t O EN da LAA rd qa SEAS y 9 a SI 1.4491 pios ordla md Pe be rain atós 144044 7 Wi ¡radrda des ed yes Ao! 144200 ham a en Dd y . » AS y : ; e 1) 2ya MBLAR ¡il yla OS (iia roy ¡de horda ' ei a 1 Ad k 108 20. a Ñ “0 y 4 + e ' » had e mty 4 de . 3 ñ y Mo Pod y] ' pc er de ¿ | der edad qe 99 40 pes Ay 4 MA a a y aid 44 [ de dr E qmmos ' e rel 54 ' Y $e A ll 10 ar pas Mv / y b 8 m0 Ad , ahi mea: 1 Ped: ] pets E airada aimed dd piand se qe het bil et dae Dido ple q de dape do es pArA Potes! ns e Ma Apra pros do bla Led Miera “te id os . » Le e 0 244 ! % Wie ON Emb ql a sis) . se hu Dejando, oie ' f 91 aleón y pap A “y .. 1 A solve) ' 141197114104 odo MEETS DARDOS . a e TAS JR een boy abr Ñ y po dd ama drda e INEA dea NS cea dai vin ved pd y DEIA eeb met 004) pio nd, 2 Aia labisidn 04 mes sisdr dad de do qee Pan sean! ¿ade Et: » ñ 10 ' pido, 10) ! ol eya del are Esa Mia 2040 Moa 4 0d mp ae boa Derbi 1 sab prod pde mimado do ocaso Made ev Leo ed Ñ ANA te y ' aa asta ; ani A iose , AA 00 es dei AI IN 0% 1 JUE NN 04d REA NCAA Cert 0 AAA! es y e , pre ed A e 4 Api LA PUE pere 35? IRA prod Pen dy a+ Addon do 0d de y md An MA y vprs Mildred de 00 » 10 1) 10 1 ¿ya y ¿qy* y ed) hi: Aa: de q ppt ool O PAD) riqle di 9d mn AN MS q ao de dee ¡hada m Sl . Jen me ein » ma pi "Y m4 pe 17% nl DO dni 2d eS y 4 sane nie, PATA e po ALO Patada a y nes +10 jes paar pt Jard pd po 410 At «e e MANO A AE FS seais Putin lapa td O A DY yA pia" ' pte y MARIAN ae pue PEE , h rn hagas AOS dp 4441094 2 0 sq 1444 y DIAS y ab rie » Mes DS m4 1494 NA de MEN; sal DAA A Me Ja Ml: EN A JD hen! qe) perl 1 nad 1) volando si de Y soon 01 44 de nt pis pm ibi Aa q ado ya je as Let ade (Eds Ñ de] daiindy ' ae e ae dead ca e eo as y di atra Y PEA Aral . iii ah 0 lc . vet. PARA 2 » e y 1 Ada iS A A Ad AI” > RITA TDS DA TR E Ñ 111 "y RATED IA, RA ASS O p Mi pa 4 Al Mv AL se h y” * 1414 : an Jas? / A Pre ' 07 v La , 0! Y ER , AA > y” np! Ant" ] > A ER Qe: ol Ye) b , $e ' gd A] 1 DONA j Y... pres: 0 Jah Tola Y y 0 Ray?" 5) 3) AJ ye. da ' ma PO PA A WIEN LADO = Wi mt rus | WN Ss ”mrsay ¿A er Li ved pA ” y Ma Au vw eV ba TN J A | IO + YH eam A A Hi goods, damn E A i ú . o q p rm? E >. AAA A 1 w wm AN ye NyyWWW MAA É " nn AvUuw. dd NA úl y ayb ¿pre pa uv 11 pe A ed ABE JAI A A A PO Wa O as MI Ú” 4] ca PARTO LAA De ADA . DA AA 4 A A MU 2 iba le 8 irreal ig E Ll É Moe ¡PAN A, y EA DUO, > A ve y > ANN A AA A A ms An a no AA y Sos dd ve od > AS ÍA A MA na wresr | W y De 4 4H | 3 ba e hos ho »A Add MIE Ny MATA y 4/ 4, yr yr? v AY OCA rn : ye e + ] a, ARA > » RA a Ye Fina "il Mo lt] 41 o Pa - DB PA E SUS E 5 E 3 La hh) A dl A JA Hd HH AAA «e nan nes y ( Pra Sl el WAI ed, m > PAE o 0 mes mus ES» EAN ae k Y y MEN - se dl Tr .- l MY o dr Ye; año O e A pan Y FS a e Hb Y roer dv vn Y. : AY en e 1 Mv ry Lies Ju] A 7 o DAR e 1 wd AJA | AJA : , ' , e se] DIA E We ¡yy 3 nt É y ¿ , ye 0 y 4 y A Sy, DA dl .” pa á "Pra aia A re AL A , ES q IA, w» 9 Ne ae 2 rd é A Y ' y uy Y A] O Porron «$ ss MUY uy = el A 0 mia A An Vta Ye We y lA ¿Nro t Y S vProa ey" O nu? ti Yo Y» ARS > PALTA DAA AA, U Ae ASA PATRON E PRA | AA, |] ¡y - Ade AAA y ( DN el PA CAN ari 0 ERAN Je MM 174 Wo y Y Po | UA yO) Mir AA PAI A Il rea TARA Er 4LL O, MA > E BEE HH AN a ro * 7 AT] "we A y» o A u E dde O AN Uhr. | Dr W Aye A pa git RA Mid % Y bs HEHE A Se: ny A mipti" A AAN A O qe y ds y 7 w vu ul a] MJ ys ww > ES A A e NA e ARO va HA o dd LÁ CU el yn A UA JT RAR dd 2 AN e YES A ne ta RARA DAA ed | | Lotto IIA Ñ Ñ ETT EN CE AA 70 e ' IA dy ¿uN de A SN ers PO, PR) e Wo il ga > E me EL nó ¿a Md TO A MEAT AAA AS ett 50 MAS le vy PA ] ALTO A Ww Ny E mm y] CA ru y VIVO al b es JAR 5048: em | o Mm py Me de ¿ge e 4 AO nn e q a . 1 sd a Fa A E by . w a " a” | y MJ OT padog yl > O AN TIT WN E y he NAME » e ea > NT TL Ú | Es e, on r q e As | pa "OE TU a A, e Pes A] 2 e y ote A y on le A o: cel : ww ym - Ulea un. » DVD MU AA] RN DA ¿vb A pue -- Mii en pa * Y A U ue en, 3 ERA puna > r ve ye . Hnjol 7 no TRAS Ay rr AA Y YI vd Y. > MN | y SAA q ne. - Mo AS ES nep vnd Ati? ú uy: q! pao J Ly RR 9 qa ey 1 Ñ PRA 4% AS ASA o y. AA LO A lu A ON y AN! » 0d SAD y ai wo Yu 0 Y Mos 7 ze PILI y O mee YUU Y uy” eo: al La MM 0 Y - TN vo y Van “a NA la e Are, Ls 5 | bs A 1590 4h q Y Viv e “ey 1 y LITA DN A” A A | ep IRIS] A AAA A. ] "Dg Dv as ce a mo. dl JONA Aa M Ma, y Y 9 dy jr : bp pls A yu "Y "Ny dl] "a e dl ¡a Unete A A a A FET MN SALAS ld > A a s E a Y Pm... de - - PS HA be 4 z A l S UA Us yn MATA Po 30 SN e Ma TU. 42% ME AN Fu - ce y L4 y A w vv q” ; " - 7 Y a ' ' wr MAA] ALI 8 (yy 0 paar | 4H | | W Pp A y y. AN yo Die MAA e german 00 | | yl 'N tr de rl | MAL] E É AIW HPF ” o va No” e ar y y) ye Pod 50 / $ Ñ y 1! ds PAT A A m EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES ' A j E MADRID > i eN ¿"TOMO VIL.-NÚMS: 1,2 Y 38. qa 6 (Julio, Agosto y Septiembre de 1908.) y de OS | 0 ed y e N MADRID ER > IMPRENTA DE LA GACETA DE MADRID Du. E CALLE DE PONTE[OS, NÚM. $. ? ; E a 1908 e se han de entregar completos; en la Secretaria de la Corporación, antes del día 20 de cada mes, - el mes siguiente. Los originales para la Revista de la Academia pues de otro modo quedará su publicación para: : ye MENS s É iy 0 ; ni y A e) a, , E E e ns : NE e | REVISTA , O e A so A A TEA ne ES Ca z 1 Y CAN AL ACADEMIA DE CIENCIAS O - EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES DE MADRID h + o 54 $ iy eN " Y j A 3 sk E m0 k " “ AZNAR ART. 117 DE LOS ESTATUTOS DE LA ACADEMIA «La Academia no adopta ni rehusa las opiniones de sus individuos; cada autor es responsable de lo que con=- tengan sus escritos.» A REVISTA DE LA | REAL ACADEMIA DE CIENCIAS EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES DE MADRID TOMO “VII MADRID IMPRENTA DE LA GACETA DE MADRID CALLE DE PONTEJOS, NÚM. $, O UNE e a sr Li REAL ACADEMIA DE CIENCIAS EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES DE MADRID ACADÉMICOS DE NÚMERO Excmo. Sr. D. José Echegarav, Presidente. Zurbano, 44. Excmo. Sr. D. Eduardo Saavedra, Vicepresidente. Fuencarral, 74- Sr. D. Joaquín González Hidalgo. Fuentes, 9. Excmo. Sr. D. Daniel de Cortázar. Velázquez, 16. Ilmo. Sr. D. José Rodríguez Carracido, Bibliotecario. Orellana, 10. ] Excmo. Sr. D.:Francisco de P. Arrillaga, Secretario. Valverde, 20. Excmo. Sr. D. Julián Calleja y Sánchez, Tesorero. Argensola, 6. Sr. D. Eduardo Torroja y Caballé, Contador. Requena, 9. Excmo. Sr. D, Amós Salvador y Rodrigáñez. , Carrera de San Jerónimo, 53. Sr. D. Francisco de Paula Rojas. Lealtad, 13. Excmo. Sr. D. Juan Navarro-Reverter. Barquillo, 13. Excmo. Sr. D. Lucas Mallada. Santa Teresa, 7. Excmo. Sr. D. Santiago Ramón y Cajal. Atocha, 125. Sr. D, Pedro Palacios. d Monte Esquinza, 9- Sr. D, Blas Lázaro é Ibiza. Palafox, 19. Ilmo. Sr. D. José Muñoz del Castillo. Quintana, 38. rl Excmo. Sr. D. Leonardo de Torres y Quevedo. Válgame Dios, 3.- Sr. D, José María de Madariaga, Vicesecretario. Zurbano, 18. Ilmo. Sr. D. José Rodríguez Mourelo. Piamonte, 14. Excmo. Sr. D. José Marvá y Mayer. Campomanes, $. Sr. D. Rafael Sánchez Lozano. Génova, 17+ Sr. D. José Gómez Ocaña. Atocha, 127 dupdo. Sr. D. Vicente Ventosa y Martínez de Velasco. Amnistía, 10. Sr. D. Nicolás de Ugarte y Gutiérrez. Hernán Cortés, 3. Excmo. Sr. D. Gustavo Fernández y Rodríguez San Bernardo, 2. Sr. D, Vicente de Garcini. Escuela de Ingenieros de Caminos. —Calle de Alfonso XII. ACADÉMICOS ELECTOS Sr. D. Eduardo Mier y Miura. Infantas, 32. Ilmo. Sr. D. Ignacio Bolívar. Paseo de Martínez Campos, 17- Ilmo. Sr. D. Bernardo Mateo Sagasta. San Mateo, 22. Ilmo. Sr. D. Pedro de Avila y Zumarán. Travesía de la Ballesta, 8. Sr. D. Ignacio González Marti. Hernán Cortés, 7. Excmo. Sr. D. Manuel Benítez y Parodi. Plaza de la Lealtad, 4. Sr. D. Miguel Vegas y Puebla-Collado. PEZ uyia: . Sr. D. Juan Fagés y Virgili. San Bernardo, 18. Ary pe Sr, D, Eduardo León y Ortiz, Fuencarral, 19 y 21. La Academia está constituida en tres Secciones: 1.? CIENCIAS EXACTAS.—Sres. Saavedra, Presidente, Torres, Secretario; Arrillaga, Torroja, Navarro-Reverter, Ventosa, Ugarte, Fernández y Rodríguez y Garcini. 2,2 CIENCIAS FÍSICAS.— Sres. Carracido, Presidente; Mourelo, Secretario; Echegaray, Salvador, Rojas, Muñoz del Castillo, Madariaga y Marvá. 3." CIENCIAS NATURALES.—Sres. Hidalgo, Presidente; Gómez Ocaña, Secretario; Cortázar, Calleja, Mallada, Cajal, Palacios, Lázaro y Sánchez Lozano. ACADÉMICOS CORRESPONSALES NACIONALES Sr. D. Andrés Poey. París, Excmo. Sr. D. Silvino Thos y Codina. Madrid. Sr. D. Eduardo Boscá y Casanoves. Valencia. Sr. D. Luis Mariano Vidal. Gerona. ! Excmo. Sr. D. Leopoldo Martínez Reguera. Madrid. Excmo. Sr. D. Rogelio de Inchaurrandieta. Madrid. Sr. D. Ramón de Manjarrés y de Bofarull. Sevilla. Sr. D. Modesto Domínguez Hervella. Madrid. Sr. D, Salvador Calderón y Arana. Madrid. Ilmo. Sr. D. Ricardo Vázquez-Illá y Martínez. Valladolid. Sr. D. Zoel García de Galdeano. Zaragoza. Sr. D. Eduardo J. Navarro. Málaga. Sr. D, José María Escribano y Pérez. Murcia. Sr. D. Lauro Clariana y Ricart. Barcelona. Excmo. Sr. D. Rafael Breñosa y Tejada. Segovia. Excmo. Sr. D, José María de Castellarnáu y Lleopart. Segovra, y EE PEL Excmo. Sr. D. Juan Bautista Viniegra y Mendoza, Conde de Villamar. San Fernando. á Sr. D. Rafael Pardo de Figueroa. Puerto Real. Sr. D. Juan Vilaró Díaz. Habana. Excmo. Sr. D. Pablo Alzola y Minondo. Bilbao. Excmo. Sr. D. Joaquín de Vargas y Aguirre. Salamanca. Excmo. Sr. D. José J. Landerer. Valencia. Sr. D. José Eugenio Ribera. Madrid. Sr. D. Tomás Escriche y Mieg. Barcelona. Sr. D. Eugenio Mascareñas. Barcelona. Sr. D. Juan J. Durán Lóriga. Coruña. ACADÉMICOS CORRESPONSALES EXTRANJEROS Anguiano (A.). Méjico. Gaudry (A.). París. Lemoine (V.). Reims (?). Collignon (E.). Paris. Barrois (Ch.). £Ltlle. Hoonholtz, Barón de Teffé (A. L. de). Río de Janeiro (?). Gomes Teixeira (F.). Porto. Principe de Mónaco (S. A. el). Mónaco. Choffat (P.). Ltsboa. Arata (P. N.). Buenos Atres. Carvallo (M.). París. Laisant (C. A.). Paris. Enestróm (G.). Estocolmo. Ferreira da Silva (A. J.). Porto, Nery Delgado (P. F.). Lisboa. Pina Vidal (A. A, de). Lisboa. Brocard (H.). Bar-le-Duc. Ocagne (M. d”). París. Romiti (G..). Pisa. Wettstein Ritter von Westersheim (R.). Viena. Engler (A.). Berlin. Guedes de Queiróz, Conde de Foz (G.). Lisboa. Jo leigh (Lord). Salisbury. Ar rhenius. (S,). Estocolmo. F Lamsay (G.). Londres. Castanheira das Neves (J.). Lisboa. ilsbry (E.). Filadelfia. orter (C, E.). Santiago de Chale. cademia Mejicana de Ciencias Exactas, Fisicas y Natu- rales. Méjico. A E 1. —Elementos de la teoria de la Elasticidad. Por JosÉ ECHEGARAY. Conferencia décima. SEÑORES: Hemos estudiado la distribución de las tensiones alrede- dor de un punto, haciendo depender todas ellas de seis com- ponentes N, T para dicho punto, y de los cosenos directo- res del plano elástico correspondiente á cada tensión. Estudiamos, asimismo, las deformaciones alrededor de un punto M, haciéndolas depender á su vez de seis deforma- ciones fundamentales a, b. Expresamos las tensiones en función de las deformacio- nes; es decir, N, T en función de a, b. Y para simplificar el problema, admitimos que el cuerpo era isótropo, con lo cual las 36 constantes del caso general se reducían á dos: A, y. Claro es que en todas estas relaciones, ni conocíamos N, T, ni tampoco a, b, porque no hemos resuelto todavía el problema de la Elasticidad; pero sean cuales fueren estas cantidades, y en todos los casos, existen las relaciones que hemos establecido, ya generales, ya simplificadas. Del mismo modo que en un problema de Algebra elemen- tal, no se conocen las incógnitas, pero se representan por letras, y entre ellas se obtienen relaciones por virtud de la misma definición del problema, para deducir de estas rela- ciones analíticas los valores de las incógnitas. Por último, hemos hallado las condiciones de equilibrio ó de movimiento para un elemento cualquiera del sólido elás- tico, así como para un punto cualquiera de la superficie lí- == mite, si el sistema no es indefinido. Si lo fuera, no había para qué tener en cuenta estas últimas. Dichas ecuaciones de equilibrio, estático ó dinámico, son fundamentales, y son ecuaciones diferenciales en T,, T,, Ta, N,, N,, N,; y entran además en dichas ecuaciones las com- ponentes de las fuerzas que vienen de lo exterior y actúan sobre cada elemento del sistema elástico. Si éste es limitado, en las ecuaciones que expresan el equilibrio de la superficie, entrarán también las fuerzas exte- riores que sobre dicha superficie actúan. | Claro es que este último problema puede ser más gene- ral, porque pueden no conocerse estas fuerzas exteriores y estar substituiídas por ciertas condiciones de empotramiento del sólido; pero son casos más complicados y en que no po- demos fijarnos, al menos, por ahora. Tenemos, pues, con lo dicho, todo lo necesario para obte- ner las fórmulas finales. Fijemos las ideas. Hemos obtenido las N y T, acabamos de recordarlo, en función de las a, b, lo cual expresaremos simbólicamente de este modo: (N, T)=F(a, b); (1) ecuación simbólica, repetimos, que en rigor, como ya hemos visto detenidamente, se resuelve en seis ecuaciones lineales en a, b. Hemos obtenido asimismo las ecuaciones diferenciales de equilibrio, que podemos expresar también simbólicamente por F+(N, T) =0, (2) que se resuelven en tres ecuaciones para el interior del cuet- po y otras tres para la superficie si el cuerpo está limitado. Pues ya no nos queda más que hacer, que del grupo (1) O AA AA hdi * > a O deducir las N,T y substituir sus valores en el grupo (2), con lo cual obtendremos una relación ¿(a,b)=0, (3) que será equivalente á otras tres si el sistema es indefinido, ó á otras seis si es un cuerpo elástico limitado. Las ecuaciones del grupo (3), que contienen 4,, 4», 0., b,,b,,b, serán las ecuaciones fundamentales del proble- ma; porque recordarán mis oyentes, que las cantidades a, b eran funciones de las derivadas du du du a A dy dv dy dis dy de dw dw dw dx dy dz de suerte que, en rigor, el grupo (3) representará ecuaciones diferenciales de las componentes de un desplazamiento cual- quiera u, v, w, con relación á las variables independientes ea: Podemos, pues, decir, que el grupo (3) es un grupo Y (a, v, w) 7 O, (4) que expresa relaciones entre las verdaderas incógnitas u, v, w, y que puede servir para determinarlas en función de x, y, 2; es decir, para cualquier punto del sistema y en función de los datos, ó sea de todas las fuerzas exteriores, así como de aquellas cantidades que definen la estructura Ó naturaleza del sistema elástico, que en el caso de un sólido isótropo, son precisamente las constantes 1, y. Claro es que las ecuaciones del grupo (4) no son ecuacio- o YA nes en términos finitos, sino ecuaciones diferenciales; más concretamente, en diferenciales parciales de u, v, w, con re- lación á las variables independientes x, y, z, y además del tiempo f si el problema es de dinámica. Más aún; este grupo (4) representará ecuaciones diferen- ciales de segundo orden para el sólido indefinido, como ve- remos bien pronto, y como puede preverse desde luego. Porque, en efecto, las N, T se expresan en función lineal de a, b, según el grupo (1); pero a, b son coeficientes dife- renciales de primer orden. Las primeras del grupo (2), que son las que expresan las condiciones del equilibrio del paralelepípedo elemental, contienen linealmente coeficientes diferenciales de primer or- den de N, T con relación á x, y, z; luego, al substituir en éstas, como hemos dicho, los valores de N, T, entrarán coefi- cientes diferenciales de segundo orden de u, v, w. En suma; las ecuaciones fundamentales del problema de la Elasticidad, que son las contenidas en el grupo (4), en cuanto al sólido indefinido, son ecuaciones en diferenciales parciales de segundo orden de u, v, w, con relación á x, y, 2; y si el problema es de dinámica, también con relación á f. El problema está, pues, planteado analíticamente; puede decirse que, hasta cierto punto, aquí concluye el problema de Física matemática, y empieza un problema de análisis puro, ó sea de cálculo integral que, exceptuando casos particula- res, es de una dificultad inmensa aún para los cuerpos isó- tropos; porque para éstos, es cierto que A y y. son constan- tes, pero las fuerzas exteriores pueden ser funciones de x, y, z, y hasta en un caso más general, pueden ser funciones de Í. La integración será, por lo tanto, muy difícil; pero no es esto sólo. La dificultad principal procede, como ya explicá- bamos en el curso anterior, de que no basta integrar las tres ecuaciones del grupo (4) indicadas, ó por lo menos, obtener un número indefinido de integrales particulares. A dy Lp La verdadera dificultad consiste en que dichas tres ecua- -ciones del grupo (4) no expresan, por decirlo así, más que una parte de las condiciones del problema. Las soluciones que encontremos para ellas, han de satis- facer á otra clase de condiciones, que pueden dividirse en dos clases: | 1. Condiciones iniciales, si se trata de un problema de Dinámica, es decir, para el tiempo f = 0. 2.” Condiciones relativas á los límites, si el sólido no es indefinido. Y aquí está la dificultad enorme del problema. Porque si el sólido es indefinido, el grupo (4) se reducirá á tres ecuaciones; pero si el sólido está limitado, habrá que satisfacer á seis ecuaciones diferenciales, de suerte que las integrales de las tres primeras han de tener suficiente gene- ralidad, como explicábamos en el curso precedente, para sa- tisfacer á las tres últimas. Todo esto, que hemos expuesto en términos generales, debemos precisarlo aún más. * ko * Hemos expresado N, T en función de a, b y para el caso en que el cuerpo sea isótropo por las siguiente fórmulas: NA = M0 4-24, N,=10 + 2 y a, N,¿=20+2 03 (15 == A "2005 05 MI Ze O en las que 6 representa la dilatación cúbica, de manera que 2 de y además sabemos que a,, 4», 4, b,, b,, b,, se expresan en función de las derivadas de u, v, w, con relación á x, y, Z,: del siguiente modo: ; du dv dw A a 5 ) dx dy dz Do a q es pap da dy E A A Resulta de aquí que las fórmulas (1") en rigor, tienen esta forma: du dv dw dv N, =1A[ == - — + — | +4 2u —— 1 z Ds aora (ES) dx dy dz dz pl Asi tenemos expresadas las N y T en función de las de- formaciones, sea de las derivadas primeras de u, v, w, con relación á Xx, y, Z. ES * o * Hemos obtenido asimismo las tres ecuaciones de equili- brio de un paralelepípedo elemental, situado en lo interior del cuerpo en un punto cualquiera. - LA Es an Estas ecuaciones, que son las del grupo (2), eran para el caso del equilibrio dN, d TF, aa —= + _———Ñ Y dx dy e dz mb a dN, dT; A —= + HL o Y =0, 2 mA a E sE ls E)! alo (0 dN, A L =0% dx a. dy + dz pr Análogamente el equilibrio de un punto de la superficie está definido por las tres ecuaciones siguientes: A Y, =T;¿2 + NB + Tr, Zo = Ta + mato NY, en las que si P es la presión exterior por unidad de super- ficie y l, m, n, son sus cosenos directores, se tiene: == PL, O pe == De modo que las ecuaciones anteriores, serán: Pé N,a + MAS + T3Y, Pm= Tya+ NapH+ Try (21) Pr= Ta TB NY representando a, f, y los cosenos directores de la normal á la superficie límite en el punto, para el cual el grupo (2,) exprese el equilibrio. Si se tratase de un problema de movimiento elástico, no habria más que introducir las fuerzas de inercia, que depen- Rev. Acad. de Ciencias. —VII. —Julio, Agosto y Septiembre, 1908, 2 UE derían de las segundas derivadas de u, v, w, con relación á f, según hemos explicado tantas veces. + * * Por último, para obtener las ecuaciones definitivas, basta substitui? en los grupos (2) y (2,) en vez de las N y T los valores de estas cantidades, según determina el grupo (1”), Ó bajo la forma desarrollada, ó bajo la forma abreviada, y tendremos para las ecuaciones de la Elasticidad en un punto cualquiera del sistema elástico a[i0+ 2922 | A MIES > dx AM dx le dy du dw ed + y O dz Esta es la primera de las tres ecuaciones: las otras dos se obtendrán del mismo modo. Desarrollando, tendremos: d6 d?u d?y d?u A —= + 2u — => aa ao d?u d?w 26=0, 8 dz? A dx dz so y también d6 d?u d?v d?w A RE dx dx? dx dy dx dz d?u d?u d?u +peX=0, Palo 5 dy? $ a j pao lo ¡AR que puede ponerse bajo esta forma: dí d ( du dv dw ps aaa e ec Ne dx la Re cl E d?u d?u d?u lo ER dy? y qe | FeXx=0 y como resultará por fin: ? dó du d?u d?u Aa AO Por consideraciones análogas, substituyendo en las dos últimas ecuaciones del equilibrio del paralelepípedo los va- lores de N y 7, se pueden obtener dos ecuaciones análogas á la precedente. Claro es que también se llega á ellas con más brevedad, aplicando á esta última las substituciones circulares uU vw a PJ , Ñ E vwu v2.0 FX y tendremos de esta manera las otras dos ecuaciones de la Elasticidad para un medio cualquiera elástico: d?u d?v d?y dx? q dy? as dx? d?w d?w d?w ely da dy? y dz? dó | ) rev =0, d6 04 ) rez =0 dz Todavía es posible simplificar la forma de las ecuaciones precedentes, adaptando un símbolo de aplicación general en toda la Física matemática. - E], La operación por la cual se toma la derivada segunda con relación á x de una función de x, y, z; y asimismo la deriva- da segunda con relación á y, y por último, la derivada se- gunda con relación á z, y se suman estos tres resultados; esta operación, decimos, se representa por el símbolo y abreviadamente por la letra griega A, de modo que d? d? d? AO aa Dicha expresión es, como acabamos de explicar, un símbo- lo, como en Algebra elemental el símbolo de la multiplicación ó el de la división ú otro cualquiera más ó menos compli- cado. Para que dé resultados matemáticos, que puedan conver- tirse en expresiones numéricas, ó por lo menos en magnitu- des, aunque no se precise la unidad, es necesario que dicho simbolo se aplique á una función de x, y, 2. Por ejemplo, siendo F (x, y, 7) una función cualquiera de tres variables independientes, si á esta función se aplica el símbolo A ya obtendremos un resultado concreto y determi- nado, porque resultará, que indica una operación ó una serie de operaciones sobre la función conocida F. De aquí se deduce, aplicando el símbolo A, á u, v, w, que las tres ecuaciones anteriores pueden escribirse bajo esta forma abreviada, que es la que generalmente se usa: y 04H) pda px =0 A+ o Faso hey =0 (1) (+1) raw hZ 0. 2 En estas ecuaciones ya sabemos que / representa la di- latación cúbica y que A es el símbolo de una operación de- terminada, símbolo á que también se da el nombre de ope- rador. Cuando queramos desarrollar cualquiera de estas ecuacio- nes, no habrá más que substituir por 0 y A, lo que acabamos de decir que significan. Por ejemplo, la primera ecuación de las tres desarrolladas se convertirá en d?u d?u d?u ( ima peta) hex=0 2 2 dz? 24 d?v d2w 0 MO PTAS peo Jo d?u d?u d?u fea pe q) Fox =0 dy? lo mismo pudiéramos decir respecto á las otras dos ecua- ciones. Y vemos que las tres ecuaciones fundamentales para todo el medio elástico, considerado como indefinido, son ecuacio- nes en diferenciales parciales de segundo orden de los despla- zamientos u, v, w respecto á las variables independientes x, y, z; So 1d las coeficientes de las diversas derivadas son, pues, constan- tes en el caso de un cuerpo isótropo; pero las componen- tes X, Y, Z de las fuerzas exteriores pueden ser funciones variables de x, y, z, y esto es lo que complica el problema de la integración. Dadas, en cada caso particular, X, Y, Z, sean cuales fue- ren las condiciones de las superficies límites, los valores de U, V, w, es decir, U(X, y, 2), V(X, Y, 2) W(X, Y, 2), deben satisfacer á las tres ecuaciones (1), que por eso se dice que son las ecuaciones de equilibrio de un medio elástico in- definido. Pero aunque encontremos valores de u, v, w que satisfa- gan á las tres ecuaciones (1), no por eso habremos resuelto el problema. El que u, v, w satisfagan á (1) es condición necesaria, pero no es condición suficiente si el sistema está limitado. Porque será preciso, además, que satisfagan á las condi- ciones de equilibrio de la superficie. Veamos cuáles son éstas: El método para hallarlas es exactamente el mismo que el que acabamos de emplear para los medios elásticos indefi- nidos. Hemos visto que el equilibrio de un punto cualquiera, en una de las superficies límites de un sólido elástico, está de- terminado, suponiendo que P representa la fuerza exterior, que actúa sobre dicho punto, que l, m, n son sus cosenos directores y que a, $, y son asimismo los cosenos directores de la normal al elemento de superficie que contiene el punto en cuestión; está determinado, decíamos, por las ecuaciones Pl F+Nie + TsBH Tor Pm= Tya + NaBH+ Ty, Pn = Ta + T,BH Nay. 4 — 23 — E Los valores de las N, T en función de las deformaciones son, como siempre, E | | du N, =»X0 2 EII EA 3 le pe dx” A dy Na de ¿e Da E dz dw dy T mi IA HET E 1 el dy añ a du dw Do LEDEDAR SA, e dz 6 e) 7, ( ey 40) dx dy Pues del mismo modo que susbtituíamos estos valores de las N, T en las ecuaciones que representaban el equilibrio del paralelepipedo elemental, tendremos que substituir dichos valores en las tres ecuaciones que hace un momento hemos recordado, y que expresan el equilibrio del tetraedo de la su- . perficie. Haciendo dicha substitución tendremos du dv du du , dw II A -ul — + — 18 +4u[ — +— )y, qa EN aloe? q) | A y a ANA a LE (1D) 0x dy dy dz du , dw dw dv e dw E E A A O la ad rei Laa a e 2% DUO E. Las ecuaciones (1) y (II) resuelven por completo el pro- blema del equilibrio. Pero hay que advertir que á estas citas debe agregarse la ecuación de la superficie límite; porque en las ecuacio- nes (II) las tres variables x, y, z no son independientes, puesto que se trata de puntos situados en dicha superficie, cuya ecuación representaremos por F (xy, 2) =0. (E) De manera que las ecuaciones del problema del equilibrio de los cuerpos elásticos en realidad son siete, que las pre- sentaremos unidas para fijar mejor las ideas. Ecuaciones de un medio indefinido: E 6 (+1) EU par + X=0, Xx dó A+) +» Au + Y=0, (D dy +) 4 pa 9 Z=0; dz ecuaciones del equilibrio de la superficie: A Pr A Eres LE dv dv — + a Y VE Pm= Ala E e, + A jp le Pie (1) _, (Lu, dv de, dv 1912, LW Pn= a al a A e y la ecuación de la superficie que hemos representado por FAS 2) =0 0) MI A E E e AT A A cd — 25 — - Estas siete ecuaciones (1), (ID), (F), son las que resuelven el caso general del problema de equilibrio de los sólidos elásticos. Repetiremos, como resumen, lo que ya hemos di- cho varias veces respecto á cada uno de estos grupos de ecuaciones. Dada la significación de los símbolos 6, A, el grupo (1) está formado por tres ecuaciones diferenciales lineales de segun- do orden de las funciones u, v, w con relación á x, y, z. Son lineales, puesto que se componen de suma de términos, en cada uno de los que sólo entra la primera potencia de una derivada. Además contienen las componentes X, Y, Z y las fuerzas de inercia si en vez del problema del equilibrio se trata del movimiento. En este último caso entra un nuevo coeficiente du dv d?w de” de” de así continúan siendo lineales, sólo que en vez de ser tres las variables independientes son cuatro, x, y, 2, Í. El grupo (II) está formado también por tres ecuaciones diferenciales parciales, pero de primer orden, en razón á que sólo entran los coeficientes diferenciales de primer orden de u, v, w con relación á x, y, 2. Sin embargo, debemos hacer alguna observación aclara- toria. En rigor, si son tres las funciones, á saber: u, v, w, las variables independientes no son más que dos, porque la ecuación (F) determina una de ellas; por ejemplo, z en fun- ción de x, y. En cada caso particular las ecuaciones (11) tomarán otra forma, que explicaremos ex breve. diferencial en cada ecuación: : pero aun Continuemos estudiando el caso del equilibrio elástico. Las explicaciones que siguen, excuso decir que están de- dicadas á los principiantes, para los que toda aclaración es A E conveniente; porque si confirma sus propias ideas les da más seguridad en lo que estudian, y si aclara dudas ó corrige errores les aprovecha todavía más. E Si las ecuaciones (1), (11) y (F) fueran ecuaciones ordina- rias de las que se estudian en Algebra, podría suponerse que el problema era imposible, exceptuando en casos particula- res; porque nos encontraríamos con siete ecuaciones y tres incógnitas nada más: u, V, W. Lo cual echaría por tierra todo nuestro método, pues el sentido común y la experiencia demuestran, que el problema de la Elasticidad es un problema posible, y la única duda que pudiéramos abrigar es la de si tendrá más de una solución. Pero esta dificultad no existe en el caso que tratamos, pot- que las ecuaciones del problema no son ecuaciones en tér- minos finitos, como las del Algebra elemental, sino ecuacio- nes en diferenciales parciales, que tienen, hablando en tér- minos generales, multitud de soluciones y que contienen por lo mismo funciones arbitrarias. j De suerte que los términos de la cuestión varían por com- pleto. Resolver estos problemas, quiero decir buscar soluciones para el sistema de dichas siete ecuaciones, será muy difícil, pero en teoría la marcha general se comprende fácilmente. Ya la explicábamos en el curso anterior. Hoy la recordaremos, aunque con mayor brevedad. En primer lugar, buscaremos las soluciones más generales del grupo (1); si pudiéramos encontrarlas y contuviesen tres funciones arbitrarias 0,, 9,, 43 de x, y, z Ó eliminando 2 por medio de (F), funciones tan sólo de x, y, no habría más que substituir en el grupo (11) dichos valores de u, v, w, así como el valor de z, y este grupo se reduciría á tres ecuaciones en diferenciales parciales de las expresadas funciones Y ,, 9», 95 tomadas con relación á las dos únicas variables independien- tes X, J. No habría más, por consiguiente, que integrar el grupo (11) A A a e E transformado, y con esto quedaría resuelto el problema, de- terminando las constantes por las condiciones particulares . de cada caso. Así dicho, la solución en teoría no puede ser más sencilla, y al final del curso precedente dimos varios ejemplos. A lo que entonces expusimos nada tenemos que agregar por ahora. Hasta aquí nos hemos referido casi constantemente al pro- blema del equilibrio de los cuerpos elásticos. En cuanto al problema del movimiento elástico de los sis- temas, todo se reduce, como hemos explicado varias veces, y según los principios de la mecánica racional, á incluir en- tre las fuerzas X, Y, Z las fuerzas de inercia del sistema. Así el grupo (I) se transformará en el siguiente, pasando las fuerzas de inercia al segundo miembro: E dó | d?u A == Au pX =p —— ( NS SER Ir , dó d?y K === Ay Y = dae ran + É STR d6 d2w A A) Z= , a ar Y aquí pudiéramos dar por terminada la materia del pre- sente curso, pero hay dos cuestiones importantes que no tra- tamos en el curso anterior, y sobre las cuales algo diremos todavía. Estas dos cuestiones son las siguientes: 1.” Expresión del trabajo interno de un sólido elástico. 2.” Teoría de las coordenadas curvilíneas, principalmen- te cilindricas y esféricas aplicadas al problema de la Elasti- cidad. j O Expresión del trabajo de un sólido elástico.—Ya lo hemos explicado algunas veces, sobre todo en el primer curso de esta asignatura. La Mecánica clásica, entre otros conceptos fundamentales, parte del concepto de fuerza. A él se refieren, ó con él se enlazan, todos los demás con- ceptos de esta ciencia. La definición del trabajo mecánico, en el concepto de fuer- za, se funda, puesto que el trabajo desarrollado sobre un punto en movimiento es la suma de los productos, para todos los instantes y para todos los elementos de la trayectoria, de la fuerza por el camino infinitamente pequeño que recorre el punto y por el coseno del ángulo que forman las dos líneas d que nos referimos: fuerza y camino. El trabajo, por lo tanto, no es un concepto primitivo, sino derivado, y aunque importantísimo, pueden estudiarse todos los problemas de la Mecánica clásica, sin necesidad de ha- blar del trabajo. Todas estas ideas se han modificado notablemente de al- gunos años á esta parte. El concepto de trabajo se ha incluido en el de energía; y en las teorías modernas la energía tiende á ser preponderan- te, hasta tal punto, que algunos autores quisieran empezar el estudio de la mecánica por el de la energía, suponiendo que el concepto de fuerza es abstracto y artificial. Sobre esto mucho habria que discutir, pero sea como fue- re, y mientras llega el día en que podamos dedicar estas conferencias al estudio de la Física matemática moderna, no será inoportuno, ni será estéril, que vayamos dando al con- cepto de trabajo la importancia que hoy realmente tiene. Cuando sobre un cuerpo elástico actúan fuerzas exteriores, ya en sus diferentes elementos, ya en la superficie límite, por ejemplo, la gravedad y presiones exteriores, todos los pun- tos del sistema cambiarán de posición, describirán caminos infinitamente pequeños, cuyas componentes serán precisa- mente u, V, w, y á cada uno de estos desplazamientos corres- MEA AIDA E y OA do. E DE ponderán trabajos elementales, cuya suma total será el tra- bajo á que está sometido el sólido elástico. Precisemos aún más las ideas, y fijémonos en el método de Lamé. En este método el elemento infinitamente pequeño del sis- tema elástico, es un paralelepípedo, cuyas aristas hemos designado por dx, dy, dz. Sobre las caras de este paralelepípedo actúan tensiones, que podemos suponer aplicadas á los centros de las caras: las componentes de estas tensiones son las que hemos desig- nado,por T,, ¡Tay Toy Ny, Na, Na. Puesto que dichos puntos se mueven, á sus desplazamien- tos corresponderán, como acabamos de decir, trabajos ele- "mentales, cuya suma vamos á calcular, siguiendo el método que sigue Lamé en sus «Lecciones sobre la teoría matemá- tica de la Elasticidad de los cuerpos sólidos». Las tres ecuaciones fundamentales del equilibrio del para- lelepípedo, hemos visto que son las siguientes: dN, E ar; dan, + VEA debi dy de Y a CN AN 1 dx dy dz a: aTa A E dy ho dz O, para el caso en que no existen fuerzas exteriores más que sobre la superficie; es decir, en que se tiene OA 05 20% Este es, en efecto, el único caso que por ahora vamos á considerar, que es el que considera Lamé. Multiplicando cada una de las ecuaciones anteriores por udxdydz la primera, y por vdxdydz y wdxdydz las 2 a e otras dos, sumando é integrando en toda la extensión del cuerpo, ó sea hasta las superficies límites, tendremos: al le 008 +2) udxdy dz 4 (3) dy dz dx (m0 y 1 ¿Aaa e) udxaydz del (3) dx dy dz Sló (E. Us ación dz) ax dxdz=0, Ji dx dy dz en que hemos representado por [| la integral triple respec- (3) to á Xx, y, z, según costumbre. Cada una de las integrales anteriores puede integrarse, desde luego, respecto á una de las variables: que es integrar respecto á un filete paralelo á uno de los ejes coordenados. Por ejemplo, la integral al dad u dx dy dz, a ax puede escribirse de este modo: / udyaz [Ea Je dx é integrando por partes respecto á x, y representando por N”,, N”, los valores de N, en las dos extremidades del filete paralelo á las x, lo cual supone, para simplificar, que dicho filete sólo corta á la superficie límite en dos puntos; y asi- mismo por u”, u”* los valores de u en ambos puntos extre- mos, resultará por fin: Í: Seda udx dy dz = l NT NU Je) Ax 2) ata hdd du (3) dx dx dy dz. o y Esto mismo podemos hacer respecto á todos los demás términos de la integral. Pero á la integral doble le podemos aplicar una simplifica- ción, que ya hemos empleado antes introduciendo el elemen- to superficial /s de la superficie límite. Si representamos por a, $, y, los cosenos directores de la normal á dicho elemento ds, según vimos, se podrá substi- tuir á dyd:z sus valores ds. ua, — ds”.a” para ambos puntos extremos del filete, y podremos substituir los dos primeros términos por una sola integrai doble extendida á toda la su- perficie límite s. Tendremos, pues, que la expresión última podrá escri- birse de este modo: [Mura a 2) a Ax Esto mismo podremos hacer para todas las demás inte- erales parciales, y tendremos sucesivamente: l 4 udxdy dz = udxda [EE dy=| dydz(T"¿u' —T",¿u”) — E J0) y 2) ) dy J A — ES A T¿u.pds— | T, be dx dy dz, Y 2) e Ay | e uaxay da Tiida TL dx dy dz, 6 dz (2) AN E | rara = T., vads — 7 eddy de, a dx 2 e áÚx read =|_n vids — | N, qu dx dy dz, gs dy (2) e day [Gray a T, vyds — a ) Az (2) a az ea Ev day dz— | T,wads— | T, ES dx dy dz, (3) (2) 8) dx A a dia e dy 2) ao dy /: cad Ny wyds — ¿No LY dx dy dz. (3) dz (2) dz Substituyendo este valor en la ecuación (7) obtendremos, sacando u, v, w y ds, factores comunes en el primer grupo, y dxdydz en el segundo [ [mu T,B4 Tapa + (Taa + No B4T po + y (2) ; +(T,a4 7,84 Nm] as— [nn ls o 8) dy dy i -du W dv u Tay e e da == da dz =0. A 1. ja rl El Pero hemos visto que los coeficientes de u, v, w son pre- cisamente las componentes P/, Pm, Pn de la fuerza P, que actúa en la superficie sobre la unidad del elemento ds; re- presentándolos, para abreviar, por Py, Py, P¿, y pasando la integral triple al segundo miembro, la última ecuación se convertirá en Maa (2) dw dv .dw N,— A A RATE, 0 =/ [mo dx EN dy = ; VP2+P2+P2 Y uv? 4? P.MM Ó bien P.MM' cos (P, MM) = P.,u + Pyu + P¿w, en que el primer miembro es el producto de la fuerza P por el camino MM" proyectado sobre dicha fuerza. De aquí resulta, que la integral doble del primer miembro, suponiendo que las fuerzas exteriores P permanezcan cons- tantes, representa el trabajo que dichas fuerzas ejercen sobre toda la superficie del sólido elástico trabajo durante la de- formación; trabajo que, como veremos, en virtud de dichas deformaciones, se transmitirá á todo el sólido. Mr. Lamé dice que esta expresión representa el doble del expresado trabajo, y sin duda se funda en lo siguiente: A es Si desde que empieza la deformación, las fuerzas P tuvie- ran un valor constante, igual al definitivo, las reacciones elásticas, que al principio serían muy pequeñas, hasta que la deformación no llegase á cierto estado, no podrían equili- brar el trabajo de las P; por lo tanto, las masas ad- quirirían determinada fuerza viva, y el problema no se- ría ya de equilibrio elástico, sino de vibración. Por este motivo se puede suponer que las fuerzas P empiezan por cero, y en cada instante tienen una in- tensidad igual á la reacción elástica; de suerte que sólo al fin de la deformación alcanzan el valor P de equi- 15 librio que hemos supuesto. 4 Esto se ve con claridad en la figura 49. : Sean a y b dos moléculas en equilibrio y, por lo i tanto, á la distancia r,, definida por la ecuación f(r,)=0, p.: 49. en que f representa la fuerza en función de la distancia. La fuerza P actúa sobre b, procurando, por ejemplo, el estiramiento. Cuando b llegue á d, representando bd por x, la fuerza elástica será E) Hro+x)=f(r0) FS (r0)x=f (10) x= Ex; habiendo para ello desarrollado por la serie de Taylor, ha- biendo suprimido el primer término, que es nulo, no apre- ciando más que el segundo y representando por E la cons- tante f" (r,). El trabajo resistente de la fuerza elástica, al describir el punto el elemento d, trabajo que es igual al de la fuerza P en este momento, será Exdx. Si suponemos que al llegar la molécula b al punto c, la fuerza P ha adquirido todo su valor y no sigue creciendo en E este punto, se detendrá la deformación, y representando bc por x, tendremos: P =D e Ahora bien; integrando el trabajo elemental entre b y c, se tendrá, dd NE x¡? Xy dopo | Eo a ha iba o ) A: Y como Ex, es igual á P, el trabajo de la fuerza P actuan- do por grados y en constante equilibrio será: Px 2 , luego Px;, es el doble del trabajo efectuado, como habíamos dícho y supone Lamé. Resulta de lo expuesto que la integral doble del primer miembro representa el doble del trabajo que las fuerzas que actúan sobre la superficie ejercen en el sistema elástico. El segundo miembro será, por lo tanto, otra forma del mis- mo trabajo mecánico, expresado en función de todas las de- formaciones del sistema y extendiéndose á todos los elemen- tos, porque, en efecto, es una integral triple. Se comprende, a priori, que el trabajo que se efectúa so- bre la superficie se extenderá á todo el sólido y que cada pa- ralelepípedo elemental recibirá una parte de este trabajo, y almacenará, por decirlo así, una porción de la energía que el trabajo exterior representa: son los paralelepipedos elemen- tales, á modo de resortes, que las fuerzas exteriores ponen en tensión. a y E Esto puede comprobarse: en efecto, sea (fig. 50) MABC un paralelepípedo elemental del interior del sólido elástico; pues bien, el elemento de la integral triple del segundo miem- bro representa el trabajo de todas las fuerzas ó, en este caso, tensiones, que actúan sobre dicho paralelepípedo, Ó en rigor, por lo que antes explicábamos, el doble de dicho trabajo. Figura 50. Para demostrarlo, consideremos cada uno de los términos del elemento diferencial. El primero es du du OT dx dy a a e y es fácil ver que esta expresión representa el trabajo resul- tante de la fuerza N sobre las dos caras opuestas, á saber, BC y la paralela que pasa por A, según se indica en la figura. Si ab representa el desplazamiento paralelamente al eje x, del punto a, que siempre lo hemos representado por u, ten- dremos para el trabajo de la fuerza — N, — N dy dz del A A o añ y he? por udxdydz, vdxdydz, wdxdydz, respectivamente, y al sumar é integrar después, aparecerá el nuevo término (Xu+ Yv+ Zw) e dx dy dz, (3) el cual representa el trabajo total (6, según Lamé, el doble) de las fuerzas exteriores X, Y, Z sobre todo el sólido elás- tico. Repitiendo la operación que antes hicimos, es decir, veri- ficando la integración parcial de cada término, tendremos en el primer miembro de (7) la expresión (Pu+P,v+P¿wds + | (Xu+ Yv+Zw)pedxdy dz, (2) (3) que representa evidentemente el trabajo (ó el doble) de to- das las fuerzas exteriores: las de la superficie y las que ac- túan en la masa. El segundo miembro tiene la misma forma que antes, y también representa este trabajo total. Claro es que las T y las N, así como las u, v, w son distintas de las de la primera fórmula, y se refieren concretamente á este caso que estamos examinando. Podemos comprobar, como antes, que dicho segundo miembro representa la suma de los trabajos transmitidos á A A A E A todos los elementos del sólido. Porque si bien es cierto que, calculando el trabajo de cada paralelepípedo elemental, apa- recen los términos, dN, aT dl == 4 =+-=Áudxdydz; le + dz 0 dy . E LU 2) vda dy d2; dy dz dx dN; dT, dT, z ——= | w dx dy dz; be ñ dx hs a) . los cuales se convierten, substituyendo en vez de los parén- tesis sus valores deducidos de las ecuaciones de equili- brio, en —eXudxdydz, —peYvdxdydz —eZwdx dy dz, también ha de advertirse que, al calcular el trabajo sobre cada paralelepípedo infinitamente pequeño, debemos agregar el trabajo de las fuerzas exteriores sobre el centro de dicho paralelepípedo, que son precisamente +eXudxdydz, +eYvdxdydz, +eZwdxdy dz. Estas cantidades destruyen las anteriores, y el segundo miembro de la ecuación (T) queda como antes: el primer miembro es el que tiene un grupo más. Resulta, pues, ¿Pu +P,v+P¿w)ds+ | (Xu+ Yv+4 Zw)edxdydz = (2) (3) du dv dw dv ., dw ED E ONE a NT esp p | arar AM (er) qu de Y PEA ad dE da) dv , du PEE O OY dZ. A Sólo agregaremos á lo dicho que en el primer caso, el se- gundo miembro puede transformarse, como lo transforma Lamé, eliminando los coeficientes diferenciales, y resulta el teorema de Clapeyron, Si el sistema de ejes es el que hemos llamado sistema principal, y, por lo tanto, T,, T,, Tz, son iguales á cero, el segundo miembro de la fórmula (7) se simplificará, y ten- dremos: (P, u + Py v + P¿ w) ds = 2 En Li a LE dy dz. (3) dx dy dz Pero las ecuaciones que determinan N,, N,, N,, son No SE tae ale; E dy N, =hM0 + 2p. LA dz Si ahora admitimos que el sistema sea incomprensible, es decir, empleando términos vulgares, que cualquier elemento infinitamente pequeño puede cambiar de forma, pero que el volumen que gana por una parte lo pierde por otra, la dila- tación cúbica Y será nula, y tendremos A A A Ne 1 ¿DU Con lo cual las tres ecuaciones anteriores se reducen á A A ELA dx dy dz de donde O EA dx 2p "dy 2u dz 2u E y substituyendo estos valores en la ecuación (P,u+P,v+P,u) ds = (2) 3 E (v. du MN d (3) dx v dw NS Vd dy hn e) y resultará para el segundo miembro E (N2 4 N,2 + N,2) dx dy dz 24 J«) que es el trabajo de cada elemento del sólido elástico, ó, como si dijéramos, la energía que en él está almacenada. Esta fórmula es análoga á la de la energía almacenada en un campo eléctrico ó en un campo magnético, como veremos en otro curso. Así, el valor de la energía eléctrica es 0h E (X2 4 Y? + 22) dx dy dz, y el de energía magnética E + M? + N?) dx ay dz, En aa Quizá volveremos á insistir en estas consideraciones, so- bre todo respecto al trabajo de X, Y, Z, al estudiar una objeción gravísima, que el eminente matemático Mr. Poincaré opone en su obra magistral sobre electricidad y magnetismo á la teoría electro-estática de Maxwell. Pero ni debemos anticipar las ideas ni tenemos todavía en estas conferencias preparación para estudiar dicho problema. l1.—-Elementos de la teoría de la Elasticidad. POR JosÉ ECHEGARAY. Conferencia undécima. SEÑORES: Anunciamos en la última conferencia, que para terminar el estudio de la Elasticidad por el método de Lamé, y para com- pletar la primera parte de este curso, ya que hemos de de- dicar la segunda, como hicimos en el curso anterior, á mé- todos más modernos, expondríamos brevemente las teorías de las coordenadas curvilíneas en su aplicación al estudio de los cuerpos elásticos. En el sistema ordinario de coordenadas, y principalmente en el sistema trirrectangular, se toman como planos fijos tres planos, que se corten normalmente, y se determina cada pun- to por sus distancias octogonales á estos tres planos, distan- cias á que se da el nombre de coordenadas. Así es, que un punto cualquiera M está definido y deter- minado por sus tres coordenadas h: « | 4 P ee Estas tres magnitudes a, b, c, que pueden ser positivas ó negativas, infinitamente pequeñas ó infinitamente grandes, pero siempre reales, fijan, sin duda de ningún género, la posición del punto M, según se explica detalladamente en Geometría analítica. Pero las tres ecuaciones anteriores pueden interpretarse también de otro modo, que es el que ahora nos interesa con- siderar. En realidad x= a representa un plano paralelo al plano -coordenado de las yz; porque, en efecto, todos los puntos de dicho plano distan del plano coordenado y z la magnitud constante a. Del mismo modo y = b representa un plano paralelo al de las xz á la distancia b de éste. Y por último, 2 =cC análogamente representa un plano paralelo al de las xy, y distante del mismo c. Luego también podemos decir, que el punto M está deter- minado por la intersección de fres superficies, que en este caso son tres planos, y que están definidos por las ecua- ciones Este sistema de representación es el más elemental, el más sencillo casi siempre; pero con ser tan sencillo, á veces trae complicaciones, que pueden evitarse acudiendo á otros mé- todos de representación analítica Óó geométrica. Entre todos ellos está el de los coordenadas curvilíneas, en que ahora vamos á ocuparnos. Pero sigamos todavía con nuestros tres planos trirrectan- gulares, cuyas intersecciones son los tres ejes x, y, 2. Por el punto M, cuya posición queremos definir, hagamos pasar una superficie referida á los tres ejes x, y, z tundamen- tales. Representará la ecuación referida á x, y, z, de esta super- AL O PE ficie, que, por ahora, suponemos completamente arbitraria, CIS siendo a una constante. Que esto puede hacerse geométricamente, es evidente. Que puede hacerse analíticamente, también lo es; porque basta que demos á a el valor F, (Xo, Yo, Zo), siendo Xo, Yo, Zo las coordenadas ordinarias del punto M, para que la super- ficie F, pase por M. En efecto, la ecuación de la superficie, poniendo por a su valor, tendrá la fórmula Fy (x, y, 2) = Fi (Xo, Yo, 20); y esta ecuación en que las variables están en el primer miembro, desde luego se ve que pasa por el punto M; pues- to que si en vez de x, y, z se ponen las coordenadas de di- cho punto, la ecuación queda satistecha, como que se reduce á una identidad F, (Xo Yo, 20) = Fi (Xo, Yo, 20)- Del mismo modo que hemos hecho pasar por el punto M la superficie F,, podemos hacer pasar otra segunda superti- cie cuya ecuación sea EME Y 2 =D), determinando b de la misma manera que hemos determi- nado a. Y por último, aún podemos hacer pasar otra tercera su- perficie Fy (X, Y, Z) = C, escogiendo convenientemente el valor de c. Las tres. ecuaciones 50, ¡Fo = 0, 6 EE paraicada ET O sistema de valores a, b, c, determinan evidentemente un pun- to, que será en coordenadas ordinarias el que corresponda á los valores x, y, z que satisfagan á dichas tres ecuaciones. Y podrá decirse también, que las coordenadas del punto son a, b, c. Haciendo variar estas cantidades se podrán re- presentar todos los puntos del espacio. En efecto, como antes decíamos, Si Xo, Yo, Zo SON las coor- denadas de este punto, substituyendo en las tres ecuaciones X= Xo Y =Yo, 2 = Zo, los valores que resulten para a, b, c serán las tres coordenadas, que pudiéramos llamar curvilí- neas, del punto en cuestión. Por lo demás, en la práctica claro es que F,, Fs, F¿ no podrán escogerse arbitrariamente, porque resultarían multi- plicidad de puntos ó puntos imaginarios. Por lo general estas superficies, es decir, las representa- das por cada ecuación parcial, son ortogonales, es decir, que se cortan en ángulo recto en todos sus puntos, dividiendo al espacio en algo así como paralelepípedos rectos y rectan- gulares infinitamente pequeños. Mas por hoy es imposible que tratemos esta cuestión en toda su generalidad. Nos contentaremos con estudiar algu- nos casos particulares, que tienen aplicación inmediata á la teoría de la Elasticidad, y que por ser elementales tienen ca- bida en estas conferencias. Por lo demás, es claro, que cada una de las ecuaciones ex- presadas, por ejemplo EVA para cada valor de a representa una superficie perfectamente definida, si lo está F; y haciendo variar a por la ley de con- tinuidad, obtendremos una serie de superficies que constitui- rán en cierto modo una familia geométrica con caracteres co- munes, bien determinados, y con propiedades que se dedu- cirán de la forma de F. Así, en el sistema ordinario de coordenadas, x= a, ha- Rrv. Aca, Criencias.—VIT.—Julio, Agosto y Septiembre, 1908. 4 A ciendo variar a representa una serie de planos paralelos al de las yz; y las otras dos ecuaciones, x= b, x= C, repre- sentan asimismo dos familias Ó dos sistemas de planos pa- ralelos, ya al plano de las xz, ya al de las xy. Sus intersecciones dividen al espacio en un sistema de paralelepipedos rectos y rectángulos y los puntos están de- terminados, ya por las intersecciones de los planos de los tres sistemas, ya por las coordenadas, que son, por decirlo así, fragmentos de las expresadas intersecciones. Todo esto puede repetirse para el caso general de tres su- perficies: También aquí cada punto puede definirse, Ó por la inter- sección de tres superficies, 6 por las longitudes de sus líneas de intersección, que serían las verdaderas coordenadas cut- vilíneas. Pasemos de estas generalidades á ejemplos ó casos con- cretos. Nos proponemos en estas conferencias que siguen, y que constituyen la primera parte del presente curso, nos propo- nemos, repito, estudiar dos sistemas de coordenadas curvi- líneas: las llamadas coordenadas cilíndricas y las que se de- signan con el nombre de coordenadas esféricas. ¿Y por qué, preguntará el lector, estando ya resuelto, al menos en teoría y en ecuaciones relativamente sencillas, el problema, se trata de acudir á otro sistema, que aun antes de estudiarlo, se sospecha que ha de ser mucho más com- plicado que el sistema ordinario de planos trirrectangulares? En primer lugar, este sistema de coordenadas no sólo se ha introducido en el análisis para la resolución del problema de la Elasticidad, sino para otros problemas y ramas -de la NR AARAAAIREN TES A E RTA a Física matemática, como, por ejemplo, para el estudio del calor y de su distribución, equilibrio y movimiento en los cuerpos conductores. Y aun en la misma teoría de los cuerpos elásticos puede ser cómoda su aplicación para ciertos casos y determinados ejemplos. - Claro es que, para expresar el equilibrio en un sistema elástico indefinido y aun en un sólido elástico limitado, pero siempre refiriéndonos á su interior, nada hay más cómodo, más elemental, más sencillo, que el paralelepípedo clásico é infinitamente pequeño de aristas paralelas á los ejes. Las tres ecuaciones que resultan y que obtuvimos en las conferencias anteriores, sobre todo para los sistemas isótro- pos, son, en esta materia, la última expresión de la senci- llez, con ser difíciles de integrar si entran las componentes X, Y, Z de fuerzas exteriores y son variables de un punto á otro. En cualquier otro sistema, las ecuaciones que substituyen á éstas tres han de ser mucho más complicadas. De suerte que, si el sistema elástico es indefinido, la elec- ción no es dudosa. Pero si se trata de un sólido limitado por determinadas superficies, el problema cambia de aspecto. Porque el problema de la Elasticidad, según hemos dicho, y no está demás repetirlo frecuentemente, para que se grabe en mis oyentes ó en mis lectores, se expresa por seis ecua- ciones. Las tres primeras expresan el equilibrio de un punto en el interior del sistema. Las otras fres expresan el equilibrio de un punto cualquie- ra de la superficie límite. Para las primeras basta el paralelepípedo; y no repre- sentan otra cosa que el equilibrio de este sólido, infinita- mente pequeño, bajo la acción de las tensiones que actúan sobre sus diferentes caras y de la fuerza exterior que actúe sobre su masa. LA Mas para el equilibrio de los puntos de la superficie, es preciso substituir al paralelepípedo el tetraedro de Cauchy, y esto complica el problema, porque son nuevas ecuaciones diferenciales que integrar, y en general, complicadas. De suerte que, si hemos obtenido facilidad relativa para el equilibrio en el interior del cuerpo elástico, en cambio será más ditícil satisfacer á las condiciones, que se llaman de los límites. Precisamente para simplificar esta parte del problema se aplican las coordenadas curvilíneas. Porque ya no habrá que aplicar el tetraedro, si dichas co- ordenadas se han escogido convenientemente; es decir, si dicha superficie límite del cuerpo pertenece á una de las fa- milias F = constante á que antes nos referíamos. Porque en este caso, volvemos á repetirlo, la ecuación de la superficie no será en general (ac 0o)= 0 sino que será mucho más sencilla. Si una de las coordena- das curvilíneas es p, la ecuación de la superficie será p = constante. De modo que en las ecuaciones que expresen el equili- brio de un punto de la superficie, ecuaciones que, como sa- bemos, son en diferenciales parciales de primer orden de tres funciones u, v, w, y sólo de dos variables independien- tes, deberemos igualar la tercera variable á una constante, lo cual simplificará las ecuaciones que consideramos. ES + E Presentemos algunos ejemplos. Supongamos que el sólido elástico está terminado por un cilindro de revolución, cuvo eje sea el eje de las 2. dd: LANE Pues en este caso, una sola variable determina todos estos cilindros. Basta dar la magnitud del radio de la sección recta de cualquiera de ellos para que quede completamente definido. Si representamos por p este radio, la ecuación de un cilin- dro de revolución alrededor del eje de las z, será Ele representando a una constante. Supongamos que el cilindro que termina el sólido elástico tiene por radio R, pues la ecuación de la superficie límite será evidentemente o =R. Y en las tres ecuaciones, que expresan el equilibrio de un punto cualquiera de la superficie, deberemos poner, en vez de la variable p, la constante R, lo cual representa una sim- plificación notable. - Supongamos, como segundo ejemplo, que el sólido elásti- co está terminado por una superficie esférica de radio R; pues eligiendo entre las superficies coordenadas, esferas con- céntricas con la anterior, cualquiera de ellas estará definida por su radio r; y la ecuación de una esfera cualquiera de esta familia de superficies, será, E =0; siendo a una constante para cada esfera. Cuando queramos expresar la esfera límite, no hay más que dar á a el valor R y resultará r=R. A En las ecuaciones del equilibrio de la superficie, del mis- mo modo que hacíamos para el caso del cilindro, en vez de la variable r deberemos poner la constante R, con lo cual se simplificarán los resultados. Otro ejemplo más, y será el último. Supongamos que la superficie límite es un elipsoide de revolución. Si fijamos los focos de este elipsoide, que llamaremos F y F”, la suma de las distancias de un punto cualquiera del elipsoide á estos dos focos será constante: supongamos que es s. Si construímos una serie de elipsoides de revolución, que tengan estos mismas focos, subsistirá la propiedad del elip- soide de la superficie, pero variará la suma de las distancias focales: para uno cualquiera, podremos representarla por s, siendo s una variable, y bien puede decirse, que la ecuación general de esta familia de superficies elípticas y de revolu- ción es $= 0 Si queremos que exprese la ecuación límite, basta que de- mos á a el valor $. Y de este modo podríamos prolongar la serie de los ejem- plos indefinidamente. El caso es que cada familia de super- ficies de los tres grupos, que definen cada punto, contenga una sola constante. Este sistema de coordenadas curvilíneas, Óó que pueden reducirse á coordenadas curvilíneas, determinando las inter- secciones de los tres grupos de superficies, del mismo modo que en el sistema ordinario se reducen á tres rectas Ó coot- A pao E denadas los sistemas de los tres planos fundamentales; este sistema de coordenadas, repetimos, tiene un inconveniente grave. A saber: que cada sistema no sirve más que para un caso, y cuando más, en ese caso es en el que presenta algunas ventajas. En otro ejemplo hay que variar el sistema de coorde- nadas. Así, cuando el sólido elástico está terminado por una su- perficie cilíndrica de revolución se podrá aplicar el sistema que se llama cilíndrico. Cuando el sólido elástico está terminado por una esfera podrá emplearse el sistema de coordenadas esféricas. Si la superficie límite del sistema elástico fuera un elipsoide de revolución, como antes decíamos, podrá emplearse tam- bién un sistema de coordenadas elíptico. Pero siempre conviene, casi es condición indispensable para evitar enormes complicaciones, que la superficie límite forme parte de una de las tres familias de superficies, que adoptemos para determinar la posición de cada punto. Para concretar estas ideas generales, sólo presentaremos en este curso, como hemos dicho, dos ejemplos: el de las co- ordenadas cilíndricas y el de las coordenadas esféricas, em- pezando por las primeras. Sistema de coordenadas cilíndricas. Sean OX, OY, OZ (fig. 51), tres ejes coordenados de un sistema trirrectangular. Consideremos un punto cualquiera M, y vamos á definir- lo, haciendo pasar por ese punto tres sistemas de superficies. Primer sistema.—Cilindros de revolución alrededor del eje OZ. El que pasa por el punto M, está representado en la figura por AA'MB'B. Su radio es r, que será en la figura OA=0M'= O'M. A: $e Para otro punto cualquiera del espacio la variable r será distinta. Podemos decir, que la ecuación de este sistema de super- ficies, tiene la forma FE 0 en que r es la variable, y a la constante que caracteriza cada superficie cilíndrica de revolución. Figura 51. Claro es que en la figura sólo hemos representado una parte de esta superficie. En coordenadas ordinarias la ecuación de dicha superticie sería x? + y? = 12. Segundo sistema.—Planos perpendiculares al eje de las Z, por lo tanto, paralelos al de las X Y. En la figura hemos representado el plano que pasa por M, que corta al cilindro, según el círculo AMB”, y que está li- mitado en dicha figura por el contorno O'A'MB". A La ecuación de este plano, que dista del de las XY la longitud z, que es siempre la misma, será 0 Según el valor que demos á b, representará planos distin- tos paralelos al de las X Y. Tercer sistema.—Se compone de planos meridianos que pasan por el eje OZ. Por ejemplo: para el punto M será el plano OO'MM'. Se determinará su posición por el ángulo que forma con el plano XZ, ó sea el ángulo A O M' que hemos representa- do por 6. De suerte, que la ecuación de un plano cualquiera de este sistema, será =p , en que c varía desde O á 180 y se cuenta á partir de OA en el sentido de la flecha. Claro es que 6, en rigor, no se mide por grados, aunque puede reducirse á grados. Es una longitud: la de un arco de círculo, cuyo radio es 1 y que está comprendido entre O A y OM”. Así, pues, resumiendo: un punto cualquiera M del espacio está definido por estas tres ecuaciones E | que representan un cilindro de radio OA; un plano parale- lo al de las X Y á la distancia z, y un plano meridiano que forma con el plano XZ un ángulo 6. UN E Estas tres superficies se cortan según tres líneas: O'M, MM' y MA”. Puede decirse que las coordenadas del punto M son (figu- ra 52): MM" paralela al eje de las Z; MO” que es un ra- dio del cilindro, y MA” que es un arco de la sección recta de dicho cilindro. Estas tres líneas están representadas por las mismas letras en la figura 51, y suplen, en cierto modo, á las coordenadas Figura 52. ordinarias x, y, z en el sistema de tres planos trirrectangu- lares. Sería inútil decir, que la r suple á la x; el arco á la y y la z es la misma para ambos sistemas. Antes hemos dicho que las tres coordenadas en el sistema cilíndrico eran, iZ Pero tanto da considerar la 6 como el arco MA”, porque E a ambas coordenadas están enlazadas evidentemente por la relación arco MA'= r0. Una última observación, para terminar estas consideracio- nes generales. Los tres sistemas de superficies se cortan normalmente en todos sus puntos. Por ejemplo, el plano B"MA' O” (fig. 51), corta normal- mente al cilindro AA*BB”, puesto que es su sección recta, y corta normalmente al plano meridiano OM'MO”, puesto que éste pasa por OZ, que es perpendicular al primer plano. Asimismo el plano meridiano OM corta normalmente al cilindro, y ya hemos visto que al plano de la sección recta. - Por último, el cilindro corta normalmente al plano meri- diano y al plano de la sección recta. De aquí resulta (fig. 52) que si prolongamos la recta O' M según Mr; si prolongamos asimismo M'M según Mz, y si trazamos en M la tangente Mi al arco A'M, estas tres rectas, Mr, M£, Mz, formarán un triedro trirrectángulo y constituirán un sistema de ejes trirrectangulares cuyo vértice estará en M. Más adelante nos serviremos de este sistema auxiliar de ejes coerdenados. Hemos definido la posición de cada punto del espacio en : coordenadas cilíndricas ó semipolares, como dicen algunos autores. Ahora debemos definir los desplazamientos de cada punto del sistema elástico. Componentes de un desplazamiento. Consideremos un punto M de un sistema elástico (fig. 52). Este punto estará definido, como hemos visto, por sus tres coordenadas MO”, MA”, MM” 6, si se quiere, por HOZ e 0 E porque hemos indicado que tanto da conocer la magnitud de MA” como el ángulo 0. Supongamos, que por la acción de las fuerzas que actúan sobre el sistema elástico, el punto M se desplaza y viene á parar á M,. Hay que fijar la posición de este punto. Al pasar Má M, sus coordenadas cilíndricas ya no serían las mismas que antes, y lo natural sería definir M, por sus nuevas coordenadas ó por la diferencia entre éstas y las de dicho punto antes de la deformación. Esto haciamos en el sistema ordinario x, y, z, represen- tando por u, v, w tales diferencias. De suerte, que si eran x, y, z las coordenadas del punto M en su primitiva posición, las coordenadas en su posición nueva M, serían XxX +UJY+0, 2 +0. Pues análogamente, y siguiendo este sistema, y represen- tando por d la variación de la magnitud á que afecta, si las coordenadas del punto M eran FAUES las del punto M, deberian ser r +0v, 0 +00, z+ 02. En rigor esto haremos; pero con una pequeña modifica- ción, que simplifica los cálculos. Referiremos el punto desplazado M, al sistema de ejes trirrectangulares Mrfz, de que hablamos antes; y para definir dicho punto tomaremos las tres coordenadas ordinarias res- pecto á los ejes r, f, z que serán Mb, ba, aM,, las cuales representaremos por las letras U, V, W, de suerte que ten- dremos Mb = U, ba = V, aM, = W: ER 2. a == 0 — Son las mismas letras u, v, w, que expresaban en el sis- tema ordinario las componentes de un desplazamiento, pero mayúsculas para evitar confusiones. Observemos que Mb = U está en la recta Mr, de modo que el incremento de O'M, es en rigor dr, al pasar del punto M al punto M,. aM, = W es el incremento de MM”, es decir, que se con- funde con dz. No podemos decir lo mismo de ab = V porque éste no es el incremento de 0. Sin embargo, con él se relaciona de una manera muy sen- cilla. Si unimos el punto a con el punto O” por la recta 40”, y designamos por d, c los puntos de intersección de esta recta con la tangente £ y con el arco A“ M, tendremos que ab po- drá considerarse como un arco trazado desde O” como cen- tro; y representando por d6 el ángulo b0'a resultará: ab = arc.ab = d0.0'b:'= d0 (OM + Mb) = = d0 (r + Mb) = rd0 + d6. Mb; y como el último término es de segundo orden, con errores infinitamente pequeños de orden superior, podremos suponer ab = V= Mc = Md = rdó. En suma, las tres componentes del desplazamiento de M, al pasar á M,, serán MA Aza Mb == OL: nd0: Importa fijar bien las ideas respecto á la magnitud cd que se sabe, y es una noción elemental, que es de segundo or- den, si Md es de primero. . En efecto, y permitasenos que recordemos este punto, por 2 E sencillo que sea. En la figura 52”, que es la misma O'Mcd que en la figura 52, pero en mayor escala, se sabe que o' Md? =(20'+cd) cd, de donde cd = me : M O A C y como Md es de primer orden, y el de- d y nominador es una cantidad finita, cd será Figura 52. , evidentemente de segundo orden. Esta es una trivialidad; pero conviene recordarla por lo que luego indicaremos. Hemos definido un punto en coordenadas cilíndricas, que son: HOZ Hemos definido las componentes de un desplazamiento, que las hemos representado por EAS: Debemos ahora definir en estas coordenadas el elemento de volumen en el interior de un sólido elástico, que es el que ha de substituir al paralelepípedo elemental, empleado en el sistema de coordenadas ordinarias. En este sistema, dicho paralelepípedo se formaba consi- derando un par de planos paralelos al de las xy, distantes entre sí dz; otro par de planos paralelos al de las xz, dis- tantes dy; y otro tercer par de planos paralelos al de las y2 cuya distancia era d x. Abreviadamente, el paralelepípedo se formaba por tres APTA BALA RAT PT pe pares de superficies infinitamente próximas, dos á dos, y pertenecientes á las tres familias de superficies: == y =D, Sl Pues ahora tenemos que seguir exactamente el mismo procedimiento. Como aquí, las superficies son cilindros de revolución .al- Figura 53. rededor del eje de Z; planos meridianos, que pasan por di- cho eje, y planos perpendiculares, al mismo, el sólido ele- mental se formará por dos cilindros distantes dr, dos planos meridianos formando el ángulo d6, y dos planos perpendi- culares á Z, distantes dz. - Esto es lo que hemos representado en la figura 53. Las rectas OX, OY, OZ, son tres ejes fijos de re- ferencia. OZ es el eje del sistema. - El sólido A D' infinitamente pequeño, y que es un elemen- to del sólido elástico, está formado: RA 1.2 Por dos planos ABDC, A'B"D'C' paralelos al pla- no de las X Y, y, por lo tanto, perpendiculares al eje Z, al cual cortan el primero en O, el segundo en 0” 2.2 De dos planos meridianos BDB'D”, ACA'C.. 3. Por dos cilindros ABA'B" CDD'C'*: son cilindros de revolución y su eje es OZ. Los planos perpendiculares á Z, distan entre sí dZ, de suerte que AA”, BB”, DD”, CC” y 00' son todas iguales ádZ. Los planos meridianos cuyas trazas sobre el plano XY son Oc, Od, forman un ángulo d6. Por último, los cilindros tienen por radio Va == Oc MASa de suerte que los cilindros distan entre sí dr. Todo esto está conforme con lo que se estableció en las coordenadas ordinarias. El sólido elemental A*D que acabamos de definir tiene sus ángulos triedros rectos, según explicamos anterior- mente. Se proyectará sobre el plano de las X Y, según el trapecio circular abdc, en que los lados ab y de son dos arcos de circulo. Comprendido todo esto, la marcha que debemos seguir para establecer las ecuaciones de la Elasticidad es bien sen- cilla, y, en el fondo, es idéntica á la que seguimos para el sistema de coordenadas ordinarias. Se reduce á lo siguiente: 1. Establecer el equilibrio de este sólido elemental, igualando á cero las componentes, paralelas á tres ejes rec- tangulares, de las tensiones sobre las caras y de las fuerzas que actúen sobre el elemento de masa. 2. Expresar las tensiones en funcion de las detormacio- nes, es decir, en función de U, V, W. EE le: 3.7 Eliminar de las tres primeras ecuaciones las compo- nentes de las tensiones. Las ecuaciones que resulten serán ecuaciones en diferen- ciales parciales con relación á r, 0, 2. Estas serán las ecuaciones del problema y las que debe- remos integrar. - Si suponemos, como debemos suponer, que la superficie límite del cuerpo es un cilindro de revolución, porque de lo contrario no hubiéramos empleado coordenadas cilíndricas, las condiciones de equilibrio de la superficie se simplificarán como ya hemos explicado anteriormente. En primer lugar, las componentes de la presión sobre una superficie cualquiera se aplicarán á la superficie límite sin más que hacer en ella r=R, si R es el radio del cilindro. Y en segundo lugar, considerando una zona infinitamente estrecha y cuyo espesor tienda constantemente hacia cero, para el equilibrio y sus condiciones, no habrá más que igua- lar directamente las componentes de las fuerzas exteriores aplicadas al cilindro á las componentes generales, de que antes hablábamos, para un cilindro cualquiera de los del sis- tema en que se halla hecho r = R. Esto lo veremos aún con más claridad en los ejemplos que presentemos, si el tiempo nos lo permite, y si no en otro curso. En la conferencia próxima estudiaremos las tensiones so- bre las diferentes caras del sólido elemental y estableceremos asimismo las ecuaciones de equilibrio de dicho sólido. En estas ecuaciones no tendremos que estudiar los movi- mientos de rotación por una razón análoga á la que nos sir- vió en coordenadas ordinarias para esta misma simplifica- ción. Rev. Acap. Ciencias. —VII.—Julio, Agosto y Septiembre, 1908. 5 0 TIT. —Elementos de la teoría de la Elasticidad. POR JosÉ ECHEGARAY. Conferencia duodécima. SEÑORES: Empezamos á estudiar en nuestra última conferencia las coordenadas cilíndricas ó semipolares con el objeto de apli- carlas al problema de la Elasticidad. Definimos la posición de un punto por las tres coordena- das r, 0, Z. Definimos asimismo las componentes del desplazamiento de este punto por tres variables U, V, W, que en rigor eran tres coordenadas del sistema ordinario trirrectangular, refe- ridas á un sistema auxiliar de tres ejes rectangulares, que te- nían por origen el punto M del sólido, que hubiéramos ele- gido, en que uno de los ejes, el equivalente al de las x, era la prolongación del radio 7: sobre él se contaba la compo- nente U; otro era la tangente en M á la sección recta del ci- lindro de revolución que pasase por M: se representaba por t, y era equivalente al eje de las y, contándose sobre él la V; y el tercero se imaginaba perpendicular á los dos anteriores, se designaba por z y era paralelo al eje Z: paralelamente á él mediamos W. Todo esto quedaba representado en la figura 52. Anunciamos al final de la conferencia, que en ésta había- mos de estudiar los dos problemas fundamentales de la teo- ría, á saber: hallar la expresión de las tensiones en función de las deformaciones, y establecer las ecuaciones de equilí- brio de un sólido elemental, que lo definíamos por dos cilin- Ñ . o O dros, dos planos meridianos y dos planos perpendiculares al eje Z, según se ve en la figura 53. Pero ante todo debemos decir algo respecto á las ten- siones. El estudio de las tensiones queda ya hecho al estudiar el método general de Lamé; pero como al paralelepiípedo ele- mental, que allí considerábamos, hemos substituido el sólido elemental que acabamos de definir, algo tenemos que expo- ner aún sobre los esfuerzos que actúan en sus diferentes ca- ras, y sobre todo respecto á las notaciones que hemos de emplear. Conformándonos con la notación de Mr. Resal en su Físi- ca matemática, que nos ha de servir de guía en el estudio de las coordenadas cilíndricas, representaremos una tensión cualquiera por p. Ni el emplear la letra p significa que la tomemos como inicial de presión, ni el que hallamos empleado y sigamos empleando la palabra tensión significa tampoco que la con- sideremos como sinónima de tracción. Empleamos la palabra tensión, según hemos dicho ya mu- chas veces, como término genérico, como sinónimo de es- fuerzo, que unas veces será de tracción y otras de compre- sión. Pero es bueno recordar que para el cálculo de la tensión, sobre una cara perpendicular á un eje cualquiera, considera- mos las acciones de la parte de la derecha sobre la izquierda, ó de la región positiva sobre la negativa, ó bien, suponiendo que la cara tenga dos hojas, sobre la hoja de la parte nega- tiva: si resulta una tracción, evidentemente se tendrá una fuerza positiva. De suerte que las tracciones las considera- mos como positivas. En el caso de coordenadas cilíndricas, debemos definir lo A que se entiende por región positiva y región negativa, para cada una de las caras del sólido elemental prismático. Sea M un punto del sistema elástico (fig. 54). Hagamos pasar por este punto una superficie de cada una de las tres familias que definen el sistema de coordenadas cilíndricas, que serán: el cilindro B M C de radio 0 M = r; El plano meridiano A M C, que formará con el plano X Z Figura 54. el ángulo 0 igual al que forma su traza Oa, sobre el plano X Y, con el eje X; Y por último, el plano A M B perpendicular al eje Z y cuya distancia al plano X Y es z. Estas tres superficies forman en M un triedro trirrectángu- lo, y dichas superficies constituyen tres caras del elemento de volumen, que hemos definido en la figura 53; pero en ésta (fig. 54) no hemos representado más que las tres caras de dicho triedro. Sat o pa Si por M y en el plano A M B trazamos la tangente M t al arco B M, tendremos también representado en la figura el sistema auxiliar de tres ejes trirrectangulares Mr tz. Claro es que el plano £ M z es tangente al cilindro B M C á lo largo del eje M z. Dicho esto con toda la minuciosidad que hemos creído ne- cesaria para evitar confusiones, estudiemos las tensiones y sus componentes sobre las caras planas AMC y AMB, y sobre la cara curvilínea BM C, que ya hemos dicho que es un cilindro de revolución alrededor de Z. Por regla general vamos á descomponer todas las tensio- nes en tres componentes paralelas al eje de las r, de las £ y de las 2; es decir, de los tres ejes que constituyen el sistema auxiliar trirrectangular. Consideremos la cara A M C, y sea B' su centro, á cuyo . punto suponemos aplicada la resultante de todos los es- fuerzos sobre los diferentes puntos de la superficie alrededor del punto B”. El esfuerzo ó tensión por unidad de superficie, será el es- fuerzo total sobre la cara A M C dividido por la superficie de esta cara. Consideraremos que el ángulo 0 va creciendo positiva- mente del eje de las X hacia el eje de las Y, según marca la flecha: pues en esta hipótesis estudiaremos las acciones de la parte de delante del plano A M C sobre la parte de detrás. Si las tres componentes de la fuerza, ó tensión que actúa en B”, las representamos, por B'd la paralela al eje de las r, por B"fla paralela al eje de las £, y por B”e la paralela al eje de las z, pues ya hemos explicado que las fuerzas las des- componemos en la dirección de los ejes r, £, z, es evidente que B”f, por ejemplo, si es positiva, representará una trac- ción, y lo mismo diríamos de las otras dos componentes. Pero veamos, ante todo, cuales son las notaciones adop- tadas. | La letra p es la designación general del esfuerzo Ó de la e tensión; un primer subíndice indica el eje del sistema auxi- liar al cual es perpendicular el plano elástico á que se refie- re dicha tensión, y un segundo subíndice indicará la direc- ción de la componente; de suerte que B'd por referirse al plano A C, que es perpendicular al eje £, y por ser paralela al eje de las r, se representará por py. Asimismo B”“f, por referirse á dicho plano AC perpendi- cular á £, llevará f por primer subíndice, y también por se- gundo por ser una componente paralela á este eje. Por último Be, que corresponde al plano AMC perpen- dicular á f, y que es paralela á z, llevará ambas letras como primero y segundo subíndice. En resumen: para la cara AMC OEP NED e == Pez: Del mismo modo para la cara AMB perpendicular al eje de las z las tres componentes serán: CMA CE respectivamente paralelas á los ejes auxiliares r, f, z. Las notaciones serán las mismas que en el caso anterior: p, en general indica los esfuerzos; el primer subíndice será z, porque la cara AMB es perpendicular al eje 2; los segundos subíndices serán r para la componente paralela á este eje, f para la componente paralela á dicho eje £, y z para la com- ponente paralela al eje de las 2; de suerte que tendremos: CM= Per Ck=Pa; C'2 = Pez Respecto á la cara BMC, que no es plana como las ante- riores, sino cilíndrica, son necesarias algunas aclaraciones y conviene hacer una figura en mayor escala, como es la figura 55. a e Hemos representado en esta figura los tres ejes r, £, z; el cilindro BMC y el plano tangente B,MC á dicho cilindro á lo largo de la generatriz MC. Sea a el punto de aplicación de la tensión p sobre toda la cara BMC, pero referida á la unidad de superficie. Esta ten- sión la descompondremos, porque es la regla general, según los tres ejes r, £, 2; de suerte que si hacemos pasar por a un Pigura 55. plano paralelo al Mz, cuya traza sobre el plano rMf será mn paralela á £, dos de las componentes estarán en el plano mna y la tercera ad” será paralela á r, y, por lo tanto, per- pendicular al plano mna y también á su paralelo 1 Mz. Fijémonos sólo en la componente aa”, y lo que de ella digamos, podríamos decir de las otras dos componentes. Si consideramos la sección recta del cilindro BMC corres- pondiente al punto a, que designaremos por fe, y si o es su centro, que será un punto del eje del cilindro, trazando la recta oa hasta que encuentre el plano tangente Mz, y lla- A mando b al punto de intersección, los puntos a y b marca- rán un segmento ab, que será infinitamente pequeño de se- gundo orden, lo mismo que cd, si cM es de primer orden. Ahora bien; consideremos la tensión por unidad de super- ficie en el punto b del plano tangente B,MC, y sea bb” su componente paralela al eje de las +. La distancia de los puntos a, b hemos dicho que es de segundo orden, luego la distancia de las rectas aa” bb” tam- bién lo será, y por lo tanto, podremos substituir á la com- ponente aa” de la tensión correspondiente al cilindro, la componente bb' de la tensión que corresponde al plano tan- gente, con errores infinitamente pequeños de segundo orden. De aquí deducimos que en vez de considerar la tensión para el cilindro, podemos considerar la tensión por unidad de superficie para el plano tangente, que es el plano coorde- nado auxiliar £z. Las notaciones para las tres componentes de esta tensión, que es, como hemos dicho, la del cilindro ó la del plano tan- gente, serán las mismas que hasta aquí hemos empleado. Por ser el plano tangente perpendicular al eje de las r, será r el primer subíndice, y los segundos serán respectiva- MEN Tu: De suerte que tendremos aproximadamente para las com- ponentes de la tensión por unidad de superficie del cilindro BMC, siendo por de contado muy pequeñas, de primer or- den, las longitudes Mc y Md: Prr> Prt Prz- En resumen, las componentes de las tensiones, por unidad de superficie, para las caras infinitamente pequeñas BMC, AMC, AMB (tig. 54), serán: Para el cilindro BMC (6 para el plano tang.). . Prr PriPrz- Baraveliplano "A MIO 19.030 00 AO ALEA Pir Pit Pez: Pata el planolAMIB 0054 le, DUOQUIMO JUE Par pomos: ho Lo Bi e AA A JR e 8 Estas notaciones son enteramente análogas, como ya he- mos dicho, á las que empleamos en el sistema ordinario de coordenadas con estas diferencias de notación: que á lo que allí llamábamos X, aquí le llamamos p, y que los ejes que allí se designaban x, y, z, aquí se designan por r, f, z. En rigor, todas estas componentes se refieren á las caras del sistema auxiliar r, f, z, que es trirrectangular, y pueden considerarse, como formando parte de un paralelepípedo, análogo al que empleamos en las coordenadas ordinarias, el cual se ajustará en cierto modo al sólido elemental de la figura 54. Esta observación va á simplificar notablemente el procedi- miento que hemos de seguir, y por el pronto nos permite, sin nueva demostración, aplicar un teorema que ya demos- . tramos para el paralelepípedo. Allí demostramos que los subíndices pueden cambiar sin que cambie el valor de la tensión, de suerte que en el cua- dro anterior tendremos Ptr =Prt Pt: = Pat, Pre =Per»> y el cuadro de las nueve componentes se reducirá á seis díis- tintas: Prr) Pit, Pzz Pri, Pez» Prz> OS que equivalen, las tres primeras á lo que llamábamos N, N,, Na, y las tres de la segunda línea á T,, T,, Ts. Decimos que esto puede establecerse sin demostración, porque hemos reducido aproximadamente las componentes de la cara cilíndrica á componentes del plano tangente, que es uno de los planos coordenados, que forma parte del án- gulo triedro trirrectángulo y que puede ser el triedro M de un paralelepipedo auxiliar. Por esto precisamente, y para otra simplificación aun de al mayor importancia, "hemos substituido al cilindro el plano tangente á lo largo de MC en el cálculo de las tensiones. Claro es que la demostración directa tampoco ofrecería dificultad de ningún género. Debemos ya pasar á las dos cuestiones fundamentales que son: expresión de las tensiones en funcion de las deforma- ciones, y equilibrio del sólido elemental formado por los dos cilindros, los dos planos perpendiculares á Z y los dos pla- nos radiales, distantes los dos primeros entre sí dr, los se- gundos dz, y los terceros formando un ángulo d0. Determinación de las tensiones en función de las deforma- ciones.—Este problema puede simplificarse aprovechando los resultados que obtuvimos al estudiarlo para el sistema de coordenadas ordinarias. Se funda dicha simplificación en que las tres superficies, que determinan cada punto en el sistema de coordenadas cilíndricas, y que son para cada punto, y pasando por él, un cilindro de revolución, un plano meridiano y otro plano per- pendicular al eje Z, forman, como hemos explicado repetidas veces, un triedro trirrectángulo, cuyo vértice es el punto en cuestión. Tomando por ejes auxiliares, pero fijos, para dicho punto M la generatriz del cilindro, la tangente á la sección recta y el radio, es decir, z, t, r, estas tres líneas y los planos que determinan forman otro triedro que se ajusta al primero; porque el plano de las z res el mismo para los dos triedros; también es el mismo para ambos el plano de las f r; y el ter- cer plano de las £z, si no coincide con la superficie cilíndrica, es tangente á la misma á lo largo de la generatriz z, y ade- más hemos demostrado que, á las componentes de la tensión que sobre dicha superficie actúa, pueden substituirse las com- ponentes de la tensión sobre el plano tangente, con errores > 2 ADE as pp infinitamente pequeños de segundo orden. De aquí se dedu- ce esta consecuencia importante: que en este sistema de co- ordenadas cilíndricas, para estudiar las tensiones y sus com- ponentes nos basta estudiar el triedro trirrectángulo forma- do por z, Í, r. Pero este triedro lo tenemos ya estudiado en la primera parte del curso, y es más, tenemos calculadas las componen- tes de la tensión en función de las deformaciones u, v, w, Ó mejor dicho, de sus derivadas parciales; sólo que lo que allí llamábamos x, y, z, serán en este caso r, £, 2. Además, recordemos que las componentes de la tensión que allí lla- mábamos N,, N,, Na, T,, T», T;, aquí están expresadas con la letra p, á la cual agregamos dobles subíndices. Tendremos, por lo tanto, conservando las denominacianes Xx, y, 2, para las variables independientes. du dv Prr=X0+|2p ——; Pu=M + 2p-—; | WN dy E dw Pre =40+72p4—; pz Sin embargo, el problema no está resuelto todavía. Hemos expresado las componentes de las tensiones en función de las derivadas parciales de las deformaciones; pero en función de las componentes u, v, w, que se refieren al sistema ordinario, y debemos expresarlas en función de las componentes de la deformación U, V, W, en el sistema ci- líndrico; Ó mejor dicho, de sus derivadas parciales con rela- ción á r, 0, z. = 78 = Luego aquí se nos presenta este nuevo problema: expre- sar aquellas derivadas parciales en función de éstas; es decir, du dy dv dU dy aw dx" dx” dx dr are car A A e JOAO O) DIRA en función de A re du dv dw dy dv dW dz? de dz dz * dz * dz Y substituyendo las primeras en función de las segundas, en los valores de las p, que hemos escrito antes, habremos resuelto el problema en cuestión, porque tendremos los va- lores de las p en función de las derivadas parciales de U, V, W, con relación á r, 0, z. Es decir, las tensiones en fun- ción de las deformaciones U, V, W. Queda, pues, reducido el problema á este otro. En el sistema ordinario, es fácil determinar la significación geométrica de du, dv, dw. Consideremos un punto M (fig. 56) del sólido elástico, y los tres ejes x, y, z que pasan por dicho punto; advirtiendo que, en este caso, el eje de las x es también eje de las r, y el eje de las y, es el eje de las £; el de las z se conserva con esta denominación. Supongamos que por la deformación elástica, el punto M se traslada á M”; pues proyectando M' sobre x, y, tendre- mos las dos componentes u, v, que están señaladas con líneas más gruesas en la figura. Consideremos, asimismo, un punto M, muy próximo á M, y sea M, M', su desplazamiento. Proyectando M, sobre el plano de las x, y, y lo mismo M',, y representando las proyecciones por m;,, m',, no hay más que proyectar la recta m, m', sobre x y sobre y, que es lo mismo que haber proyectado directamente M, M',, di a ¿din ts E, JE para obtener las componentes de este desplazamiento, com- ponentes que llamaremos u”, v” y que están representadas con líneas gruesas en la figura. Figura 56. Tenemos, pues, que al pasar de Má M,, la componente u se ha convertido en u”, luego du =u'—u; y del mismo modo dv=v' —v. Como la variable z es la misma en los dos sistemas, no tenemos para qué ocuparnos en ella; por lo demás, obtendría- mos un resultado análogo á los anteriores: , Cl E SR De todas maneras, podemos formular esta regla práctica. Para obtener du, no hay más que proyectar MM' y M, M', sobre el eje de las x, ó de las tr en nuestro caso, y tomar la diferencia de las proyecciones. De igual suerte, para obtener dv proyectaremos M M' y M, M”, sobre el eje de las y, ó sobre el eje de las f, y toma- remos la diferencia de ambas proyecciones. Pues apliquemos esta regla general al caso de las coorde- nadas cilíndricas. Sean: M un punto del sólido elástico (fig. 57); X, Y, Z los tres ejes fundamentales; Ms la sección recta del cilindro de revolución, que pasa por M y que está representado por Mmss. El sistema de ejes auxiliares que corresponden al punto M estará formado por las tres líneas siguientes, según hemos explicado ya: Mr prolongación del radio oM del cilindro; Mt tangente á Ms, y Mz paralela á OZ. Si el punto M se desplaza por la deformación elástica y viene á parar á M”, las tres componentes de este desplaza- miento serán: Mb =D 0b= V.Mu= W: según hemos explicado anteriormente. Son, en rigor, las tres coordenadas de M' con relación á los ejes r, £, z. Por lo demás, sobre el plano X Y, M se proyecta en m y el ángulo ¿Mr en 1" mr” que será también un ángulo recto. Consideremos otro punto M, del sólido elástico muy pró- ximo á M, y supongamos que la deformación elástica le lle- vaá M',. Lo mismo que para el punto M, el punto M, que se pro- e O yectará en m, estará definido por el cilindro M, m, ss”, por el plano de la sección recta M, s”, cuyo centro supone- mos que esta en o” y por el plano meridiano M, m, O o”. Para el punto M, podemos trazar, análogamente á lo que hacíamos para M, un sistema de ejes auxiliar r,, f,, z,, que Figura 57. estará formado por M, r,, ón del radio 0” M,; M, t, tangente á la sección recta M, s” y M, 2;. Hemos dicho que el punto M, por efecto del desplaza- miento viene á parar á M”,: sus componentes, con relación á los últimos ejes auxiliares r,, f,, Z,, serán: =U+4U, ab'=V+4V, a4M',= W+dW, Ea TOP puesto que al pasar de Má M, las componentes del despla- zamiento sufren variaciones que hemos representado por dU, dV, dW. El ángulo £, M, r, que es recto, por estar en un plano pa- ralelo al X Y se proyectará también según un ángulo recto t', m, r', sobre dicho plano de las XY. Si queremos obtener du, dv, dw con relación á los ejes r, £, z, no tenemos que hacer otra cosa, según la regla que establecimos antes, que proyectar MM”, M, M', sobre r, y tomar la diferencia: así obtendremos du; y después proyec- tar estos mismos desplazamientos sobre £, y tomar la dife- rencia también entre ambas proyecciones. Pero lo mismo da proyectar MM' que el polígono MbaM'; y análogamente da lo mismo proyectar M, M', sobre r, que el polígono M,b*a* M”, siempre sobre r. Ahora bien; estos polígonos tienen los lados aM” y a* M', perpendiculares á r, luego sus proyecciones serán nulas sobre dicho eje. Nos bas- ta, pues, proyectar Mba y M,b'a” sobre el eje expresado r. Por otra parte, los planos rMt y r,M;,f, son paralelos, luego esta operación última podemos hacerla en sus proyec- ciones sobre el plano de las X Y. En resumen: no tenemos más que proyectar los dos con- tornos mBm' y m,b",m', sobre mr” y sobre mt”, para 0b- tener du y dv. Á fin de que resulte más clara esta construcción, hemos trazado una nueva figura, no ya en perspectiva, sino con sus verdaderas dimensiones, que es la figura 58. Esta y la 57 deben considerarse á la vez. En ella m es la proyección sobre el plano X Y del punto que se considera, ms la traza del cilindro de revolución aue pasa por M. mr" y mt” las proyecciones de los dos ejes r, t, y r”,, €, formarán un sistema de ejes rectangulares. A E A y Del mismo modo m,s” es la traza del cilindro que pasa por M, siendo mm, la proyección de este punto, para el cual m,r”, es la proyección de M,r, " m,t', es proyección de M, f,. Estas dos líneas también forman un ángulo recto. Los dos círculos s y s* distan dr y los planos Or” y Or, forman un ángulo infinitamente pequeño d0. Figura 58. Por último, m' es la proyección de M', de suerte que ten- dremos:; mB = Um V. Y asimismo m', será la proyección de M”,, y es evidente que se tendrá: m,b', =U-+44dU, m',b',=V-+ av. Es decir, los valores del punto m aumentados en las di- ferenciales que resulten al pasar de m á m,. Según lo que antes explicábamos, basta proyectar sobre r” Ruv. Aca. Crencias.—VII. —Julio, Agosto y Septiembre, 1908. 6 e RO los contornos m'Bm y m',b”, m, y tomar la diferencia de ambas proyecciones para obtener du. La proyección de m' Bm es evidentemente mB, ó sea U. La proyección de m”', b”, m, será B, B'=B, a ¿BB que puede calcularse fácilmente. En efecto, B, B',=m,b', cos (r, 1”), pero m,b', =U+dU y cos (1,1 ,) = cos de. luego B,B'", =(U>+dU) cos d6. Mas el coseno de un ángulo infinitamente pequeño de primer orden difiere de la unidad en un infinitamente pequeño de segundo, luego poniendo 1 en vez de cos d9, resultará By de = U-+ dU. Por otra parte A A E AE Ó bien B' B", =(V + d V) sen de, y poniendo en vez del seno el arco por tratarse de un ángu- lo infinitamente pequeño B"B', =(V+dV) d0= Vds + dVadb. Despreciando la última parte, que es un infinitamente pe- queño de segundo orden, resultará B' B',= Vab; / ES «y substituyendo los valores de B, B*, y B' B*,, obtendre- mos, por último, BB UY ao Yo. Sólo nos queda, para obtener du, que restar las dos pro- yecciones B, B” y mB así daa e e A led Ó bien du =dU— Vdb. El mismo procedimiento nos servirá para determinar dv. La proyección del primer contorno m'Bm sobre el eje ¿' Es MC. - «La del segundo m, b”, m', sobre el mismo eje será CO=CC1+C00C4, y estas dos últimas líneas tendrán respectivamente por valo- res, observando que los ejes £” y £”,, forman, lo mismo que los r”, r”,, un ángulo 49, > ( C, C',,= m, b*, sen dé = (U + dU) dé Es, E = b”, A: COS do —= V + dv por lo tanto, G,C' = V+dV+ Udo. Restando las dos proyecciones C, C y mC obtendremos dv=V+dV+ Udo — V Óó bien dv=dV+ Uds. PV de En suma, tenemos para du y dv en función de las nuevas coordenadas, estas dos expresiones: du =dU-— Vd5o dv=dV->+ Udo. * + * Las expresiones anteriores nos determinan du, dv en fun- ción de dU, d V, pero en el caso general, cuando el punto M ha tomado la posición M', y el punto M, ha ido á parar á M',. Y no son las diferenciales generales las que busca- mos, sino las diferenciales parciales. Sin embargo, de los valores obtenidos para du, dv, pode- mos deducir, en este sistema particular de coordenadas que vamos examinando, las nueve diferenciales parciales de u, v, w, en función de las nueve diferenciales ó derivadas par- ciales de U, V, W que hemos consignado en el cuadro (1). Determinemos una por una las derivadas parciales de U, V, W. iS e. Esta expresión significa que ha de buscarse la relación entre un incremento de u y un incremento: de x, cuando no varían la y ni la z; de modo que el punto M ha de moverse sobre el eje auxiliar de las x, que es el mismo de las r, y que en proyección será el eje r” Dividiendo, pues, por dx el valor du tendremos: En primer lugar, puesto que coinciden los ejes x y r, la expresión anterior también podrá escribirse de este modo: du dU do A e A Ar == 9) - Pero si el punto M se mueve sobre el eje de las r, al pa- sar á M,, no habrá variado 0, pues como decimos, M y M, es- tarán sobre Mr (fig. 57) de modo que _ = 0 y tendremos, r du _ du oe (a) dx dr El primer miembro es la derivada parcial de u con rela- ción á x; y el segundo, es la derivada parcial de U con re- lación á r, porque como hemos visto, no varía ni 0, ni z tam- poco. : En resumen, una de las derivadas parciales del primer gru- po (1) se expresa en función de otra del segundo grupo. du a 3 cs PS Para que esta expresión represente la deriva- da parcial de u con relación á y, es preciso que x y z no va- ríen, luego M debe moverse sobre el eje de las y, ó de las f, de suerte que M y M, estarán sobre dicha recta Mt. Tendremos Ó bien (a”) Ahora bien, moviéndose M sobre Mf, es como si se mo- viese sobre Ms, luego sólo varía 9: no varían nir ni z. Así — es la derivada parcial de U con relación á 9. E Hemos expresado otra derivada parcial de u con relación a y en función de la derivada parcial de U' con relación á 0. du Ele e , a 3 N Como la u coincide con U, y además, el eje z l : de las z es el mismo para ambos sistemas, es evidente que se tendrá == (a) y ambas son derivadas parciales en que x, y por una parte, y r, 9 por otra permanecen constantes. dv AA. ; l 4." TA Dividiendo por dx el primer miembro del va- lor de dv, y por dr el segundo, porque las variables x, r co- inciden sobre el mismo eje, y sus incrementos serán iguales, tendremos: Mas para que la ecuación anterior tenga, por decirlo así, una significación útil en nuestro problema, es preciso que los coeficientes diferenciales que contiene sean verdaderas derivadas parciales. dv Para que lo sean ER es forzoso que la y y la z perma- 1% nezcan constantes, luego el punto M, debe moverse sobre el eje de las x, que en este caso coinciden con el eje de las rf. Ahora bien, si el punto M, se mueve sobre el eje de las r; es claro que d6 será igual á cero, luego la fórmula anterior se reduce á a (5) Además, no variando z ni variando 0, d V es el incremento que corresponde á la variación dr; por lo tanto, el segundo e miembro es la derivada parcial de V con relación á r. Tene- mos, pues, otra derivada parcial del primer sistema expresa- da por una derivada parcial del segundo. dv Doe a , e de A Dividiremos análogamente á los demás casos A y el valor de dv por dy, y tendremos: -. Pero dy se cuenta sobre el eje f, y hemos visto que, con diferencias infinitamente pequeñas de orden superior, se tie- ne dy =rdb, - Luego la expresión anterior puede escribirse en esta forma: AVEO do l , dy tdo rdó Ó bien NA U 4 Apiarirmesde, ¿bale Le . Para que el primer miembro represente la derivada par- cial de v con relación á y, es preciso que la x y la z per- manezcan invariables; es decir, que el punto M, se mueva sobre el eje de las £. Pero en este caso d V significará la va- riación de V únicamente por la variación de 0, luego el coefi- ciente — será también una derivada parcial: la de V con relación á 0. En cuanto al término aa nada hay que advertir, porque s in no contiene cantidades diferenciales. En suma: la ecuación (b”) expresa una derivada parcial del antiguo sistema en función de otra derivada parcial del segundo. o REA 62 2. Como v y V se cuentan paralelamente al fa mismo eje, es evidente, puesto que el eje z permanece inva- riable, que tendremos: dv dav E Y e il b” y dz dE NON bs ó sea una derivada parcial del primer sistema de coordena- das en función de otra derivada parcial del segundo. A CAY Aa y la w se cuentan ambas paralela- mente al eje de las z; es decir, que se tiene dw = d W y di- vidiendo el primer miembro por dx y el segundo por dr, que son iguales, tendremos: A (0). De modo, que si el punto M, se mueve sobre el eje de las r, los dos miembros representarán dos derivadas parcia- les: el primero con relación á los ejes x, y, z; el segundo con relación á los ejes r, 9, z, porque también la 9 y la z per- manecerán invariables. ) dw 80 Ta Como tenemos dw = dW, dividiendo el pri- Mr en mer miembro por dy y el segundo por su igual rd0, se ob-. tendrá: Me E dw 1 dW ; Lor cada de y Falo Si el punto se mueve sobre el eje de las y, ó sea de las f, el primer miembro será la diferencial parcial de w con rela- ción á y; pero en este caso, la z y la r permanecen constan- tes; luego el segundo miembro es la derivada de W con re- lación á 0. 4 Ñ : ¡ bl . — 89 — dw ni DA s : 9.* aa Consideraciones exactamente iguales á las Z anteriores nos demuestran que CAS (e. dz dz Tenemos, pues, expresadas todas las derivadas parciales de u, v, w con relación á x, y, z, en función de derivadas parciales de U, V, W con relación á r, 9, 2, que era el pro- blema que nos habíamos propuesto resolver con el fin de substituir las primeras por las segundas en los valores de las componentes de la tensión p. Resumiendo en un cuadro las nueve fórmulas marcadas con las letras a, b, c, podremos escribir: de _ dU Ao midi dad di y poa r a da ide? R My A o da a dy EL de dz du dw dU dwW o E Nr E a O, dx E r de r que-son precisamente las cantidades que entran en los valo res de p. Si quisiéramos expresar la dilatación cúbica en función de las nuevas coordenadas, no habría más que substituir en du dv dw O ; : du dv dw en vez de las derivadas parciales ——, ——, —— Sus va- AENA lores tomados del cuadro anterior. Llamando 06. la dilatación cúbica expresada en las nuevas coordenadas cilíndricas, y por ser dicha dilatación cúbica invariable, é independiente de las coordenadas que se elijan, de modo que 6 = 0,, ten- dremos: dU LV. U dW pa da Ea vit Es y dr y r “d0 mE y + dz + * Para obtener las tensiones p por unidad de superficie, sobre las superficies del sistema cilíndrico que pasan por un punto M, y para dicho punto, no habrá más que substituir en / E du : dv = /M + 2 —-; = WM +24 —; Prr + 2p de Pe + 2p dy dw Pa =M + 24 —; dz a dw nl E Es al ten dy O AAA E dz dx )' dv du pre de == dy ) los valores de las derivadas parciales de u, v, w con relación á Xx, y, z, tomadas del cuadro anterior en función de las de- rivadas parciales de U, V, W con relación á v, 0, z, y re- sultará: dU Prr =00. + 2y. ua ) e O V a 24. dv A a ls E O ES y LA dz NEON Ae pa = (3 A Ma) AM a a WA A dv Lh ¡dur V as Ro la) Estas fórmulas son las mismas de M. Resal, cuyo tratado hemos tomado por guía en este punto de las coordenadas cilíndricas, pero con signo contrario. Se explica tal diferencia, porque nosotros consideramos como positivas las tracciones, y parece que M. Resal consi- dera las presiones como positivas. - Si quisiéramos desarrollar por completo las fórmulas pre- cedentes, de manera que sólo entrasen derivadas parciales de U, V, W con relación á r, 0, z, no había más que subs- tituir por 6. su valor ya obtenido. En la conferencia próxima determinaremos las condicio- nes de equilibrio del sólido elemental en coordenadas cilín- dricas. RO y 0 IV. —Nuevo método para determinar el diámetro del planeta Venus. Por VICENTE VENTOSA. Este hermoso planeta, que por su aida resplan- dor ha cautivado en todas épocas la atención hasta de las personas menos habituadas á levantar los ojos al Cielo, re- serva todavía á los astrónomos muchos y difíciles problemas que están por resolver. Aunque éste astro sea de tamaño poco inferior al de la Tierra, y el que á ella más se acerca en ciertas ocasiones (*), desconórcense casi totalmente las condiciones topográficas de su superficie, á lo que coadyuva la presencia de la densa atmósfera que le rodea, y el tiempo que el planeta emplea en girar sobre su eje continua siendo objeto de grandes controversias, por la discordancia de los resultados de la observación, basada, por junto, en la vaga determinación de los movimientos de ciertas manchas ó irre- gularidades poco definidas que á veces con dificultad se vis- lumbran dentro del disco ó en su borde, cuya figura apa- rente tampoco está bastante estudiada. Los trabajos de los primeros observadores daban para la rotación de Venus una duración muy parecida á la de nues- tro globo, que Schróter fijó en unas 23 horas y 21 minu- tos; valor que fué sin discusión aceptado y admitido como bueno, hasta que el ilustre astrónomo de Milán, el señor Schiaparelli, como resultado de sus propias observaciones, creyó poder afirmar en 1889 que dicho planeta presentaba siempre, cual sucede á la Luna con relación á la Tierra, la misma cara al Sol, de manera, que el período de rotación de Venus debía coincidir con el de su revolución, ó cum- (*) Salvo la Luna y el asteróide Eros, OR plirse en unos 225 días. Mas, á pesar de la autoridad indis- cutible del Sr. Schiaparelli, los astrónomos no se han puesto de acuerdo, y la cuestión permanece todavía indecisa y pa- rece difícil llegar á solucionarla en breve término. M. Bouquet de la Grye, en un interesante artículo publi- cado en el Annuaire du Bureau des Longitudes para 1907, afirma que si en la figura aparentemente circular del disco de Venus se pudiera evidenciar la existencia en determinado sentido de un achatamiento susceptible de medida, éste sólo podría ser producido por la rotación del planeta, de cuya velocidad daría alguna idea, así como de la situación del eje de giro. M. Bouquet pasa revista y discute los resultados hasta ahora obtenidos por diversos procedimientos para el valor del diámetro angular de Venus y las deducciones consiguien- tes acerca de su rotación tan debatida. Pone además de re- lieve las graves dificultades que en la práctica 'se encuen- tran para la resolución satisfactoria de estos problemas, de las cuales, quizá la más importante, procede de las grandes variaciones que el diámetro y las fases del planeta experi- mentan durante cada revolución sinódica, con circunstancias verdaderamente desfavorables para la precisión de los resul- tados. Con efecto, en las conjunciones superiores de Venus, éste se presenta á la vista redondo y perfectamente iluminado; la la fase sería, por tanto, muy apropiada para medir el diáme- tro en todas direcciones alrededor del disco, y de aquí dedu- cir el valor del achatamiento; pero entonces Venus está á la mayor distancia posible de la Tierra, y su diámetro apenas excede de 10”, cantidad tan pequeña, que los errores inevi- tables de mensuración, puesto que sólo se trata de hallar di- ferencias, que á lo sumo pueden valer algunas centésimas de segundo de arco, harían perfectamente ilusorio el resultado que obtuviéramos. Cuando Venus se halla cerca de las cua- draturas, su brillo aumenta notablemente y su diámetro crece también, duplicando casi de valor; mas en esta fase, la me- Ae y UC dición del mismo sólo es posible en una dirección, circuns- tancia que basta para invalidar las condiciones favorables indicadas. HóMe9ua 8l y Queda, al parecer, como el mejor y casi único recurso, aprovechar los momentos 'en que se verifican los pasos de Venus por el disco solar, durante los cuales el planeta se proyecta obscuro sobre un fondo de brillantez deslumbrado- ra, perfectamente redondo y del mayor tamaño posible, al- canzando entonces el diámetro su máximo valor, de 60”, poco más ó menos. M. Bouquet examina particularmente en su artículo los resultados de la observación del paso de Venus en 1882, hecha en la ciudad de Puebla (Méjico), á una alti- tud de 2.300 metros y con tiempo inmejorable. De este exa- men cree poder concluir que Venus tiene una figura esferoi- dal, con achatamiento superior al de la Tierra, pareciéndole imposible que á tal achatamiento, cualquiera que sea su valor exacto, no corresponda una rotación alrededor de un eje casi perpendicular á la eclíptica, conforme indican las me- diciones efectuadas. En resumen, M. Bouquet inclínase á dar por cierto que Venus posee una rotación análoga á la de nuestro globo. | Dejando aparte estas conclusiones, que sólo citamos por convenir á nuestro propósito, lo que se ve claramente es que, si bien los pasos de Venus ofrecen ventajas indudables so- bre los demás métodos ideados y puestos en práctica para medir el diámetro y determinar la figura del planeta, ocu- rren tan de tarde en tarde, que no se debe esperar que la Ciencia saque de ellos gran provecho para resolver estos pro- blemas. En efecto, el último paso de Vénus se verificó en el año 1882, y hasta el 2004 no ocurrirá el próximo. No es, pues, aventurado el asegurar que casi ninguno de los actua- les vivientes podrá disfrutar, si no ha disfrutado ya, de tan bello espectáculo. ¿No podrían utilizarse para el mismo fin todas las conjun- ciones inferiores de Venus? Tal es la idea que motiva el pre- OR sente articulo, y que, dada la insuficiencia de los medios de información actualmente á nuestro alcance, ignoramos si es mueva Ó ha sido ya dada á conocer; mas por si se la juzga útil y factible, vamos á exponerla á continuación brevemente. En los días inmediatos, anteriores y posteriores, á la con- junción inferior, Venus, visto con auxilio de un anteojo, se presenta en forma de filete ó segmento luminoso semicircu- lar y muy delgado, cuyas puntas ó cuernos pueden servir para determinar la magnitud del diámetro del planeta en una sola posición, midiendo con un micrómetro la distancia que aparentemente los separa, Pero el hecho que, á juicio nues- tro, merece fijar la atención de los astrónomos en este caso especial, es que, conforme Venus avanza con relación al Sol, en el intervalo de pocos días el ángulo de posición del filete luminoso varía con rapidez, de manera que, repitiendo las operaciones de mensuración en varios días consecutivos, será posible obtener el valor del diámetro er diferentes posi- ciones alrededor del disco, casi como durante los pasos de Venus. Obrando así, claro es que las medidas no podrán ser simultáneas, pero el error que de proceder de este modo se cometiera, sería probablemente pequeño, comparándole con la facultad de medir el diámetro en su máxima magnitud aparente y en tan gran número de direcciones como se desee, sin que las condiciones de visibilidad del planeta varíen ape- nas de un día á otro. Además, el filete luminoso se destaca perfectamente por su brillo del fondo en que se proyecta, y es siempre visible por muy cercano que esté Venus al Sol. Con este procedimiento es de esperar que se llegará á deter- minar el achatamiento y las irregularidades de figura del disco, algunas de las cuales han sido ya señaladas. Otra ventaja considerable es que las operaciones podrán repe- tirse al término de cada revolución sinódica, ó cada diez y nueve meses próximamente, y ocupando el planeta distintos lugares en su órbita. Desde ahora, hasta el año 2004, será posible aplicar el método propuesto 60 veces. Bi Precisemos las ideas. Sean S el Sol; MT y. NV, respecti- vamente, las intersecciones del plano de la eclíptica y del de la órbita de Venus con una esfera de radio arbitrario cuyo centro sea el Sol; T y V las proyecciones de la Tierra y de Venus sobre la misma esfera en un instante dado. Tracemos desde V los arcos de círculo máximo VT y VP, siendo el | 1 Ú y Jl 1 | l 1 | | | P último perpendicular á la eclíptica. El arco VP expresará, por tanto, la latitud heliocéntrica b del planeta, y el PT la diferencia L —I de las longitudes heliocéntricas de la Tierra y Venus, Supónese nula, en atención á su pequeñez, la latitud heliocéntrica de la Tierra. Entonces el triángulo esférico rec- tángulo VPT dará para el ángulo VTP = T la siguiente fórmula: cot T= Cot b sen (L-1). Obsérvese ahora que el plano ST V, cuya inclinación so- bre el de la eclíptica tiene por medida el ángulo T, represen- ta el plano de simetría del segmento luminoso de Venus, y es, en consecuencia, perpendicular al diámetro que une las -puntas ó cuernos del mismo segmento, de manera que el valor de T podrá servir para determinar el ángulo de posi- ción del indicado diámetro. | Para dar una idea de la rapidez de las variaciones del án- gulo T en estas circunstancias, eligiremos, como ejemplo, SL E las últimas conjunciones inferiores, correspondientes á los años 1906 y 1908. Los valores numéricos de b y L- 1, con- signados en el siguiente cuadro, refiérense al mediodía me- dio del Observatorio de San Fernando, y están tomados del Almanaque Náutico: b HAT AT 1996 No 2 a. UA a 12 Bo ENTES —046 +136 3344 — ¿% 28: dB IÁMOn 014 siii! 326] Lo PE 035 4024 304,4 5” a. aa E 2482 o E pda laicas 024 047 207,0 Tie panela 0:18 —12 192,4 % e 012 158 1858 =22 AIN 0 LOA 22085) 182,2 1908 o AT 300 Jal -12. 4139 320,3 =5*% IT -=12.+1,1, 3080 21 p ld —132 40.23 284,0 298 eo O O SD LAO VB O O A der OMT oO ESO Ounae TO aa o pos AS A 216) 1 Se ve, por los números que anteceden, que en cinco días la variación de T ascendió á 142” en 1906, desde el 27 de Noviembre hasta el 2 de Diciembre, y á 90” nada más en 1908, del 3 al 8 de Julio. El ser más rápida la variación en 1906, procede de ser más pequeña la latitud de Venus, cuyo paso por el nodo ascendente sucedió el 5 de Diciembre, esto es, seis días después de la conjunción inferior, mientras que en 1908 el paso del planeta por el nodo descendente había ocurrido diez y ocho días antes de la conjunción, ó sea el 18 de Junio. De aquí parece desprenderse que no todas las conjunciones son igualmente eficaces, sin embargo de lo Ruv. Aca. Ciencias.—VII.— Julio, Agosto y Septiembre, rgo8, 7 en (Qt? éual, opinamos que en todas la variación de T ha de ser bastante rápida para la resolución provechosa del problema que perseguimos. Téngase en cuenta, además, que en el intervalo de 8 años hay 5' revoluciones sinódicas de Venus casi exactas (*), y, en consecuencia, que las condiciones del problema se reproducen ó vuelven á ser casi las mismas al cabo de este intervalo, por lo menos durante mucho tiempo. No desconocemos que, cuando se trate de poner en prác- tica el nuevo método, han de presentarse graves dificultades, nacidas, en primer término, de la proximidad aparente de Venus al Sol; circunstancia que, por el caldeamiento consi- guiente del aire exterior y del que circula dentro del tubo del anteojo, ha de producir en la imagen del planeta una especie de trepidación muy perjudicial para la precisión de los resul- tados. Habrá también que luchar con el efecto de la irradia- ción del limbo de Venus fuertemente iluminado; con el esta- do de transparencia del cielo, variable de un día á otro; con la presencia de la atmósfera del planeta, y con otras que sería prolijo enumerar. Abrigamos, no obstante, la esperanza de que tales dificultades (inherentes, por lo demás, en gran parte á muchas observaciones astronómicas) podrán vencer- se, si se atiende á los grandes progresos que el arte de ob- servar ha realizado en estos últimos años, y eligiendo, para efectuar estas delicadas observaciones, lugares situados á erandes altitudes y en latitudes convenientes, y que disfruten de cielo excepcionalmente puro, conforme ahora, con el fin de evitar la nociva influencia de la atmóstera, se recomienda eficazmente para aquellos trabajos astronómicos que, por su índole especial, exigen minuciosas precauciones en su ejecu- ción (+). (*) La diferencia entre ambos periodos no llega á tres días. (**) En el observatorio de Madrid, cuya altitud es de 655 metros sobre el nivel del mar, tuvimos numerosas ocasiones de observar á Venus en su conjunción inferior, y en no pocas la imagen del planeta se presentó tranquila y bien definida. | | y ] j : dci — 09 — Por otra parte, en medio de estas desventajas, como se tiene la facultad de comprobar frecuentemente los resultados de la experiencia aplicando el nuevo método, nada se per- derá con ensayarlo. En la confianza de que así suceda, po- nemos á continuación una eteméride para la próxima con- junción inferior de Venus, que se verificará en el mes de Febrero de 1910, calculada con datos tomados de la Con- naissance du Temps. b DE) T AT 1910 Febr. Ónnmacor» 42951" 439428 38798 506 a ES RS SiOEIa: E O e CA 30 0 EE) ARS e LO . A praia A E PRIISE. A AN A e E e 312 Miedo sd A TA 315 -227 126,9 5” MBA NÓLE, EN ER A O e , Aun en este caso, uno de los de más lenta variación de T que puede haber, en los doce días que abarca esta efeméride, la variación total asciende á 95”, ó excede de un cuadrante. — 100 — V.—Investigación analítica de los cloratos. —Grene- ralización á muchos oxidantes. — Colorimetria de los cloratos. POR JUAN FAGES VIRGILI. Las reacciones que se utilizan en la práctica para la inves- tigación de los cloratos son, en el fondo, tan sólo tres, cono- cidas de antiguo, y dos de ellas consignadas claramente en el Tratado clásico de H. Rose. Consiste una en reducir los cloratos á cloruros y deducir de la presencia de éstos la de aquéllos. Se practica la reduc- ción, ó fundiendo el clorato solo, ó con cuerpos que faciliten la reducción, Ó por vía húmeda, con reductores variados, en líquido ácido ó alcalino, en frío, Ó, más generalmente, con larga ebullición. Los reductores más usados en el procedi- miento de vía húmeda son el polvo de cinc, cobreado ó no, las sales ferrosas y los nitritos. Los percloratos son también reducidos por calcinación, pero no por vía húmeda; estor- ban, pues, sólo en el primer caso. Los cloruros, otros com- puestos de cloro (ó de bromo y yodo), y aquellos que preci- pitan con el nitrato argéntico en solución ácida (ferrocianu- ros, etc.), estorban en todo caso y deben ser destruidos ó eli- minados previamente. Esto constituye un enojoso entorpeci- miento para este procedimiento en unos casos, y en otros una difiqultad que puede hacerle inaplicable. Son, en cambio, sus ventajas, el poderse utilizar en presencia de nitratos y nitritos, y de substancias orgánicas si se opera por vía húme- da. Es muy frecuente investigar los cloratos por este proce- dimiento. Otra reacción usada, pero mucho menos, para esta inves- tigación, consiste en reducir parcialmente el clorato en solu ción sulfúrica débil y en presencia del añil, con el ácido :sul- furoso. La inalterabilidad del añil antes de añadir el ácido A AT A PARAR IA — 101 — sulfuroso, y la decoloración, en cambio, después de añadir- le, es característica para los cloratos y constituye esto la ventaja de esta reacción, junto con la amplitud de su aplica- ción posible. Los inconvenientes son: la dificultad de practi- carla bien; pues un exceso de ácido sulfuroso reduce total- mente el C/O¿H á C/H, que no decolora el añil, y es muy fácil excederse cuando el clorato es muy escaso; la presen- cia de cuerpos como el cloro, bromo, hipocloritos, nitritos, etcétera, que en solución ácida decoloran el añil, y, finalmen- te, la de cuerpos reductores enérgicos que en líquido ácido convierten el C/O.H en C/H antes de adicionar el ácido sulfuroso. La tercera reacción es la más específica. Al clorato sólido, Óó á pocas gotas de su disolución, se añade ácido sulfúrico puro, concentrado: en el acto, ó más ó menos pronto, según la cantidad de clorato, la mezcla se pone amarilla y despide un olor intenso especial, debidos aquel color y este olor al peróxido de cloro producido. Sólo los cloratos poseen esta propiedad, y, en consecuencia, esta antigua reacción es tan específica, que ninguna de las modernas la iguala, y menos la supera, en este sentido. Un exceso de previsión y de pru- dencia hace advertir á casi todos los autores que debe ope- rarse con pequeñas cantidades de clorato, por ser explosivo el cuerpo amarillo. La indicación es exagerada, pues á las dosis en que se opera ordinariamente en análisis no ocurren tales explosiones, y además engaña el aviso á los princi- piantes que deducen, con bastante lógica, que es una reac- ción poco sensible. No es cierto; es reacción muy sensible y no es forzoso practicarla con el clorato sólido, como de or- dinario se dice; basta que el volumen de la solución sea bas- tante escaso, para que la dilución del ácido sulfúrico, adicio- nado luego, resulte exigua é insignificante el calor despren- dido. Si no aparece el color y el olor en seguida, no tardarán en manifestarse uno y otro, aun con menos de 0,0001 gr. de clorato. — 102 — El inconveniente de la reacción está en lo pálido del co-: lor, confundible con el que naturalmente tenga ya el proble- ma, Ó pueda resultar de la adición del ácido sulfúrico sin haber clorato: está también, en que no todos los químicos, ó no siempre, perciben bien los olores: está, sobre todo, en que el ácido sulfúrico concentrado actúa enérgicamente sobre muchos cuerpos ó mezclas de cuerpos, produciendo colores, tal vez intensos, ó abundante desprendimiento de gases, que impiden ver y oler el peróxido de cloro. Canti- dades algo grandes de cloruros, bromuros, yoduros, nitratos, nitritos, etc., ó mezclas de estos cuerpos, aun no abundan- do, impiden esta reacción. Las substancias orgánicas au- mentan mucho la posibilidad de las temidas explosiones, y muchas de ellas, con ó sin explosión, destruyen el peróxido: de cloro, apoderándose del cloro ó del oxígeno, y no que- dando libre, ni puede aparecer color ni percibirse el carac- terístico olor, aunque haya cloratos. Los reactivos propuestos más modernamente para carac- terizar los cloratos, se derivan del anterior, casi todos, en cuanto requieren también ácido sulfúrico puro ó muy con- centrado. Conservan en consecuencia muchos de sus incon- venientes y aun pierden como especificos lo que tal vez ganen en sensibilidad, al substituir el examen inmediato del peróxido de cloro producido por el de un colorante engen- drado por este compuesto, más intenso, seguramente, pero que de igual ó diferente color le pueden originar otros mu- chos oxidantes. El número de cuerpos capaces de colorear soluciones sulfúricas de brucina, de difenilamina, de anilina, de resorcina Ó de mezclas de estos cuerpos es muy grande, y entre ellos están los nitratos ó los nitritos, Ó mezclas de ellos con cloruros, caso muy frecuente, y los vapores ni- trosos, que casi siempre contiene el ácido sulfúrico. De estas reacciones, relativamente modernas, propuestas, al parecer, para mejorar la clásica, es seguramente la más usada la de la anilina en solución sulfúrica propuesta por Bút- — 103 — tger y también por Vitali. La coloración azul que produce con los cloratos es muy intensa, no contundible con el color que naturalmente tienen muchas disoluciones, y no se colo- rea con los nitratos puros. Pero indudablemente es menos especifica, pues producen igual ó distinta coloración intensa otros muchos cuerpos ó mezclas, como la de cloruros y ni- tratos; de modo que so vastantes más los que pueden es- torbar Ó confundir que empleando el ácido sulfúrico sólo. Deseando eliminar el empleo del ácido sulfúrico en la in- vestigación de los cloratos, difícilmente utilizable en presen- cia de cloruros ó nitratos, y, sobre todo, de mezclas de am- bos, así como en presencia de substancias Orgánicas, casos todos muy frecuentes en la práctica, propuse en 1900 (*) una solución fuertemente nítrica de estrignina como reactivo de los cloratos (y bromatos), por la intensa coloración roja que con ellos adquiere. La reacción es evidentemente aplicable en presencia de los nitratos; no la dan los yodatos ni percloratos, ni los ni- tritos y los cloruros; no estorban aquéllos, en ningún caso, la investigación de los cloratos, y los nitritos y los cloruros sólo cuando predominan. Puede también utilizarse este re- activo en presencia de substancias orgánicas, que es cuando menos conviene el empleo del ácido sulfúrico, y sólo tiene el inconveniente de ser algo caro para uso corriente y no aplicarse con buen resultado cuando abundan los cloruros, que es caso bastante frecuente. Para los casos más usuales, y en especial para investigar los cloratos en presencia de los cloruros, presenté en 1903, en colaboración con el Sr. Laffitte, una nota proponiendo otro reactivo consistente en agua de anilina y ácido clorhídri- co de 1.19 D., que, adicionados sucesivamente en igual vo- (*) Annal. de Chim. Analyt., 1900, 441, París. — 104 — lumen y en este orden sobre el clorato sólido 6 á pocas go- tas de su disolución, producen coloraciones intensas. La fácil alterabilidad del agua de anilina y el calor des- arrollado al añadir el ácido clorhídrico concentrado, que per- turba la reacción disminuyendo su sensibilidad, me ha hecho modificar el reactivo, conservando su fundamento, reducien- do la práctica al empleo de un sólo líquido, fácil de prepa- rar, que se conserva indefinidamente, que no origina perjudi- cial elevación de temperatura y que reconoce mínimas canti- dades de cloratos con gran sencillez y sin dudas ni vacilacio- nes en los resultados. El reactivo que ahora propongo es éste: Acido clorhídrico de 1.12 D, puro..... 1.000 c.c. Clorhidrato de anilina........... dede 50 gr. Conviene emplear clorhidrato de anilina puro para que su solución sea incolora. Con frecuencia el producto comercial, aun de fábricas muy acreditadas y anunciado como puro, da soluciones algo coloreadas en amarillo verdoso. Si no se dispone de otro clorhidrato que el técnico, conviene elegir los pedazos más blancos, abandonar la disolución clorhídri- ca veinticuatro horas, y filtrarla ó decantarla para separar los copos verde-azulados que tal vez se hayan formado. Una solución algo coloreada sirve todavía para muchos casos; pero para pequeñísimas cantidades de clorato ó para las aplicaciones cuantitativas hay que emplear soluciones in- coloras. En algunos casos particulares es preferible esta otra di- solución: j Acido clorhídrico de 1.145 D. (*) ..... 1.800 c. c. elormdaratode ams: A 50 gr., que sólo se distingue de la anterior por la concentración del ácido clorhídrico. Advierto que añadiendo á 100 c. c. de B (*) Se prepara con 754 c. c. de CIH de 1.19 y 246 c. 2 de agua. — 105 — 25 c. c. de agua, se obtiene la solución 4, algo empobrecida en clorhidrato de anilina, pero que sirve igualmente en la práctica. : : Al mezclar B con una solución acuosa hay todavía sensi- ble desarrollo de calor: con la solución A, la elevación de temperatura es insignificante. Me apresuro á confesar que este reactivo no es tan espe- cífico para los cloratos como la solución nítrica de estrignina, como no lo es tampoco la solución sulfúrica de anilina pro- puesta por Búttger y por Vitali. En realidad, es específico del cloro y, por lo tanto, de todos los cuerpos que con ácido clorhídrico, de 1.12 ó de 1,145 de p. e., desprenden cloro en frío. Como son muchos los cuerpos oxidantes de esta condi- ción, recomiendo este reactivo como general de muchos 0xi-- dantes, y como es perfectamente conservable, de prepara- ción muy sencilla, barato y de uso muy cómodo, encarezco su empleo como reactivo de uso frecuente y sensible. Puede formar parte de la colección de reactivos, donde lo ten- go yo, y resolver con él pronto, la ausencia Ó presencia de un gran número de oxidantes en una mezcla sólida ó en una disolución, más fácilmente que con el añil, ó el engrudo de almidón y yoduro potásico, ó las soluciones sulfúricas de brucina y de difenilamina; reactivos de manejo mas deli- cado y mas alterables, que pueden reservarse para casos más especiales, en particular los últimos, para nitritos y nitratos que precisamente no dan coloraciones con las soluciones A ó B, ni impiden con su presencia las que originen los otros oxidantes. Considero, sin embargo, la solución clorhidrica de clorhi- drato de anilina, como reactivo de aplicación especial á los cloratos, porque permite investigarlos directamente, mejor que con reactivos sulfúricos, en la mayoria de casos que ofrece la práctica, que son en presencia de cloruros, de ni- tratos, de nitritos y de substancias orgánicas (análisis de los — 106 — nitros, pólvoras, explosivos, pastas fosfóricas, medicamen-" tos, y, en ciertas condiciones, en orinas, etc.) y, con poca preparacion del problema, en los cloruros decolorantes y en las soluciones resultantes de la fabricación de los cloratos. Modo de operar.—Se pone en un tubo, de una gota á 1 c.c. de la solución Ó de un granito de la materia sólida, hasta un gramo, según la proporción de clorato ó, en ge- neral, de oxidante existente: se añade desde 1 c. c. has- ta 4 c. c. de la solución A, según la cantidad de problema, sólido ó liquido. Aparece en el acto, ó más ó menos pronto, según el oxidante y su cantidad, una coloración morada, que pasa rapidamente á azul progresivamente intenso, pali- dece con el tiempo y precipita copos verde azulados más tarde. Si el problema es una disolución, no conviene añadir menos de cuatro veces su volumen del reactivo A. El reactivo B se usa de la misma manera y las coloracio- nes que origina son análogas; pero las primeras son más intensas; las variaciones, más rápidas, y el color final, más: pálido. Conviene la solución B para los oxidantes que con más dificultad desprenden cloro ó para las soluciones que por ser muy diluidas hay que examinarlas en cantidad algo grande. Sensibilidad. —Excepto en el caso de cloro libre, las colo- raciones citadas las produce el cloro del ácido clorhídrico, que queda libre por la acción del oxidante. En consecuencia, la sensibilidad de la reacción depende de la cantidad de cloro puesta en libertad, y ésta, á su vez, del oxígeno activo del oxidante, á unidad de peso, que depende de su composi- ción. Los cuerpos de peso molecular pequeño con relación á su oxígeno disponible serán los de reconocimiento más sen- sible, por ejemplo, los cloratos, que siendo alcalinos des- prenderán 3 CI, por molécula y el peso de ésta no es gran- de. Así se reconocen muy cómodamente 0,00002: gr. de clorato potásico y 0,000007 gr. con alguna costumbre. Depende además, la sensibilidad, del modo de operar: es nicas — 107 — naturalmente mayor cuanto menor es el volumen final de la mezcla. Para cantidades muy pequeñas de oxidante disuelto conviene operar con pocas gotas de la solución, concentrada - si es posible, mejor que con 1 ó más c. c. de solución, aun conteniendo éstos mayor cantidad de oxidante. El reactivo B es algo más sensible que el A; pero si hay poco oxidante, la coloración es más fugaz, hay que tener más costumbre para apreciarla y es conveniente enfriar en segui- da la mezcla sumergiendo el tubo en agua fría. Casos de aplicación. — Respecto al modo como se condu- cen con este reactivo, forman los cuerpos, en general, estos tres grupos: 1, Cuerpos que dan la reacción. — Cloro, hipocloritos, cloratos, hipobromitos, bromatos, yodatos, peróxidos de hidrógeno, de sodio, de bario, de manganeso, de plomo; cromatos y dicromatos; manganatos y permanganatos; va- nadatos, ferricianuros: persales. 2.” Cuerpos que no dan la reacción ni modifican con su presencia la de los del grupo primero. — Carbón, azufre, fós- foro, cloruros, percloratos, sulfatos, fosfatos y sales estables análogas; sales férricas y áuricas (mientras no estorben por su color), nitratos, nitritos en pequeña proporción, ácido ní- trico de 1.20 D, Óó de menor concentración; compuestos ni- trados (nitrotoluenos): arseniatos, molibdatos, tungstatos, titanatos, ferrocianuros: acetatos, citratos, tartratos, sacarosa y un gran número de substancias orgánicas de acción reduc- tora débil ó menos fáciles de clorar que la anilina. 3.” Cuerpos que no dan la reacción pero impiden 6 difi- cultan la de los del grupo primero. — Todos los reductores enérgicos que peroxidados no dan cloro con el ácido clor- hídrico, como sales ferrosas, arsenitos, sulfitos, etc., com- puestos orgánicos muy reductores ó más facilmente clorables que la anilina (algunas substancias fenólicas, cromógenos de la orina, algunos productos de la putrefacción, etc.): el bro- mo, el yodo, los bromuros y los yoduros, abundantes nitritos; — 108 — cuerpos que por su intenso color Ó por ser complementa del azul no permiten ver el de la reacción. Observaciones.—La mayoría de los cuerpos que figuran en el grupo primero dan la reacción en el acto ó muy pron- to, aun en cantidades bastante pequeñas. Con el agua oxigenada, algunos peróxidos (de sodio, de bario) y algunas persales, no aparece la coloración, sino lentamente, á veces muy lentamente, progresando su inten- sidad paulatinamente hasta ser tan fuerte como con los cuet- pos que la dan en el acto. Con estos cuerpos y, en especial, con el agua oxigenada, que no conviene tratar de concentrar por evaporación, es preferible emplear el reactivo B. El modo de conducirse los peróxidos citados, tan análogo al del agua oxigenada, parece indicar que lo primero que originan con el reactivo es peróxido de hidrógeno, y luego éste reacciona lentamente con el ácido clorhídrico, dando el cloro causante de la coloración. | Recomiendo especialmente el reactivo, sobre todo, el B, para investigar el peróxido de hidrógeno; pues descubre can- tidades bastante pequeñas, con mucha más facilidad que la solución crómica y el éter, aunque es menos característico. Peró insisto en que la coloración puede tardar mucho (más de media hora) en aparecer, sobre todo si es muy diluída la so- lución del agua oxigenada. Se opera con 1 c.c. del agua oxigenada y 4 c.c. del reactivo B. La coloración, en este caso, como en los análogos, se aprecia mucho mejor sobre blanco. En una nota próxima daré una reacción, también muy sen- cilla y muy sensible, del agua oxigenada, tampoco especiti- ca, pero aplicable en muchos casos. El ácido nítrico de 1.20 de D. no da la reacción con el reactivo A. Con la solución B aparece muy lentamente una débil coloración, cuya persistencia, sin aumentar apenas la intensidad, revela una producción lentísima y constante de cloro; pero no impide reconocer los cloratos y demás oxi- — 109 — dantes que dan la coloración en el acto ó casi en el acto, y sólo podría motivar dudas en el reconocimiento de peque- ñas cantidades de peróxido de hidrógeno en presencia de mucho ácido nítrico. Los nitratos, aun en gran cantidad, incluso aquellos (NO, Na,NO, A g) que con el ácido clorhídrico algo concentrado producen cloruros y ácido nítrico libre, no dan la reacción si se opera con soluciones. Con nitratos sólidos, de los citados, el ácido nítrico que queda libre reacciona len- tamente con el ácido clorhídrico de 1.12 ó el más concentra- do, de las soluciones A y B, y al cabo de media hora se ini- cia una débil coloración, que es franca á la hora próxima- mente. No puede, pues, confundirse con la coloración que dan los otros oxidantes; y como operando con soluciones, el ácido clorhídrico del reactivo pierde en concentración, no aparece en tal caso coloración alguna y desaparece toda duda. El reactivo permite distinguir, fácilmente, los vanadatos, que dan la reacción de los molibdatos, y tungitatos, que no la dan, y es muy sensible para aquéllos. El bromo no da la coloración, pero actúa sobre la anilina, dando el bromuro correspondiente que, si no es muy escaso, enturbia el líquido. Su presencia abundante disminuye por esta causa la sensibilidad de la reacción que dan los cuerpos del grupo primero, y en todo caso, tal vez, por la formación: de cloruro de bromo. El yodo no da la reacción, ni actúa sobre el reactivo. Es- torba por su color y por la formación de cloruro de yodo. El modo de conducirse el bromo y el yodo con el reactivo, explica que la reacción, con los bromatos y los yodatos, sea menos sensible que con los cloratos á igual número de mo- léculas reaccionantes, y que los bromuros y los yoduros disminuyan la sensibilidad de la reacción siempre y la evi- ten del todo si están en proporción suficiente. En efecto; en todo caso se puede suponer que la reacción: — 110 — se verifica por la acción reductora del ácido clorhídrico so- bre el oxidante. Por cada átomo de oxígeno activo del oxi- dante quedarán libres, en último término, dos átomos de cloro que podrán actuar sobre el clorhidrato de anilina, si no hay otro cuerpo que preferentemente los solicite. En con- secuencia, los cloratos, bromatos y yodatos que tienen 3 áto- mos de oxígeno activo dejarán libres 6 átomos de cloro, quedando aquellas sales reducidas á cloruros, bromuros y yoduros respectivamente: C10 48 01H =501R AS HO e 8Cle, HOR E GEI BARA SEO En TO, ROUCO =TR" 1-30 SCI En el caso de los cloratos, los 6 átomos de cloro podrán actuar sobre la anilina, si no hay otros cuerpos que lo im- pidan; pero en el de los bromatos ó yodatos, aun en solu- ciones puras, no actuarán más que 5, porque el sexto actua- rá sobre la molécula de bromuro, ó respectivamente yoduro, formada para producir cloruro y bromo ó yodo, que ni uno ni otro dan coloración al clorhidrato de anilina. Si, antes de adicionar el reactivo,.el problema ya tiene bromuros ó yoduros, aun en el caso de los cloratos y en todos en los que es aplicable la reacción, ocurrirá la misma ó mayor pérdida de cloro, disminuyendo la sensibilidad de la reacción y anulándola por completo, si para cada átomo de cloro hipotéticamente libre hay por lo menos una mo- lécula de un bromuro ó yoduro de metal monovalente. - La concordancia entre los hechos y estas interpretaciones conducen á la conclusión, que ya antes expuse, de que el reactivo que propongo es específico del cloro. Los cuerpos que la dan es porque desprenden cloro en las condiciones de la experiencia, incluso el agua oxigenada, y los que no: la dan es porque no originan dicho halógeno en las mismas se Pi condiciones, incluso los nitratos, ácido nítrico de D, inferior á 1,20, y los nitritos. Para confirmar todavia más que no hay reacción colo- reada cuando no hay cloro libre, he preparado una solución análoga á la A, pero con Acida lbramhidrico de 120.10 Bromhidrato de anilina. 'Ni los cloratos, ni los bromatos, ni los yodatos, dan colo- ración azul con este reactivo: con los bromatos aparece si acaso el precipitado blanco de bromuro de anilina, y con los yodatos, el color del yodo libre. De la acción perturbadora de los bromuros y yoduros se deriva una conclusión poco agradable para las aplicaciones prácticas. Así como es muy fácil con la solución A 6 B des- cubrir los cloratos en presencia de cloruros, aun abundando éstos mucho, no es posible reconocer directamente con aqué- llas los bromatos en los bromuros, ni los yodatos en los yo- duros, que son problemas muy frecuentes. En todo caso, para investigar oxidantes con este reactivo, hay que eliminar los bromuros y los yoduros si los hay. No es difícil: adición de nitrato argéntico hasta débil exceso; adición, después, sin filtrar, de cloruro sódico para precipitar el exceso de pla- ta; hervir un poco, filtrar, y al líquido filtrado, concentrado casi á sequedad, si es posible, y frio, adicionar el reacti- vo (+). No es indispensable quitar el exceso de plata; pero el cloruro argéntico que, no haciéndolo, se produce al aña- dir el reactivo de los oxidantes, estorba algo la apreciación del color azul si es débil. De este modo he reconocido có- modamente 0,00005 gr. de clorato potásico en 0,005 gr. de (*) Si para esta investigación se usara solución sulfúrica de ani- lina en lugar del reactivo que propongo, siempre aparecería colora- ción, porque cloruros y nitratos juntos dan color con aquel reactivo. M2 yoduro potásico, ó sea 1 por 100; pero puede reconocerse sin duda 1 por 1.000 siguiendo igual camino, operando con cantidades suficientes de mezcla. : ¿43 Los nitritos mo dan la reacción de los oxidantes con la so- lución clorhídrica de anilina, y no impiden la de los cloratos, sino abundando mucho con relación á éstos. Es sabido que los cloratos son reducidos por el ácido nitroso. A pesar de esto, he podido reconocer que en soluciones diluidas, partes iguales de clorato potásico y de nitrito potásico dan con el reactivo una coloración igualmente intensa que la misma cantidad de clorato puro. Asimismo he podido reconocer el clorato en una mezcla de 0,0001 gr. de éste con 0,005 gr. de nitrito potásico, ó sea 2 por 100. Como es muy raro que en la práctica se presenten mezclas tan abundantes en nitri- to, puede decirse que en los casos ordinarios de aplicación los nitritos no estorban. | | ES Para la determinación cuantitativa de los cloratos, carece- mos de procedimientos francamente buenos; ó son de dudo- sa exactitud, ó son complicados, sobre todo al aplicarlos á los casos que se presentan en la práctica, casi siempre com- plejos, por la presencia de otros oxidantes, especialmente nitratos é hipocloritos, ó la de cloruros y percloratos, ó la de aquéllos y estos cuerpos á la vez. Un procedimiento ya antiguo, pero todavía el más usado, se basa en la reducción de los cloratos á cloruros, v medi- ción de éstos para deducir aquéllos. de - La reducción se practica por simple fusión Ó previa adición de cuerpos que regularicen, faciliten y completen la reducción, ó eviten las pérdidas que origina el desprendi- miento de oxígeno y la volatilidad de los cloruros (*). Son (8 H. Rose: Traité complet. de Chim. analy., É: IL pág. 811: 1862. París. — 113 — dichos cuerpos el carbonato sódico anhidro, el carbonato cálcico, ó el hidrato, ó el óxido cálcico (*), el peróxido de manganeso, el nitrito potásico (**), el azúcar (***), la arena cuarzosa (****) y los sulfitos (*****). Esta forma de practicar la reducción supone la ausencia de toda otra com- binación de cloro (ó de bromo y yodo), y, por lo tanto, su previa eliminación si la hay. Generalmente se opera la reduc- ción en esta forma para determinar el cloro total de una mezcla, y dedúcese por diferencia el de un componente clo- rado de ella, que suele ser el de los cloratos (y percloratos), determinando por otros medios el cloro de los otros com- puestos clorados (cloruros, hipocloritos). En otros casos se practica la reducción por vía húmeda: la lista de reductores utilizados es larga: uno de los más antiguos es el nitrito de plomo en solución diluida nítri- ca (He): Scholtz (EE emplea los nitritos alcalinos: Jannasch (++ el ácido nítrico rojo tumante. También se ha propuesto y usa el sulfato ferroso en líquido ácido, y aun de más antiguo, el sulfato ferroso y la potasa (+++) El reductor más usado hoy, por vía húmeda, es el polvo de cinc, ó el cinc cobreado, ó el par cinc-cobre de Glastonne- Traube, en solución neutra, sulfúrica ó acética del clorato. (*) Pagnoul: Bulletin de la Station Agronomiq. de Pas de Ca- lais, 1898, 3; Methode de l'Etat Belge pour le dosage des perclo- rates. (**) Diettrich: B. S. Ch. P., 1905, pág. 1.435. (+**) Grimbert: Ann. de Chim. Analyt., 1906, pág. 336. (E) Carnot: Traité d'Analyse des Substances minerales, 1898. (4eee*) Lemaitre: Moniteur scientif, 1904, pág. 253. > (eee). H, Toussaint: Analy. Chim. Quanti., por R. Fresenius.— Pellet: V Internationales Kongres fiir Angewandte Chemie, Berich II, página 754, Le nitrate de soude perchloraté. (ere Química farmacéutica del Dr. Schmidt, ed. esp., pág. 612. ESB SAO E: 1900: puLST. (pere) Stelling: Zeit. f. janaly. Chem,, VI, 32. — Fresenius, loc. cit, Rev. Acá4D. Ciencras.—VIT.—Julio, Agosto y Septiembre, 1908. 5 — 114 — Brunner (*) y Brunner y Mellet (**) emplean el persulfató potásico y un cuerpo orgánico, especialmente el formol: B. Griitzner (***) opera la reducción con aldehido fórmico y ácido nítrico, en presencia de nitrato de plata, en vasija cerrada, que calienta media hora en baño de maría. Jan- nasch (+***) y Vitali han estudiado la acción del sulfato de hidroxilamina. La reducción por vía húmeda requiere la ausencia de com- binaciones de bromo y de yodo, y casi todas las del cloro. Los percloratos no estorban, porque no son reducidos, y la materia orgánica, si no abunda, tampoco perjudica en ge- neral. Por esto se aplica este procedimiento, en particular, en presencia de estos cuerpos en que no es aplicable la fu- sión, y si hay cloruros hay que determinar los cloratos por diferencia lo mismo que operando por vía seca. Lo mismo operando por vía seca que por la húmeda, el procedimiento es relativamente exacto si el problema no exige la determinación por diferencia de los cloratos, supues- to que se eliminen con mucho cuidado las causas de error y, en especial, se evite la introducción de cloruros cón los reactivas empleados, en proporción generalmente grande, y que suelen contener cloro incluse el polvo de cinc. Si se ope- ra por diferencia, y es necesario muchas veces, el procedi- miento desmerece mucho, y tanto más, cuanto menor es la di- ferencia teórica de las dos mediciones de cloruros, pues todos los errores afectan á dicha diferencia. Así, en casos algo exagerados, de mucho cloruro y poco clorato, ó nada, no es raro medir cloratos que no existen, ó no medir los que estén en pequeña proporción. Otro método, antiguo, de medición de cloratos es el yo- (*) Journal suisse de Chimie et Pharmacie, 23 avril 1904. (**) Jour. suisse de Chim. et Phar., 15 Febr. 1908. (***) Química farm. del Dr. E. Schmidf., ed. esp., 612. (ER) E ICI: — 115 — dométrico, y, de antiguo también, es discutido. Bunsen (*) calentaba el clorato con ácido clorhídrico concentrado, y los gases desprendidos los dirigia á una solución de yoduro po- tásico, en la forma sabida, determinando luego el yodo li- bre. Es procedimiento bastante usado todavía, aunque más bien se opera en frasco cerrado, conteniendo el ácido, el clorato y el yoduro, que se calienta en baño de maría como ya aconsejó Finkener (**), y previa eliminación del aire con an- hídrido carbónico. Luther y Butter (**) regularizan la acción sobre el yoduro potásico, empleando ácido sulfúrico y una sal de vanadilo. Este método no es aplicable, en presencia de cuerpos que en las mismas condiciones dan cloro, que son muchos, so- bre todo calentando. En tales casos sirve más bien para me- dir la acción oxidante total, para medir por diferencia los eloratos con los mismos posibles inconvenientes del método anterior. Esto es lo que á veces se hace en presencia de ni- tratos ó de hipocloritos. Tampoco es aplicable el procedimiento en presencia de reductores, y es un error, de algunos autores, emplearlo para medir el clorato potásico de la orina y de otros líqui- dos que contienen substancias orgánicas fácilmente oxida- bles ó clorables, como especificaré en otra nota. | Basados también en las acciones oxidantes de los clora- tos, se han propuesto otros métodos, como la ebullición de la solución sulfúrica con sulfato ferroso y medición de la sal férrica producida, ó de la sal ferrosa remanente, previa me- dición de la adicionada. Carnot (+***), especialmente adopta lo último. Desbourdeaux (*****) aplica á los cloratos la vo- (*) Annal. de Chim. u. Phar., LXXXVI, p. 282: Fresenius, loc. cit. (+**) H. Rose: loc. cit. (4) - Zeits. fiir Anal. chem., 1907, p. 521. siii) AN A ? 4) Ann. de Chim. Analy., 1904, pág. 167. — 116 — lumetría del mismo autor para los nitratos, basada en la oxidación del ácido oxálico en solución sulfúrica, en presen- cia del sulfato manganoso, que regulariza la oxidación, y medición del exceso de ácido oxálico que permite calcular el clorato. Cantidades muy pequeñas de clorato se determinan colo- rimétricamente por la coloración amarilla, que con ellos ori- gina el ácido sulfúrico concentrado. No conozco otra colori- metría de los cloratos, ni otra aplicación de ésta, que el en- sayo de los nitros refinados para la preparación de explo- sivos. Durante mucho tiempo he tenido la idea preconcebida de que la coloración azul que dan los cloratos con la solución de clorhidrato de anilina en ácido clorhídrico, que propon- go como reactivo general de oxidantes y especial de clora- tos en los ensayos corrientes de éstos, no podría utilizarse como metódo colorimétrico. Las variaciones del color, con el tiempo, alejaban mi ánimo de hacer un estudio sobre este particular. Sin embargo, no es así y fué error mío tal creen- cia: se puede utilizar esta reacción para las determinaciones cuantitativas, tan bien como otras colorimetrías, y aun me- jor que muchas; pues por una singularidad del reactivo, se puede aplicar á cantidades muy pequeñas de clorato, 0,0001 gr., y á cantidades relativamente grandes, 0,01 gr.; á soluciones que no contengan más que 0,02 gr. de clorato potásico por litro, y á soluciones que contengan 10 gr. por litro. - En efecto; adicionando á volúmenes iguales de soluciones acuosas de concentración distinta en clorato, cuatro veces su volumen del reactivo A, aparece la serie de coloracio- nes características, más ó menos pronto, según la propor- ción de clorato; se suceden las variaciones de color é inten- sidad que he indicado antes; al principio, estas variaciones son bastante rápidas para que el diferente tiempo transcu- ES rs A — 117 — rrido desde que se adicionó el reactivo á cada disolución, por poca que sea tal diferencia, motive intensidades de co- lor que no son proporcionales, en un momento dado, á la concentración de cada disolución, como se necesita para poder comparar. Pero las variaciones son cada vez más lentas, y á los 30 minutos próximamente. lo son tanto, que ya se marca con todo rigor la escala de intensidades en re- lación exacta con las concentraciones correspondientes, y se pueden comparar aquéllas entre sí como en las colorimetrías más cómodas. Sigue, sin embargo, variando el color ó su in- tensidad, pero lentamente y conservándose la gradación del conjunto, hasta que, pasado un tiempo muy superior al ne- cesario para comparar, variable con la concentración y en sentido inverso, empiezan á enturbiarse los líquidos, se hace otra vez difícil la comparación y más tarde, imposible. En la mayoría de casos, el tiempo disponible para poder compa- rar es superior á media hora. La colorimetría es, pues, po- sible. Si se repite la experimentación anterior en todo igual, pero empleando la solución B en lugar de la A, se llega también á una escala colorimétrica útil, pero con estas dos importantes diferencias: 1.*, bastan de 10 á 15 minutos para obtener la escala de colores comparable; 2.*, la coloración final, á igual concentración en clorato, es mucho más pálida. Esta segunda circunstancia es la que permite aplicar la colo- timetría que propongo á concentraciones en clorato de lími- tes tan distanciados. Para cantidades algo grandes de clora- to, se debe emplear forzosamente la solución B, pues con la A resultarían coloraciones demasiado intensas para poder- las comparar. Inversamente, para soluciones muy pobres en clorato debe utilizarse la solución A, pues la B da coloracio- nes finales apenas visibles. Según mis numerosos ensayos, conviene el líquido A para cantidades de clorato potásico com- prendidas entre 0,0001 gr. y 0,0022 er., y el líquido B para las de 0,0005 gr. hasta 0,0070 gr., suponiendo en ambos — 118 — casos que la solución del clorato ocupa 5 c. c. y que se adi- cionan 20 c. c. del reactivo. Para cantidades mayores de clorato, hasta 0,01 gr., hay que operar con 10 c. c. de solu- ción de dicha sal y 40 c. c. del reactivo, forzosamente B. Teniendo costumbre, se puede tambien operar, en este últi- mo caso, con 5 c. c. de solución y 20 c. c. de reactivo; pero es difícil comparar bien por la excesiva intensidad y, sobre todo, porque el liquido se enturbia, precipitándose el colo- rante, tanto más pronto, cuanto más abunda. La causa de ser de diversa intensidad la coloración final, para la misma cantidad de clorato, según se emplee el reac- tivo A 6 el B, es la diferente concentración del ácido clorhí- drico; de donde se deduce que, siendo las soluciones tipos neutras, es necesario que la de clorato que se ensaya también lo sea; de lo contrario, la concentración final en ácido clorhidrico, y, por lo tanto, las coloraciones á igual cantidad de clorato, serían diferentes. En la práctica, las so- luciones de clorato que se ensayan son neutras ó alcalinas; pocas veces ácidas. La adición de ácido acético ó de carbo- nato sódico, hasta casi neutralidad, es necesario, en los dos últimos casos, antes de empezar la colorimetría. | Aunque la concentración del ácido clorhídrico influye en la coloración final, una vez obtenida no la modifica la adic- ción de agua, sino por el hecho de la dilución. En consecuen- cia, se puede practicar la colorimetría de los cloratos, con el reactivo A Ó Bb, por el método de comparación, con una esca- la de soluciones tipos ó por el método de las diluciones sucesivas. de 1." Escala colorimétrica.—Para prepararla es lo mas có- modo tener una solución de clorato potásico puro de 5 gr. por litro. Esta solución es demasiado concentrada para preparar con ella inmediatamente la escala colorimétrica; es preferible en cada caso tomar de ella los c. c. convenientes y agua hasta 100 c. c., para obtener una disolución de dilución apro- “piada para el momento. En cada tubo-se pondrán de esta di- — 119 — solución los c. c. que convenga (que no deben ser mas de 5 en el que mas) y agua hasta ocupar justos 5 c. c. La diferencia en la cantidad de clorato de uno á otro tubo puede ser de 0,0005 gr. para cantidades totales comprendidas entre 0,005 gr. y 0,01 gr.; de 0,00025 gr. desde 0,002 á 0,005 gr., y para cantidades menores, las diferencias pueden ser solamente de 0,0001 gr. La escala así construida se marca muy bien, teniendo costumbre de esta clase de de- terminaciones, y permite apreciar cómodamente 0,0001 gr. en los términos más superiores, y 0,00001 gr. en los más inferiores. i Como la escala es tan extensa, cuando no se sepa aproxi- madamente el contenido en clorato del problema, conviene hacer un tanteo para saber los términos de la escala que im- porta construir. De la solución problema se toman también 5 c. c., ó menos, y agua hasta ocupar exactamente 5 c. c. Se adicionan 20 c.c- del reactivo 4 ó del B, lo más rápidamente posible, á todos los tubos; se agita, y pasados 25 minutos, si se empleó el reactivo A, y 15 minutos, si el B, se comparan los colores en la forma usual. 2.” Diluciones sucesivas.—En un tubo graduado de 50 c.c. se ponen 5c.c. de la solución neutra que se ensaya; en otro tubo igual, clorato potásico en cantidad conocida y poco menor á la que se juzga que tiene el problema, y agua hasta 5 c.c. justos. Se adicionan á ambos tubos 20 c.c. del reacti- vo, se agita y, pasados 25 minutos si se empleó el reactivo A, y 15, si el B, se comparan las intensidades. Supuesto que no sean iguales, se diluye la solución problema, que supon- go la más intensa, con agua (no con ácido clorhídrico), poco á poco, mezclando cada vez, y comparando con el lí- quido tipo hasta tener intensidades iguales. Entonces se cal- cula el clorato en la forma usual de esta clase de colorime- trías. Los dos procedimientos dan buenos resultados; es más sencillo el segundo; pero aquí, como en todas las colorime- trías, es más exacta la comparación con una escala. Como ejemplo de resultados indico los siguientes: ClO¿K puesto. ClO¿K encontrado ClO¿K puesto. CIO¿K encontrado 0,00960 gr. 0,00960 gr. 0,00240 gr. 0,00237 gr. 0,00960 » 0,00940 >» 0,00213 » 0,00212 » 0,00650 >» 0,00645 » 0,00213 >» 0,00211 » 0,00450 >» 0,00460 » 0,00210 >» 0,00210 » 0,00250 » 0,00243 >» 0,00150 >» 0,00148 >» 0,00249 >» 0,00246 >» 0,00094 » 0,00094 » 0,00240 >» 0,00240 » 0,00094 » 0,00093 » : He de advertir que la mavoría de estas disoluciones ensa- yadas no era de clorato sólo, sino más complejas, y algunas contenían substancia orgánica. La determinación primera está hecha operando con 10 c. c. de disolución y 40 c. c. del reactivo B; las otras, con 5 c. c. de aquélla y 20 c. c. de reac- tivo Bó A según los casos. : En notas próximas expondré la aplicación á los casos más importantes que se presentan en la práctica. No he aplicado esta colorimetría sino á los cloratos; pero, seguramente, es extensiva á los bromatos y á los yodatos, y á otros oxidantes, con las restricciones que, en todo caso, se deducen de las indicaciones de esta nota. O TR, la E ERA NP — 121 — VI. — Estudio comparativo de los instrumentos más usados en Sismología. POR MANUEL-M.* S. NAVARRO (S. ].) Al presentarse una agitación de suficiente intensidad se mueven las varillas que soportan entrambos péndulos, ce- rrándose el circuito, con lo que se para el reloj, etc., regis- trando la hora del movimiento. Es también bastante sensible el sismoscopio Cancani (*), compuesto de siete péndulos invertidos con períodos dife- rentes, y terminados por pequeñas hélices, cuyos extremos, al moverse éstas, tocan los radios de un círculo de platino colocado encima, cerrándose así el circuito (**), Si se desease gran rapidez en la inscripción de dos velo- cidades desde el principio de los movimientos del sismo, y, forzosamente, por lo tanto, al menor barosismo, cambio de temperatura, sobre todo, algo brusco, etc., pudiera ensa- yarse el sismocopio de doble péndulo, también del mismo Dr. G. Agamennone, instrumento que, como ya lo indica su inventor, pudiera servir de péndulo fotográfico tipo Milne ó Von Rebeur con algunas modificaciones y los aditamentos indispensables. Consta su segundo modelo de un péndulo horizontal (****) (*) Sismoscopio ad effeto multiplo, ibid ¡V (1898), págs. 68-70. (**) Precio, 45 liras; constructor el mismo Fascianelli. (+) G. Agamennone.— Sopra un sismoscopio destinato ai terre- moti lontani. Boll. S. $. 1. pp. 267-277, tig. 2. Con un Omori de 106 kilogramos de masa construido en Cartuja (Granada), se obtenían por este procedimiento, practicado muy á la ligera, aumentos de 70 y más veces, aunque la paja procedía por saltos. — 122 — análogo á los Omori, etc., de 10 kilogramos de masa, 30 centímetros de distancia entre el punto de apoyo y el cen- tro de la masa y suspendido de un pilar á 4,50 metros de altura por un hilo de acero de menos de un milímetro de diámetro, cuya flexibilidad dispensa el uso de prisma, pun- fas, ¡ete enel punto de suspensión donde sólo existe un sen- . cillo mecanismo para centrar y dar al péndulo el período os- cilatorio conveniente. De la parte anterior de la masa sale un espolón, y de allí un finísimo alambre de latón, sujeto á la extremidad posterior de una paja, suspendida, un poco más adelante de otro hilo metálico igual, de un soporte también con sus tornillos de centraje. Esta paja, así montada, constituye un péndulo ho- rizontal Hengler-Zóllner y se mueve al oscilar el péndulo, au- mentando considerablemente la amplitud de sus oscilaciones. Si se termina la paja, por un alambre fino de platino unido convenientemente con una pila, relacionada con el electro- imán del disparador de la gran velocidad, y se pone dicha punta dentro de una pequeña abertura en otra lámina de platino convenientemente dispuesta y fija en el muro, por ejemplo, al agitarse el péndulo se cerrará el circuito y fun- cionará la gran velocidad. ¡00 ENSAYO DE JUICIO CRÍTICO Pasemos á la última y más ardua parte de este trabajo, para el cual hubiéramos podido allegar mucho mayor número de descripciones de instrumentos, como los péndulos eléctri- cos registradores á distancia, de S. A. S. el Principe B. de Ga- litzine y del Profesor G. Goldschmidt; el colosal péndulo de 17 toneladas del Profesor Wiechert, que, con el hoy enorme au- — 123 — mento de 2.200 veces, da resultados muy notables en los te- rremotos de epicentro cercano; el de 2.000 kilogramos del fecundísimo Dr. Agamennone, etc., etc., pero todavía no se han publicado datos suficientes para juzgar de algunos; otros pertenecen aún á la categoría de proyectos, y los hay asi- mismo no descritos por sus inventores. Varios son modelos únicos, y alguna vez hasta muy infe- riores á los citados, y por eso los omitimos. Daremos, pues, nuestra sincera opinión en este ensayo de juicio crítico, creyendo que más perjuicios causa en el terre- no de la ciencia el criterio de alabarlo todo que el manifestar los defectos ó lo que se considere como tal, acaso con ruda franqueza, ciertamente susceptible de error, pero leal y sin deliberado apasionamiento. Para juzgar del valor práctico de un sismógrafo, hace fal- ta combinar numerosos factores, relacionados con el instru- mento en sí y su funcionalismo con los gráficos obtenidos y finalmente, con los objetos que se intentaron. Un instrumento, para que pueda llamarse completo, ha de reunir las siguientes condiciones: baratura, solidez, fácil manejo y entretenimiento poco costoso, en lo que respecta al primer punto. Sus gráficos han de ser claros, exactos y lo más numero- sos posibles. En fin, á no contar más que con un solo instru- mento, ha de poder éste registrar bien así los terremotos lejanos como los cercanos. Estas condiciones son muy difíciles de cumplir, pero no faltan hoy instrumentos que las reúnen de modo satistacto- rio y con esperanza de no ser desechados pronto, achaque frecuente en las ciencias de rápido desarrollo, y más en la Sismología. | | Precisa, sin embargo, hacer algunas salvedades respecto de nuestra manera de interpretar los resultados prácticos, "para deducir el valor relativo de los sismógrafos. — 124 — Uno ó algunos gráficos malos ó «aun detestables;, por la confusión ó falta de detalles, amplitud insignificante, ganchos, que indican también el mal funcionalismo del instrumento en un solo sismo, si bien predisponen en contra del sismógrafo, no bastan para juzgarlo; pero si el gráfico, ó algunos de los gráficos procede del inventor, ó de estaciones donde los obtenidos con los demás instrumentos son buenos, con ra- rísimas excepciones, y el hecho se repite con varios sismos, creemos que esto basta para juzgarlo respecto de su cate- goría, cuando menos, y aun respecto de otros sismos (leja- nos, muy lejanos, próximos, locales). Si esto se repite y además los Boletínes que publican las observaciones obteni- das con dicho instrumento las traen muy deficientes, malas ó nulas, no creemos pueda pedirse más contra él. Pudo ha- ber llenado un gran papel en su tiempo; hoy pasó. Por consiguiente, aquí hablamos del valor práctico de los instrumentos en el supuesto de que están bien construídos, Ó que, por lo menos, lo hayan sido por sus inventores, y que se les cuide bien. En efecto, es más difícil de lo que á primera vista parece que un péndulo funcione satistactoriamente. Muchas veces hay que relacionar enormes masas con piezas delicadísimas, y una montura poco sólida, una palanca mal equilibrada ó demasiado pesada, un alambre de suspensión excesivamente grueso, una punta algo roma, una aguja mala, etc., etc., bastan para inutilizar el mejor instrumento, ó siquiera para disminuir muchísimo su rendimiento. Nada de esto, sin embargo, debe extrañar si recordamos la pequeñez de las fuerzas que obran sobre las masas en las desviaciones más usuales, bastando medio gramo para desviar de la vertical un segundo de arco, la ya respetable masa de cien kilogramos, si lo aplicamos convenientemente. Para poder juzgar con imparcialidad, precisa no conten- tarse con estudiar los instrumentos en los libros, revistas, etc., sino acudir más bien á la inspección de los gráficos y á los — 125 — Boletines de los Observatorios, y aún en éstos, en vez de contar el número de sismos registrados, comprobar cómo lo han sido. e Lo primero, dada la laudable costumbre, cada vez más extendida, de archivar los gráficos, es mucho más fácil que lo segundo, sobre todo si se publican los resultados de tarde en tarde. Basta buscar en aquéllos los movimientos hacia la hora en que se realizaron, y si éstos no fueran insignifican- tes, etc., raro será, aun con instrumentos muy medianos, el no hallar siquiera algún leve vestigio, alguna desviación de décimas de milímetro, correspondiente á la fase máxima ó al principio del sismo, según sea pequeño ó grande el aumento externo, relacionado con la longitud correspondiente del ins- trumento. Una cosa muy distinta es poder deducir la distancia del epicentro, marcar las diferentes fases, etc., que requiere, no pocas veces, instrumentos de primer orden, y más difícil aún poder unir á esto una exacta determinación, en lo posible, de los períodos de las distintas ondas. Para lo último hace falta que el péndulo tenga la menor tendencia posible á adquirir su propio período oscilatorio, esto es, que se halle provisto de un aparato de amortigua- miento, si su período es corto, ó que éste sea superior á treinta segundos, y en todo caso, lo más exento que se pueda de rozamientos perjudiciales, que, si se hallan muy acentuados, hacen que el péndulo inscriba todos los movi- mientos del terremoto, ó poco menos, con su mismo período oscilatorio é irregularmente exagerados los que lo tenían, naturalmente, análogo al suyo, perdiéndose así datos muy interesantes. Otra de las ventajas del apagador, cuando su influencia es grande, esto es, cuando se hace que el péndulo trabaje con un amortiguamiento suficiente, es que permite limitar las fases del sismo, coartando los movimientos secundarios del péndulo. Verdad es que le quita, en estas circunstancias, — 126 — algo de sensibilidad ficticia al instrumento; pero teniendo varios, esto no es inconveniente, porque puede utilizarse una componente, la NS, con él, y la otra, la que suele dar mayores amplitudes á igualdad de circunstancias, la E W, sin él, ó sólo con uno bastante débil. Sin embargo, aun teniendo uno sólo, debe usarse de preferencia á sacrificar á algún movimiento más registrado como un vestigio, el tener buenos gráficos de continuo. Alguna vez, sin embargo, pueden apreciarse en los de pén- dulos de periodo muy corto, cual ocurre con los Vicentini, los distintos períodos de las diferentes partes de un sismo; lo afirma el P. José Algué, S. J., Director del Observatorio de Manila y del Weather Bureau, de Filipinas (*), y el he- cho lo hemos podido comprobar con los gráficos correspon- dientes á los grandes terremotos de Colombia y de San Francisco de California, obtenidos con el Vicentini de Cartu= ja, comparados con los del de Manila; pero esto es debido, por una parte, á la enorme diferencia entre el ritmo de los movimientos de la tierra durante la porción principal y aun final de un sismo y al propio del instrumento, y por otra, á funcionar el aparato multiplicador un tanto á la manera de amortiguador. Esto no implica que, según se deduce del Boletín del Instituto de Física de Padua, hoy trate el Profesor Vicentini de proveer de un aparato de amortiguamiento á su péndulo universal. Otro factor, en algunos casos nada despreciable, y que precisa tener en cuenta, es el coste anual, tanto de maternal gráfico, como de vigilancia, limpieza, etc. Respecto de lo último, los péndulos ligeros y el Vicentini con los demás verticales son muy superiores á los horizon- tales pesados, de los cuales algunos tipos, como los Stiattesi, (*) Bulletin, tor April, 1906, pág. 84.— Consúltese el Bolletino de Padua también. 4 * 4 Bos E '4 4 a a — 127 — requieren desmontarlos con alguna frecuencia, necesitándose el auxilio de un par de inteligentes obreros y no escasa pér- dida de tiempo. En los de otros tipos, esta maniobra rara vez es necesaria, pues se hace apelando á los tornillos de centrado, etc., sin tener que separar la masa del péndulo. En cambio, es preciso cuidar con esmero extraordinario del juego de las distintas piezas y de la presión de las agujas en los Vicentini, si se quiere que sirvan; y en los otros de registro mecánico, las conexiones del péndulo con el aparato multiplicador pueden, ó evitar que señale los movi- mientos pequeños, característicos del comienzo de los sis- mos, Ó, por el contrario, marcar bien estas vibraciones y otras de causa extrasísmica continuamente, Ó poco menos, y pasar por alto, por el contrario, las agitaciones más am- plias, etc., etc. También los péndulos fotográficos, sobre todo los más sensibles, requieren no pocos cuidados respec- to del juego de las piezas, disposición y foco de luz, etc., ter- minando este largo paréntesis indicando que, para compren- der el esmero que exige el cuidar un buen sismógrafo, basta recordar que se trata de un instrumento capaz de transmitir, al través de millares de kilómetros, agitaciones que á veces no son destructoras en el punto más atacado, ó si lo son, dejan de ser sensibles á una distancia no muy conside- rable. | Aparte de lo enojoso y poco limpio que resulta el enne- erecido de las bandas de papel, su valor es muy escaso, de modo que, aun uniéndole el alcohol industrial y goma laca, etcétera, para barnizarlas, fijando así los gráficos obte- nidos, llega á 50 pesetas el gasto de las dos componentes de un péndulo de inscripción mecánica al año, empleando las velocidades corrientes, esto es, hasta un metro por hora. ; Los péndulos fotográficos son mucho más caros, espe- — 128 — cialmente los Rebeur-Ehlert, cuyo coste anual excede de 700 pesetas, con la velocidad de sólo 12 centímetros por hora. Los Bosch gastan un marco diario de papel, Ó sea menos de 500 pesetas al año, con la velocidad horaria de 90 centímetros, que resulta menos de 200 pesetas para una sola componente, con la velocidad de 60 centímetros, más que suficiente en casi todos los casos. Los Milne re- quieren de 8 á 10 libras esterlinas entre papel sensible y reactivos, añadido el pequeño coste de una luz de petróleo permanente. En cambio los péndulos fotográficos, con gran velocidad de desarrollo en el papel, requieren lámpara especial, eléc- trica de incandescencia, como la empleada por el doctor Schiitt (*), en Hamburgo, ó de gas, como la del Dr. Strau- bel (**), que son de crecido gasto, y hay que renovarlas con frecuencia; la primera se ha de instalar en derivación de otra de 25 bujías, cuando menos. Quizás resulta más eco- nómico, y es de seguro más cómodo, el empleo de lámparas de un solo filamento de tantalio é intensidad de dos ó tres bujías, con voltaje muy escaso, y accionadas empleando pi- las Ó acumuladores. El costo de la instalación se relaciona con la sensibili- dad y dimensiones de los aparatos, dato que solo apun- tamos para no dar al presente trabajo exageradas propor- ciones. Volviendo á la sensibilidad de los aparatos y á su utili- dad práctica, se ponen en un cuadro, imitando al Profesor Wiechert (***), del que son las cifras marcadas, los datos referentes á la sensibilidad teórica de los instrumentos, no (*) Die Horizontalpendel-Station Hamburg, S. 206; Sond. aus Beitraege zur Geophyik, IV Bd, 2 Hft. (++) Beleuchtungsprinzipien... In Verhandl. der erste... SS. 290 bis 304. (***) Prinzipien... in Verhandl. der erste... S. 269, — 129 — “sin declarar como no pocas veces los resultados prácticos difieren, de manera deplorable, de los prometidos. Representa T el periodo oscilatorio completo, expresado en segundos; / la longitud en metros, correspondiente al pén- dulo simple que lo tuviera; £ la longitud correspondiente, multiplicada por el aumento externo del instrumento, Ó sea su longitud total; la desviación en milímetros que 206,000 marcarán en los gráficos por un segundo de arco de desvia- ción de la vertical, y A el aumento externo del péndulo, ó sea el propio del aparato multiplicador. Rev. Acap, Crencrias. —VH.—Julio, Agosto y Septiembre; 1908- ' 9 '03J1nq -Se1IS4 9P [PJJU9I UQIDE]SJ "0194 [9P *O “eros] “eJqea “(es -03J0 1) 0194 [9P 011038AJ980 0) 'PIUBJE0) IP OLIJOJLAJISQO *"uapI] 1) EN 'BUOJ99JPG “PIPA OJIOJLAJISQO SvVYNxLOmN *"SO1J9105] pur 000'90z T mi == lo 92 04 988 00p OST GZIE 876 Cc Z9 *"SO1J911 1 voPes88 | caos 000'2-091 ccp 6 6 CL "SOJJDMI I 14 -09-SL Ol-p 9 9 LI ej vz *"sOopunSas L rro OSIMQSDAS] IP opusad “q ) "SB 08 YISIILM OPHISAUI “q 2009>==*=889 QOL EXUIEN UA conireno=es "O NOUUQUIeÍY “Y ZJIAO[QEID) [PUOZI1OY OMPpu9q * ***SUJHA] O9IJPI80J0J OMPU9G e -IA JeSJ9AJun OJeJSQuISISOJINN e... .. q... ..... ...—... "*pr USp] AS TES ES) ap] '2UOUUIMEIY OJPJ 30 JJ9MIOMSIS SOLNAWNA.LSNI SAIV.LNOZINOH SILNINOAWOJ SOJVIDOMNSIS SONNDTIV 30 SILNVLSNOO "sepejunde Se.JJ19 Se] e “sos -0]9M.JI5U09 SNS UNGIS PPPIIA 00 -ISUIS NS IINPIJ ONpu2d 9359 39Pp JOPesuaduo) Pua3siSs 14 y | yw 091 Oc T-0p 0827-08 *03JNQS8J3ISH OS — 131 — *(e19U910]1) OUBIUDMUIX 02 “wuap] 0z1 “(OÁJ0L) 03Uu0H | 0Z-SI 00€-001 G c'c-81 1; 2 SAIVIILAIIA SALNINOIWOD) (g 0 0€T 06-0€ v8-c y 3% LI cp-/s Dec 0001 081 T-09€ 001-6z 0S 000'8 00S'Lz 000'81-000%9 | 006-00? 00891-006 008'p 009'£ OyZ6-091 98 98'0 LEZI 6 9€%0 00 ecz 9£-6 9c-p cr-p *+2****J9JNJUIS SP 0JU3WN.1ISU] )PruIyoS 9P J81HI13 OJJQUIJALID) esoo SEA O0E1 “pr mopr a fe 3 091 Y19YI9I1M WOP] erezeso +++ "TUI UOOIA "PJ OP] Ade e ps a 0 O - UQE Sy JP90HJ9A IJUDUOAUOL) *******JUBH Y OJeJ1SOJJQUIOMIOJ Y, testo JIOU() OJJAUIQUIOS L Perera **** HOMO OSIP] "q crrararrre 589 QOZ'] e 000'1 “319UI9M 09/7P35D “g 00 rrsreo* == )s0g “Y WIP] 'd + *****"119]4H “Y 09HP180]0J *d OTAN sepejunde Sexo se] e “soy 0'6 98 CI "> JOMIUIC 9 -0J0MJSUO9 ShS UNOS PYpIIq 06 di : WIYOS SP 0ju31un7Su] “ISUOS IIS 9IMPII OMPuId 2350 Dez 900 cg I “IPIUIYIS DP Je HH OJJQUIJALIL) 9p JOpesuadwo) euajsis lx | + 001 G e h 11) J LZ rl ' OOOO oooO “s3y 00€'1 “py L19p] OZI-0? | £'c-81 Te Ri 08T“I-09€ 6 9 ""S3x 091 413991 1u9pI 0823-08 5)! 5 4 ñ , 1 00I-6z 9€%0 21 UC 770750 JUUOA “Py nop *031MQSPJ1I53 08 A Oc I Z CARES “===*3 YOU = UDUIeÍ Y [PonJoA ajuduoduo7 1 SITVILNLIIA SILNINOIWOJD (g '(*Ru3J0]4) ouerouny e : 02 0p 000'8 00 Op [***"*"Juepiy ojer39339uomos y, “u93p] « de e 074 | 0€l 008'2z Czz 0€ “00 077** HOMO OMOMIQUIOS “(OÁA401) o3uo z . . z i H | 0z-S1 06-0€ | 000'81-0009 | 006-00p OO ES SITO 0381 “4 00€-001 v8-9p “O1- : E A ODEoOb nodo de 008'91-006 95-6 sI-6 "10558 003'1 2 000'1 YIIYIIM 09170380 “q €€l a do OR obSO ez 008'p 9€ zl "1980 “Y WOpI “y 4, 001 21 009€ C€ Cl [+ *** "OIE “Y O9HPISOJOJ “q S91-0p co-*/; Oyz'6-091 9C-p someto 00Z-SZ1 YJIYIIM OPHI9AUL “g 031Nqse1sq OPI sz 0v0'c “00090 BN GE PAU Y “a RS —M— A ——————b LM ) (epeueso) efnj1eg “90Joany y OUBIUoLuIx 01193589 oJJenp) OS-SI cs-s'p OSZTI-096 Szz-v9 A AS Al sI 9b-€ 00p6-288 az9-9S *****:08.1Q8D1JSZ 9p Opvsad q 08-0p 01% 000'Z-091 CZ-p **S3M 08 YJ194991M OPHJ9AUI *g aa c8 Le C92 6 esoo SB 001 PAUIP Utd y :03Jn -Se1JSg Pp [eJ349) uQ1oe]sg 0S eZ Oct 6 9 meters +: SUOUUQUIPIY Y *g "0194 19p 'O “eros] 8 ez 98€ TL 11 ZJLAO[QEJO) [PJUOZ JOY OINPuU9gd ; 2 z 00p Pje sI « “UNA 09813030 O[NPu9g *e1q81 “(es -0310 1) 014 [9p O1JOJeAJ9SqO) 001 e OSI 081 vz RATO) -1A JesJ9Arun OjeJSQuIsIsOJO1N “BnueJeo op ono3eaJosqO | 21 27 GZIE cz OL A TA)! 1 *L9p] 0z 8), 876 pop yy ...... mo... .... JUR Due) muopI (Ga "BUO[9918G PIB OLIOJPLAJISGO OL El cazo cz9 G *2UOUUDUIPIY OJBJ30JJDMIOLISIS 1 EA "SO1I9011] pul "sOJJ9 mL :SO1J91u "sopun39s SvYIOmN NY y —Do0'902 7 ¡ a SOLNIWNYALSNI 1 7 SIIV.LNOZIJNOH SILNINOJWOD (V SOJVIDONSIS SONNDIV 30 SILNVLSNOO — 132 — Partiendo de lo anterior, examinemos las conclusiones deducidas, analizando los datos recogidos referentes á un mismo movimiento, y también el número de movimientos registrados, aunque sea menor su interés. No se discutirá si los movimientos de mayor amplitud en los terremotos son inclinaciones de la vertical ó desplaza- mientos laterales, hipótesis la última aceptada por sismólo- gos de tanta categoría como Omori para explicar el hecho de que los aparatos más cortos marquen á veces desviacio- nes mayores en los gráficos (*); sin embargo no huelga recordar que los movimientos preliminares del sismo resul- tan casi siempre en función directa del aumento, y los de la porción principal, por el contrario, se relacionan con la lon- gitud; de manera que, en un péndulo corto, pero de mucho aumento, el Vicentini por ejemplo, la máxima amplitud pare- cerá corresponder casi á los primeros movimientos, mien- tras que aparecerán muy pequeños en un péndulo horizontal de gran período y poco aumento, hallándose el máximo en éstos y en los invertidos, en la porción principal, dato que importa no olvidar en el estudio de los gráficos. Es indudable que la influencia de un rozamiento excesivo, del aumento externo demasiado considerable, del período muy largo comparado á la resistencia del péndulo, etc., etc., y sobre todo de los defectos de construcción, es poderosí- sima y produce, á lo menos en algunos casos, el hecho que cita el profesor de Sismología de la Universidad de Tokyo, y explica á veces las notables divergencias observadas. Fuera de los instrumentos destinados á registrar las vio- lentas sacudidas próximas, Ó, cuando menos, las muy sensi- bles locales, hay que rechazar la inscripción con tinta sobre papel blanco, á pesar de sus ventajas, Ó lo que de tales cali- fican sus defensores, y sería la mayor limpieza y facilidad en (*) Results of horizontal pendulum observations... in Publica- tions, núm. 5, pág. 45. — 133 — el estudio de los gráficos, evitando las tareas enojosas del ahumado de las bandas y el fijarlas, etc. Aparecen las líneas mucho más gruesas que las trazadas sobre el papel ennegrecido, la presión de la pluma inscrip- tora es incomparablemente mayor (*), y aunque no lo he- mos ensayado, ocutre pensar que, ó los recipientes han de ser voluminosos, ocasionando una presión variable que inutilice Ó poco menos el instrumento, Óó habrá que estar llenándolos continuamente, operación ni agradable, ni re- comendable, ni tampoco muy limpia. Hay, pues, que recurrir á la inscripción mecánica ordi- naria con estilete sobre el papel ennegrecido á la lámpara, , etcétera, ó al registro fotográfico. Dentro de ambos sistemas de instrumentos se establecen categorías que quizás parezcan algo arbitrarias, pero las consideramos indispensables. En las ciencias experimentales los medios de observación se perfeccionan y cambian con prodigiosa rapidez, y si algo debe extrañar tocante á los de la Sismología, es el precio moderado que alcanzan los más perfectos instrumentos, inferior al de un buen anteojo de afi- cionado y comparable sólo al de los buenos microscopios, y eso que éstos se construyen en gran número, y el de aqué- llos, si bien creciente, es todavía escaso. Además, lo recien- te de las observaciones sismológicas hace que muchas veces se adquieran instrumentos sólo porque otro Observatorio los emplea del mismo autor, por la simple inspección de un catálogo, 6, á lo sumo, leyendo su descripción, ni con mu- cho suficiente. También es bastante escaso el número de casas constructoras. : Los resultados prácticos obtenidos normalmente, con un (*) Según el profesor Wiechert, el rozamiento es 100 veces supe- rior y las líneas diez veces más gruesas. Lo primero no parece discu- tible. Lo segundo alguna vez resulta exagerado, aunque lo corriente * es que pasen de 0,5 mm. de ancho. — 134 — instrumento bien construido, montado y cuidado, debe ser el criterio de todo juicio crítico de cualquiera aparato, agru- pándolo con los demás existentes, apreciando su valor actual, no el que antes pudo haber tenido, aunque fuera muy consi- derable, ni su misma influencia en el desarrollo de la ciencia. Conforme á tal sentir, un instrumento podrá apellidarse universal ó completo, si es capaz de registrar todo género de sismos locales, cercanos, lejanos y aun remotosísimos, y para ser considerado de primer orden, ha de dar el mayor número de gráficos legibles y utilizables. Lo último casi exige el empleo del amortiguamiento. Lo primero, una velocidad conveniente en el receptor y el au- mento externo suficiente unido á un razonable período. Am- y bas cosas son una perfecta combinación entre las diferentes partes del instrumento, asociada á esmerada construcción é inteligente cuidado. Un instrumento es de segundo orden cuando da resulta- dos verdaderamente notables en algunos casos, y presenta frecuentes ó continuas deficiencias en algún punto importan- te. Es, últimamente, de tercero, cuando sólo rara vez, ó con escasa frecuencia, da resultados aceptables. Para nosotros, el mejor péndulo universal existente es el astático de 1.000 á 1.200 kilogramos de Wiechert, y creemos serán poco inferiores sus recientísimas reducciones, sobre todo el modelo de 200 kilogramos que construye la casa Spindler «4 Hoyer, de Gotinga, empleando, en ese caso, el aumento de solo 80 veces por 14 segundos, ó algo menos, de período; de este tipo se está construyendo para la nueva estación sismológica del Observatorio de Cartuja. Los péndulos largos de Omori, aunque carecen de me- canismo de amortiguamiento, dan numerosos y admirables gráficos; pero no es raro que registren de modo deficiente los primeros movimientos de los sismos, á causa de su escaso aumento externo. Los tromómetros del propio autor tienen aumento suficiente; en cambio su masa, 50 kilogra- — 135 — mos, es sobrado pequeña, y el roce, en los movimientos no muy rápidos, resulta considerable (*). Los péndulos horizontales bifiliares Mainka son muy bue- nos instrumentos, sobre todo para los terremotos algo pró- ximos, aun muy débiles. Los gráficos resultan iguales y aun alguna vez superiores á los del Wiechert; en los lejanos son bastante inferiores. Es de sentir que un buen fabricante, que no trabaje caro, no se hiciese cargo de su construcción, por demás sencilla, logrando que no pasase de unas 300 pe- setas el modelo completo de 100 kilogramos. También pueden considerarse instrumentos de primer ot- den los péndulos horizontales Stiattesi por su extremada sensibilidad, y dar, con gran frecuencia, magníficos gráficos; su defecto es común á todos los péndulos sin amortigua- miento, cuyo período, 16 á 22%, aparece semejante al de los sismos lejanos, casi con máximos pendulares, siendo esca- so su aumento corriente, 20 á 25 (**), y la construcción algo descuidada, y carecen de un buen mecanismo de centrado que ahorre la enojosa tarea de desarmarlos con frecuencia. Pensamos convertir los de Cartuja en buenos aparatos de primera clase, proveyéndolos de amortiguamiento, emplean- do vaselina líquida y de un mecanismo de centrado, modi- ficando además el aparato multiplicador. Los tromometrógratos que construye el sismólogo R. P. D. Guido Alfani, S. J., Director del Observatorio Ximeniano de Florencia, son también buenos instrumentos juzgando en vista de los gráficos que de ellos conocemos, y aunque se observaban algunos defectos, como eran de la época de su ensayo (Abril - Agosto de 1906), estarán ya corregidos. No conocemos los gráficos del Omori-Hecker, de la casa (*) A Horizontal pendulum Tromometer, Publications, núm. 12, pág. 4. US (**) Los resultados del modelo máximo de 500 kilogramos por 50- veces de aumento, no son superiores á los del mediano. — 136 — J. < A. Bosch, y sí sólo tenemos noticia de algunas observa- ciones citadas en las Wóchentlicher... de Estrasburgo. Parece un buen instrumento, aunque algo caro, y suponemos que no habrá en su mecanismo inscriptor el defecto más adelante citado. El microsismógrafo universal Vicentini, resulta bastante inferior, en tal concepto, á los citados aparatos. Por su au- mento considerable es superior á algunos en lo que respecta al registro de los terremotos de próximo epicentro. En el pasado año lo hubiéramos clasificado, sin vacilar, entre los de primera clase; hoy, la aparición de los péndulos mediano y pequeño modelo Wiechert y Mainka, nos inducen á cambiar de opinión, aunque todavía lo juzguemos capaz de dar preciosos datos y digno de figurar en los mejores Observatorios, siquiera no sea en la categoría de instrumento principal. | Es aparato muy caro, con relación á otros superiores, sin amortiguamiento, con rozamientos enormes, extraordinaria tendencia á adquirir su propio período oscilatorio y escasa sensibilidad para los movimientos débiles lejanos. Además, queda indicado su difícil manejo, y á menudo suele funcio- nar mal en Observatorios con justicia muy reputados. Como instrumentos de segunda clase, cuyos resultados son útiles y que se consideren apropiados á estaciones se- cundarias, figuran los péndulos Omori-Bosch, ó péndulos pe- sados de Estrasburgo, los sismógratos más extendidos, y por eso conocemos numerosos gráficos suyos referentes á sis- mos sobremanera violentos, como los de Kangra (4 Abril 1905) (*), Siberia (9 y 23 Julio 1905), San Francisco (18 Abril 1906), Aleutianas y Valparaiso (16-17 Agosto de 1906) (**), etcétera, etc. (*) Omori: Report on the Great Indian Earthquake, part. 1, Seis- mograms, plana IX-X, figs. 10, 11, 12, 13, 14, in Publications... N.