REVISTA DE LOS PROGRESOS BE IAS CIENCIAS EXACTAS, FISICAS Y NATURALES. •• od m z Vz/j % REVISTA DE LOS PROGRESOS DI LAS CIENCIAS EXACTAS, FISICAS Y NATURALES. TOMO 3C2E. * IMPRENTA DE LA VIUDA É HIJO DE D. E. AGUADO. Calle de Pont ej os, núm. 8. 1879. í¡ *TTfr r-r A ? A ? A H H , v A v § ■a ai m nm \i\ .zimrrm i ¡v adizi ato a x ;:a.:. a:: OMOT .0rAA:!H-A; ol’ A?Aí- INDICE de las materias contenidas en este tomo. CIENCIAS EXACTAS. Págs. Física matemática. — Teoría matemática de la luz, por Don José Echegaray 1 , 49 y 97 Resolución de las ecuaciones numéricas, por D. Miguel Me- rino 14, 65, 117, 145, 201, 265, 329, 393 y 463 Observaciones meridianas de Urano, de Neptuno y de los planetas asteroides, hechas en el Observatorio astro- nómico de Madrid durante el año 1 873 23 Astronomía. — Observaciones acerca de los satélites de Sa- turno, hechas en el Observatorio de Tolosa en 1876, con el gran telescopio de Foucault.— Noticia de Mr. F. Tisse- rand 168 Discurso pronunciado por Mr. Adams, Presidente de la Real Sociedad Astronómica de Londres, en la sesión ge- neral y anual de Febrero de 1876, al presentar á Mr. Le Yerrier la medalla de oro de la Sociedad 249 Geodesia. — De la determinación de la profundidad del mar por medio del bathometro, y sin necesidad de usar de la sonda. Memoria de Mr. G. William Siemens, presentada por Mr. Tresca 175 VI CIENCIAS FISICAS. Págs. Distribución de la lluvia en la Península ibérica, por Hellmanm ........................................ 479 Acido persulfúrico . 292 Física.— De la influencia de la densidad de un cuerpo so- bre su poder absorbente, por P. Glan 352 — del globo. — El interior de la tierra.— Estracto del discurso de sir Georg. Airy á la Asociación de Cumber- land, para el adelantamiento de las letras y ciencias. . . . 356 CIENCIAS NATURALES. De la proporción de la ley electro-dinámica fundamental, con el principio de la conservación de la energía y de una nueva simplificación de esta ley, por R. Claussius.. 190 El jardín botánico de Boissier y otros congéneres, por el Dr. Graells 301 Revisión de publicaciones científicas, por el mismo 308 Estudios filoxéricos, por el mismo 312 Los Esquimales y los Nubios, por el mismo 316 Fisiología. — Funciones del hígado. Conclusiones de Mr. Le Conte . 366 Absorción por el organismo vivo del óxido de carbono des- prendido con mínimas proporciones en la atmósfera. ... 371 Anatomía comparada. — Sobre el órgano llamado cuerda dorsal en el Amphiosus lanceolatus.— Nota de Mr. J. Re- nant y C. Duchamp 374 Respiración de algunos peces del Brasil 376 Zoografía. — Observaciones acerca de las afinidades zooló- gicas del género Mesites, por Mr. Alf. Milne-Edwards. . . 378 Mineralogía— Mineral nuevo descubierto, mediante el aná- lisis espectral, por Mr. Lettson. 379 VIÍ Págs. Sobre unos ejemplares de cuarzo recubiertos de un baño de pirita de hierro, por D. Antonio Casares 501 Informe sobre la comunicación anterior, por el Excmo. Se- ñor D. Manuel Fernandez de Castro 503 Parecido protector en los animales, por D. Esteban Bou- telou 514 Zoología. — Nuevas consideraciones sobre la generación de los Afidos (Pulgones). Memoria presentada á la Real Aca- demia de Ciencias de Madrid, por Mr. Julio Lichtenstein, socio corresponsal 380 Catálogo de los moluscos terrestres de las islas Baleares, por J. G. Hidalgo 426 Jardin de los glaciares en Lucerna, por D. Juan Vilanova. . 453 VARIEDADES Programa de premios en el año 1877 por esta Real Aca- demia 46 Exposición de aparatos científicos en el Museo South Ken- sigton, de Londres 93 De la acción del frió sobre la leche y los productos que de ella se sacan, por D. Eugenio Tisserand 143 Programa de premios para 1878 196 Agricultura. — -El guante de mallas de acero para descorte- zar las cepas de vid, por Mr. Sabaté 199 Premios de 1879 321 Resultado del concurso para 1 877 323 Exposición geológica internacional 324 Conferencia y congreso durante la Exposición universal . . 326 Descubrimientos arqueológicos 327 Animales feroces en las Indias. 327 El gran globo cautivo de la Exposición universal ......... 327 Espejo eléctrico de los caminos de hierro ............... 328 Camino de hierro aéreo 328 Memorias premiadas en el concurso, cuyo plazo terminó el 31 de Diciembre de 1878 464 Programa para la adj udicacion de premios en el año de 1 880 . 522 Reorganización del Museo de Historia natural de París.— Resúmen de una lección de Mr. E. Perrier, profesor 524 ♦j> ' , i OK‘1^1 >• -‘fh ■■■■na hr- ¿ofin ■ . tg*v»;;ai5Í> nioui.ii A .0 ■•■-"; : ; ?- i • .gi:o'.á.c£SíiaAV • ' ' i : ;íh • ;yif; : ' ;;i ■ac^ovitiji m *í c,mm0 ■ . .T ' ■ ^ vi o •- • i N: i.* — REVISTA DE CIENCIAS.— Tomo XX. CIENCIAS EXACTAS. FÍSICA MATEMÁTICA, Teoría matemática de la Luz; por D, José Echegaray, indivi- duo de la Real Academia de Ciencias . (i Continuación .) m-f-n+P O bien efectuando la operación D x, y, z + — y) ] V — i Haciendo esta misma sustitución del valor de £ en todos los demás términos de L reuniendo todas las integrales en una, y sacando por factor común TOMO XX. 2 \u{x— a) + «(2/— p)+w(í— ' r)l V/— í , . , L J £ dv du dp dv 6 Si — • ~ 7: ■ 2 TU 2 TC d y div tendremos para la transformación de L 'i + 00 £ A+AV+A^t?-4-Arí«ü+ - 00 A'V+Al'V+A",«D, + A,"iir + A 4” W w + A a” V w + J (* — a) + V (y — P) + «?(«— y )1 V/-1 , , J £ dvdu dpd v 1 ‘ dydw ~¥¡T Pero el primer paréntesis de la integral no es otra cosa que el resultado de sustituir en el símbolo L á Dx, Dv Dz las cantidades u, v, w de suerte que represen- tando por Lf este resultado tendremos: transformación de «-////// +> * — o© + w(z — y)l \z'~1 J » dv. du dfi dv a) + v {y — P) d y dw ~%7Z 3 Niím. 62. En resúmen, sustituyendo en la primera de las ecuaciones (3) por k , n y ? sus valores, obtendremos j- J‘ j * J* j* J ' [«(« — <*) + v(y — P) + OO tv r)] V — i w{s — y)] y/ — 1 L'l ffffff da du d p dv dy dw 2tu 2 TU 2 TU — +°® ¡ J — oc jjí a) ^ (y — P) T" da du dp dv dy dw 2 Tl ’ 2tu 2it + 00 r (áC — a) + « (j — P) + w[z — - y)j y/ — 1 r da du dfi dv ciydw M v\i 2 TU 2 TU 2 TU r w r ( J f S S S [« (* — «) + « (y — P) + : — 00 e w y)] v/ — i Q'K< da. du TÍT dp dv 2 TU d y dw “TÍT — o , Reuniendo lodos los términos en una integral, y dentro de ella sacando la esponencial y las diferenciales como facto- res comunes, obtendremos la primera de las tres ecuaciones siguientes, siendo las dos últimas las transformadas de las correspondientes del sistema (3) - -j~ G© ffffff (x — e - — GC + w{£ — y)1 f — i [(/A2- -//)?.- du.du dfi.dv dy dw 2 TC * 2 7Z 2tz . . _ O© ffffff j u (x — e 0© + w(s — y)] sj — 1 [(A*- doi du dfi dv d y dw 2 TC ° 2 Ti * ~2 ~ 4- 0© ffffff [X — € o; = o; (8) o© 5 ■+• w(z — y)J v7 — i [(A2-V) ?,-t2 — M') tu — P"Qi — E 5; = o; (A*— m— oí.— i \ i ! Estas ecuaciones diferenciales solo contienen la variable independiente t; P' , Q\ R' , L\ M\ N' son constan- 6 ies; £1, 7],, ^ son funciones de t; luego basta integrar dichas ecuaciones, y los valores que obtengamos para ?l5 -r\lt sus- tituidos en (7) nos darán valores para i, C, tj, capaces de satisfacer á las ecuaciones diferenciales. Pero esto no basta: es preciso no solo que los valores de E, r, , £ satisfagan á tres ecuaciones (3) sino también á las condiciones iniciales; es decir, que para t — o se tenga l =¿[(d [x, y, z); 7) = X{¡c,y,z); Í = ty(x,y,z) ) (10) %=¥% (#. y, *); ^'=^i y, ^); C '= y , *)• ; Basta para esto que los valores ^ ^ deducidos de la ecuación (9) para t = o tomen la forma, 5i = dy.dw TíT ,+ GC ////// w(s — y)T s/ — 1 , , J aatíií ? i — ~ r« (# — «)+»(*/ — p) + e dfidv dy.dw 2 TZ ' 2 7T 7 4-00 r 77777/ 1 u(x — *) + v(y— P) + OO ?< (a- P> y); Ma- P. y); M«.P.y)- Tendremos pues 0 est 0 est QOS) ?. = ¿ © cst ñ, (S) siendo S=(s*—L') (s2— M'} (s2— iV*) — P'2 (s2— Z')— O” (**— JK")— (s2 — TV') — 2 i>’ O' (t-L’)+Q E; Q,=(J f-M')+P' E; E=E(s'—N') +P' Q'; V 0=0, P.^cp, (a,p,Y) + s?(a>p>T)] + ^1 P, J*. (a, (3, y) + S X (a, P, y)] + P< Qi |4 (a, P. Y) + 4 ^ (a. P. Y)] Sustituyendo estos valores en las espresiones (7) tendre- mos por último + 20 ; ../'///// oo r , ? u(x ¿ 0e — *)+»(y— P)+w(s— r)] 'J— 1 +st 0. (S) d ol . d . d y . du . d v . dw; ¿777777 x o© 0 [«(# — «) + »(*/ — ¡3) + «c(s — y) J y/ — 1 +ÍÍ >(11) 0.{S) da . dfi . dy . du . d v . dw; '-777777*“ oo — a) + |5to — P) 4- — y)] \/ — l + st © e sT dcL . d$ .dy . du . dv . dw. El orden de las operaciones para determinar 5 , tj , £ en cada caso es el siguiente: 1. ° Hallar las seis raices s de S . 2. ° Tomar el residuo total de 0 est por relación á estas raices. 9 3.° Tomar las integrales séxtuplas. La indeterminación de .9 habrá desaparecido al tomar el residuo, entrando en lugar de esta variable las raíces de ( S ) de cierto modo ; y asimismo al tomar la integral séxtupla, desaparecen las seis variables u , v, w , a, ¡3, y, quedando tan solo en el segundo miembro una función de x, y , z, t. Las variables s, cl, ¡3, y, u, v, w entran pues para indr car el modo de formación de los valores de 5, t\, y al lle- gar al último resultado han desaparecido por completo. Tal es el método de Mr. Cauchv, tan elegante y sobre lodo tan sencillo, tan sencillo como lo presenta la dificultad de problema. N um. 65. No olvidemos que las funciones 'K 'K pueden ser continuas ó discontinuas: pueden, por ejemplo, tener valores finitos dentro de una cierta envolvente, y ser nulas fuera de ella, pero siempre finitas. Esta observación es muy importante para las aplica- ciones. CAPITULO III. Cambio de variables. — Superficies polares re- cíprocas.—Elipse indicatriz. —Raíces de ecua- ciones fraccionarias. Cambio de variables bajo el signo integral en las integrales múltiples. (Cálculo de Mr. Moigno, t. II, pág. 214.) Núm. 66. El problema del cambio de variables bajo el sig- no integral en las integrales múltiples ha sido resuelto por Jacobi, Catalan y Cauchv; mas para nuestro objeto nos basta estudiar el caso particular de dos y de tres variables, cuestión tratada por Euler en 1769 y por Lagrange en 1773. 10 Integrales dobles. Sea la integral doble /ai pfi(x) J F{x,y)dxdy , en la que x, y son dos variables independientes, y en la que suponemos que se ha de integrar: l.° con relación á y , razón por la cual los primeros límites son funciones de x; 2.° res- pecto á x, de suerte que los límites de esta segunda integra- ción son constantes. Sin embargo, para las aplicaciones que hemos de hacer podemos suponer el caso particular de cuatro límites constantes. Supongamos que á las variables x, y queremos sustituir bajo el signo integral otras dos variables u, t, ligadas á las primeras por las relaciones

(«, y) t i r 1 \ 1

» Y el juicio de Duhamel es el de lodos los matemáticos que han escrito sin pasión, ni compromiso de ningún género, sobre este mismo asunto. Por el procedimiento de Lagrange no ad- mite duda que pueden resolverse las ecuaciones numéricas: lo dudoso es que alguien las resuelva: lo cierto que todo el mun- do rehuye, con sobrado motivo y como por instinto, el peno- so trabajo de su resolución. Si Fourier no adelanta más en teoría que Lagrange, cuída- se más que este último délas dificultades de ejecución ó prác- ticas. Duhamel, sin embargo, le trata hasta con dureza, según á renglón seguido puede verse. «Fourier, continua diciendo el crítico citado, ideó proce- dimientos generales muy sencillos para descubrir si dos nú- meros dados comprenden ó no alguna raiz de la ecuación pro- puesta, ó, con mayor propiedad, las raices qu q pueden á lo sumo comprender, no las que comprenden con toda seguridad...,. «Para verificar la separación de las raices que pueden ha- llarse comprendidas entre aquellos números, el mismo céle- bre analista propuso un procedimiento de fácil desempeño , pero poco satisfactorio en teoría. Y, ya separadas, el método que recomienda para determinar sus valores aproximados, tampo- co está exento de tanteos ó ensayos é incertidumbres de varios géneros »E1 importante teorema de Fourier (ó de Budan) concer- niente al número de raices reales que pueden hallarse com- prendidas entre dos números determinados, es de aplicación muy sencilla, y comprende, como caso particular, la célebre regla de los signos , descubierta por Descartes. Pero, ni más ni ménos que esta regla, presenta aquel teorema el inconveniente de hacernos creer en la existencia de raices reales, de que, sin embargo, la ecuación carece, obligándonos ó induciéndo- nos á verificar numerosos cálculos hasta persuadirnos de que, efectivamente, no existen semejantes raices.,....» 19 Completa Sturm la obra de Fourier, y adquiere así gran- de y merecida fama de habilísimo matemático. Pues Duhamel, repitiendo como el eco la opinión de otros sabios, continúa diciendo: «Sturm, que no solo conocía las Memorias publicadas por Fourier, sino todos sus trabajos originales y ensayos manus- critos, se propuso averiguar la causa que, hasta cierto punto, había esterilizado los esfuerzos de su ilustre maestro para re- solver el importante problema de la separación y determina- ción de las raíces de las ecuaciones numéricas. Y, después de averiguada, reemplazando las funciones derivadas de Fourier por otros polinomios muy diferentes, aunque también rela- cionados con la ecuación propuesta, é imitando, como él mis- mo ingenuamente confiesa, el orden de investigación y de- mostración de su predecesor, logró descubrir el célebre teo- rema de su nombre, por medio del cual, sin ambigüedad ó in- determinación de ninguna especie , se puede averiguar el núme- ro de raices reales que la ecuación posee, comprendidas entre dos números ó límites determinados; y, por lo tanto, deducir paso á paso los valores de estas raices, con aproximación á la verdad indefinida. «Por desgracia, la aplicación de este teorema no es tan sen- cilla y breve como la del de Fourier 3 y demanda un trabajo de cálculo muy penoso , y expuesto á frecuentes errores ó equivo- caciones materiales. Por consideraciones particulares puede muchas veces aminorarse ó eludirse este trabajo; pero tales consideraciones y artificios no á todos los calculadores ocur- ren; y, para que un procedimiento de investigación sea verda- deramente recomendable y plausible , menester es que todo el mundo pueda emplearle con la misma esperanza y hasta con la misma certidumbre de buen éxito «La aplicación del teorema de Sturm puede exigir muchos ensayos infructuosos, si la ecuación contiene raices cuyas di- ferencias recíprocas sean muy pequeñas; pero también los exigiría entonces el procedimiento de Lagrange, que, si pres- cindimos del auxilio del de Sturm, nos inducirá á verificar tanteos innumerables , allí donde ni esperanza deberíamos abrigar de que pudieran existir raices reales.» 26 En menos palabras que Duhamél, y con mayor elocuen - cia todavía, resume el poco satisfactorio estado de la cuestión que examinamos el filósofo Bordas- Démoulin. En su célebre libro, titulado El Cartesianismo, reimpreso en 1874, páginas 375 y 376, se expresa como sigue: «La regla de los signos de Descartes, con sus ventajas é inconvenientes, ha sido durante dos siglos lo mejor que en su especie se ha conocido. Los más notables analistas, desde Newton á Lagrange , no consiguieron dar un paso decisivo en el camino ya explorado y recorrido por Descartes, por más esfuerzos que para conseguirlo hicieron. La ecuación de los cuadrados de las diferencias, propuesta por el segundo de aque- llos matemáticos, sencilla en teoría, demanda en las aplica- ciones multitud de cálculos fatigosos, y algunas veces inter- minables casi. Fourier publicó en 1820 una regla descubierta por él años antes, y con auxilio de la cual casi tocó en la co- diciada meta. Y Sturm, estimulado por las mismas enérgicas, aunque infructuosas, tentativas de Fourier, descubrió un nue- vo teorema que publicó en 1829, y que realiza el ideal de su maestro. La aplicación de este teorema solo demanda la for- mación sencillísima de una derivada, y una operación análoga á la de investigar el máximo común divisor de esta derivada y de la función ó ecuación primitiva de donde procede. Y, sin embargo, el alma abriga cierto misterioso 'presentimiento de que , para llegar al deseado término , existe algún otro camino más breve y expedito que el desbrozado y franqueado por Fourier y por Sturm.» Con lo que precede nada nuevo hemos dicho, de seguro, á cuantos conozcan alguno de los modernos Tratados de Álge- bra, publicados en Francia para uso de los españoles: á la ma- yoría, si no totalidad, de nuestros muy contados lectores. Re- pasando las páginas de los libros de Bourdon, Lefebure de Fourcy, Cirodde, Bertrand, Serret, y de tantos y tantos otros, verdaderamente distintos por las portadas y los nombres de sus autores respectivos, en todos encontramos narrada la mis- ma lamentable historia: la regla de los signos de Descartes, y los teoremas de Budan ó de Fourier para determinar el nú- mero máximo de las raíces reales de una ecuación, y su dis- 21 tribucion probable en positivas y negativas; la regla de New- ton para deducir los valores de estas raíces, ó las correccio- nes que debeu aplicarse á los valores aproximados de las mis- mas, por meros tanteos y repetidos ensayos ó probaturas, prévia mente obtenidos; el método impracticable de Lagran- ge para resolver el mismo problema; y el ingenioso teo- rema de Sturm, poco ménos impracticable muchas veces, como complemento y coronación de los demás teoremas y métodos de investigación análogos ó enderezados al propio objeto. Se nos olvidaba: á los enumerados hay que agregar, para separar y determinar las raíces de las ecuaciones, otro méto- do, basado en la teoría y cálculo de las diferencias finitas y fórmulas consiguientes de interpolación , muy difundido en la actualidad y encomiado por diversos autores ó traductores de Álgebra; pero del cual, en el tomo I de su excelente Manual de los candidatos á la Escuela Politécnica , dice E. Cata- lán, después de exponerle, cediendo en esto á la costumbre adquirida ó á la necesidad para vender el libro, lo que sigue: «Raro será que por el procedimiento explicado, y del cual hemos hecho dos distintas aplicaciones, podamos verificar, en general, la separación de las raíces reales inconmensurables de una ecuación cualquiera, ni áun determinar el número de raíces de esta especie que la ecuación contiene. Porque, en la mayoría de los casos, el número de variaciones que advirta- mos en las séries de valores particulares de f (x) será infe- rior al límite del número de raíces que la regla de los signos indique; y si bien es cierto que atribuyendo á x valores en progresión, cuya diferencia constante sea por de pronto 0.1, y sucesivamente después 0.01, 0.001, etc., etc., la probabili- dad de que las raíces resulten separadas aumenta con cada se- rie de sustituciones, también lo es que los cálculos necesarios para esto lo serán de prolijidad excesiva; y que si la ecuación posee laices imaginarias, no reveladas por el teorema de Des- cartes, aquellos cálculos y tentativas de exploración deberán prolongarse indefinidamente , sin más resultado final que el de perder lastimosamente el tiempo. 22 »Sea, por ejemplo, la ecuación £4 + 3¿r2 — 2^+1 =0, que solo puede tener raíces reales entre los límites 0 y y3. «Gomo en realidad no contiene ninguna, si por algún otro procedimiento no lo hubiésemos averiguado con antelación, y nos empeñásemos en separar las raíces por el método indica- do, atribuyendo á x los valores sucesivos 0,0M, O5. 2, 0S.3 hasta 0,333333, hallaríase que las 333333 sustituciones pro- ducian otros tantos resultados, todos positivos.— Basta con esto para comprender cuál es el valor ó la importancia científica del procedimiento calificado por los autores del Programa ofi- cial con el nombre de Método de las Diferencias .» En suma: nada ó poco más de nada. Tal es la consecuencia que se deduce de los párrafos entresacados de las obras de Bordas-Démoulin, Duhamel y Gatalan, á los cuales podría- mos agregar otros muchos redactados en igual sentido, y pro- cedentes de distintos autores: tal la convicción que, sin auxi- lio extraño ni influencia moral externa, adquirimos estudian- do el Álgebra por los libros más en boga, y puestos como in- mejorables en manos de la juventud estudiosa, concurrente á nuestras áulas de Matemáticas. Con mucho talento, mucha ex- periencia y destreza en el cálculo, y extensos conocimientos de Álgebra y áun de Geometría, no es imposible, ni desmesu- radamente fatigoso, resolver algunas ecuaciones de tercero y cuarto grado, y áun de los grados superiores. Pero el proce- dimiento que Dubamel reclamaba, «verdaderamente recomen- dable y plausible, y por todo el mundo practicable con la misma esperanza y hasta seguridad de buen éxito,» no hemos tenido la suerte de encontrarle en ninguno de los libros fran- ceses, en demanda suya por nosotros durante mucho tiempo revisados. Donde por vez primera hallamos, si no todo lo que buscá- bamos, algo parecido, algo de lo que Duhamel, en 1866 toda- vía, como ilusión irrealizable acariciaba, fué donde ménos po- díamos esperarlo: en el apéndice al Anuario (, Jahrbuch ) del Observatorio de Berlín, correspondiente al año de 1841 . Allí es, 23 en efeclo, donde el célebre astrónomo J. F. Encke, director del mismo Establecimiento científico citado, publicó una Me- moria sobre este asunto, en la cual analiza, discute y resuel- ve por un procedimiento sencillo, directo y eficaz, superior á cuantos le habían precedido, y que compite ventajosamente con algún otro, muy notable, años después publicado en In- glaterra, el problema en los siguientes absolutos y perentorios términos enunciado por Lagrange: «Dada una ecuación numérica, de cuyas raíces no se tiene por de pronto conocimiento alguno, ni relativo á su especie ó naturaleza, ni ménos todavía á su magnitud, encontrar los va- lores numéricos de estas raíces, exactos §i es posible, ó tan aproximados á la verdad cuanto se desee y necesite en cual- quier caso.» Por el mismo método de cálculo y á la vez cási; sin pre- paración alguna prévia, ni transformación preliminar; pres- cindiendo por completo de la regla de Descartes, y del teore- ma de Fourier, y de ios métodos de Lagrange y de Sturm; y sin perder un minuto en tanteos infructuosos y molestos, ni escribir un solo guarismo innecesario, búllanse simultánea- mente todas las raíces reales y los módulos de todas las ima- ginarias que la ecuación propuesta pueda contener, atenién- dose á los preceptos en aquella Memoria contenidos. De dos á tres horas de trabajo asiduo demanda á lo sumo, nos asegura Encke, la resolución completa de una ecuación de séptimo gra- do, con seis raíces imaginarias, cuando la aproximación se limi- ta á la compatible con el uso de lasTablas delogaritmos de siete cifras decimales; suficiente en la práctica casi siempre. Y, aún cuando esta apreciación nos parezca un poco exagerada, en sen- tido favorable al nuevo método, cosa es de preguntar: ¿á cuán- tas horas y dias, y áun meses, ascendería el tiempo necesario para resolverla, con el mismo grado de aproximación, por el procedimiento propuesto por Lagrange, y, con leves variantes, recomendado como el mejor y más breve en los tratados vulga- res de Álgebra? — No es fácil averiguarlo. Ni áun por el pro- cedimiento de Rutherford, derivado del de Lagrange, aunque mucho más expedito, sería empresa de poco momento el re- solverla. Y, sin embargo, el método que así responde «al misterioso presentimiento del alma,» de que nos habla Bordas-Démoulin, yace abandonado y cubierto por las sombras del olvido. — ¿Por qué? ¿por error de apreciación y falso juicio de Encke? ¿ó por no ser verdad en la práctica lo que en teoría como cierto y ventajoso se nos representa? Adviértase que Encke, perfeccionado!' y propagador del método, ni es su verdadero ó primitivo autor, ni el único que sobre su mérito ha emitido dictamen favorable. Ei autor origi- nal lo fué el profesor de Zurich, Graffe, premiado en concurso público sobre este asunto por la Real Academia de Ciencias de Berlín, en 1839. Encke, prendado del trabajo de Graffe y de la simplicidad y fecundidad del teorema fundamental en que descansa, se propuso perfeccionarle y completarle, y apurar hasta sus últimas consecuencias el procedimiento por el mate- mático suizo descubierto. Su juicio debe considerarse, por lo tanto, como imparcial y desinteresado, é hijo de la convicción de que no sería desmentido nunca; y sus elogios y aprecia- ciones, en todos sentidos favorables, dimanan de natural y le- gítimo entusiasmo. Habiéndose limitado Graffe á determinar las raices y los módulos de las imaginarias , cuando estas rat- ees y estos módulos difieren unos de otros sensiblemente, Encke avanzó un poco más, y nos enseñó á determinar las mismas raices imaginarias , y á discutir y analizar los casos más difíciles, omitidos por su predecesor, en que módulos y raices, reales ó imaginarias, discrepan apénas, ó son, por ex- cepción rarísima, absolutamente iguales. Los antecedentes del asunto son estos. — ¿Gomo, pues, sospechar que la Acade- mia de Berlín premiase lo indigno de premio y erróneo ó des- preciable en teoría? ¿Ni cómo suponer que malgastaseel tiempo Encke en perfeccionar y divulgar un descubrimiento científico, desprovisto por completo de importancia?--Pües si en teoría el método de Graffe seduce y atrae por su sencillez, más to- davía encanta por la misma sobresaliente cualidad en el ter- reno de las aplicaciones: precisamente aquí es donde campea sin rival, y desafía la competencia de cualquiera otro. La razón, pues, de ser este método tan poco conocido en la actualidad, á pesar de haberle compendiado algunos perio- 25 (jicos científicos, como los Anales de Matemáticas, —catorce años después de su publicación por Encke! — no se nos alcanza. El amor patrio, muy mal entendido, de los tratadistas france- ses; la pereza del espíritu, que rechaza como por instinto cual- quier innovación en cualquier orden de conocimientos; y la rutina de las escuelas, apasionada de lo antiguo y de todo lo que es aparatoso y deslumbrador, podrán disculpar tan extra- ña anomalía y olvido tan lamentable: explicarlos, no se expli- can de ningún modo. De la Memoria de Encke aspira á ser traducción, fiel en cierto sentido, ó en el fondo, pero no literal, la que en cas- tellano insertamos á continuación de esta advertencia. No es, ni puede, ni debe ser traducción literal, por varios motivos: por dos principalmente. Porque los genios, tan dis- tintos, é incompatibles muchas veces, de ambos idiomas, ale- mán y castellano, se oponen á que lo sea. Y porque lo bueno en aleman y para lectores alemanes, acaso fuera mediano, ó difícil y hasta incomprensible, para la mayoría de los lectores españoles, ó por falta en éstos de preparación científica, ó por sobra de imaginación para meditar con calma todos aquellos puntos que, por demasiada sobriedad de exposición, no pue- den comprenderse al vuelo. — Quien al traducir no reflexione en la diferencia de aptitudes y disposiciones intelectuales del pueblo para quien el autor escribió, y de la muchedumbre para quien el traductor se propone escribir, riesgo muy gra- ve corre de perder el tiempo. Los manjares que sientan bien á estómagos robustos, necesitan muy distinto y delicado con- dimento si han de ser digeridos con facilidad por otros más débiles y como enfermos de atonía. La Memoria de Encke no comprende más de 60 páginas en 4.°; y en tan breve espacio, sin división de materias en capítulos ni párrafos, ni un epígrafe de vez en cuando que re- cuerde al lector lo que ya lleva aprendido y le falta todavía por estudiar y aprender, y en estilo conciso y severo, hállase expuesto el asunto en su totalidad y como por un solo esfuer- zo de la mente. En la traducción nos ha parecido que tan escueta y severa forma no debia respetarse; y que, para facilitar la inteligeu- 26 cia de la Memoria original , convenia distribuir su contenido en varios capítulos, y éstos en párrafos, numerados y titula- dos todos. Al estilo apretado del autor, hemos también prefe- rido otro mas diluido, y conforme con la índole franca y ex- pansiva de nuestro idioma; al razonamiento compendioso y como sibilítico, la demostración ámplia y detallada; y al sim- ple enunciado de algunas proposiciones, su más lata exposi- ción. Y cuando, por efecto muy común é inevitable de largas y complicadas transformaciones algebráicas, hemos sospecha- do que el lector puede acaso perder el hilo del discurso ú ol- vidar el punto de partida y desconocer el de arribada, no he- mos titubeado tampoco en intercalar algún breve resúmen de todo lo expuesto, para atar cabos sueltos y precisar bien las ideas. Los ejemplos propuestos por Encke para ilustrar la teoría, son los comprendidos en el Capítulo Vil, pocos en número y perfectamente escogidos, pero difíciles de resolver todos. Por lo cual, en los capítulos anteriores hemos creído muy con- veniente intercalar otros ejemplos más sencillos, como acla- ración de las teorías parciales en ellos explicadas, y para es- timular de continuo la curiosidad del lector y recompensar de algún modo su constante y penosa asiduidad. No todos estos ejemplos son arbitrarios: algunos hay de intento entresacados de libros y autores célebres, con objeto de que pueda com- pararse para resolverlos el método de Graffe con los de New- ton, Lagrange, Sturm y cualquier otro. Al final de la Memoria hemos agregado tres notas ó adicio- nes que consideramos importantes: la primera sobre un pun- to de análisis trigonométrica, relacionado con la teoría de Encke para determinar las raíces imaginarias de las ecua- ciones, y que en los tratados más conocidos de Trigonometría no se halla expuesto con demasiada claridad, si no está omiti- do por completo; la segunda sobre el método de aproxima- ción de Newton, que el uso del de Graffe no excluye en ab- soluto, sino que, por el contrario, aprovecha y utiliza en tiem- po oportuno y con superior ventaja; y la tercera sobre la de- terminación de las raíces imaginarias. Las dos primeras las hemos tomado del precioso arsenal de conocimientos de esta 27 especie, titulado: Nuevos Anales de Matemáticas ( Nouvelles Anuales de M áthématiquesj , sin más trabajo que el de traducir- las con el mayor esmero posible; y la tercera, redactada con alguna mayor libertad, la consideramos también muy intere- sante, por hallarse estrechamente relacionada con el asunto principal, en el cuerpo de la Memoria explicado y discutido. Con esto ya sabe el lector lo que le ofrecemos: una di- sertación matemática de 120 ó más páginas, traducida de otra de escasas 60. — ¿Pecaremos de inmodestos ó de exagerados ca- lificando de libre la traducción?- — Falta que alguien, con funda- do motivo, no pueda calificarla de licenciosa: si bien lo que más nos dolería es que fuese estéril, y que en nada contri- buyese á reanimar en nuestro pais la afición al estudio de las Matemáticas. Miguel Merino . OBSERVACIONES de Urano , de Neptuno y de los planetas asteroides, hechas en el D. C. Águilar (A.), D. Y. Yen- Notas.-— Las declinaciones están corregidas de paralaje, en el supuesto de Los valores de A a y A 8 se han obtenido por comparación de las posi- dose de los planetas Urano, Neptuno y los cinco primeros asteroides; en el en el Jahrbuch del Observatorio de Berlin, con respecto á todos los demás. FECHAS. 1873. Observador. Tiempo medio de Madrid. Ascensión recta aparente. c/i O H Urano. [ li m s h m s Febrero. . 27 Y. 9 48 15,5 8 19 27,37 7 Marzo, c. 10 T. 3 42,3 18 9,00 7 (1) » 11 » 8 59 40,4 2,95 7 (2) » 19 V. 27 32,1 17 21,78 7 (3) » 22 » 15 32,1 9,52 7 Abril .o.„ 3 T. 7 27 51,7 16 39,92 7 » 4 » 23 54,9 39,00 7 5 » 19 58,2 38,17 7 » 7 » 12 5,1 36,92 7 Neptuno. Enero. ... 7 T. 6 20 5,2 1 29 38,58 7 (1) » 11 » 4 24,5 41,52 7 (2 » 16 V. o 44 51,6 48,19 7 17 » 40 57,4 49,94 7 18 » 37 3,4 51,77 7 (1) Celajería. (2) Tranquilo. (3) Nubes. MERIDIANAS Observatorio astronómico de Madrid durante el año 1873, por tosa (V.) y D. E. Torroja (T.). hallarse representada la del Sol por la constante 8", 86. ciones observadas con las calculadas , é insertas en el Nautical Almanac, tratan - núm. 1949 del Astronomische Nachrichten , por lo referente al (92) ó Undina; y i Corrección de la efeméride. 0 Declinación aparente. c? 03 Observación — Cálculo. S-. CU A a. A 8. Urano. + 20 14 31,4 18 31,3 51,0 20 55,9 21 30,8 22 47,4 50.8 51.9 52,6 + 7 32 3,9 35,8 33 35,1 47,3 34 2,5 o', 2 — 12,35 0,2 — 12,56 0,2 — 12,56 0,2 — 12,26 0,2 — 12,27 0,2 — 12,10 0,2 — 11,97 0,2 — 11,97 0,2 — 12,23 Neptnno. 0,2 — 0,07 0,2 — 0,09 0,2 — 0,05 0,2 — 0,01 0,2 — 0,02 + 30,5 + 25,7 + 26,8 + 27,4 + 26,9 + 25,6 + 27,2 + 27,2 + 28,0 - 1,1 — 1,5 + 0,4 — 1,1 — 0,5 30 FECHAS. 1873. Observador. Tiempo medio de Madrid. Ascensión recta aparente. en O s (1) Octubre. . 28 (2) » 30 V. Neptuno. h m s 11 13 1,8 li m s 1 42 30,63 7 » 4 57,7 18,26 7 (2) » 31 » 0 55,6 12,14 7 (3) Noviembr. 6 A. 10 36 43,4 41 35,28 7 » 20 V. 9 40 22,7 40 17,05 7 » 21 » 36 21,6 11,89 7 22 » 32 20,6 6,79 7 » 29 A. 4 16,3 39 33,76 7 Diciembr. 2 T. 8 82 18,8 20,99 7 o 3 » 48 16,0 17,04 7 4 » 44 15,9 12,91 7 ® 5 » 40 16,2 9,12 7 s 6 » 36 16,6 5,41 7 (2) » 9 V. 24 18,3 38 54,81 7 » 12 » 12 20,8 44,95 7 (4) » 13 » 8 21,8 41,94 7 » 15 A. 0 24,2 36,07 7 » 17 » 7 52 27,2 30,94 7 » 18 » 48 28,8 28.46 7 » 19 » 44 30,7 26,27 7 » 20 » 40 32,6 24,06 7 » 22 V. 32 36,7 19,98 7 >> 23 » 28 39,1 18,23 7 » 26 16 46,5 13,44 7 Setiembre. 24 i V. 1] Ceres. 12 12 10,3 0 27 45,95 7 » 25 » 7 24,1 26 55,57 7 » 26 » 2 37,9 5,15 7 » 27 11 57 51,5 25 14,44 7 (!) Deshecho: viento y cielo turbio. (2) Algo deshecho. 31 Declinación aparente. Paralaje. Corrección di 0 A a. e la efeméride. -C. A 8. Nep tuno. + 8° 42 28,5 r f 0,2 + 0*02 4 0,2 41 16,8 0,2 4 0,13 — 1,4 40 48,8 0,2 4 0,21 + 0,2 37 20,6 0,2 — 0,13 0,0 30 12,0 0,2 4 0,10 — 1,4 29 4o, 0 0,2 + 0,06 — 1,1 18,9 0,2 + 0,01 — 0,4 26 23,1 0,2 — 0,04 - 1,5 2o 20,7 0,2 — 0,03 — 0,2 0,1 0,2 + 0,09 — 0,2 24 41,4 0,2 — 0,06 + 1,2 23,1 0,2 + 0,02 4 2,4 2,0 0,2 4- 0,08 4 0,1 23 8,4 0,2 4 0,18 — 0,8 22 22,4 0,2 + 0,03 — 0,2 8,1 0,2 4 0,04 — 0,2 21 39,7 0,2 — 0,14 - 2,3 15,6 0,2 - 0,03 — 2,9 5,9 0,2 — 0,08 - 1,9 20 56,8 0,2 4- 0,05 - 1,0 46,5 0,2 + 0,04 - 2,0 33,6 0,2 — 0,01 4 1,5 24,4 0,2 + 0,07 — 0,7 7,3 0,2 + 0,02 — 1,2 [1] Ceres. — 14 11 15,4 3,7 + 5,03 4 39,4 15 48,4 3,7 + 5,04 4 39,7 20 13,5 3,7 + 5,13 4 39,3 24 29,4 3,7 + 5,02 4 39,0 (3) Nubes. (4) Tranquilo. n FECHAS. 1873. Observador. Tiempo medio de Madrid. Ascensión recta aparente. [2] Palas. h m s h m s Agoslo. . . 11 Y. 12 9 16,1 21 31 22,94 » n » 4 34,5 30 37,11 » IB » 11 59 52,6 29 51,02 (1) » 16 » 45 47,0 27 32,71 Seíieoibre. 1 » 10 31 17,5 15 55,83 » 8 » 22 8,6 14 38,59 (2) » 6 i) 8 31,3 12 48,69 [3] Juno. Julio. .... 1 i} 11 30 34,9 ' i 18 10 56,51 *> 2 » 25 46,9 4,28 » 3 » 20 59,1 9 12,23 » 4 » 16 11,8 8 20,73 21 » 9 56 16,4 17 55 13,68 » 22 » 51 42,0 54 35,05 » 23 » 47 8,5 53 57,42 » 24 » 42 36,1 20,78 » 26 » 33 35,0 52 11,29 cñ 7 7 7 7 6 7 7 5 7- 7 7 7 7 7 7 7 [4] Vesta. Julio 21 » 11 59 12,7 19 58 30,19 » 22 » 54 18,0 57 31,21 » 23 » 49 23,4 56 32,40 24 » 44 29,1 55 33,86 » 26 » 34 41,8 53 37,99 (1) Cielo fosco. (2) Algo deshecho. Hilo: 33 Declinación aparente. Paralaje. Corrección c O A a. le la efeméride. |-C. A 8. [2] : | Palas. 1 : 0 f t r s r r 4-11 2 33,7 1,8 — 0,60 + 0,2 10 53 38,7 1,8 — 0,46 + 1,1 44 26,8 1.8 — 0,49 - 2,8 15 55,1 1,8 — 0,50 — 0,2 7 19 26,3 2,0 — 0,45 + 0,9 6 55 21,4 2,0 — 0,45 + 1,6 18 42,8 2,0 — 0,43 — 0,1 [3] Juno. — 4 50 23,3 2,9 + 2,19 — 0,8 52 6,7 2,9 + 2,23 — 1,0 53 58,3 2,9 + 2,18 — 1,4 55 56/2 2,9 + 2,34 — 0,1 — 5 48 16,3 2,9 + 2,10 + 0,3 52 21,2 2,9 4- 2,13 - 1,4 56 28,1 2,9 + 2,08 + 0,5 — 6 0 45,9 2^9 + 1,92 - 3,1 9 29,0 2,9 + 1,97 — 2,2 [4] Yesta. — 24 2 37,2 6,7 4- 1,39 + 2,0 9 19,5 6,7 + 1,45 + 1,6 15 54,7 6,7 + 1,48 + 2,8 22 26,7 6,6 + 1,48 -j- 1,4 35 9,5 | 6,6 i + 1,42 + 0,6 TOMO XX. 8 34 fechas. 1873. msmt o Tiempo medio Ascensión recta > t-, O de (SI r> Madrid. aparente. O [4] Vesta. h m s h m s Agosto. . . 11 V. 10 18 39,3 19 40 27,93 » 12 » 14 5,7 39 50,13 » 13 » 9 33,8 14,12 (1) » 16 » 9 36 9,1 37 36,80 Setiembre. 3 » 8 41 48,7 34 2,20 » 24 » 7 28 18,0 43 7,09 » 25 '» 25 7,0 52,11 » 27 » i 18 49,4 45 26,52 [5] Astrea. Setiembre. 1 » 11 27 18,9 22 12 6,53 » 2 » 22 34,1 11 17,48 » 3 » 17 49,5 10 28,59 [6] Hebe. (2) Mayo. ... 3 » 11 58 14,8 14 46 4,05 » 20 » 10 36 52,6 31 30,00 (3) » 21 » 32 10,7 30 43,82 » 23 )> 22 49,7 29 14,42 » 24 » 18 10,5 28 30,99 [7] Iris. (4) Setiembre. 6 » 11 5 44,2 22 10 11,00 22 )) 9 51 7,0 » » 24 )) 42 15J 21 57 26,12 (1) Cielo fosco. (2) Nubes: puntería en o, insegura. (3) Confun- Hilos. 35 Declinación aparente. 6 ’c? Corrección de la efeméride. O-C. Oh A a. A 8. [4] Vesta. 25 57 56,2 r f 6,4 4 1,45 + 0,3 26 1 53,2 6,3 + 1,32 — 0,2 5 41,1 6,3 + 1,29 - 0,7 16 9,5 6,2 + 1,31 — 0,5 52 9,7 5,6 + 1,11 + 1,4 44 33,0 4,8 + 0,85 + 0,2 43 1,6 4,8 + 0,91 + 0,6 39 43,2 4,7 4- 0,76 — 0,5 [5] Astrea. — 12 53 52,9 3,5 — 6,93 - 25,0 59 45,2 3,5 — 6,63 — 23,1 — 13 5 39,7 3,5 — 6,60 — 27,4 [6] Hebe. + 7 19 29,8 2,5 + 3,73 — 14,0 8 4 2,5 2,4 » » 32,6 2’, 4 » » 52,8 2,4 » » 43,7 2,4 » » [7] Iris. 0 5 1 30 41 36,7 1 3,5 44,1 5,5 11,7 ! 5,5 + 2,44 » » + 17,0 (lióse al principio con una estrella que iba delante. (4) Algo deshecho. 36 FECHAS. 1873. Observador. Tiempo medio de Madrid. Ascensión recta aparente. Setiembre. 25 V. [7] Iris. lx rn s 1 9 37 52,2 i h m s 21 56 59,04 » 26 » 33 31,2 j 33,93 » 27 » 29 12,3 ! 10,83 (1) Octubre.. 27 )) [8] Plora. 12 8 26,9 2 34 8,23 (2) » 28 )) 3 33,6 33 10,68 (3) » 30 » 11 53 45,8 31 14,43 (3) » 31 » 48 51,9 30 16,27 Noviembre. 21 )) 10 8 39,8 12 35,35 » 22 » 4 8,7 0,11 [10] Higia. Setiembre. 1 » 11 57 28,0 22 42 20,56 | 7 » 2 » 52 17,1 41 35,71 i 7 » 3 » 48 6,9 40 51,01 | 7 1 [11] Parténope. (4) Mayo. ... 3 » 12 11 38,1 14 59 29,58 » 20 » 10 49 19,1 43 58,53 » 21 » 44 33,3 8,51 23 » 35 4,6 41 31,37 (1) Viento. (2) Difícilmente visible. (3) Algo deshecho. ■soiíh L"*ir'»!r'T'>r'*r- r- o t- 37 Declinación aparente. Paralaje. Corrección de la efeméride. ^ °-C. A a , A 8. [7] Iris. - 146 21 ”3 5,5 1 s » f T? í> 51 25,5 5,5 » » 56 24,5 5,5 » » ¡8] Plora. + 2 21 18,5 6,2 + 8,26 + 47,4 17 59,1 6,2 + 8,43 + 46,1 11 57,2 6,2 4- 8,36 + 45,2 9 14,9 6,2 + 8,43 + 45,0 8 43,0 5,8 » » 11 34,3 5,8 » * [10] Higia. — 3 17 38,7 I 2,8 — 3,49 | — 22,3 2! 37,7 i 2,8 — 3,49 — 22,5 25 39,2 2,8 — 3,44 - 23,7 i [11] Parténope. 8 56 22,9 4,7 + 2,90 7 59 48,8 4,6 4- 2,97 57 82,9 4,5 + 2,91 53 24,9 4,5 » (4) Nubes. 38 FECHAS. 1873. | Observador. Tiempo medio de Madrid. Ascensión recta aparente. | [13] Egeria. li m s h m s Abril. ... 28 V. 11 22 51,1 13 50 51,78 » 29 » 17 52,6 49 48,98 >> 30 » 12 54,8 48 46,91 (1) Mayo. ... 3 » 10 58 5,9 45 45,23 7 7 7 4 [15] Eunomia. (2) Setiembre. 6 11 35 5,1 22 39 36,75 22 » 10 18 14,9 25 38,78 » 24 )) 8 57,4 24 12,82 » 25 » 4 20,9 23 32,12 » 26 » 9 59 45,9 22 52,92 ,> 27 )) 55 12,4 15,23 [17] Tetis. Noviembre. 20 » 10 59 30,1 2 59 37,47 >> 21 » 54 40,1 58 43,24 [18] Melpómene. Julio.... 21 » 11 31 55,0 19 31 8,00 22 27 0,3 30 9,07 » 23 » 22 6,0 29 10,46 » 24 » 17 12,0 28 12,30 » 26 » 7 26,0 26 17,75 (1) Nubes. (2) Algo deshecho Hilos. 39 Declinación aparente. Paralaje. Corrección de la efeméride. O-C. Aa. ¡ AS. 1 [13] Egeria. i i s r r — 5 38 21,9 4,1 + 0,96 — 13,9 40 3,1 4,0 + 0,83 — 15,5 41 49,1 4,0 + 0,79 — 17,0 * » + 0,65 » [15] Eunomia. + 9 21 31,7 3,6 + 8,53 + 79,0 8 44 24,6 3,6 + 8,31 + 77,7 37 28,9 3,0 + 8,15 + 79,3 33 52,3 3,6 + 8,16 + 78,3 30 11,6 3,6 + 8,11 + 77,2 26 29,3 3,6 + 8,00 -1- 77,8 [17] Tetis. + 8 16 28,1 2,6 + 0,71 ! — 2,5 14 8,2 2,6 + 0,57 ¡ \ i. — 1,6 [18] Melpómene. — 10 37 14,8 6,2 — 0,10 - 5,3 45 13,2 6,2 — 0,10 — 5,7 53 19,2 6,3 — 0,12 — 5,4 — 11 1 34,6 6,3 — 0,12 — 6,7 18 24,4 6,3 — 0,01 í — 6,8 40 FECHAS. 1873. Abril. ... 7 Julio..... 21 » 22 » 23 » 24 26 Abril.... 7 | Julio 21 » 22 23 » 24 » 26 Agosto... 11 » 12 » 13 (1) » 16 Tiempo medio Madrid. [32] Pomona. | !i m s V. | 11 49 22,1 [33] Polimnia. 11 45 24,6 » 40 36,5 »> 35 48,6 » 31 1,1 21 27,3 [46] Bestia. 11 52 46,6 47 54,8 43 3,0 38 11,4 28 29,2 Ascensión recta aparente. h m s 12 54 39,48 7 19 44 39,82 7 43 47,53 7 42 55,39 7 3,61 6 40 21,34 7 40,34 | 7 19 52 2,99 51 6,99 50 10,39 49 15,14 47 24,46 [49] Pales. 11 39 29,7 | 21 1 31,63 34 43,6 0 41,30 29 57,8 20 59 51,30 15 42,1 57 22,91 [40] Harmonía. » | 11 19 27,9 | 12 24 (1) Débil; cielo fosco. Hitos. 41 Declinación aparente. Paralaje. Corrección d O A a le la efeméride. -C. A 8. [32] I 5omona. 0 r tt s 9 V - 9 57 40,5 4,9 — 0,60 + 4,1 [33] Polimnia. — 25 0 3,0 7,8 — 8,97 ¡ ! - 21,7 1 46,0 7,8 — 8,91 — 24,5 3 21,2 7,8 — 8,92 — 23,3 4 54,0 7,8 — 8,89 — 25,5 7 37,2 7,8 1 — 8,85 — 24,1 [40] Harmonía» + 5 12 9,4 | : 3,7 i + 2,42 | — 17,0 [40] Hestia. — 17 9 11,4 6,0 + 0,76 — 0,2 12 18,6 6,0 + 0,93 + 1,9 15 29,8 6,1 + 0,96 + 1,6 18 41,0 6,1 + 0,93 + 2,6 25 3,3 6,1 + 0,92 -j- 3,3 [49] Pales. — 14 45 22,5 4,2 + 7,11 + 61.2 47 59,6 4,2 + 7,04 + 57,8 50 30,7 4,2 + 7,09 + 59,8 58 7,5 4,2 + 0,97 + 61,5 42 FECHAS. 1873. Observador. Tiempo medio de Madrid. Ascensión recta aparente. [53] Calipso. (1) Octubre. . (2) h m s h m s 27 V. 10 38 6,0 1 3 32,55 30 » 24 8,8 1 22,66 7 6 [59] Elpis. Agosto... 11 » 11 16 24,0 20 38 22,14 12 » 11 41,6 37 35,55 » 13 » . 6 59,9 36 49,65 (3) » 16 » 10 52 58,7 34 35,72 [63] Ausonia. Agosto. . . 11 » 11 30 2,7 20 52 3,12 » 12 » 25 7,8 51 3,90 13 » 20 13,6 50 5,51 (3) » 16 » 5 37,2 47 16,34 (1) Octubre. . 27 (4) » 30 [67] Asia. 10 27 7,4 0 32 32,14 I 7 13 34,0 50 46,16 | 7 [69] Hesperia. (5) Julio. .. . (5) I » 21 » 11 22 38,4 19 21 49,83 22 » 17 57,2 4,43 23 )) 13 16,1 20 19,16 24 » 8 35,7 19 34,58 26 » 10 59 16,0 18 6,40 5 7 6 7 7 (1) Viento. (2) Muy débil, (3) Cielo fosco. (4) Algo Hilos. 43 Declinación aparente. Paralaje. Corrección de la efeméride. O-C. A a. A 8. [53] c Jalipso. 0 r rr — 1 11 13,0 O — o" 80 - o 24 51,3 4,2 » » [59] Elpis. ' — 9 36 33,0 4,4 + 0,28 + 0,5 43 16,9 4,4 + 0,20 + 1-5 50 6,7 4,4 + 0,24 - 1,0 — 10 10 37,5 4,4 + 0,10 0,0 [63] Ausonia. — 22 12 5,6 6,8 + 0,62 - 19,9 11 54,0 6,7 + 0,64 — 20,9 34,0 6,7 + 0,64 - 20,3 9 55,3 6,7 + 0,69 - 21,5 [67] Asia. + 5 32 40,4 3,9 — 2,49 — 10,5 11 12,4 3,9 » » [69] Hesperia. — 10 35 3,2 2,8 — 0,30 + 2,5 37 49,2 2,8 — 0,19 — 0,3 40 34,9 2,8 — 0,36 + 0,4 43 21.4 2,8 - 0,24 + 3,3 49 9,6 1 2,7 — 0,45 + 3,0 deshecho. (5) Débil. 44 FECHAS. 1873. Observador. Tiempo medio de Madrid. Ascensión recta aparente. Hilos. [92] Undina. / ¡ h m s h m s Setiembre. 22 V. 10 58 59,7 23 6 30,24 » 24 » 49 51,5 5 13,69 » 25 » 45 18,5 4 36,49 » 26 » 40 46,3 0,13 » 27 » 36 15,0 3 24,62 [94] Aurora. Noviembre. 20 )) 10 37 9,2 2 37 12,86 21 » 32 25,1 36 24,60 [103] Hera. (1) Diciembre. 9 » 10 45 22,8 4 0 22,47 7 » 10 » 40 37,3 3 59 32,74 7 » 11 » 35 52,7 58 43,89 7 (2) » 12 » 31 9,4 57 56,43 5 (3) » 13 * 26 26,6 9,38 7 (1) Algo deshecho. (2) Muy débil. (3) Tranquilo. 45 Declinación aparente. Paralaje. Corrección c 0 A a. le la efeméride. i-C. — — -'v A 8. [92] 1 [Indina. 0 j-.' 11 s + 1.6 — 20 18 12,9 4,0 + 1.10 24 23,5 4,0 + 1,12 + 0,5 27 11,0 4,0 + 1,07 — 0,1 29 44,6 4,0 + 1,04 + 1,2 32 6,6 4,0 + 0,98 + 2,0 [94] Aurora» + 24 23 39,0 1,3 ¡ + 5,96 ¡ 1 + 36,5 20 58,8 1,3 S + 5,88 ¡ + 37,2 [103] Hera. + 12 42 18,8 2,3 — 0/28 - 3,1 41 38,8 2,3 — 0,34 — 6,7 8,1 2,3 - 0,45 — 7,0 40 44,7 2,3 — 0,16 — 5,9 28,8 2,3 — 0,47 — 5,3 VARIEDADES Real Academia de Ciencias exactas, físicas y naturales. Programa para la adjudicación de premios en el año de 1877. Artículo l.° La Real Academia de Ciencias exactas, físicas y naturales abre concurso público para adjudicar tres premios á los autores de las Memorias que desempeñen satisfactoriamente, á juicio de la misma Cor- poración, los temas siguientes: I. -Plan razonado y minucioso de un Tratado completo de Matemáticas «puras, en el cual se presente esta ciencia constituida , no como ahora lo «está, por lo regular, en el orden histórico ó de invención, sino como aspi- » ra á estarlo y dehe constituirse, al fin, de conformidad con los principios «de la lógica .» Considerando que en Matemáticas es indudablemente mucho lo que se ha trabajado y conseguido, y mucho también lo que falta todavía por adelan- tar; que hay abundante copia de materiales reunidos y perfectamente ela- borados, pero que existe gran divergencia de pareceres y procedimientos, cuando de concertarlos y distribuirlos se trata, para componer con ellos una Entidad armónica; lo que desea y pide la Academia es, que respetan- do cuanto merezca respetarse y conservarse, y sin prescindir por afan irre- flexivo de innovar y reformar de lo ya con mesura y buen acierto edifica- do, se exponga con claridad y precisión el método preferible en lo sucesivo para constituir, enseñar y aprender tan vasta é importantísima ciencia. Pero tos concurrentes al certámen no se limitarán á esto solamente; á po- ner de relieve la conexión de las varias partes de las matemáticas, la filia- ción más natural y sencilla de sus proposiciones fundamentales, y de las subalternas de mayor trascendencia, y la armonía del conjunto; sino que cuidarán de indicar la mejor manera de convertir el Plan en verdadero Tratado de la ciencia, utilizable en la enseñanza, ora con citas de autores conocidos, de cuyas obras puedan copiarse ó extractarse las teorías par- ciales que, intercaladas en el orden y lugar oportunos, han de componer el nuevo libro, ora con sucintas disertaciones sobre aquellos puntos de doctrina que consideren de importancia suma, y no juzguen bien expues- tos, razonados y discutidos en ninguna publicación anterior. II. o Obtención del níquel con minerales del país, acompañando á la me- * moría descriptiva del procedimiento empleado, doscientos gramos del • níquel, y muestras en igual peso ó por lo menos de cien gramos, de todos >los productos que justifiquen que dicha obtención ha tenido lugar en » España. • III. « Estudio sobre las circunscripciones agrícolas y botánicas de la Pe- »ninsula relacionadas con las diversas causas que las determinan , y muy »; principalmente con la constitución geológica.» 2. ° Los premios que se ofrecen y adjudicarán, conforme lo merezcan las Memorias presentadas, serán de tres clases: premio propiamente dicho, accé- sit y mención honorífica. 3. ° El premio consistirá en un diploma especial en que conste su adjudi- cación; una medalla de oro, de 60 gramos de peso, exornada con el sello y lema de la ;Academia, que en sesión pública entregará el Sr. Presidente de la Corporación á quien le hubiese merecido y obtenido, ó á persona que le represente; retribución pecuniaria al mismo autor ó concurrente pre- miado de 1.500 pesetas; impresión por cuenta de la Academia, en la Colec- ción de sus Memorias, de la que hubiere sido laureada; y entrega, cuando esto se verifique, de 100 ejemplares al autor. 4. ° El premio se adjudicará á las Memorias que no solo se distingan por su relevante mérito científico, sino también por el drden y método de exposición de materias y redacción bastante esmerada, para que desde lue- go pueda procederse á su publicación. 5. ° El accésit consistirá en diploma y medalla iguales á los del premio y adjudicados del mismo modo; y en la impresión de la Memoria coleccio- nada con las de la Academia y entrega de los mismos 100 ejemplares al autor. 6. ° El accésit se adjudicará á las Memorias poco inferiores en mérito á las premiadas, y que versen sobre los mismos temas: ó, á falta de término su- perior con que compararlas, á las que reúnan condiciones científicas y lite- rarias aproximadas, á juicio de la Corporación, á las impuestas para la ad- judicación ú obtención del premio. 7. ° La mención honorífica se hará en un diploma especial, análogo á los de premio y accésit , que se entregará también en sesión pública al autor ó con- currente agraciado, ó á persona que le represente. 8. ° La mención honorífica se hará de aquellas Memorias verdaderamen- te notables por algún concepto, pero que, por no estar exentas de lunares é imperfecciones ni redactadas con el debido esmero y necesaria claridad para proceder inmediatamente á su publicación por cuenta y bajo la res- ponsabilidad de la Academia, no se consideren dignas de premio ni de accésit. 9. ° El concurso quedará abierto desde el dia de la publicación de este Programa en la Gaceta de Madrid, y cerrado en 31 de diciembre de 1877, hasta cuyo dia se recibirán en la Secretaría de la Academia cuantas Memo- rias se presenten. 48 10. Podrán optar al concurso todos los que presenten Memorias que sa- tisfagan á las condiciones aquí establecidas, sean nacionales ó estranjeros, excepto los individuos numerarios de esta Corporación. 11. Las Memorias habrán de estar escritas en castellano ó latin. 12. Las Memorias que se presenten optando á premio se entregarán en la Secretaría de la Academia, dentro del plazo señalado en el anuncio de convocatoria al concurso, y en pliegos cerrados, sin íirma ni indicación del nombre del autor, pero con un lema perfectamente legible en el sobre ó cubierta, que sirva para diferenciarlas unas de otras. El mismo lema de la Memoria deberá ponerse en el sobre de otro pliego, también cerrado, den- tro del cual constarán el nombre del autor y las señas de su domicilio ó paradero. 13. De las Memorias ó pliegos cerrados el Secretario de la Academia dará á la persona que los presente y entregue un recibo, en que consten el lema que los distingue y el número de orden de su presentación. 14. Los pliegos señalados con los mismos lemas que las Memorias dig- nas de premio ó accésit, se abrirán en la sesión en que se hubiese acordado otorgar á sus autores una ú otra distinción y recompensa; y el Sr. Presiden- te proclamará los nombres de los autores laureados en aquellos pliegos con- tenidos. 15. Los pliegos señalados con los mismos lemas que las Memorias dignas de mención honorífica, no se abrirán hasta que sus autores, conformándose con la decisión de la Academia, concedan su beneplácito para ello. Para obtenerle se publicarán en la Gaceta de Madrid los lemas de las Memorias en este último concepto premiadas; y, en el improrogable término de dos meses, los autores respectivos presentarán en Secretaría el recibo que de la misma dependencia obtuvieron como concurrentes al certámen, y otor- garán por escrito la venia que se les pide para dar publicidad á sus nom- bres. Trascurridos los dos meses de plazo que para llenar esta formalidad se conceden, sin que nadie se dé por aludido, la Academia entenderá que los autores de aquellas Memorias renuncian á la honrosa distinción que legíti- mamente Ies corresponde. 16. Los pliegos que contengan los nombres de los autores no premiados ni con premio propiamente dicho, ni con accésit, ni con mención honorífica, se quemarán en la misma sesión en que la absoluta falta de mérito de las Me- morias respectivas se hubiese decidido. Lo mismo se hará con los pliegos correspondientes á las Memorias agraciadas con mención honorífica, cuando en los dos meses de que trata la regla anterior, los autores no hubiesen concedido permiso para abrirlos. 17. Las Memorias originales, premiadas ó no premiadas, pertenecen á la Academia, y no se devolverán á sus autores. Lo que, por acuerdo especial de la Corporación, podrá devolvérseles, con las formalidades necesarias, serán los comprobantes del asunto en aquellas Memorias tratado: como mo- delos de construcción, atlas ó dibujos complicados de reproducción difícil, colecciones de objetos naturales, etc. Presentando en Secretaría el resguar- do que de la misma dependencia recibieron al depositar en ella sus trabajos como concurrentes al certámen, obtendrán permiso los autores para sacar una copia de las Memorias que respectivamente les correspondan. Madrid 5 de enero de 1876. =E1 Secretario perpétuo, Antonio Agilitar y Vela. N.° 2.° — REVISTA DE CIENCIAS. — Tomo XX. I CIENCIAS EXACTAS FÍSICA MATEMÁTICA . Teoría matemática de la Luz; por D. José Echegaray, indivi- duo de la Real Academia de Ciencias. ( Continuación .) 1.a Debemos eliminar x, y, z de F por medio de las tres relaciones x=y (t,u,v)\ y—'l(t,u,v); z = ty(t,u,v) (1) de suerte que tendremos F(x, y , z) — F [t, u, v),X(t, u, t>};^ ( t , u, v)J 2.a Supongamos que la primera integración se refiere á x: tendremos ~) ; 6" = ¿ (7,«¿, «), Los valores / — c; u = c; v = c' deducidos del 1.er sis- tema, forman los límites inferiores. Los t = d; u — d; v — d" deducidos del 2.°, los límites superiores. Núm, 71. Aplicaciones . 1.a Supongamos la integral doble pV U= I / «/) dx, dy , J a J b en la que x, y representen dos coordenadas rectangulares de un punto del plano de las [x,y], y supongamos que á estas coordenadas se trata de sustituir otras dos t , «¿ rectangulares también; tendremos x = t eos. a — «¿sen. a y = f sen. a + «¿eos. a; y por lo tanto (núm. 68) a t + b’u + cv’ J d J eJ f a" t q- b'u ~|~ c'u) dt . du . dv ; luego en el caso particular de que se trata, basta eliminar x , y , del coeficiente /A y sustituir á dx , dy, dz , el produc- to di, du , cto. j\%m. 73. A esta misma consecuencia podría llegarse di- rectamente por consideraciones análogas á las del ti«m. 72. Superficies polares recíprocas por relación á una esfera (*). A7?/??*. 74. Relación armónica. Cuando cuatro puntos a, b, c, d (fig. 21), están distribuidos sobre una recta xx de modo que entre los segmentos ca, cb , da, db contados con el signo que les corresponda según la direcciou que se considere como positiva en dicha recta xx, se verifica la relación da ~db ca cb se dice que estos puntos están en relación armónica, y á cada par de puntos a, b; c, d, se les dá el nombre de conjugados. Representando por a, c, b, las tres distancias da, de, db, tendremos ca^a — c ; cb -~-b — c ; da~a ; db — - b; y por lo tanto, la relación armónica se convertirá en a — c a b- c b (*) Véase para mayor claridad mi Tratado de Geometría superior. de donde U ab — cb — — ab + ac, ó bien ca , ó íi nal mente que también puede presentarse bajo esta forma: i , * 1 = a + T • (2) C 2 La ecuación (2) define como la (1) la relación armónica, y puede enunciarse diciendo que la relación inversa de la dis- tancia de un punto al conjugado es igual á la semisuma de las relaciones inversas del mismo punto á los otros dos. Núm. 75. Si cuatro puntos a, b, c, d [ftg. 22), en relación armónica, se proyectan sobre otra recta x ' x , ó sobre un pla- no p p, las proyecciones a\ b\ c\ d\ que evidentemente esta- rán en línea recta, forman, como los puntos dados, una rela- ción armónica. En efecto, se sabe que di a! d a d! c} dr b ' . . — — - — ~ constante =s= m , de d b ó bien abreviadamente, a1 ¿ b' — = — = — = constante = m, a c b de donde 57 a'~am; c =cm ; b' ~bm. (3) Puesto que los puntos a , b, c, d, están en relación armó- nica, tendremos 2 c 1 a 2 y dividiendo los dos miembros por m, am bm ¿ 1 a' ~|L 7 , 2 7 2 luego los puntos a\b\c,d' también están en relación ar- mónica. Núm. 76. Generalización . Supongamos que sobre la rec- ta (fig. 21) hay dos puntos c, d, y las abscisas db=b, da = a de otros dos, contadas desde d como origen, son es- presiones imaginarias conjugadas b — m — n V — 1 ; a = m + n \J — 1 ; en este caso no existirán los puntos a y b, pero por estension se dice que entre los dos puntos reales c, d, y los dos imagi- narios, existe relación armónica si se verifica 1 J_ m + n y/ G + 1 m — n \/ — 1 58 Que esta igualdad es posible siendo c cantidad real es evidente, porque tendremos J m c mr + u2 ecuación entre cantidades reales. Núm.ll. Polos y planos polares. Problema. Sea O (figu- ra 23) una esfera de radio r , y D un punto cualquiera inte- rior ó esterior. Tracemos una secante DA; supongamos que corta á la esfera en dos puntos A, B, y determinemos el pun- to C conjugado armónico con D . Es evidente que variando la secante variará el punto C, y se trata de determinar el lugar geométrico de dichos puntos. Resolución. Tomemos D como origen de coordenadas; DO por eje de las z, y Dx, Dy, perpendiculares k Dz y entre sí, por ejes de las x y de las y. La ecuación de la esfera, haciendo DO=^d , será x*+tf + (z-dy = r\ (1) y las ecuaciones de la secante arbitraria DA x = az; y = bz, (2) en las que a y b son dos constantes arbitrarias que determi- nan la posición de la secante según el valor que reciben. Supongamos, por último, que Da es la proyección sobre el plano zx de dicha secante: Db' y Da! serán los valores de z para los puntos de intersección B , A. Hagamos Db' = z ; Da! = z”; Dc'=Zi. Para determinar los valores de sr y z" debemos eliminar x e y, entre las ecuaciones (1) y (2), y tendremos a* 2* + 6*2* + (s — d)2 = r\ 59 ó bien (a\ + b' + 1 )z2 — 2 dz + d2 — r 2 = O . Las dos raíces de esla ecuación serán sF y z" , pero haga- 1 mOS 3 = y . La ecuación resultante 2 d ^ , ¿i2 -j- d2 íl2 — r2 ' T ~d* — r*~ 0 tendrá por raíces — >- y — tt> y por lo tanto & Z ; 2^ > — ?'2 ’ ■ Pero si los puntos D, B, C, A, están en relación armónica también lo estarán (mím. 75) los Dt b\ c , a ; luego y por lo tanto 1 ó bien De aquí se deduce esla consecuencia importante: que la zi es constante para todos los puntos del lugar geométrico, y que, por lo tanto, dicho lugar geométrico es un plano perpen - 60 dicular á la reda OD trazado á la distancia d— — del punto D ó á la distancia — del centro de la esfera . Al punto D se le da el nombre de polo , al plano que he- mos hallado el de plano polar, y vemos que el plano polares perpendicular á la recta que une el polo al centro de la esfe- ra, y su distancia d! al centro está determinada por la rela- ción Núm. 78. Puede también decirse que el polo , la esfera y el plano polar dividen armónicamente todos los secantes que pasan por el polo; y nótese que la definición es general aun- que la secante no corte á la esfera, porque si bien en estas hipótesis las dos raices de la ecuación en £ serán imaginarias, siempre subsistirá la relación 1 _ Id s" “ d2 — r2 ’ y podremos aplicar lo expuesto en el núm. 76. Núm. 79. Nada mas fácil que determinar el plano polar dado el polo, ó recíprocamente. l.° Supongamos que el polo D (fig. 24) es estertor á la es- fera; trazando desde dicho punto una tangente DT, y bajando desde el punto de contacto T un piano PP perpendicular á OD, este será el plano polar. En efecto, si trazamos TC perpendicular á OD, tendremos Oí - ^ OD X OC, ó bien OC = R 2 OD 5 luego PP es el plano polar buscado {núm. 77). 2.° Si el polo D es interior (fig. 25) basta hacer pasar por OD un plano, levantar en D una recta DT perpendicular á 61 OC, y por el punto en que T corta á la esfera trazar, siempre en dicho plano, TC tangente á la circunferencia intersección del plano secante y de la esfera. Trazando por C un plano PP perpendicular á OC , ob- tendremos el plano polar. Por construcciones análogas hallaríamos el polo dado al plano polar. Núm. 80. Problema. Sea (fig. 26) x1 + y2 + s2 — f la ecuación de una esfera, y X eos. a y eos. (i + s eos. y — p — 0 la ecuación de un plano PP que dista p del origen, y cuya normal forma con los ejes ángulos a, ¡3, y. Se trata de determinar las tres coordenadas xit ylt zlt del polo. Resolución. Bajemos OA perpendicular sobre PP , y de- terminemos en esta recta el punto B de modo que se tenga El punto B será el polo buscado, y sus coordenadas serán Xl~OB COS. a ; yl = OR COS. ¡3 ; s, — O/? COS. y, ó bien #I = — COS. a ; ylz= — eos. 3 ; — -eos. y. (4) p p p 62 Estas ecuaciones pueden aún escribirse bajo la forma _ = -1±- Ú L£i_ = . (4f) eos. a eos. p eos. y p Núm. 81. Observaciones. 1.a Si el rádio de la esfera es igual á 1 . podrán escribirse las ecuaciones anteriores bajo esta forma: x i * y i ___ z i 1 eos. a COS. P eos. y p 2.a Si la ecuación del plano tiene la forma general ' «r ax + by + cz — d — 0, á las ecuaciones (ir) deberán sustituirse estas otras: x i y i z i r 2 a b c d En efecto, se sabe que eos. a = ; eos. p— — — ; \/ a2 + b2 + c2 V a2 + ó2 + c2 c eos. y ~ , n/^2 + b2+V y que la distancia p del origen al plano está dada por la fór- mula d V a 2 + b2 + c2 63 y sustituyendo estos valores en (4r), resultará: Xi y i _s_i a b ~ c_ \/ a 2 4" b2 c2 \/ a2 -¡- b2 -j- c¿ \/ a2 -f- b2 c 2 r2 ~~ ~ ~ ’ v/ a2 + b2 + c2 ó bien suprimiendo el radical x i ___ y í __ z i __ r 2 a b c d Num. 82. Supongamos que por un punto A pasan tres planos AP, AP\ AP'f, y determinemos, respecto á una esfé- ra O , los tres polos correspondientes p, p\ p Si por el punto A y por cada uno de los tres polos hace- mos pasar tres secantes Ap , Ap, Ap", es evidente que lase- cante Ap quedará dividida por el plano AP, la esfera y ei punto p en relación armónica, y otro tanto podremos decir de las secantes Ap\ Ap" . Resultan, pues, tres secantes que parten de un punto A, y que en los puntos p, p , p”, que- dan divididas armónicamente. De aquí se deduce que el pla- no QQ " que pasa por dichos tres puntos, es el plano polar del punto A por relación á la esfera. Queda, pues, demostra- do el siguiente Teorema. Cuando tres planos pasan por un punto A, el plano que determina los tres polos es plano polar de dicho punto. Núm. 83. Superficies polares recíprocas. Imaginemos que las cuatro constantes a, b, c , d, de un plano ax 4- by + cz 4* d “-0- 64 dependen de dos parámetros variables a, (3, de suerte que ia ecuación anterior es de la forma ■/(«.?)■*+ a («; ?)»+/■• («. P) * -i- a («. p) = o. A cada sistema de valores a, ¡3, corresponde un plano, y la envolvente de todos ellos es, según se sabe, una superficie S, cuya ecuación se obtiene eliminando a, ¡3, entre las tres ecuaciones ax + by ~j~ cz -)- d — 0 da db de dd da db de dd ~7px + ~w + dp + dp {Se continuará.) RESOLUCION GENERAL DE LAS ECUACIONES NUMERICAS. Continuación. ) CAPITULO I. Resolución de la ecuación numérica del grado n, cuyas n raices son reales y desiguales. §. l.° Enunciado de la cuestión. Si representamos por * a2, a 3, an, n números, enteros ó fraccionarios ó irracionales, positivos ó negativos, la ecuación general numérica del mismo grado n podrá escribirse de este modo: (1) 11 — {— ct 4 ¿t, n 1 — cz. 2 11 2 — ..... -j- a? -(- an = 0 . Y si por ■ a j ~ “ b , c y • • . . • k t /, designamos los n valores de x que, sustituidos en esta ecua- ción en lugar de la incógnita, pueden satisfacerla, ó las n, comunmente denominadas, raices de la ecuación propuesta, en vez de la expresión (1) podremos escribir esta otra: (2) (x + a) (x + b) (x + c) {x + k) {x + 0 — 0 5 TOMO XX. 66 No precisamente los valores de xt sino estos valores to- mados con signo contrario, ó los segundos términos de los bi- nomios componentes del anterior producto, recibirán en lo su- cesivo el nombre de raíces de la ecuación que se traía de re - solver. Más natural sería lo primero; pero lo segundo, sobre oo producir complicación alguna, merece, como inmediata- mente se advertirá, preferencia en la práctica. Las n raices -j- «, -\-b, + c, ..... -f- /, dependientes de los coeficientes conocidos ai > a2 , a 3 au , y que nos proponemos determinar con el mayor grado de aproximación posible, serán según los casos: Reales todas; ó todas imaginarias conjugadas , de la forma m=±=n \J — 1 ; ó reales unas é imaginarias las demás. Y, de cualquier especie ó forma que sean , podremos su - ponerlas: Desiguales todas; ó, en totalidad ó en parte, muy poco discrepantes unas de otras, iguales casi, y hasta de idéntica expresión. En este capítulo examinaremos el caso más sencillo, ó aquel en que las n raices de la ecuación propuesta sean rea- les y propia ó sensiblemente desiguales. §. 2." Principio fundamental del método. Designando abreviadamente por [a], [ ab ], [abe], [abc.....l], las sumas de las n raíces a,b, c — , y de todos sus produc- tos binarios, ternarios, cuaternarios, etc., etc., unos de otros distintos por alguno de los factores componentes, la ecua- ción (2), equivalente á la (1), podrá representarse de este otro modo: (3) -\-\ab]xn™2-\-[abc]xia~3-\-. ... -f- + [abe k] [abe , . . . . Id] = 0'. Y si de esta ecuación, por cualquier procedimiento, dedu- jésemos otra , cuyas raíces fuesen las potencias m de las a, b, c /, su composición podría análogamente expresar- se como sigue: (4) x* + [am] xn ~l+[am bm]+xn ~ 2 +|>m bm cm] x n ~ 8 + . . . . . + +[ambmcm km ] x+[am bm cm ..... km lm]~ 0. Mas en el doble supuesto de ser m numero entero muy elevado y como indefinidamente grande, y de hallarse las n raices de la (3) relacionadas conforme la siguiente serie de desigualdades indica, a > b > c > k ^ /, 68 la última ecuación propende á confundirse con esta otra, mucho más sencilla: (5) xn + amzn-' -f- am bm &n _ 2 + am bm cm xü ~ 3 + + am bm cm /ni = 0. En efecto, si a > b> c >/, infiérese que b 1 c 1 d __ 1 T+r ; a ~ i + /*’ : T~ i i + r ' A < A' < A" < De donde se deduce que Am 1 cm 1 dm 1 __ a m v 1 4- wA ’ am < 1 +wA ’ am 1 + mA y, por lo tanto, que bm + cm + dm.. ... w 1 am ^ 1 -f- mh El numerador del segundo miembro de esta desigualdad es un número finito, y generalmente pequeño, que solo de- pende del grado de la ecuación que se trata de resolver; y, por el contrario, el denominador puede aumentar indefinida- mente con m, ó con el exponente arbitrario de la potencia á que en la ecuación (4) se encuentran ó suponen elevadas las raíces de la (8). Luego la suma 69 representa, conforme m crece, una cantidad cada vez menor, y, por último, insignificante ó despreciable con respecto al solo término am. A este primer término queda, pues, reduci- da la suma total, representada por el símbolo [ am ]. Y del pro- pio modo se demostraría que las sumas análogas [am bm ] , [am bmcm ] propenden á confundirse con sus primeros términos ambm, ambmcm, . Aunque no con demasiada propiedad, ampliando un poco el significado de la palabra límite, diremos en adelante que el de la ecuación (4) se halla representado por la (5).— El uso de la palabra límite, prévias las precedentes explicaciones, no pa- rece que deba sernos prohibido en éste y otros casos análo- gos, como medio de simplificar el lenguaje y abreviar los razonamientos. Adviértase ahora que si de la ecuación (1), y sin el cono- cimiento prévio de las raíces a,b, c...... lográsemos deducir otra, equivalente á la (4), y averiguar luégo cuál es la ecua- ción (5) hácia la cual la última converge, la (1) podría darse por resuelta. Dividiendo, en efecto, unos por otros, — el tercero por el segundo, el cuarto por el tercero, etc., etc.,— los coefi- cientes de la ecuación (5), obtendríanse las potencias m de las n raíces buscadas; y una simple operación aritmética, que podría verificarse con auxilio de las tablas de logaritmos, completaría la investigación de las mismas raíces. Lo único que, si el exponente m fuese número par, quedaría indeter- minado todavía, sería el signo de estas raíces; pues, positivas ó negativas, todas producirían el mismo resultado elevándo- las á la potencia m. Pero, después de hallados sus valores absolutos, por división de los coeficientes de la ecuación (5) en el orden referido, y extracción de las raíces m de los co- cientes resultantes, los signos que deben precederlos se de- terminarán con auxilio de las diversas condiciones á que de- ben satisfacer, y que la ecuación (1) comprende y claramente 70 expresa. Lo importante y hasta de necesidad absoluta es ave- riguar cómo de esta ecuación se pasa á la (4), y luégo á la (5), que en sí contiene y compendia la solución completa del pro- blema. §. 3.° Cómo de la ecuación propuesta puede concluirse otra cuyas ral- ees sean los cuadrados de las que se buscan. Si la transformación de la ecuación (1) en la (4) hubiera de hacerse forzosamente de una sola vez, ó como por un solo impulso de la mente del calculador, la cosa sería por extremo difícil y complicada. Pero la índole del problema de ningún modo exige que así se proceda; pues de lo que únicamente se trata es de obtener por de pronto una ecuación cuyas raíces sean las potencias m, por lo regular muy elevadas , de las raíces de la propuesta; y este número m, prescindiendo de su mag- nitud considerable, completamente arbitrario, de tal mane- ra puede elegirse, que al deseado término de la operación sea factible llegar, ó indefinidamente aproximarse, procediendo por grados, poco á poco, y con grandísima sencillez y pro- babilidad suma de acierto. Primero, en efecto, se deducirá, si así nos conviene, de la ecuación propuesta otra cuyas raíces sean los cuadrados de las que pretendemos determinar; otra luégo, cuyas raíces sean los cuadrados de las de la segunda, ó las potencias 2 2 de las mismas raíces incógnitas; y otra y otras sucesivamente, hasta donde fuere menester, cuyas raíces sean los cuadrados de las raíces de la ecuación anterior, ó las potencias 23, 2\ 25 de las raíces de la propuesta. La re- gla que nos sirva para verificar una transformación, nos ser- virá para todas las demás consecutivas; y el trabajo de cálculo lo será exclusivamente de tiempo y de paciencia. Y la regla para deducir de una ecuación otra, cuyas raíces sean los cuadrados de las de la primera , no puede ser más 71 sencilla y hasta fácil de conservarse en la memoria. En efec- to, si en la ecuación (1) Xn -j~ ccl x*~l +a2£n-2^a3a,n~3 _|_ + an= 0, i / sustituimos, en vez de la incógnita la expresión x ob- tendremos esta otra: n n — i n — 2 n — 3 x2 +ata? 2 + a2 x 2 + a3# 2 -j- = 0. La cual puede escribirse^omo sigue: n n — 2 n — 4 n — 6 X 2 + a2 X 2 + a4 x 2 + a6 x 2 + n — i 11 — 3 n — 5 n — 7 ~ *iX 2 —~cf.dx 2 — as x 2 —hiX 2 — ..... Y elevando al cuadrado ambos miembros de esta ecua- ción, pasando luego al primero los términos del segundo, or- denando y cambiando los signos de los términos de orden par , segundo, cuarto, sexto concluyese por último que: (6) ¿Cn+ai2 + 7 a & Xn - 2 _J_a32 3-j-a42 ¿cn-~4+ \ - — 2a2 — 2a,a3 — 2a2a4 — 2a3a5 - 1 +2a4 -J— 2<^2^6 + ( — 2a6 — - i -}“2a8 El cambio de signos indicado tiene por objeto asimilar 12 en un todo esta ecuación á la propuesta, equivalente á la (2): (ác+a) (x + b)(x-\-c) (x-{-l) = 0. Pues sin el cambio, la (6) equivaldría á (x~~~a2) ( x~~b 2) {x — c2) (x — /2) = 0, y, verificada aquella mutación de signos, equivale á (■ x + a 2) (a? +6*) (¿c+c2) . ... (a? + /2) — 0: con lo cual se gana más que se pierde en la práctica ó aplica- ción del método que vamos exponiendo. Comparando con la ecuación (1) la (6), dedúcese que «un coeficiente cualquiera de esta última es igual al cuadrado del coeficiente del mismo orden ó lugar de la primera; menos el doble producto de los dos coeficientes equidistantes, ó ante- rior y posterior, más próximos; más el doble producto de los otros dos coeficientes equidistantes inmediatos; menos hasta obtener un doble producto nulo , por corresponder al- guno de los factores á lugares extraños á la ecuación pro- puesta, anterior al primero ó posterior al último.» — En la aplicación de esta regla la ecuación que se trata de transfor- mar, siempre del grado n, debe considerarse como completa: para lo cual bastará suponer que los términos deficientes en- tre el primero y el último, que en los diversos casos par- ticulares pudieren existir, figuran en realidad como otros tantos términos precedidos del coeficiente común cero {*). (*) De la ecuación propuesta no solo puede deducirse con facilidad otra ecuación cuyas raices sean los cuadrados de las raices de la prime- ra, sino los cubos de aquellas mismas raices. Poniendo, en efecto, por x 73 §. 4.° Resultado final de la transformación explicada en el párrafo anterior , multitud de veces repetida. El arle ó manera de pasar de la ecuación (1) á la (4), queda con esto explicado; pero, y es lo importante, ¿cómo pasaremos de la (4) á la (5), ó en qué conoceremos que en al- i / la expresión x , la ecuación designada por (1) podrá considerarse como compuesta de estos tres distintos grupos de términos: n n — 3 n — 6 Á =X i * 3 -f a3£ 3 -f a6 x 3 + ; n — i n — 4 n — 7 B — %l x 3 -f-a4¿c 3 + a7 x 3 -j- ; y n — 2 n — s u — 8 C = a 2 X 3 + as X 3 -f as x 3 + Pero el cubo de la suma A -f- B -f- C, por ser esta suma igual á cero, se reduce á la siguiente expresión: A3 + £3-f C3 — 3, ABG= 0. Y como los cubos de A, B y C, y el producto de estos tres polino- mios, son evidentemente polinomios racionales con respecto á x, la proposición queda demostrada. La transformada final de la ecuación propuesta se encontraría algo más pronto por elevaciones sucesivas de sus raíces al cubo que al cua- drado, con la circunstancia favorable de que los signos de las raíces rea- les permanecerían invariables en el primer caso, mientras que en el se- gundo varían desde luégo y se convierten en positivos: lo cual dificul- ta la distinción de las raíces, de la última transformada deducidas. Pero la ley de formación de las diversas ecuaciones, encontradas por eleva- ciones al cubo, es tan complicada, que en la práctica debe preferirse el procedimiento de transformación del texto al indicado en esta nota. 74 guna de las ecuaciones transformadas sucesivas las raices de la propuesta, elevadas á la potencia m, se hallan ya separa- das, ó dispuestas en el orden en que la (5) las contiene en sus varios coeficientes? Para contestar á esta pregunta comencemos por advertir que si m > m, y la transformada, cuyas raices son las potencias m de las raices de la propuesta, posee ya esta composición: xn + am xn 1 + ambmx n~2 + + am bm lm = 0, aquella cuyas raices sean las potencias m con mayor moti- vo tendrá composición análoga, y podrá también representar- se de este modo: xl am' xn~i am’ ¿m» ^n-2 am’ = 0. 1, por lo tanto, si por A designamos el coeficiente de un término cualquiera, considerado en la primera de estas trans- formadas, y por A1 el mismo término en la segunda, con- cluiremos que /¡Ti lo°r. A Ám’ = A'm; ó m log. A = m log. Ar; ó - — = 'v ~—tt - m log. A Cuando, pues, los logaritmos de los coeficientes análogos de ambas ecuaciones posean la relación constante de los nú- meros m y m, entonces sabremos á ciencia cierta que ya he- mos obtenido una ecuación equivalente ó asimilable á la (o), y que, en consecuencia, la (1) puede ya darse en realidad por resuelta. Si m es una potencia del número 2 , como en la práctica m del método sucede, y rrí también, el coeficiente — - sera lll número entero; y, por lo tanto, Ar será una potencia ente- TYl ? ra, — , de A.— Luego, cuando en la práctica se advierta m que de una ecuación transformada á otra pasamos elevando al 75 cuadrado los coeficientes de la primera, inútil será prolongar la operación, pues habremos ya obtenido la (5), ó llegado al término final asequible de la serie de transformaciones que nos habíamos propuesto realizar. Pero, rigurosamente hablando, esto último no debe verifi- carse nunca, porque la ecuación (5) es como un límite hacia el cual convergen las transformadas sucesivas de la (1); y, por lo mismo, habremos de contentarnos en la práctica con una mera aproximación á este límite y resultado apetecido. Cuando, pues, en las aplicaciones de la regla formulada al final del §. 3.°, observemos que los doble-productos que, con los cuadrados de los coeficientes de una transformada, deben combinarse para deducir los coeficientes de la trans- formada sucesiva, son, si no nulos, muy pequeños, insignifi- cantes ya, ó despreciables, con respecto á dichos cuadrados , entonces será cuando podamos suponer deducida la ecua- ción (5), ó confundida casi con ella la que inmedialamenle le precede. §. 5.C Más detalles y aclaraciones sobre el asunto del párrafo que antecede . Mas al llegar á este punto surge de nuevo una dificultad, ya, en principio, poco antes considerada y desvanecida. ¿Dis- minuirán, en efecto, hasta ser despreciables, por último, los doble-productos mencionados , conforme, por la regla del §. 3.°, se vayan deduciendo las diversas ecuaciones, transfor- madas de la primitiva? — Indudablemente, ó no sería verdad lo concluido y demostrado en el párrafo anterior. Después de obtenidas, una tras de otra, varias ecuaciones de composición análoga á la designada con el número (6), lle- garemos á una que, si no es la (5), diferirá ya muy poco de ésta: á la siguiente, por ejemplo: (7) xn + {am + o,) x* - * 4- (am bm + S2) xn - 2 -f + (am6mcm+83) £n_3 + (ambmcmdm- f 84) — 0, en la cual 84, 82, 83 representan cantidades muy peque- ñas con respecto á los términos que en los diversos coefi- cientes de la ecuación les preceden, é indefinidamente decre cientes, con relación siempre á los expresados primeros tér- minos, conforme aumenta el expolíenle arbitrario m. Pues bien: un coeficiente cualquiera de la transformada sucesiva inmediata, el de xn~ 3, por ejemplo, podrá, en vir- tud de la regla de composición mencionada y resumida en la ecuación (6), expresarse entonces de este modo: (. am bm cm + o3)2 — 2 (am bm + 82) ( am bm cm dm + 8*) + + 2 (am + 8t) (am bm cm dm em + 85) — 2 (am bm cm dm em fm + 8e) . O, efectuándolos productos indicados y representando por A el conjunto de términos resultantes, dependientes de 84, 8S, 83 y que, con relación á los demás, tienen por límite cero, de este otro modo, algo más breve y explícito: a2m b2m c2m — 2fl9m b2m cm dm + 2 a*m bm cm dm em — 2 am bm cm dm emfm -f A. Y si ahora comparamos, prescindiendo de los signos, con el primero de estos términos, azm b2m c2n\ el segundo, con el segundo el tercero, y con el tercero el cuarto, hallaremos los tres cocientes que siguen; evanescentes todos, conforme aumenta m, en la hipótesis de hallárselas raíces ordenadas por su magnitud, según la ya expuesta condición preliminar indica: a > b> c> d Luego, si suponemos despreciable la cantidad A, los do- ble productos que deben combinarse con el cuadrado de ambmcm, para obtener el coeficiente de xn~ 3 en la nueva transformada que se busca, despreciables serán también, ó de valor relativo cada vez menor, comparados con aquel cua- drado, a2m62m c2m. Y, además, conviene advertir que, si en vez de comparar un término cualquiera, de los que en la última transformada componen el coeficiente de xn~z, con el que inmediatamen- te le precede, los comparásemos todos, segundo, tercero y cuarto, con el primero, obtendríamos estos resultados: Lo cual prueba, ó con suficiente claridad indica, que, en el paso de una transformada á otra, la corrección que al cuadra- do de un coeficiente de la primera debe aplicarse para com- poner el coeficiente del mismo término en la segunda, depende principal, si no exclusivamente, del doble producto de los dos coeficientes más inmediatos, anterior y posterior, al coe- ficiente cuyo cuadrado pretendemos corregir. Apuremos todavía un poco más el asunto: y para ello con- tinuemos suponiendo que, deducidas ya unas cuantas ecuacio- nes transformadas de la primitiva, sean, en efecto, desprecia- bles las correcciones procedentes de los otros doble produc- tos que la (6), símbolo de todas ellas, contiene; y que tam- bién entonces el conjunto de términos, poco antes designado por A, pueda considerarse como insignificante con respecto al primero de los explícitos, «2ra b2m c2m En este doble supuesto, muy aproximado, pero nada más que aproximado, á la verdad ó realidad de las cosas, para pa- sar de la ecuación (7) á la transformada análoga inmediata, bastaría elevar al cuadrado sus coeficientes y aplicarles las siguientes correcciones sustractivas y relativas: 2 y— J , al 2.°; 2 J > al 3.°; 2 j , al 4.