tener en cuenta la cir-
cunstancia apuntada, á fin de no emplear primeras materias,
no ya empobrecidas de la substancia que se busca, sino
aumentadas en otras coloridas, por lo general solubles, no
precipitables por completo, y cuya separación, aunque no
de todo punto imposible, es extremadamente larga, difícil y
complicada, y después de mucho trabajo acontece que se re-
cogen exiguas cantidades del producto, cuando no desapa-
rece su totalidad en fuerza de hacerle experimentar tantas
y tan variadas modificaciones. ;

Una vez elegida la primera materia en las condiciones que
van advertidas, es menester entender cómo en ella no se
contienen sólo los ácidos tánicos, mezclados con los produc-
tos de sus incipientes alteraciones, sino también muchas
otras substancias, de variada composición química, algunas
solubles en el éter ó en el alcohol, no pocas susceptibles de
ser arrastradas al disolverse en el agua el ácido quercitánico,
no faltando cuerpos coagulables por medio de ciertas sales
minerales, el cloruro de sodio sobre todo, con lo que mani-
fiestan su carácter de albuminoides vegetales, todavía mal
conocidos, y cuya determinación individual es bastante in-
cierta en el momento actual.

Mientras trataba de buscar medios prácticos de eliminar-
los, simplificando el problema de la obtención del ácido
quercitánico, pude comprobar una observación interesante
que hizo Dragendorff á propósito de la separación de los
taninos. De las substancias que suelen acompañarles en las

— 657 —

materias vegetales que los contienen, hay muchas que aisla-
das y en estado de relativa pureza son prácticamente insolu-
bles en aquellos líquidos neutros que, en caliente ó en frío,
disuelven bien los taninos, y así varias se separan en un
previo tratamiento con el éter, y otras, por ejemplo, son coa-
gulables por el alcohol caliente. Si cada una, ó á lo menos
cada grupo de ellas, tuviese su disolvente apropiado, la eli-
minación sucesiva sería cosa fácil; pero es el caso que un
cuerpo insoluble en el alcohol ó en el agua puede ser di-
suelto si se encuentra mezclado con otros, los cuales pare-

- cen comunicarle algo de sus propiedades en punto á la so-

lubilidad, y siendo esto así, se comprende cómo ha de cons-
tituir dificultad de monta en la obtención del ácido quercitá-
nico: cabalmente es el flobafeno uno de los cuerpos en que
se ha notado el fenómeno y tuve más de una ocasión de ex-
perimentarlo. Aprovechando el ser apenas soluble en el
agua, parece que ha de ser con facilidad suma eliminado,
tratando con este líquido el residuo de los extractos alcohó-
licos, evaporados hasta sequedad en el vacío, y el hecho es
cierto operando con mezclas de ácido quercitánico y floba-
feno, de propósito hechas para el experimento; mas basta
que se haya iniciado, sea como fuere, el desdoblamiento del
primero, y con el agua se constituye un medio en el que se
disuelve el flobafeno en notables proporciones, que aumen-
tan con la concentración de los líquidos, ó sea con las can-
tidades de los otros cuerpos ó de sus residuos que haya en
ellos. Conviene prevenir semejante inconveniente, procuran-
do separar, de primera intención, la mayor suma de mate-
rias extrañas, evitando el empleo de disolventes ácidos y
cuidando de suprimir cuanto pudiera alterar la integridad del
tanino que se pretende aislar puro.

Vese en algunos taninos un fenómeno inverso: cuando
acaban de ser aislados se disuelven perfectamente en el
agua y al poco tiempo, sin que su apariencia externa cam-
bie, tórnanse insolubles. Es efecto de sus alteraciones es-

— 658 —

pontáneas y aquí la influencia de la mezcla con los produc-
tos de su desdoblamiento llega hasta privarles de carácter
tan importante como es la solubilidad, cuando en el caso an-
terior se formaba un medio disolvente de un rojo quércico
con el agua que contenía ácido quercitánico y substancias
producidas en su descomposición inicial.

No estará demás el indicar las consecuencias que de lo
apuntado se infieren en provecho de la práctica de los méto-
dos de obtención. Quedan advertidas las condiciones en las
que aumenta la potencia disoivente de los líquidos comple-

jos y supongamos que se trata del residuo sólido y seco pro-.

cedente de evaporar alcohol, después que ha disuelto cuantas
materias pudo apropiarse de la corteza de roble pulverizada;
dominarán en dicho residuo el ácido quercitánico y el floba-
feno preexistente en la primera materia y habrá, quizá, ade-
más, glucosa, ácido galotánico, acaso ácido gálico y ciertas
substancias resinosas y albuminóideas, que las mucosas han
quedado por residuo del tratamiento alcohólico. Si se añade

poca agua, constitúyese una disolución concentrada y rica de

los cuerpos citados, en la cual es muy soluble el flobafeno; en
cambio, si las proporciones de agua son muy considerables,
la concentración disminuye y con ella la capacidad para di-
solver el flobafeno; de donde se infieren las ventajas de ope-
rar con disoluciones diluidas, especialmente siendo acuosas,
aunque luego haya que eliminar mucho líquido, que es pre-
ferible siempre á practicar largas y trabajosas separaciones
de dudoso resultado, mientras que empleando juntas veinti-
cinco ó treinta veces más agua que el peso del residuo seco,
se logra disolver el ácido quercitánico con poquísima mate-
ria roja mezclada, que se -separa casi completamente en la
primera fracción al precipitar con el acetato neutro de plo-
mo, después de haber concentrado la disolución en el vacío
á la temperatura ordinaria, porque la sal plúmbica del ácido
quercitánico, aunque poquisimo, algo se disuelve en el agua,
sobre todo estando muy pura y exenta en particular de ma-

Y

— 659 —

terias coagulables, de las que en tanta variedad suelen acom-
pañar á los taninos de toda especie y los arrastran consigo
al concretarse, pudiendo ser, de tal suerte, una causa de
error, que es menester tener muy en cuenta al valorar los
ácidos tánicos y los principios curtientes, en general, conte-
nidos en determinadas cortezas vegetales de grandes apro-
vechamientos industriales.

Ya se comprende cómo el aislar libre el ácido quercitánico
es al cabo una operación ó serie de operaciones de análisis
inmediato, empleando primero varios disolventes neutros,
los cuales separan muchos de los cuerpos que lo acompa-
ñan, dejándolo en condiciones de poder formar una sal me-
tálica definida é insoluble, la cual puede ser luego descom-
puesta, en presencia del agua, aplicando cualquiera de los
procedimientos de uso general en casos análogos.

Observé ser buena práctica el pulverizar finamente las cor-
tezas y tamizarlas; el polvo recogido es conveniente ponerlo
en capas alternadas con lana de vidrio en saquitos de tela
de hilo, cuyo tejido no sea muy apretado, y someterlo en
esta forma á un tratamiento etéreo, empleando éter sulfúrico
puro, muy concentrado y completamente exento de alcohol,
para no disolver ni los taninos ni el flobafeno. Hube de en-
sayar el disolver en frio, adoptando el aparato y el sistema
de Pelouze para la obtención del ácido galotánico, y resultó
la operación incompleta y de muy variables rendimientos.
Son, en cambio, excelentes usando el éter caliente y practi-
cando el tratamiento, que ha de ser prolongado, en un apa-
rato de extracción de Soxhlet, cuyo refrigerante sea bas-
tante largo; de cada vez he tratado 500 gramos de cortezas
finamente pulverizadas y en la forma dicha, y el residuo só-
lido de la destilación de los líquidos etéreos resultantes sólo
contenía insignificantes cantidades de productos tánicos roji-
zos. En este primer tratamiento se eliminan todas aquellas
materias que quedan en la capa líquida superior, casi toda
formada por el éter, en el conocidísimo y excelente método

UN)

de Pelouze, apropiado para el tanino ordinario, y sobre
todo sirve para separar el ácido gálico, cuya presencia es
constante en la primera materia. Recomiendan algunos el
tratamiento por una mezcla hecha con treinta partes de agua,
cuatro de alcohol y una de éter, en cuyo caso éste se sepa-
raría con algo de alcohol, llevando muchas impurezas, que-
dando en la capa inferior acuosa alcoholizada todos los
compuestos tánicos disueltos; en mis ensayos y experimen-
tos los resultados del método no fueron satisfactorios + por-
que no es tan fácil como parece la división del líquido en
zonas conforme al orden de las densidades de sus compo-
nentes, por otra parte miscibles, y además en la disolución
tánica se encierran diversas materias difíciles de separar en
cuanto tienen los mismos disolventes, conforme queda no-
tado. Creo preferible empezar substrayendo de las cortezas
pulverizadas cuanto contengan soluble en el éter puro, que
no altera los ácidos tánicos ni disuelve tampoco los rojos
quércicos de toda especie.

Advierte Dragendorff cómo en punto á la solubilidad y
aun bajo otros aspectos, tienen éstos grandes semejanzas

con las resinas; su disolvente común es el alcohol ordinario,

de cuyo vehículo puede separarlos el agua, cuando se em-
plea en gran exceso, y semejante circunstancia es la guía
para quitar de los residuos del tratamiento etéreo sobre
todo el flobafeno, sólo que también arrastra en su compañía
al ácido quercitánico, por ser ambos solubles en el alcohol.
Tengo experimentado repetidas veces la conveniencia de
emplearlo caliente, prolongando sus acciones hasta agotar
la materia soluble; utilizo como antes el aparato Soxhlet,
calentando en baño de maría alcohol puro de 95”, no dando
por terminadas las operaciones hasta que el líquido que re-
fluye está apenas colorido con tonos rosáceos; la materia
tratada es el mismo polvo de las cortezas que resta luego de
haber disuelto el éter cuanto podía disolver, secado á la tem-
peratura ordinaria fuera del contacto del aire y nuevamente

— 661 —

mezclado con lana de vidrio en la manera dicha. He recogi-
do siempre un extracto alcohólico de hermoso color rojo obs-
curo, astringente en sumo grado y en el cual se contienen,
aparte de otros cuerpos, la casi totalidad del ácido quercitá-
nico, acompañado, como es consiguiente, del flobafeno y de
alguno de sus otros particulares anhídridos.

Presenta el empleo del alcohol caliente y conforme se
dijo en estas operaciones, dos ventajas notorias: es la pri-
mera, que coagula con más facilidad y en cantidades mayo-
res las materias albuminosas, haciéndolas insolubles y no
miscibles con los taninos y sus allegados, y es la segunda,
que no disolviendo en manera alguna las substancias muci-
laginosas, de hecho las separa, dejándolas sin alterarlas en
los residuos del tratamiento. Es asimismo ventajoso, porque
no sólo el alcohol resulta indiferente en presencia de los ta-
ninos, sino que tengo bien demostrado cómo el agua que lo
contiene en proporciones no inferiores al 40 por 100 es in-
capaz para iniciar su desdoblamiento, tan fácil con sólo el
agua pura. No importa que se disuelvan juntos el ácido quer-
citánico, el flobafeno y las materias análogas con las resino-
sas que pudiera haber en las cortezas, porque eliminarlas
luego del extracto alcohólico no resulta, en último término,
operación difícil, aunque no suele ser breve; aquí lo esen-
cial es librarse de aquellos compuestos especiales que, al
coagularse por cualquier medio, arrastran ácidos tánicos y
materias colorantes, tornándolos insolubles y perturbando
grandemente su separación en las condiciones generales que
he pretendido establecer con la mayor suma de observacio-
nes y de experimentos.