* 23, Tókyó, 1907. | (**) Atlas del Prof. Rudolph, pasim. De sú estudio infiérese que es excelente aparato de se- gunda clase, con poco aumento, quince veces, y rozamiento enorme (*), que probablemente depende, en gran parte, de la pluma, consistente en una laminilla de aluminio sin equi- librar (**). A tal causa debe el que pierde, sistemáticamen- te, Ó poco menos, todos los pequeños y rápidos movimien- tos preliminares de los sismos, registrando en su lugar len- tas é irregulares sinuosidades, aun en terremotos que apare- cen muy marcados en otros instrumentos que tampoco fun- cionaban bien, como ocurrió muy en particular con el pri- mero y el último de los indicados grandes sismos. Ganaría no poco el aparato adoptando una palanca me- nos pesada, y además con una pluma bien equilibrada, por ejemplo, de vidrio hilado y con nuevo procedimiento de conexión, acompañado del aparato de amortiguamiento que tienen los nuevos modelos. Resultará así excelente instru- mento, aplicable en las estaciones secundarias, de no prefe- rir el nuevo modelo Wiechert, el cual, aun con solo 80 ki- logramos, es considerado ahora muy superior, fuera de los sismos muy lejanos, precisamente los menos interesantes para los instrumentos que no sean de primer orden: el pre- cio es también más económico. El péndulo horizontal de Grablovitz tiene las ventajas del coste, verdaderamente exiguo, y la facilidad de su manejo, así es que los recomendaríamos de preferencia, como instru- mentos de tercer orden, mejores que los sismocopios, pues donde abunden los terremotos sensibles pueden proporcio- nar utilísimos datos acerca de los algo fuertes. Registran te- (*) 3,2 mm. y 2,5 mm., después de adaptarle el Profesor Marvin su vibrador, etc. Improvements... tig. 3, A B, y suponemos que el sis- mólogo norteamericano no lo tendrá en peor estado que el término medio. (**)- Con el Omori de Cartuja pudimos convencernos de la ne- cesidad de equilibrar bien las agujas. Una de aluminio, sistema Mar- ] vin, que no lo estaba bien, daba pésimos resultados. — 138 — rremótos lejanisimos; pero á causa de la poco esmerada construcción, adquieren su propio período oscilatorio con gran facilidad, registrando á veces, entrambas componentes, cosas enteramente distintas. Así, en el terremoto de Kan- gra (fig. 17, pl. XIM), del hermoso album de Omori, el EW tenía su máximo de 22 milímetros con 16,8 (17s pe- ríodo pendular), en la porción principal, mientras el NS, de 13s de período, lo tuvo de 13,2s con más de 14 milíme= tros de amplitud en los segundos movimientos preliminares, no pasando de 10 milímetros su máximo verdadero á hora muy distinta que la del EW en la porción principal del sis- mogramo. Sin embargo, como puede construirlo cualquiera y el cilindro registrador marcha muy bien con un despertador de los ordinarios, sería deseable que su ilustre inventor publi- case los detalles de la construcción con el fin de que pudiera extenderse su empleo. Adaptándole una buena aguja ins- criptora y al botalón una lámina de hojalata, por ejemplo, de 8 >< 6 centimetros, sumergida en un recipiente con va- selina líquida, funcionaría incomparablemente mejor. - Son inferiores todavía los sismometrógrafos de poco au- mento y exigua longitud, que tuvieron importancia en tiem- po ya pasado. Pueden inscribir amplios gráficos, gracias á sus oscilaciones pendulares, de terremotos locales Ó muy cercanos, y algunas veces medio aceptables de terremotos mundiales; pero el número de “aquellos es tan restringido, que no compensa los gastos considerables de instalación, el precio algo elevado y el tiempo empleado en sú conser- vación. _Examinemos ahora los péndulos fotográficos: entre ellos se cuentan los tipos Rebeur y Milne. Los primeros, por su elevado aumento externo, en gene- ral de 100 veces y aun superior, poder alcanzar períodos de hasta 10, 12 y en algunos hasta 20 y más segundos, carecer casi de rozamientos y poseer, ó podérseles adaptar, facilísi- — 139 — mamente, un aparato de amortiguamiento, son muy superio- res á los segundos. Constituyen instrumentos de primer of- den, comparables y aun alguna vez más sensibles que el péndulo astático de Wiechert para los terremotos lejanos, aunque algo menos para los de cercano epicentro, insusti- tuíbles, sin amortiguamiento y con velocidad de un centíme- - tro por hora, para ciertos estudios muy interesantes sobre las deformaciones de la superficie terrestre en función de las acciones del sol y de la luna, etc. La velocidad del mecanismo receptor de los péndulos de Milne ordinarios resulta insuficiente y es imposible diferen- ciar las oscilaciones pendulares unas de otras. La porción principal de un violento sismo, aun muy lejano, aparece como una mancha gris confusa, irregularmente ribeteada de negro, y su escaso aumento externo, unas siete veces, hace perder los principios de muchos sismos, que suelen apare- cer en los registros de no pocos Centros que tienen tales péndulos y donde saben cuidarlos é interpretar sus gráficos, como si comenzasen en plena porción principal. Todavía parece escasa la velocidad últimamente adoptada por el Profesor Milne, de 25 centimetros por hora, y el pén- dulo, muy sensible por cierto, adquiere su propio período con extraordinaria facilidad, y aun estando muy resguardada la caja que lo proteja, se agita continuamente á la menor co- rriente de aire, enmascarándose y aun perdiéndose muchos sismos pequeños. El Dr. Mainka ensayó el adaptar un espejo cóncavo á uno de estos péndulos, y lo ha provisto de amortiguador con aceite de vaselina, obteniendo, según era de esperar, magní- ficos gráficos en la medida que pueden lograrse con los pén- dulos fotográficos, cuyas líneas, de medio milímetro lo me- nos de anchura, á veces esfumadas en lugar de ser negras, nunca son'comparables á la esquisita finura y delicadeza de los trazos marcados en los instrumentos de pais! orden - de inscripción mecánica. 1 En cuanto á los aparatos para el registro de la componente vertical en los terremotos algo lejanos, todavía faltan datos y pruebas que permitan recomendar determinado modelo. El de 160 kilogramos, del Profesor E. Wiechert, que vimos en el Haya, nos pareció muy bien construido y susceptible de dar excelentes resultados. El gran modelo de 1.300 kilogra- mos demostró su excelencia en los terremotos del 16-17 de Agosto de 1906, permitiendo percibir los primeros” movi- mientos preliminares del terremoto de Valparaíso sobrepues- tos en plena porción principal del de las islas Aleutianas; no ha mucho su mismo inventor pensaba modificarlo (*). Respecto de la ingeniosa componente vertical del microsis- moógrafo Vicentini, es menester decir que ni de la lectura del Bolletino del mismo inventor resulta muy recomendable. Se advierte con demasiada frecuencia la seca frase Nessuna traccia, y lo mismo, conforme era de esperar, ocurre á los demás instrumentos. Son muy poco 45 650 kilogramos para dominar los variados rozamientos de su aparato multi- plicador. Serían precisos, á lo menos, 1006 150 kilogramos para que pudiese resistir 100 veces de aumento externo, y con todo representarían, á lo sumo, un péndulo simple de 35 á 38 metros de longitud total, á pesar del considerable aumento citado. Sin embargo, alguna vez puede prestar buenos servicios, aun en terremotos de lejano epicentro. Por ejemplo, en el gráfico del de Cartuja, cuya parte inscriptora se acaba de construir en el mismo Observatorio, referente á los dos te- rribles terremotos del 21 de Septiembre de 1907, que tantas victimas han causado en el Turkestán ruso, se observan á primera vista sus movimientos preliminares sin la menor confusión, advirtiendo que de los segundos apenas registró indicios la componente EW de los Stiattesi, y nada la NS. También es cierto que la máxima amplitud aparente en la (*) Hauptstationen fiir Erdbebenforschung... S. 629. — 141 — porción principal, con 24* de período, no pasaba mucho de un milímetro, mientras alcanzaba 65,8 en el gráfico del Stiat- tesi, componente NS, á pesar de ser su aumento externo de 81 veces, y sólo de 23 en éste; pero la aplicación á los dos de la fórmula de Wiechert prueba que el aumento real en el primero de estos instrumentos, ó sea el de la componente vertical, era de poco más de cuatro veces y de unas 160 la del Stiattesi, cuyo período medía 21*. Además su gráfico resultaba insignificante al lado del de Omori, que, gracias á su amortiguamiento e: 1 = 3,2, con 31 veces de aumento, por 13,3 segundos de período, se - distinguían admirablemente los movimientos preliminares de entrambos sismos, á pesar de hallarse los del segundo, que aparecieron 20,235 más tarde, en plena porción principal del primero, observándose claramente diferenciados los má- ximos principales de aquellos movimientos. La sensibilidad de la componente vertical Vicentini, cuan-. do el aparato funciona bien, es grade en los terremotos lo- cales Ó de muy cercano epicentro, empleándose entonces á la manera de un sismoscopio registrador sensible. A ello con- tribuye el que se unan la semejanza del período de los movi- mientos citados, á veces hasta inferiores respecto del suyo propio y el considerable aumento externo que resulta favo- recido. Resumiendo lo expuesto, en particular lo apuntado al prin- cipio de esta reseña, indicaremos la conveniencia de que en una Estación Sismológica completa haya varios instrumentos: alguno como base delos demás, ó universal; otros para los sis- mos lejanos ylos cercanos, y otro para la componente vertical. Entre los primeros preferimos el péndulo astático de Wie- chert, mejor que el de Von Rebeur, á causa de su menor coste anual y lo detallado de sus gráficos, aun en los movi- mientos cercanos ó de pequeña amplitud. Entre los segun- dos, los Omori largos, Mainka y Stiattesi, y para los últimos, por ser modelos más corrientes, los Wiechert pequeños, — 142 — Mainka idem, y aun los Vicentini. Como componente vertical pudiera utilizarse la de 160 kilogramos del Profesor Wiechert, y aun para los sismos próximos, la del Profesor Vicentini, pro- vista de un mecanismo de amortiguamiento, y de otras mo- dificaciones. De esta suerte podrían obtenerse períodos de 2,4* á 46 6* (Vicentini, Wiechert ó Mainka, pequeño modelo); para los sismos muy cercanos, 20 á 60s (Stiattesi, Mainka, Omori), para los lejanos, y de 12 á 15* para el instrumento universal. En cuanto á las componentes verticales, habría que conten- tarse con 6s como máximum con los Wiechert y 1,2%, ó poco más, con los Vicentini. La combinación preferida del Profesor Omori, consiste en un péndulo largo, de 60s Ó más de período, como base; otro de 15s para registrar los movimientos rápidos, y un par de péndulos fotográficos de considerable aumento con pe- ríodos, uno de 36 4* y el otro de unos 205, para que ac- tuasen de sismoscopios registradores, todos sin amortigua- miento alguno (*). El Profesor Wiechert emplea en su célebre Instituto, de Gotinga, para los terremotos cercanos, su colosal péndulo de 17.000 kilogramos con 1,2$ de periodo; para el resto el de 1.200 kilogramos, hoy tan extendido, y con 12á 15*, y para el estudio particular de las ondas lentas otro de 100 ki- logramos con sólo 10 veces de aumento externo, de período superior á un minuto. De componente vertical emplea la suya de 1.300 kilogramos, '7$ de período máximo útil y 160 veces de aumento (**), factor que en manera alguna se ha de olvidar en la elección de instrumentos. Conforme se vé, estas combinaciones son análogas á la propuesta antes, debida al Profesor Rudolph, quien tuvo la (*) Report... Publications, núm. 23, Tokyo 1907, pp. 5-6. (**) Haupstation fúr A a ín paisa tas zur Geophysik, VI Bd. 3 u. 4 Hít. SS 627-629. — 143 — bondad de indicárnosla al escribirnos acerca de las reformas proyectadas en esta estación sismológica de Cartuja: sólo la hemos modificado ligeramente con el fin de generalizarla. Si se quisiese una combinación más económica y también completa, pudiera adoptarse el pequeño péndulo astático de Wiechert, atendiendo al moderado precio y gran aumento externo, unidos á su buen mecanismo de amortiguamiento, período bastante razonable (de 4 á 105 el modelo de 80 ki- logramos de masa y hasta 15* los de 125 y 200 kilogramos), con más un par de péndulos horizontales, destinados espe- cialmente á registrar los telesismos. Si fuesen buenos, y sobre todo, si se les añadiese un instrumento para la componente vertical, resultaría una instalación de primer orden. Queriendo montar un solo sismógrafo, creemos hoy pre- ferible el de Wiechert. Un par de aparatos Omori-Bosch, asociados á un micro- sismógrafo de tres componentes Vicentini, constituirían una aceptable combinación, aunque más cara é inferior á un pén- dulo invertido y una componente vertical Wiechert, y aun á un Wiechert siquiera de solo 125 kilogramos. Ultimamente, en vista de su excesiva baratura, y de que dan algunas veces resultados estimables, los péndulos Gra- blovitz pudieran servir para las estaciones de tercera clase, sobre todo proveyéndolos de un sencillo amortiguador y de pluma bien equilibrada. Cuando llegue el día, ya no lejano, en que por parte de todos se preste á la Sismología el apoyo decidido que su utilidad merece, la mayoría de sus actuales instrumentos se conservarán sólo como glorioso recuerdo de los descubri- mientos que con ellos realizaron sus inventores, mejor que por la utilidad futura de sus gráficos. Las masas colosales, los aumentos enormes, los potentes focos luminosos, los edi- ficios expresamente construídos al abrigo de toda perturba- ción se imponen ahora, si se aspira á que la moderna Sis- = 144 — mología no se detenga en sus rápidos adelantos que reve- lan los misterios del interior de la tierra, lugar de nuestro destierro; pero al cabo obra admirable de Aquel que todo lo puede, y uno de los objetos más dignos de nuestro es- tudio. - Cartuja (Granada), 8 Enero 1908, PUBLICACIONES RECIBIDAS DESDE 1. DE JULIO DE 1907 (Continuación.) Observatoire Royal de Belgique. —Service astronomique. — Les Observatoires astronomiques et les Astronomes par P, Stroobant, J. Delvosal, H. Phi- lippot, E. Delporse et E. Merlin. — Bruxelles, 1907. Observatoire Royal de Belgique.—Annales de 1... —Bulletin Climatologique de lannée 1899.—Premiere et deuxiéme partie.— Bruxelles, 1904, 1906. Société Belge d'Astronomie.— Bulletin de la... —Deuxiéme année, nums. 9 y 10.—Septembre-Octobre. 1907.—Bruxelles. Academy of Natural Sciences of Philadelphia. —Proceedings of the...—Vo- lume LVIII. Part. 3. October, November, December, 1906.--Vol. LIX, Part. 1. Jannary, February, March, 1907.— The Academy .., 1907. Sociedad Aragonesa de Ciencias Naturales. —Linneo en España.— Home- naje á Linneo en su segundo centenario (1707-1907). —Zaragoza, 1907. Instituto General y Técnico de Teruel. —Memorias correspondientes á los cursos de 1902 á 1903, 1903 á 1904 y 1904 á 1905, redactadas por el Se- cretario D, Manuel Fernández y Marín.— Teruel. y Jordan (Camile). —Journal de Mathématiques pures et appliquées, — Sixieme série, tome 111, année 1907, Fascicule, núm. 4.—París. Observatoire Royal de Belgique. —Annales de 1... —Nouvelle serie, —Annales Météorologiques, tomes 1, 11, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII, XIV et XVII. —Bruxelles, 1go1 á 1905. Kungl. Svenska Vetenskapsakademiens Handhingar.—Band 42, núm. 5, 6, 7 y 9. —Upsala 8 Stockholm. College of Science Imperial University of Tokyo, Japan —The Journal of the...—Vol. XXI, articles 2 al 6, vol. XXII.—Tokyo, Japan, 1906. Observatory (The). —A monthly review of Astronomy, núm. 389, Novem- bre, 1907.—London. - DE LAS MATERIAS CONTENIDAS EN- as £ Constitución de la Academia « en 1.2 de Julio di de 1908... O L. ds de la teoría de la Elasticidad, por José Eche- . garay. Conterencia décima >... 0. ria II. —Elementos de la teoría de la Elasticidad y por José Eche- ) garay. Conferencia undécima. ......o.ooooo.oo.o... SS III. — Elementos de la teoría de la Elasticidad, por José Eche- garay. Conferencia duodécima... ..oooonoccconoo.. IV.—Nuevo método para determinar el diámetro del planeta de Venus, por Vicente Veloso cien a ao V.— Investigación analítica de los cloratos.—- Generalización e á muchos oxidantes. — Colorimetría de los A: Se: por Juan Fages. VIFBU OS er ció. sea cion 100 - VI.—Estudio comparativo de los tuneado más e en AN Sismología, por Manuel-M.? S, Navarro (S. J. ye 121. : Un recibidas. desde 1.2 de Julio de 1907. CO de lo Ro RO e y e La subscripción á esta REVISTA se hace por tomos completos, de 500 á 600 páginas, al precio de 6 pesetas en España y 6. francos ; da en el extranjero, en la Secretaría de la Academia, calle de Val verde, núm. 26, Madrid. : , Precio de este cuaderno, 2, 25 pesetas. E A — 145 — VI.— Informes de la Academia acerca de la obra del Sr. Alves Magalhaes, titulada «Nova lei do sistema do Mundo». Informe de la Sección de Ciencias Naturales PONENTE: D. RAFAEL SÁNCHEZ LOZANO Con el título de Nova lei do sistema do Mundo, mudanca periodica da posicao da Terra, Memoria apresentada 4 Aca- demiía das sciencias de Lisboa, por Alves de Magalhaes, advogado, se ha publicado en Porto, en el año de 1905, un libro, cuyo autor ha remitido un ejemplar á nuestra Acade- mía con el fin de que se sirva examinarlo y le participe el concepto que merezca. Forma la obra del Sr. Magalhaes un tomo de 703 páginas en 8.” mayor, donde se tratan y discuten determinadas cues- tiones geológicas, paleontológicas é históricas, así como cier- tos problemas astronómicos que el autor estima necesario dilucidar para llegar metódicamente á la exposición de una teoría, donde se supone el cambio ó mudanza periódica de la posición de la Tierra, y, como consecuencia de la misma, deduce interesantes conclusiones aplicables á la historia de la humanidad. Divídese el libro en seis grandes capítulos que denomina sucesivamente «Documentos geológicos», « Documentos pa- leontológicos », «Documentos históricos», «Fenómeno gla- ciario », «Problema astronómico » y « Conclusiones », si bien la teoría en cuestión no la formula concretamente el autor hasta que, bien pasada la mitad del libro, entra en la parte astronómica, y así procede deliberadamente, porque, según Ruy. Acap. Ciencias.—VII.— Octubre, 1908. 10 — 146 — él mismo afirma, no es matemático ni astrónomo, y, por con- siguiente, entiende que le faltan los elementos indispensa- bles para dominar el campo de la ciencia astronómica. En consecuencia, comienza su trabajo por la exposición y dis- cusión de los documentos geológicos, paleontológicos é his- tóricos, de donde, á su entender, se deduce la ley del sistema del Mundo y de la mudanza periódica de la posición de la Tierra. Al estudiar el problema desde el punto de vista geológi- co, comienza por criticar la hipótesis de la inmutabilidad de la posición de la Tierra, consecuencia de los dos principios aceptados generalmente, del paralelismo del eje terrestre y de la inalterabilidad de la posición de la órbita; entra luego en el examen detenido de los fenómenos glaciarios desde el período numulítico hasta la época moderna, y pone de relie- ve la coincidencia de manifestaciones de temperatura tropi- cal en las latitudes árticas, y de señales de la acción glacia- ria en las más bajas de nuestro hemisferio durante un pe- ríodo del eoceno, inmediatamente precedido y seguido de indicaciones de climas cálidos. El mismo fenómeno se repite, con caracteres más definidos, en el período subsiguiente du- rante los últimos tiempos miocenos y principio del plioceno, y tales hechos constituyen, á su juicio, otros tantos enigmas de la ciencia, que no han descifrado los geólogos y que el autor explica considerándolos sencillamente como resultado de fases sucesivas de la acción glaciaria procedente de un punto muy próximo á la zona ecuatorial. De la misma manera, sólo admitiendo el supuesto de la marcha gradual y lenta de la acción glaciaria, del S. al N. de nuestro hemisferio, puede explicarse, según el autor, la his- toria de la penúltima era glacial, así como también los fenó- menos relativos á la época glacial moderna, y en definitiva deduce que, del conjunto de los hechos, resulta una conclu- sión general, y es que, en los sucesivos períodos, las señales de la acción glaciaria aparecen en todas las latitudes de los A Y A AMIA E ADA A AA E ó pa — 147 — dos hemisferios. Este fenómeno, que nos demuestra la trans- posición de las zonas polares y ecuatoriales, y la consecu- tiva transmutación de los climas del Globo, presupone, pues, necesariamente, á su juicio, la mudanza periódica de la po- sición de la Tierra. Examina luego, en capítulo aparte, la cuestión, considerada desde el punto de vista de la Paleontología, y, al efecto, da por demostrado que, según los trabajos de Lartet, una doble corriente de emigración animal, que partió de regiones y cli- mas radicalmente distintos, debió cruzar el continente euro- peo durante el período de transición de la edad terciaria á la cuaternaria. Y despues de discusión detenida del asunto, trata de comprobar que, en la misma época y obedeciendo á las mismas causas, el movimiento de imigración humana debió de coincidir con el animal. Y para demostrarlo examina sucesivamente cuales debie- ron ser las emigraciones de las diferentes razas humanas á partir del final de la época terciaria, y se ocupa en dilucidar diferentes cuestiones de Protohistoria, con tal detenimiento, que difícilmente podrían consignarse sus interesantes obser- vaciones sin resultar excesivamente prolijos; mas bastará hacer constar que, como resumen de las 136 páginas que constituyen el capítulo que nos ocupa, formula las conclusio- nes siguientes: 1.* Que la invasión de la zona septentrional de Europa por la raza braquicéfala ó amarilla, y la del Sur por la doli- cocéfala Ó blanca, fueron dos fenómenos sincrónicos, que remontan á los últimos tiempos terciarios. 2. Que la emigración de estas razas terciarias, sólo pue- de explicarse por la transposición de las zonas polares y ecuatoriales. 3, Que el movimiento emigratorio de la raza hiperbórea y braquicéfala hacia el Mediodía de Europa, fué el resultado de la invasión glaciaria del Norte en la primera época de la edad cuaternaria. — 148 — Y 4.% Que esta invasión glaciaria del Norte presupone una nueva transposición de las zonas polares y ecuatoriales en sentido opuesto al de la edad geológica precedente. Para terminar el análisis paleontológico, pasa al estudio de la distribución de las formas orgánicas en las diversas latitudes del Globo, y hace ver que su teoría explica satisfac- toriamente la repartición de las formas septentrionales, tem- pladas y tropicales, por todas las regiones de la Tierra. En el capítulo siguiente examina, con gran detenimiento, las tradiciones y documentos históricos que estima pertinen- tes á la confirmación de su teoría. Discute la tradición para- disíaca tal como se interpretaba hasta mediados del pasado siglo, y, después de esta fecha, cuando el descubrimiento de importantes documentos zendas y sanscritos, derramando preciosa luz sobre la historia antigua del Asia, produjo re- sultados admirables, entre los cuales debe contarse la com- probación de la identidad de las tradiciones paradisiacas en las grandes ramas de la humanidad. Con erudición manifiesta discute el autor, en las 202 pági- nas del capítulo, cuestión tan obscura como la de determinar la región donde estuvo situado el Paraíso, y se inclina á aceptar la opinión del ilustre naturalista Haeckel, quien le supone en la Lemuria, continente intertropical sumergido hoy bajo el océano Indico. Analiza, además, las tradiciones relativas al período glaciario, así como también los más an- tiguos monumentos literarios de las grandes razas humanas, para demostrar que el último fenómeno glaciario, atacando á la zona tórrida y transformando radicalmente el clima del Paraiso, obligó á las razas humanas á expatriarse; y en defi- nitiva, deduce de su estudio que, las indicaciones climatoló- gicas relativas á la cuna del género humano, lejos de armo- nizarse, pugnan con todas las hipótesis hasta hoy inventadas para determinar la situación del Edén primitivo, y que, los intérpretes, dominados por las teorías astronómicas y geoló- gicas existentes, no pueden, ni podrán nunca, encontrar una — 149 — región con ese carácter verdaderamente anormal y extraor- dinario de un clima tórrido seguido de otro glacial. Como consecuencia de la discusión de estos problemas y otros no menos arduos y complicados, resultan de relieve tres grandes enigmas de la historia que la ciencia no ha re- - suelto todavía. Es el primero, el averiguar por qué la tradición del diluvio es peculiar de las razas blancas de Asia y de la indígena del Nuevo Mundo, y por qué no aparece esa tradición en las razas negras, en las primitivas razas mongólicas de Asia y en las antiguas razas blancas del Norte y Occidente de Áfri- ca y del Mediodía y Occidente de Europa. El segundo enigma estriba en la explicación del hecho de existir dos focos distintos de tradición diluviana, uno en Asia y otro en América. : Y el tercero consiste en determinar cuál es el diluvio á que se refieren las tradiciones asiáticas, y á cuál aluden las de los indígenas de América. Y estos tres enigmas pueden explicarse satistactoriamente, y los explica el autor, por medio de su teoría de la transpo- sición de las zonas glaciares y ecuatoriales. El nuevo capítulo, que ocupa 91 páginas del libro, entra en el examen de las teorías modernas relativas al fenómeno elaciario, teorías que explican sencillamente múltiples hechos observados; pero que dejan sin explicación otros muchos comprobados por la ciencia, y precisamente tal defecto, fué el que le condujo al descubrimiento de la nueva ley del sis- tema del Mundo. Se da cuenta en este capitulo de los trabajos de Cuvier, relativos á las revoluciones del Globo; se formulan las hipó- tesis de Boucheron y Federico Klee, y se hace la exposición, bastante completa, de los notables estudios del ilustre mate- mático Adhemar, quien, en 1842, estableció los fundamentos de la teoría de los diluvios periódicos y del fenómeno glacia- rio. Expónense, además, los perfeccionamientos de esta teo- — 150 — ría debidos al sabio inglés Croll, y como consecuencia del examen de todas ellas, se inclina el autor á aceptar la del último, en la que se explican los cataclismos glaciares y di- luviales por la acción combinada de los tres grandes movi- mientos de la Tierra, precisión de los equinoccios, revolución de los ábsides y desenvolvimiento de la excentricidad orbi- taria. Estos tres movimientos, combinados, produjeron alternati- vamente en los dos hemisferios períodos de enfriamiento in- tenso y excesiva acumulación de hielos, y, en consecuencia, la dislocación del centro de gravedad terrestre. Y á su modo de ver, durante los ciclos de excentricidad creciente de la órbita terrestre, ó eras astronómicas de frío, hubieron de pro- ducirse los fenómenos diluviales en gran escala, mientras que en los períodos de reducción de la excentricidad, ó eras astronómicas de calor, se ocasionaron los pequeños diluvios, radicalmente distintos de los primeros. Pero la moderna teoría del fenómeno glaciario, dice des= pués, está vaciada en los moldes de la actual ciencia astro- nómica, que no admite otros centros de hielos como no sean los dos polos ártico y antártico; y así no pueden explicarse ciertos hechos, tales como el de la distribución de las formas organizadas y la diseminación de las manifestaciones glacia- rias por todas las latitudes del Globo, hechos que sólo pue- den explicarse por medio de la teoría de la mudanza perió- dica de la posición de la Tierra, cuyo principio, á su modo de ver, viene á completar la relativa al fenómeno glaciario. Pasa luego en nuevo capítulo al examen del problema considerado desde el punto de vista astronómico, bien que antes de entrar en materia reconoce, según se ha indicado anteriormente, que le falta la competencia indispensable para penetrar autorizadamente en el campo de la Astronomía; mas entiende, sin embargo, pertinente al caso el exponer algunas consideraciones que conducen á admitir como racional su hipótesis. — 151 =— Comienza, pues, por poner de manifiesto la imposibilidad de determinar con precisión la figura de la Tierra, cuyas irre- gularidades de forma dan por resultado desviaciones y alte- raciones en sus movimientos. Examina seguidamente las doctrinas relativas á la dislocación del eje terrestre según la ciencia astronómica, y concentrando la atención en lo esen- cial del asunto, deduce que, en el estado actual de las cosas, parece que no puede admitirse que la profunda metamórfosis de la corteza terrestre, durante los períodos glaciarios, no puede ser causa de mudanza importante en el eje de rotación de la Tierra. Mas, no obstante, en su opinión, la ciencia no dispone todavía de los datos necesarios para que se pueda considerar como resuelto definitivamente el problema. El límite de des- viación de 1” 21” á uno y otro lado de la posición media de la eclíptica, calculado por Laplace para los cien mil últimos años, puede alcanzar, según Jhon Herschel, hasta tres ó cua- tro grados en el transcurso de millones de años, y si con los datos imperfectos de la actual ciencia astronómica, relativos al probema, Herschel admite la posibilidad de tal desviación, no debe repugnar el creer que los matemáticos futuros, ba- sándose en cálculos más exactos, comprueben que la oscila- ción de la eclíptica, ó la del plano del ecuador, pudiera haber alcanzado más amplios límites. Y para demostrar que tal su- puesto es verosímil, expone, en las 53 páginas del capítulo, múltiples razonamientos encaminados á determinar la in- fluencia que, durante los períodos glaciarios, debió ejer- cer en la posición del eje de rotación terrestre la masa de hielos acumulada periódicamente en los polos. De tales consideraciones, y de lo expuesto en los capitulos anterio- res, deduce el autor lo fundamental de su teoría, que, en breves frases, formula al final del capítulo en la forma si- guiente: «Del numeroso conjunto de hechos geológicos, paleonto- lógicos é históricos que se han expuesto, y del examen de so 17 la teoría astronómica que acaba de hacerse, surgen indica- ciones firmes y determinadas cuya combinación nos conduce á una resultante; y es que, por efecto de una inclinación ma- yor del eje de la Tierra sobre el plano de la eclíptica (cuyo límite no es posible determinar), el Globo muda periódica- mente de posición, de modo tal, que se convierten alterna- tivamente las regiones polares en zona tórrida, y la zona tórrida en regiones glaciarias. Nuestra hipótesis tiene carác- ter verdaderamente positivo, ya que, sin ocasionar contra- dicción á las leyes astronómicas establecidas, se reduce sen- cillamente á la ampliación de un hecho comprobado: la dis- locación del eje de la Tierra.» Para terminar su libro, el Sr. Alves de Magalhaes formula en un capítulo final, de 98 páginas, interesantes considera- ciones encaminadas á explicar la historia entera de la evolu- ción humana por sus verdaderas causas eficientes de natura- leza orgánica é inorgánica. Á la ciencia de la Sociología le falta, en su opinión, todavía mucho camino que recorrer hasta alcanzar su constitución definitiva; ignora por completo esta ciencia las relaciones existentes entre los fenómenos so- ciales y los fenómenos astronómicos, geológicos y orgánicos que constituyen sus causas eficientes, y fácil es ver que el estudio especializado, ó por partes, de los fenómenos socia- les, no nos puede dar noción exacta de su existencia. Si se trata, por ejemplo, de indagar cual fué la génesis del esta- blecimiento de la familia en la especie humana, la ciencia so- cial no ha podido descubrirla, ni explicar tampoco la serie de transformaciones porque han pasado las diferentes for- mas de organización doméstica al través de las sucesivas edades de la civilización. Y después de insistir en prolijas consideraciones sobre tal materia, deduce, en consecuencia, que la Sociología actual, por su carácter eminentemente analítico y abstracto, es im- potente para desembrollar el complicado dédalo de los fenó- menos sociales, y es indispensable, por consiguiente, el crear An q O II E TON — 153 — una nueva ciencia de Sociología concreta, cuyo carácter debe ser esencialmente sintético, - Á tal propósito se dirigen las miras del autor en las últi- mas páginas del libro, proponiéndose asi dejar sentadas las bases de esa nueva ciencia, que habrá de esclarecer con luz vivísima la historia de la humanidad, á partir de la época miocena, en que aparecen ya los primeros esbozos de la in- dustria humana, bien que esta circunstancia le induzca á ad- mitir que la variedad bípeda remontó á los tiempos eocenos, y fué obra, verosímilmente, del fenómeno glaciario numulíti- co que, aniquilando las forestas de la zona tórrida, obligó al antropoide á permanecer en pie. Tal es, en suma, lo esencial de la obra en dictamen, y en la que, según acabamos de ver, no se propone el autor con- signar hechos ni observaciones sugeridas por propia expe- riencia, sino más bien los resultados de meditados estudios que le llevan á exponer ideas y principios dignos de atención por parte de naturalistas y filósofos y, en definitiva, á formu- lar una teoría por virtud de la cual se explica el fenómeno de la transmutación general y periódica de los climas del Glo- bo, mediante el supuesto de que, periódicamente, ha cam- biado la posición de su eje de rotación. Resalta, en primer término, en el trabajo de que se trata, erudición indiscutible, que se manifiesta, no sólo por las múltiples y complejas cuestiones que se discuten, sino tam- bién por el desarrollo metódico, forma apropiada y claro len- guaje con que van expuestas. Apórtanse al mismo, para fundamentar la teoría, docu- mentos valiosos y de reconocida autoridad, ya que dimanan de doctrinas formuladas por naturalistas y filósofos de gran renombre, bien que tales doctrinas hayan sido objeto de em- peñada controversia entre los hombres de ciencia y estén lejos todavía de encontrarse definitivamente resueltas. No escapa á la sagacidad del autor el principal reparo- que la Geología puede oponer á sus hipótesis; si, según su- — 154 — pone, en la región ecuatorial existieron antiguos heleros, de- bían encontrarse allí, como testimonio de la acción glaciaria, los cordones de cantos errantes que constantemente acom- pañan á las grandes acumulaciones de hielos; mas los geó- logos no han comprobado, hasta el presente, la presencia de semejantes cantos en la zona ecuatorial, y, por consiguiente, queda aun en pie tan importante objección, bien que hacién- dose cargo de ella, el autor de la hipótesis, firme en sus con- vicciones, se limita á contestar, en la pág. 175 del líbro, que, más pronto ó más tarde, los geólogos encontrarán señales tan evidentes de la acción glaciaria en la referida zona, que habrá de ser imposible el negarla. Mas las verdaderas dificultades á la teoría del Sr. Alves de Magalhaes, no han de ofrecerlas, ciertamente, la Geolo- gía, la Paleontología ni la Protohistoria, ciencias todas que admitirían de buen grado el supuesto de la mayor inclina- ción del eje terrestre para explicar los cambios de los climas durante los períodos geológicos, si los principios sentados por la Astronomía autorizaran la hipótesis. Es más, la idea no es realmente nueva, puesto que se formula y discute en las antiguas obras de Geología, como puede, por ejemplo, comprobarse en el Prodrome de Geologie, de Alejandro Vezian, publicado en 1862; y así dice este autor, en la pági- na 127 del libro, hablando de la hipótesis de una lenta va- riación en el grado de oblicuidad del eje terrestre: «La Geo- logía no suministra pruebas contra esta hipótesis, y si le fuera permitido el no tener en cuenta los datos de otras ciencias, le sería más bien favorable; pero la Astronomía nos demues- tra que el eje terrestre de rotación no puede variar en su erado de inclinación más que 4”, y vuelve á su situación pri- mera en un período de 26.000 años aproximadamente». Dentro de los límites que abarcan las observaciones de los astrónomos, parece demostrado, en efecto, que las variacio- nes ofrecen carácter de periodicidad bien marcado. Mas como las zonas climatológicas comenzaron á manifestarse — 155 — desde la era mesozoica, cabe suponer que en tan remoto tiempo los diversos elementos astronómicos del Globo pudie- ron ser muy diferentes de lo que son en nuestros días. La estabilidad del sistema solar, tal como la admiten los astró- nomos, se refiere exclusivamente á sus condiciones actuales, y, probablemente, no ha debido ser la misma en todos los tiempos, puesto que sus elementos determinantes son: las masas actuales de los planetas, sus distancias relativas y las velocidades en los movimientos; y, de ser cierta la hipótesis de la nebulosa primitiva, tales elementos han debido modi- ficarse, en sus magnitudes, con el transcurso del tiempo. Resulta de esto, que hay fundamento para admitir que en los antiguos períodos geológicos pudo alcanzar el eje terres- tre mayor oblicuidad que la determinada por las observacio- nes de los astrónomos, y hasta cabe dentro del supuesto el aceptar la idea, sustentada por algunos, de que la situación de los polos fuera distinta que en la actualidad, ya que nues- tro planeta, poco consolidado todavía, pudo haber experi- mentado en la distribución de sus materiales, cambios capa- ces de alterar la posición de su eje de inercia. Así se explicarían, sin oposición insuperable por parte de Astronomía, las modificaciones de los climas durante los pe- ríodos antiguos; mas en la época moderna, cuando ya el hombre apareció sobre la Tierra, desde que nuestro planeta se encontró en condiciones casi idénticas á las actuales, es indispensable armonizar los hechos comprobados por la Geología, la Paleontología y la Protohistoria con los princi- pios astronómicos, resultado de las observaciones ante el sistema planetario actual. Sin esto, carecerán de base firme y científica cuantas teorías se formulen para explicar los cam- bios de climas en los últimos períodos geológicos. En definitiva, los documentos que figuran en la obra Nova lei do sistema do Mundo, se concretan al período geológico caracterizado por la presencia del hombre; tales documentos - no se oponen manifiestamente, sino que, por lo general, con- — 156 — firman la teoría de la mudanza periódica de la posición de la Tierra; mas como la teoría en cuestión requiere la sanción de la ciencia astronómica, opina el que suscribe que, salvo mejor parecer de la Academia, debe pasar el libro á la Sección de Ciencias Exactas, donde habrá de dictaminarse con superior conocimiento, cuanto se consigna relacionado con la Astronomía. TI Informe de la Sección de Exactas. PONENTE: D. VICENTE VENTOSA. Por acuerdo de esta Real Academia, reunida en pleno, pasó á la Sección de Exactas, con el fin de que ésta emitiese dictamen, en lo que fuera de su competencia, un libro, infor- mado ya por la Sección de Naturales, titulado Nova lei do Systema do Mundo, Mudanca periodica da posicao da Terra. Memoria apresentada á Academia Real das Sciencias de Lisboa por Alves de Magalhaes, advogado. Al honrar nuestra Sección con la ponencia al que subs- cribe, hallóse éste perplejo acerca de la manera de llevar á cabo tan delicado encargo, porque, después de leído el lumi- noso informe aprobado por la Academia, el examen que en él se hace de las doctrinas sustentadas en dicha obra es tan acabado, tan claramente expuesto el objeto que se propuso el autor al escribirla y tan acertadas las conclusiones á que en el citado informe se llega, que casi resulta superfluo cuan- to añadir á él se pretenda. Es más. Los problemas en que el Sr. Magalhaes se ocupa son de tal naturaleza, que los conocimientos geológicos y astronómicos, necesarios para resolver aquéllos, compené- transe intimamente, siendo, por tanto, difícil tratarlos con la separación debida. Así, sólo por un laudable, aunque acaso A A Sa A hn ASAS e A pl FAA 5 el a NE innecesario anhelo de esclarecer en lo posible un enigma de la historia geológica de la Tierra, pudo el ponente de la Sec- ción de Naturales pedir á la misma y aprobar la Academia toda el parecer de que la Sección de Exactas diera dictamen de cuanto en el libro se consigna relacionado con la Astro- nomía. Para formar clara idea de la espinosa misión encomendada al actual ponente, pongamos en primer término de manifiesto el problema capital que el Sr. Magalhaes cree haber resuelto, siquiera desenvuelva modestamente su teoría como mera hipótesis, aunque, á su juicio, con carácter de verosimilitud indubitable. Trátase, en la'obra que examinamos, de explicar completa- mente las causas y el origen de los fenómenos glaciarios, de los cuales en el suelo de nuestro Globo hay señales patentes, y que tan divididas traen hoy todavía las opiniones de los geólogos y astrónomos. Pone de relieve el autor la coinci- dencia de manifestaciones de temperatura tropical en las la- titudes árticas, con indicios de la acción glaciaria en las más bajas de nuestro hemisferio, durante una parte del período eoceno, inmediatamente precedida y seguida de indicaciones de climas cálidos; repitiéndose el fenómeno, con caracteres más definidos, en el período subsiguiente, durante los últi- mos tiempos miocenos y principio del plioceno. «De la teoría de la inmutabilidad de posición de nuestro Globo — dice el autor — hija de dos principios universal- mente aceptados— el paralelismo del eje de la Tierra y la inalterabilidad de la posición de la órbita terrestre—, derívan- se lógicamente dos ideas. La primera es la prioridad de la aparición del frío y de los hielos en los dos polos ártico y antártico; la segunda, la del predominio simultáneo del frío y de los hielos en los mismos centros polares.» «Hasta hoy— añade — nadie pudo concebir que el frío y el hielo pudieran aparecer en cualquier punto del Globo antes de haber hecho su primera aparición en los polos. Pero desde que la Paleon- — 158 — tología nos demostró las coincidencias señaladas más arriba, la acción glaciaria nunca podrá ser explicada por la teoría de la inmutabilidad de la posición de la Tierra, que hace irradiar invariablemente la acción glaciaria de los actuales centros polares». i Conviene quizás hacer notar aquí cierto paradogismo en el lenguaje del autor, al suponer perfectos el «paralelismo del eje de la Tierra y la inalterabilidad de la posición de la órbi- ta terrestre». Porque, si así fuera, no podría producirse el fenómeno llamado precesión de los equinoccios, á que alude más adelante. El autor olvida, sin duda — porque de su evi- dente erudición no parece probable que lo desconozca—, que las llamadas constantes en Astronomía, como en otras ciencias de observación, son cantidades cuya variación es muy pequeña, ó que, por desenvolverse con suma lentitud, sólo se hace apreciable en el transcurso de mucho tiempo, circunstancia que permite á veces simplificar los cálculos. Hecha esta salvedad, y continuando el examen del libro del Sr. Magalhaes, dice éste que, del conjunto de los hechos, resulta una conclusión general, y es que, en los sucesivos períodos, las señales de la acción glaciaria aparecen en todas las latitudes de los dos hemisferios, demostrando este fenó- meno la transposición de las zonas polares y ecuatoriales, y la consecutiva transmutación de los climas del Globo, lo cual presupone necesariamente —siempre en opinión del autor — la mudanza periódica de la posición de la Tierra. Antes de entrar éste en el examen científico de la ley que cree haber descubierto, propónese demostrarla mediante tres órdenes de pruebas, consultando los documentos geológicos, paleontológicos é históricos que acerca de ella pueden sumi- nistrar alguna luz. Cualquiera que sea el juicio que se forme sobre las ideas y conclusiones que en esta parte del libro, y aun en todo él, se exponen, no puede negarse la extraordi- naria erudición del Sr. Magalhaes, ni la sagacidad y el mé- todo que le caracterizan al explanarlos. Adviértese que prin- — (159 — cipalmente le preocupa cuanto al origen y al sucesivo des- envolvimiento de la humanidad se refiere, y consultando las tradiciones y los documentos que hasta nosotros han llegado, discute cuestión tan ardua como la de determinar la región donde estuvo situado el Paraíso, y se inclina á aceptar la opinión del ilustre naturalista Haeckel, quien le supone en la Lemuria, continente intertropical hipotético sumergido hoy bajo las aguas del océano Indico. De este mismo estudio de- duce, además, que el último fenómeno glaciario, atacando á la zona tórrida y transformando radicalmente el clima del Paraíso, obligó á las razas humanas á abandonar su patria y dispersarse. Dejando á un lado estas y otras arduas cuestiones, que, por otra parte, no son de nuestra competencia, y que es pro- bable no lleguen nunca á ser completamente esclarecidas, expone el autor con bastante amplitud en uno de los capí- tulos de su libro, los notables estudios del ilustre matemático Adhémar, quien en 1842 estableció —como se sabe — los fun- damentos de la teoría de los diluvios periódicos y del fenó- meno glaciario, haciendo intervenir la precesión de los equi- noccios y la revolución de los ábsides de la órbita terrestre, movimientos que, por su combinación lenta, alteran periódi- mente la duración de las estaciones en los dos hemisferios, y, de consiguiente, las sumas de las horas de día y de noche que ambos tienen. Cree Adhémar que esta desigualdad ha de producir una diferencia en las temperaturas correspon- dientes, la cual, acumulándose, basta para desequilibrar el peso de las dos masas de hielo polares y producir, al cabo, una dislocación del centro de gravedad de la Tierra. El sabio inglés Croll agregó, á las causas señaladas por su antecesor, la variación de la excentricidad de la órbita te- rrestre, que se desenvuelve en el transcurso de muchos mi- llares de años, y que exagera los efectos del movimiento de la precesión. Pero Croll, para dar, sin duda, mayor carácter. de verosimilitud á su hipótesis, mostró mucho ingenio tra- — 160 — tando de apoyarla en sólidas bases climatológicas, haciendo intervenir, por ejemplo, la gran influencia de las corrientes oceánicas calientes para hacer más templados los climas de las altas altitudes. En otros términos, quiso tener en cuenta la presencia de la atmósfera y de los mares, que pueden mo- dificar, y en épocas remotas habrán probablemente modifica- do en gran manera, los climas llamados solares, deducidos puramente de los elementos astronómicos que gobiernan la distribución de la temperatura en la Tierra, considerando la superficie de ésta desprovista de agua y de envoltura gaseo- sa. Por estos motivos, la ingeniosa teoría de Croll, aunque muy discutida y objetada, cuenta todavía partidarios. Insiste mucho el Sr. Alves en la apreciación de la impor- tancia de los diversos factores astronómicos que intervienen en la formación de los climas terrestres, y principalmente en la necesidad de ampliar ó exagerar los límites de la variación que cada uno de ellos puede en la actualidad experimentar según los principios establecidos en la Mecánica celeste. No es posible negar que en otras edades, separadas de la nuestra por muchos millares ó millones de años, pudieron alcanzar aquellos factores valores considerables, extremando las condiciones climatológicas de nuestro planeta y capaces de dar origen á las catástrofes que él, en la dilatada serie de los siglos, ha sufrido. Como acertadamente dice el Informe de la Sección de Naturales, «la estabilidad del sistema solar, tal como la admiten los astrónomos, se refiere exclusiva- mente á sus condiciones actuales, y, probablemente, no ha debido ser la misma en todos los tiempos, puesto que sus elementos determinantes son: las masas actuales de los pla- netas, sus distancias relativas y las velocidades en los movi- mientos; y de ser cierta la hipótesis de la nebulosa primitiva, tales elementos han debido modificarse, en sus magnitudes, con el transcurso del tiempo». Quizás las variaciones de estos elementos hayan podido ser mayores, si, en vez de la teoría laplaciana, resultase ñ | A — 161 — cierta otra recientemente ideada y desenvuelta por el astró- nomo americano Chamberlin y por él llamada hipótesis Pla- netesimal 6 Espiral, porque, á su juicio, el actual sistema solar ha debido originarse en la evolución de una nebulosa espiral, forma sorprendente de ciertas agregaciones de ma- teria cósmica, á las que se concede ahora suma importancia en el proceso de la formación de los mundos, y de las cuales nos ofrece el Cielo numerosos y significativos ejemplos. El Sr. Magalhaes formula como conclusión fundamental de su teoría «que, por efecto de una inclinación mayor del eje de la Tierra sobre el plano de la eclíptica (cuyo límite no es posiblé determinar), el Globo muda periódicamente de posición, de modo tal, que se convierten alternativamente las regiones polares en zona tórrida, y la zona tórrida en regio- nes glaciarias. Nuestra hipótesis—añade—tiene carácter ver- daderamente positivo, ya que sin ocasionar contradicción á las leyes astronómicas establecidas, se reduce sencillamente á la ampliación de un hecho comprobado: /a dislocación del eje de la Tierra». Acerca de esta conclusión conviene advertir que el efecto general de un aumento en la oblicuidad de la eclíptica es originar variaciones en el clima de un lugar, cualquiera que sea su posición en la Tierra, y, al propio tiempo, disminuir las diferencias de clima en distintas latitudes. La superficie de un planeta, como Júpiter, cuyo ecuador coincide sensible- mente en el plano de su órbita, disfruta de clima constante en cada paralelo, ó carece de estaciones; pero el clima varía progresivamente de un paralelo á otro, desde el ecuador á los polos. Por el contrario, si el ecuador fuese perpendicular al plano de la órbita, ó, lo que es igual, si coincidiera con este plano el eje de rotación, los climas de todos los paralelos se- rían extremados, de suerte que no se concibe, en tal caso, la existencia de una zona tórrida, ni de regiones propiamente polares en ningún lugar de la superficie del planeta. La trans- - mutación ó conversión alternativa de las regiones polares en Ryv. Acab. Ciencias, —VII[.—Octubre, 1908, 11 — 162 — zona tórrida, y de la zona tórrida en regiones glaciarias, por efecto de una simple inclinación mayor del eje de la Tierra sobre el plano de la eclíptica, no le parece al académico que subscribe bien demostrada por el Sr. Magalhaes, mientras el eje de rotación de nuestro Globo conserve dentro de él una posición invariable. La frase «dislocación del eje de la Tierra» es un tanto am- bigua ó confusa, así como muchas de las premisas que, para llegar á la conclusión arriba formulada, se establecen en el capítulo titulado Problema astronómico. Así, por ejemplo, en la pág. 522 se lee: « Admitida la alternativa del exceso de hielo en los dos polos y la consiguiente dislocación del cen- tro de gravedad de la Tierra y del océano, el resultado ne- cesario de estos hechos parécenos que es una variación ma- yor de la inclinación del eje de la Tierra con relación al plano de la eclíptica, ó, lo que es lo mismo, una dislocación del eje del Globo mayor que la que hoy se admite ». Del conjunto de los razonamientos del autor parece des- prenderse que adopta la idea de la fijeza del eje de rotación en lo interior del Globo; por lo que le parece insostenible la hipótesis de Evans, quien suponía que las antiguas transtor- maciones de clima pueden explicarse por el deslizamiento de la costra sólida sobre una masa flúida central. Pero al mismo tiempo, en la pág. 81 escribe: «Suponemos que, en la transición de la edad terciaria á la cuaternaria, el polo ártico estaba situado en el punto más oriental de la línea ecuatorial que atraviesa el continente atri- cano, lo que equivale á decir que el polo antártico de aquella misma época estaba situado en un punto correspondiente de la actual línea ecuatorial que pasa por el océano Pacífico». «El hielo de nuestro centro polar africano extendió probable- mente su acción á un radio que, en ambos hemisferios, lle- gaba hasta las regiones hoy situadas en el grado 25 de lati- tud. La circunferencia trazada con este radio formaba verosí- milmente el círculo polar de aquella época. La acción glacia- — 163 — ria de nuestro polo ártico abrazaba, por tanto, en Africa casi todo el continente, en Asia el sudoeste de Arabia y toda la zona occidental del continente lemuriano, hoy sumergido en el océano Indico. En Europa, la acción glaciaria del cen- tro polar africano no traspasaba la parte oriental del Medite- rráneo». Aquí indudablemente se afirma la no coincidencia del eje de rotación con el eje actual de figura. La explicación más sencilla y obvia de estos hechos, si fueran ciertos, y de las grandes variaciones seculares de cli- ma—ya que la teoría astronómica presenta tantas dificulta- des—, hay quien cree se hallaría en la hipótesis de que el eje de rotación de la Tierra no ha tenido siempre la misma posi- ción dentro de ella, sino que debe de haber cambiado de lugar como resultado ó consecuencia de grandes trastornos geológicos. Esta hipótesis ha sido sostenida por diversos sabios. Euler dedujo de sus estudios la existencia teórica de la desviación del polo instantáneo de rotación de la Tierra; mas como las observaciones hechas en su tiempo, por no ser suficiente- mente precisas, denotasen sólo que tal desviación era insen- sible, creyó que debía concluirse que el eje de rotación de la Tierra coincidía en absoluto prácticamente con su eje de figura, Ó, mejor dicho, con el eje del máximo momento de inercia. Y de aquí, á su vez, tenía que deducirse que la Tie- rra, flúida primitivamente, había llegado á un estado de soli- dez y rigidez absolutas. En esta hipótesis, Euler demostró que el período de oscilación del eje, si es que éste oscilaba, debería ser igual á 305 días. La Tierra, considerada en con- junto, tendría en este caso una rigidez superior á la del ace- ro. Quiso Newcomb comprobar esta teoría suponiendo que la Tierra, lejos de ser perfectamente rígida, era un cuerpo susceptible de deformarse elásticamente, y, estableciendo que su rigidez fuese igual á la del acero, obtuvo para la oscila- ción un período de 441 días. Estas conclusiones teóricas, sabido es que han hallado — 164 — después plena confirmación en las observaciones astronómi- cas de extraordinaria precisión hechas por los años 1884 y 1885 por Chandler, de Cambridge, y Kiistner, de Berlín. El primero, determinando las variaciones de la latitud de dichos lugares, y extendiendo su investigación á otros, pudo dedu- cir de ellas que el polo del eje de rotación describe, alrede- dor del polo de figura, un movimiento muy complicado, re- sultante de la combinación de dos movimientos simples: uno, elíptico, de período anual, y otro circular, con período igual á 428 días, y cuya amplitud total no excede de 07,6 Ó de 18 metros medidos en el terreno. Ambos movimientos, cuya procedencia aun no está del todo averiguada, efectúanse en el mismo sentido, de Oeste á Este. y experimentan, á su vez, ligeras variaciones. Sácase, sí, la consecuencia de que la Tierra, siempre con- siderada en su conjunto, es algo más rígida que el acero, y varios sabios, en presencia de estos hechos, están acordes en suponer que nuestro Globo debe de estar constituído por una costra sólida que reposa sobre un núcleo igualmente só- lido, de densidad parecida á la del hierro, pero mediante la interposición de una capa plástica, sobre la cual flota, en cier- to modo, la cubierta exterior. Concíbese de esta manera que dicha costra puede llegar á deslizarse ó resbalar, digámoslo así, sobre el núcleo sólido central. La desviación actual del polo, respecto del eje de figura, es, ciertamente, de amplitud pequeñísima; pero en épocas muy remotas, si las condiciones físicas de nuestro Globo hubieran sido muy diferentes de lo que son hoy, esta con- cepción, algo modificada, ¿no permitiría esclarecer la teoría de los períodos glaciarios, ese enigma de la historia geoló- gica de la Tierra? Así lo estiman en la actualidad no po- cos sabios. Bien á pesar suyo ha tenido el ponente que extenderse en tantas minuciosidades — invadiendo, tal vez, un terreno que le está vedado — para hacer notar que el problema tratado — 165 — en el meritorio libro del Sr. Magalhaes (pues plácemes me- rece, siquiera por la grande erudición y la elevación de ideas que en él resaltan), está todavía pendiente de una interroga- ción, aunque se tenga ya, por lo menos, la consoladora es- peranza de llegar algún día á la meta, por los nuevos hori- zontes que la ciencia experimental abre á la especulación. Utiles son cuantos esfuerzos se hagan para ensanchar los límites del saber, porque todos, dirigidos con espíritu impar- cial, pueden contribuir al esclarecimiento de la verdad. En este concepto merece ser leída y meditada la obra del señor Alves Magalhaes, uno de cuyos ejemplares tuvo él la galan- tería de dedicarlo y someterlo á examen de esta Real Aca- demia, por cuya deferencia, al transmitirle los dos informes, merece le sean dadas las debidas gracias. Tal es la impresión que del estudio de dicho trabajo ha sacado el ponente que subscribe, y tal su parecer que humil- demente eleva á la Sección de Exactas, convencido de que ésta, con su superior criterio, y en su día la Academia en pleno, acordarán lo que estimen conveniente, que será sin duda lo más acertado. VII. —Elementos de la teoría de la Elasticidad. POR José ECHEGARAY. Conferencia décimatercera,. SEÑORES: Lo hemos dicho en repetidas ocasiones, el problema de la Elasticidad comprende dos problemas fundamentales: Pri- mero, expresar las componentes p, de las tensiones, en fun- ción de las deformaciones O, V, W; Segundo, establecer las — 166 — ecuaciones de equilibrio del sólido elemental del sistema de coordenadas que estamos considerando. El primer problema ya lo hemos resuelto en la última con- ferencia, y tenemos expresadas las seis componentes p, en función de las derivadas parciales de U, V, W con relación AUN En esta conferencia vamos á resolver el segundo y obten- dremos las tres ecuaciones de equilibrio relativas á las tres componentes de todas las fuerzas, paralelamente á los ejes ETE. - Cuando hayamos resuelto este problema, bastará substituir en las tres ecuaciones expresadas, los valores de las p, para obtener tres ecuaciones en diferenciales parciales de las com- ponentes de los desplazamientos. Esto para el equilibrio; para el movimiento no hay más que incluir entre las fuerzas exteriores, las de inercia del punto material que se considera, ó mejor dicho las del sólido mate- rial que le comprende. Equilibrio del sólido elemental en coordenadas cilíndricas.— Sabemos que el sólido elemental, como puede verse en la figura 54 de la conferencia anterior, se compone de dos ci- lindros de revolución alrededor del eje Z, distantes dr, de dos planos meridianos formando el ángulo infinitamente pequeño d60, y de dos planos perpendiculares á Z, distan- tes dz. Sobre todas las caras de este sólido actuarán tensiones cu- yas componentes hemos designado, en general, por p. En el centro de gravedad, actuarán fuerzas exteriores cuyas com- ponentes designaremos por R, T, Z. Las p sabemos que se refieren á la unidad de superficie, y las tres últimas á la unidad de volumen, A sf + — 167 — Sabemos aún que los tres ejes auxiliares son r, f, z, según los hemos definido en la conferencia anterior. Para obtener las ecuaciones de equilibrio no hay más que hallar las componentes de todas las fuerzas antes enumeradas paralelamente á dichos tres ejes é igualarlas á cero. Con las otras tres ecuaciones, relativas á los pares, no hay Figura 59. que contar, porque se tienen en cuenta con sólo reducir las nueve componentes de p á seis, mediante las condiciones, Pri=Ptr, Prz = Dir, Pet —Ptz- Hemos representado en la figura 59 el sólido elemental ya definido; mas para evitar complicaciones en la figura, sólo hemos conservado las tres caras del ángulo triedro M (figu- ra 59) que son: el cilindro de revolución MCA'“B; el plano * — 168 — meridiano MCB'A, que es un rectángulo; y la sección rec- ta MAC'B, formado por un trapecio circular en el cual los dos arcos son MB y AC”, ambos tienen su centro en el pun- to en que dicho plano corta al eje Z. Las caras opuestas á estas tres se han suprimido en la figura; serían, el cilindro que pasase por A C* y por AB”, el plano meridiano definido por BC” y BA”, y el plano de sec- ción recta determinado por A4'C, que pasaría por CB”. Estas tres caras, como hemos dicho tantas veces, forman un triedro trirrectángulo M: haciendo pasar por Mf tangente á MBy por MC un plano, éste sería tangente á lo largo de la generatriz MC al cilindro BM CA”. Los tres ejes auxiliares serían, como siempre, Mr, Mt, Mz, y es claro que podríamos formar un paralelepípedo elemen- tal cuyo triedro trirrectángulo M estaría formado por el meri- diano MB”, por el plano de sección recta MC' y por el plano tangente 1C. Este triedro ajusta por dos de sus caras con el anterior, y la última es tangente al cilindro. Ya vimos que las tensiones pueden referirse á dichas tres caras planas: dos de ellas porque coinciden en ambos siste- mas de coordenadas; la tercera porque es tangente al ci- lindro. Supongamos que la tensión sobre la cara A*BMC, que es cilíndrica, tiene su punto de aplicación en a, pues lo mis- mo da suponer que a está en dicha cara cilíndrica que en la cara plana MC. Asimismo, tanto dará determinar el área plana ?2MC como el área cilíndrica A*BMC; los errores serían infinitamente pequeños, de segundo orden. Supongamos que las componentes de la tensión, aplicada al punto a, son am paralela á r, am” paralela á £, y am” pa- ralela á z. Pero fijémonos en cuanto á su dirección y á su signo. Según la regla general que establecimos en el primer sis- — 169 — tema de coordenadas, y que aplicaremos también en este de coordenadas cilíndricas, las componentes de p representan la acción de la región positiva sobre la negativa, que en el úl- timo caso sería la de la región que contiene al sólido ele- mental sobre la región negativa de las r; pero como lo que nos interesa es, no la acción del sólido sobre lo que le rodea, sino, por el contrario, la acción de la región ambiente sobre dicho sólido elemental, las tres componentes á que nos he- mos referido serán: am = —-Prr, iS o da am == —Prz: Estas son fuerzas por unidad de superficie sobre toda la cara ¿MC ó BMC, que da lo mismo. Las fuerzas efectivas que actúan se obtendrán multiplicando las anteriores por el área de BMCA”. Dicha cara puede considerarse como un rectángulo. El lado MC es igual á dz. El lado BM es un arco de círculo cuyo lado es r, y cuyo ángulo es 6, luego su longitud será r 40. - Así, pues, tendremos área BMCA' = rdódz; y las componentes de la tensión sobre el punto a del sólido elemental ó, mejor dicho, sobre la cara cilíndrica del sólido elemental serán: Cara cilíndrica MBA'C, componente paralela ár..... =D componente paralela á f..... —rdodzp »; componente paralela áz..... — rdodzp yz. Las componentes sobre la cara opuesta, y según los tres - ejes r, £, z, serán las mismas que acabamos de obtener, — 170 — aumentadas en la parte que corresponde al incremento dr de la única variable que cambia al pasar de una á otra cara. a Pero en los componentes anteriores 49 y dz no varían de una á otra cara; lo único que cambia es para la primera com- ponente rp,,, para la segunda rp,, y para la tercera rp,,; por lo tanto, podemos escribir desde luego: Cara cilíndrica C'AB* componente paralela á r.. + d0dz (12 n= ua ar) componente paralela á f.. + dodz (12 a == Ha dr ) . de 12 componente paralela á z.. + d0dz|rp;,. + OR ar). r Ponemos el signo +- porque en este caso hay que con- siderar la acción sobre el sólido elemental de la región de la derecha, ó sea de la parte positiva del eje de las +. Los componentes paralelos á los tres ejes que proceden de las dos caras cilíndricas, se obtendrán sumando algebrai- camente los resultados anteriores y resultará: — d6dzrp,, + d0dzrp,, + d0dz re dr= F = avdzdr (pr, + rd: dr — d0dzrp,: + d0dzrp,; + d0dz Ho dr = = = dedzdr (pr +r Apr: il dr — d0dzrp,. + d0dzrp,, + dd: HP df = r =dvdzdrlp Sn UPrz dl dr CASETA: = 171 — de modo que, en resumen, tendremos para las dos caras ci- líndricas el resultado siguiente: Caras BMC y C'AB', componente paralelaá r. .. + drd0dz (po. EF te e ] a componente paralela át... +drd6dz (Pr E Pri Ad) (1) componente paralela á z... +drdódz (». +r d yl r Determinemos ahora las componentes paralelas á los tres ejes r, £, z de la tensión que actúa sobre la sección recta MAC't. ) El punto de aplicación suponemos que es el c; la compo- nente paralela al eje de las r será cp; la componente paralela al eje de las £, cp”, y la componente paralela al eje de las z las representaremos por cp”, todas ellas referidas á la uni- dad de superficie. Según las notaciones establecidas tendremos: Cp = — Pers Cp" = — Par CP" = — Pez Ponemos el signo — porque se trata de la acción, no de la región positiva sobre la negativa, en que las componentes de la tensión las hemos representado por Pr, Pzt, Pzz, SÍNO al contrario de la acción de la parte negativa sobre el sólido elemental componente, que son iguales y de signo contrario á las anteriores. El área del trapecio MAC'B, que es la misma que la del — 172 — ] trapecio MA 1f'f y que se confunde con un rectángulo cuyos lados sean MA y Mf será: MA < Mt = dr. rd0; por lo tanto, pasando de las componentes por unidad de su- perficie á las componentes sobre la cara A Mff”, podremos escribir: Cara MAC'B, componente paralela á r... — pz, .dr.rd0= — do componente paralela á f. .. — rdbdrp.: componente paralela á 2... —rdbdrp,.. Para la cara opuesta, que será la definida por CB” y CA”, el cálculo sería el mismo, el factor rd0dr no cambiaría, úni- camente las p sufrirían las variaciones que corresponden al incremento dz, que son: : a da dz dz d De modo que podremos escribir: Cara superior B"CA”, componente paralela á r... + rd8dr (Po. = War d ¿) dz componente paralela á £. .. + rd0dr (Po — ps d 2) componente paralela á z... + rdó0dr (»-. +- s ae d2) Para obtener las componentes paralelas á los ejes r, £, 2, que resultan sobre ambas caras, la inferior y la superior, no — 173 — tenemos más que sumar dos á dos las componentes anterio- res, como hemos hecho para las caras cilíndricas, y tendre- mos: —rdodrp., + rd0dr (».. + Per de) =rd0drdz Per dz dz = rdodrpae + rdodr (pz ei UP de) =rdudraz Dota dz dz dz dz En resumen, para el conjunto de las dos caras de sección recta, la superior y la inferior, tendremos: Caras AMty B'CA', componente paralela á r.... +rdódrdz eS 2 componente paralela á f.... + rdóodrdz =p (2) z : APzz componente paralela á Z.... + rdodrdz proa E + E Sólo nos queda por hacer un cálculo análogo á los ante- riores para la cara CMAB' y la opuesta A'BC”, que son dos planos meridianos, formando el ángulo infinitamente pequeño do. Este cálculo es del mismo género que los anteriores, pero en él hay una pequeña variante; porque las dos superficies cilíndricas, Ó los dos planos tangentes que las substituyen, son paralelos, y asimismo las dos secciones rectas, superior é inferior, son paralelas también, y en estas últimas dos ca- — 174 — ras, es decir, en los dos planos meridianos, no sucede lo propio: forman un ángulo d0, que aunque es infinitamente pequeño influye en los resultados, cómo vamos á ver. Consideremos primero la cara MA B'C. Sea b el punto de aplicación del esfuerzo, que la región de detrás, según está la figura, ejerce sobre la región de delan- te, Ó sea sobre el sólido elemental. Las tres componentes de la tensión las hemos representa- do por bn, bn”, bn””, y según lo que hemos convenido res- pecto á los signos y según la notación general, tendremos: bn =—Pir; bn" = — Pr bn'* = —Prz: éstas serán las componentes por unidad de superficie. La cara MAB'C es un rectángulo y su área será el pro- ducto de sus dos lados; tendremos, pues, área MAB' =MA .MC = dr. dz. Por lo tanto, los esfuerzos totales sobre dicha cara, es de- cir, las componentes de la tensión serán, Cara MAB'C, componente paralela ár....... — drdz . P;r componente paralela áf....... — drdz . Pis componente paralela á Z....... — drdZ .Piz. Consideremos la cara opuesta, que es lo que pasa por las dos líneas A*B y BC”, es decir el plano meridiano que forma con el anterior el ángulo (0. Para no complicar la figura, hemos representado aparte, en la figura 60, la proyección sobre el plano rt del sólido elemental. e lc — 175 — Démonos cuenta de los elementos de esta última figura. La recta MA representa la traza del primer plano meridia- no, es decir, del CMA B* de la figura 59. Pasa esta recta por la proyección O del eje Z. El segundo plano meridiano A*BC' de la figura 59 deter- mina en la figura 60, como traza, la recta BC”, que también pasa por el punto O. El ángulo que forman estos dos planos es precisamen- te d0. Los arcos de círculo MB y AC” son las trazas de las dos Pigura 60. caras cilíndricas y Mt, Af” las trazas de los dos planos tan- gentes. Los ejes trirrectangulares auxiliares á que constantemente nos venimos refiriendo para el punto M, están representados en la figura 60 de este modo: Mr, es el eje de las r; Mt, el eje de las £, y el eje de las z, será una recta perpendicular al plano de la figura proyecta- da en M. Hemos hecho ya el cálculo para la cara MA, en que las componentes de la tensión son bn que coincide con r; bn' que es perpendicular á r, y la tercera componente paralela =— 176 — á z que es la bn'” de la figura 59, y que en la figura 60 se proyecta en b. Pasemos ahora á la cara opuesta que se proyecta en BC”. Sea b, el punto de aplicación del esfuerzo que ejerce so- bre dicha cara la parte del sólido elástico que está inmediata á ella por la parte de delante. De modo que deberemos to- mar las componentes de p con su signo positivo y no como en la cara MA, para la cual les dábamos signo con- trario. Representaremos, pues, las components de la tensión So- bre la cara BC*' por bn,,yb,n'”,, las cuales estarán próxi- mamente en sentido contrario que bn y bn”. Decimos próximamente en dirección contraria, pero no exactamente, por que las caras BC” y MA (fig. 59) no son paralelas, sino que forman un ángulo 0. Esta es una pequeña complicación, pues si las caras fue- ran paralelas, lo serían las componentes, y no tendríamos más que sumar algebraicamente bn' y b,n', por una parte, y por otra, bn y b,n,. Pero no existe este paralelismo; luego tenemos que des- componer b, n, en dos componentes, que serán b, h y n,h paralela y perpendicularmente al eje de las +. Otro tanto tendremos que hacer con b, n”,: descomponién- dola paralela y perpendicularmente á r, nos dará dos compo- nentes 71h”, b,h': una paralela al eje r, otra paralela al Ejea De suerte, que las componentes e al eje r serán bn, que ya hemos calculado; b,h y n”, h* que tenemos que calcular ahora. Y paralelamente al eje de las £ tendremos que sumar bn' que calculamos antes y hn, y b,h” que debemos calcular ahora. Es decir, que en la cara BC” obtenemos, no dos, sino cua- tro componentes, que hay que sumar ordenadamente á las dos que hemos obtenido para la cara MA. 3 k d Ml . Ef Y Y. A 13 Y - A Y — 17 — - Empecemos por hallar b,n, y b,n”,. - Aparte del signo las deduciremos de bn y bn”, porque son los valores de estas dos componentes cuando la cara MA gira el ángulo d0 y coincide con BC”. Luego son aquellas componentes con el incremento par- cial que corresponde al incremento d 0. Los valores de bn, bn”, hemos visto que eran: bn= — Pi; bn" =— Pa. Nada decimos de bn”, de la figura 59, porque esta com- ponente se encuentra en un caso más sencillo que las dos primeras componentes, como veremos bien pronto. Pero las p se refieren á la unidad de superficie, las com- ponentes, sobre todo la cara MA (fig. 60) ó MAB'C (figu- ra 59), hemos demostrado que son: — drdz . Pi — drdz . Pis. - Estas componentes, al pasar de MA á BC' variarán, pot- que la variable 9 ha sufrido un incremento 49, de modo que tendremos: componente paralela á r, = drd2p;, + a O, componente perpendicular á r, = drdZ py + Aca) do, do ó bien, puesto que drdz permanece constante al variar 0: 1.* componente paralela á r,.. drdz (». + E y do) 2. componente perpendicular á r,.. drdz (pe == Ep. d o), : Rev. Aca. Criuncras.—VII. —Octubre, 1908. -12 — 178 — Ahora bien; los ejes elegidos para las componentes, que han de igualarse á cero, son los Mr, Mt, luego las dos componentes anteriores deberán descomponerse á su vez según dichos dos ejes Mr, Mt. La primera dará la componente, según DMA ardz (pi + a ds) cos (A b,n,), y como el ángulo hb,n= d0 es muy pequeño, su coseno, con un error de segundo orden, puede suponerse igual á 1. Así componente, según De ardz (pr + a do) La primera da todavía, según MIOS 0 drdz (po JE cb as) sen Ab,n; pero sen hb,n = sen (40) = d6 iaa Así componente, según A A ola (po =F ceo ds) do = drd2p+- do, despreciando el término que contiene d0? y es de segundo orden. - La segunda componente, según b,n', dará asimismo dos componentes: una, según n',h”; otra, según b,h' respecti- vamente paralelas á á Mr y Mt. = 179 — De modo que componente, según A (pu AE ce ds) sen (11,0, 11), Ó bien drdz (pa + Es Ape. as) sen (49) = dra pa into e me 0 y al fin drd2pd0. La componente en la dirección b,h' será Componente, según BE. drdz (pe sE bes do) cos (1,b,1') = — drdz (per E qlo 0) cos (db), y finalmente drdz (pu + + dp 00) Las cuatro componentes, según b,h, hn,, nh”, b,h'; y las dos según bn, bn”, son las que debemos sumar ahora porque ya están en la dirección de los ejes Mr, Mt. Es decir, sumaremos las paralelasáry luego las paralelas á!. Y no olvidemos que por ahora nos ocupamos tan sólo en las tensiones correspondientes á las caras MA, BC”. Las componentes paralelas á r serán: — drdzp;, + drdz (po L tro ao) + drdzp+:d0 = =drdzd0 (7 Air o ) — 180 — Las componentes paralelas á f serán asimismo: — drdzpw + drdzd0 pi, + drdz (po Md e) q AP; = drdzd0 | “2% eN rdz la + pu) En resumen: Caras MA, BC', componente paralela á r.. drdzd0 en. aL pu) - APi: componente paralela á f.. drdzd6 bere + Per] (3) componente paralela á z.. drdzd0 Ae, De la última componente nada hemos dicho porque se obtiene inmediatamente. La componente proyectada en b (fig. 60), que es la bn” (figura 59), tiene por valor según hemos visto: — Py, por unidad de superficie. Por toda el área será: — p¿¿drdz. La componente proyectada en b, (fig. 60), por unidad de superficie, será la misma aumentada en su incremen- to Le qn, al pasar de b á b,. Y multiplicando por el área, tendremos: d drdz (pe + 7 A do) Como las proyectadas en b y en b,, son paralelas y pa- ralelas á z darán en esta dirección una resultante: que es precisamente la última del grupo (3). — 181 — Hemos determinado ya todas las componentes de las ten siones sebre los tres pares de caras del sólido elemental de la figura 59, sólido que, como hemos dicho, substituye al pa- ralelepípedo elemental de las coordenadas ordinarias. Pero sobre este sólido elemental actúan no sólo las ten- siones sobre las seis caras, sino las fuerzas exteriores en el caso general, y el punto de aplicación podremos suponer que es uno cualquiera de dicho sólido; por ejemplo su cen- tro de gravedad que, á medida que el sólido disminuya, ten- derá constantemente hacia el punto M. Descompongamos esta fuerza exterior, lo mismo que he- mos hecho para las tensiones, en tres componentes parale- lamente á los ejes Mr, Mt, Mz. Y por seguir cierta analogía en las notaciones, represen- temos las componentes de dicha fuerza referida á la unidad de masa por R, T, Z. Respecto á la masa, claro es que será la densidad e multi- plicada por el volumen, y dicho volumen podemos suponer que es, con errores infinitamente pequeños, de orden supe- rior (fig. 59), MA < Mt < WC: Ó bien ¡AO La masa será, pues, erdrdodz, y las tres componentes de la fuerza exterior componente paralela á r.... Re.rdrdóodz componente paralela áf.... Te.rdrdóodz (4) - componente paralela áz.... Zp.rdrdodz Tenemos, pues, en los grupos (1), (2), (3), (4), todos los elementos necesarios para establecer El equilibrio del sólido elemental. : No hay más que tomar en estos cuatro grupos las compo- nentes paralelas á r, sumar é igualar á cero. Asimismo, tomar las componentes paralelas al eje f, é igualar á cero la suma. Por último, sumar las componentes paralelas al eje z, € igualar la suma también á cero. Efectuando estos cálculos tendremos: drdtdz (or a E ai rdrdódz Zo dis + drdbdz e + pu) + Rerdrdó0dz =0, drd0dz (pr + po + rdrd0dz per — dr Ada + drd0dz (a + por) + Terdrdbdz=0, dratdz (pr +1 e db O rdrdbodz mp Al: + drd0dz mb + Zerdrdbdz=0, dividiendo por rdrd60dz y reduciendo se hallará: APrr jeto AA APrz ae Dre: 15 Dis de a dr sab 1 dp APir APrz 2 — HA AG LA T=0, r d0 + dr 7 dz A r Ps re APzz 1 AP: APer 1 NS OA LE A E pi ar Al — 183 — Tales son las ecuaciones que expresan el equilibrio de un elemento del sólido elástico. Son análogas á las que obtuvimos en el sistema ordinario de coordenadas, aunque algo más complicadas. Son, como aquéllas, ecuaciones en diferenciales parciales de primer orden de las seis tensiones p con relación á r, £, 2; de igual suerte que aquéllas eran también ecuaciones en dife- renciales parciales de primer orden de N,, Na, Na, T,, Ta, To, con relación á las variables x, y, 2. Hemos resuelto, pues, los dos problemas fundamentales: expresar las tensiones en función de las deformaciones y es- tablecer las ecuaciones de equilibrio, + * ok Las tensiones en función de las deformaciones encontra- mos que se expresaban por las fórmulas siguientes: x d Pr =M.+2p 4 dr 2p dV = A A e ; r Wa 20 dw Piz= M0. + 2p —— dz (1) p Ale duna dw cp dz r noi dU dw pra = 1 (e E A prim y (A a Y PA E Nada E en que la dilatación cúbica era EL SA a De suerte que en el segundo miembro de las seis ecuacio- nes anteriores no entrarán más que las seis derivadas parciales de U, V, W, con relación á r, £, z, y además estas variables. A este grupo (1) hay que agregar el que hemos obtenido hace un momento como expresión del equilibrio del sólido elemental, á saber: Apr y 1 Apr APrz DPrr + Pre | pe E sl A =0 dr y PA aO Ñ dz + 14 ae 1 dp: APir dPrz 2 tro 2D. yyy PB a DS qa e ENS ARPA it na (1D) APzz 1 APz dPzr 1 a A a ZO dz Ñ r q0 So dr d aa Todo queda reducido á substituir en estas últimas ecua- ciones (11) los valores de p del grupo (D), cálculo que no ofre- ce dificultad de ningún género, y por el cual se llega á las tres ecuaciones siguientes: a(r0.+24 7) 0 | dr 1 dr ELA Y dr ee Ñ DI A 2 r eE E Ala 2 +7 [usan ha 0 + (u4 E7)]+oR=0] r dr Y dó N (A) A a) A / A r aan A A a F dó dr la Z o A dr 20 TA AO V Salas ra, valga PEZ, E r Eos r d0 Je — 185 — aia a WA NC ME eto nm + 4 (aa, a > (A) al, dz dr dfn te ZO EN dr Estas son las tres fórmulas fundamentales del problema de la Elasticidad expresadas en coordenadas cilíndricas y para el interior del sólido elástico si está limitado, Ó para todo el sistema si es indefinido. - Puede darse á dichas ecuaciones una forma más sencilla, pero como no hemos de hacer uso en estos cursos de dichas fórmulas, no insistiremos en este punto, que ninguna ense- fianza nos traería, para las cuestiones de Física matemática que hemos de estudiar. El que quiera mayores detalles y desarrollos, puede con- sultar, entre otras, las obras sobre Elasticidad de Resal y Ma- thieu. Lo único que agregaremos sobre las tres fórmulas A obte- nidas, es que representan, á pesar de su aparente complica- ción, ecuaciones en diferenciales parciales de segundo orden de las tres funciones U, V, W, con relación á las variables independientes r, 0, z. Esto es evidente, y se ve, desde luego, sin necesidad de desarrollar los cálculos, puesto que se han de tomar las de- rivadas parciales con relación á r, 0, z, de expresiones que contienen coeficientes diferenciales parciales de primer orden respecto á estas mismas variables independientes. - Además, se observa inmediatamente que son funciones - lineales con relación á dichos coeficientes diferenciales; ni — 186 — entran potencias, ni entran productos; pero también se ve que los coeficientes no son constantes. En suma, son mucho más complicadas, al menos en ge- neral, que las que obtuvimos aplicando el sistema ordinario de coordenadas. Que estas son las ecuaciones fundamentales es evidente, porque lo fundamental en la teoría de los sistemas elásticos es obtener las componentes del desplazamiento de cada pun- to en función de las coordenadas de este punto; todo lo de- más, tensiones, dilataciones cúbicas, trabajo interno, todo, repetimos, se deduce como hemos visto de las fórmulas ex- presadas. Pero son ecuaciones diferenciales, luego es preciso inte- erarlas, es decir, obtener en este caso de coordenadas cilín- dricas tres funciones de U, V, W, U= ENS Z)S M= Enzo, WE Ri rione)e que satisfagan á las ecuaciones diferenciales y que tengan bastante generalidad para satisfacer á las ecuaciones de los límites en este mismo sistema de coordenadas cilíndricas, condiciones de que hablaremos antes de terminar esta con- ferencia. Conseguido esto, el problema estará resuelto, porque para cada punto del sistema, es decir, para los valores de r, 9, z que determinan dicho punto, substituyendo estos valores en F,F,, F,, conoceremos U, V, W, ó sea las componentes del desplazamiento y todos los elementos del problema elás- tico que antes enumerábamos para dicho punto y para todos los del sistema. Por lo demás, el problema analítico, es decir, el de inte- eración de estas ecuaciones diferenciales es inmensamente A A AREA o IA ANA E e AS Eat — 187 — difícil y no ha sido todavía resuelto con la debida genera- lidad. Por eso hemos dicho en repetidas ocasiones que las gran- des dificultades de los problemas de Física matemática, apar- te de las que nacen de la naturaleza de las hipótesis que se hacen al principio, estas dificultades, repetimos, no están en plantear matemáticamente el problema, por más que á veces sea trabajo laborioso, sino en resolver las ecuaciones en que el problema queda planteado. La dificultad está, pues, al principio y al fin. + * * Hemos obtenido las ecuaciones en coordenadas cilíndricas para un punto cualquiera del sistema; ahora debemos com- pletar la solución teórica estableciendo las ecuaciones de equilibrio para un punto de la superficie que limite el cuer- po elástico. Y esta superficie será, Ó un cilindro de revolución, ó un plano de sección recta, porque de lo contrario, no hubiéra- mos escogido este sistema de coordenadas. No es que no pueda aplicarse á cualquier sistema elástico limitado; es que no proporciona ventajas ni simplificaciones de ningún género, y crea complicaciones de todo punto inú- tiles. Supongamos, pues, que el sólido está limitado por una superficie cilíndrica de revolución alrededor del eje Z y de radio R, y por dos planos ó bases perpendiculares á este eje. Tenemos que establecer el equilibrio de un punto cual- quiera de la superficie cilíndrica ó de las dos bases del ci- lindro. Empecemos por la superficie cilíndrica: sea figura 61 un trozo de ésta, ABCOD, proyectada en ab. Imaginemos otro cilindro de revolución infinitamente próxi- mo al primero A*B'"C'D*. — 188 — Entre las dos quedará una capa cilíndrica, y terminaremos de definir el sólido elemental, que hemos de considerar, tra- zando las dos secciones rectas AB A*B' y CD C'D'. Además, los dos planos meridianos A4* CC' y BB' DD'. Resultará, pues, una capa infinitamente estrecha que real- mente será un sólido compuesto, de la misma manera que el que imaginamos en la figura 59 para el interior del cuerpo. > A ; 6 y 2 2 EPS y ¿ 7 ' Y - al n de añ Figura 61. Esta es, precisamente, la ventaja del sistema cilíndrico en el caso que estamos considerando; que la forma del sólido para la superficie es la misma que para el interior del cuerpo y los cálculos que hicimos para el uno nos sirven para el otro. Dicho sólido, en la figura 61, se proyecta en el trapecio circular aba'b”. Dicho sólido, que en rigor es una capa de espesor peque- fíísimo, es tal, que una de sus dos caras, ABCD, coincide con la superficie exterior del cilindro, y contiene el punto M” -- 189 — de la superficie, para el cual queremos establecer las ecua- ciones de equilibrio. “Si suponemos que, realizadas ya las deformaciones, y lle- gando al equilibrio, la capa en cuestión es rígida, establecer las condiciones de equilibrio de dicha capa, será establecer las condiciones de equilibrio del punto M” que á ella per- tenece. Y cuando el sólido se aproxime cada vez más á M', des- aparecerá ya dicho sólido como andamiaje geométrico, y no quedarán más que las ecuaciones de equilibrio del punto M' de que tratamos. Pero podemos suponer las dimensiones de las caras ABCD, A'B'C'"D' son de primer orden, y que en cambio las aristas AA*,BB”, CC*,DD” son de segundo orden ó de un orden superior, con lo cual las caras laterales serán tan pequeñas con respecto á las caras ABCD y A'B'C'D' como se quieran, y las tensiones sobre dichas caras latera- les, que son proporcionales á las áreas de estas caras, serán también despreciables en orden de pequeñez; luego, en suma, para el equilibrio del sólido 6 de la capa infinitamente estre- cha, no hay que tener en cuenta más que dos fuerzas: la fuerza exterior P aplicada á la cara ABCOD en el punto M', y la fuerza p aplicada á la cara opuesta A“B"CD' en el punto 7. Representemos las componentes de P por P,, P,, P., y por w el área de las caras ABCD y su opuesta. Las componentes de la fuerza exterior sobre la cara w serán: OP OPS OP Hemos representado asimismo por p la tensión sobre cual- quier cara del sólido elemental, en la unidad de superficie. Como la cara A* B' C' D' es un elemento de superficie cilín- drica, será evidentemente normal al radio r que pasa por uno de sus puntos, por ejemplo m, de suerte que en este caso la — 190 - tensión que hemos de considerar será p, y sus tres compo- nentes Serán P;r, Prt, Prz- ta Las componentes de la tensión sobre toda el área w serán, por lo tanto, WPrr, WPri, WPrz. Y puesto que sólo hemos de considerar el equilibrio de las fuerzas P y p sobre las caras ABCD, A*B"C'D”, toda vez que la acción de las fuerzas sobre las otras caras es despre- ciable, las ecuaciones de equilibrio se obtienen, desde luego, sumando las componentes de P y de p, é igualando á cero. Pero no olvidemos que las p representan la acción de la parte situada del lado positivo sobre la región negativa, de manera que las ecuaciones de equilibrio serán: — WPrr + Pu =0, — 0p,¿= P¿0, —0Pr2 =P¿0, Ó bien: DAD A IA Sólo falta escribir en vez de las p sus valores en función de las componentes de las deformaciones. Tendremos, por lo tanto, para las tres ecuaciones de equi- librio del punto M” de la superficie cilíndrica: | na ln dE 'en que P, P;, P,, pueden ser constantes para todos los pun- tos de la supercie cilíndrica ó, en general, pueden ser varia- — 19 - bles, dependiendo cada una de ellas de las dos variables in- dependientes 0, z. Ya hemos dicho que con la r no ha de con- tarse, porque ha de substituirse r = R, siendo el R el radio del cilindro exterior. En suma, las tres ecuaciones anteriores son ecuaciones en diferenciales parciales de primer orden de las tres funcio- nes U, V, W con relación á dos variables independientes 0, 2. A estas ecuaciones deben satisfacer convirtiéndolas en identidades los valores generales que obtengamos para U, V, W, integrando las tres ecuaciones (A) y poniendo en dichas funciones U, V, W en vez de r el valor R. ES ES Pero el sólido no está aquí terminado por una superficie única, sino lateralmente por la superficie cilíndrica de ra- dio R, cuyo equilibrio acabamos de establecer y en los ex- tremos por dos secciones rectas cuyos planos son perpendi- culares al eje Z. Deberemos, pues, también establecer el equilibrio para es- tos planos. Así, en este caso, las tres ecuaciones relativas á los límites, por decirlo de este modo, se desdoblan en seis, y aun pudié- ramos decir en nueve, tres para la superficie cilíndrica, y para cada base otras tres. Establecer el equilibrio de las bases es sumamente senci- llo; es repetir lo que hemos dicho para la superficie cilín- drica. | Sea A'B' una de las secciones rectas (fig. 62) y establez- camos el equilibrio de un punto cualquiera M” de dicha base. Consideremos el sólido elemental A B ab, idéntico al que hemos considerando para un punto del interior, ó para la su- perficie cilíndrica que suponemos proyectado en AB ab, y : que se compondrá siempre de dos secciones rectas A B ab — 192 — de dos superficies cilíndricas que suponemos que se proyec- tan en Aa, Bb, y para simplificar la figura, admitimos que ambas se confunden con los planos tangentes, y de dos pla- nos meridianos que admitimos que se proyectan en el mis- mo rectángulo ABab. En este sólido elemental se supone que, si las líneas A B, ab son infinitamente pequeñas de primer orden, las líneas Aa, Bb son de segundo orden, ó de un orden superior; de modo que, para el equilibrio de este sólido que en rigor es p ys na ARE UA NN TAS E 4 1 E % Figura 62. una capa infinitamente estrecha, podemos prescindir de las tensiones sobre las caras laterales: es decir, los dos cilindros Aa, Bb y los dos planos meridianos ABba, porque las caras serán infinitamente pequeñas de orden superior. Si suponemos que P es la fuerza exterior aplicada á M' referida á la unidad de superficie y p la tensión sobre ab aplicada en m también por unidad superficial, sólo tendre- mos que establecer el equilibrio de las fuerzas P y p. Representando por P,, P;, P. las componentes de P res- pecto á los ejes auxiliares r, f, z, y por w el área AB, las tres componentes de la fuerza exterior sobre esta cara serán: vP,, 0P;¿, wP,. Análogamente, la fuerza p será en este caso la tensión so- bre un plano ab perpendicular al eje de las z, es decir, p, y sus componentes sobre toda el área ab WPzr, WPz1, WPzz- + 4 E A es q — 193 — Luego tendremos, análogamente á lo que resultaba para la superficie cilíndrica, =P wP¿= WPz:, == 00) y dividiendo por w P.=Der» P¿=D:t, a Sólo falta substituir los valores de p en función de las com- ponentes de las deformaciones, y tendremos: Lp, dz dr dV 1 dW de dad a o A E B a o a) : PE RA z dz Lo mismo que decíamos antes para la superficie cilíndrica, diremos ahora, que estas ecuaciones (B”) son ecuaciones en diferenciales parciales de primer orden de las tres funciones O, V, W, con relación á dos variables independientes, que aquí serán r y 0; y al hacer la substitución de U, V, W para convertir en identidades el grupo (B”), en vez de z debe- remos substituir el valor constante 2, que corresponda á di- cha cara A” B” (fig. 62). Y con esto queda terminado el estudio de las coordenadas cilíndricas aplicadas á la teoría de la Elasticidad, al menos en los límites elementales á que nos venimos ciñendo en estas conferencias. Rpv, Aca. Ciencias. —VI[.—Octubre, 1908, 56) — 19 — IX. —Elementos de la teoría de la Elasticidad. Por JosÉ ECHEGARAY. Conferencia décimacuarta. SEÑORES: - Hemos expuesto en las últimas conferencias el sistema de coordenadas cilíndricas con aplicación á la teoría de la Elas- ticidad. Y dijimos también que, antes de concluir esta primera parte del curso, trataríamos de las coordenadas esféricas. De ellas vamos á tratar en esta conferencia; pero no con el desarrollo ni con los pormenores en que hemos entrado al estudiar las coordenadas cilíndricas. En primer lugar, porque sería repetir paso á paso, varian- do tan sólo términos, lo que allí dijimos. En segundo lugar, porque ni de las coordenadas cilíndri- cas ni de las esféricas hemos de hacer aplicación inmediata. En tercer lugar, porque son problemas, más bien que de Física matemática, de Geometría analítica, y en todo caso, de Mecánica elemental, que no ofrecen dificultad de ningún género. Y en suma, porque nos robarían el tiempo que necesita- mos para problemas de más actualidad y de interés más in- mediato. Además, el que quiera enterarse de estas teorías puede consultar, entre otras obras, los tratados de Elasticidad de Lamé, de Resal y de Mathieu. | Por todas la razones expuestas, sólo daremos un resumen muy sucinto de la teoría de las coordenadas esféricas, con aplicación al problema de la Elasticidad. — 19 — En dicho sistema de coordenadas, como en todos los de- más, cada punto está definido por la intersección de tres su- perficies, que en este caso son: 1.” Una superficie esférica. 2. Un cono de revolución cuyo vértice está en el centro de la esfera. 3.” Un plano meridiano común á ambas superfi- cies. El eje es siempre el mismo para todas las esferas, para todos los conos y para todos los planos meridianos. Zz Figura 63. En el sistema ordinario, las tres superficies eran tres planos. En el sistema cilíndrico ó semipolar, dos de las superficies eran planas; la tercera, un cilindro de revolución. En el sistema de coordenadas esféricas, una de las super- ficies es un plano; las otras dos superficies, son curvas. Esto es lo que hemos representado en la figura 63. Sean tres ejes fijos OX, OY, OZ, y consideremos un punto M, cuya posición en el espacio queremos fijar por medio de coordenadas esféricas. 1. Con un radio r= OM trazaremos una esfera que pase por el punto M. Sólo hemos representado de esta estfe- — 1% — fa la parte ABC comprendida en el primer ángulo triedro de los ejes XYZ. En el sistema de coordenadas estéricas, la ecuación de esta superficie será == 104 siendo r la variable, y a su valor para cada punto. Para el punto M, el valor de r será OM. Y haciendo variar a, ten- dremos todas las esferas, cuyo centro sea O, desde este pun- to hasta el infinito. 2.” Por M haremos pasar un cono de revolución cuyo eje sea OZ, y el semiángulo en el vértice será COM que representaremos por 9. La intersección de este cono con la esfera será en el paralelo aMb. Tampoco hemos represen- tado más que una parte de dicho cono, la comprendida en el triedro XYZ. El ángulo 0 variará desde cero, cuando OM coincida con OC, hasta 180”. La ecuación de todas estas superficies cónicas será evi- dentemente di=b. en que 09 es la variable y bla constante que define cada cono. Un punto del paralelo aMb estará definido por las dos ecuaciones ¡II E Es decir, el cono y la esfera, según se sabe, por Geome- tría analítica. El ángulo 9 sabemos que en los cálculos no se mide por grados ordinariamente, sino por la longitud de un arco, cuyo radio sea 1 y que esté comprendido entre los lados OM:LO.C. A este ángulo se le puede llamar colatitud, porque en el sistema geográfico de coordenadas, si OZ es la línea polar A A E — 197 — y ADB el ecuador, MD es la latitud, de suerte que CM será el complemento de la latitud, es decir, la colatitud. 3.2 Por último, por el mismo punto M que queremos de- terminar y por el cual hemos hecho que pasen la esfera y el cono de revolución, hagamos pasar el plano meridiano OCMD, y es claro que su intersección con las dos super- ficies anteriores, Ó si se quiere con el paralelo a Mb, deter- minará de una manera única el punto M. Dicho plano meridiano OCMD estará definido por el án- gulo que forma con el plano coordenado XZ, ó si se quiere, por el ángulo + que forma su traza OD sobre el plano X Y con el eje X. Este ángulo puede llamarse ángulo acimutal Ó también puede decirse que es la longitud A D del punto M, como sería en un sistema geográfico. La ecuación de tal plano en un sistema de coordenadas esféricas, sería evidentemente c=C en que e es la variable, y á cada valor de c correspondería un plano meridiano, el cual variaría desde O á 360”, ó sea de0á2r. En resumen, cada punto M del espacio estaría definido por OM = hs MOCG=0; AOD=p. De suerte que las tres ecuaciones que determinan el pun- to M serán haciendo variar estas tres constantes, tendremos representa- dos todos los puntos del espacio. En la figura 64 hemos representado el punto M por ana- - logía con el sistema ordinario por las tres coordenadas — 198 — MD, DA, OA, que equivalen, por decirlo así, en posición á Z, y, Xx; sólo que las dos primeras, en vez de ser rectas, son arcos de circulo: MD es la latitud, DA es la longitud y OA es el radio de la esfera. Claro es que estas tres coordenadas equivalen á las ante- riores, que son las que generalmente se adoptan, y las que adoptaremos nosotros en lo que nos queda por decir. Para concluir este punto, hagamos una observación im- portantísima, más que importante, fundamental. Figura 64. Las tres superficies que hemos adoptado, á saber: la esfe- ra, el cono y el plano meridiano, se cortan en ángulo recto. En efecto; las generatrices del cono son radios de la esfe- ra, de modo que cada uno de ellos, OM, por ejemplo (figu- ra 63), será perpendicular al plano tangente á la esfera en M. Pero el plano tangente al cono en M,:pasa por el radio OM, luego el plano tangente al cono y el plano tangente á la es- fera se cortan normalmente en el punto M. Además, el plano meridiano OCMOD, pasa también por el radio OM, luego será también perpendicular al o vade gente en M á la esfera. ( — 199 — “Por último, dicho plano meridiano lo es del cono de re- volución, luego será perpendicular al plano tangente en M á la esfera. - En resumen; las tres superficies se cortan normalmente dos á dos en cada punto M, luego las tres superficies for- mañ para cada punto M un triedro trirrectangular, cuyas tres caras serán un plano, una esfera y un cono; dos de ellas son curvas, la tercera es plana. Esta circunstancia nos permite introducir en este caso todas las simplificaciones que introdujimos en el sistema de coordenadas cilíndricas. Y si escogiésemos un sistema Ela Uieta de coordenadas curvilíneas, aun elegiríamos tres superficies que formasen constantemente triedros trirrectangulares. Hemos definido las posición. 1 de un ita > las tres coor- denadas r, y, 0. Supongamos que este punto es M (fig. 65). Si este punto en la deformación elástica viene á parar á M”, parece natural que la posición del punto M' se defina á su vez por los incrementos que experimentan las coordena- das de M al pasar de Má M', es decir, por dr, de, de. Y en rigor esto se hace; pero con algunas pequeñas mo- dificaciones que simplifican notablemente el problema. Para ello, por el punto M, siguiendo la misma marcha que en las coordenadas cilíndricas, se hace pasar un sistema de ejes coordenados auxiliar que están representados por líneas -gruesas en la figura 65. Estos ejes son: Mr, prolongación del radio OM; M f, que . es tangente al paralelo que pasa por M, es decir, á a* MD”, — 200 — intersección del cono con la esfera, y trazada en la dirección en que crece el ángulo e; por último, Mm, tangente en M al meridiano CMD y en el sentido en que crece el ángulo 0. Dichos tres ejes forman evidentemente un sistema trirrec- tangular, porque dos á dos determinan los planos tangentes á las tres superficies que pasan por M para definir este Figura 65. punto, y hemos dicho que estas tres superficies se cortan normalmente. En efecto; el plano ¿Mm es tangente á la esfera, porque pasa por Mf tangente al paralelo y por Mm tangente al me- ridiano. El plano fMr es tangente al cono porque pasa por la ge- neratriz OMr y por Mt, que es tangente al paralelo, el cual está situado en el cono. Por último, el plano mMr coincide evidentemente con el meridiano, puesto que pasa por dos rectas OMr, Mm que están situadas en él. Este será el sistema auxiliar trirrectangular que conside- — 201 — raremos, porque en rigor, y alrededor del punto M á las tres superficies se pueden substituir los tres planos con errores infinitamente pequeños de orden superior. Así el punto M”, que es la posición que toma M por su desplazamiento, se define por tres coordenadas ordinarias referidas á este sistema de ejes. A saber: U = M'b parale- lamente al eje de las +. V = ba paralelamente al eje £. Y por fin W = Ma para- lelamente al eje m. La U coincide con el incremento de r, porque r y U son paralelas, y como la distancia MM” es sumamente pequeña, con errores de orden superior puede considerarse que ambas cantidades son iguales. ba = V no coincide con do, pero contar V sobre f, ó con- tarla sobre el arco a' Mb” sólo produce errores de orden su- perior, de modo que puede suponerse V=0M =< de =r sen Odo. Por último Ma, si se cuenta sobre el meridiano en vez de contarse sobre la tangente, podrá expresarse evidentemen- te de este modo: Ma = W= rdb. De suerte que las tres coordenadas U, V, W que determi- nan la posición del punto M'”, si no son precisamente las variaciones de las verdaderas coordenadas, se expresan con facilidad suma en función de ellas. Pasemos á las tensiones. Por consideraciones idénticas á las que hacíamos en las coordenadas cilíndricas vamos á substituir á las tensiones y * á sus componentes en el punto M ó en puntos infinitamente — 202 — próximos á él, respecto á las tres superficies fundamentales; el plano meridiano, el cóno y la esfera, las tensiones y las componentes respecto á los tres planos del pa auxiliar Mtmr. 7 Los errores ya sabemos que son de brden superior. Las notaciones serán idénticas á ES que a Seti hasta aqui. - Siempre emplearemos :la letra py se ostilitaoniiends que nos referimos á las tensiones por unidad de superficie. Cuando se trate de la esfera, como su plano tangente es iMm, que es perpendicular á r, el primer subíndice será r; y los segundos subíndices expresarán las componentes de esta tensión con relación á los tres ejes r, f, m; de suerte que tendremos: A úqlos on Y a DU Prrs Prty Prm,- De E para los tres componentes de la tensión sobre la superficie esférica ó sobre su plano tangente tm alrededor de M. La tensión sobre el plano meridiano, como está definido por mr, y es perpendicular á £, se designará por p+, y para designar las tres o se pondrán los tres subíndi- CES ET. | : pdas: De modo que ' e designarán las tres componentes paralelamente á los ejes r, t, m de la tensión que actúa sobre el plano meridiano en el punto M ó á pequeña distancia del «mismo. i Por último, la tensión sobre el cono en el tit 0 y en su proximidad ó sea en el plano tangente, como está defini- do por f, r y es perpendicular á m, llevará m por primer sub- índice, y las tres letras r, £, m por segundos subíndices para expresar las tres componentes. Así NOR 2olaig Pao UU Piar io APIO AO ROQUIOS Edd a PER a E — 203 — serán las tres componentes de la tensión por unidad de super- ficie para el punto M sobre el cono ó sobre su plano tangente. - El siguiente cuadro expresa el conjunto de las nueve com- ponentes que acabamos de definir. Prr> Prt, P tm Per, Pee, ' Pem:- - Pmr»> Pmt> - Pmm- Como estas componentes se refieren á un sistema de ejes trirrectangulares, con errores de orden superior, podemos dar por demostrado para este caso, es decir, para las coordena* das esféricas, lo que demostramos para las coordenadas or- dinarias: á saber, que no cambia el valor de una componen- te-cuando cambia el orden de los subíndices. De suerte que tendremos: Pri = Per; E En Ptm=Pmt y las nueve cantidades del cuadro anterior se reducen como siempre á las seis siguientes: Pr r, Pet, Pmm Pires Prm> Pmt que equivalen á N,, N,, A ds * + * Definido un punto cualquiera del espacio en coordenadas esféricas; definidas las componentes U, V, W de cada des- plazamiento, y definidas las componentes de las tensiones para las tres superficies que pasan por un punto cualquiera M, ó sea para sus planos tangentes, que forman el sistema” auxiliar r, £, m, debemos resolver los dos problemas funda- — 204 — mentales, que siempre hemos resuelto: expresión de las com- ponentes de las tensiones en función de los desplazamientos y equilibrio de un sólido elemental en función de las ten- siones. Estudiemos el primero de estos dos problemas. Expresión de las componentes de las tensiones p en fun- ción de U, V, W.—Este problema se simplifica mucho como en el caso de las coordenadas cilíndricas, porque en parte está ya resuelto. En efecto; cuando estudiamos el sistema ordinario de co- ordenadas aplicado al problema de la Elasticidad, obtuvimos la expresión de las N,T, en función de las derivadas par- ciales de u, v, w con relación á x, y, z. Luego si referimos u, v, w á los ejes r, f, m, puesto que las p son las mismas que las N, T, podremos escribir inme- diatamente los valores de las componentes p en función de du du du dv dz de de de dx* dy” dz du de de dx yd Pero no son estas las derivadas que necesitamos, sino las de U, V, W, con relación á r, f, m; es decir, que hay que expresar las nueve cantidades del grupo anterior er función de estas otras nueve derivadas parciales: dU dU dU di bea ROO dv dV dV de diia dW_ dW dW dra! iden podia — 205 — En resumen, el problema que estamos estudiando se re- duce á este otro: expresar el primer grupo de nueve canti- dades, que hemos escrito, en función del segundo, con lo cual, eliminando las primeras en los valores de p, tendremos expresadas las componentes de las tensiones en función de las derivadas del último cuadro. Para obtener este resultado hay que seguir exactamente la misma marcha que cuando estudiamos las coordenadas cilíndricas. Es decir, obtendremos los valores de las componentes du, dv, dw proyectando los desplazamientos de dos puntos M M i sobre los tres ejes r, f, m y tomando sus diferencias. Este es un problema de Geometría analítica que no ofrece dificultad de ningún género. Después dividiremos por dx, dy, dz ambos miembros; pero en el segundo expresaremos las diferenciales de x, y, 2 por las diferenciales de las nuevas variables. Por último, lo mismo que haciamos en el caso de las co- ordenadas cilíndricas, supondremos que el punto M, al pasar á la posición M,, corre por el eje de las r, ó el de las £, Ó el de las m, con lo cual el primer miembro siempre expresará una derivada parcial con relación á x, y, z que aquí se lla- man 7, £, m. | Pero hay esta circunstancia importantísima y que simpli- fica el problema, á saber: que al resultar derivadas parciales en el primer miembro, resultarán también derivadas parcia- les en el segundo, como se ve desde luego. Supongamos para fijar las ideas que el punto recorre el eje f, esto supone que la r y la m no valían. Pero recorrer el eje f es lo mismo que recorrer el arco a* Mb” con errores infinitamente pequeños de orden superior, si el punto no se separa de su posición M más que infinita- mente pequeños de primer orden. Mas recorriendo dicho paralelo, r y 9 son constantes, sólo queda variable la coordenada o, luego si en el primer miem- bro tenemos derivadas parciales con' relación á £, en el se- gundo miembro tendremos derivadas parciales con relación á q; así se expresarán las del primer- grupo en función de las del segundo. p “Lo mismo podríamos decir para todos los demás casos. No entramos en más pormenores porque sería repetir lo que dijimos al tratar de las coordenadas cilíndricas. Pasemos al segundo problema. + ES Condiciones de equilibrio del sólido elemental.—El sólido elemental se expresa como siempre, por seis superficies que lo limitan. Dos de ellas son dos superficies esféricas distante una de otra la cantidad dr. Las otras dos son dos superficies cónicas en que la dife- rencia de los semiángulos del vértice es d0. Y por último, las otras dos son dos planos meridianos que forman entre sí el ángulo de. Trazando por el punto M los dos planos tangentes al cono y á la esfera que pasan por este punto y el plano meridiano que pasa por él, tendremos los tres planos trirrectangulares que antes explicamos, y sus intersecciones serán los tres ejes auxiliares r, m, f. Para expresar el equilibrio de este sólido elemental basta determinar las tensiones p que actúan sobre las seis caras y descomponerlas paralelamente á los ejes r, m, f que pasan por el punto M, igualando, por fin, las sumas de las compo- nentes paralelas á cada uno de estos tres ejes y las de las componentes de las fuerzas exteriores á cero. | De este modo tendremos las tres ecuaciones de equilibrio del sólido elemental en coordenadas esféricas. En este cálculo á las tensiones sobre las verdaderas caras del sólido se substituyen con errores infinitamente pequeños — 207 — de orden'superior las tensiones sobre:los planos tangentes; es decir, las tensiones p; y como las componentes de todas estas tensiones forman ángulos perfectamente conocidos con f, £, m, el problema es un problema sencillísimo de Geo- metría analítica. Por último, substituyendo en estas ecuaciones de equili- brio del sólido elemental los valores de las tensiones p en función de las derivadas parciales de U, V, W, con relación ár,0, 2 que habíamos obtenido anteriormente, hallaremos las ecuaciones finales de la Elasticidad en coordenadas esfé- ricas para el medio elástico indefinido. No hacemos estos calculos porque son elementales, aun- que algo enojosos; pero el lector puede consultar las obras de Resal y Mathieu, en que están completamente desarro- lladas. Respecto al equilibrio de las superficies, como suponemos que el cuerpo está terminado por conos, esferas y planos meridianos, Ó por alguno de estas superficies, no tendremos más que seguir la marcha que seguíamos para las coordena- dos cilindricas; es decir, igualar las componentes de la ten- sión sobre alguna de estas superficies á las componentes de la fuerza exterior. Las consideraciones que preceden se aplican sin ningún género de dificultad, aunque con mayor complicación en los cálculos á las coordenadas curvilíneas en general: sólo hare- mos á este propósito algunas breves observaciones. Las tres familias de superficies que elijamos deben ser oc- togonales, y por un teorema bien conocido de cálculo sus intersecciones serán las líneas de curvatura. En el punto M que escojamos habrá que trazar tres planos * — 208 — tangentes á las tres superficies que pasan por dicho punto, planos que formarán un ángulo triedro trirrectangular. Sus intersecciones formarán los ejes auxiliares. El desplazamiento del punto se determinará con relación á estos ejes por coordenadas ordinarias infinitamente pe- queñas. A las tensiones sobre las superficies se substituirán las tensiones sobre los planos tangentes, y por métodos análogos á los expuestos se resolverán estos dos problemas. 1. Expresar las p en función de las derivadas parciales de los desplazamientos con relación á las nuevas coorde- nadas. Nos servirá para simplificar el problema esta considera- ción: que cuando el punto M recorre uno de los ejes coor- denados, con errores infinitamente pequeños, puede suponer- se que recorre la línea de curvatura á que es tangente, de modo que en el primer miembro y en el segundo de cada ecuación se obtendrán derivadas parciales. 2.” Se determinarán las ecuaciones de equilibrio del sóli- do elemental, el cual estará formado por seis superficies, á saber: dos consecutivas de cada familia. A las tensiones sobre las superficies se podrán substituir las tensiones sobre los planos tangentes. Por último, eliminando las p de estas últimas ecuaciones, obtendremos las ecuaciones diferenciales del equilibrio del sólido elástico elemental en un medio indefinido due siempre serán de segundo orden. En cuanto al equilibrio de un punto de la superficie no hay más que generalizar lo que hemos explicado para las coor- denadas ordinarias, para las coordenadas elogio y para las coordenadas esféricas. A AI LAA AA — 209 — X.—Aplicación cómoda y sencilla de la orina á la investigación general de oxidantes. POR JUAN FAGES VIRGILI. Contiene siempre la orina normal, aunque en pequeñísima proporción é independientemente de los pigmentos que le dan su coloración ordinaria, varios cuerpos denominados genéricamente cromoógenos, por ser capaces, en determinadas condiciones, de transtormarse en materias colorantes. Mu- chos de estos cromógenos son incoloros, pues defecada la orina por los procedimientos usuales, resulta un líquido sin color, pero capaz de colorearse intensamente, y casi de igual modo que si no se hubiese defecado, al someterla á aquellas determinadas condiciones. Ni la fórmula, ni la función química de estos cromógenos están bien definidas, y cuanto se ha dicho de su origen es hipotético, siendo lo más probable, según los estudios de Nenki, que proceden de los mismos pigmentos sanguíneos, que contienen un núcleo pirrólico, del que pueden derivar, además de la urobilina, el indol, que viene á ser el núcleo fundamental de los cromógenos de la orina. Es el más conocido de estos cromógenos el indoxilo, que, eterificado en su mayor parte por el sulfato ácido de potasio, constituye el indican urinario, ó más excepcionalmente por el ácido glucourónico forma el ácido indoxilglucourónico. Las acciones oxidantes convierten el indican en la hemiindi- gotina, según Maillard, que polimerizada da la verdadera indigotina, azul, y la indirubina, roja, solubles ambas, con color púrpura en la mezcla, de la que puede extraerlas el clo- roformo (fundándose en esto la investigación del indican urinario). Tal vez sea otro de los cromógenos el metilindican ó ácido escatolsulfúrico, no aceptado por todos en la orina, Ruy, Acap. Ciencias. —VIT.— Octubre, 1908. 14 e: DIO. y que por oxidación da un colorante rojo, así como la uro- roseina que, convertida fácilmente en uroeritrina, tiñe de rojo la orina, de la que la separa el alcohol amílico. Pero segu- ramante son más los cromógenos, aunque su pequeña can- tidad no ha permitido estudiarlos ni separarlos, pues some- tida la orina á las acciones oxidantes convenientes, adquiere un intenso color rojo-purpúreo que no separa, sino parcial- mente, la sucesiva agitación de la mezcla con cloroformo y con alcohol amílico. Coinciden todos estos cromógenos en la facilidad de po- der ser peroxidados convirtiéndose entonces, no en cuerpos de intenso color, sino en otros incoloros, ó amarillos, como la isatina, que es el producto de la peroxidación del indican. La peroxidación de estos cromógenos no sólo es función de la cantidad de oxidante, sino de su calidad, además de serlo de la temperatura, circunstancia esta última que no siempre se ha tenido en cuenta en los procedimientos de investiga- ción del indican urinario. En frío se necesita bastante más oxidante que en caliente para producir la peroxidación, y así, la misma proporción de oxidante puede producir en una orina intensa coloración, por oxidación de sus cromógenos, Ó dar una orina tal vez más pálida, por peroxidación, según se evite ó no la elevación de temperatura. Como en todas las orinas que he ensayado, y han sido muchas, siempre he encontrado cromógenos, que en debidas condiciones colorean fuertemente la orina por la acción de oxidantes en mínimas proporciones, he estudiado dichas condiciones para utilizar el hecho en la investigación gene- ral de muchos de aquéllos, y teniendo presentes las consi- deraciones que preceden. | Modo de operar.—Se pone en un tubo desde un granito á un gramo del problema sí es sólido, ó de una gota á 1 c. c. si es líquido, según su riqueza en oxidante. Se adiciona 1 c. c. de orina y cuatro veces, próximamente, el volumen resultante de ácido clorhídrico de 1.12: se mezcla y deja. Más ó menos — 211 — pronto, según el oxidante y su proporción, aparece una co- loración purpúrea, parecida á la de las soluciones diluídas de permanganato, que persiste mucho tiempo. Si la coloración era tardía y muy débil, podría confundirse con el color que toma siempre la orina simplemente adicio- nada de ácido clorhídrico en aquella proporción. En caso de duda, poco cuesta hacer el ensayo comparativo, es decir, practicando simultáneamente la reaccion en dos tubos; pero poniendo en uno de ellos sólo orina y ácido clorhídrico en las mismas proporciones que en el que además tiene el su- puesto oxidante. Así no cabe duda alguna, pues por peque- ñísima que sea la proporción de oxidante, aparecerá la co- loración purpúrea mucho antes y más intensa que en el en- sayo en blanco, en el que suele ser, además, amarillenta- parda y sólo mucho más tarde empieza á ser algo purpúrea. Es innegable que la orina sola, mezclada con ácido clor- hídrico, adquiere, muy á la larga, análogo color que mucho más pronto si tiene pequeñísima proporción de oxidante. He estudiado la coloración final en ambos casos y presenta sen- siblemente los mismos caracteres con los disolventes y con los reactivos. Esto parece confirmar la opinión de los auto- res que creen que el color que las orinas clorhídricas adquie- ren con el tiempo se debe al oxigeno disuelto. Sin negar esta posibilidad, opino también que probablemente influye el cloro ó el cloruro férrico, que, sobre todo este último, con- tiene casi siempre el ácido clorhídrico, así sea en mínima proporción, pero ya suficiente para que la orina le revele como oxidante. El hecho es que la coloración es mucho más rápida é intensa empleando el ácido clorhídrico de 1.19, que igual volumen del de 1.12 obtenido diluyendo aquél, en con- sonancia con la mayor proporción de cloro ó de cloruro fé- rrico que entonces contiene. Si al practicar la reacción con el supuesto oxidante no aparece la coloración purpúrea, puede ser debido á la ausen- cia de oxidante Ó á abundar lo suficiente para peroxidar los — 212 — cromógenos y dar la coloración amarilla. Repitiendo el en- sayo empleando mucho menos problema se sale de dudas; pero, además, se aprende muy pronto. la distinción. Si hay exceso de oxidante, es muy frecuente que se inicie el color purpúreo, que en lugar de aumentar palidece de nuevo, des- aparece y queda el líquido francamente amarillo persistente, y más transparente que la misma orina ensayada en blanco que con el tiempo va coloreándose. Así, pues, la aparición del color amarillo claro, limpio y persistente, revela desde luego que hay oxidantes, y en proporción algo grande, así como la coloración purpúrea progresiva indica que no abundan. Se puede también combinar la acción de la orina clorhí- drica con el reactivo que he propuesto para muchos oxidan- tes en un trabajo anterior (*). La solución clorhídrica de clorhidrato de anilina acusa los oxidantes aunque abunden; la orina clorhídrica les descubre, con frecuencia, en propor- ciones tan mínimas que aquella disolución no revela. Se pue- de, pues, Operar así: se pone en un tubo el problema y la orina como en la reacción anterior, y se adiciona luego cua- tro volúmenes de la solución clorhídrica de clorhidrato de anilina. Si la proporción de oxidante es escasa, aparecerá la coloración purpúrea persistente debida á la oxidación de los cromógenos de la orina, sin intervenir la anilina en la reac- ción. Si sobra oxidante, después del color púrpura, que es siempre el primero en aparecer, reaccionará con la anilina y cambiará el púrpura en violado y tal vez en azul, y al fin verde, debido este último color, si aparece, á la presencia simultánea del colorante azul, debido á la anilina, y de los (*) Acido clorhídrico de 1.12 ó de 1.145 = 1.000 c. c. Clorhidrato de anilina = 50 gr. Los detalles de su aplicación y caso en que con- viene que el ácido sea de 1.126 de 1.145, puede verse en esta Revis- ta, pág. 100, t. VII Investigación analítica de los cloratos... — 213 — amarillos resultantes de la peroxidación de los cromógenos. En todo caso, una coloración púrpura, violada, azul ó verde, ó la sucesión de estos colores, acusa la existencia de oxidan- tes. No son, sin embargo, los mismos los oxidantes que des- cubren uno y otro reactivo, ni los cuerpos que estorban la reacción en cada caso. La orina clorhídrica es de aplicación más general, y son, en cambio, menos los cuerpos que im- piden la coloración que origina. Cuerpos que dan la reacción: Cloro, bromo, hipocloritos, hipobromitos, cloratos, bromatos, yodatos, peróxidos, nitri- tos, ácido nítrico libre y nitratos, que en las condiciones de la operación dejan ácido nítrico en libertad (el nitrato potá- sico no la da); cloruro férrico, cromatos y dicromatos, man- ganatos y permanganatos, vanadatos, molibdatos (lentamen- te), ferricianuros, persales. Es decir, los mismos cuerpos que dan la reacción con la solución de clorhidrato de anili- na, y además los subrayados que no actúan con ésta. Como el bromo da la reacción, los bromuros, que estorban siempre el empleo de la solución de anilina, no estorban el de la orina. Los yoduros estorban en ambos casos. Muchas sustancias orgánicas fuertemente reductoras ó clorables, que impiden la reacción de la anilina, no dificultan la de la orina. Esto me ha permitido descubrir mínimas cantidades de clo- ratos en mezclas complejas en las que no los revelaba nin- gún otro reactivo. Sensibilidad.— Varía con el oxidante, pero es siempre grande. Reconoce cómodamente 0,000003 gr. de clorato potásico, y poco menos peróxido de hidrógeno. Aunque no es especifico, como la mezcla de éter y ácido crómico, por ser más sensible, seguro y sencillo que ésta, presta muy bue- nos servicios la orina para investigar el agua oxigenada en muchos casos, reconociendo que no tiene la sensibilidad de otros reactivos de ella que es excepcionalmente grande. No resuelve este reactivo para el agua oxigenada problemas r . que, en cuanto á precisión y sensibilidad, no estén ya re- — 214 — sueltos, pero tiene en cambio la ventaja de la sencillez y de tenerle siempre preparado, lo que no siempre ocurre con los otros reactivos. yl Es cómodamente aplicable á la investigación del agua oxigenada.en la leche. Basta adicionar á 1 c. c. de leche, 1 c. c. de orina y 8 c. c. de ácido clorhídrico. La coloración rojo-purpúrea no tardará en aparecer. En todos los casos se puede sustituir el ácido clorhídrico de 1.12 por el de 1.19. Sus ventajas son: más sensibilidad y más prontitud en la aparición del color; en consecuencia, es más útil con las soluciones diluidas de oxidantes, y con aquéllos de éstos que actúan lentamente (molibdatos). Aun- que muy lentamente, el nitrato potásico también da la reac- ' ción con el ácido de 1.19. Los inconvenientes del empleo de ácido concentrado son: que la elevación de temperatura que hay al hacer la mezcla facilita la peroxidación de los cromó- genos y la decoloración del púrpura á igual proporción de oxidante, y que la orina sola adquiere mucho más pronto color más ó menos purpúreo. Por esta segunda razón se impone operar comparativamente si se usa el ácido de 1.19. XI. —Investigación y determinación cuantitativa del clorato potásico en la orina. POR JUAN FAGES VIRGILI. Los procedimientos propuestos hasta ahora para la inves- tigación de los cloratos en la orina son de resultados dudo- sos cuando la proporción de aquéllos es escasa. La orina contiene siempre substancias reductoras del ácido clórico ó de sus derivados (Cl, CIO,, etc.); en consecuencia, si se in- vestiga el clorato potásico con la anilina y ácido sulfúrico — 215 — (reacción de Búttger y de Vitali), serán dichos reductores los que preferentemente recibirán la acción oxidante, y no alcan- zará á la anilina sino con un sobrante de clorato si le hay. Con poco clorato no habrá, pues, coloración. Lo mismo ocurre si se utiliza el sulfato de indigotina, en solución sulfúrica de la orina, para caracterizar el clorato, por la decoloración del líquido al añadir después, gota á gota, solución de ácido sulfuroso. Antes de la adición de éste, el ácido clórico oxidará á aquellos reductores, y el ácido sulfuroso ya no encontrará nada que reducir, ni habrá deco- loración del liquido si había poco clorato. La proporción de reductores en la orina es variable. Como promedio, equivale á 0,5 gr. de clorato potásico por litro. Es decir, que en una orina que contenga 0,5 gr. ó menos de clorato potásico por litro, los reactivos anteriores no lo des- cubrirán probablemente. Defecando la orina se quitan algu- nos reductores, pero la mayoría persisten. La medición del cloro-ion de la orina, y la siguiente medi- ción del mismo en otro volumen de orina, previa reducción del clorato á cloruro, permite, por la diferencia, deducir si hay ó no clorato y valorarlo al mismo tiempo. Este procedi- miento es independiente de la presencia de los reductores, y teóricamente nada tiene que objetar; pero todos sabemos que, en la práctica, las determinaciones por diferencia son pocu precisas y tanto menos cuanto menor es ésta. La orina tiene normalmente unos 10 gr. de cloruro sódico por litro, ó sea próximamente 6 gr. de cloro-ion. Si la orina contiene 0,5 gr. de clorato potásico, por su reducción, dará próximamente 0,29 gr. del mismo ion cloro. Tendremos en total, en la segunda medición, 6,29 gr. de cloro-ion, y la dife- rencia 6,29 — 6 = 0,29 no es demasiado pequefía si se re- fiere á dos soluciones puras de cloruro sódico, pues los pro- cedimientos de medición del cloro-ion son bastante exactos. Pero no es este el caso actual siendo tan compleja la orina, exigiendo operaciones y reactivos la reducción del clorato á — 6 =— cloruro, que pueden introducir impurezas, y no estando bien definido cuándo la reducción ha terminado. En consecuencia, la investigación y, sobre todo, la medición del clorato en una orina por este procedimiento, está expuesta á graves errores si la proporción de aquella sal es igual ó menor á 0,5 gr. por litro. De nada sirve concentrar la orina, como algunos propo- nen, porque se concentra en todos sus componentes. Los reductores seguirán estorbando la aplicación de los primeros procedimientos, y la razón entre los dos cloros, en que se basa el último, no se modifica. La investigación de cloratos en la orina es, sin embargo, sencillísima, atendiendo lo que he expuesto en dos notas an- teriores. Según la primera (*), se reconocen los cloratos y otros oxidantes muy fácilmente con cualquiera de los reacti: vos siguientes: Ñ (as clorhídrico 1.12 p.e...... 1.000 c. c. Clorhidrato de anilina ....... 50 gr. B Ma clorhídrico 1.145 p. €..... 1.000 c.c.. Clorhidrato de anilina....... 50 gr. Adicionando al clorato ó á su solución (de una gota á lc. c.) cuatro veces su volumen del reactivo A ó del B, aparece en seguida ó pronto una coloración azul. En conse- cuencia, ensayada una orina de este modo, tomará este color si tiene cloratos en relativa abundancia, pero no si tiene 0,5 gr. ó menos por litro, por la presencia de los reductores que también estorban esta reacción. Según la segunda nota (**), la mayor parte de los reducto- res de la orina con los cloratos, en solución fuertemente (*) Esta Revista, pág. 100, tomo VII, Investigación analitica de los cloratos. (**) Esta Revista, pág. 209, tomo VII, Aplicación cómoda y sencilla de la orina d la investigación general de oxidantes. — 217 — clorhídrica, son cromógenos, pues originan intensas colora- ciones, y, por lo tanto, la misma orina lleva el reactivo nece- sario para reconocer los cloratos. Tales cromógenos sólo sirven para el caso en que el oxidante esté en pequeña pro- porción, pues un exceso les peroxida, decolorándose el líqui- do. Pero precisamente con escasa proporción de clorato es cuando falla el reactivo A Ó el B; en consecuencia, combi- nando la acción de los cromógenos con la de la anilina, se descubren los cloratos fácilmente con aquellos reactivos en todos los casos. Modo de operar.—Á 1 c.c. de orina se adicionan 4 c. c. del reactivo A ó del B. Si no hay cloratos, no aparece coloración ninguna ó muy tardía y escasa amarillo-parda. Si hay clora- tos en pequeña proporción, aparece pronto un color purpú- reo, que persiste y va aumentando en intensidad, debido exclusivamente á la acción del clorato y ácido clorhídrico sobre los cromógenos de la orina, sin que intervenga en la reacción el clorhidrato de anilina. Si los cloratos son más abundantes, aparece primero el color purpúreo debido á los cromógenos, y, ya oxidados, actúa el exceso de clorato con la anilina, produciendo, ó un color azul franco ó intermedio con el púrpura, según abunde más ó menos el oxidante. Á la larga puede ser verde, mezcla del azul citado y del ama- rillo debido á la peroxidación de los cromógenos. En con- clusión, la aparición del color purpúreo, del morado, del azul ó del verde, ó de toda la serie, afirma la presencia de cloratos. Se deduce de lo anterior que en muchos casos, y con cos- tumbre adquirida, basta el ácido clorhídrico de 1.12, adicio- nado en cuádruple volumen sobre la orina, para saber si tiene Ó no cloratos. Si hay poco, se verá la coloración pur- púrea; si abundan, tal vez se verá también, pero acabará por adquirir el líquido un color amarillo claro persistente, no con- fundible con el de una orina sin clorato, que es de otro ma- - tiz y obscurece y tiende al rojo con el tiempo. Pero es pre- — 218 — ferible suprimir vacilaciones y practicar los dos ensayos, y se tiene además con el primero una medida aproximada de la proporción de clorato. La coloración purpúrea persistente supone 0,5 gr. ó menos de clorato potásico por litro; la azul franca, más de un gramo, y las intermedias, proporciones asimismo intermedias. Insisto en que esto es sólo aproxi- mado y que varía con las orinas. Sensibilidad y cuerpos que estorban. —No apareciendo la coloración azul ó la mixta sino con cantidades relativamente grandes de clorato, la sensibilidad en el caso actual se refiere al empleo exclusivo del ácido clorhídrico. Una orina que contenga 0,005 gr. de clorato potásico por litro, da franca- mente la coloración purpúrea, aunque algo lenta, cuando se la mezcla con cuatro veces su volumen del ácido clorhídrico de 1.12 p. e. La sensibilidad es todavía mayor, pero resulta el ensayo dudoso, si no se tiene costumbre, porque á la larga toda orina adicionada de aquella proporción de ácido ad- quiere coloración. En casos dudosos se puede operar por comparación con una orina sin clorato. Estorban la reacción de la anilina los oxidantes que se conducen de igual modo y que he consignado en la primera nota aludida, pero ninguno de ellos se encuentra normal- mente en la orina y aun creo que ni anormalmente. Recof- daré que los nitratos y los nitritos no dan la reacción. La coloración purpúrea de los cromógenos también la dan los nitritos y el cloruro férrico, pero tampoco los he encon- trado en las orinas ensayadas. Impiden ambas coloraciones los yoduros, y sólo la de la anilina, los bromuros; cuerpos que eventualmente pueden tener las orinas, y hay que tenerlo en cuenta. Determinación cuantitativa. — Los procedimientos pro- puestos son defectuosos: ya he juzgado los basados en la reducción de los cloratos á cloruros, sea*cual fuere el reduc- tor empleado. El procedimiento yodométrico, que en primer término — 219 — consigna el Dr. Schmidt en su excelente libro (*), da forzo- samente números cortos porque los reductores de la orina consumen parte del cloro puesto en libertad, ó todo si hay poco, antes de añadir el yoduro. Además, éste y los anterio- res procedimientos carecen de la sencillez que se requiere en en esta clase de determinaciones. Realmente, la abundancia de cloruros y la presencia de reductores, hace muy difícil la determinación rigurosa de los cloratos en la orina. He aplicado la colorimetría basada en el empleo de los reactivos A y B, que expuse en la primera nota aludida, y he tropezado también con los reductores que, como presumía, originan números menores de los verdaderos. Traté de eli- minar, Ó de destruir, ó de peroxidar previamente dichos re- ductores; pero no lo he conseguido: los defecadores usuales no los quitan, y los oxidantes que los destruyen ó peroxidan, destruyen también el clorato ó su exceso es nocivo. Después de muchos ensayos, me he fijado en una forma de la indicada colorimetría que conduce á resultados tanto ó más aproximados que cualquiera de los métodos usuales; pero de práctica mucho más sencilla. Hay que distinguir dos casos: 1.” El reactivo A ó el B, en las condiciones de la co- lorimetría, produce la coloración azul franca, aunque luego pase á verde. 2.” El reactivo da coloración purpúrea ó mixta en iguales condiciones. El primer caso supone generalmente 2 gr. ó más de clorato potásico por litro, y menor proporción el segundo caso. En ambos se necesita, para operar, además de A y 5, una Solución acuosa de 0,5 gr. justos de C/O¿K por litro. C. (*) Química Farmacéutica, edic. española, tomo 1, pág. 609. Dice así: «Se mezclan 10 á 20 c. c. (de orina) con una y medio veces su vo- lumen de ácido clorhídrico fumante; se hace pasar por el líquido anhídrido carbónico, durante diez minutos, para expulsar el aire; se * añade algo de yoduro potásico exento de ácido yódico...», etc. z Ne Primer caso. Conviene saber próximamente la concen- tración de la orina en clorato: los ensayos cualitativos ins- truyen pronto en este sentido. | Modo de operar.—En un tubo de colorimetrias se pone 1 c.c. de orina que no contenga más de 0,0025 er. de clo- rato (si fuera más concentrada se diluye un volumen co- nocido en la proporción de agua necesaria y 3e Opera con 1 c. c. de la mezcla), ni menos de 0,002 gr., y se añaden 5 c. c. exactamente medidos de agua. En otros tubos iguales se ponen 5-4,75-4,50-4,25-4 c. c. respectivamente de la so- lución C; 1 c. c. de una orina normal pura (ó la fracción de c. c. igual al volumen efectivo de orina puesta en el pri- mer tubo, si hubo que diluirla) y el agua necesaria para que el volumen final del líquido en todos los tubos sea de 6 c. c. justos. Se adiciona finalmente á cada uno 25 c. c. de A Ó 20 c. c. de B, pero el mismo en cada determinación en todos los tubos, exactamente medidos y lo más rápidamente posi- ble, para que la reacción empiece casi al mismo tiempo en todos los tubos. Se mezcla, y pasados veinticinco minutos, si A,6 10-15 si B, se verá bien la escala de intensidades que ya no se modifica, y si acaso lentamente y por igual. Se hace la comparación en la forma usual y se Ei el clo- rato de la porción de orina ensayada. CTO OO — ano P= CIO,K del volumen = V de orina ensayada. Resultados.—Si la orina ensayada se ha preparado con la misma que ha servido para hacer la escala, se obtienen muy buenos números; ejemplos: 2,10; 2,12; 2,09 en lugar de 2,10; 2,28 en lugar de 2,30. Pero este no es el caso de la práctica, en que la orina tiene otro origen. Con orinas diferentes, los resultados dependen de la diferencia en la proporción de reductores que una y otra tengan. En general, esta diferen- — 221 — cia es pequeña y se obtienen números muy aceptables, pero también ocurre alguna vez que orinas anómalas tengan más reductores ó menos de lo ordinario, y entonces los números no son tan buenos. Aun así, para este caso, que supone ori- nas ricas en clorato, se pueden aceptar los números obte- nidos mucho mejor que los que dan otros procedimientos. Ejemplos: C10¿K por litro. C10¿K por litro. Puesto. Encontrado. Puesto. Encontrado. E lis 2 12 ar AL IRE 1,94 gr A cio 2d A MM A 2,45 > LOA A ENE AO 2,37 » | A Mid ed AA SA 2,04 >» AI e 2,40 » PA A IO 2,02 » 2,36 » O : 2,140 » DATA A AS o Ed 2D 2,36.» YN TIO 22 >» PAS AA A A 1,99 » DAN 2,45 » ES AA 2,38 >» Los números más inexactos corresponden á orinas anor- males, y, en general, con exceso de reductores con relación á la que sirvió para hacer los tipos que fué siempre del mis- mo origen. Por esto los errores son en ellos casi siempre por defecto. Segundo caso. También en éste conviene saber aproxi- madamente la proporción de clorato por litro, que acusa el examen cualitativo más fácilmente todavía que en el caso an- terior. La colorimetría directa es ahora imposible; los colo- res no son comparables. Para conseguir números aceptables, lo que me ha dado mejor resultado ha sido: añadir á la orina cantidad conocida y suficiente de clorato y deducir por dife- rencia la existente, determinando la total como en el caso anterior. El camino más práctico para ello es el siguiente: Modo de operar.—Se adicionan á 10 c. c. de la orina, Ve. ec. de la solución C; siendo V= 40 si la orina tiene 0,5 gr. ó menos de clorato potásico por litro, y V <40, si la proporción de clorato es mayor y en razón inversa de E A ella. Se añade después agua para que el volumen final de la mezcla sea de 50 c. c. justos. La concentración en clorato de este líquido debe estar entre 0,5 y 0,4 gr. por litro. Hecha homogénea la mezcla, se ponen 5 c. c. de ella (equivalentes á 1 c. c. de orina primitiva) en el tubo colorimétrico, y 1 c. c. de agua. En los tubos de la escala se ponen los mismos vo- lámenes de la solución C que en el caso primero, 1 c.c. de orina normal pura y agua hasta completar los 6 c. c. justos. Se continúa luego como en el caso anterior. La fórmula para el cálculo es ahora: CIO¿K por litro = x = 1.000P — 0,05 V siendo P=-C/0¿K hallado en el ensayo, y V los c. c. de solución C añadidos á los 10 c. c. de orina primitiva. Resultados.-—Los números así deducidos se resienten de los errores de todos los procedimientos por diferencia, que se acumulan á ellas y son tanto mayores cuanto menor es. En consecuencia, es la inexactitud mayor en las orinas más pobres en clorato. Además, también ahora influye la diferen- cia en la proporción de reductores de las dos orinas que figuran en el ensayo, y más que en el caso anterior por ser menor la proporción de clorato. Aun así, se obtienen, en ge- neral, números bastante buenos, eventualmente muy buenos; pero también posiblemente muy malos si hay muy poco clo- rato y es grande la diferencia entre los reductores de las dos orinas. CI0¿K por litro. C10¿K por litro. Puesto. Encontrado. Puesto. Encontrado. OSO MO. des 0,50 gr. 1394 Or. 007: AI 1,90 gr O 0,52 » 0,99) ia a qee 1,05 » AIDA 0,49 » DE e e 0,03 » OA AN 0,11 » E A 0,15 » Mito 0,125 0611:0,2008 0,27 » A 3 A ¿ 4 4 / E * Ñ Ñ Y ¿ o o y ns AE AM A, Ad PA A dE 7 Observaciones generales. — Lo expuesto supone que la orina ensayada no ha sido defecada. En general es innece- sario defecarla, pues la mayor parte de reductores normales de la orina persisten en ella después de la defecación. En el caso de orinas muy anormales es preferible defecarlas; pero defecando también la orina con que se preparan los tipos. Las fórmulas anteriores darán el clorato por litro de la orina defecada y habrá que calcular luego el de la orina primitiva. El reactivo B, á igualdad de condiciones, produce colora- ciones finales, que son las comparables, mucho menos inten- sas que el reactivo A. Con el B, tratándose de orinas, no pueden compararse, colorimétricamente y en la forma dicha, cantidades de clorato menores de 0,002 gr., pues aun con ella apenas se percibe la coloración azul ó verde. En cambio, el reactivo A origina con 0,0025 gr. de clorato, intensidades finales tal vez excesivas. En consecuencia, se operará con aquel de estos reactivos que resulte más cómodo para el caso concreto. Como es la concentración en ácido clorhídrico de la mezcla la causante de la coloración final, está en nuestra mano lograr la intensidad más conveniente á cada caso, no sólo empleando uno ú otro reactivo, sino el volumen más oportuno; pero atendiendo á estas precisas condiciones: a) en calidad y en cantidad debe ser el mismo para todos los tubos el reactivo añadido; b) debe añadirse el reactivo todo de una vez; Cc) del reactivo A no debe añadirse menos de cuatro veces el volumen de la solución que se ensaya, y del B tampoco menos de tres veces el dicho volumen. En lugar de practicar la colorimetría comparando con una escala de tubos tipos, puede usarse el procedimiento de las diluciones sucesivas; pero con estas condiciones: a) No em- pezar las diluciones sino cuando haya transcurrido el tiempo necesario para tener colores estables, que es tanto menor cuanto mayor sea la concentración en C/H de la mezcla final: con cuatro volúmenes del reactivo A no puede diluirse antes - de 25 minutos; con el B de 10 minutos; con volúmenes que e supongan concentraciones intermedias, los tiempos serán también intermedios. b) La dilución se hará con agua. Como en todas las colorimetrías, el método de la escala es más exacto; el de dilución, más sencillo. XII. — Una reacción coloreada de las sales de Cinc. (Nota preliminar.) Por ÁNGEL DEL CAMPO CERDÁN. La reacción propuesta por M. Carrobbio (*) para investi- gar la resorcina, nos ha inducido á pensar si este difenol podría ser utilizado como reactivo de las sales cíncicas, que, como es sabido, son poco ricas en reacciones coloreadas. Como consecuencia de esta idea, hemos efectuado varios ensayos con diferentes compuestos de cinc, y, como resul- tado de ellos, puede deducirse lo siguiente: Si á la disolución acuosa de una sal de cinc se añade amoníaco en cantidad suficiente para redisolver el precipi- tado de hidrato que al principio se forma, y al líquido trans- parente que resulta, colocado en un tubo de ensayo, se adi- ciona próximamente 1 c. c. de una solución etérea de resor- cina, se ve aparecer bien pronto, en la superficie de contacto de ambos líquidos, una coloración, al principio amarillenta, después color hoja seca y verdoso sucio y, por fin, como dice Carrobbio, azul de azur intenso; desde este instante la zona coloreada va creciendo á medida que el líquido etéreo (*) Annales de Chimie Analytique, 1906, pág. 468, y Bolletino Chimico-Farmaceutico, 1906, pág. 365. e Y AD A — 225 — situado encima va disminuyendo de volumen por evapora- ción espontánea; y cuando éste ha desaparecido del todo, el color azul se ha difundido por toda la masa líquida; á veces, si la cantidad de cinc contenida en el ensayo es suficiente, esta coloración es tan intensa que es necesario mover el : tubo para poder apreciar el color en los bordes del menisco, pues el resto del liquido más parece negro; acaso el líquido en aquellas condiciones esté enturbiado por un fino precipi- cado mantenido en suspensión á modo de una falsa-solución; pero basta la adición de agua en cantidad conveniente para que, disolviendo á aquél, se obtenga un líquido claro en el que muy bien puede observarse por transparencia el her- moso color azul propio de esta reacción. La concentración de la solución de resorcina puede ser muy variable, pero da muy buenos resultados la de 0,5 por 100, que es la que hemos empleado preferentemente. Si se tiene cuidado de emplear en todos los ensayos la misma cantidad de reactivo, es fácil observar que la apari- ción del color azul (instante que se percibe muy bien, con buena luz natural, colocando el tubo sobre un fondo blanco) se verifica tanto más pronto cuanto mayor es la riqueza en cinc del problema; esta observación, hecha solamente grosso modo, hace pensar en algo así como una posible valoración cronométrica del cinc, al menos en soluciones muy diluídas; igualmente es fácil observar, si se opera en debidas condi- ciones, que la intensidad de la coloración final, bien en sí misma ó diluída siempre en un volumen constante de agua, guarda una cierta relación directa con la concentración en cinc del problema; y este hecho hace pensar también en la posibilidad de una valoración colorimétrica de este metal por medio de esta reacción: ambas cosas no pueden, sin em- Ryev, Aca. Criencrias.—VIT.—Octubre, 1908, 15 — 200) = bargo, afirmarse más que en la categoría de cosas posibles, mientras no las confirmen plenamente experiencias posterio- res que habremos de realizar. Por lo que respecta á la sensibilidad y límite de esta reac- ción, hemos efectuado dos medidas que se detallan á conti- nuación: Primera experiencia: tomamos seis tubos de ensayo que contienen cada uno en 1 c. c. de líquido: 1.2= 0,005 g. de Zn. 4,0 — 0,000005 g. de Zn. 2. 0,0005 Mes 5,0 = 0,0000001 — 3,2 = 0,00005 — 6.2= 0,000000 — El 6.* tubo actúa como testigo: sólo contiene agua; añadi- mos á los seis tubos iguales cantidades de amoníaco y reac- tivo; el resultado al cabo de cinco minutos es el siguiente: 1.2 = azul intenso. a y 2.2= — más claro. DL = amarillos. 3.2 = — verdoso. 6.2= nada. Á los diez minutos: “o = , 4. = azul verdoso. DO = pazal LU 5. = amarillo-verdoso. 3= — claro. 6. = amarillento. (Es de advertir que el reactivo da con el amoníaco que usamos una débil coloración amarillo-parda, que después de algunos días se convierte en roja.) | Después de una hora: 19 4. = verde azulado. 2.2 )= azul intenso. 5.2 = verdoso. q 6. = amarillento. WN 8 — 227 — Una hora después no han variado sensiblemente las últi- mas coloraciones. Resulta de aquí que en los tubos 4.” y 5.” no aparece francamente el color azul, porque la escasa cantidad que de él se ha producido ha reaccionado fisicamente (según hemos podido comprobar) con el amarillento que muestra el tubo 6.”, y da por resultado el tono verdoso que en ellos se observa; este tono justifica, pues, la existencia del azul; pero renunciando al tubo 5.” y aceptando el 4.*, donde tal color aún resulta algo patente, vemos que el reactivo empleado ha reconocido 0,000005 g. de Zn por 1 c. c., Ó sea de 0,005 =< 1.000. Segunda experiencia: en análogas condiciones á los ante- riores ponemos en varios tubos: 129-0009 g. de Zíz: 4.0 = 0,000043 g. de Zn. 2.2 = 0,0009 — 5. = 0,000009 — 3.2 = 0,00009 — 6.2 = 0,0000043 — y además el tubo testigo; hemos abandonado algunas horas estos tubos, y al volverlos á observar vimos desde luego gran diferencia entre cualquiera de ellos y el tubo testigo, que estaba, como antes, amarillento; los demás eran: eS zo e micido 5. = azul claro algo verdoso. E E "6.2 = verdoso algo azulado. 4,2 Aceptado el 6.” tubo por su gran diferencia con el testi- go, resulta reconocida en este caso la cantidad de 0,0000043 g. de Zn Por ejemplo, podría intentarse la explicación de todos los fenómenos por la Electricidad, sustituyendo á la hipótesis mecánica, la hipótesis eléctrica, aunque á decir verdad no sé, aun en este caso, cómo podría prescindirse de la Mecánica generalizada en las condidiones que antes indicábamos. Podría aún intentarse reducir los siete grupos y los res- tantes á un concepto más general que el de fuerza y masa; por ejemplo, el de la energía, y tendríamos la Energética, — 260 — Esto es precisamente lo que defienden y proponen algú- nos físicos eminentes. Sin embargo, esta sería una Energética distinta de la que cierto modernismo moderno defiende, y que nosotros creemos inaceptable, porque sería un lamenta- ble retroceso á la Física de las cualidades. Pero de esto ya hablaremos en otra ocasión. Como se ve por lo dicho, el problema de la Física mate- mática se ha agrandado enormemente en estos últimos años; pero hoy no podemos entrar de lleno en el estudio de las nuevas teorías que para otros cursos quedan reservadas. Contentémonos por el momento con estos primeros avan- ces ó con estas ligeras miradas de exploración, ante un ho- rizonte infinito que alrededor de nosotros se dilata. Ocupémonos, por ahora, en seguir discutiendo la hipóte- sis mecánica como preparación Ó introducción al nuevo Curso. Lo hemos dicho: en la Mecánica clásica encontramos estos cuatro conceptos fundamentales: masa, éter, fuerza, movi- miento. / Y aun en rigor, estos cuatro elementos se reducen á tres: masa, fuerza, movimiento, porque el éfer es una adición á los tres elementos anteriores, para poder comprender, en la ciencia fundamental del movimiento, los fenómenos de la Electricidad. De todas maneras, fijémonos en dichos cuatro conceptos generales. La crítica moderna los estudia, los analiza, los tritura y hace pesar sobre ellos una triste sombra de excepticismo, Ó una gran severidad, análoga á la de la crítica de la razón pura de Kant. | Sin que pretendamos extendernos en una materia, que — 261 — K sería muy suficiente para todo un curso, en la cual más ade- lante hemos de insistir todavía, nos limitaremos por el mo- mento á las objecciones más fundamentales que la crítica moderna ha formulado contra estos cuatro conceptos de la Mecánica clásica: la masa, la fuerza, el movimiento y el éter. 1.2 La masa. No hemos de repetir ni las definiciones ni las explicaciones que de este concepto se dan en la Física general y en la Mecánica. La masa está íntimamente enlaza- da á la fuerza en la Mecánica clásica, así es que, al tratar de expresar una masa en números, y al tratar de expresar tam- bién en números una fuerza, fijando unidades para una y otra magnitud, ó se puede definir la masa por la fuerza, ó se puede definir la fuerza por la masa. De todas maneras, dígase ó se sobreentienda, la masa re- presenta la cantidad de materia. Se funda, pues, en lo más vulgar, en lo más familiar para todos, en aquello que, por decirlo de este modo, más se im- pone á los sentidos: la materia. Podremos no saber lo que la materia es: nadie ha pene- trado en su esencia; pero hasta que la Filosofía y la crítica nos asaltan con sus dudas, para nosotros, la materia, es lo más claro que existe en el Universo: los objetos que nos ro- dean, los materiales que forman los edificios que habitamos, la costra sólida del globo, con sus tierras y sus montañas, el agua del mar, la misma atmósfera, todo esto decimos que es materia, y aun creemos conocerla bien, hasta que nos ad- vierten, como decíamos antes, que no la conocemos ni poco ni mucho; hasta que nos aseguran que es una hipótesis más; hasta que al someterla al análisis, ella, que tan firme es, se nos desvanece como neblina. Pero realidad ó fantasma, la materia es el objeto funda- mental de los que se dedican al estudio del mundo inorgáni- co: la materia, su variedad, sus relaciones y sus leyes. Y lo primero que tenemos que hacer para que pueda so- meterse al cálculo, es medirla, buscar una unidad para toda e Pa clase de materia y reducir á número cualquier porción de ésta: un pedazo de madera, una piedra, -un mineral, un vo- lumen de agua, un volumen de aire. De aquí resulta, por consideraciones que ahora no pode- mos desarrollar, la masa ó6 vulgarmente, cantidad de mate- ria: la materia queda así expresada por un número. Y aquí se parte de un postulado atrevidísimo de la Mecá- nica, á saber: que toda clase de materia, entre las que hemos señalado, y en la inmensa variedad que hemos dejado de enumerar, tienen un factor común, que puede servir de me- dida á todas ellas; de modo que podrá decirse, que fanta masa tendrá una cantidad de aire, como determinada canti- dad de agua, como determinada cantidad de hierro ó de plomo: la masa va resultando un coeficiente de la Física. Y sin que nos demos cuenta de ello acaso, esto supone la unidad de materia, la materia única, aunque se nos pre- senta bajo múltiples apariencias. No quiero decir que explícitamente se afirme que es idén- tico el fondo de toda clase de materia; pero la verdad es, que en la masa, se las identifica, aún sin pretenderlo. Por lo menos, se supone que toda clase de materia pre- senta, respecto al movimiento, un carácter común que puede representarse por números y que se llama masa. Así es, que si de antemano se definiese la fuerza, se diría: que unidad de masa es aquélla que, reconcentrada en un punto y bajo la acción durante la unidad de tiempo de una fuerza constante en magnitud y dirección é igual á la uni- dad, adquiere, al fin de este tiempo, la unidad de velo- cidad. Y cuando para cada clase de materia de las contenidas en el Universo, se ha hecho esto, resultan números fijos, con relaciones fijas también, entre los cuales nunca hay contradicción, y que dan resultados concordantes en toda suma ó resta de materia y en todas las sumas y restas de fuerza. — 263 — Desarrollar esto, nos llevaría muy lejos: supongo conoci- das estas nociones elementales. Ello es que, de este modo, introducimos en el mundo inor- gánico un gran principio de unidad. Tenemos un pedazo de hierro, y al lado un volumen de agua: parecen cosas com- pletamente distintas; pues si tienen la misma masa, calcu- lada como antes decíamos, y cada una de ambas masas se reconcentran en un punto por el pensamiento, y decimos en un punto, para evitar otra clase de complicaciones, am- bos elementos materiales representarán el mismo papel, por decirlo de este modo, en el movimiento. Para la Mecánica serán la misma cosa, si tienen la misma masa M. y Ni la Estática ni la Dinámica preguntarán si una de las materias es agua y la otra hierro, ni si son plomo, ni si son aire, ni si son montón de paja, carga de tierra Ó barra de platino. Son masas iguales, que en igualdad de condiciones, bajo la acción de las mismas fuerzas, en igual tiempo, adquirirán igual velocidad. Claro es que en el fondo de nuestro pensamiento, ya de una manera vaga, ya de una manera consciente y clara, se agita esta idea que ya indiqué antes y que voy á expresar de nuevo: ya luchando con nuestras dudas, ya venciéndolas ya siguiendo á la crítica, ya oponiéndose á ella, pensamos, que si tienen la misma masa, es porque tienen la misma cantidad de materia, de la materia única. Pero entiéndase que la Mecánica es superior á esta hipó- tesis, sin ella puede subsistir: considerando á la masa, se- gún antes indicamos, como un parámetro numérico que in- fluye en el movimiento de los sistemas, mejor dicho, como un coeficiente numérico. — 264 — Siguiendo en este orden de ideas, se ha llegado en la Fí- sica, y sobre todo en la Química, á este gran principio, pos- tulado de todas las ciencias inorgánicas, de la Física por de contado, y sobre todo de la Química: á saber, el principio de la constancia de la materia, y, por lo tanto, de las masas, y substituyendo unos números por otros proporcionales, á la constancia de los pesos en cada localidad. Supongamos que en cualquier reacción se suman los pe- sos de los elementos, se suman los pesos de los cuerpos re- sultantes, sin prescindir de ninguno por de contado, sea só- lido, líquido ó gaseoso. Pues ambas sumas deben ser iguales. Este era el gran principio de la Química. Y bien, la crítica moderna, y aun eminentes experimenta- dores, lo ponen en duda. Algunos lo niegan. Resultado estupendo, que hubiera hecho sonreir hace al- gunos años, que hoy casi causa espanto, aunque á mi en- tender, no hay motivo para tanta alarma, por lo que luego explicaré, y por lo que seguiré explicando en otras confe- rencias. Mas por ahora, fijémonos en los hechos y en las doc- trinas. Como estas cuestiones hemos de tratarlas ampliamente en otros cursos, y por hoy sólo queremos dar una idea an- ticipada de los nuevos puntos de vista de la Física matemá- tica, antes de exponer la teoría de la Elasticidad de Mr. Poin- caré, que es el objeto fundamental de este curso, he de va- lerme de ejemplos elementales, y hasta cierto punto capri- chosos, que en otra ocasión se convertirán en teorías serias de unos y otros autores. Estos ejemplos servirán para fijar mi pensamiento, y que mis oyentes ó lectores, comprendan el sentido de ciertas críticas modernas. i Supongamos que de una substancia cualquiera S se sepa- — 265 —- ra una cantidad, cuya masa m se desea obtener experimen- talmente. Por las definiciones de la masa y de la fuerza, se tiene la ecuación mv=Ft, la cual significa que cuando una fuerza constante FF está ac- tuando durante el tiempo f sobre una masa m, al cabo de este tiempo, le ha comunicado una velocidad v, determinada por la ecuación anterior. De la cual, ó de esta otra se deduce que, cuanto la masa es mayor, es más pequeña la velocidad comunicada. Esto trae consigo el principio de inercia. Una masa, para adquirir cierta velocidad en un tiempo dado, consume fuerza, por decirlo así: absorbe fuerza en cierto modo. Cuanto mayor es la masa, para obtener la misma veloci- dad, se consume más fuerza, y si la fuerza es la misma, se obtiene menor velocidad: como se ve en la última ecuación, en que si el denominador m crece, el cociente v dismi- nuye. La masa es en cierta manera el regulador, el volante de la acción de la fuerza. Si no existiera la ley de inercia, una fuerza muy pequeña comunicaría una velocidad inmensa á cualquier masa, y la materia se dispersaría en el espacio. Al valor m=o, en la ecuación anterior, correspondev=00 . Estos puede decirse que son resultados experimentales; quiero decir que la ecuación anterior lo es. Por eso, por su inercia, si la masa m está inmóvil y -no actúa sobre ella ninguna fuerza, inmóvil se queda. Rev. Acap. Ciencias.—VIT.— Noviembre, 1908, 18 — 266 — Si camina en línea recta con cierta velocidad, y no actúa ninguna fuerza, con la misma velocidad continúa caminando. Antes, en tiempos metafísicos, se diría que el principio de la razón suficiente explica estos efectos. Todas estas son consecuencias, harto sabidas, del princi- pio ó de la hipótesis de la inercia de la materia. Por lo me- nos, admitida la ecuación anterior, de ella se desprenden. De la ecuación mv = Ff se deduce, como es sabido, la general de la Dinámica para el movimiento de un punto so- bre una línea recta. En efecto: suponiendo f y v infinitamente pequeños, y re- cordando que v = = , siendo x la distancia del punto mó- vil á un origen cualquiera sobre la recta, tendremoe sucesi- vamente: mdv= Fat, A di d?x Bd E q que es, como hemos dicho repetidamente, la ecuación fun- damental de la Dinámica. De ella se pasa al movimiento de un punto en el espacio y después al movimiento de un sistema de puntos. Por ahora, y para nuestro ejemplo, nos basta con la úl- tima de las ecuaciones anteriores. A ésta, multiplicando los dos miembros por dx é inte- grando para pasar á la ecuación de los trabajos y de las fuer- zas vivas, se puede subtituir la siguiente: dxd?x 1 === dí? rl e O TEA Mz y — 261 — Ó bien y, por fin, representando por T el trabajo desarrollado entre los dos puntos extremos al principio y al fin del tiempo £, y por C la constante de la integración. Si para el instante cero, la velocidad es nula, la constante también lo será, y llamando V la velocidad final, tendremos, por último, MVT. ' Esta ecuación nos podrá servir para determinar la masa desconocida m. Mediremos el trabajo 7 desarrollado por la fuerza; mediremos la velocidad V adquirida por la masa; ambos serán dos números obtenidos experimentalmente, y de la ecuación deduciremos el valor de la masa Ae 208 y2 puesto que son cantidades conocidas las del segundo miembro. Supongamos que esta experiencia se repite dos, tres, cien veces por diferentes experimentadores, en diferentes condi- ciones, orientando el movimiento en todos sentidos, y que siempre obtenemos el mismo valor numérico para m, sin más diferencias que las que sean del mismo orden que las de los errores de experimentación. — 268 — Pues diremos con toda la seguridad, que puede alcanzarse dentro de la imperfección humana: la porción de substancia S que hemos tomado, tiene la misma masa hoy que ayer, en un punto del globo que en otro, y por los siglos de los siglos tendrá la misma masa. Al menos esto se daba á en- tender en tiempos pasados, y sobre todo en el siglo XIX. La conclusión no negamos que es atrevida, pero sin estos atrevimientos no existe la ciencia. Si nos equivocamos, en un grado mayor de progreso, la misma ciencia nos corregirá. Y lo que en el orden experimental es una probabilidad mayor ó menor, en el orden de las hipótesis, y para el mun- do ideal que forja el matemático, como símbolo ideal tam- bién del mundo físico, la afirmación es absoluta, ó, por lo menos, nos asaltan tentaciones de darla por tal. Pero he aquí que la ciencia moderna y la crítica moder- na ponen límites á este absolutismo. Para hacer comprender la idea, es para lo que presenta- mos el ejemplo siguiente: La figura 1.* representa el experimento indicado. La m KG SAA——_—_—— UE ARSS Figura 1.2 masa m ocupa el punto A; bajo la acción de la fuerza cons- tante F la masa m, durante el tiempo T, pasa de AáA', y al llegar á este último punto tiene la velocidad V. Por eso establecimos la ecuación m= (1) que nos daba el valor de n. Supongamos ahora que se va á repetir la misma experien- vor ii Age a a6y cia (fig. 2.*), pero en condiciones distintas, que el experi- mentador ignora. Admitamos que en la recta A x existe un sistema invisible para el experimentador, y formado del siguiente modo: Una especie de tubo ideal Br. En la boca del tubo una cantidad de éter y”, unida por un resorte ideal al fondo del tubo. : Y, por último, alrededor de la masa m, que pretendemos determinar, admitamos que existe cierta cantidad de éter, una M' M Z 70 da 8 A o F Figura 2.2 especie de atmósfera y., circunstancia que también se ignora. Todo esto es caprichoso, ideal; cuando más, simbólico; pero yo creo que es un simbolo exacto en la cuestión que voy discutiendo. El experimentador repite su experiencia como siempre, y somete la masa m al mismo trabajo T que antes. El punto A pasa á otro punto A' al acabar el tiempo f, y el experimentador mide, como siempre, la velocidad de la masa en A”. | ¿Obtendrá la misma velocidad de antes? Deminguna manera; obtendrá una velocidad menor, y esto es evidente. La ecuación de las fuerzas vivas, en este caso, no es la misma que en el caso precedente, aunque el físico que rea- liza el experimento lo ignora. Un matemático invisible, para el que realiza la experien- cía, pero que conociese las circunstancias del experimento, tendría en cuenta el trabajo T de la fuerza F, y además ob- servaría que las esferas etéreas ó eléctricas p. y p” se recha- zan; que el resorte r se contrae, almacenando cierto trabajo, = 2710 -- y que, si prescindimos de la acción de la masa m sobre la esfera y” para simplificar, y representamos por T. el trabajo resultante de la acción entre p. y y”, la ecuación fundamental deberá ser me=T-T, | 2 y no la (1) que emplea en todas sus experiencias el físico. Esta última ecuación (2) es la que establecería nuestro in- visible matemático, y de ella deduciría una velocidad v y un dalor v? por esta fórmula: T— T, m 12 Dicho valor de v? es evidentemente menor que en el pri- mer caso. Basta, para convencerse de ello, comparar estas dos fór- mulas: Pero la experiencia, sin necesidad de fórmulas, da el ver- dadero valor para cada caso, de suerte que el físico que está realizando el experimento no obtendría V2 como en los de- más experimentos, sino v?, y al substituir en la fórmula (1) tendría para determinar la masa MA 20 == M es decir, una masa M mayor, evidentemente, que m; lo cual, — 2711 — en la serie de los anteriores experimentos, venía dada por la fórmula 2 v?” m == En resumen y aun con más claridad: existe un trabajo oculto é invisible, que el físico no sospecha; este trabajo T. se resta del trabajo efectivo T' y disminuye la velocidad, lo - Figura 3.2 cual hace suponer equivocadamente que la masa es mayor de lo que realmente es. De suerte que el físico ve con sorpresa que hay experi- mentos en que la masa disminuye. Todavía más: si variamos la posición del sistema invisi- ble (fig. 3.”), todavía existirá un trabajo resistente, pero que paralelamente al eje de las x será distinto del anterior, de manera que en este tercer experimento obtendría un valor para la masa distinto del ordinario y distinto del segundo. Y podría deducir esta consecuencia: la masa de los cuer- pos es variable; tienen un máximum, tiene un minimum y cambia con la orientación del movimiento. Consecuencia aparentemente exacta, porque si no existe el sistema invisible á que nos hemos referido, ó si la línea A B es perpendicular al eje de las x, en cuyo caso, el tra- bajo resistente es nulo, se obtiene para la masa su verda- dero valor, — 212 — Sila línea AB coincide con el eje de las x, el valor que se obtenga para la masa será un mínimum. Y entre estas dos pOSIcAES, cambiará el valor aparente de la masa m. ¿Es que la masa ha variado realmente? ¿Es que la que se había creído constante hasta aquí no lo es? ¿El principio de la conservación de la materia, base de toda la Química y aun de todas las ciencias del mundo ma- terial, será radicalmente falso como principio absoluto, y sólo podrá aceptarse como principio aproximado? Con sobrado apresuramiento parece que se van apuntan- do por la crítica estas consecuencias. Al menos en nuestro ejemplo, verdad es que sólo se trata de un ejemplo simbólico, las consecuencias á que nos refe- rimos, no sólo son precipitadas, sino que ellas sí que son radicalmente falsas. La masa m siempre era la misma, y era precisamente la que servía de base al matemático invisible, que hemos ima- ginado, para sus cálculos. Lo que hay es, que habían cambiado las condiciones de la experimentación. Que existían sistemas mecánicos invisibles que alteraban los resultados y que no se tenían en cuenta. Verdad es, que la habilidad del físico en cuestión no sería erande, cuando no PESA la causa de la alteración apa- rante de la masa. Pero, es que nuestro ejemplo, como hemos dicho, es pura- mente imaginario, y sólo nos ha servido para explicar nues- tro pensamiento. Ya en otra ocasión lo acomodaremos más á la realidad de los hechos. Y apresurémonos á consignar que, el árduo problema que venimos discutiendo, no es precisamente el de una pertur- badión oculta, por decirlo así, electro-estática. El problema es de electro-dinámica, A o ai DOLAR — 273 — Estas alteraciones de la masa, reales ó aparentes, sólo se han presentado á los experimentadores á que nos referimos, al menos hasta hoy, cuando el movil m camina con grandes velocidades, comparables á la velocidad de la luz, por ejem- plo, en los rayos catódicos y en las radiaciones f de las sustancias radioactivas. Tal circunstancia complica más el problema; pero aunque sea en forma muy sucinta, algo diremos en la conferencia inmediata sobre este nuevo aspecto de la cuestión. XV.—Contribución á la toxicología de los cloratos. POR JuAN FAGES VIRGILI. Las investigaciones que he practicado se han dirigido á averiguar: 1.” si el reactivo que he propuesto en una nota anterior (*) para los cloratos y la colorimetría, basada en dicho reactivo, son aplicables á la toxicología de los clora- tos; 2.*, el tiempo que los cloratos persisten sin alteración en una masa en putrefacción progresiva, al menos en propor- ción suficiente para descubrirlos. No he estudiado la forma ni la rapidez con que el orga- nismo vivo elimina los cloratos. Acepto en esta parte los re- (*) Esta Revista, pág 100, tomo VII. El reactivo se prepara disol- viendo 50 gr. de clorhidrato de anilina en 1.000 c. e. de ácido clohí- drico de 1.12 p. e. Adicionando á un volumen de la solución de clo- rato lo menos cuatro volúmenes de reactivo, aparece color azul. Otros oxidantes se conducen igual; pero los nitratos y los nitritos no, ni estorban, á no ser los últimos muy abundantes. Mezcla de cloru- ros y nitratos ó nitritos tampoco estorban, á diferencia de lo que ocurre con la tan usada solución de sulfato de anilina en ácido sul- fúrico, — 274 — sultados obtenidos por otros investigadores, que conducen á dos conclusiones que el toxicólogo no debe olvidar. Es la una, que aquella eliminación empieza pronto y es bastante rápida, especialmente por la orina; por consiguiente, es muy útil al toxicólogo procurarse este líquido. En otra nota re- ciente (*) he expuesto la investigación y determinación cuan- titativa de cloratos en la orina. La otra conclusión es contra- ria, hasta cierto punto, á la anterior, pues expresa que, un síntoma muy frecuente de la intoxicación grave por los clo- ratos, es la anuria, que puede ser completa (**), y, por lo tanto, no puede haber la eliminación del clorato antes dicha, ni tiene el toxicólogo el recurso de analizar la orina. Preparé estas dos mezclas: Carne picada. NA 20 ¡2 AAA E ale Eco ali OU Clorato potásico .......... 0,5 » Carme picada 250 gr NOU callo Ebo. 500 » Cada mezcla se colocó en un frasco, cuyos dos tercios llenó, cerrado con un corcho atravesado por un tubo dos veces doblado, cuya rama descendente penetraba en el líqui- do de una copa. Ambos frascos, junto el uno al otro, los co- loqué en dicha disposición, al aire libre, el día 11 de Abril de 1908, y así permanecieron todo el tiempo que duró la investigación, con temperaturas muy variables: la míni- ma, — 1,8” c., la máxima 33,8”, pero predominando las tem- peraturas medias y las altas. La mezcla A contiene 0,666 gr. de clorato potásico en 1.000 gramos, ó sea 1 por 1.500. , La mezcla B me sirvió para ver si, sin cloratos, aparecian (+) Esta Revista, pág. 214. (*+**) Trait. de Toxicol., por Lewin; traduc. francesa de G. Pou chet, pág. 264, — 215 — las reacciones de éstos ó alguna otra coloración perturbado- ra; también, previa adición de clorato á parte de ella en el acto de la investigación, para saber si la disminución ó la no aparición del color azul con el reactivo en la mezcla A era debida á disminución ó desaparición del clorato primitivo ó á la presencia de productos de la putrefacción, que, por su acción reductora, impidan ó dificulten las reacciones de aquél. Todavía me sirvió B, en la colorimetría, para preparar las soluciones de clorato tipos en las condiciones más análogas posibles á las procedentes de la mezcla A que se ensayaban. Mientras las mezclas A y B lo han consentido, he aplicado á porciones de ellas directamente el reactivo. Cuando la pre- sencia de cuerpos reductores nocivos impidió la coloración, practique las maceraciones, ó digestiones, también diálisis, según los casos, usuales, y después la defecación de los li- quidos resultantes, aplicando al fin el reactivo á la solución final, sin Ó con previa concentración de la misma. Cuando tampoco así se descubrieron los cloratos, por quedar todavía en el líquido reductores que la defecación no separa, empleé como reactivo de aquéllos la orina fuertemente clorhídrica, en la forma expuesta en otra nota (+). Esta serie de investigaciones me ha demostrado la incon- veniencia de la calefacción, y sobre todo concentración en caliente de las soluciones ácidas, aunque sea el ácido acéti- co el causante de la acidez. Los reductores actúan en estas condiciones con el clorato, descomponiéndole en gran parte y aun totalmente. Tal vez las concentraciones en caliente de las soluciones neutras y de las alcalinas, son también noci- vas por la misma causa, pero mucho menos; así, cabe prac- ticarlas por la ventaja que por otro lado reportan; pero cuan- to menor sea la temperatura á que se opere, más exactos serán los resultados. y (+) Esta Revista, pág. 209, — 216 — Los reductores nocivos aumentan probablemente á medi- da que avanza la putrefacción; pero cuando ya está ésta muy adelantada, no es seguro que sigan aumentando. Sólo puede afirmarse que los hay siempre, desde que empieza la putre- facción, y que parte de ellos no los separa ni la diálisis, ni la maceración, ni la defecación, ni la concentración de la solución: en ésta quedan y estorban siempre. Los reductores de esta índole son, sin embargo, en general, en menor pro- porción que en la orina, y se distinguen de los de ésta en que no son cromógenos con los oxidantes. Sólo á los sesen- ta días, y operando en caliente, he obtenido soluciones que, como la orina, bastaba adicionarlas cuatro veces su volu- men de ácido clorhídrico de 1.12 p. e., para adquirir intensa coloración si había clorato. El color fué rojo vivo, algo ana- ranjado; el éter y el cloroformo no extraen el colorante de su solución acuosa ácida, pero sí muy fácilmente el alcohol amilico. El expectro de este colorante rojo, en solución ácida, se parece mucho al de la hematoporfirina en las mis- mas condiciones. En período también avanzado de la putre- facción, alguno de los cuerpos no eliminables por los proce- dimientos citados, es más reductor que los cromógenos de la orina, pues la coloración que ésta da con el clorato es menor, á igual proporción, con las soluciones procedentes de la mezcla en putrefacción, que con soluciones puras. He aquí los resultados referentes á la investigación cuali- tativa. 1.2 La mezcla B, sin clorato, no ha dado nunca colora- ciones perturbadoras con los reactivos usados. 2.” La solución clorhidrica de anilina adicionada direc- tamente á la mezcla A, ha acusado los cloratos en los vein- ticuatro primeros días, decreciendo la intensidad de la colo- ración gradualmente al aumentar el número de días trans- curridos. 3.” Ensayada la mezcla B, directamente, previa adición de clorato potásico en el momento de la investigación, se ha . : i — 277 — demostrado que á los diez días se reconocen en ella de clorato, á los diez y nueve días y álos veinti- cuatro días : 1900 4.” Con líquidos procedentes de A, debidamente prepa- rados (diálisis, maceración, defecación, etc.), sin concentrar ó concentrando la solución clorhídrica de anilina, he recono- cido el clorato hasta el día cincuenta y tres. 5. Operando de igual modo que en 4.” con la mezcla B, previa adición de clorato, se ha demostrado que la solución clorhídrica de anilina reconocía á los treinta y nueve á los cincuenta y tres. : 1 dias, y 5000 6.” Pasado el día cincuenta y tres, la solución de anilina no ha reconocido el clorato en A; pero le ha revelado la ori- na clorhidrica hasta el día sesenta y cinco (1 c. c. solución, 1 c. c. orina y 8 c.c. C/H 1.12 p. e.; coloración rojo purpú- rea, de aparición lenta si no abunda relativamente el clorato). 7. Operando de igual modo que en 6.* con la mezcla B, previa adición de clorato al empezar la investigación, se ha demostrado que la orina clorhídrica reconoce en aquélla de clorato á los sesenta y cinco días. 50000 8.” El día sesenta y cinco la mezcla A no tiene clorato ó menos de 0,02 gr. por 1.000. Nora. Claro es que lo expresado en 8.” no supone que en todos los casos sea posible encontrar clorato antes del día sesenta y cinco é imposible después. La proporción pri- mitiva de aquella sal y la marcha de la putrefacción, suma- mente variable, puede modificar dicha fecha. Ni tampoco hay que deducir que, en las circunstancias del caso estudiado, sea — 218 — imposible reconocer menos de 0,02 gr. de clorato por 1.000 de mezcla el día sesenta y cinco. La necesidad de hacer mu- chos ensayos con la misma mezcla primitiva, ha exigido el operar cada vez con porciones algo escasas, 50 gr. cuando más. Muchas veces es posible en la práctica trabajar con cantidades mayores y es probable, por consiguiente, que pue- dan reconocerse por el mismo procedimiento menores pro- porciones de clorato de las que yo he encontrado en los dos últimos periodos. Los resultados referentes á la determinación cuantitativa han sido estos: 1.” La proporción de clorato no varía sensiblemente en los diez primeros días. 2.” El día diez y nueve, la cantidad de clorato que el día primero era de 0,5 gr., se había reducido á 0,4329 gr., Ó sea 0,866 de lo puesto, ó, finalmente, una concentración de en lugar de : ; que fué la inical. 1750 3.” El día treinta y uno el clorato existente equivale para la mezcla primitiva á 0,333 gr., 6 sea 0,666 de lo puesto, ó á una concentración de PA 4.” Los números correspondientes al día cuarenta y cinco son: 0,150 gr., 0,300 y 5000 5,” El día cincuenta y tres había seguramente menos clo- rato que el día cuarenta y cinco; pero ya no pudo medirse. 6.” El día sesenta y cinco ya no había clorato, ó menos de 0,015 gr., Ó sea 0,030 de lo primitivo, que supone una concentración igual á 50000 * NOTA. Todas las determinaciones han sido colorimétri- cas, empleando la solución clorhídrica de anilina, siguiendo las reglas dadas en las notas anteriores citadas, y operando — 279 — siempre con los líquidos defecados, y concentrados cuando escaseaba el clorato. Desde el día cincuenta y tres no fué posible la colorimetría, pues el reactivo no daba coloración; pero por comparación con ensayos hechos con la mezcla B, adicionada previamente de clorato, puedo hacer las afirma- ciones quinta y sexta. Considero los números obtenidos bas- tante exactos para esta clase de determinaciones, más de lo que podrán serlo en la práctica corriente por el mismo pro- cedimiento. Los líquidos tipos los he preparado adicionán- doles un volumen de líquido procedente de B, igual al ensa- yado procedente de A y preparado del mismo modo: así los reductores, próximamente en igual proporción en A que en B, influyen poco ó nada en los resultados. En la práctica usual los tipos no tendrán reductores y los números obteni- dos serán forzosamente cortos. Lo mismo que ocurre con las orinas, los resultados serán bastante aceptables si la pro- porción de clorato es algo grande; pero podrán ser muy erróneos (error absoluto) si aquélla es muy escasa. He apli- cado alguna vez el procedimiento por diferencia que propuse para las orinas, y, como era de esperar, también aquí se obtienen resultados muy variables si el clorato escasea. En el mismo ensayo he obtenido una vez 0,150 gr. por 1.000 de mezcla, que era próximamente lo exacto, y otra vez 0,110 gr. El conjunto de operaciones necesarias para la preparación de las disoluciones influye también desfavorablemente, como en todos los demás procedimientos, resultando así números siempre peores que con las orinas, y casi siempre el error es por defecto. — 280 — - XVI.—El cometa Moreheuse, ce. 1908. Por MIGUEL AGUILAR La severa rigidez de formas y posiciones relativas de los numerosos astros que pueblan la bóveda estrellada, se ve, de tarde en cuando, alterada por la presencia de cuerpos ce- lestes, que con veloz carrera, prolongadas órbitas y perio- dicidad, bien definida unas veces y problemática otras, turban, por poco tiempo, la monotonía del cielo estrellado y son objeto de preferente atención de los astrónomos, cuando por su escasa magnitud aparente sólo á ellos les es posible contemplarlos, ó interesan á los aficionados á la ciencia de Urania, si por su tamaño pueden admirarse á simple vista ó con aparatos de escasa potencia. Es el cometa que motiva esta nota, y que en el presente Otoño cautiva la atención de los astrónomos, el tercero de los catalogados en el presente año y el primero por su impor- tancia, Fué descubierto en Jerkes, importante observatorio de los Estados Unidos de América, por el joven astrónomo que le dá nombre, en 1.” de Septiembre del corriente año, y comunicado su descubrimiento á todos los principales obser- vatorios el día 3 del mismo mes, con las coordenadas provisionales, ascensión recta igual á 5” 0” y distancia polar 23” 45”, habiendo, por tanto, aparecido en la conste- lación de Casiopea. El telegrama del descubrimiento transmitido de Kiel al Observatorio Astronómico de Madrid, no atribuía al nuevo astro magnitud determinada, y aunque otro posterior despa- cho, fechado en Copenhague, asignaba á su núcleo la nove- na, las pesquisas realizadas por el que suscribe esta nota y algunos de sus compañeros, en la región del cielo en que E y E ' — 281 — debía enconttarse, en las noches del 3 y el 4 de Septiembre no dieron resultado alguno. Confiada días después la exploración á la cámara fotográ- fica, que para tal objeto tiene la ecuatorial de Grubb, y efecto sin duda de la inoportuna presencia de nuestro saté- lite, que por el enorme velo que produce sobre la placa fotográfica imposibilita las largas exposiciones que para tales exploraciones son precisas, obtuve el mismo negativo resultado. Calculada más tarde la órbita con los elementos T=— 1908 Diciembre 25,8116 00 =171% 39" 44",7 S3=103 11 56 ,7)1908.0 IO MVA A log q = 9,975278 deducidos por el profesor Kobold, en virtud de observacio- nes efectuadas en Roma, Padua y Copenhague, y publicadas sus coordenadas para el lapso de tiempo que media entre 16 de Octubre y 7 de Diciembre, que transcribimos á conti- nuación, dadas á conocer por el profesor M. Ebel en Asfro- nomische Nachrichten, núm. 4.275, á las que se añade, como interesante dato, el brillo aparente del cometa, tomando como unidad el que presentaba en la fecha de su descubrimiento, pude con éxito reanudar mis trabajos y obtener todos los días, despejados y sin Luna, dos fotografías, una en cada una de las cámaras de la ecuatorial fotográfica, cuyo dete- nido exámen haremos al final de esta nota. Del movimiento aparente del nuevo astro, da clara idea la figura 1.