°; etc., etc. 78 Y estas correcciones serán inferiores á cualquier cantidad / d \m pequeñísima, previamente asignada, siempre que, si 2 y—J representa la mayor de todas, el valor de m le determinemos por esta condición: en la cual la letra a designa el límite ó valor extremo del error relativo que en la composición de los varios coeficientes podemos todavía cometer. Si, por ejemplo, y como aplicación curiosa é importante de la última fórmula, suponemos que la relación de las dos raíces, ménos discrepantes una de otra, c y d, (c > d), es igual á 1.1, ó 1.01, ó 1.001..... concluiremos que la máxi- ma corrección, representada por será menor que 0.00001, en los tres casos propuestos, cuando m sea respec- tivamente igual á 27, ó 211, ó 214. Lo cual equivale á decir que, áun cuando la diferencia de las dos raíces más próximas ascienda por junto á una sola décima , centésima ó milésima parte de la menor, todas las raíces se hallarán ya separadas en la 7.a, 11.a ó 14.a transformada que de la ecuación primi- tiva se dedujere: ó comprendidas todas en una ecuación cu- yos coeficientes sólo diferirán de los de la (5) en una cien- milésima parte de su valor: ó en una millonésima , á poco más que apuremos el asunto por el mismo procedimiento. — Hasta en la última desfavorable hipótesis, la ecuación (1) puede, pol- lo tanto, con solo lo dicho, considerarse como muy aproxi- madamente resuelta. Mas, como para la separación y deter- minación de las raíces casi iguales expondremos en otro capí- tulo un procedimiento más racional y breve que el referido, nunca habrá que avanzar hasta punto tan lejano , y bastará casi siempre, para obtener la solución completa del proble- ma, detenerse en la 7.a, 8.a ó 10.a transformada de la ecuación primitiva. Práctica del método. — Advertencias que se deben tener presentes en el cálculo de las ralees de una ecuación . Las operaciones numéricas que la aplicación del método general demanda pueden verificarse, sin abreviación alguna, por las primeras y más sencillas reglas de la Aritmética; ó, más rápidamente y casi con la misma sencillez teórica, con auxilio de las tablas de logaritmos. Lo exacto es lo primero, pero no lo verdaderamente practicable y preferible; porque los coeficientes de las. ecuaciones transformadas sucesivas, en términos tales y con tanta rapidez aumentan de tamaño ó valor, que no hay medio de combinarlos unos con otros, por via de multiplicación y de suma ó resta, conforme la regla del §. 3.° pide, sin gran trabajo, considerable pérdida de tiempo y riesgo sumo de equivocarse, á cada paso ó momento. Mucho más bre- ve y factible es lo segundo, aunque no tan recomendable como lo primero en teoría: porque en las diversas ecuaciones citadas, que unas de otras se van sucesivamente desprendien- do, los verdaderos coeficientes se hallan reemplazados por otros que solo lo son aproximados; y, en el curso de las ope- raciones, los pequeños errores de las últimas cifras pudieran, tal vez, acumularse hasta producir en la postrera transformada otros errores de mayor cuantía, y acaso inadmisibles. Para disipar todo motivo bien fundado de temor sobre este punto, advirtamos, sin embargo, dos cosas: 1.a que, siendo los coeficientes de una transformada cualquiera aproximados á la verdad, por exceso unos y otros por defecto , en vez de acumularse propenderán casi siempre los errores á com- pensarse unos con otros en la transformada siguiente; y 2.a que, conteniendo las diversas ecuaciones, transformadas de la primitiva, las raíces incógnitas elevadas á una potencia, m, cada vez mayor, los logaritmos de estas raíces se deducirán 80 de los que á los coeficientes déla última transformada corres- pondan, dividiéndolos por este número m: lo cual reduce otro tanto los errores de que los logaritmos de aquellos coeficien- tes pudieran adolecer. En principio, corroborado por la experiencia, admítese como cierto que, si se opera el cálculo de las diversas trans- formadas sucesivas con logaritmos de 5, 7 ó 10 cifras deci- males, con otras tantas cifras, dignas de confianza, se logrará determinar los logaritmos de las raices de la ecuación pro- puesta: ó estas raices con grado de aproximación relativa ex- 1,1,1 presado por -y—, o o de su propio valor. Preferible será, sin embargo, cuando esto pueda hacerse sin grave inconveniente y notable incremento de trabajo, com- binar uno con otro ambos procedimientos de cálculo referi- dos, directo y aproximado ó logarítmico: calcular, por ejem- plo, las dos primeras transformadas, sin abreviación ni error ó incertidumbre de ningún género; con auxilio de los logarit- mos de 6 ó 7 cifras decimales, las dos que siguen; y de solas 5 cifras las demás, hasta llegar á la última. — La multiplicidad de casos que pueden presentarse en la práctica impide prefi- jar, en términos bien precisos y concretos, lo que en cada uno de ellos deba ó convenga hacerse. §. 7-° Regla de Newton para corregir los valores aproximados de las raices , ya deducidos por el método de Grciffe. Suponiendo ya separadas las raices reales de la ecuación propuesta y determinados sus valores con el grado de aproxi- mación que el uso de las tablas logarítmicas de cinco cifras de- cimales permite obtener, por la sencillísima regla de Newton, infalible cuando se trata de raices propiamente desiguales, ó 81 cuando un número es valor aproximado de una sola y no de dos ó más raíces, podrá ampliarse aquella primera aproxima- ción hasta la 9.a ó 10.a cifra decimal, por ejemplo. Esta re- gla, en todos los tratados de Algebra contenida, se demuestra y formula del siguiente modo, adecuado al cálculo logarítmico. Representemos abreviadamente por f(x) el primer miem- bro de la ecuación propuesta; y desde luégo podremos escri- bir lo que sigue: (8) f(x) = Xn + at X*~l -f a2 #n“2 + ..... + an = 0. Designando por x0 el valor aproximado de x, ya conoci- do, y por Aj?0 la corrección que tratamos de calcular, en vez de la ecuación (8) podremos escribir ésta otra: (9) f[x o + ^o) = f[x o) -f* t±x0 X f (Xo) + = 0. La cual, aproximadamente, ó despreciando todos los términos que en el primer miembro se hallan multiplicados por poten- cias de A¿r0, iguales ó superiores á la 2.a, se reduce á ésta: (10) f(x o) + A#0 x f (a?o) — 0. Pero lo que necesitamos hallar no tanto es la corrección del valor x0 como la de su logaritmo, A log. x0 ; puesto que, procediendo como en el párrafo anterior hemos indicado, lo que inmediatamente se obtiene es el valor de log. x0. Pues bien: despreciando asimismo los términos multiplica- dos por las potencias, superiores á la primera, de A¿r0, y re- presentando por M el módulo de los logaritmos vulgares, ó el número 0.4342945 , cuyo logaritmo es igual á 1.6377843, sábese parecidamente que (11) A log. Xo — log. ($0 + A#o) — log. Xo — TOMO XX. 6 82 Y, combinando una con otra las dos ecuaciones (10) y (11), concluyese, en fin, que ó A log. Xo — Xo f (Xo) X M; (1 2) A log. Xo — — X M , v ; ° [nx oa] si con los símbolos [#0Q] y [nx0n] representamos estos dos polinomios: [x0n] — ¿Pon + a-i Xo*-1 + an-iáPo + 4 í y [» #0n] — W íTo11 + (w 1) ai ^o11"1 +•••■• + an-i : el primero de los cuales necesitamos formar ó calcular siem- pre para cerciorarnos del grado de aproximación de x0 ; pu- diendo luégo deducir el segundo del anterior por la simple multiplicación de todos sus términos respectivamente por la serie de números n , n — 1, n — 2 1 y 0. Obtenido,, en suma, el log. x0 con 5 cifras decimales, de la fórmula (12) deduciremos la corrección que debemos aplicarle para obtenerle con 7; y muy rara vez en la práctica será me- nester prolongar todavía más la operación. Pero, en caso de necesidad, repitiendo con el valor ya corregido las operacio- nes que la misma fórmula (12) indica, se hallaría un nuevo valor de log. x0 , aproximado hasta la 10.a cifra decimal. 83 §. 8.° Aplicación de todo lo expuesto á la resolución de varios ejemplos. Con objeto de aclarar un poco lodo lo que precede, pro- pongámonos, antes de seguir más adelante, resolver, por el método general expuesto, algunas ecuaciones muy sencillas. (a) — Y, en primer lugar, consideremos la ecuación pro- puesta por Lagrange en el Capítulo 1Y de su célebre Tratado de la Resolución de las Ecuaciones Numéricas, para exponer y aplicar su método , y posteriormente reproducida en casi to- dos los tratados de Algebra franceses, en el capí lulo consa- grado al mismo asunto: ¿f3 — 7^ + 7 = 0. Para resolverla por el procedimiento en las páginas ante- riores referido, necesítase, por de pronto, completarla , ó es- cribirla de este modo: (2o) x* -f 0 . o?2 — 7 x-\- 7 — 0. Como los coeficientes son muy pequeños, y fáciles de combinar unos con otros por la regla del §. 3.°, las dos primeras transformadas, cuyas raíces son respectivamente iguales á los cuadrados y cuartas potencias de las raíces de la ecuación primitiva, se deducirán inmediatamente, ó prescin- diendo de las tablas de logaritmos. Estas dos nuevas ecuacio- nes son las siguientes. (21) z3 + 14#2+ 49 49 — 0 , Y (22) x* + 98 xi + 1029 x + 2401 = 0. 84 En vez de la última ecuación, puesto que ya sus coefi- cientes son un poco grandes ó considerables, y las operacio- nes sucesivas de transformación de la ecuación propuesta se complican por este motivo, escribiremos esta otra, meramen- te simbólica, ó en la cual los coeficientes de la anterior se ha- llan reemplazados por sus logaritmos, aproximados hasta la 6.a cifra decimal. (22) ¿e3 + 1.991226 ^ +3.012415 ic + 3.380392 = 0. Para formar el coeficiente del segundo término de la si- guiente transformada será menester ahora: Multiplicar por 2 el logaritmo 1.991226; Sumar con 3.012415 el logaritmo de 2 , igual á 0.301030; Buscar en las tablas logarítmicas los números 9604 y 2058, correspondientes al producto 3.982452 y á la suma 3.313445; Bcsíar del primero de estos números el segundo; Y buscar el logaritmo, 3.877717, de la diferencia, que será (§. 3.°) el coeficiente que nos habíamos propuesto deter- minar. Para deducir el coeficiente del tercer término, será preci- so análogamente: Multiplicar por 2 el coeficiente 3.012415; Sumar el logaritmo de 2 con la suma de ios coeficientes 1.991226 y 3.380392; Buscar en las tablas los números exactos ó aproximados , correspondientes á este producto y esta suma, 1058840 y 470596; Restar del primero el segundo; Y buscar el logaritmo, 5.769557, correspondiente á su diferencia. Y, en fin, para deducir el último coeficiente de la tercera transformada, ó el término independiente de la incógnita x, bastará duplicar el último de la anterior. Luego , en suma , la ecuación cuyas raíces son las octavas 85 potencias de las de la propuesta podrá simbólicamente repre- sentarse de este modo: (23) #+3.877717 ®+5. 769557 ^+6.760784=0. Y, análogamente, se deducirá luégo que (24) #+ 7.746367 #+11.413345 a+13. 521568— 0; (25) #+15. 492662 #+22.802010 ^+27.043136=0; y (26) #+30, 985324 #+45.603276 ^+54.086272=0. Si de esta última transformada intentásemos pasar á la si- siguiente, designada por el símbolo (27), que recuerda la po- tencia á que las raices de la ecuación primitiva se encontra- rían en ella elevadas, tendríamos por de pronto que: Multiplicar por 2 el logaritmo 30.985324, y buscar el nú- mero correspondiente al producto, el cual constaría de 62 ci- fras enteras: seis ó siete significativas , que tomaríamos de las tablas, y 55 ó 56 ceros que deberíamos suplir mentalmente para completar el total de guarismos; Sumar con el logaritmo 45.603276 el de 2: lo cual nos daría un logaritmo , cuya característica sería 45 , correspon- diente á un número de 46 cifras; Y restar del primero de los números encontrados el se- gundo. Pero, restando de un número de 62 cifras otro de 46, ni áun de bastantes más, las siete primeras de la diferencia serán las mismas siete del minuendo. Luego, limitándola aproxima- ción á la que pueden suministrar los logaritmos de seis cifras decimales, el coeficiente del segundo término de la transfor- mada (27) se obtendría duplicando el segundo de la (26). — Y lo mismo se demostrará que, en el caso propuesto, pueden obte- nerse los coeficientes de los otros términos: por simples du- plicaciones de los correspondientes en la transformada ante- rior. 86 Concluyese, pues, que obtenida la ecuación (26), es inútil seguir más adelante; porque, si no exactamente, lo cual es de todo punto imposible, con suficiente grado de aproximación, hemos ya formado la ecuación en el §. 2.° designada por el número (5), la cual contiene la solución completa de la propuesta. En efecto, designando por a, b, c, las tres raíces busca- das, y limitando la aproximación á la 6.a cifra decimal en los logaritmos, sabemos ya que log. a26=30. 985324; log. (ab) 2 6 =45.603276 ; y log. (a6c) 2 6=54.086272. De donde se concluye sencillamente que log. a— 0.484146 ; log. 6=0. 228405 ; y log. c=0. 132547. Y, por lo tanto, que a = 3.04892 ; 6 = 1.69202; y c = 1.35690. Falta todavía determinar los signos de estas raíces. Mas, si en la ecuación á que corresponden en vez de x se sustitu- yen sucesivamente los valores aproximados 3.05, 1.69 y 1.36, inmediatamente se concluirá que la primera debe ser negativa, y positivas las otras dos. La doble condición expre- sa en la ecuación (2o), de que sea nula la suma de las tres raí- ces y negativo el producto, basta en rigor para determinar sus signos. Y si á los valores de a, b y c, directamente encontrados, les aplicamos las correcciones que la regla de Newton nos proporcionaría, sin dificultad teórica alguna, hallaremos en conclusión que a = — 3.048917340 ; b = + 1.692021472 ; y c = + 1.356895868. 87 (b)— De solución más rapida todavía que la ecuación pre- cedente es la que sigue, propuesta por Mr. J. Bourget en el número de los Nuevos Anales de Matemáticas , correspon- diente al mes de Enero de 1869 , como ejemplo muy apropia- do para poder en él apreciar el mérito de una muy pequeña, pero ingeniosa, innovación introducida en el método de New- ton, por Mr. Darboux. ¿c3 — 3¿r2 — 7¿r + 4=0. (2( Las dos primeras transformadas de esta ecuación son las siguientes: £3 + 23 x2 + 73 £ + 1 6 = 0 ; y £3 + 383 £2 + 4593 £ + 256 = 0. Reemplazando los coeficientes por sus logaritmos, la última puede escribirse de este otro modo: (22) £3 + 2.583199 £2 + 3.662096 £ + 2.408240 = 0. Y de ésta se deducen las dos siguientes; con lo cual con- cluye la operación: (23) £3 + 5.138315 £2 + 7.320136 £ + 4.816480 = 0; y (24) £3 + 10.275669 £2 + 1 4.640254 £ + 9.632960 = 0. Fácil, en efecto, seria ver que la transformada (2S) se desprende de la (24) por la simple duplicación de sus coefi- cientes logarítmicos. Luego en la (24) las raíces de la pro- puesta se encuentran combinadas unas con otras , como en la (5) del §. 2.°, las de la ecuación general (1). Por lo tanto: log. a16 = 1 0.275669; log. a16 bi6 = 14.640254; y log. a+ú16 c16 =9.632960. 88 De donde se deduce que log. 0=0.642229; log. 6=0.272781); y log. c=í.687044. Y a=L 38762; 6=1.87407; y c=0. 486457. La sustitución de estos valores, ó de otros más breves que les sean aproximados en la ecuación propuesta, basta para determinar los signos que deben precederlos: positivos los de la primera y tercera raiz, y negativo el de la segunda. Y si la aproximación directamente obtenida no se consi- derase suficiente, por el método ó regla de Newíon, expuesta en la primera parte del §. 7.°, sin modificación ó perfeccio- namiento alguno, se concluirá que a= + 4.387619058; b = — 1.874075531; y c = + 0.486456473. (c) — Resolvamos todavía , y será por ahora el último , otro ejemplo algo más complicado, y también más interesante, que los dos anteriores: el que sigue: (2o) £* — 80 £3 + 1998 £2 —14937 x + 5000 = 0. Las tres primeras transformadas de esta ecuación, dedu- cidas por la regla del §. 3.° y simbólicamente escritas, son: (2*) £*+3.3809345 £3+6.2073877 £2 +8.3077826 £+7.3979400=0; (2;) £*+6.4073993 £3+12. 2101035 £2 +16.6117161 £+14.7958800=0; y (23) £*+12.5163878 £3+24. 3840080 £a +33.2294317 £+29.5917600=0. 89 Y, llegados á esle punto, se advierte inmediatamente que los coeficientes de x* y de x° en la ecuación (24) se obten- drían por la simple duplicación de los mismos en la (23). Luego 23xlog. abe — 33.2294317; y 23X log. abcd = 29.5917600. De donde se deduce que log. d =í. 5452911; y d= 9.3509871 . La menor de las cuatro raices de la ecuación (2 o) queda con esto determinada; pero no las otras tres, que en la (23) existen ligadas todavía y como revueltas unas con otras. Para separar y determinar la raiz c basta deducir una transformada más de la ecuación primitiva: la (24) adjunta. (24) ¿c4+24. 7739141 ¿3+48. 7671899 z2 +66.4588634 #+59.1835200=0, De la cual se pasará á la (25) componiendo el coeficiente de x3 por la regla del §. 3.°, y duplicando los demás. Lué- go, á las relaciones que nos sirvieron para hallar el valor aproximado de la raiz d, podremos agregar esta otra: 24X log. ab = 48.7671899. Y de esta relación , combinada con la primera de las dos anteriores, se concluye sin dificultad el siguiente resultado: log. c = í .1057295; ó c = 12.75644. Pero el coeficiente de x3 no se obtendrá por simple du- plicación del mismo en la transformada precedente, hasta lle- gar á la transformada (28); y hasta entonces no lograremos 90 separar una de otra y determinar las dos raíces mayores, b v a. El trabajo de cálculo no es, sin embargo, demasiado pe- noso, conforme puede verse á continuación: (25) ¿c4 + 49.3729752 ^3 + 97.5343797 x2 + =0 (26) #4q- 98.6890126 ¡r3+ 195.0687594 + — 0 (27) íc4 + 197.3737428 x3 + 390.1375188 x* + = 0 (28) ¿*4 + 394.7474642 ¿r2 + 780.2750376 £2 +.....= 0. Y, con esto, de las expresiones 24 X log. 4|=48.7671899, y 28 X log. « = 394.7474042, se concluye finalmente que 6 = 32.06026 , y « = 34.83231. En las últimas cifras de los valores de a, b, c y d no debe abrigarse ilimitada confianza, ya porque en el curso de las operaciones aritméticas puede haberse cometido algún peque- ño error, ya porque el uso muy reiterado de las tablas de lo- garitmos no siempre permite que se abrigue con fundamento. Sustituyendo, pues, aquellos cuatro valores de «, 6, c y d en la ecuación (2o), con objeto de cerciorarse de su grado de exactitud, y corrigiéndolos luego por la regla de Newton, se hallará que los cuatro son positivos, é iguales en conclusión á estos: « = 34.832280288, ) £ = 12.756441794, ) y * 91 i. 9.° Carácter y trascendencia del método explicado. Advirtamos, para concluir, que á la resolución de las tres ecuaciones propuestas hemos procedido inmediatamente, sin detenernos á investigar los límites extremos entre los cuales las raíces podían estar comprendidas; ni, ménos, á separar unas raíces de otras: y hasta sin saber, ni preocuparnos previa- mente de averiguarlo, si las raíces serían reales todas ó si las habría también imaginarias. Por el método en las páginas anteriores expuesto, la sepa- ración de las raíces , la determinación de sus valores aproxi- mados, y la distinción de sus diversos caractéres ó especies, se efectúan por la misma regla y casi sin esfuerzo de la men- te, mediante una larga, pero muy sencilla, serie de operacio- nes, que cualquier mediano calculador puede verificar. Cuando todas las raíces son reales , ya hemos visto cómo se aíslan y determinan; y pronto nos convenceremos de que el procedimiento apenas experimenta modificación alguna cuan- do existen raíces mezcladas de ambas especies. Mas ¿por dónde inferiremos que la ecuación propuesta sólo contiene raíces reales, y que, por lo tanto, nos hallamos en el caso más sencillo de cuantos en la práctica pueden presentarse? Por el siguiente simplicísimo carácter: porque todos los coeficientes de todas las ecuaciones transformadas de la propuesta, que su- cesivamente se fueren obteniendo, hasta deducir aquella que prácticamente se confunda con la (5) del §. 2.°, serán enton- ces positivos. La ecuación propuesta equivale al producto, igualado á cero , de los n factores x-\-a, a? + 6, x-\-c..... y puede con- tener términos positivos y negativos , según sean los signos de a , b, c Pero su primera transformada equivale al produc- to de los n factores ¿r+a2, ¿r+62, x-\-c2 y, cualesquiera n que sean los signos mencionados, si aquellas cantidades son reales, lodos los términos serán necesariamente positivos. Y lo mismo sucederá y se advertirá en las transformadas sucesivas, cuyos coeficientes, además, propenderán hácia otros tantos límites determinados, si las raíces de la propuesta, prescin- diendo de sus signos, pueden considerarse como propiamente desiguales ó diferentes. Por los caracteres opuestos, como en el capítulo próximo procuraremos demostrar, se infiere precisamente la existencia de las raíces imaginarias . (Se continuará.) 93 VARIEDADES. Exposición de aparatos cientíñcos en el Museo South- Xensigton de Londres. Esta exposición debe principiar el l.° de abril de 1876 y terminar á fines de setiembre, devolviéndose después los objetos expuestos á sus dueños ó propietarios. Está exclusivamente dedi- cada á exponer no solo los instrumentos ó aparatos empleados en las in- vestigaciones científicas, sino también los que son propios para la enseñan- za. Se admitirán aquellos que tengan un interés especial, ya por los sabios que los emplearon, ya también por los descubrimientos que con ellos se han llevado á cabo. También se admiten los modelos, grabados y fotogra- fías de los instrumentos. Los aparatos se colocarán en la misma disposición que se emplean en investigaciones determinadas. Se adoptarán disposiciones especiales, siem- pre que sean practicables, para explicar el uso de los instrumentos. Pueden obtenerse modelos para hacer la descripción de los objetos que se quieran enviará la Exposición, pidiéndolos al Director del Museo South- Kensigton. (Londres S. W.) Una vez llenos estos modelos serán devueltos al instante á dicho Señor, el cual manifestará si los objetos son admisibles. El Museo no puede ser responsable de la pérdida y averías que ocurran. Todos los gastos de conducción corren á cargo del Museo. El Director del mismo espera confiadamente que, tanto los estableci- mientos como los particulares que posean instrumentos de grande interés científico, tengan la bondad de enviarlos á esta Exposición. He aquí ahora un extracto de la lista de los objetos que pueden ser presentados. Aritmética. Aparatos destinados á la enseñanza de la aritmética.— Máqui- nas de calcular.— Instrumentos para resolver las ecuaciones.— Reglas de cálculo. Geometría. Instrumentos usados para el grabado geométrico.— Pantó- grafos.—Máquinas para la descripción de curvas, y modelos de las descri- tas por ellas.— Modelos para facilitar el estudio de la geometría descripti- va.—id. para la enseñanza de la geometría de los sólidos, de la perspec. tiva, de la cristalografía.— Modelos estereoscópicos de la geometría de los sólidos. Medidas. De longitud.— Tipos, yardas, metros, etc.— Comparadores para 94 las medidas de longitud.— Cintas metálicas.— Micrómetros.— Nonius. -Cate» tómetros. De superficie.— Planímetros, etc. De volumen.— Tipos de litros, etc.— Bombillas y probetas.— Contadores de gas, de agua, etc. De ángulo.— Círculos graduados, teodolitos, goniómetros, etc. De peso.— Tipos de peso, kilogramos, etc. De densidad.— Frascos para el peso específico, areómetros, etc. De tiempo. — Relojes y péndulos, cronómetros, ampolletas, cronógrafos. De velocidad.— Máquinas de Morin.— Aparatos balísticos, etc. De fuerza.— Balanzas de resorte.— Id. de torsión. De trabajo.— Indicadores, dinamómetros, etc. Cinemática, Estática y Dinámica. Máquinas elementales.— Posición y movi- miento de un punto rígido ó de un sistema material.— Movimiento de un sistema de cuerpos.— Mecanismos elementales.— Trasmisión de trabajo.— Fuerzas mecánicas.— Instrumentos parala explicación de las leyes del mo- vimiento, como por ejemplo, péndulos, giróscopos, etc. Leyes de la presión de los fluidos; estabilidad de los cuerpos flotantes. Salida de los fluidos por orificios, y sus movimientos por tubos ó ca- nales. Trasmisión hidráulica ó neumática de la fuerza. Física molecular. Presión de la materia.— Tensión, compresión (piezóme- tro), torsión, flexión, relación entre el volumen y la presión.— Elasticidad de ios líquidos y gases.— Dureza.— Tenacidad.— Fragilidad.— Maleabilidad. Comunicación de la presión á través de los fluidos.— Presión del aire; sus con- secuencias y aplicaciones.— Barómetros.— Bombas.— Sifones.— Bombas de succión.— Aspiradores. — Niveles.— Presiones laterales, etc. Densidad. — Métodos para medir las densidades de los gases, vapores. Adhesión y cohesión.— Condensación délos gases en sólidos. — Resolu- ción de los gases en líquidos, mezcla de gases con gases (difusión), traspi- ración, absorción de los líquidos por los sólidos (capilaridad).— Absorción de los líquidos por los gases (evaporación).— Mezcla de líquidos con líqui- dos.—Endósmosis, difusión, diálisis.— Evaporación de los sólidos.— Mezcla de sólidos con sólidos (cementación). Acústica. Métodos geométricos, mecánicos y ópticos de demostrar las le- yes del movimiento de las ondas sonoras.— Interferencias. Generación del sonido. Propagación del sonido ú través de los sólidos, líquidos y gases. Velocidad del sonido. Revelación del sonido. Reflexión y refracción.— Trompetas y lentes acústicas. Luz. Producción.— Combustión, descargas eléctricas, etc. Medida de la intensidad, velocidad, etc. Acción de los cuerpos sobre la luz.— Reflexión, refracción, dispersión, acro- matismo, prismas de visión directa, polarización, absorción. Acción de la luz sobre la luz.— Interferencias, difracción. Acción déla luz sóbrelos cuerpos. —Fotografía, irradiación, fosforescencia. Calor. Orígenes de calor.— Químicos, eléctricos, dinámicos, solar, etc. 95 Efectos del calor sobre los cuerpos.— Cambio de temperatura, espansion y cambio de elasticidad. -Liquefacción y vaporización. Medidas de temperatura.- Termómetros, pirómetros, etc. Propagación del calor.— Calor radiante.— Reflexión, refracción, radiación, absorción, polarización, conducción.— Ventilación. Efecto del cambio de estado molecular de los cuerpos en la temperatura. — Mezclas frigoríficas.— Máquinas para hacer hielo. Efecto del cambio de presión y volumen.— Cantidad de calor, unidad de calor, calorímetros, calor específico, etc.— Calor latente. Equivalente mecánico del calor. -Métodos para determinarlo. -Investigacio- nes de termodinámica. Equivalente eléctrico del calor.— Método para determinarlo. Análisis de la radiación solar. Magnetismo. Imanes naturales. imanes artificiales permanentes. Electro-imanes. Métodos de imanación.— Efectos de la imanación. inducción magnética de todas las sustancias.— Diamagnetismo. Medida de la intensidad de la imanación. —Instrumentos para la Observación, y modo de registrar automáticamente los elementos magnéticos. Electricidad. Producción y conservación de la diferencia del potencial.— Máquinas eléctricas que actúan por fricción, inducción, etc.— Raterías galvánicas.— Pilas termo-eléctricas.— Máquinas electro-magnéticas.— Otros orígenes de electricidad, tales como la presión, capilaridad, endósmosis, etc. Manifestación y medida de la diferencia del potencial.— Electroscopios, electró- metros, tipos de fuerza electro-motriz. —Métodos de comparación. Acumulación de la electricidad.— Aisladores, condensadores, acumulado- res.—Distribución en los conductores. Medida de la cantidad de electricidad.— Balanzas de torsión.— Métodos para comparar los coeficientes de las capacidades eléctricas. Descubrimiento y medida délas corrientes eléctricas.— Galvanoscopios. --Gal- vanómetros, voltámetros, electrodinamómetros, etc. Resistencias.— Tipos de resistencia.— Métodos de comparar. Efecto de las corrientes eléctricas. — Producción de luz, calor.- Acción de los imanes sobre el hierro dulce.— Acción de las corrientes entre sí. Aplicaciones técnicas de la electricidad.— Telégrafos eléctricos, etc. Astronomía. Mapas de estrellas, catálogos, globos, sistemas planeta- rios, etc. Instrumentos meridianos. Medios de comunicar el tiempo. Teodolitos, sectores zenitales, sextantes, etc. Anteojos ecuatoriales de reflexión. Anteojos ecuatoriales de refracción. Mecánica aplicada. Propiedades de la materia. Motores primarios. Receptáculos de energía. Reguladores. Aplicación de los principios de la mecánica á la maquinaria. Ruques, arquitectura naval, obras de ingenieros navales. 96 * QUIMICA. Dibujos y modelos. Productos químicos, (a, orgánicos; b, minerales.) Aparatos para los laboratorios y en- señanzas. Id., para operaciones volumétricas. Aparatos de destilación y filtración. Id. para las operaciones por la via seca, tales como hornos, sople- tes, etc. Id. refrigerantes. Id. para el análisis espectral. Operaciones de esta naturaleza que pueden ser ilustradas, á saber: por Análisis orgánico. Análisis de gas. Análisis mineral. Análisis del espectro. Electrólisis. Métodos de investigación relaciona- Análisis de agua . dos con la vegetación y respi ración . Meteorología. Termómetros y barómetros de construcción especial, ane- mómetros, pluviómetros, hidrómetros, etc. Aparatos meteorológicos que se registran por sí mismos. Sistemas de señales para las tempestades. Instrumentos para observar los fenómenos de electricidad atmosférica. Geografía. Instrumentos usados en el levantamiento de planos. Instrumentos geodésicos é hidrográficos, incluyendo los hipsomélricos. Medida de mareas. Proyecciones, mapas, cartas, modelos y globos. Aparatos de sondeo. Geología y Minería. Instrumentos de campo, y planos subterráneos. Colecciones típicas de rocas. Fósiles típicos, clasificados estratigráíicamente. Modelos geológicos.— Secciones horizontales y verticales. Dibujos y cartones de fósiles. Secciones microscópicas de rocas, minerales, y aparatos para ejecutar estas secciones. Anemómetros, barómetros y termómetros para los mineros. Planos de minas, secciones y modelos de obras. Mineralogía, Cristalografía. Goniómetros. Aparatos para estudiar los caractéres ópticos de los cristales. Secciones para el exámen óptico de los mismos. Soplete y otros instrumentos portátiles para analizar los minerales. Colecciones y modelos de cristales, y aparatos para grabar sobre ellos. Colección de minerales destinados á la enseñanza. Biologia. 1. Microscopios con los aparatos accesorios para las investiga- ciones biológicas. 2. Aparatos fisiológicos para las investigaciones: a. Del crecimiento y movimientos mecánicos de los organismos vi- vientes y sus diferentes partes. b. Fenómenos químicos de los organismos vivientes. c. Fenómenos eléctricos de los mismos. d. De las funciones de los nervios y otros sistemas. 3. Aparatos para las investigaciones anatómicas. 4. Aplicaciones para la enseñanza biológica. V. 3.’ — REVISTA DE CIENCIAS. — Tomo XX. CIENCIAS EXACTAS. FÍSICA MATEMÁTICA, Teoría matemática de la Luz; por D José Echegaray, indivi- duo de la Real Academia de Ciencias . ( Continuación .) Supongamos Ires sistemas de valores para a, p: ñ (A a3 » i°3 infinitamente próximos, y obtendremos tres planos AP , AP\ AP" ( fig . 27), infinitamente próximos también, á los que corresponderán , por relación á una esfera O , tres polos p,p',p’\ formando un triángulo infinitamente pequeño. Pero á medida que a l5 ; a2, ¡3a; a3 , p3 tienden á ser iguales, el punto A se aproxima á su límite, es decir, se aproxima hácia la superficie S ; los planos P, P\ P", tien- den á confundirse en uno solo T íangente en A á dicha su- perficie S; los tres puntos p, p p\ se reúnen también en uno solo a (fig, 27 bis), que sera el polo del plano T , punto TOMO XX. 98 que es el límiíe de ios punios p, p , p"; y por último, el pla- no QQ' " ( fig . 27) toma una posición límite t (fig. 27 bis). Vemos, pues, que á cada punto A de la superficie S cor- responde un punto a , quesera el polo de su plano tangen- te T; y el lugar geométrico de los puntos a es otra segunda superficie s , que se llama superficie polar de la envolvente S. La superficie polar de una superficie dada S por relación á una esfera , es por lo tanto el lugar geométrico de los polos de todos los planos tangentes á la primera S. Núm. 8 L Notemos ahora que el plano t es el límite del QQ" , el cual contenía tres puntos infinitamente próximos p, p\ p" , que tendian á confundirse en uno solo a, pertene- ciente á la superficie, de aquí resulta que este plano t es tangente á la superficie polar s; y como el polo de / es el punto A de la superficie S, resulta que los puntos de esta son los polos de los planos tangentes de s , es decir, que S es la superficie polar de s; ó de otro modo, que las superfi- cies S y s son polares recíprocas. Fácil sería demostrar estas proposiciones de una manera rigorosa y analítica, pero creemos inútil para nuestro objeto entrar en mas desarrollos. Núm. 85. Sea A un punto de la superficie S y T el plano tangente en dicho punto: sea asimismo a el punto de s correspondiente al A y t el plano tangente en a de s. Según lo demostrado a será el polo de T, y A el polo de t: así (núm. 77) la recta Oa sera perpendicular á T , y OA perpendicular á t; además tendremos Oa X OP — r 2 ; O A X op =r 2 . Estas relaciones geométricas y analíticas son muy nota- bles, y de ellas haremos uso en la teoría de la luz. 99 Area de la elipse indicatriz. Núm , 86. Sea M ( fty . 28) un punto de una superficie convexa S ; O M la normal de dicho punto; M s una canti- dad muy pequeña 8; y AB el plano de la elipse indicatriz. Se sabe que el área del casquete AMA' tiende á ser igual á la de la elipse, es decir, , área casquete A M A' limite . = 1 : area elipse ABA pero si s A y s B son los semi-ejes de la elipse, se tiene , área elipse ABA = tz . sA . sB; luego, salvas cantidades infinitamente pequeñas de orden su- perior, área casquete A M A' — ^ . s A . s B. Ahora bien: m. s A Im 1 v lím. sB MB 1 por lo tanto: área casquete A M A1 '.±=n . M A .MB. Por último, representando por Ry R' los dos rádios prisv cipales de curavtura, se tiene aproximadamente MA2 = Mxo\ MB*%ZR'xk luego, finalmente, área casquete .4 M A’ = 2tc8\/ R R' . 100 Raices de ecuaciones fraccionarias . (Cauchy, Teoría de la luz. Memoria litografiada: agosto, 1836.) Núm. 87. Sea la ecuación — P = 0; (1) en la que x es la incógnita; a2,ó2,c2 tres cantidades esen- cialmente positivas; y Z, M, N, P cuatro cantidades cuales- quiera.^ Nos proponemos demostrar que la ecuación (1) tiene sus tres raices reales, y aun determinarlos límites en que se ha- llan encerradas. Examinaremos á este fin dos casos. l.er Caso. P > 0. Supongamos, para fijar las ideas, que el orden de magnitud de las tres cantidades L, M, N es el siguiente: L < M < N, y sustituyamos en vez de x las cantidades L + i ; M — i ; M + i ; N — i ; N + i ; + oe ; en las que i es una variable infinitamente pequeña. La sustitución x—-\~oc anula los tres primeros térmi- nos, y reduce la ecuación á — P; luego tendremos: Sustitución de x— +oe resultado negativo. 101 Poniendo en segundo lugar x—L-\-i, es decir, en vez de x, un valor infinitamente próximo á ¿, pero superior, resultará — + — ( p, i ^ L — M+i ^ L — N+i Los tres últimos términos son cantidades finitas, y el pri- mero es tan grande como se quiera, puesto que i entra en el denominador; luego el signo del resultado dependerá del de este primer término, y como es positivo, tendremos: Sustitución de x — L + i resultado positivo. Pongamos x = M — i y veremos como precedente que la expresión a2 , ó2 c2 M—L — i ^ — i M—N—i es necesariamente negativa; así: Sustitución de x = M—i resultado negativo. Análogamente veremos que Sustitución x— M + i resultado positivo . Sustitución x— N — i resultado negativo . Sustitución x ■= N + i resultado positivo. Podremos, en resúmen, formar el siguiente cuadro: Cantidades que se susti- tuyen en vez de x. . . . L-\-i 31— i M+i 1 N—CN+i + — + 1 + Signos del resultado . , . 102 De aquí se deduce inmediatamente que la ecuación tiene sus tres raíces reales: una entre L+i y M — i ó bien entre ¿ y I, otra entre, M-\~i y N—i ó bien entre M y N, otra tercera entre N é o© . 2.° Caso. P< 0. Por un procedimiento análogo al ante- rior tendremos: Cantidades que se susti~ tuyen á x __oc L^-4 L-\-i M—i yj/+¿ Signos del resultado . . . + — + — i rT de donde se deduce que la ecuación tiene tres raíces reales: una entre — o© y otra entre L y M , otra tercera entre M y N- Observación importante. Parece á primera vista que las raices reales son en mayor número, estando otras dos com- prendidas entre M — i y M -{• i, y N — i,N-\-i, ó L — i , L + i, cantidades que dan resultados de signos contrarios; pero nótese que si la ecuación cambia de signo al pasar x de M — i á M -\-i, por ejemplo, esto procede no del paso por cero, sino del paso por infinito para el valor x = M, lo cual no sucede en los tres intervalos de las tres raices finitas. mm imúTKA di la luz SEGUNDA PARTE. §. I. il ipóteüs general. Núm. 1. En toda teoría que se forma para explicar una serie de fenómenos naturales, es forzoso partir de ciertas hipótesis; si estas son numerosas, arbitrarias y complica- das, la teoría tiene pocas probabilidades filosóficas de ser verdadera ; si, por el contrario, las hipótesis son naturales y sencillas y están reducidas al menor número posible, es de creer que se hallen en armonía con las leyes de la naturale- za, que siempre son sencillas y armónicas. Precisamente esto sucede en la Teoría de la luz: la hipótesis es una, la existen- cia del éter; y dada esta hipótesis, todos los fenómenos de la Optica quedan reducidos á cuestiones puras de Mecánica. La existencia del éter es mas que una hipótesis, es casi un hecho, y multitud de pruebas pudiéramos aducir en apoyo de esta afirmación; pero debemos evitar digresiones y concretar- nos al gran problema de Física matemática que nos ocupa. El éter , sustancia eminentemente sutil y en estrenuo elás- tica, llena el espacio, se estiende entre los astros, penetra en los cuerpos y es el vehículo de infinitos movimientos que ex pilcan por leyes regulares y matemáticas buena parte de los fenómenos ópticos, caloríficos, eléctricos y magnéticos. Nada fijaremos respecto á su naturaleza, porque cuanto hubiéramos de decir sería puramente hipotético, y solo su- 104 pondremos, toda vez que la experiencia lo comprueba, que es eminentemente elástico. Expliquemos ante todo esta palabra elasticidad. El éter, sea cual fuere su esencia y su constitución, es sustancia material y se compone, por consiguiente, de mo- léculas. Entre estas moléculas existen atracciones ó repulsio- nes, en una palabra, acciones recíprocas que tampoco sabe- mos en qué consisten; sean el resultado de fuerzas abstractas, como las llama el P. Secchi, sean el resultado de movimien- tos internos y especiales, nosotros hacemos constar el hecho y decimos; entre cada dos moléculas a y b, suficientemente próximas, de la masa etérea, existe una fuerza f dependiente de la distancia ab , ó las cosas pasan como si existiera, es decir, como si la molécula a atrajese ó repeliese á la b , y esta á su vez obrara sobre a de la misma manera y en sen- tido opuesto, dependiendo ambas fuerzas de la distancia que media entre ambas moléculas. Ahora bien, si suponemos al éter en equilibrio, es evidente que las acciones que todas las moléculas que rodean á una mo- lécula determinada m , sea esta la que fuere, ejercen sobre ella, se destruirán; pero si suponemos que por efecto de una causa, que por ahora no decimos cual sea, sale esta molécula m de la posición que ocupaba, el equilibrio quedará perturbado en el acto: en efecto, habiendo variado las distancias de m á las demás moléculas, habrán variado las acciones que estas ejerzan sobre m; dichas acciones no se equilibrarán, y la molécula m, lejos de quedar en su nueva posición, se pondrá en movimiento; pero como si todas las moléculas que la ro- deaban estaban en equilibrio era por la reacción que m ejer- cía sobre ellas, habiendo variado por el cambio de m estas reacciones, dichas moléculas se moverán también. Respecto á cada una de ellas podríamos decir lo que hemos dicho res- pecto á m, y de aquí se deduce que nuevas moléculas, cada vez mas distantes de m, entrarán en movimiento. En resumen, en un medio como el éter formado por mo- léculas sujetas á atracciones y repulsiones recíprocas, el mo- vimiento de una molécula se estiende á toda la masa . Pero como suponemos que las moléculas cambian infini- 105 lamente poco de posición, y que el equilibrio del interior del sistema es de todo punto estable, todas ellas tenderán á sus po- siciones primitivas describiendo alrededor de dichas posiciones trayectorias infinitesimales. Es decir, que el movimiento será vibratorio como el del aire en el sonido, como el del agua en el mar, como el de una cuerda ó una membrana en los ins- trumentos musicales. En resúmen, al propagarse el movimiento inicial de una ó de varias moléculas á la masa, camina por esta el movi- miento vibratorio J la deformación , la palpitación por decirlo así, no las mismas moléculas del éter. Marcha, pues, la forma, no marcha la sustancia. Pues bien, la luz no es otra cosa que este movimiento vi- bratorio del éter, que desde el centro perturbado se extiende lodo alrededor. El problema general de la Optica queda reducido al si- guiente problema de Mecánica: Movimientos infinitamente pequeños de un sistema de mo- léculas unidas por atracciones ó repulsiones recíprocas , depen- dientes de las masas y de las distancias. La hipótesis no puede ser mas sencilla, mas natural, y por decirlo así, menos hipotética. La acción de la materia sobre la materia , ya á distancias suficientemente grandes, ya á pequeñas distancias, es un he- cho universal: la influencia de las masas y de las distancias en estas acciones es un postulado de toda la Astronomía , de toda la Física y aun de toda la Química; y por otra parte, ni Fresnel ni Cauchv fijan cuál sea esta función de la distancia, no lo necesitan para establecer las bases generales de la teo- ría óptica, y en lodo caso, sometiendo las fórmulas á la expe- rimentación, resultará cual deba ser. Hemos dicho que el éter es un fluido elástico, y que la luz no es otra cosa que el movimiento vibratorio de este fluido; entremos, pues, en el estudio de este problema de Mecánica. i 06 §• U. Ecuaciones diferenciales de los movimientos vibratorios. Niim. 2. Expresemos, ante todo, el equilibrio en un medio etéreo. Sea p. una molécula cualquiera (fig. 1.a); m, m las moléculas que la rodean; r, r las distancias de estas últimas á p.; y F la función de la distancia entre dos moléculas que expresa su acción recíproca. Si la molécula p-, por ejemplo, está en equilibrio, es por- que las acciones de todas las moléculas que la rodean m, m\ m" , y que se hallan comprendidas en la esfera de actividad a a ’ a'r de dicha molécula, se destruyen. Por lo tanto, para expresar el equilibrio de Sa molécula p. basta expresar la acción de otra molécula cualquiera m sobre ella, y descomponer esta fuerza en las direcciones de tres ejes; repitiendo esto mismo para todas las moléculas m\ m” comprendidas en a a a", é igualando á cero separadamente las componentes totales paralelas á x, y, z, tendremos escri- ta la condición de equilibrio de p.. La atracción ó repulsión de m sobre p. es proporcional á las masas y a la función F de la distancia r entre ambas; luego atracción ó repulsión de m sobre p»==3 cp = m p. F (r). Si presentamos por x, y , z las coordenadas de p y por xJrkx, y- f- A//? 2+ As las de m, es evidente que los co- senos de los ángulos que la fuerza \j.mF(r), cuya dirección es la de m p, forma con ios ejes, serán: A# A y &z x V z — , - , ; o bien — , , — - , r r r r r r haciendo para abreviar Así pues, 107 A# = x , \y = y, As == z . componente de cp paralela á a? == ^ == p. m componente de cp paralela á 1/ = cpy = p. m Fjr) r F(r) r x ; y ; componente de cp paralela á g ==yz=zy. m Y como — es una función de r , representándola, r para abreviar, por f, tendremos: (px = m f(r) x ; < py — p. m /(r) y ; cpz — -j. m f{r) z. Análogamente tendremos para las moléculas m', m" cp 'xF=pnri f(r')x ; cp"x— p.m" /*(r") x" cp'r —^mf(r) y ' ; cp'z — p.m />') z' ; cp"y=p.m'7(r")y"; y"¿=pni" ; Por último, las componentes totales de todas las molécu- las que rodean á p. sobre esta serán: x z= 0 ; Ny — 0 ; ^ 0 ; ó bien 108 mf{r) \-\-m' f(r') x' + m" f (r") x" + — 0 ™f(r)y+m' f(r')y' + m" f(r")y" + .....= 0 ) (1) rn f (r) z -f- m' f(r) i -f- m" f(r") z" + 0 j Por cada molécula m, m , m’n del éter comprendida en la esfera de acción a a a ", hay un término en cada ecuación de las tres del grupo (1); y si representamos por E la suma de todos ellos, suma que podrá considerarse como una integral atendiendo al numero infinitamente grande de moléculas comprendidas en a a a " y á la pequenez de las masas, tendremos para las condiciones de equilibrio de la molécula p-: hmf(r)x = 0 ; S mf(r) y — 0 ; S mf(r) z — 0 ; Núm. 3. La sigma se estiende, pues, á toda la estera a a a' , y de un término á otro varian en dicha suma m, r, y las tres longitudes x, y, z. Si las ecuaciones (Y) se verifican para todos los puntos de la masa etérea, el éter estará en equilibrio; y recíproca- mente para que el éter esté en equilibrio es preciso que dichas condiciones se verifiquen para todos los punios del interior de la masa. Respecto á los límites sería preciso obtener condiciones especiales. Nosotros suponemos por ahora que el éter se es- tiende hasta el infinito. Si conociésemos para cada punto de la masa la ley de va- riación de m, r, x, y, z y ios límites déla E, sería fácil, al ménos en teoría, establecer las condiciones de equilibrio. 109 Núm. i. Pero no es el problema del equilibrio el que nos interesa: este problema pertenece á la teoría de la elastici- dad. Debemos aquí ocuparnos esclusivamente de las vibracio- ciones del éter, y si hemos establecido las ecuaciones (lr) es porque el problema del movimiento se reduce siempre, en virtud del teorema de D’ Alembert, á una cuestión de estática, y porque además han de servirnos para simplificar las ecua- ciones generales del movimiento. Supongamos que una cierta estension de éter se halla en movimiento. Sea la posición inicial de una molécula, es decir su posición para l~o; y su posición en otro instante cual- quiera t. Sean asimismo x, y, z las cordenadas de p. y #+£, y-\-r\, £+? las del punto p/ : así, pues, 5, *o, £ son las variaciones de dichas coordenadas x, y, z en este intérvalo t. Resulta de aquí que 5, n, K son funciones de x,y,z y de t; y si para toda la estension etérea lográsemos deter- minar 5 = función de [x, y, z, t) \ 7) —función de (a?, y, z, t) > (2) £ — función de (x, y, z, t) J el problema del movimiento quedaria completamente resuello para toda la estension del eter, porque todos los elementos del movimiento serian de este modo perfectamente conocidos. Por ejemplo, para fijar en cualquier instante la posición de cualquier punto baslaria poner en (2) por x, y , 2 las coorde- nadas iniciales de dicho punto, y por t el valor que corres- ponde al instante que consideramos. La trayectoria de la molécula etérea se obtendría elimi- nando t> Las componentes de la velocidad diferenciando por rela- ción á t, las ecuaciones (2) una vez, y así sucesivamente. En resúmen, el problema principal del movimiento de 110 una serie dé puntos formando una masa etérea, está reducido á determinar los valores de £, ti, £ en función de las coorde- nadas iniciales x, y, z y del tiempo t. Núm. 5. Claro es que lanto da espresar £, v\, £ en fun cion de x , y, z, i, como las coordenadas totales del punto Obtenidas £, £, con agregar á estas x, y} z se tienen di- chas coordenadas referidas á O. Tomar á l, r\ , £ por varia- bles equivale á elegir por origen el mismo punto p. que con- sideramos, lo cual es mucho mas sencillo, porque la trayec- toria infinitamente pequeña de p. se separa muy poco de la posición inicial, toda vez que se trata en esta teoría de movi- mientos suficientemente pequeños. Núm. 6. El movimiento de p. depende de las fuerzas que sobre esta molécula actúan, y por lo tanto, de las posiciones de las moléculas m% m , que rodeaban á esta. Calcule- mos la acción que cada molécula m ejerce en un instante cualquiera sobre p. ; determinemos sus componentes, y las sumas de todas las comprendidas en la esfera de actividad de p. darán la fuerza aceleralriz. Componentes de las atracciones y repulsiones de las moléculas m, m sobre p.. — Sea m una molécula de las que rodean á p. y sea m también su posición inicial: m estaba en m cuando p. estaba en p. ( jig . 2."). p. vibra y pasa a [¿r, pero al mismo tiempo m también se mueve y pasa á m; ejerce, pues, una atracción ó repulsión sobre p.. distinta en magnitud é intensidad de la que ejercía cuando estaba en m y p. en p.. Ahora su intensidad es m p. /^(distancia p.' m). y si representamos por r la primitiva distancia entre p. y m, y por r -f p la nueva, resultará: acción de m sobre p.\ cp=: p. m F(r + p) . Su dirección habrá variado también y será p/ m' ; calcu- lemos los cosenos de los ángulos que forma con los ejes. 111 Las coordenadas de ^ son y + ?¡, z + S; las de m serán..,. # + £ + A# -j- A; , y + ri + % + Ar, z -}- £ -{- As A?; Hepresenlando por A#, Aiy, As los incrementos x, y, z al pasar de p. á m; y por Ai, Arj, A? los de Í, ti, £ al pasar del mismo pun- to p- al m. Es decir, y esto es regla general, que la característica A indica el paso en un mismo instante de un punto á otro de la masa etérea, ó mejor de una á otra molécula, y las demás le- tras griegas i, r¡. £ indican para una misma molécula varia- ciones relativas al tiempo. Así A¿», A y, Aj z dependen solo de las coordenadas de los dos puntos m, jjl en un momento dado; Í, Y), s, dependen del punto \k que se considere y del tiempo t; y AE, Arj, A£, claro es que dependen de los puntos p.y m, y que además son funciones de t, pero las variaciones A solo están tomadas con relación á x, y, z. De lo dicho se deduce que las diferencias de coordenadas de los puntos m , a, ó sean las proyecciones de r-j-p sobre los ejes, son: A¿£-[-Ai, ky _T- Atj, As A'¿; o representando para abreviar, según la notación de Cauchy seguida por Mr. Briot, por x, y, z las diferencias SxAy, As, x + A£, y + A^; z + A'C Los cosenos de los ángulos buscados serán: x + A£ y + Ay¡ z + A? _ r+ p ’ r + p ’ r + p 112 y tendremos: Componente de

+ p)(z + AQ . Lo que hemos dicho de la acción de la molécula m sobre p. pudiéramos decir de la mf,mn ; y llamando y, cp"..... á las acciones parciales de estas moléculas, resultará ( cp 'x = pm' f (r' + Pr) (x' + A£r) ; i Acción de m! sobre p.. < cpry = p. m f(y' 4- pr) (y' -J- Ati') ; ( cprz = p. rnr f(r +pr)(zf + AÍ') ; ( ?"x = p. m" f (r" + p") (x" + A5") ; Acción de m" sobre p-. < y = cpy_— I-

Y = p. S m f [r + p) (y 4- A'n] ; > (3) 4>z — p. S m f (r -fao) ( z A£) . ) TVrá. 7. En estas ecuaciones r, p, x, y, z, A?, Ar¡, A?, son variables y varían de un punto á otro del medio etéreo, es decir, que son funciones de x, y, z, y algunas de ellas, p, A^ A 7¡, A£, son además funciones’ de /, no por la opera- ción que indica A, que solo se refiere á x , y , 2, sino porque p, i, 7i, £ son funciones del tiempo. Núm. 7. Ecuaciones diferenciales del molimiento del éter. Puesto que <1>X, y, Z son las componentes de la acción que el medio ambiente ejerce sobre la molécula p. en movimien- TÓMO XX. O tu to, es claro, según los principios fundamentales de la Mecá- nica, que d* (x + 5) dC d'{y + -r i) di 2 <í> y» di 2 son las ecuaciones de dicho movimiento; pero x, y, z son independientes del tiempo, luego se reducen á estas otras: dl'¿ = y » d2? ,i u. = <$>2 ^ di* ó suslituyendo por los componentes de sus valores (3) y dividiendo por p. "^7 =Sm/(r+p) (x+ Ai) ; =%mf{r + p) (y + Ayi) ; "^7" =2mf(r + p) (z + A?) . Estas son las ecuaciones principales del movimiento del éter, y por lo tanto las ecuaciones de la luz. Núm. 9. Antes de pasar adelante simplifiquémoslas. Simplificación . — Según la fórmula de Taylor fir + P) = /(r) + /’ (r).p + f" (r) -fj + y sustituyendo, por ejemplo, en d'l dr , resultará 115 Desarrollando el segundo miembro ~jjr = l/(r) x + /■' W p X + f" (r) + f{r) Al + f (r) p Ai + /"' (r) Ai + ] Pero los movimientos son infinitamente pequeños en am- plitud, luego p, A£, Atj, A£ son también infinitamente peque- ños; y despreciando los términos que contienen p2, pA £, p3„ . . . . que son de orden superior, quedará AA w [/(,*) X + /" (r) p x + f (r) Ai] = = Sm/(r)x + Sm[/r (r)px + /(f) A£ ] . La primera parte del segundo miembro, Sffl/(r)x, es nula en virtud de las condiciones (1), y toda vez que r y x se refieren al estado de equilibrio. Tendremos, según esto, -AÍ = SM/-(r)Ai + 2m/'(r)px ; 2 m f (r) Atj + 2 m f (r) p y ; 2 m /(r) A^ -f- 2 m f (r) p z . y por consideraciones) cPti análogas ; dle¿ dtl Finalmente, se sabe que (r + ?)a - {x + Ai)2 + (y + AtO* + (z + , 116 puesto que las coordenadas de son x + k; y + r\'^ z + K: y las de m x + x + E + A£ ; y + y + '0 + Ati ; z + z + i + * De la última ecuación se deduce r2 + 2 r p + p2 = x2 + y2 + z2 + 2 (x A? + y Ar, -f z AQ + + (A? + A^ + AÍ2): suprimiendo de ambos miembros las cantidades iguales r2 y x2 4~ v2 + 2a Y despreciando las de segundo orden pa, AE2, Ar2, Ai2, obtendremos: r p = x Ai + y A?) + z A? ; y también x AE + y-Arj q- z Ai Poniendo este valor de p en las ecuaciones diferenciales de movimiento, hallamos las fórmulas definitivas. (Se continuará.) RESOLUCION GENERAL DE LAS ECUACIONES NUMERICAS. Continuación. ) ... **-*»-£>-£>-&•£ CAPITULO II. Determinación de los módulos de las raices ima« ginarias, cuando la ecuación sólo contiene raices de esta especie. §. 10. Definición del nuevo problema. Una ecuación de grado par , hi por ejemplo, que sólo contenga raices imaginarias, se puede considerar, en principio, como compuesta de n tactores, trinomios de 2.° grado, de la forma x 2 + fx =[f}+{ff'] Cs=tfn+[ff'f"} ct=i?9'*]+[y'r n+frrr c*= w^rwrrr"] 0,=^ 9" y’']+w f" f'"} Ci=L929 ': rr"] C<=fg',g”\g"”. Fácil sería, aunque bien escusado, traducir al castellano la regla de composición de las diversas ecuaciones conside- radas, en los precedentes símbolos contenida; y no ménos fá- cil penetrarse de su generalidad, ó posibilidad de su aplica- ción á otros ejemplos más complicados. ¿Cuáles serán, en efecto, los coeficientes de la ecuación del grado décimo? Los de la de octavo , sucesivamente multiplicados por 1, por /1V, y por#iy2, — coeficientes del nuevo trinomio com- ponente £*a + /1V x +gv,\—y sumados unos con otros, ó dis- puestos los productos parciales así obtenidos del siguiente modo: Ecuación del grado 10.° 67o=i ct=[f] c>=w + [fn c*=\¡m+vrn +/" + m ■ f” + iñ-f”+{fnf + [f] • 9* Y, hasta sin efectuar la suma de los tres grupos de tér- minos así dispuestos, se concluye de la primera ojeada que la m ecuación del grado 10.° obedece á la misma ley de composi- ción que las de los grados inferiores: ley generalizada y re- sumida de un modo bastante explícito en la expresión general siguiente de la ecuación del grado %n: (13) + [f] x2n-' + ( [92] + [/T]) *2n~2 + + (l fn + [frn)*'-+ + ( [fg”} + w r n+ff r n ) *“-4 + +(w gYi+\9Yrr']+[fr rrf'*])x*u- *+••■■ + ([0V #<— «l+foy 9'—" Y“-Y“-])*2+ +W*-~g*-*)'f'‘-,}x+9Y’ ‘>’= o- En esta ecuación general, como en las varias particulares, propuestas para su mejor y más pronta inteligencia, se ad- vierte desde luego: 1. ° Que todos los coeficientes son homogéneos , y todos los términos de su mismo grado, ! . 2. ° Que los coeficientes equidistantes de los dos términos extremos son del mismo grado, variable con la posición ó dis- tancia, con respecto á las letras f. Y 3.° Que en los coeficientes de orden ó lugar impar uno de los términos es esencialmente positivo é independiente de las f% ó de los segundos coeficientes de los trinomios de don- de la ecuación procede. 123 §• 12. Transformación de la ecuación propuesta en otra cuyas raices sean las potencias m de las raices incógnitas . — Cálculo de los módulos. Entre la ecuación general, cuya composición acabamos de inquirir y determinar, y aquella cuyas raices sean las poten- cias m de las raices de la primera, no hay más diferencia sino que la una procede de la multiplicación de los trinomios #2 + /# + #2, x*-\-f'x + #'2, a? + r* + 9"\ ; y la otra de la multiplicación de los siguientes: ** + /»®+0im, *? + f'mx + g'm. a? + r'm*+g"m> Luego la transformada final de la ecuación propuesta po- drá inmediatamente escribirse de este modo: (U) *» + [fm] *“-• + ( ir] + fmfm] ) <é“-* + + (b“r-] + i/-/,-rj)íí“-+ + + 9&m 9 2m gn 2m ^(“-|)2m __ Veamos ahora en qué se convierte esta ecuación cuando el exponente ó número m aumenta indefinidamente. En los coeficientes de lugar par, — segundo, cuarto, etc. — ni un sólo término es independiente de las fm\ y como fm* igual á 2#mcoswcp, es cantidad variable, por regla gene- 124 ral, en magnitud y en signo, resulta que variables serán también en ambos conceptos los coeficientes mencionados. Por lo tanto, no hay que esperar simplificación alguna de la última ecuación, en cuanto á estos coeficientes pares se refiere, por mucho que m aumente; y el primer indicio, en la práctica, de que una ecuación comprende sólo raices imagina- rias consistirá en la variabilidad irregular de los coeficientes ahora considerados, conforme de la ecuación propuesta, por la regla del §. 3.°, aplicable a todos los casos, se fueren dedu- ciendo otra y otras, cuyas raices sean los cuadrados, cuartas potencias, octavas , etc., etc., de las raices que se buscan. Mas, por el contrario, suponiendo que los módulos sean propiamente desiguales y que g>g'>g"> , los términos de lugar impar, —tercero, quinto, etc. — admiten muy notables simplificaciones. Para precisar las ideas fijémo- nos, por de pronto, en el primero de los citados, ó coeficien- te, en la ecuación (14), de la potencia 2n — 2 de x . Este coeficiente, [g > g">g'> se confunde con esta otra, mucho más sen- cilla: gm g'™ + \g*m g m g" m + 1 6 gm g m g" m g"' m; equivalente á la que sigue: 2m .2mx i 1 + 4/j_\ +16/X_X 7 { \ 9 J \ 99 Y, así presentado, concluyese inmediatamente que este tal límite discrepará cada vez ménos, conforme aumente m, del sólo término g*m f" Y i ' » clue por su medio se obtuvieren, de aquel que propiamente satisface ó corresponde al ejemplo pro- puesto. Como ventajosa podría tal vez considerarse aún la reso- lución de la ecuación de octavo grado por el método referido. Pero el vicio principal de semejante procedimiento y la ne- cesidad de abandonarle por otro más sencillo y preciso se 9 TOMO XX. 130 descubren desde el momento en que tratamos de aplicarle á la descomposición de la ecuación del grado décimo en cinco trinomios reales de segundo. De nueve ecuaciones, análogas á las en los casos anterio- res analizadas, dispondríamos entonces: dos de primer grado; dos de segundo ; dos de tercero ; dos de cuarto; y una de quin- to. Prescindiendo de las cuatro últimas y más complicadas, quedaríannos cinco, de primero , segundo y tercer grado. De las dos primeras deduciríamos los valores de f y f en fun- ción lineal de f'\ f"' y /1T; y, sustituidos estos valores en las demás, tendríamos dos ecuaciones de segundo y una de tercer grado, con estas tres incógnitas restantes. La elimina- ción de f", por la combinación recíproca de las dos prime- ras ecuaciones, y de una de las primeras con la tercera, transformaría el sistema de tres ecuaciones en otro de solas dos; una de cuarto grado, y otra de sexto, con las incógnitas f" y fiv. Y la eliminación entre ambas ecuaciones de la f”\ reduciría la dificultad á la resolución de una ecuación final del grado 24.— Lo que se presenta como muy sencillo y reco- mendable en la práctica , cuando la ecuación propuesta es de cuarto grado; y se complica y embrolla un poco, cuando de sexto; y con dificultad puede aplicarse, cuando de octavo ; desde el grado décimo en adelante es, si no absolutamente irrealizable y absurdo, complicadísimo é inconveniente á to- das luces. *§• H. Regla de Newton para corregir los valores aproximados de los módulos , y aun de las mismas raíces imaginarias, ya por cual- quier procedimiento deducidos. Dejando para el capítulo inmediato la exposición del mé- todo general que debe preferirse para determinar los valores de /, que á los n trinomios corresponden, supongamos ahora que ya estos valores y los de g son conocidos con cierto gra- 131 do de aproximación: con el que puede obtenerse, por ejemplo, empleando para calcularlos las tablas logarítmicas de solas cinco cifras decimales; y veamos cómo, obtenido este primer resultado, pueden luégo deducirse otro ú otros, cada vez mé~ nos erróneos, ó ménos discrepantes de la verdad. El procedi- miento para esto apénas difiere del que se explicó y empleó cuando, en el anterior capítulo, se trataba de corregir los va- lores aproximados de las raíces reales; y, en sustancia, es siempre el primitivo y muy sencillo método de Newlon. Ex- poniéndole, con las variantes de forma que necesariamente pide el cálculo de las raíces imaginarias, completaremos el cuadro comparativo de las reglas que en la investigación de ambas especies de raíces deben observarse ; y hasta demos- traremos la casi identidad de tales reglas en ambos casos ex- tremos. Si, cuando x0 representa un valor real muy aproximado de x , podemos, sin error de trascendencia, escribir la ex- presión siguiente: (1 6) f[x)~f ( Xo + kx0) = f (áCo) + • f W — 0 , de la cual inmediatamente se deduce el valor de la correc- ción buscada, A x0, lo mismo debe sernos permitido cuan- do x0 posea la forma imaginaria, a0-f ¡30v/ — 1. Porque la corrección en este segundo supuesto tendría también la forma análoga, Aa0 -f A ¡30v/ — 1; y, en el desarrollo del polino- mio f(x o + AáCo). con relación á la parte real del segundo término, \x0 . f (¿j§, serian despreciables las partes, ó can- tidades del mismo nombre de los términos sucesivos, por de- pender éstas de los cuadrados y potencias superiores de las cantidades, reales también y muy pequeñas, Aa0yA¡30; y los coeficientes del radical v7 — 1, desde el tercero inclusive en adelante, igualmente lo serian, por idéntico motivo, con re- lación al coeficiente del mismo radical en el segundo término del mencionado desarrollo. Luego, sea de la forma que quie- ra, si Xo verdaderamente representa un valor aproximado de x , que deba satisfacer á la ecuación f(x) = 0, siempre po- 132 (Iremos comenzar por escribir esta primera expresión, fun- damental de cuanto sigue: (17) f (x0 + A^0) = f{a¡o) + A¿ro . f (x0) + ...== A x [#0H] + [wr0n] X — -° = [x0n] + [nx 0n] X A log x0 = 0. Xo Por otra parte: si el trinomio x1 + f0x + tfo2 comprende estas dos raíces conjugadas Xo = — g0 (eos 'fo + v7 — 1 sen sen Q; y [n ( — g0)n eos m p0]= p eos (A log#0 + A logaO + \ p sen ^ (A log íT0 — log A#0') v/- — 1=0; y (18) _ i 2 P sen Q . v7 — 1 + p eos (A log x0 — A log x0’) + \ p sen ¿ (A log x0 + A log xj) s/ — 1 = 0. En las últimas nuevas ecuaciones figuran en realidad como incógnitas la suma y la diferencia de las dos correcciones, A log. x0 y A log. x0', correspondientes á los logaritmos de las raices conjugadas x0 y x0' ; pero no son éstas las correc- ciones que ahora propiamente se buscan, sino las de los valores de g0 y f0f ó de g0 y etc., etc.; v, después, el primero por senwcp0, el segundo por sen (« — 1)cp0, etc., etc., se obtendrán las sumas, simbólica- mente representadas por [( — g0)n eos n cp9] y [( — g0)n sen n , la primera, y á psen^, la segunda: suficientes para deducir luégo los valores de las nuevas auxiliares p y Con estos antecedentes, el cálculo final de las correcciones buscadas, por medio de las fórmulas (21) á (24), sólo deman- da un poco de atención y conocimientos elementales y muy comunes de Trigonometría. — Cuando este cálculo hubiere de verificarse con auxilio de la primera de las fórmulas (21), ó de la (23), se cuidará de multiplicar préviamente sus segun- dos miembros por M (— 0.4342945), con objeto de convertir ios logaritmos neperianos en vulgares . §. 15 Aplicación á un ejemplo de la doctrina expuesta en los párra- fos anteriores < Apliquemos sin dilación la doctrina en este capítulo ex- puesta á la resolución de un ejemplo muy sencillo: no tanto, sin embargo, que, tratándole por cualquier otro procedimien- to, no hubiese de parecemos complicado en demasía. Sea la ecuación de 4.° grado (2o) «4 + 8a?? + 13aj* + 5íc + 100 = 0. ni Las dos primeras transformadas, deducidas inmediata ó directamente por la regla genera! del §. 3.°, son éstas: (21) xl + 38¿c3 + 289¿c2 — 2575a? + 104 = 0; y (22) ¿r4 + 866 xz + 299221 ¿c2 + 850625 ¿c + 1 08 = 0, Y, reemplazando los coeficientes de la última ecuación por sus logaritmos, por la regla citada se obtendrán las que si- guen, basta la (2S) inclusive: (22) ¿c4 + 2.9375179 x3 + 5.4759920 ¿r2 + + 5.9297382 x + 8.0000000 = 0 (23) ¿r4 + 5.1804533 x3 + 10.9457635 x1 — — 1 3.7717388 x + 16.0000600 = 0 (24) x* — 11.1 862877 a3 + 21. 8925258 ¿c2 + + 27.2380574 £ + 32.0000000 = 0 (25) x!t + 21.9012523 ¿r* + 43.7850555 #2 + + 54. 1557932 a* + 64.0000000 = 0. En la primera transformada, (21), el coeficiente de x, — segundo de los pares, — nos ha resultado negativo: lo cual prueba que no todas las raices de la propuesta son rea- les (§. 9.°). En la (22) el mismo coeficiente es positivo; nega- tivo, por el contrario, en la (23); y positivo otra vez en la (24): su indeterminación en signo no puede ser más manifiesta. Pues en valor le sucede lo propio: como lo acredita la misma incertidumbre ó variabilidad del signo, procedente de la gran influencia que, en el paso de una transformada á otra, ejer- ce sobre el cuadrado de este coeficiente el doble producto (§. 3.°) de los dos que inmediatamente le preceden y siguen. Con el coeficiente de x3, — primero de los pares, — acon- tece una cosa parecida. Positivo en la ecuación propuesta y 138 en sus dos primeras transformadas, en la cuarta (24) resulta negativo , positivo en la (2S), y negativo en la (26), que por innecesaria se ha omitido. Pero, en cambio, los coeficientes de x° y x 2 se conser- van siempre positivos, y convergen con gran rapidez hacia Imites determinados, ó hacia valores independientes de los demás coeficientes de la ecuación. Ni aun cuando los cálculos se hubiesen efectuado con logaritmos de diez cifras decimales, discreparía el coeficiente de x* en la (26) del simple duplo del mismo coeficiente en la transformada anterior, (28). — La ope- ración, verdaderamente difícil ó penosa, concluye, pues, en esta última transformada. De la cual inmediatamente se des- prende que: log ( = 9.6070205 n logp = 2.4235117 Y obtenidos estos valores, los de &g~ y kf, calculables 141 por las fórmulas (22) y (24), se deducirán con no menor sen- cillez del modo que á continuación se indica: Q= 25° 10' 32". 7 -+++= 9.26855 log g =0.68414 log A/1— 6.52260 n A/= — 0.000333 f= + 9.535 fi (f corregido) = + 9.534667 142 Los valores corregidos de g2 y de f concuerdan con los obtenidos por la aplicación directa del método, operando des- de un principio con logaritmos de siete cifras decimales. Y del propio modo podrían corregirse los de g12 y f', si por de pronto los supusiésemos respectivamente iguales á 4,283 y — 1,535. Pero ¡de cuántas piedrezuelas está sembrado este último tortuoso camino, y cuán fácil es tropezar y caer en él á lo mejor! Pruébese á recorrerle y se verá que no exage- ramos. Resulta, pues, en conclusión, que las fórmulas (21) á (24), tan ingeniosamente construidas y tan dignas de estudio en teoría, por excepción únicamente será menester emplearlas en la práctica. Tanta es, en efecto, la eficacia del procedi- miento general de resolución de las ecuaciones numéricas en estos dos capítulos explicado, que apénas se necesita para nada lo que, con respecto á distintos y más famosos y cele- brados métodos, debe considerarse como complemento indis- pensable. (Se continuará.) 1 43 VARIEDADES. De la acción del frió sobre la leche y los productos que de ella se sacan, por Mr. Eugenio Tisserand. Se han hecho mu- chísimas investigaciones para determinar la composición química de leche de las diversas especies animales, y fijar su constitución física. El objeto de esta nota no es reseñar la historia de la cuestión, sino pre- sentar algunos hechos que puedan ser interesantes para la industria rural, y particularmente para los que se ocupan en la industria de producción de la leche y conversión de esta en manteca y queso. Tomando leche de vaca, recien ordeñada ó poco tiempo después de esta operación, á temperaturas diversas comprendidas entre 0 y 36°, y mante- niéndola por espacio de 24 ó 36 horas á la misma temperatura inicial, se demuestran en ella los hechos siguientes: 1. ° La subida de la nata es tanto más rápida cuanto más se aproxime á 0 la temperatura á que se expone la leche. 2. ° El volúmen de nata obtenido es mucho mayor cuando la leche se somete á un enfriamiento mayor. 3. ° La cantidad de manteca es también más considerable cuando la leche se pone á una temperatura más baja. 4. ° En este último caso, la leche, la nata, la manteca y el queso son de mejor calidad. Respecto á la calidad que adquieren la leche, la manteca y la caseica por el tratamiento de la leche á baja temperatura, nuestros experimentos no pueden evidentemente dar la explicación. Los excelentes descubrimien- tos de Mr. Pasteur sobre los fermentos, sobre su origen, sobre las circuns- tancias que favorecen ó suspenden su desarrollo, sobre las alteraciones que producen en los medios en que se encuentran, nos parece que tienen aquí su aplicación. Es bastante probable, como nos hace aquí notar Mr. Eoussin- gault, que el enfriamiento enérgico suspenda la evolución de los organis- mos vivos que constituyen los fermentos, é impida que se produzcan alte- raciones debidas á su acción; los efectos de este tratamiento en la leche se- rán análogos á los que se manifiestan en la fabricación y conservación, por medio del hielo, de la cerveza de Viena, tan notable por su calidad; hay, además, en esto un vasto campo de investigaciones que explorar, y no he- mos querido más que indicarle por el momento. 144 Sea lo que quiera, los hechos que preceden bastan para demostrar cuán erróneas son las ideas que han corrido en Francia acerca de la separación de la crema en la leche y la fabricación de la manteca, á saber, que debe tenerse la leche que se ha de descremar á la temperatura de 12 á 13°, y no esceder de esta temperatura, porque si no la nata sube mal; las aplicaciones que de aquí pueden sacarse son numerosas, y se deducen fácilmente sin necesidad de que tengamos que insistir en ellas. La leche de nuestras vacas es por lo general muy superior; pero á es- cepcion de lo que sucede en algunos departamentos, no se sacan de ella, casi en todas partes, más que productos (sobre todo en manteca) más ó me- nos defectuosos. Para obtener productos superiores se necesitan llenar dos condiciones, una limpieza extremada y el tratamiento de la leche en frió. Fácilmente se concibe que cualquier mejora, por pequeña que sea, en una industria cuya producción anual es de 1 */* millares de francos, y la exportación de manteca por valor de 100.000.000 de francos, debe ofrecer ventajas para nuestra agricultura: tenemos á nuestras puertas un estenso mercado que no pide más que recibir y consumir el doble ó triple de lo que le remitimos y pagar su calidad. Ya se ha reconocido en el Norte de Europa (*) que era menester aban- donar las antiguas prácticas, y se ha empezado á introducir la de enfriar la leche á 8 y 6o en grandes barreños llenos de agua de fuente, ó también por medio del hielo. Todavía no es este suficiente enfriamiento, como lo de- muestran nuestros experimentos; pero ya es un progreso que ha tenido las más felices consecuencias, estendiendo hasta el extremo Oriente la zona de exportación de las mantecas preparadas en Dinamarca de esta manera, au- mentando el precio de este producto y el del queso seco, y haciendo que cada vez sea mas buscado en los mercados extrangeros. Esta reforma ha permitido, por otra parte, disminuir los gastos de producción, reduciendo los de elaboración (que se hace con ménos obreros y empleando grandes vasijas de 50 litros se hac,e el lavado con más facilidad), suprimiendo tam- bién la instalación de costosos caloríferos, el gasto de combustible en in- vierno, y el coste bastante elevado de compra y reparación de las pequeñas vasijas para la crema. El tratamiento de la leche á baja temperatura es entre nosotros tan fácil como en cualquiera otra parte, y además tan económico y ventajoso; no hay más que utilizar para este tin las aguas de los manantiales y de los pozos fríos., y emplear el hielo cuando haya necesidad de enfriarlas al grado con- veniente. Sin duda que ocasiona un gasto el almacenar el hielo, pero es muy pequeño; el hielo puede recojerse en el momento en que los trabajos del campo son escasos, y por consiguiente, las horas de ocio son muchas. Además, pueden también emplearse silos poco costosos, como ya se hace en las explotaciones del Norte de Europa. (*) Comptes rendus des séanres de la Soe. ant. de agriculture de France. N.° 4.° — REVISTA DE CIENCIAS. — Tomo XX. CIENCIAS EXACTAS. RESOLUCION GENERAL DE LAS ECUACIONES NUMERICAS. (Continuación ¡ ) . ►>-S3-£v_£>£ M CAPITULO III. Descomposición en trinomios reales de segundo grado de la ecuación cuyas raices son todas imaginarias. S. 16. Condiciones que debe reunir el verdadero método de resolver el problema. Sabiendo ya, por lo expuesto en el capítulo precedente, cómo pueden determinarse los n módulos de las 2w raices imaginarias conjugadas de una ecuación, que sólo contie- ne raices de esta especie, fáltanos todavía, para dar por re- suelta la ecuación, ó para descomponerla por completo en tri- nomios reales de segundo grado, averiguar cuáles son los n va- lores de f, — coeficientes de los segundos términos de aque- llos trinomios, — que á los citados n módulos correspon- den. En los casos más sencillos también queda dicho (§. 13) cómo puede esto verificarse; pero las dificultades, de índole 10 TOMO XX. 146 teórica y práctica, con que entonces tropezamos, nos obligan á considerar de nuevo el mismo asunto desde otro punió de vista, mucho más amplio y general. Procedimiento irreprochable en teoría para conseguir el fin que ahora nos proponemos, sería aquél en que cada valor de f dependiese sin ambigüedad del correspondiente de g ó de g\ y en que semejante valor, definido ya el de g\ se desprendiese de la resolución de una ecuación auxiliar, del grado n á lo sumo, suponiendo que la propuesta lo fuese del 2w. Esta ecuación auxiliar, cuyos coeficientes dependerán del valor que á un módulo cualquiera se atribuya, y cuya verdadera incógnita será la /, correspondiente al módulo considerado, no puede, por regla general, ser de grado infe- rior al n ; porque, si todos los módulos resultasen iguales , conservándose desiguales las /*, al mismo valor de g 2 corres- ponderían n valores distintos de f; y estos n valores debe- rían proceder entonces de la sola ecuación auxiliar, forzosa- mente de este grado. Mas, si en vez de una , tuviésemos dos ecuaciones auxilia- res, cuyos coeficientes dependiesen del valor, g\ de un mó- dulo; ambas con la incógnita común, /*, que del mismo mó- dulo depende; y cuyos grados fuesen n y otro cualquiera in- ferior á n, — determinando, por el procedimiento del máximo común divisor de dos polinomios, cuáles son el factor ó los factores comunes que necesariamente deben poseer, conse- guiríamos resolver por completo el problema propuesto, ó reducir su dificultad á otra menor y más fácil de eludir. Estas dos ecuaciones, cuya existencia se columbra en lon- tananza, y de las cuales depende la resolución perfecta de la ecuación general del grado 2 n, con otras tantas raíces ima- ginarias, pueden obtenerse como sigue. 1 147 §. 17. Realízame las condiciones expuestas en el párrafo precedente . Sea la ecuación propuesta: (25) xm + *i%2n~l + aa¿8n~~? + + <*2n = o ; y representemos un par cualquiera de sus raíces imaginarias conjugadas por la expresión x0 = 0o (eos cp0± y/— -1 sen cp0) Por la sustitución sucesiva de estos dos valores de x en la ecuación (25) se obtienen dos ecuaciones distintas: las cua- les, sumadas una con otra, y restada de la primera la segun- da, se convierten en las que siguen: ^02ncos2»?cp0-J-a,^02n 1 cos(2»-1) -f* sen cp0 — 0 9o ' 9 o Los senos y cosenos de los arcos múltiplos de y así los demás hasta llegar al últi- mo, que deberá multiplicarse por ( — 2 - ... } > = 0; y + — íV)'Y‘Ad_4 + N¡"yifo‘~s — ••• } + !!<'{ N% y /ou~5 — N* ' Y i A"-6 + iV/'y./o11-7 - ... } — 9oe{N3yf0n-’ — N3'rifo,:i-s + Na"y¡fon-s — ... } ) =0. + 9 o 8 { MyA”-’ - Na y. An~‘° + } i 152 Consta la ecuación (30) de 4/2 (w + 2), ó de 4/s (w + 1), po- linomios, según que n sea número par ó impar , respectiva- mente de los grados n,n — 2, w — 4 y n — n, ó n — 1 , ordenados todos con relación á la incógnita f0. En los primeros términos de estos diversos polinomios fi- gura como factor la fi; en el segundo la (3,; en el tercero la ¡3a; etc., etc.: de manera que todos ellos pueden considerar- se también como ordenados con respecto á la ¡3 y á sus índi- ces consecutivos. Los signos varían regularmente del + al — , y vice-versa, tanto en el paso de un polinomio á otro, como en el de los tér- minos de un mismo polinomio. Como se hallan ordenados estos términos con relación á los exponentes de f0 ó á los índices de p, así lo están los poli- nomios sucesivos con relación á las potencias pares de g0. Los coeficientes Mu J/2, Mz ... son los mismos, poco án- tes ya consignados, y que de la expresión general Mv senci- llamente se desprenden, poniendo por p el valor ó subíndice que les corresponda. Y délos Miy #2, Mz se deducen los Mi, M¿3 Mz ...; de éstos los M” , M2\ Mz' ... ; y, en general, los señalados con varios acentos de los que inmediatamente les preceden, ó llevan un acento ménos y subíndices iguales, poniendo en és- tos por n la expresión n — 1. Si, por ejemplo, J/2 es igual . n(n — 3) j . (n—l)(n—í) „ , (n— 2) («— 5) a — - — - — , J/2 lo sera a — — — ; l/2 a t .2 1 Mr á ■ n — 3) (n — 6) TTí ; y así lodos los demás consecutivos y análogos. Resultados que también pueden obtenerse poniendo sucesivamente, en la expresión de Mv, por n, las cantidades inferiores n — 1, n — 2, n — 3 ... . Con estas advertencias facilísimo será completar la ecua- ción (30), ó escribir desde luégo en cualquier caso particular la ecuación auxiliar del grado n , con respecto á f0, déla cual depende la solución completa de la propuesta, del grado duplo. Pues la construcción de la otra ecuación auxiliar (31) se . 153 halla sometida á reglas análogas á las que se acaban de expo- ner muy al por menor. El número de sus polinomios componentes, ordenados con relación á la letra /, es igual á l/2 n, ó l/2[n -f 1), según que n es número par ó impar . Los signos varían del propio modo que en el caso anterior. Y los coeficientes, que dependen de la letra n, se despren- den unos de otros también por la misma regla. Lo mismo que la ecuación (30), la (31) podrá, pues, escri- birse inmediatamente en cuantos casos particulares se presen- taren en la práctica, prescindiendo por completo en ambas de los largos razonamientos y multiplicadas transformaciones que para deducirlas de la ecuación (23), y demostrar su exac- titud, ha sido menester verificar. §. 18. Aplícame las fórmulas generales del párrafo anterior á los casos primeros y más. sencillos. Como aplicación y aclaración de cuanto precede, atribuya- mosahora á la letran los valores sucesivos 2, 3, 4 y 5, y vea- mos en qué se convierten entonces las ecuaciones finales (30) y (31): ios resultados que se obtuvieren corresponderán á las ecuaciones de cuarto, sexto, octavo y décimo grados, cuyas raíces sean todas imaginarias, y podrán aplicarse desde luégo á la resolución completa de tales ecuaciones. Estos cuatro casos particulares del problema general que nos hemos pro- puesto resolver son de grande importancia y merecen especial estudio. Ecuación de cuarto grado . Coeficientes propios de la misma: a2, a3 y a4. Los coeficientes auxiliares, p, (3, y ¡32 y los y y yt, que figuran en las ecuaciones (30) y (31), se determinarán por las 154 siguientes fórmulas, que de los grupos (26) y (27) se des- prenden: Y las dos ecuaciones finales en que las (30) y (31) se con- vierten en este caso particular son las siguientes: (a) 0=p/o2-¡V„ + (&-%„*); Y (b) 0 = y/o —y, De la segunda de estas dos ecuaciones se deducirá el va- lor de /o, correspondiente al módulo g0 ; y la primera servirá como ecuación de condición, para cerciorarse de la exactitud del resultado final, y, por lo tanto, de las varias operaciones numéricas efectuadas para obtenerle. Si los dos módulos de la ecuación de cuarto grado fuesen iguales, siendo iguales ó des- iguales las cuatro raices imaginarias, al mismo número g0 corresponderían dos valores, iguales ó distintos, de f0, que se deducirían de la ecuación (a). Y la ( b ) sería entonces la ecua- ción condicional á que los diversos resultados obtenidos de- berían satisfacer. Ecuación de sexto grado . Coeficientes propios: a4, a2, a3, oc4, as y a6. Coeficientes auxiliares: 1 + a6 hasta obtener un residuo de primer grado: y de este re- siduo, igualado á cero , y considerado como factor común de ambos polinomios, se deducirá el valor de f0 , correspondien- te al de g0 , que en los antecedentes y curso del cálculo se hu- biere empleado. — Para comprobar la exactitud de los resulta- dos que se obtengan pueden servir las mismas dos ecuaciones («') Y m- Ecuación de octavo grado. Coeficientes propios: alf a 2, a3 ... a8. Coeficientes auxiliares: i i — s Q 156 Ecuaciones finales: («") o = /.