Bien obtenida y filtrada la disolución alcohólica roja, pro-
cédese á destilarla en el vacio, hasta conseguir un residuo
sólido obscuro que contendrá la totalidad de las materias
disueltas; es amorfo, fácilmente pulverizable, y su ulterior
tratamiento ha sido objeto de muy detenido estudio, por
contener el ácido quercitánico buscado. Se ha de recordar

— 662 —

cómo sus disoluciones acuosas, cuando llegan á grados su-
periores de concentración, son á su vez disolventes de las
materias rojas y de las indicadas substancias resinosas, y
teniéndolo muy presente, añadía gran cantidad de agua al
dicho residuo sólido, y por tal medio lograba obtener diso-
luciones bastante diluidas de ácido quercitánico, impurifica-
das, no obstante, por algo de flobafeno que les da color rojo,
y conteniendo además leves proporciones de otros cuerpos,
incluso resinas; pero la mayoría de todos ellos queda for-
mando un residuo insoluble de color rojo obscuro, el cual
se ha aprovechado para extraer flobafeno, que requiere nue-
vos estudios. Es muy curioso el que no pueda ser empleado
el negro animal para retener las materias colorantes, y se
debe esto á la propiedad que tiene de absorber grandes can-
tidades de tanino, sea cualquiera su procedencia, y de tal
suerte únense ambos cuerpos, que no se conoce medio prác-
tico y eficaz para separarlos.

Quiere la disolución acuosa tánica ser concentrada hasta

cierto punto, luego de haberla filtrado lo más rápidamente -

posible; mas tal concentración es sólo relativa, que si se
extrema, pronto el ácido quercitánico presenta manifiestas
señales de su alteración como glucósido. Llega entonces el
momento de transformarlo en compuesto metálico insoluble,
y con semejante propósito ensayé el convertirlo en sal de
bario, para descomponerla más tarde empleando el ácido
sulfúrico diluido y en cantidad menor de la necesaria para
destruir todo el quercitanato; nunca mis intentos obtuvieron
el resultado apetecido, contrariado sin duda por las mismas
acciones del ácido sulfúrico diluido sobre el propio tanino,
que ya comienzan á ser notadas, siquiera no sean comple-
tas, á la temperatura ordinaria, favoreciéndolas un tanto la
presencia y contacto del aire. Por semejante motivo hube de
adoptar el clásico método de precipitar el tanino objeto de
mis estudios en forma de compuesto plúmbico, apenas solu-
ble en el agua, en cuyo medio es bastante más soluble el

— 663 —

galotanato del propio metal, y ello explica lo conveniente
que es el operar las precipitaciones habiendo gran masa de
líquido acuoso, que sirve para retener la mayor parte de
este último cuerpo.

Con objeto de proceder á la precipitación fraccionada del
quercitanato, se dispone una disolución acuosa de acetato
neutro de plomo al 10 por 100 y se divide en tres porciones
iguales; se añade la primera al líquido que contiene el ácido
quercitánico y formado el precipitado se filtra, añadiendo
al líquido que pasa la segunda parte de la disolución de ace-
tato; de nuevo se filtra y el precipitado recogido es el que se
utiliza en ulteriores operaciones, después de lavado confor-
me se dirá: en el líquido recogido puede efectuarse la tercera
precipitación. En la primera, con el quercitanato de plomo
se depositan muchas substancias extrañas, las albuminosas
que pudieran quedar de los tratamientos anteriores y las que
en cortas cantidades y procedentes de los residuos de la des-
tilación de los líquidos alcohólicos pudiera haber disuelto el
agua; constituye la segunda la sal casi pura, aunque no
exenta todavía de materias extrañas, en particular las rojas
amorfas, compañeras que difícilmente se separan de los ta-
ninos, en su calidad de generadores ó productos del desdo-
blamiento de los mismos, que ambas funciones pueden cum-
plir según las circunstancias; y quedan en la tercera, con
algo de sal plúmbica insoluble, otras substancias que arras-
tra el precipitado, uniéndose á ellas de suerte que no se
pueden separar y aun descomponiéndolo van á disolverse
en el medio líquido constituido por la propia disolución del
tanino, nunca muy puro.

Requieren estas operaciones el trabajo previo de determi-
nar, siquiera de modo aproximado, la cantidad de ácido
quercitánico contenido en la disolución acuosa, antes de ser
tratada por el acetato de plomo; y alterándose con relativa
rapidez es preciso que estos ensayos sean practicados con
celeridad, evitando cuanto sea posible las acciones del aire.

Rrv. Acap, Ciencias. —IV.—Junio, 1906, 45

>

Dos métodos creo preferibles y son: el del acetato de cinc
amoniacal empleado en exceso y operando con disoluciones
hirviendo, para recoger el precipitado, lavarlo, disolverlo en
acido sulfúrico y valorar con el camaleón mineral, que tiene
como causas de error más sabidas, el diferente poder re-
ductor de los diversos taninos conocidos y el que sus com-
puestos cíncicos, según Dragendorff, son asimismo reduc-
ductores del permanganato; y el del polvo de piel, aunque se
cometa también error y aquí por exceso; que á las acciones
coagulantes de los taninos únense las de los cuerpos que los
acompañan, los cuales, en mayor ó menor escala, participan
también de ellas. No obstante los inconvenientes señalados,
las indicaciones de cualquiera de los métodos pueden servir
de antecedente y guía en la práctica de las precipitaciones
fraccionadas, que es opzración de bastante cuidado.

Debe tenerse presente para los ulteriores tratamientos
del precipitado, la inestabilidad del quercitanato de plomo,
que en contacto y no muy prolongado con el agua se des-
compone á la temperatura ordinaria, y en cambio, seco y
guardado en frascos bien cerrados ó en tubos, se conserva
incólume por tiempo indefinido. Habida cuenta de la circuns-
tancia apuntada, procedía lavándolo rápidamente con agua
enfriada primero, y luego con una mezcla de agua y alcohol
á partes iguales, terminando las lociones con agua muy fría,
hecho lo cual el precipitado húmedo poníalo en suspensión
en gran exceso del mismo líquido y moviéndolo por medio
de un agitador mecánico, evitando así su depósito en el fon-
do de la vasija, pasaba la corriente de gas sulfhidrico con
regular velocidad y de manera que siempre quedaba bas-
tante cantidad de sal de plomo sin descomponer; es cosa
esencial que no llegue á haber exceso de sulfhídrico, pues
ya queda advertido cómo puede contribuir al desdoblamien-
to del tanino. Para darse cuenta de la marcha de la opera-
ción, es bueno recoger un poco del precipitado y examinar-
lo; también hay el dato de que el quercitanato de plomo con-

— 665 —

tiene de 49 á 50 por 100 de metal, con el pequeño error
debido á los restos de impurezas, de que me ha sido impo-
sible despojarlo en absoluto; como en las anteriores opera-
ciones, es preciso filtrar en seguida, separando el sulfuro de
plomo formado del ácido que queda disuelto, y con él cierta
proporción de materias colorantes que tiñen el líquido de
rojo claro muy característico.

Siguen á las descritas otras manipulaciones delicadas, y
que son precisamente las que demandan mayores precaucio-
nes y cuidados; trátase de evaporar, para concentrarlas, las
disoluciones del ácido quercitánico y al enriquecerse de este
cuerpo, aumentan las facilidades de la descomposición, que
se ha de evitar á toda costa. Obtuve buenos resultados eva-
porando á temperatura baja (42”) y presión reducida á 200
milímetros, llegando hasta que el líquido empieza á tener
consistencia siruposa; entonces es sometido á nuevas puri-
ficaciones, y se le trata con éter ordinario, especial disol-
vente del ácido gálico, cuya formación en las anteriores ope-
raciones es inevitable, después con éter acético, separándo-
los cada vez por decantación y repitiendo los tratamientos
hasta que no disuelvan cosa alguna, y por último se agita
el líquido con una disolución de cloruro de sodio, y la mez-
cla es sometida á la diálisis, siguiendo las prescripciones de
Lówe, ó separada la sal por cristalización al evaporar de
nuevo el líquido, que llegado á consistencia siruposa se
deja en el vacío seco, con materias muy ávidas de agua,
hasta que se seca y concreta sólido el ácido quercitánico.

Empero nunca resulta puro, y á pesar de haber sometido
la materia á tantas operaciones y disolventes, el tanino re-
tiene todavía substancias extrañas, principalmente las colo-
ridas procedentes de su descomposición como glucósido y
otras varias, de distinto origen y funciones. Con objeto de
purificarlo todo lo posible, después de haber concentrado la
disolución de ácido quercitánico y someterla á las acciones
de los disolventes que dejo expresados, se transforma de

PE, 7 A

nuevo en sal plúmbica, apelando, como la primera vez, al
sistema de las precipitaciones fraccionadas, sólo que ahora
es bueno comenzar agregando sólo la quinta parte del volu-
men de la disolución de acetato neutro de plomo al 10
por 100; se filtra, añádense al líquido que pasa los tres
quintos de la que resta, y el precipitado ahora formado es el
que se recoge para luego descomponerlo y no totalmente
por el gas sulfhídrico, repitiendo los tratamientos conforme
queda expresado. He necesitado repetirlo hasta cinco veces
consecutivas para lograr un producto homogéneo, amorfo y
dotado de propiedades constantes, cuyo estudio forma capí-
tulo aparte, y de ello pude convencerme examinando cuida-
dosamente las de los cuerpos procedentes de las operaciones
intermedias, sin duda á cada punto más ricos de ácido quer-
citánico; pero que todavía retenían impurezas bastantes, que
influían en que no fuesen los mismos sus caracteres y com-
posición. Así, fuéme dado comprobar las previsiones de Dra-
gendorff, maestro y guía de mis investigaciones, motivadas
por la escasa fijeza del ácido quercitánico y la inestabilidad
de sus compuestos metálicos, en cuanto la misma sal de plo-
mo insoluble se altera con sólo estar húmeda dos ó tres
horas en contacto del aire.

Tiene el procedimiento que tanto he estudiado, discutido
y razonado, un grave é irremediable inconveniente, y es la
grandísima pérdida de materia inherente á su práctica, y es
de suerte, que habiendo comenzado mi trabajo tratando por
porciones de 500 gramos, hasta 5 kilogramos de excelentes
cortezas pulverizadas, sólo recogí unos cuantos gramos de

ácido quercitánico bien purificado, y he necesitado repetir

varias veces todas las operaciones, poniendo en ello los ma-
yores cuidados para obtener las cantidades necesarias in-
vertidas en estudiarlo, sin que por eso crea haber llegado á
conclusiones definitivas. No ha de olvidarse que se trata de
cuerpo cuya individualidad química está poco marcada, com-
plicado por su estructura, susceptible de funciones mixtas,

ns ds

— 667 —

variadas, y apenas diferenciado de otros que son sus acom-
pañantes obligados, originándose semejantes cualidades en
su mismo papel de almacén ó reserva de glucosas que cumple
en los organismos vegetales donde lo encontramos siempre
formado, pero nunca sólo. |

Fácil es entender cómo todo el método descrito está re-
ducido á la aplicación de un sistema general y corriente
muy empleado ya de antiguo para extraer y aislar las espe-
cies químicas de los materiales que las contienen libres ó
combinadas y de continuo en mezclas, por lo común de
gran complicación, y cómo en la mayoría de los problemas
de análisis inmediato, la solución estriba en el empleo me-
tódico de apropiados disolventes neutros primero, cuyas
acciones son ayudadas con el calor, sin por eso elevar mu-
cho la temperatura, y luego, cuando las circunstancias per-
miten, gracias á las sucesivas eliminaciones, tener un líqui-
do que contenga la mayor parte del cuerpo que se pretenda
aislar, hacerle formar una combinación metálica insoluble,
susceptible de ser más tarde descompuesta. Redúcese á
esto, en definitiva, el sistema empleado, con todas sus com-
plicaciones y dificultades, originadas por la naturaleza de
las primeras materias tratadas y por las condiciones del
cuerpo que había de ser aislado, y en cuyo estudio minu-
cioso he tratado de fundar los pormenores del método adop-
tado, único posible y de cierta generalidad relativa. De la
propia manera, y á pesar de sus conocidas imperfecciones,
me fueron grandemente útiles y guiaron no pocas veces las
largas investigaciones practicadas, los procedimientos espe-
ciales seguidos para la determinación de los taninos, si-
quiera no consientan diferenciarlos unos de otros por fijos
y bien marcados caracteres y sean ineficaces para separar,
en el poder curtiente total, la parte que les corresponde y la
perteneciente á aquellos residuos de su desdoblamiento, que
poseen también la citada cualidad.