*, en la que hemos fijado, previa identificación de las estrellas próximas, las coordenadas del cometa en siete fotografías sucesivas, y pone de manifiesto su pequeño mo- vimiento en horario, así como el rapidísimo de que está do- tado en declinación, más de grado y medio por día, circuns- Rezvy. Acap. Ciexcias.—VII.— Noviembre, 1908, 19 — 282 — tancia que hacía penosísima la tarea de guiar la cámara fo- tográfica. .. La figura 2.* representa las posiciones relativas y movi- Xx 50 lo 3o 20 lo XIX o Ao ¿o 20 lo XVII SLI Figura 1.2 mientos del cometa y de la Tierra. La órbita del cometa está representada en el plano de la figura, y el plano de la órbita de la Tierra está Ó debe imaginarse inclinado 40” sobre dicho plano, suponiendo colocada, por ende, la porción pun- 7 RPM A AN AAA AA e 2... pe yor e 0! e . “valbrel? OQ Se e EN A a ... y e a ETA Figura 2.* BA teada de la elipse que representa la órbita de la Tierra de- trás del plano de la figura y delante la .parte representada por línea llena. Cuando se descubrió, en 1.” de Septiembre, el cometa, es- taba muy sobre el plano de la órbita de la Tierra y como á distancia y media de la que nos separa del Sol, pero des- pués se ha ido acercando al centro de nuestro sistema, y así continuará hasta el 25 de Diciembre, que pasará por el perihelio, á corta distancia, dentro de la órbita de la Tierra y debajo de su plano. Si el paso por el perihelio hubiese ocurrido en Junio, está fuera de duda que su hermosura incomparable hubiese lla- mado la atención, siendo un objeto celeste de sin igual belleza contemplado á simple vista. La mínima distancia á la Tierra, como se ve en la misma figura, ha sido en Octu- bre, 180.000.000 de kilómetros, y ahora está ya retrocediendo 6 alejándose por el movimiento de nuestro planeta hacia el lado opuesto de su órbita. En el perihelio estará casi opuesto al Sol por detrás, después que se separe del Sol se hará visible para los habitantes del hemisferio austral, y durante los meses de Febrero, Marzo y Abril se hallará tan favora- blemente situado para los observadores de aquellas latitu- des, como lo ha estado para nosotros en Septiembre, Octu- bre y Noviembre. En Septiembre y la primera quincena de Octubre ha sido circumpolar, habiéndose podido tomar numerosas fotogra- fías cuando las nubes y la Luna lo han permitido, y de es- perar es que del cotejo de las que se reunan, obtenidas por diferentes observadores en tan dilatado espacio de tiempo, salga algo provechoso y cuente la ciencia con datos sufi- cientes para avanzar algún paso en el conocimiento de la teoría, hoy deficiente, de los cometas. El astro que nos ocupa, compuesto de núcleo, cabellera y cola, ha experimentado en su movimiento de aproximación al Sol notable crecimiento en su brillo, pasando de la novena AA — 285 — ó décima magnitud que le atribuyeron sus observadores á raíz del descubrimiento, hasta la sexta, que hoy tiene, lle- gando á ser visible á simple vista, con alguna dificultad y sólo para observadores acostumbrados á mirar al cielo y con noción siquiera aproximada del sitio en que debía encon- trarse. Pero por lo que resulta verdaderamente extraordina- rio es por las profundas modificaciones sufridas en su estruc- tura y en la importancia relativa de los elementos de que consta. Cuando se descubrió, y aun algunos días después, no era más que un núcleo borroso y difuminado, algo más condensado en su centro, provisto de ténue y cortísima cola, á la que M. Bigourdan (*), astrónomo del Observatorio de París, asigna en 26 de Septiembre una longitud de 15', haciendo constar que del 30 de Septiembre al 3 de Octubre desapareció la cola por completo, quedando reducido á un sutilísimo núcleo de muy dilatada materia y desprovisto de prolongación alguna, es decir, con cabellera perfectamente concéntrica con su punto más brillante; pero M. Van Bies- broeck, que observó el astro en los mismos días desde el Observatorio de Uclé, notó una repentina y notoria disminu- ción en su brillo, aunque ni un solo instante dejó de percibir la cola. Todos los observadores están conformes en que la es- tructura de la cola, compleja en extremo, sufre de contínuo profundas transformaciones, poco frecuentes en esta clase de astros, y del cotejo de las numerosas fotografías que he ob- tenido se desprende la misma incontrastable opinión. Tam- bién se deduce de la consideración y cotejo de las negati- vas originales y de la observación directa que he tenido que hacer, durante las muchas horas que he guiado la ecuatorial para obtener las treinta y una fotografías archivadas, que á pesar de los cálculos de M. Ebel sobre el crecimiento del (*) Comptes Rendues de 5 Octubre 1908, - 286 — y brillo del cometa, que damos al principio, por razones de orden cósmico, condensaciones mayores de la materia co- metaria ó causas físicas opuestas, al parecer, á las razones de distancia que sirvieron de base á aquéllos números y que se prestan á más ó menos racionales hipótesis, que no he de apuntar siquiera en esta nota, el máximo brillo no ha corres- pondido, en mi modesta opinión, á la mínima distancia á la Tierra, y calculada ésta para el día 25 de Octubre, corres- pondió aquél al día 23 de Noviembre. El aparato empleado, como ya hemos indicado, ha sido la ecuatorial fotográfica de Grubb, adquirida por el Observa- torio con motivo del eclipse de Sol de 28 de Mayo de 1900, que además del anteojo guía, que provisto de un ocular de mucho aumento sirve para corregir las muy escasas imper- fecciones que en su marcha tiene el aparato de relojería, ma- gistral como todos los que salen de aquéllos afamados ta- lleres, lleva dos cámaras, una principal de 020 metros de abertura y 2 metros de distancia focal, que cubre placas de 107 =< 82 milímetros, que corresponden á un campo de 2” en ascensión recta y 27 30” de declinación, y otra de 015 de abertura y 1 metro de distancia focal, mucho más luminosa y de menor amplificación, que es con la que he obtenido las mejores fotografías, por exigir exposiciones mucho más cor- tas y tener mucho más campo que la principal, aunque me- nor todavía del que hubiese sido preciso, pues en muchas de las pruebas la cola llega al borde de la placa de 13 x< 18, que es la empleada en la citada cámara, que cubre 15” próxi- mamente en ascensión recta y más de 10* en declinación. Todas las placas han sido reveladas con ácido pirogálico, sulfito de sosa, carbonato de potasa y bromuro de esta misma sal, en cubetas, separadas el álcali y el reductor y guiado el desarrollo lo más igualmente posible. Las placas numeradas con los impares corresponden á la cámara de foco corto, que, como queda dicho, es la más á pro- pósito para estos trabajos, por su gran luminosidad y amplio — 287 — campo, y las pares á la cámara principal del aparato, más propia para determinación de posiciones que para el estudio de astros cuyas exposiciones no pueden prolongarse como el que nos ocupa, y en cuyas negativas, antes de revelar, se impresiona por contacto una cuadrícula que permita y faci- lite la medida de coordenadas en el aparato llamado macro- micrómetro. Efemérides del cometa c. 1908 (Moreheuse) calculadas por Ebel con los elementos deducidos por Kobold, para las 121 (t. m. de Berlín). Octubre 16 a= 19 23m 40s 9=+ 48% 13'.2” 5,28 Tp IS 44 41.1 Dn a A E AO 10:92 AR RA > SAS 37 43 .9 te aa > e (had qna 34 22.1 5.63 A AS » ARAS SINO DI UR A EI AN IAE LIE 150 0 qe blas 24 58 .4 Noviembre 1........ NOT AMS O AO OO OZ A A 19 23.0 A A ao 16:147-7..D<37 ode 104 ISA 14 20.6 oa SS A e IIS 020 ES ADA. AO O eel 9 49.5 A a A A 7.44.8 5.04 Ms O AO 5 46.7 a, Mr a A 3 54.7 4.88 Oia O 2 8.4 2 Id: »: 504,0... + .0.027.4 4.17 DN o O — 31 8.7 DIS 00. JO 2.40:4 4:62 A ES TOO LO ASS 4 8.0 Pa ADO, de DA 304.52 Diciembre 1........ AMOO. Alo 6 52.5 A SO. A 8 10.0 4.43 O O. LO ds: 9 24.8 , Dr RA OO sra 105369. .4,35 — PO Sucinta reseña de las fotografías del cometa Moreheuse obte- nidas en el Observatorio Astronómico de Madrid. Placa núm. 1.—Cromo-Isolar.—Día 20 de Octubre. — Exposición de 9 30 4 11% 48”. Teniendo el astro movimiento propio muy apreciable, y siendo im- posible ver simultáneamente el retículo y el cometa, pues iluminado el primero dejaba de ver el segundo, y éste carecía, por su tenuidad, de la luz precisa para hacer visible la cruz filar, hube de guiar con una estrella, saliendo, por ende, movida la imagen del cometa. Sin embargo, se aprecia la complejidad de su estructura á pesar de la superposición de exposiciones y alcanza la cola una longitud de 2* 30”. Placa núm. 3. — Cromo- Isolar. — 24 a — Exposición de O Obvíado el inconveniente habido el día anterior, moderando la luz del retículo con capas sucesivas de pintura sobre la lamparita que lo ilumina, pude guiar con el cometa. Adviértese en esta placa muy bien definido el núcleo y tres ráfagas bien distintas en la cola, la central de 4* de longitud y las exteriores don más cortas y forman- do un ángulo de 300 DE Placa núm. 5. nenes —25 de Octubre. peroNelce de 7+ qn aá7 h 19. : Reemplazada la placa Cromo-Isolar, empleada los días anteriores, por las inglesas de marca «Imperial», cuya sensibilidad es grandísi- ma, seguro de que la falta de anti-halo, pues sólo le tiene adherido al cristal, dada la poca luminosidad del objeto, no había de perjudicar la prueba, obtuve una placa: mediana no más, pues el cielo estaba casi velado, y delos diez y nueve minutos de exposición puede ase- gurarse que ni durante diez se impresionó la placa, pero, sin embar- go, se nota positivo aumento en la longitud de la cola, que llega hasta 5 de longitud. Placa núm. 7.-—26 de Octubre.—Exposición de 7:54” á4 8% 49", Núcleo muy brillante 'y bien definido, cabellera con diminutos y numerosos penachos, cola extensa, de más de 7” de longitud, con preciosos detalles de estructura. Adviértense bien definidos tres ner- vios principales, el central poco más prolongado que los otros. El arranque de la cola es excéntrico con relación: al núcleo. LÁMINA 1, 27 Octubre 1908. 28 Octubre 1908. Exposición 7? 30" á 8h 30 Exposición 7? 38" á 8” 3 13 Noviembre 1908. 19 Noviembre 1908. JONS Exposición 6 10"á 7” 15" Exposición 6? 14" y hs en DAS Y EN Ll 194% A EE le As y Cr poi Y 103 0 20 A AA) e LAMINA Il 5 Noviembre 1908. 19 Noviembre 1908. Exposición 6 10" 4 7) 18" 12 Noviembre 19 Exposición 6 13" á Fototipia de Hauser y Menet.— Madrid et y pa e E, AAA Placa núm. 9.—(1 Lam. 1.) — 27 Octubre.— Exposición de 7% 30" d48*t 30”, Como la anterior en belleza y estructura general; pero acusa, ade- más, la presencia de un penacho corto y muy brillante que, partiendo del núcleo, forma ángulo bastante abierto con los otros tres. Ex- tensión de la cola, 7%. las tres ráfagas principales algo más diver- gentes. Placa núm. 11.—(2 Lám 11.)—28 Octubre.— Exposición de 7% IMAZ Más acentuado el penacho corto. Parten, además del núcleo, dos colas principales: una extensa, ancha y difuminada; otra delgada y brillante, que forma con la principal ángulo bastante abierto. La pri- mera se divide, después del arranque, en dos principales, que se con- funden nuevamente luego, dejando entre ellas un espacio obscuro en forma de rombo prolongado. La extensión de la cola, mayor que en las anteriores, pasa de 9%. Placa núm. 13.—31 Octubre. - Exposición de 9% 61 4 9? 35”. Muy mala noche de observación, por las muchas y densas nubes que empañan el cielo; obtenida la fotografía en una clara relativa y con poca exposición, carece de menudos detalles y la cola no alcanza más extensión que 5”. Obsérvase en esta placa una violenta estran- gulación como á grado y medio del núcleo, á partir de la cual, hay un cambio bastante brusco en la dirección de la cola que aparece en su terminación, sensiblemente más ancha que en las fotografías obteni- das en días anteriores y posteriores. Placa núm. 15.— 10 Noviembre 1908. — Exposición de 6” 48" dá 7? 19”, Cielo velado por nubes ténues, se obtiene el núcleo y muy poco más, pero todo difuminado y menos que mediano. Placa núm. 17.—11 Noviembre.—Exposición de 7% 54" 48% 20”, Placa núm. 19.—12 Noviembre.—Exposición de 6% 157 47? 45", Hermosa en detalles, se advierte que el núcleo ha crecido en bri- llo desde el 28 de Octubre, fecha de la última fotografía buena; par- ten del núcleo numerosas ráfagas finas y bien definidas y la cola, en la que se cuentan cinco penachos principales, tiene una extensión — 290 — superior á 9%. Obsérvase en la cola una estrangulación ó quebradura á unos 3* grados del núcleo y otra más distante, en sentido inverso, que produce en su eje una ligera doble curvatura. Placa núm. 21.—(3 Lám. 1.) —13 Noviembre.—Exposición de 6? 14" d 7% 37". V Más hermosa que la anterior; de las ráfagas principales, que son más de seis bien distintas, parten en toda su extensión, y sobre todo en el primer tercio, sin número de filamentos que, como barbas de una pluma, dan á la negativa novedad incuestionable y confirman lo anteriormente sentado respecto á los profundos cambios observados en la estructura de la cola. También queda fuera de duda que el bri- llo aumenta considerablemente, pues pude prescindir de la ilumina- ción del retículo, y la luz emitida por la imágen del núcleo me ilumi- nó perfectamente la cruz filar. Placa núm. 23.—18 Noviembre. — Exposiciones varias y cortas todas. El constante velo de ténues nubes, y la frecuencia con que el velo se refuerza con nubes espesas, hace que la fotografía no valga nada, ó muy poco al menos. - Placa núm. 25.— (4 Lám. I y 1 Lám. 11.) -19 Noviembre.— Exposi- ción de 6* 10” á7* 15”, La mejor, sin duda, de las obtenidas hasta la fecha, por la intensi- dad del núcleo y detalles finísimos de la cabellera y cola, en la que, bien distintas, se advierten hasta siete ráfagas ó estelas, separadas al principio y entrecruzadas luego, con multitud de brillantes derivacio- nes. La cola sale intensa hasta el límite de la placa, y puede, por tan- to, asegurarse que su extensión pasa de 12”. Muy brillante y bien de- - finido en el anteojo guía. Placa núm. 27.—20 Noviembre. —Exposición de 6% 6” á 7% 5, Inferior en finura á la anterior por la escasa limpieza del cielo, pero acusa, como ella, gran brillo en el núcleo y extensa longitud en la cola. También se sale de la placa. - Placa núm. 29.—21 Noviembre.—Exposición de 6” 5k 4.6" 33”. Interrumpida la exposición por inoportuno nublado, tiene, sin em- bargo, interesantes detalles distintos de los días anteriores, pues pa- — 291 — rece que los nervios ó ejes de las ráfagas son más divergentes. Ape- sar de lo corto de la exposición, la cola tiene una extensión de 6”. Placa núm. 31.—23 Noviembre 1908.—Exposición de 6* 13” á JENS Re. Adviértese en esta noche, sea por la limpieza de la atmósfera ó por positiva concentración de la materia cometaría, un gran aumen- to en el brillo del cometa, y con el anteojo guía se perciben detalles en la estructura de la cola que no se vieron en días anteriores. La placa fotográfica, á pesar de haber estado expuesta cincuenta minu- tos solamente, acusa el crecimiento que la observación directa supo- nía, y la fotografía, que no publicamos por estar ya tirándose las lámi- nas, si no más rica en detalles que las de los días 28 de Octubre y 13 y 19 de Noviembre, tiene un vigor y una brillantez que le hace supe- rior á todas sus compañeras. Las placas numeradas con los pares y e espondiEntes á la cá- mara de mayor distancia focal, de importancia para la determinación de posiciones, no tienen detalles, en general, que merezcan citarse, á excepción de las dos publicadas, pertenecientes á los días 12 y 19 de Noviembre y con exposiciones iguales á las de sus compañeras, que ponen de manifiesto, en mayor escala, curiosos detalles del arranque de la cola y sus numerosas bifurcaciones, ya que no sea posible en esta cámara obtener detalles de las regiones de la cola apartadas del núcleo por su escaso campo, y aun en el núcleo y primer tercio de la cola no tienen la intensidad debida, pues hubiera sido preciso una exposición más de cuádruple que en las de la otra cámara, y, por la escasa altura del astro sobre el horizonte é iluminación de las regio- nes bajas de la atmóstera por el alumbrado de A población, no nos ha sido posible concedérsela 24 Noviembre 1908. XVII.—Algunas observaciones á la teoría del carbono tetraédrico. POR JosÉ GIRAL PEREIRA. La equivalencia de las cuatro dinamicidades de un átomo de carbono, propiedad comprobada por la experiencia, es, como se sabe, uno de los principales fundamentos científicos — 292 — de las fórmulas desarrolladas de los compuestos orgánicos. Siendo el carbono el elemento organógeno de mayor valen- cia y el indipensable en toda molécula orgánica, es lógico suponerle en el interior de ésta, eslabonado, en virtud de su poder de acumulación, con otros idénticos y constituyendo así lo que ha recibido el gráfico nombre de esqueleto de una fórmula. Sabidas son también las razones, puramente experimen- tales, que sirven de base á la teoría del carbono tetraédrico. Los hechos suceden como si el carbono ocupara el centro de gravedad de un tetraedro regular, estando orientada su energía química en las direccio- nes que van desde dicho punto á los vértices, y representándo- se en el espacio sus cuatro va- lencias por los respectivos ra- A dios de la esfera circunscrita á : dicho tetraedro. Interesa, por lo tanto, el con- signar que, del esquema tetraé- drico, solamente nos importan esas líneas de fuerza y no sus aristas, cerrando dicha figura geométrica para mayor como- didad en su representación gráfica. Si consideramos dos áto- mos de carbono, eslabonados de modo que tengan una va- lencia común, habrán de representarse por dos tetraedros enchufados de manera que el centro de gravedad del uno coincida con un vértice del otro y recíprocamente (fig. 1.2), porque de este modo se expresará que la distancia entre los dos átomos de carbono es igual á la que existe entre uno de ellos y cualquiera de los radicales que saturan sus valencias libres. Se respeta así el principio de la equivalencia entre las cuatro dinamicidades del carbono, lo cual no sucedería si representáramos los átomos de este elemento por dos tetrae- dros con un vértice común, puesto que entonces la distancia entre los centros de gravedad sería precisamente doble de la Figura 1.? E A e ds ie si — 293 — que media entre uno de ellos y cualquiera de sus vértices respectivos. Y como los hechos nos demuestran que una molécula orgánica puede escindirse entre un carbono y un radical inmediato ó entre dos carbonos contiguos, según la acción descomponente, forzoso y lógico es admitir, de una manera general, que un átomo de carbono tiene la misma afinidad para el contiguo que para cualquiera de los radica- les que saturan sus valencias, siendo éstas equivalentes; lo cual nos conduce á representar por igualdad de distancias la igualdad de afinidad y la equivalencia de dinamicidades y á orientar éstas en el espacio del modo más regular posible. Figura 2.? Si el número de átomos de carbono aumenta en la cadena, en la serie los tetraedros correspondientes no podrán tener sus centros de gravedad en línea recta, porque dos cuales- quiera de ellos, separados por un tercero, tendrán dichos cen- tros en dos vértices de éste. y formarán con el centro de gra- vedad de él un triángulo equilátero (fig. 2.2). Claro es que, te- tiendo en cuenta la especial simetría del tetraedro, las rectas que unen los centros de dos contiguos forman entre sí un ángulo de 120”, que es precisamente el valor del ángulo del exágono regular convexo; lo cual nos prueba que, en el caso de seis tetraedros, se cerrará la figura y que, por lo tanto, las cadenas de seis átomos de carbono tienden á pasar á — 294 — cíclicas. Pero esto sucederá únicamente cuando los tetraedros se unan de modo que la línea que pasa-por sus centros de gravedad sea poligonal, regular, plana y convexa, lo cual nos convendrá admitir para explicar el citado caso de la posición favorecida de algunos autores; pero que en general no podrá suceder cuando se trate de cadenas de más de seis átomos de carbono, porque no tendiendo á cerrarse dichas cadenas, la citada línea poligonal no habrá de ser ni convexa ni plana, en armonía con la teoría de las tensiones de Baeyer, que su- pone que las líneas de fuerza de la afinidad química pueden desviarse de su posición normal para originar tensiones va- riables correspondientes á diferentes grados de estabilidad en la molécula. Una vez sentado el principio de que la igualdad de afini- dad química entre los átomos ha de representarse por igual- dad de distancia entre sus centros de gravedad, veamos cómo la teoría del carbono tetraé- drico falla en la explicación y repre- sentación de los enlaces múltiples. Dos átomos de carbono que cam- bian entre sí dos valencias, se re- presentan por dos tetraedros con una arista común (fig.*3.2). Pero no olvidemos que, admitiendo ese es- Pigura 3.* quema representativo, la saturación reciproca de valencias entre los dos carbonos no se efectúa en línea recta, sino según dos seg- mentos que forzosamente forman un ángulo fijo de 120", cuya bisectriz es la arista común. Esta saturación oblicua. de valencias hace suponer implícitamente que la atracción entre los átomos inmediatos no se efectúa en línea recta y que, neutralizándose del mismo modo los dos pares de valencias PEE, > comunes, el doble enlace tiene en Química orgánica un valor exactamente duplo del simple, cuando todos los hechos de- muestran que el paso de una ligadura múltiple á una sencilla se efectúa, en los compuestos acíclicos, con una facilidad muchísimo mayor que la ruptura de dicho enlace simple, siendo prácticamente los compuestos etilénicos mucho menos estables que los saturados correspondientes. Es verdad que, en el esquema precitado, los centros de gravedad de los te- traedros quedan á igual distancia entre sí que la que media entre cada uno de ellos y cualquiera de sus vértices; pero siempre resultará de explicación gráfica muy artificiosa el que dos tetraedros, con una arista común, pasen á y T=u=> “005 $4 enchufarse cuando el NS Cs Só compuesto etilénico que representen los pri- 4 AS c0:0H % AS Y CO0H meros se cambie en el H c00m saturado respectivo. (1) (11) Añádase á esto que, si Figura 4.2 bien es verdad/que el esquema tetraédrico explica de modo satisfactorio la exis- tencia de los isomeros cís y cis-frans, porque las figuras correspondientes no son superponibles, en cambio no ex- plica el caso análogo de dos tetraedros con la línea de sus centros de gravedad común y con los mismos radicales en sus vértices; para demostrar que los dos esquemas (1) y (II) (fig. 4.*) corresponden al mismo cuerpo, es necesario suponer que el tetraedro inferior del (II) gira á la derecha un tercio de vuelta para conseguir la coincidencia de ambos esquemas y cuyo giro no se admite que pueda hacerse cuan- do los tetraedros tienen una arista común, resultando enton- ces más inmóviles que cuando están enchufados, lo cual pa- rece ilógico é incomprensible. Por otra parte, la existencia de los isomeros cis y cis-trans, queda perfectamente expli- cada en esquema plano representando dos átomos de carbo- A A no con doble enlace por dos triángulos equiláteros enchufa- dos de análogo modo á cómo se suponen los tetraedros (figu- ra 5.2), y uniendo sus centros de figura por una doble línea E 777 SES e o, SE a ¿ ERA a, e e MS e N _C00H $4 cO0H AX coo Acido maléico. Acido fumárico, (Cis). (Cis-trans). Pigura 5.* de fuerza, porque entonces los esquemas correspondientes no son superponibles. Análogas consideraciones á las expuestas pueden hacerse al interpretar la representación gráfica del triple enlace en la teoría del carbono tetraédrico. Tratemos ahora de representar en fórma estereoquímica la intercalación de un átomo polivalente entre dos eslabones carbonados. Y para fijar las ideas propongamos 'el caso del metano-oxi-metano que corresponde á la fórmula plana: CH,-0-CH:. Respetando el tantas veces citado principio de la equivalencia entre las cuatro dinamicidades del carbo- no, el átomo de oxígeno debe representarse equidistante de los de carbono y á una distancia de cada uno igual á la que media entre un hidrógeno y su carbono correspondiente, puesto que la afinidad de éste para el oxígeno es la misma que para cualquier hidrógeno de su eslabón. Podrá argiiirse — 297 — á este aserto que el óxido de metilo rompe casi siempre su cadena entre el primero y el segundo eslabón (contando por cualquiera de sus dos extremos); pero como no sabemos cuál de los grupos CH, retiene al oxígeno, no. podemos asegurar á cuál de ellos estará más próximo dicho ele- mento. * . Como el esquema tetraédrico supone que las valencias del carbono se ejercen únicamente según las líneas que van desde su centro de gravedad á sus vértices, la única on representativa del cuerpo que nos ocupa será la figura 6.*, la cual el átomo de oxígeno estaría en un vértice común á las dos tetrae- dros. Pero este vértice común hace suponer que los dos átomos de car- bono cambian entre sí una valencia y » que el de oxígeno reduce sus dimen- siones á tas de un punto matemático. sb bg Todo ello nos prueba la imposibilidad Figura 6.* de representar en forma estereoquí- mica, conforme á la teoría del carbono tetraédrico, aquellos cuerpos que poseen en su cadena carbonada un elemento divalente intercalado; tal sucede con los éteres óxidos, ace- tales, ortho-éteres, sulfuros de alcohilo, etcétera. Y un razo- namiento análogo nos conduciría á suponer colocado el ni- trógeno de.una amina secundaria ó terciaria en el vértice co- mún á dos ó tres tetraedros. ¡Supongamos todavía el caso de un átomo. de carbono que satura dos-ó tres de sus valencias con un .mismo elemen- to (oxigeno .Ó nitrógeno). Tal- sucede: con la propanona; CH" CO-CH,. El átomo de oxigeno no podemos, colocarlo en el punto «medio .de, ¡una arista. del tetraedro correspon Rev, Aca. Ciencias.—VII.— Noviembre, 1908. 20 — 208 — diente á su eslabón (fig. 7.*), porque la saturación de sus valencias con el carbono, al cual está unido, habría de ha- cerse conforme á una línea quebrada, lo cual supondría una menor estabilidad del grupo cetónico en comparación con los hidrocarbonados extre- mos. Además, dicho áto- Y H A mo de oxígeno quedaría de su carbono á menor distancia que la que exis- te entre éste y cualquiera de los otros dos átomos de carbono, lo cual no Figura 7.* está en armonía con los hechos observados. Es fácil obviar estos inconvenientes su- poniendo que el tetraedro intermedio se reduce á un trián- gulo, dos de cuyos vértices coinciden con los centros de gravedad de los tetraedros inmediatos, colocándose en el H H H H H Figura S.? tercero el átomo de oxígeno, conforme á lo que representa la figura 8.* Cuando se trate de representar gráficamente un aldehido, «el triángulo, que es la parte plana del esquema, habrá de quedar al extremo de éste, y.en el caso particular del metanal se reduciría la figura á dicho triángulo. . : RA A O IS — 299 — Análogas dificultades de representación ofrecen todos aquellos cuerpos en cuyas moléculas exista un átomo diva- lente saturando dos dinamicidades de un carbono. Esto ocu- rre con los aldehidos y cetonas ya mencionados, con los ácidos, éteres-sales, amidas y las funciones sulfuradas co- rrespondientes (thiales, thionas, thiólicos, etc.). Si el elemento en cuestión es el nitrógeno trivalente, claro es que ha de quedar al extremo de una cadena, formando parte de un eslabón carbonado primario, y entonces tampoco puede suponerse colocado en el centro de figura de una cara del tetraedro correspondiente por análogas razones á las ex- 4 Figura 9.? Figura 10.2 puestas al tratar del caso análogo del oxígeno. Habría que suponer que dicho tetraedro se aplana y acorta de modo que se reduzca á una recta de longitud igual á la que medía en- tre los centros de gravedad de dos tetraedros contiguos: en el punto medio de dicha línea (que será un vértice del tetrae- dro inmediato), se colocaría el carbono y, á su extremo, el nitrógeno. Así el etanonitrilo vendría representado por el: esquema de la figura 10.* en lugar de serlo por el de la figu- ra 9.*, tropezando con el inconveniente de quedar reducido á un punto matemático de carbono intermedio y ejercerse las tres valencias que cambia con el nitrógeno en la misma dirección. — 300 — Sin pretender :que los esquemas propuestos en sustitución de los clásicos resuelvan por completo los inconvenientes de éstos, parece iniciarse en ellos una graduación de com- plejidad que puede sintetizarse diciendo que los triples enla- ces deben representarse por líneas; los dobles, por figuras planas, y los sencillos, por poliedros, desarrollándose esta es- cala paralelamente á la mayor estabilidad de los compuestos resultantes y existiendo una estrecha relación entre la com- plejidad de la figura y la fijeza del cuerpo que representa. Parece así que las moléculas orgánicas, dentro de su variada arquitectura, tienden hacia el mayor grado de simetría, que es el correspondiente á su mayor consistencia y solidez. No he pretendido, en la presente nota, echar las bases de una nueva teoría que sustituya á la del carbono tetraédrico, ni aun siquiera impugnar á ésta con la extensióf que se me- rece. He querido solamente poner de relieve algunos casos de interpretación difícil, que pasan desapercibidos en los libros y que creo son de importancia. Si yo hubiera logrado con ello excitar la curiosidad del lector, y tuviera la satisfac- ción de que aportara su opinión favorable ó contraria á la mía, vería colmado mi deseo y me estimularía á ampliar las ideas s ligeramente pic en estas pa » A XVI!M.—Sobre los cambios de conductancia de la manganina durante el recocido. Por B. CABRERA. El recocido de un metal ó aleación que se ha sometido á un tratamiento mecánico enérgico no es un fenómeno ins- tantáneo; de suerte, que sus propiedades no son función exclusiva de la temperatura del recocido, sino también, y á veces en una escala muy importante, del tiempo transcurrido desde que se le sometió á dicha temperatura. Esta influencia del tiempo es tanto mayor cuanto más com- pleja es la constitución de la aleación, y se manifiesta con tanta mayor evidencia cuanto más baja es la temperatura á que el recocido se ejecute (*). No es, pues, extraño que la manganina presente un notable retardo de este género; pri- mero, por tratarse de una aleación compleja en la que entran el cobre, el níquel, el manganeso y aun el hierro, y segundo, porque siendo muy oxidable, la temperatura del recocido po- sible es siempre muy baja. Débese á K. Feussner y á St. Lindeck (**) un estudio com- Pleto de la manganína, preconizada por ellos para la cons- trucción de resistencias tipos, y hoy casi universalmente ex- tendida. Pero no parece, según puede deducirse de la Me- moria citada, resumen de sus trabajos, que hayan fijado su atención en la ley según la cual se produce el cambio en la conductibilidad durante el recorrido. Tal fué el objeto que (*) A, Le Chatelier, Comp. Rend. Mayo, 1890. (**) Win. Abh. d. Reichsanstalt, t. II, pág. 503. Rev. Aca. Ciexcras.—VIT. — Noviembre, 1908, 21 — 302 — nos propusimos al comenzar el trabajo que hoy damos al público en toda su extensión, y del cual comunicamos un avance al primer Congreso de la Asociación española para el adelanto de las ciencias. Ya muy avanzado el trabajo experimental, y leyendo con un objeto muy diverso la notable Memoria sobre «Las de- formaciones pasajeras de los sólidos» (*), presentada al pri- mer Congreso internacional de Física por Ch. Ed. Guillaume, vinimos en conocimiento de que este físico ha estudiado con anterioridad el mismo asunto, llegando á resultados idénticos á-los nuestros, por lo menos en sus líneas genera- les. Esta circunstancia quita la mayor parte de su interés al presente trabajo; pero tanto por la altura en que éste ya se encontraba, cuanto también por no dar Guillaume no- ticia alguna sobre el lugar donde haya publicado de una manera detallada sus resultados, omisión que, además, no nos ha sido posible llenar, lo cual nos hace temer que di- chos trabajos hayan permanecido inéditos; por ambas ra- zones, decíamos, no hemos desistido de la presente publi- cación. , Una vez conseguido el recocido completo de cada una de las muestras estudiadas, determinamos siempre la curva que define la variación de la conductancia con la tempera- tura, como medio de reconocer la influencia que aquella operación ejerce sobre las propiedades de la aleación. En esta curva, como veremos más adelante con todo detalle, no revasamos nunca la temperatura del recocido. Todas las muestras sometidas á ensayo las hemos tomado de dos carretes de procedencia desconocida: uno de hilo de 0,5 de milímetro de diámetro, y otro de 0,8. Analizados por el Prof. auxiliar de Análisis químico de esta Facultad, (*) Rapport présenté au Cong. Int. de Phy. de 1900, t. 1, pá- gina 432. : — 303 — Sr: Campo-(, dieron los resultados que -se consignan en el adjunto cuadro: | | Hilo de 0,5 mm. Hiio de 0,8 mm. Cobre por 100........... Hb E 84,417 83,877- Niel. aos cmgr-s O A 3,434 3,949 Manganeso..... a rd de e 11,314 11,302 ENOERO AO OA IOLOA ¿0 A 0,698 0,715 Resistividad antes del recocido........ 40,1 >< 10-5 41,8 >< 10% Los datos que se consignan en el cuadro anterior son me- dios de dos determinaciones para el hilo de 0,5, y de tres para el de 0,8, cuyos resultados son concordantes. De ellos resulta que las cantidades por ciento de manganeso y hierro que figuran en ambas aleaciones, son iguales dentro de los errores experimentales, mientras que las de cobre y niquel cambian, circunstancia que tiene importancia, principalmente en cuanto se refiere al niquel, por la pequeña cantidad que de este metal contiene la aleación. Así no es extraño que ambos hilos suministren resultados diferentes en este estudio, como más adelante veremos, di- ferencias que ya comienzan á manifestarse en los valores de la resistividad de ambas aleaciones, que se consignan en el cuadro anterior. Estas constantes están afectadas de un error inferior á una unidad del orden de la última escrita, y como pudiera creerse que el recocido haría desaparecer la diferen- cia indicada, debemos adelantar que, lejos de esto, dicha operación la aumenta, pues la resistencia de los hilos vere- mos que disminuye por esta operación. Y si no las hemos calculado utilizando los valores de la resistencia terminada ésta, ha sido por el temor de que aquellos cambios nota- — Y) En el Apéndice que sigue á la presente Memoria, se detallan los métodos puestos en práctica en este análisis, .. — 304 — bles de resistencia vayan acompañados de variaciones pa- ralelas en las dimensiones geométricas. Método de medida. La determinación de las conductancias de las muestras es- tudiadas se ejecutó siempre por el puente de Wheastone; en el cual tres brazos permanecen constantes, mientras el cuaf- to lo forman la muestra estudiada y una caja de resistencia en derivación, de donde tomamos las resistencias necesarias para compensar los cambios de aquélla, maxteniendo el equi- librio del puente. En estas condiciones, llamando x la con- ductancia medida, R la resistencia de la caja y C,, C,, C;, las conductancias de los tres brazos fijos, la ecuación ES equilibrio será: Xx a er Cs [=x R Cs Lo mismo la muestra objeto de estudio que cada uno de Ad tres brazos fijos tienen un valor muy próximo de ohmio ebonita, y sus extremidades las soldamos con plata á cuatro barras gruesas de cobre, en forma de U invertida, fijas á aquél; cuyas ramas libres, sumergidas en pocillos de mer- curio, sirven para establecer las comunicaciones con el brazo variable (a,, a,) y con el galvanómetro (a,, a,) y la pila (a,, 0) (ig. 1). Una vez envueltos los brazos fijos, y recubiertos los hilos por una capa de goma laca, se sometió el sistema durante diez horas á una temperatura próxima de 140”. Lo mismo el empleo de la plata en las soldaduras, que este recocido, eran indispensables para lograr la fijeza necesaria en el valor de K, según demostraron los experimentos preliminares y comprobarán los datos más Sana transcritos. . Estos últimos se envolvieron en un mismo toro de — Y — El toro le sumergimos en un baño de aceite de petróleo B,, agitado á mano, y que se mantuvo siempre á una tem- peratura ligeramente superior al ambiente, con el auxilio de una corriente que atraviesa la resistencia r,, y cuyo circuito puede abrirse Ó cerrarse á voluntad, mediante una clavija. La temperatura de este baño se determinaba por un termó- metro Baudin, de vidrio duro, en décimas. Las muestras sujetas á estudio, envueltas en forma de anillo de unos tres centímetros de diámetro, sujeto con hilos de seda, se soldaron con estaño ó plata, según los casos, á dos barras gruesas de cobre en forma de U (fig. 4), sólida- mente ligadas entre sí mediante bloques de ebonita, para impedir toda deformación del hilo durante su estudio. De estas muestras, unas se prepararon con un año de anticipa- ción, y las otras en los días anteriores á aquél en que fue- ron estudiadas. Los extremos libres de la U se sumergían en pocillos de mercurio (c, C,), y la comunicación entre éstos y los a, a, se hizo con barras (PP”) de cobre de unos 35 centímetros de longitud. Sabida la gran influencia perturbadora de las fuerzas elec- tromotrices termoeléctricas localizadas en los brazos del puente, y teniendo en cuenta que la gran diferencia de tem- peratura que ha de existir entre la muestra estudiada y el sistema fijo, abona la aparición de aquéllas, por no ser iguales las cantidades de calor trasmitidas por las barras, á pesar de la semejanza de las mismas, es indispensable re- ducir este transporte de calor por el enfriamiento de P y P'. Tal enfriamiento lo logramos siempre por corrientes de agua; pero teniendo la precaución de que fuesen completamente independientes entre sí y del resto de la red, para evitar de- rivaciones que falsearían en absoluto los resultados de las medidas. Mientras la diferencia de temperaturas entre la muestra y el sistema fijo no excedió de 50”, logramos este fin rodeando — 307 — una porción de cada barra por una torcida de algodón, una de cuyas extremidades se sumergía en un frasco de vidrio lleno de agua. Esta, después de enfriar la barra, caía gota á gota en un depósito común por la otra extremidad de la tor- cida. Como, de una parte, los frascos correspondientes á cada barra eran independientes y estaban aislados, y, de otra, no existía continuidad en la vena líquida que une cada barra con el depósito, el peligro de las derivaciones á que hemos hecho alusión no existe. Para diferencias de temperatura superiores á 50”, el pro- HRS O Lo cedimiento anterior es insuficiente, por la lentitud de la co- rriente de enfriamiento. Rodeamos entonces las barras P (figura 2) con un tubo de latón T T provisto de dos orifi- cios en su generatriz superior. En el más próximo al sistema fijo O se soldó un embudo E, y en el otro b, un sifón bc de tubo más delgado. Las barras se colocaban siempre inclina- das, en la forma que la figura indica. La extremidad G de un sifón, que comunica con un depósito de agua, deja caer este líquido gota á gota en E, con la rapidez que convenga á la buena marcha de la operación. En cuanto el agua llena el espacio entre el tubo y la barra, alcanzado en el embudo de altura a, el sifón bc entra en funciones y vacia gran parte del tubo TT en el depósito D. Como el gasto de bc es gran- de, este período es una fracción pequeña del necesario para llenar T. En estas condiciones, teniendo en cuenta que los NN O INN ES EA Pigura 2. -- 308 — tubos de las dos barras no se vacian casi nunca simultánea- mente, se asegura la imposibilidad de una derivación. Las extremidades correspondientes á los embudos comunican con (a, a,), de suerte que el sentido de la circulación del agua era opuesto al graduante de temperatura engendrado por el baño caliente á lo largo de las barras, con lo cual se ase- guraba un enfriamiento de las mismas más perfecto. D repre- senta la cuba destinada á recoger el agua de los sifones bc. También con el fin de eliminar los efectos determinados por las fuerzas electromotrices termoeléctricas, hemos em- pleado una llave de Griffitas L, y un conmutador C en el brazo de la pila A. Como tal utilizamos un acumulador «Tudor» en serie con un reostato p, que nos servía para graduar la corriente total en el puente. Así, antes de lograr un equilibrio aproxima- do p era muy grande, disminuyendo paulatinamente, hasta que, manteniendo L cerrado durante un tiempo mayor que el necesario para apreciar el equilibrio, se notaban cambios que podían achacarse á calen- tamientos Ó fuerzas electro- motrices termoeléctricas en- E : gendradas por la corriente. y El galvanómetro utilizado es del tipo Broca, construído Ela: por «The Cambridge Sc. Ins- trument Co.», con dos bobi- nas de 2 w aproximadamente en derivación, de suerte que la resistencia es del mismo orden que cada uno de los brazos del puente. Colocado á unos tres metros de la mesa de tra- bajo, el equilibrio del sistema móvil le determinamos me- diante la observación por un anteojo de la imagen formada por el espejo, del filamento rectilíneo de una lámpara eléc- trica. Cuando era necesaria una gran precisión, utilizamos para el último ajuste la imagen engendrada por los rayos que sufrían una doble reflexlón entre el espejo E (fig. 3) y A A E a a ct — 309 — el vidrio plano V que cubre la caja donde se mueven las agujas. | La resistencia variable R la hemos tomado siempre de una caja de precisión «Carpentier» en décadas, construída con manganina; empleando una derivación sencilla siempre que era posible, y caso contrario doble y á veces triple, para cuyo fin utilizamos las resistencias que forman los brazos de proporción, cuando la caja se monta en puente. En casi todos los ensayos definitivos, únicos cuyos resul- tados transcribiremos aquí, hemos estudiado las muestras de hilo de tres en tres, de suerte que en cada determinación hemos de cambiar la posición de P y P”. Estos cambios siempre pueden determinar errores en las medidas ejecuta- das, por variación en las resistencias de los contactos, no obstante hacerse éstos con mercurio. Tales errores, aunque pequeños, existen realmente y son apreciables, según puede reconocerse indirectamente por la comparación de las dife- rencias entre los números observados y los calculados en los dos ejemplos siguientes, que corresponden á cambios con la temperatura de las conductancias para las muestras: números 2 y 11, de las cuales la primera permaneció inva- riablemente ligada á las barras durante toda la operación, mientras la segunda fué estudiada simultaneamente con otras dos. Muestra núm. 2 =18/x — 1907. C;= .995694 [1 — .0,292 (£ — 15) + .0,37 (€ — 15)?]. Temp. C. obs. C. cal. A 139,12 .995749 .995751 + 2.10-6 179.95 995611 995612 A 230 25 995479 995479 0 309,20 .995337 .995337 0 342,90 .995260 .995260 Oi 402,90 .995188 .995187 e 459,30 .995150 .995150 0 -50%40- 905124... 995125. Vid: = 310 — Muestra núm. 11 =*%/ym-—1908. C¿== .988167 [1 — .04127 = 25) + .0537 (£ —25)2]. Temp. C. obs. C. cal. : A de 26,10 .988154 .988159 3 D.10:% a 29945 - .988116 .988119 108 349,80. .988074 988076 a a ORO 988055. .988054 == 1 4530, .988050 988047 — —3 49%.50 .988060 .988056 A 5510... .988082 .988083 de le] 599,60 988125 988121 ESTA 66,60 988205 988203 = 2 73,00 988305 988298 = 5 - El distinto orden de magnitud de las diferencias entre los valores calculados y observados, demuestra que en el segun- do caso los errores accidentales son más importantes. Y tal diferencia se reconoce en todos los casos análogos. Pero te- niendo en cuenta que en todo caso el límite de la aproxima- ción excede con mucho á lo que es necesario para este tra- bajo, prescindimos de esta pequeña dificultad, salvo cuando. se trataba de apreciar cambios muy pequeños, segión vere- mos en el lugar oportuno. El baño donde han sido calentadas las resistencias es de aceite de petróleo perfectamente neutro, y de punto de ebu- llíción muy elevado, contenido. en una caja de latón, rectan- 'gular, y de unos dos litros de capacidad. Esta caja estaba térmicamente aislada mediante cartón de amianto, aserrín de corcho y una envoltura exterior de madera. Cuatro héli- ces enlazadas por una correa sin fin á un motor eléctrico no representado, aseguraban una agitación violenta y perma-. nente, y una resistencia r, distribuida en dos bobinas colo- cadas 'en los lados menores del rectángulo, entre cada par de hélices, formaba el sistema de calefacción. La corriente que atraviesa esta resistencia la tomamos del A O di ts ST -.=». — 3h — sector industrial, regulándole mediante el reostato p”, de tal suerte que determine un calentamiento muy lento en el baño. Un regulador de mercurio $ intercala en el circuíto, median- te el interruptor electromagnético /, la resistencia p”, elegida de suerte que el baño se enfrie muy lentamente. Así queda asegurado el equilibrio térmico entre el mercurio del regu- lador y el aceite, lográndose que el intervalo donde cambia la temperatura no exceda de unas cuantas décimas de grado. - Las. temperaturas inferiores á 100” las medimos con un mismo. termómetro Baudin, de precisión, graduado en dé- cimas. > . Para las temperaturas superiores á este límite empleamos el par cobre: constantan, construído por la casa de Cam- bridge ya citada, y estudiado por el National Laboratory de Londres. La soldadura introducida en B se preparó soldando ea con plata ambos alambres en un orificio abierto según el eje. de un pequeño cilindro de cobre, y cada una de las otras dos extremidades se soldaron por el mismo procedimiento á otros dos alambres de cobre, en orificios abiertos en dos: semicilindros del mismo cobre empleado para la soldadura caliente. Estos dos semicilindros los aislamos entre sí por una lámina de mica, ligándolos por un cordón de seda blan- ca, formando una masa única que se introdujo en B,. Tanto . - los alambres que forman el par, como los terminales de co- - bre á ellos soldados, que comunican-con el voltímetro, se ---- aislaron cuidadosamente con seda. El voltímetro utilizado fué un modelo de W. Paul de Londres, cuya división corres- ponde á 1 >< 107+* de voltio, y como las lecturas más bajas correspondían á 40 divisiones de la escala, pudiendo apre- ciarse con toda seguridad el quinto de división, podemos asegurar una aproximación de un 0,5 por 100 en la medida de las temperaturas por este método. Y nótese que tal límite no es muy inferior al que corresponde á las lecturas directas por el termómetro Baudin en las condiciones en que fueron. ejecutados; pues toda la columna termométrica permanecía 3 E fuera del baño, y la corrección cortespondiente seguramente puede ir afectada de un error que alcance algunas décimas de grado, para las temperaturas elevadas. Como habíamos de emplear para medir las temperaturas con este par la curva trazada con los números suministrados por el National Laboratory, quisimos cerciorarnos de que nuestro montaje no había modificado la fuerza electromotriz del par, introduciendo otras parásitas, ó derivaciones que en- gendraran idénticos efectos externos. Con este fin hemos comparado repetidamente, y en épocas diferentes, los nú- meros suministrados por aquella curva y por la observación directa, para temperaturas comprendidas por entre 50 y 100". Una de estas series la transcribimos por vía de ejemplo: 21,01" 21,0 23-IX-1908 T' Temp.soldadurafría| 21,2 [21,2 ¡21,2 [21,1 [21,1 [21,0 |21,0 T Temp. soldadura ca- lienteitn is 148,5 |58,9 |68,7 73,3 (79,0 |83,2 |89,6 95,6 | 101,0 Ex F. E. tomada so- A bre la curva para T'.| 8S45| 845| 845] 84| 84| 84 84 84 84 E y F. E. tomada sobre | la curva para T..... 1,94 | 2,37 | 2,785 2,98 3,22| 3,400| 3,685| 3,95| 4,20 AE: =—E>n E quererte 1,095. 1,525 1,940| 2, ,14 2,38, 2,5601 2,845 3,11. 3,36 V a del voltime- LO eo e ol 1,02 | 1,48 | 1,880 2,09) 2,311 2,50 | 2,78 | 3011 3,21 Error=V—AE...... —.075| —.045¡ —.060 a 000 —.065/—.10| —.15 De este cuadro, como de sus análogos no transcritos, re- sulta un incremento de la diferencia V—AE á medida que su temperatura crece. Tal hecho pudiera achacarse á alguna de las dos causas citadas arriba, pero dista mucho de ser evi- dente, tanto más si se tiene en cuenta que hemos observado una disminución de la desviación del voltímetro con el tiem- po cuando ambos baños se mantenían á temperatura cons- tante durante muchas horas, debiendo advertir que el cir- cuito unicamente permaneció cerrado el tiempo necesario para ejecutar la lectura, ERIN AAA — 313 — Por esta razón no empleamos nunca el par en cuestión en el estudio de las curvas de temperatura, pero sí para la temperatura del recocido, pues en este caso nos basta la seguridad de la invariabilidad de la misma. Con este fin, así como porque en el estudio de los cambios de conductancia con el tiempo conviene determinar con rapi- dez la temperatura del baño, para eliminar las variaciones que provienen de diferencias de esta última, colocamos siem- pre en B, un metastático Baudin sensible al */;, de grado (*). Determinación de la constante. Según hemos dicho, el valor de la conductancia de -la muestra estudiada se determina mediante la ecuación 0 ME R donde K = E y R es la resistencia derivada sobre x., 2 Así, pues, es menester conocer en cada caso el valor de K, y tal determinación, de igual manera que la de su coeficiente de temperatura, puede ejecutarse sencillamente disponiendo en vez de x una conductancia conocida. Fué ésta siempre un ohmio tipo de la casa Leeds « Nor- thrup de Filadelfia, cuyo valor á 20”, suministrado por el constructor, es de .99996. Comparado este patrón con otro de un ohmio y dos de diez, de Otto Wolf, provistos de certi- ficados para medidas de precisión por el Reichsanstalt de Berlín, nosotros hallamos para los límites de temperatura en que fué utilizado, R¿= 99995 [1 +-0,18(£— 20) —.0,4 (t — 20)2)-- () Parte del A utilizado en este NOS pertenece * á la Junta de Ampliación de Estudios é investigaciones científicas, — 314 — Adaptado este ohmio al puente, mediante dos gruesasba- Tras de cobre terminadas en pocillos de-mercurío, 'estable- cíamos una doble derivación para lograr el equilibrio. De estas derivaciones una era fija y de 100 ohmios, y la otra variable del orden de los 400. Ambas derivaciones las toma- mos de la misma caja y ejecutemos siempre «dos medidas, con dos bobinas diferentes de 100 ohmios, con lo cual los valores de K sólo diferían en algunas millonésimas. “Para el último de los sistemas fijos empleado, que ha ser- vido para el estudio de todas las muestras á que hemos de referirnos más adelante, ejecutamos la determinación de K para temperaturas comprendidas entre 15” y 32", y su va- lor puede expresarse por la ecuación K,= 1.010347 [1 — .0,22(t— 25) + .0,21 (£—- 25)2], que suministra valores que sólo difieren de los observados á cada temperatura en algunas millonésimas. AN práctica nos había demostrado que este sistema fijo no permanece invariable con el transcurso del tiempo, sin duda porque no seguimos en su construcción con toda fidelidad las prescripciones del Reichsanstatl. Aunque tales cambios tienen una importancia muy secundaria en el presente tra- bajo, pues no.nos proponíamos determinar los valores abso- lutos de las conductancias sino sus variaciones, y esto en un período de tiempo pequeño, comparado con aquéllos, dentro de los cuales dicha variación se hace bien sensible, preferimos eliminar los errores que de esta causa pueden proceder, determinando K con relativa frecuencia, y cada vez para varias temperaturas que comprenden aquélla á que se halla el sistema. De esta suerte conocíamos en cada caso el verdadero valor de K y su coeficiente de tempe- ratura. -. De la magnitud de estos cambios suministra cumplida cuenta el siguiente cuadro, que encierra algunos valores de — 315 — K por una misma temperatura intermedia, así como el coefi- ciente de temperatura: FECHA Kos y a 30 de Julio de 1908... 2oooeooooa 1.010462 0,22 21 de Agosto de idem...... ......... 1.010410 y 9 de Septiembre de idem............. 1.010291 o OA A A 1.010283 0,26 l6de Oetubre.de Ídem... =..slo=(0|= o slo |= o = o[|=(o[|>=| 02.0 (1) | .38 21,2] .82 30,2] 1,53| 43,9] 1,88] 50,5 2,46 61,5|2,98 71,3|3,52 81,5] 4,06, 91,9] 4,58/101,5 (2) |.20/18,8| .45 23,5] .9533,0| 1,22 38,1] 1,611 45,412,021 53,2] 2,45 61,3] 2,82 68,3|3,00| 71,7 (8) | .12/17,3| .31 20,9| .67 27,7| .86 31,3| 1,13 35,9| 1,43 42,0|1,72 47,4 202532 2,12| 55,1 (4) |.02 15,4| .19 18] 37/22,0| .49 24,3 .66 27,5| .S1 3031 .99 33,1| 1,15 36,1|1,21| 37,9 O o bo la A AAA Las fuerzas electromotrices termoeléctricas se expresan en milivoltios, y las temperaturas Y se deducen de la ecuación del par calculada mediante las lecturas (1) y las temperatu- ras de B, que figuran en la cabeza del cuadro. Esta ecuación, cuyo grado de exactitud puede deducirse de la comparación de los valores de 9 en la línea (1) con los que han servido para su cálculo, es: 8 = 15,04 + 18,9 E. 3 Los valores de % consignados arriba han servido para de- h ducir las curvas de variación de la temperatura á lo largo de : la barra. En estas curvas las abcisas representan las dis- e — 320 — tancias á la extremidad de la barra que lleva la resistencia, y se ha admitido que toda la porción de la misma que per- manece sumergida en el petróleo (4,5 cm.) posee la misma temperatura de este líquido, salvo una pequeña porción que se determina por sentimiento de continuidad, ligando la pat- te horizontal con el resto. La temperatura media se deducirá dividiendo el área limitada por la curva y los ejes por la longitud total de la barra. El cálculo de las áreas lo ejecutamos recortándolas de una misma chapa de latón y pesándolas. Los valores dedu- cidos por este procedimiento son los que se consignan á continuación: Temp. de B,.... [21% 4/309,5 43,7/50%,9/61*,2/71%,5/819,5/9197| 1019,5 oo Esad 189,5 240, 11322, 9/37%,3144%, 11519, 3 58%,7/649,7| 709,0 A 0 a Cd 189, 11249, 11320, 8/37%,6 449,4 151%, 2/57%,8/64%,6 719,1 1 MATA SI E A o A E Los valores de 9,,, calculados, lo están por la ecuación (a 25) 496/4002 (t-25], de suerte que entre ambas temperaturas existe una relación lineal. Conviene observar que con el par cobre constantan obtuvimos para esta misma relación (O O que se identifica con la anterior, si se tiene en cuenta que con él únicamente operamos á 507, 70” y 100”, de donde de- riva una inseguridad grande para los resultados. Efectuando la sustitución de este valor de (0. — 25 ) en la ecuación arriba indicada, ésta se convierte en peas be | 4507 + (66y—a) ((—25)++ (25) | AE AA — 321 — aX Para calcular el factor numérico AEScabRia observemos que Xa5 Vas p2, medido directamente por el método del puente Thomson, arroja un valor de 144 .107* á 25”, mientras que E sólo 25 difiere de la unidad en una milésima, en el caso más desta- vorable y r,, muy pocas veces excede de la unidad en más de dos centésimas. Así, podemos considerar este factor in- variable, con lo cual nos exponemos á un error que, para los mayores valores de f, apenas si alcanza á un 2 por 100. Para el coeficiente de temperatura del cobre y adoptare- mos el valor .0042, con lo cual .66 y =.0028, número más de doscientas veces superior á a, que puede, por ende, ser des- preciado frente á él. Respecto á P, aceptamos el valor .0,41, que se deduce de la curva y que coincide con el que ha hallado C. V. Drysdale (*) recientemente para una muestra cuyo mínimum de resistencia se presenta á una temperatura muy próxima de la que corresponde al hilo á que nos veni- mos refiriendo. Con estos datos obtenemos para la ecuación ' y =— 2,46 .1079 + .40..1078 (£—25) + 59 .10712 (£—25). Evidentemente, el último término es despreciable, y los dos primeros representan una recta inclinada respecto al pri- mitivo eje de las temperaturas, como la recta de puntos lo está respecto á la 1 sobre la figura que representa la curva de temperatura en el hilo de 0,8 mm. (Se continuard). (*) The Electrician, LIX, 991. — 322 — PUBLICACIONES RECIBIDAS (Continuación.) Real Academia de la Historia.—Discursos leídos ante la Real Acade mia de la Historia en la recepción pública del Excmo. Sr. D. Enrique de Agui- lera y Gamboa, Marqués de Cerralbo, en 31 de Mayo de 1908, —Contes - tación de D. Juan Catalina y Garcia. —Madrid, 1908. Real Academia de la Historia. —Boletín de la . . .—Tomo LI, cuaderno 6.2 —Idem LII, cuadernos del 1.2 al 6, —- Idem LIII, UnA del 1.2 al 4.— Madrid, 1907 y 1908. Real Academia de Medicina — Discursos leidos en la Real Academia de Me- dicina para la recepción pública del Excmo. Sr. Dr. D. Tomás Maestre y Pérez el día 24 de Mayo de oEL —Contestación de D. José Gómez Ocaña.—Madrid, 1908. Real Academia de Medicina. —Discursos leidos en la Real Academia de Me- dicina para la recepción pública del Dr. D. Enrique de Isla y Bolom buru el día 21 de Junio de 1908.—Contestación del Excmo. Sr, Dr. D, Julián Calleja y Sánchez. —Madrid, 1908. Real Academia de Medicina.— Discursos leídos en la Real Academia de Me dicina para la recepción pública del Ilmo. Sr. D. Dalmacio García é Iz-- cara el día 31 de Mayo de 1908. — Contestación del Ilmo. Sr. D, San- tiago de la Villa y Martín. —Madrid 1908. Real Academia de Medicina.—Anales de la .. .—Tomo XXVIJ, cuader- no 4.2 —Idem XXVIII, cuadernos 1.% al 3.2—Madrid, 1907. Alcobé y Arenas (Dr. D. Eduardo). Noticia acerca de algunas experiencias con placas autocromas Lumiére. (Véase memorias de la Real Academia de Ciencias de Barcelona, vol. VI, núm. 28.) — Barcelona. «El Asegurador Español».—Revista de Seguros, año VI, núm. 2, A - celona, 1908. Asociación Nacional del Profesorado.— «El Libro», órgano de la,.,,— Año II, números 8 al 12.—Buenos Aires, 1908. Asociación de Peritos Industriales. — Boletín Tecnológico de la, ..— Año III, núm. 30.— Año IV, números 31 al 38.— Madrid. | Avelino Armenteros (D. Andrés). Necesidad de separar en España la Po- lítica de la Administracción. — Conferencia dada en la Asociación de Alumnos de Ingenieros y Arquitectos. —Madrid, 1907. Balcells, S. J. (P. Mariano.) —La Observación Solar.—Memorias del Obser- vatorio del Ebro, núm. 2, —Barcelona, 1908. — 323 — 'Banco Hipotecario de España.—Memoria del ,. ., sobre el ejercicio de 1907, presentada en la Junta general ordinaria de. 9 de Mayo de 1908.—Ma- drid, 1908. Barnola, S. J. (Joaquín M.*? de). — Manual práctico del Botánico Herborizador. Barcelona, 1908. Bartrina y Capella (J, M.). — Tratado didáctico de las Geometrías no euclí- deas. —Obra laureada. —(Véase Memorias de la Real Academia de Cien- cias de Barcelona, vol. VII, núm. 2.) —Barcelona. Bibliografía Española. — Organo oficial de la Asociación de la Librería de España.—Año 7.”, núm. 24.— Año 8.%, núms. 146 y 8á 21.—Ma- drid, 1907 y 1908. Boletín de los Hospitales.—Año 7.%, núms. 8 y yg.—Caracas. Brañas Fernández (D. Gonzalo). —Estudio sobre las radiaciones hertzia- nas. —Memoria presentada para obtener el grado de Doctor en Ciencias.— Sección de Fisico-Química.—La Coruña, 1907. Burckhardt (Dr, Carlos). —La Faune Jurassique de Mazapil, avec un appen- dice sur les fossiles du crétacique interieur par le..., (avec 43 plan- ches). —Boletin del Instituto Geológico de México, núm. 23.— Méxi- CO, 1906. Cabo (Dr. F.).—¡Despertad, gallegos! Boceto político dedicado al presunto jefe oficial del Terrorismo español. — Madrid, 1908. Cabrera Latorre (Angel). — Sinopsis de los Quiropteros Chilenos (Extracto de la Revista Chilena de Historia Natural, año 7, 1903.) — Valparai- ' SO, 1903. Cabrera Latorre (Angel). — Sobre la nomenclatura de algunos géneros del orden «Primates». — El «Okapi del Museo de Madrid».—«Los lobos de Es- paña.» —(Bol. de la Real Sociedad ada de Historia Natural.) —3 fo- lletos.—Madrid. Cabrera (Ry Angel). —«Three new Spanish Insectivores».—«On Muscardi- nidoe from the Iberian A .—(Annals and Magazine of Natural His- tory).—2 folletos, Cadeval y Diars (D. Juan). —Notas Fitogeográficas Críticas. — (Véase Memo- rias de la Real Academia de Ciencias y Artes de Barcelona, vol, VI, nú- mero 26).—Barcelona, 1908. Cámara oficial de Comercio, Industria y Navegación de Madrid.— Memoria presentada por la Junta Directiva á la Asamblea ES el día 29 de Es brero de 1908.—Madrid, 1908. Centro Hispano-Marroqui de Barcelona.—Museo Comercial de productos Africanos fundado por el...—Barcelona, 1907. Centro Farmacéutico Uruguayo. —Revista...—Tomo XIV, núms. 11 y 12.— Tomo XV, núms. 1 á 8. —Montevideo, 1908. Centro Nacional de Informaciones Comerciales y Archivo de Sociedades Anónimas —Memoria de los trabajos realizados durante el año 1907.— Madrid, 1908. Comas Solá (D. José). —Paso de Mercurio delante del Sol.—Observaciones de — 324 — Marte.— Oposición de 1907.—Sobre la probable existencia de un anillo al rededor de Júpiter. - (Véase Memorias de la Real Academia de Ciencias de Barcelona, vol. VI, núm. 27. —Barcelona. : Comas Solá (D. José). —Estadistica Sismológica de 1907 en Barcelona. —(Ob- servatorio Fabra). —Observaciones Sísmicas durante el año 1907. — (Veáse Memorias de la Real Academia de Ciencias de Barcelona, vol. VI, número 31.— Barcelona. Congreso de los Diputados. —Actas de las Cortes de Castilla, publicadas por acuerdo del... —Tomo XXVIII. —Madrid, 1907. Consejo Superior de Salubridad de San Salvador. — Boletín del... — Año VI, números 1o á 12.—Año VII, números 1 á 4.—San Salvador. Cortejarena y Aldevó (D. » rancisco de). —Centenario del fallecimiento del “Doctor D. José Severo López, Médico de Cámara de S. M. el Rey Don Carlos IV.—1807-1907.—Biogratía y otras noticias de su época, por su biznieto y heredero... —Comunicación leída á la Real Academia de Me- dicina en las sesiones literarias de los días 22 y 29 de Febrero y 7 de Marzo de 1908.—(An. de la Real Academia de Medicina.— Marzo, 1908). Criado y Aguilar (D. Francisco) —Discurso leído ante la Universidad Cen- tral en la solemne inauguración del Curso académico de 1908 4 1909 por el Dr...—Madrid, 19. La cultura popular.—Organo de las Juntas de extensión Universitaria de Barcelona y su distrito académico.— Año V números 45 á 48 y 51 á 54- Barcelona, 1908. Dato Iradier (Excmo. Sr. D. Eduardo.) - Discurso leído por el..., Presidente de la Real Academia de Jurisprudencia y Legislación, en la sesión inaugu- ral del curso de 1907 908.— Madrid, 1908. Davaira y Pereira (Sr. D. César). — Discurso resumen del curso de 1906- 1907, leido por el Secretario general de la Real Academia de Jurispru - dencia y Legislación en la sesión celebrada el 21 de Enero de 1908.— Madrid, 1908, Dirección general de Contribuciones, Impuestos y Rentas — Estadística ad- ministrativa de la Contribución Industrial y de Comercio. —Año de 1906. Madrid, 1908. Dirección general de Aduanas.— Estadística general del Comercio exterior de España en 1906.—Partes 1.* y 2.?.—Madrid, 1907. Dirección general de Aduanas.— Estadística general del Comercio de Cabo- taje entre los Puertos de la Península é Islas Baleares en 1906.—Ma- drid, 1908. (Se continuará). e XII. Elementos de E ae de la Elasticidad, por José Eche h Di IEA pare Co a eS a set NS XVII. — Algunas ses á dal teoría del carbono te _ traédrico, por José: Giral Pereira... Pi XVII —Sobre los cambios de la conductancia de la manga- z nina durante el recocido, por B. Cabrera..... Publicaciones recibidas, .. A e [poo yn La subscripción á esta REVISTA se hace por tomos completos, da Sa cd e, de 500 4 600 páginas, al precio de 6 pesetas en España y 6 francos CNA a en el extranjero, en la Secretaría de la Academia, calle de ba a Ñ P : verde, núm. 26, Madrid. Precio das este cuaderno, 1, 50 pesetas. ODM O WEN UM "(Diciembre de 1903) y , - - MADRID MESETA DE PE GACETA DE MADRID Es CALLE e PONTEJOS,. NÚM, 8, 190S G ¿ 4 A 50 OS Y - 8 Ez r [Ne o- S ¿0 > ADVERTENCIA = y Los originales para la Revista de la Academia se han de entregar completos, en la Secretaria de la Corporación, antes del día 20 de cada mes, pues de otro modo quedará su publicación para el mes siguiente. : pe Sd XIX. —Elementos de la teoría de la Elasticidad. Por JosÉ ECHEGARAY. Conferencia tercera. SEÑORES: Dijimos al empezar este curso, que nos proponíamos se- guir el estudio de la Elasticidad, aplicando á este problema de la Física matemática el método de Mr. Poincaré. Expusimos primero, el método de Cauchy. En el curso siguiente, el de Lamé y sus análogos. Y en éste, como tercera parte en la materia general que nos ocupa, anunciamos la exposición del método de aquel eminente matemático. Y, sin embargo, llevamos ya tres conferencias y aun no hemos empezado dicha exposición. No es, seguramente, que desistamos de nuestro progra- ma, ni que en realidad estemos tan alejados de él como á primera vista parece. El aparente retraso tiene varias razones. El método del ilustre autor á que nos referimos, difiere no- tablemente de todos los métodos anteriores, por ejemplo, del de Cauchy y del de Lamé. No sigue en absoluto los derroteros trilladísimos por todos los autores de la Física matemática clásica. - Marca cierta orientación, como ya veremos en su día, hacia la Física matemática moderna. Y todo esto exigía de nuestra parte, una introducción ó estudio preparatorio, cierta enumeración, por superficial que sea, de los nuevos problemas que se vienen planteando, y un Rey. Acap, Crencias.—VIT.— Diciembre, 1908. 23 - — 320 — análisis, aunque muy rápido, de las censuras que la crítica moderna formula contra la hipótesis mecánica, que fué la dominante en la pasada centuria. En suma, era preciso justificar la innovación Ó las inno- vaciones que Mr. Poincaré introduce ó introdujo en su teoría de la Elasticidad, para salvar las que él creyó objecciones de más fuerza contra los antiguos métodos. Así, decíamos en la conferencia anterior, la Física ma- temática clásica parte de estos tres conceptos fundamentales: la masa, la fuerza, el movimiento, á los que tuvo más tarde que agregar el éter ó la electricidad; en suma, un nuevo flúido que represente las fuerzas repulsivas, como la mate- ria ponderable representa las fuerzas de atracción. Identificando la electricidad con el éter, podía aplicarse la hipótesis mecánica á casi todos los problemas de la Fisica, escribiendo en ecuaciones diferenciales las leyes de todos los fenómenos, como hemos indicado en la conferencia an- terior. Pero también decíamos, que la crítica y ciertas escuelas modernas, como la que pretende explicar todos los fenóme- nos por la energía, habían formulado graves objecciones con- tra los cuatro elementos antes indicados. Y ya en la conferencia precedente empezamos á estudiar el concepto de masa. La masa, que en cierto modo es un parámetro de la Físi- ca, factor común á toda clase de materia, según unos, y, se- gún otros, la materia misma unificada y sometida á medida y á número, era en la Fisica clásica algo intangible y defi- nitivo, aunque, á decir verdad, en sí encerraba cualidades hasta cierto punto opuestas. La materia, en efecto, era activa en cuanto de ella nacía la fuerza atractiva newtoniana. La materia atrae á la materia, decía Newton; ó por lo menos las cosas pasan como si esta atracción fuese una realidad. Es activa, decimos, y al mismo tiempo es inerte, y SA A A A VD A E A AC a A dr Ly AS A y ñ. — 327 — para ponerse en movimiento consume cierta cantidad de fuerza. O más claro: es activa para las demás masas, porque las atrae; y es pasiva, más que pasiva, consumidora de fuerza, si vale la palabra, porque, para adquirir cierta velocidad, necesita que sobre ella actúe determinada fuerza durante determinado tiempo. Esto podrá ser extraño, hasta inexplicable para algunos autores, si nos lanzamos á las esferas metafísicas; pero, en el terreno de la experimentación, expresa hechos de cuya realidad no puede dudarse, sea cual fuere la explicación que para ellos se busque. Mas para nuestro objeto, esta es una cuestión aparte. Lo que nos importa consignar, es que hasta aquí había sido principio indiscutible, postulado de la Física y de la Quími- ca, el de la conservación de la materia, y, por lo tanto, el de la conservación de la masa, que es su medida y que expresa un número indisolublemente unido á cada porción determi- nada de materia. Pues bien, ahora resulta, según experimentos de físicos habilísimos, que la masa puede variar. En cantidades muy pequeñas, ciertamente; pero superiores á los errores de observación. Y esto es lo que empezamos á discutir en nuestra última conferencia. En ella presentamos un ejemplo puramente ideal y que no -teriía más objeto que el de dar forma plástica á nuestra idea. Y vimos, que si la masa ponderable estaba rodeada de -una atmósfera etérea, y en el espacio ambiente existían ciertos sistemas elásticos, que pudieran actuar sobre la expresada atmósfera, de no conocer ó no tener en cuenta dichos sistemas, podrían deducirse números distintos como expresión de la masa, y aun distintos según la orientación del movimiento. y : La masa era siempre la misma, pero la experiencia pura, la experiencia ideal, por decirlo de este modo, para la me- — 328 — dida de la expresada masa, podía alterarse en determinadas condiciones. | Dejábamos, pues, á salvo, la invariabilidad de la masa. Y á esto creo yo que habrá de llegarse en último resultado. Pero el ejemplo artificioso, lo reconocemos desde luego, que hemos presentado, no expresa con exactitud las circuns- tancias del problema que vamos discutiendo. Demos un paso más en nuestro análisis. Los experimentos que dan variabilidad en la masa, no se refieren al ejemplo que hemos discutido, que es, en cierto modo, un ejemplo preparatorio para hacer más claras nues- tras explicaciones. La variabilidad en la determinación de la masa por el método experimental, no se presenta en las experiencias ordinarias, ni para velocidades relativamente pequeñas, comparadas con la velocidad de la luz. : Estas diferencias se presentan para velocidades muy grandes, sin llegar á la de la luz, como si esta velocidad fuera la causa que alterase la masa. La velocidad, es pues, el factor importante que hemos de tener en cuenta. E Y debemos ahora repetir todo lo dicho, pero introducien- do en nuestro estudio este nuevo factor. Mas para ello necesitamos entrar en algunas explica- ciones. Necesitamos anticipar ideas, que desarrollaremos cuando llegue la ocasión oportuna; pero de las que para hacer inte- ligible lo que sigue, diremos algo, aunque sea incompleto y sea prematuro. | — 329 — En la Física moderna, cuando una masa eléctrica se mue- ve con gran velocidad, se admite que equivale á una co- rriente eléctrica. Y esto no es una hipótesis, porque, aunque ha sido punto muy debatido, se acepta hoy por la mayor parte de los físicos que tienen confianza en las célebres experiencias de Rowland. No todos prestan fe absoluta á dichas experiencias, que, como hemos dicho, dieron lugar á una viva discusión y á otras experiencias contradictorias con las primeras; mas, por el momento, admitamos esta ley, experimental ó hipotética, Ó lo que fuere: Una masa eléctrica, caminando con movimiento rápido, para que el efecto sea sensible, es decir, con velocidades que pueden ser muy inferiores, pero comparables con la de la luz, equivale á una corriente eléctrica para todos sus efectos y acciones. En suma, si un elemento eléctrico e camina con una velo- cidad muy grande u, puede suponerse que equivale á una corriente eléctrica /; de modo que, representando para más. generalidad por A un coeficiente numérico, puede escribirse Ae4m= E Y podremos decir: la corriente eu, como pudiéramos decir: la corriente /. Este es el primer punto que necesitábamos establecer para inteligencia de lo que sigue. Pasemos á otro segundo punto, sobre el cual ya hemos disertado mucho en las conferencias de otros cursos. Supongamos en el espacio una masa de materia pondera- ble mm ó una cantidad de materia eléctrica e. Se admitía antes que ambas eran capaces de ejercer acción á distancia; pero se admitía también, explícita ó implicita- mente, si no existía más que una de estas dos masas, que el espacio que la rodeaba era el vacío absoluto, de suerte que — 330 — la acción que pudiera ejercer una ú otra era nula para cual- quier punto de dicho espacio, exceptuando para aquellos puntos en que existiera materia Ó existiera electricidad. Fijemos bien las ideas y supongamos que existe una masa e, mejor dicho, una cantidad de electricidad e, en un punto A del espacio. Alrededor de este punto A se formará un campo eléctrico, creado por el elemento eléctrico e; así, en un punto B, á la distancia r del primero, actuará una fuerza eléctrica CI p? en que « es un coeficiente numérico; pero si el espacio está vacío, esta fuerza no será una fuerza actual, sino una fuerza posible por unidad de fuerza eléctrica. Cuando en el punto B coloquemos una cantidad de elec- tricidad 1, entonces sí actuará una fuerza efectiva: SS 1 cipila és dE te Pero si suprimimos la cantidad de electricidad 1, la acción será puramente abstracta, ó posible, ó analítica, pero no real. Y esta era la hipótesis dominante, ya establecida explíci- tamente, ya implícitamente admitida. La masa de un astro no ejercía acción ninguna sobre el vacío del espacio mientras no encontraba otro astro, es de- cir, otra masa: la fuerza que de él emanaba era potencial. - La carga de un conductor tampoco ejercía acción ninguna, Ó por lo menos no se tenía en cuenta, sobre el espacio que le rodeaba mientras no encontraba otra carga eléctrica en la cual hacer presa, si se nos permite la palabra. Los núcleos ponderables ó los núcleos eléctricos, eran los únicos, por regla general, que la teoría tenía en cuenta, ' : No e li A: y — 331 — De nada servía el espacio, que se consideraba como iner- te, sino para medir las distancias. En las teorías modernas, todo esto ha cambiado por com- pleto. El espacio no es inerte, no es el vacío abstracto del mate- mático. El espacio está lleno de éter ó de electricidad, de una materia continua, ó de una substancia granular, por decir- lo de este modo, ó es un conjunto de celdillas, algo parecido á lo que después se llamó un dieléctrico. El espacio toma parte en todos los fenómenos del Universo como elemento dinámico. Antes no era nada; ahora, en ciertos casos, lo es todo: él transmite la fuerza, él almacena la energía, él finge la inercia. Y, si se me permite la comparación, diré que la teoría clá- sica es una teoría individualista, y la teoría moderna, tiene la importancia del moderno socialismo. Pero sigamos nues- tro estudio. Consideremos, como antes, en un punto A del espacio, una masa etérea e; al decir masa, no queremos decir masa pon- derable, sino cantidad de electricidad. La palabra electricidad desvanece toda confusión que pudiera ocurrir. Hemos dicho antes, que una masa eléctrica e, que se mue- ve en el espacio en línea recta con gran velocidad, se con- sidera por casi todos los físicos como una corriente eléctri- ca; así resulta, según antes decíamos, ó de una hipótesis gran- demente fecunda, ó de las experiencias de Rowland. Pues bien, se supone que el movimiento de esta masa eléc- trica perturba todo el espacio, lo altera estática Ó dinámica- mente, Ó las dos cosas á la vez. El espacio se opone, por decirlo de este modo, como un resorte, por sus fuerzas repulsivas, al movimiento de la masa e E eléctrica e, y finge para dicha masa, cierta inercia, que se puede calcular según muchas teorías, y de donde resulta para el experimentador, la sensación de algo parecido á la inercia de la materia ponderable, llámese resistencia elástica, ó inducción, ó self-inducción, Ó como se quiera. Si á la masa eléctrica e va unida una masa ponderable mn, resultará en los experimentos una masa experimental, lla- mémosla así, que se compondrá de dos partes: la de la iner- cia clásica y tradicional de la masa ponderable m, y la de la inercia fingida que resulta de las reacciones del medio am- biente sobre la masa eléctrica e. Pero aunque la masa eléctrica caminase sola, fingiría y equivaldría á cierta masa ponderable: en suma, algo pareci- do á la inercia ordinaria. Vamos á precisar todo esto con un ejemplo. Ejemplo difícil de explicar, porque si quisiéramos darle el debido rigor, tendríamos que exponer varias de las teorías modernas, las cuales no tienen lugar en las conferencias de este año, pues las reservamos para otros cursos, ya que el objeto de éste es exponer la teoría de la Elasticidad, según Mr. Poincaré, la cual marca, como hemos dicho, una transi- ción entre los métodos clásicos y los métodos modernos. La teoría que vamos á exponer, no es rigorosa, ni casi es una teoría, es una imagen más ó menos plástica, de la cual vamos á servirnos provisionalmente. Su fondo está tomado de una hipótesis de Maxwell, de unos modelos de Lodge, y, en suma, de la teoría giroscópica del éter; pero todo elemental y, además, artificioso, propio sólo para que se comprendan nuestras explicaciones, dándoles forma material, sin pretensiones de rigor ni de exactitud. Sea AB (fig. 4.?) una corriente eléctrica rectilínea. La acción de esta corriente se supone, en la hipótesis pro- visional que aceptamos, que se va á transmitir á todo el es- pacio que la rodea, hasta el infinito. Para estudiar esta acción, consideremos un plano pasando A a a — 339 — por dicha corriente AB, plano que suponemos que es el de la figura. Estudiada la perturbación del éter en dicho plano, para obtener la perturbación en todo el espacio, no tendremos más que hacer girar este plano alrededor de AB, y por razón de simetría, la perturbación en el plano meridiano que consideramos, se reproducirá en todo el espacio ambiente; por ejemplo el punto C marcará una perturbación idéntica á la suya en una circunferencia CC”, cuyo plano sea perpen- Figura 4.2 dicular á la corriente á A B y cuyo centro O esté determina- do por la intersección del plano con la recta. Para determinar, pues, la perturbación en todo el espacio, nos basta estudiar la perturbación del plano meridiano que coincide con el del dibujo. Se supone, y ésta es otra hipótesis más, que la corriente A B determina en el éter una serie de torbellinos a, a”, a” en los cuales la rotación está marcada por las flechas f, Es un efecto mecánico idéntico al que se produciría si AB fuese una barra dentada ó cremallera, que engranase con una serie de ruedas dentadas también a, a”, a”..... — 334 — O como si la corriente eléctrica A B fuese una corriente de aire Ó de agua chocando con una serie de ruedas de pale- Como no tratamos de establecer una teoría, sino de pre- sentar una figura esquemática, que dé forma á una hipóte- sis, no penetraremos más en este punto del problema. Si admitimos que el éter está ó puede considerarse divi- dido en espacios en los que logren establecerse estos tor- bellinos, es claro que la fila de torbellinos de éter a, a”, a”..... transmitirá su movimiento á otra fila superior b, b”, b”....., que podemos suponer también consistente en una serie de ruedas dentadas. Lo malo en esta hipótesis, que en el fondo está copiada de la de Maxwell, es que las rotaciones de los torbellinos * , b, b”, b”....., marcados por las flechas e, 4”, p”....., Serán en sentido contrario de las de la primera fila de ruedecillas ó torbellinos a, a”, a”.....; y como esto no conviene para los resultados que se desean obtener al aplicar la hipótesis de que se trata, sino que, por el contrario, es preciso que todos los torbellinos del éter giren en el mismo sentido, ha habido que acudir á otro artificio ó á otra hipótesis,'Ó, si se quiere, á otro sistema suplementario de torbellinos ó ruedecillas. Todo esto es bien artificioso y bien arbitrario, pero los re- sultados no dejan de ser concordantes y de dar, en cierto modo, forma plástica á los fenómenos: electro-magnéticos, tal como los observa al experimentador. Imaginemos (fig. 5.*), aumentando las dimensiones de la figura 4.?, la corriente eléctrica A B y dos torbellinos a, a” gi- rando en el sentido de las flechas f, f'. Consideremos los dos torbellinos superiores b, b”, y en el espacio c que queda entre los cuatro, y bajo la acción de los torbellinos a, a”, supongamos que se establece un pequeño torbellino c. El sentido del giro será el que marca la flecha f,, como si a y a” fueran dos ruedas dentadas y c un piñón. El giro del piñón c es evidentemente, como hemos dicho, AAA A = 390 — el que marca la flecha f,, y los dos torbellinos a, a” tienden á darle de una manera concordante este movimiento de giro. Admitimos que dicho piñón c, ó pequeño torbellino, es el que transmite el movimiento de rotación á los torbellinos b, b”, que en este caso, según marcan las flechas o, 6”, será el mismo que para los torbellinos de la fila inferior aa”. De esta manera, pasando de la segunda fila á la tercera, y así sucesivamente, gracias á los torbellinos auxiliares c el éter, en todo el plano meridiano que estamos consideran- Figura 5.2 do, se habrá convertido en una serie indefinida en todos sentidos de torbellinos a, a/....., b,b”....., girando todos en el mismo sentido, que es el que determina la corriente A B. Ocurre, sin embargo, entre otras muchas dudas, esta que es la siguiente: un punto d (tig. 5), entre los torbellinos a, b, está solicitado por dos tendencias distintas. El torbellino a tiende á llevarle, según marca la flecha f, de derecha á izquierda. El torbellino b, según marca la flecha o, de izquierda á derecha. ¿A cuál de estos dos movimientos obedecerá? Si las ruedas a, b fuesen rígidas y el esfuerzo igual, á nin- guno de los dos, y el sistema se estancaría. Pero como se trata del éter, que es más cómodo para estas — 336 — hipótesis, porque al fin y al cabo es un flúido, puede su- ponerse que en estos espacios críticos y en una faja es- trecha, según marca la figura 6.*, se establecen pequeños A B Figura 6.2 torbellinos d por las acciones contrarias, superior é inferior. En la figura 6.* todo es concordante. Los torbellinos a, a” comunican, según indican las flechas C f, Ff', un movimiento de E rotación, marcado por las a flechas f,, f.2, á los pe- JA queños torbellinos c, d...... Estos, á su vez, co- A OR B munican á los torbelli- e nos b, b'..... rotaciones ON marcadas por las flechas Cie O Pi.) QUE: van entel mismo sentido que las UN a flechas f, f.. En suma, considerando como acción principal la de los grandes torbellinos a, a”....., b, D”..... podemos decir que, en el plano meridiano que se considera, el efecto de la corriente AB (fig. 7.*) sobre un punto cualquiera C, es el de producir un tor- bellino de éter alrededor de C, cuyo sentido marca la flecha f. — 331 — Si hacemos girar la figura alrededor de AB, el punto C trazará una circunferencia proyectada en CC”, cuyo centro será el punto O, intersección del plano del círculo con la co- rriente A B. - Al mismo tiempo la circun- ferencia C del torbellino en- -gendrará la figura que en Geo- metría se designa con el nom- bre foro, que vendrá á ser una especie de torbellino anular al- rededor de la circunferencia media CC”, y que está proyec- tado en un plano perpendicular á la corriente en la figura 8.* En dicha figura 8.* el punto A es la proyección de la corriente A B de la figura 7.*; ab es la proyección del torbe- llino C, y asi sucesivamente para los planos AC', AC”..... Pigura 8.? Figura 8.* bis. -. Tenemos, pues, representado el efecto de la corriente -AB en un punto cualquiera del espacio. indios El anillo CC'*C” vemos que representa algo así como un solenoide anular formado por corrientes circulares ab, a'b”, ab” (fig. 8.2), si sustituimos á los torbellinos dichas co- rrientes circulares. ¡PS - Pero también puede hacerse otra hipótesis q en el fon- do es la de Maxwell. Consideremos en dicho anillo una distribución discontinua de esferas elásticas, etéreas A, 4”... figura 8.” bis. Y admitamos que estas esferas giran, alrededor de la rec- ta oc, la estera 0; y alrededor de rectas análogas las demás esferas. Dichas rectas oc serán tangentes á la naaa me- día del anillo cuyo radio será Oo. Lo que digamos de una de estas esferas o podríamos de- cir de las restantes. | Admitiremos por analogía con lo que sucede en los flúidos ponderables, y no deja de ser esto una hipótesis atrevidisi- ma, que analizaremos más adelante, quizás en otro curso, que, por el giro alrededor del eje oc, la esfera A se con- vierte en un elipsoide de revolución B, cuyo eje será siem- pre la recta oc; elipsoide decimos, aplanado por los polos y ensanchado por el ecuador. Repitiendo esto mismo para la esfera contigua 4”, obten- dremos otro elipsoide de revolución B”. Los polos a, a” de las esferas se habrán trasladado á b, b', de suerte que la recta aa” se habrá estirado hasta convertir- se en bb”. Así, en resumen, las esferas de cada anillo determinan, al convertirse en elipsoides, una presión hacia el exterior y un estiramiento en el interior del anillo. Por otra parte, continuando la analogía hipotética por ahora y que en todo caso necesitaría comprobación, supon- dremos que el torbellino, como si fuera una masa pondera- ble, representa una fuerza viva proporcional al cuadrado de la velocidad angular, ó sea al cuadrado de la velocidad de la corriente, según luego precisaremos. as tas corrientes. — 339 — A este mismo resultado llegaríamos en la imagen anterior, en que hemos asemejado el anillo á un selenoide, porque el equilibrio de cada corriente es inestable, puesto que á poco que varíe de posición, la atracción que ejerce la corriente in- mediata de un lado crece y la del lado opuesto disminuye, por manera que las corrientes tienden á agruparse en C, C”, y cada uno de estos grupos está compuesto de corrientes paralelas fy todas iguales. Los grupos C, C” substituyen en cierto modo á las esferas AA”, y como las corrientes son iguales y paralelas, el tra- bajo que habrá sido necesario efectuar para aproximarlas será, como antes, proporcional al cua- drado de una de es- D D' D" En ambas hipóte- sis venimos á parar al mismo resultado; pero no se olvide que todo esto es provisional, más bien intuitivo que demos- trativo, y que más adelante hemos de sustituir á estos ensa- yos, teorías, no diremos perfectas, pero sí menos imperfec- tas y menos recargadas de hipótesis secundarias. En suma, la corriente general ha creado una deformación en el éter, que consiste en movimientos giratorios de una serie de torbellinos ó corrientes, y un trabajo de extensión, almacenados, por decirlo de esta manera, en anillos alrede- dor de dicha corriente como eje polar. Insistamos , para concluir este punto, en algo que ya apun- tamos anteriormente. Sólo consideramos hasta aquí, porque es lo único que por el pronto nos interesa, el trabajo ó la energía electromagné- tica almacenado en el éter por el paso de la corriente AB (figura 9.2%), y prescindimos del trabajo puramente eléctrico, ó mejor dijéramos electroestático. Pigura 9.2 — BD Y esta observación es tanto más importante cuanto en muchas teorías sólo se define el éter por dos vectores, uno electrodinámico ó electromagnético, otro puramente eléctrico. Pero no anticipemos las ideas ni nos separemos, aún más de lo que nos venimos separando, del asunto principal, ni del programa del presente curso. Para más claridad, representemos todo esto en la figura 9.* AB es la corriente que consideramos. D,D', D””..... circunferencias cuyos planos serán per- pendiculares á A B. o,o0*,o0'”, los centros de dichas circunferencias. Y por último, De, De”, De””..... representarán tensiones á lo largo de dichas circunferencias, s que son las que almacenan, por decirlo de este modo, cierta canti- dad de energía en el éter que ro- dea á la corriente A B. Si la corriente es indefinida € Figura 4.* bis. igual á sí misma, en todas las sec- ciones perpendiculares á AB, los efectos sobre el éter serán idénticos: por un movimiento de traslación paralelo á AB coincidirán unas deformaciones con otras. Algo nos falta todavía para completar la hipótesis. Si los círculos a, a”, a*” (fig. 4.*) fueran tangentes y los representásemos por ruedas de engranaje rígidas, el movi- miento sería imposible. | En efecto; el punto d de contacto, (fig. 4 bis), por la ac- ción de la rueda a, que gira en el sentido de la flecha f, ten- dería á bajar, y en cambio, por la acción de la rueda a”, se- gún marca la flecha f”, tendería á subir. — 341 — Con ruedas dentadas, esto sería imposible, como acaba- mos de afirmar, á igualdad de esfuerzos de ambas ruedas. Con rodillos rígidos, habría un resbalamiento. Con flúidos, parece que en dicho punto d, bajo las dos tendencias opuestas, se formaría un torbellino intermedio, según indica la figura 10. De manera que la for- ma esquemática comple- ta, Ó casi completa, den- tro de la hipótesis á que vamos dando forma, se- ría la de la figura 10, en la que todos los movimientos son ya compatibles y armó- nicos. En la figura 11 hemos representado una distribución más ó menos arbitraria, á caso intuitiva, ó las dos cosas al mismo Figura 10. A B Pigura 11. tiempo, de los grandes y de los pequeños torbellinos, según pudiera resultar de la hipótesis de Maxwell y de otros au- tores. a, a” representa la primera fila de torbellinos. b, b” la fila superior. Y d, d”, g, g”, c los torbellinos intermedios, que tampoco podrían estar en contacto, sin deslizamientos ó sin engen- drar otros torbellinos intermedios. Rey. Acab. Ciencias. — VIT.— Diciembre, 1908. 24 — 342 — Todo esto, bien comprendemos que es arbitrario, capri- choso y aun de poco rigor bajo el punto de vista cinemático. Pero nuestro objeto sólo es el de presentar un ejemplo, que si se admite tal como lo hemos descrito, ó con alguna otra modificación de detalle, explica bastante bien la mayor parte de los fenómenos de la Electro-dinámica, al menos en su sentido general; aunque, á decir lo cierto, para el cálculo numérico Ó para establecer fórmulas matemáticas, aun se- rían necesarias nuevas hipótesis. Se pueden explicar de este modo ó por hipótesis aná- logas: 1. La resistencia que encuentra una corriente para esta- blecerse, que no es otra que la necesidad de transmitir su energía á todo el éter ambiente almacenándola en él; resis- tencia que aparentemente pudiera tomar la forma de una con- tra-corriente ó de una self-inducción. 2.” La prolongación de la corriente al cesar las fuerzas electro motrices de la corriente principal, que es devolver á la electricidad del conductor la energía acumulada en el éter ambiente. 3.” La inducción en otro conductor cualquiera. La inducción y la self-inducción, fingen, en cierto modo, una inercia del éter. En los modelos materiales, las inercias de las ruedecillas, como verdaderos volantes, representan en cierto modo esta inercia eléctrica. 4.” Y por último, admitiendo todo lo que hemos estable- cido, siquiera sea provisionalmente y como un bosquejo, se explica bastante bien la célebre fórmula de Ampére para la acción de dos elementos de corriente. Siquiera como curiosidad, indicaremos la demostración que inmediatamente ocurre. Después de todo, la hipótesis es bien sencilla: toda co- rriente determina en el éter que la rodea una serie de torbe- llinos, que todos giran en el mismo sentido, á saber: el que — 343 — determina la corriente en la primera fila de los mismos y en filas sucesivas. En rigor estos torbellinos son anulares; mejor dicho, se forman anillos alrededor de la corriente y cada anillo está formado de torbellinos circulares en sus diferentes secciones meridianas. Suponiendo ésto, pasemos á la demostración del teorema. Sean A y B (tig. 12) dos elementos de corriente de longitud 1, paralelos y en el mismo sentido, y con una perpendicular común aa” en su centro. La corriente A determina en el campo eléctrico una serie de torbellinos a en el sentido que marca la flecha f. El elemento B determina asimismo otra serie de torbellinos b, b”, que giran según marca la flecha f. Al llegar al elemento B los torbelli- nos formados por el elemento A, se su- perpondrán en cierto modo á los que forma el elemento B. Hemos representado por línea conti- nua los torbellinos de este último, y por líneas de puntos los torbellinos proce- dentes de A. Es claro que estos, a” y a” Pigura 12. irán en el mismo sentido que a. En la parte inferior del elemento B, los torbellinos b y a”, van en sentido contrario, por lo tanto tenderán á destruirse. En la parte superior van en el mismo sentido, de suerte que se sumarán, y como los torbellinos resultantes ejercerán cierta presión sobre el elemento B, resultará una fuerza P de atracción hacia el elemento A. Lo mismo pudiéramos decir respecto á la acción que el elemento B produce sobre el A. Y no sólo se comprueba así la atracción de dos elementos — 344 — paralelos, tales como A, B, sino que con un poco de buena voluntad se puede llegar á la misma fórmula de Ampére. Porque en efecto, los torbellinos que engendra el elemen- to A, irán disminuyendo en intensidad, y podemos admitir que varían en razón inversa de los cuadrados de la distan- cia de A á B, que llamaremos r, puesto que aquí la acción se extiende esféricamente. De modo, que llamando 7, la intensidad de la corriente A, no será temerario admitir que la velocidad en el torbellino a es MI4, y á la distancia r, es decir para a”, MI a 07 Ne 3 siendo M una constante. Si llamamos /, la intensidad del torbellino inmediato á B, la del torbellino resultante inferior será: MI, 24 (1 La ) pr pe Por el contrario, la velocidad del torbellino de la parte superior, que es la suma, como antes decíamos, de los dos torbellinos, será, dando á r el incremento dr al pasar de aaa aia: A carl En todas estas fórmulas suponemos que la constante M es la misma, admitiendo que el éter es homogéneo. Si un átomo de éter gira en un círculo, con una ve- locidad v, puede suponerse, al menos provisionalmente y por comparacion con las masas ponderables (aunque este es otro problema), que el esfuerzo radial es proporcional al cuadrado de la velocidad, dado que todos los torbellinos ó corrientes tengan el mismo radio. MI, — — 345 — De modo que la presión de la suma de los dos torbelli- nos a”, b' será, haciendo AB= r, y representando por K una constante: : Lo y la presión de abajo á arriba, procedente de la diferencia de los dos torbellinos a”, b, 2 Km (19 La ) p2 La diferencia de ambas presiones, en que evidentemente la exterior es mayor que la interior, Ó sea P, tendrá por valor: 1 2 I 2 KM?|I A A E (lr A an) 6 bien | 1 p O A A | den eo rd e IAUEE PA ROA AI fr? pa ó bien, despreciando los términos en que entra rt en el denominador, dado que el valor de r sea tal que dicha sim- plificación pueda considerarse como legítima, tendremos 1 1 ¡DES ÑOMAD N == de == E al y? ) Ó bien 218 +2 rdr + dr? P=KM2,21,1 (iS FASE rE) , — 346 — y, representado por L una constante y no tomando más que 1 "e; el término en 3 r Py EN fr? Esta fórmula se refiere á dos elementos de corriente, cuya longitud hemos supuesto que es igual á la unidad, á una unidad muy pequeña, por de contado, en comparación con la distancia 7. Si los elementos tuvieran las longitudes respectivas ds, ds,, se ve inmediatamente que la fórmula sería dsd asp le AE A P=L que es precisamente la fórmula de Ampére para el caso que consideramos. Y aun podríamos precisar más por medio de nuevas hipótesis el valor de la constante £. Esta demostración tiene puntos de contacto con aquella otra de la cual dimos una idea en el primer año de nuestra asignatura. Sin embargo, ambas demostraciones obedecen á criterios completamente distintos, y el de la última es un criterio mucho más moderno. Será en gran parte arbitraria, poco rigurosa, recargada de hipótesis, pero acaso pueda considerarse como uno de tantos ensayos y tanteos necesarios para establecer teorías más perfectas, que en este caso será la teoría giroscópica del éter, que estudiaremos detenidamente en uno de los cursos próximos. Hemos querido presentar tan sólo un ejemplo que señale nuevas orientaciones, siquiera sea dicho ejemplo de carácter embrionario, si es que se nos permite la palabra, — 347 — Y ahora debemos volver á nuestro objeto principal, que no lo olvidemos, es este: inercia avarente de la electri- cidad. ES E * Si en vez de una corriente eléctrica se trata de una masa eléctrica e, caminando con la velocidad u, la deformación elástica del éter que rodea á dicha masa será análoga á la que hemos establecido para cualquier corriente eléctrica; pero necesitamos acudir á nuevas hipótesis. Supongamos que el punto a, de masa eléctrica e, recorre con la velocidad u= ab la línea AB (fig. 13). Figura 13. Descomponemos la velocidad u en las dos componentes ac y cb. Prescindimos del efecto de la componente ac, que es, por decirlo así, radial, y no estudiamos más que el efecto de la componente cb. Y vamos á considerar tan solo la deformación del éter en un plano meridiano: La componente cb (fig. 13), perpendicular al radio ac, será, en cierto modo, como la corriente A B de la figura 4.*; y si queremos estudiar el efecto sobre el punto C del éter en el plano meridiano de la figura, supondremos, como hacíamos antes, que cb engendra torbellinos, cuyas rotaciones están marcadas por la flecha f. En el punto C tendremos un torbellino C, cuya velocidad — 348 — será menor que la del torbellino c, en razón á la distan- cia CC, que es próximamente igual á r, y á lo largo de la cual va disminuyendo. Y como podemos suponer que la acción del torbellino de- crece en razón inversa del cuadrado de las distancias, puesto que dicha acción tiene que distribuirse en esferas cuyas su- perficies crecen proporcionalmente á r?, podremos admitir, por una primera intuición, que la velocidad del torbellino C (en su periferia, si lo reducimos á una circunferencia) viene dada por la siguiente fórmula: m “elocidad ED, esk u sen a fp? fp? en la cual hemos supuesto que la masa eléctrica e está con- tenida en la constante M. Esta constante es siempre la que hay que aplicar á la co- rriente A B para convertirla en la corriente del torbellino ó para obtener ésta. Si por la corriente A B hacemos pasar otro plano meridia- no, que forme con el primero un ángulo infinitamente peque- ño, dy, obtendremos otro torbellino C”, y entre C y C” que- dará un espacio análogo al de la figura 8.?, ab b'a”. En este espacio, y sometiéndolo á tensión, las dos co- rrientes C y C”, ó las dos esferas de la figura 8 bis como an- tes explicábamos, puede suponerse que ejercen un trabajo que es el que se almacena en dicha porción del anillo. Como ambas corrientes son próximamente iguales, el tra- bajo ó la energía almacenada será proporcional al cuadrado de dicha corriente Ó á la fuerza viva de las eferas giratorias, y, por lo tanto, de la forma M [a usen P> fp? -Ó representando N una nueva constante; AS Energía del elemento de éter comprendido entre C y C'= u? sen?0 10=S NEEEAAA rt Dividamos el éter en volúmenes infinitamente pequeños, pero que comprendan un gran número de volúmenes como ECC: Admitamos, además, que en estos volúmenes elementales del éter, la energía es constante, es decir, que es constante la expresión u? sen?0 pá N En este caso, la energía que en cada volumen elemental del éter será evidentemente: - : u? sen? 0 Energía en cada volumen de éter = N PEA volumen r elemental del éter; ó representando por U dicho volumen 2 2 Na sen A pi Para calcular U dividiremos el espacio: 1.%, por planos meridianos que pasen por la corriente A B; 2.”, por conos que tengan por eje la misma línea AB, y 3.”, por esferas concéntricas, cuyo centro esté en a. Dicho volumen elemental está representado en la figu- ra 14, en que cada punto C del éter está definido por las tres coordenadas: %, <, r. U representa el ángulo que forma aC con la corriente AB, ó sea la distancia polar CDP. «+ el ángulo de un meridiano cualquiera con el plano de la figura. Y r la distancia de a á cualquier punto del éter, — 350 — El sólido elemental del éter, que llamábamos U, estará formado por dos planos meridianos ap€ y apE; por dos conos de revolución aCE, aDE" y por dos esferas cuyos radios serán aC y aF. Puede considerarse como un paralelepipedo cuyas tres aristas tendrán por longitud CE, que es un elemento del pa- Pigura 14. ralelo que pasa por C y cuyo plano es perpendicular á la co- rriente aB. CD que es un elemento de la distancia polar Cp. Y DF que es dr. CE, si representamos por O el centro del paralelo que pasa por C, tendrá por valor GE=de<0C y como OC=aC.senf=rsen8, tendremos CE=rsentdo, Además, evidentemente A E PA o — 351 — - Y, por último, DF =ar. De modo que U=rsen ide .rdd. dr Os U=r?sendd49.d0.dr. Sustituyendo este valor en el de la energía acumulada en el elemento que consideramos tendremos: Energía concentrada en 2 u= ff fa dl r? sen dedOdr. r , Los límites de la integración serán evidentemente: para 0 los valores O y 7; para e serán, á su vez, 0 y 21; y para r desde a al oo. Este límite a se justifica porque, en vez de considerar la masa eléctrica condensada en una esfera, suponemos que se extiende en una capa de igual espesor sobre la esfera del radio a, y suponemos esto por dos razones. En primer lugar, para considerar el caso en que la capa esférica tuviera un núcleo ponderable, aunque por el pronto prescindimos de él; y en segundo lugar, para que la integral no tenga un elemen- to aparentemente infinito, caso que exigiría una discusión es- pecial y que no merece la pena de que en ella nos detenga- mos, pues, como hemos repetido varias veces, no pretende- mos establecer una teoría, sino presentar un ejemplo, que en cierto modo, concrete la cuestión y marque los nuevos ho- rizontes en que se desarrolla la Física moderna, — 392 — La integral anterior será, pues: od acumulada en el espacio eS 27 E Nue | Jl A sen?0 .senddO,-. -* ao 0 Ó bien : Na ad Energía =Nu? | — de | (cos?4 —1) d cosf. Je MI 0 La última integral da Ti 3 1d (cos20 — 1) dcost=( cos* — cost) ae A Energía = Nu?. E o EEE a ó representando por m la constante SEN , Energía = mu?, en que A 8rxN 3a De aquí resulta esta consecuencia, que es la única que nos interesa por el momento: que la energía que la masa eléctrica e sola, sin el auxilio de ninguna masa ponderable, . caminando con la velocidad yu acumula y condensa en el in- finito espacio de éter que la rodea, tiene la forma de la fuer- za viva de una masa ponderable 7. En la conferencia próxima deduciremos de este resultado algunas consecuencias importantes, — 3583 — XX.—Elementos de la teoria de la Elasticidad. Por José ECHEGARAY. Conferencia cuarta. SEÑORES: En la última conferencia estudiábamos, de una manera ele- mental, el movimiento de cualquier masa eléctrica e en el seno de un espacio lleno de éter y susceptible de recibir la acción de dicha masa eléctrica. No era la que expusimos una teoría nueva, ni siquiera una de las teorías modernas; era un ejemplo, una especie de simbolo, un conjunto de hipótesis tomadas de acá y de allá, sin rigor y sin precisión; era en cierto modo el esquema de uno de tantos mecanismos materiales, á que tan aficionada es la escuela inglesa, idealizado en cierto modo y á propósito para dar forma plástica á nuestro pensamiento. Sobre esta cuestión hemos de volver más adelante en al- guno de los cursos inmediatos. De todas maneras, en este ejemplo, llegábamos al siguien- te resultado: que la masa eléctrica, al moverse en el seno del éter, engendraba cierta deformación en todo él, deformación que se reprensentaba materialmente por infinitos anillos cir- culares, siendo sus planos perpendiculares á la línea del mo- vimiento, y hallándose sus centros en dicha línea. Para abreviar la explicación, podemos llamar á estas cir- cunferencias paralelos del sistema. Todos estos paralelos estaban sujetos á extensión, y eran como ejes curvilineos de corrientes ó torbellinos: el conjun- — 354 — to de estos anillos formaban un campo electrodinámico ó electromagnético de revolución alrededor de la línea del mo- vimiento como eje. | La extensión en los diferentes anillos resultaba distinta, y dependía de dos variables, r y 4; de suerte que no era, como en el caso de una verdadera eorrienre eléctrica indefinida, un campo cilíndrico que coincidiese consigo mismo en una traslación paralela á la línea de la corriente. Cuando no se trata de una corriente continua, sino de una masa e, que camina con una velocidad u, el campo no es evi- - dentemente cilíndrico, sino únicamente de revolución, y se va transportando, á medida que la masa e camina, con ella misma. Agreguemos á lo dicho que el problema en toda su gene- ralidad, y aun tratado en esta forma elemental, es más com- plicado de lo que hemos expuesto, porque nada hemos di- cho del campo eléctrico. Sólo hemos tomado del problema lo que nos interesaba para nuestro objeto y para llegar á esta conclusión: que una masa eléctrica e en movimiento altera el campo que la ro- dea, acumula en él cierta energía, como en un resorte, y como el resorte se opone al movimiento de dicha masa; así, á juzgar por las apariencias, digérase que está dotada de cierta inercia: finge, en suma, una inercia que no tiene, y una masa que no tiene tampoco. Más claro: si una fuerza F, actuando sobre la masa eléc- trica e ha desarrollado un trabajo que representaremos por T, este trabajo, acumulado en el medio ambiente, tendrá un ; 1 y valor, que designaremos por dal Mu?, siendo M una cons- tante que dependerá de la naturaleza del medio ambiente, de la masa eléctrica e, del radio a de la esfera sobre la cual se extiende dicha capa e, y de otra constante fundamental de la física, la velocidad de la luz. Mas esta expresión de M no tratamos de determinarla por % pe e E A ATT SS — 355 — ahora; nos basta, como primera aproximación, haber obtenido r 1 para la energía acumulada el valor, E Mu? en que aparece en evidencia el cuadrado de la velocidad del movimiento. Si aceptamos el principio de la conservación de la ener- gía, podremos admitir, siquiera como hipótesis, que el traba- jo empleado T en producir los efectos que describimos y el 5 r . r 1 trabajo acumulado en el resorte eléctrico, á saber: y Mu?, son iguales, de modo que podremos escribir: lt Mu?. El 2 Porque, en efecto, el trabajo T no puede haberse emplea- más que en dos cosas: en deformar el medio etéreo como se deforma un resorte, es decir, en estirar todos aquellos ani- llos formados por los torbellinos que describíamos, y en co- municar la velocidad u á la masa e. Pero si la electricidad no tiene masa como la tiene la materia ponderable, quiero decir, si no está dotada de inercia, podremos admitir que esta última expresión es nula. Todas estas son hipótesis del momento, hipótesis que dis- cutiremos más adelante al explicar las teorías de los diferen- tes autores. Sea como fuere, la ecuación anterior es enteramente aná- loga á la de una masa ponderable m que, habiendo recibido un trabajo 7, hubiese adquirido la velocidad u. De modo que la ecuación precedente tiene la misma for- ma que esta otra T= EN mu? 2 y M resulta igual á m: en resumen, el trabajo condensado — 356 — en el medio ambiente, finge una masa M equivalente á una masa ponderable rm. 2 Pero lo decíamos ya en la anterior conferencia: ambos casos son completamente distintos. En el caso de la masa ponderable m, el trabajo T, gracias á la inercia, está acumulado en dicha masa ponderable en : 1 forma de fuerza viva al mu?. Esta fuerza viva es suya por decirlo así, es de la masa m, es en cierto modo individual, y aunque el móvil caminase por el vacío, con el móvil iría. Cuando se trata, por el contrario, de una masa eléctrica e, el trabajo T no está en e, sino en el medio ambiente; no es propio, individual, de e y solo de e; no es, en rigor, una fuerza viva, es una fuerza de resorte acumulada, si las hipó- tesis que hicimos fueran valederas, en los paralelos ó anillos del sistema electromagnético bajo forma cinética, de corrien- te ó torbellino; y conste que prescindimos, como indicamos antes, del campo eléctrico. En conclusión, y resumo una vez más, corriendo el peli- ero de pesadez y amaneramiento; pero en estas materias, y para la enseñanza elemental, lo que importa es la claridad; que al menos se entienda lo que se dice, prescindiendo de que en el fondo lo que se diga sea ó no exacto, que esto ya se verá después. Hemos establecido que una masa e de éter, caminando en linea recta con la velocidad u, aparenta una masa M, con la inercia correspondiente, de suerte que representa un trabajo : Al acumulado, ó sea una fuerza viva E Mu?; pero esto es su- — 357 — poniendo que no exista más que el éter, que sólo el éter constituya el medio ambiente. Dicho valor, no sólo debe considerarse como una pri- mera aproximación ó como el avance de un ensayo de teo- ría, sino que aun dentro de las hipótesis establecidas es una expresión incompleta y provisional. Y esto por tres ra- zones: 1.2 Porque no hemos tenido en cuenta más que el campo que pudiéramos llamar magnético, y hemos prescindido del campo eléctrico. En efecto, toda masa eléctrica e engendra á su alrededor un campo eléctrico que supone deformaciones enel éter. 2. Porque si hubiéramos establecido, como establecere- mos en otra ocasión, una teoría menos imperfecta del trabajo acumulado en el medio ambiente, no hubiera sido este pro- porcional á u?. Por ejemplo; en la teoría de Lorentz, en vez del factor 1?, hubiéramos obtenido esta expresión más complicada A vv. 11? V v? = 1% en la que V representa la velocidad de la luz. Ya demostraremos esta fórmula cuando estudiemos las teorías modernas de la electricidad; por ahora démosla por demostrada. Pues bien; dicha fórmula se reduce á u?, cuando la veloci- dad u, de la masa eléctrica e, es muy pequeña en compara- ción de V. En efecto, la fórmula en cuestión, desarrollando el radical superior en serie, lo cual es legítimo, porque suponemos que m es una cantidad bastante pequeña para que puedan des- * preciarse potencias superiores á la segunda en el numerador, Ray, Acap. Ciencias. —VII.— Diciembre, 1908, 25 E pa y la segunda potencia en el denominador, se transforma de este modo E cantidad proporcional á u?, como en nuestro ejemplo. Por el contrario, si la velocidad u de la masa eléctrica e es comparable á V, las simplificaciones anteriores no son legí- timas. Y presentemos, para concluir esta digresión, un caso extremo. Supongamos que la velocidad u del móvil eléctrico es igual á la de la luz, entonces la expresión anterior se con- vierte en esta otra Es decir, que si una masa eléctrica camina con una veloci- dad igual á la de la luz, la masa ponderable equivalente será infinita, y sea cual fuere la fuerza finita que se le aplique, la aceleración será nula; de donde se deduce esta consecuencia curiosísima, dado que todas estas teorías fuesen exactas, que es imposible que ninguna masa eléctrica adquiera una veloci- dad superior á la velocidad de la luz. . Y si el móvil se compone de un núcleo ponderable y de A — 359 — una atmósfera eléctrica, como á la masa que finge la electrici- dad en movimiento, hay que agregar la masa ponderable con su inercia, todavía resultará una masa total infinita, una iner- cia infinita y una aceleración nula. Valores de u superiores á V, darían una expresión imaginaria. - Pero sobre todo esto ya volveremos en otra ocasión; basta por ahora que vayamos indicando este y otros resul- tados singularísimos de la nueva física matemática. 3. Para calcular 29 u2, no hemos tenido en cuenta más que la acción del medio ambiente, que hemos supuesto formado de un éter dividido ó susceptible de dividirse en torbellinos que, en el fondo, es algo así como un medio mag- nético. Si además en dicho medio existiesen, por ejemplo, corrientes eléctricas, como el movimiento de la masa e, con la velocidad u, equivale á una corriente eléctrica, y casi pudié- ramos decir á un elemento de corriente que se transporta, sería preciso tener en cuenta los efectos de la inducción sobre las corrientes que ya existían, efectos que aparentan, por su parte, una especie de inercia, como asimismo los aparenta la seli-inducción. Pero nos vamos separando demasiado de nuestro objeto, y tiempo es ya de que terminemos este largo paréntesis. Realmente toda esta discusión sobre la masa, ó la mayor parte de ella, lo reconocemos lealmente, está fuera del pro- grama del presente curso; pero no hemos podido resistir á la tentación de marcar de pasada, y en forma elemental, ciertas modernas orientaciones de la física, Ó mejor dicho, de las teorías de la física. De todo lo expuesto sólo debemos retener esta consecuen- cia: que una masa eléctrica en movimiento no ejerce sobre los elementos del éter ambiente fuerzas centrales, sino más bien perpendiculares á r, como que son tangentes á los pa- * ralelos del sistema. Algo en el mismo orden de ideas vimos ya en el primer — 260 = curso de esta asignatura, al estudiar la acción de un elemento de corriente sobre el polo de un imán. Y como cada uno de estos problemas tiene muchos aspec- tos, nos ocurre que á la teoría, ó intento de teoría que expu- simos en la conferencia anterior, aun pudiera hacerse otra objeción además de todas las indicadas, objeción fundada en el estudio de los solenoídes cerrados, pero no todo se puede explicar de una vez, y tememos lanzarnos á otra digresión más sin la preparación conveniente. -_ Demos por terminada aquí estas indicaciones sobre la crítica moderna respecto ú las masas y á la inercia, y pase- mos al segundo concepto de la mecánica clásica: al concepto de fuerza. La fuerza.—La fuerza, como tantos otros conceptos que forja la inteligencia, se funda en la realidad misma, en los heehos que nos rodean, en la experiencia que adquirimos de ciertos fenómenos. Y decimos tantos otros, aunque muchos dirán que todos, y evitamos de propósito afirmaciones absolutas, para eludir discusiones filosóficas en lo posible. Cuando empujamos á un objeto y tenemos conciencia en cada instante de la acción que estamos ejerciendo; cuando colgamos pesos de un hilo y vemos que el hilo se alarga, y que, si los pesos pasan de cierto límite, se rompe; cuando pretendemos arrastrar una carga por el suelo, y la fatiga que nos causa nuestro empeño nos despierta la idea de que en cada momento hay y es necesaria una causa para producir tal efecto, en todos estos ejemplos y en otros cien que pudié- ramos presentar, nuestra inteligencia, sintetizando todos estos hechos, procurando elevarlos á la unidad, forja un concepto abstracto á que da el nombre de fuerza, para cada instante del fenómeno. Yo bien sé que en todos estos ejemplos, á veces se con- funden dos cosas, la fuerza y el trabajo; y á veces, de un modo vago, tenemos en cuenta la fatiga. e e E pe A Pero la mecánica clásica ha buscado el factor común de todos ellos, lo ha purificado en cierto modo, le ha dado hasta forma geométrica en lo que hoy se llama un vector, ha bus- cado para este concepto, que palpita en todos los fenómenos del mundo inorgánico, una unidad fija, el kilogramo, por ejemplo; y abstraído del mundo fenomenal dicho concepto, y sometido á medida, lo ha representado por trozos de rectas que tienen un punto de aplicación, una dirección, un sentido y una longitud, que por su valor numérico representa cada una la intensidad de la fuerza; la cual, cuando se pasa á la realidad, se convierte en un hilo del cual se tira, en una barra con la cual se empuja. Pero todas estas son ideas en que no debemos insistir porque son harto conocidas de mis oyentes ó de mis lecto- res, y son tan primitivas y tan vulgares, que pretender expli- carlas es acaso obcurecerlas, como sucede con otros muchos conceptos primarios de la inteligencia. » Ciertos físicos acusan á este concepto de la fuerza de ser una abstracción, y no más que una abstracción. La fuerza—dicen—no existe en la Naturaleza; ó de otro modo, la fuerza es un concepto artificial: el concepto natural es la energía. Esta acusación contra la vieja fuerza de la mecánica racio- nal nos parece de todo punto infundada. No negamos que sea un concepto abstracto; pero ¿es acaso el único? ¡Si decir concepto es decir abstracción! Es una es- pecie de factor común que extraemos de muchas realidades. También la masa es un concepto abstracto; casi pudiéra- mos decir que no es más que un coeficiente numérico. Ya lo explicamos anteriormente. — 362 — No existe una masa del platino y otra masa del plomo y otra masa del aire y otra del agua, y así sucesivamente. Exis- te el concepto abstracto de masa, que por la medida se con- vierte en un número, y que indica un factor común, un coe- ficiente de la física, que entra en todas las ecuaciones de la dinámica, y que indica que toda la materia del universo tie- ne como factor común algo de lo cual depende la inercia; y que, para el problema del movimiento, es en la mecánica ra- cional clásica, lo único que hemos de tener en cuenta al for- mar las ecuaciones de la dinámica y no la clase de materia. Claro es que nos referimos á la ecuación fundamental dex dé? y á las que de ella se deducen, según los ejes. Pues otro tanto podemos decir del concepto de la fuerza. También es una abstracción. La fuerza abstracta no exis- tirá en el mundo de la realidad; pero existen fenómenos aná- - logos entre sí, y por decirlo de este modo, de la misma fa- milia, en que la fuerza del matemático está materializada y particularizada. Existe la fuerza de presión de un gas; la fuerza de presión de un líquido; la fuerza de la atracción real ó aparente de una masa ponderable sobre otra masa ponderable; la fuerza de atracción ó repulsión de una masa eléctrica sobre otra masa eléctrica; la fuerza de atracción de una corriente sobre otra corriente eléctrica; la fuerza de atracción ó repulsión de un vaso sobre la superficie del líquido en él contenido; las comprensiones ó las tensiones en el interior de un cuerpo elástico, sea cual fuere su origen; en suma, una multitud de fenómenos análogos pertenecientes en cierto modo, volve- mos á repetirlo, á la misma familia inorgánica, que presen- tan caracteres semejantes, y que por el poder de abstrac- ción y unidad de nuestro entendimiento convertimos en- un o ON concepto abstracto y universal, y le damos un nombre, y lo representamos simbólica Ó esquemáticamente por una línea recta, como antes explicábamos Y todo esto sería estéril, Ó poco menos, y acaso nos per- deríamos en vaguedades y disputas filosóficas si no tuviéra- mos el medio de sujetar á medida el concepto de fuerza en general, y todas sus determinaciones prácticas en particular. Pero desde que tenemos una unidad para la fuerza, sea un kilogramo, sea un resorte, sea cual fuere la unidad de medida, desde ese momento la fuerza adquiere para la cien- cia positiva utilidad indiscutible y fecundidad evidente, y 1.0 será fácil que la crítica, por mucho que arrugue el ceño, la arroje del saber positivo, ni de la mecánica racional, ni de la mecánica de la materia ponderable, ni de la mecánica del éter, ni de ninguna mecánica que la inventiva de los sabios discurra. Pero es que lo que decimos de la masa y decimos de la fuerza, podemos decir de cualquier grupo de fenómenos análogos entre sí, de los cuales se pueda extraer algo co- mún, convirtiéndolo en un concepto abstracto, con dos con- diciones fundamentales: 1.* Que la variedad que en sí contenga el fenómeno, sus modalidades diversas, su manera de desarrollarse, y, en fin, sus leyes generales, dependan de ese concepto abstracto, el cual se convertirá en un parámetro de la física experimen- tal y en un elemento de la física matemática, y que en rigor — 364 — será un elemento de la inteligencia humana; será, repetimos, símbolo de la realidad misma, la que por la medida y el nú- mero quedará, no totalmente, pero sí en una buena parte, aprisionada en el cerebro humano y en relación íntima con las leyes de la razón. 2. Que ese concepto abstracto y las realidades que lo han engendrado sean susceptibles de medida; que se pue- dan determinar las condiciones materiales en que dos fenó- menos, de los que estamos considerando, son iguales, repe- tición en cierto modo el uno del otro, de suerte que, si la palabra vale, puedan superponerse y coincidir; porque de este modo sabremos cuándo uno de ellos es doble ó triple ó N veces mayor que el otro. Esto sucede, por ejemplo, con la electricidad estática; esto sucede con las corrientes eléctricas. ¿Sabemos por ventura lo que es una cantidad de electrici- dad? ¿Sabemos lo que es una corriente eléctrica? No sé quién se atreva á contestar afirmativamente. Podremos forjar hipótesis, podremos construir símbolos intelectuales; hasta podemos construir máquinas que supon- dremos que son como la estatuaria, si la palabra vale, de ta- les ó cuales realidades de un mundo desconocido. Pero penetrar en el fondo del fenómeno, en la cosa en sí, como dicen los filósofos, eso sí que no podemos. Verdad es que existen ciertas escuelas filosóficas que has- ta niegan que las cosas en sí puedan existir. De estas lucubraciones debo prescindir en mis conferen- cias, y debo atenerme únicamente al sentido común, á la ciencia experimental, con toda su fe en la realidad, y á la aplicación del cálculo matemático á los fenómenos natura- les, con todas sus tendencias al absolutismo de la verdad. — 365 — Pero volvamos á nuestro objéto. El acusar de abstracto al concepto de fuerza es una acu- sación, que no hay concepto científico al cual no alcance. Cuando se dice, por ejemplo, y algunos lo repiten, que en la nueva mecánica el concepto de energía debe sustituir al concepto de fuerza, porque es el verdadero concepto real del mundo físico, caen en una exageración manifiesta, y casi me atrevería á decir, que en un error profundo; á pesar de que, en la nueva física, como ya veremos más adelante, deban utilizarse y aún se utilicen limpias de exageración y de malquerencia contra la ciencia clásica, todas estas ideas. La verdad es que en esta cuestión caben la afirmativa y la negativa. Sí y no: me explicaré. El concepto de energía es más real que el concepto de fuerza; es menos abstracto, en grados de abstracción, por- que abarca más abstracciones y se va macizando, si puedo expresarme de este modo. Pero, de todas maneras, el concepto de energía no es un pedazo de la realidad; es á su vez una abstracción de un gran número de fenómenos, de todos, si es preciso, de los que se agitan en el seno de la realidad. En suma: la fuerza es una abstracción, pero la energía es otra abstracción. - A la realidad, á la cosa en si, al fondo de los fenómenos, á lo que Kant llamaba el Numena, á lo que niega el que sólo ve en el universo un conjunto de fenómenos, sin algo detrás que los sostenga, los proteja y los finja; á tales hon- duras llenas ó vacias, si no llega la fuerza, no llega tampoco la energía. Por otra parte, al recorrer toda la ciencia, por ambos con- ceptos ha de pasarse; ó subiendo desde la fuerza á la ener- gía por complicación de idealismos, ó descendiendo de la energía á la fuerza, por análisis de un concepto complejo para llegar á otro que lo es menos. a 5 Ape Y permitasenos un ejemplo para aclarar más nuestro pen- samiento rd El punto, la línea recta y el plano, son tres idealismos ma- temáticos. Para recorrer toda la geometría hay que estudiar puntos, líneas y superficies, y además, volúmenes. Pero ¿qué es preferible para la enseñanza? ¿Estudiar las líneas antes que las superficies, ó las superficies antes que las líneas, ir de lo más sencillo á lo más complicado, ó em- prender una marcha descendente de lo más complejo á lo menos complejo? Para mí la elección no es dudosa; pero si tiene importan- cia desde el punto de vista pedagógico, su importancia se achica desde el punto de vista lógico. Cuestión es esta, de todas maneras, en que no debemos detenernos. Tenemos pues, en presencia uno de otro y disputándose, por decirlo así, la hegemonía de la Mecánica, estos dos con- centos: la fuerza y la energía. | En la mecánica clásica el concepto de fuerza era el dominante. Se definían las fuerzas como causas del movimiento; se medían, por ejemplo, por la unidad kilogramo, se represen- taban por líneas rectas, á las que se daba un punto de apli- cación, una dirección, un sentido y una magnitud, constitu- yendo lo que hoy, caminando de abstracción en atracción, se llaman vectores, ó mejor dicho, una determinación particular de éstos. Después se estudiaba su composición y descomposición, y toda la Mecánica, desde la estática á la dinámica, estaba, por decirlo así, impregnada del concepto de fuerza. Más tarde, aparecia el trabajo de las fuerzas, que és una de las formas de la energía. — 367 — - Si un punto camina en línea recta bajo la acción de una fuerza constante F, actuando también sobre dicha línea, y recorre un camino e, acompañado siempre por la acción de la fuerza F, se dice que ésta ha desarrollado un trabajo mecánico coo valor será igual á HSe, es decir, fuerza por camino recorrido. Este trabajo, que generalmente se mide en kilogramos y metros, y cuya unidad es el kilográmetro, ó sea el trabajo necesario para elevar un kilogramo un metro de altura, puede llamarse también energía, ó es una manifestación, una determi- nación de la energía. En la Mecánica clásica está perfectamente definido, está de- finido matemáticamente, porque aunque el punto siga una línea curva AB (fig. 14), se podrá Pigura 14, definir el trabajo en cada ins- INN 5 tante Ó para cada elemento ab de la deistanas mediante el producto de la proyección de la fuerza F sobre la tangente en b, por el camino ab= ds, que el móvil A recorre en dicho espacio de tiempo infinitamente pequeño. De suerte que | trabajo elemental en b=F cos a ds y el trabajo total desde A á B, será la suma de todos estos trabajos elementales. Así B trabajo deAábB= | Fcos a ds. A — 368 — Esta fórmula, cuando la trayectoria es rectilínea y lajfuerza Fes constante y actúa según dicha recta, se reduce, como antes decíamos, al producto de la fuerza por el camino. De suerte que, definida la fuerza, el trabajo, que, como hemos dicho, es una forma de la energía, queda definido con rigorosa exactitud y con una claridad que no sé como logra- rían sobrepujar los partidarios de la energética si empezaran definiendo la energía por la caloria de la termodinámica, pongo por caso, Ó por otra unidad equivalente; ni sé como podrían someterla al cálculo en la forma natural que la mecá- nica clásica emplea. Pero tampoco podemos ahondar esta cuestión por no ser éste el momento oportuno. _No es el trabajo mecánico, es cierto, la única forma de la energía: hay otra que la vieja mecánica estudia también y que introduce en todos sus cálculos, á saber la semifuerza viva de un móvil, es decir Pon: mv? 2 siendo m la masa y v la velocidad. Pero esta forma, que parece completamente distinta de la anterior, en el fondo se refiere al mismo fenómeno del mo- vimiento, y se miden ambas expresiones 1 — mv? Fl 2 y por la misma unidad, á saber, el kilográmetro. Mas aun, si la fuerza F ha estado actuando una unidad de tiempo sobre el móvil m, y ha engendrado la velocidad v, ambas expresio- nes, en las unidades usadas, tienen el mismo valor numérico, de suerte que Wo mv? = Fl. 2, -S — 369 — Tanto es así, que ambos miembros son, por decirlo de este mode, formas algebraicas distintas de un mismo fenó- meno físico, á saber: un trabajo que engendra una fuerza viva, Ó si se quiere una semifuerza viva. Gracias á la inercia de toda masa ponderable, que no es tan inerte como se su- pone, sino que es, en cierto modo, un regulador y un volan- le del movimiento, en la masa m, cuando adquiere la veloci- dad v, se almacena y recoge, y en cierto modo se transforma el trabajo Fl. Tanto es así, que la expresión de la fuerza viva puede descomponerse de este modo: l gus 1 — MV* == MV. — V 2 2 y el primer factor mv es la fuerza F, y el segundo > ves el camino /; porque si la velocidad es cero al principio y es y al fin, se sabe que el camino será + v. Queremos decir, con lo expuesto, que este concepto de la energía no es nuevo en la mecánica racional. Las dos formas de la energía, la del trabajo y la de la fuer- za viva, las tiene estudiadas hace mucho tiempo, y también su relación de identidad numérica, y también sus transfor- maciones: mucho antes, repetimos, de que se hablase de la energética. Hasta en la ciencia popular se explicaba que la energía afectaba dos formas: la forma cinética ó actual, que corres- pondía á la fuerza viva de las masas en movimiento, y era trabajo almacenado en la masa, como hoy se supone alma- cenado en el medio ambiente; y la forma potencial ó de po- sición, que era la que desarrollarían las fuerzas exteriores al ponerse en movimiento una masa y actuar sobre ella á lo largo de un camino. A Fué asimismo vulgarísimo el ejemplo de la energía que re- presentaba un cuerpo sostenido á cierta altura, posición que correspondía al trabajo potencial, porque al dejarlo caer, la fuerza de la gravedad desarrollaba cierto trabajo, convirtien- do la potencia en acto y transformándose el trabajo en velo- cidad del móvil. En suma, en el fondo el concepto de energía no es de la nueva mecánica, sino de la mecánica clásica. Pero como concepto general y con toda la abstracción ne- cesaria para serlo, no suponía la ciencia de aquella época, como suponen ó dan á entender los físicos, que Mr. Abel Rey, en su excelente libro llama pragmatistas, que exista una energía calorífica y otra luminosa, y otra eléctrica y otra magnética, y otra química y así sucesivamente; es decir, una energía especial y de cualidad para cada grupo de fe- nómenos y casi irreducibles unas á otras, llegando cuando más á equivalencias numéricas y experimentales. No; la mecánica clásica, á que en mi tíempo llamábamos mecánica racional por antonomasia, en su desarrollo lógico, llegó á introducir el concepto de energía en sus dos formas: trabajo y fuerza viva; pero buscando siempre la unidad de la ciencia en la energía que acompañaba á cualquier ferióme- no de la Naturaleza; unidad que podía afectar una de estas dos formas: ó un trabajo mecánico, ó una fuerza viva. Y como en la materia se había encontrado un factor, abs- tracto si se quiere, pero sujeto á medida, la fuerza, y de las diversas manifestaciones de la fuerza había deducido la fuerza abstracta de la mecánica; así de todas las energías del mundo material dedujo la energía de la mecánica, que se expresaba por una unidad única, el kilográmetro, ya se tra- tara de un trabajo mecánico, ya de una fuerza viva, ya de una corriente eléctrica, ya de un condensador, ya de una caloria, ya de cualquier otra forma determinada de la ener- eía universal. Dígase lo que se quiera, de este modo se forma la verda- — 3/11 — dera ciencia y se tiende hacia la unidad, no dividiendo arti- ficialmente los fenómenos de la Naturaleza en cantones poco menos que aislados. La fuerza, decimos, es un concepto de la mecánica clási- ca, del cual parece que nunca podrá prescindirse. La energía es otro concepto de aquella ciencia, que cada vez adquiere más importancia, pero que ya la tenía en los trabajos de los matemáticos del pasado siglo, siquiera la ter- minología, la momenclatura de entonces, fuera algo distinta de la de hoy. Pero con palabras no se hace la ciencia, aunque no nega- mos que con una acertada momenclatura pueda simplificar- se su exposición. De todas maneras, no hemos de negar tampoco que este concepto de energía va extendiéndose cada vez más en la física matemática, sobre todo con el desarrollo de las teorías eléctricas. Si lo que domina da en cierto modo nombre á la cosa do- minada, bien pudiera decirse que la mecánica clásica y la física matemática de la pasada centuria, eran algo así como la ciencia de la fuerza; y, que en cambio, en la nueva mecá- nica del éter y en la física matemática moderna, domina el concepto de la energía, y puede afirmarse que estas ciencias modernas son las ciencias de la energía. Pero esto no significa, que la vieja mecánica no estudiase la energía bajo la forma de trabajo ó fuerza viva, y que la ciencia moderna no tenga que analizar y descomponer el concepto de energía para llegar al concepto de fuerza. De suerte que en la gran síntesis que se prepara, al fin y al cabo habrán de estudiarse la energía y la fuerza. * RR — 372 — Esta preferencia de la ciencia antigua por la fuerza y de la ciencia moderna por la energía, no es caprichosa ó arbi- traria; está impuesta por la naturaleza de las cosas, por la naturaleza de las hipótesis á que la ciencia ha de acudir siempre para su fábrica, perdóneseme la palabra; y en suma, por la naturaleza de los fenómenos que en cada época se es- tudian de preferencia. De preferencia estudia la mecánica clásica los fenómenos de la materia ponderable, y en estos fenómenos el concepto de fuerza se impone como primordial y es sumamente có- modo, gracias á la inercia, porque determina la relación in- mediata entre la fuerza y la velocidad. La velocidad que una fuerza comunica á una masa ponderable se deduce desde luego de la relación mv = PF Ó de esta otra > mv? = Trabajo = Fl. Una fuerza no puede comunicar una velocidad cualquiera actuando un tiempo determinado; dicha velocidad está limi- tada y determinada por la inercia de la masa, que es como un regulador, y la mecánica avanza sin tropiezo desde las primeras hipótesis y desde las primeras experiencias hasta sus fórmulas definitivas. Se comprende, pues, que la antigua mecánica racional die- se la preferencia á la fuerza. Pero cuando se trata del equilibrio ó del movimiento, so- bre todo del movimiento de masas eléctricas, todo el anda- miaje de la mecánica clásica se desploma de un golpe, como algo completamente inútil en la nueva región en que pene- tramos. El problema fundamental será este: sobre una cantidad de electricidad e actúa una fuerza F, siendo F' una fuerza de la — 313 — antigua mecánica, una fuerza que se mide en kilogramos, que se concibió, casi me atrevería á decir que se fabricó, para el uso de las masas ponderables; y se nos pregunta, ¿esta fuerza F, qué velocidad va á comunicar á la masa eléc- trica e? No creo que nadie de primera intención, y ateniéndose á los cánones de la mecánica clásica, pueda responder á esta pregunta; ó cuando más contestará con un imposible. Si e no tiene masa ponderable, que es como decir que su masa es igual á cero, la fuerza F comunicaría á e una velocidad infi- nita, y ese perdería en el espacio. Resueltamente la mecánica clásica, que parece inquebrantable é insustituíble para las masas ponderables, aplicada en seco, perdónesenos la pala- bra, á los átomos eléctricos, conduce á una imposibilidad ó á una dispersión universal de la materia eléctrica. Yo bien sé que en muchas experiencias, y experiencias admirables de la física moderna, se salvan estas dificultades colocando en el centro del átomo eléctrico, ó sea del electrón, una pequeña masa ponderable, con lo cual se aplican las fór-- mulas clásicas de la vieja dinámica, á saber, las que se deducen de esta fórmula fundamental d? x dt? en que mes la masa ponderable que se ha introducido para: hacer aplicable la ecuación: y X representa fuerzas eléctricas Ó electromagnéticas. El primer miembro va á cuenta de la mecánica clásica, Ó sea de las masas ponderables; el segundo corre á cargo de la electricidad. Pero esto, perdónesenos el atrevimiento, es un escamoteo de dificultades muy serias en el fondo. Cuando se estudia imparcialmente el problema, la cuestión se plantea en toda su integridad. Rev. AcaD. Crencias,—VI[.— Diciembre, 1908. 26 — 3M — Así como la mecánica racional resuelve el problema del movimiento de cualquier masa ponderable con toda la per- fección que á la humana inteligencia le es permitido en cada época, estas reglas y estos principios de la ciencia clásica, no son completamente aplicables al éter ni á una porción de electricidad en movimiento, según acabamos de indicar. Pero puede salvarse la dificultad aplicando el concepto de la energía, como hemos visto en el ejemplo de la conferen- cia anterior; punto sobre el cual aun insistiremos en la con- ferencia próxima. En suma, la fuerza y la inercia de las masas ponderables dan rigor á las demostraciones de la mecánica racional; y por eso resulta preponderante el concepto de fuerza. En cambio, en la física matemática moderna, que pudiéra- mos decir que es la del éter y la de la electricidad, el concepto de fuerza es insuficiente, y en cambio adquiere im- portancia, en algunos momentos decisiva, el concepto de energía resolviendo problemas que de otra suerte pudiera creerse que eran invencibles, á no acudir á hipótesis que no siempre resultarían justificadas. Pero como todo esto ha de ser materia, no de otras contfe- rencias, sino de otros cursos, porque se refieren á grandes problemas que se agitan en el seno de la física matemática moderna, terminaremos por ahora esta materia, para conti- nuar en la conferencia inmediata el estudio de la crítica relativa al concepto de fuerza, tal como la vieja mecánica lo entendía. — 375 — XXI. — Nuevo procedimiento de acidimetria empleando el agua de cal, Por ANTONIO DE GREGORIO ROCASOLANO. Muy pocas veces se utiliza en los laboratorios el agua de cal como líquido alcalino valorado en las determinaciones por volumetría de compuestos ácidos; sin embargo, tenemos la convicción de que, usándola, se facilitan las determina- ciones acidimétricas, sobre todo cuando se opera sobre pro- ductos industriales de pequeña acidez, como vinos, cerve- zas, sidras, mostos, etc. La disolución saturada de hidrato de calcio en el agua, ó agua de cal, es un líquido alcalino fácilmente alterable, por fijar anhídrido carbónico del aire para formar carbonato cál- cico, insoluble, que se deposita disminuyendo el valor alca- lino del líquido claro; esta alteración se realiza en tiempo relativamente corto, y es la causa de que el empleo del agua de cal en análisis cuantitativa sea muy limitado, porque para operar en condiciones de exactitud, es necesario valorarla en cada operación, evitando la repetición de este trabajo el uso de otros líquidos alcalinos, como las disoluciones de hidrato Ó carbonato sódico, cuyo valor permanece sin alte- ración sensible durante bastante tiempo. Teniendo presente que la poca solubilidad del hidrato de calcio en el agua permite operar siempre con sus disolucio- nes saturadas, las dificultades anotadas y alguna otra de me- nor importancia quedarán resueltas si prácticamente llega- mos á una fórmula que en función de las variables tempera- turas y volumen de agua de cal gastado para la neutraliza- * ción, dé en gramos la cantidad de ácido que queremos de- terminar. — 316 — Desde el punto de vista práctico, es de mucho interés [le- gar á este resultado, sobre todo, por su aplicación en los la- boratorios industriales, donde la simplificación de los méto- dos de análisis es asunto importante; y, en definitiva, la con- secuencia que del presente trabajo cabe deducir, es que pueden hacerse, por volumetría, determinaciones de los dis- tintos ácidos aislados, sin necesidad de valorar líquidos al- calinos. - La labor experimental necesaria para llegar á la conse- Figura 1.2 cuencia que buscamos, es la construcción de una gráfica de la solubilidad del hidrato de calcio en el agua. Para deter- minar puntos de esta curva, practicamos una serie de deter- minaciones en las que tratamos de evitar las causas de error conocidas, operando del modo siguiente: En un frasco A co- locamos agua y cal de manera que se forme por agitación una lechada clara; este frasco se introduce en una vasija B de gran capacidad, que contenga la masa líquida destinada á modificar y á mantener constante durante algún tiempo la temperatura de la lechada de cal (fig. 1.%). Comenzamos pot — 311 — llenar con hielo machacado la vasija B, y agitando con fre- cuencia la lechada de cal, se espera el momento en que la temperatura marcada por los termómetros t' f” permanece estacionaria: entonces se introduce en el frasco A el tubo /, de cuyos dos extremos, el inferior se halla obturado por dos hojas de papel de filtro que forman membrana, y el supe- rior lo cierra un tapón de caucho atravesado por el sifón a, el tubo b y el termómetro f. Cuando el tubo / está ya lleno de agua de cal perfectamente filtrada y estacionada la tem- peratura marcada por el termómetro f, se ceba el sifón a, que da salida al agua de cal, y despreciando las primeras porciones que pasan, se recogen 50 c. c., con los que se hace seguidamente una determinación alcalimétrica, utilizan- do como líquido valorado una disolución diluida de ácido clorhídrico y, como indicador, cuatro gotas de disolución de fenoltaleina al 1 por 100. Calentando el líquido contenido en el vaso B, operando siempre de igual manera, y valorando el agua de cal con el mismo líquido ácido, hicimos varias determinaciones á dife- rentes temperaturas, que sirvieron para construir la curva que representamos á continuación (fig. 2.?), en la que se cuentan en ordenadas las temperaturas, y en abcisas los diversos valores de hidrato cálcico encontrados y referidos á 100 c. c. de disolución. Con objeto de presentar de modo más sencillo estos resul- tados, formamos la tabla adjunta, en la cual se expresan por c. c. de agua de cal consumida en una valoración, los valores á que equivale en hidrato de calcio ó en ácido sulfúrico ó tartárico en función de la temperatura del agua de cal con que se opera, + 8 A” EA EEE és MARE IA e E E O A A E DAA A MAREA e A. Ta UA AMAS ATA APA AAN AAA ALMAS O A. A AE a e e E ba o A NE AAN A AAA dE 0 0 be a al A O li “Mn ATA AAA A A AAA (RA E E E | == [>] Ape A HA: y : = “0 3 > nn o El ES ES RON as 3 A E < E 5 ES > q 2 O seJnjeva dues Miligrarmos disueltos en 100 c.c. Figura 2.2 , — 319 — AMA TOTANA OA Valores Ca0OzH»,en1c.c. H3S80, por 1 c.c. C¿0O¿H¿porlc.c. de É, de agua de cal. de agua de cal. de agua de cal. 09 0,0020215 0,0026764 0,0040975 59 0,0019475 0,0025784 0,0039475 6 0,001929 0,0025539 0,00391 7 0,001915 0,0025354 0,0038817 8 0,0018958 0,0025089 0,0038417 9 0,00188 0,002489 0,0038107 10 0,0018628 0,0024663 0,0037758 11 0,0018502 0,0024496 0,0037503 12 0,001835 0,0024295 0,0037195 13 0,0018175 0,0024063 0,003683 14 0,0018002 0,0023834 0,003649 15 0,0017825 0,00236 0,003613 16 0,001765 0,002336 0,003577 17 0,00175 0,002317 0,003547 18 0,001735 0,002297 0,003516 19 0,0017246 0,002283 0,003494 20 0,0017075 0,002259 0,003461 2 0,00169 0,002237 0,003425 22 0,0016725 0,002214 0,00339 23 0,0016575 0,002194 0,003359 24 0,0016412 0,0021729 0,003326 25 0,001625 0,0021515 0,003293 26 0,0016075 0,002127 0,003257 27 0,00159 0,002105 0,003223 28 0,001575 0,002085 0,003192 29 0,00156 0,002065 0,003162 30 0,001545 0,002045 0,003131 Para determinar por medio de esta tabla la cantidad de ácido sulfúrico Ó tartárico total contenido en un líquido, se practica una acidimetría con agua saturada de hidrato cálcico recién filtrada, y cuya temperatura se toma en el mo- mento en que se opera; se lee el volumen de líquido alcalino gastado, y multiplicado por el valor en ácido sulfúrico ó fartárico que encontraremos en la línea correspondiente á la — 380 — temperatura anotada, tendremos en gramos la acidez total del líquido problema, referida á uno de estos dos ácidos. Si el reactivo indicador que se emplee es tres gotas de di- solución de fenoltaleina al 1 por 100, deberá descontarse del gasto de agua de cal 0,1 c. c. por absorción del reactivo. En los laboratorios industriales conviene operar siempre con volúmenes iguales de problema, diluídos hasta 30 Ó 35 c. Cc. En el caso de no disponer de la tabla anterior, hemos deducido una fórmula sencilla que puede aplicarse á cual- quier problema en que se trate de determinar una acidez total referida á un ácido cualquiera. Observando la gráfica (fig. 2.*) encontramos gran regula- ridad que representa una ley sencilla para las variaciones en hidrato de calcio comprendidas entre las temperaturas 0” y 30”; es decir, entre las temperaturas que de ordinario ha de alcanzar el agua de cal en los laboratorios. Suponiendo que se trate de determinar la acidez total de un líquido con relación al ácido sulfúrico, razonaremos del modo siguiente: disminuyendo la cantidad de hidrato de calcio en el agua de cal á medida que la temperatura aumenta, disminuirá también su valor expresado en ácido sulfúrico; luego cometeremos un error por exceso, tanto mayor cuanto más elevada sea la temperatura, si tomamos por resultado el de multiplicar el número de centímetros cú- bicos de agua de cal gastados en la neutralización, por el valor en ácido sulfúrico á que equivale un centímetro cúbico á la temperatura de 0”; pero llegaremos á un número que representará un valor exacto, si restamos del producto anterior una corrección dada en función de la temperatura del volumen del agua de cal gastada para neutralizar, y de una constante que será distinta según el ácido de que se trate. Esta constante será un número que representará la dismi- nución que por centímetro cúbico sufre el valor del agua de — 381 — cal expresado en ácido sulfúrico, por cada grado que aumen- te la temperatura, y se determinará, para las temperaturas comprendidas entre 0% y 30” (trozo recto de la gráfica), divi- diendo por 30 la diferencia entre la cantidad real de ácido sulfúrico equivalente á 1 c. c. de agua de cal á la tempera- tura de 0” y el correspondiente á 30”: 0,0026764 — 0,002045 = 0,00002103. 30 En consecuencia, para todos los casos en que se determi- ne por volumetría la acidez total de un líquido referida al ácido sulfúrico, empleando como líquido alcalino el agua de cal, se aplicará la fórmula siguiente: 0,00267 >< n — 0,000021 < n <= A; en la que n representa el número de centímetros cúbicos de agua de cal gastados en la neutralización, f la temperatura del agua de cal, y As la cantidad en gramos de ácido sulfú- rico contenida en la porción de problema con que se ha operado. La fórmula general, que en cualquier caso podrá aplicar- se, tiene la forma: BE == Oi = A en la que P y Q son dos constantes distintas, según el ácido á que convenga referir la acidez total que se determine; P representa la cantidad de ácido que neutraliza un centímetro cúbico de agua de cal á la temperatura de 0%, y Q la dismi- nución que por centímetro cúbico y grado de temperatura que aumente, sufre el valor de un centímetro cúbico de agua de cal referido al ácido de que se trate: he aquí los valores de P y de Q para algunos ácidos: — 382 — CUERPO INVESTIGADO Valores de P. Valores de Q. Acido clorhídrico (HCl)........... 0,001994 0,00001566 Acido sulfúrico (H,S O,).......... 0,002676 0,00002103 Acido nítrico (H NO,)..........-.. 0,003442 0,00002703 Acido fostórico (H¿PO,)........... 0,001784 0,00001402 ACIADIORAaliCcOo Ca O AS 0.002737 0,00002150 ACI tantarico (CO A 0,004097 0,00003218 ACÍO CIC (COLA) 0,003260 0,00002561 Creemos que el uso de esta fórmula significa una simpli- ficación importante en las operaciones que hoy se practican para determinar la acidez total y en todos los casos en que se opera con líquidos de pequeña acidez (vinos, cerve- zas, sidras, mostos, caldos de cultivo, etc.), el agua de cal debe usarse con preferencia á cualquier otro líquido alcalino, ya que desaparecen, como consecuencia de este trabajo, las causas por las que se usaba hasta ahora tan pocas veces. En los laboratorios industriales es donde tiene más inte- rés la aplicación de esta fórmula, porque evita la valoración de líquidos alcalinos y las causas de error por la variación de sus valores: el agua saturada de hidrato de calcio (agua de cal) puede tomarse siempre como disolución alcalina va- lorada, si se anota su temperatura en el momento de operar. Bastará disponer de un frasco con lechada de cal clara, y cuando haya de emplearse, agitar, dejar sedimentar, filtrar, tomar la temperatura del líquido filtrado y practicar el ensayo acidimétrico; se lee el volumen n de agua de cal gastado en la neutralización, y aplicando la fórmula deducida, se obten- drá, por una sencilla operación aritmética, la acidez total que corresponde al líquido problema, referida al ácido que más nos convenga. — 383 — XXII. — Estudio general de las reacciones efectuadas con los compuestos órgano-magnésicos mixtos. POR José GIRAL PEREIRA Y J. CÉSAR SÁNCHEZ. Primera Memoria. Durante la segunda mitad del pasado siglo, la Química orgánica aumentó considerablemente el número de sus com- binaciones, al mismo tiempo que facilitaba la obtención de otros cuerpos, objeto de su estudio, merced á los procedi- mientos sintéticos fundados en la acción de los compuestos órgano-metálicos. Pero fuerza es confesar que dichos mé- todos presentaban grandes dificultades, aun en manos de experimentadores tan hábiles como Wurtz, Frankland, Freund, etc., resultando á veces peligrosos, como sucedia con los derivados órgano-cíncicos, cuya fácil inflamabilidad es de todos conocida. No entra en nuestro propósito, ni lo creemos necesario, reseñar los trabajos realizados sobre dichas síntesis orgáni- cas por Wurtz (*), Saytzeff (**), Wanklín (***) y otros quí- micos; tampoco es necesario insistir sobre las dificultades de su realización práctica, toda vez que habrá tenido ocasión de observarlas el que se dedique á esta clase de investiga- ciones. Nos proponemos en la presente Memoria hacer una re- seña general de la llamada reacción Grignard, exponer el estado actual de la cuestión, sintetizando en breve resumen los trabajos más importantes publicados acerca de los deri- (*) Bull. Soc. Chim., t. l, pág. 99, 1867. (*) Jahresbericht, pág. 618, 1870. (+) ]. 0f The, Chem. Soc., pág. 125, 1861, g , — 384 — vados órgano-magnésicos mixtos, exponiendo las observa- ciones que en nuestra práctica hemos hecho notar y dando cuenta de nuestras investigaciones, para demostrar lo fecun- do de los medios sintéticos fundados en ella, así como orien- tar en este terreno á quienes no se hayan dedicado á tan es- pecialísimos fenómenos. Cuando se pone en contacto un haluro de alcohiio con un metal bivalente, se origina una reacción que determina la formación de un compuesto órgano-metálico; pero esta re- acción general se efectúa de muy distinto modo, según el metal que intervenga en ella; entre éstos, el cinc y el mag- nesio han sido los más utilizados. Con el primero, la reac- ción prodúcese de modo que se forma transitoriamente un compuesto de adición, cuya fórmula general corresponde á la siguiente: ; R—Zn-—X, en la cual R representa el radical alcohólico y X' el cuerpo halógeno. Este compuesto por sí sólo, ó reaccionando con una nue- va molécula de haluro de alcohilo en presencia de cinc, ori- gina como último resultado un derivado exclusivamente Ót- gano-cíncico, conforme á las reacciones siguientes: REZA AR ZA Zn+R=Zn—X+RX=ZnX,+ ZnR,. Los derivados órgano-cíncicos son cuerpos volátiles, in- flamables y de muy dificil y peligroso manejo; reaccionan además muy lenta é incompletamente con los diversos gru- pos funcionales orgánicos, y no permiten, por lo tanto, ge- neralizar su acción ni limitar los resultados de ella. Pensando en obviar estas dificultades, idearon Lóhr (*), (*) Liebig's, Ann., t. CCLXI, pág. 72. — 385 — Fleck (*), Waga (**) y otros químicos, reemplazar el cinc por el magnesio; pero, realmente, se debe á Grignard (***) la ampliación de esta modificación, y el desarrollo enorme que ha sabido impulsarle, dotando á la Química orgánica de uno de los más fecundos procedimientos de síntesis. En el caso del magnesio, la reacción se detiene en su pri- mera fase y el compuesto estable es el derivado órgano-me- tálico mixto, según la ecuación siguiente: RX + Mg =R-—Mg -—X, siendo necesario consignar que este producto de adición se forma únicamente cuando la reacción se realiza en presen- cia de éter anhidro — en cuyo líquido es muy soluble — ó de otras substancias que mencionaremos más adelante, pues- to que los haluros de alcohilo no reaccionan directamente y sin intermedio con el magnesio sino á temperatura ele- vada y en tubo cerrado á la lámpara, originando entonces derivados análogos en su constitución y en sus propiedades á los cíncicos ya mencionados (+***). Es indudable que el vehículo interviene en la reacción, estando aún en discusión entre los químicos la forma en que lo hace; pero, cualquiera que sea ella, lo cierto es que el liquido resultante de la reacción entre el haluro del alco- hilo, el magnesio y el disolvente, constituye un producto de muy fácil manejo y apto para entrar en reacción con muy variadas substancias, originando productos de síntesis de constitución bien definida, lo cual le da insuperables venta- jas sóbre los restantes derivados órganos-metálicos. La misma discusión acerca de la interpretación del fenó- - () Liebig's, Ann., t. CCLXXVI, pág. 129. (**) Idem, Ann, t. CCLXXXIL, pág. 320. : (+**) Ann. de Ch. et Ph.,t. XXIV, pág 433; These Doctoral, Lyon, 1901; Revue généerale des Sciences, 14 o 20. (ee) Fleck y Lóhr, loc. cit. — 386 — meno químico, que se lleva á cabo entre las tres substancias antedichas, ha dado origen á nuevas teorías, que hacen mo- dificar la valencia ordinaria del oxigeno y ofrece campo abierto á la Química teórica, tanto como al descubrimiento de estos compuestos lo ofrece á la Química práctica. Hé aquí en qué consiste la llamada reacción de Grignard: Si en un pequeño matraz colocamos un haluro de alcohilo disuelto en éter perfectamente anhidro y añadimos trozos pequeños de magnesio, se inicia una viva reacción con des- prendimiento de burbujitas gaseosas, llegando el calor des- arrollado en la reacción á hacer hervir toda la parte líquida y terminando por disolverse en ella todo el magnesio. El líquido resultante, incoloro y transparente, es muy alterable en el aire húmedo; se descompone violentamente por el agua y reaccionan con gran facilidad con casi todos los compues- tos orgánicos, contándose actualmente por algunos centena- res los derivados de síntesis que se han obtenido por su me- diación. Nosotros hemos utilizado esta reacción para la pre- paración de varias substancias, cuyo estudio continuamos y cuyos resultados serán objeto de sucesivas Memorias. Esto nos ha obligado á obtener muchos haluros de alcohilo y sus derivados magnésicos correspondientes, teniendo que vencer en ellos dificultades de indole práctica, que habremos de indicar en el curso del presente trabajo. Preparación de los haluros de alcohilo. Es indispensable, para el buen éxito de la reacción de Grignard, el operar con haluros de alcohilo en buen estado de pureza, siendo forzoso seleccionar los métodos conocidos para la preparación de estos compuestos. Por eso no cree- mos inútil el reseñar ligeramente aquellos que nos han dado mejor resultado, tanto por la rapidez como por el rendimien- to y pureza del producto obtenido. — 381 — Para los bromuros alcohólicos el procedimiento seguido por nosotros ha sido el siguiente: en un matraz de litro se coloca un peso molecular de bromuro potásico y se añade una mezcla de dos moléculas-gramos de ácido sulfúrico .y dos del alcohol correspondiente (de modo que el conjunto no tenga más de un 5 por 100 de agua), y hecha la mezcla con las precauciones conocidas se obtura el matraz con un ta- pón de caucho parafinado, el cual lleva termómetro y tubo de desprendimiento para comunicarle con un refrigerante de Liebig, comunicando éste á su vez con un matracito rodeado de un medio frigorifico y mediado de agua destilada. Se calienta el matraz en baño de arena y se empiezan á recoger las porciones que destilen desde una temperatura inferior en cinco grados á la de ebullición del bromuro alcohólico que se busca, continuando así hasta que el termómetro marque cinco grados más que dicho punto de ebullición. Las porcio- nes recogidas se condensan en el matraz-recipiente, deposi- tándose en su fondo, y, por lo tanto, debajo de la capa de agua que contiene. Por medio de un embudo de llave se separan ambos líquidos, y el bromuro alcohólico, de aspecto lechoso por el agua emulsionada que contiene, se deseca por agitación con pequeños trozos de cloruro cálcico fundido, en cuyo contacto se deja algunas horas. El liquido, ya comple- tamente transparente é incoloro, se rectifica en baño de María ó de aceite, utilizando el tubo de Le Bel-Henninger ó el de Hempel, y recogiendo únicamente el producto destilado á una temperatura constante de ebullición. Debe conservarse en frascos de vidrio de tapón esmerilado, en sitios frescos y al abrigo de la luz (*). Operando de este modo se evita el inconveniente que pre= senta el manejo del bromo libre, utilizado en otros procedi- mientos de obtención de estos bromuros alcohólicos. No (*) Prescindimos de consignar las ecuaciones que expresan el fenómeno químico, por-ser bien conocidas. = 308 excediendo de un 5 por 100 la cantidad total de agua en la masa reaccionante, la producción del -bromuro alcohólico realízase en muy favorables condiciones. Recogiendo úni- camente lo destilado entre los límites de temperatura antedi- chos, se abrevia la purificación del producto. La desecación de éste ha de ser perfecta para los fines de la reacción Grig- nard, según veremos, y por eso se hace insustituible, para conseguir este objeto, el empleo del cloruro cálcico fundido. La rectificación y conservación del bromuro aseguran sus buenas condiciones de pureza. Para obtener los ioduros alcohólicos de escaso peso mo- lecular, utilizamos con éxito el siguiente método operato- rio: en un matraz de capacidad conveniente (de cuatro á cinco veces el volumen de la mezcla reaccionante) se colocan una cuarta parte de molécula-gramo de fósforo amorfo y una molécula-gramo del alcohol correspondiente, el cual no ha de contener más de un 4 por 100 de agua. Se sumerge el: matraz en agua fría y se añade una molécula-gramo de iodo, por pequeñas porciones y agitando á cada adición. Se coloca el conjunto en sitio fresco durante veinticuatro horas, agitando con frecuencia para destilarlo después en baño de María ó de arena, empleando el mismo aparato descrito al tratar de los bromuros, y observando las mismas reglas que allí se citan. El líquido destilado y decantado resulta siempre de color amarillo-rojizo, y se purifica por agitación con una disolución al 3 por 100 de sulfato sódico hasta total deco- loración; se decanta de nuevo, dejando después el ioduro descolorado en contacto de un 5 por 100 de cloruro cálcico fundido durante veinticuatro horas, y se termina por una: rectificación en las condiciones ya dichas. Para los primeros términos conviene el empleo del fosforo amorfo y la técnica operatoria que acabamos de describrir; pero cuando se trata de obtener los ioduros de butilo, amilo, etc., interesa el empleo del fósforo ordinario cortado en pequeños trozos, y entonces el aparato se modifica — 389 — de modo que el matraz productor empalme verticalmente con una alargadera rellena de trozos de vidrio y destinada á con- tener el iodo reaccionante, con lo cual se consigue un reflujo contínuo de los vapores del alcohol saturados de dicho me- talóide, y, por lo tanto, un intimo contacto de ambos, necesa- rio para favorecer su mutua acción. Claro es que se necesita calentar en estas condiciones todo el conjunto el tiempo necesario para la total disolución del iodo, y vigilar la operación con objeto de conducirla con toda regularidad, cosa no del todo fácil, dada la violencia con que el fósforo ordinario entra en reacción. La alargadera comunica por su parte superior con el refrigerante en posición invertida du- 'rante la reacción de los cuerpos, y en posición descendente cuando, una vez terminada aquélla, se procede á la destila- ción para continuarla como en el caso general. Aparte de los fenómenos corrientes y consignados en los libros que se ocupan en estas operaciones, nosotros hemos tenido ocasión de observar una parcial disolución del fósforo empleado en el ioduro alcohólico obtenido, y una subsiguien- te precipitación al rectificar el producto, depositándose el fósforo bajo la forma de un polvo amarillo-anaranjado, cuyo completo estudio hemos de continuar por creer fundada- mente que nos encontramos en el caso de un nuevo estado alotrópico de dicho elemento. También observamos, en las distintas fases de la operación, que los ioduros alcohólicos de peso molecular un tanto elevado, corroen extraordinariamente los tapones y tubos de goma, haciéndose necesario el uso de estos utensilios pa- rafinados. Para el inmediato empleo de estos haluros alcohólicos y su directa utilización en la reacción Grignard, es indispensable que se encuentren, no solamente anhidros, sino también des- provistos del alcohol que los engendró; pues, según veremos, . pequeñas cantidades de éste bastan para retardar y hasta impedir totalmente la reacción de aquéllos con el magnesio. Rxv, Acap. Cirncias.—VII.— Diciembre, 1908, 27 — 390 — Análogas precauciones son necesarias para el empleo del éter sulfúrico, que debe siempre conservarse en contacto de algunos trozos de sodio, con el cual apenas si ha de pro- ducir pequeñas burbujas de hidrógeno. Preparación del derivado órgano=magnésico. La práctica continuada de la obtención de estos derivados nos ha decidido á adoptar el siguiente modo operatorio, ins- pirado en gran parte en el seguido por el mismo Grignard (+). En un matraz de unos 150 c. c. de capacidad (**), se intro- duce un décimo de molécula-gramo de magnesio cortado en hilos de medio milímetro de espesor, y de cuatro á cinco milímetros de longitud, perfectamente limpios, desengrasa- dos y desecados previamente en la estufa á 120”; el matraz va montado al aire y obturado por un tapón con dos orifi- cios, destinados á recibir un tubo de bromo (tubo ampolla, con tapón y llave), y un codillo en ángulo obtuso que le une con un refrigerante de reflujo. Se coloca en la ampolla una mezcla formada por */,, de molécula-gramo del haluro alcohólico y un volumen igual de éter anhidro, y se hace caer, gota á gota, sobre el magnesio, de modo que le cubra. La reacción se inicia ya con los primeros términos; pero es necesario calentar el matraz en baño de María para los térmi- nos elevados. Una vez iniciada aquélla, se deja que conti- núe lentamente con suave desprendimiento de burbujitas ga- seosas, y se regula la temperatura y la caída del resto de la solución etérea de modo que la reacción no se detenga ni el líquido entre en ebullición, consiguiendo la total disolu- (*) Loc. cit. (**) Para conseguir la absoluta é indispensable. desecación del matraz y demás partes del aparato, debe emplearse la corriente de aire seco y caliente que suministra el fuelle de una lámpara de es- maltar, inyectando aquél en el interior del matraz colocado sobre un foco calorífico. sal pu" O ción del magnesio al cabo de 30-45 minutos. Es conveniente terminar calentando en baño de María, durante unos veinte minutos más, y diluir la masa desde el primer momento de la reacción en unos 30 c. c. de éter. Así se consigue, como resultado final, un líquido casi incoloro, en el cual es- tán interpuestas pequeñas partículas negras de impurezas del magnesio que no entraron en disolución. Á pesar de las precauciones citadas acerca de la absoluta sequedad del conjunto reaccionante, siempre aparecen algu- nos copos blancos de hidrato magnésico adheridos á las pa- redes del matraz, y debidos á la fácil descomposición del derivado magnésico por el agua. Por esto, su conservación es difícil y no conviene prepararlo más que en el momento de ser utilizado en reacciones ulteriores. La reacción es general con todos los haluros alcohólicos, y nosotros la hemos ensayado con los siguientes: bromuros “de etilo, isobutilo é isoamilo, y ioduros de metilo, etilo é “isoamilo. Los cloruros no reaccionan con tanta limpieza y los “derivados halogenados de los carburos cíclicos entran en la regla general. Para conseguir la total disolución del magnesio de los haluros ensayados por nosotros, basta observar las precau- ciones antedichas de relativa y absoluta sequedad de los .cuepos reaccionántes, haciendo notar únicamente que un exceso de haluro alcohólico sobre las cantidades citadas, favorece la reacción, según hemos tenido ocasión de com- -probar repetidas veces, y que el exceso de haluro no perju- dica para las reacciones ulteriores del derivado órgano-mag- nésico. Pero en otros casos, la reacción se hace de tal modo difícil, que es necesario iniciarla agregando pequeña cantidad de los cuerpos. llamados activantes, de acción catalizadora poco conocida; entre ellos, podemos citar el ioduro magné- sico preparado según las indicaciones de Baeyer (*), el cinc- (*) D. Ch. G.,t. 38, pág. 2.759: * — 392 — etilo (*), el iodo, el bromo y las aminas terciarias (**). También interesa consignar que, opuesta á esta acción, existe la de otros agentes retardatrices, tales como «el alcohol, el cloroformo, la acetona, el tetracloruro de carbono y el éter acético (****), que muchas veces pueden acompañar como impurezas á los cuerpos reaccionantes. El derivado órgano-magnésico en solución etérea, reaccio- na enérgicamente con el agua, es atacado por el anhidrido carbónico seco y actúa sobre la mayoría de los grupos fun- cionales orgánicos, formando compuestos de adición descom- ponibles todos por el agua, á cuyo carácter debe su impor- tancia extraordinaria en la síntesis química la reacción Grig- nard. La solución etérea, evaporada á la temperatura ordi- naria, deja un residuo sólido, blanco, insoluble en el éter, alterable por la luz y el aire, tomando color amarillento y do- tado de un fuerte olor á menta, cuyo carácter no hemos visto consignado por ningún autor. Según los trabajos de Grig- nard, este residuo es una combinación del haluro alkil-mag- nésico con el éter, cosa perfectamente demostiada por Blaise y Tschelintzef. Constitución de los compuestos de Grignard., De todo intento hemos dejado para tratar en capítulo aparte la constitución de estas combinaciones órgano-mag- nésicas. La disolución del magnesio en un haluro alcohólico puede únicamente representarse por alguna de las dos reac- ciones siguientes: 12 2RX+Mg=MgR, + MgX, 22 RX+Mg=R-—Mg— X (+) Reychler, Bull. Soc. Chim. Franc., t. 35, pág. 1.079. (**) Tschelintzef, Journ. Soc. phys. chim. R., t. 39, pág. 367. (***) Reychler, Bull. Soc. chim. Franc., t. 35, pág. 803. — 393 — pero es evidente que debemos adoptar la segunda, puesto que en la reacción, tal cual la hemos descrito y practicado, no se forma nunca haluro magnésico, que habría de precipi- tarse en las condiciones en que se opera, ni tampoco deri- vado alkil-magnésico, también insoluble en el éter, según los trabajos de Lóhr y Fleck (*). Es necesario no olvidar que el haluro de alkil-magnesio no lo aislamos al estado de pureza, sino que queda disuelto en el éter, reteniendo siempre alguna cantidad de éste cuando se evapora la disolución. Los trabajos de Grignard y los muy recientes de Tsche- lintzef (*) y Blaise (***) han demostrado que una molécula de éter queda realmente combinada con otra del compuesto órgano-magnésico mixto y no simplemente al estado de éter de cristalización. En las condiciones descritas es solamente una molécula de éter la que entra en combinación. Para ex- plicar este fenómeno es indispensable admitir, como así lo hacen todos los químicos que en este asunto se ocupan, que el oxígeno del éter se hace tetravalente y que los restos del haluro de alkil-magnesio saturan estas dos valencias suple- mentarias, siendo la constitución del compuesto resultante la de un derivado oxónico, representable por uno de los dos esquemas siguientes, debidos respectivamente á Baeyer y Villiger (****), y á Grignard (+**5: CAE, O ME E CH 0) JOE C,H;s es GH y NM —X Remitimos al lector á los trabajos originales de los quími- (*) Loc. cit. (**) Loc. cit. (4) D. Chem. G., t. 37, pág. 2.084; t. 38, pág. 3.664; t. 39, pá- gina 773. z (4/00 R.,t. 144) pág. 83, (FAL oc cit. — 394 — cos citados y de Mr. Blaise (*), en los cuales encontrará pro- fusamente razonadas las defensas de ambas fórmulas gene- rales, pudiendo asegurar que el estado actual de la cuestión no permite decidirse, sin reservas, por ninguna de las dos. Es mu y digno de hacer notar las investigaciones de Tsche- lintzef (**), según las cuales, no es solamente en el seno del éter donde se forman estas combinaciones, sino también, y de un modo general, en presencia de una amina tercia- ria (***), la cual queda combinada, del mismo modo que lo hace el éter, con el haluro de alkil-magnesio, conforme á los dos esquemas siguientes, análogos á los antedichos: RN, OE Ro E meca odios El citado químico ruso ha conseguido la reacción del magnesio y el haluro alcohólico operando en toda clase de disolventes neutros, tales como el benceno, tolueno, éter de petróleo, etc., con tal que contengan una pequeña can- tidad de dimetil-anilina ú otra amina terciaria. Esto parece demostrar que tanto el éter como la anilina ejercen sólo papel de catalizadores, siendo únicamente necesarios para la primera fase de la reacción, conforme á las ecuaciones si- guientes: RX O = pe R, e O RI + EN > N E (*) Bull. Soc. Chim. de France, 4.? serie, t. 1.2, pág: 611; t. 35, página 91. (E Eoescit. (4%) Blaise, Zeliuski, Archibald y otros técnicos han probado que el mismo efecto se consigue empleando cualquier éter-óxido, acetal ó éter-sal. A | : 4 3 x A | E — 305 — RESODIAD 1 Robla pr E od ME > A ve Ro Mg—R e = 0) — Mg —X; M R R $ dis O) mn adoptando los esquemas de Baeyer y Villiger. Siguiendo el sistema de generalización que tan fecundo es en Química, pensamos que la acción catalítica mencionada puede extenderse á todos aquellos cuerpos que posean un elemento de valencia variable, y, en su consecuencia, tene- mos en plan de trabajo el ensayar sulfuros de alkilos en sus- titución del éter ó de la amina terciaria, puesto que, en di- chas sustancias, funciona el azufre como bivalente, siendo susceptible de pasar fácilmente á tetravalente; todo ello se encuentra íntimamente relacionado con la estereo-isomeria del oxígeno, nitrógeno y azufre, y se puede calcular con fa- cilidad el interés extraordinario que estos estudios tienen en la Química orgánica teórica, demostrando así que la reacción Grignard abre amplio campo á la investigación científica en todos sus órdenes. Reacción de los compuestos de Grignard (etéreo=alkil- -haluros de magnesio) con los principales grupos fun= cionales orgánicos. La importancia principal que estos compuestos tienen de- riva de la facilidad extraordinaria con que entran en reacción con casi todas las especies químicas. Los alcoholes y feno- les, los óxidos de etileno, los aldehídos y cetonas, los éteres- e e sales, los cloruros y anhidridos de ácidos, el óxido y anhi- drido. carbónico, los cianatos y sulfocionatos, los nitrilos y otras muchas funciones químicas, se combinan directa é ín- tegramente, y en el seno del éter, con los haluros de alkil- magnesio, formando combinaciones descomponibles por el agua, 'para resolverse en iodhidrato magnésico y otros va- riados cuerpos de síntesis. Nosotros hemos practicado esta acción utilizando los bromuros y ioduros de metil, etil, iso- butil é isoamil-magnesio sobre el ortonitrobenzaldehido, carbodiamida, carvona, benzofenona, undecanona, glucosa, butanona y aldehido isovalérico. Siempre que en un compuesto exista un doble enlace en- tre dos átomos iguales ó distintos, puede asegurarse que re- accionará con el compuesto Órgano-magnésico mixto, y que la combinación resultante se descompondrá por el agua, fijándose el oxhidrilo en uno de los eslabones del doble en- lace. Esto constituye un método de obtención sintética de EnDiaS á partir de aldehidos, cetonas ó éteres-sales, y ce- tonas á partir de cloruros, anhídridos de ácidos ó niítrilos. Por este medio hemos conseguido la obtención sintética del metil-2-butanol-2, del nitro-fenil-isoamil-carbinol, del orto- dimetil-isopropenil-ciclohexanol, y continuamos las investi- gaciones con objeto de obtener otros varios compuestos, cuyo estudio detallado, así como el de los LoS reser- vamos para otras Memorias. El método operatorio es simplemente el mismo cuando se trata de hacer reaccionar las combinaciones órgano-magné- sicas con un aldehido, una cetona Ó un éter-sal. Nosotros hemos procedido siempre del modo siguiente: En el mismo matraz en que se originó el compuesto magnésico disuelto en éter, se hace caer, gota á gota, por medio de una ampo- lla de llave, una mezcla de volúmenes iguales del cuerpo reaccionante y de éter anhidro; las cantidades han de ser sensiblemente proporcionales á sus pesos moleculares. La reacción prodúcese con energía variable, pero siempre inten- — 391 — sa, haciéndose necesario conducir la operación con lentitud y enfriar exteriormente el matraz. Cuando toda la mezcla ha sido introducida en éste, se calienta en baño de María durante algunas horas, terminando por verter su contenido en agua bien fría y disolver la magnesia precipitada, por adición de pequeñas porciones de ácido acético diluído. Queda así el líquido dividido en dos capas, las cuales se separan por de- cantación. La superior, etérea, previamente lavada con car- bonato ácido de sodio y agitada con bisulfito sódico (para precipitar el aldehido ó cetona no reaccionantes), se destila con precaución con objeto de separar el éter, rectificando el residuo para purificar el alcohol que se busca. Si éste es so- luble en agua, se aprovecha la capa inferior acuosa para so- meterla á un arrastre con vapor de agua y separar el alcohol formado en la porción arrastrada, empleando carbonato po- tásico. La serie de reacciones generales que se producen, son las siguientes: H iso pala A AM 2R—C<—0 —Mg—X-+2H,0=2R=—C<-—0OH SR g + 2H) iba RA 5 ga A ARNO 0h AS E O + MgX, -+ Mg(0H), pudiendo repetirse, á propósito de la interpretación de estas ecuaciones, lo dicho al tratar de la verdadera constitución de los haluros de alkil-magnesio, Aun no está fuera de discu- — 308 — sión el que el elemento halógeno vaya' unido directamente al carbono ó al magnesio en la primera fase de la reacción. Practicando esta marcha, que es la recomendada por Grignard, hemos tenido ocasión de modificarla en algunos detalles, que pueden condensarse en las siguientes observa- ciones: si el aldehido ó cetona es insoluble ó poco soluble en el éter, como sucede con el ortonitrobenzaldehido, es necesario invertir la posición de los cuerpos reaccionantes y hacer caer la solución etérea del haluro de alkil-magnesio sobre el aldehido colocado en el fondo del matraz, debajo de una capa de éter. Es conveniente emplear un exceso del compuesto magnésico sobre las cantidades equimoleculares, porque es de más fácil eliminación en las separaciones ulte- riores que el aldehido ó cetona. La calefacción de la mezcla en baño de María debe sustituirse por un reposo de veinti- cuatro horas, á la temperatura del laboratorio, cuando se trate de compuestos muy volátiles ó muy descomponibles, por una calefacción local fácil de producir á pesar de utilizar el intermedio del dicho baño; á veces, basta aprovechar la pe- queña cantidad de calor que puede suministrar una bombilla eléctrica de 10 bujías colocada debajo del mismo. La descomposición del compuesto resultante debe hacerse en agua destilada y en vasija rodeada de mezcla frigorífica; la descomposición por medio del hielo, que recomienda Grignard, no es práctica ni asegura la pureza del cuerpo que se trata de obtener. Para disolver la magnesia producida en esta descomposi- ción, conviene utilizar el ácido acético de preferencia al clorhídrico, la dilución del ácido que nos ha dado mejor re- sultado es la correspondiente á un 5 por 100 de ácido acé- tico cristalizable, y su adición debe efectuarse solamente hasta muy débil reacción ácida al tornasol. El lavado de la solución etérea con carbonato ácido de sodio, tiene por objeto el no precipitar las sales magnésicas que puede haber disuelto dicho éter, y neutralizar, al mismo tiempo, el exceso A — 399 — del ácido acético empleado, deteniendo, claro es, su adición cuando cese la efervescencia en el líquido y desaparezca la reacción ácida de éste. La separación del aldehido ó cetona excedente por medio del bisulfito sódico, conviene única- mente cuando aquellos cuerpos tienen punto de ebullición próximo al de la substancia que se trata de obtener, pues en caso contrario, la rectificación del producto resultante origina una buena separación de aquéllos. Debe continuarse la inves- tigación sobre ambas capas, acuosa y etérea, puesto que en la mayoría de los casos el alcohol engendrado es soluble en ambos vehículos. Si se trata de obtener un alcohol terciario» ha de tenerse en cuenta que, deshidratándose estos cuerpos con gran facilidad, se recogerá en lugar de ellos el hidrocat- buro etilénico correspondiente, lo cual cambia, como es natural, los puntos de ebullición que se hubieran previsto. Si es sólido y fijo el alcohol obtenido, es necesario reco- gerlo en el resíduo de la destilación mediante un disolvente adecuado. Cuando es soluble en el agua, puede suceder que no sea arrastrable por el vapor de este líqutdo, en cuyo caso, ha de separarse de la disolución por su tranformación al estado de éter-sal ó por su insolubilidad en otro vehículo. El haluro de alkil-magnesio excedente se descompone en el tratamiento por agua originando el hidrocarburo correspon- diente al radical alcohólico, cuyo producto secundario acompaña muehas veces el alcohol buscado, siendo necesa- ria su completa separación por vía destilatoria. — 400 — XXIISI. —Sobre los cambios de teria, de la manganina durante el recocido. (Continuación.) POR B. CABRERA. Resultados. a) Curvas de recocido. Dificultades imposibles de vencer impidieron que las mues- tras estudiadas permanecieran en el baño, á la temperatura á que el recocido se efectuaba, durante todo el tiempo necesario para alcanzar el estado permanente, dentro de los límites que indicaremos más abajo. Así cada una de las curvas se ha obtenido por trozos que corresponden á tiempos varia- bles entre dos y diez horas, trozos que enlazamos sumando al tiempo de la última lectura el intervalo que aun permane- ció la muestra sometida al calentamiento. En los cuadros que siguen únicamente consignamos los tiempos transcurri- dos desde la primera inmersión, indicando en tipo distinto y entre paréntesis el instante de cada una de las inmersiones sucesivas. ' Algunas veces la temperatura del baño B, difería en algu- nas décimas de la temperatura fija elegida; pero en estos casos los valores de las conductancias fueron corregidos, no obstante ser generalmente los errores que pueden provenir de esta causa del orden de magnitud de los errores fortuí- tos. Más importancia tienen los correspondientes á un cam- bio igual en el baño B,; pero en este último procuramos siempre ejecutar las lecturas en las mismas circunstancias. Ni los cuadros, ni las curvas contienen, en la mayoría de los casos, la serie completa que corresponde á cada mues- tra; pues para reconocer la ley general del fenómeno basta — 401 — con lo transcrito. Seguimos siempre el recocido hasta que los cambios de conductancia en algunas horas eran del orden de algunas millonésimas, y, por ende, comparables á los errores experimentales: el tiempo de recocido necesario para lograr este fin se consigna para cada muestra. Dicho se está que tal criterio no permite afirmar que todas las muestras se encuentren recocidas igualmente al dar nos- otros por terminada la operación, pues dicho fenómeno con- siste en la aceleración, engendrada por el incremento de temperatura, de una modificación de estructura ó naturaleza que en todo caso se produce; de suerte que una misma ve- locidad de transformación tiene importancia muy diversa, se- gún la temperatura á que tiene lugar. Por esta razón no consignamos ninguna muestra anterior al núm. 11; pues to- das ellas fueron recocidas á 50” y 60”, temperaturas para las cuales los cambios son muy lentos. El intervalo que separa las lecturas consecutivas depende de la región de la curva á que se refieren. El conjunto de to- das estas lecturas se ha utilizado para el trazado de las curvas contenidas en las figuras 5, 6 y 7; pero para evitar la confusión de puntos que esto engendra en algunas regio- nes, en estas únicamente marcamos los necesarios para que puedan apreciarse sus distancias á la línea. Temperatura del recocido, 74%.—Duración total, 50h. FECHA 1-VITI-1908. .... HILO, 0,5 fa MUESTRA NÚM. 11 ma A mu HILO, 0,8 2/m MUESTRA NÚM. 12 HILO, 0,8 "fa MUESTRA NÚM. 13 Tiempo total. (1 49m 308) 1h 46m 25s 0 0 NN WD IN — a (9%) (2 Em 05) 3h 59m 45s 4 4 15 (6% 55m 499) 7h Om 50s LO, 7 41 8 10 S 36 OT Conduc- tancia. 986944 986966 987000 987053 987115 987192 987235 987274 .987280 987289 987339 981393 987409 987435 .987462 987516 987317 987519 987537 987569 987614 987056 987671 987690 987698 987710 987758 987771 981787 Tiempo total. (1 971 0%) 1h 30m 15s WIN IN IN mn ima : 70 (3%) o (Mp ps) 3h 27m 10s|. 