*-KP» - %o W - (P, - fo + (P«-8&„, + %.‘) (é") 0 = y/1 ,3 — y, / )5+(y2 — 2y5>o2)/o — (Y»— M«*)- Si los cuatro módulos de la ecuación propuesta fuesen des- iguales, á cada valor de g correspondería uno solo de f; y este valor, que simultáneamente debería anular los dos polinomios (o") y (ó"), se hallará efectuando con estos polinomios las operaciones necesarias para determinar su máximo común di- visor, hasta llegar á un residuo de primer grado; é igualan- do á cero este residuo. Si dos módulos fuesen iguales, el residuo que debería igualarse á cero, para formar la ecuación cuyas raíces son los dos valores correspondientes de f, sería el de segundo gra- do: primero que se obtiene por la división del polinomio (a") por el (ó"). Si lo fuesen tres, el divisor común de las dos ecuaciones ó polinomios últimamente citados, ascendería al tercer grado, y no podría discrepar suslancialmente del (b”). La ecuación de este nombre habría entonces que resolver para encontrar los tres valores de f, correspondientes al triple de g, designado por g0. Y si fuesen iguales los cuatro módulos, los cuatro valores iguales ó desiguales de f0 se desprenderían de la ecuación ( a" ) cuyas raíces serían entonces necesariamente reales. Hasta ahora sólo sabemos hallar los módulos délas raíces imaginarias de una ecuación cuando estos módulos son des- iguales: pero nuestra ignorancia en este punto, ó la limitación de nuestro conocimiento en la materia, en nada invalida cuan- to concerniente á la investigación de los valores de/, después de averiguados los de g , hemos expuesto en la hipótesis de que dos ó mas módulos sean iguales. Respecto á la ecuación del grado décimo nos limitaremos á consignar las fórmulas necesarias para su resolución comple- ta, sin agregar ninguna explicación ó comentario, por creerlo 157 excusado, después de todo lo dicho, á propósito de los grados inferiores. Ecuación de décimo grado. Coeficienles propios: a4, a2, a3 , aJ0. Coeficientes auxiliares: 1 4" ai 0#0 10 = p 1 l — a10#o a4 4- b, la re- gla de cálculo se halla formulada en estos sencillos términos: 159 ]og(a^¿>) = loga =±=8. Y la corrección o se buscará y en- contrará en las tablas citadas con el argumento (loga — log b), que inmediatamente se deduce de la comparación de ambos logaritmos de a y de bt ya conocidos. Disponiendo de este nuevo elemento auxiliar, las varias di- visiones de polinomios que deberán efectuarse para obtener el máximo común divisor de los (A) y (B), generalmente de primer grado, se verificarán de conformidad con los precep- tos siguientes. En los polinomios (A) y (B) se reemplazarán los coeficien- tes de la incógnita f0 por sus logaritmos, sin alterar los signos de aquellos coeficientes. Y restando luégo de los logaritmos de A*, A2, As ... el de A, y de los de Bit B2, B3 ... el de B , aquellos polinomios se transformarán en estos otros: (AO f? +fl1/on-1+fl,/oM + fl./on“8-+... , y (0.) /on“J+ ói/o11"2 +b2fou~* + 63/on-4 + ... : en los cuales los coeficientes aiy a2, a3 ... , y bit b2, b3 ... , son logaritmos. Por resultado de la división de los polinomios (A) y (B), simbólicamente representados, en cierto modo, por los (Ad) y (Z?i), obtendríase un primer residuo del grado n — 1, que, después de reemplazar los coeficientes por sus logaritmos, podremos escribir como sigue: (C) cfo'-'+Cifo^+Ctf on“3+... De los coeficientes a{, a2, a3 ... y bu b2, b3 ... se deducen los c, cit c2 de este modo: restando de los primeros los se- gundos, ó de los segundos los primeros: — de los mayores de una serie los correspondientes menores en la otra, prescin- diendo por de pronto de los signos en ambas; — acudiendo á las tablas de Gauss con las diferencias resultantes como ar- gumentos; y agregando las correcciones que allí se encontraren á los mayores logaritmos a 6 b, ó restándolas de los mayores, según que los coeficientes comparados, a„ y bn, tengan signos 160 contrarios ó idénticos. Los signos de los nuevos coeficientes, c, ci, c2 ... , serán: en el primer caso los de a , aA , «2 ... ; y en el segundo los de los coeficientes mayores, an y An, de don- de proceden. Restando de los coeficientes cu c2t cs ... el c, —lo cual equivale á dividir el polinomio (C) por el coeficiente de su primer término, — el residuo de la división del (A) por el (B) adquirirá la misma forma de los (Ai) y y la operación ini- ciada podrá continuarse y prolongarse luégo sin modificación, hasta apurarla y llegar al deseado término. Los trámites nece- sarios para ello son los resumidos en la adjunta pauta: Dividendo l.° (A,). /7 + a, fon~l + a,/oM + a3fon~s + ... Divisor I.» (&)... /o11"1 + ¿iAn“2 + b2fr-> + b3f*~* + ... Argumentos (a — b). d2 d3 Correcciones tabuladas. e{ c2 e3 Primer residuo (d=t:e) ó (C) cfQn~l + c1/*0n"~2 + c2 /0n~3 + ... Dividendo 2.° (C : c) /7"1 + fon~2 + a2 f0n~ 3 + ... Divisor l.° y 2.° (ft). .... f0n~l + blfon~*+b2f0n-* + ... Argumentos (a —b) 82 Correcciones tabuladas s, s2 Segundo residuo (o e), ó (i>). ... y /“o11-2 + y! /0n-3 + ... Divisor 3.° (D : y) fon~2+^ fon~s + . .. !«! §■ 20. Aplícase la teoría al análisis de un ejemplo . A semejanza de lo hecho al final de los dos capítulos pre- cedentes» aplicaremos ahora lo que en términos generales aca- ba de exponerse á la resolución de un ejemplo interesante: prescindiendo, por de pronto y para mayor claridad, de las tablas de Gauss, muy poco difundidas, y empleando las vul- gares de logaritmos con siete cifras decimales. Con ménos ci- fras, el trabajo de cálculo sería mucho más rápido y sencillo; pero el grado de aproximación en los resultados dejaría sin duda en este caso algo que desear. Del uso que puede hacer- se de las tablas de Gauss se hallará otro ejemplo en el capi- tulo final de esta Memoria. Sea la ecuación de sexto grado: 3447 + 14560 x* + 22430 + 25857 x* + 291 93 ¿c2 + 11596 x + 5602 = 0 (*). Dividiendo todos sus términos por el coeficiente de! pri- mero, — operación que deberemos efectuar con auxilio de las (*) Esla ecuación es una de las varias que Le Verrier discute en su cé- lebre Memoria sobre los Movimientos del planeta Urano { Recherches sur les Mouve- ments de la planéte Herschel, 1846), pág. 174, donde pronostica, por fin, la exis- tencia y situación del planeta, hasta entonces desconocido, Neptuno. Pero el sabio astrónomo citado ni la resuelve, ni tiene para qué resolverla; sino que se limita á demostrar, por el teorema y método de Sturm, que sus raí- ces son todas imaginarias.— Con mayor facilidad y ménos riesgo de equivo- carse, se demuestra lo mismo, y se determinan los valores de los tres mó- dulos, por el método que se ha explicado y emplea en el texto. TOMO XX. 11 162 tablas de logaritmos la reduciremos por de pronto á esta otra: + 4.2239631 + 6.3671075 x 4 + 7.5013052 + 8.4691019®* + 8.3640845 ® + 1. 6251813 = 0. Y reemplazando los coeficientes por sus logaritmos, y apli- cando las reglas de transformación de la propuesta, en el Ca- pítulo primero consignadas, á la deducción de otras varias ecuaciones cuyas raíces sean las potencias 21, 22, 23 ... de las que aquella primera ecuación contiene, sucesivamente halla- remos las que siguen: (20) xG + 0.6257201 xh + 0.8133880 ®4 + 0.8751368 ¿c3 + 0.9278374 ®* + 0.5268669 j;+ 0.2109018 = 0 (21) + 0.6837356 — 0.6117036 ®* — 1.4590905 ¿c3+ I. 6274283 — 1.2097987®+ 0.4218036 =0 (22) ®6 + 1.4981150 x 5 + 2.5791179 #4 + 3.0057607 x3 + 2.9261326 ¿r2 + 1.5885620 ® + 0.8436072 = 0 (23) ®G + 2.3664619 x* + 4.9129268 ®4 + 5.5901321 ®3+ 5.8050618 ¿c2 — 4.0114118 x + 1 .6872144 = 0 (24) ¿c6 — 5.0398083 + 9.8140402 ®4+ 10.6717924 ®3+ II. 6185655 ®* + 7.6361388 ® + 3.3744288 = 0 (25) ¿c6— 10. 0093400®*+ 19.6281887 tf4— 23. 5064467^3+ 23. 2371 208 ®2 — 13.9828161® +6.7488576 = 0 Del exámen de este grupo de ecuaciones se desprenden dos consecuencias importante. 163 Primera: que la ecuación propuesta sólo contiene raices imaginarias; pues así únicamente se explica la variabilidad desordenada, en magnitud y en signo, de los coeficientes su- cesivos de las potencias impares de la incógnita xd y x. Y, segunda: que para deducir los valores de los tres mó- dulos, correspondientes á las seis raices imaginarias conju- gadas, no hay que pasar de la transformada de la ecuación propuesta, designada por el símbolo (28); porque, limitando la aproximación en los resultados á la que puede obtenerse con las tablas logarítmicas de siete cifras, los coeficientes de las potencias pares de la incógnita, — x\ x 2 y x°, — de los cuales dependen los valores de los tres módulos, se deducen desde la ecuación (28) en adelante por simples elevaciones al cuadrado de los coeficientes ya obtenidos, ó duplicaciones de sus logaritmos. Luego inmediatamente podremos escribir estas tres igual- dades: 2 8 log#o' I log gofji1 2 5 log g¿g?gí 19.6281857; 23.2371 208; y 6.7488576 De las cuales se infieren los siguientes valores aproxima- dos de los cuadrados de los módulos: ¡ gd2 = 4.1656396; g¿== 1.2965200; y 0,* = 0.3053106 Para completar la resolución de la ecuación propuesta, ! fáltanos todavía hallar los tres valores de f, — f0, ft y — | que á los precedentes de g 2 corresponden. Y para esto ne- i cesitamos aplicar al caso particular de que ahora se trata las fórmulas generales, concernientes á la ecuación de sexto grado, en el §. 18 insertas. Las que entonces designamos por {a') y (bf) se convierten en los tres sistemas ó grupos adjun- jos, si sucesivamente calculamos sus coeficientes, y lascanti- m datles auxiliares que en su composición figuran, — las p, y p2» V las y, y4 y y2, — con los valores de g0\ g* y #22. La p3 es independiente de los módulos, é igual al duplo del coe- ficiente central, a3, de la ecuación propuesta, transformada de modo que su primer coeficiente, a0, sea igual á la unidad. (a o) l 0234833 A3 — 4.4235377 /o2 — 4. 0362543/; + 21.320289 (é'0) ( 0.9703167 /V2— 4.0243885/„ + 0.4350842 =0 (a'Jf 1.7457002 /? — 6.2252461 1 + 6.2492833/’, + 1.139702 (b\)\ 0.2542998 fe — 2.2226801 f, — 0.3547779 =0 («0(58.1053026 /? — 40.3136656 f¡- — 18.974081 /; + 9.613765 (//,)( 56. 1053026 /O _ 31.8657394 f, + 4.102659 =0. Cada uno de estos tres sistemas de ecuaciones particula- res es análogo en su composición al que, en términos genera- les, designamos por (A) y [B) en el § 19. Y como por lo dicho en éste y en los otros tres párrafos anteriores, las dos ecua- ciones (a0') y (O deben tener una sola raíz común, — segun- do coeficiente del trinomio x2 + A x + g 02 » que á la ecuación propuesta corresponde; oirá raiz común las (a/) y (V), — se- gundo también del x 2 + fi x-\-g2\ y otra las (ar2) y (¿>2r),— segundo asimismo del x 2 -\-f2x +#22: resulta que la descom- posición en trinomios, ó la resolución completa, de la ecua- ción primitiva depende, en suma, de la investigación de estas raices, f0, fi y f2, comunes respectivamente á cada par ó sistema de ecuaciones auxiliares, de los tres que preceden: investigación sencillísima, en principio cuando ménos, por el método del m. c . d. de dos polinomios, ya ordenados con res- pecto á la misma letra. Para simplificarla todavía más, comenzaremos por dividir, como de costumbre, con auxilio de las tablas de logaritmos, las seis ecuaciones precedentes por el coeficiente de sus pri- ] 05 meros términos respectivos. Y los tres grupos ó pares de ecuaciones se transformarán entonces en los que siguen: y;) j f0* — 4.3220420 f0: — 3.9430445 f0 + 20.831110 = 0 (P’„) U2 iJ- ¿1211667 /„ + 0.4455471 = 0 ^/'± 3.566048#/,» + 3.57981 49 f, + 0.6528624 = 0 (p\) 1 f?$- 8.6403900 ft —1.3951164 = 0 (w'¿) l/;3— 0.6938035 f? —0.3265465 f, + 0.1654541 = 0 (P',) f fz — 0.5679630 f, + 0.0731243 = 0. Fijémonos, por ejemplo, en el primero de estos tres sis- temas y veamos cómo y en qué orden deben verificarse las operaciones necesarias para hallar el valor de f0> común á las dos ecuaciones componentes (ar0) y [b’0). Conforme indica la adjunta pauta: Dividendo. ... f0s — 4.3220420 fTérmino medio 40", 51 Rhea. ......... . 2/?0 = 40 ,477 174 es digna de notarse la conformidad de las tres determinacio- nes que demuestra la exactitud délas observaciones. En otra comunicación presentaremos el valor de las lon- gitudes de los satélites deducidas de nuestras observaciones por las fórmulas (1) y los resultados de la comparación de es- tas observaciones con las de M. Lassel que hemos reducido enteramente. GEODESIA De la determinación de la profundidad del mar por medio del bathómetro y sin necesidad de usar de la sonda: Memoria de M. G. William Siemens, presentada por M. Tresca. (Comptes rendus, 23 octubre 1873.) El bathómelro de M. C. William Siemens está fundado en los dos hechos siguientes: que la atracción total de la Tierra medida en su superficie es la suma de las atracciones indivi- duales, ejercidas por todas sus partes, y que la atracción de cada una de sus partes varía en proporción directa de su den- sidad é inversa del cuadrado de la distancia en el sitio que se considere. Siendo la densidad del agua del mar 1,026, y la densidad media de las rocas que constituyen la corteza terrestre próxi- mamente 2,763, la profundidad del mar bajo un punto consi- derado en su superficie, debe ejercer una influencia sensible sobre la atracción total. Si, despreciando la fuerza centrífuga, se supone la Tierra perfectamente esférica y de densidad uniforme, la atracción total Ax de una capa delgada perpendicular al radio que ter- mina en el punto que se considera y situada á una distancia h de este punto, podrá representarse por la expresión d. dA{ = 2 7zdh sen ada. Integrando esta expresión entre los límites h y 0, a y 0, ten- dremos 7 h M y para los valores pequeños de h, despreciando el factor y , tendremos: A ,==2^ para la expresión de la fuerza total de atracción ejercida por la porción superior del globo hasta la profundidad h. í Haciendo h — GIR en la fórmula (1), tendremos A = — á para la expresión de la atracción total de la Tierra, y por consiguiente, Ai ___ 2t zh h 3 3 Pero tomando en consideración la densidad del agua del mar, se ve que la atracción en la superficie para una profundidad de agua indicada por h\ disminuye en la proporción de tí (2,763 — - 1 ,026) __ K -i 71 :Rx 2,763 Ülf R 3 379 ¡i_ l,Ó6fi ó poco mas ó menos en la relación de la profundidad con el radio terrestre. Esta relación no es enteramente exacta, por- que la densidad de la corteza terrestre no es la misma que la densidad media de la Tierra; así es mas exacto graduar empí- ricamente el bathómelro, comparando sus indicaciones con las de una sonda. El aparato construido por M. William Siemens para apre- ciar estas variaciones en la atracción, y que se ha perfeccio- nado varias veces, consiste en la actualidad esencialmente en un tubo de acero ensanchado en forma de copa por sus dos extremos, y colgado en una posición enteramente vertical, el cual está lleno de mercurio. La copa inferior se halla cerrada por un diafragma de una hoja delgada de acero, semejante á 177 la que se emplea en la construcción de los barómetros ane- roides, vel peso de la columna de mercurio se halla exacta- mente compensado en el centro del diafragma por la fuerza elástica de cuatro resortes de acero en espiral, bien templado, de la misma longitud que la columna de mercurio. La copa superior tiene una tapa en que hay un agujero que comunica lo interior del tubo de acero con otro de vidrio, de cerca de 2 milímetros de diámetro interior, arrollado formando una es- piral horizontal un poco encima de la tapa, y en que hay una escala cuyas divisiones indican brazas ó metros. En el extre- mo superior del tubo de acero hay un tapón con un agujero de solos 0m,2 de diámetro, por el cual lo interior del tubo co- munica con la copa superior, de modo que limita en lo posi- ble las oscilaciones de la columna de mercurio debidas á los movimientos del buque. Sobre la superficie del mercurio hay cierta cantidad de agua, que penetra en el tubo espiral de vi- drio y que, cuando el instrumento está en tierra, á nivel del mar, llega á un punto marcado 0. Cuando el aparato estáá cierta profundidad en el agua, co- mo disminuye la presión del mercurio sobre el diafragma, los resortes de acero obligan al agua que sobrenada en el mer- curio á penetrar mas en el tubo de vidrio, y la relación de la superficie de las capas terminales con este es tal que, á una elevación de medio milímetro de la superficie superior del mercurio, corresponde una subida del agua en el tubo de 1 . 000 milímetros. Una de las particularidades del instrumento consiste en ser paratermal , esto es, que la proporción de las secciones del tubo de acero y de sus capas terminales es tal que la dis- minución de la fuerza elástica de los resortes, por consecuen- cia de una elevación de temperatura, se halla compensada por una disminución correspondiente de la energía de la columna de mercurio. Las variaciones de la presión atmosférica no producen efecto en el instrumento, y las de densidad de la atmósfera solo le producirían en cuanto afectasen al peso relativo de la columna de mercurio, lo cual exigiría una ligera corrección. Para evitarlo, M. Siemens hace que el instrumento no esté su- TOMO XIX. 12 178 jeto á las influencias atmosféricas, colocándole en una caja herméticamente cerrada con un vidrio por la parte superior» y que se hace prácticamente insensible á las variaciones de temperatura por una doble cubierta aisladora. La única corrección que es necesaria se refiere á la lati- tud; pero la influencia de esta causa parece ser mucho menos sensible en el mar que en tierra. Se ha hecho el ensayo de un instrumento construido según estos principios á bordo del Faraday en los viajes trasatlánticos que tuvo que hacer para la inmersión de un cable telegráfico submarino: sus indica- ciones han coincidido de una manera admirable con las de una línea de sonda en acero, de Sir William Thomson, te- niendo cuidado de que la sonda dé la profundidad inmediata- mente inferior al buque, mientras queel balhómetro dala pro- fundidad media de cierta superficie, cuya extensión es fun- ción de la misma profundidad. El instrumento ha sido muy útil para volver á hallar el extremo del cable que había habi- do precisión de cortar cuando tuvo que huir de una tormenta. Este instrumento puede también servir para medir ¡as al- titudes superiores al nivel del mar, y tiene en este caso la ventaja sobre el barómetro de que en sus indicaciones no in- fluyen las variaciones de ¡a presión atmosférica. Un sencillo cálculo demuestra que la atracción total de la Tierra á una altura h varía en la proporción h : i/2i¿; de modo que si las divisiones de la escala del bathómetro representan metros cuan- do se trata de apreciar las profundidades del agua, no repre- sentarían mas que medios metros si se empleasen para apre- ciar las altitudes. Sería menester, en este caso, además de la corrección para la latitud, hacer otra para la atracción local délas masas que dominan el punto considerado, la cual va- riaría según la estension de estas masas, de modo que debe- ría fiarse en las indicaciones del instrumento ménos en este caso que cuando se tratase de apreciar la profundidad del mar. r DISTRIBUCION BE LA LLUVIA El LA PENINSULA IBERICA. Memoria dirigida á la Real Academia de Ciencias de Madrid por el De» Gustavo Hellmann, residente en Granada. La sucinta Memoria, que tengo el honor de presentar á la Real Academia de Ciencias, se funda exclusivamente en los va- lores numéricos de las observaciones meteorológicas, verifica- das tanto en España como en Portugal desde hace ya más de 10 ó 20 años. Han servido, pues, para este propósito, los Anuarios estadísticos y las Reseñas geográficas, geológicas y agrícolas; y, sobre todo, para los años de 1865 á 1873, los Resúmenes de las Observaciones meteorológicas de provincias, publicados con tanto esmero por el Real Observatorio de Ma- drid, y los Annaes do Observatorio do Infante D. Luiz de Lisboa. Aunque la lluvia es el elemento más variable de todos los que cooperan á formar el clima de un país, por cuya razón se necesitan muchos años de observaciones para que los prome- dios tengan alguna seguridad y los resultados obtenidos al- gún uso práctico, sin embargo, un espacio de 10 á 20 años es ya suficiente en los climas comprendidos en la zona subtro- pical — donde la variabilidad de los fenómenos atmosféricos 180 es mucho más pequeña que en otras latitudes más altas — para formarse una idea exacta acerca de la distribución de la lluvia. Inútil es insistir sobre el grado de importancia, que este estudio tiene para la ciencia pura, así como para la vida eco- nómica de la Península, y por eso entraré desde luego me- dias in res . El problema de la distribución de la lluvia exige como muchos otros de la Meteorología que se tengan en cuenta los dos elementos de espacio y de tiempo. Empecemos por el pri- mero para dar un cuadro comprensivo de la abundancia ó es- casez de lluvia en las diferentes partes de la Península. Pocos paises del mundo, y desde luego ninguno de Europa, ofrecen tantos contrastes en la distribución del agua meteóri- ca como España y Portugal. En la parte más austral del reino de León (comarca de Salamanca), la capa de agua pluviátil no es más alta que en la parte septentrional de Egipto; y al lado de esta escasez de lluvia hay regiones, como Galicia, Asturias y Provincias Vascongadas, donde llueve casi tanto como en las localidades más húmedas de Escocia, de la costa de No- ruega y de los Alpes. El siguiente Cuadro I indica la cantidad de lluvia anual en los 33 pueblos que en él se expresan. Las cifras de la 1.a columna indican el número de años de observación; las de la 2.a la altura de cada estación sobre el nivel del mar; y las déla 3.a el resultado, expresado en milímetros, de las obser- vaciones del pluviómetro. CUADRO I. Estación. Años de observación Altitud en metros. Lluviaanuaí en milímetros. Tarifa 7 15 621 Gibrallar. 16 15 757 S. Fernando. ... 24 28 764 Sevilla * . 13 90 438 Lagos. ...... ...... 71 58 25 181 Eslacion. Años de Observación Altitud en metros. Lluvia anual en milímetros. Lisboa 18 102 753 Campo-Mayor 9 288 554 Coimbra 10 141 881 Guarda. . . 9 1039 1000 Porto 10 85 1430 Santiago 17 273 1759 Oviedo 20 225 938 Bilbao 14 16 1199 Yergara. 6 168 1329 León 9 850 495 Burgos 12 860 542 Soria 12 1068 595 Valladolid 14 760 336 Salamanca 15 814 268 Madrid 22 655 380 Villaviciosa 10 666 392 Ciudad-Real 20 685 378 Jaén 6 587 605 Granada 16 680 513 Murcia 11 43 367 Alicante . 10 28 430 Albacete 10 686 356 Valencia 17 24 476 Palma 17 ? 450 Barcelona. 16 15 440 Huesca * . . . 12 450 596 Zaragoza 15 184 358 Este cuadro manifiesta que las cantidades anuales de llu- via en las estaciones de Castilla la Nueva, del reino de Múr- cia, de una parte del de León, en la costa del Este y en la parte más austral de la Península, presentan relativamente pocas diferencias; pero que en las costas del Oeste, del Norte y en el interior más montañoso de Andalucía y Portugal, va- rían mucho con el lugar y la situación física de cada estación. 182 En el caso primero la uniformidad observada permite formar promedios generales para las regiones en que la capa de agua meteórica difiere poco. Así tenemos por ejemplo: Reino de León. . . Val ladolid 336 milímetros. (Madrid . 380 » Castilla la Nueva. jVillaviciosa. ... 392 » (Ciudad-Real ... . . . . . 378 » Reino de Múrcia. r . (Murcia 356 367 » » Reino de Aragón . Zaragoza ..... ....... 358 » Estos promedios varian tan poco, que podemos reunirlos todos en un promedio general y decir: la capa de agua meteó- rica durante el período anual, en Castilla la Nueva, reino de Murcia y parte de los de León y Aragón, es de 370 milí- metros. De esta misma manera he formado los promedios genera- les siguientes: Castilla la Vieja, Reino de León, Navarra) „,A 4 B> , o • r tt } o40 milímetros, y Aragón, Burgos, Soria, León, Huesca. \ Castilla la Nueva, Reino de León, Murcia^ y Aragón (Madrid, Villaviciosa, Valla- ( dolid, Ciudad-Real, Albacete, Murcia, i Zaragoza) « ] Costa del Este, desde el Cabo de Palos él Islas Baleares (Alicante, Valencia, Bar- > 450 celona, Palma). ) Parle austral de la Península (Gibrallar, \ Tarifa, San Fernando). ........ . .,) 7 Í83 En las olías parles de la Península, las cantidades de llu- via son tan diferentes, como ya he dicho antes, que no es po- sible reunirlas en un promedio general, porque el terrepo y la situación física de las estaciones, etc., influyen mucho en la abundancia ó escasez de lluvia. Así, pues, como conclusión general solo podemos decir, que en la costa Occidental de la Península la cantidad de lluvia anual varía aproximadamente de 580 á 1760 milímetros, aumentando progresivamente del Sur al Norte, hasta llegar en Santiago de Galicia á la región más húmeda de España. Para apreciar bien la gran cantidad de lluvia que recibe esta comarca, doy á continuación las cantidades delluvia de algunos de los puntos más húmedos de Europa. Santiago (España). ...... . 1766 milímetros. Bergen (Noruega) . 1840 Alt-Aussee (Alpes) — . .. . 1940 Portree (isla Scve) ..... . 2500 Seathwaite (Inglaterra). , . . 3800 Pero justamente al lado de esa región más húmeda de Es- paña, que le ha valido un gráfico y popular sobrenombre, se hallan las comarcas más secas y áridas del reino, en las cua- les la cantidad anual de lluvia es casi igual á la que cae en Alejandría (Egipto), donde la lluvia desciende á 240 milí- metros. Tampoco pueden englobarse en un promedio general los de las estaciones de la costa del Norte, teniendo que limitar- nos á concluir, en términos generales, que la lluvia anual varía aproximadamente entre 900 y 1400 milímetros, según que el sitio está próximo al mar (por ejemplo Bilbao) ó se- parado de él por una sierra (p. e., Oviedo), ó por último en alturas ó valles más ó ménos accesibles á los vientos del mar. Las mismas consideraciones son aplicables al interior de Andalucía y de Portugal, donde el gran número de cordille- ras y su variable dirección producen diferencias marcadas entre las cantidades de lluvia anual. En la cuenca del Guadal- quivir (comarcas de Sevilla, Carmona y Ecija) se halla el mí- 184 nimo de lluvia en Andalucía, á partir de las cuales aumenta en todos los rumbos la cantidad de agua pluviátil, porque en la dirección del Sur nos acercamos al mar, y en las demás di- recciones encontramos sierras que son otras tantas barreras para las nubes: una de las cuales (Sierra-Morena) forma parte de la curva, que encierra la extensa región cuyo promedio anual es de 370 milímetros. Entremos ahora en la discusión de la distribución de la lluvia en el período anual. También existen en la Península respecto de esta distribución grandes diferencias, que ejercen mucha influencia en la vida agrícola y en el caudal de agua de los rios. Para dar á conocer esta distribución temporal del agua meteórica, doy primero por estaciones el resultado de las observaciones de más de 10 años en 18 Observatorios me- teorológicos, advirtiendo que las cifras indican el tanto por ciento del total anual. CUADRO II. Invierno. Gibraltar 41,1% S. Fernando 40,1 Sevilla 40,0 Lisboa . . 39,0 Guarda 31,8 Campo-Mayor... 32,5 Porto....! 40,5 Santiago 32,9 Oviedo 29,6 Bilbao 31,0 Valladolid 25,3 Madrid 27,0 Granada........ 30,2 Múrcia 21,8 Alicante 20,7 Primavera Verano. Otoño. 26,4% 3,4% 29,1% 26,2 2,9 30,8 24,1 6,4 29,4 26,7 2,2 32,1 29,6 7,7 30,9 27,7 8,1 31,7 19,4 5,0 35,1 25,9 10,4 30,8 28,3 14,0 28,1 23,0 16,2 29,8 30,3 13,5 30,9 29,2 12,3 31,4 29,5 5,5 34,8 32,0 5,5 40,7 30,2 10,7 38,4 185 Valencia 22,8 23,7 9,0 44,5 Barcelona.. 18,3 24,8 18,3 38,6 Zaragoza 20,4 27,4 22,3 30,9 Este cuadro demuestra que en ciertos grupos de estacio- nes meteorológicas la distribución de la lluvia sigue casi la misma marcha, siendo factible por lo tanto, reunir las indi- caciones que á ellas se refieren en un promedio general de una región más extensa. Así he formado los promedios siguientes: CUADRO III. Relación del mínimo al Invierno. Primavera. Verano. Otoño. máximo. Gibraltar, S. Fer- nando, Sevilla, Lisboa, Porto. 40% 25% 4% 31% 1 10,0 Santiago, Guarda, Campo-Mayor. 32 28 9 3t 1 0 1 2~0 Oviedo, Bilbao.. 30 25 15 30 Madrid, Vallado- lid 26 30 13 31 1 Múrcia, Alicante, Valencia 22 29 8 41 273 1 Barcelona, Zara- goza 19 26 20 35 5, 1 1 TTs Resultan, pues, seis tipos de distribución temporal de la llu- via en la Península Ibérica . El primero caracterizado por el 186 hecho de recibir aquellas comarcas la cantidad mayor de agua pluviátil en invierno, siendo el otoño la estación inmediata más húmeda, en tanto que los estíos presentan una sequedad extraordinaria. En invierno cae una cantidad deagua diez ve- ces mayor que en verano. Recordando que los alíseos del N. E. vienen á quedar en el estío por bajo de 40° de latitud N. en la Península, se concibe perfectamente que sean la causa de la sequedad notada en las comarcas sometidas á su influencia. Esa región puede por esto llamarse Región de lluvia de in- vierno, ó de lluvia subtropical , y comprende en el litoral las costas de Portugal y de Andalucía, casi hasta el cabo de Gata; y en el interior las provincias de Huelva, Sevilla y la parte llana de la de Cádiz. El tipo 2.°, al cual corresponden las comarcas de Santiago, Guarda y Campo-Mayor (y hasta cierto punto Granada), está caracterizado por no ofrecer ya tantas diferencias entre las cantidades de lluvia en invierno, otoño y primavera, y porque 1 la relación del mínimo al máximo es tan solo de — — . Consti- po tuye, pues, este 2.° tipo la Región de lluvia de invierno , otoño y primavera, que se extiende por el interior de Portugal, par- te de Extremadura y la pendiente Sur de la Sierra-Morena, hasta la cuenca superior del Genil, donde se encuentra Grana- da, que en parte pertenece al tipo quinto, porque aquí el míni- mo de lluvia corresponde al otoño. La costa del Norte comprende el tercer tipo ó región de la distribución de la lluvia, caracterizada por la circunstancia de que las cantidades de agua pluviátil de invierno y otoño son iguales entre sí, y equivalen al duplo de la que cae en ve- rano: por lo cual podemos designarla con el nombre de Re- gión de lluvia de otoño é invierno , limitada al Sur por las sier- ras Astúrica y Cantábrica. Comprende el cuarto tipo las dos Castillas y el reino de León, es decir, lámesela ó planicie central de la Península, y está caracterizado por la circunstancia de que en dichas re- giones la mayor cantidad de agua corresponde al otoño, si- guiendo después la primavera y siendo relativamente el eslío 187 casi tan húmedo como en la región anterior. A esta región la llamo Región de lluvia de otoño y primavera. Al S. E. de estas regiones hasta la costa de las provin- cias de Valencia, Alicante y Múrcia, hay otra diferente dis- tribución de la lluvia. Presenta este quinto tipo el fenómeno de que el máximo de lluvia corresponde al otoño, y está muy bien marcado el por qué la cantidad que cae en verano es la quinta parte del dicho máximo: es pues este tipo casi el opues- to al primero, y se halla muy bien definido en comparación con el siguiente por la gran sequedad de su estío. Falta, pues, examinar el tipo sexto y último, ó sea el que abarca la cuenca inferior del Ebro y las provincias de Barce- lona y Gerona, distinto tan solo del anterior, por la circuns- tancia de que el verano no es tan seco, sino casi tan húme- do, como el invierno; reduciéndose la relación de la lluvia en las estaciones más húmedas y las más secas del año al 1 mínimo de — A esta región la denomino Región de lluvia 1,8 de otoño y de igual humedad en invierno que en verano. Para mejor especificar la distribución de la cantidad de lluvia en el período anual, también se han resumido los re- sultados mensuales de diez estaciones distribuidas en la Penín- sula, escogiéndolas entre las más antiguas y mejor adecuadas al objeto. Las cifras al lado de las estaciones indican el núme- ro de años de observación. CUADRO IV. 189 Séame permitido indicar aquí cuán distinguida tarea se- ría para los establecimientos oficiales de Instrucción pública, Corporaciones científicas y Sociedades económicas de Amigos del Pais , bastante abundantes en España, el registrar ó contri- buir á que se registren, las indicaciones del pluviómetro en sus respectivas comarcas: ejemplo que vienen dando las So- ciedades análogas de otros países, sobre lodo de Inglaterra, donde ya hay mas de 500 de aquellas estaciones pluviométri- cas. Aun cuando tal se hiciera, por el concurso aunado de todas las voluntades, todavía no habría en España tantas como existen en la Pequeña Barbada, que en el año 1874 po- seía, distribuidas en una superficie de 471 kilómetros cua- drados, el enorme número de 232 estaciones pluviométricas, ó una Estación casi por cada 2 kilómetros cuadrados. Quien dude de la utilidad de estas observaciones, lea la memoria (*) que el Gobernador de aquella isla ha publicado sobre este asunto, demostrando la gran influencia de la lluvia en la co- secha de la caña de azúcar, y de qué manera puede proveerse si la cosecha será buena ó mala. (*) Report upon the rainfall of Barbadoes and upon its influence on the sugar crops 1847-1871, by Governor Rawson. Barbadoes, 1874. CIENCIAS NATURALES De la proporción de la ley electro-dinámica fundamental con el principio de la conservación de la energía y de una nueva sim- plificación de esta ley , por R. Clausius. ( Leido en la Sociedad del Rhin Inferior de las Ciencias Naturales y de Medicina , el 7 de febrero de 1876.) (Arehives des se. nat., 15 mayo 76. ) La nueva ley electro-dinámica fundamental que hemos comunicado recientemente, da lugar, en lo que concierne á su validez y su posibilidad de una simplificación, á una con- sideración muy esencial que me permitiré exponer aquí. Dos partículas eléctricas e y e tienen respectivamente en la época t las coordenadas rectangulares x> y y z y x\ y' y zJ, y tendremos para abreviar: %=x — x\ t\ u=y — y\ £ = s — zf . Además se representará la distancia de estas dos partícu- las por r, los dos elementos, simultáneamente recorridos por sus trayectorias ds y ds\ el ángulo de estos dos elementos por e, las velocidades por v y v . Si los componentes, según los ejes coordinados, de la acción que la partícula e experi- menta de parle de la partícula e se designan por Xee', Y ee y Zee\ tendremos para determinar las ecuaciones, álas cuales 191 he dado en mi anterior comunicación la forma general si- guiente: en que k es una constante que depende déla relación entre la fuerza electrostática y la fuerza electro-dinámica y n otra constante provisionalmente indeterminada. Pero la cuestión es saber, si la ley dinámica expresada por estas ecuaciones es conciliable con el principio de la con- servación de la energía. Si la acción olectro-dinámica mutua de ambas partículas se ejerce por la de un medio interpuesto, no es enteramente necesario que las fuerzas á las cuales se someten ambas par- tículas, satisfagan por su cuenta propia á este principio, atendiendo á que el medio interpuesto toma también par- te en la acción. Pero para las acciones mutuas de las corrien- tes galvánicas cerradas ocurrirá, conforme á las leyes cono- cidas que á estas se refieren, que el principio se observa^ aun sin que se tenga en cuenta el medio interpuesto entre es- tas corrientes. Multipliquemos las expresiones anteriores de X, Y y Z, , dx ch¡ dz respectivamente por — , y , y también las expresio- nes correspondientes formadas de la misma manera para las componentes X\ Y' y Z\ de la fuerza ejercida sobre la partícula e\ respectivamente por dx' d t dy dt dz ' y —j— ; su- d t roérnoslas y multipliquemos la suma por el producto ee’ y el elemento de tiempo dt , y obtendremos la expresión del tra- bajo de ambas fuerzas durante este elemento de tiempo. Des- preciando provisionalmente los términos que llevan el fac- tor n, podrá ponerse esta expresión en la forma siguiente: — d~— — ÍT(ü2+(>/2 — vofcose)J k í d (v 2 + v 2 )• r Aquí el primer término es una diferencial exacta, como debe suceder en razón del principio de la conservación de la energía; por el contrario, el segundo término no cumple to- davía esta condición. Pero consideremos dos elementos de corrientes galvánicas que pueden moverse de una manera cualquiera y tener una intensidad variable; deberemos admitir que en cada uno de estos elementos debe haber igual cantidad de electricidad po- sitiva y de electricidad negativa. Designemos estas cantidades por -j-e y — e , + e' y — e\ y combinemos: + e con + e\ + e con — e 1 , — e' con -\-e 1 y — e con — e r; ten- dremos que escribir para cada una de estas cuatro combina- ciones una expresión de la forma anterior, y hacer la suma de estas cuatro expresiones. Por consiguiente, el segundo térmi- no que, por la resolución del paréntesis, se descompone en dos, nos dará entre todos, ocho términos, que serán dos á dos iguales y de signo contrario, y que por lo tanto se destruirán en su conjunto. Entonces la suma no consistirá nías que en los cuatro términos que corresponden al primero de la ex- presión anterior que, como ya se ha dicho, satisface al prin- cipio de la conservación de la energía. Respecto á los términos afectados del factor n y que se han despreciado antes, se destruyen igualmente entre sí, por una parte, en la expresión del trabajo relativo á dos elemen- tos de corrientes, y por otra se reducen á cero, cuando se es- timule la integración á una corriente cerrada. Así es que las ecuaciones anteriores se hallan en armonía 193 con el principio ile la conservación de la energía, del modo que exigen los hechos consagrados por la experiencia. Hemos dicho además en nuestra comunicación anterior, que bajo el punto de vista teórico la hipótesis mas verosímil acerca de la constante n era el atribuirla por valor cero. De aquí que los términos afectados del factor n, de que acaba de tratarse, se anulan por sí mismos, y entonces el principio de la conservación de la energía se halla satisfecho, no solo por corrientes cerradas, sino también por elementos de las cor- rientes. Además de esta simplificación, se puede también introdu- cir otra, la cual produce en muchas fórmulas una magnitud que no tiene influencia sobre las acciones de una corriente galvánica cerrada. En las deducciones que ya nos han conducido á las ecua- ciones anteriores, nos hemos separado, bajo un punto de vista esencial, de las concepciones anteriormente admitidas. En efec- to, he tomado en consideración, no solo el movimiento relati- vo de las dos partículas eléctricas, sino también sus movi- mientos absolutos; y ademas hemos prescindido de la restric- ción, en virtud de la cual la dirección de las fuerzas ejercidas por las partículas una sobre otra, debería coincidir con la linea que las une. Por el contrario, hemos sostenido la hipótesis de que las dos fuerzas son iguales y opuestas. Pero aun esta hi- pótesis no es necesaria para fuerzas de la naturaleza de las electro-dinámicas. Si se abandonan también, puede darse á las ecuaciones fundamentales la forma siguiente: dx d / 1 d x r \ dt \ r dt. / r — ( \ — k vv eos e ) — k dt\r dt. / d / 1 d y’ \ 1 d / 1 <¿z'\ dt V r dt. ) 13 TOMO XX. 194 La fuerza que obra sobre la partícula e, según estas ecua- ciones la determinan y la fuerza correspondiente que obra so- bre la partícula e , satisfacen por su cuenta al principio de la conservación de la energía. En efecto, el trabajo de estas fuerzas durante un elemento de tiempo se halla representado por la diferencial exacta: — d J. 6 ..(1 k vv' COS £ ). T También se puede, por la aplicación de un método intro- ducido en otra ocasión por Lagrange, espresar las componen- tes de la fuerza, de una manera mas sencilla. Pues si se tiene: U= e e r r V= 6 6 VV COS £ . r ee' 1 dx dx' d y dy f S rf* a z r \ r \ dt di dt dt 1 dt ~TT 1 y si se considera U como una función de las seis coordena- nadas x , y , % , x' , y\ z \ y V como una función de estas seis coordenadas y desús derivadas relativamente á t, puede escribirse: d(V—U) dx Del mismo modo se deducirán las otras cinco componen- tes de las dos funciones U y V por via de diferenciación. En cuanto á las componentes de la fuerza que un elemento déla corriente ds esperimenta de parte de otro elemento ds\ 195 se deducirán de la formula simplificada de las ecuaciones fun- damentales las expresiones siguientes: Id — cii ds ds \—¡ — eos e d x en ds dsf 1 — r— eos e r dy cii ds d s' .¿-L r \ dz d — r dxf d s d i r dy' ds ds' d± r dz' ds ds r VARIEDADES. Heal Academia de Ciencias exactas, físicas y naturales. Programa para la adjudicación de premios en el año de 1878. Artículo l.° La Real Academia de Ciencias exactas, físicas y naturales abre concurso público para adjudicar tres premios á los autores de las Memorias que desempeñen satisfactoriamente, á juicio de la misma Cor- poración, los temas siguientes: I. Exposición elemental y completa, histórica y didáctica de la teoría y principales aplicaciones de las cantidades imaginarias. Influencia del ima- ginarismo sobre las demás nociones fundamentales de las Matemáticas , y lugar que le corresponde en la combinación bien ordenada de las diversas teorías que componen la totalidad de la ciencia . II. Determinación de los caracteres físico-meteorológicos de los diferentes climas de la Península ibérica, comparándolos con los de aquellas regio- nes en Europa y Africa con quienes nuestro pais está en relaciones de continuidad y con los de Asia y América que presenten analogías á pesar de la distancia. Aplicaciones mas notables del estudio referido. III. Catálogo descriptivo de un grupo natural de la Fauna española , indi- cando las especies de que el hombre saque ó pueda sacar alguna utilidad, y aquellas otras que les sean perjudiciales. 2.° Los premios que se ofrecen y adjudicarán, conforme lo merezcan las Memorias presentadas, serán de tres clases: premio propiamente dicho, accé- sit y mención honorífica. 8.° El premio consistirá en un diploma especial en que conste su adjudi- cación; una medalla de oro, de 60 gramos de peso, exornada con el sello y lema de la Academia, que en sesión pública entregará el Sr. Presidente 197 de la Corporación á quien le hubiese merecido y obtenido, ó á persona que le represente; retribución pecuniaria al mismo autor ó concurrente pre- miado de 1.500 pesetas; impresión por cuenta de la Academia, en la Colec- ción de sus Memorias, de la que hubiere sido laureada; y entrega, cuando esto se verifique, de 100 ejemplares al autor. 4. ° El premio se adjudicará á las Memorias que no solo se distingan por su relevante mérito científico, sino también por el drden y método de exposición de materias y redacción bastante esmerada, para que desde lue- go pueda procederse á su publicación. 5. ° El accésit consistirá en diploma y medalla iguales á los del premio y adjudicados del mismo modo; y en la impresión de la Memoria coleccio- nada con las de la Academia y entrega de los mismos 100 ejemplares al autor. 6. ° El accésit se adjudicará á las Memorias poco inferiores en mérito á las premiadas, y que versen sobre los mismos temas: ó, á falta de término su- perior con que compararlas, á las que reúnan condiciones científicas y lite- rarias aproximadas» á juicio de la Corporación, á las impuestas para la ad- judicación ú obtención del premio. 7. ° La mención honorífica se hará en un diploma especial, análogo á los de premio y accesiU que se entregará también en sesión pública al autor ó con- currente agraciado, ó á persona que le represente. 8. ° La mención honorífica se hará de aquellas Memorias verdaderamen- le notables por algún concepto, pero que, por no estar exentas de lunares é imperfecciones ni redactadas con el debido esmero y necesaria claridad para proceder inmediatamente á su publicación por cuenta y bajo la res- ponsabilidad de la Academia, no se consideren dignas de premio ni de accésit. 9. ° El concurso quedará abierto desde el dia de la publicación de este Programa en la Gaceta de Madrid, y cerrado en 31 de diciembre de 1878, hasta cuyo dia se recibirán en la Secretaría de la Academia cuantas Memo- rias se presenten. 10. Podrán optar al concurso todos los que presenten Memorias que sa- tisfagan á las condiciones aquí establecidas, sean nacionales ó estranjeros, excepto los individuos numerarios de esta Corporación. 11. Las Memorias habrán de estar escritas en castellano ó latin. 12. Las Memorias que se presenten optando á premio se entregarán en la Secretaría de la Academia, dentro del plazo señalado en el anuncio de convocatoria al concurso, y en pliegos cerrados, sin firma ni indicación del nombre del autor, pero con un lema perfectamente legible en el sobre ó cubierta, que sirva para diferenciarlas unas de otras. El mismo lema de la Memoria deberá ponerse en el sobre de otro pliego, también cerrado, den- tro del cual constarán el nombre del autor y las señas de su domicilio ó paradero. 13. De las Memorias ó pliegos cerrados el Secretario de la Academia dará á la persona que los presente y entregue un recibo, en que consten el lema que los distingue y el número de orden de su presentación. 14. Los pliegos señalados con los mismos lemas que las Memorias dig- nas de premio ó accésit , se abrirán en la sesión en que se hubiese acordado otorgar á sus autores una ú otra distinción y recompensa; y el Sr. Presiden- te proclamará los nombres de los autores laureados en aquellos pliegos con- tenidos. 15. Los pliegos señalados con los mismos lemas que las Memorias dignas 198 de mención honorífica, no se abrirán hasta que sus autores, conformándose con la decisión de la Academia, concedan su beneplácito para ello. Para obtenerle se publicarán en la Gaceta de Madrid los lemas de las Memorias en este último concepto premiadas; y, en el improrogable término de dos meses, los autores respectivos presentarán en Secretaría el recibo que de la misma dependencia obtuvieron como concurrentes al certámen, y otor- garán por escrito la vénia que se les pide para dar publicidad ásus nom- bres. Trascurridos los dos meses de plazo que para llenar esta formalidad se conceden, sin que nadie se dé por aludido, la Academia entenderá que los autores de aquellas Memorias renuncian á la honrosa distinción que legíti- mamente les corresponde. 16. Los pliegos que contengan los nombres de los autores no premiados ni con premio propiamente dicho, ni con accésit, ni con mención honorífica, se quemarán en la misma sesión en que la absoluta falta de mérito de las Me- morias respectivas se hubiese decidido. Lo mismo se hará con los pliegos correspondientes á las Memorias agraciadas con mención honorífica, cuando en los dos meses de que trata la regla anterior, los autores no hubiesen concedido permiso para abrirlos. 17. Las Memorias originales, premiadas ó no premiadas, pertenecen á la Academia, y no se devolverán á sus autores. Lo que, por acuerdo especial de la Corporación, podrá devolvérseles, con las formalidades necesarias, serán los comprobantes del asunto en aquellas Memorias tratado: como mo- delos de construcción, atlas ó dibujos complicados de reproducción difícil, colecciones de objetos naturales, etc. Presentando en Secretaría el resguar- do que de la misma dependencia recibieron al depositar en ella sus trabajos como concurrentes al certámen, obtendrán permiso los autores para sacar una copia de las Memorias que respectivamente les correspondan. Madrid l.° de diciembrej de 1876. =E1 Secretario perpétuo, Antonio Aguilar y Vela. AGRICULTURA. El guante de mallas de acero para descortezar las cepas de vid , por M. Sabaté. Desde que el sabio y modesto profesor Balbiani descubrió la existencia del huevo de invierno del phylloxera y sus especiales estudios prepararon las observaciones perseverantes de M. Boiteau, nos son desconocidos los hábitos y costumbres de tan terrible y pequeño insecto. Efectivamente, es* tando claramente demostrado que el phylloxera tenia dos existencias, la existencia aerea y la subterránea, no hemos tenido que preocuparnos sino de hallar dos medios de acción para atacarle en ambas condiciones. MM. Balbiani y Boiteau, á los cuales deberá eterno reconocimiento la in- dustria vinícola francesa, han indicado, valiéndose de muchas y concien- zudas investigaciones, el sitio en que el phylloxera de sexo deposita su huevo regenerador, el huevo de invierno y le coloca bajo las cortezas de la cepa. Allí está á la mano, y por consiguiente el medio de destruirle sin perjudicar á la vegetación de la vid, es muy fácil de encontrar, ocur- riéndose desde luego á los cultivadores la idea de descortezar las cepas, como en efecto lo han recomendado de los primeros MM. Balbiani y Boi- teau, y ha parecido la solución mas racional y mas práctica para llegar á una destrucción completa y rápida del huevo propagador. Prescindiendo de los procedimientos usados hasta el dia, por ejemplo, cuchillos y raspa- dores que pueden perjudicar á la vid descortezando su epidermis, hemos ideado un guante metálico con el cual se hace rápidamente y sin peligro la operación de descortezar. Provistos de un instrumento cómodo hemos he- cho que descortezaran una gran parte de nuestros viñedos, con la doble seguridad de destruir el huevo de invierno y favorecer el desarrollo de la vegetación, y en efecto, no se han hecho esperar los buenos resultados, de los cuales hemos dado cuenta á la Academia de Ciencias en las sesiones de 14 de agosto y 4 de diciembre últimos. La mano en que va el guante debe llevar otro de tela ó piel para disminuir la presión de las mallas de acero. El cultivador coje la cepa con la mano cubierta con el guante y la mueve de un lado á otro para desprender la corteza, después recorre el vastago de alto á abajo y vice-versa y le despoja de sus cortezas sin tener necesi- dad de ejercer una fuerte presión. Con un poco mas de precaución que para el tallo, puede encerrar los vástagos para fruto y descortezarlos hasta los primeros botones. En las in- tersecciones de dos vástagos unidos donde no puede penetrar la mano, puede emplearse un^cuchillo ó un arco. m Es inútil reunir las cortezas desprendidas para quemarlas. Laesperien- cia ha demostrado que los huevos del phylloxera, los gérmenes de la pi- rata y los dema's insectos alojados en las cortezas se destruyen con la llu- via ó el frió inmediatamente que se les desaloja ó descubre. No hay que idear el primer tratamiento que hay que hacer, la dificultad del trabajo está resuelta y el gasto de esta primera operación considera- blemente disminuido. El segundo tratamiento, el subterráneo, puede hacerse según los proce- dimientos que se usan, procedimientos que degraciadamente dejan mucho que desear bajo muchos puntos de vista. N: o.* — REVISTA DE CIENCIAS. — Tomo XX. CIENCIAS EXACTAS. RESOLUCION GENERAL DE LAS ECUACIONES NUMERICAS. (Continuación.) ~ — CAPITULO IV. Ampliación de la teoría expuesta en el capítulo precedente al caso en que la ecuación, de gra- do par , que se trata de resolver, contenga raíces reales é imaginarias. §. 21. Enunciase de nuevo y se resuelve en términos generales el pro- blema de los párrafos 16 y 17. Cuanto se acaba de exponer concerniente á la descom- posición en n trinomios de segundo grado, de una ecuación del grado en el supuesto de ser todas sus raíces imagina- rias, puede literalmente casi reproducirse, sin restricción al- guna preliminar. Representemos, en efecto, por el trinomio xiJrfx-\-v uno de los componentes de la ecuación; supongamos que, por cualquier procedimiento, se haya logrado ya determinar 14 TOMO XX. m el valor de v; y propongámonos deducir el de f correspon- diente. Cualquiera que sea el valor de v, y, por lo tanto, cuales- quiera que sean las dos raíces de la ecuación propuesta, en el trinomio considerado comprendidas: — ambas imaginarias, si v > Vi /2; reales las dos y del mismo signo, contrario al de /*, si v > 0 y < y* /2; ó reales y de signos opuestos, si v < 0; — aquel trinomio podrá suponerse siempre descom- puesto en dos binomios, de este modo: x2 j- fx + v — (x + a + 7 y/v)- De donde se deduce que / = v/7(z+ y. Y, designando por a y b las dos raíces (§. 1) del trinomio, podremos escribir también estas otras igualdades: Considerado en absoluto, ó prescindiendo de su signo, y con el solo objeto de simplificar un poco la notación y escri- tura de las fórmulas que siguen, el producto ab le represen- taremos en adelante por #2, ó por g el valor de V v. Tras de estos preliminares, en la ecuación general ¿ra + a i Xin~l -f a2afn“2 + • • • • + a2n-i X -\~ a2n = 0 pongamos sucesivamente por x sus dos valores, — gz y — gz~l, y obtendremos estos dos, en la apariencia, distintos resulta- dos: (32) 203 s2n — a, g™-1 z™-' + a2 + a2n_2 g2 js2 — a2n_t gz + a2n — 0; y #2n ¡g— 2n __ a| f n-1 ^n+i + an ^n-2 g-sn-H _ . _ . + “f" a2n_2 g~ ^ " * a2n— i g % "f~ a2n — 1 = 0. Multiplicando la primera de estas ecuaciones por g~*n z~n, y la segunda por g~*n zn, y combinando los dos resultados uno con otro, por vía de adición y de sustracción, obtiénen- se los dos siguientes (33): (sn + *-*) _ a| g-i (2n— 1 + 2-n+‘) + «. r2 (^"2 + *-n+2) + a2n_2Í/-2n+2 (*n~2 + ;Tn+2) - a2n_, g~™+' [z^1 + r*+l) + a2nf2n(Sn + rn) = 0; y (z11 — £~n) — ai 0f4 (j&n—1 — ^ n-f- 1 ) _j__ a2 g~* (jSn~2 — 2— n_b2) — ... + ... - a2_n2 g-™+2 (s11-2 - 2~n+2) + g~™+' (s2-* + r*+l) - a2nrn(zn-rn) = o. Y suponiendo ahora que (34) (35) í+a» r2n =P ai + a2n_1 g~*-n+* — ¡3, a2 + a2u_2 #“2n+4 — p2 an-i+an-M# 2 = Pn_i i ~ a2n g —y *i— a2n_i ^_2n+2 = y, a2 — a2n_2 #“2n+* =' y2 ^ an_i an-H g ' — — Yn— i ¡ 204 y aglomerando en uno solo cada dos términos equidistantes de los extremos, las ecuaciones (33) podrán escribirse de este modo: (36) O n ^ ^n— i jl n-H p2 r r * ) + — r í*11-2 + s-11* 2) — Pn-i , , , Pn A _(S + S*)+_ = 0; , Y (Sn - Z-") - (: Z ~ 2-“+‘) + (2“~2 - 2_n+2) 9 r + p (*• - o ± p (* ■ - n - o. Los binomios de la forma (s11 + z~n), ó ( zn — z-n), componentes de las ecuaciones anteriores, dependen unos de otros conforme indican las dos adjuntas relaciones algebrai- cas: (37) sn + s-* = (s + z-1) {zn~l + z-n+1) — (s11- 2 + z~n^) , y de las cuales, atribuyendo á n los valoressucesivosO, 1 , 2, 3... y recordando que f z° + z-° = 2, v s1 + s-1 = -- , y se deducen las siguientes expresiones particulares: m Las fórmulas generales, de donde proceden ó se derivan las expresiones precedentes, — de cuya exactitud, por otra parte, podemos cerciorarnos con auxilio de las ecuaciones condicionales (37),— son éstas: (40) fn fn— 2 fn—t fn— 6 + r- = L, - M, l—t + M, r— - Jf , J— + r-1 fn— i fn—3 fn—s fn —7 ' -AT, ' + iV, - N , — r + g g 3 g 5 # 7 en las cuales las letras ü/ y iV designan abreviadamente lo expuesto en el §. 17. Con auxilio de estas dos últimas fórmulas, los binomios contenidos en las ecuaciones (36) pueden eliminarse, ó que- dar reemplazados por polinomios de los grados n, n — 1, n — 2, con respecto á la letra f. Y, verificada esta eli- minación, las dos ecuaciones últimamente citadas se transfor- 206 ¡nao, sin variante alguna, en las que páginas más atrás de-* signamos por (30) y (31), y detenidamente analizamos. Ni puede ser de otro modo: por cuanto las (30) y (31) pro- ceden de la ecuación general, del grado 2??, por la sustitución sucesiva de g (cos? + \/— 1 sen?) y de#(cos? — \J — 1 sen ?), en vez de x; y las (36) por la de — gz y — gz~l. Y como, si suponemos que z = eos ? -f V — 1 sen ?, lo será también z~l = eos ? — V — 1 sen ?; y como estos valores particulares de z y de z~l satisfacen á las relaciones (37), las dos transformaciones de la ecuación general coinciden en principio y no pueden discrepar esen- cialmente en los resultados ni en un ápice. A mayor abunda- miento, y conforme en uno de los Apéndices á esta Memoria se demostrará, conviene advertir todavía que las fórmulas auxiliares (40) solo en la apariencia difieren de las que en el capítulo anterior nos sirvieron para expresar el cosw? y la , . sen w? „ , , relación , en función de las potencias enteras decre-- sen ? cientes de eos?. — Inútil es, en consecuencia, insistir un mo- mento más sobre este punto. §>. 22. Dificultades que pueden presentarse al descomponer una ecuación en trinomios reales de segundo grado , cuando son asimismo reales sus binomios componentes de primero. Guando todas las raíces de la ecuación propuesta son ima- ginarias, f)=2y/ab~y/( a+ Py/— 1) (ot — (V— 1) = \/V + P2 = g ; 207 y este valor de v sabemos ya cómo se encuentra ó determina. Y, cuando reales , la investigación es análoga é igualmente sencilla. En ambos casos los diversos valores de v se deducen por la división, unos por otros, de los coeficientes de orden impar de la ecuación final, transformada de la primitiva por la regia del §. 3.°, y extracción de las raices aritméticas de los cocientes así obtenidos, cuyos índices coinciden con los expo- nentes de las potencias á que las raices de la ecuación pro- puesta se hubieren en último término elevado. Esto supone que la propuesta es de grado par, %i por ejemplo; pero, si no lo fuese, bastaría multiplicarla por el factor (¿c + 0), ó lo- dos sus términos por x, para que, sin complicación de nin- gún género, pasase del grado %i — 1 al al cual se apli- can los razonamientos anteriores. Sean, pues, reales ó imagi- narias todas las raices de una ecuación, su distribución en trinomios reales de segundo grado podrá siempre verificarse ateniéndose á las mismas reglas. Obtenido un trinomio de la forma x 2 + fx + v, la mane- ra más sencilla de encontrar las dos raices, a y b , en él com- prendidas, parece ser la siguiente. _ f l.° Sifl>0v/<2 i/v suponiendo que — 7 — = eos 0 y f > 2\/t\ suponiendo que 2VV f = sen cp. (42) a — — \/ v . tang 7a ambigüedad subsiste por completo; y sólo por tanteos, largos y fastidiosos, puede disiparse en la prácti- ca. Preferible, pues, al uso de las fórmulas (44), es el de las (42) y (43), aplicables á la investigación de las raíces, a 2 y b\ comprendidas en el trinomio #2 + /,20 + porque, calcula- dos estos valores, inmediatamente se deducirán los de a y b; y por simple sustitución suya en la ecuación propuesta, se advertirá luégo sin dificultad qué signos deben precederles para que puedan considerarse como verdaderas raices, ó va- lores legítimos de la incógnita x. Respecto al signo de v3 no cabe duda de que en todos los casos debe ser positivo . Porque, si las raíces de la ecuación primitiva fuesen ima- ginarias y de la forma a±pV — 1, el trinomio real#2+/*2#+v2 coincidirá con este otro: x 2 + 2/ eos 2

X(Alog0o + A log «o) = 0; y B +q X (A log 0o— Alog 50) = O, Y de estas últimas ecuaciones inmediatamente se despren- de que Supongamos ahora que las dos raíces x0 y sean reales y del mismo signo, lo cual exige que v0 = g02 > O, y < y4 /*0\ Por de pronto podremos escribir entonces las siguientes igualdades: fo — - (X'O + *) — ^ 0o (^o + Zo Y (46) 10g/o = l0g 0o+ log (5o + 2o"1), Ó Alog f0 = A log 0o + A log (50 + So”1). Y si suponemos ademas, —en lo cual no hay dificultad ni inconveniente de ninguna especie,— que = sen cp0, nos /o resultará, como al deducir las ecuaciones (42), que: 50 — tang Va \ 3 conviene advertir que no sólo, por hipótesis, g* será mayor que el producto a2 b2 {= u2); sino g2 mayor también que a2 y que b2; y no sóloVz), sino menor que a2 y que b2. De esta manera ninguno de los módulos consecutivos, g2 y g 3, se hallará comprendido entre dos raíces reales, consecutivas también, a2 y b2: conforme piden las condiciones preliminares del problema, poco ántes enunciadas. §• Resolución del problema en dos distintos supuestos , ambos muy amplios ó generales. (a) — Figurémonos ahora que la ecuación propuesta pro- cede del producto de otras dos ecuaciones, una que contenga todas sus raíces reales, y la otra todas las imaginarias. La transformada, cuyas raíces sean las potencias del grado m de las raíces de la primitiva, podrá también considerarse como procedente de la multiplicación de otras dos ecuaciones aná- logas: una, cuyas raíces serán las potencias m de las raíces reales que nos proponemos determinar; y, otra, las potencias del mismo grado de las imaginarias. Estas dos últimas ecua- ciones, componentes de la final, y respectivamente de los gra- dos 2p y 2 q, á condición de ser 2 p + 2 q= 2 n , pueden representarse como sigue, en virtud de todo lo expuesto en los lugares oportunos de los dos primeros capítulos: (51) ff’P+P, a?v-1 + P2 z2?-2 + P,x^~3 + /Wp~4 + = 0, Y xn +Q i ¿r^-1 + Q2 x^ + 03 x"-' + Q* + == 0: m en las cuales debe entenderse que P 1 = [ar] = alm + blm + a2m + b2m +..... P2 = [a ® bim] = tíim + «im «2m + p3 = [a® ¿>r a2m] = «r ¿r «2m + am ór ¿2m + />4 == [ai“ ¿r2® ¿>2m] — a,m ¿im a2m b2m + y 0- = ^J c?3=tot,mrm]+i/,»/,,«rj 04= + [^í”111/ m f m] 4“ [f m f m f ra /1Vm] Y multiplicándolas una por otra, é igualando á cero su producto, obtendremos la transformada de la ecuación prime- ra, ó la ecuación cuyas raíces son las potencias m de las mismas raíces de aquella que tratamos de resolver. Esta ecua- ción, derivada de la primitiva por la regla general del §. 3, y en cuyo exámen debemos ocuparnos, es la siguiente (52): ■n+p, x‘-n- -*+ i». ^2n-2+ Pz «2n-3+ í\ +0. +PíQí + P* Qi +-P» Q¡ + 08 + P i fi¡ + PtQ 8 03 + Pi 03 225 Pero, antes de pasar más adelante, advirtamos ó recorde- mos tres cosas. Primera: que el signo [ ] lo es de suma de las canti- dades que compendia ó simboliza, combinadas entre sí y re- pelidas de cuantas maneras distintas sea factible verificarlo. Segunda: que el producto de estas cantidades simbólicas se efectúa como el de las ordinarias comprendidas dentro del corchete ó paréntesis, en términos, por ejemplo, de que p3 Q^iarbra^f’ m]; p% & = km br gr ] + [a,m tr f m r Y, tercera: que entre los símbolos f y g existe la rela- cion /*m(k)= 2 tgk mXcosrn k: en la cual la letra k indica, en ambos miembros, un número de orden, ó el par de raices imaginarias á que las f y g se refieren. Prévias estas advertencias, veamos si la ecuación (52), muy complicada en la forma, admite algunas notables simpli- ficaciones. En el coeficiente de su tercer término (P2 + Pi Qi + Qt) figura la suma incomparablemente menor que la [gi2m], conforme aumenta el valor de m, por razones muy al por menor consignadas en el Capítulo II de esta Memoria 3 y que seria ocioso repetir. En el del cuarto término de la misma ecuación se adver- tiría ó concluiría también sin dificultad que, con relación á la suma [«im ^i2m] , la [«r/'m/'m] es de todo punto insignifi- cante, lo mismo que la [f'm f"m f"'m\ con respecto á la l>i2m /“'VI- Y en el coeficiente del quinto término podrán igualmente tildarse por insignificantes ó despreciables, cuando m repre- sente un número entero muy elevado, las sumas [a^b^fmf'm], [arfuLf’mf'"*], {grf" mfV] Y [/^m f m f’m /*1Vm] > en CO- tejo de las [tf,m grm f.m] y [grmg^m]- En vez de la (52) podremos, en consecuencia, escribir esta otra ecuación, algo más sencilla ó reducida: (53) bM): x2n + Ci x 2n~1 + C2 X 2n-2 + C3 ^2n“5 + C, X™-* + en la cual, (54) C3=[ciimblm a2m ] -h [«i™ b{mf m] -h [g2mf ’m] ; C\= [úim bima™ b2m] -h [aimb1ma2m/,m] -h [a^brg^] -h [g^mg,2m] ; En los coeíicientes, C, de esta nueva ecuación es eviden- te que las sumas [ ], compuestas de solas raíces reales, como [«!m bim a2m]; de solos módulos de imaginarias, como [g2m #22m] ; ó de raíces reales combinadas con módulos de imaginarias, como [a^bi™ g2m], propenden, conforme m aumenta indefinidamente, á confundirse con sus primeros tér- minos: por hipótesis, los mayores. Pero las sumas en cuya composición figura alguna /, por la variabilidad en magni- tud y signo de estas cantidades, no es fácil, en principio, sa- ber hacia dónde convergen, ó de qué modo influyen sobre las demas y sobre el valor final del coeficiente á que correspon- den.— La duda, sin embargo, se desvanece si exclusivamente nos fijamos en los coeficientes de orden ó lugar impar, terce- ro, quinto, etc., etc., de la expresada ecuación (53), Por ejemplo, el coeficiente, (72, del tercer término pro- pende á confundirse con esta otra expresión más sencilla: atfbr + [*«/!*] +gl2m Pero la suma [ar/'m] es inferior á 2 aFgF [cosm cp*]; y esta última expresión, si g2>aibi, y gi>ai, será des- preciable con respecto á g2m: ó con respecto á a^bi™, si las relaciones contrarias de magnitud, entre gi} y «i y bi7 227 se verifican. Luego aquel coeficiente puede, en el limite , ó cuando m sea muy grande, considerarse reducido á a ™ b™ ó á g*m: á Vim ó á Fim. Pues el coeficiente del quinto término se presta á una re- duccioo ó simplificación parecida. Por de pronto aquel coeficiente puede ser escrito como sigue: chm bim x a2m b2m + ar 6*“ X g?m + g*'n X g 22 m + [almbl™a2mf'm] + [al'»gl™ f\ J. Y como entre los dos pares de raíces reales [ai y 6¡) y («2 y bz), y los dos módulos, g{ y g2, no pueden establecerse más condiciones, compatibles con las preliminares del pro- blema (§. 25), que éstas: (55) a™ b™ > a™ b2m > giim > g2m , y al>bl> a2>b2> g{> g2\ almblm> gl~m>g22m>a2mb2m, y al>bi> g,> g2> a2>b2\ «r ¿r > g*m > a2m b2m > g22m, y a{> ¿i> a2> b2> g2\ y g*m > g 2^m > «i™ éim > a2m b2m, y g{ > g2 > at> bx> a2> b2 , resulta que, según los casos, aquel coeficiente, dividido por «im ¿>r X a2mb2m, ó por a^b^Xg™, ó por g*mXg*m, propenderá en el límite bacía la unidad. Luego el coeficienle, sin modificación alguna previa, propende, ó hacia el límite vtm v2m, ó el i\m Fim, ó el Fr F2m: en suma, hacia el produc- to de los dos valores de v, de magnitud absoluta mayor, ele- vado á la potencia m. El espíritu de la demostración es de tal índole, que si la ecuación (53) la suponemos procedente de la propuesta, re- suelta en trinomios de segundo grado, de la forma x2-\-fx-\-v, y si el término v le suponemos procedente también de la combinación, por pares, ordenados por su magnitud, de raí- ces reales, ó de dos imaginarias conjugadas, concluiremos de lodo lo dicho que, cuando m sea muy grande, — aproxima- damente cuándo menos: (56) 228 j C2 =vim C* = v ™ r2m f. = ^t>2mr3m Car iVm CU. = »“*«£ vtmv^m I c. — v m V m rm V m V m ! v±v+4 — M ..... vT Vr_j_4 l'r_j_a « \ \ En el caso, pues, que examinamos, general hasta cierto punto , ó en que la ecuación propuesta contenga raíces reales é imaginarias, desiguales todas, y relacionadas las reales con los módulos de las imaginarias en los términos bien explíci- tamente referidos (§. 25), los distintos valores de v, de los cuales dependen (Capítulo líí) los de f, se deducirán utili- zando los coeficientes de lugar impar, ó de las potencias pa- res de x , correspondientes á la última ecuación transformada de la primitiva, por las mismas reglas, compendiadas en el grupo de relaciones (56), que las raíces reales, ó los módulos de las imaginarias, se determinaban en los dos casos extremos y más sencillos, ó cuando la ecuación propuesta sólo contenía raíces de una ú otra especie. ib) — Advirtamos ademas que si las vif v2, v3, vr, corresponden á distintos pares de raices imaginarias conjuga- das, y la vT+í á dos raices reales distintas, a y b, siendo a>b, no sólo los coeficientes (72, C*, C\ C2r propenderán hacia determinados* límites, conforme la potencia m á que sucesivamente se van elevando las raices de la ecuación pro- puesta aumente, sino que de análoga propiedad disfrutará el coeficiente C2r+1. Este coeficiente puede, en efecto, considerarse como de- 229 elucido del anterior, combinando con él, por vía de multipli- cación y suma sucesivas, las dos raíces reales a y b; y todas las demas de su especie, inferiores á ellas en magnitud, que la ecuación propuesta contuviere; y cuantas imaginarias, de mó- dulo asimismo inferior á las a y b, contenga todavía: ele- vadas todas á la potencia m. Y como en la suma de cuantos productos distintos, de 2r + l factores cada uno, pueden formarse con las 2 n raíces de la ecuación propuesta, ó de su derivada final , será el predominante con exceso el prime- ro de los ahora considerados, resulta que el coeficiente C2r+Í propenderá, conforme m varíe y aumente, á confundirse con el rX am. — Por lo tanto, las potencias m de las dos raices reales a y b, y no sólo la de su producto vY+í, se hallarán en este caso, como en el más sencillo que pudiera proponer- se, va considerado en el Capítulo 1, dividiendo sucesivamente los coeficientes C2r+1 por C2r, y CÍT+a por C2r+1. Pero, si en vez de representar t>r+1 un producto de dos raices reales consecutivas, a y b, representase el cuadrado del módulo común de dos imaginarias conjugadas, en la com- posición del coeficiente C2r+1 figuraría un término igual á C% r X 2 #r+1m eos m cpr+1: término, por regla general, de mag- nitud y signo variable; que predominará sobre todos los de- mas, cuando m sea muy grande y eos m cp muy poco dis- crepante de la unidad; y de cuyo signo, indeterminable á priori, dependerá entonces el de Cs !r+1. m Y este mismo valor extremo, 2 C\r X (vr+i) 2 > pero de signo invariable, sería también en el límite el del coeficiente C2r+1, si las dos raices reales, a y b, fuesen iguales, en vez de diferenciarse sensiblemente, una de otra, como poco ántes supusimos. Cuando la ecuación del grado 2 n, que se trata de resol- ver, contenga raices reales é imaginarias, resulta, pues, de cuanto se acaba de exponer y discutir: l.° Que los coeficientes de lugar impar de las transfor- madas sucesivas serán todos positivos, y propenderán á con- vertirse en potencias exactas de los diversos productos que con las distintas v pueden formarse. 230 2.“ Que el coeficiente de lugar par , anterior al primer coeficiente de lugar impar en cuya composición entre un pro- ducto de dos raíces reales, — como el Csr4,¿f anterior al C2r_ |_2, — propenderá también á confundirse con una potencia exacta del producto de las v anteriores, multiplicado por la mayor de las dos raíces a. Y 3.° Que el mismo coeficiente de lugar par, seguido de otro impar, en cuya composición figure un nuevo módulo de dos raíces imaginarias, variará continuamente en magnitud y en signo, sin tendencia ó propensión á confundirse con nin- guna potencia exacta de cantidades reales. — El cambio de signo en las transformadas sucesivas es indicio seguro, como ya tantas otras veces hemos repetido, de que la ecuación pro- puesta contiene raíces imaginarias. §. ri. Estudio de los casos excepcionales , no comprendidos en el párrafo anterior. Examinemos ahora algunos de los varios casos excepcio- nales de que en totalidad prescindimos al principio del pre- sente capítulo (§. 25), para simplificar la exposición de este complicado asunto. Aunque el análisis y discusión de tales casos parezcan, por de pronto, incompletas y poco generales, advertiráse luégo sin esfuerzo que las mismas consideracio- nes y razonamientos pueden fácilmente ampliarse á cuantos otros casos y dificultades de índole análoga surgieren en la práctica. Más que á prever y discutir cuantas anomalías en la materia de que tratamos son imaginables, propenderán las siguientes advertencias y reflexiones, á familiarizar al lector con los principios del método que debe observar para inter- pretarlas recta y prontamente, donde y cuando quiera que se presenten. (a) — Supongamos, en primer lugar, que la ecuación pro- puesta tenga tres raíces iguales á a, y otra simple, b; y que m a > b. En la composición de aquella ecuación primitiva figu- rará entonces necesariamente el producto (x -f df X (x + b) — + (3 a + b) X* + (3 a2 + 3 a b ) ¿r2 + (3 a2 b + a3) x + a2 b\ y en la de la ecuación, transformada, cuyas raíces sean las potencias m de la primera, este otro: (x + amY x (x -j- bm): cuyo límite , admitida la desigualdad de valores de a y de b, es el siguiente: (57) ¿r4 + 3 am x 3 + 3 asm ¿r2 + asm x + a5m bm. Sí las primeras v, desde la vl hasta la vr, son indepen- dientes de estas dos raices a y b, el coeficiente C 2r podrá escribirse del siguiente modo, conforme lo en el caso general y párrafo precedente expuesto: Cn = Vim V,m Vsm rrm. Y, para pasar de este coeficiente á los sucesivos, ya de- pendientes de a y de 6, bastará combinarle de todas las maneras posibles con la raiz triple am, y la simple bm, pri- mero; con los productos binarios , ternarios y cuaternarios de estas mismas raices, luégo; y conservar, por último, en las sumas de productos así resultantes, únicamente los términos como de orden superior, y que en cierto modo representan los límites hácia los cuales las mencionadas sumas propenden. Procediendo así, obtiénense sin dificultad ios siguientes re- sultados: los mismos que se hubieran obtenido multiplicando el coeficiente C* r por los coeficientes del anterior polinomio, á contar del segundo: 232 (58) í C2I+¡ — C„X3 am; \ ¿W» = C„ X 3 a2ra; 1 C2r+s = C„ x a’,m; y \ C,t+t = C» X o5m bm. De donde se deduce que, (59) C. sr-hi 3am; C. r .nm. °2r+3 ■ti , c r-f-i car+2 'ar+4 =r¿T ar-bo Resultados que comprenden, sin ambigüedad de ningún género, los caractéres de 7nultiplicidad de la raiz a , y las reglas á que debemos atenernos para determinar los valores de a y de b: reglas que en nada discrepan de las generales, anteriormente deducidas. Ni se complica la cuestión, poco ni mucho, por suponer que a sea menor que 6, en vez de suponerla mayor, como en un principio admitimos. Porque en esta segunda hipótesis reemplazarían, al polinomio (57) este otro: (60) + bm xz + 3 ambm x* + 3 a2m bm x + bm ; á los coeficientes del cuadro (58) los que siguen, obtenidos por la combinación de C2T con los coeficientes del (60): firXf; C2vX 3 am bm; C2T X 3 orm bm; y C2r X y á los cocientes (59) los (62), igualmente notables por el or- den en que se suceden y las relaciones de magnitud de las cantidades que representan: 283 (62) a2 r 4-1 C\r í"; -§^=3am; C. r-4-i car+2 ■a ; v c„ • c., 2r4-5 La existencia, pues, de raíces iguales en la ecuación pro- puesta, ni complica apénas la solución general de la misma ecuación, ni puede ser causa de notable ambigüedad ó duda al interpretar los distintos resultados que se obtuvieren, pro- cediendo, por de pronto, como á ciegas en la investigación de todas las raíces. ( b ) — Y, en segundo lugar, continuemos suponiendo que la ecuación propuesta contenga una raiz real, g, igual al mó- dulo de dos imaginarias conjugadas, asociada con otra, a , real también y menor que g: ó, en más sucintos términos, supon- gamos que en la composición de la ecuación primitiva figura este producto: {X- + fx + g 2) [x + g) (x + a), ó el polinomio equivalente «*•4 En la ecuación final, transformada de la primera, entrará también como factor este otro polinomio: (63) + («m + U + 9m ) *5+ («m 9m + fm+ 9mu+rw + (am gm fm + am fm + g sm) x + am g™\ Y precisamente los coeficientes de este polinomio, á con- tar del segundo, son los que deben combinarse por vía de multiplicación con el C%x para hallar los coeficientes limites sucesivos de la ecuación transformada que se busca. En efec- to: si los valores de vy desde hasta vT, son independien- tes de las cuatro raíces, — dos imaginarias y dos reales, — á que ahora alendemos, del valor de C2Í se deducirán los de Cir+if C2r+2, multiplicando el primero, sucesivamente, por aquellas cuatro raíces, que son las mayores de su espe- 16 TOMO XX. m cié, no consideradas todavía, y reuniendo en una suma los cuatro productos así obtenidos; y verificando después opera- ciones análogas con los productos binarios , ternarios y cua- ternario de las mismas raíces. Los resultados finales, supo- niendo ya muy elevado el valor de m, puede, sin error sen- sible, admitirse que se reducen á estos: / a, conforme m aumente, la potencia am adquirirá un valor relativo cada vez menor, y despreciable al fin, comparada con la gm; y el trinomio con- siderado redúcese entonces al binomio fm + gm. Pero el tér- mino fm puede variar entre — 2 gm y luego la in- determinación del trinomio, y, por lo tanto, del coeficiente á que corresponde, Car+1, es inevitable en el curso de las transformaciones sucesivas de la ecuación propuesta. Lo propio sucede con el coeficiente C>r+2. — Porque, en el límite , el polinomio am gm + am fm + gm fm + g~m se reduce al binomio gmfm + g*m; y, como el primer término de este binomio puede variar entre — 2 g~m y + 2 g2m no hay me- dio en realidad de asignar límite alguno hácia el cual pro- penda el mencionado coeficiente. Mas el tiene un valor final determinado: porque en el polinomio am gm fm + am g*m + g*m , el último término predomina al fin sobre todos los demás, hasta anularlos por completo casi. Y de la misma propiedad goza el C2r+4, y por razón mucho más fácilmente perceptible todavía. En resúmen: los cuatro coeficientes que en el caso ahora examinado siguen al C2V, en la transformada (2m). podrán escribirse de este modo: 235 (65) El carácter, pues, de este caso excepcional es el de pre- sentarse en las transformadas sucesivas dos coeficientes con- secutivos, indeterminados en magnitud y en signo. Mas, pres- cindiendo de estos dos coeficientes, rebeldes al análisis, los valores de g y de a se deducen inmediatamente, de los dos siguientes y del anterior á ellos, por el procedimiento senci- llísimo y general ánles expuesto. Si en vez de suponer que g>a, admitiésemos que a>g , al cuadro de relaciones algebráicas (65) reemplazaría este otro: y las consecuencias de su análisis serían las mismas que en la hipótesis anterior. (i c ) — No dos coeficientes consecutivos, sino tres , cinco , ...., coeficientes, variables con incesante irregularidad, nos resul- tarían en las transformadas sucesivas, si, en tercer lugar, con- siderásemos el caso de que la ecuación propuesta contuviese dos y tres, pares de raíces imaginarias, no precisamente iguales, sino dotadas del mismo módulo: como, después de todo lo expuesto y referido, sería fácil tarea, aunque un poco larga y fastidiosa, demostrar. (d) — Y, por último, y para no insistir más en asunto tan sencillo en la práctica como difícil y complicado en teoría, m por su mucha generalidad y variabilidad interminable, supon- gamos que entre dos raíces reales, a y b, de la ecuación propuesta, se baile comprendido el módulo, g, de dos ima- ginarias conjugadas. — En aquella ecuación figuraría entonces el producto (x- + fx + g 2) (x + a) [x + ó), equivalente á este polinomio: a?4 + [a + b + f) x° + {a b + a f+ b f + g*) x 2 + (a b f+ a g- + bg~) x + a bg*. Y este polinomio, suponiendo que (67) a>g>b, se convierte en la última ecuación, transformada de la primi- tiva, en el que sigue: (68) ** + (am + fm) ** + (affi bm + ara fm + g 2m) ar + (am bm fm + am g*m) x + ambm g-m. Verificándose la doble condición (67), puede, sin embar- go, suceder que g 2 sea mayor que a b, ó menor, ó igual á este producto; pero en los tres casos el coeficiente de x~% en el polinomio (68), propenderá hacia el límite am; el de xr resultará indeterminado, en magnitud y signo; y los de xl y x° propenderán evidentemente hacia los límites am g°m y ambmg-m. — Por lo tanto, suponiendo que los valores de v , desde ví basta vY inclusive, sean independientes de las cua- tro raíces que ahora consideramos, nos resultará que f‘C„ = v™v¡imv™ v, i ^r+., = C2Y X cim; (69) )csr+2=(?) ' Cií+t — CirXambm y m Ó, en términos vulgares, nos resultará indeterminado un solo coeficiente de lugar impar : anomalía distinta de todas las advertidas en los demas casos excepcionales anteriormente examinados; pero de ninguna trascendencia en el asunto. Pues, prescindiendo de aquel coeficiente, nada más fácil y ex- pedito que hallar los valores de a, f y b , con auxilio de los otros dos inmediatos, anteriores y posteriores, entre los cua- les se encuentra comprendido. (e) — En conclusión: siempre que las raíces, reales ó ima- ginarias, discrepen unas de otras sensiblemente, la aplicación, hasta irreflexiva, más ó ménos veces reiterada de la regla del (§. 