— 668 — Ñ

Un producto secundario y el más importante pudo ser
aislado y aprovechado en el curso de las operaciones; se
trata del flobafeno. Según va dicho, este cuerpo es disuelto
en el tratamiento alcohólico de las cortezas, que sigue al pri-
mero con el éter; de consiguiente, acompaña á los taninos y
á las materias resinosas en el residuo de la destilación de
las referidas disoluciones alcohólicas, y la mayor parte del
rojo quércico queda asimismo cuando tal residuo es tratado
con agua fría, á causa de su insolubilidad casi completa, y
de la masa sólida amorfa de color rojo obscuro resultante,
es de donde puede ser aislado bastante puro, utilizando una
de sus principales propiedades; porque el flobafeno, insolu-
ble en el agua pura y neutra, tiene por disolvente peculiar
la misma agua alcalinizada por el amoníaco. Además facilita
su obtención el ser cuerpo estable que puede desecarse al
aire á más de 100” sin que manifieste señales evidentes de
alteración, y es fácil conservarlo por tiempo indefinido.

Gracias á las propiedades enumeradas, en el camino de la
obtención del ácido quercitánico he aislado el flobafeno, y
es de la manera siguiente: el residuo sólido de la destilación
de los extractos alcohólicos es tratado con agua fría, que di-
suelve la mayor parte ó casi la totalidad de los taninos, y el
resto insoluble es á su vez disuelto en agua amoniacal (20
por 100 de amoníaco) y se evapora á sequedad, recogiendo
una materia roja, que es tratada con agua acidulada con
ácido clorhídrico (5 por 100) y calentada á 100” durante
tres horas para desdoblar los glucósidos que pudiera conte-
ner todavía; se evapora de nuevo á sequedad, recogiendo
en un filtro el residuo, que es lavado con agua bien enfriada
y luego con éter; se disuelve nuevamente en agua amonia-
cal, y evaporando el liquido rojo, aun conviene lavarlo con
agua pura, que deja el flobafeno en estado de suficiente pu-
reza. Es un cuerpo amorfo, de color rojo obscuro, dotado de
propiedades astringentes, muy soluble en el alcohol y en
cuantos líquidos contengan taninos, en especial si están

— 669 —

mezclados con los productos de sus desdoblamientos, y la
solubilidad aumenta bastante con la concentración. Por lo
general, el ácido acético lo desaloja de sus disoluciones amo-
niacales cuando no contienen mucho álcali; no posee carácter
químico marcado, puesto que no parece definitivo el de an-
hídrido que Etti le ha asignado, y se ha indicado antes como
son productos de las acciones de la potasa en fusión sobre
el flobafeno, el ácido protocatéquico y la pirocatequina, fe-
noles bien caracterizados ó derivados fenólicos, y á pesar
de ello, la constitución molecular y estructura del más im-
portante rojo quércico distan mucho de estar esclarecidas y
su conocimiento es todavía harto deficiente é incompleto.

Vale decir, completando lo ya apuntado acerca del modo
de aislar el flobafteno, que para disolverlo enteramente se ha
menester reiterar y repetir varias veces el tratamiento con
el agua amoniacal, pues de no hacerlo así, se corre el riesgo
de dejarlo sin la menor alteración unido á las materias de tan
variada indole que suelen acompañarle. Denota el hecho la
lentitud de las acciones del disolvente alcalinizado , del*cual,
por otra parte, es con facilidad separable la materia roja de
que se trata, sobre todo mediante la neutralización del amo-
níaco por un ácido orgánico, y á lo que parece es el acético
el de mayor eficacia, puesto que no ataca al flobafeno, ni
aun en caliente; se trata de un cuerpo muy estable, y esto
explica acaso que sirva como almacén ó depósito donde se
acumulan hexosas, formando combinaciones que se desdo-
blan bien pronto, reproduciendo sus generadores, y de ellas
es sin duda el ácido quercitánico.

Hay ahora una tendencia, justificada por varios hechos,
consistente en admitir varios flobafenos, toda una serie de la
que formaría parte el que consideramos, convertido en suer-
te de tipo ó modelo de semejante linaje de combinaciones, si
efectivamente son cuerpos definidos, de composición cons-
tante y no mezclas íntimas y variables de substancias más ó
menos afines. En realidad, no hay un solo rojo quércico

— 670 —

-

idéntico al producido en los desdoblamientos del ácido quer-
citánico; pues se han aislado, por de pronto, los que llevan
los nombre de Oser y Lówe, que son precisamente los anhí-
dridos tercero y cuarto de Etti, representados por dos molé-
culas del cuerpo que se estudia como tanino de la corteza
del roble, menos tres ó cuatro moléculas de agua respectiva-
mente; pero no hay pruebas evidentes de semejantes rela-
ciones y aun la misma existencia de substancias encontradas
siempre juntas, induce á pensar si serán mezclas especiales
y no derivados de un sólo principio. Basta recordar las in-
certidumbres expresadas por cuantos en la materia se han
ocupado respecto de la fórmula del flobafeno, y las discre-
pancias son de monta; pues mientras unos representan así su
composición: [(C,,H,o Os). . Hz O], quieren otros que sea
C. Ha, O,,; sin embargo, existen entre ambos símbolos cier-
tos lazos, en cuanto el segundo puede estar representado por
el primero y una molécula de floroglucina y otra de agua en
esta curiosa forma:

Cs Hgo O, e [CC Ho Os)» 9 H, O] $e H, O =+ C;¿A, (OH)a,

cuyo interés estriba, á lo que entiendo, en poner de mani-
fiesto el carácter fenólico de los flobafenos, sea cualquiera la
manera de apreciar su estructura molecular, la cual, en nin-
gún caso resultaría sencilla, conforme tampoco lo es la de
aquellos glucósidos á sus expensas constituídos y de los que
resulta, según las circunstancias, generador ó residuo de sus
comunes desdoblamientos.

Ya pudiera admitirse, queriendo concordar las opiniones
apuntadas, que el flobafeno de Etti (primer anhídrido del
ácido quercitánico) experimenta una modificación particular,
en la cual su molécula es simplificada del modo expresado,
resultando así la fórmula de Boettinger, y en esta segunda
fase puede escindirse en pirocatequina y ácido protocatéqui-
co, fundiéndolo con potasa. Sin inclinarme á ninguno de los

— 671 —

dos pareceres, me limitaré á señalar el hecho de que nunca

aparece la floroglucina entre los productos de la descompo--

sición del flobafeno y es, en cambio, casi constante en los que
provienen de muchos taninos y el ácido morintánico es del
número; con todo, no juzgo suficiente el dato, al igual de
otros muchos, para el conocimiento de tales cuerpos, cuya
identidad con los rojos quércicos naturales está ya perfecta-
mente comprobada y admitida.

XXVI. — Contribución á la teoría de los polígonos
regulares.

POR Luis CATALÁ JIMENO.

|

Transformación en producto de la suma ó diferencia
de dos cuerdas y sus consecuencias.

Sean A B, AD dos cuerdas de la circunferencia R(o) (figu-
ra 1.%); AC, AE las bisectrices del ángulo D(4)B; BK, CE,

Figura 1.?

DH, tres diámetros, y L el punto simétrico de A con rela-
ción al eje de simetría CE.

o A A

— 672 —

De los cuadriláteros ciclicos (DA BC) (DBAE), por el

teorema de Tholomeo, resulta:

DB
A
AD+ AB=A DC

siendo las rectas DB, DH conjugadas isogonales del ángulo

E(D)C, tendremos

RUBDE DE DE (1)

(AD+AB)R-=AC.DE (2)

a) La suma de dos cuerdas,
multiplicada por el radio, es igual
al producto de la cuerda de la se-
misuma por la del suplemento de
la semidiferencia de los arcos co-
rrespondientes.

b) El producto de dos cuer-
das, cuya suma es mayor que la
semicircunferencia, es igual al
producto del radio por la suma
de las cuerdas de los suplemen-
tos de la diferencia y suma de los
arcos que aquéllas subtienden.

(AD—AB)R = AE. DC (3)

a') La diferencia de dos cuer-
das, multiplicada por el radio, es
igual al producto de la cuerda de
la semidiferencia por la del su-
plemento de la semisuma de los
arcos correspondientes.

b') El producto de dos cuer-
das, cuya suma es menor que la
semicircunferencia, es igual al
producto del radio por la dife-
rencia de las cuerdas de los su-
plementos de la diferencia y suma
de los arcos que aquéllas subtien-

| den.

Multiplicando las relaciones (2) (3) resulta:

c) La diferencia de los cua-
drados de dos cuerdas es igual al
producto de la cuerda de la dife-
rencia por la cuerda de la suma
de los arcos que aquéllas subtien-
den.

c') El producto de dos cuer-
das es igual á la diferencia de los
cuadrados de las cuerdas de los
suplementos de la semidiferencia
y semisuma de los arcos que
aquéllas subtienden.

d) Si dos cuerdas son suplementarias, su producto es
igual al radio multiplicado por la cuerda del suplemento de
la diferencia de los arcos que subtienden.

TEOREMA 1.” — Si una circunferencia se divide en un nú-

— 673 —

mero impar de partes iguales, el producto de las cuerdas
que unen el extremo del diámetro que pasa por uno de los
puntos de división con los demás situados en la misma se-
micircunferencia, es igual á una potencia del radio, cuyo ex-
ponente es igual al número de cuerdas.

En efecto; de la relación (4) deducimos:

Cy.1 Cagig-2) =RCg.2 n Cg.2. Cogig=a) = RCg.a coso
E ga Oe y. A
J.
CRA
y multiplicando y simplificando, resulta:
gi
Cams - Ca a. Copa ara Carta S

Análogamente deduciremos:

e) Si una circunferencia se di-
vide en un número impar 2” + 1,
de partes iguales, el producto de
las cuerdas que unen el extremo
del diámetro que pasa por el pri-
mer punto cero de división con
los situados en la misma circun-
ferencia, designados con los nú-
meros 1, 2, 4, 8 eS
igual á una potencia del radio,
cuyo exponente es igual al núme-
ro n de cuerdas.

De la relación (2) sale:

e”) Si una circunferencia se
divide en un número impar2"—1,
de partes iguales, el producto de
las cuerdas que unen el extremo
del diámetro que pasa por el pri-
mer punto cero de división con
todos los de división de la cir-
cunferencia designados con los
números 1, 2, 4 201509
igual á una potencia del radio,
cuyo exponente es igual al núme-
ro n de cuerdas.

DE

AD: = AC
R

y llamando alo —
R

— 674 —

que expresa la ley de recurrencia de un terno de cuerdas de
un haz cuyo vértice es un punto de la circunferencia, siendo
uno cualquiera de los rayos del haz bisectriz del ángulo de
los dos que le comprenden.