25 (6% ¡gm 99) 6h 15m 20s 624 0 6.46 0 112.510 740 0 8 5 8 38 Conduc- tancias. 993896 993934 .993951 994041 994110 994158 994235 994245 994251 .994290 994309 994328 994345 994374 994399 994400 .994418 994442 994459 .994492 994544 994540 994587 994571 994593 994611 994640 994659 994677 Tiempo total. 5m 50s (1 gm 595) 1h 12m 25s N DN Di a (5h gym 95) 5h 44m Qs AA) 0020 6 31 50 ANA 0 7 33 30 8 4 40 Conduc- tancia. 989178 989192 .989238 989267 989325 989412 989427 .989432 989450 989474 989488 [989510 989548 .989549 .989541 989565 989570 989596 989634 .989636 989676 .989672 989569 989673 989705 .989719 989740 DA AAA EIA a GI PR — 403 — + HILO, 0,5 la MUESTRA NÚM. 11 FECHA 6-TIII-1908... «. Ml e... HILO, 0,8 2/5 MUESTRA NÚM. 12 HILO, 0,8 2/5 MUFSTRA NÚM. 13 Tiempo total. (yr ¡gm 05) 9h 21m 10s 15 25 ( 19h ¿ym 0%) 12h 47m 40s 12 54 50 12 56 45 ISE LA O 13 23 40 14 3 15 14 35 10 15 3:50 (15? 38m 05) 15h 41m 45s 15 48 20 15 58 40 16 30 0 17-245 MARES) (18% 14m 0) 18h 18m Os (20% ¡3m 95) 20h 18m 50s 20 21 26 33 4 0 54 22 1 46 Conduc- tancia, 987814 987820 987829 987843 .987862 987885 987890 .987910 987921 987918 987921 987922 987933 987948 987948 987961 987999 987985 .987987 988013 .988018 .988037 .988032' 988034 988032 988034 988021 988053 988041 Tiempo total. (8 Em 0) sh 52m 30s 918 ¿ALS OIIOESO 40 48 0 Id a 30 (122 ppm 05) 12h 12m 40s 12 18 124425 12 34 1293 13927 1056 1540.15 (15% 50m 05) 15h 52m 50s 16 7 50 16 15 10 16 43 50 1121 .1389 18 14 25 (18% 26m 05) 18h 30m 10s 18 36 30 18 46 40 18 52 20 19:29 1 0 20 2 00 988067 | 988051 988054 988054 988054 988061 .988062 .988084 988134 (20% 9977 05) 20h 36m 50s 20 49 35 2h; 0 45 21:15 410 21 37 50 22:28 VO Conduc- tancia, 994664 994663 994686 994724 994724 994742 .994751 994800 994800 994774 .994786 .994818 .994805 .994831 994830 994863 .994853 .994887 994903 994918 994918 994881 994854 .994896 ¿994904 994921 .994938 994943 994956 994958 994963 .994966 994973 Tiempo total. (8h gg 9), | sh 28m 45s 353020 9 “IESO 9.43 45 16 20 45 0 11 20 30 (11 gym 05) 11h 46m 15s 11 49 (14% 39m 05) 14h 35m Os 14 43 20 159" 020 15 33 40 101" 310 16 58 0 (112 gm 0%) 17h 10m Os TADA) 17-22 400 17 32 20 17 42 20 18 6 50 (18% 93m 99) 18h 33m. Qs 18 47 50. 18 56 26 Conduc- tancia, 989749 989757 989757 989776 989783 989795 .989817 989838 989828 .989839 989839 989840 .989867 .989868 989870 989904 989912 .989912 989929 989922 989930 989912 989918 989919 .989921 .989922 .989924 989918 989924 .989917 HILO, 0,5 “2/5 MUESTRA NÚM, 11 — 404 — HILO, 0,8 ?/5 MUESTRA NÚM. 12 A _ __x5_—E qh—R HILO, 0,8 2/5 MUESTRA NÚM. 13 FECHA Tiempo total. 13-VINI-1908.. . | (23% 07 05) 23h 10m 30s 23:33 10 2 a 24 47 15 25 19 40 2552 1110 14-VIN (26% 5m 95) 26h 25m 258 27 39 25 28 31 25 B-Ml....-. (BP 21 05) 31h 25m 40s 34 40 30 32. 6.0 35 11 0 26 0 Conduc- tancia. 988111 958105 988111 988132 988133 .988161 988185 988186 988197 .988269 988265 988266 988271 988282 988285 988306 Tiempo total, (22% 49m 99) 22h 45m 50s 224 58 15 2 TE, LO 23 44 40 (94% qm 0) 24h 5m 15s 24 23 DA 25 48 26 10 26 43 Conduc- tancia. 994970 994983 .994982 .994994 994955 995015 995013 995005 995043 995023 Tiempo total. (19% 927 95) 19h 28m 20s 1935" 10 19 50 0 20 320 21 14 15 (21% 95m 99) 211 30m 45s Za 15 22 48 30 23 21 30 23 54 45 Conduc- tancia. 989933 989932 989932 989974 989954 989960 989970 989965 .989979 .989990 Temperatura del recocido, 85”.—Duración total, 52h, HILO, 0,5 2). MUESTRA NÚM. 14 FECHA Tiempo Jotal. 22-VIII-1908. ... 8 40 23 35 Preparada desdo Agosto de 1907- Conduc- tancia. 3m 40s|1.004412 1.004438 1.004509 1.004611 1.004760 1.004886 1.004979 HILO, 0,5 MUESTRA NÚM. 15 (Reción proparada). Tiempo total. 1 39 2 12 Conduc- tancia, 998187 998252 998353 998562 998721 998838 HILO, 0,8 moy MUESTRA NÚM. 16 Tiempo total. Conduc- tancia. 10m 155|1.003781 1h 27 2 72 20 |1.003837 20 |1.003945 30 |1.004006 55 |1.004105 O |1.004172 a — 405 — CAI O MAI AAA AI HILO, 0,5 "2/n MUESTRA NÚM. 15 (Reción preparada). FECHA 24-VIIE-190S . .. DM oo Ao A e Rev. AcaD. Crencias,—VI[.— Diciembre, 1908. HILO, 0% m2, MUESTRA NÚM. 14 Proparada dosdo Agosto de 1907. onduc- Tiempo total. E 5 tancia, Tiempo total. (2% gym 99) 2h 34m 0s|1.005048 3 1 0j1.005086 3 36 30 |1.005166 4 23 0 |1.005248 (Y 99m 05) 4h 43m 155/|1.005275 (2 93m 05) 2h 33m Qs 2 55 45 3 49 30 4 35 0 (47 ¿pm 05) 4h 53m 30s HILO, 0,82/. MUESTRA NÚM. 16 Conduc- tancia, 998954 .998976 .999146 999212 999257 Conduc- Tiempo total. IAS ( 9h 19 0) 2h 17m 20s|1.004214 2 34 15 |1.004242 3 35 15 ¡1.004330 4 21 40 /1.004375 (4% ¿q 05) 4h 42m 155|1.004416 4 58 15 ( 15? 9pm 08) 15h 28m 50s ¡Sal SU 1 34 La a 0 15 4 10 15 46 30 157152, 30 15-57 55 16 34 55 17 16 40 SiS 18 35 10 ( [8% 45m 05) 18h 47m 15s 1953-15 1.005294f 5 24 30 1.005454f 7 30 30 1.005514] 8 1.005601f10 24 0 1.005627/10 59 30 1.005656/11 56 30 1.005700/12 44 15 1.005735]13 45 30 1.005751]14 59 30 1.005764f15 25 0 (157 4pm 05) 1.005817]15h 44m 10s 1.005798¡16 46 45 1.005796/15 59 40 1.005796|16 12 0 1.005794116 50 30 1.005790/17 42 40 1.005790118 12 45 1.005792 1.005802 1.005810 1.005843 1.005849 (187 98m 05) 1.005890/18h 32m 11s 1.005880118 51 0 1.005918|21 2 30 1.005929|121 54 0 1.005927f22 19 0 1.005984|24 18 0 1.005986|25 8 30 1.006015126 3 30 1.006024|27 33 0 1.006043|28 28 30 1.006054130 19 30 9992611 5 8 45 999426 0 999493] 7 53 0 999611110 1 0 .999622|10 38 0 .999654|11 35 15 999709112 19 45 999755113 22 15 999771114 36 30 99979515 4 30 (15% 9 0) 999824] 15h 22m 205 999821115 28 55 .999821f15 38 5 999825115 47 10 .999828|16 38 55 999855117 12 20 999871 ( (7% gq 05) .999926/17h 46m Qs 999913118 14 15 .999980/20 19 30 999991121 8 0 .999993|21 33 45 1.000032[23 32 45 1.000047f24 25 0 1.000090125 6 30 1.000113126 49 15 1.000125127 44 30 1.000185128 34 30 28 1.004418 1.004503 1.004535 1.004600 1.004611 1.004613 1.004654 1.004685 1.004678 1.004714 1.004719 1.004703 1.004695 1.004696 1.004730 1.004728 1.004760 1.004740 1.004776 1.004783 1.004800 1.004797 1.004805 1.004820 1.004849 1.004856 1.004874 — 406 — HILO, 0,5 2), HILO, 0,5 2/5 MUESTRA NÚM. 14 MUESTRA NÚM. 15 Proparada desde Agosto do 1907. Reción preparada. HILO, 0,8 "*/m MEUSTRA NÚM. 16 FECHA Conduc- tancia. Conduc- tancia, Conduc- tancia. Tiempo total. Tiempo total. Tiempo total. (29% 43m 95) (307 32m 95) (29% qm 95) 29h 47m 30s|1.006086130h 36m 40s|1.000172|29h 4m 0s|1.004896 29 52 50 1.006085130 40 20 |1.000154/29 10 20 |1.004884 30 7 30 1.006078130 54 0|[1.000148|]29 17 20 [1.004883 30 17 0 /1.006083¡31 5 0|1.000151|29 29 0 |1.004887 30 46 0 1.006086/32 19 20 |1.000166|29 38 0 |1.004887 31 0. 0 1.006091 31 19 35 |1.004893 28-V1II-1908 ..... (3P [q 05) 31h 14m 30s 15 (32 34m 05) (31 32m 95) 1.006112132h 38m 30s|1.000209|31h 39m 15s[1.004903 1.006094133 17 30 |1.000192[32 11 0 [1.004885 1.006111135 2 15 |1.000215133 56 0 |1.004893 1.00612935 46 0 [1.000230134 42 30 [1.004906 1.006137|36 49 30 |1.000246[35 43 0 |1.004903 30 11.006166/38 51 30 |1.000281137 46 15 |1.004951 A AAA A Temperatura del recocido, 100.—Duración total, 65h. HILO, 0,5 fm HILO, 0,5 2/m HILO, 0,8 ?/.m MUESTRA NÚM. 17 MUESTRA NÚM. 18 MUESTRA NÚM. 19 FECHA Tiempo total. € a Tiempo total. E dd a Tiempo total. C o 9-1X-1908....>- 3m 30s| .992515 3m (Qs| .998772 4m (Qs| .999131 6 45 | .992645 5 45 | .998865 12 30 | .999247 21 30 | .992970 20 30 | .999184 24 0| .999371 49 15 | .993239 43 15 | .999471 46 15 | .999524 1512 30 | .993424] 1h 5 15 | .999690| 1h 12 15 | .999645 1 35 45| .9003561] 1 31 15 | .999853| 4 30 0| .999972 4 44:30 | .994141f 4 43 30 |1.0004541| 5 1 30 |1.000013 5 16 25| .994204P 5 12 30 |1.0005041 5 44 0 |1.000032 6 1 0/.994268| 5 59 0/¡1.000594| 7 0 30 ¡1.000094 7 3 0| .994365| 7 14 45 |1.000718) 7 52 0 |1.000150 8 3 15| .994429| 7 59 15 |1.000777| 8 15 15 |1.000171 8 37 0| .904486] 8 33 30 |1.000830 Y — 407 — FECHA 10-1X-1908 .... [a teo HILO, 0,5 2/. MUESTRA NÚM. 17 HILO, 0,5 2/5 MUESTRA NÚM. 18 HILO, 0,8 la MUESTRA NM. 19 Tiempo total. (9 qm 09) 9h 1m 45s 45 (18% 407 09) 18h 41m (28% 107 28h 12m Conduc- ias Tiempo total. (8% ¿gm 05) 994505] 8h 51m 30s .994489| 8 56 994465] 8 59 9944691 9 4 .994469| 9 30 .994476/10 5 99454511 2 .994562]14 .994621[15 994820116 .994876|17 .994914 994962 Q ocooooo mn. 0) fs OUGUO (18% gm 05) .994985/18h 12m 15s .994968|18 21 15 .994966/18 .994966]18 994975118 995019119 995045120 995148122 .995216/24 .995238/25 995298126 (27 ¡m 05) .995330/27h 3m 15s 995304127 6 15 995304127 10 0 .995304/27 40 995322127 45 995323127 45 995404130 50 99543131 36 0 993447132 30 995476133 30 995522134 39 0 Conduc- Conduc- tancia. Tiem 5 A po total ( 95M 05) 1.000867 1.0C0857| 8 1.000857| S 1.000853] 9 sh 34m 0s|1.000186 38 0 |1.000186 49 30 |1.000188 26 0 |1.000205 1.000880/10 21 15 ¡1.000236 1.000916/13 38 0 |1.000332 1.000973|15 3 15 |1.000350 1.001162116 7 0 |1.000387 1.001242]17 11 30 [1.000397 1.001290 1.001354 (nm 9¡m 05) 1.001372]171 23m 50s|1.000427 1.001358|17 27 10 |1.000417 1.001370|17 33 0 /1.000417 1.001372]17 42 0 |1.000418 1.001376/17 40 |1.000432 1.001401f18 5 53 |1.000420 1.001434[18 46 0 |1.000443 1.001516/21 20 |1.000476 1.001602]22 30 [1.000524 1.001639[24 40 |1.000563 1.001662125 35 |1.000576 (257 am 05) 1.001754[25h 32m 15s 1.001754f25 36 55 1.001729/25 1.001723[25 1.001725/28 1.001734129 1.00183730 1.001846/31 1.001894/32 1.001937 1.001961 m o... »_»p_Eg OD gg Aia — 408 — Temperatura del recocido, 112%. — Duración total, 66h. FECHA 5-X-1908 MS ae Jinete Vie, 8-X ..oo» ...» HILO, 0,8 /m MUESTRA NÚM. 20 HILO, 0,5 mf" MUESTRA NÚM. 21 HILO, 0,8 Ml MUESTRA NÚM. 22 Conduc- Tiempu total. (7 9/m 0%) 7h 39m 40s 7 44 10 7 48 55 8 45 35 9 4 40 9 30::130. 12 41 10 13 32 15 15 25 40 (16% 55m 99) 17h 17m 55s 17 40 35 16421103 18 50 0 19420 MS 2158 410 22 51 50 24 4 15 26 16 15 tancia, 994336 994428 994563 994662 994813 994862 994973 995017 995094 995266 995588 995608 995634 995673 995750 995746 9957.27 995798 995826 .995839 9962595 996321 996346 996381 .996416 996433 996455 996447 996468 996458 996546 996585 996623 .996661 Tiempo total. (y qm 05) 9h 7m 45s 9 13 30 9 9 9 22 31 40 0 0 5 (10% gm 99) 10h 24m 10s 56 5 40 10 0 3) 30 0 0 Conduc- tancia, .991466 991751 992140 .992696 .992935 993120 994771 994843 994943 994996 .995182 995176 995166 995167 995181 995237 995267 995311 995341 995373 995597 995575 995680 995772 Conduc- Tiempo total. ES 5m 10s| .997744 19 10 | .997994 32 0 |.998092 47 5 |.998193 57 15 | .998248 1h 19 35 | .998289 28 50 | .998351 52 0 |.998423 3 0!.998456 998918 .998948 998955 998993 (7 ppm 05) 7h 57m 35s| .998967 8 3 10 |.998967 8 19 20 | .998988 8 52 55 | .999048 9 15 15 |.999058 12 31 30 | .999474 IS 67201 2099518 14 52 40 | .969551 15 13 10 | .999562 (177 35m 05) 17h 44m 35s| .999616 18 34 30 | .999640 18 34 10 | .999651 19 37 0 |.999670 19 58 40 | .999677 22 46 10 | .999756 23 19 35 | .999759 25 15 20 | .999807 26 50 30 | .999850 AS FECHA 10-X-1908..... .00..... ...o.....- HILO, 0,8 2/5, E NÚM. 20 Tiempo total. | (26 267 05) 29h 47m 50s 31 38 — 409 — HILO, 0,5 "2/05. MUESTRA NÚM. 21 HILO, 0,8 2/55 MUESTRA NÚM. 22 Conduc- tancia. 996760 O | .996766 33 3 10 |.996800 Tiempo total. = A Tiempo total. o (19% 4pm 05) (27% ym 05) 19h 46m 10s| .995808 [27h 9m 45s| .999891 19 53 0|.995796 127 20 30 | .999866 20 1 15|.995795127 38 25 | .999868 20 48 01|.905838 [27 55 35 | .999871 28 49 0| .999902 (22% ppm 0) (29% pm 05) 26h 21m 55s| .996090 (32h 36m Os| ,999977 27 51 20 |.996131 133 57 30 | .999997 29 28 45 |.996187 [35 44 5 |1.000022 (29 yg 05) 31h 16m 35s| .996137 32 22 10 | .996200 36 39 45 | .996334 37 59 40 | .996354 39 4 0|.996394 Temperatura del recocido, 150”. — Duración total, 30h, FECHA 18-XIL-1908 .... Tiempo total. (9 00 00 — OU Ha 0) 0) IN HILO, 0,5 Y) 5 MUESTRA NÚM. 23 13m 20s Conduc- tancia, 977714 978016 .979101 979742 .980517 .980883 981376 981647 981699 981826 981913 982024 982093 982246 .982298 .982331 982349 .982461 Tiempo total. S0 0D la $ Y 0 0 IN HILO, 0,5 /.m MUESTRA NÚM. 24 HILO, 0,8 2/5 MUESTRA NÚM. 25 = 11m 50s 14 36 52 1 32 31 Conduc- tancia. 980753 981088 982373 982564 .983039 983582 .984165 .984405 .984558 .984634 984721 .984830 984901 .985036 985133 985195 985230 985267 Tiempo total. 6m 10s 13 0 0) Ol $ 00 Ny [51 O Conduc- tancia, .987337 987747 988402 988480 .988946 .989098 .989420 989544 .989763 989826 989930 990026 .990113 .990172 990280 990314 990364 .990388 410 — HILO, 0,5 fu MUESTRA NÚM. 24 HILO, 0,8 / MUESTRA NÚM. 25 HILO, 0,5 /5 MUESTRA NÚM. 23 FECHA Tiempo total. C dl 19-XI-1008.... (10% gm ps) ¡0r 18m Os| .982385 10 19 50 | .982410 11 5 50| .982474 11 52 45 | .982538 12 49. 45 | .982582 13 9 45| .982586 13 30 30 | .982616 14 30 0 | .982699 14 50 0 .982710 15 36 35 | .982721 16 6 20 | .982756 17 3 25 | .982788 17 28 50 | .982791 18 40 25 | .982823 AS ao (19% q” 158) 19h 16m 45s| .982738 19 47 35 | .982793 20 20 45 | .982821 21 9 10| .982881 22 17 30 | .982930 23 13 0| .982068 27 39 15 | .982084 24 26 15 | .982088 25 29 45| 983050 26 35 55 | .983005 27 30 15 | .983009 28 26 30 | .983041 Tiempo total. (9 53m ps) 9h 59m 15s (187 gp 555) 18h 41m 35s 1 50 43 5 20 50 41 40 24 40 4 5 37 10 SO 4 45 DO Conduc- tancia. 985280 985286 985338 985375 985424 985448 985470 985504 983534 985536 985572 985612 985630 .985644 985697 985695 985707 985736 985787 985808 985851 983894 .985911 985934 985954 .985975 Tiempo total. (y qm 08) : 9h 19m 50s 9 30 50 9 50 10 10 8 35 11 29 0 TLL¿3I3A ES (11h 31m 459) 17h 33m 15s 17 44 45 18 34 15 19 O 15 20 35 10 Conduc- tancia, 990388 990409 990438 990453 990537 990509 990501 990573 990561 990580 -990590 990585 990631 990635 990592 990659 990705 990710 990761 ' 990775 990788 990798 990810 .990844 990843 w'S BANSIA PH A (15 DÁ 7 03 «“ “e e 61 + “ (Jm A el « (3 (0) [o) 31 ¿U euISaniA] SA A A 0,48 0,56 0,24 — 412 — ¿0,12 DD+e00 Muestra ” ” ” 5) 0) 11 14 15 17 18 21 Ea 5 10" 15" 20* 25" Figura 6.2 30* ss A ia ld a 0,50 0,48 0,56 .0,24b 0,12 a Muestra se 10% Figura 7.2 45h + 18 A ” ” 19 [o] ” » 23 Fe ” » 24 5 ” ” 25 l | 20" 25" — 414 — La observación inmediata de los cuadros que anteceden, y mejor la de las figuras 5, 6 y 7 que los traducen grafica- mente, ponen de manifiesto que la ley general del fenómeno es la que corresponde á todos los de esta naturaleza, pues la conductancia de la manganina tiende á un valor determinado - para cada temperatura, siguiendo una ley al parecer expo- nencial. Y esta ley es la misma para ambas clases de hilos, si se prescinde de un factor constante aproximadamente igual á 2; pues sí se superponen las figuras 5 y 6, se obser- va que las curvas que traducen los resultados correspon- dientes á las muestras núm. 21 (de 0,5 "/,,) y números 20 y 22 (de 0,8 "/,, ), se superponen, así como las 17 y 18 (de 0,5 "/m) con la 19 (0,8 "/.m). No ocurre lo mismo con las muestras reconocidas á temperaturas inferiores á 100", para las cuales las curvas pertenecientes á los hilos de 0,8 "/; están por encima de las otras, pero la muestra nú- mero 25 (0,8 "/m) y las 23 y 24 (0,5 "/.) obedecen á dicha ley, pues la relación de sus ordenadas es constantemente igual á la que liga las ordenanas de las muestras números 18 y 19, siendo su valor 1,7, número muy próximo de la rela- ción de las escalas en las figuras 5 y 6. Por otra parte, nada tiene de extraño que para recocidos inferiores á 100” no sea perceptible esta ley, porque en ellos influyen seguramente mu- cho más los tratamientos especiales que hayan sufrido las muestras. Y confirma esta presunción el hecho de que las se - paraciones entre las curvas pertenecientes á hilos de la misma clase que se recuecen á idéntica temperatura, son mucho mayores para valores bajos de ésta que para los más eleva- dos; además, de las dos muestras números 15 y 14, prepara- das, la primera veinticuatro horas antes de comenzar el re- cocido, y la segunda con un año de anticipación, aquélla de- termina una curva más elevada que ésta. Por último, el mis- mo hecho de quedar las curvas del hilo de 0,8 */,, por encima, puede aducirse en favor de la hipótesis, por cuanto dicho hilo, por su mayor diámetro, ha sufrido una deforma- > A — 415 — ción mucho más importante que el otro, al envolver á ambos en un toro del mismo diámetro, Es cierto que las muestras números 20 y 22, recocidas á 112”, muestran una separación tan notable como las 14 y 15, pero en este recocido ha ocurrido seguramente alguna ano- malía, que se pone de manifiesto en la quebradura que pre- sentan las curvas citadas y la 21, anomalía que bien pudo consistir en una elevación de temperatura por haber fallado el regulador, pues corresponde al periodo comprendido en- tre las 13% y 161 301 del día 6 de Octubre, durante el cual la marcha de aquél no pudo vigilarse. Pero la circunstancia más importante que puede deducirse de los cuadros anteriormente transcritos, es la modificación de la ley, según la cual crece la conductancia de un hilo con el tiempo, cuando se la lleva rápidamente á la temperatura del recocido, después de haber sufrido esta operación du- rante un periodo anterior variable. Cuando se sumerge en el baño por primera vez una muestra, y siempre que la tempe- ratura de aquél exceda en 40” ó 50” á la ambiente, la con- ductancia crece desde el primer momento rápidamente, pero cuando al instante de la inmersión ha precedido un recocido anterior por tiempo variable, en los primeros minutos al cre- cimiento sustitúyelo una disminución, de suerte que la con- ductancia pasa por un mínimo. Y tal modificación se produ- ce gradualmente, como función continua de la duración to- tal del recocido anterior, comenzando por manifestarse como un periodo de invariabilidad de dicha magnitud y terminan- do por convertirse su variación en una disminución relativa- mente rápida, seguida de un crecimiento sumamente lento é inferior á la disminución primitiva. | Ocurre, pues, como si á la curva general del recocido que hemos estudiado se superpusiera un fenómeno totalmente diferente, puesto de manifiesto por un cambio de signo de la variación, y quizas no independiente del recocido mismo. Con el fin de reconocer este extremo, sometimos brusca- e... mente á la misma temperatura de 80” (*) muestras diferen- tes recocidas previamente á temperaturas superiores á ésta, cuyos resultados transcribimos en parte, en los adjuntos cuadros: Calentamiento rápido á 80%. — Hilo de 0,5 M/m. MUESTRA NÚM. 18 MUESTRA NÚM. 21 MUESTRA NÚM. 24 Recocido anterior á 1000 [| Recocido anterior á 1120 | Recocido anterior á 1509 1-X-1938 7-X1-1908 31-XII-1908 Tiempo. | Conste |. criompo. | Cuán] riempo.. | guano 7m 30s | 1.002616 4m 10s | .996567 2m (Qs | 983317 20 40 | 1.002596 8 25 |.996561 10 45 | .983302 30 35 | 1.002584 16 10 |.996547 19 25 |.983302 42 30 | 1.002577 28 20 |.996543| 11h 3 50 |.983296 51 45 | 1.002572 40 15 |.9965331 1 38 50 |.983296 h 8 0 11.002568| 1114 25 1.906522] 2 22 45 |.983296 27 5 |1.0025611] 2 17 35 |.996527| 3 10 40 |.983293 44 10 | 1.002554f 3 11 35 |.996515 2 20 | 1.0025601 3 23 30 |.996517 22 10 | 1.002560 1.002560 56 5 | 1.002560 2 0 | 1.002570 39 15 | 1.002568 1.002566 OD OLOIUN N DN DN mn > S Pi al 00 PS [$1 Resultados análogos se obtienen con el hilo de 0,8 "/, . De unos y otros se deduce que el fenómeno á que nos ve- nimos refiriendo no es completamente independiente del re- cocido, según arriba decíamos, puesto que parece desapa- recer cuando se eleva la temperatura á que ha sido previa- mente recocida la muestra objeto del análisis. Por otra parte, esta disminución de conductancia es tanto mayor cuando más se eleva la temperatura á que se calienta bruscamente la muestra: así la núm. 24, que para la de 80* suministra los resultados transcritos en el cuadro anterior, para 60” y 100” se conduce como indica el siguiente: (*) En estas determinaciones las medidas se han ejecutado sin cambiar las comunicaciones de las muestras con el puente, por tra- tarse de cambios muy pequeños, — 417 — Muestra núm. 24. CALENTADA Á 609 CALENTADA Á 1009 Tiempo. Conductancia. Tiempo. Conductancia. 1m 5s 983213 3m 40s 983663 11 20 983210 Ls .983638 ESO -983:202 30530 983633 40 30 983200 50 0 .983629 58 40 983118 1115 50 983630 1522 35 983193 188.0 .983629 143 0 .983194 2278640 .983631 2 43 50 983627 o ts idad 983629 3 24 25 .983626 b) Curvas de temperatura. Terminado el recocido de cada muestra, determinamos las curvas de variación de la conductancia con la temperatura hasta aquella á que se efectuó el recocido, ó hasta 100” cuan- do excedía este límite. En los adjuntos cuadros se consig- nan los resultados obtenidos á cada temperatura. Mediante ellos, utilizando las lecturas próximas á 25”, se ha calculado, por el método de interpolación de Cauchy, la conductancia á 25”. Las ordenadas de las curvas en las figu- ras 8 y 9 son los cocientes de cada conductancia medida por este valor calculado, las cuales se consignan también en los cuadros correspondientes en la columna designada por Y. — 418 — 19-VII-1908. MUESTRA NÚM. 11 MUESTRA NÚM. 12 MUESTRA NÚM. 13 Hilo 0,5 "/.m. — Co; = 988167 | Hilo 0,8 72/,m. — Caz =-994734 | Hilo 0,8 */,m. — Co; = .989568 T a Y 1 C; | Y T C; Y 269,1 | .988159 | .999992] 26%,0 | .994714 | .999980| 26%,1 | .989563 | .999995 29 4 |.988122 | .699955| 29 4 |.994696 | .999962] 29 6 | .989545 | .999977 34 8 |.988078 | .999910| 34 6 |.994681 | .999947| 34 8 | .989532 | .999944 39 6 | .988053 | .999884] 39 4 |.994685 | .999951| 39 7 | .989539 | .999971 45 3 | .988044 | .999876] 45 3 |.994686 | .999952| 45 1 | .989576 |1.000008 49 “7 | .988052 | .999883| 49 7 | .994725 | .999991| 49 7 | .989613 |1.000045 55 3 | .998084 | .999916] 55 3 | .994787 |1.000053| 55 3 | .989678 |1.000111 60 0 | .988117 | .999950| 60 1 | .994859 |1.000126] 60 O | .989758 |1:000192 67 2 | .988201 |1.000034| 67 1 | .994982 |1.000250| 67 1 | .989900 |1.000335 73 6 | .988291 |1.000125| 73 6 | .995128 |1.000397] 73 6 | .990065 |1.000503 4-IX-1908. MUESTRA NÚM. 14 MUESTRA NÚM. 15 MUESTRA NÚM. 16 Hilo 0,5 "2/,.—Ca5 =1.006145 | Hilo 0,5 71/,.—C»; = 1.000285 | Hilo 0,8 »2/n.—Cp; = 1.004274 UN C; Y T C; Y T C; Y 130,4 11.006382 1.000236| 142,4 (1.000524|1.000236| 152,0 |1.004402|1.000128 15 1 11.006359|1.000214| 14 7 (1.000512|1.000224| 14 2 |1.004422 1.000148 15 6 1.9063361.000191| 16 3 |1.000475 1.000187| 16 6 1.004394|1.000120 18 4 11006272 1.000127Í 17 8 1.000436 1.000148| 17 1 |1.004378|1.000104 19 3 11.006245|1.000100| 19 5 (1.000394 1.000106| 19 8 |1.004342|1.000068 21 5 11.006209/1.000064| 21 3 11.000359 1.000071| 21 2 |1.004322 1.000048 24 6 [1.006154|1.000009| 24 7 |1.000294 1.000006| 24 7 |1.004277|1.000003 29 5-11.006074 .909928| 29 3 11.000206 .999918| 29 2 |1.004240| .999966 34 4 (1.006017| 909872| 34 2 11.000124 .999836| 34 0 |1.004218| .999944 40 O [1005984 9099839) 40 1 11.000069 0997811 39 8 |1.004220| .999946 44 8 |1.005966 .990821| 44 7 |1.000032| .999744| 44 7 (1.004222| .999948 50 4 11.005948| .999803| 50 6 1.000008| .999720| 50 6 |1.004276|1.000002 55 0 (1005958| 090813) 55 1 |1.000000| 099712) 55 2 11.004332 1.000058 60 5 |1.005985 .999840| 60 2 (1.000025| .999737| 59 9 (1.004405|1.000131 64 9 |1.006019 .990874| 65 6 (1.000050| .999762| 65 5 11.004502|1.000228 69 8 (1.006070| 999925) 69 6 (1.000075| .999787| 70 1 11.004610 1.000336 76 3 (1.006153 1.000008| 76 3 (1.000165| .099877| 76 3 11.004761 1.000485 83 6 (1.0062721.000127| 83 5 11.000185| .999897| 83 2 11.004954|1.000678 83 7 1.900187| "999899 = 419: 25-IX-1908. MUESTRA NÚM. 17 MUESTRA NÚM. 18 MUESTRA NÚM. 19 Hilo 0,5 /m. — Caz =-996073 | Hilo 0,5 */m.— Ca, =1.002758 | Hilo 0,8 12). — Ca5 = .9999.3 T C; Y T C; Ni T C; DY 15%,5| .996304 ¡1.000232] 13,8 1.003088|1.0003301 12*,8|1.000089|1.000189 13 4|.996355 |(1.000283] 14 4/1.003066/1.000308f 15 2/1.000036|1.000133 14 1|.996348 |1.000276] 14 7 1.003155/1.000297f 16 0|1.000024/1.000121 18 2|.996318 |1.000246| 18 21.002918|1.0001601 18 1| .999987/|1.000084 19 6|.996175 |[1.000101| 19 7/|1.002876|1.000118| 19 8| .999955|1.000052 24 9| .996079 |1.000006| 25 0/1.002758|1.000000| 25 1| .909902| .999999 29 0|.995985 | .999912| 29 1|1.002662| .999904f 29 2¡ .999866| .999963 34 5|.9905924 | .099851| 34 6|1.002584| .999826] 34 7| .999855| .899952 39 7|.995870 | .999796| 39 7|1.002522| .999764] 39 7| .999857| .999954 45 0¡.995826 | .999752] 44 9|1.002461; .999703| 45 0¡ .999878| .999975 50 0|.995811 | .999737| 50 1|1.002430| .999672] 50 4| .999928|1.000025 55 4|.995792 | .999718] 55 4/1.902411| .999653| 55 4/1.000011|1.000108 60 1|,995816 | .999742] 60 11.002419| .999661| 60 1|1.000081|1.000178 65 8|.995834 | .999760| 65 3|1.002414| .999667| 65 7|1.000171|1.000268 70 0|.995878 | .999804] 70 1|1.002454| .999696| 70 2|1.000268|1.000365 75 2|.995915 | .999842] 75 4 1.002491| .999733]1 75 5|1.000391|1.000488 19 6|.996162 |1.000089] 19 6|1.002864|1.0001061 19 7| .999956|1.000053 47 1|.995795 | .999721] 47 0|1.002443| .999685] 40 9| .999895| .999992 75 9|.995940 | .999867| 75 8/1.002506| .999748| 75 7|1.000405|1.000502 80 6|.906004 | .999931] 80 6/|1.002547| .999789| 80 6/1.000546|1.000643 85 8|.996085 (1.000013] 85 8!1.002626| .999868| 85 7|1.000694 1.000791 91 0|.996183 |[1.000110f 91 0/1.002730|1.000028| 91 4|1.000887|1.090984 96 2 .996296 [1.000223| 96 2/1.002811|1.000053| 96 5/|1.001074|1.001171 101 6| .996408 |1.000335] 101 0|1.002912|1.000154] 101 3[1.001256|1.002353 MUESTRA NÚM. 20 Hilo 0,8 laa pa Co; ES .993621 2-XI-1908. MUESTRA NÚM. 21 RS OS 995775 995677 995512 995575 995965 995568 995979 995621 999698 |1.000077 995742 |1.000121 1.000154 1.000056 999991 999954 999944 999947 999958 1.000000 20 | 996935 996821 996715 996615 996542 .996479 996426 dl 1.000218 1.000104 999998 .999898 999825 999762 999709 999685 999577 999517 .996394 .996394 s > E S MUESTRA NÚM. 22 Hilo 0,5 /m.— Cos = 996717 | Hilo 0,8 ./m. — Ca; = .998785 999083 (1. 998853 (1. 998785 998757 998759 998763 998744 998790 998845 .998929 CIN NO ONO O qa — 420 — 4-XI-1908. MUESTRA NÚM. 20 MUESTRA NÚM. 21 MUESTRA NÚM. 22 Hilo 0,8 2/m. — Cos =.+995621 | Hilo 0,5 2/.m. — Cos =-996717 | Hilo 0,8 ?/.. — Cos = .998785 T C; Y 11 C; Y T (Er Y 50%, 4 | .995627 |1.000006] 50%,2 | .996388 ¡ .999671| 509,5 | .998832 |1.000047 60 1 |.995789 |1.000168]| 60 3 | .996422 | .999795| 60 5 | .098968 |1.000183 66 0 | .995871 |1.000250[ 66 2 | .096412 | .999695] 65 9 | .999064 |1.000279 70 9 | .995961 |1.000340| 70 8 | .996460 | .999743| 70 8 | .999180 |1.000395 76 7 | .996100 |1.000480]| 76 9 | .996523 | .999806| 76 9 | .999281 |1.000496 88 7 | .996462 (1.000844]| 88 6 | .956703 | .9099986]| 88 9 | .999476 |1.000691 98 1 |.996772 1.001115] 98 3 | .996870 |1.000153| 98 5 | .999986 |1.001202 23-XII-1908. MUESTRA NÚM. 23 MUESTRA NÚM. 24 MUESTRA NÚM. 25 Hilo 0,5 ”/.m.— Cos = 981440 | Hilo 0,5 7*/sm. — Coz =-983557 | Hilo 0,8 "/.n. — Ca; = -987208 .987331 |1.000124 987212 |1.000004 | 129, 1| .081815 [1.000383] 16,6| .983778 |1.000230] 16", | 987159 | .999951 .981673 |[1.000238] 25 1|.983557 |1.000000] 24 .981433 | .9999931 31 983414 | .999854] 32 981290 | .999847] 36 6| .983343 | .999780] 36 .981215 | .9099771] 44 5|.983246 | .909683] 45 .981136 | .999690| 51 983204 | .999641| 51 .981112 | .9996651 19 7| .983699 |1.000147] 19 .981513 |1.000074| 40 7| .983282 | .999717] 40 6 7 8 2 1 3 db 5 0| .987172 | .999964 3 5 9 il 9 4 41 0|.981148 | .999702| 51 .983201 | .999636| 51 4 4 5 4 6 8 6 9 8 8 2 8 3 Z S 1 987242 1.000034 987283 |1.000076 .987147 | .999939 .987231 | .999923 987300 |1.000093 987463 |1.000259 987625 11.000361 987850 |1.000651 988110 |1.000914 .988311 ¡1.001118 988520 |1.001338 .981081 | .999634] 56 4 .983198 | .999633| 56 .981083 | .999636] 65 983213 | .999648] 65 .981124 | .099678| 72 7|.983247 | .999682] 72 :981185 | .999740] 80 5|.983227 | .999763] 80 .981285 | .999842] 89 3| :983454 | .999892] 89 981428 | .099988] 95 1|.983542 | .999984f 95 .981551 |1.000113] 101 .983649 |1.000094] 101 :981670 |1.000235 Gl 0 OL 00 H> NW A 00 DUO ll 987146 | .999938 a Le — 421 — y'8 BANDIA TZ“ se le « “ gr « . 1 “ “6 €] “ «e 7 p« «“ ] T “e “e 9 3 ¿U eJJsan|N I+404DOYS900 dh EII EIA RA A A E) Rey. Acap. Crencias.—VIL— Diciembre, 1908. A Muestra n? 12 ” 165) 16 19 20 22 25 — 42 Figura 9.2 a a, 7 qm "A o NAPA — 423 — Si se comparan los anteriores cuadros, obsérvase inmedia- tamente una diferencia profunda en la manera de compor- tarse las dos clases de hilos que hemos estudiado. Mientras que las curvas correspondientes al de 0,8 "/,, se confunden casi totalmente, las de 0,5 "/, difieren por completo, pu- diéndose afirmar que el mínimum de conductancia es tanto más marcado cuanto más alta es la temperatura del recoci- do. Sin embargo, tal ley se encuentra modificada por las circunstancias peculiares á cada muestra, de modo análogo á lo que de manifiesto se puso en las curvas de recocido. Entre las curvas referentes al hilo de 0,5 1/,,, las que tra- ducen los resultados obtenidos para las muestras 2 y 6 son las que más se separan, pues en su marcha se aproximan á las más recocidas; pero debe advertirse que recocidas á 50” y 60”, respectivamente, seguramente distaban mucho de al- canzar el estado permanente cuando fueron obtenidas. La diferencia entre ambos hilos se marca también de una manera notable en la temperatura, para la cual la conduc- tancia es un mínimum. Hállase, en efecto, hacia los 37” para el de 0,8 1./,,', mientras para el de 0,5 "/,, se traslada desde los 44” á los 58”, á medida que la temperatura del recocido crece. (Laboratorio de Electricidad de la Facultad de Cioncias de la Universidad Contral.) APENDICE Análisis cuantitativo de dos muestras de «Manganina». Los metales que en proporciones francamente apreciables constituyen las muestras analizadas de esta aleación, son: Cobre, Manganeso, Niquel y Hierro. El método empleado en su determinación, que ha sido en su mayor parte electrolítico, es, expuesto á grandes rasgos, como sigue: — 424 — Presentado el problema en forma de conductor eléctrico, es privado mecánicamente de la envoltura aisladora que lo protege: el trozo que se juzga conveniente para el ensayo se arrolla en hélice, se lava con éter y se pesa; colócase después en el mismo vaso de Bohemia que ha de servir como cuba electrolítica, y allí se somete á la acción del ácido nítrico adicionado de unas gotas de sulfúrico; se evapora á sequedad y se calcina ligeramente hasta descomponer total- mente los nitratos formados; se añade 1 c. c. de ácido sul- fúrico y agua hasta completar proximamente 150 c.c.: una vez disueltos los sulfatos, queda preparado el electrolito para la determinación del Cobre. Verifícase ésta haciendo uso de electrodos Viukler. Al mismo tiempo que se deposita el Cobre en el catodo, lo hace el Manganeso en el anodo al estado de óxido; pero por su poca adherencia y la pequeña superficie del electro- do se desprende fácilmente, bien por sí, ó con unas ligeras sacudidas, cayendo al fondo del vaso; esta poca adherencia y la necesidad de determinar en el líquido otros dos meta- les, nos ha hecho renunciar á determinar el Manganeso á la vez que el Cobre, empleando para ello anodos apoyados de eran superficie como los de Classen ó Herpín. Separado el Cobre como queda dicho, y añadiendo al lí- quido que queda en el vaso de Bohemia el que procede de lavar el depósito obtenido, se neutraliza el conjunto con Amoníaco y Carbonato amónico en exceso y se calienta: así se consigue precipitar el Hierro al estado de hidrato, y el Manganeso que aun quedase en el líquido, al de carbonato; precipitados que quedan en el fondo del vaso mezclados con los óxidos que se depositaron durante la electrolisis del Co- bre, en tanto que el líquido queda preparado para la deter- minación del Níquel según el método de Foregyger. Se elec- troliza el Níquel también con electrodos Vinkler, agitando de vez en cuando para lavar el precipitado del fondo. Una hora después de quedar el líquido incoloro y no dar reacción AAA — 425 — alguna con el sulfuro amónico, se da por terminado el de- pósito de Níquel, que se lava, seca y pesa. Fíltrase el precipitado complejo que queda en el vaso, se lava, seca, calcina y pesa; este peso es la suma de los que corresponden al óxido manganeso-mangánico y al óxido fé- rrico formados durante la calcinación; se determina directa- mente este último, que es el menor, por los procedimientos que siguen, y la diferencia nos permite obtener el Man- ganeso. Para conocer el peso correspondiente al óxido férrico he- mos procedido unas veces determinando, desde luego, el Hierro, por colorimetría, con el Colorímetro de Duboscq y la reacción del Sulfocianato Amónico, y otras separándole del Manganeso, por el Amoniaco en presencia de un exceso de Cloruro amónico (previa redisolución de ambos óxidos en ácido Clorhídrico) y calcinando el precipitado obtenido; en ambos casos se han obtenido resultados concordantes. — 426 — PUBLICACIONES RECIBIDAS (Continuación.) Direccion general de Contribuciones, Impuestos y Rentas.—1907.—Esta- dística de la Tributación Minera de España.— Madrid 1908. Dirección general de Aduanas. — Memoria sobre el Estado de la Renta de Aduanas en 1907.— Madrid, 1908. Electricidad y Mecánica.—Revista de Ciencias, Industría, etc. — Año IV, uú- méro 3.—Valencia, 1908 ú Energía Eléctrica (La).—Revista, —Año IX, números 19 á 22 y 24.— Año X números 1á 10 y 12 á 20.—Madrid, 1907 y 1908. Escuela especial de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos. Catálogo de la Biblioteca de la ,. .—Madrid, 1875, 1883, 1896 y 1905. España Automóvil. — Revista, Tomo I, núm. 9.—Tomo II, números 1, 3, 5, 7, 9 y 11 á 19.—Madrid, 1907 y 1908. España en Africa.— Revista, Año III, números 16 á 19. —Año, IV, núme- ros 21 á 30.—Madrid, 1907 y 1908. España y América.—Revista. Año VI, números 1 á 21.— Madrid, 1908. Facultad de Ciencias de Zaragoza. —Anales de la...— Año I, núme- ros 3 y 4. —Año II, números 5 y 6. —Zaragoza, 1907. Farmacia Española (La). — Revista científica. — Año XXXIX, núm. 52.— Año XL, números 1 al 5, 12 4 21 y 23 á 44.—Madrid, 1907 y 1908. Feliu y Vegués (D. Francisco). —Algunos trabajos matemáticos de........ edición publicada por sus discípulos y ofrecida al maestro en testimonio de gratitud, con un prólogo del Dr. D. Santiago Mundi y Giró.—Barce- lona-Gracia. Fernández (Excmo. Sr. D. Gustavo).—El problema de la protección de los acorazados contra el torpedo automóvil pOr. .......oo.oooooomom.o....oo (De la Revista General de Marina, Marzo 1908).—Madrid, 1908. Fernández Navarro (L).- Observaciones geológicas en la Isla de Hierro (Canarias). — (Veáse Memorias de la Real Sociedad Española de Historia Natural, tomo V. núm, 2.—Madrid, 1908. Fernández Chacón (lllmo. Sr, Dr. D. Antonio).— Discursos leídos en la Real Academia de Medicina para la recepción pública del ..., el 12 Abril de 1908.— Madrid, 1908. Fernández y Echevarría (D. Enrique).— Discurso leído ante la Universidad Literaria de Oviedo en la solemne apertura del curso académico de 1908 á 1909.—Oviedo, 1908, Franco y Salazar (Miguel).— Las cartas de isobaras y la previsión del tiem- A e po— Memoria presentada para aspirar al grado de Doctor en Ciencias Fi - _ sicas. — Madrid, 1907. ( Gaceta Farmacéutica Espáñola.—Año X, números 119 á 122,—Año XI, nú- meros 123 á 142, —Barcelona, 1908. Gaceta Médica Catalana. —Revista. — Tomo 32, números 733 4 741, 743 Y 745 4 752.—Barcelona, 1908. Gaceta Médica del Sur de España.—Año XXV, núm. 590; XXVI; núme- ros 591 á 610.—Granada, 1907 y 1908. Caceta Médica de Caracas. —Año XV, números 13 á 17,- Caracas. Gaceta Sanitaria de Barcelona, — Año XIX, núm. 12, — Año XX, núme - ros 3 al 8.—Barcelona, 1907 y 1908. Gallego Armesto (Heliodoro). —Estudio analítico experimental de la induc- ción y auto-inducción magneto-eléctricas — Madrid, 1901. García del Real y Alvarez Mijares (D, Eduardo). —Discurso leído en la Uni- versidad literaria de Santiago en la solemne inauguración del Curso aca- démico de 1908 á 1909.— Santiago, 1908. Garcia Llausó (D. Antonio) y Masriera y Manoveus (D. José). La joyeria y la orfebrería en España.—Memoria leída en el acto de su recepción por D. Antonio Garcia... y discurso de contestación por D. José,..—(Véase Memoria de la Real Academia de Ciencias de Barcelona, vol. VII, nú- mero 1.) —Barcelona. Giral y Pereira (D. José). — Consideraciones acerca de la enseñanza en Fran cia, organización de sus laboratorios químicos y trabajos de sintesis efec- tuados en ellos, por D. ... Con un prólogo de D. José R. Carracido.—Sa lamanca, 1908. Goizueta y Diaz (Dr. D. Jesús) y Murúa y Valerdi (Dr. D. Agustín .—Re- flexiones acerca de la evolución de las especies animales.—Memoria de ingreso del académico D. Jesús ... y «Algunas reflexiones sobre la evolu- ción regresiva que se opera en España», en contestación á la misma, por D. Agustín ...—(Véase Memorias de la Real Academia de Ciencias de Barcelona, vol, VI, núm. 29.—Barcelona. Gorria (Ilmo. Sr. Dr. D. Hermenegildo).— Aplicaciones de la electricidad á la agricultura. —(Véase Memorias de la Real Academia de Ciencias de Bar- celona, vol. VI, núm. 33.—Barcelona. Gutiérrez y González (Excmo. é limo. Sr. Dr. D. Eugenio). —Discurso leído en la solemne sesión inaugural del año 1908 en la Real Academia de Me- dicina por ... —Madrid, 1908. Gutiérrez Martín (Daniel). —Apuntes para: la flora del partido judicial de Olmedo, é indicación de los usos medicinales que algunas plantas reciben. Memoria presentada para aspirar al grado de Doctor en Farmacía por ... Avila, 1908. Iglesia y García (D. Gustavo la).— Obstáculos que se oponen en España al desarrollo de las iniciativas individuales y sociales. —Memoria premiada con accesit por la Real Academia de Ciencias Morales y Políticas en el concurso ordinario de 1905.—Madrid, 1908. — 428 > festes y ds (Excmo. é Ilmo. Sr. Dr. D. Manuel). —Memoria Entra én la $0 lemne sesión inaugural del año 1908 en la Real Academia de Medicina, por su Secretario perpetuo. . .—Madrid, 1907. : Ilustración Española y Americana (La).—Año LI, números 47 y 48.-- Año LII, números 1 al 40.— Madrid, 1908. Ingeniería.-—Revista industrial de minas. — Año III, números 98 y 99. == Año IV, números 100 al 127. Madrid, 1908. Ingenieros Geógrafos y de Topógrafos Auxiliares (Cuerpos. de). —Su come- tido, organización, estado actual y aspiraciones. — Madrid, 1908. Instituto de Sueroterapia, Vacunación y Bacteriología de Alfonso XIII. — Cartilla sanitaria contra la rabia.— Instrucciones destinadas á prevenir la enfermedad, entre las personas, y á combatir su propagación entre los - animales. —Madrid, 1908. Instituto de Sueroterapia, Vacunación y Bacteriología de Alfonso XIII. — Boletín del. . .—Año III, núm. 12.- Año IV, números 13 á 15.— Ma- drid, 1907. Instituto Geológico de México. — Parergones del...—Tomo II, números 1 á 6 : México, 1907. Institució Catalana d'Historia Natural.— Butlleti de la. ..— Any 4, núme- ros 8 y 9 —AÁny 5, números 1 á 6.—Barcelona, 1907 y 1908. Instituto Geográfico y Estadístico (Dirección general del).— Censo de la po- blación de España en 1900.—Tomos III y IV.— Madrid, 1907. Instituto de Higiene de Santiago. —Revista chilena de Higiene.—Tomo XI, Cuad. 1.—Santiago de Chile, 1906. Institución libre de enseñanza. — Boletín de la...— Año XXXI, núme- ros 572 4 575.—Año XXXII, núms. 576 4 582. — Madrid, 1907 y 1908. Instituto de segunda enseñanza de la Habana:—Memoria anual correspon diente al curso académico de 1906 á 1907.—Habana, 1908. Instituto general y técnico de Navarra. — Memoria acerca del estado del durante el curso académico de 1906 á 1907, leída en la solemne a del curso de 1907 á 1908, por D, Fernando Romero González, Catedráti- * co y Secretario del mismo Instituto. — Pamplona, 1908. i Instituto general y técnico de Pontevedra.— Memoria correspondiente al cur- so de 1906 á 1907, por D. Antonio Crespi, Catedrático y Secretario del establecimiento.—Pontevedra, 1908. : : Instituto general y técnico de Teruel.—Memorias correspondientes al curso de 1905 á 1906 y 1906 á 1907.—Teruel, 1908, Instituto general y técnico de Zaragoza.—Memoria del . ., en el curso _ de 1906 á 1907.—Zaragoza, 1908. PA . E o - garay. Conferencia cuarta... aio E XXI. —Nuevo procedimiento. de acidimetria empleando. el o agua de cal, por Antonio de Gregorio . Rocasolano., —XXIL Estudio general de las reacciones efectuadas con los compuestos órgano-magnésicos mixtos, por José Gi E a ed 9 > - ral Pereira y J. César Sd cacaos a oros... ublicaciones recibidas AS La du paoripona dk “esta REVISTA se hace por tomos. completos. > Dee 500 á 600 páginas, al precio de 6 pesetas en España y 6 francos al en el extranjero, en la Secretaría de E Academia, calle, de Val- verde, núm. 26, Madrid. Precio de este cuaderno, 1,50 > pesotas. TOMO VII.— NUM. ae (Enero de O) CALaR. DE , PONTEJOS) NÚM. 8. ES 1909 : E A Los e eimiba, para la Revista de la Academia se han de entregar completos, en la Secretaría de la Corporación, antes del día 20 de cada mes, c pues de otro modo quedará su publicación para el mes siguiente, a PS — 429 — XXIV. —Elementos de la teoría de la Elasticidad. . POR JosÉ ECHEGARAY. Conferencia quinta, SEÑORES: Después de haber indicado con la rapidez necesaria, pot tratarse de una cuestión incidental, la crítica que en estos últimos tiempos se ha formulado sobre el concepto de masa, empezamos un estudio análogo, y también muy sucinto, so- bre el concepto de fuerza, exponiendo en la anterior conte- rencía algunas consideraciones generales sobre este punto. Hoy debemos concretar más las ideas. Como la masa es un concepto abstracto, que se refiere á toda clase de materia, algo así como un parámetro común á todos los cuerpos de la Naturaleza, simples y compuestos, parámetro que se refiere al fenómeno del movimiento, pará- metro abstracto pero sujeto á medida; asi el concepto de fuerza se refiere á todas las fuerzas de la Naturaleza, pres- cindiendo por completo en la teoría general de las fuerzas del origen de las mismas. Se mide la fuerza por kilogramos, se representa geomé- tricamente por una recta, y se introduce en el cálculo por sus tres componentes. De suerte que se dice: sobre el punto A, que puede ser una masa ponderable ó eléctrica, y hasta un punto mera- mente geométrico enlazado idealmente con un sistema, actúa la fuerza F, cuyas tres componentes son X, Y, Z. Y poco nos importa el origen de la fuerza F, puede pro- ceder de masas ponderables que atraigan á la masa m del punto A; ó atracciones ó repulsiones de masas eléctricas, sobre una masa eléctrica también y. que acompañe á dicho Rrv, Acap, Ciencias. —VII.—Enero, 1909» 30 — 430 — punto A; ó atracciones ó repulsiones de una corriente eléc- trica Ó de los polos de un imán. . Puede ser todo esto, y por el momento, y ando sólo se trata de estudiar elsmovimiento del punto que consideramos, el origen de la fuerza poco nos importa; basta conocer para cada punto del espacio, que vaya ocupando A, el valor, 6. más en general la expresión de X, Y, Z en función, por con- siguiente, de las coordenadas x, y, z del punto, y de aquellas otras cantidades que definan la naturaleza del sistema ma- terial, que en cada instante determinado engendra ó produ- ce, por decirlo de este modo, la fuerza en cuestión. En la antigua Física matemática, cuando sólo se conside- raban masas ponderables, las cantidades del sistema á que nos referimos eran masas ponderables también. Cuando se empezó á estudiar la electricidad estática ya podían ser masas eléctricas. - Cuando se aplicó el cálculo á la electrodinámica, eran corrientes ó elementos de corriente. | Aun pudieran contener los sistemas engendradores de la fuerza F polos Ó masas magnéticas. Y si venimos á parar á los últimos descubrimientos de la Física, aún pudieran ser rayos catódicos, ó rayos X, Ó radía- ciones de los cuerpos radioactivos. -En suma, un punto que cruza un espacio puede encon- trarse sometido á la acción de todas estas fuerzas proceden- tes de todos estos sistemas: atracciones newtoníanas; atrac- ciones ó repulsiones eléctricas; atracciones ó repulsiones de corrientes; atracciones ó repulsiones magnéticas; ó impulsos procedentes de diferentes radiaciones. Con ser tantos los origenes de la fuerza, la fuerza es hoy un concepto tan único y tan abstracto, como lo era en el pa- “sado siglo, cuando comprendía presiones, tensiones, atrac- ciones planetarias, choques cinéticos de los gases y acciones de líquidos ó de diversos tlúidos, La pa clásica es un concepto abstracto a — 431 — en todos lós que hemos enumerado, y que se mide siempre por kilogramos. O si se parte, al establecer un sistema de unidades, de la unidad de la masa, podremos decir que la fuerza es igual al producto de la masa por la aceleración. Y claro es que nos referimos á la fuerza medible por kilo- gramos, y prescindimos, por el momento, de otras significa- ciones que hayan podido darse á esta palabra. Hay que proceder por partes; hay que seguir un orden histórico para comprender los tiempos modernos; no es po- sible explicarlo todo de una vez por el afán de un rigor qee sólo por grados puede conseguirse. Pero aligeremos estas consideracienes generales, que son bien conocidas de mis oyentes. La crítica, después de combatir el concepto de fuerza en general, desciende al análisis de las condiciones que la Me- cánica clásica atribuía á las fuerzas naturales. Consideremos como ejemplo la atracción newtoniana, atracción ejercida entre una masa m colocada en un punto A y la masa m' colocada en otro punto A”. Según la hipótesis de Newton, el valor de esta fuerza atractiva era, como es sabido, ? min py K , siendo K una constante que dependía de las unidades elegi- das y r la distancia entre los puntos A y 4”, ó sea entre las masas de dimensiones infinitamente pequeñas en ellos si- tuadas. Las condiciones de estas fuerzas eran las siguientes, que se pueden expresar de este modo: — 432 — 1.2 Acción dá distancia.— Se suponía que la masa m atraía á distancia sin intermedio ninguno, y saltando instan- táneamente, por decirlo así, á través del vacío desde el pun- to A al punto A”. Era, como algunos han dicho, una especie de acción es- piritual. Era como una cualidad misteriosa de la materia. Newton no prejuzgaba la cuestión, se limitaba á decir: la matería atrae á la materia, Ó las cosas pasan como si esta atracción fuese un hecho real. Más aún, y esto es muy importante, tan importante como lo que acabamos de decir. La fuerza de la Mecánica clásica, no sólo actúa á distan- cía, sino que su acción es instantánea. La masa m, no sólo actúa á la distancia r sin intermedio ninguno, sino que no tarda ningún tiempo, por pequeño que sea, en transmitirse de m á m'. Suponed un astro en el espacio y otro á una distancia in- mensa, millones y millones inacabables de kilómetros; pues el primero atraerá al segundo, y recíprocamente, en todos los instantes, sea cual fuere la distancia R que separe los dos astros. La atracción en la hipótesis newtoniana, dado que pudie= ra admitirse, tiene algo de divina, es superior al espacio y al tiempo. | La critica moderna combate esta doble hipótesis, mejor dicho, la rechaza en absoluto, calificándola casi de inconce- bible y absurda. A las dos afirmaciones opone dos negaciones. Un cuerpo, dice, no puede actuar sobre otro sin un siste- ma material intermedio. En segundo lugar, esta acción no puede ser instantá- nea, ha de tardar cierto tiempo en transmitirse. La gravi- tación tendrá su velocidad, como tiene su velocidad la luz. Y en tercer lugar, y por último, la acción á distancia é ins- — 433 — tantánea sólo puede tolerarse en la práctica, por la facilidad, y casi pudiéramos decir por la comodidad, que proporciona para la solución de los problemas de Mecánica, pero sin creer que responda tal hipótesis á la realidad de las cosas: es menos que una hipótesis, es un símbolo vacío, una facili- dad para las teorías y para el cálculo. Ejercitando una crítica severa contra estas tres conclusio- nes, algo pudiera alegarse; haciendo crítica de la crítica mis- ma, no es imposible quitar valor absoluto á sus conclusiones y acaso dejar la balanza en el fiel si antes estaba torcida en el sentido de la negación. No queremos con esto afirmar, por nuestra cuenta, que exista la acción á distancia, que fuera acaso acto de rebeldía cuando tantos autores insignes están conformes en rechazar la hipótesis newtoniana. Pero es lo cierto que muchos de aquellos que la rechazan para distancias planetarias y aún para distancias terrestres ordinarias, la aceptan y la emplean en distancias muy pe- queñas, en fracciones de milímetro, ó en espacios molecula- res Ó atómicos. Y esta es una inconsecuencia enorme, una negación de la lógica y una negación de la critica. Es evidente que la acción á distancia choca con el buen sentido y aun con la razón positivista, que hoy domina en todas partes. No se comprende, en efecto, como un astro saltando, di- gámoslo de este modo, por el vacío, sin dejar de estar donde está, ha de atraer á otro astro que se halla á millones y mi- llones de kilómetros. Mas la dificultad es la misma para distancias de un mi- llón de kilómetros, que para una millonésima de milí- metro, — 434 — La dificultad estriba en el salto de esta influencia atractiva ó repulsiva, no en la magnitud del salto. Que estas atracciones decrecen con la distancia, ya se advierte; que puedan despreciarse las influencias lejanas como simplificación de las fórmulas, y para detenerse en cierto grado de aproximación, siempre lo hizo la Física mate- mática y lo hicieron y lo siguen haciendo los autores; pero no se nos ocurre más que un medio de suprimir en absoluto la acción á distancia, y es admitir en el espacio la continui- dad adsoluta de la materia, y no admitir en cada punto más que fuerzas de contacto ó compresiones. Algo así como la teoría de los torbellinos de Thomson y Helmholtz, que ex- plicaremos en otro curso. Desde el momento en que para explicar la presión en una superficie que se imagine alrededor de un punto, se tiene en cuenta la acción que ejercen, una sobre otra, porciones de materia situadas á un lado y otro de dicha superficie, la ac- ción á distancias es inevitable. Pero, más aún, la crítica de Kant supone que el universo es un conjunto de fenómenos, manifestación de algo oculto, que no conocemos; no la realidad misma, sino una especie de fantasma ó un simbolismo en el espacio y en el tiempo, de esta realidad, como los conceptos de nuestra inteligencia son simbolismos especiales, desarrollados en el cerebro hu- mano, del mundo fenomenal. Y admitiemdo esta especie de escepticismo filosófico, sa- bio, sistemático, y que en sí no nos parece agresivo contra la realidad misma, sino acto de humildad de nuestra inteli- gencia, ¿quién nos dice que la acción á distancia no sea ma- nifestación fenomenal de una realidad que no alcanzaremos a descubrir? Sobre este punto, algo aún más concreto, hemos expuesto en años anteriores; pero no debemos detenernos en él, por- que poco á poco iríamos á dar en plena metafísica, que sería impropia de nuestras lecciones. $ só A ¡HS MARA EI IB = 435 — Por otra parte, conviene recordar que se han buscado expli- caciones mecánicas de la acción á distancia. Recordemos la célebre teoría de Lesage. Supone dicho autor, que el espacio está cruzado, en to- dos sentidos, por infinita lluvia de infinitos corpúsculos, que caen sobre todos los cuerpos que ocupan la exten- sión. En un cuerpo aislado, como estas granizadas le baten todo alrededor, y en todos sentidos, el efecto es nulo y. el cuerpo queda inmóvil. Pero si existen dos cuerpos en presencia, por ejemplo, dos astros, cada uno de ellos es, por decirlo así, una pantalla respecto al otro, pantalla que detendrá, en cierto modo, los corpúsculos que desde el fondo del espacio van á caer sobre este último, con lo cual las granizadas opues- tas en la dirección de ambos cuerpos tenderán á unirlos, precipitando á uno contra otro, como si se atrajesen. Y no es que se atraen, es que mecánicamente los empujan desde fuera. . ASC ¿ En su tiempo, en la colección de opúsculos del abate Moignó, recordamos que se publicó uno, en que se apli- ca el cálculo matemático á la teoría que estamos indi- cando. Ahora bien; contra esta teoría se ha formulado una objec- ción de gran fuerza. : Se ha dicho: no basta considerar las dos granizadas de corpúsculos exteriores, hay que tener en cuenta los choques de los corpúsculos que van de uno á otro cuerpo chocando con ambos. Si estos corpúsculos son absolutamente elásticos, la expli- cación cae por su base, porque los corpúsculos exteriores, detenidos por uno de los cuerpos, estarán sustituidos por los interiores, que llegarán á la región cubierta por la pan- talla, en la misma dirección y con la misma velocidad que los que vienen de afuera, a Cada cuerpo estará en las mismas condiciones que si el otro no existiese y permanecerá inmóvil. En cambio, la explicación subsiste, admitiendo que los - corpúsculos interiores no son elásticos, y al chocar con cada uno de los dos cuerpos pierde una cantidad de fuerza viva. Siendo esto asi, las velocidades de los corpúsculos inte- riores no llegarán á las de los corpúsculos que vienen de fuera, Ó de otro modo, la presión de dentro será interior á la presión de fuera, y los cuerpos tenderán á unirse fingiendo la atracción newtoniana. Desgraciadamente la objeción adquiere al llegar aquí todo su valor crítico, porque si los corpúsculos van perdiendo fuerza viva, esa fuerza viva en los dos cuerpos queda, y naturalmente se convertirá en calor: calor que se calcula muy superior al que podrían resistir ambos cuerpos. La atracción planetaria explicada de este modo, y si los cálculos á que nos referimos no tienen correctivo, hubiera volatizado todos los astros. Pero demos por terminada esta primera discusión. 2. Fuerzas centrales.—Las condiciones, Ó si se quiere también, los caracteres de este concepto de fuerza en la Me- cánica clásica, son tres. La primera condición de la fuerza, ó el primer carácter, ya hemos dicho que consiste en suponer que los cuerpos actúan á distancia. La segunda hipótesis, que es la que vamos á discutir aho- ra, es la de las fuerzas centrales. Se suponía, porque al parecer era la hipótesis más natu- ral, que si una masa m estaba en presencia de otra masa m', la fuerza F que resultaba de la acción de m sobre m' se ve- ASA — 431 — rificaba según la línea recta que unía ambos puntos Ó ambas masas. Las fuerzas iban de punto á punto, de centro material á centro material, salvando el espacio; por eso, á tal hipóte- sis se le da el nombre de hipótesis de las fuerzas centrales; y lo que hemos dicho para dos masas ponderables, pudiéra- mos repetir para dos masas eléctricas reconcentradas en dos puntos, para dos polos de dos imanes y para dos elementos de corriente. Los matemáticos y los físicos de aquella época no adivi- naron, ni esta duda moderna, ni esta objeción que ahora va- mos á explicar. Creyeron natural, y evidente casi, que la acción entre cen- tro material y centro material actuase en línea recta de uno á otro. - Esta evidencia no lo es hoy: la hipótesis, unas veces será verdadera; pero otras veces es falsa, como vamos á demos- trar. Si se considera que cada uno de los dos puntos materiales es una esfera de homogeneidad absoluta, sean masas pon- derables ó sean átomos eléctricos, parece evidente que las fuerzas han de ser centrales, no se comprende de otro modo; la razón se resiste tenazmente á cualquiera otra hipótesis; el célebre principio de la razón suficiente, que aquí podríamos llamar principio de simetría, se aplica con todo su vigor lógico. Si otra distinta fuera la dirección del esfuerzo, haciendo girar la figura alrededor de la recta de los centros, ten- dríamos infinitas otras soluciones, que formarían un cono de revolución, y que aun sin acudir á las reglas de compo- sición, por cierto instinto geométrico, podemos asegurar que darían una fuerza única en la dirección del eje de re- volución mismo, y, por lo tanto, tendríamos una resultante central, Pero este postulado, que en el caso que acabamos de in- — 438 — dicar es algo, que por sus propias condiciones se impone á la razón con carácter de evidencia, pierde esta evidencia cuando los des centros materiales no son homogéneos, Ó no son esféricos, ó en general son sistemas complejos, hipóte- sis que en estos tiempos que corren no es hipótesis aventu- rada, cuando hasta los átomos se descomponen en siste- mas subatonómicos. Porque si los centros son complejos, es evidente, que las resultantes de los esfuerzos parciales puede no seguir la línea de los centros, y esto es evidente con sólo aplicar la regla de la composición de fuerzas de la Mecánica clásica. Ya en el primer. curso de esta asignatura (pág. 219) pre- sentamos ejemplos que así lo demuestran. Por eso la acción de un polo sobre un elemento de co- rriente, con ser sistemas pequeñísimos, no determinan una fuerza central. Por eso no es fuerza central la acción de una masa eléc- trica en movimiento sobre un punto del éter, como hemos visto en este mismo curso. En resumen, porque deseo abreviar estos prelimiminares, la simetría en los dos puntos que se consideran y en el me- dio ambiente, podrá justificar la hipótesis de las fuerzas cen- trales; pero esta hipótesis podrá caer en defecto por la disi- metría de los dos sisiemas materiales ó del medio en que se hallan. Y nos interesaba dar estas explicaciones, porque en el mé- todo de Mr. Poincare para el problema de la elasticidad se prescinde de dicha hipótesis de las fuerzas centrales, y esto constituye una mayor perfección de dicho método, Ea rado, por ejemplo, con el de Cauchy. Como que en rigor pudiera decirse que la física matemá- tica clásica es la física de las fuerzas centrales y la acción á distancia, y que la física matemática moderna no parte de ambas hipótesis, y de este modo se eleva á un grado mayor de generalidad, E E e — 439 — -- No es que se niegue en la nueva teoría, que puedan exis- tir fuerzas centrales, es que en ella se resuelven los proble- “mas, no sólo para este caso, sino para otro cualquiera en que las fuerzas no fueran de un centro material á otro cen- tro material. Y pasemos ya á la tercera hipótesis que respecto á las fuerzas formuló la mecánica clásica. 3. La reacción igual y contraria á la acción.—Según la mecánica racional, que aceptó la hipótesis newtoniana, si un punto material m atrae á otro con una fuerza F, el segundo punto m' atraerá al primero con la misma fuerza F, siempre sobre la línea de los centros y siempre á través del espacio. Y esta ley se supone que es universal: la reacción, se decía, siempre es igual y contraria á la acción. Lo mismo se aplica á dos puntos materiales de materia ponderable, que á dos átomos de éter, que á dos polos mag- néticos, que á dos elementos de corriente; lo mismo al caso en que las fuerzas son centrales, que al caso en que no lo son; y, ya lo hemos dicho, lo mismo á las atracciones que á las repulsiones. Y claro es que igual aplicación tiene cuando se trata de fuerzas de contacto, de compresión ó de tensión en diferen- tes puntos de la superficie, que divide en dos partes el sís- tema. En estos últimos tiempos han surgido dudas sobre este principio clásico, que habia sido constantemente aplicado, y que había pasado casi al lenguaje vulgar y á la filosofía de las sociedades humanas. Todo el mundo lo dice y todo el mundo cree compren- derlo: la reacción es igual y contraria á la acción, si no lo fuera, la diferencia entre ambas sería en cierto modo, ó así nos parece, una creación partiendo de la nada. Véase á este propósito la objeción de Mr. Poincare á la teoría eléctrica de Mr. Lorentz. Sobre esta cuestión, como en nada afecta á las doctrinas — 440 — que hemos de exponer en el presente curso, nos contentare- mos con algunas brevísimas observaciones. Si se admite la acción á distancia sin ningún intermedio material, el principio de la reacción igual y contraria á la acción parece natural y sencillo; á él está acostumbrada nuestra inteligencia; hasta ahora á ninguna contradicción ha dado lugar, y jamás en la práctica ha caído en defecto. Pero si se desecha la hipótesis de la acción á distancia deben hacerse algunas consideraciones. Supongamos una masa m, colocada en el punto A, y á cierta distancia r, otra masa m', situada en el punto 4”. Entre A y A”, consideremos una serie de elementos del espacio b, b”, b”..., á través de los cuales, y por influencia de los que, se transmiten las acciones de m y m/. De suerte que 4, no influye sobre A” directamente, sino sobre el elemento contiguo b. Este, á su vez, transmite su acción á b”, y así sucesivamente hasta llegar á A”; es decir, á la masa m' que en él está colocada. En esta hipótesis, sólo el enunciado de la acción y la reac- ción directas de m y m', carece de sentido; y no es evidente que la acción de m sobre m' deba ser igual y contraria á la acción de m' sobre 77. Lo extraño en el caso general, y mientras no se defina la naturaleza de los elementos b, b”, b” ....., sería lo contrario; es decir, que en este caso, la reacción fuese igual y contra: ria á la acción. Se comprenden mil sistemas distintos para los elementos intermedios en que la transmisión de acciones dependa del sentido de transmisión. No podemos detenernos en este problema, pero básta su enunciado para comprender la posibilidad de nuestra prece- dente afirmación. En términos generales diremos: que desde el momento en que la acción se transmite por sistemas intermedios, sean continuos, sean discontinuos, por ejemplo, masas eléctricas A — 41 —= que circulasen entre A y A”, la fuerza transmitida podrá de- pender del sentido de la transmisión; y además, la acción y la reacción no serán instantáneas. Puede, por ejemplo, ir ganando la fuerza desde A hasta 4”, y puede ir disminuyendo en sentido contrario. Lo que no se comprende en ningún caso, como indicába- mos antes, es que en una superficie en equilibrio, las presio- nes en un sentido y en otro puedan ser distintas. | Ni en un equilibrio estático ni en un equilibrio dinámico. Pero el estudio de este nuevo problema nos llevaría muy lejos, y tratado de paso, tememos no expresar con toda cla- ridad nuestro pensamiento. En suma; las fuerzas de la mecánica clásica obedecen á estas tres condiciones: Acción á distancia; fuerzas centrales, reacción igual y contraria á la acción. Prescindiendo de las dos primeras, se prescinde de dos hipótesis, y es indudable que se da más rigor al método que de este modo se establezca. Pasemos al tercero de los elementos que antes hemos enumerado. El éter.—El éter es una hipótesis, y agreguemos más, una hipótesis mal definida. El éter es una necesidad de la física: se impone aun mal definido. Pero el éter hasta hoy no cumple con las condiciones que exige la lógica para dar por buena una hipótesis cual- quiera. Porque el éter no está bien definido, volvemos á repetirlo. Cada escuela, cada sistema, cada autor, lo define á su manera, y á veces no lo define, y aun cuando se den varias definiciones, casi todas son incompletas y poco precisas. Unos suponen que el éter es un flúido eminentemente elástico, que llena los espacios interplanetarios, que impreg- na y empapa, por expresarnos de este modo, toda la mate- ria ponderable, extendiéndose entre las moléculas, entre los — 442 — atomos, y hoy se diría que entre los mismos huecos infini- tamente pequeños de cada átomo, dado que los átomos se van convirtiendo en verdaderos sistemas astronómicos en miniatura. Mas la palabra tlúido, aunque se agregue que es eminen- temente elástico y que es eminentemente sutil, es muy vaga. Habría que decir, si es un flúido continuo ó si está com- puesto de átomos etéreos, colocados á distancia y sujetos á atracciones y repulsiones recíprocas, como suponía Cauchy y como suponen casi todos los autores que exponen la teoría de la luz según los métodos clásicos. - En el primer caso se formula esta otra pregunta: ¿Un flúi- do continuo, que no tiene huecos ó intervalos, puede ser elástico? Permítasenos que por hoy no contestemos á esta interro- gación ó que contestemos con otra. ¿Por qué no? En esta última acaso hay un problema casi metafísico, que por el momento no podemos abordar. : En la segunda hipótesis, es decir, admitiendo que el éter sea discontinuo, y sujetos sus átomos ó elementos á fuerzas recíprocas, venimos á parar de nuevo al problema de la ac- ción á distancia, á no ser que supongamos, entre los átomos de éter, otro éter más sutil, una especie de subéter para el cual volverían á plantearse los mismos problemas; y así su- cesivamente á la manera que se trata de agotar una línea fijando en ella puntos muy próximos y en los intervalos nue- vos puntos. * E E Pero hay más, ¿el éter es homogéneo ó heterogéneo? ¿En cada punto, la intensidad de éter (valga la palabra), es la misma ó puede ser distinta? - Todo esto y cuanto hemos dicho antes, y cuanto nos queda por decir, valía la pena de que se explicase para cada éter j d — 443 — hipotético, porque de lo contrario, al aplicar la teoría mejor concebida y más ingeniosa á uno de estos ilúidos á que nos referimos, se corre el peligro de que la teoría quede en el éter, lo cual es mucho peor que quedar en el aire. Además, autores hay que no consideran al éter como una. substancia simple y única, sino como la superposición de dos substancias iguales y opuestas, como son iguales y opuestas la electricidad positiva y negativa. Superposición, repetimos, íntima, profunda, interna, y perdónesenos si á fuerza de adjetivos queremos expresar algo que no puede expresarse por medio de palabras; porque en rigor nos ro- zamos con lo que pudiera llamarse la metafísica del espacio, y nos empeñamos en dar forma sensible á lo que no es sus- ceptible de tal representación. - Y siguiendo en esta enumeración de sistemas etéreos, sis- “temas que, hay que reconocerlo, se parecen mucho al caos, podemos citar nuevas hipótesis: hay quien supone en el éter una constitución análoga á la de los dieléctricos; es decir, que los átomos ó partículas de éter sólo pueden separarse á distancias pequeñísimas de su posición de equilibrio. Cada perturbación está encerrada en un espacio muy pequeño alrededor de la posición primitiva. Este espacio, en cierto modo, constituye una celdilla, de suerte que la perturbación se detiene en las paredes de la celdilla expresada. Y todavía otra hipótesis más: la del fluido inductor de Mr. de Poincaré, que ni siquiera supone que exista. Es para el insigne autor una especie de andamiaje. A todas estas hipótesis hay que agregar la hipótesis de los torbellinos, que tampoco es única; y, en suma, las hipó- tesis que resultan de combinaciones diversas de las ya in- dicadas. e — 444 — El estudio de todas estas hipótesis nos ocuparía muchas conferencias si hubiéramos de dedicar-á ellas nuestra aten- ción. Pero como no es éste el objeto del presente curso, ni con él se relaciona de una manera inmediata, aquí terminaremos la incompleta enumeración que precede. A las hipótesis sobre el éter se unen íntimamente las hipó- tesis sobre la electricidad, que también son numerosas, y en las que tampoco, por las razones expuestas, podremos de- tenernos. En terminos generales, se dice que la electricidad es un fluido; pero esto es decir muy poco. Y todo lo que explicábamos hace un momento respecto al éter, podemos repetirlo respecto á la electricidad. ¿Es un fluido único en que el exceso ó el defecto, á par- tir de un estado medio, constituyen las dos modalidades, ó: dicho de otro modo, las dos electricidades, positiva y nega- tiva? Hipótesis que hace pocos años era la predilecta. ¿O el fluido eléctrico está compuesto de dos fluidos con- trarios, que al separarse dan lugar á la electricidad positiva y á la electricidad negativa, y al reunirse en cantidades, que podemos llamar equivalentes, crean un estado neutro? Esta hipótesis, que fué la primitiva, que dominaba en to- dos los libros de Física, que siguió dominando, á pesar del triunfo de la hipotesis unitaria, pero sólo en cuanto era có- moda para el estudio y los cálculos de la electricidad, hoy vuelve á prevalecer, aunque bajo otra forma. Y podemos continuar nuestras interrogaciones, diciendo: ¿Es la electricidad un fluido continuo, como al principio se creía, aunque sin fijar bien este concepto de continuidad, ó P A] 5 po — 445 — está formada por partículas ó átomos eléctricos, á que se da el nombre de electrones, á saber: electrones positivos y elec- trones negativos, ó, según otros autores, por iones de dife- rente signo? Estos electrones, ¿están formados todos ellos de materia eléctrica, ó llevan núcleo ponderable, como se admite en el cálculo de los rayos catódicos y de su velocidad, y como se supone evidentemente al buscar la relación entre la masa eléctrica y la masa ponderable de cada electrón? Terminemos esta serie de interrogaciones, que poco tra- bajo nos costaría prolongar indefinidamente. Y es lo triste que tales interrogaciones no se dirigen á la naturaleza, á la realidad misma, sino á los diferentes autores que formulan unas y otras hipótesis. No se les pregunta lo que es, porque en rigor no lo sa- ben, ni se puede exigir que lo sepan. ; Lo que se les pregunta es lo que suponen que sea; ó de otro modo, que expliquen la hipótesis que aceptan en térmi- nos claros y precisos. Y no siempre la supuesta contestación es tan clara ni tan precisa como fuera de desear. Y aún queda el problema más difícil, más hondo y más: intrincado. | ¿Qué relación existe entre el éter y la electricidad? ¿Es la electricidad algo distinto del éter, que en el éter flota, como flotan los corpúsculos en el aire, ó es la electri- cidad el mismo éter condensado en una ó en otra forma, ó acaso dilatado? Las imaginaciones de los autores se han dado rienda suelta en todos estos problemas; llegando á forjar teorías generales del universo material; haciendo brotar la electri- Rav, Acab, Cirncras.—VII.— Enero, 1909, 31 AU 7 REA cidad del éter, para disolverla en el mismo al fin de alguna evolución; suponiendo aun más: que la materia ponderable no existe, sino que cada átomo ponderable es un conjunto de electrones. | Y, en suma, tendiendo á sustituir, en gran parte, la solu- ción clásica del siglo XIX, fundada en la hipótesis mecánica y de la materia ponderable, por la que pudiéramos llamar la hipótesis eléctrica; y agregaremos por nuestra cuenta, en una nueva Mecánica de lo imponderable, complemento natu ral de la Mecánica clásica de las masas ponderables. Pero, sobre todo cuanto llevamos dicho en esta última parte de nuestra conferencia, no cabe una crítica general, porque no se trata de un sistema definitivo, sino que en todo caso, cabrían críticas parciales sobre cada hipótesis par- ticular. Y estas críticas no podemos hacerlas por incidencia; que- dan, pues, para cuando tratemos en años sucesivos, según es nuestro deseo, de las teorías modernas de la Física, y sobre todo, de las teorías modernas de la electricidad. Por el momento, y después de las observaciones que pre- ceden sobre la masa, la fuerza, el éter y la electricidad, de- bemos pasar al examen, siquiera sea rapidísimo, del movi- miento, y de las hipótesis que sobre el mismo se establecían en la Mecánica clásica. Tal será el objeto, ó uno de los objetos, de la conferencia inmediata. | | = MT —= XXV. —Elementos de la teoría de la Elasticidad. POR José ECHEGARAY. Conferencia sexta. SEÑORES: Como preparación al estudio de la Elasticidad, según el método de Mr. Poincaré, y al mismo tiempo, y casi pudié- ramos decir, aprovechando la ocasión, como introducción á las teorías de la nueva Física y de los nuevos problemas que plantea, hicimos en las conferencias anteriores un resumen rapidísimo de las criticas que se han formulado sobre los conceptos fundamentales de la Mecánica clásica, á saber: la masa, la fuerza y el éter; y prometimos decir algo en esta conferencia respecto al movimiento. - Algo diremos, pero será muy poco; porque si en esta cuestión nos engolfásemos, no llegaríamos al fin con la rapi- dez con. que deseamos llegar; y, por otra parte, es el punto que menos se relaciona, ó que se relaciona de una manera más remota, con este problema de la Elasticidad. Se admite el espacio, el espacio vulgar, por decirlo de este modo, el de las tres dimensiones, dejando aparte lucubra- ciones metafísicas y teorías fisiológicas. Se admite el espa- cio, repetimos, infinito, según unos, indefinido, según otros, nueva forma de la sensibilidad, según los kantianos. Se admite el movimiento y se admite el tiempo para dedu- cir los conceptos de velocidad y aceleración. Y á propósito de la teoría de la elasticidad, nada tenemos que agregar á estas diferentes hipótesis, ó á estos diferentes conceptos, — 448 — Mas surge aquí un problema, que es general para toda la Mecánica racional y para todas sus aplicaciones, ya á la As- tronomía, y principalmente á la Astronomía; ya en grado menor, y del cual puede prescindirse por el pronto, á la Fí- sica matemática. Este problema es el de los movimientos relativos y el del movimiento absoluto. En la Mecánica racional, sobre todo en su enseñanza, ta problema casi no existía. Se daba por buena la existencia del movimiento absoluto de cualquier móvil en el espacio infinito y en el tiempo infi- nito también: era una especie de postulado, porque se pen- saba que las cosas de algún modo habían de ser en defi- nitiva. Y admitiendo los movimientos absolutos de dos sistemas, era un problema de Geometría pura el de los movimientos relativos. No había más que referir en cada momento las posiciones de uno de estos sistemas á la posición del otro, como si es- tuviera inmóvil, y de aquí se deducían para cada punto de ambos sistemas una serie de conceptos y magnitudes defi- nidas con todo el rigor, y sólo con el rigor, que en a. tiempos se exigía. Tiempos de fe, un tanto ciega é inconsciente, pero firmíi- sima y fecunda en muchas cosas, que la crítica moderna y un análisis implacable ponen hoy en duda. Y así se decía: el punto A del primer sistema describe una trayectoria absoluta en el espacio; y para valores arbitrarios del tiempo ocupa en dicha trayectoria posiciones determi- nadas. En los instantes definidos por los valores t, f', £”..... del tiempo, contados desde un origen, el punto en edestión ocu- pa las posiciones A, A”, A”..... Y en esos puntos tiene velocidades perfectamente deter- minadas, absolutas también, V,, V'a, Va”... e MB = Y en esos instantes está sometido á aceleraciones, tam- bién absolutas, F,, Fa, Fa...» De suerte, que para el sistema de que A forma parte, y para este punto, tenemos trayectorias absolutas, que el es- pacio recoge en su seno, velocidades absolutas y acelera- ciones absolutas también. Este movimiento no hay que referirlo á nada; existe en si, y por las causas que lo han determinado, sin depender de ninguna otra cosa. Son determinaciones internas, por de- cirlo de este modo, de un espacio inmóvil, infinito, eterno. En cierto modo cada punto del espacio tenía su exis- tencia inconfundible é inalterable, dando á la palabra exis- tencia un sentido metafísico, que hoy pocos autores acep- tarían. ( Lo que hemos dicho del primer sistema podemos decir del segundo; cada punto B describe una trayectoria abso- luta, como si el primer sistema no existiese; ocupa posicio- nes B, B”, B”, absolutas también, camina con velocidades V;, Vi, V;”..... que llevan esta calificación constante, de ser absolutas; y otro tanto podemos decir de las aceleraciones Pb, Fs, Fo: ....» Definidos de esta manera ambos sistemas, el movimiento relativo se define sin dificultad; basta considerar las posi- ciones del segundo sistema con relación al primero, de este modo. - Un sistema de ejes inmóviles en el espacio, al cual se re- firiesen los movimientos de los puntos del primer sistema y del segundo, bastaba para definir la relatividad, por em- plear esta palabra, del movimiento de un punto del segundo sistema con relación á otro punto del primero, como si este estuviera fijo; y así tendríamos distancias relativas, trayec- torias relativas, velocidades relativas también y aceleracio- nes con el mismo carácter. Como todo esto se estudia en la Mecánica clásica, no he- mos de insistir en ello, considerado el problema en su ge- — 450 — neralidad, y sólo diremos, que si ambos sistemas son rígi- dos, ó si se quiere sólidos, con esa solidez ideal, que según ciertos autores es el origen de la Geometría y de sus pos- tulados, la definición de los movimientos absolutos y de los movimientos relativos es de una sencillez extraordinaria. Basta considerar tres sistemas de ejes. El primero fijo en el espacio, invariable como el espacio mismo, inconfundible con ningún otro sistema de ejes, con carácter absoluto, gozando, por decirlo así, de cierta indi- vidualidad inalterable é inconfundible. El segundo perteneciente al sistema sólido A, unido á él por manera invariable y participando de su movimiento en el espacio absoluto. El tercero presentando los mismos caracteres que el se- gundo, pero formando cuerpo sólido con el sistema B. Para obtener el movimiento absoluto del sistema A, basta estudiar el movimiento de sus ejes, que serán los del se- gundo grupo, con relación á los ejes fijos. Para hacer el estudio del movimiento del sistema B, basta conocer el movimiento de sus ejes, que serán los del tercer grupo, con relación siempre á los ejes fijos. ds Para conocer el movimiento relativo de ambos sistemas, basta conocer la figura geométrica que en cada instante for- man los ejes del sistema A y los ejes del sistema B. Si aparte, en el espacio, sin tocar, por decirlo así, las primeras figuras que hemos descrito, que anchuras hay en el espacio para todo, trazamos tres ejes, que supondremos que representan los del sistema A, y que por de contado llevan consigo y sujetan dicho sistema A, y copiando las figuras que antes considerábamos para los diferentes instan- tes del tiempo, trazamos las diferentes posiciones de los ejes del sistema B, tendremos una especie de movimiento aparentemente absoluto en esta última representación del sistema B, con relación al A, que será en el fondo el movi- miento relativo de ambos sistemas. A — 451 — Y podremos determinar, como se hacía en la Mecánica clásica, las trayectorias, las velocidades y las aceleraciones de este movimiento relativo en función de las trayectorias, de las velocidades y de las aceleraciones de los movimien- tos absolutos de A y B. Con solo la hipótesis de un espacio absoluto y de movi- mientos absolutos, todo lo que sigue tiene un rigor matemá- tico indiscutible. Y es claro que estas nociones pueden extenderse á movi- mientos relativos de diversos órdenes, complicando, super- poniendo, enchufando, si se nos permite lo vulgar de la pa- labra, unos movimientos relativos en otros, como en el ejemplo vulgarísimo de una persona que se mueve en el co- che de un tren, primer movimiento relativo; mientras el tren camina sobre sus carriles subiendo rampas, bajando pen- dientes, trazando curvas y vibrando todo él, segundo movi- miento relativo del tren con relación á la Tierra; mientras la Tierra gira sobre su eje y alrededor del Sol con sus compli- cados movimientos que estudia el astrónomo, tercer movi- miento relativo; mientras el sistema solar camina todavía por el espacio, y así sucesivamente. Y aquel viajero que se agitaba en el coche, participará de todos estos movimientos relativos, y se pregunta: ¿la resul- tante de todos estos movimientos, será un movimiento ab- soluto ? En suma, ¿existe el movimiento absoluto ? Ocurre aquí, que este problema pudiera tener ciertas ana- logías con el problema de las series numéricas. Cuando se considera el conjunto indefinido de una serie de términos numéricos, dos casos se presentan: ó la serie es — 452 — convergente y tiende hacia un número fijo y determinado, ó no tiende hacia este limite, ya porque oscile, ya porque crez- ca, pudiendo ser mayor que cualquier número por grande que sea. | Y decíamos, que una cosa análoga pudiera suceder cor esta serie de movimientos, suponiendo siempre que sea una serie ilimitada. Pudiera suceder que el conjunto de todos estos movi- mientos dieran un movimiento resultante finito; Ó que por el contrario, crecieran los movimientos totales: sin lími- tes, ú oscilasen sin tender á una especie de resultante ge- neral. Esto, en cuanto los movimientos compuestos; que asi como los términos de una serie pueden decrecer ó pueden crecer sin límite, ó puede oscilar su módulo, según cierta ley, y aun pasando por infinito, así los movimientos parcia- les pueden estar sujetos á variaciones semejantes á las que acabamos de señalar. - "Más aun, en el conjunto de cantidades numéricas, unidas por sumas ó por restas, el número de dichas cantidades pue- de ser finito; pues también pudieran ser en número finito los movimientos del sistema á que antes nos referimos, y que se iban en cierto modo superponiendo. Bien comprende el lector, que no son cuestiones estas para tratadas á la ligera, pero bien comprende que para no separarnos en forma divergente, por decirlo así, del objeto de este curso, no podemos hacer otra cosa que ir apuntando ideas generales. Cuestiones son estas, por lo demás, en que á cada momento tenemos que emplear una palabra y que usar de un concepto que el espiritu positivo de la época rechaza, que la vieja me- tafísica acarició siempre como el predilecto y que es dédalo en que se pierde, abismo en que se hunde la razón humana, gérmen de inagotables antinomias, monstruo, por decirlo así, que se impone al pensamiento, y que si el pensamiento — 453 — lo acepta se desvanece; desesperación, en suma, del que se empeña en perseguirlo y alcanzarlo. Nos referimos al concepto del infinito. Muchos filósofos niegan que sea un concepto aplicable á la realidad, considerándolo tan sólo como un fantasma del pensamiento. Niegan en absoluto el infinito realizado; en lo finito se de- tienen por ser lo único, que, según ellos, está al alcance de la inteligencia humana, y, cuando más, transigen con lo in- definido, Así, no admiten que el número de astros sea infinito: no lo admitía Cauchy. Niegan que el número de movimientos relativos pueda ser infinito tampoco, como infinito actual y realizado. Pero ¡cuántas dudas, cuántas objeciones ocurren, al abor- dar estos problemas, contra unos y contra otros, contra los que afirman y contra los que niegan! ¡Si en lo finito, por finito que sea, volvemos á encontrar lo infinito, por lo menos en estado potencial! ¡Si lo infinitamente pequeño, según decía Pascal, es un gigante disfrazado de enano! Y si acudimos á lo indefinido, ¿es que /a posibilidad de lo indefinido no se desarrolla en el seno de un infinito ? Lo que el matemático sabe de cierto en todas estas cues- tiones, salvando ciertas teorías modernas en que no pode- mos penetrar, es que, suponer al infinito realizado y mane- ¡arlo como si fuera cantidad finita, puede conducir á resul- tados absurdos ó contradictorios. Demos, pues, de mano á problemas que nos arrastrariían consigo por esas misteriosas atracciones que el abismo tiene sobre el ser humano, contentándonos con caminar paso á paso por terreno, al parecer más firme, ó contentémonos, cuando más, con ir al borde de la sima, sin acercarnos mu- cho á ella, — 454 — Entre todas las cuestiones que al movimiento se refieren, se encuentra la de la relatividad. Ei | Aunque la palabra no está en el Diccionario, permitasenos que la empleemos, porque, á decir lo cierto, no sabemos con qué palabra substituirla. La relatividad del movimiento no es una convención, ni es una definición tampoco, ni es una hipótesis; más bien pu- diéramos decir que es un postulado de la Mecánica clásica, que tiene ciertas relaciones de parentesco, por decirlo de - este modo, con el postulado de las paralelas. En la vieja Mecánica tiene un sentido claro y preciso, y puede explicarse en términos concretos, y para ello emplee- mos el siguiente ejemplo: Supongamos un sistema de masas materiales enlazadas por medio de fuerzas y situadas en el espacio absoluto, di- cho sea con perdón de los que lo niegan, y admitamos, ade- más, que dicho espacio está completamente vacío: ni éter, ni electricidad, ni fluido de ninguna clase; es el espacio abs- tracto é inerte de la Geomería pura, una especie de poten- .cialidad geométrica, y, cuando más, cinemática. En él no existen más que las masas ponderables y las fuerzas que hemos indicado. Para abreviar, llamémosle sistema 4. Y dice el principio de la relatividad: Si á este sistema A se le comunica un movimiento de traslación rectilíneo y unifor- me, los movimientos que en el sistema se verificasen no su- frirán por este nuevo orden de cosas alteración ninguna. Las trayectorias se transportarán íntegras; otro tanto les sucederá á las masas, á las velocidades, á las aceleraciones, á las fuerzas. Todo este mundo A funcionará, perdóneseme la palabra, como funcionaba antes de que se le aplicase el movimiento de traslación á que nos referimos, y que también, para ma- yor sencillez, llamaremos 7. De suerte, que un sabio, un físico, un observador cual- a AAA AAA == 455 — quiera, que participase de este sistema A y que con él ca- minara, no podría darse cuenta de dicho movimiento de traslación T, y no se comprende bien qué experiencias po- dría combinar para demostrar experimentalmente dicho mo- vimiento. En suma: el movimiento de traslación á que nos referi- mos no alteraría las condiciones del movimiento del siste- ma A, y hasta podría intentarse, dentro de la hipótesis sen- cillísima que hemos establecido, una demostración matemática del postulado de la relatividad. Pero compliquemos más el caso que vamos examinando. Supongamos que el sistema A no se encuentra en el es- pacio vacío, sino en el espacio lleno de éter. Y en esta nueva hipótesis consideremos dos casos. Primero. Que el éter participa del mismo movimiento de traslación que el sistema 4. Parece, á primera vista, que nada hay que modificar en las conclusiones obtenidas. El sistema Á se complica, se extiende, y ya no se compo- ne sólo de masas ponderables, sino de dichas masas y de un ambiente de éter que participa con eilas del movimiento de traslación. Y, sln embargo, aquí asalta una primera duda. Si respecto á las masas ponderables nada hay que cam- biar á lo dicho, porque las fuerzas que actúan entre los di- versos puntos ponderables del sistema son independientes de las velocidades de dichos puntos, según la hipótesis fun- damental de la Mecánica clásica, no podemos asegurar lo mismo respecto al éter, ni respecto á la electricidad, que acompaña en casi todas las hipótesis de la Física al éter mismo. 406 == Dos elementos de electricidad del mismo nombre se re- chazan cuando están inmóviles; pero cuando están en movi- miento, según las experiencias de Rowland, equivalen á dos corrientes del mismo sentido y se atraen; de suerte que la fuerza primitiva de repulsión resulta disminuida; en general resulta modificada y aun esta fuerza depende de la orienta- ción de la recta que une los dos puntos. Luego aquí cae en defecto el principio de la relatividad. El movimiento de traslación general que suponemos, teóri- camente no es indiferente para el sistema; la magnitud del cambio nada importa para la teoría: en poco ó en mucho modifica las fuerzas eléctricas que en el sistema se des- arrollan. En este caso existe una incompatibilidad entre el postula- do en cuestión y el experimento de Rowland; y una de dos: Ó aquel postulado no es aplicable, ó el experimento de Ro- wland cae en defecto cuando la electricidad se mueve con el éter, Segundo. Que el sistema A se mueva en el éter inmóvil. Por las razones expuestas, y por otras que indicaremos después, aun cuando el principio de relatividad en su pureza abstracta pudo admitirse, no podría admitirse en teoría sino como aproximado en este caso; y esto nada tiene de extra- ño, porque el sistema A ya no se mueve en el vacío, sino que se mueve abriéndose paso por el fluido etéreo, y aun ocurre que en estas circunstancias, al menos a priori, la Fí- sica pudiera combinar experiencias sumamente sutiles para poner en evidencia el movimiento de traslación, á que veni- mos refiriéndonos. Es un caso análogo, valga lo vulgar y tosco del ejemplo, al de un automóvil que camina con gran velocidad en el seno de la atmósfera. El aire no se ve: cuando el automóvil está inmóvil, no se puede sospechar la existencia de dicho fluido; pero cuando el automóvil se pone en movimiento, crea, por decirlo asi, — 457 — un viento en sentido contrario que oprime, en cierto modo, al vehículo y á los que en él van, tendiendo á aplastarlos. Esto explica, ó por lo menos da una imagen material, por grosera que sea, de la hipótesis de Lorentz et de Fitz-Gerald. Estos dos físicos, dice Mr. Poincaré, suponen que todos los cuerpos llevados en un movimiento de traslación, se con- traen en el sentido de dicha traslación, al paso que las di- mensiones perpendiculares á ella permanecen invariables. Tal contracción es la misma para todos los cuerpos, siendo por decontado pequeñisima: alrededor de doscientas mil mi- llonésimas para una velocidad como la de la Tierra. Nuestros instrumentos de medida, continúa diciendo el in- signe matemático, no podrían apreciar esta contracción, aun cuando fuesen mucho más precisos, mucho más exactos, porque los metros que empleásemos para medirla, experi- mentarían la misma contracción que los objetos que hubiera que medir. ¿Podría, sin embargo, medirse no empleando un metro material, sino el tiempo que la luz emplea en recorrer una distancia determinada? | Esto es lo que ha hecho precisamente Michelson. Claro es, Ó al menos así nos parece, que esta contracción de los cuerpos no podría explicarse si el éter estuviera en movimiento con la misma velocidad de todos los cuerpos en él contenidos, obedeciendo el sistema A, y el éter que le ro- dea, á un mismo movimiento de traslación. Para estudiar todos estos efectos delicadísimos, se han empleado muchos sistemas, y puede verse un estudio muy interesante y digno del insigne maestro, en varios trabajos de Mr. Poincaré, por ejemplo: en un artículo de la Revue des Sciences, y en sus obras tituladas La Valeur de la Science y Science et Méthode. El problema es éste: El principio de relatividad, ¿puede considerarse como un principio fundamental de la Mecánica? — 458 — ¿Puede el físico llegar á un experimento que ponga en evidencia un movimiento general de traslación, como el que antes indicábamos? | ¿O es, por el contrario, absolutamente imposible combi- nar ningún experimento para demostrar experimentalmente un fenómeno de esta naturaleza? | Aquí suspendemos esta discusión, que no podríamos, no ya agotar, sino desarrollar convenientemente en muchas conferencias. De todo lo expuesto, sólo nos interesa retener dos ideas; pero estas son fundamentales. Moa En la Mecánica clásica, no sólo se admitía la acción á dis- tancia, no sólo se partía de la hipótesis de las fuerzas centra- les, sino que se suponía que la acción de dichas fuerzas era ins- tantánea, y que era independien- te de las velocidades de que es- tuvieran dotados los puntos, que Figura 16. por sus atracciones ó repulsio- nes determinaban la existencia de las fuerzas, que ponian en juego para sus cálculos los matemáticos del último siglo. Más claro: supongamos dos puntos materiales M y M' y entre ellos una atracción. Pues esta atracción sólo dependía de las masas de ambos puntos, que representaremos también por M y M', y de la distancia entre ellos, que llamaremos R. De suerte que representando por f un coeficiente, que dependerá de las unidades que se elijan, la atracción entre los dos puntos M, M' (fig. 16) será MM' R? — 459 — Esta será la fuerza de atracción si los puntos estár iritió- viles; pero aunque dichos puntos estén en movimiento, el: punto M con la velocidad V, el punto M” con: la velocidad V”, la atracción entre ambas será la misma y se expresará por la misma fórmula: ni ambas velocidades, ni sus' orien- taciones entrarán en ella. Dicha hipótesis se enlaza, como se ve desde luego, con el principio de relatividad; sin ella dicho principio no po- dría existir, porque la fórmula que expresase la acción en- tre ambos puntos contendría V y V” y sus cosenos di- rectores. Esto afirmaba la Mecánica clásica, y de este modo se sim- plificaban todos los problemas. Lo que pasaba en cada instante era independiente de lo que había pasado en los instantes anteriores; las acciones entre las masas no dependían de la historia de éstas, si se nos permite expresarnos de este modo. La Física moderna, la crítica de estos últimos tiempos, los nuevos puntos de vista en que se colocan los matemáticos, los nuevos descubrimientos de la ciencia, han quebrantado grandemente todas estas ideas. O dicho con más exactitud: para la Mecánica clásica, Ó sea de las masas ponderables, tal como se constituyó en el pasado siglo, el peligro no es grande ni la ruina es inmi- nente, como suponen algunos; la ciencia clásica subsistirá, al menos, como una primera aproximación de la verdad. Pero cuando al lado de la vieja Mecánica se construya una nueva para el éter, la electricidad y el magnetismo y para sus relaciones con la materia ponderable, ó cuando para am- bas Mecánicas se construya una gran síntesis, es evidente que las hipótesis antes señaladas deberán modificarse pro- fundamente. Ya la teoría de la electricidad había planteado problemas y había levantado dudas que la vieja Mecánica no podia ni resolver ni desvanecer tampoco, — 460 — Fijemos bien las ideas, procurando que nuestro pensa- miento sea claro. .. Supongamos dos masas eléctricas e, e” (fig. 17) á la dis- tancia r. Mientras se estudiaban efectos electro-estáticos, las hipó- tesis de la Mecánica de las masas ponderables se aplicaban sin dificultad. Si la distancia de las dos masas e, e* era r, resultaba una fuerza atractiva Ó repulsiva, según los signos. de ambas electricidades, que estaba representada por siendo K' un coeficiente numérico. A Dicha fuerza actuará en la dirección de la recta e e”. Pero al pasar á la electro- dinámica, aparecía una cir- . cunstancia nueva, sin ejem- je ñ plo en la Mecánica de las SA masas ponderables. e e? Admitamos para más sen- Figura 17. cillez la exactitud de las ex- periencias de Rowland, y su- pongamos que á las dos masas e, e” se les comunica las velocidades u y u”, que para simplificar, supondremos per- pendiculares á la línea de las masas. Pues en este caso, asemejando los movimientos de ambas masas eléctricas á dos corrientes, la fuerza atractiva ó repul- siva de ambas corrientes estaría representada por la fórmula ,., e4 eu K OPTA , en que eu, e'u* son cantidades proporcionales á ambas co- rrientes. — 461 — Fórmula que ya depende de las dos velocidades u y u”. Y si en general consideramos dos corrientes /, I' en dos orientaciones cualesquiera, la fórmula de la acción mutua de dos elementos, ó sea la fórmula de Ampere, contendrá ade- más, como se sabe, cosenos que determinarán la orientación relativa de ambos elementos de corriente. En suma, en la nueva Mecánica hay que tener en cuenta para determinar la acción de dos elementos, no sólo las masas eléctricas, no sólo la distancia, sino las” velocidades y la orientación de estas velocidades. La Mecánica clásica es impotente para resolver estos pro- blemas á causa de esta circunstancia, que venimos repitien- do: porque hay que tener en cuenta las velocidades y las direcciones de ambas. Por ahora no hacemos más que adelantar ideas generales, sobre las cuales no podemos insistir en este momento. Y aquí pondremos término á esta especie de estudio pre- liminar ó de introducción al método de Mr. Poincaré para el problema de la Elasticidad. Claro es que una gran parte, la mayor, de todo lo que llevamos dicho en estas seis primeras conferencias, no tiene aplicación á dicho método. Hemos apuntado muchas ideas que pertenecen á la nueva Física matemática; son anticipaciones, en cierto modo, á cuestiones y problemas que trataremos en su día con toda la extensión que podamos. Pudiera decir, que hemos intentado, siempre con carácter elemental, hacer para la nueva Física matemática, ó, mejor dicho, para una parte de ella, algo de lo que hicimos en el primer curso de esta asignatura para la Física matemática clásica. Ruy. Aca, CieNcias.—VI[.— Enero, 1909» 32 — 462 — Si el título no pareciera excesivamente ambicioso, pudie- ra decirse que estas seis primeras conferencias son una ¿n- troducción á la nueva Mecánica, que hoy se está elaborando para la electricidad y el éter, y, por lo tanto, para la nueva Fisica matemática. No nos atrevemos á tanto; es decir, á emplear este nom- bre de introducción á la nueva ciencia; en primer lugar, porque no hemos hecho otra cosa que apuntar ideas; en se- gundo lugar ¿porque aun prescindiendo de lo superficial del estudio que llevamos hecho, dicho estudio resulta incom- pleto, aunque en el curso próximo procuraremos comple- tarlo en cierto modo. Pero es que la nueva ciencia, las nuevas teorías, los nue- vos descubrimientos y lo profundo de la nueva crítica, si- quiera á veces parezca exagerada y cruel, han sido una constante tentación que nos ha hecho separar en estas pri- meras conferencias del camino recto, que nos habíamos pro- puesto seguir, dentro del programa formulado desde el principio. Volvamos, pues, á este programa; es decir, á la exposi- ción del método de Mr. Poincaré, para el problema de la Elasticidad. No todo lo que hemos dicho en las conferencias prece- dentes es inútil para nuestro objeto; es decir, para el estu- dio de la obra sobre la teoría de la Elasticidad que publicó hace algunos años el insigne maestro. Ya lo dijimos en una ó en varias de las conferencias an- teriores. El método de Mr. Poincaré es fundamentalmente distinto de los métodos empleados por sus predecesores, aunque tenga, como no podía menos de suceder, varios puntos de contacto con ellos. — 463 — Mr. Poincaré procura reducir el número de hipótesis, prescindiendo de aquellas que con más energía combate la crítica moderna. Y extractando, por decirlo de este modo, todo el estudio de estas primeras conferencias y no tomando sino lo que es pertinente para nuestro caso, podemos formular esta espe- cie de lista. El nuevo método prescinde de la hipótesis de la acción á distancia, según la comprendía la Mecánica clásica. No lo dice explícitamente Mr. Poincaré, y aun en el curso de su obra hay momentos en que hipotéticamente la admite; pero en rigor, al establecer las ecuaciones fundamentales, no usa en forma directa de dicha hipótesis. No creemos, pues, interpretar equivocadamente la inten- ción del ilustre maestro, diciendo que prescinde de la acción á distancia. Prescinde, asimismo, de la hipótesis de las fuerzas centra- les; y esto sí lo dice y lo consigna explícitamente. En esto se separa por completo del método de Cauchy, y la suya es más general que la teoría de aquel inmortal matemático. Pero no es que niegue en absoluto la posibilidad de que en un sistema existan fuerzas centrales, es que se eleva á un mayor grado de generalidad. El caso en que las fuerzas sean centrales está comprendi- do en el nuevo método; pero está comprendido como caso particular, porque dicho método es independiente de aquella hipótesis restrictiva. Por último, al principio de las fuerzas centrales, y esto es fundamental, y lo desarrollaremos en la conferencia próxi- ma, substituye el principio de la conservación de la energía. Estos son los tres puntos principales del método de mon- sieur Poincaré: prescindir de la acción á distancia, prescin- dir de las fuerzas centrales como hipólesis para el desarrollo del método y substituir á este principio el de la conserva- ción de la energía. al ile Antes de terminar esta conferencia debemos insistir sobre la importancia de los dos últimos puntos que acabamos de indicar, que será, en el fondo, repetir lo que ya en varias ocasiones hemos dicho. En la Física matemática clásica, que era en cierto modo, ó por lo menos en su mayor parte, la de la Mecánica de las masas ponderables, la hipótesis de las fuerzas centrales pa- recía la más natural y la más sencilla. Natural y sencillo, y casi evidente parecía, que si dos pun- tos materiales, m y m', ejercían cierta acción uno sobre otro, ya fuese de atracción, ya de repulsión, este esfuerzo se ejer- ciera según la recta m m' que unía ambos puntos; ni se comprendía que pudiera ser de otro modo. Y en esta hipótesis, Ó en este postulado, casi pudiéramos decir en este axioma, A A AA A MOS LOS métodos de la Física Figura 18. matemática. La fuerza actuaba se- gún la recta m m' (fig. 18), era proporcional á ambas masas y era función de la distancia. Esta f (r) es la que llamábamos en nuestro primer curso, para abreviar la explicación, la función de Saint-Venant. Función que para cierto valor de r, que llamaremos r,, Se reducía á cero; que cuando r crecía, representaba una fuerza atractiva; que, por el contrario, cuando decrecía, haciéndose menor que 7,, ,epresentaba una fuerza repulsiva. De suerte que r, representaba la posición de equilibrio de las dos masas m y m'; y de equilibrio estable, porque si el punto m' venía á parar á a, ó del lado opuesto á la posición a”, en ambos casos el móvil tendía á volver á su posición de equilibrio mm. Pero siempre el esfuerzo entre m y m' seguía la dirección de esta recta. Así lo exigía el principio de las fuerzas centrales. Mas la circunstancia de poder cambiar de signo la fuerza mm f (r) debió hacer pensar algo á los matemáticos. — 465 — Mientras m y m' sean dos masas homogéneas muy peque- ñas, en efecto, apenas se comprende que la atracción ó la re- pulsión no siga la dirección de la línea m m', aun no siendo esféricas dichas masas m y m'; porque en pequeñas esferas pueden descomponerse, y la atracción de cada esfera de m sobre cada esfera de m' no se puede admitir que deje de ser central, como ya lo explicamos en otra conferencia. Y, como después de todo, las masas m y m' son muy pequeñas por hipótesis, la resultante de todos estos esfuerzos parciales tampoco es posible que deje de ser una fuerza que vaya de un punto de m á otro punto de m'; es decir, que deje de ser fuerza central. , Pero como desde el momento en que esta fuerza puede cambiar de signo, á menos que no se acumulen hipótesis ya casi de carácter metafísico, y que no se acuda á las cualida- des ocultas; suponiendo, repetimos, que la fuerza en cues- tión cambie sin que se sepa por qué con la distancia r, ya todo el argumento que precede queda grandemente que- brantado, porque es necesario admitir que las masas m y m' no son homogéneas, que hay en cada una de ellas un ele- mento que representa la atracción, y otro que representa la repulsión, y que al variar la distancia r, según prepondere uno ú otro, la resultante de atracciones y repulsiones podrá cambiar de signo. Al menos esta es la hipótesis más natural y aun me atre- veré á decir menos metafísica. Lo dicho conduce á rechazar por completo la hipótesis, explicita ó implícita, de la Física matemática clásica, y, por lo tanto, del método de Cauchi para el problema de la Elasti- cidad. Quiero decir, á rechazar la hipótesis, que suponía á los cuerpos, compuestos de puntos materiales homogéneos, para los que no había que tener en cuenta más que fuerzas cen- trales actuando sobre ellos. Y claro es que en todo lo dicho hasta aquí suponemos las — 466 - masas m y m/' en el vacio ó en un éter inmóvil, de cuya acción sobre las masas m y m' prescindimos; porque si no prescindiésemos de esa circunstancia, aun el problema sería más complicado. Pero sigamos el hilo de nuestro pensamiento. Desde el momento en que las masas m y m”' no son ho- mogéneas, y en que aun siendo pequeñísimas contienen ele- mentos de distinta naturaleza, por ejemplo, núcleos de ma- teria ponderable, representantes, por decirlo así, de la fuerza atractiva, y atmósferas etéreas Ó eléctricas como elemento representativo de las fuerzas repulsivas; Ó bien otra combi- nación cualquiera de elementos diversos, de los qne definen las últimas hipótesis relativas á la constitución de la materia; desde el momento, repetimos, en que m y m” puedan estar formadas, aun siendo muy pequeñas, de un electrón cen- tral electro-positivo y alrededor, de varios electrones electro- negativos, que graviten sobre el centro, constituyendo algo asi como un sistema planetario de electrones, en cualquiera de estas hipótesis la de las fuerzas centrales no es ya legí- tima. Para convencernos de ello, no tenemos más que recordar lo dicho en el primer curso de esta asignatura, reproduciendo un caso que allí presentamos con motivo de la acción de una corriente sobre el polo de un imán. Tomemos (fig. 19) un elemento infinitamente pequeño a en la masa m. Y dos elementos b, b” de distinta naturaleza en la masa m/. Y supongamos que la acción de los demás puntos del sis- tema á que pertenecen m y m' han colocado á by b' en la posición que indica la figura. de: 1] li y y E E 4 le) y. PA A VS — 467 — Para fijar las ideas admitiremos que a representa un ele- mento de electricidad positiva. b” otro elemento de electricidad positiva también; Y b, ó un elemento ponderable, ó un elemento de electri- cidad negativa. a y b se atraerán según la fuerza central ad. a y b' se rechazarán según la fuerza, también central, ae. Y las dos fuerzas ad y ae determinarán una fuerza af, que en términos generales podemos decir que no será cen- tral; es decir, que no encontrará al cuerpo infinitamente pe- queño mm”. Ahora bien; en un cuerpo elástico, según las teorías y los Figura 19. descubrimientos modernos, y casi nos atreveríamos á decir según la lógica inductiva, los cuerpos materiales que cons- tituyen el cuerpo elástico no son centros simples y homo- géneos, son sistemas complejos sobre los cuales pueden ha- cerse muchas hipótesis. Acaso contengan, dirán algunos, materia ponderable, si existe; seguramente contendrán elec- tricidad, y actuarán unos sobre otros, perturbando en cada uno de estos elementos mm, m'..... la distribución de las masas ponderables y la distribución de ambas electricidades, dando lugar á algo parecido, aunque de mayor complicación, á lo que hemos figurado en el elemento m” de la figura 19. Esto sín contar con el medio ambiente, ó sea con el éter en que los elementos m, m/..... del cuerpo elástico están su- mergidos, y cuyas acciones sobre estos elementos se com- prende ó se pretende adivinar, que podrán ser muy com- plicadas. — 468 — Porque, no lo olvidemos, en la física matemática moderna y aun en la física matemática clásica, hay que contar, si- quiera sea provisionalmente, con todos estos elementos: La materia ponderable. La electricidad positiva. La electricidad negativa. El éter. Elementos de estas cuatro clases estarán entre sí en rela- ción de actividad. Y á todo esto hay que agregar que la transmisión del es- fuerzo de un elemento á otro elemento no será probable- mente instantánea, sino que dichos esfuerzos caminarán con cierta velocidad al pasar de un elemento á otro. Estas consideraciones podrán convencernos una vez más de que importa, para la exactitud de las teorías, prescindir, sin negar del todo la acción á distancia, de la transmisión instantánea, de la hipótesis de las fuerzas centrales como única, y de la homogeneidad de los puntos materiales que constituyan los sistemas elásticos. — 469 — XXVI. —Los principios fundamentales de la Mecánica racional. — Un primer capitulo de dinámica. Por JosÉ RuIz-CAsTIzO. Constitución científica de la Mecánica racional. — En todo tiempo, desde que Galileo, Huyghens y Newton echaron los cimientos de esta Ciencia, han dado motivo sus principios fundamentales á objeciones y comentarios desde múltiples puntos de vista; pero ahora últimamente, desde hace unos treinta años, la crítica y el análisis han llegado á un grado de verdadera exaltación, y dichos principios están siendo en la actualidad examinados, comentados, refutados, defen- didos y reformados por autores y escritores científicos de diversos países con tanto interés que, en toda clase de pu- blicaciones, son miles de páginas las que cada año se dedi- can á su estudio. Todos los pensadores que han escrito sobre Mecánica coinciden en afirmar que esta Ciencia no puede constituirse como ciencia de razón pura, al modo que el Algebra y la Geometría, y que, en substitución de verdades axiomáticas, como las que á éstas sirven de base, aquélla tiene necesidad de acudir á experimentos é hipótesis, ó á intuiciones mucho menos francas y de común consenso que aquellos axiomas, para establecer algunas proporciones de partida, ó funda- mentos á que referir las últimas razones de las leyes cuanti- tativas de los fenómenos mecánicos. Pero sí en esta aprecia- ción general existe perfecto acuerdo, no así en el valor y sentido lógico de dichas proposiciones, ni en el carácter de generalidad, de verdadera universalidad, que se ha pretendi- do asignarles. Para algunos autores, son verdades contin- — 4710 — gentes, Ó siquiera postulados sujetos á revisión, condiciona- les y subordinados á los resultados de nuevas investigacio- nes, y que sólo como inducciones ó generalizaciones hipoté- ticas cabe admitir en la Ciencia; para otros, al contrario, han llegado á merecer el concepto de verdades necesarias, uni- versales é inmutables, que si bien han sido descubiertas no más que empíricamente, han logrado, una vez enunciadas y discutidas, imponerse á la mente humana, con caracteres de evidencia nada remota, como principios poco menos que axiomáticos, cuando no, en cierta medida, accesibles al racio- cinio deductivo, esto es, casi con el valor de teoremas ra- cionales. No entra en nuestros propósitos historiar el desarrollo y los alcances que cada época y cada analista han dado á la opinión ó tendencia por la que se han pronunciado, ni mu- cho menos extendernos en una crítica amplia de dichos prin- cipios. Más fecunda labor que esa, en la cual es dificilísimo aportar, no ya una idea nueva, pero ni una nueva modalidad de las antiguas, creemos puede resultar un ensayo de nueva redacción y exposición de la doctrina criticada. Así, pues, en el siguiente Primer capítulo de Dinámica, de Mecánica pro- piamente dicha, damos á conocer la forma con que á nuestro entender pueden y deben exponerse los fundamentos de esta Ciencia, procurando los mayores elementos de claridad y convicción para la mente del principiante. Criterio de nuestra exposición. —La elegancia y las venta- jas de unidad y generalidad del procedimiento deductivo en la exposición de toda ciencia, han seducido á la mayoría de los analistas, habituándolos á prescindir, siempre que lo han creído posible, de la experiencia y la inducción como bases de los conocimientos mecánicos. Sin embargo, no puede ol- vidarse que el proceso de la evolución científica es siempre una sólida base del método didáctico, ni cabe desconocer que muchas de las objecciones hechas á la Mecánica clásica se deben á este empeño, acaso exagerado, de condenar la — 411 — vía experimental é inductiva (*). Según estas ideas, nuestra exposición tiene el carácter de «mezcla de postulados y de experiencias más Ó menos precisas, con algo de antropomor- fismo », según frase de un autorizado analista (**), conside- rando, de acuerdo con otro matemático no menos ilustre (+**), que «ninguna rama de nuestros conocimientos escapa á este reproche, dado que toda ciencia lleva forzosamente el sello de nuestros conceptos mentales». Y así, procurando sistema- tizar los conocimientos empíricos debidos á la observación de los hechos y á la experimentación, en cuanto se relacionan con nuestra Ciencia, formulamos, con el valor lógico de pos- tulados ó principios, todas aquellas proposiciones que, en nuestra opinión, participan del carácter de hipotéticas, como generalizaciones que vienen á ser de los resultados de obser- vaciones y experimentos no siempre precisos, 4 veces íncom- pletos, y en todo caso, de restringida significación. Jl. —Ruerza y movimiento. — Inercia. 1. Sujetos móviles. Punto material.— Al tratarse ya de movimientos reales, es claro que no debemos tomar por su- jetos móviles los cuerpos geométricos como en Cinemática, sino los físicos, volúmenes ocupados por materia, con todas sus propiedades fundamentales. Pero, concretándonos por ahora á los movimientos de los sólidos, los consideraremos por abstracción, mientras otra cosa no se advierta, incompre- (*) Dice M. Poincaré, «La sciencie et l'hypotése»: «Los ingleses enseñan la Mecánica como ciencia experimental; en el continente se la expone más ó menos cumplidamente como ciencia deductiva y a priori. Son los ingleses quienes tienen razón: ello es de pura evi- dencia. (**) M. Picard. «Quelques réflexions sur la Mécanique, suivies d'une premiere lecon de Dynamique.» (E) M. Ch, de Freycinzt. «Sur les principes de la Mécanique.> = Aa sibles, inextensibles é inelásticos, constituyéndose asi los que llamamos sólidos rígidos d teóricos. Esta abstracción es per- mitida, siempre que las acciones mecánicas á ellos aplicadas no sean excesivamente grandes, respecto de su resistencia á la deformación y á la ruptura, y conduce, como fácilmente se colige, á una primera aproximación de las soluciones, con frecuencia suficiente; y cuando la índole de los problemas exi- ja mayor rigor y delicadeza, partiendo de los resultados así obtenidos, se pueden determinar las correcciones necesarias para acercarse más á la realidad de los fenómenos naturales. Requiere especial definición el sujeto móvil llamado punto material; esto es, el punto geométrico dotado de propiedades materiales. Se le concibe como un elemento material inex- tenso: prescindiendo de las dimensiones efectivas de los cuerpos móviles, los reducimos en nuestra imaginación á un solo punto, para facilitar las investigaciones. Y conviene ad- vertir que esta abstracción es legítima, no sólo como opera- ción auxiliar de la mente, sino por virtud de ciertas conclu- siones analíticas; pues según veremos en lugar oportuno, el centro de gravedad, que es un punto geométrico, goza de propiedades que permiten mirarlo rigorosamente como pun- to material, en el sentido estricto de aquella definición. Además, para evitar confusiones, es de interés precisar la natural distinción entre punto material aislado y elemento material integrante de un cuerpo extenso. Por la integración de puntos de extensión nula, es claro que jamás lograremos obtener un cuerpo finito; y así, cuando la cuestión en estu- dio exija considerar un sólido material como agregado de elementos, no deberán ser los elementos integrantes puntos materiales, sino volúmenes infinitamente pequeños, como en Geometría, si bien aquí dotados de propiedades materiales, ó sea ocupados por materia, á los cuales aplicaremos des- pués las operaciones de integración del análisis. Ciertamente, cabe oponer una seria objeción á este proce- dimiento. Sea cualquiera la hipótesis que se adopte sobre la — 473 — constitución de la materia, es sabida la imposibilidad de concebir un cuerpo físico como un todo contínuo que en todos sus puntos geométricos ofrezca iguales propiedades materiales: indudablemente, en unos puntos hay mayor con- densación que en otros; moléculas, átomos, sistemas de electrones, etc., se distribuyen dejando ciertos espacios va- cios Ó poros, de modo que la indicada integración de ele- mentos materiales, puesto que supone la continuidad ana- lítica, no parece legítima operación. Y en efecto, no lo es, conforme á las exigencias del análisis rigoroso; pero, sobre que la Ciencia no ha logrado aún eludir ó vencer esta difi- cultad, existen razones para reputarla de escasa transcen- dencia. Porque al operar una integración analítica admitiendo con- tinuidad de la materia en el volumen ocupado por ella, lo que hacemos es imaginar dilatados los núcleos de conden- sación, de modo que resulten los espacios vacíos (Ó de me- nor condensación) ocupados hasta suponer al volumen en todos sus puntos la misma densidad (*), la media que apre- ciamos por las propiedades externas. Por otra parte, la al- ternación de condensaciones y dilataciones es periódica, con período tan exiguo, que aun para un cuerpo de dimensiones pequeñísimas podemos asegurar existen millones de máxi- mos y mínimos en una dirección cualquiera; por donde se ve que los errores introducidos, reproduciéndose con gran- dísima frecuencia, iguales y de sentidos contrarios, deberán compensarse lo suficiente para que el error final sea despre- ciable. Y efectivamente, los resultados de cálculos fundados en tales operaciones concuerdan siempre con los de las ex- periencias, dentro del alcance asignable á los errores de ob- (*) Esto suponiendo el cuerpo homogéneo. Si no lo es, pero de modo que pueda expresarse la densidad por una función continua de las coordenadas, es fácil ver que el mismo razonamiento es per- fectamente aplicable. — 474 — servación: comprobación satisfactoria, a posteriori, del pre- cedente razonamiento. Ñ 2. Causa y efecto en un movimiento. Fuerza. — Nuestro sentido de la vida física es, á saber, el hábito que nuestra inteligencia adquiere de conocer y juzgar de los fenómenos físicos en que intervenimos, y por extensión, de los que ob- servamos producidos sin nuestro concurso, nos conduce in- sensiblemente á admitir como verdad axiomática que todo movimiento real es efecto de una ó varias causas que, obran- do sobre el sujeto móvil, le obligan dá cambiar de posición en los sucesivos instantes del tiempo. Ahora bien, el valor ló- glco de esta proposición sólo puede deducirse a posteriori, mediante la discusión de las remotas conclusiones á que conducen las más profundas investigaciones analíticas; pero en todo caso, para quien se inicia en el estudio de la Mecá- nica, es perfectamente aceptable, siquiera como concepción auxiliar, que dé sentido científico á nociones intuitivas adqui- ridas en el conocimiento ordinario de la naturaleza. Acepta- do, pues, así, aparece como cuestión primordial de nuestro estudio el precisar y definir lógicamente qué se entiende por causa y efecto en un movimiento, y cómo se originan entre una y otro las relaciones cuantitativas fundamentales que hacen posibles las aplicaciones del análisis matemático al estudio de los movimientos. Las causas de los movimientos se llaman genéricamente fuerzas. No conocemos nada esencial sobre ellas; pero al analista le basta reconocer sus efectos y evidenciar en ellos afecciones geométricas y cuantitativas, para poder asignar atributos á dichas causas y concebirlas COMO SI FUESEN en- tidades substanciales agentes de los movimientos, siempre en la inteligencia, repetimos, de que ésta es sólo una concep- ción auxiliar de la mente. Puesto que el efecto de una fuerza es originar un movi- miento, en los elementos de éste habrá que buscar aquellas afecciones. Consideremos el caso simple de un punto mate- — 415 — rial, situado en reposo en el punto M del espacio, en el ins- tante f, que inicia la acción de una fuerza: supuesto además libre de todo obstáculo, emprenderá en seguida el movi- miento, y en el instante f, + dí se hallará en otro M”, apa- reciendo así determinados: Un elemento de trayectoria, y con él, una dirección, la suya, y una longitud el espacio ú corrimiento MM”; Una velocidad, la que poseerá el móvil en el dicho ins- tante f, + di; Y una aceleración, puesto que hemos pasado de la velo- cidad cero á esta última. Pues bien: 1." La dirección MM”, ya que depende exclusivamente de la manera de obrar de la fuerza, es una afección geomé- trica de ésta, se considera atributo suyo y se la llama direc- ción de la fuerza. 2.” Los elementos cuantitativos: MM”, corrimiento ele- mental, que llamaremos y; v, velocidad elemental adquirida, y j, aceleración de este movimiento infinitesimal, acusan un QUANTUM de la acción de la fuerza, una afección cuantitati- va de la misma, que, por lo tanto, es natural considerar re- vestida de otro atributo: la intensidad. Aparece así la entidad fuerza aplicada á un punto mate- rial, dotada de los dos atributos fundamentales dirección é intensidad, que bastan para definirla; siendo oportuno ad- vertir, desde luego, que entre los elementos y, v y / existen las dos conocidas relaciones y= jdt, Pat, mediante las cuales basta uno de ellos para determinar los otros dos. Tomaremos, pues, como elemento determinativo de la intensidad aquel que mejor se preste á dar claridad y sencillez á las expresiones: como veremos después, es la aceleración. i — 476 — 3.” Necesidad de postulados.—No es, sin embargo, sufi- ciente lo dicho para dar por resuelta la complicada cuestión que nos ocupa; pues nuestro razonamiento ha recaido sobre el caso particularísimo de un punto material que se hallara en reposo en el instante inicial de la acción elemental de la fuerza que determinó este primer movimiento, y bien se comprende que dicho móvil, á partir del instante f, -;- d£, y en general todo móvil en un instante cualquiera, no satis- fará á aquella condición, sino que aparecerá en movimiento determinado anteriormente, sea por la acción de la misma fuerza que estudiamos, sea por la de otra ú otras distintas de ella. De modo que para conocer los efectos de la acción continua de una fuerza dada, será necesario dilucidar pre- viamente, de una parte, el efecto subsistente de una acción ya ejercida, es decir, el estado cinemático que subsigue á la cesación de la causa agente, y de otra, el modo cómo el efecto de una acción actual se suma mecánicamente, se com- pone, con el de otras acciones anteriores. Pues bien: tanto uno como otro extremos son cuestiones absolutamenté irresolubles por el raciocinio puro, y ni aun la misma observación, ni los experimentos mejor dirigidos, han sido hasta el día capaces de proporcionarnos otra cosa que indicios en que poder apoyar algunas inducciones. So- lamente en forma de postulados, debidos á la intuición ge- nial de algunos grandes pensadores, aceptados generalmen- te por los analistas y comprobados en lo posible a posterio- ri mediante la concordancia entre los resultados de la teoría y de la experimentación, es como la Mecánica analítica ha logrado formular afirmaciones categóricas sobre las cuestio- nes susodichas y fundar en ellas las ecuaciones del movi- miento, del modo que pasamos á exponer. 4. Efecto subsistente de una fuerza: principio de la iner- cia.— En términos generales, y con sujeción á esclareci- mientos posteriores, podemos decir que el efecto subsistente de una fuerza es la velocidad comunicada por ella al móvil. E A a — il — Así, en el caso que veníamos analizando, la velocidad v, ad- quirida por el móvil bajo la acción de la fuerza que deter- minó su movimiento, es efecto subsistente de dicha acción; lo cual significa que si ésta cesara en el instante 1, + dí, el estado cinemático del móvil continuaría siendo en el tiempo subsiguiente el mismo de dicho instante, ó sea que el móvil conservaría la velocidad v, en la misma dirección absoluta, invariable é indefinidamente, en tanto no surgiese un nuevo efecto debido á una nueva causa. Así lo establece el principio de la inercia, que en los tér- minos más precisos y concretos posibles, puede enunciarse como sigue: POSTULADO PRIMERO (primer enunciado). Siempre que un punto material está animado de una velocidad y no se halla sometido á la acción de fuerza alguna, el movimiento conti- núa indefinidamente en línea recta con la misma velocidad. Evidentemente, siendo un caso particular el de la velocidad cero, ó sea el estado cinemático de reposo, en el anterior enunciado se comprende la afirmación de que el estado de reposo de un punto material se continúa indefinidamente en tanto no actúe sobre el punto fuerza alguna. Afirmación ésta que, por otra parte, puede considerarse envuelta en la mis- ma definición de la fuerza: puesto que hemos establecido que todo movimiento obedece á una causa, aseguramos que no habrá movimiento mientras no actúe una causa ó fuerza sobre el móvil. Si del móvil ideal punto material aislado, pasamos á con- siderar un móvil real, cuerpo extenso, veremos fácilmente que el principio de la inercia se traduce en esta otra proposi- ción, más comprensible como expresión de un fenómeno real. POSTULADO PRIMERO (segundo enunciado). Siempre que un sólido material invariable está animado de una traslación y no se halla sometido á la acción de fuerza alguna EXTE- RIOR AL MISMO, el movimiento se continúa indefinidamente en traslación rectilínea y uniforme. Rev. Acap. Ciuyoras.—VII.— Enero, 1909. 33 — 478 — OBSERVACIÓN. Los efectos de la inercia en todo otro mo- vimiento (de rotación, de líquidos, etc.) son consecuencias razonadas de este principio, como en su lugar se demos- trará. 5. Composición de efectos: principio de la independencia. — Volvamos á considerar el punto material de que antes tratá- bamos. Según el principio anterior, si en el instante f, +df dejase de obrar la fuerza, el punto móvil continuaría su mo- vimiento rectilíneo con la velocidad constante v en la direc- ción M M', que es la suya, y al cabo de un nuevo elemen- to df,, se hallaría en un punto m”, en línea recta con M y M', tal que se tuviese M' m” = v d £,. Imaginemos ahora resta- blecida la acción de la fuerza en el instante £, + df: durante ese nuevo elemento df,, á la vez que el móvil recorre por la inercia el elemento vdf,, la fuerza, actuando según su ley, deberá determinar un nuevo efecto, que habrá de incorpo- rarse con el anterior; de modo que la verdadera posición del móvil en el instante f, + di + df,, ya no será mm”, sino otro punto M”, cuya posición dependerá de ambas causas, de la inercia y de la fuerza. Pero si llamamos u., al espacio que la fuerza ha hecho recorrer al móvil ex el tiempo df,, obrando en las circunstancias actuales, es claro que la posición del punto M” satisfará á la condición MWMW=MmM +=vdb+w () puesto que la incorporación de ambos efectos no es otra cosa, geométricamente considerada, que la suma geométrica de ambas cantidades espaciales. Sentado esto, el segundo de los postulados á que antes (*) Designamos por la doble raya superpuesta la condición vecto- rial; por manera que esta suma es vectorial ó geométrica, y de nin- gún modo escalar. PAE "A — 479 — nos referimos, conocido con el nombre de principio de la in- dependencia, establece con aplicación al caso que analizamos: 1.2 Que vdf,, como vector, no sufre alteración alguna bajo la acción de la fuerza; 2.” Que en ¡.,, como vector, tampoco introduce altera- ción alguna la circunstancia de hallarse el punto en movi- miento: por manera que si la naturaleza de la fuerza subsis- te la misma del primero al segundo elemento del tiempo, es decir, si Sus atributos, dirección é intensidad no han sufrido variación, se tendrá p,= y; y si estos atributos han cam- biado, Mm será el mismo corrimiento que esta causa habría determinado para el punto material considerado, si hubiese partido del reposo. Y Penetrado el lector de estas explicaciones particulares, fá- cil le será ya interpretar el siguiente enunciado general del segundo principio: POSTULADO SEGUNDO. Siempre que sobre un punto mate- rial obran simultáneamente dos ó más causas de movimiento, los efectos dinámicos, GEOMÉTRICOS Ó VECTORIALES, €s decir, los corrimientos que cada una de ellas comunica al móvil, son independientes entre si. Cada uno es el mismo que sí su respectiva causa agente obrase sobre el móvil aisladamente, y el corrimiento efectivo del móvil es la suma geométrica de todos ellos. OBSERVACIÓN. Los actuales razonamientos y afirmacio- nes se refieren á los corrimientos infinitesimales correspon- dientes á elementos infinitesimales del tiempo. Las conse- cuencias de este postulado para los corrimientos finitos, ha- brán de ser deducidas después por el raciocinio. 6. Efecto actual de una fuerza.— Apoyados en estos dos principios, fácil nos será ya llegar á las conclusiones que nos hemos propuesto. En un instante f, sea cualquiera la ve- - locidad adquirida, el corrimiento y. debido á la acción de la fuerza durante el elemento df del tiempo, es independiente — 480 — de dicha velocidad; por otra parte, el vd? debido al estado de inercia que dicha velocidad supone j es independiente de la fuerza; luego el corrimiento efectivo elemental estará en todo instante del movimiento expresado por la ecuación =—. Q Sh 153) ES ds =vdi + y, ósea ds =v > suma geométrica de los debidos á ambas causas. Y así, el efecto actual de la fuerza es, en cada elemento del tiempo, introducir un elemento vectorial y, que habrá de sumarse al vdi debido á la inercia, ó bien, según hemos visto en Cine- mática, producir la aceleración 2p dé? en el movimiento del punto material; y por consiguiente, su- mar geométricamente con la velocidad v del instante f la in- finitesimal dv=/df. 7. Efecto continuo de una fuerza. Fuerzas constantes y variables. —Repitiéndose, pues, en los sucesivos elementos de tiempo esta composición de los corrimientos y, que cons- tituyen los correspondientes efectos actuales, con los subsis- tentes debidos á la inercia, se ve que el efecto continuo de la fuerza es incrementar sucesivamente el vector velocidad en el vector infinitesimal jdt, ó sea determinar la acelera- ción j del movimiento, así como los consiguientes elemen- tos ds que resultan de la composición de unos y otros efectos, elementos de cuya integración geométrica resulta la trayec- toria. Y así resulta evidenciado: 1.7 Que los efectos cuantitativos de la fuerza, los que mi- — 481 — den su intensidad, son en cada instante proporcionales d las respectivas aceleraciones del movimiento que produce. 2.” Que si el vector infinitesimal y., y, por consiguiente, el vector aceleración son siempre los mismos, la fuerza es una causa constante, es decir, que obra idénticamente á sí misma en todos los instantes del tiempo. Tal fuerza se llama constante; y si el punto material á ella sometido partió del reposo, en todos los instantes del tiempo se cumplen las condiciones del movimiento rectilíneo. La trayectoria será en tal caso una línea recta, y la ecuación del movimiento en la trayectoria, d?s di? =j (constante), (1) que ya sabemos es la del movimiento uniformemente acele- rado. Así, una fuerza constante, actuando sobre un punto material libre que parte del reposo, le imprime, durante el tiempo de su acción, un movimiento uniformemente acelerado. Y 3.” Que si el vector u y la aceleración son variables con el tiempo, la fuerza es también variable en su acción. El movimiento, en general, será curvilíneo, y sus ecuaciones, referido á ejes cartesianos, serán dix poa d?y 20 d32 des. ab, Fund ota a e 0 = Je, (2) siendo /x, y, j¿ los componentes coordenados del vector ace- leración: bastará conocer estos componentes en función del tiempo, Ó de otras variables que de él dependan, para po- der escribir las ecuaciones del movimiento. En resumen, pues, tenemos que una fuerza puede ser cons- tante ó variable, y que, en todo caso, el conocimiento de los que hemos llamado efectos actuales de la misma, traducidos por la aceleración, en función directa ó indirecta del tiempo, AE permite escribir inmediatamente las ecuaciones diferenciales del movimiento del punto material libre sometido á la ac- ción de dicha fuerza. po 8. Composición de efectos debidos á dos ó más fuerzas.— La cuestión es ya fácil de resolver, como nueva aplicación del segundo postulado; pues si las fuerzas F” y F” obran si- multáneamente sobre un punto material libre, la indepen- dencia de sus efectos significa que los corrimientos elemen- tales po y pr debidos en cualquiera posición del móvil á cada una de ellas, serán los mismos que si obrasen aislada- mente. El corrimiento efectivo total será, por lo tanto, la suma geométrica de aquellos dos; se tendrá así: p=p+p” de donde ¡=J7+7, llamando y, J', f” las aceleraciones respectivas. - En general, pues, si varias fuerzas obran simultáneamente sobre un punto material libre, la aceleración del movimiento que este punto tomará será en cualquier instante la suma geométrica de las aceleraciones que cada una de ellas produ- ciría obrando separadamente sobre el mismo móvil. 11.—Ruerza y equilibrio. 9. Concepto de la ecuación dinámica de un movimiento — La expresión dit AOS que hemos llamado ecuación del movimiento producido por una fuerza constante (y lo mismo diremos de las correspon- dientes al caso general de una fuerza variable), no es toda- vía en realidad tal ecuación, sino sólo una identidad, puesto que uno y otro miembros son representaciones distintas del =— 483 — mismo elemento del movimiento, de su aceleración, deduci- da de su ley cinemática, que suponemos conocida. Su valor analítico sería, pues, ilusorio si no consiguiésemos dar al segundo miembro una representación cuantitativa intrínseca anterior á dicha ley: sólo de este modo llegaremos á consti- tuir dicha igualdad en una verdadera ecuación que, ligando la magnitud causa á la magnitud efecto, nos permita expre- sar la verdadera ley dinámica del movimiento. Según esto, necesitamos poder expresar las diversas ace- leraciones de las fuerzas en función de la producida por una fuerza tipo ó unidad de fuerza, ó de otro modo, comparar las fuerzas por sí mismas, medirlas como propias magnitu- des independientes de sus efectos dinámicos. 10. Efectos potenciales ó estáticos: equilibrio.—Para ello hay que recurrir á otras manifestaciones de la fuerza que no sean las de producir movimiento. La experiencia enseña que las fuerzas pueden actuar sobre un cuerpo material sin con- seguir sacarlo del reposo, originando el estado llamado de equilibrio; luego cabe en lo posible conocer la acción de una fuerza por otros efectos que no sean los dinámicos ó de mo- vimiento. Parece al pronto contradictorio afirmar que una entidad sólo cognoscible por sus efectos de movimiento, puede ma- nifestarse sin producirlos; pero es de notar que esos efectos de movimiento, en que apoyamos nuestra noción de fuerza, aparecen en el equilibrio en estado potencial, es decir, con tendencia á producirse, ó que pueden producirse, y se pro- ducen efectivamente tan luego como cesan de verificarse ciertas condiciones llamadas de equilibrio. Esto nos dice cla- ramente que también en tal estado la fuerza actúa, aunque produciendo efectos de distinta naturaleza de los dinámicos; efectos que se llaman, en virtud de lo dicho, potenciales y también estáticos, por referencia á la parte de la Mecánica llamada Estática, que los estudia al tratar, como sabemos, del equilibrio de los sistemas materiales, — 484 — 11. Necesidad de nuevos postulados.—Y acontece con este nuevo aspecto de las acciones de las fuerzas lo mismo - que con el anterior: que el raciocinio deductivo es también incapaz de establecer a priori las proposiciones fundamen- tales ó de partida en que poder apoyarnos para establecer sus leyes, y solamente la inducción, aplicada á los resulta- dos de la observación y la experiencia, permite formularlas con carácter de postulados. Tratemos de explicarlos y enun- ciarlos. 12. Anulación estática de dos acciones: principio de la oposición.—Desde el momento en que una fuerza, al actuar sobre un cuerpo que suponemos previamente en reposo, no produce movimiento, el contraste con los casos en que lo produce nos lleva á afirmar la existencia de otra segunda causa que contrarresta y anula aquella acción. Y como es lógico admitir que el movimiento y el no-movimiento son es- tados de existencia de una misma categoría, también lo es asignar á esta segunda causa la misma categoría que á la primera; de otro modo, es legítimo considerar á esta segunda causa como una fuerza antagónica de la primera, puesto que anula sus efectos dinámicos. En muchos casos aconte- cerá que ambas causas reconozcan orígenes físicos distintos; pero mecánicamente tienen la misma significación como cau- sas de movimiento, y hay derecho á llamarlas fuerzas á una y otra. Deducimos así la conclusión de que el estado de equi- librio de un cuerpo material exige el concurso, por lo menos, de dos fuerzas, capaces de anularse mutuamente, de con- trarrestar sus efectos dinámicos, de equilibrarse, como se dice en lenguaje mecánico. Con estas premisas, podemos ya enunciar el siguiente prin- cipio, inducido del estudio experimental de los casos en que existe equilibrio. : POSTULADO TERCERO. Siempre que solas dos causas 6 fuerzas, actuando simultáneamente sobre un punto material en estado de reposo, son incapaces de sacarlo de ese estado, — 485 — dichas dos fuerzas tienen la misma dirección, igual intensi- dad y sentidos opuestos. En términos abreviados, podemos también enunciarlo así: Dos fuerzas que se equilibran son iguales y opuestas. Y de aquí el siguiente COROLARIO. Dos fuerzas capaces de equilibrar separada- mente á una tercera, son iguales entre sí; puesto que, según el postulado, tendrán la misma dirección, la misma intensi- dad y el mismo sentido. Se aprecia fácilmente el gran valor de estas proposiciones, considerando que suministran los indispensables elementos de juicio para reconocer la identidad de una fuerza consigo misma en experimentos sucesivos, ó bien para comparar las intensidades de dos fuerzas diferentes, todo ello necesario á la importante operación de que vamos á tratar. 13. Medición estática de la fuerza.—La noción fundamen- tal de fuerza que hemos establecido, y cuyos efectos venimos analizando, se ha originado por extensión de las ideas de es- fuerzo muscular, peso y tensión elástica, que son las tres cau- sas de movimiento que primitivamente se revelaron á la hu- manidad, y con las cuales estamos más familiarizados. Pres- cindiendo, por ahora, de toda crítica sobre la legitimidad de esta generalización, diremos que el mecánico halla natural, para iniciar el estudio de investigación de las leyes dinámi- cas, concretar su análisis á dichas tres causas, más aun, á las dos últimas, porque la primera responde á sensaciones orgánicas, cuyos elementos cuantitativos no se ha logrado aún ver sometidos á medición. En esas dos causas, pues, peso y tensión elástica, hemos de elegir la fuerza tipo, ó bien digamos, /a unidad á la cual podamos referir nuestras medidas. Y entre ellas dos, en el peso, por razón, principalmente, de su constancia; así, ele- gida la unidad kilogramo (*), bastará disponer un aparato (*) Sabido es que esta unidad se definió originariamente, para po- — 486 — deformable y resistente (articulado como la balanza, ó elás- tico como el dinamómetro), en que la acción que estudiamos se compara con otra ya conocida, es decir, cuyos efectos es- táticos sobre el aparato métrico han sido previamente deter- minados. Por este procedimiento, mediante experimentos convenientes, que no debemos describir aquí, pero que es fácil ver equivalen á aplicar de modo adecuado el postulado anterior y su corolario, se llega á esta nueva conclusión, base de las operaciones métricas. Dos fuerzas que actúan sobre un mismo punto material en la misma dirección y sentido, producen el mismo efecto está- tico que una sola fuerza cuyo número de unidades sea la suma de los números que miden aquéllas separadameute. Más brevemente: Dos fuerzas superpuestas en el mismo sentido; equivalen á su suma. Y de aquí, como corolario, esta otra general: El efecto estático de un número cualquiera de fuerzas que obren simultáneamente sobre un punto material en la misma dirección, unas en un sentido y otras en el opuesto, es el mismo que el de una sola fuerza cuya intensidad esté medida por la suma algébrica de las intensidades de aquéllas. O en otros términos: Varias fuerzas superpuestas en una misma recta, se componen estáticamente en una sola, igual á la sama algébrica de aquéllas. 14. Aplicación y transmisión de una fuerza. Reacción.— En las anteriores proposiciones y en las sucintas referencias nerla en relación con el sistema terrestre de medidas, como «peso en el vacio y en París, de un litro de agua pura á 4,1 grados centesima- les»; y que las dificultades prácticas de las pesadas han aconsejado, por último, definirla como «peso de un tipo ó patrón de platino que se conserva en París», del que existen copias ó reproducciones es- parcidas por las naciones civilizadas. De todos modos, este patrón se aproxima á la definición teórica lo suficiente para poder valerse de la relación que ésta establece, en la resolución práctica de pro- blemas, O — 487 — _ precedentes sobre experimentos y operaciones métricas, he- mos hecho caso omiso de algunas circunstancias de que real- mente no podemos desentendernos: Primero, el punto ma- terial no es objetivamente realizable; segundo, aun conce- diendo que nos aproximemos grandemente á él, no hay modo práctico de aplicar varias fuerzas simultáneamente á un punto único. De modo que los experimentos aludidos han de ejecutarse con cuerpos físicos: las fuerzas son acciones físicas por contacto entre superficies extensas, y se aplican por intermedio de otros cuerpos, cuerdas ó varillas de trans- misión. Ante estas consideraciones, procede esclarecer los dos conceptos de aplicación y transmisión de las fuerzas, no tanto por su interés práctico (aunque grande, secundario en nuestro estudio), como por las conclusiones teóricas á que hemos de ser conducidos. En estos esclarecimientos, de to- dos modos, hemos de concretarnos al punto de vista que interesa á nuestro plan, sin detenernos á discutir el mecanis- mo físico de la acción de contacto, ni el juego de las fuerzas internas mediante el cual se transmite la acción por el inte- rior de la masa de un cuerpo, hechos obscurísimos, cuya explicación corresponde á la alta Filosofía de la Ciencia. Cuando un cuerpo A es solicitado á moverse hacia otro B, estando ambos en contacto por una porción de sus superfi- cies, se considera el hecho como aplicación de una fuerza sobre este último; supuesta la superficie de contacto bastan- te pequeña para poderla imaginar reducida por abstracción á un solo punto geométrico, este punto es el de aplicación de aquella fuerza, y la recta trazada por este punto según la dirección de la misma, su línea de acción ó recta de posi- ción. En la práctica podemos aproximarnos á dicha abstrac- ción lo suficiente: unas veces disponiendo el contacto entre dos superficies convexas, Ó mejor, entre una punta cónica y otra superficie cualquiera; otras, haciendo actuar la arista viva de un filo ó cuchillo sobre un plano, en cuyo caso, al — 488 — proyectar el sistema sobre un plano perpendicular á la arista, la proyección de ésta será el punto de aplicación; etcétera. Pues bien: imaginemos ejercida por una punta cónica de A una acción sobre una superficie plana de B; por efecto de la llamada impenetrabilidad de los cuerpos físicos, este cuer- po resiste 4 la penetración, ó lo que es lo mismo, desarrolla una reacción, es decir, una acción contraria á aquélla. Supon- sgamos primeramente que el cuerpo B está necesariamente fijo; esta reacción podrá equilibrar ó no á la acción, según la dirección de ésta. La experiencia enseña que si tal direc- ción es normal al plano, admitido éste bastante duro para no fracturarse ni dejarse penetrar, el equilibrio se alcanza necesariamente; mientras que sí es oblicua, sólo habrá equi- librio cuando el ángulo que forme con la normal no exceda de cierto límite, distinto en cada caso, pero tanto menor cuanto más pulimentado sea el plano; en términos de Física, cuanto menor sea el rozamiento. Apoyados en estas observaciones, y teniendo en cuenta el postulado tercero, los analistas han inducido el principio llamado de la reacción normal, que se enuncia así: POSTULADO CUARTO. Siempre que un punto material está solicitado 4 moverse hacia una superficie que no se deja pe- netrar, ejerciendo así sobre ella una presión, la resistencia de esta superficie equivale 4 una fuerza, reacción, que tiende d ser normal á la misma, y lo es rigorosamente cuando no hay rozamiento. La acción y la reacción son iguales y opuestas y tienen la misma recta de posición. En segundo lugar, si el cuerpo B es móvil, la acción de A sobre él tenderá á producir su movimiento; mas si imagina- mos un tercer cuerpo C, fijo, sobre el que B esté á su vez apoyado, C podrá oponerse al movimiento de B, y éste, por tanto, al de A. La acción de A se ha transmitido así á € por intermedio de B; y estudiando las condiciones en que el equilibrio se logra, somos conducidos á afirmar que las rec- tas de posición de las dos acciones, la de A sobre B y la de — 489 — B sobre €, son una misma, y que sus intensidades son igua- les. Es decir, que la primera ha sido transmitida por el cuer- po B del A al C; y aplicando la inducción, podemos genera- lizar formulando este nuevo principio, que se llama del trans- porte ó de la transmisión de la fuerza. POSTULADO QUINTO. Toda fuerza puede considerarse apli- cada á un punto cualquiera de su recta de posición, sin que se alteren sus efectos, con tal que los diversos puntos de esa recta estén invariablemente unidos entre sí. Quédanos, sobre el importante particular de la aplicación de acciones sobre superficies, examinar el caso en que nece- sariamente se ejerzan sobre extensiones que de ningún modo puedan considerarse reducidas á un punto; pero esto será tratado más adelante, cuando poseamos los necesarios ele- mentos analíticos. 15. Principio de la igualdad entre la acción y la reac- ción. —En las consideraciones precedentes, hemos visto apa- recer el concepto de reacción, Ó acción recíproca del cuerpo B sobre el A, coexistente y correlativo con la de éste sobre aquél. Esta reciprocidad, en el caso que hemos analizado, es una consecuencia inmediata del postulado tercero, puesto que la acción sutre una resistencia que la anula ó equilibra. Un cuerpo pesado, por ejemplo, descansa en equilibrio sobre un soporte, ejerciendo así sobre éste la fuerza representada por el peso: es natural é inmediato el concepto de reacción ó resistencia del soporte, igual y opuesta á la acción. Pero hay en la Naturaleza física numerosas otras formas de acciones que no se nos ofrecen con la misma claridad de concepto, en las que ni vemos el origen y el modo de ejer- cerse, ni mucho menos surge indicio alguno aparente de ac- ción recíproca ó reacción. En la atracción, verbigracia, que imaginamos ejercida por la Tierra sobre la Luna, no obser- vamos nada que por el pronto nos haga pensar en que la segunda deba ejercer acción recíproca sobre la primera. Sin embargo, del estudio analítico de multitud de fenóme- — 4900 — nos en que hay manifestaciones estáticas ó dinámicas, se ha llegado por inducción á generalizar el resultado particular su- sodicho, y admitir un nuevo postulado, llamado como indica el anterior epígrafe, ó abreviadamente, principio de la acción- reacción, y también de Newton, porque éste fué el primer pensador que lo enunció. Comprende este principio las si- guientes afirmaciones hipotéticas: Primera. Que no hay en el Universo otras acciones físi- cas sino las originadas en la materia, Ó dicho de otro modo, que toda fuerza ejercida sobre un cuerpo material emana de otro cuerpo material, y se manifiesta por una alteración, efec- tiva Ó potencial, de la distancia entre ambos cuerpos. Segunda. Que cada acción elemental de un punto mate- rial sobre otro se efectúa según la recta que los une, y da origen á una acción recíproca de éste sobre aquél. Y tercera. Que ambas acciones son iguales y opuestas. Sintetizando todo esto en un solo enunciado, diremos: POSTULADO SEXTO. Toda acción física es ejercida por la materia sobre la materia, y da origen á una reacción igual y opuesta dá la acción, según una misma recta de posición. Las consecuencias inmediatas de este principio, tanto inte- resan bajo el aspecto estático, como bajo el dinámico, para el esclarecimiento de la doctrina fundamental que estamos exponiendo. Estáticamente, resulta de él que en todo equili- brio intervienen necesariamente dos Ó más cuerpos, cada uno de los cuales contribuye al equilibrio de los restantes. Desde el punto de vista dinámico, podemos desde luego es- tablecer, en términos generales, que si la acción de un cuer- po A es causa del movimiento de otro B, la reacción de éste sobre aquél determinará á la vez el movimiento de dicho A. Valiéndonos de un ejemplo sencillo, diremos que al caer un cuerpo pesado hacia la Tierra, atraído por ella, deberemos imaginar que también la Tierra, atraída por el cuerpo, ten- drá movimiento hacia él, siquiera sea este movimiento de tal modo insignificante, por efecto de la enorme diferencia de — 491 — las masas (como veremos muy pronto), que deberemos mi- rarlo como nulo. 16. Observación sobre el equilibrio.—Por claridad en la exposición, no hemos hablado en lo que antecede de más es- tado de equilibrio que el establecido cuando las fuerzas que consideramos se nos aparecen incapaces de sacar al punto material que sufre sus acciones, del estado de reposo en que previamente lo suponíamos; pero sin dificultad adverti- remos que existe un concepto más general del equilibrio. Para evidenciarlo sencillamente, basta acudir á la conside- ración del reposo y el movimiento relativos: si al ejercer el cuerpo A su acción sobre el B, suponemos que éste se ha- llaba en movimiento por otra ú otras causas, y aquella acción es incapaz de producir movimiento de B respecto de A, por ejercerse de modo que A participe del mismo movimiento anterior de B, á sea que A y B estén en reposo relativo, este sistema estará en equilibrio, sin que, no obstante, deje de hallarse en movimiento respecto de otros ejes. Un ejem- plo vulgar y convincente nos lo muestra un fardo pesado en equilibrio sobre un vagón en movimiento. (Continuará.) XXVII.—Sobre la sintesis de la forona y de la ¡onona. POR JOSÉ GIRAL PEREIRA. Tratando de extender y generalizar el conocido método sintético de Friedel y Crafts para la obtendión de carburos bencénicos á otros grupos funcionales orgánicos, pensa- mos en utilizar la poderosa acción condensante y deshidra- tante que el cloruro de aluminio anhidro ejerce sobre muy variadas especies químicas. De dos reacciones tan sólo habré de ocuparme en la pre- — 492 — sente Nota: la transformación de la propanona en óxido de mesitilo y forona; y la condensación de la misma acetona con el citral para originar ionona. Por tratarse de dos hechos no consignados en ningún li- bro ni publicación, y por el excelente resultado que he conseguido con ellos, creo de interés hacer esta comunica- ción, que permite prever una mayor extensión del reactivo citado (*). 1.2 Transformación de la propanona en óxido de mesiti- lo y forona.—Buscando en los trabajos prácticos, efectuados por mis alumnos, un medio expedito y seguro que sustitu- yera al clásico de obtención de dichos cuerpos, fué encarga- do D. Ernesto Caballero de ensayar el cloruro de aluminio en sustitución de la corriente gaseosa de ácido clorhídrico seco, que requiere el concurso de varias semanas para de- terminar la deshidratación y condensación de la proper conforme á las siguientes ecuaciones: 2CH,=CO =CH,=€H¿=C=CH>:00.= CH, 4 H,0 | propanona Cial (acétona) metil-2-penteno-2 ona 4 (Óxido de mesitilo) Sen. eo icH OA CHACO OA AN | | CH, CH, dimetil-2-8-heptanodieno-2-5-ona-4 (forona) Hé aqui en dos palabras cómo procedió el Sr. Caballero. En un matraz de 250 c. c. se colocaron 150 gramos de pro- ' panona (previamente desecada sobre cloruro cálcico fundi- (*) El cloruro de aluminio utilizado por mí es el sublimado anhi- dro de la casa C. A. F. Kahlbaum, de Berlín, perfectamente envasado en frascos de tapón esmerilado y parafinado. -.—. e — 493 — do) y 10 gramos de cloruro de aluminio sublimado; se unió el matraz con un buen refrigerante de reflujo y se calentó á b.m. á unos 40%. durante cuatro horas, observando fuer- te reacción y tomando la masa color pardo. Transcurrido aquel tiempo, se añadió un litro de agua alcalinizada con sosa cáustica al 10 por 100, dividiéndose el líquido en dos capas; decantada que fué la superior, se desecó sobre cloruro cál- cico y se destiló á b. m. para separar el exceso de acetona que no había reaccionado, y después en baño de aceite re- cogiendo la porción destilada entre 130? — 135" c. Rectificada esta porción á 130%, se obtuvieron unos 15 gramos de óxido de mesitilo, habiendo observado que la fo- rona se produce en muy pequeña cantidad, puesto que ape- nas queda residuo destilable á más de 135”. Se identificó el producto obtenido por su penetrante y peculiar olor, carac- terizando su función cetónica por la reacción Legal-Denigés y la producción de su fenilhidrazona, y su doble enlace por decolorar enérgicamente y en frío el agua de bromo y el permanganato potásico; quedando pendiente su análisis cuantitativo y la determinación de su peso molecular para establecer su fórmula (*). Interesa consignar que ni el polvo de cinc ni su cloruro dieron el resultado buscado. El rendi- miento del óxido mesitilo, 10 por 100 de la acetona em- pleada, fué conseguido después de algunos ensayos, vVa- riando las cantidades relativas de acetona y cloruro de alu- minio, y es muy superior al obtenido por el método clási- (+) En cuanto á la forona se refiere, conviene indicar que en Quí- mica orgánica se conoce con este nombre una otra substancia que no es producto de condensación de la acetona, cuya fórmula es: co CH, — HC C=C7 HCL. |cH, Ruv, AcaD. Ciencias.—VI[.— Enero, 19099 34 — 494 — co de Kasanjeff (Journ. phys. Chim., R.-7-173) y Claisen (Ann. Chem., 180-4), puesto que en él no llega dicho rendi- miento al 8 por 100. Prescindo de consignar más pormenores de esta reacción, pues el Sr. Caballero piensa continuar su estudio detallado con objeto de publicar el resultado de sus investigaciones; pero lo expuesto confirma mis predicciones acerca de la acción condensante del cloruro de aluminio. 2. Condensación del citral con la acetona.— Hace algún tiempo que constituye para mí un objeto fundamental de in- vestigación la obtención sintética de la ionona, substancia á la cual debe su agradable olor la esencia de violeta. Ya en mis trabajos efectuados en la Sorbona (Laboratorio de in- vestigaciones de Química orgánica de M. Haller) (*) inicié varios procedimientos que hube de continuar en esta Facul- tad de Ciencias de Salamanca. Entre ellos se encuentra el conseguir la transformación directa del citral en ¡onona, efec- tuando una sola condensación, buscando el medio de susti- tuir el procedimiento de Tiemann por otro más expedito. En el método operatorio de dicho autor se procura prime-- ramente la condensación del citral con la acetona, mediante el hidrato sódico diluído, para obtener pseudoionona, la cual se isomeriza, transformándose en ionona, por agitación con ácido sulfúrico de 65 por 100, análogamente á como lo hace el nitrilo geránico, y según las siguientes reacciones: y que se obtiene por destilación seca del canforato cálcico, Y aún existe la isoforona, de fórmula: y que se origina por condensación de la acetona mediante la cal ó el etilato sódico. Ambas son isomeras con la forona que nos ocupa. (*) Véase mi Memoria del pensionado en el extranjero. — 405 — C.— CH; E Pt ds ¿€ cues + cn, co -— CH =H,0+ A a H, propanona ANO, cdi dimetil-2-6-octanodieno-2-6-al-8 (citral) C — CH, e Ed cs in x.CH;, dimetil-2-6-undecanotrieno-2-65-8-ona-9 (pseudoionona) ce € CH. E c/ Bs e da ASCH pseudoionona C — CH; pub si ios ana e ed pri 3 E ÁRENCH; CH, : metil- 1- -dimetil-3-3-propenonil-2-cicloexeno- Il; (ionona) a 208 e En el procedimiento ideado por mi, basta poner eñ corfí- tacto el citral con la acetona en cantidades equivalentes á sus pesos moleculares, y añadir á la mezcla un 5 por 100 de su peso de cloruro de aluminio sublimado; agitando con frecuencia y prolongando el contacto á la temperatura ordi- naria durante veinticuatro horas, se consigue de una vez la producción de ¡onona, perceptible por su penetrante y carac- terístico olor: E $ CH; ANO . + CH, — CO — CH, = H,0O + H,C c/ en ropanona 2 Xy XCH, prop CH citral E 0H e ao /aagia so db QUA 10nona La escasa cantidad de citral de que dispuse, dado su ele- vado precio, me ha impedido comprobar por repetidos en- sayos si se origina como producto transitorio la pseudoino- na, y si la reacción citada se acelera empleando otras pro- porciones de cloruro de aluminio. Acerca del modo de entrar en reacción dicha sal, y de la teoría de las condensaciones reseñadas, nada se puede aven- turar, ni ese es mi propósito; pero guiado del criterio de analogía con el clásico procedimiento de Friedei y Crafts, AS RRA AD a a TAPA AA E E — 497 — podría explicarse la acción catalítica por la formación de un derivado cloro-alumínico, descomponible para regenerar el cloruro de aluminio. En el caso de la acetona sería el ciclo siguiente; CH¿—CO—CH;¿+A/C1¿=CH¿—CO—CH=A/—C/14+-2C/H CH,—CO—CH=A/—Cl-+ CH, —CO—CH,=AIZ (y + Aa O O DE | CH, AlZG¡+2CIH=AICI, + HO y aun cuando no se han aislado los productos intermedios de la reacción, si se ha observado la producción de abun- dantes humos blancos de ácido clohídrico, pudiendo también referirse la condensación de la acetona á la acción de dicho ácido, tal como sucede en el procedimiento de Kasanjeff y Claisen para obtener óxido de mesitilo y la forona. La colora- ción parda que el líquido toma desde los primeros momentos de la reacción, tanto en el caso del óxido de mesitilo como en el de la ionona, creo sea debida á alguno de dichos cuer- pos intermedios, pues se conocen casos en los cuales el clo- ruro de aluminio es reactivo colorante de varías substancias orgánicas. De todos modos, mi objeto no fué otro que el consignar las dos originales condensaciones descritas, para hacer resal- tar la acción catalítica tan extensa que el cloruso de aluminio ejerce sobre los compuestos orgánicos. Salamanca, Octubre, 1908. Laboratorio de Química orgánica de la Facultad de Ciencias.) RS XXVIII. — Los «Nysson» de España (Insectos AE - Himenópteros). POR RICARDO GARCÍA MERCET. I El género Nysson comprende insectos conocidos desde hace mucho tiempo por los naturalistas, pues ya Forster, en 1771, describió una de sus especies, el N. spinosus, aun- que atribuyéndola al gen. Sphex. Este mismo himenóptero es probable que hubiera sido estudiado antes (1767) por Linneo, pero considerándolo como una Vespa, pues la des- cripción de la llamada V. bidens por el célebre naturalista sueco se acomoda bastante bien á los caracteres morfológi- cos del N. spinosus. Sin embargo de ello y de haberse des- cubierto en 1790 y 1793 otras dos formas (el trimaculatus Rossi y el maculatus F.) genéricamente análogas á la prime- ramente conocida, su separación de los Sphex, Crabro 6 Mellinus no fué acometida hasta el año 1796, en que Latrei- lle creó el género Nysson sobre la especie N. spinosus, úni- ca que hasta entonces él había observado. Pero aun después, durante no poco tiempo, fueron con- fundidos los Nysson con insectos de otros géneros, descri- biendo Fabricio el interruptus, en 1798, como un Mellinus y, en 1804, como un Oxybelus, y llevando Lamarck en 1817 y Deshayes en 1835 el N. spinosus al género Larra. Empresa larga é impropia de un trabajo conciso y limi- tado como el que yo voy á emprender, sería la enumeración cronológica de todas las especies: de Nysson que se han ido describiendo y de los nombres que cada una ha recibido; así es que, prescindiendo de acumular datos históricos, que aquí holgarían, consignaré sólo que el género Nysson da hoy nombre á una importante tribu de la familia de los Es- dee 5 AN E A NA RIA AS — SÍ — 499 — fégidos (los Nisoninos) y que con las especies en él conteni- das han tratado algunos entomólogos (Guerin, Costa, Smith, Cresson y Ashmead) de crear varios géneros, cuya diferen- ciación, al menos por lo que á algunos respecta, no se fun- da en caracteres todo lo fijos y precisos que fuera de desear. Por esto, y porque entre los Nysson españoles solamente el N. scalarís corresponde á uno de los géneros de nueva creación (el Brachystegus, Costa), paso por alto las subdivi- siones génericas que han pretendido establecerse y, dando al género la amplitud con que lo caracterizó Latreille, asigna- ré a las especies en él contenidas los caracteres siguientes: Labro corto, nunca más largo ni aun igual que el clipeo; ojos ovales, ligeramente sinuados, que llegan hasta la base de las mandíbulas; antenas de 13 artejos en los $ SF y 12 en las PQ; escapo corto y grueso; último artejo del funículo, en los machos, generalmente conformado de un modo especial; callos humerales separados de la base de los escámulas; alas anteriores con estigma pequeño, célula radial no apendicu- lada, y tres células cubitales, de las que, la segunda, con peciolo, recibe uno ó dos nervios recurrentes; metatórax cor- to, sus ángulos posticolaterales espinosos; tibias intermedias con dos espolones; fémures posteriores ni dilatados ni trun- cados en el ápice; tarsos alargados y finos; sexto segmento del abdomen (P) provisto de un área pigidial bien señala- da; último segmento ( $ ) terminado por dientecillos ó espi- -_nitas visibles. Especies pequeñas Ó de tamaño medío y de cuerpo rechoncho. . El género Nysson comprende insectos repartidos por todo el mundo, y está representado en la fauna paleártica por 48 especies conocidas, de las que 19 viven en la Península ibé- rica. Ningún otro país, de los comprendidos en dicha región, es tan rico en formas de este género como el nuestro. Ade- más, la mayoría de los Nysson de España eran desconoci- dos, pues de las 20 especies que estudiaré en el presente trabajo, 10 serán descritas ahora por vez. primera y, una, — 500 — el N. Laufferi, también propiamente española y descubierta por mi, la publiqué el año 1904 en el Boletín de Noviem- bre de la Real Soc. Esp. de Hist. Nat. Los Nysson son insectos de primavera y verano, que aparecen á mediados de Abril y se encuentran hasta fines de Septiembre. Sin embargo, la mayor parte de las especies que viven entre nosotros son estivales y sólo pueden reco- gerse en los meses de Junio, Julio y Agosto. La biología de estos animales ha sido muy poco estudia- da; cabe decir que nos es casi completamente desconocida. Nidifican en la tierra, en parajes bien expuestos al sol. Los adultos se encuentran volando á ras del suelo ó sobre di- versas plantas euforbiáceas, umbelíferas, borragíneas, labia- das, etc., que en la provincia de Madrid suelen ser las Euforbia lathyris L., serrata L. y helioscopia L., la Tapsia villosa L, el Peeucedanum stenocarpum Boiss, el Heliotro- pium europceum L, el Marrubium vulgare L, etc. La proximi- dad de los ríos y arroyos ó de los manantiales son los sitios que estos artrópodos buscan preferentemente para vivir. No abundan los Nysson en las colecciones entomológicas, y ello ha de deberse, sin duda, al pequeño tamaño de estos animales; á que la mayor parte aparecen en la estación ca- nicular y salen de sus nidos á las horas en que con más fuerza calienta el sol, y á la limitada área de dispersión de muchas de sus especies. Todo esto dificulta la captura de los Nysson y explica el que, en una época en que los estu- dios entomológicos alcanzan por el resto de Europa tanta extensión, pueda un observador modesto como yo, descri- tir de ellos un crecido número de formas que eran desco- nocidas. He aquí ahora, enumeradas con arreglo á sus afinidades, según mi criterio, las especies que comprenderá el presente trabajo: Nysson scallaris, Mliger; — N. spinosus, Forster; —ÑN. in= terruptus, F.; —N. trimaculatus, Rossi,—N. fulvipes, Costa; — o Z a is ATRAS PE ss A * la Cast all ¡Cm tl Srl 7 as E — 501 — N. Konowi, G. Mercet;—N. fraternus, G. Mercet;—N. Cas- tellanus, G. Mercet;—N. Miegi, G. Mercet;—N. militaris, Gersteacker;—N. Varelai, G. Mercet;—N. maculatus, F.;— N. parietalis, G. Mercet;—N. monachus, G. Mercet; —ÑN. di- midiatus, Jurine;—N. Alicantinus, G. Mercet;—N. Laufferi, G. Mercet;—N. Ibericus, Handlirsch; —N. Dusmeti, G. Met- cet, y N. pratensis, G. Mercet. Las formas nuevas comprendidas en la precedente enu- meración son las que siguen: Nysson fulvipes, Costa. Esta especie fué descrita por su autor, en 1859, sobre ejemplares machos procedentes de Nápoles. Con posteriori- dad se ha encontrado en otras varias localidades de Italia, en Alemania y en Hungría. A pesar de ello la Y continuaba siendo desconocida, tal vez por haberse confundido con la de alguna otra especie. He aquí su descripción: Media, robusta, nigra, corpus infra argenteo pubescens. Pars inferior temporum os versus postice marginata; clipeo convexo in margine antico carinulis duabus longitudinalibus instructo; frons inermis; antennae forma consueta, artículo último rotundato. Thorax et abdomen valde punctatus; spi- nis lateralibus metathoracis robustis; alae posticae cellula anali post originem vena cubitalis terminata; abdominis seg- mento ventrali secundo rotundato, reliquis haud ciliatis; area pygidiali elongata, opaca, punctata. Corpus nigrum; fascia abbreviata pronoti, calli humerales, plerumque macula scutelli, macule utrinque segmentorum abdominis 1-3, pallide flavis; segmento primo rufo; pedes rufis. Long. 8 mm. Madrid! Aranjuez! Escorial! Montarco! Barcelona (Bofill)! El N. fulvipes Y es un insecto bastante común en los al-. rededores de Madrid, y que puede recolectarse con abun- — 502 — dancia durante el período de floración de las tapsias y los Peucedanum. Se parece mucho á la hembra de otras espe- cies que describiré á continuación, indicando al hacerlo los caracteres que las distinguen. Nysson Konowi sp. nov. Mas. Medius, robustus, niger, opacus, corpus infra ar- genteo pubescens. Pars inferior temporum Os versus pos- tice marginata; clipeo convexo, in margine antico carinulis duabus longitudinalibus instructo; frons inermis; antennae robustae versus apicem dilatate, artículo último vix curva- to, inferne leviter exciso et duobus praecedentibus aequae longo. Thorax forma consueta; spinis lateralibus metatho- racis satis longis, acutis; alae anticae versus apicem infu- matae, posticae cellula anali post originen vena cubitalis terminata; tibiz posticae inermes. Abdominis segmento ven- trali secundo rotundato; 3-5 breviter albido ciliatis; ciliis brevioribus quam in N. fulvipe; segmento ultimo apice bidentato. Corpus nigrum, clipeo argenteo pubescente; tasa abbre- viata pronoti, calli humerales, maculze utrinque segmentorum abdominis 1-3 pallide flavis; aodominis segmento primo (ma- cula apicale triangulari nigra excepta) rufo; pedes nigri, rufo variegati. Long. 8-8,5 mm. Fem. Similis. Antennae forma consueta, artículo último rotundato; segmentis ventralibus haud ciliatis; área pygi- diali minus elongata quam in fulvipe; tibiis tarsisque rufis; femoríbus basi nigra. Long. 8-8,5 mm. Madrid! Aranjuez! Escorial! . El N. Konowi es una especie próxima Al N. fulvipes y también al N. Castellanus, que describiré más adelante. - Los $; Y del fulvipes y Konowi se distinguen bien por el. — 503 — color del abdomen, que es completamente negro en el pri- mero y rojo y negro en el segundo, y también por las pesta- ñitas de los segmentos ventrales 2-5, mucho más cortas en el Konowi que en su semejante. Las Q9 de una y otra especie son más difíciles de distin- guir entre sí. La del Konowi presenta la puntuación del ab- domen menos profunda, pero más densa que la del fulvipes, y las patas de color más obscuro, con los fémures casi com- pletamente negros. La € del fulvipes suele llevar en el es- cudete una mancha de color blanquecino. - Dedico esta especie á la memoria del sabio antenas alemán F. W, Konow, ya fallecido. Nysson fraternus nov. sp. Mas. Submedius, robustus, niger opacus, corpus infra paulo argenteo pubescens. Pars inferior temporum os ver- sus postice marginata; clipeo convexo, in margine antico. carinulis duabus longitudinalibus instructo; frons inermis; antennae robustae, versus apicem dilatatae, articulo ultimo vix curvato, inferne leviter exciso, duobus praecedentibus fere aequae longo. Thorax forma consueta; spinis lateralibus, metathoracis brevis sed acutis; alae posticae cellula anali post originem venae cubitalis terminata; tibiae posticae iner- mes. Abdomen subtilior et sparsius punctato quam in Xo- nowi; segmento secundo rotundato; segmento ultimo apice dentis duobus parvis instructo. Corpus nigrum; maculae utrinqgue segmentorum abdomi- nis 1-2 albis. Segmento primo rufo; pedes nigri; tibiis tar- sisque rufescentibus. - Long. 5,5 mm. Madrid, Mayo de 1903! ; Especie muy parecida al N. Konowi, del que se distingue por la puntuación, más fina y esparcida; por el cuerpo ne- gro, con manchas blancas solamente sobre los anillos del — 504 — abdomen 1-2, y por los dientes pequeñísimos en que termi- na el septimo segmento. - Nysson Castellanus nov. sp. - Mas. Medius, robustus, niger, opacus, corpus infra argen- teo pubescens. Pars inferior temporum os versus postice leviter marginata; clipeo convexo, in margine antico carinu- lis duabus longitudinalibus instructo; frons inermis; anten- nae robustae versus apicem dilatatae, articulo ultimo vix curvato, inferne leviter exciso et tribus praecedentibus pau- lo breviore. Thorax forma consueta, sparse punctato; spinis lateralibus metathoracis satis longis, acutis; alae anticae pa- rum fumatae; posticae cellula anali post originem vena cu- bitalis terminata; tibiae posticae inermes. Abdomen minus grosse punctato quam in Konowi; segmento ventrali secundo rotundato; segmento ultimo apice bidentato, dentibus fortio- ribus et brevioribus quam in Konowi. Corpus nigrum; clipeo, fascia abbreviata pronoti et scu- telli, calli humerales, maculae utrinque segmentorum abdo- | minis 1-3 flavis; abdominis segmento primo toto et secundo ventrali versus basin rufis; pedes. rufo-flavi; antennarum articulis 1-5 tlavo pictis. Long. 7-7,5 mm. Fem. Similis. Antennae forma consueta, nigre, versus basim pallidiores; clipeo nigro; scutello nigro vel flavo ma- culato; area pygidialis angustiore quam in Konowi. Long. 7-7,5 mm. Madrid, Junio de 1902, 2 $, 3 Q! Afin del N. Konowi, del fulvipes y del Miegii, que des- cribiré á continuación. Se diferencia del Konowi por la pun- tuación del abdomen, menos gruesa, menos profunda y más apretada; por la longitud del último artejo de las antenas del S, más largo que en el Konowi; por los dientecillos en que termina el séptimo anillo abdominal, más cortos y más A AIRES AAN EI ANI — 505 — fuertes en el Castellanus; por la forma del área pigidial de la Q, más estrecha hacia el ápice que en el Konowi; por la co- loración del clipeo, amarillo en el Castellanus S y negro siempre en el Konowi; por el color de las patas, más claro; por el de las antenas, cuyos artejos basilares están man- chados de amarillo en el S y son amarillento-rojizos en la €. De la hembra del N. fulvipes se distingue por la pun- tuación del abdomen, menos gruesa, menos profunda y más apretada, por el color rojizo de las antenas, por el segundo anillo ventral, casi completamente rojo, y por las sienes, cuya quilla tiende á borrarse Ó desaparecer antes de llegar á la boca. : Nysson Miegi nov. sp. Fem. Magna, robusta, nigra, opaca, corpus infra argenteo pubescens. Pars inferior temporum os versus postice mar- ginata; clipeo convexo, in margine antico carinulis duabus longitudinalibus instructo; frons inermis; antennae forma con- sueta, articulis 3-6 longioribus quam latibus. Thorax et abdo- men sparsius punctatis quam in Castellano; spinis laterali- bus metathoracis parvis, robustis; alae anticae parum fuma- tae, posticae cellula anali post originem vena cubitalis. terminata. Area pygidialis latiore et breviore quam in Caste- llano. Corpus nigrum; fascia pronoti et scutelli, calli humerales, macula utrinque segmentorum abdominis 1-3 flavis vel aurantiatis; abdominis segmento primo sapessime rufo; an- tennatum articulis basalibus rufescentibus; pedes rufi; cal- caribus posticis dimidio metatarso distintissime brevioribus. Long. 11-13 mm. España. Esta especie es muy próxima al N. Castellanus, del. que: se distingue por su mayor tamaño, por tener las sienes fuer- temente aquilladas hasta la boca, por la puntuación del ab- = 506 — domen más esparcida, por el área pigidial más ancha y menos estrechada hacia el ápice; por :el color amarillo ó anaranjado de los dibujos claros, por presentar, á veces, el primer anillo del abdomen negro, con solo dos manchas rojas laterales. La describo sobre tres ejemplares de la colección Mieg, que se conservan en nuestro Museo de Historia Natural y que deben proceder de España, pues la mayor parte de las especies de dicha colección estaban re- cogidas en la Península, y las que procedían de otros países llevan una indicación especial de localidad, que no se en- cuentra en los individuos de referencia. - Nysson Varelai nov. sp. Mas. N. militare similis et affinis. Submedius, niger, cof- pus infra argenteo pubescens. Pars inferior temporum os versus postice marginata; margo anterior clipei leviter sinua- to; frons inermis; antennae breves et robustae, articulo ul- timo incurvato, subtus inferne exciso, apice truncato, duo- bus precedentibus simul sumptis aequali, articulo tertio et quarto funiculi latioribus quam longioribus. Thorax forma consueta, minus grosse sed magis dense punctato quam in militare; spinis lateralibus metathoracis satis longis; alae an- ticae infumatae, posticae cellula anali paulo post originem vena cubitalis terminata; tibiee postice inermes. Abdomen minus grosse et dense punctatum quam in militare; segmento ventrali secundo rotundato; segmento ultimo spinis duabus parvis aproximatis munito. Corpus nigrum; clipeo, fascia interrupta pronoti, calli humerales, macule utrinque segmentorum abdominis 1-3, flavis; segmento primo rufo, secundo et -tertio apice rufes- centibus; pedes ru. Aena ió: scapo subtus flavo.. - Long. 5-6 mm. | -"Fem. Similis. Antennae forma Eat, finigio rufes- E k Í É . e. pola ARAS de O — 507 — cente; scapo et clipeo nigris; pedes obscuriores quam in $, area pygidialis satis lata, in lateribus marginata, apice rotundata. Long. 6 mm. Aranjuez, 1 $, 1 Q Junio de 1903! Especie afin del N. militaris, pero que se distingue fácil- mente de éste por la puntuación del abdomen, más fina y menos apretada, por la conformación del séptimo. anillo abdominal del S', que termina en dos dientecillos cortos, y por el décimotercero artejo de las antenas, que es tan largo como los dos anteriores reunidos. En el £ el clipeo es siem- pre de color amarillo, mientras que en el militaris el clipeo, negro, ofrece, cuando más, dos manchitas amarillas. Doy á esta especie el apellido del catedrático de la Uni- versidad de Santiago, Sr. Garcia Varela, con quien he traba- - Jado varios años en el laboratorio de Entomología del Museo de Ciencias Naturales. Nysson parietalis nov. sp. Más. Parvo, niger, corpus infra argenteo pubescens. Pars inferior temporum os versus postice haud marginata; clipeo convexo in margo antico leviter depresso; fons inermis; antennae forma consueta, artículo ultimo simplice, breve, pree- cedenti paulo longiore; spinis lateralibus metathoracis satis brevibus, vix acutis; alae antícae fumatae, posticae cellula anali multo ante originem vena cubitalis terminata; tibiae posticae inermes. Abdomen mediocriter punctatum; segmento ventrali secundo rotufidato, segmento último apice, biden- tato. - Corpus nigrum; e non ta pronoti, calli hume- rales, basi scutelli et maculae utrinque segmentorum abdo-- minis 1-3 pallide tlavis; abdominis segmentis duobus pri- mis rufis; pedes nigri, femoribus posticis rufescentibus. Long. 5 mm. — 508 — Alberche (provincia de Madrid), Junio de 1908! Este Nysson se aproxima por algunos de sus caracteres al dimidiatus y demás afines, pero se aparta de ellos por la conformación del último artejo de las antenas. Nysson monachus nov. sp. Mas. Medius, robustus, niger, opacus, corpus infra argen- teo pubescens. Pars inferior temporum os versus postice haud marginata; margo anterior clipei denticulato; frons inermis; antenae robustae, versus apicem dilatatae; artículo ultimo breve, preecedenti fere aequali, incurvato inferne leviter exciso. Thorax forma consueta, grosse punctato;. spinis lateralibus metathoracis latis, brevibus, robustis; alae anticae versus apicem infumatae; posticae cellula anali post originem venae cubitalis terminata; tibiae posticae inermes. Abdomen grosse et sparse punctatum; segmento ventrali se- cundo rotundato; segmento septimo breve, lato, bidentato, margine apicali cilis longis munito. Corpus nigrum; fascia interrupta pronoti, calli humerales, maculae utrinque segmentorum abdominis 1-4 albis; seg- mento primo toto etsecundo in lateribus rufis; marginibus-. posticis segmentis totis argenteo pubescentibus. Pedes nigri. Long. 9 mm. Fem. Similis, Antennae forma consueta; artículo ultimo ro- tundato, praecedente paulo longiore. Seementorum abdomi- nis 1-3 albomaculatis. Area pygidialis lata, grosse punctata, in lateribus marginata, in apice leviter excisa. Long. 9 mm. Escorial (provincia de Madrid), 1 Y 1 Q, Julio de 19071. Esta especie se aparta considerablemente por algunos de sus caracteres de las del grupo del dimidiatus y Frieseí, con- las que, por otro lado, presenta marcadas analogías. Su ta- maño es mucho mayor; el J ofrece el último artejo de las : antenas muy corto, y el séptimo segmento del abdomen con CA O Ai, pra y E A rd — 509 — grandes pestañas en el ápice. Las espinitas laterales de este anillo están muy separadas. La Y presenta el área pigidial ancha, gruesamente punteada y un poco escotada en el ápice. El cuarto y quinto anillos del abdomen con puntua- ción más fuerte y apretada que los anteriores. Nysson Alicantinus sp. nov. Mas. Parvus, niger, corpus infra argenteo pubescens. Pars inferior temporum os versus postice marginata; margo ante- rior clipei simplex; frons inermis; antennae robustae versus apicem dilatatae, artículo ultimo inferne leviter biexciso, tri - bus praecedentibus simul sumptis fere aequali. Thorax forma consueta, magis dense punctatus quam in dimidiato; spinis lateralibus metathoracis parvis, robustis; alae posticae celulla anali post originem venae cubitalis terminata; tibiae posticae inermes. Abdomen grossius et dense punctatum quan in dimi- diato; segmento ventrali secundo rotundato versus basin ca- rina longitudinali munito; segmento ultimo apice bidentato. Corpus nigrum; calli humerales, maculae utrinque segmen- torum abdominis 1-3 albís; abdominis segmentis duobus pri- mis rufis, reliquis apice rufescentibus; pedes nigri, tibiis tarsisque anterioribus et intermediis flavo-variegatis. Long. 4 mm. Fem. Similis. Antennae forma consueta; articulo ultimo ro- tundato, duobus praecedentibus simul sunptis aequali. Fas- cia interrupta pronoti et basi scutelli albis. Abdomen subti- lius punctatum, segmento ventrali secundo haud carinato. Pedes rufescentibus. Long. 4,5 mm. Alicante, 19, 299, Junio de 1903. Especie próxima al N. dimidiatus y al N. Laufferi, de los que se diferencia el $ por la quillita del segundo segmento «ventral y la conformación del último artejo de los antenas, lige- tísimamente excavado, siendo las dos excavaciones aproxi- Ruy. Acap, Cruncias,—VII,— Enero, 1909, 35 = 510 — madamente de igual longitud, mientras que en el Laufferi la basilar es más larga que la apical, y-en el dimidiatus más corta que ésta. Las hembras se distinguen por la puntuación del abdomen; por las manchas blanquecinas que llevan sobre el pronoto y escudete las del Alicantinus, y por el área pigi- dial, menos estrechada hacia el apice en las de esta especie que en las otras dos. Nysson Dusmeti sp. nov. Mas. Parvus, niger, corpus infra argenteo pubescens. Pars inferior temporum os versus postice haud marginata; margo anterior clipei simplex; frons inermis; antennae robustae versus apicem dilatatae, articulo ultimo inferne leviter bisi- nuato, tribus praecedentibus simul sumptis paulo brevior. Thorax forma consueta; spinis lateralibus metathoracis parvis, robustis; alae posticae celulla anali ante originem venae cubitalis terminata; tibiae posticae inermes. Abdomen parum nitidum, fortius punctatum quam in Alicantino; segmento ventrali secundo versus basin carinis duabus longitudina- libus munito; segmento ultimo apice bidentato. Corpus nigrum; calli humerales, maculae utrinque seg- mentorum abdominis 1—3 albis; abdominis segmento primo et secundo inferne rufis; pedes nigri, tibiis anterioribus et intermediis albo pictis; scapo subtus albo maculato. Long. 4,55 mm. Montarco—17 Mayo 1908—1 Y Dusmet. Especie afin al N. Alicantinus, del que se diferencia por presentar un abultamiento con dos quillitas longitudinales en el segundo segmento ventral; por la estructura de las alas posteriores (cuya célula anal termina antes del arranque del nervio cubital), y por la puntuación más gruesa del ab- domen. Se la dedico á mi querido amigo y, actualmente, compañero de estudios entomológicos D. José María Dusmet. — bil — Nysson pratensis nov. sp. Mas. Parvus, niger, corpus infra argenteo pubescens. Pars inferior temporum os versus postice haud marginata; margo anterior clipei simplex; frons inermis; antennae rubustae ver- sus apicem dilatatae, articulo ultimo inferne leviter bisinuato tribus praecedentibus simul sumptis aequali. Thorax forma consueta; spinis lateralibus metathoracis parvis, robustis; alae posticae celulla anali post originem vena cubitalis ter- minata; tibiae posticae inermes. Abdomen mediocriter pune- tatum; segmento ventrali secundo, á latere viso, anguloso producto, versus basin tuberculo truncato munito; segmento ultimo apice bidentato. Corpus nigrum; clipeus, calli humerales, maculis (saepe) pronoti, plerumque fascia in scutello, maculaeque utrinque segmentorum abdominis 1-3 eburneis; abdominis segmen- to primo et secundo inferne rufis; pedes nigri; tibiis anterio- ribus et intermediis, albopictis; scapo inferne o Long. 4,5-5 mm. Fem. Similis. Antennae forma consueta, articulo tltimo: ro- tundato, duobus praecedentibus simul sumptis aequali. Clipeo nigro; segmento ventrali secundo vix producto, fere rotun- dato; pronoto scutelloque semper albo maculatis; pedibus obscurioribus quan in f h $ b: . — 519 — »niéndole en reposo en medio de una atmósfera tranquila, y »=calculando asimismo. las tensiones comeapondientes á cada »punto de la tela.» 2.” .