3), nos proporcionará una ecuación, derivada de la pro- puesta, de cuyos coeficientes, limitados todos, ó alternativa, regular ó irregularraente, limitados ó indeterminados, podre- mos deducir los valores de aquellas raíces, ó de sus módulos, ó de sus productos binarios, distribuidos por orden de mag- nitud. Y la solución completa del problema no pide tampoco más que esto último, según lo expuesto y demostrado en los dos capítulos anteriores. Ni áun la condición previa, en el presente admitida como necesaria para simplificar la exposición del asunto,— -la de que sea de grado par la ecuación que se trata de resolver,— tiene importancia alguna, ni siquiera objeto, en la práctica: porque, aplicando cuantas veces fuere menester la regla del (§. 3), obtendremos siempre una nueva ecuación, de cuyos coeficientes, limitados, en el sentido convencional atribuido á esta palabra, en totalidad ó sólo en parte, seguu la naturaleza de las raíces y las relaciones de magnitud que entre las reales y los módulos de las imaginarias existan, imposibles de prever por de pronto, se desprenderán luégo los valores de aquellas raíces y de los módulos con ellas combinados y como insepa- rables en la ecuación primitiva. Bastará resolver un par de ejemplos muy sencillos para adquirir la certidumbre, en algún modo experimental, de lo que acabamos de decir, y penetrarse de la generalidad y fe- cundidad del método de investigación y análisis expuesto. La prueba maierial no es necesaria, ni prueba nada apénas, tras 238 el razonamiento teórico; pero tampoco suele pecar de ociosa nunca. §. 28. Ejemplos y síntesis del método . (a)— Como primer ejemplo, propongámonos hallar las ral- ees ó factores de la ecuación 3 x* + 7 o?2 + 22 = 0, equivalente á esta otra: (2o) r + 1.4-0* + 4. 4= 0. Las dos primeras transformadas, directamente construi- das por la regla del (§. 3), son las siguientes: (21) ír+ 1.96 a* — 12.32 £ + 19.36 = 0; y (22) a5 + 28.4816 + 75.8912 x + 374.8096 = 0. El cambio de signo del coeficiente de x nos indica que no todas las raíces de la ecuación (2o) son reales: y como una, por lo ménos, debe serlo, concluyese que las otras dos serán imaginarias. Reemplazando los coeficientes de la (22) por sus logarit- mos, y aplicando luégo tres veces consecutivas la misma re- gla de derivación de nuevas ecuaciones, obliénense sin difi- cultad estos resultados: (22) r + 1.45456 x* + 1.88019 a? + 2.57381 =0 (25)r + 2.81916 ¿r — 4.19286 £ + 5.14762 = 0. (24)¿r + 5.66839 xr + 7.76185^ + 10.29524 = 0 (23) x* + 11.33654 ¿r — 16.17769 x + 20.59048 = 0. 239 En la transformada (26) el coeficiente de x1 sería igual al duplo del mismo coeficiente en la (25); el de x volvería á cambiar de signo: y el de x° se obtendría, como siempre, y lo mismo que el de x* ahora, por simple duplicación del que le corresponde en la precedente. Las operaciones de transfor- mación ó derivación terminan, pues, en la (25). Y de esta ecuación se concluye, sin dificultad, que 25 X log a = 11 .33654 ; y 23 X log a b c = 20.59048 Conocemos, pues, ya con esto la raíz real, a , — negativa en el sentido volgar algebraico; y el cuadrado, g 2, del mó- dulo de las dos imaginarias conjugadas. El valor de f, que al trinomio x~ + fx + (f corresponde, se deduce en el ejemplo propuesto de esta sencillísima condición: + 2.26083 +/*=+ 1.4 Y, con el grado de aproximación que el uso de las tablas lo- garítmicas de cinco cifras decimales permite obtener, conclu- yese finalmente que 5 (#2 — 0.86083 £+1.94619) (^+2:26083) =5¿5+70s+22. (b) — Algo más complicado que el anterior es el siguiente segundo ejemplo, que pasamos a resolver. (2o) a5 — 7 + 103 x° — x* — 1834 x — 11824 = 0. Reemplazando los coeficientes de esta ecuación por sus logaritmos, y calculando luego los de su primera transforma- da con siete cifras decimales, para evitar muy desde el prin- cipio la acumulación de errores, obtiénense por de pronto, es- tos resultados: 240 (20) ¿3 - 0.8450980 a;4 + 2.01 28372 x 3 — 0.0000000 3.2633993 x — 4.0727644 — 0 (21) ¿3 — 2. 1958997 + 3.8405452 x* + 5.7350715 ¿r + 6.5237345 x + 8.1455288 = 0. Limitemos ahora la aproximación á la compalible con el uso de logaritmos de cinco cifras; y como déla ecuación (2o) se ha deducido la (21), asi de ésta se desprenderán sucesi- vamente, y cada vez con mayor facilidad, las cuatro que si- guen: (22) x*+ 4.03322 x'1 + 8.35271 ®5 + 11.31 186 ar— 14.14851 x -f- 16.29106 = 0 (23) ¿c3 — 8,52377 x% + 16.66313 ¿r + 23.02486 ¿r-J- 28.07188 x + 32.58212 = 0 (24) xr> + 16.28980 xl + 33.34053 ®5 + 46.00544 af-+ 55.76589 x + 65.16424 = 0 (23) ¿r — 33.60217 ¿c4 + 66.68102 a?3 + 92.00979 £*2+ 110.64963 x + 1 30.32848 = 0. Si déla última ecuación nos propusiésemos todavía dedu- cir la (2G), advertiríamos: que el coeficiente de x,k cambiaba otra vez de signo y conservaba su carácter ya manifiesto de indeterminación ó variabilidad irregular; que los de x 3 y x- se obtenían, por el contrario, duplicando los de estas mis- mas potencias de x en la (23); y que el de x\ como el de la x\ continuaba indeterminado. Del último coeficiente no hay que preocuparse; pues en éste, como en cualquiera otro caso, obtiénese siempre dicho coeficiente por duplicación del que le corresponde en la precedente transformada, con inde- pendencia completa de lodos los demas, De la ecuación (23) sólo podremos, en consecuencia de lo 241 advertido, utilizar tres coeficientes para resolver la (2o); y como ésta contiene cinco raíces, la solución resultará incom- pleta, por de pronto, y se limitará á determinar los valores aproximados de la única raiz real , que aquella ecuación com- prende, y de los dos módulos de sus cuatro raíces imagina- rias. A renglón seguido se expresan las ecuaciones de condi- ción que han de servir para esto, y los resultados finales que de ellas se desprenden: 23Xlog ab = 66.68102 \ lQgo6 = 2.083782\ 23Xlo gabc — 92. 00979 ( ; log c =0.791524 S; y r X log abcde = 130.32848 ] log de = 1.197458 J ab~g* = 121.278; 6.18764; y de = g,% = \ 5.7564. Para determinar ahora los valores de f y fit que á los de /f Y 9i~ corresponden, habría que considerar la ecua- ción propuesta como de sexto grado , multiplicando para ello lodos sus términos por x ; y aplicar á esta investigación las fórmulas ( a ") y ( b ") del (§. 18). Pero esto, que ya en otro ejemplo análogo se practicó, y que es lo más directo é irre- prochable en teoría, puede, en casos como el presente, sim- plificarse y abreviarse en gran manera, por el método del (§. 13). Si, en efecto, la ecuación (2o) la consideramos como equi- valente á esta otra: (*2 + /* + S,2)(«2 + /> + S'12) (® + c) = 0, concluyese por necesidad ineludible que f+fi + c = — 7, y r 9 i + c (f A + ogr f = — 1 834. Luego los valores de f y flf después de conocidos los de tf,g* y c , dependen de la resolución de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Sustituyendo por g 2 y g i2 sus actuales valores, positivos , y por e el que le corres- ponde también, con signo contrario al de la raiz algebráica que representa, ó con el signo menos , dedúcese de aquellas ecuaciones que /= — 6.66922, y £= + 5.85686. La solución de la ecuación propuesta, (2o), queda así completada, con el grado de aproximación, un poco exagera- do ó ficticio tal vez, que las tablas auxiliares de logaritmos de cinco cifras consienten. Y si fuere menester ó conviniere cerciorarse de la exactitud de los cinco valores de g 2 y /j, g{- y Y c, y rectificarlos, en caso de necesidad, habría que em- plear el procedimiento y fórmulas, adecuadas al objeto, y en los párrafos (8) y (14) consignadas. —Sobre este punto no hay ya nada nuevo que advertir. (c)— De mayor reparo es digna la aparente ligereza con que, del examen de las transformadas sucesivas de la ecua- ción (29), y, muy en particular, de la (25), hemos concluido que aquella primera ecuación contenía una sola raiz real y cuatro imaginarias. ¿Por qué no serían reales tres é imagina- rias dos únicamente? ¿Y por qué entonces el producto ab ó el de, en vez de representar el cuadrado , forzosamente positivo , de un módulo, no representaría el simple producto binario de dos raíces reales, acaso negativo , contra lo supuesto en el cálculo posterior de f y fj Repasemos muy por encima las diversas consideraciones teóricas en esía Memoria expuestas, con aplicación al ejem- plo de que ahora se trata; y no sólo resultará justificado lo que se acaba de practicar, sino que, tal vez, se disipe la ténue oscuridad que, al discurrir en el asunto, pudiera ofuscarnos todavía. Si las cinco raíces, — a,b,c,d se, — de la ecuación propuesta fuesen reales, los coeficientes de todas las transfor- madas serían positivos . No lo son todos: luego el primer su- puesto resulta inadmisible. Mas pudieran ser reales tres , y existir entre ellas y el mó- m dalo, g, de las oirás dos , estas relaciones de magnitud abso- luta: a> b> c> g. Pues en la transformada cuyas raíces fuesen las de la pro- puesta, elevadas á la potencia m, conforme este número au- mentase, se verificaría entonces: que el coeficiente del segun- do término contendría la potencia m de a , superior con gran- dísimo exceso á las demas potencias ó cantidades con ella com- binadas, por vía de adición ó suma; que el del tercer término contendría la misma potencia, dotada de igual ó análoga pro- piedad, del producto binario ah; y que el del cuarto conten- dría la del producto ternario abe, incomparablemente mayor asimismo que las potencias m de los demas productos de este nombre que con las cinco raíces pueden formarse. Y, por lo tanto, los tres coeficientes mencionados, variables de signo al- guna vez, en las primeras transformadas, concluirían por ser positivos, y por convergir hácia límites determinados. Falla también la consecuencia en el ejemplo resuelto: luego la con- dición previa, de donde lógicamente se desprende, debe ca- lificarse de errónea é inadmisible. É inadmisible sería análogamente cualquiera otra en que el módulo g no ocupase el primer lugar, por orden de mag- nitud, en las relaciones, parecidas á la anterior, que entre él y las raíces reales se establecieren. Pues bastaría que a fue- se mayor que g, aun cuando g superase á b y c, para que en el coeficiente del segundo término de las transforma- das sucesivas predominase la potencia m de a sobre todas las demas; y para que, en consecuencia, adquiriese este coe- ficiente el signo positivo y un valor determinado, ó indepen- diente de los que le preceden y siguen en la anteúltima de las ecuaciones, por la regla del (§. 3), derivadas de la primi- tiva. Resta, pues, saber si es ó no admisible esta otra condición preliminar: g > a > b> c. Cierto que en las transformadas sucesivas el término, de m signo indeterminado, 2 gm eos m ó logó =0.66577702; y 2G x log abcde = 163.6033600 ! f log cde=\ .05239764. Si, en efecto, fuesen iguales las tres raíces, designadas por c, d y e , el logaritmo de su cubo sería conocido, y el valor común de las tres raíces se deduciría inmediatamente. Pero ¿cómo cerciorarse de que son absolutamente iguales, ó de que difieren poquísimo unas de otras?-— No es fácil la res- puesta, en términos generales por lo ménos. Advertiremos, sin embargo, que si fuesen iguales, por lo explicado en el §. 27, los coeficientes de x\ x y x° propen- derían respectivamente hácia los límites „m 0m 0m 3 (abe) , 3 (abe*)' y (aóc5)' . Luego, con alguna aproximación á la verdad, podríamos escribir estas relaciones, que de la consideración de la trans- formada (2G) se deducen: 2GXlogaó = 96.2499112; 26 x 1 ogaóc =119.1954429 — log 3; 26 X log abc~ = 141 .6443493 — log 3; y 2G X log aóc5= 163.6033600, Y combinando la primera con la segunda, la segunda con la tercera, y la tercera con la cuarta, se concluirán estos tres valores de log c: loge = 0.3510689; 0.3307641; ó 0.3303646. La pequeña discrepancia de estos logaritmos puede pro- 247 venir, ó de discrepar en realidad las tres raíces buscadas, ó de no representar todavía la ecuación (2G) el límite ó la trans- formada final de la (2°) con suficiente grado de aproximación. Lo único, pues, averiguado es que, ademas de las raíces a y b , contiene la ecuación propuesta otra ú otras raices, cuyo logaritmo aproximado es 0 . 3508 ó el valor numérico co- mún 2,25 ... Y con este primer valor, y por la regla de New- ton, será menester calcular otro y otros, hasta llegar al pun- to de aproximación apetecido. Y que la regla de Newlon es aplicable en este caso se in- fiere del hecho incuestionable de no contener la ecuación pro- puesta más de una raíz real, á la cual el número 2.25 se aproxime. Pues si, por el contrario, contuviese tres, las cinco raices serían reales, y la transformada (21) debería poseer todos sus términos positivos. No los posee: luego, en virtud de cuanto procede, dos de aquellas cinco raices son imagina- rias, y el número 2.25 ... se aproximará á la única raiz real desconocida todavía, distinta de las a y b. Mas, si las tres raices c, d ye son de especie diversa, imaginarias dos y real una, ¿cómo, ni por un momento, he- mos podido suponer que fuesen exacta ó aproximadamente iguales? — Muy sencillo. La transformada (26) así lo es de la (2°) como de la (21): déla (2°), que contiene dos raices imaginarias, como lo prue- ba la existencia del signo negativo en la (21); y de la (21), que no contiene ninguna de aquella especie ó nombre, conforme lo indican los signos positivos de todos los términos de todas las transformadas sucesivas, hasta la (26) inclusive, y las que á continuación pudieran deducirse. ¿Y de qué forma deben ser las raices imaginarias de la (2°) para convertirse en reales en la (21), por la simple eleva- ción al cuadrado?-— De ésta: =±= p \/ — 1 ; y no de la general, a dfc ¡3 \J — 1 . La observación es evidente, y tan importante que nos da la clave para acabar de resolver con grandísima sencillez y por completo la ecuación primitiva (2°). En efecto: las dos raices a y b son ya conocidas; y la c , m considerada como real también, debe ser tal que, sumada con ellas, reproduzca el coeficiente de a?4, igual á cero en este caso: con lo cual esta c puede asimismo darse por determi- nada. Y como el coeficiente, 360, del último término es igual al producto de las tres raíces reales por el cuadrado del mó- dulo de las dos imaginarias, conocidas ya aquellas tres raíces, sencillísimo será también averiguar lo que el módulo, ¡3 ó g, aproximadameníe vale. Los valores de las cinco raíces, por tan breve procedimiento obtenidos, son, en fin de cuentas, los que siguen : a = — 6.888550; 6 = + 4.682091; c = + 2.256459; y á= — e= + 2.236068 (Se continuará.) m ASTRONOMIA. Discurso pronunciado por Mr. Adams, presidente de la Sociedad Real Astronómica de Londres , en la sesión general y anual de Febrero de 1876, al presentar á Mr. Le Verrier la me- dalla de oro de la Sociedad. ( Dulletin de la Asociation scientifique de France; núms. 519 y siguientes.) No han trascurrido todavía muchos años desde que se concedió nuestra medalla á Mr. Le Verrier por sus teorías y tablas de los cuatro planetas más próximos al Sol, á saber: Mercurio, Venus, la Tierra y Marte. Mucho tiempo ántes de esta época habia estudiado los grandes planetas; pero sin terminar su teoría, creyó necesario establecer sobre bases sólidas la del movimiento de la Tierra, de la cual dependen todas las demás, y esto, naturalmente, le condujo á estudiar con predilección la teoría de los tres planetas que, con la Tierra, constituyen la parte inferior del sistema solar. Por la comparación de estas teorías con las observaciones, llegó Mr. Le Verrier á resultados interesantes. Halló que para que concordasen con la observación las teorías de Marte y de Mercurio, era necesario y suficiente aumentar el movi- miento secular del perihelio de Mercurio, como también el del perihelio de Marte, y de aquí dedujo la conclusión de que habia, por una parte, en la inmediación de este, y por otra, en la de aquel, cantidades sensibles de materia que no se ha- bían tenido en cuenta en los cálculos. Tal conclusión aparece demostrada respecto del planeta Marte. La materia que no se habia tenido en cuenta pertene- cía á la misma Tierra, cuya masa era demasiado pequeña, porque se habia deducido de una paralaje muy débil del Sol; por la teoría de Venus se ha deducido un aumento semejante TOMO XX. 17 250 de la masa de la Tierra; y del mismo modo se ha obtenido un incremento correspondiente á la paralaje del Sol, de la ecuación lunar del movimiento de dicho astro. No ha podido todavía hacerse una comprobación semejan- te en cuanto á Mercurio; pero la teoría del planeta se ha re- dactado con tanto cuidado, y sus pasos sobre el Sol suminis- tran observaciones tan precisas, que no puede quedar duda alguna acerca de la realidad del fenómeno en cuestión. La única manera de lomarla en cuenta es creer, con Mr. Le Yer- rier, en la existencia de varios planetas de pequeña dimen- sión, ó de cierta cantidad de materia difusa, que circula alre- dedor del Sol en lo interior de la órbita de Mercurio. Los resultados que Mr. Le Yerrier ha obtenido así en sus investigaciones sobre el movimiento de los planetas inferiores, han añadido interés á sus trabajos cuando ha tratado de los cuatro grandes planetas que están más distantes del Sol. Estas investigaciones pueden suministrar datos sobre la materia, ahora desconocida, que existe á la inmediación de estos pla- netas, y en lodo caso, pueden proporcionar materiales para tos descubrimientos futuros. En Mayo de 1872 presentó Mr. Le Verrier á la Academia una Memoria muy estudiada, que contenia la primera parte de sus investigaciones sobre las teorías de los cuatro planetas superiores, Júpiter, Saturno, Urano y Nepluno, cuya Memoria contiene un trabajo acerca de las perturbaciones que cada planeta experimenta por la acción de los otros tres. Durante todo el tiempo de esta investigación, el desarrollo de la fun- ción perturbadora, como también las desigualdades de los elementos, está dado en forma algebráica, en la cual todas las cantidades que varían con el tiempo se hallan representadas por un símbolo general, de modo que la expresión presentada por Mr. Le Yerrier conviene á una época cualquiera. Tam- bién las excentricidades de las órbitas, sus inclinaciones sobre el plano de nuestra eclíptica, la situación del perihelio y la de la intersección de la órbita de la Tierra con la de los planetas, quedan en estado de variables, dándose únicamente en núme- ro la longitud média de los grandes ejes. Al fin del resúmen de su Memoria expone Mr. Le Yerrier 2S1 el programa, casi asombroso, ele la obra que le falla que hacer. Dice que será necesario: 1 . ° Calcular las fórmulas, y reducirlas á tablas provisio- nales. 2. ° Reunir todas las observaciones exactas de los cuatro planetas, y discutirlas de nuevo, á fin de reducirlas á un sólo y único sistema de coordenadas. 3. ° Por medio de las tablas provisionales, calcular las po- siciones aparentes de los planetas en las épocas de obser- vación. 4. ° Comparar las posiciones observadas con las calcula- das, deducir la corrección de los elementos elípticos de los cuatro planetas, y examinar si es completa la conformidad. 5. ° En el caso contrario, hallar la causa de la divergencia entre la teoría y la observación. Por inmenso que parezca este programa, ya se ha puesto en ejecución por completo, en cuanto se refiere á los plane- tas Júpiter y Saturno: respecto á Urano y Neptuno, no ha ter- minado todavía el trabajo. Habiendo recibido de la Academia de Ciencias los estímu- los más eficaces para proseguir sus investigaciones, Mr. Le Verrier no ha perdido el tiempo y las ha llevado gradualmente á término, á fin de que se puedan poner en práctica. En consecuencia, el 26 de Agosto de 1872 presentó á la Academia una Memoria, que contenia una determinación com- pleta de las perturbaciones mútuas de Júpiter y Saturno, que servia de base para las teorías de ambos planetas, que están íntimamente ligadas una con otra. Nuevamente, el 11 de Noviembre del mismo año, presen- tó su determinación de las variaciones seculares de los ele- mentos de las órbitas de los cuatro planetas Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno, cuyas variaciones dependen una de otra, y deben, por consiguiente, tratarse simultáneamente. De aquí resulta que su determinación supone la resolución de 16 ecua- ciones diferenciales, cuya forma es muy complicada, y que no pueden integrarse más que por repelidas aproximaciones. Esta parte de la obra forma un preliminar necesario del 252 tratamiento de la teoría de cada uno de los cuatro planetas en particular. El 17 de Marzo de 1873 presentó Mr. Le Yerrier á la Aca- demia la teoría completa de Júpiter, y el 14 de Julio del mis- mo año hizo que á este trabajo siguiese la teoría completa de Saturno.- En Enero de 1874 presentó sus Tablas de Júpiter, fundadas en la teoría de que acabamos de hablar, la cual se había comparado con las observaciones hechas en Greenwich, de 1730 á 1830 y de 1830 á 1869, al mismo tiempo que con las observaciones hechas en París desde 1837 á 1867. El 9 de Noviembre de 1874 también presentó á la Acade- mia una teoría completa de Urano. Ya en 1846, en las inves- tigaciones que le condujeron al descubrimiento de Neptuno, había dado un estudio completo de las perturbaciones ejerci- das sobre Urano por la acción de Júpiter y Saturno. En la Memoria de 1874 volvió á insistir en sus primeros trabajos, y daba una teoría más perfecta, pues que contenía un tratado completo de las perturbaciones ejercidas sobre Urano por la acción de Neptuno. El 14 de Diciembre de 1874 presentó una nueva teoría del planeta Neptuno, completando de esta manera la parte teórica del inmenso trabajo que había realizado sobre el sistema pla- netario. Finalmente, el 23 de Agosto de 1875, expuso en la Aca- demia la comparación de las observaciones con la teoría de Saturno. Hé aquí una sencilla enumeración de los diferentes trabajos que la ciencia debe á nuestro ilustre asociado. Parece increíble, si no lo hubiéramos visto actualmente, que un sólo hombre haya tenido la energía y perseverancia necesarias para atravesar con paso firme todo el estudio del sistema solar, y determinar con el cuidado más escrupuloso las perturbaciones mútuas de todos los principales planetas que parecen actuar unos sobre otros. Después de haber desarrollado estas consideraciones pre- liminares, el sábio astrónomo inglés se propone analizar com- pletamente las Memorias insertas en ios Anales del Observato- rio de París. 253 El capítulo XVIII de las Investigaciones de Mr. Le Verrier, que comprende casi enteramente el tomo X de las Memorias, se halla consagrado á la determinación de la acción mutua de Júpiter y Saturno, la cual sirve de base para la teoría de estos dos planetas. Estas teorías son sumamente complicadas, y trataremos de indicar ó de explicar, tan completamente como nos sea posible, sin la introducción de símbolos algebráicos, la natu- raleza de las dificultades particulares de que ha tenido que triunfar Mr. Le Verrier para conseguirlo, y que ha sabido vencer con tal éxito. Estas dificultades no existen, ó son mu- cho menores cuando se trata de planetas de menor volumen, ó sea de los que son inferiores á Júpiter. En primer lugar las masas de Júpiter y Saturno son mu- cho más considerables que las de los planetas inferiores, pues la masa de Júpiter es 300 veces y la de Saturno 100 veces mayor que la de la Tierra. De aquí resulta que es necesario desarrollar mucho más las séries infinitas que sirven para expresar las perturbacio- nes, y que no pueden limitarse al desarrollo de los primeros términos, como puede hacerse cuando se trata de planetas in- feriores. Además, Júpiter y Saturno se hallan tan distantes de los planetas que pertenecen á la familia de la Tierra, que son muy pequeñas las desigualdades producidas por ellos, á pesar de su enorme peso. Pero no es la magnitud de la masa perturbadora la única causa que hace que sean tan complicadas las teorías de las perturbaciones mutuas de Saturno y Júpiter: hay otra que agrava el efecto de las masas, y es que sus movimientos medios son casi comensurables. Dos veces el movimiento me- dio de Júpiter difiere muy poco de cinco veces el movimiento medio de Saturno. En otros términos, cinco años de Júpiter emplean casi el mismo tiempo que tres años de Saturno; de donde resulta que si ambos planetas se hallan en conjunción en ciertos puntos de sus órbitas, la conjunción inmediata no se verificará lejos de esta posición. El período que separa dos conjunciones sucesivas será tres veces su movimiento sinódico: estas conjunciones se re- 254 petirán casi en tres períodos sinódicos, y así indefinidamen- te. Resulta de aquí que las perturbaciones irán acumulándose en la misma dirección durante un gran número de revolucio- nes de ambos planetas, y llegarán á ser muy importantes. Las desigualdades de largo período que provengan de estas causas, influyen en todos los elementos de las órbitas de ambos planetas, pero las más importantes son las que afectan la longitud media de los cuerpos, pues éstas son proporciona- les al cuadrado del período secular, mientras que las otras no lo son más que al período. Los principales términos de las desigualdades de la longi- tud media son de tercer orden, si consideramos las excentri- cidades de las órbitas y sus inclinaciones mutuas como canti- dades de primero. Sin embargo, otros términos mucho más numerosos, y cuya expresión es todavía más complicada, se hallan entre los de 5.° y 7.° grado, y Mr. Le Yerrier no ha retrocedido ante el trabajo que era necesario para incluir es- tos términos en sus aproximaciones. Pero la circunstancia que produce el mayor grado de com- plicación es la necesidad de hacer entrar en cuenta términos que dependen del cuadrado, y de las potencias más elevadas de la función perturbadora. Vamos á tratar de determinar la naturaleza de estos tér- minos y la manera de introducirlos. Por la teoría de la variación de los elementos del movi- miento elíptico, puede expresarse, en una época cualquiera, la variación de uno de estos elementos, tomando la longitud media como variable independiente; pero esta función se halla complicada por los elementos de las órbitas de los cuerpos perturbados, así como por las de los cuerpos perturbadores. Si, por el contrario, el de la variación estuviese dado en fun- ción del tiempo y de cantidades conocidas, una simple inte- gración, áun por aproximación, bastaría para determinar el valor de un elemento cualquiera; pero, desgraciadamente, no puede ser así. El método de la variación de los elementos no nos da una solución, sino únicamente una trasíormacion de nuestras ecua- ciones primitivas de movimiento. El valor de la variación se 255 halla dado en función ele los mismos elementos desconocidos. Para sacar de ecuaciones parecidas los mismos elementos, no puede hacerse más que por una série de operaciones indirec- tas. Permítasenos examinar este punto con alguna minucio- sidad. Los términos que expresan la variación de un elemento cualquiera, pueden dividirse en dos grupos. En primer lugar, los que comprenden la longitud media ele uno ó dos de los planetas considerados, así como también los elementos de sus órbitas; en segundo, los que no com- prenden más que los elementos de las mismas. Los primeros se llaman periódicos , porque cesan de ser positivos para convertirse en negativos, ó viceversa , según la naturaleza de la función déla longitud que contienen. Sus pe- ríodos son, pues, esencialmente comparables á los de los mis- mos planetas, aunque su valor puede ser muy diferente. Se llaman los segundos términos seculares , y varían muy lenta- mente, puesto que los elementos de las órbitas, que allí son considerados como coeficientes, varían con mucha lentitud. Pero cada elemento, expresando la variación de un ele- mento cualquiera, debe comprender necesariamente, como factor, la masa de un cuerpo perturbador, puesto que está admitido en principio, que no hay más fuerza activa en la na- turaleza que las atracciones de las masas planetarias. Resulta de aquí, que si todas las masas son muy pequeñas, todas las cantidades que determinan las variaciones de los ele- mentos son también pequeñísimas. Obtendremos, por consi- guiente, para estos términos desconocidos un valor casi ver- dadero, si sustituimos á la función completa la que obtendría- mos haciendo abstracción de los términos periódicos: cuando esto suceda, podremos buscar las desigualdades periódicas por una integración directa; pero tendremos cuidado de suponer en esta operación que los elementos son constantes, y que sólo las longitudes varían. Sin embargo, si las masas perturbadoras no son muy pe- queñas, este procedimiento no será enteramente exacto; las desigualdades periódicas obtenidas de este modo, no pueden considerarse más que como una primera aproximación. Para 256 hallar valores más exactos, reemplazaremos los elementos por su valor, aumentado con la desigualdad periódica aproximada descubierta. Comprendido bien esto, vamos á explicar de qué manera continuamos aplicando el método para hallar una aproxima- ción mayor. Supongamos que hemos añadido á un término pe- riódico cualquiera, una desigualdad periódica que contenga los múltiplos de la longitud media; tendremos nuevos térmi- nos periódicos, en los cuales entra el cuadrado de la masa de uno de estos cuerpos ó el producto de ambas masas. Sise aumenta el término periódico de una desigualdad, en la cual entre sólo este término desconocido, el resultado será introducir en las ecuaciones términos independientes de la longitud media, y que, por consiguiente, merecen el nombre de seculares , cuyos nuevos términos serán particularmente importantes, si la desigualdad en cuestión es de largo pe- ríodo. En los mismos términos seculares, el resultado del aumen- to de un elemento cualquiera, al que se añade una cantidad periódica, viene á dar origen á nuevos términos periódicos. Por último, debemos observar que, determinando las des- igualdades periódicas de un elemento cualquiera por medio de la integración de las ecuaciones diferenciales correspondien- tes, debemos tener en cuenta las variaciones seculares des- preciadas en las primeras aproximaciones. Los nuevos tér- minos, lo mismo que los demás que acabamos de describir, serán evidentemente de segundo orden con relación á las masas. Si los planetas perturbadores son grandes, 'como sucede en el caso de Júpiter y Saturno, puede necesitarse proceder á una nueva aproximación, y obtener por este medio nuevos términos, unos periódicos y otros seculares, en los cuales en- tran los cubos y los productos de las tres dimensiones de las masas. El número de las combinaciones de ios términos que dan origen á los de segundo y tercer orden, es prácticamente ili- mitado. El arte del calculador consiste en no elegir en estas com- binaciones más que las que conduzcan á resultados sensibles. Tal es la principal causa de la gran complicación de la 257 teoría de los grandes planetas, y especialmente de Júpiter y Saturno. Mr. Le Verrier cree que hay aquí una condición indispen- sable de todo progreso. Se necesitaría, según él, que pudiéra- mos comparar todas las observaciones de un planeta con una sola y misma teoría , por grande que fuera el espacio de tiem- po que pudiesen durar las observaciones que se trata de com- parar. Para satisfacer esta condición, desarrolla algebraicamente todas las fórmulas, aunque dejando siempre en una forma ge- neral simbólica los elementos que varían con el tiempo, como, por ejemplo, las excentricidades, las inclinaciones, la longitud de los perihelios y la del nodo. De la misma manera trata las masas que no están suficientemente conocidas. Toda la obra está expuesta con detalles, y dividida, en cuanto es posible, en partes independientes una de otra, de suerte que cada una puede comprobarse fácilmente. Todos los términos que toma en cuenta están perfectamente definidos, de tal suerte, que si es necesario llevar más adelante la aproxi- mación, hay seguridad de hacerlo sin comenzar de nuevo los cálculos. Además, la obra ofrece tanta claridad y método, que debe considerarse como un admirable modelo para investiga- ciones análogas. Después de haber seguido á su ilustre amigo en tales des- arrollos, Mr. Adams analiza el capítulo XIX, que forma la primera parte del tomo X de los Anales del Observatorio , cuyo trabajo contiene la determinación de los elementos seculares de las órbitas de los cuatro planetas, Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno. En la primera parte se hallan reunidas las fórmulas dife- renciales establecidas en el capítulo anterior, y que dan la ve- locidad de los cambios seculares en cada época en función de los mismos elementos, cuidando antes de haber privado á éstos de todas sus desigualdades periódicas. Los términos de los diferentes órdenes que entran en estas desigualdades, se hallan clasificados cuidadosamente aparte unos de otros. Si limitamos nuestra atención á los términos de primer 258 grado, relativamente á las excentricidades y á las inclinacio- nes de las órbitas, se harán lineales las ecuaciones diferen- ciales que determinen las variaciones seculares. Al hacer esta hipótesis pueden hallarse las integrales generales, y dar los valores de los diferentes elementos para un período de tiempo indefinido. Sin embargo, en el caso de Júpiter y Saturno son muy im- portantes, para despreciarse, los términos de grado superior; y cuando se conservan, las ecuaciones se harán tan complica- das, que hasta seria absurdo intentar determinar su integral general. Felizmente no es menester, para las necesidades actuales de la Astronomía, tener estos valores absolutos, y en un pe- ríodo definido de tiempo, las integrales de estas ecuaciones complicadas pueden obtenerse por el método de las cuadratu- ras con toda la aproximación que se desee. De esta manera se ha conducido Mr. Le Verrier para de- terminar los valores de los elementos de Saturno y de Júpiter en un período de 2000 años, á contar desde 1850, y se ha to- mado el trabajo de calcular los valores para cinco períodos de 500 años cada uno. Los primeros pasos en esta integración no han dejado de ofrecer dificultades, porque «la determinación del valor numé- rico de la velocidad con que se modifican los elementos del mo- vimiento elíptico, depende de los elementos que se trata de deter- minara Resulta de aquí que se han necesitado varias aproxi- maciones para llegar á toda la precisión apetecible. Sin embargo, según los trabajos de Mr. Le Verrier, no ofre- cían las mismas dificultades las investigaciones de otras épo- cas. De hecho, por consecuencia de estas investigaciones, po- dremos hallar, con mucha aproximación, los valores de los elementos elípticos, 500 años antes ó después de las épocas que se han considerado. Sus fórmulas generales darán enton- ces la modificación de los diversos elementos en la época in- dicada. Teniendo los valores, podremos determinar por un cálculo directo las pequeñas correcciones que sería necesario aplicar á ios valores aproximados de los elementos hallados. Este procedimiento puede repetirse cuantas veces se quiera. 259 Es importante observar que en las fórmulas que dan la velocidad de cambio por cada uno de los elementos en las cin- co épocas, 1850-2350, etc., las masas de los planetas están siempre dadas en forma indeterminada. De aquí resulta que se podrá ver á la vez cuál es, en la variación demostrada entre los elementos calculados desde ahora y los elementos obser- vados en estos cambios, la parte que corresponde á la acción de los planetas. Efectivamente, serán fáciles de conocer los cambios que podrán verificarse en el valor de un elemento, desde el momento en que se conozcan los que se produzcan en los valores adoptados para las masas de los planetas. Por consiguiente, cuando los astrónomos del porvenir, por ejemplo, del ano 3877, hayan sacado de sus observaciones el valor de los elementos de las órbitas de los planetas, les será fácil determinar con un gran rigor el valor de las masas siem- pre que conozcan t odos los cuerpos susceptibles de ejercer per turbaciones . Si hay una causa perturbadora desconocida, su existencia se indicará por la dificultad de llegar al mismo valor de las masas por medio de las diferentes ecuaciones de condición. Con auxilio del trabajo que acabamos de describir, la cien- cia tiene, por consiguiente, todos los elementos necesarios para el establecimiento de la teoría de los diferentes planeías. El resto del tomo XI de los Anales se ocupa, dice Mr. Adams, en la teoría completa de Júpiter y Saturno, la primera en el capítulo XXI y la segunda en el XXII de las In- vestigaciones de Mr. Le Verrier. Los coeficientes de las desigualdades periódicas de las Ion gitudes medias y los elementos de estas órbitas, no están úni- camente dados en una forma general, sino que están calcula- dos numéricamente en las cinco principales épocas considera- das en el capítulo XXV de estas Investigaciones , á saber, 1850, 2350, 2850, 3350 y 3850. Las desigualdades de largo período del segundo orden, en cuanto á las masas, que equivalen á dos veces el movimiento medio de Júpiter, más tres veces el movimiento medio de Ura- no, menos seis veces el movimiento medio de Saturno, se ha- llan determinadas en una forma análoga. 260 El capítulo XXIi de las Investigaciones de Mr. Le Verrier, que forma el primero del tomo XII de los Anales , contiene la comparación de la teoría de Júpiter con las observaciones, la deducción de las correcciones definitivas de los elementos, y finalmente, las tablas usuales de los movimientos de Júpiter. Las observaciones empleadas son las de Greenwich, de 1750 á 1830 y de 1830 á 1869, así como las de París de 1837 á 1867. Mr. Le Verrier ha aplicado las correcciones que ha halla- do necesarias para sus reducciones de las observaciones de estrellas por Bradley, y por las nuevas determinaciones de las ascensiones rectas de las estrellas fundamentales, publica- das en el tomo IX de los Anales del Observatorio , capítulo X- De ellas se ha servido para discutir los resultados dados por Mr. Air y en su Reducción de las observaciones de los planetas de 1750 á 1830. Las ecuaciones de condición para hallar las correcciones de los elementos y de la masa calculada de Saturno, se hallan divididas en dos séries, que corresponden á las observacio- nes hechas desde 1750 á 1830, y otras dos á las de 1836 á 69. Además, en cada una de estas séries las ecuaciones se ha- llan divididas en ocho grupos, que corresponden á períodos de 45° en 45° (0,45, 90, 135, etc.), á las distancias del plane- ta á su perihelio. Estos ocho grupos de ecuaciones dan origen á cuatro fina- les, cuya solución dá la corrección de la época, del movi- miento medio, de la excentricidad y de la longitud del perihe- lio. Las cantidades se dan en función de la masa de Saturno, á la cual dejan su forma indeterminada. La sustitución de los valores de estas tres cantidades en los cuatro grupos de ocho ecuaciones, da 32 ecuaciones normales, que suministran las diferencias definitivas entre la teoría y la observación en tér- minos de la corrección de la masa de Saturno. No puede sacarse ninguna conclusión de las antiguas ob- servaciones; pero, combinando las modernas, Mr. Le Verrier halla que la masa adoptada para Saturno, que es la de Bou- vard, debe disminuirse en y2oo , corrección muy pequeña, pero que la considera muy bien fijada. Dicha corrección es más importante aplicando el valor determinado por Bessel, m que excede en 7^0 al determinado por Bouvard, y supera, por lo tanto, en 72? al del astrónomo aleman. Las ecuaciones de condición, que sirven para determinar la latitud del planeta, se consideran de la misma manera. Mon- sieur Le Verrier las agrupa por las distancias de semi-cua- drante á semi-cuadranle del planeta á su nodo ascendente, cuyas ecuaciones sirven para determinar las correcciones de la inclinación de la órbita y la longitud del nodo. Mr. Le Ver- rier ha tratado con separación las observaciones antiguas y modernas, y ha hallado que las primeras se diferencian poco de las segundas: no obstante, se ha limitado á emplear éstas en la construcción de sus tablas. Habiendo determinado de este modo sucesivamente por medio de tales correcciones lodos los elementos que entran en la determinación de las órbitas, puede considerarse que hay completa conformidad entre la teoría y las observaciones. De aquí resulta, que la acción de los pequeños planetas sobre Júpiter parece insensible, y que no hay indicación alguna de que exista causa de perturbación. Hay algunas particularidades en el modo de formar las tablas de las perturbaciones producidas por la acción de Sa- turno. Las perturbaciones de la longitud, de la latitud, del rádio vector, no se hallan expresadas directamente como las demás; pero en su lugar Mr. Le Verrier da las variaciones seculares y periódicas de la longitud media, de la longitud del perihelio, de la excentricidad y de los dos ejes mayores de la órbita. De los elementos corregidos por estas perturbaciones, saca las de la longitud y del rádio vector por las fórmulas comunes del movimiento elíptico. Cuando las perturbaciones son grandes, Mr. Le Verrier daba preferencia á este método sobre el método común; pero si eran pequeñas, se contentaba con aplicar sus variaciones seculares ála inclinación de la órbita y á la posición del nodo que de aquí depende, por medio de la trigonometría esférica. Por el método común determina las desigualdades periódicas de la latitud. Todas estas perturbaciones, bien se trate délos elementos de Júpiter ó de su latitud, se hallan desarrolladas en séries de m senos y cosenos de los múltiplos de la longitud media de Sa- turno, cuyas séries contienen un término constante. Los coefi- cientes de estos diferentes términos son funciones de las dis- tancias medias de Saturno y Júpiter. Para una elongación dada, estos términos se han desarrollado en potencias del tiempo, á contar desde el año 1860, elegido como punto de partida. Mon- sieur Le Verrier ha formado tablas de estos coeficientes, to- mando la elongación media como argumento; de donde resulta que las perturbaciones se hallan calculadas por medio de las tablas trigonométricas comunes. Los intervalos de los argumentos son tan pequeños, que son muy sencillas las interpolaciones necesarias para llegar al verdadero valor de los elementos. Los coeficientes relativos á los cuatro elementos principales de Júpiter y á la acción de Saturno, dependen de este mismo argumento, y son dados por la misma tabla. Mr. Le Verrier los ha calculado especialmente respecto de los 500 años que trascurrirán desde 1850 á 2850. No obstan- te, pueden aplicarse á dos épocas anteriores á 1850, sin más que cambiar el signo del tiempo trascurrido desde esta fecha. Para uno ó dos siglos anteriores á este punto de partida, las determinaciones de Mr. Le Verrier tienen todo el rigor de las observaciones modernas. Además, en una época más reciente, la exactitud de las tablas excede á la de las observaciones que tenemos que comparar. Actualmente se emplean las tablas de Júpiter de Mr. Le Ver- rier en los cálculos del Nautical Almanac, á contar desde 1878. El tomo Xífí de los Anales se halla consagrado á las teo- rías de Urano y Neptuno, que no dejan, sin embargo, de ofre- cer algunas dificultades. En primer lugar, estos planetas se hallan perturbados por la acción de las dos grandes masas de Júpiter y Saturno que gravitan en lo interior de sus órbitas. De aquí resulta que es- tas acciones se hallan modificadas por las grandes desigualda- des del movimiento de Júpiter y Saturno, de que hemos ha- blado, y que consisten en que cinco veces el movimiento me- dio de Saturno equivalen al doble del movimiento medio de Jú- piter. m Eq segundo lugar, dos veces el movimiento medio de Nep- tuno se diferencian muy poco del movimiento medio de Ura- iiOc Resulta de esta coincidencia en los elementos de las órbi- tas de las desigualdades de largo período, bastante grandes para producir términos en función del tiempo, que son de se- gundo orden de magnitud, y que tienen un valor muy percep- tible. Por último, los elementos elípticos de los dos planetas no son suficientemente conocidos, pues apenas se tienen observa- ciones de un giro completo de Urano. En un capítulo preliminar, el XXIV, Mr. Le Verrier exa- mina las fórmulas que son particularmente aplicables al caso de un planeta perturbado por otro colocado más cerca del Sol. Se ve fácilmente que en este caso pueden producirse per- turbaciones considerables sobre los elementos de la órbita del planeta perturbado, como si la acción atractiva del Sol varia- se de intensidad; pero variando poco la dirección general de la atracción total, se altera mucho ménos el movimiento del planeta sobre su órbita. Es, pues, ventajoso considerar este caso separadamente. Hemos visto cómo están ligadas íntimamente una con otra las teorías de Júpiter y de Saturno. Las de Urano y Neptuno tienen relaciones no ménos íntimas, á causa de las grandes perturbaciones introducidas en los elementos de sus órbitas por la misma causa, la casi comensurabilidad de sus movi- mientos medios. Por consiguiente, antes de examinar separadamente la teo- ría de estos dos astros, Mr. Le Verrier consagra el capítu- lo XXV de sus Investigaciones á la determinación de las accio- nes mútuas de Urano y Neptuno. El capítulo sirve de base para la teoría sucesiva de cada uno de estos dos planetas. El método es el mismo que el que se ha empleado en el caso de Júpiter y Saturno, y los resultados se dan en la mis- ma forma general. importa observar que los elementos de Urano y Neptuno, según se hallan determinados por las observaciones, se dife- rencian de sus valores elípticos medios. La diferencia provie- ne del valor de sus perturbaciones en largo período, corres- 264 pondiente á la época media de sus observaciones. Los elemen- tos aparentes de Urano y Neptuno, los que resultan de las ob servaciones para 1880 se han determinado con precisión por el profesor Simón Newcomb, en su excelente obra sobre la teoría de eslos planetas, que obtuvo el primer premio de la Sociedad Real Astronómica de Londres en 1850. Aplicando las fórmulas generales, Mr. Le Verrier ha lle- gado á deducir los elementos medios elípticos que correspon- den á la misma época. No debe olvidarse, sin embargo, que los elementos medios determinados así, dependen de las masas de ambos planetas, y que, por lo tanto, será necesario introducir algunas correc- ciones, pequeñas indudablemente, cuando dichas masas se ha- yan determinado. Cuando revisaba su capítulo XIX y determinaba las varia- ciones seculares de Urano y Neptuno, así como las de Júpiter y Saturno, los elementos aparentes estaban conocidos con mu- cha ménos exactitud que después del trabajo de Mr. Newcomb. Se vió, pues, obligado á hablar de otros elementos, y á calcu- lar nuevamente los valores de las excentricidades y de las longitudes délos perihelios, que había determinado con tanto trabajo, para 1850, 2350, 2850, 3350, 3850, etc. N: 6.” — REVISTA DE CIENCIAS. -Tomo XX CIENCIAS EXACTAS. RESOLUCION GENERAL DE LAS ECUACIONES NUMERICAS. (Continuación. ) (e) — Gomo ejercicios sobre esta misma materia, concluiré» mos proponiendo al lector los tres siguientes ejemplos, que debe empeñarse en resolver. 1.° ®5 + 2®a + 3® + 4 = 0. Para hallar las tres raíces de esta ecuación, real una y dos imaginarias, hay que avanzar hasta la transformada (29). Pero las cuatro primeras transformadas pueden obtenerse muy sencillamente, sin apelar á las tablas de logaritmos. Y de la (29) basta conocer el coeficiente del segundo término. Las tres raíces buscadas son éstas : j? = — 1.650629; y x = — 0.174685 d= 1.546869 X \/~-í 2.° xA + 1 ar + 3 a?9 + 4 x + 5 = 0. De la transformada (2S) se deducen los siguientes valores de sus cuatro raíces imaginarias: TOMO XX. 18 266 x = - 1 .28781 6 =fc 0.857897 X \/ — 1 ; y 0 = + 0.287816 =i= 2.832186 X yf—i 8.° a?s -j- 2 o?4 + 3 ¿r-j- 4 a;2 + &# + 6 = 0. Como en los casos precedentes, las cuatro primeras trans- formadas se deducirán sin el auxilio de los logaritmos con suma sencillez. Mas el trabajo de cálculo habrá de prolongar- se luégo hasta el segundo término de la (210) para separar por completo unas de otras y determinar sus cinco raices. Estas son las que siguen : x = — 1.491798; — 0.805786 =!= 1.222905 y + 0. 551685 =±= 1. 253349 X y/-! CAPITULO VI. Examen del caso excepcional en que la ecuación numérica propuesta contenga dos ó más raices de cualquier especie, muy poco discrepantes unas de otras. §. 29. Dificultad, no considerada hasta ahora , que puede presentarse en la resolución de las ecuaciones numéricas . El procedimiento de resolución de las ecuaciones numéri- cas, en los precedentes capítulos expuesto, sólo puede sumi- 267 nistrarnos por de pronto los valores de las raíces buscadas con un cierto grado de aproximación. Si estos valores aproxima- dos discrepan notablemente unos de otros, por la regla de Newton, también en los anteriores capítulos inserta, se deter- minarán luégo y con bastante sencillez sus correcciones res- pectivas, y se deducirán nuevos valores de las incógnitas á que se refieren, más aproximados á la verdad ó más dignos de confianza que los en primer término obtenidos. Y, repi- tiendo las operaciones de rectificación dos, tres ó más veces consecutivas, la discrepancia entre los resultados que por fin se obtuvieren y los que pretendemos desde un principio de- ducir, si no nula, será, por lo ménos, insignificante y despre- ciable. Pero, cuando los valores que deben corregirse discrepen poquísimo unos de otros, ó sea su diferencia menor que el duplo de la corrección hipotética, obtenida por la regla de Newton, fallará ó podrá fallar esta regla de cálculo; y, apli- cándola sin discernimiento y muy previsora reflexión á la de- ducción de nuevos valores de las raices buscadas, nos desvia- rá entonces del recto camino que para esto conviene seguir, y nos hará perder infructuosamente el tiempo. Hasta pudiera suceder que dos ó más de aquellos primeros valores aproxi- mados, que se trata de corregir, fuesen absolutamente igua- les, sin serlo en lodo rigor las raices á que se refieren ó cor- responden; y entonces ni esperanza cabría de obtener por la simple regla de Newton la separación ó distinción de tales raices, unas de otras muy poco diferentes, ó casi iguales. Res- petando, pues, como bueno el procedimiento de solución pre- liminar y general en esta Memoria desenvuelto, habrá que modificar ó ampliar aquella regla complementaria de aproxi- mación indefinida, para que, con plena seguridad de acierto, pueda también aplicarse en los casos excepcionales que se acaban de indicar. La modificación estriba en las relaciones existentes entre una función algebráica, racional y entera, y las derivadas suyas de diversos órdenes, que vamos á exponer ahora. m §. 30. Digresión importante , necesaria para salvar la dificultad pro- puesta en el párrafo precedente . Sea la función (70) f(x) ==[x + a)(x + b)(x + c)(x + d) Diferenciándola una sola vez, ó pasando de la función pro- puesta á su primera derivada , obtendremos este resultado: (71) ^—{x+b)íx+c)(x+d)...+ (x+n){x+c)(x+d)...+ dx (®+a) 0+ b) + d)...+ (x+a) (x+b) (x+c). Í-L + -L +!- + -!• Xf{x)-=zfXf{x). [ x-\-a 1 x-\-b ' x-\-c ' x-¡- -d La segunda diferenciación produciría este otro: (72) 1 d¿f _ dx 2 (x+c) (x+d)...+ (x+b)(x+d)...+ (a?+o) {x+d)...+ x-\-a) (ác+ c)...+ (#+«) (a?+6)...+ (#+ ¿0 (íc+c)...+...= ((«+<*) (®+«) (0+c) ’ j * ^ ~~ £a X Ó representando, en general, por em la expresión 1 1 1 compuesta de una suma de fracciones, cuyo numerador común sea la unidad, y cuyos denominadores comprendan los diver- 269 sos productos que pueden formarse combinando, sin repeti- ción, de m en m, los n binomios x-\-a , x-\-b, x-\-c, , los resultados de las diferenciaciones consecutivas de la ecua- ción (70) serán los que á renglón seguido se insertan: < *t d_ (,.XAW) w, , 1.2 dx* Idx s>Xf(x) (73) { 1 *f d_ (». x m) 1.2.3 dx‘ %dx tr' X \ Para demostrar la certidumbre de la ley á que en su for- mación obedecen claramente estas expresiones analíticas, su- pongamos que se verifique ó sea verdadera en los primeros casos particulares, hasta el m inclusive; y veamos si también se verificará forzosamente entonces en el caso ó supuesto in- mediato posterior. Por hipótesis, pues, consideraremos como ya demostrado que (74) 1 en cu- yos denominadores figure el factor a — aot serán incompara- blemente mayores que todas las demas; y, por lo tanto, los valores de las diferentes £0 quedarán, aproximadamente tam- bién, reducidos á estos en el presente caso: 1 M N £01 » ^02 " » £05 * > a — a0 a — a0 a — a0 Expresiones abreviadas las ultimasen las cuales las letras 1/, N, representan cantidades finitas, ó sumas de frac- 1 ciones, de denominador finito, combinadas con la en a — a0 el sistema (78). Sustituyendo en el último miembro de la ecuación (77) por las s0 estos valores aproximados á la verdad, y tanto más aproximados cuanto menor sea la diferencia a — a0, de- dúcese la siguiente: ( /9) 1 £01 . A ¡- £02 . A x0 -}- ^05 • ^ Xo A x, 1 a — a0 a — aa _j, _l = o. a — a( 273 Pero siendo, por hipótesis, A#0 y a — a0 cantidades am- bas muy pequeñas, aunque del mismo orden de magnitud, la A x fracción — representará una cantidad finita; y, compara- a—a0 das con ella, serán cantidades muy pequeñas á su vez, y de valor insignificante ó despreciable unas con respecto á otras, todas las demás fracciones que le siguen y acompañan. Lue- go, en el supuesto de que — a0 sea valor aproximado de una sola raíz de la ecuación primitiva, concluyese de la (79) que: 14 a—a0 1 4" £oi X A x — 1 AL /'(O De donde se desprende que (80) A x0 = aQ — a -7>o) í’W“' conforme en un lodo con la regla de aproximación, incontro- vertible sólo en este caso, prescrita como general por Newlon. (ó)— Pues si, por el contrario, — a0 es valor aproximado de dos raíces , ó si a y ó, en vez de discrepar sensiblemente, difieren poquísimo una de otra, vamos á ver que la preceden- te conclusión no puede admitirse como cierta. Entonces, en efecto, (81) 1 1 , . s0í = — —4*7 ¡+ términos despreciables; a — a0 o— a 0 1 [a— fí0) (6— at M f id. id»; N (a—a0) (b—a0)' "°4 (a— a0) (ó— a0) ’ Con lo cual la ecuación (77) se transformará en la que 274 (S2) 1 }" £01 . A x^ "j" s02 . A x0 + s05 . A x0 -j- 1 kx0 ÍJL + _1_) \a—a0 h — a„) + Aa?02 («—«o) (é— «o) M .&x<; N. A¡r* (a— «o) (*— «o) («—«») (6—o0) Gomo cantidades finitas pueden considerarse en esta ecua- . A^0 A^0 A cion las fracciones y — puesto a — a0 o — a0 (a — a0) (o — a0) que numerador y denominador son del mismo orden de mag- nitud absolula. Pero las fracciones siguientes, cuyos numera- dores, por la introducción sucesiva del factor muy peque- ño A#0, disminuyen cada vez más rápidamente, deberán ó podrán tildarse como insignificantes, en parangón con las pri- meras. Luego, en el nuevo supuesto que ahora examinamos, de ser a0 valor común aproximado de a y de b , nos re- sultará que 1 + A^o 1 \ + 1 (a—a0) (b—b0) (83) 1 -¡-£o1*^^0_L-02-^^02“”~ ü&te i a*. /\x0) 0 f(x0) ' 2 —O, Resolviendo esta última ecuación, se obtendrán para A#0 dos valores: reales y desiguales , si a y b son reales y su dis- crepancia de valor comienza en este punto; reales, pero igua- les, si a y b son absolutamente iguales, ó si la primera apro- ximación no basta para poner en claro todavía su pequeña di- vergencia; é imaginarios ambos, si a y b son raices de esta especie. (c) — En el último de estos tres supuestos, ó cuando el va - lor real , a0, sea valor aproximado de dos imaginarias , a y b, estas raíces, completadas por la resolución de la ecua- ción (83), serán de la forma a + p \J — i , una, y de la con- jugada, a — py/ — 1, la otra. Con la particularidad notable de que p representará entonces una cantidad real muy pe- queña, ó del mismo orden de magnitud que a — a0. En efec- to: la ecuación (83) exige que el denominador de e01 sea del mismo orden que a — a0, ó que &%0; y como 11 2 a+íV— *— «O a — Pv/— 1 — «O (a — a ) -I — — “—«O si p no es cantidad muy pequeña, eól lo será; y e01XA¿r0, que hemos considerado como cantidad finita, podría muy bien ser insignificante ó despreciable. (d) — El caso general, ó aquel en que la ecuación propues- ta tenga m raíces iguales ó casi iguales , cuyo valor común aproximado sea — a0, no necesita, después de cuanto lleva- mos expuesto y discutido, explanarse muy detenidamente. En vez de la ecuación (83), que puede escribirse de este otro modo /■(*)- f- A deberíamos aplicar para deducir las m raíces, casi iguales , de la ecuación propuesta. Y es claro que, según la divergencia más ó ménos perceptible de estas m raices, así los m valores de A#0 serán más ó ménos divergentes unos de otros, y, en consecuencia, ménos ó más difíciles de encon- trar. Pero imposibilidad teórica de hallarlos no existe; y las dificultades prácticas ni invalidan el procedimiento de inves- tigación, ni, ménos, le acreditan de erróneo. Son dificultades insuperables, como inherentes al problema, y comunes á to- dos los métodos propuestos ó que pudieran en adelante pro™ ponerse para su resolución. (c) — Para llegar á las conclusiones precedentes hemos, en general, supuesto que el valor — a0 lo era aproximado de dos ó más raices reales , casi iguales: supongamos ahora que se trata de raices imaginarias , muy poco diferentes, y veremos que las consecuencias ni en la apariencia casi discrepan d$ las ya deducidas. Rigurosamente pensando, y en atención Ma índole del razonamiento que precede, no habría necesidad de modificar ó ampliar en este segundo concepto la investigación, ya en el primero verificada. Mas nada se perderá, sin embar- go, por insistir un poco más sobre esta tan interesante materia. Representemos, pues, por a0-¡-¡3oV/ — 1 un valor apro- ximado, común á las dos expresiones a-f¡3y/—l y a'-J-PV — 1; ó supongamos que la ecuación propuesta contiene dos pares de raices imaginarias, — a=+=Pv/ — 1 Y — a'q=p\/— 1, muy poco divergentes uno de otro. Si po es cantidad muy peque- ña, el valor real de x0 , igual á — a0 sería el valor aproxi- mado que debería servirnos para hallar los de A#0; y el caso coincidiría con el ya anteriormente (c) examinado. A las su- posiciones preliminares debemos agregar la de que po> y, por lo tanto, p y p', sean cantidades finitas, y de ningún modo despreciables ó evanescentes. Si en la expresión 277 en vez de a, b, c, d, ... ponemos a + py/ — 1. a< + PV“ 1* a — p y/ — 1 , a' — p' y/— 1 , ... ; y por a0 el valor imaginario aproximado a0 -f po y/ — 1, nos resultará esta otra: 1 1 __ ““ (a-a0) + (P_po) v/=T (ar a0) + (P~ P0) /=! i + 1 _ + (a — a0) — (P + P0) / — 1 (a'— i a0) — (P'+Po) Por hipótesis se sabe, ó debe admitirse como cierto, que a — a0, a' — a0, p — po y p' — P0 son cantidades muy pequeñas; pero no P+Po> ni p'+po, ni las demas cantidades análogas que figurarían en la composición de los denominadores, su- cesivos á los expresos en la fórmula anterior. El valor ó los valores buscados de ^ x0 han de ser tam- bién de la forma común: M N \/ — 1; en la cual MvN representan, en términos generales, cantidades reales muy pe- queñas. Por lo tanto, el primer término de la expresión sim- bólica e01 X A#0 será igual á 1/+AV~1 (“—*«) + (P— Po) \/— 1 { M+NV~\ } x{ (q— q0)— (¡3— ¡50) y/=T } _ (a— «„)*-+ (¡3— ¡30)2 J/.+iV.v — 1 («-«o)2+(M3„r designando por Mi y Ní sumas de productos de dos canti- dades reales muy pequeñas: ó cantidades, en general también, del mismo orden de magnitud absoluta que (a- — y.0f y (P — po)2. Luego aquel primer término de e01 X A#0 podrá representarse por M» + N. y/— 1 , si Mt y N a designan los resultados de 278 dividir unas por otras cantidades en magnitud comparables, ó cocientes finitos. Y lo dicho á propósito del primer término puede repetirse sin variante cuando se trate del segundo. Pasemos al tercero, que será de la forma M+N\/-í (a — a0) — (p+p0) \/ — 1 { M+Ny/~ 1 }X{ (a-a0) + (P+Pq) y/~\ } = (a a0)2 -f- (P+Po)2 • { Jf(a-a0)-jV(^+^0) } + { jV(a-a0)+J/(¡3+¡So }/=í (a — a0)2 + (P + P0)2 En el numerador de la última fracción adviértese que las cantidades M (<* — a0) y A7" (a— a0), — productos de dos facto- res muy pequeños, — se hallan parangonadas, y combinadas por adición, con las ÍV(P + P0) y ^(P+Po). procedentes de la multiplicación de los factores, muy reducidos, N y M por p + p0, que se supone finito, ó de un orden de magnitud muy superior. Y una cosa parecida se observa también en el denominador del mismo quebrado, compuesto de dos solos términos: evanescente, el primero; y el segundo finito y de valor relativo muy considerable. Luego, aproximadamente, y tanto más cuanto ménos discrepen a y a0, los cuales, por la índole propia del problema, propenden á confundirse uno con otro, aquel tercer término dé e01 X A xQ, que ahora en particular consideramos, se reducirá á — N + Msf^í . P + Po que sobre el primero, ántes representado por — 1 ejercerá influencia muy poco notable. Y como lo propio que del tercero cabe decir del cuarto, y de lodos los demas consecutivos, resulta, en conclusión, que 279 en la expresión e01 X A x0 sólo serán términos eficaces, y que merezcan llevarse en cuenta, los dos primeros. Pues por consideraciones análogas, é igualmente sencillas, infiérese asimismo que en la expresión s02 X A x0~ sólo el pri- mer término es comparable en magnitud con los dos prime- ros en la precedente conservados; y que, en cotejo con estos tres términos, ninguno de los comprendidos en las expresio- nes análogas, e05xA#05, e04xA#04, merece respe- tarse. Concuerdan, pues, estas premisas con las establecidas poco há (6), como si sólo de la existencia de dos raíces reales ? casi iguales, se tratara; y, por lo tanto, la consecuencia en- tonces deducida debe considerarse como general ó aplicable ? lodos los casos. Cuando se conozca, según esto, un valor aproximado de x , de la forma x0 = — a0 — ¡30y/ — 1, que corresponda á dos raíces imaginarias de la ecuación propues- ta, casi iguales, la separación de estas raíces, ó el cálculo de las correcciones de x0, podrá verificarse construyendo y re- solviendo la misma ecuación auxiliar (83). Pero es de advertir ó recordar que, si la ecuación primi- tiva contiene dos raíces imaginarias, casi iguales, de la forma — a — Py/ — 1, también contendrá otras dos de la — a+¡V — 1; y, en consecuencia, sustituyendo en la (83), por x0, el valor aproximado — ao + £W — 1. obtendríamos luégo estas raí- ces. Y si ambas sustituciones se verificasen en la ecuación auxiliar citada sucesivamenle, y uno por otro multiplicáse- mos los resultados así obtenidos, formaríase una ecuación final de cuarto grado, cuyas raíces serían los cuatro valores bus- cados de A#0, iguales todavía ó ya diferentes, según la coin- cidencia ó divergencia de las cuatro raíces de la ecuación propuesta, cuyo primer valor aproximado designa la expresión — a0 zp(30 y/ — 1, que nos sirve de punto de partida. El caso en que la ecuación contuviese tres raíces imagi- narias casi iguales, ó tres pares de raices conjugadas, repre- sentadas aproximadamente por — a0 qz p0 y/ — l, se resolve- ría de un modo análogo; ó dependería de la resolución de dos ecuaciones de tercer grado, ó de una sola de sexto, formadas 280 por la misma ley y procedimiento que las de segundo y cuar- to grados en el precedente. Y el caso general, después de cuanto en este párrafo llevamos referido, tampoco presenta- ría dificultad alguna teórica nueva. §• 32. Extensión del método de Newton al problema en este capítulo considerado. (a) — La ecuación auxiliar (84) puede escribirse en esta otra forma, ya considerada anteriormente y más útil en la práctica: f («o) 4- «o f (®o) X (— ) + T *oa f" («O ) X (— ) + \ 00 Q / \ 00 Q * 1 ] .2.3 #0 f ( #0 ) X O en la que sigue, análoga también á otras anteriores, (85) M + [» *0n] X (A log x0) + — [n (n — 1 )^0n]X(Alog¿c0)2+ T [w («— 1 ) O*— 2) x*} x (A log x0)T'+ — O, si representamos en otra forma simbólica las funciones ó ex- presiones algebraicas f(n0), x0*r(x0), VfW por [x0n], [ nx 0n], [n(n—i)x0n], [n (n— 1) (n— 2)^0n], ... . que, á contar de la primera, de significación bien clara, se desprenden unas de otras como sigue. La [nx 0n], multiplicando sucesiva y respectivamente los términos de la [#0n] por n, n—\, n — 2, El último de aquellos términos, multiplicado por n— w, dará cero de pro- m duelo, y desaparecerá de la nueva expresión que se trata de obtener. La [w (n— 1) #0n] multiplicando de análogo modo los tér- minos de la [nx 0n] por n~—\,n— 2, w— 3, hasta por n — n. Y de esta la que sigue, y así todas las demás consecuti- vas, por multiplicaciones de los términos de la que última- mente se hubiere formado, sucesivamente por los números n — 2, n — 3, ó n—3, n — 4 etc., etc., siempre hasta el n—n. La incógnita de la ecuación (85) es Alog#0, si se trata de logaritmos neperianos ; ó Ixá log¿c0, si los logaritmos son los vulgares ó de Briggs. El módulo M, en este caso, vale 0.4312955; cuyo logaritmo, vulgar también, es igual á 1 ,6377843. (i b ) — Ninguna otra advertencia importante hay que agregar á lo dicho cuando de la separación de raices reales, casi igua- les, exclusivamente se trata; mas, cuando versa el problema sobre la distinción de dos ó más raices imaginarias, el asunto puede presentarse bajo nueva faz, digna de consideración y estudio. El valor aproximado común de estas raices, — a0— poV/ — 1, puede, en efecto, designarse de este otro modo: — (eos 0-=g0 sencp0 [( — ^0)n sen nv0]= P sen Q [w (— g0)n sen n ! [n (w— 1) (—g0)n sen n — ) Acp0, ó simplemente á Acp0. Con lo cual á las mencionadas relaciones (88) reemplaza- rán las siguientes, ya consignadas en el §.14, y deducidas entonces por procedimiento algo distinto y ménos general: (89) PM eos (0—|) y A— 4/) j ± Xq p ( -7 (eos y -|~ y/_l sen y), P si suponemos que o y y proceden de la resolución de las dos siguientes ecuaciones: ( 82 eos 2 y = p® eos 2 (¿— - v (91) (§2 sen 2 y = q2 sen 2 (¿—¿O — 2 P p' sen ( Q— 4/) Pero, en términos generales, y como por definición, con- forme poco ántes se verificó, también puede escribirse, re- presentando por l y L dos nuevas indeterminadas, que 286 Afto _ [g eos y — ff0 eos y0) 4- y/— 1 (ff sen y — g„ sen se hallarán estos dos valores, casi iguales, del de c, y luégo de c: log c — r.5006011 ) c^d — 0.316666) v > . 1.5005982 ) 0.316684) Las dos raíces c y d parece, pues, que se confunden, ó que, limitadas á la sexta cifra decimal, tienen por valor apro- ximado común éste: 2°. log ab === 279.7896112 j y log b = 2.1014611 b = 126.3168 ! #0 — c — d — 0.31 6665. 290 Pero ¿son absolutamente iguales? Para decidirlo hay que formar la ecuación (83) del §. 31, y tratar de deducir los valores de A#0. En la ecuación (2o), en su derivada primera, y en la segunda, dividida por 2, ha- brá, pues, que sustituir por x0 el valor común aproximado de c y d ; y así se obtendrán los coeficientes de aquella ecua- ción (83), aplicable al caso de que ahora se trata, y cuya re- solución, después de formada, no presentará la menor difi- cultad. La ecuación á que nos referimos es la siguiente: 23634.000100333350 A x0* + 0.008238515573 A a0_ 0.0000000022204 == 0. Y los valores de A#0, que de ella se desprenden, serán éstos: A x0 = + 0.000000178307; y • —0.000000526895. Por lo tanto, las raíces c y d , positivas ambas, en vez de confundirse por completo, valdrán respectivamente lo que sigue; y su separación, dificilísima, queda con esto verificada: c = + 0.316665178307; y í/= + 0.316664473105. Los valores de las a y b, negativas, en la acepción co- mún algebráica, pueden corregirse por la regla de Newton; y, limitados á la 10.a cifra decimal, son éstos: a = — 186.3166651783; y 6 = - 126.3166644731. Las cuatro raíces de la ecuación propuesta son en reali- dad las siguientes: m — 63 ± v/4009; y -93=^:^8708. Pero el procedimiento (le resolución, en éste y los prece- dentes capítulos explicado, sólo puede suministrarnos valores más ó menos aproximados, en forma de fracción decimal in- definida, de aquellas cuatro raíces. (Se continuará.) ÁCIDO PERSULFÚRICO. Si concluyó bien el año último para las ciencias fisico- químicas con el cambio de estado de los hasta entonces lla- mados gases permanentes, el actual parece que no le andará en zaga á juzgar por algunos con que se ha inaugurado. Es una buena prueba de esto el descubrimiento de un nuevo áci- do del azufre, más oxidado que los oxácidos del mismo hasta ahora conocidos, denominado por lo mismo ácido persulfúrico por su descubridor Mr. Berthelot, antiguo preparador, y en la actualidad dignísimo profesor de química en el Colegio de Francia , ó sea en la escuela destinada á los estudios superio- res en la capital de la vecina república. Hé aquí de qué ma- nera describe su nuevo ácido (1). «He obtenido, dice, un nuevo ácido oxidado del azufre, el ácido persulfúrico, correspondiente por su composición á los ácidos permangánico y percrómico, cuya existencia está con- forme con las analogías sacadas del estudio comparativo de los sulfatos, cromatos y manganatos. » Formación.— Se puede obtener puro y anhidro haciendo obrar el efluvio eléctrico á una grande tensión sobre una mez- cla de ácido sulfuroso y de oxígeno, perfectamente secos y en volúmenes iguales. El ácido sulfúrico concentrado no se une con el oxígeno, ni con el ozono, en iguales condiciones. «Fórmase también el ácido persulfúrico, disuelto, durante- la electrólisis de las disoluciones concentradas del ácido sulfú- rico, habiéndose confundido en éste caso hasta el presente, unas veces con el agua oxigenada y otras con la sustancia imaginaria llamada antozono. «Fórmase asimismo éste ácido, también disuelto, mez- (1) Comptes rendus , t. L XXXVI, p. 20. ciando cuidadosamente una disolución de agua oxigenada con el ácido sulfúrico concentrado, ó diluido en una cantidad de agua que no llega á un equivalente; pero ésta combinación no tiene lugar si el ácido sulfúrico tiene dos ó más equivalentes de agua. De lodos modos, la formación del ácido persulfú rico es parcial, pues siempre queda una parte de agua oxigenada por reaccionar. »Es probable que se forme también el ácido persulfúrico en otras circunstancias en que el sulfúrico concentrado actué sobre los peróxidos alcalinos ó metálicos, y sobre otros agen- tes oxidantes á bajas temperaturas. » Preparación.— Se prepara el ácido persulfúrico en el apa- rato de tubos concéntricos descrito por Berthelot mismo el año pasado ( Anuales de Chimie et de Phy sigue, ome serie, t. XXII, p. 463) (1). Al cabo de ocho ó diez horas las superficies del espacio anular están cubiertas de gotilas de un líquido espeso y adhesivo. A veces este líquido se estiende en la superficie del vidrio, formando una telilla ó capa delgada é irisada. Ex- puesto el aparato á una temperatura inmediata al cero, no tar- da en cristalizar el líquido, á veces en cristales granujientos, que no se distinguen bien, y otras en agujas trasparentes, delgadas y flexibles, de muchos centímetros de largo y bas- (1) Consiste en un tubo de vidrio muy delgado, cerrado por un extre- mo, que por éste se introduce hasta la mitad en otro de mayor diámetro, igualmente delgado, más largo, también cerrado por su extremo inferior. La diferencia de los diámetros de estos tubos debe ser la menor posible, sin que por esto se toquen. El mayor está soldado con el menor por la boca por donde éste penetró. Además, el mayor tiene soldados en forma de cruz otros dos tubos de pequeño diámetro, inmediatos á la soldadura antes citada. Uno de éstos tubitos está cerrado á la lámpara, y el otro estrangu- lado, pero abierto. Por éste, y á beneíicio de un tubo en forma de T, que tiene una llave de tres aguas ó pasos, se establece á voluntad la comuni- cación entre el interior de los tubos grandes ó su espacio anular y un de- pósito gaseoso por el tubo horizontal, ó entre dicho espacio anular y un aparato aspirador por medio del tubo vertical, girando convenientemente la llave.— Establecidas las uniones entre estos diferentes órganos ó elemen- tos de trabajo, se pone en comunicación el espacio anular con el aparato aspirador y se hace funcionar éste, lográndose de este modo enrarecer lo más posible el aire contenido. Acto continuo, girando la llave, se intercep- ta la comunicación con el aspirador y facilita la que da paso al gas al es- pacio anular, con lo cual dicho está que éste, del que se había separado ó 294 tante anchas, algunas de las cuales atraviesan el tubo, al paso que las otras permanecen fijas en sus paredes y reunidas en penachos brillantes. Tal es la muestra que tengo el honor de presentar á la Academia. «El aspecto general de la sustancia recuerda el ácido sul- fúrico anhidro. Este se distingue, no obstante, en que es opa- co y forma agujas mucho más delgadas, más cortas y ménos laminares. »No siempre se presentan las agujas hermosas que acabo de describir, y que repelidas veces he obtenido, por conser- var con frecuencia el ácido persulfúrico el estado líquido y el de una cristalización confusa. No obstante, el análisis demues- tra siempre, que su composición es la misma, la cual no cam- bia sensiblemente por la presencia accidental de algunos ves- tigios de agua, de ácido nítrico ó nitrosulfúrico (procedente del nitrógeno) y de algunos compuestos salinos (procedentes de ser atacado el vidrio), si bien bastan para impedir ó dificultar la cristalización. Estas impurezas aumentarían, de otra parte, con la alterabilidad del vidrio y con la proporción del nitró- geno; por cuyo motivo es preciso ponerse á cubierto de que se presenten en lo posible.» Después de lo que literalmente se acaba de exponer, pasa aspirado la mayor parte del aire, se llenará de gas. Recobrando en seguida la llave su posición primitiva, se aspira el gas que ha entrado, saliendo con él la mayor parte del aire que aún quedaba. Se llena otras tres ó cua- tro veces con gas el espacio anular y se aspira en seguida, con lo cual se admite que todo el aire ha sido extraído del indicado espacio anular. Conseguido ésto, se vuelve á llenar el espacio anular con el gas ó la mez- cla gaseosa sobre que se quiere trabajar (que es el mismo con que se extrajo el aire que aún quedaba después de la primera aspiración); se suel- da á la lámpara el tubo por donde penetró en la sección extrangulada; se lastra con unas tiras de plomo suspendidas de los tubos pequeños el con- junto de estos tubos; se introduce el mayor dentro de una probeta llena de ácido sulfúrico diluido, descansando en su boca por medio de los pe- queños tubos que imitan los brazos de una cruz; se llena el concéntrico con el propio ácido sulfúrico diluido; se introduce en éste un alambre de plati- no en que termina el polo positivo del aparato productor de la corriente eléctrica, y en la probeta otro alambre de platino con el polo negativo, y poniendo en actividad el aparato productor de la electricidad, quedan los gases sometidos á la acción del efluvio eléctrico m Berthelol á fijar ia composición del ácido persulfúrico, que ha determinado desde luego por la síntesis y por el análisis. Composición por la síntesis. —Una vez terminada la reac- ción, extrae con una bomba de mercurio el residuo gaseoso, lo mide y analiza, y compara el volumen que queda con el de la mezcla primitiva, encontrando que es i de ésta (1). S-Oi + O4 = S201 + O; es decir... 8 : 1 4 voL 4 voL 1 vol. 1 vol. Repetidos dos veces estos trabajos, dieron los resultados siguientes: Volúmen total. Residuo. Relación . cc 38,5 CC ..... 4,7 8,2 82,0 10,5. ....... 7,9 De donde resulta, que 4 volúmenes de ácido sulfuroso se combinan con 3 de oxígeno para formar el ácido persulfúrico. 8*0* + 03= = S20\ Composición por el análisis.— El análisis del producto se puede hacer abriendo ó rompiendo una de las puntas de los tubos laterales debajo ó dentro de una disolución valorada de cloruro estannoso. Esta disolución es aspirada al momento por efecto de la falla de presión interior, motivada por la condensación que tuvo lugar cuando se combinaron el ácido sulfuroso y el oxígeno para formar el ácido persulfúrico. Este ahora sobreoxida una parte de la disolución estannosa. Bus- cando luego la cantidad de ésta que queda por peroxidar por medio de una disolución valorada de permanganato de potasa puro, se sabe la cantidad de estaño que fijó oxígeno para pa- sar al estado de óxido estánnico, y por lo tanto, se tiene un dato fijo para calcular la cantidad de este oxígeno. — Hecho esto, se determina en el líquido resultante el ácido sulfúrico (1) Las fórmulas que siguen, son las mismas que usa el autor» 296 que contiene, precipitándolo en estado de sulfato bárico, que se recoge en un filtro, lava, seca, calcina y pesa; restando luego del peso obtenido el del crisol y las cenizas del filtro, se tiene el peso verdadero del sulfato bárico, por el cual y su composición se calcula el ácido sulfúrico. Dos análisis ha efectuado Berthelot, seguu el método que se acaba de indicar; uno de ellos con un ácido perfectamente cristalizado, y el segundo con otro, que también era cristali ~ zado, si bien los cristales no eran tan hermosos. Los resulta- dos que obtuvo fueron: Oxigeno excedente. Acido sulfúrico. (SOzJ. Relación. 8,23...... 83,4. ........... 10,1 10,00.... . 94,1 9,4 La relación teórica, S*0* = 80 : 0 = 8 , es igual á 10. Hasta pesó Berthelot directamente la materia /contenida en el tubo que sirvió para el segundo análisis; su peso total fué 104,0; la suma de los factores encontrados separadamen- te fué 10,0 + 94,1 — 104,1; en lo cual se tiene una confir- mación elocuente délos trabajos ó resultados obtenidos por el análisis; demostrándose al propio tiempo que el ácido persul- fúrico puro está sólo formado de azufre y oxígeno. Siendo un trabajador tan hábil como incansable, Mr. Ber- thelot ha comprobado estos resultados por otros medios, que promete detallar en una memoria especial. Estos medios fueron: l.° Emplear el ácido persulfurico como agente oxidante de un volumen conocido de una disolución préviamente valo- rada de sulfato ferroso, y buscar luego con otra también va- lorada ó normal de permanganato de polasa, la sal ferrosa que quedaba. Para ello ha procedido de dos maneras distintas: en un caso hizo penetrar la disolución de sulfato en los tubos del efluvio, y en el otro hizo que entrase en éstos el ácido sulfúri- co concentrado, que disuelve el persulfú rico. Vertió en el se- gundo caso la disolución resultante en una gran cantidad de agua, y en ésta buscó su poder oxidante por medio de una di- 297 solución de sulfato ferroso. Los dos métodos le dieron resul- tados idénticos. 2. ° Su poder oxidante sobre una disolución neutra de yo- duro potásico, valorando luego ó buscando la cantidad de yodo eliminado con una normal de hiposul filo de sosa. Este método le ha seguido por los dos caminos que se acaban de indicar. 