Estando dividida la circunferencia en £ partes iguales, si
las cuerdas AD, AB subtienden arcos respectivamente de n
y m partes, siendo n>m, como AB=L; .m, AC= Legín +m)»
AD=Ly 5, BE=DE= Loy (9 — (1 my, DE =B C= Lg
AE =L3ggy—m+m) DB=Lgm—m)» AL = Lg(n+m) ten-
dremos

Da Lon TA
> Logín-+m) . Las (y — (n — m)) (5) =£apín m)"Lag(g —(n+ my 0)

L”g.n E L?, TP Lon — mm) . Ey (n + m) ..... (7)

NUEVO PROCEDIMIENTO PARA EL CÁLCULO DE LOS LADOS
Y APOTEMA DE LOS POLÍGONOS REGULARES. — Suponiendo
una circunferencia dada dividida en 22 partes iguales, y de-
signando los puntos de división con los números 0, 1, 2.....,
siendo el extremo del diámetro que pasa por el punto cero,
ASS MAMAS O Es Lara C, -1, las cuerdas A0, Al,
AAA A(g — 1) de la relación (4), resulta:

IR ARO (8)

Suponiendo sucesivamente en (8) (n = 0, p = 1), ten-
dremos:

Cap = Cp —2 E, (9) | Cna+a=Ca+1> Cs dia Ca ..... (10)
y como las cuerdas C,, C¿_ , son suplementarias

E, PET TSAR en

(*) De estas relaciones se deducen fácilmente la transformación
en producto de la suma ó diferencia de los senos ó cosenos; y que

1
T y — son respectivamente la cuarta proporcional á 1, (24.7), (24.11),

— 675 —

Haciendo en (10) C, = x=, como C, = 2, resulta para
O A ):

C.=2, C,=x, Cs = [12 2=x?— 2, €, =x* — 3x,

A Ta a a a a A a a a aa O NAO A

que son los lados de los polígonos regulares de géneros
2£, £, y en general, de aquellos cuyos géneros son diviso-
rios de y y cuando se substituye x por el valor de la mayor
raíz positiva de la ecuación C¿ = 0, que llamaremos argu-
mental.

Si la ecuación Cg = 0 no se puede resolver algebraica-
mente, podremos hallar el argumento x en los casos que se
conozcan los valores de los lados de alguno de los polígonos
regulares de género submúltiplo de £, por ser éste la raíz
común de las ecuaciones que resultan de igualar dichos va-
lores á la expresión de las cuerdas que los representan, como
veremos en los casos siguientes:

TRIÁNGULO EQUILÁTERO Y EXÁGONO REGULAR. — Ten-
dremos C¿ = 0, x(x? — 3) = 0; de donde

x=L;.; =V3

(E “== E

CUADRADO Y OCTÓGONO REGULAR. —Tendremos C, =0.
1* — 4x? + 2 =0, luego

2 a +V 2;

de donde
C,=Ls.s a al » C,=Ly =V2

EIA V2 NES:

y 1, (24.1), (24.5), pues aproximadamente = = (4.1) + (3.1) y
1
—T=(G.1)— (4.1).

E AA id A ai
, ; di de

-
"

$IYA,

A a Br dd SA ANA A A ES

— 676 —

PENTÁGONO Y DECÁGONO REGULARES. — Tendremos
C;, =0, xt— 5x?+ 5 =0, de donde

y
ME

luego
C=L,..=3V1042V5 » CL; 100
C=Lc..=3V10—2V/5 y C=Lo

POLÍGONO DE GÉNERO 30, REGULAR. —Tendremos C,.=0;
siendo esta ecuación de grado elevado, hallaremos la raíz
común de las ecuaciones

A =3V10 +=)

que será:

Ea da Es
o o le (V3+V15+V10—2V5),
luego
C, =L;;. =Llv3 +V15+ Vio 2/5)
C,= C22=Lw.= 7 (V30+ 6/5 +(V5—1))
C,=C2--2=Lw=-L(V30—6V5 +(V5+1))
Cs = Cf? —2 = Lio . y -(V5+1)

(Vio+2V5+V15 —V3)

e
4

— 671 —

C= Lo 1= + (V3o + 6v5 —(V5 E 1)
e

Cu = Lis. A = (v3 Eo 15 Mr

Ci, = 6 =2= Lio - A : ¿05

Ci = Lis - hiba ee vi)
Ci, e L3o Ci (Vo ET 6V 5 7 (V5 + 1))
Si el polígono es de género 2” tendremos Cirre 0:
((12—2) —2) ..... — 2 =0; de donde

siendo (n — 1) el número de radicales.
POLÍGONO REGULAR DE GÉNERO 16 = 2*, — Tendremos

2=V2+V24V2
luego
IV 2 2 0 o Mana
Pre LA PAN ya? e NÓ
O > Va Va. A

C,= Li - 1 V2 q V2 le V2.

Observación. — El teorema primero y sus consecuencias

018:

nos permiten hallar fácilmente los lados de los polígonos de
géneros 3,310,107 A,

Si el extremo de un diámetro de la circunferencia dada es
el vértice de un haz de cuerdas, el lugar geométrico de sus
puntos medios es una circunferencia que tiene por diámetro
el radio de la primera que pasa por el vértice del primer haz.
Si las cuerdas del primer haz son los lados de los polígonos
regulares de géneros 21, y y sus divisores, sus apotemas
serán las cuerdas de otro haz de igual número de rayos de
la circunferencia de radio mitad, cuyo subíndice sea el com-
plemento á g del que corresponde á la cuerda que represen-
ta al lado del polígono: es decir, que la apotema de un polí-
gono, cuyo lado es la cuerda C,,, será la cuerda C¿_ , del haz
en la circunferencia de radio mitad, y, por consiguiente, es
- fácil su determinación.

IL

Fórmula reducida del perimetro y área aparentes
de un poligono regular.

POLÍGONO INSCRITO. — Suponiendo dividida la circunfe-

Figura 2.?

rencia (0) (fig 2.*) en £ partes iguales, representando el lado

— 679 —

de un polígono regular inscrito por los números que corres-
ponden á su género y especie separados por un punto y
puestos entre dos paréntesis, tendremos AC = (g. 1),

ma LS LS
15 =—CD=(9.€), AB=CD=e, DCB=g 22428]
g ésimas partes de la circunferencia.

Siendo cíclico el cuadrilátero (maob), ab = e — 1,

bh = 5 — (e — 1) g éimas partes de la circunferencia, ab,

am son respectivamente el lado y semilado de los polígo-
nos regulares semejantes inscrito y circunscrito á la circun-
ferencia a0 (o) y de género y y especie e — 1, cuyas apo-
temas son

on = — bh => (ao(2g.(g—2(e — 1)))) y ao.

pn
2

De la semejanza de los triángulos AmC, amb deducimos

DE A + OL 1
WC ARA Zatiss Bon saor
Ó bien
Am. Í
lio (L2-(e —2(e 00%
de donde
IES ia E) E O (12)

(25. (8 721)

El área de dicho polígono es igual al semiperímetro apa-
rente por la apotema, y llamándola 44. +, resulta:

1. (8-D)Og(g—2e))
25 Ve 16

Eo

pues la apotema 40 = 5 DS = 5 (22. (9 — 2e)).

Rey. Aca. Ciexcias.—IV.—Junio, 1906,

— 0

POLÍGONO CIRCUNSCRITO. — El polígono regular circuns-
crito, semejante al que hemos considerado, está inscrito en
la circunferencia OE (0) (fig. 2.”), Ó sea

2 .

(22 (g — 2e)) o);

luego |
(g.1)

Po. e =24 14
% EEC REANS
Y —2g (e-1) (15)
g.e (2g . (g — 2e)) (Qg - (g — 2(€ — 1)))

Si en las fórmulas (12, 13), (14, 15) hacemos sucesiva-

g

mente (g = 29, e =g —2€), (g=g, e = id e), ten-

dremos:

POLÍGONO REGULAR

Inscrito.

“a ) De género par:

O CAS
Pag(g—e2) = %8 (2g (2e + 1))
k y ABBA) (EE)
40-29 =E ag Qe 1)

b) De género doblemente par:

(2.1)

=2 CO TA
sh S (e.(e+1)

CA AR MEE

A =—
g 8.4) 2 (g.(e + 1))

Circunscrito.

a') De género par:

E (29.1)

"noo 2% a eg.Cern)
Sa Qg.1D

200 E (E. REle+n)

b') De género doblemente par:
ñ (2.1)

(H=) 2 EA

(2.eMg.(e+ 1)

(2-10
$ = 20 —— —
CAT)

— 681 —

PENTADECÁGONO REGULAR

Die =15 (15.1) Pr ay

Aj 005.2) Pe E

o a Pa. 00 5
e (1) -. 1 PE A

(15.2) (15.7)
15 (15.1) 1

(15.2) (15.7)
(15.1) (15.4)

M2) (15.0) 24 (15.2) (15.7)?
Y 1 (15.7)

5.) PO 1
as 1) 0 le (15.7)

a (15.4) (157) 5.2 (5.4(5:10

POLÍGONO REGULAR DE GÉNERO 17.-- De 1S fórmulas ge-
nerales y de las relaciones:

(34.1) (17.8 =(17.1) , (384.3) (17.7) =(17.3)
(34.5) (17.6) =(17.5) , (34.7) (17.5) =(17.7)
(34.9) (17.4) =(17.8) , (34.11) (17.3) =(17.6)
(34.13) (17.2) =(17.4) , (34.15) (17.1) =(17.2)

resulta:
Pins A RUTA)

Ay -1 == 07.2)

y 407.0
(17.2)

Am. =
: - (17.2)
Ae 4 DO IS
(17.4)
O 497 CO |
2. (17.3) (17.4)
Dir de 3 (17.1) (17.3)
(17.. 6)
ali e: CORA
(17.4) (17.6)
dy at A
(17.8)
o HN 17.07.9077)
2 (17.5) (178)
Pi - 34 07.1)(7.5)

Am. 1=

Pi -

Ar. s

E ES:

— 682 —

AT OTAN OS)

(17.7)
1 (47 DAT. 5)
2. (17.6) (17.7)

7.7= 34 (17.1) (17.6)

(17.5)
17 (17.1) (17.3) (17.6)

RAUL

(17.1) (17.7)
(17.3)

¿172 7 ..1)* (7.7).

A UE EAS -

03

de un modo análogo determinaríamos los valores del perí-
metro y área aparentes de los polígonos regulares de géne-
ro 17 circunscrito, aplicando las fórmulas (14) (15).

- Las fórmulas generales nos permiten demostrar sencilla-
mente los teoremas que siguen:

1. La diferencia de los cuadrados de los lados de dos
polígonos regulares es igual á la diferencia de los cuadrados
suplementarios.
conjugados.

2.” a)—La media geométrica del perímetro de un polígo-
no regular convexo inscrito y del circunscrito de género do-
ble, es igual al perímetro del polígono regular convexo ins-
crito de género doble.

b)—La media armónica de los perímetros de dos polígo-
nos regulares semejantes, inscrito y circunscrito, es igual al
perímetro del polígono regular convexo circunscrito de géne-
ro doble.

3.” a)—El área de un polígono regular convexo inscrito
de género par, es igual á la media proporcional de las áreas
de los polígonos regulares convexos, inscrito y circunscrito,
de género mitad.

b)—El área de un polígono regular convexo circunscrito
de género par, es igual á la media armónica de las áreas del
polígono regular convexo, inscrito semejante y el circuns-
crito de género mitad.