«Deducción y estudio de la ley de las fases, -partien- »do de las teorías químicas que suponen el átomo compuesto »por un núcleo rodeado de una atmósfera de elementos eté-- »re0S.» | | 3. «Monografía de los minerales de plomo en España,» El aspirante al premio no sólo ha de describir los mine- rales é indicar la procedencia y condiciones de los criaderos en que se encuentran, sino que señalará las aplicaciones que aquellos tienen en las Artes y la Industria, y presentará, como justificantes de la obra, los ejemplares de menas, las preparaciones microscópicas, los datos de ensayos y análisis, las muestras de metal, etc., que juzgue pertinentes para la mejor y más completa inteligencia de su trabajo. Art. 2.” Los premios que se ofrecen y adjudicarán, con- forme lo merezcan las Memorias presentadas, serán de tres clases: premio propiamente dicho, accésit y mención hono- rífica. Art. 3. El premio consistirá en un diploma especial en que conste su adjudicación, una medalla de oro de 60 gra- mos de peso, exornada con el sello y lema de la Academia, que en sesión pública entregará el Sr, Presidente de la Cor- poración á quien le hubíere merecido y obtenido, Ó á perso- na que le represente; retribución pecuniaria, al mismo autor ó concurrente premiado, de 1.500 pesetas; impresión, por cuenta de la Academia, en la colección de sus Memorias, de la que hubiere sido laureada, y entrega, cuando esto se veri- fique, de 100 ejemplares al autor. Art. 4.7 El premio se adjudicará á las Memorias que no sólo se distingan por su relevante mérito científico, sino tam- bién por el orden y método de exposición de materias. Su redacción ha de ser bastante esmerada, para que desde lue- go pueda procederse á su publicación. . — 520.—- - Art. 5.2 El accésit consistirá en diploma y medalla igua- les á los del premio y adjudicados del mismo modo, en la impresión de la Memoria, coleccionada con las de la Acade- mia, y entrega de los mismos 100 ejemplares al autor. Art. 6.2 El accésit se adjudicará á las Memorias poco in- feriores en mérito á las premiadas y que versen sobre los mismos temas, Ó, á falta de término superior con que com- pararlas, á las que reunan condiciones científicas y literarias aproximadas, á juicio de la Corporación, á las impuestas para la adjudicación ú obtención del premio. Art. 7.2 La mención honorífica se hará en un diploma es- pecial, análogo á los de premio y accésit, que se entregará también en sesión pública al autor ó concurrente agraciado ó persona que le represente. Art. 8." La mención honorífica se hará de aquellas Me- morias verdaderamente notables por algún coricepto, pero que, por no estar exentas de lunares é imperfecciones, ni redactadas con el debido esmero y necesaria claridad para proceder inmediatamente á su publicación, por cuenta y bajo la responsabilidad de la Academia, no se consideren dignas de premio ni de accésif. Art. 9.2 El concurso quedará abierto desde el día de la publicación de este programa en la Gaceta de Madrid, y cerrado en 31 de Diciembre de 1910, día hasta el cual se recibirán en la Secretaría de la Academia, calle de Valverde, número 26, cuantas Memorias se presenten. Art. 10. Podrán optar al concurso todos los que presen- ten Memorias que satistagan á las condiciones aquí estable- cidas, sean nacionales ó extranjeros, excepto los individuos numerarios de esta Corporación. Art. 11. Las Memorias habrán de estar escritas en cas- tellano ó latín. Art. 12. Las Memorias que se presenten optando al pre- mio se entregarán en la Secretaría de la Academia, dentro del plazo señalado en -el anuncio de convocatoria al concur- MÍ A a e MS DADA AICA A zu E EAN A FAA — 521 — so, y en pliegos cerrados, sin firma ni indicación del ñom- bre del autor, pero con un lema perfectamente legible en el sobre ó cubierta que sirva para diferenciarlas unas de otras. El mismo lema de la Memoria deberá ponerse en el sobre de otro pliego, también cerrado, dentro del cual constará el nombre del autor y las señas de su domicilio ó paradero. Art. 13. De las Memorias y pliegos cerrados, el Secre- tario de la Academia dará, á las personas que los presenten y entreguen, un recibo en que consten el lema que los dis- tingue y el número de su presentación. Art. 14. Los pliegos señalados con los mismos lemas que las Memorias dignas de premio Ó accésit se abrirán en la se- sión en que se acuerde y decida otorgar á sus autores una ú otra distinción y recompensa, y el Sr. Presidente proclamará los nombres de los autores laureados en aquellos pliegos contenidos. Art. 15. Los pliegos señalados con los mismos lemas que las Memorias dignas de mención honorífica no se abrirán hasta que sus autores, conformándose con la decisión de la Academia, concedan su beneplácito para ello. Para obtenerle se publicarán en la Gaceta de Madrid los lemas de las Me- morias en este último concepto premiadas, y, en el impro_ rrogable término de dos meses, los autores respectivos pre- sentarán en Secretaría el recibo que de la misma dependen- cia obtuvieron como concurrentes al certamen, y otorgarán por escrito la venia que se les pide para dar publicidad á sus nombres. Transcurridos los dos meses de plazo que para llenar esta formalidad se conceden sii que nadie se dé por aludido, la Academia entenderá que los autores de aquellas Memorias renuncian á la honrosa distinción que legítima- mente les corresponde. Art. 16. Los pliegos que contengan los nombres de los autores no premiados ni con premio propiamente dicho, n con accésit, ni con mención honorífica, se quemarán en la misma sesión en que la falta de mérito suficiente de las Me= 522 me morías respectivas se hubiere decidido. Lo mismo se hará con los pliegos correspondientes á las Memorias agraciadas con mención honorífica cuando, en los dos meses de que trata la regla anterior, los autores no hubieren concedido permiso pata abrirlos. Art. 17. Las Memorias originales, premiadas ó no pre- miadas, pertenecen á la Academia, y no se devolverán á sus autores. Lo que, por acuerdo especial de la Corporación po- drá devolvérseles, con las formalidades necesarias, serán los comprobantes del asunto en aquellas Memorias tratado, como modelos de corstrucción, atlas ó dibujos complicados de re- producción difícil, colecciones de objetos naturales, etc. Pre> sentando en Secretaría el resguardo que de la misma depen- dencia recibieron al depositar en ella sus trabajos como con- currentes al certamen, obtendrán permiso los autores para sacar una copia de las Memorias que respectivamente les correspondan. Madrid, 31 de Diciembre de 1908. j ' | | — 523 = PUBLIGAGIONES REGIBIDAS (OContinuación.) Olivier (Louis).—Revue générale des Sciences pures et appliquées. —XVIH année, números 20, 21.—30 Octobre, 15 Nov. 1907. —París. Fukuzawa (Sampachi). — Klassification der Unstetig Keiten von funktionen einer reellen veránderlichen, Von...—Tokío, 1907. Cosmos. —Rev. des sc. et de leurs applicat. — LVI année, nouvelle série, nú- meros 1.188, 1,189, 1.190 y 1,191.—2, 9, 16 y 23 Novembre, 1907.— París. Reale Accademia dei Lincei. —Atti della...—Anno CCCIV.— 1907.—Serie quartáa, Rendicontí. — Classe di Scienze fisiche, mat. et nat.—-Vol. XVI, —Fasc, 7, 8, 9 (2.2 sem,).— Roma. Académie des Sciences.—1g907.—Deuxiéme semestre. Comptes rendus hebd. des Séances de 1”... —Tome CXLV, números 18, 19, 20, 21 (28 Oct. 4, 11,18 Nov, 1907).—Paríis. Royal Society of London.—Philosophical Transactions of the...—Se- ries B, Vol. 119. Pp. 199 251. Plates 25 28.—London. True (Frederick W.).—Remarks on the Type of the fossil Cetacean Agoro- phius Pygmxus (Múller). —City of Washington, 1907. Oficina Central de la Sección Meteorológica del Estado de Yucatán.—Bole- tin mensual de la ...—Año meteorológico de 1905 á 1906. Mes de No- viembre.—Mérida de Yucatán, 1907. Observatorio Meteorológico Magnético Central de México. — Boletin men- sual de ... Meses de Marzo y Abril de 1907 y Septiembre de 1904.— México, 1903 y 1904. Société Hollandaise des Sciences a Harlem.—Archives Neerlandaises des Sciences Exactes et Naturelles, —Serie II, tome XII, 5. livraison. —La Haye, 1907. Halle (George E.) Trost (Edwin B.:,— The Astrophysical Journal.—Volu- men XXVI.—Number 3. October 19g07.—Chicago and New York, Nature.—A weekly illustrated journal of Science.—Núms. 1983, 1984, 1985, 1986, Vol. 77, Oct, 31, Nov. 7-14-21, 1907.—London., Ritter (Wm. E.). — University of California Publications in Zoology.—Vol. 4, número I, pp. 1 52, pls. 1-3. Oct, 26, 1g07.—The Ascidians collected by the United States Fisheries Bureau Steamer Albatross on the SE of California during the summer of 1904.— Berkeley. Osterhout (W, J. V.).—University of California Publications Botany.—Vo- == DA lumen 2, núm. 15, pp. 317-318.—October 22, 1907.—On Nutrient and Balanced Solutions.— Berkeley. Merriam (Jokin C.) and William J. Sinclair. — University of California Publi- cations Bulletin of the Department of Geology.— Vol. 5, núm. 11. pági- nas 171-205, Andrew J. Lawson, arios: —Tertiary Faunas of the John Day Region.— Berkeley. Académie Impériale des Sciences de St.--Petersbourg.—1907.—Núm. 14, VI Serie. 15 Octobre.—St. Petersbourg. Observatoire Royal de Belgique.—Annuaire Meteorologique.—pour 1901, 1902, 1903, 1904, 1905 et 1906. —Bruxelles, 1go1-1906. Observatoire de Paris. — Bulletin Astronomique. Tome XXIV, Novem- bre 1907.— Paris, 1907. Royal Astronomical Society. — Monthly Noticas of the .. Vol LXVII, núme- ro 9. —Supplementary Number. Bibliothéque Universelle. —Archives des Sciences Physiques et Naturelles = Quatriéme période. Tome XXIV. Núm. 15. Octobre 1907.- Gené- ve, 1907. American Museum of Natural History (The). —Annual Report of the Presi- - dent for the yar 1906 —Printed for the Museum. Darboux, E Picard et J. Tannery (G.).— Bulletin des Sciences Mathémati- ques. —Deuxieme série, —Tome XXXI. Septembre 1907.— Paris, 1907. Société Portugaise de Sciences Naturelles. - Lisbonne, Octubre 1907. Vo- lumen I, Fasc, 2. Secretaría de Agricultura, Industria y Comerc;o. — Boletín oficial de la.... vol, III. núm. 4, 20 de Octubre de 1907, — Habana. Académie Royale d'Archéologie de Belgique.—Bulletin, 1907, 1, 11. — An- vers, 1907. Laisant (C. A.) etc, —L'Intermédiaire des Mathématiciens. Tome XIV, 1907, núm. 10. Octobre 1907.—París, 1907. Société Impériale des Naturalistes de Moscou..— Bulletin de la ...., Année 1906, núm. 3, 4. —Moscou, 1907. Openheimer-Berlín (Dr. phil. et med. Carl). — Biochemisches Centralblatt, Band 1V, núm. 18, 19, 20.—Oct. Nov. 1907.—Leipzig. E Miklós (Dr. Janesó). — Tanulmány A Váltóláz Parasitáiról. Irta.... — Buda- pest, 1906. Gyula (Konig) — Mathematikai és Természettudomanyi Ertesito. A. M. Tud. Akademia JIl, Osztalyanak Folyóirata.— XXIV. Kotet. 3-5. Fúzet.— Budapest, 1906. Roland Baron Eotvos, Julius Konig, Karl von Than.— Mathematische und Naturwissenschaftliche Berichte aus Ungarn. Herausgegeben von ... Redigiert von Josef Kúrschák und Franz Schafarzik. Dreiundzwanzigster Band. 1905.—Leipzig, 1906. (Se continuará.) eh id. Tercera A E od E s XXV —Elementos. de la teoría de la Elasticidad, por. José. 4 , EE Echegaray. Conterencia sexta. ca O EN XV —Los principios fundamentales de la Mecánica racio- E 2 de ns - nal.—Un primer capítulo de dinámica, por José PEA o 469 XXVIL. —Sobre la síntesis de la forona y de la ionona, por E: EN AJOS GieaLBereira Do e e do 00 a da da odo O 1 : XXVII. —Los «Nysson» de España (Insectos Himenópteros), 0 por Ricardo Garcia Merceb.cooccocicnnnacinnrino XXIX. —Nuevo método de destrucción de. la materia orgá-. nica en el análisis toxicológico, por: Juan Bautista : : E a A e DN A rograma | de premios para el Concurso del año ES A Se Publicaciones KeCibIdaS ...cooooroccrorcncnoconincenecns 523 a j AR Ñ La subscripción á. esta ira se hace por Aia completos de 500 á 600 páginas, al precio de 6 pesetas en España y 6 francos en el extranjero, en la Secretaría de la Academia, callo de Val- verde, núm. 26, Madrid. a IA Precio do este cuaderno, 1,50 pesetas. On E: REVISTA : so DE LA > FAL ACADEMIA DE CIENCIAS a EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES. E > E MADRID a TOMO VII.-NUM. Ss. nes (Febrero de 1909) lio ESTABLECIMIENTO TIPOGRÁFICO Y EDITORIAL e E OALLE DE PONTEJOS, NÚM. $, E 1909 : S A ! ADVERTENCIA Los originales para la Revista de la Academia , se han de entregar completos, en la Secretaría de 3 la Corporación, antes del día 20 de cada mes, . ó pues de otro modo quedará su o para el mes siguiente. A A A O PON j — 525 — XXX. —Elementos de la teoría de la Elasticidad, POR José ECHEGARAY. Conferencia séptima. SEÑORES: De los tres métodos empleados para resolver el problema de la Elasticidad, hemos explicado ya en cursos anteriores dos de ellos, y en este curso nos proponemos explicar el tercero, advirtiendo una vez más que nuestras conferencias tienen un carácter elemental, no agotan la materia ni mucho menos, constituyen tan sólo una preparación para el estudio de las obras de los grandes maestros de la ciencia: en rigor nuestros trabajos en esta asignatura son de propaganda cien- tífica, propaganda pudiéramos decir de la alta ciencia ó si se quiere de sus fundamentos. Ya expusimos en el segundo curso el método de Cauchy, en el tercero el método de Lamé y en este anunciamos al empezar que nos proponiíamos explicar el método de mon- sieur Poincaré. Realmente la resolución del problema de la Elasticidad puede exponerse de muchas maneras, y es susceptible de muchas variantes; pero tampoco es imposible hacer de estas diversas soluciones unos cuantos grupos, y este ha sido nuestro pensamiento al dar á conocer los métodos de Cou- chy y de Lamé: son dos tipos, por decirlo de este modo, á los que damos dos nombres ilustres. . El método de Mr. Poincaré, como vamos á ver, difiere de los dos anteriores. Rry. Acab, Ciencias.—VIL.—Febrero, 1909. 36 = 526 — Ya hemos marcado en las conferencias anteriores los ca- racteres de este último método ó sistema-de solución; en esta conferencia hemos de marcarlos aún más. ES ES Resumamos en brevísimas frases los dos métodos ya ex- plicados. Lamé, y todos los autores de su escuela, determinan el equilibrio ó el movimiento de un sólido elástico, consideran- do en el interior de éste un paralelepípedo elemental de di- mensiones pequeñísimas. - Definen las fuerzas que: actúan sobre sus diferentes caras, que serán tensiones con uno ú otro signo; es decir, y es- fuerzos de atracción ya esfuerzos de compresión. Y escriben las ecuaciones de equilibrio, según la Mecánica racional, de este paralelepípedo, bajo la acción de las fuerzas exteriores que actúan sobre su masa y de las tensiones que actúan sobre sus diferentes caras. En este método no descendemos, por decirlo de este mo- do, hasta cada uno de los puntos del sistema para establecer su equilibrio, pero nos aproximamos indefinidamente á cada uno de estos puntos, imaginando que indefinidamente des- ciende en dimensiones el paralelepípedo infinitamente peque- ño que alrededor de cada uno de los puntos del sistema se ha imaginado. de Y cuando hablamos de ecuaciones de equilibrio, bien se sobrentiende que hablamos también de ecuaciones del mo- vimiento, porque este problema se reduce al primero, agre- gando á las fuerzas exteriores las fuerzas de inercia. Este artificio del paralelepipedo decreciente y siempre in- finitamente pequeño se ha generalizado, como ya dijimos en otra ocasión, á muchos problemas de la Física matemática. Constituye un método, un artificio, una manera pudiéra- mos decir, que á cada paso nos encontramos al estudiar los — 521 — múltiples problemas de aquella ciencia, desde la propagación del calor de Fourier; hasta la electroestática de Maxwell. Es descender de las leyes finitas á las leyes de los elementos ate son ó se pueden suponer más sencillas. Las breves líneas que acabamos de dictar son, en cierto modo, la sintesis del tercer curso que explicamos, de esta asignatura. Porque establecido 'el paralelepípedo elemental, escritas sus ecuaciones de equilibrio, expresadas las tensiones en función de las deformaciones y eliminadas aquéllas en fun- ción de éstas, y pudiéramos decir, recordando las notaciones empleadas, eliminadas las N y T en función de las u, v, w, de las expresadas ecuaciones de equilibrio, tendremos tres ecuaciones en diferenciales parciales que serán las del pro- blema de la Elasticidad. Y sólo nos quedaría estudiar el problema del equilibrio de las superficies límites, empleando el tetraedro elemental de Cauchy. En rigor, lo expuesto resume el método de Lamé y sus análogos, y da, en cierto modo, su nota característica, que es ésta: empleo del paralelepíipedo elemental y de un con- cepto tomado realmente de la experiencia, á menos que no se mezclen unos métodos con otros, concepto que hemos de- signado con el nombre genérico de tensión. * E El método de Cauchy, que explicamos en el segundo curso, el de sus discípulos y el de todos los matemáticos de su escuela, por ejemplo, el de Mr. Briot en su teoría de la luz, es fundamentalmente distinto del método precedente. Es más profundo, más atrevido, y, dada la hipótesis me- cánica en toda su extensión, más perfecto, á nuestro enten- - der, que el de Lamé, Clebsch y otros autores. En el método de Cauchy, Ó si se quiere en el tipo puro — 528 — de esta escuela, no encontramos al establecer las ecuaciones generales, ó no necesitamos encontrar, ni el paralelepipedo elemental, ni las tensiones sobre sus diversas caras; no nos detenemos en un cuerpo infinitamente pequeño, pero al fin y al cabo análogo, salvo la dimensión, al cuerpo ó al sistema elástico de dimensiones finitas. La hipótesis de Cauchy desciende á mayores honduras, y supone cierta hipótesis sobre la constitución de los cuerpos Ó sistemas. Se suponen estos compuestos de puntos materiales A, A”... dotado cada uno de una masa determinada m, Im'..... Se admite que estos diferentes puntos materiales se atraen ó se rechazan dos á dos, según las líneas geométricas que los unen; es decir, que se parte de la hipótesis de las fuer- zas centrales, y para cada punto, por ejemplo, para el pun- to A, cuya masa hemos designado por m, se establecen las tres ecuaciones de equilibrio ó de movimiento de la Mecáni- ca racional. | El problema no puede ser más sencillo ni más elemental tampoco. Al punto m llegan una serie de fuerzas en línea recta des- de todos los demás puntos del cuerpo m', m”..... Todas es- tas fuerzas son funciones de las distancias, é igualando para cada punto la suma de las componentes de las fuerzas que á él llegan, aumentada con las componentes paralelas á los ejes de las fuerzas exteriores que actúan sobre dicho punto; igualando, repito, estos conjuntos de componentes á cero si se trata del equilibrio á 2 2 2 dx ¿NY m EZ dt2” dt2' df? si se trata del movimiento, tendremos para cada punto, por- que lo que hemos dicho para m pudiéramos decir para m'...., tres ecuaciones. — 529 -— De suerte, que si n es el número de puntos, habremos ob- tenido 3n ecuaciones diferenciales simultáneas, en que las . funciones serán también en número 3n, á saber: x, y, Z..... y E ! el tiempo f. Integrando estas ecuaciones, habremos resuelto el proble- ma del movimiento, y como caso particular el del equilibrio. $ Todo lo demás serán artificios de cálculo, simplificacio- nes, desarrollos y métodos de integración. Por ejemplo: en vez de tomar como funciones las coorde- nadas de cada punto x, y, Z..... tomaremos las variaciones de estas coordenadas u, V, W..... cantidades sumamente pe- queñas, puesto que en la mayor parte de los problemas de elasticidad, los puntos se separan muy poco de su posición natural de equilibrio. Asimismo substituiremos á las ecuaciones diferenciales si- multáneas, ecuaciones en diferenciales parciales, eligiendo cuatro variables independientes x, y, z, f. Por último, para determinar el equilibrio ó el movimiento de cada punto, sólo tendremos en cuenta los puntos muy próximos á éste, den- tro del radio de actividad molecular. En suma, las notas características del método de Cauchy, son estas: Distribución discontinua de la materia, que supondremos compuesta de puntos materiales con las masas m m'.....; fuer- zas centrales, funciones de las distancias. E + ES Veamos ahora, antes de entrar á desarrollarlo, en qué . consiste el método de Poincaré, cuáles son sus notas carac- terísticas y en qué concuerda y en qué difiere de los dos mé- todos anteriores. En rigor, ya lo hemos dicho varias veces, pero en las ideas fundamentales, y tratándose de la enseñanza, no hay incon- veniente, y antes bien es ventajoso, repetirlas una y otra vez; — 530 — y, además, el carácter de conferencias, que desde el princi- pio he venido dando á estas lecciones, me permiten, para la exposición, una libertad que no tendría si escribiese una obra didáctica sobre Física matemática. El método de Mr. de Poincaré en nada se parece, ó al menos no se parece en sus líneas generales, al método de Lamé y á sus análogos. Ni encontramos en él el paralelepípedo elemental, ni he- mos de introducir el concepto de tensiones. El punto de partida y el desarrollo de cada uno de estos dos métodos es distinto del otro, siquiera en su obra sobre la teoría de la Elastici- dad haga Mr. Poincaré varias referencias al método de Lamé. Pero estas referen- cias no se refieren á los fundamentos de uno y otro método. Figura 20. En cambio, el méto- do del insigne maestro tiene el mismo punto de partida que el de Cauchy; como este último, consideró aquél, compuesto cada cuerpo elástico de una serie de puntos materiales con masas m, m', mM”... situados á distancias sumamente pequeñas comparadas con las dimensiones del cuerpo, pero enormes en comparación con las dimensiones de cada uno de dichos puntos materia- les. Cada cuerpo es un sistema astronómico en miniatura, si vale la palabra. Mas en el fondo hay una diferencia radical entre ambas, hipótesis. Ni la especificó Cauchy, ni la especifica Mr. Poin- caré, que huye, siempre que puede, de nuevas hipótesis, y se inclina, en lo posible, á los resultados experimentales. Cauchy, sin decirlo, debía dar por supuesto que cada pun- to material era homogéneo, pues sólo así tiene explicación, a AAA AAA A AAA AE AAA A AA SA A o SI AAA — 531 — casi satisfactoria, como antes explicábamos, la teoría de las fuerzas centrales. - Mr. Poincaré tampoco especifica, por su parte, que los puntos materiales que considera sea cada uno de ellos en sí heterogéneo; pero nosotros, por nuestra parte, nos atreve- mos á indicar que la no homogeneidad de las masas mate- riales m, m/....., el ser dichos puntos materiales sistemas complejos, el contener masas ponderables y atmósferas etéreas, atmósferas que pueden deformarse bajo la acción r atractiva Ó repulsiva de los demás puntos materiales del Figura 2f. sistema, ó, si se quiere, sistemas compuestos de electrones positivos y negativos; esta heterogeneidad, repetimos, pue- de explicar dentro de la hipotesis mecánica la existencia de fuerzas que no sean centrales. En suma, Mr. Poincaré prescinde por completo de dicha hipótesis restrictlva, la cual está contenida, sin embargo, como caso particular en la teoría general que el autor expone. Las figuras 20 y 21 representan materialmente, mejor di- cho, en forma gráfica, esto que acabamos de explicar. La figura 20 se refiere á la hipótesis de Cauchy. Cada punto material m está solicitado por todos los demás puntos del cuerpo m', m”...., Ls ad Pero cada punto m', por ejemplo, le solicita con un es- fuerzo f” central, es decir que va de m:á m/'. Otro punto material m” le solicita asimismo con otro es- fuerzo f”, que también es central según la línea mm”. Y lo mismo pudiéramos decir de m'” que ejerce sobre m en la línea m m qe ETA un esfuerzo f””; y así sucesivamente para todos los demás puntos del cuerpo elástico. La resultante F de todas estas fuerzas f, f" f” f”..... será la que actuará sobre m, ya para el equilibrio, ya para el mo- vimiento de dicho punto, como acción de todo el cuerpo elás- tico sobre el mm. Los componentes de esta fuerza F y las de la fuerza ex- terior P, si existe, actuando sobre m, entrarán en las ecua- ciones del equilibrio ó del movimiento del punto que consi- deramos. La figura 21, análoga en un todo á la precedente, se re- fiere al método de Poincaré: m es un punto cualquiera del sólido elástico, lo que para él digamos, podríamos repetir para otro punto; porque Poincaré como Cauchy no se de- tienen, por decirlo así, en el paralelepípedo elemental, sino que determina las ecuaciones del equilibrio del movimiento para cada uno de los puntos del sistema elástico. Sobre el punto m actúan, y no decimos si esta acción es á distancia Ó es á través del éter, esto importa poco, pero sí suponemos que es instantánea; actúan, decimos, los puntos materiales m'”, m”..... en un momento dado. Pero á diferencia del método de Cauchy, y buscando una hipótesis más general, la acción de m” sobre m, no es, según la línea mm”, no es central, sino que determina una fuerza f' que, como demuestra la figura, sigue una dirección dis- tinta de la recta mm, Asimismo el punto m” ejerce una acción sobre m, que no coincide en general con la línea de las masas m m”, sino que es, por ejemplo, f”. Lo:mismo diríamos de todos los demás puntos del sistema a EA A A NA A AA A TE A O a Bl Latas DABA Di ii ATT — 533 — elástico: todos actuarán sobre m y determinarán fuerzas en general no centrales. La resultante de todas estas fuerzas f”, f”..... es la fuer- za F. El problema se plantearía del mismo modo en el método de Cauchy que en el método de Poincaré. Si prescindimos, para simplificar la explicación de las fuer- zas exteriores, que pueden actuar en cada punto del sistema, y sólo tenemos en cuenta las fuerzas interiores, las condi- ciones de equilibrio serán las mismas para la figura 20 que para la figura 21; es decir, para el método de Cauchy que para el método de Poincaré, Para el equilibrio de cada punto será preciso que la fuerza F sea nula, y serán condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio del punto en cuestión, que las componentes de dicha fuerza F, con relación á los tres ejes trirrectangulares á que está referido el sistema, sean iguales á cero, De suerte que representando por Fx, F, y F; las tres com- ponentes de F, las ecuaciones de equilibrio de las fuerzas in- teriores para cada punto serán ER AA E SO EE O: (1) y las ecuaciones del movimiento para el punto de masa m dex d?y d?z id E (2 , UN A Si n es el número de puntos, que será enorme, para el equilibrio tendremos n grupos como el (1), un grupo para cada punto expresando su equilibrio, y para el movimien- to n, grupos como el (2). Y la forma será la misma, como hemos dicho, para el — 534 — método clásico de Cauchy en la hipótesis de las fuerzas centrales, que para el método moderno de EDI en que se prescinde de esta hipótesis, . . Sólo que en el primer método la F será la de la figura 20, es decir, la expresión analítica que resulta, y en el segundo caso la F será la de la figura 21, mejor dicho, su expresión analítica. Ahora bien; en el caso de las fuerzas centrales, el proble- ma está ya resuelto, ó, por lo menos, planteado analítica- mente, porque FF es la resultante de las fuerzas f”, f”..... cuya magnitud y cuya dirección pueden expresarse analíti- camente dada la constitución del cuerpo. Por ejemplo: para f”, representando por r la distan- cia mm”, la magnitud de dicha fuerza, suponiendo su cons- tante igual á uno, será mm'f(r), siendo f (r) la función de la distancia que en el segundo curso de esta asignatura llamábamos, para abreviar, función de Saint- Venant. y Y su dirección también puede determinarse, porque sus tres coseños directores serán evidentemente designando por x”, y”, z” las coordenadas del punto m'. Asi, pues, las componentes F,, Fy, F, en el método de Cauchy, es un conjunto de términos de forma conocida: af mao, mm) r r r Verdad es que no conocemos la forma de la función f(r); pero esto se suple aplicando la fórmula de Taylor, como hicimos en el segundo curso de esta asignatura. ) 06 NE RRA — 535 — ' Todo lo que queda son desarrollos de cálculo y métodos de integración. El método de Mr. PES al pronto, no se presenta tan fácil, porque en la figura 21, ni sabemos cómo se expresan las fuerzas f, es decir, la fórmula de su magnitud en función de los datos é incógnitas, ni conocemos su dirección. En esto consiste la especialidad del método de Mr. Poin- caré, quien aplica para resolver este problema el principio de mecánica, conocido con el nombre de conservación de la fuerza, ó mejor dicho, de conservación de la energía; pues no es la fuerza, á saber, la que se expresa en kilogramos, sino la energía, la que se mide en kilográmetros, la que en- tia en el principio que acabamos de citar. Este principio es el que vamos á exponer, ó mejor dicho á recordar, para mejor inteligencia de mis oyentes ó de mis lectores. | Pero debemos, antes de proseguir nuestra tarea, hacer algunas aclaraciones sobre la manera de entender las fuer- zas no centrales. La interpretación que dimos y recordaremos es nuestra, solamente nuestra, y, por decirlo de este modo, de nuestra exclusiva responsabilidad en lo que tenga de defectuosa. El punto de vista de Mr. Poincaré sobre las fuerzas no centrales, á nuestro entender, es distinto y más índepen- diente. Nosotros llegamos al caso de fuerzas no centrales entre las diferentes masas de un sistema elástico, partiendo de las fuerzas centrales entre los elementos homogéneos de las di- ferentes masas en acción. | Es, en cierto modo, un esfuerzo para conciliar las dos hi- pótesis, la de las fuerzas centrales y la de las fuerzas no centrales. Estas resultan de aquéllas como acciones entre — 536 — puntos materiales muy pequeños, que son los elementos del cuerpo, pero que á pesar de ser muy pequeños son siste- mas complejos. | Tal explicación, valga por lo que valiere, es fiel á los prin- cipios de la Mecánica clásica. Cada punto del cuerpo está sujeto de esta manera á una fuerza y un par, estado que, si mal no recordamos, citaba Mr. Lamé en una de sus obras al explicar la cristalización. Pero nada de esto vulnera ni el principio de la fuerza cen- tral entre dos elementos homogéneos, ni el principio de la reacción igual y contraria á la acción. Las fuerzas resultantes no son centrales, y los pares tie - nen sus brazos de palanca infinitamente pequeños, como que son del orden de las dimensiones de cada punto material, mejor dicho, de cada masa elemental compleja. Estos pares son los que pudieran explicar la cristalización de los cuerpos, porque tienden á orientar los puntos mate- riales Ó moléculas en direcciones determinadas. El punto de vista de Mr. Poincaré, como decíamos antes, es distinto y más sencillo. No pretende conservar las fuerzas centrales: ni lo pretende ni lo niega. | Admite, como caso más general, que las fuerzas no sean centrales, sin pretender explicarlo, al menos en la obra á que nos referimos. Y prescindamos ya de todas estas hipótesis. Los puntos materiales del cuerpo, sin pretender explicar lo que son, supondremos que están sujetos á fuerzas no cen- trales F (fig. 21). Estas fuerzas no centrales procederán de lo que procedie- ren, quizá no sean acciones á distancia, sino que las trans- mita el medio ambiente. Lo que importa es consignar el punto de que parte la teo- ría, y es este. El cuerpo elástico se compone de puntos materiales de masas M, mM, M”..... (fig. 21). Y cada una de estas ma- sas m está sujeta á la acción de una fuerza total F, que es E E ASA a AD AAA o, SA + A ETE a AA i 587 resultante, repetimos, de todas las fuerzas no centrales F,f”..... procedentes de las acciones de las demás moléculas sobre /m. Y aquí surge el problema que antes indicábamos. ¿Cómo se determinan las componentes de estas fuerzas resultantes F, Ó, si se quiere, de cada fuerza parcial y su dirección ? ES * * Se resuelve este problema, es decir, se determinan las componentes Fx, F,, F¿ de F, aplicando el principio de la conservación de la energía. Aunque se estudia este principio en Mecánica racional, y mis lectores ó mis oyentes deben conocerlo, bueno será que lo recordemos, partiendo de sus fundamentos. Las ecuaciones del movimiento de un sistema de puntos MENO son estas: om = X, de 2 m ay => dt? 2 5 1z E dt? ! 2 y” . d?x ua dt? 2 1) q a df? AN df? , es decir, un grupo de tres ecuaciones para cada punto sistema, de — 538 — " Las tres primeras, para el punto de masa m: Xx, y, 2 serán las tres coordenadas del punto m, y X, Y, Z las tres com- ponentes de la fuerza total que actúa sobre mm. Del mismo modo /m' será la masa de otro punto; x”, y”, Z' las coordenadas de m', y X”, Y”, Z' las componentes de la fuerza que actúa sobre el punto m”, que ahora consideramos. Así sucesivamente para todos los puntos m””, m'”..... del sistema. | X, Y, Z..... son componentes de fuerzas totales, asi de las interiores, es decir, las que ejercen unos puntos del sistema sobre otros, como de las exteriores, ó sea de las que vienen: de fuera, de otros cuerpos ó de otros sistemas. Así, en un cuerpo cualquiera, unas fuerzas serán las que proceden de las atracciones y repulsiones de sus moléculas, y éstas se llamarán interiores F;; y otra será, por ejemplo, la gravedad, el peso de cada punto, y á las de este grupo las llamaremos F.. Del sistema anterior de ecuaciones se deduce el principio de las fuerzas vivas, que es uno es los principios más gene- rales de Mecánica. Multiplicando ambos miembros del primer grupo, respec- tivamente, por Aa dh 2.dz, las tres ecuaciones del segundo grupo por ZAR ada: y así sucesivamente para los demás unos del sistema, y sumando, tendremos * 2 dx d? 20y 8) y Rdzdiz njago al dt? TC E [AE aEnS pd dl E mi | === A == a — A Xdx y Y dy +ZdD+UX de PY dy Y Z'd2) Ria 4 h po, | G 2 NAM A A AT IIA ESA E AA A A tE la AI A ii AS E a A er e A id E O ARO II — 539 -— ó representando por 3 la suma de términos que se deducen, de los que vamos á escribir, acentuando una vez, dos ve- CeS..... 11 Veces, si n es el número de puntos del sistema, la m, las x, y, z y las X, Y, Z, tendremos AAA 2dyd?y 2d2d?z Y m A O dí? pe df? A di ) = 22 (Xdx + Ydy + Zd2), que puede evidentemente ponerse bajo esta forma: a dx y LA CA par 2ma. | (7) al bool = 22 (Xdx + Ydy + Zd2). Pero —=, ——=, — cana son las componentes paralelas á los ejes, de las velocidades que tienen en un instante cual-' quiera los puntos /m, m'..... Representando por v, v'..... estas velocidades, es evidente que, MA : dx y? [dy dz N?: y =|—= == —)y; Car) +Car) + Car) E DN TN IN v2=|=—=] + [== — Lo... (ar) + Car) + (az) y por lo tanto la ecuación precedente podrá escribirse de este cra y qe | : Ss ba Emalva = 2,5 Xdx + Y dy + Zdz), A aid A EXdx 4 Yay Y Zdz 0 — 540 — La interpretación de esta ecuación es bien sencilla: en cada intervalo de tiempo df, el incremento diferencial de la semi- 2 fuerza viva total del sistema 2 sn , que es la suma de to- das las semifuerzas vivas de sus diferentes puntos, es igual áX*(Xdx+ Ydy + Zdz). Pero la cantidad entre paréntesis tiene una interpretación muy fácil: Xdx, que es el producto de la componente X por el camino infinitamente pequeño dx que recorre su pun- to de aplicación sobre el eje de las x, representará el trabajo durante dí de la componente X. Análogamente Y dy será el trabajo de la componente Y en el mismo intervalo de tiempo. Y, por último, Zdz tendrá el valor del trabajo de Z para- lelamente al eje de la z, siempre en el intervalo df. Pero como se sabe por mecánica, que en ejes rectangula- res, el trabajo de la resultante es igual al trabajo de las com- ponentes, es claro que Xdx + Ydy + Zdz representará el trabajo de la fuerza F que actúa sobre el punto de masa rm durante el tiempo df. Y como 2 comprende todos los puntos del sistema, y por consiguiente todas las fuerzas que sobre ellos actúan, el se- gundo miembro designará el trabajo de todas las fuerzas del sistema, siempre en el intervalo df. . Las fuerzas, decimos como antes, son todas, las interio- res y las exteriores, las F; y las Fo. Dicho segundo miembro X(Xdx + Y dy +Zdz) es, pues, un incremento de trabajo, pero no tenemos derecho para de- cir que sea una diferencial; porque en general la expresión E(Xdx + Ydy + Zdz)= Xdx + Ydy+ Zdz + + X dx + Y dy" + Z'd2Z coco. A podrá no ser una diferencial exacta de x, y, 2, Xx”, y”, 2/..... aun siendo X, Y, Z funciones de estas coordenadas. Por esta razón, representando por T el trabajo de todas las fuerzas del sistema entre dos instantes £, y £, siendo +£, un tiempo finito, no designaremos el incremento del trabajo du- rante dí por d T, sino por AT, representando A la inicial de diferencia. La ecuación que estamos considerando, tomará esta forma: mv? dy = ) NDS y efectuando la suma de todas las ecuaciones análogas á la anterior para los intervalos dt comprendidos entre dos ins- tantes £, y £,, el primer miembro será una integral; pero el segundo será una suma, y resultará ti 2 ul Lia =Y, A 2) 0 bo ó bien efectuando la primera integral, y representando por Wes CA las velocidades de los diferentes puntos m, m/!..... en el instante f,, y por v,, v”;..... las velocidades de los mis- mos puntos en el instante £, My? MS yt 17 pa pr 1 - AO que traducida al lenguaje vulgar expresa el principio de las fuerzas vivas, y puede enunciarse de este modo: Cuando un sistema material de puntos ponderables se mue- ve en el espacio bajo la acción de fuerzas, y describiendo trayectorias determinadas, el incremento de la semifuerza viva total entre t, y t,, es igual al trabajo total desarrollado por todas las fuerzas que actúan en el sistema, tanto interio- res como exteriores, en este mismo intervalo t,-to. Ruy. Acap, CresciaS» —VII,—Febrero 1909, 31 = 542 — Este teorema indica, que el incremento de trabajo se con- vierte en incremento de fuerza viva, y en cantidad numérica- mente igual, dado el sistema de unidades ordinario de ma- sas, velocidades y fuerzas á que está referida la ecuación anterior. Marca una relación de equivalencia entre estas dos formas de la energía, á saber: la fuerza viva y el trabajo. Si el sistema está aislado y no hay más que fuerzas interio- res, expresará dicha ecuación el principio de la conservación de la energía, no en general, pero sí bajo ciertas condiciones relativas á las fuerzas interiores X;, Y;, Z;; mas á este principio hemos de darle otra forma, que es la que explica- remos inmediatamente. ES - Para ello necesitamos decir algo, aunque diremos poco, porque todas éstas son cuestiones de Mecánica, que supon- go conocidas, y que sólo repito para refrescar las ideas; dire- mos algo sobre los sistemas que llamaremos conservativos, palabra que está en el Diccionario y que corresponde á la idea que voy á explicar: la palabra conservador no me satis- face para este caso. Supongamos que un sistema material está aislado por completo en el espacio y sujeto tan solo á fuerzas interiores. Supongamos, además, que dichas fuerzas dependen de una expresión de todas las coordenadas de los puntos de dicho sistema. UCRANIA siendo X, y, 2, X, y”, 2... las coordenadas de los puntos m, m/'..... del sistema en cuestión. Es necesario precisar más las ideas. Cuando para un instante cualquierá se conocen x, y, Z...a., y ; 3 j ¿ j E PA e ds o — Bes — es decir, se conoce la posición del sistema, las fuerzas inte- riores quedan determinadas, y, por lo tanto, sus compo- nentes. Estas componentes se derivan de la función U, precisa- mente tomando las derivadas y substituyendo en dichas de- rivadas, que serán evidentemente funciones de x, y, 2..... los valores de estas coordenadas para el punto que se considera. De sueite, que las tres componentes X, Y, Z de la fuerza que actúa sobre el punto m, es decir, las componentes de aquellas fuerzas, que antes llamábamos F en la figura 21, vendrán dadas por las expresiones A A dx dy dz en que los segundos miembros, como acabamos de decir, serán funciones de x, y, Z..... y en que deberemos substituir, en vez de estas coordenadas generales, las de los puntos del sistema para el instante que se considera. cuando se conoce U, es una expresión demasiado vaga y ge- neral, porque pueden depender de U de muchas maneras. La que hemos escogido, es decir, la de expresar las com- ponentes por las derivadas, es una de tantas interpretaciones de aquella forma general; pero no está escogida á capricho, por la razón que luego veremos. En esta hipótesis, la fórmula anterior de las fuerzas vivas se transformará fácilinente observando, que el segundo miembro puede escribirse de este modo: É É 2. AT=2, 2(Xdx + Y dy + Zdz), ó bien poniendo por A, Y, Z sus valores, A Edo dU — d ZN aux dy DN dz z) EOS 1 000 Pero la cantidad comprendida entre paréntesis, que com- prende todos los puntos del sistema, y esta es la significa- ción de la 2 que la afecta, así como la > exterior se refiere á la suma de intervalos d1, es una diferencial exacta de todas las variables x, y, Z.....; porque du E (Xdx + vay + za) => Eat Edy + E de) = (Xx dy dz dllaac ral Babe la E ral sd Ed Pe E pr El ara ele al DE y ADO E dy E EA a de modo que en rigor es la diferencial total de U, y así A , E, AT=Y, la 0 0 dx En este caso, en vez del sig10 A, podeinos emplear el signo diferencial d, porque ya los incrementos son las dite- renciales totales de una función (!. Y del mismo modo en vez del signo >, podemos emplea: el signo ' : De suerte que la casación (1) de as fuerzas vivas tomará la forma: Él t, iD coi loe e dU=(U) 2 2 to Le A acti = U, - - Up, z 2 representando U, el valor de U para la primera posición del sistema, es decir, la designada por subínilice (1), y por U, el valor de la misma función para la posición inicial. Si representamos por Xy, Y4) 21) X'1) Y 1) 2 4.00. las CO- A A A A IDACEZS ANA GRA E AA NI e ro “o a HA ordenadas de los diferentes puntos para la posición final del sistema (1), y pOr Xo, Yo, Zo, Xo» Y'o, 20»... las coordena- das de la posición inicial (0), la ecuación podrá escribirse de este modo: 2 y MV? ¿5 MV, A AAA 2 2 q U (Xo, Yo, 20» os Yo, O E U(x;, Yi), %1» EE y, IO) ón El teorema de las fuerzas vivas podrá, en este caso, enun- ciarse en esta forma: el incremento de fuerza viva de un sís- Pigura 22. tema sometido tan solo á fuerzas interiores, al pasar de una posición (0) á otra posición (1), únicamente depende de di- chas posiciones, 6, dicho de otro modo, del valor de U para ambas, y es independiente de los caminos que hayan seguido los diferentes puntos del sistema al ir de una posición á otra. Fijemos bien las ideas, y sean (fig. 22) a, a”, a”..... dife- rentes puntos del sistema en la posición (0). Supongamos que dicho sistema pasa, bajo la acción de fuerzas X, Y, Z..... que tienen la propiedad indicada, de ser las derivadas parciales de una función única U, con relación á Xx, y, Z.s.., pasa, decimos, á la posición (1). a habrá venido á parar á b; a'4b'; a” 4b”, y así suce- sivamente. — 546 — Pues bien; el incremento de fuerza viva del sistema, al pasar de 10) á (1), no dependerá más que de las posiciones AITOR ID UD IDEA Este caen será el mismo si el punto «a ha seguido la trayectoria a cb, ó la trayectoria adb, y lo mismo pode- mos repetir para los demás puntos. El teorema subsiste aún cuando existen fuerzas exterio- res, con tal que cumplan con la condición ya indicada, á saber: la de obtenerse por derivaciones parciales de una función única U. Esto es evidente, porque basta repetir las consideraciones y cálculos anteriores. Pero hasta aquí no se sabe por qué hemos empleado la palabra conservativo, aplicada al sistema, ó más explícita- mente la frase, sistema conservativo de la energía. Insistamos, pues, en nuestras explicaciones, y demos otras nuevas. Sea (fig. 23) un sistema de puntos materiales en equili- brio, sometidos á fuerzas interiores y ocupando la posi- ción (0), v sea a uno cualquiera de estos puntos. Lo que de él digamos, pudiéramos decir de todos los demás. Supongamos que á dicho punto a, que estaba en equili- brio lo mismo que todos los restantes del sistema, según hemos dicho, se le aplica una velocidad V. El sístema se pondrá en movimiento bajo la acción de las fuerzas interiores y de las velocidades iniciales V, V”..... Un punto cualquiera a, bajo la acción de estas fuerzas y de su velocidad inicial V, describirá una trayectoria ab, y el sistema vendrá á parar al cabo del tiempo f+á la posi- ción (1). | ] En este movimiento del punto a, la fuerza F, que es la A A NN E A a DAA e o DC — 547 — resultante para el punto c, por ejemplo, de las fuerzas inte- riores, desarrollará un trabajo á lo largo de la trayectoria ab, que en el caso que hemos representado en la figura, será un trabajo negativo; es decir, que la fuerza F se opon- drá al movimiento. Admitamos, como antes, que las fuerzas interiores se pue- den derivar de una función única U, que recibe en general Ln” S z "e, 57 ; >= ¿a .- .... 5 .. e .. AP . ma - " Pigura 23. el nombre de FUNCIÓN DE FUERZAS, y que designaremos, como hace un momento, por (INEA EE de modo que dU dU dU para 4 ..... =—, Y =—, ===, dx dy dz para a” mb dels y Lon pÚondtts ac dy” dz' ..... +... . o... o... o... o. .«<- o... .+...010.0.0..0.0...00... 000. 000.0. 0... .. 00.0 representan evidentemente los trabajos desarrollados por las fuerzas F, es decir, por las fuerzas interiores desde a á b; desde a' á b', y así sucesivamente. De aquí se deduce que És : do 9 U=U,—U, to es el trabajo desarrollado por las fuerzas F desde la posi- ción (0) á la posición (1). | | | — 549 — U representa, pues, un trabajo, en función, como es natu- ral, de todos las puntos del sistema y función cuyas diferen- cias, á medida que varían las coordenadas de dichos puntos, van marcando los trabajos parcialmente desarrollados. Si considerásemos en cada instante fuerzas ¿ iguales y contrarias á las F, el trabajo de "estas fuerzas hipotéticas sería igual y contrario, evidentemente, al trabajo de las fuerzas F. Si imaginamos una función H igual y de signo contrario á la función U en cada instante, es decir, para cada sistema de valores de las coordenadas, tendremos MN A ) A A OT ME € Ó abreviadamente, WU= 10% y la ecuación de la fuerzas vivas tomará la siguiente forma: mv,? mV? a = —11, +1. Hemos admitido que la posición (0) es la posición inicial, que en ella el sistema estaba en equilibrio; por lo tanto, el trabajo de la fueza F podemos suponer que es nulo; de don- de se deduce UN = 0 y como U == LL; resulta U, = — I,,.. Ó bien H, = 0, Y DE pia des Ed — 550 — Ó bien a mv? dal mV? OS A 2 Tudo 2 Para otra posición (2) del sistema, mv? m V? a O 2 de donde en general: y MV? E Ed mv? Ae de a E 2 az E 2 Resulta de aquí que el sistema, en su movimiento, goza de esta propiedad: que la fuerza viva actual, en cualquier po- sición, mas una cierta función Y de las coordenadas de los puntos materiales m, m'..... función que es igual y contraria á la función de fuerzas U; esta suma, repetimos, es constante Ene , A my? é igual á la energía inicial del sistema 2 ES - De aquí se deduce, que lo que se pierde en fuerza viva en cualquier posición, se gana en el valor de la función Il y re- ciprocamente. Y, por el contrario, todo aumento en la fuer- za viva, es disminución en la función Il. Este resultado es lo que podemos llamar conservación de la energía en el sistema. Así como la función U se llama función de fuerzas porque de ella, derivando con relación á x, y, 2....., se obtenían las componentes de las fuerzas interiores F, así U se llama fun- ción potencial, y tambien energía potencial. La energía que posee el sistema, que es la energía inicial MVE pa se conserva en el movimiento; pero bajo dos for- AA SS pi ADT ASI IN NASA YO A > SEA AO A AR ADE rd E A A O rs E E — 551 — mas. Una forma cinética ó de fuerza viva; la otra 1 como trabajo disponible. Por ejemplo: si el móvil llegara á una posición en que to- das las velocidades v;..... se anulasen y por la acción de las fuerzas F el sistema retrocediera, II sería en cierto modo la energía almacenada en el sistema, y si éste volviera á su po- sición inicial, las fuerzas F reconstruirían en cierto modo la SRL Ey energía * pues siendo v,=0, V',=0..... la ecuación se reduce á mv?" 2 Ms Una advertencia general. Si una función U cumple con las condiciones indicadas, y es por lo tanto función de fuerzas, en el mismo caso se encontrará U + C, siendo € una constante arbitraria, porque d(U>+ C) VUt: dU dx dx ...... Lo mismo puede decirse de Il. La constante C tiene una interpretación sumamente fácil. Sin insistir en resultados que suponemos conocidos por el estudio de la Mecánica racional, podemos decir, resumiendo: 1.7 Que en un sistema conservativo como el que hemos explicado, existe una función de fuerzas, de la cual se de- ducen las componentes de éstas, por derivación con rela- ON Zi | ] 2.” Que la llamada función potencial es igual y de signo contrario á la función de fuerzas, y representa en cada mo- mento la energía, almacenada, por decirlo así, en el sistema como si fuera un resorte, y que puede transformarse total ó parcialmente en fuerza viva. >» — 552 — 3. Que en cada momento la suma de la fuerza viva del sistema y de la función potencial es una cantidad constante, que es la energía total intrínseca del sistema. Este teorema, es decir, el de la conservación de la energía mecánica, á la Mecánica clásica pertenece en rigor, y repre- senta la transformación entre sí de estas dos formas: el tra- bajo y la fuerza viva. Pero la Física, en su desarrollo, presenta, al menos en la apariencia, y decimos en la apariencia, admitiendo la hipóte- sis mecánica, otras diferentes formas de la energía, por ejemplo: la energía calorífica, que se mide por calorías; la energía de las corrientes eléctricas, que se mide por vatios, y otras varias, como la energía magnética y la energía quí- mica. Generalizando el principio de la Mecánica clásica, se Ob- tiene el de la conservación de la energía en general; de suer- te, que fuerzas vivas, trabajos mecánicos, calorias, vatios, energías luminosas, energías magnéticas y energías químicas están dentro del gran principio. Se transforman unas en otras en cantidades fijas: en un sistema aislado, la suma de todas ellas es constante, y todas ellas se miden por una unidad única, el kilográmetro. - Este es el gran principio de la conservación de la energía, volvemos á repetir, que limitado al problema de la Elastici- dad, ó sea de las fuerzas elásticas, aplica Mr. Poincaré, como veremos en la conferencia próxima. | — 553 — XXXI. —Elementos de la teoría de la Elasticidad. POR José ECHEGARAY. Conferencia octava. SEÑORES: . Hemos dado una idea en la conferencia precedente del principio de la conservación de la energía; pero de la energía bajo sus dos formas fundamentales, dentro de la Mecánica clásica, á saber: el trabajo mecánico y la fuerza viva, que dan origen á lo que en el leguaje moderno se llama energía potencial ó de posición, y energía actual ó cinética. Expusimos dicho principio con cierta generalidad, y hu- biéramos podido presentar mu- chos ejemplos, que supongo que serán familiares á mis oyentes; y ahora, para terminar este punto y para aclararlo si fuese preciso, presentaremos un solo ejemplo vulgar y sencillísimo; á saber: el de una masa, ó si se quiere el de un peso sostenido á cierta al- tura sobre el suelo. Sea P (fig. 24) un peso colo- cado y sostenido en el punto a, el Pigura 24. cual se halla á una altura L igual á ab sobre el suelo AB. La horizontal A“B' que pasa por a, marca una superficie de nivel. Mientras el peso P está, como decimos, sujeto en a, nada — 554 — sucede, ó lo que sucede es un fenómeno en el cual 2 aho- ra no hemos de ocuparnos. El peso P en esta posición, representa un trabajo poten- cial, cuyo valor es PL, porque cuando lo dejamos caer á lo largo de toda la altura ab hasta llegar al suelo, desarrollará un trabajo, como hemos dicho, igual á PL. Claro es, que este trabajo potencial, ó mejor dicho, esta energía potencial, es relativa al suelo AB; si dicho nivel es- tuviera más arriba ó más abajo, la energía potencial sería distinta. Decimos que es potencial, porque es'una energía en po- tencia, no en acto, según la fórmula aristotélica, mientras el peso P no se desprenda. Si se desprende, caerá, y el trabajo que la fuerza P des- arrolla, á medida que el cuerpo desciende, se va transftorman- do en fuerza viva. Por ejemplo, cuando llegue á d siendo ad=1, habrá desarrollado un trabajo P/, que se habrá con- vertido en fuerza viva, y la velocidad v se obtendrá igualando la fuerza viva en d al trabajo hasta dicho punto, es decir, a MP 2 «siendo m la masa que corresponde al peso P. En este punto d, la masa m representa Ó va acompañada de dos formas de la energía: 7 . rio r . . 1 1.2 La energía actual, cinética Ó semifuerza viva oe 2. Un trabajo potencial representado por P o Lalo 555 — ó sustituyendo el valor de > mv Pl+PI=P(141)=PL, que es la energía total en P. De modo que aquí vemos, en este ejemplo sencillísimo, que la energía total se conserva, aunque cambiando de for- ma, mejor dicho, afectando dos formas, á todo lo largo del camino AB. Del mismo modo que en la conferencia anterior Y» > mv? + UH era constante. Hemos visto en la conferencia precedente, tratando el caso de un sistema aislado, que el sistema era conservativo, cuan- do las fuerzas internas se derivaban de una función de fuer- zas; es decir, de una función de las coordenadas: así que para cada punto (x, y, 7) se tenía dis perdio nd A , NY . dx dy dz Y este mismo principio lo podemos presentar bajo otra forma, que es muy importante. Sea un sistema de puntos (0) (fig. 25), y a uno de estos puntos. Admitamos, para fijar las ideas, que el sistema en la posi- ción (0) está en equilibrio bajo la acción de las fuerzas inte- riores y que no existe ninguna fuerza exterior, — 556 — Para cada punto a imaginemos una vía materíal, una es- pecie de carril ab, para a” otro camino material a' b”, y así sucesivamente, pues lo que digamos de un punto podemos decir de los demás. Supongamos que se obliga á recorrer al punto a la trayec- toria ab, llevándolo materialmente por esta especie de con- ductor. Si en el punto c la acción de los demás puntos está repre- sentada por la fuerza F, que se opone al movi- miento, porque el sis- tema en la posición (0) estaba en equilibrio, el punto a, al llegar á c sin velocidad, quedaría en equilibrio si aplicá- semos una fuerza « igual y contraria á F. Y si y fuera superior á F, pero en una can- Pigura 25. tidad infinitamente pe- | queña, el punto c ca- minaría hacia b, mas con una velocidad siempre infinita- mente pequeña. Pasando al límite, puede decirse, sobreentendiendo estas diferencias infinitamente pequeñas que tienden hacia cero, que una fuerza e constantemente igual á F, que es la fuerza in- terna, y que durante el movimiento actúa sobre c, llevaría á este punto de a á b sin velocidad; mientras otra fuerza y” igual y contraria á F' llevaría al punto a” de a' á b”, y lo mis- mo para los demás puntos. En suma, todos los puntos del sistema a, a”..... han sido trasladados á b, b'..... con velocidades despreciables, y el sistema a, a... habrá tomado la posición b, b'.....; posi- ción que no es en general la que hubiera tomado espontá- a : A a A AMA A a A E a A EDO A dz ATA PEE — 557 — neamente, si se le hubiera hecho salir de su posición de equí- librio, comunicando velocidades á cada uno de los puntos del sistema. Toma el sistema la posición b, b'..... porque se le fuerza á ir por trayectorias Ó carriles determinados ab, Las fuerzas o, 4”..... desarrollarán cierto trabajo desde a á b, desde a á Úb'..... Parece que no e en cuenta las guías materiales ab, AD DES. ni las fuerzas de reacción que desarrollan, así como el trabajo de dichas fuerzas; pero es porque todos estos tra- bajos son nulos, atendiendo á que el camino, en cada mo- mento, de cada punto, es normal á la reacción del camino ó guía, y, por lo tanto, la proyección del camino sobre la fuerza es nulo. Es evidente que suponemos que no existe rozamiento: se trata de guías ideales. Si abandonamos á sí mismos los puntos del Sinto al llegar á b, b'..... suprimiendo la acción de las fuerzas 2, todos estos puntos tenderán á volver á sus posiciones de equilibrio a, a'..... bajo la acción de: fas fuerzas F, FA. Suponiendo, como siempre podemos suponer, que el sis- tema no ha llegado á otras posiciones de equilibrio, si las tiene, las fuerzas F, F'....., al retroceder los puntos hasta sus posiciones iniciales, desarrollarán un trabajo igual y de signo contrario al que desarrollaron las fuerzas q, o”..... para llevar- lostuesde'a.... a Di... Esto es evidente, porque las F' son iguales á la y y tienen la misma dirección, y en cada elemento de tiempo, el ele- mento de trayectoria es el mismo al ir y al volver. Lo dicho es evidente y general; pero aquí se presentan dos casos esencialmente distintos, á saber: 1.*, cuando las fuerzas F..... dependen de una función de fuerzas, en la for- ma que hemos explicado; ó 2.”, cuando no cumplen con esta condición y el sistema no es conservativo, Rry. Aca, Ciencias. —VII.—Febrero, 1909, 38 — 558 — De una manera más concisa: cuando y por lo tanto XdAx Ñ de + Zdz = dU =—— dx et + E d2=dU pe dx siendo d U una diferencial total, tenemos el primer caso. Cuando no se verifican estas últimas condiciones, es de- cir, cuando X, Y, Z..... no son las derivadas de una función de fuerza, el sistema no es conservativo, y estamos en el segundo caso. La diferencia entre uno y otro no es sólo analítica, sino que marca caracteres completamente distintos en la mecáni- ca, respecto á la naturaleza del sistema de puntos que se considera. En términos prácticos y vulgares, podemos afirmar que en el primer caso el movimiento continuo no es posible:.en el segundo caso sí lo es. Demostremos este último que acabamos de indicar. Primer caso. Imaginemos que en vez de obligar á los puntos a, a'..... á seguir las trayectorias ab, a” b'..... por carriles ideales, les obligamos á seguir otras trayectorias cualesquiera distintas de las anteriores. . El trabajo de las fuerzas F..... entre los puntos a, b; a' b'..... será, como ya hemos demostrado, si representamos por los subíndices (0) y (1) las dos posiciones del sistema, focas Ydy + Zdz) = =P (Goa e or )= /u= U, — Us, E A E iS es — 559 — en que la integral se refiere á la suma de trabajos elementa- les para todas las trayectorias entre la situación (0) y (1); la * expresa la suma de trabajos para todos los puntos del sis- tema; la U, es una función de las coordenadas de todos los puntos a. a/..... y la U, es la misma función de las coorde- nadas substituyendo en ella á las coordenadas generales las de los puntos b, b”..... Ahora bien; puesto que el trabajo desarrollado por todas las fuerzas F....., que en el ejemplo, que representa la figura, es un trabajo negativo ó de resistencia, sólo depende de U, y U,, es decir, de las coordenadas de los puntos extremos; si hiciéramos el mismo cálculo para otro grupo de trayecto- rias adb, a' d' b'..... obtendríamos el mismo resultado; toda vez que los puntos extremos permanecen fijos, y sólo de los puntos extremos depende la función U que es el trabajo total. En suma, sean cuales fueren las trayectorias que describan los puntos a, 4'..... para llegar á las posiciones finales b, b..... el trabajo de las fuerzas F..... será idéntico, ya actúen estas fuerzas sobre la trayectoria acb..... ó sobre las trayectorias adb..... ú otras cualesquiera. Así pues, el mismo trabajo resistente desarrollan las fuerzas internas, que estamos con- siderando, en este caso de trayectorias forzosas, sean- cuales fuesen esas trayectorias para ir el sistema de la posición (0) á la posición (1). En este caso decimos que el movimiento contínuo es im- posible, ó mejor dicho y con más exactitud, que no hay ma- nera de crear trabajo motor. En primer lugar observemos, que como las fuerzas 0, que según explicábamos obligan al sistema á recorrer las tra- yectorias forzadas, son iguales, contrarias y en la misma di- rección de las fuerzas FF; luego todo lo que hemos dicho de las fuerzas F podemos aplicarlo á las fuerzas o. : Y recordemos, para evitar cualquier confusión, que las fuerzas 0, al realizar la hipótesis, han de ser superiores á las fuerzas F, pero en cantidades infinitamente pequeñas, que — 560 — en el limite se reducen á cero, para que los puntos móviles no adquieran velocidad; porque si la adquíriesen tendríamos una complicación de las dos fórmulas de la energía: la po- tencial y la cinética. Siguiendo con nuestro razonamiento, y suponiendo á las fuerzas y en el límite rigurosamente iguales, aunque contra- rias á las F, lo que hemos dicho de estas últimas podemos decir de las fuerzas v. Es decir, que estas fuerzas para lle- var á los puntos a, a”..... de la posición (0) á la posición (1), desarrollarán el mismo trabajo, sean cuales fueren las tra- yectorias, con tal que los puntos extremos sean los mismos. Y sólo nos falta, para la demostración, fijarnos en esta cir- cunstancia: que si las fuerzas « obligan á los puntos á ca- minar de a á b..... sobre la trayectoria a d b y cesan estas fuerzas o, y actúan sin estorbo las fuerzas FF, los puntos b. ... volverán á la posición a....., el trabajo que han desarrolla- do las v+ sobre las trayectorias a d b..... á la ida, será igual en valor numérico al que desarrollen las fuerzas F á la vuelta. Esto es evidente, porque MES fuerzas tienen el mismo va-= lor y la misma dirección en cada punto y la ear es la misma. E Pues ahora se ve claramente que, sean cuales fueren 18 movimientos que hagamos tomar al sistema, nunca por es- tos movimientos mecánicos y cinemáticos podremos crear trabajo motor. 7 En efecto; empleando las fuerzas y, hagamos pasar el sistema de la posición (0) á la posición (1), y supongamos que las fuerzas o han desarrollado un maala que ALE taremos por 7. : . Escojamos otro sistema de trayectorias cualesquiera, a d b..... para la vuelta. Suprimamos las fuerzas 9 y dejemos que el sistema vuelva de la posición (1) á la posición (0) es- pontáneamente; es decir, por la acción de las fuerzas inter= nas F, pero siguiendo los caminos b d 4... — 561 — Estas fuerzas F desarrollarán un trabajo que, por la hipó- tesis que hemos establecido, será numéricamente igual al de las fuerzas F' sobre la trayectoria a c b, y también igual, y esto es lo que nos interesa, al de las fuerzas y sobre la mis- ma trayectoria. Y conste, para abreviar la explicación, que cuando hable- mos de la trayectoria a b en particular, nos referimos al con- junto de todas ellas a b, a' b'...., El resumen de estos dos movimientos, de este ciclo ce- rrado, pudiéramos decir, desde (0) á (1) y de (1) á (0), con lo cual el sistema volverá á su posición primitiva, puede formularse de este modo: Al hacer pasar al sistema de (0) á (1), hemos consumido un trabajo cuyo valor representábamos por T; pero el siste- ma por su elasticidad propia, Ó sea por la acción de sus fuerzas internas, nos ha devuelto este trabajo T al pasar el sistema en cuestión de (1) á (0). Poco importa la forma de la energía en que nos lo haya devuelto. Lo consumimos en forma de trabajo de las fuer- zas «+; nos lo devuelve en forma de trabajo de las fuerzas F sobre la trayectoria b d a, si bien este trabajo en el movi- miento espontáneo de retroceso se ha convertido en fuerza viva al llegar el sistema á su posición inicial de equilibrio (0): fuerza viva que tendrán los puntos a, a”..... Ó mejor dicho, de semifuerza viva equivalente al trabajo T. El trabajo T, que aplicamos al sistema por medio de las fuerzas o, aparece íntegro al terminar la evolución del siste- ma en forma de fuerza viva, y es natural que así suceda porque el sistema ya no está en sus condiciones primitivas: durante su evolución, las fuerzas p acumularon sobre él un trabajo T, que es el que se presenta en forma de semifuerza viva al volver el sistema á su posición inicial. Si considerásemos á este sistema como una máquina que la industria quisiera aprovechar, sean cuales fueren las evo- luciones cinemáticas á que le sometiésemos, ni aumentaría — 562 — ni disminuiría el trabajo que la aplicásemos. No habría ni aumento ni pérdida de trabajo motor; sería en mayor escala: el caso de un péndulo que oscila en el vacío sin resistencias pasivas de ninguna clase. Segundo caso. Que las fuerzas F no dependiesen de una función de fuerzas; que al pasar el sistema de la situa- ción (0) á (1) por la aplicación de fuerzas « iguales y opuestas á F, el trabajo desarrollado no dependiera tan sólo de los coordenadas extremas, sino de las trayectorias seguidas. En esta hipótesis repitamos las operaciones cíclicas del caso anterior. Tomemos pata la ida de a..... á b..... trayectorias deter- minadas a c b....., y para el regreso, es decir, para cerrar el ciclo, trayectorias b d a, en las cuales el trabajo de las fuer- zas q, Ó de las fuerzas F, fuese distinto del desarrollado en las primeras trayectorias. En este supuesto no existirá compensación entre los dos trabajos. Desde (0) á (1) habremos consumido un trabajo T, y al abandonar el sistema á sí mismo, para que vuelva á su punto de partida por los carriles que marcan las trayectorias de vuelta bd a....., las fuerzas internas F desarrollarán un tra- bajo T' dol por ejemplo, al primero. Luego habrá un trabajo 7" — T ganado, creado, pudiera decirse. Si el sistema con sus carriles lo consideramos como una máquina industrial, habremos creado para la industria un trabajo motor 7" — T, esencialmente positivo, que brotó de la nada, sólo por la evolución cíclica. El sistema no conserva el trabajo de las fuerzas y que en él se depositan, sino que lo aumenta; crea algo, y lo crea indefinidamente, lo crea de la nada, como antes a que es lo que.se entiende pof creación. En este caso el movimiento continuo sería posible. e 03) La industria en las evoluciones de sus máquinas podría crear trabajo industrial indefinidamente, y haciéndolas mar- char en sentido inverso, es decir, de las trayectorias de ma- yor trabajo á las de trabajo inferior, podría anular la energía existente. | De aquí se deduce que si se admite como postulado que el movimiento continuo es imposible, las fuerzas internas de todo sistema, y en general todas las fuerzas de la naturale- za, deben depender de ciertas funciones de fuerzas para cada caso. El problema depende, pues, de una especie de postulado metafísico: es imposible crear trabajo motor. Ó, si se quiere, energía; es imposible tampoco destruirla; la energía, en todo sistema aislado, se conserva integra. - Oen forma más práctica y más material: el movimiento continuo es imposible. Esto equivale á decir, en las hipótesis que venimos des- arrollando, según acabamos de exponer, y volviendo á nues- problema, que las fuerzas internas de un sistema elástico de- penden de una función de fuerzas. De este principio parte Mr. Poincaré en substitución de la hipótesis de las fuerzas centrales, y este principio nos per- mitirá expresar las tres componentes X, Y, Z que por la de- formación elástica actúan sobre cada punto del sistema en función de siendo U una función de todas las coordenadas de los dife- rentes puntos del sistema elástico. - Porque, en efecto, conociendo U para cualquier punto de los del sistema, las componentes X, Y, Z tendrán la forma — 564 —. y si quisiéramos substituir á la función de fuerzas U la fun- ción potencial 1, que sólo difiere de ella-en el signo A E e dx dy” j de + ES “Las fuerzas centrales de la Mecánica clásica, las que coris- tituyen la hipótesis predilecta de los matemáticos del si- glo XIX, están comprendidas en esta hipótesis general que hemos explicado. Los sistemas en que las fuerzas internas son todas centra- les, son eminentemente conservativos; y, en suma, las deri- vadas X, Y, Z tienen una función de Fuerzas y de ellas se derivan. Esto se demuestra con facilidad suma. En efecto, consideremos dos puntos del sistema con las masas m y m', y lo que digamos de estos dos puntos po- dríamos repetir para todos los pares de puntos del cuerpo de que se trate. Puesto que las fuerzas son centrales, y por de contado, dependientes de las distancias, cualquier fuerza F tendrá esta forma: EUA n e Y sus enel se El como tantas veces he- mos visto, de este modo: a, a aa 14 F La A) o , considerando á f (r) como positiva cuando es una atracción. — 565 — Ahora bien, si formamos la siguiente función de r * min A fiar, que evidentemente será una función de r, y ( porque siem- pre existe la integral a f (r) dr podremos escribir, hacien= do f A (7) U, = mm <(r) y esta función O, gozará de la propiedad pus BEA Ya ace ALE du, dx dy dz En efecto, tendremos, recordando que pl Ap Ulea Les 2) dU, _ pa du(r) o Apo al dx Or Ed r FL; E mn 0) dy dz Si consideramos análogamente la acción de m” sobre m, llegaremos representando la distancia m mm” por r,, y ha- ciendo | 0, = mm" Far, á estas relaciones, d OU EAS = , = de dy Resultados que pueden generalizarse para las acciones de todos los demás puntos del sistema sobre el punto Im. De manera, que llamando X, Y, Z á las componentes de todas las acciones que ejercen las masas m/' m”..... sobre m, podremos escribir y — q AULE Vo + Us) ya a Cita y dz Como otro tanto pudiéramos decir para cualquier punto del sistema, se ve fácilmente que el teorema queda demos- trado en general, con sólo recordar lo que representan las funciones U. La función de fuerzas se compondrá de una serie de fun- ciones m m' y (r) en que r tomará todos los valores de las distancias de los puntos dos á dos, y m, m/, serán las masas colocadas en los puntos extremos. De modo que, en general, para todo el sistema U = Y Mp My Y (Fpg) variando p yq de 1án, si n es E número de pa del cuerpo. Es una suma de funciones, y cada una no contiene más que una distancia r. Por ejemplo, en el punto m no influirán más que los de- más puntos, y la diferenciación por relación á x, y, z darán los resultados anteriores, porque las distancias de otros dos mp puntos cualesquiera m”, m”..... á saber: as = Ve” EAN e =- Y” — y) AS a 2 no contendrán x y la derivada será nula. AI — 567 — No insistimos más en esta demostración porque es ele- mental y, además, puede presentarse bajo otras muchas formas. En resumen, en la hipótesis de Cauchy las fuerzas centra- les se derivan de una función de fuerzas; pero hay infinitos casos en que no son centrales las fuerzas internas del siste- ma y la función de fuerzas existe. Por ejemplo, cuando 3(Xdx+ Ydy + Zdz) es una diferencial exacta de una función U de x, y, 2, 0 A El existir una función de fuerzas, hemos visto que es con- dición intimamente enlazada con la conservación de la ener- gía de un sistema, y en el orden práctico con la imposibili- dad de crear trabajo motor, sean cuales fueren los ciclos que el sistema recorra, ó en forma aun más vulgar, con la impo- sibilidad del movimiento contínuo. Todos estos resultados son matemáticos y rigurosos, pero sólo para las masas ponderables, y para fuerzas, por decirlo así, abstractas; es decir, para una mecánica ideal, porque no debe olvidarse que hemos partido de las ccuaciones fun- damentales de la mecánica clásica: — 568 —- las cuales se demuestran para las masas ponderables dota- das de inercia. Estas ecuaciones y estos resultados, y la ecuación de las. fuerzas vivas, y el principio de la conservación de la energía, no resultan en manera alguna demostrados por las conside- raciones y cálculos que preceden, ni aun prescindiendo de la hipótesis de las fuerzas centrales, y generalizando esta hipótesis como hace Mr. Poincaré, es decir, sustituyéndola por la hipótesis de la conservación de la energía, cuando no se trata de masas a y cuando no se admite la inercia. Si en las ecuaciones precedentes m representa una masa ponderable, los resultados á que hemos llegado tienen fuer- za y rigor; pero prescindiendo, como acabamos de indicar, de la masa y de la inercia, para los electrones, por ejemplo, sin núcleo ponderable, carecen de fuerza demostrativa y de ri- gor matemático: más aun, no tienen sentido. - El principio de la conservación de la energía á qne hemos. llegado y á que llegó la mecánica clásica, y á que se acomo- dan las demostraeiones precedentes, suponen como punto de partida las ecuaciones tantas veces citadas de la dinámica, en las que ,7..... son masas ponderables y dotadas de inercia. Si así no fuera, todo el edificio matemático, por decirlo de este modo, en que se funda la conservación de la energía, se viene á tierra de un golpe. La sustitución, por ejemplo, de las masas ponderables m..... por masas eléctricas y..... no es en manera alguna líci- ta, y pierden todo su valor los cálculos subsiguientes, y pierde su fuerza matemática el principio de la conservación de la energía. Cuando se quiere aplicar este principio, como principio teórico, á la electricidad y al magnetismo, por ejemplo, hay que acudir á otros métodos de demostración propios de cada uno de estos ramos de la Física, que es lo que hace Mr. Poin- caré en su Termodinámica: obra tan. digna de estudio. 3 ¿ EA AA a as A — 569 — El principio de la conservación de la énergia se puede considerar como principio experimental, ó como principio teórico, dependiente en este último caso de ciertas hipótesis como punto de partida y luego de la aplicación del calculo matemático á estas hipótesis. Si se considera como principio que procede de la expe- riencia, nada hay que decir sino que en cada orden de fenó- menos habrá que comprobarlo experimentalmente; y si la experiencia, como por fortuna sucede, lo comprueba en to- dos los casos, tendrá un gran valor práctico, pero pesará siempre sobre él la duda del resultado que puedan dar nue- vos experimentos. No había principio más sólido que el de la constancia de las masas, y sin embargo hemos visto que en estos últimos tiempos se ha puesto en duda. Por el contrario, si el principio de la conservación de la energía, quiere considerarse como principio teórico, al cual determinadas hipótesis han de dar carácter, y necesidad ma- temática, vemos por lo dicho que no se podrá conseguir este resultado por la aplicación de la mecánica clásica, la cual, eomo hemos indicado tantas veces, parece que ha sido crea- da, lo repetiremos una vez más, por sus inmortales creadores, para uso de las masas ponderables dotadas de inercia, no para las masas eléctricas, ni para las corrientes, ni para las masas magnéticas, ni para los electrones sin masa centrai, ni para todo este mundo de entidades que pululan, por decirlo así, en la física moderna. De modo que, en resumen, las demostraciones que hemos dado del principio de la conservación de la energía, sólo se aplican á sistemas materiales compuestos de puntos con ma- sas determinadas m, m/'..... sujetas á fuerzas, por decirlo así, abstractas: ya explicaremos esta palabra más adelante. . Pero estamos tratando de la teoría de la elasticidad, y, por lo tanto, de cuerpos que tienen masa y que tienen iner- cia; luego, para éstos, el principio de la conservación de la — 5710 — energía, á que acude Mr. Poincaré, y la demostración mate- mática que de este principio hemos dado serán firmes en todo caso, y no estarán sujetos á las novedades de la física ma- temática moderna. Prácticamente, y como primera aproximación, no cabe duda, nuestros anhelos hacia lo absoluto, que ya sabemos que nunca se ven cumplidos, porque si se cumpliesen ya no serían anhelos, se ven realizados; pero si estos anhelos ó aspiraciones avanzan unos cuantos pasos, las seguridades matemáticas del principio de la conservación de la energía, no hay que negarlo, perderán alguna parte de su fuerza. Marchemos, pues, despacio. Parece que en el método de Cauchy no debieran asaltar- nos estas dudas. En él no existen más que puntos de masa ponderable /..... y fuerzas abstractas. Y sin embargo, las dudas y las dificultades aquí comien- zan, porque las fuerzas entre los puntos materiales m, m..... tomados dos á dos, unas veces son positivas ó fuerzas de atracción, otras veces son negativas ó fuerzas de repulsión, y para las posiciones de equilibrio son nulas. ¿Y cómo se explica la variabilidad de estas fuerzas, Ó sea de la que llamábamos función de Saint Venant f (r); ó sea la fuerza en función de la distancia? Si se considera la fuerza como entidad abstracta en este caso, si se prescinde de ¡os sistemas materiales que le han dado origen, no será fácil que nos demos cuenta de estos caprichos de la fuerza, que unas veces es positiva, otras negativa y otras veces nula. Del mundo de las cantidades, vendremos á caer al mundo de las cualidades, con la agra- vante inexplicable del cambio de sentido. A, PA 'Y buscando la explicación de este hecho, daremos, sín poder evitarlo, en esta hipótesis: que los puntos materiales del sistema mn, m/'..... no son masas homogéneas de materia ponderable, sino masas complejas en que entra el elemento eléctrico, y que por esta razón al variar las distancias varían á la vez el elemento atractivo y el elemento repulsivo, com- binándose estas variaciones en una resultante que puede ser nula, positiva ó negativa. Luego ya en el método de Cauchy aparecen implícita- mente, aunque no se tengan en cuenta, todos los elementos de la nueva física. Lo que hay es que el elemento eléctrico está obscurecido, en cierto modo, por el elemento ponderable, y la fuerza real por una especie de fuerza abstracta y matemática, cuyas va- riaciones representa en función de la distancia la función de Saint-Venant. Tampoco en el método de Poincaré se tienen en cuenta explícitamente estos elementos varios que constituyen cada elemento material del sistema. Pero se tienen en cuenta al substituir al principio de las fuerzas centrales el principio de la conservación de la energía, como principio experimen- tal de todos los fenómenos naturales, y, por lo tanto, de los fenómenos de la elasticidad. Desde el momento en que los puntos materiales de un sis- tema elástico no son homogéneos, las acciones y reacciones entre estos puntos pueden no ser centrales; esto da mayor generalidad al método de Mr. Poincaré y una ventaja evi- dente sobre los demás métodos clásicos. Si las componentes X, Y, Z de la fuerza que actúa sobre un punto m tienen una función de fuerza U, y se obtienen por derivaciones de esta función, en estas X, Y, Z, aun refi- =. 519 = riéndose á las acciones de dos puntos m, m1”, entrarán las coordenadas de los demás puntos; porque, evidentemente, si U es de la forma UU OSEA ZA etc) la derivada een por ejemplo, será e au e: o EA O os O PUEZ DS Vizinocón yl) SUL): que es precisamente lo que debe ser. Pero conviene fijar bien las ideas. - En la hipótesis de las fuerzas centrales, la acción entre dos puntos m, m' no depende más que de las coordenadas de estos dos puntos: por ejemplo, la componente paralela al eje de las x será , min O) DEIA A F ó poniendo el valor de / x—x nn EF OTE) Va expresión en que vemos que, en efecto, no entran más que las coordenadas x, y, z, x”, y” z” de los dos puntos m, Im”. En esta atracción ó repulsión parcial, dada la hipótesis de las fuerzas centrales, no influyen ni deben influir las posicio- nes de los demás puntos, ni por lo tanto, sus coordenadas; porque las posiciones de los puntos restantes en un momen= to dado, ni alteran la distancia r, Bla sólo depende de x, y, 2; xi, y, z”, ni alteran las masas m, m', 499 se pa inva- riables. yQUuu - Pero desde el momento en que estas masas son sistemas — 573 — complejos, compuestos, por ejemplo, de masas ponderables y masas eléctricas, la distribución de estas últimas puede al- terarse, y esta distribución distinta, esta nueva forma del sistema puede convertir la fuerza central en fuerza no central. Ambas ideas son correlativas, como hemos explicado en diferentes ejemplos. El principio de la conservación de la energía, aplicado por Mr. Poincaré al problema de la Elasticidad, implicitamente tiene en cuenta esta circunstancia, y por eso, en las acciones de un elemento sobre otro, entran, no sólo las coordenadas de estos dos puntos, sino las de todos los demás, á lo cual se presta de una manera por demás sencilla el principio de la función de fuerzas ó de la función potencial. ¿Pero no podemos ir todavía más lejos y profundizar to- davía más en este análisis? Seguramente, aunque quizá parezca, como vulgarmente se dice, que esto es pretender afinar demasiado. Las ecuaciones que vamos á emplear para el equilibrio elástico, aplicando el método de Poincaré, es decir, determi- nando las fuerzas interiores por medio del principio de la conservación de la energía, serán tan exactas como en el es- tado actual de la Ciencia pudiera desearse: y otro tanto para las ecuaciones de la dinámica, es decir, para el caso de los movimientos elásticos. Pero ¿tendrá á nuestros ojos tanto rigor y tanta exactitud matemática como en los tiemoos en que no habían surgido aquellas dudas sobre las masas, las fuerzas, el movimiento y el éter, que hemos explicado en las conferencias que pre- ceden? De ningún modo. Ya no podemos considerar á las masas como cuerpos st- mamente pequeños de homogeneidad absoluta y sometidos á lo que antes llamábamos fuerzas abstractas; ni siquiera el principio de la conservación de la energía tiene el valor ab- Ruv. Aca. Ciencias. —VI[.— Febrero, 1909. 39 — 574 — soluto ó casi absoluto, que la vieja Mecánica pretendía darle, no considerando más que estas dos formas de la energía: el trabajo mecánico y la fuerza viva. Y sobre todo, en los problemas del movimiento, las dudas se acrecientan, porque las masas y la inercia, que, por de- cirlo así, las acompaña, ya no son conceptos que se refieren á la materia ordinaria; y si diferentes puntos del cuerpo elás- tico no están sometidos á fuerzas centrales, nos sentiremos inclinados á pensar, que esto depende de que en dichos ele- mentos materiales entran elementos eléctricos, que por la in- fluencia de los demás puntos del sistema cambian de posi- ción, y, para expresarnos de este modo, descentran las fuerzas. Pero en este caso, las masas no son puramente pondera- bles, sino que hay masas ficticias dependientes del movi- miento de las masas eléctricas, como explicábamos en otras conferencias. De suerte que el problema se ensancha y se complica de una manera inmensa. Digamos, sin embargo, para atenuar estas dudas, que esto supone grandes velocidades en las expresadas masas eléc- tricas, velocidades que no se alcanzan, ó es de creer que no se alcancen, por regla general, en la vibraciones elásticas. En suma, aun en este problema de la Elasticidad, una teoría que no abarcase, todos los resultados de la Física mo- derna, aun siendo la más perfecta, la menos recargada de hipótesis, aun esa sería deficiente. La elasticidad de las masas ponderables se complicaría con la elasticidad del éter y con las fuerzas eléctricas. Pero en el terreno práctico, las teorías de la elasticidad, y sobre todo, la de Mr. Poincaré, tienen suficiente grado de ri- gor supuesto el grado de aproximación que consideramos. En suma, suponemos que las masas de los diferentes pun- tos, son las masas ponderables de la Mecánica clásica. Suponemos, que las acciones entre cada dos puntos mate- — 575 — riales puede no ser una fuerza central; pero le dejamos en cierto modo el carácter abstracto que las fuerzas tienen en la antigua Física matemática. Suponemos, por último, que es aplicable el principio de la conservación de la energía, á los sistemas materiales elás- ticos, considerando á dicho principio, ya como principio ex- perimental, comprobado prácticamente en los diversos fenó- menos de la Naturaleza; ya como principio teórico, demos- trado teóricamente en estos diferentes fenómenos, partiendo de la hipótesis que sobre ellos hayamos establecido. Admitiendo este principio de la conservación de la ener- gía, establecemos: que la fuerza total que actúa sobre cada punto del cuerpo elástico, puede derivarse de una función de fuerzas de tal modo, que las componentes, supondremos con Mr. Poincaré, que son las derivadas de dicha función, con relación sucesivamente á las coordenadas del punto de que se trata, conforme hemos explicado en esta misma con- ferencia. En la próxima entraremos ya resueltamente en la expli- cación del método de Mr. Poincaré, si no es que nuevas ten- taciones nos asaltan, separándonos de nuestro objeto y del programa del presente curso. XXXII. —Observaciones acerca de algunos fenómenos de fototropía. Por José RODRÍGUEZ MOURELO. Antes de ahora me he ocupado en el estudio de varios cambios invertibles acaecidos á algunos cuerpos mediante la intervención directa de las acciones luminosas; que por tales diputo las variaciones de color que experimentan ciertos sul- — 510 = furos de calcio cuando se les somete á intensa iluminación durante corto tiempo (1). Vuelvo á tratar el asunto, que cons- tituye, á mi ver, un interesante capítulo de la fotoquímica, con nuevos datos y de una manera más general, refiriéndo- me siempre á sistemas inorgánicos, que conceptúo los me- nos estudiados y conocidos; bien es cierto que en ellos son poco frecuentes los cambios de color debidos á la luz, ya im- pliquen un fenómeno reversible, ó signifiquen otro linaje de transformaciones químicas no reversibles. Y es mi intento, al presente, contribuir á esclarecer un punto referente, en definitiva, á la velocidad de los cambios de sistemas que constituyen especiales disoluciones sólidas, formadas de ma- terias activas y de diluyentes sencillos, siempre de la misma naturaleza; al cabo casos singulares de un hecho de cierta generalidad, á la contínua muy variado en sus apariencias y que se presenta, de preferencia, en diferentes combinaciones orgánicas, modificables ó transformables mediante las accio- nes de la luz, rapidísimas unas veces, otras lentas; pero cu- yos efectos, á la postre, tradúcense er cambios permanentes, ó momentáneos y periódicos, de las substancias capaces de experimentarlos y que van siendo á cada punto en mayor número y de más variada naturaleza. Marckwald fué quien observó, acaso el primero, hace ya tiempo, los cambios de color que experimentan algunas subs- tancias orgánicas complicadas, pertenecientes al grupo qui- noleico, bajo la influencia de la luz. Trátase de un fenómeno reversible bastante singular, y en realidad pocu frecuente, al (1) Véanse Anales de la Sociedad Española de Fisica y Química, tomo I, pág 346-1903. Ibidem, tomo III, pág. 40-1905. . Archives des sciences Physiques et Naturelles, quatriéme periode, tomo XXV, pág. 15. Genéve, 1908. Acerca del mismo tema he presentado una nota al Congreso que, en Octubre de 1908, celebró en e soda la Aa Española para el Progreso de las Ciencias. — 571 — que pueden servir de tipo Ó modelo aquellas materias, descu- biertas por Stobbe, á las cuales el mismo ha denominado fúl- gidos (1); son cuerpos de naturaleza fenólica, dotados de la propiedad de cambiar de color, del anaranjado al pardo, cuando son iluminados directamente breve tiempo, y luego, en la obscuridad, recobran la coloración primitiva, sin que en ellos sea advertido, á lo menos hasta el mo nento presen- te, ningún cambio químico. Suelen asimilar este hecho, en cuanto á su mecanismo, á cierta reacción fotoquímica rever- sible, descubierta por Luther y Weigert, y que consiste en la condensación de dos moléculas de antraceno para formar el diantraceno, cuyo hecho sólo se realiza sometiendo el carburo á las directas influencias de la luz; y es lo curioso que en la obscuridad prodúcese el fenómeno inverso y se regenera el antraceno de un modo regular y sin advertir otras modificaciones, y es de suerte que se considera perfec- ta reacción fotoquímica reversible. Bien será advertir que el notabilísimo experimento de la formación del diantraceno por la luz data de 1905; por lo menos esta es la fecha de su publicación (2), y en 1903 he dado á conocer mis primeras observaciones acerca de los cambios de color que experimenta un sulfuro de calcio por la acción de la luz, y que constituyen, en definitiva, un fenó- meno de fototropía perfectamente reversible, y no ha llegado á mi noticia, hasta el momento actual, que haya sido seña- lado ningún otro, de la misma índole, en substancias inor- gánicas (3). Nunca fué considerable el número de hechos semejantes (1) Para mayor ilustración, véase el discurso de Stobbe en la So- ciedad Bunsen (Viena, Mayo 1908). (2) Zeitschrifs fir Physikalische Chemie. Bd. 51. S. 297.-Bd. 53. S. 385. —1905. (3) Anales de la Sociedad Española de Fisica y Química, tomo I, página 346, -—1903, — 518 — á los indicados, aun en las épocas en que recibió mayor im- pulso el interesante estudio de las acciones químicas de la luz; pero no ha mucho, ampliadas las observaciones é inven- tados nuevos métodos de practicarlas, fué aumentando el catálogo de los fenómenos de fototropía, singularmente en lo que á las materias orgánicas atañe, y vino la necesidad de agruparlos teniendo por criterio su propio mecanismo. En tal sentido se admite la existencia de fototropías reversibles, poco numerosas, en las cuales el cambio de color suele ir acompañado y aun reconocer por causa acciones químicas, más ó menos complejas, pero siempre del mismo carácter de reversibilidad. Otras fototropías son llamadas seudore- versibles, citándose entre ellas, por la más conocida, el cambio de color, del rojo en verde, de las disoluciones de oxalato ferroso en presencia de la luz, y se consideran, con fundamento, verdaderos fenómenos catalíticos (1), en mi en- tender relacionados, en cuanto á la manera de producirse, con algunos muy particulares de fotoluminescencia. Y se co- nocen fototropías irreversibles, que son las más frecuentes, y en las que el cambio de color implica necesariamente un cambio químico permanente y fijo, que no puede servir como punto de partida para reproducir el sistema inicial (2). Conviene partir de la definición de Luther referente á las reacciones fotoquímicas verdaderamente reversibles. En sen- tir de este investigador son aquéllas ocasionadas por la luz que, en la obscuridad, regeneran totalmente el estado inicial, de tal suerte que el hecho pueda ser repetido á voluntad cuantas veces se quiera. A semejante categoría pertenece el cambio de color de un sulfuro de calcio cuando es sometido (1) Luther und Plotnikow. Zeitsch f Physikal Chemie = Bd: 61 S 513 = J 1908. (2) Werner Mecklenburg. NOTAS ALEMANAS DE QUÍMICA en los Anales de la Sociedad Española de Fisica y Química, tomo VI, pági- nas 249, 298, 446, 495, 529. (Madrid, 1908.) — 579 — á fuerte iluminación, empleando la luz blanca del día, y aná- logo significado tienen otras variantes de coloración, que no pueden ser atribuídas á Oxidaciones superficiales, de masas sulfuradas sensibles á la luz y fosforescentes. Observaré cómo los casos de fototropía, á lo menos en su última fase, si no pueden considerarse frecuentes en las materias inorgánicas, tampoco son de suma rareza y se pre- sentan con caracteres particulares en cada uno. A este pro- pósito pudiera citar la transformación del hidrato SO,Ni 7H,0, clinorómbico, de color verde esmeralda, en el hi- drato SO,Ni6H,O, variedad cuadrática, de color azul, efectuada mediante la acción de los rayos solares, á 20? ó 30"; pero el hecho ha sido modernamente puesto en duda (1), y parece que se trata más bien de un fenómeno de eflores- cencia, que es peculiar de algunos sulfatos de níquel. Sin embargo, ya Marignac, estudiando el dimorfismo del hep- tahidrato citado, observó que el paso de los cristales clino- rómbicos á la forma cuadrática, con cambio al color azul y pérdida de transparencia, se efectúa á la temperatura ordi- naria, sin ser notada variación de peso (2) y por mi propia observación, que ha menester ser confirmada, interviniendo la luz solar, que acelera notablemente la transformación; acaso se trata de un fenómeno de fototropía irreversible, condicionado por el tránsito de una forma cristalina á otra, que parece ser la más estable y definitiva del cuerpo en cuestión. De aquí no deben inferirse generalizaciones de ninguna especie. Verdad es que á los cambios de color acompañan cambios químicos ó modificaciones moleculares; mas ni esto implica que haya de tratarse siempre de fenómenos de foto- tropía, ni que las variantes de tono y coloración, debidas á (1) Dobroserdoff. Journal de la Societé physico - chimique russe, tomo 32, pág. 300, 1900. (2) Recherches sur les formes cristallines. 1855. a la luz, signifiquen, de continuo, metamorfosis esenciales, por decirlo así, cuando son, no pocas veces, hechos secun= darios, y no ha de olvidarse que, en determinados sistemas (oxalato ferroso y oxígeno atmosférico, por ejemplo), la luz es sólo provocadora de la reacción seudoreversible, conti- nuada y acelerada por los que Luther y Plotnikow han llamado, con singular propiedad, catalizadores fotoquími- cos (1). y pueden serlo cuerpos de muy variada naturaleza. Punto de partida constante en mis investigaciones ha sido un sistema binario sólido, bastante homogéneo, compuesto de dos partes esenciales: el diluyente, á la continua consti- tuido por el sulfuro de calcio, y el fosforógeno, de variable composición; en ocasiones este último era sencillamente la impureza de las primeras materias empleadas en la obten- ción del sulfuro, el cual, siendo puro, ni fostorece, ni la luz lo impresiona, ni cambia de color en su contacto. Dos mé- todos pueden seguirse, en el caso de emplear fostorógenos, . para difundirlos en la masa del compuesto cálcico utilizado como primera materia; consiste el primero en la trituración mecánica prolongada de la mezcla, en mortero de porce- lana, pulverizando primero, y tamizando y agregando luego el azufre y volviendo á triturar hasta conseguir polvo fino y homogéneo (2). Son buenas materias primeras, según los productos que se pretendan obtener: la cal viva ordinaria, la procedente del oxalato, del nitrato Ó de un carbonato pre- cipitado de una sal cálcica con el carbonato amónico ó por el carbonato sódico, la procedente del mármol blanco, la de conchas y los carbonatos, más ó menos puros, desde el Es- parto de Islandia, á la creta blanca, lavada y seca. En el segundo procedimiento, que pudiera llamarse de impregnación, el fosforógeno, que es una sal metálica, se (1) Las reacciones fotoquímicas seudoreversibles, loc. cit. (2) Con 30 por 100 de azufre obtengo siempre excelentes resul- tados. E PU emplea disuelto y diluído en agua (1) y con el líquido se humedece el carbonato de calcio muy pulverizado, haciendo una papilla que se deseca á 100” sin dejar de agitarlo, y bien seco se mezcla con el azufre. Tengo por buena la práctica de calcinar en crisol abierto, con acceso de aire y á temperatura muy elevada, el carbonato de calcio, impregnado de la mate- ria activa, hasta convertirlo en cal viva y operar luego como de ordinario con ella (2). Cuando se trata sólo de observar fenómenos de fototropía en las disoluciones sólidas resultan- tes, se puede prescindir, en muchos casos, de la adición de cuerpos que puedan ejercer oficios de fosforógenos; bastan las impurezas de la cal ordinaria y someras oxidaciones de la masa resultante, para que el hecho se produzca. Quizá el fenómeno de fototropia por mí señalado sea más ' general de lo que á primera vista pudiera creerse; valga, para demostrarlo, esta observación. Me ha ocurrido diferen- tes veces, al exponer á la luz y al aire varios sulfuros de calcio y de estroncio, para que la luz natural directa é inten- sa los impresionara y experimentaran, al propio tiempo» aquel principio de oxidación que he probado ser necesario para que resulten fosforescentes (3), notar un cambio de color en la superficie de la masa extendida sobre una hoja de papel blanco; á la luz difusa es blanquecina ó agrisada; con luz intensa adquiere color rosado, que se acentúa bas- tante; al cabo de cuatro minutos llega al límite. En la obs- curidad ó á la luz difusa, aun en contacto del aire, el nuevo color va desapareciendo y el cuerpo recobra el suyo primi- tivo. He notado asimismo que los cuerpos susceptibles de presentar el cambio indicado tienen estructura terrosa bien (1) Demuestran los experimentos que las sales más eficaces son los nitratos. (2) Se evitan las sabidas contingencias de calentar carbonato de calcio en polvo y crisol tapado. , (3) Comptes Rendus de l Academie des Sciences de París, tomo 124 página 1.024. (1897.) AE marcada, y de ordinario, ó no resultan fosforecentes, Ó su luminescencia es de poca intensidad, exceptuándose algunos sulfuros de calcio, que la presentan en grado máximo y son muy impresionables. | Fuera de la composición química, que los separa muchísi- mo, y de los métodos de obtención, que nada tienen que ver unos con otros, atendiendo á su condición de cuerpos foto- trópicos solamente, encuentro ciertas relaciones de seme- janza, tocante á la manera de producirse el cambio de color, entre los sulfuros de calcio que he preparado del modo que es dicho y las transformaciones de los fúlgidos de Stobbe, no cuando pasan á productos inestables, engendrando suce- sivamente los fotoanhídridos (1), sino en el caso más sen- cillo de los cambios de color reversibles, de tan fácil obser- vación empleando rayos luminosos de pequeña longitud de onda. Como se trata al cabo de fenómenos y efectos que, á lo menos en lo externo, son idénticos y los provoca el mis- mo agente, paréceme la semejanza bien justificada, siquiera se concrete dentro de los límites en los cuales no se recono- cen transformaciones químicas permanentes (2). Representan á menudo el hecho de la transformación del antraceno en diantraceno y el fenómeno inverso subsiguien- te, considerados tipos de reacciones fotoquímicas perfecta y completamente reversibles, de la manera gráfica siguiente (3): á la luz sistema de dos moléculas 2 C 14 H yo Cos H op diantraceno; A en la obscuridad (1) Discurso pronunciado en la Sociedad Bunsen. Junta de Vie- na, 1908. : (2) Por ejemplo, las del sistema oxalato ferroso y oxigeno atmos- férico. (3) Véase en las Notas alemanas de Química (Anales de la Socie- ciedad Española de Física y Química. T. VI, pag. 446 y 495.—1908), el excelente resumen hecho por el Sr. Werner Mecklemburg. — 583 — y de la propia suerte, tratándose de los fúlgidos de Stobbe y partiendo del anaranjado, sin que alcance el cambio foto- químico la totalidad de su desarrollo, deteniéndose en la fase que se pudiera llamar fototrópica reversible, tendremos por semejanza: á la luz con rayos de poca longitud de onda — Fúlgido A, Fúlgido B, anaranjado pardo <= en la obscuridad ó con rayos de gran longitud de onda Generalizando el procedimiento ó forma representativa d estos hechos y aplicándolo á la fototropía del sulfuro de cal- cio, en los casos en que la tengo observada, tendremos: á la luz -_—_—MMDA Sulfuro de calcio blanco que puede Sistema A ser fostorescente ó no serlo en nin- gún caso. <= en la obscuridad Sulfuro de calcio rosado cuyo tono se acentúa á cada punto. Sistema B respondiendo por ventura el fenómeno, en cuanto á su in- tensidad, á la absorción de determinadas radiaciones foto- químicas obscuras, que comienzan á desprenderse en cuan- to cesa la iluminación directa del cuerpo, pero habiendo realizado en su masa una reacción química reversible, no de- terminada todavía; más que pudiera ser de la misma clase que las dos anteriores, y de todas suertes nunca muy com- plicada, pues se trata, á lo sumo, de un sistema binario en el caso de un diluyente S Ca y un fosforógeno activo, por ejemplo, el bismuto. Según tengo demostrado en anteriores trabajos, que ya quedan citados, pudieran agruparse en dos categorías los sulfuros de calcio que cambian de color por las acciones de la luz, comprendiendo en la primera los que son, á la vez, — 584 — fototrópicos y fosforescentes, y en la segunda los que única- mente son fototrópicos. No es posible, -de momento, estable- cer distinciones más concretas, ni asegurar, de modo positi- vo, cómo resultarán los productos luego de haber calentado, al rojo vivo durante algunas horas, siguiendo lento enfria- miento, las mezclas de cuya reacción provienen los sulfuros de calcio; esto no obstante, el examen de la naturaleza de las primeras materias, las condiciones de la temperatura y la misma constitución del sistema de la disolución sólida resul- tante, proporcionan algunos elementos que contribuyen al esclarecimiento del problema, y aunque así no fuera, las cir- cunstancias apuntadas adquieren, por sí mismas, bastante interés para ser tenidas en cuenta. Hay que notar —y es ya una primera relación que pudiera señalarse entre las dos categorías de cuerpos indicadas —-que los sulfuros de calcio puros nunca resultan ni fosforescentes, ni fototrópicos; son absolutamente inertes respecto de las acciones de la luz (1), y así lo tengo demostrado con sufi- cientes experimentos: se han menester, por lo tanto, prime- ras materias preparadas adrede incorporando en ellas y di- fundiendo con uniformidad en su masa, valiéndose de los métodos que quedan descritos, cantidades pequeñísimas de compuestos metálicos de variada naturaleza, que hacen ofi- cios de fosforógenos (2) sino aprovechan para tales me- nesteres las impurezas de aquéllas, cuando su proporción no es considerable, ni consisten en cuerpos capaces de for- mar con el azufre que se agrega sulfuros negros ó de color pardo obscuro, á la temperatura de constitución de las diso- luciones sólidas activas (3). Y esta condición es común (1) Archives des Sciences Physiques et Naturelles, tomo XXV, página 15, Genéve, 1908. (2) Basta emplear 0,001 gramos de cualquiera de los nitratos de cobre, bismuto, cobalto, níquel ó manganeso. (3) En este concepto la presencia del hierro es en extremo per- judicial y resultan masas obscuras inertes. p h, ls o. ] 3 o bh p ! A — 585 — para los sulfuros de calcio de las dos categorías antedichas y quizá más precisa todavía de aquellos que presentan, con la intensidad máxima, el fenómeno de la fotoluminescencia. Tiene menos relación con la fototropía la temperatura á que son obtenidos los sulfuros de calcio que la presentan, que con la fosforescencia, en cuanto, además, ésta se pier- de por el calor, y aquella facultad permanece invariable. Con todo, á pesar de haber practicado numerosos y varia- dos experimentos referentes al caso, hasta ahora no me ha sido posible determinar la ley que rige las dependencias de la temperntura de obtención de los cuerpos estudiados y el fenómeno del cambio de color cuando se exponen á la luz, y sólo he logrado, en cuanto al particular, confirmar, con otros nuevos, los resultados de experimentos anteriores, y en vista de la variabilidad de esta y otras circunstancias del fenómeno, establecer su individualidad, dependiente cada vez de condiciones de momento, que acaso sean secunda- rias respecto de la formación de los sistemas binarios fosfo- rescentes. Intenté apreciar numéricamente la fototropía de sulfuro de calcio, ya que había demostrado su constancia y persisten- cia en cada uno de los ejemplares de ella dotados y el pe- culiar mecanismo del hecho, me pareció, en el primer mo- mento, base segura para lograrlo, siquiera con una aproxi- mación racional. Guardando, durante muchos días, varios de estos sulfuros fototrópicos, cada uno en su frasco bien ce- rrado, en lugar poco iluminado, y llevándolos juntos rápi- damente á la luz directa, es hasta posible, con alguna prác- tica, apreciar el comienzo del cambio de color; aparece primero rosado muy claro, no tarda en acentuarse, y al cabo de algunos instantes, sin que haya sensibles diferencias de unos ejemplares á otros, y sean los que quieran los. méto- dos de obtención, adquiere la intensidad máxima con mar- cados tonos violáceos, sin que pase este límite permanecien- do por tiempo indefinido sometidos á las directas acciones — 586 — de la luz, que no penetran la masa de los cuerpos, en cuanto la variación del color es únicamente superficial. Llevados á la obscuridad, prodúcese al momento el fenómeno inverso, y bastan cuatro ó cinco minutos para que todos los sometidos al ensayo recobren su primitivo color blanco. Repetido el experimento muchas veces, y cambiando en todos la mane- ra de realizarlo, he visto siempre la misma uniformidad, fuera cualquiera el método de obtención de los sulfuros de calcio fototrópicos, no influyendo tampoco para nada la con- dición de ser fosforescentes, y algunos de ellos con inten- sidades máximas y sobremanera excitables. Una particularidad es de notar respecto de los sulfuros de calcio fototrópicos, y se refiere á su estructura. Mientras que la de cuantos son sólo fosforescentes es, salvo raras ex- cepciones, granujienta y su masa tiene aspecto más ó me- nos escoriforme, como agregado de pequeñísimos granos muy adheridos unos á otros, lo cual les da cierta dureza, la de éstos en que me ocupo es de contínuo terrosa y se dis- gregan con cierta facilidad; los primeros pierden bastante de su sensibilidad y hasta llega á anularse y no son entonces tosforescentes, cuando se les pulveriza; los segundos con- servan la cualidad de variar de color, aun cuando se reduz- can á polvo finísimo. En cambio la luminescencia, por auto- excitación, es siempre de toda la masa y la fototropía se limi- ta á la superficie en contacto inmediato con la luz. Juzgo, aunque de momento no pueda determinar su na- turaleza, ni aventurar hipótesis acerca de su mecanismo, que se trata de una acción química directa de la luz y no de oxi- densiones pasajeras, en cuanto la fototropía del sulfuro de calcio se produce en atmósferas de gases inertes, siendo la única condición que no contengan humedad ni anhídrido car- bónico. Además, los fenómenos de fototropía por oxidación, son limitados, y, en general, pertenecen á la clase de los seudoreversibles, y en los que he estudiado la reversibilidad es completa y entra de lleno en la definición de Luther; por 7 eso, sin aventurar conjeturas demasiado atrevidas, me incli- no á pensar que el nuevo fenómeno acaso pudiera asimilar- se, en ciertos respetos, á los de fotoluminescencia; pues, al cabo, prodúcese en sistemas análogos y tiene caracteres muy semejantes, y sobre todo los determina identica condi- ción. En el sistema de las disoluciones sólidas fosforescen- tes parece demostrado que, al impresionarlas la luz, provo- ca reacciones químicas entre el sulfuro diluyente y la mate- ria activa del fosforógeno, y á ello débese la absorción de energía luminosa, que en la obscuridad es emitida, mientras se efectúan, con mayor ó menor velocidad, las reacciones inversas y el sistema torna al estado inicial. No es otro el mecanismo de la fototropía, á lo menos en lo externo, y la diferencia reside en que lo que en un caso es emisión de luz en la obscuridad, en el otro caso es variación de color á la luz directa y en los dos acciones fotoquímicas perfectamente reversibles. Madrid, Febrero 1909. XXXII. —Remarques sur diverses courbes planes. [Lettre adressée a M.L. Torres y Quevedo.] PAR MAURICE D'OCAGNE. Paris, le 21 Mars 1909. Mon cher ami: A la suite d'un de nos récents entretiens, vous avez bien voulu m'inviter á vous signaler quelques additions, tirées de mes propres travaux, qui pourraient étre faites a l'important Catálogo general de curvas de M. J. de Vargas y Aguirre, ouvrage, au reste, fait avec infiniment de conscience et de soin, et témoignant d'une érudition peu commune. — 588 — Cette lettre a pour but de vous faire connaitre ces addí- tions que je limite, d'ailleurs, á quelques points principaux. Je les rangerai dans deux catégories suivant qu'elles se rap- portent á des articles déja existants dans l'ouvrage de M. de Vargas (1), ou qu'elles seraient de nature á y faire introduire de nouveaux articles. I ' ACUERDO Ó ACORDADA.—Pour le raccordement de deux droites par deux arcs de cercle touchant ces droites en des points donnés A et B et se raccordant entre eux en un point M, j'ai donné la solution la plus générale dans les Nouv. Ann. de Math. (3.* série, T. XVII, 1898, p. 314), so- lution qui se trouve reproduite dans mes Lecons sur la To- pomeétrie (1904, p. 114). Cette solution repose sur ce triple théoréme, á savoir que lorsque Pon fait varier les cercles de raccordement, les points A et B restant fixes,. le lieu du point M, Penveloppe de la tangente commune en M et 'enve- loppe de la droite des centres sont trois cercles concentriques, le second de ces cercles étant d'ailleurs tangent aux deux droites données. On déduit également de lá la solution la plus générale du probléme de l'anse de panier (carpanel) á trois centres, so- lution á laquelle Mannheim était parvenu de son cóté sans avoir eu connaissance du théoréme ci-dessus que j'avais trouvé longtemps auparavant. : CATENARIA.—Dans les applications oú l'on fait usage de la chainette on n'en utilise qu'un arc d'assez faible ampli- tude de part et d'autre du sommet. On a, dés lors, recours, pour son tracé a la parabole qui a, en ce sommet, un contact (1) Les renvois á ces articles sont indiqués par leurs titres en espagnol tels quils figurent dans l' ouvrage en question. .. — 589 — du troisieme ordre avec la courbe. Jai fait remarquer(Ann. des Ponts et Chaussées, 1% trim. 1905, p. 243) que l'on obtenait - une approximation bien supérieure en utilisant lPellipse qui a, en ce sommet, avec la chainette un contact du cinguieme ordre, ellipse dont la détermination est tout aussi simple que celle de la parabole précédente. Cette détermination repose, en effet, sur le théoréme que voici: le demi grand axe de cette ellipse (dirigé naturellement suivant l'axe de la chainette) est égal au triple du parametre de la chainette, et les extrémités du petit axe forment avec le sommet de la courbe un triangle équilatéral. Dans les applications a l'art de l'ingénieur on peut consi- dérer que l'abscisse du point extréme de l'arc de chainette utilisé par rapport au sommet ne dépasse pas 0,4 du para- métre a. Or, pour cette valeur de l'abscisse lexcés de l'or- donnée de la chainette sur celle de la parabole osculatrice est de 0,00107a, tandis que son excés sur l'ordonnée de Pellipse en question n'est que de — 0,00002 a, ce qui, pra- tiquement, est tout á fait négligeable. Par exemple, pour a = 100" (auquel cas la portée est de 80) le premier écart atteint 107" alors que le second n'est, que de 212, Par la méme occasion je rappellerai que j'ai fait connaítre la constructión de la conique ayant un contact du quatriéme ordre avec une courbe quelconque en un quelconque de ses points (Nouv. Ann. de Math., 3* série, T, XVI, 1897, p. 252). CÍRCULO. — Rectificación. —Soit pour rectifier un arc de cercle, soit pour effectuer la construction inverse, c'est á dire, porter sur un cercle donné un arc de longueur donnée, le théoréme suivant (Nouv. Ann. de Math., 4* série, T. VIL 1907, p. 1) fournit une solution suffisamment approchée pour que lP'erreur commise soit pratiquement négligeable: Sí le point M est pris sur la corde AB de facon que AM = - AB et si le rayon passant par le point M coupe Parc AB au point Ryv. Acap, Ciencias.—VIT.— Febrero, 1909. 40 — 590 — 2 A dy : P, on a: corde AP = = arc AB avec une erreur relative qui ratteint 0,00001 que vers 20”, 0,0001 que vers 40” et 0,001 que vers 70”. CÓNICAS POLARES RECÍPROCAS.—En cherchant dans quels cas deux courbes peuvent étre á la fois polaíres récipro- ques et homologiques Y ai reconnu (Bull. de la Soc. Math. de France, T, XIII, 1885, p. 204) que cette circonstance n'avait lieu que pour les coniques bitangentes a la conique directrice de la transformation polaire. L'axe et le centre d'homologie sont alors constitués par la corde des contacts et-son póle. TI ADJOINTES INFINITÉSIMALES. — Si les points d”'une cour- be C, sont liés á la fois aux points et aux tangentes d'une courbe C de facon que les éléments infinitésimaux d'ordre 1 de C dépendent de ceux d' ordre n—1 de C,, cette courbe C, est dite une adjointe infinitésimale de C. Le caractére géométrique que doit offrir la définition d'une telle adjointe est approfondi dans les Nouv. Ann. de Math.. (3.* série, T. XIX, 1900, p. 219.—Voir en particulier p. 222 e1(228.) | | Parmi ces adjointes infinitésimales, il convient de signaler spécialement 1*”adjointe des directions normales. (Jorn. de sc. math., phys. e naturaes, 1.* série, T. XII, 1888, p. 193, et 2." série, T. Il, 1892, p. 227.—Amer. Journ. of Math., T. XI, 1889, p. 55 et T. XIV, 1892, p. 227), lieu des points de rencontre des rayons vecteurs de la courbe C issus d'un póle O et des paralléles aux normales correspondantes me- nées par un second póle O,. Cette adjointe fournit cette construction bien simple du centre de courbure répondant a tout point de la courbe C: — 591 — “Par le point N oú la normale en M'a la courbe C rencon- tre la droite OO, on mene a la tangente en M a la courbe € une parallele qui coupe le rayon vecteur OM en P. La pa- rallele menée par P a la tangente en M, a Padjointe C, passe par le centre de courbure répondant au point M. Si la courbe C est une conique de centre O, ayant un axe dirigé suivant OO,, 1 adjointe C, est une droite perpendi- culaire. 4 O O, et la construction précédente redonne alors, atitre de cas trés particulier, la construction classique de Mannheim pour les centres de courbúure des coniques. Une autre adjointe infinitésimale particulicrement intéres- sante á considérer est celle dite polaíre qui est constituée par le lieu des extrémités des sous-normales polaires, c'est a dire, par le point M, de rencontre de la normale en Ma la courbe C-et de la perpendiculaire élevée par. le póle O au rayon vecteur OM. _Cette adjointe donne, pour le centre de courbure en tout point de C, la construction suivante: Si le rayon vecteur OM coupe respectivement en H et en N, la perpendiculaire. élevée en Mi á la normale MM, et la normale á l'adjointe C,, le centre de courbure répondant au point M est sur la droite 'joignant le point H au milieu de M,N,. nv Jai déduit de lá, dans mon Cours de Géométrie e*scripti- ve et infinitésimale (p. 288) une construction bien Eimple du centre de courbure de la podaire d'une courbe quelconque. ISOMÉTRIQUES.—Par rapport á un systéme quelconque de courbes planes T, dépendant d'un paramétre, lesscourbes C et C, sont dites ¿sométriques si les ares des courbes C et C; compris entre deux quelconques des courbes T ont méme longueur. (Bull. de la Soc. math. de France, T. XII, 1885, peTEYo jas Il est particuliérement intéressant d'étudier les Boméle ques d'une droite “par rapport á 'certains systémes simples de lignes T, et notamment par rapport á un systeme de - 502 — droites concourantes. J'ai traité á fond ce dernier probléme qui dépend des fonctions elliptiques (Loc. cit., p. 75) et j'ai fait connaitre quelques propriétés géométriques des courbes remarquables ainsi obtenues (méme recueil, T. XVII, 1889, p. 171). J'ai encore étudié un autre cas curieux d*isométrie (Nouv. Ann. de Math., 3.* série, T. X, 1891, p. 82) entre une droite et une courbe transcendante appartenant á la classe de celles que Sylverter a appelées syntractrices . Veuillez agréer, mon cher ami, la nouvelle expression de ma bien cordiale sympathie. XXXIV.—Deducción elemental de una condición aná- loga á la de Arnold para la posibilidad de una buena conmutación en las máquinas eléctricas pro- vistas de colector. Por ESTEBAN TERRADAS. Se supone que la escobilla no tiene mayor ni menor con- tacto con el conmutador que el espesor de una delga. El con- junto dé conductores lineales en una máquina eléctrica pro- vista de colector, puede reducirse á los indicados en el adjun- to esquema (fig. 1). En él, res la resistencia de la bobina que se halla en corto-cir- cuito, y tuyo coeficiente de autoinducción llamamos /. 2R, es la resistencia de todas las bobinas del inducido puestas en serie, descontada la de las bobinas en corto cir- cuito. Al coeficiente de autoinducción correspondiente lo lla- mamos 2L,. R, figura la resistencia de la linea cuyo coeficiente de au- toinducción sea Lo. — 593 — r, representa la resistencia entre la escobilla y el punto A. r, la resistencia entre la escobilla y el punto B. Se supone que el inducido y el colector giran en el sentido de la flecha. Como las superficies de las delgas d, y d, en contacto en un instante dado con la escobilla, varían con el tiempo, las resistencias r, y r, son funciones del tiempo. La autoinducción £L, del inducido, unida á la L, de la línea, se opondrá á las va- riaciones de corriente del cir- cuito constituido por las re- sistencias r, r, y r, tales, que tiendan á variar la intensi- dad /, que atraviesa R,, Ó la I, que atraviesa la línea. ,, En lo que sigue, supondre- mos, apoyados en lo que acabamos de decir, que las variaciones de /, Ó /, son pe- queñas, comparadas con las Figura 1.2 de las otras intensidades del circuito, á las que llamamos ¿, í, y iz, indicando el subíndice las resistencias que atraviesan. Si T representa la duración de la conmutación en una bo- bina, y f el tiempo contado desde que aquélla empieza, s la superficie de contacto máxima entre una delga y la escobilla y p la resistencia especial que existe en el tránsito de la del- ga á la escobilla, se tendrá f, = P T—fÍ Fa = p T == P1> T A ea — 594 — siendo p, y po las resistencias de los conductores que unen las bobinas á las delgas, más la de las delgas. Las leyes de Kirchhoff, aplicadas á la red indicada en la figura, conducen á las siguientes ecuaciones: MENE ly =L, —i Ta Lo e 2d ri4 LE mi — robe =0, | dí dl A +H Falo Rolo Ls ah Ada E=0; | 2 siendo e y E las fuerzas electromotrices que se desarrollan en la espira ó bobina conmutada y en las restantes de cada rama del inducido respectivamente por la influencia del cam- po en que se mueve aquél. Es de observar que la densidad de la corriente que atra- viesa el contacto entre la escobilla y la delga, vale jo (ARA Cuando cesa la conmutación, [, es cero, y ¿= — I;. Si suponemos, como ya antes hemos dicho, que las variaciones de /, son exiguas comparadas con las de /, Ó /, se tendrá: di, di di aia Cuando /, valga cero, Aba A di 6287 : — 505 — y será la densidad % para t= T: a la e) La primera condición para una buena conmutación es que 3 no alcance en el instante final valores elevados. En lo que sigue vamos á deducir la condición ques debe cumplirse para ello. Las ecuaciones (1) se cds transformar en las dos si- guientes: Mente ri+ La) HL E e, dl IR; +2Ro rr) + lr — ri (La +21, a 6 bien | NA y E +=, E RAR dr y m pl L, + 2L, dan Sumando estas dos ecuaciones y haciendo caso omiso de del, al lado de de queda di la di L, + 2L, L f—fe |, R+2R,+r,+1 (A ELITE A A art 80 EA Al 0 CA e=0 (3 +1| ar | [E+e=0 () Pongamos T—f==, y hagamos caso omiso de r cuando entra en la forma [+7 6 T—r, con lo cual las condiciones — 596 — que obtengamos sólo serán valederas para instantes f pró- ximos á T; es decir, para cuando la conmutación acaba, mo- mentos que son los que más interesan. Se tiene de este modo: NE 1 ¡a pT nor = +oT| 7 |=n 0. + Ti Tr ly += (1 + Pa + —. Y con esto la fórmula (3) puede escribirse: O: Pa LEA to A UG eN o A la + Ppr—P2 , Rit2R>+1+Ps EIA a AeESaS AN MA Eu ra rai Como analizamos los valores de í y su derivada respecto á T, para valores de f próximos á T, podemos hacer caso omiso de las variaciones de E y e, considerando á estas can- tidades como constantes. Si para simplificar escribimos 01 — la + r + P1 +» lie y 0 q E E 1 1 e A a E + ESE MI= IN, do o L E BRMEPOZ=C — 597 — la ecuación última se podrá escribir | O d [a T R T Ó bien poniendo a; | ac A M dí ll Para resolver la ecuación anterior se puede escribir y = uv, con lo que se convierte en dv du M —=4— +v | —— +u| A+ — IE A NES Podemos disponer de 8, de modo que du M =— Fu A+ —]|=0, dr 1 | M7 7 | y aún quedará para determinar v la ecuación dv —u— +P=0. dr da El valor de u, que cumple con la condición impuesta, es e Con este valor, = a de siendo K una constante. — 598 — El valor de y = uv, será yenes [e fomearás+ e] de donde 2 == 40 4 |, Mg=At | + Md ea 0+x] + as a | Mante + ArMesr | | - Vamos á considerar por separado las dos ES LE MM leA q Aaa. y 3.* A armes" | Para que la primera no alcance un valor infinito para T= 0, es preciso que ME (4) La segunda se compone de otras dos: O E las TN A La primera, X, para z=0 y M> 1 se presenta en la forma 0 >= oo. Su verdadero valor es: ja Mi eres ci — (M+ 1)7-Me-47 — Ar-M+De—-Ar MP MP MAS 11M y tiene, por tanto, un valor finito para T =0, También Y se presenta en la forma o < oo para T = 0; su verdadero valor es APr=Mg-A* a Y = == —_—_——— = (0 — Mi M-1g-AT_ A3 Mp4 M FS luego Y se anula para 1 = 0. Resulta de lo dicho, que lo primero que se necesita para una buena conmutación es que M>1. Restableciendo el valor de M, pu REN a ant Se ha observado que multitud de máquinas funcionan sin — 600 — chispas, á pesar de que no se cumple en ellas la condición de Arnold: - T as: a acaso podría explicarse tal circunstancia por deber cumplirse la condición (5) que no excluye T' E JE a XXXV.—Los principios fundamentales de la Mecánica racional.—Un primer capitulo de mecánica. (Continuación). MI,—Ruerza y masa. 17. Diversas aceleraciones de un mismo móvil.—Con los elementos de juicio ya conseguidos para medir intensidades de las fuerzas por sus efectos estáticos, reanudemos el es- tudio y comparación de los dinámicos, para hallar la ley ge- neral de su producción. Tomemos un cuerpo A, suficiente- mente pequeño para poderlo imaginar reducido á un punto material, y sometámoslo á una fuerza dada en condiciones de poder medir con suficiente aproximación la aceleración del movimiento que se origine (*). Registrado el número ob- tenido, repitamos la operación sobre el mismo cuerpo, em- pleando una nueva fuerza, y midamos la nueva aceleración. Se observa, comparando las aceleraciones entre sí, que son (*) Las fuerzas constantes son las que mejor se prestan á estas experiencias. — 601 — proporcionales á las intensidades de las fuerzas. Siendo, pues, F”, F” las intensidades y J',, /”, las aceleraciones, podremos escribir AAA A Como este resultado se reproduce siempre operando con fuerzas cualesquiera, podremos sentar la siguiente ley ge- neral : Las aceleraciones de los movimientos producidos por fuer- zas distintas obrando separaradamente sobre un mismo mó- vil, son proporcionales á las intensidades de estas fuerzas. Tenemos así relacionados los efectos estáticos que miden las intensidades con los dinámicos medidos por las aceleracio- nes, supuestas las distintas acciones ejercidas sobre el mismo móvil. Siendo, por consiguiente, F', F”..... F!..... las intensida- des de varias fuerzas, y j',,]"y».... j*,..... las aceleraciones de los movimientos que producen sobre un mismo móvil A,, podremos escribir la serie continua de razones iguales pel SM tn == lan (01168) llamando mm, la razón común de cada fuerza á su aceleración respectiva. EscoLio. Esta importante proposición, que acabamos de sentar como resultado experimental, puede mirarse también como consecuencia del postulado segundo. Para verlo así, llamemos n la razón F”: F”, é imaginemos la fuerza F” como formada por la superposición de n fuerzas iguales á F” (*); cada una de éstas deberá producir sobre el móvil A, una aceleración igual á j,”, y en virtud de dicho postulado, el (*) Si supusiéramos F' y F" inconmensurables entre sí, el méto-- do bien conocido de los limites conduciría á la misma conclusión, 60% efecto de F* se obtendrá sumando los de cada una de di- chas F”, es decir, tomando n veces la j,”, puesto que se hallan superpuestas. Se tendrán así las dos expresiones F' — EA dE == NY de las que resulta MEyO EQInAS F” NE 18. Diversas aceleraciones debidas á una misma fuerza. Masa. — Supongamos repetidas las anteriores operaciones: con un segundo móvil A, y con las mismas fuerzas; las ra- zones (3), para esta segunda serie, darán ! ! | E ae Ps En general, las razones m, y m, serán diferentes, según. la naturaleza y condiciones de los móviles A, y Ay. De con- siguiente, estos números m, y m2 miden las- capacidades de dichos móviles para obedecer á las acciones dinámi- cas, por consecuencia de sus diversas naturalezas físicas, apareciendo así un nuevo elemento cuantitativo: el de la razón constante de todas las fuerzas posibles á las respecti- vas aceleraciones de los movimientos que tales fuerzas ori- ginan, al obrar sobre un mismo cuerpo libre. Esta razón se llama masa del cuerpo, y, como acabamos de decir, es un elemento cuantitativo que interviene en todo movimiento, y que depende de la constitución del cuerpo y de sus dimen- siones. lea | 19. Noción física de la masa.—Esta dependencia es en su fondo un hecho de tal modo obscuro, que cuantos es- fuerzos han hecho los pensadores por dilucidarlo, sólo nan logrado hasta el día confirmar la gran limitación de la mente =- 603) — humana; peto al analista le basta haber reconocido por la experimentación, auxiliada por el raciocinio inductivo, las relaciones precedentes, para poder deducir consecuencias y fórmulas útiles en la resolución de problemas. De cualquier modo, importa consignar que existe una eran ley de la Naturaleza física terrestre, minuciosamente verificada por delicados experimentadores, en la cual halla nuestra mente esclarecimientos externos suficientes para ge- nerar un concepto físico que sirve de precioso auxiliar en la formación de imágenes de los fenómenos, y de bas2 para mediciones y fórmulas analíticas. Esta ley atudida es la bien conocida de la Física, que dice: Todos los cuerpos caen en el vacío con as misma velocidad. Enunciándola en términos más precisos y propios de nuestra explicación, podremos decir: Todos los cuerpos materiales, de cualesquiera dimensio- nes, formas y especies químicas que sean, abandonados en el vacío y en un mismo lugar de la Tierra, caen con una misma aceleración (constante, si el movimiento se considera en escasa amplitud). Por consiguiente, si observamos que las fuerzas actuan- tes que producen «estos movimientos son los respectivos pesos, teniendo presente las relaciones (3), deduciremos que las masas de los diversos cuerpos todos son preporcio- nales á sus pesos. Si, aparte de esta importantísima conclusión, tenemos pre- sente otro hecho bien comprobado, á saber: Que los pesos de dos cuerpos formados con una misma especie química bien definida, pura y estable, á igualdad de temperatura y presión, son proporcionales á sus volúmenes; podemos concluir: Primero: Que la masa de un cuerpo es una manifestación. cuantitativa originada por algo inherente á su constitución material que escapa á nuestra inteligencia, pero cuya reve- lación física es el peso en general ; — 604: Y segundo: Que en particular, las masas de los cuerpos de una misma especie química, en iguales condiciones de tem- peratura y presión, se revelan por sus volúmenes. 20. Densidad y peso específico.— Puesto que, según eso, diferentes cuerpos de una misma especie química tienen masas proporcionales á sus volúmenes, cada especie estará caracterizada, respecto de este particular, por su masa es-. pecífica 6 densidad, esto es, masa de la unidad de volumen. Llamándola p, M la masa y V el volumen, tendremos para cada cuerpo, supuesto homogéneo, p==>, ósea M=Vpg. Como para medir M hemos de acudir á su peso P, si lla- mamos £ la aceleración constante que la gravedad impri- me á los cuerpos en la superficie de la Tierra, tendremos también pis M, 6 P=Mg. S Luego si llamamos z el peso específico, 6 sea el peso de la unidad de volumen, serán que diP nd Ao RE PTE T= PL, fórmulas de muy frecuente uso en la Mecánica. 21. Ecuación fuudamental de la dinámica.—Nada más fácil ya que expresar una fuerza por sus efectos dinámicos. Si dos fuerzas F y F', obrando sobre dos cuerpos de masas m y m', producen respectivamente las aceleraciones / y /”, tendremos: VO td A — 605 — de donde => (4) Y así, podemos decir en términos ordinarios que sí dos fuerzas, actuando sobre dos masas diferentes, producen ace- leraciones diferentes, sus intensidades son proporcionales á los productos de estos dos elementos. Si ahora suponemos que F' se toma por unidad de inten- sidad, que m' es asimismo la unidad de masa, y que estas unidades se han elegido de manera que la aceleración j' sea también la unidad de aceleración, la (4) se convierte en expresión analítica que, sintetizando todos los resultados precedentes, constituye la ley fundamental de la Dinámica y es la base de todas sus ecuaciones; puesto que, despejando de ella la aceleración /, para substituirla en el segundo miem- bro de la (1), da ya á ésta el carácter de ecuación, convit- tiéndola en cuyo primer miembro es el producto de la masa del móvil por la aceleración que determina la ley cinemática del movi- miento, y cuyo segundo miembro es la magnitud representa- tiva de la causa agente, medida en su propia existencia; y así, al igualar ambas cantidades, queda expresado analítica- mente cómo los efectos dependen de las causas, según nos proponíamos establecer. Si hacemos la misma transformación en las (2), correspon- dientes al caso general de una fuerza variable, como las pro- yecciones del vector aceleración sobre los ejes son acelera- ciones de los movimientos rectilíneos coordenados, y las fuerzas son siempre proporcionales á las aceleraciones, po- Rev. Acap. Ciencias. —VII.—Febrero, 1909. 41 a OÑ dremos considerar que estos movimientos componentes son debidos á fuerzas que tienen por respectivas rectas de posi- ción las paralelas á los ejes por el punto móvil, y por inten- sidades las proyecciones sobre los mismos de la intensidad F. Por tanto, llamando X, Y, Z estas proyecciones, las ecuacio- nes generales del movimiento del punto material, en coorde- nadas cartesianas cualesquiera, serán: m =X, m—==Y, =—= = dé? ] ate di altos Xx - dey ate Por último, aplicado análogas consideraciones á las pro- yecciones del movimiento sobre la tangente y la normal principal á la trayectoria, ya que la fuerza, teniendo por recta de posición la misma que la aceleración, está en el plano osculador, y llamando Fr, Fn las proyecciones de F sobre di- chas rectas, tendremos para ecuaciones intrínsecas del movi- miento: 22. Unidades de fuerza y masa. —El sistema llamado te- rrestre de unidades, por'su relación con las dimensiones de la Tierra, tiene adoptado el kilogramo como unidad práctica de fuerza; pero como la aceleración gy de la gravedad no se ha tomado como unidad lineal, ni de aceleración por tanto, la fórmula (5) sólo corresponderá analiticamente á las uni- dades cuando se tome por unidad de masa la de un cuerpo que pese e kilogramos, esto es, 9,808 (*), que es el número que mide g en metros. De este modo, para hallar la masa de un cuerpo de p kilogramos, será necesario multiplicar p por 1 9,808 == (010% número que constituye, por tanto, un coe- (*) En Paris, que es el lugar de la Tierra en que está definido el kilogramo. En Madrid es 9,804; en el ecuador, 9,781. — 607 — ficiente parásito, de use incómodo, cuya desaparición de las fórmulas interesa conseguir. Por eso, y por otras varias razones (*), se ha introducido modernamente en la ciencia el sistema llamado absoluto, que tiene por unidades fundamentales el centímetro, el gramo- masa y el segundo de tiempo (de cuyas iniciales ha tomado el nombre de cegesimal, con que también se le designa); en tal sistema, la unidad de fuerza se considera como derivada, y es la que obrando sobre el gramo-masa en reposo, le comu- nica la aceleración unidad, ó sea un centímetro. Esta unidad se llama dina, y su relación con la del sistema terrestre re- sulta en seguida, escribiendo 1 kilogr.-fuerza = 1 kilogr.-masa =< 980,8 est; pues como es l dina = 1 gr.-masa =< 1 centím., se deduce 1 kg =(1000 >< 980,8) dinas = 980800 dinas. Asi, la dina vale poco más de un miligramo. En cuanto á la ecuación de las dimensiones de la unidad de fuerza, se tiene, recordando la de la aceleración, 23. Observación importante sobre las anteriores relacio- nes.—En todos los razonamientos precedentes en que han entrado ideas de movimiento, se ha supuesto necesaria- mente que nos referíamos á movimientos absolutos. Ahora -(*) Véase la nota anterior. Como y es variable según el lugar de . la Tierra, el sistema terrestre carece de universalidad, lo que consti- - tuye un serio inconveniente. e 0 bien: estando la Tierra en movimiento, es claro que nues- tros experimentos han tenido que referirse todos á ejes mó- viles; pero como, según se demuestra en Cinemática, la aceleración complementaria es sumamente pequeña para todo movimiento cuya velocidad no sea considerable, los resultados de las indicadas operaciones experimentales sólo vienen influidos de errores exiguos, incapaces de falsear las enseñanzas y leyes que en ellas hemos fundado. IV.—Las fuerzas como vectores. 24. Representación vectorial de la fuerza.—Resulta de cuanto llevamos establecido, que los atributos determinati- vos de una fuerza son precisamente los elementos de un vector: dirección y sentido, intensidad como módulo y recta de posición; puesto que tratándose de cuerpos rígidos, se- gún el postulado quinto, puede considerarse aplicada á cual- quiera de los puntos de la recta trazada, según su dirección, por el punto á que realmente está aplicada. De consiguiente, una fuerza tiene por representación genuina un vector. Según esto, la teoría general de los sistemas de vectores podrá suministrar inmediatamente relaciones útiles para la teoría del equilibrio; y decimos podrd, porque antes de afirmarlo es necesario demostrar que todas las propiedades analíticas y geométricas en que fundamos aquella teoría tie- nen cumplida aplicación á esta otra. Y esto es lo que nos proponemos evidenciar en este artículo. 25. Sistemas de fuerzas.—Un sólido invariable puede estar sometido simultáneamente á la acción de varias fuer- zas aplicadas á uno ó á varios de sus puntos. Este conjunto de fuerzas se llama sistema; cada una de ellas recibe el nombre de componente del mismo. Sin dificultad se comprende que los sistemas de fuerzas pueden ser clasificados como los de vectores que las repre- ' SN M: %. 3 » 1 E a h — 609 — sentan: así tendremos sistemas superpuestos en una misma recta, concurrentes en un punto, paralelos, etc. De los sistemas superpuestos, hemos tratado ya, al for- mular las proposiciones utilizadas para la medición de la fuerza. 26. Fuerzas concurrentes: principio del paralelogramo. — Imaginemos un punto material sometido á la acción simultá- nea de dos fuerzas de distintas direcciones: es evidente la imposibilidad de que siga á la vez las dos trayectorias dife- rentes que dichas acciones aisladas determinarían. Por el postulado segundo, ya conocemos la ley á que obedecerán los efectos dinámicos que se originen; tratemos ahora de averiguar cuál será la que rija los efectos estáticos. Para ello acudamos á la experimentación. Tomemos tres cuerdas perfectamente flexibles anudadas en un punto, y ejerzamos sobre este punto, por medio de dichas cuerdas, acciones convenientes á favor de tres pesos ó tres resortes dinamométricos hasta lograr el equilibrio; se ve que éste es posible, y del estudio de las condiciones que deberán satis- facerse, deduciremos importantísimas consecuencias, La primera, inmediata según el postulado tercero, es que cada dos acciones, puesto que aparecen equilibradas en su acción conjunta por la tercera, tienen una resultante ó equi- valente única, la igual y opuesta á esta tercera; luego pode- mos formular la siguiente proposición: Dos fuerzas angulares aplicadas simultáneamente á un mismo punto, equivalen siempre en su efecto estático á una fuerza única. Esta fuerza única se llama resultante de aque- llas dos componentes. En seguida, procurando relacionar la forma que afectarán las tres cuerdas en el equilibrio con las intensidades de las fuerzas, que supondremos registradas y llamaremos F, F,, F,, observaremos: primero, que son coplanarias y cada una de ellas se contiene en el mayor ángulo que forman las otras - dos; y después, que si construímos un exágono inscripto so- — 610 — bre las tres cuerdas como diagonales y de lados respectiva- mente paralelos á éstas, los lados de este exágono son pro- porcionales á las tres intensidades F, F,, F,. Y como, según el postulado quinto, las cuerdas afectan en el equilibrio las mismas direcciones de las respectivas fuerzas, concluímos que las tres intensidades satisfacen á la relación F+4F,+F,=0, ó F,+F,=—F; su suma vectorial es cero, ó bien la resultante de dos de ellas es igual á su suma geométrica. Resumiendo, pues, diremos: PRINCIPIO DEL PARALELOGRAMO.—Dos fuerzas aplicadas simultáneamente á un mismo punto en distintas direcciones, tienen una resultante única, que es igual á su suma geomé- trica ó vectorial (diagonal del paralelogramo, etc.) Y de aquí, como corolario, esta otra proposición general: Un sistema de fuerzas aplicadas á un punto, tiene en ge- neral una resultante aplicada al mismo, igual á su suma geo- métrica. Si esta suma es nula, la resultante lo es y el sistema está en equilibrio. OBSERVACIÓN.—Recordando la proporcionalidad existente entre las fuerzas ylas aceleraciones aplicadas á un mismo mó- vil, podemos reconocer en el principio que acabamos de esta- blecer una confirmación experimental del postulado segundo. 27. Equilibrio de un sistema concurrente.—Se ve inme- diatamente que un sistema de esta clase en equilibrio está representado por un sistema nulo de vectores concurrentes; luego podremos escribir 0 AN 0 como condiciones de equilibrio, referidas á tres ejes carte- sianos. Además, interesa observar que, satisfechas estas condicio- nes, queda satistecha también la conocida Ie F =0; — 611 — la suma de momentos, ó sea el momento del sistema en equi- librio, es nula respecto de cualquier centro C del espacio, y por tanto, respecto de cualquier eje. De otro modo, diremos también que el momento de la resultante es igual á la suma de momentos de las componentes. 28. Fuerzas cualesquiera en un plano: principio de la palan- ca.—Supongamos ahora que á dos puntos A y B de un sóli- do invariable están aplicadas dos fuerzas F,, F,, y tratemos de impedir el movimiento, ó sea de equilibrar este sistema por la introducción de una tercera fuerza F aplicada en un punto arbitrario H; observaremos que sólo se logra el equilibrio cuando se satisfacen estas dos condiciones: Primera. Las tres fuerzas han de ser coplanarias. Y segunda. Los momentos de F, y F, respecto de un punto cualquiera C de F, han de ser iguales y de signos con- trarios. Luego: Si las rectas de posición de F, y F, son concurrentes, la de F tendrá que pasar por el punto de concurso de am- bas; pues tomando por punto C el de concurso de F con F,, el momento de ésta será nulo, y tendrá que serlo tam- bién el de F,. En tal caso, pues, teniendo presente el postu- lado quinto, recaemos en el principio del paralelogramo, y F habrá de ser suma geométrica de F, y F,. Y si F, y F, son paralelas entre sí, F habrá de ser para- lela á ellas. Pero entonces, puesto que estas tres fuerzas es- tán en equilibrio, podremos aplicar la segunda condición también á F, y F respecto de un punto cualquiera de la F,, lo que nos permitirá concluir fácilmente que F ha de ser la suma algébrica de F, y Fs. En consecuencia, podemos establecer ya el siguiente prin- cipio, llamado de la palanca, por lo que después se dirá. PRINCIPIO DE LA PALANCA. Dos fuerzas coplanarias, apli- cadas á puntos distintos de un sólido invariable, son siempre equivalentes á una sola, igual .á su suma vectorial, y cuya — 612 — recta de posición es lugar de los puntos respecto de los cua- les es nula la suma de los momentos centrales de dichas dos fuerzas. le Se tendrán, por tanto, las dos relaciones FF E=0, 000 9 6F, +9R¿F, =0; y como de ellas se deduce analíticamente que también para otro punto C” cualquiera se verificará MF, + Io F, + DM F =0; y como, aplicando el mismo principio, podemos también con- cluir que cualquiera de las fuerzas puede substituirse, sin alterar el equilibrio, por otra ú otras varias coplanarias que no alteren la suma nula de todas ellas ni la suma nula de to- dos sus momentos; resulta, finalmente, que /as condiciones de anulación, y de equivalencia, por tanto, de los sistemas pla- nos de fuerzas son precisamente las mismas de equilibrio y de equivalencia de los sistemas planos de vectores. OBSERVACIÓN. Hemos dicho que el anterior principio se llama de la palanca: la razón es evidente. Si imaginamos substituida la fuerza F por la reacción de un punto fijo de su recta de posición, el sólido S constituirá una palanca en equilibrio, aparato bien conocido, estudiado ya en la anti- giiedad por Arquímedes, y cuya teoría no es oportuno des- arrollar aquí. 29. Equivalencia de sistemas cualesquiera de fuerzas.— Para ver, por último, extendida la anterior conclusión á los sistemas todos de fuerzas, cualesquiera que sean sus condi- ciones, bastará probar que es cierta para dos fuerzas no co- planarias entre sí, equilibradas por otras dos no coplanarias también entre sí. Y esto es fácil, aplicando convenientemente el mismo principio cuya extensión buscamos. - - Sean F, aplicada en A, y F, en B, dos fuerzas no coplana- — 613 — rias. Tracemos por dichas fuerzas dos planos arbitrarios, y sea CD su recta de intersección. Siendo CD y F, coplana- rias, podremos aplicar en CD una fuerza F”,, y además in- troducir otra F', coplanaria con ella y F,, tales que cumplan entre las tres las condiciones de equilibrio, esto es, que se tengan las relaciones F,+F',+F",=0, MOF, +IOF +9 F”, = ) siendo O un punto cualquiera del espacio. Análogamente, introduciendo otras dos fuerzas, F”, según CD, y F', copla- naria con ella y la F,, tales que se equilibren entre las tres, se tendrán también las E, PF) F”=0, ICoF, + 9MoF, +9M9F”, =0; Pero en la elección de estas dos últimas, podemos siempre disponer de F”, de modo que sea igual y opuesta á F”,; y como además tienen la misma recta de posición, serán en- tonces | FA +F%=0, MoF”+9MoF” =0; luego quedan únicamente, sumando, EF, +F+F,=0, MEF, + DMSFENMEGF, +9 4F”, =0, como condiciones á que satisfacen las cuatro fuerzas que se equilibran, según habíamos anunciado. Observando ahora que una ó más de estas cuatro fuerzas pueden ser substituidas, sin alterar el equilibrio, por otra ú otras, en número cualquiera y aplicadas de cualquier modo, con tal que no se alteren las anteriores sumas nulas, conclui- remos en definitiva que las condiciones mecánicas de equili- brio y de equivalencia de sistemas cualesquiera de . fuerzas, — 614 — tienen por traducción analítica las establecidas para la anu- lación y la equivalencia de los sistemas de vectores. 30. Reducción general de los sistemas de fuerzas. —En consecuencia, aplicando las propiedades sabidas de los sis- temas de vectores, en particular cuanto se refiere á su reduc- ción, podremos ya formular brevemente y con toda genera- lidad las leyes de la reducción de los sistemas de fuerzas. Tendremos, pues: 1. Que todo sistema de fuerzas es seductibles en general á un torsor, cuyo resultante representa una fuerza única, y cuyo par mínimo constituye un par de fuerzas, de índice pa- ralelo á aquélla. Este torsor ha recibido modernamente el nombre de dina- mia; y así diremos que, en general, todo sistema de fuerzas es equivalente á una dinamía. Los elementos de la dinamia serán, conforme ya sabemos: La fuerza F, siendo X*, Y% Z? componentes coordenadas de una fuerza cualquiera del sistema, ENTE Eyed 7 y el par, | LEX! MEY' + N2Z' F W = donde L, M, N significan: E (y Zé YA) a N(z Xi xl Eb N = X(x! Y* — y! X)), siendo (xi, yi 2*) el punto de aplicación de la fuerza F*. Los dos términos de aquella fracción son invariantes del sistema. 2.2 Que cuando el invariante numerador es nulo, sin serlo el denominador, el sistema es equivalente á la fuerza única ESA IS — 615 — UN SyEE | La condición, pues, para que esto se verifique es LEX? +.M2XY!* 7 N2Z' =0, 3.” Que si es cero el denominador, para lo cual es claro que habrán de ser separadamente ; O A A ZO el sistema es reductible á un par único, W=VL: + M2 + N», si L, M y N no son todas tres nulas. Y 4. Que si ambos invariantes son nulos, ó sea si se verifican á la vez las seis condiciones O 00100025510, (6 == (Us M=0, N=00, (6) el sistema está en equilibrio. Estas seis últimas ecuaciones son, por lo tanto, las con- diciones de equilibrio de un sistema de fuerzas aplicadas de cualquier modo á puntos cualesquiera de un sólido invariable. Y vense en estas proposiciones condensados los funda- mentos de la teoría del equilibrio, obtenidos por aplicación de la teoría analítica de los sistemas de vectores á los de fuerzas, mediante los principios, experimentalmente deduci- dos, del paralelogramo y la palanca. 31. Campos de fuerzas.—Puesto que las fuerzas son vec- tores, aplicándoles la teoría de campos vectoriales, tendre- mos los campos de fuerzas, importantísima noción por cuyo medio logra la Mecánica hacer verdaderamente analítica la representación de muchos fenómenos físico-naturales, sin — 616 — tener que apoyarse en la concepción primitiva de causas aisladas parecidas á los esfuerzos que en la vida ordinaria vemos aplicados á remover objetos. En efecto: en multitud de fenómenos físicos, el movimien- to es debido á acciones que dependen exclusivamente de la posición que el móvil ocupa respecto de los cuerpos mate- riales que las determinan; luego el vector infinitesimal p que caracteriza el efecto actual de la fuerza en cada instante, es en todos esos casos una función de las coordenadas, y, por tanto, la aceleración y la fuerza también lo serán. Imaginan- do, según esto, un campo vectorial en que la intensidad sea el vector aceleración que en cada punto tiende á tomar el móvil (supuesto reducido á un punto ó elemento material) bajo la acción física que origine el movimiento en estudio, dicho campo será el campo de esta fuerza. Definido este campo por su intensidad ¡=09 (x, y, 2), y por su dirección cosa, cosf, cosy, en general también fun- ciones de las coordenadas, queda determinada la fuerza ejer- «cida sobre el elemento de masa dm, pues se tendrá dE =4(x, y, 2) dm, así como sus componentes coordenadas, que deberán ser dX = 4 (x, y, 2)dm.cos a dY =9(x, y, 2) dm.cos B?. aL == Y, 2) UI? COS Componiendo ahora este sistema continuo de vectores in- finitesimales para todos los elementos dm que integren el cuerpo, tendremos determinada la dinamia á que, en general, equivaldrá la acción física ejercida sobre él y representada por el campo, y con ello, las ecuaciones diferenciales del movimiento, ó bien las condicions del equilibrio si fuese tal el caso, del modo que en lugar oportuno se expondrá. (Continuard.) — 617 — XXXVI— Los «Nysson» de España (Insectos Himenópteros). POR RICARDO GARCÍA MERCET. 11 Cuadro dicotómico para el conocimiento y determinación de las especies españolas del gén. Nysson. 938 1. Borde posterior de los segmentos ventrales. 2-5 pes- AOS MONA RANURA POBLAR is. 2 — Borde posterior de todos los segmentos ventrales tampiño Ó casiilampiño. 0. 5). 2. Pestañas de los segmentos ventrales lanuginosas; la célula anal de las alas posteriores termina antes del arranque del nervio cubital; tibias del tercer par aserraditas. —Sienes aquilladas hacia la boca; frente, por encima de la inserción de las antenas, tuber- culiforme, con una quillita longitudinal; último artejo de las antenas incurvado, comprimido en el ápice; -clípeo normal; segmentos ventrales redondeados. Cuerpo robusto, provisto de abundante tomento plateado. Negro; borde del pronoto con dos man- chas amarillas; abdomen con bandas enteras ó in- terrumpidas sobre los anillos 1-6. Patas rojizas. Loma. 29 'HR MPA Ll N. scalaris. llliger. - (Especie abundante en el centro de España. He visto ejemplares de las provincias de Madrid, Ciudad Real, Avila, Segovia y Orense. Se- ñalado en Cataluña por los Sres. Antiga y Bofill.) — Pestañas de los segmentos ventrales cortas; la célula . anal de las alas posteriores termina después del arranque del nervio cubital; frente sin quilla ni tu- = He bérculo por encima de la inserción de las antenas; tibias posteriores lisas........ SR. IA. DIO de 3. Pestañas de los segmentos ventrales cortas, pero bien perceptibles; abdomen' negro, con manchas blan- cas; tibias y tarsos de color rojo claro.— Sienes aquilladas hacia la boca; clípeo con dos quillitas sobre el borde anterior; tibias posteriores norma- les; último artejo de las antenas incurvado, compri- mido en el ápice, tan largo como los dos anteriores reunidos; séptimo segmento del abdomen con dos espinitas; el segundo ventral simplemente convexo. Cuerpo negro; callos humerales y manchas sobre los lados de los segmentos A 1-3, blan- co amarillentos; pronoto y escudete, á veces, con una manchita de color claro. Long. 6-7 m. m. N. fulvipes. Costa. (Especie no escasa en la provincia de Madrid. Visita las tapsias en flor y los peucedáneos, y puede recogerse en los meses de Mayo y Junio.) — Pestañas de los segmentos ventrales muy cortas, pla- teadas; abdomen negro con el primer segmento rojo; ¡patas negro=rojizas:.«isbos. canti... 4. 4. Callos humerales negros; abdomen con manchas blan- quecinas sobre los segmentos 1-2; Long. 5 m. m. N. fraternus. G. Mercet. — Callos humerales y manchas sobre los segmentos del abdomen 1-3 de color blanco; la puntuación gruesa del tórax y abdomen, profunda y más sepa- rada que en el anterior; longitud 7-75 m. m...... N. Konowi. G. Mercet. 5. Segundo segmento ventral truncado en la base; visto de perfil forma un ángulo saliente muy distingui- bles aire rd zona a ARA. 6. — Segundo segmento ventalsimplemente convexo. 11. Te — 619 — “Cuerpo negro con dibujos amarillos; sienes aquilla- de a ala 400 E Fool ao dde Cuerpo negro con la base del abdomen roja; dibujos blanquecinos; sienes lisas ó sólo ligeramente aqui- lladas en una parte de su extensión........ 9, Borde anterior del clipeo con dos quillitas en el cen- tro; el 12.” artejo de las antenas poco más ancho que el precedente; la célula anal de las alas poste- riores termina antes del arranque del nervio cubi- tal; longitud del insecto 8-10 m. m...... eS Borde anterior del clipeo simple; el 12.” artejo de las antenas muy engrosado; la célula anal de las alas posteriores termina después del arranque del ner- vio cubital; longitud del insecto 6-8 m. m.—Cuer- po negro, con manchas amarillas laterales sobre los anillos del abdomen 1-3; patas negras........ N. trimaculatus. Rossi. (Este Nysson no se ha encontrado hasta ahora en el centro de Es- paña. Lo señalan en varias localidades de la provincia de Barcelona los señores Antiga y Bofill, en su Catálogo de Himenópteros de Ca- taluña). 8. Cara dorsal del primero y segundo segmentos del ab- domen fuertemente punteada; callos humerales amarillos, rarísima vez negros; ángulo del segundo segmento ventral obtuso; tibias rojizas. —Ultimo artejo de las antenas incurvado, tan largo como los dos anteriores reunidos; séptimo segmento del abdomen bidentado. Borde del pronoto, callos hu- merales y bandas enteras ó interrumpidas sobre los - segmentos 1-3 de color amarillo; escudete á veces con una mancha amarilla;fémures negros con el ápi- ce rojo; tibias y tarsos rojizos. Long. 8-9 m. m..... N. interruptus F. (Esta especie, señalada en la mayor parte de los países de Europa, debe hallarse difundida por todo el territorio de España; pero hasta = 60 = ahora sólo he visto de ella ejemplares capturados en la provincia de Madrid. Mayo y Junio: sobre las flores de umbeliferas.) 8. La puntuación del segundo segmento del abdomen mucho más fina y esparcida que la del primero; callos humerales casi siempre negros; ángulo del segundo segmento ventral recto; tibias negras, ro- jizas en la base y ápice.(Los demás caracteres como en la especie anterior.) Long. 9-10 m. m. N. spinosus Forster. ” (Especie no señalada en el centro de la Península; sólo he visto de ella un ejemplar español procedente de Cortellas (Orense), Garcia Varela.) 9. 10. dile La célula anal de las alas posteriores termina antes del arranque del nervio cubital; sienes lisas;el úl- timo artejo de las antenas poco más largo que los dos anteriores reunidos. (Para los restantes carac- teres véase la descripción.) | N. Dusmeti G. Mercet. La célula anal de las alas posteriores termina en el origen ó después del arranque del nervio cubital; clípeo inerme, ligeramente deprimido sobre el bor- de anterior; sienes lisas; el último artejo del fu- nículo tan largo como los tres anteriores reuni- TOSMBQIS IN A A e 10 Segundo segmento ventral con una prominencia ó tubérculo achatado; clípeo manchado de amarillo. (Para los demás caracteres véase la descripción.) N. pratensis G. Mercet. Segundo segmento ventral con un abultamiento aca- nalado; clípeo completamente negro............ N. Dusmeti? Segundo segmento ventral con una ó dos quillitas en PSB 0D MANO AUTO A. A 12 Segundo segmento ventral desprovisto de qui- Mail bi oros la ob og ARO ÚA ALIS E E A 12. 14. 15. 16. 17. — 621 — Segundo segmento ventral con una quilla en su me- dio; último artejo de las antenas tan largo como los tres anteriores reunidos. (Para los demás caracteres véase la descripción.). N. Alicantinus G. Mercet. Segundo segmento ventral con dos quillitas que com- prenden un espacio ligeramente acanalado; último artejo de las antenas poco más largo que los dos anterios reunidos ...... N. Dusmeti. G. Mercet. Sienes aquilladas hacia la boca.............. 14. Sienes completamente lSaS....... 0...» 19. CUECA AREA RS ARAN Í5: Clípeo manchado de amarillo. .............. 18. Borde anterior del clípeo con dos quillitas ó dienteci- MOST PEQUEnOSRAALI O. Y. 2RLIOO MENTA. 16. Borde anterior del clípeo liso ó ligeramente ondu- Ad. 201) 201,90 E1.8 Tall MURIO IIA 17. Callos humerales negros; abdomen con manchas blan- quecinas sobre los segmentos 1-2. Long. del in- SOCIO DL. A N. fraternus. G. Mercet. Callos humerales y manchas sobre los segmentos del abdomen 1-3 de color blanco; longitud del insec- OPD, mt 201 0D, BLE N. Konowi. G. Mercet. Antenas testáceas; pronoto con dos manchas amari- llas; primer segmento del abdomen rojo; último terminado por dos dientecitos agudos y aproxima- dos; escudete negro. —Puntuación del cuerpo grue- sa y profunda; último artejo de las antenas trunca- do, un poco excavado en su cara interna, más cor- to que los dos anteriores reunidos; manchas ama- rillas sobre los segmentos 1-4; callos humerales del mismo color; patas rojizas. Long. 6-8 m. m. N. militaris, Gerstácher. (Especie no señalada en la Península, pero que probablemente vi- virá en nuestro país. La incluyo en este cuadro para que no sea con- fundida con el maculatus ó el Varelai.) Rev. Acad, de Ciencias. —VI.—Febrero, 1909. 42 $ — 622 — 17. Antenas negras; primer segmento del abdomen negro; último terminado por dos dientecillos agudos y distantes; pronoto y escudete con una mancha amarilla.—Puntuación del cuerpo menos gruesa y menos profunda; último artejo de las antenas muy incurvado, tan largo como los dos anteriores re- unidos; callos humerales y manchas sobre los anillos del abdomen 1-3 de color amarillo; patas rojizas. Long. 6-8 momia dl N. maculatus, Fabricius. (Esta especie no se encuentra en la región central de España; poseo de ella dos ejemplares procedentes de los alrededores de Barcelona, donde fueron cojidos por el Sr. Bofill). 18. Antenas cortas y gruesas; tercer artejo del funículo mucho más ancho que largo; último artejo curvo, de longitud igual á la de los dos anteriores reuni- dos; pronoto con dos manchas amarillas; escudete negfo.(Véaseda deseripción ys. roda. AA N. Varelai. G. Mercet. — Antenas más largas y más finas; tercer artejo del fu- nículo tan largo como ancho; último artejo de lon- gitud casi igual á la de los tres anteriores reunidos; pronoto y escudete con una mancha amarilla. (Véa- se la descripción).... N. Castellanus G. Mercet. 19. Ultimo artejo de las antenas incurvado, excavado en su cara interna, más ó menos truncado en el ápice; la célula anal de las alas posteriores termina des- pués del arranque del nervio cubital. ....... 20 — Ultimo artejo de las antenas normal, redondeado en el ápice; la célula anal de las alas posteriores ter- mina antes del arranque del nervio cubital. (Véase la descripción)........ N, parietalis G. Mercet. 20. Ultimo artejo de las antenas biexcavado en su cara interna, tan largo, por lo menos, como los dos an- teriores reunidos; clípeo normal; séptimo segmen- td dry an se EA — 623 — to del abdomen alargado, desprovisto de pestañas Imrastentellápices il IA e Z1 20. Ultimo artejo de las antenas muy corto, apenas más largo que el precedente; clípeo como aserradito en el borde anterior; séptimo segmento del abdomen ancho, corto, provisto de largas pestañas en el ápice. Long. 7 m. m. (Véase la descripción)....... N. monachus G. Mercet. 21. Clípeo negro; á veces con dos puntitos blancos; se- gundo segmento del abdomen negro; el cuarto, gé- neralmente, sin manchas blanquecinas; último arte- jo de las antenas más corto que los tres anteriores reunidos, con la escotadura basilar corta..... 22 — Clípeo manchado de amarillo; primero y segundo segmentos del abdomen rojos; los siguientes roji- zos en el ápice; manchas blanquecinas sobre los anillos 1-4; último artejo de las antenas profunda- mente biexcavado, tan largo, por lo menos, como los tres anteriores reunidos, con la escotadura ba- silar larga; los dos penúltimos artejos bastante en- sanchados; patas negras, manchadas de blanco so- bre las tibias; cuerpo con abundante tomento ar- Sent IONAROS E N. Laufferi G. Mercet. San Fernando del Jarama y Alberche (provincia de Madrid o. OIR OI NAAA 22. Clípeo negro; tórax del mismo color; callos humerales blancos; primer segmento del abdomen rojo, con dos manchas blanquecinas laterales; el segundo y tercero manchados también lateralmente; escapo de las antenas negro; patas negro rojizas. —Puntuación gruesa del abdomen muy esparcida; alas ligeramen- te anumadas. Long. 5-6 m.m. N. dimidiatus Jurine. (He visto ejemplares de las provincias de Madrid, Barcelona y Co- ruña. Debe estar difundido por la mayor parte del territorio de la Península). A 22. Clípeo negro, á veces con dos pequeñísimas manchas blanquecinas; tórax generalmente manchado de blanco sobre el pronoto y escudete; primer seg- mento del abdomen rojo, ó rojo manchado de ne- gro, Ó negro completamente; primero, segundo y tercer segmentos del abdomen con manchas latera- les de color blanco; escapo de las antenas mancha- do de blanco en la cara inferior; patas frecuente- mente de color rojo claro, á veces obscurecidas so- bre todos los fémures y las tibias posteriores. Lon- gitud 5-6 m.m....... N. dimidiatus Jurine, var. Provincia de Madrid! “Ie El segundo segmento ventral, visto de perfil, forma un ángulo saliente bien acusado............ ze Segundo segmento ventral simplemento convexo. 4. Clípeo con dos quillitas sobre la parte central del borde anterior; la célula anal de las alas posterio- res termina antes del arranque del nervio cubital; longitud:del.insectoS-1 Lache die Clípeo sin quillitas sobre el borde anterior; la célula anal de las alas posteriores termina después del . arranque del nervio cubital; longitud del insec- to 6-8 m. m.—Cuerpo negro con dibujos amarillos sobre el pronoto, los callos humerales y los seg- mentos del abdomen 1-3. N. frimaculatus, Rossi. Cara dorsal del primero y segundo segmentos del ab- domen con puntuación igualmente gruesa; callos humerales generalmente amarillos. — Antenas nor- males, el último artejo alargado y redondeado en el ápice; sienes aquilladas hacia la boca; espinas laterales del metatórax, no muy aguzadas, anchas en la base; cara provista de tomento plateado; área pigidial triangular, alargada, redondeada en A AA TADA a AN AO ER Y E a | — 625 — el ápice. —Borde del pronoto y bandas enteras Ó interrumpidas sobre los anillos abdominales 1-3 de color amarillo; patas rojizas... N. interruptus. F. La puntuación gruesa del segundo segmento del ab- domen mucho más fina y esparcida que la del pri- mero; callos humerales casi siempre negros; los demás, caracteres como en la especie anterior .... N. spinosus, Foster. Sienes aquilladas hacia la boca........... O. SICnesuisas.. su ge o AO AR 12 Clípeo con dos quillitas ó dientecillos ld el centro del poide:antenior: a. amvisltaltras la es 6 Clípeo liso, ligeramente deprimido sobre el borde atinada? ramabdbr o. 9 Antenas rojizas en la base; los artejos 2-5 del funicu- lo más largos que anchos; segundo segmento ven- alhojordenecior poltiandos Dala Da 7 - Antenas completamente negras; segundo segmento ventral negro; sienes fuertemente aquilladas; arte- jos 3-5 del funículo de las antenas más anchos que Os OA: 8 Longitud del insecto 11-13 m. m. Dibujos del cuerpo de color amarillo Ó anaranjado; primer segmento del abdomen rojo manchado de negro, á veces ne- gro con manchas rojas.... N. Miegí G. Mercet. Longitud del insecto 7 m. m. Dibujos del cuerpo de color blanquecino; primer segmento del abdomen completamente rojo (excepción hecha de las man- chas laterales blancas sobre el borde posterior)... N. castellanus G. Mercet. Fémures rojos, á veces un poco negros en la base; el resto de las patas de color rojo claro; escudete casi siempre con una mancha blanquecina; espi- nas del metatórax cortas y romas; vientre lus- troso; puntuación gruesa del abdomen muy pro- 10 11. 12, — 626 — funda; área pigidial más ancha que en la especie si- guientes. On UE ee Ia el + N. fulvipes Costa. Fémures negros, un poco rojizos hacia el ápice; el resto de las patas de color rojizo; espinas del me- tatórax más largas y aguzadas; puntuación gruesa del abdomen menos profunda y más compacta; área pigidial más alargada.... N. Konowi G. Mercet. Abdomen negro con dibujos blanquecinos; la célula anal de las alas posteriores termina antes del ori- gen del nervio cubital....... N. scalaris lMliger. Primer segmento del abdomen rojo; la célula anal de las alas posteriores termina después del arranque delonervioncabital SS MASIA OS SILA 10 Abdomen fuertemente punteado; antenas rojizas.— Primer segmento del abdomen rojo; dos manchas sobre el pronoto, callos humerales y bandas inte- rrumpidas sobre los anillos abdominales 1-4 de color amarillento....... N. militaris Gerstácker. Puntuación del abdomen poco profunda, fina, regu- lar; antenas negras, á veces un poco rojizas hacia A A A o 11 Antenas rojizas; pronoto con dos manchas amarillas; escudete negro; segundo y tercer segmento del ab- domen teñidos de rojo lateralmente y en la parte INÍSHOL: ME. ea PELOS, AR N. Varelaí. G. Mercet. Antenas negras; pronoto y escudete con una mancha amarilla; abdomen solamente rojo en el primer seg- mento.—Clipeo un poco deprimido sobre el borde anterior; callos humerales y manchas á los lados de los segmentos del abdomen 1-3 de color amari- llo; patas rojizas, con los fémures anteriores é in- termedios negroS.............. N. maculatus F. Area pigidial ovalada, ancha, fuertemente punteada, rugosa, un poco escotada en el ápice; cuarto y quin- to segmentos del abdomen mucho más gruesa y a EE 12: 14. 1 16. A profundamente punteados que el primero y segun- do; longitud del insecto 7-75 mM. M............. N. monachus G. Mercet (+). Area pigidial triangular, alargada, redondeada en el ápice, cuarto y quinto segmento del abdomen mu- cho menos gruesamente punteados que el primero y SEBUAO. dl Uds acc ds rolas 13: Borde del pronoto completamente negro....... 14. Pronoto con una banda ó dos manchas blanque- cinas...... A IA E A 15. Puntuación gruesa del primero y segundo segmentos del abdomen muy poco profunda y muy disemina- da; tibias anteriores é intermedias amarillento ro- jizas; dorso del tórax casi mate; area pigidial más ancha en la base y estrecha en el ápice que en el INIA a N. Laufferi. G. Mercet. Puntuación gruesa del primero y segundo segmentos del abdomen bien señalada y profunda, tibias ante- riores é intermedias rojizo negruzcas; dorso del tó- ta Dll a N. dimidiatus, Jurine. Borde del pronoto con una banda ó dos manchas con- fluentes blanquecinas; escudete manchado del mis- mo color; cuerpo más recio que en las especies sub- AAA A E A RA 16. Borde del pronoto con dos manchas blanquecinas bien separadas; especies de menor tamaño y más A e A ros 17 Espinas laterales del metatórax finas y bastante largas; patas rojas; dibujos amarillos. N. lbericus, Handl. (Según su autor, el ejemplar tipo de esta especie forma parte de las colecciones del Museo de Madrid, y, en efecto, en ellas figura, bajo el nombre de N. /bericus, con etiqueta escrita por el Sr. Hand- (*) Por errata, en la descripción, se atribuye á esta especie la longitud de 9 m. m. — 628 — lirsch, un Nysson de España, pero al que no puede referirse la des- cripción de dicha especíe. De ella dice su autor: «pars inferior tempo- - rum postice haud marginata; margo anterior clipei simplex, nec de- pressus nec carinatus».... y luego añade que pertenece al grupo del N. Friesei. Pero el ejemplar que, con etiqueta de Handlirsch, he encon- trado en las colecciones del Museo de Historia Natural, es un Nysson del grupo del fulvípes, que presenta las sienes aquilladas hacia la boca y el borde anterior del clípeo con dos quillitas. Habiendo una divergencia tan evidente y acentuada entre la descripción del N. lbe- ricus, publicada por Handlirsch, y el ejemplar que se conservaba como tipo, hay que suponer que, inadvertidamente, al hacer algún arreglo de colecciones ó traslado de insectos de una caja á otra, se ha puesto la etiqueta del N. /bericus á otro Nysson distinto, que es el que la lleva en la: actualidad. Para que la confusión sobre este punto sea completa, hay que añadir que ni en las colecciones del Museo ni en ninguna de las que he consultado para hacer este trabajo, he visto ningún Nysson al que pueda referirse la descripción de Handlirsch. Ni aun el Nysson que yo llamo prafensis es posible que sea el /bericus, pues éste, según su autor, tiene las patas rojas, los dibujos amarillos, las espinas laterales del metatórax finas y largas y la puntuación grue- sa muy fuerte, mientras que el pratensís presenta las patas negro-roji- zas, los dibujos blancos, las espinas laterales del metatórax anchas y cortas y los puntos del abdomen poco más gruesos que el dimi- diatus.) 16. Espinas laterales del metatórax anchas y cortas; patas negro-rojizas; dibujos blancos................. N. pratensis. G. Mercet. 17. Las manchas del borde del pronoto grandes; escude- te con un trazo blanco; tibias anteriores é interme- dias amatillento TOJZas oro A 7 N. Alicantinus, G. Mercet. — Borde del pronoto con dos manchas apenas percep- tibles; escudete con un trazo blanquecino muy pe- queño; tibias anteriores é intermedias, generalmen- te, rojizo negruzcas... N. dimidiatus. Jurine, var. XXX — Elementos de la teoría de. la Elasticidad, por José a - Echegaray. Tercera parte. Conferencia séptima... ás e 5 - XXXI.—Elementos de la teoría de la Elasticidad, por pe | - Echegaray. Conferencia Octavo o - XXXIL —Observaciones acerca de algunos. fenómenos de fo- 2 -——totropía, por José Rodriguez Mourelo . A E - XXXIIL —Remarques sur diverses courbes planes. (Lettre -adressée á M. L. Torres cl Queñedo),* nor: Maurice MOcagne ais ACA A A AE XXIV. - Deducción elemental de una Onion ca á la de Arnold para la posibilidad de una buena. conmu- 2 tación en las máquinas elfelricas: provistas de co- | lector,:por Estebún Terradas: ij as ió -XXXV.—Los pantipios iundamentales d e la Mecánica racio- “nal. — Un primer capitulo de dinámica (continua= E . ; ción), por José Ruiz-CastizO.......... A XXXVI. —Los «Nysson» de España (Insectos Himenópteros), - por Ricardo Garcia Mercet... RN A Pm. La subscripción á esta RaÍvIsTAa se hace. por +homos completos de 500 á 600 páginas, al precio de 6 pesetas en España y 6 francos en el extranjero, en la Secretaría de la Academia, calle de Val- = verde, núm, 26, Madrid. sI CAS AA Precio de este cuaderno, 1,50 porel. : L ACADEMIA DE CIENCIAS , EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES o TOMO VEL-NUM. 9. (Marzo de 1909) : SMA DRID> 200 od _ ESTABLECIMIENTO TIPOGRÁFICO Y EDITORIAL AU a CALLR DE PONTEJOS, NÚM, Sa y ss E LN , 1909 LN E ADVERTENCIA Los originales para la Revista de la Academia se han de entregar completos, en la Secretaría de la Corporación, antes del día 20 de cada mes, pues de otro modo quedará su publicación para ES el mes siguiente. ] Tes Did h s. 7 8 5 A A A A — 629 — XXXVII. —Elementos de la teoría de la Elasticidad. Por JosÉ ECHEGARAY. Conferencia novena. SEÑORES: Para establecer la teoría de la elasticidad, Cauchy y todos los matemáticos de su escuela partían de la hipótesis de las fuerzas centrales, que era la dominante en la pasada cen- turia. Mr. Poincaré, inclinándose á las nuevas teorías de la mo- derna Física matemática; procurando eliminar hipótesis que no son absolutamente necesarias, ó si se quiere, substituyen- do á dichas hipótesis principios generales más modernos de la Física, acude al gran principio de la conservación de la energía, el cual en la Mecánica clásica y en sus dos formas de fuerza viva y trabajo mecánico, es una consecuencia de las ecuaciones fundamentales de la Dinámica, y en su gene- ralización para todos los fenómenos de la Física, ó es un principio deducido de la experiencia, Ó es un principio teórico deducido en cada rama de la Física matemática de una hipótesis especial. En el sistema de Cauchy, la solución del problema, al me- nos la solución teórica, depende de una función especial de la distancia entre dos elementos, f (r), que para abreviar la explicación llamábamos en el primer curso de esta asig- natura, función de Saint-Venant, la cual expresa la acción ó esfuerzo entre ambos elementos. : En el método de Poincaré, la solución del problema de- Rev. Acap, Crencias. —VIII.—Marzo 1900, 43 630 — pende análogamente de otra función U de las coordenadas de los diferentes puntos del sistema,-que es la que hemos llamado función de fuerzas, porque de ella se deducen las componentes sobre cada punto del sistema elástico, con solo derivar por relación á dichas coordenadas. Así, en resumen, de la consideración de una función f de- pende el método de Cauchy. De la consideración de una función U depende el método de Poincaré. Cuando la solución de un problema de Física matemática depende de una función, se pueden seguir varios caminos: ó acudir al método experimental para determinarla, substitu- yendo la verdadera forma de la función, forma que se des- conoce, por una forma empírica con el número suficiente de constantes arbitrarias para satisfacer á los diversos experi- mentos que sobre dicha función se hayan realizado, Ó hacer un nuevo esfuerzo por penetrar en mayores profundidades del problema, valiéndose de nuevas hipótesis, Ó acudir á otro tercer medio, á saber: escribir el desarrollo de la fun- ción propuesta por la serie de Taylor, no tomando sino cier- to número de términos con arreglo á la aproximación que se considere conveniente. Pero esto, en el fondo, no es más que substituir á la ver- dadera función, que se desconoce, una función algebráica en- tera ordenada por las potencias de las variables, ó mejor dicho, de los incrementos, que se suponen muy pequeños, como en breve explicaremos con mayor detalle. Presentemos un ejempglo vulgar y sencillo, pero que dé forma clara á nuestro pensamiento. Sobre una barra suspendida actúa una fuerza arbitraria P. Si l es la longitud de la barra, esta longitud crecerá, con- virtiéndose en £. — 631 — Y es evidente que £ será función de'P, porque la barra se alargará más ó menos, según es mayor la fuerza, de ma-- nera que podemos escribir =f(P) Pero, ¿cuál será la forma de esta función f? Con ser tan sencillo el problema, debemos confesar que la forma de la función f la ignoramos. « “Pero la experiencia, y hasta el buen sentido, y cierto ins- tinto de cómo varían los fenómenos naturales entre límites muy pequeños, nos inducen á suponer que la función f es una función lineal de P; que los incrementos de longitud son proporcionales á los incrementos de la fuerza, y escribiremos como solución aproximada del problema e ALP, siendo A una constante para la materia especial de que está constituida la barra. Mr ' Algo-hemos avanzado; antes, lo desconocido,-era la forma de una función; lo desconocido ahora es el valor de una: constante. Mas para determinar esta constante, en rigor una expe- riencia basta, aunque, para más exactiud y seguridad, el experimento se repita. : Decimos, pues, que para una barra de longitud /- bastará medir la longitud £, correspondiente á un peso P,. Porque tendremos == AO de donde — 632 — y como en el segundo miembro todas las cantidades son co- nocidas, calcularemos el valor de A. Con lo cual, ya no sólo conocemos el valor de la función, sino el valor de sus constantes. Y el problema quedará resuelto, siquiera sea en forma aproximada. ES EX Pues esto mismo, con ser tan sencillo, podemos repetirlo para la determinación de la función f en el método de Cau- chy, de la función de U en el método de Poincaré. Fijémonos en este último, y empecemos por una transfor- mación natural y evidente. En el problema de la Elasticidad, al menos en los casos que venimos examinando, á saber: los de equilibrio elástico, y de movimientos elásticos, en los cuales las deformaciones del sistema son muy pequeñas, no se toman por incógnitas las coordenadas de los diferentes puntos, sino sus varia- ciones. No se dice: las coordenadas x, y, z del punto A, ¿en qué se han convertido después de la deformación, ó cuáles serán sus valores al cabo del tiempo f, si se trata de vibraciones del cuerpo elástico ? Es decir, que no se consideran Xx, y, Z..... como las incóg- nitas, sino sus variaciones, que llamaremos, como siem- pre, U, V, W. De esta manera, lo que nos importa averiguar, no es la forma de la función UD Ve), sino la forma en u, v, w de esta otra función U(x+uy+2+Wx+0,y +V,2 + W.....) — 633 — Y el problema, sólo por esta consideración de deformacio- nes muy pequeñas, se simplifica notablemente y hasta se elude la dificultud, que consiste en no conocer la forma de la función U; porque siendo 4, v, w muy pequeñas, ocurre el artificio de desarrollar U por la serie de Taylor y de des- preciar los términos de orden superior al grado de aproxima- ción que se considere. De este modo tendremos: U(x + 4,y + v,W+2 Xx +0...) = U(% Y, 2, X ceso) + ; dU l .d2U bond*U l d?U ——u + — UY -—— + — a E Maó aia aaa a dU —— y El 7 dU d?U d?U d?U 3 1») VW ..2 a dz ae dx dy y dx dz dy dz a Por eso decíamos antes que este artificio consistía en subs- tituir á la verdadera forma analítica de U un polinomio en- tero que coincidiera prácticamente, dentro de ciertos límites, con la función desconocida. Claro es que esto supone que la función U puede legíti- mamente desarrollarse por la serie de Taylor con todas las condiciones y restricciones que el análisis enseña. Y ocurre preguntar, al que por primera vez estudia esta materia. Si, en efecto, ya tenemos una forma aproximada de la fun- ción desconocida U; pero ¿y los coeficientes Estos coeficientes son también funciones de x, y, Z..... y - su forma es tan desconocida como la de la misma función U. — 634 — La observación es exacta, pero nótese—y esto es funda- mental —que no dependen de las cantidades que determinan la deformación, 4, v, w, y que son las verdaderas incógni- tas; sino de x, y, Z..... que son las coordenadas de las posi- ciones iniciales de los diferentes puntos, que son, en cierto modo, los datos del problema. Dicho con más brevedad; los coeficientes en U dependen de la constitución del cuerpo, que debe ser conocida. - O se supone conocida por nuevas hipótesis E á di- cha constitución. . O se determinan experimentalmente. En suma, la función U queda dererminada en su forma y en sus coeficientes. Representando estos, para abreviar la escritura, por las siguientes notaciones: Uy act) Us AN NN A pa ) 7 , == (07 ) dx h dy - dz y O) . d?U 7 d?U > : > a E = U” yy, =U" zz, Hasihiaia dy? dz? d.U 5 d?U yl d?U De =U UTA RA ol RIADA yz) dx dy dx dz dy dz la función U podrá expresarse del siguiente modo: Ufa, y + 0,232 w, Eu) = aa u+ Uy v+U0"Ww+U”, 0 Uy VE U¿WHis. ALO! Usado 3 Ur qa UlzaW o 17 + O y e A + 30058 + yy, ds e A + Ue uv > ES + U” y¿ VW + FU" yu E O ¿wo de Uy VW — 635 — ó en forma abreviada designando por * la suma de términos semejantes al que se escribe bajo este signo, pero en que se acentúnan las x, y, z, y las u, v, w, tendremos: U(x+uJy+w2+Wx +...) = UV, +X(U",u + U”,v + U*¿w) + Ale 3 20" yxt? Y U"yyv? 4 U"¿¿w? + + 2U0”,y4v + 20" ¿0w + 2U0",¿0W) + ..... En esta última expresión observaremos, que el primer tér- mino del segundo miembro es una cantidad constante res- pecto á las variables del problema u, v, w; el segundo gru- po es de primer grado en u, v, w, u”, v”, w”..... y Sus coefi- cientes son constantes en el sentido que hemos expresado; el tercer miembro, es un polinomio homogéneo de segundo grado en u, V, W..... y así sucesivamente. Si u, v y w son cantidades muy pequeñas, por ejemplo, de primer orden, también podremos decir que U, es constante respecto á 1, V, w.....; que el segundo grupo es un infinita- mente pequeño de primer orden; el tercer grupo un infinita- mente pequeño de segundo, y así sucesivamente. Al hablar de infinitamente pequeños, no empleamos esta palabra en el sentido correcto del cálculo diferencial integral, sino que nos referímos al orden de pequeñez de u, v, w..... con relación á Xx, y, Z..... -Empleamos un lenguaje práctico, no rigurosamente mate- mático, como el de los infinitamente pequeños de diversos órdenes. Mr. Poincaré, aun simplifica más las notaciones, y repre- senta el segundo grupo por U,; el tercer grupo por U,, y así sucesivamente. De este modo puede escríbirse la función U bajo esta forma: U(x+u, y -V,2 + w, HF 4...) =0,+ U, FU) +U; HE. — 636 — en que U, es constante, quiero decir, independiente de u, v, w; U, es de primer orden de pequeñez; U, de segundo orden, y análogameute los demás términos de la serie. Y explicadas estas nociones preliminares, entremos en el estudio de la Elasticidad por el método que vamos expli- cando. Lo primero que hay que hacer es marcar, por decirlo de este modo, el punto de partida. Considerando el problema del equilibrio elástico, porque como hemos dicho tantas veces en el curso anterior, y como se sabe por Mecánica elemental, las ecuaciones del equili- brio sirven para el movimiento con sólo agregar á las fuerzas exteriores las fuerzas de inercia, es lo primero definir, como indicábamos hace un momento, el estado inicial. Más claro aun. El problema de la Elasticidad, es este: Dado un cuerpo elástico, ó de otro modo capaz de defor- marse por acciones exteriores, pero que resiste á esta defor- mación desarrollando fuerzas interiores, que se llaman elás- ticas, y que procuran, para expresarnos de este modo, que el cuerpo vuelva á su posición inicial; y dadas las fuerzas exteriores que sobre el sistema actúan, determinar la defor- mación y los esfuerzos que en toda la extensión del cuerpo se desarrollan. Por ejemplo, si un punto del cuerpo está definido por las coordenadas x, y, z, se pregunta, ¿adónde habrá ido á pa- rar por la deformación elástica, provocada por las fuerzas ¿En qué se habrán convertido x, y, 22 O de otro modo. : ¿Cuáles serán sus variaciones u, V, W? — 631 — Conocidas estas últimas, claro es que las nuevas coorde- nadas del punto serán: xX+Uu, y)+v, 2 +v. Y el punto ocupará la posición determinada por estas tres cantidades. Si para todos los puntos del cuerpo elástico conocemos u, V, w, conoceremos la deformación del cuerpo en toda su extensión. Luego en términos sintéticos, podemos decir, que resolver el problema de la Elasticidad, es determinar u, v, w para cada punto en función de las fuerzas, que actúan sobre el cuerpo y que forman parte de los datos; es decir, obtener tres funciones como las siguientes: == A 02 P, QéR.a), . EA QI W= 3 (y, EN MUS FO A Porque en este caso, para conocer lo que ha variado un punto x, y, z no habría más que substituir estas coordena- das en las tres ecuaciones anteriores: las + son funciones conocidas puesto que el problema está resuelto, y por otra parte las componentes P, Q, R'son conocidas también, pues son los datos: representan las fuerzas que actúan sobre el sistema. Otro tanto diríamos para el caso del movimiento, sólo que entonces en el segundo miembro entraría la variable f y las ecuaciones serían A za o PROL DAN O) TS w = bz (x, y, 2, É, P, Q, R.....). o Las cuales nos darían la variación de cada punto en cada instante, poniendo en el segundo miembro las coordenadas del punto, y en vez de f su valor para el instante que se con- sidera. DN Todo esto es sencillísimo, pero por sencillo que sea, cnan- do se trata de la enseñanza, no debe omitirse, porque real- mente el alumno que no ha estudiado una matetía, entra en un mundo completamente desconocido, y á veces para. él, los conceptos más elementales son enigmas complicadísimos. Este es el problema general de la Elasticidad. Los datos son: el cuerpo ó sistema elástico y las fuerzas exteriores. Las fuerzas exteriores ya se definirán por sí, ya se nos dirá si se trata de pesos ó de presiones ó de atracciones por centros externos, ó de otro sistema cualquiera de esfuerzos- Pero el cuerpo, su constitución y su estado, es otro dato del problema. ¿En qué situación se encuentra el cuerpo elástico al some- terlo á la acción de fuerzas exteriores P, Q, R.....?2 ¿Cual es su estado natural —como antes se decía-—ó su estado inicial, como en rigor debe decirse? Esta cuestión del estado inicial, no es tan sencilla como parece, y al plantear el problema, no todos los autores están conformes. Sobre ella, en cursos anteriores, hemos dicho bastante; pero como este es un nuevo curso, no estará demas repetir algo de lo que en aquellas ocasiones expusimos. Tres hipótesis pueden hacerse para deflnir el estado de un cuerpo ó sistema en el instante en que sobre él actúan fuerzas exteriores, provocando el desarrollo de nuevos es- fuerzos interiores Ó reacciones elásticas. 