3. ° La oxidación de una disolución valorada de ácido sul- furoso, buscando ó determinando luego el ácido sulfuroso em- pleado en exceso con una disolución también valorada ó nor- mal de yodo. En este caso se probó que.no se había formado ácido hiposul fínico, lo cual, por el contrario, parece que tie- ne lugar cuando se opera en presencia de un grande exceso de ácido sulfúrico. Los datos por estos métodos obtenidos, concuerdan lodos con la fórmula S~20\ Por lo demás, el ácido persul fu rico no es muy estable. Si se le mantiene á una temperatura inmediata al cero, se con- serva unos quince dias sin descomponerse de una manera os- tensible; pero pasado este período, empieza á efectuarlo es- pontáneamente soltando oxígeno. Si se le disuelve en agua, se descompone aún más pronto de! propio modo. Disuelto en el ácido sulfúrico concentrado, se conserva mejor; pero con el tiempo empieza á soltar oxígeno, y al cabo de un mes se ha descompuesto ya casi del todo. Expuesto al contacto del aire, el ácido persulfúrico des- prende un humo ó vapores densos, pasando á ácido sulfúrico hidratado y soltando oxígeno. Si se le somete ai calor de una lámpara ó de una llama, se descompone al momento en ácido sulfúrico anhidro y oxí- geno. El ácido persulfúrico se disuelve, como va dicho, en el sulfúrico concentrado sin desprender oxígeno, y ésta disolu- ción puede diluirse luego en agua, sin que el primero experi- mente una alteración inmediata; así lo prueban sus determi- naciones con la disolución de sulfato ferroso y de yoduro po- tásico. Al cabo de veinticuatro horas no ha cambiado sensi- blemente el valor de semejante disolución diluida. Sin em- 20 TOMO XX. m bargo, pasando mayor tiempo, todas estas disoluciones em- piezan á desprender oxígeno de una manera más ó ménos rá- pida. Siá la disolución sulfúrica de éste ácido se añade espon- ja de platino, aun estando diluida en agua, ó si se calienta, al momento se desprende el oxígeno en estado de gas. El ácido persulfúrico solo trasforma el sulfuroso en sul- fúrico: S20: + SO 2 diluido — SSO3 diluido. El ácido persulfúrico disuelto en una gran cantidad del sulfúrico concentrado, da con el sulfuroso mucho ácido hipo sulfúrico: S207 mezclado con n SOfí H + %S02 diluido == £20s diluido + 2S03 diluido. El ácido persulfúrico puesto en contacto con el agua se disuelve en ella con desprendimiento de un humo denso y una grande efervescencia, debida al oxígeno que se desprende. Sin embargo, en los primeros momentos una parte de dicho oxígeno (de { á !) permanece combinado, y se puede fijar ó determinar su cantidad por medio del yoduro de potasio. Mas, poco á poco se desprende este oxígeno en burbujas pequeñí- simas por efecto de una descomposición espontánea. La pre- sencia de un grande exceso de ácido sulfúrico da mayor esta- bilidad al persulfúrico, aun diluido en agua, sin que pueda conservarle indefinidamente. Si sobre este ácido se hace obrar la disolución de barita en el agua, al momento se desprende oxigeno, precipitándose sulfato de barita; pero al propio tiempo se forma persulfato de barita que queda disuelto. Este persulfato se descompone pronto en oxígeno que se desprende, y sulfato que se precipi- ta. Esto se observa fácilmente filtrando el líquido tan luego como acaba de reaccionar el agua de barita y añadiendo al lí- quido una disolución de yoduro potásico, acidulada con ácido clorhídrico de manera que todo el líquido quede ácido. El persulfato de barita, fundándose en sus analogías con los permanganatos, tiene, según el autor, la fórmula S20\BaO; m pero confiesa que, por más que ha hecho, no ha podido conse- guir aislarlo ú obtenerlo solo. Los caracléres principales del ácido persulfúrico disuello se deducen de su aptitud en desdoblarse en oxígeno y ácido sulfúrico, sea espontáneamente por la sola acción del tiempo, sea con el concurso del calor, sea, en fin, por el contacto con la esponja de platino. Queda dicho ya que oxida en frió el yo- duro de potasio, el sulfato ferroso, el ácido sulfuroso, el clo- ruro estannoso. Este poder de oxidación, sin embargo, no es tan enérgico y general como el del cloro, del ozono y el de otros varios agentes oxidantes. No oxida en frío, por ejemplo, las disoluciones de ácido arsenioso, ni las.de ácido oxálico, con lo cual su acción oxidante se acerca á la que posee el agua oxigenada. Se aleja de ésta, sin embargo, porque no forma ácido percrómico, ni reduce el permanganato de pota- sa. Puede coexistir con el agua oxigenada en las disolucio- nes acuosas y sulfúricas, lo propio que con el ozono en estado anhidro ó di su ello. La existencia del ácido persulfúrico se presta á varias ob- servaciones importantes bajo el puntf) de vista de las teorías q-uí micas, entre las que se fija el autor por de pronto en las siguientes. El azufre y el oxígeno forman una série de com- puestos definidos, que crecen con sus equivalentes. S20 (desconocido; análogo á LVO); 02 (ácido hiposulfuroso); 03 (desconocido; análogo á i/n203); O1 (ácido sulfuroso); 05 (ácido hi posulfú rico) ; 06 (ácido sulfúrico); O1 (ácido persulfúrico); O8 (desconocido; análogo al ácido ósmico). Esta série presenta todos los tipos posibles de las combi- naciones sencillas que el oxígeno forma con los metaloides y con los metales. El azufre, el cloro, el nitrógeno ocupan en ella cinco términos. En la misma se halla el límite extremo, que representa en la mayoría de los casos conocidos los áci- 300 dos que contienen siete equivalentes de oxígeno, tales como el perclórico, pervódico, permangánico, percrómico, hepta- ruténico (de los Sres. Deville y Debray), y por fin, el per- sulfúrico. Estos ácidos sobreoxigenados, cuya composición es igual, ofrecen una notable analogía en sus propiedades físicas y químicas, analogía que puede llegar hasta el isomorfismo. Constituyen un verdadero tipo molecular, para emplear la fe- liz expresión propuesta por Mr. Dumas hace ya cuarenta años. En este tipo, RO\ siete equivalentes de oxigeno están asociados con los elementos más diversos. Es digno de notar que las propiedades del tipo derivan del oxígeno y no del cuerpo antagonista; residen en la asociación misma de los dos, y no en cada uno de los elementos que la componen, aislada- mente considerados; sucediendo precisamente lo contrario de lo que pretende la teoría de la atomicidad fija de los ele- mentos. Nada es, en efecto, más desemejante que el azufre, el clo- ro y el manganeso libres ó aislados. Sus primeros términos de oxidación: Acido hiposulfurosó y óxido manganoso, S202 y J/ná02; Acido cloroso y óxidos mangánico y crómico, Cl 0\ CrO\ MnOz ; Acidos sulfuroso é hipoclórico y bióxido de manganeso, S20\ ClO\ 31 n O4; Acidos hiposulfúrico y dórico, SzOs y CIO \ no ofrecen la menor analogía. Esta existe en un principio en- tre el cromo y el manganeso; dá otro paso cuando se extiende á otro término y se llega á los ácidos man'gánico, crómico y sulfúrico, i¥n2Oe, Cr20\ S20\ pero se acaba de comprender en los compuestos de la fórmula R0‘ . Las propiedades comu- nes de este tipo molecular no proceden, pues, en manera al- guna de las de los elementos aislados, porqué, si así fuese, deberían existir en toda la série; solo se desarrollan en el acto de agruparse, y todo conforme con las teorías que Mr. Ber- thelol sostiene, y que le bastan para la interpretación y previ- sión de todos los fenómenos, como han bastado para el des- cubrimiento de todas las leyes fundamentales de la química moderna. 301 EL JARDIN BOTANICO DE BOISSIER Y OTROS CONGENERES. Son tan inherentes á las ciencias los medios auxiliares de estudiarlas, que las mejoras y adelantos de estos contri- buyen eficazmente al progreso de aquellas. Los observatorios de todas clases, ios gabinetes y labora- torios, mejorados en nuestros dias con la perfección de nuevos instrumentos que se apropian á determinados servicios, han facilitado mucho los sorprendentes descubrimientos que la Astronomía, la Meteorología y las ciencias físico-químicas están haciendo, reportando iguales beneficios la Historia na- tural de los jardines de aclimatación, de los modernos acua- rios, de las estaciones zoológicas y botánicas é ingeniosos aparatos de que nos servimos en las observaciones subacuá- ticas para los estudios biológicos de animales y plantas. Ya de antiguo los botánicos comprendieron la utilidad del cultivo de estas, bajo el punto de vista de la observación y el estudio, formando lo que algunos llamaron viridarium, que pudiera traducirse libremente por vergel Ó huerto, donde por curiosidad, estudio ó recreo se cultivan especies escogidas. Tal fué, sin duda, el origen de los que hoy se llaman jardines botánicos, cuyo principal objeto es el adelantamiento y en- señanza de la ciencia que trata de los vegetales. La disposición que á tales jardines se fué dando ha variado mucho según las épocas; y por punto general, en los de ense- ñanza, el orden de colocación de las plantas se ha solido su- bordinar á los principios de la escuela botánica dominante, cuyo nombre se imponía hasta á los mismos cuadros del jar- din, llamando al sitio que ocupaban, por ejemplo, Escuela de Linneo, Escuela de Cavanilles , como hace algunos años aún podia verse en el Real Jardin Botánico de Madrid, hasta que 302 nuestros malogrados compañeros D. Pascual Asensio y D. Vi- cente Cutanda cambiaron dichas escuelas sistemáticas por la metódica, aceptada en todas partes, aunque no de un modo idéntico por la distinta interpretación que de ella algunos hacen. Mi ánimo en esta noticia no es entrar en el exámen de las ventajas ó defectos que se observan en muchos délos jardines botánicos que he visto, inclusos los nuestros, que, sea dicho de paso, distan bastante de tener la perfección y buen servicio que se encuentra en los que hoy sirven de modelo. Y vinien- do ya á mi propósito, paso á dar noticia del jardin de nuestro consocio Mr. Boissier, que, como lodos sabemos, es otro de los botánicos de nota en Europa, tarito por sus conocimientos» como por los grandes sacrificios que tiene hechos en favor de la parte fitográfica, gastando cuantiosas sumas para formar uno de los más ricos herbarios conocidos, sobre todo en plantas españolas, pues bien puede asegurarse no existe otro que tenga mejor representada nuestra flora (1). El jardin de Boissier está en un gran parque que posée este señor en Valeyres, cerca d’Orbe, en la Cordillera del Jura. El terreno es accidentado, y ocupa diferentes planos, unos más altos que otros, á orillas de un riachuelo bastante caudaloso, muy poblado de árboles. Los muros que le cercan están expresamente fabricados de un modo tosco con rocas que sobresalen unas de otras, y más que tapia simulan un pe- ñascal, dejando huecos para poner la tierra que requiere cada planta. Las eras están dispuestas en escalones, según lo exige el cultivo délas especies vegetales que contienen; y en vez de cuadros hay varias séries de pequeñas colinas artificiales en forma de peñascos, pedrizas y laderas, imitando la naturale- za de las montañas alpinas, supliendo así del mejor modo po- sible en reducido espacio las condiciones exigidas por las di- (l) El herbario de Boissier ocupa un gran edificio al lado del Hotel - vill de Ginebra, y para cuidarlo tiene un botánico que se dedica exclusi- vamente á la conservación y servicio científico de los que van á consultarlo. Durante muchos años fue Mr. Reuter (más tarde director del jardin botáni- co de Ginebra) el encargado, y también compañero de Boissier en varios de sus viajes. 303 ferentes plañías para que vejeten, como lo hacen, in locona- tali , según expresión de los naturalistas. Los riegos ele pié, imitando arroy líelos, ó por medio de las induraciones del terreno, y los de lluvia más ó ménos lénue, las frecuentes chubascas de las regiones elevadas y hasta las neblinas que en ellas reinan, vienen á completar un cultivo cuyo principal objeto es mantener rodeadas las plantas alpinas del mayor número de condiciones requeridas por su naturaleza para que no degeneren y cambien su fisonomía, como vemos acontece en los jardines donde, efecto del culti- vo, pronto los vejetales silvestres pierden su aspecto natural, en términos á veces de hacernos dudar de lo que son. Tales principios, en lésis general, jamás debieran perder- se de vista en los jardines botánicos, donde el cultivo, más que á desfigurar las plantas y formar variedades de capricho ó adorno, debe tender á mantenerlas con la fisonomía pura de los tipos específicos; pero bien lejos de eso, nuestra jardi- nería, sobre todo, suele medir por el mismo rasero todas las plantas, cuidándolas de un modo análogo, sin atender a la na- turaleza del suelo que requiere cada una, á la exposición que piden, á la clase de abonos naturales y riegos, y tantas otras condiciones como exige cada sér orgánico para no sufrir alte- raciones morfológicas á consecuencia de una prolongada va- riación de su régimen normal. Con la observancia de los principios que sigue Mr. Bois- sier, ha conseguido tener en su jardín botánico un crecido nú mero de plantas tales cuales crecen en su país natal, y que para poderlas ver sería preciso viajar por los altos Pirineos, atravesar España y visitar Sierra-Nevada, verificar muchas y penosas ascensiones por los Alpes y recorrer en Oriente sus montañas elevadas. En medio del jardín de que hablo, el Dr. Planchón y yo, acompañados por el dueño, nos creíamos trasportados por encanto de una á otra de aquellas localidades al contemplar las joyas botánicas que nos rodeaban. La Ramondia pyrenaica, Sarcocapnos enneaphylla y Erodium supracanum, vegetando entre las rendijas de las peñas, húmedas para las dos especies primeras y áridas para la tercera, me trajeron á la memoria 304 mis herborizaciones de hace 53 años por los picachos de Monserrat, San Llorens del Mu til, montañas de Berli y Col í de Davi. El Rhododendron ferrugineum , Pinguicula vulgar is~ y grandiflora , numerosas Saxífraga , tales la Aízoqu , Cotile- dón, longi folia, cunéala, catalaunica , etc., los Androsace imbrí- cala, carnea, pyrenaica, villosa, y tantas otras admiraciones de mi juventud botánica, me hicieron recordar con delicia nueva las ascensiones que en 1825, 26 y 27 verifiqué con los botánicos franceses Balard y Bresson á Tagamanen, San Mar- sal, San Sagimon, Matagall, las Agudas de Monseny, Nuestra Señora de Nuria, Set Gases y otras localidades de ios Pirineos catalanes que más tarde, en 1830, volví á visitar con mi inol- vidable maestro Dr. Foix. Pero al lijarnos mi colega Planchón y yo en la preciosa flora de Granada, cuyos representantes en el jardín de Boissicr son tan numerosos y selectos, no pudimos ménos de saludarla dando un cordial abrazo al autor de una obra que es sensible para España no haya salido de la pluma de alguno de sus botánicos. La Vella spinosa, de la cual cogí semillas, como de otras varias especies, la Artemisia gr anal ensis, Helianthemum pannosum, Eryngium glaciale, Oraba hispánica, Trisectum pla - cíale el velutinas , Convolvulus nítidas, Pterocephalus sp a luía- las, Andryala Agardhii , Ergnacea pungens, Teucrium saxalile, y en una palabra, muchas de las especies nuevas que fueron publicadas en la expresada Oora, las vimos juntas sin sufrir el cansancio de la penosa ascensión al Muihassen y Picacho de Veleta, que diéramos ambos por muy bien empleado con tal de gozar de las delicias científicas que en sus descubrimientos tuvo nuestro excelente amigo. Este, con la liberalidad que dispensa á los botánicos, nos autorizó á coger ejemplares y semillas de cuanto quisiéramos, lo cual equivalió para nosotros á herborizar por Oriente, las sierras de Andalucía, los Pirineos y los Alpes, cuyas precio- sas y enanas Genliana, Salix, Prímula , Soldanella, Vacci- nium , Campánula, Anemone, Jasione, Papaver, Dianthus, etc., que allí admiramos, volvimos á contemplarlas juntos á los pocos dias en las herborizaciones del Congreso de Bex. En el jardín botánico de Boissier no hay orden científico 305 en la colocación de las plantas, ni más distribución metódica que la que tienen en la naluraleza, cuidándose sólo, como llevo dicho, de proporcionarlas ias condiciones que les son más favorables para su normal desarrollo; resultando de esto las ventajas de poder siempre estudiar dicho litógrafo sus es- pecies, como cuando las observó por primera vez en los si- tios donde nacen espontaneas. Los árboles no están representados en el jardín descrito, viéndoselos dispersos por el parque formando bosquetes, y en uno de ellos notamos el más elevado Pinsapo que yo he visto, llenas de pinas ó conos las ramas más altas, que son las fructí- feras en la familia á que pertenece esta preciosa conifera de nuestra flora. También tiene Boissier en su parque cobertizos y estufas para resguardar las plantas que no pueden resistir las bajas temperaturas de aquel clima, y entre sus curiosas especies nos enseñó varias de las llamadas carnívoras, que con el doc- tor Planchón nos complacimos en examinar largo rato y ver los progresos de la descomposición de los cuerpos de multitud de insectillos, que sobre todo, en el líquido que contenían las singulares hojas de la Sarracenia, cuyos ascidia simulan un odre, estaban en verdadera digestión, tómese esta palabra en sentido químico ó fisiológico, como se quiera; pues no cabe duda que tales cadáveres se maceraban y diluían en aquel líquido como en los del estómago, y tampoco puede caberla en que la absorción y exhalaciones de aquellas hojas funcionaban. Existen en Europa otros jardines botánicos en el mismo género que el de Boissier, tales en York el de Backonn, el de Malg en Vieña, que está admirablemente situado y cultivadas convenientemente todas las especies raras de los Alpes y Dal- macia; el del Jardín botánico de Inspruck en el Tirol, bajo la dirección del profesor Verner, que también le ha dado la for- ma de peñascos compuestos de rocas diferentes para repre- sentar los Alpes calcáreos, los que llaman prienüidos, los Carpalhos, etc., cultivándose encada sitio de éstos las espe- cies propias de cada una de dichas localidades alpinas. En el jardín botánico de Ginebra existe también una muestra mez- quina de tal sistema de cultivo que intentó plantear Mr. Beu- 300 ter. En Ñapóles mismo el Barón Vicenzo Casati, director de aquel jardín botánico, me enseñó el departamento donde cul- tivaba los principales representantes de la flora de los Apeni- nos, y aun muchas curiosidades de la de los Alpes; siendo notable la parle criplogámica de musgos y heléchos, que merced á los cuidados de un sistema de cultivo apropiado, ve- getaban bajo el cálido clima de aquella ciudad como lo hacen en ios sitios de donde proceden. La disposición de tal jardín es en su esencia semejante á la de los otros citados. En tiempos de Tournefort debió ser cosa parecida el jar- din que nuestro Jaime Salvador tuvo en San Juan de Espí, á dos leguas de Barcelona. Guando con Mr. Webb le visitamos en 1827 sólo quedaba por memoria de aquel botánico español un colosal Cliamcerops humilis , que nada de humilde tenia, pues era de más de dos metros de alto; las demás plantas es- taban hacia años reemplazadas por hortalizas. Cerca de Viladran, en Monseny, D. Jaime Boíill, herbola- rio con honores de farmacéutico de Cámara de S. M., tenia un verdadero jardín botánico, principalmente de plantas medi- cinales. En el fondo era parecido á los descritos, con la sola diferencia de estar aún más conforme con las cosas natura- les, pues no había cultivo de ninguna clase, y las plantas abandonadas á sí mismas crecían y se multiplicaban como en el campo. Este jardín ocupaba una colina algo elevada con exposiciones diferentes, arroyuelos, charcas, praderas, pe- ñascos y canchales. En ella el Sr. Bofill, que durante largos años había recorrido de continuo todos los Pirineos y monta- ñas de Cataluña y Aragón en busca de yerbas medicinales, tuvo la curiosidad de plantar ejemplares de todas las especies íjue traía para su comercio de herbolario, y muchas otras sólo curiosas bajo el punto de vista botánico. En ninguna parte he visto juntas tantas plantas oficinales vivas y en sus verdaderas condiciones; y esta circunstancia hacia que mi sá- bio y querido maestro de materia-médica, Dr. Foix, en las vacaciones llevara á sus discípulos aplicados á visitar un jar- din tan especial como interesante en su género. Amigo íntimo de Bofill, cuyos nietos eran mis condiscípulos de medicina, pasé largas temporadas de verano aprendiendo á conocer en 307 aquel jardín botánico y en el gran laboratorio de herbolario que tenia dicho señor cerca de Viladran, las plantas medici- nales, que sólo de un modo análogo pueden estudiarse con provecho. Es probable que tal jardín haya desaparecido; pero no dudo que en la colina donde estaba vivirán aún muchas de las plantas de otras regiones que allí trasladó el Dr. Bofill, sirviendo esta noticia de aviso prevenlivo á los botánicos que se ocupen de la flora catalana para evitar errores que ya al- guno ha cometido. En el dia no tengo noticia que haya en España otro jardín de este género ni parecido á los demás que he citado, á pesar de que van cundiendo por otras partes y haciéndose de moda, por cuyo motivo algunos de mis amigos botánicos estranjeros varias veces ya me han pedido con insistencia plantas vivas y semillas de nuestras selectas especies, auxiliándome para complacerles los Sres. Laguna y Avila, ingenieros de montes, que recorren la Península herborizando llevados de su verda dero entusiasmo científico. Los indicados extranjeros se la- mentan de no poder adquirir nuestras envidiadas especies como las de otras partes, porque en nuestros jardines botáni- cos ni de horticultura, á deducir de lo que se ve en sus catá- logos, no se cultivan como fuera interesante hacerlo bajo conceptos muy útiles y convenientes. Siendo, pues, el objeto de esta Revista dar cuenta de to- dos los adelantos que en los demás países hacen las ciencias para que en el nuestro se promuevan, al terminar mi noticia sobre el jardín de Boissier y sus congéneres, no puedo ménos de excitar el celo acreditado de nuestros profesores de botáni- ca, para que, adoptando los medios auxiliares que en otras partes se emplean, salgan del letargo en que aquí yacen las verdaderas investigaciones fitográficas, que en otros tiempos dieron renombre á los naturalistas españoles. M. P. (¡¡RAE US, 308 REVISION BE PUBLICACIONES CIENTÍFICAS, El Mittheilungen der Schweizerischen entomologischen Ge- sellschaft (Boletín de la Sociedad entomológica de Suiza), en su lomo V, n.° 5, 1878, publica algunas observaciones de nues- tro consocio Mr. J. Lichleinstein, que por su interés científi- co merecen se dé cuenta de ellas, aunque no sea más que para excitar la curiosidad de nuestros jóvenes entomólogos, que observo se dedican poco ó nada á los estudios biológicos, en- golfándose principalmente en los entomográficos, de menor importancia científica; aunque también útiles. La primera observación versa sobre las metamorfosis de la cantárida de las boticas (Litta vesicatoria), que hasta el pre- sente no nos eran conocidas, bien que sospechadas por ana- logía de lo visto en otros coleópteros del grupo á que perte- nece. De tales observaciones soy testigo de vista, pues el mismo Lichteinslein me enseñó el verano pasado la educación que estaba haciendo de las larvas de cantárida, y aun me di ó un ejemplar de ellas que conservo en mi colección. Como en Montpellier, cerca de Madrid, en las fresnedas de Guadarrama, á primeros de Julio, se -ven cubiertos los fresnos de cantáridas en copula; y sin ir tan lejos, saben bien nuestros entomólogos que se las encuentra abundantes en la Casa de Campo, Soto de Migas-Calientes y orillas del Manza- nares hácia el Pardo. Pudieran, pues, fácilmente en el verano próximo recoger algunas hembras fecundadas y repetir con ellas los estudios de nuestro consocio, que voy á referir tales cuales han sido practicados. Mr. Lichteinstein colocó media docena de pares de cantá- ridas en una vasija de cristal casi llena de arena y cubierta con un fanal. Pocos dias después de esta reclusión las hembras escarvando la arena depositaron algunos paquetes de huevos blancos, formando cilindros de unos dos ó tres centímetros de 309 largos. Dichos huevos colocados por el observador en íubos de cristal, vio nacer de aquellos al cabo de algunos dias un crecido número de larvas (de 7 á 800), que reconocidas re- sultaron ser lo que León Dufour y otros naturalistas han lla- mado triongulinos . Tienen la cabeza y abdomen negros, el tórax blanco y dos filamentos en la extremidad del cuerpo. Corrían en todas direcciones con mucha agilidad, intentando introducirse en todas las hendiduras de! terreno sobre el que se las puso; pero al revés de lo que sucede con las larvas de los Meloe y los Sitaris , no tenian tendencias á fijarse bien so- bre los himenópteros que se pusieron á su alcance. El observador les dio miel de la abeja común, aislando lodos los individuos que aceptaban este alimento. A los cinco dias de empezar á comer los triongulinos cam- biaron de piel, tomando la forma de una larva blanda, blanca, sin apéndices caudales y con ojos mucho más pequeños que los que tenian antes. Con fundamento sospecha Lichteinstein que en este estado dichas larvas deberán alimentarse déla miel de las abejas que tienen sus nidos subterráneos, tales las Halictus , Andrena , Eucera , etc.; pero como dicho señor carecía de aquellos ni- dos dió á las larvas que observaba miel de la Osmia tridenta- ta y de la Ceratina chalcites , recogida en los tallos de la ro- maza y del saúco. Todas comieron de dicha miel, pero no de- be serles la más conveniente, porque sucesivamente fueron muriendo, y cuando yo las vi la última vez en Lausana no quedaba viva más que una, la misma que algunos dias des- pués mostró Lichteinstein á la sociedad entomológica suiza, y la que según me escribió con fecha 2 de Octubre último nues- tro consocio, llegó á transformarse en ninfa ó pseudo-ninfa; esperando ya que en esta próxima primavera nazca de ella una cantárida ó variedad de ésta, pues que la miel de la Ce- ratina con que la ha alimentado no es la habitual comida de tales larvas. Con esta cuidosa observación y las de Newport, de Fabre y las mas recientes de Yalerv Mavet, la historia de la Hiper- metamórfosis de los vesicantes queda completa, siendo mode- los de exactitud las hechas sobre el Sitaris humeralis , cuyas 310 larvas son parásitas de las Anthophora , y las del Sitariscolle - tis, parásitas del Golletes succintus. La segunda observación de nuestro colega, consignada en el Boletín entomológico citado, versa sobre un hecho curio ■ sísimo que también tuvimos el gusto de ver en Lausana con el profesor de Florencia Dr. Targioni Tocetíi, demostrado por el mismo Lichteinstein. En un tubo de cristal que contenia varias raicillas del Brachypodium GBromusJ pinnatum había crecido número de un Coccideo del tamaño de un pequeño cañamón. Exterior- mente tales cuerpees! los semejan un saco blanco piriforme, de textura aíieltrada, y en su interior se encuentra un insecto bastante grande, negro-azulado, que si se le revienta da un huaior rojo oscuro. Mr. Lichteinstein cree que pueda ser esta especie de cóc- cideo una cosa nueva y género intermedio entre los Wesl- luoodia y Rupertsia de Signoret, á ménos que no resulte ser la Ántonina purpurea de este último autor, el cual sólo ha descrito la hembra; pero por si se confirmasen las sospechas de novedad, provisionalmente propone el observador llamar al insecto de su estudio Labulbenia Brachypodn. No fueron estas consideraciones las que movieron á nues- tro consocio á hablar de tal insecto en la Sociedad entomoló- gica suiza, sino la curiosísima evolución de los individuos masculinos, realizada de* un modo excepcional, según tuvimos ocasión de ver algunos dias antes que la mencionada corpo ración en Lausana, donde, á los Sres. Targioni, Meerlinguen, Oliveira y á mí, tuvo Lichteinstein la complacencia de ense- ñarnos el arsenal de tubos de observación con que viaja para que no sufra el diario de sus estudios interrupciones perjudi- ciales. En efecto, en uno de los tubos en que tenia el cocci- deo de que se trata, vimos que de las cáscaras que protegen en las cochinillas las ovaciones habían salido infinitas larvas de machos y hembras, habiendo perecido las de éstas, al paso que las masculinas, refugiándose entre el algodón que servia de tapón al tubo, por exudación formaron su capullo de color blanco, dentro del que se tranformaron en ninfa y después en insecto alado. 311 ¡Lo sorprendente de este hecho es quedar demostrado que hay insectos que, siat nacer el huevo no encuentran qué co- mer, pueden recorrer todas sus metamorfosis y. llegar hasta su estado perfecto! Nuestro ilustrado consocio no nos da en su relato explica- ciones de cómo puede verificarse este fenómeno; pero yo las comprendo de un modo muy sencillo considerando que, como he visto sucede en otros séres, basta la materia excedente del cuerpo vitelino reabsorbida al interior para sostener por al- gún tiempo la nutrición y la vida, siempre corta, de varios insectos que, por innecesaria, no llegan á tener boca; tal su- cede en las generaciones dioicas de algunos pulgones, como la PhyUoxera y Pemphigus y en las Ephemeras , que en su es- tado perfecto la tienen muy rudimentaria y no hacen uso de ella. La tercera observación de Lichteinstein que consigna en su Boletín la Sociedad entomológica suiza, trata de particulari- dades metamorfósicas de varios pulgones que le han dado pié para crear un grupo de aphidios que llama authogenesicos, porque, como sucede en la PhyUoxera, al transformarse las ninfas de los individuos ápteros radicícolas en individuos ala- dos, éstos no llevan en su seno huevos sino pupas, que des- pués de nacidas dan origen á los sexuados que carecen de boca, como he dicho más arriba. Mr. Lichteinstein, con una imaginación algo poética, ya an- tes de ahora había expuesto en otra publicación f Anales de la Sociedad entomológica belga, t. XIX, 1877), ideas sobre tales pulgones, que concuerdan con las mías en lo referente á con- siderarlos pupíparos y no ovíparos como ios crée el ilustrado Balbiani, con el cual cada uno á su manera está discorde. Por mi parte ya tengo demostradas las diferencias que caben entre estos dos estados de la evolución de ios gérmenes en los Aphis, de los que hay varios que, como mi pulgón de la zanahoria, en su período alado, no sólo no ponen huevos ni tampoco pupas, sino que paren nuevos individuos ápteros, ágamas que vuelven á reproducirse parthenogenésicamente, como las madres de que proceden, repitiéndose indefinida- mente así su ciclo biológico, según lo tengo consignado en la Sociedad entomológica de Francia ya hace fres años. 312 Por lo demás, vé Lichteinstein en los pulgones alados que llama anthogenesicos unos séres que no considera machos ni hembras sino flores, que siguiendo su descripción romántica, como la llama Batbiani, podríamos decir en lenguaje de Lin- neoque tales flores períenecen al orden de la Singenesia neces- saria, porque en un mismo receptáculo están separados los machos y ¡as hembras. Semejante idea es peregrina y sor- prendente para los que no descienden al estudio de detalles organográfico-fisiológicos; pero fijándose un poco se 've bien claro que los pulgones alados authogenesicos de Lichteinstein no pueden ser sino hembras parthenogenésicas como las ma- dres ápteras de que proceden, según ya tengo consignado en mis escritos sobre el pulgón de la zanahoria y la Phylloxera ■vastálrix. Balbiani y Leuckart, que como yo han examinado los ovarios de tales pulgones pupíparos, opinan como yo, que añado que las pupas que mi sáhio amigo compara con flores monoécicas, positivamente son, según mis investigaciones anatómicas, los fetos aún no maduros que han de convertirse en los individuos sexuados en que termina el ciclo biológico de este grupo, que según las interesantes observaciones de nuestro consocio, además de la Phylloxera comprende la Vacu- na dryophilla , Schizoneura comí, Pemphigus spirotheca y Bo- yen i, ele. Guaells. ESTUDIOS FILOXÉEICOS. La importancia que para España tiene todo lo que contri- buya á ilustrar á los viñadores en esta materia, me decide á proponer á la Academia se publiquen en su Revista cuantas noticias interesantes lleguen á su conocimiento y sean, sobre todo, de carácter científico, aunque de aplicaciones agrarias. Casi todas las corporaciones europeas de ciencias y mu- chas sociedades norte-americanas de igual índole han procu- rado difundir por medio desús publicaciones los es ludios que 313 los naturalistas, los químicos y agricultores han hecho para encontrar el medio de librarnos de la funesta plaga producida por el pulgón maligno, que amenaza de un modo inminente aniquilar todos los viñedos de Europa. Amen de las Memorias que en los anales, boletines, actas, crónicas y otras publica- ciones análogas se han dado á luz en Francia, Alemania, Austria, Hungría, Suiza, Italia y hasta en Portugal, millares de folletos y artículos sobre la Phylloxera se han publicado en nuestro continente y Estados-Unidos de América, y el em- peño de instruir por este medio hasta á los mismos labriegos que cultivan las viñas, en algunos países ha sido tan grande, que en Alemania y Suiza he visto cartelones con dibujos del pulgón seca-hojas, representado en grande escala y en los di- ferentes períodos de su vida radicícola y gallcecola, áptero y alado, sexuado y ágamo, con los huevos y pupas productos parthenogenésicos, y los llamados de invierno ó de origen de hembras fecundadas, que dan nacimiento á las nuevas gene- raciones subterráneas, fijados, no sólo en las esquinas de las poblaciones, sino hasta en las mismas viñas, donde al trabajar los jornaleros pueden á todas horas consultar las dudas que para reconocer al insecto se les ocurran, cuya solución en- cuentran luego, no sólo en tales dibujos, sino también en las descripciones que los acompañan, y son* breves, claras y comprensibles para todas las inteligencias, por reducidas que sean. En España apenas se ha hecho nada aún para prepa- rar nuestros viticultores á la terrible lucha que nos amaga, y por lo tanto, creo que la Academia prestará un servicio al país si, difundiendo las noticias científicas que sobre tan im- portante asuntóse publican en otras parles, contribuye áque los viñadores españoles estén convenientemente apercibidos para rechazar la plaga filoxérica el dia que pase nuestras fronteras, produciendo la confusión y alarma que siempre ocurre en tales apuros é impide tomar desde luego disposicio- nes acertadas. Los estudios biológicos de la Phylloxera son, sin disputa, los que más han contribuido á poner en claro su táctica dia- bólica para destruir los viñedos; y el adelanto de estos estu- TOMO XX 21 BU dios ha sido obra exclusiva de los naturalistas entomológo- agrónomos. Los nombres de Targioni en Italia y Signoret en Francia están al frente de las publicaciones monográficas del género Pinjlloxera, que en mi humilde opinión, en otros escri- tos consignada, adolecen aún de la falla de datos para que las especies creadas por dichos entomólogos puedan ser confir- madas sin reserva. Por lo contrario, las investigaciones bioló- gicas de Balbiani, Planchón y Lichteinstein , nuestros sábios consocios, y las de Riley y Boiteau, arrojan abundante luz para comprender los misteriosos pasos que el maligno pulgón sigue en su propagación infinita y sus desastrosas consecuen- cias. El último observador citado, descubridor del huevo de in- vierno de la Phylloxera vastatrix en los viñedos de Villegouge, y cuyo hecho curioso hizo pronosticar á Balbiani un triunfo seguro para los viticultores, que salió fallido como otros mu- chos precipitada y pomposamente anunciados, acaba de diri- gir á la Academia de Ciencias, de París, nuevas observacio- nes que explican las razones del por qué han fracasado los pronósticos del ilustrado profesor del Colegio de Francia. Creyóse equivocadamente entonces que todos los indivi- duos de la Phylloxera vastatrix llegan fijamente al período de ninfa, y saliendo* de la tierra para transformarse en alados, depositan sus huevos-pupas en las hojas ó sarmientos, na- ciendo de ellos los individuos sexuados que producen por fe- cundación el huevo de invierno, del cual sale la nueva gene- ración ágama, que baja á instalarse en las raicesde las cepas. Esto sentado, el plan de ataque de los viticultores, le es- tableció Balbiani lógicamente del modo que sigue: Dejar salir las ninfas á transformarse en alados para pro- ducir en la atmósfera su generación sexuada. Una vez depo- sitado el huevo de invierno entre las grietas de la epidermis del tronco de las cepas y sus sarmientos, descortezarlas y embadurnarlas con una preparación química que matara el expresado gérmen, evitándose así que nacieran y bajaran á las raices las nuevas hembras ágamas procreadoras de las le- giones radicícolas. Si así pasase todo, este plan fuera magnífico, y sin género 315 de duda al cabo de unos cuantos años la terrible Phylloxera , no sólo aminoraría, sino que al fin y al cabo podría, quizás, llegar á extinguirse. Pero tan lisonjeras esperanzas se han di- sipado con las nuevas observaciones de Mr. Boileau, comuni- cadas recientemente á la Academia de París, que á decir ver- dad, ni para los Sres. Lichleinstein y Planchón, Mr. Schra- der de Burdeos y para mí mismo no son cosa nueva, pues las teníamos sabidas hace algún tiempo. Mr. Boiteau declara que la Phylloxera- subterránea ó hi- pogea de las cepas descortezadas y embadurnadas, ha seguido poniendo y multiplicándose como las de las no tratadas, cosa que en mi juicio es muy natural que así suceda, y dice que á pesar de estar ya en su tercer año de vida ágama, ha visto que la disminución no se efectuaba, continuando en estas plantas los estragos como en las otras, notándose en algunas mejorías parciales. De esto Mr. Boiteau deduce que el trata- miento de las partes aéreas de las cepas no excusa los de las subterráneas, que tan incompletos resultados hasta el dia han dado. Mr. Schrader hace más de cuatro años que tiene viva en su observatorio la Phylloxera áptera-ágama, que vive multi- plicándose activamente como lo verifican mis pulgones de la zanahoria, cuya producción vivípara-parlhenogenésica en to- dos los períodos de su ciclo se realiza de la misma manera, hecho que ha llamado tanto la atención de algunos entomólo- gos de nota. La noticia que Mr. Boiteau comunica á la Academia de Ciencias no puede ser más desconsoladora, porque disipa las lisonjeras esperanzas que se habían concebido con las teorías del distinguido profesor Balbiani. Como Mr. Lichteinstein y yo sostuvimos en el Congreso internacional de Lausana, Mr. Boiteau también asegura que la Phylloxera alada tiene un vuelo activo y prolongado. De esto se puede convencer cualquiera colocándose en un dia caluro- so del mes de Agosto en el centro de una viña muy filoxerada, y á eso de las cuatro de la tarde; poniéndose el observador de cara al sol y arreglándose de modo que, mirando hacia el astro, sus rayos luminosos no le deslumbren, verá revolotear 316 por la atmósfera multitud de insectillos, cuyos movimientos principalmente tienen por objeto sostenerles en el aire. En- tre esta nube de diminutas criaturas, y en mayoría, se ven cruzar con vuelo regular, ágil y sostenido las phylloxeras , que fácilmente pueden recogerse con una manga de gasa y hasta con la misma mano. Las fatales consecuencias de tal fa- cultad son bien conocidas de todos los viñadores donde reina la plaga. El descubridor del famoso huevo de invierno da reglas para encontrarlo fácilmente. Dice que debe buscarse en las cepas de 4 ó 5 años, podadas de manera que los insectos se vean obligados á desovar en un espacio reducido, para que así agrupados los huevos sea más fácil su hallazgo. En una viña plagada de Phylloxera, asegura el observador de Yille- gouge, puede así hacerse abundante cosecha en poco tiempo del referido huevo y de las hembras sexuadas, que al poner- le quedan muertas á su lado. Otra interesante observación de Mr. Boiteau es la de que la hembra sexuada no va á poner su único huevo bajo de tier- ra, como algunos habían creído. Para cerciorarse de ello ha arrancado varias cepas, que, á pesar de contener en su sistema aéreo multitud de huevos de invierno, á partir de flor de tier- ra, no le ha sido posible encontrar uno sólo en todas las raí- ces gruesas ni capilares, á pesar del exámen más escrupuloso que ha verificado. De tan importante estudio resulta demos- trado el punto donde termina el ciclo biológico de \& Phylloxe- ra vastatrix , y dónde toma origen por la madre parthenoge- nésica que nace del huevo de invierno y baja á enterrarse para fundar nuevas colonias de individuos radicícolas. Guaells. LOS ESQUIMALES Y LOS NUBIOS. No se necesita ser gran observador para distinguir á un andaluz de un gallego, ni á un catalan de un vascongado, y esto sin oirles hablar, porque en tal casóse les reconocerá con los 317 ojos vendados. Las diferencias que nos ofrecen estos habitan- tes de una misma nación, provienen de su diferente modo de vivir, impuesto á cada uno por las condiciones materiales del medio en que pasa la vida; de manera que mirando á su alre- dedor, cada cual podrá formarse una idea de las modificacio- nes profundas que las causas locales, infinitamente prolonga- das, pueden determinar en la especie humana. La reciente obra de Mr. de Quatrefages, titulada La especie humana , con- tiene sobre este asunto detalles interesantísimos, que no es mi objeto exponer aquí. Con motivo de la exposición de los Nubios y Esquimales en el Jardín zoológico del Bois de Boulogne, en París, Mon- sieur Lamaire ha publicado en la Crónica de la Sociedad de Aclimatación un curioso escrito sobre las principales condi- ciones en que estos dos pueblos se encuentran por su posición geográfica sobre el globo, concibiéndose fácilmente que de ello debe resultar una existencia y una alimentación capaz de producir á la larga el sello particular que los distingue. La antigua fórmula de Brillat-Savarin, que dice dime lo que comes y te diré lo que eres, puede aplicarse tanto á lo físico como á lo moral, y según los adelantos modernos aseguran, estos son los diferentes medios que han producido las distin- tas razas. Veamos ahora algunos de los fenómenos naturales que Mr. Lamaire señala en el grado 69 de latitud para los Esqui- males, en el 12° para los Nubios, y en el 49°, para los Pari- sienses. Esquimales. Parisienses. Nubios. Distancia del Polo 2,333 kil. 4,556 kil. 8,667 kil. Idem del Ecuador 7,667 5,445 1,223 Longitud de la paralela. . 14,334 26,242 39,123 Y como cada punto de los paralelos da una circunvolu- ción cada 24 horas, resulta que los Nubios, que recorren 39,123 kilómetros en dicho tiempo, atraviesan el espacio más rápidamente que los Esquimales, que en igual número de horas solo giran 14,334 kilómetros. Resultado de estas cifras por segundos. 318 Esquimales. Parisienses. Nubios. Traslación déla paralela en 1 segando 166 metí*. 304 metí*. 453 metí*. Con la velocidad con que recorren su círculo los Nubios, el trayecto de París á Orleans se andaría en cuatro minutos y medio, mientras que se necesitarían doce con la de los Esqui- les, y seis y medio con la de los habitantes del 49 grado de latitud. Pasemos á examinar la duración de los dias, cuya influen- cia sobre la actividad de los seres vivos es lan marcada. Esquim. Parisién. Míos. h. m . h. m. h. m. Los 16 de enero y 26 de noviembre. f Duración del día. . . 1 51 [ Duración de la noche. 22 09 < Salida del sol, á las. 11 35 I Postura del sol al me- \ dio día 25 8 38 11 28 15 22 12 32 7 51 6 16 4 09 5 44 Los 20 de mayo y 23 de julio. Duración del día. ... 22 22 15 26 12 40 Duración déla noche. 1 38 8 34 11 20 Salida del sol á media noche y 49 4 17 5 40 Postura del sol lili 7 43 6 20 Parisienses. Nubios. ¡El sol no se pone; no hay noche. . Del 2 de diciem-\ bre al 10 de¡ enero. ( Altura del sol en \ el solsticio de f verano á medio i dia ) No ama- n e c e; no hay dia. 44° 27 r La duración del dia varia de 15 horas 38' á 16 h. 9' La duración del dia de 8 h. 8' á 8 h. 27f 64° 27' i La duración del dia varia de 12 h. 42f á 12 h. 47' La duración del dia varia de 11 h. 23r á 11 h. 26f 78°, 33r y 90° dos veces al año, los 21 de abril y 21 de agosto. 319 La altura máxima del sol de 44° 27' en el país de los Esquimales, es la misma que tiene lugar en París el 31 de marzo y 12 de setiembre á las once y media y doce y media del dia; y he aquí de que modo pueden, según Mr. Lamaire reconocer aproximadamente los parisienses las citadas alturas del sol. La altura de las torres de Nuestra Señora de París es de 66 metros: pues bien, colocándose á 66 metros de la base de aquellas, y mirando á lo alto de las mismas es precisamente la dirección en que se verá elevado el sol á los 44° 27' sobre el horizonte. Colocándose á 31 metros de dicha base y mirando la pi- cota de las torres, se tendrá la dirección de los 64° 27'; y en fin colocándose á 13 metros solamente de la misma base, y mirando á la mayor altura de las torres, se tiene la dirección de los 78° 33'. En cuanto á los 90° grados, es sabido que se trata de un punto situado exactamente encima del observador. Otro modo de reconocer el valor relativo de estos grados de altura en París, es colocarse á 13 metros de la base de las torres de Nuestra Señora, y levantar la vista hasta el quinto de su allura, y resultará el ángulo de 44° 27'; si la elevamos hasta los dos quintos, tendrémos el ángulo de 64° 27?; y en fin, mirando la cúspide de las torres, será la dirección de los 78° 33'. Tales diferentes alturas del sol representan en luz para los Esquimales 10, cuando tienen 13 los Parisienses y 14 los Nubios. Mr. Lemaire concluye con algunas temperaturas medias observadas en los tres paises: Esquimales. Parisienses. Nubios. Del año . . . -16°, 6 +10°, 8 +28°, 7 Verano. . . + 1°,7 +18°, 2 +29°, 9 invierno.. . -29°, 7 + 3°, 5 +26°, 4 Meses de más calor.. + 3o, 9 en Julio. +18°, 9 en Jul. +31°,SenMay Meses de más frió.. . — 33°, 5 en Dic. + 2o, 4 en En. +25°, 5 en Dic. m Al terminar la anterior noticia sobre la curiosa comuni- cación de Mr. Lamaire publicada en la Crónica de la Sociedad de Aclimatación, no puedo menos de expresar la gran sorpresa que me causó el ver exhibidos en el célebre Jardín zoológico del Bois de Boulogne, á los citados tipos de la humanidad, como á otros muchos animales, encerrados en una espaciosa cerca, donde los contemplaba un crecidísimo número de curiosos, ávidos de admirar á sus extraordinarios prójimos que se ocupaban en diversos ejercicios ejecutados á su particular usanza, lo cual venia á demostrarnos que á las variaciones morfológicas contraidas del modo ya indicado, van inheren- tes maneras especiales de operar y proceder para cum- plir las necesidades de la vida, cuyas exigencias varian según el medio en que cada sér se encuentra colocado. Y con tal ejemplo, y con los principios ya establecidos por la ciencia sobre el influjo de las causas locales infinitamente prolonga- das para determinar la variación de la especie, ¿á quien no se le ocurrirá que tal doctrina, confirmada por la observación de los hechos, viene en apoyo de las predicaciones darwinistas? Si la especie humana, que representa al sér más complejo de la animalidad, sometida á tan distintas condiciones locales, como son las de las diferentes parles del globo que habita, llega á hacerse tan extraordinariamente polimorfa, como demuestran á la evidencia sus múltiples razas y variedades ¿qué de sor- prendente, extraño ni atrevido tendrán las racionales teorías de los eminentes naturalistas lamarck y Darwin? M. P. Graells. VARIEDADES. Real Academia de Ciencias exactas, físicas y naturales. Programa para la adjudicación de premios en el año de 1879. Artículo l.° La Academia de Ciencias exactas, físicas y naturales abre concurso público para adjudicar tres premios á los autores de las Memo- rias que desempeñen satisfactoriamente, á juicio de la misma Corporación, los temas siguientes: I. El Algebra histórica y críticamente considerada. Definición de esta parte de la ciencia matemática , é indicación de sus limites y caractéres propios y distintivos. Exposición compendiosa, pero metódica y clara , de sus principios fundamentales y teorías más importantes, en cuanto principalmente se refiere á su origen y desenvolvimiento en el trascurso del tiempo, á sus relaciones mutuas de analogía y dependencia, ó á su falta de conexión é intimo enlace. Qué se entiende por teorías modernas del Algebra; á qué necesidad ú objeto científico responden, y de qué modo ó hasta dónde le satisfacen. II. Estado actual é historia de los progresos de las ciencias exactas, físi- cas y naturales en España desde los primeros años del reinado de Car- los III hasta el primero de Alfonso XII, señalando la influencia que hayan tenido en los referidos progresos las enseñanzas de las Universidades , Escuelas especiales aplicadas , Academias, el libro, las publicaciones pe- riódicas de Ciencias, Gabinetes , Laboratorios, Museos, Observatorios, Decretos y Legislaciones orgánicas que sucesivamente se hayan publicado con relación al estudio de las Ciencias mencionadas . III. Estudio y exposición de las causas que determinan la heteromorfosis de los individuos de una misma especie, los cuales llegan á producir las extraordinarias formas alternantes que han inducido muchas veces á error á los naturalistas descriptores , hasta el punto de formar con una misma especie , tipos de géneros, familias y aun de grupos más superiores dife- rentes. El autor de la Memoria deberá ilustrar sus explicaciones con dibujos demostrativos de las graduales y sucesivas transformaciones que experi- mentan los órganos, y dan por resultado el cambio de la fisonomía de una misma especie. 2.° Los premios que se ofrecen y adjudicarán, conforme lo merezcan las Memorias presentadas, serán de tres clases: premio propiamente dicho, accé- sit y mención honorífica. 3..° El premio consistirá en un diploma especial en que conste su adjudi- cación; una medalla de oro, de 60 gramos de peso, exornada con el sello y lema de la Academia, que en sesión pública entregará el Sr. Presidente de la Corporación á quien le hubiese merecido y obtenido, ó á persona que le represente; retribución pecuniaria al mismo autor ó concurrente pre- miado de 1.500 pesetas; impresión por cuenta de la Academia, en la Colec- ción de sus ¡Memorias, de la que hubiere sido laureada; y entrega, cuando esto se verifique, de 100 ejemplares al autor. 4. ° El premio se adjudicará á las Memorias que no solo se distingan por su relevante mérito científico, sino también por el orden y método de exposición de materias y redacción bastante esmerada, para que desde lue- go pueda procederse á su publicación. 5. ° El accésit consistirá en diploma y medalla iguales á los del premio y adjudicados del mismo modo; y en la impresión de la Memoria coleccio- nada con las de la Academia y entrega de los mismos 100 ejemplares al autor. 6. ° El accésit se adjudicará á las Memorias poco inferiores en mérito á las premiadas, y que versen sobre los mismos temas.- ó, á falta de término su- perior con que compararlas, á las que reúnan condiciones científicas y lite- rarias aproximadas, á juicio de la Corporación, á las impuestas para la ad- judicación ú obtención del premio. 7. ° La mención honorífica se hará en un diploma especial, análogo á los de premio y accésit , que se entregará también en sesión pública al autor ó con- currente agraciado, ó á persona que le represente. 8. ° La mención honorífica se hará de aquellas Memorias verdaderamen- te notables por algún concepto, pero que, por no estar exentas de lunares é imperfecciones ni redactadas con el debido esmero y necesaria claridad para proceder inmediatamente á su publicación por cuenta y bajo la res- ponsabilidad de la Academia, no se consideren dignas d e premio ni de accésit. 9. ° El concurso quedará abierto desde la publicación de este Programa en la Gaceta de Madrid, y cerrado en 31 de diciembre de 1879, hasta cuyo dia se recibirán en la Secretaría de la Academia cuantas Memorias se presenten. 10. Podrán optar al concurso todos los que presenten Memorias que sa- tisfagan á las condiciones aquí establecidas, sean nacionales ó estranjeros, excepto los individuos numerarios de esta Corporación. 11. Las Memorias batirán de estar escritas en castellano ó latin. 12. Las Memorias que se presenten optando á premio se entregarán en * 323 la Secretaría de la Academia, dentro del plazo señalado en el anuncio de convocatoria al concurso, y en pliegos cerrados, sin íirma ni indicación del nombre del autor, pero con un lema perfectamente legible en el sobre ó cubierta, que sirva para diferenciarlas unas de otras. El mismo lema de la Memoria deberá ponerse en el sobre de otro pliego, también cerrado, den- tro del cual constarán el nombre del autor y las señas de su domicilio ó paradero. 13. De las Memorias ó pliegos cerrados el Secretario de la Academia dará á las personas que los presente y entregue un recibo, en que consten el lema que los distingue y el número de orden de su presentación. 14. Los pliegos señalados con los mismos lemas que las Memorias dig- nas de premio ó accésit, se abrirán en la sesión en que se hubiese acordado otorgar á sus autores una ú otra distinción y recompensa; y el Sr. Presiden- te proclamará los nombres de los autores laureados en aquellos pliegos con- tenidos. 15. Los pliegos señalados con los mismos lemas que las Memorias dignas de mención honorífica, no se abrirán hasta que sus autores, conformándose con la decisión de la Academia, concedan su beneplácito para ello. Para obtenerle se publicarán en la Gaceta de Madrid los lemas de las Memorias en este último concepto premiadas; y, en el improrogable término de dos meses, los autores respectivos presentarán en Secretaría el recibo que de la misma dependencia obtuvieron como concurrentes al certámen, y otor- garán por escrito la venia que se les pide para dar publicidad á sus nom- bres. Trascurridos los dos meses de plazo que para llenar esta formalidad se conceden, sin que nadie se dé por aludido, la Academia entenderá que los autores de aquellas Memorias renuncian á la honrosa distinción que legíti- mamente les corresponde. 16. Los pliegos que contengan los nombres de los autores no premiados ni con premio propiamente dicho, ni con accésit, ni con mención honorífica, se quemarán en la misma sesión en que la absoluta falta de mérito de las Me- morias respectivas se hubiese decidido. Lo mismo se hará con los pliegos correspondientes á las Memorias agraciadas, con mención honorífica, cuando en ios dos meses de que trata la regla anterior, los autores no hubiesen concedido permiso para abrirlos. 17. Las Memorias originales, premiadas ó no premiadas, pertenecen á la Academia, y no se devolverán á sus autores. Lo que, por acuerdo especial de la Corporación, podrá devolvérseles, con las formalidades necesarias, serán los comprobantes del asunto en aquellas Memorias tratado: como mo- delos de construcción, atlas ó dibujos complicados de reproducción difícil, colecciones de objetos naturales, etc. Presentando en Secretaría el resguar- do que de la misma dependencia recibieron al depositar en ella sus trabajos como concurrentes al certámen, obtendrán permiso los autores para sacar una copia de las Memorias que respectivamente les correspondan. El Secretario perpétuo, Antonio Aguilar y Vela. Beal Academia de Ciencias exactas, físicas y naturales. Premios de 1877.— En el concurso abierto por esta Real Academia para premiar las Memorias que lo mereciesen entre las presentadas sobre los te- mas que oportunamente se anunciaron, se ha declarado que la única Memo- ria sobre el 2.° tema publicado en 1876, ó sea el de Determinar el valor intrin ■> 324 seco de las materias curtientes y astringentes, referido al del tanino producido por los vegetales de cinco ó mas provincias de España , etc., y que se distinguía con el lema Estudios sobre. el tanino, era merecedora de accésit. Abierto acto continuo el pliego señalado con el mismo lema que debía contener el nombre del autor, resultó serlo el Sr. D. Cárlos Castel y Cle- mente, profesor de la Escuela de ingenieros de montes. Lo que se pone en conocimiento del público, en cumplimiento de los acuerdos de la Academia. =El Secretario perpétuo, Antonio Aguilar. Exposición geológica internacional, circular dirigida á los geólogos Los notables progresos hechos en los estudios geológicos desde hace medio siglo, han producido el resultado de dar á esta ciencia una gran importancia, y al mismo tiempo de reunir una masa enorme de observaciones que exigen esten perfectamente ordenadas. Los geólogos que siguen sus estudios distantes unos de otros, conocen la necesidad de definiciones mas exactas, que puedan dar mayor valor á sus observaciones y comparaciones. La exposición internacional que se celebró en Filadelíia, ha ofrecido á los geólogos americanos y europeos que han tenido la dicha de encontrarse en ella, colecciones geológicas de varias partes del mundo, que comprendían ejemplares de rocas, de minerales, de fósiles y de cartas geognósticas. El estudio comparativo de estos materiales les ha inspirado la idea de que necesariamente debían dar resultados más importantes para la ciencia geológica, colecciones más generales y más numerosas, reunidas se- gún un sistema común. La exposición internacional que se verificará en París este año, ofrece bajo este punto de vista una ocasión de las más á propósito, y nos ha su- gerido el pensamiento de invitar á las diversas naciones, representadas por sus cuerpos de ingenieros de minas, sus profesores de geología y sus sociedades sabias, así como también á los particulares para que contribu- yan como tengan por conveniente á fin que resulte lo más completo posible el departamento geológico de esta exposición. Al mismo tiempo, y para sacar el mayor provecho posible de esta ocasión, se propone convocar un congreso geológico internacional, que se verificará en París durante la Exposición, y permita á los Señores geólogos hacer en conjunto el estudio crítico de las colecciones que hayan reunido;, como también tratar, por medio de discusiones amistosas, de resolver alguno de los numerosísimos problemas que ofrece todavía la clasificación y la termi- nología geológica. Se propone que los materiales geológicos que se envíen á la exposición comprendan: l.° Colecciones de esquistos cristalinos y de rocas eruptivas, compren- diendo en ellas las formaciones llamadas de contacto y los resultados de las alteraciones de terrenos no cristalinos por las rocas de expansión. Los res- tos orgánicos hallados en los terrenos cristalinos, merecen una considera- ción particular. Estas colecciones comprenderán también toda especie de rocas que tenga una importancia especial bajo los puntos de vista de la quí- mica, de la mineralogía ó de la fitología, como también los depósitos gey- serianos, los diversos minerales y los filones de toda especie con las rocas en que se hallen. En lo posible, las rocas deben ir dispuestas de modo que permitan su estudio al microscopio. Sería de desear que para arreglar estos materiales, se tuviesen en cuenta más bien asociaciones naturales que ideas 325 teóricas ó clasificaciones artificiales, para que puedan estudiarse las colec- ciones, no sólo bajo el punto de vista de la petografía, sino también de la geognosia. 2. ° Colecciones de restos orgánicos de terrenos sedimentarios, especial- mente las faunas y las floras que pertenecen á los horizontes que tienen un interés especial para la geología. A los individuos de la comisión nombrada anteriormente, ha parecido que los restos orgánicos de los terrenos desig- nados con los nombres de cambriano, tacónico y primordial merecen prin- cipalmente un estudio especial. Todas estas colecciones deberán explicarse por rótulos, catálogos, monografías y cartas. 3. ° Colecciones de cartas geológicas, y especialmente cortes y modelos que sirvan para poner de relieve la estructura de las montañas. En la preparación de las cartas, se invita especialmente á fijar la atención en ciertas cuestiones que merecerán principalmente la consideración del Con- greso, tales como, por ejemplo, las escalas que conviene adoptar para dife- rentes cartas, los colores y símbolos que hay que emplear, y la mejor mane- ra de representar en una sola carta los depósitos superficiales, al mismo tiempo que los terrenos subyacentes. Por medio de una discusión de estas cuestiones, se fijarán las bases para la construcción de cartas geológicas perfeccionadas, de los continentes. La Asociación americana para el adelantamiento de las ciencias, en su última reunión anual, que se verificó en Búfalo bajo la presidencia del profesor Sr. William B. Rogers, aprobó por unanimidad el siguiente acuerdo el 25 de Agosto de 1876. El Presidente de esta Sociedad nombrará una comisión con el encargo especial de organizar un Congreso internacional de Geólogos, que se reúna en París durante la Exposición internacional de 1878, con objeto de discu- tir y de fijar las cuestiones de clasificación y de nomenclatura geológicas. Dicha comisión estará también encargada de invitar á los Señores geólogos para que envíen á esta Exposición colecciones geológicas que permitan hacer estudios comparativos. Los nombres de nuestros distinguidos huéspedes MM. Huxley, de Inglaterra, Torell, de Suecia y de Baumhauer deben agregarse á los de esta comisión, invitándoles á tomar medidas para asegurar la coo- peración de los geólogos europeos en el congreso propuesto. La comisión se compondrá de los Señores William B. Rogers, James Hall, J. W. Dawson, J. S. Newberry, T. Sterry Hunt, C. H. Hitchcock y R. Pumpelly, agregán- doseles MM. T. H. Huxley, Otto Torell y E. H. Von Baumhauer por el extrangero. En una reunión de dicha comisión, celebrada el 25 de Agosto, el Profe- sor James Hall fué elegido Presidente, y el I)r. T. Sterry Hunt, Secretario. Después se resolvió redactar esta circular en inglés, francés y alemán, y remitirla á los geólogos de todos los paises, invitándolos para que coadyu» ven á la obra importante de una Exposición geológica internacional y de un Congreso geológico internacional , en París en 1878, debiéndose fijar después la fecha exacta. Todos los que se interesen en este proyecto pueden dirigirse á los Señores siguientes de la comisión. Profesor T. H. Hoxley, Londres , Inglaterra. Dr. Otto Torell, Estocolmo , Suecia. Dr. E. H. Yon Baumhauer, Harlem, Holanda. Dr. T, Steiuiy Hunt, Boston , Mass , Y. S. A. m Conferencias y congreso durante la Exposición universal. El ministro de agricultura y comercio ha decidido que se verifiquen con- ferencias durante la Exposición universal en el palacio del Trocadero. Hé aquí los términos del decreto formulado por Mr. Teisserenc de Bort: Artículo l.° Durante la Exposición universal de 1878, se establecen ocho grupos de conferencias y congresos, en ios cuales se tratarán las cuestio- nes que se refieran al origen, producción, ejecución, progreso, gastos, le- gislación y protección legal de las obras y de los productos de toda clase reunidos en el recinto de la Exposición. Arl. 2.° Dichas conferencias y congresos se verificarán en las salas del Trocadero, bajo la elevada dirección y comprobación de una comisión es- pecial. Art. 8.° Para la preparación y organización general de las conferencias y congreso, se crean siete comisiones correspondientes á los diversos gru- pos de los productos de la Exposición, y otra octava comisión, que reunirá en sus atribuciones todo lo que pueda hallar su representación material en la Exposición. Cada una de estas comisiones se constituirá eligiendo de su seno un pre- sidente y secretario. Art. 4.° Una comisión central, compuesta de los ocho presidentes nom- brados en la forma que se ha dicho, centralizará y coordinará el trabajo de las comisiones. Tomará, con aprobación del Gobierno, las disposiciones re- glamentarias relativas á su marcha, fijará el orden y la naturaleza de las conferencias y de los congresos que tendrá que autorizar ó provocar, y de- signará los documentos que deberán publicarse en un resúmen. La comisión será presidida por el ministro de agricultura y comercio, ó por el subsecretario de Estado. Art. 5.° Se establece cerca de la comisión central una secretaría, encar- gada de preparar los trabajos de las comisiones, de recojer las decisiones de la comisión y de asegurar su cumplimiento. Art. 6.° Se concede un crédito de 100.000 francos al comisario general de la Exposición para sufragar los gastos de instalación, de publicidad y de publicación que exigirán las conferencias y congreso, cuyo crédito se asignará al capítulo 4.° del presupuesto general de la Exposición universal. En la exposición que precede al decreto, se lee lo siguiente: «En las conferencias se expondrán las enseñanzas que ofrece para el estudio de los productos reunidos en las diversas clases, la historia de sus progresos y de las ciencias que utiliza, la naturaleza y la extensión de las necesidades que satisface, el estado de las costumbres y el grado de civili- zación á que corresponden, el pensamiento de que proceden, el desarrollo é impulsión nueva que tal pensamiento puede recibir. »En los congresos se debatirán contradictoriamente todas las cuestiones de legislación y de doctrina que se refieren á la industria, á las ciencias, á las artes, ya considerándolas en sí mismas, ya bajo el aspecto de las rela- ciones internacionales de que son la causa, y estas discusiones no podrán menos de poner en claro puntos que están oscuros; servirán para resolver cuestiones todavía inciertas, para afirmar reglas y principios fecundos, y para unificar los esfuerzos que aisladamente serian infructuosos. »La facilidad, la rapidez de las comunicaciones, el desarrollo de las re- laciones comerciales, han creado entre los diversos pueblos una porción de intereses comunes, en los cuales produce una gran perturbación la diver- sidad de legislaciones. Algunas reuniones, en las cuales se discutirán las bases de una mutua inteligencia para todos, apresurarán mucho segura- mente la adopción de reglas internacionales uniformes:»' Descubrimientos arqueológicos. Se indican interesantes des- cubrimientos arqueológicos en Roma. En la rinconada de las calles deMon- tebelio y Volturne, en el sitio que ocupaba el campo de los pretorianos, se ha descubierto una cueva en la que había un millar de ánforas colocadas en diez filas sobrepuestas. De estas 1.000 ánforas, hay cerca de 200 que llevan inscripciones de co- lor (negro, blanco, rojo ó verde), cuyas inscripciones tienen una verdadera importancia bajo el punto de vista de la historia del comercio de los géne- ros alimenticios entre los antiguos. En el ángulo que forman las calles de Mazarino y Nacional, se ha halla- do una magnífica pintura mural en mosaico, de colores brillantes, que mide mas de 2 metros y 10 centímetros de alto, y 1 metro y 0 centímetros de ancho. Este mosaico representa una gran galera, con velas desplegadas, con pabellón flotante, en el momento de entrar en un puerto monumental. El puerto está rodeado de muelles con escaleras de desembarque, de otro cons- truido sobre pilares y arcos, y de un faro, cuya parte inferior es rectan- gular y la superior cilindrica. Este mosaico, descubierto en la propiedad de Pallavicini, ha sido ofre- cido por dicho príncipe al museo Capitolino. Animales feroces en las Indias. El que pasea tranquilamente por el jardín de plantas, satisfaciendo sin temor alguno su curiosidad, ve los leones y los tigres recorriendo sus jaulas con paso lento y regular, los osos bostezando de fastidio en el fondo de sus cuevas, las serpientes ador- mecidas bajo sus mantas, y no puede formarse idea de los desastres que causan semejantes animales feroces en los países en que viven libres y en estado salvaje. El tributo que les pagan los hombres, nada más que en las indias, es verdaderamente espantoso, como puede verse por algunas ci- fras que publica la Union medícale. Se ha comprobado que en 1876, los elefantes han muerto 52 personas, los leopardos 156, los tigres 917, los osos 123, los lobos 887, las hienas 49, diversos animales fieros 143, y por último, las serpientes 15.946. Constituye todo un total de 21.000 víctimas humanas. En el mismo tiempo los animales fieros han devorado 54.830 cabezas de ganado. Y aunque durante el año 1876 se han destruido 22.357 animales monteses y 270.185 serpientes, y en 1877 se ha continuado la destrucción, pereciendo 212.371 serpientes y 23.459 animales fieros, el tributo pagado por el hombre á las fieras, ha sido todavía en 1877 de 19.273 personas y 48. 000 -cabezas de ganado. El gran globo cautivo de la Exposición universal. El globo cautivo de Mr. Giffard se está construyendo, y debemos esperar que, gra- cias á la inteligente organización del inmenso material, y á las disposicio- nes que pueden adoptarse para conducir á buen fin tan gigantesca empresa, el gigante del aire se hallará en disposición de funcionar desde que se abra la Exposición. El globo Giffard podrá, como es sabido, elevar 50 personas á mas de 500 metros de altura; su volúmen tendrá una capacidad de 25.000 m metros cúbicos, y medirá 36 metros de diámetro. La cubierta, impermea- ble al hidrógeno, está compuesta de telas y placas de goma elástica, alter- nativamente sobrepuestas. Se llenará con gas hidrógeno puro, preparado con limaduras de hierro, tratadas con ácido sulfúrico. Espejo eléctrico de los caminos de hierro. En la estación de Marsella debe hacerse dentro de muy poco un experimento de un medio ingenioso propuesto para evitar siniestros en los caminos de hierro. Con- siste en un espejo eléctrico que se coloca en todas las estaciones, y en el cual se reproducirá todo el movimiento de la línea. Por esta combinación, los jefes de estación podrán ver con medio kilómetro de aproximación en qué punto de la línea se halla el tren que haya pasado por la suya. Dicho espejo es sumamente curioso, porque por él se puede ver circular, subir, bajar y cruzarse todos los trenes en un trayecto de 100 kilómetros. Por este medio pueden prevenirse en lo sucesivo los accidentes, que son resultado de ade- lantarse ó retrasarse los trenes. Camino de hierro aéreo. Se va á prolongar en Nueva-York el ca- mino de hierro aéreo, llamado de la sexta calle, que hasta ahora no atra- vesaba mas que la parte superior de la ciudad. Adelanta rápidamente la colocación de los rails sobre pilares de hierro, cuyos pilares se elevan á la altura de un piso, y en diez dias llegará á tener la longitud de media milla. El trabajo está adelantado ya hasta la calle núm. 24, donde comienza el barrio comercial. Por consiguiente, dentro de poco, el camino de hierro aéreo ó suspenso, atravesará la ciudad en toda su longitud, es decir, en un espacio de 8 millas. N.° 7.° — REVISTA DE CIENCIAS. — Tomo XX. CIENCIAS EXACTAS. RESOLUCION GENERAL DE LAS ECUACIONES NUMERICAS. (Continuación, ) CAPITULO VIL Aplicación de las teorías expuestas en los capítulos precedentes á la resolución de varios ejemplos. §. 34. Necesidad 6 conveniencia de este capítulo , complementario de los precedentes . Aunque en el curso de esta Memoria se hayan intercalado algunos ejemplos bastante sencillos, con el doble objeto de ilustrar la teoría y demostrar la conveniencia y eficacia del nuevo método de resolución de las ecuaciones numéricas, por vía de recapitulación, y para que pueda prácticamente paran- gonarse la importancia y generalidad de este procedimiento con las de cualquiera otro de los ya conocidos y vulgares, agregaremos á los resueltos y discutidos en las páginas ante- riores otros varios, de mayor complicación y trascendencia. TOMO XX, 22 330 §• 35. Resolución de una ecuación de séptimo grado , con siete raíces reales , comprendidas entre cero y la unidad. Como primero de todos, propongámonos resolver la si- guiente ecuación, en una de sus célebres obras analizada y resuelta también por el profundo matemático C. F. Gauss: 7 r , 63 „ 175 . , 175 3 63 2 , 7 1 143 X°~~ 28(5 X ^ 429 * ~ 3432 Reemplazando en ella los coeficientes por sus logaritmos, nos resultará esta otra: w1- 0.5440680 ¿c6+ 0.685397! xs— 0,5270347 0.0877020 ar— 1.3429745 ¿r2+ 1,2126407 4.4644527 — 0. El uso de las características negativas, tan embarazoso y poco conveniente en el cálculo, se evitará transformando la ecuación propuesta en otra, cuyas raíces sean las de la pri- mitiva, multiplicadas por un factor común, k. Y cuando este factor pueda escogitarse de mañera que el último término de la ecuación transformada resulte igual á la unidad, tampoco deberá prescindiese de la simplificación en tan sencilla pro- piedad basada. En el ejemplo de que ahora se trata, ambos resultados apetecidos se obtienen adoptando para multiplica- dor común, k, el número determinado por la relación siguien- te: k1 = 3432; ó log k = 0,5056782. Agregando este logaritmo al segundo coeficiente de la 331 ecuación anterior, y su duplo, triplo, etc., etc., Respectiva- mente, á los demas sucesivos, la transformación quedará ve- rificada, y obtendremos este nuevo resultado, ó ecuación, que deberemos considerar como verdadero punto de partida: (2o) x'— 1. 0491462 £6+1. 6955535 a?5- 2.0422693 ®4+ 2.1080148 x>— 1 .8683655 x*+ 1 .2431099 x— 0.0000000 = 0, En el cálculo de las primeras transformadas de esta ecua- ción, por la regla del (§, 3), conviene emplear logaritmos de siete cifras decimales; porque, si solo de cinco, desde un prin- cipio, los empleásemos, en el del tercer coeficiente de la (21), nos resultaría que loga/ '= + 3.39111; — log 2 a, a5 = — 3.39245 ; v log 2 a4 = + 2.40904. Pues bien: cuando, con auxilio de las tablas de Gauss, co- nocida la diferencia de dos logaritmos, tratemos de calcular el logaritmo de la diferencia de los números á que correspon- den, conforme en el (§. 19) se explicó, si la primera diferen- cia es, como en el caso actual acontece, de 0.00134, bastará una incertidumbre ó error de una simple unidad de quinto orden, para que el logaritmo buscado adolezca de otro error ó incertidumbre de todo punto inadmisible, hasta de 330 uni- dades de la misma especie. Y no solo por este motivo, sino, en general, para evitar desde un principio la acumulación de errores, transcendentes á los resultados finales, conviene cal- cular las primeras transformadas de la ecuación propuesta con siete cifras decimales; sin perjuicio, para simplificar y abreviar las operaciones numéricas, cuando ya un extremado rigor no se considere preciso, de trabajar luégo con logarit- mos de solas cinco . Hasta la presunción muy racional de que sean erróneas las dos últimas cifras decimales, tras de unas cuantas combinaciones aritméticas con números meramente 332 aproximados á la verdad, autoriza y aconseja semejante ma- nera de proceder. De la ecuación (2o) se desprenderán, pues, por la regla dei (§. 3), y en consecuencia de todo lo dicho, las transformadas que siguen: (21) a?7+ 1.4180048$°+ 2.3959870a?5+ 3. 0189949a?4+3. 2738401 a?3+ 3.0739348 ¿r2 + 2.2004297 x + 0.0000000 =0. (22) a?7+2.2735725a?c+4.0410890a?s+ 5.3386202 a?4+ 6.0534451 a?3+ 5.9093643 ar+ 4.3578860 a? + 0.0000000^0. (23) a?7 + 4.12268 a?6+7. 61495] a?5+ 10.36176a?4+11.96640 a?3+11.78333ari+ 8.71441 x +0.00000=0. (24) a?7+ 7.97094 a?tí+ 1 5.03773 a?s+ 20.65592a?4+ 23.91840 a?3+23.56553a,2+ 17.42882 x + 0.00000=0. (25) a?7+ 15.81746a;6+30.04231a?3+ 41 .30800 ¿r4+ 47.83679 a>3+ 47.13106 a?2+ 34 85764a? + 0.00000—0. (26) a?7+ 31 .61214 a?G+ 60.08366 *?5+ 82.61598a?4+ 95. 67358 af+ 94.26212¿r+ 69.71528 ¿z? + 0.00000 =0. (27) a?7+ 63.22365 a?6+ 1 20.16732a?3+ 1 65.231 96 ¿c?4+ 191.3471 6 a?3+ 188.52421 a?2+ 139.43056 a? + 0.00000— 0. Como ya en otro lugar advertimos, el cálculo de estas di- versas ecuaciones transformadas es tanto más breve y sencillo cuanto más nos alejamos de la primitiva, ó cuanto mayores 333 van siendo los exponentes de las potencias á que las raiees de esta misma ecuación resultan elevadas: para penetrarse de lo cual basta reparar que los codicien tes de los cualro úl- timos términos de la (25) se obtienen por simple duplicación de los correspondientes en la anterior; los cinco últimos de la (26) por duplicación de los mismos cinco de la (23); y los seis de la (27) duplicando también los seis últimos de la precedente. Sólo el coeficiente de xQ se deduce en la (27) por un procedimiento algo, muy poco, más complicado, de los coeficientes de la transformada anterior. Y en la (2S) ni siquiera esta simple excepción se advertiría. El trabajo de transformación preliminar, necesario para determinar las siete raíces de la ecuación (2o), con el grado de aproxima- ción asequible por medio de las tablas logarítmicas de cinco cifras decimales, concluye, pues, en la (27). Y como ésta y las demas transformadas que la preceden no presentan un solo cambio de signo, ó tienen positivos todos sus términos, resulta que aquellas siete raíces son reales todas. Para deter- minar sus logaritmos, basta restar de los coeficientes tercero, cuarto, , de la (27), los segundo, tercero, ; y dividir el segundo, y las diferencias resultantes, por el exponeníe, 128, de la potencia máxima á que han sido elevadas aquellas raíces. De los logaritmos de las correspondientes á la ecuación sim- bólica, representada por (2°)/ se deducirán luégo los de la realmente propuesta, restando de todos el del número k , igual á 0.5050782. En el adjunto cuadro se hallan consignados los resultados diversos, obtenidos procediendo de este modo: log (a¿)128= 63.22365 log (bk)i2S= 56.94367 log {cky™= 45.06464 lo g(dk)l°-8= 26.1 1520 lo g(e¿)128= 3.17768 log (fky**= 50.90632 log (#¿)I2S= 140.56944 log 0.493935 log 0. 444872 log c^0. 352067 log d¿=0. 204025 log c^—T. 977946 log ^=1. 61 6456 log gk= 2.910699 log a=l .98886 log 6— T. 93979 log £—1)84699 log d=í. 69895 log e/4.47287 log /*=! .11138 log #=2.40562 334 Si para determinar los signos de estas raíces ( negativas en la acepción de la palabra raiz, adoptada en esta Memoria, y positivas en el sentido vulgar del Algebra), ó con objeto de calcular sus correcciones por la regla de Newton, sustituyé- semos sus valores en la ecuación propuesta, sorprenderíanos el grado de aproximación ya obtenido. Y eso que el ejemplo no tiene nada de sencillo; pues una ecuación de séptimo grado, con siete raíces reales, comprendidas todas entre 0 y 1, no es fácil de resolver por ningún procedimiento. Ni el artificio de multiplicar estas raíces por el número k , abrevia tampoco en ninguno la multitud de operaciones, indispensables para de- terminarlas con la aproximación desde luego obtenida por el nuevo método y reiterada, pero muy sencilla, aplicación de la regla fundamental del (§. 3). Efectuemos aquella sustitución en un solo caso,— en el más desfavorable, por cierto, — y veamos lo que entonces re- sulta. Operando con logaritmos de siete cifras decimales, y su- poniendo que x0 = b0 y log 60 = 1.9397900, obtendremos, por de pronto, los resultados adjuntos: Xo1 — + 0.3789047 olíx0ü — — 1.5233790 aaa?05 = + 2.4229648 a5#04 == — 1 .9328347 a4£05 — + 0.8073689 a30oa = — 0.1669377 ag Xq — + 0.0142047 a7 = — 0.0002914 |Xn] '= + 0.0000003 Ix,1 -..==+ 2.6523329 6 ol1 x0,] = — 9.1402740 5 a a ar+I| + 12.1148240 4 a3 Xq ==, — 7.7313388 3 a4 x0*= + 2.4221067 2 a3 x02 == — 0.3338754 \a6x0 === + 0,0142047 0 a. == 0.0000000 [nx*] ■=— 0.0020199 Y por la fórmula (12) del (§. 8) concluiremos en seguida que 4 «**- - ,,=í«T» x#-43“ =0'0#00“ Pero como este resultado depende principalmente de la 33o única cifra, 3, del numerador, y en esla cifra, procedente de multitud de operaciones con números meramente aproxima- dos á la verdad, no puede abrigarse plena confianza, acaso la corrección de la raíz ensayada, b0, tenga algo de ilusoria. Algo tiene, en efecto; aun cuando el valor corregido de loga?0 ó log b0 se aproxime realmente á la verdad un poco más que aquél de donde partimos. Para obtener, sin embargo, la ver- dadera corrección que se busca, sería menester operar, ó con logaritmos de diez cifras, ó directamente, prescindiendo del auxilio de esla especie de tablas. Procediendo así, fácil, aun- que nada breve, sería determinar, partiendo de los valores ya conocidos de a0, b0, c0, los de a, b, c , con mu- cho mayor número de cifras decimales. Hasta la 16.a cifra prolongó Gauss la aproximación; y, comparando los resulta- dos finales por él obtenidos, con los poco há determinados, conclúvese que los cuatro primeros logaritmos de a0, b0, c0 y d0, adolecen, por defecto, de los errores respectivos de 5, 11, 8 y 2 unidades del quinto orden decimal únicamente; y de er- rores inferiores á una simple unidad del mismo orden los de eot f0 y g0. Y si estas tan mínimas discrepancias de la verdad, obtenidas en el primer ensayo de la determinación simultánea de las siete ralees, son apreciables todavía, a tribúy ase á la contrariedad eventual, ya poco antes también indicada: á la pequeña diferencia de los logaritmos de a22 y 2 at a_, corres- pondientes á la ecuación (2o), que influye muy desfavorable- mente-en la determinación del logaritmo de la diferencia de ambos números, ó del tercer coeficiente de la transforma- da (21). §. 36. Resolución de otra ecuación , también de séptimo grado, con tres raíces reales y cuatro imaginarias. Gomo segundo ejemplo tomemos la ecuación de grado su- perior, propuesta por F ou.rie r en la página 111 de su Trata- do de la Resolución de las Ecuaciones Numéricas : (2o) a?7 - 2 a?5 — Ba?3 + 4 ar9 — 5a? + 6 = 0. 336 Sus dos primeras' transformadas, directamente obtenidas por la regla del (§. 3) son éstas: (21) *’ + 4 *8 — 2 *5 — 2 *4 + 29 a;5 — 14*2 — 23 x -(-36 = 0; y (2S) *’+ 20*°+ 78*5+ 54*s+ 589 *5+ 1386 *2+ 1537*+ 1286 = 0. Reemplazando los coeficientes de la última ecuación por sus logaritmos, y continuando la misma serie de transforma- ciones, obtiénense sucesivamente estos otros resultados: (22) *’+ 1. 30103 *6+ 1.89209 *5+ 1 .73239 *4+ 2.77012 *5+ 3.14176 *‘+ 3.18667» + 3.11261 =0. (23) *7+ 2.38739 »°+ 3.70774 *5— 4.56350 *4+ 5.58565 *5+ 5.39859 *2— 6.08996 x + 6.22522—0. (24) *7+ 4.69313 *6+ 7.64995 *5- 9.39198 *4+ 11 .18557 *'+ 11.94810 *2+ 11.82750 x +12.45044=0. (25) *’+ 9.37002 *6+ 15.34998 *!— 18.87658 *4+ 22.44623 *5+ 23.75387 *2— 24.65849 x + 24.90088 =0. (26) »7+ 1 8.73971 *6+ 30.70300 *5— 37.83535 *‘+ 44.89718 *5+ 47.76037 *2+ 49.06889* +49.80176=0. (2’) *’+ 37.47942 *s+ 61.40601 *5- 75. 51594*’+ 89.79441 *5+ 95.49582 *2+ 97.80854 *+99.60352 =0. (2S) *’+ 74.95884 *6+l 22.81202 *3 — 151.32153 *4+ 179.58882 *5+ 190.99129 *2+ 195.21132* +199.20704=0. 337 El cálculo de transformación concluye en este punto; pues, para deducir de la ecuación (2S) la (29), bastaría duplicar los coeficientes de la primera, prescindiendo de los de y xy completamente indeterminados, ó variables en magnitud y signo: indeterminación de coeficientes que nos revela la existencia en la ecuación propuesta de dos pares de raíces imaginarias conjugadas. Los logaritmos de las tres raíces rea- les y de los dos módulos de las cuatro imaginarias se obten- drán restando unos de otros los coeficientes logarítmicos de- terminados de la transformada final (2S), y dividiendo las dife- rencias por el exponente común, 256, de las potencias á que las raíces han sido elevadas, conforme á continuación se in- dica : Coeficientes comparados de X 7 y *6 log a25G — 74.95884 loga =0.292808 y *5 log 625G = 47.85318 log b =0.186927 #3 y Resultado indeterminado. X 3 y log gs,°- = 56.77(180 log g- = 0.221788 X 2 y n1 log c25G = 11.40247 log c =0.044541 ¿c2 y %l Resultado indeterminado. x 2 y «° log £,512 = 8.21575 log g¡“— 0.032093 Los tres valores de las raíces reales, a , b y c, pueden cor- regirse por sustitución de los números encontrados en la ecuación propuesta y regla de aproximación de Newlon. Li- mitémonos á consignar los resultados que se obtendrían ope- rando con el primero. Suponiendo que x0 = a0, y log a0 = 0.292808, se deduce sin dificultad que — á07= — 112.112 9 9 7 — + 58.219704 — a4a0s= + 22.674894 + a5Í»02=+ 15.405508 — a6 xQ = + 9.812460 + a7=+ 6.000000 —7 ¿r07— — 7 8 4.7 9 0 9 7 9 -5 a2 ^o3^ + 291.098520 -3a4v=+ 68.024682 -2a ,x02= + 30.811016 — 1 a6 x0 = + 9.812460 -0.a7 =:+ 0.000000 [(-£0)»] = - 0.000431 [n ( — #0)n]— — 385.044301 338 De donde, por la fórmula (12), se concluye que A loga?0 — — 0.0000005; y, por lo tanto, log¿c — 0.2928075; y x~ — a = — 1 .9624901 Y , de análogo modo, los valores de x, correspondientes á las raíces b y c, resultarían respectivamente iguales á 1.5378905 y 1.1080166 Los signos de las tres raices reales se determinan sin difi- cultad por la sustitución de los valores encontrados en la ecuación propuesta. Si, por ejemplo, se trata del valor «0, y éste se pone en aquella ecuación en lugar de x , con el signo positivo, en vez de resultarnos para [#0n] un valor muy pe- queño, como debe siempre suceder cuando por x sustituya- mos un valor suyo, muy aproximado á la verdad, nos resul- tará cualquier despropósito. Que x0 = — 1.96249 representa aproximadamente uno de los valores buscados nos lo acredita la expresión [¿r0n] =— 0.006431; y que la suposición contra- ria es absurda lo prueba el resultado, [#0n] = 42.812 que, admitiéndola como cierta, se obtendría. Basta en todos los casos un poco de atención, sin incremento apénas de traba- jo, para saber sobre este punto á qué atenerse. Aunque la ecuación propuesta sea de séptimo grado, como tiene tres raices reales, los dos trinomios de segundo, que comprenden las cuatro imaginarias, pueden determinarse por el procedimiento del (§. 13), como si se tratara de una ecua- ción de cuarto grado; ó resolviendo estas dos ecuaciones muy sencillas de primero: a + b + c + f + fi — ==.0 r 9 12 {ab + ac + be) + abeg2. fl + abeg2. {= <*6 = — 5: en las cuales, por a, b y c, g 2 y g 42, deberán sustituirse los valores numéricos poco ántes encontrados. Las dos ecuacio- nes se convierten entonces en estas otras: 339 f + f* = + 0.68341; y 3.60053 / + 5.37264 fy = + 1.23927. De las cuales resulla que /= + 1.29288, y A = — 0.60917. Para corregir ahora los primeros valores de g y f, y de Vi Y A. deberemos emplear las fórmulas (21) del (§. 14), y el procedimiento de cálculo en el mismo párrafo explicado. Limitémonos á la deducción de las correcciones de g0 y f0, valores aproximados de g y f. Por de pronto se infiere de estos valores que log = 0.110S9, y o0 ■= 59° 37 ' 20". Y con estos datos fácil es calcular los dos adjuntos cua- dros de relaciones numéricas: — g0~‘ eos 7 'f0= — 3.0148033 — 7 g0~ eos 7 ©tí= — 21 .1036243 — a->#o5 eos 3 sen (?; y [n(— ^0)ncoswcp0]=p eos ^ y [+— #0)nsenw'f0]==p sen concluyese, en consecuencia de cuanto precede, que log/> = 4.575433 y log p = 1.751380; y Q = 80° 21r36 ".7 y <|* = 242°28'2".5 Y de aquí, por las fórmulas (21), ya citadas, que: Alog#0= +0.0000027,56 y A ?0= + 0r\ 42; ó log g — 0.1108327,56 y cp 59° 57'20 ". 42 En suma: después de verificadas las correcciones de las siete cantidades a, b y c, g 2 y /*, y g* y fi% la ecuación pro- puesta se resolverá en el siguiente producto de cinco facto- res, dos de segundo grado y tres de primero: #7— 2 %*— 3 #3+.....= (ar— 0.60921 32 x -h 1 .0766801) X o X- 2 + 1.2926302 x + 1.6664238) X (x+ 1.9624901) X (x-í. 5378905) X (^-1.1080166)^0. Operando con logaritmos de cinco cifras decimales, con dificultad se obtendrá nunca mayor grado de aproximación á la verdad que en el caso presente, por la simple aplicación del método general á la determinación de las raíces. S- 37. Resolución de otra ecuación, del grado séptimo también, con una sola raiz real ij seis imaginarias. Como tercer ejemplo, propongámonos resolver la siguien- te ecuación, con seis, en vez de cuatro raíces imaginarias: (2o) x1 + 3£4-f-6^0. 341 Las primeras transformadas, directa y exactamente obte- nidas, son éstas: (21) x’-\- 9 #4+ 36 x2-h 36 = 0 (22) x~‘+ 81 £4— 648 fí y /j que les corresponden. Concretándonos, por de pronto, á la primera sustitución, y reemplazando los coeficientes de f por sus logaritmos, con la precaución indispensable de no alterar los signos de los coe- ficientes numéricos á que se refieren, de las dos últimas ecua- ciones se desprenden estas otras: /o4— 1 75440 /;5 — 0.94331 /02 + 1.86872 /i + 0.98363 = 0; y f0:' + 1.75440 f0* — 0.64228 f0 - 0.62802 = 0. Y de aquí, con auxilio de las tablas de Gauss, — ó con las vulgares de logaritmos, — por el procedimiento minuciosa- mente explicado en el (§. 19), se concluirá finalmente que log /; + 0.05419 = 0. De la misma manera podrían calcularse ios otros dos va- lores de f, — fi y /a,- — dependientes de los de g* y g 22; pero en el caso actual, y por la circunstancia particular, ya indicada, de ser muy sencillas las dos ecuaciones á que si- multáneamente deben satisfacer aquellos valores, el cálculo admite muy notable simplificación. A las dos ecuaciones men- cionadas apliqúese desde luégo, ó sin prévia sustitución de la g , por g0, gv ó g2, el procedimiento del m.c.d . , hasta llegar á un residuo de primer grado con relación á f; é, igualando á cero este residuo, obtendremos la siguiente nueva ecuación, condicional de que las dos precedentes poseen, en efecto, una raiz común, correspondiente á cada valor de g, que en ellas se sustituya: 344 Y de esta única y muy sencilla ecuación es de donde se deducirá, por último, que á los valores de log #2, log^o2=0.34125; log ^=0.15693; y log^2=0.08080, corresponden estos de f : log/o=0.0B419n; log /\=0.28435n; y log /*2=0.16895. Ó, á los de g 2, que de aquellos logaritmos se deducen, g*^. 2.19405; ^* = 1.43527; y j,2 = 1.20447, estos de f: fo == — 1.13289; /t= — 1.92464; y JS=+ 1.47653. Y ampliando luégo la aproximación hasta la séptima cifra decimal, por las fórmulas adecuadas al objeto, la ecuación propuesta se resolverá en el siguiente producto de cuatro fac- tores: (x2 — 1.1328834¿r+2.1940798)(^2 — 1.9246556^+1.4352554) X(®* +1.4756817 x + 1.2044862) (x + 1.5818392) = 0. §. 38. Resolución de una ecuación de cuarto grado , con dos pares de raíces imaginarias casi iguales. Y, por último, como ejemplo de la separación de varias raices imaginarias, casi iguales, por el procedimiento del (§. 32), nos servirá la ecuación siguiente: (2°) .^+4.002^+14.01801 ¿r+20. 03802 ^+23.07005=0. 345 De la cual, por la regla del (§. 3), se deducen las trans- formadas adjuntas: (2o) #4 + 0.6022771 #3 + 1.1466864 #2 + 1. 3018548 x + 1.3991552 = 0. (24) x 4 + 5.82548 #5 + 11.62744 x 2 + 17.01872 x + 22.38648 = 0. (25) #4 — 11 .60258 x% + 22.94856 #2 — 33.98905 x + 44.77296 = 0. (26) #4 — 22.23747 #3 + 45.10256 a2 — 67.01072# + 89.54592 — 0. (27) #4 — 45.34913 #" + 90.29059 #2 — 134.89497 x + 179.09184 — 0. (2S) #4 + 90.0361 6 #5 + 179.74098 #2 + 269.12727 x + 358.18368 — 0. Los cambios de signo, é indeterminación consiguiente, de los coeficientes de x'° y de x, nos revelan, como siempre, la existencia de dos pares de raices imaginarias conjugadas en la ecuación propuesta; pero, áun cuando el signo del coefi- ciente de #2 permanezca constantemente positivo, en ninguna de las transformadas obtenidas puede considerarse este coefi- ciente como cuadrado perfecto, ó como procedente su logarit- mo de la simple duplicación del logaritmo que le corresponde en la transformada anterior. Ni en la (24), ni en la (28), ni áun en las (212) y (216), nos resultan, pues, rigurosamente se- parados los dos módulos de aquellas cuatro raices de la ecua- ción (2o). TOMO XX. 23 346 ¿Cómo puede ser esto? — Por la circunstancia excepcional de ser iguales, ó diferir apénas uno de otro, ambos módulos buscados. Cuando, en efecto, una ecuación de cuarto grado posea cuatro raices imaginarias, de las formas 9o (eos cp0 v/ — 1 sen — spq) = l y sen (