4. La diferencia de las áreas de dos polígonos regulares
convexos semejantes, uno inscrito y otro circunscrito, es
inscrito
circunscrito

de los lados de sus polígonos

igual al área de un polígono regular convexo |

en una circunferencia, cuyo diámetro sea el lado del polígono
circunscrito
regular convexo3.. ado.
inscrito

Como ejercicio demostraremos (3” — b):
De las fórmulas (13, 15) resulta

cn

1 1

Asc dere) > Ay: 72 2-0)
A (22.1)

EE y

g.1 uE. 24 E a (g.1)

o ole loto ». o. 1.1. o. «50 e

por consiguiente, Az. , EE A?»g - 1, luego
Y»
Ahora bien,

1 2(2:10
A 1) 14242 |=
g g (g | 3 6

A a (2.1) + (1) +(-2)=
IA
TS
=>g a > ON e)

De un modo análogo demostraríamos los demás.

Figura 3.?

Nota. La fórmula (12) del perímetro aparente de un po-

: 2A7.1 É
(*) También se puede deducir que E = E DE

,
7]
-
3
3
.
3

sd

— 685 —

lígono regular puede hallarse como sigue (fig. 3.*): Supon-
gamos la circunferencia (0) dividida en £ partes iguales:

AB=CD=(g.€) , CB=DE=(g2g.1) , mB=.mC;
será el semilado aparente del polígono dado,
NE=AN= (28 .(g —2e)) = £:20
(9.0)
AE=(2.2e) ND=(2g .(g —2(e—1)));

de la semejanza de los triángulos CmB, AmD resulta

má mB AB dE CB.AB
UNOS CA. ADIOB CB=-AD

siendo N el punto medio de ÁNE del cuadrilátero cíclico
(ADEN) resulta NE (AD + DE) = AE.ND, de donde

AE.ND
AD+DE=AD+ CB ==,
UN ye PE
luego
aa, e e
N.D. AE

pero siendo AB(AN=nE)=R =<AE, resulta

(g.1)
(29,2 =2(e =10)

mB=mC=R ;

y haciendo R = 1

(g. 1) |
a y NA
KA S ge (e—2(e 1) 3

ds

Se puede hallar directamente el perimetro aparente de
algunos de los polígonos regulares como sigue:

PENTÁGONO DE SEGUNDA ESPECIE. — Como las diagonales
de un pentágono regular convexo, se dividen mutuamente
en media y extrema razón, resulta que el semilado aparente
del pentágono de segunda especie es el segmento menor del
lado, dividido en media y extrema razón;

0 Y NE

OCTÓGONO DE TERCERA ESPECIE. —Dividiendo la circun-
ferencia en ocho partes iguales

(1— 2) =(2— 3) =(3—4)=(4-—5)=(5 —6)=
= (6 —7)=(7—8) =(8 —1),

las cuerdas (1 — 4) (2 — 3) son los lados de los octógonos
de tercera y primera especie; ahora bien, siendo C, D los
puntos en que la cuerda (1 — 4) corta á las (2 — 7) (3 — 6)
como CD=(2 — 3) el lado aparente del octógono de ter-
cera especie AC+DB=AB-— (2— 3); luego llamando
hs. ¿ dicho lado,

=(8.3) (8 /10=(4D6.D0=V2V2 20

DECÁGONO DE TERCERA ESPECIE. —Sea ÁC la décima par-
te de la circunferencia (0), trazando por los puntos A, C, en
sentido contrario, las cuerdas AB, CD que subtienden tres
partes de la circunferencia, siendo m su punto de intersec-
ción, trazando la cuerda BD, Am=mC será el semilado
aparente del decágono de tercera especie; de los triángulos
semejantes AmC, DmB sale:

Am ma (10. 3) sica
(10.1) (10.5) (10.1)+(10.5) (10.3)”

— 687 —

luego

Ed A A AR 1
Ajo +3 = (10.3) 3 V5.

DODECÁGONO DE QUINTA ESPECIE. —Siendo ÁC la dozava
parte de la circunferencia (0), si por los puntos A, C traza-
mos en sentido contrario las cuerdas AB, CD iguales á
(12.5), siendo m su punto de intersección, trazando la cuer-
da BD como el triángulo AmC es equilátero, resulta

(12:12 N 2 25.
De un modo análogo se hallan sencillamente los lados
aparentes de los pentadecágonos regulares no convexos.

XXIX.—Catálogo descriptivo de los Insectos PO
teros de las Islas Canarias.

Por EL R. P. LONGINOS Navás, S. ].

INTRODUCCION

Naturalistas extranjeros han dado cuenta, de vez en cuan-
do, de algunos insectos Neurópteros de Canarias, que ha-
bían llegado á su noticia; mas no sabemos que ningún espa-
ñol haya tomado este trabajo. Habiendo tenido ocasión de
estudiar diversos Neurópteros de aquellas islas, me he deci-
dido á formar este Catálogo, por incompleto que él sea toda-
vía. En él he reunido lo que he encontrado esparcido en los

— 688 —

autores sobre Neurópteros de Canarias y lo que he visto al
revisar los ejemplares de mi colección y los del Museo Na-
cional de Madrid, en ocasión en que pude verlos en nuestra
capital. Los de mi colección los debo á mi amigo y asiduo
corresponsal D. Anatael Cabrera, de La Laguna de Tenerife.
- Como la descripción de algunas especies anda en diferen-
tes obras y revistas, me ha parecido resultaría de más utili-
dad mi Catálogo, si en él ponía una sucinta descripción 6
diagnosis de todas las especies. No siendo ellas muchas no
resultará excesivamente largo mi trabajo.

BIBLIO3RAFÍA

BANCKS (Nathan).—A revision of the neartic Hemerobiidae. New
York. 1905.

BRAUER (Friedrich). — Úber die von Prof. O. Simony anf den Cana-
ren gefundenen Neuroptera und Pseudoneuroptera (Odonata, Corro-
dentia et Ephemeridae). Wien, 1900.

DESNEUX (Jules).—Isoptera. Fam. Termitidae. Bruxelles. Gen. ln-
sect. de Wytsman). 1904.

ESCHERICH (K.). —Das System der Lepismatiden. Stuttgart, 1905.

KIRBY (W. F.).—A revision of the Subfamily Libellulinae, with
Descriptions of news Genera and Species. London, 1887.

” LUBBOCK (John).— Collembolla and Thysanura. London, 1873.

MAC LACHLAN (Robert).— The Neuroptera of Madeira and the Ca-
nary Islands. London, 1881.

MORTON (Kenneth J.). — Notes on certain palaeartic Species of the
genus Hemerobius. London, 1901.

RAMBUR (P.). —Insectes Névropteres. París, 1842.

TISANUROS (*)

Insectos ápteros. Antenas filiformes, pluriarticuladas. Ab-

(*) Para la división de los Neurópteros en subórdenes, secciones,
familias, etc., remito á mi Catálogo descriptivo de los Neurópteros de
los alrededores de Madrid (REV. R. AC. DE CIENC., Madrid, Mayo 1905)
y á mis Observaciones sobre el orden de los Neurópteros (Mem. Real
Academia de Cienc., Barcelona, Sept. 1905).

— 689 —

domen de diez segmentos. Tarsos de un artejo. Cuerpo cu-
bierto de escamas ó liso.

FAMILIA Lepismidos.

- Cuerpo aplanado, escamoso. Antenas, cercos y urodio plu-
riarticulados, largos.

1. Lepisma sacharina L.—Cuerpo alargado (long. 7-
10 mm., lat. 2-25 mm. ), blanquizco, grisáceo. Abdomen con
el O segmento escotado en el extremo. Cercos largos
como la mitad del abdomen, urodio más largo. Pelos princi-
pales sencillos, no plumosos; en el borde posterior de los
segmentos abdominales, cuatro, aislados.

Por ser especie casi cosmopolita la incluyo aquí, por más
que no la he visto de Canarias, ni se ha citado.

2. Lepisma aurea Duf. —Cuerpo oval ó piriforme, de
hasta 10 milímetros de largo, amarillo de oro por el color de
sus escamas. Cercos y urodio más cortos que la mitad del
abdomen, éste con el décimo segmento alargado, escotado.
Pelos principales no plumosos, cuatro aislados en el borde
posterior de los segmentos dorsales.

Laguna de Tenerife! (Cabrera). 20 de Mayo de 1905.

3. Ctenolepisma ciliata Duf. —Cuerpo alargado (lon-
gitud 10 mm., lat. 3 mm.). Cercos y urodio anillados de
pardo y blanco. Cabeza y tórax bordeados de pelos en fas-
cículos. Pelos principales plumosos; dos grupos de ellos en
forma de peine en los segmentos II-VI del abdomen á cada
lado, en el dorso.

Laguna de Tenerife! Bajamar! (Cabrera). 20 de Junio
de 1905.

4. Ctenolepisma lineata Fabr. — Cuerpo alarga-
do (long. 10-12 mm., lat. 3-3'5 mm.), grisáceo ó plomizo,
con el dorso marcado ordinariamente de dos ó más líneas
longitudinales blancas. Pelos principales plumosos; dos pa-

— 69 —

res de peines en los segmentos dorsales I1-VIII del abdomen.
Segmento décimo, corto, triangular.

Laguna de Tenerife! (Cabrera), 1905. Bajamar! (Cabrera).
20 de Junio de 1905.

5. Ctenolepisma lineata Fabr.— var. Eatoni Ridl. Co-
lor blanquizco, con sólo los bordes obscuros. Tamaño ma-
yor (13-14 mm.). Cercos y urodio fuertemente anillados de
blanco y negro.

Santa Cruz de Tenerife, debajo de las piedras, junto á la
ciudad (Ridley), Médano! (Cabrera), Enero de 1906.

v

FAMILIA Maquílidos.

Cuerpo fusiforme, plano por debajo y muy convexo por
encima, escamoso; halterios doblados hacia delante debajo
del abdomen.

6. Petrobius maritimus Leach. —Negruzco, con es-
camas doradas ó de reflejos bronceados; antenas pardas;
cercos y urodio anillados. Long. 10 mm.

Islas Canarias (Weeb et Berthelot apud Lubb.). Laguna de
Tenerife! (Cabrera), Junio de 1905.

ODONATOS

Vulgarmente libélulas 6 caballitos del diablo. De grande
Óó mediano tamaño, con dos pares de alas bien reticuladas;
antenas cortas, alesnadas; mandíbulas provistas de fuertes
dientes.

FAMILIA Libelúlidos.

Alas posteriores más anchas que las anteriores en la base;
triángulo discoidal del ala anterior transverso; cabeza con
vesícula delante de los ojos.

A.
¿

— 691 —

7. Libellula depressa L. — Abdomen ancho, deprimi-
do, tríquetro, amarillento en la Y, azul pulverulento en el Y
adulto. Alas posteriores con una gran mancha parda basilar,
las anteriores con un rasgo del mismo color.

Esta especie se ha citado, con duda, de Canarias (Bory de
St. Vincent, Essai, p. 369); yo no la he visto.

8. Crocothemis erythraea Brull. — Abdomen corto,
ancho, algo deprimido, triquetro, amarillento en la Y, rojo
escarlata en el $ adulto. Ala posterior con gran mancha
amarilla Ó azafranada en la base y una sombra del mismo
color en la base de la anterior. Estigma grande, amarillo.