1, Que el estado del cuerpo, y de todos los puntos que — 639 — le constituyen, sea tal, que considerando sus elementos, y casi pudiéramos decir sus moléculas, en suma, sus diferen- tes puntos materiales m, m', m”....., la acción entre cada dos puntos sea nula; pero que si varían las distancias se des- arrollen fuerzas atractivas ó repulsivas, según aumente ó dis- minuya la longitud de la recta que une cada dos puntos m y mm”. Sean a, b, c, d..... los diferentes elementos materiales de masas My 10 mé ¿ma La hipótesis qne acaba- mos de admitir y que pun- tualizamos ahora es la si- guiente: Dos puntos cualesquie- ra m, m' (fig. 26) están á tal distancia a b que su acción es nula. Si m' pasa de b á Ú', la fuerza es repulsiva y el punto tiende á volver á b. Si la misma masa m' se aleja de m y va á parar á Pa b”, la fuerza es atractiva. Esto mismo se supone que se verifica entre todos los pun- tos del sistema dos á dos. Por ejemplo: la acción entre m y m'” es hala también, y entre m y m/'” y entre m'” y m'”, y así sucesivamente. Tal como estamos explicando el estado inicial del sistema elástico que se considera, admitimos implícitamente que las fuerzas son centrales; y para no alargar esta discusión, no intentaremos generalizar las condiciones indicadas para el caso en que las fuerzas no lo sean. Pero ¿es posible colocar un sistema de puntos en las po- siciones que acabamos de indicar ? ¿Es posible geométrica y mecánicamente la hipótesis que se atribuye á Lame? — 640 — Este problema ya lo tratamos, aunque no de una manera completa, en los cursos anteriores. Ahora sólo recordaremos algo de lo que en aquellas oca- siones dijimos. Dado un sistema de puntos materiales, para fijar la posi- ción de cada uno de ellos necesitamos tres coordenadas; de modo que si el número de puntos es n, el número de incóg- nitas será 31. ¿9 d' Pero estas 3n incógni- Ñ tas son en número ma- yor que el necesario para fijar la forma geométrica de los puntos materiales que constituyen el sis- tema. Fijan esta forma, pero además fijan la posición del sistema dado, relati- vamente á los ejes de co- ordenadas. Y esto último nos importa poco para nuestro caso. : Si el sistema está en equilibrio y cada dos puntos cum- plen con las condiciones que hemos establecido, el equili- brio subsistirá, sean cuales fueren los ejes coordenados que se elijan. Para dar más rigor á estas consideraciones, determinemos el número mínimo necesario y suficiente para fijar la posi- ción relativa de n puntos, y tomemos como nuevas coorde- nadas las distancias entre cada dos de ellos. De este sistema de coordenadas hemos de hablar más adelante al desarrollar analíticamente el método de Mr. Poin- caré. Tomemos en el sistema de puntos tres de ellos a, b, c (fig. 27). Figura 27. — MD Sus posiciones relativas, ó sea la figura que forman, es- tará dada por las tres distancias MER, PUDE Ana == 2 Otro punto cualquiera d estará definido con relación á los anteriores conociendo las tres distancias MA = uña DUES RCA RN Y lo que hemos dicho del punto d, diríamos de otro pun- to del sistema. Para conocer su situación, basta conocer las tres distan- cias r”, r”, r'” á los tres puntos a, b, c. De este modo se determinará la relación de todos los pun- tos que constituyen el sistema elástico, y el número de estas distancias será necesario y suficiente para determinar la dis- tribución geométrica de los diferentes puntos y sus posicio- nes relativas. Veamos ahora cuál es el número de estas distancias r. Para fijar los puntos a, b, c, ó la figura que forman, hemos necesitado tres distancias r;,, fa, fz. Como el sistema tiene n puntos, el número de los puntos restantes d, d..... será evidentemente n— 3. Cada uno de éstos necesita para fijar su posición tres dis- tancias, r', 1”, 1”; luego el conjunto de los puntos d, d', d”...... se determinará por 3 (n— 3). Y como para fijar los puntos a, b, c habíamos dicho que se necesitaban tres distancias, el número total de las nece- sarias, para fijar la distribución de los n puntos, será 3(n 3) +3=3n=6. A este mismo resultado hubiéramos llegado con las coor- denadas ordinarias, porque dada la figura geométrica que — 642 — constituye los n puntos, para fijar la posición de uno de ellos con relación á los planos coordenados, se necesitarían tres coordenadas; para fijar la posición de otro, dos coordenadas son necesarias y suficientes, porque la distancia de este punto, al que ya hemos citado, es conocida. Y, por último, para fijar la posición de otro punto, cuyas distancias á los dos ya determinados son cantidades fijas, basta otra coordenada. En totalidad, son E que debemos restar del número total de coordenadas 3n, por- que estas seis cantidades no se refieren al sistema, sino á su posición relativamente á los planos coordenados. Resulta, pues, salvo la consideración de posiciones simé- tricas, que el número de cantidades necesarias para determi- nar la figura del sistema es como antes, 3n — 6. Este número de distancias es, como hemos dicho, necesa- rio y suficiente. Y ahora volvamos á la cuestión que debatíamos. Entre n puntos, tomándolos dos á dos, resulta que el nú- mero de distancias será n(n—1) O TO Y como para cada distancia habrá una ecuación de condi- ción, que exprese, que la acción entre los dos puntos extre- mos es nula, es decir, por ejemplo: mm f(1)=0, o DARAS pao 0 PA dE SEE ABISMO A — 643 — el número de' estas ecuaciones de condición será, evidente- mente, | : : n(n — 1) DD AB En suma, para determinar 3n — 6 incógnitas r..... tenemos £ MA ón Ahora bien; si n=2 el problema es posible, porque A se do á qu y 3n — 6 es cierto que se reduce á cero, porque en esta fórmula no está comprendido el caso de dos puntos no más; pero es evidente que, para dos pun- tos, la distancia es única, de suerte que hay una ecuación y una incógnita. Pata 1 = 3 se poe peo =3;y3n—6 =3; de suerte que hay tantas ecuaciones como incógnitas. Para n = 4 resulta E 2) =6;y 3n—6 =6, y tam- bién resultan iguales el número de ecuaciones de condición y el número de incógnitas. Pero desde n = 5 en adelante, n(n—1 ) A 6: 2 EN : de suerte que, siendo el número de ecuaciones superior al número de incógnitas, lo probable es que el problema sea imposible. Decimos lo probable, pero no lo aseguramos; para ase- gurarlo, sería preciso conocer la naturaleza de la fun- ción f (r). Esta discusión que nos conduciría á resultados muy cu- riosos, no es de este momento y debemos prescindir de ella, O Para nuestro objeto basta con haber apuntado algunas ideas generales sobre la hipótesis que vamos examinando. 2... Puede suceder que el estado inicial del sistema sea tal que las fuerzas internas se hagan equilibrio en cada punto sin que aisladamente sean nulas. Se supone, además, que no existen fuerzas exteriores. Parece que este caso ideal, y decimos ideal porque fuer- zas exteriores existen siempre, parece, repetimos, que es posible. Porque, en efecto, para determinar un sistema de n pun- tos, que suponemos enlazados por fuerzas interiores entre las molécolas, hemos visto que son necesarias y suficientes 3n — 6 cantidades. Siendo n el número de puntos y debiendo ser iguales á O las tres componentes que actúan sobre cada punto para el equilibrio de éste, tendremos 3n ecuaciones de condición para determinar las 3n — 6 incógnitas; y á primera vista resultan seis ecuaciones más. Sin embargo, lo natural es que todas las fuerzas inter- nas se hagan equilibrio como si el sistema fuese rígido, dado que la reacción es igual y contraria á la acción; en cuyo caso las 3 n ecuaciones deberán satisfacer á 6 ecuacio- nes que expresarán, con relación á cualquier punto del es- pacio, que las componentes totales y los tres pares totales del sistema de fuerzas, sean separadamente iguales á cero. Es decir, que las 3n ecuaciones de equilibrio satisfacen idénticamente á seis ecuaciones, y, por lo tanto, se reducen á 3n— 6 ecuaciones distintas. Todo esto es de buen sentido, intuitivo en cierto modo, y aun probable; pero no es de evidencia matemática, porque mientras no se conozcan las formas de las 3n — 6 ecuacio- nes no puede asegurarse que sirvan para determinar los va- lores de las 3n — 6 incógnitas f..... - En efecto; dado un número cualquiera de ecuaciones, mientras no se conozca su forma no podemos asegurar que TT A — 645 — el problema sea posible: pudieran ser incompatibles ó pu- dieran reducirse á menor número. El hecho de que el número de ecuaciones sea igual al nú- mero de incógnitas es, si se nos permite la expresión, un buen síntoma, pero nada más. 3.2 Puede suponerse también que el llamado estado na- tural consista en un estado previo de equilibrio entre las fuerzas interiores y fuerzas exteriores. Es decir, que se hayan aplicado á los puntos ciertas fuer- zas exteriores, las cuales habrán desarrollado fuerzas elásti- cas, llegando el sistema obtiene á un estado de equilibrio determinado. Este no es el estado natural que suponen algunos autores, porque es un estado elástico en que actúan fuerzas exteriores. Pero en rigor este es el estado natural de los cuerpos. Los demás estados que hemos considerado hasta aquí son estados ¿deales. : En la realidad no hay cuerpo que no esté sometido á fuer- zas exteriores, por ejemplo, la presión de la atmósfera ó la gravedad, ó la reacción de los puntos de apoyo. Así el verdadero problema de Elasticidad, que hemos de estudiar, es la superposición de un problema de Elasticidad á otro precedente. En un sistema elástico actuaban, según las notaciones de Mr. Poincaré, fuerzas interiores cuyas componentes repre- sentaremos por A,, B,, C, para el punto m, Ao, B3, Co, para el punto mm, A, Bn, Cy para el punto m, O abreviadamente A Ca variando ¿ desde 1 hasta n. Rev. Acap, Ciuncias.—V1I1.—Marzo, 1909. 44 — 646 — Actuaban asimismo fuerzas exteriores, que por el mismo sistema de notaciones, representaremos por ProQi7 Re, Y entre las fuerzas exteriores y las interiores, suponemos que existía equilibrio, de modo que se verificarían esta serie de ecuaciones en número 3n Ay nO: BE JQie 0; C; + R;¿=0, variando siempre / entre 1 y n. En tal estado, el cuerpo se dice que se halla en estado na- tural, según Mr. Poincaré, estado que como hemos dicho es el verdadero. Ahora bien; á este cuerpo se le aplican nuevas fuerzas ex- teriores, cuyas componentes designaremos por NE Y el problema de Elasticidad que se nos plantea, es el si- guiente: | Determinar las deformaciones y los esfuerzos engendrados por las nuevas fuerzas cuyas componentes acabamos de es- cribir. j Partiendo de esta última hipótesis, para el estado natural, ó inicial, el método que ha de seguirse para resolver el pro- blema y la hipótesis de que se parte ya los hemos indicado en sus líneas generales. La hipótesis de que partimos,-es decir, de que se parte — 647 — en el método de Mr. Poincaré, es la de la conservación de la energía, que explicaremos una vez más. Si al sistema elástico se le hace sufrir una serie de defor- maciones infinitamente pequeñas, y sin velocidad, constitu- yendo un ciclo cerrado, es decir, volviendo el sistema á su posición de equilibrio inicial, será imposible, ni crear nueva energía, ni anular la energía existente. Y esto, en el problema que estamos examinando, equiva- le á esta condición analítica: que las fuerzas internas se deri- ven de una función de fuerzas, que llamaremos como antes UA DA, Mb) De modo que en cada punto (x, y, z) las componentes de la fuerza interna que sobre él actúa, serán dl des Ab viso U dee bid ai Y en efecto, en este caso el trabajo en un elemento de de- formación, será una diferencial exacta, a a dy + d2=dU dx para cada punto, y por lo tanto para todos Ae y la difen- cia del trabajo, que será la energía total, porque la energía cinética. hemos supuesto que es nula, sólo dependerá de las coordenadas extremas, y cuando se cierre el ciclo y vuelvan los puntos á su primera posición, será nulo dicho trabajo, ó dicha energía. Esto es repetir en forma abreviada lo que ya hemos ex- plicado en la conferencia precedente con mayor extensión. E * — 648 — De las tres hipótesis que acabamos de hacer respecto al estado inicial, ya hemos dicho que prescindimos de la prime- ra, que es puramente ideal, y por lo menos dudosa. Prescindimos de la segunda, que tampoco se encuentra en la Naturaleza, á no ser en forma aproximada: las fuerzas ex- teriores podrán ser muy pequeñas, pero no pueden ser nulas. Un sistema de puntos materiales no puede aislarse en absoluto del resto del Universo. Aceptamos, en fin, la hipótesis de Poincaré respecto al es- tado natural del cuerpo al ser sometido á las condiciones de un problema de Elasticidad, que en el fondo es la superpo- sición de estados elásticos. Y apurando mucho el análisis y la crítica, tampoco el es- tado inicial que acabamos de definir es un verdadero estado natural; también es un estado ideal, aunque menos ideal que los anteriores; quiero decir que está más cargado de reali- dad, si se me permite la expresión, que el supuesto estado natural de las dos primeras hipótesis. Y la razón es muy sencilla. Se supone que el cuerpo se encuentra en estado de equi- librio estático, es decir, que las velocidades de los diferentes puntos es nula, y esto no sucede nunca en la Naturaleza. Un cuerpo en estado natural está sujeto á fuerzas interiores, como las A, B, C; á fuerzas exteriores, como las P, Q, R; y sus puntos tienen determinadas velocidades. Suponer otra cosa, sería suponer que el cuerpo no tenía temperatura, sino que había llegado al cero absoluto. El verdadero estado natural de un cuerpo no es de equili- brio estático, será, cuando más, de equilibrio dinámico; quiero decir, un estado de movimiento, pero estable. Y asi también, el problema de Elasticidad que vamos á estudiar, tampoco es en el fondo un problema de equilibrio, sino un problema dinámico. Cuando sobre un cuerpo en estado natural actúan fuerzas E E . — 649 — exteriores, lo natural es que comuniquen nuevas velocidades á los diferentes puntos del sistema. Hace mucho tiempo que se ha dicho esto. El equilibrio es una ficción, un idealismo de la Mecánica, una pura abstracción. Y ocupándonos siempre en el mundo inorgánico, y sin abordar otra clase de problemas, claro es que todos estos de equilibrio y estática tienen mucho de convencional. Convencionalismos útiles, casi nos atreveríamos á decir necesarios, para el desarrollo y aun para la enseñanza de la Ciencia, pero á los cuales no debemos atribuir un carácter de realidad que no tienen. Estas últimas consideraciones justifican ciertas ideas que hemos expuesto en otras conferencias. Dábamos gran importancia á la teoría de la Elasticidad, porque decíamos que si se pudiera estudiar en toda su ex- tensión y en toda su profundidad, sería el problema único de la Fisica-matemática, sobre todo en la hipótesis mecáni- ca, y casi nos atreveríamos á decir que en cualquier hipó- tesis. Por el pronto, en la hipótesis mecánica, lo acabamos de ver confirmado por lo que se refiere al calor. Desde el momento en que se tiene en cuenta las velocida- des de los diferentes puntos materiales que constituyen un sistema elástico, no hay que esforzarse mucho para confun- dir en uno solo estos dos problemas: el de la Elasticidad y el de la Termodinámica. ¿Qué hay en un problema de termo-dinámica que no en- contremos en un problema de elasticidad ? En ambos encontramos: : Puntos materiales constituyendo el sistema. Estos pun- — 650 — tos. serán pequeños elementos del cuerpo, ó moléculas, ó átomos. En el problema atosteabi se confunden todos estos nombres. En uno y en otro problema encontramos fuerzas interiores. En ambos, fuerzas exteriores, en el caso más general. - Y en ambos debemos suponer que los elementos, parteci- llas materiales, moléculas ó átomos, que por el pronto con- fundimos-.unos con otros, están en movimiento. “Y todas estas ideas no son caprichosas, no las presenta- mos por el afán de generalizar los problemas á poca costa y sin graves riesgos, porque así generalizados no los hemos de resolver. No nos encariñamos con E aas. Si hasta ahora no se ha aplicado la teoría de la elasticidad á la Termodinámica, en cambio es un hecho que por la Ter- modinámica hay autores que resuelven el problema de la elasticidad, y encontramos un ejemplo en la teoría de la elas- ticidad de Mr. Poincaré: alguna vez estudiaremos tal as- pecto del problema en estas conferencias, á sernos posible. Lo que hay es, que siendo el problema de la Termodiná- mica un verdadero problema de elasticidad, de elasticidad- dinámica, pudiéramos decir, toma un carácter especial al in- troducir el concepto de temperatura, y al buscar en los cálcu- los, no la velocidad en cada instante de cada punto, sino úna especie de valor medio de su fuerza viva. Pero estas son consideraciones que ahora no podemos desarrollar. Atengámonos por el momento al problema elástico en los términos, hasta cierto punto prácticos, en que hasta ahora se ha planteado, y lleguemos de una vez, aunque en rigor te- nemos mucho camino andado para nuestro objeto, á la ex- posición del método de Mr. Poincaré, que será la materia de la conferencia inmediata. En rigor ya hemos empezado esta tarea, a hayamos marchado con cierta lentitud, b — 651 — XXXVIII. —Elementos de la teoría de la Elasticidad. PoR José ECHEGARAY. Conferencia décima. SEÑORES: Vamos á repetir una vez más, como nuevo resumen, lo que ya hemos dicho varias veces en este curso; pero creo que mis oyentes ó mis lectores han de agradecerme estas repetidas repeticiones, porque en la enseñanza elemental las repeticiones son provechosas. Cuando se recorre un camino por primera vez, no basta mirar siempre hacia adelante; conviene detenerse de cuando en cuando y volver la mirada atrás, para hacerse cargo del camino recorrido y de la configuración del terreno, vistas de conjunto que ordenan los re- cuerdos y los puntos de vista e] parciales dentro de una unidad 7 sintética. El) Y por eso voy á decir, que P las tres figuras 28, 29 y 30 sim- (NT) = e (vw) bolizan en cierto modo y son verdaderos esquemas de los tres Figura 28. métodos, que para resolver el problema de la Elasticidad venimos explicando: el método de Lamé, el método de Cauchy y el método de Poincaré. En la figura 28 está simbolizado el método de Lamé. El ebuilibrio de cada punto m se expresa rodeándolo de un pa- ralelepípedo elemental p, determinando en función de datos — 652 — é incógnitas las tensiones sobre sus caras y escribiendo las ecuaciones, que expresan el equilibrio de este sólido ele- mental. vd La figura 29 sintetiza, en cierto modo, el método de Cau- chy. Un punto cualquiera m del sólido elástico S está solici- tado por los demás puntos de dicho sólido 7... y basta es- cribir las ecuaciones de equilibrio del punto In. La figura 30 expresa sintética- mente, y también pudiera decir esquemáticamente, el método de Poincaré. También hay que expresar el equilibrio de cada punto m, buscando la acción de los demás puntos m”'. Pero estas fuerzas f ya no son centrales. Y ahora agregamos, para completar nuestra comparación, que en cada uno de estos métodos entran funciones desco- nocidas. En el método de Cauchy (fig. 29), la función desconoci- da f(r) que expresa la acción de dos puntos de masa m á la dis- tancia f. En el método de Poincaré (figu- ra 30) también entra una función desconocida U, que es la función de fuerzas, igual y de signo con- trario á la función potencial; por- Blqura'S0- que, como hemos dicho en la conferencia precedente, en el método de Mr. Poincaré, el principio de la conservación de la energía suple al principio de las fuerzas centrales del método de Cauchy. Y también en el método de Lamé entran funciones desco- nocidas; porque hemos de recordar que dicho método tiene Figura 29. S 7 A A E — 653 — dos partes: primera, expresar el equilibrio del paratelepípe- do elemental en función de las tensiones; segunda, expresar las tensiones en función de las deformaciones, es decir, las N, T en función ó en funciones « de las deformaciones U, V, W. | Y en estos tres métodos, que tan distintos son en el fondo, vamos encontrando, sin embargo, semejanzas, analogías, en cierto modo paralelismo. Se va repetidas veces en la Ciencia de un punto á otro; parece que se va por caminos distintos, y distintos son en rigor; pero como el problema es el mismo, los caminos tie- nen que marchar por la misma zona de terreno. Y así, en los tres métodos, hay que expresar el equilibrio de un elemento del sistema, porque en la Ciencia no se obtiemen de un golpe las leyes totales. y finitas, y habla- mos en términos generales; sino que hay que penetrar en los elementos infinitamente pequeños, donde, al menos, para nuestra inteligencia, las leyes se simplifican. - Y después, en los tres métodos, nos encontramos como dificultad, al parecer irresoluble del problema, con funciones desconocidas: Y ó funciones que enlazan las tensiones con las deformaciones en el método de Lamé; f ó función que expresa la acción central de dos elementos en el método de Cauchy; U ó función de fuerzas, función igual y contraria á la potencial, que ya no expresa esfuerzos, sino energías, en el método de Poincaré; por eso hemos dicho que este méto- do tenía orientaciones hacia la nueva Física matemática, la cual á su vez tiende á ir substituyendo las fuerzas por las energías. Y desde aquí el paralelismo es aún mayor, porque la ma- nera de introducir en el cálculo, en cada uno de estos méto- dos, la función que le corresponde y, f, U, es exactamente la misma; como que es un procedimiento de cálculo. - Ya que no podemos conocer estas funciones y que lo que nos interesa, dada la naturaleza del problema, es conocer = 654 = sus variaciones para variaciones muy pequeñas de sus va- riables independientes, lo que se hace es desarrollarlas por la serie de Taylor; lo mismo según Lamé, que según Cauchy, que según Poincaré: siempre igual, substituir á una función que no conocemos, y en una extensión suficientemente pe- queña, una función algebráica, ordenada por las potencias de los incrementos y en que los coeficientes se referirán á un estado que es el estado inicial ó el de punto de partida: en rigor este debe ser un dato. Y el paralelismo continúa, porque la simplificación inme- diata procede de una hipótesis que es idéntica en los tres casos, á saber: que sobre cada punto del sistema elástico no influyen los puntos lejanos, sino los próximos, los pun- tos que distan de aquel cuyo equilibrio hemos de establecer, longitudes menores que el radio de actividad molecular. Pues todavía la semejanza, el paralelismo, mejor dicho la identidad, para esta etapa de los tres métodos, continúa, porque al llegar á este punto, lo que se hace es atender para determinar la forma de los coeficientes á la naturaleza del cuerpo elástico: si es homogéneo, si es heterogéneo, si tiene un eje de simetría ó uno ó varios planos de simetría también, y, por fin, si es isótropo. Y al llegar aquí ya no hay paralelismo, sino identidad, porque los tres métodos conducen á las mismas ecuaciones diferenciales, que era el punto á que queríamos llegar, y apenas si en los coeficientes hay una diferencia que, como dice Mr. Poincaré, puede servirnos para comprobar el gra- do de exactitud de la hipótesis de las fuerzas centrales. Todavía es punto de semejanza entre los tres métodos— aunque esto nada tiene de particular, porque es una condi- — 655 — ción del problema—, la necesidad de definir el punto de par- tida, que es lo que llamábamos el estado natural del cuerpo, Sobre el estado natural del cuerpo, vimos que se oil hacer tres hipótesis. Se aplicaba la primera á la teoría de las fuerzas centrales, suponiendo el equilibrio entre cada dos puntos. Y como esto traía consigo, siendo n el número de puntos n(n—1 ¿ 7 2 0 ne ecuaciones de condiciones entre 3 n-—6 incógnitas, que son las necesarias y suficientes para definir un sistema de n puntos, y como desde n=5 en adelante, el primer número es superior al segundo, desechábamos esta hipóte- sis, que ya hemos analizado más detenidamente en cursos anteriores, y la desechábamos por la razón expuesta y por otras que sería largo de enumerar. Es un estado ideal, más que un estado natural, y iS blemenre imposible en la práctica. En la segunda hipótesis se supone que no existen fuer- zas exteriores, y que las fuerzas interiores, sin ser nulas ais- ladamente, se equilibran sobre cada punto. A priori no puede desecharse tal hipótesis, porque el nú- mero de incógnitas es 3n—6 y el número de ecuaciones, contando con que las fuerzas satisfacen á las seis ecuaciones de equilibrio de un cuerpo sólido, es también 3n—-6. Es también un caso ideal, porque fuerzas exteriores siem- pre existen. Pero posible y que en la práctica puede suponerse que se realiza aproximadamente. La tercera hipótesis es la de Poincaré. Se supone un estado inicial de equilibrio entre las fuerzas interiores y exteriores, y todo problema de elasticidad, se aplica á cuerpos que se encuentran en dicho estado, y á los cuales se somete á la acción de nuevas fuerzas. Esta será la hipótesis que nosotros admitiremos; y en ri- gor, éste tampoco es un estado natural, porque prescindi- — 656 — mos de las velocidades iniciales de los diferentes puntos, que es como si dijéramos, de la temperatura del cuerpo. Sólo podría realizarse, si dicho cuerpo estuviera al cero absoluto de temperatura. Ya lo hemos dicho varias veces: el problema general de Termodinámica es un problema de Elasticidad; y recípro- camente, las fórmulas de la Elasticidad pueden obtenerse, como veremos en otra ocasión, aplicando los principios de la Termodinámica. En estas pocas lineas hemos hecho el resumen de la con- ferencia precedente, para enlazar lo que en ella dijimos con lo que hemos de exponer en esta conferencia. Así como somos aficionados, acaso con exceso, á volver la vista atrás, á examinar, por decirlo así, los terrenos que hemos recorrido y el camino que hemos venido siguiendo, á fin de tener una idea del conjunto, idea que se expresa en éstas síntesis generales que vamos haciendo, así también nos agrada dirigir la vista hacia adelante para formarnos una idea sintética del camino que vamos á recorrer y de los ho- rizontes que ante los alumnos se dilatan, horizontes que de- bemos suponer que son para ellos desconocidos. Digo esto, porque antes de entrar en el mecanismo del método de Mr. Poincaré, me propongo dar una idea de con- junto, aunque ya en conferencias anteriores he empezado á realizar este trabajo. Dijimos, en efecto, que el ilustre matemático parte de la hipótesis de que los cuerpos elásticos están compuestos de innumerables puntos materiales, entre los cuales se desarro- llan fuerzas internas atractivas ó repulsivas. Agregamos, que en la nueva teoría se prescinde de la hi- pótesis de las fuerzas centrales, pero que se supone que A AE A — 651 — existe una función de fuerzas, que es como decír que al prin- cipio de las fuerzas centrales, se substituye el principio de la conservación de la energía. Con esto, en rigor, basta para comprender el método de Mr. Poincaré en su conjunto. Pero en su aplicación, en sus procedimientos analíticos, también difiere, tanto del método de Lamé y sus análogos, como del método de Cauchy y sus discípulos. Su procedimiento matemático puede condensarse en los siguientes términos, que por el pronto acaso parezcan un poco vagos, pero ya los iremos precisando. 1. A las coordenadas x, y, z substituye por completo, ó en gran parte, y esta limitación ya la explicaremos en bre- ve, las distancias entre cada dos puntos del sistema. Y al decir distancias no hemos dicho bien; lo que introduce en sus cálculos son los cuadrados de estas distancias, que re- presenta en general por R. 2.2 Antes de obtener las ecuaciones de equilibrio de los diferentes puntos, expresa en función de R, R”, R”..... la función de fuerzas U, ó si se quiere, la potencial del siste- ma; y esto es natural, porque el equilibrio de caua punto del cuerpo elástico, ó mejor dicho, sus ecuaciones de equili- brio, suponen el conocimiento de las fuerzas internas ó de sus componentes, y estas hemos visto en la conferencia an- terior que son las derivadas por relación á x ,y, z de la fun- ción de fuerzas U. 3.” Siguiendo la marcha general de todos estos proble- mas, que ya explicábamos en nuestras últimas conferencias, establece la hipótesis de que la influencia de unos puntos ma- teriales sobre otros, sólo es apreciable cuando la distancia en- tre cada dos puntos es inferior al radio de la acción molecular. Y esta simplificación, de casi todos los problemas de la Física matemática, toma en el método de Mr. Poincaré una forma más precisa, que explicaremos detenidamente, aunque por ahora la expresemos con cierta vaguedad, diciendo que, — 658 — en cierto modo, la potencial del sistema es la suma de las potenciales de diferentes elementos encerrados en volúme- nes infinitamente pequeños del cuerpo, como si estos ele- mentos estuvieran aislados. O en forma más concreta: la potencial del conjunto es la suma de las potenciales de los elementos. 4. Deeste modo obtiene una expresión de U, que des- pués de varias transformaciones resulta, por ejemplo, en el caso de los cuerpos isótropos, que depende de aquellos seis coeficientes que determinábamos en el curso anterior para marcar la deformación de cada elemento del sólido elástico, elementos que llamábamos a,, 4», 43, b,,b,, ba, (pág. 109 del tomo anterior). Marchando por otro camino, llegamos á un punto que, si no es el mismo que en el método de Lamé, tiene con él grandes analogías; allí expresábamos, por ejemplo, las ten- siones N, T en función de a, b. Aquí expresamos las E en función de estos mis- mos elementos a, b. : Y es natural; si la potencial del sistema la reducimos á la suma de las potenciales de los elementos del sólido, como la potencial depende de la deformación, es decir, de lo que cada punto varía, porque de estas variaciones depende la variación de energía del sistema, natural es que ésta depen- da de las cantidades que determinan y definen dicha defor- mación, es decir, de las a y b, ó en general, de las nueve derivadas q dx | ¿3 5.” Obtenida esta expresión simplificada de la potencial U, Mr. Poincaré no toma sus derivadas con relación á x, y, z para substituirlas en las ecuaciones de equilibrio de cada pun- to, sino que escoge otro camino, al parecer distinto del prime- ro, en el fondo idéntico, y que tiene sus ventajas indiscutibles. Expresa el equilibrio del sistema aplicando el principio de las velocidades virtuales, Ó si se quiere de los trabajos ele- | | DS A e a — 659 — mentales, para lo cual está brindándose, por decirlo de este modo, la función de fuerzas Ó la función potencial, al menos para las fuerzas internas. Como que precisamente integrando términos de esta forma: Xdx+ Y dy sE LUZ, se ha obtenido, por representar estos grupos diferenciales exactas, la función potencial U; claro es que, tomando su variación d, llegaremos á los trabajos virtuales. 6.” Por medio de la integración por partes, ó, si se quie- re, por una fórmula muy conocida de análisis, se obtiene una integral que ha de ser igual á cero, y cuyos elementos se de- muestra también que han de ser nulos. Precisamente de este modo se llega á las ecuaciones de equilibrio, que coinciden, ó pueden coincidir, exactamente con las de Lamé, y de paso se han obtenido las componen- tes N, T de las tensiones. Coincidencia curiosa: al principio, e método de Poincaré tenía cierta semejanza con el de Cauchy; luego se separó de esta dirección, sin aproximarse al método de Lamé, del cual era esencialmente distinto; y al fin se viene á dar, respecto á la forma, en las ecuaciones clásicas de este último autor. Consideremos un sólido elástico S sometido á fuerzas in- teriores, cuyas componentes para cada punto de los n pun- tos materiales que constituyen dicho sistema S, designare- mos, según la notación de Mr. Poincaré, por As, B,, a El subíndice ¿ tomará todos los valores desde 1 á n. Designaremos, asimismo, por Br Qi. Ri — 660 — las tres componentes de las fuerzas exteriores que actúan sobre cada punto designado por el subíndice . Las ecuaciones de equilibrio serán, evidentemente, A: +P¿=0, B:¡ + Q;=0, (1) C; +R;¡=0, en cuyo grupo estarán, evidentemente, contenidos los n grupos A, +P,=0, B, + Q,=0, C, +R,=0, As + P2 =0, B, + Qs, =0, Co + Rs =0, An +Pn=0, Bn + Qn=0, C, HF Rn=0 Son, pues, 3n ecuaciones que determinarán las 3n coorde- nadas de los n puntos del sistema, para que en dicho siste- ma estén en equilibrio las fuerzas interiores y las fuerzas exteriores, constituyéndose de esta manera el estado natural, Ó, si se quiere, el estado inicial del cuerpo. Claro es que si representamos por U la función de fuer- zas, las componentes A;. B;. C;. estarán definidas en general, según la hipótesis de que se parte en este método, por las expresiones got abs A; == , Í . dy; dz; (2) — 661 — Y definido el estado inicial, pasemos al problema general - de la Elasticidad, aplicando á dicho cuerpo fuerzas exterio- res sobre cada punto, cuyas componentes serán Xi e Z,. Las ecuaciones de equilibrio generales se establecen con tanta facilidad como para el estado inicial. Los puntos del sistema no quedarán, naturalmente, en la posición que tenían, sino que pasarán á posiciones muy próximas á aquéllas, puesto que suponemos que las deforma- ciones elásticas del sólido son muy pequeñas en comparación á las dimensiones de éste. Las variaciones de dichas coordenadas las representare- mos, separándonos en esto, y sólo en esto, de las notaciones de Mr. Poincaré, para continuar con las notaciones adopta- das en los cursos anteriores, por u, V, W. De suerte, que el punto cuyas coordenadas en el cuerpo en estado natural eran x, y, z, se habrán convertido en X+UJY+ z2+0w. Las ecuaciones de equilibrio serán, como antes decíamos, análogas á las ya escritas para el estado inicial, cambiando las coordenadas, que serán en general x+ 4, y +1, 2 + W; y agregando las fuerzas X, Y, Z. Tendremos, pues, el siguiente grupo: dU On) FP; +A =0, dU 2 AY i+1;) ST dU A e que comprende n grupos, los cuales se obtienen dando á i todos los valores desde 1 hasta n. Ruv, Aca. Cirscras.—VIIT.—Marzo, 1909. 45 — 662 — Y para evitarnos el repetir esto mísmo, siempre que sea necesario, lo expresaremos, según costumbre, escribiendo enfrente del grupo general este símbolo (i= 1.2..... 1). Explicábamos en otra conferencia, que la función U de fuerzas, que contenía en general las 3n coordenadas de los n puntos, ya que nos era desconocida en su forma y en sus coeficientes, la sustituíamos aproximadamente, desarro- llándola por la serie de Taylor, ordenada por los incremen- tos Uu, V, W; y agregamos ahora que, dada la pequeñez de estas cantidades, no tomaremos más que los tres primeros términos. _ Tendremos, pues, para la función de fuerzas aplicada al sólido ya detormado: +2 E E ao ÓN dy; dz; dX; y; 1 dU d?U d?U E -q2 y? W;? , 2. e. o e) d?U d2U d?U y u;¡v; uW; VW; |. m3 Ea + dAx;idz; E ) Mr. Poincaré, para abreviar la escritura, representa el pri- mer término del segundo miembro, que es independiente de u, v, w, por U.. El segundo término, que es lineal, ó de primer grado de pequeñez, en u, v, w, por U;. Y los dos últimos, que constituyen un polinomio homogé- neo de segundo grado, en u, v y w, por U,. De suerte que tendremos: U = U, + U, + U». —1668— Las ecuaciones de equilibrio, serán por lo tanto AU O pr oso, d(x; + 15) | d(U, + U, + Us) de on + Q;+Y; (i e: n) d(U, + U, + U») ip de d(2; + vi) O Como aquí las verdaderas variables son u, v y w, porque las x, y, z, se refieren á posiciones fijas en el sistema ini- cial, podemos escribir las ecuaciones precedentes de este modo: PON d(U, + Us + U,) ele lv + Q: + Y; =0, gtóN A a del 5 PR + Zp=0: Ahora bien; U, no contiene la u, v, w, así para la dife- renciación con relación á estas cantidades es una constante, luego sus derivadas con relación á u, v, w serán cero, y las ecuaciones de equilibrio tomarán esta forma aún más sen” cilla: dU, de A d EE du; du; dU- dU. Os E P¿ + XxX =0, dU, a A ERE Zi=0, — 664 — Observemos que la U, era lineal en u, v, w, y de esta forma: Y =2 LO ys es ELLE E ¿dd »,) (1 L2. 2310) dx; dy; dz; auna ir UA AR LIA AES du; dx? dv; dyi dw; des. porque al diferenciar, todos los términos, menos uno, des- aparecen: unos, porque corresponden á valores distintos de ¿; otros, por no contener la UL, si se refiere á esta variable la diferenciación; y lo mismo para las demás v, w. De mane- ra que las ecuaciones de equilibrio del sólido elástico defor- mado por la apiicación de las fuerzas X, Y, Z, podrán escri- birse de este modo: ¡au ea P;¡+X;¡=0, ad Ap e le dU dU, E Qu + Yi =0, dy; dv; dU a a Saw R; Li = 0. dz; a ía ds Y substituyendo, en vez de los primeros términos, sus va- lores, según las ecuaciones (2), tendremos por fin: A+ E PX 0, Bi+ + Qu Yi=0, Co Ri + Zi=0. dw — 665 — Pero las ecuaciones (1) que expresan el equilibrio en el estado inicial, permiten suprimir los términos primeros y terceros, y quedan para las ecuaciones de equilibrio del sis- tema deformado, las siguientes: d O, Xi =0, du; + A (¿= 1,2 ..... 1) dv; AN dw; Recordemos que U, tiene esta forma: 1 d?U az dal U. =-— Y* u? v¡? w;? ó Z ( dx? se dy? + dz;? + al dll d?U Y u¡v + MEA rr Mes Ar ( d Xi dy; ' m0 dx; dz; + dy; dz; ) en que los coeficientes son funciones de x, y, z, es decir, de las coordenadas de los puntos en el estado inicial; de suerte, que si se conociese U, dichos coeficientes serían funcciones perfectamente conocidas. Cierto es que no se conoce la forma de U; mas por medio de hipótesis y en casos particulares, puede precisarse dicha forma. Por lo demás, para el desarrollo del método y para deducir las leyes generales de la Elasticidad, debemos suponer que es conocida la función U. | Diferenciándola con relación á 41;, v;, w;, las ecuaciones de equilibrio se reducirán á las siguientes: o ia rn, (O A) aa da y representando los coeficientes por una letra para simpli- ficar: E(A¡; 4 +B; vi + C¿w¡)+X=0, NB/ ví +A/u + C¡w;¡)+ Y E=0; (MEZ d0000 n) X(Cw¡ + Af ui + Bf vi) + Zi =0; tendremos, pues, n grupos de tres ecuaciones, es decir, 3n ecuaciones de primer grado respecto de las incógnitas u, V, w. Claro es que el problema, teóricamente, está resuelto, por- que dichas ecuaciones nos darán los valores de las 3n incóg- nitas U, V, W. Sin embargo, la solución es ilusoria, 6, mejor dicho, prácticamente imposible, por el número inmenso de incógni- tas y de ecuaciones. Si en vez de tratarse del equilibrio se tratara del movi- miento, en lugar de las fuerzas exteriores X, Y, Z tendríamos que poner las fuerzas exteriores también y además las fuer- zas de inercia, de modo que tendríamos 3n ecuaciones di- ferenciales simultáneas, con las 3n funciones desconocidas u, v, w, y el tiempo como variable independiente. También en teoría está resuelto el problema, y también la solución es imposible en la práctica. Una dificultad de este género hemos encontrado en los métodos de Cauchy y Lamé, y por eso pasábamos á las ecuaciones en diferenciales parciales. Mr. Poincaré toma, al llegar á este punto, otro derrotero, e E PG oe — 667 — y aplica otro método, del cual hemos dado hace un instante una especie de resumen ó síntesis, y que ahora vamos á se- guir paso á paso. El insigne maestro empieza por estudiar la función de fuerzas U, ó la función potencial, que es igual y de signo contrario á U, * + Nuevas variables.—En el método que vamos exponiendo se empieza por substituir á las variables generales x, y, 2, Pigura 31. que determinan cada punto, nuevas variables R..... que ex- presan la distancia de cada dos puutos del sistema; mejor dicho, R representa no la distancia de cada dos puntos in, Mo, Sino el cuadrado de dicha distancia; de suerte que si las distancias de cada dos puntos se representan en general por r, tendremos R =P. Las nuevas variables no son r, sino R. Si las variables fuesen r, el sistema de puntos que cons- tituye el cuerpo elástico podría estar representado, como ya indicamos en otra conferencia, del siguiente modo: Sean S (fig. 31) el sólido elástico y A, B, C, D, D'....s — 668 — diferentes puntos materiales de los que constituyen dicho sólido. Se trata de definir geométricamente el-expresado sistema; es decir, de fijar las posiciones relativas de los diferentes puntos. Esto puede hacerse de muchas maneras. Una de las más sencillas es la siguiente: Tomemos tres puntos A, B, C. Sus posiciones relativas se definirán por tres rectas r,, fa, fz. A estos tres puntos vamos á referir todos los demás; por ejemplos 0. E El punto D estará definido por las tres distancias r,, f;, fg. El punto D” por las tres distancias r,, fs, fa, y así Sucesi- vamente. En conjunto resultarán tres distancias para los tres prime- ros puntos, y para cada uno de los restantes, que son n— 3, el número 3 (n—3); es decir, 3 +3(n— 3) =3n — 6. Este último número de distancias es necesario y suficiente para definir todos los puntos del sólido elástico, cuya posi- ción relativa quedará de este modo determinada. Pero lo mismo da fijar las distancias r, que fijar sus cua- drados. Lo mismo define la posición de los puntos A y B la lon- gitud r,, que R,, porque conocida R, de la relación rf =R,, r, =VY Ry Podemos, por lo tanto, decir que las nuevas coordena- das son se deduce En general R, E A — 669 — En suma, las nuevas coordenadas que fijan el sistema son los cuadrados de las distancias de los puntos tomados dos á dos. Pero debemos hacer aquí una advertencia importante: las 3n—-6 cantidades r, si bien son las necesarias para definir el sistema, no agotan todas las distancias r. Por ejemplo, en la figura 31 la recta D D” no está comprendida, ni puede estar comprendida, según las explicaciones que hemos dado hace un momento, en las 3n-—6 cantidades r que definen el sistema, como se ve evidentemente en la figura y como se Observa desde luego. Porque el número de distancias + es el del número de puntos combinados dos á dos; es decir, n(n— 1) A y este número, desde cinco puntos en adelante, es mayo que 3 n—-6. Para abreviar la explicación representemos estos números por una letra, haciendo N, =3n— 6, 9 —= Y decimos que, en general, N, será mucho mayor que N;; como que N, es de segundo orden de magnitud creciente, por ser de segundo grado en n, y en cambio N, es de pri- mer grado, por ser lineal en dicha cantidad n. Así, Na > N,, desde n = 5 en adelante. De lo dicho, que es elemental, se deduce que todas las cantidades r, no son variables independientes; las únicas va- riables independientes, sea cual fuere el sistema de distancias — 670' — que se escoja, el que hemos definido ú otro cualquiera, son en número N,, y las restantes N¿— N,, son funciones de las primeras; definidas aquéllas, quedan determinadas las de- más por fórmulas trigonométricas fáciles de obtener. Así en la figura 31 podemos decir distancia DD'=0(f,, Pa, Fa) Fa, Po, Fo, Fz, Fs, Fo), siendo y cierta función trigonométrica más ó menos compli- cada, pero que se obtiene sin dificultad. Pero lo que hemos dicho de las distancias r, podemos de- cir de sus cuadrados, de suerte que en el sistema de las R no habrá más que N, cantidades independientes, á saber: Ri, Ro, Rs ..... Ry,, y las restantes Ri, ati. RN,, serán funciones de las primeras; así podremos escribir: Rin, +0= (Ri, R; Pound Ry,). Insistimos en estas ideas, que son elementales, porque al aplicar el método de Mr. Poincaré, sobre todo al principio, es decir, en el cálculo de la función U, ocurren ciertas du- das, que el texto de la obra del insigne matemático, correcto, pero conciso, no aclara del todo. Por lo demás, tales dudas no influyen sobre la aplicación del método; pero bueno será que de ellas nos hagamos car- go en estas conferencias, que, como tantas veces hemos di- cho, son de carácter elemental, puesto que nos dirigimos á alumnos que por primera vez estudian la Física-matemática, y no á maestros para los cuales nuestras aclaraciones serán ociosas. h $ e 4 A E 4 p A PAN — 671 — Y hechas estas observaciones, que en breve explanare- mos, sigamos la explicación del método de Mr. Poincaré. Trata el insígne autor de expresar la función de fuerzas U, ó lo que es lo mismo, la función potencial en valores de las nuevas coordenadas R.. Supongamos que en el estado inicial las distancias de los puntos que constituyen el sistema, están representadas, como antes decíamos, por la serie de sus cuadrados, es decir, por las magnitudes: Ri, Ray Rs ccus. Ry,. Estas magnitudes no serán, pues, las distancias de los puntos dos á dos, sino los cuadrados de estas distancias; no- tación que, como veremos en breve, simplifica la escritura - de los cálculos. Supongamos que á este sistema de puntos, en un estado inicial, ó en un estado natural, si se prefiere esta denomina- ción, se le aplican fuerzas exteriores variando í desde 1 hasta n, que es el número de puntos del cuerpo. El sistema experimentará una deformación elástica, bajo la acción de las nuevas fuerzas. | Los puntos saldrán de su primitiva posición de equilibrio, para ocupar nuevas posiciones, que serán las que correspon- dan al nuevo equilibrio elástico, que tratamos de determinar, porque este y no otro es el problema que se nos presenta. Las magnitudes R,, Ra, Rz».... Ry, correspondientes á — 672 — cada par de puntos, no continuarán siendo las mismas; ha- brán recibido ciertas variaciones, y si representamos la va- riación general, por la letra griega p, según las notaciones de Mr. Poincaré, R, se convertirá en R, +15 Ro en Ra + po, y así sucesivamente; de suerte que las nuevas magnitudes, Ó si se quiere, cuadrados de distancias, serán A A O AT y no olvidemos que e significa, no el incremento de una dis- tancia entre cada dos puntos, sino el incremento del cuadra- do de la distancia en cuestión. Así como el estado inicial estaba definido por las magni- tudes ó coordenadas R, el nuevo estado se hallará definido por las magnitudes R + p. Al variar de posición los puntos, la potencial será distinta de lo que era en la posición inicial, y será una cierta fun- ción de las expresadas magnitudes. Mr. Poincaré dice textualmente: « U es una función de las cantidades R + p..... U=F(R+e RH ea) Y no dice más. Y aquí aparece una primera duda, que tiene su importan- tancia, para el que por primera vez estudia esta materia, por elemental que la duda sea. La función F expresa el valor de U, ó sea de la función de fuerzas, ó de la potencial, para el sólido deformado. Sobre esto no cabe duda. Porque si la potencial del siste- ma depende de la posición relativa de los puntos, y ésta po- Sición relativa, su configuración geométrica, pudiéramos decir, depende de las magnitudes R + p, es evidente que U será una cierta función de tales magnitudes. Pero, ¿de cuáles de ellas?, pudiera preguntarse, A » rl E A 5 a A E — 673 — ¿De los N, pares de puntos, que determinan otras tantas distancias, cuales entran en la función F? Porque F puede tener varias formas, atendiendo á que las magnitudes R + ¿ son en número N, y las necesarias para fijar la posición relativa de los puntos del sistema son N,, y ya recordamos que n(n— 1) No = , N, =3n—6. 2 De manera que las magnitudes R + e, verdaderamente independientes, son en número N,, según antes explicá- bamos. Así es que, á la pregunta que antes hemos formulado, res- pecto á las magnitudes R + p que entraban en la fun- ción F, se puede dar un número inmenso de contestaciones, que podremos, para simplificar, reducir á dos grupos: 1.7 Puede suceder que F sólo contenga N, magnitudes R+e consideradas como verdaderas variables indepen- dientes. 2. Puede suceder que entren en F todas las magnitudes, ó, además de las elegidas por independientes, muchas que no lo sean. En resumen: F, expresando siempre el valor de la función de fuerzas ó de la potencial para el sistema deformado, puede aceptar un número de formas distintas inmensamente grande. Y, sobre todo, las del primer caso serán esencialmente di- versas de las del segundo, Pero Mr. Poincaré no especifica cuál de estas formas es la elegida, Ó acaso no necesita especificarlo, por considerar todas estas formas equivalentes. Lo son, en efecto, porque todas expresan el valor de U'; pero de elegir unas ú otras, pueden surgir dudas y aun apa- rentes contradicciones y paradojas. ( : Claro es, por lo demás, que de unas formas se puede pa- — 674 — sar á otras: por ejemplo, de las del segundo grupo á las de primero; porque basta escoger N, cantidades R + p como independientes; por ejemplo, las Ri +es R, + + e... + Ron, +m,> y eliminar todas las demás de la función F por medio de ecuaciones análogas á la que antes escribíamos para el esta- do de equilibrio, Que, como en este caso, las R se han convertido en R +, tendrán la forma Ran, + + pm, + n= Ú(R, + 1, Roa + qa ..... Ry, + en,) Y hasta aquí no hay dificultad de ningún género. Las dudas, ó por lo menos las confusiones, para el alum- no, podrán venir más tarde al desarrollar el método, como veremos en la conferencia inmediata. AS — 675 — XXXIX.—D. Francisco de Paula Rojas. Por José RODRÍGUEZ MOURELO. El mal que hacen los hombres, el límite traspasa de su vida; el bien que hacen los hombres, con frecuencia se entierra con sus restos y se-olvida. (SHAKESPEARE.—/ulio César.—Acto III. Esce- na III, traducción de F. Abarzuza,) Acaso á nadie convienen mejor que á nuestro llorado com- pañero en la Real Academia de Ciencias los dos últimos ver- sos de la grave sentencia que el mayor poeta inglés pone en boca de Marco Antonio, á los comienzos de aquel intencio- nado discurso, pronunciado para honrar los funerales del -gran romano, y de camino excitar al pueblo á tomar pronta venganza en los asesinos de César; y hasta pudieran ser la triste y desolada despedida de aquel honradísimo maestro, cuya más sobresaliente cualidad, entre las muchas eminen- tes que le adornaban, era la de ser bueno. Y fué tal su desti- no que, aun antes de enterrar sus restos, ya el bien que hi- ciera, siempre á manos llenas y colmando las medidas, esta- ba de tiempo atrás enterrado y olvidado. Para D. Francisco de Paula Rojas, el sabio y el bueno, que llevaba en su figu- ra y en sus pensamientos mucho de la figura y de las puras intenciones del espejo de los caballeros, que se llamó Alon- so Quijano, el Bueno, hubo en vida el más cruel é injustifi- cado olvido. Mercedes y honores que á otros, sin merecerlos, otórgan- seles á toda hora, fuéronle negados; y el maestro admirable, el sabio investigador, tuvo al fin de su vida trabajosa, consa- -grada por entero á los demás, la triste recompensa de la mez- quina jubilación de catedrático, que él mismo, caballero an- dante del ideal, solicitó al sentirse enfermo y agotado. Rin- — 676 — dióle la fatiga más que los años, y amargaron, sin duda, los últimos de su vida el desvío y la indiferencia, que no apre- ciaron debidamente, ni en la oportuna sazón, aquella labor científica de una inteligencia superior, toda luz y toda clari- dad, que sabía comunicar á sus escritos y á sus lecciones, junto con el más exquisito donaire, uniendo á la justa ex- presión del pensamiento las sales y agudezas del nativo gracejo. Bien es cierto que en los tiempos de la plenitud de su vi- gor intelectual, cuando la producción científica era más co- piosa, ni el medio parecía adecuado, ni el círculo en el que había de moverse la actividad de Rojas suficiente para des- arrollar sus elevados y originales pensamientos. Y fué de suerte que los azares de la carrera profesional, lleváronle, durante buena parte de su vida, á explicar las más diversas ciencias, y á cambiar, á cada paso, de asignatura, hasta que, ya bien entrado en años, pudo ejercer el magisterio de aqué- lla ciencia que constituía su afición, y á la que consagrara su estudio y sus investigaciones. Diérase á conocer, ya en la ju- ventud, como peritísimo en las cuestiones de electricidad y sus aplicaciones, que por entonces comenzaban á ser debi- damente tratadas desde los puntos de vista puramente cien- tífico y práctico; y como si esta parte de la Física fuese la determinante y característica de la vocación de Rojas, la elec- tricidad parece haber constituído, como si digéramos, el ideal de la vida científica de nuestro amigo, ideal purísimo hacia el cual caminaba con no igualado desinterés, arrastrado por su encanto, solicitado por aquellos atractivos misteriosos que cautivan el ánimo del sabió y son el mayor impulso de la voluntad, lo que la impele en las indagaciones de todo li- naje, obligándole á penetrar en lo más hondo y transcendente de los fenómenos naturales, con el fin de averiguar las cir- cunstancias de su producción, las relaciones entre ellos exis- tentes y las leyes que los rigen y determinan. No hubiera hecho otra cosa en su vida sino iniciar á los O PSI AA — 677 — discípulos en esta maravillosa ciencia de la electricidad, in- fluyendo así en la difusión de la cultura, y la labor científica de D. Francisco de Paula Rojas, en tal camino dirigida, fue- ra muy suficiente para darle honrosísimo puesto y crearle merecida fama. Valió mucho en semejante respecto, fué mo- delo de expositores y maestros y nadie le aventajó en la cla- ridad y sencillez de la expresión de los conceptos; pero con ser esto mucho, su mérito más preciado y cualidad Sobresa- liente fué la originalidad; véanse, si no, entre otros ejemplos que pudiera citar, las singulares lecciones de Hidráulica gene- ral que explicó en la Escuela General Preparatoria de Inge- nieros y Arquitectos, autografiadas por sus alumnos, que las conservan con verdadero amor y devoción. Cuando Rojas comenzaba su carrera profesional y reali- zaba sus trabajos eran tiempos muy poco apropiados, en nuestra patria, para el desarrollo de las ciencias, escaso el número de sus cultivadores y muy reducido el círculo de su acción; no había, en realidad, medio científico, y aun se de- mostraba cierta hostilidad hacia cuanto significase investiga- ción propia y original; dominaban la indiferencia y el desdén tratándose de estudios positivos, y la ignorancia en materias cientificas era llegada á los mayores extremos, y con ella parecían los hombres de entonces muy bien avenidos. A nuestro llorado amigo y compañero, como á otros pocos espíritus superiores de aquella época, fuéles necesario hacer un verdadero sacrificio y prescindiendo de sus aficiones, que los llevaban al trabajo, sólo y aislado, de la investiga- ción y del cálculo, hicieron esta grandísima y nunca bastante ensalzada obra de caridad de la propaganda cientifica y esta admirable enseñanza que ha formado el buen ambiente que ahora nos rodea. Hablaron poco de lo propio para di- fundir lo ajeno, y en su afán de instruír, diéronse á vulga- rizar las ciencias y cumplieron la meritísima tarea de ense- ñar al que no quiere, logrando, cuando menos, interesarle. Por eso una flor exquisita debe crecer lozana y adornar la Rxy. Acap. Crencias. — VIII. --Marzo 1909. 46 — 678 — humilde fosa donde yacen los restos de Rojas, la flor' in-- maculada del agradecimiento que todos debemos á aquel bondadosisimo maestro. Obsérvese lo que significan el desinterés y la abnegación de un hombre superior, dotado de extraordinaria inteligen- cia, impulsado por su vocación hacía las indagaciones en los nunca agotados campos de la ciencia pura, seguro de alcanzar, por su esfuerzo, resultados originales, en los que: pudiera recrearse su entendimiento, hallando en la propia' labor los mayores goces espirituales, desviándose del cami- no natural de sus aficiones en provecho de los demás. Com- prendiendo muy á derechas el patriotismo, se preocupa ante todo de enseñar; no es entendido, y procura que le en= tiendan; ciérnese muy alto su pensamiento, y sin perder un ápice de sus santos ideales, abate el vuelo y desciende: para hablar á los humildes, hacerles conocer la buena: nueva, y en sencilla frase, con no superada claridad, con- tarles las maravillas de la ciencia, relatarles sus incesantes progresos y demostrarles la utilidad de sus aplicaciones. De esta admirable y copiosa labor de D. Francisco de Paula Rojas, dan testimonio: el Manual del consumidor de gas, que data de 1862, y que, á pesar del tiempo transcurri- do y de su aparente sencillez, es todavía ahora de muy pro- vechosa consulta; los incomparables y amenísimos Estudios originales sobre varias cuestiones de Mecánica Industrial y de Física Industrial (Valencia, 1864), que son verdadero modelo de claridad y de exposición científica, donde se re- velan juntamente sus singulares condiciones de sabio, de es-. critor y de maestro; los numerosos artículos publicados, du- rante seis años consecutivos, en el periódico La Electricidad, y que puede asegurarse que, popularizando los rápidos ade- lantos de esta ciencia, sirvieron para iniciar su estudio en España y estimular el planteamiento de sus enseñanzas. To- dos estos fragmentos y ensayos, en los cuales se relataban, sencillamente, es cierto, pero con galano y atractivo len= — 679 - guaje, descubrimientos y trabajos realizados en el extranjero, bien elegida la materia, añadida su exposición y exornada con los más juiciosos y atinados comentarios que puede ima- ginarse, constituyen por ventura algo á modo de la historia de los progresos y formación de la ciencia de la electricidad en su período más activo, en la que el narrador ha puesto no poco de su saber personal, y en ello consiste, en primer término, la originalidad de Rojas, en sus aspectos de divul- gador y propagador científico. Pueden considerarse de semejante índole, siquiera alguno de ellos haya sido escrito con distintos fines, otros dos tra- bajos de no escaso mérito. Titúlase el primero La luz eléc- A trica y sus aplicaciones, verdadero estudio popular, en el que el rigor científico está avalorado por la claridad y trans- e parencia de la forma, y recuerda aquella notabilísima Histo- ria de una candela, uno de los mejores libros de Faraday; el . de Rojas, al que el autor concedía tan poca importancia 4 como á todas sus demás obras, fué publicado por fragmen- 1 tos en El Mundo Ilustrado. Es el segundo la Cartilla para el abonado á la luz eléctrica, cuya instructiva lectura nunca se encarecerá bastante, y ciertamente no se ha difundido cuanto debiera, á pesar de tratarse de algo cuya convenien- cia y utilidad son notorias é inmediata su aplicación, en cosa. de tanta monta como el alumbrado doméstico, que á todos interesa. Cuando se publicó, hace pocos años, fué debida- mente elogiado; yace ahora en el más completo olvido. Entre las Notas y variados artículos de propaganda cien- tífica, que han constituído uno de los más eficaces medios de enseñanza que empleó D. Francisco de Paula Rojas durante su largo magisterio, citanse dos como más principales y so- bresalientes, residiendo su mérito en la originalidad de la exposición y de los procedimientos á que se refieren, y es de suerte que tienen toda la importancia y todo el carácter de - las que suelen leerse en las sesiones de las más renombra- das Academias extranjeras, para ser luego publicadas en sus A A A A ASAS RADOS y % po 3 Y E ñ 4 (ó 1 / — 680 — Actas. Una de estas interesantísimas Notas constituye el fo- lleto titulado Estudio completo de la distribución en las má- quinas de vapor de expansión fija, por medio de la válvula de corredera, cuyo asunto entraba de lleno «en la esfera de la competencia del que es la más pura gloria dei Cuerpo de Ingenieros industriales españoles. Se defomina la otra Su- cinta exposición del método gráfico para el estudio de las corrientes alternas, y con su sencilla apariencia y aquella claridad de expresión que fueron sus características, es obra de un electricista de primer orden, de un verdadero sabio, original en sus ideas, acertado siempre en sus juicios: tra- bajo exquisito y positivo de un maestro. Que Rojas lo fué en grado eminentísimo, no hay para qué decirlo, sobre todo habiéndole oído explicar una sola vez; su lenguaje sencillo, su dicción correcta, la frase concisa, con cierto dejo castizo no exento de elegancia, la palabra per- suasiva, atraían á los alumnos y cautivaban su atención. Hallábase dotado de superior y muy cultivado entendimien- to, era de ingenio finísimo; en su inteligencia no había nie- blas, apareciéndosele claras todas las cosas, y tenía el don de presentar las más difíciles y complicadas reducidas á la mayor simplicidad y como si fueran cuestiones elementales; y hacíalo con tanta facilidad, sin prescindir nunca del rigor científico, que parecía no haberle costado trabajo alguno lo que era en realidad el fruto de muy largos, laboriosos y difi- cilísimos estudios. Todo era en él claridad y sencillez, y aquella inmensa bondad del caballero andante de la ciencia se reflejaba en el Catedrático, y en tal sentido fué Rojas el más acabado modelo del profesor, y eran sus aficiones de suerte que, cumplidos los deberes oficiales, se consagraba á instruir á los artesanos, en cuya tarea era extremado, y de- jaron merecida fama las numerosas conferencias que explicó en el Ateneo de Barcelona. Fueron realizadas casi todas las obras de D. Francisco de Paula Rojas, ejercido su admirable magisterio, escritos y pu- . A Es > — 681 — blicados sus libros, bien trabajosamente, sin el preciso sosie- go ni la tranquilidad que demanda la labor científica. Aparte de la lucha por la vida, nada fácil para quien pone muy altos sus ideales y no le mueven los del interesado lucro, ni anhela convertirlos en materiales provechos, fué víctima de conti- nuos cambios y mudanzas; vióse obligado á enseñar mate- rias muy distintas de aquellas que por su nativa vocación era llamado á exponer é investigar; y sólo ya bastante en- trado en años logró verse en la Cátedra que por derecho del saber le correspondía desde los principios de su carrera. Otros derroteros y otros rumbos hubiera tomado entonces el que estaba llamado para las grandes investigacionez de la Ciencia pura, y de seguro hubiera formado escuela quien tantos entusiasmos sentía por ella, comprendíala en sus más elevados conceptos y atraía y persuadía con su palabra sin- cera, tan buena, tan honrada, como era bueno, honrado y sincero aquel hombre excelente, admirador de lo ajeno, que nunca hablaba de lo propio. Recordaré ahora brevemente, como demostración de lo di- cho, la vida de Rojas. Nació en Jerez de la Frontera, á 29 de Noviembre de 1833, y en sus estudios debió ser precoz y aventajadísimo, por cuanto á los diez y nueve años había terminado la carrera y era ya Ingeniero industrial; además, siguiendo los impulsos de su vocación, en aquel tiempo se consagró á la enseñanza, y en el Magisterio científico pasó cincuenta años de su vida, derrochando verdaderamente un caudal de saber, regalando, con no igualada generosidad, los primores de su inteligencia soberana, reservándose para sí lo árido y difícil de la dilatada labor, variadísima, compleja y de bien rudo aprendizaje. Inauguró sus tareas pedagógi- cas el 1.” de Noviembre de 1852 en el Real Instituto Indus- trial de Madrid, en calidad de Ayudante gratuíto, como si este primer cargo sin sueldo fuera augurio ó presagio de la generosidad y desprendimiento que tuvo Rojas, como inhe- rentes á su carácter, toda la vida. Un año más tarde, en 1853, — 682 — ya tenía sueldo el novel Ayudante y posición oficial definida en la Enseñanza; era el principio de una carrera, si no lucra- tiva, gloriosa para cuantos, según la expresión del poeta, no son movidos por el interés, cuando anhelan ver grabado su nombre en los mármoles pentélicos del templo de Apolo. Guardábale el destino la primera sorpresa y el primer cambio á D. Francisco de Paula Rojas en 1854, de cuyo año data su nombramiento, siquiera fuese en Comisión, para la cátedra de Química de la Escuela Industrial de Sevilla, cuyo cargo desempeñó un año, porque en 1855 ganó, en lucidísi- ma oposición, la cátedra de Física general é Industrial de la Escuela Superior Industrial de Valencia, viendo así logra- das sus aspiraciones y conquistado en buena lid el puesto á que su vocación le llamaba. Desplegó entonces su activi- dad y comenzó la obra de misericordia de la divulgación de la ciencia, ansioso de sacudir frialdades é indiferencias, para constituir el indispensable medio científico; se dirigió al pueblo, afanoso por instruirlo; le contó en lenguaje claro, con sencillez no igualada, las maravillas de la ciencia y de la industria; sembró por todas partes las ideas, las repartió : con prodigalidad sin ejemplo, y olvidándose á sí propio, to- do su pensamiento, toda su labor, todos sus afanes, los em- pleó, como el latino, en provecho de los demás. Sólo diez años le duró á Rojas aquella cátedra. En 1865 fué suprimida, como otras, la Escuela Industrial de Valen- cia y trasladado el Profesor de Física á la de Barcelona y á la cátedra de Construcciones Industriales, única á la sazón vacante. Muy grande debió ser la contrariedad del maestro con semejante cambio, que significaba apartarle de sus afi- ciones y trabajos predilectos, interrumpir los comenzados, distraer su labor hacia otros estudios, y sobre todo, desviar su bien determinada vocación. A pesar de ello, supo con- vertirla en estiímulc y fué de manera que el desempeñar su clase de modo perfecto, conforme lo atestiguan los numerosos discipulos que de ella salieron, no constituyó obstáculo para — 683 — r que continuara entregándose á sus ocupaciones y estudios favoritos, antes bien, aquella época activa es la de su ma- yor producción científica en todos sentidos, cuando alcanzó más fama y llegó á la categoría de autoridad en cuestio- nes de electricidad teórica y práctica y data de entonces uno de sus mejores libros, y por raro contraste un catedrático de Construcciones industriales es el fundador de los estudios eléctricos en España. Quiso la fortuna que la vocación de Rojas estuviera bien determinada y afirmada, y los nuevos estudios á que su magisterio oficial en este tiempo le obliga- ba, no fueron parte á distraerlo ni un punto de los que cons- tituían el ideal de su vida. Hubo de tornar á la enseñanza favorita D. Francisco de Paula Rojas sólo en 1880, en cuyo año obtuvo, mediante con- curso, la cátedra de Física en la misma Escuela Industrial de Barcelona; pero no le duraron mucho las alegrías de la nue- cátedra. Establecida en Madrid, en 1886, la Escuela general Preparatoria de Ingenieros y Arquitectos, vino á ella como Profesor numerario de Hidrostática, Hidrodinámica é Hidráu- lica, cuyas enseñanzas desempeñó á maravilla; y suprimida la citada Escuela en 1892, fué nombrado Catedrático de Fií- sica Matemática en la Universidad Central, llevándolo tar- díamente al puesto que le correspondía y que debiera haber ocupado muchos años antes. Fue durante algún tiempo De- cano de la Facultad de Ciencias, y el día 4 de Noviembre de 1904 se jubiló, á su instancia, con mezquino haber, y sin que se le concedieran aquellos honores que sobradamente había ganado el sabio y meritísimo Catedrático. Tiene la obra de Rojas, vista en conjunto, muchos y muy variados aspectos, y no soy yo el llamado á examinarlos uno por uno. Desde luego deter.nina una gran personalidad cien- tífica, y márcase en ella, de continuo, la originalidad del pen- samiento; no es docente en el estricto sentido de la palabra, y, sin embargo, refiérese, en gran parte, á exposición de doc- trina, en cuyo arte fué el autor extremado, y enseña de nodo — 684 — magistral; sus características primordiales son la claridad y la sencillez. Presenta, examina, discute y juzga, siempre con evidente acierto, las doctrinas más elevadas y resuelve los pro- blemas más difíciles y complicados reduciéndolos á cuestio- nes simplicísimas y concretas, sin artificios inútiles, ni apa- rato externo vacío, poniendo de la manera más concisa y ri- gurosa cuanto hay en ellos de fundamental y útil, prescin- diendo de lo superfluo y de lo alambicado que se quiebra de puro sutil; y á tales extremos llegó Rojas en punto á ello que, sin casi advertirlo, hizo que fueran elementales y senci- llas cuestiones que parecen árduas y casi imposibles cuando otros autores las tratan, llegando por caminos bastante más largos á los mismos resultados. Nadie le aventajó en el su- premo larte de hacer fácil lo difícil y superior, sin quitarle nada de su valor científico, antes bien, aumentándolo de con- tinuo con las observaciones, siempre justas, que el estudio y su entendimiento exquisito le sugerían. Intentaré ahora hacer ver, á mi manera, el aspecto, por decirlo así, más científico de la personalidad de D. Francisco de Paula Rojas, á quien cuantos le conocimos y fuimos sus amigos habremos de dar el sobrenombre de el Bueno, exa- minando brevemente y sin entrar en pormenores, la mejor parte de la copiosa labor de su vida; me refiero en particu- lar á sus principales libros, todos ricos de doctrina, y de los cuales puede decirse lo que el Sr. Echegaray decía al con- testar al discurso de recepción de Rojas en nuestra Acade- mia de Ciencias el día 25 de Enero de 1894: «contienen alta ciencia á alta presión», y yo me atrevería á añadir: «expues- ta con claridad insuperable», como si sobre las verdades explicadas y comentadas hubiese arrojado el autor toda la luz vivisima de su entendimiento soberano, tan cultivado en las disciplinas científicas. Uno de estos libros, el titulado Calentamiento y Ventila- ción de edificios, constituye la tercera parte del tomo VI de la Colección de Memorias de la Academia, que lo publicó LE por haber obtenido el premio en el concurso del año de 1867. Era entonces el asunto — y lo es en parte todavía ahora — problema nada fácil, sobre todo cuando, para resolverlo en la práctica, se otorgaron las preferencias á ciertas reglas empíricas, prescindiendo de los principios científicos; y el mérito de la obra de Rojas consiste, á mi ver, sobre todo, en haber demostrado su necesidad, haciendo notar cómo á cada momento gobiernan y sirven de norma á las operaciones prácticas de todos los sistemas. Muchos años van transcu- rridos desde la publicación del libro; durante este tiempo, los adelantos tocante al calentamiento y ventilación de edifi- cios han sido considerables, y, sin embargo, todavía es pro- vechosa y utilísima la lectura de la obra de Rojas cuando se han de resolver ciertas cuestiones prácticas, y bien puede ser calificada de clásica en la materia. Hubo siempre y hay demanda de ejemplares; la primera edición se agotó, y en 1883 la Academia se vió precisada á hacer la segunda, lo cual demuestra la utilidad é importancia del libro; y debe consignarse el acierto de la Academia al premiar su mérito, otorgando al autor la mayor distinción que podía concederle, mientras no llegaron las circunstancias adecuadas para hon- rarlo de modo más expresivo, recibiéndolo con singular ¡ú- bilo como miembro de la Corporación, á la cual consagró el mejor de sus trabajos. Justicia hizo asimismo á los méritos de D. Francisco de Paula Rojas el Ateneo Barcelonés cuando, en el certamen de 1876, otorgó el premio á su libro de Termodinámica, im- primiéndolo luego y repartiéndolo profusamente. Con apa- rente carácter elemental, sin el tan frecuente abuso de fórmu- las y desarrollos, empleando únicamente los que se han me- nester, contiene abundante y sabrosa doctrina, y es de las obras que hacen pensar, y al instruirnos dejan preparado el ánimo para emprender mayores estudios; es un escrito de maestro á quien son familiares las teorías superiores de la Física, que logra exponerlas de manera muy personal, de- — 686 — terminando los principios de sus aplicaciones y dando el modo de resolver los problemas de varia indole que traen aparejados. Vió alcanzado Rojas el mayor de sus triunfos científicos en el año de 1886, con motivo de uno de los temas del con- curso ordinario de la Real Academia de Ciencias, al cual se presentó, obteniendo el premio por una obra titulada Estu- dio elemental teórico práctico de las máquinas dinamo-eléc-. tricas, que forma impresa el tomo XII de la Colección de Me- morias de nuestra Corporación. Era entonces el asunto de palpitante actualidad, y lo trató Rojas como no es posible mejor; la materia está entendida y razonada á maravilla y maravillosamente presentada, extremando, si cabe, la clari- dad y la sencillez de la exposición, que lejos de perjudicar- la, avalora la ciencia que rebosa en sus páginas. Adviértese en.ella la lozanía de un espiritu superior, de una inteligen- cia admirable que domina la materia con absoluto poderío, complaciéndose en penetrarla, desentrañando sus complica- ciones, abriéndose paso entre los hechos más difíciles y en- tre los fenómenos menos explicados, logrando ponerlos cla- 10s, sencillísimos, como la cosa más natural del mundo. Y por sobre esto aparece en todo su labor original, y se desta- ca su personalidad científica; no es un afortunado exposi- tor de ciencia, que logra presentarla ataviada con arte; es un sabio que discurre con su propio criterio y sus conoci- mientos singulares acerca de las máquinas dinamo-eléctricas, en los momentos en que su teoría se dilucidaba y de camino su empleo se extendía de modo prodigioso y sus aplicacio- nes aumentaban de día en día, gracias, sobre todo, á la ma- ravillosa y nunca bastante alabada invención de Gragame. Llama particularmente la atención en este libro de Rojas, que me atrevo á diputar por lo mejor y más perfecto de toda su labor científica, la manera justa y precisa como acertó á comprender y definir, en sencillos y clarísimos términos, la teoría de las máquinas dinamo-eléctricas, cuando hace vein- = pen — titrés años, que es la fecha de su obra; por muy pocós era entendida á derechas, y casi nadie había logrado ponerla de modo que pudiera siquiera ser metódicamente estudiada y analizada. No obstante lo subido del mérito, aquel bondado- sísimo maestro, que toda su ciencia prodigaba y que ponía todo su interés en el trabajo de los demás, apenas concedía un momento de atención á ésta su más fina y sobresaliente labor. Ya puesto en el camino cuya parte más difícil recorriera victorioso, alternó las tareas de la cátedra con la publicación de la Electro-dinámica industrial, obra en tres tomos, segui- dos de los Complementos teóricos, al término de cuyo trabajo hubo de ayudarle otro electricista muy notable, su entrañable amigo D. Eduardo Mier, autor de una necrología sentidísima de Rojas, publicada en la Energía Eléctrica, de la que son muchos de los datos del presente escrito, complaciéndome en consignarlo. No pretendió Rojas hacer un libro de texto» cuzjado de árduos problemas, verdadero rompecabezas ó eran aguzador de estudiantil memoria, ni quiso componer uno de tantos Manuales técnicos, tan repletos de recetas y fórmulas prácticas cuanto exentos de buena doctrina cientí- fica. Menos se propuso escribir una Guía de investigadores, dedicada á formar sabios, ó una obra de pura teoría, con todo el aparato matemático que le es indispensable. Sin ser nin- euna de estas cosas en particular, de todas ellas participa la Electro-dinámica industrial, en la que el autor parece haber extremado todavía la claridad y la sencillez que toda su vida - le fueron peculiares; hay en su libro muchísima ciencia y mu- chísima doctrina, y parece una obra elemental; no pone rece- tas, es parco en los datos numéricos, omite pormenores en las descripciones de aparatos y procedimientos, y el libro re- sulta sobremanera útil, diría casi indispensable, para el elec- tricista práctico, y de seguro quien lo estudie á fondo está bien preparado, y puede desde luego abordar los mayores Tratados, donde se exponen y discuten las cuestiones más — 688 — superiores de la ciencia eléctrica. Esto ha querido Rojas que fuese su libro, y conforme lo pensó, así acertó á escribirlo, prestando á la ciencia española eminentísimo servicio. Muchas veces comparo la Electrodinámica de Rojas y El Calor de Tyndall, y entre los dos hermosos libros encuentro grandes semejanzas. Tienen ambos apariencia elemental, parecen escritos sin esfuerzo alguno, como la cosa más na- tural del mundo, y son, no obstante, dos obras científicas de primer orden; la sencillez está en la forma, en la manera de decir, y no perjudica en nada á las doctrinas; es como las aguas limpidas y transparentes de algunos ríos que permi- ten ver y aun parecen acercar los fondos más profundos, ó como la atmósfera sin nubes que nos consiente admirar la hermosura y la magnificencia de los cielos. Al término de su vida, catedrático jubilado, rendido por la fatiga, enfermo y aislado, pudo ver Rojas, con tristísima amargura, cómo iban en breve tiempo olvidándose sus en- señanzas, su trabajo y su ciencia; y aquel pobre viejo, que se sentía morir poco á poco, jamás, en el círculo de sus amigos y de su familia, profirió una queja, ni se lamentó de la injusticia, ni dejó de hacer el bien y de interesarse en el trabajo de los demás; era un hombre superior, que llevaba la generosidad hasta el último extremo; riquísimo de pensa- mientos nobles y elevados, tenía mucho que dar y no le im- portaba recibir mercedes. Fué, á su manera, un gran bien- hechor de la humanidad; nos dió los beneficios de su cien- - cla, de sus enseñanzas, de sus bondades sin límite. Conta- das veces, aun en sus enfermedades, le abandonó la alegría; dotado de mucho ingenio, á sus labios acudía la frase opor- tuna y su conversación estaba esmaltada con sales y donai- res; narrador admirable, sabía dar vida á cuanto refería, era un sabio alegre, decidor y en extremo oportuno, con la ima- ginación siempre despierta, de espíritu abierto, de corazón sano; y con haber vivido mucho en contacto con toda clase de gentes, jamás tuvo enemigos; pudieron olvidarle en vida, — 689 — cometiendo grave falta, nadie quiso mal al más bondadoso de los hombres. Quédese para quien pueda hacerlo el anali- zar la copiosa y meritíisima labor científica de D. Francisco de Paula Rojas; yo he querido tan sólo rendir un tributo de cariño y de gratitud al compañero y al amigo, bien pequeña ofrenda para un español tan grande, y únicamente aspiro á que sirva de recuerdo y no se olvide el bien que nos hizo, difundiendo generoso la cultura, aquel que en nuestra patria debe considerarse iniciador de los estudios de la joven y admirable ciencia de la electricidad. Madrid, Marzo de 1909. XL.—Método para determinar la dirección de los vien- tos superiores por las ondulaciones del borde de los astros. Por VICENTE VENTOSA En los últimos cuarenta años, y principalmente desde que la Meteorología llamada dinámica comenzó á tomar puesto preferente entre las ciencias de observación, procuróse con empeño determinar la dirección y condiciones de las corrien- tes superiores de la atmóstera: estudio difícil, del cual pare- ce que deben desprenderse las leyes de la circulación gene- ral del océano gaseoso, ora apacible, ora embravecido, en cuyo fondo vivimos; y, por tanto, la solución del intrincado problema de la previsión del tiempo, ó de los temporales, de muy varia índole que sobre el haz del dde terráqueo se experimentan. Para ello, en efecto, no bastan los anemómetros que los Observatorios poseen y utilizan, aunque de importancia in- cuestionable en'el concepto climatológico; porque, situados estos aparatos cerca del suelo, hállanse sometidos á la acción perturbadora de las influencias locales; y de sus indica- ciones, difícil es las más veces inferir la dirección y fuerza de las corrientes aéreas en las altas regiones de la atmósfe- ra. No es descomunal, para el objeto de que se trata, la altu- ra de la Torre de Eiffel; y, sin embargo, el régimen de los vientos, que los anemómetros en su cima instalados revelan, discrepa ya en términos considerables del que otros anemó- metros, en nivel más bajo, acusan. Sin otros elementos de observación que los indicados, el problema en que nos estamos ocupando quedaría resuelto sólo á medias, por el desconocimiento, casi absoluto, de lo que en las altas regiones atmosféricas acontece; donde, si posible fuera relacionar la presión, temperatura y humedad del aire, observadas en dichas altitudes, con la dirección y velocidad de los movimientos del mismo, libres de las in- fluencias locales, es de presumir se hallaran resultados con- formes, en general, con los que predice la teoría mecánica, desenvuelta por insignes meteorologistas, entre ellos Ferrel, y Guldberg y Mohn. Hase, pues, procurado con empeño explorar en toda su extensión la atmósfera por diversos é ingeniosos procedi- mientos, principalmente por la elevación de globos y co- metas de diferentes formas, provistos de instrumentos gráfi- cos ó registradores; siendo ya de suma importancia las nociones adquiridas acerca de: la distribución de la tempera- tura, de la presión y de los demás elementos meteorológicos én las diferentes capas del aire. Este. género de observacio- nes va teniendo cada día mayor aplicación y adquiriendo, en cierto modo, carácter- internacional, pues actualmente se en- — 69H — saya cón la frecuencia posible y á plazo fijo eri diversos pun- tos de Europa y América, y hasta en el mar, con el fin de comparar los resultados obtenidos en todos ellos (+). Pero cuando solamente se trata de averiguar las variacio- ciones que un día tras otro experimentan los movimientos de la atmósfera, y cuyo conocimiento es indispensable para la previsión del tiempo á corto plazo (único hasta ahora conse- guido), los procedimientos últimamente indicados no pueden todavía ser de gran provecho, tanto por su coste excesivo, que sólo las naciones ricas pueden sufragar, cuanto por las dificultades prácticas halladas en su empleo cotidiano, según lealmente confiesa Mr. Lawrence Rotch, Director del Obser- vatorio «Blue Hill», en los Estados Unidos, y á quien prin- cipalmente se debe el notable. impulso que estas investiga- ciones han recibido (**). Para la observación de los vientos superiores, de todos los procedimientos propuestos hasta la fecha, el más barato y cómodo, y el único susceptible de ordenado empleo y de fecundos resultados (exceptuando acaso el que luego descri- biremos), consiste 'en la determinación de los movimientos de las nubes, clasificadas éstas por sus formas y por'las al- turas aproximadas á que respectivamente se ciernen. Impor- tantes trabajos de:este género han sido realizados por varios meteorclogistas de veinticinco años á esta parte, y con espe- cialidad por el Dr. Hildebrandsson en Upsal (Suecia), y por los Sres. Claytón y Fergusson, del Observatorio «Blue Hill», ya citado; demostrando el que. llevaron á cabo en este último establecimiento la transcendencia de las observaciones de las nubes para dilucidar los movimientos generales de la atmós- 6) Véanse, por ucidniato. las ABE PI patass - Sounding. the Ocean of Air, by A. Lawrence Rotch, London, 1900. = oda a and Wind force.—Report to the Director of the Meteorologícal-Office ...., etc., by Ernest Gold, M.-A., o ol -¿(**) - Sounding the, coa E Air, p. 142 y 143, ; — 692 — fera, así como la circulación del aire en los máximos y míni- mos barométricos, uno de los problemas principales y de mayor interés de la física del globo. n La observación regular ó sistemática de las nubes adole- ce, sin embargo, de algunos inconvenientes para dar exacto conocimiento de la dirección media del viento en las altas re- giones atmosféricas; como que, ora por falta de nubes obser- vables, ora porque las inferiores ocultan á las superiores, y los movimientos de unas y otras se entrelazan y confunden, los resultados de tan penoso trabajo de observación son á veces poco terminantes ó satisfactorios. Procedimiento más general para llegar al mismo fin, de aplicación exclusiva cuando el cielo está despejado, y nuevo á juicio nuestro, es el que se funda, ó ha de fundarse, en el atento estudio del movimiento ondulatorio que el viento pro- duce en las imágenes telescópicas de los astros, de diámetro aparente bien apreciable, y con especialidad en las del Sol 6 de la Luna. La observación minuciosa de ese movimiento descubre algunas circunstancias curiosas, que sucintamente vamos á exponer á renglón seguido. Cuando con auxilio de un anteojo se observa atentamente el limbo del Sol, por ejemplo, adviértese que las ondulacio- nes de la imagen varían de aspecto sin cesar, y de modo ex- traño al parecer, pero muy natural en rigor, de una región á otra. En su mayor grado de sencillez el fenómeno se reduce á lo siguiente. En dos puntos, diametralmente opuestos del borde, ó limbo aparente del Sol, las ondulaciones se propa- gan ó suceden tangencialmente al mismo borde y en igual sentido: paralelas unas á otras. Pero en las regiones inter- medias, las ondas, como de trepidación atmosférica, cuya di- — 693 — rección es siempre la misma, parecen más ó menos inclina- das por referencia al limbo, y, en los extremos del diámetro perpendicular al en primer término considerado, le cortan normalmente ó coinciden con el expresado diámetro. El movimiento que en dos palabras acabamos de definir, indica, por su dirección, la del viento que le produce, y pue- de servir para determinarla, como pronto veremos. Pero an- tes conviene advertir que lo observado en realidad es el mo- vimiento relativo del viento y del astro, porque este último, lejos de permanecer fijo en el espacio, participa de la rota- ción diurna aparente de la esfera celeste. El efecto perturba- dor de esta rotación de carácter constante Ó uniforme, es apenas sensible en la mayoría de los casos, y basta que en el cálculo de los resultados que se persiguen figure como ele- mento de mera corrección de estos resultados. En la práctica, y por regla general, el fenómeno descrito, es bastante más complejo de lo que por de pronto hemos - apuntado. Lo cual procede de que el anteojo integra, por de- cirlo así, todos los movimientos de la atmósfera que simul- táneamente se verifican en las capas de aire que el rayo vi- sual atraviesa, de muy diversos modos agitadas. Y en la ima- gen telescópica los movimientos más amplios ó enérgicos se- rán los que con más claridad se revelen, perturbados por los movimientos secundarios, de casi nunca insignificante ó des- preciable eficacia. Por eso, en torno de la imagen del astro se perciben con frecuencia dos, y á veces más, ondulaciones independientes, que se cruzan y mezclan unas con otras, fot- mando en algunos momentos y lugares confuso remolino y como especie de hervidero. Mas, siendo esto así, ¿cómo discernir y analizar uno por uno estos varios movimientos? ¿Y cómo poner en claro la altura en la atmósfera donde se verifican en realidad, ó de donde proceden? Puesto que, según experiencia vulgar nos enseña, un ob- jeto parece tanto más pequeño cuanto de más lejos le mira- mos, natural es pensar que las ondas aéreas, si sus dimen- Rey. AcaD, Crencias.—VITI.—Marzo, 1909. ] 47 — 694 — siones ó amplitudes no varían mucho con la altura, cuando procedan de regiones elevadas de la atmósfera parecerán de menor amplitud que las dimanadas de las capas inferiores; de manera que, en la imagen telescópica del astro donde se proyectan, se distinguirán unas de otras por su extensión 6 aspecto. Bastará, pues, modificar el poder amplificador del anteojo para que las apariencias del fenómeno descrito va- ríen en términos muy significativos y de interpretación ra- cional provechosa. La observación confirma la exactitud de estas conjeturas teóricas. Pues, cuando la fuerza óptica del anteojo es muy considerable, los movimientos constituidos por ondas cortas y suaves se perciben mucho mejor que los resultantes de ondas largas y enérgicas, mientras que se advierte precisa- mente todo lo contrario cuando la imagen del astro, en torno de la cual se retrata con caracteres elocuentes la complicada agitación de la atmósfera, es de magnitud relativamente pe- queña. Las ondas que antes predominaban se desvanecen entonces, y las antes desvanecidas y borrosas son las que ahora con perfecta claridad se destacan. El anteojo, según ésto, se convierte de tal manera en instrumento de análisis ó de separación de las diversas ondas del aire, como el es- pectroscopio separa y analiza las ondas luminosas que en número infinito surcan y agitan en todos sentidos el piélago etéreo insondable. Tal es el principio de que hacíamos uso en nuestras pri- meras investigaciones, y que dimos á conocer, juntamente con los resultados hasta entonces obtenidos, en una Memo- ria publicada en Bélgica en 1890 (*) y reproducida después en diversos idiomas, por varias revistas de Europa y Amé- rica. Hay, sin embargo, otro principio en el que han estado basadas preferentemente nuestras observaciones hechas en (*) La direction des vents supérieurs déterminée par les ondula- tions du bord des astres. («Ciel et Terre», Bruxelles, 1890.) — 695 — años posteriores, y cuya importancia, para el fin que perse- guíamos, al pronto no advertimos. Este principio no es más que la propiedad, bien conocida en la óptica geométrica, de los focos conjugados. Se sabe que la imagen de un objeto, teóricamente situado en el infinito, se forma, dentro de un anteojo, en el piano focal principal del objetivo, y que lasimágenes de objetos más cet- canos llegarán á percibirse con toda claridad, aumentando hasta un punto determinado la distancia focal. En lo que á los astros concierne, cuya distancia á la Tierra, comparada con las dimensiones del anteojo, puede considerarse como infini- ta, la imagen de todos ellos estará sensiblemente situada en el mismo plano focal; pero no sucederá lo mismo cuando los objetos ocupen un lugar dentro de los estrechos límites de nuestra atmósfera; entonces, para distinguirlos bien, será preciso modificar la distancia del ocular al objetivo en una magnitud muy apreciable, y, mayor ó menor, según sea la distancia del objeto observado. Ahora bien: entre estas dos distancias existe una relación determinada, conforme á las leyes de la óptica geométrica; de suerte que, si una de estas distancias es conocida, la otra podrá serlo también. Para fijar más las ideas, recordemos la fórmula que ex- presa dicha relación: (o A (e —A=$S en la que f representa la distancia del foco principal al cen- tro óptico del objetivo, y o, +” las distancias análogas refe- rentes á los dos focos conjugados. Si y designa la distancia del objeto exterior, ó sea la que buscamos, dicha fórmula dará — 696 — Pero el denominador, v' — f, del primer término de esta expresión es la extensión focal, ó la corrección positiva que debe aplicarse á f para poner en foco la imagen de un obje- to situado á la distancia «+; corrección, en nuestro caso, siempre pequeña respecto del numerador f?: luego el segun- do término f alterará muy poco el valor del primero y po- drá, sin error apreciable, suprimirse en el cálculo, teniendo además en cuenta el grado de precisión á que podemos as- pirar en los resultados de la observación. Por otra parte, si para facilitar el cálculo expresamos la diferencia y" — f en milímetros y f en metros, la fórmula precedente se conver- tirá en esta otra, que es la que hemos utilizado en la reduc- ción de nuestras observaciones, y tendremos ocasión de re- cordar en las páginas siguientes: ¿ra AO cis An Y Multiplicando ahora «+ por el seno de la altura angular del astro, en el instante de la observación, se tendrá la altitud del objeto observado sobre el plano horizontal que pasa por el centro del objetivo. El problema queda, por tanto, tedri- camente resuelto. Veamos hasta qué punto los hechos ob- servados corroboran estas deducciones de la teoría. Supongamos, en primer lugar, que haya una sola corrien- te aérea en la región superior de la atmósfera, mientras en las regiones inferiores reina la calma. Ajustando el ocular del anteojo en el foco principal del objetivo, se verá distin- tamente la ondulación producida en el borde del astro por dicha corriente alta. Si entonces agrandamos la distancia focal, alejando poco á poco el ocular del objetivo, no dejará por eso de percibirse la ondulación, pero cada vez peor defi- nida; y al cabo, continuando la misma maniobra, acabará por desvanecerse en el borde difuso y como esfumado del astro. Pues, si estando el ocular en esta última posición, comen- — 697 — zase de pronto á soplar un viento relativamente inferior, la ondulación correspondiente aparecería en el acto en el lim- bo del astro, con la claridad necesaria para que su dirección se pudiera medir. E inversamente á lo que sucedió en el caso primero, acontecerá ahora que, conforme vayamos acercando el ocular al objetivo, irá de grado en grado esfu- mándose, como en cuadro disolvente, la ondulación larga, y, al llegar al foco principal, sólo se revelará por cierta agi- tación del borde, no susceptible de medida, á menos de ser muy enérgica, pero que suele dificultar bastante la observa- ción de la corriente superior. Los fenómenos arriba descritos no se presentan de ordi- nario con tanta sencillez. Pasa á veces de dos el número de corrientes aéreas simultáneamente reinantes, y aún en el caso de haber sólo dos, pueden estar sobrepuestas tan cerca una de otra, que sea entonces muy dificil observarlas por separa- do. No obstante, aun en circunstancias tan desfavorables, con alguna práctica, y acudiendo á ciertos artificios que la experiencia sugiere, llega á ser posible rastrear el orden de altitud de las corrientes observadas. Caso notabilísimo, y que ocurre con frecuencia, es el de una corriente que, en vez de soplar en dirección constante en todas las capas atmosféricas, sufre una desviación pro- gresiva conforme varía su altitud, tanto de derecha á izquier- da como de izquierda á derecha, simulando un movimiento helizoidal. Esta sucesión de corrientes, que cambian conti- nuamente de dirección á diferentes alturas, y que, alargando Ó acortando la distancia focal del anteojo, se manifiesta con toda claridad, sin que en la existencia del tal fenómeno pue- - da caber la menor duda, ha sido confirmada por las investi- gaciones de M. L. Teisserenc de Bort, hechas en el Atlánti- co intertropical. Más adelante presentaremos algún ejem- plo significativo de esta clase en corroboración de nuestro aserto. . Tarea inacabable sería querer puntualizar aquí todas las — 698 — apariencias á que puede dar origen el océano aéreo proyec- tado en el borde de un astro: son tan numerosas y variadas, como variable es de un día á otro el aspecto del mar. Parece que estamos en presencia de un libro, siempre abierto, que nos ofrece la Naturaleza, donde es dable leer las incesantes vicisitudes que experimenta la inmensa envoltura gaseosa en cuyo seno vivimos. Quizás, á pesar de esta diversidad de fenómenos, se llegue algún día á reducirlos á un número re- lativamente limitado de situaciones bien caracterizadas, como se ha conseguido clasificar en un corto número de grupos las formas tan variadas y á primera vista, al parecer, tan capri- chosas de las nubes. ¡00! De todos los astros, el que hemos empleado casi exclusi- vamente en nuestras observaciones ha sido el Sol, preferible, sin duda alguna, á los demás por su gran tamaño aparente, su figura regular é invariable y la lisura de su borde, perfec- tamente redondo, excepto en la proximidad del horizonte. Fácil de observar todos los días en que no está siempre oculto por las nubes, es, hasta por el deslumbrante resplan- dor de su disco, el que mejor y con más comodidad se pres- ta á este género de investigaciones, en nuestros climas por lo menos. A la observación directa del Sol, preferimos, para el ob- jeto de que ahora se trata, la observación de su imagen pro- yectada sobre una pantalla, cuya distancia al ocular del ante- ojo puede aumentar ó disminuir como se quiera, dentro de prudentes límites. El anteojo de que para nuestras observa- ciones casi siempre nos hemos valido es el de la ecuatorial de Merz, perteneciente al Observatorio de Madrid, de 27 centímetros de abertura, ordinariamente reducida á solos 19 por medio de un diafragma, Debiendo además advertir que — 699 — con este instrumento se obtienen proyectadas simultánea- mente en la pantalla dos distintas imágenes del astro: pro- cedente una del anteojo principal y la otra del buscador, y cuyos diámetros respectivos eran, por término medio, de 70 y 20 centímetros. Siendo tan diferentes los diámetros de am- bas imágenes, no se encontró ventaja en modificar la posi- ción de la pantalla cuando, por comparación entre ellas, se quiso efectuar el análisis de las ondas aéreas. Como ambos anteojos de la ecuatorial se hallan provistos de micrómetro, la observación detallada del movimiento on- dulatorio de la atmósfera se reduce á medir el ángulo de po- sición de cada sistema de ondas con uno de los hilos del retículo, colocado paralelamente á la ondulación, tangencial al limbo del astro, y á llevar en cuenta por separado el sen- tido del movimiento. Y en muchos casos procúrase también apreciar la velocidad angular del mismo movimiento, con- tando el número de segundos que una onda cualquiera em- plea en recorrer el intervalo comprendido entre dos hilos del retículo, perpendiculares á la dirección en que se propaga. Además, no nos hemos descuidado de observar con el an- teojo la dirección de las nubes proyectadas sobre la imagen solar, aprovechando cuantas ocasiones se han presentado, no sólo como operación suplementaria de la observación de las ondas, sino también como medio de comprobar los resul- tados obtenidos con estas últimas. La observación de las nu- bes, siempre importante, parécenos más exacta y fácil ha- ciéndola durante el paso de ellas por el disco solar que por ningún otro procedimiento. Únicamente el nuestro es inapli- cable á los cirri y cirrostrati muy tenues ó difusos, que no producen en la pantalla otro efecto sino iluminar el campo del anteojo y debilitar al propio tiempo el resplandor de la imagen del astro. En casos tales hemos recurrido para deter- minar sus movimientos á diversos métodos conocidos. Conforme suele practicarse, siempre que se puede, en las ciencias d> observación, conviene repetir las operaciones de — 700 — mensuración varias veces, con el fin, en este caso, de dismi- nuir Ó reducir los errores eventuales de puntería ó ajuste. Nuestras series constan, por lo común, de seis lecturas mi- crométricas, efectuadas en el intervalo de tres ó cuatro mi- nutos de tiempo, y por referencia, alternadamente, á los bor- des opuestos del Sol, con grado de precisión que depende en mucha parte del de visibilidad de las ondulaciones y del estado de agitación del limbo; en general, el error probable del promedio de cada serie no excede de += 2 grados. Ocho Ó diez series, efectuadas en posiciones diferentes del ocular, han solido constituir el trabajo de cada día. A los Sres. Eknolm y Hagstróm, meteorologistas suecos, que con especial cuidado procuraron estudiar los movimien- tos de las nubes, son debidas dos fórmulas de cálculo (*), reproducidas también por Mr. Cleveland Abbe (**), y de apli- cación inmediata asimismo á la resolución del problema á que nuestras observaciones se encaminan. Esas fórmulas, que sirven para reducir al horizonte el ángulo de posición, medido en un plano perpendicular al eje óptico del anteojo ó tangente á la estera celeste en el punto ocupado por el as- tro de que se trata en el instante de la observación, son las siguientes: tang $ = tang y sen h | p=a+B en las cuales $ representa el ángulo que forma la dirección del viento con el plano vertical del eje del anteojo: ángulo contado en el mismo sentido que el azimut; (*) Mesures des hauteurs et des mouvements des nuages. Upsal, 1885, pág. 22. (**) Treatise en meteorological apparatus and methods. Wáshing- ton, 1888, pág. 335, — TOL — y la proyección de P sobre el plano del retículo del an- teojo, ó el ángulo medido con el micrómetro; a el azimut actual del astro; h su altura sobre el horizonte; y '« el azimut verdadero de la ondulación, ó la dirección bus- cada del viento. Sobre el valor del ángulo f no cabe ambigiiedad, porque evidentemente ha de pertenecer al mismo cuadrante que y. Las fórmulas (B) fueron aplicadas por sus autores á la re- ducción de las observaciones por ellos efectuadas con un al- tazimut ó teodolito especial; mas de hacerse con un anteojo montado ecuatorialmente, á los datos ó elementos de cálculo que en ellas figuran, hay que agregar el ángulo paraláctico, con signo contrario al del azimut. De manera que, siendo p este ángulo y = el de posición, determinado también por me- dición directa, resulta que Y además, como el punto cardinal, en cierto modo más importante ó como fundamental, de la Rosa de los Vientos es el Norte, desde el Norte nos pareció natural y conveniente contar los ángulos de posición, y, por lo tanto, el y en el sen- tido ordinario (N., E., S., O.). (Continuard). ' — 702 — XLI.—Los principios fundamentales de la Mecánica racional.— Un primer capítulo de dinámica. POR JosÉ RuIz-CASTIZO. (Conclusión). V.- Notas y observaciones. 32. Su objeto.—En el estado actual de la Ciencia, carac- terizado por un gran movimiento de ideas y por turbulentas corrientes de crítica que la agitan, desentenderse de esta intensa labor para exponer los principios fundamentales de la Mecánica, sería dar indebidamente carácter de teoría cien - tífica definitimente constituida, y á prueba de comentarios y discusiones, á una que no lo es. Así, pues, aun teniendo en cuenta la dificultad de bosquejar siquiera, en términos di:- dácticos, tan vasto campo de estudio, procede, á nuestro jui- cio, añadir algunas observaciones que puedan orientar al principiante, instruirle sumariamente en los motivos y alcan- ces de las más importantes objeciones suscitadas, contribuir á formar su propio criterio y estimularle á profundizar este análisis en obras especiales de crítica, donde se desarrolle con toda clase de detalles y comentarios. (Véase al final una nota bibliográfica.) 33. Movimientos absolutos y relativos. — Renunciaremos á todo ensayo de definición del espacio, el tiempo y la mate- ría, porque entendemos que los esfuerzos más felices sólo conducen á formular verbalismos. Diremos únicamente que, no siendo cognoscible para nuestra inteligencia categoría al- guna sino por ideas de relación, las nociones de dichas en- tidades son productos intuitivos de nuestro hábito de conocer coexistencias y sucesiones, Ó bien sea de formar estados de — 703 — conciencia en que afirmamos ciertas analogías y diferencias entre los seres físicos que originan nuestras sensaciones of- gánicas. Y así, las locuciones espacio absoluto, tiempo abso- luto y movimiento absoluto no responden en Filosofía á con- cepto alguno real, perfecto ni imperfecto, de la inteligencia humana: significan sencillamente lo incognoscible. Mucho se ha debatido sobre el concepto de movimiento absoluto. Para darle sentido científico, ciertos escritores han tratado de referirlo hipotéticamente, ya á un cuerpo «a inmó- vil, situado en la región de las estrellas fijas, ya al sólido es- telar, ya á un flúido etéreo inmóvil que llenase el espacio, et- cétera; pero puesto que todo ello implica la afirmación de una inmovilidad absoluta, se ve fácilmente que con tales hi- pótesis sólo se logra alejar la dificultad, nunca resolverla. Procede, no obstante, observar que hay manifestaciones tangibles que parecen demostrar algo que sería legítimo lla- mar movimiento absoluto: tales son las fuerzas centrífugas en la rotación terrestre (como en su lugar veremos); mas - dado que no existe noción absoluta del espacio, lo que en realidad cabe deducir de aquí es una contradicción que im- posibilita toda solución racional del problema. Esto, sin embargo, no crea dificultad seria á la Ciencia; para el mecánico, el movimiento absoluto es una idea clara: sencillamente un movimiento referido d ejes que, POR ABS- TRACCIÓN, suponemos carecen de todo movimiento. Y esta abstracción es legítima; pues no pudiendo la Filosofía derivar de una entidad desconocida é incognoscible, como es el espa- cio absoluto, idea alguna de movilidad ni de inmovilidad, nin- guna conclusión filosófica se opone á que imaginemos un sistema de ejes que carezcan de movimiento asignable para nuestra conciencia por ideas de relación. 34. Fuerza, inercia y masa. —Sobre estos tres conceptos fundamentales de la Mecánica se acumulan las más graves objeciones. En el conocimiento ordinario del mundo físico, y hasta en el científico superficial, diríamos, no apatecen re- — 704 — vestidos de serias dificultades; mas no bien se trata de ana- lizarlos, escapan tenazmente á todo ensayo de esclarecimien- to, surge imposibibilidad de reducirlos á términos mejor co- nocidos, y los más geniales intentos para darles sentido filosófico sólo han conducido á establecer símbolos verbalis- tas y nominalismos. La noción de fuerza, bajo el aspecto primitivo y rudimen- tario, es una clara intuición debida á nuestros ejercicios sen- soriales; pero la generalización que la eleva al concepto científico de causa agente ó resistente de los cambios dinámi- cos, efectivos ó potenciales, que observamos en los cuerpos, aunque parece al pronto legítima, ni satisface por completo á las conclusiones de un sano análisis filosófico, ni contri- buye realmente á disipar las oscuridades que envuelven los conceptos mecánicos que discutimos. En primer lugar, no podemos concebir la fuerza sino como acción de la materia sobre la materia, y esta acción no siem- pre se ejerce por contacto; las fuerzas gravitatorias, por ejemplo, se ejercen á distancias enormes, y esta especie de envío de fuerza á través del espacio, lo mismo vacío que ocupado por materia, sin acusar efectos más que en el pun- to de destino, por decirlo así, constituye una de las ideas más abstrusas y rebeldes á todo esfuerzo imaginativo. Ade- más, ni aun en las mismas acciones de contacto hay verda- deramente otra cosa que una engañosa ilusión de los senti- dos, de modo que sólo en apariencia tienen la condición de inmediatas: cuantos esfuerzos se han aplicado á dilucidar su mecanismo, sea con ayuda de las más atrevidas y variadas hipótesis, sea mediante los más sagaces experimentos, no han logrado obtener resultados que satisfagan á la menos exigente inteligencia. Por otra parte, en la consideración de tales acciones, así inmediatas como mediatas, surge un dualismo filosófico in- comprensible y vicioso. Si las fuerzas que apreciamos por nuestros sentidos emanan de la materia, y la materia á su AAA - 705 — vez sólo se nos revela por las acciones ó fuerzas que ejerce, nos vemos obligados á concebir dos categorías ligadas entre sí, ante nuestra conciencia, por dos relaciones simultáneas é inversas de causa á efecto, puesto que cada una de dichas entidades es causa del conocimiento de la otra. Y esto care- ce visiblemente de sentido lógico. *En segundo lugar, la estrechísima relación existente entre los tres conceptos de fuerza, inercia y masa, cada uno de los cuales es esencial é indispensable para formar los otros dos, viene á complicar más y más la cuestión hasta hacerla inextricable. Mirado el principio de la inercia bajo el aspecto simple con que lo hemos enunciado, aun contenta el espíritu en cierto modo; pues sólo es discutible en el sentido de si debe ser aceptado como rigoroso Ó aproximado, como uni- versal y necesario ó contingente. Y bajo tal aspecto, aunque nunca la experimentación directa podrá decirnos nada defi- nitivo, ya que es imposible operar con cuerpos no some- tidos á causa alguna, ni en movimiento absoluto, ni en tra- yectorias y tiempos indefinidos, la hipótesis de esa ley uni- versal de la existencia de la materia tiene hoy por hoy todos los títulos de inducción racional perfectamente acep- table. Pero el concepto de inercia envuelve algo más transcen- dental, según arriba indicamos. En efecto: puesto que cada cuerpo, por su tendencia á conservar su actual estado de inercia, consume, para salir de él y alcanzar otro dado, la acción de una fuerza medida por su masa (suponemos para mayor sencillez que la fuerza es constante y la acción dura el mismo tiempo), tenemos que admitir que cada cuerpo posee algo á modo de una resistencia de inercia medida por su misma masa, resistencia que ésta opone al cambio de ve- locidad que la fuerza le imprime. Resulta así de nuevo el dualismo que antes apareció por otra consideración: de un lado, la masa de inercia, que demanda acción para cambiar de estado dinámico; de otro, la masa activa que ejerce la — "706 — fuerza, como se ve claramente, entre otros fenómenos, en el de la gravitación. Aparte de esto, la generalización susodicha del primitivo concepto de fuerza ha merecido acerbas críticas por varios otros motivos. Uno de ellos es el de conservar á esta entidad un carácter de antropomorfismo que le resta títulos de con- cepto científico. A decir verdad, no todos los pensadores hallan motivada esta objeción; porque, sea cualquiera la naturaleza de los fenómenos cuyas imágenes procuramos formar, no parece posible evitar que estas imágenes conser- ven elementos mentales propios de nuestra razón, es decir, antropomórficos; y con tal que estos elementos no impriman carácter á la traducción analítica de las leyes mecánicas, ni desvirtúen los términos de relación que las expresan, ningún perjuicio puede derivar, para la verdad científica, del critica- do proceso imaginativo. Asimismo ha sido tachada la noción de fuerza de incapaz para asignar individualidad á la fuerza como causa. ¿Dónde radica, se ha dicho, el derecho de afirmar que una fuerza dada es la misma antes y después? A esta objeción puede re- plicarse solamente con la hipótesis de la constancia de las leyes naturales, por lo menos, en tiempos sobradamente di- latados respecto de la duración de nuestras operaciones y aun de nuestra vida. Según tal hipótesis, podemos aseverar que un mismo fenómeno, repetido en idénticas circunstancias, acusa la manifestación de una misma fuerza. Aun dentro de este punto de vista, cabe discutir tam- bién el derecho de comparar entre sí como causas de movi- miento, esto es, como fuerzas, acciones físicas diferentes; por ejemplo, un peso y una tensión elástica. Sin duda, subs- tancialmente, no podemos equiparar dichas acciones; los que sí podemos comparar son sus efectos objetivos, y sólo en tal concepto considera el mecánico las causas como cantidades homogéneas, asignándoles en abstracto idénticas represen- taciones analíticas. — 707 — Por lo tocante á la noción de masa, ya hemos dicho que es, no sólo indescifrable en su origen, sino indefinible por sí misma, y únicamente revelable por las acciones de las fuer- zas; y aunque la ley de la gravedad nos permite formar de ella un concepto físico por función directa de nuestros senti- dos, subsiste siempre la obscuridad en la causa de ser los pesos proporcionales á las masas, de modo que al analizar el por qué de esta proporcionalidad, recaemos en la misma dificultad de fondo, en la de no poder deslindar los concep- tos que discutimos. Por todas estas razones, y otras que omitimos, la crítica moderna declara inconsistentes las nociones clásicas de fuer- za y masa, así para la Filosofía como para la Ciencia consti- tuída, y en consecuencia, muchos autores rehusan apoyarse en ellas para fundar la Mecánica; más aún sí se tiene en cuenta que, como pasamos á indicar, también otros postula- - dos ofrecen aspectos vulnerables á la crítica. 35. La independencia de efectos. —El contenido de este postulado es de imprescindible necesidad para completar las nociones de fuerza é inercia, y asignar á aquélla individuali- dad bien definida; por lo mismo, es una proposición pura- mente hipotética que afecta en todo á dichas dos nociones fundamentales. A tal punto, que sin dificultad se podría pres- cindir de él, con sólo atribuir á aquellas entidades las cuali- dades geométricas ó vectoriales que la independencia atri- buye á los efectos. En todo caso, las ideas son unas mismas, y no hay ventaja positiva en romper con la costumbre gene- ral de separarlas en dos proposiciones. En cuanto al carácter de universalidad con que ha sido aceptado, tampoco escapa á la crítica de nuestros días. Hay campos físicos de fuerza que se influyen mutuamente; de modo que no existe independencia de efectos en tales casos. Es, pues, de rigor restringir la generalidad de este postula- do, y no mirarlo como expresión de una verdad universal y necesaria. — 708 — 36. El principio de la acción-reacción. — Otro tanto cabe decir del postulado sexto. «El principio. de Newton, bajo su forma absolutamente general, no tiene nada de claro, y su sentido es hasta dudoso en más de un ejemplo referente al Magnetismo y la Electricidad.» En estas palabras se expresa sobre el particular M. Picard (obra citada), y en otras muy parecidas se muestran acordes con tal opinión muchos otros analistas y comentadores. Nada tenemos que añadir para dejar establecida la reserva con que esta proposición debe ser empleada en ciertas cuestiones. 37. Los postulados de la oposición, la reacción normal y la transmisión.—Sobre estas tres proposiciones, lo único dis- cutible de que debemos tratar aquí es su inclusión entre los principios fundamentales de la Mecánica. En la mayoría de los tratados, Ó se aceptan como axiomas, ó se pretende demostrarlas racionalmente por deducción de otras anterio- res. Pero esta misma divergencia prueba que ni las demos- traciones que de ellas se han dado ni la evidencia a priori son tan claras y convincentes, que no hayan sido objeto de críticas é impugnaciones. Nos sumamos, pues, con los autores que se inclinan á ver en estas tres proposiciones una generalización hipotética de nociones intuitivas ó empíricas, de ningún modo necesarias á la razón humana, ni justificables según sus leyes. 38. Los principios del paralelogramo y de la palanca.— Algo parecido puede decirse á propósito de estas dos propo- siciones. Obsérvese que no las denominamos postulados: en efecto, en ellas no se postula ninguna verdad que no pueda someterse á inmediata verificación, por lo menos, en deter- minados casos. En nuestro modo de ver, son leyes empíri- cas, experimentalmente demostrables; aunque para muchos autores son teoremas racionalmente deducibles, el primero, del principio de la independencia ó de un raciocinio especial (más especioso que convincente), el segundo, de la teoría de composición de fuerzas. E — 709 — “Una de las objeciones de más fondo que se hacen á la Mecánica clásica, es la de que unifica sin razón los conceptos dinámico y estático de la fuerza, dando con ello, implícita ó expresamente, carácter de entidad substantiva á toda causa de movimiento: en ciertos tratados se establece estáticamen- te la composición vectorial de las fuerzas concurrentes, y se extiende después la ley á los efectos dinámicos, mientras que en otros se procede á la inversa, deduciendo esta com.- posición del principio de la independencia. Y, naturalmente, tanto unos como otros dan á entender que la fuerza se nos ofrece como causa substantiva, cuyos efectos son totalmente independientes del estado de reposo ó movimiento en que el sujeto móvil se halle. Pues bien; á esta objeción, que en el fondo significa la duda de si una fuerza, desde que cesa el equilibrio en que interve- nía, conservará en el movimiento las mismas leyes de ac- ción, no puede en verdad replicarse a priori, sino con el contenido del principio de la independencia y con la hipóte- sis de la constancia de las leyes físicas; pero en todo caso, creemos lógico procurar desvirtuar en lo posible la objeción y aumentar los elementos de juicio favorables á dicho prin- cipio, mediante la concordancia entre la composición de efec- tos dinámicos que él establece, con la de los estáticos evi- denciada por la experiencia, es decir, mediante algo parecido á una verificación experimental directa, en los casos que la permiten. Y otro tanto decimos del principio de la palanca, aparato cuyo conocimiento experimental, como fundamental de nues- tra ciencia, tiene en nuestro modo de ver mucho mayor im- portancia de la que acostumbra á dársele en los tratados. El fué, indudablemente, el punto de partida de los estudios estáticos, y el que por sucesivas transformaciones é induc- ciones ha ido guiando á la inteligencia humana hasta la gran sintesis conocida en la Ciencia con el nombre -de Prin= cipio ó teorema de las velocidades virtuales; y ante esta con- Rev, Acab. Ciencias. —VII[.— Marzo, 1909. 48 — 110 — sideración, creemos lógico darle todo su valor y, en vez de deducir de lo general discutible lo partieular directamente de- mostrable, inducir de lo particular demostrado los funda- mentos de la teoría que conduce á la generalización. 39. Conclusiones generales. —Toda ciencia, ha dicho un analista eminente (*), puede elegir libremente sus axiomas ó postulados de partida, sin otra restricción que la impuesta por la necesidad lógica de evitar contradicciones. Amplian- do el aforismo, que no creemos rechace nadie, diremos también nosotros que todo expositor de una ciencia puede elegir libremente sus puntos de partida, sin otra restricción que la necesidad de verse conducido lógicamente á los re- sultados ya obtenidos por otros investigadores y contrasta= dos por la verificación experimental. Pues bien: á pocas ciencias de la enciclopedia humana podrá aplicarse todo esto con mayor razón que á la Mecá- nica racional. Por lo mismo que, según queda bosquejado, sus conceptos fundamentales aparecen envueltos en tan acentuada obscuridad, los esfuerzos encaminados á consti- tuirla sobre bases sólidas é inconmovibles, á dar claridad y allegar elementos de convicción en sus verdades de partida, son cada día más intensos y numerosos, y los sistemas de exposición en que se huye de la forma clásica para los prin- cipios fundamentales, se multiplican profusamente. No es propio de este lugar extendernos en una enumera- ción siquiera de estos sistemas; únicamente diremos que en- tre ellos son más de notar varios en que se elimina de los principios la noción de fuerza, que sólo figura después, y se conserva con tal nombre simplemente por comodidad, cuan- do aparece como resultado de transformaciones en las ex- presiones analíticas. Para ello, naturalmente, hay que recu- rrir á otros principios hipotéticos ó postulados; y como, en general, tanto estos sistemas como los demás que se han (*) M. Poincaré. Obra citada. — T11 — imaginado se equivalen entre sí, en cuanto á los resultados y conclusiones analíticas, dicho está que también los princi- pios se equivalen entre sí. Por tanto, los ataques de la críti- ca dirigidos contra un sistema, alcanzan virtualmente á todos los demás: como que no van, en realidad, contra la Mecá- nica, sino contra la alta Filosofía de la Ciencia, que no sabe ni puede decirnos qué son el espacio, el tiempo, la materia, la fuerza, la inercia, la masa. Considerando, además, que algunos de los nuevos postu- lados son difíciles de concebir para los principiantes y se hacen extraños hasta á inteligencias avezadas al estudio de estas difíciles cuestiones, compréndese que predomine en los autores, hoy por hoy, la tendencia á conservar, con ligeras variantes debidas al estilo personal de cada uno, la forma clásica de exposición de la Mecánica, la debida á los Gali- leo, los Newton, los d'Alembert, los Laplace, los Lagrange y demás analistas que han seguido sus huellas. Como norma crítica para juzgar de la exactitud de cada uno y de todos los sístemas, queda en todo caso la verificación a posteriori, esto es, la contrastación de los resultados teóricos con los de la observación y la experiencia; y hasta el día, en lo princi- pal y más saliente de las conclusiones del análisis, según el procedimiento clásico, se han registrado y se registran tan numerosas y significativas concordancias, que el hecho de que la teoría se declare incapaz para dar razón de algunos fenómenos físicos, aparte de que puede responder á igno- rancias concretas de algunas leyes peculiares á tales fenóme- nos, Ó bien á errores de interpretación, solamente autoriza y aun obliga á poner al frente del sistema clásico, como de - cualquiera otro, un lema que advierta la incognoscibilidad de lo absoluto. De ese modo, quien á su estudio se dedique, no perderá nunca de vista que no es prudente, que no es pro- pio de verdaderos sabios, declarar universal é inmutable ninguna ley física, ni olvidará que toda conclusión científica debe considerarse sujeta á posible rectificación, impuesta un. — 7112 — día acaso por nuevas investigaciones, y se penetrará debi- damente de que /as conquistas de la humana inteligencia son, sí, brillantes, pero sólo estimadas respecto de nuestra pequeñez, en tanto que son estrechas y pobres en relación con la grandiosidad del Universo. Nota bibliográfica. — He aquí, en cualquier orden, varias obras de crítica que pueden consultarse: Clerk Maxwell. «Matter and motion.» London: 1908. Streinz. «Die physikalische Grundlangen der Mechanik. » Leipzig: 1883. Neumann. «Ueber die Principien der Galilei-Newton'schen Theorie.» Leipzig: 1870. Mach. «Die Mechanik in ihrer Entwickelung, historisch- kritisch dargestellt.» Leipzig: 1883. Andrade. «Lecons de Mécanique physique.» París: 1898. Picard. «Quelques réflexions sur la Mécanique.> París: 1902. Freycinet. «Sur les principes de la Mécanique rationelle.> Paris: 1902. Poincaré. «La sciencie et l'hypotése.» París. - Vaschy. «Sur la définition des masses et des forces.» Nou- velles Annales de Mathématiques. Janvier, 1895. Bouasse. «Etude des théories de la Mécanique.» Paris: 1895. Adhémar. «Les principes de la Mécanique et les idées de Hertz.» Revue des questions scientifiques. 20 Janvier 1902. Bruxelles. Discusión académica de la Société scientifique de Bru- xelles.» Anales de la misma: sesión de 9, 10, 11 de Abril de 1901. Echegaray. « Conferencias sobre Física matemática», pu- blicadas en la Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales de Madrid. Muñoz del Castillo. «Unidades físicas.» Madrid; 1890. — 713 — Herwig. «Physikalische Begriffe und absolute Maíse.» Leipzig: 1880. Isenkrahe. «Das Ráthsel der Schwerkraft.» Braunsch- weig: 1879. Hertz. «Die Principien der Mechanik in neuem Zusam- menhange dargestellt.» Leipzig: 1894. Boltzmann. «Die Principien der Mechanik.» Leipzig, 1897. Bertrand Rusell. «L'idée d'ordre et la position absolue dan Pespace.» Mémoire. Bibliotheque du Congrés international. Tomo Ill, París: 1900. Blondlo1. «Exposé des principes de la Mécanique.» Mé- moire. Idem id. Wickersheimer. «Les principes de la Mécanique.» Pa- rís: 1908. Marcolongo. «Le Moderne teorie di Fisica matematica.» Messina: 1903. Alasia. «L' «Evoluzione della meccanica» di P. Duhem.> Pavia: 1904. Del autor de este trabajo. «Sobre las hipótesis que sirven de fundamento á la Mecánica racional.» Zaragoza: 1903. _Hirn. <«L'avenir du Dynamisme dans les sciences physi- ques.» «La Cinétique moderne et le Dynamisme de Pavenir.» París: 1896. Volkmann. «Einfihrung in das Studium der theoretischen Physik.» Leipzig: 1900. Narr. «Einleitung in die theoretische Mechanik.» Leip- zig: 1875. — 714 — PUBLIGAGIONES RECIBIDAS (Continuación.) Academy of Sciences (Mansas).— Transactions of the ...—Vol. XX, . Part. 11.— December, 1906.—State Printing Office. — Topeka, 1907. Académie Hongroise des Sciences.— Rapport sur les travaux de 1? ... en 1906. — Présenté par le Secrétaire Général G. Heinrich. — Buda- pest, 1907. Akadémiai (Magyar Tud.).— Almanach. 1907.—Kiadja A Magyar Tud. Akad. Societatis Entomologice Bohemise.—Acta .. .—Rocnik IV. 1907, Cislo 3 V Praze. Ferreira da Silva (A. J.). — Revista de Chimica Pura e Applicada.—3.% anno, núm. 11, 15 Nov. 1907. —Porto. Mascart, Haller.— Annales de Chimie et de Physique.—Par Mm. ... Hui- tieme série. —Tome XII. — November, 1907. —París, 1907. K. Svenska Vetenskapsakademien | Stockholm. Arkio tór Kemi, Mineralo- gy och Geologi. Band 2, Hafte 4 6.— Arkiv tór Zoology. Band 3, Hafte 3 4. — Utgifvet af ...—Upsala € Stockholm. K. Vetenskapsakademiens Nobelinstitut. —Meddelanden fran... Band I. Nú- mero 7. —Upsala « Stockholm. American Academy of Arts and Scientes.— Proceedings of the... Vol. 42, número 20-26. March April, 1go7.—Boston, Mass. Reyal Irish Academy.— Proceedings of the... Volume XXVII, Section A. Número 3 —Dublin, 1907. Royal Society of London.—Philosophical Transantions of the., Serie B. Vol. 199. Pp. 253-279,—London, 1907. Field Columbian Museum. — Botanical Series.—Vol. 11, núm. 4, 5. Report Series, —Vol. III, núm. 1.—Chicago, U. S. A. January, February, 1907. American Climatological Association. — Transactions of the... For the year 1906. Volume XXII.— Philadelphia, 1906. Koninklijke Natuurkundige Vereeniging in Nederl-Indie. — Natuurkundig Tijdschrift voor Nederlandsch-Indie. - Deegl LXVI. Tiende serie. Deel X. Weltevreden, 1907. Bureau of Standards. — Departiment of Commerce and Labor. Bulletin of the .. Vol. 3. Núm. 3 € 4.—Washington, 1907. Royal Society of London. —Proceedings of the... Serie B. Vol. 79. Nú- mero B. 535.—Biological Sciences. — November 18, 1907. Smithsonian Institution.— Bureau of American Ethnolog y Bulletin 30.— — 115 — ' Handbook of American. — Indians North of México — Editel by Frede- rick Webb Hodge Tu two parts.—Part. 1.—Washington, 1907. Geological Survey. — Department of the Interior. — United States...— Char- les D, Walcott, Director. — Mineral Resources of the United States.— Calendar year 1905.—David T. Day. —Washington, 1906. Geological Survey (United States).—Department of the Interior. ..—-Char- les D. Walcott, Director. — Water. — Supply and Irrigation. — Paper nú- meros 182, 183, 187, 188, 189. — Washington, 1906-1907. Naturforschenden Gesellschaft zu Leipzig. —Sitzungsberichte der... 1906.— Leipzig, 1907. Academie Impériale des Sciences de St, Pétersbourg. —Bulletin de P...— 1907, núm. 16, VÍ serie 15 Novembre.—St. Petersbourg. American Museum.— The American Museum Journal. Volume VII, Num- ber 7 Nov., 1907.— New York City. Academia delle Science di Torino (R).—Atti della...—Vol. XLTI, Disp. 1.2 11.%, 1906-1907. —Torino, 1907. Osservatorio Astronomico di Torino (R).—Osservazioni Meteorologiche fat- te nelllanno 1906 all'Osservatorio della R. Universitá di Torino.—Calcola- te dal Doctor Vittorio Fontana.— Torino, 1907. Université Impériale de Kharkow.—1907. Society of Edinburgh (Royal).—Proceedings of the . .—No. V,—Volumen XXVII.—Pp. 369-432. Royal Society. —Proceedings of the ..—Serie A. Vol. 80.—No. A. 535.= London. Wildeman (E. de). - Etat Independant du Congo. Mission Emile Laurent (1903 1904). Enumeration des plantes recoltées, par Emile Laurent, et- cétera.—Fascicule V. Pages I, VIII, CXXI-CCXXV , et 451-617.—Bru- xelles. — Novembre, 1907. College of Sciences Imperial University of Tokyo.—The Journal of the..., Japan. —Vol. XXI. Article, 7, 9, 10, 11; ídem XXITI. Article, 1.—Tokyo, Japan, 1906-1907. La Feuile des Jeunes Naturalistes.— 1er Décembre 1907.—IV serie 38 année, Núm. 446. - París. Terrestrial Magnetism and Atmospheric Electricity. —Vol. XII, Núm. 3. September, 1907 . — Baltimore. The Astrophisical Journal. —Movember, 1907.—Chicago and New York. Observatory at Batavia.—Cloud Observations at Batavia. Frequency of dif- ferent forms of clouds during the three years 1903-1905. Air-pressure, temperature, humidity, and wind on days of bright sunshine at Batavia, 1889 1906. Ang. 15t By W. Van Bemmelen. List of Magnetic, Disturbances Recordeel at the Batavia Observatory during the period, 1880-1899. By W. Van Bemmelen. Appendix 1, 11, III, to Observations made at the royal magnetical and meteorological... Vol. XXVIII. 1905.—Batavia, 1907. Es Galileo Galilei. — Le Opere di ... Edizione Nacionale sotto gli auspicii di — 716 — “Sua Maestá il Ré d Italia. Volume 111, Parte seconda, XIX,'Trent'anni di studi galileiani, per Antonnio Favaro. - Firenze, 1907. Wisconsin Natural History Society. — Bulletin of the ... Vol. 1-5. New series. — Milwankee, Wisconsin, 1900-1907. Royal Yrisch Academy.—Proceeding of the... Vol, XXVI. Section B, nú mero 10.— Dublin, 1907. Ñ Accademia di Scienze, Lettere e Arti degli Zelanti Acireale. — Rendicorti e Memorie della..., Anno Accad. CCXXX-CCXXIII.— Serie 3.?, Vol. 1 IV 1901-1904.—Rendiconti.— Anno Accad. CCXXXIII- CCXXXIV.—Se- rie 3.", Vol. V, 1905 1906.—Memorie della classe di Lettere.—Acireale, 1906-1907. University of California.—...Publications in Zoology. Vol. 4, núm. 2, pp. 53- 185, 19 tex. fig. Nov. 26, 1907.-— Berkeley. Department of Agriculture in India.— Memoirs of the. . Sept. 1907. Che- mical Series Vol. 1, núm. 5.—Sept. 1907. Botanical Series Vol. II, nú - mero 2,—Calcutta. Society (The Royal Geographical).— The Geographical Journal. Vol, XXX, Núm. 6. December, 1907.—London. Poincaré (H), Bigourdan (G.), Deslandres (H.), Puiseux (P.), Radan (R.).— Bulletin Astronomique. —Tome XXIV. -— Décembre, 1907.—París. Biblioteca Nazionale Centrale di Ferenze. - Bollettino delle Publicazioni Ita- liane. - 1907. — Núm. 83. — Novembre. Laisant (C. A.), Bourlet (C.), Bricard (R.).— Nouvelles Annales de Mathé- matiques. —Quatriéme série. —Tome VII.—Octubre, 1907.—París, 1907. Laisant (C. A.', Maillet (Ed.), Lemoine (E), Grévy (A.).—L'Intermédiaire des Mathematiciens. — Tome XIV,.—1907. — Núm. 11.— Nov. 1907.— París. Kelvin, G. C. V. 0. D. C. L. LI. D. J. R.S. etc. John Joly. M. A. D. Se. F. R. S. F. G. S. and William Francis, F. L. S.- The London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science.—Sixth Series, -- Núm. 84.— December, 1907.—London. X Bibliothéque Universelle.— Archives des Sciences Physiques et Naturelles. Cent douziéme année.— Quatrieme période, —Tome XXIV. — Núm. 11, 15. Novembre 1907. — Geneve. Ciel et Terre. — Revue populaire d'Astronomie de Météorologie et de Phy- sique du globe. — Vingt, huitieme année.— Núm. 19.—I1.e Décembre 1907.— Bruxelles. Society (Royal Astronomical).— Monthly Notices of the...—Vol. LXVIII. Núm. I. November 1907.— London, Geological Survey of India.— Records of the... - Vol XXXV, Part. 4-1907. Calcutta, 1907. Academie des Sciences.—1907 Deuxiéme semestre Comptes rendus hebdoma- daires des séannces de 1”,,, — Tome 145.—Núm. 22 (25 Nov. 907) 23 (2 Décem. 907) 24 (9 Décem. 907). - París. (Se continuará.) Pe 2d XXVI O lementos. de la An e la Blasticidad, por . José. Echegaray. Conferencia novena CN: y XXXVIIL —Elementos de la teoría de la Elasticidad, por José ! Echegaray. Conferencia décima... A RS XXXIX. —D. Francisco de Paula Rojas, por. José Rodriguez : MOUrCÍO aan ooo rn nene nee penos cd XL —Método para determinar la dirección de los * vientos superiores por las ondulaciones del borde. de los AS astros, por Vicente Vemtosd «eS 3 -XLI.—Los principios fundamentales de la Mecánica racio- 'nal.— Un primer capítulo de dinámica (conclusión), : por José a. Z Publicaciones recibidas. . o es y UA ISS La subscripción á esta REVISTA se hace por lanos completos. de 500 á á 600 páginas, al precio de 6 ea en a NS francos. me o verd, núm. 26, Madrid. DA : - Precio de este cuaderno, 1, 25 pesetas. DEMÍA DE CIENCIA "EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES TOMO. MB NUM. 206 (Abril < de 1909) MADRI D ESTABLECIMIENTO TIPOGRÁFICO Y EDITORIAL CÁLLE DÉ PONTEJOS, NÚM. 8. 1909 . sE p- 3 ADVERTENCIA Los originales para la Revista de la Academia se han de entregar completos, en la Secretaría de la Corporación, antes del día'20 de cada mes, pues de otro modo quedará su publicación para el mes siguiente. As j = 117 — XLII. — Elementos de la teoría de la Elasticidad. Por JosÉ ECHEGARAY. Conferencia undécima. SEÑORES: La base del método de Mr. Poincaré para resolvet el pro- blema de la Elasticidad, es el principio de la conservación de la energía, como hemos explicado varias veces. Si las fuerzas exteriores determinan una deformación, que suponemos infinitamente pequeña, el trabajo de dichas fuer- zas se conserva integro, sea cual fuere el ciclo que los pun- tos materiales describan. La aplicación de este principio basta para determinar en cada punto las componentes de las fuerzas interiores, que sobre dicho punto actúan. Y esto supone, que para dichas fuerzas existe una función determinada U de todos los puntos del sistema, mejor dicho, de sus coordenadas. Las componentes para un punto material cualquiera del sólido elástico, se determinarán tomando las derivadas con relación x, y, z, Ó si se quiere con relación á u, v, w, que son las que determinan la nueva posición de cada punto. Es pues fundamental en el método de Mr. Poincaré el estudio de la función U, ó también el de la función potencial II =— U. Esta función U contiene todas las coordenadas x y 2, A de todos los puntos del sistema elástico. Rev. Acap. Cieycias.—VII.—Abril, 1909. 49 — 7118 — Pero, según decíamos en la conferencia anterior, á estas coordenadas, que son las naturales y las que generalmente se usan, Mr. Poincaré substituye otras coordenadas, que no son precisamente las distancias f..... entre cada dos puntos del sistema, sino sus cuadrados r?....., á fin de simplificar los cálculos. | Estas nuevas coordenadas son las que designa por De manera que la función U vendrá expresada de este modo antes de la deformación, U=F(R,R'.....). Y una vez verificada la deformación bajo la acción de las fuerzas exteriores, como las magnitudes R serán distintas de lo que eran antes, si representamos en general por p el incremento de las R, es decir, el incremento de los cuadrados de las distancias, la función U se convertirá en U=F(R+p Rp RUT pe.) Pero aquí ocurre una duda, según explicábamos en la conferencia anterior. Para determinar un sistema de puntos n, el número de distancias Ó de cuadrados de distancias, que da lo mismo, ne- cesario y. suficiente es 3n — 6, que representaremos por N;; número muy inferior, porque es de otro orden, al de todas las distancias entre cada dos puntos, que tiene por valor n(n— 1) 2 Y la duda es esta; duda que no se aclara, que no se re- suelve explícitamente en la obra de Mr. Poincaré. En la función F, ¿entran todas las distancias R en núme- ro N,? y designaremos por N.,. A e E A ii MAA GAR ETA UE AE 25% go ¿O entran las necesarias y suficientes, es decir, las ver- daderas variables independientes, que son en número Ny? ¿0 entra un número intermedio mayor que N, y menor que N,? Esto no se especifica, y no deja de tener su importancia para la claridad del método, sobre todo en la enseñanza ele- mental. Porque es lo cierto, que la forma de función F no queda suficientemente definida. Es decir, su valor numérico, que es el de la función de fuerzas Ó el de la potencial para un estado cualquiera del sis- tema elástico, definido queda sea cual fuere la forma de F. Pero esta forma, es decir, la forma analítica de F, es múltiple en cualquiera de los tres casos que considerábamos. 1.2 Si no entran más variables R en la función F que las puramente precisas, su número será N,; pero éstas pueden ser escogidas arbitrariamente. Puede escogerse el sistema que explicábamos en las con- ferencias anteriores, es decir, por ejemplo, tres puntos cua- lesquiera, constituyendo en cierto modo una base, y referida á esta base, por tres distancias, todos los demás puntos del sólido, lo cual da ya por sí multitud de formas para F. Podemos, en cambio, unir los puntos cuatro á cuatro, constituyendo una red completa de tetraedros. Podemos todavía formar redes parciales, y referir los pun- tos restantes del sistema, á tetraedos parciales de estas redes. E Caben, en suma, un número inmenso de combinaciones. 2.” Si en F entran las N, distancias, todavía podremos formar multitud de funciones F. Como escogidas las N, variables independientes, cada una de las restantes es función de éstas; combinando todas estas ecuaciones con la de U, es fácil, es elemental, que puede darse á F una forma en que entren todas las magnitudes R por un número ilimitado de combinaciones. — 720 — 3. Si queremos que en FF entren un número de magni- tudes R mayor que N, y menor que N,; no habrá más que acudir á los medios indicados en el segundo caso. Y permitasenos que no insistamos más en cuestiones ver- daderamente elementales. De este análisis se deduce, que la forma de F no está definida de una manera precisa; que el número de verdade- ras variables independientes es N,, y que si entra alguna otra magnitud R en F, esta magnitud debe considerarse como función de las que hayamos elegido como variables indepen- dientes, cuyo número es N,, número necesario y suficiente para determinar el valor de la función F en cualquier estado del sistema elástico, es decir, para determinar la potencial que en ese estado posee. Sea como fuere, y sin precisar la forma de la función F, claro es que podremos escribir, como escribe Mr. Poincaré, U=F(R+gR EY...) Como las magnitudes p son muy pequeñas, porque de- finen la deformación, y las deformaciones elásticas que con- sideramos son muy pequeñas con relación á las dimensiones del cuerpo, será legitimo desarrollar la función U por la serie de Taylor, y es claro que suponemos implicitamente que la función U goza de esta propiedad. en Tendremos, pues, dF 1 U=F 3 Ed TN z 2 es... ds ln e ul qa e ) dF ” d deF , TAO 1] ra meza RON ) .. ... o. 0. o... .. . 0... boo. 0.0... .«<..<... 00... . W ; U U V Ú 5l 0 Ú 1 Ú ' A Ú ' ul e ñ 4 Ú S 0 (STA E E> bu - - A: | Figura 32 des y las coordenadas ordinarias x, y, z, así como las ver- daderas incógnitas del problema u, v, w. A este fin conserva las R en los coeficientes diferenciales; pero expresa las ¿ en función de 4, Y y w. El método para conseguir esto es bien sencillo y bien ele- mental. Sean a y a” (fig. 32) dos puntos del sistema que corres- — 123 — ponden al valor R; de modo que la distancia a a” será igual 4 Y R. | Las coordenadas del punto a suponemos que son x, y, z. Las del punto a” las representaremos por x+Ax y+Ap z+4z. De modo que tendremos en la figura IO ADE AY ON Deformado el sólido elástico, el punto a vendrá á parar áb; ela" áb'; y según las notaciones establecidas para ex- presar las variaciones de las coordenadas por virtud de la deformación, tendremos: , IES CASO == AA" CNV. DE == wi, y también ú—u=Au, v—v=Av, w—w=Aw, siguiendo la misma notación que hemos empleado para los incrementos de x, y, 2. La recta a a” vendrá á parar á b b', y su longitud será evidentemente VR + p. Con estos elementos podemos expresar el valor de e en función de 4, V y W. En efecto; tendremos R=Ax? + Ay? +42, A Ó bien R+e=(Ax+ Au? + (Ay + Av? + (Az +AwY; — 7124 — y desarrollando R+pe=Ax?+Ay? + A2?+ 2(AxAu + AyAv + AzAu)+ + Au? +A +A m2; ; poi fin restando de esta ecuación la primera pe =2(AxAu + AyAv + AZAw) + Au? + Av? 4 Ay?. Como hemos obtenido este valor de ¿ podríamos obtener los de pg”, e”..... para todos los incrementos de las magnitu- des R, R”..... que entran en la expresión de U, consiguiendo lo que indicábamos antes, á saber: expresar las en función de las 11, v, w. Porque en efecto; ya hemos visto antes que Au=uú =u AvV=VW—=v, AW=W —=w En el valor de g distingue Mr. Poincaré dos partes: la primera 2(AxAu + Ay Av+AzAw), que puede ponerse bajo esta forma: 2[Ax (u' —u) + Ay (v —+A4Az (w — w)), y que, por lo tanto, es función lineal de las u, v, w, y como estas son cantidades muy pequeñas, porque las deformacio- nes lo son, esta primera parte del valor de p puede decirse en términos generales y dada su forma lineal, que es una cantidad muy pequeña de primer orden. Mr. Poincaré la designa por p,, de suerte que tendremos e, = 2 (Ax Au + Ay Av+ Az Aw), ATA IA O La segunda parte del valor de y es Au? + Av? 4 Aw?, Ó también : MAA A (0-0), y desarrollando uU?2+v24w2+ uu ++ w —2u4u — 24v—2w'w, de suerte que es de segundo grado de pequeñez, por lo me- nos, en 4, Y, w, puesto que es un polinomio homogéneo de este grado. Se representará por p,, y tendremos p2 = Au? 4 Av? + Ay”, de suerte que podremos escribir pe =p +», en que los subíndices nos indican que la primera cantidad del segundo miembro es una función lineal, por lo menos de primer orden de pequeñez, y en que el segundo término es un polinomio de segundo grado, ó de segundo orden de pequeñez, por lo menos. Si lo que hemos hecho para R y para p lo hiciéramos para todas las rectas que unen dos á dos los puntos del sistema elástico y que entran en F, tendríamos análogamente á los valores obtenidos, . ....... 0. ..... Podemos, pues, eliminar en el valor general de U todas las cantidades en función de las u, v, w, — 726 — Y tendremos U=F(R,R.....) DE Eto + dR? +2 ES lr A) en que U representa la potencial después de la deformación; F la potencial en el estado natural; los coeficientes diferen- ciales serán funciones de la R; la primera 2 contendrá tan- tos términos como cantidades R entran en F. De la segunda * podemos decir otro tanto, y la últi- ma contendrá, á su vez, tantos términos como combina- ciones pueden efectuarse, dos á dos, con las R que en- tran en F. Pero, ¿cuál es la forma analítica de F y cuántas R en- tran? Sobre esto pesa la misma duda que al principio; duda, volvemos á repetirlo, que en el desarrollo del método no tie- ne importancia, pero que puede tenerla para ciertos puntos, que indicaremos después. Todo lo demás es correcto y preciso. Continuemos, pues, desarrollando el método en cuestión. El último valor de U puede penes bajo esta forma: US TEURIREAS yn AE a 1 1 AR? o + 2p1P2 + P2%) + == EN (0101 + p20'2 + Pap + PP 2)» dRdRe* : Ahora bien; p, p, es de tercer orden de pequeñiez, por lo menos; p?, es de cuarto orden de pequeñez; py p'2 + pa p'1 es de tercer orden, y p. p, de cuarto orden, — 7127 — Suprimiendo todas estas cantidades, tendremos: deF ; DA ta Mr. Poincaré compara esta ecuación con la que antes ob- tuvimos U=U, + U, + U,, que expresaba el valor de la función de fuerzas ó de la po- tencial en valores de u, v, w; y como U, era lineal, y U, de segundo grado, es evidente, puesto que ambas expresiones de U deben ser idénticas, que debe tenerse igualando las expresiones del mismo orden, U, = F(R, R'.....) dF UL == : A dF 1 d?F d?F U,= Y a 23- Y A ON 2 AR p + ) AR P1 IRAR PP De todas maneras, de estas expresiones apenas hemos de hacer uso en adelante. Con esto concluye la segunda parte del método, según antes lo hemos sintetizado. Es decir, que hemos expresado U en las antiguas y las nuevas coordenadas á la vez: la F y las derivadas, no con: tienen más que las R; las p, y p, son polinomios de primero y segundo grado en u, v, w, y también contiene Ax, Ay, Az, que son las diferencias de coordenadas de las extremidades de cada distancia V rl: Y pasemos á la tercera parte, es decir, á la simplificación — 128 — de las fórmulas, teniendo en cuenta la influencia del radio de actividad molecular. Simplificación de las fórmulas, teniendo en cuenta el ra- dio de actividad molecular. Lo hemos indicado varias veces y con diversos motivos: los tres métodos que nos hemos propuesto explicar para re- solver el problema de los sistemas elásticos sometidos á di- ferentes fuerzas, parecen completamente distintos, y el alum- no que por primera vez los estudia, recibe la impresión vi- vísima de esta diferencia radical. Y sin embargo, entre los tres hay grandes semejanzas, que hemos procurado señalar. Y una de estas semejanzas, uno de estos puntos de contactos, digámoslo así, entre los tres métodos, es el que vamos á estudiar ahora. En el método de Cauchy, por ejemplo, para determinar las componentes de la fuerza interior, que actúa sobre cada pun- to é igualarlas á cero, empezábamos por estudiar la acción de todos los puntos del sistema sobre el punto elegido, des- de el punto más próximo al más lejano, integrando en toda la extensión del cuerpo elástico. Si m es el punto cuyo equilibrio queremos establecer, y m' es otro po material inmediato á m, hay que calcular la acción de m” sobre mm. Sim” es un punto muy lejano, aunque esté en los límites del cuerpo, hay que hacer para m” los mismos cálculos que para m/”, determinando la acción ó el esfuerzo atractivo ó re- pulsivo que ejerce m” sobre m. Y lo mismo para todos los puntos del cuerpo. Y después de hecho esto, a un principio que es general, resultado de la experiencia ó hipótesis que natural- mente ocurre y en la experiencia se funda, A — 729 — Decimos: sobre m sólo influyen prácticamente los pun- tos próximos m/'.....; los puntos lejanos no ejercen nin- guna influencia, ó es una influencia despreciable en la práctica. Y prácticamente se determina, como explicábamos en otra conferencia, en otro curso, una distancia mínima que llama- remos r y á que se da el nombre de radio de actividad mo- lecular. Todo punto m' que dista de m una longitud menor que +; ejerce acción apreciable sobre este punto, y hay que calcu- lar el esfuerzo que desarrolla al establecer el equilibrio del — Ar punto material . ñ nm” Todo punto m” en que la E distancia m m'” es mayor que LS Y r, queda fuera de juego. E AT me De suerte, que si tomando m o | como centro (fig. 32 bis) con EE EE VAT a un radio m a = r trazamos Fiuura: 32:his: una esfera abc, para el equili- brio del punto m, sólo hemos de tener en cuenta los puntos materiales mm'..... interiores á dicha esfera. De todos los pun- tos exteriores á la misma m””, m'”..... podemos prescindir en absoluto. Esto simplifica los cálculos, y esto es practicamente recha- zar el principio de la acción á distancia, cuando la distancia es superior á fracciones muy pequeñas de milímetro. Este mismo principio de simplificación se aplica en el mé- todo de Lamé. Y este mismo principio, bajo la forma conveniente, vamos á aplicarlo en el método de Poincaré. Por eso decíamos, que los métodos son distintos, á partir -de su origen se separan y luego, de cuando en cuando, se unen por efecto de un principio común ó de una hipótesis Ó de hipótesis análogas. — 130 — Introduzcamos en la función U que emplea Mr. e este principio que acabamos de recordar. ; Sea un sólido elástico S (fig. 33) en estado de dalla natural con fuerzas ó sin fuerzas externas, importa poco; y sean 0, b, C..... d, e, f..... diferentes puntos materiales de dicho sólido en estado de equilibrio natural, según decimos. ne AS pS iS DINOZ TE: nel sólido expe- Los puntos a, b, c..... vendrán á parar á a”, br, ea. ny e puntos d, e, f..... ocuparán las posiciones d”, e”, F 138 Estas deformaciones S Harán variar la función de | A fuerzas, Ó si se quiere la | ¿pe Pf, | función potencial; de mo- Ll A £ ¿Ao do que si llamamos A U á L e > del la variación de la función O de fuerzas, en esta canti- IS | dad habrá variado, salvo el signo, la potencial del sistema; y si las fuerzas exteriores cesasen y los puntos volvieran á su posición primitiva, dado que en todo este ciclo las velocidades fuesen nulas, al volver el sistema á su primera posición desarrollaría un trabajo AU como hemos explicado en otras ocasiones. Y ya hemos hecho notar, dicho sea entre paréntesis, que la función de fuerzas y la función potencial siempre pueden contener una constante arbitraria. Ahora bien; todo punto ó a de puntos, que cambia de posición, modifica el valor de la tunción prienn y unos prnl influyen en otros. Y de aquí se deducen estas consecuencias. Si a, b, C..... cambian de posición determinarán una va- riación en la potencial. l De suerte que los puntos Picadas en el espacio" Ss por Figura 33. ¡AA — 131 — variar de posición, y admitiendo que los demás puntos del cuerpo quedan fijos, determinarán en la potencial general U una variación de potencial A, U. Pero además, en la teoría general, modificarán la posición de los puntos d, e, f..... contenidos en el espacio s”, y la va- riación de estos últimos alterará en general la potencial del sistema. En una palabra; la variación de potencial en un espacio s tiene resonancia en los demás espacios del cuerpo. Siá su vez alteramos las posiciones de d, e, f....., podemos repetir todo lo dicho para los puntos a, b, C..... En suma; si en dos espacios s y s” alteramos las posicio- nes de los puntos que contienen, la potencial U variará por tres conceptos: 1.” Por la deformación de s, que alterará la potencial del sistema. 2.” Por la deformación de s”. Y 3.” Por que estas deformaciones intluyen recíprocamente unas en otras. Esto es general, admitiendo que las acciones se transmi- ten en el interior del cuerpo por el principio de la acción á distancia. Pero si aplicamos el principio, que por abreviar podemos llamar del radio de actividad, las tres acciones an- teriores se reducen á dos. La potencial del sistema varía se- paradamente por la deformación de s y por la deformación de s”, sin que una influya en otra; es decir, que respecto á los espacios s, s” situados á mayores distancias que el ra- dio de actividad, la variación total en la función de fuerzas ó en la potencial es la suma de las variaciones de la po- tencial producidas por deformaciones en cada uno de es- tos espacios. Al menos así entendemos nosotros la simpli- ficación en que vamos ocupándonos para el método de Mr. Poincaré. | Y ahora vamos á ver cómo la explica el insigne autor. — 732 — Vamos á traducir literalmente aquellos párrafos ' que, á nuestro entender, expresan con más claridad el pensamiento del maestro, sin otras modificaciones que las de introducir al- gunas figuras que aclaren los conceptos. Pero recordemos antes las tres ecuaciones que hemos es- crito hace un momento. US ="TUR Re) dF A dF 1 d?F d?F UU, =Y E y 2 AR bo + > AR? oe Se dRAR P1P1 Estas ecuaciones no tienen importancia para el desarrollo del método; sólo sirven para agrupar los términos del des- arrollo de U que antes expusimos en tres grupos, por decir- lo así: uno que se refiere á la cantidad constante U,; otro que comprende los términos lineales en u, v, w....., y el ter- cero que comprende los de segundo orden. Y hace esta cla- sificación el autor para poder tratar separadamente cada uno de ellos; mejor dicho, los dos últimos. Y ahora transcribamos la traducción del párrafo 25 de la obra de Mr. Poincaré, que es como sigue: «Radio de actividad molecular.—Para continuar los cálcu- los es necesario introducir una nueva hipótesis: vamos á su- poner que las acciones moleculares no se ejercen sino á dis- tancias muy pequeñas; de modo que son inapreciables cuan- do alguna de estas distancias es mayor que cierta longitud sumamente pequeña, á que se da el nombre de radio de ac- tividad molecular. ¡da ena: | aR Y dr hs muy pequeñas, á menos que la distancia á VR de las dos moléculas que están á las extremidades de R no sea inferior á dicho radio de actividad. Por consiguiente, se supondrá que son — 133 — RO , AE ió A: Para los términos análogos á ———- hay algo más que dRdR' advertir. Sean m,, m, las moléculas cuya distancia es VR E M3, MA las moléculas cuya distancia es VR” ; pues el térmi- aeJz dRdr' mM, M3, Mz, M, NO estén todas cuatro en el interior de una estera de radio muy pequeño: no basta para esto que R y R' sean muy pequeñas por sí; es necesario que los otros lados del cuadrilátero m,, M,, mz, m, lo sean también. Estas con- diciones son absoluta- mente necesarias. - Dividamos ahora el volumen del cuerpo S (figura 34) en dos volú- menes parciales V”, V”. Y de los tres grupos U,, U,, U, vamos á considerar primero el b grupo Ud: Figura 34. Suprimamos en U, AN todos los términos, para los cuales VR es superior al radio de actividad molecular. Para ello distinguiremos en U, tres grupos de término. En el primero colocaremos los términos tales, que las dos moléculas correspondientes m,, m., estén ambas en el interior del volumen V”. A este conjunto de tér- minos, es decir, á esta parte de U, la designaremos por U,”. En el segundo grupo colocaremos los términos tales, que las moléculas mz, m., estén ambas en el volumen V” y de- signaremos el valor de su conjunto por U,”. En fin; el ter- cer grupo comprenderá los demás términos; es decir, aque- llos para los que las dos moléculas m+;, m¿ estén una en el volumen V', otra en el volumen V”, representando por U,”” la suma de los términos de este tercer grupo. no será despreciable, á menos que las moléculas , ” O a Rev, Acap. Cruncias.—VIT.— Abril, 1909. 50 E Tendremos, pues, O, — Ur + EA - 7% q Lo mismo que hemos hecho para V,, vamos á hacer aho- ra U, efectuando una descomposición análoga á la anterior. r . r r dE dF r r Los térmimos análogos á ——, —— corresponderán á un dr d?R par de moléculas, que serán las colocadas á las extremida- 2 0 F des de Y R; y los términos como ——— en que habrá Y y IRARI q dos pares de moléculas, puesto que hay dos distancias v R y VR corresponderán á su vez á tres moléculas, si las distancias VR y VR tienen una extremidad común, 6 á cuatro moléculas si no tienen ninguna. Y será preciso que las dos moléculas, las tres ó las cuatro estén en el interior de una esfera muy pequeña. Esto, supuesto, reuniremos to- davía en un primer grupo términos tales, que las moléculas correspondientes estén todas en el volumen V”, y el conjunto de estos términos lo representaremos por U”,; definiremos análogamente U,””; y, en fin, U,'” comprenderá términos ta- les, que las moléculas correspondientes estén las unas en el interior de V' y las otras en el interior de V”. De este modo resultará DU, =0.% +0 4Un sí Procedamos ahora á simplificar las expresiones de U, y U;- Ocupémonos, en primer lugar, de U,. Los términos que entran en U,”” son excesivamente me- nos numerosos que los que forman U;' y U,”. Son efecto, términos tales, que el vector m, ma, (fig. 35) (que es una reproducción de la figura 34) tiene sus extremidades: una en el volumen V”; la otra en el volumen V”. Este vector se ha — 7135 — supuesto que es inferior al radio de actividad molecular, como para todos los demás vectores del cuerpo S, pues los términos que proceden de vectores superiores se han supri- mido. Luego la distancia de la molécula m, á la superficie de separación es menor que este radio, y lo mismo puede repe- tirse para m,. Las moléculas consideradas estarán, pues, comprendidas en una zona estrecha por una parte y otra de la superficie de separación a b, tal como la zona 4 b' b” a”. Así, pues, el volumen de dicha zona será del mismo or- den de magnitud que el ra- dio de actividad molecular, a” 2 - porque suponemos, desde 1 luego, que el área de la su- perficie que le sirve de base ' 2 , > 1 ' 1 1 Ú y ext Th l ' ) [| es finita. a A De aquí resulta que el | volumen de la zona en LOLAS E cuestión es muy pequeño A nn comparado con los volúme- Figura 35. nes V”' y V”; por lo tanto, podemos despreciar U,”” en comparación con U/' y Us”, y se podrá escribir U, = U/ + U;”- Un razonamiento análogo daría la igualdad con el mismo grado de aproximación U, = Uy + Un Estas igualdades expresan que, para tener los valores de U, y U, relativos á un volumen V' + V”, basta efectuar la suma relativa á los dos volúmenes parciales V” y V”. El teorema subsiste, evidentemente, si se considera un número mayor de volúmenes parciales, con la condición, sin embargo, de que estos volúmenes parciales sean muy gran- — 7136 — des cor relación á la esfera de acción molecular; de lo con- trario, la demostración no podría aplicarse, porque la zona a b'b” a” no sería despreciable con relación á V' y V”,» Hasta aquí la traducción exacta de los párrafos citados que aparecen en la obra de Mr. Poincaré. A estos párrafos se refieren, precisamente, las pequeñas dudas á que antes nos referíamos, y que conviene aclarar para la mejor inteligencia de mis alumnos. Y sólo haremos algunas indicaciones, porque las dudas expresadas no afectan á la esencia del método empleado por el insigne maestro. Hasta tal puuto, que para la exposición completa del mé- todo hubiéramos podido prescindir de esta parte de nuestra conferencia; pero conviene aguzar el espiritu crítico y extre- mar la severidad, si vale la palabra, de los que por primera vez estudian estas materias. Que no se acepte nada que no esté absolutamente demostrado, ó que si en algún caso no puede obtenerse este rigor, se tenga conciencia de lo que le puede faltar en orden á una lógica matemática impecable. Los párrafos que antes hemos traducido empiezan supo- niendo que cuando V R es menor que el radio de actividad molecular, el coeficiente diferencial e es despreciable por su grado de pequeñez. Una consideración análoga se hace respecto á los coefí- A de a de F | CE y Es a+ dRdR mero para no dar demasiada extensión á este que podemos llamar paréntesis en la exposición del método. - pero sólo nos ocuparemos del pri- IDA E poa : ARS _ Pues bien; á nuestro juicio no es evidente que e73 sea POESIA IEA — T3T — despreciable cuando V R es menor que el radio de activi- dad molecular. Y admitirlo sin más explicaciones, podría dar lugar á ciertas paradojas que por lo menos conviene aclarar. Todo ello procede de no haber precisado la forma de la función F, porque esta función que expresa la función de fuerzas Ó la potencial puede presentarse bajo formas muy diversas, como ya hemos dicho varias veces. La función potencial depende de la distribución geométri- ca de los n puntos materiales, que constituyen el sólido elás- tico, luego dependerá de las variables independientes R, R”..... R(N:7D que son en número N,: estas son necesarias y suficientes para definir la distribución geométrica de los puntos materiales en cuestión, y por lo tanto, son necesarias y suficientes para definir el valor de la potencial ó de la fun- ción de fuerzas, que corresponde á dicho estado del sistema elástico. Así, pues, estas funciones podrán expresarse de este modo UI RR de a) y una vez escogido el triángulo que sirve de base, la función F estará perfectamente definida (no decimos conocida sino definida) salvo la constante de que en otras ocasiones hemos hablado. Cuando las R sufren variaciones infinitamente pequeñas, la potencial sufrirá una variación definida de este modo: dF QUE QS duU=>— d — AR +... ——dR(Wi=D dar ds dR' o drw—D pero si los coeficientes diferenciales que se refieren á valores de R son tales, que Y R sea inferior al radio de actividad mo- lecular, de la ecuación anterior habrá que suprimir todos los términos en que la magnitud R se encuentre en este caso, y — 7138 — sólo dependerá dU' de los puntos b, c, d..... (fig. 36) muy próximos á a y habrán desaparecido de la ecuación los de- más términos que se refieren al resto del sólido b”, c”, d”..... Claro es que suponemos que el triángulo de referencia es ast, | De aquí resulta que en la variación de la potencial sólo influirán, como decimos, los puntos b, c, d..... que rodean al punto a á distancias menores que el radio de actividad molecular. Todos los demás puntos no influirán en dicha variación. Y esto es evidentemente Dub absurdo; es paradójico que ; en la variación de la poten- cial, que afecta á todo el sis- per a > tema, no influyan más que los q E puntos que rodean á pequeña distancia á un punto determi- nado, absurdo tanto mayor, cuanto podemos decir que el. punto a es arbitrario. Figura 36. Y otro tanto pudiéramos re- petir del punto s y del punto f. En suma, resulta esta paradoja enorme: que la variación de la potencial depende del triángulo de referencia que se elija. Y esta paradoja se ve desde luego que depende de la hi- pótesis de que se parte: á saber, de que - sea siempre despreciable cuando V R sea superior al radio de actividad molecular. En efecto, sea a s t (fig. 37) el triángulo de referencia, y sea 4 un punto material del sistema, tal que la distancia MAR v R sea mayor que el radio de actividad molecular. Si el punto a”, por una variación de R, viene á parar á a”, la variación de la distancia a a” podrá no influir en la poten- — 7139 — cial por la variación que haya experimentado la fuerza entre a y a”; pero las distancias a” b, a* b”, por ejemplo, se habrán convertido en a” b, a” b', y si todos estos puntos están den- tro de una esfera muy pequeña e, dentro de esta esfera las variaciones influirán en el valor de U; luego no podrá decir- dF df se en absoluto que AR sea pequeñisima aunque R sea grande. Más claro: las R influyen como coordenadas que entran en Figura 37. la función F, y nada más que como coordenadas que sirven para fijar la posición de los puntos del sistema. De todo ello resulta que no ha podido ser éste el sen- tido en que el autor del método que exponemos ha emplea- do las magnitudes R; pues si éste fuera, resultarían las dudas y las paradojas de que hemos procurado dar una idea. El verdadero espiritu del método empleado por M. Poin- caré, creemos que se desprende de los párrafos que antes traducíamos tomados de la obra de dicho autor. Este sentido procuraremos interpretarlo en la forma más. clara que nos sea posible, y á nuestra manera, por decirlo — ¡40 —= así; y claro es, que lo fiel ó lo incorrecto de la interpretación es de nuestra propia responsabilidad. Por ahora, en lo que nos queda de esta conferencia, no haremos más que apuntar la idea, proponiéndonos desarro- llarla en la conferencia próxima. Consideremos en el cuerpo elástico, trazadas todas las rectas R, todos los vectores, como dice Mr. Poincaré, que Figura 38. unen los puntos de dicho sistema dos á dos. Cada vector, Ó cada magnitud de PR, corresponderá á un par de puntos. Sean dichos vectores (fig. 38) a b, a' b', a” b”'.....; las mag- nitudes correspondientes serán v AN Y 10% VR”, cda : Éstas serán las longitudes de las rectas expresadas. Cada una de ellas unirá un par de puntos materiales NAO AS AS Y suponemos que están trazadas todas estas rectas, de suerte que su número será el que hemos designado por N,. Al estado natural corresponden las rectas ab, a' b', a” b”...... Una vez deformado el sistema, todas estas rectas cambian de posición y de magnitud. Por ejemplo: la recta ab toma la posición cd, cuya longitud es distinta de la primera. De suerte que, si ab es VR, cd será Y R+Rp+ 1 AA — 741 — La diferencia d d' entre el vector ab y el vector c d será, evidentemente, dan VERLO Be Pues bien, el principio que vamos á explicar es este: el cambio de cada recta ó vector trae consigo una variación en la potencial del sistema, por la recta en sí, prescindiendo de su relación con el resto del sistema; y admitimos que la suma de todas estas variaciones parciales de la potencial es la va- riación total de la misma al pasar el sistema del estado natu- ral al de deformación. En rigor, esto parece desprenderse de la exposición de Mr. Poincaré, puesto que siempre habla de pares de molécu- las y de términos correspondientes á estos pares; términos que pertenecen al desarrollo de U en potencias de p. Y nada tendríamos que observar si no fuera por la cir- cunstancia que hemos indicado, á saber: la indeterminación de forma de la función F cuando comprende todas las R, función que puede afectar, como hemos creído poner en cla- ro, infinitas formas diversas. Sobre este punto insistiremos en la conferencia próxima, continuando en la misma el desarrollo del método, que, sal- vado este punto crítico, no nos ofrecerá dificultad de ningún género. — 742 — XLIII.—Elementos de la teoria de la Elasticidad. POR JosÉ ECHEGARAY. Conferencia duodécima. SEÑORES :; Empezamos á estudiar en las conferencias anteriores la forma de la función de fuerzas U, ó si se quiere de la poten- cial del sistema elástico en cuestión. Expresamos dicha función U no por medio de las coot- denadas ordinarias x, y, z, sino de las coordenadas R, que representaban los cuadrados de las distancias entre cada dos puntos del cuerpo. Y suponiendo una deformación demehte pequeña, que convirtiese cada coordenada R en otra R + p, obtuvimos el desarrollo siguiente: Va =F(R Hp RE ple...) = FR, R".....) + MINO ENSIEUA! yl olaaa aria ar LD Ro despreciando todos los términos de tercer orden, y desig- nando por U¿ la potencial después de la deformación. Combinando después las coordenadas ordinarias x, y, 2 y sus variaciones u, v, w con las coordenadas R, llegamos á esta tórmula Us =F + 3 AE + —Y deis == 2 RAR Lp) O A — E = en que para abreviar hemos representado los términos linea- les en u, v, w por py, y los términos de segundo orden de dichas cantidades por p,, de modo que pe, =2(Ax Au + Ay Av + Az Aw) p) = Au? + Av? + Aw?, siendo en general Pp = P1 + o» Y todo esto, que no sólo es perfectamente correcto, sino que es perfectamente claro, creemos que no ha de ofrecer dificultad de ningún género á los principiantes. Pero consideramos que debíamos insistir sobre un punto que acaso ofrezca dudas. Dudas que nacen de que no hemos definido con precisión la función F que representa el valor de U. Porque F es una relación analítica entre las R, pero se puede preguntar: ¿cuáles de estas cantidades R entran en F2 ¿Únicamente las R que hayamos elegido como variables in- dependientes, cuyo número es N,, ó algunas más, ó todas las R, es decir, todas las que corresponden á la totalidad de distancias entre cada dos puntos, cuyo número es Na? Porque es evidente, que en F podemos introducir todas las R que queramos hasta agotarlas, y esto de infinitas ma- neras. Decimos que esto es evidente y materialmente puede ver- se, y conviene que los principiantes lo vean, para lo cual presentaremos un ejemplo muy sencillo. Sea U = F(Ri R,) — 744 — una función de dos variables independientes R, y R,; y su- pongamos que existen otras dos cantidades R” y R” que de- penden de las variables independientes R,, R, de este modo: R'= 11 (R,, R,), R” = 2 (R,, Ro). Pues decimos que es posible introducir en F las R' y R” de infinitas maneras, de modo que U vendrá expresada en función de R,, R,, R”, R” en formas, por decirlo así, inago- tables, aunque bien pudieran clasificarse por grupos. En efecto, de las dos últimas ecuaciones podemos dedu- cir R, y R, en función de R”, R”, y tendremos R; = dy (RP; R”, R, > da (R”, R. Ahora bien; la expresión de U podemos expresarla, por ejemplo, de este modo: O = F(R,, R,) = FQR, —R,, 2R> EE Ro»), y sustituyendo por R, y R, los valores que hemos obtenido, tendremos: U = F[2R, eE by (R”, R”), 2Ry da (R”, ROI, que es, en efecto, una función de R,, R,, R”, R”, es decir, U= F; (R,, Ro», R”, R). Claro es que la forma de F, no está definida de una ma- nera precisa, porque la R” y la R” la podemos introducir de infinitas maneras, — 745 — Valga esta otra como último ejemplo: ' E ERRANTE le (Ri, Ry) Ae ;S R,? R.? A = PF —_— —_—_— "Pa RO, ara a) cold en que F, será distinta á F;. Por eso decíamos, y perdónesenos si insistimos tanto en cosas tan triviales, que la forma de F, ó sea de la función de fuerzas, ó de la potencial, está perfectamente definida cuando se determinan de antemano las variables indepen- dientes R, aunque será distinta según sean dichas variables; más para cada grupo de variables independientes R, la for- ma analítica de F será única. _ Pero cuando entra un número mayor, ó cuando entran todas las R, la función que expresa el valor de U puede : afectar infinitas formas. Esto importa poco cuando sólo se trata del valor de la función U, porque todas las F' para cada sistema de valores de R han de dar un valor único para U. Importa poco cuando las R reciben incrementos p, y la función se desarrolla por la serie de Taylor,, porque el des- arrollo se obtiene como si todas fueran variables indepen- dientes. Pero ya importa más, cuando se consideran las derivadas y se trata de demostrar, que en la teoría de la Elasticidad estas derivadas son nulas, ó pueden considerarse como nulas, cuando VR es menor que el radio de actividad mole- cular. E Porque estas derivadas, según sea la forma de FF, expre — 716 — san un concepto distinto, que depende de la forma analítica des -. Así vimos que podía presentarse una paradoja en el caso de que sólo entrasen en F las variables independientes. Bien comprendemos que estas son consideraciones un tanto sutiles por más que sean elementales: las dos cosas á la vez, elementales y sutiles. Y al final de la conferencia precedente agregábamos: pa- rece que el pensamiento de Mr. Poincaré ha sido otro. A saber: 1.” Considerar aisladamente cada distancia VR considerar que dicha recta cambia de longitud y posición transportándose á la posición que ha de tener y á la longi- tud que ha de alcanzar al fin de la deformación muy peque- ña que consideramos. 2.” Determinar lo que la potencial varía por esta varia- ción parcial de R, como si fuera una variable independiente. Y 3.2 Repitiendo esto para todas las R, absolutamente para todas, para las del número N,, sumar todas estas varia- ciones de U, que nos darán la variación total de dicha fun- ción U. Más claro: si al variar R de RáR +dR ra recibido una Vanación. A MN O A dR; y el variar R” hasta R' + dR”, ha aumentado Uen. A'dR'; VIA o A A” dk”, y así sucesivamente, la variación total de U será: en que hay tantos términos como cantidades R existen en el sistema. 7 Ahora bien, esta es una ecuación diferencial, pues inte- erándola, la función : : FARROR co RD) — BT — que resulte será la función que emplea Mr. Poincaré, ó que podemos suponer que emplea. | Al menos así lo entendemos. Con lo cual dicha función F pierde su forma indefinida y toma la forma determinada, que resulte de integrar la ecua- ción diferencial que precede. ES Y, sin embargo, no es tan seguro ni tan evidente todo lo que acabamos de indicar. Ante todo conviene poner en claro, que la variación de ¡LLE - - A a e e e. a Cda IR DA € b : A ANA ¿O AR de Mi 47 “b, Vi , y ' p V e 4 Hb Es e R SUR e f : Es b y : Cc A e . » o Pigura 39. cada magnitud R produce una variación en la potencial de la forma AdR en que A sea una función de las R. Esto podemos hacerlo comprender aplicando lo que hemos dicho ya varias veces respecto al caso en que las fuerzas no sean centrales; pero suponiendo para ello que las masas m son complejas. Es una hipótesis que tiende á reducir el caso de fuerzas no centrales al de fuerzas centrales, que es el de la Mecánica clásica. E h Supongamos que a,b, c,d ..... (fig. 39) son diferentes pun- — 748 = tos del sistema, los cuales determinarán las magnitudes: R, correspondiente al par de puntos ab; R”, correspondiente al par ac; R”, determinada por a d, y así de los demás pares. Admitamos una deformación infinitamente pequeña, pro- ducida por la traslación de ab á a'b'. De modo que R se convertirá en R + dR. Veamos cuánto varía la potencial, ó si se quiere, la función U, por esta variación dR. Exajeremos las dimensiones de las masas m, m' colocadas en a, b, y para ello consideremos la figura 40. El punto A ha venido á parar á A”; el punto B ha venido Pigura 40. á B, y esta es la posición en que exajeramos las dimensio- nes de ambos puntos. Supongamos que A” contiene un elemento eléctrico a y la masa B' un elemento ponderable 0 otro. elemento eléc- trico b. | Entre a y b, admitiendo fuerzas centrales por ser homo- géneos a, b en su constitución propia, existirá una fuerza re- pulsiva que se aplicará en a según a d, y en b según bd, siendo la acción igual y contraria á la reacción Entre a y b' existirá una atracción, porque entre las masas ponderables y la electricidad la acción es atractiva. A a A — 749 — Esta atracción se aplicará en a según ac, y en b' según b' c, y tendremos, como antes: / , DEA E Las dos fuerzas a d y ac darán una resultante a f sobre el elemento 4”, que será una fuerza no central. Por otra parte, b' c” y bd” no están aplicadas á un mismo punto de B”; pero podemos trasladarlas á un punto de este .* elemento, por ejemplo, al b”, y tendremos en b' dos fuerzas, bc y bd”, que darán una resultante, b' f”, igual, en sentido contrario y paralela á af, porque ambos paralelógramos, acdf y fc” bd”, son iguales. Además tendremos un par, bd”, b'c”, que resulta de haber trasladado bd” al punto b”. Despreciaremos éste en nuestro caso, porque su brazo de palanca es del orden bb”, es decir, de las dimensiones de la molécula B”. Hemos llegado, pues, á este resultado: que en el punto a” (figura 39) actúa una fuerza f por la acción del punto b”, fuerza no central, y que en el punto b' actúa una fuerza, bf”, igual y paralela á a f. Claro es que en la figura 40 y en el punto A” debíamos considerar, además del elemento eléctrico a, otro elemento ponderable; pero combinando éste con los elementos b,b' obtendríamos resultados análogos á los anteriores. Volvamos ahora á la figura 39. Al transformarse la recta ab en ab”, aumentando ó dis- minuyendo su longitud, las fuerzas f y f”, aplicadas á los puntos a”, b', desarrollarán un trabajo que será precisamente la variación de la potencial del sistema cuando sólo varía R, y todas las demás distancias permanecen invariables. Preci- samente el término AdR que deseamos calcular. Supondremos para simplificar, y porque esta simplificación es lícita en todos los problemas de esta clase, exceptuando situaciones especiales de los puntos en cuestión, que a' b' Rey. Aca. Ciencias.—VII.— Abril, 1900, BI == 150 == es paralela á ab: podrá haber variado su longitud, pero po- demos admitir que no ha variado su dirección. Si representamos por r la longitud ab y representamos asimismo por A y M los caminos que han recorrido los pun- tos a”, D”, el trabajo de la fuerza f será feos fa'l us y el trabajo de f' =f Fcosf bl .X. Y como las f son liguales y paralelas, los ángulos fa”! y f' b'[ también lo serán, y el trabajo total podrá represen- tarse por fcos fa l(A+M). Pero A + M dándole á cada una de estas letras su signo - propio, no es otra cosa que la variación de r, y resulta fcos fa l.dr. De modo que como este trabajo es el incremento que ha sufrido la potencial cuando sólo se considera la variación de la recta ab, tendremos AA UR COS Por otra parte, r=VR, y, por lo tanto, di= RA 2VR luego A.dR=f.cos fa l< gras 2VR = 751 — -_Observemos ahora que la fuerza f, actuando sobre a”, es próximamente la misma que actuaba en a, por la sola in- fluencia de b. Pero esta fuerza dependerá en general, no siendo las fuerzas centrales, no sólo de R, sino de todas las demás R”,R”....., puesto que estas magnitudes Ó sus raíces determinan las posiciones de los elementos b, b” de la figu- ra 40, y, por lo tanto, las dimensiones de los paralelógra- mos cuya resultante han sido las fuerzas f, f'. De aquí resulta que f será función de las R,.