> 0,090 0,093 —0,003 » Solución de yodo en el sulfuro de carbono. 657 0,090 0,089 +0,001 I Ht 607 0,0074 0,0077 —0,003 1 » FISICA DEL GLOBO. El interior de la tierra.— Extracto del discurso de Sir George B. Air y, á la Asociación de Cumberland para el adelanta- miento de las letras y ciencias. (Les Mondes, 27 Junio 78.) « Sir George Airy dice que la naturaleza del asunto es muy distinta de la de los demás que hasta ahora ha tratado. Divi- de su discurso en tres partes. En la primera se ocupa de las me- didas de la tierra, en la segunda de las observaciones de tem- eperatura, y en la tercera del modo con que puede suponers ofrmada la tierra; particularmente de la hipótesis nebular, y 357 por último, hace algunas observaciones sobre las conclusio- nes que deduce. Describe el trabajo llamado triangulación , ejecutado en una gran parle de la superficie del globo, y que ha hecho po- sible la formación de un mapa, en el cual puede hallarse la distancia entre un punto y otro de la tierra con aproximación de algunas pulgadas; determina las dimensiones y la figura de esta por medio de un sector zenital, instrumento para me- dir las distancias aparentes de las estrellas al zenit. En un gran globo señala las líneas principales que se han medido con tal objeto hasta el dia. Según estas medidas, es seguro que la tierra es próximamente una esfera de 8.000 millas de diá- metro ó de 25.000 millas de circunferencia (40.000 kiló- metros). Al hablar de la superficie, debe entenderse que es la del nivel del mar; sobre él se elevan las montañas, y debajo es- tán las profundidades del Océano. Pero aunque estas des- igualdades de la superficie se tomen en consideración por los que se dedican á cálculos muy exactos, son comparativamen- te muy pequeñas. Supongamos que se representase la tierra por un globo de 25 piés de diámetro: ¿á qué altura se cree que se elevarían las montañas sobre este nivel? Solo á un quinto de pulgada, cosa que puede muy bien despreciarse en lodos los cálculos ordinarios. Puede, pues, decirse que la tierra es una esfera, salvo en un detalle que vamos á men- cionar. Además hay otra cosa importante, y es la densidad de la materia de que está formada, cuestión que los mejores observadores han estudiado de dos ó tres maneras. El pri- mero de estos experimentos es muy célebre; se conoce con el nombre de experimento Schialliano, porque se hizo en una montaña de los Highlands de Escocia (Perlhsire), que conve- nia particularmente para estas medidas, y se hallaba más fa- vorablemente orientada en la dirección de Sur á Norte. Se observó que en el monte Schialliano se desviaba la plomada de la dirección vertical de 11 " ó 12". Luego si esta montaña, cuyas dimensiones pueden medirse, hace hasta tal punto des- viar la plomada, ¿cuál es la relación de su fuerza de airac- cion con la de la tierra? Conociendo el volumen de la monta- 358 ña y el de la tierra, podemos comparar la densidad de una y otra, y empleando con gran cuidado este procedimiento, se ha visto que la densidad de la montaña, que puede obtenerse pol- la de las rocas que la constituyen comparada con la de la tierra, debe ser cerca de cuatro veces y media la del agua, ó de dos veces la densidad media de las rocas de la superficie. La tierra, aunque densa toda ella, lo es mucho más en el cen- tro que en la superficie. El experimento siguiente se conoce con el nombre de ex- perimento de Cavendish: tomaba una palanca ó varilla muy delgada de pinabete, de seis piés de larga, suspendida de un alambre delgado de cobre ó de plata (que es el medio de sus- pensión mas ligero que puede tenerse), de 40 pulgadas de lar- ga, que se ponia dentro de una caja de madera para resguar- darla por completo de las corrientes de aire. A cada extremo de la palanca habia una bola de dos pulgadas de diámetro, y por una disposición sencilla, dos esferas de plomo que pesa- ban juntas quizá 300 libras, se colocaban simultáneamente á inmediación de las bolas (pero fuera de la caja) en los lados opuestos, de modo que pudieran atraer las primeras. Se ha variado suficientemente el experimento para deducir con bas- tante aproximación, por una série de cálculos, la densidad de la tierra. El resultado obtenido es mucho mayor que antes: el término medio de la densidad de la tierra se ha hallado que es cinco y media veces mayor que la del agua. El tercer experimento lo ha practicado el mismo autor en la mina de carbón de piedra de Hartón, cerca de South- Schields. Consistía en observar cómo cambiaba la pesantez cuando se descendía á mayor profundidad, demostrándose dicha fuerza y comparándose arriba y abajo por las oscila- ciones del péndulo. El cálculo hecho sobre estas bases ha dado para la tierra un valor igual á 6 veces al del agua. Cree, por lo tanto, que el mejor cálculo es el que tiene por base el experimento de Cavendish, y ha llegado á tomar cinco y media veces la densidad del agua por la densidad media de la tierra en el conjunto de su masa. De aquí resul- tan consecuencias verdaderamente muy notables. Como esta densidad es algo mas del doble de la de las rocas de su su- 359 perficie, se demuestra que la tierra se halla mas condensada en el centro que en la superficie. Pero el resultado del cálcu- lo le ha asustado algún tanto al tratar de hacer experimentos sobre este asunto. Puesto que las rocas ejercen una sobre otra una presión cada vez mayor, á medida que se va bajan- do, ¿cuál será la presión que se ejerza sobre una pulgada cuadrada, según nos vayamos aproximando al centro de la tierra? Muchas personas habrán oido hablar de presiones de 50 á 100 libras sobre una pulgada cuadrada, y quizá la ma- yor presión que se conozca es la que rompe el granito de Aberden, ó sean 10.000 libras por pulgada cuadrada. En el centro de la tierra debe ser de 30.000 libras por pulgada cuadrada, y causa verdadero asombro el considerar las con- secuencias que puede producir. No tenemos idea de un grado de presión semejante; por lo tanto, no podemos concebir sus efectos: quizá tal presión sería capaz de comprimir un gas hasta el punto de hacerle tan denso como el oro ó el platino, reducir una materia en polvo á sólido, ó pulverizar un sólido; son increibles los efectos que causaria. Tan e-norme pre- sión y nuestra completa ignorancia sobre este punto, es una de las dificultades y obstáculos de la cuestión tratada hasta aquí. El autor cree que, por lo dicho, puede comprenderse bas- tante bien el estado general de la tierra, y pasa á hablar de la rotación de esta. Gira sobre sí misma, como todos saben, en el espacio de un dia; y por mil ejemplos que pudiéramos citar, se observa que la rotación debe hacerla hinchar hácia su parte media. Se han hecho cálculos respecto á este asunto, y resulta que el diámetro en el ecuador es cerca de —— ma- 800 yor que en los polos. Cuando se observó que la medida de las dimensiones de la tierra coincidía bien con esta dilatación , se dedujo que la tierra estaba ó había estado fluida. En confir- mación de ello, el autor menciona una circunstancia singular que se observó en la triangulación practicada en la India. Al adelantarse desde el cabo Comorin hácia el Norte, la curva- tura de la tierra concuerda muy bien en la longitud de varios centenares de millas con la que se ha encontrado en otras 360 parles (teniendo en cuenta, como es debido, la forma elíptica de la tierra). Al aproximarse á las montañas del Himalaya, la plomada era atraida sensiblemente por ellas. El difunto arce- diano Pralt investigó, según la forma de las montañas y la densidad de las rocas, cuál era la desviación de la plomada, y halló que debia ser mucho mayor de lo que en realidad es. Mr. Airy explica esta diferencia, suponiendo que la tierra en aquel paraje flota sobre un fluido denso, que la masa espesa de la materia más ligera de la montaña se sumerje en él, y que el desalojamiento de este fluido más denso neutra- liza casi enteramente la atracción de las montañas elevadas. La forma de la tierra no es la que hubiera tomado una estruc- tura sólida, sino una masa fluida con sólidos que flotasen so- bre ella. En la segunda parte de su discurso, Sir George Airy re- fiere lo que ya se sabe acerca de las temperaturas. Algo se conoce de la marcha de la temperatura á través de la tierra. Los experimentos acerca de este punto, como sucede con otros muchos, son debidos á los franceses, que han fijado termó- metros con tubos muy largos á profundidades de 25 á 30 piés en la tierra. Estos experimentos se repitieron algo después con otros semejantes en el Observatorio de Edimburgo, y casi en el mismo tiempo en el Observatorio de Greenvich, obser- vando cada dia los termómetros más sumergidos. El primero y más notable de estos experimentos es el retraso de las es- taciones. A la profundidad de 25 piés, el mayor calor del ve- rano se observa en Diciembre,, lo cual demuestra que larda 5 meses en descender á esta profundidad. Llevando mas ade- lante los cálculos, se vería que tardaría 100 años en recorrer una milla; de modo que si la corteza terrestre tuviese un grueso de 100 millas, necesitaría 10.000 años el calor para atravesarla. Esto demuestra que realmente podemos tener un gran calor debajo de nosotros, y no llegar á sentirlo hasta mu- cho tiempo después. Cuando llegue, por último, lo efectuará avanzando lentamente, y al mismo tiempo la radiación de la superficie lo llevará con mucha rapidez. De modo que es en- teramente posible que bajo una superficie fria pueda haber una gran cantidad de calor. En cada parle de la tierra hay 361 huellas de un calor intenso en los tiempos primitivos. La ex- lension de la acción volcánica se pierde en parte sobre la tierra por los electos del aire y del agua; pero cuando se examinan las rocas antiguas, se reconoce que ha habido casi siempre esta acción volcánica. En nuestras rocas calizas, por ejemplo, hay venas basálticas que en algunas partes llegan á un estado llamado crepudino, y que seguramente es el re- sultado de un calor volcánico bastante grande para producir la fluidez. Casi en todas partes se ve que ha habido corrientes volcánicas que se han introducido entre todas las rocas; y áun cuando la superficie de la tierra haya estado privada de volcanes en un sitio determinado durante cierto tiempo, ha- brá, sin embargo, siempre una acción volcánica bastante inerte para hacer que penetren las venas de lava de cuando en cuando. Parece, pues, que podemos decir que hemos esta- do siempre cerca de una gran cantidad de calor, probable- mente mucho más que en los tiempos presentes; pero estamos todavía bastante próximos para sentirla áun en estas regiones. Repetidos experimentos se han hecho acerca del aumento de la temperatura á medida que se baja en las minas, y se ha llegado á la conclusión de que la temperatura sube 1 grado Farenheit al descender algunas veces 60 ó 100 piés. Hay una mina en Gornouailles, en la que el autor caminaba por medio de una corriente de agua que le abrasaba las piernas, y lodos saben la cantidad de agua que sale de los manantiales ter- males. Existe, por consiguiente, un gran desarrollo de los vol- canes, que reconoce por causa una gran cantidad de calor que en alguna parte existe; y en los parajes en que los vol - canes se apagan, se puede descubrir una especie de conti- nente basáltico, por decirlo así, sobre las bocas de los cráte- res de donde ha salido la lava. De modo que seguramente hubo en toda la duración de las épocas antiguas mucho más calor que ai presente. Otra cuestión hay sobre la cual desea hablar el autor, pero no con gran seguridad, y es la relativa al cambio del magne- tismo. La cuestión del magnetismo terrestre es una de las más oscuras; no obstante, se ve que el magnetismo se dirige siempre hacia las partes más frias; y observando sus fenóme- 2 4 TOMO XX. m nos generales, puede creerse que reconoce por causa la ter- mo-electricidad, que quizá es producida por el aumento cons- tante del calor, yendo hacia lo interior de la tierra, donde las lavas fluidas se solidifican. Hace pocos años que se hizo el viaje del Challenger, y no dudo en decir que es uno de los más importantes en la historia científica del mundo. Al atra- vesar los océanos se sondearon las grandes profundida- des y se midió de una manera satisfactoria la temperatura del agua á la profundidad de 5 millas (8 kilómetros). Siempre hay frió en el fondo, y se suscitan graves controversias para saber si este frió puede proceder de las regiones heladas del Norte, por las corrientes profundas del mar. El autor cree que indudablemente estas corrientes tienen alguna influen- cia; pero también que el fondo del agua y del suelo á estas grandes profundidades es frió; no juzga que esta parle de la tierra tenga el mismo calor que las demás, pero enuncia esto únicamente como opinión suya, que naturalmente podrá estar en discordancia con la de otras muchas personas. Esto es lo que se sabe acerca de la temperatura de la tierra; por todas partes se ven pruebas de que ha habido un calor enorme casi sobre toda ella. Algunas partes de la corteza terrestre en los mares más profundos se hallan todavía sobre islas volcánicas, y en algunos parajes el calor llega casi hasta la superficie. Considera esto como un hecho importante, que le conduce á la teoría de cuál es realmente el estado de la tierra. Penetrando en una cuestión que es ciertamente una de las especulaciones más atrevidas de la ciencia moderna, la forma- ción de la tierra (no la creación, sino la manera de llegar á su forma actual) debe decir que la teoría de que habla, y que es conocida con el nombre de hipótesis nebular, es la concep- ción de una inteligencia muy poderosa y atrevida. Laplace ha observado que lodos los planetas y satélites giran en el mis- mo sentido alrededor del sol, y es difícil negar que haya para todo ello una causa general. Naturalmente ocurrió al pensa- miento de Laplace que, si hubiera alguna cosa que se contra- jera en sus dimensiones, que tuviera una pequeña rotación al empezar, y que fuera haciéndose más rápida á proporción de irse produciendo dicha contracción, hasta que llegase 363 á cierto grado que dependiese de la condensación de sus di- ferentes partes y de su densidad primitiva, ¿no llegaria á con- cebirse algo parecido á la materia, que al condensarse de esta manera pudiese formar sistemas como el nuestro, con un sol, planetas y satélites? Hay una serie de cuerpos en el cielo que no han llamado la atención en los primeros tiempos, principalmente porque los telescopios no eran bastante pode- rosos, pero que ahora se hallan formando catálogos de milla- res de ellos. Son las nebulosas, nombre que indica que tie- nen el aspecto de nubes y forman pequeños cuerpos entre las estrellas, pareciendo algunas veces que hay estrellas en me- dio de ellas, ó están unidas á las mismas y otras no. Sus for- mas son las más extrañas y caprichosas que pueden imagi- narse. Si la nebulosa se condensa en todas sus partes, de modo que forme un mundo, su rotación en el curso de la conden - sacion llegará á ser tan rápida, que formará soles, planetas y tierras alrededor de ella, y en esta disposición no habrá di- ficultad en formar un sistema solar completo, tomado en una masa como la nebulosa de Orion. Las observaciones hechas últimamente con grandísimos telescopios, como son los de Lassell y el de lord Rosse, que son telescopios notables de muchísimo alcance, han dado á conocer un cierto número de nebulosas, que tienen aspecto de espirales, y en ellas parece notarse algo que hace suponer que se contraen y se ponen en rotación. Pero estos cambios se observan con tanta lentitud, que no ha podido fijarse con exactitud que existan mas que algunos de ellos. Todo ello es pura teoría; pero Mr. Airv cree que esta teoría tiene una gran probabilidad. Admitiéndola se deduce que estas nebu- losas deben girar, y al contraerse, adquirir una tempera- tura muy elevada. No puede dudarse que la condensación produce un calor enorme, y esto parece que explica sufi- cientemente el gran calor que hallamos debajo de la su- perficie de la tierra y en otras partes. Suponemos que las estrellas han sido generalmente formadas por la condensación de las nebulosas, y hay aquí una circunstancia digna de men- cionarse. Hay una série de observaciones, fundadas en expe- rimentos de óptica, que se han hecho en estos últimos años, B64 y que, mucho más que las anteriores, lian servido para reve lar los secretos de la naturaleza, y son las hechas con el es- pectróscopo. Por la acción voltaica pueden producirse chis- pas semejantes á las de una máquina eléctrica, cuya natura- leza depende de la de los metales entre los cuales se producen. La chispa que se produce de un metal á otro ofrece diferentes caracléres, según la naturaleza de los metales. Tenemos una colección de los espectros producidos por el hierro, por el níquel, por el gas hidrógeno y otros, observados y registra- dos con gran cuidado. Cuando observamos en las estrellas la luz producida del mismo modo, vemos que no hay dos estre- llas semejantes; algunas tienen el mismo espectro que el hier- ro, otras espectros de sustancias diversas, y nos vemos en camino de poder afirmar, por un razonamiento legítimo, de qué están formadas las estrellas, qué metales y otras sustan- cias entran en su composición, y en general que no hay dos estrellas semejantes. De modo que en esta hipótesis nebular nos vemos obligados á reconocer que las nebulosas están compuestas de las mismas sustancias, y concebimos que, comparando los cuerpos que conocemos en el sistema solar con los de las estrellas, podemos formar alguna idea de la variedad de las sustancias de que están compuestos los plane- tas. No hallamos rayas «diferentes comparando la luz de los planetas, porque la reciben toda del sol, y no presentan dife- rencias de aspecto en el espectro; pero sí podemos deducirlas de su densidad relativa. Como se ha visto, el término medio de la densidad de la tierra es probablemente cinco veces y media el del agua. Sabido es que el Sol no tiene más densi- dad que el agua. Sir Jhon Aíry no puede decir qué es lo que constituye el Sol, pero ciertamente es una sustancia muy li- gera. La densidad de Mercurio quizá es algo mayor que la de la tierra; las de Venus y de Marte son las mismas que esta. En seguida se halla una verdadera nube de planetas, de los que se han observado cerca de 200 hasta ahora, y no puede decirse de qué están formados. Vienen luego Júpiter y Satur- no, que no son más pesados que el agua. Suponiendo que ha- yan sido formados por la condensación de una nebulosa, se- gún la teoría que ha mencionado, parece, pues, cosa clara 365 que las partes de la misma nebulosa que han compuesto el sistema solar eran muy diversas. Puede, pues, decirse que las partes elevadas y predominantes de la tierra están formadas de una sustancia muy ligera, y que las pesadas y densas son las que se hallan cubiertas de una cantidad de agua conside- rable y sumergidas en la lava central, sobre la que cree que todas descansan. Al terminar la exposición de su teoría, manifiesta que teme que se califique de absurda representación de lo que ha pensado sobre el estado de la tierra, lo que va á exponer. Llama la atención del auditorio sobre un diagrama de una tierra ideal que figura groseramente esta misma teoría. Algu- nas parles de la corteza terrestre son gruesas y de un color oscuro, para indicar su densidad; otras gruesas y no tan den- sas, que reciben de lo interior erupciones volcánicas repre- sentadas en forma de lavas. Hace notar que aquí lodo es exagerado, que no ha tenido intención de hacer una represen- tación exacta. Es casi una caricatura f'sicj del género más extraño; pero si logra despertar las ideas que en su mente se han formado, habrá conseguido su objeto. Cree que una gran porción del centro de la tierra se halla en estado fluido y ca- liente, y que encima hay sustancias sólidas de diferentes es- pecies. En todas parles se hallan roturas, á través de las cua- les se verifican las erupciones de los volcanes, donde la cor- teza terrestre no es muy gruesa. En algunos sitios hay dos ó tres volcanes juntos, como sucede en Europa, donde tenemos el Etna, las islas Slromboli y el Vesubio. Ha condensado, por lo tanto, en su diagrama lo que supone ser el estado real de la tierra; y si alguno lo encontrase defectuoso, no romperá lanzas con él. Lo dicho no es más que una especie de conclu- sión de los hechos consignados. CIENCIAS NATURALES. FUNCIONES DEL HIGADO, Conclusiones de Mr. Le Conte ( American Journal o f Sciences and artsj. 1. a La verdadera función del hígado no es glucogénica, elaborando azúcar, como se ha supuesto, sino glucogenésica, ó elaborando glucógena: aquella es una operación química pura, esta es verdadera función vital; la primera, de metamorfosis descendente, tiene lugar, y con más rapidez, en el hígado muer- to; la segunda se verifica en el viviente, y es de metamorfosis ascendente. Estas dos acciones contrarias del hígado, de cam- bios respectivamente ascendentes ó descendentes, han sido plenamente reconocidas por Mr. C. Bernard, aun cuando haya llamado á las dos glucogenias. 2. a En la diabetes, enfermedad bien conocida y muy gra- ve, el azúcar es excretada por los riñones en gran cantidad, no siendo estos órganos los causantes del mal, sino que, por el contrario, lo evitan cuanto es posible; y aun cuando algu- nos hayan atribuido tal acción á los pulmones, suponiendo que, por falta de oxígeno lomado por estos, no se quema el azúcar de la sangre, es indudable que el hígado es el órgano que directamente interviene en tal efecto, por haber perdido la facultad de elaborar glucógena. El azúcar recogido por los vasos capilares no es llevado al hígado, sino trasportado, sin 367 cambio alguno, á la circulación general, desde donde se eli- mina naturalmente por medio de los riñones; y la dificultad no consiste, pues, en elaborarse mucha azúcar, sino en faltar ó detenerse la elaboración del mismo en estado glucogénico, como lo prueba la llamada diabetes traumática, producida, como es sabido, por la punción de la última capa del cuarto ventrículo del cerebro. En este caso, aun cuando el azúcar se haya ingerido en gran cantidad, como no hay glucógena for- mada en el hígado, no se ha impedido ((al vez por paráli- sis de los nervios motores) que la glucosa pase sin cambio al- guno á la circulación general, y la gravedad suma de la dia- betes patológica depende en parte de los perniciosos efectos del azúcar en la sangre (como lo prueba la catarata diabéti- ca); y más aún es debida á los desórdenes en una función tan importante del hígado, de la cual depende el calor y la fuer- za animal necesaria para la preparación del alimento y para la desasimilacion de los tejidos, con objeto de facilitar las combustiones orgánicas. 3.a Existe una analogía muy notable entre la función glu- cogénica del hígado y la respectiva de las plantas para ela- borar almidón. Estas funcionan de tal modo, con objeto de reservar el producto para ulterior uso; y cuando es necesario, le hacen soluble bajo la forma de azúcar ó dexlrina, pasando de nuevo á unirse con los líquidos de la circulación. Los animales, de igual manera, cambian también el azúcar solu- ble en glucógena insoluble ó almidón animal , reservándolo en el hígado para usos futuros, que, cuando se realicen, deberá antes hacerse soluble el citado producto. Mr. Morren, en un trabajo que, con el título de Digestión vegetal, publicó en 1876, compara el cambio del almidón en azúcar en las plantas á la digestión en los animales, dedu- ciendo que tal acto no puede considerarse exclusivo de estos, sino general á todos los séres organizados. Como ya se ha de- mostrado, la verdadera analogía respecto á la formación de almidón y de su solubilidad en las plantas, se halla en la fun- ción glucogénica del hígado, siendo la digestión realmente una solubilidad de alimento sólido, preparatoria á su absorción para el movimiento circulatorio. Y tal acto es innecesario en 368 las plañías (exceptuadas las insectívoras), porque e! alimento es líquido: los materiales absorbidos y depositados en los te- jidos, á no ser por metáfora, pueden ser denominados pro- ductos nutritivos; ni los cambios en estos materiales deben llamarse alimentos, ni las trasformaciones que en ellos se ve- rifican calificarse como un acto de digestión. 4. a La analogía entre los animales y las plantas, en lo res- pectivo al acto de almacenar ó depositar productos amiloideos, es mas sorprendente en los animales inferiores y en el estado embrionario. Todas las partes de las plantas parece tienen el poder de fijar y depositar amilóides, aun cuando sea princi- palmente anejo tal acto al parénquima ó tejido celular indis- tinto, al paso que en los animales superiores, esta función está reservada al hígado: es un hecho interesante que confirma gran semejanza de las plantas con los animales inferiores y los embriones de los animales superiores, y que demuestra la ley de diferenciación en el desarrollo del embrión y en la evolución del reino orgánico, ley por la cual los embriones de los animales superiores, y los adultos en muchos animales in- feriores, tienen el poder de fijar productos amiloideos y ela- borar glucógena en todos sus tejidos, aun cuando esto sea es- pecialmente verdadero para el epitelial no distinto. (Bernard.) Y es digno de notar que los animales de menor energía ner- viosa, son los que acumulan más glucógena en los tejidos, pues Bixio ha encontrado 10,14 por 100 en los tejidos dese- cados de la ostra y del cardium , y Foster mucho más en los entozoarios, donde asciende á 2 por 100, siempre que se pesen húmedos; de manera que en la escala animal, no solo se halla tal función más y más localizada en un órgano, que es el hí- gado, sino que también el producto giucogénico es más y más rápidamente consumido, mediante la combustión, por la acti- vidad animal. 5. a Si semejanzas sorprendentes hay entre los dos reinos, también existen diferencias muy características en el uso de los productos amiloideos almacenados. Las plantas reservan el almidón para ulterior uso, como materia de construcción , pues luego que, y de un modo natural, ha sido trasformado en azúcar, vuelve á ser convertido en celulosa insoluble; los 369 animales, por el contrario, reservan glucogenia para utilizar- la mas adelanle como materia de combustión para producir fuerza: aquellas no necesitan esta porqueta sacan del suelo: á los animales es innecesaria materia de construcción, porque sus tejidos son ricos en principios albuminoideos . 6. a Los principios albuminoideos, procedan del alimento ó de tejidos destruidos, se dividen, probablemente en el híga- do, en glucógena y en cierto residuo nitrogenado; la glucóge- na, cambiada en azúcar, y después en CO2 y IT2 O, es eli- minada por el pulmón; el residuo nitrogenado, si desde luego no es urea, se trasforma fácilmente en tal producto para set- expelida por los riñones. Y descendiendo por la escala ani- mal, hallamos ejemplos, v. gr., los insectos, en los que el mismo órgano ejerce las dos funciones; de manera que en el progreso de la evolución, la urea es á la vez formada y excre- tada por idéntico órgano, y en serie superior se realizan se- paradamente ambos actos por distintos aparatos. 7. a Habiendo dicho que Fosterhabia hallado grandes pro- porciones de glucógena en los tejidos de los entozoarios, y ocurriendo la duda del uso de este producto, se ha deducido que en estos séres no puede servir como sustancia respirato- ria, «porque teniendo una temperatura constante, y asegura- ba por el animal en que habitan, no les es necesaria la ma- teria respiratoria productora del calor;)) idea que está con- forme con la opinión de Pavy, según la cual, la glucógena no es del todo una materia respiratoria, sino un producto en es- tado de convertirse en fibrina. Para Mr. Le Conte, por el con- trario, la existencia de sustancia amiloidea depositada en un animal donde es inútil tal fuente de calor, confirma de un modo evidente que el primer objeto de la respiración no es producir calor , sino crear fuerza; y la opinión de Foster es una prueba no menos evidente de este principio fundamental de fisiología, que, todavía de un modo imperfecto, ha sido re- conocido por algunas de las más elevadas inteligencias. El uso de la locución de materia productriz de calor, como sinó- nima de materia respiratoria, es un error profundo; y tal con- cepto incierto, aplicado á los amiláceos y á las grasas, es tan general, y, por desgracia, se halla tan apoyado por la autori- 370 dad de grandes hombres, que es casi imposible desarraigar las ideas falsas que le son asociadas. No se puede menos de insistir en esta idea: el primer objeto de la combustión en la máquina animal, como en la de vapor, no es producir calor, sino crear fuerza. El calor no es mas que un concomitante , á menudo útil, pero á veces inútil y hasta dañoso; experiencias realizadas con cuidado lo confirman: la doctrina de la conser- vación de la fuerza lo exige absolutamente; y, sin embargo, los íisiologistas hablan todavía de alimentos respiratorios como productores únicos de calor, cual si la fuerza vital fuera cual- quier cosa sin relación ninguna con las otras fuerzas de la naturaleza, y que, por consecuencia, no fuese precisa expli- cación alguna. La fuerza vital creada por la combustión, pue- de ser consumida completamente en fuerza mecánica, como en los animales superiores, ó casi del todo en las funciones vegetativas de digestión, asimilación, secreción, etc., en los animales inferiores de menor actividad orgánica, cual muchos moluscos y entozoos. Terminado este artículo en Abril último, Mr. Le Conte da cuenta de una Memoria notable del profesor Schiff, titulada: Una nueva función del Ingado , en la que el autor, en vista de experiencias en perros y ranas en el laboratorio fisiológico de Ginebra, demuestra de la manera más convincente que el hi gado puede descomponer completamente las materias venenosas engendradas por la desorganización de los tejidos. La ligadura de los vasos del hígado, y en particular de la vena porta, produce rápidamente un profundo letargo, y al fin la muerte, después de una á tres horas; y si en las ranas, es cierto que la ligadura produce escaso efecto, depende esto de la lentitud de los cambios orgánicos en sus tejidos; porque si la sangre de los perros, muertos á consecuencia de la ligadura del hí- gado, se inyecta en el sistema circulatorio de las ranas, des- truye pronto la vida si el órgano referido está ligado, y no produce efecto alguno cuando está sin ligar; habiéndose reco- nocido además que muchos venenos orgánicos son, del todo ó en parte, destruidos ó hechos inofensivos por el hígado. Esta es, sin duda alguna, la verdadera explicación del poderoso efecto de los venenos orgánicos, cuando son administrados por 371 inyecciones subcutáneas, porque entran en el torrente circu latorio general sin pasar por el hígado. Las experiencias referidas confirman la teoría de Mr. Le Conte, relativa á que los tejidos desorganizados se descompo- nen en el hígado en glucógena y en un residuo eliminado principalmente por los riñones; y los hechos á que se refie- ren las de Schiff, confirman y amplían la teoría de las funcio- nes glucogénicas propias del órgano hepático. FISIOLOGIA. Absorción por el organismo vivo del óxido de carbono despren- dido con mínimas proporciones en la atmósfera. ( Extracto de una nota de Mr, Gréhant. J Continuando Mr. Gréhant sus observaciones acerca del mayor volumen de óxido de carbono que puede ser absorbido por la sangre, y sobre la eliminación del mismo gas por los pulmones ha llegado á plantear el problema relativo á las proporciones en que dicho óxido de carbono debe existir en la atmósfera para ser absorbido por un animal vivo. Anteriormente, Mr. F. Le Blanc demostró que un perro muere envenenado por el óxido de carbono en una mezcla producida por la combustión de carbón, que solo contiene 1 0,54 por 100 ó t-— ; de óxido de carbono; de manera que una I o o atmósfera con tan mínimas proporciones de este gas tóxico, produce el envenenamiento y la muerte. Para lograr su intento Mr. Gréhant, y produciendo mez- clas de aire y óxido de carbono con mínimas proporciones de este gas, ha realizado las dos experiencias siguientes, que mú lilamente se intervienen. 1.a Dosificar por un procedimiento muy exacto el volumen de óxido de carbono que hay en la mezcla que á un anima! se le ha hecho respirar durante un cierto tiempo; y restando 372 este volumen del medido é inspirado, obtener el del óxido de carbono absorbido por la sangre. 2.a Determinado el mayor volumen de oxígeno que se ab- sorbe por la sangre, antes y después de la intoxicación par- cial, la diferencia de los grandes volúmenes de oxígeno ab- sorbidos por dos masas de sangre, representan el del óxido de carbono que en este humor se ha combinado con la hemo - globina, pues se sabe, conforme á las experiencias del inol- vidable y eminente fisiólogo Claudio Bernard, que el óxido de carbono se une á los glóbulos rojos de tal manera, que un vo- lumen de óxido de este gas se sustituye á un volumen igual de oxígeno. Las experiencias realizadas por el referido Mr. Gréhanl, las cuales se propone continuar, demuestran que el hombre y los animales obligados á respirar, durante media hora, en 1 una atmósfera que contenga solo de óxido de carbono, absorben este gas en cantidad tan considerable, que la mitad cerca de los glóbulos rojos combinados con el citado óxido de carbono, resulta incapaz de absorber oxígeno, al paso que 1 en una atmósfera conteniendo —77— del óxido de carbono, 1449 una cuarta parte de los glóbulos rojos se combinan con este gas. Estos resultados son de grande interés bajo el punto de vista de la Fisiología é Higiene. CRANEOLOGIA. La raza tasmania. fNota de MAL A. de Quatrefages y E. IlamyJ Comparando los tasmanios con las otras poblaciones de tinte negro de la Oceanía, se deduce que forman por sí una raza especial, Su pelo, completamente lanudo, los aísla de los 873 australes, que son sus más próximos vecinos geográficamen- te hablando; su tez, de un negro subido, ligeramente aceitu- nado, los distingue de los papuas , propiamente dichos, apro- ximándolos á los negritos, de quienes los separan algunos ras- gos exagerados de su cara, como entre otros el achalamiento de la porción media nasal, la anchura de las narices y la depre- sión de la barba. El estudio osteológico confirma que el crá- neo tasmanio se reconoce por dos caractéres esenciales: la forma y desarrollo de las elevaciones parietales, y la línea que media entre estas dos eminencias. Las primeras, muy fuertes y cónicas, están colocadas á igual distancia de las suturas frontal y lambdoides; y de su desarrollo resulta que, por de- bajo de ellas, los parietales descienden sin abultarse, y seña- lan, mirando la cabeza por delante, dos líneas casi rectas y ligeramente convergentes, que continúan y marcan casi regu- larmente la proyección de las porciones escamosas de los temporales. Por encima se observa una cosa análoga: la pro- yección de las referidas elevaciones parietales señala dos lí- neas que se elevan hácia el medio de la cabeza, donde están separadas por la salida respectiva á la prolongación de la bó- veda frontal media, la que, alcanzando á la sutura sagital, se ahonda, por decirlo así, en una hendidura que contiene la sutura, quedando independiente de las elevaciones parietales. A este conjunto de prominencias y excavaciones dirigidas de adelante atrás, es á lo que se ha dado el nombre de carena , cuyo rasgo característico parece ser propio de los tasmanios adultos. La cara ósea no se distingue menos que el cráneo, y mas particularmente por su escasa altura relativa, sus for- mas toscas, y esencialmente por rasgos excepcionales bien marcados. 374 ANATOMIA COMPARADA. Sobre el órgano llamado cuerda dorsal en el Amphioxus lan- ceolalus. Nota de M. J. Renaut y G. Duchamp. (Comples rendus, Abril 1878.) La estructura del órgano llamado cuerda dorsal en el Am- phioxus,, hace tiempo llama la atención de los anatómicos, y es objeto de dudas y discusiones aun en la actualidad. Unos, con Ralhke, consideran la cuerda formada por una materia gelatinosa amorfa, contenida por una envoltura fibrosa; otros, entre ellos MM. Ouatrefages, Wilhelm, Müller y Stieda, la miran constituida por células soldadas entre sí, presentando en la base un núcleo adyacente á la envoltura externa; y en un tercer grupo se colocan Goodsir, J. Müller, Max, Schullze y Marcusen, que rechazan la estructura celular del órgano en cuestión. Por otra parte, la cuerda dorsal del Amphioxus ha sido considerada como análoga á la de los vertebrados, y su exis- tencia es uno de los argumentos de los más importantes para incluir dicho sér en este grupo. En los vertebrados, los tejidos del esqueleto pueden divi- dirse en tres categorías principales: l.° el eje primitivo for- mado por la cuerda dorsal; 2.° el tejido cartilaginoso; 3.° el tejido óseo. Estos diferentes tejidos se suceden en los anima- les superiores, y el esqueleto definitivo es constituido por el tejido óseo del todo ó el cartilaginoso verdadero ó ternilloso, en cuyo caso no quedan sino escasos vestigios del eje primi- tivo ó cuerda dorsal; de suerte que, á excepción del Am- phioxus, no se conoce ningún vertebrado cuyo esqueleto de- finitivo sea únicamente representado por una cuerda dorsal persistente. Este órgano reúne desde luego, en la série, ca- ractéres típicos, como son los de estar formado de células globosas, soldadas entre sí á la manera de los epitelios, tras- parentes como el vidrio, y con un núcleo de los más distin- tos, por lo común retirado á la periferia. La cuerda dorsal de 375 los peces no difiere, pues, fundamentalmente de la de los em- briones respectivos á los mamíferos más elevados. En el Amphioxus, al contrario, no presenta disposición al- guna que se refiera á la estructura citada: la cuerda eslá con- tenida por una vaina cilindrica que la envuelve del todo; y en cortes hechos perpendicularmente al eje general del cuer- po, después de su endurecimiento mediante la dextrina y en el alcohol, se manifiesta constituida como á continuación se in- dica. En el interior de la vaina, y tendidas horizontalmente, del borde izquierdo al borde derecho, se ven fibras de diámetro uniforme, cilindricas, llenas y adherentes por sus dos extre- midades á la envoltura general. A medida que se aproximan á la cara dorsal, dichas fibras se encorvan ligeramente por arriba, de manera que circunscriben en la línea media, entre la vaina y la cuerda, un espacio vacío en forma de huso, re- pitiéndose en sentido inverso, y del lado ventral, la misma disposición, de tal modo, que solo las fibras del plano medio son horizontales y rectilíneas. En un corte longitudinal que pase por el eje de la cuerda y los dos lados del cuerpo, la vaina se observa fraccionada según su longitud, y el área, así interceptada, está llena por fibras de la cuerda, que, por consecuencia, presentan una disposición escaleriforme relativa á los bordes de la vaina. Sobre una preparación convenientemente coloreada, á be- neficio del picrocarminato de amoniaco ó de la eosina soluble en el agua, se observan los detalles siguientes. La vaina de la cuerda dorsal se colora uniformemente en rojo por el carmin, sin mostrar ningún núcleo en su interior ni en su cara interna; la eosina la deja incolora absolutamen- te. Toda la superficie interna está erizada de muchas promi- nencias cónicas, que forman la base cuerpo con la sustan- cia hialina que constituye la envoltura; y estos pequeños co- nos quedan sin color por el carmin, y se tiñen de un rosa vivo por la eosina, no presentando apariencia de núcleos, y siendo homogéneos completamente. A la extremidad de cada uno viene á insertarse, cubriéndolo, una de las fibras de la cuerda dorsal, y cada fibra corresponde por sus dos extremi- 376 dades á una de las prominencias antes descrita: es cilindrica por lo regular, no contiene ningún núcleo, y, á la manera del tejido elástico, se colora de amarillo bajo la acción del picro- carminato, y en rosa por la eosina. La acción de la potasa no produce la disgregación de es- tas fibras en masas con núcleos: el carmín, la hematoxilina, y los otros reactivos de los núcleos, no descubren ninguno en el espesor de la vaina; y por lo tanto, puede considerárselas como cuerpos no celulares, que no tienen relación alguna con el tejido característico de la cuerda dorsal, ni con el cartíla- go, presentando, por otra parte, una estructura y reacciones histoquímicas del todo análogas á las que proporcionan las fibras que constituyen el órgano axil del calamar, conocido con el nombre de pluma. De lo que antecede, resulta que el Amphioxus, desprovisto de sangre roja que contenga hemoglobina recogida en elemen- tos especiales, no posee una cuerda dorsal comparable por su estructura á la de lodos los animales vertebrados; y es, por lo tanto, fundada la duda acerca del valor morfológico que tenga dicha cuerda dorsal en el sér expresado. RESPIRACION AÉREA DE ALGUNOS PECES DEL BRASIL. Mr. Jobert, naturalista encargado por el Emperador Don Pedro, de investigaciones zoológicas en el Alto Amazonas, ha remitido á la Academia de Ciencias de París una importante y curiosísima Memoria, relativa á la respiración de muchos peces de agua dulce, que habitan en dicha región de la Amé- rica meridional. El Callichthys asper, pez silurio de las inme- diaciones de Rio-Janeiro, y que vive mucho tiempo fuera del agua, traga aire con objeto de que circule este gas por el tubo digestivo, eliminándolo por el ano, después de haberse modi- ficado, como en la respiración aérea pulmonar; es decir, lue- go que se ha consumido cierta cantidad de oxígeno en cambio de otra proporcional de ácido carbónico. Para tal respiración, complementaria de la branquial, existe, en el pez citado una 377 estructura anatómica adecuada en sus intestinos, pues, adjun- to a su tejido epitelial, se observan una infinidad de apéndi- ces filiformes, agrupados en penachos sobre la superficie li- bre de la mucosa, compuestos de vasos sanguíneos análogos a los que componen el parénquima de los pulmones, y com- parables á los órganos respiratorios descubiertos porReaumur en el intestino recto de ciertas larvas de insectos. La respiración aérea antes citada, es también propia de otros peces de la región referida, los cuales viven en aguas corrompidas con 40° ó más de temperatura; y no bastando para su existencia la respiración branquial, tienen necesidad de subir á la superficie para inspirar directamente el aire li- bre de la atmósfera, ó de salir del medio en que residen, cuando la desecación del rio ó laguna es completa, empren- diendo en tal caso viajes largos, y reptando sobre el suelo mediante las aletas pectorales, hasta encontrar aguas adecua- das á su respiración por las branquias. Otras especies de los géneros Callichthys y Doras, tienen como el C. asper la facultad de respirar de dos maneras; el aire disuelto en el agua por aparatos branquiales, y el aire bbre mediante su deglución y curso por el tubo intestinal, sa- liendo modificado químicamente por el ano; y de esto depen- den los continuados borbotones que se observan en las aguas donde habilualmente residen los expresados peces; y un fe- nómeno análogo, pero no idéntico, se verifica en los Hypos- tomos, que igualmente corresponden á la familia de los Silu- rios. En ellos existe un tubo intestinal con plexos y redes de vasos sanguíneos: también tragan el aire; pero este gas, luego que por la bemalosis se modifica, no es eliminado por el ano sino expelido por la boca ó por las aberturas branquiales; de manera que, siendo su aparato complementario de la respira- ción menos completo, perecen al cabo de S á 7 horas de estar luera del agua, y no alcanzan el tiempo que los citados peces taUicnthys pueden vivir al aire libre. También Mr. Jobert ha confirmado una respiración aérea complementaria en el Sudis gigas ó Sudis pirarucu de Spix, y en ciertas especies del género Erytlirinus, del grupo de los Ctupeidos, propias de las aguas dulces del Alto Amazonas; TOMO XX. 378 pero tal respiración se completa, no por el tubo intestinal, sino por la vejiga natatoria. Esta, que por el exófago comuni- ca con el medio externo, se halla revestida de numerosos ca- pilares sanguíneos, además de las respectivas celdillas alveo- lares, con vasos adecuados para la respiración aérea, como lo confirma la inmediata asfixia que en tales peces se produce cuan - do, por cualquier causa, se intercepta el conducto que comunica la vejiga natatoria con el aire atmosférico libre. Y si no lodos los peces de este grupo tienen la facultad de vivir- fuera del agua, como el Erythrinus tr achina, el E. Tceniatus y E. Bra- siliensis, también es cierto que en tales especies son lisas las paredes déla vejiga natatoria, careciendo de las redes y plexos vasculares que, con el aparato branquial ordinario, realizan la doble respiración, aérea y acuática, antes mencionada. Los interesantes hechos que brevemente hemos indicado, confirman más y más el íntimo enlace, las conexiones orgáni- cas y biológicas que existen entre los peces y los anfibios de branquias perennes. ZOOGRAFIA. Observaciones acerca de las afinidades zoológicas del género Mesites, por Mr. Alf. Milne-Edwards . El eminente naturalista G. Saint-Hilaire, dio á conocer en 1838 un pájaro de Madagascar con el nombre de Mesites variegatus, afine, según él, á los Heliornis por su cabeza, á los Penelope y Ortalida, ó Catraca, de Bufón, por el cuerpo y las alas, y á las Palomas por los piés. — Gray le incluyó en la familia de los Megapódidos , idea en que convinieron el prín- cipe C. Bonaparte, Reichenbach y Hartlaul, modificada des- pués por el último, que, en su reciente trabajo de los pájaros de Madagascar, coloca los Mesites á continuación de los Mo - tacílidos, y en la tribu de los dentirostros. Habiendo recibido Mr. Grandidier, procedentes de Tama- lava, ejemplares conservados en alcohol, las investigaciones 379 anatómicas de A. Milne-Edwards han demostrado, además del escaso valor en ornitología, como en oíros ramos de la zoología, de los caractéres exteriores, que los Hesites no son gallináceas ó palomas, como indicó G. Saint-Hilaire y Bona- parte, ni pájaros, cual han creido Gray, Sundevall y Hartlaub, sino que por sus afinidades orgánicas se deben considerar como zancudas, y cerca de los grupos de las Rálidas y Ardei- das. Confirma tal juicio la debilidad orgánica del aparato es- lerno clavicular, en oposición al desarrollo de la región basi- lar de las extremidades abdominales, el tener dos carótidas cual las Rálidas , y no una como los pájaros, conviniendo con las Ardeidas en cinco pares de placas de plumón, que, aun cuando de diferente manera, están ocultas bajo las plumas respectivas al dorso, escápulas y región ilíaca, como al pecho, costados y vientre. MINERALOGIA. Mineral nuevo descubierto, mediante el análisis espectral , por Mr. Lettson. Mr. Lecoq, por encargo de Mr. Lettson, sábio mineralo- gista inglés, ha presentado en la Academia de Ciencias de París un fragmento de un mineral que, sin razón, habia figu- rado en las colecciones de Oxford, hace más de cincuenta años, bajo el nombre de Blenda de Cornwall. Habiendo reunido, con objeto de buscar el gallio, una colección de blendas inglesas, Mr. Lettson tuvo la idea de examinar directamente algunos pedazos, de aspecto singular, mediante el espectroscopio , ins- trumento cuyo manejo le es familiar; de tal manera reconoció que uno de ellos producía las bandas de absorción caracterís- ticas del didimio y el erbio, confirmando después el análisis químico, que la llamada blenda no contenia un átomo de azu- fre, ni de zinc, sino que era un fosfato de didimio y erbio. Mr. Lettson llama á esta especie Rhabdófano , á fin de recor- dar las bandas espectrales, que, por vez primera, han per- 380 initido descubrir un mineral mediante la inspección directa con el espectroscopio, especie hasta hoy dia muy rara, por- que dicho mineralogista solo la ha reconocido en dos ejempla- res de la colección referida; y no está demás recordar que, observándose en la Monacita (la cual se refiere á un fosfato de óxido de cerio combinado con otro fosfato de lantano, de los montes Urales, de Nueva-Granada y del gneis de Norwich) las rayas características del didimio, podría inducirse que el nuevo mineral antes indicado, sería simplemente una varie- dad fibrosa mamelonar de la Monacita . ZOOLOGIA. Muevas consideraciones sobre la generación de los Afidos (Pul- gones) .—Memoria presentada á la Real Academia de Cien- cias de Madrid por Julio Lichteinsteun, socio corresponsal. En agradecimiento á la alta honra que me dispensó esa muy ilustre y docta Corporación admitiéndome en su seno, hace tiempo tenia formado el propósito de presentarle algún trabajo de historia natural; pero aunque no me fallan cosas interesantes en las muchas observaciones biológicas de insec- tos que vengo haciendo de muchos años á esta parle, no me parecían bastante nuevas para ofrecerlas como tales al crite- rio de esa sabia Academia. Hoy, después de diez años de estudios seguidos sobre los Pulgones en general, y el de la vid (Phylloxera vastatrix) en particular, llego á considerar la evolución biológica de los in- sectos áfidos de un modo muy diferente de lo que ha sido adoptado en general hasta la fecha. En primer lugar, una cosa que me llamaba la atención sobre lodo, es que en muchos géneros de áfidos, como Phyllo- xera, Tetrancura, Pemphigus, etc., las hembras, fecundadas por el macho, ponen únicamente un solo huevo, mientras que en todos los otros insectos las hembras contienen en su ova- rio un crecido número de huevos, llegando hasta millares. 381 Sin embargo, del huevo único de la Phylloxera oblenia una larva que me daba, sin concurso del otro sexo, muchos individuos, de los cuales nacían, después de tres trasfor- maciones, hembras y machos. Era evidente entonces que la naturaleza, inagotable en sus combinaciones, compensaba por la gemación ó brotacion múltiple de la larva la falta de hue- vos en la hembra. Lo que llamo gemación, brotacion ó yema , es muy dife- rente del huevo. El huevo no puede desarrollarse mas que por impulso de una fuerza externa, que es la fecundación. El huevo tiene siempre la conocida forma de elipse ó esfera, mas ó menos alargada. La yema se desarrolla por impulso interior, sin ninguna ayuda extraña. La yema puede tener las formas mas va- riadas: gusano, oruga, ninfa, crisálida, pupa, insecto alado, son otras tantas formas bajo las cuales puede presentarse la gemación. Cada metamorfosis en un insecto es una gemación. Mas aun en algunos insectos, y en particular en la Phyllo- xera, la yema puede aparecer en forma de huevo; pero su ca- rácter de brotar por sí solo y sin que el insecto que la produ- ce haya sido fecundado, es una prueba de su naturaleza. Ya se concibe por lo que acabo de exponer que, para mí, los milagros de hermaphroditismo y de parthenogenesis no existen, ni pueden existir. Lo que ha sido llamado hembra alada parthenogenésica y vivípara , es una forma larval emi- tiendo su gemación, como una langosta que cuando muda de forma, también emite un insecto vivo. Es verdad que en los pulgones la forma larval es muy pa- recida á un insecto perfecto. Diré mas: esta forma larval es mas completa que la verdadera hembra. Tiene alas muchas veces, y la hembra no las tiene nunca; tiene un pico ó rostro, y este órgano falla frecuentemente á la hembra. Pero en vir- tud de la semejanza de tales larvas con la imago , llamaré á aquella forma falsas hembras o pseudogynas. Es otro ejemplo de los contrastes que nos ofrece la natu- raleza: en los Lumpyris, Psyche, Drilus v en muchos Ortóp- teros, conocemos hembras perfectas qué tienen la apariencia 382 de una larva, pues en los áfidos vemos larvas que lienen la forma del insecto perfecto, y la semejanza va hasta ofrecernos en el modo de poner sus gemaciones absolutamente la apa- riencia de una hembra poniendo sus ó su huevo. Pero, lo re- pito, hay la falta de la forma masculina, hay la propiedad de brotar sin fecundación, que distinguirán siempre la forma larval de la forma sexuada perfecta. La evolución biológica en los áfidos, consiste en cuatro fases ó períodos, divididos cada uno en cuatro mudas ó cam- bios de piel, después de los cuales aparece una Pseudogyna ó falsa hembra, con aptitud para producir sus gemaciones, sea bajo la forma de un pulgoncito vivo {Áphis , Siphonophora, Lachnus, etc .J, sea bajo la forma de un pseudo-ovum fPhyllo- xeraj. He dado á las cuatro fases referidas los nombres si- guientes: 1. a fase. Los Fundadores. . . ( Pseudogyna fundatorci). 2. a Los Emigrantes . . . ( Pseudogyna migrantia). 3. a Los Brotadores . . . (Pseudogyna gemmantia). 4. a Los Pupíferos y los sexuados ( Pseudogyna pupifera et sexuata). En general hay dos fases ápteras, que son: la 1.a los Fun- dadores, que presentan las Pseudogynas de mayor tamaño, y la 3.a los Brotadores , los cuales gozan del singular privilegio de reproducirse casi sin límite, y en la misma forma, hasta que circunstancias que no he podido descubrir todavía, les hagan dar gemaciones sexuadas, ó sea la forma pupifera y sus productos macho y hembra. La 2.a fase, los Emigrantes, tienen generalmente alas, y dejan la planta donde han nacido para buscar nueva estancia, sea en plantas de la misma especie, sea otras veces en plan- tas diferentes, lo que hace muy difícil el estudio de su bio- logía. La 4.a fase, los Pupíferos , también son alados por lo ge- neral; sin embargo, conozco excepciones de la regla, y en la 383 Phylloxera de la vid, los Emigrantes son ápteros, y en el Acanthochermes Quercüs, los Pupiferos tampoco tienen alas. No he podido todavía seguir mas que uno ó dos áíidos en su ciclo completo, y estudiar las diez y ocho formas que lo componen; pero conozco, sea la primera, sea la segunda mi- tad de la biología, de unos 50 áfidos, quedando en duda siem- pre sobre la fase emigrante, que no he podido seguir, ó bien que viene de repente á un vegetal sin saber de dónde ha sa- lido. Sin embargo, espero que la Real Academia de Ciencias de Madrid acogerá con benevolencia un trabajo todavía incom - pleto, pero que con toda su imperfección podrá servir de guia á los que quieran dedicarse al estudio, tan interesante para la ciencia y para la agricultura, de nuestros mas temibles ene- migos en el mundo de los insectos, los Pulgones. Villa la Lizonde, cerca de Montpellier, 12 Mayo 1878.= J. Lichtenstein, Comendador de la R. 0. de Isabel la Cató- lica, Socio corresponsal de la Real Academia de Ciencias. 384 VARIEDADES. El gran globo cautivo de vapor de Mr. Giffard, por M. Gastón Tissandier. Un folleto en 8.° de 96 páginas, con 40 grabados dibujados por Mr. Albert Tissandier. (París, Masson, 1878.) Dar cuenta del folleto consa- grado á la descripción de este aeróstato por Mr. Gastón Tissandier, y escrito con la claridad, limpieza y rigurosa precisión que el sábio escritor impri- me á todas sus obras, es el mejor medio de completar la descripción del globo cautivo que atrae en este momento la atención de todo París, y del cual han tratado ya los Mundos (1). El autor empieza su Opúsculo por una corta biografía de Mr. Giffard, con razón porque reasume, por decirlo así, la historia de todos los progresos veriíicados por la aeronáutica desde hace un cuarto de siglo. Mr. Giffard nació en París el 8 de febrero de 1825; es el primer ingeniero que ha concebido el proyecto de aplicar el vapor á los globos aerostáticos, y el único hasta ahora que se ha atrevido á realizarlo. Para que un globo pudiese levantar un motor de vapor, se necesitarla ante todo aligerar este, y con tal objeto reemplazó la bomba alimenticia reac- cionada por un cilindro llamado pequeño caballo , empleado hasta entonces para introducir el agua en las calderas, por el aparato extraordinario, el inyector Giffard, que gracias á su poco volúmen y á su gran sencillez se ha adoptado en todas partes para la alimentación de los generadores. Esta invención ha procurado á su autor una gran celebridad y no escasa fortuna, que ahora emplea con mucha liberalidad en la investigación de las mejoras de que son suceptibles los globos. En 1852 construyó un globo en forma de huso de 12 metros de diámetro y 44 de longitud, de capacidad cúbica de 2.500 metros y suspendió de el una máquina de vapor de 3 caballos que ponía en movimiento una hélice. Se atrevió á elevarse solo con este aparato, el 24 de setiembre de 1852 en el Hipódromo de París y descendió en Elancourt, cercade Trappes. Aunque no pudo conseguir dirigirse contra un viento violento, logró, gracias á su timón, dar vueltas hácia todos lados. En 1855 renovó esta atrevida tenta- tiva en la fábrica del gas de Courcelles, con otro globo, todavía más pro- longado, cuya longitud llegaba á 70 metros y el volúmen era de 3.200 me- tros cúbicos. La nueva máquina de vapor no pudo todavía vencer el vien- (1) Tomo 46, pág. 259-241, 385 to; pero logró resistirse por un momento contra él, é hizo desviar lateral- mente al globo de la dirección de la corriente. Nadie después ha renovado estos ensayos. Doce años después, se ocupó Mr. Giffard en la aplicación del vapor á los globos, pero por esta vez solo á los globos cautivos, y no á los que pudieran dirigirse. En 1867 construyó un magnífico globo esférico de 21 metros de diámetro y 5.300 metros cúbicos de capacidad, sujeto por un cable de 330 metros, que se arrollaba sobre un enorme eje de fundición por medio de máquinas de vapor de 50 caballos. Para hinchar el globo cautivo, que se halla colocado detras de la exposición del Campo de Marte, se necesitaron 30.000 kilogramos de ácido sulfúrico y 15 kilogramos de li- maduras de hierro, que reaccionaron en una poderosa batería de sesenta toneladas. El primer ensayo se verificó el 17 de setiembre, y entonces el aparato subió solo; el 18 elevó siete personas á un centenar de metros, y por último el 21 de Setiembre se verificó la ascensión de inauguración. Tuve el placer de ser una de las trece personas que hicieron esta excursión vertical (1). Aprovechando el aire sereno y el cielo puro, subimos hasta 230 metros, cinco veces la altura de la columna Vendóme y dos veces la del monte Valeriano. Inmediatamente después empezaron las ascensiones públicas; doce personas á la vez subieron hasta 250 ó 300 metros. Al año siguiente, mientras que el globo cautivo de la exposición se trasportaba al Hipó- dromo, donde se hicieron ascensiones en todo el verano, Mr. Giffard hizo construir una enorme esfera de 11.000 metros de capacidad que remitió á Londres para ejecutar ascensiones cautivas. No siendo suficientemente impermeable el globo para guardar el hidrógeno puro, el autor no vaciló en construir un segundo globo esférico de 12.000 metros cúbicos de ca- pacidad, 27 de diámetro y 37 de altura total, sujeto á un cable de 660 me- tros, que pesa 3.000 kilogramos y que se arrolla por medio de máquinas de 150 caballos de fuerza, sobre la circunferencia de un torno de 7 metros de longitud y 2 de diámetro. La tela del globo tiene 2.500 metros de superficie, y pesa 2.800 kilogramos. Este poderoso aparato, que se situó cerca de Cremone Gardens, se inauguró el 3 de mayo de 1869. Después de la guerra, volvió á emprender Mr. Giffard sus investigacio- nes; en primer lugar ideó procedimientos más cómodos y económicos para obtener el gas. Volviendo al antiguo procedimiento de los aerostáticos del tiempo de la República, y perfeccionándolo, obtuvo el hidrógeno puro por la descomposición del vapor de agua por medio del mineral de hierro ca- lentado hasta el rojo, y previamente desoxidado en su superficie por una corriente de gas óxido carbono. Los experimentos se hacian en el sitio en que se halla el globo cautivo de la Exposición, detrás del Campo de Marte. Se hicieron cierto número de ascensiones libres con el nuevo gas, la pri- mera el 29 de mayo de 1872 por MM. Gastón Tissandier y Julio Godard, y también por mi parte verifiqué otra el 11 de setiembre de 1872. Nuestro globo nos llevó en nueve horas á un cuarto de legua de París, esto es á Vaucoulers, haciendo un trayecto efectivo de 260 kilómetros y subiendo á 2.150 metros. (1) Les Mondes , IXX, p. 178. 386 Estos viajes aéreos demostraron prácticamente la excelencia del pro- cedimiento: sin embargo, hay un gran riesgo en encender hornillos cerca de un globlo; y cuando en 1876 Mr. Gifí’ard se decidió á hacer otro para la Exposición, combinó un aparato que permitia preparar de una manera continua el hidrógeno por la acción del ácido sulfúrico sobre el hierro. El nuevo sistema, experimentado con éxito el 27 de abril de 1877 para hinchar un primer globo, quedó desde entonces definitivamente adoptado para llenar el gran globo cautivo de las Tullerías. La inmensa esfera es la más colosal máquina aerostática que hasta ahora se ha construido, su diámetro es de 36 metros, su altura total desde la válvula al fondo de la barquichuela es de 55 metros (10 metros más que el arco de Triunfo de la Estrella), su superficie de 4.000 metros cuadrados, su volúmen de 25.000 metros cúbicos. Su peso total, sin comprender el cable, és de 14.000 kilo- gramos. La barquichuela forma un balcón circular de 6 metros de diáme- tro exterior, 4 interior y 1 de ancho. El cable de 660 metros de longitud, de 85 milímetros de diámetro interior y 65 milímetros en su extremo fijo, está sujeto á una cabria, se arrolla 108 veces sobre esta que tiene lm,70 de diámetro, 11 de longitud y pesa 42 toneladas. El cable está retorcido sobre sí mismo por el esfuerzo de máquinas de cuatro cilindros de fuerza de 300 caballos. En cada ascensión se elevan 40 personas á la altura de 500 ó 600 metros, y por espacio de unos 12 minutos. La cubierta del globo se com- pone de dos muselinas, de dos telas de lino separadas por tres capas de goma elástica (de las que la más exterior está vulcanizada); el grueso total de las siete capas es de un milímetro y la tela está barnizada exterior- mente con 300 kilogramos de aceite de lino cocido y pintada con 400 kilo- gramos de blanco de zinc. La tela del globo está formada por 1456 piezas separadas, metódicamente cortadas y cosidas mecánicamente; las costuras tienen la longitud total de 15 kilómetros, han absorvido 50 kilómetros de hilo y han trabajado para hacerlas 40 obreras. Las fajas que cubren las cos- turas tienen también además 15 kilómetros de longitud. La longitud de las cuerdas del cable es de 20 kilómetros y comprende 52.000 mallas. La tela del globo se llevó cortada desde las Tullerías á principios de abril y el globo quedó formado y cosido el 25 de mayo; empezó á llenarse en 11 de julio; se emplearon 190.000 kilogramos de ácido sulfúrico en bruto y 80.000 de limaduras de hierro. El 14 de julio terminó la operación y la Primera ascensión la hicieron el 19 seis personas, empezando por Mr. Tis - sandier. El 7 de agosto subimos, aunque éramos treinta, en cinco minutos, y llegamos á la altura de 500 metros, estando hermoso el tiempo. No se experimenta vértigo alguno, ni sacudimiento de ninguna especie, y nada hay comparable al panorama maravilloso que desde allí se observa, superior al que puede descubrirse desde lo alto de los monumentos. Es un espectáculo único, y que merece que Mr. Giffard se haya dedicado así á procurarlo á los Parisienses. —Carlos Boissay. Mapa de la luna en 25 secciones, por W. S. Lohrmann, con un texto descriptivo, por el Dr. J. F. Julio Scbmidt. Lo que era hace mucho tiempo un desiderátum para los astrónomos, se acaba de realizar por la pu- blicación que ha hecho Lohrmann del Mapa completo de la Luna. La prime- ra parte de su topografía , etc., que contenia únicamente 4 secciones de las 25 que componen el mapa, se publicó en el año 1824; pero en 1838 se hizo 387 un pequeño mapa que comprendia todas las secciones en una escala más reducida, litografiándole Werner en Dresde. Empezó Lohrmann su trabajo en la piedra en este último punto, y lo terminó en 1836. Murió en 1840; y habiéndose ausentado al campo Madler al mismo tiempo, quedó algo olvidado el trabajo del primero; pero felizmente sus manuscritos se hallaban en manos de un amigo sincero de la ciencia, Mr. A. de Leipzig, que emprendió á sus expensas la publicación, según el plan original del autor. Le ayudó Mr. Oppelt, de Dresde, que revisó los cálculos y las tablas, y vigiló el grabado. Pero como quiera que el tra- bajo avanzase muy lentamente, en Febrero de 1851 recurrió Mr. Barth al auxilio del Dr. Schmidt, del Observatorio de Atenas. Aunque el doctor Schmidt estuviese enteramente ocupado con su propio mapa lunar, respon- dió de buen grado á este llamamiento, y el trabajo caminaba rápidamente, cuando en Diciembre del mismo año murió Mr. Barth. Felizmente su hijo el Dr. A. A. Barth resolvió cumplir los deseos de su padre, y al cabo de dos años, el Dr. Schmidt continuó sus trabajos del mapa hasta 1858, en que fue nombrado director del Observatorio de Atenas, y el trabajo recayó principalmente en Mr. Oppelt, auxiliado por su hijo, subte- niente primero del ejército de Sajonia, quien continuó el trabajo después de la muerte de su padre, acaecida en 1863. Otra muerte acaeció, que pudo ser fatal para el éxito de la empresa: la del Dr. A. A. Barth, si no hubiera tenido por sucesor á un hombre de un celo igual por la causa de la ciencia: á M. J. A. Barth, que se hallaba re- suelto á cumplir la voluntad de sus predecesores, y así han podido ver la luz pública las 25 secciones de Lohrmann, con una descripción impresa del Dr. Schmidt, que ha completado la revisión y la corrección final de las tablas. El mapa, de 3 piés franceses, representa tres medias millonésimas del diámetro de la luna. El nuevo texto por Schmidt se halla formado según un plan sumamente abreviado, comparado con el de Mr. Lohrmann. Están omitidas las partes que se refieren á la astronomía general, como también las notas biográficas relativas á la nomenclatura lunar y al método para calcular las posiciones. Por otra parte, se han conservado las explicacio- nes de Lhormann acerca de la manera de hacer los dibujos, y se ha añadi- do una lista délas posiciones, por Oppelt. Los pequeños detalles dados por Lohrmann están también modificados, porque el Dr. Schmidt ha creído que los objetos pequeñísimos están suficientemente dibujados en el mapa, y no hay necesidad de hacer relación especial de ellos en el texto. En el prefacio de la parte publicada de su obra, Lohrmann ha explicado que su deseo era representar las montañas y las manchas de la luna con toda la exactitud posible; y según los métodos de medida y trazado que la cien- cia exige, adopta la proyección orográfica de la superficie lunar en su li- bración media. Como naturalmente puede esperarse en una obra de dibu- jos hechos á mano por inlérvalos en un espacio de 50 años, hay un estilo muy desigual de ejecución en las diferentes láminas. Además todas las sombras variadas que en los originales de Lohrmann no eran siempre sa- tisfactorias, aparecen en proporciones muy diversas en las diferentes par- tes del mapa. Para uniformarlas completamente, se necesitaban mucho trabajo y gas- tos; pero alguno de los trazos mas importantes los ha retocado el doctor 388 Schmidt, que de esta manera ha suprimido muchos nombres que alteraban la limpieza del dibujo. La publicación de las secciones completas de Lohrmann será vivamen- te apreciada por la clase considerablemente en aumento de los astrónomos de profesión, y de los aficionados que hacen estudio de la superficie lunar, y que hasta ahora tienen que referirse principalmente al mapa de Beer y de Máedler. El admirable mapa de Schmidt, de seis pies de diámetro, verá muy pronto la luz pública, y entonces tendremos ocasión de hacer compa- raciones sobre la luna, representada nada menos que en tres grandes obras. Las pruebas de una acción volcánica continuada sobre la luna, pueden ha- llarse con una facilidad sin cesar creciente, pues que al mismo tiempo los mapas casi contemporáneos de Lohrmann, de Beer y de Máedler pueden servir para manifestar, que muchas diferencias aparentes son debidas al género ó accidentes de los dibujos, mas bien que á cambios reales. Nunca puede agradecerse bastante á Mr. J. A. Barth la liberalidad que ha ma- nifestado publicando los excelentes dibujos de sus predecesores, y debe esperarse que, el valor incontestable de este trabajo, le proporcionará pe- didos que le recompensen ampliamente de sus desembolsos. La clase de los astrónomos reconocerá ciertamente la buena fortuna que ha colocado el trabajo de editor en manos de un hombre como Mr. Schmidt, cuya con- ducta desinteresada, al suspender el trabajo de su propio mapa para publi- car la obra de otro y darle la preferencia, se halla muy en armonía con el carácter tan digno de aprecio y el desinterés científico del Director del Ob- servatorio de Atenas. =J. Birmingham. Creación de un Museo astronómico en el Observatorio de Pa- rís. Mr. Mouchez da cuenta á la Academia de Ciencias de que el Ministro de Instrucción pública acaba de dar su aprobación al proyecto que le había presentado para crear una colección de objetos y de cuadros relativos á la Astronomía y á la historia del Observatorio de París, desde la época de su fundación. Esta colección ofrece interés, no solamente para los astró- nomos, sino también para el numeroso público que afluye al Observatorio los dias .de entrada, y cuya legítima curiosidad no se ve nunca satisfecha en presencia de instrumentos, cuyo uso es difícil de hacerle comprender, á pesar de la paciencia y explicaciones que de buen grado le dan los astró- nomos que están de servicio. Los objetos podrán colocarse en dos grandes salas circulares del primer piso, hoy enteramente vacías, y cuyos muros, estérilmente descubiertos, causan mala impresión á los concurrentes. La colección deberá comprender: 1. ° Los retratos de los astrónomos y de los sábios que, con sus trabajos ó descubrimientos, han favorecido al Observatorio de París desde la época de su fundación. 