Especie de área muy extensa. Ganarias (Brullé, Bory de
St. Vincent, Web et Berthelot); Orotava, Tenerife (Mac
Lachlan); Caldera de Gomera, Fuenteventura, Oct. 1890,
Tenerife, Taganana, Orotava, Gran Canaria (Brauer); La-
guna de Tenerife! (Cabrera); Gomera! (Mus. Nac.).

9. Trithemis arteriosa Burm. — Abdomen casi cilín-
drico, tríquetro. Alas posteriores con una mancha basilar
amarilla, las anteriores con dos manchitas lineales del mis-
mo color (< ). Estigma y membranilla negruzcos.

Canarias (Web et Berthelot); Montañas de Nordeste, Te-
nerife, 26 Diciembre (Mac Lachlan); Tenerife, Taganana,
Gran Canaria (Brauer); Laguna de Tenerife! (Cabrera); Go-
mera! (Mus. Nac.)

10. Orthetrum chrysostigma Burm. — Abdomen casi
cilíndrico, triquetro, hinchado en la base, largo, amarillo en
la Y, azul en el Y adulto. Membranilla del ala posterior ne-
gruzca, pálida en la base, orillada de amarillo exteriormen-
te. Estigma amarillo.

Canarias (Brullé); Tenerife (Burmeister); Montañas de
Nordeste, 26 Diciembre (Mac Lachlan); Fuerteventura, Oc-
tubre 1890, Hierro, Tenerife, Taganana, etc. (Brauer); La-
guna de Tenerife! (Cabrera); Gran Canaria (Brauer, Museo
Nacional!); Teror! (Mus. Nac.); Gomera! (Mus. Nac.).

11. Sympetrum Fonscolombei Sel. — Abdomen casi

— 692 —

cilíndrico, amarillo (4), rojo en el Y adulto. Ala posterior
con grande mancha amarilla en la base. Estigma amarillo,
corto. :

Canarias, cerca de Las Palmas, Gran Canaria, 6 Diciem-
bre (Mac Lachlan); Lobos, Lanzarote, Gomera (Brauer );
Laguna de Tenerife! (Cabrera).

12. Palpop!leura marginata Fabr. — bdo tríque-
tro. Alas de un bronceado opaco, excepto el espacio apical
en el ala anterior á partir del estigma, y en la posterior una
faja ancha sinuosa del margen posterior y el ápice.

Especie africana, indicada de Canarias por Bory de
St. Vincent. Mac Lachlan advierte que él no la ha visto de
estas islas. Tampoco la he recibido de las mismas ni la he
visto en el Museo Nacional.

13. Pseudomacronia tórrida Kirby. — Grande. Abdo-
men cilíndrico, triquetro, algo hinchado en la base, amarillo,
con faja dorsal negra interrumpida en la quilla. Estigma
negro.

Tenerife (Kirby); Tenerife, Orotava, Monte de Aguirre,
Santa Cruz, Gran Canaria (Brauer); Laguna de Tenerife!
(Cabrera); Gran Canaria! Gomera! (Mus. Nac.).

FAMILIA Ésnidos.

Quilla frontal en vez de vesícula delante de los ojos. Trián-
gulo discoidal longitudinal.

14. Anax imperator Leach —(Formosus Van der Lin-
den). Tórax verde, sin manchas. Abdomen hinchado en la
base, azul, con línea dorsal y otras transversas, negras. Cer-
co inferior del S más largo que ancho.

Canarias (Webb et Berthelot), Tafira, 8 Dic., Las Palmas,
10 Diciembre, Gran Canaria, Santa Cruz de Tenerife, 28
Diciembre (Mac Lachlan); Tenerife, Santa Catalina, Gome-
ra, Gran Canaria (Brauer); Laguna de Tenerife! (Cabrera).

15. Anax Parthenope Sel. — Tórax rojizo, casi sin

— 693 —

manchas. Abdomen pardusco, menos los tres primeros seg-
mentos azules. Cerco inferior del Y, más ancho que largo.

Canarias, Tenerife (Brauer); Laguna! (Cabrera).

16. Cyrtosoma ephippigerum Burm. — Alas posterio-
res teñidas levemente de amarillo en el disco. Cerco inferior
del S triangular. Rojizo.

Canarias (Mac Lachlan), Laguna! (Cabrera).

FAMILIA Agriónidos.

Alas estrechadas en la base.

Ni he visto citada ninguna especie de estos delicados Neu-
rópteros, ni la he recibido de Canarias. Se me hace invero-
simil que no haya representantes de ella en aquellas islas,
habiéndolos en las Azores y en el continente africano.

OXINATOS

Mandíbulas faltas de fuertes dientes. Tarsos de dos á cin-
co artejos. Alas con malla más ó menos abundante; algunas
especies y formas ápteras.

FAMILIA Efeméridos.

Alas porteriores muy pequeñas Ó nulas, las anteriores
grandes, triangulares. Antenas cortas, alesnadas. Cercos lar-
gos, pluriarticulados.

17. Cloeon dipterum L. — Sin alas posteriores. Cercos
blancos ó anillados de pardo. Alas hialinas ó con el campo
costal con manchas parduscas y amarillentas (Q).

Canarias, Tenerife (Mac Lachlan); Palma, Tenerife
(Brauer); Laguna!, 1. de Abril de 1905 (Cabrera), subima-
go, Santa Cruz de Tenerife! (Cabrera), 2 de Mayo de 1904.

— 694 —

18. Baetis Rhodani Pict. — Alas transparentes, inco-
loras, las posteriores estrechas, obtusas, con dos ó tres ve-
nas, la costal con un diente en la base; las anteriores con
dos venas intercalares marginales.

Gran Canaria y Tenerife (Mac Lachlan).

FAMILIA Mirmeleónidos.

Antenas engrosadas en la punta, claviformes, cortas. Alas
alargadas, semejantes, con reticulación bastante densa.

19. Myrmeleon distinguendus Ramb. — Color pardo
claro. Venas y venillas pálidas, membrana de las alas total-
mente hialina, sin manchas.

- Canarias (Mac Lachlan), Candelaria! (Cabrera), 26 de
Octubre de 1904.

20. Myrmeleon alternans Brull. — Los cinco segmen-
tos intermedios del abdomen son la mitad amarillos y la mi-
tad pardos. Alas hialinas, con la malla parda, algo orillada
de lo mismo, sobre todo en la Q.

Canarias (Mac Lachlan); Palma (Brauer); Laguna! (Ca-
brera); Barranco Hondo! (Cabrera), 24 de Octubre de 1904,

21. Myrmeleon canariensis.—Sp. nov. (Figs. 1.* y 2.%)

Similis nemausiensi Borkh.

Minor, fusco et pallido variegatus, alis anterioribus macu-
latis.

Caput pallidum ; antennis, praeter duos primos articulos
flavescentes, fuscis, sat longis, singulis articulis apice palli-
de cinctis; fronte inter antennas fusca; palpis pallidis, maxil-
laribus longis, ultimo articulo elongato, gracili, levissime fu-
siformi, seu acuminato, nubecula fusca obumbrato; labialibus
ultimo articulo a basi ultra medium infuscato; vertice fusco-
maculari; occipite fusco et pallide maculato.

Prothorax marginibus lateralibus parallelis, pallidus, disco
fascia longitudinali fusca medio longitudinaliter divisa, antice
ipsum extremum marginem haud altingente, ad latera reflexa,

e a id AS

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.

>

— 695 —

cum fascia marginali subcontinua. Meso-et metathorax sub-
toti fusci, fascia centrali item bipartita et lateralibus amplic-
ribus parum distinctis. Sternum pallidum.

Abdomen fuscum, pilosum, pilis densis tenuibus medio-
cribus albis, ad extremum abdominis fasciculo pilorum su-
perne breviore ad decimum segmentum, inferne longiore, ad
octavum, atro. Segmenta I-VI margine posteriore pallide
annulato, annulo ad latera fusco interrupto; octavo latius
pallide cincto, nono parum basi fusco, decimo subtoto pal-
lido. Praeterea segmenta III-VII macula laterali subelliptica
irregulari notata, in tertio et quarto ante tertium incipiente,
in quinto ante quintum, in sexto prope basin, in septimo
basilari, cum opposita in unum conjuncta.

Alae elongatae, angustae, apice acutae; venis venulisque
fusco-nigro et pallide maculatis; stigmate albo, parum visi-
bili. Alae anteriores tribus quatuorve radialibus venulis inter
originem sectoris et stigma fusco-marginatis; anastomosi
rami cubiti externe, venulis discoidalibus seriatis utrinque,
furca marginalium interne seu ad axillam marginatis. Alae
posteriores nullis venis venulisve marginatis.

Pedes mediocres, pallidi, femoribus anterioribus, exce-
pta basi, totis fuscis, reliquis et tibiis fusco-punctatis; tarsis
primo articulo tantum apice, reliquis totis atris, unguiculis
fuscis. Calcaria tibiae anterioris primum tarsi articulum pa-
rum, tibiae posterioris minime superantia.

Long. corp., 18 mm.; alae ant., 195 mm.; posterioris,
185 mm.; antennarum, 5 mm.

Dos ejemplares de La Laguna de Tenerife, cogidos el
año 1905 por D. Anatael Cabrera.

Conviene hacer notar algunas diferencias de esta especie
con la nemausiensis Borkh., con la que tiene mucho pare-
cido. :

1.? El tamaño es menor, siendo la longitud media del ne-
mausiensis de 22 milímetros.

2. Las manchas abdominales de éste no se juntan en el

Rey. Aca. Ciencias. —IV. —Junio, 1506. 47

CU

séptimo segmento, y el octavo tiene también manchita la-
teral.

3. Los palpos labiales son truncados en el nemausiensis
y más obscuros en el último segmento, más gruesos en la
base; los del canariensis más tenues, sobre todo en la base,
y puntiagudos.

. 4, Los tarsos son totalmente distintos; el quinto artejo
es pálido en la base en el nemausiensis.

-.5.% Este, además, ofrece una venación distinta; ninguna
venilla radial está orillada de pardo. El pardo de las mismas
es menos obscuro; en aquél tira á negro.

, En el tamaño y dibujos se parece igualmente al M. micro-
stenus Mac Lachlan, de Africa; mas lo blanco de sus tarsos
y el carecer de venillas radiales orilladas de pardo, lo distin-
guen al momento,

22. Uroleon caudatus Brau (fig. 3. y ERpolOdeN de
las tibias anteriores tan largos como los tres primeros arte-
jos de los tarsos. Estigma blanco limitado interiormente por
manchita parda. Alas anteriores con dos manchas oblicuas,
una marginal posterior y otra discoidal. Espacio marginal
del ala anterior sin serie transversa de venillas desde el es-
tigma hasta el ápice. Abdomen con el tercer segmento tres
(9) 6 cuatro (JS ) veces más largo que el cuarto, y termi-
nado en el Y por dos apéndices cilindráceos, vellosos, pa-
ralelos.

Gran Ganaria (Brauer, Museo de Viena), Costa de Tejina!
(Cabrera), 5 de Septiembre de 1900,

23. Formicaleo catta Fabr. —Espolones de las tibias
anteriores, tan largos como los cuatro primeros artejos de
los tarsos. Alas anteriores con dos manchas oblicuas, una
marginal posterior y otra discoidal. Espacio marginal del ala
anterior con una serie de venillas desde el estigma al ápice.

Canarias (Mac Lachlan, Brauer.)

24. Acanthaclisis sp.—Reticulación de las alas, man-
chada de pardo y blanco Espolones de las tibias anteriores,

— 697 —

doblados en ángulo recto. Espacio costal de las alas, reticu-
lado, constituyendo dos series de celdillas.

Brauer cita una larva que presume ser de la A. baetica Rb.