ó bien FNRR RAN Más aun; no sólo la magnitud, sino la dirección, depen- derá, según las figuras 39 y 40, de dichas magnitudes, es decir, que podremos escribir - cosa e (RA...) y por fin E R', R”.....) ar =f(R, Ri 3) Nr (R, R' en... ) de. ) 2VR y haciendo O ea) = y a OA | 2VR la forma ACR,R'..... dR para el incremento de la potencial por la variación de R queda plenamente justificada, al menos en las esa que hemos establecido, que parecen naturales. Y es más, tenemos aquí una explicación bastante satisfac- toria del caso de las fuerzas no centrales, sin negar los prin- cipios de la vieja Mecánica, ni romper con las fuerzas centra- — 7152 — les para el caso en que los subátomos de un elemento ató- nico se puedan considerar como homogéneos, ya sean ele- mentos ponderables, ya eléctricos. Esto justifica además, ó por lo menos hace comprender, por qué puede considerarse como nulo el coeficiente dife- rencial +7 cuando VR es superior al radio de actividad molecular, según admite Mr. Poincaré. En efecto, si convenimos en explicar las fuerzas no cen- trales por las fuerzas centrales de moléculas complejas, como es una hipótesis natural, comprobada por la experiencia, que cuando la distancia r aumenta la intensidad de la fuerza - disminuye, claro es que para distancias AB 6 A' B' superio- res al radío de actividad molecular, las fuerzas atractivas ó repulsivas entre los elementos a, b, b' serán despreciables, y los lados ac, ad, b'c”, b'd”” podrá suponerse que son nulos, con lo cual podrá suponerse que son iguales á cero las fuer- zas f, f, y por fin los coeficientes A, A” del trabajo elemen- tal que hemos calculado, ó sea de la variación de po- tencial. Es decir, que A, que es la derivada con relación á R de la potencial, será cantidad despreciable, según la hipótesis de Mr. Poincaré. Consideraciones análogas podemos hacer respecto á los demás coeficientes diferenciales; pero no insistiremos por no separarnos demasiado de nuestro objeto principal, que es la exposición del método en sus líneas generales. AAA = 753 — Resulta de lo dicho, que la variación de la potencial, para variaciones infinitamente pequeñas de R”,R”..... puede po- nerse bajo esta forma dU = Ala RUYAR ER AUROR CARO + cas. os + ANW(RR”.....)dROS» La forma de esta ecuación, es la de una ecuación diferen- cial entre las N, variables R”, R”....., es decir, entre todas las distancias de los puntos dos á dos; y podrá decirse que la integral de esta ecuación define la forma de la función F empleada por Mr. Poincaré, toda vez que esta ecuación es única, porque el valor de los coeficientes A está ae mente definido, como antes hemos visto. Pero esto no es tan evidente como parece, porque no es evidente que el segundo miembro sea una diferencial exacta de las R como si todas ellas fueran independientes. Cierto es, que el segundo miembro expresa el incremento de la potencial, y que además, en este caso, suponemos que puede aplicarse el principio de la conservación de la ener- gía; pero esto, que sería indiscutible, si todas las R fueran independientes, necesita estudiarse con más detenimiento cuando no lo son. Sin centar con que aun la forma de los coeficientes A puede variar según sean las R que entren en ellos. El valor de cada coeficiente será fijo en cada caso, pero su forma analítica, en R, R*..... puede ser múltiple. Y la inteligencia no queda tranquila, ni llega al convencimiento lógico y abso- luto, dentro de la lógica matemática, si no se demuestra directamente que la ecuación precedente cumple con las con- diciones de integrabiiidad. + E * La ecuación precedente es, como antes decíamos, de las que en cálculo integral se designan con el nombre de ecua- — 754 — ciones en diferenciales totales; pero con la circunstancia de que no todas las variables R que ella pen sean variables independientes. Para refrescar la memoria de mis alumnos v ya que estas lecciones tienen carácter elemental, presentemos un ejemplo. Sea la ecuación . dU =X(x, y, 2)dx + Y(x, y, 2)dy + Z(x, y, 2,)d2 Ó abreviadamente, dU= Xdx + Y dy + Zadz, en la que x, y, z son variables independientes. Integrar esta ecuación es buscar una función U(x, y, 2) de dichas tres variables, tal que su derivada con relación á x sea X; que su derivada con relación á y sea Y, y que su derivada con relación á z sea Z: es decir, abreviadamente, y sin poner en evidencia las tres variables independientes, Pero se sabe que, en general, esto no es posible; que para que lo sea, es forzoso que se cumplan estas condicio- nes, á saber: EURO la ad Y Ar roza CANA dy de da a a Pero entendiéndose que estas igualdades han de represen- tar identidades, lo cual significa que-la forma en x, y, z de los primeros miembros ha de ser la misma forma analítica de los segundos; porque de lo contrario tendríamos relaciones entre x, y, z y ya estas variables no serían independientes, como hemos supuesto, — 755 — Ahora bien, cuando X, Y, Z cumplen con tales condicio- nes la ecuación diferencial puede integrarse, y su integral tiene esta forma af. X(x',y,2) dx" + Y (05 y", 2) dy” due jo (Z Xo, Yo, 2) dz”, en que e Va Zo son tres constantes arbitrarias, y en que las variables de la integración se representan por x', y”, 2”. La demostración la encontrarán mis alumnos en cualquier tratado de cálculo integral, y nosotros nos limitaremos á una comprobación que en rigor equivale á una demostración d posteriori. Es decir, que vamos á diferenciar U con relación á x, y en- contraremos X. : Luego diferenciaremos, con relación á y, y encontrare- mos Y, y por último diferenciaremos, con relación á 2, y encontraremos Z. Diferenciemos por relación á x, y aa que esta variable no entra en los dos últimos términos, tendremos: dU — =X(x, Y, 2). pe (x, y, 2) Diferenciando, con relación á y, resulta a >), IR de Y (0 912) dy Ja dy Ó bien, puesto que dx _ dY dy dx' | e ba — dx PV (%o,9,2) =Y(x, y, 2) —Y(%,y,2) al A (BY, 2): — 190 — y por fin PRO IES Y, 2): dy Por último, diferenciando por relación á 2, e Cae) dz E dz o Y dl YA ; di. Co ) d y a os Yo, 2) y puesto que PERA A ESAS) dz dx' y dY (Xx. 1,7) _ dZ(0,y,2) dz a dy tendremos . dU LAR LTS —=| ——— 2d x | f 15 20 AA (e Na y el A Y Za 2); é integrando dU E »y, LE z) + Z(%o 9,2) — Z (Xo, Yo, 2) + + Z(%o) Yo» 2), Ó bien ita == ZLAX, Y, 2)-1 dz S Queda, pues, demostrado a posteriori, que el valor de U cumple con las tres condiciones á que debe satisfacer la ecuación diferencial, que como ejemplo hemos presentado, ] — 7157 — Realmente, á este tipo pertenece la ecuación diferencial á que antes llegamos, á saber: dU= AGR R o) RE AUR RC) ARO e ca pero sería preciso demostrar, para definir sin género de duda la función F, que esta ecuación es integrable, y para ello se- pub E me á- B ale IO OM 0 : / LEA Dat a | Figura 40 bis. ría preciso hacer ver que siendo R y R” dos de cualesquiera de las variables, se verifica la relación general Que el valor de ambos miembros es el mismo, es evidente aplicando el principio conservativo. En efecto, sea una figura esquemática (tig. 40 bis) A B..... A' B'..... compuesta de todas las magnitudes R. Supongamos que dos solas de estas magnitudes han de variar la R y la R”, de suerte que AB ha de transportarse á la posición infinitamente próxima ab.y A'B'ála ab”. El sistema de puntos tendrá dos RN que designa- remos por (D y l). La (1) será la CAB A'B'D.. — 758 — La (2) será asimismo la CAabB A'ab'B'D, y: de cual- quier modo que los puntos pasen de la primera á la segunda posición, el incremento de potencial será el mismo. Suponemos que todas las magnitudes, menos la R y la R”, siguen siendo las mismas en ambos sistemas, y que la va- riación de potencial sólo procede de que R se coo en R-EbdR y RásuvezenR"+dR'. : : Vamos á calcular de dos maneras este incremento, y tos resultados deberán ser iguales por el principio conservativo. Por el primer sistema, es decir, haciendo pasar primero ABá ab y luego 4'B' á ad”, tendremos, empleando para abreviar la anotación que explicaremos en seguida, E Ade dr RHdRR RHARR +akR El primer término sígnifica que la R se convierte en R+adR, permaneciendo R” la misma; es decir, que dicho término significa el aumento de potencial al pasar AB á ab. -_Análogamente, el segundo término simboliza que después de aumentar R hasta R +dR, ó sea de pasar AB á ab, R' se ha convertido en R' + dR”, pasando A'B' á a'b. Dicho segundo término expresa el incremento de la potencial por virtud de este segundo cambio. Pero también podemos pasar de (1) á (2) empezando por R”, y el aumento de la potencial, e á lo Bron an- tes explicábamos, será: e R RH+dr rr dol par é igualando ambas expresiones, tendremos: R RI, | RAGRR Saa E RHdRR de R' R REHdR R | RHdRR | se R+adR'R +dkR l iS — 759 — Ó bien R+dkR | R al py R+dR'R+dk R+dRR' ape | E 11 RHdRR'+adk' RTdRR II El primer miembro expresa el incremento de la potencial por la diferencia de R cuando R” tiene el valor R' + dR”, y el segundo término este mismo incremento cuando R” sólo tiene dicho valor R”; más claro: el primer término será: A (aio RU FAR ARA (ueno Rio.) dR = a A hs RA A (e Jar ar dR' , ó bien dA RR: e RR _ Del mismo modo, el segundo miembro expresará: dA' | TED dRdr. Luego | dA de diosa RA Esto es respecto al valor numérico; la forma en R ..... po- drá ser distinta... ... pei Es] - Sin embargo, si se eliminan las R que no sean variables independientes, las formas de ambos miembros serán igua- les, porque entre las variables independientes no puede - existir una relación que no sea una identidad, y partiendo — 7160 — de estas últimas, y mediante las mismas transformaciones, vendremos á parar á identidades entre las R, sea cual fuere el número de éstas. : Mas aquí debemos suspender esta discusión, que nos lle- varía muy lejos si el deseo de abreviarla no nos detuviese. Supongamos para en adelante que es conocida la forma de la función F, y sigamos exponiendo el método en cues- tión. y El desarrollo general de U ya lo conocemos y lo hemos expresado al principio de esta conferencia. Llamando Uy al valor de la función U, después de la de- formación, hemos obtenido el desarrollo de dicha función U,¿ en función de los coeficientes diferenciales de F, que su- ponemos conocidos, y de las cantidades p, ..... Y Pa ....., QUe se expresan, la primera en función lineal de las u, v, w; la segunda en un polinomio de segundo grado homogéneo res- pecto á estas cantidades; mejor dicho: la primera, en fun- ción lineal de las u, v, w, que corresponden á las dos extre- midades de la recta R; la segunda, por medio de un polino- mio de segundo grado de estas mismas cantidades. Y debemos recordar que hemos llegado á esta conclu- sión: que si se divide el sólido elástico S (fig. 41) en elementos infinitamente pequeños, que representaremos por E, E', E” .....; infinitamente pequeños, decimos, con relación á las dimensiones del sólido S, pero cuyas dimensiones sean muy grandes con relación al radio de actividad mole- cular, de modo que en un elemento cualquiera, AB CD, la zona ABCD, abcd, sea de volumen despreciable en comparación con el volumen A B CD, zona que ya hemos definido anteriormente diciendo que su espesor es igual á la mitad del radio molecular; en esta hipótesis, repetimos, /a hesal A AAA — T61 — potencial del sólido:S será igual á la suma de las potenciales de cada uno de los elementos E, E' ....., como si estos elemen- tos estuvieran aislados. De suerte que tendremos : U¿ = potencial S = potencial E + potencial E” + ..... ó representando dichas potenciales parciales por las mismas letras E: E RO E o er =3E= [E, aia Figura 41. porque siendo muy pequeño cada elemento, es lícito subs- tituir, aproximadamente, la suma por la integral. - Y esto casi hubiera podido establecerse d priori, si se ad- mite como hecho experimental, ó como hipótesis, que las deformaciones de una parte del sólido no influyen en otra parte lejana del mismo sólido, al menos en estos problemas de estática. De suerte, que si en un elemento ABCD dos masas m, m á las extremidades de R, cambian de posición relativa, la potencial del elemento, y por lo tanto del sólido, sufrirá — 762 — una variación, un incremento, por ejemplo, que llamare- mos d, U. : Asímismo, si en otro elemento A 1 y jes masas m/',m' cambian de posición, la potencial de este elemento, y por lo tanto la del cuerpo, por este hecho aislado, habrá su- trido otra variación que llamaremos d, U. Pues bien, si las deformaciones en ambos elementos ABCD, A'B'C'D' se verifican á la vez, si varían las dis- tancias mm y m'm', Ó sea VR y VR, la potencial. experi- mentará una variación d, U + d, U, que será la suma ó la superposición de ambas, pero con in- dependencia una de otra, sin que la deformación de un ele- mento influya en la deformación del otro. En rigor absoluto no es así, y perdónesenos que insista- mos en cosas tan elementales y que repitamos conceptos que hemos explicado hasta la saciedad. Todo sistema tiene una potencial; si varían sus puntos in- teriores Ó algunos de ellos, sólo por esta deformación, la potencial se altera como un resorte cuando se estira ó se en- coje alguna de sus partes. Toda distancia r = VR que au- menta ó disminuye, es como un hilo elástico, aunque de acciones no centrales, cuyas variaciones van acompañadas de variaciones en la potencial. Si el hilo, digámoslo así, mim cambia de longitud, cambia la potencial del elemento ABCD. Si el hilo m'm', y seguimos con la misma imagen, se es- tira Ó se acorta, cambia la potencial del elemento 4*B'C'D*. Pero no es esto solo; al variar los cuatro puntos m, m, m',m', no sólo variarán en general, mín y m'm', sino tam- bién los hilos elásticos mm”, mm. - Y bien, este efecto es el que se desprecia, este es el que > ¿HA e a se supone nulo; esto es lo que constituye la independencia de las deformaciones de dos elementos lejanos, y por eso, para obtener la variación de la potencial, nos limitamos á hacer la suma de los elementos E, E'..... Si la potencial de un elemento cualquiera infinitamente pe- queño ABCOD, que será, por lo tanto, una potencial infini- tamente pequeña á su vez, la representamos por dP, la po- tencial total del sólido U será la integral de estos elementos diferenciales, extendida á todo el sólido. O bien U=WVda.! que podrá expresarse de este modo, poniendo en evidencia el volumen El coeficiente ei = gr, será la potencial por unidad de volu- men para:el punto que se considera, ó de otro modo, para el volumen infinitamente pequeño ABCD. - Hemos visto que la potencial, lo mismo para el elemento diferencial de volumen, que para el elemento que estamos considerando, se compone de dos partes: la primera, a AR la segunda, dibarolod 20 aro ¿91608 ¿pitos se, As ra Bay lr 0 0 dei E Ra NG AR — 764 — . La suma de ambas partes para el elemento que conside- ramos es lo que hemos llamado d P; luego dF to lidad d2F ay E io ¿pl Dal RA RA a AA -de, di Ó. bien dF y dE 1 Pad s yo 2 P ia d+ rr A da. dr” dz Si hacemos, para abreviar, dF a d2F PE NE — — 2 A —_—— 0% ar == hol TE ARA —— AV) > KW. dz dz tendremos U= fw,ar+ [was W, será, pues, "una parte de la potencial por unidad de volumen para el punto que se considera, algo así como la derivada de la potencial con relación al volumen, y W. será otra parte de la potencial también por unidad de volumen. Estudiemos, como hace Mr. Poincaré, y transformemos estas dos expresiones Fd a an E dF 1 d?F Mi W;“ds == — E —— py? 2 area AR =p Y ARAR epa: Las * se refieren á pares de puntos colocados dentro del volumeh A B C-D; de modo que se comprende, perfecta- = TÍ = | mente lo que significa cada una de las expresiones conteni- % das en el signo 2, y una vez definida la función F, la inter- pretación de los diferentes términos no ofrece dificultad de. : ningún género. po d Lo que no hemos de olvidar es que las R ..... de todos es- 0 tos términos están todas contenidas en el elemento d7; son como las m, m de la figura 41. 1.2 Empecemos por la transformación de dF W, dr = 2 dR Pi: Hemos obtenido para valor de p, e, =2(AxAu + Ay Av Az Aw). Pero Au es el incremento de u cuando se pasa de un pun- to cuyas coordenadas son x, y, z, á otro punto cuyas coor- Pigura 42. denadas son x + Ax, y +Ay, z+Az, por ejemplo, en la recta A B (fig. 42), que corresponde á R, cuando se pasa de A áB. ' Poe Luego siendo la u, v, w funciones que no conocemos toda- Ruy. Acap. Ciunciag.—VIL.— Abril, 1909, 52 e vía, pero que podemos suponer conocidas para su expresión analítica en función de las variables x, y, z, el incremento Au tendrá la forma du du du Au=—Ax +A —Az, dx de dy 4 dz dv dv dv Av= —AÁx+>——A — Az, dx Ho dy ER dz. y análogamente dw dw dw Aw=—— Ax + —-A —A 2; dx me dy q dz y substituyendo en p,, resultará du du du =2| —— Ax? == Ax A —— AxAz Pr e sp dy y + E dv | dv dv — AxAy + —-Ay? + — AyAz == dx y dy y aa y ns A a AZ]: dx dy dz y ordenando du dv dw =2| — Ax? +4 — Ay? + — Az? o: un a du dv du dw 21 — 3- —-JAxA 2 — + ——|AxA an La >] o e ) dq dw dv 21 == —— ¡Ay Az. la Nos encontramos en esta fórmula seis cantidades que ya habíamos encontrado al estudiar el método de Lamé, como NAAA — 767 — caracterizando la deformación en cada punto, y estas seis cantidades son precisamente a dv. dw dv dw. du aw du dv dx dy. dz dz AU az dx. dy dx Las representamos allí por las letras a y b de este modo pa A ATA A Y dv dw du dw du dv A O) ==, dz dy dz dx dy dx (Curso de 1907 á 1908, pág. 109 ) Y recordemos su significación. a, representaba la dilatación paralelamente al eje de las x por unidad de longitud; porque, en efecto, si los puntos ex- tremos de una recta dx varían u y u+du, la recta habrá va- riado du y por unidad de longitud a. BS Del mismo modo a, representa la dilatación paralelamente al eje de las y, y az la dilatación paralelamente al eje de las z. Cuando decimos dilatación hablamos en términos genera- les: puede ser dilatación ó contracción. Análogamente explicábamos que b,, b,, b¿ expresaban las variaciones angulares de las tres caras de un vértice del paralelepípedo elemental, cuyas aristas fuesen dx, dy, dz. Estas seis cantidades definen la deformación en cada pun- to, ó, si se quiere, de todo sólido infinitamente pequeño; ex- presan, pues, y determinan la deformación de este sólido elemental, pero no tienen en cuenta la rotación del mismo. Introduciendo, pues, estas notaciones en el valor de p, tendremos: on = 2 (a4,4x? 4 0,Ay? + a¿Az? + +b¡AyAz +b,AxAz + Ds has — 768 — Y veamos de paso cómo nos vamos aproximando á los métodos y notaciones de Lameé. Sustituyendo este valor de p, en el de W, dz resultará E (a,Ax? + a,Ay? + azAz? + +b,AyAz + b¿AxAz + b¿AxAy) dE dF dF =D E NO 2 — Ay?.a IN AR AS aR y SE AR 3 W,dr = 22 dF dF aa 2Y “— AyAz.b,+ 22 —-AxAz.b, +22 —- AxAy.D,. lí aR y dp AR, 2 AR y. 03 Como el elemento ABCD ó dz hemos supuesto desde el principio que es muy pequeño, podemos admitir que en toda su extensión las cantidades a y b son constantes; es decir, que estos elementos de la deformación son los mismos para todos los puntos del sólido ABCD; en una palabra, son invariables para todos los elementos de cada 2; luego podremos sacarlos fuera y tendremos dF dF A WIdT= 0022 A AN A A NO 1 1 AR + 0) AR y?+ 4; AR dF dF dF b,.22 X= AyAz LEb,.2N == AxAz 4 de 1220 AX AN 04 AR yAz+D, AR + bz AR y. Esta expresión es lineal en a,, 4,, 03, D,, ba, b¿ y los coefi- cientes son expresiones perfectamente definidas desde el momento en que se conozca la función F, y aun en todos los casos. No hay, por ejemplo, más que tomar cada R, la derivada de F con relación á R, y multiplicar por los cuadrados de las diferencias de las coordenadas de los extremos ó por los productos; repetir esto para todas las R, y en cada grupo SP EPPÁTAE 5 ER — 769 — sumar los resultados dentro siempre del elemento ABCD (ue se considere. Claro es, que la forma será distinta, según que en F en- tren todas las R ó algunas ó sólo las independientes, y se- gún se hayan despreciado términos en que Y R sea mayor que el radio de actividad molecular, lo cual sucederá aun dentro del paralelepíipedo ABCD que consideramos y al cual se refiere 2, porque sus dimensiones son muy superio- res á dichos radios de actividad. Nótese ahora que estos coeficientes variarán de un sólido - elemental ABCD á otro; luego sea cual fuere su composi- ción, serán funciones de x, y, 2; así es, que en rigor, la parte de la potencial que estamos considerando pudiera escribirse de este modo: W, dt = A,a, + Aza, + Azaz + B;b, + Bob, + Bb; , (1) siendo la A y B A=f (x, y, 2) B=f,(x, y, 2). Claro es, que la forma de dichos coeficientes importa, porque sirve para demostrar ciertos resultados del método de Mr. Poincaré, á los cuales se llega por este medio. 2.” Pasemos á estudiar la segunda parte de la potencial para el elemento ABCD, que es la siguiente: GUÍA M7 a add da A == ==>) ===> 1 0 e A A y aR Po + > ar p? + dRAR PrPL debemos para ello transformar ante todo, los dos últimos grupos, que presentan, por decirlo de este modo, el mismo carácter: expresarse en función de a, b. Empecemos por dichos dos términos, lt y ay DEA , e == añ — T10 — Los valores que hemos obtenido para p, son-“los :si- guientes: p,=2(a,Ax?4-a,Ay? + asA22+-b,AyAz+b¿AxAz +bgAxAy), y, por lo tanto, para p”, que se refiere á R”, y en que las di- ferencias de las coordenadas de las extremidades podemos representarlas por las anteriores acentuando x, y, Z, e =2(0,4x? + a,Ay2 + asAz? + + b,AMyAz+ DLAXCAZ + d¿A XA y ). Las a y b son las mismas que en la fórmula anterior, por- que los dos pares de punto correspondientes á R y R” están dentro del paralelepípedo infinitamente pequeño ABCD, y para todos los puntos de este paralelepíipedo hemos dicho que las magnitudes que definen la deformación, á saber 4, , 0,, 4, b,, bz, b, pueden considerarse como constantes. Sustituyendo p, y p', en-los dos términos anteriores, ten- dremos 1 UE 7 are aia o | +Db,AyAz + b,AxAz + b¿AxA y) +2 a 4(a, A Ed + 4 iS dRdR' | | +b/AyAz + d¿AxMz + b,AxAy) (a,Ax2a,Ay?2+a¿AZ?+b,Ay'AZ'+ bLAx'Az + b¿Ax Az). Sin necesidad de desarrollar los cálculos, se ve desde luego, que efectuando el cuadrado del polinomio líneal en a,b, el producto de los dos polinomios lineales de la última parte, y sacando en cada término que resulte fuera del signo Y, ya e MAA AAA RS E A A AA NA — 111 — los cuadrados de las a y b, ya los productos de estas canti- dades dos á dos, se llegará á un polinomio en a,, a,, az, b,, b,, b¿ de segundo grado y homogéneo, respecto á dichas cantidades. ¡ Los coeficientes serán % de los coeficientes diferenciales de de F Re TAR y de cuatro factores, tomados entre las cantidades, AY ZU AGO, NO SI Hay que fijarse en que la 2 primera se refiere á todas las R, según lo explicado, y la segunda á todas las combinacio- nes dos á dos: pero en todos los términos las a y b tienen el mismo valor, porque, como acabamos de decir, se pue- - den considerar como constantes en todo el paralelepípedo elemental ABCD, que es para el que estamos efectuando estos cálculos de la potencial. En resumen, los dos términos vienen expresados por un polinomio de segundo grado y homogéneo en a,, 0,, Az, b,, ba, bz, y los coeficientes serán cantidades determinadas para cada paralelepípedo; variarán; en general, de un paralelepípedo á otro; y, por lo tanto, serán funciones de las coordenadas que determinan cada uno de estos paralelepípedos. Si representamos por x, y, 2 las coordenadas del centro de dichos volúmenes infinita- mente pequeños, los dos términos que estamos considerando - tendrán esta forma: — 112 — deF 144F NN L=C 2 (E 2 2 dR? me EZ m5 PP ME CA ER ; + Cas? + C,by? + Csb)? + Cóbg? + ñ + D,a,a, + D,a,a; + D¿a,b, + D,¿a,b, + D;¿a,b3 + + D; azaz + D, a7b, + Dsa,b, — D, a7b3 + D,, a3b, + + D,,03b, + D;243b; Sl Di3010, + D,40103 + Di5b3b3, (2) fórmula en que entran 21 coeficientes. Transformemos ahora el primer término de los tres que entran en W,dr. Este coeficiente tiene la siguiente forma: y LE AR en que la 2 se refiere como siempre al paralelepípedo ABCD y comprende tantos términos como cantidades R ó sea como pares de puntos, salvo los que hayan podido despreciarse por ser las distancias y R superiores al radio de actividad molecular. Esta observación es general para todos los coeficientes diferenciales de FF, que hemos considerado hasta aquí. Pero siempre, perdónesenos la insistencia, dentro del paralelepí- pedo elemental ABCD. Hemos visto que toda p, se expresa de este modo: p, = Au? + Av? + Aw? y hemos hallado du Au == Ax xy ay a dx ÓN xa + Daz ab dw Aw==—— Ax 4 Day + 72 e dx dy — 113 — Luego no tenemos que hacer otra cosa que sustituir estos valores de Au, Av, Aw en el valor de pa; y este valor de p, y los análogos p”», p”2..... en los diferentes términos de la ex- IA 140 presión A Pas Haciendo estos cálculos, tendremos pues, Au? = Le Jar eS (57) Ar (7) 2 mi dx dy du du du du du du 2— —AxA 22 —aAxAz +2-— — AyAz, Y dx dy y+ dx dz + dy dz d dv NY? dv NY? dv y? Ay?=|[|— Ax? — | Ay? — |] Az? (a) (a) e jara dv dv dv dv dv dv 2 ——-AÁxA 2 —.AxAz +2 —-AyAz, ze dx dy dá ax dz m3 dy dz A A y? = (EJ + (7) o de Pas ap dx dy dz dw dw dw dw dw dw 2—T—AxA 2—T— AxAz+2——AyAz. + dx dy de dx dz ns dy dz de O abreviadamente, y representando por 2 la suma de té1- minos análogos, distintos unos de otros por la sustitución circular de x, y, 2 como hemos hecho tantas veces, 2 sur (Le) as y A dx dx dy 2 a (0) A ey, dx dy dw Y? dw dw . AwWi—M== 1 Ax? ESE" Nix A yr : lu) 5 7 dy s M0 e Y, por fin, sustituyendo estos valores en el de p,, ten- dremos: ES lid du NY dv NY? dw y? PUTAS ARA Lrty Y INES Aaa lil NON aa dv dv dw dw 2 [== —=2 Y — — + — — JAxA na ke y aa ar 7) ya du du dv dv , dw dw dy dz dy dz dy dz sl du dv dz dw me )araz+ 02 0% dy dx deta Mr. Poincaré para abreviar la escritura establece esta no- tación especial: á la suma de los productos de cada dos, de- rivadas de u, v, w con relación á dos variables s, f cuales- quiera la representa por 1;,, es decir A AS Y VS S=X, L= YN SS = YD == 2 AE A el valor de pa tomará la forma p, = My, Ax? + H,, Ay? + Mo Az2 + 2B,y Ax yy + +21 ,, Ay Az + 21 ¿¿ Ax Az. — AS — -. Este valor de p, tenemos que substituirlo en el primer “término e W.»r, que es es 2 5 Da, Y resultará: 1 Us + May Ay? $ 1D, 02? 4 2 My Ax Ay + 21), Ay Az + 2M,x Ax Az], y separando términos y en cada uno sacando fuera del sig- no Y la IM, porque esta cantidad no contiene más que las de- rivadas de u, v, w, y dichas cantidades hemos indicado que se consideran constantemente para cada elemento intfinita- mente pequeño ABCOD, elemento al me se refiere dicho signo *, tendremos dF dF que y = 1. L A E ar” PRO + My AR AS dF dF die Mz, 2 —-A 2? + 2 MU, L Ax A 211 ——AyAz + AR Sig 1 a y + 2 My, 2 AR dl eje Lis dE. AZAx, dar - será, pues, dicha parte de la potencial un polinomio linea] «de las cantidades !l. . Los coeficientes, como hemos iplicido antes, variarán de un paralelepípedo elemental ABCD á otro cualquiera; -. de modo que, prescindiendo de su orden de magnitud, de- bemos considerarlos como funciones de x, y, z, según hemos hecho hasta aquí, y podremos escribir: á a p, = G; as + 6, Il, + G, Mo + 2 G, yy + AS sa VO 2x5 (3) siendo, en general, » G= G (65 sd AR — 7176 — Hemos expresado, pues, todas las partes de la potencial correspondiente al paralelepípedo infinitamente pequeño ABCOD en las fórmulas (1), que es un polinomio lineal en 4,, 0,, Qz, D,, b,, bz, y para abreviar la escritura lo expresa- remos de este modo: W, dí PAOs, 2, Uz, b,, ba, Da); (1) (2) que es otro polinomio de segundo grado y homogéneo de las mismas cantidades; lo designaremos por la fórmula 1 deF 2. Lo ELA TT YT p,=Pe(4,, 42,05, 1,03, b3) (ID y (3) que es un polinomio lineal de las 1. Lo representaremos por dF dR » p. = Pe (11) (11D Claro es que en las notaciones anteriores P significa poli- nomio y los subíndices / y c significan las palabras lineal ó cuadrático. Por lo demás, la letra IT tiene la significación que antes hemos explicado, es decir, que contiene las nueve canti- dades du du du dx dy. dz. dv dv dv dx dy dz. dw dw dw , dee E , que determinan la deformación en cada elemento del sólido. ' PE AE Sumando las tres eypresiones (1) (ID) (II) tendremos la potencial del elemento ABCD, á saber W,dr + W,r =P; (a, 02, 03, Di, ba, 3) + =p P.(a,, A), Uz, b,, ba, bz) == 1 (Mx, My, Maz, oy, a, IL.) Es que esta cantidad debe ser un infinitamente pequeño de tercer orden, porque expresa la potencial del elemento ABCD, cuyo volumen d7 es de tercer orden también. Dicha diferencial 47 podemos suponer que está contenida como factor en todos los coeficientes A, B, C, D, G, siendo todos ellos, por lo demás, funciones de x, y, 2. La potencial del sólido elástico será por fin, sin poner en evidencia la diferencial de la integración U=U0+ f'Pi(a,b) + P.(a,b) + P, (1). Queda, pues, resuelta la primera parte del método de Mr. Poincaré, que es la determinación de la potencial de un sólido elástico, puesto que la integral anterior, á todo el sóli- do se refiere. Sobre esta última expresión debemos hacer todavía algu- nas consideraciones en la conferencia próxima. TÁ XLIV. — Método para determinar la dirección de los vientos superiores por las ondulaciones del borde de los astros. Por VICENTE VENTOSA. - (Continuación.) A primera vista pudiera tal vez calificarse de algo compli- cado nuestro procedimiento de cálculo; pero, bien meditado, no es así en realidad. Con el solo conocimiento del tiempo ú hora de la observación, y sin el auxilio de lecturas com- plementarias en los círculos graduados del instrumento, fácil es deducir, de la ascensión recta del astro observado, el án- gulo horario; y de éste, combinado con la declinación, la altura, azimut y ángulo paraláctico del mismo astro: deduc- ciones todas sencillas, que en gran manera se simplifican mediante el uso de tablas 6 ábacos, previamente, y de una vez para siempre, preparados al efecto. Al de cualquier otro instrumento preferimos para esta clase de observaciones el uso de la ecuatorial por los moti- vos antes apuntados; y, además, porque en la ecuatorial, los ángulos de posición de las ondulaciones aéreas varían con el tiempo mucho más lentamente que en el altazimut; por- que, en consecuencia, no hace falta conocer con tanta pre- cisión la hora á que las observaciones corresponden, que puede casi siempre ser la señalada por un buen reloj de bol- sillo, y, en fin, porque á las observaciones hechas con la ecuatorial es fácil aplicar la corrección por movimiento pro- pio del astro observado, cuando en circunstancias extraordi- narias se crea necesario hacerla. Esta corrección se desprende sencillísimamente de la con- sideración del triángulo de las velocidades, en la teoría de O — TIN = los movimientos relativos, que da lugar á las dos siguientes ecuaciones: en las cuales representan: Y, la velocidad angular absoluta de la ondulación; v la velocidad relativa, directamente medida ó apreciada; s la velocidad del astro, debida á la FOYacIÓn diurna, y de- pendiente de su declinación; Ty el ángulo de posición verdadero ó absoluto de la onda aérea; y r el ángulo de posición ros determinado con el mi- crómetro. Como el astro recorre aproximadamente un paralelo celes- te, del E. al O., el ángulo de posición de su movimiento será igual á 90”, prescindiendo, como en este caso puede, sin error de cuantía, prescindirse de la variación en declinación, y de la variación, con la de altura del astro sobre el horizon- te, de la refracción astronómica. Para mejor adaptarlas al cálculo numérico, las fórmulas precedentes pueden disponerse de este modo: Fórmulas que fácilmente pueden y deben tabularse, para abreviar el trabajo diario, con los argumentos T y 2. Este v — 780 — seguñido argumento se hallará sencillamente, si, coro pare- ce natural, por di se toma el tiempo que tarda el diámetro S aparente del Sol en pasar por el meridiano, conforme le dan las efemérides; y por q en términos análogos, el que em- 7 plearía la ondulación que se estudia en recorrer el mismo diámetro, susceptible de apreciagión directa. : . Introduciendo, pues, la corrección por movimiento propio del astro, la expresión de y, (C), si por brevedad se designa la diferencia =, — = por dr, podrá escribirse como sigue: CUA: propósito del valor de f, dado por la primera de las fórmulas (B), excusado parece advertir que no conviene de- ducirle de observaciones hechas hallándose el astro á que se refieren á menos de 15 á 20 grados de altura sobre el hori- zonte. En lugares de elevada latitud geográfica, necesario será muchas veces, sobre todo durante el invierno, sustituir la observación de la Luna á la del Sol. Las nuestras, que datan del mes de Agosto de 1889, y que, por causas ajenas á nuestra voluntad, tuvimos que suspender á mediados del año 1900, se refieren, por regla general, al Sol, como antes apuntamos, y sólo excepcionalmente á la Luna, con una di- ferencia: las primeras se hicieron siempre por proyección de las imágenes telescópicas en una pantalla; y las segundas, de imposible realización por este medio, por aplicación inme- diata del órgano visual al ocular del anteojo. Tanto por la variabilidad de sus fases, cuanto por las asperezas de su quebrado limbo, la Luna no se presta con la misma facilidad que el Sol á la observación de las ondas aéreas. a A A A A e o — 7181 — IV Quisiéramos ahora poner de manifiesto algunas pruebas de la confianza que merecen los valores de las altitudes de las ondas, según se deducen de nuestro método de observa- ción, por ser éste el punto que ha dado origen á mayores controversias. Uno de los medios más sencillos de comprobación, como ya se dijo, infiérese de la observación simultánea, con el mismo anteojo, de las nubes y de las ondulaciones, bus- cando luego en los resultados la correspondencia que, en cada caso, entre los movimientos de unas y otras exista. La altitud, que se supone aproximada, de un sistema de ondas, calcúlase partiendo de la fórmula (A); y como en la ecuato- rial de Merz del Observatorio de Madrid, la distancia focal es f= 41,87, el numerador de dicha fórmula será igual á 23.717. Si u — f= 2 milímetros, resultará para la distan- cia de las ondas + = 11.858 metros, y su altitud se obten- dría multiplicando esta distancia por el seno de la altura angular del Sol en el instante de la observación, conforme en otro lugar indicamos. Si la extensión focal ” — f fuese igual á 5 milímetros, sería ¿ = 4.743 metros, etc. En el pri- mer ejemplo, suponiendo la altura del Sol sobre el hori- zonte h= 30", la altitud A” del sistema de ondas sería igual á 5.929 metros, y, en el segundo ejemplo, igual á 2.372 metros, supuesto que A* = e sen hh. En rigor, hallar la altitud del objeto observado proyectán- dole sobre un plano horizontal, equivale á suponer que la Tierra es plana, prescindiendo de la curvatura de su super- flcie. Lo exacto sería determinar aquella altitud midiéndola en la vertical de dicho objeto, que no suele coincidir ni ser: paralela á la vertical del observador. Mas, si se tiene en Rey. Acab. Crencras.—VIT.— Abril, 1909. 53 — 782 — cuenta la pequeñez de las distancias que consideramos en nuestro caso, al compararlas con las enormes dimensiones del globo terráqueo, la diferencia entre la altitud del primer modo calculada, y la altitud medida en la vertical del objeto resultaría siempre despreciable, é inferior á los errores de mensuración que forzosamente han de cometerse. Para evidenciarlo, consideremos el triángulo rectilíneo formado por el centro de la Tierra, supuesta esférica, el lu- gar del observador y el que ocupa el objeto en el espacio. Designando por R el radio de la Tierra, A la altitud exacta, A” la altitud aproximada, y h la altura angular del objeto sobre el horizonte en el instante de la observación, un cál- culo sencillísimo nos dará con la precisión suficiente esta fórmula: A (F) Si suponemos que la distancia p es una cantidad de pri- mer orden con relación á R, se ve que el error A— A” es sólo de segundo orden. Así, pues, para R = 6.370.000 me- tros, e = 11.8587 (como antes) y h = 30”, se tendría A — A' =8,3 metros. De más importancia para nuestro problema será la altitud del observador sobre el nivel del mar, cuyo valor habrá que agregar integramente al de la altitud determinada por la ob- servación telescópica, para hacer comparables los resultados que se obtengan en diversas estaciones meteorológicas, con- forme se practica con las lecturas del barómetro y otras, aplicándoles una corrección por tal concepto. Volviendo ahora al asunto del que nos ha alejado momen- táneamente la anterior digresión, hemos formado el cuadro siguiente, en el que se trata de expresar el número de coin- cidencias, en cada cien casos observados, entre los movi- mientos de las nubes y los de las ondulaciones, consideran- do como coincidentes dos direcciones cuando el ángulo entre — 183 — ellas comprendido no excede de */, del cuadrante, ó sea 22”. Para llevar con todo rigor el cálculo, deberían clasificarse las nubes según la nomenclatura de Hildebrandsson-Abercrom- by, con las altitudes respectivas dadas por las mensuracio- nes hechas en los Observatorios de Upsal, en Suecia, y de Blue Hill, en los Estados Unidos; pero, por lo pronto, tuvi- mos que contentarnos con distribuir las nubes y las ondula- ciones sólo en tres clases, según su altitud aproximada en cada caso. He aquí el cuadro, para cuya buena inteligencia no parece necesario dar más explicaciones: Coincidencia de las ondulaciones cuya altitnd es Idem de —__—_— ion e la >8000m de344000m < 1000. veleta. con las nubes superiores... 80%, 12.0 23 189, > » de altitud in- termedia... 69 69 46 17 > » Inferiores.... 43 52 74 33 » la veleta (viento ras- o A 19 23 38 100 Los números contenidos en este cuadro proceden de 584 días de observación, pertenecientes á los años 1890, 91, 92 y 93. Aunque los resultados anteriores se hayan deducido de número poco considerable de observaciones, son harto elocuentes por sí mismos para dejar subsistir la menor duda, á juicio nuestro, acerca de la altitud relativa de las corrientes aéreas que producen las diversas especies de ondulaciones, y sobre la eficacia del método propuesto para el estudio de la circulación atmosférica. Importa asimismo notar en dicho cuadro, cuán poco con- cuerdan las indicaciones de la veleta sobre las corrientes ras- treras Ó próximas al suelo, con las direcciones de las nubes y de las ondulaciones. Precisamente á una observación de este género, hecha por casualidad, debióse la primera idea de este método. El viento inferior, que actúa sobre la veleta, casi nunca es perceptible en el anteojo, porque, por su proxi- TE midad á éste, la ondulación que debe producir resulta fue- ra de foco; pero enfocando el ocular para objetos muy cer- canos, especialmente en el buscador, se consigue en ciertas ocasiones ponerla de manifiesto, perdiendo entonces de vis- ta las demás ondulaciones, procedentes de las capas atmos- féricas situadas á mayor altura. Otra comprobación de nuestro método puede hallarse determinando la dirección media del viento á diferentes alti- tudes. Sábese, por observaciones de los cirri ó nubes supe- riores, hechas en diversos puntus del globo, que — de acuerdo con las deducciones de la teoría — en las altas regiones de la atmósfera prevalece una corriente aérea que se dirige, en general, del O. al E., mientras que, debajo de ella, en la región inmediata inferior, ocurren diferencias de presión, ya permanentes, ya transitorias, que producen desviaciones de la circulación normal atmosférica, dando origen á la circulación local característica observada en las borrascas. La altitud en que se verifica esta modificación ó alteración en el régimen de los vientos es de unos 3.000 metros, según los resultados obtenidos en el Observatorio de Blue Hill, y hasta Mr. Laurence Rotch afirma que, tanto en los ciclones como en los anticiclones, á la altitud aproximada de una milla (1.600 metros), ó encima del nivel de los cumuli, la convergencia de los vientos en un ciclón y su divergencia en un anticiclón desaparecen, predominando más arriba la dirección general del Oeste (*). (*) Según una nota presentada á la Academia de Ciencias de Pa- rís el 8 de Julio de 1907, en la que su autor, M. Teisserenc de Bort, consigna los resultados de varias interesantes observaciones hechas con globos-sondas en el Observatorio de Trappes (Francia), y com- paradas con otras del mismo modo realizadas simultáneamente en Rusia hace poco tiempo, se inferiría que los torbellinos ciclónicos, y lo mismo los anticiclónicos, que van siempre acompañados de movi- mientos verticales, pueden á veces elevarse hasta los 8.000 á 12.000 metros, pero no pasar de esta altitud. PI A pa pi 5 EA IVA -— Mé Ofrecía, por lo tanto, mucho interés hacer un ensayo con los datos obtenidos en el estudio de las ondulaciones, bus- - cando el valor medio y la dirección media de la resultante de los vientos generales á diferentes altitudes. Para efectuar esta investigación eligiéronse 154 días de observación, pertenecientes á los años 1890, 91, 92 y 93, en los cuales se comprobó, con seguridad, la presencia si- multánea de dos corrientes sobrepuestas sin indicio alguno de movimiento giratorio. Con auxilio de la conocida fórmula de Lambert dedujéronse las direcciones medias, Q, contadas desde el Norte hacia el Este, y los valores, en cien casos observados, de las resultantes R, que expresan la frecuen- cia relativa de los vientos respectivos, y representarían su velocidad ó su fuerza, si fuera lícito suponer que en cada capa de aire esta fuerza es constante, cualquiera que sea su dirección, lo cual está lejos de suceder. He aquí los resultados del cálculo: Altitud de las ondulaciones. Q R De 500 á 1.000 metros.... ..... SN 38 %. LAO 0 010240 0, 0 AAA IS OO E 144 =S.36 E. 15 » 2.000 43.000 » UU OOO De Pl == 9 1 O, 32 ES OOO ADO Aras 240. = 5.6041: 0: 57 25000 43000) >» ¿imei o.. 269 ="S; SEO, 68 95:000. 438000" >» — .c¿o..... o 287: =N. 770, ¡ 60 » 8 000 en adelante ...... AiO 27%, == N. 8640; 66 Este cuadro pone de manifiesto algunos hechos significa- tivos: 1.2 La dirección del viento, no muy desviada del E. en las capas inferiores, tiende á girar hacia el S., conforme se asciende en la atmósfera, disminuyendo al par el valor de la resultante, como si este hecho indicase el conflicto que allí debe de originar la concurrencia de vientos procedentes de distintos rumbos. : 2.” A partir de 2.0001 de altitud, la dirección del viento = ¡e salta de improviso al OSO. donde permanece aumentan- do de intensidad, pero con cierta tendencia á fijarse en el O. 3. Pasados los 5.000 metros, el viento se inclina un poco al O., conforme establecía Ferrel, é indican las observacio- nes de los cirrí hechas en Blue Hill. Los valores de la resultante R, que desde los 3.000 me- tros apenas varían, no expresan evidentemente la velocidad relativa del viento en cada caso, pues ésta, en la región de los cirri, es cinco ó seis veces mayor que cerca del suelo. En general, según se ve, los resultados del método de las ondulaciones están perfectamente de acuerdo con los propot- cionados por el estudio de la dirección de las nubes. Con el fin de no prolongar demasiado esta Memoria, nos limitaremos ahora á presentar algunos ejemplos de observa- ciones cotidianas que ofrecen algún resultado interesante: 1) Ejemplos de corrientes constantes en toda la altura de la atmósfera. | 1892, 23 de Agosto. 1892, 10 de plebe 1893, 28 de Febrero. É—— — --— «——_ —T ——_ > — altitudes. — «Jones, Altitudes. — Ditec- Altitudes. — Direc" con (8): 1232%(E) 0 22 ANO 3112 10300m.. . 233 9600m ... 24 7800m .. 307 41005... ... (239 3900..... 29 3100.54 309 Ae 231 200 es 29 ZOO 307 1100. +: 233 1600..... 24 1300 30 308 1300 2022 235 1200.25 25 1000..... 308 00D e 239 Uca 28 TOO 309 ODOME- E 24 5000. Ll 305 MA a 236 Alto-cumuli. . 304 Velhas cts o ONO ed Vento IN ia Viento (0. á 080. (*) Teóricamente tal es la distancia á que apuntaba ó estaba en focado el anteojo. (**) Recuérdese que, según nuestro modo de contar, á la dirección Norte corresponden cero grados, al Este 90", etc. E, (7 2) Ejemplos de una desviación progresiva directa (de izquier- da á derecha) con la altitud. 1892, 22 de Febrero. 1892, 9 de Noviembre. 1892, 11 de Noviembre. Altitudes. Ditec- Altitudes. Direc" Altitudes. Ditec- Co 2650 Ce 880 CU 2052 6600m ... 256 6300m,.. 86 5500m... 198 ¿70 EA 238 25005. £ 79 ZOO 187 1700..... 225 1600..... 74 1400.. .. 178 ¿10,0 AA 215 MO 65 210, 149 SV 2... 204 AU 99 A 108 DUI. 207 60077 2 44 0 AA 89 440..... 190 ASOD. 53 37 A 85 . Stirato-cumuli. 102 Veleta... -- O o os Viénto UND e ala a Viento debil SSE. 3) Ejemplos de una desviación progresiva inversa (de derecha á izquierda) con la altitud. 1892, 17 de Agosto. 1892, 23 de Abril. 1893,1.9 de Septiembre Altitudes. Dita Altitudes. Diresa Altitudes. pd E Y 860 du TA do Oruatsik 3032 10400m.., 86 9700m ... 87 6500m ... 307 LLO AMO y 3900..... 101 2600..... 317 20001, 22 94 24000005: 112 1600.. .. 342 1800 ... 98 1600.. .. 124 1100: ¿q 359 002. ¿OS LOOSE 24 133 OA 9 Cl SS $ 1 US 180 ODO 31 100. 120 650... 154 Alto-cumoli - - 97 CUT. 301 Veleta . . Viento débil SSE. ........ Viento Ni do Eds Viento débil NE De algunos estudios que hemos realizado, examinando situaciones análogas á las presentadas en los anteriores ejemplos, parece deducirse que las desviaciones llamadas directas son, en general, más frecuentes y de mayor amoli- — 788 — tud que las desviaciones inversas; y, además, que las pri- meras obsérvanse con preferencia cuando el viento superior procede de la región occidental, mientras que las segundas ocurren indiferentemente cualquiera que sea la dirección del citado viento. Si se examina la rapidez del giro con relación á la altitud de la capa de aire donde se verifica, adviértese que en las altas regiones atmosféricas el movimiento giratorio suele ser casi nulo, y, por el contrario, alcanza su máximo valor en las regiones intermedias, mientras que en la inferior, ó cerca del suelo, disminuye de intensidad, ó adquiere cierto ca- rácter variable é irregular, y á veces, hasta cambia de sen- tido, sin duda por la influencia de las causas perturbadoras locales. Aunque todas estas conclusiones hay que exponerlas to- davía con mucha reserva, añadiremos que quizás fuera po- sible representar gráficamente el citado movimiento giratorio mediante un sistema de coordenadas cartesianas, tomando como abscisas, por ejemplo, las altitudes de las diversas capas atmosféricas, y como ordenadas los metros correspon- dientes, en cada caso, á un grado de desviación en la direc- ción del viento. Según un ensayo empírico que hemos hecho, prescindiendo de toda idea teórica, se obtiene así, como expresión del fenómeno que analizamos, una línea sensible- mente recta, Ó, acaso, con más propiedad, un arco de forma parabólica, tanto en los giros directos como en los inver- sos, con caracteres casi iguales, en unos y otros, de curva- tura y paralelismo. a A LAA — TE == 4) Ejemplos de un cambio de régimen ó del estado de la atmósfera. a) Substitución progresiva de una corriente baja por otra procedente de la región superior. ALTITUDES 1892, Agosto. 10 AS ls NA 3290 A as al: 328 rl NO - AAA +12 326 Za: LEO Y JA y SORA Y PR 307 O A e Td 23 MAD tr de ds ins 23 A tn eto lo daa isla cia 15 A A E A 24 Io aa e sas aa NE DIRECCIONES Situación general. —Según los datos proporcionados por las cartas meteorológicas, había: Agosto 10. —Altas presiones en la Península Ibérica y un pequeño centro de depresión en el mar Bál- tico. — 11.—Aparece una depresión al norte de Escocia y tiende á unirse con la precedente;-otra se forma en el Adriático. Persisten las altas presiones en la Península. — 12.—La baja barométrica se propaga en gran parte de Europa. Persisten las altas presio- nes en la Península, Francia y Alemania. — 13.—Las bajas presiones llegan á la Península, mientras la zona de las presiones altas va disminuyendo de extensión y está á punto de desaparecer, == 700 b) Substitución progresiva de una corriente general por otra procedente de las altas regiones: ALTITUDES DIRECCIONES 1892, Septiembre. OE 222 222... 3012... 3019-2508 LES 19 24 306 301 255 AA 19 29 308 301 253 a 21 29 82 128 2595 e 19 24 72 129 248 SR 16 25 70 126 255 sf e 19 28 67 127 241 A: 22 24 73 127 237 E NE. ENE. E. E. — 8SL-8S0. Situación general. —Consultando las cartas meteorológicas se halla lo siguiente: Septiembre 9.—Existe en el Atlántico una zona de altas presiones, y otra de presiones relativa- mente débiles se extiende del NO. al SE. de Europa. Entre ambas zonas está hoy situada la Península. — 10.—En el NO. y SE. del continente continúan siendo débiles las presiones. La zona de las altas presiones ocupa ahora el Norte de España y Golfo de Vizcaya. — 11.—Continúa siendo baja la presión en el NO. de Europa. La otra depresión retro- cede hacia el E. La zona de las altas pre- siones extiéndese hoy por la Península, Francia y Alemania. — 12.—Las depresiones oceánicas que se exten- dían por la parte septentrional de Europa propáganse por el Sur y aproxímanse al La e A — 791 — Oeste del continente. El área anticiclóni- ca persiste en Francia y Alemania. - Septiembre 13.—Continúa bajando el barómetro en el O. de Europa. El área de fuertes presiones persiste: ocupa ahora el centro y el S., del continente, pero se retira hacia el E. Aparece en estos dos últimos ejemplos palpable la corre- "lación entre los movimientos de la atmósfera observados por el método de las ondulaciones y los de propagación de las depresiones barométricas. Conviene también notar en dichos ejemplos una circunstancia interesante: que tan pronto como aparece la corriente superior, la corriente inferior comienza á girar para ponerse en paralelismo con la primera; la cual, á su vez, gira con sentido contrario, pero más lentamente, hasta que ambas se combinan para formar una sola. ( Continuará, ) XLV.-— Experimentos para el estudio del rozamiento interior de los líquidos. POR JUAN FLÓREZ POSADA. Sabido es que cuando un líquido se mueve, el rozamiento de los filetes entre sí, y el de éstos con la superficie interior del conductor, crece con la velocidad de circulación del líqui- do, y siendo esta velocidad una función de la altura de car- ga, cuanto mayor sea ésta, mayor será el rozamiento. Una experiencia sumamente sencilla, demuestra la certeza de lo dicho y la influencia que el rozamiento tiene en el apro- vechamiento de la energía hidráulica. Supongamos (fig. 1) un tubo cilíndrico de eje rieoñtal — 192 — sometido á un movimiento de rotación alrededor de un eje vertical, y que por el interior del tubo circule agua. Si no existiera rozamiento, la trayectoria que describiría una molé- Fígura 1.? cula líquida desde que entra en el tubo por su base interior, hasta que sale por la opuesta, se determinaría del siguiente modo. Sean (fig. 2) 02 y 0x dos ejes coordenados, y suponga- Ñ he 3 y y É 4 ' ] y DINA DAA A só — 71983 -= mos que coincide el primero con el de rotación y el segundo con el de simetría del tubo. Las proyecciones sobre 0x y 02 de las fuerzas que obran sobre un elemento líquido de masa m serán a PO AL siendo w la velocidad angular del/giro. Teniendo en cuenta que estas fuerzas son perpendicula- Pigura 2. res entre sí, las ecuaciones diferenciales del movimiento re- lativo del elemento considerado, en el plano xo0z serán: A a de EN y IR e E dt? m di? m Ó bien dex d?z — —wx=0 = Y, de O Ta E La integración de la primera por el método de Euler, dará == 0er? — Use mt y de aquí dx == V= C,we"*—=C,we ** di — 794; — haciendo £= 0 tendremos Lx Y COMO y =V 22h, sien do h la altura de pe resultará ER A e, Mo MEC Ww. de cuyo sistema deducimos rw + V2gh rw— V2gh En — E --—-—_—_—_—— y ES —X E Á A 2w 2w cuyos valores, sustituidos en la integral, dan: En cuanto á la ecuación diferencial dez dt? su integración da Zo (2) Esta constante C se determinará para cada elemento líqui- do por su coordenada z al comenzar el movimiento que co- responde al tiempo +=0 y á la distancia x =r de eje 0z de giro. Como tratamos de buscar la trayectoria de una molécula en el interior del tubo, conviene obtener de la ecuación (1) T en función de x para poder dar valores á x comprendidos en la longitud del tubo; y una vez deducidos en esta forma los valores de t, les sustituiremos en la ecuación (2) para a + 2 A =— 719% — hallar los correspondientes de z. En la figura 1 se indica el modo de trazado de la trayectoria. Haciendo en (1) e”? = «a tendremos una ecuación de se- gundo grado en «a, cuyas raíces serán 22 Ye 1?w? — 2gh w?2 ÁS —————— ERA rw -YV2gh W | $ mi ' lA EA , y como para 1 =0 se verifica x= r y a = 1, deberá verifi- carse que, en la cual, haciendo x = r, resulta EN wr + V2gh _, wr + V2gh como debía de suceder. Por lo tanto, para determinar puntos de la trayectoria, te- nemos, en primer lugar, el ángulo w? que en cada instante t, forma el plano móvil z0x con su posición inicial Z0X,; y, además, tenemos las dos ecuaciones (2) y (3). En la experiencia por nosotros realizada, los valores eran , w= : M2 DO EOS n=: 1 metro = | = V2gh = 4,243, a (diámetro del tubo) = 0,1115, =' 0 — Con estos datos, resulta: ++ V2gh V2ghk 1,082, w 2112 — 28h. 0,4064, w y, por lo tanto: x + Y x2— 0,4064 1,082 z= 4,905 < t+ C. C corresponderá en cada caso al valor de z cuando la mo- lécula entra en el tubo, y que, por ejemplo, para el punto M será: : d => O de o Siguiendo este sistema está calculado el siguiente cuadro que nos da cinco puntos de la trayectoria ideal de un ele- mento líquido, y la cual está en la figura 3, indicada en sus proyecciones, con trazos contínuo grueso. 0 = 360wt || wi 0,000 | —0,0573 | 0,000 [05 07,80 1,1185 | 0,135 | —0,0564 | 0,1695 612 07,85 1,401 0,027 | —0,0538 | 0,3391 1220 07,90 1,481 0,0312 | —0,0525 | 0,3919 1420 07,95 | 1,560 0,0354 | —0,0512 0,445 1602 Pero no ocurre en la práctica lo que esta teoría nos dice. Si en la masa líquida sumergimos una esferilla, de celuloi- A A '3 3 e — 791 -- de, por ejemplo, llena de agua, para conseguir aproximada- mente su equilibrio indiferente, y coloreamos exteriormente esa esferilla, para que el hecho sea más visible, observare- mos que el tiempo que transcurre desde que penetra en e tubo, hasta que sale de él, es bastante superior al que nos dicen los cálculos anteriores, y ese retardo aumenta á medi- M PA A *oo6 == — ¿2 o6/ ) o | al » | Si Ed) a O He! ME | o | Me mn) 9 Ey e S $8 Ol a " Figura 3.* da que aumentan la altura h y el diámetro d, para valores constantes de r y de W. En la misma figura 3, con trazos gruesos, está indicada en proyección horizontal, la trayectoria real de un elemento líquido en las condiciones del problema anterior, pero sien- do h=01,25 en lugar de 1 metro. Para que las trayectorias que hemos llamado ¿deal y real coincidan, ó por lo menos se aproximen mucho, es necesario que tanto la velocidad Rev. Acap. Crencias.—VIT.— Abril, 1909. 54 = 7108 = V22h como el diámetro d del tubo, sean muy pequeños. Así, por ejemplo, se verifica esto, cuando para la velocidad de v =Vgh= 2,16 se coloca un tubo de d = 0,0026 > 0» > VE 0216 » SAS PAZO sas » > MS O 02 > A O AS En el caso de nuestra experiencia, para conseguir con el tubo de 07,115 de diámetro la concordancia siquiera muy aproximada de las dos trayectorias, es necesario que la al- tura h de carga no exceda de 0,000013, valor inaplicable en la práctica común de aprovechamiento de energía hi- dráulica. XLVI.-— Pequeñas oscilaciones de sistemas no holónomos. POR JosÉ MARÍA PLANS. Como introducción, nos vamos á permitir recordar la pro- posición fundamental del estudio de los pequeños movimien- tos de un sistema no-holónomo. Sea un sistema no-holónomo cuya posición dependa de K parámetros, de manera que las coordenadas cartesianas de sus puntos vengan dadas por relaciones tales como SS EA A a e UU OE): LINDE RES, A GS E a — 7199 — Siendo el sistema no-holónomo, existirán además ligadu- ras expresadas por p ecuaciones diferenciales no integrables entre los parámetros Q,, Q»..... Q;, que supondremos de la forma Ad, + A2d97 + ..... +FArdq;=01 B,0dq, + Bad) + ..... + Bgdq; =0 .. .%-. 0. .00000.000000.0.02.09 0... 000.000... . 0.0.0. Combinando el método que se emplea en la obtención de las ecuaciones de Lagrange con el de los multiplicadores, re- sultan K' ecuaciones como la siguiente (Appell., t. IL, párra- fo 463): Al o9T ADS NS 9U di Ma Ma a E LB do, E Bla =D, Des HO): Ahora bien; tratándose de pequeños movimientos alrede- dor de una posición de equilibrio, T y U podrán ser con- sideradas como funciones homogéneas de segundo grado de las q” y las q respectivamente de coeficientes constan- 9 tes (*); en cuyo caso E =0, y la igualdad anterior se con- vierte en esta: a/a T 3U A Ni ae 1] di ( 7) a E IN De lo dicho se desprende que _ EA , ] es una función [07 2 El también homo- a homogénea de primer grado de las q” y (*) Se supone qUe UE—=0 0 == 0707 == 0, ¡enla posi ción de equilibrio, lo cual es siempre posible lograr que se verifique. — 800 — génea y de primer grado de las q; por tanto, todos sus tér- minos son cantidades pequeñas, y, por consiguiente, los multiplicadores A habrán de ser también cantidades peque- ñas del orden de las y. En vista de esto, considerando los coeficientes A..... L, funciones de las q, desarrollados según la fórmula de Mac-Laurín, podremos reducir los desarrollos á sus primeros términos, ó sea á los términos independientes de las q, toda vez que los productos de los restantes térmi- nos (que ya tendrán una q como factor) por las A serán de grado superior al primero con relación á las q y, por lo tan- .to, despreciables. Resulta, pues, que tratándose de pequeños movimientos alrededor de ura posición de equilibrio, se pueden conside- rar los coeficientes A..... L como constantes; luego las ecua- ciones [1] en este caso podrán ser integradas inmediatamen- te, dando lugar á las siguientes: AQ + A+ ..... + AQ = Constante =0 : B,Q1 + B, 0» + ..... + By q4 = Constante = il [3] e... ..0.060000.2..0.0. 0.000.000 00000... 0.000.700. 0... 0 e. esoo o... ojete. 0. a. 000/00 00to oo . a... e... jo... 00 05 = Osos 4 =0, las constantes de los segundos miembros deben ser iguales á cero para que estas ecuacio- nes sean satistechas para este sistema de valores.) Estas ecuaciones [3] permitirán determinar p parámetros q, verbi gracia, Or_p+1) Uk-p +92... Q4 en función de los K—p res- tantes Q,, Q2..... Grp resultando expresiones lineales y ho- ' mogéneas de éstos; derivando, tendremos las Q'¿_p+ IA q", en funciones lineales y homogéneas de las 1) P2... Q ;—p; estas expresiones podrán ser substituidas en T y en U, que resultarán ser funciones homogéneas de EN E a O A e ET AI NIE A A O A — 801 — segundo grado de coeficientes constantes, la T de las q”, ...... dep y la O delas g; y cl. qee y: Todo lo expuesto nos permite enunciar la siguiente pro- posición fundamental: «Tratándose del estudio de los pequeños movimientos al- rededor de una posición de equilibrio, un sistema no-holóno- mo puede considerarse como si fuera holónomo, con un nú- mero de coordenadas igual al de sus grados de libertad.» Una vez sentada esta proposición, se puede aplicar á los sistemas no-holónomos todo cuanto se explica en la teoría de los pequeños movimientos de un sistema holónomo y que consideramos ocioso resumir aquí para no dar demasiada extensión á este modesto trabajo. (p. e. Appell. Traité de Mécanique Rationnelle, t. IL, párr. 450.) II Propongámonos estudiar como ejemplo muy sencillo el problema siguiente: «Dos círculos iguales, invariablemente unidos, con un Figura 1.2 (Proyección sobre el plano vertical y, G2,) diámetro común, formando sus planos un ángulo 20, se apoyan sobre un plano horizontal perfectamente rugoso (es decir, sobre el cual no pueden resbalar); evidentemente — 802 — están en equilibrio cuando el diámetro común es horizontal (porque entonces la vertical del centro de gravedad del sis- tema corta al eje de sustentación, que es el que une los puntos de contacto de los dos círculos ); se trata de estudiar los pequeños movimientos alrededor de esta posición. El plano trazado por el centro perpendicularmente al diá- metro común es evidentemente plano de simetría de la figu- ra; este plano, en la posición de equilibrio, es vertical y con- tiene los puntos de contacto (la figura 2.* indica la sección producida por este plano en la posición de equilibrio); to- memos como origen de los ejes fijos el punto medio de la recta que une los puntos de con- tacto en esta posición; como eje fijo Of, esta recta, tomada en uno > en 5 de los dos sentidos á Hraoa partir de O; como eje Of, la perpendicular á dicha recta, situada en el plano horizontal, y como eje On, la vertical. Consideremos los tres ejes móviles Gx,, Gy,, G2,, que pasan por el centro de gravedad de direcciones fijas pa- ralelas á las anteriores, y, finalmente, como ejes móviles in- variablemente unidos al sistema, tomemos: la normal trazada por G á uno de los dos círculos como eje Gz; como eje Gx, el diámetro común, y como eje Gy, la perpendicular á este diámetro en el plano de dicho círculo. Imaginando el plano vertical £0n que contiene el diáme- tro común en la posición de equilibrio, se comprende que dicho diámetro (eje de las x) no saldrá de este plano durante el movimiento, y que la recta que une los puntos de contac- to en cada instante (que es el eje instantáneo de rotación), se conserva siempre paralela á su dirección primitiva Of; el citado plano vertical es constantemente bisector del diedro , ¡ARA t eN o” ” Ma Ps SA SE A PA = 803. formado por los planos de los dos círculos, de modo que si designamos, como siempre, por 6 el ángulo ZGZ,, el ángulo de los dos planos será 20 (por ser doble del formado por dicho plano vertical con el plano de uno de los dos círculos, y ser éste igual á ZGZ,, por tener sus lados res- pectivamente perpendiculares ), de donde se deduce que 6 es constante; el ángulo y aquí es nulo, porque el eje de las x coincide con la intersección del plano Gxy con el Gx,y,, y por esta misma razón el ángulo 4 = xGx, (*) (nulo en la posición de equilibrio). La coordenada £ del centro de gravedad es nula, porque G no sale del plano noé, según lo expuesto, ó sea el plano Figura 3.* x, Gy, coincide con noé. Para calcular 1, llamemos w al án- gulo que forma el radio que va al punto de contacto N de uno de los círculos (línea de máxima pendiente) con el plano horizontal, evidentemente se verifica n=R sen.v [4] (*) Designamos por 0, +, Y los ángulos de Euler, como; de cos- tumbre. E — 804 — ahora bien, la normal Gz al plano del círculo está en el pla- no vertical y, GN (porque éste es normal al plano del círculo, por serlo á la tangente en N); luego el ángulo y,Gz= (por tener sus lados respectivamente perpendiculares ); por tanto, si consideramos el triedro formado por las rectas Gy,, Gz, Gz,, una de las caras es w, la cara 2G2,=0, la otra cara y,Gz, es un ángulo recto, y el diedro opuesto á la cara w, Ó sea el ángulo formado por los planos y,Gz,, 2Gz, es igual á d. tGy, =Y por tener sus lados respectivamente perpendiculares (siendo Gt la traza del plano zGz, sobre el plano x,Gy,); del trie- dro conocemos, pues, dos caras y el driedro comprendido, y se trata de calcular la cara opuesta; aplicando la fórmula co- rrespondiente de Trigonometría esférica; resulta COS. w =sen./0cos. y (*), sustituyendo en [4] n= R(1 — sen? 0 cos? y)? [5] Viniendo dada la 1 en función del ángulo y por esta fór- mula [5], resulta que la posición del sistema queda determi- nada por dos parámetros, la coordenada £ del centro de gra- vedad y el ángulo y. Pero como que se trata de un sistema de un solo grado de libertad, toda vez que el corrimiento vir- tual compatible con las ligaduras es una rotación alrededor de un eje instantáneo que es la recta que une los puntos de contacto, teniendo en cuenta lo dicho en la introducción, se (+) La fórmula general es cos a =c0s b cos c + sen b sen c cos A; aquí b= ER == e =03 00 is as A APA E E E — 805 — podrá calcular ¿ en función de +), y considerar el sistema como si fuera holónomo con una sola coordenada +. Observemos que la velocidad de cada uno de los puntos de contacto debe ser nula, y, por tanto, debe serlo su pro- yección sobre el eje O¿ (6 sobre su paralela Gx,); esta pro- yección es la suma algébrica de la proyección de la veloci- dad del centro de gravedad £” y la correspondiente á la ro- tación y” alrededor del eje Gz, que pasa por G, la cual es — Y”n (como puede verse con facilidad directamente ó usan- do las fórmulas de cinemática que dan las proyecciones de la velocidad de un punto animado de una rotación conoci- da); de modo que ¿—Yn=0, Ósea ¿=Un. [6] En este problema, como se ve, se da el caso más sencillo posible de que las ecuaciones [1] se reducen á esta sola [6]. Desarrollando la expresión y dada por la fórmula [5] 1, =R [1 —sen?. 0 cos?. 4]F=R (cos?.0 1 sen?.9sen?.1) =R (00504 EA 1. O cos .0 y sustituyendo en [6] en vez de 7 sólo el término constante de su desarrollo, tendremos == R'COS . UY [S] de donde ¿=Rcos.0.b, [9] Disponiendo de las fórmulas [7] y [8] ya podemos pasar á calcular la función de fuerzas U y la semifuerza viva T para establecer la ecuación de Lagrange, — 806 — U viene dada por la igualdad U=-— 2 Mgn + Constante (designando por M la masa de uno de los dos círculos). —Sustituyendo 7 por su valor [7], y despreciando en el des- arrollo los términos de grado superior al segundo respecto á Y, queda U=-—2MgR (cos .0 + > sen 0 tg . 0. 4?) + Constante. Dando á la constante arbitraria el valor conveniente Constante = 2 Mg R cos para que U =0, cuando y = o (ó sea en la posición de equi- librio), resulta U= — MgR sen0tg.0. 2, [10] En virtud del teorema de Kcenig, y aplicando al caso ac- tual la fórmula que da la fuerza viva de un sólido móvil al- rededor de un punto, T vendrá dada por la fórmula (*) T=M(?2+m?)+By4?sen?.9 + Cb? cos? 0, [11] 2 2 Sustituyendo los valores B = =: => mo E” por (*) Usando las notaciones empleadas en el Tratado de Mecánica Racional de Appell ya citado, t. Il, párr. 382 y 383, teniendo en cuenta el signo de la rotación 4”, y además que + =0; 0” =0; re- sulta p=0, q = Y! sen 0, r=— y'cos 0, valores que sustituidos en la fórmula T=2T,=Ap?+ Bq? + Cr (donde T, representa la semifuerza viva de uno de los dos círcu- los), dan 2T, =M (E? + 1” + By? sen? 0 -E Cb? cos? 0, y su valor dado por [9], y despreciando n/? por ser de grado superior al segundo (*), queda R? R? T= M(R* cos? Ú + ai sen? 0 + 2 cos? 0) 42, Tr. (5cos?.0 + 1) Y?. [12] Habiendo obtenido ya las expresiones de U y T dadas por [10] y [12], resulta A a pl 1) Y, ay | aa — 2MgR sendtg.0.+, y, por tanto, la ecuación del movimiento dry _2U At ay se transtorma en la siguiente MR? 1) 4" =—2 MgR send tg 0.4, R(5c0s24 + 1) 4” =—4gsendtg.04. [13] (*) Despreciando en el desarrollo [7] los términos de grado su- perior al 2.2 : 1 1n=R (cost + a sen 0 tg 0 . 42). Derivando y" =Rsen 0tg6.4.Y” que es de 2.” grado por conte- - ner el producto y", al elevar al cuadrado resulta de 4." — 808 — Como se ve, esta ecuación es de la forma dq A dt? US integrándola resulta 0tg. YE LS COS Vans (+ Ko) R(5cos?.4 +1) la cual interpretada nos dice que el movimiento es una osci- lación, cuyo período es E A AORTA R(5cos?.9 + 1cosh O A A) Y 4g sen 0 tg % 4g sen? . 0 R(5cos? .0+1) Este resultado demuestra que la posición de equilibrio que consideramos es estable, lo cual ya podíamos prever fun- dándonos en el Teorema de Lejeune-Dirichlet, pues el valor de U dado por la fórmula [10] es esencialmente negativo, y, por tanto, es máximo en esta posición en que es nulo, ó también observando que se trata de un sistema pesado en una posición en que la altura y del centro de gravedad es mínima. Discutiendo ligeramente la fórmula [14] de 7, se ve que entre los casos límites aumentando 6, 7 disminuye (por disminuir cos. 0 y aumen- 2 a K? q integrada da q =K, cos (Kf + Ko), *) La ecuación (*) La ecua de A tar sen. 0); para el caso especial 6 = 7 (planos de los dos círculos perpendiculares entre sí), queda Si en vez de considerar dos círculos materiales, supone- mos ahora dos aros reducidos á sus circunferencias, debe- mos reemplazar los valores anteriores de B y C por los si- guientes: y verificados los cálculos se llega á la ecuación MR? (3c0s?.0 +1) 4” =—2MgRsen9tg.0. y, R(3cos20 + 1)4"=-—2gsenttg.0.d [15] y, por tanto, el período de la oscilación en este caso es :=2Y R (3 cos? 04 1) 22 sen Utg.0 La discusión es análoga á la anterior, y para el caso espe- da E queda 1=21 V Bot valor mayor que 4 2g Y 2 el correspondiente de antes. — 810 — 00! Vamos ahora á estudiar los pequeños movimientos de «Un hemisferio pesado apoyado sobre un plano horizontal per- fectamente rugoso (es decir, sobre el cual no pueda res- balar.)» Desde luego podriamos aplicar el procedimiento gene- ral (*); pero en este problema, como en muchos análogos, se llega más rápidamente á la solución, aplicando el teore- ma de los momentos de las cantidades de movimiento; pre- cisamente lo tratamos por este motivo, cómo ejemplo en que esto ocurre. Evidentemente la posición, en la que el radio eje de si-. metría (es decir, el normal al plano que limita al hemisferio) es vertical, es una posición de equilibrio. Se trata de estudiar los pequeños movimientos alrededor de esta posición. To- memos como origen de los ejes fijos el punto del plano, que es punto de contacto O en la posición de equilibrio, y como ejes, la vertical que pasa por este punto, y dos rectas cua- lesquiera del plano trazadas por O perpendiculares entre sí. Como origen de los ejes móviles invariablemente ligados al cuerpo tomemos su centro de gravedad G, como eje de las z la perpendicular trazada por G al plano PP” que limita el hemisferio (recta que en la posición de equilibrio coincide con la vertical), y como ejes de las x y de las y dos rectas paralelas á dicho plano, perpendiculares entre sí y que en la (*) Tomando como parámetros las coordenadas del centro de gra- vedad y los cosenos de los ángulos de los ejes móviles con los fijos, y teniendo en cuenta las relaciones entre éstos y las condiciones para que la velocidad del punto del hemisferio que coincide con el de con- tacto sea nula, aplicando la proposición fundamentel, se puede con- siderar el sistema como si fuera holónomo con 3 coordenadas, que son tres de los cosenos citados. PA E FA y 7 A e Y IA A — 811 — posición de equilibrio se coloquen paralelamente á los ejes fijos de las x, y de las y;. Apartemos el hemisferio de su posición de equilibrio dán- dole un pequeño movimiento paralelamente á uno de los pla- nos verticales que pasan por el eje Oz,; como que por ra- zón de simetría, el movimiento será el mismo cualquiera que sea el plano de estos que consideremos, supongamos que el movimiento se verifique paralelamente al plano Z,0Ox;. Siendo el movimiento una serie de sucesivas rotaciones Pigura 4.2 elementales alrededor de ejes O, O”..... perpendiculares al plano Z, Ox,, la suma de los momentos de las cantidades de movimiento en un instante cualquiera en que el eje de ro- tación sea O” respecto á este eje viene dada por la fórmula da Ma dt donde / representa el momento de inercia del hemisferio res- pecto al eje O” y DS es la velocidad angular siendo a el ángulo que forma la posición correspondiente C*z” del eje Cz invariablemente ligado al cuerpo con el vertical fijo Oz;. — 812 — El momento del peso Mg aplicado en G*' respecto al mis- mo eje O' es El Mg <-Rsena, y despreciando los términos de grado superior al primero con relación á a Mg =< Ra, Por lo tanto, aplicando el teorema de los momentos de las cantidades de movimiento, se obtiene la ecuación d da 3 pd ly A e y 16 dal mn eins [ol Ahora bien; el momento de inercia / respecto al eje O' puede deducirse del momento de inercia /, respecto al eje O, por la fórmula I=L =M(? 12) coco COCA OCA => y considerando el triángulo O' G' O, P—12=06 — 2 1,0 cos. G' O, O' o... (== O' 0,); (04 OL 730=2Rsenz pero como que cos G” O, O' = sen y > eds = 4 Reset == 4 Rs 2 2 (*) Tratado de Mecánica Racional, por D. José Ruiz Castizo. Tomo primero, pág. 139. a a — 813 — lo cual prueba que la diferencia /? — /?, es de segundo gra- do respecto á «, y, por tanto, despreciando los términos des- de el segundo grado en adelante, se puede considerar [= [, = constante y Peal 0. di Sustituyendo en la igualdad [16]. d?a 3 1 de 22 8 a [17] El momento de inercia /, puede calcularse del siguiente modo: el momento de inercia respecto al eje C” es - MR?; luego respecto al eje G” : a eL R) pe 5 8 de donde, 83 5 2 13 L, = —— MR? + M|— = —- MR?. ¡== UR + (58) R Reemplazando /, por su valor en [17] 13 MR d?a 4 pel 2 A, M E 20 de = AE a 3 A 8 ecuación diferencial del movimiento que integrada da a=peos | A i++), 26 R Rezv. Acap, Ciuncias.—VII.— Abril, 1909. 55 — 814 — donde se ve que el movimiento es una oscilación alrededor de la posición de equilibrio cuyo período es des El AA 26R eS 152 26 R proporcional á la raíz cuadrada del radio. El que el movimien- to sea oscilatorio nos corrobora la estabilidad del equilibrio, la cual ya podía preverse toda vez que en esta posición la altura del centro de gravedad es mínima. Si á partir de la posición de equilibrio diéramos al hemis- ferio un movimiento de rotación alrededor del eje vertical que pasa por G, el momento del peso es nulo y tendríamos lo a me = constante continuaría el movimiento con velocidad angular constante (prescindiendo de la resistencia que ofrezca el plano al mo- vimiento de pivotar); el equilibrio con respecto al ángulo de giro actual P puede calificarse de indiferente, pues perma- nece el hemisferio en equilibrio cualquiera que sea la posi- ción en que se le abandone sin velocidad inicial alrededor del eje O G. Por este procedimiento (*), considerando que el movi- miento es una serie de sucesivas rotaciones, aplicando el teorema de los momentos de la cantidades de movimiento y, considerando que el momento de inercia, por tratarse de (*) Este procedimiento fué indicado por el sabio catedrático de Acústica, Óptica y Electricidad de la Universidad de Barcelona y antes de Mecánica Racional en la de Zaragoza D. Esteban Terradas en las observaciones que se dignó hacer al modesto trabajo que pre- senté á las oposiciones á esta última cátedra. — 815 — pequeños movimientos, puede considerarse como constante, puede resolverse también el problema anterior de los dos circulos y más abreviadamente que por el procedimiento general, indicado en la introducción, muchos problemas análogos. PUBLIGAGIONES REGIBIDAS (Continuación.) Olivier (S?. — Revue générale des Sciences pures et appliquées 18 Année. Núm. 22.—30 Nov. 1907.—Paris. Cosmos. — Revue des Sciences et de leurs applications, 56 année.— Nou- velle ser. — Números 1192, 93, 94.—30 Nov. 7, 14 Dec. 1907.— París. Nature. — Núm. 1987 89.—Vol. 77. — Nov. 28. Decem. 5, 12, 1907.— London. Aocademia dei Lincei (Reale).—Atti della... — Anno CCCIV 1907.— Serie quinta. — Rendiconti Classe di scienze fisiche matematiche e naturali.— Seduta del 17 Novembre 1907. —Vol. XVI. — Fascicolo 10, 2.9 send, — Roma, 1907. Oppenheimer-Berlín (Carl). — Biochemisches Centralblatt. Band VI.—Nú- meros 21-23.—Zweites Novem. 1907. —Dezem. 1907.—Leipzig. Accademia delle Science Fisiche e Matematiche.— Rendiconto dell”...— Serie 3.2 Vol. XII. — (Anno XLV). — Fascicolo 9. á. 12.0 Settembre e Dicembre 1906.—Vol. XIII (Anno XLVI) Fascicolo 1. 2.2 Gennaio. — Febbraio 1907.—Napoli, 1906-1907. E Bibliotheque de Ecole des Hautes Etudes.— Bulletin des Sciences Mathé- matiques.—Deuxiéme serie. —Tome XXXI.—Octobre 1907.— París. Societá Cattolica Italiana per gli Studi Scientifici.— Revista di Fisica, Mate- matica e Scienze Naturali. — Anno 8 Novembre 1907.—Núm. 95.—Pisa- Pavia. Stazione di Entomología Agraria (R).— «Redia» — Giornale di Entomolo- gia, —Firenze, 1907. Royal Society of Edinburgh. — Transactions of the... Volume XLV.— Part. 11.—Volume XLV,— Part. 111.—Sessions 1905:6; 1906-7.—Edin- burgh, 1907. a — 816 — ¡Royal Society of Edinburgh. — Proceedings of the... —Part. 1.—Vol. XXVII. Pp. 1-64.—Edinburgh, 1908. A Martini und Chemnitz.— Systematisches Conchilien Cabinet. — Von... — 52ate s23te 524te Lieferung.—Núrnberg, 1907. Department of the Interior.— United States Geological Survey. — Charles D, Walcott, Director. —Professional Paper No. 57.—Serie B. Descriptive Geology, 113.—Serie D. Petrography and Mineralogy, 34.— Washing- ton, 1907. Académie Royale des Sciences et des Lettres de Danemark, Copenhague.— Mémoires de l”... 7me série, Section des Sciences, Tomo IV, núm. 3 y 4. 7 me serie, Section des Lettres, tomo, 1, núm. 1. — Kbenhavn, 1907. American Academy of Arts and Sciences. — Memoirs of the. ..— Volume XIII.—No. V.—Cambridge, May. 1907. Royal Society of London.—Philosophical Transactions of the... —Series A, Vol. 207, pp. 307-339 (Plate 1). —- Series A, Vol. 207, pp. 341-392 (Pla: tes 2-4.—Series B. Vol. 199. Pp. 281-339 ¿Plate 29).— London, 1907. University of Kemsas.— Bulletín of 1he... Science Bulletín. Vol. IV, Nos. 1, 2, 3, 4, 5, and 6.—March, 1907. — Lawrence, Kansas. Zeipel (H. v.). — Recherches sur les solutions périodiques de la troisiéme sorte dans le probléme des trois corps. Par... (Présenté á la Société Royale des Sciences d'Upsala le 8 Avr, 1904).—Upsala, 1904. Academie Impériale des Sciences. Comptes rendus des séances de la Com- missión Sismique Permanente —Tome 2, Liv. 111.—St. Pétersbourg, 1907. Académie Impériale des Sciences de St. Pétersbourg. — Bulletin de 1...— 1907.—No. 17 y 18.— VI serie 4 y 15, Décembre...—St. Pétersbourg. Meteorologischen Observatorium úer Kaiserl. Universitat Moskau.—Beobach- tungen angestellt im ... im Jahre, 1903.—Moscou, 1907. University of California.—Publications. Botany.—Vol. 2, no. 16, pp. 319 354, Pl. 29.— December, 27, 1907.— Berkeley. — The University Press. California Academy of Sciences. —Proceedings of the... Fourth Series.-- Vol. 1, pp. 1-6.—December, 20, 1907.—San Francisco, 1907. American Academy of Medicine.—Bulletin of the... —Vol. VIII. No. 1, 2, 3 y 6.—February.- December, 1907. Easton, P. A. Maseart, Haller.— Annales de Chimie et de Physique. Huitiéme serie.— Tomo XIII. - Janvier, 1908. —París, (Continuará). -XLIL —Elementos de la teorfa-de la a Elasticidad, por José. 2 Echegaray. Conferencia undécima ....... ES XLIIL —Elementos de la teoría de la Elasticidad, por José - Echegaray. Conferencia duodécima. . a IS : XLIV. —Método para determinar la dor de los vientos E A 3 RS superiores por las ondulaciones del borde de los. : EE astros (continuación), por Vicente Ventoso zo XLV.— Experimentos para el estudio del. rozamiento in terior de los liquidos, por Juan Flórez Posada..... XLVI. —Pequeñas. oscilaciones de sistemas no o holónomos, e por José | María PUSE A SE Publicaciones recibidas......-........ E TS La subscripción á esta a se haco por tombs completos “de 500 á 600 po al precio Sd 6 pesetas en ae y 0 franco verde, núm. 26, Madrid. : O Precio de este dea 1, 50 pesetas. ; e - MADRID "TOMO E —- NUM. EE - (Mayo de 1909) e MADRID ESTABLECIMIENTO TIPOGRÁFICO Yi EDITORIAL AE CALLE. DE PONTEJOS, NÚM, $, ABONA el mes siguiente. — 817 —= XLVII. — Elementos de la teoría de la Elasticidad. POR JosÉ ECHEGARAY. Conferencia décimatercera. SEÑORES: Hemos obtenido la fórmula general, según Mr. Poincairé, de la potencial de un sistema de puntos, constituyendo un sólido elástico. Esta fórmula era la siguiente: Dm q [P, (a, b) + P.(a,b) + P.(0), en la cual la integral se refería á toda la extensión del sólido, y en que el elemento diferencial dxd y dz=dr, es decir, el volumen de cada elemento, suponíamos que estaba compren- dido como factor en el coeficiente de cada término. Claro es que si lo pusiéramos en evidencia la fórmula sería U= UV, + fte. (a,b) + P.(a,b) + P,(1)] dx, y las expresiones P ya no serían las de la fórmula prece- dente, sino aquéllas divididas, ó, si se quiere, divididos sus coeficientes por dr. Mas para no complicar la escritura, y porque no puede ofrecer ninguna confusión, no empleamos notaciones dis- tintas. Ya hemos dicho que P,es un polinomio lineal de a,, a», - LES b,, b, b;. Rev. Acap. Cinncias.—VII.—Mayo, 1909. 56 — 818 — Que P¿ es un polinomio homogéneo de segundo grado de las mismas cantidades. ¿ Que P, (IM) es un polinomio lineal de las seis expresio- nes Il, que definíamos en la conferencia anterior, y que son polinomios de segundo grado de las derivadas u, v, w de pri- mer orden con relación á x, y, z. La cantidad que está bajo el signo integral es la potencial de cada elemento del sistema elástico; y en conjunto, según lo que acabamos de decir, y recordando lo que significan a, b y II, será todo ello un polinomio de segundo grado de las nueve cantidades AUN OT da dy de PAYS AENA dy de de OE que son las que definen la deformación en cada elemento, conforme con explicábamos en el curso anterior. Los coeficientes de los diferentes términos, en rigor, serán funciones de x, y, z, aunque están expresados, según hemos visto, por las derivadas de FF con relación á R. Aunque todo esto parece algo complicado, en el fondo es sumamente sencillo, y hasta cierto punto hubiera podido pre- - veerse A priori, por las consideraciones siguientes, que son resumen de lo expuesto en la conferencia anterior. 1.” La potencial de todo el cuerpo elástico será la suma de las potenciales de sus elementos, puesto qne unos no in- fluyen en otros. 2. La potencial de cada elemento dependerá de lo que se haya separado cada punto de su posición de equilibrio, ó, dicho de otro modo, de la deformación de dicho elemento. 3.2 La deformación de un paralelepípedo cualquiera ele- E A A GN RN LA: TASA — 819 — mental hemos visto en el curso anterior, y puede demostrar- se directamente, que sólo depende, suponiendo las x, y, z de- terminadas, puesto que á un punto determinado nos referi- mos, de las nueve derivadas que hemos citado siempre, á saber: du du du dx” dy” dz dy dv de Mendy da du de dw AO RAE 4.” Luego la potencial de cada elemento dependerá de las nueve derivadas anteriores para cada punto. 5.2 Pero como estas derivadas son cantidades muy pe- queñas, porque lo son las deformaciones comparadas con las dimensiones primitivas, podríamos desarrollar la función que representa la potencial según las potencias de las derivadas de que se trata, y podríamos despreciar desde los términos de tercer orden inclusive en adelante. 6.” De donde resulta, finalmente, que la potencial de cada elemento podrá estar expresada por un polinomio de segun- do grado, según hemos visto que resulta aplicando el método de Mr. Poincaré. Y es evidente que los coeficientes de este polinomio, en el caso más general, serán funciones de x y 2. Ahora bien: el método de Mr. Poincaré lo que nos pro- porciona es una forma determinada para el polinomio en cuestión. Y aquí llamamos la atención de nuestros alumnos sobre una circunstancia que ya hemos indicado varias veces. Á saber: que Mr. Poincaré parte, en cierto modo, del mismo — 820 — punto que Cauchy, es decir: cálculo de la acción de unos pun- tos sobre otros, y termina por asemejarse al método de Lameé. Como éste calcula las tensiones en función de los coefi- cientes que definen la deformación, Mr. Poincaré acaba por expresar la potencial de todo el sólido en función de los mis- mos coeficientes diferenciales. Esta semejanza, como veremos bien pronto, va acentuán- dose cada vez más. Por ahora, sin lanzarnos á nuevas digresiones, continue- mos la exposición del método, y para que les sea fácil á mis alumnos estudiar la obra original de Mr. Poincaré, recorde- mos las notaciones empleadas por dicho autor. Hemos escrito el valor de la potencial de un sólido elásti- co bajo esta forma: E y + fria a lp Todavía podría escribirse, representando el polinomio de primer grado P, (a,b) por W,, y el polinomio cuadrático P¿(a,b) + P¡(1) por W,, de este modo: | ná, + 0 + wa =0,+ | wd: | was que es la notación de Mr. Poincaré. Y por fin, haciendo W, + W, = W, tendremos: U=0,+ | was : : du du en que W es un polinomio de segundo grado en ——, —— ....s dx dy ó sea de las nueve derivadas de u,v,w con relación á x, y, 2; de modo que yan (e. «e sc O e dyrodeto de idy dare del daa DA a tn ANS — 821 — Conociendo ya la expresión de U, pasemos á establecer definitivamente las ecuaciones de equilibrio del sólido elástico, Podríamos seguir el método elemental, el que sigue mon- sieur Cauchy, es decir: expresar el equilibrio de cada uno de los puntos del sistema, puesto que para cada punto se cono- cerán las fuerzas exteriores, y derivando U con relación á x,y,z se conocerán las componentes de las fuerzas interiores. Por otra parte, ya conocemos la forma de U en función de los datos y de las incógnitas. Y nótese que no decimos que se conozca U en sí, sino úni- camente su forma analítica en función de los datos y de las verdaderas incógnitas u,v,w Ó de sus derivadas; pero esto nos conduce á la solución del problema desde el momento en queenlazamos por mediode ecuaciones todas estas incógnitas. Parece lo más sencillo escribir, como acabamos de expli- car, el equilibrio para cada punto del sistema; mas eso ten- dría sus inconvenientes por la forma en que viene expresada O, que es la de una integral. Decimos inconvenientes, no decimos imposibilidad: tan posible es resolver el problema de esta primera manera, como de otra que explicaremos en breve. Además, establecer el equilibrio para cada punto del sis- tema es escribir un número inmenso de ecuaciones, y para reducirlas á número finito, que en suma serán tres para toda la extensión del sólido elástico y otras tres para la superfi- cie, fuera necesario pasar de las ecuaciones en diferenciales simultáneas á las ecuaciones en diferenciales parciales, que fué lo que hicimos e1 cursos anteriores y lo que aún sería algo más complicado en éste. «Pues estas complicaciones, que se preveen aun sin haber intentado resolverlas, se simplifican hasta llegar á términos elementales, aplicando el método de cálculo, que emplea Mr. Poincaré en la obra que vamos, en cierto modo, comen- tando. — 822 — Digámoslo de una vez: Mr. Poincaré establece el equilibrio aplicando el principio de las velocidades virtuales ó de los trabajos virtuales, que da lo mismo. Este principio, que ya lo explicamos extensamente en el primer curso de esta asignatura, y que mis oyentes ó lec- tores pueden consultar en cualquier tratado de Mecánica, se expresa abreviadamente de este modo. Para que un sistema de puntos, sometidos á ciertas fuer- zas y á ciertos enlaces, estén en equilibrio, es preciso, y es suficiente, que la suma de todos los trabajos elementales de las fuerzas que resultarían comunicando á dichos puntos mo- vimientos infinitamente pequeños (sin velocidad) compatibles con las condiciones del sistema; dicha suma, repetimos, es preciso y es suficiente para el equilibrio que sea igual á cero en todas estas pequeñas deformaciones. Apliquemos este principio á nuestro caso. Sea a uno de los puntos del sistema; Tla fuerza interior aplicada á dicho punto; L,, L,, E, las tres componentes paralelas á los ejes coorde- denados de esta fuerza interior; E la fuerza exterior que actúa sobre el punto en cuestión a; Ex, Ey, E; las componentes de esta última fuerza; os el camino arbitrario, pero compatible con las condicio- nes del problema que se hace recorrer al punto a que esta- mos considerando; Y, por fin, 6x, 0y, 0z las tres componentes de ds. Lo que hemos dicho del punto a diremos de todos los de- más puntos del sistema, sin excluir ninguno, ni del interior del sólido, ni de la superficie; porque, digamos de paso, que este método tiene la ventaja de que se obtienen de una vez las condiciones de equilibrio de cualquier elemento del sóli- do y de la superficie misma, sin necesidad de considerar el paralelepípedo elemental ni el tetraedro. Más aún: en el mis- mo método encontraremos la manera de calcular las tensio- nes interiores, 4 4 A LIL Di E ARES A AARRO APIVD SD Ú e A $3 Puesto que el punto a recorre el camino ds bajo la acción de las fuerzas /, E, el trabajo elemental, que es lo que se llama en este caso momento virtual, será: Tos cos (0s, 1) + Eds cos (0s, E). El primer término expresa el trabajo elemental de la fuerza interior /, y el segundo el trabajo, elemental también, para esta deformación virtual de la fuerza exterior E. La suma de todos estos trabajos, para todos los puntos del sistema, se obtendrá sumando para todos los puntos de dicho sistema un conjunto de expresiones como la anterior, es decir, que el trabajo virtual tendrá esta forma: 2 /0s cos (0s, 1) + LE0s cos (0s, E). Pero sabemos por Mecánica elemental, y además lo he- mos demostrado muchas veces en estas conferencias, que el trabajo de una resultante es igual á la suma de los trabajos de las componentes en ejes trirrectangulares; así, tendremos: Rs cos (Os, 1) =L0x +1,0y + L0z, Eds cos (ds, E) = Ex0x + E,dy + E¿02; luego la expresión anterior de la suma de trabajos elementa- les ó momentos virtuales para todo el sistema elástico, será, sustituyendo las expresiones precedentes, E(Ldx +10y + 102) + X(E/dx + Eydy + E,02). Y esta expresión es la que debe ser igual á cero para to- das las deformaciones, 6, de otro modo, para todas las ds compatibles con las condiciones y enlaces del sistema. Porque este método es un método general de la física ma- temática, y tiene la ventaja de que se aplica aun para los — 824 — casos en que haya enlaces en el sistema, como demuestra Mr. Poincaré en su obra, aunque nosotros no insistiremos sobre este punto. En rigor, el problema no presenta dificul- tad de ningún género. En suma, la condición de equilibrio del sistema elástico estará expresada por la ecuación: NL dx + 1 0y + 152) + X(E dx + Edy + E.dz) =0; y es preciso que esta ecuación se verifique, dado que no existan enlaces, para todos los valores de 5x, 5y, 0z, 0xX', 0y”, 0Z',..... relativos á todos los puntos. Se ve, desde luego, que el principio de las velocidades virtuales se reduce en este caso á las ecuaciones ordinarias del equilibrio; porque, en efecto, la ecuación anterior puede escribirse de este modo 2[(U; + Ex)0x + (L, + Ey)0y + (U. + Ez)0z] =0, en que la * comprende tantos grupos de tres términos, como puntos hay en el sistema. Mas como los puntos son libres, es decir, como entre ellos no existe ningún enlace, todas las variaciones de las coordenadas, Ó sean, 0x, 0y, 0Z, 9x', y”, 0Z',..... Son independientes; luego para que la ecuación que- de satisfecha, es preciso, según se sabe por álgebra elemen- tal, que todos los coeficientes sean nulos, de modo que ten- dremos LH Ex = 0, L, + E, = 0, o Py + Ex =0, y HE y =0, Pe Ez E que son precisamente las ecuaciones de equilibrio ordina- rias, las que expresan que las componentes de todas las fuer- zas, tanto interiores como exteriores, para cada punto, dan resultados iguales á cero. to . Y 9 : h E Es Ur el ds E A MET Ls A pa Pero nosotros continuaremos empleando la ecuación que resulta de aplicar el principio de las velocidades virtuales. Dicha ecuación hemos visto que es ésta 2(1,0x + 1,0y + [,02) + X(E,0x + Ey0dy + E¿0z) =0. El primer término expresa la suma de los trabajos de to- das las fuerzas interiores, si á los diferentes puntos del sis- tema se les obliga á recorrer caminos arbitrarios infinita- mente pequeños ds..... de componentes 9x, 0y, 0Z.....; pero esta sería precisamente la variación de la potencial, según hemos explicado en otras conferencias, ó si se quiere, la va- riación de la energía. De suerte que el primer término puede escribirse abrevia- damente de este modo: 3 U), Además, hemos explicado que la potencial del sistema es la suma de las potenciales de cada elemento 41 = dx dy dz del sólido elástico; luego la variación de potencial de este sólido será la suma de las variaciones de potenciales de sus diferentes elementos, cantidad que hemos escrito con estas tres notaciones equivalentes unas á otras: Wiz, (W, + W,)3=, P;(a, b) + P.(a, b) + PM). Por lo tanto, el primer término de la ecuación del equili- brio podrá escribirse en esta forma: il 3Wdr (1) ó como la escribe Mr. Poincaré fo, + W,) d+ =P, + W,)dx dy dz. — 826 — La ecuación de equilibrio se convertirá, pues, en la si- guiente: *s Jo. di + X(E,dx + E,dy + E¿d2) =0. Para el primer término, en rigor, hemos sustituido á los puntos aislados elementos infinitamente pequeños del sóli- do iguales á- dx dy dz = d7; una transformación análoga vamos á hacer con el segundo término. Las fuerzas exteriores son de dos clases: Primera, las que actúan en toda la masa del sólido; segunda, las que actúan sobre la superficie. Y cada una de estas dos clases todavía comprende dos clases de fuerzas: las del estado inicial y las que producen la deformación elástica, que estamos considerando. Unas y otras, lo mismo las del sólido que las de la su- perficie, acompañan á los puntos en sus variaciones virtua- les y producen trabajos elementales. Todas ellas están comprendidas en la notación general E, es decir, fuerzas exteriores, pero refiriéndose á cada punto. Pues ahora vamos á agruparlas para cada paralelepípedo elemental dd. Consideremos, por ejemplo, las fuerzas del estado inicial para un paralelepípedo del interior del sólido. Como el paralelepípedo es infinitamente pequeño, pode- mos suponer que para todos los puntos que contiene, las fuerzas son iguales y paralelas; y transportándolas al centro y refiriéndolas á la unidad de volumen, como se hace siem- pre, las tres componentes podremos expresarlas por AX Az, VERLO E HALO: y claro es que prescindimos, por ser infinitamente pequeños de orden superior, de los pares de fuerzas que resultan de trasladar todas ellas al centro del paralelepípedo. A e NN ARPA TED AAA rd — 827 — -Repitiendo esto mismo para las fuerzas que se aplican al sólido elástico, en el problema que se plantea, podremos re- presentarlas por las tres componentes: X, dr, Y, dz, Zzdr, y las fuerzas totales para cualquier elemento del interior del sólido, tanto las iniciales Ó del estado natural, como las pos- teriores, tendrán por componentes (A+ X)d7, (Y, + Y,)d7, (2, + Za) dr, ó haciendo según la notación de Mr. Poincaré a Yi + Y =Y, LE 2, las siguientes A US ZA Así, la parte del segundo término de la ecuación de equi- librio, Ó sea 3 (E, 0x+E,0y + E 02), se podrá escribir de este modo, refiriéndonos, no ya á los puntos, sino á los paralelepípedos elementales, ó sea agrupando los términos de cada paralelepípedo, que es como substituir la suma re- lativa á los puntos por una integral relativa á los paralelepí- pedos en que los puntos se han agrupado; á saber: fix + Y dy +Z0z) ds. Pero aún vamos á introducir una pequeña modificación. Cada punto tenía primitivamente por coordenadas, X, y, 2; cuando se deformó el sólido y llegó al estado de equilibrio, bajo la acción de todas las fuerzas, estas coordenadas se convirtieron en : Y uy VIA, — 828 — y á partir de estas coordenadas se introdujeron las velocida- des ó variaciones virtuales que representa la letra 3. De suerte que en la ecuación anterior no debemos escribir 0%, DPS ¿02 cs sino D(x+u), My +0), 9(2+w)..... porque estas son las variaciones á partir del supuesto estado de equilibrio que queremos comprobar. Mas las verdaderas variables para cada elemento del só- lido no son x, y, 2, porque éstas determinan puntos fijos de referencia, definen el centro de cada paralelepípedo en el estado inicial, y sólo son variables para la integración, es decir, para obtener la variación total de la potencial. Siendo, pues, constantes para las variaciones virtuales, tendremos SLOE+D + Yer +) +25 +) d:= = (u+ Ydv + Zow] d=, (2) Esta será la parte del segundo término de la ecuación de equilibrio por lo que se refiere á las fuerzas exteriores, tanto á las iniciales como á las que posteriormente actuaron. Estudiemos ahora el conjunto de términos de Y (E,dx +E,dy + E¿52), que se refieren á la superficie del sólido elástico. Para estos términos hemos de repetir algo de lo dicho, con una ligera modificación. Como para el interior del cuerpo trasladábamos todas las fuerzas que actuaban en los diferentes puntos del paralelepí- pedo elemental á su centro, dividiendo ahora la superficie e e Y IRA — 829 — del sólido en elementos infinitamente pequeños de superfi- cie du, trasladaremos todas las fuerzas al centro Ó á un punto interior de esta superficie elemental, despreciando, por la misma razón que antes, los pares que resulten. De suerte que, así como antes representábamos por X, Y, Z las componentes de la fuerza total por unidad de volumen para el paralelepípedo, ahora representaremos por P,., P,, P, las componentes, por unidad de superficie, de la fuertal total que actúa sobre el elemento du, y el grupo que queremos - calcular tendrá esta forma: [tax P,0y + P¿9z) do; (3) observando que esta integral sólo se extenderá á la superfi- cie, al paso que la anterior se extendía al volumen. Claro es que repitiendo lo que antes expusimos, en vez de 9x, y, 9z, debemos escribir 3(x + 4), 9(y + V), 9(2+w); y como las x, y, z son constantes, la expresión anterior se reduce á $ (pcau+ 2,30 + P.0w) du. (3) Ya podemos reunir todos los términos que constituyen la ecuación de equilibrio, según el principio de las velocidades virtuales, que son las (1), (2), (3), y tendremos para condi- ción de equilibrio del sólido elástico la ecuación, pw.a + (0 Y0x+Z3w) dr + + fra + Py Ev + P¿8w) de =0. Esta ecuación ha de verificarse, para que se realice el equilibrio, sean cuales fueren las deformaciones virtuales — 830 — que se supongan en el sistema. De suerte que dicha ecuación comprende muchas ecuaciones de condición. En las dos últimas integrales están representadas dichas variaciones virtuales por du, 0v, 0w para todos los puntos del interior y de la superficie del sólido elástico. Fijémonos ahora en la primera integral il o Wor, la cual, recordando que W es un polinomio de segundo grado de las nueve derivadas, que caracterizan la deformación elástica, puede escribirse en forma más explícita de este modo: pro du du dv adv dv Hawai ES dasdyss deidad yde da dy ae La variación de W se obtendrá, según se sabe, por el cálculo de variaciones, aplicando el método de la diferencia- ción, considerando como variables sujetas á la variación de que se trata las nueve derivadas en cuestión; porque, en . efecto, estas son las magnitudes que varían porque contie- nen las u, v, w. Las x, y, z que entran en W son constantes para cada ele- mento de la integral, es decir, son constantes para la varia- ción que hemos de aplicar á cada paralelepípedo elemental. De aquí resulta que la integral precedente podrá ponerse bajo esta forma: AW du dW, du, dW de, Pla aa a aa dx dy dz IW dy, dW dv, dW,d, IN CI dx dy de dW .dw dW .dw a) A E A e A ó Te + + y dao y aye ale panda dx dy dz y CÓRNEA — 831 — Para abreviar, representando por una letra, según la nota- ción de Mr. Poincaré, cada uno de los coeficientes, es decir, O Ad ol dad Aid plc 77 Mal dx OS dz dW EA Co 1 == Alco dy E dx dz La anterior expresión podrá escribirse de este modo: du > du du A6=+B5 + C5— Ll dx A dy dz An a dY dv dv A'0 ato B'5 Lie CS de E dx E dy Su dz y dw dw dw AO: == Bio. A ERA dz, + dx + dy ha a y la ecuación de equilibrio se desarrollará así : + xu + Y3v + Zo) dr + + fe + P,0v + P¿0w) dw = 0, Evidentemente, en la primera integral las cantidades que representan la variación, son las nueve derivadas caracterís- ticas, que son, como antes decíamos, las únicas que contie- nen u, V, w. : Como se sabe por cálculo de variaciones, que los signos 9 y dí pueden invertirse, porque representan, en rigor, dife- — 832 — renciaciones hechas por diversos conceptos, la última ecua- ción también podrá ponerse bajo esta forma, sustituyendo á IU da d.óu , esta otra expresión - 540 — la ——— y así ES SS 0 sucesivamente. La ecuación que expresa el equilibrio será pues (d) 0 o 1 A Y ez es Jurayaz+ + [0% + Yov + Zaw)dr + + fra “Ll P,dy + P¿0w)dw =0, Y repetimos ahora lo que al principio dijimos: esta ecua- ción ha de quedar satisfecha para todos los valores arbitra- rios de 04, 01, 0w. Podemos, pues, suponer para todos los puntos del sólido y de su superficie 3v = 0 y 8w = 0; es decir, no admitir más que deformaciones paralelas al eje de las x. Y entonces la ecuación anterior se reducirá á la siguiente, que será condi- ción necesaria: fl A, e Jaxdydz+ Pl de (e) y ésta debe quedar satisfecha para todos los valores de du, que serán distintos de unos puntos á otros, y que variarán también arbitrariamente para cada punto. Pero du si entra en forma lineal y explícita en las dos úl- adi PRI a E a E PE — 833 — - timas integrales, entra bajo forma de una derivada en la pri- mera integral, lo cual nos impone una transtormación de que ya se hace uso en el cálculo de variaciones, que en rigor no es más que una integración por partes, y que hoy constitu- ye en cierto modo un teorema de análisis, teorema ya expli- cado en cursos anteriores, pero que repetiremos una vez más. Descompongamos la primera integral en otras tres ac aayas [| Bayas | OE ayaz: e Ax cda a dz en que q significa abrevíadamente la integral triple lí IE (3) DA Del mismo modo representaremos por e la integral (2) doble Al f , y transtormémoslas todas ellas empezando por | a Go axayar= faz fay [a E don a a Apliquemos el principio de la integración por partes res- pecto á x, y tomemos por parte integrable >. dx, y por x parte no integrable Adydz; resultará 2 Va ze Ando (4dydz.31) —- (€) Xx 2) 1 — LA deayaz. du. (3) dx El primer paréntesis indica que hay que aplicar á la expre- sión en él contenida los dos límites de la integración respec- to á x, es decir, los dos valores extremos de x; y advertimos que al diferenciar la parte no integrable Adydz, hemos con- Ruyv, Aca, Ciencias. —VII.— Mayo, 1909, 57 — RA siderado á dy, dz como constantes, como siempre se consi- deran los incrementos de las variables-independientes. Fijémonos ahora en la parte comprendida en el paréntesis. Sea S (fig. 43) el sólido elástico de que se trata, y supon- gamos que en la primera integral, que es una integral doble relativa á y, z, la integración efectuada sobre x se refiere al filete a, a, paralelo al eje de las x, cuya sección recta pro- Figura 43. yectada en b tiene evidentemente por valor dydz, y en que los límites con relación á x son ba, y ba,. Claro es que al integrar no hemos hecho otra cosa que su- mar los elementos de la integral, para todos los paralelepí- pedos infinitamente pequeños, comprendidos en el filete 4, 07, desde el área dw, á de, que son las de entrada y salida del filete en el sólido elástico. Y ahora podremos comprender el sentido del paréntesis de la primera integral. Para cada elemento de la integral doble, que se referirá á un filete especial, deberemos poner las magnitudes que se AS AA . PR EA —83)) — refieren al punto a,, después las que se refieren al puntoa,, y restar un resultado de otro. iS Expresaremos precisamente esto con los subíndices (1) y (2), y la última ecuación se convertirá en la siguiente dóu e AL ax.dydz= ] [(A dy dz 31), — (A dy dz .3u),] — (3) ! (2) 2% dA — —— dxdydz.du = [A,dy dz0u, — A, dydz0u,] -— 6, dx (2) -- ES dr.0u. (3) de El rectángulo b es la proyección sobre el plano de las yz de los dos cuadriláteros du, y du. Si por los puntos a, y a, trazamos las normales á la superficie cerrada, que limita el sólido S hacia el exterior de dicho sólido, es evidente que tendremos dy dz =— do, cos (n,, Xx); - dy dz = du, cos (1,, x) Hemos puesto el signo menos en la primera ecuación, por- que el primer miembro de la misma dydz es cantidad esen- cialmente positiva, y como cos (n,,x) es negativo en la figura, hay que poner el signo negativo para la igualdad de signos en ambos miembros. Si hacemos ly == COS (114 , 6); lo ¡=:C08 (a, Xx), ambas ecuaciones se convertirán en y substituyendo en el valor de / A mn dxdydz, ten- te y Ja. qx : dremos — 836 — q A cd dxdydz= |] [4,/¿do,04, + A,!,dw,0u,] - es áx 0) Y dA (3) dx dr du. Respecto á la primera integral doble, vemos que para ob- tenerla no hay más que sumar para todos los elementos de superficie del cuerpo la expresión A/dwóu, porque lo que hemos dicho para el filete a, 4,, pudiéramos repetir para todos los demás filetes paralelos al eje de las x. Transformando del mismo modo las otras dos integrales tendríamos [lao axay dz aidv oi LE og! (8) dx (2) (3) dx fa E a da a Ay 2) | e, dy fu de dxdydz=| Cndwsu— al ES e) 6) dz , representando por ín el coseno del ángulo que forma con el eje de las y la normal exterior á la superficie del cuerpo en el elemento du; y del mismo modo por n el que forma dicha normal con el eje de las z. Se entiende que estos cosenos lle- van el signo que les corresponde. Sustituyendo estas tres cantidades en la ecuación (€) re- sultará J [41 + Bm +Cu] de su — (re algo (2) (8) ac -— | dróu dx ar Ea ddr 10 Xdróu + P,óu du =0, (3) (2) — 837 — y agrupando las integrales dobles y las integrales triples j [A1 + Bm+ Cu+P,] du du — (2) == E 24 EA gn X) aru =0. ai dx dy dz Esta ecuación debe quedar satisfecha para valores arbitra- rios de 34; advirtiendo que en el primer término 3u se refie- re á todos los puntos de la superficie del sólido, puesto que la integral es doble, y sólo á la superficie se refiere; al paso que las ou del segundo término se refieren á todos los pun- tos del interior del volumen. Expresan, pues, variaciones dis- tintas de u, y los coeficientes deben ser iguales á cero sepa- radamente. Es decir, que deberemos tener para todos los puntos de la superficie Al+ Bm + Cn + P, =0. y para todos los puntos del interior del volumen Lo que hemos hecho en la ecuación general suponiendo que son nulas todas las variaciones virtuales paralelas á los ejes de las y, z, es decir, y =0, 3z= 0, podemos hacer ahora suponiendo que sólo existen variaciones paralelas al eje de las y, y que son nulas las paralelas al eje de las x y de las z; y de este modo en la ecuación (d) sólo quedarán términos con v, y tendremos M CY po: a Jara + an dx dy dz +| Yiv.dar+ | P,idwaw=0. (3) (2) — 838 — Transformando, lo mismo que hemos hecho antes, es de- cir, por integración por partes, la primera integral triple, lle- garemos evidentemente á estas dos ecuaciones: A I+Bm>+C'"n+P,=0, dA' dB' dc” El iS dx 7 dy ne dz - La primera ha de enedas satisfecha para todos los puntos de la superficie del sólido elástico. -— La segunda para todos los puntos del volumen. - Por último; si suponemos que sólo se someten los puntos del sistema á variaciones virtuales paralelas al eje de las z, y que son por lo tanto nulas todas las 5x, 0y, lo cual puede hacerse como en los casos anteriores, porque suponemos que entre los puntos del sistema no existe enlace de ninguna clase, la ecuación (d) quedará reducida á 4 a y Br - AS ej aL (3) dx + | zarów+ | P.dw3w=0; (3) (2) y transformándola como en los casos anteriores, obtendre- mos estas dos ecuaciones: A"I+B"m de EN 18 PRD E E dx ="0: La primera debe quedar role como antes para todos los puntos de la superficie del cuerpo. La última, para todos los puntos del volumen del mismo, ANA A — 839 — En resumen, aplicando el principio de las velocidades vir- tuales, hemos obtenido que, para que el sólido deformado llegue al equilibrio, deben verificarse estas seis ecuaciones de condición: AI + Bm +Cn +*P,=0, A'I1+Bm+CCn +P,=0, (1) A“I+B"m>+C"n+P,=0, dA dB dC + + Sao Pan dE et pde cta A), de de a HE SF ($) At dB” ací dx dy dz Las tres primeras se refieren á la superficie del sólido elás- tico, y las tres últimas al volumen. Es decir, que aquéllas de- ben quedar satistechas para todos los puntos de dicha su- perficie, y sólo contendrán funciones de dos variables inde- pendientes, si se trata del equilibrio, y además del tiempo +, si se trata del movimiento elástico. Las tres últimas deben quedar satisfechas para todos los puntos del cuerpo y se referirán á funciones de tres variables independientes x, y, z, en él caso del equilibrio, y de éstas y del tiempo f en el caso del movimiento. | Estas seis ecuaciones son necesarias porque la ecuación del princicipio de las velocidades virtuales, debe quedar sa- tisfecha para todas las hipótesis que se hagan respecto á 61, 9v, 51, y por lo tanto para las hipótesis que hemos hecho. Pero además son condiciones suficientes, toda vez que para cualquier combinación de valores de Bu, 5v, 8w, los grupos aislados que corresponden á cada una de estas varia- ciones serán iguales á cero. En suma; las seis ecuaciones obtenidas resuelven el pro= — 840 — blema del equilibrio: expresan las condiciones á que deben satisfacer 4, v, w, para que la deformación del equilibrio sea la que corresponda á todas las fuerzas interiores y exte- riores que actúan sobre el sistema. Y el problema del movimiento está comprendido, como se sabe, en el del equilibrio, si entre las fuerzas exteriores se comprenden las fuerzas de inercia. Pero si las seis ecuaciones dichas expresan las condicio- nes en general necesarias y suficientes, del equilibro, estas ecuaciones resuelven el problema de la Elasticidad, porque no habrá más que deducir de ellas los valores de u, v, w, en función de x, y, z, para el equilibrio, y en función de estas tres variables y del tiempo f para el movimiento. Veamos ahora cuál es la naturaleza de las seis ecuaciones que hemos obtenido. Y empecemos para ello por las tres últimas: A —X=0, dx + dy e dz dA' dB' dC” A — Y =0, dx dy + dz 0 dA ás dB ej dC apra dx dy dz Dichas ecuaciones, vamos á ver inmediatamente, que son ecuaciones en diferenciales parciales de segundo orden, en que las funciones son u, v y w, y las variables independien- tes Xy Y: Esto resulta evidente con sólo recordar la significación de la ABE Tomemos una de dichas letras, la A, por ejemplo: lo que de ella digamos, podríamos repetir para todas las demás. A, recordemos que procede de W. Como W es un polinomio de segundo grado de las nueve — 841 — derivadas características E 0 y ¡las cantidades A, B..... x eran las derivadas de dicha función W, por relación á las ex- presadas derivadas características, teníamos, Ahora bien, por ser W, como acabamos de indicar, un po- linomio de segundo grado respecto á las expresadas deriva- du E ade das, E entraría, en general, en términos de esta forma: de ....o du (E) du du y, du du y du dv EIA EN "dx dy dx dz * dx dx y no decimos si W contendría todos éstos; nos importa poco para el caso. Lo único que tenemos que observar es que en A aparece- rían, cuando más, estos términos: en que las M y las N serán, en general, funciones de x, y, z. Luego en la primera de las tres ecuaciones fundamentales, dA : ; en la cual entra como sumando Ea aparecerían las deriva- x das con relación á x de los términos anteriores a EA dN, 2 N, d?u yt Cde dE dd dx dy ay dx dh du dN; N dav. dv. dNe nda do ada bdo dao — 842 — es decir, á lo más, derivadas de segundo orden de u, v, w, puesto que las M, N y sus derivadas serán funciones conoci- das de x, y, 2. Y como lo que hemos dícho de A puede repetirse de ¿B, C....., resulta comprobado lo que antes indicábamos, á saber: que las tres ecuaciones fundamentales (f) no son más que ecuaciones en diferenciales parciales de segundo orden de u, v, w respecto á las variables independientes AS Claro es que, si el problema es de movimiento elástico en las X, Y, Z de las ecuaciones (f), entrarán las fuerzas de NI CENA dee TA Y nótese aquí un paralelismo entre la forma de las ecua- ciones, según el método de Lamé, y la forma de las ecuacio- nes (7). Allí teníamos tres ecuaciones análogas á las (f), en que entraban las componentes de las tensiones N y T. Aquí te- nemos las tres ecuaciones (f) que contienen las A, B, C....., que en la conferencia próxima demostraremos, que represen- tan las tensiones en el caso general. En el método de Lamé teníamos que expresar las tensio- nes en función de los coeficientes característicos de las de- formaciones. Aquí tenemos que expresar también A, B, C..... en fun- ción de dichos coeficientes, y lo conseguimos fácilmente con sólo derivar W, ó sea la potencial, por unidad de volumen para cada elemento. Allí, Ó si se quiere, en el curso anterior, eliminando de las tres ecuaciones fundamentales las N y T en función de los coeficientes de las deformaciones, obteníamos las ecuaciones diferenciales del problema. En el método de Poincaré, eliminando A, B, C...... de las ecuaciones (f), obtenemos también ecuaciones diferenciales de segundo orden de las funciones incógnitas 4, V, W, inercia, y, por lo tanto, A > OIEA — 843 — El paralelismo es completo, siquiera las notaciones del mé- todo de Poincairé sean más generales que las del método de Lamé. Pasemos á las tres primeras ecuaciones (/) que antes 0b- tuvimos y que se refieren á la superficie límite del cuerpo elástico. Poco tenemos que agregar á lo dicho. También son ecuaciones diferenciales; pero como los pun- tos á que dichas tres ecuaciones han de satisfacer están so- bre una superficie, serán ecuaciones de dos variables inde- pendientes, por ejemplo, la x y la y. Serán ecuaciones diferenciales, porque las variables u, V, W entran por sus derivadas primeras, como hemos visto, ana- lizando los términos que contiene A. Y el problema, como ya en otras ocasiones hemos obset- vado, en cuanto á problema de física matemática aquí termi- na, Ó, por lo menos, se suspende hasta que llega el período de la comprobación, ó de la interpretación de los resultados, ó de la determinación de las constantes que contengan los valores finales de u, v, w. El problema, al llegar á este punto, es un problema de análisis, es decir, de integración. Se trata de integrar las tres ecuaciones (f), obteniendo los valores de u, v, w en función de las variables indepen- dientes x, y, z, y en todo caso del tiempo f£, si no se trata sólo de un problema de equilibrio. Pero es preciso que estas integrales de u, v, w tengan bastante generalidad para satisfacer á las tres ecuaciones (1) relativas á la superficie límite del cuerpo. Esto quiere decir, que dichas integrales han de contener funciones arbitrarias, que puedan determinarse de modo que' satisfagan á las tres ecuaciones (1), — 844 — Ya lo hemos explicado minuciosamente en otros cursos. Claro es que este problema de análisis es inmensamente difícil, y no ha sido resuelto todavía, no ya para las ecuacio- nes (f) (1), sino aun cuando se simplifiquen por hipótesis particulares, por ejemplo, para los sólidos homogéneos y aun para los sólidos isótropos. 2d Pero, en rigor, la responsablidad, si la palabra vale, no es de la física matemática, sino del cálculo integral, Realmente, con lo dicho queda terminada la exposición del método de Mr. Poincaré en su forma más general; sin embargo, en las conferencias que nos restan de este curso todavía trataremos algunos puntos importantes, por ejemplo: 1.2 El cálculo de las tensiones. 2.7 El caso de los cuerpos isótropos. XLVII.—Elementos de la teoría de la Elasticidad. Por JosÉ ECHEGARAY. Gonferencia décimacuarta. SEÑORES: A decir verdad, hemos terminado en la conferencia prece- dente la exposición del método de Mr. Poincaré, para resol- ver el problema de la elasticidad, siempre en los límites ele- mentales propios de estas lecciones, cuyo único objeto es fa- cilitar á los alumnos el estudio de las obras originales de los grandes maestros de la ciencia. Obtuvimos las seis ecuaciones siguientes; PAT IS ANS Lo E ¿A ei 4 lin St ERRE de AN — 845 — AB AO PESO! AIFS4B'm+C.n +P,=0, (2) A “IE B'Um+C"n + P¿ =0, de ld —X=0, dx 13 dy > dz dA'” dB' CS O dx dy dz dA” dB" ae: e AA dx dy + dz que con las explicaciones que dimos en dicha conferencia quedaban perfectamente definidas. Las tres primeras decíamos se refieren á la superficie del sólido elástico, y deben quedar satistechas para todos los puntos de la superficie del mismo. Las tres últimas se aplican á todos los puntos del interior de dicho sólido, y para todos ellos deben quedar satistechas también. Unas y otras, cuando se sustituyen por A, B, C....., sus valores se convierten en ecuaciones en diferenciales par- ciales de u, v, w. Las (f) son de segundo orden, es decir, contienen x, y, z como variables independientes; 4, v, w como funciones de las mismas, y además, los coeficientes diferenciales hasta el se- gundo orden. Además, si se trata de un problema de dinámica, conten- drán como cuarta variable independiente el tiempo £, y en X, Y, Z las fuerzas de inercia. Las (1) se referirán á dos variables independientes, que serán dos de las x, y, z, puesto que los puntos están sobre una superficie; y el problema queda reducido á integrar el sistema (F) con bastante generalidad para que los valores que obtengamos de u, v, w satisfagan al sistema (1). Todo esto ya lo dijimos en la última conferencia; lo repe- — 846 — timos para refrescar, por decirlo así, las ideas y para enla- zar en cierto modo esta conferencia con aquélla. También llamamos la atención de nuestros alumnos sobre la semejanza, que más tarde se convertirá en identidad, entre las ecuaciones que hemos obtenido y las que obtuvimos en el curso anterior al explicar el método de Lamé. Eran estas últimas las siguientes (curso de 1907 á 1908, página 223.) | Pl =N a+ Ta BH Ty, Pm= T¿a+ N,BH+ Ty, (D Pn =T,0+ T, BN; y, di dv id Tide mE det lo ESO» E vr: do ON 00 UR A A Y =0, !l E qe dv al E du (1D) dy AT, , 2 de O La semejanza de estructura entre el sistema de las seis ecuaciones (1) (f) de Mr. Poincaré y el de las seis ecuacio- nes últimas (1) (II) salta á la vista. Además, las tres primeras (/) se refieren, como las otras, (D á la superficie del sólido elástico. Las tres últimas (f), como las (II), se refieren á toda la ex- tensión del sólido. Las N y T de Lamé están sustituidas por las A, B, C de Poincaré. Los tres últimos términos del primer grupo de dicho autor, son Ps, Py, P¿, que representan las componentes de las fuerzas exteriores aplicadas sobre la superficie; en rigor son cantidades idénticas á las P!, Pm, Pn que son también las componentes de la fuerza P;'sin más diferencia, entre unas y otras, que la notación, ó sea haber puesto en evidencia en — 847 — las últimas los cosenos de los ángulos que dichas fuerzas forman con los tres ejes. En cuanto á la diferencia de signo, sólo con cambiar los de las A, B, C....., desaparece dicha diferencia, asi en los pri- meros como en los segundos grupos. En estos últimos también aparecen al final de los primeros miembros las componentes de las fuerzas exteriores sobre cada punto, con esta sola diferencia: que en las ecuaciones de Lamé las componentes X, Y, Z se refieren á la unidad de masa del punto sobre el cual actúan, y en las de Poincaré dichas componentes están tomadas, por decirlo así, en globo. Hasta aquí la concordancia entre las soluciones de ambos métodos es completa. Pero queda una diferencia, y es que el cuadro de las N, T en las fórmulas de Lamé es simétrico respecto á una de las diagonales, porque, en efecto, es el siguiente: MA Paita da al paso que no es simétrico el cuadro de las A, B, C..... en las fórmulas de Poincaré, que es éste: A B € Ada er AE" B" Es | Anticipemos la idea de que esta diferencia depende de que el método de Mr. Poincaré es más general, como hemos di- cho varias veces, que el método de Lameé, el cual constituye, en cierto modo, un caso particular de aquel método. Cuando vayamos particularizando el de Mr. Poincaré llé- garemos, por último, á una identidad absoluta en las fórmu- — 848 — las, y otro tanto podemos decir con relación al método de Cauchy. Pero aún pondremos más en evidencia la semejanza de uno y otro método interpretando, como vamos á hacer en seguida, la significación de las cantidades A, B, C..... en las últimas fórmulas que hemos obtenido. Mas antes de empezar dicho estudio, recordemos lo que ya expusimos en la última conferencia, que es una última y fundamental semejanza entre ambos métodos. La semejanza aparece una vez establecidas las seis ecua- ciones (1) (f) del método de Mr. Poincaré y las seis ecua- ciones (1) (11) del método de Lamé. En efecto, obtenidas estas seis últimas ecuaciones, no hay más que eliminar las N y T en función de las derivadas de u, v, w que caracterizan la deformación de cada ele- mento. Pues en el método de Mr. Poincaré se repite esto mismo: se eliminan las A, B, C...... en función de las nueve deriva- das que caracterizan dicha deformación. Sólo que en este úl- timo caso, las A, B, C se obtienen directamente derivan- do U, como ya explicábamos en la conferencia precedente Cada cantidad A, B, C..... es la derivada de la función de fuerzas U, Ó, si se quiere, de la potencial, con relación á INTA du du day ide Y ahora pasemos á interpretar la significación de dichos coeficientes A, B, C..... Decíamos en la última conferencia: el método de Mr. Poin- caré queda ya explicado en sus líneas generales; y como no = 849 tenemos tiempo para más desarrollos ó aplicaciones á casos particulares, ni lo permite el carácter de estas conferencias, daremos por terminadas las del presente curso con sólo tratar dos cuestiones, que son complementarias de la materia que venimos exponiendo. Es la primera la determinación de las presiones en el in- terior del sólido elástico. Es la segunda la simplificación de las fórmulas hasta lle- gar á las correspondientes á los cuerpos isótropos. Cálculo ae las pre- | siones.—Las fórmulas (1) ($) se aplican á cualquier cuerpo elás- tico ABCD (tig. 44). Las tres primeras, como tenemos dicho, al equilibrio de la su- perficie; las tres últi- mas al equilibrio de todos los puntos del Pigura 44. interior del sólido. Pues ocurre, que si consideramos en dicho sólido cualquier porción abcd de su masa, á esta porción que consideramos podrán aplicarse, mediante una hipótesis natural, dichas seis fórmulas generales. En efecto, toda la parte comprendida entre ABCD y abcd podrá suprimirse con el pensamiento, si á la superfi- cie abcd le aplicamos fuerzas p convenientemente determi- nadas. Estas fuerzas no serán otras, que las acciones que sobre la superficie abcd ejercía toda la parte externa EE del sóli- do que consideramos. Y habremos venido á parar á este problema: determinar el equilibrio del sólido abcd aislado en el espacio y sobre - cuya superficie actúan ciertas fuerzas p, que todavía no co- Rzxvy, Aca. Ciencias.—VII.— Mayo, 1909. 58 pr: y a nocemos, pero que nos proponemos determinar: precisamen- te estas son las presiones interiores. Porque nótese que la forma abcd, que para fijar las ideas es la de un paralelepípedo, en rigor puede ser arbitraria; y cualquiera de las caras ab puede pasar por cualquier pun- to m. De suerte, que si quisiéramos determinar la presión en un punto /m del sólido, bastaría que hiciéramos lo siguiente: imaginar una porción cualquiera abcd en lo interior de ABCD,; hacer que la superficie ab pasase por m; determinar el equilibrio del sólido abcd, como si estuviese aislado y sujeto á fuerzas exteriores p; y deducir, como luego vere- mos, cuál deba ser la fuerza p para que esta porción esté en equilibrio. : Tenemos, pues, un problema idéntico al problema gene- ral: sólo que en vez del cuerpo ABCD, tenemos el cuerpo abcd; en vez de las fuerzas conocidas P, las fuerzas desco- nocidas p, y por de contado el nuevo cuerpo abcd estará sometido en todos sus puntos á las mismas fuerzas que an- tes, cuando formaba parte del sólido dado ABCD. En suma, al cuerpo abcd se le pueden aplicar las seis ecuaciones fundamentales: las tres primeras deberán verifi- carse para la superficie abcd, y las tres últimas para la por- ción comprendida en el interior de esta superficie. Pero con esta diferencia, en que deben fijarse mis alum- nos: que en las seis ecuaciones fundamentales las P eran cantidades conocidas, eran datos del problema, y en cambio las incógnitas eran u, v, w; al paso que ahora, si el proble- ma general ha sido resuelto, ó suponemos que ha sido re- suelto, conoceremos u, v, w en fundición de x, y, z para todo el sólido, y por lo tanto, para una de sus partes abca; pero en cambio no conocemos las p. Comprendido esto, la determinación de las presiones en cualquier punto del sólido es un problema bien sencillo. "Supongamos que la porción que hemos separado del só- — 851 — lido elástico es el paralelepípedo elemental O (tig. 45) y que la cara abcd pasa por el punto o, para el cual queremos de- terminar las tensiones. Empleamos la palabra tensión como término genérico; será presión, tracción ó fuerza tangencial. El punto o de la figura 45 es como el punto mm de la fi- gura 44. 0 Apliquemos á este paralelepipedo, como si fuera un cuer- po aislado, las seis ecuaciones fundamentales, de las cuales sólo nos hacen falta las tres primeras, porque son las que contienen las fuer- zas exteriores cuyas com- ponentes hemos designa- opor. PP, Pa. Estas son precisamente las incógnitas para el pun- to o de la figura 45. Estas son, repetimos, las incógnitas, y en cam- bio son cantidades conoci- das todas las demás que pora, $3: entran en el grupo (/), que para mayor claridad reproducimos á continuación Al Bm +Cn +P,=0, ATTFBm +Cn +EP,=0, A “I+ B"m>+C"n+P;=0. conocidas, pues en efecto, las A, B, C..... son funciones de forma conocida, porque son derivadas de W, y contienen Xx, y, z, que son las coordenadas del centro O del paralele- pípedo, Ó si se quiere del punto o. Además contienen las derivadas de u, v, w, con relación á * Xx, Y, 2; pero como suponemos que el problema de la Elasti- — 852 — cidad está ya resuelto, u, v, w serán funciones conocidas y no habrá más que sustituir en ellas las coordenadas del punto o. Podemos, pues, determinar en dichas ecuaciones las com- ponentes de la presión ó tensión en o, que son Py, P,, P. El problema de determinar las tensiones interiores cuando el problema general está resuelto, queda resuelto también. De no ser así, no hallaríamos desde luego las presiones interiores, pero determinaríamos, como vamos á ver, su for- ma analítica en función de las u, v, w. Vamos á cambiar de notaciones para buscar la coinciden- cia con las fórmulas de Lamé. En vez de P,, que es la componente de la tensión en el punto 0, paralela al eje de las x, vamos á emplear la letra N,. En vez de P,, que es la componente paralela al eje de las y, emplearemos la notación T,,. El primer subíndice indica que se trata de tensiones sobre un área infinitamente pequeña abcd perpendicular al eje de las x, que siem- pre se hace corresponder al subindice 1. El segundo sub- indice 2 indica que se trata de la componente paralela al eje de las y. Por último, en vez de P, escribiremos 7;z, en que el sub- indice 1 supone, como antes, que se trata de tensiones sobre un pequeño plano perpendicular al eje de las x, y el subín- dice 3 expresa la componente paralela al eje de las z. Tenemos, pues, la siguiente correspondencia: AA TES — 8353 — En cuanto á /,m, n, que son los cosenos directores de la normal al plano abc d, son cantidades evidentemente cono- cidas. Determinemos ahora P,, que como coincide con el eje de las x, corresponderá á SL) 100; y sustituyendo en la primera ecuación del grupo (1), es de- cir, en AI+Bm>+Cn>+P,=0 estos valores, y en vez de P, la notación N,, tendremos ó bien | : N, ==» A . Hemos determinado, pues, N,, si el problema de la Elas- ticidad está resuelto, y si no su forma analítica, puesto que Aes 284 du lbs En suma ren Eta dx Del mismo modo para determinar P,, ó sea T,,, tendremos que sustituir, como antes, puesto que el plano abc d es el mismo, l=1.: m=04W:2=0: en la segunda ecuación del grupo (/), es decir, en A4I+B'm=+Cn+P,=0, Le en poniendo además 7;,, en vez de P,; y resultará AO, e Ó sea ES To == — AS Por último, si en la tercera ecuación del primer grupo A"I+4B"m+C"n+P,=0, hacemos como siempre, puesto que se trata de la misma cara del paralelepípedo; IS E, 10 tendremos | AE 10 y representando P, por Ts ATT =0, de donde Tis =-— A”. Repitiendo consideraciones análogas para las caras dx . «12 y dx .dy, obtendremos las componentes de las tensiones so- bre dichas caras en función de las A, B, C..... que son deri- vadas conocidas de W. De esta manera obtendremos tam- bién la significación de dichos coeficientes A, B, C..... que entran en las seis fórmulas fundamentales, las cuales de este modo adquieren aun mayor semejanza con las fórmulas de Lamé, salvo la diferencia que antes indicamos respecto á la no simetría del cuadro A B Es — 855 — Mr. Poincaré dsmtbsiia que, en general, no se verifican las igualdades E A Ci == ES A este propósito dice textualmente: «Resultado bastante inverosímil, porque estas igualdades se verifican en el equilíbrio natural, que nosotros hemos es- cogido arbitrariamente, y que en nada se distingue del estado de equilibrio que llamamos equilibrio forzado». Además, decimos nosotros, en el curso anterior dimos una demostración elemental, que es clásica y que se aplica á to- dos los casos. Y continúa diciendo el ilustre autor: y «Por lo demás, es fácil de explicar la aparente paradoja. No es cierto que —Aduw, —A'du, -—A“dw, sean las pro- yecciones sobre los ejes de la presión sobre un elemento de área du, perpendicular á ox; som las componentes de la pre- sión que se ejerce sobre un elemento que antes de la defor- mación tenía por área du y era perpendicular á 0x. La deformación cambia el área y su dirección». Mr. Poincaré desarrolla este cálculo, que es sumamente sencillo, que mis alumnos pueden ver en la obra á que nos referimos y que la falta de tiempo nos impide desarrollar. Pasemos á la simplificación de la fórmula, que era el segun- do de los puntos que antes indicábamos. Simplificaciones.—En dos simplificaciones vamos á ocu- parnos tan sólo. La primera se refiere al estado inicial del sistema; la se- gunda al caso de los cuerpos isótropos. — 856 — 1.7 Supongamos, que en el estado inicial no existen fuer- zas exteriores. E Vimos en la conferencia décima que si representábamos por i PosQ ie, las componentes de las fuerzas exteriores en el estado inicial, y si suponiamos U=U 0 ar U 1 == U 2) en que U, representa una constante, U, una función lineal en 4, V, w, y U, un polinomio homogéneo de segundo gra- do de dichas cantidades, las ecuaciones generales de equili- brio eran estas: 2 1 y y Xx =0, du; du; o A ea) dv; dv; CNO O: dw; SUE dw; + Ri 4+Z=0 Como son generales para todas las deformaciones posi- bles, claro es que comprenden el estado inicial ó estado na- tural. Para aplicarlas á dicho estado basta suponer nulas las fuerzas exteriores X;, Y ;, Z;, así como las variaciones 4;, V;, w; que producen en las coordenadas del sistema. Pero como aos du, du dde mogéneas en 4;, V;, W;, haciendo estas cantidades laualós á cero, se anularán estos tres coeficientes diferenciales. Con lo cual las tres ecuaciones precedentes, aplicadas al estado natural, se reducirán á estas tres son funciones lineales ho- o dU, P:.= 0; du; ad dU, de e E al a? A dw; Ahora bien, si la simplificación, que vamos á hacer, con- siste en admitir que en el estado natural no existen fuerzas exteriores, deberemos en las ecuaciones precedentes anula: Pi, Q;, Ri. Y tendremos dU, dU, dU, gs PELAS yl 106 A 2 du; dv; dw; Tales son las condiciones necesarias y suficientes para que en el estado natural no existan fuerzas exteriores. Ahora bien, U, es una función lineal homogénea, y se sabe por el teorema de estas funciones que dU, dU. dU, —= u v + —— w = U,, du a dv A dw , y como los tres coeficientes del primer miembro son cero, tendremos también Ú, =0. Por otra parte, al introducir las coordenadas R en combi- > qe dF nación con las x, y, z, dijimos que Y e p1, por ser una función lineal en u, v, w, y representar el único grupo de esta clase en el desarrollo de U, debía ser igual á U,, de modo que tendremos NE U,=2% — 01 AR y, por lo tanto, | ra (a) para todo el cuerpo elástico. aplicaflo el principio de radio de actividad molecular, vimos también, que U, = / W,dz siendo Wd=23-0 e HOM Las dos formas (a) y (b) son al parecer iguales, pero tienen distinta significación, mejor dicho, distinta extensión. La primera (a) se extiende, como hemos dicho, á todo el cuerpo; las R, y, por lo tanto, las p, se refieren á todos los pares de moléculas, á las próximas, como á las lejanas. Fué la fórmula general, antes de introducir la simplificación, que se refiere al radio de actividad molecular. Después dijimos que la potencial del cuerpo era la suma de las potenciales de cada uno de los elementos. Y así, la fórmula (b) sólo se aplica á cada paralelepípedo-elemental; de modo que en esta fórmula (b) sólo entran las R y p com- prendidas en dicho elemento. Y calculada X e o, para cada uno de estos elementos, hay que integrar todos estos valo- res. Por dicha razón, para obtener la parte de la integral á que nos referimos, que es la parte lineal en u, v, w..... hemos escrito 0, =P Ad id 3 W, dr, introduciendo W, referida á la unidad de volumen. Pero hemos visto, que cuando en el estado natural las fuer- zas son nulas, U, debe ser igual á cero, luego tendremos f> —a=0, Ó bien mero. dR — 859 — Y como esta integral es una suma de cantidades positi- vas, todas ellas deberán ser iguales á cero también; por lo tanto, dF a Recordarán mis alumnos, que expresando p, en función de as cantidades 0,, 43, 03 b,, bz, bz obtuvimos la siguiente fórmula y: dF dF W,dz=2l a, Y — Axl + a, E — Ay? vw, [a ig AR + Fa | dF dF dF b, 2 — AyAz+b,2 — AxAz+b?E — AxAyl; +01 3 5 AYAz 4072 7 Axa 400 y| l uego en el caso que estamos considerando el segundo miembro debe ser igual á cero independientemente de a,, 4, 4z,b,, b,, Dz; es decir, para todos los puntos del sólido. Idénticamente nulas, dice Mr. Poincaré; por lo tanto, ten- dremos que igualar los coeficientes á cero, con lo cual obten- dremos estas seis condiciones s 0 SLIc A o n= 0) dr dr dR (c) a ts A dx dx Ñ y diferenciando du qu df disas(x, a) O aX d (ao (x, 2)) dx ó bien ole ; y 0 du Ei 7: 3 de (ía) dx dx d (99 (x, 2) dx En general será rales dx Í (x, 2 (X, )) eat ce olaa. Eee ero egin AE A AA luego de(x, a 1, (6.09%) + fa 20 (a a) HER, Pero podemos igualar el segundo miembro á una función completamente arbitraria, gozando sólo de esta propiedad, que cuando «a tienda hacia cero, tienda hacia una cantidad ce 7 e du peo finita escogida arbitrariamente y en este caso . en el lími- ÓS te será también arbitraria y finita. Pero si F(x, a) es la función arbitraria á que nos referi- mos, la condición FU LE) de LA, 250 — Fx, 0) quedará satisfecha tomando para < (x, «) la ed que resulte de integrarla. Indicamos esta idea, sin discutirla, y sin generalizarla, y sólo á fin de aclarar los conceptos anteriores. Las ecuaciones (c) van á procurarnos otra simplificación en la fórmula general de la potencial, que como recordarán mis alumnos se componía, prescindiendo de la constante, de dos partes: W, + Wo; — 865 — ó si se quiere, según otra notación, Pa, b) +- P.(a, b) 4 P (1 siendo P(a,b)=W, y P.(a,b) + PM = W.. Por el pronto, la primera parte W, hemos visto que es igual á cero porque son nulos todos los coeficientes del po- linomio lineal en a, b. Pero vamos á ver que la última parte también es nula, es decir, el polinomio P, (11). Porque, en efecto, recordemos que este polinomio se obtiene sustituyendo, o = IM, Ax? AS My A y? AUN zz Az? Al + 211 y, AyAz + 217. AzZAx 4 2 581, y AxA y en el término ca Pa: dark Con lo cual tendremos dF De PAM) = M2 Ao 4 ly 2 AY dF ¿E ÑÚ— Nz2 + Maz O dF dF dF A a A IN A A + 211, aR yAz + 21L,,, AR + 211, AR y Pero en todos los coeficientes entran precisamente las cantidades del grupo (c) que son iguales á cero; luego todo el polinomio P, (II) será nulo. Resulta, pues, esta simplificación notable: cuando en el estado natural del cuerpo elástico no existen fuerzas exte- Rev. Acap, Ciuncias.— VIT.— Mayo, 1909. 59 — 866 — riores, de los tres términos que constituyen la potencial, desaparecen al mismo tiempo el primero P,(a, b) = W, y, el último P,(11); es decir, la expresión lineal en a,, 4), 03, b,, b3, b¿ y el polinomio lineal que contiene las expresio- nes II. Sólo queda el segundo término P¿(a, b), es decir, un poli- nomio homogéneo de segundo grado en a, b. " De modo que cuando el estado natural sea el que hemos indicado, puede escribirse salvo el signo: potencial = f ¿ (a, b), ó poniendo en evidencia el elemento diferencial y sin variar la notación para evitar complicaciones U=WPA Dada En este caso es fácil demostrar que las fórmulas de Poin- caré coinciden exactamente con las de Lamé, es decir, que el cuadro APTA ANSUBA AC: A 17 Be 7 es simétrico; de modo que A E E Demostremos la primera de estas igualdades y es claro que las otras dos se demostrarían de la misma manera. Para ello recordemos lo que significan A” y B. Hemos dicho en esta misma conferencia, que . : ' o -dW dwW AS A do a e: paa dx dy Veamos ahora en la hipótesis del estado natural sin fuer- zas exteriores, á lo que se reducen los segundos miembros de las dos ecuaciones precedentes. | W hemos visto que es un polimonio de segundo orden de los coeficientes característicos de la deformación, que se ex- presa de este modo P, (a, b) + P¿ (a, b) +- P,(M); y acabamos de demostrar, que en la hipótesis de que se trata, queda reducido al segundo término; de modo que WE “2: (ad) y por consiguiente y je dP, (a, b) pp dP., (a, b) qa y da dx dy Pero no olvidemos la significación de a,, 4,, 03, Dj, 05 oa Sabemos que ea dy Pao. dw A RA da dv dw du dw du dv O dz dy dz dx dy dx Luego las dos cantidades E, de con relación á las - q x y cuales hay que derivar el polimonio P, (a, b) para obtener — 868 — A” y B, sólo entran, y entran las dos al mismo tiempo, en En rigor, P (a, b) puede escribirse así: P¿ (4,, 4,, Az, dy, b,, b;); pero como la derivación sólo afecta á bz, podemos prescindir de los demás coeficientes diferenciales y escribir P.(b;), con lo cual tendremos estas tres ecuaciones: a IP A0) g aPelo) Ez MEA dx dy du dv bz a SE ET dy dx y tendremos n= E) E y como = = 1. pida O Ni O dx dx dx según la última ecuación, resulta yr 9Pb), db, Del mismo modo B= APe03) _ eta db; o a 8 dy dy dy p — “Pdba). Por lo tanto, 4 = B, como pretendíamos demostrar. Del mismo modo demostraríamos las otras dos relaciones E PA — 869 — sería un cuadro simétrico respecto á la diagonal A C” y coin- cidirían las fórmulas de Lamé con las fórmulas dc Poincaré. Si en el estado natural del cuerpo elástico existiesen fuer- zas exteriores, no podríamos efectuar las simplicaciones que preceden. La U, no sería cero; no lo sería, por consiguiente, la W,, ni sus coeficientes tampoco; luego no se anularía el tercer término de la potencial P, (11) porque no serían nulos sus coeficientes. Y al obtener las cantidades A, B, C..... el cuadro de dichas cantidades no sería simétrico. Pero sobre este punto nada podemos agregar á lo dicho y debemos atenernos á lo expuesto hasta aquí. El que desee profundizar más la cuestión, puede estudiar- la en la obra citada de Mr. Poincaré. En la conferencia próxima, que será probablemente la úl- tima de este curso, estudiaremos la segunda simplificación antes indicada, á saber: el caso en que el cuerpo sea isótropo. — 870 — XLIX.— Método para determinar la dirección de los vientos superiores por las ondulaciones del borde de los astros. POR VICENTE VENTOSA. (Continuación.) c) Paso de una ligera depresión cerca del lugar donde se observa. ALTITUDES DIRECCIONES DIFERENCIAS 1892, Junio. 7 8 9 8-71 9-8 ida CON. MÓNEAO 2252 334% 330% +109 — 42 A IES le E 218 333 334 +115 + 1 AO a o poo Dead 226 338 "318 3112. =.20 2 ARA do 245 341 315 + %6 —26 A En 268 331 307 +63 —24 100 Eu A 287 335 200 + 48 —36 OO LTS, 286 321 281 +35 —40 AMOS Ma 258 296 fracto-cumuli. Vila al als 0 NE E NE.-ONO. En este caso, la rotación del viento ha presentado singu- lar contraste entre las regiones altas y bajas de la atmósfe- ra, según se advierte en las columnas de diferencias del cuadro precedente. Arriba, dicha rotación fué considerable del 7 al 8 de Junio y casi nula del 8 al 9. Mientras, abajo hubo dos movimientos en sentido contrario uno de otro y de menor amplitud. Situación general. Las cartas del tiempo nada dicen que pueda ilustrarnos acerca de los movimientos observados, porque señalan una situación estable en Europa durante es- tos tres días, constituida por altas presiones que ocupan las y A : E A y y E Islas Británicas, y una área lejana de presiones bajas en la parte oriental del continente. Pero las cartas meteorológicas no suelen contener otras curvas isobáricas que las que se diferencian en cinco milíme- tros de presión; por manera que ciertos movimientos del aire muy circunscritos y de poca intensidad pueden pasar inad- vertidos. Eso es lo que en este caso acontece, porque habien- do consultado el Boletim Meteorológico do Observatorio do Infante D. Luiz, cuyas isobaras van de milímetro en milíme- tro, hallamos lo siguiente: Junio 7.—Ligero centro de depresión al O. de Madrid en el Atlántico. Idem 8.—Este centro de depresión se halla ahora al N. de Madrid, en el golfo de Vizcaya. Idem 9.—El mismo centro se ha transportado al ENE., no lejos de la isla de Córcega. | Con razón insiste el sabio meteorologista M. Durand-Gre- ville en la conveniencia de que el trazado de las isobaras en las cartas meteorológicas se haga con más escrupulosidad que hasta aquí y para menores diferencias de presión. Pero esto sólo podrá conseguirse cuando dichas cartas no se cons- truyan, como ahora, inmediatamente y sin aguardar á que los datos que proporciona la observación estén bien comproba- dos y exentos de errores. Abundan tanto los ejemplos, análogos á los que hemos en- tresacado de los cuadernos de nuestras observaciones, que podrían citarse otros muchos igualmente instructivos; pero nos hemos limitado á los pocos que preceden, con el único fin de poner de manifiesto el alcance del método de las on- dulaciones. Quien desee más pormenores puede consultar la Memoria que fué presentada en el Congreso de la Atmóste- ra, reunido en Amberes en 1894, y publicada en sus Actas (*). (*) La direction des vents supérieurs déterminée par les ondula= tions du bord des astres. Anvers, 1895. — Bb ds V Antes de dar por terminada esta Memoria, conviene hacer- se cargo de algunas objeciones importantes hechas al méto- do de las ondulaciones, y de la contestación que recibieron. La necesidad de refutar esas objeciones nos obligó á empren- der nuevos estudios y experiencias, que, á juicio nuestro, sirvieron para poner en claro la naturaleza y estructura de las ondas aéreas, el modo de producirse y propagarse, y de qué manera intervienen en la transmisión de los rayos lumi- nosos que las atraviesan. Con el título Windrichtune und Scintillation, el Dr. K. Ex- ner, insigne Profesor de la Universidad de Innsbruck, publi- có en la revista Meteorologische Zeitschrift (Band XIII, 1896, Heft 10, Octubre) un artículo, en el que manifiesta tener du- das acerca de la eficacia de nuestro método, cuando por su medio se trata de conocer la altitud de las corrientes atmos- féricas. Este artículo fué seguido de una discusión, que lue- go analizaremos, entre M. Exner y el Dr. Travert, astróno- mo del Observatorio Imperial de Viena, la cual salió á luz en los números de Diciembre 1896 y Enero 1897 de la men- cionada revista. El Dr. Exner resume en su citado artículo sus propios en- sayos y estudios en esta materia, del mismo modo que se hallan expuestos en su importante Memoria sobre el cenfe- lleo de los astros (Ueber die Scintillation) (*), como si tra- tase de plantear una cuestión de prioridad. A esto repusimos que, cuando comenzamos nuestras ob- servaciones de los vientos superiores, ignorábamos comple- tamente las que el Sr. Exner había realizado, y que tampo- co, á la sazón, conocian muchos astrónomos y meteorologis- (*) Repertorium der Physik, 1887. AS — 83 — tas. Dado el progreso extraordinario de las ciencias en nuestra época, ese paralelismo de las ideas nuevas, á la vez é independientemente concebidas por varias personas, no es, sin embargo, un hecho aislado, sino muy frecuente, como la historia de las investigaciones científicas demuestra todos los días. Por otra parte, el Dr. Exner, que no parece haya continuado las suyas durante mucho tiempo, confiesa que las conclusiones á que primeramente había llegado eran in- exactas, como tenía que suceder, por haber utilizado en sus observaciones un anteojo demasiado pequeño para poder analizar las ondas aéreas producidas en las elevadas regio- nes de la atmósfera, según luego veremos. Partiendo de su teoría sobre el centelleo de los astros, pa- récele irrealizable la aplicación de la propiedad de los focos conjugados, tal como antes se explicó, para determinar la distancia de cada sistema de ondas aéreas al observador. Textualmente dice que «las ondas ciertamente nacen ó se producen á través de lugares determinados de la atmósfera, pero no se encuentran en ningún lugar de la atmóstera» (*); frase un tanto ambigua ú obscura, que, si no nos equivoca- mos, parece indicar que los rayos luminosos emanados de un astro, al atravesar nuestra atmósfera, experimentan, an- tes de llegar al ojo del observador, refracciones múltiples é irregulares por efecto de las diferencias de densidad de las diversas capas del aire, el cual rara vez se encuentra en es- tado de calma y homogeneidad, sino al contrario, sometido generalmente á condensaciones y enrarecimientos de origen muy complejo. El observador, según esto, sólo percibe las direcciones finales de dichos rayos, ora convergentes, ora divergentes, produciendo de esta suerte alternativas de luz y obscuridad continuamente variables. (**) «Da aber die Wellen zwar durch bestimmte Stellen der At-- mospháre entstehen, sich selbst aber an keiner Stelle der Atmosphá= re befinden», etc. — 8714 — Con arreglo á estas ideas, el Sr. Exner da de los fenóme- nos observados en el Sol una explicación diferente de la nuestra, y que puede resumirse en estos términos. Cuando el ocular de un anteojo está ajustado en el foco principal, los rayos luminosos que emanan de un punto del limbo solar, después de atravesar el objetivo, convergen en otro punto, que es la imagen del primero, y que, como simple punto, será percibido por el observador. Pero si se saca el ocular aumentando la distancia focal, el único efecto, á pesar de la presencia de la atmóstera, es, según el Profesor Exner, que dicha imagen, antes sin dimensiones sensibles, se transfor- me ahora en un círculo de difusión (Zerstreuungskreis). Con- secuencia natural de lo dicho debe ser que las ondas cortas desaparezcan entonces. Eso se ve fácilmente dibujando en una hoja de papel una serie de ondas que correspondan á la su- perposición de dos ondulaciones diferentes: una compuesta de ondas cortas, y otra de ondas largas. Haciendo luego cen- tro en todos los puntos de estas líneas onduladas, trácense circulos de gran diámetro y todos iguales, y se verá que las curvas envolventes de estos circulos permiten ver todavía con gran claridad las ondas largas, mientras las ondas cor- tas se desvanecen. Pero si el razonamiento de M. Exner fuera cierto; si los circulos de difusión, en una posición dada del ocular, tuvie- ran el mismo radio para las ondas de cualquier especie, ten- drían también el mismo brillo intrínseco, y, en consecuencia, se debería ver mejor, hasta en el foco principal, las ondas largas que las ondas cortas, por efecto de la mayor dimen- sión de las primeras; resultado que está en contradicción con lo que la observación casi siempre enseña. Aseguró, además, el sabio Profesor que, si en vez de ale- jar el ocular del objetivo, se le acercase, pasado el foco, de la misma longitud, medida en el tubo que sostiene á la pri- mera lente citada, se observarían idénticos fenómenos, y pro- puso el experimento á los astrónomos que poseyeran ins- E ES NES A a o o id ATOM E ES — 85 trumentos adecuados para ello. Así lo efectuó el Dr. Travert, utilizando un anteojo de 12 pulgadas de abertura, pertene- ciente al Observatorio Imperial de Viena. Sacando fuera de foco el ocular de este instrumento, vió claramente en el lim- bo del Sol una serie de ondas que iban de O. á E., paralela- mente á la dirección de los cirri. Pero cuando, después de haber ajustado de nuevo el ocular en el foco principal, le in- trodujo más, acercándole al objetivo, vió, con gran sorpresa suya, que la agitación que antes tenía el borde del astro ha- bía cambiado de carácter, y que ese borde era ahora de color azulado. Veíase todavía una especie de vibración (Flimmern); pero las ondas, que durante la primera parte del experimen- to corrían en dirección bien determinada, habían desapareci- do completamente. A resultado tan imprevisto, y que parecía contradecir el aserto del Dr. Exner, este señor objetó que, por haber sido efectuada con toda la abertura del objetivo la observación de M. Travert, el mal éxito del experimento dependía de diversas causas, que se eliminarían reduciendo dicha abertura. En consecuencia, M. Travert repitió la prue- ba colocando en el objetivo un diafragma provisto en su centro de un reducido agujero circular de tres centímetros de diámetro, y entonces, efectivamente, la predicción de M. Ex- ner se realizó, pues el movimiento ondulatorio progresivo era visible con la misma claridad, cualquiera que fuese la posición del ocular, tanto dentro como fuera del foco prin- cipal. Del resultado final de estos y otros análogos experimen- tos, dedújose desde luego que nuestras conclusiones eran erróneas, por lo menos en cuanto á la posibilidad de medir la distancia de las corrientes atmosféricas. Pero lo cierto es - que, á pesar de dichos experimentos, no llegó á ponerse en claro la causa de las diferencias encontradas, según se ob- servase con toda la abertura del objetivo ó reduciéndola mu- cho por la interposición de un diafragma. Verdad es que el: _profesor Exner invoca en apoyo de su tésis la opinión de — 876 — Newton acerca del efecto perjudicial de la gran amplitud de los objetivos para la observación de los fenómenos del cen- telleo; no obstante, creemos que este principio no tiene apli- cación en este caso, ni podría explicar las diferencias de as- pecto advertidas á los dos lados del foco principal cuando la superficie del objetivo utilizada llega á tener cierta magnitud. Por otra parte, no parece justo ó puesto en razón el refu- tar un procedimiento, basado en hechos ciertos é incontro- vertibles, apoyándose en experimentos realizados de muy diferente manera; por lo menos mientras los fenómenos ob- servados no sean sometidos á un minucioso examen de to- das las circunstancias que les acompañaban en cada caso. El mismo M. Exner se muestra algo indeciso al formular sus dudas, y M. Travert, al final de la discusión suscitada con tal motivo entre estos dos sabios, atribuye nuestro error «á »una complicación de relaciones (sic) cuando no se reduce ó »achica la abertura del objetivo, y entonces, de hecho, cuan- »do se mete el ocular, el movimiento ondulatorio se desva- >nece, probablemente, por efecto de las diferentes magnifu- »des de los círculos de difusión». (Vermuthlich wegen der verschiedenen Grósse der Zerstreuungskreise). Esta última conjetura del Dr. Travert, que contradice plenamente la teo- ría del Prof. Exner, la cual, según se ha visto, exige que en una posición determinada del ocular los radios de todos los círculos de difusión sean iguales, revela la verdadera causa, como se demostrará luego, de los fenómenos observados. vI Como elemento importante para esclarecer la cuestión que nos ocupa, conviene que hablemos ahora de un método, se- mejante al nuestro, ideado con posterioridad en América por M. Douglass, astrónomo á la sazón del Observatorio Lowell (Flagstaff, Arizona), y cuya descripción fué primeramente AAA si dpi MA Y SA RE MP, NA PEA EA RG AER NA AREAS A — 811 — dada á conocer en The American Meteorological Journal (vol. XI, núm. 11, Marzo de 1895) (*). Las observaciones de este autor fueron al principio hechas en la estación Harvard de Arequipa, en el Perú, durante el verano de 1892; pero la única serie que de ellas se haya publicado y que interesa particularmente á los meteorologis- tas, corresponde á los días que median entre el 28 de Sep- tiembre y el 31 de Diciembre de 1894. Posteriormente, Mr. Douglass dió á luz en la revista Popular Astronomy (Junio de 1897), otra Memoria sobre el mismo asunto, pero donde se ve que el fin principal de las investigaciones de este astrónomo, fué investigar el efecto de las perturba- ciones atmosféricas en la visibilidad de los astros observa- dos con auxilio de un anteojo. Este interesante problema ha sido objeto de multitud de trabajos, que no es posible desmenuzar aquí, por parte de muchos astrónomos, entre ellos el Dr. See, que publicó im- portantes artículos en las Astronomische Nachrichten (nú- meros 3.438, 3.449 y 3.455), y, en estos últimos tiempos, los Sres. Riccó, Mascari y Cavasino, del Observatorio de Cata- nia, que hicieron lo propio en las Memorie della Societá de- gli Spettroscopisti Italiani (vol. 34, 1905). Del conjunto de tantos trabajos, realizados por personas eminentes, es justo reconocer que se ha llegado á obtener resultados de entidad suma para las observaciones astronómicas. Mr. Douglass no observa, como nosotros, el borde de los astros, sino que, quitando de antemano el ocular, coloca di- rectamente el órgano visual en el foco del objetivo del an- teojo y examina el disco ficticio que resulta en estas condi- ciones de la concentración por el objetivo de todos los rayos (*) En el último número (Abril de 1896) de esta REVISTA, que sen- siblemente ha dejado de publicarse, al hablar de nuestro método de observación, dice que es »nos Ó desear en teoría, el arte es capaz de realizarlo en la »práctica, hay, sin embargo, ciertos límites, más allá de los »cuales los telescopios no son ya susceptibles de perfección. »Porque el aire, á través del cual vemos los astros, está »continuamente agitado, lo que se advierte en el movimien- »to como de trepidación de las sombras proyectadas por las >torres altas y en el centelleo de las estrellas fijas. Vistas »con anteojos de grande abertura, estas estrellas no cente- »llean, porque sus rayos luminosos, que pasan por diferentes >partes de la abertura, oscilando cada uno aisladamente, »Siempre de diversa y á veces opuesta manera, caen al »mismo tiempo en diferentes puntos del fondo del ojo, don- >de sus uscilaciones son demasiado vivas y confusas para >ser vistas separadamente. Ahora bien, todos estos puntos, ($) Optices, Lib. 1, Pars 1, Propositio VIII, Problema ll. AAA — 883 — »confundidos y mezclados unos con otros por oscilaciones »muy breves y rápidas, producen un punto luminoso dila- »tado, y hacen que la estrella parezca más grande de lo que »debería ser, pero desprovista de centelleo. Los telescopios »grandes podrán, pues, servir para ver los objetos más bri- »llantes y amplificados, pero de ningún modo estar dispues- »tos para que sean capaces de remediar esa confusión que »procede de la agitación del aire. El único remedio es un »aire muy tranquilo, como acaso se halle en la cumbre de »las montañas muy altas, por encima de las nubes más «gruesas.» (Este desideratum de Newton es hoy un hecho realizado). Hemos creído conveniente extendernos en el análisis y dis- cusión de estos fenómenos porque, como antes vimos, quiso M. Exner apoyar en el llamado principio de Newton algu- nas de sus objeciones á nuestro método, cuyo fundamento puede así apreciarse mejor. Dicho principio es realmente importante en procedimientos análogos al de Mr. Douglass; pero la experiencia enseña siempre que la observación teles- cópica de las corrientes atmosféricas por las ondulaciones del borde de los astros es, al contrario, cada vez más fácil y exacta conforme aumentan las dimensiones de las imáge- nes y la abertura del objetivo. Tampoco estaba muy seguro Mr. Douglass sobre la mane- ra de aplicar el principio de los focos conjugados á la medi- ción de altitudes de dichas corrientes, porque en su Me- moria se lee: «Es evidente que cuanto mayores sean la dis- tancia focal y la abertura ó diametro del objetivo, tanto más exactamente se obtendrán estas distancias»; pero poco des- pués añade: «lo mejor será que la abertura del objetivo sea la mayor posible, evidentemente porque la abertura consti- tuye la base lineal. ¡La distancia focal probablemente ori- gina diferencias de escasa importancia»! 0 Mr. Douglass no cita en su trabajo á Newton; pero lo que es realmente extraño que ni él, ni ningún otro de los colabo- =: 884. = fadores en este género de investigaciones, citen el nombre del Profesor Exner, cuyos trabajos, que abarcan la mayor parte de los problemas que tienen relación con el centelleo, aunque no siempre están exentos de error, reúnen, sin em- bargo, todos los caracteres de la obra de un verdadero sabio. Unicamente en el libro The System of the Stars de Miss A. M. Clerke (1890) logramos encontrar la merecida -mención que deseábamos. L.—Análisis de nitros refinados, pólvoras y explo- sivos cloratados. POR Juan FAGES VIRGILI. La solución clorhídrica de clorhidrato de anilina (*), cuyo empleo general para la investigacion y determinación colo- (+) El reactivo puede prepararse de cualquiera de estas maneras: y Clorhidr¿to de anilina puro .......... 50 gr. vd Acidotclorhidrico, M2 NS AReo 4 1000 e. c. Anilina puras vi Ta ciadss 36 gr. As ¡Acido clorhídrico ld asa 656 c. c. INR O O 344 c.c La segunda fórmula es mejor para la colorimetría, por ser general- mente más incolora la solución resultante. En algunos casos, conviene un reactivo más concentrado en ácido clorhídrico, que puede prepararse de cualquiera de estas maneras: Clorhidrato de anilina puro........... 50 gr. B. Jo clorhídrico, 1,145(754c.c.deácido clorhídrico de 1,19 y 246 c. c. de agua) 1000 c. c. 'AQUÍIMA Pura e A ai 36 gr. B_ (¿Ácido clorhídrico de 1,19............ 800 c. c. ¡ADUA SL! 0s AIALIAS USADAS: IL 200 c. c 4 volúmenes del reactivo B adicionados de un volumen de agua» equivalen, próximamente, al reactivo A. — 885 — rimétrica de los cloratos he expuesto en una Nota anterior (*), tiene cómoda y exacta aplicación al caso de nitros refinados y explosivos cloratados. Nitros refinados.—Los nitros refinados no suelen contener clorato Óó sólo algunas diez milésimas ó menos. Para la fa- bricación de pólvora varias naciones exigen que el nitrato potásico tenga menos de */,o00) de clorato. Otras naciones no tienen especial legislación sobre este asunto. : La investigación y determinación de proporciones tan pe- queñas de clorato exige Operar con cantidades relativamente grandes de nitro. Examen cualitativo.—Se ponen en un tubo 2 gramos del nitro finamente pulverizado (**), se añaden 3 c. c. próxima- mente del reactivo A (6 de un 1 mezcla previamente hecha de 2 vol.deB y 0,5 á 1 vol. de agua), se agita y se deja el tubo delante de un fondo blanco. Aparece coloración azul, ó mo- rada-azul que pasa á azul, y al fin verde, más ó menos in- tensa y duradera, según la abundancia de clorato. Un nitro que tenga 0,001 de clorato, da color casi en el acto y muy intenso; si tiene 0,0001, antes de cinco minutos; si tiene de 0,00009 á 0,00005, antes de diez minutos; y no tarda más de veinte minutos si sólo tiene 0,00002 de clorato. Si no aparece ninguna coloración antes de media hora, no tiene clorato el ni- tro, ó menos de 0,00001. Una coloración que no aparece sino al cabo de una hora próximamente, no supone la existencia de cloratos, pues es debida á una lenta acción del ácido clorhí- drico sobre el ácido nítrico del nitrato, especialmente si éste es el sódico, ó si se empleó el reactivo B sin previa dilución. Empleando para esta investigación la misma anilina en so- (*) Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Madrid, 1908, Septiembre, tomo VII, pág. 100. Anales de la Sociedad Española de Física y Química. 1908, No- viembre, tomo VI, pág. 459. (+) La sensibilidad de la reacción se duplica, proximamente, pul- verizando muy finamente el nitro, — 886 — lúción sulfúrica, Se corre el gran riesgo de encontrar cloratos, al parecer abundantes, en todos los nitros. Es cierto, sin em- - bargo, que los nitros puros con la solución sulfúrica de anilina no dan ninguna coloración, al pronto al menos (pasado algún tiempo, todos dan intensa coloración); pero si el nitro tiene cloruros, aunque sólo sea en la proporción que muchos nitros refinados los contienen, aparecerá una coloración idéntica á la que daría si tuviera cloratos en bastante proporción; y si tiene nitritos aparecerá también una coloración que, lo mismo que la dependiente de la presencia simultánea de cloruros y nitratos, es más intensa y perturba más la investigación de los cloratos si la anilina contiene toluidina. Aun el nitro absolutamente puro dará intensa y pronta coloración, de ma- tiz variable, con la solución sulfúrica de anilina, si no se evita cuidadosamente la elevación de temperatura al practicar la reacción. En consecuencia, es mala, en el caso actual, la in- vestigación de cloratos, adicionando una gota de anilina, 1 c.c. de agua y uno ó dos de ácido sulfúrico concentrado, aconsejado por algunos; y aun es expuesto á error adicionar solución al 5 por 100 de anilina en ácido sulfúrico diluído y luego añadir ácido sulfúrico concentrado. Con ambas formas de operar se eleva bastante la temperatura para que aparez- can coloraciones, tal vez muy intensas, con nitros purísimos. Todas estas dudas y errores, dependientes de la presencia de cloruros, de nitritos y de la elevación de temperatura, des- aparecen empleando la solución clorhídrica de anilina, como propongo, en lugar de la sulfúrica. Se puede también reconocer si un nitro tiene cloratos, de este modo: se ponen en un tubo 2 gr del nitro finamente pulverizado, 1 c. c. de orina y 460 5.c. c. de ácido clorhídri- co de 1,12 (*); aparecerá más ó menos pronto una coloración (*) «Aplicación de la orina á la investigación de oxidantes», J. Fa- ges, Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Na- turates, Madrid, 1308, Octubre, tomo VII, pág. 209, | des h— a pr METE ES AL OZ MAA AAA o LARA ATREA ARES ARAS A — 887 — rojo purpúrea si hay cloratos. Es conveniente comparar con otro tubo en el que se pone solamente orina y ácido clorhí- drico, pues con el tiempo esta mezcla adquiere alguna colo- ración parecida á la que dan los cloratos, pero mucho menos intensa y más tardía. Esta reacción es algo más sensible para los cloratos que la de la solución de anilina, pero menos se- gura en el caso actual, porque también la dan los nitritos. Algunos químicos han encontrado cloratos en casi todos los nitros refinados que han ensayado, y aun en los nitratos potásico y sódico purísimos de las fábricas más acreditadas. Yo no he tenido este resultado en mis ensayos, pues no he encontrado clorato en los nitratos vendidos como purísimos; muy pocas veces en los nitratos potásicos refinados; más frecuentemente en los nitratos sódicos refinados, y casi siem- pre en los no purificados (nitros de Chile). Adicionando á nitratos con la marca de purísimos 0,00003 de clorato potá- sico, he reconocido claramente esta sal con la solución clor- hídrica de anilina ó con la orina, y menos fácilmente, pero sin vacilaciones, adicionando sólo 0,00002; entendiendo que esta adición se ha hecho disolviendo el nitro en agua, adicio- nando el clorato á la disolución, evaporando á sequedad ésta y pulverizando finamente el residuo, pues adicionando al ni- tro sólido el clorato sólido ó en disolución y luego el reacti- vo, se reconocen menos de 0,00001 de clorato. Creo, pues, positivamente que los nitros en que no he reconocido clora- tos, no los tienen, ó en proporción completamente despre- ciable, aun empleándolos para la determinación del cloro en substancias Orgánicas. Determinación de clorato en el nitrato potásico refinado.— La colorimetría, basada en el empleo del reactivo A ó B, se aplica á este caso del modo siguiente: | Se disuelven 20 gramos de nitro en agua y se diluye la solucción hasta 100 c. c. justos. Lá poca solubilidad relativa del nitrato potásico no permite preparar soluciones más con- centradas. Se filtra, si es menester, por filtro seco y se opera — 888 — la colorimetría con 10 c. c. (2 gramos) del filtrado, que se ponen en un tubo graduado; en otro tubo igual se ponen 2 c. c. de solución de clorato de potasio al 0,1 por 1.000, y solución saturada en frio de nitrato potásico puro (sin clora- to, ni nitrito; un poco de cloruros y sulfatos no estorba) hasta completar 10 c. c. justos. Se añaden rápidamente á cada tubo 15 c. c., exactamerite medidos, del reactivo B, se mez- cla y deja veinticinco ó treinta minutos. La coloración que entonces tiene la solución tipo es muy pálida; si la solución del nitro ensayado es igualmente pálida, ó todavía más, tal vez incolora, dicho nitro tiene 0,0001 ó menos de clorato, y es aceptable para las pólvoras de guerra. Si se quiere precisar la proporción de clorato, se opera de modo diferente, según supere ó no ésta á 0,0001. PRIMER CASO. El nitro tiene más de 0,0001 de clorato. — Se diluye su solución (en el mismo tubo en que está con el reactivo) con una mezcla de 15 vol. del reactivo B, y 10 vol. de solución saturada en frío de nitro puro, agitando después de cada dilución en la forma usual de las colorimetrias y hasta conseguir igual intensidad de color en los dos tubos. Sólo queda hacer los cálculos. El resultado es únicamente apro- ximado por la excesiva palidez del líquido tipo, sobre todo si ha habido necesidad de diluir mucho; ejemplos: Proporción Proporción de clorato existente. clorato encontrada. a 0,00014 e o 0,00015 DORM AROS IBA SAO TULA 3 0,00013 no0m5. A eviteror lab colania bel 5 -EDaae 0,000145 0,00020....... o eo EA O E 0,000208 DOI 0,000219 Si el examen cualitativo ha indicado como probable que el nitro tiene 0,0002 ó más de clorato, es preferible prepa- rar el tubo tipo con 4 c. c. ó más de solución al 0,1 por 1.000 — 889 — de clorato, ó con 2 c.c.ó más de otra solución al 0,2 por 1.000, pues asi las coloraciones son más intensas, se comparan mejor y con menos dilución se llega á igualarlas. En todo caso, importa mucho, al agitar, después de cada dilución, no introducir ningún colorante en el líquido; por ejemplo, si el dedo no está muy limpio y con él se tapa el tubo para agitar, fácilmente cede á una solución tan fuerte- mente clorhídrica, coloraciones amarillentas que cambian el matiz de la que se compara y dificultan conocer la identidad de color de los dos líquidos. Si se quiere confirmar el resultado obtenido, se practica otra colorimetría preparando dos tubos tipos que contengan: el uno poco más clorato, y el otro poco menos que el encon- trado en el nitro por el ensayo anterior, y se comparan, con un tercer tubo, con la solución del nitro, veinticinco ó trein- ta minutos después de adicionar el reactivo á los tres tubos, según la colorimetría de escala. SEGUNDO CASO. El nitro tiene menos de 0,0001 de clo- rato. — Para esta pobreza de clorato es necesario operar con mayor cantidad de nitro, y como su solubilidad á la temperatura ordinaria no lo consiente, hay que conformarse con una disolución parcial. La mejor forma para esto es la siguiente: En matraz aforado de 100 c.c. se ponen 40 gramos del nitro y agua casi hasta la marca; se calienta hasta total di- solución; se completa, sín enfriar, con agua caliente hasta 100 c.c., y se mezcla. Se toma en seguida de la disolución, y rápidamente, lo que quepa en una pipeta de 10 c.c. y se tira; se repite lo mismo otra vez, y calentada así la pipeta: se toman definitivamente con ella 10 c. c. justos de la disolu- ción, que se vierten en el tubo colorimétrico. Practicando rápidamente estas manipulaciones, se puede admitir, con despreciable error, que se han puesto en el tubo 4 gramos * justos del nitro, Se enfría rápidamente el tubo, agitando sin — 890 — cesar para que el nitrato cristalice finamente; se le añade, ya frio, el agua necesaria para completar 10 c. c.; se preparan los tubos tipos de análoga manera al caso- anterior, y se adicionan los 15 c.c, de reactivo, siguiendo en lo restante igual. Hd Los resultados no pueden ser muy rigurosos, pero son muy aceptables atendiendo á la tan escasa proporción de clorato y á que no se necesita mayor precisión. Ejemplo: un nitro con 0,00006 de clorato ha resultado tener, según esta forma de colorimetría, 0,000052 de dicho clorato. Cualquiera otro procedimiento daría números más inexactos. Determinación cuantitativa del clorato en el nitrato sódico refinado.—Se practica: de “idéntica manera que eñ el nitra> to potásico, si la proporción de clorato es igual ó superior á 0,0001, pero sustituyendo en- el tubo tipo la solución dé nitrato potásico saturada en frío, por una solución de nitrato sódico de 25 á 30 gr. por 100-c.c. Si la proporción de clorato es inferior á 0,0001, y aun siendo algo mayor, permite la mayor solubilidad del nitrato sódico disolver en frío 40: gr. para"100 c. c. de disolución y operar con 10 c. c. que contendrán, por lo tanto, 4 gramos de nitro. En este caso la solución de nitrato sódico purísimo para diluir los tipos, será saturada en frío. sE No conviene generalizar á los nitros algo ricos en clofato el operar con 4 gramos, porque esta abundancia de nitrato ocasiona al añadir el reactivo un gran precipitado de cloruro sódico que dificulta algo la comparación de los colores. En los casos de muy poco clorato, este inconveniente es com- pensado con ventaja por la mayor coloración que Se obtiené operando con 4 gr. y no con 2 gf.-del nitro. Da: - En todo caso, al calcular, deba convertirse en clorato só- dico el número O que se refiere á clorato ds tásico. Ejemplo: 0,000135 de clorato sódico, en lugar de 0,00014. De cinco nitratos sódicos refinados han resultado tres Boi exentos de clorato. Los otros dos, con las siguientes propor- ciones correspondientes á otros tantos ¡6Bsayes: oa Colorimetría por dilución. por escala. Cl Adoo 0,00040 -0,00036 ES 0,00035 0,00036 DAS 0,00033 0,00035 Ma > 0,00038 Dasiaiass 0,000075 0,0000837 AE » 0,0000850 .. Explosivos cloratados.—Aunque las pólvoras cloratadas se usan cada vez menos para las armas de fuego, sobre todo de guerra, todavía es necesario analizar, en algunos casos, pólvoras y otros explosivos cloratados, y más ex- cepcionalmente, pólvoras ordinarias no cloratadas intencio- nadamente, pero que contienen clorato como impureza del nitrato empleado en su fabricación. Examen- cualitativo. — Las pólvoras y demás explosivos expresamente cloratados, contienen bastante clorato para que baste muy poca materia, 0,01 gr. todo lo más, para el ensayo. Puesta esta porción en un tubo, se añaden 8 ó 10 gotas de agua y 2 c. c. de la solución B: la coloración azul que aparezca revela el clorato. Si es una pólvora ordinaria que contiene clorato sólo como impureza, hay que digerir 4 Ó 5 gramos. en agua, filtrar, eva- porar á sequedad el filtrado, pulverizar finamente el residuo y buscar en él el clorato, como en los nitros refinados. Las materias insolubles que tal vez contengan los explo- sivos cloratados, no suelen impedir la percepción del color azul. En caso de duda, se digiere un gramo en 86 10 c.c. de agua, se filtra y adicionan á 1 c. c. del filtrado 3 6 4 c. c. del reactivo B. - Aunque el reactivo da también color azul con otros oxi- dantes, no suelen encontrarse éstos en los exploxivos. Los * nitratos, nitritos y compuestos orgánicos nitrados,-no dan — 892 — coloración ni impiden la aparición de la originada por los cloratos. Tampoco estorban el carbón, azutre, serrín, féculas, azúcar, ferrocianuro, ácido picrico y picratos; ni ofrece peli- gro alguno este reactivo con tales mezclas, como le hay usando los reactivos sulfúricos. El sulfuro de antimonio, el fósforo rojo y aun el blanco, usados en mezclas especiales, y sobre todo en pastas fosfó- ricas, tampoco estorban; pero sí los peróxidos de plomo y de manganeso, eliminables per filtración de la solución acuosa y los cromatos, separables de ésta por precipitación con ni- trato de plomo en débil exceso y filtración. Tampoco se pre- sentan estos casos en explosivos propiamente dichos. Determinación cuantitativa del clorato potásico en explosi- vos.—La proporción de clorato en los explosivos que lo con- tienen es casi siempre bastante grande para hacer dudar de la conveniencia de determinarla colorimétricamente. Sin em- bargo, la sencillez, la rapidez y sobre todo la comodidad de aplicarse la colorimetria de los cloratos en presencia de cuer- pos que deben eliminarse para aplicar otros procedimientos, me ha hecho estudiar su aplicación á los explosivos, y creo que la forma que propongo, cuidadosamente practicada, per- mite obtener números tan exactos como con los procedimien- tos usuales, casi siempre mucho más complejos. Preparación de la disolución.—Se disueive un gramo del explosivo en el agua necesaria para que la concentración en clorato de la disolución resultante, sea próximamente de 0,5 gramos por 1.000 c. c. Se filtra, si es necesario, por filtro seco y usando vasijas secas. Determinación aproximada. —En un tubo graduado de 50 c. c. se ponen 5 c. c. de la solución del explosivo; en otro tubo igual, 5 c. c. de una solución rigurosamente preparada de 0,5 gramos de clorato potásico por 1.000 c. c.; se añaden á uno y otro tubo rápidamente, y con el menor intervalo de tiempo del uno al otro, 20 c. c. de la solución B; se mezcla el contenido de cada tubo y se deja diez ó quince minutos. — 893 — Se diluye entonces la solución más coloreada, en la forma usual, con una mezcla previamente hecha de 4 vol. de B y 1 vol. de agua, hasta igualar las dos coloraciones, y se calcu- la en la forma ordinaria el clorato del explosivo. Si la igua- lación de las dos coloraciones exige duplicar, por lo menos, el volumen de la más intensa, es preferible repetir el ensayo tomando de la solución más concentrada un volumen menor, y completarlo con agua hasta 5 c. c. Determinación definitiva.—Se opera con un colorímetro de escala, cuyos tubos tengan marcada la capacidad de 100 c. c. En uno de ellos se ponen 5 c. c. de la solución del explosi- vo, y en otros, los c. c. necesarios de solución valorada de clorato potásico que convenga á cada caso particular, dedu- cidos de la determinación aproximada, y completando siem- pre el volumen de 5 c. c. por adición de agua. Ejemplo: 5 4,6 4,3 4,0 3 E de la solución al 0,5 por 1.000 de clorato potásico, que equi- valen á 0,0025 0,0023 0,00215 0,0020 0,0019 gramos de clorato potásico. Bien practicada la determinación apro- ximada se pueden casi siempre reducir á 2603 los tubos ti- pos. Rápimente, y sin interrupción, se añade á todos los tu- bos 20 c. c. del reactivo A (el reactivo B daría soluciones finales demasiado pálidas al diluir), de modo que recojan to- das las gotitas de solución acuosa de las paredes y que se mezclen homogéneamente y pronto, el reactivo y las solu- ciones respectivas. Se deja todo veinticinco ó treinta minu- tos, sin preocuparse de algunos copos que tal vez aparezcan, y entonces se adiciona agua á todos los tubos, también rápi- damente, hasta la marca de 100 c. c., se mezcla bien el con- tenido de cada tubo y se comparan las coloraciones, en la forma usual, que resultan de intensidades, con aquella es- cala, muy cómodas de observar. ; - Analizada una pólvora parda cloratada por este procedi- —, 894 — miento, ha dado en diferentes ensayos los siguientes núme- ros, que son suficientemente coricordantes: Clorato potásico en 100 de pólvora. Colorimetría - Colorimetría por por diluciones sucesivas. escala de tipos. 9,16 9,05 OS 9,08 9,06 9,20 9,08 Para confirmar el procedimiento, añadí á un peso conoci- do la pólvora (0,68775 gr.) clorato potásico, también medi- do (0,02 gr.) Así resulta una pólvora con 11,65 de clorato por 100, si es cierto que la primitiva tiene 9,1 por 100 (me- dia de los cuatro ensayos hechos con escala de tipos). Prac- ticada la colorimetría, dió: por diluciones sucesivas 12,15 por 100, y con escala 11,65 — 11,76 — 11,54 — 11;82 por 100, que son valores suficientemente exactos. Determinado el clorato de la misma pólvora, por reduc- ción con polvo de cinc y determinación del cloroión resultan- te, he obtenido: 11,53 — 11,65 — 11,29 — 11,16 por 100, números que no son más concordantes que los obtenidos co- lorimétricamente. Los componentes de un explosivo, insolubles en el agua, claro está que no estorban la colorimetría del clorato, pues se separan por filtración. He demostrado experimentalmente que el azúcar tampoco estorba. También, prácticamente, he visto que el ferrocianuro potásico, en proporción igual á la de clorato, tampoco estorba: en doble proporción que la de éste, modifica un poco el matiz de la coloración, pero toda- vía se puede comparar, con despreciable error: mayor pro- porción perjudica seguramente, pero no se presenta este caso en la práctica. El ácido picrico, se decolora por la misma Je ARE AS S E o NR: Sa A A o A y AE TA IG pl — 895 — acidez intensa del reactivo, pero reaparece, coloreando el lí- quido, al diluir con agua hasta 100 c. c.: en consecuencia, mo- difica el matiz y tiende á originar números algo cortos para el clorato. Así, una mezcla de clorato con igual peso de áci- do picrico ha dado para aquél 0,00185 gr. en lugar de 0,00200 gr. Se evita el error diluyuendo, en este caso parti- cular, con una mezcla previa de 4 vol. de ácido clorhídrico de 1, 12 y un vol. de agua, en lugar de agua pura que he pro- puesto para el caso general. LI. — Vatímetros integradores. Por JosÉ Ruiz-CASTIZO. I. —Principios fundamentales. Consideremos una bobina cilíndrica B de arrollamiento uniforme, teóricamente indefinida, recorrida por una co- rriente eléctrica; sabemos que en su interior se produce un campo magnético uniforme paralelo al eje de la bobina. Ima- ginemos que en este campo se sitúa otra bobina b giratoria alrededor de un eje perpendicular al suyo polar y á la direc- ción de dicho campo, por la cual circule otra corriente; sabemos también que la acción del campo sobre este siste- ma móvil equivale á un par, que tiende á situar el eje polar de b en la dirección del campo, y que es proporcional á id sen a, donde ¡é í' son las intensidades de las corrientes y a el ángulo formado por ambas direcciones. Pues bien: si una de estas corrientes es la principal, cuyo trabajo queremos medir, de intensidad /, y la otra es una derivada que salva el circuito de trabajo, como la intensidad = 88 = de esta última es proporcional al potencial E con que entra la misma /, llamando l un par resistente y y una constante dependiente de los elementos de las bobinas, se tiene, Il = y ET sen a (1) para ecuación de equilibrio del sistema móvil, en la cual es bien sabido que se fundan varios tipos de vatímetros electro- dinamómetros. Integración A.—Sobre un plano apoya una ruedecilla ci- líndrica de pestaña redondeada, cuyo eje de rotación es paralelo al plano, montada sobre una armadura giratoria al- rededor de un eje perpendicular al plano; si al punto del plano en que se verifica el contacto se le da una velocidad constante, v, paralela al plano, el movimiento relativo de la rueda será una rodadura y un deslizamiento simultáneos, determinándose así una rotación de la rueda alrededor de su eje, expresada por la ecuación rdw =vsen Bdt, (2) donde r es el radio, $ el ángulo que el eje forma con v, y dw el ángulo elemental que ha descrito en su giro. Esta pro- piedad se utiliza, como es sabido, en varios integradores, entre otros, en el de Amsler. Para aplicarla á nuestro objeto, supongamos que el par antagonista ll tiene, por la disposición dada al vatímetro, el valor ll = P sen2a =2P senacosa; (P, const.) si establecemos que los ángulos a y B sean complementa- rios, la (2) dará — 897 — y la (1) se convertirá en 2 Pr ca WiRSdí poniendo, pues, PAE , se tendrá, , | o Ar du =KEIdt, é integrando, aparece : A . oK [| Eldt=K(W— Wo), (3) to resultando que el ángulo descrito por la rueda en tal supues- to, durante el tiempo finito £— f,, es proporcional al traba- jo W— W, efectuado por la corriente en ese tiempo. Integración B.—Sobre un plano apoya una ruedecilla ci- líndrica de borde afilado y duro (capaz de penetrar ligera- ramente en el plano), cuyo eje es paralelo al plano, montada sobre una armadura que, además de ser giratoria alrededor de un eje perpendicular al mismo, puede tomar libremente una traslación v paralela al mismo también; al darse al punto del plano en que el contacto se verifica otra velocidad v' pa- ralela al plano y perpendicular á v, la reacción de rozamiento que sobre el filo se producirá, dará origen, para que se haga posible la rodadura relativa sin deslizamiento, á que la arma- dura emprenda la traslación v, cuya velocidad será A A (4) donde f es el ángulo formado por el plano de la rueda con la dirección de v. En esta combinación está fundado el inte- grador que di á conocer el año 1897, con la sola diferen- Ruv, Acab. Ciencias. —VII.— Mayo, 1909» 61 — 808 — cia de que allí se utiliza la velocidad de rotación de la rueda que está dada por la relación een a , (h, const.) di cos f para integrar la línea descrita por su borde en la rodadura relativa, mientras que aquí es la velocidad v la utilizable, como vamos á ver. Para ello, en la ecuación (1) de equilibrio del vatímetro, demos al par antagonista el valor =P ¡cosa (P, const.) y dispongamos las cosas de modo que a y f sean comple- mentarios; la (4) dará , too 12; (5) v y como la (1) se convierte en REE E ynv" poniendo vdi= dl, y — = K, queda dl =KETIdt, de donde ¡to =K | * Eldt=Kk (W= Wo) (6) to. resultando que el corrimiento en un tiempo finito es pro- porcional al trabajo efectuado por la corriente en el mismo tiempo. 11.—Primera aplicación: modelo A. Las figuras 1, 2, 3 de la lámina I muestran cumplidamente la constitución de un aparato que aplica la integración A: como se comprende á la simple inspección, representan sus tres proyecciones, en que aparecen indicados los órganos todos, tanto fundamentales como accesorios, en sus princi- pales detalles y relaciones. La bobina fija B es horizontal; el árbol giratorio AA, pot- tador del sistema móvil con las bobinas pequeñas b, b, vet- tical. La suspensión de este árbol está proyectada por el sis- tema de apoyarlo inferiormente sobre una esterilla de acero alojada en una cavidad cilíndrica de una cápsula K de hierro (con mercurio, como después se dirá), y de guiarlo en el extremo superior por una púa cónica abrazada por un tor- nillo-centro regulable. De este modo se aunan la indispen- sable fijeza del árbol con la gran movilidad exigida por la precisión. El par resistente HI se obtiene por medio de un engranaje cónico con razón de 1 á 2 y un sistema de dos contrapesos: uno fijo, P, y otro ajustable, =, destinado á la regulación. Se ve que al desviarse el árbol un ángulo a de su posición nor- mal ó de cero representada en el dibujo, la acción de estos contrapesos introduce un par proporcional á sen 2a, según establecimos en la teoría precedente. Por debajo de la suspensión, merced al travesaño H y á dos varillas laterales que pueden deslizar en las resbaladeras cilíndricas gg, aparece en prolongación del árbol la arma- dura U que lleva la rueda integradora V. Esta rueda, de acero endurecido, descansa (á favor de su peso y el de la armadura, en virtud de dicho deslizamiento, garantizándose así una presión uniforme conveniente) sobre un disco D de cristal deslustrado, sujeto á una rueda horizontal gira- toria alrededor de un eje vertical, la cual rueda es condu- OS cida en rotación uniforme por un mecanismo de reloje- ría M, mediante un engranaje cónico detalladamente repre- sentado. El contacto de la rueda V con el disco se efectúa en un punto excéntrico de éste, y, como es debido, en la recta de suspensión del árbol. En la posición de cero del vatímetro, el plano de V pasa por el eje de la rotación del disco; y así, siendo entonces dicho plano normal á la dirección en que los sucesivos elementos del disco pasan bajo la rueda, ésta no girará absolutamente mientras tal posición se mantenga. Pero cuando una desviación « del vatímetro obligue á la rueda á formar ese mismo ángulo con el radio del disco dirigido al punto de contacto, se ve, sin entrar en explicaciones detalla- das, que se verifican las relaciones supuestas en la teoría precedente, y que, en consecuencia, la rotación de la rueda será proporcional al trabajo de la corriente; de donde un sen- eillo contador de vueltas, indicado en la figura, permitirá leer los números que midan el trabajo. Para la toma de la corriente que debe circular por las bo- binas móviles, se han elegido los contactos de mercurio, efectuados en las dos cápsulas K y K,. Para comprender bien esta disposición, bastará observar que la pieza 7 de ebonita aisla entre sí las dos secciones m y n del árbol, y que las 1, y n,, asi como el disco de vidrio D, aislan estas ¿dos secciones respecto de todo el aparato. La cápsula superior K, tiene además la función de amor- tiguador de las oscilaciones, mediante la resistencia que ofrecerá el líquido al movimiento en su masa de una corona de laminillas que lleva la lengiieta por donde entra la corrien- te. Para acentuar este efecto, la cápsula tiene interiormente aristas vivas longitudinales (v. la Sec. 3). Como detalles accesorios del aparato, importa también notar: 1. Un indice L que, marcando sobre un arco graduado N las desviaciones vatimétricas, permite utilizar el aparato como A A Li O AR o EN drdigos lil 1 Xd DAS 5 SIND POT 1 VIVISH “Y OTIGON “YOU VADILNI OYLINILVA *] YT 0 5 ADAC MS Lám.l VATÍMETRO INTEGRADOR, MODELO A. ESCALA: VUPRICHEIYAD e Ea A | Ce an: a A ET dl ¿ qa pin do A rc: A AN AS II gu o EE 2 a ir A A re » pa Ñ ANA mí o li AN AA A me Í hi AUN OA indicador actual del producto ET, y, en todo caso, establecer su regulación. 