2. ° Una colección de medallas relativas á la historia de la Astronomía y del Observatorio, cuyos troqueles existan en la casa de la Moneda, ó en poder de las familias que permitan sacar ejemplares de ellos. 3. ° Una colección de dibujos, grabados, fotografías, que representen los cuerpos celestes ó los fenómenos astronómicos, según se ven con los ins- trumentos de más potencia, y en diferentes épocas; muchos de estos docu- mentos, como, por ejemplo, la magnífica colección de dibujos de la luna, debida á Juan Domingo Casini, se hallan casi olvidados en nuestros archi- vos, ó permanecen ignorados é inaccesibles para muchos astrónomos, sin embargo de que les serian del mayor valor. La exposición de las reproducciones fotográficas de estos dibujos, ofre- cería ciertamente un interés real. 4.° Por último, una colección tan completa como metódica, en lo posible, de los antiguos instrumentos que hubiesen servido para las investigaciones ó descubrimientos astronómicos ó de física del globo, con indicación su- cinta de los sabios que han dispuesto su construcción, y de los trabajos en -que los han empleado. Indudablemente será posible hacerla más interesan- te todavía por medio de pequeños modelos de los instrumentos antiguos ó extranjeros que no poseemos. La última colección se ha empezado á colocar en la galería del segun- do piso; pero esta gran sala, que rara vez se visita, se ha destinado algunas veces para experimentos ó trabajos que requieren la presencia de un per- sonal aislado, y han ocurrido averías y pérdidas muy sensibles, que no se reproducirán cuando estos instrumentos, por lo común muy preciosos por los descubrimientos que recuerdan, se hallen instalados convenientemente en los estantes de un Museo, incesantemente vigilado, asegurándose su perfecta conservación. La formación de estas colecciones podrá ocasionar pocos gastos: única- mente la copia de los retratos de los astrónomos exigirá un desembolso que el presupuesto del Observatorio, apenas suficiente para sus gastos ordina- rios, no podrá soportar; pero creemos que la administración de Bellas Ar- tes, que tiene siempre fondos disponibles para el adelantamiento de los ar- tistas y la ejecución de cuadros destinados á decorar los edificios públicos, no dejará trascurrir mucho tiempo sin que trate de que se reproduzca por nuestro gran Observatorio nacional el retrato de los sabios que le han ilus- trado. Por lo demás, la galería está ya empezada, merced á la inagotable gene- rosidad de Mr. Bishoffsheim por todo lo que se refiere á las ciencias: en pocos dias tendremos el retrato de Mr. Le Verrier, que será el último de la série, y poseemos el primero, que es el de Luis XIV, fundador del Observatorio. Este último retrato, hecho hace diez años á petición del ma- riscal Vaillant, para el Observatorio de París, había quedado olvidado en los archivos de Bellas Artes, donde se ha mandado buscar. Tenemos esperanzas de que el generoso donante del retrato de Le Verrier hallará imitadores, si no en cuanto á retratos, al menos en obje- tos interesantes para la historia de la Astronomía y de las ciencias que á ella se refieren , pues estos objetos pierden en las colecciones priva- das una gran parte del valor que les prestaría su reunión en una colec- ción especial, metódicamente clasificada, y emprendida con todos los re- cursos que posee el Observatorio de París. Aplicación industrial del calor solar. Mr. Mouchot ha ex- puesto á la Academia de Ciencias de París el resultado de sus ensayos de aplicaciones industriales del calor solar, durante la Exposición uni- versal de 1878. Estos ensayos han tenido por objeto, unos, la cocción de los alimentos y la destilación de los alcoholes; otros, el uso del calor solar como fuerza motriz. Los pequeños aparatos de cocción no han cesado de funcionar durante los dias de sol. Espejos de ménos de Vs de metro cuadrado, construidos 390 con toda la regularidad apetecible, han bastado para asar 4/s kilógramo de carne de vaca en 22 minutos, para confeccionar en hora y media guisos que necesitan cuatro horas con un fuego de leña común; para hacer hervir en media hora 3/¿ de litro de agua fria, lo que corresponde al empleo de 9cal,5 por minuto y por metro cuadrado, resultado muy notable á la latitud de París. Los alambiques solares, generalmente han dado excelentes resultados. Provistos de anteojos de menos de */2 metro cuadrado, hacen hervir 3 litros de vino en media hora, y dan un alcohol fino y privado de todo mal sabor. Este aguardiente, destilado por segunda vez en el mismo aparato, adquiría todas las cualidades de un buen licor de mesa. Su objeto principal, dice el autor, era construir para la Exposición uni- versal de 1878 el mayor espejo del mundo, y estudiar sus efectos con el sol de París, esperando ocasión de experimentarle con un cielo más propicio. Secundado perfectamente en dicha tarea por un joven y hábil ingeniero, Mr. Abel Piffré, ha podido, á pesar de los accidentes inseparables de una construcción nueva de esta importancia, instalar definitivamente el l.° de Setiembre un receptor solar, cuyo espejo tiene una abertura de cerca de 20 metros cuadrados. En el foco pone una caldera de hierro que pesa con sus accesorios 200 kilogramos, de 2m,50 de altura., y cuya capacidad es de 100 litros, á saber: 30 para el depósito de vapor, y 70 para el líquido que ha de evaporarse. Un mecanismo especial permite orientar inmediatamente el aparato en cada latitud para que pueda volverse de Oriente á Occidente, á fin de dirigirle constantemente hácia el sol. Basta un niño para esta última tarea, pues el anteojo está equilibrado por un contrapeso. El 2 de Setiembre ha funcionado el receptor solar del Trocadero por la primera vez. En una hora ha hecho hervir 70 litros de agua, acabando por acusar el manómetro 0 atmósferas, á pesar de algunas fugas de vapor. El 12 del mismo, aunque el sol estaba algo cubierto, la caldera aumentaba más rápidamente en presión, y el vapor permitía alimentarla por medio de un inyector, sin debilitar notablemente la presión. Por último, el 22 de Setiembre, haciendo un sol permanente, aunque le- vemente cubierto, ha podido subir la presión en la caldera hasta 6atm,2 , y se hubiera llegado á una presión más considerable si el sol no se hubie- se totalmente cubierto. En el mismo dia se pudo hacer funcionar, á la pre- sión constante de 3 atmósferas, una bomba Tangye, que elevaba de 1500 á 1800 litros de agua por hora á la altura de 2 metros. El 29 de Setiembre, habiéndose el sol despejado á las llh,30m, se tuvie- ron 75 litros de agua hirviendo á medio dia, y la tensión del vapor fué ele- vándose gradualmente de 1 á 7 atmósferas, límite del manómetro, en el in- térvalo de dos horas, á pesar de la interposición de algunos vapores pasa- geros. Volviendo á emprender el experimento del 22 de Setiembre, pudo dirigirse el vapor en un aparato Garre, lo que permitió obtener una gran masa de hielo. Extinción de los incendios. Hallamos en el Boletín de la Socie- dad de emulación de la industria nacional, un informe sobre un procedimiento inventado por Mr. Quequet, antiguo farmacéutico, para la extinción rápida de los iucendios en las chimeneas, y que puede ser útil darlo á conocer, en razón de los servicios que debe prestar, no solo á los bomberos encar- 39! gados en las ciudades y los campos de extinguir los incendios, sino tam- bién á los jefes de talleres ó fábricas distantes de toda habitación y de todo socorro. Este procedimiento consiste en quemar unos 100 gramos de sulfuro de carbono en el hogar de la chimenea, vertiendo préviamente este sulfuro en uno ó dos platos, á íin de que la combustión se produzca en una su- perficie relativamente extensa. Los incendios de chimeneas, tan frecuentes en París, y por lo común tan peligrosos, se apagaban generalmente por los bomberos quemando azufre también en el hogar de la chimenea; pero era casi siempre necesa- rio subir al tejado para tapar la abertura del tubo de la misma. Ade- más, si la temperatura del hogar era poco elevada, el azufre se quemaba con dificultad, se fundía, se formaba azufre negro, y su combinación con el oxígeno se verificaba tan lentamente, que quedaba por lo común bas- tante oxígeno en el aire que contenia el tubo para que el hollín conti- nuase ardiendo. Mr. Quequet ha tenido la idea de emplear para apagar los incendios de las chimeneas un cuerpo que, al quemarse, da como el azufre ácido sulfuroso, pero en condiciones mucho mas ventajosas que las del azufre en polvo. Efectivamente, el sulfuro de carbono, combinación líquida del azufro y el carbono, se evapora é inflama con mucha facilidad, arde muy pron- to, y da, absorbiendo el oxígeno del aire, un gas compuesto de dos ter- cios de ácido sulfuroso y un tercio de ácido carbónico, impropios tam- bién ambos para la combustión. Y al quemarse una pequeñísima canti- dad, 100 gramos, se tiene inmediatamente un abundante desprendimiento de vapores que impide que se queme el hollín, sin que sea necesario subir al tejado, y casi sin gastos, pues 100 gramos de sulfuro de carbono puro, cuestan en París 8 V2 céntimos. En cuanto al peligro que podría haber en manejar ó hacer manejar el sulfuro de carbono, es nulo si se toman algunas precauciones muy sen- cillas, como lo hacen los bomberos de París. Dividen el líquido en can- tidades de 100 gramos, en frascos bastante grandes para que resulte espacio vacío, teniendo en cuenta la gran expansión del sulfuro de carbo- no, que hierve á la temperatura de 28°. Los frascos se tapan ligeramen- te con tapones impregnados de cera virgen, y se colocan en un local donde no haya nunca fuego, y que no puedan recibir el calor producido por cualquier hogar próximo. En cuanto á los vapores que podrían escaparse por los resquicios del tubo de la chimenea, y causar un perjuicio ó una simple incomodidad, solo hay que decir una cosa, y es que estos vapores son los mismos que los producidos por la combustión del azufre precedentemente empleado, y su efecto es menos perjudicial que el del humo. Empleando este procedimiento, los bomberos de París han apagado, quemando en la chimenea sulfuro de carbono, los incendios siguientes: En Enero de 1878 32 fuegos de 51 En Febrero 81 de 103 En Marzo 138 de 165 Y estas 251 extinciones han sido casi instantáneas, sin que haya habi- do que subir á los tejados ni desarreglar nada en las habitaciones. Aerostación militar. En este momento se trata en Inglaterra de realizar un sistema de aerostación, fácil de aplicar en tiempo de guerra. En su número del 2 de Octubre, el Standard da cuenta en los siguientes términos de los experimentos ejecutados en el arsenal real de Woolwich. «El capitán Templer, el aeronauta, acaba de emprender en el arsenal de Woolwich, bajo la elevada dirección del coronel de ingenieros Noble, inspector de las fortificaciones, y en presencia de una comisión compues- ta de cierto número de oficiales, una nueva série de experimentos, con ob- jeto de emplear los globos en tiempo de guerra. Al cabo de uno ó dos en- sayos, se ha hallado un método rápido para fabricar el gas hidrógeno en campaña, por medio de un aparato portátil que permite obtener en pocas horas un volúmen suficiente para una ascensión. Se necesitan 10.000 piés cúbicos de gas para hinchar completamente el pequeño globo, llamado Pionner, que el capitán Templer emplea en el arsenal de Woolwich, y puede fácilmente obtenerse esta cantidad de gas en menos de un dia, sin emplear más que el alambre de hierro y vapor de agua. »No obstante, como es preferible no llenar el globo con el gas que salga directamente del aparato, y en muchos casos un retraso de horas puede tener graves consecuencias, se trata ahora de hallar un medio para tras- portar el gas en estado comprimido, hasta el momento en que deba uti- lizarse. Resulta de los experimentos, que la fuerza ascensional del gas empleado es de 90 libras por cada 1.000 piés cúbicos, es decir, cerca del doble de la del gas del alumbrado.» La población del globo. La última entrega de las Comunicaciones geográficas de Petermann, contiene nuevos datos acerca de la población del globo, por los mismos autores que habían ya publicado un trabajo curioso sobre este asunto, del cual habían hablado los periódicos. Según estas nuevas investigaciones, la población del globo debe ser ac- tualmente de 1.439.145.300 habitantes. Sin embargo, esta cifra no se fun- da todavía en cálculos concluyentes, sobre todo en lo que se refiere á la China, el Africa, la Australia y la Polinesia. La Europa tiene 312.398,480 habitantes, el Asia 831 millones, el Africa 205.210.500, la Australia y la Polinesia 4.413.000, la América 86.116.000. Es un término medio de 500 habitantes por milla cuadrada de la super- ficie del globo N.‘ 8.” — REVISTA DE CIENCIAS. — Tomo XX. CIENCIAS EXACTAS. RESOLUCION GENERAL BE LAS ECUACIONES NUMERICAS. (Continuación.) CAPITULO VIII. Complemento de los anteriores.— Notas y adi» ciones á la doctrina matemática en ellos ex- puesta. A .—Expresión de sen n© y de eos n o en función de sen 9 ó de eos 'o. El problema sobre que versa esta Nota , y del cual se hizo en el §. 17 de la Memoria precedente una aplicación muy im- portante, se halla resuelto en diversos tratados de Trigono- metría; pero en ninguno, tal vez, por procedimiento tan direc- to y general, y tan sencillo y elegante, como en los Nuevos Anales de Matemáticas , tomo XII, correspondiente al año de 1873, páginas 408 á 417. La nueva solución, ideada por Mr. Mourgue, es la transcrita á renglón seguido, literalmente casi. 1. — Problema preliminar y fundamental» «Suponiendo que tres términos consecutivos de la serie A0i Aif A2 An, se hallen entre sí y con la cons- tante k relacionados como esta ecuación indica, TOMO XX- 26 394 (1) An k determinar el valor del término general, An, en función de la misma constante k y de los dos primeros términos de la serie propuesta, A0 y At.» (a)— Para resolver el problema así enunciado, comiéncese por aplicar la definición de la serie, resumida en la ecuación (1), á la formación de sus primeros términos; y desde luégo se deducirá que ÍA,~kAí — A0 A*={ks -1) At — k A0 A4 = (*sb — 2 *)ál4 — (** — 1)A0 A, — [V - 3 V + 1) A , - (jt3 — 2 k) A0 A, = (¿- -ík: + 3 k)A,~ (i4— 3 k* + 1) A„ I Y del examen de estas varias relaciones particulares entre las cantidades comparadas se concluye: 1. ° Que todos los términos A*, A-, A4, son fundo- nes lineales de los dos primeros, A0 y At. 2. ° Que el coeficiente de A0 en una igualdad, ó relación particular cualquiera, coincide, prescindiendo del signo, con el de Ay en la relación precedente. Y 3.° Que un coeficiente cualquiera de A, ó de A0 se forma, con auxilio de los dos coeficientes anteriores inmedia- tos y de la constante k, por la misma regla, aplicable á la deducción de los términos consecutivos de la serie, que la ecuación fundamental (1) indica. La primera de estas tres conclusiones es sin ninguna duda general, y no necesita demostrarse. Y la generalidad de las otras dos se demuestra por un procedimiento muy sencillo, y admitido como irreprochable en multitud de casos análogos. 395 (6)— Supongamos para ello que en la composición de ios términos An_t y An se verifiquen las propiedades adverti- das en los diversos términos del cuadro ó sistema de relacio- nes (2). Pues si, por brevedad, representamos por Pn_4 y jPn_a. los coeficientes de Al y de A0 en el término general An, inmediatamente se podrá escribir lo que sigue: | A n_/— pji A , — Pn_5 A0, y (3) ¡ ( A n i1 H-1 A 1 ■ P n__2 A 0 Y como, por definición, An-H k ^ n ‘ “ An_,, concluyese de ambos antecedentes que An+1 = i (Pnrl A, — Pn__2 A0) — (Pn_2 A5 — Pn_- A0); ó (4) An+1 == (4- Pn_4 - Pn_2) A ¡ - (4* Pn_2 - Pn_r>) A0 Y, poniendo por n el índice n + 1, que An+2 = (k Pn - Pn_4) A t - (k Pn_, - Pn_2) A0 Si, pues, los términos A- y A9 de la serie propuesta se deducen de los Ái y A0, y de la constante k, del modo referido, y explícitamente consignado en el cuadro (2), evi- dente es, en virtud de las dos últimas ecuaciones, que el A 4 se formará del mismo modo; y del mismo también que el A4, todos los demas consecutivos. (c)~ Con los coeficientes de A0 ó Alt que en el grupo de igualdades (2) figuran, puede formarse este otro, digno tam- bién de especial consideración: /V=í i\ - k Pa = k2 — 1 P5 = ¿5-2¿ P4— i*-8F + l P, = 4 /i5 + 3 £ P6 = ¿6 - 5 + 6 — 1 P7 = jfc7 — 6 A:5 + 1 0 * 5' — ík (3) 396 Y en el cual es muy fácil advertir: 1. ° Que, con relación á la letra k , todos los términos de los segundos miembros, alternadamente positivos y negativos, son de orden ó grado par ó impar. 2. ° Que un coeficiente cualquiera de k es igual, prescin- diendo de los signos, al inmediatamente superior ó colocado encima, más el superior inmediato de éste, situado á su iz- quierda en el grupo ó serie de relaciones expuestas. Y 3.° Que, prescindiendo también de los de la primera columna vertical, iguales todos á la unidad, un coeficiente cualquiera, perteneciente á las demas columnas, es igual á la suma de los coeficientes de la columna anterior de la izquier- da, desde el primero, ó más alto, hasta el que precede dos lugares, en el sentido vertical, al coeficiente de que en par- ticular se trata. ( — án_! 4" í?n_2, Cn ^n-i ^n— 2» Y de estas igualdades, por simples cambios de índice, se deducirán los siguientes sistemas análogos: (10) — ^n— i"í“l i án ^n— s\ Ái— i"f" 'n— 2 \ ^n— i — ®n— 2"Í"M án_t — án_o-|-(2n_3 I Cn— 1 — -Cn-2+án-5 ^n— 2 ®n— 3“f”l | án_2 — án_5+an_4 ^ cn_ 2 — ca_5”|“án_4 ' j J Y, sumando ordenadamente cada uno de estos grupos de ecuaciones, dedúcese, en conclusión, y conforme la tercera ley pide, que fan= 1 -j-1 +1 + ••••• (11 ) = °n-- íín-5 °n~Jí I cn — K-n + Ún_3 + ¿n-4 + En el primero de los grupos (10) la última ecuación sería a^ — ay- f 1 ; ó a2 = 1: puesto que, consultando el cuadro de coeficientes (5), inme- diatamente se advierte que at es igual á cero. Resulta, pues, que an es igual á la suma de n — 1 unidades: dos menos que términos comprende la primera columna vertical de la izquierda, desde el inferior, ao=0, hasta el superior, ó el an inclusive. Lo cual constituye un caso particular de la regla de composición á que evidentemente se hallan sometidos los 398 valores de bn, cn, ..... , conforme en los primeros casos exa- minados se advirtió, y era indispensable demostrar en ge- neral. (e)— En la composición del término An, (3), figuran como coeficientes de Al y A0 los designados por i>n„1 y Pn_2, re- lacionados con la constante k , y las letras at b, c, , del modo que las ecuaciones (6) indican. Pues, apoyándonos en lo acabado de exponer y demostrar, procuremos ahora expresar los valores de aquellas P en función exclusiva de la cons- tante k y del índice n: con lo cual el término general de la serie, An, lo estará en función de estas mismas dos canti - dades, k y n, y de los primeros términos, A0 y At. Por de pronto sábese ya que (12) = 1 + 1+1 + = =Nt De donde se deduce que (1 3) ¿n-i — «n-s + $n-4 + $n-5 + (n — í) + [n — 5) + (n — 6) + . ... (»— 3)(w— 4) T7i Y del propio modo, que (1 4) cn_t — án_5 + án_4 4“ án_5 + • • • • • — 7. {(» — 5)(w — 6) + (» — 6)(n-7)+ • . } = (w — 4) (n — 5) (w — 6) 1.2.3 " (1 5) dn_1 — cn_3 + cn— 4 + cn_5 + V. { («-6) («-n («-8) + («-7) (n-8) (n — 9) + . . . }= («—8) (n— 6) '(«— 7) («—8) _ ^ 1 .2.3 .4 y así todos los demas valores de los coeficientes de Pn~¡: 399 cuya ley ó regla de composición es bien pateulc y sen- cilla (*). Sustituyendo estos valores de an_t, bn_it cn__lf y los de an_2, ¿>n_2, cn_2, , que de ellos se deducirían por el simple cambio de n por n — 1, en las ecuaciones (6); y los de Pn_4 y P n_2 , por efecto de esta sustitución obtenidos, en la segunda de las (3), nos resultará, por último, la siguien- te expresión de An, que es la buscada, y en la cual las letras M y N representan por brevedad lo que en el §. 17 de la Memoria se convino que representasen: (16) (*) Aunque en el texto original de donde procede esta primera parte del Apéndice no se indique el modo de reducir los valores de c , dn_if ••••• á las formas iV3, IV4, ..... , bien fácil es adivinarle y pene- trarse de su generalidad, según puede verse en un ejemplo. Prescindiendo de los valores de a y b , cuya reducción á las sencillísimas formas Nl y Ní¿ debe ya considerarse como demostrada ó evidente, fijémonos en el de 2 cn_l5 igual á (n— 5) (n— 6) h- (ti — 6) (n— 7) h- («— * 7) (n— 8) -+- ...... y que también puede escribirse de este otro modo : n (n — 5) -+- n (n — 6) -+- n ( n — 7) -+- n (n— 8) 4- ..... V — 6 (n — 5) — 6 (»— 6) — 6 (n— ' 7) — 6 (*— 8) — i — (n— 6) — (n— 7) — (n — 8) — ..... f - («— 7) — (n — 8) — - — (n— 8) — \ De donde, por transformaciones sencillísimas, basadas en el conoci- miento de la forma precedente, de &ni en este caso, se deduce que 2 c (n— 4) (n— 5) (« — 6) 1.2 c ; ó c n— i ’ n— i Y, por los mismos pasos, se concluiría que *= AT4; y así las de mas expresiones análogas consecutivas. 400 }A* II. — Aplicaciones. 1.a De las ecuaciones fundamentales de la Trigonometría , sen (cp + ) == sen cp eos + eos cp sen <[>, y sen (cp — se deduce, por sustracción una de otra, la que sigue: sen (

). Y, suponiendo que <]> sea igual á (»— 1) cp, esta otra: (17) sen nep = 2 eos cp . sen (w — 1 ) cp — sen (n — 2) cp Comparando esta relación de cantidades con la (1), se ad- vierte que los términos de la serie á que aquella ecuación se refiere, An, An_t y ln_2, se hallan reemplazados ahora por sen nep, sen (n — 1) cp y sen (n — 2) cp; los Ar y A0 por sencp y cero ; y la constante k por 2coscp. Luego la ecua- ción general (16) se transformará en este caso en la que si- gue, aplicable á cualquier valor entero y positivo de n, y cuyo segundo miembro debe terminar allí donde el exponen- te de 2 eos cp sea igual á cero ó á la unidad: (18) { kn~' — Nr kn~5 + N , k n"3 — N, k n~7 + Ni kn~9—. \ *■>-» — IEl ka~’‘ + k"-* — ** kn-s + M, M, M , sen wcp = (2 eos cp)n—1 — “Ni (2 eos cp)n~5-j-7V2 (2 eos cp)11' sen c& 401 Si, en vez ele cp, ponemos en esla úl lima ecuación (Y87^— , a (\/ — 1) -, cuando numero impar. eos cp 2.a De las otras dos ecuaciones fundamentales de la Tri- gonometría eos (cp -J- tp) = eos cp eos — sencpsen<]>, y eos (cp — = eos cp eos el + sen cp sen ^ se deduce, por adición de una con otra, primero, y sustitu- ción, después, de la letra 41 por (n — 1) cp, la siguiente: eos ny == 2 eos cp . eos (n — 1) cp — eos (n — 2 ) cp; 402 comprendida en la expresión general (I) ; y en la cual los tér- minos de la serie que simboliza, An, An_1 y Yn_2, se hallan reemplazados por cosw? - — \ — 1 sen n 0. Pues bien: si ¡3, y, 8, , difieren considerablemente de a, ó si a es solo valor aproximado de esta raiz, R estará representada por una suma de fracciones muy pequeñas; y el producto 2 (a — a)R, positivo ó negativo, valdrá casi siem- pre ménos que la unidad, y tanto ménos cuanto más ya se apro- xime el valor a á su límite a: de manera que entonces la aplicación del método de Newlon será muy racional y permi- tida. Pero en el supuesto contrario, ó cuando unas de otras 409 discrepen muy poco dos ó más raíces, a, ¡Ü, y, , y a pueda mirarse como valor común muy aproximado de las mismas, la condición eslablecida se verificará ó no, según los casos, y dependerá, más que de la magnitud absoluta de las diferencias a— a, (3— a, y— a, ...... de la combinación como fortuita de sus signos: y ninguna consecuencia ulilizable po- drá inferirse a priori de este análisis. Guando evidentemente la desigualdad condicional deducida por Lagrange se veri- ficará, discrepen poco ó mucho unas de otras las raices reales de la ecuación propuesta, ó de las reales los términos de este nombre componentes de las imaginarias, es cuando las expre- sadas diferencias, a — a , (3 — a , ...... sean positivas todas, ó todas negativas: ó cuando a sea mayor ó menor que la raíz real más grande ó más pequeña de cuantas la ecuación con- tiene, á condición de hallarse comprendidas también entre las dos raices reales, máxima y mínima, las porciones ó términos reales de las raices imaginarias. — En este caso, de ninguna ó muy menguada utilidad práctica, el método de Newlon es aplicable sin vacilación ni ambigüedad de ningún género: en los demas redúcese aquel método á un simple procedimien- to de tanteo, útil muchas veces, ineficaz y hasta perjudicial otras muchas, é incierto y sin atractivo ó encanto siempre. No es o.lra la consecuencia final que del análisis de La- grange se desprende: desconsoladora, sí; pero no de todo pun- to irrefutable ó irremediable. Porque los matemáticos modernos, aunque amamantados en las obras de Lagrange, y admirado- res entusiastas de su preclaro ingenio, no se han conformado con la idea de abandonar el método de Newlon por el simple motivo de su ambigüedad, ineficacia ó inexactitud, en algunos casos excepcionales: precisamente en aquellos en que todos los métodos ponen á prueba la paciencia y perspicacia del calculador. Ni era posible que se conformasen de buena vo- luntad, cuando no había otro mejor con que sustituirle, ni ra- zón para despreciarle en multitud de otros casos, ateniéndose á él, resolubles con suma facilidad y prontitud. Fourier, particularmente, en su Análisis de las Ecuaciones Numéricas,— libro no ménos célebre que el de Lagrange, pu- blicado, después de fallecido el autor, por Navier, en 1 831 , — TOMO XX, 27 410 se propuso perfeccionarle ó completarle, formulando en tér- minos bien explícitos sus caracteres de validez, en general, ó de ineficacia, por excepción; y la manera de emplearle con acierto y buen éxito en todos los casos. Y el ejemplo de Fourier puede decirse que ha sido imitado como á porfía por lodos sus discípulos: los innumerables y sutilísimos matemá- ticos de la moderna escuela francesa. Aunque baste lo dicho en el cuerpo de la Memoria para que sepa el lector sobre este punto á qué atenerse, y en el concepto práctico no consideremos factible agregar á lo dis- currido y explicado por Encke una palabra más, de verdade- ra sustancia y sabroso jugo, no obstante, por la precisión de ¡as ideas y claridad de la frase, merece incuestionable apre- cio el breve trabajo sobre el mismo asunto, pocos años há publicado por el Sr. Darboux, profesor de la Facultad de Ciencias de Burdeos. Su método de exposición de la regla newloniana, es, en el fondo, el mismo de Fourier; pero tan perfeccionado y reducido á tan sucintos términos que, una vez leido, es casi imposible olvidarle; y más imposible todavía que su primera lectura no sea del agrado de quien abrigue algún sentimiento estético de la belleza en Matemá- ticas. Desgarbadamente traducida de los Anales de Mate- máticas (2.a serie, tomo VIII), y comentada de paso, la pro- ducción de Darboux dice como sigue. «Designemos por a y b (a < b) dos números que com- prendan una sola raiz simple de la ecuación propuesta f(v) = 0; y admitamos ademas que esta otra ecuación r (*) = o. no posea raiz alguna entre los mismos números, a y b, con- tenida: ó que la derivada segunda de f(x) no varíe de signo cuando x pase del valor a al b. Respecto á la primera de- rivada, f' (x), nada supondremos en particular: limitándo- nos á recordar que, por no contener f" (x) raiz alguna, en- 411 Iré a y b comprendida, f [x) solo puede contener una á lo sumo. (Teorema de Rolle). Sustituyendo en la ecuación propuesta, por a?, los núme- ros a-\-h y b — k, iguales ambos á la raiz que deseamos determinar, obtendremos estos resultados: 0 =n* + h) =f(fl)+ h n«) + j/"(» + « *); y n = f'{b — k) = f{b)—kf' (b) +~y f" (!> - 0, *): en los cuales, como es sabido, 9 y 9t designan dos números inferiores á la unidad. Y de estas dos últimas ecuaciones, suponiendo que fia) t h 2 f" (a + 9 A) /’(a)’ya'- 2" /"» P ~ 4“ /W. y r (í) ’ y k r ( * -o, A) 2 ' /'(é) se deduce inmediatamente que: /*(a) h? f" {a + 9 A) /'(«) rw + 2 9 p + p. Pero si a y ú representan dos valores muy aproximados de la raiz única entre ambos comprendida, por defecto uno, y otro por exceso, las correcciones, h y h, de estos vale- m res serán muy pequeñas, y más todavía, y como insignifican- tes ó despreciables, lo serán también, en general, los térmi- nos complementarios, representados por at y Por lo tanto, la corrección, positiva ó negativa, de un valor cual- quiera aproximado, a, de Ja raiz de una ecuación, se podrá determinar con auxilio de la siguiente fórmula, propuesta por New ton: h = - /» n«r Pero esto último, cierto y conveniente en general, puede no serlo alguna vez, por excepción ; y lo que ahora debemos proponernos averiguar es cuándo lo será y cuándo no: ó qué valor aproximado de x, si el a ó el b, debemos sustituir en la f(x) expresión — ~ — -, para que el resultado, positivo ó nega- / W tivo, represente siempre, y con plena seguridad de acierto, la corrección del valor sustituido ó ensayado. De los valores de x: a, a + a y o + a + ai» el primero representa el valor, aproximado por defecto, de la raiz bus- cada; y el último precisamente el exacto de esta misma raiz. Luego el segundo representará con seguridad un valor más aproximado á la verdad que a; y, por lo tanto, a deberá considerarse entonces como verdadera corrección , si « + a está realmente comprendido entre los dos valores extremos: ó si a c a + a < a + a + a1# De donde se deduce que a y a¿ deben poseer el mismo signo: lo cual implica la igualdad de signos de f(a) y /" (a + 9/¿); ó, por no variar de signo f"{x), entre los limites a y b, la igualdad de f(a) y f" (a). Y del propio modo se concluiría, comparando los tres nú- meros b, b — (3 y b — $ — que, si el segundo ha de hallarse comprendido entre los dos extremos, y ser, por lo tanto, p la verdadera corrección del valor b, aproximado por exceso, de la raiz que se busca, los signos de ¡3 y ó de f(b) y f" (b), deben necesariamente coincidir. f («) f W Pero las fracciones r («) r (6) son de sig- • 413 nos contrarios: luego una sola de las correcciones, resultantes de la sustitución sucesiva de a y b en la expresión general f (¿r) — - - será con plena seguridad admisible: la que se de* duzca de la aplicación del teorema siguiente: Si entre los números a y b, que comprenden una sola raiz simple de la ecuación f (x) = 0, la derivada segunda de esta ecuación no cambia de signo nunca , el número que habrá de em- plearse en el cálculo de la corrección , por la regla de Newton , y al cual esta corrección debe aplicarse ó referirse, será el que, sustituido en las expresiones f(x) y f" (x), produzca resulta- dos del mismo signo . Completemos todo lo dicho con algunas advertencias y aclaraciones muy importantes. 1.a La coincidencia de signos de f(a) y f" (a) es condi- ción suficiente para que a merezca considerarse como verda- dera corrección de a ; pero no absolutamente necesaria. Por- que, si a + a>a + a + a1, aquella condición no se verifi- cará; y, sin embargo, podría suceder que a + a difiriese, por exceso, de la raiz exacta, a + a + at, menos que a, por defecto; y aun menos que el otro número b, por exceso tam- bién. En este caso, a sería una verdadera corrección; pero # ambigua ó incierta á priori, y, por este solo motivo, inacep- table. 2. a Supongamos que a represente el número con respec- to al cual la corrección es calculable, por la regla de Newton, con plena seguridad de acierto. Si a es menor que la raiz buscada, ai=a + a lo será también necesariamente; y si f(a) y f" (a) tienen el mismo signo, el mismo conservarán f{a f) y f" (afj. Luego, sin otro exámen ni más vacilación que la preliminar, la corrección de ai será calculable con toda seguridad por el mismo procedimiento que la de a\ la de como las de al y a; y así todas las demas consecu- tivas que fuere menester ó conviniere deducir.— Lo propio que del límite inferior a puede decirse á propósito del supe- rior b. 3, a Cuando la corrección se calcule con el número deter- minado por el teorema precedente, es imposible que la regla 414 de Newton nos dé un resultado absurdo. Porque el absurdo en este caso sólo puede proceder de ser nulo el denominador f (#) de la expresión — — — y si f' (a) fuese igual á cero , 1 \x) de la ecuación, necesaria entonces, f(a)+~ f"(a + 0h) = Q. concluiríamos que f(a) y f" [a) no poseen el mismo signo: ó que no es a el número al cual la corrección buscada debe referirse. 4.a Los diversos valores numéricos (X, üly ü '2, a~ ^n-fi ••••• » inferiores todos á la raiz buscada, convergen sin embargo todos y se aproximan indefinidamente hacia esta misma raiz. En efecto: por la regla citada, ^n-M /'(«n) r (o ' Y como la diferencia an+1 — an disminuye indefinida» mente, porque los números a , a 4, aa, ..... an, an+ir son cada vez mayores, sin exceder ninguno del valor de la raiz, resulta, por de pronto, que la fracción n— converge / (on) también indefinidamente hacia cero. Pero siendo fn (x) cons- tantemente positiva ó negativa entre los límites a y b, f {x) será constantemente también creciente ó decreciente entre los mismos límites; y, por lo tanto, f (an) no podrá tocar en el límite del crecimiento, ó resultar infinita nunca, como de suyo es casi evidente. Luego, no sólo la fracción, sino su numerador f(an) propenderá indefinidamente hacia cero , como debe su- ceder si an converge hacia la raiz buscada. 41o Y 5.a Cuando para valor de la corrección a se adopta el que del uso de esta expresión, nada más que aproximada á la verdad, resulta: a = /(«) /»’ el límite, e, del error que, procediendo así se comete, pue- de, muy aproximadamente también, representarse de este modo: «i r w a " r (a) ' ú obtenerse poniendo por at el nuevo símbolo, expresión del límite buscado, e; a por h ; y /"(o) por /" (a + G Zt). Ó, sustituyendo por a la expresión — - y prescindiendo f (a) del signo final resultante, que dependerá del valor primitivo, a ó b, de donde las aproximaciones sucesivas proceden, del siguiente: {l\a)Y Xf" (a) 2 {/’(«)} ' At numero e, calculado por esta fórmula, se sustituirá en la práctica la potencia de Vio que le sea inmediatamente su- perior; y así se averiguará cuál debe ser el orden de la últi- ma cifra decimal que en el cálculo de la aproximación subsi- guiente puede obtenerse por la división de — f(a ) por f {a). Para mayor seguridad en las operaciones sucesivas conven- drá que esta última cifra decimal lo sea siempre aproximada por defecto , en absoluto, ó prescindiendo del signo de la cor- rección; pues entonces los nuevos valores de la raíz buscada, a1 y ¿i» resultarán aproximados, por defecto el primero y el segundo por exceso, lo mismo que los a y b primitivos." Nada más sencillo y elegante en teoría que el procedi- miento de Newlon, así modificado y completado porDarboux En la práctica, sin embargo, sobre ser bastante más compli- cado y euojoso que el primitivo, no siempre podrá plantearse y desenvolverse sin grave dificultad. Para persuadirnos de ello fijémonos en uno solo de sus inconvenientes, que, por cierto, tanto participa del carácter teórico como del práctico. Cuando, por ejemplo, se nos dé una ecuación, de grado igual ó superior al 5.°, y hayamos logrado separar sus raices reales, y determinar dos números ó valores, uno de otro muy poco discrepantes, y entre los cuales una sola de aquellas raices se encuentre comprendida (operaciones preliminares ambas muy penosas, inevitables, y extrañas en cierto modo al problema que principalmente se trata de resolver), ¿cómo eos cercioraremos de que la derivada segunda de la ecuación propuesta no posee ninguna? — Ni Darboux, ni los demás ma- temáticos que han procurado perfeccionar la regla de Newlon, han formulado procedimiento alguno, sencillo y expedito, para eludir esta tan manifiesta dificultad, que desde luego cierra el paso al calculador; y, sin recurso eficaz para elu- dirla ó desvanecerla, la ingeniosa modificación de la regla newtoniana casi no tiene objeto, ó es ilusoria en la práctica. ¿Apelaremos para salir de dudas al teorema de Sturm, aplicado á la separación de las raices de — Excelente procedimiento; pero tan largo y penoso, para usado como por incidencia, que, miénlras en casos un poco complicados se practica, posible es que un calculador experto, prescindiendo del método perfeccionado, y ateniéndose al primitivo de New- lon, logre resolver por completo el problema principal. Pero en lo posible cabe también que al pensar y discurrir de este modo nos equivoquemos grandemente; y por lo mismo, y para que nada falte á la ingeniosa teoría de Darboux, trans- cribimos á continuación el ejemplo con que procuró ilustrar- la y completarla, muy oportunamente, otro de los redactores de los Nuevos Anales de Matemáticas , J. Bourget. — Como el mismo ejemplo, demasiado sencillo, se resolvió también por el procedimiento de Graffe, al final del Capítulo í de esta Me- moría, asi podrá el lector desapasionado comparar método con método, y optar por el que más eficaz y preferible en todos conceptos le parezca. 417 «Consideremos, dice Bourget, la ecuación f(x) = x* — 3 x~ — 7 x 4 = 0, de la cual se derivan estas otras: /*' (se) = 3 #2 — 6 x — 7; y 7a /,r (a?) = 3 x — 3 Por la sustitución en estas funciones de la serie de núme- ros 0, 1, 2, 3 en lugar de x, se obtienen los resulta- dos adjuntos: X /» /' (*) 7«/+) 0 + 4 — 7 - 3 1 — 5 -10 + 0 9 -14 — 7 + 3 3 —17 + 2 + f> 4 — 8 +17 + 9 5 + 19 +38 +12 0 -f- 4 - 7 - 3 -1 + 7 + 2 — 6 — 2 — 2 +17 - 9 De cuyo examen se deduce que la ecuación propuesta po- see tres raices reales y comprendidas: entre 0 y 1, la entre 4 y 5, la |gj; y entre -- 1 y — 2, la x-. Tratemos sucesivamente de la determinación de estas tres raices. 418 1.a— La xl se halla comprendida enlre 0 y 1; pero, como la función f" (x) es nula cuando por x se pone el se- gundo de eslos números, en el signo de esta función queda alguna incerlidumbre por de pronto. Para disiparla hay que sustituir de nuevo en la ecuación primitiva, f(x) = 0, por x otro valor numérico, 0.5 por ejemplo, comprendido en- tre 0 y 1; y averiguar á cuál de los dos nuevos intervalos resultantes corresponde la raiz buscada. El cálculo de esta sustitución, frecuentísima en la prácti- ca del método de Newton, ó la intercalación entre cada dos líneas del cuadro precedente de otra línea más, puede veri- licarse con bastante sencillez por el procedimiento que sigue. Sábese, por la fórmula de Tavlor, que f(a + h) = f(a) + h f (a) + ~ f" (a) + Pues, si con las iniciales f, f\ f", , representamos la función primitiva, /'(«), y sus derivadas sucesivas, las otras funciones, f' (a + k), f"(a + h) po- drán componerse de la manera que á continuación muy com- pendiosa y claramente se expresa: / r hf r hf" v.**r j* n i hf' v. a* r 7. *7'" y» IV nr Va ll~ f" ‘/.A’ T 419 f hf' ‘A h* f" %vf'" y» *7* r hf %h*r jí if r r hf"' v, h*r r h r ! ^*IV f (ü + h) f' (a -h h) f" ( a-hh ) f (íí+/í) f"'(a+h) Apliquemos este procedimiento al cálculo de f{ 0.5), /'(O . o), f" (0 . o) y f"' (0 . 5), suponiendo que a es igual á cero , y h igual á la fracción decimal 0 . 5. — A las expre- siones simbólicas que preceden, reemplazaran en este caso particular las que siguen: + 4 ! - 7 — 3 . o - 6 -3.0 — 0.75 + 6 + 3.0 + 0.75 + 0. 125 + 4.000 -3.500 — 7.00 — 0 . 750 — 3.00 — 6.0 + 0. 125 + 0. 75 + 3.0 + 6 -0.125 — 9 . 25 -3.0 + 6 f( 0 . 5) r (o . 5) f (0 . 5) r (o . 3) De lo hecho hasta aquí se infiere que la raíz x, se halla m comprendida entre 0 y 0 . 5; y como poniendo por x el segundo de estos valores, b, las funciones f y f" resultan del mismo signo, al segundo valor debe referirse el cálculo de la corrección, por la regla de Newton. En el caso actual (0.125)2 X 3 £~ 2 X ( 9 . 2 5 ) 5 ’ es inferior á 0.0001; y, por lo tanto, la corrección a podrá ampliarse por defecto, en absoluto, hasta la cuarta cifra deci- mal, y obtenerse así el siguiente resultado: 0.125 9.25 0.0135 Con lo cual el valor de bit aproximado también hasta la cuarta decimal, mas por exceso , queda determinado como sigue: ¿q = 0.5 — 0.0185 = 0.4865 Como antes calculamos las funciones /(0. 5), f' (0.5) ..... , calculemos ahora las f(bx), f (bf), f" (bf) ; y, para esto, en la primera parte del cuadro simbólico ó paula gene- ral que precede, pongamos por a ó b el número 0.5; y por h ia corrección obtenida — 0.0135. Procediendo así, se de- ducen por de pronto estos resultados: — 0.125 —9.250 + 0.124875 -3.000 -f- 0 . 040500 - 03. 273375 -+-(>.000 -0.081000 + 03. 546750 —03. 2460375 ¡1 m De los cuales se desprenden los valores de /(¿O, f (bf) y f" J, conforme se indica á continuación: -0.125 + 0.124875 -9.250 -0.000273375 -f- 0.040500 — 3.000 -0.000002400378 + 0.00054675 — 0.081 — 0.000400833375 — 9.20895325 -3.081 /(*,) f (i,) /"».) \ El segundo valor aproximado de £ se determinará con los nuevos dalos por esta fórmula: , _ (0.000401)2 X 3 081 2 X (9.21)5 Y como e' resultará inferior á 08.1, el segundo valor de a podrá aproximarse, por defecto , hasta la novena cifra deci- mal inclusive, de este modo: 0,000400835375 9.20895325 = — 04.43526 De donde se infiere que b 2, aproximado por exceso hasta la misma novena cifra decimal, ó el de x\, si con lo que. precede se da por terminada la operación, valdrán lo que á continuación se expresa: b 2 = 0.4865 — 0.000043526; ó wi = 0.486456474 2.a— La iaiz x, de la ecuación propuesta se halla com~ m prendida entre los números 4 y 5; y como f(§) y f" (5) son positivas ambas, y entre 4 y 5 la derivada f" (o) no cam- bia de signo, la regla de Newton es aplicable desde luégo, ó sin ambigüedad ni temor de ninguna especie. — Limitémonos, pues, á presentar el cuadro de las operaciones necesarias para determinar aquella raíz. PRIMERA CORRECCION. (19)ax24 2 X (38)" 0 4X 19 <0.1 19 a == 88 r = — 0-3; y A, ==5.0 — 0.5 = 4.5 SEGUNDA CORRECCION. J , j + 19 + 38 - 19 + 24 — 12 -f-3 + 6 — 3 + 0.75 — 0.125 + 19 - 19 + 3 -1- 38 — 12 + 24 — 0.125 + 0.75 — 3 + 6 -+- 2.875 + 26.75 + 21 •+- 6 /(4.5) r (4.5) /" (4.5) f" (4.5) c (2.875)* X 21 2 X (26.75)* 0.01; 2.87o 20.75 — 0.10 (por defectoj; b* — 4.50 — 0.10 = 4.40 (por excesoj. TERCERA CORRECCION. r 2.875 | 1 20.750 -2.673 21.000 —2.100 +0.105 6.000 -0.600 +0.030 —0.001 4-2.873 — 2.673 -1-0.103 | -0.001 -f-26.73 — 2.10 4- 0.03 4-21.0 - 0.6 4-6 +0.304 +24.08 4-20.4 +6 /'( 4.40) /" (4.40) f" (4.40) (4.40) (0.804)- x 20.4 (24. 68)* 0 304 < 0.0001; — 0.0123 (por defectoj; y 24.68 b- = 4.40 — 0.0123 = 4.3877 (por excesoj Y con este valor de b 5 coincidirá el de x2 si limitamos la aproximación á la cuarta cifra decimal. m 3.a— La raíz se halla comprendida entre los números —2 y — 1. Y, por no variar f (x) de signo entre estos li- mites, y tenerle igual /* ( — 2) y f" ( — 2), la corrección de Newton, calculable desde luégo, deberá referirse al primero de aquellos números, y calcularse según á continuación se indica. PRIMERA CORRECCION. r x 1 8 2 X (1 7)3 <0.01 2 a = — =0.11 (por defectoj; y i i «4= — 2 + 0.11 = — 1.89 (por defecto también). SEGUNDA CORRECCION. i (d m i +17 + 1.87 -18 —1.98 —0.1089 + 6 ' +0.60 +0.0363 + 0.001331 —2 +1.87 —0.1089 +0.001331 + 17 - 1.98 + 0.0363 -18 + 0.66 + 6 -0.237369 +1 d.0563 —17.34 + 6 fí- 1-89) f ( — i .89) oo •1 - f"' (—1.89) (0.237569)2X 17.34 2 X (15.0563)5 <0.001, i 0.237569 15.0563" 0.015 (por defecto); Y a.= — 1.89 + 0.015 = — 1.875 (por defecto también). Y el valor de a. se adoptaría como expresión del de x~ si la aproximación de esta raíz se limitase á la tercera cifra decimal, ó de las milésimas.» Hasta en no ejemplo tan sencillo como el propuesto por Bourget, ¡qué variedad de operaciones y cuán inminente y continuo riesgo de equivocarse al verificarlas! ¡Pues qué sería si á los propuestos y resueltos en el Capítulo Yll de esta Memoria se intentase aplicar el mismo procedimiento de aná- lisis! Ni siquiera cabe imaginarlo.— En casos tales» á la regla de Newton debe siempre preceder la aplicación del método de Graffe y Encke; pero, como decía Lagrange, aquella famosa regla solo nos servirá entonces para resolver lo que ya está casi resuelto: para obtener un último grado de aproximación, muy raras veces necesario en la práctica, y satisfacer las as- piraciones de la más exigente teoría. Limitada á este objeto» la expresada regla, en su forma primitiva, ó perfeccionada por Darboux, ó por cualquiera otro matemático, siempre será tenida en grande estima. (Se continuará .1 TO MO XX, 28 CIENCIAS NATURALES Catálogo de los moluscos terrestres de las islas Baleares, por J, G. Hidalgo. En 1814, en una obra muy mediana publicada por Barnis (Specimen animalium in ínsula Minorica , etc.), se encuentran indicadas por primera vez seis especies de conchas terrestres como procedentes de las islas Baleares. Este número se ha ido aumentando poco á poco hasta el de 70 especies, según la lista dada en 1876 por el Sr. Barceló (Profesor del Instituto de Palma), bajo el epígrafe de Moluscos terrestres, etc., délas Baleares . Esta lista es un resumen bastante exacto de la fauna malacológica terrestre de dichas islas, pero he creído, sin embargo, que seria de alguna utilidad la publicación del pre- sente catálogo, porque rectifica, bajo ciertos puntos de vista, las listas antes dadas, y comprende al mismo tiempo mayor número de datos. No sólo, en efecto, están incluidos en él los documentos existentes sobre los moluscos terrestres de las Ba- leares en unas 320 obras, sino también el resultado de las exploraciones verificadas en dicho archipiélago por mí mismo ó por otros naturalistas españoles (1). (1) Después de mis propias exploraciones en Alcudia de Mallorca y en Mahon en el año 1860, me han sido comunicadas muchas especies de moluscos terrestres délas Baleares por mis amigos los Sres. D. Fran- cisco Cardona y D. Juan Pons, de Mahon, D. Patricio María Paz, cuya pérdida es tan lamentable para la ciencia, D. Francisco Prieto Caules, Profesor de la Escuela de ingenieros de Caminos de Madrid, D. Fran- cisco Martorel! D. Enrique Grau y D. Hilario Pascual, de Barcelona, lie conseguido reunir de dicho modo, en esle pequeño trabajo, lodo lo que se conoce hasta el presente sobre los mo- luscos terrestres de las Baleares, proponiéndome hacer su exposición en tres párrafos; el l.° comprenderá los datos co- nocidos ántes de esta Memoria; el 2.° el catálogo de las espe- cies y su estudio crítico; y el 0.° la comparación de la fauna de dichas islas con la de los países más próximos. I.— Especies citadas por los autores como procedentes de las Baleares. Las obras á continuación mencionadas son únicamente aquellas en que se han indicado de las Baleares, por vez pri- mera, las especies cuyos nombres científicos se enumeran en cada una de ellas. Estos nombres son en su mayor parte hoy dia los mismos; otros han sido relegados á la sinonimia ó se han aplicado á especies que no se encuentran en dichas islas. 1814. — Ramis> Spec. anim. in Ínsula Minorica, etc. Helix cornea, lapicida, lucorum, nemoralis, pomatia y grisea. 1828. — Grmj , Ind. testac. suppl. Cyclostoma fulvum (Tudora ferruginea, según Pfeiffer). 1880.— Deshayes, Encvcl. method. Helix candidissima, cariosa, Niciensis, Pisana, ver- miculata. . 1833 .—Michaud, Cat. testac. Alger. Helix cariosula. D. Francisco Barceió, Profesor del Instituto de Palma, y D. Francisco Sampol, de Mallorca. Los Sres. Paz y Prieto han explorado todas las Baleares, el Sr. Cardona toda la isla de Menorca y muchos puntos de Mallorca, el Sr. Pons los alrededores de Mahon, y los demás señores diversos puntos de Mallorca. Reciban aquí mis plácemes bien sinceros por su amabilidad y amor á la ciencia, como también el Dr. W. Kobelt, que me ha enviado en comunicación ó para mi colección, algunas de las especies de moluscos publicadas de las Baleares por los Sres. Dohrn y Heynemann. 428 1835.— Boissy, Mag. de Zoo!., vol. IL Helix lanuginosa. 1838. — Potiez et Michaud, Galer. des mol!., vol. I. Clausilia papillaris (Clausilia bidens, var. según Pfeif- fer); Achatina foílieula (Ferussacia folliculus, según PfeifFer), Helix Genionensis, ladea y Rozeti (Helix amanda, según Pfeiffer). 1839. — Terver , Gal. Molí. Nord Afrique. Helix Boissy i (Helix amanda, según Pfeiffer). 1842. — Mittre , Ann. des seiene. natur., 2.a serie, vol. XVII i Helix Minoricensis, rauralis y Nyelii. 1846.— Graells, Cat. Mol. España. Helix Hispánica (Helix Baleárica, según Pfeiffcr) y Grateloupi (Helix Graellsiana, según Pfeiffcr). 1848. — Pfeiffer , Monog. helic., vol. I. Helix amanda. 1851.— Deshay es, Hist. natur. des Molí, de Ferussac, vol. L Helix tessellata (Helix Graellsiana, según Pfeiffer). 1862. — Dokrn et Heynemann. Malak. Blatter, vol. IX. Alexia Baleárica, myosotis, Payraudeauí; Stenogyra decollala (Bulimus decollatus, según Pfeiffer); Helix acula (Bulimus aculus, según Pfeiffer), aprcina, ca- perata, Caroli, Companyoni, conspurcata, fraler, Homeyeri, lenticula, Majoricensis, marítima, Newka, nítida (nitens, según Martens), punctata, pyramidala, Setubalensis, solitaria (Bulimus solitarios, según Pfeiffer), splendida, lerreslris, trochoides, variabiiis, ventrosa (Bulimus ventrosus, según Pfeiffer y joven del Bulimus acutus, según Martens). 1864. — Martens , Malak. Blatter, vol. XI. Helix nítida. 1867 . — Bourguignat. Molí. nouv. 1.a Centuria. Helix apalolena. 1868. — Schmidt, Sysl. europ. Clausií. Clausilia pallida. 1867 y 1869. — Éjdalgo, Journ. de Conchyl., vol. XV y XVIL Helix Cardonse y Ebusitana. 429 1809 y 1871. — Luis Salvador , Archid. de Austria , Die Ba- learen, vol. I y II. Helix aspersa; Limax gagates, agreslis y variegatus. Cyclostoma elegans; Pupa umbilicata. 1869. — Schaufuss , Molí. syst. et catal. Helix marmorata. 1870. — Heynemann, Nachr. Malak. Gesells. vol. II. Limax Majoricensis. 1878 y 1876. — Barceló , Mol. terr. Baleares, 1.a y 2. 9 edic. Achalina lubrica (Ferussacia lubrica, según Pfeiffer); Helix aculeata, Alonensis, cellaria, cespilum, cos- íala, cryslallina, pulchella, pygmsea; Pupa musco- rum (Pupa minutissima, según Pfeiffer); Succinea Pfeifferi; Tesíaceila baliolidea. — Helix exórnala (He- lix marmorala, según Pfeiffer), Carthaginiensis; Áchatina acicula; Truncateila Iruncatula. II.— Catálogo de las especies . Menciono sin número de orden todas las especies que deben relegarse á la sinonimia, y aquellas que no viven en las Baleares ó es dudosa su existencia en dichas islas; las es- pecies que adopto llevan numeración correlativa, y en ellas cito una buena figura, las localidades en que se han hallado vías observaciones que he creido más interesantes. 1. — Limax variegatus, Draparnaud. Ferussac, Hist. des Molí., lám. V, fig. 2. Hab. — Mallorca. Abundante en los sitios húmedos, entre las plantas. Nombre vulgar, Llimach. 2. — Limax agrestis, Linné. Ferussac, Hist. des Molí., lám. Y, fig. 7. Hab. — Mallorca. Vive en las mismas condiciones, y se conoce con el mismo nombre vulgar que la especie anterior. 8. — Limax Majoricensis, Heynemann. Westerlund, Fauna europ., pág. 11. Hab. — Mallorca. No conozco esta especie. 430 4. — Amalia gagates, Draparnaud. Bourguignat, Malac. Alger., vol. I, lám. III, ílg . 1* Hab. — Mallorca. En las mismas condiciones y con el mismo nombre vulgar que el Limax varié gatus. Existen muy probablemente otras especies de limácidos en las islas Baleares, pero se ha descuidado hasta ahora el recojerlas y conservarlas en las colecciones» 5. —' Testacella haliqtidea, Draparnaud. Dupuy, Molí. F ranee, lám. í, fig. 1, b. c. ¡lab. — Mallorca. — Menorca , Mahon. San Cristóbal, Fer- rerías. Foco abundante, debajo de la tierra, en los sitios hú- medos. Los ejemplares recojidos son más pequeños que la figura citada. 6. — Süccinea debilis, Morelet. lourn. Concbyl. 1877, lám. IX, fig. 4 y 7. Hab. — Mallorca , Alcudia, Palma.— Menorca, Mahon, San Cristóbal, Perrerías, Alayor. Poco abundante. Sobre las plan- tas, en la márgen de los arroyos y por lo común muy cerca del agua. Süccinea Pfeifferi , Rossmassler. El Sr. Parceló ha desig- nado con este nombre la especie anterior, de la cual me ha enviado ejemplares, como también el Sr. Cardona, de Mahon. 7. — Leucochroa candidísima, Draparnaud. Hidalgo, Catal. iconog., fig. 170, 172, 170 y 177. Hab. — Mallorca , Palma (Semper). — Menorca (Desha- yes ).—Ihiza. Especie abundante sóbrelas piedras, en terrenos áridos, á 3 kilómetros de ¡biza. Algunos ejemplares son lige- ramente perforados; otros se parecen un poco, por los carac- téres de su espira, á la Helix Bcetica de Rossmassler. Esta especie ha sido citada de Menorca por Deshayes y no por Michaud, como dice en su lista el Sr. Barceló. ¿Se encuentra allí efectivamente? 8. —Leucochroa cariosula, Michaud. Hidalgo, Catal. iconog., fig. 37-41. Hab. — Mallorca, Palma, Belwer, Porto Pi, Santa Ponza, Calafiguera, Andraitx. Común en los agujeros de las rocas calizas Espira más ó ménos elevada según los ejemplares; 131 ombligo abierto algunas veces; quilla bastante obtusa en al- gunos individuos. Helix cariosa , Olivier. No existe esta especie en las Ba- leares. Con dicho nombre han indicado los Sres. Deshayes y Graells la especie anterior, y he podido asegurarme de ello examinando los ejemplares de la colección Graells. 9. — IIelix asi»ersa, Muller. Hidalgo, Calal. iconog., fig. 1-5. Hab. — Mallorca , Palma, Andraitx, Soller, Inca, Alcu* dia. — Menorca, Mahon. — Ibiza (Luis Salvador). Muy abundan- te entre las plantas en los parajes húmedos. Nombre vulgar, Caragol bovér ó bucé. Helix grisea. Siendo referida la Helix grísea de Linné á la Helix aspersa de Muller por Hanley en su obra Ipsa Un. Conch ., pago 378, y empleando ílamis para ella el nombre vulgar de Caragol bovér, no puede quedar duda alguna acerca de la identidad de la Helix grisea de Ramis con la especie ántes enumerada. 10. — Helix lactea, Muller. Hidalgo, Catal. iconog., fig. 92, 98, 99 y 309-317. Hab. — Mallorca , Palma, Alcudia, Pollenza, Inca, Son Fuster, Soller, Benisalem. — ■ Menorca , Mahon. —Ibiza (Parce- ló). Especie común sobre los troncos de los olivos, debajo de las piedras, en las tapias, etc. Nombre vulgar en Mallorca, Viudas; en Menorca, Monjas de boca negra; en Ibiza, Vacas. Los ejemplares de Menorca son pequeños, y entre ellos se encuentra una variedad enteramente blanca, de la que algu- nos individuos presentan puntos y fajas traslucientes (figu- ra 309-311). Helix lucorum. Ramis dice que se halla esta especie en Menorca; pero según el nombre vulgar con que la designa, los caractéres dados por Linné en su Systema naturee , y las observaciones de Hanley en su obra Ipsa Lin. Conch., pági- na 378, no puede ser otra cosa más que la Helix lactea ó la Helix punctata. La H. lucorum de Muller no vive en las Ra- leares. 11. — Helix punctata, Muller. Hidalgo, Catal. Iconog., fig. 100-104. m Hab. — Mallorca , Palma, Alcudia, Benisalem, Son Fusíer; Inca, Soller .—Menorca, Mahon.— Ibiza (Semper). En las mismas condiciones y con los mismos nombres vulgares que la especie anterior. Común. Helix apaloiena, Bourguignat. Esta especie es un doble empleo de la precedente, y se debe este nuevo nombre á la circunstancia de que M. Bourguignat ha descrito y figurado en sus obras, Malac. de Álger ., lám. XII. fig. 1-4, y Molí, nouveaux, lám. XXXV, fig. 6-8, otra forma por la especie de Muller. Mulier dice, en efecto, á propósito de su Helix punctata, que tiene la espira ménos elevada que la Helix ladea , la aber- tura no dentada en los individuos adultos, y el borde derecho blanco [H. lacteam el vermiculatam referí , area vero centrali minus elevata, apertura edentula et labro albo ab illa ..... dif - fert. Muller. Yerm. ter. et fluv ., pág. 21), y sin embargo la- concha dada por M. Bourguignat por la Helix punctata de Muller, tiene la espira más elevada que la de la Helix ladea y la columnilla bien dentada. 12. — Helix ve rmi culata, Muller. Hidalgo, Catal. iconog., fig. 197-203. Hab.— Mallorca, Palma, Benisalem, Son Fuster, Andrailx, Alcudia, inca, Soller. — Menorca, Mahon. —Ibiza. Común so- bre los troncos de ios olivos, debajo de las piedras, etc. Nom- bre vulgar en Mallorca, Viudas y Caragolas ; en Menorca, Monjas de boca blanca, y en Ibiza, Yacas. Helix nemoralis . Menorca (Ramis). No se encuentra esta especie en dicha isla, y parece más bien por el nombre vul- gar que la aplica Ramis y por las observaciones de Han-ley sobre la especie de Linné (Ipsa Lin. Concha pág. 377), que la concha observada por el autor español ha sido la Helia r vermiculata . Helix Álonensis. xMallorea (Pagenstecher, según Barceló). Helix Carthaginiensis. Mallorca (Pagenstecher, según Bar- celó). Tengo muchas dudas sobre la existencia real de estas dos especies en las islas Baleares, puesto que no han sido halladas por ningún otro naturalista, ni se cita localidad determinada. m 13. — Helix Graellsiana, Pfeiffer. Hidalgo. Catal. iconog., fig. 34-36. Hab. — Mallorca, Alcudia, Toxals-verts, Fornaluitx, Llucb, Soller, Selva. Poco abundanle; se encuentra á 800 metros de altura sobre el nivel del mar. Helix Grateloupi. Bajo este nombre ha publicado el Señor Graells la especie anterior; pero habiéndose ya empleado di- cha denominación para otra concha del mismo género, le ha sustituido Pfeiffer con el de Graellsiana , en recuerdo del na- turalista español que la ha descrito y figurado por vez primera. Helix tessellata. Este nombre ha sido dado por Ferussac á la Helix Graellsiana ; pero como no ha sido caracterizada por M. Deshaves bajo esta denominación, sino mucho des- pués de las diagnosis de los Sres. Graells y Pfeiffer, estas úl- timas son anteriores, y debe ser relegado á la sinonimia el nombre de Ferussac. Helix Niciensis. No existe esta especie en las Baleares* M. Deshaves, á quien se debe esta cita, consideraba sin duda en otro tiempo la Helix Graellsiana como una var. de la Helix Niciensis, con la cual presenta muchos puntos de semejanza, aunque son específicamente bien distintas. (Véanse las lámi- nas XVII A y XL de la HisU des molí, de Ferussac.) 14. — Helix Baleárica, Ziegler. Hidalgo, Catal. iconog., fig. 22-24. Hab. — Mallorca , Palma, Soller, Toxals-verts, Andraitx, Selva, Pollenza, Benisalem, Alcudia, Puigpuñent, Raixa* Valldemosa, Sierra del Norte. Var. minor. Son Cusent en Pollenza. Muy común sobre los troncos de los árboles, debajo de las piedras, etc. Especie muy constante en sus caractéres, puesto que sólo he visto algunos individuos con la espira li- geramente elevada y un poco oblicua la abertura; en otros se reúnen la 2.a y 3.a fajas, formando una zona bastante ancha. La var. es del tamaño de la Helix Companyoni , pero presenta el peristoma coloreado. Nombre vulgar, Caragol de serp. Helix Hispánica, Parlsch. Bajo este nombre ha designado el Sr. Graells la Helix Baleárica. 434 Helix marmorata , Ferussac. Baleares (Schaufuss). No he visto todavía concha alguna de las Baleares que sea idéntica á ios individuos de la Helix marmorata que poseo, proceden- tes de Gibraltar, por lo cual es muy probable que se haya dado este nombre á la variedad pequeña de la Ilelix Baleá- rica, que se parece mucho, en electo, á la Ilelix marmorata del Sur de España. Helix exórnala , Parreyss. Mallorca (Pagenstecher, según Barceló). Este nombre es sinónimo de la Helix marmorata , según Pfeiffer. 15. — Helix Minoricensis, Mittre. Tipo: «spira prominula. . . columella subdentata.. . » (Mittre). Hidalgo, Catal. iconog.. íig. 29-31. Hab .—Mallorca, Pollenza. — Menorca , Mahon, isla del Bey . — Ib iza . — Cabrera . Var. b. Testa columella non dentata. Hidalgo, íig. 32. Hab. — Mallorca , Palma, Pollenza.— Menorca, Mahon, San Felipe, isla den Culom, Monte Toro, Santa Agueda, Son Ermita, Albranca-Vey. — Ibiza. — Cabrera. Ya r. c. Testa columella non dentata; non fasciala, fere unicolor. Hidalgo, fig. 33. Hab.— Menorca, Mahon, Albranca-Vey. Yar. d. Testa tenuior , fasciis fere continuis . Hab. — Menorca , San Cristóbal, Albranca-Vey. Yar. e . Testa spira depressiore fE. Companyoni , varj. Hidalgo, fig. 28. Hab. — Mallorca , Palma, Bellver, Pollenza. — Menorca , Ciudadela. Yar. f. Testa major fll. CompanyoniJ . Hidalgo, fig. 25-27. Hab. — Mallorca , Palma, Selva, Inca, Benisalem, Son Fus- ter, Bellver. Especie común, que vive sobre las murallas, los techos de las casas, las rocas calizas, etc. Nombre vulgar en Menor- ca, Monjetas . En la bella série de individuos de esta especie que poseo 435 en mi colección, hay todas las formas intermedias entre los tipos délas H. Minoricensis y Companyoni, por lo cual no es posible considerar á estas como dos especies bien distintas. Al reunirlas adopto el nombre de Minoricensis (empleado por Mittre en 1842 al describir la especie), porque el de Com- panyoni, si bien citado en 1837, no ha ido acompañado de figura, ni de descripción alguna hasta el año 1848, época en que fué dado á conocer por el abate Dupuy en su obra sobre los moluscos de Francia. La forma tipo es rara, como también las variedades cyrf; las otras son más abundantes; la var. d tiene un poco el as- pecto de la Helix splendida tipo, por la continuidad de sus fajas (Draparnaud, lám. Vi, fig. 10, 11). Las variaciones de los individuos de esta especie son relativas al tamaño, á la elevación ó depresión de la espira, á la existencia ó falta dei pequeño diente de la columnilla, y á la carencia, interrup- ción ó continuidad de sus fajas transversales. En algunos ejemplares están interrumpidas, y al reunirse unas con otras las pequeñas manchas, forman lindas zonas longitudinales flexuosas. He distinguido siempre esta especie de la Helix Baleárica por la forma y el color del perisloma. 16. — Helix splendida, Draparnaud. Hidalgo, Cat. iconog., fig. 220 y 222-224. Hab. — Mallorca , Palma, Bellver, Pollenza, Cala de San Vi- cente, Andraitx, inca, Benisalem, Puigpuñent. — Ibiza. Poco abundante; en los lentiscos. 17. — Helix Pisana, Muller. Hidalgo, Cat. iconog., fig. 119, 121-123 y 125-127. Hab. — Mallorca, Palma, Soller, Alcudia, Inca. — Menor- ca, Mahon. — Ibiza. Muy común, sobre las plantas, en las vi- ñas, en las playas arenosas, etc. Nombre vulgar en Mallorca , Caragolins, y en Menorca, Caray oli de viña ó de menjá . Es- pecie muy variable bajo el punto de vista del tamaño, del grosor y de la coloración; peristoma blanco ó rosado. Helix pomatia. Menorca (Ramis). No se encuentra esta es- pecie en las Baleares. Según ef nombre vulgar dado por Ra- mis, acaso haya visto este autor la H. Pisana , pero me es imposible poderlo afirmar con seguridad. 430 18. — Helix lanuginosa, Boissy. Bourguignat, Malac. de l’Alger., vol.I, lám. XVII, fig. 1-4. Hab. — Mallorca , Palma, Bellver, Alcudia, Andraitx, Be nisalem .—Menorca, Malion, Giudadela, Mercadal, San Cris- tóbal Ferrerías. Bastante abundante en los parajes húmedos, sobre las plantas, especialmente las ortigas, y en los fosos de las murallas. 19. — Helix mcralis, Muller. Hidalgo, Catal. iconog., fig. 42-44. Hab. — Menorca , Mahon, isla del Bey, Alayor, Ciudadela. Común entre las piedras, sobre las tapias, cerca del techo de las casas, etc. Algunos ejemplares son angulosos en la última vuelta. Nombre vulgar Caragol de bruxe ó de figueira. 20. — Helix Ebusitana, Hidalgo. Hidalgo, Catal. iconog., fig. 255-257. Hab. — Ibiza.—Formentera. Poco abundante; se encuentra á 3 kilómetros de Ibiza en los mismos sitios áridos que la Leucochroa candidissima , pero entre las plantas. 21. — Helix cespitum. Draparnaud. Hidalgo, Catal iconog., fig. 213-215. Rossmassler, Iconog., fig. 514 y 597. Hab. — Mallorca , Palma, Muro, Pollenza, Alcudia, Inca, Sineu, Benisalem.— Ibiza. Especie abundante sobre las plan- tas, en los campos de trigo, etc. 22. — Helix variabilis, Draparnaud. Bourguignat, Malac. Alger., vol. I, lám. XIII, figura 4, 5, 10, 11. Hab. — Mallorca , Palma, Soller, Alcudia. — Menorca, Mahon, Mercadal. — Ibiza (Semper). Común sobre las plantas. Mi amigo Cardona ha encontrado en Menorca una variedad muy bonita con la espira radiada de manchas blancas, como en la //. Deveauxi (fig. 1448 de la continuación de la obra de Rossmassler por M. Kobelt). Es, sin embargo, más globulosa, tiene el ombligo más estrecho , y el peristoma del mismo color que en la //. variabilis , por lo cual la considero como una variedad de esta última especie. Estos caractéres son por otra parte los que indica Draparnaud en su var. c de la //. variabilis ( Hist . des molí. pág. 84). 437 23. — HELIX L1NEATA. 01ÍVÍ. Bourguignal, Malac. Alger., vol. í, lám. XXIV, figo ra 26-27. Hab. — Menorca , Mahon. Común en las playas arenosas. Es la H. marítima de Draparnaud, y con este nombre ha ci tado de Palma el Sr. Barceló la especie anterior. 24. — Helix submeridionalis, Bourguignal. Bourguignal, Malac. Alger., vol. I, lám. XXIÍÍ, fig. 26-2ÍK Hab. — Formentera . Cerca de las playas. Muy probable- mente no es esta especie más que una variedad de la anterior, porque las diferencias señaladas son de poco valor, y el mis- mo M. Bourguignat indica ya una var. striatula de la II. li- néala, que es uno de los caractéres en que motiva la separa- ción de la II. submeridionalis . 23. — Helix Newka, Dohrn. Hidalgo, Catal. iconog., fig. 273-273. Hab. — Mallorca . Palma, Cala Mayor, Porto Pi, Bendinat. Bastante común en las colinas áridas, próximas al mar. Muy bonita especie, que debo á las exploraciones del Señor Barceló; algunos ejemplares son angostos y elevados, otros más anchos en la base y con la espira más baja. Coloración gris ó de un rojizo sucio, unas veces uniforme, otras con 1 á 4 filas de pequeñas manchas córneas, de las cuales son siem- pre más perceptibles las de la sutura y del contorno de la última vuelta. Peristoma blanco con los bordes muy aproxi- mados y unidos por una callosidad bien distinta en los indi- viduos adultos. En la 1.a lista del Sr. Barceló, se ha indicado la II. New- ka con el nombre de H. trochoides, y con este nombre me fué remitida por dicho señor. 26. — Helix Majoricensis, Dohrn et Heynemann. Hidalgo, Catal. iconog., fig. 276-278. Hab. — Mallorca, Palma (Homeyer). No poseo esta especie, y sólo he visto un individuo de ella que ha tenido la amabili- dad de enviarme M. Kobell para su estudio, y para ser figu- rado en mi Catálogo iconográfico. Es muy parecida á la ante- rior por sus caractéres, pero la espira es más deprimida y el ombligo es más ancho. 438 27. — Helix trochoides, Poireí. Bourguignat, Malac. Algor., vol. I, lám. XXXI!, figu- ra 23-28. Hab .—Mallorca, Palma, Andraitx. — Menorca , Mahon, San Felipe, Cindadela, Villacarlos, Son Ermitá. Especie co- mún sobre las plantas. La coloración es de un blanquecino uniforme, pero á veces presenta una zona negra espiral ó manchas de color parduzco en forma de radios sobre la parte superior de la concha. Conozco igualmente una var. de base más ancha, y cuya espira parece ménos elevada que en los demás individuos. 28. — Melix terrestris, Chemnitz. Bourguignat, Malac. Alger., vol. I, lám. XXXÍI, figu- ra 4-14. Hab. — Mallorca , Palma, Alcudia, Benisalem, Andraitx, Son Yila. — Menorca , Mahon, Ciudadela, Alayor, Son Ermitá, San Cristóbal. — Ibiza. Común entre las piedras, sobre las plantas, en los fosos de las murallas, etc. Algunos individuos son deprimidos y tienen hasta 8 vueltas de espira; otros pre- sentan una quilla algo saliente en la sutura, como la Helix trochlea de Pfeiffer. Las variaciones de la coloración son en- teramente semejantes á las de la especie anterior. 29. — Helix pyramidata, Draparnaud. Bourguignat, Mal. Alger., vol. I. lám. XXX, íig. 26-33. Hab. — Mallorca , Palma, Cala Mayor, Porto Pi, Bellver, Andraitx, Inca. — Menorca, Mahon, San Cristóbal, Alayor, Ferrerías. — Ibiza . Nombre vulgar en Menorca, Caragulí . Entre las piedras y las rocas, sobre las plantas, en los fosos de las murallas, etc. Igual sistema de coloración que en las dos especies precedentes. 30. — Helix lenticula, Ferussac. Bourguignat. Mal. Alger., vol. í, lám. XVI, üg. 34-36. Hab.— Mallorca, Palma, Benisalem, Soíler, Andraitx.— Menorca , Mahon. — Ibiza . Común debajo de las piedras, en los fosos de las murallas, etc. 31. — Helix Cardona, Hidalgo. Journ. Conchyl. 1867, lám. XII, fig. 2. Hab. — Menorca, Mahon, San Cristóbal Son Cali. Poco 439 abundante, debajo de las piedras. Hay individuos de color enteramente pardo, otros blanquecinos en la parle inferior con dos fajas negruzcas, y poseo además otro del todo blan- quecino. Esta especie fué descubierta por mi amigo el Señor Cardona, celoso colector de las producciones naturales de la isla de Menorca. Ilelix Setubalensis, Pfeiffer. No conozco esta especie de las Baleares. Los autores han aplicado esta denominación á cuatro especies distintas: una de Setubal, en Portugal (More- let); otra de Alicante, en España (Rossmassler, Hidalgo); la tercera de la isla de Mallorca (Dohrn, Parceló) y la cuarta de la isla de Menorca (Parceló). La primera es la que debe lle- var el nombre de Setubalensis, las dos siguientes son designa- das aquí, por vez primera, con otros nombres, puesto que son bien distintas, y la última es la Ilelix Nyeli Mi tire, men- cionada equivocadamente por el Sr. Parceló bajo el nombre de Setubalensis . Hé aquí sus caractéres diferenciales. Ilelix Setubalensis Pfeiffer ( Ilelix serrula. Morelel), Se- tubal . Testa anguste umbilicata , lamelloso-costulata ; anfr. pía - nulali, subexserti; carina irregulariter crenulata . La descripción de Morelet {Molí. Portugal , pág. 62) es muy exacta, y en su figura se ve el ombligo poco ancho, como en los ejemplares que poseo de Setubal. Ilelix Prietoi, Hidalgo {Ilelix Setubalensis , Dohrn). Ma- llorca. Testa late umbilicata, costulis non lamellosis, irregulciri- bus, confertioribus; anfr. convexiusculi, non exserti ; carina irregulariter crenulata. Ilelix Barceloi, Hidalgo {Ilelix Setubalensis, Rossmass- ler. — íconog., fig. 829). Alicante. Testa late umbilicata, costulis non lamellosis, regularibus , scepe confertissimis; anfr. convexiusculi, non exserti; carina pulchre et minute crenulata . Ilelix Nyeli, Mitlre {Ilelix Setubalensis, Parceló, partim). Menorca. Testa late umbilicata „ subtiliter et confertissime costulata 440 mifr. convexiusculi, non exserti; carina mimtissime ere- nulata. 32. — Helix Prietoi, Hidalgo. Journ. Conchyl. 1878, lam. IX, fig. 3. Testa late umbilicata, depressa, carinato -serrulata* solí- dala, confertim costulata , costulis obtusiusculis J irregularibus , superne oblique ar cuatis, inferné subflexuosis , hic illic brevio- ribus aut bifurcatis; opaca , fulvido-albida vel ferruginea, in- terclum maculis minutis corneo- fuscis uni-quadriseriatim cincta; spira parum elevata aut planulata 3 ápice fusca; anfr. 5 — 5V2 convexiusculi , ad carinara planulati , ultimus antice deseen - dens, basi valde convexus; umbilicus 2/7 diametri cequans; aper tura rotundato-lunaris, angulata ; perist. rectum, intus albo- labiatum , marginibus approximatis , callo tenuissimo junctis , columellari vix reflexo . — Diam,. maj. 10 ,min. 9, alt. 4 millim. Hab. — Mallorca , Palma, Andraitx, Benisalem, Soller, Son Vila cerca de Pollenza, Son Fuster, Selva, Inca. Bastante abundante en las tapias, entre las piedras, en los pinares, etc. Dedico con placer esta especie á mi amigo D. Francisco Prieto y Gaules, Profesor de la Escuela de ingenieros de ca- minos, al cual debo muchos datos sobre los moluscos de las Baleares, procedentes de las exploraciones que ha verificado en interés de mis publicaciones. Se distingue fácilmente esta concha de la Helix Setuba • lensis ( ü . serrula Morelet), por el mayor diámetro de su ombligo, sus vueltas de espira convexas, sus costillas menos prominentes, menos separadas, más irregulares, su última vuelta más inflada en la base y descendente en la parle ante- rior. Se ve en la sutura la quilla aserrada de las vueltas, pero no sobresale en ella como sucede en la Helix Setubalensis. La Helix Prietoi se parece mas bien á la Helix Schembriana , de Malta y Sicilia, pero en esta última especie son regulares las costillas y no desciende la ultima vuelta. En los individuos que presentan las cuatro filas de peque- ñas manchas, se hallan estas dispuestas del modo siguiente: la 1.a muy próxima á la sutura, la 2.a en la parle superior de la quilla, la 3.a y la 4.a en la parte mas convexa de la base de la úllima vuelta, formando algunas veces en dicho sitio 441 zonas no interrumpidas. Otros ejemplares tienen solamente las dos filas superiores, ó nada mas que la de la sutura; en otros, es uniforme la coloración. Los dienlecillos de la quilla son irregulares y casi siempre blanquecinos. M. Kobelt me ha enviado un ejemplar de Palma, procedente de M. Dohrn, bajo el nombre de Helix Setujbalensis. 33. — Helix Homeyeri Dohrn et Heynemann. Hidalgo, Cata!, iconog. fig., 300-302. Hab. Mallorca { Homever). En los pinares (Kobelt, io fitl.) No he visto de esta especie mas que un ejemplar enviado por M. Kobelt, para ser figurado en mi Catálogo iconográfico, favor que debo á su amabilidad. Es muy próxima á la Helix Nyeli de Menorca. 34. — Helix Nyeli Mittre. Hidalgo, Catal. iconog. fig. 294-299. Hab. — Menorca, Mabon, isla del Rey, Perrerías, Merca- da!, San Cristóbal, Alayor, isla del Aire, Cabo Caballería, Algendaret, Barrancos de la Cova, de Son Tero, d’.en Fideu, Común en los pequeños agujeros de las rocas calizas, debajo de las piedras, etc. La espira es por lo común deprimida, á ve- ces un poco elevada. Hay individuos enteramente blancos, otros son blanquecinos, agrisados ó amarillentos, con una ó dos filas de pequeñas manchas parduzcas por encima (una cerca de la sutura y la otra sóbrela quilla) y fajas parduzcas ó. ne- gruzcas por debajo. Las fajas son continuas ó interrumpidas, anchas ó estrechas, están mas ó menos separadas entre sí, y son por lo común en número de dos ó tres, pero algunas veces solo hay una ó se observan cuatro. Presenta en ocasio- nes seis vueltas de espira. El Sr. Barceló cita la Helix Nyeli de Menorca, con refe- rencia á Terver, pero este autor no ha mencionado mas que de Palma la Helix Boissyi . Helix lapicida. Menorca (Ramis). Especie no encontrada aún en las Baleares. Según la descripción de Llené en el Sys- tema naturce f Testa carinata , umbilicata, > atrinque convexa, apertura marginata transversali ovata. Hab. in Europce rupi- bus , ut larvw lignum, sic calcen rodensj y las condiciones especiales en que vive la Helix Nyeli, creo que Ramis ha 29 TOMO XX. 442 mencionado esta última especie con el nombre de lapicida , por no haberse fijado en la sinonimia de Linné. 35. — Helix Ponsí, Hidalgo. Journ. Conchvl., 1878, lam. IX, fig. 5. II. Nyeli similis , sed texta mediocriter umbilical a, coslulis validioribus sculpta , carina compressa, aculiore, magis cr entí- lala, ultimo anfráctu subtus ad periphceriam minus convexo; scepe fidvo- fusca, superne maculis, inferné fasciis, ut in ¡L Nyeli órnala . Diam. maj. 11, min. 9 5/2, alt. 4 millim. Hab. Menorca , Son Gall, San Juan de Carbonell, Fornetls, Ses Covas Yeyas. — Cabrera, Punta de Anciola. Bastante co- mún, sóbrelas piedras; á 100 metros de altura sobre el nivel del mar en la isla de Cabrera. El ombligo es mas angosto que en la //. Nyeli, las costillas en menor número y más pro- nunciadas, la quilla mas comprimida, saliente y aserrada, la última vuelta aplanada oblicuamente por debajo, cerca de la quilla, y la coloración mas oscura. Dedico esta especie, descubierta por mi amigo Cardona, al Sr. D. Juan Pons, de Mahon, que me ha comunicado mu- chas especies interesantes de esta localidad. 36. — Helix Pollenzensis, Hidalgo. Journ. Conchyl., 1878, lam. IX, íig. 6. Testa mediocriter umbilicata, depressa , carinato-serrulata , tenuiuscula, pellucida, confertim costulata, coslulis superne ar- cuatis , inferné hic illic brevioribus aut bifurcatis; fulvescenti- cornea , infra fasciis obscurioribus parum conspicuis ornata , ad umbilicum opaca , albida; spira parum elevata, vértice scepe fusco; anfr. 6, vix convexiusculi, ultimus antice non descen- dens, inferné convexo- declivis, prope umbilicum obtuse angu- latus; umbilicus 7* diametri cequans, profundas, in fundibulé formis; apertura lunaris, horizontalis, angulata; perist. rec- tum , margine basali intusvix labiato. columellari obligue sub- dilátalo . Diam. maj. 12, min. 10y2, alt. 5, umbil. 2 l/2 millim. Hab. Mallorca, Pollenza. Poco común; en los pinares, de- bajo de las hojas secas. Esta especie fué descubierta por nues- tro amigo Prieto y es próxima por sus caracteres á la Helix eremia Westerlund ( Fauna Europcea , pag. 103), pero no pre- m senta estrías nodulosas, como esta última, ni tiene descen- dente la úl lima vuelta y de color pálido la quilla. Las vueltas son 6 en lugar de 5, el ombligo es relativamente mas an- gosto, y la concha presenta mayores dimensiones (la H. ere- mia solo tiene 8 mili.), y algunas fajas poco marcadas por de- bajo. Por último, la localidad es completamente diferente (Py- renern altiores la H. eremiá). Los dientecillos de la quilla son irregulares y blanqueci- nos, y de este mismo color son igualmente las pequeñas cos- tillas de la superficie. En algunos ejemplares se perciben en la parte superior de la concha, aunque muy poco marcadas, dos filas de manchas pequeñas, carácter casi común á todas las especies de este grupo que viven en las Baleares. Las zo- nas de la parte inferior son en número de 1 á 4 y del mis- mo color que el fondo de la concha, aunque un poco mas oscuras. 87. — Helix Boissyi, Terver. Terver, Catal. Molí. Afrique, lam. lí, fig, 12-14. Hidalgo, Catal. iconog., fig. 303-308. Var. b. Testa minor, mediocriter umbilicata, carina gra - datim evanida. Var. c. Testa anguste umbilicata, carina gradatim evanida, spira magis elevata. ( Helix frater Dohrn et Heynemann, Journ. Conchyl. 