25. Palpares hispanus Hag. — Grande, con alas salpi-
cadas de muchas manchas pardas. Abdomen amarillo, con
faja basilar parda en cada segmento.

Canarias (Bory de St. Vincent, Essai, p. 369.)

Cabe sospechar si se ha confundido con otra especie aná-
loga..

FAMILIA Crisópidos.

Antenas filiformes. Ojos dorados ó cobrizos en vida, par-
dos ó lívidos en seco. Alas con dos series de venillas gradi-
formes. Celdilla cubital típica del disco del ala anterior oval
Ó trapezoidal.

26. Chrysopa vulgaris Schn. —Venas y venillas ente-
ramente verdes. Celdilla cubital aislada, es decir, que la pri-
mera venilla radial llega al procúbito más afuera de la celdi-
lla cubital. Cara con mancha roja entre el ojo y la boca.

Canarias (Webb et Berthelot), Las Palmas, Gran Canaria,
6 Diciembre (Mac Lachlan); Orotava, 15 Diciembre (Mac
Lachlan); Santa Cruz de Tenerife, 27 Diciembre (Mac Lach-
lan), Laguna! (Cabrera), Bajamar! (Cabrera), 20 de Mayo
de 1901, Los Rodeos! (Cabrera), 30 de Agosto de 1905.
27. Chrysopa vulgaris Schn., var. microcephala
Brau. — Algunas venillas costales, marcadas de negro en el
punto de unión con la vena subcostal y otras del disco total-
mente; una línea negra en la mejilla y otra en el borde del
clípeo.

Canarias (Mac Lachlan), Tenerife (Brauer).

28 Chrysopa flaviceps Brull. —Cabeza y primer ar-
tejo de las antenas, amarillo; lo restante de éstas, negro;
vértex con dos puntos negros detrás de las antenas, y otros
seis más atrás en línea transversa. Estigma muy visible, ama-
rillento rojizo.

— 698 —

Canarias (Brullé); Palma (Brauer); Laguna de Tenerife!
(Cabrera), 1902, 1903.

29. Chrysopa subcostalis Mac Lachlan. — Verde 6
verde pálida. Ala anterior con la vena costal casi totalmente
negra y una manchita parda en el ángulo posterior, donde el
ramo de la vena axilar llega al margen.

Canarias, Orotava, 15 Diciembre (Mac Lachlan); Santa
Cruz, 27 y 28 Diciembre (Mac Lachlan); Laguna! (Cabre-
ra), 1902, Bajamar! (Cabrera), Mayo y Junio de 1901.

30. Chrysopa atlantica Mac Lachlan. — Verde casi
uniforme en las alas. Venillas gradiformes abundantes (7/8
en las alas anteriores). Una línea arqueada negra anterior en
la base de las antenas y otras manchitas en la cabeza. Ab-
domen con líneas transversas y laterales longitudinales ne-
gras.

Canarias, Aguamansa, Tenerife (Mac Lachlan, 16 Diciem-
bre, Monte de las Mercedes! (Cabrera), 20 Diciembre 1904.

31. Chrysopa fortunata Mac Lachlan. — Verde. Ante-
nas pálidas, con el primer artejo bulboso, marcado de una
línea parda. Ala anterior con cuatro manchitas negras basi-
lares: una junto á la base de la vena costal, otra en la base
del radio, otra, á veces poco marcada, en el campo axilar
(anal), y otra en el extremo del ramo de la vena axilar, que
se dilata algún tanto.

Canarias. Santa Cruz de las Palmas (Mac Lachlan) 29 Di-
ciembre.

FAMILIA Hemeróbidos.

Pequeños. Sin estemas, con ojos grandes. Alas anchas,
sin celdilla cubital típica, con venillas gradiformes; dos ó
más sectores del radio.

32. Hemerobius humuli. L. —Ala anterior con tres sec-
tores del radio, el tercero ahorquillado dos ó tres veces an-
tes de la serie externa de venillas gradiformes. En el ala pos-
terior la primera bifurcación del radio está antes de la bifur-

ño ds
AN

— 699 —

cación del procúbito (mediana). Cabeza y antenas amarillen-
tas. Envergadura 15-17 mm.

Con mucha duda citan Mac Lachlan y Brauer esta especie
de Canarias. Orotava (Mac Lachlan), Pico de Taganana,
Tenerife (Brauer). Es creíble la existencia de esta especie en
las islas, dado que se encuentra en Europa y América. No
lo he recibido.

33. Hemerobius cornutus.—sp. nov. (Fig. 4.).

Mediocris, stramineus, fusco-punctatus.

Caput stramineum, antennis longis, stramineis, primo ar-
ticulo longo, linea fusca anteriore externa notato; palpis ma-
xillaribus ultimo articulo inflato subeylindrico, fusco tenuiter
tincto, subito acuminato.

Prothorax marginibus lateralibus late fuscatis. Meso-et me-
tathorax ad latera infuscati.

Abdomen supra totum fuscum, infra stramineum pilosum,
pilis stramineis.

Pedes tibiis fusiformibus, unguiculis fuscis.

Alae elongatae, apice subacutae, anteriores fusco et albo
punctatae, posteriores hyalinae, stigmate fere insensibili.

Alae anteriores subcosta straminea, reliquis venis fusco et
albo punctatis, ad latera nubeculis fuscis pinnatis; radio qua-
tuor sectoribus, primis tribus semel, quarto sexies ferme fur-
cato, tertia furca cum subcosta venula fusca conjuncta; pro-
cubitali (media auct.) cum radiali venula alba conjuncta juxta
et ultra venulam subcubitalem fuscam longe ante sectorem
primum; infra et ante hunc sectorem furcata, cum cubito ve-
nula intense fusca conjuncta; cellula secunda cubitali (post-
costali auct.) aperta; venulis gradatis octo in seriem in-
terruptam, internis sex in seriem continuam externae subpa-
rallelam, intense fuscis, fusco marginatis; margine externo et
posteriore alternatim albo et fusco punctatis.

Alae posteriores radio quater furcato, procubitali et cubitali
ter, postcubitali ramo primo ante marginem incurvo, venu-
lis inter eum et marginem alae et apicem axillaris albis.

=— 0

Longit. corp. 5 mm.; alae ant. 8 mm.; post. 75 mm.; an-
tenn. 55 mm.

Tenerife, Bajamar, 24 de Febrero de 1904 (Cabrera).

34. Hemerobius sciopterus sp. nov. (Fig. 5.*).

Minor, stramineus, fusco-tinctus.

Caput stramineum, antennis longis, immaculatis, ad api-
cem fuscescentibus; palpis maxillaribus ultimo articulo fusi-
formi acuminato.

Prothorax marginibus lateralibus fusco-rufis, hispidis.
Meso-et metahorax medio straminei, ad latera fusco-rufi.

Pedes longi, straminei, tibiis fusiformibus, unguiculis vix
obscurioribus.

Alae longae, stigmate vix sensibili, apice subacutae; pos-
teriores hyalinae, anteriores fusco tenuiter punctatae.

Alae anteriores venis fusco leviter punctatis; radio quatuor
sectoribus, tribus primis bis, quarto quater furcatis, ad radi-
cem puncto fusco clarius notatis, utrinque parum visibiliter
fuscatis, hoc cum radio venula fusca ultra secundam furcam
conjuncto; vena procubitali cum radio venula pallida inter
venulam subcostalem fuscam et primum sectorem radii, sed
prope illam, conjuncta; venae procubitalis ramo inferiore
cum vena cubitali venula nigra juncto; secunda cellula cubi-
tali aperta; margine externo et posteriore alternatim albo et
fusco punctatis; venulis gradatis fuscis, tenuibus, haud fusco-
marginatis, externis 7, internis 6, in seriem priori oblicuam
dispositis.

Alae inferiores nervis subincoloribus, levissime fuscatis;
radio quater furcato, procubitali ter, cubitali quater aut am-
plius; ramo postcubitalis ad anastomosin cum axillari (ad
alae marginem) haud pallescente.

Abdomen infra stramineum, supra maculare subtotum fu-
sco-rufum, pilosum, pilis stramineis.

Long. corp. 5 mm.; alae ant. 7 mm.; post. 6 mm.; an-
tenn. 5 mm.

35. Sympherobius elegans Steph. — Alas posteriores

— 701 —

sin venillas, las anteriores con dos sectores del radio. Mem-
brana de las mismas, pardas con muchas manchitas redon-
das, blancas é hialinas. Venillas gradiformes */,. Envergadu-
ra 10 mm. :

Las Palmas, Gran Ganaria (Mac Lachlan), 6 Diciembre;
Laguna! (Cabrera), 1904. |

36. Boriomyia nervosa Fabr.—Alas anteriores con
cuatro sectores del radio, el primero enlazado con el procú-
bito por una venilla, y la segunda celdilla cubital abierta. Ca-
beza y tórax ocráceos, éste con faja negra lateral. Enverga-
dura 20 mm.

Canarias (Webb et Berthelot, Wollaston), Laguna! (Ca-
brera), 1902.

37. Stenolomus (*) gen. nov.

Similis Megalomo.

Campus costalis basi parum ampliatus, vena recurrente
spatium ovale oblongum relinquente. Quinque sectores radii.
Venulae gradatae in ala anteriore parum numerosae, exter-
nae non ultra novem. Venula conjungens radium cum procu-
bito juxta et ultra venulam subcostalem. Cellula secunda cu-
bitalis aperta.

Stenolomus Cabrerai sp. nov. (Fig. 6.*).

Stramineus, fusco-notatus.

Caput stramineum, antennis concoloribus, articulo primo
inflato, longo, reliquis brevibus, extremis fusco leviter tin-
ctis; palpis maxillaribus articulo ultimo inflato, oblongo, api-
ce subito angustato acuminato.

Prothorax transversus, ante angulum posticum triangula-
riter subito ampliatus, pilis fusco-rufis hispidus, marginibus
lateralibus fusco limbatis. Meso-et metathorax similiter ad
latera fusci.

Abdomen inferne pallidum, superne fuscum, modice E
sum, pilis pallidis.

(*) De orevós, estrecho,

— 702 —

Pedes mediocres, pallidi, tibiis posterioribus fusiformibus,
tarsis fortibus, obscurioribus.

Alae elongatae, apice subacutae, stigmate rufescente, sen-
sibili, venis venulisque fuscis.

Alae anteriores venis pallidis crebre et intense fusco-pun-
ctatis; quinque sectoribus radii basi latius fusco-punctatis,
quatuor primis bis, quinto quater furcatis; venulis gradatis
fusco-marginatis, serie externa bis interrupta, venulis ple-
rumque 7, raro 8-9, serie interna 6 illi parallela, obliquis.

Alae posteriores hyalinae, venis venulisque .unicoloribus
fuscis, venulis gradatis intensius, serie externa 8 irregulari,
interna 2, membrana ad apicem leviter umbrata.

Longitudo corporis 6 mm.; alae ant. 8 mm.; poster. 7 mm.;
amplitudo alae ant. 4 mm.

Hab. Tenerife, Laguna! 1902, 1904, 27 de Marzo de 1905.
Laguna, Geneto, 2 de Marzo de 1905; Laguna, Montaña de
Guerra, 19 de Marzo de 1905.

38. Stenolomus scalaris sp. nov. (Fig. 7.*).

Minor, stramineus, fusco-punctatus.

Caput stramineum, antennis pallidioribus, occipite fusco-
punctato.

Prothorax ad medium dilatatus, marginibus late fusco-
violaceis, fasciis in meso-et metathorace continuatis.