2.- Un mecanismo de economía que, actuado alternati- vamente por un resorte y un electroimán T recorrido por la corrriente principal, ahorra desgastes inútiles y pérdida de corriente: a), frenando el volante de la relojería cuando no circule corriente, á favor de la palanca ff, y la lengiieta h; b), interrumpiendo la corriente derivada en el tubo bascu- lante q, donde hay una gota de mercurio que, al caer sobre dos alambres de platino que atraviesan el tapón de ebonita, establece el contacto y cierra el circuito. 3. Otro interruptor de previsión (fig. 4), dependiente del mecanismo de relojería, que cortará el circuito principal cuan- do este mecanismo carezca de cuerda. A tal efecto, la uña del trinquete va montada en la palanca yfB, oscilante entre dos topes 2, a, y actuada por la presión de la uña y un re- sorte antagonista; mientras domine aquella presión, la pie- za O sostiene el contacto entre las dos láminas A, A y la co- rriente circula; cuando faltare la cuerda, dominará el resorte, y, desprendido el contacto, quedará interrumpido el circuito. De este modo queda previsto el caso de olvido ó negligencia en que el integrador no pudiere funcionar por estar sin cuer- da el reloj; y 4. Dos cubiertas, C y C,, destinadas á taponar á volun- tad las cápsulas de mercurio, y al mismo tiempo á frenar el árbol del vatímetro cuando haya que transportar el aparato. 11. — Segunda aplicación: modelo B H. Para aplicar la integración B se ha proyectado el modelo que en sus tres proyecciones (figuras 1, 2, 3) representa fundamentalmente la lámina 2.? La disposición de la bobina fija es la misma que antes; pero el árbol del sistema móvil no se proyecta ahora vertical, sino O horizontal. Para la suspensión se propone un sistema mixto de balanza y púas, de modo que, descansando fundamental - mente el peso del sistema móvil por los dos cuchillos A, A sobre los soportes s, s, que llevan planos duros como los de una balanza, las púas alojadas en dos cavidades cónicas sos- tenidas por dos láminas elásticas R, R,, ajustables á tornillo, contribuyen á dar al eje de giro la fijeza indispensable. La figura 7.* representa una sección longitudinal del árbol por su eje teórico. : El par resistente lo introduce el contrapeso P, situado ex- céntricamente en el sistema móvil; y se ve en seguida que, para una desviación angular =, el par es proporcional á sen a, conforme exige la teoría anteriormente expuesta. El sistema integrador está constituido por un cilindro de cobre /, que puede girar libremente alrededor de su eje de revolución montado en una armadura U capaz de moverse en unas correderas paralelas á dicho eje, cuya dirección es para nuestro caso actual la de la velocidad v' señalada en la teoría. Esta velocidad es comunicada, con signos alternati- vamente opuestos, para lograr la continuidad del movimiento, por medio de una doble cremallera CC, conducida por un piñón mitad dentado que recibe movimiento rotatorio del mecanismo de relojería M. El árbol del vatímetro lleva en su prolongación una arma- dura con la rueda integradora G, cuyo borde, afilado y duro, apoya con presión suave (regulada por la diferencia entre las tensiones de las dos láminas R, R,) sobre la superficie del cilindro, y que está montada de manera que su plano, en la posición de cero del vatímetro, pase por el eje del cilin- dro, hallándose el punto de contacto en el eje teórico del árbol. Resulta así: 1.”, que en esa posición de cero el movi- miento longitudinal del cilindro obliga á la rueda á efectuar una rodadura relativa sobre una generatriz, y el cilindro, no hallándose solicitado por acción alguna oblicua á su eje, no gira absolutamente nada; 2.”, que cuando al pasar una co- , | | | | | | EZ e e A e e e a, Cr 2 is ca ca a o o Fic. 2: A RS | | E ec Fic. 8 ÍMETRO INTEGRADOR, 2 cn e e al « = z E Ñ E e - - ml z e S > al Z = mobeLo EH ¿ano rro Raro ed A pio E e A e y rl eine! da A a o nd jr cd ts A RANA im ¿ad sao rd tl aa vo e e dd > 2008) == rriente se origine una desviación a, formando entonces el plano de la rueda con el eje del cilindro precisamente este ángulo a, las reacciones originadas en el punto de contacto entre la rueda y el cilindro determinarán el movimiento gira- torio de éste en su armadura, de modo tal, que la línea des- crita en su superficie por el borde de la rueda, en su roda- dura relativa, será (supuesto a constante) una hélice de in- clinación A a, para lo cual será necesario que el cilindro gire con velocidad proporcional á tg «. La velocidad lineal v que su superficie tome por esta rotación, es, por tanto, la que hicimos entrar en la ecuación (5); y así, un contador de vueltas aplicado al cilindro medirá el trabajo efectuado por la corriente que circule por el vatímetro. Cuando los elemen- tos de ésta varíen, variando «u según la ley establecida en la teoría, la rotación del cilindro efectuaría de una manera rigo-. rosa la integración representada por la ecuación (6). Hemos sentado, y se comprende, que la continuidad del funcionamiento del aparato exige que el movimiento longi- tudinal del cilindro sea alternativo; pero también se ve sin esfuerzo que, si la rotación del cilindro ha de continuar efec- tuando la integración en el mismo sentido, se hace necesa- rio que cada cambio de signo de la velocidad v' coincida con un cambio de signo también del ángulo o. Esto se logra fá- cilmente invirtiendo una de les corrientes (la derivada es, naturalmente, la preferible), al cambiar de sentido el movi- miento del cilindro. Para ello, esta corriente se hace pasar por un conmutador actuado por la misma relojería. Entre las múltiples disposiciones elegibles para este con- mutador, se representa una que reune la sencillez á la pre- -cisión. El mismo eje del piñón conductor de la doble crema- llera C lleva una leva r en espiral de Arquímedes (véanse también figuras 4.2, 5,* y 6.%), sobre cuyo perfil apoyan dos varillas f y f, en puntos diametralmente opuestos, para que, actuadas por resortes, escapen alternativamente y hagan -— HA = bascular el soporte E de modo que dos gotas de mercurio encerradas en los tubos f, f caigan á uno ú otro lado, esta- bleciendo contactos entre los alambres que atraviesan los ta- pones y produciendo la consiguiente conmutación, que fácil- mente se colige de los enlaces representados en la figura. Este modelo permite, además, una importante adición no representada. Si suponemos el cilindro / revestido de un papel convenientemente cuadriculado y adicionamos una pluma fija en contacto con este papel, el aparato dará un eráfico exacto de la distribución del trabajo efectuado en el tiempo del funcionamiento. Hasta aquí lo esencial de este modelo. Algunos otros de- talles pueden verse representados en las secciones 1 á 6. Uno de ellos, el único de que haremos mención explicativa, es el relativo á la toma de corriente para las bobinas móvi- les; está proyectada con contactos de mercurio en las cube- tas K, K, á favor de dos discos d, d, recortados radialmente para que sirvan de amortiguadores (*), y conducida por los dos cilindros metálicos envolventes £, Y, convenientemente aislados. i Los demás mecanismos accesorios indicados en el modelo A, son perfectamente aplicables á este otro: no nos insistir en ellos. IV.—3.? Aplicación: modelo B. V. La lámina 3 representa (prescindiendo ya de detalles su- perfluos) una tercera combinación en que se aplica la misma integración B, pero con suspensión vertical. Como puede observarse, la disposición general es la mis- ma del modelo A, estribando las únicas diferencias en el sis- (+) Esta disposición puede motivar alguna importante objeción; pero es sustituíble por otras que ya tenemos estudiadas. No nos de- tendremos en estos detalles. A o ¿UA od DAL . AS A! E L5 o: SIND : dl «VIVOS H A O TICON “HOUVIDALNTOULANILVA “E “NV"] | | | E y | ' | | €x_eo —— ee—_u—————__———— o A O A «TA dd DAL SO PATA VIVOS ¿AG O TIAON HO AVES ALNTOMLAMILVA “E Y] — 905 — tema integrador, que se ve es reproducción exacta del que acabamos de describir para el B. H., y en el par resistente que, debiendo ser proporcional al seno, exige otra combi- nación. Desde luego se reconoce la posibilidad de aplicar un con- trapeso que actúe mediante un engranaje cónico con razón de 14 1, como se representa en la figura accesoria. Pero es más sencillo y ventajoso el empleo de los dos resortes r, r, paralelos en la posición de cero al eje del vatímetro, insertos en dos puntos del travesaño fijo H, y en otros dos del A, solidario con el árbol. Esta disposición es asimilable á la conocida suspensión bifilar, cuya resistencia se sabe es proporcional al seno de la desviación; pero no será ocioso demostrar que el cálculo di- recto conduce también á esa proporcionalidad. Sean / la lon- gitud del resorte y T su tensión elástica en la posición de cero; según las leyes de la elasticidad de los resortes heli- coidales, si llamamos ¡ el alargamiento y 7” la tensión cuan- do se haya producido una desviación «u, se tendrá le l+ MO ni DY): Pero en tal posición, la intensidad del par resistente está dada por el momento de 7” respecto del eje; llamando a la distancia de los puntos de inserción al eje, y aplicando tfór- mulas bien conocidas, hallamos para expresión de dicho mo- mento | TON COS a sen Y -asena >< T AS), — LOs a <| — A) + 1 li e Far = ——— sen a = —— sen 0; +1 osa y como T, a, ! son magnitudes constantes, queda evidencia= da la proporcionalidad á sen a, E — 906 — Claro está que, dada la fijeza del eje, bastaría un: sólo re- sorte; pero la simetría y la conveniencia de disminuir los ro- zamientos, aconsejan el empleo de dos, que desde luego se ve no necesitan ser idénticos, ni tampoco estar rigorosamen- te á iguales distancias del eje, bastando que ambos le sean paralelos, y que su elasticidad sea perfectamente ajustada á la ley (7) dentro de límites suficientemente amplios para ase- gurar el juego del aparato. Para la regulación del par, se puede apelar á alguna de las disposiciones indicadas en las figuras 4, 5 y 6, mediante las cuales se pueden alterar a, T Ó l. No creemos necesario detenernos en la explicación y discu- sión de estos detalles. V.—Observaciones prácticas. Sin pretensiones de autocrítica (casi siempre impertinen- te), y sin entrar en detalles impropios de este artículo, en- tendemos oportuno añadir algunas importantes observacio- nes, demostrativas de que nuestro estudio es completo y no se ha limitado á las relaciones teóricas fundamentales. La uniformidad del campo. — Según la conocida fórmula H=451(1 mirad: 4r para poder tomar como uniforme el campo interior de la bo- bina, habría de ser despreciable la razón ., y para T ello habría que dar al cilindro una razón < sumamente pe- queña. Pero como d no puede menos de ser suficiente á per- mitir el alojamiento de la bobina móvil en el interior de la fija, y como es evidente que un gran valor de /, ade- -más de hacer inmanejable el aparato, originaría grandes pér- didas de energía por la resistencia introducida, creemos ha- A Ann NN NA — 907 — ber resuelto la dificultad eligiendo dimensiones tales que la o ]w T central del campo donde ha de sufrir acción la bobina móvil. Para asegurarnos todo lo posible, hemos hecho numerosas experiencias de verificación, que nos han convencido de que, con las dimensiones adoptadas, el campo central es efectiva- mente uniforme en la práctica. Entre ellas, citaremos sólo su exploración en dicha región central, haciendo oscilar una pe- queña aguja magnética (18 mm. de longitud por 0,4 mm. de grueso) y comprobando que el número de oscilaciones (que llegaron en algunas experiencias á 300 por minuto) no alcan- zó mayor variación de 1 por 200, Creemos suficientes estas indicaciones para afirmar que la ecuación (1) se verificará muy aproximadamente, y des- echar todo temor de que el aparato sea erróneo por esta causa. - Paso del eje.—Mayor perturbación puede introducir en la uniformidad del campo la alteración que hay que hacer en el arrollamiento de la bobina fija para dar paso al eje. A fin de resolver sobre este extremo, dada la gran dificultad de con- fiarlo al cálculo teórico, hemos verificado también numerosos experimentos, de cuya explicación prescindimos aquí, por medio de los cuales nos hemos asegurado de que, con las di- mensiones elegidas, un vacío de vueltas en 5 mm. de la región central, debilita ligeramente el campo, pero sin perturbar sen- siblemente la uniformidad. Por lo demás, existen sistemas de arrollamiento que contrarrestan casi en absoluto esta causa de perturbación: no nos detendremos á exponerlos ni discu- tirlos. Distribución de las corrientes. —La conveniencia de dar á ll la mayor intensidad posible es evidente; para ello, sabe- mos que es necesario aumentar el valor de y. Esta constante depende, para un mismo tipo de aparatos, del número de vueltas de las dos bobinas y de la intensidad razón no varíe en más de 0,01, para toda la región e. — 908 — de la corriente derivada. Tomemos como tipo un vatímetro cuya capacidad sea de 10 amperios, destinado á una red cuyo potencial normal alcance 120 voltios, y supongamos que adop- tamos como límite máximo de la corriente derivada ¿ = 0,02 amperios; los cálculos conducen á la importante conclusión de que el mayor valor de y compatible con una escasa resis- tencia del circuito principal, se logra haciendo circular la co- rriente derivada por la bobina B, que tendría en estos supues- tos 3.000 m. de alambre de cobre de 0,1 mm. de grueso, en 20 capas con 12.600 vueltas, lo que daría una intensidad del campo correspondiente á 12 amperios-vueltas. El circuito principal recorrería, derivándose en dos ramas, las dos bobi- nas móviles b, b, con 16 m. de hilo de 1,4 mm., lo que in- troduciría una resistencia parásita enteramente despreciable, sin calentamientos sensibles. Una corriente de /=0,1 am- perio. que circulase por este aparato, daría origen á un par ll = 0,5 gramos-centímetros; intensidad suficiente para ga- rantizar un buen funcionamiento. : Análogamente se pueden combinar otras varias dispone ciones. La integración.—De la gran exactitud con que los dos sistemas integradores pueden funcionar, responden cumpli- damente los numerosos planimetros de precisión que los aplican, y de los cuales nada tenemos que decir aquí. Sólo, pues, nos corresponde discutir (y ello ligeramente) la in- fluencia que en el funcionamiento del sistema vatimétrico “puede tener el sistema integrador. Desde luego surge el temor de que el acoplamiento de los órganos integradores al eje del vatímetro, aumentando el peso del sistema móvil y produciendo reacciones normales á su eje, llegue á disminuir la sensibilidad y hacer el aparato ex- cesivamente erróneo. En realidad, sobre este extremo, sólo podrá fallar en definitiva la experiencia, una vez que los aparatos se construyan con toda la delicadeza, la precisión, ligereza y movilidad de que hoy son capaces las artes mecá- AA Y PR nicas; sin embargo, algo favorable puede adelantar el estu- dio teórico. Tomemos como objeto de una ligera discusión el modelo B. H.: observando que el cilindro / tiene un radio de 29 mm, consideremos la desviación de 30”, que corresponde á 600 vatios-hora. Por cálculos muy sencillos, fáciles de compro- bar mediante experimentos más sencillos aún, llegamos á re- conocer que un cilindro horizontal de 200 gr. de peso (má- ximo asignable al que nos ocupa), bien centrado y montado con gran movilidad, se pone en rotación por un par inferior á 0,3 gr.-cm, lo que corresponde en nuestro caso á una fuerza de 0,1 gr. aplicada tangencialmente á la superficie. De donde resulta que la rotación del cilindro ha de producir sobre el eje del vatímetro una acción normal valuable en 0,1 ————- er. =0,116 gr., cos 30” El aplicada al punto de contacto; como se ve, insignificante. Para 60”, desviación muy superior al límite práctico, sólo al- .canza á 0,2 gf.; y admitiendo que no debamos extremar tan- to las suposiciones favorables, ni aun quintuplicando este valor pasamos de 1 gr. de reacción perjudicial. Análogas consideraciones aplicadas al modelo A, así como al estudio de la influencia del peso de los órganos integra- dores, Ó de la del rozamiento originado por los contactos de las ruedas, pueden convencernos de que en ninguno de los modelos son de temer por estas causas errores de cuantía superiores, ni acaso iguales, á los que otras, análogas y distintas, introducen en otros sistemas de integradores. La relojería.—Sobre la función del mecanismo de reloje- ría, nos limitaremos á observar que no envuelve dificultad alguna. Siendo la velocidad del disco, en el modelo A, T y E de 6 Por hora, y la lineal v” del cilindro, de 18 mm. por — 0 hora, se ve que la potencia suplementaria que el resorte mo- tor ha de añadir á la necesaria para el funcionamiento nor- mal de la relojería, es sumamente pequeña. Apenas alcanza á 100 gr.-cm por hora; y así, bastará con un resorte ca- paz de prestar durante su distensión, que supondremos de 200 horas, un trabajo suplementario de 0,200 kgm. La capacidad. —Terminaremos observando que por este concepto estos aparatos ofrecen gran elasticidad, ya que es práctico shuntarlos y alterar la significación de las unidades del contador. Los modelos B tienen además la facultad de admitir una gran sobrecarga transitoria, sin que el funcionamiento sufra perturbación. La capacidad de los proyectos representados es de 10 am- perios; el cálculo está hecho para que una vuelta del tambor represente 10 kilovatios-hora. En cuanto á la precisión de las lecturas, es casi ocioso observar que los tambores ad- miten nonios (no representados) capaces de apreciar cómo- damente hasta 0,0005 de vuelta, ó sza 5 vatios hora. — 911 — PUBLICACIONES RECIBIDAS (Continuación.) Joly, M. A. D. Sc. F. RS.F. G. S. (John) and William Francis (F. L. S.)— The London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. Sixth series. —No. 85. January, 1908.—London. Lewis, Sec, R. A. S. (T). H. P. Hollis, B. A., F. R. A. S.—The Observatory, A. Monthly Review of Astronomy —London. Laisant (C. A.) etc.— Nouvelles Annales de Mathématiques. —Quatriéme série. —Tome VII.—Novembre, Décembre, 1907 .— Paris, 1907. Royal Institution of Great Britain. — Proceedings of the... —London-Decem- ber, 1907. Socié*é Entomologique a Stockholm. - Entomologisk Tidskrift. —Utgifven of Entomologiska Foreningen 1 Stockholm. — Journal Entomologique pu- blié par la...—Arg. 28-1907.—Haft 1-4.— Upsala, 1907. Ciel et Terre.—Revue populaire d'Astromie, de Méteorologie et de Phy- sique du globe.—28 année. —N. 20.—(16 Décembre 1907).—N.? 21,—- (1 Janvier 1908).—N.% 22.—(16 Janvier 1908).— Bruxelles. Laisant (C. A) etc.—L*Intermédiaire des Mathématiciens —Tomo XIV, 1907. N.% 12, Décembre, 1907.—París, 1907. Bibliothéque Universelle,—Archives des Sciences Physiques et Naturelles.— Quatriéme période. — Tome XXIV. N.? 12.—15 Decembre, 1907.—Ge- néve, 1907. Ferreira da Silva (A. J.) etc.—Revista de Chimica Pura e Applicada. 3.0 Anno. N.” 12. 15 de Dezembro de 1907.—14. anno. N.% 1. 15 de Ja- neiro de 19g08.—Porto. Institut International de Bibliographie.— Bulletín de L”,., Année, 1907.— Fasc. 5.— Bruxelles, Mouchez (E.) et Tisserand (F).—Bulletín Astronomique. —Tome XXV.— Janvier, 19g08.—París, 1908. Collegio de S. Fiel. — Brotería, —Revista de Sciencias Naturaes do... Volume VI. —1907. Fasc. VI.—Idem 1 parte. —Serie Zoologica. Vol. VII. 1908, Fasc. 1.—S. Fiel. 1907-1908. Royal Geographical Society.—The Geographical Journal. Vol. XXXI, No. 1. January, 1908.—London. = 912 — Societá Cattolica Italiana per Gli Studi Scientifici. - Rivista di Fisica, Ma. tematica e Scienze Naturali,—Anno 8, Diciembre 1907. Núm. 96.— Pisa Pavia. a Société Scientifique de Bruxelles.— Revue des Questions Scientifiques Pu blié por la... Troisieme série. —Tome XIII.—20 Janvier, 1908.— Louvain, sabi Bibl Eno de PEcole des Hautes Etudes.— Bulletín des Sriomtes Mathé- matiques. Deuxieme série. - Tome XXXI.— Novembre, Décembre, 1907. París, 1907. American Museum of Natural History (The). — The American Museum Journal. —Vol. VIII, Núm. 1. January, 1908.—Vol, VII, Núm. 8. De- cember, 1907. - New York City. Biblioteca Nacionale Centrale di Firence. — Bolletino delle Pubblicazioni Italiane, 1907. Núm. 84, Dicembre.—Firenze. Museum of Comparative Zoology at Harvard College. — Bulletin of the... Vol. XLVITI. No. 4.—Cambridge, Mass., U. S. A. Agassiz, LI. D. (Alexander). — An address at the opening of the Geologicoal Section of the Harvard University Museum. By... Director-June, 12, 1902. Cambridge, 1902. James (William).—Louis Agassiz. —Words spoken by Professor... at the reception of the American Society of Naturalists by the President and Fe- llows of Harvard College at Cambridge on December 30, 1896.—Cam- bridge, 1897. Museum of Comparative Zoology.— Annual Report of the Curator of the... to the President and fellows of Harvard College for 1g06-1907.--Cam- bridge, U. S. A.—1908. Bureau Francais du Catalogue International.—Bibliographie Sdicmita Francaise 2 Tomi V, 1er Section, núm. 5.- París, 1907. A, :Académie Royale des Sciences et des Lettres de Danemark, Copenhague. = Bulletin de 1”...—1907.—No. 3 4. —Kenhavn, 1907. Buffalo Society of Natural Sciences. — Bulletin of the . eel v.— No. 5 —Buffalo, New-York, 1907. Cabreira (Antonio). —Noticia succinta da sua vida e obras.— Pelo Prof...— Lisboa, 1907. American Philosophical Society —Proceedings of the... held at Philadelphia for promoting useful kuowledge. — Vol, XLVI.— January March, 1907.— No. 185. Philadelphia, 1907. (Continuará.) -XLIX. Método para e la dirección AS los vientos pe superiores por las ondulaciones del borde de los astros (continuación), por Vicente Ventosa. . a L.— Análisis de nitos refinados, pólvoras y explosivos ; cloratados, por Juan Fages Virgili... o e É S LI.—Vatimetros integradores, por José Ruiz Castizo... 89 Publicaciones TeCIDIdAS. cor ooooooooo concern a ” La subscripción á esta REVISTA se hace por tomos completos, d de 500 á 600 páginas, al precio de 6 pesetas en España y 6 francos en el extranjero, en la Secretaría. de la Academia, pS de Val verde, núm. 26, Madrid. Precio de este cuaderno, 1,50 pesetas. ml EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES TOMO VII. NUM. 12. - Gunio de 1909) Feoan st EY ÉS Mts DE PONTEJOS, , sx, S. 1909 ADVERTENCIA. Los originales para la Revista de la Academia se han de entregar completos, en la Secretaria de e .la Corporación, antes del día 20 de cada mes, pues de otro modo queer su publicación para el mes siguiente. Nx — 913 — LII.—Elementos de la teoría de la Elasticidad. PoR JosÉ ECHEGARAY. Conferencia décimaquinta. SEÑORES: Imaginemos un sistema de puntos materiales; no decimos si están Ó no enlazados entre sí por fuerzas interiores, ni si están sometidos á fuerzas exteriores, como en todos los pro- blemas precedentes. Por el pronto, para nosotros, no se trata más que de un sistema geométrico, de un sistema de puntos á pequeñísimas distancias unos de otros. Sean x, y, z las coordenadas de uno de ellos. Consideré- moslas como variables independientes, que fijan, que definen, por decirlo así, cada uno de los puntos en cuestión. El sistema está referido á tres ejes trirrectangulares para- lelamente á los que se cuentan las coordenadas x, y, 2. Supongamos que dicho sistema experimenta una deforma- ción infinitamente pequeña; es decir, que cada punto se se- para de su posición inicial y viene á parar á una posición muy próxima á la que tenía. y El punto a habrá ido á parar á a”; el punto b á la posición b”, y así sucesivamente. Las distancias a a”, b b......, suponemos que son muy pe- queñas y representarán, por decirlo de este modo, los des- plazamientos de los puntos dados. Comparando las posiciones a”, b'..... con las a, b..... deci-" mos que el sistema ha sufrido una deformación; pero no te- Rry. AcaD, Ciencias. — VIT,— Junio, 1909, 62 — 914 — nemos en cuenta por el momento, ni las causas de la defor- mación, ni las reacciones interiores que se desarrollan; no tratamos, como antes se indicó, de un sólido elástico, sino de un sistema geométrico. Es un problema geométrico el que estamos definiendo; así es que no hablamos, ni de fuerzas exteriores, ni de reaccio- nes, ni de velocidades, ni de la deformación elástica, ni de la energía acumulada en el sistema, ni de ninguno de los conceptos de la dinámica, ni siquiera de la cinemática, por- que no se tiene en cuenta el tiempo. Se trata tan sólo de deformaciones geométricas. Hemos prescindido, ó hemos separado, por lo menos por el pronto, el problema de elasticidad, que nos ha ocupado durante este curso. Es una abstracción de geometría pura, que es la que ha servido de base á obras modernas muy interesantes, de las cuales ya en las conferencias de este año nada podemos de- cir, pero aprovechamos la ocasión para anunciarlas: quizá las estudiaremos en otro curso. La distancia a a” tendrá tres componentes, que designare- mos, como hemos hecho, en el problema de la elasticidad, por u, v, w, y serán las variaciones de x, y, z; en cierto modo las coordenadas de a”, tomando a por origen y trazando por este punto tres paralelas á los ejes coordenados-trirectangu- lares. Pero aunque el problema sea puramente geométrico, para que podamos definirlo y establecer enlaces entre los datos y deducir consecuencias analíticas ó geométricas, debemos de- finir las magnitudes u, v, w. A a 0 MT A — 915 — Cada punto tiene su desplazamiento, luego las u, v, w se- rán funciones de x, y, z; por ejemplo: u=f, (x, y, 2) v=f, (5 z) w= fa (%, y, 2). Estas funciones suponemos que son contínuas, y que tie- nen derivadas con relación á cualquiera de las variables in- dependientes. Definen la deformación, porque suponemos que para cada sistema de valores x, y, 2, las u, v, w quedan perfectamente determinadas. Si se tratara de un problema de elasticidad, Ó sea de un cuerpo sólido sujeto á fuerzas exteriores é interiores, las ecuaciones precedentes serían las que resultasen de resolver el problema elástico; pero, en nuestro caso, ya lo hemos di- cho, no se trata, por el pronto, del problema de la elastici- dad; así es que las ecuaciones anteriores son, en cierto modo, datos del problema: se dan los puntos a, 0,, Az..... Se dan sus desplazamientos aa”, a, 0,.....; se da, en suma, la ley de estos desplazamientos en función de x, y, z. Y una ob- servación más para terminar estos preliminares. Hemos su- puesto los puntos a, 4,, 4z..... distribuidos de una manera discontinua; en rigor, podrian constituir un sistema continuo de puntos geométricos. Estos son los términos generales del problema: tal como lo planteamos, no parece que puedan deducirse consecuencias. muy importantes para las aplicaciones prácticas; y, sin em- bargo, no es así. — 916 — El estudio de las deformaciones de los sistemas, desde el punto de vista puramente geométrico, ofrece sumo interés aun para la misma teoría de la Elasticidad. Como la cinemática, ó estudio de los movimientos con in- dependencia de las causas, como antes se decía, es una pre- paración importantísima para la Mecánica, el estudio de las deformaciones, prescindiendo de las fuerzas y del tiempo, es un precedente de suma importancia para la cinemática y para la Mecánica; y lo que el problema va perdiendo en contenido real, lo va ganando, en cierto modo, en rigor matemático. Así es, que en la esfera geométrica pura, pueden estudiarse las deformaciones bajo forma abstracta. sin perjuicio de in- terpretar más tarde sus resultados analíticos y geométricos como expresión de algo más concreto, quiero decir, de algo más real. Pero ciñámonos á la cuestión, que nos habíamos propuesto estudiar en esta conferencia, que era, como anun- ciamos en la precedente, la relativa á los cuerpos isótropos; y antes, el de las funciones isótropas; y más particular y ex- clusivamente el de los polinomios isótropos de primero y segundo grado. Para ello, volvamos al sistema geométrico antes definido. Consideremos un paralelepipedo trirrectangular, Ó, si se quiere, un cubo situado en lo interior del sistema. Este cubo contendrá un número inmenso de puntos a, a,, a,.....: unos estarán en el interior, otros constituirán la superficie del cubo que consideramos. de Por la deformación, todos los puntos habrán variado de sitio, y el conjunto de puntos a”, a,, Aa..... formarán otro sólido, que será la deformación del primero, es decir, del pri- mer paralelepípedo. Como la ley de deformación es continua, podemos consi- derar al sólido que contiene los puntos a”, 4',, A3..... COMO un paralelepiípedo; pero esto nos importa poco por el mo- mento. Si V representa el volumen del sólido inicial y V” el volu- A A A A A IS FT A E 0 AA A AS A A ae e. a — 917 — - men deformado, es decir, el del nuevo paralelepípedo, es claro que V' — V representará la variación de volumen, y VE la dilatación por unidad de volumen, que es lo que se llama, y lo que hemos llamado en los cursos anteriores, dilatación cúbica. Representándola por 0, ya demostramos que La demostración era sumamente sencilla: la repetiremos para facilidad del lector, empleando, para abreviar, las nota- ciones que hemos empleado siempre: du dv dw es e Ao =D E dz — == (3. dx dy Así, pues, 0,, a,, Az representan las dilataciones lineales por unidad de longitud. Si consideramos un paralelepipedo trirrectángulo cuyas aristas sean dx, dy, dz, este paralelepípedo rectángulo se convertirá en un paralelepípedo oblicuo, que despreciando infinitamente pequeños de orden superior, podemos suponer que equivale á otro trirrectángulo, y que sus aristas son: dx+a, dx, dy+a,dy, dz+ ajsdz, Ó bien (1 El a) dx, (1 al d,) dy, (1 sÍ a;) dz, y su volumen será (1 +a,) (1 + a) (1 + 45) dx dy dz = =(1 ' a,+4,+ a; +a,a, + a,4z + a, 03 +a,0,03)dx dy dz. — 918 — Pero como las dilataciones lineales suponemos que son muy pequeñas, despreciando términos de orden superior tendremos para el volumen aproximado del paralelepípedo después de la deformación: | (1 + a, + a, + as) dx dy dz; la dilatación será, pues: (1 +a, +a,+a3)dxdy dz — dx dy de=(a, + a, +43) dxdy dz, y su relación con el volumen primitivo dx dy dz, (a, + a, + az) dx dy dz = (, + 4, + Qs, dx dy dz O bien du dv dw a Dada la ley de las dilataciones, es decir, la expresión de u, v, wen función de x, y, z, estas tres derivadas podremos obtenerlas en función de las variables independientes x, y, z, y, por lo tanto, 0 tendrá un valor determinado para cada punto, que es lo que se llamará la dilatación cúbica para dicho punto. Y será, pues, una función perfectamente deter- minada para cada punto del sistema. Supongamos ahora que se escoge otro sistema de coorde- nadas: x”, y”, 2; como las cantidades u, v, w son paralelas á los ejes, para los nuevos deberemos darles nombres distin- tos ul, V, W. En el primer sistema de ejes x, y, z, las u,v, w eran las proyecciones a a' sobre dichos ejes. En el nuevo sistema, la u', v', w' serán las proyecciones de la misma recta a a' sobre los nuevos ejes x', y”, 2”. — 919 — Y es evidente que las fórmulas de transformación de x, y, z en Xx”, y”, z' serán las mismas que las de u, v, w en Y, Y, w'. Pues bien: si para un punto determinado buscamos la di- latación cúbica en el primer sistema de ejes coordenados, tendremos, según hemos visto: Y si para el mismo punto expresamos esta misma canti- dad, es decir, la dilatación cúbica en función de las nuevas coordenadas, como el procedimiento es idéntico en la forma y en el fondo al anterior y la dilatación cúbica es invariable para cada punto, obtendremos: | yaa dd di dx' dy dz El primer miembro será idéntico numéricamente al de la ecuación anterior, porque, como acabamos de explicar, la dilatación cúbica es una magnitud independiente del sistema de ejes. : Pero además observamos, y esto es lo más importante, que esta magnitud determinada para cada punto se expresa de la misma manera en todo sistema de ejes trirrectangu- lares. Se expresaba en x, y, 2 por — 920 — se expresará en x', y”, 2” por Ni el valor ni la forma han variado. Y esto se expresa por una palabra: diciendo que el poli- nomio lineal es isótropo, es decit, independiente del sistema de ejes tri- rrectangulares que se escoja. Es invariable su valor, que siempre es 0; es invariable su - forma. Esta es una propiedad importantísima de la deformación de todo sistema, que cumple con las condiciones de conti- nuidad que hemos explicado. Veremos en breve que hay muchas más funciones isótro- pas: por ejemplo, que hay polinomios de segundo grado de las nueve derivadas características de toda deformación, á saber: ] du du du dG AE dv dv dv A du de dv dx divide” que son también isótropos; es decir, que un cambio de coor- denadas trirrectangulares deja invariables su valor y su forma. Por ahora insistamos en el polinomio lineal de primer dy y de dy dal grado 2u3 + dx = 921 — Hemos demostrado, que es isótropo, de una manera inme- diata, sin cálculo de ninguna clase, con sólo observar que representa el valor de una magnitud determinada, que va unida, por decirlo así, á cada punto, y que, además, y esto es importante, que el procedimiento para determinar la dila- tación cúbica es siempre el mismo, sea cual fuere el sistema de ejes. Hemos escogido un paralelepípedo: hubiéramos podido escoger otro sólido cualquiera, el mismo para el primer sís- tema de ejes que para el segundo; sólo que para el primero lo hubiéramos descompuesto en paralelepípidos de aristas dx, dy, dz, y para el segundo, en paralelepípedos cuyas aristas serían dx”, dy”, dz”. En suma, y sin entrar en mayores pormenores, la demos- tración es rigurosa y es inmediata, es sencilla en extremo y casi de intuición. Pero también hubiéramos podido seguir un procedimiento regular de cálculo; muy largo, muy enojoso, pero aplicable á todos los casos, lo mismo á los polinomios isótropos lineales, que á los de segundo orden, ó de un orden cualquiera, y aun á otra clase de funciones, en las cuales quisiéramos poner en evidencia la propiedad de si eran ó no isótropas. En el fondo sólo se trata aquí del problema del cambio de variables, que se estudia en todos los libros de cálculo dife- rencial. Como ejercicio elemental, vamos á aplicar este cambio de variables al expresado polinomio isótropo, que representa la dilatación cúbica en cualquier punto de un sistema. A fin de abrevíar la escritura, cuando tengamos que ex- presar, que tres variables son todas ellas, y cada una, funcio- — 922 — nes de otras tres variables, por ejemplo, u, v, w, funciones de x, y, z, en vez de escribir, como antes hacíamos, u =f; (x y, z), v =£ (xy, 2) W =f; (x, y, 2), escribiremos sencillamente: Sm 28 NN IR que también expresaran que x, y, z son funciones de u, V, W. En este problema de cambio de variables tendremos los cuatro cuadros fundamentales: | (1) (8) oa u 17) v v w|owv ¡Oña Was (2) 8 (4) UE aoL Apdo ya al u | Xx E dr iZ wea El (3) expresa, como ya hemos explicado, que las defor- maciones u, v, w en cada punto están definidas por las coor- denadas de este punto: son las relaciones fundamentales de la deformación en el sistema de ejes coordenados x, y, 2 La (4) expresa esta misma ley de deformación; pero en el nuevo sistema de ejes, x' y” z'. La u' será función de x', de 2s -y lo.mismo la v' y la w. | — 923 — En suma, (3) y (4) determinan las variaciones 4, V, w, u”, v”, u' en el primitivo y en el nuevo sistema. La (1) y la (2) son, á su vez, las fórmulas de transforma- ción de las primitivas u, v, w, x, y, z en función de las nuevas. Veamos ahora cómo se determinan los nueve coeficientes primitivos en función de los del nuevo sistema, es decir: Za d —— .ecc en función de —..... Por el pronto, y para nuestro objeto, no necesitamos de- terminar más que tres, du dv dw di daa — — —— en función de —— OZ ia AOS RAZAS Esto, dado que sea posible, es decir, si la suma de los tres primeros constituye un polinomio lineal isótropo de los coe- ficientes característicos de la deformación; porque de no ser así, si entrasen otros coeficientes, y no desapareciesen al hacer la suma, el polinomio en cuestión no tendría la pro- piedad que deseamos poner en evidencia. du Empecemos por —. dx Para ello, diferenciemos con relación á x la primera ecua- ción del grupo (1) y, estaremos en el caso de diferenciar funciones de funciones. | u, según el cuadro (1), es función de u”, v”, w. Cada una de éstas, según el cuadro (4), es función de x', y”, Z'; y es- tas tres últimas, según el cuadro (2), son funciones de x, que es la variable independiente de la diferenciación. La y y la z son constantes; por eso decimos, que la x', y”, z” sólo son - funciones de x para esta diferenciación especial, — 924 — Tendremos, pues: du du (dí de, du dy , du dz a ali dx + dy dx + dz Aa a UVA a y a die dz a de dx dy dx an dz Je du E a dw dy dw El Need dy dx de dx Pasemos ahora á obtener py dy Tendremos que diferenciar el cuadro (1) con relación á y, y para ello diferenciaremos v, según indica dicho cuadro, con relación á uy, v”, wW. Cada una de éstas, según el cua- dro (4), con relación á x', y”, z' y estas últimas según el cuadro (2) solo con relación á y, porque en este caso las x y las z son constantes. Resultará, pues, dv__ dv — dx du yo dy du' Y dy dius Nid dy dy dy de? sdyy dv (dv dx dv dy avda A AN dv dy dy dx dy day dy dz dy dw' y don Bs ay; dw dz Aa > dy dy dy + dz" dy ) Por último debemos obtener - y para ello, diferencia- 2 remos en el cuadro (1), w con relación á u' v' w. Cada una de estas, según el cuadro (4), con relación á x”, y”, 25 y estas últimas, según el cuadro (2), con relación á z, que es la variable con respecto á la cual ahora se diferencia; así, 3 A . ; PA A — 925 — dw dude dx du dy y du eya dz a. NA az dy dz de de)" uE dw e dx dv dy dv e dv Niax az dy. dz dacaz le dw Po dx dw dy dw ==, A NA AZ dy > da UN AZ Las flechas que unen los cuadros indican el orden de las diferenciaciones. Sumemos ahora las tres ecuaciones así obtenidas, El primer miembro será: En cuyo caso el polinomio lineal es isótropo; en el caso contrario no lo sería. 1) a e u Reunamos en las tres fórmulas los términos con nena x , , e du : serán éstos, sacando eS por factor común: | x du' ( duda ES E dw dx dee dui do dut dy dul + dep Y aquí debemos hacer una observación que simplifica es- tos cálculos. Los cuadros (1) (2) expresan las fórmulas ordinarias de transformación de unos ejes á otros, = 0% = Por ejemplo, la primera fórmula del cuadro (1) será: uu cos (4, x) EW icos (y. 2) w cos (2,30): De suerte que en las diferenciaciones parciales, como son las que hemos hecho hasta aqui, "Cos (20) 2 du ; du ; —— =C0S (x", x) —— =cCos(y”, x), Y (55) e Y | ) Es decir, que cada coeficiente diferencial es el coseno del ángulo de los ejes paralelos, por decirlo así, á las variables que el coefíciente diferencial contiene. Por ejemplo, r es el coseno del ángulo que forma el eje x paralelo á la u, con el eje x' paralelo á la u”. El coeficiente E es el cose- Y no del ángulo que forma el eje x paralelo á u, con el eje y” paralelo á v. Y lo mismo podemos decir del tercer coeficien- te diferencial. | Podemos repetir otro tanto para el cuadro (2). La primera fórmula de dicho cuadro sería: x=x' cos (x”, x) + y cos (y”, x) + 2' cos (2, x), y los coeficientes diferenciales Xx A dx . dx Tas =.C0S (x”, x)) ——=cC0S (y, x) —— =cC0S(2', Xx confirman la regla establecida. | . cti y du' Según esto, los términos que contienen ——, y que he- ae mos visto que son sd de dul du dx dv dx dw +) AO ANGER auna —- 9 — se convertirán en de [cos (x, x”) . cos (x, x") + cos (x', y) cos (x”, y) + + cos(x', z). cos (x', z)] Ó bien A a Pa 3 de | cos (xx) + cos(y,x") + cos (2,x') | 58 Es decir, que la cantidad entre paréntesis es la suma de los cuadrados de los cosenos de los ángulos que forma la recta x” con los tres ejes trirrectangulares x, y, z. Pero esta suma sabemos que es la unidad, y queda tan sólo du' Ao , e Bi oiade E dv - Reuniendo ahora los términos que contienen 7 podre- y Y mos, sin nuevas explicaciones, escribir las ecuaciones si- guientes: dv br dy dv dy dw mel ave dde dv dy dun de] Ó bien . , dv : , ; ; y L60s (a, y) cos (4,9) ++ cos (7, Y) 005 0, y) + + Cos (z, y”) cos (2, y)l, es decir E (cos? (x, y”) + cos? (y, y) + cos? (2, y")), en que el coeficiente es la suma de los cuadrados de los án-- gulos que forma y” con los tres ejes.x, y, z, suma que es — 098 — á igual la unidad: queda, pues, reducida la expresión ante- rior á dv' dy Por último, reuniendo los tres términos que contienen , an tendremos sucesivamente 2 ; A E AE NCAA A ) e (cos (x, 2) cos (x, 2) + cos (y, 2) cos (9,2) + Zz + cos (2, 2”) cos (2,27), E [cos? (x, 2) + cos? (y, 2) + cos? (z, z')], Z dw' dv ' Hemos obtenido hasta ahora para el segundo miembro que es precisamente de la misma forma que el primero. Es indispensable que todos los demás términos se anulen. Esto es, en efecto, lo que se verifica. Haremos la comprobación para un grupo, y mis lectores podrán hacer la comprobación para los restantes. ? a, 14 . . du Reunamos, por ejemplo, los términos que contienen rá de Tendremos du' al dv dy dw ee dy du dy "du dz du dx du dy du dz == OP = - 6 bien = [cos (x, x/) cos (x, y) + cos (y, x) cos (y,y) + y + cos (2, x”) cos (2, y”)). La cantidad entre paréntesis representa la suma de los productos de los cosenos correspondientes á los ángulos que forman las dos rectas x”, y”, con los ejes x, y, z; que no es otra cosa que el coseno del ángulo que forman dichas dos rectas x', y”. Ahora bien, como los nuevos ejes son trirrectangulares, las dos rectas x”, y” forman un ángulo recto; luego su coseno es nulo; así, pues, todo el grupo anterior se reduce á cero. Lo mismo demostraríamos para los términos restantes. Queda, pues, comprobado directamente, sólo con aplicar el principio del cambio de variables, que el polinomio lí- neal du dv dw Di Meca: dx dy dz es isótropo, y queda invariable en magnitud y en forma para todo cambio de coordenadas de la especie que estamos con- siderando, ó sea de ejes trirrectangulares á ejes trirrectangu- lares. Y en rigor, empleamos palabras supérfluas al decir que queda invariable en magnitud, porque esto es evidente: la transformación de coordenadas no cambia su valor numéri- co; siempre representará la dilatación cúbica. Lo que importaba demostrar era que no cambiaba la for- ma, y ésta es precisamente la demostración que acabamos de exponer. El método empleado es completamente general, pero es largo y molesto, y puede sustituirse por artificios especiales propios de cada caso. | | Ruy. Acab, Ciuxcias. —VIT.— Junio, 1909, E 63 — 030 — En el ya estudiado del polinomio lineal, basta con ésta OR elemental y sencillísima,.á saber: que la suma == a —= E) = representa la dilatación cúbica; que ésta z es E para cada punto; y que en cada punto, sea cual fuere el sistema de coordenadas trirrectangulares, la forma analítica de dicha dilatación es la misma. Pues para los polinomios isótropos de segundo grado, una consideración sumamente sencilla nos resuelve el AS al menos en parte. Antes de desarrollar los cálculos, demos la idea general, que este procedimiento me parece muy útil para la enseñan- za, porque de otro modo va á ciegas el alumno, reconociendo que son exactas las transtormaciones y los cálculos, pero sin saber por qué se hacen. hasta no llegar al fin de ellos. Y cuando llega al fin, reconoce que ha conseguido el ob- jeto con encadenamiento irreprochable de verdades matemá- ticas, pero sin poder adivinar muchas veces cómo y por qué se le ocurrieron al autor. Y acaso el alumno resulte un sabio; pero las facultades propias como descubridor de verdades, las iniciativas, la intuición se irán atrofiando cada vez más. | Perdóneseme esta pequeña digresión, y pasemos á la ex- posición del método en síntesis. Imaginemos en el interior del sistema una esfera que con- tendrá un número inmenso de puntos, y, si se quiere, una masa continua. La ley general de la deformación del sistema, expresada por las tres fórmulas de siempre, nos demuestra que cada punto de coordenadas x, y, z se transportará por la defor- mación á otro punto de coordenadas x + U, Y +1, Z +W. — 931 — La esfera deformada será un sólido de otra forma distinta de la esférica. La superficie que la limita ya no será esférica; pero dada la pequeñez de las deformaciones, puede suponerse intuiti- vamente que es un elipsoide. En el curso anterior demostramos que, en efecto, lo es con la aproximación que allí se explicaba; en el caso presente es una nueva hipótesis resultado de la intuición geométrica. De todas maneras, esta transtormación de la esfera en elipsoide se comprende que es independiente de los ejes que se elijan. Cada punto a de la esfera va á otro punto determinado a”, siempre el mismo, sea cual fuere el sistema de ejes; de igual manera que en el caso del polinomio lineal era independiente de dichos ejes la dilatación cúbica. Pues el elipsoide es independiente de los ejes coordena- dos, los tres ejes de este elipsoide también serán indepen- dientes de aquéllos, y sus longitudes serán constantes; y aqui asalta la idea, que luego toma forma precisa, de que la ecuación de tercer grado que determine dichos ejes deberá tener coeficientes constantes y de la misma forma, con lo cual, intuitivamente, hemos resuelto el problema. | Ahora vamos á precisarlo. La intuición, guía; el cálculo, demuestra. Sea M M, (tig. 44) la esfera que se considera, de radio in- finitamente pequeño 7. | Su centro M, por virtud de la deformación, se trasladará á M', y las coordenadas de M, á saber, x,, Y,, 2,, habrán va- riado en las cantidades 4, v, w, como siempre. - Mr. Poincaré, á fin de emplear un pequeño artificio, ó me- jor dicho, un cambio de notación que 'Simplifica los cálculos, — 932 — llama x, y, z á las tres coordenadas del punto M”, en cuyo caso tendremos, evidentemente, A a o Otro punto cualquiera de la esfera, M, se habrá traslada- z Za csrnooopoo=, 5 5 A Pigura 44. do por la deformación á M”,, y si representamos las varia- ciones de las coordenadas de M', respecto á las de M” por Ax, Ay, Az, las coordenadas de M”, serán x+HAx y+dAy 2+4z. De aquí se deduce que las coordenadas de M, serán x par — (ud), y+Ay > (+40) 2 +2—(9+4w), — 933 — porque, en efecto, las coordenadas de M se deducen restan- do de las de M' los desplazamientos u, v, w; luego las de M, se deducirán restando de las de M', que son x + Ax, y+Ay,z+Az, los desplazamientos que corresponden á dicho punto M”,, los cuales ya no son u, v, w, sino éstos más sus incrementos al pasar de M' á M',, es decir, u+Au, v+Av, w+Aw. Esto lo deduce Mr. Poincaré de un teorema muy sencillo que explica al principio de su estudio cinemático de las de- formaciones en la obra de que vamos dando cuenta. Se deduce de lo expuesto, que el radio de la esfera, ó si se quiere, según el lenguaje moderno, el vector M M, ten- drá por proyecciones sobre los tres ejes, tomando las dife- rencias de las coordenadas de los puntos M, y M: x+Ax-—(u + Au) — (x — 0), YA AY (Vi 47) (9 1), Z+ Az — (w+ Aw) — (2 — w), Ó bien Ax— Au, Ay —Av, Az— Av, luego el cuadrado del radio M M,, que hemos llamado r, vendrá dado por la ecuación, (Ax— Au) + (Ay — Av? + (Az — Aw)? =7?. Obsérvese, antes de pasar adelante, que Mr. Poincaré si- gue el método inverso del que seguimos en el curso ante- rior. En aquel método pasábamos de la esfera al elipsoide; aquí pasamos del elipsoide, ó sino se quiere anticipar esta idea, — 934 — de los puntos de la superficie deformada M” M”, á la esfera por una especie de transformación inversa, utilizando este principio evidente, que hemos de venir á parar á la esfera primitiva y que el radio ha de ser constante. Lap Ahora bien, las variaciones de u, v, w al pasar de M'á M', dependerán de las variaciones Ax, Ay, Az de las coordena- das de ambos puntos, y suponiéndolas muy pequeñas, y no tomando más que los primeros términos del desarrollo, que es en rigor tomar las diferencias de u, v, w en las ecuaciones generales de la deformación u = f, (X, Y, 2), v = f, (cr Yi, 2), wd (Cayo): tendremos ? o O NOA dy eto dv dv dv Av= —— Ax + — A S— Ax, OS E dy 1 des, dw dw dw A = —— Ax q Ay JN dx A dy a dz y sustituyendo en (Ax — Au? +(Ay — AY? + (Az — Aw)? = 1? que antes obtuvimos, resultará (1+=a ON dz) dx dy dz dv dv dv 2 Ay — — Ax —— Ay — — Ax + E dx dy dz ) — 935 — ó bien (1 a dl dx d dz 2 da, e a, ll d y dx dz dw dw dw 2 A A NA EN =P, +1 ni dx dy y| Desarrollando ahora cada uno de los grupos del primer miembro, por ejemplo, el primero, tendremos [rte (e)o. dx dx du y? du du A—| Az? — 2| 1 — —-| — AxdAy — lr) ( bdo ES 2/ = la pl BI dx dy dz En esta expresión despreciaremos los términos de cuarto orden, que serán los que contienen cuatro de estas cantidades Ax, Ay, Az, du du qu. dx dy dz porque Ax, Ay, Az son cantidades sumamente pequeñas de primer orden, y las tres derivadas también lo son, en razón á que las deformaciones son infinitamente pequeñas, y, por lo tanto, du, dv, dw lo son respecto á dx, dy, dz. La expresión anterior quedará, pues, reducida á la sií- guiente | Ax2( 1-2 des A Aa das dy 2/4 — 936 — Efectuando desarrollos y simplificaciones análogas á las precedentes, tendremos dos grupos de términos análogos á los anteriores: Ay? (1-2 20 e aro: Ll co d dx y) dz Az? (1-2 e AA 9 a AzAy; dz Xx dy y reuniendo estos tres grupos, la última ecuación se convier- te en la que sigue du dv dw Ax? 1-2 —— Ay? 1-2 — -Az2l 12 == ( d )+ yl SY (a il Xx dv dw du dwo — 2AyAzl — + — )-—2AzAx| — — |- a ( dz a dy ) ls hn dx ) Expresión que, sustituyendo á los coeficientes diferencia- les que expresan las dilataciones lineales y las traslaciones en las caras de un paralelepido elemental, las notaciones a,, 4,, 03, D,, b3, bz, que hemos empleado en los cursos ante- riores y en éste, es decir dz dv dw Eta dx Ñ dy 0 ERE dv? "aw due Pd du ap DE — =b y, = == => V) y, —= == = 60 5 Nr lap dy ta A puede escribirse de este modo Ax? (1—2a,) + Ay? (1—2a,) + Az? (1-2a,) — 2AyAzb, — 2AzZAxb,—2AxAy b; = r? — 931 — ó también abreviadamente, empleando el signo 2 para letras y subíndices en orden natural LAx*(1— 2a,) —2X%AyAzb, = r?. En esta expresión no entran más que 4;,, 4,, 03, b,, D,, b;, que son funciones de x, y, z, y, por lo tanto, invariables para el punto que se considera, que, según hemos explicado, será el M' de la figura 44, ó, como luego veremos, el centro del elipsoide transformado. Las otras cantidades son Ax, Ay, Az. Si tomamos como origen de coordenadas en la superficie transformada el punto M”, que corresponde en la transforma- ción al centro M de la esfera, y por este punto hacemos pa- sar tres ejes X, Y, Z, paralelos á x, y, z, es evidente que tendremos A AZ de suerte que la última ecuación podremos escribirla de este modo: (1—2a,) X? + (1—2a,) Y? + (1-—2a,) Z?— — 2b, YZ—2b, XZ—2b, XY =r?, pero esta ecuación, siendo X, Y, Z las variables, es la ecua- ción de un elipsoide referido á su centro M”, que es el nuevo origen de coordnnadas. Y decimos elipsoide, y no otra superficie cualquiera de se- gundo grado, porque una superficie cerrada como la esfera por una tranformación infinitamente pequeña, ha de conver- tirse también en una superficie cerrada. Sea cual fuere el sistema de ejes, la esfera siempre se con- vertirá en el mismo elipsoide, por las mismas transforma- — 938 — ciones analíticas; luego su ecuación será de la misma forma que la anterior, y los coeficientes se habrán transformado en du du”: du du' coeficientes análogos: a, = e lo do 26 dx Y así sucesivamente. Si el elipsoide es siempre el mismo, sus ejes serán inva- riables y podremos establecer estas conclusiones: obtenemos, Tres magnitudes constantes, sea cual fuere el sistema de coordenadas, expresadas del mismo modo en función de los coeficientes diferenciales a, b, en el primer sistema; a”, b”, en el segundo. | Tal es el artificio de que antes hablábamos, y que equivale al de la constancin de la dilatación lineal para el polinomio de primer grado. | Calculemos, pues, la longitud de los tres ejes. La distancia del centro del elipsoide á un punto cualquiera del mismo, representándola por R, estará dada por la fór- mula | | E R2=X?+ Y2+2>; y se trata de determinar los máximos y mínimos de R, ó de R?, es decir, los valores de X, Y, Z del elipsoide, á los cuales corresponden estos máximos y estos mínimos y el va- lor de los mismos. Este un problema elemental de analítica, y no hay más que aplicar la teoría de los máximos y mínimos. Pero como nuestras conferencias son de carácter elemen- tal, quiero facilitar su lectura, refrescando los recuerdos de mis lectores. El método consiste en diferenciar la ecuación anterior, considerando á X, Y, Z como variables, y tendremos: XIX + YdY + ZdZ=0. Pero las X, Y, Z no son independientes, porque el punto (X, Y, Z) está sobre el elipsoide, luego sus diferenciales han — 939 — de satisfacer á dicha ecuación del elipsoide, que según he- mos visto era, (1 — 2a,)X? + (1 — 2a,) Y? — (1 — 2a,)Z*? — — 2b, YZ — 2b,XZ — 2b¿X Y = r?. y diferenciándola resultará, (120 Xd X Y (1 20) Y d VU Lay) ZdZ —b,(YAZ + ZdY)—bAXdZ + ZdX)—b, (Xd Y + YdX)=0. Esta ecuación y la XdX+YdY + ZdZ=0, son las dos ecuaciones que deben quedar satisfechas para los valores de dX, d Y, dZ. Sabemos que el método de máximos y mínimos, emplean- do un procedimiento regular de cálculo, consiste en multi- plicar la última ecuación por una constante arbitraria A y en sumar el producto con la ecuación anterior, y tendremos, sacando las factores comunes dX, dY, dZ, ESTIRAR + [(1 — 20) Y —b,2— b,X + AY]dY E E O Aa 0 y como ya podemos considerar á dX, dY, dZ, como inde- pendientes, gracias á la intervención de la constante arbitra- ría, A, obtendremos las tres ecuaciones de condición: (OEA IV 0, (12 o) VE Ox 0): (12) E 0, — 940 — que en unión con la ecuación del elipsoide, nos determinará los valores de X, Y, Z, 2. 4 Tendremos, pues, cuatro ecuaciones para determinar las cuatro incógnitas X, Y, Z yA. Veamos la significación de esta constante, que en rigor no es arbitraria, sino que ha tener el valor necesario para redu- cir á cero uno de los coeficientes de la ecuación fundamen- tal, en cuyo caso, como no quedarán más que las dos otras diferenciales, y éstas serán independientes, sus coeficientes podrán ser también igualados á cero. De este modo hemos obtenido las tres ecuaciones anterio- res; pero de este modo resulta que 2 no es ya una constan- te arbitraria, sino una incógnita que determinar. En resumen, tenemos las cuatro ecuaciones (1 —2a, 4 NX—b,Z —b,¿Y =0 (1 —2a, + NY-—b,2—0b,X=0 (1—20, +NZ —b,Y —b,X=0 (1 — 2a,)X? + (1 — 2a,)Y? + (1 — 2a,)Z? — — 2b,YZ — 2b,XZ — 2b¿X Y = r?. A tiene una significación fácil de determinar. En efecto, multipliquemos la primera de las cuatro ecuaciones anterio- res por X, la segunda por Y, la tercera por Z, y sumemos: resultará, (100 E Y SU NS DIAS A O y restando de la última, queda y? E A a Ahora bien, las X, Y, Z corresponden á los extremos de los ejes; si á uno de estos ejes lo representamos por e, re- — 91 — sulta, poniendo por X, Y, Z las coordenadas de la 'extremi- dad de e x?>+ VA A 1 y la ecuación se convierte en Lo que prueba, dicho sea entre paréntesis, que A, tal como la hemos escogido, debe ser negativa; pero esto importa : us e : de poco: si hubiéramos multiplicado por — 4 resultaría A = ER e Lo que importa es que A tendrá tres valores, uno corres- pondiente á cada eje. Si representamos los valores positivos por Ay, kz, Az, y por e, €», ez las magnitudes de los tres ejes, los tres valores de A estarán enlazados con los tres ejes por estas ecuaciones: fp? de suerte, que lo que digamos de los ejes e, podemos decir de los valores de 1. Si los ejes están expresados en función de a, b por poli- nomios isótropos, los tres valores de A serán también tres funciones isótropas dadas por las ecuaciones anteriores. Luego podemos ya prescindir de los ejes, y fijarnos en los valores de 4. Para determinar la ecuación de que depende A, no hay más que considerar las tres primeras ecuaciones del grupo fundamental (LAA) BZ =D, Y 0, (1—2a, +1) Y —b,Z—b,¿X =0, (1 AO AN Ep. Mé 0 — 942 — y para abreviar la escritura, en vez de la cen A, consi- deraremos 1 + A, que llamaremos s. Si 1 esisótropa, s lo es también, y recíprocamente; y adver- tiremos al lector, por si estudia la Memoria de Mr. Poincaré, que dicha s no tiene la misma significación que en la obra de aquel autor, y que además hemos introducido una ligerí- sima modificación en el método. Las tres ecuaciones anteriores, introduciendo s y ordenán- dolas de otro modo, se convierten en: (s —2a,) X — b¿Y —b,Z=0, La ecuación final en s, que es la incógnita que hemos substituido á los ejes e y á 4, se obtiene fácilmente eliminan- do X, Y, Z entre las tres ecuaciones anteriores, resultando que será de toda evidencia la determinante A iO — db, Mr A (s > 24») TER b, — O. — b, —b, (s 243) Esta ecuación es la que nos da los valores de s; y los coe- ficientes, que son la suma y los productos dos á dos, y el producto s;,. Sa. Sz deberán ser funciones isótropas de a y b, puesto que las tres raíces s,, Sa, S¿ lo son. Desarrollando, tendremos sucesivamente: (s=24,) | (6=2a,)—b, | +03 CI —b, (s —2a;) -245) E b, 9) E 0, na b, A D;. - 0 (s — 2a,) [((s — 2a,) (s — 245) —b19] + + b¿[— b, (s —24)— b, b,] —b, [b, D¿ + ba (s—243)] =0, , (s — 241) [s* — 25 (a, + as) + 40, az — by?] + +b¿(— b¿s + 2a3b, — b,b,) — b, (035 — 2 030, +b,b3)=0. El primer término es, evidentemente, | Ses El segundo es — 2 s* (a, + a, + ag). El tercero s[(4 a, a, — b,?) + 4 (a, a, + a, az) — bz? — b,?] Ó bien s[(4 a, a, — b32) + (4 a, a, — b,?) + (4 a, a, — b,2)]. El último término se obtiene desde luego haciendo s igual á cero en la determinante, y queda esta otra determinante 20, b, 0D, Da 2 AGE al Ds D, 2 > De suerte que la ecuación de tercer grado que determina s, y al tin la longitud de cada eje, será: si —2 (a, +4. +03) s? + [(4 a, 0, —b,2)1+(4 0,03 —b.*) + —+(4a,4, —b)— | 24, bz bz | =0. DIR U2O ES Da A Y En la conferencia próxima continuaremos discutiéndola. LIII. — Elementos de la teoría de la Elasticidad. Por José ECHEGARAY. Conferencia décimasexta. SEÑORES: Estudiando las simplificaciones y casos particulares que se presentan al aplicar las fórmulas generales de la elastici- dad, que habíamos obtenido por el método de Mr. Poincaré, llegamos al caso en que el sólido eiástico constituye un sis- tema isótropo; y al llegar á este punto abrimos algo así como un paréntesis en nuestras conferencias. En ese paréntesis estamos todavía, y no podremos dete- nernos mucho en él, si como es mi propósito, y si como lo exige lo avanzado del tiempo, ésta ha de ser la última con- ferencia del presente curso. Decía, que suspendiendo el problema de la elasticidad, entramos en otro terreno y en otra clase de problemas, que aunque con los primeros tienen íntimas relaciones, pueden constituir por sí solos un cuerpo de doctrina, comprendida en esta denominación general, que es la adoptada por Mr. Poincaré: Cinemática de las deformaciones de un sistema. Prescindíamos, pues, del problema mecánico, y conside- rábamos un sistema de puntos puramente geométrico, pres- cindiendo de las fuerzas exteriores, de las masas de los puntos, de las velocidades que pudieran adquirir y de los esfuerzos interiores que pudieran desarrollarse. Y considerábamos tan sólo el carácter geométrico del sis- tema y la deformación por él experimentada, suponiendo | — 945 — que cada punto, saliendo de su posición primitiva, y expe- rimentando determinado desplazamiento, definido por sus tres componentes 4, V, w, venía á ocupar una posición muy próxima á la que antes tenía. Estudiábamos, pues, la deformación geométrica de un sistema geométrico, sin más datos ni condiciones que las siguientes: Posiciones iniciales de los diferentes puntos del sistema, y expresiones analíticas de las tres variables u, v, w, en función de las variables independientes x, y, z, expresiones que designábamos de este modo: u = f(x, y, z), SÓ Í, (x, y, 2) ES f: (x, y, 2). - Las deformaciones, decíamos, estarán definidas por las nueve derivadas du du du dx dy dz y planteábamos esta cuestión: Existen funciones de estas nueve derivadas ó de algunas de ellas, que son independientes del sistema de ejes trirrec- tangulares á que se refiera el sistema. Y concretando el caso, nos limitábamos á estudiar polino- mios que gozasen de la propiedad indicada, y les dábamos* el nombre de polinomios isótropos (ó isotropos). Rñv. Acap. Cirncias.—VII.—Junio, 1909. 64 — 96 — Encontrábamos uno, gozando de la propiedad indicada, que era el polinomio de primer grado -- en que 0 representa la dilatación cúbica. Es decir, que la dilatación cúbica es constante para cada punto, y que su forma, que es la del segundo miembro, es siempre la misma, sea cual fuera el sistema de ejes trirrec- tangulares que se escoja. Claro es que sólo este polinomio de primer grado, ó este polinomio multiplicado por una constante, goza de la pro- piedad indicada, porque es evidente que los tres coeficientes diferenciales han de estar multiplicados en todo caso por la misma cantidad; si estuvieran multiplicados por cantidades distintas, sólo por cambiar los ejes unos en otros, se altera- ría la forma de dicha expresión lineal. Por ejemplo: dv + M, dw M, dy dz du M OO 2 cambiando las x, y, con lo cual el sistema sigue siendo tri- rrectangular, se convertiría en dv du dw M M. == Wi === z dy MES dx E dz Ó bien du dv dw M M M 2 ES E dy + Ms dz que es una forma distinta de la primitiva. Pasamos después á los polinomios de segundo grado, para ver si existen entre ellos también polinomios isótropos, y dijimos que puede seguirse un método general, ó que pue- — 947 — den seguirse también métodos particulares mucho más breves. Escogiendo entre estos últimos la transformación de una es- fera primitiva en elipsoide, llegamos á una ecuación de ter- cer grado, con una cierta incógnita s que era igual á 1 — »; fr? e2 siendo A igual, á su vez, á una relación — r era el radio de la esfera primitiva, y e podía ser uno cual- quiera de los tres ejes del elipsoide. Estos tres ejes eran independientes, respecto á su magni- tud, porque son constantes, y podemos agregar que en la for- ma analítica que los expresase, del sistema de ejes trirrectan- gulares que se escogiera. Luego los tres valores de s serán á su vez evidentemente isótropos. ? Ahora bien; los coeficientes de la ecuación de tercer gra- do, que determinan los tres valores de s, son funciones de estos tres valores, según se sabe por la teoría general de ecuaciones: Ó la suma de los tres valores de s con signo con- trario, ó la suma de los productos dos á dos con el mismo signo, ó el producto de dichas tres raíces con signo contra- rio también. Por lo tanto, si las tres raíces de s son isótropas, es de- cir, no cambian de forma analítica por un cambio de coor- denadas trirrectangulares, y lo mismo se expresan en función du de las nueve derivadas e que de las nueve derivadas du : : y OS es evidente que de la misma propiedad gozarán los coeficientes de la ecuación de tercer grado en s. A este punto habíamos llegado en la conferencia anterior. — 948 — Dicha ecuación era ésta: si — 2 (a, + 4, + as) s* +[(4a,0, —b3)] 4 (4a, a,b?) + + (44,4 —b*)— | 24, bz b, | =0. b¿ 24, 0d; b, bi, 24 Representando por A,, A,, Az los valores numéricos de los coeficientes, es decir, haciendo: A, =2 (a, + 0, + 03), Az = (4 a, 4, —by?) + (4 a, as — bd?) + (4 a, as — b,?), Az= | 24, 03 Ds : b¿ 20, 0D, |, De DY 2 e podemos decir que estas tres expresiones serán isótropas; es decir, que sea cual fuere el sistema de ejes, los primeros miembros tendrán el mismo valor numérico, y los segundos la misma forma en función de las derivadas de la deforma- ción, Ó sea de las a, b, con independencia del sistema de ejes trirrectangulares que se escoja. O de otro modo: que los segundos miembros representa- rán tres polinomios isótropos de primero, segundo y tercer erado respectivamente. El primero representa la dilatación lineal multiplicada por 2, y ya lo habíamos encontrado en la conferencia prece- dente. Aquí encontramos otra demostración. El segundo, es de segundo grado, y es uno de los que ibamos buscando. Podemos, pues, decir, que: (4 a, a, —b.,?) + (4 a, a, — ba?) + (4 a, az — b12), (2) — 949 — ó abreviadamente 2 (4 a, az — b,?), Ó si se quiere dv dw AU AWNS Pa e ¡ota fee BL AAN 2 | dy dz leia all 2) es un polinomio isótropo de segundo grado. En cuanto al tercero, también será isótropo; pero no nos interesa, puesto que sólo los de segundo grado queremos de- terminar. Otro polinomio isótropo de segundo grado, podemos es- cribir desde luego. , : du dv dw Y en efecto, si a, + 43 +4, Ó bien ue + dy a dz lo es, su cuadrado también lo será, puesto que conservando su forma la expresión lineal, conservará también su forma el cuadrado de la misma; quiero decir, que si para dos sis- lemas 2x0, y, 2 sentiene du' dv dw Ey taa a du dv dw Y dietas dv dw N? lr ler 00 dx dy dz Pero desarrollado el primer miembro, resulta: O a dx dy dz DAY du dw dv dw + 2 — +2 —. (1) — 950 — Tenemos, pues, otro polinomio isótropo de segundo grado. Existe aún otro polinomio isótropo, de segundo grado to- davía, que vamos á determinar, no por el procedimiento ge- neral, que daría lugar á cálculos muy largos, sino por un procedimiento artificial, pero rápido; así como determinamos el polinomio de primer grado por la consideración de la di- latación cúbica, ó como hemos obtenido el de segundo gra- do (2) por la consideración de la deformación de una esfera en elipsoide. En efecto, vamos á determinar otro tercer polinomio isó- tropo de segundo grado, convirtiendo el sistema geométrico detormable en un sistema mecánico, superponiendo, á los pun- tos geométricos masas y convirtiendo u,v,w en velocidades. Es un método artificioso, pero ingeniosísimo, y digamos de paso, que en la Física-matemática pudieran citarse otros muchos ejemplos, que demuestran las relaciones íntimas que existen entre teorías al parecer distintas. Sea M (fig. 45) un punto del sistema geométrico, y trace- mos alrededor de M, como centro, una esfera, e, que supon- dremos infinitamente pequeña. Sea M' otro punto del interior de la esfera. Si el punto M ha sufrido un desplazamiento, cuyas com- ponentes sean u, v, w, el punto M” experimentará un des- plazamiento, distinto del desplazamiento del punto M, y las componentes de M' podremos representarlas por u +04, V+00 w-+00, en que du, 0v, 0w expresarán lo que han variado estas componentes al pasar del punto M al punto M”; y si las di- ferencias de las coordenadas de M y M” las representamos — 951 — por 6x,5y,5z, podemos decir que du, 5v, 3w son las varia- ciones que experimentan u,v y w cuando las x,y,z del punto M aumentan en 0x, 0y, 02. Para todos los puntos de la esfera podemos repetir lo que hemos dicho para M". Si considerando M como origen, trazamos por este punto Pigura 45. tres rectas paralelas á los ejes x, y, z, todo punto del inte- rior de la estera, como M”, y referida á estos nuevos ejes Mx, Mdy, M9z, tendrá por coordenadas MED == 0% PM OVA A 0 Hasta ahora la esfera, con todos sus puntos interiores, es una figura puramente geométrica, y á cada punto M” van unidas tres rectas paralelas á los ejes y de magnitudes de- terminadas: MA=u+064, MB=v+0v, MC=w-+0w, — 952 — que son las componentes del desplazamiento que, según la ley general de tales a de corresponderían á di- cho punto. Y ahora vamos á convertir este sistema puramente geo- métrico en un sistema mecánico. Las tres componentes u + 94, v +0v, w + 0w, que hasta ahora representaban rectas, vamos á suponer que represen- tan componentes de una velocidad; componentes de veloci- dad que tengan el mismo valor numérico que las componen- tes del desplazamiento como rectas, y otro tanto para todos los puntos interiores de la estera. Bastaría para ello dividir todas las masnitudes lineales u 4-04, V 401, w + 0w por un mismo espacio de tiempo que podemos coger por unidad, con lo cual dichas rectas se transformarán en velocidades. Además, en cada punto como M”, podemos suponer colo- cada una masa y de tal suerte que e resulte una esfera de masa homogénea, lo cual siempre es posible, porque, ó bien la esfera, siendo muy pequeña, tiene en su interior una dis- tribución uniforme de puntos, ó bien se aumentan conve- nientemente las masas donde los puntos estén más espacia- dos, para restablecer la uniformidad. Y de este modo tendremos una esfera de masa homogénea y en que todos los puntos están solicitados por velocidades que tienen las mismas direcciones, el mismo valor numé- rico y, por lo tanto, las mismas componentes que los primi- tivos desplazamientos que representaban la deformación. Fijémonos, pues, en este sistema mecánico, y olvidamos por breves momentos el problema cinemático que conside- rábamos. Para cada punto como el M” tendremos una cantidad de movimiento, y hasta podríamos decir una fuerza, cuyos com- ponentes serán: cp(u dm), p(v +8), p(w+dw).. — 93 — Sabemos por Mecánica que estas cantidades de movi- miento tienen un momento determinado con relación á un eje determinado también. Si las considerásemos como fuerzas, diríamos que con re- lación al punto M tienen un par, cuyo eje está determinado en dirección y en magnitud, y que este eje del par es abso- lutamente independiente del sistema de ejes coordenados que se considere. Este eje es el que vamos á fijar. Sabemos por Mecánica racional, que para ello basta obte- ner los momentos de las cantidades de movimiento con re- lación á los tres ejes que pasan por por M, á saber: Mox, Moy, Moz. Los tres momentos, en rigor, son los tres pares compo- nentes del par total resultante. Determinemos, pues, estos tres pares componentes, ó, sl se quiere, estos tres momentos de las cantidades de movi- miento. Empecemos por el eje Móz, y lo que de él digamos, po- dríamos repetir para los demás. La cantidad de movimiento y . M' A, ó bien y (u + 04) (figura 45), tiene por brazo de palanca pn, que, como antes dijimos, es 9y; luego dicho momento será p (u +04). dy, y tenderá á hacer girar el sistema alrededor del eje de las z en el sentido que generalmente se escoge como positivo. Del mismo modo la cantidad de movimiento p. MB = y (v +01) tendrá por brazo de palanca una cantidad igual á M'p, que hemos llamado 0x. — 954 — De suerte que el momento de esta componente, que tien- de á hacer girar el sistema en sentido contrario al anterior, será | — py (v+.0v).0x. Y como el momento de la cantidad de movimiento corres- pondiente á M' C es nulo porque esta línea es paralela al eje de las z, para el punto M” el momento total de la cantidad de movimiento propia del punto M” con relación al eje de - las z, será y [dy (u + du) — dx (v +8v)] y para toda la esfera no habrá más que sumar cantidades análogas correspondientes á todos los puntos de la misma. Así Su [By (u +34) —3x(v + 8v)] representará el momento total de todas las cantidades de mo- vimiento con relación al eje de las 2; ó, si se quiere, la com- ponente del par resultante con relación á dicho eje. Pero no olvidemos que du, 3v, 9w son las variaciones de u, v, w al pasar de M á M', es decir, por virtud de los incre- mentos 5x,0y, 02; luego tendremos evidentemente, escri- biendo diferenciales totales, du du du du = —-06x + =—=0 == 2, dx a dy ds dz 0V ll dv dv dv . == o === 1) —— 02. dx + dy y E dz No escribimos el valor de du porque no entra en la fórmu- la anterior. Sustituyendo en ella los valores de 94, 6v, tendremos IA rs — 958) = du du du 0 ul EX cia A | PEE fu[»r( q y qe?) dv dv dv 05 == o. LL A A A Par dy E )] Consideremos el primer grupo, que se descompondrá de este modo E du AE du 4 du EA El primer término u fi dy es evidentemente nulo, porque M es el centro de eravedad de la esfera, y se reduce á cero el coeficiente / CD porque el centro de gravedad coincide con el origen de coordenadas. / pdxdy y il dybz son también iguales á cero puesto que los ejes paralelos á z y á x, que pasan por el punto M, son ejes principales de inercia de dicho punto. Por último, / p0y? es el momento de inercia de la esfera con relación á uno de sus diámetros, dividido por 2. Repre- sentándolo por /, el grupo que estamos considerando queda reducido á Como lo mismo podemos decir del segundo grupo dv dv dv — ax[|v + =—0x+——0 —— 02|= Jus + el Fogata) ==vf' e EL BRA 0x0Z Ene dx y" 50 E al en que — 956 — fu, fuay =0, fu 0 y fu resulta que du du du OMS a E Selr (er E dv dv dv 1 du dv —0x[v + —0x + -——0 — 02 || =-—I| —= — real o E : )] 2 de qa Calculando del mismo modo el momento con relación al eje de las y, tendremos y para el momento relativo al eje de las x, 1 (de da 2 de de ) El momento total será dv dw aw qe A rl loa lb Y haremos de paso una advertencia, á saber: que en todas las integrales hemos sacado fuera de su signo u, v, w y sus de- rivadas, porque hemos supuesto, dada la pequeñez de la esfe- ra, que dichas derivadas son constantes para todos sus puntos. La expresión que hemos obtenido para el inomento total de las cantidades de movimiento es una cantidad constante fija € invariable para cada punto, sea cual fuere el sistema de coordenadas, porque es una cantidad mecánica, que no de- pende más que de la distribución de los puntos dentro de la esfera, de las masas que en ellos hemos colocado y de las velocidades que á cada uno corrresponden. — 957 — La resultante de los momentos hemos visto que se puede obtener directamente sin acudir á ningún sistema de ejes, con sólo transportar al centro las eS de movimiento y componer todos los pares. En cuanto á la forma, siempre será la misma, porque ten- dríamos que repetir los mismos cálculos ya efectuados, con sólo llamar x”, y”, 2”, á lo que hemos llamado x, y, 2z En suma, tendríamos dy dw y? dw du sd rola rat dv dw y dv' du y? a E) le 5) y, por lo tanto, A e a dz dy dx dz du VEN AY a adMNe UA EN A es El e el eS Tenemos, pues, el polinomio de segundo grado isótropo que buscábamos, pues no hay más que prescindir del siste-" ma mecánico y suponer que u, Vv, w representan, no ya componentes de velocidad, sino componentes de desplaza- mientos. En resumen, hemos obtenido tres polinomios de segundo grado isótropos, que, adoptando las mismas notaciones de Mr. Poincaré, serán — 958 — oo (du, dv, de (duy (dv ye (de y io hash dio q ls e o Ó abreviadamente: E Esto es lo que se deduce, por la consideración de la inva- riabilidad, para cada punto, de la dilatación cúbica. 2.” A, = (4a,0, — b*,) + (4a, a, — b*.) + (40,43 — b?,) en que ya conocemos la significación de las a y b en valores de los nueve coeficientes diferenciales. Este polinomio se obtiene por la invariabilidad de los ejes del elipsoide de deformación. A APR dz dy e ae du? du N? dv y? Ea E NE = al ol DAIPTR cia iros e $7 ¿du dv > ¿dv dw ,dw du | dy dx dz dy dx dz ó abreviadamente ? | y leal _9y du dy dy dy dx Acabamos de obtener este último polinomio, puede decirse que por un artificio de mecánica y por la constancia del mo- mento de las cantidades de movimiento. — 959 — Cuando decimos constancia, queremos decir que el valor y la forma serán constantes para cada punto, sea cual fuere el sistema de ejes trirrectangulares que escojamos. Claro es que en general, al pasar de un punto á otro del sistema, variará el valor numérico de la dilatación cúbica; variarán los valores de los ejes del elipsoide; y variará el va- lor del momento de las cantidades de movimiento. Estas tres magnitudes serán funciones de x, y, 2. Y aquí se presenta una cuestión. Que estos tres polinomios son distintos; que ninguno de ellos se puede obtener por una combinación lineal de los otros dos, es decir, multiplicándolos por constantes arbitra- rías y sumando, sean cuales fueren estas constantes, se de- muestra inmediatamente: es un ejercicio de álgebra elemen- tal en que no hemos de insistir. Pero queda otra duda, que es importante. ¿No existirá algún otro polinomio de segundo grado in- dependiente de los anteriores, es decir, que no resulte de una combinación lineal de estos últimos? Mr. Poincaré lo demuestra por un procedimiento suma- mente sencillo, que por falta de tiempo no podemos hacer otra cosa que indicar. Se demuestra en primer lugar, variando los ejes x, y, 2 y — X, — y, — 2, entre sí, que un polinomio isótropo no pue- - de contener más que estos cuatro grupos y E y du dv dx 5] y du dv dy * — 960 — Y se observa después que si hubiera cuatro polinomios lineales de estos grupos é independientes, eliminando tres de ellos y no dejando más que el primero, que como se ha- bía obtenido por sumas y restas de polinomios isótropos debería ser un polinomio isótropo también, deberíamos con- siderar como tal al polinomio y Es dx Pero se demuestra inmediatamente que no lo es, sin más que aplicar las fórmulas de transformación, que ya hemos escrito, y se llega á este resultado sin necesidad de obtener los desarrollos completos. De aquí resulta que todo polinomio isótropo debe ser pre- cisamente una combinación lineal de los ya obtenidos. Mr. Poincaré sustituye á los tres polinomios anteriores, la siguiente combinación de éstos. El primero subsiste tal como es; de suerte que represen- tando las tres derivadas La Lada Sic como hasta aquí DA OY por 4,, dz, 43, tendremos: 0? = (a, + a, + az)? en que 0? puede considerarse como una constante para cada punto, es decir, como una función de x, y, z, que pata cada punto son cantidades determinadas. El segundo polinomio isótropo se obtiene por la combina- ción de los dos primeros 02 = (a, + 06/103)7 A¿ = 2 (4 a, a, — Ds?) = Gl = en que A, era uno de los coeficientes de la ecuación de ter- cer grado que servía para determinar la incógnita s, Ó si se quiere, para determinar cada uno de los ejes del elipsoide de- formado. Desarrollemos ambas ecuaciones, y tendremos: 6? = 1? + a? + a? + 24, 4, + 240, 4, + 20,4, A, == 4 (a, (la + A Az + 0) 03) A De 07 b.2 q DBZ: Dividiendo esta última por 2, resultará A, 09424 be 2 , == 2 (4, 4 + 4,43 + 02 0g) — y restando de la primera A, by? + by? + b5? > 2 pa — A (a? de a)? + a? ip Representando el primer miembro por H, y es claro que ésta cantidad será una constante en el sentido que hemos explicado, es decir, una función de x, y, z determinada para cada punto, é invariable para dicho punto en valor numéri- co, sean cuales fueren los ejes á que se refiera el sistema, obtendremos e Da de El segundo miembro será el polinomio isótropo de segun- do grado que consideraremos. Pasemos á fijar el tercero. Como hemos combinado el primero con el segundo de los tres antes determinados, combinaremos ahora estos mismos, multiplicando el primero por 2 y restando como antes. Tendremos, pues, poniendo en evidencia las derivadas - Ruy, Aca. Crexcias.—VII.— Junio, 1909. 65 — 962 — du N? dv y? dwx2 62 » = dd pesadas Ese la] du dv du dw . dv dw AZ ERLOY a ACME e AE de Pe E dz dy >. A o dy, dx dz ' dy dz dv dw Nx? du dw Y du dv Y? ato laser) y simplificando y desarrollando los últimos cuadrados - GEN du Ni [ dul? ( dv Y E ero | dv dw , du dw , du dv RÁ e > — e => + pra AS de des ys as A esta ecuación le agregaremos la que se deduce del ter- cer polinomio que obtuvimos al principio; y que represen- tando por B el cuadrado del momento total, después de di- vidido por el coeficiente constante, ó mejor dicho, el valor del polinomio para cada punto, resulta bajo esta forma: du dy ' te La (dv. E => dy B=|— =— | ( dy dx dz dx (ode ó desarrollando dv N? dw Y? dw NY? lili Milla ara e cer eo, Esta ecuación, sumada con la del valor 20? — A., da | que dv NY dw Y? 20? —A., HB=2|| — — NE a e ¡ du N? dv WN dw Y ea lia ae d vNY dw Ny? Ha) dividiendo por 2, y recordando, según la notación de mon- sieur Poincaré, que explicamos en una conferencia prece- dente, que se representan por IT... los tres primeros térmi- nos; los tres segundos, por H,,, y los tres últimos por wzz, se escribirá de este modo: A EL Mg My y + Mis pa - Representando el primer miembro por K, siendo esta can- tidad constante en el sentido que ya hemos explicado varias veces, tendremos: : K E Dz + 1, == Mz. En resumen, escogeremos, como los tres polinomios isó- tropos- fundamentales, los tres que acabamos de obtener, y Son: -- - MApNL FONS: LA *= (a, +0, + a), H=agqos + as q 2 EROS == 1 JU E a. Las cantidades 62, H y K son cantidades constantes para cada punto; pero también las emplearemos como símbolos abreviados de los segundos miembros. Cualesquiera otro polinomio isótropo, podrá expresarse en función lineal de los tres anteriores; porque hemos visto que no pueden existir cuatro polinomios isótropos independien- tes, y que estos tres no pueden expresarse unos en función de otros, es decir, no están ligados por una ecuación lineal. Y aquí termina el paréntesis, que antes abrimos para este problema, de lo que llama Mr. Poincaré o de las deformaciones». Volvamos ya al problema de la Elasticidad, y á la simpli- ficación de las fórmulas generales. Dijimos que las simplificaciones que íbamos á considerar eran dos, con el objeto de venir á parar á las fórmulas de Mr. Lamé. | Primera: Que en el estado inicial, las fuerzas exteriores sean nulas. En este caso vimos que lo que llamábamos W, se reducía á cero, EY que las cantidades II se reducian á cero también. | Segunda simplificación: Que el sistema fuese isótropo. Decíamos en el curso precedente, que en el caso general, los coeficientes de las fórmulas finales eran funciones de Xx, y, z, es decir, variables de un punto á otro. .Que cuando el cuerpo era homogéneo, es decir, cuan- do cualquier elemento del interior podía coincidir con otro ci mi cl dns dd». A ETA — 9653 — por un: movimiento de traslación, los coeficientes eran cons- tantes para todos los puntos, prescindiendo de las ecuacio- nes de los límites; pero que variarían de valor numérico por un cambio de coordenadas. Y que por fin, si una porción esférica del tenio del cuerpo giraba de cualquier modo sobre su centro, sin que la distribución de sus puntos cambiase, el sistema en este punto sería isótropo; y si además era homogéneo, sería isó- tropo todo él. Este es precisamente el caso que ahora vamos á consi- derar. La función de fuerzas U, ó la potencial, para un elemento muy pequeño del cuerpo, tendrá un valor determinado que dependerá, como hemos visto, de las nueve derivadas fun- damentales de la deformación. | Más aún: será un polinomio de segundo grado de estas derivadas. Y como suponemos que el sistema es isótropo, este poli- nomio que expresa la función de fuerzas para el elemento en cuestión, no vendrá á cambiar ni de valor ni de forma por un cambio de ejes. | Luego deberá ser un polinomio isótropo. Luego la parte de la potencial que hemos llamado W., y que como recordarán mis alumnos, se componía de dos po- linomios de segundo grado EN W, = P¿(a,b) + P;¡ (0), siendo un polinomio de segundo grado, deberá expresarse por una función lineal de los tres polinomios isótropos fun- damentales de segundo prado que hemos representado antes O Es decir: W,=C,0 CH + C¿K, — 066 — Para conformarnos con el uso, designaremos las constan- tes. arbiltanas C, de este modo: ==> a y tendremos, | 1 W,= 1 —H+oK En rigor, de potencial del clemento, referida á á la unidad de volumen, sería: MEA Y como W, es un polinomio lineal é isótropo, no puede ser otro que 0, de suerte, que realmente lo que llamábamos W, es decir, la potencial de un elemento infinitamente pe- queño referida á la unidad de volumen, sería: 2 —pH+vK pss - Cuando las fuerzas exteriores, en el estado inicial, son-nu- las, W, también lo es; y lo son las cantidades 1 de suerte, 1 que la potencial se reduce á dos términos nada más, que desarrollados dan ; W=- (as + 0, + 05)? — e art darias 1 rea) e $ 0 ó escribiendo explicitamente las derivadas de la deformación ls) (2) + (2) dv dw Y du dw y? du du N? a da 2 Esta será la expresión de la cual deberemos tomar las de- rivadas con relación á dichas derivadas fundamentales a, b, para obtener los coeficientes de las seis ecuaciones que re- suelven el problema de la elasticidad, ó para obtener las componentes de las tensiones en las caras de un paralelepí- pedo elemental, como demostramos en una conferencia anterior, y como recordaremos en esta, para hacer coincidir las fórmulas de Poincaré, con las fórmulas clásicas de Lamé en el caso; 1.*, de que las fuerzas exteriores sean nulas en el estado inicial; 2.”, de que el cuerpo sea isótropo en toda su extensión; y esto, téngase en cuenta; sin acudir á la hi- pótesis de las fuerzas centrales; pero aceptando el principio de la conservación de la energía. Hemos visto en la conferencia XIV que las fórmulas fun- damentales que resolvían el problema de la elasticidad eran las siguientes: Il, Ab+ Bm +Cín + P,=0, A"b+B"m+C"n+P¿=00. — 968 — ERA a AB dC EFE HU E dx di dy ñ AN dA' dB' MENE. Ma — Y=0, dx + dy h dz dA” ABR NO ———— —Z=0, dz do dy E Hen y en que A,B,C..... se deducían diferenciando W por relación ; a: E du á los nueve coeficientes diferenciales rd De suerte que XxX y teníamos: ola dwW SNA - a. ata ¡ales fot dx dy dz dp das el a po ay | pt pa att dx dy dz AE — Es n= os 7 (pa e e AA A dx dy dz y no habrá que hacer, por lo tanto, otra cosa, que aplicar estas diferenciaciones á la expresión recordando que 6 y A son la expresión abreviada de polino- mios de segundo grado de las nueve derivadas fundamenta- les de la deformación, según antes decíamos, Tendremos, pues: — 969 — AZ da, dx dx dW b du dv a = — pb == —ul — + — y Au 405 du e =h | dy dy dW db, du dw = =-— b, =— uy | =— == du q de AÑ dz dz dW b du dv A'= = —ub 3 == — An Aid o ata) dx dx B' an =— A go A O A A dv da, d dy E 1 Md ALS == 7) dy dy de * dy dz dz dw db du dw CE = —ub., A A ao a al ade dx dz d W dv dw 138 == LR AA b 1 = — hor E raid hen Alo dv dy A A A A A dw du, dz dz No queda más que substituir estos valores en las tres ecuaciones fundamentales, y tendremos para la primera; que puede escribirse de este modo: kh =—— Y Pm ls Sn a AN a d?u d?u d?u dx? dy. de?) Pero Pus d?v dew Ea 018) ANNO ONES DN dx y según úna notación que ya hemos explicado varias veces: du du du dae Cay ada = Au. Luego la ecuación se reduce á — 91 — ó, por último: Mo or ro e X que es la primera ecuación clásica de la teoría de La elasti- cidad. - Del mismo modo se oa las dos últimas en las siguientes: Aa pAv + Y=0 dy | (A+: — + y Aw+Z=0. dz Hemos llegado, pues, según habíamos anunciado, para este caso particular, á las ecuaciones de Lamé, y además los coeficientes A, B, C..... coinciden con la N y T, que expre- san las componentes de las tensiones, y el cuadro: de las primeras resulta simétrico. Con esto damos por terminada en esta serie de cursos ile exposición de la teoría de la elasticidad en sus tres grandes métodos: el de Cauchy, el de Lamé y el de Poincaré, cuyas fórmulas finales, es decir, cuyas ecuaciones diferenciales, en que u, v, w son las funciones y x, y, z las variables inde- pendientes, coinciden en los tres sistemas, salvo la igual- dad de las constantes 1 y p en el método de Cauchy. -- Esta coincidencia, por lo demás, no nos sería difícil de prever comparando los tres procedimientos iS para los casos particulares á que nos referimos. - En rigor, no hemos expuesto más que la parte elemental de la teoría en cuestión. Queda después la gran masa He las aplicaciones, de las que no hemos podido hacer otra cosa que prescukn algunos ejemplos en el segundo curso. - Si fubiéramos querido ampliar esta última -parte, que =— 972 — llena gruesos volúmenes en obras que hoy son: clásicas, y que forma en la obra de Mr. Poincaré una parte interesantí- sima de la misma, tendríamos” materia “sobrada para algunos cursos más de esta asignatura; pero ya es tiempo de pasat á otras teorías de interés más moderno y, por o así, más palpitante. Sólo sentimos no poder decir algo de tres obras que dd marian el complemento de nuestro trabajo, si pudiéramos tratarlas, por enlazarse íntimamente con esta teoría de la elasticidad; y estas obras son las siguientes: 1.2 Lecons sus Pintegration des equations differentielles aux derivees partielles professées a Stockholm, por M. V. Volterra. 2.” Recherches sur l'élasticité, par Pierre Duhem. 3.” - Théorie des corps deformables, por E. y F. Cosserat. Pero el curso termina, el tiempo apremia y mi A no es todopoderosa. - En rigor, la Fisica- iatemátida termina en la de sus ramas cuando ha escrito las relaciones entre las incóg- nitas y los datos por medio de ecuaciones diferenciales. Ya lo que queda son problemas de análisis ó de cálewdo integral. Queda, en verdad, lo más difícil; pero son ifen lada: que, hablando en términos generales, pertenecen á las Ma- temáticas puras. La Fisica-matemática, como decíamos en el primer curso, establece para cualquiera de los problemas que aborda ciertas hipótesis, en el siglo pasado, hipótesis mecánicas; y aplicando el cálculo á estas hipótesis llega á ecuaciones que, por lo general, son ecuaciones diferenciales, porque dada la manera de ser de la inteligencia humana, le es más fácil es- tablecer la ley elemental de los incrementos, que establecer leyes finitas, es decir, leyes-entre magnitudes finitas. - Obtenidas estas ecuaciones, la Física-matemática propia- mente dicha ha terminado, ó, en todo caso, sólo le queda la 070 interpretación de los resultados finales, procurando que con- cuerden con la realidad de los fenómenos, así en las líneas generales como en los valores numéricos de los coeficientes que haya necesitado emplear. En suma, la Física-matemática está al principio, al esta- blecer las ecuaciones; y está al fin, al interpretar los resulta- dos, de suerte que la teoría constituya, por lo menos, un gran simbolismo de la realidad, y un simbolismo tan perfec- to como sea posible; es decir, que la realidad del fenómeno y la imagen matemática, dibujada por medio de fórmulas, se ajusten y se acoplen con toda exactitud ó con la exactitud posible. Entre el principio y el fin queda una labor inmensa, que es la que llena millares de páginas en las obras de Fisica- matemática. Al llegar á este punto debemos detenernos: quizá sea la materia que escojamos para las conferencias del curso inme- -diato. e OTE LIV. — Sobre los metales de las tierras raras (*).— (Europio, Gadolinio, Terbio, Disprosio, Neoiterbio, Lutecio. ) - POR GEORGES URBAIN. Siendo imposible, en este momento, ocuparme en los por- menores de las investigaciones que durante quince años constituyeron el objeto de mis trabajos, me limitaré á hacer un resumen de ellas, procurando exponer, de la manera más sencilla, las ideas que me guiaron y los resultados obtenidos. Hace cosa de unos quince años también, en particular después de las principales indagaciones de Sir William Croo- kes, á euyo talento y á cuya valentía. me complazco en ren- dir el debido homenaje, aunque nuestras actuales conclusiones sean diametralmente opuestas, el grupo de las tierras raras, y más especialmente el de las tierras itricas, se consideraba formado por multitud de cuerpos. Parecía que se debía re- nunciar á aislarlos uno á uno, limitándose el experimenta- dor á observar caracteres nuevos para definir elementos nuevos. Cuantas investigaciones se practican encaminadas á deter- minar la individualidad de un elemento, comprenden una parte química, relativa á la separación de los cuerpos, y otra parte físico-química, relativa á las medidas que permiten especifi- carlo. Para separar cuerpos ó elementos que tienen propie- dades químicas tan semejantes como los contenidos en las tierras raras, sólo hay dos métodos, que recuerdan las des- tilaciones fraccionadas, de uso constante en la Química Or- (*) Comunicación hecha en la Seccion X del Congreso Internacio- nal de Química Aplicada de Londres el día 28 de Mayo de 1909. — 5 — gánica cuando es menester separar substancias dotadas de la misma función química. Y como las tierras raras no dan compuestos volátiles sino á temperaturas prácticamente in- accesibles, se ha recurrido á las precipitaciones fraccionadas y á las cristalizaciones fraccionadas. En la medida de lo posible he renunciado al primero de estos métodos, á causa de la multiplicidad de manipulaciones que requiere, adoptando el segundo y prefiriendo, en su prác- tica, las sales muy solubles. Para semejante linaje de opera- ciones, que han de repetirse millares de veces, antes de lo- grar resultados prácticos satisfactorios, las sales más conve- nientes, por razones de orden experimental, son aquellas que, como los nitratos, se funden en su agua de cristaliza- ción. De todas suertes, es menester asegurarse de la eficacia del método adoptado. Con el fin de evitar los inconvenientes del polvo, es ven- tajoso hacer las cristalizaciones en matraces, siendo necesa- rio emplearlos de buen vidrio de Jena ó de Krasma, y sólo de- ben contener líquido, á lo sumo, hasta la mitad de su cabida, para que puedan efectuarse las dilataciones libremente, evi- tándose de camino las rupturas. Después de cada cristaliza- ción, las aguas madres deben quedar reducidas al mínimo.Las operaciones subsiguientes, únicas necesatias, decantaciones, disoluciones y concentraciones, son de la mayor sencillez, y las últimas pueden disponerse en series, elevando simultá- neamente la temperatura de muchas vasijas colocadas sobre una placa metálica calentada. Esta técnica había sido de tiem- po ¡atrás preconizada por M. Demarcay. Al principio de las operaciones se emplean grandes matraces; pero no es con- veniente que su cabida pase de un litro; al término del tra- tamiento, las vasijas son muy pequeñas; las que me sirvie- ron en la obtención del /ufecio eran sólo de 20 centímetros cúbicos. En cierta época tuve en mi laboratorio más de 300 matraces, en cuyo interior se producían cristalizaciones, y en todos se efectuaba una serie de ellas cada medio día. Mis qe ayudantes y yo podíamos hacer dos series de cristalizaciones diarias, y el conjunto de las realizadas durante todo el traba- jo han pasado de doscientas mil. 11510: He aquí, reducido á sus términos esenciales, el método ope- ratorio. Supongamos que el fraccionamiento preciso para ais- lar un cuerpo comprende 15 fracciones, numeradas por orden de solubilidad; el núm. 1 es el término menos soluble, el nú- mero 15 el término más soluble; las aguas madres de éste se vierten en otro matraz que lleva un número 16, y las del 14 se decantan en el 15, cuyos cristales se disuelven en el agua madre del número anterior, y así sucesivamente. Se añade de continuo disolvente puro en la vasija núm. 1, que termina por anularse, y entonces la fracción de cabeza co- rresponde al contenido de la núm. 2; y cuando la núm. 16 ha recibido suficiente cantidad de aguas madres para hacer cristalizar el suyo, entra en la serie un nuevo matraz, el 17, y así el número de fracciones permanece constante. Con el fin de evitar concentraciones inútiles, conviene igualar los volú- menes. El número de fracciones depende de la eficacia del método y le es inversamente proporcional. Deben hacerse tratamientos previos, encaminados á clasi- ficar los cuerpos en grupos. En mi principal trabajo acerca de las tierras de la monacita, que ha necesitado 500 kilogramos de primeras materias, los tratamientos primordiales, en gran- de, fueron efectuados industrialmente. Me interesaban de pre- ferencia las tierras ítricas, apenas conocidas, y era preciso ais- lar cantidades considerables de las del grupo cérico: Cerio, Lantano, Praseodimio, Neodímio y Samario, y las tierras ítri- cas, de otra parte, no contenían menos de 80 por 100 de itrio, del cual era menester separarlas. Se explica la necesidad de partir de tan considerables cantidades de primera materia, sa- biendo que algunos cuerpos, como el Europio, el Terbio ó el Lutecio, son, á su vez, sumamente raros en las mismas tié- rras raras. Por mis cálculos, las tierras itricas de la monacita contienen menos de unas dos cien milésimas de Europio, y — 911 — sin embargo, siguiendo metódicamente los tratamientos, he podido aislarlo casi cuantitativamente. Esta parte del trabajo ha sido la clave de la bóveda del conjunto, y en ella tuve por colaborador á M. H. Lacombe, y hemos llegado á la inás rigurosa separación del Europio del Samario de la manera siguiente: pudimos averiguar que el nitrato de bismuto forma con los nitratos de la serie mag- nesiana sales completamente isomorfas con los nitratos do- bles que constituyen los nitratos de los metales de las tierras raras con los de la serie magnesiana: 2 M(NO))s, 3 Mg. (NO;), 24 H,O, representando M el Bismuto ó uno de los metales: Ce—La— Nd —Pr—Sm—Eu—Gd—Tb. Luego de haber practicado algunos tanteos, hemos deter- minado que, atendiendo á la solubilidad de su nitrato doble, el Bismuto se colocaba entre el Samario y el Europio. Y el isomorfismo, que se creía el principal obstáculo en la sepa- ración de las tierras raras, nos ha servido esta vez para rea- lizarla. A las mezclas, en estado de nitratos magnésicos, se añadía gran exceso de nitrato magnésico de bismuto, procediendo luego al fraccionamiento metódico; Ce—La—Pr—Nd—Sm, cristalizan los primeros, el bismuto les sigue, quedando como productos de cola Eu, Gd, etc. Cuando la fracción del medio sólo contiene bismuto, puede darse por separado cuantitati- vamente el samario del europio, y sólo resta eliminar el bis- muto, cosa fácil empleando el H,S, con cuyo reactivo no precipitan los metales de las tierras raras. Sirve de esta suerte el bismuto como cuerpo separador, y si hubiera otros elementos, entre los usuales, isomorfos con los de las tierras raras, se comprende que el método podría generalizarse; desgraciadamente, sólo el bismuto se halla eri semejante caso, siendo muy notable el hecho de que todas Ruy. Acap. Cirucias.—VII.—Junio, 1909. 66 us DIRE las sales de bismuto isomorfas con las de los metales de las tierras raras — y son numerosas— pueden colocarse, aten- diendo á su solubilidad, en el mismo lugar de la serie, de manera que si se pretende cortarla en cualquiera otro de sus términos, los resultados no son satisfactorios. Juzgo que semejante observación indica, por ventura, una gran ley natural relativa á la solubilidad de los elementos de una misma serie, y tengo observado constantemente cómo, cualquiera que sea el método de cristalización empleado, las tierras raras se clasifican siguiendo el mismo orden: Lantano..... La = 139,0 Cero. 0 Ge ==; 140,25 Praseodimio. Pr = 140,6 Neodimio... Nd = 144,5 Samario.... Sm = 150,4 (BISMUTO) Europio..... Eu = 152,0 Gadolinio... Gd = 157,5 TerDLO .toiviaain Tb = 159,2 Disprosio'. +. DI == 1629 Holimio:...-. Ho = 162,5 — 167 MORIR Ir = 890 IErDIO a sid. Eri== 167 TUI Stato ME 00,9 Neoiterbio... Ny = 172 Lutecio...... Lu = 174 Exceptuando el itrio, este orden es el de los pesos atómi- cos crecientes, y si la ley no ha aparecido evidente antes de mis investigaciones, la razón está en que con ciertas sales se repliega sobre sí misma, conforme lo hacen los rayos disper- sados del espectro en los casos de dispersión anormal. Por cristalizaciones de diversas sales, entre las que los etilsulfatos, los nitratos dobles de la serie magnesiana y los nitratos simples con cinco moléculas de agua, han desempe- ñado el principal papel, es como he llegado á aislar unos de otros los elementos que constituyen la parte central de la se- —= 94% = rie: Sm, Eu, Gd, Tb, Di. No solamente pude definirlos de modo riguroso por la descripción de sus espectros y la de- terminación de sus pesos atómicos, sino que además he es- tablecido la invariabilidad de tales caracteres y demostrado que no podía existir entre ellos ningún otro elemento. Tomando la serie ítrica por el otro extremo, he demostra- do también, hace muy poco tiempo, que el iterbio es una mezcla de peso atómico y espectro variables, y me ha sido posible aislar un nuevo elemento, el lutecio. Cuarenta días después, Mr. Auer publicaba los datos numéricos, semejan- tes á los míos, y esta es la exposición sumaria de los princi- pales resultados que he aportado á la química de las tierras raras, á saber: descubrimiento de dos elementos, el lutecio y el neoiterbio, y descripción completa de otros cuatro: el europio, el gadolinio, el terbio y el disprosio. Y merced á este trabajo, figuran en la tabla internacional de los pesos atómicos, cuatro elementos: europio, disprosio, lutecio y neoiterbio, que de tal suerte han adquirido, por decirlo así, existencia oficial en la ciencia. Lo que precede corresponde, en rigor, á la química pura; pero los métodos de la físico-química tienen, en el orden de semejantes investigaciones, un lugar preeminente, y he creído deber exponerlos en la Sección correspondiente de este Con- greso. No basta fraccionar mezclas y determinar pesos ató- micos para alcanzar resultados en el camino de las indaga- ciones de que se trata; operando así, sólo se consigue una primera aproximación, porque los pesos atómicos de dos elementos tienen, á veces, valores casi idénticos, y de otra parte el carácter único de los pesos atómicos es insuficiente. No obstante, siempre me he ocupado de que mis medidas, en tal orden de ideas, fueran muy precisas. Tomando en abscisas los números de orden de las fracciones y en orde- nadas los pesos atómicos, las curvas obtenidas al principio de un fraccionamiento son muy continuas y regularmente ascendentes ó descendentes. Cuando las separaciones van — 980 — más adelantadas, se observan en las curvas indicaciones de mesetas horizontales, que al momento se precisan. Si muchas fracciones consecutivas tienen en los límites, salvo errores de medida, el mismo peso atómico, estas mesetas correspon- den, por lo general, á cuerpos puros. Mas también pueden corresponder á mezclas: en las destilaciones fraccionadas hay mezclas líquidas que destilan á temperatura constante; en las cristalizaciones fraccionadas pueden observarse mez- clas indesdoblables, de las cuales he citado algunos ejemplos y establecido la teoría del hecho. He tenido que estudiar sistemáticamente los diversos ca- racteres espectrales de las mesetas de peso atómico cons- tante, siguiendo cada carácter en las fracciones sucesivas, y desde luego me ha sido preciso salvar todo género de difi- cultades. Las tierras raras producen, al igual de todos los elementos químicos, tres especies de espectros. Espectros de emisión. Espectros de absorción. Espectros de fosforescencia. Eran muy incompletos, y á menudo contradictorios, los datos obtenidos por diferentes experimentadores. Por lo ge- neral, cada autor se limitaba á la observación de un solo ca- rácter y atribuía los caracteres nuevos, distintos de los inves- tigados, á un nuevo elemento; uno de ellos sólo podía dar tres géneros de espectros, y de esta manera cada elemento podía ser descubierto por lo menos tres veces. De tal suerte, la química de las tierras raras vióse embarazada con tantos cuerpos simples, provisionalmente designados con las letras X, Y, Z. G..... no bastando los alfabetos griego y romano, y esto hacía el efecto de un hormigueo de elementos químicos inaccesibles. De otra parte, el espectro de un elemento jamás es cosa invariabie, conforme se creyó durante mucho tiempo; la in- tensidad, sea de las líneas, sea de las bandas, puede cambiar de modo notable, mediante influencias muy variadas, de suer- — 981 — te que se había llegado á admitir que las diversas bandas de un espectro caracterizaban á otros tantos elementos distintos. Si se advierte, además, que los espectros de las tierras raras son muy ricos de rayas y á veces extremadamente sensibles, puede formarse idea aproximada de la dificultad del pro- blema. Cada espectro ha sido, pues, objeto de un estudio siste- mático, y me he visto precisado á estudiar las distintas técni- cas operatorias hasta ahora propuestas, las cuales dan en ocasiones — para un espectro de emisión, por ejemplo — resultados muy distintos: los espectros de arco son diferen- tes de los espectros de chispa; éstos pueden adquirir varia- dísimas fisonomíaas, según la capacidad y la autoinducción del circuito excitador, y por fin, cuando un cuerpo existe en estado de trazas, su espectro difiere, en general, del que pro- duce cuando se encuentra en estado de masas. Varían los espectros de absorción con la acidez, la con- -centración de las disoluciones y la temperatura. Poseen los espectros de emisión y los de absorción intensidades que resultan sensiblemente proporcionales á las masas que los originaron, sólo que los de emisión son menos sensibles que los otros. Gracias á esto puede observarse si dos espectros (uno de emisión y el otro de absorción) pertenecen á un mis- mo elemento. Experimentan, á causa de las diferencias de sensibilidad, igual variación á un lado ú otro de la meseta de peso atómico constante, á lo largo de la cual permanecen constantemente idénticos á sí mismos, con su brillo máximo. No es igual tratándose de los espectros de fosforescencia, y esta ha sido la parte más trabajosa de mis investigaciones espectrográficas. La fosforescencia es una propiedad de la materia diluida. Son las mezclas de algunas centésimas de materias acti- vas — fosforógenos, según ahora se llaman — las que en el vacio y mediante la influencia de los rayos catódicos se tor- nan más luminosas; antes Ó después de este óptimo, ó si — 982 — aumenta ó disminuye la proporción de fosforógeno, las fos- forescencias se atenúan y en general desaparecen mucho an- tes de llegar á los cuerpos puros. He comprobado el hecho diluyendo estos cuerpos puros no fosforescentes en otros cuerpos inmediatos asimismo puros y que tampoco fosfores- cian, y de esta manera el trabajo de análisis se doblaba y completaba con el trabajo sintético ulterior. Semejante estu- dio sistemático me ha permitido observar que no solamente la fosforescencia catódica total de un elemento, diluido en proporciones crecientes en otro elemento, pasaba por un máximo, sino tambien que la mayor parte de las bandas de un mismo espectro admitía óptimos luminosos particulares. En suma, la ley que rige la fosforescencia de las mezclas só- lidas es la siguiente: En todo sistema fosforescente binario, en el cual varían las proporciones relativas del fosforógeno y del diluyente, se de- muestra : 1.2 Que cada banda de fosforescencia pasa por un óptimo. 2.7 Que los óptimos de las diferentes bandas no coinciden necesariamente, aunque correspondan siempre ú aro ponES relativamente exiguas de fosforógeno. Merced á esta ley, se tiene la clave de los fenómenos que se observan, los cuales pueden resumirse así: 1.2 Las mesetas correspondientes á cuerpos puros, no son fostorescentes. 2.” Las mezclas intermedias son, por punto general, fos- forescentes, y de una fracción á otra el color y el espectro de la fosforescencia experimentan modificaciones progresi- vas y regulares. Obsérvase que estas últimas dan la ilusión de una separa- ción de muchas tierras fosforescentes; pero tal ilusión no re- siste la prueba de los experimentos hechos por vía de sínte- sis con mezclas de cuerpos puros en diferentes proporciones, porque no se puede admitir que al mezclar dos cuerpos se separen sus constituyentes. — 983 — Después de haber practicado gran número de experimen- tos, llego á establecer, de manera que me parece irrefutable, la exactitud de las apreciaciones apuntadas, las cuales há- llanse en formal contradicción con las atractivas interpreta- ciones que, bajo el nombre de feoría de los meta-elementos, ha dado Sir William Crookes para explicar los magníficos fenómenos cuyo descubrimiento le debemos. Mis experimen- tos han precisado, en la mayoría de los casos, el sentido de los resultados obtenidos por el ilustre profesor, y acaso por ello cuanto ha ganado en sencillez la Química de las tierras raras lo ha perdido en seducción. Las investigaciones que he indicado, entreteniendo vues- tra atención y fijando tan sólo las ideas directoras de las mis- mas, me llevaron á las siguientes conclusiones: 1.? Los elementos S¿ de Sir William Crookes, Ze: y Z£ de Mr. Lecoq de Boisbaudran, son, en realidad, idénticos al Europio de Demarcay. Este elemento posee un espectro de emisión, un espectro de absorción y un espectro de fosforescencia, que sólo se manifiesta cuando se mezclan los derivados del Europio con los convenientes diluyentes. El peso atómico del europio es: Eu = 192,0. 2. El elemento Victorio de Sir Willian Crookes es idén- tico al Gadolinio. Este elemento presenta, de la misma suerte, los tres géneros de espectros. Su peso atómico es: Cd 157,3: 3.7 Los elementos I' de Demarcay, Zs y Zg de Mr. Le- coq de Boisbaudran, G;, /onio é Incognito de Sir Willíam Crookes, son idénticos al Terbio, entrevisto por Mosander y que sólo ha podido ser aislado y descrito sesenta años después. Su peso atómico es: Tb = 159,2. 4.* Los elementos A de Demarcay Z, y Zo de Mr. Le- coq de Boisbaudran, Gj¿ de Sir William Crookes, X, de MM Exner y Haschek son idénticos al Disprosio de Lecoq de Boisbaudran. Su peso atómico es: Di = 162,5, — 984 — 5.2 El /terbío de Marignac es una mezcla, á lo menos de dos elementos. He podido caracterizar uno de ellos, cuyo peso atómico está cerca de 174, por un espectro de líneas y un espectro de bandas; es el Lufecio. Al resto del antiguo iterbio le he llamado Neotiterbio; la media de su peso atómi- co es 172; pero todavía no me ha sido posible obtener la constancia y he observado tales variaciones en su espectro de bandas, que me inclino á considerarlo mezcla de dos ele- mentos. LV.—Fosforescenciá de dos colores observada en un sulfuro de estroncio (+). POR JosÉ RODRÍGUEZ MOURELO. Al dar cuenta de las nuevas series de experimentos, rela- tivos á la particularísima fotoluminescencia observada en un sulfuro de estroncio, recordaré, á manera de precedente, otros fenómenos análogos, ha tiempo notados, y que fueron expuestos en anterior trabajo. Refiérense principalmente al sulfuro de bário fosforescente, muy impresionable para la luz, produciéndola luego intensa en la obscuridad y de dos tonos distintos: es el hecho fundamental, punto de partida de las investigaciones que constituyen el objeto de la pre- sente Nota. Hay que considerar, en realidad, dos géneros de hechos, en lo que respecta á las dobles coloraciones de fos- forescencia, á saber: sulfuros de bario que la presentan ama- rilla, no homogénea, y sulfuros de bario en los cuales adviér- (*) Nota leida en la Sección X del Congreso de Química Aplicada de Londres el día 1.2 de Junio de 1909. — 985 — tense los efectos luminosos de las aureolas de dos colores, bien distintos y determinados, y en ambos casos son siste- mas sólidos diferentes, más ó menos complicados; el dilu- yente permanece constante y lo forma el monosulfuro de bario, adrede impurificado con carbonato y cloruro de sodio, y el fosftorógeno, variable, fué, según las ocasiones, subni- trato de bismuto ó carbonato manganoso (0,002 gr. por 100 de CO, Ba) y anhidrido arsenioso (0,015 gr. por 100. de CO, Ba), é impórtame traer á cuento los modos operatorios y los resultados obtenidos (*). Merece indicarse, ante todo, cómo la obtención de fotolu- minescencias de dos colores, lo mismo en el caso presente que en los anteriores y en otros de que tengo noticia, es for- tuíta y casual, no obedeciendo á reglas fijas; sólo parece de- pender de circunstancias especiales que hayan concurrido en la formación de los sistemas en los que aquellos fenóme- nos son advertidos. No obstante lo cual, á lo menos en el - momento presente, faltan datos para considerarlos excepcio- nes de una regla conocida. Bueno es recordar también cómo en el color uniforme de la fosforescencia influyen muchas y variadas circunstancias, siendo las principales, en mi entender, la naturaleza del di- luyente y la del fosforógeno, la temperatura á que ha sido obtenida la disolución sólida, el estado de concentración de la misma, respecto de la materia activa, y la mayor ó menor complicación de los sistemas luminescentes, cualesquiera que sean los agentes excitadores de su sensibilidad. Vale señalar, en punto á ello, á guisa de ejemplo, el sulfuro de bario dotado de fosforescencia roja, uniforme y caracteris- tica, cuando á un sistema en el cual es diluyente y que con- (*) Véanse los pormenores en mi Memoria INVESTIGACIONES ACERCA DE LA FOSFORESCENCIA DEL SULFURO DE BARIO, en los Anales de la Sociedad Española de Física y Pe tomo Il, pági- na 335, 1904. — 986 — tiene, en calidad de impurezas, carbonato y cloruro sódicos y sulfato potásico, ejerciendo de fosforógeno el subnitrato de bismuto, se añade una traza de nitrato de cobre, calen- tando luego la mezcla por cuatro horas al blanco, siguiendo lento enfriamiento, ó los distintos matices del color de la fosforescencia del sulfuro de calcio, según la procedencia de la cal ó del carbonato de calcio empleado como disolvente sólido. Y no es menos notable la variación del color en la termoluminescencia de ciertas fosforitas y fluoritas con la temperatura á que son sometidas, dentro de los límites de producción del fenómeno, en este caso irreversible. Aparte la naturaleza de los cuerpos que la presentan, en ocasiones la coloración de la triboluminescencia, particularmente si al- canza la intensidad máxima en forma de ráfagas, depende de la manera de la excitación, conforme lo tengo observado en ciertas blendas negras, dotadas de grandísima sensibili- dad, y que fosforecen con sólo frotarlas contra un cuerpo algo duro. Ningún sistema sólido susceptible de la catodoluminescen- cia, formado de un disolvente y una sola materia activa, que es el más sencillo, hasta los de mayor complicación, en los cuales hay varios diluyentes y varios fosforógenos, pasando por toda la serie de disoluciones sólidas posibles, se excep- túa de lo apuntado, y á partir de los clásicos experimentos de Lecoq de Boisbaudran, hasta las notables investigacio- nes de Crookes y las modernas de Lenard y Klat, siempre se han notado las influencias señaladas, en particular las de la temperatura á que han sido formadas las disoluciones só- lidas fosforescentes, más ó menos complejas. Cuanto se refiere al color en la fosforescencia, considera- do el fenómeno en general, y más especialmente por lo que atañe á la fotoluminescencia y á la catodoluminescencia, ha sido objeto de minuciosos y variados estudios, sobre todo, respecto de lo primero, en lo tocante á la luminescencia verde y á la luminescencia amarilla del sulfuro de cinc, cu- A ASA AA AA a e in — 087 = yas propiedades se diferencian bastante. Sabido es que en los sistemas excitables por la luz directa suelen constituir los diluyentes los sulfuros de bario, de calcio y de estroncio, siendo variadísimos los fosforógenos; y en los sistemas im- presionables y disociables por los rayos catódicos, es el di- luyente general el sulfato de calcio, muy calcinado y purísi- mo cuando se trata de hacer investigaciones espectroscópi- cas, ya que la fijeza de los espectros de fosforescencia es un método analítico admirable, al cual debemos el descubri- miento de algunos cuerpos simples. Partiendo de un dilu- yente, siempre empleado en gran exceso respecto del fosfo- rógeno, que se usa en mínimas proporciones, y agregando aquellas materias de naturaleza alcalina, fijas unas, como los carbonatos y sulfatos, volátiles otras á temperatura ele- vada, al igual de los cloruros, y cuya eficacia está bien de- mostrada en la práctica, se comprende la facilidad de conse- guir, á voluntad, sistemas más complicados, puesto que en un sólo disolvente sólido se pueden difundir varias materias activas y recíprocamente una de éstas es susceptible de pe- netrar en la masa de varios diluyentes, resultando «mezclas homogéneas. Ocurre pensar que si dos fosforógenos, para poner el caso más sencillo, comunican cada cual á un sistema binario—un disolvente y una materia activa—determinado color de foto- luminescencia, otro sistema, esta vez ternario, que contenga á ambos en el mismo estado de dilución, deberá presentar ó dos colores ó un color intermedio, resultado de la combi- nación de los primitivos. Y de la propia suerte, si es uno sólo el fosforógeno y dos los diluyentes, cón cada uno de los cuales aquél produce fosforescencia de distinto color (ejemplo, el subnitrato de bismuto con sulfuro de estroncio, verde, y con sulfuro de calcio, violeta), el del nuevo sistema debiera ser ó doble ó intermedio. Trátase, al cabo, de mez- clas íntimas de disoluciones sólidas dotadas de especialísi- mas cualidades. — 988 — De intento emprendi, hace algunos años, experimentos muy variados con ánimo de esclarecer estos puntos, sirvién- dome de base y guía los de Lecoq de Boisbaudran y los de Sir William Crookes, referentes á la fosforesceneia, en el vacío y mediante la influencia de descargas eléctricas, de mezclas calcinadas muy variadas, cuyas investigaciones han sido el fundamento de las posteriores relativas á la catodo- luminescencia. Fueron negativos los resultados y jamás lo- gré fosforescencias de dos colores, ni de coloraciones interme- dias definidas, apelando á los medios cuyo pormenor dejo consignado en dos trabajos ya publicados (+). En otro ante- rior, al cual hice referencia al principio, considerándolo ori- gen y punto de partida de las observaciones que quiero des- cribir en esta Nota, he dado noticia de ciertas fosforescen- cias advertidas en determinados casos, experimentando con el sulfuro de bario en condiciones particulares, bien poco semejantes á las más propicias para lograr el sulfuro de es- troncio con dos colores de luminescencia. Ponía mis cuidados, en cierto período de las investigacio- nes acerca de la fosforescencia del sulfuro de bario, en de- terminar las influencias de los distintos fostorógenos metáli- cos, sobre todo las del subnitrato de bismuto y del carbonato manganoso, aislados ó juntos, con cuyas sales había obteni- do los sistemas dotados de mayor sensibilidad para la luz directa y que presentan más intensa y duradera fosforescen- cia, de hermoso color amarillo de oro, á veces con cierto matiz anaranjado. Aunque las mezclas (carbonato de bario artificial, de intento impurificado con carbonato y cloruro sódico, 30 por 100 de azufre y algunos miligramos de los (*) SUR LES MÉLANGES PHOSPHORESCENTS FORMÉS PAR LE SULFU- RE DE STRONTIUM. Comptes Rendus de P'Academie de Sciences de Pa- ris, tomo CXXVII, pág. 1.508. Mai 1898. MEZCLAS FOSFORESCENTES. Anales de la Sociedad Española de Fi- sica y Química, tomo Ill, núm. 22. 1905. | | — 989 — citados fosforógenos ), hacianse lo más homogénea$ posible, se calentaban por igual en crisoles tapados y eran sometidas á idénticos tratamientos, aconteció que uno de los sulfuros, de estructura uniforme, agrisado claro, compacto y duro, grandemente excitable por la luz, dió hermosa fosforescencia en toda su masa; pero con dos matices bien distintos del propio color amarillo. En vista del primer resultado, enteramente casual, em- prendí nuevos experimentos, procurando en ellos hacer lo más eficaz posible la acción del fuego, alcanzando con la mayor rapidez el límite de la temperatura del rojo muy vivo, sosteniéndola por tres horas; el sistema resultante era sul- furo de bario en calidad de diluyente, impurificado de inten- to con carbonato y cloruro de sodio y como fosforógenos, según los casos, subnitrato de bismuto ó carbonato manga- noso. Transcurrido el término dicho y enfriado lentamente el crisol, recogí una masa dura, de color amarillento en la su- - perficie, casi blanca en su interior, en extremo sensible á la luz directa, presentando luego, en la obscuridad, hermosa é intensa fosforescencia amarilla de oro, en cuyo tono general se destacan zonas muy brillantes, de color amarillo claro, con bien señalado matíz verdoso, produciendo singular efec- to el contraste de ambas coloraciones; y al cabo de más de diez años los ejemplares que conservo nada perdieron de sus propiedades, antes parecen haber ganado en sensibili- dad, por virtud de las reiteradas impresiones de la luz, bas- tando la eléctica incandescente para que se manifieste un principio de fosforescencia. Quedaba asi demostrada, en mi sentir, la posibilidad de obtenerla de dos colores con el más sencillo sistema binario; un sólo diluyente y un sólo fosforógeno; pero es menester añadir que, aun disponiendo de idéntico modo los experi- mentos, no es posible responder de los resultados, lo cual significa que no se consiguen á voluntad las luminescencias del sulfuro de bario formadas por núcleos de color amarillo — 900 — claro, con marcado tono verdoso, rodeados por aureolas brillantes de color amarillo de oro. A pesar de los resultados indicados, si no negativos, variables é inciertos, dispuse nuevos ensayos, también con el sulfuro de bario, buscando en la complicación de las disoluciones sólidas el modo efi- caz y seguro de lograr la fosforescencia de dos colores, y como en anteriores experimentos había demostrado, respec- to de otros particulares, las ventajas positivas y constantes del anhidrido arsenioso, se emplearon este cuerpo y el sub- nitrato de bismuto en calidad de fosforógenos ó materias ac- tivas, usándolos en las exiguas proporciones indicadas al principio, por ser aquellas que para otros menesteres habían dado el máximo de sensibilidad y de luminescencia. Fueron primeras materias el carbonato de bario impurifi- cado como de costumbre (100 gr.), el azufre (30 gr.) y el anhidrido arsenioso (0,015 gr.); hecha la mezcla homogénea se llenó un crisol, comprimiéndola mucho para darle adhe- rencia, y en ella se practicó un taladro cónico, que fué llena- do con otra mezcla análoga, que en lugar del anhidrido ar- senioso, contenía 0,002 gr. de subnitrato de bismuto. Calen- tado el sistema al rojo vivo por tres horas, resultó un producto duro y compacto, en cuya masa se distinguen dos zonas, la exterior blanca y la interior agrisada amarillenta; reducido á fragmentos y expuestos á la luz, son muy sensi- bles y presentan singular fosforescencia con núcleos de color amarillo claro algo verdoso y aureolas de brillante color amarillo de oro, observándose en algunos trozos una curio - sa inversión de las coloraciones. Al igual del experimento anterior, el fenómeno de la doble coloración es inconstante y parece obedecer á condiciones especiales, cuyas influen- cias no he podido determinar. Relatados los antecedentes de investigación personal que considero obligado preliminar de los nuevos ensayos, se de- = 00% == duce de ellos, respecto del sulfuro de bario, la posibilidad de obtener fosforescencias de dos colores, bien con disoluciones formadas por un sólo diluyente y un sólo fosforógeno, bien con otras más complicadas en las que se contienen dos fosto- rógenos de tan distinta naturaleza como el anhidrido arsenio- so y el subnitrato de bismuto, siquiera no haya logrado ave- riguar los modos fijos de producir á voluntad el fenómeno. Tocante á sus causas, aunque luego insistiré acerca del par- ticular, impórtame desde luego advertir que al principio hube de fijarme en la influencia del calor y en la heterogé- nea estructura de la masa, que implica acaso cierta desigual- dad en la distribución del fosforógeno, resultando disolucio- nes que pudieran llamarse irregulares. Entonces la luz no excita de igual manera todas sus partes, ní provoca en toda la masa las mismas disociaciones, y perturbado en ella de diferentes modos el equilibrio molecular representado por la disolución sólida, en razón de la variable sensibilidad que implica la estructura no homogénea, aparecen en la fosfores- cencia las coloraciones dobles, cuya explicación no me pare- ce actualmente satisfactoria, ni otra alguna, mientras no se establezcan relaciones precisas entre el color de la fotolumi- nescencia y la naturaleza del fosforógeno. Guiado por los resultados antes alcanzados, quise reanu- dar, hace poco tiempo, mis trabajos acerca de los sulfuros metálicos fosforescentes, especialmente el de estroncio, con ánimo de indagar la constitución especial de las disoluciones sólidas que los forman, buscando datos para resolver el pro- blema de la química de la fotoluminescencia, cuyo interés, particularmente en su calidad de fenómeno reversible, sube de punto. Bien se entiende que había de ocuparme, dada la invariabilidad del diluyente (sulfuro de estroncio, formado de contínuo mediante la acción del azufre sobre el carbonato á elevada temperatura), en volver al estudio de los diversos fosforógenos, cuyos efectos á tantas variaciones hállanse su- jetos, siquiera, en la actualidad, algo seguro pueda ya cole- — 40% girse respecto del máximo de su poder fosforogénico; mejor dependiente, á lo que parece, de la proporción empleada y no de su naturaleza química. Substancialmente, los procedimientos experimentales fue- ron los mismos cuya eficacia quedó bien demostrada á los principios de mi labor, no sin haberme permitido modifica- ciones de importancia, de las cuales conviene dar cuenta, * porque uno de sus primeros efectos ha sido el obtener ma- sas dotadas de fosforescencia intensa de dos colores. Fuí bastante afortunado para encontrar excelente carbonato de estroncio, muy blanco, exento de calcio y de bario y cuya sola impureza eran algunas milésimas de cloruros; el azufre, en flor, no contenía ni trazas de hierro, y esto aseguraba el conseguir masas blancas ó agrisadas, sin que les sirva de pigmento el color pardo de sulfuro de hierro, que tanto dis- minuye su sensibilidad respecto de la luz y perturba grande- mente la fosforescencia. Estas fueron las primeras materias del diluyente y de intento se han suprimido los fundentes, en algunas otras ocasiones empleados, y el impurificar, como era uso, el carbonato de estroncio, agregándole exiguas pro- porciones de carbonato y de cloruro de sodio, porque ha- biendo prescindido de ellos con ocasión de preparar sulfuros de baric, que resultaron muy fosforescentes, hice lo propio con el de estroncio, logrando igual efecto; pero es condición indispensable el operar de la manera que luego se dirá, y no de otra forma. Como se ve, hay en el nuevo sistema, tocan- te al diluyente, una simplificación importante, cuya conve- niencia, para los fines que yo me proponía, la demostraron los experimentos, y por eso la he preferido en las últimas investigaciones. Hay, no obstante, inconvenientes en prescindir en abso- luto y para todos los menesteres del carbonato y del cloruro de sodio y de cualesquiera otros fundentes. Resultan enton- ces las masas fosforescentes bastante menos compactas, su aspecto es más terroso, no aparecen homogéneas, es mayor, o su alterabilidad en contacto del aire y manifiesta sú tenden- cia á reducirse:á polvo y hasta parece que el fosforógeno se encuentra en ellas desigualmente distribuido; es frecuente verlas constituídas por capas bien marcadas de distintas co- loraciones, dentro del tono agrisado claro, más ó menos amarillento, cuya sensibilidad para la luz y cuya fosfores- cencia van en aumento desde el núcleo á la más externa y superficial. Tienen mis actuales investigaciones, en lo que atañe á la fosforescencia del sulfuro de estroncio, un objetivo principal, es á saber: determinar la influencia que en los cambios y variaciones de su color pueda tener la distinta naturaleza de los fosforógenos, y por eso los elegí distintos y variados, combinándolos unos con otros para constituir sistemas, en ocasiones ya bastante complejos, y fué en el curso de tales experimentos cuando observé, por nueve veces y en dos series distintas, la fosforescencia de dos colores muy dife- rentes, con la mavor claridad determinados. Busqué dos metales cuya eficacia tenía bien conocida, el bismuto y el manganeso, otro que la posee decisiva en la luminescencia roja del sulfuro de bario, y es el cobre, y otros dos— el co- balto y el niquel —los cuales, á causa de la condición de es- tar clasificados entre los metales magnéticos, eran califica- dos de inactivos en calidad de fosforógenos. No es indife- rente la forma de emplearlos; y siguiendo, en punto á ello, el criterio de.otros investigadores y el derivado de los resul- tados de algunos ensayos propios, he dado la preferencia á los nitratos de los metales antedichos, siendo conveniente emplearlos ácidos y aun añadir un poco de ácido nítrico, si fuera menester, por ejemplo, cuando se opera con el bismu- to y presentan los fosforógenos empleados la ventaja de poder mezclarse sin que entre ellos haya reacción, ni tam- poco con el carbonato de estroncio en frío, y esto permite hacer muchas combinaciones de materias activas y compli- car bastante las mezclas que han de constituir, luego de Rey. Acap. Ciuncias.—VIT.— Junio, 1909. 67 — 994 — haber sido sometidas á las continuadas acciones del calor rojo vivo, las disoluciones sólidas y los. sistemas fosfores- centes, siempre con un sólo diluyente, que es el sulfuro de estroncio, exento de materias alcalinas. Importa notar ahora, una vez más, la conveniencia de em- plear los fosforógonos, sobre todo si los constituyen metales pesados, en forma de nitratos, cuyas sales se descomponen por el calor, dejando un residuo fijo de Óxidos muy dividi- dos, los cuales, arrastrados acaso por los productos gaseosos de la reacción, á la elevada temperatura á que ésta se efec- túa, son difundidos, con cierta regularidad, en la masa sóli- da. Habrá, pues, un fenómeno de transporte mecánico de las materias activas, contribuyendo á formar la disolución ho- mogénea. Un hecho, que juzgo bien establecido, es que no pueden contener el fosforógeno en estado de sulfuro, siéndolo el di- luyente: los sulfuros de los metales pesados de uso general en calidad de cuerpos activos, son pardos ó negros, y si por extremar la temperatura ó por otras causas llegan á formar- se, sirven de pigmento á las masas, las tiñen de tonos obs- curos y no resultan fosforescentes. Puede advertirse muy bien esto mismo empleando primeras materias que conten- gan hierro; entonces prodúcese sulfuro, y, á causa de su colo- ración, el cuerpo resultante es en absoluto inerte para la luz, y por ninguna excitación llega á ser fosforescente, ni siquie: ra después de muy fuerte insolación directa, prolongada du- rante algunas horas. Hay cierto contraste entre el no ser fotoluminescentes las masas ennegrecidas, con mayor ó me- nor intensidad, por sulfuros metálicos obscuros y la tribolu- minescencia de ciertas blendas negras, tan sensibles, que basta rozarlas con un cuerpo duro para que en la superficie de rozamiento aparezcan ráfagas luminosas intensas; verdad es que tales blendas constituyen, en realidad, sistemas com- plejos, conteniendo numerosos fosforógenos de variada natu- raleza, sirviéndoles como diluyente el sulfuro de cinc. Ensa- — 905 — yando, en calidad de materias activas, los óxidos metálicos puros, procurando difundirlos con la homogeneidad posible en el carbonato de estroncio, procediendo en todo lo demás como de costumbre, obtuve resultados aceptables y cuerpos fosforescentes, aunque no con tanta intensidad, ni en tal gra- do impresionables como empleando los correspondientes ni- tratos, y así, en mis actuales experimentos, les he otorgado la preferencia, además de que, siendo todos solubles, está facilitado el empleo de sus mezclas. Son los apuntados pot- menores experimentales que tienen su interés cuando se tra- ta de fenómenos de la índole de la fosforescencia, que pre- senta aspectos tan diversos, multitud de variantes y singula- ridades dignas del más atento y minucioso estudio. Junto con lo expuesto, es menester considerar, siquiera brevemente, los métodos de obtención para relacionar de algún modo con ellos los resultados conseguidos. En ante- riores trabajos me valía de medios mecánicos, largos y pe- nosos, para incorporar el fosforógeno con los carbonatos ó los óxidos, primera materia de los diluyentes, y el procedi- miento, aunque eficaz, conforme lo demuestran las numero- sas series de materias fosforescentes que he preparado, no es seguro en cuanto á la homogeneidad de los productos, aj- punto que á la falta de ella y á sus imperfecciones han de atribuirse en gran parte muchas de las anomalías que en anteriores Memorias dejo apuntadas. Es preferible y más ventajoso impregnar, conforme lo hago ahora, suprimiendo los compuestos alcalinos, el carbonato de estroncio, del que ha de ser formado el diluyente, con disoluciones acuosas de los fosforógenos, que, según va dicho, son nitratos, agre- gando un ligero exceso de ácido nítrico puro. Con el líqui- do, conteniendo uno ó varios nitratos activos y el carbonato bien pulverizado, se hace una suerte de pasta blanda, la cual es desecada á 100% sin dejar de removerla; las sales activas no han experimentado la menor alteración, y al mismo tiem- po, gracias al exceso de ácido nítrico, se forma algo de ni- MONO o trato de estroncio, favorable á la luminescencia. Resulta, por tan sencillo medio, muy completa la impregnación, particu- larmente si la cantidad de líquido no es excesiva— para 50 gr. de carbonato de estróncio bastan 100 c. c.—, y se dis- tribuye con perfecta regularidad el fosforógeno, quedando á la postre un cuerpo blanco, pulverulento y seco, el cual sólo contiene 0,001 gr. de cada una de las materias consideradas activas, en cuya proporción media reside el máximo de su eficacia, operando, conforme lo hago de ordinario, á la tem- peratura del rojo vivo sostenida durante cuatro horas. Viene luego el mezclar el carbonato de estroncio, impreg- nado del fosforógeno en la manera que es dicha, con azu- fre — 15 gr. en mis presentes ensayos—, y puesta la mezcla en crisoles de barro, sin comprimirla ni cubrirla con polvo de almidón, conforme se hacía otras veces, pero tapándolos convenientemente, se calienta durante cuatro horas al rojo vivo y sostenido. Pasado este término, ha de procurarse que el enfriamiento sea lo más lento posible, disminuyendo poco á poco la temperatura, pues tengo advertido ser muy venta- joso, para el resultado final, semejante proceder. Lejos estaba de prever los resultados de este método ope- ratorio: al principio de los experimentos prescindía del ni- trato de bismuto y empleaba el de cobre como fosforógeno constante, agregando, según los casos, uno Ó varios de los otros nitratos que dejo mencionados; en ocasiones era el término invariable alguno de ellos, y realicé todas las com- binaciones posibles con los cuatro y ensayé mezclas que los contenían juntos, y eran, por consiguiente, sistemas de re- lativa complejidad. Vale decir que los nitratos de níquel y de cobalto, cada uno de por sí, mezclados, ó unidos á otros nitratos, á pesar de contener metales magnéticos, son exce- lentes materias activas é iguales calidades tienen las demás sales empleadas. Nunca las mezclas de dos ó varios fosforó- . genos han alterado el color verde de la fotoluminescencia de la disolución sólida resultante, aunque cambiaron el matiz y = 07 — la intensidad de la coloración, en igualdad de las demás circunstancias y los efectos generales puede decirse que son los mismos substancialmente que empleando solos, for- mando con el diluyente sistemas binarios, el manganeso, el níquel, el cobalto ó el cobre. Este último no comunica á la fosforescencia de sulfuro de estroncio el tono rojizo bien determinado que suele comunicar, á lo menos en casos pat- ticulares, á la del sulfuro de barío; cuyos fenómenos atribu- yo, con fundamento, á la temperatura, juzgando insuficiente la que me fué dado alcanzar para conseguir ciertos resulta- dos, en especial tratando mezclas ricas de variados fosforó- genos con un sólo diluyente; lo cual demuestra la influencia del calor respecto de la luminescencia de los sulfuros metá- licos susceptibles de adquirirla. Ya se presentan otros fenómenos cambiando un poco el método, prolongando las acciones del calor y haciendo inter- vención, en calidad de fosforógeno, el bismuto, cuya peculiar eficacia está sobradamente demostrada. Habiendo practicado un primer experimento con 0,001 gr. de nitrato de bismuto, con exceso de ácido nítrico, calentando el crisol al blanco, sos- tenido más de cuatro horas, obtuve una masa heterogénea, dispuesta en capas Óó zonas concéntricas, con una suerte de núcleo central, presentando tonos grises claros, algo verdo- sos; extraida del crisol y dividida en fragmentos grandes, resultó en extremo sensible para la luz, y en su fosforescen- cia adviértense centros de color violeta obscuro, circundados de muy brillantes aureolas de tonos verdes. Multitud de veces había preparado en el transcurso de mis largas investigaciones, en las más variadas circunstan- cias, el sulfuro de estroncio dotado de intensa fosforescen- cia verde, cuyas propiedades tengo muy por menudo estu- diadas y sólo hasta el experimento relatado pude observarla de dos colores, perfectamente determinados. Son las masas que la presentan compactas, granugientas, sin aspecto es- coriforme, menos duras que las conseguidas añadiendo á las — 998 — primeras materias carbonato y cloruro sódicos y tan excita- bles que basta exponerlas á la iluminación directa sólo 30” para que sean susceptibles de presentar enseguida, llevadas á la obscuridad, la máxima fosforescencia en la forma que es dicha, persistiendo, con las naturales y progresivas dismi- nuciones de intensidad, durante una hora y siendo la colo- ración violeta la primera en extinguirse, y he observado asi- mismo que el sulfuro de estroncio de que se trata manifiesta tendencias á desmoronarse, aún conservándolo fuera del contacto del aire, como si hubiera poca cohesión y escasa adherencia entre sus partículas ó á ello se opusiera su es- - tructura y la disposición en zonas ó capas bastante regula- res, de las cuales son las dotadas de mayor luminescencia las externas, que por encontrarse precisamente inmediatas á las paredes internas del crisol, experimentan la acción del fuego más directa; conviene notar que su color es más claro, y por lo general de perfecta blancura. A la vista del primer resultado, que varias veces he com- probado, quise ver si en idénticas -condiciones experimen- tales, cambiando de fosforógeno, se producía el mismo fenómeno, el cual, en varias ocasiones, presentaba aquélla inversión en colores ya notada de atrás en el sulfuro de bario: junto á fragmentos luminescentes con núcleos de color violeta obscuro y aureolas verdes, habíalos con núcleos verdes y aureolas violadas y la línea de separación de am- bas coloraciones ostenta, de continuo, la intensidad máxima de la fosforescencia. Trataba de ver, en resumen, los efectos de cada uno de los nitratos de cobre, manganeso, niquel y cobalto y los de estos mismos cuerpos, mezclados indivi- dualmente con el nitrato de bismuto, término ó fosforógeno constante. De esta suerte los ensayos habían de referirse á sistemas binarios de un fosforógeno y ternarios con dos fos- forógenos, siendo en todos diluyente único el sulfuro de es- troncío. Nunca se emplearon sino las proporciones siguientes; 50 = 909) — gramos de carbonato de estroncio puro exento de bario, cal- cio y compuestos alcalinos, 0,001 gr. de materia activa, in- corporada por impregnación, en la forma antes dicha, y 15 gramos de azufre, y he practicado dos series de experimen- tos, cuyos resultados pongo aquí. 1.* serie. Un sólo diluyente (CO, Sr) y un sólo fosforóge- no, es á saber: [(NO 3); Bi, 3Aq = (NO), Co, 64 q = (NO), Cu, 6Aq = = (NO), Mn, 64q = (NO), Ni, 64 q] = = fosforescencia con núcleos violeta y aureolas verdes. 2.? serie. Un sólo diluyente (CO¿Sr) y dos fosforógenos, uno de ellos constante, á saber: a) — [(NO3), Bi, 54q + (NO5), Cu, 64 q] b) — [(NO;)s Bi, 5Aq + (NOs), Co, 6A q] c) — [(NO3), Bi, 5Aq + (NOz), Mn, 6Aq] d) — (NO): Bi, 5A4q +(NOs5), Ni, 6A q] Fosforescencia con núcleos violeta y aureolas verdes, habiéndose observado, como en el primer ensayo, aunque no sea frecuente ni constante, la inversión de las coloracio- nes, que jamás se confunden ni difunden una en otra, antes se hallan como separadas y limitadas por una línea brillante. Bastan los resultados expuestos y los datos consignados para demostrar cómo se logra obtener sulfuros de estroncio dotados de fotoluminescencia de dos colores, lo mismo tra- tándose de sistemas que contengan un sólo fosforógeno, que de aquellos en los que entran dos materias activas distintas. Importa ahora indicar dos observaciones: es la primera que los colores de fosforescencia han sido siempre el violeta y el verde, con intensidades variables, según las ocasiones,. y nunca otro alguno, bien es cierto que fueron iguales, en to- — 1000 — dos los experimentos, el estado de dilución del fosftorógeno y las condiciones de la temperatura; es la segunda la incons- tancia del fenómeno, idéntica á la notada, en análogos casos, para el sulfuro de bario, cuando presenta también dos colo- raciones. Esto último aparece muy claramente probado en la serie de experimentos, que pudiera llamar preliminares y antes he indicado, efectuados empleando las mismas mate- rias activas, en las propias condiciones experimentales, ha- biendo resultado, sin embargo, productos con fosforescencia de un solo tono verde, de notable intensidad y muy impre- sionables por la luz. Ofrécese naturalmente, aunque el número de hechos apuntados sea corto y sus variantes no hayan podido ser con precisión determinadas, el tratar de inquirir á qué es debida la singular fosforescencia de dos colores observada en el sul- furo de estroncio. No he de aventurar, sin embargo, conjetu- ras, ni trato de establecer hipótesis, limitándome, en punto á ello, á exponer breves consideraciones relativas á las cir- cunstancias y apariencias del fenómeno estudiado, dentro de las doctrinas más admitidas tocante al hecho general de la fotoluminescencia, cuyo punto de partida es la teoría actual de las disoluciones diluídas, que no otra cosa son, á la pos- tre, las mezclas fosforescentes; y la propia fosforescencia, considerada en su generalidad, es una verdadera propiedad de la materia diluída. Así parece inducirse de los ya largos y muy diversos estudios hechos referentes, no á un fenómeno aislado, sino á variadas series de interesantes fenómenos, cuyas conexiones aparecen en la actualidad bastante puestas en claro para establecer, sobre bases experimentales, los principios de una doctrina llamada á adquirir notables des- envolvimientos. | Constituyen los sistemas fosforescentes dos elementos esenciales: el diluyente, que es, en el caso presente, el sul- furo de estroncio, y el fostorógeno ó materia activa, uno ó dos nitratos metálicos en los experimentos relatados, y al = 1001 — calentar la mezcla de carbonato de estroncio, impregnado del nitrato Ó nitratos con azufre, se forma el sulfuro de estron- cio, y éstos se descomponen, dejando por residuo los corres- pondientes óxidos metálicos fijos, y el conjunto es una per- fecta disolución sólida diluida — para 40,5 gr. de CO, Sr, 0,001 gr. de fosforógeno—nada compleja. En tal concepto, la materia disuelta debe hallarse parcialmente disociada y con- tener iones libres dotados de su peculiar movilidad, de suyo activos, pero cuya actividad adquiere nuevos incrementos bajo la influencia de la luz, y este agente, al excitarla, crea un estado de equilibrio transitorio, distinto desde el punto de vista físico-químico, del que consideramos inicial, antes de la iluminación directa, complicándose con las acciones, de orden puramente químico, reversibles, efectuadas con gran rapidez, entre el diluyente y el fosforógeno, por virtud de las que su estado cambia en un momento y no vuelve al pri- mitivo sino en la obscuridad, produciéndose, de camino, la _fotoluminescencia y restaurándose, mientras dura, el régimen primitivo del sistema sólido. Pudiera acontecer que, á causa de la temperatura, por ejemplo, la estructura de la masa no resultase homogénea; y, como en los productos de mis últimos ensayos, aparecie- se claramente estratificada, y entonces su impresionabilidad, respecto de la luz, no es igual en toda ella, originándose de esto, por ventura, los dos colores de fosforescencia, los cuales ahora significarían dos estados de dilución del fos- forógeno coexistentes, cada uno dotado de cierta individua- lidad, con sus peculiares acciones internas fisico-químicas, pero, sobre todo, distintos en cuanto á la fotoluminescencia. Téngase presente que en un fenómeno de la misma catego- ría y para muchos casos el color de la termoluminescencia es función de la temperatura, en particular cerca del límite, y en cuanto á los efectos químicos generales, no hay incon- veniente en admitir que sólo la velocidad, en igualdad de circunstancias, distingue los luminosos de los térmicos. — 1002 — Debe tenerse entendido, muy en primer lugar, la caracte- rística de las acciones fisico-químicas de la luz; como la . emanación catódica, tiene este agente extraordinario poder de disociación y disgrega la materia, comunicando á sus elementos actividades considerables de que antes no goza- ban, haciéndolos caminar libres, dotados de movilidad ince- sante, conforme lo prueban sus funciones de catalizadores fotoquímicos en ciertos fenómenos de fototropia, de la cate- goría de los llamados seudoreversibles; y aun sólo desde el punto de vista químico, la luz es un agente reductor y en tal condición están fundadas sus principales y extendidas aplicaciones. Hay, pues, en las luminescencias que ocasiona, no poco de disociación ó disgregación del fosforógeno in- corporado á la masa del diluyente, en cuyo sentido la fos- forescencia de dos colores, ahora observada en el sulfuro de estroncio, como antes en el de bario, reduciríase á una va- riante, más ó menos aparente, del fenómeno general de la fosforescencia, cuando es provocada por la luz y alcanza el límite máximo de su intensidad, es decir, á una disgregación particular, reversible, mas no homogénea, por no serlo tam- poco la disolución sólida, que representaría ya en su estado inicial un doble régimen, cuyas partes han de ser diferente- mente perturbadas cuando la luz ejerza sobre toda la masa sus energías disociantes. Madrid, Abril de 1909. — 1003 — LVI. — Método para determinar la dirección de los vientos superiores por las ondulaciones del borde - de los astros. Por VICENTE VENTOSA. (Continuación.) VII El Dr, See imagina que cada onda aérea tíene la forma de una lente biconvexa, y, en general, todos los que se han ocu- pado en este problema participan, más ó menos explícita- mente, de la misma opinión. Pero, en tiempos posteriores, el astrónomo americano Mr. Wadsworth hizo una distinción de tales fenómenos (*) que, para el objeto que perseguimos, nos parece de la mayor importancia. Ahondando un poco en el estudio de los diversos estados de la atmóstera, que mo- difican y perturban la visibilidad de los astros, parece indu- dable que son dignas de atención las ideas del mencionado autor, por lo cual creemos lo más acertado traducir casi textualmente sus propias palabras. «Es de desear — dice —que se clasifiquen los efectos de »las perturbaciones atmosféricas en la posición y carácter de »las imágenes de los astros formadas en el plano focal. Pue- »den dividirse los diversos efectos observados en tres cla- >ses generales: »1.2 Movimientos de trepidación de las imágenes de los >astros sin pérdida sensible de definición, Estos movimientos >»pueden ser: (+) On the Conditions of maximum Efficiency in Astrophotogra- phic Work. Part. 11. (The Astrophysical Journal, Enero de 1898), — 1004 — >») Rápidos é irregulares, en los cuales las imágenes »parece que saltan de un lugar á otro desordenadamente, ó »bien: 4 -»b) Lentos y oscilatorios. »2.. De difusión y dilatación de las mismas sin movi- »miento lateral. »3.. De trepidación y difusión combinadas. »Cada uno de estos efectos se debe á un cambio caracte- »rístico en la naturaleza de la perturbación atmosférica. El >primero está producido por una variación regular y pro- »gresiva de la densidad de una parte á otra de la columna »de aire á través de la cual debe pasar la luz emanada del »astro antes de llegar al objetivo del telescopio. Esta varia- »ción da por resultado una desviación general del haz lumi- >noso: es el mismo efecto que produciría un prisma delgado »de vidrio interpuesto en la trayectoria del haz. Si el prisma »de aire equivalente fuera perfectamente homogéneo, ten- »dríamos una simple desviación de la imagen telescópica, >sin ninguna pérdida de-definición (salvo el efecto pequeñíi- »simo debido á la aberración cromática del prisma de aire); >no obstante, dicha condición, como es de esperar, no se »verifica sino muy rara vez, particularmente si el objetivo es »de grandes dimensiones, porque entonces el prisma de aire, »cuya arista refringente toma á cada instante nueva dirección, »se deshace y rehace sin cesar. En muchos casos el prisma »de aire no se forma sino en parte de la lente, y entonces se »verá un rayo de luz como arrojado de la imagen en direc- »ción perpendicular á la arista refringente del prisma. »De manera análoga pueden considerarse los efectos de »segunda especie como si fueran producidos por la interpo- »sición momentánea, delante del objetivo, de coágulos (clots) »de aire, de forma más ó menos globular, y cuya densidad »variase del centro á la periferia. Estas condensaciones ó »enrarecimientos locales del aire cambian instantáneamente »la distancia focal del telescopio, del mismo modo que lo ha- — 1005 — >ría una lente delgada de vidrio colocada en iguales condi- »ciones. Tampoco aquí, como en el primer caso, este efecto »es, de ordinario, bien puro, por la estructura irregular de la »lente de aire que equivaldría á la citada lente de vidrio. Pero »si esa estructura fuese regular, y persistentes la posición y la »forma de la lente de aire, el efecto indicado podría casi por »completo compensarse por una simple variación de la dis- »tancia focal del anteojo. Y es circunstancia que merece ser »notada, que, cuando las perturbaciones atmosféricas son en »su mayor parte de esta naturaleza, se llega á obtener los in- »tervalos más frecuentes de visión distinta, introduciendo ó »sacando algo el ocular de la posición que convendría si el »aire no experimentase perturbación alguna; esto es, mo- »viéndole hacia dentro, cuando las lentes de aire que con más »frecuencia se forman son más densas en su centro, ó hacia »fuera, en el caso contrario. »Finalmente se ve que el tercer efecto indicado procede, ó -»de la combinación momentánea de las lentes de aíre con los »prismas de aire, ó sólo de las lentes de aire, si éstas no »son concéntricas al eje del telescopio.» En este caso, si la agitación de las imágenes de los astros es excesiva, su ob- servación llega á ser impracticable. En las colecciones de trabajos astronómicos publicadas por diversos observatorios, hállanse indicaciones más ó me- nos explícitas sobre los diferentes estados de la atmósfera, como medio de apreciar el grado de precisión de los resul- tados obtenidos, y se les distingue con palabras apropia- das, según el efecto que producen en la calidad de las imá- genes de los astros. También en el Observatorio de Madrid se hace la misma distinción, y así se dice que las estrellas están ondulantes, movidas ó saltarinas, etc., para apreciar los diversos grados de movimiento de las imágenes; ó bien abultadas, deshechas, etc., para señalar la escala progresiva del estado difuso de las mismas. Las numerosas observacio- nes meridianas hechas en el indicado Observatorio parece « 1006 que revelan una circunstancia atendible: que la difusión de las imágenes (la cual puede estar influida ó modificada por la magnitud ó el color del astro) se nota preferentemente en las estrellas que culminan cerca del cenit, aunque los dos estados definidos por Mr. Wadsworth puedan advertirse, ya sólos, ya combinados, á cualquier altura del astro sobre el horizonte. No sabemos si en otra parte se ha hecho la misma observación, que, de confirmarse, ayudaría acaso á esclarecer la verdadera naturaleza de las citadas conden= saciones globulares. Hablando de las deformaciones observadas en las imáge- nes telescópicas de las estrellas, dice el Dr. See («Astr. Nachr.», núm. 3.438): «Conviene notar que el mal procede »principalmente de la presencia simultánea de corrientes »frías y calientes, así como de la irregularidad de las expan- »siones y refracciones que origina semejante mezcla. Cuan- »do el aire está uniformemente frío ó caliente, cuando la >temperatura de la masa es proporcionada á la densidad, de >manera que se presente un estado general de equilibrio, >las refracciones irregulares de la luz no causan ninguna per- >turbación. La diferencia de humedad de las corrientes en- »tremezcladas tiene mucha importancia, porque El vapor de >agua posee gran calor específico.» Recientemente, Mr. R. T. A. Innes, discutiendo los resul- tados de las observaciones de estrellas dobles efectuadas en el Observatorio Yerkes (Estados Unidos) por Mr. Burn- ham, ha demostrado (*) que los anteojos de pequeña aber- tura tienen, relativamente, un poder de separación de las es- trellas componentes de los pares muy ceñidos, mucho mayor que los anteojos de gran abertura. En opinión del autor tal resultado está enteramente producido por la interposición de nuestra atmóstera, pues, conforme aumenta la abertura del (*) The Relative Atmospheric Efficiency of Telescopes. a Ob- -servatory», núm. 411, Julio de 1909.)- — 1007 — objetivo, la dilatación aparente de las imágenes telescópicas de los astros crece también, y es, por tanto, cada vez más difícil hallar noches en que la definición de los mismos sea perfecta, condición necesaria para poder desdoblar estrellas en apariencia simples; dentro siempre de los límites que im- ponen la mayor ó menor perspicacia del observador, y el grado de perfección óptica del anteojo. Los hechos consignados en los dos últimos párrafos, y el razonamiento, en cada caso, de los Sres. See é Innes, sólo pueden referirse al estado de difusión de las imágenes este- lares. Lo que, en último término, parece más probable, á juzgar por los estados especiales de la atmósfera que gene- ralmente acompañan á dichos fenómenos, ó con ellos coin- ciden, es que la difusión de las imágenes se origina por la mezcla súbita de capas de aire, cuya temperatura y humedad difieren mucho entre sí, conforme opina el Dr. See; mientras que su trepidación debe más bien atribuirse á esas pulsacio- nes incesantes, de amplitud sensible, que existen siempre en el viento, según Mr. Langley (*). Los ingeniosos experi- mentos de este sabio, han revelado, en efecto, que el aire en movimiento no varía de lugar en masa, como lo haría un cuerpo sólido rígido, sino que, siendo un flúido elástico casi perfecto, tiene que experimentar al moverse incesantes con- densaciones y enrarecimientos, y variaciones frecuentes en su densidad, que con rapidez se propagan sucesivamente en la masa gaseosa formando ondas. Mr. W. N. Shaw (**) afirma igualmente que el viento, por efecto de un rozamiento superficial entre las diversas capas del aire, está constituído por una serie de ráfagas y calmas de corta duración y alternadas, que los anemómetros de pre- (*) The Internal Work of the Wind. («Smithsonian Contributions to Knowledge», 1893.) (**) Barometric Gradient and Wind Force. («Report to the Direc- tor of the Meteorological Office etc., by Ernest Gold», London, 1908, Preface.) — 1008 — sión acusan con toda fidelidad. Con arreglo á las investiga- ciones analíticas de Helmholtz, la condición necesaria para la producción de las ondas es la discontinuidad de la densi- dad de las capas de aire que están en contacto, de manera que tengan una superficie de separación bien definida. Dicha condición queda evidentemente satisfecha en las capas in- feriores de la atmósfera, que están en contacto inmediato, ya con el agua, ya con el suelo, pero Helmholtz duda que pue- da verificarse en las capas superiores (*). Sin embargo, Mr. Langley se inclina á creer que, aun á distancias considerables de la superficie terrestre, el aire no debe de ser enteramente homogéneo, ni sus moléculas mo- verse en todas partes con la misma velocidad; porque, si le considerásemos como flúido absolutamente elástico y des- provisto de fricción, conservaría indefinidamente el movi- miento que en otro tiempo se le hubiere impreso, y las irre- gularidades actuales del viento podrían no ser más que el resultado de alteraciones ó cambios ocurridos en época an- terior, aun cuando fuera lejana. Como puede admitirse, sin error considerable, que el viento no difiere mucho en su constitución interna de ese estado ideal, parece verosímil que las incesantes variaciones que experimenta deban su origen á impulsos anteriormente recibidos, y cuya extinción, se efectúa con lentitud suma. Siendo esto así, no habría mu- cha dificultad en concebir que en el seno del aire superior, cualquiera que sea su altitud, puedan existir esas variacio- nes locales, ó pulsaciones, análogas á las que con evidencia obsérvanse á menor altura sobre el suelo. A estas conside- ra raciones Ó razonamientos de Mr. Langley conviene añadir (*) Las memorias notables de Helmholtz referentes á los movi- mientos de la atmósfera, al principio publicadas en las Sitzungsbe- richte de la Real Academia de Ciencias de Berlin, 1888-89, fueron después traducidas al inglés y coleccionadas por Mr. Cleveland Abbe en su interesante obra The Mechanics of the Earth's Atmosphere («Smithsonian Miscellaneous Collections», 1891). — 1009 — que la presencia simultánea de varias corrientes, que se mueven con velocidades distintas y en direcciones y altitu- des diferentes, hecho por la observación corroborado mu- chas veces, es causa permanente de ese estado de heteroge- neidad necesario para la producción de las ondas en la mayor parte de las capas atmosféricas. En cuanto á las aglomeraciones de forma globular, en que antes nos hemos ocupado, quizás harían comprender ciertos estados pasajeros del limbo solar, en los cuales éste no pre- senta movimiento ondulatorio bien caracterizado, sino una agitación especiál indefinible, que no sería extraño fuera producida por corrientes verticales, ascendentes ó descen- dentes, de diversas temperaturas, y difíciles de discernir con el anteojo. VI Recuérdese que uno de los argumentos de más peso pre- sentados por M. Exner contra la posibilidad de medir, con arreglo á nuestro método, la altitud de las corrientes atmos- féricas, fué que, según dicho señor, las mismas ondulaciones observadas en el borde ó limbo solar cuando se saca el ocu- lar del anteojo fuera del foco principal, deberían verse tam- bién claramente al introducirle de la misma longitud al otro lado del foco. Y que habiendo M. Trabert hecho la expe- riencia, halló que la predicción de M. Exner solamente se realizaba cuando se reducía mucho, por medio de un diatrag- ma, la abertura del objetivo. Con el fin de analizar los fenómenos observados por el primero de los señores mencionados v dar cumplida res- puesta á las objeciones por ambos formuladas, comenzamos nuestros ensayos por repetir muchas veces, durante algunos meses, el experimento de M. Trabert, acerca de la influencia de la mayor ó menor abertura del objetivo en la visibilidad de las ondas, obturando parcialmente el de la ecuatorial de Rev. Acap. Ciecras.—VI1.— Junio, 1909. 68 — 1010 — Metz con diversos diafragmas, perforados en su parte cen- tral con agujeros circulares de diferentes diámetros. Desde el 23 de Junio al 31 de Octubre de 1907, el aspecto del limbo solar fué de esta manera con frecuencia observado, según que alternativamente se alejaba Ó se aproximaba el ocular respecto del objetivo, á los dos lados del foco prin- cipal. Las observaciones dobles fueron 70, repartidas del si- guiente modo: | 39 hechas con toda la abertura de 27 centímetros. . 18 .» con un diafragma que reducía la abertura á 19 centimetros. 5 » » >» >» á 8 » 8 > > » » á 3 » La extensión de la distancia focal Af varió entre — 8 y + 30 milímetros. Dividiendo por Af el número constan- te 23.717, se obtiene, como ya más atrás dijimos, la distan- cia, expresada en metros, del foco conjugado respectivo, dadas las dimensiones de nuestra ecuatorial de Merz. Los resultados más notables de dicha investigación fueron éstos: Con el diafragma de 3 centímetros veíase siempre co- rrer las ondas al interior del foco, y casi siempre con el de 8 centímetros; mas cuando se hacía uso de las aberturas de 19 y 27 centímetros, el movimiento ondulatorio era generalmen- te invisible.Y en los casos bastante raros (el 14 por 100) en que pudo notarse, aunque poco distintamente, se advirtió que esto solía suceder cuando la atmósfera estaba agitada por una corriente general y enérgica. Permítasenos citar particularmente dos casos que, á nues- tro parecer, ofrecen cierto interés. Uno de ellos presentóse el 11 de Septiembre de 1897. En este día dos corrientes compartían el dominio del aire. La corriente superior era mucho más fuerte é invariable que la inferior, y algunos pequeños cumuli indicaban por su movimiento vacilante € indeciso la superficie de separación de ambas corrientes. Te- — 1011 — niendo el objetivo enteramente descubierto, y alargando la distancia focal, es decir, alejando el ocular del foco de una longitud A f= + 25m, veíase casi siempre la ondulación producida por la corriente inferior, y á veces hasta parecía bien enfocada. Pero al introducir el ocular, al otro lado del foco, de la misma longitud Af = — 25"M apenas si se llegaba á adivinar la existencia de dicha corriente. Habiendo después reducido la abertura del objetivo á 3 centímetros, la agitación tumultuosa, debida al encuentro de ambas corrien- tes, era perceptible en todas las posiciones del ocular; pero al ajustar éste en el foco principal, veíase mejor que en cualquier otro lugar correr las ondas procedentes del viento superior, mientras que en la posición A f= + 25"! era cuando las ondas originadas por el viento inferior parecían mejor definidas. Esto quiere decir que, aun con una abertu- ra tan pequeña, de 3 centímetros, no eran siempre absolu- tamente idénticos los fenómenos observados al variar la ex- tensión de la distancia focal. El segundo caso, de diferente naturaleza, ocurrió en los días 22 y 23 de Octubre del mismo año, entre los cuales el estado atmosférico cambió notablemente. En estos dos días pudieron ser observados los efectos producidos en la visibi- lidad de las ondas por la variación de la distancia focal, sin necesidad de recurrir á la interposición de ningún diafragma. El 22 de Octubre había una corriente muy alta del ONO., y otra más baja procedente del E., pero más fuerte que la primera. Tres ensayos hechos con distintas extensiones de la distancia focal dieron estos resultados, que copiamos de nuestro cuaderno de observación: Af= + 25mm : se ve una ondulación débil. Af=— 25mm : dicha ondulación apenas es visible. Af= + 20mm : la ondulación aparece ahora fuerte. Af= — 20mm : se la ve algo mejor que cuando era Af= — 25 mm, Af=+ 8mm : la ondulación es ahora aún más fuerte que para Af= + 20mm, Af=— 8mm ; en esta posición se ha debilitado mucho, y, además, — 1012 — las ondas producidas por la corriente superior comienzan á vislum- brarse. El contraste entre estas dos últimas posiciones (+ 8 y — 8) es sorprendente. : Al día siguiente, 23, todavía surcaban la atmóstera las mis- mas corrientes, sin haber de manera apreciable variado de di- rección, pero su importancia relativa se había invertido. El viento superior, intenso ahora, reinaba en las altas regiones de la atmóstera; el viento inferior, muy debilitado, estaba, por el contrario, á punto de desvanecerse en las cercanías del sue- lo. Examinado atentamente el borde del Sol, presentaba en- tonces los aspectos siguientes: para Af= + 255, vejanse en él bastante bien las ondas largas; para Af = — 25m, no quedaba sino esa vibración indefinible llamada Flimmern por los alemanes. Dicho se está que al ajustar el ocular cerca del foco principal, las ondas cortas, pertenecientes al viento su- perior, se percibían con toda claridad. Los hechos que acabamos de describir, por una parte con- firman los resultados de los experimentos del Dr. Trabert, que ya expusimos; y por otra hacen patente el papel que en ellos juega la interposición de los diafragmas, cuyo oficio no es otro que el de poner en foco objetos situados á distan- cias muy diferentes. Esta propiedad del diafragma, muy co- nocida por los ópticos, y por los fotógrafos en particular, de aumentar la profundidad del foco, parécenos que no la tuvo en cuenta M. Exner, cuando trató de buscar la expli- cación de los fenómenos mencionados. (Continuará.) — 1013 — LVII. —Nuevo modelo de grisúmetro (*). Por ENRIQUE HAUSER. El grisúmetro que voy á describir ha sido imaginado con el fin de poder disponer, á la vez, de un aparato portátil, ba- rato y tan exacto ó más que los grisúmetros corrientemente empleados en los laboratorios. Pára simplificar, evitando el empleo: de soporte especial y tubos de caucho, he suprimido en mi grisúmetro el tubo de nivel, usado para ajustar la presión del gas, que se regula ahora por la altura del agua de la cuba que le sirve de en- volvente; he suprimido también el empleo del mercurio, y queriendo evitar la disolución de una parte del ácido car- bónico en el agua que contiene el grisúmetro, hago que se queme solamente el volumen del gas, siempre constante, que queda comprendido entre dos llaves en la cámara de com- bustión y fuera del contacto del agua, dejando además una columna de gas no quemado entre los productos de la com- bustión y aquel líquido, en el momento de hacer la lectura. Consiste el instrumento (fig. 1) en un tubo-depósito, para . toma de muestras de gases, con dos llaves bien esmerila- - das, 1, 2, el cual se prolonga en cada extremo por un tubo graduado (en */,, de cc. hasta 6 cc. para el modelo de 50 cc.). La graduación de los tubos debe ocupar la misma longitud en ambos; la del tubo inferior sirve para medir el volumen de la contracción y para fijar la altura de la carga de agua, combinando su graduación con la del tubo supe- (*) Comunicación leída en la Sección de Metalurgia y Explosivos del Congreso Internacional de Química aplicada de Londres. — Mayo, 1909, — 1014 — rior, que sólo sirve para este último fin; el tubo inferior lleva además una tercera llave, 3, cuyo uso se indicará más adelante. La llave 2 tiene su cabeza en forma de rueda dentada (de 4 ó 6 dientes) para poderla hacer girar bajo el agua por medio de una varilla ó un tubo. Una espiral de alambre del- gado de platino (0,2 mm. diám.) soldada á alambres más gruesos del mismo metal (al menos 0,5 mm. 4 diám.) atraviesa con cierta oblicui- dad el tubo-depósito. Para operar con este aparato, se empieza por llenarlo de gas, tan completamente como sea posible, hasta el trazo más bajo del tubo inferior; cuya operación puede ha- cerse, bien sobre la cuba de agua (destilada) que le sirve de envol- vente, cuando se hace un trasvase de gas, bien en el seno de la atmós- fera que se quiere examinar: en el primer caso sólo habrá que cerrar la llave 1 después de llenar de gas el aparato, y habrá que cerrar tam- - bién la llave 3 en el segundo caso, para abrirla en el momento de co- locar el grisúmetro en la cuba en- 3 volvente. Una vez lleno el tubo de / gas hasta próximamente el trazo 6, se continúa sumergiéndolo en la cuba hasta que el nivel de agua de la misma alcance en el tubo supe- rior del grisúmetro un punto de la graduación igual al que Figura 1. — 1015 — el gas marca en el tubo inferior; en tal momento se hace la lectura, después de haberse asegurado que no queda nin- guna gota de agua suspendida en el orificio de la llave 2, lo que falsearía los resultados; hecho lo cual, y una vez ano- tada la temperatura del agua de la cuba en décimas de grado (6 medias décimas), se sujeta bien el tubo por medio de una pinza y se cierra la llave 2 empleando un tubo de cristal ó de celuloide. En estas condiciones se hace la combustión del gas por medio de una corriente eléctrica á 12 6 15 voltios. Para ob- tener buenos resultados se necesita, como es sabido, poner el platino al blanco por medio de contactos sucesivos; al efecto bastan unos 30 contactos de un segundo de duración, para conseguir la combustión de las mezclas grisuosas po- bres (por bajo de 1 por 100) y un número de contactos de más del doble para mezclas de próximamente 4 por 100. - Durante la combustión del gas debe observarse con atención si se producen fugas en el grisúmetro, lo cual es muy fácil de conocer con el que describo, primero porque las dos lla- ves están bajo el agua, y toda fuga por la llave 2 se tra- duce en un aumento de volumen del gas contenido en el tubo inferior, y además, porque una fuga por la llave 1 se observa fácilmente si se tiene la precaución de inyectar un poco de agua en el tubo superior antes de hacer la combus- tión de la mezcla gaseosa. | Ya enfriado el gas (bastan cinco minutos), se abre la llave 2 de igual manera que se cerró, y se sumerge gradual- mente el grisúmetro en la cuba envolvente hasta que el gas marque la misma división en el tubo inferior que el nivel de agua en el tubo superior, lo cual permite leer el volumen del gas á la misma presión que antes de la combustión. Para tener en cuenta la variación de temperatura del agua, que hago uniforme por insuflación de aire, se calcula la variación de tensión correspondiente al gas y al vapor de agua (muy próximamente 5 mm. de agua por décima de grado á 20” C.), — 7, 2 y se sumerge otro tanto el grisúmetro en el agua, tenien- do en cuenta, de igual modo, si hay lugar, la variación co- rrespondiente de la presión barométrica. Estas correcciones de presión se miden sobre la escala del tubo superior, si la longitud de sus divisiones es conocida, ó bien sobre una se- gunda graduación en milímetros, grabada sobre el mismo Figura 2. tubo; pero podemos servirnos con ventaja de una pequeña escala móvil que resbala sobre el tubo superior, como la que empleo con éxito en mis buretas (*) para análisis de gases. La fig. 2 resume el conjunto de las manipulaciones (**). Empleando este aparato se pueden hacer determinaciones (*) El grisú en las minas de carbón. Segunda conferencia experi- mental. 1908 Fig. 7, pág. 55. (**) Los primeros modelos de este grisúmetro han sido construí- dos por la casa Estévez « Jodra, Príncipe, 18, Madrid. — 1017 — tan exactas como las obtenidas con los grisúmetros más complicados, y en menos tiempo que hace falta para des- cribirlo; además, si los dos tubos que lo terminan son de diferente diámetro, se dispone entonces de un grisúmetro con dos sensibilidades. Cabe juzgar de la exactitud que es posible alcanzar con el empleo de este aparato, comparando algunos de los re- sultados obtenidos, que expongo á continuación. Hidrógeno en el oxígeno electrolítico. 2.090/,—2.14%/,—2.14%, Por la bureta Le Chatelier. 401 —3.96 —0.401 —0 396 Mesano, Por mi grisúmetro........ 3.94 —3.94 —0.395 -—0.395 En la determinación del oxígeno en el hidrógeno electro- lítico, los resultados obtenidos son enteramente compara- bles entre sí, 1.66 %, — 1.68 %,; 0.72 %/, — 0.74 %/,; mas para que tales resultados representen el contenido real en - Oxígeno, es menester eliminar primeramente el ácido carbó- nico que el hidrógeno pueda contener, porque, como es sabido, mediante la acción del platino incandescente se pro- duce la reducción del ácido carbónico á óxido, con una contracción igual á su propio volumen, según la ecuación CO, + H,=CO + H,0 y entonces el valor del oxígeno no será de O =*/, Cont, sino O =*/¿ (Cont — CO,). En este caso particular el empleo del grisúmetro no tiene ven- taja sobre los otros métodos. (Laboratorio do Investigaciones Científicas de la Escuela de Minas de Madrid.) Ray. Acap. Cirncras.—VII.—Junio, 1909. 69 — 1018 — PUBLICACIONES RECIBIDAS (Continuación.) Académie des Sciences. — Comptes rendus hebd. des Séances de l'...— Tome CXLV, numéro 25 (16 Déc. 1907), 27 (30 Déc. 1907). — To- me CXLVI, numéro 1 (6 Janvier 1908), 3 (20 Janvier 1908). — Tables des Comptes rendus, etc., Premier semestre, 1907, tome CXLIV.—Paris, 1907-1908. Institut Egyptien.— Bulletin de 1... — Quatrieme série, numéros 6 y 7.— Cinquiéme série, tome 1.,er (Premier fascicule), année 1907. — Le Caire, 1906-1907. Institut Océanographique. — Bulletin de 1... — Numéros 105-108 (Nov.- Déc. 1907). — Monaco. Société Belge d'Astronomie. — Bulletin de la... — Deuxiéme année. — Nu- méro 11, Nov. 1907; numéro 12, Décembre 1907.—Bruxelles. Société Belge de Géologie de Paléontologle et d”Hydrologie. -— Bulletin de la... —Proces-Verbal de la séance du 15 Mai 1907, 18 Juin 1907, 16 Juillet 1907. — Mémoires, tome XXI, 1907, Fasc. 11.— Tables générales des Matiéres des tomes 1 a XX,— Bruxelles, 1907. La Feuille des Jeunes Naturalistes.—1ex Janvier 1908, IV série, 38€ année, numéro 447.—Rennes-Paris, 1908. Bureau Francais du Catalogue International de la Litérature Scientifique.— _Bibliographie Scientifique frangaise. — Tome V, année 1906-1907. — II Sect., Sc. nat. et biolog.es. —Paris, 1907. Hale (George E.), Frost (Edwin B.). — The Astrophysical Journal, Décem- ber, 1907.—The University ot Chicago Press. American Mathematical Society. — Transactions of the... — Volume, 8; Number, 4; October, 1907.—Lancaster and New-York, 1907, Cosmos,— Revue des Sciences et de leur applications.— 56 année, nouvelle série, numéro 1195 (21 Déc. 1907), 1196 (28 Déc. 1907); 57 année, nouv. sér,, numéro 1197 (4 janvier. 1908),. 1200 (25 janvier 1908).— Paris. (Continuard.) INDICE DE LAS MATERIAS CONTENIDAS EN ESTE TOMO Composición de la Academia en 1.2 de Julio de 1908. Académicos de MÚUMeno a os ala de co Académicos electos...... A A A ERE RA Académicos Corresponsales nacionales............... Académicos Corresponsales extranjeros.............. Elementos de la teoría de la Elasticadad, por José Echegaray. (Conferencias 10.*? á 14.? segunda parte) 11, 46, 66, 165 y Idem id. (Conferencias 1.? á 16 ?, tercera parte), 233, 252, 325, 353, 429, 447, 525, 553, 629, 651, 717, 742, 817, 844, 913 y Nuevo método para determinar el diámetro del planeta Venus, POB ICEneN Ventosa 1.0 das el laa ale ato Investigación analítica de los cloratos. - Generalización á mu- chos oxidantes. - Colorimetría de los cloratos, por Juan Fa- AS A A a a A A A AA Estudio comparativo de los instrumentos más usados en Sis- mología, por Manuel María S. Navarro (S. J.)............ Informes de la Academia acerca de la obra del Sr. Alves Ma- galhaes, titulada Nova lei do sistema do Mundo........... Aplicación cómoda y sencilla de la orina á la investigación general de oxidantes, por Juan Fages Virgili.............. Investigación y determinación cuantitativa del clorato potásico enana por Juan Fages WIFI ISI A Una reacción coloreada de las sales de Cinc, por Angel del COMPONER AE boba a NAS DAN A LAR OD Contribución á la toxicología de los cloratos, por Juan Fages Wir. AA A da pee dd ol E A El cometa Moreheuse, c. 1908, por Miguel ANETO NE Algunas observaciones á la teoría del carbono tetraédrico, por OS IRErera IS A AI E aa e aaa Sobre los cambios de la conductancia de la manganina duran- te el recocido, por B. Cabrera ......... A Ec SUL: y Págs. 0 “SO Ql 194 944 A — 1020 — ' Págs. Nuevo procedimiento de acidimetría empleando el agua de cal, por Antonio de Gregorio Rocasolano........oooo..... Estudio general de las reacciones efectuadas con los compues- tos órgano-magnésicos mixtos, por José Giral Pereira y J. César Sanchez. ¿va o teo Tattoo NA Los principios fundamentales de la Mecánica racional.—Un primer capítulo de dinámica, por José Ruiz-Castizo.. 469, 600 y Sobre la síntesis de la forona y de la ionona, por José Giral IT O OS od O bb de NO Los «Nysson» de España (Insectos Himenópteros), por Ricar- do Garcia Mercero... da aaa o IN Ia 498 y Nuevo método de destrucción de la materia orgánica en el análisis toxicológico, por Juan Bautista Peset y Aleixandre. Programa de premios para el Concurso del año 1910........ : Observaciones acerca de algunos fenómenos de fototropía, por José Rodríguez Mourel0.............. NR IL Remarques sur diverses courbes planes (Lettre adressée á M. L. Torres y Quevedo), por Maurice d'Ocagne............. Deducción elemental de una condición análoga á la de Arnold para la posibilidad de una buena conmutación en las máqui- nas eléctricas provistas de colector, por Esteban Terradas.. D. Francisco de Paula Rojas, por José Rodríguez Mourelo.... Metódo para determinar la dirección de los vientos superio- res por las ondulaciones del borde de los astros, por Vicen- te VenloSaiiado cares adas EA ER 689, 778, 870 y Experimentos para el estudio del rozamiento interior de los liquidos, por Juan Florez Posadas Le AA Pequeñas oscilaciones de sistemas no holónomos, por José Marta Plans 1. "da A a SIN EL OA Análisis de nitos refinados, pólvoras y explosivos cloratados, por, Juan Fages Virgili Est Id SAO: e SAA IA Vatímetros integradores, por José Ruiz CastizO........o.o..... Sobre los metales de las tierras raras (Europio, Gadolinio, Terbio, Disprosio, Neoiterbio, Lutecio), por Georges Ur- Fosforescencia de dos colores observada en un sulfuro de es- troncio, por José Rodríguez Mourelo............ ed Nuevo modelo de grisúmetro, por Enrique Hauser........... INDICE DE LAS MATERIAS CONTENIDAS EN ESTE NÚMERO ¡Dn _— % » PÁGS. L!U.—Elementos de la teoría de-la Elasticidad, por José Echegaray. Conferencia décimaquinta............ E LIII.—Elementos de la teoría de la Elasticidad, por José a: Echegaray. Conferencia décimasexta......... OA a LIV.—Sobre-los metales de las tierras" raras (Europio, Ga=". A “Y dolinio, Terbio, Disprosio, Neoiterbio, Lutecio), por SE Georges URDal:. Mio. a DR Ad (OS 08 LV.—Fosforescencia de dos calores observada en un sul= 0 furo de estroncio, por José Rodriguez Mourelo..... 984 $ LVI.—Método para determinar la dirección delos vientos a superiores por las ondulaciones del borde de -los , : astros (continuación), por Vicente Ventosa......... 1003 - A - LV!H.— Nuevo modelo de grisúmetro, por Enrique Hauser... 1013 : e Publicaciones recibidas... =. UY: dass ad 1018 $ La subscripción á esta REvIsTA se hace por tomos completos, . de 500 á 600 páginas, al precio de 6 pesetas en España y 6 francos en el extranjero, en la Secretaría de la Academia, calle de Val- . yerde, núm. 26, Madrid. LAO e - Precio de este cuaderno, 1,50 pesetas. ge a £ P RRA UA aga?” | EY a JOÑIBA 2». ARA, Y Le Al Pa é pu Ñ sá Y Ax. INIA e a ¿añ ñ MIA TT Ao > 22 Apra? A y + ñ A 4, ALEA a eS Ss Aa els Ls GEO TON ALL a! ¿and A As Aenaas o Y Es A cr el “¿ana Ma, on 2 AA Ya A -«lAr ma y MAC a , ms 2 Í i 18:-4 a” A, AS = E o mm pa. "as ) ze AH] dá Nas E ANP "HT as a MÁ, na! a ” “— "LAS MAS LAA E pe ATAR, AURA DA an E Ao qa 5 Ma. ¡ ¡1 WA de AA Y OS Y A %. A LITA Pa Aa A Mana » "Esa ar Mort A Pra A o SAR, A e A ad Maa, DAS Pr ha saÑ PO APRA Poo Pron 0 20m AI SOTA? Ae e: RRA ne oi ps r IVAR a Muox A Si ls, IB 1141 DA o 29 y IAN po a a nÁ TÍ LA AA e SUI A A N s A RANA , - ON ; e -2apl Eo ARAN Lana nar qa NI 0 Ange | Ars As Gar a! Úha sn á ia a X a El | pe » y ; NA : e Va ¿Ue A uo ag As 0 a, te XAAN 2 ya nt E 7) y pe ¿ Arrna E SR ' $ .ñ va . A. Barro A EA TO É MARA rr Ñ la per? La, 3 ARTE sx - 3 ae ÓN DA ES sl s 5] a y A AS A ! UN ma - Aa dei y l ' 4 z AS | A Sa ES A, = a MA 1 NA Remanso E a IHAL ao! Mi ? ? ¡AÑ .2% qual h P par há s J | a añ HUA LULA PARA 0 mae AQUI apta Dama adn HilFAa LE LOTTO YY TALA ler] Pra AAA A o A0_ 22. LAR l HARAAA FHRE A! BESEBE Pa) PLA AO A A ¿Mw SN 1% 1 KG Maia 0A AAA A, Y AE > É EN A A: Ane qa, hi A Ar id IA DARAS rpg Maa rra cono ¡$ ar A A CAMINAN - e era IR OS Sl pupa On, AR DEN ed UH ON AA, «Arts PE ¿MA . ha TA R nal =P RNA AHI] ; APA, A Anamar r a Aid A A nor AP h HE ed Ll Cr RARA, bd 42 As a O A A tn y eN E NX» n>0 an da Al | e 40) de» FAS 3 ” WAS Vea! TT .. PA AR OA y] E SN CARAS ARA 17 > AR MY Aa AA o dle si Pa, IP Ma A IN A. A... o DE a 1D Ñ a Ca LA MTA AMM E 0084», A za, y ¿Nes PRI Le Y NS Z Á | 4 a 2 DL MPA ” as Pi APA A A Oia Jan YT Y re ALS Ara Mn, 30h DBAÁ A SA a A A SNA : Das Nal Ah nana. «ki AIAA Ama Ne 2 a. A A RA A? AA gel pla NA, INS | m Ma A IE ll TH) A AAA Mi e. ad AR : Y ARARANA DD la IA E j Ma 4 A ' AAN 1 ITA TOA e TE » 1h AA AM. HITA An A ol 8, => o . Z- de A Á A Y h on qn. A Aa 2 EA PS Rat PRA MAPA IN AR”, » E dl» A ph AR Ah nit try a gl ( AR o MARI > iyayno , pra y NAAA : 13 PARANA y AMIA Ae a haras A, Á 24 a Maa PR A 2, Aa: LA ONES: > ly AD JHRAR É QU Bay AN MAMAS AA: Ei Y A ARG ben CA A a a AA bal sn <2A.. = ro QUE Tr Ya AAA des, FA AR AAN MAL edo a Uranio o? A - "Adry 5 A Av ICON AAA LADOS AH yA vr Nana A TL Alla ; SIA » $ A at RITA RAS ll HTA nara, Apart, AAN ¿er CA ar 0 A oopada, hd h. AS a app RA NDA art? EL AREAS A PAC ax aa QA ÉS a.m h AP ía AE M9 144141 WH Mura he za ' pr, eb y yd za y Ap A A E 0 das “AR A Aa nap”? S WN yA A mo O O, EI a pe » CELL A p al Y A Y yea ¿el ps A » ur _a 3ñA E ah? ; Amp. á a MAN q A »/ pr e pA e hb: P> á E bl AA UN HILL IN AR dl AAA ARANA SANA ARAN TA Ar A- E FA 1 A e ps SII SS , mn o vFhr/ PVP" boa ns SMITHSONIAN INSTITUTION LIBRARIES DDN 3 9088 01224 1568