1878, lam. IX, fig. 7.) Hab. — Mallorca , Palma, Benisalem, Andrailx, Alcudia, Soller, Son Vila, Pollenza, Inca, Cala de San Vicente, Toxals- verts, Lluch, Selva. Bastante común debajo de las piedras. Especie variable; en la forma típica es ancho el ombligo, mas deprimida la espira por regla general, y bien visible la quilla en toda la circunferencia de la última vuelta. En otros ejem- plares, mas pequeños, es mas angosto el ombligo, y obtusa la quilla hácia la terminación de la última vuelta; en otros, por último, es mas elevada la espira, angosto el ombligo y obtu- sa la quilla hacia la terminación de la última vuelta. Estos últimos individuos son en un todo semejantes al ejemplar del Helix frater que debo á la generosidad de M. Kobelt, y que procede de los autores de la especie. Rara vez se encuentran individuos de coloración blanque- 444 ciña uniforme; el color mas general de la especie es blanque- cino ó córneo, con 1 á 5 fajas oscuras, colocadas en la parle inferior, anchas ó estrechas, continuas ó interrumpidas, y dos filas de pequeñas manchas córneas por la parte superior. La quilla es siempre menos aguda que en todas las especies an- teriores. M. Bourguignat cree que la#. Boissyi, Terver, de Palma, es la misma especie que la H. Nyeli Mi tire, de Mahon {31a- lac. Alger.y vol. I, pag. 266), mas no puedo adherirme á su opinión, que creo equivocada. Las dos especies viven en loca- lidades diversas; la espira, en la H. Nyeli , es mucho mas deprimida que en la H. Boissyi figurada por Terver, y si este autor hubiese visto la verdadera #. Nyeli , es seguro que no la hubiera confundido con la concha encontrada en Tremecen (//. amanda según Bourguignat) como lo verifica en la descrip- ción de la //. Boissyi. Es mas marcada la semejanza entre la especie que doy aqui como H. Boissyi (encontrada en Mallor- ca, y que conviene con la descripción y la figura de Terver) y la IL amanda , porque las dos especies son muy próximas por sus caracteres. Los individuos algo jóvenes de la H. Boissyi se parecen mas á la figura dada por Terver que los adultos. Nuestro amigo Barceló ha mencionado esta especie en su lista con el nombre de H. Nyeli , pero los ejemplares de Palma, Selva y Benisalem pertenecen á la H. Boissyi. Helix Rozeti. Palma. Helix amanda. Palma. No se han encontrado aún estas dos especies en Palma. Son debidas dichas citas á la circunstancia de que algunos autores las han considerado como sinónimas de la //. Boissyi , pero aunque muy parecidas, se distinguen bien sin embargo. Helix caperata. Palma (Homeyer), Andraitx (Barceló). No he recibido aún esta especie de las Baleares, sino solamente algunos ejemplares déla#. Boissyi, procedentes de Andraitx, sin manchas por encima, y muy parecidos por lo tanto á las figuras 831 y 832 de Rossmassler, pero bien distintos de ellas por el ángulo poco marcado de la última vuelta. ¿Se habrán dado con el nombre de #. caperata los individuos que presen- tan estos caracteres? 445 38. — Helix Caroli, Dohrn el Heynemann. Hidalgo, Catal. iconog.» fig. 161-165. Hab.— Mallorca (?) (Kobelt). — Ibiza. — Formentera. — Conejera. Poco común; en los pequeños agujeros de las rocas calizas. Creo inexacta la cita de Mallorca hecha por M. Ró- bele y no por Pfeiffer, como se dice en la lista de Parceló. Esta bonita concha es constante en su forma y escultura, pero variable en el número y disposición de sus fajas. 39. — Helix apicina, Lamarck. Hidalgo, Catal. iconog., fig. 155-157. Hab. — Mallorca, Palma, Alcudia, Andraitx. — Menorca, Mahon, San Cristóbal. Abundante debajo de las piedras, en los fosos de las murallas, etc. 40. — Helix conspurcata, Draparnaud. Draparnaud, Hist. des Molí., lám. VIS, fig. 23-25. Hab .—Mallorca, Palma, Alcudia.— Menorca, Mahon, Cin- dadela. Bastante común sobre las plantas, debajo de las pie- dras, etc. 41 . — Helix costata, Muller. Bourguignat, Malac. Alger., vol. I, lám. XVIII, figu- ra 38-41. Hab.— Mallorca, Palma, Andraitx.— Menorca, Mahon, San Juan de Carbonell, Alayor. Poco abundante; en la base de las plantas y debajo de las piedras. Helix pulchella. El Sr. Parceló ha dado con este nombre la especie precedente, considerándola como una variedad de esta. 42. — Helix acüleata, Muller. Bourgnignat Malac. Alger. , vol. L lám. XIX, figu- ra 21-24. Hab. — Menorca, Mahon, Alayor, Mercadal. En los bos- ques de encinas, debajo del musgo. Poco abundante. 43. — Helix rüpestris, Draparnaud. Bourguignat, Malac. Alger., vol. I, lám. XVI, figu- ra 24-27. Hab.-— Menorca, Mahon, Alayor. Poco común; sobre las rocas calizas. 44. — Helix pygMíEa, Draparnaud. 446 Bourguignat, Malac, Alger., vol. L lám. XIX, fig. 9-12, Hab. — Menorca, Mahon, Alayor, Mercadal. Rara; se en- cuentra en la base de las plantas, un poco oculta entre la tierra. Helix cornea. Menorca (Rarais). No se ha encontrado en esta isla la especie así denominada por Draparnaud, y es una concha fluviátil la especie de Linné. ¿Designó acaso Ramis con dicho nombre una Hyalina ? Helix Gemonensis. Especie que no vive en las Baleares, á pesar de la cita hecha en la obra de Potiez y Michaud. 45. — Hyalina fulva, Draparnaud. Rossmassler, Iconog., fig. 535. Hab .—Menorca, Mahon. Rara; encontrada con la Helix aculeata . 46. — Hialina crtstallina, Muller. Rossmassler, Iconog., fig. 531. Hab.— Menorca, Mahon. Rara; vive en la base de las plantas, entre la tierra. 47. — Hialina nítida, Muller. Forbes et Hanley, Brit. Molí., lám. CXX, fig. 4 y 7. Hab.— Menorca, Mahon, San Cristóbal, Perrerías. Poco abundante; sobre las plantas, en los sitios húmedos. 48. — Hialina lucida, Draparnaud. Dupuy, Molí. France, lám. X, fig. 8. Hab. — Mallorca , Palma, Esporlas. Sobre las plantas, en los sitios húmedos. Helix nitens. Según Martens (Malak. Blatt. 1864, pági- na 162) la especie así denominada por Dohrn es la H. nitida . (Draparnaud, Hist. des Molí.) No conozco aún, de las Balea- res, la verdadera Helix nitens de Michaud. Helix nitida. Palma, Esporlas (Barceló). Es la Hyalina lucida antes enumerada. Helix cellaria. Palma, Benisalem, Menorca (Barceló). Los ejemplares de Palma son la Hyalina lucida; los de Benisalem y Menorca pertenecen á la especie siguiente, como he podido asegurarme de ello, examinando los individuos que me han enviado los Sres. Barceló y Cardona. 49. — Hyalina Balmei, Potiez et Michaud. 447 Marlini el Chemnitz, 2.a edic. Helix, lám. CXXX, figu- ra 6-8. Hab. — Mallorca , Andrailx, Alcudia, Benisalem.— Memr- ca, Mahon, San Juan de Carbonell, San Cristóbal. Poco abun- dante; sobre las plantas, en los parajes húmedos. Los ejem- plares de Mallorca son de mayor tamaño (11 milim.), más deprimidos y más angulosos que los de Menorca. Los indivi- duos pequeños tienen el aspecto de la H. cellaria , y los gran- des el de la 11. lucida , pero se distinguen bien de estas espe- cies por el ángulo de la última vuelta, y por sus vueltas de espira que crecen con más lentitud. 50. — Bulimus decollatus, Linné. Bourguignal, Mal. Alger., vol. II, lám. I, íig. 1-3, 10 y 19. Hab. — Mallorca , Palma, x\lcudia.-— Menorca, Mahon, San Cristóbal. — 1 biza . Común debajo de las piedras, sobre las plantas, etc. Nombre vulgar en Menorca, Carcigol de pade . Los ejemplares de San Cristóbal son de un tamaño considera- ble (44 milim.), gruesos y pesados, y tienen estrías transver- sales muy pronunciadas. Stenogyra decollata. Es la especie anterior. 51. — Bulimus quadridens, Muller. Dupuy, Molí. France, lám. XVÍII, íig. 8. Hab. — Menorca , Mahon, Ciudadela, Mercadal, San Cristó- bal, Ferrerías, Cabo Caballería, Raro; debajo de las piedras. 52. — Bulimus acutus, Muller. Bourguignal, Mal. Alger. vol. I, lám. XXXI!, fig. 42-46. Hab.— Mallorca, Palma, Alcudia, Son Fuster, Hostal d’Aurayó. — Menorca , Mahon, Son Errnilá, San Cristóbal.— Ibiza . Común; en los fosos de las murallas, sobre las plantas, los troncos de los árboles, etc. Helix acula. Es la especie anterior, 53. — Bulimus ventrosus, Ferussac. Bourguignal, Mol. Alger., vol., I, lám. XXXII, íig. 39-41 Hab. — Mallorca , Palma. — Menorca , Mahon, San Juan de Carbonell, San Cristóbal, Ferrerías, Barranco de Algendar. Bastante común; sobre las plantas. Helix ventrosa. Es la especie anterior. 448 Si. — Buiimus solitarius, Poiret. Bourguignat, Mal. Alger. vol. I, lám. XXXÍÍ, fig. 29-34. Hab .—Mallorca, Palma, Alcudia, Benisalem. — Menorca, Mahon, Son Ermita, San Cristóbal, San Felipe.-— Ibiza.— Formentera. Común; sobre las plantas. Helix solitaria. Es la especie anterior. 55. — Achatina acicula, Muller. Bourguignat, Amen, malac. vol. I, lám. XVIíí, íig. 1-3. Hab .—Mallorca, Palma, Átaró.— Menorca, Mahon, Sao Cristóbal, Cindadela. Rara; entre la tierra, en la base de las plantas. 56. — Ferussacia lubrica, Muller. Forbes et Hanley, Brit. Molí., lám. CXXV, fig. 8'. Ha b.— Mallorca, Acequias del Prat. — Menorca , Mahon, Cindadela, San Juan de Carbonell. Poco ‘abundante; sobre la tierra, en la base de las plantas. Achatina lubrica . Es la especie anterior. 57. — Ferussacía folliculus. Gronovius, var. Vescoi. Bour- guignat. Bourguignat, Malac. Chat. If, lám. íl, fig. 10-13. Bab.— Mallorca, Palma, Alcudia, Benisalem, Sansellas.— - Menorca , Mahon.— Ibiza. Común; debajo de las piedras, en los fosos de las murallas, etc. Achatina follicula. Es la especie anterior. 58. — Ferussacía Bourguignatiana, Benoit. Bourguignat, Malac. Alger., vol. II, lám. IV, fig. 35-40. Hab. — Menorca, San Juan de Carbonell. No he visto más que dos ejemplares de esta especie. 53. — Pupa pqlyodon, Draparnaud. Bourguignat, Malac. Alger., vol. II, lám. Y, fig. 14-18. Hab.— Menorca, Mahon, Mercada!, Ferrerías, Sa Mesqui- das Cabo Caballería. Rara; entre la tierra, en la base de las plantas. 60. — Pupa granum, Draparnaud. Bourguignat, Malac. Alger., vol. II, lám. VI, fig. 1-3. Hab. — Mallorca , Andraitx, Palma. — Menorca , Mahon, Mércadal, Perrerías. — Ibiza. Rara; pegada á las rocas calizas. 6 1. — Pupa umbilícata, Draparnaud. 449 Dupuv, Molí. France, lám. XX, fig. 7. Hab. — Mallorca, Alcudia, Pollenza, Andraitx, Alaróv Palma, Porto Pi. — Menorca, Malion, San Cristóbal. Abundante; sobre las plantas, cerca de las piedras y de los peñascos. 62. — Pupa minutissima. Hartmann. Bourguignat, Malac. Alger., vol. II, lám. VI, fig. 28-32. Hab. — Mallorca, Benisalem, Alaró. — Menorca, Mahon, San Cristóbal, Alayor, Mercadal. Debajo del musgo, de las hojas secas, etc. Poco común. Algunos ejemplares no tienen dientes en la abertura; en otros se ve tan solo un diente pa- latal profundo, ó este con un diente parietal, ó tres dientes, uno palatal, otro parietal y otro en la columnilla. Pupa muscorum, Draparnaud. Es la especie anterior. 63. — Pupa codia, Bourguignat. Bourguignat, Malac. Alger., vol. II. lám. YI, fig. 39-41. Hab. Menorca , Malion, San Cristóbal. Muy rara; encon- trada con la especie precedente. 64. — Clausilia bidens, Linué, var. virgata. Cristofori et Jan. Rossmassler, Iconog., fig. 170. Hab. Mallorca , Palma, Alcudia, Pollenza, Son Fuster, Hostal d’Auravó, Andraitx, Cala de San Vicente. —Menorca, Mahon. — Ibiza. Común; debajo de las piedras, sobre las mu- rallas, los troncos de los árboles, etc. Se encuentran ejem- plares muy blanquecinos, pero aún no se ha recogido en las Baleares un solo individuo que pertenezca á la forma tipo. Clausilia papillaris. Es la especie anterior. Clausilia virgata. Nombre dado á la variedad de la Clau- silia bidens. Clausilia pallida. Parreyss. Menorca (Schmidt). No conoz- co esta especie, y no he visto su descripción ni figura. ¿Se habrán designado acaso con este nombre los ejemplares blan- quecinos de la Clausilia bidens , var. virgatal 65. — Truncatella truncatula, Draparnaud. Rossmassler, Iconog., fig. 407. Hab.— Mallorca, Alcudia.— Menorca, Mahon, Cala deSan Esteban, Alcanfár, Benisafué, Santa Galdana, Fornells, Ciuda- dela.— Formentera. Común debajo de las piedras, en los pa- rajes humedecidos por el agua salobre. Existen dos varieda™ 450 des, que se diferencian en el tamaño; la pequeña es la figu- rada por Rossmassíer, pero en una y oirá hay individuos lisos ó provistos de costillas longitudinales. Los ejemplares no es- triados de la var. minor , se parecen mucho á la Truncatella Montagui del Océano, pero se distinguen bien de ella por la falta de hendidura umbilical. 66. — Ctclostomus elegans Muller. Dupuy, Molí. France, lam. XXVI, fig. 8. Hab. — Mallorca , El Real, cerca de Palma, Esporlas, Vall- demosa, Randa, Sierra del Norte, Alcudia. — Menorca , Mahon, Mercadal, San Cristóbal, Ciudadela, Poco abundante; entre la tierra, cerca de las plantas y de las piedras. 67. — Tüdora ferruginea Lamarck. Delessert, Recueil, lam. XXIX, fig. 4. Hab. — Mallorca 3 Bellver, Palma, Alcudia, Puig de Ran- dá, Puigpuñent, Benisalem, Andraitx, Cala de San Vicente, Pollenza, Son Fuster. — Menorca , Mahon, San Juan de Carbo- nell, San Cristóbal. Común sobre los troncos de los árboles, debajo de las piedras, etc. Existe una variedad de un solo color, casi naranjada. Cyclostoma fulvum, Cray. Es la especie anterior. 68. — Alexia myosotis Draparnaud. Draparnaud, Hist. des Molí., lam. III, fig. 16, 17. Hab. — Mallorca , Alcudia. — Menorca 3 Mahon, Cala Por- tel*, Santa Galdana, Fornells, Cala de San Esteban, Cabo Ca- ballería.— íbiza. Común debajo de las algas medio secas, ó en los juncos. Especie variable en sus caracteres; el color es purpúreo-negruzco, castaño ó rojizo, la espira más ó ménos elevada según los individuos, y la última vuelta presenta á veces una costilla longitudinal saliente. En la abertura, se no- tan las variaciones siguientes; ó bien hay tres dientes y el borde derecho es grueso por su parte interna (tipo de la espe- cie), ó existe ademas otro diente muy pequeño; ó se obser- van tres dientes y el borde derecho no está engrosado, ó solo se perciben los dientes y no hay engrosamiento del borde. Se encuentran algunas de estas variaciones hasta en individuos de una misma localidad, lo cual hace sospechar si la Alexia Payraudeaui y la Leucoma Micheli se han establecido con va- 451 riedades de la especie de Draparnaud. Llamo la atención de los naturalistas sobre este punto. 69. — Alexia payraudeaui Shultleworlh. Píeiffer, Monog. Auricul., pag. 147. Hab.— Menorca (Homeyer). No he visto esta especie. 70. — Alexia Baleárica, Dohrn. Pfeiffer, Monog. Auricul., supp., pag. 866. Hab —Mallorca (Homeyer). No conozco esta especie. 71. — Alexia denticulata Montagu. Forbes et Hanley, Brit. Molí., lam. CXXY, fig. 3. Hab.— Menorca, Cabo Caballería. Rara. Los dientes del interior del borde derecho son en mayor ó menor número (como máximum 6), aunque algunas veces faltan. A veces se distinguen en el interior de la abertura dos ó tres series de ellos, que se perciben por el exterior en los sitios correspon- dientes á los crecimientos de la concha. 72. — Alexia Firmini Payraudeau. Bourguignat, Malac. Alger., vol. II, lam. YIILfig. 40-44. Hab. — Menorca , Cala de San Esteban, isla del Aire. Bas- tante abundante. Esta especie es considerada por algunos au- tores como perteneciente al género Marinula , si bien otros la incluyen en el género Alexia. III- — Resúmen . Muy probablemente se encontrarán mas especies de mo- luscos terrestres en las islas Baleares, pero por ahora, y según el catálogo ántes expuesto (del cual me han proporcionado los principales datos naturalistas muy hábiles en la reco- lección de moluscos, como los Sres.Paz, Cardona, Prieto, etc.), se llega á los resultados siguientes. 1° Se conocen hasta hoy 72 especies de las islas Balea- res, 3 de las cuales son Umax, 1 Amalia, 1 Testacella , 1 Sac- cinea , 2 Leucochroa, 36 Ilelix, 5 Hyalina, 5 Bulimus , 1 Acha- tina , 3 Fems sacia, 5 Pupa, 1 Truncatella , 1 Cyclostomus , 1 Tudora y 5 Alexia . 2." El género Ilelix (separando de él las Leucochroa y las 452 II y aliña) forma por sí solo la mitad de la fauna malacológíca terrestre de las Baleares, no estando representados en ella los demas géneros sino por un corlo número de especies, y aún algunos por una sola. 3. ° Pertenecen al género Helix casi todas las especies en- contradas solo basta ahora en las Baleares (13 de 15) y las de los demás géneros (á excepción de 2), viven al mismo tiempo en Sicilia, en la Argelia, en España ó en Francia. 4. ° Si se compara la fauna de las Baleares con las de los países inmediatos, se observa que viven al mismo tiempo en Sicilia, cerca de la mitad de las especies del grupo de islas de que me ocupo, en Francia y Argelia una mitad, y en Es- paña, por último, las tres cuartas partes. 5. ° Las especies conocidas solamente, hasta aliona, de las Baleares, son las siguientes: Umax Majoricensis; Helix Graell- siana, II. Baleárica (dudo mucho que viva esta especie en Es- paña, y se hadado probablemente con este nombre la II. mar- morata ), II. Ebusitana , H. Newka, H. Majoricensis , II. Ca- roli, II. Car doñee, H. Prietoi, H. Pollenzensis , II. Homeyeri , II. Nyeli, H. Boissyi , Alexia Baleárica. 6. ° Estas especies presentan, por regla general, mucha semejanza con otras especies españolas análogas ( Helix mar- mor ata, H . trochoides , II. caperata , H. Setubalensis , H. Mont- serrat ensis, H . Barceloi y Alexia myosotis, etc.) Resumiendo todos los hechos expuestos anteriormente, ó sean los datos que hoy se poseen sobre los moluscos terres- tres de las Baleares, se puede establecer: I. — La fauna malacológíca terrestre de las islas Baleares es muy semejante á la de España, y mas á esta que á las de Sicilia, Francia ó Argelia. II. — Dicha fauna está caracterizada por la existencia de muchas Helix de la sección Jacosta, en diversas localidades de las islas de Mallorca y Menorca, y que solo se han encon- trado hasta ahora en las Baleares. JARDIN DE LOS GLACIARES EN LUCERNA Habiendo tenido la fortuna de visitar durante el verano úl- timo la ciudad de Lucerna en compañía del Profesor Arneim, hermano del propietario del jardin que encabeza este artículo, y encargado por la Sección de Ciencias Naturales de redactar durante este mes la parte correspondiente de la Revista de los progresos científicos que la Real Academia, en cumplimiento de lo preceptuado en sus estatutos, publica, he creído de mi deber dar una noticia circunstanciada de uno de los hechos más curiosos que aquella parle de Europa ofrece, allí donde en tan vasta escala se ostentan los más variados fenómenos de la historia de nuestro planeta, y donde el geólogo exento de las preocupaciones de sistemas preconcebidos, estudia con imparcialidad y buena fe los hechos, y busca con afan la causa de tan multiplicadas manifestaciones de todos los agen- tes que actúan sobre el globo, ora de un modo lento y paula- tino, como en la erosión determinada por el agua líquida ó sólida, ora con más energía y prontitud, cuando se refie- ren á la aparición de aquellas imponentes masas de granito y pórfido que tan profundas dislocaciones ocasionaron en la na- tural sobreposicion de los terrenos de sedimento, y en la ex- traña é incomprensible estratigrafía que algunos de ellos os- tentan. Y ya que de este asunto se trata, aprovecho la oca- sión para manifestar que fué un español insigne, pero como acontece de ordinario injustamente olvidado, el Sr. Gimber- nat, quien por primera vez dió á conocer en cortes de ter- renos admirablemente ejecutados, tan singulares fenómenos geológicos, debiéndose también al mismo la primera carta, si no geológica en el sentido que hoy se entiende, por lo mé- nos petrográfica de Suiza, publicada en 1804. En la Biblioteca del Gabinete de Historia Natural de Madrid, del que aquel fué en su tiempo Yice-Director, se conserva como joya de inesti- 451 raable valía el original de esta obra, que baria bien la Acade- mia en reimprimir, pues hoy es por todo extremo rara. Pero dejando esto ya á un lado, veamos en qué consiste el llamado con sobrada propiedad Jardín de los Glaciares. Lindando con el famoso León de Lucerna, obra imperecedera del gran Thorwaldsen, erigida en honor de los suizos que pe- recieron en 1793 defendiendo al desgraciado Luis XVI, existe un terreno no muy extenso, en el que el comerciante en vinos Sr. Arneim, edificó hace pocos años una de esas casitas céle- bres por la belleza de su construcción y las comodidades de su interior, formando como complemento y adorno de aquella deliciosa vivienda, un jardín en el cual admira hoy el geólogo tantos y tan variados objetos de estudio, que bien puede ase- gurarse no haber otro que le iguale en toda la región alpina. Como en aquel país, por fortuna, los conocimientos de cien- cias naturales están muy generalizados, resulta que no pasan desapercibidos ciertos hechos en apariencia insignificantes; debiéndose á esta circunstancia el descubrimiento á veces de los más curiosos é importantes. Con efecto, excitada la curio- sidad del propietario por el aspecto de ciertos cantos que en el jardín existían, y llamándole la atención otros signos tales como algunas estrías y cierto pulimento en las rocas, sospe- chó, con sobrado fundamento, que aquello bien pudiera ser resultado de la acción de un antiguo glaciar, practicando en seguida excavaciones que pusieran en evidencia, lo que no pasaba de ser una mera sospecha; y cuál no sería su sorpre- sa, al ver colmados sus deseos en una medida verdaderamente extraordinaria, convirtiéndose aquel pequeño recinto, ántes dedicado á flora y á la distracción y esparcimiento de la fa- milia, en un centro de enseñanza que, en orden á los efectos producidos por la acción de los glaciares, dudo que haya otro que le iguale, ni en la región alpina, donde tanto abundan estas manifestaciones de la actividad terrestre, ni en la Es- candinava, donde también he tenido ocasión de estudiar estos fenómenos. Pero para mejor quilatar la trascendencia del descubri- miento del Sr. Arneim, y el servicio que con ello ha prestado a la ciencia, conviene decir algo ó exponer en breves pala- 455 bras, la síntesis, por decirlo así, de la dinámica de los gla- ciares. Sabido es que aquellas inmensas masas de nieve perpélua, inmóviles para el vulgo, se hallan animadas de un movimiento más ó menos acentuado, según las condiciones climatológicas dominantes, que las hace avanzar, y á las veces también re- troceder en el espacio de un año de 70, 80 y más metros, según resulta de las pacientes investigaciones hechas por Agassiz, Desor, Charpenlier y otros eminentes geólogos sui- zos. Resultado de la dilatación que produce en su masa la congelación del agua líquida que penetra por las infinitas grietas capilares que la surcan en todos sentidos, y en parte también, según el célebre Tyndall, por efecto de la gran plas- ticidad de la nieve, y del fenómeno conocido con el nombre de recongelacion, este movimiento de avance y de retroceso determina efectos sumamente curiosos, obrando tan pode- roso agente de la física actual del globo, como eficaz medio de trasporte y de erosión, hasta el punto de atribuirle algunos autores el primer lugar entre las causas que determinaron la formación de los valles alpinos. Pero por efecto de todas las circunstancias que en él concurren, el modo de actuar este agente se separa bastante de lo que es propio del agua líqui- da, lo cual autoriza con sobrado motivo la distinción que ha- cen los geólogos, entre los depósitos llamados simplemente aluviones modernos y antiguos ó diluvium , y los canchales glaciales, como se distinguen también los cantos rodados, chi- nas ó guijarros, producto de corrientes líquidas, de ¡os llama- dos errantes ó erráticos, trasportadlos á largas distancias por las nieves perpétuas, no sólo por el tamaño, sino también por la forma angulosa por regla general, y por otras circunstan- cias que en ellos se advierten. La erosión determinada por los glaciares también se diferencia de la ocasionada por las aguas líquidas, en que aquellos no excavan tan sólo el terreno y las rocas que lo constituyen, siguiendo la dirección de la cor- riente, sino que revistiendo la superficie toda que queda al descubierto, van igualando sus asperezas hasta hacerlas per- fectamente lisas y redondeadas, constituyendo lo que los geó- logos llaman rocas acarneradas ó aborregadas, por imitar el 456 aspecto que ofrece la cabeza del carnero. A. más de iodo esto, la enorme presión que ejerce la masa de la nieve sobre los materiales del fondo del valle que le sirven de asiento, au- mentada con la progresión del glaciar, produce el pulimento tanto más acentuado, cuanto más duras son las rocas que ex- perimentan dicha acción, causando á veces no poca sorpresa, sobre todo á los que se hallan poco familiarizados con estos fenómenos alpinos, el encontrar en muchos puntos, libres hoy de nieves, superficies muy considerables brillantes, en espe- cial si reciben los rayos directos del astro del dia, hasta el punto de hacerse molestos á la vista, según tuve ocasión de observar en Agosto de 1850, en la montaña llamada Grim- sel, en el Oberland de Berna, que separa la cuenca del Róda- no de la del Aar. Estas superficies pulimentadas suelen pre- sentar con frecuencia también otro heclio no ménos curioso, cual es la existencia de estrías, y á veces de surcos profun- dos, resultado igualmente de la presión de las nieves perpe- tuas cuando entre ellas y las rocas del fondo del valle que experimentan su presión, se interponen cristalitos ó fragmen- tos angulosos de cuarzo y de otros minerales igualmente du- ros, los cuales haciendo, digámoslo así, el oficio de buriles, abren estrías ó surcos según sean agudas ú obtusas las su- perficies de contado, y la mayor ó menor fuerza con que avanza el glaciar. Generalmente hablando, estos accidentes siguen direcciones paralelas, cambiando de rumbo á tenor de las variaciones que en su orientación experimenta el valle; todo lo cual fácilmente da á entender la importancia que tie- nen en puridad estos pequeños detalles en la física del globo. Agregúese á todos estos efectos de la actividad glaciar, otro no ménos curioso é importante, cual es el conocido por moli- nos ó pozos de los glaciares, marmitas de los gigantes y pot holl como lo llaman los ingleses, que son unas cavidades abiertas en las piedras del fondo del valle ocupado por las nie- ves, y cuyo modo de formarse es por demás curioso. Examinada atentamente la superficie de un glaciar, aparece unas veces asurcada por multitud de corrientes de agua líquida, resultado del derretimiento de la nieve misma, representando, siquiera en miniatura, el aspecto de una cuenca hidrográfica, de exten- 457 sioo con frecuencia considerable, como la que indica el ma- logrado Agassiz (1) en el borde septentrional del glaciar del Aar que en 1842 alcanzaba 1.100 metros en línea recta, ofre- ciendo iguales dimensiones otra que existía en el centro del Finesteraar, asegurando él mismo que esta cuenca frente á la cueva llamada Hotel de los neuckatelenses, no media ménos de 250.000 metros cuadrados, representada por centenares de arroyuelos cuyas aguas, abriendo su propio lecho, comu- nican á la superficie del glaciar todas las desigualdades que ofrece en aquellos puntos en que la pendiente es escasa. Mas cuando por efecto de la diferente dilatación de la nieve y lo desigual del fondo del valle, se ocasiona la abertura de gran- des cavidades ó grietas transversales á la dirección del gla- ciar, se interrumpe la uniformidad de la superficie, y enton- ces las aguas líquidas, precipitándose en aquellas especies de sumideros, determinan en el fondo la formación de cavidades notables, debidas á la incesante acción de las aguas líquidas y de los materiales que consigo arrastran. Resulta, pues, que cuando un arroyo de los que circulan por la superficie del glaciar encuentra á su paso una de estas grietas transversales, el agua se precipita, dando origen á una cascada que corroe poco á poco la nieve que forma las paredes de la grieta, lle- gando á abrir una cavidad circular á veces, elíptica otras, de dimensiones proporcionadas al caudal que lleva el arroyo, y á la mayor ó menor resistencia que á la erosión opone la nieve. La profundidad de estas cavidades es en general muy con- siderable, citando el mismo Agassiz sondeos practicados cerca del mencionado Hotel en el glaciar del Aar, que llegaron has- ta 260 metros. Y por cierto que desviando la corriente por al- gún punto más elevado queda el pozo en seco, y entonces, si su anchura lo permite, puede bajarse perfectamente basta grandes profundidades, como hizo el indicado naturalista más de una vez, para explorar la estructura, coloración y demás circunstancias que allí ofrece la nieve, verdadera roca de (1) Nouvelles études el expériences sur les Glaciers actuéis . — Pa- rís, 1847. TOMO XX. 30 458 agua sólida, que bien pudiera decirse ser de conglomeración, formada de cristales obliterados de agua, cementados y en- durecidos por la congelación de la que, en estado líquido, pe- netra en su masa, ó por la recongelacion, como quiere Tyn- dall; de donde fácil es deducir cuán inexactas son las ex- presiones con que algunos las designan llamándolas heleros ó heteras, neveros y neveras. Resultado de tan singular dispo- sición, y de la incesante influencia que ejercen, así el agua lí- quida, como los materiales que arrastra ó los que encuentra á su paso, sobre las rocas del fondo, son los molinos, pozos ó marmitas de los gigantes, que de preferencia se observan en aquellos puntos que la retirada de las nieves deja al descu- bierto, y que no pudiendo atribuirse á otra causa, claramente indican que el punto ó la localidad donde hoy se observan tan extraordinarios fenómenos, fueron ocupados en tiempos más ó menos remotos por tan poderoso agente. En 1869 tuve la satisfacción de ver algunas de estas cavidades en los alre- dedores déla bonita ciudad de Golemburgo, en Suecia; en to- dos los tratados de Geología se citan en muchos otros puntos; pero no tengo noticia de que, al menos en Europa, haya sitio alguno en que este singular hecho ostente la grandeza que en el que motiva estas mal pergeñadas líneas. Y ahora, dada ya una idea de los resultados de la actividad délas nieves perpétuas en general, justo será que reseñemos en breves palabras todo lo que de maravilloso encierra el jardín de los glaciares de Lucerna.- Tres años, desde 1872 hasta 1875, y grandes sacrificios pecuniarios ha costado el poner de manifies- to los interesantes objetos de estudio que el terreno del men- cionado jardín conservaba, cual oculto tesoro de inestimable valor. Afortunadamente el celoso propietario no reparó en gas- tos, y teniendo fé en lo que habían de producir sus diligentes pesquisas, aun suponiendo que sus miras fueran hacer una especulación, como con efecto ha logrado realizar, lo cierto es que llevó adelante sus exploraciones, las cuales dieron por resultado poner al descubierto uno de los centros más ins- tructivos de Europa. Con efecto, pues, merced á la perseve- rancia del Sr. Arneim, no sólo el simple y curioso viajero, sino hasta el hombre de ciencia, puede satisfacer, en un pe- 459 queño rincón de la clásica Lucerna, su insaciable sed de sa- ber. En una superficie de 5000 metros cuadrados, y á respe- table distancia de las actuales nieves perpétuas, admíranse boy dentro del recinto de aquella ciudad muchas superficies pulimentadas y estriadas, gran número de cantos erráticos sacados del fondo de 18 marmitas de los gigantes ó molinos de los glaciares, y otros muchos que permanecen en el inte- rior de aquellas cavidades, como testimonio vivo de la fun- ción principalísima que les ha estado encomendada, por cuyo motivo reciben el nombre de piedras ó muelas de los indica- dos molinos. Y no llama tan sólo la atención el número de todos estos objetos, sino sus descomunales proporciones, ha- biéndome confesado el mismo Sr. Arneím, que la extracción de la muela del molino grande le costó más de un afio de trabajo, y sobre 750 francos de gasto. Entre las marmitas, las hay de todas formas y dimensiones, debiendo hacer especial mención de la mayor de todas, que se halla inmediata al bo- nito chalet donde residen el propietario y toda su familia, cuya cavidad mide 9 metros de diámetro en la boca situada al ni- vel del suelo, y sobre 8 metros de profundidad, observándose aun en su parte más baja un canto enorme, el cual, junto con el que tanto costó de extraer, movidos por el arroyo del anti- guo glaciar, abrieron todas aquellas cavidades en cuyas pare- des carcomidas se halla impresa, no sólo la acción del agente que las determinó, sino hasta el especial modo como actuaba, siendo, si no imposible, por lo ménos muy difícil de calcular, el inmenso espacio de tiempo que la realización de todas estas operaciones naturales supone. Los cantos que tales prodigios realizaron son, los unos de granito, los otros de gneis, de la arenisca dicha de Tavigliana, que se encuentra en el cantón de Uri, y también de caliza numulítica, á juzgar por los restos fósiles que en abundancia contienen. Y como estos cantos fue- ron trasportados por la nieve misma, constituyendo lo que los geólogos llaman canchales superficiales, claro es que su pre- sencia indica el punto ó puntos de donde procedía el glaciar que, al invadir y permanecer en el sitio donde hoy se advier- ten sus efectos, contando con el elemento tiempo, y con todas las circunstancias que allí concurrían, pudo con efecto reali- 460 zarlas. Dicho glaciar procedía del Golardo, y se extendió allá por los comienzos del período cuaternario, siguiendo el valle del rio Reuss, hasta la cordillera del Albis y del Jura, abrien- do en el actual jardín de los glaciares las numerosas y vastas cavidades que van mencionadas, y dejando indelebles huellas de su existencia al tiempo de retirarse las nieves, como lo justifican los enormes canchales ó agrupamientos de cantos y cieno glacial de forma semicircular, ó en arco de círculo, que constituyen hoy colinas de notable altura, situadas en las ri- beras de los lagos de Sempach, Baldegg y de Wanwvl, que lia sido recientemente desecado. A veces se observa que la marcha rápida del glaciar lle- vaba uno de esos cantos que hacen el oficio de piedra de mo- lino, cerca de la boca de una antigua marmita, y actuando sobre sus paredes, ya preparadas, dilataba considerablemen- te su cavidad. La disposición en espiral simple ó múltiple que ofrecen de un modo muy pronunciado algunos molinos del in- dicado jardin, y especialmente las paredes de la gran marmi- ta, prueba de un modo evidente que el agua de! arroyo del glaciar no caía perpendicularmente, sino describiendo curvas muy caprichosas. Junto al emparrado que existe hácia el O. del jardin, se ve una marmita que ostenta dos huellas, de las cuales la mayor describe una revolución y media de arriba aba- jo; el fondo está á 3m de la superficie, y su diámetro no excede de 1,5§m. Del lado S. E., y á muy corta distancia de la an- terior, se advierte otra marmita no ménos curiosa; su pro- fundidad es de 3,50m, y en la boca ofrece dos aberturas, por una de las cuales de tal modo se excavó su cavidad en forma de embudo, que la pared se aparta mucho de la vertical: las espirales descritas por la muela son muy profundas. Al S. de esta última y no lejos del León de Thorwaldsen, serpentea un surco trazado por el glaciar, que tiene 2,50m de profundidad, en el cual se advierten varias marmitas muy pequeñas, ó en embrión, por decirlo así. Todo esto, y el suelo completamente pulimentado y lleno de estrías, afectando la forma acarnerada que dijimos caracterizar la especial erosión producida por los glaciares, excita sobre manera la atención del que ve en ello otros tantos testimonios de la acción de las nieves perpétuas: m pero confieso que al acercarme á la gran marmita, mi asom- bro excedió á toda ponderación, como ahora es sobrado torpe la pluma para expresarlo cual yo quisiera. Nada ménos que un año de asiduo y afanoso trabajo se necesitó para sacar los materiales que contenia y ponerla al descubierto, sacando de su fondo una de las dos muelas que labraron tan enorme cavidad, observándose en las paredes las profundas huellas de tan perseverante y secular acción. También en esta mar- mita se observa que el lado S. es el más carcomido, rebasan- do en mucho sus paredes la linea vertical, lo cual prueba sin género ninguno de duda, que el glaciar estaba más alto de aquel lado, y por consiguiente que actuaban las aguas que pol- la superficie corrían, hasta encontrar la grieta por donde se precipitaron en dirección N,, cuyas paredes están á plomo. Con objeto de limpiar dichas cavidades, se sacaron del fondo los cantos erráticos que, mezclados con grava, arena y cieno glacial, contribuyeron a cubrirlas, habiendo colocado los más notables en aquellos puntos del jardín, donde produ- jeran más efecto, completando de este modo el atractivo que aquel sitio ofrece. Y como si la naturaleza se hubiera com- placido en acumular maravillas en un tan reducido espacio de terreno, hasta dió la feliz casualidad que rompiendo algu- nos de aquellos cantos, aparecieron en su interior objetos cu- riosísimos, y que llaman justamente la atención del diligente observador. Una de aquellas masas se halla literalmente cua- jada de esos singulares foraminíferos, que, por afectar la for- ma de pequeñas ó grandes monedas, se llaman Nunmuliles; casi puede asegurarse que aquella roca procede del valle de SchcBchen, en el cantón de Uri, relacionado con la cuenca del Reuss. En el interior de otro canto apareció una magnífica palma fósil, perfectamente conservada, probablemente del terreno de la molasa, y en algunos se pusieron de manifiesto muchos peines y ostreas, aquellos pertenecientes al período nicoceno y estas al cretáceo, pues entre otras especies, es característica de uno de sus principales horizontes la oslrea ca- rinata. A todos estos atractivos, el inteligente propietario ha querido añadir otros no ménos dignos de estudio, figurando entre ellos una bonita série de objetos prehistóricos intere- m santísimos, procedentes del palafito del lago de Baldegg, si- tuado próximamente á 12 kilómetros al N. de Lucerna, donde los encontró en el año 1872 el Profesor K. Arneim, hermano del dueño del jardín. Al mismo Profesor se debe la publica- ción de un opúsculo lleno de curiosos detalles acerca de los palafitos suizos, que el viajero puede adquirir en dicho punto. También se admira allí una bonita colección de fósiles y minerales de los Alpes, por más que en Suiza esto apenas llame la atención á fuerza de ser tan comunes, pues por to- das partes halla el viajero preciosos ejemplares con que’ enri- quecer sus colecciones á poca costa. Quien haya hecho alguna excursión al Grinderwald, al G otardo ó á cualquiera otro de los sitios clásicos de aquel pequeño rincón de Europa, habrá visto por sus propios ojos lo que acaba de indicarse. Además de todo esto, en un pabellón situado hácia el N. E. del jardín, se ve el célebre relieve de la Suiza central, obra maestra del General Pfyffer, que empleó 36 años de su vida en llevarla á cabo. Al lado de este precioso monumento, que revela las grandes dotes y la paciencia á toda prueba de su autor, se observa otro mapa topográfico, también en relieve, del valle de Muota (cantón de Schwvz), célebre en los fastos de la guerra por la retirada del ejército ruso al mando del General de Suwarrow, después de la derrota que en 1800 su- frió en Zurich por las tropas francesas de Massena. Por último, hasta en el pequeño café situado en el piso bajo de la casa del Sr. Arneim, y que este tiene arrendado á un industrial, se echa de ver el espíritu científico y la cultura general del país, pues en vez de embadurnar las paredes con pinturas más ó ménos adecuadas á la índole del estableci- miento, el propietario ha tenido el buen acuerdo de repre- sentar en una de ellas el aspecto que ofrecía el jardín en 1872, ó sea cuando se empezaron las excavaciones y desmontes para sacar á luz todas las preciosidades que en su seno se encontraban, facilitando de este modo al viajero la aprecia- ción de los cambios que ha experimentado, trasformándose de lugar de recreo en centro de interesantísimos estudios. En otros lienzos de pared se hallan perfectamente representadas las principales escenas de la Suiza de otros tiempos, dando la 463 forma y el atractivo de paisajes antediluviales, á los dalos su- ministrados por el eminente botánico y paleontólogo de Zu- ricli Sr. Heer, en su famosa obra intitulada Aspecto primitivo de la Suiza. Imperfecta y todo como resulta esta mal perjeñada reseña, así por la falta de dotes de quien, cumpliendo un precepto re- glamentario, la ha redactado, como por la índole misma del asunto, que más bien se presta al estudio directo que á la descripción, por minuciosa y concienzuda que sea, siempre da una idea de lo que es hoy el jardín de los glaciares de Lucerna, y de la necesidad absoluta que tiene de visitarlo todo el que desee formar cabal concepto de la acción múltiple y maravillosa de las nieves perpétuas, y convencerse del des- arrollo que este agente adquirió allá por los comienzos del período cuaternario, pues no creo exista, en Europa al menos, un recinto más clásico para el estudio de todos los efectos de su dinámica. Si lograra al menos despertar con el escrito que antecede, en algunas de nuestras muchas eminencias científicas, el de- seo de visitar el jardín de los glaciares de Lucerna, me daría por recompensado de lodos mis afanes, pues de seguro que con dotes de saber y de elegancia de estilo, bien superiores á las mias, corregiria los muchos defectos de este escrito, y le deberíamos la verdadera y científica descripción del jardín de los glaciares de Lucerna, y de cuantas preciosidades en- cierra.— Juan Jilanova y Viera . VARIEDADES REAL ACADEMIA DE CIENCIAS EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES. En el concurso á premios abierto por esta Reai Academia, cuyo plazo ha terminado en 31 de Diciembre de 1878, se han presentado las Memo- rias siguientes: Para el primer premio, cuyo tema es: «Exposición elemental y com- pleta, histórica y didáctica de la teoría y principales aplicaciones de las «cantidades imaginarias.— Influencia del imaginarismo sobre las demás «nociones fundamentales de las Matemáticas, y lugar que le corresponde »en la combinación bien ordenada de las diversas teorías que componen la «totalidad de la ciencia,» se han presentado dos Memorias. Núm. 1.— Remitida por el correo en 10 de Diciembre de 1878, con el lema: «Se me nao ajudaes, hei grande medo Que ó meu fraco batel se alague cedo.» (Camoens.) Núm. 2.— Entregada en Secretaría en 31 de Diciembre de 1878, con el lema: «La Matemática es la Metafísica más luminosa, más legítima y más «autorizada por la verdadera crítica.» Para el segundo premio.— No se han presentado Memorias. Para el tercer premio, cuyo tema era: «Catálogo descriptivo de un gru- po de la Farmacia española, indicando las especies de que el hombre sa- »que ó pueda sacar alguna utilidad, y aquellas otras que le sean perjudi- ciales,» se ha presentado una Memoria. Núm. 1.— Entregada en Secretaría en 31 de Diciembre de 1878, con el lema: « Nihil admirar i.» (Horacio.) Lo que por acuerdo de la Academia se hace saber al público en la forma acostumbrada. Madrid l.° de Enero de 1879. =E1 Secretario perpetuo, Antonio Aguilar. N.‘ 9.° — REVISTA DE CIENCIAS. — Tomo XX. RESOLUCION GENERAL BE LAS ECUACIONES NUMERICAS. (Conclusión. ) CAPITULO VIII. Complemento de los anteriores. — Motas y adi- ciones á la doctrina matemática en ellos ex- puesta. C. — Sobre la determinación de las raíces imaginarias. 1 .—Si el procedimiento de Graffe para determinar las raíces reales de nna ecuación aventaja en brevedad y sencillez á io- dos los demas procedimienlos conocidos, clásicos en cierto modo, y más comunmente empleados con igual objeto, el mismo método, ampliado y perfeccionado por Encke, es el único que, por regla general, y sin tropezar con enormes di- ficultades de ejecución, puede practicarse cuando de la inves- tigación de las raíces imaginarias se trata. Para bailar estas raices, tan reales como las con este nom- bre designadas, y no menos importantes, propónese en casi todos los tratados de Algebra, como preferible á cualquiera otro, el siguiente artificio, basado en la ingeniosa teoría y TOMO XX. 31 466 complicadísima práctica de la eliminación: en la doctrina que menos atractivo suele presentar cuando por vez primera se estudia aquella parte principalísima de la ciencia matemática. En la ecuación f{x) = 0, se dice, póngase por x la do- ble expresión a ± fi\/— 1; y nos resultará esta otra: f (a dz ¡3 v/— 1 ) =■

+ 238481 91 02 ¿c2 — 90771 x+l = 0. Y hecho esto, de la última ecuación, transformada de la (2o), inmediatamente se deduce que 26 log.fr* =9.3773644; y ^=1.4012685 26log.^^2=0. 0000000; y ^2=0. 7136391 Y, de la primitiva, que /o + fi = 0; y (jo1 fi 4- y^fo — — 1 f0 ==— /,= 1.4542719. La ecuación (2o) se resuelve, en consecuencia, en las dos siguientes de segundo grado : x* + 1.4542719 x + 1,4012685 = 0; y a2 - 1.4542719 £ + 0.7136391 = 0. Cuyas raíces son las mismas, poco antes expresas, aunque aproximadas ahora, no hasta la 8.a, sino solamente hasta la 7.a cifra decimal. Pero hubiera bastado cambiar de tablas de lo- garitmos, y efectuar los anteriores cálculos con logaritmos de ocho ó diez cifras decimales, para obtener los valores de aque- llas raíces, con aproximación á la verdad igual ó mayor que la obtenida por Serret. Lo cual ni vale casi la pena de raen- 470 donarse, ni en lo más mínimo invalida el mérito del segundo método de resolución (*). 4. — Al procedimiento primero y más común para deter- minar las raíces imaginarias agregó Lagrange una modificación, mucho más importante y curiosa en teoría que útil en la práctica. Las dos ecuaciones

P) = 0, para concluir los de a que les corresponden. 5. — Si para hallar las raíces reales de la ecuación primiti- va, f (x)= 0, fuese menester, como Lagrange en principio su ponía, formar la ecuación de los cuadrados de las diferencias de todas sus raíces, indudablemente podría utilizarse la se- gunda ecuación para determinar por el procedimiento referi- do las raíces imaginarias, y completar así la solución de la ecuación propuesta. Pero como la formación de la ecuación auxiliar citada pide una eliminación muy penosa de la incóg- nita x entre estas dos ecuaciones A®) = 0, y f(*) + y /"'(*) + (*)+ =ü- en la segunda de las cuales representa la y la diferencia de dos valores cualesquiera de x, ó de dos raíces de f{x) == 0, sólo en casos excepcionales muy sencillos se efectúa este tra- bajo preliminar, y sólo entonces podrá utilizarse la ingeniosa observación hecha, y modificación consiguiente en el método general, propuesta por Lagrange. Y áun entonces habrá que proceder con cautela para de- terminar los verdaderos valores de (3. Porque, si bien es cier- to que á cada par de raíces imaginarias conjugadas de la ecuación f(x) = 0 corresponde en la de los cuadrados de las diferencias de sus raíces una raíz real negativa, no siempre la proposición recíproca es igualmente cierta, ó no siempre á cada raíz negativa de la segunda ecuación corresponde un par de imaginarias en la primera. Por ejemplo: supongamos que la ecuación /* (¿r) = 0 posea, entre otras, tres raíces: una real, a; y dos imaginarias, adi¡3\/— 1. En la ecua- ción de los cuadrados de las diferencias de sus raíces existi- rían entonces estas tres raíces, reales y negativas: — 4(3% — [32 y — (32: de las cuales tan sólo la primera corresponde al par imaginario que se trata de determinar. Resulta, pues, que á las dificultades de formación y resolución de la ecua- 472 cion auxiliar, derivada de la primitiva, hay que agregar la de discernir cuáles son las raices negativas de la una en cor- respondencia clara y directa con las imaginarias de la otra. Y, por lo tanto, lo que alguna vez pudiera ser ó considerarse como simplificación de! método general de análisis de la ecua- ción propuesta, también pudiera alguna otra vez convertirse en causa de complicación, ó de fastidiosa incertidumbre y de ambigüedad en los resultados obtenidos. 6. — Ingeniosa y digna de conocerse es la modificación in- troducida en el método de Lagrange, para determinar las rai- ces imaginarias de una ecuación, por el matemático inglés W. Rulkerford. Expliquémosla, valiéndonos para ello de un ejemplo muy sencillo, ó razonando en el caso ménos compli- cado que puede presentarse. Consideremos, pues, la ecuación general de tercer grado, #3 -j~ a x~ + b ¿c'+ c — 0, cuyas raices representaremos por r9 una, y por .adz*/— y, las otras dos. Si estas dos raices son imaginarias efectivamente, y de- berá considerarse como cantidad positiva; pero, si fuesen rea- les, bastaría suponer que el signo propio de y era el negati- vo. De cualquier especie que sean, no prejuzgando nada sobre el signo de y, siempre podrán representarse ambas raices en la forma referida. De la ecuación propuesta deduzcamos abora otra, cuyas raices sean las de la primitiva, disminuidas de la cantidad a. Representando por y la nueva incógnita, la transformada de la primera ecuación será la que sigue: y 5 -j- ( 3 a -¡- a ) y 1 + (i 3 a2 -j- 2 a o: b ) y + (a : 5 + a a 1 2 -|- b a -J- c) = 0 . Mas si las raices de la ecuación propuesta supusimos antes que eran r y a zbr \/ — y, las de su transformada deberán ser estas otras: (r— a) y zk\/-—y. Luego la segunda ecuación equivaldrá á esta otra* r + (“ — r) if+yy + 'í (»- — r) = 0. 473 De donde se deduce que 3 a -(- a == a — r ; 3 a2 + 2 a a -f- 6 = y ; y a5 -j- a a2 + 4 a + c = y (a — r). Ó, eliminando la y entre las dos últimas ecuaciones de condición, que a3 + a a- + V4 (a* + b) a + V8 (a 6 — c) = 0. Y de esta ecuación deduciremos el valor real de a; que nos servirá después para hallar el de y con auxilio de la se- gunda de las tres ecuaciones condicionales que preceden; y, finalmente, el de r, por medio de la primera. La resolución completa de la ecuación primitiva depende, pues, del conoci- miento de una sola raiz real de la ecuación auxiliar que se acaba de construir. Si, por ejemplo, se nos diese la ecuación ¿e5 — 6 £ + 6 = 0, concluiríamos de ella inmediatamente la que sigue; a3— 1.5a — 0.75 = 0 ..... La cual, resuelta por el método de Graffe, ó por cualquie- ra otro, arrojaría este resultado: a = + 1.423661. De donde se deduce, por las fórmulas ó ecuaciones condi- cionales referidas, que s/~( = ±0. 283606 s/~\\ y r = — 2.847322. La dificultad de hallar las raices imaginarias de la ecua- 474 cion propuesta queda así reducida á la de hallar los valores de las raíces reales de otra ecuación, en cierto modo, deriva- da ó transformada de la primitiva. Pero ¿de qué grado será esta segunda ecuación auxiliar? ¿Y cómo sus coeficientes se componen con los coeficientes de la ecuación primitiva? — Pro- curemos investigarlo, avanzando un paso más por el camino ya emprendido. 7. — De la ecuación x/h + a x~° + I) x1 -}- c x -¡~ d = 0, representando sus cuatro raíces, reales ó imaginarias, por rlf r2 y a d= y/ — y, se desprende la que sigue, cuyas raíces son (ri — a), (r3 — a) y zb y/ — y: JJ ~\~ (4ct-j ~d) J) ~\~ (ha‘ -j-dífa-J-á ) y~"\~ (4a “l-dua "í“2áa-|-c) ify-j- Pero las mismas raices que esta ecuación posee también la siguiente: y*+ (2a— r— rs) ?/5-f j (a— r j (a— r J +y } if+ (2a — r4 — r#)y.y+y (¿ — r4) (a — r3)=0. Luego: 4 a + a == 2 a — r4 — r2 ; 6 a- + 3 a a ó = (a — r4) (a — r3) + y; 4 a3 + 3 a a2 -f- 2 b a + c = (2 a — r4 — r2) y ; y a4 + a a5 -f- b a- -)- c a d — (a — r4J (a — r3) y. Estas cuatro ecuaciones de condición con cuatro incógni- tas pueden reducirse á una sola ecuación, con una sola incóg- nita, que, después de resuelta y calculada, servirá para faci- litar la solución y cálculo de las demas. Eliminando, por ejemplo, las r4, r2 y y, lo cual es muy sencillo, obtiénese 475 para ecuación final, ó resolvente , con la incógnita a, la que sigue: 3 . 3 a*+Zb i+ ir"-a0+ — ”7 — -a*+ a ( u y v (0.02, 0.003 y 0.0006), que, en absoluto conside- rados, representan las tres últimas cifras de la raiz x, com~ 479 calen respectivamente con los cocientes, limitados á las cen- tésimas, milésimas y diezmilésimas, de 0.106 por 4.38; 0.016712 por 4.5492; y 0.003026033 por 4.574787: úl- timos términos, con los signos cambiados, de las ecuaciones f2 — 0, f5 = 0, y f,= 0, por los coeficientes que inmediata- mente les preceden. 4. — Y que esto, por regla general, debe muy aproxima - damente verificarse siempre así, fácilmente se concibe. Pues si de la ecuación /Un+ Bxn~' + ..... + Px2 + Qx + R = 0, por el procedimiento expuesto deducimos estas otras: ¿i yn + B, + + Ply* + Qiy+Bi = o, A, zn + B, zn~l + ..... + P2 z2 + Q, z + fr2 = 0, A, un + + ..... + P-ji2 + Q.U+ = 0, desde el momento en que admitamos que las incógnitas auxi- liares y , z, ut representan cantidades muy pequeñas, comprendidas entre 0.0 y 1; 0.00 y 0.1; 0.000 y 0.01; , los términos de las ecuaciones donde respectivamente figuran elevadas al cuadrado, y potencias superiores á la segunda, po- drán considerarse como despreciables; y los valores aproxi- mados de las mismas incógnitas, limitados á una sola cifra, del orden inmediato inferior al de la anterior, y ya conocida, de x, se hallarán por división, casi mental, de —Bít ó — ó — R-, ..... por Ql9 Q2, Q5 Después de todo, conforme pide la vulgarísima regla de aproximación, propuesta por Newton. 5.— Por error material de cálculo, ó por fallar muy ex- cepcionalmente la regla anterior, á las incógnitas z,u,v pudiéramos atribuir valores numéricos algo mayores ó meno- res de los que en realidad les corresponden. ¿De qué manera nos cercioraremos entonces de la equivocación y lograremos sin demasiado esfuerzo remediarla? — Veámoslo en un ejemplo: 480 en el mismo de que nos hemos servido para la exposición del método de que tratamos. Si en la ecuación f, (z) = r + 4.2 s2 + 4.38 % — 0.1 06 = 0, suponemos que z es igual á «í + 0.03, ynoáw + 0.02, en vez de la poco antes designada por f. (y) = 0, hallaremos esta otra: uT> + 4.29 if + 4.6347 u + 0.029207 = 0: la cual no admite solución positiva. Luego el valor hipotético de z, igual á 0.3, no admite verdadero incremento y debe considerarse como demasiado fuerte. Pero, formada ya la úl- tima ecuación, si al cálculo de u aplicamos la regla acos- tumbrada {% — — y forzamos también en una unidad Ql el cociente, hallaremos que u = — 0.007; y x, por lo tan- to, igual á + 1 .423 (= 1 +!/ + * + u) '• 1° mismo que, pro- cediendo con mayor cautela, habíamos poco antes encontra- do. Y, si en la ecuación anterior, por u ponemos — 0.007-H’> recaeremos sin variante alguna en la ecuación f^iv) = 0: con 3o cual el error, ó inadvertencia cometida en el cálculo de z , queda por completo remediada. Pues suponiendo que por z se hubiese sustituido en 3a ecuación f»(z)= 0 la expresión w + 0.01, de la ecuación entonces resultante r + 4.23 u1 + 4.4643 u - 0.061779 =0, deduciríamos para u un valor igual ó superior á 0.01: prueba de que el de adoptado como bueno, es en reali- dad pequeño.— Con mediana práctica en el asunto, y un poco de atención, el calculador decidirá inmediatamente lo que le conviene y debe hacer, para salvar ésta y cualquiera otra di- ficultad por el estilo que en el curso de las operaciones pu- diera presentársele, más bien por distracción suya que por error ó deficiencia del método. 481 6.— De lo hasta ahora expuesto se deduce que el cálculo de las incógnitas auxiliares, y , z, u , — , no presenta difi- cultad alguna, después de halladas las ecuaciones — 0, fó — 0, , que las contienen. Pero ¿cómo estas ecuaciones unas de otras pueden desprenderse fácilmente? La designada por f^y) = 0, igual á f/Ky + a) = 0, sá- bese bien que equivale á esta otra: n*y+r ^ • y+rw . +r («)•— — -=o Y lo mismo que la f, de la f, se desprenden de la f, la f- * fs Ia f 5’ y ssí todas las demas consecutivas. Pero si, con arreglo á la ley en la expresión anterior for- mulada, hubieran de construirse sucesivamente las diversas funciones, flt f%9 /. el procedimiento de Horner, para hallar ios valores de las raices reales de f(x) = 0, sería por extremo largo y penoso, y de muy menguada utilidad en la práctica. El arte consiste en pasar de una ecuación auxiliar á otra, de la primera á la segunda, ó de la octava á Sa novena, sin esfuerzo de atención, ó de un modo rutinario y casi mecá- nico, mediante una serie de operaciones numéricas muy sen- cillas, y constantemente las mismas. ". — Para explicar y comprender cómo puede ser esto así, supongamos que f (*) = Po x» + Pl ^ + P:> Pn_t x + ^ Si por x ponemos en esta expresión el binomio a- f ?/ nos resultará que f(a + y)=<¡1 fJ-q¡ yn~l + 9s yn~* + +qB-¡y + qí¡. Y si deshacemos lo hecho, poniendo en esta segunda ecoa • cion por y su igual x -a, hallaremos que también f (*)=?. («—«)"+?, (x— «)"-■+, 7í¡ gn_2 (x—a)1 + qn_A ( x — a) + qn. Los coeficientes Po, Pi,P.,, son dados ó conocidos TOMO XX. 32 482 en cada caso particular; y los q0 , qn q>, ,.,.qn designan los que necesitamos Conocer ó determinar, en función de los pri- meros, para pasar inmediatamente de la ecuación primitiva, f [x) = 0, á su transformada f [a + y) = fx {y) — 0. Pues del examen de la última ecuación sin dificultad al- guna se concluye: que el coeficiente qn representa el residuo de Indivisión de f{%) por x — a; el qn_x el residuo de la división del cociente entero, que al qn corresponde, por x — a parecidamente; el qn_ s el residuo también de la divi- sión del segundo cociente entero por el mismo divisor cons- tante x — a; y así todos los demás coeficientes q, hasta lle- gar retrogradando al primero q0. ¿Y cuáles son, en función de los coeficientes conocidos, p, el primer cociente entero y el primer residuo de la división de f(x) por x — a? — Los que siguen. Cociente: +p„a xn~J+p„a2 x n~" + ..... +p„an-* +Pr +P,a + p, a"“5 +P + ps an~‘ x+p0an ' + p, a"-2 + P» + Pn-ü + Pn— , « + /V-i Residuo: V O a'1 + Pí «n_1 + P* «n~2 + + Pn-i « + Pn = qn* Expresiones de cuyo exáraen se deduce: que el residuo es igual al último término del cociente, multiplicado por a , más el último término, pn, de f{x); que un coeficiente cualquie- ra del cociente, desde el segundo inclusive en adelante, se desprende del anterior por la misma ó análoga regla que el residuo del último; y que el coeficiente del primer término 483 coincide con el del primero de la función ó polinomio pro- puesto. La manera de hallar el valor de qn, por multiplica- ciones y adiciones sucesivas, y por regla general muy senci- llas, queda con esto explicada; y como, á la par que el primer residuo de la división de f{x) por x — a, se habrá encon- trado el cociente entero que le corresponde, repitiendo con este cociente las mismas operaciones que se hicieron con la función de donde procede, se hallarán el segundo residuo, ó valor de y el nuevo cociente que ha de servirnos de base para encontrar por el mismo camino los demas cocientes y residuos consecutivos. 8. — Sirva de ejemplo aclaratorio de cuanto se acaba de exponer, el siguiente: f(x) — 5 %k — 3 a?2 — 7. Si por x ponemos en esta expresión el binomio y -f- 3, resultará otra de la forma /'. ( y ) = y 4 + '/> !í + i -2 y'1 + y + ?»• Y para hallar el valor de q,t (residuo de la división de f (x) por a? — 3) habrá que efectuar las siguientes opera- ciones : ;,0 = 5=p0 P<>a+P, = 5x3 + 0= 15 = p\ iPo « + P,) « + Pi = 15 X 3 — 3 = 42=;/, {p<¡ a1 + p, a + pj a + ?>5 = 42 x 3 + 0= 126 = p\ (P»a5+Pi a“ +P* a + P^ci + Pt = 126X3—7 = 371 —qt. El cociente entero de esta primera división es igual á o a?5 + 15 x1 + 42 x + 126. Y el residuo de su división por x — 3, ó el valor de q 5, se hallará análogamente de este modo: 481 p'o = §=P”0 p o a +pf , == oX 3 + 15 = 30 = p\ (p'o a + p\) a + /9,, = 30x3 + 42 = 1 82 = p\ ( p\ a 2 + p\ a +jtú) a +/?'3 = 182 X 8 + 126 = 522 = Al residuo q~ corresponde el cociente entero 5 x 2 -4* 30 ¿2? -j- 1 32; del cual se desprende el residuo q 2, de su división por se — 8? por resultado de las siguientes sencillísimas operaciones. p'o— 5 =p'"o p'\ a + p\ — 5x8-4- 80 = 45= f\ [f o a +p'\) a + p'\ = 45 X 8 + 182 =207 — q*. A este último residuo acompaña el cociente entero 5sc+45; que, dividido por #-—8, dará de residuo, qv, el número 60, según á continuación se indica : p" o = 5 p"'o a + p"\ = 5 x 3 + 45 = 60 = ^. Y el último residuo, ó valor de q0, será el coeficiente 5, que se reproduce en todas las divisiones consecutivas. Luego U (y) + 60 f + 267 r + 522 y + 371 . 9.— -Esto, que tal vez parezca largo y complicado todavía, resulta en realidad muy sencillo disponiendo las operaciones del siguiente sistemático modo: (A) 5 + 0 +15 — 3 +45 + 0 + 126 — 7 +378 (¡i) 5 + 15 +42 +126 (+371) + 15 +90 +396 ( C ) 5 +30 +132 (+522) +15 +13S (D) 5 +45 (+261) + 15 (E) (S) (+60) En la línea horizontal (A) se han escrito los coeficientes de f{x), considerada esta función como polinomio completo» Debajo del segundo coeficiente hemos puesto el producto del primero por 3; y debajo, en la línea (. B ), la suma de este producto y de aquel segundo coeficiente. Debajo del tercero figura el producto de la suma anterior, 15, por 3; y debajo la suma de este producto y del coeficien- te á que se refiere. Debajo del cuarto el producto de la suma anterior, 42, por 3; y debajo la suma análoga á las dos anteriores. Y debajo del quinto el producto de la última suma, 126, por 3; y debajo, y entre paréntesis, la suma de este produc- to y del último coeficiente: suma igual al residuo g4, y con la cual no hay ya ninguna otra operación que verificar. De la línea horizontal (B), completada á la izquierda con el coeficiente 5, y en la cual debe considerarse como supri- mido el término entre paréntesis de la derecha, se pasa á la (C) como de la (A) se pasó á la (B). Y de la ( C ) se des- prende la [D), y de ésta la (JE), repitiendo las operaciones elementales, prolijamente enumeradas y explicadas en el caso 486 primero.— Todo ello es tan rudimentario y fácil de aprender, y de tan perfecta monotonía, como cualquier regla funda- mental de la Aritmética. 10.— Volvamos á considerar la ecuación f (x) = x7j — 1.5 x — 0.7o = O, cuya raiz real única se halla comprendida entre los números 1 y 2; y veamos cómo por el procedimiento anterior pueden deducirse sus transformadas sucesivas, funciones de y, z, u, . . . . ántes ya consignadas. Para pasar de la función f(x) á la fl (y), hay que hallar, por de pronto, los residuos de f(x) por x — 1; y los resi- duos análogos, luégo, por el mismo divisor de cuantos cocien- tes enteros se fueren sucesivamente encontrando. Por la regla anterior, las operaciones que esto pide se hallan comprendidas en el esiadito adjunto: U) 1 4-0 —1.5 -0.75 +1 4-1 —0.5 (11) 1 -f-1 —0.5 (—1.25) +1 4-2 (0 1 -j-2 (4-1 .5) 4-1 í D ) (1) (4-3) A (y) — y° 4- 3 y' 4- 1 .5 y — 1.25 = 0. Después de averiguar, por tanteo, que esta ecuación tiene una raiz comprendida entre 0.4 y 0.5, se hallará la siguien- te, simbólicamente representada por A (2) = 0, de este modo análogo, ó, en la forma, idéntico al anterior 487 (A) 1 +3 +0.4 + 1 .5 +1.36 —1.25 +1.144 («) 1 +3.4 +2.86 ( -0.106) +0.4 +1.52 (0 1 +3.8 (+4.38) +0.4 (D) (1) (+4.2) f. (s) = + + 4.2 s2 + 4.38 — 0.106 El valor de 2 se halla en esta ecuación comprendido en- tre 0.02 y 0.03 (cociente de +0.106 por 4.38); y, pol- lo tanto, para pasar á la siguiente, fz(u) = 0, habrá que efectuar las operaciones, siempre arregladas á la pauta de las precedentes, que á continuación se indican. 1 +4.2 -f-4.38 —0.106 -1-0.02 +0.0844 +0.089288 1 +4.22 +4.4644 (—0.016712) +0.02 +0.0848 1 +4.24 (+4.5492) +T.02 (1) (+4.26) f5 (u) = u 5 + 4.26 w2 + 4.5492 u — 0.016712 = 0. Y así podría continuarse indefinidamente, aplicando la 488 misma regla á la formación de las diversas ecuaciones trans- formadas de la primitiva, hasta donde se creyese necesario prolongar la serie de operaciones indicadas. 11.— En la práctica el uso de los coeficientes, compuestos de gran número de cifras decimales, no es demasiado conve- niente, y se evita, sin aumento de trabajo ni complicación de ningún género, apelando á un recurso muy conocido y sen- cillo. La ecuación f1 (y) = 0, en el supuesto de que la f{x) = 0 sólo contenga una raiz real, comprendida entre los números a y a+1, debe contener otra, entre 0.0 y 1.0. — Pero si el segundo de sus coeficientes le multiplicamos por 10; el ter- cero por 100; por 1000 el cuarto; y así análoga y respectiva- mente los demas consecutivos, la nueva ecuación resultante poseerá una raiz décupla de la fx = 0 primitiva; y, por lo tanto, contenida entre 0 y 10. En el caso particular propuesto la ecuación fx = 0 , mo- dificada, es la siguiente: f + 30 y* + 150 y — 1250 == 0; y en ella los ensayos ó tanteos necesarios para determinar los dos números consecutivos entre los cuales su raíz debe ha- llarse contenida se harán con los enteros 0, 1, 2 hasta 9. Y el número inferior á su raiz expresará la segunda cifra del valor buscado de x. Hallado este número, 4, á la transformada siguiente de f (x)— 0, función de 2, se pasará mediante las operaciones sencillísimas, con números enteros, que á continuación se ex- presan: í +30 +150 —1250 +- 4 -4- 1 á b -+ 1 1 +34 +286 (— 106) + 4 +152 +38 (+438) + 4 (+42) 489 Y aunque !a ecuación en z, con una raíz real comprendida enire 0.0 y 1.0, sea, en rigor, ésta: ss + 42*2 + 438 z — 106 = 0, prefiérese á ella la que sigue, de raíz décupla: *5+ 420** + 43800 * — 106000 = 0. A la fs(u}== 0, anteriormente deducida, ó á la que de ia última ecuación, función de podría deducirse, se sustitu- ye, mentalmente casi, esta otra: b3 -f 4260 u* + 4349200 u— 16712000 = 0; la cual, como las precedentes de donde se ha derivado, debe contener una raiz comprendida entre 0 y 10: cuarta cifra del valor de x, prescindiendo del orden decimal á que per- tenezca, muy fácil siempre de precisar. Y de la última ecuación, en fin, se desprenderían por el mismo método expuesto estas otras dos, necesarias para el cálculo de las cifras 3.a y 6.a de x, por división de sus últi- mos términos, tomados con signos contrarios, por los coefi- cientes de los que inmediatamente les preceden: r + 42690 ir + 457478700 o — 3026033000 = 0; y ir + 4,27080 w1 + 45799108800 w— 279623744000 - 0. 12.— -Los coeficientes de estas varias ecuaciones van su- cesiva y muy rápidamente creciendo, hasta el punto de ha- cerse embarazoso su manejo, ó de complicarse cada vez más las operaciones numéricas que con ellos deben verificarse: io cual limita ó dificulta la aplicación del método de Horner, ó se opone en la práctica á la investigación como indefinida de las raices incógnitas de la ecuación propuesta. Llegados, sin embargo, á cierto punto, la operación comenzada puede ter- minarse, ó pasando súbitamente del método de Horner al de 490 Newlon, y hallando por una sola división oirás lanías cifras casi de la raiz, como ya una en pos de otra, sucesiva y pau- latinamente, se hubiesen encontrado; ó prolongando un poco más la aplicación simplificada, ó abreviada, del primer méto- do, antes de recaer en el segundo. Expliquemos cómo esto puede verificarse, con pequeño incremento de trabajo sobre el ya efectuado desde un principio, en el mismo ejemplo á que en los párrafos anteriores nos hemos referido. 13.— De la ecuación /4 (v) = 0 se ha concluido que v se halla comprendida entre los números 6 y 7; y, poniendo en ella por v la expresión 6 + w, y multiplicando por 10 las raíces de la ecuación así resultante, se desprende la f* (w)=0, apropiada al cálculo de w. Pero esta misma ecuación, /*5 (w)= 0, obtenida por escalones, operando del modo sistemático refe- rido sobre las ecuaciones análogas anteriores, se hubiera po- dido obtener también desde luégo, comenzando por transfor- mar la f(x) en otra, F(x¿)= 0, cuyas raíces fueran 100000 veces mayores que las buscadas, y sustituyendo después en ella por xi el binomio 142360 -f w. Luego su último térmi- no coincidirá con el valor de F(a)> en la fórmula de aproxi- mación newtoniana, y el coeficiente anterior con el de F' {a)3 si en la ecuación F(x¿) = 0, y en el polinomio derivado F' (xt) se pone por xi su valor aproximado a, igual á 142360. La corrección w se deducirá, en consecuencia, pol- la mencionada fórmula, w = — > prolongando la di- * (a) visión hasta la segunda ó tercera cifra decimal del cociente, en este caso. Y con incerlidumbre muy pequeña, aunque por de pronto inevitable, en la última cifra decimal, se hallará de este modo que x. = 142366.105; ó ,£ = 1.42366105 14.— Pero en vez de reemplazar arrebatadamente la ecua- ción f\ (w) = 0, ó ivz + 427080 wr + 45799108800 w- 279623744000 = 0, por la + 45799108800 w - 279623744000 = 0, 491 compuesta de sus dos últimos términos, considerando para ello como evanescentes los anteriores, conforme pide la apli- cación del método de Newton, y hemos ahora practicado para deducir el valor de w , hubiéramos podido proceder con al- guna mayor lentitud y cautela, comenzando por omitir ó til- dar, en el concepto referido, tan sólo el primer término. Y si, hecho esto, reemplazamos por tres ceros las tres últimas ci- fras de los coeficientes restantes, con la precaución de forzar en una unidad la cuarta, cuando la tercera sea igual ó supe- rior al número 5, y dividimos por 1000 el resultado, á la ecuación fs ( w ) = 0 habremos sustituido esta otra , mucho más sencilla: 427 w * + 45799109 wí — 279023744 = 0; de la cual se deducirá para w1 un valor igual casi al de w: idéntico, si nos atenemos á su primera cifra, sexta del valor buscado de x. A la última ecuación, cuya raiz w 4, necesariamente inte- rior á 10, se halla comprendida entre los números 6 y 7, apliquemos de nuevo, y sin variante alguna, el procedimiento de transformación de Horner, poniendo en ella por wl el bi- nomio w2 + 6, y decuplando luego las raices del resultado; y hallaremos por de pronto que 427 w,* + 458042330 w , - 481371800 = 0. Ó, reemplazando por ceros las dos últimas cifras de los tres coeficientes, que 4 w* + 4580423 wt - 4813718 = 0. El valor de w 5, que puede también considerarse como igual al de w 2, se halla comprendido entre los números 1 y 2. Luego, poniendo en la última ecuación por w5 el binomio w4 + 1, y decuplando después el valor de w/n nos resultará esta otra: 4 w* + 45804310 to4 — 23329100 = 0 492 Y de esta ecuación, suprimiendo las dos últimas cifras de los coeficientes, lo cual implica la supresión completa de su primer término, se infiere la que sigue: + 458043 w5 — 233291 = 0. De la cual, por división abreviada de sus coeficientes, se deduce finalmente que wh = 0,50932. El valor de la incógnita x, cuya primera cifra se deter- minó por tanteo; las cuatro siguientes, hasta la v inclusive, aplicando el método de Horner, sin abreviación ó simplifica- ción alguna; las otras dos, wi y por el mismo método abreviado; y las seis últimas, por división de un número por otro, es en conclusión el siguiente, aproximado hasta la duodécima cifra decimal en este caso: x — i .423661050932 ..... 15. — Á las ecuaciones de grado superior al tercero el mé- todo de Horner se aplica del mismo modo que á éstas, en el ejemplo acabado de resolver, y con simplificaciones análogas. Después de obtenidas unas cuantas cifras de la raiz buscada, y cuando los coeficientes de la última ecuación, transformada de la primitiva, se hubiesen complicado, ó crecido en dema- sía, se tachará una cifra en el penúltimo, dos en el anterior á éste, tres en el precedente inmediato, y así en todos los de- más colocados delante, ó á la izquierda, hasta el primero in- clusive. Por efecto de esta supresión de cifras, sistemática- mente repetida, llegará un momento en que desaparecerán los términos primero y segundo; el tercero luégo; y el cuarto, y el quinto, y los demas consecutivos, poco á poco. Y cuando solo subsistan los dos últimos, la operación se terminará pol- la regla de Newton: dividiendo el posterior, tomado con signo contrario, por el precedente, de la manera y hasta el punto referidos. 16. — Sirva, por si todavía fuese necesario, para ilustrar la doctrina en las precedentes últimas líneas condensada, el m siguiente nuevo ejemplo, algo más complicado que el en los anteriores párrafos propuesto y resuelto. Si se nos diese la ecuación ¿c4 — 2¿r — 61 a;s + 150 a — 89 = 0, comenzaríamos por averiguar, por las reglas ordinarias del Álgebra, ó aplicando previamente á su análisis el teorema de Sturm, que sus cuatro raices son reales: positivas tres, y una negativa; y que la mayor de las tres se halla comprendida entre los números 9 y 8, y entre los 1 y 2 las dos menores; y la negativa entre — 8 y — 9. Y esto averiguado por cual- quier medio, emprenderíamos la investigación de la primera raiz poniendo en la ecuación que se trata de resolver por % el binomio xx + 7. Prévias las operaciones numéricas sencillí- simas que á continuación se indican, y que minuciosamente se explicaron en los párrafos 8 y 9, 1 __ 2 — 61 +150 — 89 + 7 +35 —182 — 224 1 + 5 — 26 - 32 (—313) + 7 + 84 +406 1 +12 + 58 (+374) + 7 +133 1 +19 (+191) + 7 1 (+26), y decuplando las raices de la transformada, se hallará el re- sultado siguiente: + 260 ¿v + 19100 + 374000 xt - 3130000 = 0 494 Medíante algunos tanteos muy sencillos, de esta ecuación se deduce que el valor de x 4 se encuentra comprendido en- tre los números 6 y 7. Si, pues, se supone igual á #.+7 en la primera transformada de la ecuación propuesta, encon- traremos esta segunda, después de decupladas sus raíces: x* + 2840 ¿e23 + 2399600 ^22 + 632144000 ¿c2 - 1409440000 = 0. Y, por división mental de su último término por el coefi- ciente del anterior, y cambio del signo, inferiremos en el acto que el valor de #2 supera al número 2 y es inferior al 3. Po- niendo, en consecuencia, por xü el binomio x, + 2, y de- cuplando asimismo las raíces de la nueva transformada, nos resultará que u»54 + 28480 + 241666400 ®s* + 64177651 2000 ¿z?3 — 1355308640000 — 0. Y del examen de esta ecuación se deduce, á primera vista casi, que el valor de x~ se baila también comprendido entre los números 2 y 3. Luego, poniendo por x-0 el binomio ¿r4+2, y prescindiendo de los ceros necesarios para decuplar las raíces de la nueva ecuación resultante, inferiremos, por el mismo procedimiento de transformación aplicado en los casos anteriores, que + 28488 *45 + 241837304 x* + 642743319392 xA — 70788722544 = 0. Con todo lo cual habremos determinado las cuatro prime- ras cifras de la raíz buscada (x = 7.622 á las cuales fácil sería, dividiendo el último término, con el signo cam- biado, por el coeficiente del anterior, agregar de golpe otras cuatro. Pero si, en este punto de la operación, en vez de pospo- ner un cero al coeficiente del segundo término de la ecuación. m cuya incógnita es la #4; y dos, tres y cuatro ceros, respecti- vamente, á los consecutivos; suprimimos una cifra á la dere- cha del penúltimo término, dos á la del inmediato anterior, y tres á la del que á éste precede, y tachamos ademas el pri - mero, obtendremos esta otra ecuación, abreviada de la que debíamos realmente resolver: 28av + 2418373 + 64274351 939 70788722544=0. De la cual se deduce por de pronto que xA se halla com- prendida entre los números 1 y 2. Y poniendo luégo por xA el binomio á?3 + l, y verificando análogas supresiones de cifras, en el resultado inmediato de la sustitución, á las efec- tuadas en el caso precedente, que + 24185 x* + 6427918877 x& - 651 1952204 = 0. De esta ecuación, cuya raiz xs se halla comprendida en- tre ios números 1 y 2, se pasa por ios trámites expuestos á la que sigue, sustituyendo en ella por x& el binomio ¿r6 + 1: + 242 ¿rv + 642796725 - 84009142 == 0 . Y como el valor de x6 es inferior á la unidad, suponién- dole igual á x, + 0, sin cálculo alguno se deduce inmedia- tamente que 2 x* + 64279672 a;7 — 84009142 = 0. Entre los números 1 y 2 se advierte que el vator de ¿r7 se encuentra comprendido. Y, por lo tanto, si en vez de ¿r7 sustituimos en la última ecuación el binomio a?8+l, con- cluiremos que + 64279676 - 19729468 = 0. De donde, por división abreviada, se desprende con suma 496 rapidez que a?8 = 0.3069317, con incerlidumbré de alguna unidad, en la última cifra. El valor buscado de x seré, pues, el que sigue: £ = +7.622 116 186 693 17 Y si, para comprobar su exactitud ó grado de aproxima- ción á la verdad, determinamos por el mismo procedimiento, v con independencia los unos de los otros, los valores de las otras tres raices de la ecuación propuesta, bailaremos pareci- damente que £ — + 1 .390 179 663 422 28 ..... + 1.042 741 427 124 49 — 8.055 081 221 239 94 La suma de los cuatro valores así encontrados es igual y de signo contrario al coeficiente del segundo término de la ecuación propuesta: lo cual puede considerarse, si no como prueba irrefutable, como indicio suficiente de que en el cur- so de las operaciones numéricas, verificadas para obtenerlos, no se ha deslizado error alguno de cuantía. 17.— La investigación de las dos raices positivas de la ecuación £4 — 2 x3 — 61 x2 + 1 50 x — 89 — 0, comprendidas ambas entre los números enteros consecutivos 1 y 2, exige de parte del calculador una precaución, tan sen- cilla como importante, no advertida todavía, y concerniente á la distinción ó separación de aquellas raices. Poniendo, en efecto, en la ecuación de que se trata por la incógnita x el binomio xi + 1 , despréndese desde luego la siguiente transformada suya: x* + 20*+ — 6100 x* + 26000 x, — 10000 = 0. Y ¿es en este caso evidente que la nueva ecuación sólo 497 ¡Hiede contener una raíz real y positiva, inferior al número 10, como en el §. 11, consecuencia del §. 2, se supuso?— De ningún modo. Si los dos valores de x, comprendidos entre los números 1 y 2, no discrepan uno de otro ni en una déci- ma parle de la unidad, los de xlf que deben servir para completarlos, limitados en su expresión numérica á una sola cifra, serán absolutamente iguales; y la ecuación de donde procedan sólo admitirá una raíz comprendida entre 0 y 10. Pero, si la discrepancia fuese mayor, como en este caso suce- de, los de xt diferirán en más de una unidad, y la ecuación que ha de servirnos para determinarlos, admitirá dos raices distintas, hasta por sus primeras cifras, comprendidas ambas entre los límites referidos. En la duda, pues, y miéntras la separación de los valores de x no se hubiese efectuado por completo, habrá que sustituir en las transformadas sucesivas de la ecuación propuesta los números consecutivos 0, 1 , 2 10, para deducir, por los cambios de signo de los resultados, la posición y valores de las raices auxiliares, xít ó xit ó x5, necesarios para componer los de la incógnita principal x. — Procediendo con esta precaución, hállase, en el ejemplo de que ahora se trata, que la incógnita auxiliar ó complementa- ria xi admite dos valores: uno, comprendido entre cero y la unidad; y otro, entre los números 3 y 4. Luego los valores de x lo «starán entre 1.0 y 1.1; y entre 1.3 y 1.4. Y si, esto averiguado, ponemos en la primera transformada por x{ el binomio x, -f- 0, hallaremos la siguiente, apropiada á la determinación exclusiva de la raíz menor: 200 x *— 610000 x,*+ 26000000 100000000 = 0; ó esta otra, que se referirá á la segunda raíz, si el binomio + 3: a?/ + 320 x* — 586600 i* — 9952000 x, + 137210000 =0. La primera de las cuales sólo admite ya una raíz positiva, in- ferior á 10, comprendida entre los números 4 y 5; y otra, poco mayor que 9, la segunda. Y, en consecuencia, la deíer- T.OMO XX. 33 498 mlíacion sucesiva de las demas cifras de ambas raíces, por el método de Horner, no presenta desde este momento dificul- tad teórica de ningún género. En suma- miéntras las raíces casi iguales de la ecuación propuesta no comiencen á separarse ó deslindarse unas de otras, las ecuaciones transformadas suyas sucesivas, cuyas incógnitas son la xv ó la a?2, , admitirán una sola raíz, inferior á 10, común á todas aquellas raíces, y fácil de pre- cisar por tanteo. Pero, tan pronto como en una transformada se adviertan dos cambios de signo, producidos por la sustitu- ción en ella de los números 0, 1, 2 ..... 10, la separación de las raíces en dos distintos grupos queda efectuada; y el cálcu- lo ulterior de las unas se verificará con independencia com- pleta del de las demas. El principio es general; y, aplicado con discernimiento y constancia, producirá indefectiblemente la separación de todas las raíces que entre sí discrepen en cantidad algo mayor del límite de aproximación á la verdad que nos hayamos propuesto obtener. 18. — En este carácter importante, como en otros varios, el método de Horner concuerda á la letra con el mucho más an- tiguo de La gran ge. Recordemos, en efecto, que este celebérrimo matemático propuso, para determinar el valor de una raíz de la ecuación f[x) = 0, comprendida entre los números a y a + 1 , sus- 1 tituir por de pronto á la incógnita x el binomio a-f- — ; y en y i la transformada, f(a -t ) = : té*