Alae elongatae, apice subacutae, stigmate pallido, parum
visibili. Alae anteriores venis pallidis fusco punctatis, ad
membranam pinnato-umbratis; venulis gradatis fuscis, venis
juxta eas similiter fuscis; serie externa 8, bis interrupta, se-
rie interna 6, continua, illi parallela. Sectores radii quinque,
quatuor primis ultra seriem gradatam externam semel bisve
furcatis, quinto bis ante internam. Membrana hyalina, ad
apicem leviter umbrata. Secunda cellula cubitalis aperta.
Alae posteriores hyalinae, venis pallidis, venulis gradatis
serie externa 9, interna 2, fuscis, externa arcuata irregular;

venis fuscatis juxta series gradatas et ad axillam margi-
nalium.

— 703 —

Pedes straminei, tibia postica fusiformi.
Long. corp. 45 mm.; alae ant. 6'5 mm.; poster. 5'5 mm.
Isla de La Palma, La Calderita, 16 Abril 1901. (Cabrera.)

FAMILIA Coniopterígidos.

Pequeñitos. Antenas largas, de muchos artejos. Alas re-
cubiertas de escamitas.

39. Coniopteryx pulchella Mac. Lachlan. — Cuerpo
pardo, antenas blanquecinas, de 33 segmentos. Alas seme-
jantes, recubiertas de secreción blanca, con numerosos pun-
tos grisáceos, 8-8 en la base de ambas, pequeños, 9 mayo-
res en la mitad apical. Envergadura 6 mm.

Montañas de Nordeste, Tenerife (Mac. Lachlan), 26 Di-
ciembre.

40. Coniopteryx aleyrodiformis St.— Alas semejan-
tes, salpicadas de blanco. En ambas los dos sectores radia-
les están ahorquillados. Envergadura 6 mm.

Laguna! (Cabrera), 1904.

FAMILIA Sócidos.

Pequeñitos. Antenas largas, de pocos artejos. Alas seme-
jantes, las posteriores más pequeñas, con muy pocas veni-
llas; algunas venas tortuosas; á veces alas rudimentarias Ó
nulas.

41. Psocus personatus Hag.—Con manchas blancas
en el vértex. Abdomen verdoso, con línea dorsal negra.

Las Palmas, Gran Canaria, Aguamansa de Tenerife (Mac
Lachlan).

42. Psocus longicornis Fabr.— Estigma aislado, ó sin
venilla que lo una á la vena inferior. Celdilla discoidal cua-
drangular, próximamente tan larga como ancha. Antenas
más largas que las alas, éstas sin manchas. Abdomen ama-
rillo, con líneas transversas negras.

Laguna! (Cabrera), 1904.

43. Amphigerontia variegata Fabr.—Estigma aisla-
do. Celdilla discoidal cuadrangular, doblemente más larga
que ancha. Alas cuajadas de manchitas pardas. Envergadura
8 mm.

Laguna! (Cabrera), 31 de Marzo de 1904,

44. Mesopsocus unipunctatus Miill.—Tarsos de tres
artejos. Celdilla discoidal incompleta, ó abierta. Estigma pá-
lido, venas parduscas. Envergadura 5 mm.

Laguna! (Cabrera), 10 Noviembre 1904, Barranco Hondo!
(Cabrera), 20 Diciembre 1901.

45. Caecilius Dalii Mac Lachlan. —Tarsos de dos ar-
tejos. Celdilla discoidal incompleta ó abierta. Cabeza blan-
quecina. Alas hialinas, con dos puntos negruzcos. Enverga-
dura 6-7 mm.

Las Palmas, Gran Canaria (Mac Lachlan), 30 Noviembre.

FAMILIA Termitidos.

Alas entre sí semejantes, sin venillas. Antenas monilifor-
mes. Tarsos de cuatro artejos.

46. Termes lucifugus Rossi. —Sin vena subcostal.
Cubital siempre distinta de la procubital (mediana) en am-
bas alas. Cuerpo pardo, alas con reflejos purpúreos.

Bajamar! (Cabrera), 20 de Junio de 1905. Especie de área
muy extensa,

TRICÓPTEROS

Tarsos de cinco artejos. Alas con muy pocas venillas, sin
serie de ellas en el espacio costal, bien guarnecidas de pe-
los, á veces largos y abundantes que ocultan la venación.

— 705 —

FAMILIA Limnofílidos.

Alas anteriores oblongas, con celdilla discoidal cerrada.
Antenas tan largas como las alas. Fémures anteriores con
una espina ó sin ella.

47. Mesophylax adspersus Ramb.; var. canariensis.
Mac Lachlan.—Espolones 1, 3, 4, siendo el primero micros-
cópico en el $, pero largo en la Y. Abdomen algo clavifor-
me, pardo por encima, ocráceo por debajo. Alas anteriores
salpicadas de pardo; vena procubital casi negra, interrumpi-

da muy claramente en blanco por el iridio. Envergadura
22-25 mm.

FAMILIA Leptocéridos.

Alas estrechas y largas. Antenas muy delgadas, ya mucho
más largas que las alas, teniendo las tibias posteriores dos
espolones, Ó bien poco más largas y cuatro espolones en las
tibias posteriores.

48. Oecetis canariensis Brau.— Alas anteriores ocrá-
ceo obscuras con líneas pardas; la primera celdilla apical al-
canza á la anastomosis. Alas posteriores hialinas. La celdilla
de la quinta horquilla no pedunculada.

Gran Canaria (Brauer).

FAMILIA Hidropsíquidos.

Alas oblongas. Palpos maxilares muy largos, de cinco ar-
tejos en ambos sexos, el quinto muy largo y pluriarticulado
á manera de látigo. Espolones 2 (6 3), 4, 4.

49. Tinodes canariensis Mac Lachlan. — Espolones
2, 4, 4. Ala anterior elíptica en el ápice. Ala posterior pe-
queña, obtusa en el ápice. Celdilla discoidal cerrada en el
ala anterior, abierta en la posterior. Antenas pardas anilladas
de amarillo. Envergadura 11-13 mm.

ET =

San Mateo, Gran Canaria (Mac Lachlan), 11 Diciembre.
Palma (Brauer).

FAMILIA Hidroptilidos.

Pequeñitos. Alas largas, lanceoladas, con densa pubescen-
cia y fimbrias largas, especialmente en las posteriores. Ante-
nas cortas, submoniliformes, no más cortas que las alas.
Palpos de cinco artejos en los dos sexos, muy vellosos, los
dos primeros muy cortos.

50. Stactobia atra Hag. — Alas anteriores mediana-
mente agudas, las posteriores en forma de lanceta. Espolo-
nes 1, 2, 4. Antenas negro-parduscas, con 18-19 artejos. Co-
lor negruzco. Envergadura 5'5-7 mm.

Teror, Gran Canaria (Mac Lachlan), 9 Diciembre. Palma
(Brauer).

51. Además cita Mac Lachlan una Hydroptila nueva.

NOTA ADICIONAL

Recientemente he recibido de D. Elias Santos y Abreu,
Director del Museo de Santa Cruz de la Palma, los siguien-
tes Neurópteros, cuya localidad conviene consignar:

Crocothemis erythrea Brull, Libelúlidos.

Sympetrum Fonscolombel Sel., Idem.

Orthetrum chrysostigma Burm., Idem.

Myrmeleon alternans Brull, Mirmeleónidos.

— distinguendus Ramb., Idem.

Chrysopa vulgaris Schn., Crisópidos.

— — var., microcephala Bran., Idem.
— fortunata Mac Lachlan, Idem.

N. B. La figura 2.? de la lámina está invertida.

Revista de la R. A. de Ciencias Exuetas, Físicas y Naturales

AROS

Figura 1,*
Myrmeleon canariensis Nav.
Ala anterior

AT AR SE S XQ z
pS

Figura 2.?
Myrmeleon canariensis Nav.
Protórax

Uroleon caudatus SÍ Brau.

Ala anterior

Figura 4.*
Hemerobius cornutus Nav.

Figura 5.*
Hemerobius sciopterus Nav.

Figura 6.*
Stenolomus Cabrerai Nav.

Figura 7.?

Stenolomus scalarís Nav.

INDICE

DE LAS MATERIAS CONTENIDAS EN ESTE 'TOMO

Págs.
Composición de la Academia en 1:2 de Enero de 1906.
IM ASMIGOS: de UNIT... co 0 de A O Ai 5
A o 6
Académicos Corresponsales nacionales................. 7
Académicos Corresponsales extranjeroS........... .. y 9
Introducción á la Física matemática, por José Echegaray. 9,
125,-Z0£, 391, 411 y: T0
Formación natural de la hemoglobina, por José R. Carracido. . 33
Las disoluciones sólidas, por José Rodríguez Mourelo.. 42y 442
Aplicación de la composición de intensidades al cálculo gráfi-
co de las vigas rectas, por Nicolás de Ugarte... 68, 194 y 303
Las terminaciones nerviosas sensitivas en las ventosas del
pulpo común, por J. Madrid-Moren0........oooooooomoo... 99
Las nuevas doctrinas científicas (con motivo de una reciente
publicación), por Ramón Llord y Gamb00..........oo.oo... 103
Congreso geológico internacional....c.o.0oooonoceso cocino sa 123
Estudio de síntesis mineral, por José Rodríguez Mourelo. 151 y 502
Nota sobre la tendencia al equilibrio molecular en el mundo
Mineral, por:Salvador Calderón... iodo de 180
Datos para la monografía del ácido quercitánico, por José Ro-
DA A A ..... 214y 636
Estudio químico geognóstico de algunos materiales volcánicos
del golto de Nápoles, por Ramón Llord y Gambo0a......... 340
Estructura de las imágenes fotocrómicas de G. Lippmann, por
A A A E A RA E pode 386
Sobre un sistema de notaciones y símbolos destinados á facili-
tar la descripción de las máquinas, por Leonardo de Torres
E O RS A 429

Principios fundamentales de la teoría de los vectores. —Crítica

— 708 —

de las acciones á distancia, por Blas Cabrera Felipe.......
Nuevo método gráfico para la resolución de la ecuación de
segundo grado; por LUIS TEOTIA..... co. 4 mos eno deal ADAN
La fagocitosis, por el Rdo. P. Zacarías Martinez-Núñez, O. A..
Sobre el análisis rápido de los superfosfatos, por Mauricio Jac-
quet, Guillermo Quintanilla y Francisco Arredondo...... vo

Contribución á la teoría de los polígonos regulares, por Luis
Catalá Jimeno

Corso r.......................... 000.0... ....oo

Catálogo descriptivo de los insectos neurópteros de las islas
Canarias, por el Rdo. P. Longinos Navás, S. J.............

A,

DE LAS MATERIAS CONTENIDAS EN DE NonERO.

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k 4
A MA

XXVI.—Introducción á la Física matemática (continia?
ción), por José EchegaraY. ..ooooooommmomo...o
XXVII. —Datos para la monografía del ácido quercitánico
(continuación), por José Rodríguez Mourelo...

XX VIII.—Contribución á la teoría de los polígonos regula-
A _res, por Luis Catald Jimeno.....ooeomoooreno
XXIX.—Catálogo descriptivo de los insectos neurópteros
, de las islas Canarias, por el Rdo. P. Longinos

Ta
-
es

Navds, S. J. A A A E TS > y A
. y E LAS Nal A;

La subscripción á esta REVISTA se hace por eohios completos ñ-
de 500 á 600 páginas, al precio de 6 pesetas en España y6 francos > e
en el extranjero, en la Secretaría de la Academia, cana, de Val de:
verde, núm, 26, Madrid. ME .

Precio de este cuaderno, 1,75 pesetas. FA

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